X. ТРИБЕЛЬ	ТЕОРИЯ

ИНТЕРПОЛЯЦИИ_

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ

ПРОСТРАНСТВА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
ОПЕРАТОРЫ

Interpolation Theory
Function Spaces
Differential
Operators

by Hans Trlebel

VEB DEUTSCHER VERLAG rHy
DER WISSENSCHAFTEN I/

BERLIN 1978 IOJ
X. ТРИБЕЛЬ

Теория интерполяции,
функциональные пространства,
дифференциальные
операторы

Перевод о английского

В. И. Буренкова и М. Л. Гольдмана

под редакцией
О. В. Бесова

Издательство «Мир»
Москва 1980
УДК 517.43+517.946+519.55/56

Обстоятельное изложение широкого круга вопросов теории
пространств дифференцируемых функций с единой точки зрения,
основанной на теории интерполяции. Много внимания уделено
приложениям к краевым задачам для линейных уравнений, как
в классической ситуации, так и в случае вырождения соответст-
вующего оператора на границе. Значительная часть материала со-
держалась ранее только в журнальных статьях, в том числе в ра-
ботах автора, внесшего большой вклад в данную область иссле-
дований.

Книга представляет интерес для специалистов по теории
функций, функциональному анализу, уравнениям с частными про-
изводными. Она доступна студентам-математикам старших курсов
университетов.

Редакция литературы по математическим наукам

1702050000

20203—-009	©VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften,

j------------- 09—80 Berlin, 1977

041(01)—80	©Перевод на русский язык, «Мир», 1980
От редактора перевода и
переводчиков

Предлагаемая вниманию читателя книга известного немецкого
математика профессора Ханса Трибеля (ГДР) посвящена теории
интерполяции линейных операторов в банаховых пространствах
и ее приложениям к теории функциональных пространств и тео-
рии регулярных и вырождающихся эллиптических дифференциаль-
ных операторов.

Первые идеи и результаты теории интерполяции линейных
операторов в пространствах Lp содержатся в теореме Рисса—Торина
(М. Рисе, 1926; Г. О. Торин, 1939, 1948 гг.) и в теореме Мар-
цинкевича (1939 г.) с доказательством Зигмунда (1956 г.).

Как самостоятельное направление исследований теория интер-
поляции в банаховых пространствах сложилась в 1958—1961 гг.
в работах Ж.-Д- Лионса, Э. Гальярдо, А. П. Кальдерона и
С. Г, Крейна; существенную роль в ее развитии сыграли работы
Я- Петре. В последующие годы эта теория интенсивно развивалась
и нашла глубокие и важные применения в теории функциональных
пространств^ уравнениях с частными производными, теории рядов
Фурье, теории приближений и других разделах математики.

На русском языке имеются лишь две монографии, посвященные
теории интерполяции линейных операторов и ее приложениям: «Не-
однородные граничные задачи и их приложения» Ж--Л. Лионса и
Э. Мадженеса (М.: Мир, 1971) и «Интерполяция линейных опе-
раторов» С. Г. Крейна, Ю. И. Петунина и Е. М. Семёнова (М.:
Наука, 1978). Эти книги и книга, лежащая перед читателем, мало
перекрывают и удачно дополняют друг друга.

X. Трибелем дано единое, достаточно полное и содержащее
новые подходы изложение самой теории интерполяции и новых
областей ее приложений. Впервые систематически изложена тео-
рия пространств дифференцируемых функций с точки зрения
теории интерполяции. В частности, рассмотрены пространства
с целыми и дробными показателями гладкости, различные варианты
весовых пространств функций, определенных в ₽„, R„ и в облас-
тях. На основе этих результатов проведено исследование краевых
задач для регулярных и вырождающихся эллиптических диф-
ференциальных операторов (априорные оценки, дробные степени
операторов, асимптотика спектра и т. д.).

Автор сам много и плодотворно работал в указанной области,
и значительную часть книги составляют его собственные резуль-
таты.
Актуальность и полезность книги подчеркиваются тем обстоя-
тельством, что в 1979 г. в ГДР вышло ее 2-е, стереотипное изда-
ние.

Четкость и обстоятельность, отличающие стиль X. Трибеля,
выдержаны на протяжении всей книги и несомненно доставят
удовольствие читателю. Изложение постоянно сопровождается
исчерпывающими замечаниями исторического, обзорного и справо-
чного характера и снабжено обширной библиографией (около 800
наименований). (При переводе в нее добавлено несколько работ.
Они помечены звездочкой.) Охватить с такой обстоятельностью
столь широкий круг проблем при сравнительно умеренном объеме
удалось за счет того, что автор, освещая со всей полнотой идей-
ную сторону дела, весьма сжато излагает технические моменты
многих доказательств. Это потребует от читателя напряженной
работы над текстом.

Требования, предъявляемые к читателю, достаточно подробно
указаны в предисловии автора. В круг ожидаемых читателей вхо-
дят студенты старших курсов, аспиранты и научные работники,
интересующиеся теорией интерполяции и ее приложениями в тео-
рии функций, функциональном анализе и дифференциальных
уравнениях, и специалисты, активно работающие в этой области.
Без сомнения, эта книга окажется им всем полезной.

0. В. Бесов, В. И. Буренков, М. Л. Гольдман
Предисловие к русскому изданию

В русское издание по сравнению с английским внесено много
мелких исправлений. Кроме того, существенно изменены:

Г формулировка и доказательство теоремы 1.14.2;

2° доказательство теоремы 2.9.1;

3° формулировки и доказательства теорем 3.3.1 —3.3.3 и 4.5.2.

За время, прошедшее после написания этой книги, появился
целый ряд монографий, посвященных теории интерполяции и функ-
циональным пространствам. Помимо нового издания монографии
С. М. Никольского [7] отметим следующие книги:

1.	Адамс (Adams R. A.). Sobolev spaces. Academic Press, New
York —San Francisko, 1975.

2.	Берг, Лёфстрём (Bergh J., Lofstrom J.). Interpolation spaces.
An introduction. Springer, Berlin —Heidelberg —New York, 19761.

3.	Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные
представления функций и теоремы вложения. — М.: Наука, 1975.

4.	Крейн С. Г., Петунии Ю. И., Семёнов Е. М. Интерполяция
линейных операторов. — М.: Наука, 1978.

5.	Куфнер, Йон, Фучик (Kufner A., John О., Fudik S.). Fun-
ction spaces. Academia, Prague, 1977.

6.	Петре (Peetre J.). New thoughts on Besov spaces. Duke
Univ., Durham, 1976.

7.	Трибель (Triebel H.). Fourier analysis and function spaces.
Teubner, Leipzig, 1977.

8.	Трибель (Triebel H.). Spaces of Besov — Hardy — Sobolev
type. Teubner, Leipzig, 1978.

Пользуюсь возможностью поблагодарить издательство «Мир»,
опубликовавшее мою книгу в русском переводе.

В заключение, но не в последнюю очередь, я хотел бы выра-
зить мою глубокую признательность редактору перевода О. В. Бе-
сову и переводчикам В. И. Буренкову и М. Л. Гольдману.

Ханс Трибель

> В издательстве «Мир» готовится русский перевод, — Прим. ред.
Предисловие

В этой книге дается систематическое изложение следующих тем:

Г теория интерполяции в банаховых пространствах;

2° теория невесовых и весовых пространств Лебега — Бесова
( — Соболева —Слободецкого) в Rn, Ri и в областях;

3° теория регулярных и вырождающихся эллиптических диф-
ференциальных операторов;

4° структурная теория некоторых специальных ядерных функ-
циональных пространств.

Цель книги — изложить эти (на первый взгляд достаточно
удаленные друг от друга) темы с общей точки зрения, а именно
с точки зрения теории интерполяции.

Первая глава посвящена абстрактной теории интерполяции
в банаховых пространствах. С одной стороны, эта глава пред-
ставляет собой имеющее самостоятельное значение введение в ука-
занную теорию, а с другой — служит основой для почти всех
последующих рассмотрений. В частности, в ней предпринята
попытка получить абстрактные теоремы с весьма широкой сферой
действия, которые применительно к конкретным функциональным
пространствам приводили бы к различным (в том числе и хорошо
известным) теоремам вложения, теоремам продолжения, свойствам
шкал пространств, теоремам об эквивалентности норм и т. д.

Основная задача глав 2—4,—опираясь на теорию интерпо-
ляции, дать систематическое изложение теории пространств Собо-
лева — Слободецкого Wp, пространств Лебега (пространств бес-
селевых потенциалов) Hsp, пространств Бесова BsPtq и пространств
в n-мерном пространстве Rn, в полупространстве Ri и в об-
ластях. Рассматриваются как невесовые, так и весовые прост-
ранства.

В главах 5—7 изучаются некоторые классы регулярных и
вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов.
Базой для этого изучения вновь служит теория интерполяции,
а также теория функциональных пространств, развитая в преды-
дущих главах. В главе 8 устанавливаются структурные теоремы
для некоторых специальных ядерных функциональных пространств.
Эти результаты основаны на исследовании вырождающихся эллип-
тических дифференциальных операторов, проведенном в главах 6 и 7.

Каждая глава снабжена введением. Там читатель может найти
более подробные сведения о содержании данной главы.
Эта книга написана для аспирантов и научных работников,
интересующихся абстрактным функциональным анализом и его
приложениями к функциональным пространствам и дифферен-
циальным операторам. Предполагается, что читатель активно
владеет основными понятиями функционального анализа в том
объеме, в каком они изложены в хорошо известных руководствах
Данфорда и Шварца [1], Рисса и Сёкефальви-Надя [1] или Иоси-
ды [1] (т. е. ожидается, что читатель знаком со спектральной
теорией самосопряженных операторов в гильбертовых простран-
ствах, теорией интегрирования в банаховых пространствах, тео-
рией аналитических функций в банаховых пространствах, теорией
сильно непрерывных полугрупп операторов в банаховых про-
странствах и теорией обобщенных функций). С другой стороны,
более специальные вопросы функционального анализа, например
теория мультипликаторов в пространствах Lp и теория дробных
степеней позитивных операторов в банаховых пространствах,
разобраны в самой книге. Знакомство с теорией функциональных
пространств, теорией дифференциальных операторов и теорией
ядерных пространств не является необходимым.

Книга разбита на главы, параграфы и пункты, пронумерован-
ные по «десятичной системе». Весь материал, излагаемый в данном
пункте, подразделен на определения, леммы, теоремы и замечания.
Одной из причин такой «плотной» организации текста было жела-
ние добиться того, чтобы книгу можно было использовать в
качестве справочника. В пределах каждого данного пункта фор-
мулы, определения и т. п. нумеруются натуральными числами.
При ссылках на формулы, определения и т. п. из других пунктов
указываются номера этих пунктов. Так, например, (1.13.6/6)— это
формула (6) из п. 1.13.6, а теорема 1.13.6/1—это теорема 1 из
п. 1.13.6. Замечания составляют важную часть книги. Прежде
всего в них приводятся дополнительные результаты, многие из
которых используются в последующем изложении. Далее, в них
даются комментарии к полученным результатам и описываются их
взаимосвязи с результатами из других частей книги. Наконец,
некоторые из замечаний посвящены историческим указаниям и
ссылкам на литературу. Замечания последнего типа отмечены
звездочкой. Библиография, содержащая почти 800 названий, отра-
жает состояние дел на 1973—1974 гг. Хотя список литературы
довольно велик, он не полон. Работы включались в него по сле-
дующему принципу: 1° работы основополагающего характера;
2° работы, использованные в настоящей книге; 3° работы обзор-
ного характера; 4° все известные мне работы, относящиеся к тео-
рии интерполяции, в частности к теории интерполяции функцио-
нальных пространств.

Для удобства чтения в конце книги приведен указатель обоз-
начений,
Книга написана весьма сжато, и от читателя потребуются зна-
чительные усилия для понимания всех деталей.

Во время работы над книгой я получал критические замечания,
советы и информацию о библиографии, связанной с ее тематикой.
Я глубоко признателен профессору П. Л. Бутцеру (Аахен) и его
коллегам и профессору Я. Петре (Лунд) за великодушную под-
держку, за присланные оттиски и рукописи, за критические
замечания и библиографические справки. Далее, я очень благо-
дарен д-ру Й. Лёфстрёму (Гётеборг), указавшему, мне на ошибку
в первоначальных доказательствах теорем 1.18,1 и 1.18.4.
Надлежащие исправления были произведены в соответствии
с его предложениями. Мне хочется поблагодарить также профес-
сора А. Пелчиньского (Варшава). На съезде Математического
общества ГДР в Галле в мае 1974 г. я имел возможность обсу-
дить с ним вопрос об изоморфизме пространств lQ (1Р). Поскольку
рукопись к тому моменту уже была готова, его ценные замечания
включены в текст в виде подстрочного примечания в § 12.2.
Наконец, я пользуюсь возможностью выразить признательность
г-же Май, выправившей английский язык рукописи, издательству
VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften (Берлин), давшему ей
прекрасное оформление, и сотрудникам графического комбината
INTERDRUCK (Лейпциг), проделавшим огромную работу по на-
бору и печатанию этой книги.

Нена, лето 1977 г.	X. Трибель
1.	Теория интерполяции
в банаховых пространствах

1.1.	ВВЕДЕНИЕ

1.1.1.	Абстрактная теория интерполяции

Цель теории интерполяции в банаховых пространствах можно
описать следующим образом. Пусть Ао и Аг — два банаховых
пространства, непрерывно вложенных в отделимое топологическое
линейное пространство1

Ао CZ е^, Ах с

где символ сг обозначает вложение в теоретико-множественном
и топологическом смысле. Такая пара {Ао, АД называется интер-
поляционной парой. Пусть {Во, Bj} — другая интерполяционная
пара и e^ — топологическое линейное пространство, содержащее
эту пару. Пусть, далее, Т — линейный оператор из в суже-
ния которого на А(, i = 0, 1, являются линейными непрерывными
операторами из А{ в В(. Для банаховых пространств А и В,

Acs/, Вса?,

изучается вопрос, будет ли сужение всякого такого оператора Т
на А линейным непрерывным оператором из А в В (интерполя-
ционное свойство).

Теория интерполяции была создана в 1958—1961 гг. Лионсом
[1—6], Гальярдо [2—5], Кальдероном [3] и С. Г. Крейном [1, 2].

Существуют два различных подхода:

1.	Поиск широко применимых и удобных в обращении «конст-
рукций» F, сопоставляющих каждой интерполяционной паре
{Ао, Aj} банахово пространство F ({Ао, АД) таким образом, чтобы
пространства А=В({А0, АД) и В = В({В0, Вх}) обладали интер-
поляционным свойством.

2.	Описание «всех» пространств А и В с интерполяционным
свойством и «всех» конструкций F.

Мы будем придерживаться исключительно первого подхода
и в рамках этого подхода опишем «вещественный» и «комплекс-
ный» интерполяционные методы. К разновидностям вещественного
метода относятся «методы средних» (Лионс и Петре [1, 2]), «метод
следов» (Лионс [3, 6]), «К-метод» и «J-метод» (Петре [3—5, 8]),

1 (Отделимое) топологическое линейное пространство — это линейное про-
странство, наделенное (отделимой) топологией, в которой векторные операции
непрерывны. — Прим, ред.
а также «L-метод» (Петре [26]). Все они приводят к одним и тем
же интерполяционным пространствам. В последующих главах мы
будем пользоваться главным образом К- и L-методами, хотя
в некоторых случаях (например при рассмотрении граничных
значений функций) будем применять также и метод сле-
дов. Тем не менее описание и других методов полезно по двум
причинам. Во-первых, это облегчит нам некоторые доказательства
эквивалентности различных методов в настоящей главе. Во-вто-
рых, имеется много научных работ по теории интерполяции,
написанных в терминах этих методов, в особенности в терминах
метода следов.

Комплексный метод был развит Лионсом [5], Кальдероном [3,
4] и С. Г. Крейном [1,2]. Вообще говоря, комплексный и веществен-
ный методы приводят к разным интерполяционным пространствам.

Исчерпывающее изложение интерполяционных методов содер-
жится в следующих книгах и обзорных статьях: Лионс и Петре
[2]; Кальдерон [4]; С. Г. Крейн и Петунии [1]; Мадженес [1];
Окландер [1]; Лионс и Мадженес [2, I, гл. I]; Бутцер и Беренс
[1, гл. III], Петре [8, гл. II, III]; Петре [5]; Ароншайн и Галь-
ярдо [1]; Гривар [10].

Наиболее важные области применения теории интерполяции:

1.	Функциональные пространства и дифференциальные опера-
торы.

2.	Теория аппроксимации в банаховых пространствах.

3.	Интегральные неравенства, сингулярные интегралы, мульти-
пликаторы.

(См. также 1.19.12.) Одна из целей этой книги — описать первую
из названных областей применения. Что касается приложений
к теории аппроксимации, то мы отсылаем читателя к книге Бут-
цера и Беренса [1] и обзору Петре [29].

1.1.2.	Конкретные интерполяционные теоремы

Первая интерполяционная теорема была сформулирована
в 1926 г. М. Риссом [1]. В 1939 и 1948 гг. Торином [1, 2] был дан
обобщенный вариант этой теоремы, известный теперь как теорема
о выпуклости Рисса —Торина. Чтобы дать о ней представление,

приведем ее формулировку для одного простого частного случая.
Пусть Lp(7?„), 1 р оо, — обычное комплексное пространство
функций, интегрируемых в степени р по «-мерному эвклидову
пространству Rn'

Lp(Rn)~

1 sgp-<OO,

= vrai max

р — оо,
dx обозначает лебегову меру. (Как обычно, функции, различаю-
щиеся лишь на множестве нулевой меры, отождествляются между
собой.) Пара {LPo (Rn), LPt(Rn)}, 1=^р0, является интер-
поляционной парой. В качестве топологического линейного про-
странства, в которое эти пространства непрерывно вложены,
можно взять пространство всех измеримых функций, снабженное
метрикой

л (f f \__ С I Л, (x)—fz(x) I а /х\ лх

где 0<g(х)^ 1, geLx(7?n). Другим возможным пространством
служит пространство S' (/?„) обобщенных функций медленного
роста, Самым узким из пространств, пригодных для этой цели,
является пространство Lx (2?„)-|-£«>(£„), строящееся в следующем
пункте (для абстрактного случая).

Теорема 1 (теорема о выпуклости Рисса —Торина). Пусть
в топологическое линейное пространство erf непрерывно вложены
все пространства Lp(Rn), IsgjpsSoo, и Т —линейный оператор,
действующий из erf в erf, 1«Ср0, Pi> 7о>	Пусть, далее,

сужение Т на LPj(Rn), j = 0, 1, представляет собой непрерывный
оператор из Lp.(Rn) в Lq.(Rn) о нормой М/. Если 0^6^ 1 и

1 _	1—е е	1	1—е 6

Ре	Ро	+ Pi ’	<70	<7о	+ <71	’

то сужение Т на LPe(Rn) является непрерывным оператором из
LPQ(Rn) в Lqe(Rn) и для его нормы выполняется неравенство

Функция In Me выпукла относительно 9, чем и объясняется
название теоремы. Важным приложением теоремы о выпуклости,
также указанным Риссом, служит теорема Хаусдорфа — Юнга.
Пусть erf — S' (Rn) и Т = F — преобразование Фурье в S' (R„).
Хорошо известно, что F — линейное непрерывное отображение
Lx (Rn) в Leo (Rn) и L2 (Rn) в себя. Взяв р0 = q0 = 2, рх = 1, </х = оо,
получаем следующий результат.

Теорема. 2 (Хаусдорфа — Юнга). При 1^р^2,	= l

преобразование Фурье F является линейным непрерывным операто-
ром из Lp (Rn) а Lp* (Rn)*

Существует много обобщений теоремы о выпуклости Рисса —
Торина. Отметим, в частности, глубокую интерполяционную тео-
рему Марцинкевича [1] (1939 г.), доказанную Зигмундом [2] в 1956 г.
Стейн и Вейс [1, 3] обобщили теорему Рисса —Торина, рассмот-
рев Lp-пространства с варьируемыми параметром р и мерой. Общая
черта всех этих теорем состоит в том, что они являются интер-
поляционными теоремами для конкретных функциональных про-
странств типа Lp. В качестве классических предшественников
эти теоремы служат одним из источников абстрактной теории
интерполяции.

Укажем теперь другой ее источник. Пусть Л — самосопряжен-
ный положительно-определенный оператор в гильбертовом прост-
ранстве. Области определения О(ЛП), 0^г]<;оо, дробных сте-
пеней А с обычными скалярными произведениями (ДЧг, А^у) +
+ (х, у) представляют собой «шкалу» гильбертовых пространств
с многими хорошими свойствами. Желание определить и иссле-
довать шкалы банаховых пространств также приводит к абстракт-
ной теории интерполяции. В этой связи сошлемся на статьи
С. Г. Крейна и его учеников, см. Крейн и Петунии [1], Крейн,
Петунии и Семёнов [1, 2].

1.1.3.	Замечания о структуре первой главы

Настоящая глава имеет двоякое значение. С одной стороны,
она дает замкнутое систематическое изложение теории интерполя-
ции в банаховых пространствах, с другой — служит основой для
последующих глав.

В цели этой главы не входит полное изложение теории интер-
поляции в банаховых пространствах и в более общих простран-
ствах и структурах. Некоторые факты, не охваченные в основной
части главы, кратко отмечаются в конце § 1.19. Особый интерес
для теории интерполяции и ее приложений представляют примеры,
разбираемые в § 1.18.

Читатель, интересующийся лишь основными идеями теории
интерполяции и конкретными интерполяционными теоремами,
может ознакомиться с этой главой по следующей программе-мини-
мум: пп. 1.2.1. и 1.2.3. (основные определения и факты); §§ 1.3
(и 1.6), 1.4 и 1.9 (описание конкретных интерполяционных мето-
дов); § 1.10 (теорема о реитерации); § 1.18 (примеры).

Параграфы 1.8 (метод следов, в частности теоремы вложения
из пп. 1.8.3. и 1.8.5) и 1.13 (полугруппы операторов и интерпо-
ляционные пространства) играют фундаментальную роль при при-
менениях теории интерполяции к функциональным пространствам.
Полученные в этих параграфах результаты представляют собой
абстрактные варианты многих конкретных теорем (в частности,
теорем вложения) из теории функциональных пространств. Чита-
тель, интересующийся в первую очередь функциональными про-
странствами и готовый время от времени возвращаться назад за
справками, может ограничиться для начала указанной выше про-
граммой-минимум (включая примеры) и §§ 1.8 и 1.13. Это даст
ему возможность ознакомиться с основными идеями. С другой
стороны, почти все результаты, установленные в первой главе,
понадобятся в следующих главах (хотя некоторые из них и лежат
вне главной линии изложения).

Особое место в самом начале главы занимают пп. 1.2.2 и 1.2.4.
Так, п. 1.2.4 содержит описание одного общего метода, не очень
существенного для нас на первых порах. Однако в последующих
главах этот метод будет играть фундаментальную роль. Возможно,
его преимущества прояснятся в связи с приложениями. Так что
читатель может отложить изучение этого пункта до момента,
когда указанный метод будет использован.

1.2. ОБЩИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

В данном параграфе будут описаны некоторые общие интерпо-
ляционные методы. При этом удобно использовать язык категорий
и функторов, хотя знакомство с этими понятиями и не обязательно.
Как отмечалось во введении, мы не будем развивать здесь общую
теорию «интерполяционных функторов». Главная наша цель состоит
в построении конкретных интерполяционных функторов.

1.2.1.	Интерполяционные пары

Пусть Ао и Лх —два комплексных банаховых пространства,
линейно1 и непрерывно вложенных в комплексное топологическое
линейное пространство Ао с , Лх с оЛ. Знаком с здесь
и ниже обозначается вложение в теоретико-множественном и то-
пологическом смысле. Два таких банаховых пространства будем
называть интерполяционной парой {Ло, Лх}. Очевидно, что Ло П Лх,
\\а ho о ^1= max 0а ho, 11^ Ui), также является банаховым простран-
ством. Нам понадобится, далее, пространство

Ло +А1 = {а\а^о^, a = 6z0 + ax, где а/бЛ/, / = 0, 1},

Га||л.+л,= inf (koUo4-|l«iU).

а= ao + fli

Af

Нижняя грань берется по всем представлениям а е Ао + Дх опи-
санного вида.

Лемма. Пусть {До, Аг} — интерполяционная пара. Тогда
До П Дх и Ао Дх являются банаховыми пространствами и справедли-
вы вложения

До Л ЛсЛ/СЛо + Л. / = 0. 1-

1 То есть с сохранением алгебраических операций. Обычно (в том числе
и в этой книге) слово «линейно» опускается, так как это требование содержит-
ся в понятии вложения топологических линейных пространств, — Прим. ред.
Доказательство. Из требуемых свойств неочевидно выполнение
лишь следующих двух:

1.	|'а|ло+л1 = О влечет за собой а = 0;

2.	Л04-Лх полно.

Пусть Ца^Ло+Лх =0- Тогда существуют представления а вида

а =	Л^эа?->0 при п->оо.

л/

Из непрерывности вложения Aj следует, что

a = a«4-a«->0,
л

откуда а = 0. Пусть, далее, {я"}“=1—фундаментальная последо-
вательность в Ло + Av Тогда существуют числа 1 пх < п2 <
и представления

аП/+1 —аП/= bo+ bi, где b1k <=ЛА, У, (Hk+HU) <°о.
f=i

При соответствующем элементе а е Ло + Лх имеем

S' "> bk, ап» - апг = 2* W + &0 -> Ьо + Ьг
f-i	Ak	7=1	л

= а — ап' еЛ0 + Лх.

Отсюда вытекает, что подпоследовательность {anjv}“=i (а значит,
и вся последовательность {an}”=i) сходится в ЛоН-Л]^ к а. Лемма
доказана.

Замечание. Лемма показывает, что мы можем в последую-
щем (по крайней мере при построении абстрактной теории) брать
= Л0 + Л1. Ясно, что ЛоЛ^ является самым узким простран-
ством среди тех, которые могут быть использованы в качестве orf.
(См. предварительное изложение абстрактной теории интерполя-
ции в п. 1.1.1.)

1.2.2. Интерполяционные функторы

Далее нам понадобятся некоторые основные понятия и обозна-
чения теории категорий. Категории характеризуются следующими
двумя свойствами (см., например, Шуберт [1, стр. I]1):

1.	Категория состоит из:

(а)	некоторого класса объектов А, В, С, ...;

1 Или И. Букур, А. Деляну, Введение в теорию категорий и функто*
ров, —М.: Мир, 1972, стр. %, — Прим- ре$.
(Ь)	класса попарно непересекающихся непустых множеств [Л. В],
причем каждой упорядоченной паре объектов (А, В) однозначным
образом поставлено в соответствие некоторое множество [Я, В].
Элементы множества [Л, В] называются морфизмами (из А
в В). (У Шуберта среди множеств [Л, В] могут быть и пустые.
Но для наших целей достаточно потребовать дополнительно, чтобы
множества [Л, В] были непусты.)

2.	Для каждой упорядоченной тройки объектов (Л, В, С)
определена композиция морфизмов

[В, С]Х[Л, В] ->[Л, С].

Для /<=[Л, В], g^[B, С] образ пары (g, f) будет обозначаться
через gf. Если f е[Л, В], ge[B, С] и /ie[C, D], то

(hg) f = h (gf) (ассоциативность).

Далее, для каждого объекта А существует тождественный мор-
физм 1Д е [Л, Л], такой, что для любого объекта В и любых

Л], £ч=[Л, В] выполнены равенства

^Af = f, g^A~g-

Нам понадобится понятие (ковариантного) функтора (см. Шу-
берт [1, стр. 5]). Пусть (£х и Qs — dee категории. (Ковариант-
ным) функтором F называется всякое отображение б2 в
при котором образ объекта А из 62 является объектом F (А)
из 6х, а образ морфизма f е [Л, В] из 62 является морфизмом
F(f)<=[F(A), F (В)} из При этом по определению

F (1д) = 1f(A)

и для f е [Л, В], g е [В, С]

F(gf) = F(g)F(f).

Мы построим теперь две специальные категории, состоящие
из банаховых пространств и интерполяционных пар соответственно.
Если Л и В —два банаховых пространства, то через L(A, В)
будет, как обычно, обозначаться множество всех непрерывных
линейных отображений из Л в В.

Пусть категория 6Х состоит из

(а)	класса всех комплексных банаховых пространств Л, В, ...
в качестве объектов,

(Ь)	множеств морфизмов [Л, В] = Ь(Л, В).

Если композиция морфизмов определена как обычное произведение
операторов и 1д = Е (тождественный оператор в банаховом про-
странстве Л), то, как легко видеть, все свойства из определения
категории выполнены.

Пусть категория состоит ив
(а)	класса всех (комплексных) интерполяционных пар {Ло, Лх},
{Во, В^, ... в качестве объектов,

(Ь)	множеств морфизмов [Л, В] = В({Л0, Лх}, {Во, Вх}).

Здесь L ({Ло, Лх}, {Во, Вх}) обозначает множество всех линейных
операторов, отображающих Л04-Лх в B0 + Bj и таких, что их
сужения на Ак, k — 0, 1, непрерывно отображают Ак в Вк.

Если композиция морфизмов и 1{л0> л,} =Е введены естествен-
ным образом, то, как легко показать, @2 — категория.

Определение 1. Пусть @х « 62 — определенные выше кате-
гории. (Ковариантный) функтор F называется интерполяци-
онным функтором, если

(а)	Л0П Лхс=В({Л0, Лх})сЛ0 + Лх,

(Ь)	для ТеЬ({Л0, Лх}, {Во, Вх}) оператор F(Т) является
сужением Т на В({Л0, Лх}).

Всякое банахово пространство, представимое в виде А = Е({Л0, Лх})
при помощи подходящего интерполяционного функтора, называется
интерполяционным пространством (для {Ло, Лх}).

Легко видеть, что требование (Ь) согласуется с определяющими
свойствами функтора, так как F (Т) <=L (В({Л0, Лх}), F ({Во, Bi})).

Замечание 1. Требование (Ь) идентично интерполяционному
свойству, описанному в п. 1.1.1. Интересно, что справедливо
следующее обратное утверждение. Пусть даны две интерполяцион-
ные пары {Ло, Лх}, {Во, Вх} и два банаховых пространства Л, В,
таких, что

ЛоПЛхС Л cz Ло + Л1, BonBicBc=Bo + Bi

и область значений сужения на Л любого оператора Т е В({Л0, Лх},
{Во, Вх}) содержится в В. Легко видеть, что T^L(Ло + Лх, Во + Вх).
По теореме о замкнутом графике сужение Т на Л принадлежит
L(A, В). Далее, как показали Ароншайн и Гальярдо [1], сущест-
вует такой интерполяционный функтор F, что

Л = В({Л0, Лх}) И В = В({В0, Вх}).

Это означает, что подход с помощью интерполяционных функторов
никоим образом не ограничивает общности в описании «всех»
банаховых пространств, обладающих интерполяционным свойством.

Замечание 2. * В последние годы понятие интерполяцион-
ного функтора использовалось для описания интерполяционных
методов многими авторами. Укажем здесь Ароншайна и Гальярдо [1],
Гулауика [2], Дойча [2], Петре [22, 27, 30] и Спарра [1]. В на-
стоящей книге все рассмотрения проводятся для комплексных
банаховых пространств. Вместо комплексных банаховых про-
странств можно было бы иметь дело с вещественными банаховыми
пространствами (вещественными или комплексными) квазибанахо-
выми пространствами, локально выпуклыми пространствами и т. д.
Вещественные интерполяционные методы непосредственно перено-
сятся на вещественные банаховы пространства, а с небольшими
видоизменениями — также и на (вещественные или комплексные)
квазибанаховы пространства. Позднее мы еще коснемся этого
вопроса. В указанных выше статьях Гулауика и Дойча даны
обобщения интерполяционных методов на случай локально-выпук-
лых пространств. В статье Спарра вместо интерполяционных пар
{Ло, Лх} рассматриваются интерполяционные n-ки {Лх, Л2,...» Ап].

Замечание 3. * Как уже отмечалось несколько раз, мы
подходим к интерполяционным методам не с «теоретической»
точки зрения. Наше внимание сосредоточено в первую очередь на
«конкретных» интерполяционных методах (интерполяционных
функторах). Принципы построения общих интерполяционных
функторов разработаны Гальярдо [6]. Для случая, когда {Ло, Лх}
и {Во, Вх} —интерполяционные пары типа {Lx, Loo} (быть может,
с различными мерами), все интерполяционные пространства най-
дены Гальярдо [5] и Митягиным [2]. В этой связи отметим также
статьи Петре [27], Семёнова [1—3], Седаева и Семёнова [I].

Определение 2. Пусть f (/0, /х) — положительная функция,
определенная в квадранте {(/0, /х)10< /0, /х<сю}, причем

f(W, ^)^/(^, ^)> если и

и /(1, 1) = 1. Интерполяционный функтор F называется интер-
поляционным функтором типа f, если существует положитель-
ное число С, такое, что для всех интерполяционных пар {Ло, ЛД
и {Во, Вг} и для всех Т е£({Л0, Лх}, {Во, Bt}) имеет место не-
равенство

IIТ |IF({Ло, л1»->г({Во, Bi»	Cf (|| Т ||ло->в0, IIТ hi-Bj.

При этом интерполяционный функтор F называют точным,
если можно взять С=1. Далее, F называется (точным) интерпо-
ляционным функтором типа 6, если в качестве f можно взять
f(t0, = o^e^i.

Замечание 4. ПустьF — интерполяционный функтор типаf.
Беря А0 = В0,	— и Т — Е (тождественный оператор), полу-

чаем, что

1)	= С.

Следовательно, всегда С^1.
Замечание 5. Все интерполяционные функторы, которые
будут построены в последующих параграфах, являются точными
типа 9, 0<9<1. Единственным исключением служат простые
примеры из следующего п. 1.2.3.

1.2.3.	Д«(~|Л1 и Ло4-Л1 как интерполяционные пространства

Определение 1.2.2/1 показывает, что интерполяционный функ-
тор F определен, если известны Г({Л0, Лх}). Ясно, что интерпо-
ляционные функторы Fj, определяемые равенствами

ЕУ({ЛО, Л1}) = Л/, / = 0, 1,
представляют собой точные интерполяционные функторы типа /.

Лемма. Интерполяционные функторы, определяемые равенст-
вами

F ({Ло, Л1}) = Л0ПЛ1 или Е({Л0, Л1}) = Л04-Л1,
являются точными типа f(t0, /1) = тах(/0, 4).

Доказательство. Все нужные свойства легко устанавливаются
непосредственной проверкой.

Замечание. Таким образом, Ло, Лп ЛоП^ и Ло4-Л! суть
интерполяционные пространства относительно Ло и Лх. Цель сле-
дующих параграфов — описание нетривиальных конструкций интер-
поляционных функторов.

1.2.4.	Ретракции и коретракции

Ретракция и корепгракция — также понятия теории категорий,
см., например, Шуберт [1, стр. 31]. Мы определим здесь эти
понятия не в полной общности, а применительно к нашей ситуации.

Определение. Пусть А и В — два (комплексных) банаховых
пространства. Оператор R е L(Л, В) называется ретракцией,
если существует оператор S (В, Л), такой, что

RS^E (тождественный оператор из L(B, В)).

При этом onepajnop S называется коретракцией (соот-
ветствующей R).

Напомним понятие проектора. Оператор Р е L (Л, Л) называется
проектором, если Р* = Р. Подпространство банахова пространства
называют дополняемым, если оно является областью значений
некоторого проектора. Дополняемое подпространство всегда замк-
нуто.
Теорема1. Пусть {Ло, Лх} и {Во, Вх} — интерполяционные
пары, и пусть

SsL({B0, В]}, {До, Дх}) и /?еЛ({Д0, Дх}, {Во, Вх})

— такие операторы, что сужение S на Ву, / = 0, 1, является ко-
ретракцией из L(By, Ay), а сужение R на Ау — ретракцией из
L(Ay, By) (S соответствует R в смысле данного выше определения).
Тогда если F — произвольный интерполяционный функтор, то S
осуществляет изоморфное отображение F({B0, Вх}) на некоторое
дополняемое подпространство пространства В({Д0, Дх}). Это
подпространство совпадает с областью значений сужения SR на
В({Д0, Дх}). Это сужение SR является проектором в В({Д0, Дх}).

Доказательство. Из равенства

RSb = b при b&F({B0, BJ)	(1)

вытекает, что

(SR)2а = S(RS)Ra = SRa при аеВ({Д0, Дх}).	(2)

Следовательно, сужение ST? на В({Д0, ДД) — проектор. Обозначим
временно область значений этого проектора через W. Тогда из
равенства

ST?(Sb) = S& при &еВ({В0, ВД)

следует, что Sb е W. Обратно, из соотношения

W э а = S (Ra)

получаем, что а принадлежит области значений сужения S на
F ({Во, Вх}). В силу (1) сужение S на F ({Во, Вх}) взаимно-одно-
значно отображает F ({Во, Вх}) на W. Ввиду замкнутости W из
теоремы о замкнутом графике следует, что это сужение S есть
изоморфизм F({B0, Вх}) на W. Теорема доказана.

Замечание 1. В дальнейшем мы очень часто будем обра-
щаться к этой теореме. С ее помощью мы установим интерполя-
ционные теоремы для пространств Бесова — Слободецкого — Лебега
и структурные результаты для этих пространств. Основную идею
применения теоремы можно описать следующим образом. Предпо-
ложим, что для некоторой конкретной интерполяционной пары
{До, Дг} и некоторого конкретного интерполяционного функтора F
известно пространство В({Д0, Д1}). Пусть дана другая интерполя-
ционная пара {Во, Bi}. Если возможно построить оператор S,

х Эта теорема очень важна для последующих рассмотрений. Однако ее зна-
чение полностью проясняется лишь в связи с конкретными приложениями.
Поэтому при первом чтении теорему можно отложить до того (сравнительно
позднего) момента, когда в ней впервые появится необходимость,
удовлетворяющий условиям теоремы, то с ее помощью можно
определить пространство F ({Во, Вх}). Этот метод редукции неиз-
вестных интерполяционных пространств к известным интерполя-
ционным пространствам с помощью ретракций и коретракций
будет играть ниже важную роль.

Замечание 2. Ретракции в связи с теорией интерполяции
были в явном виде использованы Петре в статье [27]. Неявно они
использовались им и в других статьях. Мы возвратимся к этому
вопросу позднее, при рассмотрении приложений. Принятая здесь
терминология отличается от терминологии, предложенной Петре.
Мы привлекаем общие понятия теории категорий (см., например,
Шуберт [1]).

1.3.	К-МЕТОД

К-метод принадлежит Петре [3—5, 8]. Ниже мы частично сле-
дуем Петре [8] и Бутцеру и Беренсу [1].

1.3.1.	/(-функционал

Пусть {Ло, А}—интерполяционная пара. Для всякого /, 0<
</<оо, функционал

/<(/, а\ Ао, Дх)= inf (II я0 lk + * Н Ik), ae=A0 + Alf
a=a0 + «i

определяет норму в пространстве Ло + Л^ эквивалентную его стан-
дартной норме. Будем писать К (t, а) вместо К (t, а-, Ло, Л!), когда
нет опасения, что это может повлечь путаницу.

Лемма. При фиксированном а е Ло + Лх и переменном t функ-
ционал К (t, а) представляет собой монотонно возрастающую непре-
рывную вогнутую (т. е. выпуклую вверх) функцию. Эта функция
К (t, а) дифференцируема почти везде, и в точках, где производ-
ная существует,

dK (t, а) К (t, а)	...

dt = t '

Далее, при

min(l, 0a)<niax(l, ОМл-Мг (2)

Доказательство. В силу своего определения функция К (t, а)
монотонно возрастает и, следовательно, дифференцируема почти
всюду (в смысле лебеговой меры). Оценка (1) вытекает из нера-
венств

0==s/( (ta, a)-K(tlt a)^^-K(tlt а), 0</х</2<оо.
Оценки (2) — следствие определения /<(/, а). Вогнутость /((/, а)
следует из неравенства

+	0<4</</а<оо.

42—Ч	*2—Ч

Наконец, всякая монотонно возрастающая вогнутая функция не-
прерывна. Лемма доказана.

1.3.2.	Пространства (До, Д1)е, <?

Формула (1.3.1/2) подсказывает некоторый способ построения
интерполяционных пространств. Попытаемся определить подпро-
странства пространства Ао + Xj поведением К (/, а) при 11 0 и при
/-►оо. Левая часть (1.3.1/2) описывает «наилучшее» поведение
К(/, а), а правая часть — «наихудшее».

Определение. Пусть {До, Аг}—интерполяционная пара,
О < 0 < 1. При

(До> Дх)е,? — Iй s До 4" Д1>

IIй 11(А„, А1)е> q = ( J [H’tf (i, «)]’ у)1/? < °°} ’
хо

а при q = oo

(До> Д1)9, оо ={я I й G До +Д|,

II а ||(Ао, Al)e = sup (i, а) < оо}.

’	0<<<оо

Замечание 1. Определение (До, Д1)е, ? для </<оо и 0^0
или 6^1 бессодержательно, как это видно из левой части (1.3.1/2).
В обоих случаях а = 0 было бы единственным элементом простран-
ства (До, Д1)е,?. По той же причине не имеет смысла определение
(До, Дх)е.оо при 0<О или 0>1. С другой стороны, частные слу-
чаи 0 = 0, <7 = оо и 0 = 1, q = oo содержательны. Однако в даль-
нейшем эти пространства не рассматриваются.

Замечание 2. * Как уже упоминалось выше, существует
тесная связь между теорией аппроксимации в банаховых простран-
ствах и теорией интерполяции. В настоящей книге эти вопросы
не затрагиваются. Именно при рассмотрении этих вопросов пре-
дельные случаи 0 = 0, <7 = со и 0 = 1, <7 = со представляют особый
интерес. Эти случаи имеют тесное отношение к проблемам насы-
щения аппроксимационных процессов и соответствующим классам
Фавара. Сошлемся здесь на Бутцера и Беренса [1] и Беренса
[1, в частности стр. 25—28]. Среди прочих результатов у Беренса
[1, стр. 15] приведен следующий: если {Ло, Л!}—интерполяцион-
ная пара и пространство А! рефлексивно, то

(Ло, Л^х, оо=Л1.

Если банахово пространство Лх не рефлексивно, то для описания
(Ло, Лх)х,оо требуется понятие относительного пополнения, введен-
ное Гальярдо. См. Ароншайн и Гальярдо [1], Беренс [1].

1.3.3.	Свойства пространств (Ло> Лх)9, q

Укажем несколько важных свойств пространств (Ло, Лх)919.

Теорема, (а) (Ло, Лх)91?, 0<9<1, l^^^oo, является ин-
терполяционным пространством (между Ло и Лх). Соответствую-
щий интерполяционный функтор — точный типа 6.

(Ъ)	(Ло, Лх)е.? = (Лх, Л0)х-9.г.	(1)

(с)	Существует положительное число с = с(9, q), такое, что
для всех а<=(А0, Лх)9>? и всех t, 0<£<оо,

K(t,	(2)

(d)	При 0 < 9 < 1 и 1	оо

(Ло, ^1)0.1 Мо> -^1)0,	^1)0, Q Мо> '41)0, ОО.	(3)

(е)	Если дополнительно Лос:Лх, то при О<9<9<1 и 1 sg
^q^q 5^00

(Л> А)0,9<=(Ло, Л,)?,?.	(4)

(f)	Если Л0 = Лх, то (Ло, Лх)9>? = Ло = ЛР

(g)	Существует положительное число с9, q, 0 < 9 < 1, 1 ==g q sg оо,
такое, что для всех а е Ло f) Лх

MU А1)е>?^С0,?И1|А7в11а|1к-	(5)

Доказательство. Шаг 1. Пусть д<оо. Из монотонности К (s, а)
следует, что

t~*K(t, a)—cK.(t, а) ( J S-0?^f/Q|l(Ao< л.)в, q.
t

Этим доказана оценка (2) (для q = oo эта оценка тривиальна).

Шаг 2. В силу (2) и оценки

K(t, a)^min(l, /)ЦаЦлоО^.

имеем

Л9 flcz (Ло, Лх)9, q cz Ло -|- Л|.

(6)
Шаг 3. Ясно, что (Ао, Ах)о,9 —нормированное пространство.
Докажем его полноту. Пусть {a"}n=i — фундаментальная последо-
вательность в (Ао, Лх)е,?. Тогда ввиду (2)

а"------- а е Ао + Лх,

Ао4~ Ai

где а —надлежащий элемент. Если (?<оо, то из неравенства тре-
угольника следует, что для 0 < е < N < оо

n	7	jV	7

( j [Н»К(t, а-а”)]97) ’ < б + ( J	if, а-ат)]47)’.

е	е

т > п5?п0 (6), где п0(6) не зависит от е и ТУ. Второе слагаемое
в правой части меньше 6 при всех т^т0(8, е, N). При е|0
и У->оо получаем отсюда, что

а<=(А0, Л^е.,, ||а-ая||(А„, а,),, ?^26, если nSsn0(6).

Следовательно, (Ло, ЛJe.^ —банахово пространство. Аналогично
устанавливается полнота и для q — oo.

Шаг 4. Покажем, что конструкция (Ло, Ах)0>? определяет точ-
ный интерполяционный функтор типа 9. Пусть TeL({A0, Ах},
{Во, ВД). Тогда

К (t, Та-, Во, BJ < inf (|| Та0 ||Во +11	|| В1)

a=flo~|- di

а? €Е Ay

<|1Т||а,-*В<Д	t, а-, Ао, Ах).

(Если ||Т||ао_Во = О, то в последней оценке надо заменить || Т Що—Во
на е>0. После завершения приводимых ниже выкладок устрем-
ляем е к нулю.) Произведя замену

получаем отсюда, что

IIта[(Во, В1)в( q<|| Т1а 11(^0. А|)е, ч-

Следовательно, (Ао, Ах)е, ч — интерполяционное пространство между
Ло и Ах и соответствующий интерполяционный функтор имеет
точный тип 9.

Шаг 5. Свойство (Ь) получается из равенства

K(t, а-, Ао, Ах) = ^(/-1, a; Alt Ао)

при помощи замены т = /*х в | а||(А0, л,)в( 9-
Шаг 6. Установим (d). Последнее вложение в (3) равносильно
(2). Пусть 1	< g < оо. Для а^(А0, Дх)01? имеем в силу (2)

со	J_ Я

II а ||(До,	~ < ( J [Z-0/C (t, а)]’ (sup t-*K (t, a)) ~q

o'	*

^с||а|1(А,

Тем самым (d) доказано.

Шаг 7. Пусть ДосДх и 0<6< 6 < 1. Тогда

К (t, а) а |[а, при а е Av

Отсюда следует, что для ае(Д0, Д1)в, <»

1	ОО

ll«U, а1П, 1 = (	«)у + J ^(Л а)у

О	1

<c||aki+supHJ<(/, а) (
1 ? Т

||а||(Л0, At)6i „J-

Значит,

(До, Дх)0, оо <= (До, ДХ)$, 1-

Теперь (4) вытекает из (3).

Шаг 8. Пусть ДО = ДХ. Утверждение (f) является следствием
соотношения (6).

Шаг 9. Для доказательства (g) зафиксируем а е До 0 Аг и рас-
смотрим

Т (к) = ка, к — комплексное число,
как отображение С (пространства комплексных чисел) в До или
Аг соответственно. Справедливо равенство

ЦТ ||с—Лу = МЦ.,

Используя свойства (а) и (f) для С —(С, С)01? (нормы эквива-
лентны), получаем

И« Им», л1)е, q = IIТ |с-(л0, л,)в 9 < о И а Ц^0 ||а ||0

Этим установлено (g). Теорема доказана.

Замечание 1. Можно ожидать, что свойство (Ь) справед-
ливо для всех «разумных» интерполяционных конструкций, содер-
жащих свободные параметры: порядок взятия пространств До и
Дх не должен влиять на все множество интерполяционных про-
странств в целом. Согласно определению 1.2.2/1(a), свойство (f)
справедливо для всех интерполяционных функторов.
Замечание 2. Без существенных изменений в доказатель-
стве устанавливается, что теорема справедлива и для вещественных
банаховых пространств. Теорема верна также для (вещественных
или комплексных) квазибанаховых пространств. (Квазибанахово
пространство отличается от обычного банахова пространства лишь
заменой неравенства треугольника неравенством

+	(И1 II+ 11 л2 II),

где постоянная не зависит от а1 и а2. Например, простран-
ства типа Lp, 0<р<оо, квазибанаховы; они являются банахо-
выми тогда и только тогда, когда 1	<оо.) Конечно, в этом

случае пространства Л0ПА, Л0 + Лх и (Ло, Л^о^ также лишь
квазибанаховы; при этом область определения q можно расши-
рить, а именно можно считать, что 0<р=Соэ.

1.4.	L-МЕТОД

L-метод принадлежит Петре [26]. В этом параграфе мы следуем
его изложению.

1.4.1.	К*- и £*-функционалы

В качестве подготовки к обоснованию L-метода нам понадобится
следующая лемма.

Лемма. Пусть {Ло, Лх} — интерполяционная пара, 1=Ср0,
рх<оо и 0</<оо. При О^аЕ Ло + Лх положим

L*(t,a)= inf max(||a0|ft«,

а7ел/

где нижняя грань берется по всевозможным представлениям а =.
= «() + «!, aj<=Aj. Далее, при 0=/=а& А0 + Аг положим

Д* (t, а) = inf шах (||.Оо Ц,, 11 аг

а== do
а/ел/
и

s = tP> (К* (t, а))р«—р'.

Тогда

L* (s, а) =ДК* (t, а))р°.

Доказательство. Для фиксированного аеЛ04-Л! рассмотрим

Г(а) = {(х0, х1)|ЗаоеЛо, Эа1еА1, a = a0 + <h>

при / == О, 1}.
Это — некоторое подмножество первого квадранта (х0, х1)-плоскости.
Имеем

/С* (t, а) — inf max (х0, txj, L* (о, а) = inf max (я*>, oxf*).
Г (а)	Г (а)

Можно считать, что р0 pt. Так как по предположению а #= О,
то К* (t, а) и L* (а, а) положительны. Первая (соотв. вторая)
нижняя грань достигается в (х1( х2)-плоскости в однозначно опре-
деленной точке пересечения кривой x0 = fxx (соотв. xp° = <jxty и
границы множества Г (а). Эта точка пересечения такова:

хо == №* (f, а) (соотв. = <rxf* = L* (а, а)).

Для фиксированного t обозначим через s единственное значение
параметра о, при котором эти две точки совпадают. Тогда

s =	= tP\K* (t, a))p“~Pi

и

L*(s, a) = (K*(f, a))p>.

Тем самым лемма доказана.

Замечание. * Множество Г (а), а<зЛ0 + Лх, ввел в теорию
интерполяции Гальярдо [5]. Он построил интерполяционные про-
странства с помощью функционалов, определенных на Г (а). Крат-
кое описание этих пространств, равно как и дальнейшие ссылки
на статьи Гальярдо, имеются в книге Бутцера и Беренса
[1, стр. 214—215]. Хольмстедт и Петре сумели показать, что один
важный подкласс этих интерполяционных пространств совпадает
о (Ло, Лх)0>?; см. Петре [10].

1.4.2.	Эквивалентность К- и L-методов

Теорема. Пусть 1=Ср0, Pi<°°> 0 < г] < 1, l^^^oo,
р«(1-т))Ро + ПР1. 0 = 11-7-	(1)

Положим

(iio.ife+'ka.)	р)

u=flor aj

flyGS A j

при аеЛо + Лх и 0</<оо. Тогда

(Ло, Л1)е,р? = {а | a <Е Ло + АГ, || а |({Х л,:	л, п, <?} =»

/оо

а)]?у-1	<оо},	(За)
если 1 =^д<оо, и

(Ло, Л1)0.« = {а |а е Ло+Ль

I “ 1Й„ я, й, „> - (»“Р ™ ('. »))'" < ~). <ЗЬ)
если q=^oo. Существуют положительные числа сг и са (зависящие
от заданных параметров, но не от а е (Ао, Aj)e,pj), такие, что
С11° ||(Л0, At)0j м ^ИИ{Ло, Л; ро, pi, п, =^са М ||(Ло, л,)9( рд. (4)
Доказательство. Пространства (Ло, Лх)е,Р9 определены, так как
0<9<1. Функция К* (t, а) из леммы 1.4.1 монотонно возра-
стает (т. е. не убывает) и непрерывна, а следовательно, дифферен-
цируема почти всюду. Можно считать, что а^О. Таким же обра-
зом, как и при доказательстве неравенства (1.3.1/1) в лемме 1.3.1,
устанавливается неравенство

dK* (t, а) К* Щ а)

dt ~	‘

для всех точек, где производная существует. Полагая

s = tP1 (К* (t, а))р°-р',	(6)

получаем, что почти всюду

ds I . ,	, dK* (t, a) t \dt

v = (pi+(po - pi) —K^j-) -•	<7>

В силу (5) значение выражения в больших скобках в (7) заклю-
чено между р0 и рх. Отсюда, в частности, следует, что (6) взаимно-
однозначно отображает (0, оо) на себя. Из (2) и определения
L* (t, а) в лемме 1.4.1 вытекает, что

L*(t, a)^L(t, a)^2L*(t, а).

Аналогичное соотношение справедливо и для К* (t, а) и К (t, а).
Поэтому мы можем в рассматриваемых интегралах заменить A (t, а)
и L(t, а) на К* (t, а) и L* (t, а) соответственно. Далее, в силу (6),
(7) и леммы 1.4.1, при </<оо

J[s-U*(s, а)]«|

₽ f (/С* (t, а))-” <₽»-₽•’ (К* (t, а))"»]’
о

V /о 4- (п - о	1	1

х \Р1 + (Ро Pi) dt (<1 а) [ < •
Поскольку значение выражения в фигурных скобках заключено
между р0 и pv мы получаем утверждение теоремы для </<оо.
Аналогично рассматривается и случай ^»оо, Теорема доказана.
Замечание 1. Из (1) вытекают равенства

=	^ = -^+£.	(8)

Замечание 2. Преимущество L-метода состоит в большей
гибкости L-функционала сравнительно с /(-функционалом. То
обстоятельство, что Аг^о Р1 л q} не является, вообще говоря,
нормой (или квазинормой), не важно для дальнейшего, поскольку
имеется в распоряжении оценка (4). Позднее мы будем очень часто
использовать этот метод, причем случай q = 1 будет представлять
особенный интерес.

Замечание 3. В соответствии с замечанием 1.3.3/2 можно
и в проведенных выше рассмотрениях заменить комплексные бана-
ховы пространства вещественными банаховыми или (вещественными
или комплексными) квазибанаховыми пространствами. При рас-
смотрении квазибанаховых пространств снова можно расширить
область определения параметров в предыдущей теореме, считая

0<р0, Pi<oo, 0<C^=Coo,

см. Петре [26]. Сошлемся в этой связи также на Петре и Спарра [1].

1.5.	МЕТОД СРЕДНИХ

Метод средних («espaces de moyennes»1) был введен Лионсом
и Петре [1, 2]. Как и все рассматриваемые здесь вещественные
методы, метод средних приводит к пространствам (Ло, Лх)п^
(с точностью до эквивалентности норм). Это было показано Петре [3].
Мы будем следовать изложению Петре [26] и Лионса и Петре [2].

1.5.1.	Предварительные замечания

Пусть Л — банахово пространство. Для Л-значной функции v (t)
положим

(оо	\1/р

JIMCi- ’	(1а)

о	/

и

MOIL* м)= sup	р=оо.	(1b)

00	0< t < оо

Лемма 1. Пусть {Ло, ЛД — интерполяционная пара, 1	р0,

рх<оо, 0 < б < 1 и

1	l-о . е

~Р ~~ Ро "Г Р1 ’

1 Пространства средних (франц.), —Прим, ред.
Тогда существуют два положительных числа с± и с2, такие, что
для всех элементов а е Ло + Alt представимых в виде

а = уо(О + у1(/), 0</<оо,	(2)

где V/ (0 — непрерывные АГзначные функции и

w к;., Л.,+I'1-'	Я, ><“-	(3)

справедливы неравенства

« inf (|Л. (Oil ,Л., +11'~\ т 1';,<Л.>)'"

<; с, inf (| rt,, (/) (t.+ r-Ч и |r., м).	(4)

где нижняя грань берется по всевозможным представлениям
вида (2), (3).

Доказательство. Шаг 1. Можно считать а#=0. Тогда в (2) и
(3) ни функция Ц), ни функция не равны тождественно нулю
на (0, оо): противное противоречило бы (3). Заменяя в (2) t на М,
0<%<оо, мы получаем некоторое новое допустимое представле-
ние. Выбирая

Л = X (у0, V1) = I	(0	(л.) |	(01| Г*4 (л,),

имеем

inf(|'-4w|i;.M.>+iri-4(')|k;ilJ,))

«inf I f-Ч и Ik;. 1Ы+>- I '-Ч (о Iks, ,я.>)

« 2 inf J t~“v, (1) |1;’(Ло11 f‘4, (0 E; |Л1,

« c inf (l i-v„ И | Д	+ II f'-Ч (0 И ).

Этим доказано левое из неравенств (4).

Шаг 2. Докажем правое. Полагая

л=1 (v0, V1)=ii (о ni ? z-ч (о гА

ьро\Ло)
тем же способом, что и на первом шаге, получаем

inf (I	(t) ||ь*о (л0) +1	(0 ||д^ (Л1)) р

<	inf (хер° |/"%0 (0 |!*о (л) + Г(1-9) ₽* J f^Vi (0 |f*t (ло)"

<	2 inf 11\ (0 Е*°(л0) || (О (ла
^сы(||/-Ч(0|к*в(л.)+1К1-Ч(^к(л1)),
чем правое из неравенств (4) и доказано.
Для дальнейших рассмотрений полезно модифицировать пред-
ставление (2), (3).

Л е м м а 2. Если существует представление а е Ао + вида (2),
(3), то существует и такое представление вида (2), (3), в кото-
ром Vj суть бесконечно дифференцируемые Aj-значные функции.
Если через D± обозначить множество всевозможных представлений (2),
(3), где условие «цz (t) — непрерывные Aj-значные функции» заменено
на условие «иf (t) — измеримые Aj-значные функции», и через D* —
множество всевозможных представлений (2), (3) с условием «Vj (t) —
бесконечно дифференцируемые Aj-значные функции», то существует
положительное число с, такое, что

=ciDn,f(l'_s”«('>k~+l'1J”'wk™)- (5)

Доказательство. Пусть <р (t) 0 — бесконечно дифференцируемая
функция с компактным носителем на интервале (0, оо), удовлетво-
ряющая условию

Тогда выполняется равенство

5(р(т)т’ = b
О

(6)

Для заданного представления вида (2), (3) положим

мо=	(7)

о

Используя (6) и обычную технику оценок, получаем

(^е II (о u)/’° < (J (4)- 0 Ф (4)т-0 # у<> w Ь» "тУ"

\о

< О J	вр° ф (4) (т~91 и°V• (8)

о

Соответствующая оценка верна и для Si (0- Интегрируя по мере
dt/t, убеждаемся в справедливости (3). Равенство (2) вытекает
из (6) и (7). Так как функция б; (t) бесконечно дифференцируема,
отсюда вытекает первое утверждение леммы. Проведенные рас-
смотрения сохраняют силу и в случае, когда Vj — лишь измери-
мые Л;-значные функции. В этом случае (5) получается из (8)
(и соответствующей оценки для (/)) с помощью интегрирования.
Лемма доказана.

Замечание. Данное выше доказательство показывает, что
(5) верно также и для ро = р1 = ао,

1.5.2.	Первая теорема об эквивалентности

Используя последнюю лемму и L-метод, мы в состоянии теперь
описать связь между одним из двух методов средних, введенных
Лионсом и Петре [2], и К-методом.

Теорема. Пусть {Ло, Лх} — интерполяционная пара, 0<
<0<1.

(а)	Если 1^р0, Pi<oo и ±

Р Ро Р1
то

(Ло, Л1)егР={а|ае Ло4-Л1 представимое виде (1.5.1/2),

(1.5.1/3)}.	(1)

При этом норма

где нижняя грань берется по всем представлениям из (1), экви-
валентна норме пространства (Ло, Лх)0, р.

(Ь)	(Ло, Л1)е,оэ = {а|ае Ло +Лх представимо в виде

(1.5.1/2), (1.5.1/3), где р0==р1 = со}.	(3)

При этом норма (2) с р0 = рх = оо эквивалентна норме простран-
ства (Ло, Л^е, ОО*

Доказательство. Шаг 1. Пусть 1^р0, Pi<°° и аеЛ0 + Лх
представимо в виде (1.5.1/2), (1.5.1/3). В силу лемм 1.5.1/1 и
1.5.1/2

~ J inf [((-• | и. Пл.)"- + (/’-’ II с, И Ь,)”] 4-‘
О

1	Знак ~ означает, что каждое из выражений слева и справа от этого
знака оценивается через другое, помноженное на некоторое положительное
число. Лемма 1.5. 1/1 остается справедливой, если нижнюю грань в (1.5.1/4)
брать по множеству Du

2	X. трибель
Второе соотношение верно, поскольку при нахождении нижней
грани в последнем интеграле можно ограничиться ступенчатыми
функциями. Теорема 1.4.2 с q=l и формула (1.4.2/8) дают воз-
можность продолжить предыдущую цепочку соотношений следую-
щим образом:

ОО

(/(1—0) Р1+6ро? #)-~L

О

~р-0^/.(/, а)4~И«?л,л1)е,/
О

Сопоставляя начало и конец цепочки, получаем утверждение (а)
теоремы.

Шаг 2. Пусть р0 = р1 = оо и ае Ag + Ai представлено в виде
(1.5.1/2), (1.5.1/3) с р0 = рх = оо. Тогда

(«1кл».-41)еоэ = зир/-е inf (|la0U>+* Ш
t a=a0-^ai

«5 sup z-0 II (/) Uo + sup t1-6 j Vi (/) |1л, < OO. (4)
t	t

Следовательно, a e (Ло, Лх)е, «>. Обратно, пусть а е (Ло, Лх)е, «>.
Выберем у0,/еЛо и их,/еЛх так, чтобы

|| о0>/ ||Ло + 2/1| V1J ||Л1 < 2К (2/, а), / = 0, ± 1, ± 2.

Для

vk(t) — Vhj при 21	<2^+1, k — 0, 1,

получаем

sup /-01| v0 (t) U + sup t1-61| Vj, (/) ||л(
t	t

c (sup 2->e II v0J Uo + sup 2Л1-0) II vb/

c'sup 2-'0K (2Л а)^о"||а|'(л0, ддеоо-	(5)

i

В силу (4), (5) и замечания 1.5.1 после взятия нижней грани
приходим к утверждению (Ь) теоремы. Теорема полностью дока-
зана.

Замечание 1. Теорема остается справедливой, если один
из двух параметров р0 или рх конечен, а другой — бесконечен.
Мы не будем здесь останавливаться на этом; интересующихся
отсылаем к работе Петре [3].

Замечание 2. Пусть либо 1 *=£р0, рх < оо, либо р0 = рх = оо.
Положим

S(p0, g0, Ло; pv gx, Лх) = {а|ае Л04-Лх представимо
в виде (1.5.1/2), где ||^»v0 (01к*о<л0) + il<0 I^m,) <°°},
И|3(Р», ь, Л»; р„ 4.) = inf (II (Г) 1к*о(Ло> + ||^‘У1 (0 к*1(Л1)).

Здесь Но и —два вещественных числа, £0£i<0. Нижняя грань
берется по всем допустимым представлениям. Замена / =
и последняя теорема показывают, что

S (Ро> £о> ^о‘, Р1> £1» ^1) = Ио, 241)е,р»

где

0<в = _ Ь <1, ± = 2z±+±

51 — So	Р Ро Pl

Пространства S(p0, 20, Ло; рх, 5i, Лх) введены Лионсом и Петре
[2, стр. 10].

1.5.3. Вторая теорема об эквивалентности

Помимо метода, описанного в теореме 1.5.2 и замечании 1.5.2/2,
Лионс и Петре [2] предложили еще один метод средних, очень
часто используемый в литературе. Как и в случае всех других
вещественных методов, мы представим его в форме теоремы
об эквивалентности.

Теорема. Пусть {Ло, Л,} — интерполяционная пара, 0<
<е<1.

. . „	. „	1	1—6 . ю

(а)	Если 1	р0, р, < оо и — —-----Ь . то

' '	“	1	р Ро ' р!

(Ло, Л1)е,р = {а|ае Ло +Л, и существует такая непрерыв-
ная (Л0П А^-значная функция u(t) с

что а представимо в виде а = j и (/) —

в Ло + Лх}.	(1)

При этом норма

I “ 1й, л„0. =(<(') к,л.>+11 <‘-в“ ю L;, <Л.,),
где нижняя грань берется по всевозможным представлениям опи-
санного типа, эквивалентна норме пространства (Ло, Л1)е>р.

(Ь)	Утверждение (а) верно также при р0 — р1 = р — <х>.

Доказательство. Шаг 1. Мы сведем эту теорему к теореме 1.5.2.
Пусть «(^ — непрерывная (Лоf|Лх)-значная функция, удовлетво-
2*
ряющая условию

Из оценки

J ,1 и (t) u+л, 4 j л«(о и» 4 + $ и«(о ил 4 <00
о	о	1

оо

следует существование в Ло + ^1 интеграла1	Положим

о
оо
JZ 2\
U

О

Пусть <р0(/) и <р1(/)—две бесконечно дифференцируемые на [0, оо)
функции со свойствами

О < фу (0	1, ф0 (0 + фх (0 = 1

ф0(0 = 0 при 0^/=с1, Ф1(0 = 0 ПРИ 2^J<oo.

Положим
1

М0 = J Ф/(т)«(т)4-
о

При р0<оо справедливо неравенство
/00	V ро 00

w И4ГМ4)
\о	/о

х||т-е«(т)|Й»о 4-

Интегрирование этого неравенства по (0, оо) по мере 4 и ана-
логичного неравенства для (t) (при pt < оо) дает

< С (I Л И I,.. и„ + (/>-»» (/)	,ад).	(3)

Это неравенство справедливо и при р0 = р1 = оо. Для непрерыв-
ных Л;-значных функций Vj (t) имеем

а = v0 (0 + МО-

По теореме 1.5.2 отсюда следует, что ае(Д0, А^р.

1 То ест$ его существование как интеграла от (Ло+Л!)-значной функ-
ции. — Прим, ред.
Шаг 2. Обратно, пусть а е (Ло, А^р. Тогда а представимо
через функции как указано в теореме 1.5.2. Построим
бесконечно дифференцируемые Л,-значные функции vf (/), как
в (1.5.1/7), и положим

u(/)=/_g!L= Л0ПЛ.

(Последнее равенство следует из того, что и0 (/) 4-^ (/) = а.)
Используя формулу (1.5.1/7) и ту же технику оценок, что и
на первом шаге, получаем при р0<оо неравенство

Г0 Z '
I уф



о

Ро

Л о

с ИтГЪ' (4) I кч w к 4-
о

Интегрирование этого неравенства по (0, оо) по мере -у- и ана-
логичного неравенства для vx (т) (при pt < оо) дает



(4)

Последнее неравенство справедливо также и при р0 = рх = оо.
Как отмечалось в начале первого шага доказательства, из (4) следует
00
(•	1 dt

существование I и (/) — в Ао 4- Имеем
«

dt= lim (»0 (N) — v0 (в))
е| о

N —*оо

= lim (а — vt (Af) — v0 (е)) = а,
е| о

#->ОО

поскольку, в силу (1.5.1/7) И СВОЙСТВ 0/(/),

So (е)	0 при 8 | 0, Vi (N) д- 0 при N -> оо.

Следовательно, а принадлежит правой части равенства (1). Утвер-
ждаемая эквивалентность норм следует из (3), (4) и теоремы
1.5.2. Теорема доказана.

Замечание 1. Если один из двух параметров р0 или pi
конечен, а другой бесконечен, то теорема также справедлива.
Это следует из замечания 1.5.2/1 и данного только что доказа-
тельства, которое проходит также и в этом случае.
Замечание 2. Как мы уже указывали, метод, описанный
в последней теореме, часто используется в литературе. Его пер-
воначальная формулировка, данная Лионсом и Петре [2], такова.

Пусть либо l«Sp0> Pi <<»> либо р0 = р1 = оо. Положим

S(p0, е0, Ао; pi, е5,	= {а |а е Ло + Лх и существует

такая непрерывная (Ло П Л^-значная функция u(t) с

|| tiou (i) ||L»°(Ло) +1| te4i (t) ||L«i	< оо,

ОО

что а представимо в виде а= u(t) -у- в Ло Лх},

|| d |ls (ро, е», Л»; plt е„ Л,) — inf ^|j te°U (/) ||^«, (л0) “HI tBlU (0 IIl*^

Здесь е0 и еА — два вещественных числа, еое1<О. (Ср. с опреде-
лением из замечания 1.5.2/2). Как и на первом шаге данного
выше доказательства, предположение eoej<0 обеспечивает суще-

ОО

ствование интеграла	в Л04-Лх. Замена / = т1Ле*_®») и

последняя теорема показывают, что

•S (Ро» 8о> ^о> Pi> е1> ^1) = (^о>	(5)

где

о<е =--------—<1, - = -^- + —.	(6)

ej—80	’	Р Ро ' Pl	V 7

1.6.	J-МЕТОД

Наряду с К-методом в работах Петре [3 — 5, 8] был развит
так называемый J-метод.

1.6.1.	Теорема об эквивалентности

Аналогично эквивалентным нормам К (/, а) в пространстве
Aq + Aj^ введем в пространстве Ло П эквивалентные нормы

J (i, a) = J(t, а-, Ло, Л1) = тах(||аЦЛо, /ЦаЦл,), аеЛ0ПЛх,

0<^<оо. Для сокращения записи положим

1

/ ? я/ \ р

kl* = J 1и(01р-т) при l==Sp<oo,
\ о	/

|t>||z*=vrainiax|y(O| при р = оо.
Теорема. Пусть {Ло, Лх} — интерполяционная пара, 0<
<8<1,	Тогда

(Ло, Л1)о>р = {сг|бх^Ло-4-Л1 и существует такая непрерыв-
ная Л о П АГзначная функция и (I) с

u(/))U<oo,
р

ОО	х

что а представимо в виде a=^u(t)-~ в Л0 + лД.

о	J

При этом норма

ll<4 A)e,p = infb'0y

где нижняя грань берется по всем представлениям описанного
типа, эквивалентна норме пространства (Ло, Л^р.

Доказательство. Это непосредственно следует из теоремы 1.5.3
при р0 = Р1 = р.

Замечание. Теорема остается справедливой, если кроме
непрерывных Ло П Лрзначных функций рассматривать еще и сту-
пенчатые Ло П Лрзначные функции, удовлетворяющие условию

00

а= $ -p-dt как интеграл в Л04-Лх.	(1)

Здесь предполагается, что множество точек разрыва не имеет
предельных точек на интервале (0, оо). Для доказательства этого
утверждения построим, отправляясь от такой ступенчатой функ-
ции и (О, тем же способом, что и в (1.5.1/6) и (1.5.1/7), функцию

00	00

2(0= ( ф(4)ы(т)т =
о	о

Это — непрерывная Ло П Лх-значная функция. Равенство (1) остается
верным и после замены и на 2. Наконец, применение неравенства
Минковского для интегралов дает

00

1Н J (/, й (0) Ik*	J ф (т) Iz-0 J V’ и Ь.* у.

о

Беря нижнюю грань по и, получаем желаемый результат.

1.6.2.	Плотность Л0ПЛ] в (Ло, Лх)е, р

. Докажем одно простое, но очень важное для дальнейших
рассмотрений следствие предыдущей теоремы.	...
Теорема. Пусть {Ло, Лх} — интерполяционная пара, 0<6<
< 1 и 1^р<оо. Тогда ЛоАЛ! плотно в (Ло, Л^о,р и

(Ло, Л1)о, р = (А0, Л1)е>р = (Л0, А1)е>р = (А0, A1)efP, (1)
где kj обозначает замыкание Ло Г| Лх в Aj, / = 0, 1.

Доказательство. Пусть (ре (/) — бесконечно дифференцируемая
функция на (0, со) с компактным носителем,

0==^фе(/)^1, фе (/) == 1 ПРИ	0<8< 1.

Пусть, далее, пе(Л0, Л1)о,р и и (/) — отвечающая ей согласно
теореме 1.6.1 функция. Тогда

00

а8 = J Фв(0«(0 у е 4П А
О

и

2
ia-fleU. л.)в,р<4 J	«Ю)]РтУ +0

\(0, eJUte-1, оо)	/

при 81 0. Следовательно, Ло П Лг плотно в (Ло, Лх)е, р. Отсюда
же следует и равенство (1).

Замечание. Ограничение р<оо в последней теореме
является существенным. Для р = оо теорема неверна. См. заме-
чание 1.18.3/5 ниже, где дан соответствующий контрпример.

1.7.	ДИСКРЕТНЫЕ МЕТОДЫ

Иногда бывает полезно заменить интегралы, фигурирующие
в ряде определений интерполяционных методов, конечными сум-
мами. Хотя это возможно для всех изложенных выше методов,
мы ограничимся случаями, представляющими интерес для даль-
нейшего.

Если {су — последовательность комплексных чисел, то мы
будем писать для краткости

/ оо	\ 1

U \CJI’г при 1^9<оо
\/=—оо	/

И

I to} L =syp ICJ I при <7 = ОО-

Символы K{t, a), J it, а) и (До, Д^е, p имеют тот же смысл, что
и в предыдущих параграфах, см. пп. 1.3.1, 1.3.2 и 1.6.1.
Теорема. Пусть {Л^, Ах\ — интерполяционная пара, 0<9<
< 1, 1

(а) Справедливо равенство

Ио. Л)е, ? = {а |а <= Ло + Ах; ||а|1*(д0> Л1)0 q
= ||{2-/0Л(2/, a)} ||z<? < схэ}.

Норма || а |!*До, л^е q эквивалентна норме пространства (Ло, Лг)е,
(b) Справедливо равенство

(Ло, Лх)е, q = {а\а^ Ло + А; З^^ЛоНЛ^
/ = 0, ± 1, ±2,

а= 2 и, в Ло + Л1, ||{2-/0J(2', «/)}|,?<со}.

/= —ОО

Норма |а|*л0, ^,)e(? = inf | {2-7'0J (2^, Uj)}*^ эквивалентна норме про-
странства (До, Ai)e, д. Здесь нижняя грань берется по всем пред-
ставлениям указанного вида.

Доказательство. Шаг 1. Имеем

а)^2К(2/, а) при 2^t<2f+1.	(1)

В силу (1) и того обстоятельства, что интервал (0, оо) можно
представить в виде

(О, оо)= Q [2< 2/+1),
/ = ~—СО

(2)

утверждение (а) следует из определения (Ао, Ai)e, ? (см. п. 1.3.2).
Шаг 2. Пусть а<=(а0, Aje, ? представлено, как в теореме 1.6.1.

Тогда

2/+1	оо

Щ— f	а— У uj (сходимость в AoH-Aj.

д и)
2/	/= — оо

Отсюда вытекает, что

1Ц2-/0 7(2/, и7)}|^

2-/0

^_е J (t,u(t)) dt



1Я

(3)


оо

Обратно, если а =	^ — представление указанного в настоя-

/ = —оо

щей теореме вида, то при помощи функции

и(0 = ']“2 ПРИ 2/^^<2z+1, / = 0,	±2, ...,

строится представление, описанное в замечании 1.6.1, и справед-
ливо неравенство

I' t-Q J (*, и (0) \\l* с || {2_/е J (2/, uj)}	(4)

Утверждение (b) следует из оценок (3) и (4) в силу теоремы 1.6.1
и замечания 1.6.1.

Замечание.* Утверждение (а) служит дискретным вариан-
том К-метода, утверждение (Ь) — дискретным вариантом J-метода.
Как уже было сказано, существуют дискретные варианты также
и для других вещественных методов. Дискретные методы изуча-
лись многими авторами. Отметим, в частности, работы Лионса
и Петре [2] и Бутцера и Шерера [1]. Такие методы очень важны
в теории аппроксимации. Сошлемся в этой связи на Бутцера и
Вестфаля [1].

1.8.	МЕТОД СЛЕДОВ

Метод следов принадлежит Лионсу [3, 6]. Ниже мы будем
по существу следовать изложению, данному Лионсом и Петре [2]
и Гриваром [1]. Как и все другие рассмотренные здесь веществен-
ные методы, метод следов приводит к интерполяционным про-
странствам (Ло, Л1)е,^. Мы остановимся на этом методе доста-
точно подробно, поскольку он представляет собой абстрактное
обобщение теорем вложения для пространств Соболева — Бесова
(теорем о следах). К этой связи мы еще несколько раз вернемся
впоследствии.

1.8.1.	Пространства Vm(p0, т)0, 40; р1г гц, 4,) и Т? (р0, t)0,
Л; Pi> Л1> Л)

Пусть Lp(A) для банахова пространства А и l^p^oo имеет
тот же смысл, что и в п. 1.5.1. Всякую определенную на (0, оо)
локально-интегрируемую функцию и (/) со значениями в А можно
интерпретировать как регулярную обобщенную Д-значную функцию:

и (ф) = $ и (1) ф (/)dt, ф gD ((0, оо)).1
__________ о

1 Если Q cz Rn — область в Rn, то, как обычно, через D (Q) обозначается
множество всех комплексных бесконечно дифференцируемых функций с ком-
пактным носителем в й,
Эта интерпретация имеет смысл, поскольку равенство и (ср) = О
для всех (ре/) ((0, оо)) влечет за собой равенство и (t) = 0 почти
всюду. Как обычно в теории обобщенных функций, обобщенные
производные Л-значных функций определяются равенством

(<р) _ ( _ 1)т и (ф(т)), (р D ((0, оо)),

т=1, 2, .... Если u(t) имеет обычные (сильные или слабые,
в смысле банаховых пространствг) производные, то эти произ-
водные совпадают с обобщенными производными.

Определение 1. Пусть {Ло, Аг} — интерполяционная пара,
т]0 и ^ — вещественные числа, т=Л, 2, ... и 1=СРо, Pi^oo.
Положим

Vm=Vm(pb, ло. Л; Pi, П1, Л)

== {и (/)1 и (/) — регулярная обобщенная (Ло 4~ А^-значная
функция на (0, оо), такая, что

t^u (/) е Л*о (Ло),	(/) е L*Pi (Лх)},	(1)

II и Iут = II и цо (А0) + II t^u™ ||L?1 (Л1).	(2)

Лемма, (a) Vm(p0, Ло, Ло; Pi, Л1, А А~ банахово простран-
ство.

(Ь) Если u^Vm и j — целое число, удовлетворяющее условиям

G^j^m—\,x\1<zm — j,	(3)

то uJ‘(t) представляет собой непрерывную на [0, 1] (Ло + А^-знач-
ную функцию. Кроме того, существует положительное число с,
такое, что для всех и е Vт

max ||м<» (/)||л»+я1<с||мкт.	(4)

/е[0, 1]	т

Доказательство. Шаг 1. Ясно, что Vm есть нормированное про-
странство (как обычно, функции, отличающиеся лишь на множе-
стве нулевой лебеговой меры, отождествляются между собой).
Пусть {uk}^>==i — фундаментальная последовательность в Vm. Пол-
нота Vm выводится из полноты Lp. (Л/), i = 0,1, при помощи пре-
дельного перехода в Ло + Л! в равенстве

Uk(f) q>(m) (/) dt = 5 u^(t)(f,(t)dt, ф<=£>((0, co)).
0	0

Шаг 2. Предположим, что выполнено (3), и пусть — локаль-
но-интегрируемая Лгзначная функция на (0, оо). Полагая

t

v (t) = J и^ (т) dr, 0 <z t <Z оо,	(5)

i

1 To есть в определении производной предел понимается в смысле сходи-
мости по норме либо в смысле слабой сходимости в банаховом пространстве,
— Прим. ред.
получаем в смысле обобщенных (Ло4- А J-значных функций

$ v (t) ср' (t) dt = — \ит (т) § ф' (/) dt dr J- J и(т) (т) § ф' (t) dt dr
о	0	0	It

= — jj (т) ф (r) dr, eD ((0, oo)).
о

Но тогда v' = u(m) и, следовательно,

v (t) =	(t) — a, a e Ao + Лх.	(6)

(Справедливость последнего утверждения устанавливается сведе-
нием векторных (обобщенных) (Л04-Л1)-значных функций к ска-
лярным (комплексным) при помощи функционалов из (Л04-Лх)'
и применения хорошо известной теоремы Хана — Банаха.) Фор-
мулы (5) и (6) дают абсолютную непрерывность (t) на
(0, сю) и равенство a = tdm-1} (1). Условие (3) гарантирует, что
и(т) (= L1 ((0, 1), Лх).	(7)

Если j = т — 1, то из (5) — (7) следует, что (/) есть абсо-
лютно непрерывная (Ло +Лх)-значная функция на [0, 1] и при
0</<1

(/) U+ Л,<|1«('Я~1) (1) U + Л, +11	||L1((0, П, Ло+Л.)

(1) ||л, +Л, + с|| V*o (ЛЩ (8)
Если j < tn — 1, то в силу (5) — (7)

|| /т-/-2ы(т-1) ||£1 ((Oi п л + c I U(m-1) (1) k + Ai

1), (Л. + Л,)-

Повторяя несколько раз это рассуждение, получаем оконча-
тельно, что

ыс/+1) s ((0, 1), Л04-Лх), id (f) абсолютно непрерывна на
[0, 1] и

I«(/) (t) |1л,+л,	с ”211«w (1) U+Л, + С f и 1 vт.	(9)

*=/

Для доказательства неравенства (4) нам надо еще оценить первое
слагаемое в правой части (9). При y<s<l имеем в простран-
стве Ло + у?!

и™ (1) =	(s) + (1 - s) ($)+...

1

/1__х	Р /1_rym-k-D , ч

+  Л- nF (*) + \ iu~u(m) W dx- 0°)
1 (т — k— 1)!	J (rn—k— 1)!	' ’	v ’
Пусть
2
qi(OeD^O,|jj, j<p(/)d/=l.
О

Умножая (10) на ср (1 — s) и интегрируя по s, получаем
1

(1) = $ (р (1 — s)^(^) (s) ds + ...
£

2

+ f ф (1 — s) гг. и(тп~1} (s) (is
1 J Y v	7(m — k— 1)!	v 7

1
2

1 1
p	P /1 , 4

+ \ ф (1 — s) \ ~--1—^т- u(m) (t) dr ds.

J Y v J (w — k — 1)! v 7
1	s

~2

Теперь интегрирование по частям дает

1	1

M(fe) (1) = J -ф (s) и (s) ds + x (т)w(m) (т) dr.

2	2

2	2

Отсюда следует, что первое слагаемое правой части (9) может быть
оценено через ||м||у . Этим лемма доказана.

Определение 2. Пусть {Ао, Лх} — интерполяционная пара,
j и т — целые числа, -Cm-1, 1=Ср0, рх<:оо, т)0 и ^ — ве-
щественные числа т|j < т — /. Положим

Tj = ТI (р0, г)о, Ло; Pj, T]i, Лх)

= {а | аеЛо+Яр 3ueVm(p0, т]о> Ло; pv т)1( Лх)
см<»(0) = а},

||а|| т= inf I|«k .	(11)

Ti и^{0)=а Ш

В силу последней леммы это определение имеет смысл. Ясно,
что Т/'метрически изоморфно факторпространству

Vm/{u\u^ (0) = 0}.

В частности, Т™ также является банаховым пространством.
Замечание. Приведенные здесь определения пространств Vm
и Т/1 несколько отличается от первоначальных определений, дан-
ных Лионсом и Петре [2]. Их определения получаются из наших

। 1
заменой т)у на

Pj

1.

1.8.2. Теорема об эквивалентности

Теорема. Пусть {Ло, Ах} — интерполяционная пара, j и
т — целые числа, O^j^m—1, т]0 и ^ — вещественные числа,
причем

По + />О> Л1 + /<т-	(1)

Пусть, далее, либо 1 pQ, р± < оо, либо р0 = р1== оо. Тогда (с точ-
ностью до эквивалентности норм)

Тj (Ро> Ло’ Pi» Л1> ^i) “ (^о> А)в,	(2)

где

6= ..110, 1=—(3)

т+т)0 —т)/ р р0 Pi

Доказательство. Шаг 1. В силу формул (1.5.3/5) и (1.5.3/6)
достаточно установить равенство

Tj (Ро> Ло» Pi> Ли ^i)= .

= S(p0, Ло+/> 40; Pi, + Л J. (4)

Шаг 2. Пусть т]0 > 0> Лх < 1 > т=\, / = 0 и а е (р0> Ло.

Pi< Лх. 4J. Если

а = «(0), u&Vitpo, т]0, Ло; plt Tjj, Л^,
то положим

“(0= J<p(4)u(T)
б

где функция <р (/) та же, что и при доказательстве леммы 1.5.1/2.
Ясно, что

йе= Vj(p0> По. Л; Рх, Их- Л), а = й(0)	(5а)

и существуют не зависящие от и числа с и с', такие, что

и р« + 1й'||^(Ло);<:с' ||/ч.ы ||ь*о(Ло).	(5Ь)

Полагая — получаем

I V L*o(4.) + II~lv IIl* .(Л.) < c || U Ц.	(6)

Так как т]о>О и Лх < 1 > то интеграл
существует в Aq + A^ Последний предел существует в простран-
стве Ло. Поскольку принадлежит ££0(Л0), этот предел должен
равняться нулю. Значит, в силу (5) и (6),

a<=S(p0, -q0, Ло; ръ TJ1— 1. A). Mils^Ml'rj.

а следовательно,

П(Ро> Ло. A; pi, Лх. А)ез£(Ро, Ло. A; Pi, л,-1. А)- (7)
Шаг 3. Пусть т]0>0, rjj < 1, т—\, j = 0 и aeS(p0, т]0, Ло;
р„ т)1~ 1> А)- Тогда

ОО
Г*

»=J 11^» |lt.-M„+l|.".-'<’t.iW<oo.

О

Пусть
оо	1

//\	(*	/ \ б/т Г* / t \ da

«Ю = р(т)т= j ^а)тг-

Имеем

| /п.» IL.M) С о II 1-.-V k._(V IIIV |lt.i(<)« е | V-v

Следовательно, и принадлежит Vx (д0, т]0, Ло; plt rip Лх) и а = и (0)
принадлежит TJ. Далее, последние неравенства показывают, что

S (Ро. По. A; Pi, Л1- 1. Лх) с л (д0, Т)о, Ло; Др Г]1. А)- (8)

Из (7) и (8) вытекает (4) для случая ги=1, / = 0.

Шаг 4. Наша дальнейшая цель — доказать равенство

71/ (Ро» Ло» 4о’> Pi» Л1> ^1)

= Л(Ро» Ло + /» Аь рп Л1 + /-™ + 1, >11);	(9)

здесь параметры удовлетворяют условиям теоремы. (Равенство
банаховых пространств понимается с точностью до эквивалентно-
сти норм.) Тогда утверждение теоремы будет вытекать из резуль-
татов двух последних шагов и равенств (4) и (9). Мы будем сле-
довать рассуждениям Гривара [1]. Равенство (9) является след-
ствием равенств

(а)	ТЩ— 1 (Ро, Ло» ^0» Р1» Л1» >11)

= 7\г —2(р0, т]01, Ло; т)!, Лх)	(10)

при

tn^2, т]о + т—1>0, r]i<l	(И)

и

(b)	ТТ (ро, Ло» ^0; Pi, Л1» ^1)

= тт~'(ро, Ло. А; Р1.ЛХ-1. А)	(12)

при

0</^m-2, t]q+/>Q> Л1+/<>п,	(13)
Шаг 5. Предположим, что выполнено (11) и а принадлежит

Тт — 1 (Ро’ Ло’ ^о> Pi> Лх» ^х)*

Пусть

u(t)f=Vm(p0, Ло. ^о! Pi. П1> А)- ы(т-1).(0) = а.

В соответствии с рассмотрениями шага 2 можно считать, что
и (t) — бесконечно дифференцируемая (Ло+Л^-значная функция.
(См. введенную там функцию й и соотношения (5).) Применяя
лемму 1.8.1, получаем

|ыр(/)и+л1^с,	О^/^пг-1, 0</^1.	(14)

Теперь для достаточно больших положительных чисел I положим

W (0 = (/ + «?) v' (/),

»(о=/и j s'« (s)ds = J	(4) ?•

0	1

Оценка (14) и предположение, что и — бесконечно дифференцируе-
мая (Ло + Л J-значная функция, гарантируют, что для достаточно
больших I все последующие рассуждения корректны. Имеем

t

W (/) = -2Г_ и (/) _	) j siu ds

О

оо

- !±г«И -f <н-вl-\—,
t ' 7	t J \ о J a

И

ul/) (/) =	,	0 sg j sg tn.

Последняя формула показывает, что

ш(т-2) (0) = «(“-I) (0) = а
и

В силу (16) и оценок (15) и (17), а принадлежит Тт-з(р0< Ло+Ь Ло;

Pi. Лх» А) и справедливо включение

Тт— 1 (Ро> Ло>	Р1< П1 ’ ^1)

GP-Tm — а(Ро’ Лр+Ь Р1> Лх»	(13)

(16)

(16)

(17)
Шаг 6. Предположим, что выполнено (И) м а принадлежит
T^Z2(p0, Ло+1’ Ри Лр А). Аналогично тому, как это было
на последнем шаге, пусть	т]0 +1, Ао; Pi» Л1> А) —

бесконечно дифференцируемая (Ао +А^-значная функция
в и{т~2} (0) — а. Положим

t	оо

w (/) =	1 С siu (S) ds —	1 t f	.

V7 m—1 J 7 m— 1 J \ a / a
о	i

где опять / — достаточно большое положительное число. Ясно, что

И

в, м „ т _	_1д j s,u (s)ds

о

_ l+m-i _/(Z + m-1) r / M da

~ m~l U(>	m-1 J \ol<j'

Отсюда следует, что при 1 j т

W& (t) =	F ,_/ (/_!) / И fa.

v 7 m — 1 v 7 m— 1 J	\<y J a

В частности, справедливы равенства

^(w-i) (0) = и(т~2} (0) = а

Отсюда aeTm-Jpo, По> Ло; r]i, Л) й

Тт—а(Ро> ЛоЧ"!’ ^о> Р1> Л1> ^1)
CZTm— 1 (Ро> Ло> Р1> Л1> ^1)-

(20)

Равенство (10) следует из (18) и (20).

Шаг 7. Предположим, что выполнено (13) и а принадлежит

Т7*(А» По» Л; Р1> П1> А)- Пусть u^Vm(p0, По. Л: Р1, П12 Л)
и «О)(0) = а. Используя ту же технику, что и на последних двух
шагах, введем

fj\ --------- /М -I- / -4- 1 Z/K

W (/) = 	U (/)

V /	rtl v 7

t

7Ж J («)

0

l + \—m

L\^
a) a




где снова и —бесконечно дифференцируемая (Ло +А)-значная
функция, а / — достаточно большое положительное число. Имеем

(0) = м(/) (0)=а,



и(т-1) (/) __ I



^(т-1) с

= — с f or;4-	(—da^ct С	—

J da \ d J J	\ о / а

и

II /ж-	(/) ||^(Л) <с' II (/) 11^(Л1).

С помощью этих оценок тем же путем, что и в предыдущих рас-
суждениях, выводится, что

^7 (Ро> Ло» Аь Pi, Лз> ^i)

czTf 1 (Ро> Ло> Pi, Л1“1, ^i)-	(21)

Шаг 8. Предположим, что выполнено (13) и а принадлежит
т\т~1}(р0, по- Л; Pi’ ’ll-1. Л)- Пусть u^Vm-iiPo, по- а0;
Pi< Hi-1> ^1) и и(7)(0) = а- Опять будем считать, что « — беско-
нечно дифференцируемая (40 +Д^-значная функция. Положим

t	оо

ку (0 = J s‘u (s) ds = l (I + j + 1) J o-'-’u (y)
0	1

Имеем

WU) (0) = u^ (0) = a,

(;) = (/+/ +1) J	u

t

—	(s) ds.

ж Как было отмечено выше, можно без потери общности отождествить и
со сглаженной функцией й из шага 2. Это влечет за собой, в частности, при-
надлежность ||	||Ло_|_ Ai пространству ((0, со)) при всех натуральных k

и подходящих числах yk. В качестве следствия отсюда вытекает возможность
дифференцирования под знаком интеграла,
Из последнего равенства получаем, что

W™ (/) = Щ±1 „(т-1) (0 _ (/ + / + ^ + т) J	(S) ds

О

= l±L±l u(m-v (/)

_ (^ + / + 1) (l + m)	.

Отсюда

Последние оценки показывают, что

Tj (Ро> Ло’ ^о» Pi’ Л1 1» ^1) i (Ро> Ло> Р1> Л1> ^1)-

Вместе с (21) это доказывает равенство (12), а с ним и всю тео-
рему.

Замечание. Теорема остается верной, если одно из двух
чисел р0 и Pi конечно, а другое бесконечно. Это следует из заме-
чаний 1.5.3/1 и 1.5.3/2, а также формул (1.5.3/5), (1.5.3/6) и (4),
справедливых и в этом случае.

1.8.3. Теорема вложения

Как мы уже упомянули выше, метод следов является абстракт-
ным вариантом некоторых хорошо известных теорем вложения
из теории функциональных пространств.

Напомним, что отображение S<=L(A, В) называется отобра-
жением А на В, если область значений (образ) S совпадает со всем
пространством В.

Теорема. Пусть {Ло, — интерполяционная пара, т —
некоторое натуральное число (т=1, 2, ...), а т]0, т)х, р0 и рг —
вещественные числа, причем либо 1	р0, Pi < оо, либо pQ = pl — оо.

Пусть, далее, {/min, ..., /max} — множество всех целых чисел j,
удовлетворяющих условиям

0^j^m—l и — г|о<./ <т — Л1-

Тогда оператор R, задаваемый равенством

Ru =	(0),	(0)},

является линейным непрерывным оператором, отображающим
Vm (Ро, Ао; plt щ, Лх) на
/max

(Л0, ^1)0у, <7у,
/ = /пмп
где

а _ Но + /	1	1 ~е/ । 8/

V г —	;	,	=г	~Т“	•

7	m + rjo — Hl	Qj Ро Pi

Доказательство. Согласно теореме 1.8.2, R непрерывно отобра-
жает Vm (р0, По, Ао', Pv Пр ^i) в Ц (Ло- Л1)е,- Для того
/ ~ /min
/max

чтобы доказать, что R есть отображение на £ [ (Ло, Л Jo., q.>
1 = /min

достаточно показать, что для любой функции u^Vm(pQ, т)0, Ло;
Pv Л1> Л) и любого /, /min=C/</max, существует функция ы<=
f==vm(po, По, Ло; Pi, Hi, Л), такая, что

(0) =	(0),	(0) = 0

ПрИ k =7^= j, /min	/max •	(1)

Воспользуемся с этой целью построениями из шагов 7 и 8 дока-
зательства теоремы 1.8.2. Положив, как и на шаге 8,

оо

«т(0=
1

получаем, что (при достаточно большом Zx) ut <= VCT+1 (р0, г|0, До;
Pi, П1+ 1, -41) и

<m=5Hn+s“,w(°>-

Применим к (J конструкцию из шага 7. Положим

м2 (Z) = «1 (0 - /2 J <т-^ + т«1
1

(/2 достаточно велико). Как и на шаге 7, заключаем, что и2 е
еУя(р„ По, Л>; Pi> Hi, Л) и

Тем самым мы получаем линейное отображение u->u2 простран-
ства Vm(p0, По> Ао; рг, Пх> А) в себя, причем
Фиксируя /2 и меняя /р получаем для различных значений /1>ц
функции п2,и (О- Положим

N

w(t) = У! ацг/2,ц(/).

Ц=1

Тогда

(0) = f 2 (/2 + й-Пг)(/, +1+й) и(к} (°)-
\ц=1 /

Чтобы выполнялось (1), надо выбрать надлежащим образом /1>и
и а^. При N = /max — /min + 1 значения однозначно определя-
ются, если

Vl,H+I+&M==/min. • • • » /max
Н=1..............N

Рассуждая по индукции, предположим, что соответствующий
определитель отличен от нуля при N — 1 вместо W и £ = /min, ...
..., /max — 1. Из предположения индукции и поведения опреде-
лителя вблизи Г1, n = — 1 — /шах вытекает, что приведенный выше
определитель не равен нулю тождественно по lltN. Значит, най-
дутся значения /1>Лг, при которых детерминант отличен от нуля.
Этим теорема доказана.

Замечание 1. Положим временно для сокращения записи

Л	/max

a = ^>}/ = /min’ 24==._П ^°’ ЧГ
/ — /min

Тогда

inf ||м[|ит.	(2)

Здесь все символы имеют тот же смысл, что и в последней тео-
реме. Соотношение (2) следует из доказательства последней тео-
ремы и шагов 7 и 8 доказательства теоремы 1.8.2: при построе-
нии нижней грани в (1.8.1/11) можно ограничиться функциями и
с ^(*)(0) = 0 при &=/=/, /min^fe^/max (нормы эквивалентны).

Замечание 2. В связи с последней теоремой возникает
вопрос о ядре (нуль-пространстве) оператора R. Хотелось бы
иметь утверждение, что это ядро N (7?) совпадает с замыканием
в Vm множества

{u\u<=Vmi u(/) = 0 в некоторой правой полуокрестности
нуля}.
Обозначая это замыкание через Vm, мы получили бы тогда из
/max

равенства Vm — N(R), что Vm/Vm изоморфно Щ (Ло, А)е
/ = /min

В дальнейшем мы установим такие утверждения для некоторых
конкретных функциональных пространств.

Замечание 3. В последней теореме и последних замеча-
ниях неявно содержатся многие из хорошо известных результа-
тов о граничных значениях для пространств Соболева — Слобо-
децкого — Бесова — Лебега (пространств бесселевых потенциалов).
Ниже мы еще вернемся к этому вопросу.

Замечание 4. * В рамках абстрактной теории интерполяции
теоремы вложения рассматривались целым рядом авторов. Ука-
жем, в частности, работы Лионса [3 IV] и Гривара [4]. Отметим
далее, что последняя теорема справедлива, если одно из двух
чисел pQ или р± конечно, а другое бесконечно. Это следует из
приведенного доказательства и замечания 1.8.2.

1.8.4. Квазилинеаризуемые интерполяционные пары

Теорема 1.8.3 позволяет дать многочисленные примеры теорем
вложения для конкретных функциональных пространств. При
помощи одного простого способа можно получить дальнейшие
теоремы вложения. Рассмотрим два пространства Vmk(pQk\ г)о^\ Ло;
p[k\ Ai), &==0, 1. Здесь {Ло, снова обозначает некото-
рую интерполяционную пару. Из вложения

(^)

vmk(j#\4k), А; р?}, пН- А)<={«(01Л

вытекает (см. п. 1.1.2), что Ут,} также является интерпо-
ляционной парой. (В качестве подходящего пространства еД
можно взять, например, пространство всех измеримых Л0-значных
функций на (0, сю), снабженное топологией, аналогичной одной
из рассмотренных в п. 1.1.2).

Обозначим через {/min, ...» /max} множество всех целых чисел/,
таких, что

O: /'Cmin(/no, /И]) — 1 и

— т!п(т]оо>, т]"’) </<min (m0 —«h — ПН-	(1)

Пусть Р — некоторый интерполяционный функтор, a R — оператор,
заданный равенством

Ru = {«<'min)(0), ..., м</тах>(0)}.	(2)
Рассматривая компоненты Ru так же, как в доказательстве тео-
ремы 1.8.3, заключаем на основании этой теоремы, что R есть
непрерывный линейный оператор из

(рб0), Л; М0), С, Л), по\ Л; Pi>, ni", А)})

(3)
в

/max

П ^({Ио> ЛЦ<»,ву»> Ио> ^1)еу>,	(4)

f = fmln

При этом

ВМд	*_0 1	(5)

'	™1+nS*’if'	pf*1’	1 ’

Эта теорема вложения обладает достаточной общностью и позво-
ляет делать далеко идущие выводы. Но у нее имеется существен-
ный недостаток по сравнению с теоремой 1.8.3. Теряется свойство
оператора R быть отображением «на»; он является лишь отобра-
жением «в». Но тот факт, что мы имеем дело с отображением «на»,
играет основополагающую роль, поскольку лишь при этом полу-
чается окончательное описание граничных значений. Цель даль-
нейших рассмотрений — показать, что при некоторых дополни-
тельных предположениях R будет отображением «на».

Для этого мы введем понятие квазилинеаризируемой интер-
поляционной пары, принадлежащее Петре [23, 29].

Определение. Интерполяционная пара {Ло, Лх} называется
квази линеаризуемой, если существуют операторы

+ Лх, ЛД, / = 0, 1, 0</<оо, такие, что

Vo(O + Vx(O = £ (тождественный оператор в Л0 + Лх),

II	при	аеЛ0,

IIVQ(t)a\Ao^ct\\a\\A1	при	ае=А19

II	при	аеЛ0,

I ViWak^llak	при	а^Аг.

Число с не зависит от а и t, 0</<;оо.

Лемма. Пусть {Ло, Лх} — квазилинеаризуемая интерполяцион-
ная пара.

(а)	Если K(t, а) обозначает К-функционал, введенный в п. 1.3.1,
то

K(t, a)^\\VQ(t)a\\A. + i\W1(i)aiAi^cK(t, а),	(6)

где с —то же самое число* что и в данном выше определении.
(Ь)	Пусть {BQ, — другая интерполяционная пара, и пусть
S^L({B0, Вг}, {Ло, Лх}) и R<=L({Aq, Лх}, {Bq, В^) — такие
операторы, что сужение S на Bj, j = 0, 1, является коретрак-
цией L(Bj, Aj), а сужение R на Aj — ретракцией L(Aj, В/), соот-
ветствующей S. Тогда пара {Во, Вх} квазилинеаризуема.

Доказательство. Неравенства (6) непосредственно вытекают
из свойств Ио(О и Vi(t). Для доказательства утверждения (Ь)
положим

Wf(t)~RVj(t)S, /=0, 1.

Тогда Wq (t) и Wi (/) обладают по отношению к {Во, Вх} всеми
свойствами, требуемыми в определении. Лемма доказана.

Замечание 1. Эта лемма также принадлежит Петре [23].

Замечание 2. Неравенствами (6) выявляется смысл опре-
деления: если известны Vj(t), то a = lz0(/)a+V1(/)^ представ-
ляет собой «оптимальное» разложение а в смысле /<-функционала.
Предположение, что интерполяционная пара {Ло, Лх} квазилинеа-
ризуема, довольно ограничительно. Петре показал [23], что лебе-
говы пространства {LPq, LPr},	не образуют, вообще говоря,

квазилинеаризуемой интерполяционной пары (хотя, конечно,
образуют интерполяционную пару). Все же, как мы увидим далее,
многие интересные интерполяционные пары квазилинеаризуемы.

1.8.5.	Обобщение теоремы вложения 1.8.3.

Теперь мы в состоянии удовлетворительно решить намеченную
в п. 1.8.4 задачу.

Теорема. Пусть {Л 0, Ах} — квазилинеаризуемая интерполя-
ционная пара.

(а)	Пусть т — натуральное число, р, г]0 и —вещественные
числа, 1 р сю. Далее, пусть {/min, ...» /max} — множество всех
целых чисел j, для которых

0=c/^m—1 и

Тогда оператор R, задаваемый равенством

Ru =	(0), ..., г//п1ах> (0)},

является ретракцией из Vm (р, т]0, Ло; р, т]х, Лх) на
/max

П <Ло> Л1)е,.	0/ = т+пГ-^

/ — /min

(Ь)	Пусть т — натуральное число, р(к\ т]<Л) и k = 0, 1,—
вещественные числа, l^p{k)^<x>,	—т^0’= T]i1’ —Ло1’- Преть,
далее, {/min, ...» /max} — множество всех целых чисел j, удовлетво-
ряющих условиям

O^j^m—1, — min (лоО), Ло1’) < / < min (т — т]10), т Л11’).

Для произвольного интерполяционного функтора F оператор R,
задаваемый равенством

/?« = {z?/min)(0), ..., «</тах>(0)},

является ретракцией из

F({Vm(p^, rtf’, Ло; р«», rtf”, Лх), Vm(P(1). 'По1', Ло; р<«, rtf’, Л)})
на

П	4i)e<o>t р(о>, (Ао, Лх)е^> ₽'!>})•

1 — 1 min

При этом

Доказательство. Шаг /. В силу теоремы 1.8.3 для доказатель-
ства утверждения (а) достаточно показать лишь, что R — ретрак-
ция. Если Ио(О и ^(Z) таковы же, как и в определении 1.8.4, то

а = Vo(Oa+Vi(0a, аеА0 + Ах.	(1)

Далее, операторы определяемые формулой

*=°- 11

где <р (0 обозначает функцию, введенную при доказательстве
леммы 1.5.1/2, обладают теми же свойствами, что и операторы
(см. определение 1.8.4). В частности, справедливо равенство,
аналогичное равенству (1). В приведенной выше формуле Уц(/)а —
бесконечно дифференцируемая А*-значная функция от t. Положим

ПМя_Л»(0®_ /dV^a

Oi У) а-г —% I ^Г~

и

W(p, £tf, Ло; р, glt Ах)

₽= {w (01 w (t) — измеримая (Ло + Лх)-значная функция,

I и» ilF (р, Л.; р, Ь, ли = i	(/) iL* <At) -H (bay (/) ||L* {Ai) < oo}.
Лемма 1.8.4, теорема 1.5.2 и шаг 2 доказательства теоремы 1.5.3
показывают, что a->-U1(t)a есть непрерывный линейный опера-
тор из (Ло, Лх)е, р в W (р, — 9, Ли; р, 1 — 0,Л!), О < 0 < 1,

II Ui (Оак(р. -е, А«; р. 1-6, л,>	С || а ||(л0. л,)0>р.

Далее, для ае(Л0, Л^е, р

оо	1	~	оо ~

J(/T(Oay = j ^-—-adt —

= ?0(1)а + У1(1)а = а	(2)

(как интеграл в (ЛоЛ-Л!)). Для х = т — ти-|-т)0>-0 положим

U2 (I) а = х{7г (/-и) а.

Тогда a->-U2(t)a является непрерывным линейным отображением
из (Ло, А^е, р в W (р, 0х, Ло; р, — (1 — 0)х, Лх) (см. замечание
1.5.3/2),

II	(0 a I w (р, ей, л.; р. - <1 - е> к, ар =sS с || а |(Лв> л,)0( р

и

а = f U2
о

Как и на шаге 3 доказательства теоремы 1.8.2, положим

U8(t)a=Ju8(r)a^-, Us(O)=a.
t

Тогда а -> U8 (t) а — непрерывный оператор из (Ло, А^в.р в

Vi(p, Ох, Ло; р, 1-(1-0)х, Лх),

причем t/s(O)a = a. Повторение шага 6 доказательства тео-
ремы 1.8.2 приводит к непрерывному оператору a-*-U4(t)a из
(Ло, Л^е, р в

Vy+1(p, Х0-/, Ло; р, 1-(1-0)х, Лх);

при этом t/7' (О)а = а, / = 0, 1, 2. Повторение	шага 8 дока-

зательства теоремы 1.8.2 доставляет теперь непрерывный оператор
at-^U8(t)a из (Ло, Лх)0,р в

Ут(р, иВ-j, Ло; р, —	Лт)

с	(О)а = а. Положим 0 = 0/. Тогда x0z — / = t]n и m — j —

— х(1 — 0/) — tij. Используя метод из доказательства теоремы 1.8.3,
получаем окончательно непрерывный линейный оператор at—> UQ (t) а
из (Ло, Лг)0/, р в Vm (р, По> Ао; р, 1]1- 41)> Причем

Ue}(0)a = a, и(б’>(°)^ = 0 при k = jmin,	k=£j.

Положим Sy (t) = U6 (/), /min.^/^/max, и построим оператор S
по формуле

/щах

Sa =2 S/^ab

1	— /min

/max
a = {«/min .. «/max} . П Ио. P.

/~/min

/max

Ясно, что S — непрерывное линейное отображение (^0» P
/' — /min

в rjo> A)J П1, Л) и

/?S = £.

Следовательно, S есть коретракция, соответствующая R. Этим
доказана часть (а) теоремы.

Шаг 2. Часть (Ь) вытекает из части (а) и интерполяционного
свойства для операторов R и S;. Из сделанных предположений
следует, что оператор Sj, соответствующий верхнему индексу 0,
совпадает с оператором S;, соответствующим верхнему индексу 1.
Теорема доказана.

Замечание. * Эта теорема является абстрактным обобщением
многочисленных конкретных теорем вложения (для следов) для
рассматриваемых далее весовых и невесовых пространств Соболева—
Слободецкого — Бесова — Лебега (пространств бесселевых потенциа-
лов). Это верно как для так называемых «прямых» теорем вло-
жения, так и для «обратных». Более того, теорема 1.8.5 обобщает
также и абстрактные теоремы вложения, доказанные Лионсом [3 IV]
и Гриваром [4, гл. II] (мы еще вернемся к этому позднее).
В этом смысле она занимает ключевую позицию в теории вложе-
ния для следов (по крайней мере в рамках настоящих рассмот-
рений).

1.9.	КОМПЛЕКСНЫЕ МЕТОДЫ

Комплексные интерполяционные методы были введены Лион-
сом [5], Кальдероном [3, 4] и С. Г. Крейном [1, 2]. Одно обоб-
щение этих методов дал Шехтер [5, 6]. Ниже мы частично следуем
изложению, данному Кальдероном [4]. Однако для дальнейшего
нам будет полезно обобщить рассмотрения Кальдерона.
Если все рассмотренные до сих пор методы приводили к одним
и тем же интерполяционным пространствам (Ло, Л^е, р, то комп-
лексные методы дают новые интерполяционные пространства.

1.9.1.	Пространства /'(Ло, Л1, у) и /__(Л0, Ait у)

Мы предполагаем, что читатель знаком с теорией векторно-
значных аналитических функций со значениями в данном банахо-
вом пространстве Л (A-аналитических функций). См., например,
Данфорд и Шварц [1 I]. Далее S обозначает полосу

S = {г 10 < Re? < 1}

комплексной плоскости, S — ее замыкание.

Определение. Пусть {Ло, ЛД — интерполяционная пара,
у — вещественное число. Тогда по определению

F (Ло, Alf у) = {/ (г) | f (г) есть ~(Л0 + АА-оначная функция,
непрерывная в S и аналитическая в S,
sup	' V П Im г 11| f (г)	< qq,	(1)

2G S

/(/~Н7)еЛ;, /=0, 1, — оо</<оо,

/ (/ + //) непрерывна как А j-значная функция
от t, j = Q, 1,

||/ ,|F(T) = max (sup e— v । * i Ц/ (/ + и) ц) < oo} \

(2)

Г_(Л0> Alt y)— множество всех функций
f^F(AQ, Alf у), для которых

Нт	+	=	/=0, 1.	(3)

Теорема, (a) F (Ло, Л15 у) и F.(AQ, Alf у), наделенные нор-
мой (2), являются банаховыми пространствами.

(Ь) Линейная оболочка функций

e^z2+Kza, 6>0, X — вещественное число, Л0П Л3, плотна
в F-(A0, Alt у).

Доказательство. Шаг 1. Для доказательства того, что
F(A0, Лц у) —банахово пространство, нам нужно показать, что если
II/(z)IIf (v) = 0, то f(z) = O, и что нормированное пространство
£(Л0, Лх, у) полно. Все другие свойства очевидны. Если /а
еЕ(Л0, Лх, у), 20eS и 6>0, то в силу теоремы о трех пря-

1 Иногда будем писать 11/||/=чл.. Л,. у) вместо II/ Ilf (у).
мых (Данфорд и Шварц [1, т. 1, гл VI, § 10]) имеем

||/(г0)и + л1 = ,|ев^-^7(г0)и + л1

< (sup || е6 ~ 2^f (it) |1Л„+л,у _ Re г"

||e6(1 + l7_?o)y(1+lY) |>л+л XRez,

(4)

Из последней оценки видно, что f(z) = O, когда ||/ (z) ||f (v) = 0.
1 Для доказательства полноты рассмотрим фундаментальную
последовательность {fk (z)}?=i с: F (Ло, Аг, у). Тогда fk(j + it)
стремится в Aj к некоторому предельному элементу, который мы
обозначим через flj-fait). С помощью обычной техники оценок
выводим, что для произвольного положительного числа е

nm jsupe-vi<i|/(/4-(y)_/;ft(/4-ty)||^<enpHjfc^0(8). (5)

Следовательно, Л7-значная функция f(j-fait) непрерывна. Заменяя
в (4) f(Zo) на е22 (fk(z)—fa(z)) и беря 6 = 0, получаем

iK (fk (г)-Л(г))||ло + л,

< ma. , [sup || + «>* [fk (j + it) - fa (j + Я)] |Л/]•	(6)

Поскольку ,{fk (г)}“=1 —фундаментальная последовательность, из
последней оценки вытекает, что последовательность {ег7*(г)}“=1
в Л0 + Лх сходится равномерно на <5. Если обозначить ее предел
через е27 (z), то в точках г = / + it функция f (г) совпадает с функ-
цией / (i + it), определенной выше. Значит, (Л04-Лх)-значная функ-
ция f(z) непрерывна на 5 и аналитична в S. Производя замену
t — Imz0 = x в правой части (4) и используя (5), находим, что

Из (5) следует теперь, что /(г)еЕ(Л0, Лх, у) служит предель-
ным элементом последовательности {fk(z)}f=l.

Шаг 2. Если фундаментальная последовательность {/*(?)}“= i
из шага 1 принадлежит Е_ (Ло, Лх,у), то построенная функция/(г)
также принадлежит Е_(Л0, Лх, у). Следовательно, F- (A0, Лх, у)—
банахово пространство. Тем самым утверждение (а) доказано.

Шаг 3. Перейдем к утверждению (Ь). Если f (г) е (Ло, Лх, у),
то ебг7(г) при 6>0 также принадлежит Е_(Л0, Лх, у) и e^*f (z)
сходится в F- (Ло, Лх, у) к f (z) при 6|0. Поэтому достаточно
аппроксимировать в F_ (Ло, Лх, у) требуемым образом функцию
^z7(z). Следуя частично Кальдерону [4, стр. 132—133], положим
g(z) = e«27(z)
И

gn(z) = У! g(z + 2nijn), 1<п<оо.
/= —ОО

В силу абсолютной и равномерной сходимости этого ряда функ-
ция gn(z) е F (До, Д1? 0) периодична с периодом 2mi. Из свойств
g(z) вытекает, что для любого положительного е найдутся числа
т]>0 и п^1, такие, что

\e^2gn(z)-g(z) |> (?)^е.

Следовательно, достаточно аппроксимировать функции вида e^‘gn(z).
Если z = x-^-iy, 0<х< 1, то

gn(x + iy) = У bk,n (х)еУ п = У ak>n(x)en, (7)
k — — ОО	k — — 00

fyi, п W = П Ь/г, п (^)
ппт

= 2^ j gn(x + iy)~(x+ivy~“dy,m^l,2,.... (8)
— ппт

Последнее выражение не зависит от т, так как gn(x-}~iy) имеет
период 2шг по у. Ряд (7) слабо сходится в Ло + А- Пола-
гая в (8) т->оо и применяя теорему Коши, заключаем, что
aktn(x) = ak,n не зависит от х. Полагая теперь т=1и беря пре-
делы при х|0 и х|1, получаем в силу свойств gn(z) (в частно-
сти, в силу непрерывности этой (До 4-Д^-значной функции на 5),
что

л/г	h

IC	— iy ~

J g^^6 ndy = a».n

— пп
пп	h

i с ,« , • ч -<1+ад4 . Л
= 2^1 J 8пО+1У)е ndy^At.
— пп

Значит, ak'n<^. A0[\Ai. Рассмотрим временно произведение ЛохЛх
как вещественное банахово пространство (каждое комплексное
банахово пространство является также и вещественным). Положим

‘	zk	N

зрю- 2 а^еп’1==0’ь 2.............

й=— I	1=0

Ввиду непрерывности Лох Лгзначной функции (gn(iy), gn (1 + iy)),
из теории рядов Фурье следует, что (S^ (iy), Sffl (1 + ‘У)) слабо
сходится в ЛохЛх к (gn(iy), gn(l-Hy)); см., например, Кадлец
и Куфнер [1, п. 7.9]. При фиксированном у получаем с помощью
теоремы Мазура (см., например, Иосида [1, гл. 5, § 1, теорема 2]),
что некоторая подходящая последовательность выпуклых линейных
комбинаций1 элементов (Sjv* (ф)> U + 4J)) сильно сходится
в ЛохЛ1 к (gn(iy)> gn (1 + iy)). Отправляясь от произведения
Лох...хЛохЛХ...ХЛ и соответственно модифицируя последние
рассуждения, убеждаемся, что некоторая подходящая последова-
тельность выпуклых линейных комбинаций элементов (Sffl (iy),
S«(l+iy)) сильно сходится в AoXAi к (gn(iy), gn (1 + iy)) для
любого конечного числа значений y = yk, k — 1.....К. Из силь-

ной равностепенной непрерывности gn(iy) «&(!+<!/) и явного
представления (г) через ядра Фейера (см., например, Кадлец
и Куфнер [1, стр. 255]) вытекает равностепенная непрерывность
Ло X Лгзначных функций (Sffl (iy), Sffl (1+iy)) и их выпуклых
линейных комбинаций. Но тогда из последних рассуждений сле-
дует, что подходящие выпуклые линейные комбинации (Sffl (iy),
5^(1 + iy)) для всех у сильно сходятся в ЛохЛ! к (gn(iy),
gn(l + ty)). Теперь легко видеть, что эти линейные комбинации
после умножения на е^2 будут обладать всеми желаемыми свойст-
вами.

Замечание 1. Проведенное доказательство показывает, что
предположение (1) определения 1.9.1 не очень важно. Цель вве-
дения этого условия роста — обеспечить возможность применения
теоремы о трех прямых (см. (4)).

Замечание 2. * Пространство F_(A0, А1г 0) было введено
Кальдероном [3, 4]. Некоторые обобщения определенных в этом
пункте пространств (отличные от обобщения, указанного выше) и
связанные с ними интерполяционные пространства рассмотрел
Шехтер [5, 6].

1.9.2.	Пространства |Л0, Л1]о, [Ло, 4i]e,у и (Ло, Л1]8, v,_

Пусть {Ло, Лх] — интерполяционная пара и у — вещественное
число.

Определение. Для 0< 9< 1 положим

[Л«, ЛЬ, у == {а | а @ Ао + Лх, 3/ (г) s F (Ло, Лх, у)
cf(9) = a},	(1)

[Л, Л1]0>т,- = {а|ае Ло + Лр 3 f (г) sF_(Ло, Л1( у)
о/(9)= а},	(2)

Мм», л1]0 у = ||а||[Ло, л.]е> Y> _ e (2) ^(т)-	(3)

1 То есть линейных комбинаций с неотрицательными коэффициентами,

в сумме равными единице. — Прим, ред»
Нижняя грань берется по всем f^F(A0, Лх, -у) с ?(()) —а или
соответственно по всем f^F-(A0, А1г у) с f (В) = а.

Замечание. Это определение имеет смысл также и для пре-
дельных случаев 9 = 0 и 6=1, см. Кальдерон [4]. Однако нам
эти случаи не понадобятся.

Теорема. [Ло, Лх]0, у и [Ло, Лх]0,снабженные нормой (3),
являются банаховыми пространствами. Все банаховы пространства
[Ло, Лх]017 и [Ло, Лх]010,-, — оо<у, б<оо, совпадают между
собой (с точностью до эквивалентности норм).

Доказательство. В силу (1.9.1/4), {/(z) |/(г) е/ДЛо, Лх, у),
/(6) = 0} есть замкнутое подпространство в /“’(Ло, Лх, у); анало-
гичное утверждение верно для F_ (Ло, Лх, у). Поэтому [Л0, Лх]0> Y
и [Ло, Лх]е, - как факторпространства банаховых пространств
также банаховы. Если /(6) = а, f(z)<=F(A0, Лх, у), то функция
e(*-e)7(z) = g(z) принадлежит всем пространствам [Л0) Лх]0, в и
[Ло, Лх]01в1_ и g(Q) — a. Следовательно, все эти пространства сов-
падают как множества. Поскольку их нормы сравнимы, то из
теоремы о замкнутом графике следует (см. Данфорд и Шварц
[1, т. 1, теорема II.2.5]), что нормы этих пространств попарно
эквивалентны.

Соглашение. Банаховы пространства с одним и тем же
«низлежащим» линейным пространством и с эквивалентными нор-
мами можно по существу рассматривать как совпадающие. В этом
смысле мы будем отождествлять пространства [Ло, ЛХ]01Х, и
[Ло, Лх]е,б,-> — оо<у, 6<оо, и писать просто [Ло, Лх]0. Ради
определенности будем считать, что [Ло, ЛХ]0 = [ЛО, Лх]0>о (если
явно не оговорено противное). Впоследствии, однако, нам иногда
окажется удобным использовать описанные выше обобщения.

1.9.3.	Свойства пространств |Л0, Л1]в

Аналогично тому, как это было сделано в пп. 1.3.3 и 1.6.2,
мы соберем в этом пункте воедино важнейшие свойства прост-
ранств [Ло, Лх]0.

Теорема, (а) [Ло, Лх]0, 0<6< 1, есть интерполяционное
пространство (между Ло и Лх). Соответствующий интерполя-
ционный функтор — точный типа 6.

(Ь)	[Ло, ЛХ]0 = [ЛХ, Ло]х_0.	(1)

(с)	Ло (1 Лх плотно в [Ло, Лх]0.

(d)	Если дополнительно Лос:Лх, то при 0 < 6 •< 6 < 1

Лос[Ло, Лх]0с:[Ло, Лх]?сЛх.	(2)

(е)	Если ЛО = ЛХ, то [Ло, ЛХ]0 = ЛО = ЛХ.
(f)	Существует положительное число с$, 0 < 6 < 1, такое, что
для всех а е Ао П Лх

№.. л1]0^с9||а||л79||а|1л1.	(3)

(g)	Если через А} обозначить замыкание Л0П в Aj, j = 0, 1,
то

[Ло, ЛХ]0 = [ЛО, ЛХ]0 = [ЛО, ЛХ]0 = [ЛО, Лх]0.

Доказательство. Шаг 1. Докажем, что

Л0ПЛхс[Л0, Л1]0<=ЛО + Л1.	(4)

Пусть аеЛ0ПЛх. Тогда постоянная функция /(z)ssa принадле-
жит F(A0, Лх, 0). Поэтому ае[А0, Лх]0 и |аЬ.. А]е <|аЦл.пл,-
Этим установлено левое вложение в (4). Пусть а е [Ло, Лх]0 и
f(0) = a, f(z)e=F(A0, Лх, 0). В силу (1.9.1/4), ||а|ло+л1-^17 (z)|F..
Переход к нижней грани дает |1а||ло+л1^||а|'[Ло. л,]0- Отсюда сле-
дует правое из вложений (4).

Шаг 2. Докажем, что соответствующий [Л0, Л х]0 интерполяцион-
ный функтор — точный типа 6. Пусть а е [Ло, Лх]0, Т е L ({Ло, Лх},
{Во, Вх}), f(z)<=.F(A0, Лх, 0) и /(9) = й. Тогда

/ЦТ I,,	„\Z—0

g (г) =	Tf (г) S F (В°’ В1> 0)’ ^(0) Та-

(Если одно из двух чисел ЦТ||л»-в, или il Т’Ил,-в, равно нулю, то
заменяем его на е > 0, а затем полагаем е 10. Имеем

|lg(Z/ 1>(В<„ В,. 0) ==S|' Г ЦлДв. || Т Ил,-Bl ||/ (Z) ||в(Л0. Al, 0)»

откуда

II TaJtB,,, в,]е| Т(|л7-*в. ||7’f91-B,!|a|!iA0> л,]0.

Этим доказано утверждение (а).

Шаг 3. Если /(z) <= F (Ло, Лх, 0), rog(z) —/(1 — z) s F (Аг, Ло, 0)
и

inf |/(г)|>(л0, л„о)= inf |lg(z) |в(л„ л,.о).
/(0)=а	g(l — 0)=а

Этим установлено (Ь).

Шаг 4. Утверждения (с) и (g) следуют из теоремы 1.9.1 (Ь).

Шаг 5. Пусть Ло с Лх. В силу (4)

Лос=[Ло, Лх]§ с Лх, О<0<1.	(5)

В частности, (Ло, [Ло, Лх]§} — интерполяционная пара. Пусть
О<_0<О<1 и 0 = Х0, 0<А.-<1. Мы хотим показать, что

[Ло, Лх]0 с [Ло, [Ло, ЛХ]§]А.	(6)

3 X. Трибель
Пусть аеЛ0, /(z)eF(/l0, Лх, 0), /(9)=а. Допустим, что функ-
ция /(г) представима в виде линейной комбинации функций, опи-
санных в теореме 1.9.1 (Ь). Тогда, по определению пространств
[Ло, A]0,

I/(0 + И) l[4„ Л,Ь «S |1/||Г(Л„, Л„ 0),	-СО</<ОО.

и

Полагая g-(?)=/(0z), z^S, получаем, что

g(z)EF(4 [Ло, 0), |1й‘||г(Ло[Ло,	О)^||/к(Ло, Аи 0)

и g(X)=/(0) = a. При определении нормы

llaIUo, Л1]е= inf ||/|>(Ло, ль 0)
U F(0)=a

можно ограничиться функциями описанного выше вида. Поэтому
(6) вытекает из плотности Ао в [Ло, Соотношение (2) явля-
ется следствием вложения (6) и аналога соотношения (5) для
интерполяционной пары {Ло [Ло, Лх]§}.

Шаг 6. Утверждение (е) следует из (5). Доказательство
утверждения (f) совпадает с доказательством шага 9 в тео-
реме 1.3.3.

Замечание 1. Заменяя в рассуждениях шага 5 £(г)=/(0?)
на g(z) =	(1 — z) + 6iz), 0 0О < 0Х 1, zeS, получаем, что

[Ло, 24x]0o(i—х)н-0А [[Ло, [Ло, Л^еХ 0<Х<1 (7)

(где [Ло, Л1]ео = Ло при 0о = О и [Ло, Л1]01==Л1 при 01=1).
При доказательстве вложения (7) предположение AoCzAi не
используется. Можно показать, что при некоторых предположе-
ниях пространства в левой и правой частях вложения (7) сов-
падают между собой. Это так, если (а) Ло cz Aj^ (см. Кальдерон
[4, стр. 121]) или (Ь) Ло и Лх — рефлексивные банаховы простран-
ства и Л0П Лх плотно в Ло и в Лг Последнее утверждение следует
из вложения (7) и теории двойственности, развитой Кальдероном
в [4]. Мы не будем входить здесь в подробности, потому что
далее результаты такого типа нам не понадобятся.

Замечание 2. Как уже было сказано выше, интерполяцион-
ные методы (Ло, Л^е, q и [Ло, Л^0 приводят, вообще говоря,
к различным интерполяционным пространствам. Существуют интер-
поляционные пары {Ло, Лх}, такие, что пространства [Ло, Л^е,
с одной стороны, и (Ло, Лх)^ q — с другой, 0 < 0, 0 < 1, 1 оо,
всегда различны между собой. Примером может служить интер-
поляция пространств Соболева — Лебега. См. (2.4.2/11), (2.4.2/14) и
теорему 2.12(c).
Замечание 3. Помимо описанных в этом параграфе ком-
плексных интерполяционных методов и упомянутых обобщений
Шехтера, имеется еще один комплексный интерполяционный метод,
введенный Кальдероном [4]. Мы не будем рассматривать его здесь.
Кроме того, существуют методы явного описания обсуждавшихся
интерполяционных пространств. Сошлемся в этой связи на работу
Шестакова [1].

1.10.	ТЕОРЕМА О РЕИТЕРАЦИИ

Теорема о реитерации (или теорема об устойчивости) является
основополагающей как для абстрактной теории интерполяции,
так и для приложений, рассматриваемых в этой книге. По суще-
ству она принадлежит Лионсу и Петре [2]; некоторые ее частные
случаи были установлены ранее Лионсом.

1.10.1.	Классы /С(0, Ло, Л1) и 7(0, Ло, Л1)

Пусть {Ло, Лх} — интерполяционная пара.

Определение. Будем говорить, что банахово пространство Е
(а) принадлежит классу 7(0, Ло, Лх), О<0< 1, если

Ио, Л1)0>1с=Д cz Л0+Лх;

(Ь) принадлежит классу Д(0, Ло, Лх), О<0 < 1, если

Ао П А1 с: Е с (Ло, Лг) 0t оо«

В тех случаях, когда это не может вызвать путаницы, будем
писать J (0) вместо J (0, Ло, Лх) и Д (0) вместо К (0, Ло, Лх).

Лемма. Пусть Е — банахово пространство, AoQ/^czfa:
с: Ло + Лх.

(а)	Следующие утверждения эквивалентны:

1.	£с 7(0).

2.	Существует положительное число о, такое, что для всех
as Ло А Лх

(1)

3.	Существует положительное число с, такое, что для всех
а е Ло Л Лх и всех t, 0 <7 < оо,

l!a||B<c/-e J(t, а)	(2)

(где J (t, а)—функционал, введенный в п. 1.6.1.).

(b)	Е принадлежит К. (6) тогда и только тогда, когда сущест-
вует положительное число с, такое, что для всех а&Е и всех t,
0<7<оо,

K(/,a)<^|o|g.	(3)

S'
Доказательство. Шаг 1. Утверждение (Ь) следует непосредственно
из данного выше определения.

Шаг 2. Пусть Е е J (8). Из теоремы 1.3.3 (g) вытекает, что
тогда справедливо (1).

Шаг 3. Предположим, что выполнено (1) Тогда справедливо
(2), как это следует из цепочки неравенств

а).

Шаг 4. Предположим, что выполнено (2). Пусть а е (Ло, -4х)е, 1»
и пусть

ОО

С /А dt

а = I и (/)—

и

— соответствующее представление а, см. теорему 1.6.1. Тогда
и (/) есть f-значная непрерывная функция на интервале (0, оо).
Поскольку

00 II АН II	°°

f II и (0 Не С . q 7 ..	.... dt

I-----1----dt -С с \ t~vj (t, и (/)) -у < оо,

и	о

мы заключаем, что а принадлежит Е и что

в	С II и (0 \е f у 0 7 // /АЧ dt

Мл	J----1----dt j t-vj (t, и (0) —•

и	о

Переходя к нижней грани, как указано в теореме 1.6.1, полу-
чаем, что |lafe<c'lla.kA, л,)0 r Следовательно, (Ло,
и £е/(0).

1.10.2.	Теорема о реитерации

Ради простоты записи введем обозначения

К (0) П J (0) = Ло, /<(1)ПУ(1) = Л1.

Здесь по-прежнему {Ло, Лх} — интерполяционная пара.

Теорема. Пусть 0 0о <10Х 1, Et &К (9/) f| J (8у) при
/ = 0, 1, IsSpsgoo. Тогда при 0<А,<1

(£0, £1)л,р = (Л0, ЛЖ.,, где 0 = (1 — X) 90 +Mt.	(1)

Доказательство. Ниже мы следуем в основном изложению,
данному Бутцером и Беренсом [1].

Шаг 1. Пусть а е (Ео, Е^к, Р- Так как Ej^K (6/), то из леммы
1.10.1 (Ь) вытекает, что для любого разложения a = e0-\-ei, е^Е],
K(t, а\ Ад, Л1)^/С(/, е0; Ло, Лх)-|-/^(/, е^, Л0, Л^)

<^04kok.+*e‘"0’kik]-
Переход к нижней грани дает

/<(/, а; Ло,	а\ Ео, EJ.

Используя обозначения п. 1.6.1, получаем

ИЬ», 4<)0,Р=И^(Л а\ До, Д,)^,

<c[Zk(9,-9,)/< (/(б.-е.), а; £о>

< с' || t~KK (t, а-, Ео, Ej.) |lt* = с' |l а |'(£0, £t)x, р.
Следовательно,

(Яо» р cz (До» ^1)о, р-	(2)

Шаг 2. Пусть а е (До, Л^о, р. В соответствии с теоремой 1.6.1,
а представимо интегралом в Д04-Дг:

а = Fu(/0>-0»)^, ||^(/, и(^~е“))Ь<о°-	(3)

J	I	L'P

О

Ясно, что таким способом получаются все возможные представле-
ния. Далее, а может быть представлено также следующим интег-
ралом в Д04-Дх:

a = c^u(t)j-,	(4)

о

где с—некоторое подходящее число. Мы хотим показать, что (4)
существует также и как интеграл в £0 + ^i и что

11~4 (/, и (0; Ео, Ei) "t* < с | t-Ч (t, и (/0«-0’); Ло,А х) JL*. (5)

Тогда, применяя теорему 1.6.1 и переходя к нижней грани, мы
получим

I а 1'(£0, £1)х_ р о || а |'(Ао, д1)01 р,
откуда

(До, Д1)о, р С2 (Ео, Ei)x,p-	(6)

Установим (5). Так как принадлежит J (07), то в силу леммы
1.10.1(a)

J(t, u(t)\ Ео, E1) = max(||M(0i|£., H«(0k)

max (t, u(t)-, Ао, Д,),
t-<4(x, u(t)-, Ао, Д0].

Беря т01-0° = Л получаем, что

J(t, u(t); Ео, Ei)^cr^j{t^, u(t)\ До, Дх).
Отсюда следует (5). Так как и (t) — непрерывная Ео П fj-значная
функция, то из (5) вытекает, что

оо	оо

jl«(0l£,+4< Jminfl, «(0; Ео, Е^
о	о

^ll^minfl, 4-VI	Ео, оо,

II \	1 /lit*,	р

Следовательно, (4) существует и как интеграл в E0 + Ei, а значит,
как показано выше, справедливо (6). Из (2) и (6) вытекает утверж-
дение теоремы.

Замечание 1. Из доказательства видно, что мы получили
несколько больше, чем утверждается в формулировке теоремы,
а именно:

(£0,	ЛОе.р следует из	(7)

(Ло, ЛОе.рС^о, Et)Kp следует из 7(0У);	(8)

здесь 6 = (1 — А.) 0О + A.0V

Замечание 2. Как отмечалось в замечании 1.9.3/1, сходная
теорема о реитерации справедлива и для комплексного метода.
Но, в то время как доказанная здесь теорема играет фундамен-
тальную роль в последующем изложении, указанный в замечании
1.9.3/1 результат не так важен для наших дальнейших рассмот-
рений. Связь между комплексным методом и приведенной выше
теоремой о реитерации изучается в следующем пункте.

1.10.3. Комплексный метод и теорема о реитерации

Теорема 1. Пусть {Ло, Лх} — интерполяционная пара,
0<0< 1. Тогда

[Ло, A]ee/C(6)0J(e).

(1)

Доказательство. Шаг 1. В силу теоремы 1.9.3(a), (f) и леммы
1.10.1(a), [Ло, Лх]е принадлежит 7(0).

Шаг 2. Для доказательства того, что [Ло, ylj^Je (0), пона-
добятся некоторые подготовительные рассмотрения, касающиеся
функций комплексного переменного. Решение задачи Дирихле
для оператора Лапласа в единичном круге

Да(С)=₽0, w(A)=/i(A) при |А|= 1, С = | + Й1»	(2)
дается интегралом Пуассона

“®—2л j	|£—Л|* ^Sk"

1*1 = 1

(3)

При этом предполагается, что граничная функция h (X) есть огра-
ниченная комплекснозначная функция, непрерывная всюду, за
исключением, быть может, некоторого конечного числа точек,
где она имеет разрывы первого рода (скачки). (В классе ограни-
ченных функций решение и (£) задачи (2) единственно.) С помощью
конформного преобразования

p^tiz ___ 7

S = U2) = -^p-. * = * + &>

(4)

полоса S = {z|0<Rez< 1} отображается на единичный круг.
Подставляя (4) в (3), получаем решение задачи Дирихле для опе-
ратора Лапласа в полосе S. При z = it или z=l-f-z7

1Я-2"
I dt |

е т

1 *

Далее,

1 _ IГ 12 — I е~ад+,'Ях+< |2 — | е~«У+‘ях—j |2  4^-яу sjn пх .

при X = £(i7)

I г _ XI2 — 12е~я?—2gJt<’l-v+fy) 1а

_	| е~я<—е~яу cos лх |2 4- е-дяу sin2 ях

~	|е’«г-Н|2(1-|-е~2Я0

и при Х = £ (1 4-17)

|£ —Х|г = 4

I g~nt | g-ЯУ cos |2	е~2Л1/ sjn2 nx

I e"i2+l |2(l-|-e-2n/)

Подставляя эти выражения в (3) и заменяя h на и на границе,
находим, что

ОО

и (z) = ( еяsin лх Г-----------------------------

[ siH2 пх + (cos пх — еЛ<У~())2

__________u(l+it)

sin2iu + (cos лх+ел (^_/))2

(5)

Шаг 3. После этих предварительных рассмотрений докажем,
что IА0, Д^е е К (6). Если f (z) е F (Ло Лх, 0) (см. определение
1.9.1), то обычным путем при помощи теоремы Хана —Банаха,
получаем, что выполняется равенство (5) с / вместо и (с интег-
ралом в ДоД-Дх справа). Имеем, далее,

/(*)=/»(*)+А (*),

Г e^^nxfdt)	(5а)

J sin2 лх + (cos лх—еп
— оо

= С	en^Sinnx/(l + t0 . dt е А	(5Ь)

Z1' J sin2 nx+(cos nx + e"<y-Zl)2	1

— 00

Так как ядра в (5) положительны, a u(z) = l при u(it) =
= и (1 +it) = 1, то

I /о (г) |л„	sup ||/ (it) |д„ || А (z) |1д, =Сsup ||/ (1 + it) Вл,.

т	т

Пусть ае[А0, Л^е, /(9) = а, /еГ(Д0, А, °)- Тогда

К (А а)^|/0(6)|л0 + А1/г(6)||л,

< sup ||/ (it) ||л, 4-1 sup II / (1 + гт) |л,.
т	т

Заменяя в последней оценке /(z) на /(г)/е~г, заключаем, что

Kit, d)^2t^f\\Fw.

Переход к нижней грани дает

Kit, o)<2/e|oUM.]e-

Применение леммы 1.10.1(b) приводит теперь к желаемому утвер-
ждению.

Замечание 1. * Эта теорема принадлежит Лионсу и Петре [2].
Здесь по существу воспроизведено доказательство, данное в работе
Три беля [16]. Идея использовать представления вида (5) при
анализе комплексного метода принадлежит Кальдерону [4].
У Петре [19] имеется более сильный вариант этой теоремы для
специальных интерполяционных пар {До,

Теорема 2. Пусть {До, Дх} — интерполяционная пара,
О<6о<81<1, 0<Х<1, 1 ^р^оо. Тогда

([Ло, Д1к, [Ло, Л1]е1кр = (Л0,	9 = (1-Х)90 + Х91. (6)

Равенство (6) остается справедливым при 9о = О, если заменить
[До, Д1]о0 на До, и при 91=1, если заменить [До, Дх]е, на Av

Доказательство. Это непосредственно следует из теорем 1.10.2 и 1.

Замечание 2. Теорема 2 очень важна для дальнейшего.
Отметим, что при некоторых условиях вещественный и комплекс-
ный методы в (6) можно поменять местами. Лионс [10] показал,
что для рефлексивных банаховых пространств Ло и Лх

[Ио, (Ло, А^иР]к = (А0, Л1)0,р, 6 = (1-Ж + Мх, (7)
0<90<61<1,0<Х<1, 1 < р < оо. Наконец, упомянем о статье
Гривара [4], где установлены далеко идущие результаты о свойст-
вах коммутативности вещественного и комплексного методов.

Замечание 3. Для последующего (см. § 1.18) будет полезно
привести одно следствие из (5а) и (5Ь), полученное Кальдероном [4].
Ниже мы следуем его изложению. Ядра в (5а) и (5Ь) обозначим
через ц0(г, t) и ^(z, t) соответственно (z = x + iy). Из справед-
ливости (5) для u(z)=x и для и (z) = 1 — х немедленно вытекает,
что

ОО	00

J ц(х, t)dt=l—x, J Н1(х» t)dt = x, 0<х<1.	(8)

— оо	—оо

Пусть f (г) е F (Ло, А, 0), и пусть <р0 (t) и <рг (О — вещественные
ограниченные бесконечно дифференцируемые функции, удовлетво-
ряющие условиям

Фо (0 In \\f (it) ||л„ q>! (/)2s=ln|lf (l + i'OUp -oo</<oo.

Тогда существует функция Ф(г), аналитическая в полосе S и не-
прерывная на 5, вещественная часть которой задается равенством

ЕеФ(г)= $ Фо(ОНо(г, t)dt + $ Ф1(0Н1(г> t) dt.
— ОО	—00

Разумеется, ReФ(г7) = <р0 (t) и РеФ (1 + it) = <рх (t). Пусть 0< 0 < 1.
Тогда е-ф(г)/(г) еГ(Л0, Alt 0) и

к-ф(е,/(6)11[л„ д.]0 ^к-ф(г7(г)Ыо)

= max [sup е |/ (it) || л„, sup е ц/ (1 4- ц) ц л ] < 1.
t	t

Отсюда видно, что

00

1пО)кло.л.]9<ЯеФ(0)=	[Фо(0Мв.0+<Р1(ПММИ.

— оо

Беря нижнюю грань правой части последнего неравенства, полу-
чаем

In 17 (0) f [л., л1]0 < $ In 17 («) II л, Но (97) dt	(9)

— 00

00

+ $ lnH(l+7)UHi(6. 07/.

—<50
Каждый из интегралов правой части (9) может быть определен
как предел соответствующих частичных сумм; например,

f In 17(1+*7) Um (9. t)dt
— ОО

N	^ + 1

= lim 2 [In ||/(1	$ m(9, t)dt,

N-^co ft=1

где /х = —co, U = oo и Де (4, tk+i)-
Полагая
. ‘k+i

Am (9. 4)= I $ m(9> t)dt

и используя (8) и неравенство Гёльдера, находим, что

explj J ln|7(l + t7)h,m(9, i)dt)
'	—00

N
= lim П И(1 + #*)»а,<0’

< lim 2 17(1 +iU)h,Am(0» Д)
W-+°°

= | J i7(i+I7)Um(0. i)dt.
— co

В силу (9) получаем окончательно
(оо	\ 1 —о

Л J H(ft)Um(0. ПЛ

— СО	'

хй J 1/(1+ it)km(9, t)dt\. (10)
'	— ОО	/

Позднее мы используем эту оценку. Она принадлежит Кальде-
рону [4].

1.11.	ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ

Пусть {Ло, Ах} — интерполяционная пара. В предположении,
что Ао П Ах плотно в Ло и в Лх, мы рассмотрим в этом параграфе
интерполяционную пару {Ло, Л[}, где Aj обозначает пространство,
сопряженное к Лу, / = 0, 1. Достаточно полная теория двойствен-
пости имеется как для вещественных, так и для комплексных
методов. Поскольку в дальнейшем нам понадобятся лишь резуль-
таты для вещественного метода, мы не приводим полных дока-
зательств теории двойственности для комплексного метода.

1,11,1.	Сопряженное к 1Р(А)

Пространство 1Р (Л) вводится аналогично пространствам Lp (Л)
и £*(Л). Пусть Л — комплексное банахово пространство и
1<р<:оо. Тогда по определению

оо

1Р (Л) = {а|а = {аД/L-oo; ауе=Л; ||а||/р(Л) = ( £ И«/1й)17Р< °°}
/=—оо

при 1 р < оо и

^со (Л) = [а | а = {ajjt-co;	е Л; || a Ц, т (Л) =	||л < оо}

при р = оо. Далее, через с0(Л) обозначается подпространство

пространства (Л), состоящее из всех элементов а

—оо, ДЛЯ

которых ||аД|л->0 при |/|->оо; 1р(А) и с0(Л) суть банаховы
пространства. Если I^gpsgjoo и ^--{-^- = 1, то

f(a)= 5 f =	1р'	(1)

/ = —оо

есть непрерывный линейный функционал на 1Р (Л). При этом

IfllUpM)]'	(2)

Лемма. Пусть IsgpCoo. Тогда [/Р(Л)]' = 1Р> (Л') в смысле
представления (1). Кроме того, [с0 (Л)]' = 1Г (Л').

Доказательство. Шаг 1. Пусть 1 <Zp <оо и f е [/Р(Л)]'. Для
а}<=А, j = 0, ±1, ..., положим = {8jkak}f=_m. Ясно, что
fj(aj)=f(8j оД —линейный функционал на Л и

n	/ N	\

1]	S Ш	(3)

f= — N	\j=—N	/

Выберем теперь элементы а/еЛ с 1, такие, что (аД
вещественны и fj (а'/)	||/) |1 — е,, где е, >0 — заданные числа. Поло-
жим =	При заданном е>0 и подходящих 8у>0

получаем, что

/ДаД + е2-''’Ы//1Й—КЙ.	(4)
Следовательно,

N	'	7 N	К	7 N	V 1/р

Vj 17/11л'^4е-|-Л V j^4e + |7||[/ (Л)]'{ V М/|1Й1 .

f= — N	\/ = -М	/	\/ = —Л/	/

Пусть теперь 8 | 0. Используя (4), получаем при N ->оо оценку

|НМ/°=-оо|Ь'(Л'’ (Лрр(Л)]'.

Из (1) и (2) видно, что при помощи элементов fj<=A’ можно
образовать функционал на 1Р(А). Так как этот функционал cob-
tv

падает с f на всех элементах вида V Szaz, а эти элементы
/=—д/

плотны в /р(Л), то мы получаем, что он совпадает с f на всем
пространстве 1Р(А). Отсюда и из (1), (2) следует утверждение
леммы для случая 1<р<оо.

Шаг 2. Рассмотрение случаев /1(Л) и с0(Л) может быть про-
ведено аналогично. При этом надо положить в приведенных выше
формулах ау = az, 8;= 8 в случае 1г (Л) и 8У = 8-2~1*। в случае с0(Л).

Замечание. Эта лемма и данное нами доказательство для
случая р < оо принадлежат Лионсу и Петре [2]. Из оценок (2)
и (5) вытекает, что

И|1рр(Я)]'=||/при 1^р<оо и
J f |1[е0 (Л)]' =17117, (Л').

(6)

Следовательно, отождествленные в лемме пространства не только
алгебраически изоморфны, но и изометричны.

1.11.2.	Теория двойственности для вещественного метода

Пусть {Ло, — интерполяционная пара. Далее всюду пред-
полагается, что ЛоПЛ! плотно как в Ло, так и в Аг. Тогда из
вложений ЛОГ|Л1С1 Az, /==0, 1, вытекает, что в обычном смысле

Л^сИоПЛ)', / = 0, 1	(1)

(Л' обозначает пространство, сопряженное к Л). Соотношение (1)
показывает, что {Ло, Л1}~также интерполяционная пара.

Замечание 1. Соотношение (1) можно дополнить следующим
образом:

(Ло + ЛхУсзЛ/сИоПАУ, / = 0, 1.	(2)

Ароншайн и Гальярдо [1] и позднее Ёсикава [5] показали, что
справедливы даже равенства (Ло + Лг)' = Л^ П А[ и (ЛоПАУ^
= Ло + Л{ (с точностью до эквивалентности норм). Однако для
наших целей достаточно более грубого результата (1).
Для р<оо пространства (Л^, Л1)е,р и (4>. А)9,р рассматри-
ваются обычно как подпространства пространства (ЛоРЛО'. Это
имеет смысл, поскольку (по теореме 1.6.2) для р<оо множество
Ло П Лх плотно в (Ло, Л^е.р. Пространство (Лд, Л^)е,оо строится
обычным образом. Далее, если (Ло, Лj)^ —замыкание Л0ПЛ!
в (Ло, Л^е и, то справедливо также вложение [(Ло, ЛОе.^'с
с(Л0ПЛГ.

Теорема. Пусть {Ло, Аг\ — интерполяционная пара, причем
4П4 плотно в Ао и в Alt и пусть 0<6<1. При 1-Ср<Ссо

Ио» ^i)e,p= Ио» ^i)e,p'» р +	(За)

а при р = оо

[Ио» ЛО&.оо]' = Ио»	(ЗЬ)

Доказательство. Шаг 1. Ограничимся случаем 1^р<оо. Как
модифицировать рассуждения для случая р = сю, будет очевидно.
Пусть /е(Лд, 4J)e,p'- Как было объяснено выше, f можно рас-
сматривать как линейный функционал на ЛорЛг. Пусть
е Ло П А±. Тогда существуют разложение а в смысле теоремы 1.7 (а)
и разложение / в смысле теоремы 1.7(b):

6Z==6Z/.o4"6Z/,i» aj,k^Ak, 1 ^7,0 ho + 16Z/tl 2/( (2;, а),

ОО

/= У> //> f/^A'of\A'i.

7=—со

Отсюда следует, что

|/(а)1 =

оо	оо

S Z/(«)^ 5

/ = — оо	/== — оо

(1Л(«-/.о)1 + 1Л(а-Л1)|)

После перехода к нижней грани получаем по теореме 1.7, что

Um,

Следовательно, в силу теоремы 1.6.2, функционал / можно про-
должить по непрерывности на (Ло, Л1)0,р. Значит, f е (Ло, Л^е.р и
(Ло, Л1)е, р'<= (Ло, Л1)е,р.	(4)

Шаг 2. Ограничимся снова случаем 1 «с р < оо. При р = оо
нужно заменить в приводимых ниже рассуждениях 1Р на с0. Пусть
f. е (До, Дх)е,р. Рассмотрим множество элементов {bj, сД е 1Р (До) х
х/р(Дх), для которых существует элемент аеЛ0П4(, такой, что
2/0йу + 2/0-/су=а, / = 0, ±1, ±2, ....	(5)

На этих элементах построим функционал f по формуле

Н{Ь/, сД)=[(а).

Функционал f линеен. Кроме того, он непрерывен, как следует
из оценки (см. теорему 1.7(a))

л1)8.р

По теореме Хана — Банаха f можно продолжить на все простран-
ство 1Р (Ло) х1р (Лх) с сохранением нормы. В силу леммы 1.11.1
и оценки (6)

Ц{Ь/, С7})= £ [g/(fc/) + M<7)]>	(7)

/= — оо

где
|{<.М)Ж)1-И4)«211ф..	(8)

Пусть для фиксированного k и произвольного bk е Ао Q Дх

2ft0&ft 4- 2*0’*cft = 0, bt = Cj = 0 при / k.

Тогда

O = gk(bk) + hk (с*)

и, следовательно,

До ® gk = 2*/i* s Д{.

(При получении последней формулы gk и hk рассматриваются как
элементы из (До П Дх)'.) Итак, gk е А'о П Д{. Для а е До П Дх имеем
по теореме 1.7

a — cij, o + ty.i, 11{2_/0а7-,о}Л/р(ло) + |{2_;0+/а;,х}|/р(л1)<оо-	1

Отсюда получаем представление

Ш = Ц{2-'Чо, 2-/0^,х})

= 2 2-^(аЛ0 + аМ)= S (2->0g/)(«).	(9)

i Поскольку ае ЛоПЛ^ то в случае р = оо можно заменить 1р (Ло) и
/р(Л1) соответственно на coMo) и г0(Лх).
Далее, в силу (8),
l|2'V(2-', 2-i>gl. Al. лЭ|1,р.«;Цв1!,„.(л;) + ||Яу||,р.(Л;)
(10>
оо

Поэтому справедливо представление f = X %~}Qgj в Ao + Ai.

/ = — ОО

Теорема 1.7(b) дает /е(Ло, Л1)е, р' и

(Ло, ^4i)o, р (^о» Ai)otp'.	(11)

Из (4) и (11) вытекает утверждение теоремы.

Замечание 2.* Теорема для р<оо получена в работах
Лионса [6] и Лионса и Петре [2]. Приведенное доказательство по
существу то же, что и у Лионса и Петре [2]. Отметим, далее,
статьи Шерера [1] и Дмитриева [3]. Теоремы двойственности уста-
новлены и для более общих интерполяционных пространств.

Замечание 3. Мы уже отмечали несколько раз (см., напри-
мер, замечание 1.3.3/2), что определение (Ло, Л^е, q можно рас-
пространить на 0<?<1. При этом получаются квазибанаховы
пространства. Если {Ло, ЛД — интерполяционная пара и ЛорЛ!
плотно в Ло и в Лх, то, как показал Петре [33],

(Ло, Л^е, q" (Ло, Лх)е, 1 = (Ло, Л[)е, ©о 0<^^1.

1.11.3.	Теория двойственности для комплексного метода

В то время как теорией двойственности для вещественного
метода мы в дальнейшем воспользуемся несколько раз, теория
двойственности для комплексного метода нам совсем не понадо-
бится (если не считать некоторых небольших приложений). Однако
ради полноты изложения мы докажем одну простую лемму и сфор-
мулируем без доказательства одну важную теорему. Интерпрета-
ция сопряженных пространств та же, что и в предыдущем пункте.
Это имеет смысл, так как по теореме 1.9.3 (с) Ло П Лх плотно и
В [Ло, >k]0.

Лемма. Если, {Ло, Аг} — интерполяционная пара и ЛОПЛХ
плотно в Ло и в Лх, то

[Л;, ЛПес[Л0, Лхй, 0<9<1.	(1)

Доказательство. Обозначим временно через О(Л0, Лх) линей-
ную оболочку функций e6z‘+Kza, б > О, % вещественно, а й Ап П Лх.
В качестве простого следствия теоремы 1.9.1 (Ь) выводим, что
для а е Ло П Лх

J л Mo, А,]е =	inf ||/| f<o).	(2)

f^G (Ло, Л i)
Пусть теперь а е Ао Q Аг, a'EA^Ai и <а, а' > — соответст-
вующий билинейный функционал. Тогда по теореме о трех пря-
мых имеем для f ^G (Ло, A J и f' (Ло, А9 с f (8) = а и /' (8) = а’\

| <а, а'> |(sup | {f (it), f' (it)) |у-е(sup | (f (1 + it), f (1 + it))|y
^^\\f(it)^AJf(it)lA,p

x (sup 11/(1+«О||Л1||/'(1+«)Ц0
^^F{Aa, At,O)^f ^F(a'o, Л,'О).

В силу (2) переход к нижней грани дает

| (а, а ) | г=£||а||[Л(ь 4i]Ja 1![Л,', д(]0-

Следовательно, при фиксированном а' можно продолжить (а, а’)
по непрерывности на [Ло, Л^д. Тогда

4,Jg ''W.^lg'

Так как А'о П А[ плотно в [Ло, Л[]д, то получаем желаемое утвер-
ждение.	*

Теорема. Пусть {Ло, Аг} — интерполяционная пара и А0 П Лх
плотно в Ао и в Аг. Если одно из двух пространств Ао или А!
рефлексивно, то

[л0, Лхкчл;, л;]9, o<e<i.	(З)

Эта теорема следует из результатов, содержащихся в статье
Кальдерона [4]. За доказательствами отсылаем читателя к этой
статье.

Замечание. Из равенства (3) и теоремы 1.11.2 вытекает
следующее простое следствие. Пусть Ло и Лт — рефлексивные бана-
ховы пространства, причем ЛоГ^ плотно в Ло и в Alt а Л$(]Л[
плотно в Ао и в А[. Тогда (Ло, Л^д, р и [Ло, AJg, О<0<1,
1<р<оо, также являются рефлексивными банаховыми прост-
ранствами.

1.12.	ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

ДЛЯ КВАЗИЛИНЕАРИЗУЕМЫХ

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПАР

Понятие квазилинеаризуемой интерполяционной пары было
введено в определении 1.8.4. В этом параграфе мы установим
несколько простых интерполяционных свойств таких пар.
1.12.1.	Одна общая интерполяционная теорема

Теорема. Пусть Ао и Л/*, /= 1, ..., п~банаховы прост-
ранства, такие, что Л/1 cz Ао при /=1, ...» п. Предположим,
что существуют такие операторы (t)^L(A^ Ло) и

еА(Л0, Л17)), /=1, ..., п, 0</<оо, что

V{>at) + V^{t) = E(eA0),	(1)

(0 У^ (т) = vr (т) У^> (0, о < t, т < оо (в До), (2)

|| Уо7)(Оа[|Ло^с|'а1'л(, при а^А0,

|| УУ)(0а||Ло^с^а !л(/) пРи

II Vin (О «IIл(/>	сН || а |1 при а<=Д0, ]

1	(4)

II V17’ (О «IIл(4) =sSс|1 а |1 Л(А) при а <= А,, j

1^/, k^n, причем с не зависит ни от j, k и t, 0<7<оо,
/	П	\

ни от а. Тогда\Ло, Q Л^Ч — квазилинеаризуемая интерполяци-

I	/ = 1	J

онная пара, а

МЬПИЧ УоЮ = £-У1(0	(5)

/=1

— соответствующие ей в смысле определения 1.8.4 операторы.
Далее,

/	П	\	п

д0, П дН = п (д0, <)0, я	(6)

\	/=1	/е, я i=i

для 0 < 6 < 1 и 1^^^ оо.
п

Доказательство. Шаг 1. Полагая At = Q Л(17), имеем при а е Ло

1'^1(0«1д1 = Д | (ОП (0°| Аф

И При AG Лх

Vi (0«1'д,

Далее,

Vo (0 = S (Е -	(0) У?’ (0... У}'"1’ (0

/=1

= 5 уУ>(0^?)(0 --^Г',(0.	(7)

/=1
Отсюда

I1 Уо (Z)a|Uo^c||aU при аеЛ,; [У0(/)а|1л,<с/||а|1Л1 при аеЛх.

Значит, согласно определению 1.8.4, {Ло, Лх}—квазилинеаризу-
емая интерполяционная пара.

Шаг 2. Ясно, что при й е Ло

2 K(t, а; Ло, A^^cKit, а-, Ло, Лх).
/=1

Используя (7) и лемму 1.8.4, можно получить противоположное
неравенство:

K(t, а-, Ло, Л1)<|Уо(0аи+ПУ1(0а|л1

с Д [IIУ Р (0 a U +11| У Р (0 а |1лр]

<,с' ^Kit, а\ Ло, Лр).

/=1

Равенство (6) вытекает из этих двух неравенств.

Замечание. Предположения теоремы означают, что {Л0, Лр},
/=1, .... п, —также квазилинеаризуемые интерполяционные пары.
Из доказательства видно, что достаточно было бы потребовать
выполнения условия (2) лишь при t = x. Сделанное более сильное
предположение понадобится нам в следующем пункте.

1.12.2. Обобщение интерполяционной теоремы 1.12.1

Для дальнейшего будет полезно обобщить равенство (1.12.1/6).

Лемма. Пусть Ло и Ао’ — те же банаховы пространства,
a УР(0 и УР (/)— те же операторы, что и в теореме 1.12.1;
/ = 1, ..., п. Предположим, что выполнены условия (1.12.1/1)—
(1.12.1/4). Пусть, далее, 0<0;-< 1 и 1/= 1, ..., п.
Тогда существуют операторы Wo} (0 и W\l} (0 с теми же свойст-
вами (1.12.1/1)—(1.12.1/4) относительно пространств Ао и (Ло,
Лр)9у, что и операторы Ур (/) и Ур (/) относительно прост-
ранств Л0 и Лр.

Доказательство. Для ае (Ло, Лр)8/, qf, в силу теоремы 1.3.3(c),
||yp(/)aUo^^/||a«Uo(
а для а^А0, в силу теоремы 1.3.3(g),

< И(0<>и	У/’ (')of ‘'I

^c7-e/||a|U0.

£

Нетрудно усмотреть, что операторы (/) = у^’ (/’/) и IFp (/)==
£

= ур (t6i) обладают требуемыми свойствами.

Теорема. Пусть Ао и А{ — те же банаховы пространства,
a V{on (t) и (t) — те же операторы, что и в теореме 1.12.1;
/=1, ..., п. Предположим, что выполнены условия (1.12.1/1)—
(1.12.1/4). Пусть, далее, 0<9< 1, 0<9у<1, l^^^oo, 1
й^^-^оо (/=1, ..., п). Тогда

Ио» П Ио»	<7,к ч— П Ио» ?,	(1)

/=1 /=1

(^о> Q [4.	= (3 (^о,-^/Ов.-в» ?’	(2)

\	/=1	>Ь,д /=1

Доказательство. Равенство (1) вытекает из последней леммы
равенства (1.12.1/6) и теоремы 1.10.2; (2) следует из (1) и тео-
ремы 1.10.3/1.

Замечание. Теорема 1.10.2 и равенство (1) показывают, что

(^0> Q Ej] = Q Uo> ^Об/О» д'	(3)

\ / = 1 /0,? /=1

если

£yej(9y, Ао,	Ло, Л<л).	(4)

Следовательно, ввиду теоремы 1.10.3/1, равенство (2) является
частным случаем равенства (3).

1.13.	ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ И
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Этот параграф играет фундаментальную роль для последующих
приложений. Идея использования полугрупп операторов для
определения интерполяционных пространств принадлежит Лионсу
[2, 4, 6]. Обобщению этих результатов и их систематическому
изложению посвящена работа Лионса и Петре [2]. Относительно
случая нескольких коммутирующих полугрупп см. Гривар [4].
Отметим еще статьи Петре [5, 8] и книгу Бутцера и Беренса [1],
где дано систематическое изложение этих вопросов в рамках
К-метода и J-метода.
1J3.1. Полугруппы операторов

Мы предполагаем, что читатель знаком с теорией сильно непре-
рывных полугрупп линейных операторов в банаховых простран-
ствах. Обзорное изложение этой теории имеется у Хилле и Фил-
липса [1], Иосиды [1], Данфорда и Шварца [1], Бутцера и Беренса
[1] и Морена [2]. В этом пункте мы напомним без доказательства
важнейшие определения и результаты. Будем следовать Морену [2]

Определение 1. Пусть А—банахово пространство. Одно
параметрическое семейство {G(/)}0</<oo операторов из L(A, Л)
называется сильно непрерывной полугруппой (опера-
торов), если

(а)	G(^)G(/2) = G(^2), 0</1? /2<оо, G(0) = £.

(6)	Для всех а А и всех t е [0, оо) выполняется соотношенш
limG(r)a = G(O а. (При t = 0 берется правосторонний предел.)
T-+t

Лемма. Пусть {G (^)}о^/<оо — сильно непрерывная полугруппа
Тогда существуют два числа М и 0,	0, — оо < 0 <; оо, такие

что

||G (0 ||Ме^, 0^/< оо.	(Г

Если {G (О}о</ <оо — сильно непрерывная полугруппа, то таковое
же будет и {exZG (0}о^/<оо, —оо<х<оо, причем

!^zG(/)l!^Af^ + 5<)z.	(2^

Для краткости будем писать просто «полугруппа» или «полугрупп
операторов» вместо «сильно непрерывная полугруппа операторов»
Это не вызовет недоразумений, так как другие полугруппы в этой
книге не встречаются.

Определение 2. Положим

D(A) = la | а е А, В Нт — — у"67},
1	цо t )

Ла = lim G для а е D (А).

цо 1

Оператор А называется инфинитезимальным (производя-
щим) оператором полугруппы {О(0}о^/<оо.

Теорема 1. Пусть {G (t) }0 < t < оо — полугруппа, для которой
справедлива оценка (1).

(а)	Пусть a<=D(A.). Тогда G (t) а (= D (Л.). Существует произ
водная [G (t) a], Q<Zt<Zoo, и

^[G(t)a] = AG(t)a = G(t)Aa.	(3)
(Ь)	Интервал ((J, оо) принадлежит резольвентному множеству
оператора А, и

(А-ХЕ)-1а=- \euG(t)adt, Х>₽, а<=А.	(4)

О

Теорема 2 (Хилле, Иосида). Оператор А является инфини-
тезимальным оператором полугруппы {G (/) }0 t < оо со свойством
(1) тогда и только тогда, когда:

(а)	А представляет собой замкнутый оператор с плотной
областью определения 0(A) и

(b)	(Р, оо) принадлежит резольвентному множеству оператора
А и

|;(А~Х£) п (Х-Р)~л при п = 1, 2,..., Х>р. (5)

Легко видеть, что в случае М = 1 оценка (5) эквивалентна оценке
|1(А-Щ iii^(X-P)-1.	(6)

Если А — инфинитезимальный оператор полугруппы {G(/)}0^/<оо,
то, как непосредственно проверяется, A-j-xE есть инфинитези-
мальный оператор полугруппы {eHt G (0Ь</<оо-

1.13.2. Пространства (Л, D(A'”))e, р [Часть Г]

В этом пункте дается первое, предварительное описание интер-
поляционных пространств (Л, D(Am))0,p, подготавливающее даль-
нейшие, более общие рассмотрения. Через А везде обозначается
инфинитезимальный оператор в смысле определения 1.13.1/2.

Если {G (О}о^/< оо — сильно непрерывная полугруппа с инфини-
тезимальным оператором А, то область определения D (Ат) его т-й
степени обычным образом наделяется нормой) и l‘D (лт) «= J и |
-|-|IAmtz||, т= 1, 2,.... Если в (1.13.1/1) |3<0, то |1 Л"1 w || —экви-
валентная норма. Операторы Лт замкнуты. Для комплексных
чисел X

||и|1 + 1!(Л — КЕ)ти\\ и У || (Л —
/ = о

— эквивалентные нормы в пространстве D(Am). Это вытекает из
свойств инфинитезимального оператора, описанных в теореме
1.13.1/2.

Пусть Х[а, оо) (0 обозначает характеристическую функцию (инди-
катор) интервала [а, оо). Положим для —оо</<оо

Л /т\

go(O= 2 „ ННЬ ч(0.

ц,=0 \М7	[ т' )

g/(O = $g/-i(s)tfs> /=1, 2,	/п-1.

О
Далее, для данного банахова пространства А и данного числа 6,
0<6г^оо, введем обозначения

/ 6	\д_

1К*((о, 6), Л)= J МО 1рат]Р в слУчае	и

'О	/

1Мд*«0 в) Л)= SUP 1>(011л в случае р = оо.

00 Ц ’ о/,	/е(0, б)

Обозначения	MIL* имеют тот же смысл, что и в пп. 1.5.1

и 1.6.1 соответственно. Если Л — комплексная плоскость, то мы
пишем	6» вместо Ml* «о, в), лу

Теорема. Пусть {G (0}о</<со — сильно непрерывная полу-
группа, т — натуральное число и

00

V (О а = Д J 8m-i	[5 - - G (8)Г]а ds, 0</<со, (1)

где

ОО

= 5 Sm~l (s) ds #= 0.
о

(2)

(а)	Тогда {Л, D (Лт)} — квазилинеаризуемая интерполяционная
пара. Отвечающие ей операторы V0(t) и Vi(O (см. определе-
ние 1.8.4) задаются для 0<6<оо формулами

V! (0={

V (/) при 0 < t «С 6,
О при 8 < t < оо,

V0(t)=E-V1(t).

Для 0<6< 1, 1р-Ссо и 0 < 6 < оо

(Л, D (Лт))9, р = {а | а €= А, || a |i(\ D (дОТ)) ₽

= II а || + II (G (0 - £)т a ||L* ((0> ’6)' А) < оо}; (За)

норма |1 а |1(л D (лт))0 эквивалентна норме пространства
(A, D(Am))0iP. Если в (1.13.1/1) р^О, то в (За) допускается
6 = оо.

(Ь)	Если дополнительно р<0 в (1.13.1/1), то операторы

(/) = v (0, vo (0 - Е - (0, о < t < оо,
также удовлетворяют определению 1.8.4. Далее, дляО<б<1,
l^p^oo и 0<б^оо

(Л, D (Л-))9. р = {а I а е А, || а ||(*£ D р

«= I (G (0 - £)т a ||L* ((0>'б)> Л) < со}; (ЗЬ)
норма | a |ljf* D (лт))0 также эквивалентна норме пространства
(A.D^.

Доказательство. Шаг 1. У нао
т	/ \

ц = 0	1">	/

/ = 0.....tn — 1.

Ясно, что gy(/) = O при /<0. Покажем, что gj(t) = O при /^1.
Для / = 0 это утверждение очевидно. По индукции получаем, что
для /	1 и / = 1, ..., т— 1

т	! \

Но это выражение равно нулю, что следует из рассмотрения про-
изводных функции

х т //и\

Нт) = (т- !)- = (—!)- U

ц = 0 хг1/

в точке т=1. Так как (1)у=0, то

оо	1

5 gm-1 (0 dt = $ gm-1 (О dt = C 1 5^= 0.

0	0

Тем самым установлено (2).

Шаг 2. Покажем, что существует число с>0, такое, что для
всех а е А

"L IIГ / П 1т |

ЛЛ«У(0а1<с У	а, 0^/<оо.	(4)

н=1
Имеем
т	оо

V (0 а = 2 J Sm-1 {-тЛ G (И a ds,
ц=1	0	'	'

откуда

G(8)-£ v ... V си F „	/ s \G(ns + e)-G(ns)	.

-AZ— V (t)a= 2	\ Sm-1 -тщ)--------------ads

0

(8\
f S \
__	G (Sfi) a ds,

2л tl,m J	?

n-l 0
При е 10 получаем V (/) а е D (Л) и

G (sp) a ds.

Повторяя выкладки, находим, что V (t) а е D (А"1-1) и

т c(tn — 1) с?

Л-IJZ (0 а = 2 "V" J С-Ш G м a ds.
ц=1	0	'	'

Так как (t) = g0 (0, отсюда следует, что

£(^~-- Л"1-1 V (0 а
8	4 7

т

Предельный переход при ejO дает V (/) е D (Лт) и

tn т __ j т	.	/	] \

ц, — 1 v = 0	V 7

откуда и следует (4).

Шаг 3. При 0	^6 <со имеем

у о (О а =	J Ят-1 / ~г \ [£ - G (S)p a ds.	(5)

0

В случае (Ь) теоремы равенство (5) выполняется для всех /,
0</<оо, вследствие того, что Р<0 в (1.13.1/1). Теперь легко
удостовериться в наличии у операторов Vo (/) и Vi (/) нужных
свойств (см. определение 1.8.4). Случаи (а) и (Ь) рассматриваются
одновременно. Справедливы оценки

Il Vo (t)a I с||а||	при а^А,

II V1 (0 I’d (Л-) = I’ я II + И V1 (П	J с J а (л^}

при a^D (Лт),

II Vi (0^ ilD(Am) ^^"1И|1 при а<=А,
последняя из которых вытекает из (4). При этом следует учиты-
вать, что для р<0 норма ||Л'п(а)|1 эквивалентна норме простран-
ства £>(Лт). Пусть aeD(Am). Положив временно

ОО

lF(a)a=| ^gm-J^)G(x)adx,
о

получаем так же, как на шаге 2, что

W (о) Ата = AmW (о)« = 4г kW “	«•

V }	v 7 от [_ \т / J

Следовательно, при 0<о^р<оо

<гт ] [G (о) — Е}т а || ср |i Ата ||,

a e O (Лт).

(6)

Из этих оценок и (5) вытекает нужное нам свойство

ОО

gm-i

lAWds^c'tlalp^my

Таким образом, {Д, £>(Ат)} —квазилинеаризуемая интерполяцион-
ная пара.

Шаг 4. Ограничимся случаем (а). Читателю будет ясно, как
модифицировать рассуждения для случая (Ь). В силу (4) и (5),
1а1(л, d(aot))0(	| §•„_,(«) | |[e — G (sZm)]	((0, б))

(^XT«L*«0.6). A> + ^l'«il-	(7)

(В случае (b) 6 = со и член с || а || может быть опущен.) Первый
член можно оценить через

ill Г / 1\1"» II
c'm-0|£-G^HJ aL
О L	"Ьр((0. 6), А)

с" t~Q [f - G	al, f smQ ds.

11 L V /J "l* ((0. 6), A) J
£
Подставляя эту оценку в (7) и производя замену x = tm, получаем
Iа »(л. D (лт))9, р < с II Iе ~G (01m a |L* ((0> б1/т)1 л) + СМ (8)
(В случае (Ь) в слагаемом с(а|| нет необходимости.)

Шаг 5. Снова ограничимся случаем (а). Пусть а е (Л, D (Лт))9 р.
Тогда, в силу (6), для а = ай-\-а1, а0<=А, a1^.D{Am) и 0</<S

/ II

£ —G^m/J а II с || а0 Щ-1

с (ll ао 1 + а1 G
Переходя к нижней грани, получаем, что

|[е-a; A, D (Ат))

И

||^[£-0(ОГа||Л;((о61П Л)

~ с | / °[е — G (/ш)] и |L* ((0> б), А) с |( а |1(д D (лт))0> р*

Из (8) и (9) вытекает (За).

Шаг 6. Для р<0 (случай (Ь)) 6 = оо — допустимое значение
в (8) и (9) и слагаемое с||а|| в (8) может быть опущено. Таким
образом, мы получаем утверждение (Ь). Кроме того, 6 = оо в (За)
допустимо также для случая |3 = 0.

Замечание. * Данное выше доказательство по существу
принадлежит Петре [5]. Некоторая модификация этого доказа-
тельства, также основанная на идее Петре, описана Бутцером и
Беренсом [1, § 3.4.1] и Бутцером и Шерером [2, лемма 5]. В этих
вариантах доказательства формулы (3) получаются быстрее, но
соответствующее выражение для Кх(0 оказывается более слож-
ным. Мы избрали здесь вышеприведенное доказательство, потому
что позднее нам понадобится указанный явный вид (/).

1.13.3. Пространства Кт

Определение. Пусть А — банахово пространство и
{бу (/)}o^z< оо, /=1, •••» п, — семейство, состоящее из п комму-
тирующих сильно непрерывных полугрупп'.

Gj (t) Gk(y) Gj (/), O^t, t<oo, 1^/, k^n, (1)
с инфинитезимальными операторами Ay. Для всякого натураль-
ного числа т по определению,

Кт = П Р(Л^Л'2... Л^),
?!+.••+/л=т

О^+...+l^m

(2)

(3)

Изложение теории интерполяции для пространств Кт и опре-
деление интерполяционных пространств (A, Km)0iP —одна из глав-
ных целей этой первой главы. Результаты последующих пунктов
служат основой для многочисленных приложений в дальнейших
главах. Мы будем следовать по существу изложению, данному
в статье Трибеля [22 I].
Пусть со (/) ^ 0 — бесконечно дифференцируемая функция на
/	X	Г 1	1 1

(—оо, оо) с носителем в у, 1 и с

f a(f)dt=l.
— оо

Для 0 < h	1 положим шд (/) =»у Положим, далее,

Ph,ja = \ (Hh^Gj^adt, / = 1, п,	(4)

о
и
п

Sh = п	(5)

/=i

Теорема, (а) К.т —банахово пространство. Множество

М = {а|Э&еА и 3/i>0, такие, что a — Shb} (6)
плотно в Кт.

Если а еКт и (г1г гп) — некоторая перестановка чисел
(1...п), то	... и

Л^1... Л^па = л[1... А*" а при О^ДН-.., + /„^т.	(7)

1	п

(b)	Nez Q кт.
т — \

(с)	Для произвольного конечного набора R мультииндексов
множество N плотно в П с(л!‘---лй-

Л....«•«

Доказательство. Шаг 1. Тот факт, что Кт — банахово прост-
ранство, непосредственно следует из замкнутости операторов
Л^, ..., Лп.

Шаг 2. Пусть аеА. Утверждение (Ь) следует из формулы
Gj(t)-E

A/Sha — lim--т—’

Go
ОО

G° £

= — f ©л (т) Gy (т) П Ph, *а du	(8)

о



ц ее итераций.
Шаг 3. Для a^D (Лб ...

I л?  • л;-(° -s.») н <£ -s.)л!'   лм

S |(£-р» |)л?  Л>|->0 при Л|0.

I = 1

Отсюда вытекает утверждение (с), равно как и плотность N в Кт
Шаг 4. Повторное применение формулы (8) дает

Л1‘---ЛХа

оо оо

=(- 1)л +' '+Ч • • • $ Ч‘1) 01) • • • Ч/л) (т„)
о о

х П (т*)а dTi • • • dxn-	(9)

fe= i

Отсюда мы заключаем, что равенство (7) справедливо для эле-
ментов из N. Теперь предельный переход из шага 3 показывает,
что (7) выполняется также и для а е Кт.

Замечание. Согласно (7), пространства Кт не зависят от
порядка полугрупп G1(i), Gn(t) (и, значит, от порядка инфи-
нитезимальных операторов Ль ...» Лп).

1.13.4.	Свойства пространств Кт

Цель этого пункта — показать что пространства К.т и
п

Q D (А"1) «достаточно близки» друг к другу.
= 1

Для банахова пространства А и 0<6^оо положим

<Ъ={У\У = (У1> УпУ, 0<z/7<S}
I

IVL* (Q6. Л) = A II V 177^ при 1 -c p <oo,
\<?6	/

link* <ол a\= suP IWHx при P = °°-
^oo(ve.

При n = l мы имеем Q6 = (0, 6), так что введенные обозначения
согласуются с обозначениями п. 1.13.2.

Лемма. Пусть {б// = 1,	п,— набор из п

коммутирующих сильно непрерывных полугрупп, х — вещественное
число, k и I — целые числа, 0<х</г^/> и l^p^oo.
(а)	Тогда для 0 < 6 < оо

Z hr П(С/(У/)-£Л«

4~ • • • 4- kn = k ||	/' = 1

Я)

п

с ^ || t~x (Gf (t) - Е)‘ a Ь ((0 6) Л) + с II а ||

/ = 1 р

(1)

а

II	п	II

р-и П(°/(0-£)М

|	/= 1	1Г ((О, б), Л)

п

^c%lt-*(G,(t)-EYay , л)4-с|'а||,	(2)

/=1	р ’

где константа с не зависит от а.

(Ь)	Пусть дополнительно fJ^O в (1.13.1/1) для каждой из п
полугрупп {G; (/)}о^/<оо. Тогда 6==оо также является допусти-
мым значением в (1) и (2) и слагаемое с|'а.| может быть опущено

Доказательство. Ограничимся доказательством неравенства (1),
поскольку неравенство (2) доказывается совершенно аналогично.
Для всякого натурального числа N существует многочлен Р (р)
степени Л/— 1, такой, что для всех вещественных чисел р спра-
ведливо тождество

(р - 1)* = 2-Л/ (р2 - 1)* + (р - 1)N +1 Р (р).

Отсюда следует, что

п	п

П (G/ (У;) ~ E)ki = 2-* П (G; (2^/) - £)*'

/=1	/=1

п п

+ Е П (Gm ш - E)km {Gt (У/) - £) Р/ (G, (Уг)),	(3)

/ — 1 т = 1

где Pj (•) — соответствующие многочлены. Имеем

2 иы-П

*14-...4-*„=*	/=1

' 2-‘	2	11 у I- П <2»> - £>''а

4-  •  4~	/ — 1

+с 2	2 11Я-"П

+ • +kn = k / ==1	W = 1

X (G/ (I//) — E) a A).
Произведем в первом члене правой части замену 2yj = Zj,
= 1,	/г. Мы получим некоторый интеграл (соответственно

верхнюю грань) по Q26- Разобьем интеграл (соответственно верх-
нюю грань) на две части: по Q& и по ф2б\Фб- Вторая часть может
быть оценена через с | а\\, а первая равна левой части последнего
неравенства, помноженной на	Если эта левая часть

конечна, то ее можно оценить суммой c||aj| и второго члена в пра-
вой части. В случае 6 = оо член может быть опущен. Если
же левая часть бесконечна, то бесконечен также и второй член
в правой части. Повторение этой процедуры приводит к нера-
венству

У, 11Ы_>Т1	А)

*1+... + А„ = А Z=1

С 2 il । У |-Х (°i	- ЕУ а I* (Q6, А) + С II а II-

В случае 6 = оо член с||а|| можно опустить. Оценка (1) для р<оо
вытекает из этого неравенства и формулы

о

f dy2 ... dyn _-1-ир

J | у |п+ир ~ 4/1

(4)

п

Для р = оо оценка (1) получается аналогичным образом.

Теорема 1. Пусть {Gj (0}о^/<оо, / = Ь .п —набор из п
коммутирующих сильно непрерывных полугрупп и Aj, j =1,..., /г,—
соответствующие инфинитезимальные операторы. Тогда для любых
натуральных чисел т и п, удовлетворяющих условию

А' д^Д^^д^Н-4' ДОИ?--

(5)

Доказательство. Шаг 1. Пусть йеО(Л"). Тогда, согласно
(1.13.2/6), при 0</<р<оо имеем

11(0/ (О-Е‘) а||	| (Gj(t)-Er

tm ~~~ || tm

a o' || A/1 a ||.

(6)

В силу теоремы 1.13.2 выполнены условия теоремы 1.12.1 для
А0 = А и Ai/)=Z)(Ay). Поэтому из теоремы 1.13.2 и (6) получаем,
что

п

(7)

Этим установлено последнее из вложений (5).

Шаг 2. Для доказательства первого из вложений (5) предпо-
ложим сначала, что a^N, где N — множество, определенное фор-
мулой (1.13.3/6). Как и раньше, получаем с учетом (1.13.3/9),
что для a = Shb

lim	ГТ (Gk (0 — Ер а

по	ЛЛ

= limf	(Gk(f)-Ep\ coA (tJ ... соЛ (тл)

no	4=1	Qm

n

x (T0b dxl • • • dx* = (— 1)/l+ "1n $ ЧЛ) <T1) • • • ®Л n) (T«)
s = l	Qoo

n

X П (^) b drl • • •	= Л1‘ • • • a-

s= 1

Отсюда следует, что для А+...+/«=я»

п,	ОО

4=1	г=1

(2-г/)-»«

X П (°* (2"г0 - Ера- (2-'+Ч)-т П (Gk (2-'+Ч) - Ер а
k=l	k=\

Используя (3) с у1 = ... = г/л=2-г/ и интегрируя по	1],

находим, что

i|AA...A^ai|^c||a||

со п \ п

+с 22rm 2 J П(2-r/) - E^k м -£)а 1

Г = 1	s = l 1/2 Л = 1

П 1	-П_	II

< с ,1 а Нс' J t-m П [ОНО ~ Ер (О, (0 - Е) а И
s=10	4=1

Оценка (2) с р=1 и возможность применения теорем 1.12.1 и
1.13.2, отмеченная на шаге 1, дают оценку

||ЛА... Л^а||<с||а|Ь	„	\	.	(8)

А о(л/)1
\ / = 1 /т, 1
п

Согласно теореме 1.13.3(c), множество N плотно в Л D (У).
/=1

(п	\

Д, Q D • Поэтому ле-
/=1	/i’

вое из вложений (5) является следствием оценки (8).

Замечание 1. Техника оценок, примененная в предыдущей
лемме и последней теореме, основана на формуле (3). Эта фор-
мула представляет собой обобщение одной формулы, используемой
в теории разностных уравнений; см., например, работы Голов-
кина [1, 5], в которых систематически применяются тождества
такого типа.

Теорема 2. Пусть 0<6< 1 и l^p^oo. В предположе-
ниях теоремы 1

/	п	\

(А, Кт)е,р = [А, П D (А?)	.	(9)

\	z=i	/е.р

Доказательство. Это непосредственно вытекает из теорем 1 и
1.10.2.

Замечание 2. Две последние теоремы показывают, что про-
п

странства Кт и Q D (А™) лишь «ненамного» отличаются одно от
/=1

другого. Возникает вопрос, не совпадают ли они, т. е. не выпол-
няется ли (с точностью до эквивалентности норм) равенство

п

Кт = П D (Azm).	(10)

/=1

Вообще говоря, это не так. Позднее мы увидим, однако, что для
многих функциональных пространств равенство (10) справедливо;
см., например, лемму 2.5.1. Сейчас мы приведем два контрпри-
мера к (10).

1.	Пусть С (Т?2) — пополнение Cf (/?2) по норме

1/1'с = sup |/(х)|

(С™ (Т?2) обозначает множество бесконечно дифференцируемых
функций с компактным носителем, определенных на двумерном
евклидовом пространстве /?2). Рассмотрим в С (Т?2) две полугруппы
операторов

=	+ Ч) и G2(/)/(%)=/(%!, х2 + 0-
В этом случае А)/ =

дх^

, /=1, 2, и D (Л/) представляет собой

пополнение (Rs) по норме ||Дс + 11 Л}/||с. Буман [1] показал,
что не существует никакой константы о>0, с которой для всех

(Т?2) выполнялось бы неравенство



Тем самым это — контрпример к (10). См. также де Лю и
Миркил [1] и Бесов [8].

2.	Как показал Орнстейн [I], если в приведенном выше при-
мере заменить С (Т?2) на 1^(1^), то не существует никакой кон-
станты О 0, для которой было бы верно неравенство (11) с L,
вместо С. (В силу леммы 2.5.1 и теоремы 2.3.3, неравенство (11)
с Lp, 1 < р < оо, вместо С справедливо.) В статье Орнстейна
получены результаты в этом направлении и для производных
более высоких порядков.

1.	13.5. Пространства (A,	[Часть II]

В этом пункте будут продолжены рассмотрения 1.13.2. Мы
используем введенные там обозначения.

Теорема. Пусть т — натуральное число, О<0<1, lagpag
«С оо. Пусть, далее, I и k — целые числа, удовлетворяющие нера-
венствам 0^k<zs — bm, l>s — k.

(а)	Пусть {G (0}o<z<oo — сильно непрерывная полугруппа, А —
ее инфинитезимальный оператор и 0<6<оо. Тогда

(A, £> (Ат))0>р= {а|а е А; Ml ооЛ)0, р <со},	(1)

•а ft, dU“= МI+II(G (0 “ Е? а № «°'6> - л>-	(2)

Все эти нормы эквивалентны норме M(a,d (дот))0, 0.

(Ь)	Если\в (О}о==<<оо — полугруппа с 0	0 в (1.13.1/1), то 6 = оо

является допустимым значением в (1), (2).

Доказательство. Шаг 1. Пусть I — натуральное число, удов-
летворяющее условию l>s. Тогда теоремы 1.13.4/1 и 1.10.2 дают

=(A,D(b.l))L .	(3)

т’р	ГР

(Несущественно, будет ли т больше или меньше /.) Для & = 0
утверждение теоремы представляет собой следствие теоремы
1.13.2 (а).

Шаг 2, Пусть k и Z — целые числа, 0<Z?<s и / >$—•&. При
подходяще выбранном комплексном числе & оператор (Л — А£)*

4 X. Трибель
изоморфно отображает D (Л*) на А и D(A‘+k) на Z)(AZ). Интер-
поляционное свойство (теорема 1.3.3 (а)) и теорема 1.13.4/1 (в соче-
тании с теоремой 1.10.2) показывают, что (Л — ХД^является также
изоморфным отображением

(A, D(A'+*))S	= (D(A*), D(A*+z))s_a

4+Г Р	“Г1 P

на (A, £> (Az))(s_fe)/z>p. Поэтому из теоремы 1.13.2 и равенства (3)
вытекают равенства (1), (2) с Л, замененным на Л — е.Е. Но в
силу (1.13.2/6) и шага 1,

|l	(G (/) - Е)‘ (Л - KE)* a U* «о, «>, л> + II а ||

~ | (G (/) - E)lMa L* ((о, б), л> + Га |.

Тем самым мы получаем (1), (2). Ясно, что 6 = оо будет при
условии р^О допустимым значением.

1.13.6. Пространства (А, Кт)е, р

Одна из главных целей этой первой главы — определить интер-
поляционные пространства (А, К.т)ъ, р- Мы снова следуем изложе-
нию, данному в статье Трибеля [22 I].

Лемма. Пусть {Gj	/ = 1, ..., п, —набор из п ком-

мутирующих сильно непрерывных полугрупп и vft = (vi, ..., v*),
k = 1, ..., п, — набор из п линейно независимых векторов в п-мер-
ном вещественном евклидовом пространстве, |vA | = 1, vzft>0 при
1 ^k, l^n. Тогда

Hk(t)= ft Gs(y*t), k=l.........п, 0^/<оо,	(1)

s = 1

также суть п коммутирующих сильно непрерывных полугрупп.
Если и — пространства, отвечающие полугруппам Gj (t) и
Hk(t) соответственно (см. определение 1.13.3), то

Щ =	(2)

Доказательство. То что {Hb (/)}о«/<оо — коммутирующие сильно
непрерывные полугруппы, проверяется без труда.

Обозначим их инфинитезимальные операторы через Mk, k — 1,...
..., п. Пусть, далее, NOi н — определенное в (1.13.3/6) множество
N для 2га коммутирующих полугрупп {Gj (t), Hk (0}i=s/, *==«• Тео-
рема 1.13.3 (с) показывает, что Nq,h плотно в Kg и в Сле-
довательно, достаточно показать, что нормы пространств А$ и
эквивалентны на Nq,h. Пусть a^NQtH. Тогда

а= $ П (Oh(sr)Gr(sr)bds, Ь^А.

Ooo'-l

(Относительно обозначения Qm см. п. 1.13.4.) Отсюда вытекает,
что

(Hk (i) — E)a

ЦО

= lim/-x IJ Gf^tj-E П ®л («Л Gr (s,-) Ms

U° L/ = i	Jqoo^i

= lim J t-1 Пил(«г-уг 0“ П ®л(^) П Gf(s,)bds

^°Qoo *-r=l	r=l J /=1

= — $ s v*coft(Sr)rr <0ft(S/)n G/(sy)Ms.

<?«,'=!	z/r	/ = '

Используя формулу (1.13.3/8), получаем, что

/И*а= 2	k—\,...,n.	(3)

Г=1
Здесь снова Лг — инфинитезимальные операторы полугрупп
{Gr(O}o<z<оо- Так как векторы v1, ..., vn линейно независимы,
то из последней формулы следует, что

Л*а = У, k = 1........n.	(4)

r = l

Равенства (3) и (4) показывают, что нормы пространств К™ и
эквивалентны на Nq,h-

Ниже используются обозначения п. 1.13.4.

Теорема 1. Пусть {Gf (/)}o«z<oo, / = 1, ...» п, —набор из п
коммутирующих сильно непрерывных полугрупп и Кт — отвечающее
ему пространство (см. определение 1.13.3). Пусть, далее, О<0<1,
lsgp«ioo, ku I —целые числа, O^k<s = Qm и l>s — k.

(а) Для 0<6<оо

(А, Лт)в>р = {а|аеД; |«<>0<оо}, г=1, 2, 3,	(5)

где
п

й«1'£ /) = Н + s II	(G, (t) - E)lA.ka в), д» (6)

/ = 1

1<о=|а|+£ |и-(‘ЧПШ)-£Яак,0 (7)
/=1|| \s=l	/	Н(°б’Л)
U

II	/ п	У п	II

+ <,«4+2«<.Р|_1"МЩ5.Ш-Е Пл/М.  (8)
II	\s=l	/ /=1	||l*(<26, А)

Все эти нормы эквивалентны норме пространства (Д, Кт)$, р.

(Ь)- Если для каждой из п полугрупп {Gy (0}о=</<оо выполняется
оценка типа (1.13.1/1) с (3^0, то 6 = оо также является допу-
стимым значением в (6) —(8).

Доказательство. Шаг /. Теорема 1.13.2 (а) показывает, что
выполнены предположения теоремы 1.12.1 с Д0 = Д,

Поэтому для г = 1 равенство (5) и дополняющее его утверждение
(Ь) следуют из теорем 1.13.4/2 и 1.13.5.

Шаг 2. Предположим доказанным, что при 0<6<оо и 0<х</,
где / — натуральное число,

ИII +	II (G, (/) - Е)‘а Ц((0. б), Л)-

/=1

(9)

II \s=i	/ Ikp (<?§.

для всех а<=А, для которых одна из двух частей соотношения
конечна. Символ ~ означает, что обе части конечны и что пра-
вая может быть оценена через левую, помноженную на положи-
тельную константу, и наоборот, причем константы в оценках не
зависят от а. Мы докажем (9) на шагах 3 и 4. Итак, нормы (6)
и (7) эквивалентны. Имеем, далее,

(10)
k k

Чтобы получить противоположную оценку, заметим, чтоЛ/.^Лл"
при kx-{-...-\-kn^k есть непрерывное линейное отображение Л*
в А и Кт в K.m~k. Следовательно, в силу интерполяционного
свойства и теоремы 1.10.2,

|Л*1...Аппа||(А,Km-k)K>p^cla||(Л* к«)мр

^с'*а ||(л, кт)в> р^С\>а 1$ 1у,
S — k

где Л, = ^—Из рассмотрения (7) видно теперь, что

(11)

Оценки (10) и (11) показывают, что норма (8) эквивалентна норме
(7). Наконец, нетрудно проверить, что 6 = оо является допустимым
значением в (7) и (8), если Р=^0,

Шаг 3. Осталось доказать (9). Предположим, что левая часть (9)
конечна. В этом случае, ввиду неравенства

I/ п	II	|| л	||

5	П(<Ш)-£)М.02)

\s = l	||д	z1+...-Hn = *h = i	1и

{/eQe, желаемая оценка следует из леммы 1.13.4.

Шаг 4. Предположим теперь, что правая часть (9) конечна.
Нужно показать, что левая часть конечна и может быть оценена
через правую. Как установлено на шаге 1, левая часть (9) экви-
валентна норме пространства (Д, К‘)н . Из последней леммы вы-
Р р

текает, что достаточно доказать неравенство

<с|1а|1 + ср|-х(ПСЛ^)-£) а	,	(13)

11 Vs=I	7 4(<?в-л)

/ = 1...п. Пусть для определенности / = 1. Положим

ю = {р|ре7?л, |р| = 1, р = (р1(..., р„); р/>0 при /=1.и},

и пусть	£=1, ..., га, —линейно независимые векторы,

причем

|р*-(0, .... 0, 1, 0, ..., 0)|<е.	(14)

k

Если е>0 достаточно мало, то найдется число 6, 0<б = 6(е)< 1,
такое, что

6<Cfc<y.
И=1

Рассмотрим сильно непрерывные полугруппы
п	'

S=1

Ясно, что

л

ад-ПШ

*=1

Используя неравенство, аналогичное неравенству (12), получаем
по лемме 1.13.4, что

Л)

< с £ J	(L^j (/) - ЕУ a||L* ((0> в)> Л) + с || а ||.	(15)

Пусть теперь р* е <вй, где <оА обозначает (п — 1)-мерное подмно-
жество множества ю, имеющее положительную (п — 1)-мерную
меру и такое, что для всех р*е®А выполнено условие (14). Про-
интегрировав последнюю оценку по ^х.-.хсол, найдем, что

<с|а|+с5 $ Ь’к (fl	a da,

/ = 1^11	\s = l	/ |lL*((0t б), Л)

< с' I' а II + с' d|y|-z[n 6ЛУ*)-е} «I

® II 's==1	' IIL*((0, 6), Л)

с" II a il+С" L Г !И Gs (ys) - е}1 а I

I ^=1	11^(<?б.л)

где у = (У1...Уп)- Отсюда следует конечность левой части по-

следней цепочки неравенств. Тем самым неравенство (13) доказано.

Теорема 2. Пусть тг и т2 — целые числа, 0 щг <т2,
0<9<1, 1=^р=^оо. Если $ = (1 — 6)mi-pOzng, a k и I — целые
числа, удовлетворяющие условию l>s — k, то нормы |a|<J> 1}, г=1,
2, 3, из теоремы 1 эквивалентны норме пространства (К"11,
(где К° = А). Если для каждой из полугрупп справедлива оценка
типа (1.13.1/1) с 0	0, то б = оо является допустимым значением

в (6)-(8).

Доказательство. Это непосредственно следует из теорем 1.13.4/1,
1.13.4/2 и 1.10.2.

Замечание. Как уже отмечалось, мы по существу следовали
изложению, данному в работе Трибеля [22 I]. В основе наших рас-
смотрений лежало соотношение эквивалентности (9). Мурамату [2]
дал другое доказательство этого соотношения (9) (и тем самым
эквивалентности рассмотренных выше норм). Его доказательство,
однако, представляется более сложным. Оно базируется на теории
дробных степеней позитивных операторов.
1.14.	ПОЗИТИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

И ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Цель этого параграфа — обобщить некоторые результаты § 1.13.
В то же время мы подготавливаем почву для рассмотрения дроб-
ных степеней позитивных операторов в § 1.15.

1.14.1.	Позитивные операторы

Определение. Пусть А—банахово пространство и Л.—
замкнутый линейный оператор с плотной областью определения
(D (Л) с: А и со значениями также из А. Оператор Л называется
позитивным, если интервал (—оо, 0], принадлежит резоль-
вентному множеству и существует число С^О, такое, что

/<=(-оо, 0].	(1)

Замечание. Можно указать много примеров позитивных
операторов. Скажем, любой положительно-определенный самосо-
пряженный оператор в гильбертовом пространстве является пози-
тивным в смысле приведенного определения. Если Л —инфините-
зимальный оператор сильно непрерывной полугруппы {G (/)}о<««>,
для которой р<0 в (1.13.1/1), то по теореме 1.13.1/2 оператор
— Л позитивен. Обратное, однако, не верно: существуют пози-
тивные операторы, не являющиеся инфинитезимальными опера-
торами никаких полугрупп. В этом смысле настоящие рассмотре-
ния представляют собой обобщение предыдущих. Однако эти
рассмотрения — иного типа, чем в предыдущем параграфе. В част-
ности, полученные там результаты не содержатся в качестве
частного случая в приводимых ниже результатах.

Лемма. Пусть Л — позитивный оператор и т — натуральное
число. Тогда D (Лт) плотно в А и для всех а е А

li т [/ (Л + /Е)-1]'" а = а.	(2)

/—►ОО

Доказательство. Достаточно установить (2). Так как D (Л)
плотно в А и имеет место (1), можно без ограничения общности
считать, что ае D(A). Тогда

= С||(Л + /Е)-1Ла||м-0.

1.14.2. Пространства (A, D(Am))e,p

В начале п. 1.13.2 был указан ряд эквивалентных норм
в £>(ЛОТ). В частности, D(Am) может быть наделено нормой ||Лта||.

Теорема. Пусть Л — позитивный оператор, т — натуральное
число, 0 < 0 < 1, l^p^oo. Тогда {A, D (Лот)} — квазилинеаризу-
емая пара. Операторы	j

Л™

Vx (0 а = '/W~^L'i)|2OT~1} J t^-i [Л(Л4-т£)_1]2тЛ-я,а4т.
о

V 0 (/) а = а — Vi (t) а

отвечают этой паре в смысле определения 1.8.4, и

(A, D р~{а\а<= А, ||а||*

= II [Л (Л + tE)~l]m a |L, (Л) < оо}.

Норма |а||* эквивалентна норме пространства (А, П(Ат))вгР.

Доказательство. Шаг 1. Начнем с некоторой подготовки. Пусть
а е А н || а ||* < оо. Мы хотим показать, что

а = от(т+Д)2'У~1) J /m-1 [Л (Л + /£)-!]2тА~та dt	(1)

в смысле сходимости в А. Сходимость интеграла вытекает из
условия || а ||* < оо и оценки (1.14.1/1). В силу (1.14.1/2) мы по-
лучаем, что для а е А

Л (Л +/£)-1 а-> 0 при /->оо.	(2)

Далее, для произвольного натурального k имеем

A (tk [Л (Л + /f)-1]*) = kth~l [Л (Л + /Я)-*]**.	(3)

Повторно применяя два последних соотношения, находим, что

j [Л (Л + л‘т« dt

N

= lim "17 (2от~1) f /'"-1 [А (Л + А~таdt
N-*<x>	\т— 1JI J

N

= 1 im т '7(2OTw "2- ( /-m+14 (z2m"1 [л (л +1Д)-1]2'»'1) А~та dt

N-+O0 (m — ip j	at

N

= lim /”-(2/”-2). [ ^-i[A(A + /£)-1]2m~1A-mad/

iV —оэ	—2)! J

N

= lim mA t^1 [Л (A + tE)-1]”1*1 A~ma dt

N-*oo J

= lim (4 (tm [Л (Л + /Я)-1]"1) A~ma dt

V-^oo J

- lim [N (A 4- NE) ']m a = a.	(4)

2У -+oq
— 1
оо	t

Аналогичные вычисления с J, замененным на J , дают
о	о

V1 (f)a

г _ j/ —1 У1]'"/	т~1 Г !	— — VE\

= |/ т\Л + / тЕ/ ] Е+ 2] dz[A(A-H тЕ~1)\ а,

\ z=i	/

где dt — соответствующие вещественные числа.

Шаг 2. Проверим свойства операторов Vo(/) и Vi(/), требуемые
в определении 1.8.4. Все они очевидны, за исключением оценки

II Vo(0aU^c/|!afD(Am) при a&D(Am).

(5)

(Ниже с с индексами или без — некоторые положительные кон-
станты.) Пусть aeD(Am). Тогда для 0</<1

Vo (0а||л = с'

тт [Л (Л + т£)-1]2’»Л-’»а у

ОО

^С'||Л-а| J ^.^<с/цаво(дт),
/— l/m

чем оценка (5) и установлена.

Шаг 3. Пусть |а|*<оо. С помощью замены т = /_,/т убеж-
даемся, что

(0a||L*(D(Am))=^с||а||*.	(6)

Далее

°° Г I _ _1	\—112/П

V0(/)a = c7-4 om [Л \Л-f-/ таЕ) ] Л-^а^,
откуда

||	(0 a |IL* (Л) ^с' f I (г -о)” (^)-е

Х[л(л + гУ 'Гл-аЦ^

< С || [Л (Л + tE)-4”a||L* (Л) = с И*.	(7)

Следовательно, в силу (1.8.4/6),

о(лт))е, р«И1<-

(8)

Для получения противоположного неравенства воспользуемся
представлением Vx(/)а, приведенным в конце шага 1. Если ае.4,
то, как вытекает из (2), для м алых положительных значений t
| [г (л + г «в) Т а Ц с IIV, (0 aj,

где с не зависит от t при 0</=С/0. Воспользовавшись снова
заменой т = получаем, что |'а|1*<оо при ае(А, О(Лт))91Р.
Но {а|аеД, Jа||*<оо} — банахово пространство. Следовательно,
на банаховом пространстве (A, D(Am))etP имеются две сравни-
мые нормы (см. (8)). Поэтому эти нормы эквивалентны друг
другу. Доказательство завершено.

Замечание. * Гривар [4] и Комацу [2] доказали, что
норма || а ||* эквивалентна норме пространства (Д, D (Ат))о, р.

1.14.3.	Эквивалентные нормы в пространствах (A, D{Am))tli р

Теорема. Пусть Л — позитивный оператор.

(а)	Если j и т — натуральные числа и 1 sC/ <т, то

(Д, D 1 с D (Л/) <= (Д, D (А”)){/т,	(1)

(Ь)	Пусть т — натуральное число, 0 < 6 < 1, 1 С р С оо, и
пусть k и I —целые числа, Q^k<Zs = Bm, l>s — k. Тогда

(A, D (Лт))0, р = {а\а^ А, |'а||**, о

= |i [Л (Л + tE)-1]1 Afta||L* (Л) < оо}. (2)

Норма || a Utz эквивалентна норме пространства (Д, D(Am))eP.

Доказательство. Шаг 1. Пусть aeD(.'V) и	Тогда

V||[Л (Л + tE)-1]”1 а,|<с|| [Л (Л +	||<с' || А'а||.

Отсюда и из теоремы 1.14.2 вытекает правое из вложений (1).

Шаг 2. Пусть а е (Д, D (Am))i/m_ ь Используя представление
(1.14.2/1), получаем с помощью повторного применения замкну-
того оператора Л

д/а = т'^~^ J tm~W[Л (Л + tEj-^A-^a у-.	(3)

(Все появляющиеся при итерациях интегралы сходятся.) Значит

J Ala || < с || V [Л (Л + /£)-1]'”a||L* (Л) < с (а |( д, D (Лт)//т> f

Этим установлено левое из вложений (1).

Шаг 3. Утверждение (Ь) теоремы устанавливается теперь рас-
суждением, аналогичным примененному при доказательстве тео-
ремы 1.13.5, с использованием утверждения (а), теоремы' 1.14.2
и того факта, что А1 изоморфно отображает (£>(А0, D(An+^))e р
на (X, D (Лп))е, р (n = 0, 1, 2,	/ = 1, 2, ...). Последний факт

является следствием интерполяционного свойства, если учесть,
что изоморфно отображает D(A/) на А и О(ЛП+/) на О(ЛП),
п = 1, 2, ....

Замечание. Эта теорема аналогична теореме 1.13.5, а тео-
рема 1.14.2 соответствует теореме 1.13.2. Часть (а) теоремы сов-
падает для случая инфинитезимальных операторов с теоремой
1.13.4/1 при /1 = 1.

п

1.14.4. Пространства (A, f] Z)(A“-/))

в. р

Теорема 1. Пусть Ax, ..., Лп — набор из п позитивных
операторов в банаховом пространстве А с коммутирующими
резольвентами:

(Л, +	(Л* + tkE)~l = (Л* + tkE)~* (Л, 4- ttE)~\

tk<Zco, (1)

Isg/, k^n. Пусть, далее, 0<g< 1, l^p^oo. Тогда для
любых целых чисел kf, lt, удовлетворяющих условиям O^kj<zSj—
= bmj, —	/= 1, .... п,

(п	\

П »'л7'),
/=1	/6.

= {а| а е А;

п

|a|fo ';) = S |ps'-ft4A/(A7-H2M'AX*(4)<<*}-	(2)

/ = 1

Норма || a	if эквивалентна норме пространства

Доказательство. Это вытекает непосредственно из теорем 1.12.1,
1.14.2 и 1.14.3.

Замечание 1. * Теоремы такого типа были получены Гри-
варом [4], Мурамату [2] и Комацу [6, 7]. Приведенная выше
формулировка соответствует результатам Комацу. Впрочем, неко-
торые из результатов, полученных Мурамату и Комацу, являются
более общими. Мурамату, например, доказал [2], что при выше-
указанных предположениях

п

(А,	П (A, D(A^e pt

/=|

где т — натуральное число, О<0-<1, 1«Ср^оо. (Простран-
ство Кт определено формулами (1.13.3/2) и (1.13.3/3).)
Теорема 2. Пусть для операторов Лу, / = 1, ...» п, выпол-
нены предположения теоремы 1. Пусть,, далее, 0 < < 1 и

EjtsKfa, A, D (л;/)) П J (9/, A, DIA”/)),	(3)

/«1, п. Для 0<9<1 и IsCpsgioo

(a, A Ej\ ={а\а s А;

\ f=i /6. р

п

/,-)= 2	(Л/+^)-1]Ч‘/ак^<о°ь	(4)

/=1

где kf и lj —целые числа, Q^kf<zsf==b/Bm/, l^Sj — kj.

(п \

A, Q £/) .

/—1	/0. р

Доказательство. Теорема 1.14.2 показывает, что применимы
теоремы 1.12.2 и замечание 1.12.2. Поэтому требуемое утвержде-
ние вытекает из теоремы 1.

Замечание 2. Отметим следующие частные случаи теоремы 2:

Е, = (Л, D (л;/))0/. Р) и Е, = [л, D (л;/)]0/, 1 < Р) < оо.

Замечание 3. Последняя теорема и аналогичная теорема
для случая полугрупп представляют интерес в теории анизотроп-
ных функциональных пространств. Позднее мы коснемся этого
вопроса.

§ 1.14.5. Аналитические полугруппы и интерполяционные
пространства

В § 1.13 мы подробно обсудили связь между теорией интер-
поляции, с одной стороны, и теорией полугрупп —с другой.
Используя результаты предыдущих пунктов, можно получить
новые эквивалентные нормы для интерполяционных пространств,
отвечающих одному специальному классу полугрупп — так назы-
ваемым аналитическим (или голоморфным) полугруппам.

Для понимания этого пункта не требуется никаких предвари-
тельных знаний об аналитических полугруппах.

Определение. Пусть А — банахово пространствох, и пусть
{G(O}o</<оо — полугруппа в смысле определения 1.13.1/1 с ₽^0
в (1.13.1/1). Полугруппа {G(0}o</<oo называется аналитиче-
в кой, если для всех t, 0<Zt < оо, множество значений R (G (/))

1 Напомним, что рассматриваемые здесь банаховы пространства комплексные.
оператора G (t) содержится в области определения D (Л) (а следова-
ОО

твльно, также и в Q D(Aty) инфинитезимального оператора Л и
/=1

если существует положительное число С, такое, что для всех t,
0</-<оо,

j/AGWIKC.	(1)

Замечание 1. Обычно полугруппу {G (/)}«</< оо равномерно
ограниченных операторов называют аналитической, если сущест-
вуют число со, 0<a>sgy, и аналитическое продолжение G(z)
операторнозначной функции G (/) в сектор | arg z | sg со комплексной
плоскости, такие, что операторы G(z) равномерно ограничены,
lim О (z) = а для всех а е А
г-»о

| argz |< <а

и G(z1)G(z2) = G(z1-f-z2). Можно показать, что в случае, когда
Р<0 в (1.13.1/1), условия из данного выше определения необ-
ходимы и достаточны для аналитичности {G (/)}#<<<в указан-
ном смысле. Ограничение р < 0 несущественно, так как G (I) и
eytG (t) имеют подобные аналитические продолжения. Изложение
теории аналитических полугрупп можно найти у Бутцера и
Беренса [1], Красносельского, Забрейко, Пустыльника и Собо-
левского [1], Иосиды [1]. Для наших целей можно обойтись дан-
ным выше определением.

Теорема. Пусть {G(/)}«</<со — аналитическая полугруппа
в смысле вышеприведенного определения, К —ее инфинитезимальный
оператор, т — натуральное число, 0<8<1 и lsgp=goo. Тогда
{A, D (Лт)} — квазилинеаризуемая интерполяционная пара и

(А, О(Л'”))в,р = {а|аеА,

II а ||** = || tm-emhmG {/) а	Л) +а|(л < оо}. {2)

Норма ||«||** эквивалентна норме пространства (А, О(Лт))0р.
Далее, можно ограничиться интегрированием по t по интервалу
(0, 6), 6>0. Если Р<0 в (1.13.1/1), то слагаемое ||а|д в (2)
может быть опущено.

Доказательство. Шаг 1. Согласно теореме 1.13.1/2 и определе-
нию 1.14.1, — Л —позитивный оператор при 0<О. По теореме
1.14.2, {A, D(Am)} — квазилинеаризуемая интерполяционная пара.
Результаты п. 1.13.1 показывают, что это верно и для 0 = 0.

Шаг 2. Воспользуемся теоремой 1.14.2 с —Л вместо Л. Пусть
Р<0 и ||а||**<оо. В силу (1) и условия р<0, при 0<;/-<оо
И 1 sg т < оо

и |A/G(T)j=|G(T-l)A/G(l)||<o^.	(3)
Используя эти оценки, получаем, что при Х>0

tm~1A.mG (О (Л - КЕ)-т a di =

о

оо

=	(/) (Л - X£)-m a dt =...

(т— 1)! J	v 7 v 7

о

= - $° G' (/) (Л - ХЕ)-т adt = (A — ХЕ)~т а
О

и (так как Лт —замкнутый оператор)

[Л (Л	а

ОО

{ tmA2mG (t) (Л - №)~т а 4- ♦

(гп— 1)! J	х 7 '	7 t

о

Разобьем в последнем интеграле интервал (0, оо) на два: (О, 1/Х)
и [1Д, оо). Производя замену / = тД, находим, что

|1<и»[Л(Л- KE)-^a\L*{A}

II

Am (Л — \Е)~т к-т^т J xmAmG (у) а

0



(А-кЕ)~т,к-т+6т J TmA2mG^j
1

1

sgc' ( T0m|lCTm-6mAmG(CT)aL*.,.—
t)	р W т

о

оо

+ с’ f xem-mlo2m-emA2mG(a)al*...^.
е/	Р т

1

Мы воспользовались оценками || Am (Л — ХЕ)~т I1 с и || (Л — ‘кЕ)~т ||
й^с|1|"'я. Учитывая неравенство

|| CTmAmG (ст) &|| < с|G b |,

заключаем на основании теоремы 1.14.2, что

Н*^М1**-	(4)

Слагаемое ||а||л в (2) может быть опущено.

Шаг 3. Пусть Р<0 и ||а||* <оо (см. теорему 1.14.2). Приме-

ОО

няя формулу (1.14.2/1) к элементу AmG(T)aeQ D(AJ), разби-
/=1
вая интервал (0, оо) на (0, 1/т) и [1/т, оо) и производя замену
£ = р/т в обоих интегралах, получаем

Цтт-0тЛтО(т)а|^(Л)

Gm-mQ

dp

а~-
р

№

оо

тт-0т-тДт(7 J рт[Л (Л - £	(Л - £

1

^(А)

1

j рт-0тца0т[Д(Д_ О£)-1]2«> а ||£
О

со

+ С' j p-6m II o9m [Л (Л - оЕ)-Чт а ||£»(Л)	.

1

(Мы. воспользовались тем, что || rmA.mG (т) || =С с и || (у-J х
X (Л — у е} m|«gc. Последняя оценка показывает, что

||<*<с||а||*.

Вместе с (4) и теоремой 1.14.2 это дает (2) для 0<О, причем
слагаемое || а Ц может быть опущено.

Шаг 4. Пусть 0<О и х — произвольное вещественное—число.
Тогда, как следует из (1.14.3/1), можно в (2)' 3аменить Ат на
(Л4-х£)т. (Это первый случай, когда слагаемое ||а||л оказывается
нужным.) А теперь нетрудно, усмотреть, что (2) имеет место
также и для 0 = 0.	/	'

Замечание 2. * Эта теорема (равно как и приведенное дока-
зательство) принадлежит Комацу [2]. Более ранние результаты
такого типа были получены Беренсом и Бутцером [1] (для т = 1)
и Петре (не опубликовано, 1964 г.) (для 1). См. также Беренс
и Бутцер [1, § 3.5] и Бутцер и Шерер [2, п. 4].

1.15.	ДРОБНЫЕ СТЕПЕНИ ПОЗИТИВНЫХ ОПЕРАТОРОВ

И ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

В этом параграфе будут продолжены рассмотрения § 1.14.
Мы используем введенные ранее обозначения.

В спектральной теории самосопряженных операторов хорошо
известны дробные степени операторов. Многие авторы исследовали
дробные степени для конкретных операторов в банаховых прост-
ранствах- В 1959 р, Балакришнан [1,2], Красносельский и Соба-
левский [1] и Като [1] предложили определения дробных степе-
ней для достаточно широких классов операторов в банаховых
пространствах. Комацу в серии статей [1—6] дал систематичес-
кое изложение этой теории. Другой подход описан Вестфалем [1]
и Хёфелем и Вестфалем [1]. В настоящем параграфе мы частично
следуем изложению, данному Комацу [2] и Красносельским,
Забрейко, Пустыльником и Соболевским [1].

1.15.1.	Дробные степени позитивных операторов

Мы используем те же обозначения, что и в § 1.14.

Лемма. Пусть Л — позитивный оператор в банаховом прост-
ранстве А, о — положительное число, п и т —целые числа, п^
^0, 0<о<т. Тогда для комплексных чисел а, удовлетворяющих
условию — n<Rea^o — п, и а^(А, D (Aw))a/m>! интеграл

оо

Л“а = г/ гтй----------г ( р+п-1№-пadt (1)

Г(а + п)Г(т — п — a) J	v 1	' '

о й

сходится в А и не зависит от выбора пит. Оператор замы-
каем. Для данного а его замыкание не зависит от а.

Доказательство. Шаг 1. Теорема 1.14.3 и равенство (1.13.5/3)
показывают, что (А, О(Лт))о/т>1 не зависит от т. По той же
теореме интеграл (1) сходится в А. Используя (1.14.2/3) с k = m,
при помощи интегрирования по частям получаем, что

оо

Л 2/7 =----—Г ________ С 1	(f- т + п 4-	/т

Г(а + п)Г(т-п-а) J	> 1

о

X {А (Л + tE)~ 1]w Arna dt

оо

=--------____________ С /~т+/г+а/т-1ГА М 4-

Г(а + л)Г(/п+1-л-а) J 1	1	J

о

xA~nadt. (2)

Отсюда видно, что (1) не зависит от т. Пусть теперь —
< Reader — я — 1. Независимость (1) от и следует из равенства

оо

Л5“ = г <<+Jr" _,-<> S тгЬг л"" (Л +«)-"< Л
" о

©о

= г. -г	------Г ( ^п\т~п +	(3)

Г (a + n+1) Г (пг — п — a) J	4 ‘	1	\

о
р уже доказанной независимости от т,
Шаг 2. Определение Л“ показывает, что А~тА% можно про-
должить до линейного непрерывного оператора на А. Пусть
теперь

(А, D (АтУ)а,т< 1 э aj 0 в А и Л“а, -> а в А.

Тогда Л*та = 0 и а = 0. Следовательно, оператор Л? замыкаем.
Независимость его замыкания от а вытекает из неравенства

ЦЛ“«кс||а||(Л(П(лт))о/т>1	(4)

и того факта, что, согласно теореме 1.6.2, множество D (Ат)
плотно в (Л, D (Л.т))а/1П' j. (Число т можно выбрать произвольно
большим.)

Определение. Пусть А —позитивный оператор и а —ком-
плексное число. Дробная степень Аа оператора А опреде-
ляется как замыкание оператора Л“.

Замечание 1. Как уже было сказано, замыкание Л“ не
зависит от о. Чтобы оправдать определение, нужно еще показать,
что Л“ для целых а = / совпадает с обычным образом определен-
ной степенью АЛ

Будем временно обозначать через (Л-')* степень Л, построенную
обычным способом. Пусть /=1, 2......... Из (1.14.3/3) и (1) выте-

кает, что

A]m+ia = (Л7)* a, a(=D ((A2”*)#).	(б)

(В (1) нужно заменить т на 2т, где т — натуральное число, т> j,
и выбрать а = /, о = т+1 и п = т — j.). Но D ((Л2"1)*) плотно
в D(A/), равно как и в D ((А%). (Последнее утверждение легко
следует из (1.14.1/2).) Поскольку А> и (Л% (как обратный к не-
прерывному оператору (Л-')#) — замкнутые операторы, то мы заклю-
чаем, что А/ = (А7)*. Аналогично устанавливаем с помощью (1.14.2/1)
и (1), что А° = Е.

Далее, пусть т — произвольное натуральное число. Используя
равенство (1) с 2т вместо т и п = 2т, а = — т, 2т— 1 < а < 2m,
находим, что А~т — непрерывный оператор. В силу (1.14.2/1), имеем

(Л"% А-та = А~т (A™)* а = а, aeD((ASm)ij.).

Отсюда вытекает, что (A-m)1|. =A_m. Тем самым данное выше опре-
деление оправдано.

Замечание 2.* Формула (1) обобщает формулы, данные
Комацу [2, стр. 92] (п = 0 и Rea>0) и Красносельским, Забрейко,
Пустыльником и Соболевским [1, стр. 277] (с п + 1 вместо п,
Rea<0, m = n+l). Достоинство формулы (1) в том, что для
всей комплексной плоскости мы можем обойтись одной-единствен-
ной формумой. Если 0<Rea<;l, то

оо

Г(а)Г(1-а) j	ae=D(A). (6)

О

Эта формула по существу совпадает с первоначальной формулой,,
данной Балакришнаном. Для случая когда Л — инфинитезималь-
ный оператор равномерно ограниченной сильно непрерывной полу-
группы операторов, Беренс, Бутцер и Вестфаль [1] вывели формулу,
выражающую Ааа через операторы этой полугруппы.

Примеры, (а). Пусть

Ла = ра, р>0, а<=А.	(7)

Используя равенства

оо

1	_ sin ла С ta -1	_ л	/Q4

Г(а)Г(1—а) л ’ J Т+Т~ sin ла ’	'°*

о

справедливые при 0<Rea<l, получаем из (6), что

A“a = р“а.	(9)

Первая из формул (8) хорошо известна. Вторая следует из теоремы
о вычетах для аналитических функций: деформируя малый круг
с центром в —1 в дважды проходимый луч [0, оо), находим, что

ОО

2шея' (“-*> = (1 ~ егя'“) J dt.	(10)

a

Так как Л“а и р“а суть аналитические Л-значные функции, то
равенство (9) справедливо для всех комплексных чисел а и всех
аеЛ. Незначительная модификация рассуждений позволяет рас-
пространить этот результат на комплексные числа p c argp=/=n.

(b) С помощью примера (а) можно показать, что если А —
гильбертово пространство и Л — положительно-определенный само-
сопряженный оператор, то Л“ имеет то же значение, что и
в спектральной теории.

1.15.2.	Свойства дробных степеней позитивных операторов

В этом пункте мы соберем вместе важнейшие свойства дробных
степеней, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Теорема. /7усть Л — позитивный оператор.

(а)	Если а и $ —комплексные числа, т —достаточно большое
натуральное число, Rea<m и ReP<m, то

A“Apa = A“+₽a при a^D (Л2"1).	(1)
(Ь)	Если Rea<0, то Л“ — непрерывный оператор. Справедливо
равенство Л-“Ла = £.

(с)	Если ReaRe0>O, то

ЛаЛР = Л“+Р.

(2)

(d)	Если т — натуральное число и а — комплексное число с 0 <
< Rea<m, то

(A, D(Am)) Rea С D (Л“) G (А, D (Am)) Re а .
----------------------------, 1		, со
т-------------------------------------т

(3)

(е)	Если а — комплексное число с Rea> 0, то Л® изоморфно
отображает D (А“) на A, D (Aa+ti) на D (Л11) и (A, D (Am)) Кеа+ц

т ’ Р

на (A, £(Лт)) ц , г5е|л>0, 1 sgpsgoo, Rea + p.</n, т = 1, 2.

р
т

(f)	Пусть а и 0 — два комплексных числа cO<Rea<ReP<co,
и пусть l^p^oo, О<0<1. Тогда

(А,£>(Л“))0,Р = (А,£>(Л₽)) Rea .

‘Rep’6, р

(4)

Доказательство Шаг 1. Установим (1). Пусть йеО(А!я).
В силу (1.15.1/1), Лра принадлежит D (Ат) и, следовательно, обе
части (1) имеют смысл. При фиксированном р обе части (1) суть
А-значные функции, аналитические по а. При фиксированном a
A“+Pa есть аналитическая А-значная функция, Л₽а — аналитическая
D (Лт)-значная функция, а следовательно, AaA^a —также анали-
тическая А-значная функция. Поэтому достаточно доказать (1)
при 0<а, Р<у- В силу (1.15.1/6), имеем

Л“ЛРа = с J J /а_1тр_1 (Л + tE)-1 (Л + т£)-1 Л2 adtax.
о о

(б)

Используя равенство

t (Л 4- tE)~l а - т (Л + тЕ)-1 а = (t - т) Л (Л + tE)~l (Л+хЕ)-1 а

и аналитичность по t и т подынтегрального выражения в (5),
находим, что

Л“Лрй = с11т

8|0

i е 4-оо	—fe-f-oo

j (Л +/£)-1 Aa J

-Ze-j-O	—fe+O

— fe+oo	te-j-oo

+ j rp (A + t£)~1 Aa $ /°-1-77-7

Аналогично формуле (1.15.1/10) получаем при помощи теоремы
о вычетах

Л“Л₽а = с' J /а+₽-1 (Л + /Е)-1Ла dt = с"Л“+₽а.
о

Так как эта формула должна быть верной для примера 1.15.1(a),
заключаем, что с"=1.

Шаг 2. Докажем (Ь). Полагая п = тв(1.15.1/1), находим, что
|| А“а с || а || при Rea<0. Отсюда следует непрерывность Л“.
В силу (1) получаем, что

A~aA“a = a, аеД(Л2т), |Rea|</n.

Если D (Л2т) ^aj-^a еА, то Л“ау Ааа. Поскольку Л_“ — замкну-
тый оператор, последнее соотношение показывает, что Л“а при-
надлежит D (Л_“) и A-aA“a = а.

Шаг 3. Если Rea<0, то тем же способом, что и выше, мы
находим, что

A“A-aa = a, a<=D (Л-®).

Значит, 0 —элемент резольвентного множества оператора (Л-06) и
(Л-а)-1 = Л“.

Шаг 4. При Re a < О и Re 0 •< О формула (2) непосредственно
следует из (а) и (Ь). Пусть Rea>0 и Re0>O. Из (1) и (Ь)
вытекает, что если « — достаточно большое натуральное число, то

||Л₽«|| = |А-“Л“+Ра||<с | A“+₽a||, a sD (Л").

Пусть теперь йеО(А7+₽), Тогда существует последовательность
1 с & (Л") с aj а и A“+Pay A“+₽a. Наша последняя оценка
дает Apay-^Apa. Из замкнутости Л“ следует, в силу (1), что
AfaeD(Aa) и A“Apa = Aa+₽a. Обратно, пусть aeD(A?) и Л^а =
е£)(Л“). Результат шага 3 и установленные выше факты пока-
зывают, что существует элемент ЬеП(Л“+₽), такой, что А“Лра —
= А^Ь = Л“Л₽&, откуда Л“Лр (а — Ь) = 0. В силу шага 3 это
влечет за собой равенство а = Ь. Этим доказано равенство (2).

Шаг 5. Левое вложение в (3) следует из (1.15.1/1) с « = 0 и
a = Rea и теоремы 1.14.2. Для доказательства правого вложения
в (3) оценим j /Re “ [Л (Л -j- /Е)-1]т А~^а J для a<=D (А!), где / — доста-
точно большое натуральное число. Из (1.15.1/1) с п — т вытекает,
что

|| fRe “ [Л (Л + /Е)-1]"1 Л-“а ||

t	I

«£ с ZRe “ (Л + 1Е)~т $ ?-“+'*-! [Л (Л + тЕ)-1]т a dx
о	I

4- с /Rc “ [Л (Л 4- tE)~1]m J т-“+т-1 (Л 4- хЕ)~т a dx «С с' || а |.

I	о	II
С помощью предельного перехода получаем, что эта оценка выпол-
няется для всех аеА. Вместе с результатом шага 3 это дает

|| /Re “ [А (Л + /Е)-1]'" а |	с || A“a [, a €= D (Л“).

В силу теоремы 1.14.2, отсюда следует правое вложение в (3).

Шаг 6. Установим первую часть утверждения (е). В силу шага 3,
Аа — изоморфное отображение £>(А“) на А. Аналогично Л^ —изо-
морфное отображение D(A>*) на А. Возьмем jA^aJ — в качестве
нормы в D (Аи). Тогда из (2) вытекает, что Л“ — изоморфное ото-
бражение D (Л“+,л) на D (Л*1).

Шаг 7. Из (3) и теоремы о реитерации 1.10.2 следует равен-
ство (4), а из него видно, что Л“ изоморфно отображает

(Л, D (Д'”))Rea+tt на (Л, D(Am))n ,
т ’ р	т'Р

р, > 0, IsCp^co, Rea-|-p<;/n, Rea>0.

Замечание 1. Операторы А“ с a>0 и Л'7, — оо</<оо,
представляют интерес для приложений. Об операторах Л", — оо <
</<оо, вообще говоря, известно немного. С одной стороны,
есть много примеров (как ограниченных, так и неограниченных)
операторов, для которых Л'7 ограничены для всех t (таковы, напри-
мер, сомосопряженные положительно определенные операторы
в гильбертовых пространствах). С другой стороны, Комацу [1,
стр. 341—342] описал пример позитивного оператора с неограни-
ченными операторами Л‘7.

Замечание 2. Отметим один интересный результат Комацу
[2, стр. 96]. Если существует комплексное число a с Rea>0,
такое, что D (Ла) = (Л, D (Д'")) Rea при некотором подходящем
т ’р

р, 1=^р<оо, и некотором подходящем натуральном числе
т > Re а, то

Р(ДР) = (Л, D(Aft))Rep	(6)

—>р

для всех комплексных чисел 0 с Re 0 > 0 и всех натуральных
чисел &>Re0. В этом случае операторы Аи, —oo<Zt<оо,
ограничены. Этот случай, однако, не является важным для даль-
нейших приложений. В следующем пункте мы детальнее изучим
области определения операторов A“, Rea>0.

1.15.3.	Области определения дробных степеней
позитивных операторов

Теорема 1.15.2 и замечание 1.15.2/1 показывают, что о чисто
мнимых степенях позитивных операторов общего вида мало что
можно сказать. С другой стороны, как мы увидим из последую-
щих рассмотрений, знание свойств операторов Az7,—оо</<оо,
важно для нахождения областей определения D (Ла), где а — ком-
плексное число с Rea>0. Принадлежащий Комацу результат,
приведенный в замечании 1.15.2/2, недостаточен, так как соот-
ветствующие условия не выполняются во многих интересных
случаях.

Вопросом об определении D (Ла) при комплексном a, Rea>0,
и приложениями таких результатов к конкретным операторам,
в частности к дифференциальным операторам, занимался целый
ряд авторов. Укажем в этой связи работы Лионса [8], Фудзи-
вары [1—3], Сили [1—3], Ёсикавы [5] и Валека [1]. Ниже мы
опишем области определения операторов Аа, предполагая лишь
(в отличие от упомянутых авторов) локальную ограниченность
операторов Az7.

Теорема. Пусть А — позитивный оператор. Предположим,
что существуют положительные числа 8 и С, такие, что № —
ограниченный оператор при —8</<8 и |lAz71|С. Если а и 0 —
комплексные числа, удовлетворяющие условию O^Rea<;Re0<oo,
и 0 < 0 < 1, то

[D (Aa), D (AP)]0==D (Aad-0)+P0).	(1)

t Доказательство. Шаг 1. Свойства изоморфности отображений
Аа, описанные в теореме 1.15.2 (е), показывают, что без ограни-
чения общности можно считать а = 0.

Шаг 2. Для любого /, —оо</<оо, |f| можно представить
в виде \t | = 8Л^ + 6, где N = 0, 1, 2, ..., 0^6 < в. Используя
(1.15.2/1), находим, что для a^D(A2m)

|| А" а [ = |1 Л±	а || С • CN || а || се^ ।' || а	(2)

где с и у —подходящие неотрицательные числа (С^1 влечет
у^О). Отсюда вытекает, что Az/ —ограниченный оператор для
всех ?, —оо</<;оо, и справедливо неравенство

|IAz7|I^c^IN.	(3)

В силу определения D(AP), множество D(AW) плотно в О(Лр)
для каждого натурального числа m>Re0. Применяя (1.15.2/1),
получаем D (Л₽) == D (ARe$) при Re 0 > 0. Следовательно, можно
предположить без ограничения общности, что число 0 в (1) поло-
жительно.

Шаг 3. Пусть сс = О, 0>О и aeD(Aw), где т — достаточно
большое натуральное число. Из определения 1.9.2 и проведенных
выше рассмотрений следует, что при 0 < б < 1

sS с max |sup ||е<й-0>‘Л~17₽Ле₽а |д, sup ||e(I+«-0)*Л_“₽А0Ра |Uj
<с'|'Ле₽а||.
Поскольку D (Лт) плотно в D (Аер), последнее неравенство дает

D(Ae₽)c[A, О(Л₽)]е.	(4)

Шаг 4. Пусть снова а = 0, 0>О и aeD(Am), где т — доста-
точно большое натуральное число. Так как D (Лт) плотно bD (Лр),
то из теоремы 1.9.1 (Ь) вытекает, что линейная оболочка функ-
ций вида е?г2+КгЬ, где 6>0, X вещественно, b^D(Am), плотна
в F-(A, £>(Лр), г]). Здесь rj — произвольное вещественное число.
Обозначим на время «текущую» линейную комбинацию конечного
числа функций	через L(e6/z2+Vfcy). Если у — то же самое

число, что и в (3), то, согласно теоремам 1.9.2 и 1.9.3 (е), мы
имеем

|Л0ра|| -Сс inf ||L (e6iz,+K>z\^bj )||лл, л, р»
4^2+¥6,.)|г=Га

inf 1|/,(еб/г +Л/'г6/)||лЛ,р(лр), о)
Це / т Z ц) |г=е=а

= с IIа 11[л, d (л₽)]е'

Так как, в силу теоремы 1.9.3 (с) и приведенных выше рассуж-
дений, D(Am) плотно в [A, D(Ap)]e, а Л9р — замкнутый оператор,
то в качестве следствия последнего неравенства получаем

[A, D(AP)]0cD(A0P).	(5)

Из (4) и (5) вытекает утверждение теоремы.

Замечание 1. Предположим, что область определения D (Лт)
при натуральных т известна (в последующих приложениях это
будет иметь место во многих случаях). Полагая а = 0 и 0 = т,
мы можем при помощи последней теоремы описать области опре-
деления дробных степеней оператора Л.

Замечание 2. В п. 1.18.10 мы найдем, независимо от пре-
дыдущих рассмотрений, области определения дробных степеней
операторов, действующих в гильбертовых пространствах.

Пример. Для иллюстрации приведем один простой пример.
Пусть А —банахово пространство, [X, 53, р] —пространство с <т-
конечной положительной мерой и р(х)^С^0 —измеримая функ-
ция, ограниченная на любом множестве конечной меры. Пусть, далее,
обозначение LP(A, p)=Lp(A, X, 53, р), 1 р <. оо, имеет обыч-
ный смысл. Формула

Af (х) — p(x)f (х), D (А) = {f (х) | f е= Lp (А, р) и pf е= Lp (А, р)}
определяет позитивный оператор в пространстве LP(A, р). Из
примера (а) п. 1.15.1 следует, что

Л“/(х)=ра(х)/(х)
и при Rea^O

I Лп <л -1W / Мл, (Л, w = II f кр^и1 и. w.

Поскольку условия последней теоремы удовлетворены, то мы
получаем, что

\Lp, ра (х) № ’	^р, рР w

=	p(a)(i_0)+P0wG4, р), 0<Rea<Rep<oo. (6)

Теоремы 1.15.2 и 1.14.2 дают

(Ьр(Л, ц), Lp Paw (Л, Ц))0 ?

и). |'вв-“|(4гГ1?л,м1.„0,м

где т — натуральное число, /n>Rea>0 и legqs^oo. Заметим,
что равенство (6) легко можно доказать непосредственно. Пола-
гая p — q в (7), получаем, что при Rea>0

(^р	’ ^р, р“ (л:) ’ И))0, р ~ Lp, pOa (Л, р)

= [Lp (Л, И), LpiPa(x) (Л, р-)]0. (8)

Замечание 3. Еще один пример применения последней тео-
ремы будет дан в замечании 2.5.3/2.

1.15.4.	Теоремы о реитерации

Пусть А — позитивный оператор и а — комплексное число
с Rea>0. Тогда, согласно теореме 1.10.2, при О<0о<61<1,
lsgpo> Pi> и 0<Х<1

((Л, £>(А“))0О1 р„ (Л, D(A“))01,	р = (Л,D(A“))(I_X)0o+X01tр. (1)

Далее, теоремы 1.10.2 и 1.15.2 (d, f) показывают, что для любых
комплексных чисел аире OsgRea<ReP

(£> (А»), D (Л₽))9,р = (Л, D (A₽))Rea.(1_e)+ReM ,	(2)

Rep ’ р

0 < 0 < 1, 1 «С р «С оо. Эта формула аналогична формуле (1.15.3/1).
В замечании 1.9.3/1 мы обсуждали кратко вопрос, при каких усло-
виях вложение (1.9.3/7) является равенством. Формула (1.15.3/1)
показывает, что в рассматриваемом случае так будет для Л0 = Л
и А1 = £)(А'П) при достаточно большом т. (Поскольку Лгс:Л0,
рассматриваемый случай подпадает под замечание 1.9.3/1.) Мы
хотим показать, наконец, что в этом случае верна также и теорема
о реитерации (1.10.3/7), причем предположение о рефлексивности
пространств Л и D(Aa) не является необходимым.
Теорема. Пусть Л — позитивный оператор, удовлетворяющий
условиям теоремы 1.15.3, и а —комплексное число с Rea>0.
Тогда при 1 «С р < оо, 0<е0<61<1 и 0 < А, < 1

[(Л, D (Л“))8о. р, (A, D (Л«))в„ р)к = (Л, D (Л“))(1_₽• (3)

Доказательство. Пусть обозначение L (efyz‘+Kfzbj), где bj&D (Am)
и /« — достаточно большое натуральное число, имеет тот же смысл
что и в доказательстве теоремы 1.15.3. Положим

GjL (ee/*’+ ^jzbj) = Л2 <в*—в«> Re«L (е№+bzbj).	(4)

Если у —число, определенное в (1,15.3/3), то, в силу теоремы
1.15.2 (е, f), оператор <Зг (после продолжения по непрерывности)
представляет собой линейное и непрерывное отображение из

F. ((Л, D (Л“))»„ р, (Л, D (Л«))в„ р, 0)
в

К((Л, D(A«))e„p, (Л, D(A“))e„p, у (0Х-0О) Rea).

Поэтому для aeD(Am) и L(eVs+M5/)|z=e=a

| ДМвх-б.) Reaa ||(Л( D (Aa))e^ p < С || Я |[(д, D (Aa))0) p (Л, D (Aa))e P]V

(5)

Подобным же образом получаем, что оператор G2, определяемый
равенством

G2L (ДМ’*-®»)Reae6/3 +V&;) = Д-(*-« (»«-».)Rea£ (gOyZ’+tyfy),
является (после продолжения по непрерывности) линейным и непре-
рывным отображением из

К ((Л, D(A“))0oiP, (Л, D(A«))e„p, 0)
в

Р- ((Л, D (Л«))9„ р, (Л, D (А“))01, р, у (02 - 0О) Re a).

Следовательно, для aeO(Am) и L (e6/z’+V&/) |I=0 — а

Ы[(А, О(Д“))0о, р, (А, О(Л“))0„ pJX ЛМ9.-М Re^a |(Д( D(A^ р.

(6)

Ввиду того что D (Лт) плотно в обоих пространствах из (3), жела-
емое утверждение вытекает из (5), (6) и свойств изоморфности
отображения во) Rea,

1,15.5,	Пространства (Л, Q D(A“/))e,р

Теперь мы можем с помощью теорем 1.15.2(f) и 1.14.2 дать
явное описание пространств (Л, £>(А“))01Р. Этот результат послу-
жит основой для более общих рассмотрений.
Теорема. Пусть Лп Лл — позитивные операторы с ком-
мутирующими резольвентами, как в теореме 1.14.4/1. При 0<

<6<1, l^p^oo и любых положительных aj, /=1, ..., п,

(А, р| D (АЖ р = р| (А, D (Лр))9, р.	(1)

/=1 /=1

Доказательство. Это непосредственно следует из теоремы
1.15.2(d), замечания 1.12.2 и теоремы 1.14.2.

Замечание. Теоремы такого типа были установлены в работе
Комацу [6].

1.16.	ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ЭНТРОПИЙНЫХ
ИДЕАЛОВ И ПОПЕРЕЧНИКОВЫХ ИДЕАЛОВ

Теория идеалов операторов в сепарабельных гильбертовых
пространствах была систематически развита Шаттеном [1] и Гох-
бергом и Крейном [1]. Пич [2] распространил эту теорию на слу-
чай банаховых пространств; систематическое изложение можно
найти в книге Пича [7]. Интерполяционные свойства идеалов были
описаны Пичем и Трибелем [1]. В цели этого параграфа не вхо-
дит излагать теорию идеалов операторов или теорию интерполяции
идеалов операторов. Мы ограничимся здесь рассмотрением классов
энтропийных идеалов и поперечниковых идеалов, введенных в ра-
боте Трибеля [15]. Именно эти классы представляют интерес для
дальнейших приложений. Ниже мы следуем по существу изложе-
нию, данному в статьях Трибеля [15, 27].

1.16.1.	Энтропийные идеалы и поперечниковые идеалы

В этом пункте (комплексные) банаховы пространства обозна-
чаются буквамии А, В, С (с возможными индексами); L обозна-
чает класс всех непрерывных линейных операторов, действующих
между банаховыми пространствами; L(A, В) —это операторы из L,
отображающие А в В. Как уже упоминалось, топологическое
линейное пространство А называется квазибанаховым, если вместо
обычного неравенства треугольника выполнено неравенство

,|Ц1 + ^2 11 <^(1'0111 + Иг!1),

где с не зависит от аг и а2, а все остальные свойства банахова
пространства сохраняются.

Определение 1. (а) Линейный подкласс 1 класса L назы-
вается идеалом операторов, если, во-первых, все конечномер-
ные операторы 1 содержатся в I и, во-вторых, произведение двух
операторов из L (в случае когда оно определено) принадлежит I,
если хотя бы один из сомножителей принадлежит I.

(Ь) Идеал операторов I называется Q-u деалом (кваз и нор-
ми р ованным идеалом, квазибанаховым идеалом),
если, во-первых, определена квазинорма ||-||/ на каждом подмноже-
стве 1(А, В) — 1 (\L(A, В), при наделении которой I (А, В) ста-
новится квазибанаховым пространством, и, во-вторых,

IIS7Ji11-117’11/ при S<=L(B, С), Т<=1(А, В),

1|ST||i^|S||/-||7’l| при SeI(B, С), T(=L(A, В).

Как отмечалось во введении к параграфу, мы не будем здесь
иметь дела с общей теорией Q-идеалов. Можно было бы провести
дальнейшие рассмотрения, вообще не используя язык Q-идеалов.
При этом, однако, была бы неясна одна из главных мотивировок
изучения таких построений.

После самого класса L и класса всех конечномерных операто-
ров простейший идеал операторов составляют компактные (вполне
непрерывные) операторы. Существует ряд геометрических харак-
теристик для качественной классификации компактных операторов:
е-энтропия, поперечники (несколько типов) и аппроксимационные
числа. Краткий обзор таких характеристик дан в работе Митягина
и Пелчиньского [1]. Мы увидим ниже, что понятия е-энтропии
и поперечников по Колмогорову и по Гельфанду хорошо вписы-
ваются в теорию интерполяции.

Определение 2, Пусть ЗеЦА, В) — компактный опера-
тор, Еа — единичный шар в А и SEa —его образ в В.

(а)	При е>0 пусть N (е) = N (г, B) — N(e,, S; А, В) обозна-
чает наименьшее число замкнутых шаров радиуса е в простран-
стве В, требуемое для покрытия SEa- Число

Н(г, S) = H(e,, S; A, B) = log2M(s, S; А, В)	(1)

называется г-энтропией (множества SEa).

(b)	Обозначим через Ln (В) множество всех линейных подпрост-
ранств размерности не больше п данного банахова пространства В.
Числа

dn(S) = dn(S; А, В) = inf sup inf ||Sa — b[B, (2)
LnsLn(S)aeEA bsLn

n — 0, 1, 2..

называются поперечниками no Колмогорову.

(с)	Обозначим через 1п (В) множество всех (не обязательно замк-
нутых) линейных подпространств коразмерности не выше п дан-

1 То есть операторы с конечномерным множеством значений, — Прим. ред>
него банахова пространства В. Числа
dn(S) = dn(S; А, В)— inf sup
/яе/„(В)аеЕл
SflsZn

П = 0, 1, 2.... (3)

называются поперечниками по Гельфанду.

(d)	Пусть R(K) обозначает множество значений (образ) опера-
тора К, принадлежащего L. Числа

s„(S) — sn(S; А, В) = inf j|S — n = Q, 1, 2....(4)

dim R (К) < n
Kt=L(A, B)

называются аппроксимационными числами.

Замечание 1.* Аппроксимационные числа не столь хорошо
вписываются в теорию интерполяции, как поперечники; см., на-
пример, Трибель [15]. В сепарабельном гильбертовом пространстве
поперечники указанных двух типов и аппроксимационные числа1
совпадают между собой; см., например, Гохберг и Крейн [1] или
Трибель [15]. Краткое описание соотношений между различными
геометрическими характеристиками можно найти у Митягина и
Пелчиньского [1]. Подробное изложение некоторых относящихся
сюда вопросов имеется у Лоренца [2] и Митягина [1]. Далее мы
отсылаем читателя к статьям Колмогорова [1], Колмогорова и
Тихомирова [1], Митягина и Тихомирова [1], и Тихомирова [1].
Систематическое аксиоматическое изложение дано Пичем [8];
см. также Пич [7].

Замечание 2. Из приведенных определений легко следует,
что

d0(S) = d°(5) = s0(S)=||S||.	(б)

Лемма 1. Пусть S е L (Л, В) — компактный оператор. Тогда
dn(S)= inf sup	п = 0,1,2,....	(б)

/„ez„(4) аеЕА-П1я

Доказательство. Нетрудно видеть, что в (3) достаточно рас-
сматривать лишь пространства l(nB) cz R (S) (R (S) обозначает образ
оператора S). Пусть N (S) — ядро оператора S. Рассмотрим взаимно-
однозначный оператор S, определенный на факторпространстве
A/N (S) равенством Sd — Sa при cL = a-\-N (S). Ясно, что«/л(5) =
— dn(S). Но для dn(S) справедлива формула, аналогичная фор-
муле (6). Отсюда вытекает, что формула (6) справедлива также
для dn (S).

1 Называемые в этом случае s-числами, —Прим, psd.
Лемма 2. Имеют место неравенства
dn(S)^s„(S) и da(S)^s„(S), п = 0, 1, 2................. (7)

Доказательство. Выбирая Ln в (2) совпадающим с R (К) в (4),
получаем первое неравенство. Полагая ln = N (К) — {а\Ка — 0},
получаем с учетом (6) и (4) второе неравенство.

Замечание 3. В аксиоматической теории общих аппрокси-
мационных чисел, развитой Пичем [7, 8], введенные выше аппрок-
симационные числа sn(S) занимают особое место. В смысле нера-
венств (7) они суть наибольшие общие аппроксимационные числа.
В частности, неравенства (7) верны для всех известных конкрет-
ных чисел такого типа (см. Пич [7, 8]). В рамках своей теории
Пич установил существование наименьших общих аппроксима-
ционных чисел («чисел изоморфизма»).

Лемма 3. Пусть А' и В' — банаховы пространства, сопря-
женные к А и В соответственно, и S' —оператор, сопряженный
к оператору S. Тогда

dn(S’; В', A') — dn(S; А, В) и $„($;' В', А')

^sn(S; А, В),	(8)

п = 0, 1, 2....

Доказательство. Шаг 1. Из (2) и (6) следует, что

dn (S') = inf || S' ||B- л'/ь„>

Достаточно ограничиться замкнутыми подпространствами l„^l„(A).
Полагая

Ln = {a' |а' e А', а' (а) = 0 приае/п},	(10)

находим, что dim Ln — codim ln и l’n — A'ILn есть сопряженное про-
странство к 1п (с точностью до изометрии). Обратно, каждое под-
пространство Ln cz А' может быть представлено таким образом.
Поскольку норма оператора равна норме сопряженного к нему,
первая часть (8) вытекает из (9).

Шаг 2. Если К — оператор из (4) с dim R (К) «С п, то
dim R (К') ^п. Поэтому вторая часть (8) следует из равенства
-K'| = |IS-К|.

Замечание 4. Пич [8] показал, что справедливо также
равенство

dn(S; A, B)—dn(S!, А!, В’).	(11)
Известны и другие формулы типа (8) и (11). Сошлемся на работы
Соломяка и Тихомирова [1] и Пича [7, 8]. Если Л —рефлексив-
ное банахово пространство, то имеет место равенство s„ (S'; В', А')
= sn(S; А, В).

Лемма 4. Если оператор S компактен, то dn(S) и dn(S)
стремятся к нулю при п-+<х>.

Доказательство. Так как для множества SEA при любом поло-
жительном е существует конечная е-сеть, утверждение леммы
верно для чисел dn(S). Докажем наше утверждение для чисел
dn(S). Допустим, что существует такое положительное число 6,
что для всех подпространств I пространства В, имеющих конеч-
ную коразмерность,
sup || Sa || >6.

аеЕд
Saez

Тогда можно шаг за шагом построить последовательность элемен-
тов aj е Еа и последовательность функционалов b'j es В', таких,
что || b'j ||=1, b'j(Saj) = 6, b'j(Sak) = Q при k<zj. Отсюда вытекает,
что j Sa/ — Sak |1 б при k Ф j. Но это невозможно.

Замечание 5. Существуют компактные операторы, для кото-
рых sn(S) не стремится к нулю при п->оо. Это следует из ре-
зультатов Энфло [1].

Определение 3. При 0 < а < оо положим

Еа(А, B) = {S|SeL(A, В) компактен;

IIS k = sup еЯа (е, S) < col, (12)

Ка(А, B) = {S|SeL(A, В) компактен;

||Ska= sup (n+l)«d„(S)<ool,	(13)

Ga(A, B) = {S|S e L(A, В) компактен;

Il S кe =	sup	(n-|- l)a dn (S) < ool,	(14)

Sa(A, B) = {S|Se(A, В) компактен;

IIS|ls=	sup	(п-f- l)“s„(S) <ool.	(15)

“	/1 = 0, 1,2, ...	J

При a = 0 положим

B0(A, B) = K0(A, B) = G0(A, B) = S0(A, B) = L(A, B).

Класс всех множеств E&(A, В) (соотв. Ка(А, В), Ga(A, В),
За(А, В)) обозначим через Еа (соотв. Ka., Ga, Sa).

Эти определения имеют смысл в силу леммы 4. При а > 0 мы
получаем различные специальные классы компактных операторов.
Теорема 1. £а, /<а, Ga и Sa являются Q-идеалами. При
оо

Еа<=.Е$, KadKfi, Ga<=G₽, Sa<=S3.	(16)

Доказательство. Шаг 1. Вложения (16) следуют непосредст-
венно из определения 3. Далее, нетрудно усмотреть, что конечно-
мерные операторы содержатся в Еа, Ка, Ga, Sa. Это вытекает
из того, что для всякого конечномерного оператора существуют
положительное число с и натуральное N, такие, что

yV(e)<;c8_'v при 0 <_ 8 < 1, dAr = dA'=syv = O.

Шаг 2. Докажем, что Еа при а>0 является Q-идеалом. При
6 > 0 и S е Еа справедливо неравенство Af (|| S || —• 6) 2= 2. Отсюда

(17)

Далее, для комплексных чисел А и компактных операторов S
имеем

2V (|%|е; AS) = A/(e; S).	(18)

Если операторы Sx и S2 принадлежат Еа(А, В) и / =
= 1, ..., А7 (е; и bk, k—\, ..., N (е; S2), суть е-сети для S±EA
и S2EA соответственно, то для любого элемента ае Еа найдутся
такие два элемента Ь/ и Ьк, что

((Si + SjjJc—

Отсюда следует, что

TV (2е;	+	Sx)A/(e; S2).	(19)

В силу (17), (18) и (19), ||-||в есть квазинорма на линейном под-
классе Еа класса L. Для доказательства полноты рассмотрим
произвольную фундаментальную последовательность {S/}~=1, при-
надлежащую Еа(А, В). Оценка (17) показывает, что операторы Sy
стремятся в L(A, В) к некоторому компактному оператору S.
Из (19) получаем, что

сеЯ“(2е; S - S7) sg еЯ“ (е; S - S*) + e№ (е, Sft-S,), (20)

где с—подходящее положительное число. Второе слагаемое
меньше 6 при	/0(6) независимо от е, первое же слагаемое

также будет меньше 6 при достаточно большом k (зависящем от е).
Отсюда видно, что S Еа(А, В) и	Наконец, свойства

идеала вытекают из оценок

N (||S.|e, ST; А, С)^АЦе, Г; А, В),

S<=L(B, С), Т<=Еа(А, В),	(21)

N (| TJe, ST; A,	S; В, С),

S(=Ea(B, С), Т<=ЦА, В).	(22)
Шаг 3. Докажем, что К.а при а > 0 — Q-идеал. Справедливы
следующие формулы, аналогичные формулам (17) — (19), (21) и (22):
IIS|l<l|Ska,

d„(XS) = |X|d„(S),	(23)

dn+m(Si + S^=	inf sup inf ]S1a — b1 + Sia — bilB

LneLn^ aeEAb^L„

^dn(S1) + dm(S3),	(24)

dn (ST; A, C)^S\\dn(T; A, B),

SeL(B, С), T^Ka(A, B),	(25)

dn(ST; A, C)^T\\dn(S; В, C),

S^Ka(B, C), T^L(A, B).	(26)

Отсюда, как и на шаге 2, вытекает, что Ка есть Q-идеал.

Шаг 4. Используя лемму 1, получаем, что формулы (23) — (26)
остаются верными при замене dn на dn. Следовательно, Ga — также
Q-идеал. То же верно и для Sa.

Теорема 2. При 0=cia, Р<оо

В^Вр • Ва+р, ВаАр Аа+р, CaGp С Ga+P> BaSp СХ Sa+p. (27)
(ЕаЕрс£а+р означает, что ST принадлежит Ва+р(А, С) при
Т^Е$(А, В) и S<=Ea(B, С); аналогично для других идеалов.)
Доказательство. Шаг 1. В силу теоремы 1 можно считать, что
а>0 и Р>0. Пусть Т еВр(А, В) и Se£a(B, С). При в>0
имеем

(8а+^, ST; A, C)^N(efi, Т; A, B)N(&a, S; В, С).

Отсюда вытекает желаемое соотношение для идеалов Еа.

Шаг 2. Пусть Те=Ар(А, В) и S<=Ka(B, С), а>0, р>0.
Для всякого е>0 существует пространство Ln<=L„(B), такое,
что для всех а е ЕЛ имеет место разложение

Ta = b0 + bi, где b0(=Ln, \\b^B^dn(T; А, В) + е.

Так как SLn е Ln (С), то мы получаем, что

dn+m(ST; A, C)^dn(T; A, B)dm(S; В, С).

Отсюда вытекает желаемое соотношение для идеалов Ка.

Шаг 3. Соотношение (27) для идеалов Ga следует теперь из
леммы 3.

Шаг 4. Пусть Т еВр(А, В) и S eSa(B, С). Из неравенства
||ST-^s(T-^r)-S^г|!

= [(S~Ks) (T-Kr)^\\S-Ksl-lT-Kri
вытекает, что

Sn-rm{ST; A, C)^s„(T; A, B)sm{S‘, В, С).

(28)

Этим доказано (27) для идеалов Sa.

Замечание 6. Обобщения рассмотренных выше идеалов
можно найти в работе Трибеля [15, § 7].

1.16.2.	Интерполяционные свойства энтропийных идеалов

Ради простоты будем использовать один и тот же символ для
оператора и его сужения на подпространство. Будем, далее, поль-
зоваться обозначениями Д'(9), J (9), Я(0)[)У(0) и ^(l)f)J(l),
введенными в пп. 1.10.1 и 1.10.2.

Теорема 1. Пусть {Ло, Аг\ — интерполяционная пара,
В —банахово пространство, S ({Ло, Лх}, {В, В}), 8еЕа<>(Ло, В)
и Se-E^Au В), O«gao, «хСоо.

(а)	Если А^К(в', Ло, Лх), где 0<9< 1, то
8еЕа(Л, В), где а = (1 — 9)а04-9аг.	(1)

(Ь)	Если существуют положительное число с, число 9, 0 < 9 < 1,
и пространство А^.К{&, Ло, Лх) (] J (9; Ло, Лх), такие, что

НтеЯа(8, S; Л, В) 2s с, 0<а = (1 — 9)а04-9ах,	(2)

еТб"

то

lime№(e, 8; Л, В)2гс'>0, а = (1 —6)а0 + 9ах,	(3)

е | о

для всех 9, 0 sg 9 sg 1, п всех А е К (9; Ло, Лх) П J (9; Ло, Лх).
(В случае ао = О соотношение (3) справедливо лишь при 0<9^1;
в случае ^ — 0 — лишь при 0=g9 •< 1.)

Доказательство. Шаг 1. Если а0=«х®0, то (1) вытекает из
интерполяционного свойства.

Шаг 2. Пусть ао = О и ах>0. Так как Лс(Л0, Лх)е, оо, то
существует число с>0, такое, что для всех аеЛ с 1 и
для подходящих разложений Л э a = a0 + ax, а0 е Ло, щ е Лх,
имеем

MoU’Cc/0,

0</<схэ.

(4)

Для заданного е>0 положим / = е1/е. Ясно, что существуют эле-
менты

bj(=B, /=1...............Я(8>/0,	S; Лх, В),

X. Трибель
такие, что

_ 1-0 _1_

min||Sax — bj ||в«Ссе 9 е0 = се, ||Sa0||в се.

Отсюда вытекает, что min |lSa — ЬДВ^ се и, следовательно,

/

Н (се, S; А, В)

А1г

(5)

В

Этим установлено (1) при ао = О и ах>0.

Шаг 3. Пусть снова ссо = О, ах>0. Предположим, что выпол-
няется оценка (2). Покажем, что существует положительное
число с, такое, что

__i_

Н (е, S; Л1( B)S?ce %	0<8<е0.	(6)

Действительно, если бы это было не так, то нашлись бы две
последовательности ek | 0 и | 0 (&->оо), такие, что

/ _i_	\	___i

H{ef, S; Av B)^ckek^,	(7)

С учетом (2) и (5) мы получаем противоречие. Этим установлено
(3) при 6 = 1.

Шаг 4. Пусть а0 > 0 и > 0, и пусть р (в), 0 < р (в) < оо, —
произвольная функция, определенная при 0<8<;оо. В силу (4)
с t — eat~“»р(8) существуют элементы

Ьг,	г=1..........IV (р-9 (е) 8«% S; Ло, В),

и

Ь1,	1 = 1........N (р1-9 (8) 8“«, S; Л1( В),

такие, что

min || Sa0 — br ||в <; се9 <а,— а«)р9 (в) р-9 (в) 8“» = се*1 - 0) «о+ва^

min || Sat — ЬЦВ^ се~ ** — w *®*~ ®»>р~1 + 9 (в) р* - 9 (в) е®>

= С8<1 — в)а» + 6«1.

Отсюда следует, что

N (Св(‘-»>««+в»*, S; Л, В)

<JV(p-9(8)e««, S; Ло, В) N (р1-9 (в) в®», S; Лп В).	(8)

Беря р (е) а= 1, получаем в качестве следствия из последней оценки
утверждение (1).

Шаг 5. Пусть снова а0>0, ах>0. Установим существование
положительного числа с, такого, что

j_	___i_

Н (в, S; Ло> В)^се Н (е, S; Лх, В)^се

0 <; 8 < е0.	(9)
Действительно, если бы такого числа не существовало, то можно
было бы считать без потери общности, что выполняется (7). Возь-
мем т]* = <Т1/2е1/§0\	(T]ft) = с*/2. Тогда, в силу (7) и (8),

&10	1

Я(ст]|, S; А,	+	(Ю)

Если последовательность {^} стремится к нулю достаточно мед-
ленно (а это можно предположить без потери общности), то
ru->0 при й->оо. Но тогда мы получаем противоречие между
(Ю) и (2).

Шаг 6. Мы доказали (3) пока лишь для крайних случаев
6 = 0 и 6 = 1. Предположим теперь, что выполнено (2) и что
0<0 < 6. Пусть	Ло, Л^ПДв; Ло, Лх). Теорема 1.10.2

дает

А еК(1; A, djn j(X; А, АД 8 = 8(1-Х) + Х.

Полагая а = (1 — б^о + бар получаем а =(1 — A.)a4-Xav Теперь
для пары {А, Ах} мы имеем ту же самую ситуацию, что и для
пары {Ао, Ах} в проведенных выше рассуждениях. Поэтому (3)
вытекает из оценок (9) и (6). Аналогичным образом устанавли-
вается (3) при 8<8< 1. Наконец, (3) при 8 = 8 получается при
помощи той же процедуры с использованием 8#=ё.

Теорема 2. Пусть {Во, Вх} — интерполяционная пара, А —
банахово пространство, SeL({X, А}, {Во, Вх}), S^E^(A, Во),
3<=Е^(А, BJ, О^ро, рх<оо.

(а)	Если В е J (8; Во, Вх), где 0 < 8 < 1, то

S^E^A, В), где ₽ = (1 -8)р0 + б₽х.	(П)

(Ь)	Если существуют положительное число с, число 6, 0 < 6 <с 1,
а пространство В^К($; Во, ВХ)П/(б; Во, Вх), такие, что

lime//P(e, S; А, В)^с, 0<р =(1-ё)р0+8~Pi,	(12)

81 О

то

ИтеЯ₽(в, S; A, B)=&c'>0, р = (1-8)po + 80i	(13)

8|0

для всех 0, 0^0^ 1, и всех В е/< (8; Во, 23т) Q J (0; Во, Вх).
(В случае ро = 0 соотношение (13) справедливо лишь при 0<8^ 1;
в случае $г = § — лишь при 0^8< 1.)

Доказательство. Шаг 1. Если ро = рх = О, то (11) следует из
интерполяционного свойства,
5*	*
Шаг 2. Пусть ро = 0, ₽х>0. В каждом множестве {ау}с:Ед,
/=1, N (е1/е, S; A, Вх)+1, существуют по крайней мере
два элемента а° и а1, таких, что

£
l|Sa°-Sa1|lB1<2ee.

Так как В принадлежит J (9; Во, Вх), a Sa° и Sa1 —элементы
из Bof)Bx, то мы получаем по лемме 1.10.1, что

(Sa° - Sa1 ,|в с || Sa° - Sa11|^ 01 Sa° - Sa1||0 _ < с'е.	(14)

Отсюда следует, что

! - \

Н(с'г, S; А, В)^Н\гв, S; A, BJ.	(15)

Этим установлено (11) при ро = О и Pi>0.

Шаг 3. Пусть снова ро = О, рх > 0. Предположим, что выпол-
нено (12). Аналогично шагу 3 доказательства предыдущей тео-
ремы получаем, что

_2

Н (в, S; А, В^^сг ₽*, с>0, 0<е<е0.	(16)

Шаг 4. Пусть р0 > 0 и Рх > 0, и пусть р (е), 0 < р (в) •< оо, —
произвольная функция, определенная на 0 < г < оо. В каждом
множестве

{«/} <=. Еа,

/=1......N (р-е (в) е₽», S; А, Во)N (р1-0 (в)8₽«, S; А, Вх)4-1.

существует подмножество

{Зу}, /=1,...» У(р1-е(8)8₽«, S; А, Вх) + 1,

такое, что все элементы Say содержатся в некотором общем шаре
радиуса р_0(в)е₽» в пространстве Во. Выберем два элемента а°
и а1, таких, что

|| Sa° — Sa1 ||в0	2р-0 (в) е₽», | Sa° — Sa1 ||в,	2р1-0 (в) еР*.

Аналогично оценке (14) выводится, что

f Sa° - Sa1 ||в < сеО - е> ₽•+0Р(.

Следовательно,

N (C8(i-e>₽o+e₽i> S; А, В)

<У(р-в(8)еРо, S; А, Во) N (р1-0 (е) 8₽«, S; A, BJ.

Дальнейшие рассуждения те же, что и в доказательстве преды-
дущей теоремы, после формулы (8).

Замечание 1. Обе эти теоремы (равно как и приведенные
доказательства) принадлежат Трибелю [27]. Утверждения (а) обеих
теорем доказаны в более ранней работе Трибеля [15]. Один част-
ный случай имеется у Петре [18].

Замечание 2. Более систематическое изложение вопроса и
обобщение некоторых из результатов этого пункта, а также сле-
дующего пункта 1.16.3, можно дать в рамках теории интерполя-
ции нормированных абелевых групп. Мы не будем здесь оста-
навливаться на этом, а сошлемся на Петре [31] и Петре и
Спарра [1].

1.16.3.	Интерполяционные свойства поперечниковых идеалов

Снова будем использовать одни и те же символы для опера-
торов и их сужений на подпространства. Обозначения /< (8) и J (8)
имеют тот же смысл, что и в предыдущем пункте.

Теорема 1. Пусть {Ло, Аг\ — интерполяционная пара,
В —банахово пространство, SeA({40, /li},	{В, В}), Sg

еКа0(Л0, В), S(=KadAi> в)> О^ао, ах<оо.

(а)	Если Ле/<(8; Ао, Лх), где 0<8<1, то

S(=Ka(A, В), где а = (1 -8)^ + 8^.	(1)

(Ь)	Если существуют положительное число с, число 8, 0< 8 < 1,
и пространство	Ло, ЛХ)Г| «/(§; Ло, Лх), такие, что

jadj (S; Л, В)^с, 0< а = (1 — 8)а0 +8ах,

/ = 0, 1, 2, ...,	(2)

то

jadf(S- Л, В)^с'>0, а = (1-8)а0 + 8а1,

/ = 0, 1, 2, ...,	(3)

для всех 8, 0^8=^ 1, и всех Ле/<(8, Ло, Л1)П/(8, Ло, Лх).
(В случае а0 = 0 соотношение (3) справедливо лишь при 0 <Z 8 1;
в случае cq = 0 — лишь при 0	8 < 1.)

Доказательство. Шаг /. Пусть Л е К (8; Ло, Л!). Используя
(1.16.2/4), находим, что

dj^k(S\ А, В) = inf sup inf ,| Sa — bQ — b± ||B
LySLy(B) аеЕд &oeL/
Lfk e Lk (B)	e 4

inf Г sup inf || Sa0 — b0 ||B

Lf> Lk [иIIло ct*

+ sup inf lISai-Mlsl

^ct*df(S- Ao, B)+cte^dk(S; Alf B).

Если df (S', AQ, B) = 0, то также и dy+*(S; A, B) = 0. Если же
dj(S\ Ло, В) 5^0, то, положив t = dk(S\ Av B)/dj(S\ Ло, В),
получим, что

d7+HS; Л,	Ло, B)d|(S; Лр В).	(4)

Отсюда следует (1).

Шаг 2. Предположим, что выполнено (2). Нам нужно пока-
зать, что существует положительное число с, такое, что

ja°dj (S; Ло, В)^с и ja'dj(S\ Alf В)^с.	(5)

(Без потери общности мы можем предположить дополнительно,
что а0а1>0.) Если (5) не верно, то без потери общности можно
считать, что существуют последовательности {/zJFLi и
такие, что | 0 при /->оо и

d/z(S; Ло, В)<с,/Г“’.	(6)

Привлекая оценку (4) с j — k = jt и 0 = 0, получаем противор ечие
с неравенством (2). Этим установлено (3) при 0 = 0 и 0=1. Дока-
зательство соотношения (3) при 0 <z 0 < 1 совпадает с шагом 6
доказательства теоремы 1.16.2/1.

Теорема 2. Пусть {Во, ВД — интерполяционная пара, А —
банахово пространство, S е L ({Л, Л}, {Во, Вх}), 5е0р„(Л, Во),
S^G^(A, В!), 0<р0,	< сю.

(а)	Если В е J (0; Во, В^, где О<0<1, то

ВеСр(Л, В), где р = (1-0)ро + 0р1.	~	~ (7)

(Ь)	Если существуют положительное число с, число 0, 0 <0< 1,
и пространство Ве/(0; Во, Вх) f] J(0; Во, В^, такие, что

jW(S; А, В)^с, 0<р = (1 -0)0О + 0рр

/=0,1,2........ (8)

то

jW(S-, А, В)^с’>0, P = (l-0)Po + 6pi,

/ = 0, 1, 2, ....	(9)

для всех 0, 0^0^ 1, и всех пространств ВеАД0; Во, BJ П
П J (0; Во, BJ. (В случае Ро = О соотношение (9) справедливо
лишь при 0 < 0	1; в случае Pi = 0 — лишь при 0	0 < 1.)

Доказательство. В силу леммы 1.16.1/1 и формулы, аналогич-
ной (1.16.2/14), имеем

с//+*(В;Л, В)= inf sup |Sa|'B

ZyeZyM) а<=Ел(]<М

Z^eZft(A)

^c/inf sup |l Sa |Ь„У'6 /inf sup ||SaJB1\0
\li aeEA(\i/ j \ l'k aeEAf\l'ti /

^c[d>{S-, A, B0)Pe[^(S; A, BJf. (10)
Это —оценка, аналогичная оценке (4). Все дальнейшие рассуж-
дения те же самые, что и там.

1.16.4. Интерполяционные свойства компактных операторов

Будем опять обозначать одним и тем же символом операторы
и их сужения на подпространства.

Теорема 1. (а) Пусть {Ло, А А — интерполяционная пара,
В — банахово пространство, S {Ло, Лх}, {В,В}). Если Ле К (9;
Ло, Лх), 0 < 0 < 1, и если по крайней мере один из двух операторов
S^L(Aq, В) или ВеЛ(Лх, В) компактен, то S^L(A, В) —
также компактный оператор.

(Ь) Пусть {Во, Вг} — интерполяционная пара, А —банахово
пространство, S<=L({A, Л}, {Во, Вх}). Если В е J (9; Ло, Лх),
О < 0 < 1, и если по крайней мере один из двух операторов S eL(4,
Во) или S е А (Л, Вх) компактен, то S е L (Л, В) — также компакт-
ный оператор.

Доказательство. Утверждение (а) следует из (1.16.2/5), а утвер-
ждение (Ь) —из (1.16.2/15).

Замечание 1 .* Эта теорема принадлежит Лионсу и Петре [2].
Естественно возникает вопрос, возможно ли обобщить этот резуль-
тат на операторы, принадлежащие В({Л0, Лг}, {Во, Вх}). Приведем
один интересный результат, принадлежащий Хаякаве [1]. Пусть
{Ло, Лх} и {Во, Вх} — две интерполяционные пары и оператор
$е£({Л0, Лх}, {Во, Bi}) таков, что операторы S^L(Aj, Bj),
j = 0, 1, компактны. Если О<0<1 и 1^р<оо, то S е
L • ((Ло, Лх)е, р, (BQ, В1)0, р — также компактный оператор. Сходные
результаты, но в предположении, что рассматриваемые банаховы
пространства обладают так называемым аппроксимационным свой-
ством, были получены ранее Перссоном [1] для вещественного
метода и Кальдероном [4] для комплексного метода.

Теорема 2. Пусть AqCzA1 — два банаховых пространства,
таких, что оператор вложения ^Aq-^-AA компактен. Пусть,
далее, 0	0 < 0'	1, Ле е К (0; Ло, Лх) (в случае 0 = 0 это озна-

чает, что Ле = Л0) и Aq'^J(Q'; Ло, Лх) (в случае 0' = 1 это
означает, что Л0< = Лх).

(а)	Тогда I (Л0-> Ле') — компактный оператор.

(Ь)	Если I (Aq-+АА (= Еа, а>0, то I (Л0-> Л0О е Еа(у-ъ.

Доказательство. Утверждение (а) получается повторным при-
менением теоремы 1. Аналогичным образом утверждение (Ь) выво-
дится из теорем 1.16.2/1, 1.16.2/2 и 1.10.2.

Замечание 2. Утверждение (а) теоремы также принадлежит
Лионсу и Петре [2].
Задача. Было бы интересно получить результат, аналогичный
приведенному выше результату Хаякавы, для энтропийных идеа-
лов (а также, в какой-нибудь более слабой форме, для попереч-
никовых идеалов). Для случая гильбертовых пространств со-
шлемся в этой связи на работу Фам Тхе Лая [3].

1.17.	ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПОДПРОСТРАНСТВ

И ФАКТОРПРОСТРАНСТВ

В приложениях теории интерполяции к дифференциальным
операторам иногда бывает нужно определить не только интерпо-
ляционные пространства для данной интерполяционной пары
{Ло, Лх}, но и интерполяционные пространства между подпро-
странствами или между факторпространствами пространств Ло и Лх.
В этом параграфе мы установим результаты такого рода, которые
понадобятся нам в дальнейшем.

1.17.1.	Интерполяция подпространств

Будем использовать обозначения, введенные в п. 1.2.4.

Теорема 1. Пусть {Ло, Лх} — интерполяционная пара и В —
дополняемое1 подпространство пространства Л0 + Лх, причем про-
ектор Р, соответствующий этому подпространству, принадлежит
Ц{Л0, Лх}, {Ло, Лх}). Пусть, далее, F — произвольный интерполя-
ционный функтор. Тогда {ЛорВ, ЛХПВ} — также интерполяци-
онная пара и

ЛхПВ}) = /?({Л0, Лх})ПВ.	(1)

Доказательство. Вложения ЛорВс=В иЛхС|ВсгВ показывают,
что {Ло А В, ЛХП В}— интерполяционная пара. Если через / обо-
значить оператор вложения В в Л0 + Лх, то/е£({Л0Г|В, ЛхрВ},
{Ло, Лх}), и утверждение теоремы следует из теоремы 1.2.4, если
положить в ней R — P еА({Л0, Лх}, {Ло А В, Лх А В}) и S = /.

х То есть обладающее топологическим дополнением. Топологическим допол-
нением подпространства В локально-выпуклого (в частности, банахова) про-
странства А называется всякое подпространство С в А, такое, что А есть
топологическая прямая сумма В и С (запись: Л = В + С). Последнее означает,
что А является алгебраической прямой суммой В и С (для чего необходимо
и достаточно, чтобы В + С = Л и Bf]C== {0}) и проекторы Л на В и С непре-
рывны. Подпространство локально-выпуклого (в частности, банахова) простран-
ства дополняемо тогда и только тогда, когда существует непрерывный проектор
на него. В отделимом локально-выпуклом (в частности, банаховом) простран-
стве каждое дополняемое подпространство замкнуто и каждое конечномерное
подпространство дополняемо, — Прим, pedt
Замечание 1. Эта теорема по существу представляет собой
результат Бауэнди и Гулауика [1].

Теорема 2. Пусть {Ло, — интерполяционная пара и С
— конечномерное подпространство в Ао f] ДР Тогда в
существует такое топологическое дополнение В к С» В + С = Ло + Л1?
для которого выполняются условия теоремы 1. В частности» спра-
ведливо равенство (I).

Доказательство. Используя теорему Хана — Банаха (и тот факт,
что любые две нормы в конечномерном пространстве эквива-
лентны), находим, что существует проектор Q,

N

Qa= ЕМа)е/> Ао П А»
i=i

отображающий Ао f] Аг (соответственно Ао, А± или Ло-|-А) на С.
Тогда образ проектора E — Q обладает желаемыми свойствами.

Замечание 2. То что все конечномерные подпространства
дополняемы, — хорошо известный факт. Если Я -* размерность
рассматриваемого подпространства, то существуют такие проекторы
Q, что||ф||<;Я. Это следует из леммы Ауэрбаха, в соответствии
с которой в любом конечномерном подпространстве существует
ортонормированный базис (см. Пич [3, п. 8.4.1]).

Замечание 3. Для одного частного случая (гильбертовы
пространства, вещественный интерполяционный метод) теорема 2
представляет собой результат из работы Трибеля [14, II].

Замечание 4. Возникает вопрос, возможно ли обобщить
теорему 1 в следующем направлении. Пусть Во и Вг —замкнутые
(или даже дополняемые) подпространства пространств Ао и А±
соответственно. Является ли интерполяционное пространство
Е({В0, Вг}) (в частности (Во, Bi)eP) замкнутым подпространством
пространства Г({А0, Лх}) (соответственно пространства (Ао, А1)еР)?
С одной стороны, почти очевидно, что нельзя ожидать положи-
тельного ответа без каких-то дополнительных предположений.
С другой стороны, с первого взгляда может показаться, что, ска-
жем, предположения о конечности коразмерности подпространств
Bj в А; будет уже достаточно. Однако это неверно. Позднее мы
построим многочисленные контрпримеры. Так, в работе Трибеля
[И П] показано, что для любого натурального числа А сущест-
вуют сепарабельные гильбертовы пространства Яо, Яг и Я2, такие,
что: 1° Ях с: Яо, 2° Я2 —замкнутое подпространство в Нг кораз-
мерности Л/, 3° нормы пространств (Яо, HJy,, 2 и (Яо, Я2)>/2, 2
не эквивалентны на Я?. (См. также замечание 7.7.1/5.)
1.17.2.	Интерполяция факторпространств

Вопрос об интерполяции факторпространств тесно связан с воп-
росом об интерполяции подпространств. Проблема интерполяции
факторпространств была поставлена Мадженесом [1]. Ее решение
было дано Петуниным [1]. Здесь мы рассмотрим эту проблему
с более общей точки зрения. Это окажется полезным для дальнейших
приложений.

Теорема. Пусть {Ло, Лх} — интерполяционная пара и С
— дополняемое подпространство пространства Ло + Л1л причем
соответствующий проектор Q принадлежит А({Л0, Лх}, {Ло, Лх}).
Пусть, далее, F — произвольный интерполяционный функтор. Тогда
{Ло/Ло А С, Лх/Лх А С} — также интерполяционная пара и

F({Aq/Aq[}C, AJA^C})^^ A^/F^A., Лх}) А С.

(1)

Доказательство. Полагая P = E — Q и обозначая образ проек-
тора Р через В, убеждаемся, что выполнены условия теоремы
1.17.1/1. Далее, ясно, что можно отождествить пространства
Ло/Ло П С и Лх/Лх А С с пространствами Ло А В и Лх А В соот-
ветственно. Поэтому (1) следует из (1.17.1/1).

Замечание 1.*В случае когда дополняемое в Л04-Лх
подпространство С удовлетворяет условию С cz Ло cz Лх, мы полу-
чаем ситуацию, рассмотренную Петуниным [1]. Для того чтобы
факторпространства Ло/С и Лх/С были определены, нужно, чтобы
С было замкнутым подпространством как в Ло, так и в Лх. Но
тогда из теоремы о замкнутом графике следует, что нормы
пространств Ло, Лх и Л0 + Лх эквивалентны на С, и мы видим,
что проектор Q из Л0 + Лх на С обладает требуемыми в теореме
свойствами. Поэтому справедливо равенство

F({AolC, AJC}) = F(\A6, AX})IC.	(2)

Для точных интерполяционных функторов типа 6 этот результат
совпадает с теоремой 1 из работы Петунина [1].

Замечание 2. * Пусть С — конечномерное подпространство
в Ло А Лх. Как уже отмечалось в предшествующем пункте, конеч-
номерные подпространства всегда дополняемы. Следовательно,
справедливо равенство (2). Этот результат принадлежит Лионсу
и Мадженесу [1 VI].

Замечание 3. *В последующих приложениях всегда будет
оказываться, что рассматриваемые подпространства дополняемы.
С другой стороны, как доказали Линденштраус и Цафрири [1],
банахово пространство тогда и только тогда обладает тем свойсТ-
вом, что все его замкнутые подпространства дополняемы, когда
оно изоморфно гильбертову пространству. Поэтому интересно
было бы знать, является ли условие дополняемости С в выше-
приведенных теоремах существенным. Один частный результат
в этом направлении получен Петуниным [1]. Пусть ЛосЛ! и
С — подпространство пространства Ло, замкнутое как в Ло, так
и в Лх. Тогда

(Ло/С, Л1/С)0р = (Ло, Л^ер/С при 0<6< 1, 1<р<оо.

1.18.	ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Рассматриваемые в этом параграфе примеры и приложения
служат нескольким различным целям. Во-первых, некоторые из
них иллюстрируют общую теорию. Во-вторых, мы хотим показать,
как классические результаты теории интерполяции, например
теорема о выпуклости Рисса —Торина (теорема 1.1.2/1), включа-
ются в абстрактную теорию. Далее, мы опишем ряд важных при-
ложений (теорема 1.1.2/2 Хаусдорфа —Юнга, свойства операторов
свертки). Наконец, мы подготовим почву для некоторых из
приложений последующих глав. В основном приложения, описан-
ные в этом параграфе, связаны с исследованием пространств
типа Lp.

1.18.1.	Интерполяция пространств lp(Aj)

Если Aj, /=1, 2, ..., —банаховы пространства, то

lp(AJ) = {a\a = {aJ}'jLl; ц s Л7;

ва ||zP (aj)=(Д11 а/ у < °°|	(1 а)

при 1 <р<оо и

/оо(ЛД = {а|а^{а7}“=1; а, е= Ау; falkoo^) =sup||o/h/< оо}

(1b)

также являются банаховыми пространствами. Пусть {Aj, Bj},
/=1, 2,	—интерполяционные пары. Нетрудно усмотреть, что

Pi оо, также будет интерполяционной
парой.

Теорема. Пусть 1 =£= р0, Pi<oo> 0<0< 1 и

1 _ ! — е . в
Р ~ Ро

(2)
Тогда1

(ipo (Д/)> tpi (Д/))о, p~ip (С4/> ^/)о, р)	(3)

и

[IpAAj)’ hi (£/)]о = ^р[(Л» W	(4)

Доказательство. Шаг 1. Пусть

d = {dJ/Li, dj=Q при j>N,	(5)

Тогда, в силу теоремы 1.4.2 (с 7=1) и замечания 1.4.2/1, имеем

Отсюда следует, что нормы двух банаховых пространств в (3)
эквивалентны на множестве всех элементов вида (5). Но тео-
рема 1.6.2 показывает, что это множество плотно как в (/Ро(Л;),
/Р1(В/))е, р, так и в /р((Ау, В/)е, р)- Тем самым равенство (3) уста-
новлено.

Шаг 2. Пусть снова d =/= 0 — элемент вида (5). Положим (в обо*
значениях § 1.9) при O^Rez^cl

f (г) — yj (z) 11( d #
V \ P

где fj (г) e= F (A/t B/t 0), /7 (z) =0 при j>N, (8) = dj при / =
= 1,	, N и

+	B.]e + e, —oo<Z<oo.

Здесь e > 0 — некоторое заданное число. Имеем

Hz)eF(ZP0(X7), ZPl(B7), 0),

1

1/ <«)	=I ч |{;Я;^е) [2 и, m «• 1 d,

вл1е) + е'

1 Напомним, что банаховы пространства считаются тождественными (изо-
морфными), если они совпадают как линейные пространства и имеют эквива-
лентные нормы.
И

1

х I d/	•d Jz® (Pft. BAle)+8’-	(7)

Отсюда следует, что

fd •['₽.(л/). lpt (в№ 5 И d (ГЛл. Bde)-

Воспользовавшись теоремой 1.9.3(c), получаем, что

(Р([Л;, Bj]e) a[lPo(Aj), (Р1(В/)]е.	(8)

Шаг 3. Установим вложение, противоположное (8). Пусть
d Ф0 — элемент вида (5), ft (z)^F (Aj, Bj, 0), /у (9) = d,. Используя
(1.10.3/8), (1.10.3/10) и неравенство Гёльдера, находим, что

•d^(P/. В/])

ОО /	оо	\Р(1-0)

<2 т=ё J ООЦМЭ, О d/j

/=1 \	—ОО	/

х[| J И/(1+«)ЦН1(9. OdA

\	—00	/

р(1—6)

^2(г="б J »л(ад>(б. t)dt

f=l \	—00

р0	Ш-

JI// и+ад, ш (6. odA

\ —оо	/

р(1-6)

J 2lf/(z‘0fl>o(e. OdA

\	— oo / = 1	/

p9

x(t J 2flZz(1+z7W*<9’ ^dA ^h//}i^(/Po0/mP1(b/),o).

\ — OO / =S 1	/

Беря нижнюю грань, получаем

вd *z₽ (Р/, в/1е) ।d l!lz₽. (л/). Z₽1 (в/)]0-	(Ю)
Из теоремы 1.9.3(c) и последней оценки вытекает, что

[U(Ay), ZP1(By)]ecZp([Ay, W	(Н)

Вложения (8) и (11) дают (4).

Замечание 1. Фактически в последних двух шагах для
пространств Ву]0) и [ZPo (Ау), /Р|(ВУ)]0 установлен не только
изоморфизм, но и изометрия.

Замечание 2. Обозначим через с0 (Bj) множество всех
последовательностей, принадлежащих 1т (В,-) и Сходящихся к нулю
при / —>-со. (Это — замкнутое подпространство в lm(Bj).) Пусть
1 гС ра < оо, 0<9<1 и — = 1^?. Метод, использованный на

Р Ро

последних двух шагах, позволяет получить второе из равенств

[/Ро(Ау), /oo(By)le = [U(Ay), с0 (By)]e = Zp([Ay, Ву]е). (12)

Для доказательства первого равенства нам надо показать, что
множество последовательностей вида (5) плотно в [/Ро(Лу),
Но, с одной стороны, мы имеем

[/РО(АУ), /от(Ву)1ео[/Р0(Ау), с0(Ву)]е = /р([Ау, Ву]е),

а, с другой стороны, для d е 1Р<) (Ау) П ZOT (Ву)

11 d К (lAJ, Bj]e) С(Л/) 1 d (В;)< °0’

Поэтому любой такой элемент d можно аппроксимировать желае-
мым образом в /р([Ду, 5/]е), а следовательно, также и в [/Ро(Лу),
/оо (В7)]0. Используя снова теорему 1.9.3(c), получаем первое из
равенств (12).

Замечание 3. Последние два шага доказательства теоремы
показывают^что

[с0(Ау), с0(Ву)]е = с0([Ау, Ву]е).	(13)

Так же, как и в предыдущем замечании, получаем

[с0(Ау), ZOT(By)]0 = co([Ay, Ву]е).	(14)

С другой стороны, пространства [lm (Ау), ZM(By)]e и Z№([Ay, Ву]0),
вообще говоря, не совпадают между собой, как могло бы пока-
заться на первый взгляд. Построим контрпример, представляю-
щий интерес также и для дальнейших приложений. Пусть А —
банахово пространство и — oo<s0<s1<oo. Положим Ay = 2/s“A
и Bj = 2/S1A. Взяв вместо функции / (г) е F (2/SoА, 2/s*A1, 0) функ-
цию 2/5,(1"'г|2/!17(г) ef (Л, А, 0), нетрудно показать, что

Hll[2/s.4,2/sM]~2/qdu s = (i-e)s0 + 6sr	(15)
Здесь ~ означает, что константы в оценках не зависят от /.
Согласно теореме 1.9.3 (с), 1^ (2Л1Л) плотно в [/^ (2ЛоЛ), 1^ (2/51Л)]0.
Применяя доказанную в этом пункте теорему, получаем

/оо (2'М) с= 1г (2/М) = [Zj (2'М), Zx (2/sM)]0
c[Zoo(2/sM), (2/вжЛ)]е-

Поскольку множество (5) плотно в /1(2^Л), из последнего соот-
ношения вытекает, что это множество плотно также и в [/оо (2Л°Л),
1т (2/S1A)]0. Используя описанный выше метод, получаем теперь,
что

[Zoo(2/SM), /оо(2мЛ)]0 = со(2/М), s = (l-6)s0 + es1.	(16)

Замечание 4. Как мы уже отмечали несколько раз при
рассмотрении вещественных методов, пространства (Ло, Л1)9, р
определены и в том случае, когда Ло и Лх лишь квазибанаховы.
В этом смысле можно расширить область изменения параметра
р, а именно можно взять 0<р«^оо, О<0<1. Предполагая
в (1а) 0<р<оо, получаем, что равенство (3) имеет место при
0<р0>

1.18.2.	Интерполяция пространств 1Р(А)

В последующих рассмотрениях нам понадобятся банаховы про-
странства

£

{/ОО	\ р	\

Ш	||Ца=	<оо

₽ \/=о	/	J

(1а)

при 1 =Ср<оо и

=	=	Hllza=sup2/'>U<OO| (1b)

при р = оо. Здесь Л — банахово пространство, а — вещественное
число. Пространства Zp (Л), очевидно, представляют собой частный
случай пространств /Р(ЛУ), введенных в (1.18.1/1). Теорема
1.18.1, однако, недостаточна для наших дальнейших целей.

Теорема. Пусть — оо<а0, ^<00, о0^=а1, 1^р, р0,

Pi^oo. При 0 < 6 < 1

(Л),	(Л))е, р = /° (Л), где о = (1 - 0) а9 + 0<тг (2)
Доказательство. Шаг 1. Пусть Po^Pi^оо. Если g = {gy}*=oe
e=/Sin(0o,a,) (Л), то

Kit, g; £’(Л),	(Л))-sup min (2м, /2м)|||у||А.	(3)

Так как а0 — Ojt^O, интервал (0, оо) можно разбить на полуин-
тервалы вида [2<*-1>i°o-aii,	—оо<й<оо. В случае

р<оо получаем для ge (/S (Л), /и(Л))е,р (и £/ = 0 при /<0)

= iВ: zSg4)> '~1(Л))т

— У 2-^(ао-^ sup[min (2/°», 2*<ст°—ст*>+/ст*)||£у||л]Р
« = —ОО	/

2 2₽^'’»U-6) + M][^||P=c|g«P
« = -00	рИ)

Следовательно,

(&(Л), /Й(Л))е,Рс/"(Л).

(4)

Соответствующая модификация этого рассуждения показывает, что
(4) справедливо также и для р = оо.

Шаг 2. Пусть Po = Pi=l и | = {|;}^=о^^°(Л). Без ограниче-
ния общности можно считать, что а0>а1. Выберем х0 и xlt такие,
что

а0 > «о > <^ > «1 > <Ji.

(5)

Как и на шаге 1, получаем, что

оо

Kit, g; /?“(Л), /?(Л))-2 min(2/% /2/0*) Н/Ь
/=1

и при 1 =gp<oo

оо

»t 11(А (4), (4)) = (В; 1°° И), 1°г G4)) t

\ 1	1	/0» р Q*7

2-6р«(Оо-ах)

« = —оо

у min (2М, 2/а>-А) II ||Г
,/=о	]

оо	k	00

- у 2^’ у 2<’»(/-^Н/||4+ У

« = — 00	1/ = “®9	/ =
Неравенство Гёльдера дает теперь

R II^Co (Л), 1°1 (Я))01 Р

У, 2*р(а-<т»’/ У р'\р/р' Z у

Л=—оо	\/^&	/	/

+ с У 2kp<a~a''> ( у 2i<a‘-H^p’\p/P'( У, 2'HtP
fe = — ОО	\j>k	/	\/>fe	/

<cz[ 25 2lH°P	2 2/^11111^2 2^’-xi)]

[/=—00	£>/	/=—00	k<i	J

2 2fpoR^ = c’|^(4f
/=—00	p'

Отсюда следует, что

/р(Л)с=(/?(Д), /?‘(Л))е,Р.	(6)

Соответствующая модификация последних оценок показывает, что
вложение (6) имеет место и при р = оо.

Шаг 3. Из (4) и (6) вытекает, что

/р(Л)с(/?(А), Z?‘(A))0,P<= (/£(А), /₽1(Л))е,р
с(Й(^). ZS (А))0, ,рс= /^(Л),

чем теорема и доказана.

Замечание 1. Эта теорема по существу совпадает с резуль-
татом, анонсированным в заметке Петре [15]. Доказательство
этого результата (начинающееся с того же первого шага, что и
вышеприведенное доказательство, а затем использующее теорию
двойственности для вещественной интерполяции) было дано
в статье Трибеля [19].

Замечание 2. Полагая Aj = 2'а°Д и Bj — 21GiA, получаем
в качестве следствия теоремы 1.18.1 и соотношения (1.18.1/15),
что при 1	р0, p1<Zc<j

К (Л), laP[(A)]e = l°p(A),	+	а=(1-6)о0+9о1. (7)

1.18.3.	Интерполяция пространств 1Р(А)

В доказательстве теоремы 1.18.2 существенно использовалось
предположение Oo^Oj. Это станет ясно, если рассмотреть, напри-
мер, случай 00 = 0! и р0 = Р1=£р. При исследовании случая о0 = Oj
можно положить о0 = о, = 0. Пусть снова А — банахово простран-
ство. Пространства !р(А) определяются обычным образом. Если
£ = {£/}/Lo “ последовательность в пространстве А, сходящаяся
к нулю, то	обозначает последовательность, состоящую из

тех же элементов (т. е. перестановку), но расположенных в по-
рядке невозрастания норм:

|1ШаМ1Ша^...М1Ш1а^....

Теорема 1. Для 0<9<1, 1 qоо

(МЛ), /со(Д))е,? = /_1	(Д),	(1)

1-0’ ’
где

при 1<р<оо, 1^С<7<оо и

1Р, т (Д) = р 11 = III \\1р. т(А) = sup II	! Ь Р < оо|

(2b)

при 1<р<оо, q = <x>.

Доказательство. Шаг 1. Покажем, что

K(t, /Х(Д), /ОО(Д)) = /||^||Л при 0</^1	(3)

и

К (/Л; МД), МД)) = £ II Ша	(4)

4=0

при /=1, 2, .... Равенство (3) очевидно. Если /ет(Д)э£ = £° +
+ S1, где Zi (Л), V /со(Л), то

SlimAMOuAlMsUpHHA.

. л=о	1

Эта оценка и разложение

при /=о..../-1,

IIwIIa

й* = о при l^j, =

дают (4).
Шаг 2. При <7<оо имеем, в силу (3) и (4),

IЕI?,, <л>.	2/"’•-'('i'lKi,)'

i = i	\ k = о /

i = l

Далее, для 0 > 8 > 0 и — + 4- = 1
Я Я

оо	//—1	\я

Ц г6’-1 2 1Шл

/=1	\fe=0	'

<х>	j	/	~

ZJ Г9*’1 5	+ Ц

/=1	/г = 1	\/г = 1	/

2 &?<1-0>-1+еЧ|У-1 11л У у-0а-1 + 0<7-ев
fe = l	/>£

£=1

(б)

Из (5) и (6) следует утверждение теоремы для 1 =С q <. со.
Утверждение для <7 = 00 устанавливается с помощью соответ-
ствующей модификации проведенных рассуждений; при этом можно
взять 8 = 0.

Замечание 1. Пространства /Р>?(Л) банаховы, так как они
являются интерполяционными пространствами. Для любого комп-
лексного числа X

И llZp, д (Л) = । । ' || £ |/р, д (Л)-

Нормы || £ ||zp 9 (Д) и || g ||(/1 (А),	<д>) 0Г 9 эквивалентны. Отсюда выте-

кает, что || |||/ ? (Д) — квазинорма. Однако, вообще говоря, это
не норма.

Замечание 2. Пространства 1Р>9(А) представляют собой
дискретный вариант пространств Лоренца Lp>g(A), с которыми
мы встретимся в п. 1.18.6. Важнейшие из пространств lp,q(A) —
это

/АР(Л) = /Р(Л) и/АЮ(Л).	(7)

Теорема 2. При 0< 9 < 1, 1 < р0, рх<оо, р0^=рг, \^q0,
qlt q-^co справедливо равенство

Г	rO ri
Эта формула верна также при замене lPot Яо (Л) на 1± (Л) (в этом
случае р0=1) и/или 1РиЯ1(А) на ^оо(Л) (в этом случае р1 = оо).

Доказательство. Это следует из теоремы 1 и теоремы Г. 10.2
о реитерации.

Замечание 3. Последняя теорема тесно примыкает к тео-
реме 1.18.2. В этой связи было бы интересно развить система-
тическую теорию интерполяции для /^-пространств с весами. Для
комплексного интерполяционного метода теорема 1.18.1 дает окон-
чательный результат.

Замечание 4. Ради полноты изложения отметим следую-
щий частный случай формулы (1.18.1/12):

ПИЛ), 1т(А)]в = 1р (Л), где о<е< 1, р = г-Ь_.	(9)

Замечание 5. Теорема 1 для q = oc> служит одновременно
и контрпримером в смысле замечания 1.6.2: с одной стороны,
финитные последовательности (т. е. последовательности, в кото-
рых лишь конечное число элементов отлично от нуля) плотны
в /х (Л) = li (Л) П /оо (Л); с другой стороны, они не плотны в /р>Оо (Л).

1.18.4.	Интерполяция пространств LP(A)

Пусть [X, 33, ^ — пространство с мерой (X — множество, 33—
о-алгебра его подмножеств, ц — положительная о-конечная мера).
Если Л — банахово пространство и 1 р оо, то Lp (Л, X, 33, ц) —
это обычные векторнозначные Lp-пространства в смысле интеграла
Бохнера. Теория интеграла Бохнера и пространств £Р(Л, X, ц)
предполагается известной. Ее изложение можно найти у Данфорда
и Шварца [1 I]. Краткая, но достаточно полная сводка резуль-
татов без доказательств приведена у Бутцера и Беренса [1,
стр. 292—294]. В литературе имеется несколько определений
пространства Loo (Л, X, 33, ц). Пусть обозначает характеристи-
ческую функцию измеримого множества В cz X. Пространство
Loo (Л, X, 33, ц) мы определяем здесь как пополнение множества
элементов

N

v (х) = 2 а^в Ах)	(1)

/ = 1

по норме || v Loo = ess sup || и (х) |1д. Если в (1) допускаются лишь
XG X

множества В; С р (В;) <оо (т. е. v(x) — это так называемая «про-
стая» функция), то пополнение множества соответствующих эле-
ментов обозначается через L^^, X, 33, ц). Поскольку в этом
пункте пространство с мерой фиксировано, мы будем писать просто
£Р(Л) вместо L₽0, X, 33, |х).
Теорема. Пусть 1	р0,	О<0<1 и

Пусть, далее, {Ло, Аг} — интерполяционная пара. Тогда

(Lp<> (Ао), LPt	р = Lp ((Л 0, ЛДе,,)	(3)

и

[LpM, LpM}^Lpi[A0, XJe)-	(4)

Доказательство. Шаг 1. Нетрудно усмотреть, что ограниченные
функции со значениями в Ло П Л1( каждая из которых равна нулю
вне некоторого множества конечной меры, образуют плотное мно-
жество в Ьр„ (Л) П LPi (^j). Всякая функция такого типа может
быть аппроксимирована в LmaX(Plh Р1) (Ло (~| Лх), а следовательно,
и в Ьр0(Л0)П£р1(Л1) функциями вида

N

v(x) = 2] а^%в (х), р(В/)<оо, а(') GE Ло f] Лъ (5)
/=1 '

В]-(\Вк = ф при j=£k.

Шаг 2. Из теоремы 1.6.2 и шага 1 вытекает плотность мно-
жества функций вида (5) в каждом из двух пространств, фигу-
рирующих в (3). Но для любой такой функции v (х), в силу тео-
ремы 1.4.2 (с<7=1) и замечания 1.4.2/1,

Jt'(x)J(’Lpo(4o). Ер1(Л1))0,р

ОО

~	0 $ (I Vo (X) ft + t II01 (х) ft) dp

0	v0 + V! = V *	*

°7е2-Р/(Л/)

=	inf (|1Мх)й+л 01 (X)|ft) 4

x о vo <*> + V1 W = v
v. (%)e л;.

~ $ h W l'(\. л1)е, p dp = II v fL ((л0, л1)е> у	(6)

X

Отсюда следует (3).

Шаг 3. Пусть и(х)^0 —снова функция вида (5). В обозначе-
ниях § 1.9, положим для 0=cRez=Cl

f (х, г) = h (х, г)

II V W 11[Л0, Лг]е \(р« Ро )<г е>

где: /г(х, г)еГ(Л0, А1г 0) при каждом фиксированном хеХ;
h(x, 0)==о(х); h(xv z) = h (x2, г) при хх и х2, принадлежащих од-
ному и тому же множеству Bj из (б), и z из полосы 0 Re z «С lj
N

h (х, z) = 0 при х е Х\ [J Bj
/ = i
и

ЦЛ(х, г7)||л0, l + «)U<k.WII[x0,л1]е + е.

Здесь е — некоторое заданное положительное число. Из этих свойств
следует, что

f(x, z)f=F(LPM, LPM, 0),

У № Ч.(Л«) = Вv llpfco At (j 11 h (X> it} 1V (X) 1 [M Me' *)

Me) +e'
И

lf(l + «)4,(M

= 1 vК Me) (j11 h (x’ 1 + it} 11 v (x) (m d*f'
<1Кр([Л0, >M0)+8'.

Отсюда видно, что

IIv ll[Lpo <л»>. LP1 (л*>]е < Вv Ч ([Ло, л^е).	(7)

Шаг 4. Пусть снова v (х) — функция вида (5), и пусть

f{x, z)<=-F(LPM, LPi(Ax), 0),

где/(х, 6) = и(х). Так же, как в (1.18.1/9), получаем, что

II°Ч(1М Me) B^F(£р» (М- lpAaA> o')	<8)

ОО

(надо только заменить 2 • • • интегралом $... ф). Переход к ниж-
7=1	х

ней грани дает

IIv 14 (Ро-	LP,(Mle-

Теперь (4) следует из теоремы 1.9.3 (с), шага 1 и оценок (7) и
(9).

Замечание 1.* Данное выше доказательство сходно с доказа-
тельством теоремы 1.18.1. Это сходство основывается на первом
шаге, который показывает, что можно ограничиться функциями
вида (5). При этом удается избежать трудностей, связанных
с вопросом об измеримости рассматриваемых функций. Равенство
(3) совпадает по существу с результатом из работы Лионса и
Петре [2]. Формула (4) доказана Кальдероном [4] в рамках более
общих конструкций интерполяционных пространств. В связи
с этими более общими построениями Кальдерона [4] упомянем
также статью Лозановского [1]. Обобщение равенства (3) на слу-
чай, когда Ао и Аг зависят от хеХ, можно найти у Петре [26].
Если р не удовлетворяет условию (2), то (3), вообще говоря, не
верно, см. Цвикел [1].

Замечание 2. Справедливы утверждения, аналогичные при-
веденным в замечаниях 1.8.1/1 и 1.18.1/4.

Замечание 3. Небольшая модификация шагов 3 и 4 дает
при 1^р0<оо, О<0<1 и — = соотношение

Р Ро

[Lp„ (Ло), Leo (^i)]e = Lp ([Ло, Лх)]0.	(10)

(Другая возможность получить это соотношение —предельный
переход при pj^co в (7) и (9).) Если множество функций вида
(5) плотно в [£Ро(Л0), Leo (Л^е, то (10) остается верным и при
замене на ЕОЭ(Л1).

1.18.5. Интерполяция пространств Lp,W(x)(A)

Пусть Л—банахово пространство, и пусть опять [X, 53, ц]—
пространство с оконечной положительной мерой р. Для всякой
измеримой функции w(x), удовлетворяющей условию 0<w(x)<Z
<оо, и всякого р, 1^р<оо, положим

Lp, и> (х) (Л) = Lp< w (х) (Л; X, 53, ц)

= {/ (х) | f (х) — измеримая Л-значная функция,



М)=

Очевидно, LPt w	(Л) — банахово пространство.

Теорема. Если 1^р0, рх<оо, 0<0< 1 и

1 _ 1—8 . е

р ~ Ро + Pl ’
то

< со].

(1)

.! Л.

где

ф (х) = “е (X)	(X).
Доказательство. Шаг 1. Теоремы 1.6.2 и 1.9.3(c) показывают,
что множество функций вида

v (х) = Л а^хву (х), е= А,	оо,

7 — 1

N

(*) + К при X е и в/> (3)
/=1

плотно в каждом из пространств (2). Если v (х) — такая функция,
то, в силу теоремы 1.4.2 (с q—V) и замечания 1.4.2/1,

~ Г inf С (|| и (х) ||^»йур» (х) +1II v (х) |ft« WP‘ (х)) ф ~

J	₽о + 01 = 0^

л	(х) (*	/7т

= ((х)	\ Т-” Г inf (II v (х) ||$>+т II v (х) Il5f)l^-ф.

J 0 a»J|p’(x)J Ь. (ж)+ М*) = »(*)' 0

(4)
wp. (х)

Мы воспользовались заменой t — % " t .  К внутреннему интег-
\jUД' I J

ралу можно применить теорему 1.4.2. Он пропорционален интег-
ралу

Ст-е₽ inf [К(*)к+ЧМ*)Ш₽-4г

J	М*) 4-*! (*) = *(*)

= |т-0По(х)||₽ min(l, x)p^~h(x)|ft. (5)
О

В силу (1.4.2/1) и (1.4.2/8),

-Пр1=бр и (1 - п) Ро = (1 - е) р.

Поэтому последнее равенство в (2) следует из (4) и (5).

Шаг 2. Из теоремы 1.9.1 вытекает, что

(К/) (х, г) = u>o~z (х) Wi (х) f (х, г)

есть изоморфное отображение F- (L^ Wp,w (Л), wpl(x) (А), 0)
на F-(LPo(A), LPi(A), 0). Применяя теорему 1.18.4. получаем,
что (К/)(х, б) изоморфно отображает [LPo Wpow (А), Ьр^р.м (А)]0
ца [Л₽о (A), Lp, (А)]е = Lp (А). Отсюда следует первое из равенств (2).
Замечание 1. Если ц0 и — две о-конечные положитель-
ные меры на множестве X (определенные на одной и той же
о-алгебре 33), то существует сг-конечная положительная мера
(например ц0 + Р1)> такая, что меры ц0 + И1 обе абсолютно непре-
рывны относительно нее. Тогда	= ау (х) суть измери-

мые функции, удовлетворяющие условию 0 w (х) 1. В пред-
положении, что да(х)>0 (или иу(х)>0 почти везде относительно
меры Po + Hi)> имеем Lp,w.fx} (Д, X, 33, ц0+рх) = Lp (Д, X, 33, у,/).
Таким образом, задачу интерполяции пространств LP(A, X, 33, ру)
можно свести к случаю, рассмотренному выше.

Замечание 2. Утверждение для пространств 1р, соответ-
ствующее доказанной в этом пункте теореме, содержится как
частный случай в теореме 1.18.1.

Замечание 3.* В случае когда Д — комплексная плоскость
(одномерное комплексное пространство), положим для краткости
Lp, W(X} (Д) = LP, w(x}- В этом случае для широкого класса весовых
функций можно явно описать пространства

(Ер, Lp, wp(x))o, q-

Напомним в этой связи пример п. 1.15.3. За дальнейшими сведе-
ниями по этому вопросу отсылаем читателя к статьям Петре [16],
Гулауика [1] и Гилберта [1].

1.18.6. Интерполяция пространств LP(A).

Пространства Лоренца

Мы хотим распространить результаты п. 1.18.3 на произволь-
ные пространства Lp. Пусть Д—банахово пространство и [X,
S3, у] — пространство с a-конечной положительной мерой ц. Для
f (х) €5 Ех (Д)Ч-Loo (Д) положим

р (Л а) = у.({х|х<=Х, И(х)||А>а}), 0<<т<оо,	(1)

и

/*(/)«» inf <J, 0<f<oo.	(2)

p(f,

Ясно, что р (/, о) и /* (/) —• монотонно убывающие (« невозраста-
ющие) непрерывные справа функции и что р (/, о)->0 при <т->-оо.
(В (1) допускается и значение р (/, о) = оо.) Функция f* (t) яв-
ляется обратной к р(Д о), причем ее значения в точках разрыва
(типа скачка), отвечающих тем интервалам, где р(/, <т) постоянна,
определяются равенством (2) (см. рис. 1). Из рис. 1 видно сле-
дующее важное свойство:

IKIZ* (/)>ст}| = у({х|хеХ, ||/(х)||А>0}), 0<<у<оо.	(3)
Отсюда вытекает, что

|pl<*2>/*(0(> <Ti}| = p({x|xeX, %>llf (х)|д'><Т1}), (4)
где оо > а2 ох > 0. В силу последних двух формул, f* (t) —
равноизмеримая перестановка функции ||/;(х)||д.

Определение. Пусть 1 < р •< оо. Положим при 1	<? < оо

Lp,g(A) = {f(x)\f&L1(A) + LO3{A),

1/<7

<С оо

(ба)



(p/Pf* (/)?^

и при q = oo

LP,a>(A) = {f(x)\feL1(A) + Lm(A),
11Л1г-р,ю(Л) = sup (0 < оо}.

(5Ь)

Лемма. Для 1<р<оо справедливы равенства LPiP(A)=»
“ Lp (Л) и

Lp,оо (Л) = {f (х) I f <= L, (Л) + Lm (Л),

И f 1ьр> ет(Л) = sup [ц ({х IX <= X, [|/ (х) Ид 5* <Г})J VP ст}.	(б)

Доказательство. Равенство LP>P(A) = LP (Л) следует из (5а)
и (4). Полагая f * (t) = о, получаем, что (6) — лишь другая форма
записи равенства (5Ь).

Замечание 1. * Пространства Lp,g(A) называются про-
странствами Лоренца. Они были введены для частного случая
Лоренцем [1], и затем их обобщения предлагались целым рядом
авторов. Краткое описание истории пространств Лоренца, содер-
жащее многочисленные ссылки на литературу, можно найти
у Бутцера и Беренса [1, стр. 220 — 222]. Особый интерес пред-
ставляют пространства Марцинкевича LPtX,(A), введенные Мар-
цинкевичем [1] для случая числовых функций. Предыдущий пункт
был посвящен пространствам LPt w w (Л), где w (х) — весовая
функция. Для таких пространств, во избежание путаницы с про-
странствами Лоренца LPt q (Л), мы всегда будем писать аргумент х
в нижнем индексе.

Теорема 1. (а) При 0 < 6 < 1 и 1 q оо

(LxH), £0о(Л))в,? = £1/0_в),?(Л).	(7)

(Ь) При 0 < 6 < 1

[М(Д), LOo(A)]e = Ll/(1-0)M).	(8)

Доказательство. Шаг 1. Докажем, что для / е Lr (Л) 4- La> (Л)

К (t, f) — K (t.f; М (Л), Loo (Л)) = J /* (т) dx.	(9)

о

Если — значение, отмеченное на рис. 1, и уе{х\хеХ,
(х)\\а = {* (t)} (в случае когда это множество имеет положитель-
ную меру), то, в силу (4),

\f*(x)dx~	$ Jf(x)Udp, + a- Qlf(y)U- (Ю)

0	{z|||f(z)IU>M W}

(Отметим, что при t — t- второе слагаемое в правой части обра-
щается в нуль.)

Мера множества {z\\\f	(/)} равна L. Отсюда следует,

что для всякого разложения f = /i4-/oo.	А),

G*(T)dr^ $ 11МлОЬФ4-(/-РИ1Ша

0	(г||/(г)||л >f* (О)

4-1- sup	|| /о, (%) |д 4- (t -1-) II /00 (у) ||д

X«={Z|||f (2)||Л>Г«(О}

<11/1Нь1(Л)4- ШсоНСооИ)-	(11)

Но для специального разложения

/W

0

fi W =

® при xeMH(z)h>/*(0b

в остальных точках,

/«>=/ — fl>

имеем

1А1ь1<л)4-Л/«ксо(Л)- V* (x)dx — t-f* (04-//* (О
о

= $/*(т)4т.
о

(12)

Из (11) и (12) следует (9).
Шаг 2. При q<Z оо

Mq

Lo

11/1(^04),

(13)

Аналогичное соотношение верно и при <7 = 00. Далее, при <?<оо

J (t, f) у

-0

1/Q

1/Q

Lq	'0

q

о Lo

~)Alq

4f*9 (ts) ds

' (14)

0	L0

Аналогичное соотношение верно и при q — <x>. Из (13) и (14) сле-
дует (7).

Шаг 3. Теорема 1.10.3/1 дает

[М (Л), Loo(A)]0o (М (А), L«>(A))ea.

Но в силу теоремы 1.9.3(c), (^(А), LOT(A))ea плотно в [LX(A),
Leo (А)]е. Из явного выражения для нормы |7||(£1(Л),£ОО(Л))01 видно,
что множество ступенчатых функций вида

Ха^вДх), ц(В/)<оо, a/sA,
/=1

плотно в (Li (А), £оо(А))0л> а следовательно, и в [LX(A), Тте(А)]0.

Теперь (8) следует из замечания 1.18.4/3.

Замечание 2. * Связь теории пространств Лоренца с тео-
рией интерполяции была обнаружена Петре [4] и Кальдероном [3].
Формула (9), по существу, доказана Петре.

Замечание 3. Теорема 1.18.3/1 представляет собой частный
случай предыдущей теоремы.

Замечание 4. Легко усмотреть однородность |1/кр,?(Л)1

IIV lltp, q (Л) = |Л | • \f ||ьр> q (Л)-

Так как (£Х(А), Lm (А))е, q — банаховы пространства, то |1Л£р>9(Л)
есть квазинорма. Вообще говоря, эта квазинорма не является
нормой, однако она эквивалентна норме |(l <л>, ^И>)0 > Р =
= 1/(1-6).	”

Теорема 2. Пусть 0<б< 1, 1<р0, Pi<°°, Po#=Pi,
1	1	1— 0 .6 лт, 3

ft, и ~=-----------------• Тогда

™	4	р Ро 1 pt

[LP,(A). LPt(A)]Q = Lp(A)	(15)

и

(LPoi9o(4), ЬР11?,(Л))м = £а?И).	(16)

Равенство (15) [соотв. (IQ)] остается верным после замены Lp„ (А)
[соотв. £₽,>, ?0 (Л)] на £Х(Л) (в этом случае р0=1) и/или LPl (A)
[соотв. LPj, ?1(Л)] на La^A) (в этом случае р1 = оо).

Доказательство. Равенство (16) следует из теоремы 1 и теоремы
1.10.2 о реитерации. Равенство (15) для случая р0, pj^co выте-
кает из (1.18.4/4), а для случая р1=оо — из шага 3 доказатель-
ства теоремы 1.

Замечание 5. * Как уже отмечалось несколько раз, веще-
ственные интерполяционные методы переносятся без существенных
изменений на квазибанаховы пространства. Крэ [3] показал, что
в этом смысле (16) верно также при 0 < 6 < 1, 0<р0, р1<оо,
0<?о> ?i> <?<<*>• Отправной точкой его доказательства
служит формула

(tp	\i/p

\f*p(r)dx] , 0<р<оо.
о	/

При р=1 получается, по существу, формула (9). Отметим еще
в этой связи работы Хольмстедта [1], Окландера [2], Петре [26]
и Петре и Спарра [1].

1.18.7. Классические интерполяционные теоремы

В этом пункте мы докажем классические интерполяционные
теоремы Рисса — Торина, Марцинкевича и Стейна — Вейса. Пусть Ло
и Лх —два банаховых пространства и [Xj, 53у, ру], / = 0, 1,—
два пространства с о-конечными положительными мерами ру.
Будем временно Lp- и LPi„- пространства относительно [X/, 53/, ру]
обозначать через Lp> и Lp\ соответственно.

Теорема 1. Пусть l^pj, q}^oo, / = 0, 1, и

T<=L ({L^ (Ло), L- (Ло)}, {Ц}; (Лх), Ц1; (Xx)})‘

Если 0 аС в 1 и
то

ТеЦЦШ ^’(Л3))	(1)

и

11 Т к’’ 0О> ~*L'rt 01)	11 Т ^РоРо)-^’ 01) 11 Т (Аа)-^ 01)’ (2)

Доказательство. Это вытекает из теорем 1.18.6/2 и 1.9.3(a), если
учесть, что пространства в (1.18.6/15) имеют не просто эквива-
лентные, а равные нормы, как это следует из замечания 1.18.4/2.

Замечание 1. * Для скалярного случая, когда простран-
ства Ао и Af совпадают с комплексной плоскостью, теорема 1
представляет собой классическую теорему о выпуклости Рисса — То-
рина. В несколько более слабой форме она была установлена
М. Риссом [1] в 1926 г. В приведенной выше формулировке она по
существу совпадает (для скалярного случая) с результатом То-
рина [1, 2] (1939, 1948 гг.). Название «теорема о выпуклости»
связано с тем, что In |i Т||l<o)_^l(d оказывается выпуклой функцией
относительно 6. Прямое доказательство теоремы о выпуклости
можно найти у Данфорда и Шварца [1, I, § VI. 10] или у Зиг-
мунда [3, гл. 12].

Замечание 2. Используя вместо теоремы 1.18.6/2 теорему
1.18.4, можно немедленно сформулировать более общие теоремы
для векторнозначных функций.

Теорема 2. Пусть 1<р;> qf p^qh 1 ^р7, оу,
^оо (/ = 0, 1) и

Те£({£'»’,Р,(ЛО), ЬУ’аДДо)}, {^,р.(4). 41,!МЛ)}).

Если 0 < 6 < 1 и

_L = kd + l, /=0) 1,

то

TeL(U°’s (Ло), /^(Л))	(3)

и

,Т|'^ 300)^,30!)

с j Т ||'<0>е (А	(А v ЦТ J0»» (А чи мр (4)

ъРо, Ро0о) LPi. Pi 01)	l<7o, <».0o)^I'?i, Pi 01)

где с = с (0) — некоторое подходящее число. Если дополнительно
Pi^Po « <h^Qo’ т0

TeL(Lr®’(Ло), WlAJ)	(5)

и справедлива оценка, аналогичная оценке (4).
Доказательство. Равенство (1.18.6/16) (при g = s) и теорема
1.3.3(a) дают (3) и (4). Если PiSsp0 и qi^q0, то также и Г1^=г0-
Поэтому включение (5) следует из включения (3) с s = r0 и соот-
ношения (1.3.3/3):

Замечание 3. * Для случая, когда Аа = Аг — пространство
комплексных чисел и р0 = о0 = оо, р1 = р1, Gi = qv утверждение (5)
представляет собой классический результат, сформулированный
Марцинкевичем [1] в 1939 г. и доказанный Зигмундом [2] в 1956 г.
Наиболее сильный. результат теоремы —это случай р0 = <т0 = оо и
р1 = о1=1. Прямое доказательство теоремы Марцинкевича можно
найти у Стейна и Вейса [5], Стейна [5] и Дж. Т. Шварца [1].
Имеются также ее обобщения на векторнозначный случай. Укажем,
далее, книгу Зигмунда [3, гл. 12], где эта теорема доказана для
более общих операторов — так называемых сублинейных опера-
торов. Другие обобщения теорем Рисса — Торина и Марцинкевича
получили Беренстейн, Котляр, Керцман, Крэ [1], Головкин [4],
Крэ [3], Миранда [2], Окландер [1, 2], Коидзуми [1], С. Г. Крейн
и Семёнов [1]; см. также Бенедек и Панцоне [2], Крайнек [1],
Беннетт [1, 3, 4] и Ярошевская [1].

Теоремы 2 и 1.18.6/2 понадобятся нам позднее при построении
теории мультипликаторов Фурье. Как мы увидим, для одного
специального, но очень важного случая этих теорем недостаточно.
Поэтому мы установим здесь отдельно нужный результат. Исполь-
зуемые ниже символы имеют тот же смысл, что и в п. 1.18.6.

Теорема 3. Пусть 1<р<оо и Т —линейный оператор,
такой, что

и

sup Их ({х III (Tf) (х) U, SS а}) <Т < СII/|L<.> (Л).	(7)

а>0	1	*

Тогда при \<q<.p

TeL(L?(A0), L'J'tAj).	(8)

Доказательство. Шаг 1. Пусть /	и 0<а<оо.

Положим

т = т (о) ~ (Г* Ц Шч}* (/) у 1
и

/(х)

при ||/(x)|U0^/*(t),

Л (X) =

Г (Т)

/(X)
И(*)к

при ||/(х)||л0>/*(т),

А(х)=/(х)~А(х).

Тогда

/* (0 = /* (т) при 0</s£T,	При Т==5/<СО

и

fi У) = f* (0 — f* (t) при	f2(t) = 0 при T^/Coo.

Используя лемму 1.18.6 и определение 1.18.6, получаем отсюда,
что

Pi ({х I il (W (х) ||л, > О}) о»

< Ф1 ({х 111 (ТА) (X) ||л, 2= у}) а9 + Ф1 ({х11| (Tf2) (х) ||л, 2s у}) о9

/	1	? 1 ,др »

=С с'а^-р И* (т) ГР +\tPf* (t)~\ +c'<39~1 i f* (t) dt



L 0

4-с"'а?-1т'

+ c"o9~1t' 9Jt9f*(t)~^
0

1 00 1

’ J /V* (Oy

i9^

Таким образом,

11 ^^Voo(Л1) C11	1 (ЛГ

Шаг 2. Теперь утверждение теоремы немедленно следует из
теоремы 2.

Замечание 4. * Для скалярного случая утверждение тео-
ремы также было сформулировано Марцинкевичем [1]. Далее,
отметим, что эта теорема непосредственно вытекает из результатов
Крэ [3], см. замечание 1.18.6/5. Ее обобщения имеются у Крэ [3]
и у Дж. Т. Шварца [1].
Теорема 4. Пусть l^pj, qj <оо, j = 0, 1, и

Т ^р0, и>Р°(х) (Л), LQq, сН7о (х> (Ло)|,

wPi(x) (Лх), Lq^ v<H(x)

в обозначениях п. 1.18.5. Если 0 =с 6 =С 1 и

— = —- + —, Оу (х) =^1.~е (х) У? (х), / = 0, 1,

rj Pf 4J J	i	J

то

T ^LrQ, c/о (x) (Ло), Lrv с/* (х) (^i)J	,

и справедлива оценка, аналогичная оценке (2).

Доказательство. Это следует из теоремы 1.18.5.

Замечание 5. * Эта теорема обобщает теорему 1. Распро-
странение теорем Рисса — Торина и Марцинкевича на случай
весовых пространств принадлежит Стейну и Вейсу [1, 3]. Интер-
поляционные теоремы для весовых пространств Лоренца доказал
Хейниг [1].

1.18.8. Теорема Хаусдорфа — Юнга

Во введении к п. 1.1.2 в качестве приложения теоремы о вы-
пуклости Рисса отмечалась теорема 1.1.2/2, принадлежащая Хаус-
дорфу и Юнгу Пусть Rn — n-мерное вещественное евклидово
пространство и F обозначает преобразование Фурье в пространстве
S' (Rn) медленно растущих обобщенных функций. Сужение F йа
подпространства будем обозначать также через F. Как обычно,
Lp (Rn) — лебегово пространство по отношению к лебеговой мере
в Rn.

Теорема. Для 1^р^2

F е L (Lp (Rn), LP' (R„)), где j + ± = 1,
u

Доказательство. Так как

(Ff)(x) — (2n)~^

*n
имеем оценку

6 X. Трибель
Поэтому желаемое утверждение вытекает из теоремы 1.18.7/1 и
хорошо известного равенства \\F |Il2_»l2 = 1.

Замечание 1. Эта теорема была доказана Хаусдорфом и
Юнгом. Желание найти для нее простое доказательство было одной
из причин появления теоремы о выпуклости Рисса.

Замечание 2. Ограничение 1 р 2 существенно. Для
2<р^оо утверждение теоремы неверно.

Замечание 3. Некоторые обобщения вышеприведенной тео-
ремы в рамках теории интерполяции и перестановочно-инвариант-
ных пространств имеются у Беннетта [2, 5 III].

1.18.9. Свертки в Rn

Пусть опять Rn — вещественное эвклидово пространство и пусть
Lp (Rn) и LPt оо (Rn) — соответственно лебеговы пространства и про-
странства Марцинкевича относительно лебеговой меры. Рассмотрим
интегральный оператор К вида

(К/)(х) = $ к(х— y)f (y)dy = J K(y)f(x-y)dy. (1)
«л

Теорема 1.

Пусть 1 sg р -С оо, K(x)<=Lp (Rn), — 4--Г =
р р

1 , 1 .

=----Т = 1 U

р р

1	_	,	1	1	1	1	1	1,1.

1	р р , — — — — —~ — — — —т~ == — + — — 1 •	(2)

г <7 р р р р р‘р	v 7

Тогда

K<=L(Lp(Rn), L9(Rn))>

(3)

Доказательство. Предельный случай р = р' следует из неравен-
ства Гёльдера, а предельные случаи р=1 и р=1 можно полу-
чить из неравенства Минковского для интегралов. Следовательно,
можно считать, что

1<р<р', шах(р, р)<9<оо и р<оо.

Беря

pq
и

r q-p

6 = -^
q-p
имеем

1 , 1 , 1 ,

—+ т Н----•= !•

V 1 6 ' q

Применяя теперь неравенство Гёльдера, находим

„	i--£-	-2- А

|(Л7)(х)1< $	« \К(х — у)\ ч \f(y)\q х

Rn

1-Л /г	о(1--М

Х|Ш1 4 dy^l J |/C(x-0)| V ч)

Ч

Поэтому (3) следует из оценки

I (Kf) (X) «4 - II К (X) J4 IIК (X) |£Р||/(t/)|| pLplf (У) II

= II^WIl!pll/(i/)lC	(4)

н	р

Замечание 1. В литературе неравенство (3) называется
неравенством Юнга,

Теорема 2. Пусть 1 < р < оо, К (х) е LPt оо (/?«),	+ у- =

= i+4 = i и
р 1 р

• , 1 1 1 1 1 1 , 1 , /кч

<р<р> g р р,- р р>	р + р	•	()

Тогда

K^L(Lp(Rn), L9(Rn)).	(6)

Доказательство. В теореме 1 функции f (х) и К (х) участвуют
симметрично, так что наряду с оператором К можно рассматри-
вать оператор f. Для фиксированного f <= Lp (Rn) и двух различ-
ных чисел Po#=Pi> для которых справедливо (5) (при подходящем
выборе 9/), имеем, в силу теоремы 1,

ll/||iprS.<ll/(x)||ip, / = 0, 1.

Используя теорему 1.18.6/2 и считая при этом временно, что
Lp, оо снабжено нормой интерполяционного пространства, получаем
с учетом теоремы 1.3.3(a), что

||(/</)(х)кв,те^К(х)йР1Ю11/(х)кр,

(7).
где

1 <Ср < р' И

1	1	1

q	Р	Р'

Для фиксированного K(x)^Lp> оо рассмотрим оператор как
действующий из Lp в Lq,& для двух различных значений р, удов-
летворяющих (5). Применение теорем 1.18.6./2 и 1.3.3(a) дает
неравенство

IW) W 11ч а I * W lllp, оо f f W kp, а,

где р, р и q удовлетворяют (5), а а произвольно, l^a^oo.
Беря а = р и учитывая, что q>p (а значит, Lqtq = Lq), при-
ходим к (6).

Замечание 2. Поскольку Lp (Rn) cz LPt (/?«), теорема 2
является более общей, чем теорема 1. Неравенства из теорем 1
и 21 (и другие подобные неравенства) чрезвычайно полезны во
многих приложениях, причем более общий вариант, полученный
в теореме 2, очень важен. Примером этого служит приводимая
ниже теорема 3.

Замечание 3.*Из доказательства теоремы видно, что утверж-
дение (6) можно заменить более сильным:

Ke=L(Lp(Rn), Lq,p(RnS).

Этот рез} т принадлежит О’Нейлу [1]. Доказательства такого
типа содержатся в ряде статей Петре, см., например, Петре [11].

Теорема 3. Пусть оператор К определен равенством

(8)

где

r\	1	п	1	a	1

г п — a	q	п	р

Тогда

K<=L(Lp(Rn), Lq(Rn)).

(9)

1 Что касается теоремы 2, то имеется в виду оценка, неявно содержа-
щаяся в (6), — Прим, ред.
Доказательство. Лемма 1.18.6 дает

IIIX k„/a, оо = sup [р, ({ х I I х I	0“'/“})]“/'’ а < со.

Поэтому (9) следует из теоремы 2.

Замечание 4.* Теорема 3 очень важна при исследовании
вложений пространств Соболева. С ее помощью можно определять
предельные показатели в теоремах вложения. Теорема 3 доказана
Соболевым [3, 4]. Ранее Харди и Литтлвуд [ 1 ] рассмотрели одно-
мерный случай в рамках теории дробного дифференцирования;
см. также Харди, Литтлвуд и Пойа [1]. Оценка, содержащаяся
неявно в (9), называется неравенством Харди —Литтлвуда —Собо-
лева. Так как эта оценка очень важна, для нее получено много
различных доказательств. В замечании 2.2.3/1 мы еще вернемся
к этому вопросу, а сейчас отошлем читателя к работам Хёрман-
дера [2], О’Нейла [1] и Мурамату [1]. Неравенства подобного
типа в пространствах Lp с весом можно найти у Стейна и Вейса [2],
Стрикарца [3], Мукенхаупта и Уидена [1] и Уолша [1, 2].

Замечание 5.* Существует множество работ, посвященных
изучению свойств интегральных операторов как отображений
в пространствах Lp. Сводку результатов можно найти у Эдвардса
[3, § 9. 5] и у Канторовича и Акилова [1]. Укажем, далее, обзор-
ную статью Стрикарца [1]. Для пространств Lp (без веса или
с весом) имеются неравенства трех типов: (а) неравенства типа
Юнга (теорема 1), (Ь) неравенства типа Харди— Литтлвуда —Собо-
лева (теоремы 2 и 3), (с) неравенства типа Кальдерона — Зигмунда
(для сингулярных интегральных преобразований). Позднее при
рассмотрении мультипликаторов Фурье мы коснемся кратко нера-
венств третьего типа. Свойства интегральных операторов в связи
с теорией интерполяции были рассмотрены Петре [11, 37]. В ука-
занных работах содержатся дальнейшие ссылки на литературу.

1.18.10. Самосопряженные операторы и теория интерполяции

В § 1.15 мы развили теорию дробных степеней позитивных
операторов. Как уже было несколько раз отмечено, дробные сте-
пени положительно-определенных самосопряженных операторов
в гильбертовых пространствах, определяемые обычным образом
при помощи спектральных разложений,— это частный случай
общей теории. В частности, для них справедлива теорема 1.15.3,
поскольку в этом случае А*7 — унитарные операторы. Однако
использование довольно сложной теории, развитой в § 1.15, не
является в этом частном случае необходимым; те же самые резуль-
таты можно получить более простым путем,
Пусть Л — самосопряженный положительный оператор, дей-
ствующий в гильбертовом пространстве Н\ его спектральное раз-
ложение обозначается через {£1г}-оо<ц<оо; Ер = 0 при р^О. Как
обычно, для всякого комплексного числа z положим

оо

Лга = J цг dE^a,
о

D (Лг) = {а | а е Н,

И I'o (лг)

~оо	2

= $ (1+g2Re*)d|'£ца|12

-О

D (Лг) с Н также является гильбертовым пространством.

Теорема. Пусть а и $ —комплексные числа с Rea^O,
Re р 2s 0. Тогда при 0 < 9 < 1

Р(Л“), D(A₽)]e = (D(A«), D (Л₽))0.2	(A^’+P6).	(1)

Доказательство. Шаг 1. Можно считать без потери общности,
что аир — вещественные числа и 0 sga <; р •< оо. По теореме 1.9.1
линейные комбинации функций вида

e&2+?4ai + (A2 + £) 2 a2J, a^D^), a2f=D(AP), (2)
плотны в F_(Z)(A“), £>(ЛР); 0), 6>0, X вещественно. Оператор
(Л24-£)(^“)/2 изоморфно отображает D (Лр) на D (Л“). Оператор G,
задаваемый формулой

Gv (z) = (А2 + Е) 2 о (г),

где v (z) — произвольная конечная линейная комбинация функций
вида (2), изоморфно отображает (после продолжения по непрерыв-
ности) F_(Z)(Aa), D (Лр); 0) на F_(Z)(A“), D(Aa); 0). (Помимо
теоремы 1.9.1, мы используем здесь тот факт, что D (Л₽) плотно
в Z)(A“).) Отсюда вытекает, что (Л2 4- £)<₽-“)е/2 изоморфно отобра-
жает Р(Л₽), О(Л“)]9 на [£)(Л“), £>(Л“)]0 = Д(Л“). Тем самым (1)
доказано для комплексного метода.

Шаг 2. При доказательстве (1) для вещественного метода можно
считать, что 0=а<р<;оо. Если ввести

G(t) = eitA&, /2s 0,

то Л₽ будет инфинитезимальным оператором полугруппы
{G(0}o</<oo унитарных операторов. Полагая

A₽a = Н dP^a, G (t)a=\ eitv-dPua,
о	о
имеем по теореме 1.13.5(b)

I'а ll(H. D (л₽))е, 2 = II«II2 + J *-20 II (G (0 - Е) а II*
Q

= II а р + J Z-29 J | е«н - 11Ч || Р»а |,2 4
Q Q

оо

= || а ||2 + с р.20 d, |1 Р^а ||2 = || а ||2 + с || Л₽0а |2.
о

Отсюда получаем (1) для вещественного метода.

Замечание 1. На шаге 2 доказательства мы следовали рас-
суждениям из работы Трибеля [4].

Замечание 2. Как уже упоминалось, эта теорема является
частным случаем теоремы 1.15.3.

Замечание 3. Если Н1 и Н2 — гильбертовы пространства
и Z/jl плотно вложено в Я2> то Hi может быть представлено как
область определения HL = D(A) некоторого подходящего положи-
тельно-определенного самосопряженного оператора Л, см. Рисе и
Сёкефальви-Надь [1 стр. 315—316]. Наша теорема дает в этом
случае равенство

=	(3)

Замечание 4. Можно распространить эту теорему на более
широкий класс операторов, действующих в гильбертовом простран-
стве. См. Като [2] и Лионс [9].

1.19.	ДОПОЛНЕНИЯ

В данном параграфе мы не собираемся комментировать преды-
дущие рассмотрения или приводить дальнейшие справки по обсу-
ждавшимся вопросам; замечания исторического характера и ссылки
на литературу имеются в соответствующих пунктах. Напротив,
мы намереваемся описать некоторые аспекты теории интерполяции,
лежащие в стороне от главного направления этой книги, но пред-
ставляющие интерес с точки зрения полноты изложения. При
этом местами мы ограничимся произнесением «ключевых слов»
и ссылками на литературу.
1.19.1.	Другие интерполяционные методы
в банаховых пространствах

Имеется ряд работ, посвященных обобщению вещественного
и комплексного методов, рассмотренных выше, или описанию
новых конкретных интерполяционных методов. Полагая

оо	1

Ф0,?(«(О) = [$	1=С9<^>	(1-а)

Фе>оо(«(0)=8ир/-еи(/),	(1b)

/е(0,оо)

где О<0<1 и	имеем

1И1(До,Д1)0,<7==Ф0,7	й))	(2)

(аналогично для J-метода). Петре [7] исследовал вопрос, можно
ли данную конкретную функцию Ф0,7 (и (/)) заменить какой-нибудь
более общей функцией Ф (и (/)). Краткое сообщение об этом мож-
но найти у Бутцера и Беренса [1, стр. 213]. Кроме того, см.
Гулауик [2], Бутцер и Шерер [2] и Шерер [1]. Другие обобщения
К-метода и J-метода предлагали Ёсинага [1], Дмитриев [1, 2, 5,],
Беннетт [5], Лакруа-Сонрье [1] и Уильямс [1]. В последней статье
развиты аксиоматические методы, применимые также к комплек-
сным методам и охватывающие теорию двойственности. Существен-
ные обобщения комплексных методов даны Шехтером [5, 6].
Основную идею можно описать следующим образом. Элемент а
принадлежит [Ло, Лг]0 (в смысле § 1. 9.), если существует функ-
ция f^F(A0,	у), такая, что а = 60(/)» где б0 означает 6-функ-

цию, сосредоточенную в точке 0. Шехтер заменил 60 обобщенной
функцией типа E'(S). Рассматривались также резличные моди-
фикации пространств F (Ло, Лп у).

Отметим, наконец, весьма общие конструктивные интерполя-
ционные методы, предложенные Гальярдо [5]. Краткое их опи-
сание можно найти у Бутцера и Беренса [1, стр. 214—215] и
Мадженеса [1]. Хольмстедту и Петре удалось показать, что один
важный подкласс этих интерполяционных пространств совпадает
с (Ло, Л^е,^; см Петре [10].

Гальярдо [6] развил методы конструктивного описания всех
интерполяционных функторов. См. также Ароншайн и Гальярдо
[1], Дойч [2] и Керси [1]. Кроме того, исследовались и более
общие интерполяционные пространства.

1.19.2.	Интерполяционные функции

Пусть X — локально-компактное пространство, ц — о-конечная
положительная мера и wp{x} = Lp, wp{x »(Л), где А — комплексная
плоскость, имеет тот же смысл, что и в п. 1. 18. 5. Положитель-
ная измеримая функция Н (z0, zt), определенная на квадранте
{(z0, zj | z0 > 0, zx>0}, называется интерполяционной функцией
степени р, если из

ТееЦЬ р , L р \ / = 0, 1,	(1)

p,wPj(x)	J	v 7

следует, что

Т L (Lр, нр (Wp(XjtWP(Xy^ LptHp^wP^9 wp	(2)

причем это соотношение должно выполняться для всех X, ц и
всех весов &у0(х),	(х). Это понятие рассматривали Фояш и

Лионс [1] и затем Петре [9, 17], Отметим здесь также работу
Донаху [1].

1.19.3.	Интерполяционные пространства для {£п £оо}
и для общих интерполяционных пар

В п. 1.18.6. мы имели дело с пространствами Лоренца
Lp,q = Lp, q(A), где А — комплексная плоскость, как интерполя-
ционными пространствами между и L^. Было показано, что
фундаментальную роль играет «переставленная» функция /* (/).
Возникает вопрос, возможно ли описать все банаховые прост-
ранства В,

£i П £оо cz В cz L^i -J- £оо>

такие, что если Т принадлежит L ({LT, L^}, {Llt Loo}) (интерполя-
ционные пространства), то T^L(B, В). При этом предпола-
гается, что

\\Т\\в_в^С тах(||Лм-.£р IIЛ

Можно доказать, что В является интерполяционным простран-
ством между Lx и Loo в желаемом смысле тогда и только тогда,
когда каждая измеримая функция g(x), для которой существует
функция f (х) е В со свойством

t	t

^g* (x)dx^^f* (x)dx для всех /, 0</<oo,	(1)

о	о

также принадлежит В. Этот результат установлен Митягиным [2]
и Кальдероном [5]. Тот же вопрос для интерполяционных пар
{Lp, Loo} и {L1} L7} исследовали Лоренц и Симогаки [2]; см. также
Седаев [1], Дмитриев [4] и Спарр [2]. Тесно примыкают сюда
исследования Семёнова [1—3] по симметрическим пространствам;
см. также Циппин [1] и Шарпли [1—6].

Полагая Ло = Lj и A1 = LOOf приведенное выше условие можно,
В силу (1.18.6/9), сформулировать следующим образом. Простран-
ство В является интерполяционным тогда и только тогда, когда
всякий элемент ^^Ло + Л!, для которого существует элемент
f е В со свойством

Kit, g', AQ, AA^K(t, f-, Ао, Л^ для всех t, 0^/<оо, (2)
также принадлежит В. Добавив предположение	Седаев

и Семёнов [1] показали, что для произвольных интерполяцион-
ных пар {Ло, ЛД из этих условий следует, что В —интерполя-
ционное пространство, однако эти условия не являются необхо-
димыми (построен контрпример). В той же статье дано доказа-
тельство того, что при выполнении указанного добавочного
предположения условие (2) для интерполяционной пары {Ц, W() (x),
Li,Wi(X)} необходимо и достаточно для того, чтобы В было интер-
поляционным пространством. Седаев [1] распространил эти рас-
смотрения на пространства Lp с весами р > 1. Наиболее общие
результаты в этом направлении принадлежат Спарру [2]. В связи
с обсуждавшимися здесь вопросами см. также Петре [27].

1.19.4.	Интерполяционные шкалы

С. Г. Крейном и его учениками и сотрудниками были введены
и изучены шкалы банаховых пространств. Семейство банаховых
пространств Ле, 0=Сб^1, называется шкалой, если простран-
ство Ле, плотно вложено в Ле0 при О^6о<61^1 и если

е,_о е-е0

1Ил0<^о, 01,0)kiiX;e°i^&e7e°

при всех 90 < 0 <01 и всех яеЛо,. Это понятие тесно связано
с интерполяционными пространствами, как видно из формул
(1.3.3/5), (1.9.3/3) и теоремы 1.10.2 о реитерации. Подробное изло-
жение этой теории и дальнейшие ссылки на литературу можно
найти у С. Г. Крейна и Петунина [1] и С. Г. Крейна, Петунина и
Семёнова [1, 2]. Укажем еще статьи Фавини [3, 4, 8].

1.19.5.	Интерполяционные свойства билинейных форм

Рассматриваются три пары банаховых пространств Ло cz Alf
B0G2Blf CoCzCx и непрерывная билинейная форма 1(а, Ь) дей-
ствующая из А1хВ1 в Сг, такая, что ее сужение на ЛохВо
является непрерывным отображением ЛохВо в Со. Пусть Mj—
норма I как отображения из Л7хВ7 в С7. Кальдерон [4] пока-
зал, что I есть непрерывное отображение

[Ло, Л]еХ[В0, BJe й [Со, CJe с

0<9<1; М обозначает норму этого отображения. Он получил
также обобщения на случай полилинейных форм. Для вещест-
венного метода Лионс и Петре [2] доказали, что I представляет
собой непрерывное отображение

(До> А)е, рХ(В0, в (Со, CJe, г с М.^М.% °/И?,

где 0 < 6 < 1 и

Фавини [3] рассмотрел интерполяционные свойства билинейных
форм в обобщенных шкалах в смысле С. Г. Крейна и Петунина [1].
Отметим еще в этой связи работу Фавини [8].

1.19.6.	Абстрактные теоремы вложения
для интерполяционных пространств

При изложении метода следов мы отмечали, что теоремы 1.8.3
и 1.8.5 являются абстрактными вариантами многочисленных тео-
рем вложения следов на границе для конкретных функциональ-
ных пространств без веса и с весом. Возникает вопрос, имеются ли
подобные абстрактные теоремы, содержащие в качестве частных
случаев теоремы вложения функциональных пространств с раз-
личными метриками. Прототипом теорем такого рода является
хорошо известная теорема вложения Соболева:

" s>°, l<p<t7<oo;
г	Ч

здесь Wsp (Rn) — пространства Соболева — Слободецкого, обстоя-
тельно обсуждаемые ниже. (См., например, Соболев [4] или
С. М. Никольский [7].) Обобщения указанного типа были полу-
чены Ёсикавой [1] и Комацу [6] на базе теории сильно непре-
рывных полугрупп операторов и теории позитивных операторов.
.Мы не будем вдаваться здесь в подробности, а вернемся к этому
вопросу в п. 2.8.2. Следует заметить, что мы будем доказывать
теоремы вложения описанного типа в основном прямо, без прив-
лечения теории интерполяции. Используя теорию дробных степе-
ней позитивных операторов, Ёсикава [3—5] распространил далее
свои результаты. Наиболее общие результаты в этом направлении
принадлежат Комацу [6]; см. также Комацу [7].

1.19.7.	Теория интерполяции для нормированных
идеалов в гильбертовых пространствах

В определении 1.16.1/1 было введено понятие Q-идеала (ква-
зинормированного идеала).

Теория нормированных идеалов1 компактных операторов
в сепарабельном гильбертовом пространстве Н развита в книгах

1 В оригинале norm-ideals — Прим. ред.
Шаттена [1] и Гохберга и Крейна [1]. Если sf (Т) — аппроксима-
ционные числа компактного оператора Т^Ь(Н, Н), определен-
ные в (1.16.1/4), то

T->{S1(/); s2(T), •••}

является взаимно-однозначным соответствием между нормирован-
ными идеалами ® cz L(H, Н) и нормированными идеалами сфстс0
(где с0 — пространство сходящихся к нулю последовательностей),
характеризуемыми так называемыми порождающими1 функциями Ф.
Норма в © зависит только от аппроксимационных чисел. За
деталями и уточнениями отсылаем к Гохбергу и Крейну [1].
Важными примерами служат сф = lp, 1 р оо и сф = lp, q,
1<р<оо,	приводящие к нормированным идеалам

©, = {Т|Те£(Я, Я), \\Т fep = ||{sy}||/p<oo}

(см. Гохберг и Крейн [1]) и

@М = {Т| Т eL (Я, Я), IIТ q = I! {*/} |!/р, q < оо}

(см. Трибель [4]). Пусть <^ф обозначает нормированный идеал,
соответствующий Сф (в этом отношении вышеприведенные обозна-
чения и &p,q являются исключениями); обозначает мно-
жество компактных операторов, L — множество непрерывных опе-
раторов. Для нас представляют интерес интерполяционные свойства
идеалов ©ф. Пич и Трибель [1] доказали, что

[©!, ©cole = [©!, L]0 = © > , 0 < 0 < 1,

1 — и

и Трибель [9], —что

(®i, @oo)9^ = (ei, Ло,?-® i , 0<8<1, 1^7^соо. (1)

1-0’ Q

При сравнении этого результата с (1.18.3/1) и (1.18.3/9) возни-
кает вопрос, справедливо ли для двух произвольных порождаю-
щих функций Фо и Фх и произвольного интерполяционного функ-
тора F равенство

F({®0o, ®ф1}) = ^({сФо. Сф1}).	(2)

Утвердительный ответ при некоторых ограничениях получен для
комплексного интерполяционного функтора Трибелем [9] и для
общего интерполяционного функтора— Пичем [5]. Распространив
определение на значения 0 < р < оо, Улуфф [1] показал, что
=®,. «4 = ^ + ^.

О<0<1, 0<р0, р!<оо. (3)

1 В оригинале «norm-generating». У Гохберга и Крейна [1] такие функции
называются симметрическими нормирующими функциями. Аппроксимационные
числа в случае гильбертова пространства называются «-числами. — Прим. ред.
Наконец, в связи с теорией интерполяции нормированных идеа-
лов в гильбертовых пространствах укажем работы Мирошина [1],
Гапайяра и Фам Тхе Лая [1, 2], Фам Тхе Лая и Меруччи [1],
Меруччи [1, 2], Фам Тхе Лая [1—3], Меруччи и Фам Тхе Лая
[1, 2], Гапайяра [1, 2] и Караджова [2]. В статье Фам Тхе Лая
[3] содержатся также результаты, относящиеся к §1.16 (для гиль-
бертовых пространств).

1.19.8.	Теория интерполяции для квазинормированных
идеалов в банаховых пространствах

Систематическое изложение теории операторных идеалов (см.
определение 1.16.1/1) в банаховых пространствах дано Пичем [7].
Интерполяционные свойства операторных идеалов установлены
для комплексного метода Пичем и Трибелем [1] и для веществен-
ного метода Фрайтагом [1]. Используя теорию интерполяции для
нормированных абелевых групп, Петре и Спарр [1] доказали, что
равенство (1.19.7/3) справедливо также и в случае банаховых
пространств.

Результаты Петре и Спарра, равно как и рассмотрения § 1.16,
показывают, что некоторые геометрические характеристики ком-
пактных операторов в банаховых пространствах хорошо «приспо-
соблены» для интерполяции. Результат Хаякавы [1], приведенный
в п. 1.16.4, свидетельствует, что и само понятие компактного
оператора удачно вписывается в теорию интерполяции. Так обстоит
дело не для всех основных понятий теории операторов. Напри-
мер, как доказал Пич [4], для всякой пары чисел р и q, 1 ^p<Z
<оо, 1<9^оо, существует интегральный оператор, ядерный
как отображение из ^((0, 1)) в ^((0, 1)), ядерный как отоб-
ражение из Loo((0, 1)) в Loo((0, 1)), но не ядерный как отобра-
жение из Lp((0, 1)) в Z^((0, 1)). С другой стороны, Фавини
[4] установил, что (при некоторых дополнительных предположе-
ниях) в гильбертовых шкалах по С. Г. Крейну и Петунину [1]
ядерность оператора сохраняется при интерполяции. Если
{Не }о < е < 1 и {Не}о < е — две такие гильбертовы шкалы и дан-
ный оператор ядерен как отображение из Но в Но и непрерывен
как отображение из Ht в /7[, то он является ядерным как ото-
бражение из Не в Не, 0 < 0 < 1. За подробностями и даль-
нейшими результатами в этом направлении отсылаем к работе
Фавини [4].

В этой связи отметим также статью Петре [23]. В ней изуча-
ется вопрос об интерполяции пространств L(A, BQ) и L(A, SJ,
где |В0,	— интерполяционная пара. В этой же статье указано

приложение теории интерполяции к теории абсолютно (р. ?)-
суммирующих отображений. См. также Петре [28] и Миядза-
ки [1].
1.19.9.	Некоммутативная интерполяция

Выше мы встречались несколько раз с тем фактом, что при
соответствующих условиях

п	п

гиа. =1Ж	«к

/ = 1 / = 1

где Ао и Л({\ /=1,...,п, Л 7} d Л 0,— банаховы пространства.
См. теоремы 1.12.1., 1.14.4 и 1.15.5. При этом всегда нужны были
какие-то предположения о коммутативности, скажем (1.14.4/1).
С другой стороны, в теории интерполяции для пространств Собо-
лева — Слободецкого — Бесова с весами очень часто оказывается,
что коммутативности нет, но равенство ' (1) сохраняется; см.,
например, Трибель [10, 14 II, 22 II]. Позднее мы еще вернемся
к этим интерполяционным теоремам и рассмотрим их более обстоя-
тельно. При этом доказательство равенства (1) будет каждый раз
проводиться с помощью специальных приемов. Было бы очень
интересно найти общие достаточные условия, обеспечивающие
справедливость (1) в некоммутативном случае. Некоторые резуль-
таты в этом направлении получены Петре [24, 34] и Гриваром [9].
Отметим в особенности статью Петре [34]. Существует одно про-
стое достаточное условие, покрывающее как результаты по ком-
мутативной интерполяции квазилинеаризуемых интерполяционных
пар, так и результаты по некоммутативной интерполяции, уста-
новленные Петре [24] и Гриваром [9]. С другой стороны, Трибель
[28] построил контрпример, показывающий, что равенство (1) не
всегда верно. Окончательной ясности в этих вопросах еще не
достигнуто. В частности, упомянутые выше результаты Трибеля
по интерполяции функциональных пространств могут быть полу-
чены на основе результатов Гривара и Петре лишь в частных
случаях.

1.19.10.	Интерполяционные я-ки

До сих пор рассматривались интерполяционные пары {Ло, Лх}
банаховых пространств, непрерывно вложенных в общее топологи-
ческое линейное пространство orf. В двух больших статьях Ёси-
кава [2] и Спарр [1] распространили вещественный интерполя-
ционный метод на случай наборов {Л1? ..., Лп}, состоящих из п
банаховых пространств, для которых опять-таки имеет место
непрерывное вложение Л;- cz od. Несмотря на некоторые дополни-
тельные трудности, значительная часть результатов из теории
интерполяции для интерполяционных пар может быть перенесена
на этот случай. По поводу аналогичных исследований для ком-
плексного метода см. Фавини [5].
1.19.11.	Теория интерполяции в общих пространствах,
нелинейная теория интерполяции

Имеется много работ, посвященных распространению теории
интерполяции, особенно вещественных методов, на случай более
общих пространств. С этим вопросом тесно связан вопрос о рас-
пространении интерполяционных свойств линейных операторов
на некоторые специальные классы нелинейных операторов. Как
уже отмечалось, вещественные методы без существенных видо-
изменений переносятся с банаховых пространств на квазибана-
ховы.

Ограничимся перечислением соответствующих работ. 1° Теория
интерполяции в локально-выпуклых пространствах: Лионс и Петре
[2], Дойч [1, 2], Гулауик [2, 3], Фавини [1]. 2° Квазинормиро-
ванные пространства и конусы в этих пространствах: Хольмстедт
[1, 2], Крэ [3], Загер [2, 3], Караджов [1, 3, 4]. 3° г-банаховы
пространства (вместо обычного условия однородности выполняется
условие || Azz ||л = | А |г ||а||л): Загер [1]. 4° Борнологические простран-
ства: Вилламарэн [1, 2]. 5° Нелинейная теория интерполяции,
С. Г. Крейн и Петунии [1], Фавини [2], Лоренц и Симогаки [1],
Петре [25], Тартар [1—3], Лионс [11—-13], Браудер [6], Мейнз
и Полетти [1], Брезис [1]. 6° Нормированные абелевы группы:
Петре и Спарр [1, 2]. Конечно, это подразделение довольно про-
извольно, и некоторые из указанных работ можно было бы при-
числить сразу к нескольким разделам.

1.19.12.	Приложения

Теория интерполяции имеет много приложений. Важнейшие
области приложений: 1° теория функциональных пространств, 2°
теория обыкновенных дифференциальных операторов и дифферен-
циальных операторов с частными производными, 3° теория аппрокси-
мации в банаховых пространствах, 4° неравенства для интегра-
лов, сингулярные интегралы, 5° мультипликаторы Фурье, 6° чис-
ленный анализ. Поскольку последующие главы специально посвя-
щены функциональным пространствам и дифференциальным опера-
торам, мы не даем здесь ссылок на литературу по этим двум
темам. То же относится к теории мультипликаторов Фурье, соот-
ветствующие ссылки можно найти в п. 2.2.4. Книги и статьи
по теории аппроксимации и теории интерполяции: Бутцер и Бе-
ренс [1], Петре [29] (в обеих статьях имеется обширная библио-
графия), Лёфстрём [1, 3, 4], Бутцер и Шерер [1], Беренс [1],
Лёфстрём и Петре [1], Купцов [1], Бутцер [1]. Вопросы численного
анализа, рассматриваемые с помощью теории интерполяции,— это
проблемы аппроксимации краевых и начальных задач для диф-
ференциальных уравнений соответствующими разностными урав-
нениями и относящиеся сюда вопросы скорости сходимости. Ясно,
что эти проблемы тесно связаны с проблемами теории аппрокси-
мации в банаховых пространствах. Укажем здесь работы Петре
и Томэ [1], Лёфстрёма [2, 4], Хедстрома и Варги [1] и Томэ [1]
(последняя статья является обзорной и содержит обширную биб-
лиографию).
2.	Невесовые пространства
Лебега—Бесова в и

2.1.	ВВЕДЕНИЕ

Уже в известной книге Куранта и Гильберта [1] содержатся
первые замечания о том, что классическое определение решений
дифференциальных уравнений в частных производных недостаточно
для удовлетворительного описания физических проблем. В разви-
тие этих идей К. О. Фридрихе и С Л. Соболев (опираясь на
предшествующие исследования Б. Леви, Г. X. Харди, Дж. И. Литтл-
вуда и А. Зигмунда) ввели в 30-х годах понятие обобщенной
производной. На этой основе Соболев построил пространства
U7p(Q), k=l, 2, ..., 1 <оо, известные сейчас как Соболев-
ские пространства. Здесь Q обозначает область в n-мерном евкли-
довом пространстве Rn. Теория таких функциональных пространств
получила очень быстрое развитие в 50-е и в начале 60-х годов
в работах Н. Ароншайна, О. В. Бесова, Э. Гальярдо, К. К. Голо-
вкина, А. П. Кальдерона, Л. Д. Кудрявцева, П. И. Лизоркина,
Ж.-Л. Лионса, С. М. Никольского, Л. Ниренберга, И. М. Стейна,
С. В. Успенского и других математиков.

Теория обобщенных функций дала возможность дальнейшего
расширения и систематизации теории функциональных пространств.
В настоящее время теория функциональных пространств и прост-
ранств обобщенных функций стала самостоятельным разделом
функционального анализа. Как и прежде, основной областью ее
приложения является теория обыкновенных дифференциальных
уравнений и уравнений в частных производных.

Данная глава посвящена теории изотропных банаховых прост-
ранств обычных и обобщенных функций, определенных на Rn
или Rt- Изотропность этих пространств означает, что при их
определении ни одно из направлений в Rn или 7?^ не выделяет-
ся по сравнению с другими. Некоторые из описываемых ниже
методов могут быть перенесены и на анизотропный случай. В § 2.13
приведено несколько замечаний по этому поводу. Основным аппара-
том исследования в этой главе служат теория интерполяции (гл. 1),
теория обобщенных функций и теория мультипликаторов Фурье.
Теорию мультипликаторов Фурье мы изложим здесь в необходи-
мом объеме; что же касается теории обобщенных функций, то мы
предполагаем, что читатель с ней знаком. Результаты настоящей
главы образуют основу для всего дальнейшего.
Первое всестороннее изложение теории функциональных прост-
ранств было дано в книге Соболева [4] (вышедшей первым изда-
нием в 1950 г.). Различные разделы теории функциональных
пространств и пространств обобщенных функций были развиты
затем в ряде учебных руководств и монографий. Укажем, в част-
ности, книги Агмона [3] (где рассматриваются гильбертовы прост-
ранства), Лионса и Мадженеса [2] (гильбертовы пространства),
Ю. М. Березанского [1], Нечаса [2], Данфорда и Шварца [1]. Свод-
ное изложение вопроса можно найти в работе Мадженеса [1]. Исчер-
пывающее изложение теории анизотропных пространств обычных и
обобщенных функций дано в книге Никольского [7] (рассматривае-
мые в ней пространства строятся над Rn). Отметим еще обзорную
работу Бесова, Ильина, Кудрявцева, Лизоркина и Никольского [1].

2.2.	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

И МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ ФУРЬЕ

Теория мультипликаторов Фурье в пространствах Lp — весьма
действенный инструмент во многих разделах функционального
анализа. Первая теорема о мультипликаторах была доказана
Михлиным [1—3]. Различные ее обобщения (и в то же время
упрощения) даны Хёрмандером [2]. В этом параграфе мы излагаем
теорию интегральных операторов и мультипликаторов Фурье
в объеме, необходимом’для дальнейшего.

2.2.1.	Обобщенные функции

Мы предполагаем, что читатель знаком с теорией обобщенных
функций; см., например, книги Л. Шварца [1], Иосиды [1] или
Хёрмандера [3]. Приведем здесь без доказательства некоторые
утверждения, которые понадобятся нам ниже.

Напомним, что S = S(Rn) означает множество комплекснознач-
ных быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций,
определенных на n-мерном вещественном евклидовом простран-
стве Rn. Как обычно, S' = S' (Rn) обозначает пространство медлен-
но растущих обобщенных функций, сопряженное к S (Rn). В прост-
ранствах 5(7?^) и S'(Rn) вводится их обычная топология; напом-
ним, что S' (Rn) снабжается сильной топологией.

Рассмотрим (прямое) преобразование Фурье

(Ftp) (g) = (2ji)-"/2jj	<x’ ф (x) dx, cp e S,	(la)

n

(x, I) = 2 xfy, и обратное преобразование Фурье
f=i

(Г-1ф) (g) = (2л) ”/2 j ez <р (х) dx, ф ge S.	(1b)
Преобразования F и F"1 обычным образом распространяются на S'.
Оба они являются изоморфными отображениями S на S и S' на S'.

Если f е S' и Ff имеет компактный носитель, то / =
является аналитической функцией (регулярной обобщенной функ-
цией) и существуют два положительных числа С и ЛГ, такие,
что

Это следует из теоремы Пэли —Винера —Шварца; см. Л. Шварц
[1, II, стр. 128], Иосида [1, § VI. 4] или Хёрмандер [3]. Для
/eS' и ф е S их свертка определяется соотношением

(/«ф)(х)=/у(ф(х-у)).	(2)

Выполняются соотношения

/*феС“(/?я) и |(/*<р)(х)|^С(1+И2)",	(3)

где С и N — некоторые числа. В частности, /*<psS'. Справед-
ливы равенства

F(/*<p) = (2n)"/2F(p.Ff, F-1(/*(p) = (2n)'’/2F-1<p-F-y;	(4)

см., например, Иосида [1, § VI.3]. Из (4) видно, что свертка
непрерывна в следующем смысле: если

ф/уф.	gjTg>

ТО

5зф*ф, д-1|>*ф,	(5)

2.2.2.	Свойства отображений, осуществляемых
интегральными операторами

В этом пункте мы докажем фундаментальную теорему о свой-
ствах отображений, осуществляемых векторнозначными интеграль-
ными операторами, которая послужит основой для дальнейших
рассмотрений. Мы будем здесь следовать подходу, развитому
Хёрмандером [2], Дж. Т. Шварцем [1] и Трибелем [19].

Лемма. Пусть А — банахово пространство их - положитель-
ное число. Любую непрерывную и интегрируемую по Лебегу А-знач-
ную функцию f(x), определенную на Rn, можно представить в виде

f(x) = v(x)+ 2 wk(x), vfE-L^A), Wb^LiAA), (1)

4 = 1
где

ОО

Цо|1>(4)+ У, II wk Цд,(Л) «5 з Ilf ||il(Д),
k = 1

(2)

|| (*) |1л	2"т для всех x^Rn,

(3)

таким образом, что для соответствующего семейства попарно
непересекающихся кубов 1к с ребрами, параллельными осям коор-
динат,

§ wk (х) dx = 0; wk(x) = 0 при хф!к,
Rn

ОО

k= 1

(4)

(б)

Здесь \Ik\ —обычная лебегова мера куба Ik. Если f(x) имеет ком-
пактный носитель, то v(x) также имеет компактный носитель.

Доказательство. Разобьем Rn на кубы, ребра которых парал-
лельны осям координат и объемы которых строго больше, чем
т-1 II/LjM)- Тогда среднее значение ||/(х)||д в этих кубах меньше,
чем т. Каждый из этих кубов разобьем на одинаковых под-
кубов. Те подкубы, в которых ||/(х)||д имеет среднее значение,
большее или равное т, обозначим через /Ъ1, /1>2, 71>3, ....
Если 71, а —подкуб куба 7, то

т|71>л|< 5 |7{x)|l4dx^5l!f(x)|l4dx<T|7|=T2«|71,ft|. (6)

'i.ft	'

Теперь положим

v (х) = I 7Ь к I"1 5 f (У) dy при х <= 7Ь к
zl, k

и

W1, k W =

f (х) — v (x) при X (= Ilt k,
0 при x^Ilfk.

(7)

(8)

Все те кубы описанного выше разбиения, которые не содержатся
в множестве {7Ъ *}, разобьем таким же образом каждый на 2п
равных кубов. Те кубы, в которых |1/(х)|1д имеет среднее значе-
ние, большее или равное т, обозначим через /2>1, 72> 2, .... Рас-
пространим определение (7), (8) на кубы такого типа. Соответст-
вующие функции обозначим через v(x) и ^(х). Повторяя эту
процедуру, получим семейство попарно непересекающихся кубов
Iitk с ребрами, параллельными осям координат, и семейство функ-
ций k- При этом справедливо соотношение, аналогичное соот-
ношению (6). Кубы Ijtk обозначим через Ilt 72, а соответ-
ствующие функции ж *(х) —через ^(х), w2(x),.... Далее, поло-
жим v (х)=/(х) при	Покажем, что функции v(x) и

wk(x) обладают свойствами, указанными в формулировке леммы.
Равенство в (1) и первое равенство в (4) немедленно следуют из
построения. Из неравенства

5 II V (х) IU dx + $ || wk (х) ||л dx=C3 5 |/ (х) Цл dx

'k	!k	'k

вытекает оценка (2) (и, следовательно, включения в (1)). Для
х е Ik соотношения (6) и (7) дают (3). Если х J Ik, то v (х)=/(х)
и существуют содержащие х кубы сколь угодно малого объема,
на которых среднее значение \\f (х) |1д меньше т. Так как f(y)
непрерывна, то мы заключаем, что для такой точки х

\\V (х) ||д = !|/(х) ||д<т.

Тем самым (3) доказано для всех x^Rn. Наконец, оценка (5)
получится, если просуммировать оценки (6).

Замечание 1. Эта лемма (а также и ее доказательство)
по существу совпадает с леммой 2.2 из работы Хёрмандера [2].

Ради простоты временно обозначим через £0 (Л) множество
всех измеримых ограниченных Л-значных функций с компактным
носителем, определенных в Rn.

Теорема. Пусть Ло и — два рефлексивных банаховых
пространства и К (х) — функция со значениями в L(AQ, Д^, опре-
деленная для почти всех x^Rn. Предположим, что функция ЛДх)
локально интегрируема. Кроме того, предположим, что сущест-
вуют числа 1^^<оо, В>0 и С>0, такие, что для всех t>
> 0 н всех у с | у | <; В-1

/ J iKitix-y^-K^l^A^dv^^Cr^. (9)
\|x|=sB	/

Положим

= j K(x-y)f(y)dy, f^LM.	(10)

Далее, допустим, что существуют числа риг, удовлетворяющие
условиям

1<р<ОО, 1<Г<ОО, J-------(И)

р г	q	v 7

такие, что

|адМл,)в;С||/и,|(А,). /si0(A,).	<|2>
где С —то же число, что и в (9). Если

i<s=c<j<oo, -L__L = i--L,	(13)

’ s a	q 1	v '

то отображение Ж (после однозначно-определенного продолжения
по непрерывности) принадлежит L(LS(AQ), LQ(AJ) и

Л^’к5(Ло)-.£0(41)	(14)

где С —то же, что и в (9) и (\2), а а зависит только от п, В,
q, г, р, s и а.

Доказательство. Шаг 1. Не ограничивая общности, можно счи-
тать, что С=1. Числа, зависящие только от п, В, q, г, р, s и
а, будем обозначать через с, с', .... Пусть / — куб с центром
в начале координат и длиной ребра 2n~il4B~1. Если ^(^ — изме-
римая ограниченная Л0-значная функция, для которой

(у) = 0 при у I и § w (у) dy = О,

то

(Xw) (х) =	\ (К (х-у) -к (X)) W (у) dy.	(15)

Оценка (9) и неравенство Минковского дают

( 5	||(^Ш) (X)	(16)

\ | х | > tB	/

В (16) можно заменить \x\^tB на х^п^В2!. Если теперь / —
произвольный куб с длиной ребра I и если через /' обозначить
куб с тем же самым центром и длиной ребра п^ВЧ, то для
функции w(x), обладающей описанными выше свойствами, будет
справедливо следующее неравенство:

( J |(Л) (х)	(17)

\Х^Г	/

С помощью предельного перехода получаем, что (17) выполняется
для любых интегрируемых Л0-значных функций w(x), обладающих
указанными выше дополнительными свойствами.

Шаг 2. Пусть f (х) <= Lo (Ло) — непрерывная Л0-значная функция
и ц(х) и wk (х) — функции, отвечающие ей согласно лемме. Если
оо

положить да(х)=2 wk(x), то из (2), (5) и (17) следует сущест-
4 = 1

ОО

вование множества е = nViB2 Ik с

. k = 1

|е|^пМВ2«т-1||/к1(Ло),	(18)
такого, что

/ 5 ||(Ж-ш)(х)Й,Л\1/‘7^||ш||г1(Ло)^3||/к,(Ло).	(19)

\хфе	j

Поэтому для 0</<оо

IWII(5M(X)U ^/}|^с(т-1||/к1(Ло) + Г?И||Д(Ло)).	(20)

Из того, что	<2ЛТ и Мь^л,,) < Wll^Po)’ вытекает> что

Ы^.^'-'/ги^л.у

Применяя неравенство (12) к функции v(x) и используя (11),

I {X | II т (х) Ц ИК Г || Wv ц£г(Л1) < Гг IIV ||£р(Ло)

(21)

Из (20) и (21) следует, что

|{x|IW)(x)|h,^/}|

 I {х III (Ж-о) (х) ||Л>  4} | 4- | {х III (WW) (X) ||Л1 у} |

=С с (г9 II f ||f,(Ло) + т’11| f ЦМ(Ло) + т?~'гг ||Д#Ло)).

Выбирая т-1 = £~«1/ l!£jjo), получаем

| {х 11 т (х) ||л, Л I < сГч I/ |1,(Ло).	(22)

Шаг 3. Оценка (22) показывает, что при q > 1 оператор G&
(после продолжения по непрерывности) является непрерывным
отображением из Ьг(А0) в L^ooCdJ (обозначения п. 1.18.6). Пусть

=	Ks^P (7<cr-esr).	(22)

Для этих значений утверждение теоремы вытекает из теоремы
1.18.6/2 (см. также теорему 1.18.7/2) и неравенства (12). Для
случая 7=1 вместо теоремы 1.18.7/2 нужно воспользоваться
теоремой 1.18.7/3.

Шаг 4. Пусть ^' — оператор, сопряженный к оператору <%\
а <%' (х) — сопряженный к оператору К (х). Если А — рефлексив-
ное банахово пространство и 1<ст<оо, то справедливо соот-
ношение

[La (Л)]' = где 1 + ± = 1,	(24)

понимаемое в обычном смысле. Именно, произвольный непрерыв-
ней линейный функционал над LQ (Л) может быть представлен
в виде

(h(x), l(x)\dx, h(x) <= Lo (A), I (х) е= Lc (А’),	(25)

«л

где <•, 1} — непрерывный линейный функционал на А (см., нап-
ример, Эдвардс [1, теорема 8.20.5]). Используя шаг 3 доказа-
тельства, нетрудно усмотреть, что &£' принадлежит £(£а-(Д]),
LS’ (Л$)), где

_L_Jr = l_l> г'<о'<<7' (p'<s'<oo).	(26)

Справедливо равенство

В силу обычных свойств векторнозначных интегралов, для
eL0Mo) И £1=Л0(Д;)

5 <7W> ^'g(x))dx = 5 <W)(x), g(x))dx

=	(K(x-y)f(y), g(x))dydx

= 5 /?(*/)» $ K'(x-y)g(x)dx\dy.

Ял \ Дл	/

Учитывая наши предварительные замечания, получаем

(^'g) («/) = (х - у) g (х) dx.	(27)

«л

Полагая (£7г) (х) ==/г (—х), мы найдем, что ЕЖ'Ё является one-
ратором типа (10). Формула (9) останется справедливой, если
подставить в нее /С вместо К и £(Л{, 4J) вместо £(Л0, Лх).
Далее, можно заменить (12) неравенством

1И7М11др,(л')^сИ^(л;)-

Но тогда из шага 3 следует, что S&' принадлежит L(Z,a<(4]),
LS' (Л»)), если

J__Jr=l_l>	(q<s'^p').	(28)

Вместе с (26) это доказывает, что &%' принадлежит L(La>(Ai),
LS' (Ль)), если

^--р-=1-р	l<o'<q' (<7<s'<oo).	(29)

Шаг 5. Утверждение теоремы вытекает теперь из того, что
/V/»//	/V/»
Замечание 2. * Для значений s из интервала l<s=gp теорема
по существу совпадает с теоремой 2 из статьи Дж. Т. Шварца [1].
Соответственно первые три шага данного выше доказательства
более или менее повторяют доказательства Шварца. (См. также
Данфорд и Шварц [1, II, § 11.11].) Для этой части теоремы пред-
положение, что банаховы пространства Ао и рефлексивны, не
является необходимым. Теорема в приведенной выше формули-
ровке и последние два шага доказательства заимствованы из
работы Трибеля [19] (теорема 3.2). Эта теорема обобщает соответ-
ствующий результат для скалярного случая, принадлежащий
Хёрмандеру [2, теорема 2.1].

2.2.3. Сингулярные интегральные операторы

В дальнейшем нам понадобятся некоторые свойства отображе-
ний, осуществляемых сингулярными интегральными операторами.
Развитые в предыдущем пункте методы достаточны для получе-
ния нужных нам результатов. Будем следовать изложению Хёр-
мандера [2].

Возьмем в качестве банаховых пространств Ао и у?! из тео-
ремы 2.2.2 комплексную плоскость С и положим LP — LP(C).
Обозначим через <о„ единичную сферу в Rn (а также ее общую
точку) и через d<on — соответствующий элемент поверхности.

Теорема 1. Пусть К (х) — комплекснозначная локально-интег-
рируемая функция, удовлетворяющая условиям

К (х) = О при | х | < 1

и

К. (tx) = t~nK (х) при t^ \ и |х|Э=1.

(1)

Далее, предположим, что выполнена оценка (2.2,2/9) для q—\ и
Л0 = Д1 = С. Тогда для того, чтобы оператор 3% из теоремы 2.2.2
мог быть продолжен до оператора, принадлежащего L (Lp, Lp)
при всех р, 1 < р < оо, необходимо и достаточно, чтобы

К. (<on)	= 0.

СО
п

(2)

Если это условие не выполняется, то ни для какого р из интер-
вала 1 < р < оо оператор Ж не может быть продолжен до опе-
ратора, принадлежащего L(LP, Lp).

Доказательство. Шаг 1. Как легко убедиться, используя (1),
К (х) — регулярная обобщенная функция, принадлежащая S' (Rn).
Мы хотим показать, что преобразование Фугье FK принадлежит
тогда и только тогда, когда выполняется (2). Поскольку функ-
ция /< (х) локально-интегрируема, то, в силу (2.2.2/9), для
К (х — у) — К (х) е Lv

Следовательно,

F (К (х - у) - К (х)) =	- 1) (FK) (|)

является непрерывной функцией, равномерно ограниченной отно-
сительно у. Отсюда вытекает, что (FK) (|) непрерывна в /?„\{0}
и ограничена при |£|->оо. Для />1 функция tnK(tx) — K(x)
равна нулю при |х | < F1 и при | х | > 1. Поскольку F (tnK (/х)) (|)
= F (К (х)) (£//), то мы получаем, что

(2л) 2 [(FK) Q*-1) - (FK) ©] =	$ ЫпК (tx) dx

<-«<|х|< 1

=	e~t^-,-y>K(y)dy

= $ J e-i<V-’.W|i/|-'«/<((on)|z/|n-M(O„d|z/|.	(3)

1 °>n

Следовательно,

(2л)* lim [(FK) (BK) - (FK) (£)] = In К (<o„) dt»n. (4)
III-0	d

Если FK принадлежит Loo, то выражение в левой части формулы
(4) ограничено равномерно относительно t. Устремляя t к беско-
нечности, приходим к (2). Обратно предположим, что выполнено
условие (2). Тогда
t

(FK) &-1) - (FK) (?) = J J (e~ *-'«> - 1) К (®л) рр-

1
п

Поэтому для | J; < — 1 имеем

| (FK) &-') - (FK) (В) |	с | К (®„) |

%

Мы получили, что (FK) (I) ограничена при £ #= 0. Значит, (FK) (|) —
либо ограниченная функция, либо сумма ограниченной функции
и сингулярной обобщенной функции с носителем в начале коор-
динат. Но такая сингулярная обобщенная функция представляет
собой конечную линейную комбинацию б-функции и ее производ-
ных. Для того чтобы исключить вторую возможность, достаточно
показать, что (FK) (фе) -> 0 при е->0, где <ре(х) = <р(х/е.) и ф(х)е
е (Rn) = D (Rn). Имеем

(FK) (ф8) = К (F<p6) = $ К (х) (Ftp) (ex) endx.
Поскольку

и J |/<(|х|ю„)\dan^^-,
%

ТО

\(FK) (фе) I 1пе|.

Но это как раз то, что нужно. Таким образом, FR е Лто.

Шаг 2. В силу (2.2.1/4), для <р е Cg° (7?га)

(<Жф) (х) = F-1 (2л)«/2ГЛ • Ftp.	(5)

Если условие (2) выполнено, то FK. е Лоо. Поскольку F является
унитарным оператором из Л2 на Л2, то из последней формулы
получаем, что (после расширения) принадлежит Л(Л2, Л2). Но
теперь из теоремы 2.2.2 следует, что Ж1 (после расширения) при-
надлежит L(LP, Lp), 1<р<оо. Если условие (2) не выполнено,
то FK не будет элементом Лоо. Из (5) и непрерывности FR в
/?„\{0} следует, что не может принадлежать Л(Л2, Л2). Вместе
с теоремой 2.2.2 это дает Ж1 <^Л(ЛР, Лр), 1<р<оо,

Теорема 2. Пусть k (х) — комплекснозначная функция, диф-
ференцируемая в Fra\{0}, причем

k (tx) = t~nk (х) при х е Rn и 0 <J < сю,	(6)

$ 6 (со„) ско„ = О	(7)

СО
п

U

/=1......»• **<>,	(8)

где с —некоторое положительное число. Если мы положим

W)W = J k(x-y)f(y)dy, f<=C%(Rn),	(9)

\Х — У\^в

для 0<е<оо и

№J) (Х)=	$	k (х - у) f (у) dy

|Х — г/|>1

+	$	k(x-y)(f(y)-f(x))dy, f^C“(Rn),	(10)

| Х — у\<1

mo g^8, после расширения по непрерывности> принадлежит

L (Lpi Lp), 1 < р < оо-, 0 е < сх>.

Кроме того, для f Lp имеем

при 8|0.	(11)
Доказательство. Шаг 1. Мы хотим применить теорему 1 к
функ! ии q%\. С этой целью покажем, что оценка (2.2.2/9) выпол-
нена при <?=1, В = 2 и

„ , .	|х>1,

0	|х|<1.

Если t\x —	1 и /|х|5г 1 при |х|2 и |у |у, то, применяя

неравенство (8) и интегрируя по подходящему пути, получаем

IА (/ (х-у)) - К (tx) |	t.

Если же, например, /|х|<1 и t\x — y\^\ при | х |	2 и

т0

1 , ,.1 1 , 1

Т>|х|^|Х-у|-|1/|^Т-у,

Отсюда, с учетом (6), следует оценка (2.2.2/9) при q=\. Но
тогда можно применить теорему 1, что дает

(12)

Шаг 2. Заменяя в (9) х на ех и у на &у и применяя формулу
(6), находим, что

е/) (8%) =	&(*-#)/ dy-

Из (12) следует, что

\^fkp^cPi\f\\Lp,	(13)

независимо от е. Используя условие (7), получаем для 0<е< 1
да-ЗД(х)= J k(x-y)(f(y)-f(x))dy,
\х~у\^г

Модуль этого интеграла можно оценить величиной се. Поскольку
для больших значений |х| этот интеграл равен нулю, мы заклю-
чаем, что (11) справедливо для	Далее, неравенство

(13) выполняется также для 8 = 0 и /eCg°(/?n). Следовательно,
e^0^L(Lp, Lp) (после расширения) и соотношение (11) справед-
ливо для всех / е Lp.

Замечание 1. С помощью развитых методов можно рас-
смотреть и другие интегральные операторы. Если положить

k (х) = | х |~а, 0 < а < п,
то, как легко видеть, оценка (2.2.2/9) выполняется для В = 2
и q = nl<x, На этом пути можно получить новое доказательство
теоремы 1.18.9/3. Мы не будем здесь вдаваться в подробности
и сошлемся на Хёрмандера [2] Другие ссылки на литературу
даны в замечании 1.18.9/4.

Замечание 2.* Исследование одномерных сингулярных
интегралов восходит к Гильберту и Пуанкаре. В 20-х и 30-х
годах Трикоми, Жиро и Михлин перенесли эти результаты на
многомерный случай. Соответствующие ссылки на эти резуль-
таты, а также их краткое описание можно найти в первом пара-
графе книги Михлина [3]. В этой книге содержится также исчер-
пывающее изложение исследований Михлина по теории сингуляр-
ных интегралов и сингулярных интегральных уравнений. Новый
период в теории сингулярных интегралов в пространствах Lp
начался в 1952 г. работой Кальдерона и Зигмунда [1]. Одному
из результатов, полученных Кальдероном и Зигмундом, соответ-
ствует наша теорема 2, в которой условие (8) может быть заме-
нено значительно более слабыми условиями. Например, теорема
2 сохраняет силу, если функция k(x) локально интегрируема,
выполнены условия (6), (7) и

I k ((ол) — k (— (Од) | шах {0, In | k ((Од) + k (— (Од) |} da>n < оо.

п

Выше мы отмечали, что в основном следовали подходу, разви-
тому Дж. Т. Шварцем [1] и Хёрмандером [2]. (См. также Дан-
форд и Шварц [1, II, §§ 11.7 и 11.11].) Кальдерон и Зигмунд
[2] обобщили свои рассмотрения на случай сингулярных интег-
ралов, ядра которых имеют вид

В этом случае для любой точки х е Rn имеет место соотношение,
аналогичное (7). В связи с этими вопросами отметим также работу
Котляра [1]. Всестороннее изложение этой теории можно найти
в книгах Стейна и Вейса [5], Стейна [5], Нери [1] и Зигмунда [4].
Другие ссылки на работы Кальдерона и Зигмунда даны в книге
Михлина [3]. Укажем еще обзоры Кальдерона [6], Петре [13] и
Стрикарца [3]. Сингулярные интегралы в пространствах Lp с
весами рассматривались Стейном [1] и позднее Крэ [1, 2], Мукен-
хауптом и Уиденом [1] и Уолшем [1, 2]. Анизотропные сингу-
лярные интегралы (в некоторых случаях также в пространствах
с весами) исследовались Фейбсом и Ривьером [1], Бесовым,
Ильиным и Лизоркиным [1], Садоски [1], Ю. С. Никольским [1]
и Ривьером [1].
2.2.4.	Теорема о мультипликаторах

Пусть для 1 «С г < оо

C- = {£|i = {£/}/L-oo’ £/ — комплексное число,

/ 00	\ 1/г

2 1И <ОО}
\/= —оо	/

и Lp(lr), 1 ^р^ оо, — пространства, определенные в п. 1.18.4
(для случая, когда X = Rn и ц — мера Лебега). Пусть, далее,

К (х) = (Kk,j (%))_оо<*. /<оо, KkJ (%) €= LJOC (Rn) П 5' (Rn) (1)

— матрица с комплексными коэффициентами. Рассмотрим опера-
тор

т(х)= $ K(x-y)f(y)dy,	(2)

где

f = {fj(x)}^-^	при	fj(x)^Cf(Rn). (3)

Теорема. Пусть К(х) — указанная выше матрица. Предпо-
ложим, что (FKktj) (£) для всех k и j представляет собой регуляр-
ную обобщенную функцию, имеющую классические производные
в Rn\\0} до порядка^—] + 1 включительно1. Кроме того, предпо-
ложим, что существует положительное число В, такое, что для
всех /? > 0 и для всех мультииндексов ас | а |	1 + [у]

J 2 |D“(FKW)	(4)

у ==|6I=S=2Z? */=-“

(а)	Тогда $£ (после расширения) принадлежит L(Lp(l2), Lp(l2))
для всех р, 1<р<оо, и справедливо неравенство I1 Ж || рв, где
Р зависит только от р и п.

(Ь)	Если дополнительно К^;(%)==0 при k=£j, то Ж (после
расширения) принадлежит L(Lp(lr), Lp(lr)) для всех риг, 1<
<р<оо, 1<г<оо, и справедливо неравенство ||<Ж*||^РВ, где
Р зависит только от р, г и п.

Доказательство. Шаг 1. Начнем с некоторых подготовительных
рассуждений. Пусть ф (х)	0 — функция, принадлежащая C™(Rn),

—1

2 J

1 Как обычно,

обозначает наибольшее целое число, меньшее или рав-

п
ное
с носителем, содержащимся в множестве ^х| -у < | х | < 2|, причем
ф(х)>0 при	Если положить

/ 00	\—-1

ф(х)=1|>(х) 2 ^(2-M .

\/= — оо	/

то <р (х) обладает теми же свойствами и справедливо равенство

<р (2~zx) = 1 при х =£ 0.	(5)

/ = — 00

Положим

(Wft,/)z® = (Wft,/)(g)<p(2-^), -оо<£, /, /<оо.	(6)

Из формулы (4) с R = 2l и из оценки1

\Da(FKkJy®\^c 2 \D*FKkJ ® 12-zi-i-i3i

IPKlal

при 0<|a|<[y] + 1
следует, что

J S |D“(F^,/)z(g)|M^cB22z<«-2l«l).	(7)

Rn *,/=-«>

Положим

glk, I W =F-1	(£)]	~0Q<k> />	(8)

В силу замечаний п. 2.2.1, glk f(x) — аналитическая функция. Для
х = 1 + jyj формула Парсеваля дает оценку

J (1 + 22Z|X|T 2 \glkii(x)\2dx^cB^.	(9)

k, / = —00

Так как х>п/2, то, применяя неравенство Минковского для

интегралов, получаем

2

I4/W|2 dx

<гвГ2я/ С dx
^CD Z J (1+22*|я|2)*

L Rn

2=с'В. (10)

i Ниже с и с' обозначают числа, зависящие только от /г, р и г.
Из формулы (8) вытекает, что



(И)

Используя (10), (11) и вид функции (FКь,, приходим к оценке

ОО

k, j=-—>оо

(12)

Шаг 2. После этих предварительных рассмотрений образуем
матрицу

g£/(x) = X gk,j(x), GJV(x) = (G^/(x))_w<ft,/<00	(13)

1 ——N

и оператор £N:

(»Nf) (x) = J GN (x - y) f (y) dy,

(14)

определенный для элементов вида (3). Ввиду (10), Gkj (х) е Ц (Rn)-
Кроме того, в силу оценки (10), GN (х) принадлежит Л(/2, /2) для
почти всех х и JG" (х) ||/2«z, е (Rn)- Мы хотим показать на этом
шаге, что оператор &N удовлетворяет условиям теоремы 2.2.2 при
Л0 = Л1 = /2, <?=1 и р = г — 2. Из замечаний п. 2.2.1 и формулы
Парсеваля следует, что



оо II оо

= S S 5 Gk,i(x-y)fj(y)dy
k==— оо || j — —оо Rn

J 2 №(x)|a 5 \Ffj(x)\2dx.

Rnk,j = —co	/= —oo

(15)

Используя определения функций glkt ,(х) и Gi,/(x) (см. (8) и (13))
и применяя формулу (12), получаем

(16)

Здесь с не зависит от N. Отсюда вытекает, что соотношение
(2.2.2/12) выполнено при р = г — 2 и q—\. Для того чтобы уста-
новить оценку (2.2.2/9), докажем, что

J |lGA/(/(x-y))-G"(/x)U(z2,z2)dx^cB/-'t при	(17)

«|>2
Таким же образом, как и во втором из неравенств (10), но
с опущенной в последнем интеграле единицей, получим, что

5 Г Е 14/ w2

п

dx^cB(2lty ”.

(18)

Следовательно, для

 ।

°°	I2"	--х

S |4./(x-y)-4/W2 dx^cB(2‘ty . (19)

А,/=®—оо



Нужно получить вторую оценку такого типа. Предположим, что
27 <51. Имеем

4, / W - 4,	р-1 [(1 -	5>) (W*. /У (!)]•

Используя неравенства 27=^1, |«/|^/ и вид функции (FKk /)‘
и применяя оценку (7), находим, что при 0^|а|^х

$	2 |D0(l-e-i<^.5>)(F^(/y(^)|2^<cB227»-2)lal2a7a.

Аналогично оценке (10) получаем теперь

1

|2 dx^cBVt.

14/(х-^)-4,/(х)

(20)

Для \y\^t неравенства (19) и (20) дают

$ \\GN(x^y^G^x)\\L{hth}dx

I X | > 2t

1

N	г со	-| 2

5	I slkt / (х"" у)—Skt j (х) |2 dx

I=— N |х|>2t U,/ = — оо
оо	/	_	\

^сВ minV27)2 *, 2Ч)^с'В.

Z = —оо

(21)

Эта оценка совпадает с (17). Таким образом, выполнены предпо-
ложения теоремы 2.2.2 при Л0 = Л1 = /2, <? = 1 и р = г = 2. Сле-
довательно,

Г J \\&N f (х) ||£ dx]p < сВИ || f (х) J?, dxl₽, 1 < р < оо, (22)
J Ь?„ J

где с зависит только от п и р (но не от У), а вектор-функция
/ имеет вид (3).

7 X. Трибель
Шаг 3. Проведем предельный переход при У—*-оо для опера-
тора Поскольку [Д>(/2)]' = Lp- (/2) в смысле формул (2.2.2/24)
и (2.2.2/25), оценка (22) эквивалентна каждой из следующих двух
оценок:

У 5 5 Gk.i(x-y)fj(y)hk(x)dydx
kJ=—coRn Rn

09

— Rn

«»ВИкр(1,)|Лкв.ш.

Здесь f и h имеют вид (3). Заметим, что множество элементов
вида (3) плотно в Lp(l^. Это следует из теоремы Лебега об огра-
ниченной сходимости. Устремляя теперь N к бесконечности
и используя неравенство (12) и вид функций Gk,j{x), получим,
что

2 J (Wft,y)©.
k,j = -CORn

и

У! $ М Кь. / (х - у) fj (y)\hk (х) dx
k.j---соЛл \Rn	/

Эти оценки дают

чем доказано утверждение (а) теоремы.

Шаг 4. Для того чтобы доказать утверждение (Ь), рассмотрим
опять оператор &N, определенный соотношениями (13) и (14).
Сейчас G^ . (я) = 0 при k j. Поскольку

| GN (х - у) - GN(x) k (ir, ir} = sup | G" k (х - у) - G" k (х) |
k

1

TV	со	2

I] |gl,A(*-y)-sU(*)|2 >

= — TvL& = — oo

то формула (21) остается справедливой, если А(/2, Z2) заменить
на L(lr, lr). Таким же точно образом убеждаемся, что
IIG" (x)k(/r,	<= Lx (/?„). Полагая р = г в формуле (22) для

/(/) (х) = (..., 0, fj (х), 0, ...) и суммируя получающиеся оценки,
найдем, что

I #Nf 11г (/г) сгвг 2 IIЛ й, = crBr II f (lry

Итак, выполнены предположения теоремы 2.2.2 при
q=l и р — г. Следовательно, формула (22) сохраняет силу, если
заменить /2 на Используя рассуждения шага 3 с 1Г вместо /2,
получаем утверждение (Ь) теоремы.

Замечание 1. Как теорема, так и приведенное выше дока-
зательство взяты из работы Трибеля [19, теорема 3.5]. И теорема,
и доказательство являются обобщениями на векторнозначный слу-
чай результата, полученного для скалярнозначного случая Хёр-
мандером [2, теорема 2.5]. Из доказательства видно, что при
выводе утверждения (Ь) предположение (4) можно ослабить. Кроме
того, легко видеть, что утверждения теоремы и ее доказатель-
ство остаются в силе, если Da (FKkj) (£) являются регулярными
обобщенными функциями, удовлетворяющими условию (4).

Замечание 2. Если отказаться от трактовки формулы (2)
как интегрального оператора, то теорему можно обобщить. Из за-
мечаний п. 2.2.1 вытекает, что формула (2) может быть переписана
в следующем виде:

(Ж/)(х) = |(2л)^-1( fl

'	\/= —ОО	/)— 00<fe<CO

Скажем, что Т = (7*.;)-«><*,/<Оо является мультипликаторной
матрицей типа (р, р), если Tkj^S'(Rn) и если для всех
/ = {//}“_оо с /;.eS(7?„) и /у = 0 при |/| >N мы имеем

IM S I	1<р<со,

II I \/ = — ОО	I j k ||Lp v 2)

где число С не зависит от /. Из доказательства теоремы немед-
ленно следует, что если выполнено неравенство (^)cTk<j, подстав-
ленными вместо FKkt), то Т для любого р, 1 <.р<. оо, есть му ль-
типликаторная матрица типа (р, р). Аналогичным образом
обобщается утверждение (Ь). Этот вариант теоремы объясняет
появление слова «мультипликатор» в ее названии.

Замечание 3. * Предположение (4) выполняется, если су-
ществует положительное число В, такое, что для всех мульти-
индексов а, для которых	1, справедливо нера-
венство

© j2

в

(24)

Для скалярного случая это условие по существу совпадает с усло-
вием, первоначально сформулированным Михлиным [1—3]. Усло-
вие (4) или, соответственно, (24) можно заменить для скалярного
случая следующим предположением: Функция К (х) имеет непре-
рывные частные производные до порядка п включительно для всех
х = (%], ..., хп) с xj^O, / = 1, ..., п. Кроме того, существует
положительное число В, такое, что для всех мулътииндексов
a = (ax, ..., ап), где aj равно 0 или 1, и для ecexx = (xlf ...,хп),
где Xj^= 0, j= 1, ..., п,

|х“1 ... x*nEFFK (х)\^В.

При этом предположении Ж ^L(LP, Lp) и	где 0 зави-

сит только от пир, 1<р<оо. Этот результат принадлежит
Лизоркину [2] и является обобщением первоначального утверж-
дения С. Г. Михлина; доказательство его можно найти также
в книге С. М. Никольского [7, стр. 69]. Эти утверждения остаются
справедливыми и для обобщения, указанного в замечании 2 (в при-
менении к скалярному случаю).

Замечание 4. * Первая теорема о мультипликаторах для
тригонометрических рядов была доказана Марцинкевичем [2]
в 1939 г. Используя результаты Марцинкевича, Михлин [1—3]
получил аналогичные теоремы для интегралов Фурье (скалярный
случай). Дальнейшие упрощения и обобщения этих: результатов
были даны Хёрмандером [2] в рамках теории операторов, инва-
риантных относительно сдвига. Замечание 2 показывает, что
утверждение теоремы для скалярного случая эквивалентно нера-
венству

f^S(Rn).	(25)

Функция FK называется мультипликатором (Фурье) типа (р, р).
Обобщая это понятие, обозначим через Мр множество всех
обобщенных функций Т eS', таких, что для всех f&S

(26)

где С не зависит от /. Здесь 1<р, <7<оо. Элементы Мр назо-
вем мультипликаторами (Фурье) типа (р, q). Справедливы соот-
ношения

Ml = Lw,

Мрр g U,

1 <Zp<Z°Q
И

=	1<р, ,<о=.	±+р1_1 + 1=1

(см. Хёрмандер [2]. Из доказательства теоремы и замечания 2
немедленно следует, что Т принадлежит Мрр, 1<р<оо, если
существует число В>0, такое, что для всех /?>0 и всех а
с	[у] выполнено неравенство

\	\D*T\2dx^B2Rn~2^

или неравенство

| DaT (х) |	~|У| при всех x<=Rn, х=#0.

I X I

Это — обычная формулировка теорем о мультипликаторах Михлина
и Хёрмандера. Их обобщения были даны Лизоркиным в рабо-
тах [2, 5, 7, 8] (последние две из них обзорные). Другие резуль-
таты можно найти у Каттабриги [1], Крэ [1, 2], Игари и Кура-
Цубо [1], Окикиолу [1]. В статье Дж. Т. Шварца [1] эти рас-
смотрения перенесены на векторнозначный случай. Дальнейшими
обобщениями занимались Литтмэн, Мак-Карти и Ривьер [1] и
Ривьер [1], в работах которых получены весьма общие резуль-
таты. Кроме того, упомянем еще о статьях Лизоркина [10, 11].
Мультипликаторы в /^-пространствах с весами рассматривали
Крэ [2] и Камзолов [1]. Обсуждение различных аспектов теории
мультипликаторов имеется в книгах Стейна [4, 5] и Ларсена [1].
Книга Ларсена содержит исчерпывающую библиографию.

Замечание 5. * Изучению связи между теорией интерпо-
ляции и теорией мультипликаторов посвящены работы Петре [14],
Литтмэна [1] и Лёфстрёма [1]. Идея состоит в том, чтобы, допу-
стив зависимость от р, ослабить условие (4) теоремы. Для этого
проводят «интерполяцию» между = и «(4)» и формулируют
условия, зависящие от р. За подробностями мы отсылаем чита-
теля к указанной литературе. См. также Фефферман и Стейн [1]
и Р. Йон сон [2].

Замечание 6. Ясно, что определение мультипликаторов,
использующее неравенство (26), можно распространить на случаи
р = ^=1 и р = ^ = оо. Обозначим соответствующие множества
мультипликаторов через 714} и 714^. Мы не будем здесь вдаваться
в подробности, так как эти случаи не представляют интереса для
дальнейшего. Сформулируем тем не менее один интересный резуль-
тат:	= М™ есть множество преобразований Фурье всех конеч-
ных борелевых мер в Rn. Доказательство можно найти в книге
Стейна [5, стр. 113—114].

Теперь рассмотрим один специальный пример мультиплика-
тора, который не охватывается последней теоремой.

Лемма. Положим

Q = {x|x = (x1,	х„), \x/\<af}, af>0.

Характеристическая (индикаторная) функция %q(x) множества Q
принадлежит Мрр для всех р, 1<р<оэ.

Доказательство. Шаг 1. Сначала рассмотрим одномерный слу-
чай. Справедливо равенство

а	_

2 sin ах

Л X

Если f&Sffii), то

— а

F-^-a,a}Ff = ^F-^-a,a]*f==- ( ~ax{X~y)f(y)dy

К 2л	л J	х — У

= lim
е | О

sin ах
л

73^ cos ayf (у) dy

cos ах
л

73—sin ayf (у) dy .
л у

Из теоремы 2.2.3/2 следует,

ЧТО Х[-а. а] принадлежит Мрр.

Шаг 2. Рассмотрим теперь многомерный случай. Положим вре-
менно

.... лу-1> Ij, х/+1.х„)

= (2л)-^ \eixM(x)dX/, f<=S(R„)

и обычным образом расширим определение преобразования Fj на
S' (Rn). Аналогично определим Fj'. Если обозначить через %/(х)
характеристическую функцию множества {х| —	<а,}, то

х<? W = П X/ (*)•
7=1

Пусть f е S (Rn). Используя результат шага 1, получаем
mx)Ff\\w

(Xi....Xj-lt Xj, xj+1....
Итерируя эти неравенства, приходим к желаемому результату, ибо

F-\QFf = F-^FF-^FF^ ...Ff.

Замечание 7. Возникает вопрос, для каких областей
Q cz Rn характеристическая функция xq (х) принадлежит Мр. Феф-
фермэн [2] показал, что характеристическая функция шара
является элементом из Мр тогда и только тогда, когда р = 2.
Этот результат был распространен Митягиным [4] на широкий
класс замкнутых множеств в Rn- Можно поставить более общий
вопрос: для каких значений р функция

»М5) = | 0

при |5| <1,
при |g|2sl,

принадлежит Мр? Обзор результатов, полученных в этом направ-
лении, имеется в работе Феффермана [3]. Достаточные условия
для мультипликаторов, зависящие от р, получены также Тре-
бельзом [4].

2.3.	ПРОСТРАНСТВА Bsp,g(Rn), ^Р>д(Яп), Hsp(Rn) И WSP(R„)

В этом параграфе мы введем пространства Вр, я (Rn) и Fp, g(Rn),
содержащие в качестве частных случаев пространства Hsp(Rn) и
Wp(Rn). Одновременно мы докажем ряд важных свойств этих
пространств. Как будет показано ниже, Bsp, q (Rn) представляют
собой пространства Бесова, Нр (Rn) — пространства Лебега (Лиу-
вилля, бесселевых потенциалов), a Wsp (Rn) — пространства Собо-
лева — Слободецкого.

2.3.1.	Определения

Пусть /р(А)> где l^psgoo, — оо<$<оо, —пространства,
определенные формулами (1.18.2/1). В случае когда А — комплекс-
ная плоскость, будем писать lsp вместо /’(А). Как обычно, носи-
тель обобщенной функции f обозначается через supp f. Сходимость
рядов в S' отмечается знаком Символы F и А-1 обозначают
соответственно прямое и обратное преобразования Фурье. Далее,
положим

2^|5|==s2M},	/=1, 2....

Я = {515 е Rn, 151^2}.
Определение 1. (а) Для — oo<Zs<Zoo, l<p<oou
1 q < оо положим

{co

f\f(=S' (Rn)\	(x); supply c= TH7;

/ = о

II {aA ll/s (L )
q' P'

Ч== о	.

(2a)

для — oo<s<oo, 1<р<оо и q=^co положим

r	CO

Bp, co (Rn) = V 7 e s' (/?„);	(x); supp Fa, c Mf,

I	/=o

H^M/s (L ) = sup 2^ IIa .(x)||£ <ool. (2b)
oo' p/ i	1 p J

Кроме того, для — oo<s<oo, 1<р<оо и 1 q оо введем
норму

||/||Bs	= inf ||{a/}||ZszL r	(3)

p, q f = Za-	q' P>

(b)	Для — oo<s<oo, 1<р<оо и 1<<?<оо положим

f	оо

Fsp. q (Rn) = \f\f<=s' (Rn); f 2 ai (x^ SUPP Fai c MF
i	/=0



p. 2

/ 00	\ q ~|p

J	dx

??nV=o	/	.

< oo

(4)

Кроме того, определим норму

||/||FS = inf f{ay}||L zzsy	(5)

p, q	f = ZOf	P\qJ

(с)	Для — oo<s<оо и 1<р<оо положим

HSp(Rn)==FsP) ^(Дп).	(6)

(d)	Для 1 < p < oo положим

wsp(Rn) =

HSp(Rn)

Bp, p (Rn)

при s = 0, 1, 2....

при 0 < s целому числу.

(7)

Замечание 1. Рассуждения п. 2.2.1 показывают, что всякая
обобщенная функция a;- е S' (Rn) с носителем suppT-a,- cz Mj явля-
ется аналитической функцией. Иногда мы будем использовать
функции а/ = aj (х) е Сда (Rn).
Замечание 2. * Пространства Wp (Rn) для s = 1, 2, 3,...
совпадают с общеизвестными Соболевскими пространствами, вве-
денными Соболевым [1—4] в 1935— 1938 гг. Расширение определе-
ния пространств Wp(Rn) на случай нецелых s>0 (пространства
Слободецкого) тесно связано с исследованием граничных значений
функций, принадлежащих пространствам Соболева. Сошлемся на
работы Ароншайна [1], Слободецкого [1] и Гальярдо [1]. Как
будет показано ниже, пространства Нр (Rn) для s > 0 совпадают
с хорошо известными пространствами Лебега (или Лиувилля, или
бесселевых потенциалов), введенными Ароншайном и Смитом [1]
и Кальдероном [2]. Пространства BPt q (Rn) для s > 0 являются
пространствами Бесова, см. Бесов [1, 2]. Определение пространств
Bsp, 4(Rn), приведенное выше, было дано Трибелем [19]; оно тесно
примыкает к соответствующим определениям С. М. Никольского
[7] и Петре [15]. Определение пространств Гр, q (Rn) взято из
работы Трибеля [19]. В связи с этим определением отметим
работы Лизоркина [12, 14] (пространства Lp, q(Rn), введенные там,
аналогичны пространствам Г^,, q (Rn)) и Петре [39]. Наконец, упо-
мянем о пространствах, введенных С. М. Никольским [2 — 4]
(и называемых обычно пространствами Никольского), которые
совпадают с пространствами BPt(Rn). Заметим попутно, что
(в отличие от обозначений, принятых в этой книге) пространства
Никольского часто обозначают через Hp(Rn), а пространства
Лебега —через Lp(Rn). Много ссылок на литературу, особенно на
работы советских математиков (О. В. Бесова, В. И. Буренкова,
К. К. Головкина, В. П. Ильина, Л. Д. Кудрявцева, П. И. Лизор-
кина, С. М. Никольского, С. В. Успенского и др.) можно найти
в книге С. М. Никольского [7]. Укажем еще обзорные статьи
Ароншайна, Муллы и Шептицки [1], Адамса, Ароншайна и Смита
[1] и Мадженеса [1]. Дальнейшие ссылки на литературу, в част-
ности ссылки по поводу пространств BsPl q (Rn) для s =< О, даны
в замечании 2.3.4/2, см. также замечание 2.3.2/1.

Замечание 3. В определении пространств BPt q (Rn)> Нр (Rn)
и Wsp (Rn) мы ограничиваемся случаем 1 < q < оо. Как отмечалось
выше, для s > 0 эти пространства совпадают соответственно с про-
странствами Бесова, Лебега и Соболева — Слободецкого. Но для
этих типов пространств представляют интерес также предельные
случаи р = 1 и р = оо. Можно было бы попытаться распространить
на эти случаи и определение 1 (или определение приводимых
ниже норм, эквивалентных указанным ранее при1<р<оо). Мы
не будем здесь вдаваться в подробности, но все-таки заметим
следующее.
1.	Дальнейшие рассмотрения основаны на теореме 2.2.4, кото-
рая справедлива только для 1<р<оо. При распространении
этих рассмотрений на случаи р = 1 и р = оо можно использовать
замечание 2.2.4/6 (и его обобщение на векторнозначный случай).

2.	При рассмотрении пространств, отвечающих случаям р = 1
или р = оо, возникают принципиально новые трудности. Резуль-
таты, полученные для 1 < р < сю, не всегда верны для этих
предельных случаев. Кроме того, существует несколько неэкви-
валентных возможностей определения таких пространств (см.
замечания 2.3.3/5 и 1.13.4/2).

3.	Одна из главных задач этой книги — приложение теории
функциональных пространств к теории эллиптических дифферен-
циальных операторов. И здесь снова ограничение 1 <; р < do
является существенным.

4.	Имеет смысл и приводит к интересным классам определе-
ние пространств оо(^п) с нормами, аналогичными нормам в тео-
реме 2.5.1 (см., например, книгу Стейна [5, стр. 166]). Прост-
ранства BL, оо (Rn) тесно связаны с пространствами Гёльдера Cz (Rn)
и ^(Rn), определяемыми ниже в § 2.7. Последние пространства
необходимы также для формулировки теорем вложения в § 2.8.

Замечание 4. * Основная задача этой главы заключается
в систематическом изучении пространств BsPt q (Rn)> Fp, q (Rn), HSp (Rn)
и Wp (Rn) (теоремы вложения, следы на границе, теория интер-
поляции, эквивалентные нормы, теория двойственности, струк-
турная теория и т. д.). Одновременно мы рассмотрим сужения
этих пространств на Rn = {х\х Rn; хд>0}. Далее, будут опи-
саны некоторые свойства пространств Гёльдера. В последующих
главах мы займемся сужениями указанных пространств на про-
извольные области й cz Rn. Кроме того, будут рассмотрены про-
странства Соболева — Бесова с весами.

Мы не даем в этой книге развернутого изложения теории
анизотропных пространств, однако в последнем параграфе нас-
тоящей главы приведено несколько замечаний об анизотропном
случае. Мы не даем также ссылок на работы, касающиеся этого
раздела теории, хотя с момента опубликования книги С. М. Нико-
льского [7], в которой можно найти библиографию по этому воп-
росу вплоть до 1967 — 1969 гг., появилось много новых работ.
Однако мы хотим упомянуть кратко о некоторых важных классах
изотропных пространств, которые не рассматриваются в книге.

В работе Тайблсона [2] введены пространства Лебега — Бесова,
определенные на общих структурах, а в работах Блоки [1], Гри-
вара [4, 6], Фролова [1] и других математиков рассмотрены век-
торнозначные пространства Соболева — Слободецкого — Бесова (со
значениями в гильбертовых и банаховых пространствах). Различ-
ные интерполяционные теоремы и теоремы вложения можно найти
в работах Гривара [4, 6]. Пространства Соболева — Бесова Wlp и
Вр, q для 0 < р < 1 и 0 < р < оо рассматривали Петре [32, 35, 36]
(интерполяционные теоремы, теоремы двойственности и теоремы
вложения) и Флетт [2] (теория двойственности). Определение про-
странств Bsp q, данное Петре [36], является распространением
определения 1 (а) и теоремы 2.32.2 (а) на случаи 0 < р < оо и
0<Zq <оо. Интерполяционная теория для пространств Хёрман-
дера (см. Хёрмандер [3]) построена в работах, Шехтера [5, 6].
Упомянем также о пространствах Морри, Йона — Ниренберга
и Кампанато. Краткий обзор и описание интерполяционных свойств
этих пространств даны в работах Стампаккьи [1] и Петре [20].
Интерполяционная теория этих пространств была развита Кам-
панато, Мурти, Спанном и Стампаккьей. Ссылки на литературу
можно найти в работах Стампаккьи [1] и Петре [20].

Как будет показано в дальнейшем, пространства Лебега тесно
связаны с (эллиптическими) потенциалами Бесселя. Аналогичные
рассмотрения для пространств Лебега, основанные на параболи-
ческих потенциалах, были проведены Бэгби [1]. В этой работе
также изложена интерполяционная теория пространств указан-
ного типа (комплексный метод). Херц [1] и Р. Джонсон [1] ввели
пространства, определенные при помощи потенциалов Рисса.
Наконец, упомянем о теории //^-пространств, которой посвящена
работа Феффермана и Стейна [1]. В ней получены также резуль-
таты по теории интерполяции (комплексный метод). Аналогичные
результаты для вещественного интерполяционного метода можно
найти в работах Ривьера и Загера [1], Феффермана, Ривьера и
Загера [1]. См. также Зафран [1].

В дальнейшем нам понадобятся некоторые специальные системы
функций,

Определение 2. Для произвольного натурального числа N
обозначим через множество всех систем функций {<рИ*)}д°=о,
обладающих следующими свойствами:

1° <pft(х) <S (7?л), (/чрА)®^0 для 6 = 0, 1, 2, ...;

2° supp /чрлс: {g | g <= 2k~N < |g| < 2* + ^} дляк = 1, 2,... и
supp Гфо <= {£ | g e= Rn, | g | < 2N};	(8)

8° существует положительное число clt такое, что
4° для любого мультииндекса а существует положительное
число с2(а), такое, что

1(0“^)©!^^-, Л = 1, 2....................... (10)

оо

Далее, положим Ф= [J Фуу.

N— \

Пример. Нетрудно привести примеры таких систем функций.
Пусть функция ф(х)е5(/?„) такова, что (/чр) (£)	0 и

suppAp с= {£| l^Rn, 2~N ^\£\^2N},

(Ар)©>0 при	(Ч)

Здесь W — некоторое натуральное число. Полагая

(F<pft)(g) = (F<p)(2-^), k=l,2,...,

и выбирая подходящим образом ф0 (х), мы получим систему функ-
ций {<р*}Г=о е Фдг- Полагая

. с>0Д=1, 2, ....	(12)

J = —оо

и выбирая подходящую функцию р0, мы получим другую систему
{Р*}“=ое ®Л'’ Для которой справедливо тождество

ОО

£(Fpft)®=c.	(13)

k = Q

Позднее мы воспользуемся этими примерами.

2.3.2. Пространства Вр, q (Rn) и Fp, q (Rn)

Как обычно, обозначим через С™ (Rn) множество всех комп-
лекснозначных бесконечно дифференцируемых функций с компакт-
ным носителем, определенных в Rn. Всюду ниже знак cz обозна-
чает непрерывное вложение.

Теорема, (а) Пусть — oo<s<oo, 1 <Zp <оо и 1 =Сд=Соо.
Тогда BPt q (Rn) есть банахово пространство. Далее, для любой
последовательности функций {<р^}Г=о^Ф

mi* =11{/*фДз <оо}. а)

V	lq(Lp)
Норма 11/1’вв эквивалентна норме пространства Вр q(Rn)- Если
Р, Q

q<Z<x>, то Со (Rn) и S (Rn) плотны в BPy4(Rn). В то же время
в Вр< оо (Rn) они не плотны.

(Ь)	Пусть —oo<s<oo, 1<р<оо и 1<д<оо. Тогда
Fp.ARn) есть банахово пространство. Далее, для любой последо-
вательности функций |ф/?}Г=о^Ф

> = H{/*<p4IL	<оо}. (2)

Норма эквивалентна норме пространства FPtQ(Rn). Mho-
р. Q

жества Со° (Rn) и S (Rn) плотны в Fsp,q(Rn).

(с)	Для —oo<s<oo, 8>»0, 1<р<оо и
имеем

S (Rn) С= в‘+* (Rn) с в;, 1 (Rn) с Bsp, qi (Rn)

a BPt q2 (Rn) c BPi co (Rn) <= Bsp~f (Rn) c S' (Rn).	(3)

Здесь «В» можно заменить на «F» (но тогда второй нижний индекс
должен быть отличен от 1 и со).

(d)	Для — oo<Zs<Zoo	и 1 < р < оо	имеем

Bp, q (Rn) Ер, q (Rn)	Bp, р (Rn),	1 < q	Р < оо,	(4а)

Bp, р (Rn) Fр, q (Rn)	oz. Вр t q (Rn),	1 p	oo.	(4b)

Кроме того, справедливы равенства

BsPtp(Rn)=FSp,p(Rn)i

Hs2(Rn)=Fs2,2(Rn) = Bs2t2(Rnl

Доказательство. Шаг 1. Докажем (2). Пусть f ^FPt q(Rn),
и пусть

f = 2 ai W

•s' f=o

есть представление функции в смысле определения 2.3.1/1 (Ь).
Пусть, далее, {<р*}й=о Ф/v- Тогда

й/ * фл = F~XP (at * фл) = F~x (2n)n/2F(pkFaj = О,

если i<k — N — 1 или j>k-\-NИз замечаний п. 2.2.1 сле-
дует, что

ОО

/*ФЛ= У й/*Фл=	(а/*Ф*)(*)>

S' /=0	l^k-N-l
Полагая = = 0 для &<0, получаем

11{/*фа}|1г У,	(5)

Lp(lq} r = -;v-i

Функции ak (x) принадлежат Lp (Rn)- Аппроксимируем эти функ-
ции функциями из Со°° (Rn)-

С™ (Rn)^ak^ak при е | 0.	(6)

р

Если положить Kjj (х) = ф/ (х) для / = 0, 1, 2, ... и /Q>y(x)==0
для /<0, то при фиксированных значениях е, г и М применима
теорема 2.2.4 (Ь) (оценка (2.2.4/24) немедленно следует из соот-
ношений (2.3.1/8) и (2.3.1/10)). В результате получим неравенство

ll fak+r, е * флК = 0 L .s.	с II {fik+r, e}fe = 0 I	s

Lp(lq)	bp{lq}

(наличие множителей 25/ не приводит к каким-либо затруднениям,
просто вместо функций ak+rtB надо рассмотреть функции 25/аЛ+г,е).
Число с не зависит от е, г и М. Предельный переход показывает,
что последнее неравенство выполняется также для 8 = 0, так что
в нем можно заменить ak+r,& на ak+r. Полагая в правой части
неравенства Л4 = оо, заключаем, что

II {/* Фа} L

Переходя справа к точной нижней грани по разложениям, полу-
чаем

|1{/*Фа}Е	•	(7)

Шаг 2. Докажем неравенство, обратное к (7). Предположим,
что левая часть (7) конечна Пусть р (х) е Со° (Rn) — вещественная
функция, такая, что

р(х)= 1 при 2~w ==с!х| ^2", р (х) е Со0	2"+i}).

Положим

Ра (х) = р (2-ftx) для k=l, 2, ...

Выберем вещественную функцию р0(х) так, чтобы

ро (х) = 1 при x|^2'v, р0 (х) <= С?({? 11 g| < 2W+1}).

Пусть {фД“=ое Фл/, Kt,t(x) = Q для /<0 и

(F/<7,/)(x)=(2n)-n(2;F(pJ	Р/(х),	/ = 0, 1,2.....

ч=о /
Тогда выполнены условия теоремы 2.2.4 (b). Положим

ipfe = Ф* * Kk, ь (Ftyk = (2л)п/2 FqhFKk, k)-

На основании теоремы 2.2.4(b) мы заключаем (проведя соответ-
ствующее рассуждение о непрерывности, аналогичное рассуждению
шага 1, по отношению к функциям	что

1{/*Ог	,?	(8)

bp{Lq)

Из равенства

S Еф*Ы=(2л)-^
\k = o I

вытекает, что

7? = 0	I

оо	п оо

= ^F-^Fih.Ff)^- 17*^.
S' k = 0	fe==0

Пусть yV = l. Выбирая а* = /*(р£, видим, что требуемое неравен-
ство является следствием цепочки неравенств

ИЛ,. ^11{«411, ,.%<«11{/*Ф< (lV	(9)

p,q	Lp(lq>	Lp(lq'

Пусть теперь Af>l. Рассмотрим систему {%*}Г=о^Ф1, для кото-
рой справедливо тождество (2.3.1/13) (если в него вместо pft под-
ставить Ха) с с=(2п)-"^. Если положить Кь, ь — Хь для k — 0, 1,
2, ... и Kktk = 0 для &<0, то выполнены условия теоремы
2.2.4 (Ь). Следовательно,

II {/ * Фа * Хк+г} II	<с|1№к*/} L ..s., r = -N-l.N+1,

bp(lq}	bp^lq}

И
h + N + 1

—/V—I

(Здесь Х/ = 0 для /<0.) Полагая

2V-I-1

fl»W= У /*Ч’а+г*Ха. £ = °> 1. 2» •••»
r = — N—1

получаем

II{«41' .л^с!!1М»}(, .л,-

Lp(l9}	(10)

supple Л1Л, k = Q, 1, 2, ... (см. (2,3.1/1))
И

oo	CO / W-M	\	00

У O*(x)= У У /*Фа*Х*+г = 2j

k = 0	k^0\r = — N—l	/	ft = 0	S'

Неравенства (8) и (10) дают (9). Совместно с шагом 1 это дока-
зывает утверждение (2).

Шаг 3. Формула (1) доказывается аналогичным образом. Нужно
заменить || • |1	8 на || • ||zS . Затем достаточно воспользоваться

lp(Z<7)	?(Lp}

скалярным случаем теоремы 2.2.4 (Ь), где число с в неравенстве

I фЛ * Up с ll ^Л+r Up

не зависит от k. Предельные случаи q = 1 и q = 00 не представ-
ляют при этом никаких затруднений.

Шаг 4. Докажем вложения (3). Третье, четвертое и пятое вло-
жения немедленно следуют из монотонности /^-пространств. Второе
(а значит, также и предпоследнее) вложение есть следствие цепочки
неравенств

1/Ь «Щ25'Н*ФУ1	2^||{2(^|7*<pyL }U

вр, 1	Lp v=o '	lp

Здесь f se Bp+£, (Rn)- Если мы выберем подходящую систему функ-
ций {ф/}“=ов® (скажем, такую, как в примере 2.3.1), то первое
вложение следует из того, что для f е S (Rn) (и достаточно боль-
ших о)

2/(S+e)||f_1(f(prfZ)|^

< ^2'^-е) |1 (1 +1X I2)"/7-1 (Ff - r<j>y)|jLoo

^с22А^8) J] || F-iD“(F/.F<Py)kco

J а | 2n

<cs2As+e) 2 lDa(Ff-F<pMLl

|а I 2n

<c42A^b)	,|(l+|x|2)"D“(^F<py)kco

|a | ^2n

<с6Г у, sup (1 + | x |2)n+° | DaF/(x) |

Lia | ^2nx^Rn

xf 2 sup (14-|x|2)-a+i+8|DeF<p/(x)|

LI a I < 2пже^л

Пусть ((p/|“=o£ Ф — система, описанная в примере 2.3.1, для
которой выполняется тождество (2.3.1/13) (если в нем р* заменить
на ср*) с с = (2л)-"''2. Пусть система {tfyJ/Lo s Ф такова, что
(^Ф/)(£)=1 для suppFcp;. Тогда последнее вложение есть
следствие неравенства

оо Г

|/(ф)| = !О(^1ф)1 = U F-'tFf-Fty) (q>*ty)
z=oL	J

^c|/||BS_eJ<pfB_s+e, tpeS(^),
/?, 1	p', 00

(11)

и уже доказанного первого вложения,

Шаг 5. Докажем (d). Из монотонности ^-пространств и того
очевидного факта, что Вр> р (/?„) — FPi р (Rn), вытекает правое вло-
жение в (4а) и левое вложение в (4Ь). Пусть {<py}/Los Ф. Левое
вложение в (4а) следует из оценок

l/ll/rs	,,s. =с

PtQ	^p{lQ}

2(25,|/*Ф;|Г

/ = 0

а правое вложение в (4Ь) — из оценок

2
Q

L р_

Q

— С || {/* ф;} ilSq(Lp)

<4 $ | {2s” |/*Ф/ Hh dxV> = <*фД .

К	7 j w

^'17ИР,?.

Шаг 6. Последние два шага показывают, что вложения (3)
остаются справедливыми, если в них заменить В на F (при усло-
вии, что второй нижний индекс q отличен от 1 и оо).

Шаг 7. Из (1) и (2) видно, что Bsp, q{Rn) и q{Rn) являются
нормированными пространствами. Для того чтобы доказать пол-
ноту пространства Bsp>q{Rn}, рассмотрим две системы функций
{ф/}/°=0е Ф и {'Ф/}7=ое Ф’ Удовлетворяющие следующим условиям:
для {ф/}“=0 выполняется тождество (2.3.1/13) (если в него вместо
Ру подставить Ф/) с с — (2п)~пГ2 и /7ф/(^) = 1 при |esuppF^.
Тогда операторы S, /?, задаваемые равенствами в приводимых ниже
формулах, принадлежат соответственно пространствам

S (/) = {/ * <pj Г=о> S е L (Bsp, q (R„), lsq (Lp)),	(12)

oo

R<=L(lsq(Lp), Bsp>q(R„)). (13)

i = o

Сходимость ряда (13) в S' (Rn) устанавливается аналогично оценке
(11), если учесть вложение lqc.lsi~s. Кроме того, надо восполь-
зоваться теоремой 2.2.4 (Ь) так же, как это было сделано на пер-
вых шагах доказательства. Теперь нетрудно видеть, что S есть
коретракция, a R — ретракция в смысле определения 1.2.4. Приме-
няя теорему 1.2.4, заключаем, что S является изоморфным ото-
бражением Bp, q (Rn) на некоторое дополняемое (и, следовательно,
замкнутое) подпространство в lsq(Lp). Отсюда вытекает полнота
пространства Bsp, q (Rn). Аналогичным образом убеждаемся в пол-
ноте пространства Fsp, q (Rn).

Шаг 8. Если 1 < q < оо (соотв. 1 q < со) и Оу (х) — функции
из определения 2.3.1/1, то, в силу теоремы Лебега, функции
м

^af(x) плотны в пространстве FsPt q (Rn) (соотв. в BsPt q (Rn)).
i=o

Возможность аппроксимации функций aj (х) в Lp (Rn) функциями,
принадлежащими С™ (Rn) или S (/?„), показывает, что как С™ (Rn),
так и S (Rn) являются плотными подмножествами в FsPi q (Rn)
(соотв. в BsPt q (Rn)). Остается лишь доказать, что S (Rn), а, значит,
также С” (Rn) не плотно в Вр, ю (Rn)- Как вытекает из свойств
преобразования F и первого вложения в (3), достаточно показать,
что функции <р е S (Rn) с Fq> е С™ (Rn) не плотны в BPt оо (Rn)-
Итак, пусть {й/}у°=0 — последовательность функций, таких, что
supp aj с Mj (см. (2.3.1/1)) и 2^||aJ|z,p=l.

Тогда из рассуждений, следующих за формулой (13), вытекает,
оо

что f s“'	принадлежит Вр, оо(^л). Однако, как нетрудно

/ = о

убедиться, аппроксимировать функцию f функциями указанного
выше вида нельзя.

Замечание 1. Нормы вида (1) для пространств BsPt q (Rn)
впервые были использованы Петре [15], а нормы (2.3.1/2а) по
существу введены С. М. Никольским [7]: см. также замечание
2.3.1/2. В работе Петре [12] есть упоминание о нормах вида (2).
Приведенное выше доказательство является модификацией соответ
ствующих рассуждений из работы Трибеля [19]х.

Определение. Пополнение пространства С”(Rn) в норме
Bp,w(Rn), —oo<s<oo, 1 < р < оо, обозначим через BPt(O(Rn).

Замечание 2. Из части (а) теоремы видно, что Вр, т (Rn)
не совпадает с Bsp, (Rn). Кроме того, из (3) следует, что S (/?„)
также плотно в BPi m(Rn).

2.3.3. Пространства HptR^

Пространства IfpiRn) были определены в (2.3.1/6). Следующая
теорема показывает, что эти пространства представляют особый
интерес.

Теорема, (а) Пусть —oo<s<oo и 1<р<оо. Тогда

Hsp(Rn) = {f\f^S'(Rn),	+	<оо}. (1)

р	Lp

Норма |7Ls эквивалентна норме f f | s •

нр	*Р, 2

(Ь) Для s == 1, 2, 3, ... и 1 < р < оо

£

(Rn) = {/1/ е S' (/?„), |lHs=l 5 IIDaf \\pLp\p< сю}. (2)

Р \ I а| < s	/

Норма |lf|i s эквивалентна норме ||/LS.
w р	р

Доказательство. Шаг /. Пусть элемент f^S'(Rn) таков, что
11/11 S < ОО. Положим

нр

g^F^(\ + \x\^Y^Ff^Lp{Rn).

Пусть {<р/}/°=0 е Ф. Воспользуемся теоремой 2.2.4(a) с

/(/0(х) = Г-1(2^(14-|х|2Г2><р/ для / = 0, 1, 2.

Км = 0 в остальных случаях
и

g = ШГ=- ~> гДе go = g> а остальные g) = 0.

На основании соображений непрерывности, таких же, как на

1 Недавно Петре [38] рассмотрел некоторые приложения пространств
шаге 1 доказательства теоремы 2.3.2, получаем

Гр, 2	bp (Z2>

= с 11?'1 (FK„.  F«) К, iy = c' I №,« > S'! I.,, ,,г,

«c'l'glL =Klfl„.- ’	’	(3)

p	p

Шаг 2. Докажем неравенство, обратное к (3). Пусть /<=
е/?р,2(Лп) = ЛГр(/?п)- Выберем систему функций {ф/}“==о^Ф, такую,
что
оо

2 о + |*у.	© = 1

(см. пример 2.3.1). Далее, выберем вторую систему {TyJ/LoE®
так, чтобы

(Fty) (?) = 1 при £ е= supp Ftp,.

Тогда для

ff = 2isf * <р/ при / = 0, 1, 2,	= О в остальных случаях

и

K0,f W = Ф/ W ПРИ / = 0, 1,2,..., Kft>/ = 0 остальных случаях

выполнены условия теоремы 2.2.4(a). На основании сообра-
жений непрерывности получаем

и

оо	п оо

2 2-7*<Р/*% = (2л)2 2 2slF~1 (Ff  Fq>j)

f=0	7=о

п



2SJ	-1

---------— Fqt \(l + ]x\2 *)2Ff



Отсюда вытекает неравенство, обратное к (3). Тем самым доказано
утверждение (а) теоремы.

Шаг 3. Если s — натуральное число, то, как нетрудно видеть,
функция

а,	п

X 1 ... X п

Ц + |’ Где I а 1 = а/ S) а/ *еЛЫе ЧИСЛа 0»
является мультипликатором, принадлежащим Мр, 1<р<оо
(см. замечание 2.2.4/4). Поэтому для f S (Rn) имеем

Ю1, = с [ F-'^ ... х> Ff |Ip «с' J F-1 (1 + i x I1)1'’ Ff 1^.

Переходя обычным образом к пополнению, получаем

HILs <S|7|I s для fe= Нр (Rn).
р	р

Шаг 4. Для того чтобы доказать обратное неравенство, рас-
смотрим функцию

f<=Lp(Rn), ^^Lp(Rn), j = l,2, .... п.	(4)

дх у

Кроме того, пусть р (t) — бесконечно дифференцируемая функция
на /?х, такая, что р (t) = 0 для 111 у, р (I) — 1 для t 1, р (/) э=0
для /2= 0 и р(/) = — р(— t). Тогда функция

(1 + IBI2)S/2

является мультипликатором, принадлежащим Мрр (см. замеча-
ние 2.2.4/4). Поэтому

НР II ‘	/ = 1	!

«a' I % (ед + г' 2 j |К ₽ (Е,) FJ |tp |1р (Ям).

Здесь Fj (соотв. Ff1) обозначает одномерное прямое (соотв. обрат-
ное) преобразование Фурье. Поскольку р* (I) — одномерный мульти-

1 Sz? » dsf
пликатор и Fi	то

/	п	\1/Р

Вместе с шагом 3 это доказывает утверждение (Ь) теоремы.

Замечание. * Для s = 0 мы получаем FPt 2 (Rn) = Нр (Rn) =

=Lp(Rn) и

ll/kp^ll{/*<P;}llip(/2)> {<Р/!“=оеф-	(6)

Теоремы такого типа играют весьма важную роль в функцио-
нальном анализе. Они называются теоремами типа Пэли —Литтл-
вуда. Обсуждение некоторых аспектов теорем типа Пэли — Литтл-
вуда можно найти в работах Стейна [4] и Литтмэна, Мак-Карти
и Ривьера [1].

Замечание 2. На двух последних шагах докательства мы
получили немного больше того, что утверждается в теореме,
а именно:

Wsp(Rn) = \f\f^S'(Rn),	=	||^||^<°о}

~{flfeS'(₽„), ilfl^s

где ||f|| s и ||f J* s — эквивалентные нормы. Здесь $=1, 2,... и
р	р

1<р<оо. Утверждения такого рода об эквивалентных нормах
очень важны. В дальнейшем нами будет доказано много подобных
теорем.

Замечание 3.* В последней теореме представлено обычное
определение соболевских пространств Ws (Rn) и лебеговских про-
странств Hp(Rn). Соответствующие ссылки на литературу имеются
в замечании 2.3.1/2. В дальнейшем мы получим также эквива-
лентные нормы для пространств BsPtq(Rn)- С помощью сингуляр-
ных интегралов, гиперсингулярных интегралов и разностей можно
построить эквивалентные нормы и для пространств Hsp (Rn) при
нецелых s. Сошлемся на работы Стейна [3], Стрикарца [1, 2],
Лизоркина [9], Феффермэна [1] и Уидена [1—3]. В рамках тео-
рии аппроксимаций можно также получить многочисленные экви-
валентные нормы в пространствах Hp(Rn)- Сошлемся на Бутцера
и Гёрлиха [1], Гёрлиха [1] и Требельза [1—3]. См. также Бут-
цер и Требельз [1], Бутцер и Беренс [1]. Аналогичные рассмотре,
ния для анизотропных пространств содержатся в работе Бэгби [2]

Замечание 4.* Из теоремы 2.3.2(d) следует, что для
— оо <; $ < оо

В р, 2 (Rn) CZ Н р (Rn) CZ В р, р (Rn), 2^р<^оо,

(о)

Bsp, р (Rn) GZ Hsp (Rn) С= Bsp, 2 (Rn), 1 < р < 2,

и Hz(Rn) ==BS2,2 (Rn)- В (8) можно заменить Нр на Wp. Вместе
с (2.3.2/3) это дает вложения

Hsp+e(Rn)f WSp+e(Rn)^BSp,q(Rn)aHSp-&(Rn),	(9)
— oo<s«<oo, 1<р<оо, 8>0, 1С7=Ссо. Наличие вложений
типа (8) и (9) для пространств Соболева—Слободецкого—Лебега-
Бесова хорошо известно. Сошлемся на работы Хиршмана [1] (одно-
мерный случай для периодических функций), Бесова [2], Каль-
дерона [2], Успенского [1], Лионса и Мадженеса [1 III], Тайбл-
сона [1 I, теорема 15]; Лизоркина [4], Ароншайна, Муллы и
Шептицки [1]. Вложения (8) неулучшаемы в следующем смысле.
Вложение Hsp (Rn) cz BPt q (Rn) справедливо тогда и только тогда,
когда шах [2, р] 7 сю; аналогично вложение Hsp (Rn) о BsPt q (Rn)
справедливо тогда и только тогда, когда	min [2, р]; см.

Тайблсон [1 I, теорема 20] и Головкин [3].

Замечание 5. В замечании 2.3.1/3 мы упоминали о воз-
можности распространения результатов на предельные случаи
р=\ и р = оо. Если Hi (Rn) и H^(Rn) определены формулой (1),
a IFi (Rn) и Ws(X)(Rn) определены формулой (2), где s= 1, 2, 3,
то Hsi(Rn)^Wsi(Rn) и Hsco(Rn)^W^(Rn) для $=1,2, 3,... и
п 2. (Для 1 < р < оо эти пространства соответственно совпа-
дают). Для п = 1 и s = 2, 4, 6, ...

H^RJ ^WKR.) и HS^(R1) = WSOO(R1),

в то время как для п = 1 и s = 1, 3, 5, ...

HKRJ ^WKR.) и HURi)^WL(Ri)-

Сошлемся на книгу Стейна [5, стр. 143—192]. Кроме того, из
замечания 1.13.4/2 следует, что формула (7) для р=1 и р = оо
также неверна.

2.3.4.	Свойство изоморфизма1

Легко видеть, что формула

Isf = F~r (1 + j х |2)s/2 Ff, — 00 < s < 00,

(1)

определяет непрерывное взаимно-однозначное отображение S (Rn)
на2 S (Rn) и S'(Rn) на S' (Rn\ Справедливо равенство /Г1 — I-s.

Теорема. Пусть — 00 <s, сю и 1 < р < сю. Тогда Is осу-
ществляет непрерывное взаимно-однозначное отображение FPt q (Rn)
на Fp~qs(Rn), 1<7<оо, и BPtq(Rn) на Bp~qs (Rn), 1^7=С сю.

1 В оригинале lift property («свойство поднятия»). Этот термин не принят
в нашей литературе; теорему, доказываемую в данном пункте, обычно назы-
вают теоремой об изоморфизме (см. С. М. Никольский [7, гл. 8]). — Прим,
персе.

2 Как обычно, термин «на» означает, что образ оператора совпадает со всем
пространством.
Доказательство. Пусть {ф^}Г=о^Ф. Если

(Oks \

-------Г)	<2>

(1 + И2)2/
то {ф*}“=о также принадлежит Ф. Следовательно,

Isf * Ф* = F-1 ((2л)2 Ftyk • FIsf)

= F~* ((2л)” 2ksFyk • Ff) = (2л)2 2ksf * <pfe.

Применяя (2.3.2/1) и (2.3.2/2), получаем

IIW-sM/U . Ш11ва-з~ |1Лва •

P, Я	Р,Я	P, Я	Р<Я

Замечание 1. Из (2.3.3/1) и (1) немедленно вытекает, что
пространства Hsp (Rn) = Ff, 2 (Rn) обладают описанным в теореме
свойством изоморфизма.

Замечание 2. * Как мы уже отмечали, пространства Bsp, q(Rn)
для s>0 совпадают с хорошо известными пространствами Бесова.
Однако, используя обычное определение этих пространств, свой,
ство изоморфизма доказать труднее. И наоборот, свойство изомор.
физма для пространств Bspq(Rn) при s>0 было использовано
нами для определения пространств BsPt q (Rn) при s «с 0. Ряд авторов
рассматривали вопрос об описании пространств В°р, q (Rn). Укажем
в этой связи работы Кальдерона [2], Ароншайна, Муллы и Шеп-
тицки [1], Тайблсона [1 I]; С. М. Никольского, Лионса и Лизор-
кина [1] и С. М. Никольского [7, теорема 8.9.1].

2.4. ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ Вр, 4(R„)

и Fp, М

Одна из главных целей этой главы — исследование пространств
Др, я (Rn) и Fр, q (Rn) (включая пространства Hsp (Rn) и Wsp (Rn)
как частные случаи) на оснэве интерполяционной теории. В насто-
ящем параграфе мы докажем несколько интерполяционных теорем,
имеющих фундаментальное значение для дальнейших рассмотрений.

2.4.1.	Интерполяция пространств Bsp> q (R„)

Для более полного описания интерполяционных свойств прост-
ранств Bsp,q(Rn) введем пространства Bsp< q> (r) (Rn) и Bsp\ (q} (Rn),
представляющие собой обобщения пространств, введенных в опре-
делении 2.3.1/1 (а) и теореме 2.3.2(a). Эти новые пространства
це играют существенной роли в последующих рассмотрениях.
В дальнейшем нас будут интересовать только такие интерполя-
ционные пространства для Bp,q(Rn) и Fp,q(Rn), которые сами
являются пространствами типа Вр, q(Rn) или FPi q(Rn).

Ниже через lq, г обозначаются лоренцевы пространства ска-
лярных (комплексных) последовательностей, введенные в п. 1.18.3,
а через Lq, г — пространства Лоренца скалярных (комплексных)
функций, определенных в Rn, по отношению к лебеговой мере,
которые были введены в п. 1.18.6. Символ Ф обозначает мно-
жество, введенное в определении 2.3.1/2.

Определение. Пусть {<рА}Г= оеФ, и пусть — oo<s<oo,
1<р<оо и l^Cr^oo.

(а)	Для 1	9 сю положим

I	“р. q, (И

= II {2^ II/ * ф/ II Lp, г}	< оо}. (1)

(Ь)	Для 1 < q < оо положим

ч|Н^мь<°°)- <2»

Замечание 1. Ясно, что

Bsp, q, w (Rn) = В’, q (Rn) и Bsp, У (Rn) = Bsp, q (Rn).

Используя описанные выше методы (см. доказательство теоремы
2.3.2, в частности шаг 7), можно убедиться, что BsPt qt (r)(Rn) и
BsPt (Rn) являются банаховыми пространствами, независимо от
выбора последовательности {ф4?=о Ф. Чтобы доказать послед-
нее утверждение, заметим, что теорема 2.2.4 справедлива также
для пространств Лоренца LPtr, как это сразу получается интер-
поляцией на основе теорем 2.2.4 и 1.18.6/2. Поэтому желаемое
утверждение устанавливается методом из доказательства теоремы
2.3.2 с применением скалярного случая теоремы 2.2.4 (с LPtr
вместо Lp).

Напомним еще об определении 2.3.2 пространств iisPt о© (Rn)-

Теорема, (а) Пусть — oo<s0, s2<;oo, s0^sx, 1<р<оо,
1=^90, ^1, 9=Ссю и 0<б<1. Тогда

(^р°. Qo (Rn)> Вр> (Rn)')®, <7 ~ Вр q (Rn)f где

5=(1_б)5о+е$р	(3)
(Ь) Пусть — оо <; s < оо, 1 <С р <Z оо, 1 qQ, q± оо, qQ qlb
1й=Сг^оо и 0<9<1. Тогда

(В’₽. ?0 (/?„), Вр. 9l (Я„))0> r = Вр,(? (/?„),

n 1	1 — 6.6

где — =--------—.	(4)

q 7о 7i v 7

(с)	Пусть — oo<s0, < оо, 1^^0, ^<оо, 1 < р0, рг <Z os>,
Po=/=Pi и 0 < 6 < 1. Тогда

(Вр°, Яо (^п)> В Pl, Я1 (^))б, Я ” Bp, qt (q) (Rn)>	(5)

где

. .	. л I I -------- 6.6 I I ----------6  6	/£?\

V 7 ог n g 7о Г <71 Р Ро f Pi v 7

Если дополнительно p — q, то

(ВХ. ?0 (Я„), ВХ, q = Bsp, р (Rn).	(7)

(d)	Пусть — оо < s0, sx < оо, 1^90<оо, l^C^^Coo, 1<р0,
pi < оо и 0 < 0 < 1. Тогда

[ВХ. q, (Rn), BsPtt 9i (Rn)]e = Bp, q (Rn),	(8)

где p, q, s определены равенствами (6).

(e)	Пусть — oo<s0, SjCoo, s0=4=Si, 1 <p<oo и 0<6< 1.
Тогда

[вр°, оо(7?л), Bpt оо(^?/г)]0 = В pt co(Rn)>

где s = (1 — 6) s0 + Gsx- (9)

Доказательство. Шаг 1. Используем две системы (ср^оеФ
и {ЧУ^оеФ, построенные на шаге 7 доказательства теоремы
2.3.2, и операторы S и 7?, определенные в (2.3.2/12) и (2.3.2/13).
Как мы заметили там, S есть коретракция пространства BsPt q(Rn)
в lsq(Lp), a R — соответствующая ретракция пространства lq(Lp)
на BsPt q(Rn\ Последнее вложение в (2.3.2/3) показывает, что
{Вр^чМ’ Bsp\, qt(Rn)} является интерполяционной парой (в обо-
значениях п. 1.2.1 можно взять = S' (Rn))- В силу теоремы
1.2.4, имеем для произвольного интерполяционного функтора Е

чМ вр\. ?>(*„)})~11	X (LPj}y (10)

Шаг 2. Все утверждения теоремы получаются из соотношения
(10) при соответствующей конкретизации функтора F. Утвержде-
ние (а) вытекает из теоремы 1.18.2. Утверждение (Ь) получается
из теоремы 1.18.3/2, если учесть, что в формуле (1.18.3/8) можно
заменить lpo на lspo (и аналогично для других пространств).
Для доказательства утверждения (с) используем формулу (1.18.1/3),
в которой Aj = 2'S°LA) (Rn) и В} = %iSlLPl (/?„)• Из определения 1.3.2
и теоремы 1.18.6/2 легко следует, что

Знак ~ означает здесь, что постоянные в оценках не зависят
от /. Принимая во внимание, что Вр> Pt (р) (Rn) = Bp> p(Rn), полу-
чаем утверждение (с). Докажем (d). В случае ^<оо (d) выво-
дится из (1.18.1/4) аналогично (с). При этом нужно восполь-
зоваться соотношением, аналогичным соотношению (11),
см. (1.18.1/15) и (1.18.6/15). Для ^ = 00 требуемый результат
вытекает из (1.18.1/12). Докажем утверждение (е). Для этого
воспользуемся формулой (1.18.1/16). Нам надо показать, что
Со° (Rn) всюду плотно в интерполяционном пространстве. Пусть
оо

{(p^JfLo ф — такая система, что	см. пример 2.3.1.

/ = о
м

Тогда функции fM= Jjj аппроксимируют функцию f в норме
/ = о

интерполяционного пространства. Но такие функции могут быть
нужным образом аппроксимированы функциями, принадлежащими
пространству Со° (Rn)-

Замечание 2. Как было сказано выше, нас в первую оче-
редь интересуют интерполяционные результаты, приводящие
к пространствам типа BsPt q(Rn), т. е. соотношения (3) и (7) —(9).
Формула (9) представляет особый интерес, так как из нее сле-
дует, что пространство BsPt ^(Rn) может быть получено с помощью
интерполяции пространств типа Вд,оо (/?«)•

Замечание 3. При распространении формулы (9) на случай
различающихся между собой значений р возникают дополнитель-
ные трудности. Во всяком случае, применяя описанный выше
метод и учитывая равенства (1.18.1/13) и (1.18.1/14), можно
показать, что для — 00 < s0, s1 <Z 00, 1 < р0> Pi < 00 и 0 < 0 < 1
[Вр°0, оо (Rn),	оо(/?н)]е =

= [ВX (/?„), Вр‘ь оо (В„)]е = Bsp, оо (/?„),	(12)

/1	I Л 1	1—0.0

где s = (l-e)So + eS1 и

Замечание 4. В формуле (5) в отличие от формулы (3)
параметр q определяется по значениям q0, qr и 6. Возникает
вопрос, можно ли определить интерполяционные пространства
в левой части формулы (5) для случая, когда второй индекс
вещественного метода интерполяции не совпадает с q. Приведем
один результат Петре [15, теорема 1]. Если все параметры удов-
летворяют тем же условиям, что и в части (с) теоремы (включая
условия (6)), и l^r^Coo. то

Bp, min (<?, r), (r) (Rn) (Вр0, <7о (Rn)> Bpi, qi(RrS)e, г

Вр, max (<7, r), (r) (Rn)’

При этом значения min (q, г) и max (q, г) неулучшаемы, по край-
»	_	n „ n

ней мере в случае p0<Pi и so~~ =^si-~~-

Замечание 5.* С самого начала теория интерполяции
функциональных пространств и пространств обобщенных функций
была тесно связана с развитием абстрактной теории интерполяции.
Сошлемся на Гальярдо [4], Лионса [3 I] и Лионса и Мадженеса
[1, особенно III]. После того как в этих работах были получены
необходимые предварительные результаты, была доказана фор-
мула (3) в основном усилиями Лионса и Петре [2] и Мадже-
неса [1]. В качестве действенного инструмента они использовали
сильно непрерывные полугруппы операторов (см. § 1.13). В дан-
ной книге мы имеем обратную ситуацию. Используя только что
доказанную формулу (3) и теорию, развитую в § 1.13, мы полу-
чим эквивалентные нормы для интересующих нас пространств.
В частности, мы выведем формулы, обычно используемые для
определения пространств Бесова Bsp, q(Rn).

Дальнейшее развитие теория интерполяции невесовых функ-
циональных пространств в Rn получила в работах Кальдерона
[3, 4] (комплексный метод), Лионса [10], Петре [11, 15], Гри-
вара [4], Тайблсона [1 II] и многочисленных других работах,
посвященных интерполяции функциональных пространств (в Rn
или в области, с весом или без веса), о которых мы скажем
позднее (см. замечание 2.4.2/3). Особое значение- с точки зрения
излагаемых здесь методов имеют статья Петре [15] и (не опубли-
кованные в широкой печати) записи лекций Петре [12]. В этих
работах дается первое описание методов, развиваемых в нашей
книге. Далее, в них можно найти формулу (5) и ее обобщение,
указанное в замечании 4. Интересный частный случай формулы (7)
был рассмотрен ранее Гриваром [4]. Формула (8) установлена
в работах Гривара [4] и Тайблсона [1 II]. Отдельные ее частные
случаи были до этого доказаны в работе Лионса и Мадженеса
[1 V] и Лионса [10].

2.4.2.	Интерполяция пространств Fp,q(Rn)

Аналогично тому как это было сделано в предыдущем пункте,
мы обобщим пространства Fsp,q(Rn) из определения 2.3.1/1 (Ь)
и введем пространства Fp\{^ (Rn) и FPt q{r) (Rn)- He все эти новые
пространства будут, однако, существенны для последующих рас-
смотрений. В дальнейшем нас будут интересовать только те из
них, которые совпадают с BsPtr(Rn) или FsPiq(Rn).

Определение. Пусть {фл}Г=о е Ф» и пУсть —oo<s<oo
и 1<р, <?<оо.

(а)	Положим

₽=»{2^1МфУ|}1!/(?>рЬр<оо}.

(b)	Пусть дополнительно l^r^oo. Положим

Pp.itr) (Rn) = {f\f^S'(Rn), miFs

Р. <7, (И

= 111 {2^ If* фу !}fc9kp,r<oo}.

Замечание 1. Ясно, что

Рр, (р* (Ял) = Рр. р (Ял) = Вр,р (Rn) И Р ptq (р) (Rn) = Pp.q (Rn)-

Для того чтобы доказать независимость введенных пространств
от выбора системы {ф*}“=0 е Ф (в духе теоремы 2.3.2), надо рас-
полагать теоремой 2.2.4 (b) с Lp(lq,p) (соотв. Lp, r(lq)) вместо
Lp(lq). Но эта модификация легко получается с помощью интер-
поляции из теорем 2.2.4 (Ь), 1.18.4 (с p0 = Pi = P) и 1-18.3/2
[соотв. 2.2.4 (Ь) и 1.18.6/2]. После этого можно показать, как
на шаге 7 доказательства теоремы 2.3.2, что Fp^ (Rn) и
являются банаховыми пространствами. (Поскольку пространства
обоих этих типов суть интерполяционные пространства, последнее
утверждение следует также из приводимой ниже теоремы.)

Теорема 1. Пусть — оо < s0, s, < оо, 1 < р0, plt q0,	< оо,

0<9<1 и

s = (l-9)s0 + 9s1, 1 = —4-1 ц 1 = —(1)
v '	Р Po Pi я q<> qi ' '

(а) Для s0^s1

(ft q, (Rn), Ft (Rn))e. p=Bsp,p(Rn) ( = p (Rn)),	(2)

(b) Если Sq — s^s u q0=^=qlf mo

^p0. <7o (^л)> Fpi, <71 C^n))o, p = EPt	(Rn).	(3)

Если, кроме того, p = q, то

Ро. <7o (^n)> ^Pt, <71 (^л))е. P ^p, p

(4)
(с)	Если s0 — s1 = s, ^o = ?i = <7>	и 1 =sS г оо, то

(Fpo. ч (Rn), FsPi, q (Rn)\. r = Fsp. q, (И (Rn).	(5)

В частности,

(П. q (Rn), FsPt. q (Rn)K P = Fsp.q (Rn).	(6)

(d)	Справедливо равенство

[ЛС Qo (Rn)> Fp\, qx (^/z)]q q (^n)«	(7)

Доказательство аналогично доказательству теоремы 2,4.1.
Формуле (2.4.1/10) соответствует формула

1	f ЧМ.(«„)• fSp\. «,(*я))})~11 'ЧЬЖ’Л lp, (ft)})'

Утверждение (а) вытекает из теорем 1.18.4 и 1.18.2, утвержде-
ние (Ь) — из теорем 1.18.4 и 1.18.3/2, утверждение (с) —из тео-
ремы 1.18.6/2, а утверждение (d) — из теорем 1.18.4 и 1.18.1
с Aj = 2is°C и Bj=2iSiC, где С обозначает комплексную плоскость.

Замечание 2. Эта теорема является весьма общей и охва-
тывает целый ряд интересных частных случаев. Напомним, что
вр. р = Fp. р W и нр (Rn) =	2 (Rn).

(а)	Если — ®o<s0, s!<;oo, 1<р0, рх<;оо и 0<6<;1, то,
как следует из (2) и (4),

(8)

где $ и р определяются из соотношений (1). Эта формула пред-
ставляет собой также частный случай формулы (2.4.1/7).

(Ь)	Если — oo<s0, s1<oo, s0^=slf 1 < р0, Pi < оо и 0 < 0 < 1,
то, как вытекает из (2),

(в?..н‘,\ <*•>> < = №. <«”)•	(«)>•»“ В’в., &.>

(9)
где sup снова определяются соотношениями (1).

(с)	Если — oo<s<oo, 1 <р0, р1<ооиО<0<1, то, как
следует из (6),

(H^(R„), H^(Rn))e.P = ^p(Rn),	(10)

где опять s и р определяются из условий (1). Эта формула
является также немедленным следствием равенства (£Ро(7?л),
LPi СОе, р = Fp (/?„) и теоремы 2.3.4.

(d)	Если ~-oo<cs0, s1<oo, 1<Ро> Pi < °° и 0< 0 < 1, то,
как вытекает из (7),

[H^Rn], Н^п)]^Н^(Яп).	>	(11)

где s и р определены формулой (1).
e) Если — oo<s0, $1<<схэ, 1<р0, р1<оэ и 0<6<l, то,
как следует из (7),

[«?.«)' (12>
*	’	1	1—о , е

где s и р определяется формулой (1), а	——1_ —.

Замечание 3. * По существу эта теорема получена в работе
Трибеля [19]; соответствующие результаты доказаны там прямым
методом, без применения теоремы 1.2.4. Но многие частные случаи
были известны и раньше. Как уже указывалось в замечании
2.4.1/5, формула (8) (как частный случай формулы (2.4.1/7)) при-
надлежит Гривару [4]. Второе равенство в (9) было без доказа-
тельства приведено в заметке Петре [15]. Формулу (11) можно
найти у Кальдерона [3], а также у Шехтера [5, 6].

Теорема 2. Пусть — oo<s0, S]<;cxd,	1<р<оо,

1^<7о> Яъ <7=^°° и 0< 6 < 1. Если s = (l —-OJSo + eSi, то

те. .,<«»))».,=(те ,.(«»>тем,
~п. ,.<«»)в?.

=в;.,(Л).	(13)

Здесь в случае пространств F числа q0 и отличны от 1 и оо.

Доказательство. Первое равенство в (13) совпадает с (2.4.1/3).
Остальные вытекают из вложений (2.3.2/4).

Замечание 4. Представляют интерес следующие частные
случаи формулы (13):

те. те те))..,-(«?«> «?(«>)..,

-В’,., (К,),	(14)

где все параметры имеют те же значения, что и в теореме. Если
дополнительно предположить, что OsgSj^oo, то

-В‘р q(Rn).	(15)

При OsCso, SjCoo, s0#=$i получаем

^‘(Ме.? = 5р.Д^)-	(!6)

Замечание 5. Из теоремы 2.3.3 (Ь) видно, что для s= 1,2,
3, ... пространства Wsp(Rn) совпадают с обычными Соболевскими
пространствами. Кроме того, Wp (Rn) = Lp (Rn) и формула (16)
эквивалентна одному из обычных определений пространств Бесова,
а именно определению с помощью интерполяции Соболевских
пространств*
Замечание 6. Из (13) и (1.3.3/5) следует, что
=^С|1/||В7»0 ll/llls. /еВр“, М 0 BsP\4t (R„), (17)
Р, Я	Р, Я. Р. Я1

где все параметры имеют те же значения, что в теореме 2. В пра-
вой части неравенства (17) можно заменить Bs« на Hs°, Fsp°
или Wsp°; аналогичное замечание относится к Bsj ч^. Оценки
типа (17) часто используются в теории эллиптических дифферен-
циальных операторов. Иногда их называют мультипликативными
неравенствами.

2.5. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ НОРМЫ

В ПРОСТРАНСТВАХ Bp,q(Rn)

В теореме 2.3.3 и замечании 2.3.3/2 получены эквивалентные
нормы для лебеговских пространств Hp(Rn), — oo<s<oo, и,
в частности, для соболевских пространств Wp (Rn), т= 1, 2, 3,...,
совпадающие с нормами, используемыми при обычном определе-
нии этих пространств. Данный параграф посвящен эквивалент-
ным нормам для пространств Бесова Bp,q(Rn), 0<s<oo. Из
формулы (2.4.2/16) видно, что пространства Вр, q(Rn) для s>0
являются интерполяционными для соболевских пространств. Это
наблюдение лежит в основе построений этого параграфа, главные
этапы которого можно описать следующим образом. В простран-
стве Lp(Rn) выбираем сильно непрерывную полугруппу операто-
ров (соотв. п сильно непрерывных полугрупп, коммутирующих
друг с другом) с инфинитезимальным оператором Л (соотв. Л1( ...
..., А„), таким, что IFp (Rn) —D (Л*) (соотв. = Q D (Л*)), где tn и

/ = i

k — некоторые натуральные числа. Затем применяем результаты
§§ 1.13—1.15 и получаем большое число эквивалентных норм
в интерполяционном пространстве/^1, 7в)т (Rn)=(W™ (Rn), Lp(Rn)')eiq.
При этом рассматриваются три типа полугрупп: группы сдвигов,
полугруппы Гаусса — Вейерштрасса и полугруппы Коши —Пуас-
сона. Наконец, определяем эквивалентные нормы с помощью
аппроксимации функций из Lp(Rn) гладкими функциями.

2.5.1. Эквивалентные нормы и группы сдвигов

Рассмотрим в пространстве Lp(Rn) сильно непрерывные ком-
мутирующие группы {G;(0}-<»«с»,/=!>•••» изометрических
операторов

[О/(0/](*)“/ (*i..*/-i> xj + t, xJ+1.хп),

f Gx Lp (Rn) (!)
(1 < р < оо). Для наших целей интерес представляют только полу-
группы {Gy (/)}о^/<оо. Соответствующий инфинитезимальный опе-
ратор обозначим через Ау, а его область определения ~ через
D (Ау). Аналогично для т=1, 2, ... определим А™ и ^(Лу1).
Кроме того, введем оператор Кт, имеющий тот же смысл, что и
в определении 1.13.3. Временно положим

=	(R„),

(2)

т = 1, 2, .... / = 1, п, 1<р<оо.

Лемма, (a) S(Rn) плотно в Wp,/(Rn) и
W^i(Rn) = {f\f^S'(Rn), ||

(3)

где||Л т и I'fll^-m —эквивалентные нормы.

wp,l	p.i

(Ь) Справедливы равенства

= D(А-) = Гр-(/?„), m=l, 2................. (4)

u
n

Km = {\D(^)^W-(Rn).	(5)

/=i

Доказательство. Шаг 1. Формулу (3) можно получить таким
же образом, как в шаге 4 доказательства теоремы 2.3.3; см.
также замечание 2.3.3/2. Если <р е С” (Rn) и <р(х) = 1 для |x|sg 1,
то, как нетрудно видеть, функцию f е W™j(Rn) можно аппрокси-
мировать в Wp,j (Rn) с помощью функций <p[~^f(x) приА->-оо.
Пусть 0==сю (х) еС“ (₽„) и ||<о ||z,t = 1. Для 0 < h< оо и g е Lp (Rn)
положим

(g)ftW=®A*g = ^ J	©А—^-©Q.	(6)

Это хорошо известный метод усреднения Соболева (см. Соболев
[4]). (Для п = 1 этот метод также известен как метод усреднения
Стеклова.) Так как || соА Ць, = 1, то

(g)n <= Lp (Rn) П С00 (/?„) и || (g)h || Lp < ||g||Lp.

8 X. Трибель
Поскольку для функций g из С™ R(n) выполняется соотношение
J (§)/> — § Д (л )->0 ПРИ Л | 0. то из последней оценки следует
справедливость этого соотношения для произвольных функций g
из Lp (Rn). Если g имеет компактный носитель, то (g)h <= С” (Rn).
Полагая g (х) = <р f (х) и используя определение обобщенных
dk
производных, получаем, что для —

Da ((g)h (х)) = \D*<oh(x-y)g (у) dy

Rn

= (— 1)' “1 $ £>“соЛ (x - у) g (у) dy = <ол *D“g.	(7)

*п

Применяя наши предварительные результаты, заключаем, что
функции (ф(^)/(х))й	стремятся к	f(x) в

Wp, /(Rn) при /г ф 0. Следовательно, С“ (Rn), а значит, и S(Rn)
плотны в Wp,/(Rn)-

Шаг 2. Нетрудно видеть, что для f s S (Rn) cz D (Aj1) справед-
ливо соотношение

Amf- dmf

(8)

По теореме 1.13.1/2 интервал (0, оо) принадлежит резольвентному
множеству оператора Лу. В частности, (Лу — Е)т осуществляет
изоморфное отображение О(А/г) на Lp(Rn). Так как S (/?„) плотно
в / (#») и (Л/1) — & ((Ау- — Е)т) — замкнутое множество, то
мы получаем, что D (Л™) гэ Wp,/ (Rn). Далее, равенство (8) спра-
ведливо также для f е Wp, / (Rn). С другой стороны, используя
преобразование Фурье, видим, что (Лу — Е)т осуществляет изоморф-
ное отображение S(Rn) на 5 (/?„). Пополняя, убеждаемся, что
(Лу — Е)т осуществляет также изоморфное отображение Wp, j (Rn)
на Lp (Rn)- Но отсюда следует, что D (Лу*) = Wp,/ (Rn), а тогда
формула (5) вытекает из замечаний 2.3.3/2.

Замечание 1. В шаге 1 содержится полное описание метода
усреднения Соболева (см. Соболев [4]), который играет очень важ-
ную роль во всех этих вопросах. Аналогичный метод мы уже
использовали несколько раз в гл. 1.

Замечание 2. В рассматриваемом здесь случае №* =
п

QO(Ay')- См. замечание 1.13.4/2.
Введем сокращения

(Д/. kf) (х) = [Gk(t) f](x) —f (х), k = \, .... n, Lp (Rn),
(&hf)(x) = f (x + h)-f(x), hf=Rn,

AU = A,,ft(A',~?). A* = Aa(aM. / = 2, 3..............

Нормы J • 1л*(Об и ||-1|£* ((О б) A} — те же, что и в пп. 1.13.4 и 1.13.2.

Теорема. Пусть 0 < s < оо, 1 < р <; оо и l^q'^oo. Если
k и I — целые числа, удовлетворяющие условиям G^k<.s и 1>
>s — k, и 0 <6^оо, то

где

в',., (R.) = (/1 е S' (R»), II/ Iji t < оо). г = 1, 2, 3,

|ft	д'

дх1 о.

' 4(^-Lp(Rn))

Р, Q

<S k}^hDa^L4(%'Lp(Kn)Y

(9)

(Ю)

(Н)

(12)

Все эти нормы эквивалентны норме |/|| s .

вр. я

Доказательство. Это немедленно следует из соотношения
(2.4.2/16) с so = 0 и s1 = m>s, последней леммы и теоремы 1.13.6/1.

Замечание 3. Ясно, что с помощью соображений, исполь-
зованных при доказательстве теоремы 1.13.6/1 (см., в частности,
(1.13.6/9)), можно получить много других эквивалентных норм.
п

Например, в формуле (10) можно заменить на и на
/ = 1	| а | < k	i

Daf. Далее, в (10), (11) или (12) можно добавить нормы вида
||/||Н0 или ll/ll^o для 0 ^o<s. Это вытекает из вложений (2.3.3/8)
р	р

и (2.3.2/8). Особый интерес представляют нормы с наименьшим
допустимым значением I. Для 0<8<оо положим

$ = [$] -|- {s}, [s] — целое число, 0	{s} < 1,

и

s = [s]--|-{s}+, [s]~ —целое число, O<(s}+<1.
8*

(13)

(И)
Наименьшим допустимым значением I служит I = 1 +[{s}+], В этом
случае & = [s]~. Отсюда видно, что пространства Bp^tR^, где
s —целое число, занимают особое место.

Замечание 4. В (2.3.1/7) были определены пространства
Wsp(Rn), 0<в<оо, 1<р<оо. В теореме 2.3.3(b) и замеча-
нии 2.3.3/2 мы получили удовлетворительное описание пространств
Соболева Wsp (Rn), s= 1, 2, 3...Из доказанной теоремы и заме-

чания 3 следует, что для пространств Слободецкого Wsp (R„) —
= Bp,p(Rn), 0<Zs=£ (целое число), имеет место равенство

ii/ii^s + У Г

Р р

\Daf(x) — Daf (у) \р

dxdy р. (15)

Замечание 5. * В последней теореме мы получили обычные
определения для пространств Слободецкого Wsp(Rn), 0<s=#
(целое число), 1<р<оо (Ароншайн [1], Слободецкий [1], Галь-
ярдо [1]) и пространств Бесова Bptq(Rn), 0<s<oo, 1 <р<оо,
1=С7=Соо (Бесов [1, 2]). Много других эквивалентных норм,
часть из которых рассматривается в последующих пунктах, можно
найти в книге С. М. Никольского [7] и статье Тайблсона [1 I].
В этой связи укажем также работы Бутцера и Беренса [1], Бут-
цера и Несселя [1] и Лизоркина [13]. Дальнейшие ссылки на
литературу приведены в замечаниях 2.3.3/3 и 2.3.1/2.

2.5.2. Эквивалентные нормы

и полугруппы Гаусса — Вейерштрасса

На основе рассмотрений п. 1.14.5 об аналитических полугруп-
пах мы легко получим сейчас другие эквивалентные нормы в про-
странстве BsPtq(Rn).

Лемма. Пусть \<zp<Z^ и

__ п_ _ 1 х~у\*

[№(0Л(*) = (4л0 2$е	« f(y)dy,

f<=Lp(Rn). (1)

Если, кроме того, положить W (0) = Е, то {Ц7 (/)}о</<00 есть
аналитическая полугруппа в пространстве Lp (Rn). Если А — соот-
ветствующий инфинитезимальный оператор, то

= D(Am) = W2pm (Rn), m = l, 2............. (2)
Доказательство. Шаг 1. Из хорошо известной формулы

_ п _ | X I2

(4л/) 2 е 4Z dx = 1, 0 <z t <z oo,	(3)

Rn

следует, что

II г (П В <1.	(4)

Для f<=S(Rn) формула (1) дает единственное ограниченное реше-
ние классической задачи Коши для уравнения теплопроводности

= ДЦ7 (0/,	Г(/)Л^о=Л	(5)

В силу единственности решения,

W (h + Qf = W (/х) [F &) f], 0 < /1( /2 < оо.

Из последнего равенства и оценки (4) вытекает полугрупповое
свойство. С помощью формулы (3) обычным образом устанавли-
вается, что для f<=S(Rn)

при ЦО.	(6)

В силу (4) соотношение (6) имеет место также для f^Lp(Rn).
Отсюда следует, что {№ (О}о</<<» является сильно непрерывной
полугруппой с 0=0 в оценке (1.13.1/1).

Шаг 2. Из формулы (5) и определения А вытекает, что S (/?„) с:
cz D (А) и А/ = Д/ для f е S (R„)- Здесь мы воспользовались равен-
ством Д№ (/)/ = F (/) Д/. По теореме 2.3.3 для f^S(Rn) справед-
ливо соотношение

I (Д - £) ||Ьр = ^"41+1112) Ff kp ~ I1 / !«, »•

Так как А —замкнутый оператор и S (Rn) плотно в Wp (Rn), то
D (A) id Wp (Rn) и А/ = Д/ для f е Wp (Rn). Обратно, предположим,
что f^Lp(Rn)- Тогда F-1 (1+| ^l2)’1^? принадлежит WP(R„) и

-(А-^)(^-1(1 + ^12)-1^)=А

Отсюда следует, что D(A.) = Wp(Rn)- Кроме того, мы видим, что
(Д-£Г осуществляет изоморфное отображение D (Ат) на Lp (Ra).
Как и прежде, заключаем, что D (Am) = Wpm (Rn)-

Шаг 3. Непосредственным дифференцированием убеждаемся,
что выполнены условия определения 1.14.5. Следовательно,
{*ЧО}оС(<оо является аналитической полугруппой.

Для А = Lp (Rn) обозначение Щ (А)= Lq (Lp) имеет тот же емысл,
что и выше, см. п. 1.5.1.	' '
Теорема, (а) Пусть 0<s<oo, 1 <р<оо, l^^^oo.
Тогда для любого натурального числа т, такого, что т>~,

Bsp,q(Rn) = {f\f^LP(Rn),

„ £ .(*) II С II , ILm - 4 dmW (0 /II	1

Ч — ~ПГ dtm Н (V <~ °°1:

(7)

||/||(4s есть эквивалентная норма в пространстве BPtq(Rn).

вр, q

(b) Пусть — оо < s < оо, 1 < р < оо и l^^^oo. Тогда для
„ s

любого вещественного числа х, такого, что х>у,

BsPtq(Rn)^{f\f^Sr(Rn),

ll/ll^ ? = ||/X~^F-1

4 X [(1 -н £ I2)"*-' 151* Ff] ||ф.? < оо}; (8)

J/С есть эквивалентная норма в пространстве BPtq(Rn).

вр, q

Доказательство. Шаг 1. Утверждение (а) является следствием
теоремы 1.14.5, последней леммы, формулы (5) и равенств

(Lp (Rn), D (Лт))0(q = (Lp (Rn), W2pm (Rn))e,q

— Bp<q(Rn), 2mf)=s. (9)

Шаг 2. Для полугруппы e~*W (t) имеет место оценка (1.13.1/1)
с р =—1. Соответствующий инфинитезимальный оператор равен
Д — Е. Воспользуемся известными формулами

Р (е-|х|2/2) ==^-1512/2
и

F (ф (8Х)) (?) = F (ф (х))	,	8 > 0

(см., например, Трибель [17, стр. 100—101]). Тогда равенство
(2.2.1/4) дает

F (W (i) f) = (2t)~ 2 F (e~~^) Ff = ce~' 181* • Ff.	<1 °)

Теперь из теоремы 1.14.5 следует, что для s>0

(Д-£)”*Г (t)fy
ар, я	4 р


Если s — произвольное вещественное число, р — положительное
число и т — натуральное число, такое, что т>р/2, то, в силу
теоремы 2.3.4,

Р_
I/IBS ~ IIF-1 (1 + 1 ||2)2 2Ff|p
Р, q	Р> q

Р	. s р

' '*	—1м I-	- -

^(l + lll2) 2 2e-‘WFML*
q' p'

Тем самым мы доказали соотношение (8).

Замечание 1. Поясним мотивы введения нормы ||f |Й . Рас-
вр, Q
смотрим классическое решение и (x, t) уравнения теплопроводности
~ = Ди в полупространстве ={(x, f)\x^Rn, 0</<оо}.
Представляют интерес «граничные значения» и (%, 0), а также
поведение и(х, f) вблизи границы. Из теоремы 1.14.5 легко видеть,
что в формуле (7) интегрирование по t на интервале (0, оо) можно
заменить интегрированием на интервале (0, S), где 6 >*0 —произ-
вольное число. Следовательно, для конечности нормы важно
^р, q
только поведение функции f вблизи точки / = 0. Но отсюда выте-
кает, что f принадлежит Bsp>q(Rn) тогда и только тогда, когда
поведение соответствующего решения W(f)f уравнения теплопро-
водности вблизи границы / = 0 таково, что <оо. Анало-

ВР, q

гичным образом мы рассмотрим в следующем пункте поведение
вблизи / = 0 функций, гармонических в полупространстве Rn+\.

Замечание 2.* Систематическое изложение теории прост-
ранств Bptq(R„) с развитой в этом пункте точки зрения можно
найти в статьях Тайблсона [1] и Флетта [1]. В указанных работах
формула (7) (соответственно формула (2.5.3/6), которая появится
ниже при рассмотрении граничных значений гармонических функ-
ций) используется для определения этих пространств. Идя по этому
пути, можно получить много интересных теорем для пространств
Соболева —Слободецкого— Бесова. Тайблсон опирался на резуль-
таты, полученные в работах Бохнера и Чандрасекхарана [1],
Хиршмана и Уиддера [1] и Стейна [2]. Дополнительные ссылки
на литературу будут даны в замечании 2.5.3/3.

2.5.3.	Эквивалентные нормы и полугруппы Коши — Пуассона

В п. 2.5.2 мы дали определение пространств BsPiQ(Rn), основан-
ное на рассмотрении поведения вблизи границы решений уравне-
ния теплопроводности. Теперь было бы естественно исследовать
граничные значения и (х9 0) гармонических в полупространстве
/?Й+1 = {(х> f)\x<=Rn; />0} функций и (х, I) Будем следовать
схеме предыдущего пункта.

n-|-1

Лемма. Пусть 1</2<;оо, сп |1(1 +1 х |2)	2 Ц,» = 1 и

[Р(0Л(*) = ^§------—-----^f(y)dy, 0</<оо,

«« (|x-{/P+^) 2

f^LP (Rn). (1)

Если еще положить Р(0) = Е, то {Р (/)}о^/<оо является аналити-
ческой полугруппой в пространстве Lp(Rn). Если Л.— соответст-
вующий инфинитезимальный оператор, то

D (Л.2т) = W2pm (Rn), m=l, 2.... (2)

n— 1 I

Доказательство. Шаг 1. Поскольку (| х |2 +Р) 2 —гармони-
ческая функция в пространстве 7?я+1\{0}, то, как показывает
п -f- 1
дифференцирование по t, функция /(|х|2 + /2)	2 —также гар-

моническая в Rn+i. Но тогда и P(t)f, где feS(R„), является
гармонической функцией в Pn+ь Принимая во внимание равенство

||/(|х12 + /2Г~||ц1 = ||(|х|2+1Г 2 L„	(3)

обычным образом получаем, что функция м(х, /) = Р (t)f, где /е
eS(Rn), есть ограниченное решение задачи Дирихле

Д«(х, /) +J(x, 0 = 0, (x,0e/?J+b и(х, 0) = /(х), (4)
п

непрерывное в Ri + i ^Д =

Шаг 2. Из (3) вытекает, что ||Р(0кр-ь ^1. Для того чтобы
вывести полугрупповое свойство, воспользуемся формулой (9),
доказываемой ниже в замечании 1. Для f&S(Rn) и 0^0,
имеем

р (0) [/> (0) Л = F-'FP (fl) F^FP (t2) f
= F~1FP (t^F-^e- W’Ff)
~ F~ 4-1Я **e~ W‘Ff = P (0 + 0) f.

(Здесь мы учли соотношение (2.2.1/4).) Вместе с. неравенством
||Р(08<1 это дает полугрупповое свойство в Lp(Rn). Непрерыв-
ность устанавливается так же, как в лемме 2.5.2. Из равенства
AG(0f = -^G(Of и формулы (1) путем дифференцирования по/
получаем, что Р (0 есть аналитическая полугруппа в смысле опре-
деления 1.14.5, с 0 = 0 в оценке (1.13.1/1).
Шаг 3. Из (4) следует, что для f е S (Rn)
= (_ 1 )«Д«Д S (Rn) cl D (A2m).

(б)

Далее, аналогично шагам 3 и 4 доказательства теоремы 2.3.3,
| (Л2- + Е) f k = IF-1 (1 +1 a |2m) Ff к ~ И «2т.

"	F	W р

Следовательно, поскольку S (Rn) плотно в W2m (Rn) и Л2"1 -J- Е —
замкнутый оператор, имеет место вложение D (Л2т) 1Грт (Rn).
Равенство (5) выполняется для любой функции f е W2™ (Rn).
Пусть f<=D(№m) и ф е S (Rn). Учитывая, что A2mf можно полу-
чить, исходя из формулы (1), с помощью соответствующего пре-
дельного перехода при t J.0, заключаем, что (в пространстве S' (Rn))
(A?mf) (ф) = f (Л2тф) = f ((—l)m Атф) = [(—l)m Д’”/] (ф).

Значит, Д'"/ е Lp (R„). Но тогда, как и выше, f е W2pm (Rn).

Теорема. Пусть 0 < s < оо, 1 <р<оо и 1 р «С оо. Тогда
для любого натурального числа т, такого, что т>з,

BsP,q(Rn) = {f\f<=Lp(Rn). |/|£ ? = И1ьр

+р-^|. <”)• (0)

11 M(S) J

I7ll<ee —эквивалентная норма в пространстве BsPiq(Rn).

ВР,Ч

Доказательство. Шаг 1. Из последней леммы следует, что если
число т четное, то

(Lp(Rn), D(A”))e,9~Bsp,q(Rn), s = m9.	(7)

Поэтому для четных т утверждение (6) вытекает непосредственно
из теоремы 1.14.5.

Шаг 2. Чтобы доказать, что (6) выполняется для произволь-
ного натурального т > s, достаточно показать, что

tm~s

дтР (/) f
dtm

^(LP)

0/n+ip f
dtm+1

(8)





Из (1) (или того факта, что Р (I) — аналитическая полугруппа)
вытекает, что для f е Lp (Rn)

дР (0 f II
dt IL
р

'р

Следовательно, правую часть соотношения (8) можно оценить
сверху через левую. Докажем обратное. Если правая часть соот-
ношения (8) конечна, то существует последовательность fy->-oo
дт+1Р (tj) f
di”™-

при /~>оо, такая, что

~>0 при /~>оэ. Не ограни-

LP

чивая общности, можно предположить, что для почти всех R,

п

dm+1P (tj) f (x)
имеет место сходимость -------------->0 ПРИ J-*00* (В противном

случае всегда можно выбрать подходящую подпоследовательность.)
Но для таких х

dmP(t)f _ _ (*
dtm J

d^P(x)f
дхт+\ ыт —

am+ip (р) f (Х)
Jpm+1

dx

р — 1т

И

,m_sd-P
dtm	, *

"L*(LP)

<с[ tm+1-

Тем самым оценка (8) доказана.

d^P(p)f(X) I

dpm+1	|p_

^+ip (Qf(x)ll

dtm+1 *

* dX
'LULP)

Замечание 1. Можно получить формулу, аналогичную
формуле (2.5.2/8), если воспользоваться равенством

cnF[----Ч+г\=(2л)	(9)

\(|х|2 + ^2П/

Здесь сп имеет то же значение, что и в (1). Эта формула потре-
бовалась нам при доказательстве леммы, поэтому приведем здесь
ее краткий вывод. Для сокращения записи положим

C’F(—4+rW«. о.

\(И24-/2) 2 /

Так как //(|х|2-Н2)("+1)/2 — гармоническая функция в Ф»+ь Тс

У ________t____V- [ Р |2 or

Zj dxj д+1 IЬI s-
/=1	(|x|2+*2) 2 /

Поэтому

Поскольку функция g(^, t) ограничена равномерно относительно t,
то a2(£) = 0 при ?=/=0. Мы можем считать, что а2(^) = 0- Далее,
g(£.	1) и a1Q) = a(|||). Следовательно, а(|£|)яиа. Из
равенства
/ t \

CnF[-----Ч+Г>) = (2л) 2

\(И!+?) 2 /

вытекает, что а = (2л)~п/2.

Замечание 2. Имея в виду дальнейшие приложения, иссле-
дуем дробные степени позитивного оператора — A-j-E в смысле
определения 1.15.1. Из формулы (9) следует, что для f^S(Rn)

II	llLp J \	/	%

=	1 l)F/7'1 (1+|2)nH •

р

Согласно замечанию 2.2.4/4, правая часть стремится к нулю при
ЦО (число B — Bit фигурирующее в замечании 2.2.4/4, стремится
к нулю при ЦО). Поэтому

=	ft=S(Rn)czD(A).	(10а)

Используя (2), получаем

Л7 = (-1уГ-М^/=’/, feS(R„)cD(A'), / = 1,2,.... (10b)

Так как | В Щ1 +1 £ i2)_//2 является мультипликатором и S(Rn)
плотно в Wp(Rn), то справедливо вложение Wp (R„) a:D (Л/).
Далее, формула (10b) верна также для f^Wp (Rn). Поскольку
(| 11 + 1)-1(1 + 1 £ |2)1/2 —тоже мультипликатор, то F'1 (| 11 +1)-1 Ff
принадлежит W'p(Rn) для любой функции f^.Lp(Rn). Отсюда
следует, что D (Л) = Wp (Rn). Используя равенство (2) и оценку
|[(—О* Afe + £]	заключаем, что

D (Л/) = W'P (R„), /=1, 2, ....	(И)

Для любой функции f е S (Ra) и любых натуральных чисел k
и т, таких, что k<tn, имеем

F (—Л + £)т-* F-!F (—А + Е + tE)~m f

при 0<Ц<оо. Из определения 1.15.1 и леммы 1.15.1 вытекает,
что если а — комплексное число, удовлетворяющее условию
— k < Re а < tn — k, то

(- Л+£)“	т f t^-'F-'[(| g |+1)гаЛ1 ВI+1 -M)-mTO] dt.

о
Обратное преобразование Фурье F-1 можно вынести за знак ин-
теграла. Далее, применяя при фиксированном g пример 1.15.1(a)
с Р = I ? | + b получаем

(- л + Е)<* f = F-' (|£ | + 1Г Ff, ft=S (Rn).	(12)

В частности, ввиду замечания 2.2.4/4,

||(_A + £yV|ls^c||/llV -оо<т<оо, f(=S(Rn).

Переходя к пополнению, заключаем, что последнее неравенство
справедливо также для f^Lp(Rn). Таким образом, выполнены
условия теоремы 1.15.3 и, значит, для любого а>0

D(A“)=[Lp(7?„), D(Am)]e=[Lp(/?„), W"(Rn)]e=Hap(Rn). (13)

Здесь m —натуральное число, такое, что т>а и бт = а. Кроме
того, мы использовали формулу (2.4.2/11). Ясно, что (И) является
частным случаем формулы (13). Формулы (10) и (11) хорошо
известны. Воспользовавшись преобразованием Рисса, можно пред-
ставить Л/ из формулы (10а) с помощью сингулярных интегра-
лов (не прибегая к преобразованию Фурье). Сошлемся на работы
Гёрлиха [1], Требельза [2], а также Требельза и Вестфаля [1].

Замечание 3. * Изучение граничных значений гармониче-
ских и аналитических функций в круге восходит к работе Харди
и Литтлвуда [3]. Эти рассмотрения были распространены на
случай гармонических функций в полупространстве Rn + i в рабо-
тах Стейна [2] и Стейна и Вейса [4]. См. также Феффермэн и
Стейн [1]. Обстоятельное исследование пространств BPt q (Rn) на
основе формулы (6) было проведено Тайблсоном [1], который
опирался на результаты, полученные Харди и Литтлвудом [1,2]
и Зигмундом [1].

2.5.4.	Эквивалентные нормы и аппроксимация

В анализе и его приложениях большое значение имеет задача
аппроксимации негладких функций гладкими. Напомним об
аппроксимации непрерывных функций или функций из £р, опре-
деленных в ограниченной области пространства Rn, с помощью
полиномов или тригонометрических функций. Здесь очень важен
вопрос о скорости аппроксимации (теоремы типа Джексона).
С этой точки зрения можно рассмотреть задачу аппроксимации
функций из Lp(Rn), 1<р<оо, гладкими функциями. Подхо-
дящим классом гладких функций (аналогом класса тригономет-
рических функций) служит класс целых аналитических функций
экспоненциального типа. Задача аппроксимации функций из
Lp (Rn) при помощи целых аналитических функций экспоненциаль-
ного типа представляет большой интерес в теории пространств
Бесова Bp>q(Rn). Систематическое изложение этой проблемы и
ссылки на литературу можно найти в книге С. М. Никольского [7].
Развитые нами методы достаточны для доказательства одного из
основных результатов этой теории.

Определение. Пусть 1<р<сю и 0</<оо. Обозначим
через MPtf множество всех функций f (хъ хп), принадлежащих
Lp (Rn) и являющихся сужениями целых аналитических функций
f(zr, ..., zn) от п комплексных переменных (сферического') экспо-
ненциального типа t. Целая аналитическая функция f (гп ..., zn)
называется функцией (сферического) экспоненциаль-
ного типа /, если для любого 8 > 0 существует число С (г) > О,
такое, что для всех z = (zx, ..., zn)

/ п	\ 1/2

+	SlZ/i2 •	(1)

\/ = 1	/

Замечание. Напомним хорошо известную теорему Пэли —
Винера— Шварца (см. Л. Шварц [1 II, стр. 128], Иосида [1, § VI. 4]
или Хёрмандер [3, теорема 1.7.7]). Эта теорема утверждает, что
для того, чтобы функция f^Lp(Rn) принадлежала MPti, необхо-
димо и достаточно, чтобы supp Ff о 11 g |	t}. (См. также

С. М. Никольский [7, п. 3.2.6].) Для рассмотрения вопроса о ско-
рости аппроксимации функций f^Lp(Rn) функциями из MPtt
введем величину1

£.</, = IHIW	(2)

g(=Mp.t

Особый интерес представляет поведение Ep(t, f) при /~>сю. Сле-
дующая теорема показывает, что элементы пространств Бесова
можно характеризовать их поведением с точки зрения аппрокси-
мации функциями из MPtt.

Теорема; Пусть 0 <s < оо u 1 < р < оо. Т огда для \^q<Zoo

Bsp,q(Rn) = {f\f^Lp(Rn),

/ оо	\ 1	'

Я/||*S =I/|L + ( ts9Ep(t, /)^Н<оо

<>• 4 Р \К	/

1 Называемую наилучшим приближением функции f &Lp (Rn) в норме
Lp(Rn) с помощью целых функций экспоненциального сферического типа
см, книгу С, М, Никольского [7]. — Прим, перев,
а для q — oo

Вр. 4(Rn) = {nf^Cp(Rn), P/|*S
р, ОО
= И к. + sup isEp(t, /)<ooi
р />о

llflos есть эквивалентная норма в пространстве Bsp (Rn).
р, q

Доказательство. Достаточно показать, что норма || f ||*s	яв-

SP, q
ляется эквивалентной нормой в пространстве BsPt q (Rn). Для про-
извольного вещественного числа х выполняется соотношение

l/e*s

Р. я

оо

у 2s</4-x)?£p(2/, /)?

? = о

+«/кр

(3)

(с обычным видоизменением при <? = оо). Пусть {ф, (х)}/°=о s <1^ —
система функций, рассмотренная в примере 2.3.1, так что спра-
ведлива формула (2.3.1/13) (если в ней заменить р* на <рл) с с=
= (2л)_/!/2. Тогда имеет место следующее разложение функции /:

(k	\	/ оо	\

У, ф/ *f+ S ф/ *А f<=Lp(Rn),
1 = 0 I	\/=*+i /

I k \

причем I У ф/ I*/ e MPtt, t = 2N + k. Отсюда следует, что
v = o /

£p(2^ + \ /)<|( JS. Ф/)*/|д <с£р(2-^ + й,/),

k=\, 2, ....

(4)

где с>0 не зависит от k. Правое неравенство в (4) можно дока-
зать так. Пусть ge Mp ^N+k- Тогда, в силу теоремы о мульти-
пликаторах из замечания 2.2.4/4,

' ОО	\	II	|| /	00	\	||

2 Ф/)*П =	1] Ф/ *(/-<?) <df-glbp, (5)

,/ = 4+1	/	1+р	||\/ = 4+1	'	||Lp	Р

чем правое неравенство в (4) и доказано. Вместе с оценкой (3)
это дает

оо	ll/оо	\	lb “11/я

J/I*s ~ 2 2/4 2 фЩ/ -H/L	(6)

ар.я L/ = o	h=/+i / IM	р
(с обычным видоизменением при q = сю). Из теоремы 2.3.2 выте-
кает теперь, что

+i/k

Р- Ч L/=0 \ I = 1	₽/ J p

^c'	2^|/||fiS ^c"||/||bs .

P. q	p. q

OO

Заменяя в (5) сумму У, ф; на <p*+i и применяя (3), получаем
/ = 4+1

обратную оценку.

2.6.	ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ

ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ Bsp, <,(/?„) И Fp,q(R„)

Из теоремы 2.3.2 видно, что S (/?„) плотно в Вр, 9 (Rn), <7<оо,
и плотно в Fp, q (Rn). Поэтому, в соответствии с результатами
п. 1.11.2, теорема 2.3.2 (с) дает возможность интерпретировать
сопряженные пространства (Bsp, q(Rn))' и (В₽, q (Rn)) как подпро-
странства в S' (Rn), и это следует учитывать во всех рассужде-
ниях настоящего параграфа. Таким образом, для того чтобы эле-
мент f принадлежал (Bsp, q (Rn))' с S' (Rn), необходимо и доста-
точно, чтобы существовало число с, такое, что для всех ср е <S (Rn)

|/(ф)|=^с||ф|| s .

Р. <7

Аналогичное утверждение имеет место для (В₽, ч (Rn)) .

2.6.1.	Сопряженные к Вр, q(Rn) и tfp(Rn)

Напомним об определении 2.3.2 пространств Вр, (/?„).

Теорема, (а) Пусть — oo<s<oo и 1<р<;оо. Тогда

(Hsp(Rn)y = H^(Rn), 7 + 7 = L	(1)

(Ь)	Пусть —oo-<s<;oo, 1^^<оо и lcpcoo. Тогда

(Bsp. q (Rn)l=B7. ?' (Rn), 7 + 7 = | + 7 = 1-	(2)

(с)	Пусть — oo<s<oo и 1<р<оо. Tогда

(^^(Rn))' = B^x(Rn), 7 + ]7=l-	(3)

Г r
Доказательство. Шаг 1. Пусть / е (Яр (Rn))' • Тогда для <р е S (Яп)
к-1 (1 +11 i2)' w (и-1	^ф) I=I / (ф) I

< |/n(Hsy 1<рц=||/1(Н5у к а+1 в 12И	(4)

Здесь мы воспользовались теоремой 2.3.3 с F, замененным на F-1
(это можно сделать, так как (F^cp) (£) = (Ftp) (—£)). Из теоремы
2.3.4 итого факта, что (Lp (/?„))'= £р'(/?л), следует, что/еЯ^5(Я„)
и

II/IIh-s<II/II(^y-	(5)

р'	\ р/

Шаг 2. Пусть / е H^s (Rn). Аналогично (4) получим

1/(ф)КШ„-з1Мнз.
р' р

Отсюда вытекает неравенство, обратное (5). Тем самым доказана
формула (1).

Шаг 3. Докажем утверждение (Ь). В силу формул (2.4.2/14),
(1.11.2/За) и утверждения (а) теоремы, имеем для s0<s<s1,
0<6< 1 И 5 = (1 -6)504-05!

(в8р.о(яя))'=((^(«л)У, (ОЛ, ,'=вр\,(Ял).

Шаг 4. Доказательство утверждения (с) проводится аналогич-
ным образом, с использованием формулы (1.11.2/ЗЬ).

Замечание 1. * Тайблсон [1 II] получил формулу (2) для
1<<7<оо на основе теории интерполяции. Прямые доказатель-
ства даны в работах Лизоркина [6] и Трибеля [19]. Формула (2)
для <7=1 и формула (3) установлены Флеттом [1]. Дальнейшие
результаты по теории двойственности можно найти у Флетта [2]
и Петре [33].

Замечание 2. Пусть — со</s<со и 1 <; р <;со. Из тео-
ремы видно, что в этом случае Нр (Rn) и Вр, q (Rn) при 1 < q < co
являются рефлексивными банаховыми пространствами. Так как
Вр, оо (Rn) — собственное подпространство пространства Bsp,oa(Rn)
(см. замечание 2.3.2/2), то из теоремы следует, что Bsp, i(Rn) и
Вр, оо(Ял) не являются рефлексивными банаховыми пространст-
вами. Но тогда BPt00(Rn) тоже не рефлексивно. Действительно,
в противном случае Вр, (Rn) как замкнутое подпространство
в оо(Яп) было бы рефлексивным. (Замкнутое подпространство
рефлексивного банахова пространства также представляет собой
рефлексивное банахово пространство. Это легко следует из тео-
ремы Эберлейна — Шмульяна; см., например, Иосида [1, прило-
жение к гл. V, п. 4].)

2.6.2.	Сопряженное к Fp, q (/?„)

Доказательство теоремы 2.6.1 основано на теореме 1.11.2 и на
том факте, что Bsp, q (Rn) является интерполяционным простран-
ством для пространств, сопряженные к которым известны. Для
пространств Fp, q (Rn) дело обстоит не столь благоприятно. При-
менение теоремы 1.11.3 и формулы (2.4.2/12) дает лишь частич-
ный результат, поскольку соотношение (2.4.2/12) описывает только
пространства Fp, q(Rn), где q заключено в интервале между 2 и р.

Теорема. Пусть — оо<s<оо, 1<р<оо и 1<^<оо.
Тогда

(П. я(Rn)S=(Rn), 7 + ^ = 7 + ^= !-	(1)

Эта теорема получена Трибелем [19]. В дальнейшем нас будут
интересовать в первую очередь пространства Вр> q (Rn) и Н3Р (Rn)
(= F3Pt 2 (RnS) Поэтому мы опустим (довольно сложное) доказа-
тельство теоремы. За подробностями отсылаем читателя к указан-
ной работе.

Замечание. Из теоремы видно, что FsPt q(Rn) при — оо<
<s<oo, 1<р<оо, 1 <; q <; оо является рефлексивным бана-
ховым пространством.

2.7.	ПРОСТРАНСТВА ГЁЛЬДЕРА С(/?л)

Хотя в данной книге рассматриваются в основном простран-
ства Соболева —Слободецкого— Бесова —Лебега, мы хотим кратко
описать здесь пространства Гёльдера. На это есть несколько при-
чин. 1° Наряду с пространствами Соболева — Слободецкого —
Бесова — Лебега пространства Гёльдера представляют собой наи-
более важные функциональные пространства. Они играют фунда-
ментальную роль в теории обыкновенных дифференциальных урав-
нений и уравнений с частными производными. 2° Пространства
Гёльдера необходимы для удовлетворительной формулировки тео-
рем вложения для пространств BPf q (Rn) и FsPt q (Rn). 3° Методы,
развитые в предыдущих параграфах, применимы также к про-
странствам Гёльдера и позволяют получить далеко идущие резуль-
таты (интерполяционные теоремы, утверждения об эквивалентцо-
£ТИ норм).
2.7.1.	Определение пространств Гёльдера

Для непрерывных функций /(%), определенных в Rn, сим-
волы Ль h^Rn, 1=1, 2, ..., Дл = Дл> имеют тот же смысл, что
и в п. 2.5.1.

Определение, (а) Если /^0 — целое число, то C((Rn) обо-
значает пополнение пространства S (JRn) в норме

= 5 sup |D“/(x)|.	(1)

I а К? xeRn

(Ь) Если 0</ = [/] + {0> [t] —целое, 0<{/}<!, то

СЧ^л) = {/|/е СИ (/?„), Шс/<оо},
где

(2)

2	|D“/(x)-P<W)l

„Д I-

(с) Если 0</ = [ф + {/}+, [/]“ — целое, 0< {/}+ sg 1, то

^(Я»)={/1/еСИ-(Яя), Il/V<oo},	(3)

1 где

||/^-||/1сМ-+ 2 sup
1а| =PJ-

P“f (x)-2D«/ ^±y^+D^f (у)

1*-р|{0+

Замечание 1. Как легко видеть, Cz(^4) и (/?„) — бана-
ховы пространства. Для простоты будем писать С(7?„) вместо
С°(7?я). В следующем пункте мы покажем, что C((Rn) —	(Rn),

если t не является целым числом. Следовательно, определение
пространств ^(Rn) необходимо только для случая целых t1.

Замечание 2. Формулы (2) и (3) можно переписать в виде

о^Ле2?п

1 Условия, наложенные в этом определении на Daf, |<x| = [/J , называют
условиями Зигмунда.— Прим, nepeq.
Замечание 3. Легко видеть, что для / — О, 1, 2, ... про-
странство (R„) плотно в С* (Rn).

Замечание 4. Ссылки на работы по теории пространств
Гёльдера можно найти в хорошо известной книге Миранды [1].

2.7.2.	Интерполяция и эквивалентные нормы

Теорема 1. (а) Пусть 0 sg/0 < ^ < оо и 0<9< 1. Тогда

((?»(Rn), С*' (Rn))e.	&(Rn), где t = (1 - 9) /0 + Btv (1)

(b) Пусть 0 </=?£= (целое число). Тогда

Ct(Rn)^(Rn).	(2)

Доказательство. Шаг 1. По аналогии с п. 2.5.1 рассмотрим
в пространстве С (Rn) набор из п коммутирующих сильно непре-
рывных полугрупп {б, (т)}о<т«», /=1, ..., п, изометрических
операторов

[С/(Т)/](Х)=/(ХХ..Х).х,	х/+х,хт, ..., хп),

f^C(Rn). (3)

Если через А, обозначить соответствующие инфинитезимальные
операторы, то

Л?7 = ££. f^S(Rn)^DW).

Пусть /(’'" — пространство, введенное в определении 1.13.3. Тогда
1ЛК'п=.|/||ст для f^S(Rn). Так как S (Rn) плотно в Cm(Rn), то
Кт о Ст (Rn)- Обратно, методом, примененным на шаге 1 дока-
зательства леммы 2.5.1, можно показать, что (Rn) плотно в Кт.
Следовательно, Km = Cm(Rn)- Применяя теорему 1.13.6/1, получаем

(С(Rn), Cm(Rn))e.m^em(Rn).	(4)

Из той же теоремы вытекает справедливость формулы (2).

Шаг 2. Формула (1) вытекает из теорем 1.13.6/2 и 1.10.2.

Наряду с разностями Дй будем использовать разности Др, /.
определенные в п. 2.5.1.

Теорема 2. Пусть t>0, и пусть k и I — целые числа, такие,
что	и — Тогда для 0<6sgoo

(Rn) =	(Rn), ,|/	< оо), г = 1, 2, 3,
где

п

1Ш = sup У sup
x^Rn
'	0< р <6

Д' *L

Р- ' дх*

sup ,/(*)! +

У sup

/ = 1 xeRn

'	0<|Л|<б

ц/1^= sup 7WI +
xsRn

sup
х s Rn
0<|Л|<6

Нр0?1

| Л I'-*

(5)

(6)

(7)

Все эти нормы эквивалентны норме

<о

Доказательство. Это немедленно следует из теоремы 1.13.6/1
и проведенных выше рассмотрений.

Замечание 1. Применяя теорему 1 и рассуждая так же,
как и выше, можно получить другие эквивалентные нормы. На-
пример, в формулах (5) —(7) можно заменить sup |/(х)| на ||/L>
x^Rn

Кроме того, из теоремы 1.13.4/1 видно, что

sup |/(х)|+ 2 sup \Daf(x)\
xeRn	,&_т x<=Rn

является эквивалентной нормой в Ст (Rn), т=1, 2, .... Для
0=С/0</1<оо и / = (1 — 0)/0 Н-6/j =/= (целое число), 0 < 8 < 1,
имеем, в силу теоремы 1 и неравенства (1.3.3/5),

(8)

Теорема 1.13.4/1 и неравенство (1.3.3/5) показывают, что оценка
(8) верна и для случая, когда t = (1 — 6) /0 + 8^ является целым
числом. Оценки такого типа играют важную роль в теории диф-
ференциальных операторов с частными производными. Эквива-
лентные нормы типа (5) и (6), в которые входят только чистые
производные, можно получить лишь в пространствах О (Rn) с не-
целыми t (см. замечание 1.13.4/2).

Замечание 2. Результаты этого пункта аналогичны ре-
зультапм для пространства BsPt q (Rn) (см., например, теорему
2.5.1).
2.8.	ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ РАЗНЫХ МЕТРИК

Теоремы вложения имеют большое значение для теории функ-
циональных пространств и пространств обобщенных функций.
Имеется два взаимосвязанных типа задач.

Г Задано пространство B*Pt q(Rn) (или FPt q (/?л), Hp(Rn),
Wp(Rn)). Спрашивается, для каких пространств В*,а(/?л) (соотв.
^r.o^Rn), H*(Rn), Wr(Rn), & (Rn)) имеет место вложение
Bsp, q (Rn) В(г, о (Rn) (аналогично для других пространств).

2° Для элемента u(xv ..., хп) пространства Bp,q(Rn) иссле-
дуется вопрос о его «граничных значениях» или «следе»
и(хг, ..., хп.1У 0) на (п—1)-мерной гиперплоскости и о принад-
лежности этого следа пространствам типа B°Pt q (Rn-i)> Ищется
точное описание таких следов. Обобщая эту задачу, можно также
рассмотреть следы на /-мерных гиперплоскостях, 1<п.

Ясно, что между этими двумя задачами существует тесная
связь. Полученные для решений этих задач результаты имеют
важные применения в теории обыкновенных дифференциальных
уравнений и уравнений с частными производными. Позднее мы
вернемся к этим вопросам. В настоящем параграфе пойдет речь
о первой задаче, а вторую мы рассмотрим в следующем параг-
рафе.

2.8.1.	Теорема вложения

Теорема, (а) Пусть I <p^q<oo,	и —оо<

< t s < оо таковы, что

п	.	п	/1Ч

s----= t----.	(I)

Р	q	v 7

Тогда

(2)

(Ь)	Пусть I <Lp^q < оо, I < г < оо и — oo<Zt^s<Zoo та-
ковы, что выполнено условие (I). Тогда

Fsp^Rn)^Flqtr (ЯД	(3)

(с)	Пусть 1<р<оо и 1^0. Тогда

ВС (№?(!!„).	(4)

(d)	Пусть 1<р<оо, 0</=# (целое число) и Isgrsgoo.
Тогда

~ + t

8РР,Г (Rn)^C^Rn).	(5)
(е)	Пусть 1 < р < оо, 0 < / =# (целое число) и 1 < г < оо. Тогда

FpPr (*,)<=	(6)

Доказательство. Шаг 1. Для доказательства вложения (2) вос-
пользуемся двумя системами функций {<р/г (х)}“=о и (ф*(х)}“=о,
такими, как в примере 2.3.1. Дополнительно предположим, что
(^Ф*)(£) = 1 при gesuppF<jpfc, k = 0, 1, 2................... (7)

Пусть f i= Bp<r(Rn) и —=1— у + у- Тогда по теореме 1.18.9/1

II f * Фа	= I1 f * Фа * Фа	1 Фа lka ll f * Фа ||ьр-

Если ф(х) —порождающая функция в смысле примера 2.3.1, то,
учитывая, что (х) — 2йпф (2fex), k = 1, 2, ..., имеем

11ФАкст = 2Ап(1-^ |I4LCT, 6=1,2,....

Вложение (2) следует теперь из того, что

Ш t <с|1{/*Фа}Ь

Bq, г	r(q)

<И{/*Фа}|1	/]	и	.

lr	\Р <)(Lp)

Шаг 2. Для доказательства вложения (3) нам потребуются не-
которые предварительные рассуждения. Пусть 1<г, </-<оо, и
пусть системы функций {ф* (%)}“= о и {ф* (%)}“= о —те же, что и
на предыдущем шаге доказательства. Тогда матрицы
{^A,/W}-oo<A,/<оо и {Л'а./(х)}-0о<а, 7<оо, задаваемые соотноше-
ниями

FKk,k(x) = \x\‘2-“(F^x).\ k={ 2

Rkj(x)=Kkj(x) = O при k^=j,

удовлетворяют условиям теоремы 2.2.4 (b) (см. (2.2.4/24)). Вместе
с замечанием 2.2.4/2 это дает оценку

|Е-ЧИ'Е(/*Фл)]|

1

2 |Е-Ч|х|'2-ЧЕф*2ЧЕ(^Фб)]

-6 = 1
и обратную оценку, если вместо {Kk,j W/<оо использовать
{^А,7(х)}_оо<*./<«>. Отсюда следует, что

~И*Фок +

<7. г	4

1

00	17

s |F-1[|x|/F(f*q>*)]lr

L* = 1

Шаг 3. Для доказательства формулы (3) воспользуемся
венством

п	п

F-11 х | * = ск | х |	,

, _ 1.1 ,

1<Х<ОО, .--U—=1

’ х 1 х' ’

(8)

ра-

(9)



справедливость которого можно доказать следующим образом.
При 1<х<2 функция \x\~n,H^L1(Rn) + L2(Rn), а значит
F-1 \х\~п/к Lx (Rn) + F2(Rn)- Поэтому (9) вытекает из того, что

[F-V (Ml (Ю = h-n [F-Ч (X)] (4) для 0 < 1 < оо.

Поскольку это же рассуждение проходит при замене F-1 на F,
справедливость формулы (9) для 2 < к < оо является следствием
того факта, что FF~1 = E. Наконец, для х = 2 справедливость
этой формулы следует из того, что

Iх I-n/x Iх I-л/2 ПРИ xf2-
Пусть теперь f е S (Rn) и q>p. Тогда

= с $ (F-i 111- ^) (х - у) F-1 [| | И F (f* Ф*)] (У) dy

*п

^с' $ |х-у\~ П (1-v +	F-1 [| £ |^F (/=*(pft)J (у) dy

И

1

/ 00	\7

£ |F-4H'F(f*T*)]Wlr

\£ = 1	/

^x-yrn(l~^(s

Rn	'* = 1	'

Согласно теореме 1.18.9/3,

£ |F-4WW*T*)]

5	[И''7а*?*)] 1Л

I
Вместе с (8) это дает
q, г	р, г

Поскольку S(7?n) плотно в Fsp, r(Rn), получаем (3).
Шаг 4. Докажем (4) для / = 0, 1, 2, .... Пусть {<р*}“=о и
{$*}”= о — системы функций из шага 1, причем дополнительно
предполагается, что

2 /мрй(Ю = (2л)-^.
Л=0

Тогда для f е B^i (Rn) и |а | ^t, в силу (2.2.1/4),
Daf	5 Daf * <pft	2 f * Ф*	(Ю)

Как и на шаге 1, имеем

(£>“ф*) (х) = 2Лп+1“1й (Z>h|)) (2kx)

для k = 1, 2, .... Если	= 1, то

S рам Факсов т*м1Мф*кр
fc = 0	k=0

оо .	, п . . , ,	П , ,

«2 2	.

ft=0	рЛ

00

Следовательно, ряд 2	сходится в L^(Rn). Из формулы

k = 0

(10) видно, что его сумма совпадает с D^f. Если теперь мы учтем,
что S (Rn) плотно в Вр t (7?J, то и получим вложение (4) для
/ = 0, 1, 2, ... .

Шаг 5. Докажем вложение (5). (Оно содержит в себе как
частный случай вложение (4) для нецелых t.) При т=1, 2, ...,
О с 6 <; 1 и нецелом t = Qm имеем, в силу теорем 2.4.1(a) и 2.7.2/1 ,

ю=1в/ft). B’t («ж.
с (СО (Rn), Ст (Rn))e, г с (С° (/?„), Ст (Rn))e,
= cq/?„).

Шаг 6. Вложение (6) вытекает из вложения (5) и теоремы
8.3.2(d).	 '
Замечание 1. Приведем несколько простых следствий дока-
занной теоремы. Учитывая вложения из теоремы 2.3.2, получаем
следующие результаты.

а)	В случае когда 1 <; р q < оо, 1 г, р оо и ~>

Bsp, r(Rn)<= В{, p(Rn).	(11)

Если ограничиться значениями г и р, лежащими в интервале 1 <
< г, р < оо, то

(/?„).	(12)

Кроме того, ясно, что пространства В^р(/?п) и p(Rn) в пра-
вых частях вложений (11) и (12) взаимозаменяемы.

(Ь	) Для 1<р<оо,	0, 1=Сг<;оо и е>0

(1з>

ЕсЯй ограничиться значениями г из интервала 1 < г < оо, то

п

FC («.)=cw	<14>

Замечание 2. Отметим ряд интересных частных случаев
последней теоремы и последнего замечания. Принимая во внима-
ние равенство Fp<, (Rn) — Hsp(Rn), находим, что

Нр (Ra) az H‘q (Rn) при 1<р^^<оо и	(15)

г	Ч

и

-+t

Нр (Rn)ciC‘(Rn) при 1<р<оо и нецелых />0. (16)

Вложение (16) становится справедливым для всех /^0, если
в его левой части заменить t на / + 8, где 8>0.

Замечание 3. Укажем одно простое следствие, существен-

ное для дальнейшего: если 1 < р < < оо и s —	— -у,

Нр (Rn) U Вр.р (Rn) CI Нq (Rn) П Bqt q (Rn)»	♦

TO

(17)

Из (2) и (15) видно, что (17) вытекает из следующих двух более
тонких теорем вложения:

Нр (Rn) Bqt р (Rn) И q (Rn) Hq (Rn)*	(18)
В силу формулы (2.4.2/10) и теоремы 2.4.2/2, первое вложение
получается с помощью интерполяции (•, -)е>р из теорем вложе-
ния

Н* (£„) <= Н*> (Rn), РО>Р>Р1, =

Аналогично второе вложение получается интерполяцией (•, -)0>9
из теорем вложения

HSf (/?„) с н‘ (/?„), q0 > q > qlt Sj - $ = t - A.
'	P	4j

Важным частным случаем вложения (17) (представляющим интерес
также с исторической точки зрения) является вложение

Wsp(Rn)c W^Rn), 1 <_ р sg <7 < оо,	п~. (19)

Р	ч

Замечание 4. Используя метод, изложенный в предыдущем
замечании, нетрудно убедиться, что (2) вытекает из (3).

Замечание 5. Возникает вопрос, можно ли улучшить утвер-
ждения теоремы. В гл. 6 своей книги [7] С. М. Никольский
показал, что вложения (2) и (5) (а следовательно, согласно тео-
реме 2.3.2, также (3), (4) и (6)) перестают иметь место, если
в правых частях заменить t на £ + где е — произвольное поло-
жительное число. В этом смысле теорема неулучшаема. Отсюда
ясно, почему при данных q, р и s, таких, что 1<р^^<оо и
— oo<s<oo, число / =	называется предельным пока-

зателем. Указанные результаты Никольского основаны на его
работах [1, 2], а также работах Аманова [1] и Пилики [1]. Эти
отрицательные результаты были затем усилены Тайблсоном [1 I,
теорема 19]. Последний показал, что вложение (2) перестает иметь
место, если в его правой части заменить г на р < г. То, что этот
результат является усилением результатов Никольского, следует
из теоремы 2.3.2.

Замечание 6. * Теория функциональных пространств (и
пространств обобщенных функций) с самого начала была тесно
связана с теоремами вложения типа приведенных выше, а также
типа рассматриваемых ниже в § 2.9. В случае когда s^O и
0 —целые числа, (19) по существу совпадает с теоремой вло-
жения, доказанной Соболевым [3] в 1938 г. (в приведенной выше
формулировке теоремы учтено принадлежащее Кондрашову [1]
уточнение, касающееся предельных показателей). Еще раньше
Харди и Литтлвуд [1] доказали аналогичные теоремы вложения
для п=1. Теоремы вложения типа (14) для пространств Собо-
лева и Гёльдера с целым t также были получены Соболевым [3].
Исчерпывающее изложение этих результатов можно найти в книге
Соболева '4]. Вложение пространств Соболева в обобщенные гёль-
деровы пространства исследовали Морри [1] и Ниренберг [1]. Тео-
ремы вложения для пространств BPt оо (Rn) доказаны С. М. Николь-
ским [2], а теоремы вложения для пространств BsPt r (Rn) — Бесо-
вым [2]. Дальнейшие ссылки на литературу можно найти в книге
С. М. Никольского [7]. Приведенное выше доказательство заим-
ствовано из работы Трибеля [20]. Петре [12] дал аналогичное
доказательство для утверждения (а) теоремы. Другие ссылки на
литературу будут даны в начале следующего пункта и в заме-
чании 2.9.4/2.

2.8.2. Другие доказательства теоремы 2.8.1(a)

В отличие от § 2.9, где будет рассмотрено вложение на гра-
нице, при доказательстве теоремы 2.8.1 интерполяционная тео-
рия использовалась в очень незначительной степени. В частности,
вложение (2.8.1/2) было доказано непосредственно. Применение
теории интерполяции для доказательства теорем вложения типа
теоремы 2.8.1 восходит к Гривару [4] и Петре [11]. В дальней-
шем рядом авторов (Ёсикава [1, 3 — 5], Мурамату [2] и Комацу
[6, 7]) в рамках абстрактной теории интерполяции были дока-
заны теоремы вложения, включающие в себя как частный случай
большое количество хорошо известных конкретных теорем вложения
для (изотропных и анизотропных) функциональных пространств.
В п. 1.19.6 мы уже сделали по этому поводу несколько замечаний.
В данном пункте будут приведены два новых доказательства теоремы
2.8.1(a), в которых используются идеи, развитые Ёсикавой,
Мурамату и Комацу.

Лемма. Пусть 1<р<^<оо, и пусть W (т) — оператор из
леммы 2.5.2. Существует число с>0, такое, что для всех т из
интервала 0<т<оо

||№(тЖ7<ст	(1)

Доказательство. Из теоремы 1.18.9/1 следует, что

II _ 2 И21|

,|№ (т)Лга<1(4лт) «е « Ikpl7kp>

где = 1 —	4- у. Отсюда вытекает (1).

Второе доказательство теоремы 2.8.1(a). Из теоремы 2.3.4 видно,
что, не ограничивая общности, можно считать t>0. Пусть про-
странства Вр, r(R„) и Bq^Rn) нормированы, как в теореме 2.5.2,
с помощью аналитической полугруппы e~xW (т). Если в формуле
(2.5.2/7) заменить W (т) на e~xW (т), то по теореме 1.14.5 можно
опустить член Применение той же теоремы к рассматрива-
емому здесь случаю дает

dme-xW(x)j __
дтт ~~

дте

fam

Используя последнюю лемму, получаем для f^BsPtr(Rn)

т. — ^- dme~xW (т) f II

с	дт"» ||l* (Z.,)



Замечание 1. Идею этого доказательства, перенесенную
Ёсикавой, Мурамату и Комацу на абстрактный случай, можно
изложить следующим образом. Рассмотрим в двух банаховых про-
странствах Ло(= Лр (/?„)) и А1 (= Lq (Rn)) две аналитические полу-
группы, совпадающие на пересечении ЛОПЛХ. Применяя теорему
1.14.5, можно получить соответствующие интерполяционные про-
странства (Л7, D(A™))e>r, /=1, 2. Если удается доказать соотно-
шение типа (1), связывающее две полугруппы, то при помощи
описанной процедуры из него немедленно получаются теоремы
вложения. Мы хотим показать, что этот метод работает также
в случае полугрупп, не являющихся аналитическими. Для этого
приведем вариант предыдущего доказательства, по существу сов-
падающий с оригинальным доказательством Ёсикавы [1].

Третье доказательство теоремы 2.8.1 (а). Если W (т) обозначает
то же, что и в лемме, а Л — соответствующий инфинитезималь-
ный оператор, то по теореме 1.13.1/1 и последней лемме

ОО __ Д /_1__1\

|(А-1ЕН/Ь

о

=	(2)

Здесь f е Lp (₽„), Х>0, 1 <p<q <оо и 0<у	1. Эта

оценка остается справедливой при замене W (т) на e~xW (т) и Л
на h. — E. Теперь можно применить теорему 1.14.3 с А = — A-J-j?
вместо Л. Из теоремы 2.3.4 видно, что при доказательстве вло-
жения (2.8.1/2) можно, не ограничивая общности, считать, что
/>2. Но тогда применение формулы (2.5.2/Э) и теоремы 1.14.3
при k = Q и достаточно большом I показывает, что для f е
€= Вр, г (Rn)

mBt ^C||^[A(A + Z£)-1]7U(L)
q, r	r \ qf

< с' II +	~ ~1 [A (A 4-	|L* (Lp)

P. r

С помощью итерационной процедуры убеждаемся, что и для этого
п /1	1 \	<

метода дополнительное предположение v------<1 не является

необходимым.

Замечание 2. В этих рассуждениях можно заменить полу-
группу {W7 (т)}о<т<оо из п. 2.5.2 на полугруппу {Р (т)}0<т<оо из
п. 2.5.3. Возможность использования в таких случаях более
общих полугрупп исследовалась в работе Трибеля [20].

2.9.	ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ
(ТЕОРЕМЫ О СЛЕДАХ)

Применение теории функциональных пространств в теории
обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в част-
ных производных основано на том, что элементы некоторых
функциональных пространств имеют граничные значения.
В настоящем параграфе изучаются свойства таких граничных
значений. Это изучение проводится на базе абстрактных теорем
вложения, полученных в § 1.8. Если для соболевских пространств
мы довольно быстро получим окончательные результаты, то для
пространств Лебега и Бесова понадобятся некоторые дополни-
тельные рассмотрения. Кроме того, мы введем специальные Собо-
левские пространства с весами. Это поможет применить абстракт-
ные результаты § 1.8. В дальнейшем мы будем иметь дело
с гораздо более общими пространствами такого типа, поэтому
пока ограничимся лишь теми фактами, которые нам здесь будут
нужны.

2.9.1.	Прямые и обратные теоремы вложения
для пространств Соболева (Z = n—1)

Для s=l, 2, ... и 1<р<оо соболевские пространства
Wp (Rn) можно нормировать, как указано в теореме 2.3.3 (Ь) и
замечании 2.3.3/2, с помощью эквивалентных между собой норм

l/L» =f S \\DmpL \1/Р	(la)

Р	Р]
(1Ь)

Для сокращения записи положим Wp (Rn) = Lp(Rn).

Определение. Если Ri — \x\x — (xl, хя)е Rn; х„>0},
то WSp(Rn), s=l, 2, .... 1<р<оо, обозначает сужение про-
странства Wsp (Rn) на Rn, т. е.

WSP (Ri) = {/| f e Lp (Ri), Bg €= Wsp (R„): g(x)

— f(x) при x<=Ri},	(2)

(R+) = inf IIЯ II UZS (Rny	(3)

где нижняя грань берется по всем g, удовлетворяющим указанному
в (2) условию. Отображение g-*-f называется oneратором
сужения.

Замечание 1. Wsp (Ri) является фактор пространством про-
странства Wsp (Rn) и, следовательно, банаховым пространством.

Лемма 1. Оператор сужения, действующий из Wp (Rn) на
Wsp(Ri), s = 0, 1, 2, .... 1<р<оо, представляет собой ретрак-
цию в смысле определения 1.2.4. Для всякого натурального числа
N существует соответствующая коретракция, не зависящая от
s = 0, 1, .... N и 1<р<оо.

Доказательство. Нужно показать, что существует такой опе-
ратор S<=L(WSp(Ri), Wsp(Rn)), что (Sf)(x) = f(x) для xt=Ri.
Функции f(x), бесконечно дифференцируемые в замыкании Ri
полупространства Ri и обращающиеся в нуль для больших зна-
чений |х|, всюду плотны в Wp(Ri). Достаточно показать, что
функции такого вида можно продолжить через границу полупро-
странства Ri. Пусть 0<Х1<Х2<...<Лдг+1<оо. Положим

 f(x),	если

л$Л(х>=1 W + 1	(4)

У, Щ[(Х!....хп-1,	-Ь/Хп), если хя<0.

/=1

Легко видеть, что можно (единственным образом) определить
коэффициенты а/ так, чтобы

Пт	lin,	/.о, 1..........JV.
Отсюда следует, что Sf (х) есть N раз непрерывно дифференци-
руемая функция в Rn, обращающаяся в нуль для больших зна-
чений | х |. Утверждение леммы следует теперь из явного выра-
жения для функции (Sf) (х).

Замечание 2. Этот метод, принадлежащий Хестенсу, изло-
жен, например, в книге Фихтенгольца [1]. См. также работу
Трибеля [17, стр. 377]. Простым следствием леммы является
утверждение, что W5p(Rh) можно нормировать с помощью формул
(1а) и (1b) после замены Lp на Lp(Rh).

Лемма 2. Пусть s = 1, 2, ...и 1 < р < оо. Тогда

Wsp(Rh) = V^p, 1,

Lp (Rn-Sj

(5)

K^n-t); р,

(см. определение 1.8.1/1).

Доказательство. Шаг 1. На гладких функциях f (х) рассмотрен-
ного в доказательстве предыдущей леммы типа нормы

и l/fv, эквивалентны между собой. Здесь мы используем тот факт,

что Wsp (Rh) можно нормировать, как указано в замечании 2.

Шаг 2. Пусть f(x', t) е Vs, где х' = (х1, ..., хп-т.) и / = х„.
Тогда f(x', Z-J-6), б>0, также принадлежит Vs и Их', /4-6) р-
-*~f(x', t). Зафиксируем б и применим метод усреднения Собо-
лева, описанный в шаге 1 доказательства леммы 2.5.1, по отно-
шению к пространству Rh и при h <; б. Во введенных там обозна-
чениях, выберем для удобства со (х) =	(х') <о(2) (t). Тогда полу-

чим, что (f(x', / + б))А р-/(х', /4-6). Функция (f(x', t + b))h, бес-
S

конечно дифференцируемая в Rn, может быть продолжена по фор-
муле (4) на всё Rn. Отсюда следует, что (f(x', t + &))heWp(Rh).
Поскольку утверждение шага 1 справедливо также и для этих
функций, то мы приходим к (5).

Теорема. Пусть s = 1, 2,..., 1 < р < оо и х' = (х1(..., хп-±).
(а) Тогда отображение 91, задаваемое формулой

W = {fix', 0), ^(х', 0)..........................0)},	(6)

I	илп	ахп	J

является ретракцией пространства Wsp (Rn) (соотв. Wp (Rh)) на

п

/=°

(Ь) Если Wsp (Rh) обозначает замыкание С™ (Rh) в Wsp(Rh), то

Wsp(Rh)^{f[f^Wh(Rh), =

(7)
Доказательство. Шаг 1. Произведение двух ретракций — снова
ретракция. Отсюда видно (см. лемму 1), что можно ограничиться
доказательством утверждения (а) для пространств Wp(Ri). Из
леммы 2.5.1 и теорем 1.13.2 и 1.12.1 вытекает, что (Rn-i,
Lp(Rn-i)} есть квазилинеаризуемая интерполяционная пара.
Поэтому (а) следует из равенства (5), теоремы 1.8.5(a) и равен-
ства (2.4.2/16).

Шаг 2. Ясно, что $Rf = 0, если /<= Wsp(Ri). Докажем обратное
утверждение. Из методических соображений мы дадим два неза-
висимых доказательства (на этом шаге и на шаге 3). Первое из
них, приводимое ниже, годится лишь для гладких функций.

Предположим, что f является сужением на Ri функции, при-
надлежащей С(Rn), и 91/ = 0. Тогда —. (х) = О(xsn~f), j = Q,..., s.

дхп

Рассмотрим бесконечно дифференцируемые вещественные функции
Хх(0> 0<%<1, определенные на [0, оо), для которых

,	„	( 0 при 0==£/<;Х,

1. Хх(О= , Д	(8а)

( 1 при 2л^г<оо,

^4 <4- /г=1, 2, ....	(8Ь)

Имеем
2А.

И W - Ъ. (хп) f (х) II4’ р+)	с $ dxn -> 0 при 110.	(9)

Следовательно, f s wp (Ri).

Шаг 3. Пусть теперь f <= Wsp (Ri) — произвольная функция,
такая, что 31/= 0. Продолжим ее нулем на Rn\Ri и получен-
ную функцию снова обозначим через f. Тогда f е Wsp (Rn). Это
следует из (устанавливаемого интегрированием по частям) тождества

$ Daf-cpdx — (— 1),а| j f-D^dx, |a|<=£s, <peC^(/?„) (10)
Rn

(см. также следующее замечание). Поскольку f(x', х„ —6)->/(х)
в Ws (Rn) при 610, то функцию / можно аппроксимировать в
Wsp(Ri) с помощью функций, обращающихся в нуль всюду вблизи
границы {х|хп = 0}. Кроме того, умножая, если надо, f(x', х„ —6)
на соответствующую функцию, можно, не ограничивая общности,
считать, что f(x', хп — &) обращается в нуль для достаточно
больших значений | х |. Теперь для получения нужной аппрокси-
мации осталось применить метод усреднения Соболева, как это
было описано на шаге 1 доказательства леммы 2.5.1.
Замечание 3. Граничные значения следует понимать в смысле,
указанном в п. 1.8.5. Если f (х) — сужение функции из C^(Rn),
то 91/ совпадает с обычными (классическими) граничными значе-
ниями. Так как 91 является непрерывным оператором из WP(R^)
S— 1

в П Вр7р~1/Р(Вп-1), то граничные значения произвольной функ-
/==о

ции f е Wsp(Rn) можно получить следующим образом: если
fk~—s f, где />(х) —сужения функций из С°°(2?п), то

wp

“ P'P

На основе этого предельного перехода можно распространить
интегральные тождества, содержащие интегралы по границе, с глад-
ких функций на функции из WSp(Rn) или, соответственно, из
Wp (Rn)- Примером таких тождеств служит соотношение (10).

Замечание 4. Доказанная теорема играет фундаментальную
роль в приложениях теории функциональных пространств к урав-
нениям в частных производных. Она показывает, что нами полу-
чен в некотором смысле окончательный результат для описания
граничных значений. Поскольку s — j—1/р не является целым
числом, утверждение (а) теоремы можно сформулировать следу-
ющим образом: отображение 01 есть ретракция пространства
Wsp(Ri) (соотв. Wp(Rn)) на произведение пространств Слободецкого
S— 1 s_ .__1

П Wр р (Rn-i)- Утверждение, что отображение 31 есть рет-
/=о
ракция, содержит в себе как «прямые», так и «обратные» теоремы
вложения. Термин прямая теорема вложения означает, что 31
является непрерывным линейным отображением Wsp (Rn) на
s-i s_z*_l

U Wp р (Rn^), а термин обратная теорема вложения — что
/=о
существует коретракция, т. е. непрерывное линейное отображе-

ние П '(Яд-i) в

/=о

Замечание 5. Целью следующего пункта будет перенесе-
ние этой теоремы на пространства Лебега Hp(Rn) и пространства
Бесова Вр, ,,(/?„) (а значит, также на пространства Слободецкого
4% (/?„)). Однако для того, чтобы можно было применить теорему
1.8.5, нам понадобятся некоторые предварительные рассмотрения.
В частности, окажется полезным ввести специальные весовые про-
странства Соболева.

9 X. Трибель
Замечание 6. Можно рассмотреть следы функций из Wsp(Rn)
на Z-мерных гиперплоскостях, например на гиперплоскости Ri =
= {х|х = (х1, ..., xh 0,	0)}. Мы займемся этим вопросом в

п. 2.9.4. Представляется уместным использовать последовательный
переход от Rn к R^, от R^ к Rn_2 и т. д. Но, как видно из
теоремы, для такой процедуры нужны теоремы вложения для
пространств Слободецкого.

Замечание 7. Исследование граничных значений функций
из Соболевских пространств послужило одной из причин введе-
ния пространств Слободецкого. Соответствующие ссылки на лите-
ратуру были даны в замечании 2.3.1/2. Дальнейшие литератур-
ные указания читатель найдет в замечании 2.9.4/2.

2.9.2 Пространства w"' М) и	хMJ

Р’ I пI	V’ лп

Для получения результатов типа теоремы 2.9.1 для про-
странств Лебега — Бесова (без веса) нам придется сначала рас-
смотреть в этом пункте специальные весовые Соболевские про-
странства. Позднее такие пространства будут рассмотрены более
подробно. Ради полноты изложения и в порядке подготовки
к последующим главам мы докажем немного больше, чем потре-
буется в п. 2.9.3. Фактически в п. 2.9.3 будут использованы
лишь соображения, развитые на шагах 3 и 4 доказательства
теоремы 1 данного пункта.

Определение 1. Пусть т — 0, 1, 2, ..., 1<р<оо и

т

Р- I хп I

— 1 < а < оо. Тогда W
ранства S (Rn) по норме

a(Rn) обозначает пополнение прост-

Пространство W™a(Rn) является сужением Wp,\x ia(R„) на Ri.

Pt п	1 п1

Имеют место равенство |*л|а (/?«) = |жл|а (/?л) и аналогичное
равенство для Ri.

Замечание 1. Если рассмотреть пространство всех функ-
ций /<= Lp, i, ia (Rn), таких, что ||/||rm,	то легк0

I " ।	р, ( Х^ (*'

видеть, что это пространство полно. (Дифференцирование здесь
следует понимать в смысле Df (Rn) и Dr (Rn)-) Поэтому приведен-
ное выше определение пространства Wnp\ |хп|а(7?л) осмысленно.
Пространство W™ a(Rn) строится аналогично тому, как это было
сделано в определении 2.9.1. Будучи факторпространством про-
странства W^ । хп |а (Rn), оно также полно. Наличие различных
эквивалентных норм в Wp (Rn-i) (см., например, (2.9.1/1)) позво-
ляет заменять норму ||^т (R , на норму

р-1 хп 1“' ”

II а	II

II f ll^p, | 'а(^л)	|| I хп Iр II f (х > Л-л)! W™	||ьр (Щ)

Здесь х' = (хх, ..., xn-i).

Лемма, (а) Оператор сужения из Wp, ixn|a(/?ra) на W™ xa(Rn)
ft
является ретракцией в смысле определения 1.2.4. Для всякого нату-
рального числа N существует соответствующая коретракция, не
зависящая от т = 0, 1, 2, ..., /V, 1<р<;оо и a>—1. Про-
странство Wp xa(Rn) можно нормировать с помощью норм (1)
р’ п

или (2), заменив Rn на R„ и Rx на [0, оо).

(Ь) Пространство W" xa(Rn) представляет собой замкнутое
* п

подпространство пространства

vm(p, ^±1, ^(Ял-х); Р. 41’ МЯ-о)	(3)

(ом. определение 1.8.1/1).

Доказательство. Утверждение (а) следует из доказательства
леммы 2.9.1/1, которое непосредственно переносится на рассмат-
риваемый случай.. Утверждение (Ь) устанавливается таким же
образом, как на шаге 1 доказательства леммы 2.9.1/2.

Замечание 2. В отличие от леммы 2.9.1/2 мы не доказали
совпадения пространств

Wmplfl(Rl) и Vm(p, ^±1, Wp (/?„_,); р, ^±1, Lp(Rn-S\.

Но метод, использованный на шаге 2 доказательства леммы
2.9.1/2, показывает, что по крайней мере для 0^а<оо

^a(^)==Vm(p, а-±±, Wp(Rn-i)‘, р, Lp (/?„-,)).

Для произвольного вещественного числа s мы используем вве-
денные ранее обозначения

S=[S] + {S}, [8]— целое число, 0^{s}< 1,	(4а)

и

$ = [$]--)-{$}+, [s]- —целое число 0< (s}+^ 1.	(4b)
Теорема 1. Пусть т=1, 2, 1<р<оо rz

• • •»

(а) Если — 1 < а < тр — 1,
формулой

9if =/(*', 0),Д(х', 0),

то отображение

Г а+П"
т------

лк Р J f
“Г	а+1~|-	’ 0)

5x1	» J

х'=(%1, ...

задаваемое

(5)

является ретракцией пространства W™ \xn\a(Rn) (соотв.

п

(Ь)	Если — 1 < а < mp — 1 и W™(Rn) обозначает замыкание
р, *п

C?(R$ в (R$, то
п

(с)	Если а^тр— 1, то С“ (Rn) плотно в W1" & (Rn).

Доказательство. Шаг 1. Из леммы видно, что при доказа-
тельстве утверждения (а) можно ограничиться случаем пространств
Wm а (RS). Но в силу леммы и теоремы 1.8.5(a) 31 является
р. хп

непрерывным линейным оператором из W™ JRn) в

Р. хп

Г а+1 Г

Г “J т_*±1_7

П <.₽ р (*-)•

1 = 0

Шаг 2. Пусть — l<a<mp—1. Ясно, что 31/ = 0 для /е
е Wmxa(Ri). Докажем обратное утверждение. Предположим сна-
p. хп

чала, что / есть сужение функции из С"(Rn) и 31/= 0. Тогда

^L^ — orxK+i-fx х = Г/п —	1	j — Q i H

дх{	[ р J

и ^т(х) = 0(1) для />х. Аналогично оценке (2.9.1/9) имеем

2К

U (х)-Ъ(Хп)Нх)Г^ а(л+)^С J X^-mp + Hp+PdXn

Р- хп	0

= <?'Х“_тр+’‘Р+<’+*.	(7)
Если tn — (аф- l)/p — нецелое число, то правая часть стремится
к нулю при Х|0. Отсюда следует, что f<=Wm «(#») Если
Р, хп

tn — (а+ 1)/р — целое число, то правая часть формулы (7) равно-
го	(ЭМ (Хп) dm~Jf)

мерно ограничена. В частности, J——АД	есть огра-

I дх}п дх™ 00<х<1

ниченное множество в рефлексивном банаховом пространстве
L a(Rn) и, следовательно, слабо компактное множество, / =
р, хп

= 1, ..., т. Далее, без ограничения общности можно считать,
что /(%) —вещественная функция. Рассматривая L a(Rn) как
р, Хп

вещественное банахово пространство, мы можем применить к нему
теорему Мазура (см.. Иосида [1, гл. 5, § 1, теорема 2]). Из нее
получаем, что для фиксированного /=1, т надлежащим
образом выбранные выпуклые линейные комбинации элементов

дх'п дх™ —1

стремятся к нулю в

L
р

Здесь при 6->оо. Но тогда

соответствующие выпуклые линейные комбинации элементов
/(%) —	стремятся к нулю в	откуда выте-

кает, что f е W™ ха

Шаг 3. Пусть — l<a<mp—1, f^Wm a(Rn) и 91/ = О,
Р, хп

причем не предполагается, что f является сужением функции из
Со°(^Л). Ясно, что сужения функций из Со° (7?п) на Rt образуют
плотное подмножество в W™ xa(R^)- Если /z (%) — функции такого
вида и fi-+f в №"*	(/?+), то

Р. хп

в YI вр р Р ;ПРИ /->оо.

/ = О

Пусть х (/) 2=0 — бесконечно дифференцируемая функция, опреде-
ленная по полупрямой [0, оо), такая, что

X (0 = 1 при 0 < / =С1 и X (7) = О ПРИ t > 2.

Если Р (/) — оператор из леммы 2.5.3, где п заменено на п— 1,
то функция

hj,i{x) = x(x>i) Р	0),	/==0, 1, ...

х,
бесконечно дифференцируема в Ri. Кроме того, hj, {(х', 0) =
= ^(х', 0). В силу теорем 2.5.3 и 1.14.5 и формулы (2.5.3/11),
дхп

имеем для k — 0, 1, ..., j

ni-i+k ( +\
W n Ya+kP /
p, xn

+ c||/i/,z (x', 0)||l (Д j

S(O	₽

Im_/4-A—(m —/—iil) am-j+k

Xn	P (xn) hi, i (X ,

0)



+ c> 11 hj, i (x', 0) jLp

0)L^ •
BP.P ”

В многочлене

h0. i (x) — У d?'h0, i (x', KrX„),
r = 0

oo	0,

(8)

(9)

можно так подобрать коэффициенты а™, чтобы

h0,i(x’, ty=fi(x', 0) и ——1 *’ - — 0 при k=l, к.
дхп

Для hOi i (x) справедливо неравенство, аналогичное неравенству (8)
при / = 0. Подобным же образом положим для / = 1, .... х

1 к

hj, i (х) — ji hj' i (х , А.гхл).

(10)

При соответствующем выборе коэффициентов получим

-^-(х,0)-6ЛА	,	£-0,1,

х.

Оценка (8) дает

(„+)«<=
n, \ « /

Л

—Z(^'. 0)

дхС 1 D

Вр.р Р (Rn-1)
j = 0, 1, х.

О1)
X

Но тогда fi (х) = fi (х) — У] hJti(x) также аппроксимируют /, и
/=0

3lfz (х) = 0. Выбирая подходящую функцию %z (х') s Со
получаем, что это же верно для Х/(*')Л (Д & к функциям такого
типа применимы рассуждения шага 2.

Шаг 4, Пусть — 1 <a<;mp — 1. Докажем, что отображение 31
есть ретракция. Согласно шагу 1, достаточно построить соответ-
ствующую коретракцию. Пусть

\рп-г)> i = Q....%> x =

т -«+!_/

Если учесть, что Со° (Rn-i) плотно в Вр, р р (Rn-i), то методом,
использованным на предыдущем шаге, можно показать, что такой
коретракцией будет отображение ©, определяемое формулой

X у %

&{h0.....hK} = х(х„) 2 /Г 2 а')р М (V)	(12)

/=о r = j

(после пополнения). Коэффициенты здесь имеют те же значе-
ния, что и на предыдущем шаге.

Шаг 5. Пусть а^тр — 1. Поскольку функции, представляю-
щие собой сужения на Rn функций из С“ (Rn), плотны в

,а (Я« )> можно ограничиться рассмотрением функций такого
р, хп

вида. Доказательство утверждения (с) проводится теперь так же,
как на шаге 2.

Замечание 3. Особенно важна для дальнейшего фор-
мула (12). Она дает явное выражение для коретракции ©, отве-
чающей ретракции 31, которое обладает рядом полезных свойств.
В приведенном выше доказательстве, в отличие от доказательства
теоремы 2.9.1, теорема 1.8.5(a) использовалась не в полную силу.
Однако если учесть замечание 2, то мы видим, что теорема
1.8.5(a) при 0гСа<оо дает прямое доказательство утвержде-
ния (а) данной теоремы.

Для того чтобы упростить последующее изложение, несколько
видоизменим определение пространств . |а(ЯЛ) и

Определение 2. В условиях определения 1, W™ . ,a(R )

Р* I Хп I ' п'
обозначает пополнение пространства S (Rn) по норме

2	из»

^7 обозначает сужение W™ . ,a (Rn) на R%.

р* п	р* I п I
Покажем, что различия между этими пространствами и про-
странствами, рассмотренными ранее, несущественны.

Теорема 2. Все утверждения теоремы 1 остаются справед-
ливыми при замене . p(Rn) на W™ . p(Rn) и Wm a(Rt) на

I п I	I I	Р’ Хп

р' хп

Доказательство. Ясно, что отображение 9ft, определенное фор-
мулой (5), будет по-прежнему непрерывным. Все рассуждения
шагов 2 — 5 доказательства теоремы 1 проходят также для про-
странств р (Rn) и W™ xa(Rt)- В частности, оценка (8)
остается справедливой (и это как раз и послужит нам основой
для дальнейших рассмотрений) при замене W на W.

Замечание 4. Это доказательство еще раз показывает,
что явный вид коретракции © (см. (12)) позволяет делать далеко
идущие выводы. Мы еще вернемся к этому вопросу позднее.

Замечание 5. * Как уже упоминалось, Соболевские про-
странства с весами, введенные в этом пункте, нужны нам для
исследования невесовых пространств Лебега — Бесова. Сходные
вопросы рассматривались в работе Трибеля [21]. Хотя простран-
ства, определенные в этой работе, отличаются от пространств
Wm	результаты для них аналогичный Формула, подобная

хп

формуле (6), была получена там также и в «критических» слу-
чаях, когда т— (а-|- 1)/р — целое число с помощью явного пост-
роения аппроксимирующих функций. Идею, близкую к той,
которая была использована на шаге 2 доказательства теоремы 1,
можно найти в работе Гривара [2]. Теоремы вложения рассмот-
ренного выше типа уже давно известны в литературе и восходят
к работам Кудрявцева [1], Успенского [2] и Гривара [2].
В настоящий момент мы воздержимся от дальнейших литератур-
ных указаний и отошлем читателя к п. 3.10.1.

2.9.3. Прямые и обратные теоремы вложения
для пространств Лебега — Бесова (l = n— 1)

Напомним, что пространства Лебега Hsp (Rn) и пространства
Бесова Вр, q (7?„) включают в себя как частный случай простран-
ства Соболева — Слободецкого Wsp (/?„), — оо < s< оо, 1 < р < оо,
1-С7^оо. В свою очередь пространства Лебега Hp(Rn) пред-
ставляют собой частный случай пространств Рр, q (Rn).
Определение. Для — оо < <$ < оо, 1 < р < оо и l^q^oo
через BsPtq(Rt) (соотв. HP(R+)) обозначается сужение на R%
(в смысле определения 2.9.1) пространства Bsp,q(Rn) (соотв.
Hp(Rn))‘

Замечание 1. Как факторпространства банаховых прост-
ранств Вр, q(,Rt) и Hsp(Rt) также являются банаховыми прост-
ранствами. В следующем § 2.10 мы рассмотрим эти пространства
поближе.

Лемма. Для — oo<s<co, 1<р<со и	опера-

тор сужения из Вр, q (7?л) на BsPi q (Ri) (соотв. из Hsp (Rn) на
Hl (Ri)) есть ретракция. Для всякого натурального числа N су-
ществует соответствующая коретракция, не зависящая от р, q
и s, где 1<р<оо,	и |s|<N.

Доказательство. Воспользуемся несколько видоизмененным ме-
тодом из доказательства леммы 2.9.1/1. Пусть 0<Х1<Хг<...<
<А^+а<оо и <peS(/?„). Пусть, далее,

2W + 2

(@1ф)(х)= У буф (л/, — IjXn) И
/=1

2tf+2 Ь- / х \
сад с*)=—	П)

/=1 ’ 7/

Тогда существуют (однозначно определенные) числа bj, /= 1, ...
..., 2N4-2, такие, что

« 0)	(х', 0)	<?/<р(х', о) ;_л 1 дг /9\

—1Дп	dxi - dxfn ’	(2)

Если положить для f eS' (Rn)

(®J) (ф) = / (- ©2Ф)» Ф е 5 (Rn),	(3)

то это определение в применении к функциям f е S (/?„) совпа-
дает с (1). Функция ф —®2ф, tpeS(/y, и все ее производные
до порядка N включительно обращаются в нуль при х„ = 0. По
теореме 2.9.1 (Ь) сужение ф — ®2Ф на Ri можно аппроксимировать
в пространстве Wp (Ri) функциями фу (х) из С“ (Ri). Но тогда
можно аппроксимировать эти сужения также и в пространствах
BsPt4(Rn), |s|<A^, и Hsp(Ri),	теми же самыми функ-

циями фу. Для g<= Bsp, q(Ri), где |s|<2V, и g(=H3p(Ri), где
|s|^y, положим

(@§)(Ф)= limg0|>y), q>(=S(Rn).	(4)

(-♦99
Существование предела и его независимость от выбора последо-
вательности {t|y}/Li можно доказать следующим образом. Если
функция f^Bp,q (Rn), где |s | < N, (или f <= Hsp (Rn), где | s | < N)
такова, что fug совпадают на Ri, то, в силу теоремы 2.6.1,
1^(Ф/)1 = 1/(ф;)1^11/Ц

с ||/|| s ||ф/|| w (<7<о°)
р, q р'

(и аналогично для Hsp (Rn))- Начало и конец этой цепочки соот-
ношений справедливы также для <7 = 00. Покажем, что <2> есть
коретракция с требуемыми свойствами. Пусть g е (Ri). Если
f <= (Rn) — функция типа рассмотренной выше, то для (ре
е S (Rn) имеем

К ®g) (ф) I = Ит I f (ФУ) I < lim И ||„-„ IIФ;

= II f Ifj-N || ф - ®2Ф llHW	С || f || N (i ф || N ,

Нр	Р‘ W	р	Ир' (Кп)

так что е H^N (Rn). Переход к точной нижней грани по функ-
циям f дает оценку

<5)
НР (Нп)	Нр \Rn)

Для g<=Hp (Ri) = Wp (Ri) получаем

(	ПРИ x^Rn>

(	при x<sRn\Ri:

Из рассмотрений леммы 2.9.1/1 следует, что &g<=Hp(Rn) и

11 /д	<6)

НР (Rn)	Нр \*п)

Из соотношений (4) —(6) вытекает, что для H^N (Rn) отображе-
ние © является коретракцией, соответствующей оператору суже-
ния. Утверждение леммы получается теперь при помощи интер-
поляции с использованием теоремы 1.2.4 и формул (2.4.1/11) и
(2.4.2/14).

Замечание 2. Из предыдущих рассуждений сразу следует,
что справедливы равенства

(нр (Rn), HpN (Ri)\ q = BNp, (;-e)-"e (R^	(7)

и

\HNp(R%, HpN(Ri)]d = H^l~e)-Ne(Ri).	(8)

Чуть далее мы подробнее остановимся на этом; см. теорему 2.10.1.

Ниже используются обозначения (2.9.2/4). Кроме того, nojjq?
жим х' = (xv ..., Xn-i).
Теорема, (а). Пусть 1<р<оо и l/p<s<oo. Тогда ото-
бражение задаваемое формулой

W=0), Д-(х', 0),

(9)

является ретракцией пространства Hsp(Rn) (соотв. Hsp(Ri)) на
[s-p]	s---/

П &р р (-^л-i)- вели обозначить через Hsp(Ri) замыкание
/=о

пространства С” (Ri) в Hsp(Ri), то

Hsp(Ri) = {f\fe=HSp(Ri), ЭЧ/ = О}.

(Ю)

(Ь)	Пусть 1<р<оо, l^psgoo и 1/р<$<оо. Тогда ото-
бражение ЭЧ, определенное формулой (9), является ретракцией
нг
пространства Вр, q (Rn) (соотв. Вр, q (Ri)) на PJ

°	/,==0	00

Если обозначить через BsPi q (Rn) замыкание пространства С™ (/?о)
в Bsp,q(Ri), то для 1 < q < сю

Bsp,q(Ri) = {f\f^Bsp,q(Ri), ЭЧ/ = О}.

(с)	Пусть 1<р<оо и l/psgsCoo.

(Н)

Тогда

« 0)

является непрерывным отображением пространства Bsp i(Rn)
Л--1	!

(соотв. Вр, j (Rn)) на В^ t pJ(/?n-i), если s — — —нецелое число, и
непрерывным отображением пространства Вр, t (Rn) (соотв.
Вр, i(Ri)) в Lp(Rn-i), если s-~ —целое число. Для того чтобы

bsp, 1(Ri)=-{f\f^Bsp, t(Ri), эч/=О},

(12)

необходимо и достаточно, чтобы s~^ не было целым числом.
(При s=l/p это означает, что Bp,p1(Rn)^Bp,pt(Rn).)

(d)	Для 1 < р <оо, 1<р<;оо и —со <Zs^~ пространство

(Rn) плотно в Вр, q(Rn) и в Hp(Ri). Для — оо<$< 1/р про-
странство С“ (Rn) плотно в Вр, t (Ri).
Доказательство. Шаг 1. Докажем первую часть утверждения (с)
для случая, когда s — — целое число. Пусть / е S (7?п). Согласно
теореме 2.8.1(c), для любого фиксированного x'^Rn-i имеем

4,1 (*i)

(13)

Беря от обеих частей неравенства интеграл, отвечающий вычис-
лению нормы в Lp(Rn-i) и применяя неравенство Минковского
для интегралов, получаем с учетом соотношения (2.5.1/10) и того,
что 9=1,

д pf(x', 0)

S----

дх р
п

S (««-!)

/Z?

ВР, 1 Гп)

(14)

Поскольку S (/?„) плотно в Вр, ,(/?„), эта оценка справедлива для
всех	(см. замечание 2.9.1/3). Из леммы вытекает,

что оценка (14) верна также для f^BsPii(Rn), если заменить
справа Вр,,(/?«) на Вр, i(Rn).

Шаг 2. Зафиксируем / = 0, 1, 2, ... и выберем натуральное
число	Из неравенства (14) и теоремы 2.9.1 получаем

dif (х', 0)
с помощью интерполяции, что	.—- является непрерывным

^хп
линейным отображением

из «w„)Lв t₽(^-i)>

0<9<1, 1 ^<7=^оо. Из теоремы 2.4.2/2 вытекает теперь, что 31
при s>l/p есть непрерывный линейный оператор из Вр q(Rn)
['4Г

в Вр qp (Rn^). В силу леммы, соответствующее утвер-
/=°

ждение справедливо и для пространств BsPt q (Rn).

Шаг 3. Докажем теперь первые части утверждений (а) и (Ь)
(и тем самым первую часть утверждения (с) для случая, когда
s ——нецелое число^. Пусть Р (t) обозначает то же, что и
в лемме 2.5.3, где п заменено на n—1. Рассуждения шага 4
доказательства теоремы 2.9.2 показывают, что оператор =?
= Х(хп)Р(хп)^(х') является коретракцией пространства В™ рр (Rn-r)
BWp(Rn), т—1, 2, .... Соответствующей ретракцией будет
SRof = f(x', 0). Но тогда, по лемме, Э1о является также ретрак-
цией пространства W™ (Rn) на Вр р р (Rn-i). Поскольку не
зависит от т и р, то, ввиду теорем 1.2.4 и 2.4.2/2 и формул
(2.4.2/11) и (2.4.1/8), 3% есть ретракция пространства BsPiq(Rn)

s_ i	s_ i

на Вр qP (Яп-i), а также пространства Hsp(Rn) на Вр р
Здесь s > 1, 1 < р < оо, 1	7 сю. Согласно лемме, Rn можно

заменить на /?„. Теперь нам нужно доказать соответствующие
утверждения для случая ~<s^l. Обозначим (п — 1)-мерное
прямое преобразование Фурье по переменным х' = (х19 ...,
через Fn_lf а обратное —через Формула (2.5.3/9) дает

X(x„)P(x„)g(x')

= cF^ (1 +|х'	(хл)^‘_1е-|ж'|лг»Ря_Л‘-1

Х(1 + |х'|^Р„_1ёг(х').	(15)

Здесь т — натуральное число. Последняя часть этого выражения
s —J-	s4-2m-~

является отображением Вр> р {Rn-^ на Вр* q р {Rn-^. Как по-
_s + 2m---------------------------------------------------

казано выше, средняя часть является отображением Вр q p(Rn-i)
в Bp+q2m (Ri). Наконец, первая часть является отображением
в Bpt q (Ri). Аналогично проводится рассуждение для пространств
Лебега. Вместе с шагом 2 это показывает, что для ^<_s<Z<x>
оператор 9% есть ретракция пространства BsPt q (Rn) (соотв. Bsp, q(Ri))

s —-	1

на В p (Rn-т). Если 2sgp<oo и —<s<oo, то из вложения
р» *7	4 х/	г	р

Нр (Rn) cz Вр, р (Rn) следует, что 9% является ретракцией простран-
ства HSp(Rn) (соотв. Hp(Ri)) на ВррР (Rn-i). Если 1 <р< 2 и
— <s<l, то требуемые утверждения для пространств Hsp(Rn)
(соотв. Hsp (Ri)) вытекают из интерполяционных формул

(Rn). Hl (7?„)]е = Н'р-0+ае(Rn),

в'г:£ с * («-.J»=°’- (я..,).

где | <о< 1, 1<р0<2, 0<6< 1 и 1 =	+ см. (2.4.2/11),

л	Р Ро
(2.4.1/8) и теорему 1.2.4. (Случай Hp(Rn) = Wp(Rn) рассмотрен
в теореме 2.9.1.) Применяя теперь метод, использованный на
шагах 3 и 4 доказательства теоремы 2.9.2, при а = 0, получаем,
что 31 — ретракция; см. (2.9.2/10), (2.9.2/11) и (2.9.2/12). (Фор-
мула (15) применима несмотря на то, что в соотношениях (2.9.2/12)
и (2.9.2/10) есть умножение на х]п.)

Шаг 4. Докажем (10) и (11). Пусть f <= q (Rn), 1<9<оо
(соотв. f^Hp(Rn)) и 31/= 0. В силу рассмотрений шага 3 дока-
зательства теоремы 2.9.2 и полученных выше результатов можно
предположить, не теряя общности, что / представляет собой суже-
ние функции из С™ (Rn). Тогда

dJt А [’“4Г+1-^	• л г 1?

—г = 0\-4	/ Для 7 = 0, s-------.

дх'п ' п	!	‘	L PJ

Пусть ““Функции, определенные соотношениями (2.9.1/8).
Для любых двух целых чисел т1 и т2, таких, что 0^т2<
<s<m2, имеем

17 (х) - Хх (Хп) f (х)	сХ mr+[s р] +р + 1, г=1,2.

С помощью интерполяции получаем

4f(x)-u(x„)f (х),1 s	s+p+[s р] +*	(16)

(аналогично для Hp(RnS)- То что пространства, определенные
над Rn, обладают теми же интерполяционными свойствами, что
и пространства, определенные над Rn, является следствием леммы
и теоремы 1.2.4; см. также теорему 2.10.1. Для случая когда
s — у — нецелое число, отсюда вытекают требуемые результаты,
включая (12). Пусть s — — — целое число. Тогда функции вида
{/ (*) — Хх М f (*)}о<х< 1 образуют ограниченное множество
в BsPt Q(Rn) (соотв. в Hp(R+n)\ Так как Вр,7(/?«) и Hsp(R+n) —
дополняемые подпространства в BsPt q (Rn) и в Hsp (Rn) соответственно,
то они, согласно теореме 2.6.1 и замечанию 2.6.1/2, являются
рефлексивными банаховыми пространствами. Поэтому множество
{/(*)— XU*n)/(*)}o<a<i слабо компактно. Требуемое утверждение
получается теперь так же, как на шаге 2 доказательства тео-
ремы 2.9.2.

Шаг 5. Докажем последнюю часть утверждения (с). Если q = 1
и 0 < s — ~ — нецелое число, то, как было отмечено выше, нуж-
ный результат устанавливается аналогично оценке (16). Если
0<;s — — — целое число, то из первой части утверждения (с)
следует, что (12) не может выполняться.

Шаг 6. При доказательстве утверждения (d) снова можно огра-
ничиться рассмотрением сужений функций из Со° (7?л). Поэтому
достаточно рассмотреть пространство Bppq (Rn) для 1 < q < оо.
Так как это пространство рефлексивно, то мы получим требуемое
утверждение так же, как на шаге 3, см. (16).

Замечание 3. Из доказательства видно, что пространства Со-
болева с весом были использованы, по существу, только на шаге 4.

Замечание 4. Утверждение (с) показывает, что BPt i(Rn)
для s—— = 0, 1, 2, ... не является рефлексивным пространством.
Действительно, если бы BsPt i (Rn) было рефлексивно, то мы могли бы
применить к нему метод шага 4 и пришли бы к противоречию
с утверждением (с). Аналогичные утверждения для пространств
Bp,i(Rn) доказаны в замечании 2.6.1/2. Как дополняемые под-
пространства рефлексивных пространств, Hp(Rn) и BPt q(Rn)>
— oo<s<oo, 1<р<оо, 1<9<оо, являются рефлексивными
пространствами.

Замечание 5. Если функцию из Wm a(Rn) продолжить
р,хп

нулем на Rn\Ri, то мы получим функцию из	(Rn)- Для

пространств Bp>q(Rn) и Hsp(Rn) ситуация сложнее. В теореме 2.10.3
будет доказано, что соответствующее утверждение верно для про-
странств Bp,q(Rn) и Hsp(Rn), если — 1 <s — у не является целым
числом и 1=С(?<оо. Однако функции из BPtq(Rt), где 1<р,
(7<оо и s —= 0, 1, 2, ..., нельзя продолжить подобным обра-
зом до функций из Bsp,q(Rn). См. также замечание 4.3.2/3.

Замечание 6. Ссылки на литературу по вопросам, рас-
смотренным в этом пункте, даны в замечании 2.9.4/2.

2.9.4. Прямые и обратные теоремы вложения
для пространств Лебега — Бесова (общий случай)

Для I = 1,..., п — 1 положим Ri = {х |х== (хп ..., xz, 0, ..., 0)},
где х' = (%1, ..., xi) и x" = (xz+1, ..., хп). Кроме того, введем обо-

значение

dxi!iA дх„п

I -f~ 1	tl

г^е а — (а/+|, ...» ап) — мультииндекс.
Теорема, (а) Пусть 1<р<оо и (n — l)lp <s<oo. Тогда
отображение 01, задаваемое формулой

0); |a|<[S—(1)

является ретракцией пространства Hp(Rn) на

п — I . .

п — 1
р

S —

Любая функция f из Hsp(Rn), для которой Ш/ = 0, может быть
аппроксимирована функциями из Со (Rn), обращающимися в нуль
в некоторой окрестности гиперплоскости Rt.

(b)	Пусть 1 <р<оо, Isgi/sCoo и (п — Г)/р <$<.<*)• Тогда
отображение Э?, задаваемое формулой (1), представляет собой рет-
ракцию пространства Bp,q(Rn) на

В

S —

P>Q

п — 1

Р



При l<Zq<.<x> любую функцию f из Вр, q (/?„), для которой = 0,
можно аппроксимировать функциями из Со (Rn), обращающимися
в нуль в некоторой окрестности Rt. Если s — -у— не является
целым числом, то это утверждение справедливо также для q = \.

(с)	Пусть 1 < р < оо и s — —“ = 0, 1,2..Тогда D*’f (х , 0)

при | а | = s — является непрерывным линейным отображением
Bsp,i(Rn) в Lp{Ri).

Доказательство. Шаг 1. Так как произведение ретракций —
снова ретракция, первые части утверждений (а) и (Ь) получаются
с помощью повторного применения теоремы 2.9.3.

Шаг 2. Пусть f е Нр (Rtt) (соотв. f<=Bsp,q (Rn)), 1 < q < оо и

= Применяя нужное число раз шаг 3 доказательства тео-
ремы 2.9.2 и начало шага 4 доказательства теоремы 2.9.3, видим,
что можно считать f е Cq (Rn), где W — сколь угодно большое
натуральное число. Тогда

D“/(x\ x'') = o(|Z|[s	+'

для |а| = 0,

П — 1 1“


Далее, пусть для 0 •< X <; 1

Хх(х") = О при Os^|x"|«^%, Хх(х”) = 1 ПРИ |х"1^=2Х.

Если тх и т2 —два целых числа, таких, что 0s^m1<s<m2> то

[П — / 1“ , , , п — I

р J р .

р \ я/

г=1, 2.

Используя интерполяцию, приходим к неравенству

H/(x)-Xx(x")f(x)|BS /r)<A’+ р LS р J .

Р.Ч\ п)

Все дальнейшие рассуждения проводятся так же, как на шаге 4
доказательства теоремы 2.9.3. При этом функцию хх (х") f (х) нужно
усреднить с помощью метода усреднения Соболева, описанного
на шаге 1 доказательства леммы 2.5.1. Тем самым доказаны
утверждения (а) и (Ь).

Шаг 3. В силу теоремы 2.8.1 (с), имеем

0)\^cU(xf, Z)JB, 1(Вп_г), |a|=s_2L=±.

Рассуждая теперь так же, как на шаге 1 теоремы 2.9.3, получаем
утверждение (с).

Замечание 1. Как было отмечено выше, в утверждении,
что 31 есть ретракция, содержатся как прямая, так и обратная
теоремы вложения. Утверждение о непрерывности вложения, осу-
ществляемого ретракцией 3R, называют прямой теоремой вложения,
а утверждение о существовании соответствующей коретракции
носит название обратной теоремы вложения.

Замечание 2. * Некоторые литературные указания, касаю-
щиеся теорем вложения, уже были даны в замечании 2.8.1/6.
Теоремы вложения, сформулированные в пп. 2.9.1, 2.9.3 и в нас-
тоящем пункте, имеют большое значение в теории пространств
Лебега — Бесова. Для случая гильбертовых пространств, т. е. для
случая Я|(Т?Л) = В212 (/?„), описание следов было получено Арон-
шайном [1], Слободецким [1] и Проди [1, 2]. Полное исследова-
ние этого случая проведено в книге Лионса и Мадженеса [2, 1];
их изложение основано на статье Лионса [1].

Распространением этих результатов на случай пространств
Hp(Rn) занимались Стейн [3 II], Ароншайн, Мулла и Шептицки
[1] и Лизоркин [3]. Соответствующие результаты для пространств
были получены Усренским [1, 2] и Гриваром [3], для
пространств Вр, со (/?zz) — С. М. Никольским [2, 3] и для пространств

Вр, 7 (В^) — Бесовым [2]. Отметим в этой связи также работы
Лионса и Мадженеса [1 III] и Мадженеса [1] и обширные иссле-
дования Дени и Лионса [1], С. М. Никольского [5, 7] и Нечаса [2].
В этих работах приводятся дальнейшие ссылки. В частности,
в книге С. М. Никольского [7] можно найти многочисленные
ссылки на работы советских математиков: Т. И. Аманова,
К. К- Головкина, В. П. Ильина, П. И. Лизоркина, С. М. Николь-
ского, В. А. Солонникова, С. В. Успенского и др. Яковлев [2]
и Успенский [6] рассматривали следы функций на многообразиях
(границах областей) при весьма слабых предположениях.

В теоремах 2.9.1, 2.9.3 и в теореме настоящего пункта содер-
жатся также результаты по описанию пространств Hsp (Rn) и Вр, q (R+n)
и соответствующих аппроксимационных свойств функций f из

Hp(Rn) и Вр, q(Rn), для которых 31/= 0. Эти результаты получены
Трибелем [21], однако некоторые частные случаи были известны
и раньше. Полное описание случая р = 2 и / = и — 1 можно найти
в книге Лионса и Мадженеса [2 I]. Лионс и Мадженес [1 VI

рассмотрели также несингулярный случай (т. е. случай, когда
s — у не является целым числом) при р=/=2и Z =/2 — 1 для про-

странств W3p. Соответствующие исследования для пространств Hsp
выполнены Шамиром [1], а для пространств Вр, р — Мадженесом [1].
Плотность С™ (Rn) в Hsp(Rn) и в WSP(R„) для s<l/p доказана
Лионсом и Мадженесом [1 IV]. Там же показано, что W^p (Rh)==
= Wpp(Rn)- Наконец, отметим, что теорема вложения (2.8.1/4),

сыгравшая столь важную роль в проведенных выше рассмот-
рениях, также является известной (см. Гривар [4, стр. 242] и
Бесов [3]).

Замечание 3. До сих пор мы рассматривали отдельно
теоремы вложения разных метрик (теорема 2.8.1) и теоремы вло-
жения разных измерений (теоремы 2.9.1, 2.9.3 и теорема данного
пункта). Ясно, что эти результаты можно комбинировать. В связи
с этим отметим одно простое правило. Число s — называется
дифференциальной размерностью пространств Вр, q (Rn) и Hsp (Rn)
(соотв. Bp,q(Rn) и Hp(Rn))- Пространства Гёльдера С* (Rn) обла-
дают дифференциальной размерностью t. Для всех теорем вложе-
ния, сформулированных выше, выполнено следующее правило:
верхний индекс уменьшается, а дифференциальная размерность не
изменяется. Здесь имеется в виду, что при описании следов рас-
сматривается только отображение /(х)->/(х', 0). В случае отоб-
ражения f(x)-^Dx"f(x'i 0) правило очевидным образом видоизме-
няется. Это правило выполнено и для так называемых предельных
показателей, определенных в замечании 2.8.1/5. Используя эти
результаты, можно на основе замечаний 2.8.1/1 и 2.8.1/2 сразу
же получить новые теоремы вложения. Так, применяя указанное
правило, из теоремы 2.8.1 и теоремы настоящего пункта легко
получаем, что отображение Э10/= /(%', 0) для /=1,..., п — 1
является непрерывным оператором

из Bsp,r(Rn) в В°. r(Ri), 0<a = s-y + y,

1=Сг=Ссю, (2)
и

из Hsp(Rn) в BlP(Ri), 0<а = $-^ + 1,

1 < p «С <7 < co. (3)

См. также первую формулу в (2.8.1/18). Из (3) и (2.3.3/8) выте-
кает, далее, что для 1<р=с2йС<7<со и для l<psSp^2
отображение является непрерывным оператором

из Hp(Rn) в Н° (Ri), 0<a = s--l + 4-.
Р ч

(4)

Можно показать, что (4) остается справедливым, если предполо-
жить лишь, что 1<р<оо. Именно, 3% является непрерывным
оператором

из Hsp(Rn) в Н°(/?/), 0^a = s-| + l 1<р<(7<то.(5)
Ясно, что о можно заменить на а^о. Утверждение (5) следует
из (2.8.1/17) и (3), где p = q. Это утверждение включает в себя
как частный случай (s и о —целые числа) теорему вложения
Соболева [3] вместе с дополнениями, полученными Кондрашовым
[1] и Ильиным [1]. Приведенная выше формулировка восходит
к работам Стейна [3] и Лизоркина [2] (для случая 1 = п справед-
лива более точная формула (2.8.1/17)).

Замечание 4. Мы не рассматривали теоремы о следах для
пространства Fp, q (Rn) по следующей причине. В доказательствах
теорем существенно использовалось то, что пространства Нр (Rn)
и Вр, q (Rn) являются интерполяционными для соболевских про-
странств. Это свойство выполнено не для всех пространств Fsp, q (Rn).
Однако из последней теоремы и теоремы 2.3.2 сразу же следует,
что отображение (1) есть ретракция пространства Fp, q (Rn) на

П В^~1а'^),

если q-—число, заключенное между 2 и р.
2.10.	ПРОСТРАНСТВА Hsp(Rn) и Bsp>q(Rn)

Пространства BPt q (/?«) и Hsp (Rn) были введены в определении
2.9.3. Их частными случаями являются пространства Соболева —
Слободецкого Wp (R+n) = Нр (Rn) для s = 0, 1, 2,... (где Wp (Rn) =
= Lp(Rn)) и Wp(R+p) = BPt p(Rn) для 0<s=/= (целое число). В тео-
ремах пп. 2.9.1 и 2.9.3 получено описание следов этих пространств
на границе {х | хп = 0}. В этих же теоремах дана характеризация
пространств Hp(Rn) и BPt q(Rn)- В данном параграфе мы опишем
интерполяционные свойства этих пространств. Кроме того, мы
определим их сопряженные. Эквивалентным нормам будет посвя-
щен п. 4.4.1.

2.10.1.	Интерполяция пространств Hp(R+n) и BPt q(Rn)

Теорема. Если заменить Rn на Rn, то при соответству-
ющих значениях параметров справедливы формулы (2.4.1/3),
(2.4.1/7), (2.4.1/8), (2.4.2/9), (2.4.2/10), (2.4.2/11) и (2.4.2/14)
(в том числе частные случаи (2.4.2/15) и (2.4.2/16)). Кроме того,
в условиях теоремы 2А.2/2

(Bsp\qo(Rn), Bsp\qi(Rn))Q,Q^BsPtq(R+n).

Доказательство. Это вытекает из указанных формул (включая
теорему 2.4.2/2), леммы 2.9.3 и теоремы 1.2.4.

Замечание. Ясно, что можно таким же образом «перенести»
с Rn на Rn и другие формулы § 2.4, например (2.4.1/9) или
(2.4.1/12) (после определения соответствующих пространств).

Задача. Аналогично пространствам BPt 7(/?«’) можно опреде-
лить пространства Fp, q(^Rt) как сужения пространств FPt q(Rn)
на Rn, — оо < s < оо, 1 < р < оо и 1 < р < оо. Естественно встает
вопрос, можно ли перенести на случай пространств FPt q(Rt)
интерполяционные теоремы п. 2.4.2. Для этого нужно распростра-
нить лемму 2.9.3 на пространства такого типа. Здесь, однако,
возникают некоторые трудности. Было бы интересно разобраться
в этом вопросе. Частично положительный ответ можно получить
с помощью интерполяции из (2.4.2/12) и теоремы 1.2.4. Но на
этом пути получаются только пространства FsPt q (Rn) при J- <

2.10.2.	Теория двойственности [Часть I]

Пространства Hp(Rt) и BsPi определены как сужения
пространств Hp(Rn) и BPtq(Rn). В случае s<0 для применений
теории интерполяции в теории эллиптических дифференциальных
операторов иногда бывает полезно использовать другое определе-
ние. Лионс и Мадженес [1, главным образом III; 2] полагают

^S(^) = (^(/?+))', 0<s<oo, 1<р<оо, ± + 1=1.

Сопряженные пространства здесь следует понимать в смысле
дуальной пары {С(/?+) = D (/?+),	см. § 2.6. Аналогично

можно определить пространства H~^s(r+) и	для' $<0.

В настоящем пункте мы покажем, что эти два определения совпа-
дают, за исключением «сингулярных» случаев. В дальнейшем мы
редко будем использовать результаты этого пункта. Поэтому при-
ведем без доказательства следующий понятный, хотя и нетри-
виальный, результат Шамира [1] (см. также Стрикарц [1]).

Лемма (Шамир [1], Стрикарц [1]). Пусть 1<р<оо и
Q^s<i\lp- Если %+(х)--характеристическая функция множе-
ства Rn, то	является непрерывным линейным отобра-

жением пространства Нр (Rn) в себя.

Замечание 1. Используя методы из доказательства тео-
ремы 2.9.4, можно показать, что любая функция из Hsp(Rn), где
1<р<оо,	1/р, может быть аппроксимирована функ-

циями из С™ (Rn), обращающимися в нуль в некоторой окрест-
ности гиперплоскости {х|хл = 0}. Возникает вопрос, принадле-
жит ли пространству Hp(Rn), если f Hsp(Rn), и будет ли
соответствующий оператор непрерывным. Как показывает лемма,
для $< 1/р ответ положителен. Из теоремы 2.9.4 видно, что при
s>l/p вопрос не имеет смысла, так как в этом случае сущест-
вуют граничные значения, которые, вообще говоря, не равны
нулю. Результаты Сили [2, 3] показывают, что в сингулярном
случае s=l/p оператор не будет непрерывным в Hsp(Rn).
(См. также доказательство приводимой ниже теоремы.)

В книге Лионса и Мадженеса [2 1] можно найти доказатель-
ство леммы для важного частного случая р = 2. Используя нера-
венство (3.2.6/6), можно весьма просто доказать лемму для про-
странств Wp(Rn), 1<р<оо, 0s<у, вместо Hp(Rn). Именно,
если f (х) (= С™ (Rn), то

IХ+ W f W I1 pws (R	С LfW-Wf dx dy "

Р\ п) J	а

5 \f (*)l₽^s₽ dx-
r	_u
Добавляя к правой части неравенства (3.2.2/6) член II |l£p ((о, оо))»
получим после пополнения, что (3.2.2/6) при X = s< \/р справед-
ливо также для /(%', О1- Нужная оценка устанавливается теперь
так же, как это сделано после неравенства (3.2.6/6). Используя при-
веденную выше лемму для Wp (/?„) вместо Нр (/?„), можно доказать
следующую теорему для пространств Bp,q(Rn) (но не для про-
странств Нр (Rn))-

Теорема 1. Пусть	1<р<оо, —=1 и

— у < s <. оо, причем	1, 2, .... Тогда отображение ©,

задаваемое формулой

( Пх) при x„5s0,

<едм“(о	,7„, х.<0,	(1)

является коретракцией из BPt „(/?«) в BPtq(Rn) и из Hp(Rt)
в Hp(Rn). Для — l/p'<s^0 формулу (1) следует понимать
в смысле обобщенных функций из D' (Rn) и D' (Rn\Rn)- Каково бы
ни было натуральное число N, существует соответствующая рет-
ракция из BPi q(Rn) на Вр, Д^п) и из Н^Д^на Нр (7?^), не зави-
сящая от 1^<7<оо, 1<р<оо и-----------r<Zs<zN при s—

р	р

=#0, 1, 2....

Доказательство. Шаг 1. Пусть l<Zp<Z<x>. ^^s<~7 и
7 + V = L Тог«а Для Ф <= со° (#»)

Х+ (х) <р (х) е LP’ (Rn) cltf (Rn).

Поскольку для треС“(7?я)

(Х+Ф- ^)Ч(«„) = (Ф- ХЖ2(Я„).

то из приведенной выше леммы и теоремы 2.6.1 вытекает, что/+
можно расширить до линейного непрерывного отображения про-
странства H~,s (Rn) в себя. Этот оператор описывается форму-
лой (1), если понимать (1) в смысле обобщенных функций из
D' (Rn) и D' (Rn\Rn)- С помощью интерполяции получим, что%+
является также непрерывным линейным отображением простран-
ства BsPtq(Rn) в себя при — l/p'<s< 1/р,

Шаг 2. Пусть 1 <р<оо. На шаге I мы показали, что© —не-
прерывный оператор в H°p(Rn), где — \/р <а<1/р. Пусть s =

I Ср. с шагом 4 доказательства теоремы 2.9.3.
= где m = 0, 1, 2, ... и —1/р'< о < 1/р. В силу резуль-
тата шага 1, для

JEj II (R \^с 2	ИИ^/^+у

|а|^т	Р\ п) |а|^/п	Р\ п.)	р\ п)

Из теоремы 2.3.3(a) и равенства = Da&f следует, что

В результате пополнения <@ становится непрерывным оператором
из Я’(7?+) в Я’(/?„), -l<s-l=#0, 1, 2.......

Шаг 3. Пусть т = 0, 1,2,..., —1/р' <а0, ai< 1/Р и s7 =
= m-\-Qj, где / = 0, 1. Тогда © — непрерывный оператор из
(Hsp°(r+\ #№t))e. ч в

(Я’’ (/?„), Hsp< (R„)\, g==Bsp.q (Rn), s = (1 - 6) s0 + 0S1,

1 sCt/sCOO.

rr-	Г 11- Г 1 ]-	1	«>

Так как р0 — ~| =|si — yj —tn— 1, то оператор от, определен-
ный формулой (2.9.3/9), в обоих случаях один и тот же. Обозна-
чая временно через @ соответствующую коретракцию (например,
вида (2.9.2/12)), получаем, что Р — Е — @31 является проекцией
Я^(/?^) на Hs/(Rt)- Поскольку проекция —это частный случай
ретракции, то в силу теорем 1.2.4, 2.9.3 и 2.10.1

(HSP°(R+), Hp(Rt))e, q == Bsp< „(/?+), 1<<7<оо.	(2)

Отсюда вытекает, что © является непрерывным оператором

ИЗ Вр, В Вр, q(Rn)>

—1<$—^-=/=0, 1’ 2, •••> 1^<7<оо.

Шаг 4. Для того чтобы доказать, что © есть коретракция,
положим
/	# + 1	\

(Йф) (х) = х+ (х) Ф (х) - j] а7Ф (х', - Х7хл) , ф €= С™ (Rn), (3)
\	/=1	/

где 0<Х1<...<Ху+1<оо и х' = (хх, x^-J. Выбирая коэф-
фициенты а^ так, чтобы

JV-J- 1

^|(х', Хп) = 2 a’Tk (х'> ~ЬХп)
^хп	х„ = о	дх„	, _0

”	п	/ = 1 п	хп — U

.	* = 0,
получаем, что Shp приналдежит	и BsPt где —\/рг <

<Zs<JV, 1<р<оо, 1^<7^оо. Отсюда следует, что (после
пополнения) является ретракцией, соответствующей ©.

Замечание 2. * В работе Лионса и Мадженеса [1 IV] дока-
зано, что © есть непрерывный оператор из Wsp(Rt) в Wp(Rn),
0'<s^l, s=/=l/p. В замечании 1 приведено прямое доказатель-
ство для случая OsCs<.I/p. Как уже отмечалось выше, полное
исследование важного случая р = 2 можно найти в книге Лионса
и Мадженеса [2 1]. Свойства отображения © в пространствах
Hp(Rt) рассмотрены в статье Сили [3]. На первом и втором шагах
доказательства мы по существу следовали изложению, данному
в этой статье.

Теорема 2. (а) Пусть 1<р<оо, 1^<7<оо,	=

= y + ^=l,~<s<cc'Ws- -^-=0=1, 2, .... Тогда в смысле
обобщенных функций из D' (R„)

&Р. Д/?+))' =	(4а)

и

(#№+))' = H^s(r+\	(4b)

(b) Пусть 1<р<со, lsS7<oo,	=	1 и

—~<s<~. Тогда в смысле обобщенных функций из D' (R„)
р	р

(Вр, Дт?+))' = ВГ.	(5а)

и

(Hsp(R+y)' = H^s(R+\	(5b)

Доказательство. Шаг 1. Пусть 1<р<оо, 1^^<оо и 1/р<
<s<oo. Обозначим через © коретракцию из леммы 2.9.3
(см. (2.9.3/4)). Выберем здесь N>s. Для g <= (Вр, q (7?t))' и ср <=
eS(/?„) воспользуемся формулой (2.9.3/4); при этом сходимость
g(i|y) и независимость от выбора системы {ip/}/°= i будут вытекать
из последующих рассуждений. Справедливы неравенства

I (®g) (ф) I < И s "	|| Х+ (ф - @2<P) llBs "

<c|gVu<»'l|,f4..w

Здесь <3>2 имеет тот же смысл, что в доказательстве леммы 2.9.3.
Согласно теореме 2.6.1, ©g е (^л)- Так как Sg является
продолжением g, то g е BP’°q' (7?л) и

u4",v(O^c|lgl!(&p,.«)y	(6)

Эти рассуждения без всяких изменений верны также для
^(Bsp.q(Rn))', если — 1/р' < s < 1 /р. Для пространств типа И
всё аналогично.

Шаг 2. Пусть 1 < р < оо, 1 «С q < оо, 1/р •< s < оо и s — 1/р =#
#=1, 2,.... Пусть, далее, g <= B^,sq- (Ri). Выберем элемент /е
так> чтобы g было сужением / на R„. Если© —опе-
ратор, определенный формулой (1), и среСо°(Р^), то, как сле-
дует из теорем 1 и 2.6.1,

ap',q'\"-n)	p,q\nn)

^CllHs-s /я \|l<pllss /я+у
p', q'\nn)	p,q\n)

Отсюда вытекает, что g^(Bsp,q (Rn))'. Беря нижнюю грань по f,
получим утверждение, обратное (6). Для случая —l/p'<s<l/p
и для пространств типа Н рассуждения аналогичны.

Замечание 3. * Выше уже отмечалось, что описание про-
странств Hsp(Rn) и Вр,q(Rn) с s<0 как сопряженных к простран-
ствам с положительным верхним индексом полезно в приложениях
к теории дифференциальных операторов. Аналогичные рассмотре-
ния возможны, если заменить Ri на й, где й —область в Rn-
Мы вернемся к этому вопросу в § 4.8. Пространства с отрица-
тельным верхним индексом для функций, заданных в области,
введены в гильбертовом случае в работах Лерэ [1], Л. Шварца [2]
и Лакса [1]. Дальнейшее развитие эта теория получила в работе
Березанского [1]. В связи с затронутыми вопросами упомянем
еще книги Хёрмандера [3] и Лионса и Мадженеса [2 I], а также
обзорную статью Волевича и Панеяха [1]. Распространением этих
рассмотрений на пространства 1^р(/?л), где s<0 и р^=2, зани-
мались Лионс и Мадженес [1].

2.10.3. Свойство изоморфизма

В этом пункте для пространств Вр, q (R„) и Нр (Rn) будут Дока-
заны утверждения, аналогичные теореме 2.3.4.

Определение. Пусть — oo<s<oo, 1<р<оо и 1
Положим

Bsp,q(Rn) = {f\ff=Bsp,q(Rn), supp fez Ri},	(la)

Hsp(Rn) = {f\fe=HSp(Rn), supp/ c Ri}.	(lb)
Замечание 1. Пространства Bsp,q(Rn) (соотв. Hsp(Rn)) рас-
сматриваются не только как пространства над Ri, но и как замкнутые
подпространства пространств Bp,q(Rn) (соотв. Hp(Rn)). Аналогич-
ным образом можно определить Пространства Bsp,q(R~n) и Hsp(Ri),
где Rn = Rn\Rn- Ясно, что

Вр, ,(/?:) = Bsp, q(Rn)/Bp,q(Ri),

Hsp(Rn) = Hsp(Rn)/Hsp(R-).

Покажем, что £“(/?«) плотно как в Bsp,q(Rn), так и в Hp(Rn)
при — oo<s-<oo, 1 <р<оо, 1 ^<7<сю. Для любого натураль-
ного /V мы имеем f (x-(-/i)->/(x) в Wp (Rn) при /г->0. Сдвиги
такого типа и умножение на функции из (/?„) являются непре-
рывными операторами в Wp (Rn). По теореме 2.6.1 аналогичными
свойствами (включая свойство / (х + h) / (х) при h -> 0) обладает
пространство N (R„). С помощью интерполяции можно пока-
зать, что это утверждение справедливо также для пространств
Вр,q(Rn) и Hp(Rn), — co<s<oo, 1<р<со, 1 q<оо. Сде-
ланное утверждение вытекает поэтому из теоремы 2.3.2.

Теорема, (а) Пусть —оо<ст, s<oo, 1<р<.оо и 1
^р=^оо. Тогда

Jsf = F-'(ixn + (\+\x' \^Ff,

(2)

где %' = (%!.Хп-г), является изоморфным отображением про-

странства Вр, q (R%) на Bp~qs (Rn) и пространства Нр (R„) на
H°-s(Xn).

(b)	Пусть 1<р<оо, IsggCoo, 1/р <s<oo и s~l/p=£

1, 2... Тогда

Вр. q (Rn) = Bsp, q (Rt) и Hsp (Rn) = Hsp (Rn).	(3)

(с)	Пусть 1 <zp<.&3, 1 g < oo и у — 1 < s < -i-. Тогда

BSp.q(Rn) = BSp,q(Rn) и Hp(Rn) = HSp(Rn).	(4)

Доказательство. Шаг 1. Доказательство утверждения (а) осно-
вано на одной модификации хорошо известной теоремы Пэли —
Винера. Если в (2.3.4/1) и (2.3.4/2) заменить (1 + |x|2)s/2 на
(ix„ + (l + |-v' Р)|/2Л то в теореме 2.3.4 можно заменить Is на Js.
Поэтому для того, чтобы_установить утверждение (а), достаточно
показать, что supp^/сдля любой функции f е S' (Rn), для
которой supp f с. Ri. Это эквивалентно доказательству соотношений

supp F [ixn + (1 +1 х' |2)2) f-ig) c Rn =
для <р е Со° (Rn) с supp tp с /?л = Rn\Rn- Пусть <р — функция такого
типа. Тогда при каждом фиксированном x'^Rn~i функцию

_ П —8

*„) = (2л) 2 J

(5)

можно аналитически продолжить на полуплоскость ImxsCO.
(Здесь е > 0 — столь малое положительное число, что supp ф с
с {х | хп — е}.) Обозначая эту функцию через (/7-1<р) (%', т), имеем

| (В-1ф) (х', т) | се8 Im т.

Если £„>0 и N 5г О, то по теореме Коши

[f(zx„ + (1+|х'|2)2) F-4p](£', In)

п — IN + оо

= (2л)~ J

х(й;-|-(1 +|x' |2)2) (F~^)(x', x)dx'dx. (6)

Полагая N-^-oo, получаем требуемое утверждение.

Шаг 2. Утверждения (Ь) и (с) вытекают из последней части
замечания 1 и теорем 2.10.2/1 и 1.2.4.

Замечание 2. Возникает вопрос, выполняется ли соотно-
шение (3), если s—J—натуральное число. В замечании 4.3.2/3
будет дан отрицательный ответ для пространств Bsp,q(Rn) при
1 < р, q<Z<x>. Кроме того, мы получим там явные выражения
для норм пространств Bsp,q (Rn)‘, см. также § 4.4. Далее, в заме-
чании 2.10.5/2 будет показано, что пространства Bsp, q(Rn) и Bsp, q(Rn)
(соотв. пространства Нр (Rn) и Hsp (Rn)) не совпадают между собой
при 1<р<оо, 1<р<сю и —oo<s<—14-у.

Замечание 3. Как было показано на первом шаге доказа-
тельства, оператор Js определяет изоморфное отображение Bp,q(Rn)
на Bp~q (Rn) и Hp(Rn) на Hp~s(Rn). Кроме того, аналогично
замечанию 1 имеем

В’. о (Rn) = Вр. p(Rn)/BSp, q (R*), Нр (Rn) = Hsp (Rn)/Hp (R*).

Отсюда немедленно следует, что Js является изоморфным отобра-
жением BQp,q (Rn) на Bap~q (Rn) и Нр (Rn) на Нр~" (Rn), где — оо < q,
s<oo, 1<р<оо, l^q^eo. Рассматривая

Jsf = F-' (ix„-(l + \x' F^YFf

вместо Jsf, получим такое же утверждение для пространств
Bp,q(Ri) и H°(Ri).

2.10.4.	Интерполяция пространств

tip (Ri),tip (R+n), Bsp, q (Ri) и Bsp, q (Ri)

Из теоремы 2.10.3 видно, что пространства BPt q(Ri) и BPt q(Ri)
(соотв. Hp(Ri) и Hsp(Ri)) совпадают между собой, если 1 ^</<оо
и 0 < s — у #= (целое число). Поэтому достаточно доказать одну
общую интерполяционную теорему для пространств Вр q (Ri) и
^(ОД-

Теорема 1. При соответствующих значениях параметров
формулы (2АЛ/3), (2.4.1/7), (2.4.1/8), (2.4.2/9)-(2.4.2/П) и
(2.4.2/14) остаются справедливыми после замены B\.(Rn) на B\.(Ri)
и Н’„ (Rn) на Н‘. (Ri). Далее,

(B^,qARi), Bsp\qt(Ri))e,q = Bsp,q(Ri), .	(1)

— OO<S0, 81<ОО, so=£slt О<0<1, S = (1 — 6)Sq-f-OSu l<p<oo,
1<<7о> <h,

Доказательство. Докажем формулу (1). Доказательство всех
остальных формул совершенно аналогично. Теорема 2.10.3(a)
позволяет без ограничения общности считать, что l/p<s0, Sx-Coo
и Sj — 1/р не является целым числом при / = 0, 1. Пусть, кроме
того, qa<oo и piCoo. Тогда, в силу теорем 1.17.1/1, 2.10.2/1
и 2.10.3(b), имеем

(Bsp°, qa (Ri), Bsp, qi (Ri)')e,q = Bp, q (Ri).	(2)

Из теоремы 1.2.4 видно, что отображение ©, определенное в тео-
реме 2.10.2/1, является коретракцией пространства BsPfQ(Rn)
в BsPtq(Rn) также и для q = oo. Следовательно, формулу (2) можно
распространить на случаи ^0 = оо и/или ^ = оо.

Замечание. На основе теоремы 1.2.4 и предыдущих резуль-
татов можно сразу же получить новые интерполяционные теоремы.
Пусть даны j =	1, 2,.... Для 1 <р<оо, 1 ^q^oo и $>/ + 1/р
ПОЛОЖИМ

Вр, р, V/ (^) = (f I f е Bsp, q (/?+),	(x', 0) = 0 при fc=0,...,/},

Hsp, V/ (Rh) = !f\f^Hsp (Rt),	(x', 0) = 0 при k = 0.A.

I	^xn	J

С помощью теоремы 2.9.3 и методов, развитых при ее доказатель-
стве, можно показать, что Bsp,q,yf(Rh) (соотв. Нр,y.(Rh)) является
дополняемым подпространством в Вр, q (Rh) (соотв. в Нр (Rh))-
Для заданного положительного числа N соответствующие проекции
не зависят от р, q и s</V. Так как проекции — частный случай
ретракций, то по теореме 1.2.4 (или теореме 1.17.1/1) все интер-
поляционные теоремы для пространств Bsp,q(Rn) и Hsp(Rn) могут
быть перенесены на пространства Bsp,q,yj(Rh) и Нр, ^(Rh) при
/+l/p<s<оо. Исключительных случаев здесь нет. Однако для
s</4-l/p все эти утверждения теряют силу, см. п. 4.3.3.

Для дальнейших применений полезно обобщить теорему
2.10.2/1.

Теорема 2. Пусть 1 sCt/sgJco, 1<р-<со и —oo<s<oo.
Тогда отображение ©, определяемое формулой (2.10.2/1), является
коретракцией пространства Вр, q (Rh) в Вр, q (Rn) и пространства
Hp(Rh) в Hh(Rn)- Для любого натурального числа N существует
соответствующая ретракция Bsp,q(Rn) на Bp,q(Rh) и Hp(Rn) на
Hp(Rh), не зависящая от sgoo, 1<р<оо и |s|</V.

Доказательство. Пусть Э1 — ретракция, существование которой
утверждается в последней части теоремы 2.10.2/1 (фигурирующее
там число N должно быть заменено достаточно большим нату-
ральным числом), и пусть N—заданное натуральное число. Из
теорем 2.10.2/1 и 2.10.3 вытекает, что если Js — оператор, опре-
деленный формулой (2.10.3/2), то отображение

Шдг = J

является ретракцией Нр (Rn) на Нр (Rh) и Нр (Rn) на Нр (Rh),
соответствующей коретракции <2> —	(Здесь мы воспользо-

вались тем, что Js обладает теми же свойствами, что Is из тео-
ремы 2.3.4, см. шаг 1 доказательства теоремы 2.10.3.) Утвержде-
ние теоремы вытекает теперь из теоремы 1, соответствующих
интерполяционных формул для пространств, определенных над^л,
и теоремы 1.2.4.
2.10.5.	Теория двойственности [Часть II]

Для пространств BsPtq (Rn) и Hp(Rn), введенных в определении
2.10.3, довольно просто строится теория двойственности. При этом
сопряженные пространства нужно понимать так же, как в п. 2.10.2.
Из замечания 2.10.3/1 видно, что такой подход имеет смысл (при

Теорема 1. Пусть —co<s<oo, 1 <р<оо, 1	и

р р я q	v '

Тогда

(Bsp,q(Ri))'^B^q.(Ri) и (Hp(Ri))'= H^S (Ri).	(2)

Доказательство. По определению Bsp>q(Rn) (соотв. Hp(Rn))
является замкнутым подпространством в BPt q(Rn) (соотв. в Hsp(Rn))'
Поэтому, согласно теореме 2.6.1,

(Вр. ? (ЭД)' =	(Rn)/B^q, (Rn) = B-.‘q. (Ri).

Рассуждение для np(Rn) аналогично.

Замечание 1. Можно дать другое доказательство теоремы,
использующее теорему 2.10.4/2 и методы, развитые при доказа-
тельстве теоремы 2.10.2/2.

Теорема 2. Пусть 1<р<оо, 1<^<оо и—oo<s^l/p.
Предположим, что выполнено условие (1). Тогда

(Вр, q (Ri))' = в^ (Ri) и (н5р (Ri))' = H~'s (Ri).	(3)

Доказательство. В силу теоремы 2.9.3(d), С” (Ri) плотно
в Вр, q(Ri) и в Нр (Ri). Поэтому можно построить сопряженные
пространства, как указано выше. Ввиду теоремы 2.11.3, B^q-(Ri)
и Hys (Ri) являются рефлексивными банаховыми пространствами.
Поэтому (3) следует из (2).

Замечание 2. Из теоремы 2.10.3 вытекает, что теоремы 1
и 2 представляют собой обобщения теоремы 2.10.2/2. Для s<
<—14-1/р =—1/р' пространства B^,q-(Ri) и B~^q. (Ri) отличны
друг от друга; то же можно сказать и о пространствах H^s (Ri)
и Hp-S (Ri). Это следует из теоремы 2.9.3 и замечания 2.10.3/1.
Но тогда, в силу (2) и (3),

BSp,q(Ri)^BSp,q(Ri), HSp(Ri)^HSp(Ri),	(4)

— co<zs<z — 1 + -i-, 1 < p < oo, 1 < <7 < oo. Эти результаты до-
полняют теорему 2.10.3 и замечание 2.10.3/2.
2.11. СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ

В этом параграфе изучаются структурные свойства пространств
Bsp, q(Rn), Hsp(Rn), Bsp,q(Ri), Hsp(Ri), Bsp,q(Rn) и Hsp(Rt), рассмат-
риваемых с точностью до изоморфизма. В качестве следствия мы
получим, что многие из этих пространств обладают безусловным
базисом Шаудера.

2.11.1.	Предварительные замечания

(свойства пространств Lp и 1Р)

В настоящем пункте мы напомним некоторые известные гео-
метрические свойства пространств 1Р и Lp.

Определение 1. Множество {ЬД^\ элементов комплекс-
ного сепарабельного банахова пространства В называется базисом
Шаудера, если любой элемент b В может быть единственным
образом представлен в виде сходящегося ряда

оо

2 РА. f>,— комплексные числа
/=1

(топологический базис). Базис Шаудера называется безусловным,
если система остается базисом Шаудера после любой пере-
становки элементов.

Как показали Энфло [1] и Квапень [1], существуют сепара-
бельные банаховы пространства, не обладающие базисом Шаудера.
Изложение теории базисов в банаховых пространствах можно
найти в книгах Линденштрауса и Цафрири [2] и Дэя [1].

Теорема 1. (а) Пусть l<zp<oo, и пусть Q cz Rп — неко-
торая (ограниченная или неограниченная) область. Тогда Lp(£l)
(по лебеговой мере) изоморфно Lp(($, 1)). В LP(Q) существует
безусловный базис Шаудера, не зависящий от р (например, подхо-
дящая система функций Хаара).

(Ь) Для 1	< оо и 1 р < оо в lq (1Р) существует безуслов-

ный базис Шаудера (здесь lq (1Р) следует понимать в смысле фор-
мулы (1.18.1/1а), где Aj = lp).

Замечание 1. Часть (Ь) теоремы доказывается легко. До-
казательство изоморфности пространств Lp(£l) и Lp((0, 1)) можно
найти в книге Красносельского и Рутицкого [1, § 12] (приведен-
ное там доказательство применимо также в случае неограниченных
областей). Доказательство того, что соответствующая система
функций типа Хаара является базисом Шаудера в Lp((0, 1)), дано
в книге Красносельского, Забрейко, Пустыльника и Соболевского
[1, § 1-5]. См. также замечание 4.9.4/2. Однако доказать, что
такой базис является безусловным, весьма сложно. Сошлемся на
работы Стейна [4] и Гапошкина [1]. Безусловные базисы Шаудера
в Lp((0, 1)) изучали Чантурия [1] и Бочкарёв [1]. В п. 4.9.4
будет показано, что некоторые системы функций типа Хаара
образуют базис Шаудера в пространствах BPtq(Q), 1 <р <оо,
—1 + l/p<s< 1/р. Здесь Q — куб в Rn.

Теорема 2. Пусть 1<р0<°° и 1<р!<оо.

(а)	Для того чтобы LPq(^, 1)) и LP1({Q, 1)) были изоморфны,
необходимо и достаточно, чтобы pQ = pi.

(b)	Для того чтобы 1Ро и lPl были изоморфны, необходимо и
достаточно, чтобы po = pi-

(с)	Для того чтобы ЬРД(Ъ, 1)) и lPi были изоморфны, необхо-
димо и достаточно, чтобы pQ==pl==2.

Замечание 2. Доказательство теоремы 2 дано в класси-
ческой книге Банаха [1, гл. 12].

Определение 2. Бесконечномерное банахово пространство В
называется при мирным1, если любое его бесконечномерное допол-
няемое подпространство изоморфно В.

Теорема 3. Пространства 1Р, 1^р<оо, являются при-
мирными.

Замечание 3. Эта теорема принадлежит Пелчиньскому [1].
Им же доказано, что пространство cQ тоже примарно. Линден-
штраус [1] установил примарность пространства Zoo. Пространство
Lp((0, I)) при р=#2 не является примарным, поскольку 1Р не
изоморфно Ар ((0, 1)) (теорема 2), а на шаге 4 доказательства
теоремы 2.11.2 мы построим пример дополняемого подпростран-
ства в Lp((0, 1)), изоморфного 1Р.

Замечание 4. * По поводу геометрических свойств банахо-
вых пространств, в частности классических банаховых пространств
Lp и 1Р, см. Банах [1], Дэй [1], Линденштраус [2, 3], Линден-
штраус и Цафрири [2], С. Г. Крейн [1] и Мильман [1]. Там
MClKHo найти дальнейшие ссылки на литературу.

2.11.2. Структура пространств H^Rn) и Bsp, q(R^

Начнем с предварительных рассмотрений, имеющих и само-
стоятельный интерес. Положим

qk =• {х | | Xj | 2k для / = 1, ..., п}, k = 0, 1, 2, ...
и

= Qk-ii k=\, 2, ....

1 В оригинале prime, — Прим, перев.
По лемме 2.2.4 характеристическая функция /Л(х) множества Qk
является мультипликатором в Lp(Rn), 1<р<оо. Оператор,
полученный расширением по непрерывности в Lp(Rn) оператора
F^Fy, определенного для (ре5(/?л), обозначим также через
F~\kF.

Лемма. Если 0 < s < оо, 1 < р < оо и 1 -С g-С оо, то в обо-
значениях, введенных в определения 2.3.1/1,

1/1Х» =iwil(!zt)<4 (П
р, q	q\ р)

Здесь представляет собой эквивалентную норму в прост-
вр< я

ранстве BPt q (Rn).

Доказательство. Из соображений однородности вытекает, что
существует число с, не зависящее от / = 0, 1, 2, ..., такое, что

f^Lp(Rn).	(2)

Пусть {q>7 }“= о е Ф — система функций из определения 2.3.1/2.
Тогда неравенство (2) будет также справедливо, если вместо
в него подставить Fq>j. (Предполагается, что выполнено условие
(2.3.1/13), в котором надо pk заменить на <pft.) Далее, нетрудно
видеть, что нормы ||/||*s в соотношениях (1) и (2.3.2/1) эквива-
вр. я

лентны друг другу.

Замечание!. Эквивалентные нормы типа (1) хорошо известны,
см., например, книгу С. М. Никольского [7, стр. 374].

Теорема, (а) Для 1<р<оо и — со < s < со пространство
Hsp(Rn) изоморфно LP((Q, 1)) и в нем существует безусловный базис
Шаудера.

(Ь)	Для 1<р<оо, Isgjp^oo и — со<s<оо пространство
Вр, q (Rn) изоморфно lq (lp).

(с)	Для 1</?<оо, 1^</<оо и — оо <z s <Z оо пространство
Вр, q (Rn) —сепарабельное, банахово и в нем существует безусловный
базис Шаудера.

d)	Для 1<р<оо и — oo<s<oo пространство Bp,co(Rn)
не является сепарабельным.

Доказательство. Шаг 1. Из теоремы 2.3.3 вытекает, что Hsp(Rn)
изоморфно Lp (Rn). Поэтому утверждение (а) является следствием
теоремы 2.11.1/1. Поскольку не сепарабельно, утверждения (с)
и (d) вытекают из (Ь) и теоремы 2.11.1/1. Таким образом, согласно
теореме 2.3.4, достаточно доказать утверждение (Ь) для s>0.

10 X. Трибель
Шаг 2. Пусть Pj=F~lfijF. j = 0, 1, .... Покажем, что

PjPk = 8j.kPj, 0=С/, /г<оо,	(3)

в Lp(Rn). Пусть (/?„),	и cpeSWJ. В силу

р

формулы Парсеваля и мультипликаторного свойства %;,

(Pjf) (ф) = lim (ЛЛ) (ф) = $ fF%jF~1(P dx

Rn

и

(PkPjf) (Ф) = Шп	F-^Fip)^ (Rn}

= lim 6Jk(xjFfi, F^L2(Rn) = 8jk(Pjf)(cp),
/—*00

откуда следует (3). Из формулы (3) видно, в частности, что Pj яв-
ляется проектором в Lp(Rn). Обозначим его образ в Lp(Rn) через R(Pj).
Мы хотим показать, что Д/={2^'Р;/}/^оесть изоморфное отображение

пространства Вр, q (Rn) на У ф R (Pj) с lq (Lp (Rn)), 1 < р < оо,
/ = о

1<<7=з£оо, 0<s<oo. Ввиду формулы (1) достаточно доказать

включение R(A)zd У ф7?(Ру). Пусть {/y}/Lo е У фР(Ру). Так
/=о	1=0

как

IM	II	М

£ 2-% =С|(ШЛ) 2 2-«,

/-»	\\Lp	Р ,' = N

ОО

то ряд / = 2 2”^/ сходится в Lp(Rn). Из формулы (3) и того,
1 = о

что Pjfj=fj, следует, что = Поэтому из (1) вытекает,
что f е Bsp, q (Rn) и Af = {/;}л=о- Следовательно, пространство

ОО

Bp,q(Rn) изоморфно пространству У ФР(Р/)> рассматриваемому
1 = 0

как подпространство в t?(Lp (/?„)).

ОО

Шаг 3. Для изучения У фR(Pj) построим в Lp(Rn)> 1<р«<оо,
1 = о

изометрический оператор Gt по формуле

(Gz/)(x) = 2Zn/₽/(2zx), Z = 0, ± 1, ±2.............. (4)

и покажем, что

Pi+jGi — GiPj, ]'=1, 2,	/=—/4-1, —/4-2............ (5)
Пусть / е S (/?n) и ср e S (/?„). Имеем

(Pi+jGif) (<p) = $ (W) dx

*n

^2F~2ln (F/)(2-^)Xy(2-^)[F-i<p(2-^)](2-'x)dx

= 2?“'" $ (F~W) © Ф (2-^) dt = (GZP/) (Ф),

откуда и следует (5). В силу (5), Gz есть изометрическое отобра-
жение /?(Р1) на /?(РН1), Z = l, 2, .... Поэтому для доказатель-
ства изоморфности пространств Bsp, q (Rn) и lq (1р) достаточно
установить, что /? (Ро) <= Lp (£?«) и R (Л) <= Lp (Rn) изоморфны 1Р.
То что R (Ро) изоморфно 1р, мы покажем на шаге 4. Поскольку
R (Рг) изоморфно дополняемому бесконечномерному подпростран-
ству в R(P0), то из теоремы 2.11.1/3 вытекает, что R(Pi) также
изоморфно 1Р.

Шаг 4. Чтобы завершить доказательство утверждения (Ь), нам
осталось установить, что R (Ро) изоморфно 1Р. Пусть f = (k19 ..., kn),
где kj — целые числа, и Ы = (^1л, ..., knn). Мы хотим показать,
что отображение

К/={/(Н}ь /е=Л»СР0),	(6)

является изоморфизмом R (Ро) cz Lp(Rn) на /р, 1<р<оо. Выбе-
рем функцию ср е S (/?„), такую, что (Ар) (£) = (2л)- п/2 в некото-
рой окрестности множества Qo. Очевидным образом расширяя
определение отображения К, получаем

IIк (ф*f)||Zoo<IIФ*f koo<СIIf ||ico для f^Lw(Rn)

И

1|А'(ф*/)||/, <	5 |<p(to-^)ll/Wdx^c||/||L1

f

Учитывая, что /С(ф*/) = ^ для	заключаем на основа-

нии теоремы 1.18.6/1 и формулы (1.18.3/9), что К есть непре-
рывное линейное отображение R(P0) в 1Р. Рассмотрим теперь
оператор S:

S{gf}=A	(7)

f

определенный сначала только на финитных последовательностях
п

из 1р, здесь (frc, х) = л	гДе ^ = (^1, •••> ^п) обозначает

/ =1

то же, что и выше. Из явного выражения для (см. доказа-

10*
тельство леммы 2.2.4) вытекает, что f принадлежит Lp(Rn),
1<р<оо. Параметр с выберем так, чтобы gf = /(fn). Возмож-
ность такого выбора видна из разложения в ряд Фурье в Qo:

(Ff) (х) = с' 2 \e~in <f’х-^ (Ff) (g) d$
f <2.

=	(F-'Ff) (nf)

f

=	xt=Q0.

f	(8)

Используя формулу Парсеваля, мультипликаторное свойство Хо (х)>
непрерывность К и формулу (8), получаем, что для <р е S (Rn)

5 5 {gf} (х) Ф W dx = $ Ff • FF~1 (Хо^ф) dl

< I f (Н iy (s I (^-W) (H i₽y
< | {gf} (k l ^Xotfp Iv - c" j и |k ii Ф iv,

Поскольку <p e S (Rn) — произвольная функция, то
lsl<4l<

так что S расширяется по непрерывности на всё пространство 1Р.
Из (6) —(8) следует, что SK = E и KS = E. Таким образом, опе-
ратор S^L(lp, /?(/%)) является обратным к К <= L(R(P0), 1Р).
Следовательно, пространства R(P0) и 1Р изоморфны.

Замечание 2. В этом доказательстве мы следовали работе
Трибеля [23]. Доказательство того, что R(Pq) изоморфно 1Р, по
существу принадлежит Петре [21].

Замечание 3. Отметим один интересный частный случай.
Из утверждения (Ь) теоремы сразу же следует, что BPf р (Rn)
изоморфно lp) l<.p<Z°o- В частности, пространства Слободец-
кого Wp(Rn) с нецелым $>0 изоморфны 1Р, а пространства Собо-
лева Wsp(Rn) = Hsp(Rn), s = 0, 1, 2,..., изоморфны Lp((0, 1)).
Следовательно, эти пространства принадлежат различным клас-
сам изоморфизма.
2.11.3. Структура пространств

Hp(Rn), Bsp,q(Rt) и BP,q(R„)

Из теоремы 2.10.3 видно, что если s—1/р>0 не является
целым числом и </<оо, то пространства Hp(Rn) совпадают с про-
странствами Hp(Rn), а пространства BPiq(Rh) — с пространствами
BsP.4(Rt).

Теорема, (а) При — oo<s<oo и 1<р<оо простран-
ства HSp(Rn) и Hp(Rn) сепарабельны, изоморфны Lp((0, 1)) и
обладают безусловным базисом Шаудера.

(Ь) Пусть —oo<zs<Zoo и 1<р<оо. Тогда пространства
Bp>q(Rn) при 1 ^<7<оо и пространства Bp<q(Ri) при 1 <д<;оо
изоморфны lq (lp). Пространства BPt q (Rn) при 1 q <Z oo и Вр, q (Rn)
при 1 < q <. oo сепарабельны и обладают безусловным базисом
Шаудера. При q = oo пространство Bsp,q(Rn) несепарабельно.

Доказательство. Шаг 1. Согласно теореме 2.10.3, Hp(Rn) изо-
морфно Lp(Rn) и, следовательно, по теореме 2.11.1/1 изоморфно
также Lp((0, 1)). Вместе с теоремой 2.10.5/1 это доказывает утвер-
ждение (а).

Шаг 2. Докажем утверждение (Ь) для пространств BsPtq(R„).
В силу теоремы 2.10.3 можно, не ограничивая общности, считать,
что 0<Zs<Zl/p. Тогда на основании теоремы 2.10.3 имеем
Bsp,q(Ri) = Bp,q(R'!t). Оператор

f(x) при хп^0,

f(x', — х„) при х„<0, х' = (хг, ..., Хп-д,

является оператором продолжения из Lp(Ri) BLp(Rn) и из Wp(Ri)
в Wp(Rn). Он представляет собой коретракцию, соответствующую
оператору сужения из Lp(Rn) на Lp{Rn) и из Wp(Rn) на Wp(R^)
(см. лемму 2.9.1/1). Следовательно, в силу теорем 2.10.1 и 1.2.4,
S есть изоморфизм пространства	0<s< 1, 1 <р<оо,

1==С<7<оо, на некоторое дополняемое подпространство простран-
ства BPtQ (Rn). Легко видеть, что оператор I, задаваемый фор-
мулой

(H)(x)^^(f(x) + f(x', -Хп)), f^Bsp,q(Rn),	(2)

является проектором на это подпространство, которое мы обо-
значим через IBsp<q (Rn). Пусть P/t А и Gz —операторы, введенные
на шагах 2 и 3 доказательства теоремы 2.11.2. Для f^S(Rn)
справедливо соотношение PjIf = IPjf. После расширения по непре-
рывности получим PjI = IPj. В частности, Р/I суть проекторы
Lp (Rn) на IR (Pj)=R (IP,). Далее,

oo

A (/Bsp, q (/?„)) = 2 ФЯ (lPt) c lg (Lp (Rn)).

7	= 0

Наконец, Gz осуществляет изометрическое отображение R (IP±) на
R(IPi+i). Так как R (IP0) и R (1РГ) — дополняемые подпростран-
ства в R (Po) и в R(Pi) соответственно и так как, согласно
шагам 3 и 4 доказательства теоремы 2.11.2, эти пространства
изоморфны 1Р, то требуемое утверждение для пространств Bp^Ri)
вытекает из теоремы 2.11.1/3. Вместе с теоремой 2.10.5/1 и лем-
мой 1.11.1 это доказывает утверждения (Ь).

Замечание 1. Метод, использованный на шаге 2, можно
обобщить следующим образом. Пусть

Q = {x|x = (x1, хп) е Rn\ */>0 для /=1, ...» т},
гд£ 1 ^т^п, и пусть 1 < р < оо, 1	7 оэ и 0 < s < 1. Опре-

делим Bsp,q(Q) как сужение B^q(Rn) на Q. Заменяя формулу (1)
формулой

(S/) (х)—f(|^i|> •••>	^m+l»

а формулу (2) формулой

Uf)W=-2Sr 2

>	_ %т +1» •••>

8	. = ± 1

М> .. . , т

мы можем повторить все рассуждения шага 2. Отсюда следует,
что BsPtQ (Q) изоморфно lg (lp).

Замечание 2. Теоремы 2.9.3, 2.10.3 и доказанная выше
теорема показывают, что если ограничиться значениями 1 <;^<Ссо,
то нам известна с точностью до изоморфизма структура всех про-
странств (/?£), BSp,q(R+n), Bsp>q(Rn)t Hsp(R+n), HSP(R+) и Hsp(R+n)t
за исключением пространств

о ~+т	о ~+т

Нр (Ri) и Bp,q (Ri), m=l,2, ....

(3)

Структуру этих пространств можно определить с помощью дру-
гих методов. Мы вернемся к этому вопросу в замечании 4.9.4/7.

2.12.	НЕСОВПАДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВ Bsp,q(Ra) и H‘r(Rn)

Из определения 2,3.1/! сразу же следует, что Bsiyi(Rn) —
= Hl(Rn), —oo<s<oo. Покажем, что, за исключением этого
тривиального случая, пространства В и В никогда не совпадают.
Теорема, (а) Пусть —oo<s0, sx<oo, 1 <р0, р1<.<х> и
1 Яо> Я1 Равенство BPlh q„ (/?„) = Вр1( 91 (Д„) имеет место
тогда и только тогда, когда s0 — slt p0 = Pi ы Qo — Qi-

(b)	Пусть —co<s0, «1<оо и l<Zp0, pj<oo. Равенство
HSp„ (Rn) = Hpt (Rn) имеет место тогда и только тогда, когда s0 =
= «i и p0 = pv

(с)	Пусть —<x><Zs0, Sj<oo, 1 <р0, pt<m и l=Cg0=Cco.
Равенство Вр°„, q„ (Rn) = HSp, (Rn) имеет место тогда и только тогда,
когда s0 = s1 и р0 = pY = q0=2.

Доказательство. Шаг 1. Пусть Bsp°0, q„ (Rn) — Вр\, ffl (Rn). Тогда,
по теореме 2.3.4, Bsp°0+q^ (Rn) = Bp+qet(Rn), —оо<е<оо. Из тео-
ремы 2.4.1(a) с помощью интерполяции получаем, что Вр„, Pa(Rn) =
= Вр\, рЛРп). Так как Вр", Pa(Rn) изоморфно 1Ра (см. теорему 2.11.2)
и 1Р, — дополняемое подпространство в 1Ра (1Р"), то, в силу теорем
2.11.2 и 2.11.1/3, рг = р0 = р. Пусть 80^=5г Тогда из свойств
вложения, даваемых теоремами 2.3.2 и 2.3.4, следует, что Lp(Rn) =*
— W™ (R„) для сколь угодно большого натурального т. Применяя
теоремы вложения, например теорему 2.8.1, придем к противоре-
чию. Значит, з0 = зх. Наконец, на основании определения 2.3.1/1
заключаем, что ?0 = 9i-

Шаг 2. Пусть Д’" (R„) = Hs't (Rn). Из теорем 2.11.2(a) и 2.11.1 /2(а)
вытекает, что р0 = pL. Далее точно так же, как и на первом шаге,
устанавливается, что

Шаг 3. Пусть BSpa, q„ (Rn) — Нр\ (Rn)- Аналогично шагу 1, исполь-
зуя формулу (2.4.2/14) и интерполяцию, получаем, что Вр", Ро (Rn) =
== Врь р0 (/?„)• Согласно утверждению (а), имеем s0 = s1 = s и р0 =
= Pi = p. В силу теоремы 2.3.4, можно считать, что s>l/p.
Допустим, что Bptqt(Rn) — Hp(Rn). Тогда, по теореме 2.9.3,
BSf^qap (Rn - J = Bsp~pp (Rn - г). Здесь предполагается, что n 2.
Приводимое ниже подстрочное примечание охватывает также слу-
чай п = 1. Из утверждения (а) вытекает, что q0 = р. Поскольку
Вр, р (Ra) и Hsp (Rn) для р =/= 2 не изоморфны, то утверждение (с)
является следствием теоремы 2.11.2.

Замечание.1 В доказательстве существенно использована
структура пространств Bsp,q(Rn) и Hsp(Rn)- Некоторые утвержде-

1 Эта книга была уже написана, когда проф. А. Пелчиньский в беседе
с автором (на съезде Математического общества ГДР в Галле в мае 1974 г.)
высказал ряд очень интересных соображений по поводу свойств изоморфизма
пространств lq (1р). Пелчиньский дал набросок доказательства следующей тео-
ремы. Пусть 1	q0,	и 1 < ро» Pi<oo« Тогда для того чтобы прост-
ния теоремы были доказаны раньше другими методами. Так,
Бесов [2] показал, что Bs * *Pi q (Rn) =# Hsp (Rn) при l<p<oo, q=£2.
В работе Головкина [3] приведено доказательство того, что
Вр,ч (Rn) =/= Нр (Rn) при 1 <Z р оо и 2. Кроме того, отметим
работу Тайблсона [1 I, в частности лемма 22].

2.13.	АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Для пространств BPtq(Rn) и FPiq(Rn) и их частных случаев
Hsp (Rn) и Wp (Rn) все направления в Rn равноправны. Такие прост-
ранства называются изотропными. Они оказываются весьма
полезными при изучении свойств эллиптических и гиперболиче-

d2U л	Am

ских дифференциальных операторов типа -------Ьи или Хти, где

т — натуральное число. При изучении полуэллиптических диф-

1	/	1 \ tn О U	'

ференциальных операторов типа > (—1) *—, где mk — нат*у-
*=i	dxk к

ральные числа, удобно рассматривать пространства, для которых
свойства по разным направлениям различны. Пространства такого
типа называются анизотропными. Книга С. М. Никольского [7] в
основном посвящена систематическому изложению теории анизо-
тропных пространств типа Лебега — Бесова. По-видимому, значи-
тельную часть результатов этой главы можно перенести на ани-
зотропный случай. Мы, однако, ограничимся лишь несколькими
замечаниями.

ранства lq^ (1р^ и (1р^ были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы

= и Ро — Pi-

Его доказательство основано на следующей лемме. Пусть 1 s<q<oo, 1 <
<р<оо, и пусть X —замкнутое подпространство в lq(lp). Тогда либо X изо-
морфно некоторому подпространству в 1р, либо X содержит подпространство,
изоморфное lq. Используя результаты, относящиеся к подпространствам прост-
ранства Lr ((0, 1)), 1 < г < 2, (см. Линденштраус и Цафрири [2, теорема П.3.14])
и соображения двойственности, из этой леммы можно вывести такое утвержде-
ние. Пусть 1<дсСоо и 1<р, г<оо. Тогда пространства lq(lp) и Lr ((0, 1))
изоморфны только в тривиальном случае р = р = г = 2. Используя теорему
2.11.2, получаем следующие результаты: (а) при —oo<s0, < оо и 1<р0,
Pi < оо пространства Н8^ (Рп) и Н8^ изоморфны тогда и только тогда,
когда ро = р1; (Ь) при — со < s0, < оо, 1 < р0, рх<оо и l^q0,q1^o3
пространства Bs^ qo (Rn) и Вр^	изоморфны тогда и только тогда, когда

р0 = р1 и po = ^i; (с) при — со < s0, sx < со, 1<р0, Pi<oo и l^go^oo
пространства В8^ qo (Rn) и Н8^ (Rn) изоморфны тогда и только тогда, когда
ро = (/о = Р1 = 2. Аналогичные результаты справедливы для пространств, опре-
деленных над Rn, см. теорему 2.11.3.
2.13.1.	Определения

Из теоремы 2.2.4 следует, что в определениях (2.3.1/1) —
— (2.3.1/5) число 2 можно заменить произвольным числом с>1.
Получающиеся при этом пространства совпадают с пространствами
Bp,q(Rn) и Fp,,(Rn). В частности, для s>0 можно выбрать с —
— 2^. Тогда мы придем к формулировке, которая допускает
обобщение на анизотропный случай. Пусть (s)==(s1......s„), 0<

<s*<oo при k = l, ..., п, 1<р<оо и Isg:<7=^оо. Заменим
в формуле (2.3.1/1) Mj, / = 1, 2, .... на

Mj = Ej+1 — Ej-lt

где
(	п	/

£,•= .... 2
I	fe=i

и положим Mq — Ex. Таким образом, вместо шаров мы используем
эллипсоиды, в которых величины осей определяются числами s*.
Положим

Bp\(Rn)^[f\feS'(Rn); аДх); suppFa, a Mf;
I	/==»

с обычным видоизменением для q — oo. Аналогично определим
пространства F^q(Rn). Подобным же образом можно определить
пространства Bp\(Rn) и F^q(Rn), где (s) = (s1, ..., s„), — оо<
<sz <0. Некоторые трудности возникают, однако, если какие-то
из чисел Sj в (s) = (sj... $я) отрицательны, а какие-то поло-

жительны. Так же, как это было сделано в доказательстве тео-
ремы 2.5.1, можно показать, что для (s) = (Sj, ..., sn), S/>0,

ВмШ- n Bspr:9r (Rn)>
r = l

BSpr;; (Rn) = {f\f^Lp(Rny, \\nSr,r

Q

(1)

~kr)tJr dkrf
r b~
дх/

L*((0, 6), Lp(Rn})

где	lr>sr — kr, kr и lr — целые числа, r = l, n,

Q<;6^oo. Все нормы эквивалентны друг другу. С. М. Николь-
ский в своей книге [7] доказал ряд прямых и обратных теорем
о следах, теорем вложения разных метрик и теорем об эквива-
лентных нормах. Однако пока нет работы, посвященной система-
тическому изучению интерполяционных свойств этих пространств.
В следующем пункте мы приведем один пример теоремы такого
типа. Дальнейшее обобщение этих пространств, также рассмотрен-
ное в книге С. М. Никольского [7], может быть получено заменой
Вр, q (Rn) В (1) на Bpffq(Rn)>

2.13.2.	Интерполяционная теорема

Полученные выше результаты достаточны для доказательства
следующей простой, но важной интерполяционной теоремы для
анизотропных функциональных пространств.

Теорема. Пусть (s) = (s1, ..., s„), s7>0, l^o, g=Coo,
1 < р < оо и 0 < 9 < 1. Тогда

(Lp(Rn),	где (9s) = (6s1; .... 0s„).

Доказательство. В обозначениях формулы (2.13.1/2) и п. 2.5.1
имеем

(Lp (Rn),	(Rn)\, ч (R„), sj = mfr, 0 < S/ < mf.

В силу результатов п. 2.5.1 и теорем 1.12.2 и 1.13.2 (см. также
теорему 1.14.4/2),

(Lp(Rn), Вр\ (Rn))e, о = П (Lp(Rn),W%i (7?л)к0,а = ВЙ(^).
/=1

Замечание 1. Из доказательства видно, что абстрактные
интерполяционные теоремы гл. 1 (в частности, теоремы 1.12.2
и 1.14.4/2) носят достаточно общий характер и могут послужить
основой для построения значительной части теории интерполяции
анизотропных пространств.

Замечание 2. Для частного случая	где т7 —нату-

ральные числа, 0 сX< 1, теорема была доказана в работе Гри-
вара [4]. Имеются и другие результаты в том же направлении.
В том виде, как она приведена выше, теорема была сформулиро-
вана в статье Трибеля [27]. В этой статье на ее основе иссле-
дуются свойства е-энтропии для компактных операторов вложе-
ния в анизотропных функциональных пространствах, определен-
ных над ограниченными областями. См. также замечание 4.10.3/3.
3.	Весовые пространства
Лебега—Бесова в областях

3.1.	ВВЕДЕНИЕ

Предыдущая глава была посвящена теории пространств
Лебега — Бесова (и их частного случая — пространств Соболева —
Слободецкого) в Rn и /?«. В данной и следующей главах мы будем
иметь дело с весовыми и невесовыми пространствами Лебега —
Бесова в областях. Во многих вопросах полезно рассматривать
невесовые пространства как частный случай весовых.

Систематическое изучение весовых пространств началось в конце
пятидесятых годов (см. обзорную статью Кудрявцева [1]), и к
настоящему времени их теория развилась в существенную часть
теории функциональных пространств. Главное поле их примене-
ния — вырождающиеся (эллиптические) дифференциальные опера-
торы. Это делает понятным, почему столь значительная доля
работ в этой области падает на исследование весовых пространств
Соболева с весами, являющимися степенями расстояний до мно-
гообразий (в частности до границ областей). Однако сейчас рас-
сматриваются и более общие веса. Имеются также работы по весо-
вым пространствам Слободецкого —Бесова. Главные темы такие:
Г плотность гладких функций в изучаемых пространствах, 2°
теоремы вложения разных метрик (типа теорем § 2.8), 3° прямые
и обратные теоремы о следах (типа теорем § 2.9). Лишь неболь-
шое число работ посвящено теории интерполяции для таких про-
странств: Гривар [2], Анузэ [1, 2], Эльффер [1], Гуджо [1],
Фавини [6, 7], Трибель [10, 14 II, 18, 22, 25, 28].

В настоящей главе мы рассмотрим два широких класса весо-
вых пространств Соболева — Слободецкого — Лебега — Бесова,
а также один более узкий класс (в § 3.9). Основной целью главы
является описание интерполяционных свойств этих пространств.
Кроме того, будут доказаны некоторые теоремы вложения и тео-
ремы о структурных свойствах.

Краткое изложение ряда аспектов теории весовых пространств
имеется в статье Бесова, Ильина, Кудрявцева, Лизоркина и Ни-
кольского [1]. См. также книгу Соболева [8]. Дальнейшие ссылки
на литературу, а также краткое описание некоторых дополнительных
результатов даны в § 3.10. Отметим еще недавно появившуюся
статью Авантаджатти [1], где дан исчерпывающий обзор сов-
ременного состояния теории весовых пространств и приложений к
вырождающимся эллиптическим дифференциальным уравнениям
(список литературы содержит более 150 наименований).

Изложение материала данной главы основано на статьях Три-
беля [22, 10, 14 II, 27].

3.2.	ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ

СВОЙСТВА ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

Как было упомянуто во введении, мы рассмотрим два сравни-
тельно широких класса весовых функциональных пространств.
Главная цель этой главы — изучение интерполяционных свойств
этих пространств, а также подготовка почвы для последующих
применений к (вырождающимся) эллиптическим дифференциаль-
ным уравнениям. Поскольку указанные два класса функциональ-
ных пространств не являются независимыми друг от друга, мы
излагаем их теорию параллельно.

В настоящем параграфе даются определения некоторых про-
странств и доказывается ряд их важных свойств. Дальнейшие
пространства будут определены позже, при изложении теории
интерполяции. Наконец, отметим § 3.9, в котором вводится один
новый класс функций.

3.2.1.	Пространства W™ (Q; ст)

Как и ранее, Rn обозначает n-мерное вещественное эвклидово
пространство. Всюду ниже Q — (открытая) область в Rn- Ее гра-
ницу будем обозначать через дй; <5Й = Й\Й.

Определение 1. Будем говорить, что неограниченная
область Qудовлетворяет условию конуса, если
существует такой (неусеченный) открытый конус К с вершиной
в начале координат, что для любого х е й имеет место включе-
ние х + К cz Q.

Замечание 1. Можно считать, что после подходящего пово-
рота конус К записывается в виде

{п — 1	\

XIX е Rn\ 2 < сх"> Хп >

7=1	J

где с— некоторое положительное число. Примерами областей,
удовлетворяющих условию конуса, служат все пространство Rn
и полупространство Rn = {х | х е Rnt хл>0}.

Определение 2. Ограниченная область Q с Rn называется
областью класса Ст, где т = \, 2, ... или т = со, если суще-
ствуют такой конечный набор открытых шаров Kj, j =1, ..., N,
TV

удовлетворяющих условиям [J /Q zd дй и Kj П дй Ф ф, и такие т
/=1

раз дифференцируемые вещественные вектор-функции f{1} (х) =
=^(/iz)(x), fn} (х)\ определенные в К/, что y = f{i}(x) есть вза-
имно-однозначное отображение шара К/ на некоторую ограничен-
ную область в Rn, причем образ множества дЙ Q К; является частью
гиперплоскости {y\y<=Rn-, yn = Q}, а образ множества ЙПК/ —
односвязной областью в полупространстве R^ Кроме того, пред-
полагается, что

....W) . п

d(xv...,xn)

для х е К/.

Замечание 2. В этой главе мы будем иметь дело с тремя
типами областей: Г произвольные области; 2° области, удовлет-
воряющие условию конуса; 3° области класса С°°. Как правило,
утверждения, верные для функциональных пространств, опреде-
ленных над ограниченными областями класса С00, справедливы
также и для областей с более слабыми предположениями глад-
кости, а именно для областей класса Ст, где число т опреде-
ляется в зависимости от конкретной ситуации. Однако мы не
будем в дальнейшем явно указывать возможные ослабления глад-
кости подобного типа. В следующей главе будет рассмотрен чет-
вертый класс областей — ограниченные области, удовлетворяющие
условию конуса (см. определение 4.2.3).

Замечание 3. Можно определить также неограниченные
области класса Ст. Однако здесь возникают некоторые дополни-
тельные трудности. Мы отсылаем читателя к статье Браудера [5].

Обозначим расстояние от точки хе й до границы дй через
d(x) и положим

й^ = {х|х^й; d(x)<K}	(1)

(здесь Х>0).

Определение 3. (а) Пусть й — неограниченная область,
удовлетворяющая условию конуса, и пусть К — соответствующий
конус. Положительная непрерывная функция о(х), определенная
в Й, называется весовой функцией типа 1, если существуют
положительные числа X, с и С, такие, что

v(x)^c min и (у) для х е й \ й2*	(2)

| у—

о (z + ^у) о (z + Z2z/) для г^дй,

у^К, \у\ = 1, 0<Хг=сХ2=сС, (3)
причем для всякой точки у К с | у | = 1

\х \ х = zуьу, zedQ; 0<pi<С} id Q2\

(4)

(b)	Пусть Q — неограниченная область, удовлетворяющая усло-
вию конуса, и К — соответствующий конус. Положительная непре-
рывная функция а(х), определенная в Q, называется весовой
функцией типа 2, если существуют положительные числа X, с
и С, такие, что для них выполняются условия (2), (4) и

а (z + ^у) а (zX2z/) для zedQ,

yt=K, \у\ = \, 0<Хх^Х2^С. (3')

(с)	Пусть Q — ограниченная область класса С™. Положитель-
ная непрерывная функция о(х), определенная в Q, называется
весовой функцией типа 3, если существуют такие положи-
тельные числа X, clt с2 и такая положительная монотонно возра-
стающая (^неубывающая) функция р(/), определенная на интер-
вале (0, X), что

стр (d (х)) а (х) с2р (d (х)) для х е Qx.	(5)

(d)	Пусть Q — ограниченная область класса С°°. Положитель-
ная непрерывная функция а(х), определенная в Q, называется ве-
совой функцией типа 4, если существуют такие положи-
тельные числа X, с1У с2 и такая положительная монотонно
убывающая (= невозрастающая) функция р (t), определенная на
интервале (0, X), что выполняется неравенство (5).

Замечание 4. Условие (2) представляет собой слабое пред-
положение о гладкости и одновременно условие роста. Рост функ-
ции о (%) порядка |x|z или ех|х| согласуется с условием (2). Если
же функция сг(х) растет быстрее экспоненты, например, каке *1*,
1, то условие (2), вообще говоря, не выполняется. Условия (3),
(3') и (5) описывают характер монотонности весовой функции о (%)
вблизи границы. Важным примером весовой функции типа 3
(а также типа 1 для широкого класса неограниченных областей,
удовлетворяющих условию конуса) служит функция a(x) = dx(x),
0^х<оо. Аналогично функция а (х) =dH (х), где —оо<х=с0,
доставляет пример весовой функции типа 4 (а также типа 2 для
широкого класса неограниченных областей, удовлетворяющих
условию конуса).

Как обычно, множество всех комплекснозначных обобщенных
функций, определенных на Q, будет обозначаться через Z)'(Q),
а через С* (Q), как и выше, будет обозначаться множество всех
определенных в Q комплекснозначных бесконечно дифференциру-
емых функций с компактным носителем.
Определение 4. Пусть Q — неограниченная область, удо-
влетворяющая условию конуса (соотв. ограниченная область класса
С00). Пусть, далее, а (х) — весовая функция типа 1 или 2 (соотв.
типа 3 или 4). Для m=Q, 1, 2 ... и 1<р<оо положим

=	eD'(Q),

IH^(Q 0) = S J о (х) | D°f (х) |р dxV < ool (6)
P '	|а|	\Q	/ J

(весовыe пространства Соболева). Замыкание множества
СТ (Q) в W™ (Q, а) обозначим через Wp (Q; а); Wp (Q; а) = LP (Q; а).
Для а(х)= 1 будем писать просто Wp (Q), соответственно W™ (Q).

Замечание 5. При а(х) = 1 получаются обычные невесовые
пространства Соболева. Весовые пространства Соболева изучались
многими авторами. Ссылки на литературу будут даны ниже
в § 3.10. Пока что мы ограничимся упоминанием тех статей,
с которых началось развитие теории весовых функциональных
пространств. Случай Q = и а(х) = Хп был рассмотрен Кудряв-
цевым [1], Успенским [2] и Гриваром [2] (см. также п. 2.9.2).
Весовые пространства Соболева в ограниченных областях с о(х) =
= dx(x) изучал Нечас [1]. Пространства W™ (Rt, (1 + |х|2)3)
введены Кудрявцевым [2]. В дальнейшем эти пространства обоб-
щались различными авторами (см. п. 3.10.3). Приведенное выше
определение дано в работе Трибеля [22 I].

3.2.2.	Свойства пространств W™(Q; а)

Если Q — ограниченная область, то через C°°(Q) обозначим
множество всех комплекснозначных бесконечно дифференцируемых
функций, определенных в Q, все производные которых (включая
саму функцию) непрерывно продолжаются на Q. Если Q —неогра-
ниченная область, то С°°(£2) определяется аналогично, но допол-
нительно предполагается, что функции обращаются в нуль при
больших_ значениях |х|, хей. Аналогично определяются мно-
жества CW(Q), где m = 0, 1, 2, ... .

Теорема, (а) Все пространства, введенные в определении
3.2.1/4, являются банаховыми пространствами.

(Ь)	Если Q — неограниченная область, удовлетворяющая усло-
вию конуса, и а (х) — весовая функция типа 1, то множество
C°°(Q) плотно в W™ (Q; а).

(с)	Если Q — ограниченная область класса С°° и а (х) — весовая
функция типа 3? то множество C°°(Q) плотно в W? (Q; о).
Доказательство. Шаг 1. То что Wp (Q; о) —банахово прост-
ранство, доказывается стандартными рассуждениями. При этом,
как обычно, функции, различающиеся на множестве меры нуль,
отождествляются между собой. Ясно, что W™ (Q; о) также является
банаховым пространством.

Шаг 2. Для доказательства утверждения (Ь) зафиксируем у е К
с | у | = 1 и положим

со/ = {х|х(= Rn\ x = z — ty; zgQ}, 0</<оэ.

(Здесь /С —конус, отвечающий Q.) Это множество (получаемое из
Q путем сдвига на вектор — ty) также представляет собой неогра-
ниченную область, удовлетворяющую условию конуса.

Достаточно приблизить функциями из C°°(Q) функции г(х)е
е W™ (Q; о), обращающиеся в нуль при достаточно больших
значениях |х|, хей. Если /(%) — такая функция, то, как
нетрудно видеть, f(x-\-2ty) принадлежит Wp (o)z). Пусть задано
8 > 0. Если выбрать подходящее г), 0 < т) == г] (8), и затем доста-
точно малое /, 0<2/<г], то, в силу свойств функции а(х),

H(*W(* + 2/y)||

W™ (й; а)

II/W II wm (й’>; а) +11/ +	|| wm (ai); а)

р	р

+ И/ (х) — f (х +	|| wm (a_ аП; а) 2 II f (х) || wm (а2Г). а)

р	р

+ cif(x)-f(x + 2ty)l

wm (q—q11)	8

p

(относительно обозначения й11 см. формулу (3.2.1/1)). Используя
метод усреднения Соболева, описанный на первом шаге доказа-
тельства леммы 2.5.1, получим, что функция f(x-\-2ty) е (со,)
может быть приближена в Wp (й) функциями, принадлежащими
0х (Й). Те же функции осуществляют желаемое приближение
в Гр(Й; а).

Шаг 3. Для доказательства утверждения (с) мы воспользуемся
шарами К/, / = 1, ..., N, из определения 3.2.1/2 и рассмотрим
/ х \

область со, такую, что Gicfi и ( |J Л}) U со о Й. Если шары
\/=1 /

выбраны достаточно малыми, то корректны следующие построения.
Пусть ф0 (х) <= (со) и i|y (х) е Cj° (Kj) образуют разбиение еди-
ницы на й, т. е.

N

0^фу(х)^1 для / = 0, 1, N, и 2 Ф/(х) — 1 ПРИ

/=0

X е й

(1)
(вне со или соответственно вне Kj функции фу (х) доопределены
нулем). Существование такой системы функций нетрудно дока-
зать, используя конструкцию, аналогичную (2.3.1/12); см. также
Трибель [17, стр. 47]. Если f(x)^W%(£2; а), то фу(х)/(х) тоже
принадлежит W™ (Q; о).Приблизим теперь функцию ф0(*)/(х)
так же, как на шаге 2, с помощью метода усреднения Соболева.
Далее, при приближении функций фу(х)/(х), /=1, ..., можно
предположить без ограничения общности, что (в обозначениях
формулы (3.2.1/5)) a(x) = p(d(x)). При подходящем выборе конуса
KJ множество (Q f] Лу) 4-Л7 будет неограниченной областью,
удовлетворяющей условию конуса. Функцию а(х) можно продол-
жить за пределы множества supp фу QQ так, что получится весо-
вая функция типа 1. Продолжим теперь функции фу/ за пределы
множества Q Q /</ так, чтобы вне (£}Г|/<у) + Л7 они были равны
нулю, и, применяя метод, использованный при доказательстве
утверждения (Ь), приблизим полученные функции функциями,
принадлежащими С00 ((Q й Kj) + Kf)> Умножая эти функции на
функции фу (х) еСГ(К/), ф/И = 1 при хе suppфу, и складывая
(используем указанное выше разбиение единицы), получим иско-
мое приближение.

Замечание 1. Метод, описанный на последнем шаге дока-
зательства, имеет фундаментальное значение. Он называется мето-
дом локальных координат (или локальных карт), поскольку с его
помощью и с учетом определения 3.2.1/2 рассмотрения во всей
области Q сводятся к локальным рассмотрениям. Это проясняет
также смысл определения 3.2.1/2. В дальнейшем мы будем неод-
нократно применять этот метод.

Замечание2. В доказательстве теоремы существенно исполь-
зуется тот факт, что весовая функция ог(х) монотонно убывает,
когда х приближается к границе. Возникает вопрос, справедливы
ли аналогичные результаты для весовых функций типа 2 или 4.
Приведем интересный результат, полученный Бесовым и Куфне-
ром [1] (см. также Бесов, Кадлец и Куфнер [1]). Пусть Q —огра-
ниченная область класса С“ и а (х) — весовая функция типа 4.
Если р (/) принадлежит Lx ((0, %)), то множество С00 (Q) плотно
в Wp (й; о). Если же р (/) не принадлежит Lx ((0, X)) и если
существуют такие числа а > 1 и b > 0, что

р(/)г^йр(а/) при	(2)

то в W™ (Q; о) плотно множество (й). Условие (2) есть усло-
вие роста около границы, аналогичное условию (3.2.1/2).
См. также замечание 3.2.1/4. Особый интерес представляет случай
р (/) = /*. Теорема и приведенные выше замечания показывают,
что С°°(Й) плотно в Wp(Q; dx(x)) для х>>—1, в то время как
C^(Q) плотно в Wp (Q; d* (х)) для 1; см. также 2.9.2.
Далее, используя теорему 2.9.2/2 и метод локальных координат,
можно доказать, что множество Cf (Q) плотно в Wzp(Q; d*(x))
для к^тр — 1. В этой связи укажем также статью Яковлева [1].

3.2.3.	Пространства Bp,q(Si; рц; pv) и Hsp(Si; рц; pv)

Для произвольной области Q cz Rn обозначим через (Q)
множество всех комплекснозначных функций f(x) на Q, таких,
что функция \f(x)\p локально суммируема; 1=Ср<оо. Функции
из Lp0C(Q) будем доопределять нулем вне Q. Далее, обозначим
через C°°(Q) множество всех комплекснозначных бесконечно диф-
ференцируемых функций на Q.

Определение 1. Пусть Q — произвольная область в Rn и
р (%) е С°° (Q) — положительная функция, удовлетворяющая следую-
щим двум условиям:

| Vp (%) | ср2 (х)	(1)

при подходящей постоянной с\ для любого положительного числа
К существуют числа 8/<>0 и	такие, что

р(х)>7<, если d(x)^zK или | х | rK .(х е Q)	(2)

(d (х) — расстояние до границы). Положим

QW = {x|xgeQ, р(х)<2/}, / = Д/, W+1, ...,

где N настолько велико, что Q(;v) =/=0, и

Q; = Q(/+2)\Q(/-i), /==Jv-|-1, 2V + 2,

йЛ,= й(Л,+2).	(3)

Через	р)) обозначим множество систем функций

{гр; (х)}7=лп удовлетворяющих условиям

0^гр;(х)^1, гр;(х)еС^(Й;), У гр; (х)= 1 при хе Q (4)
7=лг

(предполагается, что функции гр; (х) доопределены нулем вне Q;),
а также следующему условию: для любого мультииндекса у суще-
ствует положительное число с (у), такое, что

|Z?Ytp; (x)|^c(y)2/lYl, j = N, 2V-}-1, ..., 0<	|<оо.	(5)

Замечание 1. Здесь Q — произвольная область, ограничен-
ная или неограниченная, без каких бы то ни было предположу-
ний относительно гладкости границы. Покажем, что функция р(х)
с требуемыми свойствами существует для любой области. Начнем
с того, что представим Q в виде объединения непустых ограни-
ченных областей со(Л j = N, Af-j-l, таких, что

ю<7> cz	J co('> = Q, d(dco^, <5co<>kl>)	(6)

z = w

для j = N, Af-j-l, .... Здесь с —подходящее положительное число,
a d(d(o(y), дсо(у+1)) — расстояние между границами множеств со<7) и

Как нетрудно видеть, такое представление всегда суще-
ствует. Положим

( 2у' для х <= со1уЧ1) \ со(у), / = М, W+1, ...,
9Л/-1	__ vc=r.(W)

[ 2 ДЛЯ X Е й

Применяя метод усреднения Соболева (см. первый шаг доказа-
тельства леммы 2.5.1) в окрестности границы дсо(у) с радиусом
усреднения hj=c'2~i, получим функцию р (%) с требуемыми свой-
ствами. Здесь с’ — достаточно малое положительное число.
(См. также Трибель [10, стр. 117].) Условие (2) означает, что
функция р(х) стремится к бесконечности, когда х приближается
к границе или уходит в бесконечность. Условие (1) является
существенным. Для ограниченной области Q представление ука-
занного выше вида можно получить, взяв

(о^ = {х|хей, d(x)>2-/}, / = #, W + l, ....

При этом

d(d(oO), dcoU+1)) = 2-^.

Из описанного построения функции р (х) следует, что существуют
два положительных числа и с2, таких, что

c±d (х)	р'1 (х) c2d (х).

Таким образом, р-1(х) есть не что иное, как усреднение рас-
стояния d(x). Для ограниченной области класса С°° вблизи гра-
ницы можно положить р-1 (х) = d (х). Нетрудно привести и другие
примеры. Если Q = то можно взять

р(х) = (1+|xj2)n или р (x) = 6(1 + |A:2l)Tl, Т]> 0.

Замечание 2. Чтобы убедиться, что приведенное определе-
ние не бессодержательно, нужно показать, что множество Т не
пусто. С этой целью докажем, что области Q(7) имеют те же
свойства (6), что и области со(Л Действительно, для любого дан-
ного / найдутся такие две точки хг и х2, для которых р(х1) = 2/‘,
р(х2) = 2'41, и такая точка г = бх1 + (1 — 0)xae Q(y’+1)	0<_
< 0 < 1, ЧТО

d(dQW, dQ</+1)) = |x1-x2|^

р(х2) —р(х,)
I Vp (z) |

Р2(г)

(7)

(здесь сг и с2 ~ подходящие положительные числа). Теперь уже
легко удостовериться, что системы функций {фу (%)}/°=д/ с требуе-
мыми свойствами существуют. Например, отправляясь от харак-
теристических функций множеств Q(/+D \ j = N, Af + 1, •••>
и множества и применяя к ним метод, описанный в замеча-
нии 1, мы получим систему функций {фу (x)}Y=n е Чг. Если обо-
значить расстояние от множества supply до границы множества
Qy через dj, то с помощью приведенной конструкции можно
дополнительно обеспечить, чтобы

j = N, N + 1, ...,	(8)

где с' — подходящее положительное число (см. также Трибель
[10, стр. 117]).

Определение 2. Пусть Q — произвольная область, р(х)—
функция из определения 1 и {фу}у^=д/ е Т.

(а) Пусть 1<р<оо, s^O и р,, v — два вещественных числа,
таких, что v^[i-\-sp. Положим

НР(&', р**; р") = {Ш^ос(О),

IIH//S (а. рИ. р
р

2	(V|

lf = N	Р' п/	/.

(9)

{При s = 0 предполагается, что p = v и HP(Q; ри; pv) = Lp(Q; р^).)
(Ь) Пусть 1<р<оо, 1=сдгСсо, s^sO и р, v — два вещест-
венных числа, таких, что v^p-^sp. Положим

р**; pv) = {/|feL'0C(Q),

(10)

HllfiS (Q;pHip'’) =
Р> Q



(с) Положим

ГЦй; р“; pv)=P^; рЦ; р\дЛЯ S = 0, b 2’	(11)

I ВР, q (й; р11; pv) для нецелых s>0.

Замечание 3. Пространства Hp(Rn) и Вр, q(Rn) имеют тот
же смысл, что и во второй главе, (11) соответствует фор-
муле (2.3.1/7). Для того чтобы убедиться в корректности приве-
денного определения, нужно доказать, что пространства
//р(й; рц; pv) и Вр, ^(й; рц; pv) не зависят (с точностью до экви-
валентности норм) от выбора	е Т. Здесь используется

предположение + Система функций V играет для прост-
ранств #р(й; р^; pv) и Вр, Дй; рц; pv) роль, аналогичную той,
которую играет система Ф из определения 2.3.1/2 для пространств
Лебега — Бесова в Rn без веса. На основе данного в пп. 2.3.1 и
2.3.2 (сравнительно сложного) описания пространств Hsp (Rn)
и Вр, q (Rn) мы смогли свести теорию этих пространств к теории
пространств Lp, пространств 1Р и теоремам о мультипликаторах.
Затем мы получили обычные эквивалентные нормы для этих про-
странств. В случае пространств //р(й; рц; pv) и Вр, Дй; рц; pv)
мы будем рассуждать аналогичным образом. Принятое нами опре-
деление позволяет свести эти пространства к более простым про-
странствам Hp(Rn) и Вр, ^ (/?«). Далее, в теоремах 3.2.4/2 и
3.2.4/3 мы получим простые эквивалентные нормы для прост-
ранств 1^р(й; рц; pv).

3.2.4.	Свойства пространств

BsP,q(Q; Рц; pv) и HP(Q; р“; pv)

Лемма 1. Пусть s>0, 1<р<оо, Ic^Coowjli, v — два
вещественных числа, таких, что	Если {г|)7 (x)}/La/е Y

(см. определение 3.2.3/1), то существует такое положительное
число с, что

(A)+2/viiWh*h)
р, q '

«с(2да||/|',^(Ч+2'ЧЛ|£„(«,))	(1а)

для всех f^Bp,Q(Rn) и всех j — N, W + 1, ... и

IIV|£s (Rn) + 2>v J	(2^ И Ид* {Rn) + 2/txII f fW)

(lb)

для всех f(=Hp(Rn) и всех j = N, N + 1, ... .

Доказательство. Шаг 1. Производя замену х — 2~1у и полагая

f (х) = / (2 >у) =*f (у), % (х) = i|y (2~'у) = {у),
получим согласно (2.5.1/12) (в использованных там обозначениях)

Pt Ч п

<	|| фЯ ||£р(Лд) + с2^о~^ 11 h \-sblhy Lp(Rn)y (2)

Далее, существует такое положительное число с, не зависящее
от /, что

|Т|^[8]+1.	(3)

Отсюда следует, что найдется такое не зависящее от / число с, что

Il IlyvOO-H (/^)	|| f l!w[s]+1	(4)

Интерполируя, получим, что (4) остается верным при замене
№р]+1(/?л) на BsPtq(Rn) (соотв. на Hsp(Rn)). Используя теперь
неравенство v^p + sp, находим, что (2) выполняется также и при
замене в правой части на f. Возвращаясь к исходным коор-
динатам х и снова применяя неравенство v ^p-f-sp, получим (1а).

Шаг 2. Для того чтобы доказать (1b), заметим, что функции

й® = Л£±Е и й-1©
w d+l£l2)s/2 v

являются мультипликаторами (см. замечание 2.2.4/4). Отсюда вы-
текает, что пространство Hsp(Rn) может быть нормировано (экви-
валентным образом) с помощью нормы

Аналогичная (2) оценка имеет вид

2^<Х> +

||||£ («я> + c2^s'-'“||F~* 11 \SF^ fL (R}.

Используя (4) с Hp(Rn) вместо W7^14-1 (7?л) и следуя рассуждениям
первого шага доказательства, получим (1b).

Теорема 1. Пространства HP(Q; р^; pv) и В*р,д(О>-, р*\ pv)
из определения 3.2.3/2 суть банаховы пространства. Они не зави-
сят (с точностью до эквивалентности норм) от выбора разбиения
единицы {1|у (x)}/L ;v gT. Множество Со° (Q) плотно в BsPt q (Q; р^; pv),
s > 0, 1 <Z p < oo, 1 q <Z оо, и в Hp (Q; ри; pv), s 0, 1 < p < co.

Доказательство. Шаг 1. Пусть {фу- (х)}^ n и {<pz- (x)}/L к eY.

Полагая фдг	i получаем, в силу леммы 1, что для
pg; pv)

Z (2'WJbs 4 2'ЧФ/ДП
j=N	p>q	v

X (2;ЧфЖЛ£з + 2'’|q>MJ
/=?//< = /—2	p*q	p

^c' jp (2^||Wn;s + 2‘v|<J.

k = N	₽•<?	P

откуда и следует независимость BsPt 7(й; p^; pv) от выбора
{ф, (x)}/°=jv e Ч*1. Рассуждения для пространств Яр(й; pM; pv)
аналогичны.

Шаг 2. Если {/*}“= i — последовательность Коши в Bsp, Дй; ри;
pv) (соотв. в Яр(Й; ри; pv)) и ш — ограниченная область, для
КОТОРОЙ 6)СЙ, то

fk------>f и tyjfk--------tyf при k-+oo.

Lp(a)	ВР.Я^

(Нр(«„))

(5)

Отсюда обычным образом вытекает полнота пространств Вр,9(й;
р'1; Pv) (соотв. HP(Q; р'1; pv)).

Шаг 3. Покажем, что Cq° (й) плотно в Вр,ч(&; ри; pv) при
<7<оо. Пусть f^Bp, 7(й; р|1; pv). Из леммы 1 следует, что при
М>К

М+2

Ilf-/ Z М-
k — K Р'Ч

/== М L

/	М +2 \

(1— 2 ш

\	k^= К /

р

+2/v
вР.я^

оо

^с' Z^^IWIIbS 9(Лп) + 2/v||ф/Л+pCRj° при Л4->оо.

р

LPWJ-

М +2	\

i— S фй m
k = K /

М+2

Но, согласно теореме 2.3.2, функцию f У] ф; можно сколь угодно
i==K

точно приблизить в Вр.ДЙ; ри; pv) функциями из (Q). Рас-
суждения для пространств HSP(Q; ри; pv) аналогичны.

Лемма 2. Пусть Q — произвольная область, р(х) — функция
цз определения 3.2.3/1 и (ф; (x)}JL/v . Пусть далее р, р и
вещественные числа, причем 1<р<оо, 0<Д<1. Тогда для
любого мультииндекса а существует положительное число с = с(а),
такое, что для всех j = N, N+1, ... и всех y^Qj

§ '	(#) lp ^2/р (^+1а I) +Л\	(g)

йу

При а = (0, ..., 0) можно заменить ify (х) в (6) на 1.

Доказательство. Выберем такое число cq>Q, что

{х 11 X - у I < Со2-у} CZ й;-! и й; U й/+1

для у ей; и j = N, /V+1.........Тогда левую часть неравенства (6)

можно оценить величиной

С	(	O/u+/|«|P dx _

с	j	z	|х—у|л+ьр

\х — у\^с£~}

+ J | V (рц/р (г) £>“ (i|?; (г)) |р | х — у |р-«-Хр dx.

\x—y\^.coi'}

Здесь г = х(х)+(1 — к(х))у, где 0=^х(х)=С1. Желаемая оценка
следует из неравенства

| V (р^р (г) Da^i (г)) |р < с2^+/р+/р I«I.

Теорема 2. Пусть й — произвольная область, р(х) — функция
из определения 3.2.3/1, 1<р<оо, s^aO и v^p-j-sp. Тогда
формулы

1Ли0;рн!Ръ=Г$( 5 p^(x)|DTOIp+p4OWIp>1₽
р ’ ’	L& \|аI = s	/ J

(7а)
для s = 0, 1, 2, ... и

(О|рР) pV)

С VI | рц/р (x) Р«/ (х) - р'ЧР (у) Daf (у) |Р

J Z | х-у |л+ <”р

_Q X Q | а | = s

1

+ Jpv(x)|/(x)|pdx
й

(7Ь)

для 0 < з = [s]+{s}, [s] — целое, 0 <; {s} < 1, задают эквцваленгц-
Hbie нормы в пространству Fp (й; р^; pv).
Доказательство. Шаг 1. Пусть /е=117р(£2; ри; pv). Для s = 0,
1, 2, ... сразу же получаем

II f V* (Q; Рц; pv) СII ll|Vp (Qi Рц; pv)'

(8)

Чтобы доказать (8) для нецелых s, воспользуемся системой функ-
ций {ф/ (x)}/°=w е Т, обладающей свойством (3.2.3/8). Согласно
лемме 2 и формуле (2.5.1/15),

^V*(Q;pM';pV)

_ V ( V f I рц/р wpq Ш (*)—рц/р (У) Ра (Ф/) (У) 1р

<С12 2 J	ix-.r+MP ахйу

/ = N \| а | = [s] Й X Йу

+ 5 Pv(x)IW(x)lp<M
йу	у

f — N \|а| = [s] ЙуХйу

+ V у

|а | =[s] ЙуХ йу

+ 2 J 2/“IO’(WPpT7 + 2'W£,)

|а|==Г8](й\йу)ХЙу	у

<Сз (2'WCs<« ) +2АВФ/Ер(Яп>)

/=Д/	Р п’

+ С9 5 i; 2^<ЧР|В«(фу/)£ (Лп).

|a|-[s]/=W

Но в силу замечания 2.4.2/6, при [a| = [s]

(О „	{Дв

2^+/<ПРвра(^)||£р<С12^||фу/||^₽(2/^ф/||£р) s

+ с^р/Ш Кр. (9)

С учетом того, что v^p,4-sp, из последних двух оценок следует
оценка (8).

Шаг 2. Докажем противоположную оценку. Пусть f^Wsp{Q\
р^; pv). Предположим, что s нецелое. Используя лемму 2 и фор-
мулу (2.5.1/15) (при этом можно считать, что в (2.5.1/12) сумми-
рование распространено только на j а| = [$]), получаем

И С» (С; pH; pv)

V	V	С O/U P₽%(x)£>W)-D^y(y)DY/(y)|P

2	2	J 2Л-----------^z;7+-ts)-p---------d^y

i~N I0l + lvl = s RnxQj	1

+ cx j pv (x) I f (x) |P dx

Q

«^2 j [ j

f-N 13 l + lvl=[s] ОуХйу	1 У'

f 	I O₽ib,- (x) — D₽ib i (y) IP

+ J	dxdy

QjXQj	1 y'

+	(	2*\D^j(y)\P\D4f(y)\P------

^\Q4XQ.	\x-y\n+{S)p

\Кп\^ l)XUJ	J

+ c2 J p7 (x) I f (x) |P dx

Q

* L. b J

/ = ^ । a | = [s] LQyX Яу

Й yX Я

| pH/Р (x) Daf (x) — pH/Р (y) paf (y) |P

dxdy

|рИ/Р(х)_рЦ/Р(г/)|Р

|X-y|«+{S>₽ У

2/п + p <[s] -1V I)/1|D^ff I'P
wp ' (««)

+ c3 5	5 2/h + p(s-IvI)/||Dy^||p

/ = w IV I <C S	p' n)

+ c3 Jpv(x)|/(x)|₽dx.

Q

(10)

По аналогии с (9) имеем при 0 < t < s

2/-и+Р (^-/) /1|	с ( 2/н J s у ( 2/Н+/Р» ||	\\pl^

s2/h || V11^ s + c (8) 2>h+Ap ||	||₽ .	(11)

p	p

Здесь в > 0 — произвольное заданное число. Применяя лемму 2
ко второму слагаемому правой части (10) (где можно заменить f
i + 2

на / 2 ip*), выбирая в в (11) достаточно малым, перенося
Л = /-2
соответствующие члены в левую часть (10) и учитывая, что
^p4-sp, приходим к оценке, противоположной (8).

Для s = 0, 1, 2, ... рассуждения аналогичны.

Теорема 3. Пусть выполнены предположения теоремы 2 и,
кроме того,	и

= = (12)

(а)	Если t — целое, то существует такое положительное число с,
что для всех функций f, принадлежащих ¥sp(fi; PUJ pv)>

$ Р*'« | Daf(x)\pdx^c\\flpws (a;pW	(13a)

|a | = t й	P

Если t — нецелое, mo

*^Clf II (q. pH; pV)' (13b)

P

(b)	Имеет место равенство

рц; pv) = {/|feD'(Q),

II/ pl*; pv) =1|/ l'*^(Q; p^; pv)

+ S $p*l“4x)|D7WN*<ool,	(14)

I a К [s] Q	)

причем ||/||^s (Q. pg. pV) является эквивалентной нормой в простран-
стве 1Гр(й; рц; pv).

Доказательство. Шаг 1. Пусть / — нецелое, и пусть /е
е 1Гр(й; рц; pv). Аналогично первому шагу доказательства тео-
ремы 2 находим, что

AJ J	\x-y\n + Wp

|a| = /QxQ	1	'

«р 2 2'-,
j = N	wPKKn)

+C s 2	+	^f)fL (Rny (15)

/=2V|a| = [/]	p

Из того, что v^p + sp, следует, что

+	+ Ph Для	(16)
В частности, xz +Х[/]. Если заменить в (11) /ц + р (s —/)/
на xj, то получим (13b). Для целых t рассуждения аналогичны.

Шаг 2. В силу шага 1, для того чтобы доказать утвержде-
ние (Ь), достаточно доказать, что всякая функция f е Лр0С (Q),
для которой (q. рн. pv)< оо, является элементом простран-
ства	рц; pv). Для О< s 1 это следует из второго шага

доказательства теоремы 2, поскольку в этом случае нет необхо-
димости в заключительных рассуждениях этого второго шага
(где только и используется по существу предположение о том, что
||/ | wS (Q. р|Х. pv) < оо). Применяя (16), легко убеждаемся в спра-
ведливости доказываемого утверждения для s= 1, 2,.... Наконец,
если l<s^ (целое число), то нужно использовать (11) с ц 4"
+ {s} р (^X[S]) вместо ц, [s] вместо s и с / = |у| + $, а также
оценку (10).

Замечание 1. Теоремы этого пункта показывают коррект-
ность определения 3.2.3/2 (см. замечание 3.2.3/3). Ниже мы будем
существенно опираться на формулы из этого определения. Далее,
мы хотели бы подчеркнуть различие в формулировках теорем 2
и 3(b). На втором шаге доказательства теоремы 2 неясно, будет
ли (в обозначениях теоремы 3(b)) любая функция / ^ Лр0С (Q),
для которой ||/ ll^s (Q; pH. pv) < оо, принадлежать пространству
р

ри; pv). Если бы это было установлено, то в (14) можно
было бы заменить (й;рц. pV) на ||/(а.рц. pV). Хотя для
дальнейшего это и не важно, выяснить этот вопрос представля-
ется небезынтересным.

Замечание 2. Кроме норм [/|*г, (а. ц.. vj из (7Ь), при неце-
р

лых s можно рассмотреть еще нормы вида

И I W’plQ; р^; pv)

J 2 (рИ (%) + (у)) [Dt\x-u r+W}pP dx dy
_QXQ|a| = [s]	1 У'

+ Jpv WlfWI’dtp

+ $PV(*) l/(x)|pdx|'.

Q	J
Ниже при изложении интерполяционной теории для пространств
Wp (Й; о), определенных в и. 3.2.1, нам понадобятся подобные
нормы (см. теорему 3.3.1). Из второго шага доказательства тео-
ремы 2 вытекает, что для v^p-|-sp и /еИ7р(й; р11; pv)

И II Wsp(Q; рц; pv) С if II (й; р»\ pv) ’

Возникает вопрос, является ли норма 1/ll^s (Q. рн. pv) эквивалент-
ной нормой в пространстве Wsp (й; рц; pv). Ответ отрицателен.
Приведем контрпример. Пусть Й (О, 1), 1<р<оо, р = р, 0<
<Х<1/р, p + Xp^v<p+l, и пусть р-1 (х) = d (х) для
е (0, е) U (1 —	1), 0 < 8 < х/2. По теореме 3 имеем f (х) = р-1 (х) е

еГр((°> О; Ри; Pv)- С другой стороны, норма |/ф%(в.pu. pv}
бесконечна.

Замечание 3. Исключая теорему 3, всюду в этом пункте
мы следовали изложению, данному в работе Трибеля [22 II].

3.2.5.	Эквивалентные нормы и компактные
вложения в Wp (Й) [Часть I]

Согласно определению 3.2.1/4, пространства W™ (й) представ-
ляют собой частный случай пространств W™ (Й; о), отвечающий
а(х) = 1. Подробным изучением эквивалентных норм, компактных
вложений и интерполяционных свойств пространств (й) мы
займемся позднее. Но для изложения материала последующих
пунктов удобно уже сейчас установить некоторые простые резуль-
таты такого типа.

Теорема. Пусть Й — ограниченная область класса С00.

(а)	При 1<р<оои/п = 0, 1,2, ... множество С°°(Й) плотно
в (Й). Формула

1Л> =( 2 llD“/L w+IIHtwF	(1)

Р	\|a| = m	/

задает эквивалентную норму в пространстве W™ (й).

(Ь)	При 1 < р < оо, т1 — 0, 1, 2, ..., тг = 0, 1, 2, ... и т2 >
> Wj вложение W™1 (Й) в W™1 (й) компактно.

(с)	При 1<р<оо, т = 0, 1, 2, ... оператор сужения из
Wp (Rn) на W™ (й) является ретракцией в смысле определения
1.2.4. Для любого натурального числа М существует соответст-
вующая коретракция, не зависящая от 1 < р < оо и т = 0,
1, ..., М.
Доказательство. Шаг 1. Из теоремы 3.2.2(c) следует, что мно-
жество С°°(й) плотно в	Поэтому для доказательства

утверждения (с) достаточно суметь продолжить любую функцию
/еС°°(Й) до функции, принадлежащей W™ (Rn). Пусть К/ —
шары из определения 3.2.1/2 и ф; (%) е Со° (Kj) — разбиение еди-
ницы (см. третий шаг доказательства теоремы 3.2.2). Ясно, что
достаточно продолжить функции /фу. Для этого, после выполне-
ния преобразования y = fW(x) из определения 3.2.1/2, можно
воспользоваться оператором S из доказательства леммы 2.9.1/1.
Возвращаясь к исходным координатам и умножая продолженную
за границу дй функцию на функцию фе Со° ((J Kj U ^), равную
тождественно 1 в некоторой окрестности Й, получим нужную
коретр акцию.

Шаг 2. Согласно теореме Арцела — Асколи, множество функ-
ций, ограниченное в Сх(й), предкомпактно в С(Й). Поэтому
из первого шага и формулы (2.8.1/16) вытекает, что оператор
вложения IFp (Q) в £Р(Й) компактен для достаточно больших т.
Используя еще раз первый шаг, теорему 1.2.4 и формулу (2.4.2/11),
получаем, что пространство	является интерполяционным

между IFp2(Q), т2>т1У и АР(Й). Утверждение (Ь) следует теперь
из теоремы 1.16.4/2.

Шаг 3. Докажем утверждение (а). Допустим, что ||/||* ™не
Р (be)
является эквивалентной нормой. Тогда найдется такая последо-
вательность {fj (x)}/°=i с: IF” (Q), что

2 Р“/Ар = 1 и ц/лр+ 2	(2)

—1	\а\=т

Отсюда вытекает, что последовательность {/у(х)}/°=1 ограничена
в№р(й) и, значит, в силу (Ь), предкомпактна в №р-1(й).
Вторая часть (2) показывает, что последовательность {/; (x)}/Li
предкомпактна и в W™ (й). Без ограничения общности можно
считать, что /у—^/. Тогда из второй части (2) следует, что/ = 0,
wp

а это противоречит первой части (2).

Замечание. Как уже было отмечено, позднее мы получим
существенно более общие результаты. Поэтому пока мы не при-
водим никаких ссылок на литературу.

3.2.6.	Пространства Wsp (й; р11; pv) cv<p,-|-sp

Исследование пространств №р(й; рц; pv), проведенное в п. 3.2.4,
существенно опиралось на предположение v^p-J-sp. Теперь мы
хотим рассмотреть пространства рц; pv) с v<p, + sp. При
этом мы будем предполагать, что Q — ограниченная область
класса С°° и что1 p-1(x)~d(x) вблизи границы (см. замечание
3.2.3/1). Будет показано, что здесь имеется ряд существенных
отличий по сравнению со случаем пространств	ри; pv),

v^pi + sp. Далее мы увидим, что рассматриваемые в настоящем
пункте пространства тесно связаны с пространствами U7p(Q, рц)
из п. 3.2.1.

Лемма 1. Пусть Q — ограниченная область класса С™,
а р (х) — весовая функция в смысле определения 3.2.3/1, причем
р-1 (х) d (х) вблизи границы,

(а)	Пусть 1<Ср<оо, т = 1, 2, ..., — оо<ср<оо и р 4-
+ тр Ф 1 + kp, где k = 0, ..., т — 1. Тогда существуют такое
положительное число с и такая область со, удовлетворяющая
условию со cz Q, что

§ p^+Z7^ (х) | f (х) \р dx с § р^ (х) У | Z)a/ (х) dx

Й	й |а | т

-f-С	(1)

СО

для любых функций	для которых левая часть (1)

конечна (в этом случае правая часть также конечна).

(Ь)	Пусть 1<р<оо, 0<%<1 и'к^Х/р. Тогда существуют
такое положительное число с и такая область со, удовлетворяю-
щая условию со cz Q, что

( РКр a) \f(x)\Pdx^c f	dxdy

n	axa |х-г/|

+ 0 |/(x) \Pdx (2)

CO

для любых функций	для которых левая часть (2)

конечна.

Доказательство. Шаг 1, Для/еС°°(Й) левая часть (1) конечна
тогда и только тогда, когда Daf (x)|dQ==0 при 0	| у | т +

4-	* Н° тогда и правая часть (1) конечна и можно сколь

угодно точно приблизить такие функции функциями, принадле-
жащими Со° (Q), в смысле норм, определяемых интегралами в (1).
Таким образом, при доказательстве (1) можно считать, что /(х) s
eCo°(Q). Используя обозначения шага 3 доказательства теоремы

1 Здесь и ниже знак ~ указывает, что существуют два положительных
числа сг и с2, такие, что c±d (х) р1 (х) c2d (х).
3.2.2 и выполняя преобразование координат y = f^(x) из опре-
деления 3.2.1/2, получим, что г|у (%)/(%) =gi (у) е	/ =

= 1, N. Если |х + /пр>1, то выберем число х так, чтобы
li + tnp> — хр + р> I- Полагая у = (у', уп), имеем

и

!&(/- Уп)\ =

д^(у', т) dr
дУп У ’

^су

-х +

п

1

dgj(y', т) Р	‘

V" тхр$ y-^-mp-Hp + p-idyndxdy,

Уп	т

— Ц —(W —1) р

Уп

dgj (У)
дУп

р

dy.

(3)

Если g + mp<l, то выберем и так, чтобы р-)-mp<z — np + p< 1.
Тогда

lg/(y'> ^)i =

-x+.-I

^сУп

Уп

2
до/	о \р

-ч—(у', г) ry'pdr\
дуп ’

и (аналогично разобранному выше случаю)

dgj (у)
дуп

” dy.

Возвращаясь к исходным координатам х и учитывая, что f(x) =
= У, tyj(x)f(x) для хей, получаем

/=о

j pH+mp	| f (%)|p fa

J Ри+И-1)Р(Х)/ 2 |(x)|P +1 f (x)|p\ dx.

a	\|a|-1	I
Так как ри+(т-1)^ (х) epM + wp (х) вблизи границы, отсюда следует
неравенство (1) для tn = 1. Повторяя эти рассуждения и применяя
теорему 3.2.5(a) для подходящей ограниченной области со класса С00
с со cz Q, приходим к желаемому результату.

Шаг 2. Для того чтобы доказать неравенство (2), снова вос-
пользуемся методом локальных координат. Пусть g (у) = gj (у) —
функция из шага 1. Доопределим ее равенством g(y',yn)~
— g(y'> —Уп) для уп<0. Тогда g(y) принадлежит Г^(7?л), а зна-
чит, и WKP (Rn). Достаточно доказать следующее неравенство:

J \xn\-^\g(x)\pdx^c J	dxdy+c^pL (R }

Rn	«Л 1	1

= c||g|lp»z ч-	(5)

Если 1 /р < X < 1, то левая часть (5) конечна только п ри g (х', 0) = 0.
Теорема 2.9.3 и описанный там метод приближения показывают,
что в общем случае (0 <X < 1, X у= 1/р) можно ограничиться функ-
циями g(x) <=Cq (Rn), обращающимися в нуль в окрестности мно-
жества {х | хп = 0}. Предположим теперь, что существует положи-
тельное число с, такое, что для всех функций u(t) еСо° ((0, оо))

оо	оо оо

f t-^p I и (t) dt^с f Г -I	dt dx’

oJ	oJ oJ	l<_Tll+P

0<X<l,	(6)

Продолжая u(t) с помощью равенства и (f) = u(—t) на (—oo, 0),
полагая в (6) u(t) = g (x', t) и интегрируя no x'eRn-i> получим

$ ]xn\~KP\g(x)\Pdx

«S C J h-%p || g (x', xn)-g (V, Xn + h) fLp(Rn) -у- + с II g fLp	. (7)

В обозначениях п. 2.5.1 правая часть неравенства (7) есть р-я сте-
пень нормы интерполяционного пространства (Lp(Rn)> Wp,n(Rn))k,p-
Так как

(Lp(Rn), W^(Rn))KtP^(LP(Rn)t Wlp,n(Rn))K,p,

то (5) следует из (7) и (2.5.1/15).

Шаг 3. Докажем неравенство (6). Пусть
t	t

v (t) = и (t) — -- f и (т) dx = у (и (t) — и (х)) dx.	(8)

о	о

11 X. Трибель
В силу того что
(оо	\/	t

v(t)_ ( v(x)^-\ = u'+ ~ ( и (т)dr + ^-р- = u'(t),
О	/	о

имеем
00
Р йт

«(O = v(n-p(T)v-	(9)

t

Из (8) вытекает, что

$ t-Kp \v(t)\pdt^c^ ^\u(t) — u (т) \Pdxdt
о	оо

| u (ZH-т) — u(x)lP(t + x)-^P~1dtdx
о о

=sCc J J | и (Z4-t) — u (t) \p t-^p-1 dt dx. (10)

о 0

С учетом неравенств (3) или (4), в которых надо положить
оо
Jdx

v(r)~, оценка (6) следует из (9)

и (10).

Замечание 1. Неравенства (3) и (4) являются модифика-
циями хорошо известного неравенства Харди

оо	оо

J	(t)\Pdt,	(11)

о	о

1<р<оо, а=/= 1, f еСо°((0, сю)) (см. Харди, Литтлвуд и Пойа [1, тео-
рема 330]). Можно показать, что постоянную	улучшить

нельзя. Далее, можно показать, что равенство в (11) имеет место
тогда и только тогда, когда /(/) = 0. Оценка (11) понадобится
нам ниже для случая р-2. Приведем короткое доказательство
для этого случая. Пусть а> 1 и / — вещественная функция. Тогда

\t-°P(t)dt~\t-°№WYdr

О	0	0

<2$|/(т)||/' (т)Ц t~°dtdr
О	т

2 F — —	— ° 4- 1

2I/W|t 2	\f’(r)\dr,
откуда после применения неравенства Гёльдера и следует (11).
Если о < 1, то начинаем с равенства

оо

Z2(0 = -$(/2(T))'dT’
t

а далее рассуждаем аналогично. Можно рассмотреть и комплексно-
значные функции f(t). Приведенное доказательство показывает,
что неравенство (11) при р = 2 и о<1 справедливо также для
функций /(/), дифференцируемых на [0, оо) и обращающихся
в нуль при больших значениях t.1

Замечание 2. Шаг 3 принадлежит Гривару ([2], лемма 4.1).2

Определение. Пусть Q cz Rn — ограниченная область клас-
са С°°, а р(х) — весовая функция из определения 3.2.3/1, для кото-
рой p-1(x)~d(x) вблизи границы (см. замечание 3.2.3/1). Пусть,
далее 1<.р<со>, s^O и v<p-|-sp. Для целых s положим

Жр(£2; ри; pv) = 1 f е (Q); Ш^(а;Л(Л)

= Ш 2 Ри«\Daf(x) |' + pv(W(*)H dxf<°4- (12а)
\| а| =s	/J '

При нецелых s = [s] + {s}, где [s] —целое и 0<{s}<1, положим

^(й; Рц; Pv) = {/|/eL’0C(Q); |1/Ц(0: ри. PV)

|	(х) Daf (х) - р^ (у) Daf (у) |Р

dxdy

+	(Q; рИ. pV)<°o}. (12b)

1 He менее коротким является следующее известное доказательство нера-
венства Харди, основанное на применении неравенства Минковского для инте-
гралов. Выполняя замены т = и / = х/£, имеем (скажем при о>1)

|х_г/|«+{«)р

оо

= (^zzr)₽ j х~а+р I f' W |Р dx.

О

— Прим, перев.

2 Неравенство (6) доказано Яковлевым *[3]; варианты и обобщения нера-
венств (6) и (5) получены в работах Солонникова *[1], Кузнецова *[1 J, Лизор-
ки,на *[15],— Прим, перев.

11*
(Как и раньше, при s = 0 предполагается, что [i = v и W7(Q; рр; pv) =
= Lp(Q; рц).) Замыкание С с (Q) П (Q; рц; pv) в	рц; pv)

будем обозначать через IFp(Q; рц; pv), а замыкание Со° (Q)
в ^(Q; рц; через Wsp(&, рц; pv).

Замечание 3. Для того чтобы оправдать последнюю часть
определения, нужно показать, что Жр(й; рц; pv) — банахово про-
странство. Достаточно установить полноту. Пусть — после-
довательность Коши. Тогда существует такая функция f е ЛрОС (й),
что для любой области ш с ® с Q

и Dafr^Daf при |оь | = [s] в Лр((о).

Отсюда, используя стандартные методы доказательства полноты
функциональных пространств (см., например, Трибель [17, стр. 28]),
выводим, что	рц; pv) — банахово пространство.

Замечание 4. Мы не обсуждаем здесь вопроса о том, при
каких условиях

^(й; р^; pv) = r^(Q; рц; pv).

Для изучения такого рода вопросов приведенное выше опреде-
ление, по-видимому, является не очень подходящим. Для этих целей
более полезно определить пространство 2/^р(й; рц; pv) как множество
всех функций	для которых	рц. pv)<oo, где

норма ]|/||*% (с, u v\ задана равенством (3.2.4/14). Из тео-
wp\r'' р ’ р )

рем 3.2.4/3 и 3.2.4/1 следует, что если определить пространства
2/^>(й; рц; pv) с v^p + sp таким образом, то уже множество
С£° (й) плотно в	рц; pv). Мы не будем также подробно

обсуждать, при каких условиях

ГР(Й; ри; pv) = №*(Q; рц; pv), v<p + sp.

Однако в следующей лемме мы рассмотрим два важных частных
случая. В частности будет показано, что для любого 8>0и
любого р, 1<р<оо, существуют такие числа р, v и $>0, что
p + sp>v>p + sp — 8 и

C(Q; рц; pv)#=ir;(Q; рц; pv).

При v^p + sp будем иногда для простоты писать 1^Р(П; рц; pv)
вместо РЦ’> pv) (см. теорему 3.2.4/1).

Л е м м а 2. Пусть й cz Rn — ограниченная область класса С™,
а р(л') — весовая функция из определения 3.2.3/1, для которой
P~1(x')^d(x) вблизи границы.
(а)	Равенство

Г^(й; 1; pv) = F’(Q; 1; pv)	(13)

имеет место тогда и только тогда, когда

либо Оs1/р, a v произвольно,

либо l/p<s<oo и v^sp — р {s— 1/р}+ = 1 -\-р [s— 1/р]".

(Ь)	Пусть т=\, 2, ... и 1 < р < оо. Равенство

Грт(й; ри; ри) = №;(й;	р^)	(14)

имеет место тогда и только тогда, когда

либо оо > р, >- (m — 1) р 1,

либо — оо < р, ==£ — тр + 1.

Доказательство. Шаг 1. Пусть O^s^l/p. В этом случае тео-
рема 2.9.3(d) в сочетании с методом локальных координат пока-
зывает, что Со (й) плотно в пространстве Wsp (й) = Wsp (й; 1; 1).
Воспользовавшись теперь методом приближения из шага 4 дока-
зательства теоремы 2.9.3, получим, что Со° (й) плотно также и
в №р(й; 1; pv), —co<;v<oo.

Шаг 2. Пусть l/p<s<oo. Теорема 2.9.3 в сочетании с мето-
дом локальных координат показывает, что функция f е С“ (й)
принадлежит пространству (й) = Wsp (й; 1; 1) тогда и только
тогда, когда

DVI^ = 0, |у| = 0, ..., [s-j]'.	(15)

С другой стороны, условие

/<=С°°(Й), PVW \f (x)\pdx<oo	(16)

о

выполняется тогда и только тогда, когда

DV|5q = 0, |Y|=0, ..., [5^].	(17)

На основании (15), (17) и метода приближения из теоремы 2.9.3
заключаем, что если

то множество Со°(й) плотно в Ж₽(й; 1; pv). Предположим теперь,
что условие (18) не выполняется. Рассмотрим функции /, принад-
лежащие	1; pv), для которых

£>“/|дй = 0 при |а|<[$ — у] .
Если бы Со° (й) было плотно в IFp(Q; 1; pv), то, согласно лемме 1,
такие функции f можно было бы и в Wsp (й) приблизить сколь
угодно точно функциями, принадлежащими Со°(й). Применяя
метод локальных координат, мы получили бы, что указанное
свойство выполняется и в случае, когда й заменено на Ri. Про-
должим каждую из преобразованных функций g четным или нечет-
ным образом через гиперплоскость {х | хп = 0} так, чтобы произ-
1 /Р]

водная ----была четной функцией. Тогда мы получим

дх^ l/Pi

соответствующее приближение в Wsp(Rn). Но это противоречит
теореме 2.9.3. Тем самым утверждение (а) доказано.

Шаг 3. Пусть т=1, 2, ..., 1<р<оо и Применение
метода локальных координат, леммы 1 и теорем 3.2.5 и 2.9.2/2
показывает, что Со° (й) плотно в W™ (й; р11; рц) тогда и только
тогда, когда —mp-f-1. Для множество Со°(й) плотно
в №р(й; рц; рц) тогда и только тогда, когда из включения

С°°(Й)П W™ (й; рц; рц) следует, что DvfldQ = 0 для 0	| у |

^т— 1. Но это как раз и означает, что	1)р+ 1.

Теорема. Пусть й cz Rn~ ограниченная область класса С00,
а р(х)~ весовая функция из определения 3.2.3/1, для которой
p“1(x)~d(x) вблизи границы (см. замечание 3.2.3./1). Пусть, далее,
1 <р<оо, 0<s = [s] + {s}, где fs] — целое, 0=c{s}< 1, и v<p4-sp.
Если

{$} у= 1/р и ц + sp #= 1 +kp, £ = 0,	— 1,	(19)

то

Wp (Q; рц; pv) = r;(Q; рц; pu+s₽).	(20)

Доказательство. Согласно теоремам 3.2.4/2 и 3.2.4/3, доста-
точно доказать, что существует такое положительное число с, что
для всех f е С™ (Й)

$ pH+sp (%) | f (%) |Р
о

ХА,

+СИ И |о₽Ш1р + 1/(*)фх <21)
o>\|p| = [s]	/

Здесь со — соответствующим образом подобранная область, для
которой сос=й. (В случае целого s нужны соответствующие видо-
изменения.) Неравенство (21) следует из леммы 1 (обеих ее частей)
и теоремы 3.2.5.

Замечание 5. Для справедливости соотношения (20) усло-
рие (19) не только достаточно, но и необходимо. Пусть {s} == 1/р,
Для того чтобы убедиться, что (20) не имеет места, достаточно
доказать, что функция	принадлежит пространству

Wp (Q; pv). Пусть p(x) = d(x) вблизи границы. Метод локаль-
ных координат и теорема 2.9.3 показывают, что функция p~tsl(x)
принадлежит wp (Q) (см. также второй шаг доказательства
леммы 2). Так как v<p, + sp, то, используя метод приближения
из доказательства теоремы 2.9.3, мы получаем, что р-^/р-Н (%) ^
р^; pv). Пусть {$}=/= 1/р и vCp + sp. В работе Трибеля
[22 II] показано, что для этого случая (20) имеет место тогда и
только тогда, когда р, + sp =7^= 1 -\-kp при & = 0, ..., [s]— 1. Мы не
будем здесь входить в подробности и отошлем читателя к ука-
занной работе (использованное в ней предположение v = 0 не яв-
ляется необходимым, если принять во внимание лемму 1(a)). Для
целых s это следует также из второй части статьи Кадлеца и
Куфнера [1], где дано описание соответствующих пространств для
особых значений параметров. (См. также статью Бесова, Кадлеца
и Куфнера [1J.

Замечание 6. Лемма 1 показывает, что при фиксирован-
ных s, р и р при {$}=/= 1/р все пространства Wsp (Q; рм; pv),
— оо < v<sp + p, совпадают между собой. Если, кроме того,
p-\-sp=£ 1 -\-kp при k = 0, ..., [$]— 1, то эти пространства совпа-
дают с IFp(Q; ри; рц+,ур). Далее, функция а (х) = р^ (х) является
для р^О весовой функцией типа 3, а для р0 — весовой функ-
цией типа 4 в смысле определения 3.2.1/3. Из определения 3.2.1/4,
леммы 1(a) и последней теоремы следует, что

Wp(Q p») = Wp№ р^1; р^),	(22)

если

/п=1, 2, ..., 1<р<оо и р =0= 1 — kp при й=1, ...» т.

Таким образом, для важного класса весовых функций мы уста-
новили связь между двумя рассмотренными здесь типами про-
странств, которая будет важна для дальнейшего. Отметим в за-
ключение, что частный случай р = — тр, приводящий при р = 2
к пространствам S'”(Q), исследован Лионсом и Мадженесом [2 1,
гл. 2, § 6.3]. См. также (14).

3.3.	ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ	а)

Этот параграф посвящен теории интерполяции для пространств
Fp(Q; о) и IFp(Q; о) (см. определение 3.2.1/4). Мы ограничимся
вещественным методом. Хотя полученные результаты носят весьма,
общий характер, здесь есть еще целый ряд нерешенных проблем.
Так, пространства (W™1 (й; о); Wp2(Q; o))e,Q определены только
для весовых функций типа 1 и типа 3, а пространства
(^^‘(й; о); №р2(й; о))е,^ — только для весовых функций типа 2
и типа 4 (см. определение 3.2.1/3). Правда, позже на основе
замечания 3.2.6/6 мы будем рассматривать пространства
(^^(й; d~M1(x)), №™2(й; d~^ (х)))е, где й — ограниченная об-
ласть класса С°°, d (х) — расстояние до границы и — оо < Цр р2 < оо
(см. теорему 3.4.3 и замечание 3.4.3/2). Для й = /?„, а(х) = х^
т1 = 0 и т2=1 Гривар [2] изучил некоторые не рассмотренные
здесь случаи. В настоящем параграфе мы будем следовать изло-
жению, данному в работе Трибеля [22 I].

3.3.1.	Пространства W™ (Q; or) с весовыми функциями типа 1

Лемма. Пусть Q сс Rn — неограниченная область, удовлетво-
ряющая условию конуса (определение 3.2.1/1) и К — соответствую-
щий конус. Пусть, далее, Vj^R, /= 1, п, —совокупность п
линейно независимых векторов, удовлетворяющих условию | Vj | = 1.
Наконец, пусть о (х) — весовая функция типа 1. Тогда операторы
Gj(t), />0, определяемые равенством

[Gj (t)u\(x) = u(x-\-Vjt),	/ = 1,..., п, u(=Lp(Q,o), (1)

образуют сильно непрерывную полугруппу операторов с инфини-
тезимальными операторами Лу, имеющими вид1

D(A/) = {MlweLp(Q; ff);	<o}- (2)

Доказательство. Шаг /. Полугрупповое свойство очевидно.
Из (3.2.1/2) и (3.2.1/3) следует, что

II fy (/) U ||ьр (Й; а) || U ||z^ (й; а),

где с >0 — подходящее число. Непрерывность доказывается так
же, как на втором шаге доказательства теоремы 3.2.2.

Шаг 2, Пусть u^D(Kj) и феСол(й). Исходя из равенства
p/Gy(/)-£ \	е <p(*-vy/)-<p(x)

I Ij------u I (х) ср (х) dx = \ и (х)-~t-----dx,

где 0</^с/0(ф), получаем при />[0

( (A/и) (x)<p(x)dx = ~ $ и(х) ^(x)dx = С (х) <p (х) dx

Q	й	1	й 1

I Производные нужно понимать в смысле D' (Q).
(в смысле обобщенных функций). Следовательно, =
sLp(Q; а). Для того чтобы доказать (2), следует показать, что
любая функция	а), для которой ^-^LP(Q\ а), при-

надлежит D(AZ). Справедливо включение С°° (Q) cz D (АД С дру-
гой стороны, аналогично шагу 2 доказательства теоремы 3.2.2

находим, что C°°(Q) плотно в

м|иеЛр(й; а); е

LP(Q; ст)}.

Отсюда и следует искомый результат.

Ниже мы используем обозначения ДЛ и Д* из п. 2.5.1. Пусть
векторы vz имеют тот же смысл, что и в последней лемме. По-
ложим

/Иб = //г Д	ajvf, где О/>0;	(3)

I	7=1	J

Здесь 0<6<оо.

Теорема. Пусть Q cz Rn — неограниченная область, удовле-

творяющая условию конуса, а в (х) — весовая функция типа 1.
Пусть, далее, т± и т2 —целые числа, оо>>т2>тг^0, 1<р<
<оо,	0<6<;1 и s = (l — 9)m1 + 9m2. Если k и I —

целые числа, такие, что O^Z?<s и l>s — k, и 0<б<оо, то

Вр, ^(Q; ct) = (F?'(Q; о), W?(Q-. ст))м

= {«|ме1^р(й; ст); ||и I,в» <оо},	(4)

г — 1, 2, где

II,	6) — IU kp(Q; а)

;а| = &[мб	J

(5)

II и ll(*, I, б) = 11м кр(й; <Т)

При

q = oo нужно заменить

||Ля№||£р(й:а)|^г]’

(6)

на

sup |-|. | Все эти
h€=M6 у

нормы являются эквивалентными нормами
Вр, q (Q; о).

в пространстве
Доказательство. Полугруппы G;(Z), / = 1,	/z, попарно ком-

мутируют. Если Кт имеет тот же смысл, что и в определении
1.13.3, то, согласно приведенной выше лемме,

Q	—r<=Lp(Q-,a), r = 0....m,j=l.......n}(7)

/==1	t dvf	>

и

7T = r™(Q; a).

Теперь доказываемая теорема следует из теоремы 1.13.6/2 после
простого преобразования координат.

Замечание 1. Пространство BPtQ(Q; о) не зависит от вы-
бора т1 и т2, чем и оправдан выбор обозначения.

Замечание 2. Доказанная теорема аналогична теореме 2.5.1.
Это относится и к доказательству. Если желательно выбрать
в теореме число I наименьшим возможным, то следует взять k==
= [s]~ и I— 1 +[{s}+]. В отличие от теоремы 2.5.1 нельзя, вообще
говоря, положить 6 = 00. Предыдущие рассуждения показывают,
что для того, чтобы это можно было сделать, необходимо, чтобы
нормы ] G; (/) || были равномерно ограничены. Однако в наиболее
важном частном случае о(х)=1, как легко видеть, !G7(0iI^1.
Следовательно, в этом случае в приведенной теореме можно брать
6 = 00.

3.3.2.	Пространства IV™ (Q; от) с весовыми функциями типа 2

Лемма. Пусть Q с: Rn — неограниченная область, удовлетво-
ряющая условию конуса, а о (%) — весовая функция типа 2. Если К
и vj, j = 2, ..., п, имеют тот же смысл, что и в лемме 3.3.1,
и если доопределить функции, принадлежащие LP(Q', о), вне Q
нулем, то операторы Gj(t), t^Q, задаваемые равенством

[G/(t)u](x)==u(x — v/t),	/ = 1,..., п, u^Lp(Q-,a), (1)

образуют сильно непрерывную полугруппу. Соответствующие
инфинитезимальные операторы А7 имеют вид

Область определения D (Ду) оператора А/ есть замыкание множе-
ства CJ0 (Q) в пространстве

|uju<=Lp(Q; о),	о)|.	(3)
Доказательство. Используя (3.2.1/3') вместо (3.2.1/3), уста-
навливаем ограниченность норм || Gj (/) ||, сильную непрерывность
и полугрупповое свойство тем же способом, что и на первом шаге
доказательства леммы 3.3.1. По аналогии со вторым шагом дока-
зательства леммы 3.3.1 имеем для weD(A;)

V = -^<=Lp(Q; a).

Далее,

Gj (0 и е D (Ду) и \\AjGj(t)u — AjU\\Lp^ а)->0 при Z|0.

Функция Gj (/) и обращается в нуль вблизи границы. Нетрудно
видеть, что такую функцию можно сколь угодно точно прибли-
зить в D (Ду) функциями, принадлежащими Cf (Q). С другой сто-
роны, все функции из Cf (Q) принадлежат D (Ду). Отсюда и сле-
дует утверждение леммы.

Для того чтобы упростить формулировку следующей теоремы,
введем ряд обозначений. Ниже имеет тот же смысл, что и
в (3.2.1/1), а /Иб было определено в (3.3.1/3). По аналогии с тео-
ремой 3.3.1 положим для 1<р<оо, l=Cg=Cco, s>0 и s</ =
= (целое число)

II*

"вР)<7(й;о).б



Л/Р dh

(4)

Q

L0

Для q = oo нужно заменить

1/<7

(5)

на sup |• | и

р

на sup | • |.
/>о

Теорема. Пусть Q cz Rn — неограниченная область, удов-
летворяющая условию конуса, а о (%) — весовая функция типа 2.
Пусть, далее, тг и т2 — целые числа, оо > т2 > О, 1 < р <
<оо, 1^7^00, 0<6<1 и s — (1 — Ь)тг + Ът2. Если k и I —
целые числа, такие, что O^k<Zs и l>s-— k, и 0<6<;оо, то

a), Wp!(Q; о))м .

= {«|ueI^p(Q; а), |1ы|1**Дв)<оо},	(6)
г = 1, 2, где

“I" [II	HbS— k (Q; а) 6 +||^а^ ||(S— k, р, q, Q)1 >	(7)

| а | = k l	P, q ' '	J

1М(Ш) = 1!«кр(0:а)

+ !а2 Д1ДаМ1^-/(£3;ст),6 +ll№|l(s-ft,₽,.,a)].	(8)

Все эти нормы являются эквивалентными нормами в простран-
стве (Wp'(Q-, а); Г^2(Й; а))е>?.

Доказательство. Пусть Кт имеет тот же смысл, что и в опре-
делении 1.13.3, по отношению к полугруппам Gj (/). Тогда из до-
п

казательства леммы следует, что Q D (А/1) представляет собой
/=1

п

замыкание множества С$°(й) в пространстве Q £>(А™), опреде-
/=1

ленном равенством (3.3.1/7), и что

Km = W™(Q-, о).

Из теорем 1.13.6/2 и 1.13.4/1 после преобразования координат
следует, что пространство (W™' (й; о), 1Гр*(й; о))е, q есть множе-
ство всех элементов uEW'pffl; о), для которых

II и кр(£2; а) + У|Л| <S	о)

\a\ = k	J

(9)

(При <7 = oo нужно произвести обычные видоизменения.) Полагая
для h<=K

Й(Л) = {х|хей, x — h^Q},

находим, что

II AL hDaU ||Lp (й; а) = II A- hDaи [|ьр (Q, h,; а)

+ S llA-ftD“WILp(O,rft+ft,-O(r/i): а) + II &l-hDaU ||Lp{£2_ Qah}. а).	(10)

Производя в последнем члене замену координат x — lh=^y и под-
ставляя то, что получится, в формулу (9), придем к средней
части (7). Из (3.2.1/2) и (3.2.1/3') следует, чго для остальных
членов правой части (10) справедлива оценка

С1II	Ik р (я (h,: °)	II ^l-hDau Ikp (Я,й,; а)

+ S 11Д-л£)“и1кр(я<гЛ+л)-й<гЛ):а)<СзИ£)аи1крР</л>:а)-	О1)

Г —1

Здесь q и с2 — подходящие положительные числа. Подставляя это
в (9), получим, что

llw l'(о), ukw2(Q; аЛ ^11 U\]L (О; о) + 2	(Q; а), <5

\ Р	Р	Р	\a\ = k	Р’ Р

+ 2 Г5 iftH!J4!!№4w.^wT"

|a|=^LAf6	1 1 J

(с соответствующими видоизменениями для 7 = сю). Далее, легко
видеть, что существует положительное число с, не зависящее от
h е Мб, такое, что

QH/HczQ(/l)czQl4

Отсюда следует соотношение (6) при г=1. Соотношение (6) при
г = 2 доказывается аналогично.

Замечание. Рассмотрим частный случай о(х) = d~K(x),
х^О. При p = q равенство (5) можно переписать так:

H(s, р, р, а)

| и (х) \р d~%p (х) dx у

= $ | и (х) d~Hp (х) § t-^spdtdx = с $ d~Hp~sp (х) | и (х) \pdx.
й	d (х)	Q

Таким образом, последние слагаемые в формулах (7) и (8) суще-
ственно упрощаются. Для случая х = 0 мы еще вернемся к этому
вопросу попозже.

3.3.3.	Пространства W™(Q; а) с весовыми функциями типа 3

Пусть Q cz Rn — ограниченная область класса С°°, и пусть
обозначение Qz, 0</<оо, имеет тот же смысл, что и в (3.2.1/1).
Для zG(3Q обозначим через vz внутреннюю нормаль к границе
области в точке г. Для 0 е и 0 < е <л/2 положим

ЙЛ>еЛ = (Й\Й9и({г|г^Й; 0^</г, v^><8}x(0, /]).	(1)

Здесь (Л, v2) обозначает угол между векторами h и v2 (см. рис. 2),
а отрезок (0, t] должен быть отложен в направлении внутренней
нормали. Таким образом, множество ЙЛ> е, t представляет собой
объединение «внутренней» области Q\QZ и той части Qz, где на-
правления векторов h и v? близки друг к другу.

Теорема. Пусть QciRn — ограниченная область класса
а о (х) — весовая функция типа 3. Пусть, далее, пц и т2 — целые
числа, оо>т2^>т1^0, 1<Ср<оо,	0<6 << 1 и

Рис. 2.

s = (1 — 6)ггц + 6т2. Если k и I — такие целые числа, что Q^k<zs
и l>s-k, и если б, 8 и t— достаточно малые положительные
числа, то

в* р(й;а)=(№;-(й; а),	*))м

= {u\u<=Wkp(Q-, о), 11«|^(в,8,<<оо}.	(2)

г = 1, 2, где

11И И(А, I, 6, е, 0 = ^Lp(fi; а)

+ 2 Г S	(3)

|аI =*|_|Л|=£б	Р h ‘ ’ |Л|“ J

I! и ||(А, I, б, е, /) = ll f Lp(B; а)

+ S Г s |лг(’-*»||д;о”<(»,К (4)

|а|=* |_1 Л|==«	Р	W J

(При а = оо нужно заменить \ I • 1? питт]1/? на SUP Н-) ^се
[|Лв 11 j	|Л|-6

эти нормы являются эквивалентными нормами в пространстве
BSP.^

Доказательство. Будем считать, что шары К;, область со и функ-
ции 1|у (х) имеют тот же смысл, что и на третьем шаге доказа-
тельства теоремы 3.2.2. Для weC°°(Q)

|| I1 о)

Р

N

2 \tyjU ||U7^(Q; О).
/ = о р

Интерполируя, получаем

N

ll«bs (й; а)~ У,	(й; а).	(5)

Р .<?	Р, Я

Пусть области со; == (Q П ^С/) + А7, / = 1, ...» N, определены так
же, как на третьем шаге доказательства теоремы 3.2.2. Выбирая
подходящую неограниченную область соо о со, удовлетворяющую
условию конуса, и принимая во внимание явный вид ^функ-
ционала (см. 1.3.1), находим, что

К(т, №£"(й; о),	а))~К(т, %u,	о),

НТ (<»,•; о))-

Здесь весовая функция о(х) и функция и(х) продолжены так же,
как и на третьем шаге доказательства теоремы 3.2.2. Тогда из
теоремы 3.3.1 следует, что

q(a.

~ IV К («г « + 2 [ J	“»,(-,<«>№?• <«>

|а| = *

где Мб = М^ зависит от /. (При q = oo нужно внести соответ-
ствующие видоизменения.) Воспользуемся теперь формулой

i	i

blh (V  w) (х) = У (ди W S сг, а (ДЛ_ rw) (х + dy).

d = 0

Для I = 1 она проверяется непосредственно, а для I > 1 дока-
зывается по индукции. Применяя ее, получим для несмешанных
частных производных такую оценку: при /=1, ..., N

а)

(?)

|| axi ||l (oz; а) II	oxi ||

2 |Ю|	 <8>

"qII oxi ||ь/?(К/Пй;а)
при / = О нужно заменить Kj П & на <о. В случае О < s < 1 утверж-
дение (2) для г — 1 вытекает из неравенств (5) —(8). Пусть теперь
s^l. Из (5) —(8) следует, что

р.

^(Я; а) (^)с\\и№,

п N Г

i=I /=° м</">

(9)

1/4

где <-у ... обозначает аналогичные слагаемые со смешанными про-
изводными. Рассуждая по индукции, предположим, что утверж-
дение (2) при г = 1 доказано для 0<s<M, где М — данное
натуральное число. Пусть /И =^s < М + 1. Тогда, в силу (8) и (9),
второе слагаемое в (9) можно оценить нормой || и |'в^'	а), где

s'— произвольное число, удовлетворяющее неравенству s—1<
<s'<s. Из (1.3.3/5) следует, что для любого положительного
числа т] существует число такое, что

I U ^(Й; о) П || U ||в^ ^(й; а) +Сл || U Цд^й; а).	(10)

Из (9) и (10) вытекает утверждение (2) при г=1. Утверждение
(2) при г = 2 доказывается аналогично.

Замечание. Для наиболее важного частного случая о(х) == 1
несколько позже мы получим еще ряд эквивалентных норм.
В частности выяснится, что весьма сложные области е
можно заменить на более простые. См. теоремы 4.4.2/1 и 4.4.2/2.

3.3.4.	Пространства W™ (О; а) с весовыми функциями типа 4

Пусть Q с: ~ ограниченная область класса С°°, обозначение
Qz, 0</<оо, имеет тот же смысл, что и в (3.2.1/1), а нормы
|| и |1(5, р, q, а) определены равенством (3.3.2/5). Воспользуемся также
обозначением йл, е, / из (3.3.3/1). Для всякой весовой функции
о(х) типа 4 положим по аналогии с (3.3.2/4)

Il U I'bs (й; a), d, е, t
Р» Ч

0)

(с обычными видоизменениями для (7 = 00). Здесь 1<р<оо,
и 0<s<Z= (целое число).

Теорема. Пусть Q cz Rn — ограниченная область класса
а а (х) — весовая функция типа 4. Пусть, далее, тг и т2 — целые
числа, oo>m2>m1^0, 1<р<Соо, 1=^7=Соо, 0 < 9 < 1 и
s = (1 — 6) тх + 0т2. Если k и I — такие целые числа, что 0 k <; §
и l> s — k, и если 6, 8 и t —достаточно малые положительные
числа, то

(Wp'(Q; о), Wp2(£l; <j))t,q=={u\ut=ty'lp(Q; о),
|М(*!/!б,е,0<Оо}. (2)
г = 1, 2, где

II« 11(6,'/, 6. е, о = II и ||ьр (Q; а)

II и |&‘Д, 6, е. /) = II и ||др (Я: а)

+ 2 ||ID“uIIb’-*(Q. ст) 6 g /+l|D“ull(s-^P.».a)l-	(4)

|а|<Д р, q (Я- О- 8. t	J

Все эти нормы являются эквивалентными нормами в простран-
стве (ГД(Й; «У). ЙТ(Й; а))0,г

Доказательство такое же, как у теоремы 3.3.3. Нужно исхо-
дить из равенства (3.3.2/6) и воспользоваться соотношением,
аналогичным (3.3.3/6).

3.4.	ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ

Вр, Дй; рц; pv) и ЯДй; р^; pv)

В этом параграфе мы разовьем теорию интерполяции для
пространств Вр, Дй; рц; pv) и //Дй; рц; pv), определенных
в п. 3.2.3. Согласно определению 3.2.3/2, частным случаем этих
пространств служат пространства №Дй; р»*; pv), для которых
были даны новые описания в теоремах 3.2.4/2 и 3.2.4/3. Полу-
ченные здесь результаты будут в дальнейшем применены к тео-
рии сильно вырождающихся эллиптических дифференциальных
операторов.

3.4.1.	Подготовительная лемма

Для удобства записи будем временно обозначать через Gsp
одно из пространств Bsp, q(Rn) или Hp(Rn), s>0, 1 <р<со,
Поскольку число q не играет никакой роли в при-
водимой ниже лемме, мы опускаем этот индекс. Положим еще
Gp = Lp(Rn). Для вещественных чисел s^O, 1<р<со и v^p
и для / == 1, 2, ... введем в пространстве Gsp эквивалентные нормы

/А

₽ miGs+2'4/k.

р

О)
Чтобы избежать недоразумений, будем использовать запись

Gp(j, р, v). При s = 0 предполагается, что p = v

Лемма. Пусть sx^0, s2^0, 1<р1<оо, 1<р2<оо и
пусть	v2^p2 — такие вещественные числа, что

(pi - vj s2p2 = (р2 - v2)	(2)

Пусть, далее, F({-, •}) обозначает функтор комплексной интер-
поляции [•, ]0или функтор вещественной интерполяции (•, -)0><?,
где 0 < 0 < 1 и	Положим

s-(l-0)S, + 9Sl, 1 = !^ + А,	(3)

=	0) —4-0—	Hi—У1 _ Иг —v2	/4ч

Р к Pl Р2 ’ SP SlPl S2p2 ’	1 '

(В случае когда s1 = Q и s2>0, полагаем Pi = V! и	;

в случае когда s1 = s2 = 0, полагаем p^Vp p2 = v2 и p = v.) Пред-
положим, что для данных пространств Gp\ и Gsp22 существует
пространство Gp, такое, что

Gp = F(.{Gp\, GP1}).	(5)

Тогда

-’1/^+2 ’1%,	(6)

/ = 1, 2, .... Здесь означает, что левую часть (6) можно оце-
нить с помощью правой части, умноженной на некоторую постоян-
ную, не зависящую от j, и наоборот.

Доказательство. Шаг 1. Начнем с одного общего замечания.
Рассмотрим произвольную интерполяционную пару {Лр Л2}. Для
^>*0 пусть обозначает банахово пространство /li с нормой
CilHUi; аналогично понимается с2Л2 для с2>0. Тогда

с2Л2}) =с}-°^({Л1, Л2}).

(7)

Для вещественного метода это немедленно следует из определе-
ния 1.3.2. Если ^(Лр Л2, 0) имеет тот же смысл, что и в опре-
делении 1.9.1, то, как легко видеть, равенство

gr(z)=cl-ZC^(z)

задает изометрическое отображение пространства /7(с1Л1, с2Л2, 0)
на /'’(Лр Л2, 0). Для комплексного же метода равенство (7) выте-
кает из равенства

Hi (2) Mi. >ujp = I/ (2)
Шаг 2. При	соотношение (6) немедленно следует

из (7). Пусть s2>0. Полагая

Ц1 —. м2 — у2.

х = 2 у = 2 у, f(x) = f(y),	(8)

получим согласно теоремам 2.5.1 и 2.3.3(a) (см. также выраже-
ние для эквивалентной нормы в Hsp(Rn), указанное на втором
шаге доказательства леммы 3.2.4/1), что

[II/IP’ “«•	2 v,/'+ in || f I* , f s СТ (£„),

ар\

и аналогичное соотношение для Gp2. Используя (7) с

, . Mi — Vi
Pi ovi + /”	_ ,

с? = 2 Sipi

. , . М-2 —V2
c^2 — 2v‘l+,n w* ,

находим, что

,v + /n^-v\ .

...))~2

Возвращаясь к исходным координатам, приходим к (6).

Замечание. Эта лемма представляет собой обобщение
леммы 4.2 из работы Трибеля [2211]. Она ляжет в основу даль-
нейших рассмотрений, где будут использованы различные кон-
кретизации равенства (5).

3.4.2.	Интерполяционная теорема

С помощью леммы 3.4.1 и результатов гл. 2 можно доказать
весьма общую интерполяционную теорему. В этом пункте й cz Rn —
произвольная область; р (х) обозначает весовую функцию из опре-
деления 3.2.3/1; Яр(Й; ри, pv) и Вр, ^(£2; р^; pv) — пространства,
введенные в определении 3.2.3/2.

Теорема. Пусть sx^0, s2^>0, 1<р1<оо, 1<р2<оо,
и пусть Vj + $iPi и v2 ц2 s2p2 — вещественные числа, для
которых выполняется равенство (3.4.1/2); пусть, далее, для 0<9<Ч
числа s, р, v и ц определены равенствами (3.4.1/3) и (3.4.1/4)
(включая отмеченные там, особые случаи).

(а)	Если, в дополнение к основным предположениям, s1^=s2,
р1==р2==р и l^^i, д2=Соо, то

(Bsp\q (Й; рм.; pv.), В^,?2(Й; ри.; р*.))0>р

= (ВР. Рц‘! PVl). р^; pv’)kP

=(я;-(й; рщ; рЧ рИ2; pv<p = s₽. ₽(й; рц; ov). (1)
В случае пространств В предполагается, что индексы s1? s2
(строго) положительны.

(Ь)	Если, в дополнение к основным предположениям,
s2>0,	72<<оо и

(вр\, „Дй; ри.; pv.), В*‘.„ДЙ; ри,; pvO)0,p = Bs₽, ДЙ; рД pv). (3)

(с)	Если, в дополнение к основным предположениям, 5х>0,
s2 > 0, l^z^-Coo, 1=С<72=Соо и

[В^_ „, (й; рнх; pv.), в^_ q2 (Й; р^; pv,)]0 = В*р, q (й; рИ; pv). (5)

(d)	Если, в дополнение к основным предположениям, s1^s2, то
р111; р”), ЯЙ(О; р"'; р"))». .

= (И?,(й; рИ|; р’1), Н?,(й; р“'; р”))». , = В‘Г. „(й; р"; р").	(6)

В случае пространств В предполагается, что положительно.

(е)	Если, в дополнение к основным предположениям, s1^=s2~s,
то

(яЦй; р^‘; pv‘), Я’,(Й; р^; pV2))e, Р = Я₽(й; р»; pv). (7)

(f)	Справедливо равенство

[й;,(й; р«'; р"'), Я?,(й; р“'; р')),-«(О; р“; р’).	(8)

Доказательство. Шаг 1. Докажем (8). Пусть {ф7- (х)}/°=№ Т —
система функций из определения 3.2.3/1, обладающая свойством
(3.2.3/8). Найдется система функций {<р7- (х)}/°=лг, такая, что
<Р/ (х) е СД (й,),

| Dy(fj (х) | sgjc (у) 2'1 для j =	О | у |<оо, (9)

<ру (х) = 1 при хе supp ф7, j = N, М + 1, ....

Так же, как в п. 3.4.1, мы будем писать Gp = Hp(Rn) (см. (2.
4.2/11)) и будем использовать введенное там обозначение Gp (j, ц, v).
В силу определения 3.2.3/2 оператор S, определенный равенством

5/ = {Ф/(х)7(х)}/~№	(10)

есть ограниченный линейный оператор из Нргг (й; pgr; pVf) в
lPr(Gsprr (j, pr, vr)), г = 1, 2. Далее, из доказательства леммы 3.2.4/1
следует, что оператор /?, определенный равенством

оо

£{//}== 2

i—N

(11)

является ограниченным линейным оператором из lp (Gpr (j, pr, v/П
г г

в Hprr (Q;	р\), г =1,2. Очевидно, что RS = E\ следова-

тельно, R есть ретракция. Поэтому (8) следует из теоремы
1.2.4, формул (1.18.1/4) и (2.4.2/11) и леммы 3.4.1.

Шаг 2. Доказательство остальных утверждений теоремы про-
водится совершенно аналогично. Вместо формулы (2.4.2/11) нужно
применить формулы (2.4.2/13) в случае (а), (2.4.1/7) в случае (Ь),
(2.4.1/8) в случае (с), (2.4.2/9) в случае (d) и (2.4.2/10) в слу-
чае (е).

Замечание 1. Отметим один интересный для дальнейшего
частный случай. Пусть	s2^0, S!^s2, 1<р1<ос,

1<Р2<оо. Пусть, далее, для	+ и v2 ц2 ф- s2p2

справедливо равенство (3.4.1/2), и пусть для 0<6~<1 числа
s, р, v и р определены равенствами (3.4.1/3) и (3.4.1/4) (включая
указанные там особые случаи). Тогда

рц‘; рЧ (Й; рИз;	(Й; р"; pv). (12)

Это следует из соотношений (3) и (6). Если s нецелое, то
в правой части равенства (12) можно заменить Bsp р на Wsp.

Замечание 2. Из соотношений (7) и (8) следует, что для
0 < 6 < 1

<4, (Q; р“'), Lp> (Q;	(Й; рЧ \ № р“!)]„ =

-Ь,(Й; р“),	(13)

где

Р Pl Р2

Е = (1-0)В+ 0&2.
Р	Pl Р2

И

Это —частный случай теоремы 1.18.5.

Замечание 3. На основе интерполяционных теорем п. 2. 4.1
и 2.4.2 можно сразу же получить новые интерполяционные
теоремы, аналогичные утверждениям только что доказанной тео-
ремы. В частности, можно разработать интерполяционную теорию
для пространств Fs с весами. Приведенная выше теорема яв-
ляется обобщением теоремы 4.3 из работы Трибеля [22 II].
3.4.3.	Интерполяция пространств Wp (й; р^; pv) с

Пространства Wsp (й; ри; pv) с v<p + sp были введены в
определении 3.2.6.

Теорема. Пусть Q a Rn —ограниченная область класса С°°,
а р(х) — весовая функция из определения 3.2.3/1, для которой
р-1 (х)	(х) вблизи границы (см. замечание 3.2.3/1.) Пусть,

далее, st	0, s2 0, Si =#s2, 1 < рх < оо, 1 < р2 < оо, Vj <	4-

и v2<p2 + s2p2, причем для / = 1, 2

{Sj}^=\lpj и [ij + SjPj^i+kjPj при fy = 0,..., [sy] — 1. (1)
Для 0 < 6 < 1 положим

s-(i-e)s, + Ss., 1 = У + А ;=(1-^ + ts (2)

(а) Справедливо равенство

(Г₽, ($; рИ1; pV1)> wsp22 (Q; р^2; р^))0.р = s/, Р (й; рц; p^+s₽).

(3)
(Ь) Если $! и s2 — нецелые, то

(й; р"1; pV1), Ws> (Й; р"2; pV2)]0 = в/р (й; р^; р^₽). (4)

Если же sx и s2 — целые, то

[^(Й; pi*.; pv*), Wsp*2 (Й; p^; p^)]9 = HP(Й; pt1; p^+s₽). (5)

Доказательство. Согласно теореме 3.2.6,

№Р'(Й; рц/; pv/) = rp'(Й; р»/; p^+W), / = 1. 2.	(6)

Поэтому (3) следует из (3.4.2/12). Равенство (4) (для нецелых
s2) вытекает из (3.4.2/5), а равенство (5) (для целых sx, s2) —из
(3.4.2/8).

Замечание 1. Соотношения (4) и (5) нужно различать при
описании интерполяционных пространств, получаемых с помощью
пространств Н и В (см. формулу (2.4.2/12)).

Замечание 2. Как уже отмечалось в замечании 3.2.6/6 и
в теореме 3.2.6, индекс v в обозначении пространств I^p(Q; р*1; pv)
несуществен, если {s}	\/р и —со < v < sp-j-ц. Рассмотрим два

важных частных случая, (а) Пусть s —нецелое, {s} Ф 1/р и

p-^-sp^l+kp при £ = 0, ...,[$]—1.	(7)

Тогда из формул (3) и (3.2.6/20) следует, что (в предположениях
теоремы)

(г;; (Й; ри.; рЧ Г’; (Й; ри.; pv.))9> р = W * (Й; р^; р*).	(8)
Здесь v — произвольное число, удовлетворяющее условию —оо <
<Cv<Cp + sp. (b). Пусть s —целое число и выполняется (7). Тогда
из (5) вытекает, что (в предположениях теоремы) для целых sx и s2

[де?, (Й; рн>; pH ^р2(Й; РИг; Pvo]e= Wsp (Й; pH; pv). (9)

Здесь снова v — произвольное число, лежащее в интервале —оо <
<v<|n4-sp.

Замечание 3. Особый интерес представляет случай цу=0,
/=1, 2. В этом случае можно также выбрать v7 = 0, /=1, 2,
и мы получаем теорию интерполяции для пространств Wsp (Q).
Условие (1) сводится к условию {s7-} =/= 1/pj. Позднее мы еще раз
вернемся к этому вопросу.

Замечание 4. Теория интерполяции для пространств
IFp(Q; р^; pv) в случае v<p + sp оказывается более сложной.
Отдельные результаты в этом направлении получены в работах
Гуджо [1] и Фавини [7].

3.5.	ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ РАЗНЫХ МЕТРИК

Подобно тому как это было сделано в § 2.8, мы изложим
теперь теоремы вложения разных метрик для пространств, рас-
сматриваемых в настоящей главе. Теоремы о следах будут рас-
смотрены в следующем параграфе.

3.5.1.	Пространства Bsp ,(Й; pu; pv) и Hp(Q; pu; pv)

Частным случаем пространств BpA(Q; р^; pv) и 7/p(Q; р^; pv)
служат пространства Wsp (Q; рц; pv) (см. формулу (3.2.3/11)). Как
показывают теоремы п. 3.2.4, эти пространства представляют
особый интерес.

Теорема. Пусть Q с— произвольная область, а р (х)—
весовая функция из определения 3.2.3/1.

(а)	Пусть /^0,

. _	п	. п

1 <Zp^q <оо, s-------= г------

н 4	Р q

и + Тогда

Wsp (й; pH; pV) с- (Q. рх; рТ)
и

Hp(Q; pH; pv)c=//^(fi; ри; рх),
где

X   |Л Т   |Л S — t V t

~q ~ р ' q ~ р ~Г "г р s

(1)

(2)

(3)

(4)
(При t = 0 следует принять 1Г^(Й; ри; ри) = Щ(й; рх; рн) =
-=L?(Q; ри).)

(Ь)	Пусть Isgjrsgoo, / > О, v 5s р -|- sp ы выполнены условия (1)
и (4). Тогда

Bsp. r (й; рц; pv) с= В1„. г (й; ри; рт).	(5)

Доказательство. Шаг 1. Докажем (2). Сохраняя прежние обо-
значения, имеем, согласно (2.8.1/19) и свойству монотонности про-
странств Zp,

/ оо	\ 1/(7

/ 00	ь,_£_	,-тА	V/p

« 2 г «iw;.	+2'	 (6)

Wp(Rn)	WP (Kn)Z

Из интерполяционных свойств пространств Wsp следует, что при
/>0

2У я ||	1|	(2У ||	|1 ws (2^1	||L К (7)

р v	р/ \	р!

Но

q р р

Поэтому (2) следует из (6) и (7).

Шаг 2. Доказательство вложений (3) и (5) проводится анало-
гично, с использованием вложений (2.8.1/15) и (2.8.1/2). При этом
в неравенствах (6) и (7) можно заменить Wp""* на Вр~*.

Замечание. Для важного частного случая v = р + sp выпол-
няется равенство

х = % + tq.	(8)

3.5.2.	Пространства IVp(Q; рц; pv) с v<p4"57?

Пространства рц’> pV) были введены в определении 3.2.6.

Теорема. Пусть Q cz Rn — ограниченная область класса С°°,
а р(х) — весовая функция из определения 3.2.3/1, для которой
вблизи границы (см. замечание 3.2.3/1).

(а)	Пусть

1	<Zp^q <оо, O^Z^s, — оо<р<оо, у	(1)

Если — oo<v<p + sp« — оо<т<х-|-/7, то

Г5Р(Й; рц; р’)с!'(й; ри; рт),	(2)
где
п . ,	п	,п,

s----->t-------	(о)

Р Я

(b)	Пусть выполняется условие (1) и, кроме того,

{s}#= 1/р, цsp =# 1 Н-kp при k = 0, .... [s] — 1,
{t}^=l/q, х + tq Ф 1 + Iq при 1 = 0, ...,[/] — 1.
Если

(4)

р q

то имеет место вложение (2).

Доказательство. Второе утверждение теоремы есть простое
следствие теорем 3.2.6, 3.5.1 и замечания 3.5.1. Пространства
TFp(Q; рц; pu + s<z) монотонны по отношению к параметру s, и ана-
логичный факт верен для пространств	рх; рх+/|?). Это

свойство справедливо и для пространств №р(й; рц; pv) (соотв.
IFp (й; рх; рх)), если s (соотв. t) принадлежит интервалу [k, йф-1),
k = 0, 1, .... Для пространств Wp(Q; рц; pu+s₽) (соотв.

рх; рх+/<?)) имеет место соответствующее утверждение,
касающееся поведения при изменении параметра р. (соотв. х). Ана-
логично обстоит дело и в случае пространств ^(й; рц; pv)
(соотв. Ц7,(й; рх; рт)) при целых s и t. Принимая во внимание,
что в неравенстве (3) параметры можно немного изменить, видим,
что утверждение (а) следует из утверждения (Ь).

3.6.	ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ

(ТЕОРЕМЫ О СЛЕДАХ)

Этот параграф — аналог § 2.9. Мы ограничимся здесь описа-
нием граничных значений на (п — 1)-мерных границах. Эти иссле-
дования можно распространить и на случай /-мерных многообра-
зий, 1^/<п—1, в духе п. 2.9.4. Но поскольку использовав-
шийся нами метод из первого шага доказательства теоремы 2.9.4,
в общем, применим и к этому случаю, мы не будем давать здесь
явных формулировок.

3.6.1.	Прямые и обратные теоремы вложения

для пространств Wp (й; da(x))

Пусть й cz Rn — ограниченная область класса С00 и d(x), как
и ранее, обозначает расстояние от точки хей до границы дй.
В настоящем пункте будут изучены граничные значения функ-
ций из пространств Wp (Q; da(x)), т=1, 2, ..., 1<р<оо,
—1<а<оо. Эти пространства были описаны в определении
3.21.4. При 0^а<оо функция da (х) является весовой функцией
типа 3 в смысле определения 3.2.1/3, а при —1 <а 0 — весовой
функцией типа 4. Как показали Бесов и Куфнер [1], при а с — 1
множество С™ (Q) плотно в пространствах Wp (Q; da(%)). Этим
объясняется, почему при изучении граничных значений мы огра-
ничиваемся случаем —1<а<;оо.

Для формулировки теоремы нам понадобятся некоторые пред-
варительные рассмотрения. Пусть пространство Lp(dQ) имеет
обычный смысл. (Мера на dQ порождается лебеговой мерой в Rn.)

Определение. Пусть Q cz Rn — ограниченная область
класса С00, а шары К/ и функции (%), / = 1, ..., Лф таковы же,
как и в определении 3.2.1/2. Пусть, далее, (у) — соответствую-
щие обратные функции, а функции ф;(х), /=1, N, опреде-
лены соотношением (3.2.2/1). Для 0<s<oo, 1<р<оо, 1

положим

ВР. q (<?Й) = {/1 f <= Lp (dQ), tyf) (//)) e BPf q

/ = 1....*}, (1)

N

TO (SO)=	(pv	(2)

(Вне образа множества /Q П dQ функции (ф/) (f^-1 (у)) доопреде-
лены нулем.)

Лемма. Пространство BsPtq(d&) является банаховым. С точ-
ностью до эквивалентности норм оно не зависит ни от выбора
шаров Kj, ни от выбора функций (х) и ф7 (х).

Доказательство. Пусть даны два покрытия границы dQ шарами.
Возьмем покрытие более мелкое, чем оба заданных. Используя
это покрытие, нетрудно доказать независимость нормы от ша-
ров Kj и функций (х) и ф7 (х). После этого легко устанавли-
вается, что Вр, q (dQ) — банахово пространство.

Замечание 1. Очевидно, что можно аналогичным образом
определить пространства Hsp (dQ), 0 <; s < оо, 1 < р <; оо. В каче-
стве частного случая получим пространства W3p(dQ) = Hsp (5Q) для
з=1, 2, ... и Wp(dQ) — BPt р(д£1) для нецелых s>0. Для описа-
ния граничных значений нам понадобятся только пространства
BsP,q(d£l).

Теорема. Пусть Q с: Rn — ограниченная область класса С°°,
и пусть v обозначает (внешнюю) нормаль к dQ>, a f\d& —граничное
значение функции f. Пусть, далее, т=1, 2, ..., 1<р<оо*
(а)	Для —1	— 1 оператор Ш, определенный равенством

есть ретракция №p(Q; da(x)) на	В™ р р 7 (dQ).

/ = о

Кроме того, справедливо соотношение

Г₽(й;	(х)) = {/|/е^(й; d“(x)), Э1/ = 0}.	(4)

(Ь)	Для а^тр — 1

Wp(£l-,da (х)) = Wр (й;	(х)).	(5)

Доказательство. Функции (%) в приведенном выше опреде-
лении можно выбрать так, чтобы направление, нормальное кдЙ,
переходило в направление оси уп. Тогда функции (ф//)	(у))

будут принадлежать пространству

vm(p, ^±1	р, Ар (/?„-!)),

фигурирующему в формуле (2.9.2/3). Используя метод локальных
координат, получаем так же, как на первом шаге доказательства
теоремы 2.9.2/1, что является непрерывным линейным отобра-
жением

[——Г

L р J /х+1 .

№?(Й; d“(x)) на П <,₽ Р W

/==0

Подобным же образом из теоремы 2.9.2/2 следует, что Ш есть
ретракция и что выполняются соотношения (4) и (5).

Замечание 2. Вп. 2.9.2 было объяснено, как надо пони-
мать граничные значения, —с помощью интерполяционной теории,
в духе теоремы 1.8.5(a). Очевидно, что для /^C°°(Q) так опре-
деленные граничные значения —- совпадают с обычными гра-
dvk

ничными значениями. Далее, (уже в общем случае) справедлива
оценка

п₽

/=о

a 4-1
s---------/

В Р (дй)

Wp (Q;da(x))*

(6)
В теореме 3.2.2 (с) было доказано, что для 0^а<оо множество
C°°(Q) плотно в Wp (Q; da(x)). Пусть теперь	da(x))

и C°°(Q)	в Wp (Q; da(x)). Тогда, в силу (6), функция 34/

Г «+11-

L Р J s а+1 ;

может быть представлена как предел в	Вр,р р (^)

/=о

функций ЭЧ/у. Согласно результатам Бесова и Куфнера [1], мно-
жество C°°(Q) плотно в lFp(Q; da(x)) и при —1<а<0. Следо-

вательно, проведенные выше рассуждения проходят и в этом

случае.

Замечание 3. В формулировке теоремы вовсе не обяза-
тельно выделять нормальное направление. Пусть v(x)^Rn,
| v (х) | = 1 — векторы, определенные в окрестности границы dQ,
координаты которых суть т раз дифференцируемые функции.
Если v (х) ни в одной точке хе dQ не является касательным
вектором к границе, то теорема остается верной. Единственное
изменение в доказательстве состоит в том, что теперь функции /(7)(х)
надо выбрать так, чтобы в векторы, направленные по оси уп,
отображались векторы v(x).

Замечание 4. Теорема показывает, что пространство
Вр'Р(дО), 0<s<oo, 1<р<оо, можно нормировать также сле-
дующим образом. Если выбрать натуральное число т и число
— 1<а<оо так, чтобы т — 2-t_L = s, то
Р
(я;

В замечании 3.6.3/1 будет показано, что и пространства Bsp>q(dQ)
могут быть нормированы подобным образом при 0<s<oo,

Замечание 5. Ссылки на литературу будут даны в п. 3.10.1.

3.6.2. Прямые и обратные теоремы вложения

для пространств	Хп)

Полупространство Rn является неограниченной областью, удов-
летворяющей условию конуса в смысле определения 3.2.1/1. Далее,
функция о(х) = х% с 0^а<оо является весовой функцией типа 1
в смысле определения 3.2.1/3. Пространства Bsp> q(jRn, xfy были
описаны в теореме 3.3.1 как интерполяционные пространства для
пространств W™(Rn\ х“). В отличие от предыдущего пункта здесь
мы не рассматриваем случай —1<а<0, поскольку не разра-
ботали для него теорию интерполяции этих пространств. Как мы
уже упоминали выше, случай —1 <са<0 исследован (по крайней

мере частично) в работе Гривара [2].

Как и раньше, положим х' = (хг, .... хп-г).

Теорема. Пусть 1<р<оо,	0^а<Соо и

(а + 1 )/Р < 5 < оо. Тогда оператор Л, определенный равенством

= Ж, 0).	0), д г (*'. 0)

I	р -I

является ретракцией
L Р J а+> ,
BSP,M> *“) на П Bp,q Р (^-1)-

(1)

Доказательство. Шаг 1. Из теоремы 3.2.2 (Ь) следует, что мно-
жество С°° (Rn) плотно в пространствах W™(Rn', xfy- Отсюда сле-
дует, что эти пространства совпадают с пространствами W™ xa(RV)
из определения 2.9.2/2. Фиксируя а и выбирая два достаточно
больших натуральных числа тТ и т2, получим, следуя доказа-
тельству теоремы 2.9.2/2 (а также третьему и четвертому шагу
доказательства теоремы 2.9.2/1), что отображение х (хп) Р (хп) h (%')
является непрерывным отображением пространства В^“(а+1)/р(/?л_1)
в W™r(jRn; Хп\ г = 1, 2. Интерполируя, находим, что для доста-
точно больших s отображение х (хп) Р (хп) h (%') представляет
собой непрерывное отображение пространства BSp~qa+i}/p (Rn-i)
в Bsp,X₽i; №). Пусть теперь s — произвольное число, удовлетво-
ряющее неравенству (а+1)/р < $, а т — достаточно большое на-
туральное число. Применяя формулу (2.9.3/15) и относящиеся
к ней рассуждения, а также явное выражение для нормы про-
странства BsPtq(]Rn\ хп) из теоремы 3.3.1, заключаем, что
X (хп) Р (хп) h (xf) есть непрерывное отображение из Bsp~qa+[)/p (Rn-г)
на Bsp>q(Rn', Хп) для всех s, для которых (a+l)/p<s. Аналогич-
ными рассуждениями устанавливается, что оператор © {/i0,..., /iz},
определенный равенством (2.9.2/12), где х = [s — (а+ 1)/р]“, осу-
ществляет непрерывное отображение

[s-^±ir

I р ] а-Н .

П Вр, q Р (Рп-1) В BPt q (Rn’> Хп)>
i=0
причем

Q)=h)(x'), / = 0,1,	(2)
Шаг 2. Для того чтобы доказать, что 3R— непрерывное отобра-
жение

L р J g-м .

4) В П BPQP (^-1)-
/ = о

нам понадобится провести некоторые предварительные рассужде-
ния. Пусть функция ф (/) е С°°((0, сю)) такова, что ф(/) = 1 для
0 t 1. Положим

2	2

Т/ = ф(хЛ) J...+	х2 + хпт2, ..., xnTn)dr1...dTn.

Учитывая, что а 0, мы видим, что Т — непрерывное линейное
отображение пространства	х„) на себя, /п=1, 2, ...,

1 <р<оо. То же самое можно сказать и об операторе Тт. Диф-
ференцируя и интегрируя по частям, получаем, что для f е С°° (Rn)

Повторно используя этот прием, находим, что

«	11 < (r£; х“+ m₽)	С ’f lp (rJ; ,“)•

Следовательно (после доопределения по непрерывности), оператор
Тт является непрерывным отображением пространства Lp(Rn\ xty
в Wp (/?«; Хп+тр). Но тогда Тт есть также непрерывное отобра-
жение пространства

x“) = (Lp(/?i; х“),	4)Х	(3)

т* р

В

Хап+тр\ Wp(Rn', x“))s •	(4)

р

Здесь 0<s<;m. Принимая во внимание явное выражение для
/(-функционала (п. 1.3.1 и 1.3.2), получаем, что

хап+тр),	(5)

m* р

Шаг 3. После предварительных рассуждений, проведенных на
втором шаге, уже нетрудно завершить доказательство. Для
(Rn) имеет место равенство (Tmf) (%', 0) = /(%', 0). Но
тогда из (3) —(5) и теоремы 2.9.2/2 следует, что при s > (ос+ 1)/р
отображение Sftof = f(x', 0) является непрерывным отображением
пространства BsPtP{Rn\ х%) в Bsp~pa+i}Jp (Rn_^. Значит, Ш есть не-
прерывное отображение

Г, а+И~

L Р J аЧ-1 .

Bp,p(Ri;x„)B П вр,рр

1 = 0

Отсюда и из результатов шага 1 следует, что 9t — ретракция.

Шаг 4. Соответствующее утверждение для пространств
Вр, ДЙ; получается с помощью интерполяции пространств
Вр7Ре(Й; *«), где е — достаточно малое положительное число
(см. теоремы 1.2.4, 1.10.2и3.3.1). При этом в случае [s — (а + 1)/р]"<
<[s-f-e — (а4- 1)/р]“ в выражении для оператора 91, отвечающего
пространствам Вр+ре(Й; х^), нужно опустить производную наивыс-
шего порядка.

Замечание 1. Рассуждения, близкие к проведенным на вто-
ром и третьем шагах доказательства, можно найти в работе Гри-
вара [2].

Замечание 2. Пусть Вsp,q(Rn\ xty — замыкание множества
С£°(Й) в Вр.ДЙ; Хп)- Возникает вопрос, имеет ли место равенство

°Вр.ЛКп-> x“) = {/|/eBsp,х“); 91/= 0}.	(6)

Утверждения такого рода содержатся в теоремах 2.9.2/1, 2.9.2/2,
2.9.3 и 3.6.1. Пусть 1<р<оо, 1^^<оо и функция /е
Вр, q (Rn', х“) такова, что 91/= 0. Не ограничивая общности, можно
считать, что /(х) = 0 при x<=\y\y^Rn; | у | > R}. Выберем после-
довательность функций С°°(Rn) => fj->f в BsPtq(Rn', x“) при /->oo.
Пусть © имеет тот же смысл, что и на первом шаге доказатель-
ства. Тогда (в легко понятных обозначениях) имеем для подхо-
дящей функции х (х) е С00 (Rn)

Ст(Rk) =	(^fj)]X(х)->/, ®g/ = 0.

Отсюда следует, что достаточно ограничиться рассмотрением функ-
ций f <=Сда (Rn), для которых 91/ = 0. Пусть / — такая функция,
a s~>(a + l)/p. Выберем такие два неотрицательных числа т1 и
т2, что s = (l — 6)m1-j-9m2, О<0< 1. Полагая x = [s —(а + 1)/р]-,
получаем на основании формулы (2.9.2/7) (ниже используются
введенные в ней обозначения), формулы (1.3.3/5) и теоремы 3.3.1,
что

№(x)-%K(xn)f(x)lBS

P,q\ п п)

£ I f (х) (Хп) f (х) II	II f (X) Хх (.Хп) f (х) || wmz / д>+.

р \ п п)	р У п п)

сХа~^+х^+1, 0 < X < 1.	(7)
Если s —(а + 1)/р —нецелое, то правая часть неравенства (7)
стремится к нулю при Х^О. Отсюда следует, что равенство (6)
справедливо при 1<р<.оо, 1^;^<оо, s> (а+ 1)/р и нецелом
s — (а-|-1)/р. Аналогично доказывается, что равенство

BsPl.q(Rn-,	4)

(8)

справедливо при 1 < р < оо, 1 q < оо и 0 < s < (а + 1)/р. Для
особых случаев s —(ссЦ-1)/р = 0, 1, 2, ... дело обстоит посложнее.
Если бы удалось доказать, что пространства	х*) рефлек-

сивны при 1<р<оо, 1<^<со и s — (a-f-l)/p = O, 1, 2,...
(для а = 0 это верно, в силу теоремы 2.11.3), то можно было бы
воспользоваться приведенным выше методом. Тогда мы получили
бы, что равенство (6) имеет место также для <s — (а+1)/р =
= 1, 2, ..., а равенство (8) —для s = (cz+l)/p, 1<р<оо,
1 <^<оо. Другая возможность доказательства равенств (6) и (8)
для s — (а+ 1)/р = 0, 1, 2, ..., 1<Ср<оо, 1<9<оо состоит
в дальнейшем развитии методов, предложенных в работе Три-
беля [21].

3.6.3. Прямые и обратные теоремы вложения

для пространств Bsp,q(Q\ da(x))

Пусть Q cz ^„ — ограниченная область класса С00, a d(x)—
расстояние от точки xeQ до границы dQ. Для простран-
ства Вр.ДЙ; da (х)) были определены в теореме 3.3.3 как интер-
поляционные пространства. Как отмечалось во введении к п. 3.6.2,
имеет смысл рассматривать также случай — 1<а<0. Однако,
поскольку мы не развили теории интерполяции для таких про-
странств, ограничимся случаем 0^а<оо.

Ниже используются обозначения п. 3.6.1.

Теорема. Пусть Q cz Rn~ ограниченная область класса С™,
и пусть 0^а<оо, 1<р<оо, s>(a+l)/p, l^^^oo. Тогда
оператор ?Я, задаваемый равенством

(1)

является ретракцией

L «+!]-

L Р ]	_ а 4-1 _ .

Bsp,q(Q; <Г(х)) на П В*РЧР '«

/=о
Доказательство. Вводя локальные координаты так же, как
в доказательстве теоремы 3.6.1, выводим доказываемое утвержде-
ние из теоремы 3.6.2.

Замечание 1. Согласно этой теореме, в пространствах
Вр, q (dQ) можно ввести эквивалентные нормы без явного исполь-
зования шаров Kj и функций (х), ф7- (х) из определения 3.6.1
(см. также замечание 3.6.1/4). Из приведенной выше теоремы
немедленно следует, что при s > О, 1<р<оо и 1 q оо

Вр,q (5й) = {f I f <= Lp (5Й), 3g e= Bsp+ql/p (Й): f = g|3a},

II/IIbs (dQ) = inf JS llBs+ 1/P(Q) •	(2)

p, <7	SldQ=f P, Q

Здесь Bp,q(Q) = Bap,q(^-,

Замечание 2. Из теорем 3.3.3, 3.2.2 (с) и 1.6.2 вытекает,
что Сто(й) плотно в ВР: 9(й; d“(x)) при s>0, 1<р<;с>о, 1
^q<Zoo. Таким образом, в этом случае применимо замеча-
ние 3.6.1/2 о граничных значениях.

Замечание 3. Метод локальных координат позволяет вос-
пользоваться также замечанием 3.6.2/2. Обозначим через
Вр,9(й; d“(x)) замыкание множества С“(й) в Вр,?(й; d“(x)).
Тогда

(а)	при 1<р<сю, 1^^<оо, s>(a+l)/P и нецелом
$-(а+1)/р

В’, q (Й; d“(x)) =	f G= Bsp,q (й; d“ (х)),	= 0},	(3)

(b)	при 1<р<оо,	и 0<s<(a-f-l)/p

=	d“W).	(4)

Применимы к рассматриваемой ситуации и замечания, касаю-
щиеся особых случаев s —(a+1)/р = 0, 1, 2, ....

8.6.4.	Прямые и обратные теоремы вложения для
пространств Wp(Rn; о), Wp(R„; а),
Bp,q(Rni И Вр, q{Rni <т)

В этом пункте мы рассмотрим область й=/?„, которая пред-
ставляет собой неограниченную область, удовлетворяющую усло-
вию конуса, и весовую функцию ст(х) типа 1 в смысле определе-
ния 3.2.1/3. В данном случае это означает, что существуют два
положительных числа с и X, такие, что

ст(х)<;с min о (у), x<=Rn-
\у—х \

12 X. Трибель

(1)
Условие (1) есть предположение о некоторой небольшой гладкости
и в то же время — условие на рост функции. Из (1) следует, что
существуют четыре положительных числа с2, и х2, такие,
что

| X [ Q (%)	[ X I .

(2)

Пространетва W™ о) и Вр1?(7?и; о) были описаны соответственно
в определении 3.2.1/4 и теореме 3.3.1. В рассматриваемом случае
множество /Ив в формулах (3.3.1/5) и (3.3.1/6) можно заменить
на Кв = {х| |х|<6}. Для того чтобы дать полное описание пове-
дения функций, принадлежащих W™(Rn; о) или Bp,q(Rn\ а), вблизи
гиперплоскости {х |хл = 0}, мы введем соответствующие простран-
ства над R„.

Определение. Пусть о(х) — весовая функция указанного
выше типа.

(а)	Через W™ (R„; о), где т — 0, 1, 2, ..., 1<_р<оо, обозна-
чается сужение пространства Wp (Rn', <т) на Rn.

(b)	Через BSptq(R.n', о), где s>0, 1<р<оо, 1	обоз-

начается сужение пространства BsPi q (Rn\ о) на Rn.

Замечание 1. Как обычно, мы полагаем

Rfl

"гк.(И (4)

‘евр,,^'в)

Замечание 2. Для R„ (неограниченной области, удовлетво-
ряющей условию конуса) функция о(х) не должна обязательно
быть весовой функцией типа 1 в смысле определения 3.2.1/8.
Однако если предположить, что а (х) — весовая функция типа 1
в Rn, то, согласно приводимой ниже теореме, пространства
Wp(R%; о) и BSp,q(R^; а) совпадут с пространствами, описанными
в определении 3.2.1/4 и теореме 3.3.1. См. также замечание 3.

Теорема 1. (а) Пусть т — 0, 1, 2, ... и 1 < р < со. Тогда
для f^Wp(Ri-, о)

Ик-(«+-о)~ £ М <T(x)|D“f(x)|Mx\1/₽.	(5)

(Ь) Пусть 1 < р < со, 1 -'J q ос со, 0 < 6 < 1. Если тг и т2 —
такие два целых числа, что 0^mi<.mi<Z<xi, и s = (l — Q)m1-\-
+ 6т2, то

^ = (W^(R+n-, а), W?(R+n-, <Т))01?.	(6)

Пространства BsPiq(Ri; а) могут быть нормированы с помощью
норм (ЪЗЛ/5) и (3.3.1/6), если положить там Q = 7?« и /14$ =

Доказательство. Шаг 1. Пусть х (/) —бесконечно дифференци-
руемая функция на 7?п такая, что х(0 = 1 при —1=С/<оо и
^(/)=:0 при —оо</< — 2. Используя метод продолжения из
леммы 2.9.1/1 (при этом нужно заменить (S/)(x) на % (хп) (Sf) (х)),
получим утверждение (а). Отсюда же следует, что оператор суже-
ния, действующий из Wp (Rn; а) на Wp (Ri; а), является ретрак-
цией. Поэтому равенство (6) вытекает из определения пространств
Bsp, q(Rn; d) и теоремы 1.2.4.

Шаг 2. Из второго шага доказательства теоремы 3.2.2 видно,
что W™ (Ri; о) совпадает с пространством, определенным форму-
лой (3.2.1/6) (нужно только распространить определение 3.2.1/4
на случай рассматриваемых здесь пространств). Повторяя теперь
рассуждения п. 3.3.1 (в лемме 3.3.1 надо взять v; = (0, ..., О, 1,
О, ..., 0)), придем к нормам (3.3.1/5) и (3.3.1/6) с Q = Ri и/Ив =
= {h\\h\^8}(]Ri.

Замечание 3. Из второго шага доказательства и теоремы
3.3.1 следует^ что если о (х) — весовая функция типа 1 в Ri, то
пространства W™ (Ri; о) и Bp,q(Ri; о) совпадают с ранее опре-
деленными пространствами, для которых использовались те же
обозначения.

Положим x' = (xL, ..., Xn-J и о(х')=о(х', 0).

Теорема 2. (а) Пусть т = \, 2, ... и 1 < р < оо. Тогда опе-
ратор (R, задаваемый равенством

I Ч	Ч /	(7)

является ретракцией пространства Wp (R„, о) (соотв. W™ (Rfr, а))
на

т_~1 пг— — —}

П BPlPp (Rn-i> $)•

t=0

Если W™ (Rn‘, о) обозначает замыкание множества (Ч) в
Wp(Rn’, а), то

W?(Rt-, a) = {f\f<=W™(R+n, о), 0t/ = 0}.	(8)
(Ь)	Пусть 1<Ср<Соо,	и sz>\lp> Тогда оператор

SR, задаваемый равенством

является ретракцией пространства BP)Q(Rn- о) (соотв. BPfQ(Rn\ а))
на

р] S—-

П Bp,qp(Rn-i. &)•
/=0

Если Вр, q (R„; о) обозначает замыкание множества С“ (Rn) в
Bp,q(Rn', о), то при 1 < q <. оо

BP,q(R+n, о) = {f \ f BsPt q (R„; о), W = 0}.

(Ю)

Для нецелого s— 1/р равенство (10) справедливо и при q=l.

(с)	Пусть 1<р<оо, lsg7<co и Q<is<Z\/p. Тогда мно-
жество Cf (Rn) плотно в Bsp<q(Rn', а). При 1<р<с>о и \<Zq<
<оо множество (Rn) плотно в B^pq(R/t\ а).

Доказательство. Шаг 1. Подберем подходящее покрытие Rn-i

ОО

конгруэнтными шарами достаточно малого радиуса: /?n-i = (J Aj.

/=i

Пусть, далее, функции % (х') е Cf (КД таковы, что

0<%(х')^1,	Ф/(*')^1> |РуФ/(х')|^су,/ = 1, 2, ... .

/=1

(Н)

(Вне Kj функции (х') доопределены нулем.) Докажем первые
части утверждений (а) и (Ь) при p = q. Так как произведение
двух ретракций — снова ретракция, то можно ограничиться рас-
смотрением пространств W™(Rn\ а) и Bsp> p(Rn', о) (см. также
первый шаг доказательства теоремы 1). Кроме того, можно огра-
ничиться рассмотрением функций f(x), удовлетворяющих условию
f (х) = 0 для хп т] > 0. В начале этого пункта и в теореме 1
были описаны нормы пространств BsPi p(Rn-T, <*) и BsPtP(Rn-, а).
Выбирая входящее в эти нормы число 6 и указанное выше число
т) достаточно малыми, заключаем на основании (3), что

оо

"?(<) ,12)

(13)

оо

(я .	(*')«(*') L z v (14)

Вр, р\Вп—Г °)	/=1	Вр, р{Вп-\)

Здесь Cj — подходящим образом выбранные числа; например, можно
взять су =а (%'•), где х] — центры шаров Лу. Из теоремы 2.9.3
вытекает, что 9ft является ограниченным линейным отображением
т — 1

пространства Wp (Ri; о) в	o’)- Аналогичный

/ = о

вывод справедлив и для пространств BsPt p(Ri; о) при s>l/p.
Пусть теперь функции %у (%') е (К/) таковы, что х> (V) = 1
в некоторой окрестности носителя supply. (Вне Лу полагаем
%У (%') = 0.) Если @ имеет тот же смысл, что и в формуле (2.9.2/12),
то, как следует из шага 3 доказательства теоремы 2.9.3, при
надлежащем выборе функций X/ СИ оператор ©, определяемый
равенством •••

••• ,Ф/М=®{Ло> •••	(15)

/= 1

будет коретракцией, соответствующей оператору 31 в рассматри-
ваемых здесь случаях. (Мы использовали формулы (12)—(14).)
Следовательно, 31 — ретракция.

Шаг 2. Из теоремы 1.2.4 и интерполяционных теорем для
рассматриваемых пространств вытекает, что оператор 31 является
[s-i/pi-

ретракцией из BPt q(Ri; а) на Ц BsPt q,p 1 (Rn-i, 3). (См.так-
/=о

же четвертый шаг доказательства теоремы 3.6.2.)

Шаг 3, Пусть q < оо. Множество С°° (Ri) плотно в BsPt q (Ri; а)
и в Wp (Ri; о). Используя явные выражения для норм в этих
пространствах, метод, развитый на третьем шаге доказательства
теоремы 2.9.2/1 (см. также формулу (15)), и соответствующие
утверждения теоремы 2.9.3, получим равенства (8), (10) и утвер-
ждение (с) доказываемой теоремы.

Замечание 4. На рассматриваемый здесь случай непосред-
ственно переносятся и другие утверждения теоремы 2.9.3. Так,
из теоремы 2.9.3 (с) следует, что формула (10) неверна при д = 1
и s-l/p=l, 2, ... .
3.7.	СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ

В § 2.11 мы изучали структуру пространств Hsp(Rn), Bp,q(Rn)
и т. д. Теперь мы дополним эти результаты, изучив структуру
пространств	рц; pv) и HP(Q; рц; pv) (определение 3.2.3/2),

v^p-J-sp. Помимо теоремы 2.11.1/3 нам понадобится еще один
результат, принадлежащий Пелчиньскому [1].

Лемма. Предположим, что для заданного банахова прост-
ранства А существует такое число q, l=Cg<;oo, что простран-
ство lq(A) изоморфно А. Если для некоторого другого банахова про-
странства В существуют ретракция А на В и ретракция В на
А, то В изоморфно А.

Доказательство. Временно будем обозначать изоморфизм двух
пространств знаком Из рассуждений п. 1.2.4 следует, что

Л = ЛофЛх, B = B0Q)B1, где Л0~В, В0^~>А.

Тогда

А ~ lq (Л) ~ lq (Ло) © lq (Лх) ~ lq (В) ф lq (Лх) ~

~/?(В)ф/?(Лх)фВ
lq (Ло) ф lq (Лх) ф Вг ф А ~ lq (Л) ф Вг ~ Во ф Вх = В

Замечание. Для наших целей достаточно приведенной выше
леммы. Более общие результаты можно найти в работе Пелчинь-
ского [1]. Примерами банаховых пространств указанного выше
типа служат пространства Lp((0, 1)) и 1Р, 1<:р<оо. Из теорем
2.11.2 и 2.11.3 вытекает, что Вр, q(Rn), Hsp(Rn), Bp,q(R+n), Hp(Rn),
Bp,q(Rn) и Hsp(Rn), l<p<oo, l=C</sgco, также относятся
к таким пространствам. (В случае пространств Вр, q (Rn) нужно
дополнительно предположить, что q > 1. а в случае пространств
Вр, <,(/?«), —что q<oo.)

При доказательстве следующей теоремы нам понадобится такой
факт. Если со с Rn — ограниченная область с гладкой границей,
то, как будет показано в п. 4.9.3, пространство Др (со), 0<s<oo,
1<р<со, изоморфно Лр(со), а следовательно Lp((0, 1)). Здесь
Др (со) обозначает сужение пространства Hp(Rn) на со. См. также
теорему 2.11.2(a).

Теорема. Пусть выполнены предположения определения
3.2.3/2. Тогда пространство HSP(Q; рц; pv), s^O, 1<р<со,
v^p + sp изоморфно Lp((0, 1)), а пространство BP,P(Q; ри; pv),
$>0, 1<р<оо, v^p-j-sp изоморфно lp. В частности, про-
странство №p(Q; ри; pv) при целых s изоморфно LP((Q, 1)), а при
нецелых s изоморфно 1Р.
Доказательство. Шаг 1. Используя шаг 1 доказательства тео-
ремы 3.4.2 и рассуждения п. 1.2.4, легко установить, что
Яр(й; рц; pv) изоморфно дополняемому подпространству прост-
ранства lp(Hsp(Rn)), а Вр, р(£2; ри; pv)— дополняемому подпрост-
ранству пространства lp(Bp,p(Rn)). Поэтому из теорем 2.11.2 (Ь)
и 2.11.1/3 вытекает, что Вр,р(£1; рц; pv) изоморфно 1Р.

Шаг 2. Из рассуждений шага 1 и теоремы 2.11.2(a) следует,
что существует ретракция £р((0, 1)) на HP(Q; рц; pv). Согласно
лемме и сделанному выше замечанию, для завершения доказатель-
ства теоремы нам нужна еще одна ретракция, а именно ретракция
Нр(£1; р11; pv) на £р((0, 1)). Пусть со —открытый шар в Rn такой,
что acQ. Мы утверждаем, что оператор сужения пространства
/7p(Q; рц; pv) на Нр(а>) является ретракцией. Действительно, это
сразу следует из леммы 2.9.3 после применения метода локаль-
ных координат. В силу нашей леммы и сказанного выше отсюда
вытекает искомый результат.

3.8.	ОПЕРАТОРЫ ВЛОЖЕНИЯ И ПОПЕРЕЧНИКИ

В § 1.16 были введены поперечниковые и энтропийные идеалы.
Они полезны для качественного описания компактных операторов.
Разумно использовать эти геометрические характеристики для
качественного описания компактных операторов вложения весо-
вых и невесовых пространств Лебега — Бесова. Позже в § 4.10 мы
подробно изучим компактные операторы вложения в невесовых
пространствах. Настоящий параграф посвящен определению попе-
речников и аппроксимационных чисел для операторов вложения
в пространствах типа IFp(Q; рц; ри+5р), где Q cz Rn — ограничен-
ная область класса С00, а р(х) — весовая функция, для которой
р-1 (х) ~ d (х) вблизи границы (см. замечание 3.2.3/1). Результаты
п. 3.2.6, в частности теорема 3.2.6, показывают, что это —важ-
ный подкласс весовых пространств Соболева — Слободецкого.

Бирман и Соломяк [1 ,2] с помощью метода кусочно-поли-
номиальных приближений подсчитали е-энтропию и поперечники
для операторов вложения в пространствах Соболева — Слободец-
кого. Эль Колли [2, 3] распространил эти исследования на слу-
чай пространств lTp(Qj ри; ри), 1<р<оо, s = l, 2.... (см.

определение 3.2.6). Результаты Эль Колли будут приведены в
п. 3.8.2. Используя эти результаты, интерполяционные свойства
пространств №p(Q; р11; рц+5р) и теоремы § 1.16, мы получим в
п. 3.8.3 удовлетворительное описание операторов вложения в тер-
минах поперечников. В основном мы будем следовать изложению,
данному в работе Трибеля [27].
3.8.1.	Эквивалентные нормы и компактные

вложения в W™ (Й) [Часть II]

Этот пункт является продолжением п. 3.2.5. При исследова-
нии компактных операторов вложения в весовых пространствах
нам понадобятся некоторые простые свойства невесовых прост-
ранств Соболева в ограниченных областях. Позже мы будем под-
робно изучать пространства Лебега — Бесова — Соболева — Слобо-
децкого в областях, а пока что ограничимся доказательством тех
утверждений, которые потребуются в следующих двух пунктах.

Если й = Q — куб в Rn, то через W™ (Q), 1	< оо, т = 1, 2,...,

мы обозначаем сужение пространства Wp (Rn) на Q. Нетрудно
видеть, что теорема 3.2.5 верна также и для й = ф.

Лемма 1. Пусть Й с Rn — либо ограниченная область класса
С°°, либо куб, и пусть 1<р<оо, /п = 1, 2,... . Тогда норма

т” =1^	2 IJdM О)

wp	\|a| = m	к / 1Я<т В

является эквивалентной нормой в пространстве W™ (й).

Доказательство. Согласно формуле (3.2.5/1) и сделанному выше
замечанию, достаточно доказать, что существует число с>0,
такое, что для любых f е Wp (й)

(2)

Допустим, что такого числа с нет. Тогда по аналогии с шагом 3
доказательства теоремы 3.2.5 найдется предкомпактная последо-
вательность	для которой

IlZ/k w=l.	/ = 1. 2............... (3)

Без ограничения общности можно считать, что /)->/. Тогда,
в силу первого из свойств (3),	(Q) = 1, а в силу второго,

/ = 0. Тем самым оценка (2) доказана.

Для дальнейшего нам понадобится одна лемма, относящаяся
к геометрии банаховых пространств, которую мы приведем без
доказательства.

Лемма 2. Пусть Вк+1 —произвольное (/г 4- 1)-мерное подпрост-
ранство банахова пространства В, k==0, 1, 2......a —опе-

ратор вложения Вк+1 в В. Тогда

йк(Зк+1, ^л+1> В) — 1.	(4)
Замечание 1. Эта лемма представляет собой модификацию
известной теоремы М. Г. Крейна, Красносельского и Мильмана
[1]. Ее доказательство можно найти также в книгах Лоренца [2]
и Като [3, гл. IV, § 2, лемма 2.3].

Для двух последовательностей положительных чисел
и {bj}™=i запись aj^bj будем обозначать, что существуют поло-
жительные числа Ci и с2, такие, что

CLj, /=з1, 2, ... .

Теорема. Пусть Q cz Rn — ограниченная область класса С00
или куб,	и т=1, 2, ... . Тогда для оператора вложе-

ния I пространства W™(£2) в LP(Q) справедливы соотношения

Sj (j, Wp (Й), LP (Й)) ~ (/, Wp (й), Lp (й)) ~ Гт/" (5а)
и

dHj, Гр(Й), Др(Й))<с/-т/п,	/ = 1, 2......... (5Ь)

еде с —подходящее положительное число.

Доказательство. Шаг 1. Из теоремы продолжения (см. теорему
3.2.5(c)) и теоремы 1.16.1/1 вытекает, что можно ограничиться
рассмотрением случая

Q = Q = {x|0<xft<l, k^\, .... п}.

Далее, согласно лемме 1.16.1/2, достаточно доказать, что Sj^cj~min
и dj^ с']—т/п, с' > 0.

Шаг 2. Пусть q — куб с ребром длины 1 и функция f (х) е
е W™ (q) такова, что

\D^fdx = Q, 0<|p|<w-l.	(6)

Тогда, в силу леммы 1,

\|a|==m	/

Из этого неравенства вытекает, что для всякого куба q с ребром
длины 2_ft, k = 0, 1, 2, ..., и для всякой функции feWp(q),
обладающей свойством (6),

тс<^с2-Ч 2	(7)

\|а| = /п	/

где с —постоянная, не зависящая от f и k.

Шаг 3. Разобьем куб Q на 2kn кубов с длиной ребра 2~k.
Пусть f^.Wp(Q) и ||/||гт=^1. Для каждого куба q^ подберем
многочлен Pi(x) степени, не превышающей т— 1, для которого
выполняется неравенство (6) с f — вместо f. Коэффициенты
многочленов Pi(x) линейно зависят от f(x). Поэтому из (7) сле-
дует, что

(2^	\ 1/р

Z = 1	И /

Обозначим через L число линейно независимых многочленов сте-
пени, не превышающей т — 1. Тогда

W«(/; №?(Q), Lp(Q))^c2-^,	(8)

откуда

S/(/; №₽($)> Lp(Q))^c/-m/n.	(9)

Шаг 4. Для того чтобы доказать, что dj^ с'j~т/п, разобьем
куб Q так же, как на предыдущем шаге, и выберем такие функ-
ции <pz(x) еС” (qt), что

(Константы в последнем соотношении эквивалентности не зависят
от k.) Пусть {az}^j — последовательность комплексных чисел, для
2fen

которой 2 Iа/ |р = 1 • Положим
z=i
2кп

ф (х) = 5	(•*)•

1=1

Тогда

Согласно лемме 2, отсюда вытекает, что

W™(Q), Lp(Q))^c2-km, с>0.	(10)

Учитывая еще (9), получаем утверждение теоремы.

Замечание 2. Для дальнейшего нам понадобится один более
тонкий вариант оценок (5). Пусть

fiz = {x|2'-l<|x|<2z-4}> /==1> 2> ••• •	(П)

Из рассуждений, проведенных на шагах 3 и 4, следует, что тогда
нужно заменить неравенство (8) неравенством

sL.2*n2M«-i)(7;	Lp{Q)i}^c2-km,
где с не зависит от I и k (и аналогично нужно заменить нера-
венство (10)). В результате получим, что

s7 (/; F;(Qz),Lp(fiz))

Lpta^j-^21тП—,	, (12)

причем константы в обоих соотношениях эквивалентности не
зависят от /. Аналогичная оценка справедлива для d>.

Замечание 3. Как уже отмечалось, позднее приведенная
выше теорема будет существенно обобщена. См. п. 4.10.1 и 4.10.2.
Там же даны ссылки на литературу.

3.8.2.	Компактные вложения

W™ (Q; р11; р" !тр) в LP(Q; pv)

В настоящем пункте й с Rn — ограниченная область класса С00,
а р (х) — весовая функция, для которой p~1(x)^d(x) вблизи гра-
ницы (см. замечание 3.2.3/1). Пространства W™ (й; рц; рц+тр) и
Ар(й; pv) были введены в определении 3.2.3/2. См. также тео-
рему 3.2.4/2. Операторы вложения будут обозначаться через I.

Теорема. Пусть 1<р-<оо, т—1, 2, ...и — оо<р,<оо.

(а)	При + пространство W™ (й; рц; рц + тр) не вкла-
дывается в Lp(Q\ pv).

(b)	При	v — p + mp	оператор вложения пространства

Wp(й; рц; рц + тр) в Lp(£i; pv) непрерывен, но не компактен.

(с)	При p.-\-mp/n<Zv<.р-}-тр

dj(l-, r;(Q; р“; ри+т₽), ЬР(Й; р*))

(d)	При v = ii + mp/n и

dj(l- Г^(й; рц; ри + п1р), Pv))

s7 (...) ^c.	(2)

(e)	При — oo<zv<p + mp/n

d^H Г7(Й; р“; рц + тр). Ьр(й, pv))-s7 (...)	(3)

(f)	Поперечники d!(Г,	рц;рц+т₽), LP(Q; pv)) могут

быть оценены сверху с помощью правых частей соотношений
(1) — (3), умноженных на подходящие постоянные.
Доказательство. Шаг 1. Положим

со, = {х | х eEE Й; 2~z < d (%) < 2~/+1}, Z = 2V, У+1, ....	(4)

Нетрудно построить последовательность функций
принадлежащих Со° (й), такую, что

supp ф/ CZ б)/, || ф/ \\pwm И iL+mp) = 1,

Р

1фС(К|Л~ 2'(5)

Отсюда следуют (а) и (Ь).

Шаг 2. Пусть v <ц4-тр. В силу теоремы 3.8.1, теоремы
продолжения и теоремы 1.16.1/1,

S/(...)^dy(Z; Г;(й; рц; р^), £Р(Й; р*))
f>0.	(6)

Далее, можно построить /С-2/(,г“1) функций ф/ типа (5) с попарно
непересекающимися носителями. Здесь К — надлежащим образом
подобранное натуральное число. Применяя лемму 3.8.1/2 и метод,
использованный на шаге 4 доказательства теоремы 3.8.1, полу-
чаем

W <„-х>	- dK2/ <„-» _, (/; г; (Q; рц; р^ тр), Lp (й, pv))

,тр + ц —V

>с2 р ,

где с —некоторое положительное число. Отсюда вытекает, что
при пэ=2

sy(...)2sd/(Z; рц; рц + ,пр), LP(Q; pv))

• mp~v
р(п — 1)

(7)

Таким образом, для завершения доказательства теоремы осталось
показать, что левые части соотношений (1) —(3) могут быть оце-
нены сверху с помощью правых частей.

Шаг 3. Рассмотрим модельный случай, когда й —единичный
шар. Для случая, когда й — произвольная ограниченная область
класса С°°, рассуждения нужно будет несколько видоизменить.
Пусть /е^(й; рц; p^+znp), причем ||/||^1. Умножение на 21
преобразует область со,, определенную равенством (4), в область й/,
определенную равенством (3.8.1/11), Z = l, 2, .... Положим еще
соо = {х| |х| < 1/2}. Используя (3.8.1/12) и возвращаясь к исход-
ным координатам, получим, что при соответствующем выборе
функций принадлежащих //-мерным подпространствам про-
странства Lp (ai), выполняется неравенство

$ I/(x)\ppv(x)dx
ai

+	JP>.M 2	(8)

co^ I a | = tn

Здесь мы воспользовались тем, что, согласно построениям п. 3.8.1,
в правой части (8) содержатся производные Daf лишь с \а\ — т.
Функции fi(x) линейно зависят от /. Далее, имеем

$	|/(x)^pv(x)dx^c2-'M<i‘-v+^) $7(x)|PpMW(A)dx

М	Q

Q\ J (й1
/ = 0
(Ц-v + mp).	(9)

Применим теперь оценку (8) для Z = 0, 1, 2,	214—1; при

этом выберем размерности ji так, чтобы

/ « 2 \	«/^2~Д{(и-нм,

т. е.

. М (тр + ц — v) — + I (у — ц— — —

jl~2	тр' \ р п)тР'	(Ю)

Суммируя, заключаем на основании (8) и (9), что существуют

/Л4-1 \

такие функции g>i(x), принадлежащие У /Лмерному подпрост-
\ z = о /

ранству пространства LP(Q; pv(x)), что
м , ।

11/-^1р(й:р^<с2 -р(* + тр v).	(11)

Функции gM линейно зависят от /. Из (10) следует, что при
v < р + тр/п

2 А — 2	тР.

z = o

Отсюда и из (11) вытекает (3). При v = p + “~

1	• (mp +v)

/ = 2j /z — М2	тР

z = o

и

j М (тр + и, -V)

г2-.	2	тР .

1п/
Вместе с (11) это дает (2). Наконец, при v>p + mp/n имеем

М — 1	.. .	.	. п .	/ тр\ п

v-i .	(тр + ц — V)-РЛ/ v — ц   —	_л. . ..

XJ д 2	тр \ п / тр __ 2^ № ~ О,

1	= 0

Отсюда и из (11) следует (1).

Шаг 4. Утверждение (/) вытекает теперь из леммы 1.16.1/2.

Замечание 1. Как показывает теорема 3.2.6, пространства
(й; рц; ри + тр) занимают особое положение. В частности, при
ц =4= 1 — lp (I = 1, ..., т)

рц; рц)=ГГ(й; рц; р^^).

Из этого равенства и оценки (3.2.4.13а) следует, что простран-
ства №р(й; рц; ри + ,пр) тождественны пространствам, рассмотрен-
ным в работах Эль Колли [2, 3]. Утверждения теоремы, относя-
щиеся к поперечникам dj, по существу совпадают с результатами,
полученными в этих работах. Кроме того, Эль Колли показал,
что соотношения (1) —(3) остаются в силе, если при ц=1 — 1р
(1=1, .... т) заменить W™(&\ рц; рц + '”р) на №™(й; рц; рм).

Замечание 2. В проведенных выше рассмотрениях можно
было бы заменить пространства W™ (й; рц; ри + '"₽) более общими
пространствами W™ (й; ри; рк) с + На этом пути можно
получить некоторые более общие результаты, но они не носят
столь законченного характера, как приведенная теорема.

3.8.3. Компактные вложения

Wsp (Q; рц; p»*+v) в L9(Q; pv)

В настоящем пункте мы существенно обобщим результаты
и. 3.8.2. По-прежнему й cz /?„ —ограниченная область класса С°°,
а р (х) — весовая функция, для которой p~1(x)^d(x) вблизи
границы (см. замечание 3.2.3/1). Пространства Wsp (й; рц; p^+s₽),
Osgs<oo, и Л?(Й; pv) были введены в определении 3.2.3/2.
См. также теорему 3.2.4/2. Операторы вложения будут обозна-
чаться через I.

Теорема. Пусть ц, v, р, q и s — вещественные числа, причем

1 <рsg о<оо и S------>--------.

Р я

(а)	При у — у < —s 4- ~ — — пространство Wsp (й; р^; p^+s₽)
не вкладывается в Lq(Q; pv).
,14 тт	Ц V	, п п

(Ь)	При	— -- =— s + y — -- оператор вложения простран-

ства Wp (Q; рц; pu+sp) в Lq(£l-f pv) непрерывен, но не компактен.

/ \ п s , 1	1 ц V	, П П

(с)	При-------------->—---------> —----------------

п 1 р q р q	р q

dj(I\ Wp&; рц; рц+'р),
_ J_	< Л\

L7(Q; pv))<c/ п-Л q р р q)-	(!)

(d)	При = — — + - —- для п^2

v 7 г р q п 1 р q

dj (7; Wp (Q; рц; рц+^), Lq (Й; pv))	+	< (2)

dj(I- WP(Q; p"; p^sp)-, Lq(Q; pv))^cj~^ + ^~^.	(3)

(f) При p = q знак <; в (1) и (3) можно заменить на

Доказательство. Шаг 1. Пусть множества ®z определены той же
формулой (3.8.2/4). Если функция <р (х) е С“ (Rn) такова, что
supp ср с {х||х| < 1/2}, то, полагая ф; (х) = ф (2Z (х —xz)), где х; е ®z,
имеем

0й; р^+тР)	р р > m — Q, 1, 2......... (4)

Можно читать, что supp ф/ сд ®z. Из формулы (4), используя интер-
поляцию пространств №™(Q; рц; рц+тр) и LP(Q; рц) на основе
теоремы 3.4.2 и формулу (1.3.3/5), выводим, что

₽ ₽- /== 1. 2,..., 0<s<oo. (5)
р

^ts+la.-l4

Беря fy = c'2 р Р (pi, получаем, в силу (4) и (5),

_ /	In .1^

ov) = c2 S Р Р 4 Ч-
р

Отсюда следует утверждение (а).

Шаг 2. При доказательстве утверждений (Ь)—(е) можно считать
без ограничения общности, что у— у3^0. Пусть А, = у — у
и —80+Л = ~~ —	Тогда s^s0^% и, согласно теоремам

К \ Ч / Г
3.2.4/3 (а) и 3.5.1,
л VP УР. 4- Хп

L?(Q; pv)=>^(Q; р’; р« Р) о №*°(Q; р^; р^»р)

=>^(Й; pH; рИ+^).	(7)

Отсюда следует, что в случаях (Ь)—(е) вложение Wp (Q; ри; рц'+5/?)
в L$(Q; pv) непрерывно. Пример (6) показывает, что это вложение
не является компактным при s = s0. Тем самым доказано утвер-
ждение (Ь).

Шаг 3. Снова положим % = — — — и для 0 < 6 < 1.
р q

—	s = A,(l-e)+s9=s9 + nf--—У

G	р ' <7 ’	'	q}'	g)

Н = J ((1 - 6) v + 9p).

Согласно теореме 3.4.2, пространства wl (Q; р$; р**+®а) и Яа(й;
pU; p<x+s<’j принадлежат

УР ур . .

К(9; р < ; р < + ), Hsq(&- р»; рн+^)).

При р — v > — sq/n

Ll	v	6	z	ч.	S0	5	,	1	1

—-----= — (р — V) >------=-----------------.

a	q	q	’	n	n	1	a	q

При p — v =— sq/n

P	v	8	.	1	1

a	q ~	n	'	a	q	’

sq

a при —	> p — v > — sq

8.1	1 H v ~ । /1	1\

n 1 a q	q	\ q!

Далее,
vp vp I

L?(Q; pv)=3^(Q; p *; p * + P).

(теорема 3.5.1). Для p = q справедливость оценок (1)—(3) следует
из теорем 3.8.2, 1.16.3/1 и рассуждений шага 2, причем для этого

случая можно в формулировке теоремы заменить Wsp на Нр. При-

ЛЦ—V Р V

нимая во внимание, что 6г-у-=^ — —, и используя теорему

1.16.3/1, а также выписанные выше соотношения между парамет-

рами, получим оценки (1)—(3) для q>p. (Нетрудно убедиться,
что при этом охватываются все случаи теоремы.)
Шаг 4. Пусть p = q. Докажем утверждение (f). В силу теоремы
3.4.2, пространство

Wp (1”®)(Q- p<1“^M'+®v- p(l-6)n+6v + mp(l-6)^
принадлежит

К (О, Wp (Q; рц; р^р), LP№ pv))

(Ш F?(Q; pH; рН-ниР), Lp(Q; р*))
О<6< 1, m = 2, 3, ... . Подбирая здесь 6 так, чтобы т(1— 6)
было натуральным числом, видим, что утверждение (f) следует
из теорем 3.8.2 и 1.16.3/1 (Ь).

Замечание 1. Доказанная теорема по существу совпадает
с теоремой 4 (а) из работы Трибеля [27].

Замечание 2. Из приведенного доказательства следует, что
в формулировке теоремы можно заменить Wsp на Hsp.

Замечание 3. Используя теоремы 3.8.2(f) и 1.16.3/2, можно
получить аналогичную тедрему (без утверждения (f)) для попереч-
ников d!. Поскольку метод доказательства ясен, мы опускаем
точную формулировку.

Замечание 4. В дальнейшем компактные вложения невесо-
вых пространств будут изучены более подробно. См. п. 4.10. Там
же даны ссылки на литературу.

Замечание 5. Доказанная выше теорема, а также теорема
3.8.2 при р = 9 = 2 представляют особый интерес для теории
вырождающихся эллиптических дифференциальных уравнений.
С их помощью легко получить ряд утверждений об асимптотиче-
ском поведении собственных значений. См. п. 7.8.3.

3.9.	ПРОСТРАНСТВА ад*,ц(/?л)

Предыдущие параграфы были посвящены двум весьма общим
классам весовых пространств Соболева — Слободецкого — Лебега —
Бесова, введенным в определениях 3.2.1/4, 3.2.3/2 и теореме 3.2.4/2.
Методы, использованные для исследования пространств BsPt ^(Q;
р^; pv) и (Q; ри; pv), применимы также для изучения других
классов весовых пространств. В настоящем параграфе мы изучим
пространства wsPt ц (Rn), по существу совпадающие с пространст-
вами, введенными Кудрявцевым [2, 3]. Эти пространства близки
к пространствам U7p(Q; ри; pv) типа Соболева — Слободецкого.
Эквивалентные нормы для пространств Шр,ц,(/?л), которые мы полу-
чим в п. 3.9.1, позволяют легко ввести соответствующие прост-
ранства типа Лебега — Бесова. Мы не будем рассматривать здесь
это обобщение, хотя при этом можно было бы достичь более пол-
ного понимания теории. Кроме того, мы не исследуем здесь целый
ряд интересных вопросов, например вопрос о теоремах вложения
разных метрик, хотя развитые ранее методы, по-видимому, доста-
точно сильны, чтобы это можно было сделать. Мы не будем также
стараться получить максимально общие результаты.

Пространства wsp,p,(Rn) и различные их обобщения изучались
многими авторами. В частности, укажем работы Анузэ [2—4].
Дальнейшие ссылки на литературу будут даны в п. 3.10.3. Более
подробный и общий вариант изложения материала, представлен-
ного в настоящем довольно сжато написанном параграфе, можно
найти в работе Трибеля [29].

3.9.1.	Определение. Эквивалентные нормы

Определение 1. Пусть x = (xlt ..., хп) <= Rn и р(х)*=
= (1 +1 х |2)1/2. Для 1<р<оо, —сю<р<оо и s = 0, 1, 2, ...
положим

w^(Rn) = {f\f<=D' (Rn),
l/b <R =П S p^-|al)₽|D7(x)|'’dxlI/P<TO
n) LflJccKs	J

а для l<p<oo, —oo<g<oo и 0<s =[s]+{s}, где [s]—целое,
a 0 < {s} < 1, положим

wsp,^Rn)={f\f^D'(Rn), lf\\wS

|	(X) Daf (x) -	(y) Daf (y) |P

dxdy <oo}. (2)



Rn x Rn f a I =

Замечание 1. Как было отмечено во введении к параграфу,
эти пространства по существу совпадают с пространствами, рас-
смотренными Кудрявцевым [2, 3J. Одной из главных причин, по
которым изучаются такие пространства, является то обстоятель-
ство, что в зависимости от величины параметра р пространствам
wp, [л (Rn) принадлежат многочлены определенных степеней. Для
(ограниченных или неограниченных) областей Q cz Rn (особенно
интересен случай Q = Rn) можно определить пространство wsp, ц(й)
как сужение пространства ^,ц(/?п) на Q. См., например, работы
Анузэ [2—4].

Определение 2. Пусть

Kz =={х| 2Л1< |х| <2/+2}, /=1, 2,.

К0={*1И<2}.
Обозначим через Z множество всех систем функций {gy (x)}/Lo,
удовлетворяющих условиям

O^(x)==gl, СДх)еС§°(^), £ (х) = 1 при х е Rn (3)

/ = 0

(вне К] функции £у(х) доопределены нулем), а также следующему
условию: для каждого мультииндекса у существует такое положи-
тельное число с (у), что

|Dy^(x)Kc(y)2-,iy!, / = 0, 1, 2, ....	(4)

Замечание 2. См. определение 3.2.3/1. Рассуждая, как
в замечании 3.2.3/2, нетрудно показать, что системы функций,
обладающие указанными свойствами, существуют.

Теорема. Пусть 1 <р < оо, — оо < р < оо и {£у (%)}Д=о Z.

(а)	При 0=Cs<oo пространства wsp^(Rn) являются банахо-
выми и множество Со° (Rn) плотно в wPtlil(Rn).

(b)	При s = 0, 1, 2, ... k

ОО	00

S 2'»1№У||£1>,„я,+ 2 2'и-»|/г;;||£ ,„n,
р, ц, п)	у —o|aj = s	О

= nn*f <₽ . f<=wsP,M.	(5)

р,

(с)	При 0<s =[$]+{$}, где [s] — целое, a 0<{s}<1,

ОО

/=O|a| = [s] Пп xRn

ОО

+ 2	оу = mi*? , fе=<„(я„).

/ = о	Р

(6)

Доказательство. Шаг 1. То, что пространство wp, p,(Rn) бана-
хово, показывается обычным образом.

Шаг 2. Пусть 1 < р < сю и 0< {s} < 1. Тогда существует
такое число с, не зависящее от j и y^Kj, что

х К,-

|	(х) D% (X) - рР/₽ (у) D%- (у) |Р

-----------------------------dxds

^с2^”/ lalP —/{s} ре

(7)

Это неравенство аналогично неравенству (3.2.4/6) и доказывается
точно так же. В случае |а|=0 можно заменить на 1.
3.9, Пространства wsn .. (R\
♦	Л'» И \ пf

Шаг 3. Пусть /е wPtil (Rn). Тогда / е Wsp 1ос (/?„). Положим
=	/ = 1, 2, и № =

ИII

р

WP. И (Rn)

у, $ 21и-Ир+1 I “ I р I Da (fy) |Р dx
I« К [s] Rn

ОО оо
+<2 2 j
j = о I а | = [s] KJ X KJ

| рР'Р (х) Da (ftj) (х) - рР/Р (у) Da Mj) (у) \Р
------------------j-7-i-----------dxdy

\X-y^+(S}P	*

+'1 2	5

/ = 0|а| = И(«л_к/)х/</

Последний член в правой части можно оценить через первый.
Применяя неравенство (7) при |а|=0, с Ш	и с 1 вза-

мен £>“£/, получим, что

ОО

||/||% <С У у \2lP-lsP + l^\p\Da(f^)(x)Pdx
wP.p(Rn) /=00<m<[s]«„

+ dl/C (R f (8)

P. И (кп)

Используя преобразования подобия (заменяя х на ех), нахо-
дим, что при | а |	[s] для функций g (х) е Wsp (Rn) выполняется

неравенство

e-(S—iai)p $ |T)“g(x)|pdx
Rn

2 J	|£>|Pg^)Tn?ffp|P dxdy + ce-°P J |g(x)|p6?x. (9)

1₽1 = ия„хя„ x y 1	«„

Здесь e>0 произвольно, a c>»0 не зависит от e. Беря g(x) =
= (/gy) (x) и e = 21, получаем из (8) и (9)

c I/II7
u(««)

(10)

Для {s} = 0 рассуждения аналогичны.

Шаг 4. Пусть снова f е wsPt ц (Rn). Из свойств функций не-
медленно следует, что если s —целое, то

wp. И (Нп)

11%

(Н)

Тем самым доказано (5).
Пусть теперь {s}>0. Используя неравенства (7) и (11) с [s]
вместо $, получаем по аналогии с шагом 3

А)

V I РУ ~ M + 1 * * “' W Daf (X)  pT ~ M + ' “' (y} paf (y} |

|а| ^[s] RnXRn

\х-у\п + {*}Р

dx dy.

(12)

Применяя рассуждения шага 3 к слагаемым с | а | < [$] в послед-
ней сумме, придем к формуле, аналогичной (8). Далее, вместо (9)
воспользуемся неравенством

„	|х-у|л+<5>Р	*

«А

s lo’gE s	(13)

IP I = 

Выбирая здесь е = 2Л мы сможем оценить нужным образом сла-
гаемые в (12) с |сс; <[s]. Тем самым справедливость оценки (11)
установлена и для случая нецелых s.

Шаг 5. Для доказательства плотности множества С™ (Rn)
в wsp p(Rn) надо воспользоваться нормами ||/|| s и развитой
выше техникой оценок.

Замечание 3. Пространства wsPtlx(Rn) похожи на простран-
ства Wsp (й; рц; pv) из теоремы 3.2.4/2. Доказанная теорема пока-
зывает, как можно определить пространства Лебега — Бесова
hp, ц(#л) и Ьр, 7, ц(/?л) (см. определение 3.2.3/2). Нужно заменить
в правой части соотношений (5) и (6) первое слагаемое однород-
ной частью нормы в пространстве Bsp, q (Rn) (соотв. Нр (Rn)), отве-
чающей производным наибольшего порядка. В случае пространств
Вр, q (Rn) можно взять для этой цели второе слагаемое в правой
части (2.5.1/10) или (2.5.1/11) с 6 = 00. В случае пространств
Hp(Rn) можно взять || F-11 х Ff ||L^.

Замечание 41. Используя модифицированное неравенство
Харди типа (3.2.6/4), можно оценить второе слагаемое в (5) через
первое. Таким образом, при 1<р<оо, — оо<р,<оо и s =

1 Расширенное изложение сказанного в этом замечании можно найти в ра-

боте Трибеля [29]. В частности, там показано, что соотношение (15) выпол-

няется и для особого случая {s} = l/p.
= О, 1, 2, ... имеет место соотношение

оо

ИС	S 2^||Р“(Я,.)||£(в)

Р> п> /=0|a|=s	У

Применяя неравенство (3.2.6/6) и относящиеся к нему рассужде-
ния, можно показать, что при 1<р<оо, — оо<ц<оо и 0<;

<s = [s] + {s}, где [s] — целое, 0 < {s} < 1 и {s}	1/р,

,.р	V V С m\D^^(X)-D-(flj)(y)\P

i 2М...........-|,Z.;p + (s}P  dxdy

p'pVn) /==0|a|=[s]^X*„	y\

(15)

для f e wSp, ц (Rn). Выражения (14) и (15) проще, чем (5) и (6).
Однако для дальнейшего формулы (5) и (6) окажутся более удоб-
ными. Кроме того, они справедливы и в особом случае {$} = 1/р.

3.9.2.	Теория интерполяции

С помощью теоремы 3.9.1 можно перенести результаты, полу-
ченные ранее для пространств IFp(Q; ри; pv) (соотв. Hsp(&', ри; pv)
и BsPt q (Q; р11; pv)) на случай пространств wsp, ц (Rn) (соотв. hsp, и (Rn)
и b*Pt qt и (Rn))- Мы не станем здесь гнаться за максимальной
общностью.

Теорема. Пусть 1 <р<оо, — оо<^<00, — оо<р2<;оо,
0^s1^s2<oo и 0< 6< 1. Положим

$z=(l — 0) 4- 0s2, ц = (1 — 6)pi + 6p2-

Если s —нецелое, то

(^р1, >Л1 (Rn)> wPt р2 (Rn))o, р — Wp, ц (Rn)-	(1)

Доказательство. В качестве пространств Gpk из п. 3.4.1 возь-
мем теперь Wpk(Rn), k=l, 2. Далее, в (3.4.1/1) заменим [|/|IGS на
р

( s Ра/||£ру/р
\|а|—s	/

или соответственно на

Х_у\"+{*}Р

Р4 (x)-~D«f (у) \р

J J \Нр
ахау\ .

Если теперь положить vk = iik — skp, &=1, 2, то все рассужде-
ния, проведенные при доказательстве леммы 3.4.1, остаются в силе.
[Условие (3.4.1/2) в рассматриваемом случае удовлетворяется,
а фигурирующее в формулировке леммы предположение
выполняется очевидным образом.] Поэтому утверждение теоремы
устанавливается при помощи соответствующим образом видоизме-
ненных рассуждений из доказательства теоремы 3.4.2.

Замечание. Лемму 3.4.1 и теорему 3.4.2 можно перенести
и на случай более общих пространств hsPt ^(Rn) и bsPi Qt И(Rn),
набросок определения которых дан в замечании 3.9.1/3. На этом
пути можно получить существенное обобщение доказанной тео-
ремы. В связи с этой теоремой отметим еще работы Фавини [7]
и Трибеля [29].

3.9.3.	Прямые и обратные теоремы вложения (теоремы о следах)

В данном пункте мы покажем, что нетрудно описать поведе-
ние функций из wsp,ii(Rn) вблизи границы в духе 3.6.4. Для этой
цели введем пространства

Определение., Пусть 1<р<оо, 0^s<oo« —оо<|ы<;
<оо. Через wsp,p(Rn) обозначается сужение пространства
wSp,p.(Rn) на R+n. Замыкание множества Cf {R^) в wsPt[l(Rn) обо-
значим через wPr ^(Rn).

Замечание 1. Норма в wPt задается формулой, ана-
логичной формуле (3.6.4/3). Ясно, что wsp>ll(Rn) (а значит и
wsPi ц(7?и)) — банахово пространство. Применяя метод продолжения
из леммы 2.9.1/1, получаем, что для s = 0, 1, 2, ... оператор
сужения пространства wPt p(Rn) на wPtll(Rn) является ретрак-
цией. Из теорем 1.2.4 и 3.9.2 следует тогда, что он является
ретракцией для любых 0 < s < оо. Из этих теорем вытекает также,
что соотношение (3.9.2/1) остается справедливым и после за-
мены Rn на Rn.

Как и раньше, будем писать х' = (х19 ...» хл-1).

Теорема. Пусть 1<р<оо, — оо<ц<оо и

\Нх'> 0)- Д(*'. 0). •

(1)

для 1/р<з<оо.

(а)	При (l/p<s<оо и) {s} Ф 1/р оператор SR является рет-
ракцией пространства wsp< ц (/?„) (соотв. wsp, g (/?£)) на
(Ь)	При 1/р < $ <оо

®р. ц(^) = {/|/е< Ц(/ЭД, 31/ = 0}.

(с)	При	1/р

р, Ц (Rn) — Wp ,ц (Rn)'

(2)

(3)

Доказательство. Шаг 1. Пусть 1/р < s<Z оо и {$} =/= 1/р. Вейлу
замечания 1, при доказательстве утверждения (а) можно ограни-
читься случаем пространств wsp, ^(Rn)' Систему функций Z из опре-
деления 3.9.1/2 будем временно обозначать через Zn) чтобы явно
отметить зависимость от размерности п. Пусть {£у- (х)}/°=о Zn.
Тогда {£/(%', 0)}/О==о	2Л_Х. Можно считать, что функции (х)

в некоторой окрестности гиперплоскости хд = 0 зависят только
от х'. Пусть f (х) <= wsPt ц (Rn), у = 2Чх и f (х) = f (%у) = f (у). Из
теоремы 3.9.1 следует, что

Wp. li(^n)

г

(4)

/ = 0

Аналогично получаем

дк Щ (У', 0)|Р _ _±
кГА-р(^1)

(5)

Степени двойки в (4) и в (5) совпадают. Из теоремы 2.9.3 теперь
вытекает, что ЭД является непрерывным отображением простран-
ства wsp, ц (Rn) в

[’41

П <««)

/ = о

Шаг 2. Пусть снова l/p<s<oo и {$}¥=—• Преобразование
y==2~J'x переводит множество Rj из определения 3.9.1/2 в мно-
жество	| у\ <4} ,/=1.2 Пусть, далее, (x)}/°=oeZ„—

система функций из шага 1. Возьмем такую функцию Хо (х) Со° (Rn).
что Xo(*) = l ПРИ |х|^2, и такую функцию Xi (х) е Со° (Rn), что
^(x) = l при у | х |	4 и XiW = O при |х| Рассмотрим

операторы S и S, определенные формулами (2.9.2/12) и (2.9.1/4)
и для функций

hk{x')^ws~^~k (Rn-r), fc = 0, ..., [s-1],
положим

©Mo, hr

I Is pJ

=s©jM*'Ko(*'. o),....	0)|(x)xoW

+ 2 (S©){йд^ндРТо), ....

X(2-/X)X1(2-/X).	(6)

Из (4) и (5) следует, что © представляет собой непрерывный
оператор

Г’--1

L «_1_ь

И3 П WP. р в И-, и (Я»),
/ = 0

причем ЭЧ@ = Е. Здесь мы воспользовались тем, что © является
оператором продолжения, для которого справедлива теорема 2.9.3
(см. третий шаг доказательства этой теоремы). Таким образом,
Ш —ретракция, чем и доказано утверждение (а).

Шаг 3. Утверждения (Ь) и (с) следуют из теорем 3.9.1 и 2.9.3.

Замечание 2. Используя в замечании 3.9.1/3 пространства
hSp, ц(/?Л) и bSpt(hy,(Rn) (или соответствующие пространства над/Й),
можно существенно обобщить доказанную теорему. В частности,
заменив

fs-ll 1	,

L Pj — £	L PJ «___J_А

П “’Р.и₽	на П ьр,р^

4 = 0	4=0

можно доказать утверждение (а) и для случая {s} = l/p.

Замечание 3. Основываясь на доказанной теореме, можно
по образцу теоремы 2.9.4 дать описание следов функций из
wsp, p(Rn) на подпространствах Rt размерности 0</<n —1.

Замечание 4. Для з = 1, 2, ... эта теорема была доказана
в работах Анузэ [3, 4]. См. также Кудрявцев [2, 3], Ю. С. Николь-
ский [2, 3] и Пиголкина [2, 3].
3.9.4.	Структурная теория

С помощью методов § 3.7 мы опишем в этом пункте струк-
турные свойства пространств wsPi ц (Rn).

Теорема. Пусть 1<р-<сю и —сю<р<;оо.

(а)	При s = 0, 1, 2, ... пространство wsp „(Rn) изоморфно
Lp((0, 1)).

(b)	При нецелых s > 0 пространство wPt ц (Rn) изоморфно 1р.

Доказательство. Согласно шагу 1 доказательства теоремы 3.9.3,
оператор S, определяемый равенством

(•_!£_• j_ • а.	1°°

S/ = 12' р /s + / р	=	(1)

осуществляет непрерывное линейное отображение пространства
В lp(WSp (Rn)). Пусть Хо(х) и Х1(х) — те же функции,
что и на шаге 2 доказательства теоремы 3.9.3. Тогда оператор R,
задаваемый равенством

R {/о- fi, • • J = 5 2 ‘~р+ ,s~' р f, (2-/х) Х1 (2-/х)+/«(х)Хо(х),
/~1

(2)

осуществляет непрерывное линейное отображение пространства
(/?„)) в &Ур,ц(7?л). Так как RS — E, то R является ретрак-
цией из lp(Wp(Rn)) на Шр,ц(7?л). Все дальнейшие рассуждения
те же, что и в доказательстве теоремы 3.7.

3.10. ДОПОЛНЕНИЯ

В отличие от второй главы в настоящей главе мы до сих пор
почти не ссылались на литературу. На это были свои причины.
Во-первых, мы преимущественно рассматривали классы пространств,
введенные автором. Во-вторых, в теории весовых пространств
Соболева — Слободецкого — Бесова существует много допустимых
вариантов используемых весов и способов введения этих весов
в соответствующие нормы. См., например, определения 3.2.1/4,
3.2.3/2, теорему 3.2.4/2, замечание 3.2.4/2, определения 3.2.6
и 3.9.1/1. Хотя представленные здесь классы пространств явля-
ются весьма общими, ими, конечно, не исчерпывается вся теория
весовых функциональных пространств. В частности, если не огра-
ничиваться изотропным случаем, а допустить и анизотропные
пространства, то появляется много новых возможных вариантов
весовых пространств. В данном параграфе мы очень кратко опи-
шем некоторые типы пространств, более или менее тесно связан-
ных с рассмотренными в этой главе. В основном мы ограничимся
ссылками на литературу. В некоторых из указываемых далее
работ изучаются и анизотропные пространства, но мы не будем
каждый раз отмечать это. Обзор результатов, полученных советс-
кими математиками в теории весовых пространств, можно найти
в следующих книгах: 1° Исследования по теории дифференциру-
емых функций многих переменных и ее приложениям. — Труды
математического института им. В. А. Стеклова АН СССР, 105
(1969); 2° Теоремы вложения и их приложения.—Сборник тру-
дов симпозиума по теоремам вложения (Баку 1966).—М.: Наука,
1970. Мы отсылаем читателя, кроме того, к § 10 обзорной статьи
Бесова, Ильина, Кудрявцева, Лизоркина и Никольского [1].

3.10.1.	Пространства с весами p(x)~dz(x)

Пусть Q cz Rn — (ограниченная или неограниченная) область,
a d (%) — расстояние от точки xeQ до границы dQ. Первоначаль-
но весовые пространства Соболева (а затем и Слободецкого — Бе-
сова) были изучены для весов, которые имеют вид dz(x),
— оо < х < оо, или могут быть оценены снизу и сверху с помощью
dz (х). Примерами таких пространств служат пространства W™(Q; а)
из определения 3.2.1/4 с a(x) = dz(x) (см. также пп. 3.6.1 и
2.9.2) и пространства BPt q (Rn\ х%) и BPt q (Q; da (x)), рассмотренные
впп. 3.6.2, 3.6.3. Впервые систематическое исследование такого рода
пространств было проведено Кудрявцевым [1]. Дальнейшее раз-
витие эта теория получила в начале шестидесятых годов в рабо-
тах Лизоркина [1], Ильина [2], Успенского [2], Нечаса [1] и
Гривара [2]. Метод следов в теории интерполяции также приво-
дит к пространствам подобного типа (см. пп. 1.8.1 и 2.9.2).
В этой связи сошлемся на статью Лионса [3]; см. также Гуджо
[1]. В этих работах были получены интерполяционные теоремы
для таких пространств. Главная цель указанных работ состояла
в доказательстве теорем вложения разных метрик, а также пря-
мых и обратных теорем о следах на многообразиях низших раз-
мерностей. Со временем стали рассматривать и анизотропные
т

пространства, с весами вида Хп (для Q = R„) и

ГГ (для

/ = 1 '

Q = {х|х/>0}). См. Джабраилов [2, 4, 5], Бериев [1], Успенский
[4, 5], Кулов [1, 2] и Ю. С. Никольский [4]. Дальнейшие
ссылки на литературу можно найти в этих работах, а также

в § 10 обзорной статьи Бесова, Ильина, Кудрявцева, Лизоркина
и Никольского [1].
3.10.2.	Пространства со смешанной нормой

Рядом авторов рассматривались смешанные нормы, как неве-
совые, так и весовые. Смешанной нормой называется норма вида

ИИ р i.рп =

\Ri \Rt \ \Rt	/	/	/	)

где 1 < pj < oo, / = 1,..., n. См. Бенедек и Панцоне [1], Бурен-
ков [1], Гудиев [1] и Бугров [1,2]. Можно ввести весовые прост-
ранства Соболева — Слободецкого — Бесова со смешанной нормой
и исследовать их свойства. Сошлемся на статьи Кулова [1,2] и
Джафарова и Мамедова [1], где можно найти дальнейшие ссылки
на литературу. В работе Бенедека и Панцоне [1] имеются интер-
поляционные теоремы для подобных пространств.

3.10.3.	Пространства Кудрявцева и их обобщения

Как было упомянуто в замечании 3.9.1/1, пространства
wsp, из определения 3.9.1/1 тесно связаны с пространствами,
введенными Кудрявцевым [2,3]. В рассмотренных им простран-
ствах норма имеет вид

2 ilp^D“/|iLр(Л„)+ИкР(Ш),	(1)

I ос | = s

где р(х) = (1 +|х|2)1/2, s=l, 2, ..., 1<р<оо, а со — компактное
множество в Rn, например единичный шар. Аналогично опреде-
ляются пространства над Rn- Основная задача теории — получение
теорем вложения и описание следов на гиперплоскостях. Для
описания следов нужны соответствующие пространства с нецелыми s.
Используя неравенство Харди (3.2.6/3) или соответственно (3.2.6/4)
и эквивалентные нормы, описанные в теореме 3.2.5, можно дока-
зать, что норма (1) и норма \\f || s / \ эквивалентны на множе-

W р, li\Kn)

стве Cj°(Rn) при ц — sp + n—1#=—1, — 1— р, ..., ~ 1 — (s — 1)р,
т. е. при ц=/=£р — п для &=1, ..., s. Пространства такого типа,
иногда с б|лее общими весами или заданные на областях более
общего вида, изучались целым рядом авторов. Укажем работы
Пиголкиной [1—3], Ю. С. Никольского [2, 3], Рыбалова [1, 2],
Кудрявцева [4] и Анузэ [2 — 4]. Рыбалов рассмотрел вопрос о том,
при каких условиях имеют место непрерывные или компактные
вложения пространств подобного типа друг в друга. В этой связи
отметим также работу Адамса [4].
3.10.4.	Пространства Киприянова

Один специальный класс весовых пространств типа Соболева —
Слободецкого был изучен Куприяновым [1, 4]. Основную идею
построения таких пространств можно описать следующим образом.
Известно, что одним из самых мощных методов исследования
пространств Hp{Rn) служит преобразование Фурье. Естественно
задаться вопросом, не существует ли каких-либо других интег-
ральных преобразований, пригодных для исследования других
классов функциональных пространств. Пусть	1/2, —

бесселевы функции. Тогда равенства

оо

fv (s) = § sx Jv (sx) f (x) dx,
0
oo

f (x) = § Vsx Jy (sx) fv (s)
0

задают соответственно прямое и обратное преобразования Бесселя.
Можно определить отвечающие этому преобразованию простран-
ства как пополнение множества С“ (/?„) по норме

J I f W i2 х? dx+ J I xn W f dx

s=l, 2, y^O. Более общие пространства подобного типа
получаются, если скомбинировать несколько одномерных преоб-
разований Бесселя и ^-мерное преобразование Фурье. Кроме того,
можно определить такие пространства и для нецелых з. Изложе-
ние теории такого рода пространств можно найти в указанных
статьях Киприянова. Там имеются теоремы вложения, теоремы
продолжения и т. д. Отметим еще статью Богачёва [1].

3.10.5.	Пространства Куфнера

Пусть й с Rn — ограниченная область, а г (х) — расстояние от
точки хе Q до некоторой фиксированной точки границы дй.
Куфнер [I]1 ввел весовые пространства Соболева с нормой

1<р<оо, —оо<а<оо, т=1, 2, .... По-видимоМу, можно
эти пространства изучать по той же схеме, что и пространства
Wp (й; р) из определения 3.2.1/4. В частности, на этом пути
можно развить теорию интерполяции для таких пространств.

4 См. также книгу Куфнера1 Йона и Фучика *pj.—Прим, перев,
3.10.6.	Один аксиоматически определенный
класс весовых пространств

В определениях 3.2.3/1 и 3.2.3/2 были введены весовая функ-
ция р(х) и пространства #p(Q; рц; pv), BsPt 7(Q; ри; pv) и
ри; pv). Как показывает проведенное выше исследование
этих пространств, специальные свойства пространств Hsp (Rn),
BPiq(Rn) и Wsp(Rn) используются весьма незначительно. В связи
с этим представляется целесообразным ввести аксиоматически
некоторый более широкий класс пространств, включающий в себя
пространства Hsp(Rn), Bp,q(Rn) и Wsp(Rn) как частные случаи.
Таким классом является класс всех банаховых пространств G,
обладающих следующими свойствами:

(a)	S (/?„) cz G cz £'(/?„), причем S(Rn) плотно в G.

(Ь)	Если /(x)eG, то для любого комплексного числа
функция f(hx) также принадлежит G (/ (Хх) нужно понимать
в смысле теории обобщенных функций). Кроме того,

Для 1<Х<оо,

при соответствующем выборе чисел с>0 и Dg(—оо, оо).

(с)	Если f^G и <peC^(Rn), то cpf также принадлежит G.
Если (peCJ°(7?n) и

| £>Y(p (х) |	с (у) при 0=^|у|<оо,

то существует такое положительное число С = С(с(у)), что

Ш\\а^С\\р0.

(d)	Существует такое число с>0, что для любых /г>0 и
любых f е G

(f)h(=G и

Здесь обозначение (f)h, введенное в формуле (2.5.1/6), надо пони-
мать в смысле теории обобщенных функций.

Пространства Hp(Rn) и BPtq(Rn) при ^<оо содержатся в этом
классе. Если GT и G2 —два банаховых пространства, удовлетво-
ряющих перечисленным выше условиям, то при надлежащем
выборе ji и v можно заменить в определении 3.2.3/2 простран-
ства Hp(Rn) и Lp(Rn) (соотв. Bsp>q(Rn) и Lp(Rn)) на Gx и G2. Мы
не будем входить здесь в подробности. Приведенное определение
класса банаховых пространств G взято из работы Фехнера [1],
где проведено также исследование соответствующих весовых про-
странств.
4.	Невесовые пространства
Лебега—Бесова в областях

4.1.	ВВЕДЕНИЕ

Настоящая глава посвящена теории невесовых пространств
Лебега — Бесова, определенных в областях (и, следовательно,
в качестве частного случая содержит теорию невесовых пространств
Соболева — Слободецкого, определенных в областях). Преследуемые
здесь цели ясны из двух предшествующих глав. Общие замечания
по этому поводу сделаны во введениях к §§2.1 и 3.1. Хотя
невесовые пространства Лебега — Бесова и являются частным слу-
чаем соответствующих весовых пространств, представляется полез-
ным изложить теорию этих пространств в отдельной главе.
Во-первых, это оправдано с точки зрения истории вопроса.
Во-вторых, имеется целый ряд важных результатов, которые
нельзя получить как частный случай результатов теории весовых
пространств. Это относится, в частности, к теоремам продолжения,
структурным теоремам, а также к некоторым вопросам, связан-
ным с компактностью вложений и эквивалентностью норм. С дру-
гой стороны, ряд важных разделов теории невесовых пространств
может быть легко получен как следствие соответствующих рас-
смотрений, проведенных во второй и третьей главах. Это можно
сказать о теории интерполяции, теоремах вложения и о некоторых
вопросах структурной теории и теории эквивалентных норм.

Как и в предыдущих двух главах, мы ограничимся изучением
изотропных пространств, т. е. таких пространств, для которых
все направления в Rn равноправны.

Замечания по истории вопроса и литературные указания были
даны во второй главе, так что здесь мы ограничимся ссылками
на работы, специально посвященные пространствам Лебега —
Бесова, определенным в областях.

4.2.	ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ПРОДОЛЖЕНИЯ

Пространства Лебега — Бесова (и, следовательно, как частный
случай, пространства Соболева — Слободецкого) в областях опре-
деляются как сужение соответствующих пространств, определен-
ных над Rn. Для случая Ri это приводит к тем же пространствам,
которые были рассмотрены во второй главе, чего нельзя, однако,
сказать о пространствах, введенных в третьей главе. Тем не менее
с помощью теорем продолжения, доказываемых в этом параграфе,
и теории интерполяции, развиваемой в § 4.3, мы покажем, что
при подходящем выборе весовых функций пространства, рассмат-
риваемые здесь и в третьей главе, совпадают между собой.

4.2.1.	Определения

Определение 1. Пусть Q cz Rn — произвольная (ограничен-

ная или неограниченная) область, — сю <zs <сю, 1<р<оо
и	Пространство Bsp, q (Rn) — это сужение простран-

ства Вр, q (Rn) на Q,

II ?(0)

= inf, II
е 1

ееВр,д^п)

II IlfiS <R )•
р, q^fi'

(1)

Пространство Нр(О,) — это сужение пространства Hp(Rn) на Q;



(2)

eeHSp(Kn)

Здесь g\a^D'(Q) обозначает сужение g^D'(Rn) на Q в смысле
теории обобщенных функций. Далее, положим

s	для s = О, 1, 2, ...,

Гр(й) = { м ’

I Вр, р (Q) для нецелых $>0.

(3)

Замечание 1. Для сравнения см. определения 2.3.1/1, 2.9.1 и
2.9.3. Пространства Бесова Bsp,q (Q) и лебеговы пространства HSP(Q)
банаховы, поскольку они являются факторпространствами бана-
ховых пространств. В соответствии с ранее принятой терминоло-
гией будем называть пространство Wsp (Q) при s=l,2,... прост-
ранством Соболева, а при нецелом s — пространством Слободецкого.
Ссылки на литературу и указания по истории вопроса можно
найти в замечаниях 2.3.1/2 и 2.3.1/4.

Замечание 2. Если в определении 3.2.1/4положить о(%) = 1,
то мы получим некоторое невесовое пространство Соболева. Из
теорем продолжения, которые будут доказаны в пп. 4.2.2 и
4.2.3, следует, что это пространство совпадает с (Q). См. также
замечания 4.2.2/3 и 4.2.3/8. Пространства Bp,q (Q; о) были опре-
делены в теоремах 3.3.1 и 3.3.8 с помощью интерполяции. В п.
4.3.1 мы установим аналогичные утверждения для пространств
Вр, q (Q). Отсюда будет следовать, что эти пространства совпадают в
соответствующими весовыми пространствами с весом cj(x) = 1.
Определение 2. В условиях определения 1 обозначим через
Bps,q(£l)9 Нр(&Уп Wp (Q) замыкание множества Cq°(Q) соответ-
ственно в Bp,q(Q>)9 HSP(Q) и Wp (Q).

Замечание 3. Позднее будут определены некоторые другие
подпространства пространств Вр q (Q) и Hsp (Q) (см. определения
4.3.3/2 и 4.3.2).

4.2.2.	Первый метод продолжения

Мы опишем два метода продолжения. Первый метод имеет то
преимущество, что он применим к пространствам Bsp,q (Q) и Hsp (Q)
при s<0. Достоинством второго является то, что на границу
рассматриваемой области накладываются лишь весьма слабые
предположения относительно гладкости.

Лемма. Пусть (сог, и (со2, Q2) — две пары ограниченных
областей класса CN в Rn9 N = 1,2..., таких что cfy cz Qy, j = 1,2.
Пусть, далее, y = h(x) — взаимно-однозначное отображение Qx на Q2,
якобиан которого нигде не обращается в нуль, отображающее
©j на б)2, и пусть компоненты h (х) представляют собой дифферен-
цируемые функции. Тогда отображение

(Kf) (у)	(у)), f (х) е С - (сох),	(1)

можно продолжить единственным образом до изоморфизма H^N(a)1)
на H^~N (со2), 1<р<оо.

Доказательство. Шаг 1. Пусть Qx — такая область что ©j cz
cz Qx и Q cz QP Всякую функцию g (x) e C^° (Qj доопределим вне
Qx нулем, аналогично доопределим функцию (Kg) (у). Используя
явное выражение для нормы в HP'(Rn)9 где 1/р+1/р'= 1, и тео-
ремы 2.3.3 и 2.6.1(a), получаем, что

№l„-»w^UI„-w	(2)

где с не зависит от g. Приближение гладкими функциями и пре-
дельный переход показывают, что неравенство (2) имеет место
для всех g^H^N(Rn) с suppgcQp

Шаг 2. Пусть f е H^N (coj). Заметим, что если в определении
4.4.1/2 ограничиться элементами g^H~^N(Rn) с supp g с: то
получится эквивалентная норма в H^N (coj). Поэтому, с учетом
того, что в приведенных выше рассуждениях можно заменить h
на ft-1, утверждение леммы следует из оценки (2).

13 X, Трибель
Теорема. Пусть Q cz Rn — ограниченная область класса С°°.
При —oo<s<oo, 1<р<оо,	оператор сужения

Bp,q(Rn) на Bsp>q(Q) является ретракцией. Для всякого натураль-
ного числа N существует соответствующая корепгракция, не зави-
сящая от 1<р<оо,	и |s|<W.

Доказательство. Шаг 1. Используя метод локальных коорди-
нат, описанный на шаге 3 доказательства теоремы 3.2.2, заклю-
чаем на основании леммы 2.9.3 и использованных при ее дока-
зательстве построений, что существует коретракция © из Нр (Q)
на Нр (Rn) (см. также следующий шаг доказательства).

Шаг 2. Мы хотим доказать, что то же самое отображение S
является одновременно коретракцией из H~^N (Q) в H^N (Rn).
Пусть шары К; и функции ф; (%) и ф/ (%) такие же, как и на
шаге 3 доказательства теоремы 3.2.2. Поскольку соответствие
задает непрерывное отображение пространства H^N (Rn)
в себя, оно задает также непрерывное отображение пространства
H~N (Q) в себя. Следовательно, достаточно продолжить tyg для
g е H~^N (Q). Так как С™ (Rn) плотно в H^N(Rn), то сужения
функций из Cf (Rn) на Q плотны в H^N (Q). Поэтому можно
ограничиться рассмотрением функций такого вида. Применяя пре-
дыдущую лемму к отображениям h (х) =	(х) из определения

3.2.1/2, используя затем метод продолжения из леммы 2.9.3,
умножая продолженную обобщенную функцию на ф; (f[J)~1(y)) и
применяя в заключение доказанную выше лемму для обратного
преобразования, получим искомый оператор продолжения.

Шаг 3. Утверждение теоремы следует теперь из шагов 1 и 2,
теоремы 1.2.4 и соотношений (2.4.2/11) и (2.4.2/14).

Замечание 1. Описанную в данной теореме коретракцию
называют обычно оператором продолжения.

Замечание 2. В основе теоремы лежит, очевидно, лемма
2.9.3. Если ограничиться пространствами B*Ptq (Q) и //p(Q)c |s|<
<Д/, то достаточно предполагать, что Q— ограниченная область
класса CN. Кроме того, теорему можно распространить на случай
неограниченных областей специального вида.

Замечание 3. Для случая s = m=l, 2, ... из явного вида
коретракции © и теоремы 3.2.2(c) следует, что W™ (Q) = W™ (Q; о)
при а(х)^1 (см. определение 3.2.1/4).

4.2.3.	Второй метод продолжения

В этом пункте мы опишем второй метод продолжения, приме-
нимый к пространствам Bpt<7(Q) и Hsp(£l) с s>0, — метод, при
котором на границу области Q накладываются лишь весьма сла-
бые предположения относительно гладкости.

Лемма 1. Пусть а>0, h>0 и Rh = {x\x=(x', xn)^Rn\
Q<xn<.h\ |х'|<ахп}; это конус высоты h. Для каждого нату-
рального числа I существует набор функций 60 (х), 01 (х), ..., 0л (х),
такой, что любую функцию f(x)^C™(Rn) можно представить
в виде

п,

f W = J 00 (У) f (х+У) dy+^bf (у)
Kh	i==iKh

^±vLdy,
дх\ У

xt=Rn. (1)

Здесь 60(x)	(/<*), a fy(x), /=1,	n, — такие бесконечно

дифференцируемые в Kh функции, что при некоторых е>0 и
0</го<Л1<й выполняются следующие два условия:

6z(x) = 0 на множестве {x|xeKft; (а — г) хп<.\х'\<ахп}

U {х|х <=/<л; /ix<xA</i} (2)
и

0/(х) = Iх\1~п%(jyj) на множестве [х\хеК^ 0<xn</i0},

(3)

где фу — бесконечно дифференцируемые функции на поверхности
единичного шара.

Доказательство. Обозначим поверхность единичного шара через
<оя. Пусть 0<ф (v)	1 — бесконечно дифференцируемая не равная

тождественно нулю функция на имеющая компактный носи-

тель, лежащий в со„ Кт. Продолжим ф (v) на каждом луче, про-
ходящем через начало координат, в виде постоянной

Пусть, далее, <р (/) — бесконечно дифференцируемая функция, опре-
деленная в [0, оо), такая, что <р(/) = 1 при 0</</io и <р (£) = О
при ^</<00, 0<h0<hi <Zh. Для k = ln интегрированием по

частям устанавливается, что

f(x) = с J J ф (v)
о %

где о —некоторая константа. Пусть tv —у. Тогда dy = \ у l^dvdt.
Выполняя дифференцирование в (4), получим слагаемые, содер-
жащие Da/(x4-f/)> |a|ag£. Выполняя интегрирование по частям
в слагаемых с |а|<£, получим первое слагаемое в правой части
равенства (1). В случае же |<х| = £ по крайней мере одна из

£ (Ф (0/ (Х+ tv)) dv dt, f <= cr (Rn), (4)
координат aj вектора а —	ап) больше или равна I. После

надлежащего (k — /)-кратного интегрирования по частям приходим
к равенству (I)1.

Замечание 1. Пусть Q —область в Rn, a f (к) — бесконечно
дифференцируемая функция в	Тогда равенство (1) спра-

ведливо для х Q.

Замечание 2. Используя аппроксимацию (например при
помощи метода соболевских усреднений, описанного на шаге 1
доказательства леммы 2.5.1), а также предельный переход, можно
доказать, что равенство (1) остается справедливым для / раз не-
прерывно дифференцируемых функций /(%), определенных в Rn
(или в некоторой окрестности множества Q +	—см. замеча-

ние 1).2

1 Приведем более подробные выкладки. Из (4) следует, что (|г/| = /)

оо	k

f (X)=c j J 1|)	C^<p(fc-m) (0 D“f(x+^)v“dvdZ

О (ап	т = 0	|а|=/и

k

°°с 2 2 Р(м)(м)а|{'|^Лф<й’т,(|//|)ОО/(х+у)^'

т = 0 | а | = т	Rn

Так как для \a\ = m<k мы имеем (| г/1) = 0 при | у | < hQt то, интег-
рируя по частям а раз, получим интеграл вида

.«ф™.

= J во, a(y)f (x + y)dyt

где 0о а (у) е С^° (КЛ). Если же | а \ = m = k, то указанное в тексте интегри-
рование по частям приводит к интегралам вида

J \ \1у1/\Ы .

|У !*-"<₽(! УI)) dy
/ дху

= С й. /,л d‘f(x+y)

Rn

dxlj

dy,

где р + (0, ...» Ц ...» 0) = а, |Р|=А» — I. Вычисляя производные, находим,
что при | у | <.hQ (в этом случае ср (| у |)== 1)

в/,а(У) = |У

— Прим, перев.

2 По тем же соображениям равенство (1) остается в силе для функций,
имеющих обобщенные производные порядка I. — Прим, перев.
Замечание 3. * Представления типа (1) играют важную
роль в теории пространств Соболева — Слободецкого — Бесова.
С их помощью можно, опираясь на теорию интегралов дробного
порядка и сингулярных интегралов, доказывать теоремы вложе-
ния разных метрик, теоремы продолжения и оценки смешанных
производных через «чистые» (см. следующую теорему и теорему
4.2.4). Изложение теории функциональных пространств в настоя-
щей книге построено на другой основе. Тем не менее в данном
и следующем пунктах мы опишем главные черты этого метода и
получим с его помощью некоторые результаты. Идея использо-
вания представлений типа (1) принадлежит Соболеву [4]. Впослед-
ствии были получены более общие интегральные представления,
в которых наряду с производными фигурируют разности. Кроме
того, были получены представления, с помощью которых можно
исследовать анизотропные пространства (как невесовые, так и ве-
совые). Сошлемся в этой связи на работы Ильина [3—6], Ильина
и Солонникова [1], Бесова [3, 6], Бесова и Ильина [1], Стри-
карца [2] и Мурамату [1, 3—5]1.

Лемма 2. Пусть <p(v) — бесконечно дифференцируемая функ-
ция на поверхности единичного шара <ол. Тогда функция

g(x) = $\yl-n+1<p(-^)f(x-!/)dy, feCT(R„), (5)
Rn

непрерывно дифференцируема в Rn, причем

|0|>8

+/(х) $ <p(v)cos(v, x/)dv, (6)
“л

/=1, п. Первое слагаемое в правой части представляет собой
сингулярный интеграл в смысле теоремы 2.2.3/2.

Доказательство. Шаг 1. Очевидно, что функция

k (у) =	6 У |~"+1 ф = IУ |-л Ф (-гт}

ду/\'у' Y \ \у 11) 1 ат \ | у | /

обладает свойствами (2.2.3/6) и (2.2.3/8). Чтобы проверить вы-
полнение свойства (2.2.3/7), заметим, что

$ &(v)dv = j k(y)dyx...dyi-ldyM...dyn.

<ОяП{ж|хг>0}	{X|XZ=1}

i) Изложение метода интегральных представлений и его применений
к исследованию функциональных пространств во всей полноте дано в книге
Бесова^ Ильина и Никольского * [1], — Прим, перев,
Соответствующая формула справедлива и для множеств
сол П {х | Xi < 0} и {x|xz = —1}. Но тогда соотношение (2.2.3/7) сле-
дует из вида функции k(y). Тем самым доказано, что первое сла-
гаемое в правой части (6)— сингулярный интеграл в смысле тео-
ремы 2.2.3/2.

Шаг 2. Равенство (6) получается теперь интегрированием по
частям соотношения

=— lim Г | у |~”+1 Ф (т^т) d/fo—dy.

Замечание 4. Доказательство леммы проходит и в том слу-
чае, когда f (х) — непрерывно дифференцируемая функция с ком-
пактным носителем. И это условие может быть ослаблено. Напри-
мер, можно требовать лишь, чтобы функция /(х) принадлежала
некоторому классу Гёльдера и достаточно быстро стремилась
к нулю при |х|->оо. См. книгу Михлина [3, § 8].

Определение. Скажем, что ограниченная область й cz Rn
удовлетворяет условию конуса, если существуют такие
области Ult ...» Um и такие конусы Clt ..., См, получаемые
путем поворота конуса Kti из леммы 1, что

м

(У/ПЭД+С/СЙ, 7=1, ..., М. (7)

Замечание 5. Это определение принадлежит Агмону [3,
стр. 11]. (Правда, Агмон рассмотрел сразу несколько вариантов
условия конуса.) Ясно, что класс ограниченных областей, удов-
летворяющих условию конуса, достаточно широк; он содержит,
например, кубы и ограниченные области класса Ст, т= 1, 2,...,
описанные в определении 3.2.1/2. Можно распространить это опре-
деление (а вместе с ним и основанные на нем результаты) и на
неограниченные области. Мы не будем входить здесь в подробно-
сти и сошлемся на работу Стрикарца [2]. Кроме того, отметим,
что в книге Стейна [5, стр. 224] используется несколько видо-
измененный вариант данного здесь определения.

Замечание 6. Условие конуса весьма полезно в теории
теорем вложения и продолжения. Мы еще вернемся к этому во-
просу в замечании 4.6.2.

 Теорема. Пусть Q cz Rn — ограниченная область, удовлетво-
ряющая условию конуса. При 0<s<oo, 1 <р<оо и IsCgsSco
оператор сужения Вр, q (/?„) на BPi q (Й) (соотв. Нр (Rn) на Нр (й))
является ретракцией. Для любого натурального N существует
соответствующая коретракция, не зависящая от 1<р<оо,
1 q оо и 0 < s < N, являющаяся также коретракцией из Lp (Q)
в Lp (Rn)-

Доказательство. Шаг 1. Построим сначала оператор продолже-
ния из Wp (Q) в Wp (Rn). Определим функции ф7(%), / = 0, 1,...

М, так же, как на шаге 3 доказательства теоремы 3.2.2
(разбиение единицы). При этом нужно только заменить множе-
ства Kj из теоремы 3.2.2 на Uj. Выбирая конусы, удовлетворяю-
щие условиям (7), достаточно малыми, мы обеспечим корректность
приводимых ниже рассуждений. Пусть функция f(x) представляет
собой сужение на Q некоторой функции, принадлежащей С™ (Rn).
Положим



g^)=

/(х)ф; (х) при ХЕЙ,
О при хф й,
dw/(x)%(x)

---—----- при хе=й,
<?х£

О	при х^й,

(8)

fc=l, 2, п. Далее, запишем, как в лемме 1,

(Ш = ^(y)g^(x+y)dy
cj
п

+ S \ ^)(.y)g(k,)(x+y)dy,	x<=R„.	(9)

* = 1 Су

Здесь бР (у) — функции со свойствами, перечисленными в лемме 1.
Согласно замечанию 1,

(Krf)(x) = tyj (x)f(x),	х<=Й, / = 0, 1.........М. (10)

Ядра б/f (у) и их производные до порядка N — 1 включительно
интегрируемы на Rn, поэтому из теоремы 1.18.9/1 вытекает, что

2 IIW/L (₽п)^с 2 !№,(«>•
F	IPKAT

(П)

Теперь нужно оценить производные DaKjf порядка | а | = N. Если
заменить |у j”-1 ф(lyp) в (8) на £>v6*> (—у), где |у| = Л/ — 1 и
k=l, .... п, то равенство (6) (после соответствующего видоизме-
нения) и утверждение леммы 2 по-прежнему будут справедливы.
Приближая функции g$> (х) в Lp (Rn) функциями из С" (/?„), при-
меняя видоизмененную лемму 2 и переходя к пределу, получим
в силу теорем 2.2.3/1 и 2.2.3/2, что

Kjf<=WNp(Rn), N	(12)

р с п) I3K2V

Из определения пространств Wp (Q) вытекает, что сужения функ-
ций, принадлежащих С™ (7?л), на Q плотны в Wp (Q). Поэтому
из (10) и (12) следует, что оператор ©, определяемый равенством
м

(13)
/=0

(с последующим продолжением по непрерывности), является корет-
ракцией из Wp (Q) в Wp (Rn), соответствующей оператору сужения.

Шаг 2. Мы хотим показать теперь, что оператор © будет
также оператором продолжения из LP(Q) в Lp(Rn). По аналогии
с доказательством леммы 2 и ее описанной выше модификации
можно удалить из (1) частные производные в духе формулы (6).
Согласно лемме 2, мы получим сумму сингулярных интегралов
и слагаемое вида Используя тот же метод, что и на шаге 1,
убеждаемся, что оператор ® (после указанного видоизменения)
является оператором продолжения из LP(Q) в Lp(Rn).

Шаг 3. Утверждение теоремы следует теперь из шагов 1 и 2,
теоремы 1.2.4 и соотношений (2.4.2/11) и (2.4.2/14).

Замечание 7. * Идея использования сингулярных интег-
ралов для доказательства теорем продолжения для соболевских
пространств принадлежит Кальдерону [1, 2]. Один важный вари-
ант описанного выше метода продолжения разбирается в книге
Стейна [5, стр. 214]. Метод Стейна имеет два преимущества по
сравнению с изложенным здесь: (а) он применим и для предель-
ных случаев р=1 и р = оо; (Ь) он дает коретракцию, не зави-
сящую от N Ч Другие ссылки на литературу были даны в заме-
чании 3.

1	Буренков [6] предложил метод продолжения, который при тех же пред-
положениях относительно гладкости границы (а) применим и для предельных
случаев р = 1 и р = оо; (Ь) обладает тем свойством, что s С00 (Рл \ Q),
причем при | а | > т (l^p^oo)

ИD^fd	||^(а)

меньший); (с) применим и для более

(показатель | ос | — т нельзя заменить на
слабой нормы

\1/Р
р I

при р=1 и р = оо она не эквивалентна ||/||

Wp (О))

. — Прим, перев.
Замечание 8. Доказанную выше теорему можно распро-
странить и на некоторые неограниченные области, например на
неограниченные области, удовлетворяющие условию конуса (опре-
деление 3.2.1/1).

4.2.4. Эквивалентные нормы в W™ (й)

В теореме 3.2.5 и лемме 3.8.1/1 описан ряд эквивалентных
норм в пространстве W™ (Q). С помощью рассуждений, проведен-
ных в предыдущем пункте, можно получить более тонкие резуль-
таты.

Теорема. Пусть Q с: Rn — ограниченная область, удовлетво-
ряющая условию конуса, т = 1, 2, ICpCoo. Тогда нормы

ИС-(Й)=( 5 imilL(Q)y/p,	(1)

Р \|а|<т	/

||л;т(а)=ш(□>+ s imiif <Q)Y/p>	(2)

/	П	\1/Р

(3)

являются эквивалентными нормами в пространстве W7™ (й).

Доказательство. Из неравенства (4.2.3/12) следует, что
11/11^(0)— эквивалентная норма в U7p(Q). Таким образом, для
доказательства теоремы остается установить неравенство

(4)
р	р

Пусть области Uj и конусы Су —те же, что и в определении 4.2.3.
Тогда из лемм 4.2.3/1 и 4.2.3/2 с помощью метода, примененного
при доказательстве теоремы 4.2.3, получаем

И||£,<‘';П» + С,)+ 2 |S”|

&=1Н	«

откуда и вытекает (4).

Замечание 1. * Норма (3) аналогична норме из (2.3.3/7).
Неравенства типа (4) играют важную роль в теории эллиптических
дифференциальных операторов. Неравенство (4) доказано Смитом [1].
Можно обобщить задачу, поставив вопрос о том, при каких уело-
виях имеет место оценка

<5>

Здесь Pj — многочлены с постоянными или переменными коэффи-
циентами. Кроме того, можно рассмотреть аналогичные задачи
в пространствах Слободецкого — Бесова. В этой связи упомянем
работы Смита [1], Бесова [4, 5], Ильина [4, 6, 7], Бесова и
Ильина [1], Головкина [2], Стрикарца [2], Казаряна [1, 2], Гель-
мана и Мазьи [1, 2] и Бумана [1]. См. также замечание 1.13.4/2.
Результаты Орнстейна [1] показывают, что нормы (1) и (2) при
р=1, вообще говоря, не эквивалентны.

Замечание 2. Согласно замечанию 4.2.3/8, теорема верна
и для неограниченных областей, удовлетворяющих условию конуса
(определение 3.2.1/1), в частности для

4.3.	ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Как отмечалось во введении к этой главе, ряд важных разде-
лов теории пространств Соболева — Бесова в областях представляет
собой легкое следствие рассмотрений предыдущих глав. Здесь
существенную роль играют теоремы продолжения, доказанные
в § 4.2.

4.3.1.	Пространства BsPtq(Q) и Hp(Q)

Теорема 1. Пусть Q.cz.Rn — ограниченная область класса С00.
Тогда соотношения (2.4.1/3), (2.2.1/7), (2.4.1/8), (2.4.2/10),
(2.4.2/11) и (2.4.2/14) (включая особые случаи (2.4.2/15) и (2.4.2/16))
справедливы также и при замене Rn на Q при тех же предполо-
жениях относительно параметров. Кроме того, в условиях тео-
ремы 2.4.2/2 справедливо равенство

Bsp\Q1^))e,g = Bsp,q^).

Доказательство. Это немедленно следует из перечисленных
соотношений (к ним надо добавить еще теорему 2.4.2/2) и теорем
4.2.2 и 1.2.4.

Замечание. Теорема 1 аналогична теореме 2.10.1.

Теорема 2. Пусть й cz Rn — ограниченная область, удовлет-
воряющая условию конуса (определение 4.2.3). Тогда при следую-
щем дополнительном предположении: $>0 для пространств
Вр> q (й) u s2s0 для пространств Hsp (й) — справедливы все утвер-
ждения теоремы 1.
Доказательство. Как и в случае теоремы 1, это следует из
теорем 4.2.3 и 1.2.4.

Замечание 2. Согласно замечанию 4.2.3/8, теорему 2 можно
распространить и на случай неограниченных областей, удовлет-
воряющих условию конуса (определение 3.2.1/1).

Замечание 3. * Теория интерполяции для пространств
Соболева — Слободецкого была разработана в работах Лионса и
Мадженеса [1 III —V] и Мадженеса [1]. Полученные ими резуль-
таты содержатся в теоремах 1 и 2 как частный случай.

4.3.2.	Пространства Bp,q(Q), BsPtQ(Sl), Hsp(il) и Hsp(Sl)

Для того чтобы получить теорему, аналогичную теореме 4.3.1/1,
для пространств BPtQ(£l) и Нр(£1), мы воспользуемся тем же ме-
тодом, что и § 2.10. Прежде всего введем пространства BPtQ(£l)
и HP(Q).

Определение. Пусть Q czRn — ограниченная область
класса С°°, —оо<$<оо, 1=С7^оо и 1 <оо. Положим

Вр, q(Q) = {f\ff= Bsp, q (Rn), supp f <= й},
Hsp (Й) = {/1 f e= Hsp (R„), supp f <= й}.

(la)
(lb)

Замечание 1. Это определение аналогично определению 2.10.3.
Мы будем рассматривать пространства BPr q (й) и Hsp (й) не только
как пространства, определенные над Й, но и как замкнутые под-
пространства в BPtq(Rn) и Hsp(Rn) соответственно. Аналогично
можно определить пространства Вр> q (Rn \ й) и Нр (jRn \ й).
Нетрудно видеть, что

Вр, q (Й)=В‘, q (Rn)/Bp, q (Я„\й), HSP(Q.) =Hsp(Rn)/Hp(Rn\Q).

Пространства Bp q (й) и np (й) были описаны в определении
4.2.1/2.

Теорема 1. Пусть Q с Rn — ограниченная область класса С00.

(а)	При 1<р<оо, 1<7<оо и —oo<s=Cl/p

Bsp,q(Q.) = BPtq(Q,), Нр (Q) = Нр (Q);	(2а)

При 1<Р<ОО и —CQ<Z.S<_\/p

Вр, t (Й) = Вр, । (й).	(2b)

(b)	При 1 оо, 1<</<оо и —oo<s < оо множество (й)
плотно в Bsp,q(Q) и в HP(Q). Справедливы включения

ВР. q (й) с В’,, (Й), Hsp (й) с Hsp (Й).	(3)
(с)	При 1 < р < оо, 1	7 <; оо,у — 1 <s<oo и нецелом s — ~

Bsp. q (Й) = °ВР ,q (Й), Hsp (Й) = ЛГДЙ).	(4)

Доказательство. Шаг 1. Начнем с некоторых предварительных
замечаний. Мы будем использовать метод локальных координат,
как и на втором шаге доказательства теоремы 4.2.2. Если ify
обозначает те же функции, что и раньше, то согласно теореме
4.3.1/1 отображение g-^tyg является непрерывным отображением
пространства Bsp q (й) на себя; аналогично и для Hsp (й). Соот-
ветствующие утверждения справедливы и для пространств
Bsp,q(£l) и Нр(£1).

Шаг 2. Пусть f^.Bsp, Дй) и q<z<x>. Тогда ifyf е Bsp, q (й).
Так как Со° (Rn) плотно в Bsp< q(Rn), то

(Ф/7) (*+/г)тг-7О-Д (W) W ПРИ h | °.

Вр, q(Rn)

(Здесь все обозначения нужно понимать в смысле теории обоб-
щенных функций.) При подходящем выборе h носитель (%f)(x+/i)
компактен и лежит в й. Такие обобщенные функции можно сколь
угодно точно приблизить в Bsp q(Rn) функциями, принадлежа-
щими Cg° (й) (cz С°° (Дя)). Это означает, что множество Со°° (й)
плотно в Вр, ?(й). Точно так же обстоит дело и в случае про-
странств Др(й). Теперь вложения (3) сразу следуют из опреде-
лений рассматриваемых пространств.

Шаг 3. Лемма 4.2.2 справедлива и для пространств

=	Поэтому, интерполируя на основе теоремы 4.3.1/1,

можно распространить лемму 4.2.2 на любые пространства Bsp Д^)
и	Применяя метод локальных координат, выводим равен-

ства (2) из теоремы 2.9.3 (d). Точно так же равенства (4) сле-
дуют из (3) и теоремы 2.10.3 (Ь, с).

Теорема 2. Пусть й czRn — ограниченная область класса 0е0.
Тогда при замене В'. (Rn) на В'., (й) и Н‘. (Rn) на Н'. (й) соотно-
шения {2АЛ13), (2АЛП), (2.4.1/8), (2.4.2/9), (2.4.2/10) и (2.4.2/14)
остаются верными при тех же предположениях относительно
параметров. Кроме того,

(Вр, qa (й), Bsp\ qi (й))е, q =	0) s»+ 0S* (й)	(5)

при — оо < s0, sx < оо, s0 =# Sj, 0 < е < 1, 1 < р < оо, 1	q0, qx,

<7^ оо.

Доказательство. Используя метод локальных координат, можно
«перенести» теорему 2.10.4/2 на область й точно так же, как
и на первом и третьем шагах доказательства предыдущей теоремы.
Но тогда доказываемая теорема следует из перечисленных соот-
ношений (к ним надо добавить еще теорему 2.4.2/2) и теоремы
1.2.4.

Замечание 2. Эта теорема аналогична теореме 2.10.4/1.
С учетом теоремы 1 (а, с) из нее следует весьма общая интер-
поляционная теорема для пространств Bsp, 9(Й) и /Ур(й). С дру-
гой стороны, мы видим, что случай целых з — является здесь
особым. В этой связи возникают две задачи. Во-первых, выяснить,
нельзя ли другими методами получить равенство (4) и для s — -i-=
= 0, 1, 2,... . Отметим, что из формулы (2.10.5/4) с помощью
метода локальных координат можно вывести, что при — оо < з <
< —1 + у, 1<р<оо, 1<(/<ОО

BSP, q (Й) ¥= Bsp. q (Й), H*p (Й) =# Hsp (й).

Во-вторых, представляет интерес получить явный вид норм в
пространствах BPt q (й) и Вр, q (й), а также в пространствах Hsp (й)
и Яр(й). В случае пространств Вр, ?(й) и Вр, 7(Й) с з>0 и в
случае пространств W™ (й) с т=1, 2,... на второй вопрос име-
ется вполне удовлетворительный ответ; см. теорему 4.2.4 для
пространств Соболева. Кроме того, полагая о(х)=1 в теореме
3.3.3, мы получаем при помощи теорем 4.2.4 и 4.3.1/1 эквива-
лентные нормы для пространств Вр, q (й) с з > 0. Мы еще вер-
немся к этой задаче в § 4.4 и обсудим ее там более подробно.
Из первого равенства (4), теоремы 2 и теоремы 3.3.4 с о(х) = 1
следует, что

(ОО	/	\ —	\ —

Л /р	— \р ftt\p

(6)
о \q/	/	/

при s>0, 1<р<оо, 1=С7=Соэ (множество СУ определено
равенством (3.2.1/1)). (При q = oo нужно обычным образом видо-
изменить последнее выражение.) Если d (х) — расстояние от точки
хей до границы, то при 1<р = ^<оо и s>0, согласно
замечанию 3.3.2,

mi. ,и~1Л'г,
Р> Р 4	Р» Р '	Q

(7)

Таким образом, вопрос о том, когда имеет место равенство
Вр,?(й) = Вр,?(й), эквивалентен вопросу о том, когда существует
такое число О О, что для любых (Q)

q_

Гс°	/с	V

i	I	\ f (%)	dx j

-О	/

£

Q

ВР.^-

(8)

Из (4) видно, что неравенство (8) выполняется при 1 < р < оо,
1<7<со и нецелых s —у* Сравнение с (7) приводит к инте-
ресному частному случаю:

\d-sp(x)\f(x)\pdx^cinps , feCf(Cl),	(9)

Q	ВР, PW

для s>0, s —у=4=0, 1, 2.....1<р<оо. Это по существу сов-

падает с леммой 3.2.6/1 (Ь). См. Гривар [2, лемма 4.1]. Исполь-
зуя оценку (8), можно дать следующий частичный ответ на пер-
вый вопрос:

Вр, q (Q) =/= Вр, g (Q) При S-k-{-— ;

k = Q, 1, 2, ...,	1<р, </<оо.	(10)

Это можно доказать так. Применяя метод локальных координат,
с помощью теоремы 2.9.3 получаем, что dk (х) принадлежит про-
странству BsPtq(Q). В то же время, как нетрудно видеть, левая
часть (8) бесконечна для f (х) = dk (х).

Замечание 3. Используя теоремы 3.3.1 и 3.3.2 с Й =
и o(x)ssl, получим соотношения (6) и (10) для Q = A?J, которые
дополняют утверждение (2.10.3/3).

Замечание 4. * Пространства Wsp (Q) (= Hsp (Q) для s = 0,
1, 2, ... и — Bsp,P(Q) для нецелых s>0) были введены в рабо-
тах Лионса и Мадженеса [1 III—V] и Мадженеса [1] в связи
с изучением соответствующих пространств W'p(Q). В этих рабо-
тах содержатся утверждения типа равенств (4), а также отдель-
ные случаи теоремы 2. В этой связи укажем еще статьи Гривара
[6] и Крэ [4]. В последней из них рассматриваются области
с углами.

4.3.3.	Пространства Вр, q, {«/}($) и Нр, |Ву} (^)

В пп. 4.3.1 и 4.3.2 была развита теория интерполяции для
пространств В*р, <,(£2) и Hsp (£2), а также для пространств Bsp,q(Q)
и Нр (£2). Возникает вопрос, нельзя ли обобщить эти результаты,
интерполируя замкнутые подпространства пространств Вр,г(£2)
и Др(й). В замечании 1.17.1/4 мы отмечали трудности, возникаю-
щие при интерполировании подпространств. (Дальнейшие контр-
примеры в духе замечания 1.17.1/4 можно получить с помощью
теорем 4.3.1/1, 4.3.2/1, 4.3.2/2 и соотношения (4.3.2/10).) В теории
эллиптических дифференциальных операторов особый интерес
представляют те подпространства в Вр, q (й) (соотв. в Нр (й)), про-
межуточные между Bp,p(Q) и Вр, p(Q) (соотв. между Яр(Й)
и 77p(Q)), которые порождены дифференциальными операторами.
В этом пункте мы сформулируем один важный результат, при-
надлежащий Гривару [5—7] и Сили [2, 3]. Достаточно сложное
его доказательство мы опустим.

Определение 1. Пусть £1 a Rn —ограниченная область
класса С”, а

2 b/,a(x)D“A йу.а^еС00^),	(1)

|а| < т-

/ = 1, ..., k, — дифференциальные операторы, заданные на границе
3Q. Набор	будем называть нормальной системой,

если

0^m1<Zm2<Z...<mk	(2)

и для любого вектора vx, нормального к границе dQ в точке х <=dQ,
выполняется условие

5 fy,a(x)v£#=0,	/ =	(3)

\a\=nij

Замечание 1. Нормальные системы граничных операторов
играют важную роль в теории эллиптических дифференциальных
уравнений. Позже мы еще вернемся к этому вопросу.

Определение 2. Пусть Q cz Rn — ограниченная область
класса С°°, a Bj — дифференциальные операторы, описанные в опреде-
лении 1. Для s>0, 1 < р < со и 1	положим

Вр, ч {в.} (Й) = 1 f е Bsp, g (Й), Brf\да=0дляпу<5-±}, (4)

Др.{в/}(Й) = {л/е#р(Й), Bjf |5Q= 0 для	(5)

Замечание 2. Используя теорему 2.9.3 и метод локальных
координат, можно убедиться, что это определение корректно.

Теорема. Пусть й cRa- ограниченная область класса С00;
{By}/=i — нормальная система в смысле определения 1; т —такое
натуральное число, что т > /и*; 1 <оо, 1 оо и О<0<1.
(а)	Если ни для какого из чисел / = 1, ...» А, не выпол-
няется равенство т®—- =mj, то

(Lp (й), Н” {Bj} (Q))0> q = B%4, {B/} (Q)	(6)

u

[LP№,	=	(Q).	(7)

(b)	Пусть mi=^mO—y, и пусть коэффициенты bi,a(x) вместе
со своими первыми производными непрерывно продолжены на Q.
Тогда

и

[LP(Q), H^{B.}^)]={f\f^H^{Bj}, Вф^Н^^-	(9)

Замечание 3. Соотношения (6) и (8) доказаны Гриваром
[5—7], а соотношения (7) и (9) —Сили [2, 3]. Сошлемся еще на
работу Хьюза [1].

Замечание 4. Соотношение (8) можно переписать в следую-
щем виде:

(Т-р (й), Нр, {вд (Й))0> р

= ^|/еВ9ртр.{в/}(Й),^_1 (xW(x)|pdx<oo}. (10)
(Эквивалентность соотношений (8) и (10) следует из (4.3.2/7).)
Именно в таком виде оно было дано Гриваром.

4.4.	ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ НОРМЫ В ПРОСТРАНСТВАХ
СОБОЛЕВА —БЕСОВА

Опираясь на теорию интерполяции, развитую в предыдущем
параграфе, и на соответствующие рассмотрения гл. 3, можно
получить целое множество эквивалентных норм в пространствах
Гд(й) и BsPfQ(£l), s>0.

4.4.1.	Пространства Соболева — Бесова в областях,
удовлетворяющих условию конуса

Теорема. Пусть й cRn- неограниченная область, удовлетво-
ряющая условию конуса в смысле определения 3.2.1/1.

(а)	При 1<р<оо и т=1, 2 ... нормы (4.2.4/1) — (4.2.4/3)
являются эквивалентными нормами в пространстве Wp (й).
(Ь)	Пусть 0 <s < оо, 1 <;р < оо и 1 оо, и пусть мно-
жество Л4б, где 0 < 6 < оо, — то же самое, что и в (3.3.1/3). Пусть,
далее, k и I —целые числа, удовлетворяющие условиям

0=с/?<<$, l>s — k,

и

i
йл.г = П
/=о

(1)

(2)

Тогда нормы

^P.qW =“%<«>

dh -Ыч

1«

(4)

lLp(£2) | h |«

б

life’s

Вр, <7(Й)

ВР.

ИЙ)=1%<Й)

п

И дх> LP(Qh.i)

dh ~П/<7

|Л|Я

(5)



Bpt q	р

1’рРл. d\h\n 4

(6)

п

являются эквивалентными нормами в пространстве В3Р^(О} при
всех допустимых значениях чисел 6, k и I. (В случае q = cx) нужно
заменить Н?р^у/<? на sup|-|.) При этом в (4) и (6) можно
заменить У] на У .

|а | k |а | =k

Доказательство. Шаг 1. Утверждение (а) представляет собой
следствие теоремы 4.2.4 и замечания 4.2.4/2.

Шаг 2. Применяя утверждение (а), определение 3.2.1/4, тео-
рему 3.2.2(b), метод продолжения из теоремы 4.2.3 и замечание
4.2.3/8, получаем, что Wp (Q) = Wp (Q; о) с а(х) = 1. Но тогда
из теорем 3.3.1, 4.3.1/1 и замечания 4.3.1/2 вытекает, что
||/||(2)s является эквивалентной нормой в BsPt <?(Q). Из заме-

Вр, q

чания 3.3.1/2 следует, что значение 6 = оо допустимо. Используя
утверждение (а) и замечание 4.3.1/2 (а также формулу (1.3.3/5)),
находим, что при k^l

Здесь 8 —любое фиксированное положительное число, например
можно взять 8 = у. Отсюда следует, что норма (3) тоже является
эквивалентной нормой. Так как норма (4) с может быть
|а | = &

оценена и снизу и сверху с помощью двух первых норм, то она
также будет эквивалентной нормой. Из определения 4.2.1/1 выте-
кает, что

г-1'2- (7)

Следовательно,	для г = 3, 4 также являются эквива-

q<я)

лентными нормами.

Замечание 1.* Поскольку в приведенных выражениях для
норм участвуют только точки области й, эта теорема дает «внут-
реннее» описание пространств W™ (й) и Вр, q (й). Особенно важны
нормы (5) и (6), так как для невесовых пространств они более
естественны, чем нормы (3) и (4). Замечания по истории вопроса
и ссылки на литературу даны во второй главе; см., в частности,
замечание 2.3.1/2. Кроме того, отошлем читателя к замечаниям
4.2.3/3 и 4.4.2/1 ниже.

Замечание 2. Доказанная теорема аналогична теореме 2.5.1.
Как и в замечании 2.5.1/3, желательно выбрать самое малое I,
удовлетворяющее (1). Самое малое получается при & = [з]-, и оно
равно I — 1 + [{«}+]. В частности, для пространств Wp (Й) = ВР> Р(Й)
с нецелым s мы имеем

И с цР в f jiP ।	Г I Daf (x) Daf (У) 1^ л.. л,, /ox

1' U7S_(0)	'/kp(O)-r	J |x_y|«+(s}₽	' '

p	|a| = [s]Qxa 1	i/|

Здесь можно заменить У на У . Кроме того, второе
|a|=[s] |a|sg[s]

слагаемое можно видоизменить по аналогии с (5).

Замечание 3.* Если область й разбита на две подобласти
й, и й2, то для пространств Соболева №р(й) при целом s спра-
ведливо неравенство

<q >)•

Wp (W)	W	W p (w,) j
Возникает вопрос, обладают ли пространства Слободецкого Wsp (Q)
при нецелых $ таким свойством. Условия, при которых ответ
утвердителен, даны в работах Буренкова [3, 4,*7]х. См. также
Бирман и Соломяк [6]. Для пространств Hsp (Rn) с нецелым
s — аналогичный вопрос для случая подобластей Rp и Rn изу-
чался Шамиром [1].

4.4.2.	Пространства Соболева — Бесова в ограниченных областях

Теорема 1. Пусть Q cz Rn — ограниченная область класса С°°.

(а)	Справедливо утверждение теоремы 4.4.1 (а).

(Ь)	Пусть 0<з<оо, 1<р<оо и 1=С <7=^00. Пусть, далее,
обозначение QAj8>< имеет тот же смысл, что и в (3.3.3/1), a k
и I —целые числа, для которых выполняется условие (4.4.1/1).
Тогда нормы

(a> = l/llL <Q)
Вр, V™ Lp (Я)
п

dh ~|i/?

IЛ Iя

-Р(ЙЛ,8./)' 'J

(1)

(2)

+ 2 И

являются эквивалентными нормами в пространстве BPt q (Q) для
всех допустимых k и I и всех достаточно малых положительных

6, 8 и t. (При q = co нужно заменить

dh \ <7

тт^ на

sup |-|Л Кроме того, нормы ||/||(*s и Ц/P’s ,о. из теоремы
|h|<6	/	р. qW	p.qW

4.4.1 также являются эквивалентными нормами в BsPf ^(Q). В нор-
мах \\f\\isA и ||/С можно заменить У на У .

Р><1{ ’	1	\a\^k	1а| = Л

(с) Если заменить ||/|| s в (4.3.2/6) и (4.3.2/7) на
°р, q W

Hfllgs (Q), где j — l, 2, 3, 4, то получатся эквивалентные нормы

* Впервые подобная задача была рассмотрена С. М. Никольским *[8] для
пространств Bspt (Q). Для пространств Вр q (Q) при l^gcoo аналогичные
вопросы были исследованы Кузнецовым *[2]. — Прим, перев,
в пространстве Вр, q (Q) (в последнем случае в пространстве

Доказательство. Используя теоремы 3.3.3 и 3.2.2(c), устанав-
ливаем справедливость утверждения (а) и (Ь) так же, как и при
доказательстве теорем 4.4.1. Утверждение (с) следует из соотно-
шения (4.3.2/6).

Замечание 1.* Наиболее важны нормы ||/|P’S и
Вр, q

l!/irt’s ,m- Норма ll/IITs ,о. по существу совпадает с нормой, вве-
Вр, q	Dp, q 'w'

денной в работах Мурамату [3, 4]. Здесь мы определили прост-
ранства BPt q (Q) и //p(Q) как сужения на Q соответствующих
пространств, заданных на Rn. Чтобы перенести результаты для
пространств, заданных на Rn, на пространства, заданные на Q,
необходимо положить на Q некоторые требования гладкости
(например, рассматривать ограниченные или неограниченные
области, удовлетворяющие условию конуса). Если эти предполо-
жения относительно гладкости не выполняются, то разумно дать
прямое определение пространств BsPt ^(Q), скажем с помощью
нормы |l/rs . Аналогично дело обстоит и в случае прост-
ер, q

ранств Wp (Q). Мы не будем входить здесь в детали и сошлемся
на работы Ильина [3] и Мурамату [3, 4], а также на работы,
указанные в замечании 4.2.3/3, в которых тоже, по крайней мере
частично, рассматриваются подобные вопросы. Кроме того, отошлем
еще читателя к замечанию 4.6.2 ниже.

Теорема 2. Пусть Q cz Rn — ограниченная область, удов-
летворяющая условию конуса в смысле определения 4.2.3.

(а)	Справедливо утверждение теоремы 4.4.1 (а).

(Ь)	Пусть	\<Zp<Zc^ и l^^^oo. Тогда нормы

\\f |PS и ||/||(Ч m из теоремы 4.4.1 являются эквивалентными
Вр, q W	Вр' q («)

нормами в пространстве BsPtq(Q). Здесь k и I — целые числа,
удовлетворяющие условию (4.4.1/1).

Доказательство. Утверждение (а) представляет собой следствие
теоремы 4.2.4. Из теоремы 4.3.1/2 и доказательства теоремы 3.3.3
вытекает, что существуют такие эквивалентные нормы ||/||(J

Вр, q

г=1, 2, пространства BsPt q (Q) = BsPt q (Q, а), где a(x) = l, что
выполняются неравенства (4.4.1/7). /Эти нормы ||/||('s	, г =

\	Вр> q W

= 1,2, нельзя, однако, представить в таком виде, как это было
сделано ранее.) Отсюда следует утверждение (Ь), по тем же
соображениям, что и на втором шаге доказательства теоремы 4.4.1.
Замечание 2. Рассуждения из замечания 4.4.1/2 также
сохраняют силу. Особый интерес представляет формула (4.4.1/8).

Замечание 3. Очевидно, что

1/«.	10,+1Л,;	(3)

р, ч	р	р. ч	Р* Т»

где 0<o<s и 1=^т=^оо, также являются эквивалентными нор-
мами в пространстве BsPt q (Q).

4.5.	ПРОСТРАНСТВА ГЁЛЬДЕРА С (Q)

Мы разовьем здесь, по аналогии с § 2.7, теорию гёльдеровых
пространств, определенных в областях. Во введении к § 2.7 были
объяснены причины, по которым в данной книге рассматриваются
гёльдеровы пространства.

4.5.1.	Определение и теорема продолжения

Ниже используются те же обозначения, что и в п. 2.7.1.

Определение. Пусть Qtz.Rn — ограниченная область
класса С00. При /^0 будем обозначать через CZ(Q) сужение про-
странства C*(Rn) на Q. При />0 будем обозначать через ^Z(Q)
сужение пространства (Rn) на Q.

Замечание 1. Пространства CZ(Q) и ^Z(Q) являются бана-
ховыми, поскольку они представляют собой факторпространства
банаховых пространств, нормированные обычным образом:

1Лс<(й)= finf №(₽)>

(#п)

ИЬ = inf	(1)

®	S(x)=f(x), xEfi ® (°я)

Обозначение (У (Q) мы избрали во избежание недоразумений.
В случае целых t через С7 (Q) обычно обозначают множество
всех t раз непрерывно дифференцируемых функций, определенных
в Q. Таким образом, (У (Q) у= О (Q).

Теорема. Пусть Q cz 7?л_— ограниченная область класса С00.
Оператор сужения C*(Rn) на CZ(Q) при и (Rn) на ^(Q)
при />0 является ретракцией. Для всякого заданного натураль-
ного числа N существует соответствующая коретракция, не зави-
сящая от

Доказательство. Пусть N — заданное натуральное число. Исполь-
зуя метод локальных координат, можно построить коретракцию
^(Q) в CN (Rn) по образцу доказательства леммы 2.9.1/1. Она
будет одновременно коретракцией Ck (Q) в CkRn при k = 0, 1,..., N.
Теперь наша теорема следует из теорем 1.2.4 и 2.7.2/1.

Замечание 2. Из приведенных выше определения и теоремы
следует, что C°°(Q) плотно в пространстве C*(Q) при k = Q, 1,
2 .... Здесь С°°(Q) — множество всех бесконечно дифференцируе-
мых функций, заданных на Q, где Q— ограниченная область
класса С°°. Отсюда следует, что эти пространства-сепарабельны.
Соответствующее утверждение для пространств CZ(Q) и С* (Rn)
с нецелым t неверно. См. замечание 4.9.4/6.

4.5.2.	Интерполяция и эквивалентные нормы

Теорема 1. Пусть QcRn - ограниченная область класса С00,
(а) При 0 ==С /0 <7Х < оо и 0 < 6 < 1

po(Q), ^(Q^oo^r^Q), где / = (1- 6)^ + 6^.	(1)

(Ь) При нецелых />0

C'(Q) = ^(Q).	(2)

Доказательство. Это немедленно следует из теорем 4.5.1,
2.7.2/I и 1.2.4.

Теорема 2. Пусть Q cz Rn — ограниченная область класса С*.

(а) При т = 0, 1, 2, ... нормы

№w = 5 sup ^7(х)|	(3)

|<х | ^.т й
U

11Лет(£2) = sup If(x)|+ Л sup|D7(x)|	(4)

являются эквивалентными нормами

(b) При />0 нормы

Й/К =sup|/(x)|+ У

* <я>

в пространстве Ст(О.).

sup \h\'~*
heRn I '* I

xeah,l

(Я)

= sup|f(x)| +
хе й

V sup
L hE=Rn

| ОС | k X й д I

| h I*-*

(5)

(6)

являются эквивалентными нормами в пространстве (Q). Отно-
сительно обозначения Qh.i см. (4.4.1/2). Здесь k и I —такие целые
числа, что Q^k<zt и l>t — k. Кроме того, в (5) и (6) можно
заменить условие h^Rn условием |h|6, где 0<6<оо.
Доказательство. Шаг 1. Из вида коретракции и из теоремы
4.5.1 вытекает, что (3)— эквивалентная норма в Cm(Q). Отсюда
так же, как в теореме 3.2.5, выводится, что и (4) — эквивалент-
ная норма в Cm(Q).

Шаг 2. Доказательства теорем 3.3.1 и 3.3.3 переносятся без
изменений на случай пространств С. Из модифицированной таким
образом теоремы 3.3.3 следует так же, как при доказательстве
теоремы 4.4.1, что нормы (5) и (6) (и указанные их варианты)
являются эквивалентными нормами в пространстве ^(Q).

Замечание 1. Упомянутая модификация теоремы 3.3.3 дает
также возможность описать эквивалентные нормы в простран-
ствах

(Q),	(Q))e,g, где 1 оо.

См. теорему 4.4.1. Так как метод получения эквивалентных норм
ясен, мы не станем входить здесь в подробности.

Замечание 2. Из теоремы 4.5.1 и соотношения 2.7.2/8
вытекает, что при 0^/0</1<оо, 0<б < 1 и Z = (1 — 6)/0 +

/еСЧй).	(7)

Неравенства подобного типа играют очень важную роль в тео-
рии эллиптических дифференциальных операторов. См., напри-
мер, книгу Миранды [1].

Замечание 3. При нецелых t мы имеем ^(Q) = CZ(Q)
(теорема 1 (b)) и поэтому, в силу (6),

ia(==wxeQ,i/eQ Iх У\

(8)

Именно так обычно и определяют норму в гёльдеровых про-
странствах CZ(Q). В (8) можно заменить sup|/(х) IM/bum на
v а=. О	' '

Замечание 4. По аналогии с (4.2.4/3) и (5) естественно
задать вопрос, нельзя ли в (4) заменить У, sup | Daf (х) | на
|а|=/п хеВ

п

У sup

dmf(x)
dxf

. Буман [1], показал, что нельзя. См. также

замечание 1.13.4/2.1

1 Еще раньше это сделал Митягин *[5]. Юдович *[1] привел простой
пример, показывающий невозможность такой замены: т = п = 2, f (хр х2) =
= XiX2 In In (xj +х§)-1, Q = {(Xi, x2) | xf+xf < 1/2}. — Прим, nepee.
Для дальнейшего будет полезно распространить определение
4.5.1 на случай произвольных областей.

Определение. Пусть й cz Rn — произвольная область.
Положим

и

№(Я)= S sup |Z>V(x)|, / = 0,1,2,...,
|а|</

11^ llcZ (Й)

= №Л(Й)

+ У sup

\РЩх)-РЩу)\
I X-y\{i}

при 0 </ = [/] +{/}, где [/] —целое, 0<{/}<1. Положим, далее,
Cz (й) = {/1/ (%) [/] раз непрерывно дифференцируема в Й и

Замечание 5. Для случая когда й— ограниченная область
класса С°°, это определение совпадает с приведенным- выше.
Используя обычные рассуждения, нетрудно показать, что СДЙ) —
банахово пространство.

Замечание 6. Бутцер и Йонен [1] исследовали с помощью
интерполяционных методов гёльдеровы пространства на много-
образиях.

4.6.	ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ РАЗНЫХ МЕТРИК.

СООТНОШЕНИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ

Определение 4.2.1/1 дает возможность перенести теоремы вло-
жения и соотношения включения, доказанные для пространств
Лебега — Бесова Hp(Rn) и BsPtq(Rn), на случай соответствующих
пространств, определенных в произвольных областях. Для огра-
ниченных областей можно получить несколько более сильные
теоремы вложения.

4.6.1.	Теоремы вложения для произвольных областей

Ниже С? (й) —пространства, введенные в определении 4.5.2.

Теорема. Пусть й cz Rn — произвольная область.
(а) При —oo<s<oo, 8>0, 1 < р < оо и

е (й) cz Bsp,, (й) с Bsp, Ч1 (й) с Bsp, (Й) с

сВ’.оДфсВ’Г/СЙ).	(1)

(Ь)	При — OO<ZS<Z СО и 1 < р < оо

Вр, min (2, р) (Й) cz HSP(Q) cz Вр, шах (2, р) (й).

(2)
(с)	При 1<р^(?<ОО, l^r^Coo, —OO<Zt =^s<oo и

fl

~р

п

1

(3)

имеют место вложения

Я₽ (Й) <= Я* (й).	(4)

(d)	Пусть 1<р<^<оо и выполнено условие (3). Тогда

Яр(й)с=Врр(Й), Bsp, q (Й) <= Я* (Й).	(5)

(e)	Пусть 1 < p <oo, Isgjrsgoo, t^=0 и	Тогда

Bp, г(й) cz С* (Й), Hp (й) cz C (Й).	(6)

Если дополнительно предположить, что t —нецелое, то вложения
(6) справедливы и при s = t-\~.

(f)	При 1<р<оо и t^>?0

tA.!L

B>(G)Cm	(7)

Доказательство. Соотношения (1) и (2) являются следствиями
соотношений (2.3.2/3) и (2.3.3/8) и определения 4.2.1/1. Остальные
утверждения теоремы следуют из теоремы 2.8.1, замечаний 2.8.1/1,
2.8.1/2 и соотношения (2.8.1/18).

Замечание 1. Из (4) и (5) вытекает, что при 0^/^s<oo
и 1

(й) cz 1F £ (й), s-^t—п~.	(8)

См. замечание 2.8.1/3. Вложение (8) представляет интерес с
исторической точки зрения. См. замечание 2.8.1/6.

Замечание 2. Эта теорема особенно важна для случая облас-
тей, обладающих свойством продолжения (т. е. таких, что опера-
тор сужения из Rn на Q является ретракцией). Как показывают
теорема 4.2.3 и замечание 4.2.3/8, этим свойством обладают огра-
ниченные и неограниченные области, удовлетворяющие условию
конуса. Мы еще вернемся к этому вопросу в замечании 4.6.2.

4.6.2. Теоремы вложения для ограниченных областей

Для ограниченных областей Q можно несколько обобщить
теорему 4.6.1.

Лемма. Пусть 'ф(х) е С^°(/?„), — co<s<oo, l^r^oo
и 1<#^р<оо. Тогда оператор А, задаваемый равенством
осуществляет непрерывное отображение из Bsp r (Rn) в Bsq r (Rn) и
из Hsp(Rn) в Hsq(Rn).

Доказательство. Для пространств (Rn) в (Rn), где N —
натуральное число, эта лемма является следствием формулы
(2.3.3/2) и неравенства Гёльдера. Используя (2.6.1/1), заключаем,
что соответствующее утверждение верно и для пространств H~N (Rn)
и H~N (Rn). Теперь утверждение леммы получается с помощью
интерполяции на основе соотношений (2.4.2/11) и (2.4.2/14).

Теорема. Пусть Q cz Rn — ограниченная область.

(а)	Пусть 1 <с p,q < оо, 1 г оо, —оо <с t s <; оо и
выполнено условие (4.6.1/3). Тогда имеют место вложения (4.6.1/4).

(Ь)	Пусть 1<р,(/<оо, —00<Z<CS<C00 и выполнено усло-
вие (4.6.1/3). Тогда имеют место вложения (4.6.1/5).

Доказательство. Зафиксируем 1 < р < оо, 1 sCrСоо и i<s.
Тогда вложения (4.6.1/4) (соотв. (4.6.1/5)) имеют место для лю-
бых q, для которых 1<р<р<оо и выполнено условие (4.6.1/3).
Выбирая теперь функцию ф (%) <=	(/?„), тождественно равную 1

в некоторой окрестности области Q, получим, согласно приведен-
ной выше лемме, что вложения (4.6.1/4) и (4.6.1/5) имеют место
также и для \<Zq^p. В случае вложений (4.6.1/4) можно с са-
мого начала считать, что t = s и p = q.

Замечание. * Вернемся к замечанию 4.6.1/2. Пространства
Лебега — Бесова Нр (Q) и BPt q (Q) были определены как сужения
пространств Hsp (Rn) и BPt q (Rn) соответственно. Для ограничен-
ных (соотв. неограниченных) областей, удовлетворяющих условию
конуса, мы получили в теореме 4.2.4 (соотв. замечания 4.2.4/2)
и теореме 4.4.2/2 (соотв. теореме 4.4.1) описания пространств
IFp(Q) и Bp>q(£l) при s>0, в которых фигурируют лишь значе-
ния функции f(x) для	При этом все основывалось на том,

что такие области обладают свойством продолжения. Для областей,
не обладающих этим свойством, определение 4.2.1/1 бесполезно.
В этом случае для определения соответствующих пространств
разумно использовать нормы (4.2.4/Г) и (4.4.1/6) (или их модифи-
кации). Таким образом определенные пространства Wp (Q) и BPt q (Q)
не обязательно совпадают с соответствующими пространствами из
определения 4.2.1/1. Но тогда и приведенная выше теорема и
теорема 4.6.1 не обязаны быть справедливыми для этих новых
пространств. Обозначим через C°°(Q) множество всех бесконечно
дифференцируемых функций, заданных в Q. Мейерс и Серрин [1]
и Мурамату [3] доказали, что и при указанном видоизмененном
определении множество C°°(Q) f| IF$(Q) плотно в IF^(Q), а мно-
жество С00 (Q) A Bsp q (Q) плотно в Bsp q (Q)1. См. также Буренков
[5]. Из сказанного выше вытекает, что требование, чтобы рас-
сматриваемые области Q удовлетворяли условию конуса, является
естественным, если хотеть, чтобы теоремы вложения для областей
формулировались так же, как и для всего пространства Rn.
Буренков [2] доказал, что для областей, для которых условие
конуса не выполнено, теоремы вложения (для видоизмененных
пространств) не верны в полной мере2. Теоремами вложения для
произвольных областей без использования свойства продолжения
занимались Ильин [3], Мурамату [3 — 5], Мюллер-Пфайффер и
Вебер [I]3. Далеко идущие исследования, касающиеся справед-
ливости теорем вложения для произвольных областей и родствен-
ных вопросов, были проведены Мазьей [1—4]. Полученные им
критерии справедливости теорем вложения в Q носят характер
необходимых и достаточных условий. В этой связи упомянем еще
работы Адамса [5], Стороженко [1], Андерссона [1] и Буренкова [6].

4.7.	ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ
(ТЕОРЕМЫ О СЛЕДАХ)

В настоящем параграфе мы перенесем на случай областей
результаты пп. 2.9.3. и 2.9.4. Теоремы, которые будут здесь
получены, играют очень важную роль в теории граничных зна-
чений дифференциальных операторов.

4.7.1	Прямые и обратные теоремы вложения (1 = п—1)

Для ограниченных областей Q класса С00 пространства
ВрДЗЙ), 0<s<oo, 1 <р<оо, Ic^^oo, были определены
в определении 3.6.1. Как и в теореме 3.6.1, внешняя нормаль

* Здесь 1Ср<оо для пространств Wsp (Q) и 1=Ср^оо, 1^д<оо для
пространств Вр ^(Q). Для пространств Wp(Q) с целым s этот результат впер-
вые был получен Дени и Лионсом [1, теорема 2.3]. В работе Буренкова * [8]
этот результат доказан для широкого класса пространств Z (Q), содержащего
пространства Wsp (Q) и Bsp ^(Q). Там же доказано, что для таких пространств
утверждение о плотности множества С°° (Q) в Z (Q) эквивалентно утверждению
о непрерывности относительно сдвига для финитных функций из Z (Q). Отсюда
и из известных результатов следует, в частности, что С°° (Q) не плотно в

(Q) при р — со и в Вр q(Q) при q—со. — Прим, перев.

2 Показывающие это примеры строились ранее многими авторами
(С. М. Никольский, В. П. Ильин, В. Г. Мазья, И. Г. Глобенко и др.).
В работе Буренкова [2] основное внимание уделено построению подобных
примеров в анизотропном случае для областей типа «рога». —перев.

3 См. также работу С. М. Никольского * [9], в которой доказано, что при
малых изменениях параметров некоторые теоремы вложения и в случае произ-
вольных областей имеют тот же вид, что и для всего пространства,—Прим, перев.
к границе dQ обозначается через v. Далее /|ао обозначает гра-
ничное значение функции f.

Теорема. Пусть й с Rn — ограниченная область класса Ст.

(а) Пусть 1<р<оо и i/p<s<oo. Тогда оператор Э1, зада-
ваемый равенством

..4^

dv I p

(1)

да

ls-Tl s_±

является ретракцией пространства Hsp (й) на BPt рр
1=0

Кроме того, справедливо равенство

Hsp (£!) = {/\ft=Hsp(£l)-, 91/= 0}.

(дй).

(2)

(b)	Пусть l<p<oo,	l/p<s<oo. Тогда опера-

тор 91, задаваемый равенством (1), является ретракцией прост-

1-1Г

ранства Bp,q(Q) на JQ Bp,qp (дй). При l<Zq<.oo имеет
i=o

место равенство

В8Р.ИЙ)={/1/е^.ДЙ); ЭЯ/ = О}.

(3)

Для q — 1 равенство (3) справедливо тогда и только тогда, когда
число s —1/р —нецелое. Далее,

ВУРХ(О. ^ВХР!(Й).

(с)	Пусть 1 < р <; оо и s —^-=0,1,2,

. Тогда

да

является непрерывным отображением пространства B*Pt i (й) в Lp(d£l).

(d)	При 1<р<оо, 1<<?<оо и —<x><Zs^l/p множе
ство Со (й) плотно в Вр,, (й) и в Hsp (й). При 1 < р < оо « — оо <
<s< 1/р множество СТ (й) плотно в Вр, 1(й).

Доказательство. Утверждение (d) совпадает с утверждением (а)
теоремы 4.3.2/1, а все остальные утверждения получаются из тео-
ремы 4.3.2/1 при помощи метода локальных координат (см. третий
шаг доказательства теоремы 4.3.2/1).

Замечание 1. Ср. с теоремами 2.9.3, 3.6.1 и 3.6.3.

Замечание 2. Теорема остается справедливой и в случае,
когда v = v(p), у е дй, — произвольные некасательные векторы,
координаты которых являются функциями класса С°° на дй.
4.7.2	. Прямые и обратные теоремы вложения (общий случай)

Перенос теоремы 2.9.4. на случай областей вызывает некоторые
затруднения. Мы ограничимся общим описанием возникающей здесь
ситуации и не будем входить в подробности. Пусть М есть /-мер-
ное многообразие класса С00, причем М cz Й; /=1, ...,n—1.
Предполагается, что 7И — многообразие без края. Пусть, далее,
Мо есть /-мерное многообразие класса С00 с 7И0 cz 7И, граница
которого дМ0 = Л40\Л10 (по отношению к М) является (/-^-мер-
ным многообразием класса С°°. Предположим, что Мо можно
покрыть конечным числом систем локальных координат в М. По
аналогии с определением 3.6.1 можно определить пространства
Bsp,q(M^ с 0<s<oo, 1<р<оо и l^^^oo. Пусть
k=l, п — 1, — набор из п — I линейно независимых векторов
в образующих базис нормальной гиперплоскости в точке х е М.
Будем предполагать, что координаты векторов vk (х) представляют
собой функции класса С00 на М. По аналогии с использованными
выше обозначениями положим

D«f - d'a'f
м	хем’

Теорема. Пусть й с	- ограниченная область класса 0°,

а М и Мо —описанные выше многообразия класса 0е0.

(а)	Пусть 1 <р<оо и (n — l)/p<zs<z<x>. Тогда оператор Э1,
задаваемый равенством

является ретракцией пространства Hsp (й) на

П

(Ь)	Пусть \<р<<х>,	и (n — l)/p<_s<C<x>. Тогда

оператор 2R, задаваемый равенством (1), является ретракцией про-
странства Bsp,q(Ci) на

п

Доказательство. Используя локальные координаты на М, можно
получить эту теорему из теоремы 2.9.4.

Замечание 1. Остальные утверждения теоремы 2.9.4 также
можно перенести на случай многообразий. При рассмотрении во-
проса о приближении функций, удовлетворяющих условию ЭЧ/ = О
в смысле теоремы 2.9.4, нужно учитывать, пересекается MQ с дЙ
или нет.

Замечание 2. Ссылки на литературу по теоремам вложения
можно найти в замечании 2.9.4/2.

4.8.	ТЕОРИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ

Пространства BPt q (й) и Hsp (й) были введены в определении
4.2.1/1 как сужения соответствующих пространств, заданных над/?п.
При $<0 есть и другая возможность определения подобных про-
странств, использованная Лионсом и Мадженесом [1 III, 21]
в связи с теорией эллиптических дифференциальных операторов.
Например, для пространств #р(й), где s>0 и 1<р<оо, вве-
денных в определении 4.2.1/1, они полагают	(й) = (Яр (Й))'.

Здесь сопряженные пространства принимаются гак же, как
и в § 2.6 и п. 2.10.2, в смысле дуальной пары {Со° (Й) =D (й),
D' (й)}. Как будет видно из теоремы 4.8.2, за исключением отдель-
ных особых случаев эти две возможности определения приводят
к одним и тем же пространствам. .

4.8.1.	Сопряженные к BsPt ДЙ) и ЛГДй)

Для произвольных областей й в Rn пространства В®><7(й)
и /?р(Й) определяются теми же равенствами (4.3.2/1).

Теорема. Пусть Й cz Rn — произвольная (ограниченная или
неограниченная) область, — оо <; s < оо, 1 < р < оо, 1 q < оо и

(Вр, q (й))' = В-?, q. (Й), (Я’ (Й))' = Н~‘ (Й).	(2)

Доказательство. Равенства (2) доказываются аналогично равен-
ствам (2.10.5/2).

Замечание. Эта теорема является обобщением теоремы
2.10.5/1.

4.8.2.	Сопряженные к 9(й) и /7£(й)

Теорема. Пусть й cRn- ограниченная область класса 0е0.

(а)	Пусть 1<р<оо, 1=Ср<оо, l/p<s<oo, s—1/р=/=
5^=1, 2, ... и выполняется условие (4.8.1/1). Тогда

(Вр, q (Й))' = В&, (й), (Hsp (Й))' = Н? (Й).	(1)
(Ь)	Пусть 1 < р < оо, 1 < q < оо, —1 + 1/р < $ <С 1/р и выпол-
няется условие (4.8.1/1). Тогда

(Bsp, q (Й))' = в-?, (Й), (я; (й))' = H~'s (й).	(2)

(с)	Пусть 1<р<оо, 1<7<оэ, —oo<s<l/p и выпол-
няется условие (4.8.1/1). Тогда

(В*р, q (Q))' = В7, q> (Q), (Яр (Q))' = H^S (Q).	(3)

Доказательство. Шаг 1. Утверждения (а) и (Ь) следуют из тео-
рем 4.8.1 и 4.3.2/1.

Шаг 2. Пространство BsPi q (Q) является замкнутым подпрост-
ранством в Bptq(Rn). Согласно теореме 2.11.2, банахово простран-
ство Вр, q (Rn) рефлексивно при 1 < р, q < оо. Но замкнутые
подпространства рефлексивных пространств также рефлексивны.
(Это вытекает из теорем Хана — Банаха и Эберлейна — Шмульяна
(см. Иосида [1, дополнение к гл. 5, § 4, стр. 201]).) Аналогично
рассуждаем и для пространств Hsp (Q). Теперь равенства (3) сле-
дуют из теорем 4.7.1(d) и 4.8.1.

Замечание. Изложение теории двойственности для общих
пространств Соболева — Бесова в областях можно найти также
в работах Мурамату [5, 6].

4.9.	СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ

Настоящий параграф служит напарником к § 2.11. Мы увидим,
что часть полученных там результатов можно перенести на случай
областей, однако для этого нужны новые методы, поскольку метод
локальных координат для задач подобного типа уже не годится.
Нам понадобятся некоторые глубокие результаты теории общих
регулярных эллиптических граничных задач, которые мы изложим
в первом пункте без доказательств. Впрочем, ряд важных утвер-
ждений этого параграфа будет получен без их использования
(например, изоморфизм WSP(Q) ^1р при нецелых s>0, существо-
вание базиса Шаудера в пространствах BsPt ^(Q) и Яр(й)).

4.9.1.	Эллиптические граничные задачи

Регулярным эллиптическим граничным задачам будет посвящена
пятая глава. Однако уже здесь нам потребуются некоторые резуль-
таты этой теории (лишь частично представленные в пятой главе)
для того, чтобы с их помощью развить структурную теорию про-
странств Лебега — Бесова Яр(й) и Bp><7(Q) (а значит, и прост-
ранств Соболева — Слободецкого Wp(Q)). Теоремы формулируются
без доказательств. Что касается ссылок на литературу, то мы
ограничимся указанием лишь нескольких работ. Дальнейшие
ссылки, комментарии и замечания по истории вопроса можно
найти в пятой главе.

Определение. Пусть Q aRn- ограниченная область класса
С™.

(а)	Дифференциальный оператор Л, задаваемый равенством

Af = 5 aa(x)Daf,	(1)

I a I < 2/n

называется собственно эллиптическим, если1

У, «а (х) = а (х, £) #= О при 0 g е Rn и х ей (2)

I а | = 2/71

и если для любого xeQ и любой пары линейно независимых век-
торов	и	многочлен а(х, £ + тг]) от комплексного

переменного т имеет в точности т корней Xk = xt(x, £, tj), k = 1, ...
..., т, с положительной мнимой частью. Здесь аа (х) — комплекс-
нозначные бесконечно дифференцируемые функции на Q. Положим

/71

а+(х,	т], т)=]Д (т-4).	. (3)

k —1

(b)	Набор операторов {B/j/Li, задаваемых равенством (4.3.3/1),
называется дополнительным1 2, (по отношению к Л), если,
каково бы ни было хедй, для нормального вектора vx и любого
касательного к дО> в точке х вектора £х#=0 многочлены от т

b/(x, ^4-tvJ= У bha(x)(lx + xvx)a

\a\~mj

линейно независимы по модулю а+(х, 1~х, vx, т).

Замечание 1. Комментарии к этому определению и соот-
ветствующие литературные указания даны в гл. 5 (см. п. 5.2.1).
Условие, наложенное на корни многочлена а(х', £ + тг]), назы-
вается корневым условием. При п^З это условие является след-
ствием условия (2) (см. замечание 5.2.1/1).

Теорема. Пусть QaRn- ограниченная область класса С™,
а А— собственно эллиптический дифференциальный оператор. Пусть,
далее, {В— нормальная система (определение 4.3.3/1) с тт<

1 Как и раньше, мы считаем, что ... ^пп для t = (gr ..., £я) €=
и а = (ах, ..., ал).

2 В оригинале complemented. Говорят еще, что набор операторов
накрывает оператор А на д&^ — Прим, перев,
<2т, являющаяся дополнительной (по отношению к Л). Предпо-
ложим, кроме того, что для любых	и любых яей

(-1Г

а(х, В)
l«(*. g)|

#=-1

(4)

и что, каково бы ни было xedQ, для нормального вектора vx
и любого касательного вектора gxy=O при любом ^е(—оо, 0]
определенные выше многочлены b;(x',	+ линейно независимы

т

по модулю Р[ (т — xi (0). Здесь xt (t) — корни многочлена
Й=1

а(х, lx + xvx)-t,

имеющие положительную мнимую часть.

(а)	Для достаточно больших положительных чисел р^р0 опе-
ратор Л + р£ осуществляет изоморфизм пространства
(определение 4.3.3/2) на ITp(Q), 1<р<оо, k = Q, 1. Здесь

Ро = РоИ> Blt •••, Вт) не зависит от р и k.

(b)	Для неограниченного в LP(Q) оператора Ар, определяемого
равенством

Apf = Af, D(Ap) = W™{Bf}(Q),	(5)

оператор Ар-\-рЕ при pSsp0 позитивен в смысле определения
1.14.1; 1<р<оо. (Здесь р0 — то же число, что и в утвержде-
нии (а).) Если Ар, где z — комплексное число, обозначает дробную
степень оператора Ар в смысле определения из § 1.15, то опера-
торы А1Р, —оо</<оо, являются ограниченными операторами
в LP(Q), причем существуют такие числа с>0 и у^О, что

Wk^'1.	(6)

Замечание 2. * Эта теорема лежит в основе структурной
теории, излагаемой в следующих пунктах. Утверждение о том,
что Ар-\-рЕ — позитивный оператор в LP(Q), принадлежит
Агмону [2]. Доказательство неравенства (6) весьма глубоко и
восходит к Сили [1] (см. также Сили [2]). Работам Сили пред-
шествовали работы Фудзивары [1—3] и Симакуры [2], в кото-
рых доказаны аналогичные результаты для эллиптических диф-
ференциальных операторов второго порядка. См. также замеча-
ние 2.5.3/2. Утверждение (а) следует также из результатов статьи
Агмона [2] и хорошо известных априорных оценок для эллипти-
ческих дифференциальных операторов и дополнительных систем
Мы еще вернемся к этому вопросу позже в § 5.4. Там же
будут даны ссылки на литературу.

14 X, Трибель
Замечание 3. Приведем один пример, взятый из работы
Агмона [2]. При Л = 0, 1, т операторы

=	j=l,...,m,	(7)

образуют дополнительную систему по отношению к оператору
Af = (—K)mf. Эти операторы А и	удовлетворяют всем

условиям сформулированной выше теоремы. См. также замечание
5.2.1/4.

4.9.2.	Шкалы

Определение, (а) Множество банаховых пространств
{BJ_oo</<0o, удовлетворяющих условию Bt^c. Bt, при —оо</2^
<оо, называется двусторонней шкалой, если для любого
числа N > 0 существует множество линейных операторов
такое, что Л^’ есть изоморфизм пространства
Bt на Bt-X, —N ^t^szN, — N^t—x^N. Кроме того, пред-
полагается, что

A[N} = Е и Л^’Л^ = Л^г, (тх+т2 < 2N).	(1)

{Здесь Л<"> отображает Bt на Bt-X1, а Ах^ отображает затем
Bt-Xi на Bt_Xl_X1, \t | t — Tj — t2=s — N.)

(b) Множество банаховых пространств {B/}o<z<co (соотв.
{B/}o</<oo), удовлетворяющих условию Btla Bt2 при 0=с(<)/2гС
^4<;оо, называется односторонней шкалой, если для
любого числа N>0 существует множество линейных операторов
{Лт^о^^олг, такое, что AXN} есть изоморфизм пространства
В( на Bt-X, 0=c(<)/sCjV, 0=с(<)/ —Кроме того, пред-
полагается, что для соответствующих значений параметров выпол-
нены равенства (1).

Замечание 1. Если {В4-<»<<<оо — двусторонняя шкала, то
{BJo<«)«oo будет односторонней шкалой. То же самое можно
сказать и о множестве {В/+т}о<«)/<«» гДе —со<;Т <оо. Ясно,
что достаточно доказывать свойство (1) для больших значений N.

Замечание 2. Из теоремы 2.3.4 вытекает, что при фикси-
рованных 1<р<оо, 1 qоо множество {Вр.аад}— oo<s<oo
является двусторонней шкалой. То же самое относится и к мно-
жеству (/?п)}_00< s< о,, где 1<р, <7<оо, в частности к мно-
жеству {/Ур (B„)}-oo<s<oo. Из теоремы 2.10.3 следует, что множе-
ства {Вр>9(/?n)}-oo<s<oo для 1<р<оо и IsggsSSoo и множества
{Йр (/?i)}-oo<s<oo для 1</?<оо представляют собой двусторон-
ние шкалы. Во всех этих случаях можно выбрать операторы Л^’
не зависящими от N. Тем не менее для дальнейшего имеет смысл
пользоваться приведенным выше определением

Теорема. Пусть QczRn — ограниченная область класса С°°.

(а)	При фиксированных 1 < р < оо, 1 sCq«Соо множества

№&)}<,^S< 00, {нР (й)}0«г;з<оо, {&р,Я (^)}o<s<co и

{^Р, Я (^)}o<s<oo
являются односторонними шкалами.

(Ь)	При фиксированных 1<р<;оо, Is^q^co множества

{Йар($), O«gs<oo; Я’Р(Й), — оо<з<0}
и

{Вр.ДЙ), OsgsCoo; Вр.9(й), —оо<«<0}

являются двусторонними шкалами.

Доказательство. Шаг 1. Пусть А и {By }™=1 — соответственно
дифференциальный оператор и набор граничных дифференциаль-
ных операторов, описанные в замечании 4.9.1/3. Применяя тео-
рему 4.9.1 (Ь) к оператору A-f-pf с достаточно большим р,
заключаем, что выполнены предположения теоремы 1.15.3. Сле-
довательно, при 0 < б < 1 справедливо равенство

D ((Ар + рВ)9) = [Lp (Й),	(Й)]е.

Выбирая k = m в замечании 4.9.1/3, имеем, согласно теореме 4.3.3,

D ((Ар + рВ)9) =	(П), где 2/пб < т + 1.	(2)

Теперь из теоремы 1.15.2 вытекает, что {Нар (й)}о<8<оо — одно-
сторонняя шкала.

Шаг 2. Выбирая k — Q в замечании 4.9.1/3, имеем, согласно
теоремам 4.3.3 и 4.7.11,

D((Ap + pE)e) = H2pme(Q) при m-l+y<2me<m+y. (3)
Из (4.3.2/4) следует, что Йр (Q) = H™ (й). Используя теоремы
1.15.3 и 4.3.2/2, получаем

D ((Ар + рВ)9) = Й™ (й) при 0 < 0 < 1/2.

Следовательно, в силу теоремы 1.15.2, {Йр (й)}о <$<<» — односто-
ронняя шкала. Оператор Ар при р = 2 является самосопряжен-
ным в Ва(й). Поэтому (см. пример 1.15.1 (Ь)) оператор (А2 + рВ)9
также самосопряжен. На основании теоремы 4.8.1 мы заключаем,

1 Мы не пишем дополнительных индексов, указывающих выбранное значе-
ние k(k = O или k=m).

14*
что оператор (ЛР'+р£)е, 0<;9=с 1/2, осуществляет изоморфизм
пространства Нр(&) на Hsp~2me (Q) (здесь 1/рН-1/р' = 1 и—
=Cs — 2/720 ^5^0). Из способа построения дробных степеней
(см. п. 1.15.1) вытекает, что для /eCo°(Q) справедливо равен-
ство (Лр4-р£)е/ = (ЛР' + р£)е/. Следовательно, множество

{Нр(£1), — oo<s<0; £р(Й), 0s£s<oo}

является двусторонней шкалой.

Шаг 3. Утверждение (а) следует из теорем 4.3.1/1, 4.3.3/2 и
интерполяционного свойства. Чтобы доказать утверждение (Ь)
для пространств В, мы воспользуемся равенством Яр (Q) == Яд (Q)
при — l/p'<s<l/p (теорема 4.3.2/1). Интерполируя (с помощью
теорем 4.3.1/1 и 4.3.2/2), получим, что

Bsp, <?(Q)==Bp. ^(Q), 1 <р<оо, 1=С7=Соо, —^-<s<y.

Теперь утверждение (Ь) для пространств В следует из шага 2 и
теорем 4.3.1/1 и 4.3.2/2.

Замечание 3. По ходу доказательства мы построили для
любого числа N множество операторов {Д-^}, удовлетворяющее
приведенному выше определению, причем из построения видно,
что операторы Д^ не зависят от 1<р<оо и от l^^^oo.
Это свойство окажется очень важным для дальнейшего.

Замечание 4. Приведенная выше теорема и ее доказатель-
ство по существу взяты из работы Трибеля [23]. Сошлемся также
на работу Алимова [1].

4.9.3.	Свойства изоморфизма

Теорема. Пусть Q d — ограниченная область класса С°°
и 1 <р < оо.

(а)	Пространства

Hp(Q), — oo<s<oo;

Hsp(£l) и Hsp(Q)t 0^s<oo;

^Дй=0 при 7 = 1, ..., /и},	(1)

£ + m+y — 1 <s<oo,
изоморфны Lp((0, 1)). Здесь m = l, 2, ... и k = 0, 1, ....

(b)	Пространства

Bp, P(Q), Bp, Р(Й) и Bp,p(Q), — oo<s<oo,
изоморфны lp.
Доказательство. Шаг 1. В силу теоремы 2.11.1/1 (а), прост-
ранство Нр (Й) = Нр (й) = Lp (й) изоморфно Lp((0, 1)). Утвержде-
ние для пространств Яр(й) и Hp(Q) следует поэтому из тео-
ремы 4.9.2. Далее, из теоремы 4.3.2/1 вытекает, что Hsp (£1)=HSP (й)
для и нецелых s— 1/р. Наконец, в случае пространств
Яр + 1/р (й), где т = 0, 1,2,..., надо воспользоваться соотношением
(4.9.2/3) и равенством Нр/Р(£1) = Нр/р (й).

Шаг 2. Как и в теореме 4.7.1,хустанавливаем, что (1) есть
дополняемое подпространство в Яр(й). Следовательно, (1) изо-
морфно некоторому дополняемому подпространству в Lp((0, 1)).
Пусть со —ограниченная область класса С°°, такая, что б)сзй.
С помощью описанных ранее методов продолжения получаем,
что пространство Яр (со) изоморфно дополняемому подпростран-
ству в Яр(й), а значит, изоморфно дополняемому подпростран-
ству пространства (1). Так как Яр (со) изоморфно Lp((0, 1)) и так
как Lp ((0,1)) удовлетворяет условиям леммы 3.7, то согласно
этой лемме пространство (1) изоморфно Lp((0, 1)).

Шаг 3. Пространства Bsp, р (й) и Вр, р (й) являются дополняе-
мыми подпространствами в Bsp, р (Rn)\ это следует из теоремы 4.2.2,
доказательства теоремы 4.3.2/2 и теоремы 1.2.4. Поэтому,
в силу теорем 2.11.2(b) и 2.11.1/3, пространства Вр,р(й)и
Вр, p(Q) изоморфны /р. Рассуждения, относящиеся к теореме 4.7.1,
показывают, что Вsp, р (й) — дополняемое подпространство в Bsp, р (й)
(ясно, что можно ограничиться случаем l/p<s<oo). Применяя
теорему 2.11.1/3, получаем, что Bsp, р(й) изоморфно /р.

Замечание 1. Доказанная теорема является аналогом тео-
рем 2.11.2 и 2.11.3 (см. также теоремы 3.7 и 3.9.4). Однако
в отличие от этих результатов в ней не дано описания структуры
пространств Вр, q (й) при p^q. Не исключено^ что для ограни-
ченных областей й пространства Bsp, <?(й) и lq(lp) не изоморфны.
Этот вопрос остается пока открытым. Все же, как мы покажем
в следующем пункте, базис Шаудера в таких пространствах при
д<оо существует. С другой стороны, для неограниченных обла-
стей й, удовлетворяющих условию конуса, пространства Вр,^(й),
где 1<р<оо, l^Cg^Coo иО<«<1, изоморфны /7(/р).Это
можно доказать следующим образом. Пусть й — неограниченная
область, удовлетворяющая условию конуса. Тогда найдутся п
линейно независимых векторов vx, ..., vn и точка у ей, такие,
что множество у + М, где

( п 1

М = \х |я s Rn, х= У, afvj, aj > О,

I	/ = 1	J
содержится в О, причем все точки множества у+М удалены от
границы Эй на расстояние, большее некоторого положительного
числа е. Поэтому, в силу замечания 4.2.3/8 и теоремы 2.11.2 (Ь),
существует ретракция lq (1Р) на Bsp, q (й). Но из свойств множе-
ства М. следует, что оператор сужения из Bsp, q (й) на В*р, q (/И)
также является ретракцией. С помощью аффинного преобразова-
ния координат получаем, используя замечание 2.11.3/1, что
Вр, q (/И) изоморфно lg (1Р). Поскольку пространство lq (1Р) удовлет-
воряет условиям леммы 3.7, то согласно этой лемме Bsp ,?(й) изо-
морфно lq (lp).

Замечание 2. Из доказанной теоремы вытекает, что прост-
ранства Соболева №р(й), s = 0, 1, 2, ..., изоморфны Lp((0, 1)),
а пространства Слободецкого Wp (й) с нецелым s > 0 изоморфны 1Р.
Следовательно, они принадлежат разным классам изомор-
физма.

Замечание 3. Из второго шага доказательства вытекает,
что любое дополняемое подпространство V, удовлетворяющее
условию Hsp (£2) cz V cz Hsp (й), изоморфно Lp((0, 1)). Аналогично
любое бесконечномерное дополняемое подпространство V прост-
ранства Вр, р (й) изоморфно 1Р.

Замечание 4. Возникает вопрос, нельзя ли ослабить усло-
вия, налагаемые на область й. Очевидно, что достаточно потребо-
вать, чтобы й была ограниченной областью класса CN, где
натуральное число N выбирается (достаточно большим) в зави-
симости от s. Если й— ограниченная область, удовлетворяющая
условию конуса, то, как следует из теоремы 4.2.3, пространства
Bsp, р(й) при 0<s<oo (а значит и пространства 1^Р(Й) при
нецелых s>0) изоморфны /р. Из этой же теоремы вытекает, что
пространства ЯР(Й) при 0 sg: s < оо для областей указанного вида
изоморфны дополняемому подпространству в Lp((0, 1)). Мы еще
вернемся к этому вопросу в теореме 4.Э.4/2.

4.9.4.	Базисы Шаудера

Теорема 1. Пусть й cz Rn — ограниченная область класса С00.

(а)	Все пространства из теоремы 4.9.3 обладают безусловным
базисом Шаудера.

(Ь)	У пространств Вр, ?(й), где 1<р<оо, lsgg<oo и
— 1 + 1/р <s < 1/р, имеется общий базис Шаудера (система функ-
ций типа функций Хоара).
(с)	При 1 < р < оо пространства

Вр, q (й),
Вр, q (й),
Вр, q (й),

— OO<<S<OO, 1^9<ОО,
0<s<oo, 1=^<7<оо,
0<s<oo, 1<?<оо,

имеют (каждое свой) базис Шаудера.

Доказательство. Шаг 1. Утверждение (а) немедленно следует
из теорем 4.9.3 и 2.11.1/1.

Шаг 2. Предположим, что уже доказано, что пространство
с 1<р<оо, l^^Coo и 0<а<1/р имеет базис
Шаудера. Докажем утверждение (с) при этом предположении.
Так как при указанных значениях параметров BQPt ДЙ) = BPt 7(Й)
(теорема 4.3.2/1), то для пространств Вр, q(Q) и BsPt ДЙ) доказы-
ваемое утверждение вытекает из теорем 4.9.2 и 4.3.2/1. Из равенств
(4.3.2/4) и теоремы 4.7.1 (d) следует, что нужно еще доказать
желаемое утверждение для пространств BPt~^i/p (Й), где т = 1,
2, ... и 1 < q < оо. С этой целью воспользуемся оператором,
примененным на втором шаге доказательства теоремы 4.9.2. Для
чисел 60 и 6Х, удовлетворяющих условию

m — 1 + у < 2m60 < m + у < 2т^ < 2/и,

справедливы равенства

D((4p+p£)0O = H^/}(O), / = 0, 1.

Интерполируя эти пространства методом (•,•)&, q, получим на
основании теоремы 1.17.1/1, что оператор (Др + р^)а осуществляет
изоморфизм пространства

В'"+Р(Й) = в'" + |	(Q)

Р» <7 у 7 Р» <7» v '

на Вр, g (Q), где 0 < s < 1/р, при подходящем выборе о. Но отсюда
следует, что пространства BsPiq(Q) с 0<s<oo и 1<р-<оо
также обладают базисом Шаудера.

Шаг 3. Для того чтобы доказать, что пространства Вр, q (Q)
при 1<р<оо, Isgpcoo и 0<s<l/p имеют базис Шаудера,
нам понадобятся некоторые предварительные рассуждения. Рас-
смотрим куб

Q = {x|xeP„, 0<ху <1, / = 1, 2, ..., л}

(1)
N

и его разбиения вида Q= |J Qr, где
r = l

€=/?„, ~ < «) Xi < (С)	/ = 1,	, I,

т<	/п/+1	)

аЧ<(«)^<(О^Г' ' = '+..........<2>

При фиксированных k = 1, 2,... и I = 0, 1, ... , п (как понимать
приведенное выше выражение в случаях 1 = 0 и 1 = п, очевидно)
числа nij пробегают значения пу = 0, ..., 2ft—1 (соотв. 2ft-1—1).
(В (2) нужно подходящим образом1 * * * расставить знаки строго и
нестрого неравенства.) Покажем прежде всего, что ступенчатые
функции, постоянные на «кубах» Qr, плотны в U7p(Q), 1 <р<оо,
0<s< 1/р. Так как Q представляет собой ограниченную область,
удовлетворяющую условию конуса, то, в силу теоремы 4.4.2/2 и
замечания 4.4.2/2,

II/llufp (Q) ~ L (<?) +	'^2.0 fn + sp dxdy.	(8)

Q*Q

Из определения 4.2.1/1 и теоремы 2.3.2 следует, что достаточно
приблизить непрерывно дифференцируемые в Q функции f(x).
Пусть Z обозначает описанное выше разбиение куба, и пусть х(г) —
центр куба Qr. Положим

fz(x) = f(x^) для X(=Qr.

Справедливо неравенство

\f(x)-fz(x)-(f(y)-fz(y)) |₽
\x—y\n+sP

dxdy

\f(x)-f(y)\P

| x — y\n + sp

dxdy +

N
\f^-fz^\P2i\7-dy^sP
r= 1 Q-
r^i r

dx.

(4)

Так мера smxQ;| стремится к нулю при £->оо в (2), то пер-
/==1	«	тя

вое слагаемое в правой части также стремится к нулю. Используя
определение 4.5.2 и обозначая через dj (х) расстояние от x^Qj

1 Имеется в виду, что знаки < или можно выбирать произвольно, лишь

N

бы выполнялись соотношения Q?= U Qr и П Qt = ф при k I,—Прим, перев,

г = 1
до dQj, можно оценить второе слагаемое в правой части неравен-
ства (4) выражением

N

Е 5 \x-x^\pdTsp(x)dx
/=1 Qj

N	р

/=1

N

(Q) S I *5/ 1 = 8 11с^> (Q)
7=1

при fe^fe0(e). Отсюда следует, что ступенчатые функции указан-
ного вида плотны в WSP(Q) при Ocs<l/p.

Шаг 4. Нам нужно провести одно предварительное рассужде-
ние. Покажем, что оператор Pj, определяемый равенством

(Pzf) (х) = -щ-р J f (у) dy для х G

(5)

(обозначения те же, что и на предыдущем шаге), является непре-
рывным проектором в IFp(Q), 1<р<оо, 0^8<1/р. Для
пространств LP(Q) это следует из оценки

I pzf Ifp (Q) < S I Qf l"p+1 ($ I f (*/) I dy\P ^1Л\Ш\рлу
/=1	\Qf I /=!<?;

(6)

В случае 0<s<l/p

N

$	s -

QxQ	f=l r QfXQ,

+ 2 2’ S .... (?)

7 = 1 r QfXQr

В первом слагаемом при фиксированном / суммирование произ-
водится по всем r=£j, для которых Qj (\Qr=^ Ф- Во втором
слагаемом суммирование ведется по всем остальным парам / и г.
Для того чтобы оценить первое слагаемое, зафиксируем / и пред-
положим (это не ограничивает общности), что

J / (х) dx = 0, где = J Qr.

(8)
Полагая ar = (Pzf) (х) для х е Qr> имеем

r Qf*Qr	r _	QjXQr

r

4	Qr I

^c'\Qj\ « \\f(x)\Pdx.	(9)

Здесь постоянные не зависят от разбиения. Рассуждая так же,
как при доказательстве леммы 3.8.1/1, заключаем, что

<•„(?,)-J,'^№dxdd+ \ f^dx

QfXQj	Qj

(10)

Используя равенство (8) и соображения подобия находим, что

j	dxdy.	(ii)

где постоянная не зависит от разбиения. Подставляя (11) в (9) и
суммируя по /, получаем

2S' $ ...«SCIZI^,	(12)

f=l г QjXQr	Р

Для оценки второго слагаемого в (7) воспользуемся тем, что

ах-аг= |0/Г11&Г1 (/(х)-/(1/))^^>

<?/>«?, -

|a/-aJ<|Q/|-1|Qr|-1 J \f (x)-f (y)\dxdy.

Q/XQr

Полагая b)>r= inf |x — y\, имеем
xsQf. y<=Qr

2Г J •••«SJ

f = i Г Qfx.Qr / = ! r	QjKQr

N

/=1 Г QfKQr

<.‘-Ufr.r№.	(13)
Из (7), (12), (13) и (6) следует, что Pz— проектор в №p(Q),
для которого

II (Q)№s (Q)	0 4)

р	р

где постоянная с не зависит от разбиения Z.

Шаг 5. Теперь уже нетрудно показать, что пространства
1<р<оо, 1^<7<оо, 0<s<l/p имеюг общий базис
Шаудера. С этой целью занумеруем все разбиения (2) в последо-
вательность Zlt Z2, ... так, чтобы переход от Z} к Z;+1 соответ-
ствовал делению пополам в точности одного из «кубов» Qr. Ясно,
что операторы PZ1 и Pzf+l — Pzf являются одномерными проекто-
рами (т. е. их образы одномерны). С помощью интерполяции
получаем, что неравенство (14) верно также и для пространств
Bpjl?(Q), 1<р<оо, 0<8<1/р, 1^<7<оо. Далее, множество
CX(Q) плотно во всех этих пространствах. Но тогда из рассуж-
дений шага 3 следует, что

оо

f-PzJ+^Pz^-Pztf,

Функции, порождающие одномерные пространства — образы проек-
торов Pzf и Pz^ — Pzf, ортогональны в L2(Q). Отсюда легко
вытекает, что эти функции образуют базис Шаудера в В₽, q (Q).
(Это —система функций типа функций Хаара.)

Шаг 6. Точно так же доказывается существование общего
базиса Шаудера в пространствах Bsp, JQ \ (J Qri I, где Qrt — не-
которые из кубов вида (2), 1<р-<оо, l^g<oo, 0<s<l/p
(кубы с дырами кубической формы). Аналогичные рассуждения
проходят и для области Q, представляющей собой шар с шаро-
выми дырами. Поскольку произвольная ограниченная область
класса Ст может быть преобразована в такую стандартную
область, отсюда следует, что существует общий базис Шаудера
во всех пространствах В₽, 9(Q), где s<p<oo, 1^д<оои
0<s<l/p.

Шаг 7. Операторы Pz (соотв. их модификации в духе послед-
него шага) самосопряжены в L2(Q) (соотв. в L2(Q)). Из теорем
4.8.1 и 4.3.2/1 вытекает, что неравенство (14) имеет место и для
пространств Вр, 9(П) при 1<р<оо, 1<^<оо и —1-(-1/р<
<s<0. Поскольку CX(Q) плотно во всех этих пространствах,
то так же, как и раньше, получаем, что построенная выше система
функций является базисом Шаудера и в этих пространствах.
Дальнейшая интерполяция приводит к тому же результату для
пространств с q — 1 и для пространств В₽, я (Q).
Замечание 1. Эта теорема представляет собой обобщение
соответствующего результата из работы Трибеля [23], откуда
перенесены рассуждения шагов 3 — 6.

Замечание 2. Шаг 5 доставляет также доказательство
существования базиса Шаудера в Lp((0, 1)). См. теорему 2.11.1/1 (а)
и замечание 2.11.1/1.

Замечание 3. Пространства Bsp, j (й) занимают особое поло-
жение с точки зрения поведения граничных значений; см. тео-
рему 4.7.1. Вот почему приведенное выше доказательство не про-
ходит в случае пространств Вр,! (й), где з = &+1/р, £ = 0, 1,2....
При нецелых s—1/р>0 эти пространства совпадают с простран-
ствами Bpr l(Q) (теорема 4.3.2/1).

Замечание 4. Из доказательства следует, что ступенчатые
функции образуют плотное подмножество во всех пространствах
Яр(Й) и BsPt <y(Q) при 1<р<оо, 1=с<7<оо и — oo<s<l/p.
С другой стороны, согласно теореме 4.7.1, ступенчатые функции
(за исключением констант) не принадлежат пространствам Hsp (й)
и Вр, q (й) при 1<р<оо, 1 q оо и 1/р < s < оо.

Возникает вопрос, нельзя ли доказать существование базиса
Шаудера при более слабых предположениях относительно обла-
сти й. Здесь нам понадобится следующая лемма, которую мы
приведем без доказательства.

Лемма. Всякое дополняемое подпространство пространства
Lp((0, О) имеет базис Шаудера, 1<р<оо.

Замечание 5. Этот факт вытекает из теории ^-пространств,
введенных Линденштраусом и Пелчиньским [1]. Пространства
Lp((0, 1)) являются ^-пространствами. Линденштраус и Розен-
таль [1] доказали, что всякое дополняемое подпространство
^-пространства либо изоморфно гильбертову пространству, либо
снова представляет собой ^-пространство. Наконец, как пока-
зали Джонсон, Розенталь и Циппин [1], всякое сепарабельное
«^-пространство имеет базис Шаудера. Отсюда и следует лемма.

Теорема 2. Пусть й с:Rn — ограниченная область, удовлет-
воряющая условию конуса. При 1 <Zp < оо и 0 < s < оо в про-
странствах Вр, р (Й) и Нр (й) (а значит и в Wsp (й)) существует
базис Шаудера.

Доказательство. Это немедленно следует из приведенной выше
леммы и замечания 4.9.3/4.
Замечание 6. * Существование базиса Шаудера в простран-
ствах Соболева №р(й), 1<р<оо, де=1, 2, для ограничен-
ных областей й cz Rn с гладкой границей было доказано Фучи-
ком, Йоном и Нечасом [1]. Затем Цесельский и Домста [1] описали
явную конструкцию таких базисов для областей Q типа куба.
Эти базисы служат одновременно базисами в Cm(Q), т = \, 2, ....
По поводу существования базиса Шаудера в см. также
Шоунфелд [1, 2], Цесельский [2] и Рылль [1]. Из леммы 12
работы Митягина [3] следует, что пространства Cm(Rn) из опре-
деления 2_.7.1 и пространства Ст(й) из определения 4.5.1 изо-
морфны Cm(Q). То же самое справедливо и для пространства
С™(Й), состоящего из всех тех функций из Ст (й), которые обра-
щаются на границе в нуль вместе со всеми своими производными
до порядка т включительно. Следовательно, во всех этих про-
странствах существует базис Шаудера. С другой стороны, про-
странства (й) и Cz (Rn) при нецелых t > 0 не имеют базиса
Шаудера, поскольку не являются сепарабельными. Цесельский [1]
показал, что эти пространства изоморфны 1^.

Замечание 7. В рассуждениях настоящего параграфа
существенно использовалась ограниченность области й. Рассмот-
рения, проведенные Агмоном [2] и Сили [1], проходят только
при этом предположении (в отличие от работ Фудзивары [1 — 3]).
Пусть й=7?„. Согласно замечанию 2.11.3/2, для этого случая
структура (с точностью изоморфизма) пространств, входящих
в формулу (2.11.3/3), осталась невыясненной. Так же, как на
втором шаге доказательства теоремы 4.9.3, доказывается, что про-
странство Н™+1/р(7?^) изоморфно Lp((0, 1)). Из теоремы 2.9.3
следует, что, пространство B™+i/p (Ri') с т=1, 2, ..., 1<р,9
<оо является дополняемым подпространством в В™+1/р (/?+) и,
следовательно, по теореме 2.11.3 (Ь), изоморфно некоторому допол-
няемому подпространству в lq (lp). С другой стороны, пространство

B™ + '/p({x\x<=Ra-, хп>1})	(14)

является дополняемым подпространством в B™+q как это
вытекает из теоремы продолжения. Поскольку пространство (14)
изоморфно lq(lp) (теорема 2.11.3(b)) и поскольку лемма 3.7 при-
менима к 1д(1р), отсюда следует, что пространство B™+q 1/₽(/?^),
1<р<оо, 1<<7<оо, т=1, 2, ..., изоморфно lq(lPY

4.10.	КАЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ОПЕРАТОРОВ ВЛОЖЕНИЯ

В § 3.8 были проведены оценки поперечников для операторов
вложения в весовых пространствах Соболева — Слободецкого.
В настоящем параграфе мы изучим операторы вложения в неве-
совых пространствах Лебега — Бесова (и, как частный случай,
в пространствах Соболева— Слободецкого), заданных в областях.
Будут исследованы аппроксимационные числа, поперечники и
8-энтропия. Хотя ряд вопросов и останутся открытыми, в целом
на основе интерполяционных теорем § 1.16, свойств шкал, уста-
новленных в теореме 4.9.2, и теории двойственности из § 4.8 нам
удастся получить далеко идущие результаты.

4.10.1.	Операторы вложения для ограниченных
областей, удовлетворяющих условию конуса
(аппроксимационные числа, поперечники)

Ниже поперечники dj и & и аппроксимационные числа Sj пони-
маются в смысле определения 1.16.1/2.

Теорема. Пусть Q czRn — ограниченная область, удовлетво-
ряющая условию конуса.

(а)	При 1<р<оо, 0<s<l/p и 8</<оэ для оператора
вложения I справедливы соотношения

W‘p(Q), Г*(Й))~^(/;1Г'(Й),	(1)

Щ1-, IPp(Q), rsp(Q))^c/-(/-sV'’,	(2)

где с —некоторое положительное число, j = l, 2...В (1) и (2)

при s > 0 можно заменить Wsp (Q) на Bsp p(Q) с 1 р р.

(Ь)	Пусть 1 <.р, оо, 0 <s< 1/р, s </< оо, s — n/p<Z.t —
— n/q, и пусть 1=Со, р^оо. Тогда

diQ’	р(й))^с/““+« "7 при q^p, (За)

d/(Z’> 4.a(Q)’ Вр,	~~~ пРи	(зь)

Неравенства (3) остаются верными и при s = 0, если заменить
В^р р(Я) на Ьр(Я).

(с)	При 1 < </р <; оо, 0=cs<l/p, s</<oo и s — n/p<i
<.t — n/q

ЩЦ W[(Q), ^(fi))^sy(...)^c/"^ + V-7.	(4)

В случае s">0 можно заменить IF’(Q) на Bsp р (Q) с Isgpsgco.

Доказательство. Шаг 1. Из теорем 4.2.3 и 1.16.1/1 вытекает
что можно ограничиться случаем Q=Q = {x|0<xa<;1, k=\, ...
..., п}. Докажем соотношения (1) и (2). В силу леммы 1.16.1/2
достаточно показать, что

s, с/-(*-»>/»» и dj^c'где с'>0.
Шаг 2. Для доказательства оценки Sf^cj-^~s^n привлечем
те же соображения, что и на шагах 1 и 2 доказательства теоремы
3.8.1. Из теорем 4.3.1/2 и 1.16.4/2 следует, как и на шаге 2 дока-
зательства теоремы 3.2.5, что вложение пространства lFp(Q)
в ^p(Q) компактно. Аналогично соотношению (3.8.1/1) имеем
при нецелых t

(2 j

\|а|=[Л QXQ



+ s \&f(x)dx (5)
IPI«[«] Q

и соответствующее соотношение при целых t. Пусть теперь J е
причем lfll^/ ^1. Для кубов qh определенных так
же, как на шаге 3 доказательства теоремы 3.8.1, можно подо-
брать такие многочлены Pt степени [/]", что

$ DP(f-Pz)dx = 0 при 0<|₽|<[/]-.

Коэффициенты многочлена Pi(x) линейно зависят от f. Норми-
руем пространство Wsp(qi) по аналогии с (5), но только заменив
последнюю сумму на ||f ||l0(?z)' Тогда получим

<с2-Ч2 $	(6)

\|а|=ГО <7zx?z	/

где с>0 не зависит от k. (При целых t нужно внести обычные
видоизменения.) Полагая Р (x) = Pi(x) для 1 = 1, ...» 2*л,
имеем

С |/(х)-Р(х)-/(у) + Р(у)|Р л

J |Х_У|Л+^ ахау

QxQ 1	1

2»п

<2 J •••+с2 S 1ж-л(х)1р	• (7)

/ = 1<7ZX<7Z	Чфт в[Х<1т

Если обозначить через dz(x) расстояние от точки ze?z до гра-
ницы dqh то вторую сумму можно оценить с помощью выражения

С 5 $ |f(x)-Pz(x)|Pdr»p(x)dx.	(8)

Из доказательства леммы 3.2.6/1 (Ь) следует, что неравенство
(3.2.6/2) справедливо и для й = р (х) «df1 (х). Применяя это
неравенство к f — Рь мы можем опустить второе слагаемое в его
правой части (так же как это было в случае неравенства (5)).
Отсюда видно, что (8) можно оценить с помощью первого сла-
гаемого из правой части неравенства (7). Далее из (6) вытекает,
что

sL.2kn(P, W‘p(Q),

Здесь L — число линейно независимых многочленов степени [/]_.
Отсюда следует, что

s7(/;	^sp(Q))^c/-('-s)/«, /=1,2,....	(9)

Шаг 3. Пусть t = 1, 2....... По	аналогии с шагом 4 доказа-

тельства теоремы 3.8.1 покажем, что

d>(Z; W‘p(Q}, W>p(Q^cj-«-w, / = 1, 2.............. (10)

где с > 0. Для этой цели мы построим такие функции ф/ (х) е
е СТ (qt), что

,f4>zll4(‘7z)=1’	И j <P/Wdx = 0-	<и)

(Все обозначения имеют тот же смысл, что и на шаге 2). Пусть
{a^=i “ такая последовательность комплексных чисел, что
ykn	2kn

У Iaz = 1, и пусть ф (х) = у а/ф/ (х). Тогда || ф L = 1. Из

Z = 1	Z=1	>	PW

рассуждений шага 2 вытекает, что

lim 11^ II rn ||Р -V |„ |Р С IФ/ (*) TZ (У) 1^ 1 .

Ai ' z' J	|х—«|"+4₽ dxdy

P	P i=l <?zx?z 1 y

(12)

Отсюда выводится неравенство (10) аналогично тому, как выво-
дилось (3.8.1/10).

Шаг 4. Пока что мы доказали соотношения (1) и (2) для
/=1, 2..... Пусть снова 0^s<l/p и т— 1, 2, ..., N>m.

Полагая A0 = B=Wsp(£l), А1 = 1Гр (Q) и A = W™ (Q), видим, что
неравенство (10) для произвольных t>s следует из теоремы
1.16.3/1 (Ь). Тем самым соотношения (1) и (2) доказаны.

Шаг 5. Пусть 1 <Z р < оо, 0 s0 <2 s < Si < t и Sj <; 1/р. В силу
теоремы 4.3.1/2 и неравенства (1.3.3/5), имеем

1Лв-р,а1>еЛЛ^|т1Я1’1,.1,и.	(13)

где s = (l — G)s04-6$! и IsCpsgoo. Заменяя в (13) f на f — P,
где Р (х) имеет тот же смысл, что и на шаге 2, получаем таким
же образом, как и выше, что

S/(7; lFp(Q), В‘р	(14)

Ясно также, что неравенство (14) справедливо и для dj или
вместо s7. Так как В5Р, р (Й) <=F₽ (й) при 1<р<р, то соотноше-
ние (1) остается справедливым и после замены №‘(Й) на
Bsp р(Й) с Isgps^p. Тем самым утверждение (а) доказано пол-
ностью.

Шаг 6. Докажем неравенства (3) и (4). Из явного вида нормы
в пространствах Бесова (см. теорему 4.4.2/2) вытекает, что

В',., ст (й) ед а (Й) при 1 < ft q0 < оо-	(15)

Следовательно, при доказательстве неравенств (3) можно ограни-
читься случаем q^p. При p = q неравенство (4) совпадает с (2),
а неравенства (3) следуют из утверждения (а) и теоремы 1.16.3/1
(а) по аналогии с рассуждениями шага 5. Пусть q<.p- В силу
< с 1	(< С 1 (О)

(а) ио апатопш С рОССрКДСПИтИ ШЯ1 Я О. ItfCIB Q^Zp'. В СИЛ^
1еоремы 4.6.1 и вложения (4.6.1/8),

<. да - С"+’"’ да. < да - <“+“" т-

Теперь неравенства (3) и (4) вытекают из приведенных выше
результатов, формулы (1.16.1/26) и соответствующей формулы
для d?.

Замечание 1.* Для поперечников dj соотношение (1) было
доказано Эль Колли [1, 3]. Из вложений (4.6.1/1) и (4.6.1/2)
следует, что в (3) можно заменить В‘9 О(Й) на W‘?(й) и/или
Bsp р (й) на IFp(fi). Кроме того, (3) остается верным при s = 0,
если заменить Вр, р(й) на Вр(й). Этот случай, с Wp (Й) вместо
о(й)> был изучен Бирманом и Соломяком [1, 2]. В их рабо-
тах была разработана техника кусочно-полиномиальной аппрокси-
мации, которая играла важную роль в доказательстве приведен-
ной выше теоремы и теоремы 3.8.1. (Эль Колли также исполь-
зовал этот метод.) Дальнейшие ссылки на литературу приведены
в п. 4.10.2.

Замечание 2. Оценку (4) можно улучшить, если более
полно использовать теорему 4.6.1. Мы не будем останавливаться
на этом подробнее, поскольку в следующем пункте будут полу-
чены существенно более точные результаты.

Замечание 3. В связи с доказанной теоремой возникает
ряд вопросов, (а) Ограничение 0=cs<l/p связано с применя-
емым методом. Как мы увидим в следующем пункте, неравенства
(3) и (4) справедливы в случае ограниченных областей класса
С00 для любых s, для которых —оо<$</<оо и s — nlp<A —
— nlq. (b) В отличие от формулы (1), формулы (2) —(4) дают
только оценки, а не асимптотику. Как мы увидим в следующем
пункте, для ограниченных областей класса С°° можно в (2) заме-
нить на В случае формул (3) и (4) ситуация представ-
ляется более сложной. Мы еще вернемся к этому вопросу в заме-
чании 4.10.2/3.

Замечание 4. Доказанная теорема является аналогом тео-
ремы 3.8.3. Так же, как на шаге 1 доказательства той теоремы,
можно установить, что при 0<7<оо, 1<р, <?<оо и —п/р>
>t — n/q пространство (Q) не вкладывается непрерывно в Lp (Q).
Из (4.6.1/8) следует, что при — n/p = t — nlq пространство (Q)
непрерывно вкладывается в LP(Q). Используя функции, рассмот-
ренные на шаге 1 доказательства теоремы 3.8.3, можно проверить,
что в этом случае вложение не является компактным. С помощью
соотношения (12) можно доказать соответствующие утверждения
для вложений в №p(Q), 0<s< 1/р вместо LP(Q). Дальнейшие
результаты такого типа можно получить, применяя теоремы 4.6.1,
4.3.1/2 и рассуждения п. 1.16.4. В случае когда Q —ограничен-
ная область класса С°°, можно также воспользоваться теоремой
4.9.2. Мы не будем входить здесь в подробности.

Замечание 5. В замечании 1.16.1/3 мы упомянули об акси-
оматической теории общих аппроксимационных чисел, предложен-
ной Пичем [7, 8]. Было бы интересно доказать соотношение (1)
для рассмотренных там чисел изоморфизма. Это позволило бы
утверждать, что соотношение (1) справедливо для всех общих
аппроксимационных чисел (в рамках теории Пича).

4.10.2.	Операторы вложения для ограниченных областей
класса С°° (аппроксимационные числа, поперечники)

Теорема. Пусть	— ограниченная область класса С00.

(г) Пусть 1<р, ^<оо, — oo<s<f<оо, s — n/p<zt — rt/q
и l^o, p^oo. Тогда

при q^p, (la)

dt (/; В\,a(Q), Bsp.p(Q))sj (...)при q^p. (lb)

Эти соотношения остаются в силе и при замене dj (...) на dJ (...).
(b) Пусть 1 <ZP<Zc>o, —oo<s</<oo, I^ct^oo и l<Zp^p.

Тогда

dj (Z, В‘р, <, (й), В*р р (й)) ~ S/ (...) ~	(2)

Здесь можно заменить B3PtP(Q) на HSP(Q).
(с)	При 1 < р < оо, — oo<s<7<;oo, p^o^oou 1 <роо

d! (l; Вр, о (Й), Bsp, р (Й)) ~ Г {t~s)/n-	(3)

Здесь можно заменить Е?р, о (й) на Н‘р (й).

(d)	При 1 <Zq <оо, 0^s<oo, s<Z.t — n/q и 1 =Сст^Соо

<//(/; В'.„(Й), Cs(Q))<S/(...)<^r('_s,/n+1/‘?)	(4)

d'(l, В'.а(Й), Cs (Q.))^cFV~s'>ln+Vq•	(5)

Доказательство. Шаг 1. Пусть 1<р<оо и 0 <$ </ < 1/р.
Так как оператор вложения I является самосопряженным в смысле
теории двойственности из § 4.8, то, в силу теоремы 4.10.1 (с),
леммы 1.16.1/3 и теорем 4.8.1 и 4.3.2/1,

sy(Z; В^р-СЙ), В7/р,(Й))^с7-(<-8)/л, 1^р<оо.	(6)

Пусть многочлены Pi(x) и кубы qt определены так же, как и на
шаге 2 доказательства теоремы 4.10.1 (или соответственно как
при доказательстве теоремы 3.8.1). Положим Qj = qj. Тогда опе-
ратор Р из шага 2 доказательства теоремы 4.10.1 совпадает
с оператором Pz из формулы (4.9.4/5). Оператор Pz самосопряжен.
Далее, шаг 2 доказательства леммы 1.16.1/3 показывает, что этот
оператор можно использовать для приближения оператора вло-
жения /(В^р^(й),	из (6). Аналогично шагу 5 дока-

зательства теоремы 4.10.1 устанавливается, что

«/(/; В^р-(Й), В^'о4Й))^г/-(/-8)/л,
1<р<оо, 1<а'<оо.	(7)

Здесь значение р = оо также является допустимым. Исходя из
(7) и повторяя проведенные выше рассуждения, получим, что

«/(/; ^(Й), В’,р(Й))<сГ(/-5>/л,

1=Ср=Соо, l<osgoo. (8)

Шаг 2. Согласно теореме 4.3.2/1,

5р.р(^) = ^р.р(^)> 1<Р<оо, 0=с$<1/р, 1<р<оо. (9)

Из свойств шкал (см. теорему 4.9.2 и замечание 4.9.2/3) следует,
что неравенство (8) остается верным и при 0 <s < t <s-|- 1/Р-
Аналогично с помощью (9) устанавливается неравенство

S) (/; В*р, а (Й), Bsp, р (Й)) < cj-{t-sVn,

IsgJpCoo, 1=С<т<со.	(10)

Используя теперь теорему 4.8.1, получаем, что неравенство (8)
выполняется и для t — l + l/p<s</^0 при l<psgoo, 1<
<о^оо. Ясно, что значение <т=1 является допустимым. Из
вида аппроксимирующих операторов, использованных для оценки
Sj, вытекает аналогично шагу 1, что р = 1 также является допус-
тимым значением. Пусть $ и / — любые числа, удовлетворяющие
условию -oo<s</<oo. Выбирая надлежащим образом числа
s = s0 < < s2 <... < Sjv = t и рассматривая соответствующее раз-
ложение оператора вложения, получим неравенства (1) при p = q
как следствие теоремы 1.16.1/2, леммы 1.16.1/2 и проведенных
выше рассуждений.

Шаг 3. Неравенства (1) для произвольных р и q устанавли-
ваются теперь, как на шаге 6 доказательства теоремы 4.10.1.

Шаг 4. Докажем соотношение (2). В силу неравенств (1) дос-
таточно рассмотреть случай р = р. Из интерполяционных свойств
пространств В (теорема 4.3.1/1), теоремы 1.16.3/1 (Ь) и свойств
шкал (теорема 4.9.2) вытекает, что достаточно показать, что

dy(/; Гр(Й), TFp(£2)) —0<s</<-.	(11)

р

Но это соотношение содержится в формуле (4.10.1/1). Используя
(4.10.1/1) при s — 0, получаем, что (2) справедливо и при замене
B’.p(Q) на HSP(Q).

Шаг 5. В силу теоремы 1.16.3/2, для того чтобы устано-
вить соотношение (3), достаточно доказать аналог соотношения
(11), с dj вместо dj. Но этот аналог является следствием леммы
1.16.1/3, соотношения (2) и теоремы 4.8.1 (в совокупности с тео-
ремой 4.3.2/1). При этом, как и выше, можно заменить Bp,a(Q)
на Яр(Й).

Шаг 6. Соотношения (4) и (5) следуют из утверждения (а) при
р = 1, формул (4.6.1/7), (1.16.1/25) и соответствующих формул
для dt и Sj.

Замечание 1. Соотношения включения (4.6.1/1) и (4.6.1/2)
показывают, что в формулах (1) (и соответствующих формулах для
di) и (2)—(5) можно заменить B^,a(Q) (соотв. Вр,а(Й)) на H*q (Q)
(соотв. Яр(Й)) и Bp,p(Q) на HSP(Q). Наиболее сильные утвержде-
ния получаются из (1), (4) и (5) при а = оо и р = 1. Отметим
некоторые интересные частные случаи. Из (1)—(5) вытекает, что:

(a)	d>(7; W‘q(Q), ГР(Й))<8У	(12)

при 0<s<£<oo, I<<7SSP<00 и s — nlp<it — n/q (а также
выполняются соответствующие неравенства для dj вместо d));

(b)	dt (/; Wq (й), Wsp (Й)) < sj (...) < сГ	(18)
при 0^s</<oo, 1	(/<< оо (а также выполняются соот-

ветствующие неравенства для dJ' вместо d7);

(с)	dy(Z; №'(Q),	(14)

при 0</<оо, 1<р<оэ;

t-s | 1

(d)	W‘g(Q), Cs	n «	(15)

при 1 < p < oo и 0 s < / — n/q (а также выполняются соответ-
ствующие неравенства для dJ вместо d7).

Замечание 2. * Первый результат такого типа принадле-
жит Колмогорову [1]. Он доказал неравенство (14) для попереч-
ников dj при s = 0, / =1,2, ...,р = 2 для случая области Q = (О, Г).
Эти исследования были продолжены многими авторами; в их рабо-
тах вычисляются или оцениваются поперечники dj и (У для опе-
раторов вложения в пространствах Соболева — Слободецкого Wsp (Q),
s^O, 1 р < оо, и в гёльдеровых пространствах Са (й). С помо-
щью разработанных Колмогоровым методов Джером [1—3] полу-
чил приведенные в (14) асимптотические формулы при р = 2
и целых s и t, удовлетворяющих условию 0^s</<oo. (Как
мы отмечали в замечании 1.16.1/1, для сепарабельных гильберто-
вых пространств числа dj, df и sf совпадают.) Бабаджанов и Тихо-
миров [1] установили соотношение (14) в случае Й = (0, I), s = 0
и t = 1 для поперечников dj и Для произвольных целых
s и Й = (0, 1) соотношение (14) для dj и Sj получено в работе
Валека [2]. Далее, Тихомиров [1, 2] доказал, что

dy(/;O(Q), C°(fi))~d'(/; C'(Q), С°(Й))~/-^.	(16)

Это соотношение не содержится в приведенной выше теореме. См.
также работу Лоренца [2]. Распространением асимптотических
формул (16) для dj на случай обобщенных гёльдеровых пространств
занимались Тихомиров [1], Лоренц [2], Джером и Шумейкер [1].
Соотношение (14) для поперечников dj было доказано Эль Колли
[1, 3]. Частные случаи общей формулы (2) можно найти в рабо-
тах Трибеля [15, 27].

Замечание 3. * В предыдущем замечании речь шла об
асимптотическом поведении поперечников операторов вложения для
пространств одного и того же типа (пространств Lp, пространств С).
Получение аналогичных асимптотических формул для вложений
пространств различных типов — существенно более сложная задача.
Хотя здесь имеется ряд отдельных результатов, окончательного
решения эта задача еще не получила х. Все утверждения доказан-

1 См, подстрочное примечание на стр, 440,— Прим» перев.
ной теоремы, относящиеся к общему случаю (см. (1), (4) и (5),
а также (12, (13) и (15)), содержат только оценки сверху. Нера-
венства (12) и (13) при s = 0 доказаны Бирманом и Соломяком
[1, 2] (см. замечание 4.10.1/1). Неравенство (15) при s = 0 для
поперечников dJ приведено в работе Соломяка и Тихомирова [1].
См. также Джером и Шумейкер [1]. Обобщения этих результатов
даны в работах Трибеля [15, 27]. В статье Соломяка и Тихоми-
рова [1] имеется также асимптотическая формула

. 1

dJ(p, Fj>(Q), С°(Й))~/ п р, 2<р<со,	(17)

В той же статье выводятся оценки для dl при 1 <р<2. В силу
(1.16.1/6), в (17) можно заменить C°(Q) на Loo(^). В качестве
частного случая получаем

d\l-, rU(0, 1)), Loo((0, 1)))~/~1/2.	~	(18)

С другой стороны, как доказал Исмагилов [2],

dy(Z; ГИ(0, 1)), Loo((0, l)))<q-3/5. i	(19)

Эти две формулы показывают, что поперечники dj и & могут
вести себя совершенно по-разному. Выведем некоторые следствия
из указанного результата Исмагилова. Так как Loo((0, 1)) непре-
рывно -вкладывается в Lp((0, 1)), 1<р<оо, то в (19) можно
заменить Loo((0, 1)) на Lp((0, 1)). Сравнивая этот результат
с (12), видим, что улучшение оценки (12) наблюдается при

3	1	1

5->у + 7> т- е- Ю<р<оо.	(20)

Используя теорему 1.16.1/2 и соотношение (14) при р = 2 и п = 1,
получаем, что

dj(l- 1)), L„((0, 1)))<с/	' ® для *>1.	(21)

Далее, р ((0, 1)) при 2=^р<оо непрерывно вкладывается
в Lp((0, 1)). Исходя из интерполяционной пары

{я2У"7((0, 1)), Я^((0, 1))}

и применяя теорему 1.16.3/1 и неравенство (19), получаем ана-
логичное неравенство для 1/2 —1/р</< 1. В обоих случаях
наблюдается улучшение неравенства (12) при р^Ю. Используя

1 Глускин [1] установил, что	((0, 1)), С°((0, 1))) ~/1/2 1 при

1^2. [В работе Майорова *[1] это соотношение получено при а также
рассмотрен многомерный случай. — Перее.]
свойства шкал, даваемые теоремой 1.9.2 (в сочетании с интерпо-
ляционными свойствами пространств Нр и теоремой 1.16.1/2),
можно перейти от неравенства (21) к более общему неравенству

2

d7(/; ^((0, 1)), Hsp((0, l)))<:c/_<Z_S)+s,	(22)

где — oo<s<Z<ool. (Это неравенство сохраняет силу и при
О < t — s 1.) Применяя лемму 1.16.1/3 и теоремы двойственности
из § 4.8, так же, как и выше, получим

2

dz(/; //'((0, 1)), АП((О, 1)))<С/“(/"’)+\

(23)

где —оо<$</—1<оо. Сравнивая с неравенством (12), где
теперь надо заменить dj на tr, видим, что улучшение наблюдается
при 1<(7<1О/9. (И в случае 0</ — s=cl тоже наблюдается
улучшение при I <?< 10/9.) Привлекая теоремы 1.16.1, теоремы
двойственности из § 4.8 и свойства шкал, установленные в тео-
реме 4.9.2, можно получить дальнейшие результаты. Например,
исходя из интерполяционной пары {Lp, №%}, можно доказать
неравенства типа неравенств (21) и (22) с H*q ((0, 1)) вместо ((0,1)),
где 2^q<Zp <оо. Аналогичное утверждение верно для неравен-
ства (23). Отсюда следует, что и в этих случаях неравенство (12)
может быть усилено. Мы опускаем явные формулы, поскольку
не приходится ожидать, что на этом пути можно получить точную
асимптотику роста dj и df. Упомянем, однако, о некоторых дру-
гих работах, связанных с рассматриваемыми здесь вопросами.
Исмагилов [1, 2] доказал, что

S/(7; Г'((0, 1)), Lp((0, l)))~d^...)~/_'+V~7,

1	^р^2, у — ~ < t == (целое число).	(24)

Таким образом, в предположениях, принятых в (24), формула (12)
является асимптотической для Q = (0, 1), n=l, s = 0 и целых t.
Вновь применяя использованные выше методы (теоремы 1.16.3/1
и 4.9.2), можно существенно обобщить неравенство (24). Имеет
место соотношение

dy(/; ^((0, 1)), №р((0, 1)))~Л(/"’) + ^Ч (25)

1<я^р^2, —oo<s</<oo, t—->s—-

q p-

1 Пространство ((0, 1)), где р > 1/а' и р — 1 /а — нецелое, является
замкнутым подпространством пространства //§((0, 1)), имеющим конечную ко-
размерность (теорема 4.3.2.1), поэтому при указанных значениях параметров
можно в (21)—(23) заменить Н на Н.
Здесь можно заменить 77^ ((О, 1)) на В^а((0, 1)), IsgosCoo.
Используя теоремы двойственности § 4.8 и теорему 1.16.3/2 (Ь),
так же, как и выше, выводим из (25), что

^(/; 77? ((0, 1)). ^₽((0> l)))~/-(/~S)+^“^

2^р<р<оо,	(26)

Здесь также можно заменить #р((0, 1)) на Вр, р((0, 1)), 1 =^р=^оо.
Возникает вопрос, остается ли соотношение (2) верным, если р
(и q) становится больше 2. Исмагилов [2] доказал, что справед-
ливо несколько более слабое соотношение

Sy(7; F'((0, 1)),LP ((0, 1)))~/-/+^-^

2^р<р^со,

См. также (21). Маковоз [1] показал, что

d; (7;	((0, 1)), Lp ((0, D))~d/ (7; Wl 2 * *q ((0, 1)), Lp ((0,

(27)

1	С помощью полученных выше результатов можно

существенно обобщить этот результат и установить соотношение

d7(Z; ^((0, 1)), Hsp((0, l)))~d' (/; tf‘((0,	1)))

~(28)

— oo<s</<oo,	См. также неравенства (13)

и (1b) (и соответствующие неравенства для Ж). (Отсюда получа-
ется асимптотическая формула и для соответствующих чисел $7.)
Наконец, отметим работу Корнейчука [1], в которой подсчитыва-
ются поперечники df для операторов вложения (обобщенных)
гёльдеровых пространств в Lp.1

Замечание 4. * Согласно теореме 1.16.1/1, поперечниковые
идеалы /Са и Ga и аппроксимационные идеалы Sa являются

1 Недавно Кашин *[1] получил полное решение задачи об определении
порядков величин d/(Z; №^((0, 1))> ^((0, 0))- Окончательный результат

таков:

если p^q или

2 < р < <7,

если р^2<0,

если p<q^2.

dt(l; ^((0, 1)), Lq((0, 1)))~ Н-у-у

— Прим, перев.
Q-идеалами. Можно обобщить предыдущие рассмотрения и поста-
вить вопрос о том, когда операторы вложения пространств Лебе-
га—Бесова (а значит и пространств Соболева — Слободецкого)
в другие пространства того же типа принадлежат заданным
Q-идеалам. Конечно, в первую очередь представляют интерес
конкретные просто описываемые Q-идеалы. В следующем пункте
мы будем иметь дело с важным классом энтропийных идеалов.
Укажем здесь некоторые работы, содержащие результаты подоб-
ного рода. Первые результаты, касающиеся качественного
описания операторов вложения, принадлежат Морену [1]. Он
доказал, что для ограниченных областей Q оператор вложения
пространств №™(й) bL2(Q) является оператором Гильберта —
Шмидта при целых m>nl2. Операторы Гильберта —Шмидта при-
надлежат классу ©2, определенному в п. 1.19.7. Этот результат
был обобщен в работах Грамша fl], Кадлеца и Короткова [1],
Фам Тхе Лая [2,4] и Трибеля [4], где найдены условия, при кото-
рых операторы вложения пространств (Q) в (Q) принадле-
жат классам и из п. 1.19.7. Полученные ими результаты
содержатся в соотношении (14) при р = 2. В работе Кадлеца и
Короткова [1] рассмотрен также анизотропный случай. Обобще-
ние описанных выше результатов (в рамках гильбертовых прост-
ранств) на весовые пространства Соболева — Бесова можно найти
в статье Трибеля [12]. В работе Кларка [1] приведены условия,
при которых операторы вложения пространств W™ (Q) в W* (Q)
в случае неограниченной области й являются операторами Гиль-
берта-Шмидта. Соответствующие результаты о принадлежности
к классам и имеются в работах Аранды и Каттанео [1]
и Одрэна и Фам Тхе Лая [1]. Классы и <fSPtQ можно так
обобщить со случая гильбертовых на случай банаховых прост-
ранств, что при этом получатся Q-идеалы. См. п. 1.19.8, а также
Пич и Трибель [1] и Фрайтаг [1]. В работах Пича и Трибеля [1],
Трибеля [8], Фрайтага [1] и Кёнига [1] формулируются условия,
при которых операторы вложения, действующие в (общих) прост-
ранствах Лебега — Бесова, принадлежат этим Q-идеалам. Другим
важным классом компактных операторов является Q-идеал всех
ядерных операторов. Один результат об условиях, при которых
оператор вложения, действующий в пространствах Соболева— Сло-
бодецкого, принадлежит можно найти в работе Пича и Три-
беля [1]. Более точный вариант этого результата был дан Пичем
[6]. Он доказал, что для ограниченных областей с гладкой гра-
ницей оператор вложения пространства (й) в Lp (Й) ядерен,
если

± Zifl + 4- —при 1<р^0<оо,

\ я PJ н г *	(29)

. п	при 1 < q р <, оо.
В случае если /(1 + 1/^—1/р) при 1<р=Сд<оо или /<п
при 1<^^р<оо, соответствующий оператор вложения не яв-
ляется ядерным. Интересно, что есть разница в распределении
различных случаев в (29), с одной стороны, и в (12), (13), (26)
и (28) —с другой. Отметим еще, что Пич [6] рассмотрел Q-идеалы
Nr r-ядерных операторов и Рг абсолютно г-суммирующих опера-
торов. См. также Кисляков [1].

Замечание 5.* За малыми исключениями, во всех указан-
ных в предыдущих замечаниях работах рассматривались прост-
ранства Лебега — Бесова (Соболева — Слободецкого) в ограничен-
ных областях. В случае неограниченных областей возникают
дополнительные трудности. Пусть Q cz Rn — область, содержащая
бесконечное число попарно непересекающихся конгруэнтных
шаров. Ясно, что в этом случае оператор вложения, действую-
щий в пространствах Лебега — Бесова (если таковой существует),
не может быть компактным. (Для того чтобы это понять, доста-
точно рассмотреть семейство функций ф7- е С™ (Kj), фу (х)^0,
полученных путем сдвига одной стандартной функции.) Далее,
существуют такие неограниченные области Q, для которых вло-
жение пространств W™(Q), т = 1, 2,..., 1 < р < оо в Lp (Q) ком-
пактно, а вложение пространств W™ (Q) в Lp (Q) не компактно.
Исследование компактности вложений пространств W™ (Q) bLp(Q)
(или, более общо, в Lg (Q)) для неограниченных областей было
начато в работе Кларка [2]. Эти результаты были обобщены затем
Кларком, Адамсом и Фурнье. Сошлемся в частности на работы
Адамса [1,3]. В статье Адамса [2] получены условия на область
Q, необходимые и достаточные для того, чтобы оператор вложе-
ния пространств Wp (Q) в LP(Q) был компактен. Исследование
компактности оператора вложения пространств W™ (Q) в LP(Q)
проведено в работах Адамса и Фурнье [1,2]. Необходимые
и достаточные условия компактности оператора вложения прост-
ранств HP(Q) в	при s — n/p'> — nlq, q^p получены

М. Бергером и Шехтером [1, теорема 2.8].1 Проблема качествен-
ного описания операторов вложения в неограниченных областях
при помощи аппроксимационных чисел, поперечников и т. п. с той
же степенью общности, что и для ограниченных областей, остается
пока открытой. Для случая р = 2 сошлемся на упомянутые выше
работы Кларка [1], Аранды и Каттанео [1], Одрэна и Фам Тхе
Лая [1]. С этими вопросами тесно связан вопрос о компактности
операторов вложения для областей с негладкой границей.
См. статью Мазьи [1] и указанные там работы.

1 Вопрос о компактности операторов вложения для пространств Соболева
в неограниченных областях подробно освещен в книге Адамса [6]. — Прим,
перев,
4.10.3.	Операторы вложения в
ограниченных областях (е-энтропия)

Кроме поперечников, аппроксимационных чисел и Q-идеалов,
упомянутых в замечании 4.10.2/4, для качественного описания
операторов вложения используется также понятие е-энтропии,
введенное в определении 1.16.1/2. Как и ранее, будем обозначать
операторы вложения через I. Хотя ниже мы формулируем резуль-
таты для ограниченных областей класса С°°, некоторые утвер-
ждения справедливы и для ограниченных областей, удовлетво-
ряющих условию конуса. В этом пункте мы не ставим себе целью
дать систематический обзор всех известных результатов. Сначала
приведем без доказательства два важных результата, принадле-
жащих Бирману и Соломяку [1,2] и Клементсу [2], которые
лежат в основе дальнейших рассмотрений.

Лемма. Пусть QciRn — ограниченная область класса С00.

(а)	При 1<р, ?<оо, t — nlq>n/p и t>0

Н (е; I, Wp (Й), Lp (й)) < сгп'‘.	(1)

(Ь)	Для любого 0 < а < 1 существует положительное число сЛ,
такое, что

Н (е; I, Са (Й), Lx (й)) S& саъ-п^.	(2)

Замечание 1. Утверждение (а) принадлежит Бирману и
Соломяку [2]. Существенно, что неравенство (1) выполняется и
для p>q при условии, что t — nlq> — n/p. Бирман и Соломяк
доказали неравенство (1) с помощью метода кусочно-полиноми-
альной аппроксимации (см. доказательство теоремы 3.8.1 и два
предыдущих пункта). При этом использовавшаяся выше линейная
аппроксимация не является уже достаточной и необходимы новые
соображения. Неравенство (2) для областей Q _типа куба было
доказано Кламентсом [2]. Здесь обозначение C“(Q) имеет тот
же смысл, что и в определении 4.5.2. Применяя изложенный
ранее метод продолжения, нетрудно убедиться, что неравен-
ство (2) переносится на случай ограниченных областей класса С00.

Теорема. Пусть й c:Rn — ограниченная область класса С00,
1 ср, q<.<x>, — <x>C$CtCco, t — n/q~>s — n/p и s^o, р^оо.
Тогда

Н (е; I, В*ч, а (й), Bsp, р (Й)) ~ 8- »/ <*-»>.	(3)

Здесь можно заменить В^, а (й) на H‘Q (й) и/или Вр, ?(й) на HSP(Q).

Доказательство. Шаг 1. При фиксированных р и q применим
теорему 1.26.2/1 (а) к интерполяционной паре (Wq (й), №^+в(й)}.»
где 6 —достаточно малое положительное число. Из (1) тогда сле-
дует, что

Н (е; I, В*ч, а (Й), Lp (Й)) < сг~	(4)

при условии, что t — n/q> — nlp, />0 и lsgcr<;oo. Из тео-
ремы 4.9.2 и замечания 4.9.2/3 вытекает, что (4) остается вер-
ным и при замене Вр, СТ(Й) на Вр+ах(й) и Лр(Й) на Я^(Й), х^О.
Применяя теорему 1.16.2/2 (а), получаем, что можно заменить
Яр(й) на Вр, р (Й), l<;psgoo. В силу теоремы 1.16.1/2, анало-
гичные оценки имеют место для пространств Bfq+*(й) вместо
В^а (Й) и Вр, р (Й) вместо Вх, р (й). (См. также шаг 2 доказа-
тельства теоремы 4.10.2). Используя вновь теорему 4.9.2, заклю-
чаем, что

Н (е; /, Bj,р(Й), Вр, р (Й))<С8-"/«-»).	(5)

Шаг 2. Из (2) вытекает, что

Н (в; /,	(Й), Lp (Й)	се-"'*,

где 0<а<1, 1<р, </<оо и a — nlqZ> — nlp. Пусть 1<р«с
s=S<7<oo. Применяя теорему 1.16.2/1 (в) к интерполяционной
паре {Lq (й), №х(й)}, где х>а, и используя (4) и (5), полу-
чаем, что

Я(е; /,В'.СТ(Й), Вр(Й))~е-«А

при Isgors^oo. Еще раз применяя теоремы 4.9.2 и 1.16.2/2(в),
так же, как и выше, найдем, что

Я(е; I,B‘9.a(Q), В’.р(й))~8-(6)
где 0<s<^<;c>o, 1 сг, ргСоо. Из теоремы 4.3.2/2 и проведен-
ных выше рассуждений вытекает, что аналогичные формулы
справедливы для пространств Вр, а (й) вместо Вр, а (й) и Вр, р (й)
вместо Вр, Р(Й). Наконец, ясно, что можно допустить и p>q,
если только выполняется неравенство t — nlq~>s — n/p. В силу
теоремы 4.9.2 и замечания 4.9.2/3, соотношение (6) выполняется
также, если — со<$<;/<оо, t — nlq>s — nlp, s^a, psgoo.
Шаг 3. Соотношение (3) для Hfq (Й) и/или Hsp (й) является
следствием включений (4.6.1/2).

Замечание 2. Из теоремы 1.16.1/2 следует, что достаточно
иметь (1) для 0 < t < 6, где 6 —сколь угодно малое положитель-
ное число. Более глубокое использование интерполяционных
теорем (формула (2.4.2/11) с Й вместо 7?„) показывает, что для
многих значений параметров р и q (но не для всех) достаточно
знать, что (1) верно для i=l,
Замечание 3. * В качестве частного случая соотношения (3)
получаем соотношение

Я(8; I, W^(Q), №₽(&)) —8“	(7)

где0^з</<оо, 1<р, <7<оо, t — nlq>s — nlp. При 1<р==£
^<7<оо это — результат Мостефая [1]. Случай s = 0 и p — q
разобран также у Лоренца [3]. Как мы уже отмечали, неравен-
ство (1) получено Бирманом и Соломяком [2]. Кроме того, Бир-
ман и Соломяк fl, 2] доказали, что

Н (е; I, W^(Q), С°(Й))^8-^

(8)

при 1<<7<оо и t — n/q > 0.

С помощью использованного выше

метода отсюда выводится, что

Я (8; 1, B*.O(Q), C°(Q))~8-^

О)

при 1<<7<оо, l^o^oo и t — n[q>®- Соотношения (8) и (9)
представляют собой модификацию хорошо известного результата
Колмогорова и Тихомирова [1]

Н (е; I, С1 (О), С°(Й))~8-«/', 0<f<oo.

(Ю)

См. также Лоренц [2]. Соотношение (3) является обобщением
соответствующих результатов, полученных в работах Трибеля
[15, 27]. Оценки 8-энтропии для операторов вложения, действую-
щих в анизотропных пространствах Соболева— Слободецкого,
можно найти у Борзова [2, 3], который тоже использовал метод
кусочно-полиномиальной аппроксимации Бирмана и Соломяка.
Результаты Борзова были обобщены в статье Трибеля [27] на
основе теоремы 2.13.2. Исследованию е-энтропии в функциональ-
ных пространствах и соотношений между 8-энтропией и попереч-
никами посвящены работы Лоренца [2, 3], Джерома и Шумей-
кера [1], Клементса [1]. У Лоренца [2, 3] дается много ссылок
на литературу.

4.11.	ДОПОЛНЕНИЯ

В настоящем параграфе мы очень бегло осветим некоторые
аспекты теории функциональных пространств, о которых ранее
ничего не было сказано. При этом мы в основном ограничимся
ссылками на литературу. В этой связи укажем прежде всего на
обзорную статью Бесова, Ильина, Кудрявцева, Лизоркина и
Никольского [1], в которой можно найти краткое описание ряда
разделов теории функциональных пространств, а также обширную
библиографию (содержащую работы, опубликованные до 1968 г.).
См. также § 3.10,
4.11.1.	«Периодические» пространства

Рассмотрим n-мерный тор

Т = {х|х = (х1,	х„)е₽л, 0 ==£%/< 2л, / = 1, п}

(противоположные точки «границы» отождествляются). Пусть
С00 (Т) = D (Т) обозначает множество всех комплекснозначных
(периодических) бесконечно дифференцируемых функций, опреде-
ленных на Т, a D' (Т) — множество всех непрерывных линейных
функционалов на С00 (Т) (периодические обобщенные функции).
В целях сокращения записи будем использовать обозначения

f = (klt ..., kn), где kj — целые числа;
п	п

t-x=^k/X/.
i=i	i=i

Всякую обобщенную функцию f^D' (Т) можно представить
в смысле D' (Т) в виде ряда Фурье:

Г

По аналогии с (2.3.3/1) можно ввести «периодические» простран-
ства Лебега Hsp,n> определяемые равенством

Hsp,n = {f\fe=D'(T),

g = Xat (2л)"п/2 (1 + 1t jz)s/2e-lt'x^Lp (T)|,	(2)

где —oo<s<;oo, 1<р<оо. Далее, по аналогии c (2.4.2/14)
можно определить «периодические» пространства Бесова

Bsp.q,n = (HsP:n> Hsp\n)e,q,	(3)

где0<9<1, — oo<s0, sx<oo, s = (l —-0)so-f-0Si> l<p<oo,
1 q оо. На этом пути можно развить систематическую теорию
в духе гл. 2. Эквивалентные нормы для пространств Вр, м
изучены в работах Бесова [2] и Потапова [1] (по крайней мере
в одномерном случае). При перенесении методов гл. 2 нужно
вместо теорем о мультипликаторах для интегралов Фурье (см.
п. 2.2.4) воспользоваться теоремами о мультипликаторах для
кратных рядов Фурье, принадлежащими Марцинкевичу [2] и
Михлину [3, дополнение]. Можно доказать, что

Hsp,n=Hsp(Q) и BsPt q,n = Bsp>q(Q),
где

Q = {x|x = (x1, .... Xn)<=Rn, 0<ху<2л, / =
1<р<оо,	и 0<$<1/р. Это соотношение полезно

при решении некоторых задач (например, при доказательстве
существования базиса Шаудера в пространстве	см. Три-

бель [23]).

4.11.2.	Пространства с доминирующими
смешанными производными

В теореме 4.2.4 и замечании 4.2.4/1 был рассмотрен вопрос
о том, можно ли оценить производную D$f с помощью Lp-норм
заданных производных или многочленов от производных
(см. (4.2.2/5)). Существенно обобщая эту задачу, можно ввести
в рассмотрение пространства, в которых смешанные производные
играют доминирующую роль. Пусть / = (/1У ..., /л), где /у —нату-
ральные числа. С. М. Никольский [6] ввел пространства SlpW
соболевского типа, в которых норма задается равенством

11Л^ = S PVIIW- .....................V

Р

Здесь 0/ может принимать только два значения 0 или 1. Анало-
гичным образом можно определить пространства типа Лебега или
типа Бесова. Теория таких пространств разработана в работах
Лизоркина и Никольского [1], Джабраилова [1, 3], Аманова [2],
Унинского [1], Бесова [7], Бесова и Джабраилова [1] и других
авторов. Теория интерполяции для таких пространств изложена
в статье Гривара [4]. Следует отметить, что при построении тео-
рии интерполяции для этих пространств оказывается полезной
теория интерполяции «-наборов, кратко описанная в п. 1.19.10.
Сошлемся в этой связи на работы Ёсикавы [2] и Спарра [1].

4.11.3.	Пространства абстрактных функций

Пусть А — банахово пространство и Q с: Rn — ограниченная
область. Рассматриваются аддитивные функции множеств <р со
значениями в А, определенные на измеримых подмножествах
области Q. Обозначим ФР(Д, £2) множество всех функций <р, для
которых

I J <о(х)^ф|1

II ф II = sup ' 3 Г \ II-~ < 00 >

||Т||фр(АЯ)	/ ll®(x)||Lp,(a)

где 1<р<оо и 1/рД-1/р' = 1. Верхняя грань берется здесь по
всем (вещественно или комплекснозначным) простым функциям.
(Простыми называются ступенчатые функции вида со= £сда/(х),
где число слагаемых конечно, Cj — постоянные, а ХяДх) — харак-
теристические функции измеримых подмножеств области Q.)
Обозначим, далее, через Ч^Л, Q) подмножество в ФР(Л, Q),
состоящее из тех элементов, которые непрерывны относительно
сдвигов в приведенной выше норме. Функция ср(а) =D(a) ср е
еЧ^Д Q) называется обобщенной производной функции фЕ
еФр(Л, Q) в смысле векторнозначных обобщенных функций, если
для всех пробных функций со

J £>a(o dxq = (—1)|а| J со (х) бЦр(а).

Наконец, через Т™(Л, Q) обозначим множество всех функций
ереФр(Л, Q), обобщенные производные которых порядка т при-
надлежат ЧГР(Л, Q). В результате мы получили абстрактный ана-
лог пространств Соболева W™ (Q). Пространства Ч^ (Л, Q) были
введены Соболевым [5 — 7]. В статьях Короткова [1—5], Гиль-
дермана [1—3] и других авторов введены абстрактные аналоги
пространств Слободецкого и прочих изученных ранее пространств.
Там же можно найти теоремы вложения для таких пространств.
Мы не будем входить здесь в подробности. Теория интерполяции
для таких пространств пока не разработана.

4.11.4.	Пространства Хёрмандера
и пространства Волевича и Панеяха

В формуле (2.3.3/1) приведена эквивалентная норма для про-
странств Hp(Rn). Волевич и Панеях [1, дополнение 2] обобщили
такой подход к пространствам Hsp(Rn) и ввели пространства

#Ж) = 1/ е S' (7?„), ||/Ц = ||F-V(х)Ff ||z.p<оо},	(1)

1 < р < оо. Здесь ц (х) — весовая функция, удовлетворяющая неко-
торым дополнительным условиям. Наиболее интересным является
случай р = 2. В этом случае достаточно предположить, что ц(х) —
положительная непрерывная функция, для которой существуют
такие два числа с и N, что

p,(x + t/)^(l+o|x|)A'n(t/)	(2)

при всех хе Rn и i/e Rn. Пространства Н*(Rn) совпадают с про-
странствами В* (Rn), введенными Хёрмандером [3]. В общем слу-
чае Хёрмандер [3] полагает

В? (Rn) ~{f\f^s' (Rn), II/ Ц = IIИ (X) Ff ||L₽ < оо}. (3)
Хёрмандер, а также Волевич и Панеях определили соответствую-
щие пространства и в областях. Теория интерполяции для про-
странств Хёрмандера изложена в работах Шехтера [5, 6];
см. также Фавини [5].
4.11.5.	Пространства с переменным
порядком дифференцирования

Пусть задана вещественнозначная функция

р(х) = « + а(х),

где s —постоянная, а функция о(х) принадлежит пространству
S (/?„). Рассмотрим псевдодифференциальный оператор Лр, зада-
ваемый равенством

(Лр/) (х) = {F-i[(1 + || r)p(-)/2(F/) (£)]} (х), / е S' (/?„).

Для гладких функций (т. е. для / е S (/?„)) это равенство можно
переписать в виде

(Лр/) (х) - (2л)~п/2^е(-<х- 6> (1+1 £ 12)р (х>/2 (^7) (В) <%
«п

Унтерберже [1, 2] и Бозами [1, 2] исследовали пространства

(/?„) = {/1 / е S' (/?„), Лр/ е Lp (Rn)},

где 1<р<оо. Ясно, что при сг(х) = О они совпадают с про-
странством Hp(Rn) (см. (2.3.3/1)). В общем же случае порядок
дифференцирования, определяемый функцией р(х), меняется от
точки к точке. Бозами ввел также пространства типа Бесова
с переменным порядком дифференцирования.

15 X. Трибель
5.	Регулярные эллиптические
дифференциальные операторы

5.1.	ВВЕДЕНИЕ

В предыдущих главах были развиты теория интерполяции и
теория пространств Лебега — Бесова. В этой и последующих гла-
вах полученные результаты будут использованы для исследова-
ния эллиптических дифференциальных операторов, причем основ-
ной целью будет изучение отображений функциональных про-
странств. В гл. 6 и 7 мы рассмотрим вырождающиеся эллипти-
ческие дифференциальные операторы, здесь же мы будем иметь
дело с общими регулярными эллиптическими дифференциальными
операторами в ограниченных областях. В § 5.2 приводятся необ-
ходимые определения и некоторые результаты, как правило, под-
готовительного характера. Параграф 5.3 посвящен доказательству
априорных оценок для общих регулярных эллиптических опера-
торов в рамках Ар-теории. Это один из основных результатов
главы. В § 5.4 излагается Ар-теория регулярных эллиптических
операторов, причем обсуждаются как однородные, так и неодно-
родные граничные задачи. Используя теорию интерполяции, мы
получим затем в § 5.5 более общие результаты. Наряду с априор-
ными оценками теоремы этого параграфа представляют собой наи-
более важные результаты главы. В § 5.5 рассмотрены некоторые
специальные вопросы, нужные для дальнейшего. Заключительный
§ 5.7 служит дополнением к §§ 5.4 и 5.6. В частности здесь изу-
чаются регулярные эллиптические операторы в весовых простран-
ствах Гёльдера и Соболева —Бесова.

5.2.	РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

В этом параграфе определяются основные понятия теории
регулярных дифференциальных эллиптических операторов и
дается постановка соответствующих граничных задач. Кроме того,
выводятся некоторые следствия из определений, необходимые для
дальнейшего.

5.2.1.	Определения

Хотя некоторые из нужных нам определений были уже даны
в п. 4.9.1, мы повторим их здесь вновь.
Определение 1. Пусть Q есть либо Rn, либо ограниченная
область класса С™ в Rn. Дифференциальный оператор А, задавае-
мый равенством

Аи = У aa(x)Dau,	(1)

|а| ^2т

называется собственно эллиптическим, если

а(х,%) = аа (.х) |а=#0 для всех	и всех

|а | = 2пг

х е Q	(2)

и если для любой пары линейно независимых векторов £ е
т] е Rn и для любого хеЙ многочлен а(х, £ + тт|) от комплекс-
ной переменной т имеет в точности т корней т^(%; g; y]) с поло-
жительной мнимой частью (и, следовательно, в точности т кор-
ней %k с отрицательной мнимой частью). Здесь аа (х) — бесконечно
дифференцируемые комплекснозначные функции на Q. В случае
Q = Ri функции аа(х) суть константы. Положим

а+ (х; В, т]. т) = (т — т£), ar (х; g, т], т) = fj (т — т*).
k=l	k=\

Замечание 1. Это определение по существу совпадает
с первой частью определения 4.9.1. Дифференциальный опера-
тор А, задаваемый равенством

Лц = aa(x)Dau,	(3)

|а|</

называется эллиптическим (в Q), если

У аа (х)	0 для всех 0 g s Rn и всех х е Q. (4)

|а| = I

Здесь Q — произвольная область в Rn. Порядок оператора / не
предполагается четным. Однако, как нетрудно видеть, при п^З
он будет четным по необходимости. Для того чтобы показать
это, фиксируем х ей и рассмотрим пару линейно независимых
векторов I е Rn и т] е Rn- Многочлен

У, аа(х)(х+%т])“	(5)

|а| — /

от комплексной переменной X, очевидно, не имеет вещественных
корней. Пусть т — число корней с положительной мнимой частью.
Если вектор £ фиксирован, а г] меняется непрерывным образом
(оставаясь линейно независимым с £), то корни многочлена (5)
также Изменяются непрерывно и потому число корней с положи-
тельной мнимой частью остается все время равным т. В случае
вектор т] можно непрерывно перевести в —т), сохраняя

линейную независимость с £. Следовательно, многочлен
У аа (х) (£ — Хт]) также имеет т корней с положительной мни-
|а|=/

мой частью. С другой стороны, очевидно, что этот многочлен
имеет в точности 1 — т корней с положительной мнимой частью
(это просто корни многочлена (5) с отрицательной мнимой частью).
Следовательно, т = 1 — т, а значит / = 2т, т. е. / четно. Для
п = 2 это утверждение неверно. Контрпримером может служить
оператор Коши — Римана

Л ди . . ди

Аи = -^—Н-д—,
дх! 1 дх2

который является эллиптическим в указанном выше смысле. Вто-
рая часть определения, а именно предположение, что порядок
эллиптического оператора есть четное число, 2m, а также то,
что число корней с положительной мнимой частью многочлена
а(х; ^ + тт]) равно т, называется корневым условием. Приведенное
выше рассуждение показывает, что при корневое условие
для эллиптических операторов выполняется автоматически. Заме-
тим еще, что эллиптический оператор называется равномерно эллип-
тическим в й, если существует число с>0, такое, что для всех
ХЕЙ

2 Mx)?*	(6)

|а| = /

Аналогично можно определить равномерную эллиптичность в Й.
Для наших целей различие между эллиптичностью и равномерной
эллиптичностью несущесгвенно: в случае когда й— ограниченная
область класса С00, условие (2) совпадает с условием (6) для
/ = 2т и хей. В случае же Q = мы будем рассматривать
лишь операторы с постоянными коэффициентами.

Определение 2. Пусть Q — либо либо ограниченная
область класса С°° в Rn и пусть Bj, /=1, ..., k, — дифференци-
альные операторы на дй, задаваемые формулой1

(Bju) (х) = 2 bf.«(х) Dau (х), bh a (x) e C°° (дй),	(7)

|a \ ^mj

причем bjta считаются постоянными в случае Q = Rn. Набор
называется нормальной системой, если

G^m1<,m2<.-.-<.mk	(8)

i Ниже С°° (dQ) обозначает множество всех бесконечно дифференцируемых
комплексных функций на д&
и для всякого нормального к вектора vx, хедй, выполнено
условие

fy.a W v*^=0,	/ = 1, .. . ,	(9)

|а | = ту

Замечание 2. Это определение по существу совпадает с опре-
делением 4.3.3/1.

Определение 3. Пусть Q — либо Rn, либо ограниченная
область класса С°° в Rn, и пусть А —собственно эллиптический
дифференциальный оператор в смысле определения 1. Пусть, далее,
{В/}7=1 — набор дифференциальных операторов на dQ, определен-
ных формулой (7), где —константы в случае Q = Rn. Набор
называется дополнительной системой по отно-
шению к А, если, какова бы ни была точка xedQ, для соответ-
ствующего нормального вектора vx и для любого касательного век-
тора %х=£0 к dQ в этой точке многочлены

bj(x-, L4-TV^)= у, 6/,a(x)(L + Tvx)a	(10)

la |=m;.

от переменной т линейно независимы по модулю а+(х; %х, vx, т)
(где а+ — многочлен, введенный в определении I)1.

Замечание 3. Это определение по существу совпадает со
второй частью определения 4.9.1(b). Многочлены fy (х\ Lc + tv*),
/=1, т, где хейй, а 1-х и vx фиксированы, называются
линейно независимыми по модулю а+(х\ %х, vx, т), если равенство
т

У, Cjbj(x-, lx + %vx) = P(%)a^(x\ lx, vx, т),	(11)

где с19	^ — комплексные числа, а Р(т) — многочлен от т,

выполняется тождественно по т лишь в тривиальном случае =
== с2 =... = ст = 0. Естественно возникает вопрос, что будет, если
в определении 3 заменить многочлен а+(х; ^х, vx, т) на
а~(х; %х, vx, т). Из равенства а(х, £ + тт]) == а (х, — & — тт|) выте-
кает, что

а~(х-, — g, т], — т) = (— l)ma+(x; Jj, т), т).	(12)

Отсюда легко следует, что замена а+(х; %Х9 vx, т) на а~(х; %х, vx, т)
не приводит ни к чему новому. (Если ^ — касательный вектор,
то и вектор —%х тоже.)

Определение 4. Пусть £1 — либо Rn, либо ограниченная
область класса С°° в Rn. Набор, состоящий из дифференциала

1 См, подстрочное примечание на стр, 416, — Прим, перев.
ного оператора (1) и граничных операторов (7), называется ре-
гулярно эллиптическим, если

(а)	оператор А является собственно эллиптическим (определе-
ние 1);

(Ь)	набор {В/}7=1 образует нормальную систему (определе-
ние 2), причем

mf 2т — 1,	/ = 1, ..., т;

(13)

(с)	набор {В;}7=1 образует дополнительную по отношению к А
систему (определение 3).

Замечание 4. Приведем интересный и важный пример.
Пусть — функция класса С°° на dQ со значениями в Rn. Пред-
положим, что векторы не касаются dQ. Пусть А — собственно
эллиптический дифференциальный оператор и k — фиксированное
число, k — 0, 1, ..., т. Тогда набор {В;}7=ь где

2 bi.<A№u, bha(x)<=C«>(dQ),	(14)

является нормальной системой, удовлетворяющей условию допол-
нительности из определения 3 (как и раньше, a — константы
в случае Q = Rh). Следовательно, набор A, Blt ..., Вт регулярно
эллиптичен. В случае k = 0 это немедленно следует из (11), так
как многочлен в левой части равенства (11) имеет степень m—1.
Пусть k 1. Для фиксированного /ей каждое слагаемое
в левой части (11) содержит множитель (cxx-\~dx)k. Здесь сх и
dx — вещественные числа, причем сх=^0. Но а+ не имеет вещест-
венных корней, следовательно, Р (т) делится на (cxx + dx)k. Поде-
лив обе части (II) на (cxx + dx)k, мы возвращаемся к случаю

k = Q. Граничные системы	удовлетворяющие условию

дополнительности для всех собственно эллиптических дифферен-

циальных операторов, рассматривались у Хёрмандера [1] (см. также

Агмон [2]). Особый интерес представляют операторы В, и =
gk+j-iu	о	y-г и л

= ь_г-.—т, где vx — нормальный вектор. При k = v мы получаем
ду*"1-/	1

задачу Дирихле (см. также замечание 4.9.1/3).

Замечание 5. * Подробные ссылки на литературу можно
найти у Лионса и Мадженеса [2 1] и Березанского [1], поэтому
мы ограничимся самыми краткими указаниями. Основные понятия
(корневое условие, условие дополнительности) восходят к Лопа-
тинскому [1], Шапиро [1], Шехтеру [2], а также Агмону, Дуглису
и Ниренбергу [1 I]. Определение нормальной системы было дано
в работе Ароншайна и Милгрэма [1].
5.2.2. Эллиптические операторы

Всюду в этом пункте А обозначает собственно эллиптический
дифференциальный оператор

Аи = aaDau

I а | = 2/п

с постоянными старшими коэффициентами. Обозначения а(1) =
= а(х, |), а+($, г], т) = а+(х, g, -ц, т), tr(g, т], х)=а~(х, g, т], т)
и ть %k имеют тот же смысл, что и в определении 5.2.1/1. Мы
докажем здесь некоторые утверждения, носящие подготовительный
характер. Пусть g = (^,	0) = (g', 0), g'	и rj =

= (0, ..., 0, 1). Соответствующие корни уравнения а (g + тг]) обо-
значим через (£') и T£(g').

Лемма 1. (а) Существуют положительные числа сг и с2,
такие, что

|/тт±(Г)|^с2|Г|.	(1)

(Ь)	Справедливо равенство
т	т

*)= П (T-^G'))= S	(2>

k = \	k = Q

где a± (g) — аналитические функции от g' g'=#0. Кроме
того,

ь>°-	(3)

(с)	Справедливо равенство

а-(-%, т) = (—l)^a+(g', т).	(4)

Доказательство. Если |g'| = l, то (1) очевидно. Далее,
а(1 + тг]) = 0 тогда и только тогда, когда a(Xg + A/vq) = O для всех
вещественных Ху=0. Отсюда следует справедливость соотноше-
ний (1) (в общем случае), (3) и (4) (для доказательства (4) надо
положить А = —1). Наконец, аналитическая зависимость a^(g')
от g' =# 0 — классический факт из теории функций комплексных
переменных. [Дадим краткое доказательство этого факта. Прежде
всего хорошо известно, что корни (g') непрерывно зависят от
g'#=0. Поэтому xi(g') (соотв. r£(g')) будут лежать в верхней
(соотв. в нижней) полуплоскости, если g' имеет комплексные коор-
динаты с малыми мнимыми частями. При фиксированных gv..., gn_2
уравнение a(g, т) = 0 (левая часть — многочлен от gn_x и т) опре-
деляет некоторую алгебраическую функцию. Из теории функций
комплексных переменных известно, что элементарные симметри-
ческие функции корней (£') (соотв. x~k (£')) аналитически
(= голоморфно) зависят от ^_х. Но эти функции совпадают
с а[ (£') (соотв. с ai (£')). Следовательно, at (£') (соотв. аТ (£')) ана-
литичны по каждой переменной £х, ..., gn_x в отдельности. Но
функции, аналитические по каждой переменной в отдельности,
аналитичны и по совокупности переменных. Последнее устанав-
ливается применением интегральной формулы Коши (из теории
функций одной комплексной переменной) по каждой переменной

..., £„_х в отдельности.]

Лемма 2. Пусть 1 < р < оо, s — произвольное вещественное
число. Тогда норма

эквивалентна норме пространства

Hsp+m(Rn)(\{f\f^S' (R„), (W', У = 0,

а норма

эквивалентна норме пространства

ЯГт(^)П{/|/е5'(7?л), О(Г, U = 0, |g'|<l}.

Доказательство. Применяя теорему 2.3.3, получаем

Hp(Rn)
~||^(l+l?i2)s/2^(r, h)Ff\\Lp(Rny (5)

Пусть ф (0 — бесконечно дифференцируемая функция на [0, оо),
причем

ф(0 = 0 при О t 1 /2 и ф (/) = 1 при l<U<Coo.

Пользуясь свойствами функции а+ (£', £л), описанными в лемме 1,
легко показать, что функция

(i+iai2)572^^, Цф(1У I)	z6)

(l + |g |2)(s + m)/2	' '

удовлетворяет условиям теоремы о мультипликаторах Михлина —
Хёрмандера, сформулированной в замечании (2.2.4/4) (заметим,
что в силу своей аналитичности при | g' |	0 функция at (£') =

= | |*а£(|'/| В'I) обладает нужными дифференциальными свой-
ствами). Пусть f <= Нр+т (Rn) и (Ff) (!', |„) = 0 при j g' | < 1. Тогда
Ff в (5) можно заменить на <р (I |) Ff. Применение теоремы о муль-
типликаторах дает

НР Гп)

с IF-1 (1+1 g |2) Ff |Lp (Rf} < с' И Ц + >п}

Для доказательства противоположной оценки достаточно прове-
рить, что функция

a+i№^a'. иф(|ё 17

(7)

также является мультипликатором. Из (1) следует, что для
1Г> 1/2

а+(В'-	l + IS' l)m^c'(l+li|2)'n/2. с'>0.

Используя, как и раньше, дифференциальные свойства функции
ofc (£>'), получаем требуемый результат. Итак, первое утверждение
леммы доказано. Второе утверждение доказывается совершенно
аналогично.

Лемма 3. (а) Пусть f^S' (Rn), supp / с: и (Ff) (£', |л) = 0
при | £' | < 1. Тогда

supp F-W (£', g„) Ff <=. Ri.

(b) Пусть f<=S'(Rn), supp/cfo и (Ff)(g, g„) = 0 при | |< 1.
Тогда

supp F-1 [«-(£', gn)]-1 Ff c Rn.

Доказательство. Зафиксируем e Rn-i с ||' |^sl. Из (1) сле-
дует, что функция а+(?', т) аналитична в нижней полуплоскости
{т|1тт<0}. Кроме того, |а+ (£', т) | sgc |т |т. Повторяя теперь
рассуждения шага 1 доказательства теоремы 2.10.3 с заменой
+ |х' l2)1/2)* на а+(|', т), получим утверждение (а). Утверж-
дение (Ь) доказывается аналогично.

5.2.3. Регулярные эллиптические задачи в Ri

Всюду в этом пункте А обозначает собственно эллиптический
дифференциальный оператор

Аи= У, ОаР^и
| а | = 2т

с постоянными старшими коэффициентами. Пусть всюду в опре-
делениях п. 5.2.1 выбрано Q = Ri. Пусть, далее, семейство
где

Biu= У, Ь^аРР-и,
\a\=nij

состоит из операторов с постоянными старшими коэффициентами,
причем набор {Д Blf ..., Вт} регулярно эллиптичен в Rn (опре-
деление 5.2.1/4). Мы докажем две подготовительные леммы. Будем
использовать обозначения предыдущего пункта. Пусть £ =
= Gk, ...,	0) = (g', 0) и т] = (0, ..., 0, 1). Тогда условие

дополнительности из определения 5.2.1/3 означает линейную неза-
висимость по модулю а+(£', т) многочленов

S &/, а (! + "!)“= 5

\а\ = Ш'	1 = 0

(1)

от т. Здесь bjfi (£') — однородные многочлены от степени — I.

В силу свойств многочлена а+(£', т), описанных в лемме 5.2.2/1,
имеем

/Пу	т — 1

У, bj'&jx1 = S b'h +	т)а+(В', т),	(2)

z=o	z-u

где q, (В', т) — многочлены от т при фиксированном В'» а &/, / (В') —
аналитические функции от В'> Bz такие, что

b’i, =	Z(B'). ь>о.

(3)

Установим теперь некоторые свойства функций b'jt /(£'), которые
понадобятся нам в дальнейшем.

Лемма 1. Пусть (b]t i (£'))/ = i..т — матрица, составлен-

1 = 0.т — 1

ноя из описанных выше функций. Тогда

det (&/, /(В'))/ = 1....т ¥=0 при В' =#0-

I = 0....т — 1

(4)

Пусть (а,- / (£'))/= 1... т — соответствующая обратная матрица,
1 = 0,	т-1

а <р (/) — бесконечно дифференцируемая функция на [0, оо), такая,
что ф (/) = 0 при 0^/^1/2 и ф(/)=1 при 1^/<оо. Тогда
функция

су,/(В')(1 + |Г |2Л-')/2ф(1 ГI)

(5)

является мультипликатором Михлина —Хёрмандера в Lp(Rn-i),
1 < р < оо (см. замечание 2.2,4/4).
Доказательство. Используя (2), (5.2.1/11) и условие дополни-
тельности, получаем, что уравнение

djb'hl(l') = O, 1 = 0,	т-1, Г#=0,

7 = 1

имеет лишь тривиальное решение d1==.. .==dm = Q. Это эквива-
лентно соотношению (4). Так как &/,/(£') зависит от £'#=0 ана-
литически, то же верно для определителя (4) и элементов Cjtl(%')
обратной матрицы. Из (3) и правила подсчета элементов обратной
матрицы следует, что

ь>0,

Последнее соотношение и аналитичность fy,z(£') показывают, что
функция

= Chl I \-mi+l (1 +1Г !2Л ~Z)/2<P (I % I)

является мультипликатором (см. замечание 2.2.4/4).

Пусть временно У7' обозначает (п — 1)-мерное преобразование
Фурье относительно координат xlf ..., xn_lf выполняемое над
функциями и (х) = и (xlf ..., xn-lf хп). Таким образом, F' (и (%)) =
= (Fu)Q', хп), g' <=Rn-i-

Лемма 2. Пусть и(х) является сужением на Rn некоторой
функции из S(Rn), и пусть

(Аи)(х)== У 67aDau(x) = 0 при хл^0.

| а | = 2т

Тогда

0)
т — 1

= im> У b'h z а') -4т (F'u) (£', хп) ,	(6)

I ох„	v  п

I = 0	п	хп~°

/ = 1, ..., т.

Доказательство. Применяя F' к (Ли) (х) = 0, хл^0, получаем

2	х«) = о> гДе а' = (“1> •••> «/.-1)- (7)

|а^2т	*’ пЭ*пп

При фиксированном g' е Rn-, это — обыкновенное дифференциаль-
ное уравнение на [0, оо) с постоянными коэффициентами. Его
решения — линейные комбинации экспонент etx*n (быть может,
умноженных на некоторую степень хп, в случае кратных корней
характеристического уравнения). Подставляя е1ХХп в (7), убеж-
даемся, что т должно быть одним из корней тг(О> описанных
в лемме 5.2.2/1. Но (F'u) (£', х„) е S (/Ц и поэтому функция
(f'u)^', хп) ограничена на [0, оо) при фиксированном Это
показывает, что (F'u) (£', хп) является линейной комбинацией
экспонент elXkXn (быть может, умноженных на степень хД Исполь-
зуя тот факт, что (7) эквивалентно равенству

К6’’ т4Не'’

получаем

а+(^’ Т^УР'и^^Г’ х") = о ПРИ	(8)

Здесь а±^,', 4-—многочлены из леммы 5.2.2/1, в которых т
заменено на	Далее, из (2) следует, что

m — 1

S	п

rrlj

= 2 w')

/ = 0

д1

;1 ЯХ1 (F U) (&’ Хп)-

1 ихп

Но правая часть этого равенства совпадает (с точностью до мно-
жителя imi (2л)<п~1)/2) с (F'BjU) (£', хп)- Полагаем хл = 0, и лемма
доказана.

Замечание. Доказательство показывает, что условие глад-
кости, наложенное на и(х), можно ослабить. Достаточно считать,
что и(х) представляет собой сужение на Rn функции w (х), такой,
что

sup (1+|%|2)М 2 |^аш(х)|<оо
x^Rn	|а|<М

(9)

для некоторого достаточного большого натурального числа М.

5.3.	АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ

Целью настоящего параграфа является доказательство априор-
ных оценок для общей регулярной эллиптической граничной
задачи в рамках Ар-теории. Такие оценки могут быть получены
с помощью сингулярных интегралов или же с помощью теорем
о мультипликаторах в /^-пространствах. Изложение первого под-
хода можно найти в фундаментальной работе Агмона, Дуглиса и
Ниренберга [1 I]. Мы выберем здесь второй путь. Ниже мы сле-
дуем статье Аркерида [1].

5.3.1.	Пространства Hpr(R^

Начнем с некоторых предварительных рассмотрений, касаю-
щихся специальных анизотропных пространств лебеговского типа.

Определение. Для 1<р<оо, —оо<$<оо, —оо<
< г < оо положим

НУ(Дп)

= {f|feS'(U ||/7-1(1+1№(1+|Г \2Y'*Ffkp<°°},	(1)

где g =	Ы = (£'» £„) е Ял. Далее, через Hpr(R£) обо-

значим сужение на Ri пространства Нр r (Rn)-

Замечание. В случае г = 0 имеем HSp r (Rn) = Hsp (Rn) (тео-
рема (2.3.3(a)). Следовательно, Нр 0 (Ri) = Hsp (Ri) (см. определе-
ние 2.9.3). Пространства r (Rn) и Нр r (Ri), очевидно, банаховы.
Норма в Нр r (Ri) определяется обычным образом:

НР V*n) g| D+ = f НР У^п)

Лемма. Пусть оператор А, задаваемый равенством

Аи= У, aaDau,

I а I = 2т

является собственно эллиптическим дифференциальным операто-
ром с постоянными старшими коэффициентами. Пусть, далее,
1 < р < оо, — оо<s<оо, — оо<г< оо. Тогда существует число
C>Q, такое, что для всех u^HSpr(Ri)

iUiHS’r(Ri)^C(fAUlHS-2m- Г(^)+11“Ч-1’Г + ’(^)}

Доказательство. Шаг 1. Сначала мы докажем некоторые полез-
ные неравенства. Пусть / и k — неотрицательные целые числа,
k^j. Покажем, что существует число с>0, такое, что для всех
ue=H°’r(R+)

k_у II

^F-41+l^l2)~Fu	<3)
Здесь а, г —заданные вещественные числа. Левая часть (3) не
превосходит

inf

S I»-)+ ==: W



Г(«п)

(4)

Это следует из того, что при g\R+=u

Aj	-—L	Aj	k L

^F-41+i^l2) 2	I2) 2 Fu.

Далее, из определения пространства Hp~k,r(Rn) и стандарт-
ных свойств мультипликаторов (замечание 2.2.4/4) вытекает, что
(4) оценивается сверху правой частью неравенства (3). Тем самым
(3) доказано. Рассуждая аналогично, можно доказать, что

I! г /о+\ с ilи 11я<у— 1, г +1 / +ч	(5)

|a| = fc	НР \Rn)	Нр	(*п)

О, k)

И

HF-1 (1 +1£' |2)и/2 Fu|l a, r = f a || a, г+и	(6)

hP V*n)	Ир V*n)

где x произвольно.

Шаг 2. Докажем (2). Заметим прежде всего, что для опера-
тора Ja, задаваемого равенством

M = F-1(t?n-(l+l^l2)1/2)a^.	—oo<a<oo, (7)

свойства изоморфизма, описанные в замечании 2.10.3/3, справед-
ливы (по тем же соображениям) и для пространств HSpr (Rh), где
г фиксировано. В частности,

11 “ Чг И)~11 Jwitl Ч~ 2т’r (Rn) ’	(8)

Используя определение J2m, неравенство (3) при k = 2m— 1 и
равенство (6) при и = 1, получаем
Так как оператор А эллиптичен, коэффициент а(0....о, 2m) отли-

чен от нуля. Следовательно,

^ = сАи+ 2	С“№-

п	| а | = 2т

а 7^(0.О, 2т)

Подставляя правую часть этого равенства в (9) и применяя не-
равенство (5) при k = 2m, приходим к (2).

5.3.2.	Априорные оценки [Часть I.

постоянные коэффициенты, задача Дирихле]

Лемма. Пусть оператор А, задаваемый равенством

Аи = У а^А^и,	(1)

; а | — 2т
является собственно эллиптическим дифференциальным операто-
ром с постоянными старшими коэффициентами, и пусть 1
<оо. Тогда существует такое положительное число с, что для
всех функций и, удовлетворяющих условиям

u(=Hp(Rn), supp WGZ 7%, (Fw)(g', |n) = 0 при | g' | <1, (2)
где £ = (£i,	£я-1, &) = (%', М e Rn, выполняется неравенство

IIu iR+\^c^u /p+v	($)

Hp \Hn)	np \t<n)

Доказательство. Очевидно, что f = Au e (Rn)- Восполь-
зуемся теперь методом продолжения, описанным в лемме 2.9.3.
Так как supp/cz7?n, то

(€/) (*)=/(*) + 2?S2 b/f (*'> -	(4)

/=1

®^=?-	<5>

Здесь bj — подходящие коэффициенты, определенные в доказатель-
стве леммы 2.9.3. Поскольку

(/7Ж ln) = (FAu)g, U = 0 при |g'|<l,	(6)

то мы получаем

га(ГЛ„) = 0 при |Г1<1.	(7)

Из утверждения (а) леммы 5.2.2/3 следует, что

[F-1a+ (£', У Fu] (%', х„) = 0 при х„ < 0.	(8)
Используя включение supp (Аи — @/) с Rn и равенства (6) и (7),
заключаем на основании утверждения (Ь) леммы 5.2.2/3, что

&,)Fm](x', x„) = c[F-1(tz-(^, £„))-*FAu](x', xn)
= c [F-1 (ar (£', У)-1 F&f\ (x', Хп) при xn > 0.	(9)

Отсюда вытекает неравенство

ln)Fu\\Lp(Rn)^clF^[ar(l', UPF&fЦ,(яя). (10)

Равенство (7) и лемма 5.2.2/2 дают

Н Р \^п)

н т (Р \
НР (Нп)

Теперь (3) следует из (5).

Теорема. Пусть А — собственно эллиптический дифференци-
альный оператор (1), и пусть 1<р<оо, s = 0, 1, 2, .... Тогда
существует положительное число с, такое, что для всех и е

|w|l«;+s(^)
т — 1

7m+s(«i)

вр. р

(11)

(«»-!)

Доказательство. Шаг 1. Сначала
предыдущей леммы. Пусть

и е H?+s’r (Rn), ^-(х', О) = о

(Fu)(lr, U = 0 при |В'|<1-
Мы хотим показать, что для s = 0, 1,

мы обобщим утверждение

при / = 0,	, m— 1, (12)

(13)

2, ... и неотрицательных г

нр

(«»)’

(14)

f_ _ Р

нГ’’ГН)

Для s = 0 и г = 0 эта оценка совпадает с (3), так как значения
и(х', хп) при хп<^0 роли не играют. Докажем (14) для s = 0 и
г>0. Пусть функция и удовлетворяет условиям (12) и (13) при
s = 0. Рассмотрим функцию

g = F-'(l +| % \2)r/2Fu.

Легко видеть, что

g^Hp(Rn), -^-(х', °) = ° ПРИ / = °......т-1,

(Fg)&, U = 0 при Ig'ICl.
Используя (5.3.1/6) и (3), получаем

11 и I;-г («а=11 ё (r+) <с

= с||F-1(1 +1I' |2Г2 FAu II т =с\ Au II т, г (15)

Ир \кп)	Н р	(Кп)

Тем самым оценка (14) доказана для s = 0 и г 2^0. Применим
теперь индукцию по s. Пусть (14) верно при некотором фикси-
рованном s (s = 0, 1, 2, ...) и всех г^О. Пусть, далее, функ-
ция и удовлетворяет условиям (12) и (13), где s следует заме-
нить на s+ 1. Тогда и принадлежит пространству H™+s’r+1 (R„).
Лемма 5.3.1 дает оценку

II «	+ s +!,	< С (II AU ||Hs+1 - т, г	+II U ||^+s, ,+!

Применяя (14), получаем

II U lHm + s+ 1. г С(|| AU ||я,+1 _т, г + 1Аи г+ ]

Но последнее слагаемое можно оценить сверху нормой
| Ли|| s+1-от,,. .. (это следует из (5.3.1/6) и (5.3.1/3)). Тем самым

Ир	\°п)

оценка (14) доказана.

Шаг 2. Освободимся теперь от ограничения (13). Пусть функ-
ция и удовлетворяет только условию (12) при г = 0, и пусть
<р (0 — бесконечно дифференцируемая функция на [0, оо), такая,
что

<р(/) = 1 при Osg/sgl и ф(/) = 0 при 2sg/<co.

Рассмотрим функции

«о(х) = Р-1ф(|5'|)^« и «iW = F-1(l -<Р(Н' |)И«.	(16)

Из теоремы о мультипликаторах (см. замечание 2.2.4/4) вытекает,
что функции и0(х) и и^х) удовлетворяют условию (12) при г = 0.
Так как для функции щ^х) выполнено также условие (13), мы
можем7применить к ней оценку (14). Следовательно,

11Ы1 Ч+т (*п) с 11AU1 l”7m+s («А)

= c||F_1(l — <р (| Г |))Л4«|| m+s
НР (Нп)

Проводя те же рассуждения, что и на шаге 1 леммы 5.3.1, по-
лучим

®U1 ’я*+т (R+) С11А и ^7 т+s (r+) •	(17)

Для оценки нормы и0(х) воспользуемся свойством изоморфизма
оператора Jo (см. формулу (5.3.1/7)), указанным в начале шага 2
доказательства леммы 5.3.1:

II и0 II^S +т	= II Js+mU0 11^	= II 1(P (+ I) F js+mU	(R+y

Пусть V (%) = (Js+mu) при хл>0 и y(x) = 0 при хл<0. Тогда
(/?-1Ф (| g' |) Fv) (х) = 0 при хп < 0. Отсюда следует (вновь исполь-
зуется теорема о мультипликаторах), что

I «О HHs + т	= И^Ф (I I) Fv Ьр(«п)

_ IIF-1 O + IE' 12)1/аФ (I г I) Fv I

II (1 + 'Н2)1/2 1|ьр(Лл)
^C||F-41+ir |2)-1/2^+m«|lLpW.

Равенство (5.3.1/6), свойство изоморфизма оператора Js+m и оценка
(5.3.1/2) дают

11 U° 11 HS + m(R+n)	^Sp+m- (Л+)

£ (|| А и Ия$ —m, —1	+11 и —1

с (|| Аи	+ Ии 1'//р+т—1 (я+)^’

Наконец, из (17) и (18) получаем

11 U ^HSp+m(Ri) С Аи ^-т (r+) +11 “ Ц+т-1 (/?+))	(19)

для функций и, удовлетворяющих условию (12) с r = 0; s = 0, 1,
2, ....

Шаг 3. Докажем теперь оценку (11). Пусть пе Яр+s (/?„).
Тогда, как следует из теоремы 2.9.1,

д£(х', 0)^B^+ps-/-i/p(Rn-1),	/ = 0, ..., т-1.

Эта теорема показывает также, что существует функция
е Яр+s(/?i), такая, что

дЛ(х', 0)=^(х', 0),	/ = 0, ..., т-1,

’ дх'пу

пг — \

। ° К) *с 2 g <"'•0) IU+'

Применяя оценку (19) к разности u — v, находим, что

11 и	+s №)	11 “_ v++s му+11 v Ц+т (^)

ри-Av lHs-m (RJ) + II и - V ||яз+т- 1(R.} + II v ^Sp+ т {R^.

(20)
v е

(21)

(22)
Воспользуемся теперь оценкой || Av j s_m	ко-

Ир (fin)	нр (fin)

торую можно получить с помощью тех же рассуждений, что и на
первом шаге доказательства леммы 5.3.1, а также соотношений (21)
и (22). Мы получим

С ('I А“ lHS~m (*л+) + ’U ^р+т~1+ J V Ч+т №))

(т — 1	\

М«ь_т + У m,s , 1/D

HP (^)	,^0 II дх'п \\Bm+S-i-l/p	Нр (Rn)J

чем неравенство (11) и доказано.

5.3.3.	Априорные оценки [Часть II. R„,
постоянные коэффициенты, общая граничная задача]

Теорема. Пусть набор A, В„ ..., Вт, где

Аи= У, aaDau, 13/11= У, b/raDau, /=1, ..., т, (1)
|а| = 2/п	|а| = тг.

— дифференциальные операторы с постоянными старшими коэф-
фициентами, регулярно эллиптичен в Rn в смысле определения
5.2.1/4. Пусть, далее, 1 <р<оо, s = 0, 1, 2... . Тогда сущест-
вует положительное число с, такое, что при всех u^W2rn+s (Rh)

|| U 11^2/n+s^
/

С /1| Ди || s / +х + 2 II (BfU)(X , 0)11 2m + s — т — 1/р
\ wp(fin)	Врр 7 (Rn-i)

+ |lM|r2n, + s-l(/?J)y	(2)

Доказательство. Шаг 1. Пусть w — сужение на Rn функции,
удовлетворяющей условию (5.2.3/9) с достаточно большим М.
Пусть (Доу)(х) = О при хп^0 и

(F'№)(%', х„) = 0 при |Jj' |<1 и хп^0,	(3)

где F' обозначает (п—1)-мерное преобразование Фурье, описан-
ное в начале доказательства леммы 5.2.3/2. Из этой леммы вы-
текает, что (в обозначениях леммы 5.2.3/1)

О) = С	1 = 0,..., т-1.
Следовательно,

ГП —1

Pm + s — l—l/p
P, P

Z = 0

т — 1

Z=0 II

tn — 1 tn

2m-bs —Z—1/p
tip, P	Г/г-1)



Мы хотим применить теперь лемму 5.2.3/1. Так как функции
(5.2.3/5) являются мультипликаторами в Lp(Rn-A> то они будут
мультипликаторами и в H*(Rn--A> а значит (интерполяция) и
в	Далее, в силу (3), (F'BjW)^, хп) = 0 при |£'|<1

и %/г^О. Применяя лемму 5.2.3/1 с (/?„-!), замененным на
5p?p+s”"z"”1/p(^n-i), получаем

ГП— 1

X |?7(< °)|

tn — 1 т

S S ll^a+l I	Q)\\.m+s^xip

1 = 0 /=1	tip'P	(К/г-1)

tn

с' 2 II (Д/^) (х\ 0) || 2т-Н — т-— \/р R •	(4)

/=1	Р,Р	\кп-1)

). Пусть и е о (Rn)- Воспользуемся разложением

В последней оценке использовано свойство изоморфизма, описан-
ное в теореме 2.3.4.

Шаг 2. Докажем оценку (2). Достаточно рассмотреть сужения
на Ri функций из S (Rn) (это следует из того, что образ про-
странства S(Rn) при отображении сужения плотен в Wpm+S (/?«),
а правая часть неравенства (2) может быть оценена сверху нор-
МОЙ

(5.3.2/16). Очевидно, что F и F~* можно заменить на F' и F'-1
соответственно. Применим теперь оператор продолжения S, опи-
санный в доказательстве леммы 2.9.1/1, причем фигурирующее
там число N выберем достаточно большим. Пусть

v^^F-^^FlSAu^.	(5)

Здесь а (|) — многочлен, определяемый оператором Л, как описано
в п. 5.2.2. Учитывая явный вид оператора S (см. формулу
(2.9.1/4)), получаем

v (х) =	(g) F [SF'-1 (1 - ф (I Г I)) F'Au\

= F^cr1 @ FF’-1 (1 - ф (| Г I)) F'SAu

= F~1a~1^)(\—y(\l,''\))FSAu

=	-ф(|g'I))F’F-1^1 (|)ф(Г)FSAu.	(6)

Здесь ф (£') — какая-нибудь бесконечно дифференцируемая функ-
ция, равная нулю в начале координат и единице на носителе
функции 1 — ф (| |). Функция SAu удовлетворяет неравенству
(5.2.3/9) при некотором /И, зависящем от N (см. (2.9.1/4)). То же
верно и для FSAu, быть может, при другом значении М. Это
следует из несложных вычислений, проделанных, например,
в работе Трибеля [17, стр. 99, формула (10.6)]. Таким образом,

sup (1 + |x|2)M У, (х) | < оо,
xeRn	]а\ = М

(7)

где М зависит от /V, причем М (/V) -> эо при N -> оо. Далее, равенства
(5) и (6) дают

(Ао) (х) = (Ли,) (х) при хп Эз 0,	(8)

(F'u)Q',xn) = 0	при |£'|<1.	(9)

Положим w = ux — v. Ясно, что (7) и (9) остаются справедливыми
при замене v на w и что

(Дш) (х) = 0 при хп S& 0.

Поэтому оценка (4) верна и для функции w. Следовательно,

s + 2m—Z—1/р
ВР. Р	(кп-1)

I s + 2m-l-l/p

ВР, Р	(кп-1)

s+2m-l-t/p

Р. Р	(кл-1)

с 2 I (Bjw) (х’> 0) lB2m + s —т- —1/р	Ч-сЦиЦ^ + гт/ +.

/=1	р, Р	+ //-1/	Р

т

g Jj li	0) J 2/n + s-/n —1/р

/ = 1	р, р	\*п-М

т

+ с£} ||(В/Ц)(х', 0)11 2m+s-m-1/р	+ С | О |Vs+2m (д+)

/=1	р, р 7	С7'/г-1)

т

^С' S	\\	1/р	) +^11^11^+2/71 (R+y (10)
Используя (6) и соотношение а (£) ~ | g \гт, получаем
=С^Гр+2'"(Яп)

В последней оценке мы воспользовались свойствами оператора S.
Теорема 5.3.2 и оценки (10), (11) дают

11U1 ^2pm + s (fin) С (“ AU111 Wp (fit.) + 11 Atl 4 (^)

+ II II 2m+s— 1 / n+\ + II (X » 0)|( 2m + s—m. —1/p „	).	(12)

WP	\Rn) /==i	aPtP f (к/г-1Г

Проведенные выше рассуждения показывают, что в правой части
последнего неравенства можно заменить иг на м:

IIАи' II II (1 - Ф (I Г I)) FfSAu II s
wp\Kn)	wp\Kn)

равно как и в соответствующей оценке для нормы || щ |

2m+s-1(^)}

Для последнего слагаемого в правой части (12) это вытекает из
того, что функция 1 — <р (11' |) является мультипликатором в про-
странствах Вр, р (Rn-i), как было упомянуто в конце первого
шага. Следовательно,

« II r2- + s (Л+) С (II Лм Ц (/ф + « « II + « (Л+)

+ 5	0)llB2m + s —ш —1/р „	\	(13)

/== 1	р, р	* п-1)/

Для м0 можно применить оценку (5.3.2/18) с заменой Нр+т (Ri)
на Wsp+2m (Ri). Так как и = и0-\-и1> мы получаем неравенство (2).

5.3.4.	Априорные оценки [Часть III. Ограниченная область,
переменные коэффициенты, общая граничная задача]

Теорема. Пусть Q — ограниченная область класса Ст, а на-
бор А, Вх, ... Вт регулярно эллиптичен в смысле определения
5.2.1/4. Пусть, далее, 1<р<;оо и s = 0, 1, 2, .... Тогда суще-
ствует пара положительных чисел сх и сг, таких, что при всех
и <=W2pm+s (Q.)

C1 IIм 11 r2m+s <й)	।Аи 11 wsp w + i! u UP<°>

т

+ 2j II Fjtl || 2m + s-m .-l/p d ^2 ll u II П72,« + Ъор 0)
у-5-J	^P	'	(t/M)	w p
Доказательство. Шаг 1. Второе неравенство (1) следует из
теоремы 4.7.1.

Шаг 2. Для доказательства первого неравенства мы построим
_ N

разбиение единицы. Пусть Q= |J /Q, где /Q — достаточно малые
/ = 1

открытые шары, и пусть гр7 (%) е С™ (Кф,

N

О^гр,- (х)	1, / = 1, ..., Л/, и У, % (х)=1 при всех

/=1

ХЕЙ (2)

(см. шаг 3 доказательства теоремы 3.2.2). Предполагается, что
шары К/, для которых dQftKj =£ ф, удовлетворяют условиям,
указанным в определении (3.2.1/2). Рассмотрим сначала те шары,
для которых Л) П dQ = 0. Пусть и е (Q). Тогда гр7и е
е Wpm+s (Rn). Пусть л/ обозначает центр шара Kj. Используя
эллиптичность и свойства многочленов a(xJ‘, £) (определение
5.2.1/1) как мультипликаторов, получаем

= ||%U||uz2m + S(^)

с II F-'a (Xi, I) F^u II U7s {Rn) + с II

2 aa(xi)Da^ju\\ +CII%WU/Я X
Illal=2m	p( n)

< c 1 A'fyu || s + c 2 || (aa (x) - aa (x>)) D“tyu ||
"'Г141	|a|=2m	p

+ °	Й йа W D^JU " WPW + C"	“ lt7>’

Если диаметры шаров Kj достаточно малы, то второе слагаемое
в правой части можно заменить на е || xpzu || ^2/n+s Q), где е —малое
положительное число. Третье же и четвертое слагаемые можно
заменить на с'||г|уи|| 2m+s-i • Это дает оценку

UZ р	(Q)

№'Ы 11 ^+s(fi>	С11 А^и 11 w*p (С) + с«U I1 ^+s- ’

Так как А^}и==^Аи +(члены, содержащие производные меньшего
порядка), то аналогичное рассуждение приводит к оценке

||гр.-и|| 2m + s	s +c||u|| 2m-l-s—1 .	(3)

II т;	^Э(Й)	°	"W'p(Q)	11 "wp	(Й)*	v 7

Шаг 3. Рассмотрим теперь случай, когда	ф. Тогда

в соответствии с определением 3.2.1/2 мы имеем взаимно-одно-
значные и в обе стороны бесконечно дифференцируемое отображе-
ние у(х) пересечения Q Г1 /Q на некоторую область со в Rn, такое,
что образ дЙ П А/ составляет кусок гиперплоскости {у\уп = ^}*
Пусть снова и (х) е W2pm+s (й) и функция ф7(х) та же, что и
раньше. Будем обозначать штрихом переход от функций и опе-
раторов на Й к функциям и операторам на со, осуществляемый
посредством указанного отображения. Итак,

(А^М)' (у) = А'Ц)/ (У) и' (у) = U аа (у)	(у) и' (у),

I а | 2т

у <=&,	(4)

(Btyu)' (у) =	(у) и' (у) = 2 Ь‘. ₽ (У) Df4/ (^)«' (У)-

у(=да, уп = 0.	(5)

Предположим для простоты, что 0 е dQ и что 0 является цент-
ром некоторого шара Kj (в дальнейшем / фиксировано). Предпо-
ложим, далее, что вблизи начала координат граница дй предста-
вима в виде

xn = f(xv .... x„_x), /(0) = 0, ^(О) = о

при k=i, .... п — 1.

Тогда отображение у(х) описывается в координатах так:

yk = xk для k = 1, ..., п - 1,

Уп ~ %п f > • • • > Xп-1) •

Очевидно, что матрицей Якоби этого отображения в начале коор-
динат служит единичная матрица. Имеем а„(0)=аа(0) при |а| =
= 2т и b'it р (0) = blt р (0) при | 0 | = mt. Следовательно, набор опе-
раторов А», В'в, ь ... B'Ot т, где

A'oV(y)= 2 a&(0)Dav(y),

| а | = 2т

Biiv(y)= Л bt, p(0)D₽o(z/), l=\,...,m,
iPI = mz

регулярно эллиптичен в Rn в смысле определения 5.2.1/4. По
теореме 5.3.3

+ II ^0,/СФ/И') (У , 0) Lsm + s — m — 1/р р .
р, р

+ ]|ФХ||г2т + 5-1(^^.	(6)
Будем снова считать, что диаметр шара Kj достаточно мал.
Используя технику оценок шага 2, после возвращения на Q
получи м

“ 'И11 <+s W	с 11 АЧ (Я) + е 11	11<+5 (а>

“Ьс 2 II B^JU |ifi2m + s —m;.— !/Р(бй) “Ь е II 1I’/M ilB2m + s — 1/р

+ d%«L2,n + s-l-l/n ,о 4-Ci|%M|| 2,n + s-l	(7)

Dpt p	(C/idJ	W p

Здесь 8 и e' — произвольные положительные числа, зависящие от
диаметра шара К/. Далее, справедлива оценка

ll^llB2m + s-l/p (dQ)^C\\^U\\w2rn + sw-

Выбирая 8 и б' достаточно малыми и используя равенства

A^jU = tyjAu + ...,

B^jU = ^BtU + ...,
где многоточие обозначает члены с производными меньшего
порядка, получаем

|I%W II ^2/n + s	с II Au ||	(Q) II	II B^m + s—nij — X/p

+ O||w|(^2/n + s-l (Q)-	(8)

Шаг 4. Оценки (3) и (8) дают

N

II U II U72m + S (Q)^ S II II ^2/72 +s (Q) d Au I (Q)

P	/== 1	P	P

+ C Jj II BlU llB2m + ^-mt-l/p(dQ) + c II и || v2m +s-1 (Q)

I = 1	p • p	p	*

Наконец, используя оценку

|| и || w2m-^s— 1 (Q)	8 II II u/2m + s (Q) "I” C (8) II «£ (Q) ’

приходим к первому из неравенств (1).

Замечание.* Доказанная теорема — один из основных резуль-
татов о регулярных эллиптических задачах. Как уже упоминалось
во введении к параграфу, доказательства всех приведенных в нем
результатов основаны на работе Аркерида [1]. Варианты и частные
случаи последней теоремы доказывались у Агмона, Дуглиса и
Ниренберга [1], Браудера [2, 4], Кошелева [1], Агмона [1] и
Ниренберга [1]. В этих работах главными инструментами служат
теория сингулярных интегралов (см. п. 2.2.3) и (одномерная)
теорема о мультипликаторах из п. 2.2.4. Укажем еще работы
Хёрмандера [1], Шехтера [1], Петре [1, 2], Слободецкого [2—4],
Фейбса и Ривьера [2]. В случае р = 2 доказательства упрощаются.
Систематическое изложение Л2-теории имеется у Лионса и Мад-
женеса [2 I] и Березанского [1]. Отметим также работу Зима-
дера [1], который развил Лр-теорию для задачи Дирихле.

5.4.	Lp-ТЕОРИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА

Классическая Lp-теория для обобщенных регулярных эллип-
тических задач была развита в конце пятидесятых и начале
шестидесятых годов. В п. 5.3.4 было дано доказательство одного из
основных результатов этой теории — априорных оценок. В настоя-
щем параграфе мы опишем некоторые наиболее важные черты
Lp-теории в пространствах Соболева, необходимые для дальней-
шего.

5.4.1.	Свойства гладкости

Теорема. Пусть Q — ограниченная область класса С™. Пусть,
далее, набор А, Вг, ..., Вт регулярно эллиптичен в смысле опре-
деления 5.2.1/4 и 1 < р < оо, s = 1, 2, .... Если

и 6=	(£2), Au е Wp (£2) и BjU е В‘2™+*-тГХ1р (д£2), (1)

то и принадлежит пространству Wpm+s(Q).

Доказательство. Шаг 1. Будем доказывать теорему индукцией
по s. Предположим, что наше утверждение верно для s—1. Тогда
из условий (1) вытекает принадлежность функции и простран-
ству Wpm+s~1 (£2). Нам надо показать, что и е W2pm+s (£2). Пусть
— разбиение единицы, описанное в доказательстве тео-
ремы 5.3.4. Так как и е Wpm+s~1, то

i|>z« е r2p'"+s~I (Q), А\р(и е Wsp (£2),

Bj^u e B^mts~m>~ '/p (d£2).	(2)

Очевидно, достаточно доказать наше утверждение для ^и. Не
ограничивая общности, можно считать ^и = и. Пусть Ki(}dQ = ф9
где /(/ — шар, в котором содержится носитель функции ф/ (см. шаг 2
доказательства теоремы 5.3.4). Положим для вещественных h и
для k = 1, ..., п

^htkU)(x) = u(x1, ..., xw, xk + h, x*+1, ..., xn),

(Да. ku) (x) = [(тл, ku) (x) - и (x) J j, h #= 0.
Имеем

Л(Да,аи)(х) = ДЛй(Дм)(х)

- У (ДА>Ааа) (х) (/)атА>А«) (х).	(3)

Jal 2т

Предположим, что величина \h\ достаточно мала. Воспользуемся
априорной оценкой (5.3.4/3), заменив в ней и и, соответственно,
на и s на s~l. Мы получим

II II ^2zn4-s — 1 (Q) С || Л Ад, ||	1 (Q)

+ с|| &h,kUl w2m~2-[-s (Q)-	(4)

Мы утверждаем, что правая часть неравенства (4) равномерно
ограничена по h. Ввиду (3) достаточно проверить, что равно-
мерно ограничены нормы ||ДЛ>А,уJ^s-i (Q), v = Au^Wp(Q), и
\\&h,kUlw2m-2+s Q , u^W2m~'+s(QY Очевидно также, что доста-
точно рассмотреть, скажем, первую из них. Если Fk — одномерное
преобразование Фурье по переменной то

1 А/г,Л^ II 1 (Q)

=II . (5)
llll 'k	' Т|Ь|/

Здесь	обозначает норму в пространстве Lp при условии,

что меняется лишь хА, а остальные переменные фиксированы.
Функция — 1)/й£А является одномерным мультипликатором,
причем число В, фигурирующее в замечании 2.2.4/4г не зависит
от h. Это дает оценку

• II 1 (Q) СI I 1 (О> С' М (Й) <	(6)

Тем самым равномерная ограниченность правой части (4) дока-
зана. Банахово пространство ^2/n+s~1 (7?л) рефлексивно (поскольку
оно изоморфно Lp (/?„)), и поэтому из равномерной ограниченности
множества элементов \h,ku следует, что некоторая последователь-
ность Д^^и слабо сходится к какой-то функции w е IFpm+s-1 (й).
т т	u	А	ди	ди

Но с другой стороны, ixhtku-^ Следовательно, —
е^т+5“1(Й). Этим доказано, что и е Wpm+S (Й).

Шаг 2. Пусть теперь 5йр^=#ф. Используя отображение у,
описанное на шаге 3 доказательства теоремы 5.3.4, мы получим
априорную оценку (5.3.4/6) с tyju' и s, замененными на и' и s — 1
соответственно. Далее, с помощью примененной там техники
априорных оценок легко показать, что операторы Д$ и В^>г можно
заменить на Д' и В'г соответственно и записать

|| и' II	4- s- 1(Л+) < с (|| А 'и' |l ws- 1

+	(х', 0)|2m + s—m.,— \ — \!p(R	\

/=1	р-р	\

+ ll^' II w2m+s-2 (#+))•	(?)

Отсюда вытекает, что

и е= Гр'"+5“1(^)> А'и <= W3 * sp(Rn),

В'и	(8)

Если k= 1, ..., п — 1, то мы можем применить метод шага 1.
Заменим в неравенстве (7) и' на \htku'. Мы хотим показать, что
правая часть полученного таким образом неравенства равномерно
ограничена по h. Очевидно, что в равенстве (5) можно заменить
F-1 (1 + | £ |2)(s-W на оператор J(S-d/2, определенный форму-
лой (В.3.1/7). Принимая во внимание свойства изоморфизма опе-
ратора J(S-i)/2, мы видим, что неравенства (6) остаются верными
при замене Q на Rn. Далее, они справедливы также для Q
Интерполяцией получаем, что они выполняются для пространств
BsPt p(Rn-i)- Те же рассуждения, что и на шаге 1, показывают,
что Wpm+s~\Rn\ fe=l, п— 1. Здесь мы используем
тот факт, что пространство W2^n+s~i (/?„) рефлексивно (это следует
из теоремы 2.11.3). Осталось показать, что W2pm+s~1 (Rn).

охп

Оператор До из шага 3 доказательства теоремы 5.3.4 собственно
эллиптичен, следовательно, а! (0....о, 2m) (0) =#0. По непрерыв-

ности это верно и для некоторой окрестности начала координат.
Поэтому

д^и1 . v 1
а'(0..............о, 2т) (У -

X Г (А 'и') (у) -	у	аа (у) Dau (у) 1 <= W р (Rn)

'	L	I a К 2m	J

и, значит, ur e IFpm+s (/?„)• Применяя отображение, обратное
к у, получаем нужный нам результат.

3 а м е ч а н и е. Для последующих приложений полезно указать

одно простое следствие доказанной теоремы. Обозначим через

Wp 10C(Q), / = 0, 1, 2, ..., множество всех тех функций, которые
принадлежат ИРр(со) для любой подобласти со в Й, такой, что
©czQ. Мы докажем следующее предложение: если Л —собственно
эллиптический дифференциальный оператор в смысле определения
5.2.1/1 и если и е Wpm’ 1ос(Й), a Au е loc (Й), где / — натураль-
ное число, то «е^+/’1ос(Й). Пусть феСо°(Й). Тогда

tyu ее W2pm (Й) и А (фи) ее Wxp (Й).

Применяя теорему, получаем, что фи е W2™^ (й), а значит
и е 1ос (Й). Многократное повторение этого рассуждения
дает и е W2™+i'10С (й). Фактически мы использовали здесь не
всю теорему в полном объеме, а лишь сравнительно элементарные
результаты шага 1. В частности, здесь не понадобились сильные
априорные оценки вблизи границы. Доказанное предложение
известно как принцип локального сглаживания.

5.4.2.	Сопряженные операторы (£2-теория)

£2-теория регулярных эллиптических задач проще Lp-теории,
которой мы здесь занимались. Основные трудности в случае Lp
возникают при доказательстве априорных оценок (теорема 5.3).
Можно показать, что все результаты £р-теории (во всяком случае
все те, которые были установлены выше) могут быть получены
из соответствующих Л2-результатов и теоремы 5.3.4. В частности,
так можно было получить теорему 5.4.1, но мы предпочли дать
прямое доказательство. Систематическое изложение Л2-теории,
охватывающее все аспекты, рассмотренные в этой главе, можно
найти у Лионса и Мадженеса [2 I] (см. также Березанский [1] и
Хёрмандер [3, гл. 10]). Для дальнейшего нам будет полезен один
(но не более) результат L2-теории.

Теорема. Пусть Й — ограниченная область класса С™, и
пусть набор операторов 4, В1,...,Вт регулярно эллиптичен
в смысле определения 5.2.1/4. Рассмотрим в гильбертовом про-
странстве Л2(Й) неограниченный оператор Д2, задаваемый соотно-
шениями

£>(Л2) = {ы|ыеГ|'п(£2), В7и|за = 0,

Д2и = Ди. (1)

(Напомним, что D(A^ обозначает область определения опера-
тора Д2.) Тогда сопряженный (в смысле теории гильбертовых
пространств) оператор А* задается соотношениями

£(Л2*) = {и|ие №22m(Q), 6>|de = 0, /=1......т},

А$и = Д*и, (2)
где набор A*, С19 ..., Ст также регулярно эллиптичен. Здесь
А* — собственно эллиптический оператор порядка 2т, a С\,...
..., Ст — подходящим образом выбранные граничные операторы.

Набросок доказательства. Полное доказательство теоремы можно
найти в работе Лионса и Мадженеса [2 I, п. 2.8.4]. Чтобы помочь
читателю лучше понять теорему и составить представление о фигу-
рирующих в ней операторах, мы наметим здесь основные этапы
этого доказательства. Обозначим через А* оператор, формально
сопряженный к А:

А*и = 2 (— 1)!а|£а(яа(х)а).
I а | 2m

В частности, мы имеем

(Au)vdx = § u(A*v)dx, u^C^(Q), v e C^° (fi).
Q	Q

Очевидно, что А*, как и Л,— собственно эллиптический диффе-
ренциальный оператор порядка 2т. Воспользуемся теперь фор-
мулой Грина. Существуют дифференциальные операторы Sj, Tj и
Cj, / = 1, ..., т, определяемые равенствами

SjU= У sjta (x)Dau, TjU= У tJta(x)Dau, (3)
lal^Zy	|а|^/г7-

Q«= 5 Clia(x)Dau,	(4)

где коэффициенты зЛа(х),	и ф,а(х) принадлежат C“(5Q)

и все числа k, и Г/ не превосходят 2т— 1, такие, что

J (Au)vdx — § u(A*v)dx = У, $ (SjtiCjV — BjiiTjV)ds	(5)

Q	Q	/ = 1дй

для u^C°°(Q), уеС“(Й). Очевидно, что формула (5) представ-
ляет собой обобщение классической формулы Грина. Полное ее
доказательство хотя и несложно (в частности, не использует
априорных оценок), но довольно длинно, поэтому мы отсылаем
читателя к работе Лионса и Мадженеса [2 I, гл. 2, теорема 2.1].
Операторы A*, Clf ..., Ст и есть те операторы, о которых идет
речь в утверждении теоремы. Можно показать, что операторы
Сх, Ст образуют нормальную систему (определение 5.2.1/2),
а также удовлетворяют условию дополнительности по отношению
к А* (определение 5.2.1/3). Следовательно, набор А*,	..., Ст

регулярно эллиптичен (определение 5.2.1/4). Рассмотрим соответ-
ствующую (неоднородную) задачу

A*u = g, CjU\d&=^j, /=1, ..., т	(6)
(сопряженную к исходной). Пусть А2 —оператор, задаваемый соот-
ношениями (2). Распространяя формулу (5) на функции и и v
из (Q), немедленно получаем, что оператор, сопряженный
к А2 (в смысле теории гильбертовых пространств), является рас-
ширением оператора А2. Обозначим этот оператор символом (А2)*.
Мы имеем А*сз(А2)*. Задача состоит в том, чтобы показать, что
в действительности эти операторы совпадают. Предположим, что
ие£)((А2)*) и (А2)* v = f eL2(^)- Тогда, в силу определения
формально сопряженного оператора,

J (A2u)vdx = ^ ufdu, u^D(A2).	(7)

Q	й

В частности, последнее равенство справедливо для всех и е
eCJJ°(Q). Но это —обычное определение обобщенного решения
для уравнения A*v = f. Если перенести на изучаемый случай
рассмотрения, связанные с исследованием локальной гладкости,
проведенные в замечании 5.4.1 (мы не будем здесь этого делать),
то можно показать, что функция v должна принадлежать прост-
ранству WT1’ 1ос(Й). Это, однако, еще не дает требуемого резуль-
тата 11Е^Г(Й) и CjV |dQ = 0, /= 1, т. Доказательство нуж-
ных нам свойств гладкости вблизи границы dQ не столь просто.
-Мы не будем на этом останавливаться, а вновь сошлемся на
работу Лионса и Мадженеса [2 I].

Замечание. * В п. 5.4.6 мы еще вернемся к затронутым в этом
наброске вопросам. Чтобы прояснить общую картину, добавим
несколько слов. В дальнейшем нам понадобится не сама теорема,
а лишь одно важное следствие из нее. А именно, как будет пока-
зано в следующем пункте, из сформулированной выше теоремы
без труда выводится, что оператор А2 имеет замкнутый образ
конечной коразмерности. Вот этот результат нам и будет нужен.
Можно дать и прямое его доказательство, в рамках /^-теории.
Мы отсылаем читателя к работам Петре [2], Хёрмандера [3],
Аграновича и Вишика [1], Березанского [1], Шехтера [2, 3],
Лионса и Мадженеса [1, в особенности VI] и Мадженеса [1].

5.4.3.	Основная теорема Ар-теории в пространствах Соболева

Изложив важный для нас результат Л2-теории, мы возвра-
щаемся снова к Lp-теории. Прежде всего напомним определение
Ф-оператора (наряду с термином «Ф-оператор» используются также
термины: «фредгольмов оператор», «нётеров оператор», «оператор с
ненулевым индексом»). Ограниченный оператор А, действующий из
одного банахова пространства в другое, называется ^оператором,
если его ядро (нуль-пространство) N (А) конечномерно, а образ
R (Л) замкнут и имеет конечную коразмерность. Далее, напом-
ним, что пространства	(^) были введены в определении

4.3.3/2.	’ ’

Теорема. Пусть Q — ограниченная область класса С°°, набор
операторов А, ..., Вт регулярно эллиптичен (определение 5.2.1/4)
и 1<р<оо. Тогда оператор Ар, заданный соотношениями

Ари = Au, D(AP) =	(Q),	(1)

рассматриваемый как отображение из D(AP) в LP(Q), является
Ф-оператором.

Доказательство. Шаг 1. Сначала докажем, что ядро N (А^
оператора Ар имеет конечную размерность. Из оценки (5.3.4/1)
следует, что

«^АГ(Лр).	(2)

Ядро N (Лр) можно рассматривать как замкнутое подпростран-
ство в Lp(Q). Поэтому, ввиду соотношения (2), каждое ограни-
ченное множество в N (Лр) будет ограничено также и в W*™ (Q).
Но по теореме 3.2.5 вложение Wpm (Q) bLp(Q) компактно; значит,
каждое ограниченное множество в N (Лр) предкомпактно. Следо-
вательно, dim N (Лр) < оо.

Шаг 2. Докажем, что R (Лр) замкнуто. Так как N (Ар) (рас-
сматриваемое теперь как пространство в D(AP)) имеет конечную
размерность, то существует проектор Р, проектирующий парал-
лельно N(AP). Мы утверждаем, что существуют такие положи-
тельные числа и с2, что

С1II и IIWvnw «С II Ли llL^<Q)	с2 II « ll^am(Я)

для всех меРО(Лр). (3)

Очевидно, что в доказательстве нуждается только левое неравен-
ство. Итак, предположим, что подходящей константы ct подобрать
нельзя. Тогда найдется последовательность	PD (Ар),

такая, что

II AUj ||др(Я) < у || И/ (Q)’

Без ограничения общности можно считать, что |И/|	'=1.

р

Тогда, по теореме 3.2.5, последовательность предкомпактна
в Lp (Q). Мы можем считать поэтому, что она сходится к неко-
торой функции иеАДЙ). Формула (5.3.3/1) дает

Ci || Uj — Uk ||у + -j + || Uj — Uk ||у (Q).
Следовательно,	— фундаментальная последовательность

в Wpm (Q) и, значит, щ и е W*pm (Q). Таким образом, получаем
uf=PD(Ap), ЦиЦ/п(а)=1, А« = 0,	(4)

что невозможно. Тем самым неравенства (3) доказаны, а из них
уже легко следует, что R(AP) замкнуто в LP(Q).

Шаг 3. Доказательство того, что коразмерность R(AP) конеч-
ная, мы начнем с рассмотрения случая р = 2. В силу уже дока-
занного и теоремы 5.4.2,

L2(Q) = R(A2)®N(Al).

(5)

Применяя результат шага 1 к оператору А*, получаем желаемое
утверждение. Из теоремы 5.4.1 следует, что

N (А«) с Q IFr+s (Q) = С00 (й).

s = 0

(6)

Учитывая (5), видим, что каждую функцию /еС°°(Й) можно
представить в виде

N

/ (х) == 2 Cjfj (х) + g (х),	(7)

/=1

где функции /у(х)еС°°(Й) порождают N (А|), a g(x)eC"(Q)f|
Л R (А2). Если AJi = g, то в силу той же теоремы 5.4.1, h е С“ (й).
В частности, /ie£>_(4p) для любого р, 1<р<оо. Значит, замы*
кание множества С°° (й) Q R (А2) в Lp (й) содержится в R (Ар).
Принимая во внимание (7), заключаем, что R(AP) имеет конеч-
ную коразмерность.

Замечание. Проведенные рассуждения дают немного больше,
чем требовалось, а именно они показывают, что пространство
£Р(Й) представимо в виде прямой суммы

£р(й) = /?(Ар)ф{/х(х), .... fN(x)},
где функции /х(х), .... /дг(х) те же, что в формуле (7).

(8)

5.4.4.	Операторы Ар

В этом и следующем пунктах будут выведены некоторые срав-
нительно простые следствия доказанных выше теорем. Напомним
вначале определение присоединенного вектора. Пусть А —замкну-
тый оператор в банаховом пространстве. Ненулевой вектор и е
еО(А) называется присоединенным вектором (для оператора А),
если существуют комплексное число А и натуральное число k 2,

16 X, Трибель —
такие, что

(Л-ХЕ)*м = 0, ueD(Ak).

(1)

Если k — наименьшее из натуральных чисел, удовлетворяющих
условию (1), то вектор (Л — ХЕ)*-1 и 0 будет собственным век-
тором оператора А с собственным значением X. Будем называть
алгебраической кратностью собственного значения X размерность
соответствующего пространства собственных и присоединенных век-
торов (и 0) *.

Теорема 1. Будем рассматривать оператор Ар, задаваемый
соотношениями (5.4.3/1), как неограниченный оператор в LP(Q)
1 <Р<. со.

(а) Локально-выпуклое пространство Г>(Л“) = Q Р(Л*) (с то-
пологией, определяемой семейством полунорм | Л*/1|; ,£ = 0,1,2,...)
совпадает (в алгебраическом и топологическом смысле) с замкнутым
подпространством

Сд, {В/} (£2) = {Л f е С°> (Q), BjAkf |5а = 0,

j— 1, ..., т, £ = 0, 1, ...}	(2)

локально-выпуклого пространства C”(Q) (снабженного топологией,
определяемой полунормами sup | Daf (х) |, 0	| а | < оо).

(в) Ядро N (Др) не зависит от р, и справедливо включение

(3)

(с) Имеет место альтернатива'.

либо резольвентное множество оператора Ар пусто,

либо спектр Sa оператора Ар состоит из изолированных точек,
являющихся собственными значениями конечной алгебраической
кратности, и не имеет конечных предельных точек.

Во втором случае спектр Sa не зависит от р, равно как не за-
висят от р и соответствующие подпространства собственных и
присоединенных векторов, причем все эти подпространства содер-
жатся в Сд,{Ву}(^)- Любая конечная система собственных и/или
присоединенных векторов, отвечающих различным собственным
значениям, линейно независима.

1	В оригинале используется единое понятие «присоединенного собственного
вектора» (associated eigenvector). Это —либо собственный, либо присоединенный
вектор. При переводе мы употребляем два раздельных понятия» как это обычно
принято в отечественной литературе* -~Прим, перге.
Доказательство. Шаг 1. Пусть А=1, 2......Последовательное

применение теоремы 5.4.1 дает D (Ар) с: W2pmk (й). Вспомним теперь
оценку

ИЦ(й)^е11«Ц(й) + ceMLp(Q). 0<5<Л	(4)

где е — произвольное положительное число. Используя эту оценку
и теорему 5.3.4, получаем по индукции

||Лрик +	(О)~Иы1ц72т*(£3)> ueD(Ap).	(5)

Отсюда следует, что D (Л*) замкнуто в W2™k (й). Далее, в силу
теоремы 4.6.1 (е), П(Л“) замкнуто в С°°(Й). Индукцией по k
устанавливается выполнение граничных условий BjA kf |<эя = О
из (2). Тем самым доказано (а). Утверждение (в) следует из (а).

Шаг 2. Если резольвентное множество оператора Ар непусто,
то, не ограничивая общности, можно считать, что 0 —его элемент.
Из оценки (5.4.3/3) (где PD (Ар) = D (Ар)) и теоремы 3.2.5 выте-
кает, что Ар' — компактный оператор в LP(Q). Отличное от О
комплексное число X будет собственным значением оператора Лр
в том и только в том случае, когда X-1 — собственное значение
для Ар1. Более того, собственные и присоединенные векторы у Ар
и Ар1 одни и те же. Поэтому утверждение (с) является следствием
теории Рисса — Шаудера компактных операторов в банаховых
пространствах (см. Данфорд и Шварц [1 I, гл. 7]).

Замечание 1. В связи с доказанной теоремой естественно
возникает несколько вопросов.

(а)	Какие дополнительные условия гарантируют непустоту
резольвентного множества оператора Ар? Такого рода условия
имеются у Агмона [2], см. теорему 4.9.1 (а).

(Ь)	В случае когда резольвентное множество непусто, пред-
ставляет интерес распределение собственных значений. Далее,
можно спросить, существует ли достаточно много собственных и
присоединенных векторов в том смысле, что их линейные комби-
нации порождают плотное в Lp (й) подпространство. Позже
в п. 5.6.2 и 5.6.3 мы вернемся к этим вопросам.

(с)	Если X SA , то существует ли для оператора (Ар — ХЕ)-1
представление в виде (дробного) интегрального оператора? Если
такое представление существует, то каковы соответствующие ядра
(функции Грина)? Эти вопросы мы рассмотрим в п. 5.6.4.

Замечание 2. В случае когда А2 — самосопряженный опе-
ратор в L2 (й), можно применить методы, развитые ниже в гл. 8.
Эти методы позволяют установить, что пространство С“:{в/}(й)
(а также С°°(й)) представляет собой ядерное пространство, изо-
морфное пространству s быстро убывающих последовательностей.

16*
Замечание 3. Если для данной функции fsLp(Q) суще-
ствует функция и D (Ар), такая, что Apu=f, то и называется
решением однородной граничной задачи

Au~f,	/= 1, .т.	(6)

Теорема 2. Пусть й — ограниченная область класса С™,
набор операторов A, Blf Вт регулярно эллиптичен в смысле
определения 5.2.1/4 и 1 <р< оо, s = О, 1, .... Тогда оператор А{р\
заданный соотношениями

Ар}и = Аи, D (4<s)) = W2pmfis/} (Й),	(7)

рассматриваемый как отображение (й) в Wsp (й), является
Ф-оператором, причем

N (4S)) = N (Ар) с СХ {S/} (й), R (Л<‘>) = R (Ар) Л Wp (й). (8)
Существует конечный набор линейно независимых функций (х) е
еС°°(й), / = 1, ..., N, один и тот же для всех pus, такой, что

Гр(й) = /?(Л‘5))ф{Л(х)......fN(x)}.	(9)

(Здесь {fi(x), .... ?кг(х)} — пространство, натянутое naf1(x),...
...,fN(x).)

Доказательство. Из теорем 5.4.1 и 1 сразу следуют соотно-
шения (8). В частности, А?(Лр*) — замкнутое подпространство
в Wp (й). Выберем /у (х)..... fw(x)	так же, как в (5.4.3/7),

(5.4.3/8). Тогда равенство (9) выполняется, поскольку С°°(й)
плотно в Ц7р(й). Тем самым доказано, что Ар} является Ф-опера-
тором.

Теперь докажем одну лемму, которая окажется полезной
в дальнейшем. Напомним, что пространства HPl {в,} (й) и BsPi (й)
были описаны в определении 4.3.3/2.

Лемма. Пусть й — ограниченная область класса Ст, {B/}/=i —
нормальная система (определение 5.2.1 /2), 1<р<оо, IsCgsgoo и
s>mk+l/P-

(а)	Отображение, переводящее и в {Вщ, ...» Bku}, является
ретракцией Нр(&) на р[ т/(дй), а также BPi9(Q) на
i=i
*

Л В’~,/₽_"7(5й). Существует соответствующая ко ретракция <&,
j = l

которая не зависит от выбора 1 <р < оо, I ^q 8>тк + 1(р.
(b)	HsPt (Q) — дополняемое подпространство в Hsp(£l),
а Вр,	— дополняемое подпространство в Вр^{0^.

Доказательство. Шаг 1. Введем в некоторой окрестности гра-
ницы dQ криволинейные координаты таким образом, чтобы каса-
тельные векторы Ц1(х), рл(х) к координатным линиям были
бесконечно дифференцируемыми вектор-функциями от х. Предпо-
ложим, что (х) = vx — нормальный вектор, a (х), ...,	(х)—

касательные векторы к дй в точке xedQ. В выбранных криво-
линейных координатах jix, ..., операторы В; могут быть запи-
саны в виде

Bju = а, (х)	+ У а}, а (х)

dv 1

л /

da«

(Ю)

где а;,а (х) е С00 (дй) и а/ (х) е С°° (5Q), причем «;(х)У=0 при
х е дй. Так как {Бхм,..., Вти} — непрерывное отображение Hsp (й)
k

в И	(dQ), то остается доказать существование соответ-

/«=1

ствующей коретракции. Предположим, что левые части соотноше-
ний (10) суть заданные функции, принадлежащие В^” 1/р“т/(3Q).
Нам надо найти функцию и е Hsp (Q), удовлетворяющую этим
соотношениям, а также условиям

Щ =0 при 1^т< (/’== 1,k), Z = 0,..., [s — 1/р]-. (11)
dvl |dQ

Используя (10) и (11), мы можем последовательно определить
для г = $’ •••’ Es— Заметим, что если известна функ-
ция е Во, т (dQ), то известны и функции
datt	Р—а —а 1

~~й--—7—(dQ)9	о&1 + .. . + ал-1 < р.

‘1	‘ п— 1

Привлекая теорему 4.7.1, можно теперь определить коретракцию ©.
Аналогичное рассуждение годится и для пространств BsPtq(Q),
Для наших целей, однако, важно знать, что коретракцию ©
можно построить так, чтобы она не зависела от 1<р<оо,
1 q оо, s > mk + 1/р. Это утверждение получается применением
метода локальных координат, теоремы 4.7.1 и рассуждений шага 3
доказательства теоремы 2.9.3.

Шаг 2. Отображение Е — ^{В19 ..., Bk} является проектором
Нр (Q) на Нрг[в^(&) и BPt q (£2) на Bptqt (Q),
5.4.5.	Операторы

Помимо однородных граничных задач (см. замечание 5.4.4/3),
мы будем заниматься и неоднородными задачами

Au = f, BjU\dQ = (pj, j= 1.tn.	(1)

Ниже будет показано, что неоднородные задачи можно свести
к однородным.

Теорема. Пусть й — ограниченная область класса С00, набор
операторов А, Вх,..., Вт регулярно эллиптичен (определение 5.2.1 /4)
и 1<р<оо, s = 0, 1, 2........ Тогда	оператор 2lpS), заданный

равенством

21р)« = {Лы; Вги...Вти},	(2)

рассматриваемый как отображение 1Гр+2т(й) в №р(й) х
хП	(д^)> является (^-оператором. Ядро N (2lpS))

/=i
не зависит от р и s, причем

N(W) = N(Ap).	(3)

Кроме того,

codim/? (2lpS)) = codimR(Ap) <oo	(4)

tn

и существует проектор пространства LP(Q) х ]Д Вр?/ГОТ/-1/р(дй)
т '~1

на R(%p), сужение которого на !Г₽(Й) х ^[В^1^’'"/_1/₽(5й) явля-
i=i

ется проектором на R(^p).

Доказательство. Равенство (3) следует из теоремы 5.4.4/2. По
той же теореме существует N линейно независимых функционалов
gi,..., gu из (LP(Q))', таких, что

R(Ap) = {f\f^Lp(Q), gj(f) = O, / = 1,..., А/}.

В силу (5.4.4/9), можно выбрать glt..., gN так, чтобы

R^) = {f|fe^(^). g/(D = O, /=1.........N},

где s = 0, 1,..., и чтобы gj были также непрерывными линей-
ными функционалами на Wp (й). Пусть

т	I

{/, <h...Ф»}е^(й) х П Ср т' №),
и пусть @ — коретракция из леммы 5.4.4. Задача (1) имеет реше-
ние и е Wpm+s (й), если и только если существует функция
v & D (А^), такая, что

Л^ = /-Л©{ф1(..., <рт},	(5)

а именно решением служит тогда « =	{ф1..-, Уравне-

ние (5) имеет решение, если и только если

gj(f)-gj (Л® {фх..фт}) = 0, / = 1...N.

Далее, gj ({фп..., фт}) = gj (Л© {фх,..., фт}) суть непрерывные
m

„ а	ГТ d2"»+s — 1/р-гп/	~

линейные функционалы на [ £ BPt р	' (ой), a (gj, gj) — непре*

/=1 т

рывные линейные функционалы на Wsp (й) Х^[В^’р'!-1/₽~т/(дй),
/=1

причем функционалы (gy, gj), j = N, линейно независимы.
Этим доказано (4). Учитывая, наконец, что © и функционалы gj
не зависят от р и s, получаем последнее утверждение теоремы.

Замечание 1. Из (3) и (4) следует, что если	то

оператор $lpS) — КЕ осуществляет изоморфизм пространства U7p+2m (й)
на
т

/=1

(нужно только в предыдущих рассмотрениях заменить Л на
Л-%£).

Замечание 2. В связи с доказанной теоремой и теоремой
5.4.4/2 возникает вопрос, нельзя ли дать более явное описание
пространств V (Л^) = М (91^) (= М (Л,)), R (Лр>) и /? (91<,’>). Си-
стематическое исследование этого вопроса проведено в работе
Лионса и Мадженеса [2 I] (см. также Шехтер [2], Лионс и Мад-
женес [1 VI]). При этом используются операторы, сопряженные
к Лр’ и 3lpS). Полученные результаты подобны теоремам теории
Рисса — Шаудера компактных операторов в банаховых простран-
ствах. В следующем пункте приведено несколько замечаний по
этому поводу.

5,4,6.	Дополнения

Мы сделаем здесь ряд замечаний для полноты картины. Дока-
зательства формулируемых ниже результатов можно найти в
работе Лионса и Мадженеса [2 I].
Замечание 1. Вп. 5.4.2 мы привели один важный резуль-
тат Л2"теоРии- Для того чтобы дать качественное описание диф-
ференциальных операторов S;-, Tj и Cj из (5.4.2/3) и (5.4.2/4),
мы воспользуемся понятием системы Дирихле. Система дифферен-
циальных операторов, определенных на границе dQ ограниченной
области Q класса С°°, называется системой Дирихле, если она
нормальна в смысле определения 5.2.1/2 и mj=j—l (быть может,
после изменения нумерации операторов). Пусть Q — ограниченная
область класса С00, А — собственно эллиптический оператор (опре-
деление 5.2.1/1), и Вх,..., Вт — нормальная система операторов
с m/<2m. Тогда существуют дифференциальные операторы Sj
вида (5.4.2/3), / = 1,..., т, такие, что {Bj, Sj}r/l==1 будет системой
Дирихле. При этом Sj определены неоднозначно, При фиксиро-
ванном выборе Sj существует другая (уже однозначно определен-
ная) система Дирихе {С/, Т/J/Li (где операторы Cj, Tj имеют вид
(5.4.2/3) и (5.4.2/4)), такая, что справедлива формула Грина
(5.4.2/5). Этот результат был впервые получен Ароншайном и Мил-
грэмом [1]. Приведенная выше формулировка по существу сов-
падает с теоремой 2.1 из гл. 2 работы Лионса и Мадженеса [2 I].
Там же можно найти и доказательство.

Замечание 2. В п. 5.4.2 мы использовали тот факт, что
набор операторов А*, Clf...Cm регулярно эллиптичен, если
регулярно эллиптичен набор A, В1?... , Вт. Фактически спра-
ведлив существенно более сильный результат. Предположим, что
А —собственно эллиптический оператор, а операторы В^..., Вт
образуют нормальную систему, в которой mj <Z.2m для всех /.
Из замечания 1 следует, что тогда	Ст — также нормаль-

ная система. Можно показать, далее, что набор {ВД/Li удовлет-
воряет условию дополнительности по отношению к А (определе-
ние 5.2.1/3), если и только если набор {C/}/Li удовлетворяет
условию дополнительности по отношению к А*. Этот важный
результат принадлежит Шехтеру [2], который дал прямое алге-
браическое доказательство. Другие доказательства можно найти
у Лионса и Мадженеса [2 I] и Березанского [1].

Замечание 3. Задачу (5.4.2/6) мы ввели как сопряженную
(неоднородную) граничную задачу. Можно показать, что если
{В,-—система Дирихле, например BjU ==—/=1, ...,т,
dyJ"1

то — также система Дирихле. Если оператор А формально
самосопряжен, то задача (5.4.2/6) совпадает с исходной задачей
(5.4.5/1), т. е. граничная задача оказывается самосопряженной.

Замечание 4. Привлекая сопряженную задачу, соответству-
ющие операторы A*(s) и 9Ip(s) и системы Дирихле, описанные
в замечании 1, можно дать описание пространств ЛГ (ApS)) = ДО (9lj,s)),
R (Лр’), R (2lpS))- Сошлемся вновь на работу Лионса и Мадже-
неса [2 I].

Замечание 5.* Естественно возникает вопрос, насколько
необходимы для развитой в предыдущем пункте теории сделанные
нами различные предположения. Скажем несколько слов по этому
поводу. Шехтер [2] показал, что существуют собственно эллипти-
ческий оператор А и нормальная система	(определение

(5.2.1/2)) с m;<2m, такие, что система {Bj^m не удовлетворяет
условию дополнительности (определение 2.2.1/3) по отношению
к А. Как следует из рассмотрений Петре [2], априорная оценка
(5.3.4/1) верна, если и только если dim/V (3lpS)) <оо и B(2lpS))
замкнуто в WSp (й)х ]Д Bs^pm~ml~llp (дй). В работах Дынина
/=1

[1, 2] доказано, что оценка (5.3.4/1) при р = 2 и s = 0, 1, 2, ...
эквивалентна утверждению о регулярной эллиптичности набора
операторов A, Blt .... Вт. Там же показано, что является
Ф-оператором, удовлетворяющим условиям (5.4.5/3) и (5.4.5/4),
если и только если набор A, Bv ..., Вт регулярно эллиптичен.
Результаты в том же духе можно найти у Агмона, Дуглиса
и Ниренберга [1 I, § 10]. Наконец, упомянем о работе Агмона [2].
Луч arg % = 9, 0гС9<2л, на комплексной плоскости называется
направлением минимального роста резольвенты, если Х = ре'9 при-
надлежит резольвентному множеству оператора Ар при всех доста-
точно больших значениях р и если, кроме того, существует число с,
такое, что

|%|^р0>0.	(1)

Агмон [2] получил достаточные, а для р = 2 и необходимые усло-
вия того, что резольвентное множество оператора Ар непусто и луч
arg% = 0 является направлением минимального роста. Для 6 = л
эти условия совпадают с предположениями теоремы 4.9.1.

5.5.	ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ [ЧАСТЬ I]

В (5.4.4/6) и (5.4.5/1) мы описали однородную и неоднородную
граничные задачи. Теоремы пп. 5.4.4. и 5.4.5 можно рассматри-
вать как теорию граничных задач этого типа в пространствах
Соболева (хотя граничные значения принадлежат более общим про-
странствам). Используя теорию интерполяции, можно распрост-
ранить полученные результаты на невесовые пространства Лебега —
Бесова. В § 5.7 мы коротко обсудим соответствующие результаты
для других функциональных пространств,
5.5.1.	Однородные граничные задачи

Из теоремы 5.4.4/2 сразу следует, что спектр оператора Ар} не
зависит от выбора 1<р<оо и s = 0, 1, 2, ..., поэтому мы обо-
значим этот спектр через Аналогично N (А) = N (Ар) = N (Ар})
будет обозначать общее ядро всех этих операторов.

Теорема. Пусть Q — ограниченная область класса С°° и набор
операторов A, В19..., Вт регулярно эллиптичен (определение 5.2.1/4).

(а)	При 1<р<оо и s^O оператор Ар’, заданный соотно-
шениями

А^и~=Аи, D (л£”)=	(й),	(1)

рассматриваемый как отображение Н2™[в^(£1) в НР(О), является
Ф оператором. При 1 < р < оо, 1 sgоо и s > 0 оператор АР\,
заданный соотношениями

A™qu = Au,D (Лр,\)=	(Й)«	(2)

рассматриваемый как отображение В/Ллвр (й) « Вр,7(й), также
является Ф-оператором, причем

N (4S))= N (л £\)= N (Л) С= С°л. {В/) (Q),	(3)

R (Л<8,)= R (Ар) ПНр (Й), R (А^<,)~ R (Ар) П В'р. q (Q)	(4)

И

codimR (Лр*)= codimR (Л^\)= codim R (Лр) < oo. (5)

(b)	Если X SA, то оператор A —KE осуществляет изоморфизм
HPt{Bj}(&) «a HP(Q), s^O, 1<р<оо, а также Bs^q™B,}(Q.)
на Bp_q(Q), s>0, l<p<oo, l«S<7^oo.

Доказательство. Пусть 6 —натуральное число. Теорема 5.4.4/2
показывает, что проекция Wp (Q) на R (Л^), определяемая соотно-
шением (5.4.4/9), есть сужение соответствующей проекции LP(Q)
на В(Лр). Из теоремы 1.17.1/1, соотношений (5.4.4/8) и теоремы
4.3.1/1 следует, далее, что

[7? (Л £>), R (Лр)]е =[Hkp (Q), Lp (Q)]0 f| R (AP)

~Hsp(Q)ftR(AP),	(6)

где 0<9<1 и s=(l — 6)k. Замечание 1.17.2/2, лемма 5.4.4
(в частности, шаг 2 ее доказательства) и та же теорема 1.17.1/1
дают

[НкР\вт.} (QW (Л), Н2рт{Вр (QW (Л)]е

= [Яр.+{17)(Й),	(7)
где 9 и s те же, что и выше. На основании теоремы 5.4.4/2 заклю-
чаем, что А осуществляет изоморфизм пространства Hsp+^.}(Q)/N(A)
на Яр(й)П#(Лр). Совершенно аналогично рассматривается случай
пространств В. Остальные утверждения теоремы доказываются
рассуждениями, подобными тем, что были проведены при доказа-
тельстве теоремы 5.4.4/2.

Замечание. Соотношения (4) показывают, что пространства
Нр (й) и Вр, q (й) могут быть разложены в прямые суммы, анало-
гичные (5.4.4/9), причем можно воспользоваться теми же самыми
функциями j\, ..., fN.

5.5.2.	Неоднородные граничные задачи

Все обозначения в этом пункте имеют тот же смысл, что и в пре-
дыдущем.

Теорема. Пусть й — ограниченная область класса С00 и набор
операторов А, Вг....Вт регулярно эллиптичен (определение 5.2.1/4).

(а)	При 1 < р < оо и s0 оператор 31р\ заданный равенством

9lpS)«={Xu, Bxu, .... Вти},

рассматриваемый как отображение пространства Яр+2т (й) в
Hp(Q)X B2™-mi-up+s (dQ), является Ф-оператором. При 1<<
<р<оо, 1^7^00 и s>0 оператор Slp.^, заданный равенством
$р,чи ={Аи; Вщ, .... Вти},

рассматриваемый как отображение пространства Bsp+qm (£2) в

Вр, ч (й) X Л Bp?<7-'"/~1/₽+s (дй), является Ф-оператором, причем
/=1

N (Я<’>) = N «>?) = N (А) с С“, {В/} (й),	(1)

т

R да =(н; (Й) X П Bp?7'"/-1Zp+s (дй)) n R W’),	(2а)

/=1

т

r да)=(в;, q (й) х п	I/₽+s (№)) п r (2Ь)

/=i

и

codim R (3lps))= codim R (3l{,s\)= codimR (Лр) < oo.	(3)

(b)	Если h=£SA, то отображение, переводящее и в

{Au —ku, Bj,u, ..., Воты},
осуществляет изоморфизм пространства Нр+2т (£1) на

Hsp (Q) X П	I/P + S " т' (^) >

7=1

где s О, 1 < р < оо, а также изоморфизм пространства

Bsp,q^)xf[^7i,p+s~mim

/=1

где s>0, 1<р<оо, 1^9^оо.

Доказательство. Эта теорема выводится из теоремы 5.5.1 и
замечания 5.5.1 совершенно так же, как теорема 5.4.5 из
теоремы 5.4.4/2 и леммы 5.4.4.

Замечание 1.* Указанное приложение теории интерполяции
к эллиптическим граничным задачам принадлежит Лионсу и Мад-
женесу [1, в особенности IV] и Шехтеру [4]. Одна из основных
целей цикла работ Лионса и Мадженеса [1] состоит в распростра-
нении этих рассмотрений на случай s<0. Для этого нужны
новые методы, которые мы здесь не затрагиваем. Систематическое
изложение соответствующих разделов теории для случая р = 2
можно найти в книге Лионса и Мадженеса [2 I].

Замечание 2. Если воспользоваться методами, развитыми
Петре [2], то из доказанной теоремы можно вывести следующие
априорные оценки:

Нр (£2)	Нр(й)....LpW

т

+ Ц l|B/M|lB2m + s-m.-l/p

/ = 1	Р, Р

для иеЯ!/2“(й), 1<р<оо, s^=0 и

i«ii s+2m	+и

Dpt q («)	apt qW

m

+	II BjU Ib2„+s-m.- x/p (5a)

ДЛЯ U e BSp+2m (Q),	s>0.

5.6.	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ.

СОБСТВЕННЫЕ И ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ВЕКТОРЫ.

ФУНКЦИИ ГРИНА

В этом параграфе изучаются некоторые специальные вопросы,
частично представляющие интерес и для дальнейшего. Мы иссле-
дуем распределение собственных значений самосопряженной эллип-
тической граничной задачи, рассмотрим вопрос о полноте системы
собственных и присоединенных векторов и дадим качественное
описание функций Грина.

5.6.1.	Распределение собственных значений. Собственные
и присоединенные векторы в гильбертовом пространстве

Пусть // — комплексное сепарабельное гильбертово пространство.
Самосопряженный оператор Л, действующий в Н, называется
оператором с чисто точечным спектром, если его спектр со-
стоит из изолированных точек конечной кратности и не имеет
конечных предельных точек. По теореме Реллиха самосопряжен-
ный оператор А имеет чисто точечный спектр в том и только том
случае, когда отображение вложения его области определения
D (Л) (с нормой || и Ь (Л) = || Аи\\ +1| «||) в Н является компактным
(см. Трибель [17], стр. 277). Для таких операторов собственные
„значения (считая с кратностями) можно занумеровать в порядке
возрастания модулей:

О | М |	| Х21	... ==С | Ау |	11у+11 аС... -> оо при / -> оо.

Функция

«14= S 1	(1)

дает число собственных значений, не превосходящих по модулю
числа А.

Ниже Sj — аппроксимационные числа, введенные в определении
1.16.1/2. Как и раньше, операторы вложения обозначаются через I.

Теорема 1. Пусть А — самосопряженный оператор с чисто
точечным спектром, и пусть х > 0. Следующие утверждения
эквивалентны:

(a)	W(X)+1~A*+1, Х^О;

(0	1 +	/ = 1, 2,...;

(с)	sj(l- D(A), Н)~/ = 1, 2,....

(2)

(3)

(4)

(Знак ~ означает, что правую часть можно оценить сверху и
снизу через левую часть, умноженную на некоторые константы,
не зависящие от X или j соответственно.)

Доказательство. Шаг 1. При установлении эквивалентности
соотношений (2) и (3) можно без ограничения общности считать,
что все собственные значения просты (т. е. имеют кратность, рав-
ную единице). Полагая Х = |Ау| в (2), получаем (3). Обратно, (2)
легко следует из (3).
Шаг 2. Предположим (это не ограничит общности), что 0 не
является собственным значением А. Тогда норма D (Д) эквива-
лентна норме ЦАиЦ. Отсюда вытекает, что

Id (Д) -> я — A'1 Ad (Д) я ,

где Ля(Д)-*я является изометрией D(A) на Н, а А'1 рассматри-
вается как компактное отображение пространства Н в себя.
Это дает

S; (/; Л(Д), H) = Sj(A-\ Н, Я), / = 0, 1, 2,... .	(5)

Если hk (А) — ортонормированные собственные векторы, отве-
чающие собственным значениям X*, то Д-1 допускает спектральное
разложение
оо

л-1/1= 2 i(h’ h^hk-
k=i

Если оператор Kc-L (Н, Н) таков, что dim R (К)	/, то суще-

/+1

ствуют числа	р/+], такие, что У |p,J2=l и Kh — O при

Z == 1

/+1

h= ^niht. В силу (1.16.1/4),
i=i

S/ (Л-1; Н, Н)^ inf || (Л-1 - К) h ||
к

[J+1	\1/2

к V=i	/

Чтобы доказать обратное неравенство, рассмотрим

Kh= J] V(/i, hk)Hhk.
k = \
Имеем

sf (Л-1; H, Я) = |А/+1|-1.	(6)

Эквивалентность соотношений (3) и (4) следует теперь из формул
(5) и (6).

Замечание 1. Формулы (5) и (6) представляют самостоятель-
ный интерес. Позже мы ими воспользуемся. Нетрудно показать,
что в случае сепарабельного гильбертова пространства dj=d1 — Sj
(см. определение 1.16.1/2). Простое доказательство этого факта
можно найти в работе Трибеля [15].

Теорема 2. Пусть А и В — самосопряженные операторы в Н,
такие что

D(B)czD(A) и [Ahl^Bh\\ для!г<=О(В).
Предположим, далее, что оператор А имеет чисто точечный
спектр. Тогда В также имеет чисто точечный спектр. Если NА (X)
и Nв (ty — соответствующие функции распределения собственных
значений (см. формулу (1)), то

NB^^NA(K) при 1^0.	(7)

Доказательство. Шаг 1. То что оператор В имеет чисто точеч-
ный спектр, следует из теоремы Реллиха (см., например, Трибель
[17, стр. 277]).

Шаг 2. Пусть Яд(Х)>Яд(Х) при некотором Х^О. Тогда
найдется функция h (В) cz.D (Л), ||й|| = 1, со следующими
свойствами: (a) h есть линейная комбинация собственных векто-
ров В, отвечающих собственным значениям, не превосходящим %;
(6) h ортогональна всем собственным векторам оператора А с соб-
ственными значениями, не превосходящими X. Из спектральных
разложений для А и В вытекает, что для такой функции h

||Лй||>Х, ||Вй||<Х

в противоречие с условием теоремы.

Замечание 2. Доказанная теорема известна под названием
вариационного принципа Куранта.

Замечание 3. Если Нх и Я —гильбертовы пространства,
такие, что Hi с Н, то можно рассматривать как область опре-
деления положительно-определенного оператора Л в Я, задавае-
мого формулой

|Лй|я=|Лк

(см., например, Рисе и Сёкефальви-Надь [1, § 124] или Лионс и
Мадженес [2 I, гл. 1, п. 2.1]). В случае тройки гильбертовых
пространств Я2 cz Ях а Н с помощью доказанной выше теоремы
мы можем сравнивать распределения собственных значений соот.
ветствующих операторов. Позже мы этим воспользуемся.

Лемма 1. Пусть Нг и Н2 — гильбертовы пространства и
A k, k—l, 2, — полу ограниченный (снизу) самосопряженный опера-
тор в Hk с чисто точечным спектром, причем

А^ай(^) + 1~^+1, х*>0, й=1, 2.

Тогда оператор В = Лх®Е + Е® Ла является полуограниченным
(снизу) самосопряженным оператором в Ях®Яг с чисто точечным
спектром, причем

NB (X) 4-1 ^Х^+^ф-1.

Доказательство. Полуограниченность (снизу), самосопряженность
и точечность спектра оператора В следуют из его определения и
определения тензорного произведения Н1(^)Н2 (см., например,
Березанский [1, гл. I, § 2]). Далее, если X*, / = 1, 2, ...; k =
= 1, 2,— собственные значения оператора ДЛ, то Х^ф-Х/2’, / =
= 1, 2,	/=1, 2, ..., будут собственными значениями опера-

тора В (с учетом кратности). Без ограничения общности можно
считать, что Ai и Л 2 — положительно-определенные операторы.
Тогда

ЛМ^) = Л

а,} с X
откуда

Nb (X) AU (X) AU (X) сХ^ + >Ч

С другой стороны, имеем

£ Na2&-W)

X1- < -
*7^ 2

с>°’

что и доказывает лемму.

Ниже при изучении собственных и присоединенных векторов
мы будем опираться на один результат Гохберга и Крейна [1],
который сформулируем здесь без доказательства. Нам понадо-
бятся классы @р, 1 sCp<oo, компактных операторов в гильбер-
товых пространствах, описанные в п. 1.19.7. Напомним, что
оо

ненулевой элемент v е Q D (ЛД, где Л —линейный оператор,
/=о

действующий в банаховом пространстве, называется присоединен-
ным вектором, если (Л — X£)fe v = 0 для некоторого комплексного
X и некоторого натурального k^2. Число X является при этом
собственным значением. Размерность пространства собственных
и присоединенных векторов, отвечающих данному значению X,
(к которому надо еще добавить нулевой вектор) называется алгеб-
раической кратностью этого собственного значения

Теорема 3. Пусть А — самосопряженный оператор с чисто
точечным спектром в гильбертовом пространстве Н, а В —линей-
ный оператор в Н, такой, что О (В) zo D (Л). Если существуют
комплексное число X SA и вещественное число р, 1 ^р < оо,
такие, что В (Л — ХЕ)-1 е то оператор А+В с областью
определения D (Л + B)~D (Л) замкнут. Его спектр состоит из
изолированных точек конечной алгебраической кратности, а линей-
ная оболочка множества его собственных и присоединенных векто-
ров плотна в Н.

1 См. подстрочное примечание на стр, 482.-— Прим. перев,
Замечание 4. Доказательство этой теоремы можно найти
в книге Гохберга и Крейна [1, гл. 5, § 10]. Установленный там
результат является более общим, чем сформулированная выше
теорема. Выбор	в теореме не играет роли. Это следует

из соотношения Гильберта для резольвент

(4 - рЕ)-1 - (4 - ХЕ)-1 = (р - X) (4 - ХЕ)-1 (4 - рЕ)-1,

X ф SA, р ф SA.

Далее, доказательство того, что 4 + В — замкнутый оператор
на 0(4), совсем не сложно. А именно, если	Н)—

подходящий оператор конечного ранга, то для u^D(A) мы имеем

|1 Ви Н || В (4 - ХЕ)-1 (4 - ХЕ) и ||

|| [В (4 - ХЕ)-1 - К] (4 - ХЕ) и || + К (4 - ХЕ) и ||

+	(8)

Следовательно,

|ЛМ+к1~11(4+в)М+1«|.	(9)

Пусть теперь D (4) з щ-+и и Auj + Buj Тогда, в силу (8)
и (9), ueD (4) и 4и + Ви = v. Следовательно, 4 + В — замкну-
тый оператор на 0(4). Для дальнейших приложений нам будет
полезна следующая лемма.

Лемма 2. Пусть А — самосопряженный оператор с чисто
точечным спектром в гильбертовом пространстве Н. Предполо-
жим, что 0 не является его собственным значением. Пусть
А-'-^Фр для некоторого р, 1 ^р<сю, и В —линейный опера-
тор в Н, такой, что D (B)zjD (4). Если существуют числа с
и р, такие, что для всех 1 >8>0 и всех u^D(A)

II Ви ь SS 8II и Ь (Л) + С8-РII и |н,	(10)

то В А-1 принадлежит классу 0Р(1+Р).

Доказательство. Пусть X/— собственные значения оператора 4,
упорядоченные по возрастанию: | Хг |	| Х21	..., и пусть hi —

соответствующие ортонормированные собственные векторы. Рас-
смотрим проекторы задаваемые формулой

/

Pjh= Г(/1’ hi^hh
i= i 1

Выбирая 8 = sl/(1 + р> (Л-1; Н, Н) в (10), получаем из (6)

«ДВЛ-1; Н, Я)<||в(Л“1-ВД|^С5-/<1 + р,С4~’; Н, Н).

Следовательно, ВЛ-1 е
5.6.2.	Распределение собственных значений самосопряженных
эллиптических дифференциальных операторов

Теорема. Пусть Q ~ ограниченная область класса С™ и
набор операторов A, Вг, ,,,, Вт регулярно эллиптичен (опреде-
ление 5.2.1/4). Пусть, далее, оператор А2, определенный соотно-
шениями (ЪА.З/Y), самосопряжен в 12(^) UU рассматривается
как неограниченный оператор в L2(^l)). Тогда

(1)

Доказательство. Формула (4.10.2/14) дает

W22m(Q), L2(Q))^r2m/n’	(2)

Последнее соотношение останется справедливым и после замены
Wzm (Й) на Ws"1 (И). Это вытекает из свойств чисел и того уже
использовавшегося ранее факта, что W2m (й) изоморфно допол-
няемому подпространству в 1Г2т(<о) при условии, что © — огра-
ниченная область класса Ст, содержащая й. (Нужный изомор-
физм дает оператор сужения функций из IF2m(®) на й, а обрат-
ным к нему служит соответствующий оператор продолжения.)
Итак,

(Й) с D (Л2) с W22m (Й).

Следовательно, (2) сохраняет силу при замене ^^(й) наР(Л2).
Теперь доказываемое утверждение следует из теоремы 5.6.1/1.

Замечание 1. В теореме 5.4.4/1 было доказано, что
С а, {Ву} (Й) = Р (А"). Используя этот факт, формулу (1) и методы,
развитые ниже в гл. 8, можно показать, что {ву.} (й) изо-
морфно пространству s быстро убывающих последовательностей.

Замечание 2.* Исследованию распределения собственных
значений эллиптических дифференциальных операторов (регуляр-
ных и вырождающихся) посвящено много работ. Историю вопроса,
а также краткое описание основных методов можно найти
у Кларка [3]. Там же имеется обширная библиография (120
названий). Поэтому мы не будем давать здесь ссылок историче-
ского характера, а ограничимся лишь указанием некоторых
новых работ, и это можно будет рассматривать как дополнение
к библиографии, приведенной у Кларка. Теория распределения
собственных значений, берущая начало в работах Г. Вейля,
Р. Куранта и Т. Карлемана, в пятидесятых годах интенсивно
разрабатывалась Гордингом, Браудером и (чуть позже) Агмоном
(соответствующие ссылки можно найти у Кларка). Укажем теперь
ряд новых работ. Прежде всего отметим статью Агмона [4].
Пусть Л2 —тот же оператор, что и выше. Предположим дополни-
тельно, что он полуограничен и форма а(х, £) из (5.2.1/2) поло-
жительно определена. Тогда, как показал Агмон [4],

М(Х) =Г(2л)-л U $	d%\ dxl№/2m +о (%<"-а^2т).	(3)

Здесь о —любое число, заключенное в интервале 0 < о <1/2.
Если оператор А имеет постоянные коэффициенты, то в качестве
о можно брать любое число в интервале 0<о<1. Формула (3)
не только уточняет асимптотическую формулу (1), но и дает важ-
ную оценку остатка. Этот результат был обобщен Маруо и
Танабэ [1] и Маруо [2], ослабившими предположения гладкости.
Упомянем также статьи Нагасэ [1] и Брюнинга [1]. В большей
части новых работ по спектральной теории эллиптических диф-
ференциальных операторов изучаются следующие вопросы:
(а) оценки остатка типа оценки (3); (Ь) ослабление условий глад-
кости на коэффициенты и области; (с) исследование свойств
«спектральных функций»; (d) спектральные функции и распреде-
ление собственных значений для вырожденных эллиптических
дифференциальных операторов. Этот последний вопрос мы рас-
смотрим позже. В качестве дополнения к библиографии, имею-
щейся у Кларка [3], укажем еще следующие работы: Басс [1],
Билз [1—3], Бирман и Соломяк [3 — 5], Борзов [1], Флекенже
и Метивье [1], Громез [1, 2], Грубб [1], Хёрмандер [4, 5],
Кожевников [1], Левитан [1], Метивье [1], Туловский [2]. См.
также замечания 7.8.3/1 и 7.8.3/2.

5.6.3.	Собственные и присоединенные векторы
эллиптических дифференциальных операторов

В этом пункте мы приведем один сравнительно простой резуль-
тат, иллюстрирующий теорему 5.6.1/3. Тем же методом мы полу-
чим позже в рамках Lp-теории существенно более общие резуль-
таты для сильно вырождающихся эллиптических дифференциаль-
ных операторов (п. 6.6.2). См. также пп. 7.5.1 и 7.6.4.

Теорема. Пусть Q — ограниченная область класса Ст и
набор операторов A, ..., Вт регулярно эллиптичен (определе-
ние 5.2.1/4). Предположим, что оператор А задается формулой

Аи = Аи + У, Sa(x)Datz, ао(х) е С°°(й),	(1)

I a I 2/п — 1

где оператор Л2, определяемый соотношениями

А2и ='Au,D (Да) =D(А) =	(Q),	(2)
— самосопряженный неограниченный оператор в Л2(Й). Тогда
спектр оператора А2 состоит из изолированных собственных зна-
чений конечной алгебраической кратности и линейная оболочка
системы собственных и присоединенных векторов оператора А2
плотна в Ь2(&).

Доказательство. Вложение пространства Wim{By.}(H) в L2(£l)
компактно, следова!ельно, А2 — оператор с чисто точечным спек-
тром. Обозначим второе слагаемое в правой части (1) через Ви
Если X ф S & , то В (Л2 — ХЕ)"1 — непрерывное отображение прост-
ранства Е2(Й) в	Из (4.10.2/14) вытекает тогда, что опе-

ратор В(Л2 —ХЕ)"1, рассматриваемый как отображение простран-
ства L2 (Q) в себя, принадлежит классу n<Zp <оо. Приме-
няя теперь теорему 5.6.1/3, получаем нужный нам результат.

Замечание. * Плотность линейных комбинаций собственных
и присоединенных векторов эллиптического дифференциального
оператора была доказана Браудером [1,3] для задачи Дирихле
и Агмоном [2] —для общих граничных задач (см. также Жеймона
и Гривар [2]). В этих работах получены более общие результаты,
нежели сформулированный выше. В частности, ограничение р = 2
для операторов типа (1) не является необходимым. Для операто-
ров более общего вида нужны, однако, предположения другого
сорта.

5.6.4.	Функции Грина эллиптических
дифференциальных операторов

Один из наиболее часто применяемых методов исследования
распределения собственных значений дифференциальных операто-
ров состоит в изучении свойств соответствующей функции Грина.
Здесь мы займемся обратной процедурой. Используя (5.6.2/1),
мы установим дифференциальные свойства функций Грина, нося-
щие характер необходимых и достаточных условий.

Лемма. Пусть Q — ограниченная область класса С00. Тогда
при s^O

Ws2 (Q х Q) = (Fl (Й) & (Й)) f| (Ц (Q) ® Fl (Q)).	(1)

Доказательство. Шаг 1. Пусть s = 0, 1, 2, .... Поскольку
представляет собой ограниченную область, удовлет-
воряющую условию конуса, равенство (1) следует из теоремы (4.2.4)
и того факта, что C°°(QxQ) плотно как в левой, так и в правой
частях этого равенства.

Шаг 2. Пусть теперь 0<s<m, где т — натуральное число,
и пусть В— самосопряженный положительно-определенный опера-
тор в L2(Q) с областью определения D (B) = W™ (й). Так как
вложение W™ (Q) в L2 (Q) компактно, то оператор В имеет чисто
точечный спектр. Обозначим через его собственные значе-
ния (с учетом кратностей), а через {fj (х)}“=| — соответствующие
ортонормированные собственные векторы. Оператор ВфЕфДфВ,
действующий в£2(йхй), также будет иметь чисто точечный
спектр; его собственными значениями служат {X; +	а соб-

ственными функциями — {fj (х) fk(y)}pk==ь Согласно шагу 1,

W? (QxQ) = £(B®£ + £®B) = {/|/(x, i/) e£2(QxQ),

S	(2)

i,k = \

Пусть s = 6m, где 0<9< 1. Применяя теоремы 4.3.1/2 и 1.18.10,
получаем

№1(QxQ) = [L2(QxQ), ir2m(QxQ)J0 = D((B®£-f-£®B)0)
= D (В0) ® L2 (Й) fl L2 (Й) ® D (B0)
= Ws2 (Й) & L2 (Q) П L2 (Q) ® П (Й),
что и доказывает лемму.

Пусть оператор Л2 тот же, что и в теореме 5.4.2, и Л*— сопря-
женный к нему оператор. Тогда

£2(Й) = /?(Л2*)фЛ/(Л2)фЛ/(Л?).	(3)

Обозначим сужение оператора Л2 на R (Л2) через Л 2 (D (Л2) =
= П(Л2) fl £(Л2)). Оператор Л2 осуществляет изоморфизм О(Л2)
на 7?(Л2) = А?(Л2). Обратный оператор Л2‘ представляет собой
компактное отображение R (Л2) в R (Л2) (оба эти пространства рас-
сматриваются в норме В2).

Теорема. Пусть Q — ограниченная область класса С00, набор
операторов {Л, Blt ..., Вт} регулярно эллиптичен (определение
5.2.1/4) и 2т>п/2. Оператор Аг1 (см. абзац перед формули-
ровкой теоремы) представим в виде

(A2lf)(x) = \G(x, y)f(y)dy, гдеС(х, </)e^(QxQ),	(4)

о

если и только если

0sCp<2m — п/2.	(5)

Доказательство. Шаг 1. Операторы Л2Л2 и Л2Л2 суть самосо-
пряженные операторы в В2(й) (см., например, Рисе и Сёкефаль-
ви-Надь [1, § 119]). Оба они имеют чисто точечный спектр, как
это следует из теорем 5.4.2 и 5.4.1. В частности, D(A2A2) и
D (АМа) — замкнутые подпространства в lT2m(Q). Обозначим через
{X/}/Li положительные собственные значения оператора AfA2,
а через {/) (х)}“=1 — соответствующие ортонормированные собст-
венные функции. Из равенства N (А2 А2) = N (Аа) и равенств (3)
следует, что пространство

R (Аг*Аг) = La (Q) © N (А2*А2) = R (Аг*)

порождается функциями {//(х)}/°=ь Полагая^/(х) = Х71А2/7^П(Аг)>
имеем

А2A2*g/ = tfgj, (g,, gk)La =8j,k.	(6)

Поскольку, обратно, fj — %/1 A2gj, мы получаем таким образом все
положительные собственные значения и соответствующие прост-
ранства собственных векторов для оператора Л2Л*- В частности,
Т?(Л2) порождается функциями	Для g R (А2) = D (А?)

имеем

00	со

Ai'g = 2 Sj)l2 Mlgj = 2 i	(7)

/=1	/=1

Поэтому, если представление (4) имеет место, то мы можем фор-
мально записать

со

С(х, !/)= 2гШ&^	(8)

/=1 7

Шаг 2. Положим

Gn (х, у) = 2	е D <А^Аг ® £)•

При 0^р<2т —п/2

|| [(Аг A)p/4m ® L] Gn |1.<е х й) = S А/р/^-2.	(9)

/=1

Так как D (АМа) — замкнутое подпространство в 1Г2'"(£2), содер-
жащее 1^2'"(й), то на основании формул (5.6.1/6), (5.6.1/5), дока-
зательства теоремы 5.6.2 и формулы (4.10.2/14) мы имеем

(Ю)

Так как	то правая часть равенства (9) сходится

при N ->оо. Учитывая включение D(A2A2) cz Wim (й), а также
теоремы 1.18.10 и 4.3.1/2, заключаем, что

G(x,

Меняя местами А2А2 и Л2Л2 в предыдущих формулах и заменяя
СдДх, г/) на Gn(x, у), получаем, что

G (х, у) <= L2 (й) ® Г2Р (Й).

Теперь (4) следует из доказанной выше леммы (0 р < 2т — п/2).

Шаг 3. Предположим, что G (х, y)<=W2m~n/2 (й) (х)В2 (й),
и пусть В —самосопряженный оператор в £а(й) с областью опре-
деления D(B) = W2m~n/2 (й). Для geD(B) и f<=L2(Q) имеем

{Bg, \G(x, y)f(tj)dy)L* = $ G(x, у) Цу) (Bg) (x) dy dx
Q	QXQ

= $(£(•), BG(-, y))LJW)dy

-(g(-).	y)f(y)dy}Lt.

й

Следовательно,

Gf = \G(x, y)f(y)dy^D(B),
Q

B$G(-, y)f(y)dy = \BG(-> y)f(y)dy-

Так как BG(-, у) еВ2(Охй), то В является оператором Гиль-
берта-Шмидта, действующим из Ь2 (й) в Wlm~nl2(Q). Значит,
последовательность аппроксимационных чисел

{з/ (G; В2(й), Wlm~nl2 (й))}7=0

принадлежит пространству /2. Из (1.16.1/28) и (4.10.2/4) выво-
дим, что при /2^1

/	—2/П 1	\

з2ДС; Ь2(Й), В2(Й))^с/ » sy(G; £а(Й), wlm~n'2 (Й)/

Используя теперь (8) и (10), получаем, что

s2/ (G; L2 (Й), L2 (Й)) j-wn, /	1,

откуда вытекает, что

{sy(G; В2(Й), 1ГГ-',/2(Й))}^0^/2.

Мы пришли к противоречию, чем доказательство теоремы и
завершено.

Замечание 1. При доказательстве мы следовали работе
Трибеля [5] (см. также Трибель [1]). Можно показать, что уело-
вие 2m > п]2 не является необходимым. В общем случае следует
интерпретировать G(x, у) как обобщенную функцию из D' (Qxfi).
Однако здесь возникают некоторые затруднения, которые мы не
будем обсуждать, а отошлем читателя к работе Трибеля [5].

Замечание 2.* Проведенные выше рассмотрения лежат
несколько в стороне от традиционного направления исследований,
посвященных функциям Грина эллиптических дифференциальных
операторов. В этой области занимаются главным образом изуче-
нием локального поведения функций Грина, характеризацией
особенностей G (%, у) в окрестности диагонали х = у е Q и описа-
нием свойств гладкости G(x, у) в недиагональных точках %=##•
Грубо говоря, функция G (%, у) локально ведет себя так же, как
хорошо известное фундаментальное решение для оператора
Проведенные рассмотрения можно распространить также и на
неоднородные граничные задачи. Мы отсылаем читателя к работам
Березанского [1], Красовского [1—3], Матийчука и Эйдельмана
[1], Коваленко и Ройтберга [1] и Лоссиевской [1].

Замечание 3.* Доказательство теоремы указывает на тес-
ную связь между свойствами гладкости ядер интегральных опера-
торов и аппроксимационными числами соответствующих операторов.
Первые результаты в этом направлении были получены Гохбергом
и Крейном в [1, гл. III, § 10]. Эти результаты были затем обобщены
в работах Параски [1], Соболевского [1] и Трибеля [4, 12].

5.7. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ [ЧАСТЬ II]

Основная задача этой главы — изучение регулярных эллипти-
ческих дифференциальных операторов в невесовых пространствах
Лебега — Бесова, которым мы занимались в §§5.3 —5.5. Возможно
обобщить эти рассмотрения в различных направлениях. Мы опи-
шем здесь некоторые из них.

5.7.1.	Невесовые пространства Лебега — Бесова

В §§ 5.4 и 5.5 обсуждались граничные задачи в невесовых
пространствах Лебега — Бесова. При этом основными для нас были
пространства //£(&), где о^О, и <?(&), где о>0. Системати-
ческое распространение результатов этой теории на случай а=с0
дано в работах Лионса и Мадженеса ([1, в особенности VI; 2 I]
ц Мадженеса [1]. При этом используются методы, выходящие за
рамки наших рассмотрений. Однако, как мы сейчас покажем, и
оставаясь в этих рамках, можно распространить теоремы §§ 5.4
и 5.5 на некоторые отрицательные значения о. Для простоты
ограничимся однородными граничными задачами и предположим
еще, что 0 является элементом резольвентного множества нашего
оператора.

Теорема. Пусть й — ограниченная область класса С™, набор
операторов А, Вг...... Вт регулярно эллиптичен (определение

5.1.2/4) и 0 ^5Л(= SAp). Тогда оператор А осуществляет изо-
морфизм пространства Нр^вр (й) на HSP(Q), а также простран-
ства Bp+^Bf} (й) на Вр'9(&), где 1<р<со, 1/р— 1<$<оо и
1

Доказательство. Шаг 1. Если з^О, то для пространств Н наша
теорема по существу совпадает с утверждением (Ь) теоремы 5.5.1.
Для 1<р<оо и 1/р4-1 /р' = 1 положим

2 (-1)1°=1£>«(аа(х)«),

D (Ар') = {u\u^Hf (Й), CjU |аа = £ c]t а (х) £>“« |ао = 0
|®| < Г]

при / = 1, ..., т}.

Здесь Cjt а(х) и /у такие же, как и в (5.2.2/4). Используя теорему
5.4.2 и данный набросок ее доказательства, получаем, что набор
А', С1г ..., Ст регулярно эллиптичен. (Единственное отличие по
сравнению с теоремой 5.4.2 состоит в том, что теперь мы пред-
почитаем обойтись без комплексного сопряжения.) Используя этот
факт и равенство (5.6.4/3), заключаем, что	По теореме

5.4.4/2 имеем также	следовательно, по теореме 5.5.1 (Ь)

оператор (А'Р')', двойственный к А'р>, изоморфно отображает Lp (й)
на (Д- {Су} (й))'- Так как (А'р,)'и = Аи для иеС“(й), то А
изоморфно отображает	(й) на £Р(Й) и LP(Q) на

^Я*7{с.} (Й))'. Теоремы 1.11.2 и 4.3.3 показывают тогда, что
оператор А при 0<2т6 < 1/р' и 1<</<;оо является изомор-
физмом пространства Вр™^^6} (И) на пространство

4, № (""и	(г,)	<»

Из той же теоремы 4.3.3, определения 4.3.3/2 и теоремы 4.8.2
следует, что

[(Мй), ^(5;)(Q))e j'4bx,|5;)(Q)}'

= (В^,.(О))'=В-',”’(Я). (2)

Отсюда вытекает желаемое утверждение для пространств В, при
условии что 1/р — 1 < s < 0. Случай з > 0 рассматривается так же,
как в теореме 5.5.1 (Ь). Случай s = 0, равно как и случаи t/=l,
д==оо, получаются из теорем 4.3.1/1 и 4.3.3 интерполяцией.

Шаг 2. Доказательство для пространств Н проводится аналогич-
но, только вместо теоремы 1.11.2 нужно применить теорему 1.11.3.

Замечание!. В данном выше доказательстве существенно
используются формулы (1) и_(2). Выбирая специальным образом
граничные операторы Bj и Q, можно распространить теорему и
на другие отрицательные значения s. Например, в случае задачи
Дирихле для оператора А, когда BjU =	> 7 = 1, ... , /и, опера-

торы также дают задачу Дирихле (см. замечание 5.4.6/3).
Пусть O<2/n0<m + l/p', 2/и9 — 1/р'=#0, 1,..., m—1 и 1 <
<<7<оо. Из теорем 4.3.3 (см. определение 4.3.3/2), 4.7.1 и 4.8.2
следует, что тогда

[(Lp' (Я). Н^, {су} (й))е>	=	(й).	(3)

Применяя теоремы 4.3.3 и 4.3.1/1, получаем, что оператор А
с граничными условиями Дирихле осуществляет изоморфизм
пространства (й) на Hsp (й) и пространства	(й)

наВр.ДЙ) при1<р<оо, —/и—l + l/p<s<oo, s#=l/p—1,
1/р —2..... 1/р — т и 1«^</<оо.

Замечание 2. * Теоремы типа доказанной выше можно найти
у Лионса и Мадженеса ([1], в частности VI; 2 I) и Мадженеса [1].

5.7.2.	Весовые пространства Соболева-Бесова

Рассмотрения, касающиеся граничных задач для регулярных
эллиптических операторов, можно распространить на некоторые
весовые пространства Соболева — Бесова. Мы будем опираться на
один результат, полученный Жеймона и Гриваром [1] для весо-
вых пространств Соболева, который сформулируем здесь без
доказательства. Будем использовать обозначения из определения
3.2.1/4 и теоремы 3.3.3. Кроме того, обозначим через d(x) рас-
стояние от точки х е й до границы области дй.

Теорема 1. Пусть й — ограниченная область класса С00,
набор операторов А, Вг.....Вт регулярно эллиптичен (определе-

ние 5.2.1/4), 1<р<оо и —1<а<р —1.

(а)	Для s = 0, 1, 2, ... и и£Грт + 5(й; da (х))

I« ll^ + s (й. w) ~ II Аи |1 (й; р {х)} +1 и (й; w)
т

+ 2M“II 9m + s а+1 т • (1)
/ = 1 В	р / (0Q)

р- р
(Ь)	Справедливо включение

{u\u<=WT(& d“(x)), Aw = 0; В,и|3й=0,

j— 1, ..., т} с С00(й). (2)

Замечание 1. Теорема 3.6.1 гарантирует, что правая часть
соотношения (1) имеет смысл. Из той же теоремы следует, что
эту правую часть можно оценить сверху через левую. Основная
трудность состоит в доказательстве обратной оценки. Для этой цели
Жеймона и Гривар [1] обобщили методы Агмона, Дуг лиса и
Ниренберга [1]. Как явствует из введения к п. 3.6.1 и теоремы
3.6.1, распространить утверждение теоремы на случай а^(—1,
р — 1), вообще говоря, нельзя. Для случая а = 0 формула (1)
совпадает с формулой (5.3.4/1).

Замечание 2. Аналогично теореме 5.4.4/2 рассмотрим опера-
тор Ар’а\ определяемый соотношениями

Ар' а)и = Au, D (Aj>s’ “>) = W^/} (й; d“ (x))

= {«|«e^m+s(Q; d“(x)); By«|№ = 0,	m}. (3)

В силу (2),

НА^а>) = ЩАр)сС2,{В/}(й).	(4)

Это — обобщение первого из соотношений (5.4.4/8). Далее, как
вытекает из (1) и результатов Петре [2], подпространство 7? (Ар,а))
замкнуто. В частности, для случая а = 0 получаем, что оператор
А — КЕ при % ф SA осуществляет изоморфизм между пространствами
П(Ар'а>) и Н7р(й; d“ (х)). Из теоремы 3.6.1 следует, что оператор
31р’а), определяемый равенством

Sip’a)w = {Aw — Xw, BiW..Вти},	(5)

дает изоморфное отображение пространства Wi^n+s(Q; d“ (х)) на
пространство

т 2т+ s —	1 — т,

WSP(Q-, d“(x))x Пв₽. р Р W
Г = 1

В случае % е Sa

codim 7? (Sip ’ а)) = codim R (Ap ’ a)) < oo,

причем эти коразмерности не зависят от 1 <;/?<; оо, s = 0, 1,
2... и —1<а<р—1. Этот результат можно получить тем же
путем, что и раньше (теорема 5.4.4), если принять во внимание,
что С" (й) плотно в №р(й; d“(x)), и воспользоваться теоремой
3.2.2(c) и замечанием 3.2.2/2.
Последнее замечание показывает, что можно развить теорию
операторов Др’а) и Шр’а) в духе §§ 5.4 и 5.5. Для простоты
ограничимся случаем 0 Пространства Вр< Дй; da(x)\ а^О,
которые фигурируют в формулируемой ниже теореме, были опре-
делены в теореме 3.3.3.

Теорема 2. Пусть й — ограниченная область класса С^, набор
Д, В1? ..., Вт регулярно эллиптичен (определение 5.2.1/4), 1<
<р<оо,	l,s>0n 0 Тогда опе-

ратор и*—> А и осуществляет изоморфизм пространства

Bsp+q2m{B.}^-, d“(x))

= {« | и е= Bs+qm (й; da (х)); Bfu |ай = 0, / = 1.т}

на пространство BsPt q (й; da (%)), а оператор u*-*-{Au,
Вmu} —изоморфизм пространства Bsp+qm(Q\ da (х)) на простран-
ство

т

Bsp, Дй; da(x))x Y[B2Pmts~mi~(a + Wp(d&).

7=1

Доказательство. Шаг 1. Заметим прежде всего, что лемму 5.4.4
можно распространить на пространства №р7{"в.}(й; da (%)), s = 0,
1, 2, ..., а также на пространства Вр7^{ву}(й; da (х)), s>0.
Это следует из доказательства этой леммы и доказательства
теорем 3.6.1 и 3.6.3. Воспользовавшись такой модифицированной
леммой и теоремами 1.17.1/1 и 3.3.3, получим

d“«).

Теперь из замечания 2 и теоремы 3.3.3 вытекает, что А осущест-
вляет изоморфизм между Вр^^вДй; da (х)) и Вр, Дй; d“(x))
при s>0.

Шаг 2. Вновь используя модифицированную лемму 5.4.4, мы
можем перенести доказательство теоремы 5.4.5 на интересующий
нас случай. Из теоремы 3.6.3 следует тогда, что отображение
и>—*{Ли, Вги, .... Вти} является изоморфизмом пространства
вДДДй; сГ (х)) на пространство

в’.Дй; <Г(х))х Пв2т+5-т/-(Об+1)/р(ай).

/=1

Замечание 3. В отличие от теоремы 1, в теореме 2 мы огра-
ничились случаем ocSsO. Причина состоит в том, что теория
интерполяции была нами развита только для этого случая.
Замечание 4. В связи с теоремой 2 укажем на работу
Гуджо [1], который получил близкие результаты, частично и для
случая отрицательных значений s (в духе теоремы 5.7.1). См. также
Фортунато [1].

5.7.3.	Пространства Гёльдера

Для полноты картины обсудим кратко граничные задачи для
регулярных эллиптических операторов в пространствах Гёльдера.
Если й — ограниченная область класса Сот, то мы можем ввести
в рассмотрение пространства С?(дй), /^0, аналогично тому, как
это было сделано в определении 3.6.1. Будем также использовать
пространства С‘ (Rn-i) из определения 2.7.1. Поскольку метод ясен,
вдаваться в детали мы уже не будем.

Теорема. Пусть й — ограниченная область класса С03 и набор
операторов А, Вх,..., Вт рееулярно_эллиптичен (определение 5.2.1/4).

(а)	Для нецелых t>d и и е C2m+Z(й)

II ы Jc2/n-|-/(Q)||Л и Н“|| w ||£°<Q)2 Л ^7^ Hc2zn—/П/+<(ЙЙ)’ (1)

(Ь)	Если 0 ф SA, то и при нецелых отображение и^Аи
является изоморфизмом пространства

С^Д/(Й)={ц|ие=С2'л+'(й); Вуы|5а = 0, /=1, ..., т}
на пространство С* (й), а отображение *{Лп, Ви, .... Вти}—
изоморфизмом пространства C2m+t (Й) на пространство

C'(Q)x ft С2'я+'-"’/(дЙ).

/=1

Замечание 1. Соотношение (1) доказано в работе Агмона,
Дуглиса и Ниренберга [1]. Это основной результат теоремы.
Утверждение (Ь) вытекает из (1) и предыдущих рассмотрений.
Распространить (1) на случай целых / = 0, 1, 2, ... нельзя.

Замечание 2.* Оценки типа (1) впервые были получены
для эллиптических дифференциальных операторов второго порядка
Шаудером [1, 2]. Оценки Шаудера улучшались и обобщались
Дуглисом и Ниренбергом [1], Морри [2] и Мирандой [1]. Приве-
денная выше формулировка (1) принадлежит Агмону, Дуглису
и Ниренбергу [1]. Дальнейшие литературные указания можно
найти у Миранды [1 j.
6.	Сильно вырождающиеся
эллиптические дифференциальные
операторы

6.1.	ВВЕДЕНИЕ

В последние годы наряду с регулярными эллиптическими
дифференциальными операторами стали интенсивно изучать вырож-
дающиеся эллиптические дифференциальные операторы. Существует
много самых разнообразных типов вырождения. Область й с/?„
может быть неограничена; коэффициенты дифференциального опе-
ратора могут быть сингулярны при | х j ->оо или х->дй, либо они
могут иметь сингулярности внутри й. Условие эллиптичности
(4.9.1/2) может вырождаться при х->дЙ. Ясно, что возможны
еще различные сочетания этих типов вырождения и вряд ли можно
надеяться охватить их все единой теорией. Эта и последующая
главы посвящены рассмотрению некоторых (достаточно широких)
классов вырождающихся операторов. Класс, рассматриваемый в
настоящей главе, характеризуется очень сильным вырождением
коэффициентов операторов вблизи границы (и на бесконечности).
Отсюда следует, что в данном случае граница не играет никакой
роли (в отличие от случая регулярных эллиптических дифферен-
циальных операторов, которым мы занимались в предыдущей главе).
Например, формально самосопряженный оператор такого типа
с областью определения С?(й) будет существенно самосопряжен
в ^(Й)1.

6.2.	ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ
РАССМОТРЕНИЯ

В этом параграфе определяются классы операторов, которые
мы будем рассматривать в настоящей главе. Кроме того, вводятся
некоторые связанные с ними локально-выпуклые пространства и
доказывается ряд простых свойств этих пространств.

6.2.1.	Определения

Для йс/?„ через C°°(Q), как обычно, обозначается множе-
ство всех бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функ-
ций, определенных в Й.

1 То есть замыкание этого оператора будет самосопряженным оператором
в Lt(Q), см. ниже теорему 6.4,1,—Прим, перев.
Определение 1. Пусть Q — произвольная область в Rn-
Далее , пусть р (х) е С00 (Q) — положительная функция, такая, что
1° для любого мультииндекса у существует такое положитель-
ное число cv, что

I W I ^yP1 +171 (х) &ля всех х е	(О

2Q для любого положительного числа К существуют числа 8/<>0
и Гк>0, такие, что

р (х) > если d (х) или | х | rK (х е й) (2)
(d (х) — расстояние до границы).

Обозначим через Sp (Q) локально-выпуклое пространство

SpW(^) = {/|/eCoo(Q), |/|z,a=sup pz(x)|D“/(x)|<OO

X G Q

для всех Z — О, 1, 2, ... и всех мультииндексов а}.	(3)

Замечание 1. Сравнивая это определение с определением
3.2.3/1, мы видим, что условие (3.2.3/1) заменено более сильным
предположением (1). Однако функции р(х), рассмотренные в заме-
чании 3.2.3/1, удовлетворяют также и условиям данного опреде-
ления. В частности, в каждой ограниченной области существуют
функции р(х), для которых р~х(х) по существу совпадает с d(x).

Определение 2. Пусть Q cz Rn —произвольная область и
р(х) — весовая функция из определения 1. Далее, пусть т —нату-
ральное число, а ре и v — вещественные числа, причем v>p + 2m.
Положим

K1 = ^-(V(2m~l) + pi), 1 = 0,1.....2т.	(4)

(а)	Класс %™' v (£2; р (х)) состоит из всех дифференциальных
операторов вида

т

Аи=^ 2 Р*2/(*) М*) £>а« + S a₽(x)D₽w.	(5)

I = О J ex I = 21	| PI <2m

Здесь &a(x)eC°°(Q) (|a | = 21, где 1 = 0, 1, .... m) — веществен-
ные функции, все производные которых (включая сами функции)
ограничены в Q. Кроме того, предполагается, что существует
такое положительное число С, что для всех £ е /?п « всех х е Q

(-1Г S ba(x)la^C\l\^, &(о........о)(4^С,	(6а)

| а | = 2т

(- 1)г Ц ba(x)^^0, 1=1, т — 1	(6Ь)

|а|«2/
(условие эллиптичности). Наконец, ар (х) е С00 (Q) (О 10 | < 2m) и
Dva$ (х) = о (pxi ₽ I+1 v 1 (х)) для любого мультииндекса у. (7а)
(Это означает, что для каждого е>0 существует такое нату-
ральное число j (е), что

|DVap(x)|^ep’ti₽i + lvl (х) при xefi\QW»,	(7bj

где обозначение QO) имеет тот же смысл, что и в определе-
нии 3.2.3/1.)

(Ь)	Подкласс ЭДц, V(Q; р(х)) класса ЭД™, V(H; р(х)) состоит из
всех тех операторов, входящих в V(Q; р(х))> для которых
существует положительное число 6>0, такое, что

ртар(х) = 0(рх1₽1 + |7|~в)	(8)

для О | 0 | < 2m и для всех мультииндексов у.

Замечание 2. Ясно, что условие (8) сильнее, чем (7).

Замечание 3. Классы ЭД™, v (Q; р (х)) и ЭД™, v (И; р(х)) являются
довольно широкими классами вырождающихся эллиптических диф-
ференциальных операторов. Приведем два простых примера.

(а)	Если Q — произвольная ограниченная область и р-1 (x)~d (х)
в смысле замечания 3.2.3/1, то оператор А, задаваемый формулой

Лм = р|Л(х)(—А)т « + pv(х) и, v>ji-|-2m,

принадлежит ЭДц, V(Q; р(х)). В случае когда Q — ограниченная
область класса С°°, можно вблизи границы положить р (х) = d-1 (х).

(Ь)	Если Q = то любой оператор вида

Au = (1 +1 х |8)я« (— Д)т и + (1 4-1 х |2)”2 и., т]а > т]1(

принадлежит классу ЭД™,/б, ve G + |х|2)6) Для достаточно малых
6>0.

Замечание 4. * Приведенное определение принадлежит
Трибелю [24]. Изучение дифференциальных операторов такого
типа тесно связано с изучением структуры ядерных функциональ-
ных пространств. Мы обратимся к этому вопросу в гл. 8. Част-
ный случай операторов вида

Аи —— A«+pv(x)u, v>2,

в ограниченных областях был рассмотрен в этой связи Трибе-
лем [2]. Обобщением и уточнением этих рассмотрений и распро-
странением их на случай неограниченных областей занимались
Мюллер-Пфайффер [1, 2], Лангеманн [1, 2], Книперт [1] и Три-
бель [10, 24]. Изучению сходных дифференциальных операторов
посвящены работы Багирова [1] и Багирова и Фейгина [1].
6.2.2.	Степени сильно вырождающихся эллиптических
дифференциальных операторов

Для дальнейшего нам понадобится тот факт, что степени опе-
раторов, сильно вырождающихся в смысле определения 6.2.1/2,
являются операторами того же типа.

Лемма, (а) Если А е V(Q; р(х)) (см. определение 6.2.1/2),
то	kv(^\ pW) для £ = 1, 2, ....

(b) Если А е Шц v (^; р (*)), то Ak е kv (й; Р W) для
£=1, 2, ....

Доказательство. Доказательство проводится по индукции. Пред*
положим, что лемма справедлива для k—1, ...» /. Тогда

U (x)b^(x)Dau+ £ a^(x)Dhi, (1)

I = 0 | а| =2/	| p | = 2mj

< = 0,1.....2m/,

Коэффициенты здесь обладают свойствами, указанными в опреде-
лении 6.2.1/2. Поскольку

xP+Xj= xHjts0, / = 0, 1........2mj, s = 0, 1, .... 2т,	(2)

«главная часть» оператора Л/+1м = А< (Аи) удовлетворяет всем
нужным условиям (включая условие (6.2.1/6)). Используя соот-
ношения

| DYpx (х) | сри+1 * v1 (х) (х — вещественное число) (3)
и

+x^ + lTl = x)/+l;I>+IVl<xz/-jts1-ivi для °<lvl<z+s> (4)
получаем, что второе слагаемое в (1) также имеет требуемый вид.
Это рассуждение годится и для того случая, когда А является
элементом ЭД™, V(Q; р(х)).

6.2.3. Свойства пространств Sp(x)(Q)

Пространством типа (F)1 называется всякое полное локально-
выпуклое пространство, топология которого порождается счетным
множеством полунорм.

Теорема, (а) Пространство SP^)(Q) из определения 6.2.1/1
является пространством типа (F). Пространство СТ (й) содер-
жится в нем в качестве плотного подмножества.

1 Или пространством Фреше.—Прим. ред.

17 X, Трибель
(Ь)	Если существует такое число а>0, что р~а (х) еLx (Q),
то для всех р,

Sp (х) (й) cz Lp (Q)	(1)

(топологическое вложение).

(с)	Если условие (1) выполнено для некоторого р, 1^р<оо,
то существует такое число а>0, что р~а (х) s L1 (Q).

Доказательство. Шаг 1. Докажем, что Со° (Q) плотно в Sp(X) (Q).
Пусть области QW — такие же, как в определении 3.2.3/1. Суще-
ствуют функции ф; (x)	Co°(Q(y+1)), удовлетворяющие условиям

Фу(х) = 1 при ХЕЙ(У) и |£Пф; (х) I VI	(2)

для j = N> Af-f-l, ... и для всех мультииндексов у; см. замеча-
ние 3.2.3/2. (Вне QCM) полагаем фу(х) = 0.) Для всякой функции
f е 5Р (х) (Q) функции фу (х) f (х) е Со° (Q) аппроксимируют ее
в Sp(X)(Q). Легко видеть, что Sp (дг) (Q) — пространство типа (F).

Шаг 2. Утверждение (Ь) очевидно. Докажем (с). Покажем сна-
чала, что существует число &>0, для которого

/ = #,# + !,... .	(3)

Допустим, что такого числа b не существует. Фиксируем нату-
ральное число k и последовательность

О < аг < а2 < ... < at < ..., at -> оо при I -> оо. (4)
Найдутся натуральные числа jz > А/ + 1, такие, что

I (Л+1) (Л)| i

|й \Й \>atl, ji+1-fi^k.	(5)

Выберем теперь k достаточно большим и положим

для	/ = 1,2, ...,

(	0 для остальных хей.

Используя метод усреднения Соболева, описанный в доказатель-
стве леммы 2.5.1, и полагая

( _h	(h+3) <’г~2)

v = J(m)c2 1 (x) для x e Й \Й

I 0 для остальных хей,

где с>0 достаточно мало, получаем, что »еС“(Й) и

Im а I Цт /z|a| -/,₽-*	/ аР~1

IP (x)D У(х)|^с2 2 al =с^2т+17т/
для	2\ Следовательно, asS(,w(Q). С другой

стороны, в силу (5),

J | v (х) |р dx $== У, J | v (х) |р dx
аб	\ аб

2j ai IQ \Q I = oo.

/ = 1

Но это противоречит вложению (1). Тем самым неравенство (3)
доказано. Поэтому для а>0, такого, что 2а>Ь, имеем

\p~a(x)dx^ У J	p'a(x)dx + c

й	i=N q(/4-D\q(/)

^с + с' 2 2~iabi <оо.

Замечание 1. Если Q— ограниченная область, то р~а(х)
принадлежит /^(Q) для всех а^О. Одна из основных целей этой
главы — построение Ьр-теории для операторов, введенных в опре-
делении 6.2.1/2. Для этой цели условие (1) является естественным
требованием. Из доказанной теоремы видно, что вложение (1)
эквивалентно условию

Ва>0, для которого р~а (х) е (Q).	(6)

Замечание 2. В дальнейшем мы покажем, что при выпол-
нении условия (6) пространство SP(X)(Q) является ядерным про-
странством типа (F), изоморфным пространству s быстро убываю-
щих последовательностей. Легко видеть, что пространство Шварца
S (Rn) представляет собой частный случай таких пространств.

Лемма. Пусть Q cz Rn — ограниченная область и р"1 (х) ~
~ d (х) — регуляризованное расстояние в смысле замечания 3.2.3/1.
Тогда справедливо равенство (в алгебраическом и топологическом
смысле)

SpW(Q) = Co00(Q) = {/|/eCo00(/?n); supp/cQ}, (7)
где топология в Со (й) порождается полунормами sup \Daf(x) |,
О |а | < оо.

Доказательство. Нетрудно видеть, что Sp (ж) (Q) и Cq° (Q) совпа-
дают как множества (вне области Q функции из Sp (х) (Q) доопре-
деляются нулем). Далее, Со° (Q) является пространством типа (F)
и топология Sp(X) (Q) сильнее, чем топология Со° (й). Поэтому,
17*
согласно теореме о замкнутом графике (см. Данфорд и Шварц
[1, I, § П. 2, теорема 5), топологии пространств Sp(a;)(Q) и Cq°(Q)
совпадают между собой.

6.3.	АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ

Главной целью этой главы является изучение отображений,
осуществляемых операторами, введенными в определении 6.2.1/2
в рамках Lp-теории. При этом изучении важную роль будут играть
априорные оценки (которые мы получим в настоящем параграфе)
и 12-теория для специальных самосопряженных операторов такого
типа (§ 6.4). На этой основе мы сможем, используя весовые про-
странства Соболева — Лебега — Бесова, доказать в следующих
параграфах теоремы об изоморфизме.

6.3.1.	Эквивалентные нормы в пространствах №^((2; рц; pv)

Лемма. Пусть р (х) — весовая функция из определения 3.2.3/1.

Далее, пусть k = 0, 1,2,..., 1 < р < оо, v р + kp и {ф/ (x)}/Laz е
р) (см. определение 3.2.3/1). Тогда существуют

(а)	шары КТ = {х 11 х — xjt 11 < d2'1}, (где d>0 не зависит от j),
такие, что

nj

(J KPcfiMUQ/+1> j = N,N+\,...,	(1)

Z==1

(Qa^i^Qa), причем самое большее L из этих шаров могут иметь
непустое пересечение (где L — некоторое натуральное число);

(Ь)	системы функций (х)}^, j = N, W + 1, ...» такие, что

NJ

о < ф/> (х) - 1, <р/> (X) е= Со00 т, 2 фР (X) = 1

1= 1

| /ЭЛрИ* (х) |	с$1 v 1,

/ = /V, ДГ+1,

(вне шара полагаем <p/z) (х) = 0).
Далее,

при X е йу,

/=1.../V/,	|?|>о

(2)

(3)

N,

V* ( с; Р>\ pv)	। W'V \Pwk (Rj

+ 2''1%Ф?Ж(*Л))

i/p

(4)

является эквивалентной нормой в №*(й; рм; pv) (см. определение
3.2.3/2 и теорему 3.2.4/2).
Доказательство. Существование шаров КР и функций <рР(х)
следует из свойств областей см. замечание 3.2.3/2. Далее, для
функций фР (х) справедлива лемма 3.2.4/1. Отсюда вытекает,
как и в доказательстве теоремы 3.2.4/1, что формула (4) опре*
деляет эквивалентную норму в ри; pv).

Замечание. Величина d, определяющая радиус шаров, может
быть выбрана сколь угодно малой. В следующем пункте мы вос-
пользуемся этим обстоятельством.

6.3.2.	Априорные оценки

Теорема. Пусть А е s2l£v(Q; р(х)) (см. определение 6.2Л/2),
где v0. Пусть, далее, % — вещественное число и 1<р<оэ.
Тогда существует вещественное число clt такое, что для любого
комплексного числа X с ReX^Cj можно указать положительные
числа с2 и cs, для которых при всех ue№pm(Q; px+w; px+pv)
справедливы неравенства

сгIIиil^2"»(q; р»«+ ри. рх+pv)^ 1 Аи — 2м |lip(Q. рн)

^csllMllU72m(Q. рх+рц. pH + pvy (1)

Доказательство. Шаг 1. Справедливость левой оценки вытекает
из теорем 3.2.4/2 и 3.2.4/3 (а). (Здесь используется предположение,
что v^O.)

Шаг 2. Для доказательства правой оценки в (1) предположим
сначала, что носитель функции и (Q) содержится в одном
из шаров КГ, определенных в лемме 6.3.1. Пусть х;,* обозначает
центр шара К*’. Положим

A1U = 2 U P*aZ (х/. ь) ь<* (х/,Dau — Xu,

I = 0 I а | = 2/

т

А3и = 2 2 [ри^ (х) ba (х) - px2z (х7> *) ba (xh ft)] Dau,

1 = 0 |a| = 2Z

А3и = У а₽ (х) №и.

I 31 < 2т

Тогда

А и — 2м = А1Ц + А3и + А3и.

Доопределяя а(х) вне КУ* нулем, имеем

1 AiU |£р (Q; р*)

СР* (Xj.k) \	2 р*21 (Xj, k) ьа (Xj, k) Dau - Xu dx.

nn Z = 0|a|=2Z	I
Производя замену координат

х = р ^~(х,,к)у, u(x) = v(y),

(2)

, 21 .	.

и учитывая, что x2z + -2^’(v — H) = v» получаем с помощью пре-
образования Фурье

„ л „п	_ XH-Vp--r— (V —Ц)

М1«11ьр(я; ри)^Ф 2т (Xj.k)

Г т

XF-1 2 S (-l)lba(xJ.k)la-Kp-v(,x),k) Fv

L/ = 0|a| = 2Z	J

|P

- (3)
rp ( *n)

где с>0 не зависит от /, k и А. Из замечания 2.2.4/4 и опре-
деления 6.2.1/2 следует, что

/ т	\-1

s S (-Wba(xhk)^-U>-4xj,k)\

\/ = 0|a|-2Z	/

и

(т

l = О I а | = 21

являются мультипликаторами для Rei «с О, причем число В,
фигурирующее в замечании 2.2.4/4, не зависит от %, j и k, а зави-
сит лишь от константы эллиптичности С в условии (6.2.1/6). На
основании замечания 2.2.4/4 мы заключаем, что

т

2

/ = 0

/7-1

S (- l)z ba (xJt k) - Xp-v (Х/ k) Fv

I a | = 2Z

Гр(^п)

c (|| F-i (1 +1 g |Г Fv \\Lp (*n) +1К | p-v (x7, k) j v \\Lp (xn))9

где константа c>0 зависит только от С, но не от %, / и k. Под-
ставляя этот результат в оценку (3) и возвращаясь к старым
координатам х в (2), получим

Р Л1М ||£₽(0: Р«)

c1PK+vp-^{Xh	т 11^||£р(₽я)

+^'||£р7Ля) + !1|ф-^(х/1Й)|о||£р(Лл))

+ px+vp (ху> k) li и \lp (Rn) + | A, J₽pX (X/, ь) I M Кд(Яя)]

с» Iu 11^2/n (fl. P«+ PH. pX+ pv) + <4 | |₽ II w Hip (£1; pK)'	(4)
Здесь сх, с2, с3 и с4 — положительные числа, зависящие только от
константы эллиптичности С, но не зависящие от X, / и k; Re
Для того чтобы оценить А3и, выберем число d достаточно ма-
лым (см. замечание 6.3.1). Тогда для xe/tf’ будем иметь

|рХу(х) Ьа (х) - ри2' (х/. А) ba (хЛ k |<c2z (н^+ ')|х - хм|<е2/х«.
Здесь е > 0 — заданное число, d = d (s) >• 0. В силу теорем 3.2.4/2
и 3.2.4/3,

р	|а|<2пгй

8 f и II w2m (Q. рЯ+ цр. ри+vp)'	(5)

Здесь е" > 0 — заданное число, d = d(e")>0. Если <в — ограничен-
ная область, причем о cz й, то

1011	<’l“^”™+c(8,l“lv«

U ’ W2pm (Я; р« + ИР; рИ+vp)^-8	^U^p(n:p«)'

Здесь г' >» 0 — заданное число. (Эти неравенства вытекают из
оценки, аналогичной (4.10.1/13).) Используя эту оценку и пред-
положения относительно коэффициентов ар (х), заключаем на осно-
вании теорем 3.2.4/2 и 3.2.4/3, что

' Л-“	»») < ‘ Ч" to »«+ »«+’-) + С(',1“СР<Я. .«)• (6)

Наконец, выбирая соответствующим образом е и е", в силу оце-
нок (4) —(6) получаем

II Au - Ku |^(а; рН)	lpw2m (Q. pX + p|i; рЯ+

+ (с21% |р —c3)||a ||^(й; рИ), (7)
где ReXscO. Здесь положительные числа сх и с2 зависят только
от С, а с3 зависит от С и от констант в оценках (6.2.1/7) для
£ЛЬа(х) и Dvap(x). (Ясно, что эти числа зависят также от фикси-
рованной области й и фиксированной функции р (х).)

Шаг 3. Пусть и 6= W2pm (й; px+w>; px+vp)- Из леммы 6.3.1

00 Nj

и оценки (7) при с2|Х|р —с3^0 и и= У, У	вытекает,

/=Л/ А = 1

что

С1II « 11^2т (а; рх+цр. рх+ Vp) + (^2 I 1₽ — Сз) I« l[ja. рХ)

СО Nj	/Q\

< Ci 2 2 1 А >И) “ и ||£ (□• рХ).

i-nЙ=1	₽
Далее,

Л (Ф/Ф^«) —	= ф/Фр (Ли — 1м)

+ У Ср, а (%) О“ (фуф^) D₽«-	(9)

IP К2m

1 < | а К 2m — 10 |

Из оценки Х|Я|+|р| + |а|<Н|р| для |а|э=1 следует, что

ср, a(x)Da ($,<№) = 0(рИ| “। +1 ₽ । р|а') = О (ри1 ₽ । ~6),

где 6 > 0 — подходящее число. Аналогично шагу 2 имеем

оо Nj

У У! II л (Ф/ф^’и) - Хфуф^’и |£ (0; рИ)

/ = 7VA?=1	р

^clAu-lufL (а.^+с 2	^рХ+^р.-б' (х) |Dfiu |pdx

р ’	10 | < 2m й

<с	|£р (0: рХ)+8 II и \Цт (0, рИ+рИ+pv)

+ *(8)11 «|^(О; ри).	(Ю)

Подставляя это неравенство в (8) и выбирая е = с1/2, a ReX
достаточно малым, получим правую оценку в (1).

Замечание 1. Из доказательства следует более точный
результат, чем тот, который сформулирован в теореме. Именно,
существуют вещественное число сх и положительное число с2, такие,
что для всех комплексных чисел X, ReV-Cq, и всех и^
^Wpm(£l; рх+рц; px+pv) справедливо неравенство

^Au — Ui ||£^Д; рХ) ^с2 IIU II ^2т(й; рх+цр. px+v£)

+^^lkllLp(Q;px). (11)

Числа и с2 зависят только от константы эллиптичности С
в условиях (6.2.1/6), констант в оценках для Dyba(x) и Dya$(x)
и от порядка малости функции Dya$(x) в условиях (6.2.1/7),
а также от Q, р(х), р и и. В дальнейшем мы используем этот
более точный вариант оценки (1).

Замечание 2. Предположение, что v 0, необходимо только
для доказательства левой части оценки (1). Легко видеть, что
это предположение естественно. Именно, если v<0 и Х<0, то
А —принадлежит 81^, о(^; р(#))> но не v(&; р (*))• В этом
случае член — Хи входит в «главную часть» выражения А — ХЕ
и оценку вида (1), вообще говоря, нельзя получить. Пусть v^O.
Так как к в неравенстве (1) — произвольное число, то легко видеть,
что можно заменить Хи на Хра(х)и при a^v. Отсюда следует,
что в такой формулировке теоремы не обязательно требовать, чтобы
vj^O. Мы вернемся к этому вопросу в теореме 6.5.1,

6.4.	£2-ТЕОРИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРА — A+pv(x), v>2

Результаты этого параграфа в совокупности с априорными
оценками § 6.3 образуют базу для дальнейших рассмотрений.
Однако эти результаты представляют и самостоятельный интерес.
Вместе с теоремой 6.6.1 они послужат в гл. 8 основой для постро-
ения структурной теории пространств SP(X) (Q).

6.4.1.	Самосопряженность

Лемма. /7усть О <= Rn — произвольная область, и пусть Дм = 0
для u^D'(Q). Тогда и — гармоническая функция в классическом
смысле.

Доказательство. Пусть ф е Со° (й). Тогда <рм можно обычным
образом рассматривать как обобщенную функцию, принадлежащую
Е'(Rn) с S' (Rn) (см., например, Трибель [17, стр. 49—50 и 103]).
Из свойств обобщенных функций, принадлежащих Е' (Rn), и вло»
жения (2.8.1/16) вытекает, что для феСо°(7?л)

I (ф«) (Ф) I Ci I1 Ф lh(дл) < IIФII wi2 (R •

Здесь k — некоторое натуральное число, а / — такое натуральное
число, что />^ + «/2. В силу теоремы 2.6.1, <рм е	(7?я),

Далее, имеем (в смысле обобщенных функций из D' (Rn))

п

Используя теорему 2.3.4 при з = — 2 (или обычные правила для
преобразования Фурье в S' (/?„)), получаем, что <рм е WTl+1 (Rn)-
Вместе с (1) это дает сри <=	2 (Rn)- Повторное применение

этого рассуждения и вложение (2.8.1/16) показывают, что <рые

ОО

6= Q Wl (Rn) cz С°° (Rn)- Тем самым лемма доказана.

/ = —со

Замечание 1.* Утверждения о дифференциальных свойст-
вах типа приведенной выше леммы хорошо известны в литературе
(теоремы типа Вейля, свойства гипоэллиптичности). Лемму можно
существенно обобщить. См., например, работу Хелльвига [1 IV,
3.4./3.5] и указанную там литературу, а также книгу Хёрман-
дера [3J.
Теорема. В предположениях определения 6,2.1/2 оператор А,
задаваемый соотношениями

Аи~ — A« + pv (х) и, v>2, О(Л) = С?°(Й),

существенно самосопряжен в L2(Q). ^г0 замыкание А является
оператором с чисто точечным спектром.

Доказательство. Шаг 1. Ясно, что А — симметричный положи-
тельно-определенный оператор. Покажем, что N ((Л + а1?)*) = {0}
для достаточно больших а > 0. Отсюда в силу хорошо известных
теорем будет следовать самосопряженность оператора Л (см.,
например, Трибель [17, стр. 206—207]). Пусть Л*^4-ау = 0.
Тогда, в смысле теории обобщенных функций,

— At> + pv(x)^ + cw = 0,	(2)

Если со —ограниченная область класса С°°, такая, что ©czQ, то
уравнение

—	== _ av — pv (х) v е L2 (со)	(3)

имеет решение w е W% (со) f) W2 (со). (Это — граничная задача Дири-
хле для оператора —А. Заметим, что —А удовлетворяет предпо-
ложениям теоремы 4.9.1. См. также замечание 4.9.1/3. Поскольку
оператор —А положительно-определен на (со) (]	(со), то по

теореме 5.4.4/1 нуль является элементом резольвентного множе-
ства.) Применяя лемму к функции v — wf получим, что v е WI (со).
Но тогда, в силу теоремы 5.4.1 и соотношения (3), функция w
принадлежит (со). Снова применяя лемму, заключаем, что
v^. W% (со). Повторное применение этого рассуждения и вложение
(2.8.1/16) дают ti^C°°(Q).

Шаг 2. Для доказательства самосопряженности оператора А
остается показать, что для достаточно больших а>0 функция
t>(x), являющаяся решением уравнения

— Ау + pv (х) v + av = 0, v (х) е С00 (П) П (Q),	(4)

тождественно равна нулю. Не ограничивая общности, мы можем
считать, что v (х) — вещественная функция. Возьмем последова-
тельность {%}/Ln е Т (определение 3.2.3/1) и положим

<Р/ (х) = (pv (х) + а)-1/2 2	(X) е Со00 (й), j = N, N +1.

l=N

Тогда

J(—Acpyu + p^/y+aqiyOjqjyvdx^ W 2^1	(5)

а ’	av=7v /
Из (4), (5) и равенства

2 У 11	„ =

dxk dxk^J 2 dxk dxk
£=1	k=l

следует, что

С I 1 VI dv*	\ С / VI \2

J “ т L-di •	J 2	<6>

Й \	£=1	/ й \/ = N /

Учитывая свойства функций р(х) и ф/(х), с помощью интегриро-
вания по частям получаем

+ / 7 \2

c22'-v> J v2 dx + с J (p^yj%)3 2 ) у2 dx‘
Q	а	’ \i—N /

Поскольку v>2, то, выбирая а достаточно большим, можно
сделать первый множитель в последнем интеграле как угодно
малым, независимо от /. Перенося это слагаемое в левую часть
неравенства и устремляя / к оо, заключаем, что и(х)^О.

Шаг 3. Нам нужно еще доказать, что оператор А имеет чисто
точечный спектр. Из теорем 6.3.2 и 3.2.4/1 вытекает, что

£>(Л) = №!(Й; 1; p2v).	(8)

По теореме Реллиха (см., например, Трибель [17, стр. 277])
достаточно доказать, что D (Л) компактно вложено в £2 ($)• Если
%; (х) — характеристическая функция области й<7) из определения
3.2.3/1, то, в силу компактности вложения 1П(Пу)) в £2(Й^>)
(теорема 3.2.5), множество

м/ = {%/ (*) « W III« (х) IИ (а; 1; p2V) 1}

предкомпактно в £2(й). Из неравенства

1 -%/(x)i2\u(x)l2dx^2~2iv Jp2v|«|2dx
a	q

следует, что М} для /S=/0(e) является предкомпактной е-сетью
для образа в £2(й) единичного шара из £>(Л). Значит, вложение
D (Л) в £2 (й) компактно.

Замечание 2. * Приведенное выше доказательство принад-
лежит Трибелю [2]. Используемый в нем метод, в частности
оценки типа (6) и (7), восходит к Винхольтцу [1] (см. также
Глазман [2, гл. 1, теорема 3.5]).
6.4.2.	Собственные функции

Теорема. Если А — оператор из теоремы 6.4.1, то собст-
венные функции оператора А принадлежат Sp (л) (Й) (определение
6.2.1/1).

Доказательство. Шаг 1. Начнем с одного предварительного
замечания. Пусть аеА2(й), и пусть

— At> + pv(x) v = g^L.2 (й)

в смысле теории обобщенных функций. Мы утверждаем, что тогда
v принадлежит D (Л). Действительно, для <р е Со (й) имеем

(о, Л<р)ь2 = (g, <р)ьг.

Значит, v е D (А*) = D (А).

Шаг 2. Пусть 1 — собственное значение оператора А и и(х) —
отвечающая ему собственная функция: Аи = Ки. Тогда, в смысле
теории обобщенных функций,

— A« + pv(x) и = Ки.	(1)

Далее, в силу (6.4.1/8) и шага 1 доказательства теоремы 6.4.1,
имеем

и е (Q; 1; p2v) П (Й).	(2)

Покажем, что р“(х)«(х) принадлежит D!(Л) = ИЩЙ; 1; p2v) для
любого aSsO. Пусть 2e = v —2>0. Будем рассуждать по индук-
ции. Предположим, что функция p8CZ-1)u принадлежит £>(Л) для
некоторого натурального числа /. Докажем, что тогда р^и е
eD(4). Справедливо равенство

п

— Д (p8/«) + pv(p8/«) =А,р8/м —2 2	«Дре/- (3)

6=1

Так как p®O-i)^ принадлежит £)(Л), то из равенства (6.4.1/8) и
теоремы 3.2.4/3 вытекает, что

р®>+21 и К ср8 О-D+v | и | G= L2 (Q),	(4)

V	V

н I dxk |	1	I dxk | и | dxk 4	dxk |

| + ^+e</“1)+1 l«l <= L2(Q).	(5)

Отсюда следует, что t» = p8Z« и правая часть равенства (3) при-
надлежит L2 (й). На основании шага 1 заключаем, что р8/ы е
е£)(4). Повторное применение теоремы 3.2.4/3 дает р^меО(Л)
для у в/. Следовательно, р“и е D (Л) для всех а 0.
Шаг 3. Пусть и — собственная функция, рассмотренная на
шаге 2. Покажем, что paDyu принадлежит D (Л) для любого
а^О и любого мультииндекса у. Снова проведем индукцию,
сначала по |у| = 0, 1, 2, ..., а затем при фиксированном у по
а = 8/, / = 0, 1, 2, .... Здесь 8 то же, что и на предыдущем шаге.
Предполагая, что утверждение верно для	— 1, полу-

чаем, что для | р | =k

—	+	= У c^pvD^uf=L2(Q).

В силу шага 1 и теоремы 3.2.4/3, Dhi^D (Л). Так же, как и
на шаге 2, заключаем, что paD$u (Л), а^О.

Шаг 4. Если фу (х) — функции из определения 3.2.3/1, то, ввиду
вложения 2.8.1/16 и полученных выше результатов,

k

sup | ра (х) D^u (х) | = lim sup ра (х) У фу (х) D^u (х)
xgQ	k-+a)X^Rn	/—N

Следовательно, и е Sp (х) (Q).

lim |ра 2 фу(х)О^^	^£а,|у|.

*-*оо|| / = W	W2(*n)

Замечание 1. Можно показать, что для v = 2 теорема
6.4.1 и теорема, доказанная в этом пункте, вообще говоря,
неверны. Сошлемся на работу Трибеля [2, стр. 165]. Отсюда
видно, что предположение v > 2 существенно.

Замечание 2. В свете теоремы 6.2.3(a) и доказанной выше
теоремы представляется целесообразным расширить область опре-
деления оператора Л с С (Q) на Sp (х) (Q). Если при этом мы
хотим оставаться в рамках Л2-теории (или Lp-теории), то должно
иметь место вложение (6.2.3/1). Но согласно теореме 6.2.3 это
вложение эквивалентно условию (6.2.3/6). Следовательно, для
Л2-теории (или Lp-теории) условие (6.2.3/6) является естественным
дополнительным предположением.

6.4.3.	Области определения дробных степеней.

Изоморфизмы

В последующих рассмотрениях мы будем предполагать, что
существует число	для которого p~a(x)eL!(Q) (см. заме-

чание 6.4.2/2).

Теорема. Пусть А —оператор из теоремы 6.4.1, и пусть
таково, что

Р~а (х) е Li (Q).

(1)
(а)	При s^O

D(Js) = FsS(Q; 1; p2sv).

(2)

(Ь)	При s^O отображение и н—> — Aw + pv (%) и осуществляет
изоморфизм пространства IF2S-]-2(Q; 1; p2sv+2) на 1; p2sv).

(с)	Справедливо равенство

оо

D(»=f|D(4/)=SpW(Q)	(3)

/=0

(в алгебраическом и топологическом смысле). Отображение
и ь—> — Au + pv (х) и осуществляет изоморфизм пространства
Sp (а:) (Q) на себя.

Доказательство. Шаг 1. Пусть / = 0, 1, 2, .... В силу теоремы
3.2.4/1, леммы 6.2.2 и теоремы 6.3.2,

II U ИD (AJ)	ll U I (О; 1; р2-^) ДЛЯ

ибП''(й; 1; р2А')сО(Д (4)

С другой стороны, из (1) следует, что

1; p2/v).

(5)

Но по теореме 6.4.2 в Sp (Д) (Q) существует подмножество, а именно
множество всех линейных комбинаций собственных функций,
которое плотно в D (А^. Поэтому равенство (2) при s = / = 0, 1,
2, ... вытекает из (4).

Шаг 2. Справедливость равенства (2) для произвольных зна-
чений 0 является следствием теоремы 1.18.10 и соотношения
(3.4.2/8). (Заметим, что H2 — W2.) Ввиду положительной опреде-
ленности оператора А отсюда следует утверждение (Ь).

Шаг 3. Включение (5) показывает, что справедливо (теоретико-
множественное и топологическое) вложение

Sp м (Q)cD(4“).

(6)

Пусть теперь u^D(Л00). Тогда (по теореме 3.2.4/3) рЧУ^и е £2(Q)
для любых 0 и любых мультииндексов у. Рассуждая так же,
как на шаге 4 доказательства теоремы 6.4.2, получим вложение,
обратное (6). Тем самым доказано равенство (3). Ясно, что опе-
ратор и ► — Ди-|-pv (х) и осуществляет изоморфизм пространства
D (Л00) = Sp (х) (й) на себя.
6.5.	£р-ТЕОРИЯ

В этом параграфе на основе предыдущих рассмотрений мы
разовьем £р-теорию для операторов Л, принадлежащих классу
9I^tV(Q; р(х)). Как и прежде, дифференциальные свойства и
поведение вблизи границы решений уравнения Au = f (соотв.
Аи — %ра (%) и = f) будут описаны в терминах изоморфизмов функ-
циональных пространств, порожденных оператором А (соотв.
А -Ар°(х)).

6.5.1.	Априорные оценки (обобщение теоремы 6.3.2)

Используя результаты § 6.4, можно существенно обобщить
теорему 6.3.2.

Теорема. Пусть А е 91™, v (^; Р (*)) (см. определение 6.2.1/2).
П редположим, что существует такое а 0, что р~а (х) е Lx (й).
Пусть, далее, ст v, 1 < р <; со, х — вещественное число, k = 0,
1, 2, ..., и пусть т = (v — у)/т>2. Тогда найдется такое веще-
ственное число щ, что для всех комплексных чисел А с ReAsgc^
существуют положительные числа с2 и с3, для которых справед-
ливы неравенства

сз II и II w2p<m + (О; px+p(i; рх+р

IIА и — Ар° (х) и J w2k (Я. рх, рИ+рйг)

5s с2 II ы II + (й. рх+рц} рх+р (WK>)	(1)

при всех u^W2pm+u& Px+w; рх+₽(*+^).

Доказательство. Шаг 1. Начнем с одного предварительного
замечания. Пусть

Ви = (—A + pT(x))ftn — r\u, T]=sgO.	(2)

По теореме 6.4.3 оператор В осуществляет изоморфизм простран-
ства Sp (ЛГ) (й) на себя, а тогда из леммы 6.2.2 и теорем 6.3.2 и
3.2.4/1 следует, что при г]^с он осуществляет изоморфизм про-
странства ТС7р*(й; рх; рх+ртА) на Ар(й; ри).

Шаг 2. Из рассмотрений шага 1 вытекает, что для и (й)

I AU — Ара (х) U || W2k (Q. рИ. pX+pfet

~ || В (Аи - Арст (х) и ||£р (а. рх).	(3)

Далее, для операторов р^т (— А + p(v _	(х)) и А имеет место
та же ситуация, что в доказательстве леммы 6.2.2. Поэтому
_ ц ц /	у-ц\

(—Д + рт)Л=р тр"Ц— д+р т /А

е=Р~'"%т+' v (Q; р(х)) =9P« + ^T(Q; р(х)).

Повторное применение этого рассуждения дает

Р(х)).

Поскольку QsCv, левое неравенство в (1) является следствием
теоремы 6.3.2.

Шаг 3. Докажем правое неравенство в (1). Так как х произ-
вольно, то, не ограничивая общности, можно считать, что 0 =
= a^v. Пусть В —тот же оператор, что и выше. Тогда, восполь-
зовавшись доказательством леммы 6.2.2, получим, как и на
шаге 2, что

ВАи = АВи+ У, а$ (x)D$u.	(4)

| Pl <2m-|-2Z?

Второе слагаемое здесь представляет собой возмущение оператора
В А (или АВ) в смысле (6.2.1/5). Поэтому из теоремы 6.3.2, нера-
венства, аналогичного (6.3.2/6), и соотношения (3) вытекает, что

С1 II И — кЕ) Bu\\L? (Q. pxj — 8 || и 11^,2 (т 4- k) (Q. рх+цр. р*+Р (v+ftr>

- с(е) Kp(Q: ри)

С2 II Ви || ^2™ (Q. рИ+цр. рИ+vpj — 8 || и || w2 (m + ft) (Q. pWP. px+p <v+ftr>)

“ c (e) II«llLp (0: pH). (5)
Здесь 8 > 0 можно выбрать как угодно малым. Из результата
шага 1 следует, что

II Ви || w2m (Q; рХ+НР. рх+УР) ~ II [( А + Рт)т —	(Q; рИ+цР).

(6)

В силу шага 2

[(- д+рТ - пЯ] в е <£(*+*) (й; Р (*))•

Применяя теорему 6.3.2, подставляя даваемую ею оценку в (5) и
выбирая соответствующим образом 8, найдем, что

|| Аи — Хи || r2ft (Q. pH. рИ+pftt)

С1 II Ы II г2 +*)(й; рн+ИР; рк+Р <V+ftT») — С2 II U ||L (Q; px+vpj. (7)
(Здесь мы воспользовались тем, что v^O и v>p.) Перенося
последний член в левую часть и оценивая его при помощи тео-
ремы 6.3.2, получим правую оценку в (1).

Замечание 1. Специальный выбор t = (v —ц)/т помог упро-
стить доказательство. Но, по-видимому, теорема остается справед-
ливой, если предположить лишь, что т>2.

Замечание 2. Доказательство основано на теореме 6.3.2 и
использует специальный оператор вида — Д + рт(х). Отсюда видно,
что важное замечание 6.3.2/1 может быть перенесено на рассмат-
риваемый случай:

Существуют вещественное число сг и положительное число с2,
такие, что для всех комплексных чисел К с Re % сг и всех и е
е + (й; рх+^; px+p(v+^)) справедливо неравенство

|| Ли — Xpa(x) U || w2k (Q. рК pH+pkT)

f2llw 11^2 (m4-6) (q; рХ+РН. px+p(v+feT)j. (8)
Р

При этом сх и с2 зависят только от константы эллиптичности
С из условий (6.2.1/6), констант из оценок дляОуЬа(х) и Dya$(x)
и порядка малости функции Dya$(x) (см. (6.2.1/7), а также от
Q, р(%), р, к, k и а. Более того, сх не зависит от k.

В дальнейшем это усиление теоремы окажется очень полезным.

6.5.2.	Теоремы об изоморфизме

В этом пункте будут доказаны некоторые из основных резуль-
татов главы.

Теорема 1. Пусть А е v (Q; р (%)) (см. определение 6.2.1/2).
Предположим, что существует а^О, такое, что р~а (х) е (Q).
Пусть, далее, a<v, 1-<р<оо,	х — вещественное

число, и пусть сх^0 — константа из теоремы 6.5.1 и замеча-
ния 6.5.1/2.

(а)	Если ReX^C£x, то оператор А — Хр°(х) осуществляет изо-
морфизм пространства Sp (Q) на себя.

(Ь)	Если ReX=Ccx и s^O, то А — Хра(х) осуществляет изо-
морфизм

(I , V—|Л\	/	, V —ц\

Я; p“w;	т Н-М р"-, Р”+"М.

(с)	Если ReX^cx и s>0, то А— кра(х) осуществляет изо-
морфизм

вя+^- р^; р^^-^г) на В*Р.Р\& р- р^^).
Доказательство. Шаг 1. Пусть

Ви = (— А + рт (х))™ и — Хр11 (х) и = Вои — Ар*1 (%) и, (1)

где т>2, т]<тт и А<0. Покажем, что оператор В осущест-
вляет изоморфизм пространства 5Р(Х)(Й) на себя. По теореме
6.4.3 оператор Во, у которого D (Во) = Wlm (Q; 1; p2tw), является
самосопряженным и положительно-определенным. Далее,

D(B*)=r22m*(Q; 1; p2W”), 6=1, 2..........

Используя развитую выше технику оценок, получим

В и =	-}-Du,

HP«||L2(Q)=^ellMllw'2mi(Q. j. p2Tftm) + <? (б) | U |Lg (Q)

«С s' || В^и |/5 (Q) 4- с' (е') || и ||д2(Q).

Здесь е > 0 (соотв. е' > 0) — заданное число. Согласно критерию
самосопряженности Като (см., например, Трибель [17, стр. 209]),
оператор Bk с областью определения D (Bk) = D (Bk^ самосопряжен
и положительно-определен. В силу теоремы 3.2.4/1, C^°(Q) плотно
в D(Bk). Следовательно, оператор Bk с областью определения
D (В*) =	1; p2W”) представляет собой k-ю степень поло-

жительно-определенного самосопряженного оператора В с областью
определения D (B) = Wlm(Q; 1; p2Tm). Отсюда вытекает, ввиду
(6.4.3/3), что В осуществляет изоморфизм пространства Sp(x)(Q)
на себя.

Шаг 2. Пусть А —оператор, удовлетворяющий условиям тео-
ремы, а В —оператор, определяемый соотношением (1), где т =
= (v — р)/т и т] — а — ц. Положим для 0 а 1

Ааи — а (А — Хрст (х)) и + (1 — а) рц (х) (Во — Re X • рч (х)) и

= аД« + (1 — а) р» (х) Вои — (аХД-(1 —а) ReX)р°(х)и. (2)

Так как Re(aX + (l —a) ReX) = ReX, то, в силу теоремы 6.5.1 и
замечания 6.5.1/2, существует число с1; не зависящее от а и k,
такое, что справедлива оценка (6.5.1/8), если в нее вместо А
подставить аА + (1 — а)ри(х)В0. При этом константа с2 не зависит
от а. Предполагая, что для заданного a0, О=^ао< 1, оператор Д^
осуществляет изоморфизм пространства

/?1==Гр(т+А) (Q; ри+Ри; р*^^) на R2 = flZp*(Q; рх; px+pftt),
получаем, что

II	1/с2.	(3)

Уравнение
эквивалентно уравнению

и +	(^а ““ ^а0) и = ^а07	^1*	(4)

Но

Ах<Ж->к,<|а — а0|с<1 при |а —а0|<1/с.

Здесь с не зависит от а и а0. Поэтому можно утверждать, что
уравнение (4) имеет единственное решение. Для указанных зна-
чений а существует Ла1. Из результатов шага 1 и теоремы 6.5.1
следует, что существует Ло1. Повторяя эту процедуру, получим,
что Л —Хра(х) осуществляет изоморфизм на R2. Из равенства
(6.4.3/3) вытекает, что в случае х = 0 ир = 2 оператор Л — Хра(х)
осуществляет изоморфизм пространства SP(X)(Q) на себя.

Шаг 3. Утверждения (Ь) и (с) являются следствиями резуль-
татов шага 2 и теоремы 3.4.2.

Замечание 1. В качестве частного случая в теореме содер-
жится утверждение, что Л —Хра(х) осуществляет изоморфизм
пространства

px+wx; px+pv+sp-^-) на WSP\Q-, ри; px+sp-^).

Для а = 0 этот результат был получен Трибелем [24].

Замечание 2. Доказанная теорема является достаточно
общей. Приведем два простых следствия из нее.

1° Пусть Q cz Rn — ограниченная область, СТ (Q) — пространство,
введенное в лемме 6.2.3, и р-1 (х) ~ d (х) — регуляризованное рас-
стояние в смысле замечания 3.2.3/1. Из приведенной выше тео-
ремы и леммы 6.2.3 следует, что тогда оператор

Аи — (—A)mM + pv(x) и, v>2m,

осуществляет изоморфизм пространства СТ (Q) на себя. (Здесь
следует воспользоваться положительной определенностью опера-
тора А в jL2 (Q).) Это же утверждение справедливо для оператора
р1* (х) (— Д)т и + pv (х) и, где v — р > 2т.

2° В случае Q = Rn получаем, в силу замечания 6.2.1/3, что
оператор

Аи = (1 +1 х |2Гь (— Д)т и + (1 +1 х |2)п. м, т]2 > ть

осуществляет изоморфизм пространства S (7?„) на себя.

Теорема 2. Пусть А е Шц, v (Q; р(х)) (см. определение 6.2.1/2).
Предположим, что существует такое а^О, что р~а (х) е Lj (Й).
Пусть, далее, х — вещественное число. Тогда оператор А, рассмат-
риваемый как отображение

C"(Q; рх + ри; px+pv) в Lp(& рх),

является Ф-оператором с индексом1 нуль.

Доказательство. Пусть g<v, а сх — то же, что и в теореме 1.
Для того чтобы оператор Л, рассматриваемый как отображение

рх + рц; px + pv) в LP(Q; рх),

был Ф-оператором, необходимо и достаточно, чтобы таковым был
оператор Л (Л — qp° (х))-1, рассматриваемый как отображение
пространства LP(Q; рх) в себя. Это следует из теоремы 1. Оба
эти оператора имеют один и тот же индекс. Справедливо равен-
ство

Л (Л - с1Р* (х))-1 = Е + с1Р° (х) (Л - с1Ра (%))-х.	(5)

Точно таким же образом, как на шаге 3 доказательства теоремы
6.4.1, можно показать, что и i—* ра (х) и является компактным
отображением

ри+рц; PM + pv) в LP(Q; рн).

Поэтому оператор р° (х) (4 — Cjp0 (х))-1 компактен в LP(Q; рн). Из
равенства (5) вытекает теперь, что оператор А (А — с1ра(х))-1 пред-
ставляет собой Ф-оператор с индексом нуль.

Замечание 3. Эта теорема аналогична теореме 5.4.3.

6.6.	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ.
СОБСТВЕННЫЕ И ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ВЕКТОРЫ.
ФУНКЦИИ ГРИНА

Этот параграф — аналог § 5.6. Исследование распределения
собственных значений представляет интерес для структурной тео-
рии пространств Sp w (Q), которой мы будем заниматься позднее.

6.6.1.	Распределение собственных значений
и области определения дробных степеней

В этом пункте используются обозначения п. 5.6.1.

Теорема 1. Пусть дифференциальный оператор А принад-
лежит классу v (Q; р(х)) (определение 6.2.1/2) и является фор-
мально-самосопряженным. Пусть, далее, v>0. Предположим, что

1 Индекс Ф-оператора определяется как разность между (конечной) кораз-
мерностью образа и (конечной) размерностью ядра*
существует такое что р~а (%) е (Q). Тогда этот опера-
тор А с областью определения

D{A) = wT{^\ р2ц; p2v)	(1)

является самосопряженным ограниченным снизу оператором в Ь2 (Й)
с чисто точечным спектром. Существуют положительные числа
сг и с2, такие, что

Здесь jl = min(p,, 0). При s^Q

=	р2*1; р2Ч	(3)

в предположении (не уменьшающем общности), что А положи-
тельно-определен.

Доказательство. Шаг 1. По теореме 3.2.4/1 множество (Q)
плотно в£>(А). Следовательно, А — симметричный оператор. Из
теоремы 6.5.2/1 вытекает, что А является самосопряженным опе-
ратором (для некоторого % выполняется условие R(A — Х£) = Ьг (Q)).
Далее, из той же теоремы следует, что формула (3) справедлива
для $ = / = 0, 1, 2...В общем случае s^O формула (3) уста-

навливается интерполяцией с использованием теоремы 1.18.10 и
соотношения (3.4.2/8) (напомним, что W2 = H^). Точно таким же
образом, как на шаге 3 доказательства теоремы 6.4.1, можно
показать что вложение D (А) в L2 (Q) компактно (здесь исполь-
зуется предположение, что v>0). По теореме Реллиха (см., на-
пример, Трибель [17, стр. 277]) оператор А имеет чисто точечный
спектр.

Шаг 2. Докажем левое из неравенств (2). Пусть Ki и К2—
два открытых шара, таких, что	и Кг с: Q, и пусть S —

оператор продолжения из Wlm (Кх) в WT1 (К2) <=£>(А), даваемый
теоремой 4.2.2. (Оператор продолжения из теоремы 4.2.2 надо
умножить на %(х)<=С™ (К2), где х(х)= 1 в некоторой окрестности
шара Ki- Вне шара К2 функции продолжаются нулем.) Пусть
R — оператор сужения из D (А) на (Кх) (соотв. из L2 (П) на
Z.2 (Ki))- Обозначая операторы вложения, как и прежде, через /,
имеем

1	= 7?/О(Л)->£а(й)5-

Из неравенства (1.16.1/28) следует, что

S/ (/й7Г(л1)^Ч(к1)) ^CS/

Применяя теоремы 3.8.1 и 5.6.1/1 (а также соотношения (5.6.1/5)
и (5.6.1/6)), получаем левое неравенство в (2).
Шаг 3, Докажем теперь правое неравенство в (2). Пусть X —
(достаточно большое) положительное число и Д «= [1 og2 X1/v] 4~ 1.
Рассмотрим покрытие области (относительно обозначения Q(y)
см. определение 3.2.3/1) кубами Qh ребра которых имеют длину
d2"4 и параллельны осям координат. В силу условия (3.2.3/7),
можно выбрать такое d>0, что

Q^c=UQz<=^(/?-+1)	(4)

(d не зависит от Д). Имеем

||fi(4)||=	p-“(x)pe(x)dx^c12/^^c2r/v.	(5)

Я(Д)

Из (3.2.3/7) следует, что для указанного покрытия достаточно

U <	с^а/у+п/у	(6)

кубов. Далее,

। “ ^(е; р2^; p2v) = в “ IIV2'” (о\и<?г; Р211: p2v)

Ч.

+ II ЫИ2ц72т(<?/; P2^: p2v)-

Обозначим через Ao, Лоо и Ai самосопряженные операторы, опре-
деляемые вложениями гильбертовых пространств р2ц; p2v)cz
<= L2 (Й), wlm (й\ и Qz; p2g; p2v) <= L2 (Й\ U Qz) И wlm (Qz; p,tl; psv) c
czL2(Qz) соответственно (см. замечание 5.6.1/3). Справедливы соот-
ношения

Ц (Й) = L2 (й\ и Qz) е £ © Ц (Qz),
Z=1

wr (G; p2g; p2v) c wr (й\ и Qr, р2*1; p2v)

p9g; p8v)-

Z=1

На основании теоремы 5.6.1/2 имеем

LK

+ 2 NAl(ft.	(7)

Z = 1

В силу выбора д и включений (4),

I “ 1'Ц'"(o\u<?f; р2“; p2v)	И “ llK(a\U<>z)

(%2 + е) || ы ||12(й\п Qty
(Здесь е — достаточно малое положительное число.) Следовательно,
ЛГдоо(А) = 0. Полагая p = min(p,, 0), получаем

II и р«ц. p2v) с2^ f и |Цт	2s c'A.ag/v || и ll^sm

где с>0, с'>0. Если В —оператор bL2(Qz), определяемый квад-
ратичной формой || и l^wi^y то, в силу неравенств (6) и теоремы

5.6.1/2,

N (A) ^^+^Nc^/Vb (X) <с3^+Ъв(СД1-^).	(8)

Пусть Q —единичный куб и D — оператор, определяемый квадра’
ТИЧНОЙ формой И«Тогда

Nb W1^cNd(x\).

(9)

Это неравенство вытекает из сравнения соответствующих квадра-
тичных форм (после преобразования координат, переводящего Qz
в Q). Теоремы 5.6.1/1 и 3.8.1 дают Уд(т])^ст1"/2'". Поэтому из
(8) и (9) получаем

£+"

Al(A)<cAv W v'2m.

Замечание 1. Оценки, полученные на шаге 3, могут быть
улучшены. Далее, из формулы (2) хорошо видно влияние различ-
ных параметров, в частности а и v. Асимптотическую формулу
при столь общих предположениях, по-видимому, получить нельзя.

Теорема 2. Пусть QczRn — ограниченная область класса Ст
и р (х) — функция, введенная в определении 6.2.1/1, причем р-1(х)~
~ d (х) вблизи границы. (Здесь d (х) обозначает расстояние от точки
хей до границы.) Тогда для оператора А из теоремы 1 при
р>— 2т справедлива оценка

с>0.

п— 1

А2"1 + в, если — 2т<.ц<.— 2т/п,

A2m In А, если р = — 2т/п,

п

№т, если ц> — 2т/п,

(Ю)

Доказательство. Это следует из равенства (1), теорем 3.8.2,
5,6.1/2, 5.6.1/1 и соотношений (5.6.1/5), (5.6.1/6).
Замечание 2. Из теоремы видно, что если р> — 2т!п, то
Af (X)	Ср. с теоремой 5.6.2. Дифференциальные операторы

из теоремы 2 тесно связаны с одним классом дифференциальных
операторов типа Трикоми. См. также замечание 7.8.3/2.

6.6.2.	Собственные и присоединенные векторы

Ниже используются обозначения п. 5.6.1.

Теорема. Пусть А	р(х)) (см. определение 6.2.1/2),

и пусть v>0, 1<р<оо и р~а (х) е (Q) для некоторого a^Q.
Тогда оператор А с областью определения

D(A) = Wf(&, рР|Х; pPv)

является замкнутым оператором в LP(Q). Его спектр состоит из
изолированных собственных значений конечной алгебраической крат-
ности. Собственные значения и собственные и присоединенные век-
торы не зависят от р. Эти собственные и присоединенные векторы
принадлежат SP(X)(Q), их линейная оболочка плотна в Sp(x)(Q).
Кроме того, эта линейная оболочка плотна во всех пространствах
Wsq(Q', рх; рт) при 0^s<oo, 1<7<оо, —оо<;х-|-^^т<;оо
(а значит, плотна также в Lq (Q)).

Доказательство. Шаг 1. Пусть р = 2. Положим

Л И = 4 2	fr**2' ^ba (x)Dau+Da [(рМ*) ba (х) и)]]+Ви

1 = 0 |а| = 2/
= Au-f-Bu.

(1)

Из доказательства леммы 6.2.2 вытекает, что А также принадле-
жит Йц, v (&; р(х)), а В представляет собой возмущающий оператор,
коэффициенты которого удовлетворяют условию (6.2.1/8). Оператор
А формально самосопряжен. Поэтому, в силу теоремы 6.6.1/1,
оператор А с областью определения

D(A)=	р2р; p2v)

является самосопряженным в L2(^)- Пусть k = 0, 1, 2, ... . Тогда
по теореме 6.6.1/1 оператор А с областью определения

£)(4)= Г2(*+1)т(Й; Р2(й+1)ц; p2(ft+1>v)	(2)

будет самосопряженным оператором с чисто точечным спектром
в гильбертовом пространстве H = Wlkm(Q\ р2*и; p2ftv) (после введе-
ния соответствующей нормы). Для того чтобы можно было приме-
нить теорему 5.6.1/3 к оператору А с областью определения (2),
воспользуемся разбиением (1). Имеем для некоторого б>0

|Ви Ь — II Ви |lw2*m (а. р2*ц. p2*V)

2	Jp’<iei-6(x)|D₽«|Mx\1/2, (3)

\|р | 2km 2т — 1 Q	/

где

2(fe+l)p . , 2(fe + l)v /9 (Ь , n m_h

Х/ — 2(k+l)ml + 2(*+l)m (2(«+‘)m /)
= £/+ ^(2Ы + 2т-/)-

(4)

Эта оценка устанавливается с помощью техники оценок, разви-
той в доказательстве леммы 6.2.2 (см., в частности, (6.2.2/2) и
(6.2.2/4)). (Здесь нужно учесть, что А принадлежит не только
?1™,V(Q; р(х)), но также (Q; р(х)).) Полагая 6 — 2vs, полу-
чаем

X _6 =	/ +L(bi!~S!V (2(k + 1 -s)m-/). (5)

He ограничивая общности, можно считать, что 0<s<l/2m,
Тогда, в силу (3), (5) и теоремы 3.2.4/3, имеем

\\Bu\\H^C\\u\w^k + l-s)ni(Q. p2(fc + l-s)n; p2(fc + l-s)v).	(6)

Если / — оператор вложения 11?2^ + 1)т(й; р2(* + 1)и; p2(/? + 1)v)
в +	(Q; p2(fc + i-s)H; p2(£ + i-s)v) и Z — комплексное

число с 1тХ=/=0, то оператор В(Л—-V?)-1, рассматриваемый как
оператор из Н в Н, может быть представлен в виде

В (Л - ХЯ)-1 = BI (А -	(7)

Оператор В в правой части этого равенства ограничен в смысле
(6), а (Л — ХЕ)-1 — ограниченный оператор, действующий из Н
в D(°A) (см. (2)). В силу теоремы 6.6.1/1 и доказательства
теоремы 5.6.1/1, оператор / в правой части равенства (7) при-
надлежит ©г для некоторого г, 1<г<оо. Из теоремы 5.6.1/3
следует тогда, что оператор А с областью определения (2) яв-
ляется замкнутым оператором в Н, спектр которого состоит
из изолированных собственных значений конечной алгебраической
кратности, и линейная оболочка собственных и присоединенных
векторов плотна в Н.

Шаг 2. Пусть опять р —2. Из результатов шага 1 вытекает,
что линейная оболочка собственных и присоединенных векторов
оператора А с областью определения D (Л) =	p2g; p2v)
плотна в гильбертовом пространстве L2 (й). Теоремы 6.5.2/1 и
3.2.4/3 дают

ОО	оо

D (Лот) = р| D (Л О = Q WI'" (й; р2ц/; p2v/) = Sp w (Й)	(8)

/ = 0	z = o

(см. шаг 3 доказательства теоремы 6.4.3 и шаг 4 доказательства
теоремы 6.4.2), причем последнее равенство надо понимать не только
в теоретико-множественном, но и в топологическом смысле. Сле-
довательно, собственные и присоединенные векторы являются
элементами пространства Sp(<v) (Й) = /)(Л°°). Отсюда видно, что
эти векторы совпадают с собственными и присоединенными век-
торами в	р2*ц; p2*v). Вместе с (8) это показывает, что

линейная оболочка собственных и присоединенных векторов опе-
ратора А плотна в Sp(X)(Q).

Шаг 3. Пусть О s < оо, 1 < q < оо и — оо < х 4- т <; оо.
Тогда

5рМ(С)сГ?(й; ри; р’).

По теореме 3.2.4/1 множество C^°(Q) (а значит, также и SP(X)(Q))
плотно в tt^(Q; рх; рт). Поэтому, в силу шага 2, линей-
ная оболочка собственных и присоединенных векторов оператора А
плотна в Wsq (Q; рх; рт)* Здесь допустимы все значения р, 1 < р < оо
(см. формулировку теоремы). Это следует из соотношения (8),
в котором надо заменить 2 на р, и из того факта, что оператор
(Л —ЛЕ)"1 с областью определения

П(Л) = Г2/’(й; pw; р^)

для соответствующих значений X компактен в Lp (Й) (см. теорему
6.3.2 и теорему 6.5.1).

Замечание. Эта теорема была сформулирована без доказа-
тельства в работе Трибеля [25]. Несколько иной вариант теоремы
был доказан Кречмером [1]. Доказательство, данное Кречмером,
также основано на критерии Гохберга — Крейна из теоремы 5.6.1/3,

6.6.3.	Функции Грина

Методы, развитые в п. 5.6.4, пригодны для исследования об-
щих операторов в гильбертовых пространствах. В настоящем
пункте они применяются для изучения операторов, принадлежа-
щих Яц.ИЙ; р(х)).

Пусть v > 0, и пусть р~а (х) е Lx (й) для некоторого а 5x0.
По теореме 6.5.2/2 каждый оператор А е V(H; р(х)) с областью
определения D (Л) = 1Г2т(й; р2ц; p2v) является Ф-оператором
в L2 (Q). С помощью теоремы 6.5.2/1 можно показать, что опера-
тор Л*, формально-сопряженный к оператору Л, имеет область
определения D (Л*)=£> (Л). В частности, А* также будет Ф-опе-
ратором в£2(й). Теперь воспользуемся рассуждениями, пред-
шествующими теореме 5.6.4, и введем оператор А, задаваемый
соотношениями

Аи = Аи, D (Л) =D (Л) П # (Л*).	(1)

Оператор А осуществляет изоморфизм D(A) на R(A). Поэтому
мы можем рассмотреть оператор Л"1.

Теорема 1. Пусть A	р(х)) (определение 6.2.1/2),

v>0 и р-а(%) е Lx (Q) для некоторого а^О. Положим, в обозна-
чениях теоремы 6.6.1/1,

o =	+ n +	(2)

Если а <2, то оператор Л-1 представим в виде

(4-V)(x) = $G(x, y)f(y)dy,	(3)

G (x, у) e Wxtm (Q; pTg; pw) © Lz (Q) f) L2 (Q) © W? (Q; p™; pw),

(4)
где О т < 2 — ст.

Доказательство. Можно без всяких изменений воспользоваться
рассуждениями шага 1 и начала шага 2 доказательства теоремы
5.6.4. Оператор А*А с областью определения

Р(Л*Л) = гГ(й; р4м; p1v)

самосопряжен. Обозначим через X) его положительные собствен-
ные значения (ср. с (5.6.4/6)). Аналогом формулы (5.6.4/9) слу-
жит формула

N
|[(AW/4®£]GHl,<axQ)= £ЬГ2-	(5)

/=1

Применяя теорему 6.6.1/1 к оператору А*А и подставляя
в (6.6.1/2) значение Х = Х/, получим, что j+1). Отсюда
следует сходимость (5) при М->оо. Но в силу теоремы 6.6.1/1,

В((л*А)т/4) = иТ(^; рш; р™)-

Это доказывает теорему (см. шаг 2 доказательства теоремы 5.6.4).

Теорема 2. Пусть й с: Rn — ограниченная область класса
С°° и р(х) — функция, введенная в определении 6.2.1/1, p-1(x)~d(x)
вблизи границы. (Здесь d (х) — расстояние от точки х е £2 до
границы.) Пусть, далее, А — оператор из теоремы 1 при ii'> — 2m.
Тогда оператор Л-1 можно представить в виде (3), (4), при
условии, что

0^тт<2т — /иg —> если —2т<|х< — — и

п п	1

2,72	JX ~2 >

0^тт<2т —

_ 2т п п ~
если	—— и 2m—2>0.

Доказательство. Как и в случае теоремы 1, надо показать,
что (5) сходится при А/ —> оо. Применяя теорему 6.6.1/2 к опера-
тору Л*Л с собственными значениями Ау, получаем

/2 — 1

1п1/,

n	trn,

если —2т<и<—
г п

2т

если ц =--

‘ п

_ 2т
если р, > —-.

Ввиду условий, наложенных на т, отсюда вытекает сходимость
обеих частей равенства (5) при W -> оо.

Замечание. Обе эти теоремы представляют собой аналог
теоремы 5.6.4. Дифференциальные свойства функций Грина для
некоторых важных частных случаев операторов А е 21ц, v (й; р (х))
исследовал Лангеманн [1, 2].
7.	Дифференциальные операторы
Лежандра и Трикоми

7.1.	ВВЕДЕНИЕ

В этой главе изучаются обыкновенные вырождающиеся эллипти-
ческие дифференциальные операторы в ограниченном интервале
Q = (а, Ь) и вырождающиеся эллиптические дифференциальные
операторы с частными производными в ограниченных областях
класса С°°- В отличие от предыдущей главы мы предполагаем
здесь, что коэффициенты рассматриваемых дифференциальных
выражений принадлежат C°°(Q). Мы будем иметь дело с диффе-
ренциальными выражениями вида (4.9.1/1), для которых выпол-
няется условие

О < | а (х, £)|->0 при x->dQ	(1)

для каждого фиксированного ненулевого g е Rn,

где функция а (х, £) определена для х е й и g е Rn так же, как
в (4.9.1/2). Скорость стремления к нулю в (1) имеет фундамен-
тальное значение для поведения соответствующего дифферен-
циального выражения. В данной главе исследуются некоторые
модельные случаи, которые мы сейчас опишем.

В случае Q = (—1, 1) рассматриваются дифференциальные
выражения вида

Аи =	- x^k	+	(2)

k = 0,..., 2т — 1. Здесь Ви представляет собой возмущающий
оператор (несимметричный) более низкого порядка. Если m = k=l
и Ви = 0, то мы получаем классический дифференциальный опе-
ратор Лежандра. Поэтому все дифференциальные операторы такого
типа будем называть (обобщенными) дифференциальными опера-
торами Лежандра.

В случае ограниченной области Q cz Rn класса С00 рассматри-
ваются вырождающиеся дифференциальные операторы порядка 2т.
Для наглядности будем пока считать, что /л=1, и положим

Аи~ 2	дх^Ви-

i.k=*i
Как и в предыдущем случае, Ви есть (несимметричный) возму-
щающий оператор, a (ajt k (х))}\ k' ' ’ п — положительно-определенная
эрмитова матрица. Обозначим ее собственные значения через
Zy (х), xg Q:

О < Zx (х) С Z2 (х)<... <	(х) < оо.	(4)

Тип вырождения (см. (1)) определяется поведением Zy (х) при
x->dQ. Ясно, что здесь возможно много различных вариантов.
Особый интерес представляют два следующих «крайних» случая.
Пусть d (х) — расстояние от точки хеЙ до границы, а (у1У ..., уп)—
локальные координаты в некоторой окрестности V точки zedQ,
такие, что кусок границы VQdQ описывается уравнением уп = 0,
а координатные линии уп нормальны к dQ. В первом крайнем
случае дифференциальное выражение задается в области У Q Q
формулой

л“ —а^<О- 2	®

j, k = 1

Как и раньше, В — возмущающий оператор, (bJtk (х))); k" п~1 —
положительно-определенная эрмитова матрица, для которой

bhk(x)^k^c\l\^	(6)

i,	k = i

где с —некоторое положительное число, не зависящее от х. Во
втором крайнем случае дифференциальное выражение задается
вблизи границы формулой

п

Аи = - 2	+	(7)

i	.k = i ’

Здесь коэффициенты (bjt k (х))}; k' ’ п удовлетворяют условию (6),
в котором сумма берется доп, а не до п—1. В первом случае
вырождение происходит только при движении в нормальном на-
правлении, а во втором случае дифференциальное выражение
вырождается равномерно по всем направлениям.

Соответствующие рассмотрения можно провести для дифферен-
циальных операторов произвольного порядка 2т. При этом полу-
чаются обобщения описанных выше (обобщенных) дифференциаль-
ных операторов Лежандра и классических дифференциальных
операторов Трикоми. Операторы такого типа будем называть здесь
(обобщенными) дифференциальными операторами Трикоми (первого
и второго типа).

Все исследования этой главы проводятся исключительно в рам-
ках £2-теории: для изучаемых в двух последних главах книги
вопросов Lp-теория пока не построена. Основной целью данной
главы является исследование самосопряженных и несамосопряжен-
ных операторов Лежандра и операторов Трикоми первого и вто-
рого типа. Несамосопряженные операторы рассматриваются как
возмущения самосопряженных (при соответствующих предполо-
жениях).

В последние годы опубликованы обстоятельные исследования
по теории общих дифференциальных операторов Трикоми произ-
вольного порядка с различными типами вырождения вблизи гра-
ницы. В них получены далеко идущие результаты в рамках тео-
рии граничных задач в духе гл. 5 (£2-теория). Мы не станем здесь
подробнее на этом останавливаться и сошлемся на работы Сима-
куры [1, 4, 5], Вишика и Грушина [1] и Боллей и Камю [4, 6, 7].
Некоторые замечания в этой связи будут сделаны также в п. 7.9.1.

7.2.	ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В настоящем параграфе даются определения (обобщенных)
дифференциальных операторов Лежандра и (обобщенных) диффе-
ренциальных операторов Трикоми. Основные идеи этих определе-
ний были объяснены во введении к главе.

7.2.1.	Дифференциальные операторы Лежандра

Определение. Пусть — oo<z.a<.b <оо, и пусть функ-
ция р (х) е С00 ((а, Ь)) такова, что р (х) > О для х е (а, Ь) и

0<Ce = lim£^<oo, 0 < Cb = lim < оо.	(1)

х\ах~~а	х\Ь °~~х

Для 2, ... и k = 0, 1, ..., 2т — 1 положим

=	(2)

В„ли = А„, .и •+- 2 fyWsj?’	<3>

/ = 0
где

D(Am,k)=!D (Вт> к) = Ссо ((а, Ь))

при k = m, m-f-1, .... 2т — 1,	(4а)

О(АОТ1й)==О(Вт,л) = {и|меСоо((а, Ь)У, (а) = и^ (Ь) = 0
для 1 = 0, ..., т — k — 1} при k = 0, 1, ..., т — 1.	(4Ь)

Здесь bj (х) е Ст ((а, Ь)) — комплекснозначные функции, такие, что
bj (х) = О (pk-tm+j+i (х))	(5)

(при х|а и х|6).
Замечание 1. Простыми примерами функций р (х) могут
служить р (х) = (х — a) (b — х) или

, . /Са(х-а) при а<х<а + ь,

?Х	(СДй — х) при й —8<х<й,

где 0<8<(& — а)/2. Операторы Ат< k и Bmtk с областями опре-
деления (4) рассматриваются как неограниченные операторы
в Л2 ((я, £))• Условие k 2т — 1 обеспечивает, что Ат, k — самосопря-
женные операторы с чисто точечным спектром. Для k^2m это
неверно. Далее будет показано, что в случаях й = 0, 1, ..., т и
й = т+1, ..., 2m—1 поведение операторов совершенно различно*
Условие (5) является действительным ограничением только для
значений /, таких, что k — 2m + /+l>0- Условия подобраны
таким образом, чтобы второй член в (3) представлял собой воз-
мущение оператора Am,k- Если заменить (5) условием

й7(х) = О(р^2^(х)),	(7)

то второй член в (3) уже не будет больше Лишь возмущением
оператора Ат> k, В этом случае поведение оператора Вт> k сущее?*
венно меняется.

Замечание 2. * Дифференциальные операторы Am,k вве-
дены Трибелем [14 I]. При т = й=1 и р (х) = (х — а) (Ь — х) полу-
чается классическое дифференциальное выражение Лежандра.
Операторы Amtk и Bm>k мы называем здесь (обобщенными) диф-
ференциальными операторами Лежандра. Дифференциальные опе-
раторы типа (3) и (7) в (О, оо) и (а, Ь) (а также их обобщения)
рассматривались Симакурой [1, 4, 5], Боллей и Камю [1,3 — 5].

7.2.2.	Дифференциальные операторы Трикомй

Если Q о /^ — ограниченная область класса С00, то некоторая
окрестность S ее границы с внутренней стороны Q может быть
представлена в виде

S — dQx(0, й), где й>0 достаточно мало.

Выбирая соответствующим образом систему открытых шаров /6,
n

такую, что (J Kj 2D 5, мы можем ввести в пересечении /C/QS
/ = 1

систему координат .... у\1'>_1, у^ = (у^у, У[р) класса С°°, где
направление координатных линий уп = Уп совпадает с направле-
нием внутренней нормали, а у\г>....у^_, — локальные коорди-

наты класса Сга на dQfl/Q. Упомянутое выше представление
области S следует понимать в смысле введенных координат. По-
ложим

&=&(//(У)) = det(^7));

Л......п

k, г

Через d(x) обозначим расстояние от точки xeQ до границыdQ.
Мы предполагаем, что для точек хе S выполнено условие yn=d(x).

Определение. Пусть Q cz Rn — ограниченная область
класса С°°, и пусть т = 1, 2, ... и & = 0, 1,	2m—1. Диффе-

ренциальный оператор Bm>k вида

Bm,ku= у ba(x)Dau, ba(x) еС“(й),

(1)

называется оператором Трикоми первого типа, если
выполнены следующие три условия'.

(а)	Коэффициенты Ьа(х) при |а| = 2т вещественны, и сущест-
вует функция с (х) > 0, такая, что для всех х е всех l^Rn

(-1Г у ьа(х)^с(х)\1\*т

| а | = 2m

(2)

(условие эллиптичности).

(Ь)	Дифференциальное выражение Вт> кив области Kj[\S может
быть представлено в виде

g/Bm, ku (х) = (-1ft, (а (у„) ykn

+ У су (//</)') Dl{iyV/+ 2	d6(yW)D%.	(3)

IV|<2m	16 К 2m- 1

Здесь и (х) = Vj (у^) в Ayf]S; — hf (y(i)')'^c>0 — функция
класса Ст в K/[\S, не зависящая от уп, а функция a(t) положи-
тельна и бесконечно дифференцируема на отрезке [0, h]. Далее,
V = (?i> •••> Тл-1> 0)> а второй член в формуле (3) является регу-
лярным эллиптическим положительно-определенным дифференциаль-
ным оператором порядка 2т в локальных координатах у{1У с ве-
щественнозначными коэффициентами су класса С00, определенными
на 5Q. Коэффициенты ds(y<J>) принадлежат C°°(A,f|S). Кроме
того, предполагается, что при уп | О

О (!/,’)

4 (f/(y)) =

для 16' | > О,
для 16' | = О,

(4)

где 8^(8,..........8^,	8п)^(8', 6„).

18 X, Трибель
(с)	Область определения оператора Вт, * задается равенствами

D(Bm, k) = Cco(Q) при k = m, m-j-1, ..., 2т — I, (5а)

= 0

I	дУп дй

для 1 = 0, ..., m--k — 1} при k = 0, 1,	т—\.	(5Ь)

Замечание 1. Условие (2) —аналог условия (4.9Л/2). Из
представления (3) следует, что с(х) стремится к нулю при x->dQ,
если k>0. Поскольку коэффициенты Ьа(х) непрерывны, можно
считать, что функция с(х) также непрерывна. Из (3) видно, что
с (*) ~ ykn = dk (х). Условие (5) аналогично условию (7.2.1/4). В силу
предположения (4) третий член в правой части формулы (3) можно

рассматривать как возмущение оператора, задаваемого первым и
вторым членами. (См. (7.2.1/5).) Зависимость первого члена в (3)
от уМ\ ..., у^-1 несущественна. Действительно, если перейти
от координат y<f>, ..., у^^ к какой-нибудь новой системе

y{n-i класса С00 в dQfl/Q, то получим, что
=	.... ~у^— соответствующая функ-

преобразования к новой системе координат.

координат у\ ,
hjlgj^hj/gj, гДе
ция, a gj — якобиан

Определение 2. Пусть Q cz Rn — ограниченная область
класса С00, а о (х) е С00 (Q) — положительная функция, такая, что
o(x) = d (х) вблизи границы. Пусть, далее, {ajk (х)}); k' ’ п — поло-
жительно-определенная симметричная матрица с вещественными
коэффициентами aik (х) s С00 (Q), такая, что

Ц aJk(x)y-k^c\1^,
i. 4=1

(6)

где с > 0 — некоторое число, не зависящее от х<=£1 и % ^Дп.
Дифференциальный оператор А, задаваемый соотношениями

п

Аи^~ 2
/. 4 = 1
D(X) = C“(Q),

(7)

(8)

называется оператором Трикоми второго типа.

Замечание 2. Последнее определение легко можно распро-
странить на случай дифференциальных операторов порядка 2т.
Если операторы Трикоми первого типа вырождаются только
в направлении нормали к поверхности, то операторы Трикоми
второго типа, как видно из формулы (7), вырождаются равно-
мерно по всем координатным направлениям.
Замечание 3. * Определение 2 по существу принадлежит
Бауэнди и Гулауику [2, 3]. Рядом авторов исследовались различ-
ные обобщения этого определения (более общие весовые функции,
другие типы областей, более высокие порядки дифференциальных
операторов). Сошлемся на работу Бауэнди, Гулауика и Анузэ [1],
Бенашура [1], Боллея и Камю [2, 3, 6], Дерриджи и Зуили [1, 2],
Анузэ [1], Симакуры [1, 4, 5] и Зуили [1, 2]. Для частных слу-
чаев определение 1 было дано в работах Трибеля [7, 11]. См. также
Боллей и Камю [2] и Бауэнди и Гулауик [8]. Гийемо-Тейссье [2, 3]
использовала специальные дифференциальные операторы типа
Трикоми для явного построения ортонормальных базисов в L2 (Кд),
где ^ — единичный шар в Rn. Фурсиков [1—3] рассматривал
вырождающиеся эллиптические дифференциальные уравнения,
которые вблизи границы ведут себя как уравнение Эйлера.

7.3.	НЕРАВЕНСТВА, ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ

НОРМЫ И ИЗОМОРФИЗМЫ

В этом параграфе устанавливаются некоторые предваритель-
ные результаты, Доказывается ряд важных интегральных нера-
венств для гладких функций, определенных на интервале (а, Ь),
и описываются эквивалентные нормы в пространствах W™ ((а, Ь),
dk(x)). Кроме того, рассматриваются изоморфизмы этих прост-
ранств. Результаты, полученные здесь, послужат основой для
исследования дифференциальных операторов Лежандра. Часть
результатов представляет, по-видимому, и самостоятельный
интерес.

7.3.1.	Интегральные неравенства [Часть I]

Лемма 1. Пусть — со <а<Ь < оо и р(х) — функция из
определения 7.2.1. Пусть, далее т=1, 2, ...и — оо<х<оо.
Тогда, если выполняется одно из следующих двух условий:

(а)	— 1 < х =/= 2т — 1, и (х) е С°° (а, Ь);

(b)	х<—1, и(х)еС°°((а, Ь)), и (х) = о(рт“(х+3)/2(х)),
то существует число б, 0<б<(6 — а)/2, такое, что

Ь	Ь-6

J рх | (ри/т} |2 dx +	| и21 dx

а	а + 6

Ъ	Ь-6

~5ри+2|«('п’|Мх+ $ |u|Mx. (1)
а	а 4-6

(Символ ~ означает, как обычно, что правую часть формулы
можно оценить сверху и снизу через левую.)
Доказательство. Шаг 1. Начнем с некоторых предварительных
рассмотрений. Пусть и (х) е С00 ((а, Ь)) в случае и > — 1 и и (х) е
е ((а, &)) в случае х < — 1. Далее, пусть фа (х) е С00 ((а, &)) —
функция, удовлетворяющая условию 0 фа (х)	1, тождественно

равная 1 в некоторой правой полуокрестности точки а и нулю
в некоторой левой полуокрестности точки Ь, и ф* (х) — функция
с аналогичными свойствами. Выбирая фа(х) и ф*(х) подходящим
образом, имеем, в силу замечания 3.2.6/1,

ь	ь

J р*р'21 и I2 dx^ (1 н- ej J {р' (а) |х+21 «<ро |2 (х - а)х
а	а

+ |р' (d)|x+2| «<pt|2(fc — x)x)dx + c J |и|2dx
(1 4- 6,
b	b — ^

< "(X+~1)22) (I (“Ф")' I2 +1	I2) dX + C j I U I2 dX-

a	a 4-62

Используя неравенство

I (u<pe)' I2 < (1 +e3) I «' |a <Pa +c (e3) 1 и I2 (ф'а)2,
получаем
b	b	b - d3

$ p*p'11 и I2 dx$ IW fp’4-’-2dx+c § I u21 dx. (2)
a	a	a 4- d3

Здесь 8/ > 0 — некоторые числа (напомним, что фа и ф* нужно
выбрать подходящим образом). Постоянные с и б/>0 зависят
от ел.

Шаг 2. Пусть опять и е С°° ((а, Ь)) для х > — 1 и и е С™ ((а, Ь))
для х< — 1. Тогда

(риУт) = [ри{т) +тр,и(т~1)] + 2 Cjp№uSm-n

i = 2

= Dru	+D,u.	(3)

Интегрирование по частям дает
ь	ь

J рх | D±u |а dx = J [р^21 и{т) |2
а	а

4- (/п2 — т (х +1)) р*р‘‘ | ы(т-1) |2 — тр^р" | и(т-1) |2] dx.
Теперь можно применить оценку (2), где в среднем члене правой
части и заменено на Используя неравенства

а	а	а

J \*dx^& J | uSm) |2dx4-c(e) J |«|2dx	(4)

C	f	6
для / = О, 1,	, m — 1,

ь	Ь	б-б

Jpx+1| р"[ и{т~1} \2dx^&^ рх+2( u(m)|2dx+ § lu^dx
а	а	а + б

И
4
(_m2 + m(x+!))< 1,

заключаем, что при подходящем б>0
b	b-д	b	Ь — 6

$ рх | Dyu |2 dx-\- jj | и |2 dx ~ $ px+21	|2 dx-\- § |u|2dx.	(5)

a	a+ 6	a	a -f- 6

Учитывая оценки
ь	ь	b

J pv-\D1u | • |£>2u I dx^ e J pH\D1u l2dx-j-c(e) Jp*\D2u [2dx,
a	a	a

b	b	b — 6

J pH \D2u |2dx=Ce' J p4*21 «(“) |2dx4-c' (e') $ | и |2 dx,

a	a	a -j- 6

где e>0 и e'>0 произвольны, получаем из (5) оценку (1).

Шаг 3. Пусть х < — 1 и функция и (х) е С00 ((а, Ь)) такова,
что и (х) = о (рт ~(и+3)/2 (х)). Тогда

Пусть (х) е Со° ((а, Ь)), причем xxW=l для хе(а + 2Л, b — 2А),
Хх(х) = 0 для xE(a, a + MU(& — Ъ ь) и. |xV (х)\^ck-i. Здесь
А. > 0 — достаточно малое число. Применяя оценку (1) к функ-
ции «Хх и полагая А|0, убеждаемся в справедливости и соотно-
шения (1) для функции и.

Ле мм а 2. Пусть —oo<.a<ib<Z<x>,i=l, 2,...и 1—0, 1,2,....
Пусть, далее, р(х) —функция из определения 7.2.1. Тогда выра-
жения

(Ь	\1/2

n[|(p'uW)V-*)|24-|M|2]dx) , 6 = 0,1......./,	(6)

определяют эквивалентные нормы в С™ ((а, Ь)).

Доказательство. Повторное применение леммы 1 показывает,
что любая норма вида (6) эквивалентна следующей;

[Ь	\1/2

KlPaz|MO>|2-b|«|2]dx .
Лемма 3. Пусть — оо<а<&<оо,/п= 1, 2, ..., — оо<а^
2т + р и р (х) — функция из определения 7.2.1. Тогда, если
выполняется одно из следующих двух условий:

(а)	Р> —1, а>—1, м(х)еС°°((а, Ь));

(Ь)	р#=-1, -3, -5...........и(х)<=Ст\(а,	Ь)),

и (х) = О (рт - <а+ Ч/2 (х)),

то

ъ	Ь-6	ь

|	|2dx+ J [и |Мх~ J (р“| M(m) |2 + Р₽ I и |2) dx.

а	а + б	а

(7)

Доказательство. Шаг 1. Пусть u(x)eC“((a, b)) при Р>—1
и п(х)еСо°((а, Ь)) при р<—1. Как и раньше, используя заме-
чание 3.2.6/1, выводим неравенство

ь	ь	Ь—6

JpP|a|2dx^cJpP+2|u'|2dx+c $ | и |2dx.

a	a	a -j- б

(8)

Применение оценки (4) и последующее повторное применение
оценки (8) дают соотношение (7) для случая (а).

Шаг 2. Рассмотрим случай (Ь). Снова с помощью итераций
можно показать, что соотношение (7) справедливо для

Но /л — (а + 1)/2	— (Р + 1)/2. Поэтому точно так же, как на

шаге 3 доказательства леммы 1, при помощи предельного пере-
хода мы получаем, что (7) справедливо для любых функций,
удовлетворяющих условию (Ь).

Замечание. Легко видеть, что оценка (7) справедлива также
для Р = — 1, — 3, —5, ..., — оо<а <2/п + Р и и (х) е С°°((а, Ь)),
и (х) = о (рт ~ (а+ 1)/2 (х)).

поло-

(9)

(Ю)

Л е м м а 4. Пусть — oo<a<fe <оо, т = 1, 2,..., — оо<а<;оо
и р (х) — функция из определения 7.2.1. Для существования
жительного числа с, такого, что для всех и е Со° ((а, Ь))
ь	ь

с J | и |2dx<; J ра j и^ \2dx,
а	а

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
«Г/nl <	( т +1 при т = 0 (mod 2),

-оо<а<2 -у 4-1 = {
L2J { т при m=l(mod2).

Доказательство. Шаг 1. Покажем, что из (10) вытекает (9).
Не ограничивая общности, можно считать, что 0 а < 2 [т/2] +1.
Пополнение пространства Со° ((а, Ь)) по норме

'mb	"11/2 р	"11/2

у $ра\и^ \2 dx ~Ц(ра|и^|2 + |« i2)dx	(11)

-j = 0 a	J	l a

дает пространство W™{(a, b), pa) из определения 3.2.1/4. Так
как a<2/n, то из неравенства

ь	ь	Ь—6

§ | и |2dx=C8 j ра | и™ |2dx-|-c J | и |2 dx,
а	а	а 4- б

где 8 > 0 произвольно, и из компактности вложения Wm ((я+ 6,
b — 6)) в L2((a + 6, Ь — 6)) следует компактность вложения
IT™ ((а, Ь), ра) в L2((a, Ь)). Если допустить, что не существует
числа О 0, для которого справедливо (9), то найдется такая
последовательность uf е СТ ((я, Ь)), /=1, 2, что

ь

IIL((a. 6» = 1 и $ра|н<т) |2dx->0 при /->ОО.	(12)

а

Эта последовательность ограничена в W™ ((а, Ь), ра), и поэтому,
не уменьшая общности, можно считать, что она сходится в L2((a, b))-
Из (11) и (12) вытекает, что последовательность {«у} “=| схо-
дится также и в	b), ра). Обозначим ее предел через

u<=WT((a, b), ра). В силу (12) функция u = Pm-i является мно-
гочленом степени т— 1, для которого ll^m-ik, «а. ь» = 1. На осно-
вании теоремы 3.6.1 имеем

^>_,(a) = P^_1(fo) = 0 для / = 0, ..., [т _“+!].

Поскольку

то Pm-1 = Q. Мы пришли к противоречию.

Шаг 2. Пусть а 2 [т/2] -|-1. По теореме 3.6.1 функция

Рт-г (х) = [(х - а) (Ь- х)]т -1^1 -'

принадлежит W'”((a, b), ра). Допустим, что оценка (9) верна.
Тогда она должна выполняться также и для этой функции. Но
это не так.

7.3.2. Свойства пространств W™ ((л, Ь), ра)

Пространства W™ ((а, Ь), ра) и W™ ((а, Ь), ра) были описаны
в определении 3.2.1/4, а в определении 4.5.1 были введены про-
странства С> {{а, Ь)). Здесь — <х> <z.a<.b и функция р(х)
такова же, как и в определении 7.2.1. В силу теоремы 3.2.2,
0х ((а, Ь)) плотно в W™ ((а, Ь), ра), а^О.

Теорема 1. (а) При 0^a<2m—1 и /=/и —[(а4*1)/2] —1
имеет место непрерывное вложение

W^(a, b), pa)czCj((a, b)).	(1)

(Ь)	При Osga<oo

dim [IT™ ((a, b), p^QW^a, b), p“)]

= max(o, 2/n —2рЦ-^.	(2)

(с)	При 0^a<.2m вложение	b), p°) в L2({a, b)) ком-

пактно.

Доказательство. Шаг I. Если Фа —функция, используемая
в рассуждениях шага 1 доказательства леммы 7.3.1/1, то

ь

и(х) = — $ («Фа)' (У) dy для а е С00 ((а, Ь)) и х, близких к а. (3)
х

Используя неравенство Гёльдера и повторно применяя неравенство
(7.3.1/2), получим, что при 0^т<1

ь

I и (%)|2 сх J рх (I и1 I2 +1 и I2) dy
а

с2 Jp*+a»«-» (|	(2 +1 u I2) dy. (4)

а

Здесь мы воспользовались еще неравенством (7.3.1/4). Оценка (4)
справедлива для всех х е [а, Ь]. Заменяя и на u(J] и т на т — j,
приходим к (1).

Шаг 2. В силу теоремы 3.6.1 (Ь), равенство (2) справедливо
при а^=2/и—1. Учитывая, что

[сс-К 11” Га+П «

т—Н =/п-[ 2 ]-1,

а С00 ((а, Ь)) плотно в Ц7™((а, Ь), ра), и применяя теорему 3.6.1 (а),
получаем формулу (2) для 0 а < 2т — 1.

Шаг 3. Компактность вложения И7”((а, Ь), ра) в Та((а, &))
для 0^а<2т устанавливается точно таким же образом, как на
шаге 1 доказательства леммы 7.3.1/4.
Теорема 2. Обозначим через {Рл_х} множество всех много-
членов степени не выше k— 1, где k=l, 2, и положим

СУ((а, b)) = Li((a, b)) Q

Ц'((а, b)) = L2(a, b)).

Далее, пусть m=\, 2.........

(а)	В пространстве Wlm ((a, b), р2т)(}СУ((а, b)), где k =
= 0, 1,	2m, и в пространстве ^"((a, b), p2m) справедливо

соотношение

b

J | (рт„(й))(Ш-Л) |2 dx2 ~ || u	(5)

(b)	В пространстве W™ ((a, b)t pm) П L%m) ((a, b)) справедливо
соотношение

ь

S I	<6>

а	Л

Доказательство. Шаг 1. В силу леммы 7.3.1/2, для того чтобы
установить соотношение (5), достаточно показать, что

ь	ь

j | и I2 dx < с JI (Р'ПЫ(*))(2«’-*) |2 dx	(7)

а	а

для и е W2<F ((а, Ь), р2т) Л СУ ((а, Ь)) (соотв. и е W2? ((a, b), р™)').
Допустим, что не существует числа с>0, для которого справед-
ливо неравенство (7). Тогда найдется последовательность

и, е= W2y ((a, b), р2т) п СУ ((а, b)) (соотв. и, <= W2C((a, b), pim)),

/ = 1, 2, ..., такая, что

ь

IIЩ |£, «а, fc)) = 1 и JI (ртиУУ'2т~,г) |а dx 0 при / -> оо. (8)
а

На основании теоремы 1(c) мы можем, не уменьшая общности,
считать, что	сходится в La((a, b)). Тогда, в силу (8),

{«/}л=1 сходится также в W2C ((а, Ь), р2т\ Если через

и е У2У ((a, b), pim) П СУ ((a, &)) (соотв. и (= Wlm ((a, b), p2mJ)
обозначить предельную функцию, то

II IIls ((a, b)) = 1 и pmU^ = P%m-k-\	(9)
(Pj — многочлен степени не выше /, Р-! = 0). Если Р2т-*-1^Ё0,
то либо

рй/2ы(л)~(х — а)*, где x=sgm — у — у + у — т = — у,

либо имеет место аналогичное соотношение вблизи точки Ь. Но
повторное применение оценки (7.3.1/8) показывает, что pk/2uw
<=L2((a, b)). Мы пришли к противоречию. Следовательно, Pzm-k-i^®
и и^Р^. Поскольку функция и либо ортогональна к
либо, по теореме 3.6.1, удовлетворяет граничным условиям uSP(a)==
= и^(Ь) = б для / = О, ..., т — 1, то и = 0. Это противоречит
условию (9). Тем самым соотношение (5) доказано.

Шаг 2. Соотношение (6) также устанавливается рассуждением
от противного, аналогичным проведенному на шаге 1.

7.3.3.	Отображения в W™ ((а, &), ра)

Кроме пространств W2((a, b), ра) и W2((a, b), ра\ нам потре-
буются пространства W2 ((а, Ь), ра, рр) (см. определение 3.2.3/2
(и теорему 3.2.4/2)). Здесь —оо <^a<zb <оо, т=1, 2, ... и
Р=Са —2m. (См. замечание 3.2.3/1.) Особый интерес представляет
пространство ^((а, Ь), р, р-1). Из теоремы 3.2.6 и замеча-
ния 3.2.6/5 видно, что оно занимает особое место среди других
пространств.

Теорема. Пусть обозначение ((а, Ь)) имеет тот же
смысл, что и в теореме 7.3.2/2.

(а)	Оператор Сти=рт/2и^т\ т=\, 2, ..., осуществляет изо-
морфизм

W2((a, b), рт) П ((а. Ь)) на Ц((а, Ь))
и

W2+'((a, b), рт+1) П L2m) ((а, Ь)) на W^a, b), р, р"1).

(Ь)	Оператор С2 осуществляет изоморфизм

W2((a, b), р*)(]Ь™((а, b)) на Wl((a, b), pz).

Доказательство. Шаг 1. В силу теоремы 7.3.2/2(Ь), оператор Ст
осуществляет изоморфизм пространства ((а, Ь), рт) П L{™} ((а, Ь))
на некоторое подпространство в L2 ((а, Ь)). Но из того факта, что
R (Ст) ((а, Ь)), вытекает, что Ст есть отображение на всё
L?((a, &)).
Шаг 2. Интегрированием по частям легко устанавливается, что
для и е ((а, Ь))
ь

II U IIV1 ((а, Ь), р, р-1) ~ I U' I2 + Р-11 « I2) dx
а
b

~Ui(pI/2w)'i2+iui2idx-	U)

Но из теоремы 3.2.4/1 следует, что ((а, Ь)) плотно
в Wl2 ((а, Ь), р, р-1). Поэтому (1) верно для всех и е ^((а, Ь), р, р-1).
В силу теоремы 3.2.4/3(Ь), Сти принадлежит №.)((«, Ь), р, р-1)
для и еС" ((а, Ь)). Интегрирование по частям дает

а
b

j |pm+11 I2-(pmp')' I a™ I2
+ (m+1)2 рт-гр'21 «(<") I2 + pm | ы(т) I2] dx.

Раскрывая второй член, найдем множитель перед рт~1р'г | ы(т) |2
в последнем интеграле. Он равен

m+lfm+1 \_	т* _£	zn«

2 \ 2	т)~	4 + 4>	4 ’

Теперь воспользуемся неравенством (7.3.1/2) при п = т — 1 с и,
замененным на ы(т). Рассуждая, как и выше, получим оценку
ъ

lIC'»WIIVl((a,fr).p>p-‘)4lPm+1|u('n+1>|2+Pm"1|U(m) l2^-	(2)

а

Отсюда таким же образом, как и раньше, выводится, что в про-
странстве

№Г+1((л. Ь), рт+')(]14т) (а, Ь))

правая часть соотношения

(2) эквивалентна 1«Гхгт+1((а 6) рт+1).

Поскольку С“ ((а, Ь)) содержится в образе оператора Ст и плотно
в W% ((а, Ь), р, р-1), утверждение (а) следует из двух проделанных

шагов доказательства.

Шаг 3. Пусть и еС“ ((a, b)) f| Ц21 ((а, Ь)). Тогда, согласно тео-
реме 3.6.1, С2и принадлежит й7,((а, Ь), р*). Из оценки (7.3-2/5)
вытекает, что

ь

I С II Vf ((а, Ь), р2) ~ S 1(Р^зи) I2 dx

а
b

|2 dx^\\tt\\2w4((a'b), р4)’
а

(3)

Утверждение (Ь) следует теперь из того, что С™ ((а, Ь)) содер-
жится в образе оператора С2.

7.4.	САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

ОПЕРАТОРЫ ЛЕЖАНДРА

Этот параграф посвящен теории дифференциальных операторов
Лежандра Am,k> введенных в определении 7.2.1. Мы будем сле-
довать рассмотрениям из работы Трибеля [14 I].

7.4.1.	Самосопряженные и положительно-определенные
операторы

Теорема, (а) Оператор Am,k из определения J.2.1 сущест-
венно самосопряжен1 в Л2((я, Ь)). Его замыкание Am,k является
оператором с чисто точечным спектром, собственные значения
которого неотрицательны.

(Ь) Для того чтобы оператор Am,k был положительно-опреде-
лен, необходимо и достаточно, чтобы 2k^m.

Доказательство. Шаг 1. Согласно определению 7.2.1, оператор
Amtk симметричен и

ь

<Am,kU, u)Li =\pk\ и™ IMxs&O.	(1)

а

В силу теоремы 7.3.2/1 и критерия Реллиха (см., например, Три-
бель [17, стр. 277]), расширение по Фридрихсу оператора Amtk
есть оператор с чисто точечным спектром. Для доказательства
самосопряженности оператора Am,k достаточно убедиться в том,
что любой элемент и, для которого Am, kV.= 0, принадлежит D (Ат, k)-

Шаг 2. Пусть Amtkv = 0. Тогда мы имеем, в смысле теории
обобщенных функций,

о = (—\уп	, откуда Vm =

pk

где Рт-1 — некоторый многочлен степени т — 1. Рассмотрим сначала
случай k^m. Так как v принадлежит L2((a, Ь)), то интегриро-

1 См, подстрочное примечание на стр, 510 — Прим, перев.
вание формулы (2) дает

^т_1 = О(Р^-'"). где Ро = (х-а)(6-х).

Если 2(Л —m)>m—1, т. е. 2/s>3m—1, то /’m-isO и, значит
v<=D(Am, *). Если 2(k — т)^т— 1, то

.	п*-"1 ~

v^=^-p3mk(x).

Отсюда можно определить локальное поведение (х) вблизи
точек х = а и х = Ь. Учитывая, что Am,kV = Of интегрированием
по частям получаем, что для u^D(Amfk) = Cco((a1 b))

ь	ь

О = (— l)m (pku{m})Mvdx = Рщ-i (*) ^(w) dx.

а	а

Поэтому Рт-1 = 0, а следовательно v^D(Amt k)-

Шаг 3. Рассмотрим теперь случай £</и. Интегрируя формулу
(2), видим, что производная (х) в окрестности точек а и b
при / = 0, m — k~ 1 регулярна, при j = m — k ведет себя как
1пр0(%), а при j = m~ &-Н, т — как р™~к~’(х). Интегри-
руя по частям, получаем, что для

ь

0= J (pfeu(m))(m)ydx
а

tn — k — 1

г = 0

ъ	ь

а	а

m — k— 1

= у (— \у {pku^Ym-r-Pv^
г=0

k — 1	ь

s = 0	а

(3)

Если и D(Am, к) — функция с производными uSP (a) = 8fi m_k,
тождественно равная нулю в некоторой окрестности точки Ь, то,
В силу (3), Рт-1} (а) = 0. Аналогично Рт-l (а) = Рт-1 (b) =0 для
s = 0, ..., k—1, а значит

t>(r)(а) = у(г)(й) = 0 для г = 0, ..., т — k— 1.	(4)

Если 2k>tn— I, to Pm-i — 0, а тогда из (2) и (4) следует, что
v е D (Ат> й). Если 2k т — 1, то

n(m) = fflP'n-i-* W e c°° ((«> *))•

(5)

Вместе с (4) это показывает снова, что v <=D (Am, *)• Тем самым
самосопряженность оператора Ат, к доказана. Из результатов
шага 1 вытекает, что Ат< * — оператор с чисто точечным спектром,
собственные значения которого неотрицательны.

Шаг 4. При доказательстве утверждения (Ь) мы можем, не огра-
ничивая общности, считать, что р = р0- Если 2k ^т, то, в силу
(5) и предыдущих рассмотрений, v = Pim_2k-i(x). С другой сто-
роны, из (4) вытекает, что о = 0(ро!-й). Значит, и = 0. Следо-
вательно, Ат, k положительно-определен. Пусть 2^^/п + 1. Если
m=l(mod 2), то т —	1)/2 и Лт, *рот~1)/2 = 0. Если

m==0(mod 2), то т — k (т — 2)/2 и Ат_ ьр(0т-2)/2 = 0. В обоих
случаях оператор Лт, ь не является положительно-определенным.

Замечание 1. Из доказательства видно, что ядро N (Лт> *)
каждого оператора Лт, k состоит из многочленов степени не выше
/п—1.

Замечание 2. В случае операторов Ат<к точки а и Ь
играют симметричную роль. Для дальнейшего полезно рассмот-
реть более общие операторы. Пусть ka и ^ — неотрицательные
целые числа, и пусть

0<?(х)е=Сот((а, Ь)),

lim

х | а

я(х}

(х — а)ка

= Са>0;

lim—
x]b(b — X)kb

= Сь>0.

Для /и = 1, 2, ... и 0^ka, kb^2m— 1 положим

Am,ka, =

D(Am,ka,kb) = {u\U^Cm((a, b)),

u{J> (a) = 0 при / = 0, ..., m — ka — 1,
«(/)(/,) = 0 при / = 0....m — kb— 1}.

(Если ka^m или kb^ztn, то граничные условия опускаются.)
Используя теорию индексов дефекта обыкновенных дифферен-
циальных операторов (см. Наймарк [1]), легко показать, что опе-
раторы Ат, ka, kb также являются существенно самосопряженными.
Именно, если ввести оператор Л^! k в пространстве L2((a, (a + d)/2)),
задаваемый соотношениями

Лku = (— l)m (рк (х)

Р(ЛЙ,\) = {«|«еСсо((о, Ь)),

(а) = 0 при j = 0, ..., т — k — 1,

ыС/)^^±*^ = 0 ПрИ / = 0..2m — 11
(с обычными видоизменениями при k^m), и соответствующий
оператор А$ k, то для их индексов дефекта справедливы соотно-
шения (см. Наймарк [1, § 17.5])

(О, 0) = Def Ат, k = Def A^k + Def A%k - 2m
= 2 Def A(^k-2m.

Отсюда вытекает, что

Def Am, ka, kb = Def A%ka + Def A%kb - 2m = 0.

Следовательно, оператор Amtka,kb существенно самосопряжен.

7.4.2.	Минимальный оператор Am> k

Определение. В условиях определения 7.2.1 положим

ku = (- 1Г (р* (х) g£), D (кт, к) = Со“ ((а, Ь)).

Замечание 1. Дифференциальные операторы (с обыкновен-
ными или частными производными в области Q cz Rn) с областью
определения Со° (Q) называются минимальными дифференциальными
операторами.

Теорема, (а) Оператор Amt k совпадает с расширением по
Фридрихсу оператора Amtk тогда и только тогда, когда k равно
либо 0, либо 1, либо 2т — 1.

(Ь) Если Def Am, k обозначает индекс дефекта оператора кт, k,
то

о ((2m, 2т)	при k = 0, ..., m,

е m,k |(4m — 2k, 4m —2k) при k = m, ..., 2m— 1.

Доказательство. Шаг 1. Из (7.4.1/1) вытекает, что ^((а, b], pk)
является энергетическим пространством для оператора Am> k-
Обычный метод построения расширения по Фридрихсу операторов,
ограниченных снизу (см., например, Трибель [17, стр. 215]) пока-
зывает, что для того, чтобы Ат, k было расширением по Фридрихсу
оператора ь необходимо и достаточно, чтобы

D(Am,k)<=W^a, b), pk\	(2)

Пусть k^m. Тогда, согласно теореме 3.6.1, для того чтобы
выполнялось условие (2), необходимо и достаточно, чтобы k =
= 2m—1. Пусть теперь 0^k<Zm. Тогда, в силу определения
7,2.1 и теоремы 3.6.1, для того чтобы выполнялось условие (2),
необходимо и достаточно, чтобы

. ,_Г Л+И- Г*+П 1

m —	--= т — —1 — 1.

Отсюда следует, что либо k = 0, либо k=l.

Шаг 2. Пусть иеС°°((а, Ь)). Повторное применение леммы
7.3.1/1 дает
ь	ъ

J (| (pku^ym^ |а +1 и |а) dx ~ (р™ |	|2+ | и |а) dx. (3)

а	а

Поэтому

D(lm.k) = Wlm((a, b), р**)-

По теореме 3.6.1 функция меСет((а, Ь)) принадлежит W2m(a, Ь),
pik) тогда и только тогда, когда

«(/) (а) = «</)(&)= 0 при / = 0, ..., 2т — k — 1.

Поскольку Ат,к — самосопряженный оператор, то

DefAm>ft = dimDHm>ft)/^22m((a, b), p№)(\D(Am^
((2m, 2m)	при 0=c/e<m,

((2(2m — k), 2(2m — k)) при m^k^2m — 1.

Замечание 2. * Согласно (1), в интервале (а, b) существуют
минимальные дифференциальные операторы порядка 2m с индек-
сами дефекта (г, г), где г = 2, 4,	2m. Исходя из этого резуль-

тата, можно построить в интервале (а, Ь) минимальные дифферен-
циальные операторы порядка 2m с индексами дефекта (г, г), где
r = 0, 1, ... 2m. Для этого надо воспользоваться методом из заме-
чания 7.4.1/2. Сошлемся на работу Трибеля [14 1]. Существование
обыкновенных дифференциальных операторов порядка 2m с индек-
сами дефекта (г, г), где г —заданное число, r = 0, 1, ... , 2m,
хорошо известно. Первые примеры были построены Глазманом [1].
Систематическое изложение этих вопросов дано в книге Наймарка
[1]. Случай т=1 восходит к Г. Вейлю [1].

7.4.3.	Области определения операторов Am2k, Z = 0, 1, 2, ...

Вопрос о нахождении областей определения произвольных
дробных степеней А®т, k, 0<6<оо, оператора Am,k достаточно
сложен. Мы займемся им в § 7.7. Однако довольно нетрудно
найти области определения D(Alm,k)> где / = 0, 1/2, 1, 3/2, ... ,
при условии, что О^А^т. Оказывается, что при рассмотрении
этого вопроса случаи Q^k^/n и m + 1 Z? 2m - 1 существенно
отличаются друг от друга.
Лемма. Пусть Ат, k —замыкание оператора_Ат, * «з опреде-
ления 7.2.1, причем O^k^m. Если Ат, *ыеС°°((а, Ь)), то и
принадлежит D (Ат, ь) cz Сет ((а, Ь)).

Доказательство. Шаг 1. В силу оценки (7.4.2/3) и теоремы 3.6.1,
D{Am,k) = {u\ue=Wlm((a, b), р™),

и(П(а) = и<ДЬ) = О, / = 0, ... , m-ft-l} (1)
для 0sg k < т и D (Ат, т) = Wlm ((а, Ь), р2т). Следовательно, для
того чтобы доказать лемму, достаточно убедиться в том, что
^eC°°((a, 6)).

Шаг 2. Если &</п, то, в силу теоремы 7.3.2/1, \и^ (х)\^с
при хе (а, &). Кроме того, pku№ е С°°((а, Ь)). Значит, е
С°°((я, Ь)). Пусть k = m. Тогда, согласно теореме 7.3.2/1,
(х) | при х е (а, Ь). Предполагая, что функция рти^ е
C°°((tf, b)) имеет в точке а корень порядка 1<т, получаем
интегрированием, что производная и(пг~^(х) неограничена в интер-
вале (а,_Ь), и тем самым приходим к противоречию. Следовательно,
и(т) С00 ((я, Ь)).

Теорема. Пусть Ат, k — оператор из определения 7.2.1,
причем & = 0, 1, ..., т.

(а)	Для k = 0, 1, ..., т—\

D(Л~ О = П D(Alm, О = {и I и е= С“ ((a, b)), (Am. ku){i) (а)
/ = 0

= (Д^Ы)(/)(/>) = 0, / = 0,1,2,...;

/ = 0, ..., т — k— 1}, (2а)
а для k = m

D(Am,m) = С°°((а, />))•	(2b)

(Ь)	Для 1 = 0, 1, 2, ... областью определения D (Alm, *) служит
замыкание области определения D (Am, k) в Wl2m((a, b), р*1).

Доказательство. Шаг 1, Из замечания 7.4.1/1 вытекает, что
С00 ((a, by)Q_N{Amtk) плотно в ПД(а, b)) Q N (Ат> k). Так как
операторы Alm,k при /= 1, 2, ... положительно определены на этом
подпространстве, то уравнение

Alm,ku = fe=&°((a, b))QN(Am,b)

всегда имеет решение. В силу леммы, это решение иеО(А1т, ь).
Следовательно, операторы Alm, k являются существенно самосопря-
женными. Применяя лемму 7.3.1/1, с помощью итераций получим,
что

II fc"C2((a, 0» +Л “Hl, «а, 6))^И“С«т((а, Ь), р2«)‘
В частности, D (Лт, k) = D (Лт, k) есть замыкание D(Alm,k) в
W^1"1 ((a, b), p2kl). По теореме 7.3.2/1 множество £>(Лт, *) = Т)(Лт, а)
совпадает с правой частью (2).

Шаг 2. Для 1 = 0, 2, 4, ... утверждение (Ь) следует из резуль-
татов шага 1, а для 1=1 — из соотношения (4.4.1/1). Допуская,
что утверждение (Ь) доказано для 1 = 0, 1, ..., п +1, и учиты-
вая неравенство nk + 2k — 2 < 2 (пт + т) — 1, с помощью леммы
7.3.1/1 получаем, что для неР(Лт,а)

ъ

1	“ Ч*л+1) ~ $(pnk 1 (Л т-ки)(пт) |2+1 и |2) dx

ь

~ J (рпк + 2* | и(пт+I2 +1 и I2) dx
а

~||	b)iPnk + *ky

Тем самым утверждение (Ь) полностью доказано.

Замечание 1.Из доказательства видно, что формулы (2)
справедливы не только в теоретико-множествешюм, но и в топо-
логическом смысле. Как обычно, топология в С°°((а, &)) задается
полунормами sup	/ = 0, 1, 2, ..., а топология

хе (а, Ь)

в D (Лт, к) — полунормами I Alm, kU Ik «а.»))’ / = °’ 1 > 2.

Замечание 2. Утверждение теоремы нельзя распространить
на значения k = m-{-\, , 2т — 1. Чтобы убедиться в этом,
допустим, что D(Am,k) и С00 ((а, Ь)) совпадают между собой, и
рассмотрим функцию f(x) = (р™)(т), где р0(х) = (х — а)(Ь — х).
В силу замечания 7.4.1/1, функция f(x) ортогональна ядру
N(Am,k)- Следовательно, существует решение уравнения

(—l)m(pku^m'>ym^=f(x),

принадлежащее D (Ат, ^ = Сса((а, Ь)). Это противоречит тому, что
k>m и

р*и(т) = (х — а)т (Ь — х)т + Рт-!-

Таким образом, для k>m пространство D(Am, k) строго шире,
чем С°°((о, Ь)).

7.4.4. Пространства Cj,t((a, b))

Предваряя последующее исследование структуры ядерных
функциональных пространств, мы рассмотрим в этом параграфе
пространства Cpi ((а, Ь)).
Определение. Пусть —оо<а<Ь <оо, и пусть j^l и
I —целые числа, такие, что O^l^j. Положим С“0((а, Ь)) =
= С00 ((а, ЬУ) для 1 = 0 и

C^i((a, b)) = {и (х) | и е С°°((а, b)), и(0 (а) = и(1} (Ь) = 0

при i=nj-{-n2, где пг = 0, 1, 2, ... и п2 = 0,...,/ — 1} (1)
для /	1.

Замечание 1. При наделении полунормами sup |«(Z)(x)|,
»е(а, &)

г = 0, 1, 2, ..., пространство С“Д(а, ЬУ) становится (/^-простран-
ством. В дальнейшем мы увидим, что С“/((а, Ь)) является ядер-
ным пространством, изоморфным пространству s быстро убывающих
последовательностей. Если j = I, то / ((а, Ь)) = С" ((а, Ь))
(см. лемму 6.2.3).

Ставится задача: найти такой оператор А, для которого D (Xе0)
совпадало бы с С”/((а, &)). Для решения этой задачи нам потре-
буется один предварительный результат, представляющий и само-
стоятельный интерес.

Теорема 1. Пусть —oo<za<c.b<Zoo, т=1, 2, ...,
k = 1, 2, ..., и пусть р (х) — функция из определения 7.2.1, причем

{Са(х — а) для а<х<« + е>
Сь(Ь — х) для Ь — ъ<_х<.Ь.

Тогда оператор Am<k, задаваемый соотношениями

Amtku = (—l)m(p-ku^ym\	(3)

D(Am,k) = {u\u е С00((а, &)),	(а) = «(')(&)= О

при 1 = 0, ..., m+k— 1}, (4)

является существенно самосопряженным оператором в Ь2((а, &)).
Его замыкание Amtk представляет собой положительно-определен-
ный оператор с чисто точечным спектром. Справедливо включение

оЫсЛГ((а. ЬУ), п=1, 2........................ (5)

Доказательство. Шаг 1. Применяя лемму 7.3.1/4 (в сочетании
с методом аппроксимации из шага 3 доказательства^леммы 7.3.1/1)
и интегрируя по частям, устанавливаем, что Amtk — положи-
тельно-определенный оператор. Пусть = Тогда, в смысле
теории обобщенных функций, (p~kv^ym^ = 0. Следовательно,
<=С°°((я, Ь)). Пусть теперь и Amtk)~функция, тождественно
равная нулю в некоторой окрестности точки b и такая, что
+ Интегрированием по частям получаем
0 = (Ли,а^, ^к2((а, b)) = cu^m^k-^ (a)v(a), с=^0.

Значит, и(я) = 0. Аналогично v(b) = 0. Таким же образом
получаем, что (а) =	(b) = 0 при / = 0, ..., tn — 1. Поскольку

— pkpm_ly то функция v принадлежит aZ) (Лт>А>). Учитывая
положительную определенность оператора Amtk> заключаем, что
и = 0. Отсюда следует, что оператор Am,k существенно само-
сопряжен.

Шаг 2. Используя оценки _типа (7.3.1/2; и (7.3.1/4), легко
убедиться в том, что для v^C^^a, b))

b	ь

| (pkv)^ |2 dx с |2 +1 Pkv |2) dx,
а	а

/ = 1, 2, .... Полагая u = p~*u(m), где и<= D(Amtk), приходим
к оценке

ь	ь

$ | и(т +/) [2 С Jj ( I (р- I2 -|- |	I2) dx.

а	а

(6)

Снова применяя оценку типа (7.3.1/4) и полагая j = m, получаем
включение (5) для п = 1. Воспользуемся теперь методом индукции
и предположим, что условие (5) выполнено для п=1, 2, ..., I.
Применение формулы (6) при j = m-\-2ml и оценки (7.3.1/4) дает

1 « IItfUnl + tm ((Ot 6)) Cl II Ат. kU ||	6))

с21	k и Ц1., ((а> j)) (7)

для и е D (Л^). В предположении, что

®==CW+1,	(8)

(5) следует из (7). Далее, из теоремы Реллиха, как и выше,
вытекает, что является оператором с чисто точечным спектром.

Шаг 3. Докажем, что оператор А1т+1 существенно самосопряжен.
Отсюда также будет следовать справедливость равенства (8). Пусть
/sC°°((a, b)) и (—1)'я(р~*м('л))('") = Л где u^D(Am, Д Тогда
и s С°° ((а, Ь)) и г?"1’ = pkg, где g^.C^ ((а, Ь)). Поскольку уже
известно, что условие (5) выполнено для п = 1, отсюда следует,
что и является элементом D (Ат, &) (при любом k). Пусть теперь
/еС°°((а, Ь)) и Am, kU = f. Многократно повторяя последнее рас-
суждение, получим, что u^D(Am, k\ откуда и вытекает сущест-
венная самосопряженность оператора А1т, *.
Теорема 2. (а) Пусть /^ 1 и I —целые числа, такие, что
//2, и пусть, далее, m = j — l, k = j — 2l, а р(х) —функция
вида (2). Тогда

D(A”,k) = Cf,t((a. b)).

(9)

(Ь) Пусть j1 и I- целые числа, такие, что j/2<J<h и
пусть т = ] — 1 и k = j — 21. Тогда

b)).

(Ю)

Доказательство. Шаг 1. В случае (а) имеем m^k. При / = 0
равенство (9) является следствием формулы (7.4.3/2). Если />0,
то, в силу специального выбора функции р (%), правая часть фор-
мулы (7.4.3/2а) совпадает с Сд/((а, &)). Тем самым соотношение
(9) доказано.

Шаг 2. Докажем утверждение (Ь). Используя специальный вид
функции р(х), получаем

D (А'т, *) = \и | и е= С” ((a, b)), (Asm, (а) = (Д. ku)w (b) = 0
при s = 0, ... , г — 1 и / = 0, m+k— 1}
= {м | м е С°°((а, &))> и(а) (<г) = и(<7) (6) = 0
для а = (2т+^)п1+п2,

где «, = 0, ..., г — 1 и п2 = 0, ..., mArk— 1}. (11)

Имеем 2m + k = j и mA-k = l. В силу включения (5) и теоремы
7.3.2/1,

D{AZk)^Cm((a, b)).

Если	то Агт, kf принадлежит €“((а, Ь)). Применяя

рассуждения шага 3 доказательства теоремы 1, находим, что
f^D(Arm, к), r = l, 2, .... Поэтому из (11) вытекает, что

/х \	00

d(a“ ft)=n

r = 0

D(Arm,k) = C^t ((a,

b)).

Замечание 2. В силу замечания 7.4.3/1, теоремы 7.3.2/1 и
включения (5), пространства (9) и (10) совпадают не только
в теоретико-множественном, но также и в топологическом смысле.
(Топологии здесь те же, что и в замечании 7.4.3/1.)
7.5.	НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
ОПЕРАТОРЫ ЛЕЖАНДРА

Этот параграф посвящен дифференциальным операторам Bmtk
из определения 7.2.1. Основным предметом исследования являются
свойства задаваемых этими операторами отображений и вопрос
о плотности присоединенных и собственных векторов.

7.5.1.	Собственные и присоединенные векторы операторов Вт, k

Теорема. Операторы Bmtk из определения 7.2.1 допускают
замыкание в Ь2((а, Ь)). Справедливы формулы

D(Bm,k) = D(Am,k) = {u\u^WT ((a, b), p2k),
«У) (0) = ЫУ) (ft) = О при /=0, ..., tn — k— 1} (la)

для ft = 0, ..., т — 1 и

D(Bm,k) = D(Am,k) = Wlm((a. ft), pu)

(lb)

для k = m, ... , 2m — 1. Спектр оператора Bm>k состоит из изоли-
рованных собственных значений конечной алгебраической кратности
и не имеет конечных предельных точек. Линейная оболочка множе-
ства собственных и присоединенных векторов плотна в Ь2 ((а, Ь)).

Доказательство. Шаг 1. Соотношения (1) для операторов Ат>к
вытекают из (7.4.2/3) и теорем 3.6.1 и 3.2.2.

Шаг 2. Из оценки (7.2.1/5) и условия bj (х) е С°° ((а, Ь)) сле-
дует, что для и е С°° ((а, Ь))

12т — 1	||2	b 2т

У ft;(x)M(7’)	=С С §	p2max(0, к~*т + Г> | «О) |2 dx.

/ = 0	II ^2 ((a, b)) a j = 0

(2)

Используя (7.3.1/2), выводим отсюда, что для u^D(Am>k)

bj(X)U^\	^CWU^(Am,ky

(3)

Заменяя в (2) на L3 и снова применяя (7.3.1/2), получаем,
что для u^D(Am, k)
12m —1	2

У, ь,(х)и^	<8II и lib (Ат,А)+с(е)||ы||£2((а, 6». (4)

/ = 0	L2 ((а, Ь))

Здесь 8 >0 —любое заданное число. Неравенство (4) показывает,
что

I Вт, kU ||1а «а, b)) + J U ||12 ((а, b)) ~ J U ЦЬ k)	(б)
для и <^D (Ат, k) — В (Вт, *)• Из (5) вытекает, что оператор Вт, ь
допускает замыкание и справедливы формулы (1).

Шаг 3. Теперь мы хотим применитьтеорему 5.6.1/3. В силу
теоремы 7.3.2/1 (с) и теоремы Реллиха, k является оператором
с чисто точечным спектром. Если % — комплексное число с Im Х#=0
и если временно положить

2m — 1

Си = У &/ (х) и^\
/ = о

то

(Ат, k) - Ч ^т’ к ~

= ^2 - L2CD (Amt к)^ W* (Am.k~
где операторы следует рассматривать как отображения указанных
пространств. Требуемое утверждение вытекает из оценки (3),
соотношения (4.10.2/14) и теоремы 5.6.1/3.

Замечание. Мы указывали в замечании 7.2.1/1, что усло-
вие (7.2.1/5) выбрано так, чтобы оператор С можно было рас-
сматривать как возмущение оператора Amtk- При замене (7.2.1/5)
на (7.2.1/7) приведенное выше доказательство не проходит.
В этом случае оператор С нельзя рассматривать как возмущение
оператора Amtk. См. также замечание 7.2.1/2.

7.5.2.	Изоморфизмы

Определение. Пусть — съ<а<Ь<ос), и пусть Qa,b~
= Ь) к (а, Ь). Предположим, что р (х) — функция из определе-
ния 7.2.1. Далее, через d(x, у) обозначим расстояние от точки
(х, y)^Qa,b до границы dQa,b- Для %SsO и 0 < s = [s] + {$}
([s] — целое, 0 <_ {s} < 1) положим

Ws, ((а, Ь), р*) = {и | и е= ((а, Ь), р*)>

I1 U («о. Ь). /) = U М’1 ((а, 6), Р*)
I	f г) ft/} 1$	1

+ \ dH(x, //) ——	,i+2{s> "~dx^<oob W

^a, b	J

Замечание 1. Легко видеть, что dH (%, у) ~ min (рх (х), рн (у)).
Этим оправдывается выбор обозначения. В случае когда s — неце-
лое число, имеем по теореме 3.3.3

ВЫ(а, Ь), рх) = ГИ(а, Ь), р*)-	(2)

Это равенство и интерполяционные свойства, описанные в теореме
3.3.3, служат основой дальнейших рассмотрений,
Теорема. Пусть m = 1, 2, 3, ... и & = О, 1, 2, ... , т. Пусть,
далее, X — комплексное число, не являющееся собственным значением
оператора Bmtk из теоремы 7.5.1. Тогда при 8^0 дифференциа-
льное выражение Вт, ku — hu, где k=0, 1, ..., т — 1, задает изо-
морфизм пространства

{и I и е= + s ((a, b), р™), и(Л (а) = п(/) (Ь) = 0 для

/ = 0....m — k—1} (3)

на W2((a, b)), а дифференциальное выражение Вт^ти — \и — изо-
морфизм пространства U7|m + s((a, b), р2т) на W%((a, b)).

Доказательство. Шаг 1. Начнем с некоторых предварительных
рассмотрений. Пусть pi —комплексное число, k = 0, ..., т— 1 и
Amt kU — рш е С™ ((а, Ь)). Покажем, что и е D (Ат, k) с= С°° ([а, Ь)).
Так же, как при доказательстве леммы 7.4.3, устанавливается,
что

и е Ст ((a, b)), pku{m} е С2т ([а, Ь)).	(4)

Как _и там, получаем, что и^т>> <= C2m~k ((а, &)). Следовательно,
и^С2т((а, Ь)). Далее, в формуле (4) можно_заменить т на 2т,
а затем 2т на 3m. Отсюда вытекает, что и е Сзт((а, Ь)). Повторно
применяя это рассуждение, получаем, что и^С^^а, Ь)), а сле-
довательно, и gD (Ат, Д

Шаг 2. Предположим, что pi не является собственным значе-
нием оператора Ат, k, k = 0, 1, ... , т, и пусть I = 0, 1, 2, ... .
Повторно применяя оценку (7.3.1/1), найдем, что для и (Ат> k)

II ^т, kU~~^U^Wl2((a,b)) Wlluz2/n-H((a> Ь)> p2ky	(5)

Так как С°° ((а, Ь)) плотно в Wl2 ({а, Ь)), то из результатов
шага 1 вытекает, что для k = 0, ..., т— 1 оператор —рш
осуществляет изоморфизм пространства (3) с s = l на W2((a, b)).
Для k = m соответствующее утверждение следует из равенства
(7.4.3/2Ь).

Шаг 3. Если X не является собственным значением оператора
Вт, k> то аналогично соотношению (5) имеем

I' ^т, kU — Xtt |1яЛ2((а> b)) ~ II U ^W2m + l((a, b), p2k)	($)

для Z = О, 1, 2,... и u^D(Bm, k)=D(Am, ^). Для краткости
2т — 1

положим опять Си= У, bj(x)u^. Если р, не является собствен-
но

ным значением оператора Ат< k, то размерности ядер отображения

Вт, !,и — Ки = Am, kti —	+ {Си — Ки + р«)
пространства ((a, b), р2*1) (] D (Ат, k) в Ь)) и отобра-
жения

« + (С — ХЕ + р,Е) (Лт> * — р,Е)_1и	(7)

пространства ^((а, Ь)) в себя одинаковы. То же можно утвер-
ждать о коразмерностях образов. Отсюда выводится, аналогично
тому как это было сделано на шагах 2 и 3 доказательства тео-
ремы 7.5.1, что (С — ХЕ + рЕ) (Ат, * — рЕ)-1 — компактный оператор
в №г((а, Ь)). Далее, в силу (6), оператор

Е + (С - ХЕ + рЕ) (A m,k - р£)-1

осуществляет изоморфизм пространства IF* ((а, Ь)) на себя. Поэ-
тому Вт, kU — ku осуществляет изоморфизм, о котором говорится
в теореме, при s = l = 0, 1, 2, ....

Шаг 4. Для k = m и произвольных значений s;ssO утверждение
теоремы следует из формулы (2) и теоремы 3.3.3. Если k<zm,
то пространство (3) с s = l = 0, 1, 2, ... имеет конечную кораз-
мерность относительно lF2m+*((a, b), p-k). Но к таким парам
пространств применима теорема 1.17.1/1. Поэтому утверждение
теоремы для произвольных s2s0 вытекает из формулы (2) и тео-
рем 3.3.3 и 1.17.1/1.

Замечание 2. Пусть s = 0, 1, 2, .... Из рассуждений шага 3
следует, что оператор Вт, k является Ф-оператором (с индексомх,
равным нулю), если рассматривать его как отображение простран-
ства (3) в IF2((a, Ь)) при k<m или как отображение W$m+s ((а, Ь),
p2kj в Ц7|((а, b)) при k = tn. Используя доказанную теорему
и развитые выше методы, можно показать, что это утверждение
справедливо для всех s^O.

Замечание 3. Теорему можно обобщить. Приведенное выше
доказательство основано на том, что рассматриваемые отображения
являются сужениями операторов Ат, * и Вт, *. Поэтому можно,
например, заменить основное пространство Е2((а, Ь)) простран-
ствами	из теоремы 7.4.3. Особый интерес представляет

случай k = tn. При этом получаются отображения в 1Гг((а, Ь), р°),
где о пробегает некоторые (но не все) положительные значения.

7.6.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ТРИКОМИ

В этом параграфе изучаются свойства дифференциальных опе-
раторов Трикоми (см. определения 7.2.2/1 и7.2.2/2). Предварительно
мы рассмотрим в п. 7.6.1 эллиптические дифференциальные one-

* См, подстрочное примечание к теореме 6Й5*2,
раторы на компактных многообразиях класса С00, ограничиваясь
при этом, однако, лишь фактами, необходимыми для дальнейшего
изложения.

7.6.1.	Эллиптические дифференциальные операторы
на компактных многообразиях класса С00

Компактные (п — 1)-мерные многообразия класса С°° описыва-
ются обычным образом с помощью «локальных карт» (систем
локальных координат). (См., например, Хёрмандер [3, 1.8.1]).
Здесь мы ограничимся лишь случаем границ 3Q ограниченных
областей Qcz/?n класса С°° (определение 3.2.1/2). Рассмотрим
на dQ регулярные эллиптические дифференциальные операторы С
порядка 2/п, которые могут быть представлены в локальных
координатах у['\ ..., уп-\ (/ = 1, ..., Л/) в виде

Си = S S (у?.........Уп-1) °yyWu-	(О

IVI С 2т

Здесь (f/(/)/), у(]У = (f/i7), ..., Уп-1)1 — комплекснозначные фун-
кции класса С°°. Предполагается, что старшие коэффициенты
|?| = 2/и, вещественны. Кроме того, предполагается, что
существует число с>0, для которого

(—1)т	(2)

। V | = 2т

при всех	(условие эллиптичности). Число с не зависит

от yW и /. Нам понадобятся еще пространства W*(dQ), 6 = 0,
1, 2, ... (см. определение 3.6.1 и замечание 3.6.1/1).

Теорема. Предположим, что оператор С, задаваемый фор-
мулой (1), с областью определения

О(С) = С°°(дЙ)

симметричен в L2(dQ). Тогда справедливы следующие утверждения:
(а) Оператор С ограничен снизу и существенно самосопряжен.
(Ь) Оператор С имеет чисто точечный спектр, й

1 +2V (X) = 1 + У 1	+ 1.	(3)

К А

(с)Р(С*) = Пт*(дй) для k = \, 2,...,	(4)

D (С°°) = р D (С*) = С°° (ЭЙ).	(5)

6 = 1

1 Штрих при мы ставим, чтобы избежать недоразумений в дальнейшем.
См. определение 7,2,2/1,
Доказательство. Шаг 1. Пусть Uj с j = 1..................—	локаль-
ные карты, покрывающие дй, a z/ф, k=l.......................п — 1, — соответст-

вующие локальные координаты. (Можно считать, что Uj — шары.)
Пусть, дал ее, х/ е С00 (дй) — разбиение единицы, отвечающее по-
крытию {U,}, т. е.

N

надЙ,	(6)

/ =1

(Мы рассматриваем здесь X/ т0 как функцию на дй, то как
функцию на Uj.) Если и е С00 (дй), то

N

(Си, н)/4(3£2) — £(Си,	u)l2(oq),	(7)

(=1

(Си, fa)Ls (0Q) = \ft (у^') (Си) (</<'>') (x/w) (y^)dyW',	(8)

где fj (i/(7)z) е С°° (Uj) — некоторая функция, зависящая от выбора
локальной системы координат; f/(siw')>c>0. Используя нера-
венство Гординга (см., например, Морен [2, § 13.3]) и обычную
технику оценок, получим

N

(Си, U)l2 (9й)25 (СХ/И, Х/^)т-г(Эй)	8I’UI\t7m(9Q)	L|(0Q)

/=1 2

С || И ||> 2е j U	са(е) |l W I (0Q)

2г11ы II®'"’<0й) сз IIи Ills (дау	($)

Здесь 8 > 0 — произвольное заданное число, о > 0. Отсюда следует,
что оператор С полуограничен. Аналогичным образом, применяя
несколько раз соотношение (5.3.4/1), устанавливаем, что

||С* и ||дг (0Й) + 11 и ||д4 (ва) ~| и 11^2^(32)» k=*l, 2,....	(10)

Шаг 2. Используя метод локальных координат, можно убе-
диться, что вложение пространства IF* (дй) в L2 (дй) компактно.
Далее, так же, как и выше, с помощью теоремы Реллиха (см.,
например, Трибель [17, стр. 277]) получаем, что расширение
по Фридрихсу оператора С является оператором с чисто точеч-
ным спектром. Для того чтобы доказать существенную самосо-
пряженность оператора С, нам надо показать, что из С*о = 0
следует v е С00 (дй). Пусть C*v = 0. Для и еС“ (17/) имеем (ср. (8))

yf(y^')(Cu)(yW')V(y^')dyW

и/
Поскольку каждый эллиптический оператор с коэффициентами
класса С°° также гипоэллиптичен (Хёрмандер [3, 7.4]), то
yeC°°(5Q). (См. также лемму 6.4.1, в которой это утверждение
доказано для частного случая.) Следовательно, С существенно
самосопряжен.

Шаг 3. Оператор Ck с областью определения О (С*) = С°° (dQ)
также является эллиптическим существенно самосопряженным
оператором, k=l, 2,.... Поэтому равенство (4) вытекает из
оценки (10). Равенство (5) следует из теоремы 4.6.1.

Шаг 4. Для доказательства соотношения (3) воспользуемся
теоремой 5.6.1/1 и оценим S; (/; (№2™ (dQ), L2(dQ)). Будем обозна-
чать через S операторы продолжения, через Я —операторы су-
жения и через / — операторы вложения. Равенство

I	(Up = RL2(dQ)-L2(Upl

и соотношение (4.10.2/14) дают

2m

(/; r?2m (Ut}, L2 (Ut))^c^ (/;	(dQ), L2 (dQ)).

(11)
С другой стороны, имеем

А/

1 w2m(d£l)-*L9(d£l) =	W%m(U ,)-L (U,) ,

2	“	i_j	z i z i

где функции X/ те же, что и на шаге 1. Еще раз применяя
(4.10.2/14), получаем оценку, обратную (11). Теперь соотношение
(3) вытекает из теоремы 5.6.1/1.

Замечание.* Естественно возникает вопрос, нельзя ли уси-
лить формулу (3) аналогично асимптотической формуле (5.6.2/3).
Отошлем читателя к статье Кожевникова [1]. Отметим в этой
связи также работы Минакшисундарама и Плейеля [1J, Мак-Кина
и Сингера [1], Громеза [2], Суворченковой [1] и Фаро [1J. Воп-
рос о самосопряженности эллиптических дифференциальных опе-
раторов на некомпактных римановых многообразиях изучался
Кордесом [1] и Чумаком [1].

7.6.2. Интегральные неравенства [Часть II]

В порядке подготовки к рассмотрению дифференциальных
операторов Трикоми первого типа докажем здесь несколько
интегральных неравенств. Оценки, полученные в настоящем пун-
кте, являются более общими, чем это необходимо для дальнейшего.
Лемма 1. Пусть Q cz Rn — ограниченная область класса С™,
S — окрестность ее границы указанного в п. 7.2.2 вида и (у^...,
У п-i, —	у п)—соответствующие локальные координаты1 * (см.

п. 7.2.2/ Пусть, далее, /= 1,2,...; 1 <р<оо; х и о <1 —веще-
ственные числа; 0 = (0П..., 0Л_Х, 0П) = (0', 0Д) — мультииндекс, удов-
летворяющий условиям | 0 | I и

Ри К

I — о

^1;

(1)

в случае когда в (1) имеет место равенство, дополнительно пред-
полагается, что а + 1/Р =# 1, • • •, Тогда существует число с>0,
такое, что для всех u<zlCq(S)

D^u(y) Pdy^c

S ’+2
n . = (?', 0)
IvK*

(2)

(в дифференциальный оператор входят лишь производные по

У1.....Уп-i)-

Доказательство. Шаг 1. Пусть К/— те же шары, что и в
п. 7.2.2, и пусть

X/ (у') €= С°° (6»Й), 2 X/ (/) ss 1, supp X/ cz (К, f| ЭЙ)

/=1

— разбиение единицы на дй. Достаточно доказать неравенство
(2) для X/ (У‘) и (У)- Преобразованием координат дело сводится
к доказательству следующего утверждения: существует такое
число О 0, что для всех

(Rt) с supp v cz { х | |х j < В; 0<х„<оо}	(3)

справедливо неравенство

4

( \D$v(х) р dx^c^ {хрп |+ 2 177Г +1w\Р)dx> (4)
«+ " / = 1 '

здесь В —заданное фиксированное число (см. (2.3.3/7)). Далее,
легко видеть, что можно ограничиться случаем

l£l+&nZL?=l о+1^1.1.	(5)

I 1 / — а	1 рv 1

1 Ради простоты мы не пишем индекс «(/)» в обозначении локальных координат

(4/1й... Уа).
Шаг 2. Докажем оценку (4) при условии (5). Положим
Q = {х|хе Rn, 1<х*<2 для k=l, 2,	п}.

По теореме 4.2.4

j хри | D^v (х) \pdx
Q

Пусть X и р —два вещественных числа, таких, что W = p(Z —а).
Производя в (6) замену переменных по формулам

хп = 2руп, х/ = 2ку/ для / = 1, ..., п - 1,

получаем (изменяя обозначения переменных)

2PXP-PPf>„-pA|₽'| $ хр* \ D$v (х) \р dx
р

^c2p(yp~plp j
QK, р

dlv

дх1п

Р dx+c2~pKl

п — 1

dlv
dxj

Р dx

-|-с2-рр <Z~CT) x^p<z~0) |и|Мх.
p

(7)



Здесь Q%, p — параллелепипед, у которого длина ребра параллель-
ного оси хп, равна 2_р, а длины остальных ребер равны 2~к;
расстояние от QKt р до плоскости {х | хп = 0} равно 2~р. Из равенств
М = р(1 — о) и

p(x-P„) + %(/-|p'|) = p(Z-o)(^ + l -Ц^) = 0

следует совпадение показателей во всех степенях двойки в (7).
Оценка (7) остается справедливой, если перенести парал-
лельно плоскости {х| хп = 0}. Суммируя получаемые таким обра-
зом неравенства, находим, что

I хр% | D$v |р dx

dlv

илп

Р + х7р(/”а) 1уП dx.

Применяя несколько раз оценку (3.2.6/4) к последнему слагае-
мому в правой части, приходим к неравенству (4).
Лемма 2. Пусть Q cz Rn — ограниченная область класса С°°,
S — окрестность ее границы указанного в п. 7.2.2 вида и (у±, ...
..., У п-i, Уп) = (*Л Уп) — соответствующие локальные координаты
(см. п. 7.2.2)Пусть, далее, /=1, 2, ..., 1<р<оо, а — веще-
ственное число, 1>о>—\/р и р = (рп ..., рл_п рп) = (Р', рл) —
мультииндекс, удовлетворяющий условиям |Р|< / и

х>шах£ — —, рл — (Z — a)j при |0'| = О,

(8)

и рл

при | Р' | > 0.

Тогда существуют такие числа с>0 и р>0, что для всех we
е С°° (Q) с supp и cz S и для всех & > 0 справедливо неравенство

J 1уР°
s \

д1и р
дУп

+ 2 \Diu\p\dy

V=(V',0)	j

+ сг~р\\и(у)\р dy. (9)

S

Доказательство. Из условия (8) следует, что выполнено нера-
венство (1), и притом строгое. Тогда (1) будет выполнено также
для х — т), при условии что т] > 0 достаточно мало. Следовательно,
неравенство (4) сохраняет силу для функций вида (3) при замене
х на х —т]. С помощью аппроксимации (например используя
метод, описанный на шаге 2 доказательства теоремы 2.9.1) полу-
чим, что оценка (4) с х —т] вместо х справедлива для функций
иеС°°(Й), у которых (хг, 0) = 0 при / = 0, 1, ..., Z— 1 и

supp v cz {х| |х|^В; 0=Cxn<oo}. Пусть k = Q, ..., 1—1. Рас-
суждая по индукции, предположим, что неравенство (4), в кото-
ром х заменено на х —т], выполнено для функций и е С00 (/?+),
у которых (х', 0) = 0 (/ = 0, ..., k) и supp v az {хЦх^В;

дхп

Ofigx„<oo}. Пусть функция v^C°°(Rn) такова, что —т(х', 0) = 0

при j = 0, ..., k — 1 (в случае' k — 0 это условие опускается) и
supp v с {х 11 х | В; 0	<; оо|. По предположению, оценку (4)

(с х — т] вместо х) можно применить к функции

2

w (х) = v (х) — a jy (xlt ..., Xn-j, Xntydt,
i

/2	\-1

где а = Н tk dt j 1.

I См. подстрочное примечание на стр. 573,
Имеем

$ ХРП (X - П) I D^v |р dx\Vp < И хРп <и - ч) I D^w \Р dx\'/p

&	! \Rn	/

2	р \i/p

$ х₽(х-п> $ /“л (£>₽v) (xj, .... xn-lt xnt)dt dx\
d+	1	I

</ 5 xP^-v) \D^w\Pdx\1/p
\Rn	I

+ a$fp«~(,<_T,)~1/₽
1

xH (£xn)₽<’t-’l> |(D₽t,)(x1( .... Xn-!, x„t)lptdx\,/pdt. (10)
\«л	/

Внутренний интеграл во втором слагаемом не зависит от t (замена
переменных txn — Уп)- Пусть | 0' |>0, и пусть т] >> 0 достаточно
мало. Тогда

1

откуда

$ Хр(х-п) |£)ру fpdxs^c J хр(я~ч) |D₽u) lp dx.

Rn

Ri

Как уже было сказано, для оценки правой части можно восполь-
зоваться неравенством (4), в котором v заменено на w и х на
х —т]. Снова применяя ту же технику оценок, что и в (10),
получим неравенство (4) с х —т) вместо х для рассматриваемой
функции v. По индукции формула (4) с х —т) вместо х справед-
лива для всех функций «еС® (Ri), у которых supp v cz {х 11 х |
sgB; 0sgxn<oo}. Поэтому для функций такого вида имеют
место неравенства

хри | D^v |р dx 8j х₽<х-ч) |О₽у |₽ dx

si	Ri

4-С8]-11»	|Dpu|pdx

{ X I X ^Rn< c8f* < xn < °°

eg C8j f (xPa ~7 ₽ + V ^7 P + I V |p^ dx

7 " axln A	J

*Tcel Ipll^ ^х|свЦ2<;ла<оо|)’
где fife > 0. Аналогично (2.4.2/17), с помощью теоремы 2.10.1
получаем оценку

I v II / _ > < с II v it71 * )/z [ v |1111	г г h II / + сеГ щ || v | ,

wp	wp	р	WP	ьр

где ц4>0. Привлекая теорему 4.2.4 и замечание 4.2.4/2 и выби-
рая подходящим образом 82 = ceil6, приходим к неравенству

$ x*p\D$v\p dx

(12)

соответствующая оценка для случая | fJ' | = 0 устанавливается
многократным применением соотношения (3.2.6/4). Но из резуль-
татов шага 1 доказательства леммы 1 вытекает, что лемма 2
сводится к оценке (12).

7.6.3.	Самосопряженные дифференциальные
операторы Трикоми первого типа

Теорема 1. Предположим, что оператор Вт> k из определе-
ния 7.2.2/1 симметричен в L2(Q).

(а)	Тогда оператор Bmtk существенно самосопряжен, его замы-
кание Вт< k является оператором с чисто точечным спектром и
D (Вт, k) есть замыкание D (Bmt k) по норме

11^*11

2	S I lY|<2/n	Уп

\Y = (Y'» 0)

(1)

Здесь S — окрестность границы рассматриваемой области, опи-
санная в п. 7.2.2; (г/х,..., уп) = (у', уп) — соответствующие локаль-
ные координатых; d (х) — расстояние от точки х е Q до границы
dQ; т = (?', 0); обозначение указывает на то, что дифферен-
цирование производится только по уг, ..., у^.

(Ь)	Если, кроме того, d^(y^) — Q в (7.2.2/3), то оператор
Bm,k ограничен снизу.

Доказательство. Шаг 1. Начнем с некоторых подготовительных
замечаний. Пусть Ат, k — оператор из определения 7.2.1, а С —
существенно самосопряженный оператор из теоремы 7.6.1. Рас-

1 См. подстрочное примечание на стр. 573.

19 X. Трибель
смотрим оператор G, задаваемый соотношениями

Gu = [Am,k®E + E®C\u, D(G)=D(Am,k)®D(C).	(2)

в пространстве

L2(S) = L2((0, /i))®L2(<9Q).

(3)

Здесь (2) следует понимать в смысле разложения (3). (Описание
метода тензорных произведений можно найти в книге Березанского
[1, I, § 2].) Поскольку операторы Amtk и С существенно само-
сопряжены, то G также существенно самосопряжен. На множестве

и u<^C'x(S),
дУп dS

= 0 для / = 0, ..., т —

(4)

(в случае k^m граничные условия опускаются) оператор Gu
также является симметричным, поэтому D (G) есть замыкание
множества (4) по норме

'j г 2 1^'«12+ь2А(х)

S |у|<2/п
k Ly=(y', о)

д2ти
дУпт

(5)

(см. (7.4.3/1) и теорему 7.6.1). Здесь Ь (х)— расстояние от точки
x^S до границы dS. Так как Am>k и С — полуограниченные
операторы с чисто точечным спектром, то G —также полуограни-
ченный оператор с чисто точечным спектром.

Шаг 2. Предположим сначала, что в формуле (7.2.2/3)

= 0. Пусть /о W и Xi (х) — вещественные функции, принадлежащие
С°°(й), такие, что

XoW + XiW = l в Й,

ХоМеСо00^),

Хо (*) = 1 в некоторой окрестности множества й \ S.

Принимая во внимание, что
dx=gf(yU})dy^ ... dy^_idyn,

и применяя оценку (7.6.1/9) и неравенство Гординга (см., напри-
мер, Морен [2, § 13.3]), получаем, что для некоторой области со,
такой, что й \ S cz со cz й, выполняется неравенство

(Вт, kU) ^)l2(Q) —	Xo^)b2(Q) Ч” (Bm, Xl^) L2(S)

H-c । dk(x)

e I W |j Ц7«(Ш)	Ce\\u ||ls(Д)	C|| U l^m^,

7m +	\E>l>u\2\dX — c'(6)

Уп IvKm

V=(T', 0)	/
Здесь с > 0 — подходящее число, а и е D (Вт, k) (е > 0 может быть
выбрано произвольным образом). Вблизи границы главные части
дифференциальных выражений Вт, ku и Gu (см. формулу (2))
совпадают. С помощью той же техники оценок выводим из (5) и
(5.2.2/1), что

Il Вт, ku |Ц2(Й) +1| и |Ц2 да - \\и Г, и ge D (Вт, *).	(7)

В силу неравенства (6), оператор Bmt k полуограничен. Поскольку
оператор G, введенный на шаге 1, является оператором с чисто
точечным спектром, то, ввиду (6), расширение по Фридрихсу
оператора Вт, k также будет оператором с^ чисто точечным спект-
ром. Но тогда для того, чтобы оператор Bm<k был самосопряжен-
ным, необходимо и достаточно, чтобы

Л^(В*,,)с=О(В^л).

Шаг 3. Мы по-прежнему предполагаем, что в формуле (7.2.2/3)
d6(#O)) = 0. Пусть Вт, = Так как каждый эллиптический
оператор с коэффициентами класса С°° гипоэллиптичен (Хёрман-
дер [3, 7.4]), то v принадлежит C°°(Q). Для изучения поведения
функции v вблизи границы, удобно заменить оператор G из (2)
оператором G вида

Gil = [Ат, т, k&)E “Ь В'^С] U, D (б) — D (Am, т, fe)® D (С).

Здесь обозначение Ат, т, k имеет тот же смысл, что в замечании
7.4.1/2 (при этом а соответствует части границы d(x) = h, а b —
части границы d(x) = 0). (Эта замена необходима только в случае
&<т.) Ясно, что вблизи границы Gu по существу совпадает
С Bm,ku. 1Аы пользуемся как координатами (х19 ..., хп), так и
локальными координатами (у19 ..., уп). Если функции XoW и
Xi(x) такие же, как и выше, а функция q(x) из замечания 7.4.1/2
выбрана соответствующим образом, то для w^D(G)

(Gw, v)l2(S) = (G^Xo, ^)l2(S)+(В/п,^Хь v)l2(S>

=	v)L2(S}.

Интегрирование по частям дает

(Gw, v)l2(S) = (w, 6)l2(S)-

Следовательно, v принадлежит D (&*). Оператор G существенно
самосопряжен и справедливо соотношение, аналогичное (5).
Поэтому v принадлежит замыканию D(Bmk) по норме (1). Зна-
чит, v^D(Bmtk). Отсюда видно, что оператор Bmk самосопряжен.
Для рассматриваемого случая d&(y^) = O все остальные утверж-
дения теоремы вытекают из предыдущих рассуждений.

19*
Шаг 4. Обратимся теперь к общему случаю. Дифференциаль-
ное выражение Bmtku можно представить в виде

Вт, (х) = Вт, ku (х) + У; d6 (х) D6u (х),
|6|<2/п-1

где Вт> k — оператор, рассмотренный на шагах 2 и 3. В области
S это представление имеет вид (7.2.2/3) и обладает указанными
дам свойствами. Утверждения теоремы следуют теперь из прове-
тенных выше рассуждений, леммы 7.6.2/2 и хорошо известного
критерия Като самосопряженности операторов (см., например,
Като [3, V. теорема 4.1], или Трибель [17, теорема 17.8]).

Теорема 2. Пусть Bmtk~ оператор из теоремы 1, причем
= 0 в формуле (7.2.2/3), и пусть &=0, т. Тогда

D(B™k) = р D(B'm,k)
/=о

д1В{т, ku
дУ1п

при Z = 0, 1, 2, .

1 = 0, ..., т

(8)

(В случае m = k граничные условия не ставятся.) Далее, D(B^ltk\
/ = 1, 2,..., является замыканием D (B™t k) по норме

ri2

2	S I Iv|<2m/	I

\V = (V'. 0)

(9)

Доказательство. Операторы Ат> k и С, рассмотренные на шаге 1
доказательства теоремы 1, полуограничены и обладают чисто
точечным спектром. Поэтому, как легко видеть,

D (GO = D (А'т ,k)0L2 (S) П Ц (S) (g) D (C1),	(10)

/ = 1, 2, .... Из формулы (7.6.1/4) и теоремы 7.4.3(b) вытекает,
что норма ||н ||D (я?) эквивалентна норме (5), если там заменить
2m на 2т/, a 2k на 2kj. Используя теорему 5.3.4 и метод раз-
ложения из шага 2 доказательства теоремы 1, можно убедиться,
что (^ — эквивалентная норма на D (В!^). (Повторное примене-
ние замечания 5.4.3 показывает, что всякая функция	*)

принадлежит loc (Q).) В силу оценки (7.3.1/2) и тео-
ремы 4.2.4,

D(B!m. *)аГ<2"-‘>'(Й).

(Н)
Значит, по теореме 4.6.1,	*) с: C°°(Q). Из (9) и тео-

ремы 3.6.1 вытекает, что граничные значения в (8) следует пони-
мать в смысле теорем вложения. Но тогда их можно понимать
также и в классическом смысле.

Замечание 1. Множество (8) можно описать более явным
образом. В теореме 7.6.5/2 мы сделаем это для одного частного
случая.

Замечание 2. Из теоремы 4.6.1. и включения (11) видно,
что равенство (8) можно понимать также в топологическом смысле.
Здесь топология в С°° (Q) порождается полунормами sup | Dyu(x)\,
где допускаются любые значения мультииндексов у. Топология
в k) задается полунормами || Birrit ku ||l2(Q), / = 0, 1, 2, ....

Замечание 3. В силу замечания 7.4.3/2, распространить
теорему на случаи k = m-{-l, ..., 2m — 1 нельзя.

Замечание 4. Аналогичные результаты для сходных классов
операторов были получены Бауэнди и Гулауиком [8].

7.6.4.	Несамосопряженные дифференциальные

операторы Трикоми первого типа

Теорема. Оператор Bmt k из определения^ 7.2.2/1 допускает
замыкание в L2(Q). Область определения D (Вт, k) представляет
собой замыкание D (Bmt k) по норме (7.6.3/1). Спектр оператора
Вт, k состоит из изолированных собственных значений конечной
алгебраической кратности и не содержит конечных предельных
точек. Линейная оболочка множества собственных и присоединен-
ных векторов плотна в L2 (Q).

Доказательство. Шаг 1. Рассмотрим оператор

|а | ^2 tn

формально сопряженный к оператору Вт> k. Элемент объема
в S П К/ задается в локальных координатах формулой

dx = gj (yJ) dy^ ... dy\lL{ dyn.

Поэтому из формулы (7.2.2/3) вытекает, что оператор к обла-
дает той же самой структурой вида (7.2.2/3). Оператор Bm, k =
= 4 Вт,	k формально самосопряжен. Таким образом,

Вщ, kU = Вт, fy U 4“ Си>	(1)
где Вот, * —симметричный оператор Трикоми первого типа, а С —
возмущающий оператор порядка 2т — 1, удовлетворяющий усло-
виям, наложенным на третий член в формуле (7.2.2/3).

Шаг 2. Применяя метод разложения, описанный на шаге 2
доказательства теоремы 7.6.3/1, а также лемму 7.6.2/2 и теорему
7.6.3/1, можно показать, что

II Си кг (Я) Вт> * u||tB (Q) 4-се-₽ || u^Li (Q>, u^D(Bmk), (2)
где p > 0 — некоторое подходящее число. Воспользовавшись тем,
что k 2т — 1, оценкой (3.2.6/4) и методом локальных координат,
получим

II и || wi (й> «С с(| Ьт- ku ||l, (й> +1| и ||ц (й))-	(3)

Так как вложение W2 (й) в £2(й) компактно, то по теореме Рел-
лиха (см., например, Трибель [17, стр. 277]) оператор Bm,k —
самосопряженный с чисто точечным спектром. Предполагая (это
не ограничивает общности), что число 0 не является собственным
значением, заключаем на основании (3), (5.6.1/5) и (4.10.2/14),
что Вй!*е@рпри р>п. Доказываемые утверждения следуют
теперь из неравенства (2), леммы 5.6.1/2 и теоремы 5.6.1/3.

7.6.5.	Пространства С“/(й)

В этом пункте результаты п. 7.4.4 переносятся на случай мно-
гих переменных.

Определение. Пусть й a Rn — ограниченная область класса
Ст, и пусть /^ 1 и I — целые числа, такие, что	Поло-

жим С“0(Й) = С°°'Й) для 1 = 0 и

^/(Й) = {«(х)|иеС°°(й), ^-|дй=0 для r = nij + n2, где
nj = 0, 1, 2, ... и п2 = 0, .... / — 11

для 1^1. Здесь v — нормаль к границе дй.

Замечание 1. При наделении топологией, порождаемой по-
лунормами

sup | D^u (х) |,	| у |^ 0,

Сд/(й) становится (^-пространством. В случае j = l имеем
z (Й) = Со°° (Й) (см. лемму 6.2.3).
Теорема 1. Пусть Qcz.Rn — ограниченная область класса С™,
т=1, 2, ... и k=l, 2, и пусть

Вт. kU= у ba (х) Dau, ba (х) е С°° (Q),

la | ^2т

еде функции (х) при 10 | = 2т вещественны. Предполагается, что

(_1)т	MW^c|£l2,n.	с>0, xeQ, l^Ra,

I3l = 2m

и что оператор Вт k допускает в S представление (аналогичное
(7.2.2/3))

gjBm, =	2 CV ) D^'VP

Уп \ "УП /	|V|<2/n

(1)

причем второй член обладает свойствами, описанными в определе-
нии 7.2.2/1. Если оператор Bm,k с областью определения

О (Вт, k) —

и^С°(£1), Ц
дУп

= 0 для i — О,
ди

m+k— 1

(2)

симметричен в L2(Q), то он существенно самосопряжен. Его за-
мыкание Вт,ь представляет собой полуограниченный оператор
с чисто точечным спектром. Имеет место вложение

D (&,.*) с WT'(Q), г =1,2,....	(3)

Доказательство. Используя теорему 7.4.4/1, мы можем, без
существенных изменений, перенести на рассматриваемый случай
доказательства теорем 7.6.3/1 и 7.6.3/2.

Замечание 2. Применяя метод из шага 1 доказательства
георемы 7.6.4, можно доказать существование симметричных опе-
раторов Bm,k с требуемыми свойствами.

Теорема 2. (а) Пусть /^1 и I —целые числа, такие, что
j/2. Положим m = j — l и k = j — 2l. Если Вт<ь — симмет-
ричный оператор из теоремы 7.6.3/2, причем п(/)==1 в формуле
(7.2.2/3), то справедливо равенство (в теоретико-множественном
и топологическом смысле, см. замечание 7.6.3/2)

£>(В“ *)=C£Z(Q).	(4)

(b) Пусть /ЭИ и I —целые числа, такие, что j/2<Z<j.
Положим m = j — l и k = 2l — j. Если Вт, к — симметричный one-
ратор из теоремы 1, то справедливо (в теоретико-множественном
и топологическом смысле) равенство

D(l^k)^CTi(^Y	(5)

Доказательство. Шаг 1, Формула (4) совпадает с (7.6.3/8).

Шаг 2. Формула (5) вытекает из равенства (7.4.4/10) и тео-
ремы 1.

7.6.6.	Дифференциальные операторы Трикоми второго типа

Дифференциальные операторы Трикоми второго типа были
введены Бауэнди и Гулауиком [2, 3]. Мы не будем давать здесь
подробного изложения теории таких операторов и ограничимся
лишь приведением некоторых основных фактов.

Теорема 1. Дифференциальный оператор А из определения
7.2.2/2 существенно самосопряжен в Л2(^)- Его замыкание А пред-
ставляет собой ограниченный снизу оператор с чисто точечным
спектром. Для j = 1, 2, ...

D(A/) = Wli (Q; а2').	(1)

Замечание 1. Доказательство этой теоремы можно найти
у Бауэнди и Гулауика [3]. Используя метод локальных коорди-
нат, лемму 7.3.1/1 и оценку (7.3.1/2), нетрудно убедиться, что
формула (1) совпадает с определением области D (Л7), данным
в указанной работе Бауэнди и Гулауика. Для n = m — k= \ и
/ = 2, 4, ... это утверждение соответствует теореме 7.4.3(b).
В своих исследованиях Бауэнди и Гулауик не ограничивались
случаем самосопряженных операторов.

Аналогично формуле (7.5.2/2) положим для нецелых s>0

rl(Q; ах) = в?2,Ий;	(2)

где 2(Q; ох) — пространства, определенные в теореме 3,3.3.

Теорема 2. Пусть А —оператор из теоремы 1. Если X не
является его собственным значением, то А — КЕ для всех s^O
осуществляет изоморфизм

а2) на №2(Q).

Замечание 2. Для s = 0, 1, 2, ... доказательство дано Бау-
энди и Гулауиком [3]. Для нецелых $>0 утверждение теоремы
получается из теоремы 3.3.3 методом интерполяции.

Замечание 3. Важные обобщения этих дифференциальных
операторов были указаны в конце введения к § 7.1 ив замеча-
нии 7.2.2/3.
Замечание 4. В силу формулы (1) и теоремы 7.3.2/1,

Из теоремы 4.6.1 следует, что

Q D(A/)=D(AOO) = CCO(Q)

(в теоретико-множественном и топологическом смысле).

7.7.	ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДРОБНЫХ СТЕПЕНЕЙ

Этот параграф посвящен изучению областей определения дроб-
ных степеней самосопряженных дифференциальных операторов
Лежандра и самосопряженных дифференциальных операторов Три-
коми.- Полное решение проблемы получено только для операто-
ров Л1л из определения 7.2.1, включающих в себя как частный
случай классический дифференциальный оператор Лежандра
— ((х — а)(Ь — х)и')'. Для операторов Лежандра общего вида мы
сформулируем без доказательства несколько частичных результа-
тов. Кроме того, мы бегло наметим, как находить области опре-
деления дробных степеней дифференциальных операторов Трикоми.

7.7.1.	Дифференциальные операторы Лежандра

(случай tn = k = 1)

Лемма. Пусть — оо <Za<Zb р(х) — весовая функция из
определения 7.2.1 и IF|((a, b), ps, 1) — пространства, введенные
в определении 3.2.6.

(а)	Для s>0

С°°((а,	b), ps, 1).

(b)	Для О «С s 1 пространство С“ ((а, Ь)) плотно
в	b), р°, 1).

Доказательство. Шаг 1. Для того чтобы доказать утвержде-
ние (а), нужно проверить, что

pW (х)/ (х) е= ((a, b)), a^s, 0 < s < 1, f (х) <= 0“ ((а, Ь)).

Пусть

Хх (х) (=	((а, Ь)),

Г 1 при те(й + 2>., Ь — 2%),

= при хе[а, a + XlUL^-X, &],

|X^(x)|^cV,	/ = 1, 2, ...
(Х>0 достаточно мало). Тогда

II fp°/2 (Xb - Хзх) II < с || /р°/2 (Хх - Х2?.) IIL s II /р0/2 (Xb - Хгх) ||sri
/о . 1 \ „	ч , /а , , 1 \	о ,1

^с'^и + г)*1 S) + (2 I+2)S = C'%2 s+ 2

Использу: последовательность Х = 2-*, /г = &0, &0 + 1, легко
получаем, что /ра/2 принадлежит ((а, Ь)).

Шаг 2. Из определения пространств ((а, 6), ps, 1) и резуль-
татов шага 1 вытекает, что С°°((а, Ь)) плотно в ^((а, b), ps, 1).
Но тогда, в силу шага 1, СГ((«> Ь)) плотно в ^((а, b), ps, 1),
0<s<;l. Из теоремы 3.6.Г следует, что С£° ((а, Ь)) плотно также
в ГЦ(а, b), р, 1).

Замечание 1. Из доказательства видно, что при a>s— 1/2,
0<s<l, функция р° принадлежит ((a, b)). С другой стороны,
исходя из соотношения (3.2.6/2), с помощью предельного пере*
хода можно показать, что р° при о=С5—1/2 не является элемен-
том из Wl ((a, b)), s#=l/2. Если s=l/2, то р°, где ст<0, не
принадлежит ^/2((а, />)) =	((о, &)) (см. теорему 4,7.1), по-

скольку всякий элемент из №|/2((а, Ь)) принадлежит всем про-
странствам Lg((a, b)) при р<оо. Наконец, из последнего соот-
ношения вытекает, что 1=р° является элементом из Wl1* ((а, Ь)).

Определение. Пусть —сх> <а<_Ь и пусть р(х)—
весовая функция из определения 7.2.1. Для Osgs^y-J-/, где 1 =
= 0, 1, 2, .... положим

№ = П((а, b), р°, 1)	(1)

(см. опр деление 3.2.6). Для s = y + Z, где 1 = 0, 1, 2, ..., опреде-
лим К* как пополнение С"” ((а, Ь)) по норме

I и 1Ц ((a, b), ps,



b	р/2

1) + j Ps~l (X) | и1 (х) I2 dx\
о	J

(2)

Замечание 2. Содержательность этого определения гаран-
тируется предыдущей леммой. Для того чтобы пояснить, почему
пространства К* при s = -% +1 (1 = 0, 1, 2, ...) занимают особое
место, рассмотрим следующее обобщение нормы (2):



ь

II 6), psi о +$PS-2{S> (X) |	(X) ?dx

2	а	4

1/2

(3)
Здесь $ = [$] + {s} ([$] — целое, 0	{$} < 1). Доказательство при-

веденной выше леммы (применительно к и с {s} вместо s)
и оценка (3.2.6/2) показывают, что

11»Ц((а.*). Л1)~1|гС* ДЛЯ {8}^= у.	(4)

Допустим, что условие (4) выполнено также для {з} = у,и поло-
жим опять s = /4-y. В силу теоремы 7.3.2/2(Ь) для ме
еС°°((а, &))П^((«- b))
Ь	ь—6

J ps-11 u(/) |а dx sj c J | I2 dx

a	a-f-6

+C f f	dx(5)

J J	I % У I

a a

где 6 > 0. Полагая ps/2t№ = v9 получаем из (5)
ь

Jp-1!	|l^1/a((a, &)).	(6)

a	2

Это неравенство справедливо для всех функций v е ((а, &)).
Но по теореме 4.7.1, С“ ((а, Ь)) плотно в W$/2((a, b)). Поэтому (6)
должно выполняться для всех и w!/2 ((а, Ь)). Выбирая ц=1,
приходим к противоречию. Следовательно, соотношение (4) теряет
силу при {s} = y.

Замечание 3. Если s = / = 0, 1, 2,..., то К1 =	((а, Ь), р1)

(см. определение 3.2.1/4). Это следует из (7.3.1/2). Теорема 7.4.3
дает тогда

Ода) = /<' для Z = 0, 1, 2....................... (7)

Для нахождения областей определения	при 8^0 нужно

определить интерполяционные пространства (£2((а, &)),
I=1, 2.....Эта задача аналогична задаче, которой занимались

Гривар и Сили (см. теорему 4.3.3). Частные случаи, представлен-
ные в теореме 4.3.3 (Ь) (и соотношении (4.3.3/10)), соответствуют
случаю пространств Ks с {s}=y.

Теорема. Пусть Altl —оператор из теоремы 7.4.1. Тогда

D(Al 1) = №s для sSsO.	(8)

Доказательство. Шаг 1. Для 2s = 0, 1, 2,... формула (8) совпа-
дает с формулой (7).
Шаг 2. Пусть 1 = 1, 2, ... и 0 <9 < 1. В силу теорем 1.18.10,
1.17.1/1 (см. также замечание 1.17.1/2) и 7.3.3,

«uilD(^2 + e/2)~l!H|U к'+1)0.2

~IIPZ/2«(Z) ^((а, ft», Г1((а, г>). Р. Р-1))е, 2

для и е Kl+1 П ((а, Ь)). По теореме 3.4.2 (d)

(L2((a, 6)),	((а. b), р, p-^^Wtda, b), рв, р~в).

Полагая s = Z/2 + G/2, заключаем на основании соотношений (2) и
(4) и теорем 3.2.4/2 и 7.3.2/2 (Ь), что

|Н||2 / s	b)).	(10)

и \Л1» 17

Так как С°°((а, b)) плотно в D (Л*, J и в K2s (см. лемму), то,
в силу (10), Г>(Л1,1) и K2s совпадают как множества. Но тогда
они совпадают также и в топологическом смысле. Отсюда следует
утверждение (8) для

Шаг 3. Осталось рассмотреть случай 0<s<-y. Из теоремы
7.3.3 вытекает, что оператор

Си = (Л1>14-Е)-1 ри"

осуществляет изоморфизм пространства №С1М2)((й, Ь)) на К2 и
пространства /С4ПД2’ {(а, Ь)) на некоторое замкнутое подпростран-
ство Д4 в Д4. Если через № обозначить замыкание пространства
С£°((а, b)} в №, р^О, то

^с^сК4.	(11,

Из теорем 3.2.6, 3.4.2(d) и оценок (7.3.1/2), (4) следует, что
для 0<6<i

(fc, ^)е,2='Г|((а, Ь), р*, р~% W^a, b), р\ р-*))е,2
= Г32+2е((а, 6), р2+ае, р-а-29) = /<2+2е.	(12)

С другой стороны, в силу результатов шага 2,

(№, Д4)е>2 = К^е.	13)

Учитывая явный вид Д-функционала (см. п. 1.3.1) и соотношения
(12) и z13), получаем

। и 1(к2, К4)д 2 I! и Ик2+2® г'"'1 II IlD 1^9)	(14)
для и е С™ ((a, b))t 0<9<у. Поскольку dim/<2+2e//<2+29<Qo,
из соотношения (14) вытекает, что (Л?, Л^)8,2 = К2+2Э является
замкнутым подпространством пространства/<2+20 = О содер-
жащим К2+2Э. Из проведенных выше рассмотрений и теоремы
1.17.1/1 (вместе с замечанием 1.17.1/2) следует, что оператор ри" =
(Ль1 Е) Си осуществляет изоморфизм пространства

(К2ПД2,((а, &)), К4П^2,((а, &)))е,2

= №+29ПЦ2,((а, Ь)), 0<9<1

на некоторое замкнутое подпространство в D (Я?, Д Применяя
оценку (7.3.2/6) при т = 2, получаем, что для	Ь)) и

u е С“ ((а, Ь)) П Ц2> ((а, Ь))

iPu"'iD(A^ j~kllK2+2e~||pM"|lK2e, 0<9<у.	(15)

Так как каждая функция v е=Со° ((а, Ь)) может быть представлена
в виде v = pu", где	b)), то нормы

1МЦдО ) и II и 1^20 совпадают на С£°((а, Ь)). Но в силу
С™ ((а, Ь)) плотно в ^ = Р(Я1\/21). Поэтому С™ ((а, Ь))
также в	0<9<у. Из доказательства леммы

леммы,

плотно
видно,

что С™ ((а, Ь)) плотно и в /С для всех 0 s 1 (включая s = Tj-
Отсюда получаем формулу (8) для 0<s<~.

Замечание 4. Эта теорема по существу получена в работе
Трибеля [14 II]. Развитый там метод неприменим для особых зна-
чений параметра s=y + Z, Z = 0, 1, 2, ....

Замечание 5. Данное выше доказательство демонстрирует
трудности, возникающие при интерполяции весовых функциональ-
ных пространств, выходящих за рамки рассмотрений гл. 3. Дока-
занная теорема оказывается полезной также для построения контр-
примеров в духе замечания 1.17.1/4. Действительно, согласно этой
теореме,

(П((а, Ь), р2, 1), L2((a, fe)))1/2,2

-ГЦ(а, &), р, 1) = ГИ(а, &), р, р).

С другой стороны, в силу теорем 3.2.6 и 3.4.2,

(ГД(а, Ь), р\ 1), L2((a, Z>)))1/2,2

= (^((а, Ь), р\ р-*), Lt((a, —	b), р, р-').
Но из теоремы 7.3.2/1 и того факта, что
Г|((а, &), р2,	=	b), р2),

следует, что W%((a, b), р2, 1) обладает конечной коразмерностью
по отношению к W%((a, b), р2, 1). Предполагая (см. замечание
1.17.1/4), что нормы в W2((a, b), р, р) и U^((a, b), р, р-1) экви-
валентны на Cf ((а, &)), получаем, в силу теоремы 3.6.1, что
функция у=1 является элементом из ^((а, b), р, р-1), и тем
самым приходим к противоречию. Исходя из этого результата,
можно построить контрпример, о котором шла речь в замеча-
нии 1.17.1/4.

7.7.2.	Дифференциальные операторы Лежандра (общий случай)

Распространение теоремы 7.7.1 на случай дифференциальных
операторов Лежандра Am<k из теоремы 7.4.1 наталкивается на
целый ряд трудностей. Теорема 7.4.3 и замечание 7.4.3/2 пока-
зывают, что имеет смысл ограничиться случаями k = 0, ..., tn.
Сформулируем без доказательства один частный результат.

Теорема. Пусть т = 3, 4, ..., k = 2, ..., т— 1, причем k
четно, a k и т взаимно просты. Пусть, далее, s^O, 2ms=^1/2,
3/2, б/г» ••• и (4m —2&)s=#l, 3, 5, .... Тогда D^Asmt^ является
замыканием D{Amtk) (см. теорему 7.4.3) в Wlms ((a, b), p2ks, 1).

Замечание. Доказательство этой теоремы можно найти
в работе Трибеля [14 II]. Дополнительные предположения (до-
вольно неестественные) сделаны для того, чтобы в доказатель-
стве избежать «особых» значений параметров. В случае m = k=l
такими особыми значениями будут s = 1/4-\-l/2, где Z = 0, 1,2,....

7.7.3.	Дифференциальные операторы Трикоми первого типа

Пусть Вт, k — самосопряженный дифференциальный оператор
Трикоми первого типа из теоремы 7.6.3/2. В_ теореме 7.6.3/2
с помощью редукции областей определения D(GS) (см. формулу
(7.6.3/10), были построены области определения D(Bsmt Д s =
= 0, 1, 2, .... Этот метод можно перенести и на случай дробных
степеней. Формула (7.6.3/10) остается справедливой, если заме-
нить / на s^O. Области определения D^Asm> k), по крайней мере
частично, описаны в теоремах 7.7.1 и 7.7.2. Применяя метод
локальных координат, можно показать, что D (Gs) = Wlms (dQ).
Исходя из этого, можно найти области определения &)
(надо воспользоваться методом доказательства теоремы 7.6.3/2).
Мы не будем здесь вдаваться в детали.
7.8.	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ

ЗНАЧЕНИЙ. ФУНКЦИИ ГРИНА

В этом параграфе мы изучим распределение собственных зна-
чений дифференциальных операторов Лежандра и Трикоми. Резуль-
таты, которые мы получим, аналогичны теоремам 5.6.2 (для регу-
лярных эллиптических дифференциальных операторов) и 6.6.1/1
(для сильно вырождающихся эллиптических дифференциальных
операторов). На их основе проводится исследование свойств функ-
ций Грина.

7.8.1.	Дифференциальные операторы Лежандра

Мы используем здесь обозначения п. 5.6.1.

Теорема 1. Для самосопряженного оператора Ат, k из тео-
ремы 7.4.1

1	+W (%) ~ 1 4-V/2"1.	(1)

Доказательство. Из соотношения (7.4.2/3) вытекает, что
D (Ат,k) — замкнутое подпространство в W2™ (fa b), p2k). В силу
теоремы 7.3.2/1, 3.2.6 и формулы (3.8.2/3)

sy(Z; W22m«a, b), p2k\ L2((a, b)))

b), p2k), L((a, b)))

b), p2k, p2k-4m), L2((a, Ь)))~Г2т-

Формула (1) следует теперь из теоремы 5.6.1/1.

Замечание 1. Естественно возникает вопрос, можно ли
представить (1) в виде асимптотической формулы с оценкой
остатка, аналогичной (5.6.2/3). Г. Бергер [1] доказал, что

ь

Дф) = 1 J	4- о (Х'/^ in X).	(2)

а РЫ(х)

Метод Г. Бергера применим также в случае нецелых k, 0 < k < 2m.

Теорема 2. Пусть ^ — пространство из определения 7.7.1,
и пусть X не является собственным значением оператора Altl
из теоремы 7.4.1. Тогда для того чтобы оператор (ЛЪ1 —ХЕ)-1
можно было представить в виде

ь

(Л1, х) - ХЕ)-1 и = \G^ (х, у) и (у) dyf	(3)
где

(х, у) е= № ® L2 ((a, b)) П L2 ((a, b)) ® №,	(4)

необходимо и достаточно, чтобы О р < 3/2.

Доказательство. Шаг 1. Применим метод доказательства тео-
ремы 5 6.4. Пусть fj — ортонормированные собственные функции
оператора А1г1. Тогда

00

(Ль1-%Е)-7= 2 ^(7. Ж((а. &»7л	(5)

/ = 1

Не ограничивая общности, мы можем считать, что/у — веществен-
ные функции. Полагая

N

G^tx, </)= 2	(6)

/= i

получаем, аналогично формуле (5.6.4/9), что

|[(Л1(1+£)^® £]с^£2((а,6)х(а.6))= 2^^--	(7)

/ = 1

В силу теоремы 1 при m — k=\ и теоремы 5.6.1/1, имеем Ху +
4- 1 ~ /2. Если р < 3/2, то правая часть формулы (7) дает схо-
дящийся ряд. Поскольку П(Л^) = 7<₽ (теорема 7.7.1), то мы
выводим формулы (3), (4) аналогично тому, как это было сде-
лано на шаге 2 доказательства теоремы 5.6.4.

Шаг 2. Предположим теперь, что формулы (3), (4) справедливы
при р 2s 3/2. По теореме 7.7.1 пространство в правой части (4)
совпадает с

/7 = О([Л1,1®Е + Е®Л1>1]р/2)

= D (Л f/1) ® L2 ((а, Ь)) П L, ((а, b)) ® D (Лf^).	(8)

Если — система ортонормированиях собственных функций
оператора Altl, то система {(Х?/2+Х?/2 + iVT/(*) 7* (#)}“*= i будет
полной ортонормированной системой в Н (после выбора подхо-
дящей эквивалентной нормы в Н). Разлагая функции G(X) (х, у)
в ряд по этой системе и учитывая оценку

| (G(M (х, у), (Xf2 + Xf2 + 1Г 7у (х) fk (у))н |

ОО

с>0, получаем, что Xf~2<;oo. Но это противоречит тому,

/ = 1

ЧТО X; ~ /2 и р 3/2.
Замечание _2. Можно доказать соответствующую теорему
для оператора (Amtk — ХЕ)-1, (используя теорему 7.7.2, в пред-
положении что выполнены ее условия).

7.8.2.	Дифференциальные операторы Трикоми первого типа

Теорема. Для самосопряженного дифференциального опера-
тора Трикоми первого типа Bmtk из теоремы 7.6.3/1

1+N (Х)~Х^ + 1.	(1)

Доказательство. Шаг 1. Из доказательства теоремы 7.6.3/1
следует, что, не ограничивая общности, можно считать d6Q/<») = 0.
Для G —замыкания оператора G, задаваемого формулой (7.6.3/2),
в силу леммы 5.6.1/1, теоремы 7.8.1/1 и формулы (7.6.1/3), имеем

Ц-А^ (X) ~ 1

(2)

Пусть хо и Xi— функции того же вида, что и на шаге 2 доказа-
тельства теоремы 7.6.3/1. Из проведенных там рассуждений
вытекает, что (при соответствующем выборе х!)

S/(X1/; D(Bm>kY L2(Q))^sz(/; D(G), L2(S)).

Далее, в силу оценки (2) и теоремы 5.6.1/1,

(xlZ; D L2 (Q)) ^cj~^.	(3)

Аналогичным образом (4.10.2/14) дает

s7(xB/; £>(BW.*), L2(Q))

< c1S/ (/; W22m (co), L2 (co)) < c2/~ 2т/%	(4)

где (о —некоторая подходящая область, удовлетворяющая усло-
вию ©c=Q. Следовательно,

sz (7; D(Bm,*)> L2(Q))^c/-2^.	(5)

Шаг 2. Будем обозначать операторы продолжения через S,
а операторы сужения — через R. Если со —шар, такой, что wcz
cz Q, то

W22m (a)-^L2 ((D)

= \ (Я) - L2 «й)1 D (В т< k) - L2 (Я)5 wlm «0) D (В hy

Из свойств идеалов s-чисел (формул (1.16.1/25) и (1.16.1/26),
в последней из которых надо заменить dn на s„) и формулы
(4.10.2/14) вытекает, что

S/(7; D(Bm,k),

(6)

Формула (1) следует теперь из оценок (5), (6) и теоремы 5.6.1/1.
Замечание 1. В п. 7.7.3 мы бегло наметили, как можно
найти области определения дробных степеней операторов Bmtk.
Отсюда могут быть получены дифференциальные свойства функ-
ций Грина аналогично теореме 7.8.1/2. См. также теоремы 5.6.2
и 5.6.4.

Замечание 2. * Естественно возникает вопрос, нельзя ли
усилить оценку (1) до асимптотической формулы типа (5.6.2/3).
Гийемо-Тейссье [4] установила асимптотические формулы для N (X)
в случае т=1 и £ = 0, 1. Ее метод представляет собой усовер-
шенствование приведенных выше рассуждений. По-видимому,
таким образом можно получить асимптотические формулы для N (X)
также и для операторов Bm^k. Далее, Бауэнди и Гулауик [8]
рассмотрели операторы типа В1Л. Они получили асимптотические
формулы для N (X) в духе (5.6.2/3) без оценки остаточного члена.

Замечание 3. Для описания пространств Сд z(^) из опре-
деления 7.6.5 мы ввели в п. 7.6.5 самосопряженные операторы Bnit k.
Используя включение (7.6.5/3) (и метод продолжения), можно
показать, что если со —область, удовлетворяющая условию
coczQ, то

Wlm (со) с= D с wlm (й).

Рассуждая так же, как при доказательстве последней теоремы,
убеждаемся в том, что формула (1) справедлива и для операто-
ров В т, ь.

7.8.3.	Дифференциальные операторы Трикоми второго типа

Теорема. Пусть А — самосопряженный дифференциальный
оператор из теоремы 7.6.6/1. Тогда

1+А/ (Z)—1+V-1 для п = 3, 4,...	(1)

и

Ci(l+Z)< l+^(Z)^c2(l+ZlnZ) для п = 2.	(2)

Здесь сг и с2 — некоторые положительные постоянные.

Доказательство. Шаг 1. Определение оператора Л, оценка
(7.3.1/2) и метод локальных координат дают

D(AW) = Wh (Q; о, о) = ГН^; <?)•

По теореме 3.6.1 пространство Со° (Q) плотно в U7£(Q; о). Фор-
мула (1) для п^З следует теперь из теоремы 3.8.2, замечания
3.8.2/1 и теоремы 5.6.1/1.
Шаг 2. Пусть п = 2. В этом случае нужно воспользоваться
замечанием 3.8.2/1 и формулой (3.8.2/2). С помощью (5.6.1_/5) и
(5.6.1/6) получим для собственных значений Z; оператора А-\-Е
оценку

/=2,с>0- (3)

Так как функция //In t монотонно возрастает при больших зна-
чениях /, то из (3) следует, что

V ( I In t с j
t Л
Но из равенства = - вытекает, что In t ~ InX. Поэтому

Af^)^dilnX.	(4)

Тем самым доказано первое из неравенств (2). Левое является
следствием вложения

Wh (Q)czD^1/2),

теорем 5.6.1/2 (в совокупности с замечанием 5.6.1/3) и 5.6.1/1 и
соотношения (4.10.2/14).

Замечание 1.* Эту теорему можно усилить и обобщить.
Впервые спектральные свойства оператора А были рассмотрены
в работах Бауэнди и Гулауика [2, 3]. Усиления и обобщения
этих результатов были получены в работах Симакуры [3, 6],
Гулауика [4], Туловского [1], Гривара [8], Бутэ де Монвеля и
Гривара [1], Эль Колли [2, 3], Нордина [1] и Фам Тхе Лая [4].
Результаты Нордина [1] относятся также к дифференциальным
операторам указанного выше типа, действующим в римановых
пространствах. В частности, можно дать асимптотическую фор-
мулу для N (X) в духе формулы (5.6.2/3) (без оценки остаточного
члена). Для п = 2 имеем

14-АГ (X)~l+Mn X.

Замечание 2.* Примененный выше метод допускает сущест-
венные обобщения. Если Q cz —ограниченная область класса
С°°, то для 0^а<2т можно рассмотреть билинейную форму

Ba(u, v) = $da(x) 2 DhiD^vdx	(5)

Q	IP К m

(или некоторые ее модификации). Обозначим через На замыкание
C“(Q) по норме

|l«ha = [^a(«. «) +1«	(Я)]1/2.
В силу замечания 5.6.1/3, существует самосопряженный оператор
Ла, такой, что D (Л^2) = На. Здесь Аа — самосопряженное (полуог-
раниченное) расширение оператора

Ааи = £ (—I)1 ₽,D3(da(x) £>3и), aeCo°(Q). (6)
I 3 К т

Из теоремы 3.8.2, замечания 3.8.2/1 и теоремы 5.6.1/1 получаем

1

n — l

1

1+/V(M

0^	-

,

2m	n

для — < a <Z 2m

(7)

(8)

и соответствующую оценку для а = 2т/п. Формулы (7) и (8)
хорошо известны. Первые разультаты в этом направлении полу-
чил’ Соломещ [1]. Можно показать, что формулы (7) и (8) и соот-
ветствующая формула дляа = 2т/п остаются справедливыми, если
//« является замыканием C°°(Q) по норме ||и|1н . В работе Соло-
меща [1] получены также асимптотические формулы для N (X) в духе
формулы (5.6.2/3) без оценки остаточного члена. Усиления и
обобщения этих результатов можно найти у Вулиса и Соломяка
[1, 2] и Вулиса [1]. Далее, Маруо [1] и Г. Бергер [1] улучшили
оценку (7) до асимптотической формулы с оценкой остаточного
члена. Отметим еще работы Гийемо-Тейссье [5, 6]. См. также
теорему 6.6.1/2.

7.9.	ДОПОЛНЕНИЯ

В этом параграфе мы бегло опишем некоторые результаты из
теории вырождающихся сингулярных эллиптических дифферен-
циальных операторов, которые не нашли своего места в предыду-
щих рассмотрениях. В основном мы ограничимся здесь ссылками
на литературу.

7.9.1.	Граничные задачи для вырождающихся
эллиптических дифференциальных операторов

В главе 5 мы занимались общими граничными задачами для
(регулярных) эллиптических операторов. В то же время гранич-
ные задачи для вырождающихся эллиптических дифференциаль-
ных операторов, которые рассматривались в этой главе, носят
очень частный характер (см. определения 7.2.1, 7.2.2/1 и 7.2.2/2).
В последние годы в теории граничных задач для общих вырож-
дающихся эллиптических дифференциальных операторов достиг-
нут заметный прогресс. Для случая ограниченной области Q cz Rn
класса С°° Вишик и Грушин [1] рассмотрели дифференциальные
операторы, которые могут быть представлены в локальных коор-
динатах (см. п. 7.2.2) формулой

L(x,D)u= Л аа (y(i))yl«Da,(1)

Здесь 1а = /| а 0, а аа (у[Р) — непрерывные коэффициенты в S
(см. п. 7.2.2). В рамках Л2-теории в указанной статье изучены
граничные задачи вида

L (%, D)u = f,	(2)

В,и\да= 2! ^/)(х)ОЭ«|ай = Т/.	(3)

I 3 К гп.

Основная цель статьи— формулировка условий, при которых
задача (2), (3) разрешима и при которых (L(x, D), Ву) является
Ф-оператором, действующим в соответствующих функциональных
пространствах (ср. с теоремами 5.4.3 и 5.4.4/2). С этими иссле-
дованиями тесно связаны работы Симакуры [1, 4, 5], Боллея и
Камю [3, 4, 6], а также работы, упомянутые в конце введения
к § 7.1 и замечаниях 7.2.1/2 и 7.2.2/3. Симакура [4] и Боллей
и Камю [6] рассматривали дифференциальные операторы вида

k

L(x, D)u = £ P™~h (^>, Dy^) [y*-4i (y^)].	(4)

h=0

Здесь у^ — локальные координаты, как в п. 7.2.2. Формула (4)
представляет оператор в области S — окрестности границы указан-
ного в п. 7.2.2 вида. Натуральные числа k и т таковы, что
Порядок дифференциального оператора Pm~h не пре-
восходит m — h. Ясно, что операторы (1) и (4) тесно связаны
друг с другом. В своей обширной статье [6] Боллей и Камю
получили априорные оценки для задачи (3), (4) и исследовали
условия, при которых (L(x, D), Bj) будет Ф-оператором, дейст-
вующим в соответствующих функциональных пространствах.

7.9.2.	Дифференциальные операторы Трикоми,
аналитические функции и функции классов Жеврея

В последних трех главах было приведено много результатов
о дифференциальных свойствах решений (регулярных и вырождаю-
щихся) эллиптических дифференциальных операторов. В 1900 г.
в своем знаменитом докладе «Математические проблемы» Гильберт
поставил вопрос, при каких условиях линейные и нелинейные
дифференциальные уравнения имеют аналитические решения.
(Девятнадцатая проблема. См. «Die Hilbertschen Probleme», Ost-
wald’s Klassiker der exakten Wissenschaften 252, Akad. Verlagsge-
sellschaft Geest und Portig, Leipzig, 1971L В этой книге есть
также обзоры О. А. Олейник и А. Г. Сигалова, посвященные сов-
ременному состоянию вопроса.) Ссылки на работы по (линейным)
эллиптическим дифференциальным операторам можно найти как
в только что упомянутой книге, так и в третьем томе книги
Лионса и Мадженеса [2]. Кроме того, сошлемся на статью Олей-
ник [1]. В последние годы проведен ряд успешных исследований
по этой проблеме для дифференциальных операторов Трикоми.

Эти вопросы тесно связаны с так называемыми классами Жев-
рея. (Сказанное относится также и к регулярным эллиптическим
дифференциальным операторам.) Пусть К cz — компактное мно-
жество. Функция и принадлежит классу Жеврея GS(K), s^l,
если и является функцией класса С°° в некоторой окрестности К
и существует константа L>0, такая, что

\\D*u\\L2	(|а|!)'

для всех мультииндексов а. Пусть теперь Q cz Rn — произвольная
(открытая) область. Тогда функция и принадлежит G5(Q), если
она принадлежит Gs (/С) для любого компактного подмножества К
области Q. Класс Gt (Q) совпадает с классом всех аналитических
функций. Изучению свойств регулярности в классах Жеврея
дифференциальных операторов Трикоми второго типа посвящены
работы Бауэнди и Гулауика [4, 6]. Аналогичные вопросы для
(модифицированных) дифференциальных операторов Трикоми
первого типа (определение 7.2.2/1 при m = k=l) исследованы в
статьях Бауэнди и Гулауика [5, 8], а для дифференциальных
операторов вида (7.9.1/4) — в статьях Боллея, Камю и Анузэ
[1, 2]. Отметим в этой связи еще работы Бауэнди и Гулауика
[7, 9], Бауэнди, Гулауика и Анузэ [1], Олейник [1], Дерриджи и
Зуили [3].

7.9.3.	Другие типы вырождающихся эллиптических
дифференциальных уравнений

В последние годы активно развивались общая теория выро-
ждающихся эллиптических дифференциальных уравнений и тео-
рия . (регулярных и вырождающихся) эллиптических дифферен-
циальных уравнений в пространствах с весами. Мы не можем
дать здесь подробный обзор различных направлений и задач.
Отсылаем читателя к обзорным работам Кона и Ниренберга [1]
и Мурти и Стампаккьи [1], оказавшим значительное влияние на
дальнейшее развитие теории. Кроме того, ниже отмечены некото-

1 Или, на русском языке: Проблемы Гильберта. Сборник под редакцией
П. С. Александрова. —М.: Наука, 1969. — Прим. ред.
рые работы, имеющие тесное отношение к пространствам, описан-
ным в § 3.10.

В работах, упомянутых в п. 3.10.3, также рассматриваются,
хотя бы отчасти, вырождающиеся эллиптические дифференциаль-
ные операторы, связанные с пространствами, введенными, в
п. 3.10.3. Пространства, изучавшиеся в § 3.9, также тесно связаны
с пространствами из п. 3.10.3. По-видимому, можно построить
теорию эллиптических дифференциальных операторов в этих прост-
ранствах, аналогичную теории, построенной в гл. 6.

Благодаря введенным И. А. Киприяновым пространствам
с весами (см. п. 3.10.4) стало возможно систематическое исследо-
вание вырождающихся эллиптических дифференциальных операто-
ров некоторого специального вида. Сошлемся на работы Кипри-
янова [2, 3, 5 — 7] и Катрахова [1].

С помощью пространств, описанных в п. 3.10.5, Куфнер [2]
изучал граничные задачи для эллиптических дифференциальных
операторов.
8.	Ядерные функциональные
пространства

8.1.	ВВЕДЕНИЕ

Цель этой главы — исследование структуры некорых специаль-
ных ядерных функциональных пространств. Мы ограничимся
пространствами, тесно связанными с рассмотрениями предшеству-
ющих глав. Для понимания этой главы не требуется детального
знания теории абстрактных ядерных пространств. В § 8.2 мы
описываем общую ситуацию и доказываем одну важную струк-
турную теорему. На этой основе с помощью результатов преды-
дущих глав в § 8.3 устанавливаются результаты о структуре ряда
специальных ядерных функциональных пространств.

8.2.	ПРОСТРАНСТВА /?(Л°°)

В этом параграфе описывается связь между общей теорией
ядерных (^-пространств и более специальными рассмотрениями
этой главы. Затем доказывается структурная теорема для прос-
транств D (Л00).

8.2.1.	Ядерные (/^-пространства

Мы предполагаем известной общую теорию локально-выпуклых
пространств и метрических пространств (см., например, Иосида
[1, гл. I, § 1], Морен [2 III] или Кёте [1]). Напомним, что пол-
ное локально-выпуклое пространство F называется (^-простран-
ством, если его топология определяется счетным числом полу-
норм I а ||/, / = 1, 2,.... Без ограничения общности можно считать,
что

|ltz|li<|la|!2^...<||a|i/^k|i7+i^....	(1)

Для наших целей сейчас достаточно рассмотреть случай, когда
|| а ||/ — нормы (а не просто полунормы). Если ввести расстояние

оо
р(я. &)= 2 2-7
/ = 1

II а-& II/
l-l-lla-H/’

(2)

то F становится метрическим пространством (причем топология,
порождаемая метрикой, совпадает с исходной топологией). Дан-
ное (/^-пространство называется монтелевским, если каждое
содержащееся в нем ограниченное множество предкомпактно1.
Будем обозначать через Fj банахово пространство, полученное
пополнением F по норме ||а||7. Тождественное отображение F на
себя можно продолжить до непрерывного линейного отображения
Ikj пространства Fk в Fj при условии, что 1^/^&<oo.

Определение, (а) Пусть Во и В1 — банаховы пространства.
Непрерывный линейный оператор A^L(BQ, ВJ называется ядер-
ным, если он представим в виде

ОО	00

Аь = 2	J]	17/1!в0'1!&1|в1<оо-	(3)

/=1	/=1

(Ь) (Р)-пространство называется ядер ным, если для каждого
натурального числа j существует натуральное число k — k (/) >> /,
такое, что Ikt) —ядерный оператор из Fk в Fj.

Замечание 1.* Легко видеть, что определение ядерного
пространства не зависит от выбора системы (полу)норм вида (1),
задающей его топологию. Так как во всех конкретных примерах,
разбираемых в последующих параграфах, мы имеем дело с (/^-прост-
ранствами, то мы и ограничиваемся этим классом пространств. Поня-
тие (общего) ядерного пространства существенно шире и охваты-
вает многие важные пространства, не являющиеся (/^-простран-
ствами. Ядерные пространства (общие) введены Гротендиком [1].
Систематическое изложение теории ядерных пространств дано
Гротендиком [2] и Пичем [3].

Лемма. Пространство s быстро убывающих последователь-
ностей:

s = {g | g = (gz)z°=i, h — комплексные числа,
mi/=sup/^z|<oo, / = 0, 1, 2,...},	(4)

является ядерным (^-пространством.

Доказательство. Легко проверяется, что s есть (/^-пространство.
Пусть ez = (0,..., О, 1, О, 0,...), где 1 стоит на Z-м месте. Если
обозначения Fj и Iktt имеют тот же смысл, что и выше, и
1	< оо, то

оо	оо

I = 1	/ = 1

(5)

i То есть его замыкание компактно, — Прим, ред,
откуда

= И =	(6)

Отсюда следует ядерность Ikti при условии, что fe^/ + 2.

Замечание 2.* Пространство s играет весьма важную роль
в дальнейших рассмотрениях. Оно занимает центральное место
и в структурной теории общих ядерных пространств. Если
F—(общее) ядерное пространство и L — произвольное множество
индексов, то тихоновское произведение (F)L — также (общее) ядер-
ное пространство (см. Пич [3]). Гротендик [2] высказал гипотезу,
что каждое (общее) ядерное пространство изоморфно некоторому
линейному подпространству пространства (s)L, где L — подходя-
щее множество индексов. Эта гипотеза была доказана Т. Кому-
рой и Ю. Комурой [1]. Ее доказательство приводится у Пича
[3, 11.1.1] и у Ролевича [1]. См. также Кёте [2].

8.2.2.	Структура пространств Д(Л°°)

Лемма. Пусть Н — сепарабельное (комплексное) гильбертово
пространство и А — самосопряженный оператор в Н. Тогда

оо

Р(Л“) = р|£?(Л/), |1Л||/ = ||ЛЬ4-1'Л>А|1«. /=1, 2.. (1)

/ = 0

является (Fy пространством.

Доказательство. Операторы Ai замкнуты. Отсюда следует
утверждение леммы.

Теорема. Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство
и А — самосопряженный оператор в Н.

(а)	Пространство D^A^} монтелево тогда и только тогда,
когда оператор А имеет чисто точечный спектр.

(Ь)	Пространство D^A™} ядерно тогда и только тогда, когда
оператор А имеет чисто точечный спектр и существуют числа
О 0 и т>0, такие, что

Af (X)^cV+l.	(2)

(Здесь N (%) имеет тот же смысл, что и в (5.6.1/1).)

(с)	Пространство D(A™} изоморфно пространству s быстро
убывающих последовательностей тогда и только тогда, когда опе-
ратор А имеет чисто точечный спектр и существуют числа
q>0, с2>0, тг > 0 и т2>0, такие, что

с^ + 1 М+ 1 ^cjs* + 1.	(3)
Доказательство. Шаг 1, Пусть О(Л °0) —монте леве кое простран-
ство и {£р}-оо<р<оо — разложение единицы для оператора А.
Если допустить что спектр А не является чисто точечным, то
образ проектора Ду — Е-уу, который мы обозначим через HN,
будет бесконечномерным при достаточно большом N. Единичный
шар в HN ограничен в D (Л°°), но не предкомпактен. Получили
противоречие. Следовательно, Л имеет чисто точечный спектр.

Шаг 2. Пусть Л имеет чисто точечный спектр. Из теоремы
Реллиха (см., например, Трибель [17, стр. 277]) следует, что
вложение D(Ak) в D(A') компактно при k>j- Из (8.2.1/2) выте-
кает, что £>(Л°°) — монтелевское пространство. Этим установлено
утверждение (а).

Шаг 3, Пусть оператор Л имеет чисто точечный спектр, Ху —
его собственные числа (занумерованные с учетом их кратности):

О | Xi |	| Х21	,

и {fy}~=1-соответствующая полная ортонормированная система
собственных элементов. Тогда отображение

<4)
осуществляет изоморфизм пространства О(Л°°) на пространство
последовательностей

sp,,} = {& I £ = (&)”= ь & —комплексные числа,

1И= 5 0 +ШН <ОО при / = 0, 1, 2, ... .	(5)

4=1	/	/

Это следует из спектрального разложения оператора Л.

Шаг 4, Если /)(Л°°) — ядерное пространство, то, в силу шага 1,
оператор Л имеет чисто точечный спектр. Следовательно, £)(Л°°)
изоморфно пространству определенному формулой (5). Пусть
обозначения Iktj и Fj имеют тот же смысл, что и в п. 8.2.1.
Справедливо соотношение (8.2.1/5). Подобно (8.2.1/6) получаем,
что

Ikh =(1 + ^')1/2> IIА к = С1 +^)"1/2«

Следовательно, оператор Ikj ядерен тогда и только тогда, когда

оо

5	(б)

1 = 1

Используя оценку

5 (1

г — 1
находим, что неравенство (6) эквивалентно неравенствам

1 +	Z = 1, 2, 3 ...,	(7)

где с и х —подходящие положительные числа. Но (7) эквива-
лентно оценке

М (^СА1^ 1.	(8)

Этим установлено (2). Одновременно из проведенных выше рас-
суждений вытекает и обратное утверждение: если оператор А
имеет чисто точечный спектр и справедливо неравенство (2), то
D (Л°°) — ядерное пространство.

Шаг 5.	изоморфно s в том и только том случае, если

изоморфно s. Обозначая через lkt/(s<xz}) (соотв.

операторы (соотв. пространства) из п. 8.2.1 для пространства
имеем в силу (5), (5.6.1/5) и (5.6.1/6)

1 4- Х2/

Sr UkJ (S{X(})> Fk (s{^}), F/ (s{\})) = 1+Л2* •	(9)

Соответствующее соотношение справедливо для пространства s,
топология которого может рассматриваться как порожденная
нормами (5) с = Если и s изоморфны, то аппроксима-
ционные числа из (9) можно оценить сверху и снизу соответст-
вующими числами sr(Jk',j' (s), Fk'(s), Fp(s)) для пространства s
с подходящими k' и /'. Следовательно, найдутся положительные
числа Op о2, Ci и такие, что

1+|Х,|<с2/Ч / = 1, 2, 3, ....	(10)

Обратно, предполагая, что (10) выполняется, получаем, что
Аналогично выводу оченки (8) устанавливается, что со-
отношение (10) эквивалентно соотношению (3).

Замечание 1. Эта теорема служит основой для дальнейших
рассмотрений. В случае когда D (Л°°) —ядерное пространство,
пространства Fj из п. 8.2.1 гильбертовы. Класс ядерных прост-
ранств, порождаемых последовательностью гильбертовых прост-
ранств, не исчерпывается пространствами типа О(Д°°). Можно
показать, что всякое (общее) ядерное пространство может быть
получено аналогичным образом (не вдаваясь здесь в подробности,
сошлемся на Пича [3, 4.4.1]). Это указывает на возможность
изучать ядерные пространства с помощью теории гильбертовых
пространств.

Замечание 2. * Пространства О(Д°°) были введены Митя-
гиным J]. Утверждение (а) и вариант утверждения (Ь) доказаны
Пичем [1]. Утверждение (с) принадлежит Трибелю [11]. Важным
мотивом при введении пространств О(Л°°) был вопрос о сущест-
вовании базиса в специальных ядерных пространствах. Ясно, что
каждое ядерное пространство D (Л00) имеет базис, каковым явля-
ется полная система собственных элементов соответствующего
оператора Л с чисто точечным спектром. Сошлемся в этой связи на
Митягина [1] и Войтыньского [1].

8.3.	СТРУКТУРА ЯДЕРНЫХ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Теорема 8.2.2 (с) служит базой для исследования структуры
многочисленных функциональных пространств. В первом пункте
настоящего параграфа мы установим один сравнительно простой,
но обладающий широкой сферой действия критерий. Второй и
третий пункты посвящены изучению структуры конкретных ядер-
ных функциональных пространств.

8.3.1.	Общая структурная теорема

Теорема. Пусть Q	Rn — произвольная область и А-

Аи= 2 aa(x)Dau, D(A) = C?(Q),	(1)

| а| т

— симметрический оператор в L2(Q) с коэффициентами аа(х)
класса С™. Предположим, далее, что существует самосопряженное
расширение А оператора А и что D (Л°°) — ядерное (^-прост-
ранство. Тогда О(Л°°) изоморфно пространству s быстро убываю-
щих последовательностей.

Доказательство. Шаг 1. По теореме 8.2.2 (Ь) оператор Л имеет
чисто точечный спектр и выполняется оценка

W(X)<c2V*+l,	(2)

где с2>0 и т2>0. В силу теоремы 8.2.2 (с), для доказательства
нашей теоремы достаточно убедиться, что

1+W(h)	(3)

При ПОДХОДЯЩИХ > 0 И Ti > 0.

Шаг 2. Из условий теоремы следует, что

^WcD(I)cDM).

Здесь со — некоторый открытый шар, такой, что ©czQ. (Функции
из	доопределены вне со нулем.) Обозначая операторы
расширения через S, операторы сужения — через R и операторы
вложения — через /, имеем

W™ (0)->L2 (о) “	(q)->L2 (o)^D (^)->b2 (Q)S^m	(Л)-

Отсюда получаем для аппроксимационных чисел 8, оценки

sz (/; ГГ(со), L2(co)Xcs7(/; О(Д), L2(Q)), с>0.

Из (5.6.1/5), (5.6.1/6) и (4.10.2/14) (описанные выше методы про-
должения показывают, что эта формула верна также и для W™
вместо W™) вытекает, что

О 0, /^/0,
откуда и следует (3).

Замечание. Вариант этой теоремы был сформулирован без
доказательства в работе Трибеля [25]. Итак, пространства
указанного выше типа изоморфны s тогда и только тогда, когда
выполняется оценка (2).

8.3.2.	Пространства 5P(JC)(Q) и Со°(й)

Теорема 1. Пусть Q cz Rn — произвольная область и Sp (Q) —
(Р)-пространство из определения 6.2.1/1. Пусть, далее, р~а(х)^
е/ДЙ), где а^О — некоторое подходящее число. Тогда SP(X)(Q)
изоморфно пространству s быстро убывающих последовательностей.

Доказательство. Это вытекает из теорем 8.2.2 (с), 6.4.3 (с) и
6.6.1/1.

Замечание 1. Из теоремы 6.2.3 следует, что предположе-
ние p^^eLJQ), где а 0 — подходящее число, необходимо
для возможности отождествления пространств Sp (Q) и D (А00),
где А — самосопряженный оператор в L2(^)-

Теорема 2. (а) Пространство Шварца S (Rn) быстро убы-
вающих бесконечно дифференцируемых функций изоморфно s.

(b) Для ограниченной области Q<ziRn пространство Со° (Q)
из леммы 6.2.3 изоморфно в.

Доказательство. Это вытекает из теоремы 1, замечания 6.2.3/2
и леммы 6.2.3.

Замечание 2. То что S(Rn) изоморфно s, хорошо известно.
Для доказательства того, что С™ (Q) изоморфно s, не требуется
никаких предположений о гладкости границы. Теоремы 1 и 2
принадлежат Трибелю [2, И, 24].
8.3.3.	Пространства	и С°°(Й)

Теорема. Пусть Q cz Rn — ограниченная область класса С™.
Тогда пространства Сд/(Й) (см. определение 7.6.5 и замечание
7.6.5/1) изоморфны пространству s быстро убывающих последова-
тельностей.

Доказательство. В случае / = / имеем CJ?/(Q) == Со0 (й). Следо-
вательно, этот случай покрывается теоремой 8.3.2/2. Для /</
доказываемое утверждение следует из теорем 7.6.5/2 и 7.8.2,
замечания 7.8.2/3 и теоремы 8.2.2 (с).

Замечание 1. * Изоморфизм пространств С“/(й) и s уста-
новлен в статье Трибеля [11]. В этой статье указываются и дру-
гие ядерные функциональные пространства, изоморфные s. Важный
частный случай С°°(Й) = Сд 0(Й) был рассмотрен ранее Бауэнди
и Гулауиком [3, 2] и Трибелем [7]. В данном выше доказатель-
стве используются дифференциальные операторы Трикоми первого
типа. Бауэнди и Гулауик [3, 2] установили изоморфизм прост-
ранств С°°(Й) и s тем же методом, но с привлечением дифферен-
циальных операторов Трикоми второго типа. Именно, изоморфизм
С°°(й) и s непосредственно вытекает из теоремы 8.2.2(c), заме-
чания 7.6.6/4 и теоремы 7.8.3. Бауэнди и Гулауик [8] дали
также доказательство изоморфизма С°°(Й) и s с помощью (моди-
фицированных) дифференциальных операторов Трикоми первого
типа. В вышеприведенной теореме, а также в статьях Бауэнди
и Гулауика предполагается, что Й — ограниченная область
класса С°°. Используя другие методы, Зернер [1] установил изо-
морфизм пространств С°°(Й) и s в предположении, что й cz Rn —
ограниченная область с границей, удовлетворяющей лишь усло-
вию Липшица. Упомянем, далее, работы Анузэ [5] и Бауэнди,
Гулауика и Анузэ [1], где установлен изоморфизм С°°(й) и s
в предположении, что й — область типа прямоугольного парал-
лелепипеда. Они использовали модифицированные дифференциаль-
ные операторы Трикоми.

Замечание 2. * Изоморфизм между Б(Л°°) и s осущест-
вляется отображением (8.2.2/4). Фигурирующие там элементы
{й/}/°= 1 образуют базис в /)(Л°°). Для специальных пространств
С00 ((я, 6)), СТ ((a, b)), S (7?i) и других существует много явных
базисов, порождающих изоморфное отображение на s. Так,
Митягин [1] доказал, что многочлены Чебышёва образуют базис
в С°°((—1, 1)). Гийемо-Тейссье [1] показала, что многочлены
Лежандра тоже образуют базис в С°°((—1, 1)). (Это утверждение
можно получить с помощью описанного выше метода и тео-
ремы 7.4.3, если учесть, что многочлены Лежандра являются
собственными функциями классического дифференциального опе-
ратора Лежандра.) Функции Эрмита образуют базис в S (R^,
см. Митягин [1]. (Это утверждение также вытекает из проведен-
ных выше рассмотрений, поскольку функции Эрмита служат соб-
ственными функциями дифференциального оператора Эрмита,
представляющего собой частный случай оператора из гл. 6. Даль-
нейшие примеры можно найти у Пича [3, 10.3] и у Ролевича [1].

Замечание 3. Ряд важных ядерных пространств не охва-
тывается вышеприведенным методом. Примерами могут служить
Q°(#i), C°°(^i), а также ядерные пространства гармонических и
аналитических функций. (Определения этих пространств имеются
у Пича [3].) Митягин [1] доказал, что С°°(7^) изоморфно (s)L, гдеА=
= {1, 2, 3, ...}. Этот структурный результат и теорема 8.3.1
показывают, что С°° (RA не может быть представлено как D (Л°°),
где Л—самосопряженный дифференциальный оператор в L2(^i)-
Отметим, наконец, следствие из одного результата Розенблюма [1].
В этой статье изучены распределения собственных чисел само-
сопряженного полигармонического дифференциального оператора А
с граничными условиями Дирихле в неограниченных областях.
Розенблюм доказал, что существует область Q, для которой опе-
ратор А имеет чисто точечный спектр в L2 (Q), такой, что (в про-
тивоположность обычному поведению распределений собственных
чисел дифференциальных операторов)

N (X)	е>0.

(Указанная статья содержит существенно более тонкие асимпто-
тические формулы в духе формулы (5.6.2/3) без оценки остатка.) Из
теорем 8.3.1 и 8.2.2 вытекает теперь, что D (Л°°) является монте-
левским, но не ядерным пространством.

Замечание 4. В связи с приведенными выше результатами,
естественно возникает вопрос (поставленный Гротендиком [2]),
всякое ли (^-пространство имеет базис. Как показано Зобиным
и Митягиным [1] (см. также Митягин и Зобин [1]), ответ на
него отрицателен.
ЛИТЕРАТУРА 1

Авантаджатти (Avantaggiatti А.)

[1]	Spaci di Sobolev con peso ed alcune applicazioni. — Boll. Unione Mat
Itai. 13-A (1976), 1—52.

Агмон (Agmon S.)

[1]	The L «-approach to the Dirichlet problem. I. —Ann. Scuola Norm. Sup.
Pisa 13 (1959), 405—448.

[2]	On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general elliptic boundary
value problems.—Comm. Pure Appl. Math. 15 (1962), 119—147.

[3]	Lectures on elliptic boundary value problems.— Van Nostrand Comp., New
York 1965.

[4]	Asymptotic formulas with remainder estimates for eigenvalues of elliptic
operators.— Arch. Rat. Meeh. Anal. 28 (1968), 165—183.

Агмон, Дуглис, Ниренберг (Agmon S., Douglis A., Nirenberg L.)

[1] Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential
equations satisfying general boundary conditions. I, II.—Comm. Pure
Appl. Math. 12 (1959), 623—727; 17 (1964), 35-92.

Агранович M. С., Вишик M. И.

[1]	Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего
вида. —УМН 19 (1964), № 3, 53—161.

Адамс (Adams R. А.)

[1]	Compact Sobolev imbeddings for pepper sets. —J. Math. Anal. Appl. 27
(1969), 405—408.

[2]	Capacity and compact imbeddings.— J. Math. Meeh. 19 (1970), 923—929.

[3]	Compact imbedding theorems for quasibounded domains.— Trans. Amer.
Math. Soc. 148 (1970), 445—459.

[4]	Compact imbeddings of weighted Sobolev spaces on unbounded domains. —
J. Diff. Equations 9 (1971), 325—334.

[5]	Some integral inequalities with applications to the imbedding of Sobolev
spaces defined over irregular domains. — Trans. Amer. Math. Soc. 178
(1973), 401—429.

*[6] Sobolev spaces.— Academic Press, New York—San Francisko 1975.

Адамс, Ароншайн, Смит (Adams R. A., Aronszajn N., Smith К. T.)

[1]	Theory of Bessel potentials. II. —Ann. Inst. Fourier Univ. Grenoble 17
(1967/68), 1—135.

Адамс, Фурнье (Adams R. A., Fournier J.)

[1]	A compact imbedding theorem for functions without compact support. —
Canad. Math. Bull. 14 (1971), 305—309.

[2]	Some imbedding theorems for Sobolev spaces.—Canad. J. Math. 23 (1971),
517—530.

Алимов Ш. A.

[1] Дробные степени эллиптических операторов и изоморфизм классов диф»
ференцируемых функций. —Дифф, уравн. 8 (1972), 1609—1626.

1 Для переводных книг в круглых скобках указан год оригинального
издания. Если он больше года выхода в свет перевода, то это означает, что
последний делался с более раннего издания, чем то, на которое ссылается
автор. Звездочкой помечены работы, добавленные при переводе, — Прим, перев»
Аманов Т. И.

[1]	Граничные функции классов НГ1..........гп и Hri’	гп, — И АН СССР,

сер. матем., 19 (1955), 17—32.

[2]	Теоремы представления и вложения для функциональных пространств
Srp е В — Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 77
(1965), 143—167.

Андерссон (Andersson R.)

[1]	The type set of generalized Sobolev operator. — Medd. Lunds Univ. Mat.
Semin. 19 (1972).

Анузэ (Hanouzet B.)

[1]	Regularite pour une classe d’operateurs elliptiques degeneres du deuxieme
ordre.—C. R. Acad. Sci. Paris 268 (1969), Al 177—Al 179.

[2]	Espaces de Sobolev avec poids et interpolation.—C. R. Acad. Sci. Paris
271 (1970), A26—A29.

[3]	Problemes aux limites elliptiques dans des ouverts non bornes. — Colloque
Intern, d’Analyse fonctionelles, Bordeaux 1971.

[4]	Espace de Sobolev avec poids. Application au probleme de Dirichlet dans
un demi espace.— Rend. Semin. Mat. Univ. Padova 46 (1971), 227—272.

[5]	Caracterisation de classes de fonctions C°° par des iteres d’operateurs
elliptiques degeneres sur des ouverts irreguliers. — Sem. Goulaouic-Schwartz
1971/72.

Аранда, Каттанео (Aranda P. J., Cattaneo E. P.)

[1] Classe de 1’injection de HSQ (Q) dans L2(&)-—C. R. Acad. Sci. Paris
274 (1972), A1292—A1295.

Аркерид (Arkeryd L.)

[1] On the LP estimates for elliptic boundary problems.—Math. Scand. 19
(1966), 59—76.

Ароншайн (Aronszajn N.)

[1] Boundary values of functions with finite Dirichlet integral. —Techn.
Report 14, Univ, of Kansas 1955, p. 77—94.

Ароншайн, Гальярдо (Aronszajn N., Gagliardo E.)

[1] Interpolation spaces and interpolation methods.— Ann. Mat. Рига Appl. (4)
68 (1965), 51—117.

Ароншайн, Милгрэм (Aronszajn N., Milgram A. N.)

[1] Differential operators on Riemannian manifolds.— Rend. Circ. Mat.
Palermo 2 (1952), 1—61.

Ароншайн, Мулла, Шептицки (Aronszajn N., Mulla F., Szeptycki P.)

[1] On spaces of potentials connected with LP classes.— Ann. Inst. Fourier
Univ. Grenoble 13 (1963), 211—306.

Ароншайн, Смит (Aronszajn N., Smith К- T.)

[1] Theory of Bessel potentials. I. —Ann. Inst. Fourier Univ. Grenoble 11
(1961), 385—476.

Бабаджанов С. Б., Тихомиров В. M.

[1] О поперечниках одного функционального класса в пространствах
Lp(p^l). — ИАН УзССР, сер. физ.-матем. наук, 2 (1967), 24—30.

Багиров Л. А.

[1] Эллиптические уравнения в неограниченных областях.— Матем. сб. 86
(1971), 120—139.

Багиров Л. А., Фейгин В. И.

[1] Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с неограничен-
ной границей. — ДАН СССР 211 (1973), 23—26.

Балакришнан (Balakrishnan А. V.)

[1] An operational calculus for infinitesimal generators of semi-groups. — Trans.
Amer. Math. Soc. 91 (1959), 330—353.

[2] Fractional powers of closed operators and the semi-groups generated by
them. —Pacif. J. Math. 10 (1960), 419—437.
Банах (Banach S.)

[1] Theorie des operations lineaires. — Warszawa, 1932.

[Имеется перевод на украинский: Курс функционального анал!зу, —КиТв.
Радянська школа, 1948.]

Басс Г. И.

[1]	Асимптотика спектральной функции эллиптических операторов в огра-
ниченной области. —Матем. заметки 5 (1969), 245—261.

Бауэнди, Гулауик (Baouendi М. S., Goulaouic С.)

[1]	Commutation de 1’intersection et des foncteurs d’interpolation.—C. R. Acad.
Sci. Paris 265 (1967), 313—315.

[2]	Etude de la regularise et du spectre d’une classe d’operateurs elliptiques
degeneres.—C. R. Acad. Sci. Paris 266 (1968), A336—A338.

[3]	Regularite et theorie spectrale pour une classe d’operateurs elliptiques
degeneres.— Arch. Rat. Meeh. Anal. 34 (1969), 361—379.

[4]	Analyticite “jusqu’au bord” pour une classe d’operateurs elliptiques dege-
neres.—C. R. Acad. Sci. Paris 270 (1970), Al 158—A1161.

[6]	Caracterisation des fonctions analytiques sur une variete a bord. —
C. R. Acad. Sci. Paris 270 (1970), A1424—A1426.

[6]	Etude de 1’analyticite et de la regularite Gevrey pour une classe d’opera-
teurs elliptiques degeneres. —Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 4е ser., 4
(1971), 31—46.

[7]	Nonanalytic-hypoellipticity for some degenerate elliptic operators.— Bull.
Amer. Math. Soc. 78 (1972), 483—486.

[8]	Regularite analytique et iteres d’operateurs elliptiques d£generes; applica-
tions.—J. Funct. Analysis 9 (1972), 208—248.

[9]	Iteres d’operateurs elliptiques et prolongement de fonctions propres.— Rev.
Roum. Math Pures Appl. 18 (1973), 1495—1501.

Бауэнди, Гулауик, Анузэ (Baouendi M. S., Goulaouic C., Hanouzet B.)

[1] Caracterisation de classes de fonctions C°° et analytiques sur une variete
irreguliere a 1’aide d’un operateur differentiel. —J. Math. Pures Appl. 52
(1973), 115—144.

Бенашур (Benachour S.)

[1] Regularite des solutions d’un operateur elliptique degeneres.—C. R. Acad.
Sci. Paris 276 (1973), A839—A841.

Бенедек, Панцоне (Benedek A., Panzone R.)

[1] The spaces LP with mixed norms. —Duke Math. J. 28 (1961), 301—324.

[2] A counterexample in the theory of interpolation of operators. — Boll.
Unione Mat. Itai. 8 (1973), 110—116.

Беннетт (Bennett C.)

[1]	A pair of indices for function spaces on the circle.— Trans. Amer. Math.
Soc. 174 (1972), 289—304.

[2]	A Hausdorff-Young theorem for rearrangement-invariant spaces.— Pacif.
J. Math. 47 (1973), 311—328.

[3]	Estimates for weak-type operators. — Bull. Amer. Math. Soc. 79 (1973),
933—935.

[4]	Intermediate spaces and the class of L log+ L. — Arkiv Mat. 11 (1973),
215—228.

[5]	Banach function spaces and interpolation methods. I. Abstract theory.—
J. Funct. Analysis 17 (1974), 409—440.— II. Interpolation of weak-type
operators. — In “Linear operators and approximation”, Proc. Conf. Ober-
wolfach Math. Res. Inst., Birkhauser, Basel-Stuttgart 1974, p. 129—139.—
III. Hausdorff-Young estimates.— J. Approximation Theory 13 (1975),
267—275.

Бергер Г. (Berger G.)

[1]	Asymptotik von Eigenwertverteilungen singularer elliptischer Differentials
peratoren, —Dissertation, Jena 1973.

i/2 20*
Бергер М. С., Шехтер (Berger М. S., Schechter М.)

[1]	Embedding treorems and quasi-linear elliptic boundary value problems for
unbounded domains.— Trans. Amer. Math. Soc. 172 (1972), 261—278.

Березанский Ю. M.

[1]	Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов.—
Киев: Наукова думка, 1965.

Беренс (Berens Н.)

[1]	Interpolationsmethoden zur Behandlung von Approximationsprozessen auf
Banachraumen.— Lecture Notes Math. 64, Springer-Verlag, Berlin-Heidel-
berg-New York, 1968.

Беренс, Бутцер (Berens H., Butzer P. L.)

[1]	Approximation theorems for semi-groups operators in intermediate spaces. —
Bull. Amer. Math. Soc. 70 (1964), 689—692.

Беренс, Бутцер, Вестфаль (Berens H., Butzer P. L., Westphal U.)

[1]	Representation of fractional powers of infinitesimal generators of semig-
roups.—Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968), 191—196.

Беренстейн, Котляр, Керцман, Крэ (Berenstein С. A., Cotlar М., Kerzman N.,
Кгёе Р.).

[1]	Some remarks on the Marcinkiewicz convexity theorem in the upper
triangle.—Studia Math. 29 (1967), 79—95.

Бериев А. Д.

[1]	Теоремы вложения для весовых функциональных пространств.— ДАН
СССР 183 (1968), 991—994.

Бесов О. В.

[И О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения
и продолжения.— ДАН СССР 126 (1959), 1163—1165.

[2]	Исследование одного семейства функциональных пространств в связи
с теоремами вложения и продолжения. —Труды матем. ин-та им.
В. А. Стеклова АН СССР 60 (1961), 42—81.

[3]	Об условиях существования классического решения волнового уравне-
ния.—Сиб. матем. ж. 8 (1967), 243—256.

[4]	Продолжение функций из Llp и Wp.—Труды матем. ин-та им. В. А. Стек-
лова АН СССР 89 (1967), 5—17.

[5J	О коэрцитивности в неизотропном пространстве С. Л. Соболева.—Матем.
сб. 73 (1967), 585—600.

[6]	О плотности финитных функций Llp> 0 и распространении функций. —
Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 89 (1967), 18—30.

[7]	Классы функций с обобщенным смешанным условием Гёльдера. —Труды
матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 105 (1969), 21—29.

[8]	О росте смешанной производной функции из lz\ — Матем. заметки,
15 (1974), 355—362,

Бесов О. В., Джабраилов А. Д.

[1] Интерполяционные теоремы для некоторых пространств дифференцируемых
функций. —Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 105 (1969),
15—20.

Беаов О. В., Ильин В. П.

[1] Естественное расширение класса областей в теоремах вложения.—Матем.
сб. 75 (1968), 483—495.

Бесов О. В., Ильин В. П., Кудрявцев Л. Д., Лизоркин П. И., Никольский С. М.

[1] Теория вложений классов дифференцируемых функций многих перемен-
ных.— В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными. —
М.: Наука, 1970, с. 38—63.

Бесов О. В., Ильин В. П., Лизоркин П. И.

[1] Lp-оценки некоторого класса неизотропно-сингулярных интегралов.—
ДАН СССР 169 (1966), 1250—1253.
Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М.

*[1] Интегральные представления функций и теоремы вложения.—М.: Наука,

Бесов О. В., Кадлец, Куфнер (Kadlec J., Kufner А.)

[1]	О некоторых свойствах весовых классов.— ДАН СССР 171 (1966), 10—12.
Бесов О. В., Куфнер (Kufner А.)

[1]	О плотности гладких функций в весовых пространствах. Czechoslovak
Math. J. 18 (1968), 178—188.

Билз (Beals R.)

[1]	On eignevalue distributions for elliptic operators without smooth coeffi-
cients. I, II. —Bull. Amer. Math. Soc. 72 (1966), 701—705; 74 (1968),
1022—1024.

[2]	Global asymptotic estimates for elliptic spectral functions and eigneva-
lues. —Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968), 358—360.

[3]	Classes of compact operators and eignevalue distributions for elliptic opera-
tors.—Amer. J. Math. 89 (1967), 1056—1072.—Correction, ibid. 91 (1969),
200—202.

Бирман M. Ш., Co ломя к M. 3.

[1]	О приближении функций классов W& кусочно-полиномиальными функ-
циями.-ДАН СССР 171 (1966), 1015—1018.

[2]	Кусочно-полиномиальные приближения функций классов W&. — Матем.
сб. 73 (1967), 331—335.

[3]	О главном члене спектральной асимптотики для «негладких» эллипти-
ческих задач. — Функц. анализ и его прилож. 4 (1970), 1—13.

[4]	Спектральная асимптотика негладких эллиптических операторов.—ДАН
СССР 205 (1972), 267—270.

[5]	Спектральная асимптотика негладких эллиптических операторов, I, II.—
Труды Моск, матем. о-ва. 27 (1972), 3—52; 28 (1973), 3—34.

[6]	Об эквивалентных перенормировках классов Wp при разбиениях области.—
Изв. высш, учебн. завед. 3 (1973), 19—27.

Богачёв Б. М.

[1]	О весовых пространствах с различными весами по разным перемен-
ным.—В сб.: Теоремы вложения и их приложения (Труды симп. по
теоремам вложения, Баку, 1966).—М.: Наука, 1970, с. 23—34.

Бозами (Beauzamy В.)

[1]	Espaces de Sobolev et de Besov d’ordre variable d^finis sur LP.—
C. R. Acad. Sci. Paris 274 (1972), A1935—A1938.

[2]	Bspaces de Sobolev et de Besov d’ordre variable dfefinis sur LP.— These,
Univ. Paris VII, 1972.

Боллей, Камю (Bolley P., Camus J.)

[1]	Sur une certaine classe d’operateurs differentiels ordinaires, elliptiques et
degeneres.—C. R. Acad. Sci. Paris, 271 (1970), A593—A595.

[2]	Sur certains problemes aux limites, elliptiques et degen£res.—C. R. Acad.
Sci. Paris 271 (1970), A980—A983.

f8]	Une classification de problemes elliptiques degeneres a une ou plusieurs
variables.—Sem. Goulaouic-Schwartz 1970/71.

[4]	Sur une classe d’operateurs elliptiques et d£generes a une variable. —
J. Math. Pures Appl. 51 (1972), 429—463.

[5]	Sur une classe d’operateurs elliptiques et degeneres a une variable. —
Preprint.

[6]	Sur une classe d’operateurs elliptiques et degeneres a plusieurs variables. —
Bull. Soc. Math. France, Suppl. Mem. 34 (1973), 55—140.

[7]	Quelques proprifctes des operateurs maximaux associes a une classed’ope,-
rateurs elliptiques et degeneres. — Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (4) 1 197(4),
261—299.

20 X. Трибель
Боллей, Камю, Анузэ (Bolley Р., Camus J., Hanouzet В.)

[1]	Etude de Г anal ytici te et de la regularite Gevrey pour une classe de prob-
lemes aux limites elliptiques et degeneres. — C.R.Acad. Sci. Paris 275
(1972), A1175— A1177.

[2]	Etude de 1’analyticite et de la regularite Gevrey pour une classe de prob,
lemes aux limites elliptiques et degeneres. — Asterisque 19 (1974), 25—48-
Борзов В. В.

[1]	О количественных характеристиках сингулярных мер. —В сб.: Проблемы
матем. физики, 4, изд-во ЛГУ, 1970, с. 42—47.

[2]	О некоторых применениях кусочно-полиномиальных приближений функ-
ций анизотропных классов Wrp. — ДАН СССР 198 (1971), 499—501.

[3]	Некоторые приложения теорем о кусочно-полиномиальных аппроксимациях
функций анизотропных классов Wrp.— В сб.: Проблемы матем. физики,
6, изд-во ЛГУ, 1973, с. 53—67.

Бохнер, Чандрасекхаран (Bochner S., Chandrasekhar ап К.)

[1] Fourier transforms.—Princeton 1949.

Бочкарёв С. В.

[1]	Существование базиса в пространстве функций, аналитических в круге,
и некоторые свойства системы Франклина.— Матем. сб. 95 (1974), 3—18.
Браудер (Browder F. Е.)

[1]	On the eigenfunctions and eignevalues of the general elliptic differential
operators.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA 39 (1953), 433—439.

(2]	Estimates and existence theorems for elliptic boundary value problems.—
Proc. Nat. Acad. Sci. USA 45 (1959), 365—372.

(3]	On the spectral theory of strongly elliptic differential operators.— Proc.
Nat. Acad. Sci. USA 45 (1959), 1423—1431.

{4] A priori estimates for solutions of elliptic boundary value problems.—
Indag. Math. 22 (1960), 145—169.

[5]	On the spectral theory of elliptic differential operators. Math. Ann. 142
(1961), 22—130.

[6]	Remarks on non linear interpolation in Banach spaces. —J. Funct. Analysis
4 (1969), 390—403.

Брезис (Brezis D.).

[1] Classes d’interpolation associees a un operateur monotone.—C. R. Acad.
Sci. Paris 276 (1973), A1553—A1556.

Брюнинг (Bruning J.).

[1] Zur Abschatzung der Spektralfunktion elliptischer Operatoren. —Math. Z.
137 (1974), 75—85.

Бугров Я. С.

[1] Функциональные пространства со смешанной нормой. — ИАН СССР, сер.
матем., 35 (1971), 1137—1158.

[2] Теоремы вложения для классов функций со смешанной нормой. — Матем.
сб. 92 (1973), 611—621.

Буман (Boman J.)

[1] Supremum norm estimates for partial derivatives of functions of several
real variables. — Illinois J. Math. 16 (1972), 203—216.

Буренков В. И.

[1] Теоремы вложения и продолжения для классов дифференцируемых функ-
ций многих переменных, заданных на всем пространстве.—В сб.: Итоги
науки. Матем. анализ. 1965.—М., 1966, с. 71—155.

J2] О теоремах вложения для области Rj? ={Uih < х N < Р/Л; 0 < h < 1}.—
Матем. сб. 75 (1968), 496—501.

[В] Об аддитивности пространств Wrp и Вгр и о теоремах вложения для обла-
стей общего вида. —Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР
105 (1969), 30—45.
[4]	О свойстве аддитивности пространств Wrp (Q).— В сб.: Теоремы вложения
и их приложения (Труды симпозиума по теоремам вложения, Баку
1966). — М.: Наука, 1970, с. 47—52.

[5]	О плотности бесконечно дифференцируемых функций в пространстве
Соболева для произвольного открытого множества.— Труды матем. ин-та
им. В. А. Стеклова АН СССР 131, (1974) 39—50.

[6]	О продолжении функций с сохранением и с ухудшением дифференциаль-
ных свойств.-ДАН СССР, 224 (1975), 269—272.

• [7] Об аддитивности классов (Q).— Труды матем. ин-та им. В. А. Стек-
лова АН СССР, 89 (1967), 31—55.

* [8] О плотности бесконечно дифференцируемых функций в пространствах
функций, заданных на произвольном открытом множестве. —В кн.: Тео-
рия кубатурных формул и приложения функционального анализа к неко-
торым задачам математической физики, Новосибирск, 1975, с. 9—22.

Бутцер (Butzer Р. L.)

[1] A survey of work on approximation at Aachen, 1968—1972. —In «Appro-
ximation Theory» (Ed. G. G. Lorentz), Academic Press, New York —Lon-
don 1973, p. 31—100.

Бутцер» Беренс (Butzer P. L., Berens H.)

[1] Semi-groups of operators and approximation. —Grundlehren math. Wissensch.
145, Springer-Verlag, Berlin —Heidelberg —New York 1967.

Бутцер» Вестфаль (Butzer P. L., Westphal U.)

[1] Ein Operatorenkalkiil fur das approximati onstheoretische Verhalten des
Ergodensatzen im Mittel. —In «Linear Operators and Approximation», Proc.
Conference Oberwolfach, August 1971, Birkhauser-Verlag, Basel —Stuttgart
1972, S. 102—114.

Бутцер, Гёрлих (Butzer P. L., Gorlich E.)

[1] Characterizations of Favard classes for functions of several variables.—
Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968), 149—152.

Бутцер, Йонен (Butzer P. L., Johnen H.)

[1] Lipschitz spaces on compact manifolds.— J. Funct. Analysis 7 (1971)M
242—266.

Бутцер, Нессель (Butzer P. L., Nessel R. J.)

[1] Fourier analysis and approximation. I. — Birkhauser-Verlag, Basel —Stutt-
gart 1971.

Бутцер, Требельз (Butzer P. L., Trebels W.)

(1] Hilberttransformation, gebrochene Integration und Differentiation. —For-
schungsberichte des Landes Nordrhein-Westf. Nr. 1889. Westdeutscher
Verlag Koln, Opladen 1968.

Бутцер, Шерер (Butzer P. L., Scherer K. S.)

[1]	Approximationsprozesse und Interpolationsmethoden. —Bibliographisches
Institut, Mannheim 1968.

[2]	Jackson and Bernstein-type inequalities for families of commutative opera-
tors in Banach spaces. —J. Approximation Theory 5 (1972)x 308—342.

Бутэ де Монвель, Гривар (Bouter de Monvel L., Grisvard P.)

[1]	Le comportement asymptotique des valeurs propres d’un operateur.—
C. R. Acad. Sci. Paris 272 (1971), A23-A26.

Бэгби (Bagby R. J.)

[1]	Lebesgue spaces of parabolic potentials.—Illinois J. Math. 15 (1971), 620—634.

[2]	A difference quotient norm for spaces of quasi-homogeneous Bessel poten-
tials.—Studia Math. 40 (1971), 41—48.

Валек (Walek H.)

[1]	Skalen von Banachraumen und gebrochene Potenzen linearer Operatoren.—
Wiss. Z. Univ. Jena, Math.-Naturw. Reihe, 18 (1969), 269—272.

[2]	Jacobiraume, Approximationszahlen und Interpolationsmethoden,— Disser-
tation, Jena 1971.
Вейль Г. (Weyl Н.)

[1] Ober gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularitaten und die
zugehorigen Entwicklungen willkiirlicher Funktionen. — Math. Ann. 68
(1910), 222—269.

Вестфаль (Westphal U.)

[1] Ein Kalkiil fiir gebrochene Potenzen infinitesimaler Erzeuger von Halb,
gruppen und Gruppen von Operatoren. I, II. —Composito Math. 22 (1970)-
67—103, 104—136.

Вилламарэн (Villamarin A. F.)

[1] Sur le prolongement bornologique de foncteurs d’interpolation.—C. R. Acad.
Sci. Paris 275 (1972), A1167 —A1170.

[2] Prolongement bornologique de foncteurs d’interpolation et applications.—
Actes du Deux Coll. d’Analyse Fonct. de Bordeaux (Univ, de Bordeaux
1973), vol. Ill, p. 57—66; Publ. Dep. Math. (Lyon) 10 (1973), 335—344.
Винхольтц (Wienholtz E.)

[1] Halbbeschrankte partielle Defferentialoperatoren zweiter Ordnung vom
elliptischen Typus. — Math. Ann. 135 (1958), 50—80.

Вишик M. И., Грушин В. В.

[1] Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на гра-
нице области. —Матем. сб. 80 (1969), 455—491.

Блока (Wloka J.)

[1] Vektorwertige Sobolev-Slobodeckijsche Distributionen. — Math. Z. 98(1967),
303—318.

Войтыньский (Wojtynski W.)

[1] On bases in certain countably-Hilbert spaces.— Bull. Acad, Polon. Sci.,
S£r. Sci. Math., Astr., Phys., 14 (1966), 681—684.

Волевич Л. P., Панеях Б. П.

[1] Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения.—
УМН 20 (1965), № 1, 3—74.

Вулис И. Л.

[1] Спектральная асимптотика вырождающихся полигармонических опера-
торов.-ДАН СССР 219 (1974), 1049—1052.

Вулис И. Л., Со ломя к М. 3.

[1] Спектральная асимптотика вырождающихся эллиптических операторов.—
ДАН СССР 207 (1972), 262—265.

[2] Спектральная асимптотика вырождающихся эллиптических операторов
второго порядка. —ИАН СССР, сер. матем., 38 (1974), 1362—1392.

Гальярдо (Gagliardo Е.)

fl] Proprieta di alcune classi di funzioni in piu variabili. — Ricerche Mat. 7
(1958), 102—137.

[2] Interpolation d’espaces de Banach et applications. I—III.—C. R. Acad.
Sci. Paris 248 (1959), 1912—1914, 3388—3390, 3517—3518.

($] Interpolazione di spazi di Banach e applicazioni. —Edizioni Sci, Genova 1959.

4] Interpolazione di spazi di Banach e applicazioni.— Ricerche Mat. 9 (1960),
58-81.

|5] Una struttura unitaria in diverse famiglie di spazi funzionali. I. —Ricerche
Mat. 10 (1961), 244—281.

[6] Caratterizzazione construttiva di tutti gli spazi di interpolazione tra spazi
di Banach.—Symposia Math. Vol. II, INDAM, Rom 1968, p. 95—106.

Гапцйяр (Gapaillard C.)

[1]	Un resultat de compacite pour Г interpolation de couples hilbertiens.—
C. R. Acad. Sci. Paris 278 (1974), A681—A684.

[2]	Caracterisation des espaces d’interpolation entre %p et ^°°. —C. R. Acad.
Sci. Paris 279 (1974), A53 —A55.

Гапайяр, Фам Тхе Лай (Gapaillard С., Pham The Lai)

[1]	Remarpues sur les proprifctes de dualite et d’interpolation des idiaux de
R.Schatten.—C. R. Acad. Sci. Paris 274 (1972), A1794-A1797,
[2]	Remarques sur les proprietes de dualite et d’interpolation des ideaux de
R. Schatten.—Studia Math. 49 (1974), 129—138.

Гапошкин В. Ф.	'

[1]	О системе Хаара как безусловном базисе в Lo [0, 1].—Матем. заметки,
15 (1974), 191-196.	Р

Гельман И. В., Мазья В. Г.

[1]	Оценки для дифференциальных операторов с постоянными коэффициен-
тами в полупространстве.—ДАН СССР 202 (1972), 751—754.

[2]	Оценки на границе для дифференциальных операторов с постоянными
коэффициентами в полупространстве. — ИАН СССР, сер. матем., 38
(1974), 663-720.

Гёрлих (Gorlich Е.)

[1]	Distributional methods in saturation theory.—J. Approximation Theory 1
(1968), 111-136.

Гийемо-Тейссье (Guillemot-Teissier M.)

[1]	Series de Legendre des distributions: Structures hilbertiennes. —C. R. Acad.
Sci. Paris 265 (1967), A461—A464.

[2]	Etude d’une base orthonormale de 1’espace des fonctions de carres sommab-
les sur la boule-unite de Rn.— C. R. Acad. Sci. Paris 271 (1970),
Al 239 —Al 242.

[3]	Etude de differents operateurs degeneres sur la frontiere de la boute-
unite de Rn.—C. R. Acad. Sci. Paris 274 (1972), A891 — A894.

[4]	Comportement asymptotique des valeurs propres d’un operateur elliptique
degenere “suivant la normale”.—Techn. Report, Paris 1973.

[5]	Application des methodes variationnelles a I’etude spectrale d’operateurs
degeneres.—C. R. Acad. Sci. Paris 277 (1973), A739 —A742.

[6]	Proprietes spectrales de certains operateurs elliptiques degener£s.—
C. R. Acad. Sci. Paris 278 (1974), A137 —A140.

Гилберт (Gilbert J. E.)

[1]	Interpolation between weighted /Л-spaces. — Arkiv. Mat. 10 (1972),
235—249.

Гильдерман Ю. И.

[1]	К теоремам вложения для абстрактных функций. —ДАН СССР 140
(1961), 743-745.

[2]	Абстрактные функции множеств и теоремы вложения С. Л. Соболева.—
ДАН СССР 144 (1962), 962-964.

[3]	Об обобщенном дифференцировании аддитивных функций множеств. —
Сиб. матем. ж. 6 (1965), 727 — 736.

Глазман И. М.

[1]	Об индексе дефекта дифференциальных операторов.—ДАН СССР 64
(1949), (151 — 154).

[2]	Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных диф-
ференциальных операторов.— М.: Физматгиз, 1963.

Глускин Е. Д.

[1]	Об одной задаче о поперечниках.—ДАН СССР 219 (1974), 527—530.

Головкин К. К.

[1]	Об эквивалентных нормировках дробных пространств.— Труды матем.
ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 66 (1962), 364 — 383.

[2]	Некоторые неравенства между нормами смешанных производных функ-
ций многих переменных.—ДАН СССР 159 (1964), 965 — 967.

13]	О невозможности некоторых неравенств между функциональными нор-
мами.—Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 70 (1964),
5-25.

[4]	Об одном обобщении интерполяционной теоремы Марцинкевича. —Труды
матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 102 (1967), 5 — 28.

{б] Параметрически нормированные пространства и нормированные массивы.—
Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 106 (1969), 3—114.
Гохберг И. Ц., Крейн М. Г.

[1] Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов.—Мл
Наука, 1965.

Грамш (Gramsch В.)

[1] Zum Einbettungssatz von Rellich bei Sobolevraumen.—Math. Z. 106
(1968), 81-87.

Гривар (Grisvard P.)

[1]	Identites entre espaces de traces.—Math. Scand. 13 (1963), 70 — 74.

[2]	Espaces intermediates entre espaces de Sobolev avec poids. — Ann. Scuola
Norm. Sup. Pisa 17 (1963), 255 — 296.

[3]	Theoreme de trace et applications.—C. R. Acad. Sci. Paris 256 (1963),
3226.

[4]	Commutativite de deux foncteurs d’interpolation et applications. —
J. Math. Pures Appl. 45 (1966), 143 — 290.

[5]	Characterisation de quelques espaces d’interpolation.—Arch. Rat. Meeh.
Anal. 25 (1967), 40 — 63.

[6]	Equations differentielles abstraites. — Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 4е ser.,
2 (1969), 311-395.

[7]	Equations operationnelles abstraites et problemes aux limites dans des
domaines non reguliers. — Actes, Congrds Intern. Math. 1970, t. 2 (1971),
p. 731—736.

[8]	Le comportment asymptotique des valeurs propres d’un operateur. —
Sem. sur les equations aux derivees partielles, College de France 1971.

[9]	Interpolation non commutative. — Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci.
Fis. Mat. Natur. 52 (1972), 11 — 15.

[10]	Spazi di tracce e applicazioni. — Rend. Mat. (6), 5 [1972), 657 — 729.
ГромезJGromes W.)

[1]	Ober das asymptotische Verhalten der Spektralfunktion elliptischer Sys-
teme. —Math. Z. 118 (1970), 254 — 270.

[2]	Ober die Spektralfunktion elliptischer Systeme auf Riemannschen Man-
nigflatigkeiten. — Math. Z. 123 (1971), 340-350.

Гротендик (Grothendieck A.)

[1]	Sur une notion de produit tensoriel topologique d’espaces vectoriels topo-
logiques, et une classe remarquable d’espaces vectoriels liees a cette no-
tion.-C. R. Acad. Sci. Paris 233 (1951), A1556-A1558.

[2]	Produits tensoriels topologiques et espaces nucleates.—Mem. Amer. Math
Soc. 16, Proviedence, R. I., 1955.

Грубб (Grubb C.)

[1] Le spectre negatif des problemes aux limites auto-adjuoints fortement
elliptiques.—C. R. Acad. Sci. Paris 274 (1972), A409-A412.

Гуджо (Goudjo C.)

[1] Problemes aux limites dans les espaces de Sobolev avec poids.— Boll.
Unione Mat. Itai. 8 (1973), 468-493.

Гудиев A. X.

[8] Некоторые обобщения теорем вложения.—Сиб. матем. ж. 6 (1965),
775 — 797.

Гулауик (Goulaouic С.)

[1]	Interpolation entre les espaces LP avec poids. — C. R. Acad. Sci. Paris 262
(1966), 333-336.

[2]	Prolongements de foncteurs d’interpolation et applications.— Ann Inst.
Fourier Univ. Grenoble 18 (1968), 1 — 98.

[3]	Interpolation entre des espaces localement convexes definis a 1’aide de
semi-groups; cas des espaces de Gevrey. —Ann. Inst. Fourier Univ. Gre-
noble 19 (1970), 269-278.

[4]	Sur la theorie spectrale des operateurs elliptiques, fcventuellement degene-
res.—Sem. Bourbaki 1968/69. Lecture Notes Math. 179. Springer-Verlag,
Berlin —Heidelberg—New York 1971, p. 231—244.
Данфорд, Шварц Дж. Т. (Dunford N., Schwartz J. Т.)

[1]	Линейные операторы. I. Общая теория.—М.: ИЛ, 1962 (1958); II.
Спектральная теория.—М.: Мир, 1966 (1963).

Дени, Лионс (Deny J., Lions J.-L.)

[1]	Les espaces du type de Beppo Levi. —Ann. Inst. Fourier Univ. Grenoble 5
(1953/54), 305-370.

Дерриджи, Зуили (Derridj M., Zuily C.)

[1]	Regularite C°° a la frontiere, d’operateurs degeneres. — C. R. Acad. Sci.
Paris 271 (1970), A786—A788.

[2]	Regularite Ccx> au bord d’une classe d’operateurs degeneres Sem. Goulaouic-
Schwartz 1970/71.

[3]	Regularite analytique et Gevrey d’operateurs elliptiques degeneres. —
J. Math. Pures Appl. 52 (1973), 65 — 80.

Джабраилов А. Д.

[1]	О некоторых функциональных пространствах. Прямые и обратные тео-
ремы вложения.—ДАН СССР 159 (1964), 254 — 257.

[2]	К прямым и обратным теоремам вложения весовых пространств. —
ДАН СССР 164 (1965), 24-27.

[3]	К теории „теорем в ложен и я“.—Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова
АН СССР 89 (1967), 80-118.

[4]	О граничных свойствах функций из весовых пространств. — В сб.: Тео-
ремы вложения и их приложения (Труды симп. по теоремам вложения,
Баку 1966).—М.: Наука, 1970, 64 — 67.

[5]	О неравенствах типа теорем вложения для весовых классов функций. —
В сб.: Теоремы вложения и их приложения (Труды симп. по теоремам
вложения, Баку 1966.) —М.: Наука, 1970, 67 — 73.

Джафаров А. С., Мамедов Ш. Ф.

[1]	О следах функций некоторых весовых классов.—В сб.: Теоремы вложе-
ния и их приложения (Труды симп. по теоремам вложения, Баку 1966).—
М.: Наука, 1970, 81—95.

Джером (Jerome J. W.)

[1]	Asymptotic estimates of L2 n-width. —J. Math. Anal. Appl. 22 (1968),
449 — 464.

[2]	On n-widths in Sobolev-spaces and applications to elliptic boundary value
problems.— J. Math. Anal. Appl. 29 (1970), 201—215.

[3]	Asymptotic estimates of the n-widths in Hilbert space. —Proc. Amer Math.
Soc. 33 (1972), 367—372.

Джером, Шумейкер (Jerome J. W., Schumaker L. L.)

[1]	Applications of e-entropy to the computation of n-widths. — Proc. Amer.
Math. Soc. 22 (1969), 719—722.

Джонсон, Розенталь, Циппин (Johnson W. В., Rosenthal H. P., Zippin M.)

[1]	On bases, finite di mensional decompositions and weaker structures in
Banach spaces. — Israel J. Math. 9 (1971), 488—506.

Дмитриев В. И.

[1]	О методе Лионса —Петре построения интерполяционных пространств.—
ДАН СССР 198 (1971), 747 — 750.

[2]	Обобщение интерполяционного метода следов.— В сб.: Труды ин-та
матем. ВГУ, вып. 3, Воронеж, 1971, с. 19 — 26.

[3]	Двойственность интерполяционных методов констант и средних. —
ДАН СССР 214 (1974), 22-24.

[4]	К интерполяционной теореме Кальдерона —Митягина.—ДАН СССР 215
(1974), 518-521.

[5]	Теоремы о параметрах для интерполяционного метода констант. — ДАН
СССР 216 (1974), 257 — 258.

Дойч (Deutsch N.)

[1]	Interpolation dans les espaces vectoriels topologiques localement convexes.—
C. R. Acad. Sci. Paris 257 (1963), 3796—3799.
[2]	Interpolation dans les espaces vectoriels topologiques localement conve-
xes. — Bull. Soc. France, Suppl. Mem. 13 (1968), 3—187.

Донаху (Donoghue W. F.)

[1] The interpolation of quadratic norms.— Acta. Math. 118 (1967), 251—270.
Дуглис, Ниренберг (Douglis A., Nirenberg L.)

[1]	Interior estimates for elliptic systems of partial differential equations.—
Comm. Pure Appl. Math. 8 (1955), 503 — 538.

Дынин A. C.

[1J Сингулярные операторы произвольного порядка на многообразии.—
ДАН СССР 141 (1961), 21—23.

[2]	Многомерные эллиптические краевые задачи с одной неизвестной функ®
цией.— ДАН СССР 141 (1961), 285—287.

Дэй (Day М. М.)

[1] Нормированные линейные пространства.—М.: И. Л., 1961.

Ёсикава (Yoshikawa А.)

[1]	Remarks on the theory of interpolation spaces. — J. Fac. Sci. Univ. Tokyo,
Sect. I A, 15 (1968), 209—251.

(2]	Sur la theorie d’espaces d’interpolation —les espaces de moyenne de plu-
sieurs espaces de Banach. —J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect, I A, 16
(1970), 407—468.

(3j An abstract formulation of Sobolev type imbedding theorems and its
applications to elliptic boundary value problems.— J. Fac. Sci. Univ.
Tokyo, Sect. I A, 17 (1970), 543—558.

(4]	An operator theoretical remark on the Hardy-Littlewood-Sobolev ine-
quality.—J. Eac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. I A, 17 (1970), 559—566.

[5]	Fractional powers of operators, interpolation theory and imbedding
theorems.—J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. I A, 18 (1971), 335—362.

Ёсинага (Yoshinaga K.)

[1]	On a generalization of the interpolation method. —Bull Kyushu Inst. Tech.
Math. Natur. Sci. 17 (1970), 1—23; II. —ibid. 19 (1972), 19—36.

Жеймона, Гривар (Geymonat G., Grisvard P.)

[1]	Problemi ai limiti lineari ellittici negli spazi di Sobolev con peso. —Le
Matematiche 22 (1967), 1—38.

[2]	Alcuni risultati di teoria spettrale per i problemi ai limiti lineari elli-
tice. — Rend. Semin. Mat. Univ. Padova 38 (1967), 121 — 173.

Загер (Sagher Y.)

[1]	Interpolation of r-Banach spaces.—Studia Math. 41 (1972), 45—70.

[2]	Some remarks on interpolation of operators and Fourier coefficients. —
Studia Math. 44 (1972), 239—252.

[3]	An application of interpolation theory to Fourier series. — Studia Math. 41
(1972), 169 — 181.

Зафран (Zafran M.)

[1]	Multipliers, spectral theory, and the interpolation of closed operators.—
Michigan Math. J. 20 (1973), 361—372.

Зернер (Zerner M.)

fl] Developpement en series de polynomes orthonormaux des fonctions inde-
finiment differentiables. — C. R. Acad. Sci. Paris 268 (1969), A218—A220.
Зигмунд (Zygmund A.)

[1]	Smooth functions. — Duke Math. J. 12 (1945), 47—76.

[2]	On a theorem of Marcinkiewicz concerning interpolation theorem. —
J. Math. Pures Appl. 9 (1956), 223—248.

[3]	Тригонометрические ряды. —T. 2. —M.: Мир, 1965 (1960).

[4]	Integrates singulieres.— Lecture Notes Math. 204, Springer-Verlag, Ber-
lin—Heidelberg—New York 1971.

Зимадер (Simader C. G.)

[1] On Dirichlet’s boundary value problem.—Lecture Notes Math. 268,
Springer-Verlag, Berlin —Heidelberg —New York 1972.
Зобин Н. М., Митягин Б. С.

[1] Примеры ядерных метрических линейных пространств без базиса. —
Функц. анализ и его прилож., 8 (1974), 35—47.

Зуили (Zuily С.)

[1] Etude de la regularite d’une classe d’operateurs elliptiques degeneres du
2е ordre.—C. R. Acad. Sci. Paris 268 (1969), A532—A534.

[2] Etude de regularite d’une classe d’operateurs elliptiques degeneres du 2е
ordre.-Rend. Mat. (6) 4 (1971), 657—687.

Игари, Курацубо (Igari S., Kuratsubo S.)

[1]	A sufficient condition for LP-multi pliers. — Pacif J. Math. 38 (1971),
85—88

Ильин В. П.

[11 О теореме вложения для предельного показателя. —ДАН СССР 96
(1954), 128—144.

[2]	Некоторые функциональные неравенства типа теорем вложения с весом.—
ДАН СССР 129 (1959), 983—985.

[3]	Свойства некоторых классов дифференцируемых функций многих пере-
менных, заданных в n-мерной области.— Труды матем. ин-та
им. В. А. Стеклова АН СССР 66 (1962), 227—363.

[4]	О неравенствах между нормами частных производных функций многих
переменных.— Труды матем. ин-та им. В. А Стеклова АН СССР 84
(1965), 144—173.

[5]	О некоторых свойствах классов дифференцируемых функций, заданных
в области. —Труды матем. ин-та им В. А. Стеклова АН СССР 84 (1965),
93—143.

[6]	Интегральные представления дифференцируемых функций и их приме-
нения к вопросам продолжения функций классов Wlp (G). — Сиб. матем.
ж. 8 (1967), 573—586.

[7]	Об условиях справедливости неравенств между Lp-нормами частных
производных функций многих переменных.— Труды матем. ин-та
им. В. А. Стеклова АН СССР 96 (1968), 205—242.

Ильин В. П., Солонников В. А.

[1] О некоторых свойствах дифференцируемых функций многих перемен-
ных.-ДАН СССР 136 (1961), 538—541.

Иосида (Yosida К.)

[1]	Функциональный анализ.—М.: Мир, 1967 (1965).

Исмагилов Р. С.

[1]	Об n-мерных поперечниках компактов в гильбертовом пространстве. —
Функц. анализ и его прилож. 2 (1968), 32—39.

[2]	Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и
приближение функций тригонометрическими многочленами.— УМН 29
(1974), № 3, 161—178.

Йонсон (Johnson R.)

[1]	Temperatures, Riesz potentials, and the Lipschitz spaces of Herz.—Proc.
London Math. Soc., 3. ser., 27 (1973), 290—316.

[2]	Lipschitz spaces, Littlewood-Paley spaces and convoluteurs. — Proc. London
Math. Soc. 29 (1974), 127—141.

Кадлец (Kadlec J.), Коротков В. Б.

[1] Об оценках s-чисел операторов вложения и операторов, повышающих
гладкость. —Czechoslovak Math. J. 18 (1968), 678—699.

Кадлец, Куфнер (Kadlec J., Kufner A.)

[1] Characterization of functions with zero traces by integrals with weight
functions. I, IL—Cas. pest. mat. 91 (1966), 463—471; 92 (1967), 16—28.

Казарян Г.Г.

[1] Об оценках Lp-норм производных через нерегулярный набор дифферен-
цируемых операторов.—Дифф, уравн. 5 (1969), 911-921.
[2] Оценки в Lp смешанных производных через дифференциальные много-
члены.Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 105 (1969),.
66-76.

Кальдерон (Calderon А. Р.)

[1]	Lebesgue spaces of differential functions.—Conference on Part. Diff.
Equations, Univ, of California 1960.

[2]	Lebesgue spaces of functions and distributions.— “Part. Diff. Equations”,
Proc. Symp. Math. 4, Amer. Math. Soc. 1961, p. 33 — 49.

ГЗ]	Intermediate spaces and interpolation. — Studia Math. Seria specjalna, 1
(1963), 31-34.

[4]	Intermediate spaces and interpolation, the complex method. —Studia Math.
24 (1964), 113—190.

[5]	Spaces between L1 and L°° and the theorem of Marcinkiewicz.— Studia
Math. 26 (1966), 273 — 299.

[6]	Singular integrals.— Bull. Amer. Math. Soc. 72 (1966), 427 — 465.

Кальдерон, Зигмунд (Calderon A. P., Zygmund A.)

[1]	On the existence of certain singular integrals.— Acta Math. 88 (1952),
85-139.

[2]	On singular integrals.—Amer. J. Math. 78 (1956), 289 — 309.

Камзолов А. И.

[1]	О мультипликативных преобразованиях интегралов Фурье в простран-
ствах LP с весом. — Изв. высш, учебн. завед., сер. матем., 7 (1969),
54-58.

Канторович Л. В., Акилов Г. П.

[1]	Функциональный анализ, 2-е изд. — М.: Наука, 1977.

Караджов Г. Е.

[1]	Об интерполяционном методе «средних» для квазинормированных прост-
ранств.—ДАН СССР 209 (1973), 33-36.

[2]	О применении теории интерполяционных пространств к оценкам сингу-
лярных чисел интегральных операторов. —В сб.: Проблемы мат. анализа,
вып 4. —Изд. ЛГУ, Ленинград, 1973, с. 37 — 45.

[3]	Об интерполяционном методе «средних» для квазинормированных прост-
ранств.—Acad. Bulg. Sci., Bull. Inst. Math., 15 (1973), 191 — 207.

[4]	О реитерации в пространствах «средних».— Compt. Rend. Acad. Bulg.
Sci. 27 (1974), 1033- 1036.

Като (Kato T.)

[1]	Note on fractional powers of linear operators.— Proc. Japan Acad. 36
(I960), 94-96.

[2]	Fractional powers of dissipative operators. —J. Math. Soc. Japan 13
(1961), 246-274.

[3]	Теория возмущений линейных операторов. —M.: Мир, 1972 (1966).
Катрахов В. В.

[1] О задаче на собственные значения для сингулярных эллиптических опе-
раторов.—ДАН СССР 207 (1972), 284 — 287.

Каттабрига (Cattabriga L.)

[1] Moltiplicatori di Fourier e teoremi di immersione per certi spazi funzio-
nali. I, IL —Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 24 (1970), 147— 194; 25
(1971), 325—346.

Кашин Б. C.

* [1] Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов гладких
функций. —ИАН СССР, сер. матем., 41 (1977), № 2, 334 — 351.

Квапень (Kwapien S.)

[1] On Enflo’s example of a Banach space without the approximation pro-
perty.—Sem. Goulaouic-Schwartz, Paris 1972/73, Exp. 8.

Керси (Chersi F.)

[1] Ricerche per una teoria generale dell’interpolazione tra spazi lineare topo-
logici, — Rend. Semin, Mat, Univ. Padova 34 (1964), 305 — 343.
Кёниг (Konig Н.)

[1]	Grenz ordnungen von Operatorenidealen. I, IL—Math. Ann. 212 (1974),
51-64, 65-77.

Кёте (Kothe G.)

[1]	Topologische lineare Raume. I. — Springer-Verlag, Berlin—Gottingen —
Heidelberg 1960.

[2]	Uber nukleare Folgenraume.— Studia Math. 31 (1968), 267 — 271.

Киприянов И. A.

[1]	Преобразования Фурье—Бесселя и теоремы вложения для весовых клас-
сов.—Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 89 (1967),
130—213.

[2]	Оценки в L2, у решений краевых задач для уравнений в частных произ-
водных с дифференциальным оператором Бесселя.— Труды матем. ин-та
им. В. А. Стеклова АН СССР 91 (1967), 27-46.

[3]	О неравенстве Гординга для вырождающихся эллиптических операторов
и его приложения.— В сб.: Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова
АН СССР, 105 (1969), с. 77-88.

[4]	Шкалы функциональных пространств с весом и их применения. —
В сб.: Теоремы вложения и их приложения (Труды симп. по теоремам
вложения, Баку 1966).—М.: Наука, 1070, с, 107 — 118.

[5]	Краевые задачи для сингулярных эллиптических операторов в частных
производных.—ДАН СССР 195 (1970), 32 — 35.

[6]	Об одном классе сингулярных эллиптических операторов. I.—Дифф,
уравн. 7 (1971), 2066 — 2077; II—Сиб. матем. ж. 14 (1973), 560 — 581.

[7]	Асимптотическое распределение собственных значений и собственных
функций одного класса сингулярных эллиптических операторов.
Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 117 (1972), 159—
179.

Кисляков С. В.

[1] Соболевские операторы вложения и неизоморфность некоторых банахо-
вых пространств. — Функ, анализ и его прилож., 9 (1975), № 4,22 — 27.
Кларк (Clark С.)

[1] The Hilbert-Schmidt property for embedding maps between Sobolev spa-
ces.—Canad. J. Math. 18 (1966), 1079—1084.

Ffi] An embedding theorem for function spaces.— Pacif. J. Math. 19 (1966),
243-251.

[3] The asymptotic distribution of eignevalues and eigenfunctions for elliptic
boundary value problems.—SIAM Review 9 (1967), 627 — 646.

Клементс (Clements G. F.)

[1]	Entropies of sets of functions of bounded variation.—Canad. J. Math.
15 (1963), 422 — 432.

[2]	Entropies of several sets of real valued functions.— Pacif. J. Math. 13
(1963), 1085-1095.

Книперт (Kniepert D.)

[1] Generalization of a theorem due to H. Triebel concerning decay properties
of eigenfunctions of singular elliptic differential operators.— Arch. Rat.
Meeh. Anal. 37 (1970), 61 — 72.

Коваленко И. А., Ройтберг Я. A.

[1] О функции Грина общей эллиптической граничной задачи с псевдодиф-
ференциальными граничными условиями. — Укр. матем. ж. 23 (1971),
772 — 777.

Кожевников А. Н.

[1] О распределении спектра дифференциального оператора. —Вести. МГУ
2 (1971), 11 — 17.

Коидзуми (Koizumi S.)

fl] Contributions to the theory of interpolation of operations. I, II,—Osaka
J. Math. 8 (1971), 135—149; 10 (1973), 131 — 145.
Колмогоров А. Н.

[1] Ober die beste Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktionen-
klasse. — Ann. Math. 37 (1936), 107— 111.

Колмогоров A. H., Тихомиров В. M.

[1]	8-энтропия и е-емкость множеств в функциональных пространствах.^
УМН 14 (1959), № 2, 3-86.

Комацу (Komatsu Н.)

[1]	Fractional powers of operators.— Pacif. J. Math. 19 (1966), 285—
346.

[2]	Fractional powers of operators. II. Interpolation spaces.— Pacif. J. Math.
21 (1967), 89- 111.

[3]	Fractional powers of operators. III. Negative powers.— J. Math. Soc.
Japan 21 (1969), 205 — 220.

[4]	Fractional powers of operators. IV. Potential operators.— J. Math. Soc.
Japan 21 (1969), 221-228.

[5]	Fractional powers of operators. V. Dual operators.— J. Fac. Sci. Univ.
Tokyo, Sec. I A, Math., 17 (1970), 373 — 396.

[6]	Fractional powers of operators. VI. Interpolation of non-negative opera-
tors and imbedding theorems. —J. Fas. Sci. Univ. Tokyo, Sec. I A, Math.,
19 (1972), 1-63.

[7]	The Sobolev-Besov imbedding theorem from the viewpoint of semi-groups
of operators.— Sem. Goulaouic-Schwartz 1972/73, Exp. 1.

Комура T., Комура Ю. (Komura T., Komura Y.)

[1]	Uber die Einbettung der nuklearen Raume in (s)71.— Math. Ann. 162
(1966), 284-288.

Кон» Ниренберг (Kohn J. J., Nirenberg L.)

[1]	Degenerate elliptic-parabolic equations of second order.—Comm. Pure
Appl. Math. 20 (1967), 797—872.

Кондрашов В. И.

[1]	О некоторых свойствах функций пространства LD. — ДАН СССР 48
(1945), 563—566.

Кордес (Cordes Н. О.)

[1]	Self-adjointness of powers of elliptic operators on non-compact manifolds.—
Math. Ann. 195 (1972), 257—272.

Корнейчук H. П.

[1]	О поперечниках классов непрерывных функций в пространстве Lp,—
Матем. заметки 10 (1971), 493—500.

Коротков В. Б.

[1]	К теоремам вложения С. Л. Соболева для абстрактных функций.—^
ДАН СССР 141 (1961), 308—311.

[2]	О прямых и обратных теоремах вложения для некоторых пространств
абстрактных функций множеств.— ДАН СССР 144 (1962), 717—720.

[3]	Абстрактные функции множеств и теоремы вложения. —ДАН СССР 146
(1962), 531—534,

[4]	Представления линейных непрерывных операторов абстрактными функ-
циями и теоремы вложения.—ДАН СССР, 153 (1963), 262—265.

]5] Теоремы вложения пространств абстрактных функций и полная непре-
рывность оператора вложения. —Сиб. матем. ж. 10 (1969), 872—902,
Котляр (Cotlar М.)

[1] A unified theory of Hilbert transforms and ergodic theorems. — Rev. Math,
Cuyana 1 (1955), 105—167.

Кошелев А. И.

[1] Априорные оценки в Lp и обобщенные решения эллиптических уравне-
ний и систем. —УМН 13 (1958), № 4, 29—88.

Крайней (Kraynek W. Т.)

[1] Interpolation of sublinear operators on generalized Orlicz and Hardy-
Orlicz spaces,-Studia Math. 43 (1972), 93—123.
Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е.

[1]	Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций.—
М.: Наука, 1966.

Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б.

[1]	Выпуклые функции и пространства Орлича.—М.: Физматгиз, 1958.

Красносельский М. А., Соболевский П. Е.

[1]	Дробные степени операторов, действующих в банаховых пространствах.—
ДАН СССР 129 (1959), 499—502.

Красовский Ю. П.

Г1] Выделение особенности у функций Грина. —ИАН СССР, сер. матем.,.
31 (1967), 977—1010.

[2]	Свойства функций Грина и обобщенные решения эллиптических гранич-
ных задач.—ДАН СССР 184 (1969), 270—273.

[3]	Свойства функций Грина и обобщенные решения эллиптических гранич-
ных задач. — ИАН СССР. сер. матем., 33 (1969), 109—137.

Крейн М. Г., Красносельский М. А., Мильман Д. П.

[1]	О дефектных числах линейных операторов в банаховом пространстве и
о некоторых геометрических вопросах.—Сборник трудов ин-та матем.
АН УССР 11 (1948), 97—112.

Крейн С. Г.

[11 Об одной интерполяционной теореме в теории операторов.—ДАН СССР
130 (1960), 491—494.

[2]	О понятии нормальной шкалы пространств. — ДАН СССР 132 (1960)>
510—513.

[8]	Функциональный анализ (серия СМБ). —2-е изд. —М.: Наука, 1972.

Крейн С. Г., Петунии Ю. И.

[1]	Шкалы банаховых пространств. — УМН 21, (1966), № 2, 89—168.

Крейн С. Г., Петунии Ю. И., Семёнов Е. М.

[1]	Гипершкалы банаховых структур. — ДАН СССР 170 (1966), 265—267»

[2]	Шкалы банаховых структур измеримых функций.—Труды Моск, матем.
о-ва 17 (1967), 293—322.

Крейн С. Г., Семёнов Е. М.

[1] Интерполяция операторов ослабленного типа. — Функц. анализ и его
прилож. 7 (1973), 89—90.

Кречмер (Kretschmer Н.)

[1] Uber die Vollstandigkeit der Wurzelvektoren elliptischer Differentialopera-
toren.— Dissertation, Jena 1974.

Крэ (Кгёе P.)

[1] Sur les multiplicateus dans FLP,— Ann. Inst. Fourier Univ. Grenoble 16
(1966), 31—89.

[2] Sur les multiplicateurs dans FLP avec poids. —Ann. Inst. Fourier Univ.
Grenoble 16 (1966), 91—121.

[8] Interpolation d’espaces vectoriels qui ne sont ni norm£s, ni complete.
Applications. —Ann. Inst. Fourier Univ. Grenoble 17 (1967), 137—174.

[4] Application des methodes variationnelles aux equations de convolution.
J. Math. Pures et Appl. 51 (1972), 295—329.

Кудрявцев Л.Д.

[1]	Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариа-
ционным методом эллиптических уравнений.— Труды матем. ин-та
им. В.А. Стеклова АН СССР 55 (1959), 1-181.

[2]	Теоремы вложения для функций, определенных на неограниченных
областях.—ДАН СССР 153 (1963), 530-532.

[8] Теоремы вложения для классов функций, определенных на всем простран-
стве или полупространстве. I, II.—Матем. сб. 69 (1966), 616 — 639; 70
е, 3-35.

гие краевых задач в неограниченных областях при конечности
интеграла энергии. —В сб,: Теоремы вложения и их приложения (Труды
симп. по теоремам вложения, Баку 1966). М.: Наука, 1970,
с. 131-137.

Кузнецов Ю.В.

*	[1] Некоторые неравенства для дробных полунорм. — Труды матем. ин-та
им. В.А. Стеклова АН СССР 131 (1974), 147- 157.

*	[2] О склейке функций из пространств Wrq 0. — Труды матем. ин-та им.

В.А. Стеклова АН СССР 140 (1976). 191—200.

Кулов Р.Д.

[1]	Теоремы вложения для весовых пространств дробного порядка со смешан-
ной нормой.—ДАН СССР 189 (1969), 1181 —1184.

[2]	О теоремах вложения для пространства Бесова со смешанной нормой.—
ДАН СССР 194 (1970), 265 — 267.

Купцов Н. П.

[1] Прямые и обратные теоремы приближений и полугруппы операторов. —
УМН 23 (1968), № 4, 117—178.

Курант, Гильберт (Courant R., Hilbert D.)

[1] Методы математической физики. В 2 томах. Т. 1,—М.: Гостехиздат,
1951; Т. 2: Курант Р. Уравнения с частными производными. —М.: Мир,
1964.

Куфнер (Kufner А.)

[1] Einige Eigenschaften der Sobolewschen Raume mit Belegungsfunctionen.—
Czechoslovak Math. J. 15 (1965), 597—620.

[2] Losungen des Dirichletschen Problems fur elliptische Differentialgleichun-
gen in Raumen mit Belegungsfunktionen.—Czechoslovak Math. J. 15
(1965), 621—633.

Куфнер, Йон, Фучик (Kufner A., John O., Fucik S.)

* [1] Function spaces. —Academia, Prague, 1977.

Куфнер, Кадлец (Kufner A., Kadlec J.)

[1] Fourier Series. —Academia, Prague 1971.

Лакруа-Сонрье (Lacroix-Sonrier M.-T.)

[1] Sur certains espaces d’interpolation.—C. R. Acad. Sci. Paris 272 (1971),
A874—A877.

Лакс (Lax P. D.)

[1] On Cauchy’s problem for hyperbolic equiations and the differentiability
of solutions of elliptic equations.—Comm. Pure Appl. Math. 8 (1955),
615—633.

Лангеманн (Langemann B.)

[1] Uber Differenzierbarkeitseigenschaften der Greenschen Funktionen ellipti-
scher Differentialoperatoren und die Existenz von Losungen quasilinearer
elliptischer Differentialgleichungen in Sobolev-Besov-Raumen mit Gewichts-
funktionen. — Dissertation, Rostock 1969.

[2] Uber Greensche Funktionen singularer elliptischer Differentialoperatoren.—
Studia Math. 45 (1973), 241—255.

Ларсен (Larsen R.)

[1] An introduction to the theory of multipliers.—Grundlehren Math. Wis-
sensch. 175, Springer-Verlag, Berlin —Heidelberg — New York 1971.

Левитан Б. M.

[1] Certain problems of spectral theory of differential operators. — Actes, Cong-
res Intern. Math. 1970, t. 2, 1971, p. 447—457.

Лерэ (Leray J.)

[1] Lectures on hyperbolic equations with variable coefficients.—Princeton,
Inst, for Adv. Study 1952.

Лёфстрём (Lofstrom J.)

[1] Some theorems on interpolation spaces with applications to approximation
in Lp.—Math. Ann. 172 (1967), 176—196.

{2] On the rate of convergence of difference schemes for parabolic initial-
value problems and of singular integrals.— Abstract spaces and approxi-
mation. (Proc. Conf. Math. Res. Inst. Oberwolfach 1968), 1969,
p. 393—415.

[3]	Interpolation spaces in the theory of approximation.— Theses, Lund 1970.

[4]	Besov spaces in the theory of approximation. — Ann. Mat. Рига Appl. 85
(1970), 93—184.

Лёфстрём, Петре (Lofstrom J., Peetre J.)

[1]	Approximation theorems connected with generalized translations. — Math.
Ann. 181 (1969), 255—268.

Лизоркин П.И.

[1]	Граничные свойства функций из весовых классов. — ДАН СССР 132
(1960), 514-517.

[2]	Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и функциональные прост-
ранства Lrp[E^.—Матем. сб. 60 (1963), 325 — 353.

[3]	Характеристики граничных значений функций из Lrq (Е^ на гиперпло-
скостях.— ДАН СССР 150 (1963), 984 — 986.

[4]	Формулы типа Хиршмана и соотношения между пространствами Вгр(Е^
и Lrp —Матем. сб. 63 (1964), 505—535.

[5]	О мультипликаторах интегралов Фурье в пространствах Lp,q. —Труды
матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 89 (1967), 231—248.

[6]	Обобщенные гёльдеровы пространства B^q и их соотношения с прост-
ранствами Соболева L^. —Сиб. матем. ж. 9 (1968), 1127—1152.

[7]	О мультипликаторах интегралов Фурье в пространствах Lpt q. — В сб.:
Теоремы вложения и их приложения (Труды симп. по теоремам вложе-
ния, Баку 1966).—М.: Наука, 1970, 137—142.

[8]	Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликато-
ров в теории вложений классов дифференцируемых функций. — Труды
матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 105 (1969), 89—167.

[9]	Описание пространств Lrp (Rn) в терминах разностных сингулярных
интегралов.— Матем. сб. 81 (1970), 79—91.

[10]	Мультипликаторы интегралов Фурье и оценки сверток в пространствах
со смешанной нормой. Приложения.— ИАН СССР, сер. матем., 34 (1970),
218—247.

[11]	О теореме типа Марцинкевича для /7-значных функций. Континуальная
форма теоремы Литтлвуда —Палея.—Матем. сб. 87 (1972), 229—235.

[12]	Операторы, связанные с дробным дифференцированием, и классы диф-
ференцируемых функций.— Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН
СССР 117 (1972), 212—243.

[13]	Обобщенно-гёльдеровы классы функций в связи с дробным дифференци-
рованием.—Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 128 (1972),
172—177.

[14]	Свойства функций из пространств Л^0. — Труды матем. ин-та им.
В. А. Стеклова АН СССР 131 (1974), 158—181.

*[15	] Оценки интегралов типа потенциала в нормах с разностными отноше-
ниями.—В кн.: Теория кубатурных формул и приложения функциональ-
ного анализа к некоторым задачам математической физики, Новосибирск,
1975, с 94—109.

Лизоркин П. И., Никольский С. М.

[1]	Классификация дифференцируемых функций на основе пространств
с доминирующей производной. — Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова
АН СССР 77 (1965), 143—167.

Линденштраус (Lindenstrauss J.)

[1]	On complemented subspaces of аи. —Israel J. Math. 5 (1967), 153—156.

[2]	Some aspects of the theory of Banach spaces.— Advances in Math. 5 (1970),
159—180.
[3]	The geometric theory of the classical Banach spaces. — Actes, Congres
Intern. Math. 1970, t. 2, 1971, p. 365—372.

Линденштраус, Пелчиньский (Lindenstrauss J., Pelczynski A.)

[1] Absolutely summing operators in J>D-spaces and their applications. — Stu-
dia Math. 29 (1968), 275—326.

Линденштраус, Розенталь (Lindenstraus J., Rosenthal H. P.)

[1] The %p spaces. - Israel J. Math. 7 (1969), 325—349.

Линденштраус, Цафрири (Lindenstrauss J., Tzafriri L.)

[1]	On the complemented subspace problem. — Israel J. Math. 9 (1971),
263—269.

[2]	Classical Banach Spaces.— Lecture Notes Math. 338, Springer-Verlag,
Berlin —Heidelberg —New York 1973.

Лионс (Lions J.-L.)

[1]	Espaces intermediaires entre espaces hilbertiens et applications.— Bull.
Math. Soc. Sci. Math. Phys. R. P. Roumanie 50 (1958), 419—432.

[2]	Un theoreme de trace; applications.—C. R. Acad. Sci. Paris 249 (1959),
2259—2261.

[3]	Theoremes de trace et d’interpolation. I. —Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa
13 (1959), 389—403; II.-ibid. 14 (1960), 317—331; III.-^-J. Math. Pures
Appl. 42 (1963), 195—203; IV.—Math. Ann. 151 (1963), 42—56; V. —An.
Acad. Brasileira Ciencias 35 (1963), 1—10.

[4]	Sur certains theoremes d’interpolation.—C. R. Acad. Sci. Paris 250 (i960),
2104—2106.

[5]	Une construction d’espaces d’interpolation. —C. R. Acad. Sci. Paris 251
(1960), 1853—1856.

[6]	Sur les espaces d’interpolation; duality. —Math. Scand. 9 (1961),
147—177.

[7]	Properties of some interpolation spaces. — J. Math. Meeh. 11 (1962),
969—977.

[8]	Remarques sur les espaces d’interpolation et les problemes aux
limites. —Coll. Intern. C. N. R. S. sur les equations aux derivees par-
tielles, Soc. Math. France Nr. 117, 1963, p. 75—86.

[9]	Espaces d’interpolation et domaines de puissances fractionnaires d’opera-
teurs.— J. Math. Soc. Japan 14 (1962), 233—241.

[10]	Une propriety de stability par interpolation; applications.—C. R. Acad.
Sci. Paris 256 (1963), 855—857.

[11]	Some remarks on variational inequalities. —Proc. Intern. Conf. Functional
Analysis, Relat. Topics, Tokyo 1969, p. 269—282.

[12]	Sur quelques inequations variationnelles d’evolution pour les operateurs
du 2eme ordre en t et Г interpolations non lineaire.— Instituto Nacionale
di Alta Matematica, Symposia Math. 7 (1971), 97—128.

[13]	Interpolation lineaire et non lin£aire et regularity. — Instituto Nacionale
di Alta Matematica, Symposia Math. 7 (1971), 443—458.

Лионс, Мадженес (Lions J. L., Magenes E.)

[1]	Problemes and limites non homogfcnes (Problemi ai limiti non omogenei).
I. —An. Scuola Norm. Sup. Pisa 14 (1960), 259—308; II. —Ann. Inst.
Fourier Univ. Grenoble 11 (1961) 137—178; III. — Ann. Scuola Norm. Sup.
Pisa 15 (1961), 39—101; IV. —ibid. 15 (1961), 311—326; V.—ibid. 16
(1962), 1—44; VI. —J. d’Analyse Math. 11 (1963), 165—188; VIL —Ann.
Mat. Рига Appl. 63 (1963), 201—224.

[2]	Неоднородные граничные задачи и их приложения.—М.: Мир, 1971
(1968).

Лионс, Петре (Lions J. L., Peetre J.)

[1]	Propri6tes d’espaces d*interpolation.—G. R. Acad. Sci. Paris 253
(1961), 1747—1749.

[2]	Sur une classe d’espaces d’interpolation, —Inst. Hautes fitudes Sai. Publ.
Math. 19 (1964), 5—68.
Литтмэн (Littman W.)

[1]	Multipliers in LP and interpolation. —Bull. Amer. Math. Soc. 71 (1965),
764—766.

Литтмэн, Мак-Карти, Ривьер (Littman W., McCarthy C., Riviere N. M.)

[1]	LP-multiplier theorems.—Studia Math. 30 (1968), 193—217.
Лозановский Г. Я.

[1]	Замечание об одной интерполяционной теореме Кальдерона.— Функц.
анализ и его приложение., 6 (1972), 89—90.

Лопатинский Я- Б.

[1]	Об одном способе приведения граничных задач для системы дифферен-
циальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным
уравнениям. —Укр. матем. ж. 5 (1953), 123—151.

Лоренц (Lorentz G. G.)

[1]	Some new functional spaces. —Ann. Math. 51 (1950), 37—55.

[2]	Approximation of functions.— Holt, Rinehart & Winston, New York
1966.

[3]	Metric entropy and approximation. —Bull. Amer. Math. Soc. 72 (1966),
903—937.

Лоренц, Симогаки (Lorentz G. G., Shimogaki T.)

[1]	Interpolation theorems for operators in function spaces. —J. Funct. Ana-
lysis 2 (1968), 31—51.

[2]	Interpolation theorems for the pairs of spaces (Lpf L™) and (L1, Lq). —
Trans. Amer. Math. Soc. 159 (1971), 207—221.

Лоссиевская T. B.

[1]	Представление функции Грина вблизи границы и разрешимость обобщен-
ных краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка.—
Дифф, уравн. 8 (1972), 1120—1122.

де Лю, Миркил (de Leeuw К., Mirkil Н.)

[1]	A priori estimates for differential operators in L^-Norm. — Illinois
J. Math. 8 (1964), 112—124.

Мадженес (Magenes E.)

[1]	Spazi di interpolazione ed equazioni a derivate parziali. — Atti del VII
Congresso dell’Unione Matematica Italiana, Genova 1963, p. 134—197.
Edizioni Cremonese, Roma 1964. Имеется перевод: Интерполяционные
пространства и уравнения в частных производных. — УМН 21 (1966),
№ 2, 169—218.]

Мазья В. Г.

[1]	Классы множеств и мер, связанные с теоремами вложения. — В сб.:
Теоремы вложения и их приложения (Труды симп. по теоремам вложе-
ния, Баку 1966). —М.: — Наука, 1970, с. 142—159.

[2]	О некоторых интегральных неравенствах для функций многих перемен-
ных.—В сб.: Проблемы матем. анализа, вып. 3. —Изд. ЛГУ, 1972,
с. 33—68.

[3]	Об одном операторе вложения и функциях множества типа (р, /)-емкость. —
Comment. Math. Univ. Carolina 14 (1973), 155—175.

[4]	О (p, /)-емкости, теоремах вложения и спектре самосопряженного эллипти-
ческого оператора. — ИАН СССР, сер. матем., 37 (1973), 356—385.

Майоров В. Е.

*[1] О наилучшем приближении классов WJ (Л) в пространстве (Is).—
Матем. заметки 19 (1976), № 5, 699—706.

Мак-Кин, Сингер (McKean Н. Р., Singer I. М.)

[1] Curvature and the eigenvalues of the Laplacian. —J. Diff. Geom. 1 (1967),
43 — 69.

Маковоз Ю. И.

[1] Об одном приеме оценки снизу поперечников множеств в банаховых
пространствах.—Матем. сб. 87 (1972), 136—142.
Маруо (Maruo К.)

[1]	The asymptotic formulas for eigenvalues of elliptic operators which dege-
nerate at the boundary.—Proc. Japan Acad. 48 (1972), 454—457.

[2]	Asymptotic distribution of eigenvalues of non-symmetric operators associated
with strongly elliptic sesquilinear forms.—Osaka J. Math. 9 (1973),
547—562.

Маруо, Танабэ (Maruo К., Tanabe H.)

[1]	On the asymptotic distribution of eigenvalues of operators associated with
strongly elliptic sesquilinear forms. —Osaka J. Math. 8 (1971), 323—345.
Марцинкевич (Marcinkiewicz J.)

[1]	Sur 1’interpolation d’operateurs.—C. R. Acad. Sci. Paris 208 (1939),
1272—1273.

[2]	Sur les multiplicateurs des series de Fourier.— Studia Math. 8 (1939),
78—91.

Матийчук M. И., Эйдельман С. Д.

[1] О дифференцируемости фундаментальных решений эллиптических урав-
нений.—Укр. матем. ж. 20 (1968), 642—653.

Мейерс, Серрин (Meyers N., Serrin J.)

[1] н-W. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA 51 (1964), 1055—1056.

Мейнз, Полетти (Manes A., Poletti M. P.)

[1] Qualche risultato sull’interpolazione per applicazioni non lineari fra spazi
di Banach. — Rend. Semin. Mat. Univ. Padova 47 (1972),г 115—128.

Меруччи (Merucci C.)

[1] Interpolation dans C® (//). —C. R. Acad. Sci. Paris 274 (1972), Al 163—
Al 166.

[2] Theoremes de convexite dans (Я).—C. R. Acad. Sci. Paris 277 (1973),
A679-A681.

Меруччи, Фам Тхе Лай (Merucci С., Pham The Lai)

[1]	Caracterisation par interpolation des ideaux de R. Schatten. —C. R. Acad.
Sci. Paris 274 (1972), A1912—A1914.

[2]	Caracterisation, par interpolation, des ideaux de R. Schatten. —J. Math,
Pures Appl. 52 (1973), 407—420.

Метивье (Metivier G.)

[1] Theorie spectrale d’operateurs elliptiques sur des ouverts irreguliers. — Sem.
Goulaouic-Schwartz 1972/73, Exp. 21.

Мильман В. Д.

Г1] Геометрическая теория пространств Банаха. I. —УМН 25, (1970), № 3f
113—174.

Минакшисундарам, Плейель (Minakshisundaram S., Pleijel А.)

[1] Some properties of eigenfunctions of the Laplace-operator on Riemannian
manifolds.— Canad. J. Math. 1 (1949), 242—256.

Миранда (Miranda C.)

[1] Уравнения в частных производных эллиптического типа.—М.: ИЛ, 1957
(1970).

[2] Sul theorema di Riesz-Thorin. — Ann. Mat. Рига Appl. 84 (1970), 61—71
Мирошин H. B.

[1]	Некоторые свойства интерполяционных пространств вполне непрерывных
операторов.— Матем. заметки 17 (1975), 293—300.

Митягин Б. С.

Г1] Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах.—
УМН 16 (1961), № 4, 63—132.

[2]	Интерполяционная теорема для модулярных пространств.—Матем. сб,
66 (1965), 473—482.

[3]	Гомотопическая структура линейной группы банахова пространства.—
УМН 25 (1970), № 5, 63—106.

[4]	О мультипликаторах-идемпотентах в симметрических функциональных
пространствах.— Функц. анализ и его прилож., 6 (1972), 81—82,
*[5] О некоторых свойствах функций двух переменных. —Вести. МГУ, сер.
матем., мех., астр., физ., хим., 5 (1959), 137—152.

Митягин Б. С., Зобин Н. М.

[1]	Contre-exemple a 1’existence d’une base dans un espace de Fr£chet nuc-
leate.— C. R. Acad. Sci. Prris 278 (1974), A22.

Митягин Б. С., Пелчиньский (Pelczyfiski A.)

[1]	Nuclear operators and approximative dimension —Proc. Intern. Congr.
Math., Moscow 1966. —M.: Мир, 1968, c. 366—372

Митягин Б. С., Тихомиров В. M.

[1]	Асимптотические характеристики компактов в линейных пространствах.—
В сб.: Труды 4-го Всесоюзного матем. съезда Т. 2. — М.: Наука, 1964,
с. 299—308.

Михлин С. Г.

[1]	О мультипликаторах интегралов Фурье.— ДАН СССР 109 (1956), 701—703.

[2]	Интегралы Фурье и кратные сингулярные интегралы. — Вести. ЛГУ,
7 (1957), 143—155.

[3]	Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения М.:
Физматгиз, 1962.

Миядзаки (Miyazaki К.)

[1]	Ona theorem of interpolation for Banach spaces of (p, p, r)-absolutely summing
operators.— Bull. Kyushu Inst. Techn. Math. Nat. Sci. 20 (1973), 21—23.
Морен (Maurin K.)

[1]	Abbildungen vom Hilbert-Schmidtschen Typus and ihre Anwendungen. —
Math. Scand. 9 (1961), 359—371.

[2]	Методы гильбертова пространства. — M.: Мир, 1965 (1967).

Морри (Моггеу С. В.)

[1]	Functions of several variables and absolute continuity. II. Duke Math. J-
6 (1940), 187—215.

[2]	Second order elliptic systems of differential equations.—“Contributions to
the theory of part. diff, equations”, Ann. Math. Studies 33, Princeton
Univ. Press 1954, p. 101 — 159.

Мостефай (Mostefai A.)

[1] Evaluations de Ге-entropie dans les espaces de Sobolev. —These, Facultd
Sci. FUniv. d’Alger 1970.

Мукенхаупт, Уиден (Muckenhoupt В., Wheeden R. L.)

[1] Weighted norm inequalities for singular and fractional integrals. —Trans.
Amer. Math. Soc. 161 (1971), 249—258.

Мурамату (Muramatu T.)

[1] On imbedding theorems for Sobolev spaces and some of their generaliza-
tion.—Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ., Ser. A, 3 (1968), 393—416.

{2] Products of fractional powers of operators.— J. Fac. Sci. Univ. Tokyo,
Sec. IA, Math., 17 (1970), 581—590.

{3] On Besov spaces of functions defined in general regions. — Publ. Res. Inst.
Math. Sci. Kyoto Univ. 6 (1970/71), 515—543.

[4] On imbedding theorems for Besov spaces of functions defined in general
regions.— Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. 7 (1971/72), 261—285.

(5] On Besov spaces and Sobolev spaces of generalized functions defined on
a general region.—Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. 9 (1974),
325—396.

[6] On the dual of Besov spaces.—Publ. Res. Inst. Math. Sci’. Kyoto Univ.
12 (1976), 123—140.

Мурти, Стампаккья (Murthy M. К. V., Stampacchia G.)

[1]	Bondary value problems for some degenerate elliptic operators.—Ann. Mat.
Рига Appl. 80 (1968), 1—122.

Мюллер-Пфайффер (Muller-Pfeiffer E.)

[1]	Zur Theorie elliptischer und hypoelliptischer Differentialoperatoren. —
Habilitationsschrift, Jena 1967.
[2]	Differenzierbarkeitseigenschaften verallgemeinerter Losungen der Schrodin-
gergleichung. — Wiss. Z. PH Erfurt-Muhlhausen 5 (1969), 19—20.

Мюллер-Пфайффер, Вебер (Muller-Pfeiffer E., Weber A.)

[1] Ein Beweis der Sobolevschen Einbettungssatze. — Math. Nachr. 64 (1974),
277—288.

Нагасэ (Nagase M.)

[1] On the asymptotic behaviour of resolvent kernels for elliptic operators. —
J. Math. Soc. Japan 25 (1973), 464—474.

Наймарк M. A.

[1] Линейные дифференциальные операторы.-2-е изд. —М.: Наука, 1969.

Нери (Neri U.)

[1] Singular integrals. — Lecture Notes Math. 200, Springer-Verlag, Berlin —
Heidelberg —New York 1971.

Нечас (Necas J.)

[1] Sur une methode pour resoudre les equations aux derivees partielles by
type elliptique, voisine de la variationnelle. — Ann. Scuola Norm. Sup.
Pisa 16 (1962), 305—326.

[2] Les methodes directes en theorie des equations elliptiques.—Academia,
Editions de l’Acad. Tchecoslovaque des Sciences, Prague 1967.

Никольский С. M.

[1]	Обобщение одного предложения С. Н. Бернштейна о дифференцируемых
функциях многих переменных.— ДАН СССР 59 (1948), 1533—1536.

[2]	Неравенства для целых функций конечной степени и их применение
в теории дифференцируемых функций многих переменных. — Труды матем.
ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 38 (1951), 244—278.

[3]	Свойства некоторых классов функций многих переменных на дифферен-
цируемых многообразиях.— Матем. сб. 33 (1953), 261—326.

[4]	Теорема вложения для функций с частными производными, рассматри-
ваемыми в различных метриках. —ИАН СССР, сер. матем., 22 (1958),
321—336.

[5]	О теоремах вложения, продолжения и приближения дифференцируемых
функций многих переменных. —У МН 16 (1961), № 5, 63—114.

[6]	Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей
кратному условию Гёльдера.— Сиб. матем. ж. 6 (1963), 1342—1364.

[7]	Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.:
Наука, 1969. [В 1977 г. вышло 2-е изд-е.]

*[8] Об одном свойстве классов .— В сб., посвященном памяти Л. Фей-
ера, Будапешт, 1961, с. 205—216.

*[9] Некоторые свойства дифференцируемых функций, заданных на п-мерном
открытом множестве.—ИАН СССР, сер. матем., 22 (1958), 321—336.

Никольский С. М., Лионс (Lions J.-L.), Лизоркин П. И.

[1]	Integral representation and isomorphism properties of some classes of
functions.— Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 19 (1965), 127—178.

Никольский Ю. C.

[1]	О сингулярных интегральных операторах в весовых пространствах.—
Труды матем. ин-та им В. А. Стеклова АН СССР 105 (1969), 190—200.

[2]	К теоремам вложения весовых классов. — Труды матем. ин-та им.
В. А. Стеклова АН СССР 105 (1969), 178—189.

[3]	Об одном весовом классе дифференцируемых функций многих перемен-
ных, заданных в неограниченных областях. —В сб. Теоремы вложения
и их приложения (Труды симп. по теоремам вложения, Баку 1966). —
М.: Наука, 1970, с. 185—192.

[4]	Прямые и обратные теоремы вложения для весовых классов дифферен-
цируемых функций. —ДАН СССР 215 (1974), 270—273.

Ниренберг (Nirenberg L.)

[1] On elliptic partial differential equations. —Ann. Scuola Norm. Sup, Pisa
13 (1959), 115—161.
Нордин (Nordin С.)

[1] The asymptotic distribution of the eigenvalues of a degenerate elliptic
operator.— Arkiv Mat. 10 (1972), 9—21.

Одрэн, Фам Тхе Лай (Audrin J.-M., Pham The Lai)

[1] Comportement asymptotique des valeurs propres d’un probleme de Dirichlet
elliptique autoadjoint sur un ouvert non borne.—C. R. Acad. Sci. Paris
276 (1973), Al 197—A1200.

Окикиолу (Okikiolu G. O.)

[1] On Fourier transform multipliers in LP. — J. Austral. Math. Soc. 13
(1972), 219—223.

Окландер (Oklander E. T.)

[1] Interpolacion, espacios de Lorentz у teorema de Marcinkiewicz. —Cursos
у seminaries de matematica, fasc. 20, Buenos Aires 1965.

[2] Lpq interpolators and the theorem of Marcinkiewicz. — Bull. Amer. Math.
Soc. 72 (1966), 49—53.

Олейник О. A.

[1] On the analyticity of solutions of partial differential equations and systems.—
Asterisque 2 et 3, Coll. Intern. C. N. R. S. sur les equations aux derivees
partielles lineaires. Soc. Math. France 1973, p. 272—285.

О’Нейл (O’Neil R.)

[1]	Convolution operators and L (p, q) spaces.— Duke Math. J. 30 (1963),
120—142.

Орнстейн (Ornstein D.)

[1]	A non-inequality for differential operators in the Lj-norm. — Arch. Rat.
Meeh. Anal. 11 (1962), 40—49.

Параска В. И.

[1]	Об асимптотике собственных и сингулярных чисел линейных операторов,
повышающих гладкость. — Матем. сб. 68 (1965), 621—631.

Пелчиньский (Pelczynski А.)

[1]	Projections in certain Banach spaces. —Studia Math. 19 (1960), 209—228.
Перссон (Persson A.)

[1]	Compact linear mappings between interpolation spaces. — Arkiv Mat. 5
(1964),, 215—219.

Петре (Peetre J.)

[1]	Theoremes de regularite pour quelques classes d’operateurs differentiels. —
Medd. Lunds Univ. Math. Semin. 16 (1959), 1—122.

[2]	Another approach to elliptic boundary problems.—Comm. Pure Appl.
Math. 14 (1961), 711—731.

[3]	Sur le nombre de parametres dans la definition de certain espaces d’inter-
polation.— Ricerche Mat. 12 (1963), 248—261.

[4]	Nouvelles proprietes d’espaces d’interpolation. C. R. Acad. Sci. Paris 256
(1963), 1424—1426.

[5]	A theory of interpolation of nurmed spaces. — Notes Universidade de
Brasilia 1963 [~ Notas de matematica 39 (1968)].

[6]	On an interpolation theorem of Foia§ and Lions.— Acta Scient. Math.
Szeged 25 (1964), 255—261.

[7]	Espaces d’interpolation, generalisations, applications. —Rend. Semin. Mat.
Fis. Milano 34 (1964), 83—92.

[8]	Interpolation i abstracta rum.—Lecture Notes, Lund 1966.

[9]	On interpolation functions.— Acta Scient. Math. Szeged 27 (1966),
167—171.

[10]	Relations entre deux methodes d’interpolation. — Inst. Hautes Etudes Sci.
Publ. Math. 29. (1966), 305—309.

[11]	Espaces d’interpolation et th£oreme de Soboleff. — Ann. Inst. Fourier
Univ. Grenoble 16 (1966), 279—317.

[12]	Funderingar om Besov-rum. — Lecture Notes, Lund 1966.

21 X. Трибель
[13]	Pointwise convergence of singular convolution integrals.— Ann. Scuola
Norm. Sup. Pisa 20 (1966), 45—61.

[14]	Applications de la theorie des espaces d’interpolation dans l’analyse
harmonique. — Ricerche Mat. 15 (1966), 3—36.

[15]	Sur les espaces de Besov.—C. R. Acad. Sci. Paris 264 (1967), 281—283.

[16]	On interpolation of spaces with weight function.— Acta Scient. Math.
Szeged 28 (1967), 61—69.

[17]	On interpolation functions. II, III. Acta Scient. Math. Szeged 29 (1968),
91—92; 30 (1969), 235—239.

[18]	e-entropie, e-capacite et espaces d’interpolation. — Ricerche Mat. 17
(1968), 216—220.

[19]	Sur la transformation de Fourier des fonctions a valeurs vectorielles. —
Rend. Semin. Math. Univ. Padova 42 (1969), 15—26.

[20]	On the theory of spaces. —J. Funct. Analysis 4 (1969), 71—87.

[21]	On the structure of Sobolev and Besov spaces.—Unpublished manuscript.

[22]	Interpolationsraume. Elliptische Differentialgleichungen. I. — Schriften-
reihe Inst. M^th. Akad. Wiss. Berlin, Heft 7, Akademie-Verlag, Berlin
1970, S. 93—101.

[23]	Zur Interpolation von Operatorenraumen. — Arch. Math. 21 (1970),
601—608.

[24]	Non-commutative interpolation. — Le Matematiche 25 (1970), 1 —15.

[25]	Interpolation of Lipschitz operators and metric spaces.—Mathematica 12
(35) (1970), 325—334.

[26]	A new approach in interpolation spaces.— Studia Math. 34 (1970), 23—42.

[27]	Banach couples. I. Elementary theory.— Techn. Report, Lund 1971.

[28]	Sur 1’utilisation des suites inconditionellement sommables dans la theorie
des espaces d’interpolation. —Rend. Semin. Mat. Univ. Padova 46 (1971),
173—190.

[29]	On the connection between the theory of interpolation spaces and appro-
ximation theory.—Proc. Conf. Constructive Theory Funct. (Budapest
1969), Akademiai Kiado, Budapest 1971, p. 351—363.

[30]	Interpolation functors and Banach couples.—Actes, Congres Intern. Math.
1970, t. 2 (1971), p. 373—378.

[31]	Approximation of linear operators.—Proc. Intern.Conf. Constructive Funct.
Theory, Varna 1970, Publ. House Bulg. Acad. Sci., Sofia 1972, p.
245—263.

[32]	Analysis in quasi-Banach spaces and approximation theory. —Techn.
Report, Lund 1972.

[33]	Remark on the dual of an interpolation space.—Math. Scand. 34 (1974),
124—128.

[34]	Ober den Durchschnitt von Interpolationsraumen. —Arch. Math. 25 (1974),
511—513.

[35]	A remark on Sobolev spaces. The case 0 < p < 1. — J. Approximation
Theory 13 (1975), 218—228.

[36]	Remarques sur les espaces de Besov. Le cas 0<p<l. — C. R. Acad.
Sci Paris 277 (1973), 947—950.

[37]	On the trace of poentials. — Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (4) 2 (1975), 33—43.

[38]	On the spaces F^.—Techn. Report. Lund 1974.

[39]	On the spaces of Triebel-Lizorkin type.-rArkiv Mat. 13 (1975), 123—130.

Петре, Спарр (Peetre J., Sparr G.)

[1]	Interpolation of normed Abelian groups.—Ann. Mat. Рига Appl. 92 (1972),
217—262.

[2]	Interpolation and non-commutative integration.— Ann. Mat. Рига Appl,
104 (1975), 187—207.

Петре, Томэ (Peetre J., Thomee V.)

[1] On the rate of convergence for discrete initial-value problems,—Math,
Scand, 21 (1967), 159-176, ,
Петунии Ю. И.

[1]	Проблема интерполяции между фактор-пространствами.-— Укр, матем.
ж., 23 (1971), 157—167.

Пиголкина Т. С.

[1]	Теоремы вложения для функций, определенных в неограниченных обла-
стях, и их применение к краевым задачам для полигармонического урав-
нения.-ДАН СССР 168 (1966), 1012—1014.

[2]	К теории весовых классов.— Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова
АН СССР 105 (1969), 201—212.

[3]	Об одном весовом классе дифференцируемых функций многих переменных,
заданных в неограниченных областях. —В сб.: Теоремы вложения и их
приложения (Труды симп. по теоремам вложения, Баку 1966).—М.:
Наука, 1970, с. 192—194.

Пилика П.

[1]	Граничные функции классов Я^1’” ‘ ДАН СССР 128, (1959),
677—679.

Пич (Pietsch А.)

[1]	Ober die Erzeugung von (F)-Raumen durch selbstadjungierte Operatoren. —
Math. Ann. 164 (1966), 219—224.

[2]	Ideale von Operatoren in Banachraumen. — Mitteilungen Math. Gesellschaft
DDR (1968), 1—13.

[3]	Ядерные локально выпуклые пространства. —М.: Мир, 1967 (1969).

[4]	Gegenbeispiele zur Interpolationstheorie der nuklearen and absolut-sum-
mierenden Operatoren. Arch. Math. 20 (1969), 65—71.

[5]	Interpolationsfunktoren, Folgenideale and Operatorenideale.—Czechoslovak
Math. J. 21 (1971), 644—652.

[6]	r-nukleare Sobolevsche Einbettungsoperatoren. — Sammelband „Ellipt. Dif-
ferentialgleichungen. 1Г, Schriffenreihe Inst. Math. Akad. Wiss. Berlin,
Heft 8 (1971), 203—215.

[7]	Theorie der Operatorenideale. —Wiss. Beitrage der Friedrich-Schiller-Univ.
Jena, Jena 1972.

[8]	s-numbers of operators in Banach spaces.—Studia Math. 51 (1974),
201—223.

Пич, Трибель [Pietsch A., Triebel H.)

[1] Interpolationstheorie fur Banachideale von beschrSnkten linearen Opera-
toren.—Studia Math. 31 (1968), 95—109.

Потапов M. K.

[1] О вложении и совпадении некоторых классов функций.—ИАН СССР,
сер. матем., 33 (1969), 840—860.

Проди (Prodi G.)

[1] Tracce sulla frontiera della funzioni di Beppo Levi.—Rend. Semin. Mat.
Univ. Padova 26 (1956), 36—60.

[2] Tracce di funzioni con derivate di ordine 1 a quadrate integrabile su
varieta di dimensione arbitraria. — Rend. Semin. Mat. Univ. Padova 28
(1958), 402—452.

Ривьер (Riviere N. M.)

[1] Singular integrals and multiplier operators. — Arkiv. Mat. 9 (1971), 243—278.
Ривьер» Загер (Riviere N. M., Sagher Y.)

[1] Interpolation between L°° and Я1, the real method. —J. Funct. Analysis
14 (1973), 401—409.

Рисе M. (Riesz M.)

[1] Sur les maxima des formes bilineaires et sur les fonctionelles lineaires.—
Acta Math. 49 (1926), 465—497.

Рисе Ф., Сёкефальви-Надь (Riesz F., Sz.-Nagy B.)

[1] Лекции по функциональному анализу,—M.: ИЛ, 1956 (1973). [В изд-ве
«Мир» готовится 2-е изд.]
Розенблюм Г. В.

(1] О собственных числах первой краевой задачи в неограниченных обла-
стях.—Матем. сб. 89 (1972), 234—247.

Ролевич (Rolewicz S.)

[1] Metric linear spaces.— PWN —Polish Sci. Publishers, Warszawa 1972.

Рыбалов Ю. В.

[1]	Теоремы вложения для функций, определенных в неограниченных обла-
стях, и их применение к спектральной теории эллиптических самосопря-
жениях операторов.—ДАН СССР 184 (1969), 1041—1043.

[2]	О теоремах вложения одного естественного расширения Соболевского
класса U7^(Q).— ИАН СССР, сер. матем., 34 (1970), 145—155.

Рылль (Ryll J.)

[1]	Schauder bases for the space of continuous functions on the n-dimensional
cube. —Comment. Math. (Prace Mat.) 17 (1973), 201—213.

Садоски (Sadosky C.)

[1]	A note on parabolic fractional and singular integrals. — Studia Math. 26
(1966), 327—334.

Седаев A. A.

[1]	Описание интерполяционных пространств пары	и некоторые

родственные вопросы. —ДАН СССР 209 (1973), 798—800.

Седаев А. А., Семёнов Е. М.

[1]	О возможностях описания интерполяционных пространств в терминах
К-метода Петре.—Оптимизация 21(1971), №4,98—114.

Семёнов Е. М.

[1]	Интерполяция линейных операторов и оценки коэффициентов Фурье.—
ДАН СССР 176 (1967), 1251—1254.

[2]	Одна новая интерполяционная теорема. — Функц. анализ и его прилож.,
2(1968), 68—80.

[3]	Об одном методе получения интерполяционных теорем в симметричных
пространствах.—ДАН СССР 185 (1969), 1243—1246.

Сили (Seeley R.)

[1]	Norms and domains of complex powers AZB.— Amer. J. Math. 93 (1971),
299-309.

[2]	Fractional powers of boundary problems.—Actes, Congres. Intern. Math.
1970, t. 2, 1971, p. 795—801.

[3]	Interpolation in Lp with boundary conditions.—Studia Math. 44 (1972),
47—60.

Симакура (Shimakura N.)

[1]	Sur une certaine classe d’operateurs differentiels ordinaires, elliptiques et
degeneres.— Proc. Japan Acad. 44 (1968), 944—948.

[2]	Les puissances fractionaires de 1—A sous les conditions de certaines deri-
v£es obliques. —J. Math. Kyoto Univ. 9 (1969), 363—379.

[3]	Quelques exemples de g-fonctions d’Epstein pour les operateurs elliptiques
degeneres du second ordre.— Proc. Japan Acad. 45 (1969), 866—871;
II-ibid. 46 (1970), 1065—1069.

[4]	Probl£mes aux limites generaux du type elliptique degeneres.— J. Math.
Kyoto Univ. 9 (1969), 275—335.

[5]	Une remarque sur la regularite des solutions des problemes aux limites
generaux du tyre elliptique degeneres. Proc. Japan Acad. 47 (1971),
291—295.

[6]	Sur les £-fonctions d’Epstein pour des operateurs elliptiques degeneres. —
Tohoku Math. J. 26 (1974), 95—131.

Слободецкий Л. H.

[1]	Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложения к краевым
задачам для дифференциальных уравнений в частных производных.—
Уч. зап. Ленингр. гос, пед. ин-та им. А. И. Герцена 197 (1958), 54—112.
[2]	Оценка решений эллиптических и параболических систем.—ДАН СССР
120 (1958), 468—471.

[3]	Оценки в Ld решений эллиптических систем.—ДАН СССР 123 (1958),
616—619.

[4]	Оценки в L2 решений линейных эллиптических и параболических систем.
I. —Вести. ЛГУ, сер. матем., мех., астрон., 7 (1960), 28—47.

Смит (Smith К. Т.)

[1]	Inequalities for formally positive integro-differential forms. —Bull. Amer.
Math. Soc. 67 (1961), 368—370.

Соболев С. Л.

[1]	Задачи Коши в пространстве функционалов.—ДАН СССР 3 (1935),
291—294.

[2]	Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour les equations
lineaires hyperboliques normales.—Матем. сб. 1 (1936), 39—72.

[3]	Об одной теореме функционального анализа.—Матем. сб. 4 (1938),
471—497.

[4]	Некоторые применения функционального анализа в математической
физике. — Новосибирск: Изд-во СОАН СССР, 1962.

[5]	Расширение пространств абстрактных функций, связанных с теорией
интеграла.-ДАН СССР 114 (1957), 1170—1173.

[6]	Теоремы вложения для абстрактных функций множеств.—ДАН СССР
115 (1957), 57—59.

[7]	Некоторые обобщения теорем вложения. — Fundam. Math. 47(1959),
277 — 324.

[8]	Введение в теорию кубатурных формул. —М.: Наука, 1974.

Соболевский П. Е.

[1]	Об s-числах интегральных операторов. — УМН, 22 (1967), № 2, 114—116.

Соломещ И. А.

[1]	Об асимптотике собственных значений билинейных форм, связанных
с некоторыми вырождающимися на границе эллиптическими уравне-
ниями.—ДАН СССР 144 (1962), 727—729.

Соломяк М. 3., Тихомиров В. М.

[1]	О геометрических характеристиках вложения классов Wdp в С. —Изв.
высш, учебн. завед. матем., 10 (1967), 76 — 82.

Солонников В. А.

*[1] Априорные оценки для уравнений второго порядка параболического
типа. —Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 70 (1964),
133—212.

Спарр (Sparr G.)

[1]	Interpolation of several Banach Spaces. —Ann. Mat. Рига Appl. 99 (1974),
247—316.

[2]	Interpolation des espaces £Л.—C. R. Acad. Sci. Paris 278 (1974), A491 —
— A492.

Стампаккья (Stampacchia G.)

[I]	The p spaces and applications to the theory of partial differential
equations.—“Differential equations and their applications”, Proc. Conf.
“Equadiff II”, Bratislava 1966, p. 129—141.

Стейн (Stein E. M.)

[1]	Note on singular integrals.—Proc. Amer. Math. Soc. 8 (1957), 250—254.

[2]	On the functions of Littlewood-Paley, Lusin and Marcinkiewicz.—Trans.
Amer. Math. Soc. 88 (1958), 430—466.

13]	The characterization of functions arising as potentials. I, II. —Bull. Amer.
Math. Soc. 67 (1961), 102—104; 68 (1962), 577—582.

[4]	Topics in harmonic analysis related to the Littlewood-Paley theory.— Ann
Math. Studies 63, Univ. Press, Princeton; Univ. Tokyo Press, Tokyo 1970.

[5]	Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, — М. —
М.: Мир, 1973 (1970).
Стейн, Вейс (Stein Е. М., Weiss G.)

[1]	Interpolation of operators with change of measures. — Trans. Amer. Math.
Soc. 87 (1958), 159—172.

[2]	Fractional integrals on n-dimensional Euclidean space.— J. Math. Meeh.
7 (1958), 503—514.

[3]	An extension of a theorem of Marcinkiewicz and some of its applicati-
ons.-J. Math. Meeh. 8 (1959), 263—284.

[4]	On the theory of harmonic functions several variables. I. The theory of
HP spaces.—Acta Math. 103 (1960), 25—62.

[5]	Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах.—М.:
Мир, 1974 (1971).

Стороженко Э. А.

[1]	Необходимые и достаточные условия для вложения некоторых классов
функций. —ИАН СССР, сер. матем., 37 (1973), 386—398.

Стрикарц (Strichartz R. S.)

[1]	Multipliers on fractional Sobolev spaces. —J. Math. /Meeh. 16 (1967),
1031—1060.

[2]	Sobolev inequalities and extension theorems for functions with certain
L^-derivatives. — Studie Math. 30 (1968), 1—15.

[3]	LP estimates for integral transforms.—Trans. Amer. Math. Soc. 136 (1969),
33—50.

Суворченкова Г. A.

[1]	Связь асимптотики спектральной функции эллиптического дифференци-
ального оператора второго порядка с геометрией замкнутого многообра-
зия.-ДАН СССР 213 (1973), 538—541.

Тайблсон (Taibleson М. Н.)

(1]	On the theory of Lipschitz spaces of distributions on Euclidean n-space.
I, II. —J. Math. Meeh. 13 (1964), 407—479; 14 (1965), 821—839.

[2]	Harmonic analysis on n-dimensional vector spaces over local fields. —
Math. Ann. 176 (1968), 191—207.

Танабэ (Tanabe H.)

[1]	On remainder estimates in the asymptotic formula of the distribution of
eigenvalues of elliptic operators.— Proc. Japan. Acad. Sci. 48(1972), 377—380.

Тартар (Tartar L.)

[1]	Theoreme d’interpolation non lineaire et applications.—C. R. Acad. Sci.
Paris 270 (1970), A1729—A1731.

[2]	Interpolation non lineaire. — Bull. Soc. Math. France, Memoire 31—32
(1972), 375—380 [Coll. d’Analyse fonct. 1971, Bordeaux].

]3] Interpolation non lineaire et regularite.— J. Funct. Analysis 9 (1972),
469—489.

Тихомиров В. M.

[1]	Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наи-
лучших приближений. — УМН 15 (1960), № 3, 81—120.

[2]	Одно замечание об n-мерных поперечниках множеств в банаховых про-
странствах.— УМН 20 (1965), № 1, 227—230.

Томэ (Thomee V.)

[1]	Stability theory for partial difference operators.—SIAM Review 11 (1969),
152—195.

Торин (Thorin G. O.)

[1]	An extension of convexity theorem due to M. Riesz.—Comm. Sem. Math.
Univ. Lund 4 (1939), 1—5.

[2]	Convexity theorems generalizing those of M. Riesz and Hadamard with
some applications.—Comm. Sem. Math. Univ. Lund 9 (1948), 1—58.

Требельз (Trebels W.)

[1]	Besselpotentiale gerader Ordnung und aquivalente Lipschitzraume. — For-
schungsberichte des Landes Nordhein-Westf. Nr. 2157. Westdeutscher Ver-
lag Koln, Opladen 1970, S. 4—22.
[2]	Generalized Lipschitz conditions and Riesz derivatives on the spaces of
Bessel potential L“. I. —Applicable Analysis 1 (1971), 75—99.

[3]	Imbedding theorems for spaces of hypersingular integrals and Bessel po-
tentials.—J. Approximation Theory 6 (1972), 202—214.

[4]	Fourier multipliers on LP (Rn) in connection with bounded Riesz means.—
In “Approximation Theory” (Ed. G. G. Lorentz).—Academic Press, New
York —London 1973, p. 505—510.

Требельз, Вестфаль (Trebels W., Westphal U.)

[1]	A note on the Landau-Kallman-Rota-Hille inequality. — In “Linear opera-
tors and approximation”. Proc. Conf. Oberwolfach. August 1971. —Birk-
hauser-Verlag, Basel— Stuttgart, S. 115—119.

Трибель (Triebel H.)

[1]	Differenzierbarkeitseigenschaften Greenscher Funktionen elliptischer Diffe-
rentialoperatoren.— Math. Z. 90 (1965), 325—338.

[2]	Erzeugung nuklearer lokalkonvexer Raume durch singulare Differential-
operatoren zweiter Ordnung.—Math. Ann. 174 (1967), 163—176.

[3]	Zur Spektraltheorie hypoelliptischer Differentialoperatoren. — Publ. Math.
Debrecen 14 (1967), 125—149.

[4]	Ober die Verteilung der Approximationszahlen kompakter Operatoren in
Sobolev-Besov-Raumen. — Inventiones Math. 4 (1967), 275—293.

[5]	Eigenschaften Greenscher Funktionen nicht-selbstadjungierter elliptischer
Operatoren.—Studia Math. 30 (1968), 339—353.

[6]	Eigenwertverteilungen und Greensche Funktionen entarteter elliptischer
Differentialoperatoren.—Czechoslovak Math. J. 18 (1968), 117—136.

[7]	Erzeugung des nuklearen lokalkonvexen Raumes C°° (Q) durch einen
elliptischen Differentialoperator zweiter Ordnung.— Math. Ann. 177 (1968),
247—264.

[8]	Ober die Approximationszahlen der Einbettungsoperatoren I (Brp q (Q) ->
-+Brp, q, (S)). —Arch. Math. 19 (1968), 305—312.

[9]	Zur Interpolation von Normidealen in Hilbertraumen. — Wiss. Z. Univ.
Jena, Math.-Naturw. Reihe, 18 (1969), 263—267.

[10]	Singulare elliptische Differentialgleichungen und Interpolationssatze fiir
Sobolev-Slobodeckij-Raume mit Gewichtsfunktionen. — Arch. Rat. Meeh.
Anal. 32 (1969), 113—134.

[11]	Nukleare Funktionenraume und singulare elliptische Differentialoperato-
ren.-Studia Math. 38 (1970), 285—311.

[12]	Ober die Verteilung der Approximationszahlen von Integraloperatoren in
Sobolev-Besov-Raumen. — J. Math. Meeh. 19 (1970), 783—796.

[13]	Singulare elliptische Differentialgleichungen und Interpolationssatze fiir
Besov-Raume mit Gewichtsfunctionen.— „Elliptische Differentialgleichun-
gan“. I, Schriftenreihe Inst. Math. Akad. Wiss. Berlin, Heft 7. —Akade-
mie-Verlag, Berlin 1970, S. 159—164.

[14]	Allgemeine Legendresche Differentialoperatoren. I. —J. Funct. Analysis 6
(1970), 1—25; II. —Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 24 (1970), 1—35.

[15]	Interpolationseigneschaften von Entropie- und Durchmesseridealen kompak-
ter Operatoren.— Studia Math. 34 (1970), 89—107.

[16]	Eine Bemerkung zur Interpolation von Banachraumen. —Beitrage zur
Analysis 2 (1971), 51—55.

[17]	Hohere Analysis. —VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin
1972.

[18]	Interpolation theory for spaces of Besov type. Elliptic differential opera-
tors.—In “Theory of nonlinear operators”, Proc. Summer School Babylon
(CSSR) 1971.— Academia, Prague 1973, p. 135—191.,

[19]	Spaces of distributions of Besov type on Euclidean л-space. Duality,
interpolation.—Arkiv Mat, 11 (1973), 13—64.
[20]	A remark on embedding theorems for Banach spaces of distributions. —
Arkiv Mat. 11 (1973), 65—74.

[21]	Boundary values for Sobolev spaces with weights. Density of D (Q) in
^p,Vo.........and in Я’ V^(Q) for s>0 and r = [s—	—

Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 27 (1973), 73—96.

[22]	Interpolation theory for function spaces of Besov type defined in domains.
[. II. —Math. Nachr. 57 (1973), 51—85; 58 (1973), 63—86.

[23]	Uber die Existenz von Schauderbasen in Sobolev-Besov-Raumen. Isomorphie-
beziehunden.— Studia Math. 46 (1973), 83—100.

[24]	Lp-theory for a class of singular elliptic differential operators.— Czecho-
slovak Math. J. 28 (1973), 525—541.

[25]	Function spaces and elliptic differential operators.—Coll. Intern. C.N.R.S.
sur les equations aux derivees partielles lineaires. Asterisque 2 et 3. —
Soc. Math. France 1973, p. 305—324.

[26]	Structure theory of function spaces. —Sem. Goulaouic-Schwartz 1973/74,
Exp. 3.

[27]	Интерполяционные свойства е-энтропии и поперечников. Геометрические
характеристики вложения пространств функций типа Соболева —Бе-
сова.—Матем. сб. 98 (1975), 27—41.

[28]	Eine Bemerkung zur nicht-kommutativen Interpolation. Math. Nachr. 69
(1975), 57—60.

[29]	Spaces of Kudrjavcev type. I, IL —J. Math. Anal. Appl. 56 (1976),
253—277, 278—287.

Туловский В. H.

[1]	Об асимптотическом распределении собственных чисел вырождающихся
эллиптических уравнений второго порядка.—Матем. сб. 86 (1971),
76—89.

[2]	Асимптотическое распределение собственных значений дифференциаль-
ных уравнений.—Матем. сб. 89 (1972), 191—206.

Уиден (Wheeden R. L.)

[1]	On hypersingular integrals and Lebesgue spaces of differentiable functions.
I, IL —Trans. Amer. Math. Soc. 134 (1968), 421—435; 139 (1969), 37—53.

[2]	Lebesgue and Lipschitz spaces and integrals of Marcinkiewicz type. —
Studia Math. 32 (1969), 73—93.

[3]	A note on a generalized hypersingular integral.— tudia Math. 44 (1972),
17—26.

Уильямс (Williams V.)

[1] Generalized interpolation spaces. — Trans. Amer. Math. Soc. 156 (1971),

Улуфф (Oloff R.)

[1] Interpolation zwischen den Klassen von Operatoren in Hilbertrau-
men. — Math. Nachr. 46 (1970), 209—218.

Унинский А. П.

[I] Теоремы вложения для классов функций со смешанной нормой. —Сиб.
матем. ж. 10 (1969), 158—171.

Унтерберже (Unterberger А.)

[1] Resolution d’equations aux derivees partielles dans des espaces de distri-
butions d’ordre de regularite "variable. — Ann. Inst. Fourier Univ. Gre-
noble 21 (1971), 85—128. •

[2] Sobolev spaces of variable order and problems of convexity for partial
differential operators with constant coefficients.— Coll. Intern. C.N.R.S,
sur les equations aux derivees partielles lineaires. Asterisque 2 et 3. —
Soc. Math. France 1973, p. 325—341

Уолш (Walsh T.)

£1] On Ld estimates for integral transforms.—Trans. Amer. Math. Soc. 155
(1971), 195—215.
[2] On weighted norm inequalities for franctional and singular integrals. —
Canad. J. Math. 23 (1971), 907—928.

Успенский С. B.

[1]	Граничные свойства функций.—ДАН СССР 138 (1961), 785—788.

[2]	О теоремах вложения для весовых классов. —Труды матем. ин-та
им. В. А. Стеклова АН СССР 61, (1961), 282—303.

[3]	О теоремах вложения для обобщенных классов Wrp Соболева.— Сиб.
матем. ж. 3 (1962), 418—445.

[4]	Теоремы вложения и продолжения для одного класса функций. I, II. —
Сиб. матем. ж. 7 (1966), 192—199, 409—418.

[5]	О теоремах вложения функций в гладких областях. —В сб.: Теоремы
вложения и их приложения (Труды симп. по теоремам вложения, Баку
1966). —М.: Наука, 1970, с. 219—222.

[6]	О следах функций класса W р	п Соболева на гладких поверхно-

стях.—Сиб. матем. ж. 13 (1972), 429—451.

Фавини (Favini А.)

[1]	Sulla teoria della interpolazione negli spazi vettoriali topologici. —Rend.
Mat. (6) 3 (1970), 361—390.

[2]	Alcuni risultati sulla interpolazione non-lineare. —Boll. Unione Mat. Itai.
4 (1971), 918—936.

[3]	Su un metodo di interpolazione. — Boll. Unione Mat. Itai. 4 (1971),
677—686.

[4]	Sulla interpolavione di operatori compatti. — Rend. Semin. Mat. Univ.
Padova 45 (1971), 279—304.

[5]	Su una estensione del metodo d’interpolazione complesso. — Rend. Semin.
Mat. Univ. Padova 47 (1972), 243—298.

[6]	Sulla interpolazione degli spazi К {ЛО. —Boll. Unione Mat. Itai. 6
(1972), 440—449.

[7[	Sulla interpolazione di certi spaci di Sobolev con peso.— Rend. Semin.
Mat. Univ. Padova 50 (1973), 223—249.

[8]	Sulla interpolazione multilineare. — Rend. Semin. Mat. Univ. Padova 46
(1971), 19—47; Una precisazione. — Ibid. 49 (1973), 353—354.

Фам Тхе Лай (Pham The Lai)

[1]	L’analogue dans %p des theoremes de convexite de M. Riesz et G. O. Tho-
rin. — Studia Math. 46 (1973), 111—124.

[2]	Noyaux d’Agmon et interpolation.—C. R. Acad. Sci. Paris 277 (1973),
A743—A745.

[3]	Noyaux associes aux operateurs reguliers dans les espaces de Hilbert. —
Arch. Rat. Meeh. Anal, (to appear).

[4]	Classe de compacite d’operateur intervenant dans une classe de problemes
elliptiques degeneres. — Israel J. Math. 17 (1974), 364—379.

[5]	Comportement asymptotique des valeurs propres d’une classe d’operateurs
elliptiques degeneres en dimensions 2.— College de France, Sem. Leray,
1973.

Фам Тхе Лай, Меруччи (Pham The Lai, Merucci C.)

[1]	Une condition necessaire et suffisante d’interpolation entre	et

J. Math. Pures Appl. (to appear).

Фаро (Faraut J.)

[1]	Spectre d’une variete Riemannienne. Sem. de theorie spectrale Univ.
Strasbourg 1972/73, Exp. 5.

Фейбс, Ривьер (Fabes E. B., Riviere N. M.)

[1]	Singular integrals with mixed homogeneity.— Studia Math. 27 (1966),
19—38.

[2]	LP-estimates near the boundary for solutions of the Dirichlet problem. —
Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 24 (1970), 4&1—553.
Фефферман (Fefferman С.)

[1]	Inequalities for strongly singular convolution operators.— Acta Math. 124
(1970), 9—36.

[2]	The multiplier problem for the ball. —Ann. Math. 94 (1971), 330—336.

[3]	A note on spherical summation multipliers. — Israel J. Math. 15 (1973),
44—52.

Фефферман, Ривьер, Загер (Fefferman C., Riviere N. M., Sacher Y.)

[1] Interpolation between HP spaces, the real method.— Trans. Amer. Math.
Soc. 191 (1974), 75-81.

Фефферман, Стейн (Fefferman C., Stein E. M.)

[1] HP spaces of several variables. —Acta Math. 129 (1972), 136—193.

Фехнер (Fechner W.)

[1] Eine spezielle Klasse von Banachraumen von Distributionen. — Diplomar-
beit, Jena 1973.

Фихтенгольц Г. M.

[1] Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1 — 3, 6-е изд.—
М.: Наука, 1966.

Флекенже, Метивье (Fleckinger J., Metivier G.)

[1]	Theorie spectrale des operateurs uniformement elliptiques sur quelques
ouverts irreguliers. — C. R. Acad. Sci. Paris 276 (1973), A913 —A916.

Флетт (Flett T. M.)

[11 Temperatures, Bessel potentials and Lipschitz spaces. Proc. London
Math. Soc. 32 (1971), 385—451.

[2]	Lipschitz spaces of functions on the circle and the disc.—J. Math. Anal.
Appl. 39 (1972), 125—158.

Фортунато (Fortunato D.)

[1] Spazi di Sobolev con peso ed applicazioni di problemi ellittici. — Rend.
Accad. Sci. Fis. Matem. (Napoli), Ser. 4, 41 (1975), 245—289.

Фояш, Лионс (Foia§ C., Lions J.-L.)

[11 Sur certain theoremes d’interpolation.— Acta Scient. Math. Szeged 22
(1961), 269—282.

Фрайтаг (Freitag D.)

[1] Reelle Interpolation zwischen Benachidealen von beschrankten linearen
Operatoren.— Dissertation, Jena 1971.

Фролов H. H.

[1] Теоремы вложения для функций счетного числа переменных и их при-
ложения к задаче Дирихле. —ДАН СССР 203 (1972), 39—42.

Фудзивара (Fujiwara D.)

[1]	Concrete characterization of the domains of fractional powers of some
elliptic differential operators of the second order. —Proc. Japan Acad
43 (1967), 82—86.

[2]	L^-theory for characterizing the domain of the fractional powers of —A
in the half space. —J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sec. I, 15 (1968),
169—177.

[3]	On the asymptotic behaviour of the Green operators for elliptic boundary
problems and the pure imaginary powers of some second order opera-
tors — J. Math. Soc Japan 21 (1969), 481—522.

Фурсиков A. B.

[1]	Об одном классе вырождающихся эллиптических операторов.—Матем.
сб. 79 (1969), 381—404.

[2]	О вырождающихся эллиптических операторах Эйлера в ограниченной
области.— Вести. МГУ 1 (1971), 36—43.

[3]	Краевые задачи для некоторых классов вырождающихся эллиптических
операторов. — ДАН СССР 197 (1971), 535—538.

Фучик, Йон, Нечас (Fucik S., John О., Necas J.)

[1] On the existence of Schauder bases in Sobolev spaces.—Comment. Math.
Univ. Carolina 13 (1972), 163—175.
Харди, Литтлвуд (Hardy G. Н., Littlewood J. Е.)

[1]	Spme properties of fractional integral. I, II.—Math. Z. 28 (1928),
565—606; 34 (1931), 403—439.

[2]	A convergence criterion for Fourier series.— Math. Z. 28 (1928), 612—634.

[3]	Theorems concerning mean values of analytic or harmonic functions. —
Quart. J. Math. 12 (1942), 221—256.

Харди, Литтлвуд, Пойа1 (Hardy G. H., Littlewood J. E., Polya G.)

[1]	Неравенства. —M.: ИЛ, 1948 (1964).

Хаякава (Hayakawa K-)

[1]	Interpolation by the real method preserves compactness of operators.—
J. Math. Soc. Japan 21 (1969), 189—199.

Хедстром, Варга (Hedstrom G. W., Varga R. S.)

[1]	Application of Besov spaces to spline approximation.— J. Approximation
Theory 4 (1971), 295—327.

Хейниг (Heinig H. P.)

[1]	Remarks on interpolation in spaces with weights.— In “Conference on the
theory of ordinary and partial differential equations”. Lecture Notes
Math. 280, Springer-Verlag, Berlin— Heidelberg—New York 1972, p.
279—285.

Хелльвиг (Hellwig G.)

[1]	Differentialoperatoren der mathematischen Physik. —Springer-Verlag,
Berl in — Gott ingen — Hei del berg 1964.

Херц (Herz C. S.)

[1]	Lipschitz spaces and Bernstein’s theorem on absolutely convergent Fourier
transforms.— J. Math. Meeh. 18 (1968), 283—324.

Хёрмандер (Hormander L.)

[1]	On the regularity of the solutions of boundary problems.— Acta Math.
99 (1958), 225—264.

[2]	Estimates for translation invariant operators in Lp spaces.— Acta Math.
104 (1960), 93—140.

[3]	Линейные дифференциальные операторы с частными производными.—
М.: Мир, 1965 (1963).

[4]	The spectral function of an elliptic operator.— Acta Math. 121 (1968),
193—218.

[5]	On the Riesz means of spectral functions and eigenfunction expansions
for elliptic differential operators. —[Имеется перевод: О средних Рисса
спектральных функций эллиптических дифференциальных операторов и
соответствующих спектральных разложениях. — Математика 12 (1968),
№ 5, 91—130.]

Хёфель, Вестфаль (Hovel Н. W., Westphal U.)

[1] Fractional powers of closed operators.— Studia Math. 42 (1972), 177—194.
Хилле, Филлипс (Hille E., Phillips R. S.)

[1] Функциональный анализ и полугруппы. —М.: ИЛ, 1962 (1957).

Хиршман (Hirschman I. I.)

[1] Fractional integration.—Amer. J. Math. 75 (1953), 531—546.

Хиршман, Уиддер (Hirschman I. I., Widder D. V.)

[1]	Преобразование типа свертки.—M.: ИЛ, 1958 (1955).

Хольмстедт (Holmstedt Т.)

[1]	Interpolation d’espaces quasi-normes. — В. R. Acad. Sci. Paris 264 (1967),
242—244.

[2]	Interpolation of quasi-normed spaces.—Math.. Scand. 26 (1970), 177—179.
Хьюз (Hughes E.)

[1] Characterization of certain interpolation spaces.—Carleton Math. Series
83 (1973).

i

Полна, — Прим. ped.
Цвикел (Cwikel М.)

[1]	On (LPo (Ло), LPi(Ai)e,g. — Proc. Amer. Math. Soc., 44 (1974), 286—292.
Цесельский (Ciesielski Z.)

[1]	On the isomorphism of Hd and m. — Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci.
Math. Astr. Phys., 8 (1960), 217—222.

[2]	A construction of a basis in С1 (I2). — Studia Math. 33 (1969), 243—247.

Цесельский, Домста (Ciesielski Z., Domsta J.)

[1] Construction of an orthonormal basis in Cm (Id) and W™ (jd). —Studia
Math. 41 (1972), 211—224.	p

Циппин (Zippin M.)

[1] Interpolation of operators of weak type between rearrangement invariant
function spaces.— J. Funct. Analysis 7 (1971), 267—284.

Чантурия 3.A.

[1] On unconditional bases of spaces Lp (1 < p < oo). — Bull Acad. Polon.
Sci., S6r. Shi. Math. Astr. Phys. 19 (1971), 605—611.

Чумак A. A.

[1] Самосопряженность оператора Бельтрами —Лапласа на полном параком-
пактном римановом многообразии без края. —Укр. матем. ж. 25 (1973),
784—791.

Шамир (Shamir Е.)

[1] Une propriete des espaces Hs* P. — C. R. Acad. Sci. Paris 255 (1962),
448—449.

Шапиро 3. Я.

[1] Об общих краевых задачах для уравнений эллиптического типа.—ИАН
СССР, сер. матем., 17 (1953), 539—562.

Шарпли (Sharpley R.)

[1]	Spaces Aa (A) and interpolation.— J. Funct. Analysis 11 (1972), 479—513.

[2]	Interpolation theorems for compact operators. — Indiana Univ. Math. J.
22 (1973), 965—984.

[3]	Equivalence of indices of function spaces.—Canad. J. Math, (to appear).

[4]	Interpolation of operators for A spaces.— Bull. Amer Math. Soc. 80
(1974), 259—261.

[5]	Characterization of intermediate spaces of spaces.— Proc. Conf, on
Approximation Theory, Oberwolfach, Birkhauser-Verlag, Basel— Stuttgart
1974, p. 205—214.

[6]	Interpolation of n pairs and counterexamples employing indices.—J.
Approximation Theory 13 (1975), 117—127.

Шаттен (Schatten R.)

[1]	Norm ideals of completely continuous operators. — Ergebnisse der Math.
27, Springer-Verlag, Berlin —Gottingen —Heidelberg 1960.

Шаудер (Schauder J.)

[1]	Uber lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung. — Math.
Z. 38 (1934), 257—282.

[2]	Numerische Abschatzungen in elliptischen linearen Differentialgleichun-
gen.—Studia Math. 5 (1934), 34—42.

Шварц Дж. T. (Schwartz J. T.)

[1]	A remark on inequalities of Calderon-Zygmund type for vector-valued
functions.—Comm. Pure Appl. Math. 14 (1961), 785—799

Шварц Л. (Schwartz L.)

[1]	Theorie des distributions. I, II.—Hermann, Paris 1950/51. [Новое рас-
ширенное издание в одном томе: Hermann, Paris 1973.]

[2]	Les travaux de Garding sur le probleme de Dirichlet.—Sem. Bourbaki,
Paris 1952.

Шерер (Scherer K. S.)

[1] Uber die Dualen von Banachraumen, die durch lineare Approximationspro-
zesse erzeugt werden, und Anwendungen fiir periodische Distributionen. —
Acta Math. Acad. Scient. Hungar. 23 (1972), 343—365.
Шестаков В. А.

[1]	О комплексной интерполяции в банаховых пространствах измеримых
функций.— Вести. ЛГУ, матем. мех. астрон., 19 (1974), 64—68.

Шехтер (Schechter М.)

[1]	Integral inequalities for partial differential operators and functions
satisfying general boundary conditions.—Comm. Pure Appl. Math. 12
(1959), 37—66.

[2]	General boundary value problems for elliptic equations.— Comm. Pure
Appl. Math 12 (1959), 457—486.

[3]	Remarks on elliptic boundary value problems. —Comm. Pure Appl.
Math. 12 (1959), 561—578.

[4]	On LP estimates and regularity. I. —Amer. J. Math. 85 (1963), 1—13;

II.-Math. Scand. 13 (1963), 47—69.

[5]	Interpolation spaces by complex methods.— Bull. Amer. Math. Soc. 72
(1966), 526—533.

[6]	Complex interpolation. —Compositio Math. 18 (1967), 117—147.

Шольц (Scholz R.)

[1]	Abschatzungen linearer Durchmesser in Sobolev und Besov-Raumen. —
Manuscripta Math. 11 (1974), 1—14.

[2]	Durchmesserabschatzungen fiir die Einheitskugel des Sobolev-Raumes
Wrq (Q) in Lp (Q). — Applicable Analysis 5 (1975/76), N 4, 257—264.

Шоунфелд (Schonefeld S.)

[1]	Schauder bases in spaces of differentiable functions. Bull. Amer. Math.
Sos. 75 (1969), 586—590.

[2]	Schauder bases in the Banach spaces Ck (T?). — Trans. Amer. Math. Soc.
165 (1972), 309—318.

Шуберт (Schubert H.)

[1]	Kategorien. I. — Akademie-Verlag, Berlin 1970.

Эдвардс (Edwards R. E.)

[1]	Функциональный анализ, —Теория и приложения. — М.: Мир, 1969(1965).

Эль Колли (El Kolli А.)

[1]	nleme epaisseur dans les espaces de Sobolev.—C. R. Acad. Sci. Paris 272
(1971), A537-A539.

[2]	ziieme epaisseur dans les espaces de Sobolev avec poids.—C. R. Acad. Sci.
Paris 273 (1971), A450—A453.

[3]	п1ётз epaisseur dans les espaces de Sobolev. —J. Approsimation Theory
10 (1974), 268—294.

Эльффер (Helffer B.)

[1] Theoremes de Sobolev dans les espaces de Sobolev avec poids.— These,
Paris 1972.

Энфло (Enflo P.)

[1] A counterexample to the approximation problem in Banach spaces.—
Acta Math. 130 (1973), 309—317.

Юдович В. И.

* [1] О некоторых оценках, связанных с интегральными операторами и реше-
ниями эллиптических уравнений.— ДАН СССР 138 (1961), 805—808.

Яковлев Г. Н.

[1]	О плотности финитных функций в весовых пространствах. — ДАН СССР
170 (1966), 797—798.

[2]	О следах функций из пространств Wlp на кусочно-гладких поверхно-
стях.—Матем. сб. 74 (1967), 526—543.

* [3] Граничные свойства функций класса Wlp на областях с угловыми точ-
ками.-ДАН СССР 70 (1961), 73—76.

Ярошевская (Jaroszewska М.)

[1] On the Riesz-Thorin theorem. —Demonstratio Math. 7 (1974), 155—166.
указатель обозначений

1. Основные обозначения абстрактной теории интерполяции

Ао A Ai	1.2.1	К (t, а), К (t, а; Ао, At)	1. 3.1
Ло +Лх	1.2.1	J (t, a), J (t, а; Ло, Л,)	1.6.1
{Ло, AJ	1.2.1	L (t, а)	1. 4.2
£(Л, В)	1.2.2	К (6), К (0; Ло, ЛО	1.10.1
М{Ло, Л^, {Во, BJ)	1.2.2	Ц6), J (0; Ло, At)	1.10.1
		К(0)П/(0),К(1) ПАО	1.10.2

2. Абстрактные интерполяционные пространства и связанные с ними простран-
ства

(Ло, Л1)е, q	1.3.2	Р Мо, Лх, у)	1. 9.1
§_(Ро> £о» Ло; Pi, Ji, Л1)	1.5.2	В_(Л0, Лх, у)	1. 9.1
5 (Ро, ?о, Ло; Рх, 51, Лх)	1.5.3	[Ло, Л ]д, у	1. 9.2
Vm(Po, По, Ло; Рх, П1» Л1)	1.8.1	[Ло, Лх]о, у,-	1. 9.2
Ту1 = T™(Pq, т)о, Ло; Рх, Hi, Лх)	1.8.1	[Ло, Л1]е	1. 9.2
W (р, go, Ао; Р, 51, Лх)	1.8.5	Кт	1.13.3

3. Пространства типа Lp, соответствующие нормы

1г	2. 2.4	м,«,	1. 5.1
lp(Aj), с0(А/)	1.18.1  1.18.2	"L* (А) 14*	1. 6.1
1п а(А)	1.18.3	II V II #	1.13.2
LP(A) Lp,g(A)	1.18.4	u "I* ((0, 6), А)	1.13.2
	1.18.6	“ V L* ((0, 6))	
Вр, W W (^)	1.18,5	II V II *	1.13.4
		“ ^(<2б,Л)	

4. s-числа, идеалы

d„(S;	А,	В)	1.16.1

d«(S;	А,	В)	1.16.1

sn(S;	А,	В)	1.16.1

Н (s, S; А, В)	1.16.1

Еа(А,	В)	1.16.1

Ка(А,	В)	1.16.1

5а(Л,	В)	1.16.1

ба(Л,	В)	1.16.1

©р	1.19.7

5. Специальные области в R„, специальные множества функций

	2.3.1	ФдГ, Ф	2.3.1
Ri	2.9.1	4r = V(Q; p)	3.2.3
Pk, Qk  Q*	2.11.2	Z	3.9.1
	3.2.1	Mp.t	2.5.4
Q/	3,2.3		
6. Специальные операции

Is zs	2.3.4  2.10.3		h*}  Ф-оператор	2.9.2  5.2.2
W(t)	2.5.2	[s], {«}	2.5.1
P(t)	2.5.3	[8]-. {«Г	2.5.1
ft- Д7, k	2.5.1	N(K)	5.4.1

ДА, Д' 2.6.1.

7. Банаховы пространства функций и обобщенных функций в Rn и Rn

	2.3.1.		2.9.2
fpM	2.3.1.	•7,«га	2.9.2
Bp(Rn)	2.3.1		2.9.2
wp(Rn)	2.3.1	Г а(/?+)  Р> хп v nf	2.9.2
bp,M	2.3.2		2.9.2
K(Rn)	2.9.1	K(Rn’°)	3.6.4
Bp.q(Rh)	2.9.3	Вр, <7 (^Л: СТ)	3.6.4
НЖ)	2.9.3		3.9.1
Bp.q(Rh)	2.9.3		3.9.3
"p (Rn)	2.9.3	®р, р, (Rh)	3.9.3
Bp.oM)	2.10.3	C‘(Rn)	2.7.1
”p(Rh)	2.10.3	Z‘(Rn)	2.7.1
8. Банаховы	пространства функций в областях		
BP. о (Q)	4.2.1	w™ (Q; a)	3.2.1
H3P (Я)	4.2.1	вР.о(Ъ	3.3.1,3.3.3
(Q)	4.2.1	Г7 (Q; a)	3.2.1
bp. q (Q)	4.2.1	BSP, q (dQ)	3.6.1
&p (fi)	4.2.1	BP.Q&; рц; P	v) 3.2.3
1^(Q)	4.2.1	//SP(Q; pu' pv)	3.2.3
Bp. ч	4.3.2	Wsp (£5; pP; pv)	3.2.3,3.2.6
йр(й)	4.3.2	Wsp (Q; pP; pv)	3.2.6
Bsp, 4, {B.}№	4.3.3		Ws2((a, b,)p*)	7.5.2
HP,	4.3.3	Ks	7.7.1
9. Пространства типа С и S в областях

Cm(Q), C'(Q)  C‘(Q)	3.2.2, 4.5.1  4.5.1	&))  C£z №	7.4.4  7.6.5
^(Q)	4.5.1	Z>OO  CA{By}(Q)	5.2.3
C‘ (dQ)	5.5.3	Sp <x> (Й)	6.2.1
eg0 (°)	3.2.1	S(Rn)	2.2.2
Cg° (Й)	6.2.3	s	8.2.1
С°°(Й)	3.2.2	C°°(Q)	6.2.1

10. Дифференциальные операторы

р(х)) 6-2j

?l£v(Q;p(x)) 6.2.1	Am,k

7,2,1	Bm,k

7.2.1, 7.2.2

7.4.4

7,6,5
Авантаджатти (A. Avantaggiatti) 299,
609

Агмон (S. Agmon) 178, 390, 417, 418,
429, 454, 461, 473, 489, 498—500, 507,
509, 609

Агранович М. С. 479, 609

Адамс (R. A. Adams) 7, 201, 380, 411,
442, 609

Акилов Г. П. 165, 622

Александров П. С. 598

Алимов Ш. А. 420, 609

Аманов Т. И. 250, 274, 447, 610

Андерссон (R. Andersson) 411, 610
Анузэ (В. Hanouzet) 299, 370, 377, 380,
547, 598, 607, 610, 611, 614

Аранда (Р. J. Aranda) 441, 442, 610

Аркерид (L. Arkeryd) 461, 473, 610

Ароншайн (N. Aronszajn) 12, 18, 24,
76, 168, 177, 201, 215, 216, 228, 273,
454, 488, 609, 610

Бабаджанов С. Б. 437, 610

Багиров Л. А. 512, 610

Балакришнан (А. V. Balakrishnan)
111, 114, 610

Банах (S. Banach) 288, 611

Басс Г. И. 499, 611

Бауэнди (М. S. Baouendi) 137, 547, 581,
584, 594, 595, 598, 607, 611

Бенашур (S. Benachour) 547, 611

Бенедек (A. Benedek) 159, 380, 611

Беннетт (С. Bennett) 159, 162, 168, 611

Берг (J. Bergh) 7

Бергер Г. (G. Berger) 591, 596, 611

Бергер М. С. (М. S. Berger) 442, 612
Березанский Ю. М. 178, 281, 454, 474,
477, 479, 488, 496, 504, 578, 612

Беренс (Н. Berens) 12, 22—24, 28, 68,
83, 84, 90, 109, 111, 114, 148, 168,
175, 214, 228, 612, 615

Беренстейн (С. A. Berenstein) 159, 612

Бериев А. Д. 379, 612

Бесов О. В. 6, 7, 97, 177, 178, 189,
201, 215, 228, 251, 274, 296, 299, 305,
327, 346, 348, 379, 389, 394, 445—447,
612, 613

Билз (R. Beals) 499, 613

Бирман М. Ш. 359, 403, 433, 438, 443,
445, 499, 613

Богачёв Б. М. 381, 613

Бозами (В. Beauzamy) 449, 613

Боллей (Р. Bolley) 543, 544, 547, 597,
598, 613, 614

Борзов В. В. 445, 499, 614

Бохнер (S. Bochner) 231, 614

Бочкарёв С. В, 288, 614

Браудер (F. Е, Browder) 175, 301, 473,
498, 500, 614

Брезис (D. Brezis) 175, 614

Брюнинг (J. Briining) 499, 614

Бугров Я. С. 380, 614

Бу кур (I. Bucur) 16

Буман (J. Boman) 97, 394, 407, 614

Буренков В. И. 6, 7, 201, 380, 392, 403,
411, 614

Бутцер (Р. L. Butzer) 10, 12, 22, 23, 28,
42, 68, 83, 84, 90, 109, 111, 114, 148,
154, 168, 175, 214, 228, 408, 612, 615

Бутэ де Монвель (L. Bouter de Monvel)
595 615

Бэгби (R. J. Bagby) 203, 214, 615

Валек (H. Walek) 118, 437, 615

Варга (R. S. Varga) 176

Вебер (A. Weber) 411, 632

Вейль Г. (H. Weyl) 498, 560, 616

Вейс (G. Weiss) 13, 159, 161, 165, 189,

236, 638

Вестфаль (U. Westphal) 42, 112, 114,
236, 612, 615, 616, 639, 643

Вилламарэн (A. F. Villamarin) 175, 616

Винхольтц (E. Wienholtz) 523, 616

Вишик M. И. 479, 543, 596, 609, 616

Блока (J. Wloka) 202, 616

Войтыньский (W. Wojtynski) 605, 616

Волевич Л. P. 281, 448, 616

Вулис И. Л. 596, 616

Гальярдо (Е. Gagliardo) 5, 11, 12, 18,
19, 24, 28, 76, 168, 177, 201, 220, 228,
610, 616

Гапайяр (С. Gapaillard) 173, 616

Гапошкин В. Ф. 288, 617

Гельман И. В. 394, 617

Гельфанд И. М. 123

Гёрлих (Е. Gorlich) 214, 236, 615, 617

Гийемо-Тейссье (М. Guillemot-Teissier)
547, 594, 596, 607, 617

Гилберт (J. Е. Gilbert) 153, 617

Гильберт (D. Hilbert) 177, 189, 597, 626

Гильдерман Ю. И. 448, 617

Глазман И. М. 523, 560, 617

Глобенко И. Г. 411

Глускин Е. Д. 438, 617

Головкин К. К. 96, 159, 177, 201, 215,
274, 296, 394, 617

Гольдман М. Л. 6, 7

Гординг (L. Garding) 498

Гохберг И. Ц. 122, 124, 172, 496, 497,
504, 538, 618

Грамш (В, Gramsch) 441, 618
Гривар (Р. Grisvard) 12, 42, 47, 54, 59,
73, 83, 106, 107, 174, 202, 203, 220,
223, 251, 264, 273, 274, 298, 299, 303,
323, 328, 349, 351, 379, 398—400, 447,
500, 506, 507, 587, 595, 615, 618, 620

Громез (W. Gromes) 499, 572, 618

Гротендик (A. Grothendieck) 601, 602,
608, 618

Грубб (С. Grubb) 499, 618

Грушин В. В. 543, 596, 616

Гуджо (С. Goudjo) 299, 343, 379, 509,
618

Гудиев А. X. 380, 618

Гулауик (С. Goulaouic) 18, 19, 137, 153,
168, 175, 547, 581, 584, 594, 595, 598,
607, 611, 618

Данфорд (N. Dunford) 9, 60, 61, 64, 84,

148, 158, 178, 185, 189, 483, 516, 619

Деляну (A. Deleanu) 16

Дени (J. Deny) 274, 411, 619

Дерриджи (М. Derridj) 547, 598, 619

Джабраилов А. Д. 379, 447, 612, 619

Джафаров А. С. 380, 619

Джером (J. W. Jerome) 437, 438, 445,
619

Джонсон (W. В. Johnson) 428, 619

Дмитриев В. И. 79, 168, 169, 619

Дойч (N. Deutsch) 18, 19, 168, 175, 619

Домста (J. Domsta) 429, 644

Донаху (W. F. Donoghue) 620

Дуглис (A. Douglis) 454, 461, 473, 489,

507, 509, 609, 620

Дынин А. С. 489, 620

Дэй (М. М. Day) 287, 288, 620

Ёсикава (A. Yoshikawa) 76, 118, 171,
174, 251, 252, 447, 620

Есин ага (К. Yoshinaga) 168, 620

Жеймона (G. KJeymonat) 500, 506, 507,
620

Жиро (G. Giraud) 189

Забрейко П. П. 109, 112, 113, 287, 625

Загер (Y. Sagher) 175, 203, 620, 635, 642

Зафран (М. Zafran) 203, 620

Зернер (М. Zerner) 607, 620

Зигмунд (A. Zygmund) 5, 13, 158, 159,

177, 189, 236, 620, 622

Зимадер (С. G. Simader) 474, 620

Зобин Н. М. 608, 621, 631

Зуили (С. Zuily) 547, 598, 619, 621

Игари (S. Igari) 197, 621

Ильин В. П. 7, 178, 189, 201, 274, 275,
299, 379, 389, 394, 404, 411, 445, 612,
613, 621

Иосида (К. Yosida) 9, 63, 84, 85, 109,
178, 179, 237, 241, 261, 415, 600, 621

Исмагилов Р. С. 438—440, 621

Йон (О. John) 7, 203, 381, 429, 626, 642

Йонен (Н. Johnen) 408, 615

Йонсон (R. Johnson) 197, 203, 621

Кадлец (J. Kadlec) 62, 63, 305, 327, 441,
613, 621, 626

Казарян Г. Г. 394, 621

Кальдерон (А. Р. Calderon) 5, И, 12,
59, 61, 63, 64, 66, 67, 72—74, 80,
135, 150, 151, 156, 169, 170, 177, 189,
201, 215, 216, 220, 223, 392, 622

Камзолов А. И. 197, 622

Кампанато (S. Campanato) 203

Камю (J. Camus) 543, 544, 547, 597,
598, 613, 614

Канторович Л. В. 165, 622

Караджов Г. Е. 173, 175, 622

Карлеман (Т. Carleman) 498

Каттанео (Е. Р. Cattaneo) 441, 442, 610

Като (Т. Kato) 112, 167, 361, 530, 580,
622

Катрахов В. В. 599, 622

Каттабрига (L. Cattabriga) 197, 622

Кашин Б. С. 440, 622

Квапень (S. Kwapien) 287, 622

Керси (F. Chersi) 168, 622

Керцман (N. Kerzman) 159, 612

Кёниг (Н. Konig) 441, 623

Кете (G. Kothe) 600, 602, 623

Киприянов И. А. 381, 599, 623

Кисляков С. В. 442, 623

Кларк (С. Clark) 441, 442, 498, 499, 623

Клементс (G. F. Clements) 443, 445, 623

Книперт (D. Kniepert) 512, 623

Коваленко И. А. 504, 623

Кожевников А. Н. 499, 572, 623

Коидзуми (S. Koizumi) 159, 623

Колмогоров А. Н. 123, 124, 437, 445,
624

Комацу (Н. Komatsu) 106, 107, 111 —
113, 117, 118, 122, 171, 251, 252, 624

Комура Т. (Т. Komura) 602, 624

Комура Ю. (Y. Komura) 602, 624

Кон (J. J. Kohn) 598, 624

Кондрашов В. И. 250, 275, 624

Кордес (Н. О. Cordes) 572, 624

Корнейчук Н. П. 440, 624

Коротков В. Б. 441, 448, 621, 624

Котляр (М. Cotlar) 159, 189, 612, 624
Кошелев А. И. 473, 624

Крайней (W. Т. Кгаупек) 159, 624

Красносельский М. А. 109, 111—113,
287, 361, 625

Красовский Ю. П. 504, 625

Крейн М. Г. 122, 124, 172, 361, 496,
497, 504, 538, 618, 625

Крейн С. Г. 5, 7, 11, 12, 14, 59, 159,
170, 171, 173, 175, 288, 625

Кречмер (Н. Kretschmer) 538, 625

Крэ (Р. Кгёе) 157, 159, 160, 175, 189,
197, 398, 612, 625

Кудрявцев Л. Д. 177, 178, 201, 264,
299, 303, 369, 370, 377, 379, 380, 445,
612, 625

Кузнецов Ю. В. 323, 403, 626

Кулов Р. Д. 379, 380, 626

Купцов Н. П. 175, 626

Курант (R. Courant) 177, 498, 626

Курацубо (S. Kuratsubo) 197, 621

Куфнер (A. Kufner) 7, 63, 305, 327,
346, 348, 381, 599, 613, 621, 626

Лакруа-Сонрье (М.-Т. Lacroix-Sonrier)
168, 626

Лакс (Р. D. Lax) 281, 626

Лангеманн (В. Langemann) 512, 540,
626

Ларсен (R. Larsen) 197, 626

Леви (В. Levi) 177

Левитан Б. М. 499, 626

Лерэ (J. Leray) 281, 626

Лёфстрём (J. Lofstrom) 7, 10, 175, 176,
197, 626, 627

Лизоркин П. И. 177, 178, 189, 196,
197,201,214—216, 228, 240, 273—275,
299, 323, 379, 445, 447, 612, 627,
632

Линденштраус (J. Lindenstrauss) 138,
287, 288, 296, 428, 627, 628

Лионс (J.-L. Lions) 5, 11, 12, 30, 33,
35, 38, 42, 46, 54, 59, 67, 72, 76, 79,
83, 118, 135, 138, 150, 167, 171, 175,
177, 178, 215, 216, 220, 273, 274, 277,
280, 281, 327, 379, 395, 398, 411, 414,
454, 474, 477—479, 487—489, 492,
495, 504, 506, 598, 619, 628, 632,
642

Литтлвуд (J. Е. Littlewood) 165, 177,
236, 250, 322, 643

Литтмэн (W. Littman) 197, 214, 629

Лозановский Г. Я. 151, 629

Лопатинский Я. Б. 454, 629

Лоренц (G. G. Lorentz) 124, 154, 169,
. 175, 361, 437, 445, 629

Лоссиевская Т. В. 504, 629

Лю, де (К. de Leeuw) 97, 629

Мадженес (Е. Magenes) 5, 12, 138, 168,
178, 201, 215, 220, 273, 274, 277, 280,
281, 327, 395, 398, 414, 454, 474,
477—479, 487—489, 492, 495, 504,
506, 598, 628, 629

Мазья В. Г. 394, 411, 442, 617, 629

Май (В. Mai) 10

Майоров В. Е. 438, 629

Мак-Карти (С. McCarthy) 197, 214, 629

Мак-Кин (Н. Р. McKean) 572, 629

Маковоз Ю. И. 440, 629

Мамедов Ш. Ф. 380, 619

Маруо (К. Maruo) 499, 596, 630

Марцинкевич (J. Marcinkiewicz) 5,
13, 154, 159, 160, 196, 446, 630

Матийчук М. И. 504, 630

Мейерс (N. Meyers) 410, 630

Мейнз (A. Manes) 175, 630

Меруччи (С. Merucci) 173, 630, 641

Метивье (G. Metivier) 499, 630, 642

Милгрэм (A. N. Milgram) 454, 488, 610

Мильман В. Д. 288, 361, 625, 630

Минакшисундарам (S. Minakshisunda-
ram) 572, 630

Миранда (С. Miranda) 159, 243, 407,
509, 630

Миркил (Н. Mirkil) 97, 629

Мирошин Н. В. 173, 630

Митягин Б. С. 19, 123, 124, 169, 199,
407, 429, 604, 605, 607, 608, 621,
630, 631

Михлин С. Г. 178, 189, 196, 197, 390,
446, 631

Миядзаки (К. Miyazaki) 173, 631

Морен (К. Maurin) 84, 441, 571, 578,
600, 631

Морри (С. В. Моггеу) 203, 251, 509, 631

Мостефай (A. Mostefai) 445, 631

Мукенхаупт (В. Muckenhoupt) 165,
189, 631

Мулла (F. Mulla) 201, 215, 216, 273,
610

Мурамату (Т. Muramatu) 102, 107, 165,
251, 252, 389, 404, 410, 411, 415, 631

Мурти (М. К- V. Murthy) 203, 598, 631
Мюллер-Пфайффер (Е. Miiller-Pfeiffer)
411, 512, 631, 632

Нагасэ (М. Nagase) 499, 632

Наймарк М. А. 558—560, 632

Нери (U. Neri) 189, 632

Нессель (R. J. Nessel) 228, 615

Нечас (J. Necas) 178, 274, 303, 379,
429, 632, 642

Никольский С. М. 7, 171, 177, 178,
196, 201, 202, 215, 216, 228, 237, 250,
251, 274, 289, 296, 297^299, 379, 389,
403, 411, 445, 447, 612, 613, 627, 632
Никольский Ю. С. 189,377, 379,380, 632
Ниренберг (L. Nirenberg) 177, 203, 251,
454, 461, 473, 489, 507, 509, 598, 609,
620, 624, G32

Нордин (С. Nordin) 595, 633

Одрэн (J.-M. Audrin) 441, 442, 633

Окикиолу (G. О. Okikiolu) 197, 633
Окландер (Е. Т. Oklander) 12, 157, 159,
633

Олейник О. А. 598, 633

О’Нейл (R. O’Neri) 164, 165, 633

Орнстейн (D. Ornstein) 97, 394, 633

Панеях Б. П. 281, 448, 616

Панцоне (R. Panzone) 159, 380, 611

Параска В. И. 504, 633

Пелчиньский (A. Pelczynski) 10, 123,
124, 288, 295, 355—358, 428, 631, 633

Перссон (A. Persson) 135, 633

Петре (J. Peetre) 5, 7, 10—12, 18, 19,
22, 27, 28, 30, 33—35, 38, 42, 46, 55,
56, 67, 72, 76, 79, 83, 90, 111, 133,
135, 145, 150, 151, 153, 156, 157, 164,
165, 168, 170, 171, 173—176, 189, 197,
201, 203, 210, 211, 220, 223, 240, 251,
292, 474, 479, 489, 492, 507, 627, 628,
633, 634

Петунии Ю. И. 5, 7, 12, 14, 138, 139,
170, 171, 173, 175, 625, 635

Пиголкина Т. С. 377, 380, 635

Пилика П. 250, 635

Пич (A. Pietsch) 122, 124—126, 137,
172, 173, 434, 441, 442, 601, 602, 604,
605, 608, 635

Плейель (A. Pleijel) 572, 630

Пойа 1 (G. Polya) 165, 322, 643

Полетти (М. Р. Poletti) 175, 630

Потапов М. К. 446, 635

Проди (G. Prodi) 273, 635

Пуанкаре (Н. Poincare) 189

ПустыльникЕ. И. 109, 112,113, 287,625

Ривьер (N. М. Riviere) 189, 197, 203,
214, 474, 629, 635, 641, 642

Рисе М. (М. Riesz) 5, 12, 158, 635
Рисе Ф. (F. Riesz) 9, 167, 495, 501, 635
Розенблюм Г. В. 608, 636

Розенталь (Н. R. Rosenthal) 428, 619,
628

Ройтберг Я. А. 504, 623

Ролевич (S. Rolewicz) 602, 608, 636

Рутицкий Я. Б. 287, 625

Рыб а лов Ю. В. 380, 636

Рылль (J. Ryll) 429, 636

= Полна, — Прим, ред.

Садоски (С. Sadosky) 189, 636

Седаев А. А. 19, 169, 170, 636

Семёнов Е. М. 5, 7, 14, 19, 159, 169,
170, 625, 636

Серрин (J. Serrin) 410, 630

Сёкефальви-Надь (В. Sz.-Nagy) 9, 167,
495, 501, 635

Сигалов А. Г. 598

Сили (R. Seeley) 118, 277,280, 399,
400, 417, 429, 587, 636

Симакура (N. Shimakura) 417, 543, 544,
547, 595, 597, 636

Симогаки (Т. Shimogaki) 169, 175, 629

Сингер (I. М. Singer) 572, 629

Слободецкий Л. Н. 201, 228, 273, 474,
636

Смит (К. Т. Smith) 201, 393, 394, 609,
610, 637

Соболев С. Л. 165, 171, 177, 178, 201,
225, 226, 250, 251, 275, 299, 389, 448,
637

Соболевский П. Е. 109, 111—113, 287,
504, 625, 637

Соломещ И. А. 596, 637

Соломяк М. 3. 126, 359, 403, 433, 438,
443, 445, 499, 596, 613, 616, 637

Солонников В. А. 274, 323, 389, 621, 637
Спанн (S. Spanne) 203

Спарр (G. Sparr) 18, 19, 30, 133, 157,
169, 170, 173—175, 447, 634, 637

Стампаккья (G. Stampacchia) 203, 598,
631, 637

Стейн (Е. М. Stein) 13, 159, 161, 165,
177, 189, 197, 198, 202, 203, 214,
215, 231, 236, 273, 275, 287, 390, 392,
637, 638, 642

Стороженко Э. А. 411, 638

Стрикарц (R. S. Strichartz) 165, 189,
214, 277, 389, 390, 394, 638

Суворченкова Г. А. 572, 638

Тайблсон (М. Н. Taibleson) 202, 215,
216, 220, 228, 231, 236, 240, 250, 296,
638

Танабэ (Н. Tanabe) 499, 630, 638

Тартар (L. Tartar) 175, 638

Тихомиров В. М. 124, 126, 437, 438,
445, 610, 624, 631, 637, 638

Томэ (V. Thomee) 176, 634, 638

Торин (G. О. Thorin) 5, 12, 158, 638

Требельз (W. Trebels) 199, 214, 236,
615, 638, 639

Трибель (Н. Triebel) 5—7, 10, 72, 90,
98, 102, 122, 124, 129, 132, 133, 137,
145, 167, 172—174, 179, 185, 195,
201, 210, 211, 230, 240, 241, 251, 253,
255, 264, 274, 292, 298—300, 303, 305,
307, 308, 317, 324, 327, 328, 339, 341,
352, 359, 369, 370, 373, 375, 420, 428,
438, 441, 445, 447, 469, 493—495,
503, 504, 512, 521—523, 525, 530,
531, 533, 538, 544, 547, 556, 559, 560,
571, 580, 589, 590, 603, 605—607,
635, 639

Трикоми (F. G. Tricomi) 189
Туловский В. Н. 499, 595, 640

Уиддер (D. V. Widder) 231, 643

Уиден (R. L. Wheeden) 165, 189, 214,
631, 640

Уильямс (V. Williams) 168, 640

Улуфф (R. Oloff) 172, 640

Унинский А. П. 447, 640

Унтерберже (A. Unterberger) 449, 640
Уолш (Т. Walsh) 165, 189, 640
Успенский С. В. 177, 201, 215, 264,
273, 274, 303, 379, 641

Фавини (A. Favini) 170, 171, 173—175,
299, 343, 375, 448, 641

Фам Тхе Лай (Pham The Lai) 136, 173,
441, 442, 595, 616, 630, 633, 641

Фаро (J. Faraut) 572, 641

Фейбс (E. В. Fabes) 189, 473, 641

Фейгин В. И. 512, 610

Фефферман (С. Fefferman) 197, 199, 203,
214, 236, 642

Фехнер (W. Fechner) 382, 642

Филлипс (R. S. Phillips) 84, 643

Фихтенгольц Г. М. 255, 642

Флекенже (J. Fleckinger) 499, 642
Флетт (Т. М. Flett) 203, 231, 240, 642
Фортунато (D. Fortunato) 509, 642
Фояш (С. Foia§) 169, 642

Фрайтаг (D. Freitag) 173, 441, 642

Фридрихе (К- О. Friedrichs) 177

Фролов Н. Н. 202, 642

Фудзивара (D. Fujiwara) 118, 417, 429,
642

Фурнье (J. Furnier) 442, 609

Фу реи ков А. В. 547, 642

Фучик (S. Fucik) 7, 381, 429, 626, 642

Харди (G. Н. Hardy) 165, 177, 236,
250, 322, 643

Хаусдорф (F. Hausdorff) 161, 162

Хаякава (К. Hayakawa) 135, 136, 173,
643

Хедстром (G. W. Hedstrom) 176, 643
Хейниг (Н. Р. Heinig) 161, 643
Хелльвиг (G. Hellwig) 521, 643
Херц (С. S. Herz) 203, 643

Хестенс (М. R. Hestenes) 255

Хёрмандер (L. Hormander) 165, 178,
179, 181, 185, 189, 195—197, 203,

273, 281, 448, 454, 474, 477, 499, 521,
570, 572, 579, 643

Хёфель (Н. W. Hovel) 112, 643

Хилле (Е. Hille) 84, 85, 643

Хиршман (I. I. Hirschman) 215, 231,643

Хольмстедт (Т. Holmstedt) 28, 157, 168,
175, 643

Хьюз (Е. Hughes) 400, 643

Цафрири (L. Tzafriri) 138, 287, 288,
296, 628

Цвикел (М. Cwikel) 151, 644

Цесельский 1 (Z. Ciesielski) 429, 644

Циппин (М. Zippin) 169, 428, 619, 644

Чандрасекхаран (К. Chandrasekhar ап)
231, 614

Чантурия 3. А. 288, 644

Чумак А. А. 572, 644

Шамир (Е. Shamir) 274, 277, 403, 644

Шапиро 3. Я. 454, 644

Шарпли (R. Sharpley) 169, 644

Шаттен (R. Schatten) 122, 172, 644

Шаудер (J. Schauder) 509, 644

Шварц Дж. Т. (J. Т. Schwartz) 9, 60,
61, 64, 84, 148, 158—160, 178, 179,
185, 189, 197, 483, 516, 619, 644

Шварц Л. (L. Schwartz) 178, 179, 237,
. 281, 644

Шептицки (Р. Szeptycki) 201, 215, 216,
273, 610

Шерер (К- S. Scherer) 42, 79, 90, 111,
168, 175, 615, 644

Шестаков В. А. 67, 645

Шехтер (М. Schechter) 59, 63, 67, 168,
203, 223, 442, 448, 454, 474, 479,
487—489, 492, 612, 645

Шольц (R. Scholz) 645

Шоунфелд (S. Schonefeld) 429, 645

Шуберт (Н. Schubert) 16, 17, 22, 645

Шумейкер (L. L. Schumaker) 437, 438,
445, 619

Эдвардс (R. Е. Edwards) 165, 645

Эйдельман С. Д. 504, 630

Эль Колли (A. El Kolli) 359, 366, 433,
437, 595, 645

Эльффер (В. Helffer) 299, 645

Энфло (Р. Enflo) 126, 287, 645

Юдович В. И. 407, 645

Юнг (W. Н. Young) 161, 162

Яковлев Г. Н. 274, 306, 323, 645

Ярошевская (М. Jaroszewska) 159, 645

= Чисельский, — Прим. ред.
алгебраическая кратность собственного
значения 482

аналитическая полугруппа 108

анизотропность 296

аппроксимационное число 124

Ауэрбаха лемма 137

базис топологический 287

— Шаудера 287

безусловный базис Шаудера 287

Бесова пространства 201

бесселевых потенциалов пространства
201

Бесселя преобразование 381

вариационный принцип Куранта 495

весовая функция типа 1 301

-------- 2 302

-------- 3 302

-------- 4 302

весовые пространства Соболева 303

вогнутость 22

Волевича и Панеяха пространства 448

выпуклая линейная комбинация 63

Гёльдера пространства 242, 405

Гильберта соотношения для резольвент
497

голоморфная полугруппа 108

Гординга неравенство 571

граничная задача самосопряженная 488

Грина формула 478

Дирихле система 488

дифференциальная размерность 274

дифференциальный оператор Лежандра

541, 543

-----минимальный 559

-----Трикоми 542, 544—546

дополнительная система операторов 453

дополнительный набор операторов 416
дополняемое подпространство 20, 136
дробная степень оператора 113

Жеврея класс 598

Зигмунда условия 242

идеал операторов 122

изотропность 177, 296

индекс оператора 532

интерполяционная пара 11, 15

----- квазилинеаризуемая 55

— функция степени р 169

интерполяционное пространство 18
интерполяционный функтор 18
----- типа f 19

-----точный 19

----- — ТИпа 6 19

инфинитезимальный (производящий)
оператор полугруппы 84

Йона—Ниренберга пространства 203
категория 16

Като критерий самосопряженности 580
квазибанахов идеал 123
квазибанахово пространство 27
квазилинеаризуемая интерполяцион-
ная пара 55

квазинормированный идеал 123

Киприянова пространства 381
класс Жеврея 598
— Фавара 23
ковариантный функтор 17
композиция 17
конечномерный оператор 123
коретракция 20
корневое условие 416, 452
Коши—Римана оператор 452
критерий Като самосопряженности 580
— Реллиха 556

Кудрявцева пространства 380

Куранта вариационный принцип 495

Куфнера пространства 381

Лебега пространства 201

Лежандра оператор 541, 543

лемма Ауэрбаха 137

линейная независимость по модулю 453

Лиувилля пространства 201
локальное сглаживание 477
локальных карт метод 305
— координат метод 35

Лоренца пространства 154

Мазура теорема 261

Марцинкевича пространства 154

—	теорема 159

метод локальных карт 305

----- координат 305

—	средних 30

—	усреднения Соболева 225, 226

-----Стеклова 225

минимальный дифференциальный опе-
ратор 559

Михлина—Хёрмандера мультиплика-
тор 197

монтелевское пространство 601

Морри пространства 203
морфизм 17

мультипликативные неравенства 224

мультипликатор 195, 196

—	Михлина—Хёрмандера 197

—	Фурье 196

мультипликаторная матрица типа (р, р)

195

накрывает (о наборе операторов) 416
направление минимального роста ре-
зольвенты 489

неравенство Гординга 571

—	Харди—Литтлвуда—Соболева 165

—	Юнга 163

нётеров оператор 479

низлежащее пространство 64

Никольского пространства 201

нормальная система 399, 452
нуль-пространство 53

область класса Ст 300

—	удовлетворяющая условию конуса
300

обобщенная производная в смысле век-
торнозначных обобщенных функций
448

обратная теорема вложения 257, 273

обратное преобразование Фурье 178

объект категории 16

оператор конечномерный 123

—	Коши—Римана 452

—	нётеров 479

—	позитивный 103

—	продолжения 386

—	равномерно эллиптический 452

—	с ненулевым индексом 479

---чисто точечным спектром 493

—	сужения 254

—	существенно самосопряженный 510

—	Трикоми 542, 544—546

—	фредгольмов 479

—	эллиптический 451

—	ядерный 601

отображение на 51

переставленная функция 169

периодические пространства 446

позитивный оператор 103

полугруппа 84

—	аналитическая 108

—	голоморфная 108

—	сильно непрерывная 84

поперечник по Гельфанду 124

---Колмогорову 123

порождающая функция 172

предельный показатель 250

предкомпактное множество 601

преобразование Бесселя 381

—	Фурье 178

примарное пространство 288

принцип локального сглаживания 477

присоединенный вектор 481

—	собственный вектор 482

проектор 20

производная в смысле векторнозначных
обобщенных функций 448

—	сильная 43

—	слабая 43

простая функция 148, 447

пространства Бесова 201

—	бесселевых потенциалов 201

—	Волевича и Панеяха 448

—	Гёльдера 242, 405

—	Йона—Ниренберга 203

—	Киприянова 381

—	Кудрявцева 380

—	Куфнера 381

—	Лебега 201

—	Лиувилля 201

—	Лоренца 154

—	Марцинкевича 154

—	Морри 203

—	Никольского 201

—	с переменным порядком дифферен-
цирования 449

—	Слободецкого 201

—	Соболева 201

---весовые 303

—	Хёрмандера 203, 448

пространство типа (F) 513

—	Фреше 513

прямая теорема вложения 257, 273

Пэли—Винера—Шварца теорема 179,
237

равномерно эллиптический оператор
452

расширение по Фридрихсу 556, 559

регулярно эллиптический набор опера-
торов 454

Реллиха критерий 556

—	теорема 493

ретракция 20

Рисса—Торина теорема 12, 13, 158

рог 411

самосопряженная граничная задача 488

свертка 179

свойство изоморфизма 215

сильная производная 43

сильно непрерывная полугруппа 84
симметрическая нормирующая функ-
ция 172

система Дирихле 488

слабая производная 43
след 245

Слободецкого пространства 201

смешанная норма 380

Соболева метод усреднения 225, 226

— (соболевские) пространства 201

--------весовые 303

собственно эллиптический оператор 416,
451

собственное значение алгебраической
кратности k 482

собственный вектор 482

соотношения Гильберта для резольвент
497

Стеклова метод усреднения 225
существенно самосопряженный опера-
тор 510

теорема вложения 245

--- обратная 257, 273

—	Мазура 261

—	Марцинкевича 159

—	о выпуклости Рисса—Торина 12,
13, 158

---мультипликаторах 190

—	— реитерации 68

--- следах 345, 411

—	об изоморфизме 215

—	Пэли—Винера—Шварца 179, 237

—	Реллиха 493

—	Хаусдорфа—Юнга 13, 161

—	Хилле—Иосиды 85

теоремы типа Джексона 236

---Пэли—Литтлвуда 213—214

топологический базис 287

топологическое дополнение 136

—	линейное пространство 11

Трикоми оператор 542, 544—546

условие конуса 300, 390

—	эллиптичности 545

условия Зигмунда 242

Фавара класс 23

формула Грина 478

фредгольмов оператор 479

функтор 17

функпия (сферического) экспоненци-

ального типа t 237

Фурье мультипликатор 196

— преобразование 178

Харди—Литтлвуда—Соболева неравен-
ство 165

Хаусдорфа—Юнга теорема 13, 161

Хёрмандера пространства 203, 448

Хилле—Иосиды теорема 85

число изоморфизма 125

Шаудера базис 287

шкала 170, 418

— двусторонняя 418

— односторонняя 418

экспоненциальный тип 237

эллиптический оператор 451

Юнга неравенство 163

ядерное пространство 601

ядерный оператор 601

ядро оператора 53

А-аналитическая функция 60

J-метод 38

К-метод 22

/С-функционал 22

К*-функционал 27

L-метод 27

L*-функционал 27

Q-идеал 123

r-банахово пространство 175

s-число 124, 172

Е-энтропия 123

Ф-оператор 479
ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора перевода и переводчиков ................................ 5

Предисловие к русскому изданию....................................... 7

Предисловие ......................................................... 8

1. Теория интерполяции в банаховых пространствах....................... 11

1.1.	Введение .................................................... П

1.1.1.	Абстрактная теория интерполяции............................. 11

1.1.2.	Конкретные интерполяционные теоремы......................... 12

1.1.3.	Замечания о структуре первой главы.......................... 14

1.2.	Общие интерполяционные методы............................... 15

1.2.1.	Интерполяционные пары....................................... 15

1.2.2.	Интерполяционные функторы................................... 16

1.2.3.	AoPAj и Ао+А! как интерполяционные пространства...........	20

1.2.4.	Ретракции и коретракции..................................... 20

1.3.	К-метод..................................................... 22

1.3.1.	К-функционал ............................................... 22

1.3.2.	Пространства (Ао, AJo,^..................................... 23

1.3.3.	Свойства пространств (Ао, AJe,^............................. 24

1.4.	L-метод..................................................... 27

1.4.1.	К*- и £*-функционалы ....................................... 27

1.4.2.	Эквивалентность К- и L-методов.............................. 28

1.5.	Метод средних............................................... 30

1.5.1.	Предварительные замечания................................... 30

1.5.2.	Первая теорема об эквивалентности........................... 33

1.5.3.	Вторая теорема об эквивалентности........................... 35

1.6.	J-метод .................................................... 38

1.6.1.	Теорема об эквивалентности.................................. 38

1.6.2.	Плотность AoAAi в (Ао, AJe.p................................ 39

1.7.	Дискретные методы .......................................... 40

1.8.	Метод следов................................................ 42

1,8.1.	Пространства (р0, т)0> А; Pv Л1) и 7 7(ро’ V
Ло; Pi, Ль А)...................................................   42

1.8.2.	Теорема об эквивалентности................................. 4b

1.8.3.	Теорема вложения........................................... 51

1.8.4.	Квазилинеаризуемые	интерполяционные пары................... 54

1.8.5.	Обобщение теоремы	вложения	1.8.3........................ 56

1.9.	Комплексные методы......................................... 59

1.9.1.	Пространства F(A0, Alf у) и Г_(А0, А1Г у)..................... 60

1.9.2.	Пространства [Ао, AJe, [Ао, Л1]е,\ и Mo, Ale, у,- ............ 83

1.9.3.	Свойства пространств [Ао, Ale • •............................. 84

1.10.	Теорема о реитерации.......................................... 67

1.10.1.	Классы К (0, Ло, АО и J (0, Ао, AJ ...........'............... 67

1.10.2.	Теорема о реитерации.......................................... 68

1.10.3.	Комплексный метод и теорема	о	реитерации................... 70

1.11.	Теория двойственности......................................... 74

1.11.1.	Сопряженное к 1р(А) ........................................

1.11.2,	Теория двойственности	для	вещественного	метода............... 76
1.11.3.	Теория двойственности для комплексного метода........... 79

1.12.	Теория интерполяции для квазилинеаризуемых интерполяцион-
ных пар......................................................... 80

1.12.1.	Одна общая интерполяционная теорема..................... 81

1.12.2.	Обобщение интерполяционной теоремы 1.12.1............... 82

1.13.	Полугруппы операторов и интерполяционные пространства	...	83

1.13.1.	Полугруппы операторов......................................... 84

1.13.2.	Пространства (A, D(Am))e>p [Часть I] ......................... 85

1.13.3.	Пространства Кт............................................... 90

1.13.4.	Свойства пространств Кт....................................... 92

1.13.5.	Пространства (Л, D(Am))Q,p [Часть II]......................... 97

1.13.6.	Пространства (Л, Кт)в,р....................................... 98

1.14.	Позитивные операторы и интерполяционные пространства	.	.	.	103

1.14.1.	Позитивные операторы......................................... 103

1.14.2.	Пространства (Л, D(Am))Q>p .................................. 103

1.14.3.	Эквивалентные нормы в пространствах (Л, D(Am))Q,p ........... 106

/	/ tn Д \

1.14.4.	Пространства (Л, Q £)(А. Л) ................................. 107

\ f = i	/6,р

1.14.5.	Аналитические полугруппы и интерполяционные пространства	108

1.15.	Дробные степени позитивных операторов и интерполяционные
пространства ....................................................... 111

1.15.1.	Дробные степени позитивных операторов........................ 112

1.15.2.	Свойства дробных степеней позитивных операторов.............. 114

1.15.3.	Области определения дробных степеней позитивных	операторов 117

1.15.4.	Теоремы о реитерации......................................... 120

/ ОС *\ \

Л, р| D (AJ) |	........................... 121

/=1	/9’Р

1.16.	Интерполяционные свойства энтропийных идеалов и поперечни-
ковых идеалов ................................................... 122

1.16.1.	Энтропийные идеалы и поперечниковые идеалы ............... 122

1.16.2.	Интерполяционные свойства	энтропийных идеалов............. 129

1.16.3.	Интерполяционные свойства	поперечниковых идеалов.......... 133

1.16.4.	Интерполяционные свойства	компактных операторов........... 135

1.17.	Интерполяция подпространств и факторпространств........... 136

1.17.1.	Интерполяция подпространств .............................. 136

1.17.2.	Интерполяция факторпространств............................ 138

1.18.	Примеры и приложения...................................... 139

1.18.1.	Интерполяция пространств lp(Aj)........................... 139

1.18.2.	Интерполяция пространств /°(Л)............................ 143

1.18.3.	Интерполяция пространств 1р(А) ........................... 145

1.18.4.	Интерполяция пространств Lp(A) ........................... 148

1.18.5.	Интерполяция пространств Lp,w (х) (А)................... 151

1.18.6.	Интерполяция пространств Lp(A). Пространства	Лоренца . . .	153

1.18.7.	Классические интерполяционные теоремы..................... 157

1.18.8.	Теорема Хаусдорфа —Юнга................................... 161

1.18.9.	Свертки в Rn.............................................. 162

1.18.10.	Самосопряженные операторы и теория	интерполяции..... 165

1.19.	Дополнения................................................ 167

1.19.1.	Другие интерполяционные методы в	банаховых пространствах 168

1.19.2.	Интерполяционные функции ................................. 168

1.19.3.	Интерполяционные пространства для	и для общих

интерполяционных пар....................................... 169

1.19.4.	Интерполяционные шкалы.................................... 170

1.19,5.	Интерполяционные свойства билинейных форм................. 170
1.19.6.	Абстрактные теоремы вложения для интерполяционных прост-
ранств .........................................................   171

1.19.7.	Теория интерполяции для	нормированных	идеалов	в	гильберто-
вых пространствах 	 171

1.19.8.	Теория интерполяции для	квазинормированных	идеалов	в	бана-
ховых пространствах 	 173

1.19.9.	Некоммутативная интерполяция ............................. 174

1.19.10.	Интерполяционные /г-ки........................................... 174

1.19.11.	Теория интерполяции в общих пространствах, нелинейная тео-
рия интерполяции.................................................. 175

1.19.12.	Приложения .............................................. 175

2.	Невесовые пространства Лебега—Бесова	в	/?л	и	Rn.	177

2.1.	Введение .................................................. 177

2.2.	Интегральные операторы и мультипликаторы	Фурье............. 178

2.2.1.	Обобщенные функции......................................... 178

2.2.2.	Свойства отображений, осуществляемых	интегральными операто-
рами 	 179

2.2.3.	Сингулярные интегральные операторы......................... 185

2.2.4.	Теорема о мультипликаторах................................. 190

2.3.	Пространства В’Д7?„),	и Wsp(Rn)........	199

2.3.1.	Определения................................................ 199

2.3.2.	Пространства Bspq(Rn) nFspq(Rn)............................ 204

2.3.3.	Пространства Нр (Rn)....................................... 211

2.3.4.	Свойство изоморфизма....................................... 215

2.4.	Теория интерполяции для пространств Bs q (Rn) uFSp,q(Rn)

2.4.1.	Интерполяция пространств Bsp q (Rn)........................ 216

2.4.2.	Интерполяция пространств Fspq(Rn).......................... 220

2.5.	Эквивалентные нормы в пространствах Вр	(R^....... 224

2.5.1.	Эквивалентные нормы и группы сдвигов....................... 224

2.5.2.	Эквивалентные нормы и полугруппы Гаусса —Вейерштрасса . . .	228

2.5.3.	Эквивалентные нормы и полугруппы Коши —Пуассона............ 231

2.5.4	Эквивалентные нормы и аппроксимация........................ 236

2.6.	Теория двойственности для пространств Bsp	q (R^ и F* (7?л)	^39

2.6.1.	Сопряженные к	и Hp(Rn).......................... 239

2.6.	\	Сопряженное к Fspq(Rn)..................................... 241

2.7.	Пространства Гёльдера Cz (Rn).............................. 241

2.7.1.	Определение пространств Гёльдера........................... 242

2.7.2.	Интерполяция и эквивалентные нормы......................... 243

2.8.	Теоремы вложения разных метрик............................. 245

2.8.1	Теорема вложения........................................... 245

2.8.2	Другие доказательства теоремы 2.8.1(a)..................... 251

2.9.	Прямые и обратные теоремы вложения (теоремы о	следах) . . .	253

2.9.1.	Прямые и обратные теоремы вложения для пространств Собо-
лева (l = n— 1.).................................................. 253

2.9.2.	Пространства |о (Rn) и Wm а (/?+) ......................... 258

I Ш	р,хп

2.9.3.	Прямые и обратные теоремы вложения для пространств Лебега —
Бесова (1 = п—1).................................................. 264

2.9.4.	Прямые и обратные теоремы вложения для пространств Лебега —
Бесова (общий случай)............................................. 271
2.10.	Пространства Нр (/?+) и Bspq(Rty................................ 276

2.10.1.	Интерполяция пространств Hsp (7?+) и	........... 276

2.10.2.	Теория двойственности [Часть I] ............................... 276

2.10.3.	Свойство изоморфизма........................................... 281

2.10.4.	Интерполяция пространств (/?+), ^(7?+),	и

........................................’......... 284

2.10.5.	Теория двойственности [Часть II]......................... 286

2.11.	Структурная теория........................................ 287

2.11.1.	Предварительные замечания (свойства пространств	Lp	и	1р)	.	.	.	287

2.11.2.	Структура пространств Н^р и В* q .............................. 288

2.11.3.	Структура пространств Hsp(R^), Hsp(R+), Bsp Q (R+)	и	Bsp	q	(R+)	293

2.12.	Несовпадение пространств Bsp 4(Rn) и //*(/?„)............. 294

2.13.	Анизотропные пространства................................. 296

2.13.1.	Определения ................................................... 297

2.13.2.	Интерполяционная теорема................................. 298

3.	Весовые пространства Лебега — Бесова в областях	............... 299

3.1.	Введение........................................................ 299

3.2.	Определения и основные свойства весовых	пространств........	300

3.2.1.	Пространства W™ (Й; о).......................................... 303

3.2.2.	Свойства пространств W™ (Й; о) ................................. 306

3.2.3.	Пространства Вр q (й; рц; pv) и Hsp(Q‘, ри;	pv)................. 309

3.2.4.	Свойства пространств Вр q (й; р^; pv) и	(й; р^1;	pv) .......... 317

3.2.5.	Эквивалентные нормы и компактные вложения в W™ (Й)
[Часть I].......................................................... 318

3.2.6.	Пространства W*p (й; р^; pv) с v<p + sp......................... 327

3.3.	Теория интерполяции для пространств W™ (Й; о)................... 328

3.3.1.	Пространства	№^(Й;	о)	с	весовыми	функциями	типа	1......

3.3.2.	Пространства	W™ (Й;	о)	с	весовыми	функциями	типа	2........... 330

3.3.3.	Пространства	W™ (Й;	о)	с	весовыми	функциями	типа	3........... 333

3.3.4.	Пространства	W™ (Й;	о)	с	весовыми	функциями	типа	4........... 336

3.4.	Теория интерполяции для пространств Bsp, (й; р^; pv)

и Hsp (й; р^; pv)............................’.................. 337

3.4.1.	Подготовительная лемма.......................................... 337

3.4.2.	Интерполяционная теорема ....................................... 339

3.4.3.	Интерполяция пространств (й; р^; pv) с v<p + sp................. 342

3.5.	Теоремы вложения разных метрик.................................. 343

3.5.1.	Пространства Вр, г (й; рц; pv) и Hsp (й; р^;	pv)................ 343

3.5.2.	Пространства Wsp (й; р^; pv) с v<p + sp	...................... 344

3.6.	Прямые и обратные теоремы вложения (теоремы о следах) . . .	345

3.6.1.	Прямые	и	обратные	теоремы	вложения	для	пространств

№™(й; da(x), ..................................................  345

3.6.2.	Прямые	и	обратные	теоремы	вложения	для	пространств

................................................ 348
3.6.8.	Прямые и обратные теоремы вложения для пространств
Bsp q (Q; d“(x)) .................................................. 352

3.6.4.	Прямые и обратные теоремы вложения для пространств

К (Rn> °)- Wp № °). Sp. q <Rn' °) и Bsp, q(R+n; a)......... 353

3.7.	Структурная теория	..................................................... 358

3.8.	Операторы вложения	и поперечники....................................... 359

3.8.1.	Эквивалентные нормы и компактные вложения в W™ (й)
[Часть II]......................................................... 360

3.8.2.	Компактные вложения (й; ри; рц+тр) в Lp(Q; pv) ........................... 363

3.8.3.	Компактные вложения Wp (й; ри; ри+5р) в	Lq (й; pv)..	366

3.9.	Пространства wsp, ц (/?Л)................................................. 369

3.9.1.	Определение. Эквивалентные нормы.......................................... 370

3.9.2.	Теория интерполяции ...................................................... 374

3.9.3.	Прямые и обратные теоремы вложения (теоремы о следах) . . .	375

3.9.4.	Структурная теория........................................................ 378

3.10.	Дополнения ............................................................... 378

3.10.1.	Пространства с весами p(x)~dK(x) ........................................ 379

3.10.2.	Пространства со смешанной нормой......................................... 380

3.10.3.	Пространства Кудрявцева и их обобщения................................... 380

3.10.4.	Пространства Киприянова.................................................. 381

3.10.5.	Пространства Куфнера..................................................... 381

3.10.6.	Один аксиоматически определенный класс	весовых пространств 382

4.	Невесовые пространства Лебега — Бесова в	областях.................. 383

4.1.	Введение.................................................................. 383

4.2.	Определения. Теоремы продолжения.......................................... 383

4.2.1.	Определения............................................................... 384

4.2.2.	Первый метод продолжения.................................................. 385

4.2.3.	Второй метод продолжения.................................................. 386

4.2.4.	Эквивалентные нормы в №рп(Й).............................................. 393

4.3.	Теория интерполяции....................................................... 394

4.3.1.	Пространства Bsp q (й) и Hsp (й).......................................... 394

4.3.2.	Пространства Bsp q(&), Bsp q(G), Hsp (Q) и Hsp(Q)......................... 395

4.3.3.	Пространства Вр, (й) и |Вд(Й)............................................. 398

4.4.	Эквивалентные нормы в пространствах Соболева — Бесова ....	400

4.4.1.	Пространства Соболева — Бесова в областях, удовлетворяющих
условию конуса..................................................... 400

4.4.2.	Пространства Соболева— Бесова в ограниченных	областях	.	.	.	403

4.5.	Пространства Гёльдера (й)............................................ 405

4.5.1.	Определение и теорема продолжения.................................... 405

4.5.2.	Интерполяция и эквивалентные нормы................................... 406

4.6.	Теоремы вложения разных метрик. Соотношения включения	.	.	.	408

4.6.1.	Теоремы вложения для произвольных областей........................... 408

4.6.2.	Теоремы вложения для ограниченных областей........................... 409

4.7.	Прямые	и	обратные	теоремы	вложения	(теоремы о	следах) ...	411

4.7.1.	Прямые	и	обратные	теоремы	вложения	(1 — п— 1)................ 411

4.7.2.	Прямые	и	обратные	теоремы	вложения	(общий случай) ........... 413

4.8.	Теория	двойственности..................................................... 414

4.8.1.	Сопряженные к Bsp q (й) и Hsp (й).....................  .	414

4.8.2.	Сопряженные к Bsp q (Й) и Нр (Й) ........................	414
4.9.	Структурная теория............................................ 415

4.9.1.	Эллиптические граничные задачи........................ 415

4.9.2.	Шкалы................................................. 418

4.9.3.	Свойства изоморфизма.................................. 420

4.9.4.	Базисы Шаудера........................................ 422

4.10.	Качественные характеристики операторов вложения....... 429

4.10.1.	Операторы вложения для ограниченных областей, удовлетворяю-
щих условию конуса (аппроксимационные числа, поперечники)	430

4.10.2.	Операторы вложения для ограниченных областей класса С°°
(аппроксимационные числа, поперечники)...................... 434

4.10.3.	Операторы вложения в ограниченных областях (8-энтропия)	.	.	.	443

4.11.	Дополнения ................................................... 445

4.11.1.	«Периодические» пространства......................... 446

4.11.2.	Пространства с доминирующими смешанными производными	.	.	.	447

4.11.3.	Пространства абстрактных функций..................... 447

4.11.4.	Пространства Хёрмандера и пространства Волевича и Панеяха	448

4.11.5.	Пространства с переменным порядком дифференцирования	.	.	.	449

5.	Регулярные эллиптические	дифференциальные	операторы.......	450

5.1.	Введение................................................... 450

5.2.	Регулярные эллиптические	дифференциальные	операторы.......	450

5.2.1.	Определения................................................ 450

5.2.2.	Эллиптические операторы.................................... 455

5.2.3.	Регулярные эллиптические задачи в /?+...................... 457

5.3.	Априорные оценки........................................... 460

5.3.1.	Пространства Я*’г (/?*).................................... 461

5.3.2.	Априорные оценки [Часть I. постоянные коэффициенты,
задача Дирихле]................................................... 463

5.3.3.	Априорные оценки [Часть IL R+, постоянные коэффициенты,
общая граничная задача]........................................... 467

5.3.4.	Априорные оценки [Часть III. Ограниченная область, перемен-
ные коэффициенты, общая граничная задача] ........................ 470

5.4.	Lp-теория в пространствах Соболева......................... 474

5.4.1.	Свойства гладкости ........................................ 474

5.4.2.	Сопряженные операторы (Ь2-теория).......................... 477

5.4.3.	Основная теорема Бр-теории в пространствах Соболева........ 479

5.4.4.	Операторы Ар............................................... 481

5.4.5.	Операторы ................................................. 486

5.4.6.	Дополнения................................................. 487

5.5.	Граничные задачи [Часть I]................................. 489

5.5.1.	Однородные граничные задачи................................ 490

5.5.2.	Неоднородные граничные задачи.............................. 491

5.6.	Распределение собственных значений. Собственные и присоединен-
ные векторы. Функции Грина........................................ 492

5.6.1.	Распределение собственных значений. Собственные и присоединен-
ные векторы в гильбертовом пространстве........................... 493

5.6.2.	Распределение собственных значений самосопряженных эллипти-
ческих дифференциальных операторов................................ 498

5.6.3.	Собственные и присоединенные векторы эллиптических диффе-
ренциальных операторов ........................................... 499

5.6.4.	Функции Грина эллиптических дифференциальных операторов 500

5.7.	Граничные задачи [Часть II]................................ 504

5.7.1.	Невесовые пространства Лебега — Бесова..................... 504

5.7.2.	Весовые пространства Соболева — Бесова..................... 506

5.7.3.	Пространства Гёльдера...................................... 509
6.	Сильно вырождающиеся эллиптические дифференциальные опера-
торы ............................................................. 510

6.1.	Введение.................................................... 510

6.2.	Определения и предварительные рассмотрения.................. 510

6.2.1.	Определения................................................. 510

6.2.2.	Степени сильно вырождающихся эллиптических дрфференциаль-

ных операторов ............................................. 513

6.2.3.	Свойства пространств Sp(X) (Q).............................. 516

6.3.	Априорные оценки ........................................... 516

6.3.1.	Эквивалентные нормы в пространствах (Q; ри; pv)............	516

6.3.2.	Априорные оценки............................................ 517

6.4.	Л2-теория для оператора — A + pv(x), v>2.................... 521

6.4.1.	Самосопряженность........................................... 521

6.4.2.	Собственные функции......................................... 524

6.4.3.	Области определения дробных степеней. Изоморфизмы........... 525

6.5.	Lp-теория................................................... 527

6.5.1.	Априорные оценки (обобщение теоремы 6.3.2).................. 527

6.5.2.	Теоремы об изоморфизме...................................... 529

6.6.	Распределение собственных значений. Собственные и	присоединен-
ные векторы. Функции Грина	 532

6.6.1.	Распределение собственных значений и области	определения дроб-
ных степеней	 532

6.6.2.	Собственные и присоединенные векторы........................ 536

6.6.3.	Функции Грина............................................... 538

7.	Дифференциальные операторы Лежандра и Трикоми.......... 541

7.1.	Введение............................................... 541

7.2.	Определения............................................ 543

7.2.1.	Дифференциальные операторы Лежандра................... 543

7.2.2.	Дифференциальные операторы Трикоми.................... 544

7.3.	Неравенства, эквивалентные нормы и изоморфизмы......... 547

7.3.1.	Интегральные неравенства [Часть I].................... 547

7.3.2.	Свойства пространств W™ ((я, Ь), ра) ....................... 551

7.3.3.	Отображения в W™ ((а, Ь), ра) .............................. 554

7.4.	Самосопряженные дифференциальные операторы Лежандра . .	.	556

7.4.1.	Самосопряженные и положительно-определенные операторы . .	.	556

7.4.2.	Минимальный оператор Ат> ................................... 559

7.4.3.	Области определения операторов	Z = 0, 1, 2,........... 560

7.4.4.	Пространства Сд z ((а, Ь))............................ 562

7.5.	Несамосопряженные дифференциальные операторы Лежандра .	.	566

7.5.1.	Собственные и присоединенные векторы операторов Bm,k	• • •	•	566

7.5.2.	Изоморфизмы ................................................ 567

7.6.	Дифференциальные операторы Трикоми .......................... 569

7.6.1.	Эллиптические дифференциальные операторы на компактных мно-
гообразиях класса С°°........................................ 570

7.6.2.	Интегральные неравенства [Часть II]................... 572

7.6.3.	Самосопряженные дифференциальные операторы Трикоми пер-
вого типа.................................................... 577

7.6.4.	Несамосопряженные дифференциальные операторы Трикоми пер-
вого типа.................................................... 581

7.6.5.	Пространства	  582
7.6.6.	Дифференциальные операторы Трикоми второго типа .......

7.7.	Области определения дробных степеней ..................

7.7.1.	Дифференциальные операторы Лежандра (случай m = k=l) . . .

7.7.2.	Дифференциальные операторы Лежандра (общий случай) . . . .

7.7.3.	Дифференциальные операторы Трикоми первого типа .......

7.8.	Распределение собственных значений. Функции Грина......

7.8.1.	Дифференциальные операторы Лежандра....................

7.8.2.	Дифференциальные операторы Трикоми первого типа .......

7.8.3.	Дифференциальные операторы Трикоми второго типа........

7.9.	Дополнения ............................................

7.9.1.	Граничные задачи для вырождающихся эллиптических диффе-
ренциальных операторов .......................................

7.9.2.	Дифференциальные операторы Трикоми, аналитические функции
и функции классов Жеврея......................................

7.9.3.	Другие типы вырождающихся эллиптических дифференциальных
уравнений ....................................................

584

585

585

590

590

591

591

593

594

596

596

597

598

8.	Ядерные функциональные пространства.......................... 600

8.1.	Введение..................................................... 600

8.2.	Пространства D (А00)......................................... 600

8.2.1.	Ядерные (F)-npocTpaHCTBa .................................... 600

8.2.2.	Структура пространств D(A°°) ................................ 602

8.3.	Структура ядерных функциональных	пространств................. 605

8.3.1.	Общая структурная теорема.................................... 605

8.3.2.	Пространства Sp^fQ) и С^° (Q)................................ 606

8.3.3.	Пространства	и С°° (Q)............................... 607

Литература......................................................... 609

Указатель обозначений.............................................. 646

Именной указатель.................................................. 649

Предметный указатель............................................... 654

X. Трибель
ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИИ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Старший научный редактор В. И. Авербух. Младший научный редактор Т. А. Фатнева
Художник В. В. Кошм ин. Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Н. Д. Толстякова. Корректор В. И. Киселева

ИБ № 1713

Сдано в набор 17.09.79. Подписано к печати 24.03.80. Формат 60Х90'/1б. Бумага типограф-
ская № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 20,_75 бум. л. Усл. печ. л.

41,50. Уч.-изд. л. 39,34. Изд. № 1/9991. Тираж 8000 экз. Зак.640 Цена 3 р. 50 к.

Издательство «Мир»

129820, Москва, И-НО, ГСП. 1-й Рижский пер., 2.

Набрано в ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленин-
градском производственно-техническом объединении «Печатный Двор» имени А. М. Горь-
кого «Союзполиграфпрома» при Государственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли.

197136, Ленинград, П-136, Чкаловский просп., 15.

Отпечатано с матриц в ленинградской типографии № 2 головном предприятии ордена
Трудового Красного Знамени Ленинградском объединении «Техническая книга» им. Ев-
гении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли.

198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.