Text
^НО 1968 г.
Г. М. КОНДРАТЬЕВ
регулярный
ТЕПЛОВОЙ РЕЖИМ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1954
13-5-4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................................................... 9
Важнейшие обозначения......................................... 13
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
ТЕОРИЯ
Глава 1. Охлаждение однородного и изотропного тела
§ 1. Об охлаждении и нагревании твердых тел. Постановка задачи 15
§ 2. Простейший случай охлаждения тел.......................... 16
§ 3. Основные уравнения........................................ 17
§ 4. Нахождение общего интеграла уравнения Фурье............... 22
§ 5. Определение регулярного теплового режима. Свойства коэф-
фициента т............................................. 26
§ 6. Критерий Ч?.......................................... 29
§ 7. Критерии р и С....................................... 33
§ 8. Связь между критериями р, С и ’Г. Теорема Кондратьева ... 36
§ 9. Резюме полученных результатов и их наглядная интерпретация 40
Глава II. Регулярный режим тел простейшей формы
§ 1. Постановка задачи......................................... 45
§ 2. Регулярный режим пластинки, цилиндра и шара............... 47
§ 3. Приближенные формулы...................................... 50
Глава III. Регулярный режим некоторых тел правильной формы
§ 1. Вывод основных формул для цилиндра конечной длины .... 54
§ 2. Практическое решение основных расчетных уравнений и со-
ставление таблиц для цилиндра и диска..................... 57
§ 3. Физический смысл приближенных формул и графиков для ци-
линдра ................................................... 65
§ 4. Вывод основных формул для регулярного режима прямоуголь-
ного параллелепипеда...................................... 68
§ 5. Частные случаи прямоугольного параллелепипеда и приближен-
ное решение расчетных уравнений........................... 73
§ 6. Наглядная интерпретация приближенных формул для частных
случаев прямоугольного параллелепипеда.................... 82
§ 7. Регулярный режим правильных тел сложной формы........ 83
Глава IV. Регулярный режим однородного и изотропного тела
любой формы
А. Случай весьма больших значений критерия С. Коэффициент формы
§ 1. Сплошные тела правильной формы............................ 90
§ 2. Полые тела............................................... 92
1*
4
оглАвлейий
§ 3. Определение методом моделирования коэффициента формы Тел
сложных и неправильных очертаний............................. 95
Б. Приближенное решение методом моделирования задачи о регу-
лярном режиме тела любой формы при конечных значениях кри-
терия Z
§ 4. Относительный критерий темпа охлаждения 5 и его связь
с критерием Ф................................................ 99
§ 5. Приближенное изображение регулярного режима при помощи
критериальных величин $ и т].................................104
§ 6. Решение задачи о регулярном режиме при помощи критериев
р и С........................................................106
Глава V. Обобщение основных положений теории регулярного
режима на случай составного тела (системы)
§ 1. Основная теорема о регулярном режиме системы............107
§ 2. Общий метод аналитического решения задачи о регулярном ре-
жиме системы................................................ 109
Глава VI. Регулярный режим двухсоставных тел из ядра и обо-
лочки
§ 1. Ядро в тонкой оболочке................................. 114
§ 2. Аналитическое выражение закона сохранения энергии для
двухсоставного тела..........................................121
§ 3. Регулярный режим ядра из теплоизолятора, заключенного в ме-
талл ............................................... • ... 122
§ 4. Регулярный режим ядра из металла, заключенного в теплоизо-
лятор .......................................................125
§ 5. Двухсоставные тела простейшей формы симметричной струк-
туры ........................................................126
§ 6. Регулярный режим симметричной двухсоставной пластинки и
шара, ядро которых во много раз теплопроводнее оболочки . . 129
§ 7. Регулярный режим бесконечно длинного двух составного ци-
линдра с металлическим сердечником и оболочкой из теплоизо-
лятора ......................................................130
§ 8. Описание некоторых частных случаев регулярного режима
двухсоставных тел при помощи критериальных величин Б, .Ж, П 133
§ 9. Некоторые частные случаи регулярного режима трехсоставных
тел..........................................................138
Глава VII. Дополнения к теории регулярного режима
§ 1. Иррегулярный режим......................................142
§ 2. О тепловых потерях во время регулярного режима........ 151
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
ТЕПЛООБМЕН С ВНЕШНЕЙ СРЕДОЙ И ТЕПЛОВЫЕ РАСЧЕТЫ
Глава VIII. Физический смысл основных предпосылок теории
регулярного режима
§1.0 законе Фурье..........................................155
§ 2. О законе охлаждения Ньютона.............................158
§ 3. Коэффициент теплопроводности как техническая характери-
стика материала..............................................160
§ 4. Терминология и обозначения..............................161
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Глава IX. Тепловые расчеты
§ 1. Постоянная отставания (константа термической инерции) и
время охлаждения или нагревания системы.....................162
§ 2. Расчет теплоизоляционной оболочки объекта без внутренних
источников тепла .......................................... 163
§ 3. Влияние формы и размеров простого тела на скорость его
охлаждения или нагревания...................................166
§ 4. Исследование закалки стали как пример приложения теории
регулярного режима..........................................170
Г л а в а X. Экспериментальное определение темпа регулярного
охлаждения т
§ 1. Схема определения т. Измерение времени.................176
§ 2. Измерение температур (первый вариант)..................177
§ 3. Измерение посредством дифференциальной термопары (второй
вариант)....................................................179
Глава XI. Определение коэффициентов теплоотдачи. Альфака-
лориметры
§ 1. Применение теории регулярного режима однородного и изо-
тропного тела...............................................183
§ 2. Применение теории регулярного режима двухсоставных тел . . 185
§ 3. Альфакалориметр Кирпичева — Кондратьева................187
§ 4. Перспективы применения альфакалориметров ..............191
§ 5. О приборах аналогичного типа...........................192
§ 6. Критика метода.........................................193
Глава XII. Определение коэффициента лучеиспускательной
способности технических поверхностей на основе
теории регулярного режима
§ 1. Теоретическое обоснование методики.................... 195
§ 2. Описание опытной установки.............................199
§ 3. Испытание камеры спокойного воздуха....................202
§ 4. Ведение опыта..........................................204
§ 5. Обработка опытных данных. Выбор нормального покрытия . . 206
§ 6. Результаты некоторых опытов, их критика и выводы.......207
Глава XIII. Универсальный метод определения константы тер-
мической инерции термометров и пирометров
§ 1. Постановка вопроса. Отставание термометра и его термическая
инерция................................................... 211
§ 2. Анализ понятия о константе термической инерции на основе
теории регулярного режима и физическое обоснование нового
метода ее экспериментального определения.................214
§ 3. Метод определения константы термической инерции........218
§ 4. Критика метода.........................................221
§ 5. О термической инерции эталонных платиновых термометров
сопротивления...............................................223
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ
Глава XIV. Первый метод регулярного режима
§ 1. Теория первого метода и его экспериментальное осуществле-
ние. Термостаты, Акалориметры...............................230
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Основные элементы аппаратуры. Ведение опыта и обработка
опытных данных................................................235
§ 3. Источники ошибок.237
-§ 4. Подготовка образца к испытанию............................................................................................240
§ 5. Замечания об анализе результатов испытания................................................................................241
' § 6. Определение теплопроводности X на основании результатов
измерения температуропроводности ............................ 242
• § 7. О некоторых сравнительных испытаниях с помощью акалори-
метра....................................................245
§ 8. Размеры и форма простейших акалориметров...........................................246
§ 9. Трубчатый акалориметр.............................................—
§ 10. Калибровка акалориметров....................................................................................................252
§ 11. Цилиндрический акалориметр с открытым верхним концом.
Теория......................................................................................................................256
§ 12. Поправка на оболочку........................................................................................................260
§ 13. Экспериментальная проверка теории...........................................................................................263
Глава XV. Второй метод регулярного режима. Ламбдакалори-
метр
§ 1. Первый вариант метода п его экспериментальное осуществле-
ние ..........................................................267
§ 2. Определение коэффициента теплоотдачи а.....................................................................................270
§ 3. Основные элементы аппаратуры. Ведение опыта................................................................................273
§ 4. Расчетные формулы для ламбдакалориметров без оболочки . . 274
§ 5. Расчетные формулы для ламбдакалориметров в металлической
оболочке......................................................279
§ 6. Примеры применения метода ламбдакалориметра.......................................281
§ 7. Оформление ламбдакалориметров; их калибровка. Примеры . . 287
§ 8. Техника эксперимента. Источники ошибок.290
§ 9. О применении критерия Ч’ к определению удельной теплоем-
кости теплоизоляторов (второй вариант второго метода регу-
лярного режима)...............................................292
§ 10. Определение теплопроводности теплоизолятора, удельная те-
плоемкость которого известна, посредством второго метода
регулярного режима............................................294
Глава XVI. Третий метод регулярного режима (метод двух
точек)
§ 1. Теория метода двух точек....................................................................................................296
§ 2. Расчетные формулы метода двух точек применительно к трем
основным телам простейшей формы...............................297
§ 3. О возможности применения относительного критерия $ в ме-
тоде двух точек............................................. 299
§ 4. Теория метода двух точек для ограниченного цилиндра и диска 302
§ 5. Теория метода двух точек для прямоугольного параллелепи-
педа .........................................................304
§ 6. Экспериментальная разработка метода двух точек..............................................................................305
§ 7. Примеры приложения метода двух точек........................................................................................308
Глава XVII. Микрокалориметр регулярного охлаждения
§ 1. Идея метода.................................................................................................................319
§ 2. Цилиндрический микрокалориметр. Теория и расчетные фор-
мулы .........................................................320
§ 3. Выбор размеров микрокалориметра и условий охлаждения . . 321
§ 4. Описание цилиндрического микрокалориметра...................................................................................323
§ 5. Калибровка микрокалориметра и ведение опыта ................................................................................324
§ 6. Результаты опытов. Заключение............................................................................................. 325
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
Глава XVIII. Взаимная связь между различными методами регу-
лярного режима
§ 1. Связь между акалориметром, ламбдакалориметром и микро-
калориметром ............................................. 328
§ 2. Связь между первым, вторым и третьим методами..........329
Глава XIX. Определение тепловых сопротивлений тонких слоев
посредством бикалориметра, имеющего ядро любой
формы
§ 1. О тепловых величинах, характеризующих теплоизолирующие
свойства слоев.............................................333
§ 2. Идея метода и его расчетные формулы...................337
§ 3. Экспериментальное осуществление метода бикалориметра при
а = оо.................................................. . 338
Глава XX. Исследование методом бикалориметра теплозащит-
ных свойств тканей одежды и тканьевых пакетов
§ 1. Особенности измерений, зависящие от характера теплообмена
одетого тела с окружающей (газовой) средой и от свойств
тканей.................•...................................340
§ 2. Идея метода и реализация бикалориметра для измерения теп-
лозащитной способности текстильных материалов и одежды . . 342
§ 3. Замечания о физическом смысле результатов измерений тепло-
вых свойств тканей. О радиационной константе тканей .... 343
Глава XXI. Шаровой и плоский бикалориметры
А. Шаровой бикалориметр при бесконечном альфа
§ 1. Теория метода „шар в шаре".............................348
§ 2. Конструкция шарового бикалориметра.....................352
Б. Плоский бикалориметр при бесконечном альфа
§ 3. Идея метода плоского бикалориметра.....................355
§ 4. Конструкция плоского бикалориметра симметричного типа . . 358
В. Определение тепловых сопротивлений плоских слоев теплоизо-
ляторов посредством плоского бикалориметра при условиях
конечного альфа
§ 5. Идея метода и расчетные формулы........................362
§ 6. Реализация метода и проверочные опыты..................365
§ 7. Перспективы применения нового метода...................367
Г. Определение удельной теплоемкости твердых тел посредством
бикалориметра
§ 8. Идея метода и расчетные формулы . .....................369
§ 9. Осуществление метода и схемы приборов................ 371
Глава XXII. О применении методов регулярного режима к опре-
^..делению температуропроводности металлов
§1.0 применении первого метода регулярного режима........376
§ 2. О применении метода двух точек ..................... 379
§ 3. Практические выводы из предыдущего. Некоторые замечания
о технике эксперимента ................................... 381
§ 4. Экспериментальная разработка метода двух точек для метал-
лов .................................•.....................382
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XXIII. Определение коэффициентов теплопроводности
жидкостей на основе теории регулярного режима
§ 1. Идея устройства шарового бикалориметра для определения
теплопроводности жидкостей. Два варианта метода ........... 386
§ 2. Металлический и стеклянный бикалориметры..............388
§ 3. калибровка стеклянного бикалориметра..................390
§ 4. Пример................................................392
§ 5. Результаты некоторых измерений теплопроводности жидкостей
по методу шарового бикалориметра............................393
Заключение.....................................................394
Приложение ....................................................399
Литература ....................................................406
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория регулярного теплового режима, будучи одним из разделов
учения о теплопередаче в твердых телах, занимается вопросом об
охлаждении и нагревании тел. В отличие от обычной теории тепло-
проводности теория регулярного режима рассматривает процесс охла-
ждения или нагревания не на всем его протяжении, а только в той
стадии, на которую перестало влиять начальное состояние тела.
Обычно в теории теплопроводности это состояние предполагается
определенным, заданным, тогда как в теории регулярного режима
никаких условий относительно начального состояния не ставится, при-
чем рассматриваемый объект может быть не только однородным телом
любой формы и любых размеров, но и системой, состоящей из любого
числа разнородных тел. Обычная же теория теплопроводности ограничи-
вается, как правило, изучением охлаждения и нагревания однородных
тел простой формы. Основной задачей теории регулярного режима
является установление зависимости между темпом охлаждения или
нагревания данной системы и осредненным коэффициентом тепло-
отдачи между нею и внешней средой; при этом не только отыски-
ваются общие закономерности, но и решается ряд частных практически
интересных задач.
Систематическое изложение теории регулярного теплового режима
и ее приложений до сих пор в литературе отсутствует. Научные
коллективы и отдельные исследователи, пользующиеся теорией регу-
лярного режима в своей практической деятельности, руководствуются
статьями, рассеянными по разным техническим журналам, и техниче-
скими отчетами по отдельным работам. Отрывочный характер полу-
чаемых таким путем сведений, отсутствие выводов расчетных урав-
нений, отсутствие кратких пояснений о технике экспериментирования
влекут за собой в некоторых случаях неправильное применение тео-
рии. Настоящая монография ставит своей целью восполнить указанный
пробел в существующей литературе; она содержит изложение теории
регулярного режима и ее наиболее важных приложений.
Теория регулярного режима возникла и развивалась из требований
практики, начиная с 1928 г., когда перед автором была поставлена
энергетиками задача, связанная с испытаниями котлов. Значительную
роль в развитии теории регулярного режима сыграла также задача
о тепловых испытаниях теплоизоляционных материалов. В дальнейшем
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
теория была обобщена, было проведено большое количество экспери-
ментальных исследований, значительно расширилась область ее при-
ложений.
Общая теорема, лежащая в основе теории, доказанная Буссине-
ском, формулирована в гл. I, ее обобщение на случай системы-—
в гл. V. В той же гл. I дана общая схема решения задачи о нахо-
ждении связи между темпом охлаждения и коэффициентом теплоотдачи.
Ценность этой схемы выясняется на частных практически важных
задачах, решение которых дано в гл. II и III. Теория регулярного
режима однородного твердого тела получает большую общность, про-
стоту и наглядность, если для его описания прибегнуть к крите-
риальным величинам, чему посвящены § 6, 7, 8, 9 гл. I и вся гл. IV.
Введение критериев Ф, р и С приводит к основной теореме автора
(§ 5 гл. I), введение критериев ; и (гл. IV) открывает перспективы
решения задачи о регулярном режиме тел сложных и неправильных
очертаний, неразрешимой методами современного математического ана-
лиза. В гл. V дана общая схема решения задачи о регулярном режиме
системы, а далее в гл. VI она применена к рассмотрению ряда част-
ных случаев составных тел. Некоторые частные случаи регулярного
режима двухсоставных и трехсоставных тел также удалось описать
при помощи критериальных величин (Б, Ж, П и k — § 8 и 9 гл. VI).
- Критериальные величины помогают установить, посредством каких
именно комбинаций физических величин и какой именно связи между
ними описывается регулярный режим данного тела; это позволяет
значительно расширить область практических приложений теории.
Так было разработано несколько скоростных методов определения
тепловых свойств всевозможных материалов (гл. XIV, XV, XVI, XVIII,
XXII), теория была применена к решению вопросов из области термоме-
трии (гл. XIII), анемометрии и гидрометрии, к тепловым расчетам (гл. IX),
к определению коэффициентов теплоотдачи (гл. XI) и т. д. Теория
регулярного режима многосоставных, в особенности двухсоставных,
тел (см. гл. VI теоретической части) привела к построению новых
приборов: бикалориметров для измерения теплозащитной способности
тканей и одежды (гл. XX), приборов для определения теплопроводности
жидкостей (гл. XXIII) и других новых приборов (гл. XIX и XXI).
Таким образом, в настоящий момент теория регулярного режима
стала полезным орудием при решении различных практических задач,
в частности она стала основой новой техники тепловых измерений.
С другой стороны, основные положения теории регулярного режима
не являются результатом одних только аналитических операций: они
вместе со своими следствиями обоснованы, кроме того, огромным
количеством опытов, производившихся в разных местах разными
экспериментаторами в течение ряда лет.
Теоретическая часть монографии нами выделена в самостоятельное
целое и изложена независимо от приложений; этим достигается после-
довательность изложения, которая была бы неизбежно нарушена, если
ПРЕДИСЛОВИЕ
11
бы каждый раз параллельно с выводами теории давались описания
их практических применений.
Излагая теорию, мы везде, где только представлялась возмож-
ность, описывали процесс с помощью критериальных величин. Это
привело к своеобразной трактовке известных задач теплопроводности,
которые нами включены в гл. II и III и которые обычно рассматри-
ваются каждая особо; в монографии же эти задачи решаются как
примеры применения общей методики § 7 гл. I, охватывающей одно-
родные тела любой формы.
При изложении теории мы уделяли особое внимание физическим
предпосылкам, так как известно, к каким неправильным результа-
там в иных случаях приводит чисто формальное применение расчетной
формулы или теории метода. В качестве примера можно привести
попытку применить первый метод регулярного режима к металлам
(§ 1 гл. XXII).
Нами отчасти затронута (в гл. X, XIV и др.) техника экспери-
мента. Было бы нецелесообразно говорить о всех ее мелочах, но не-
которые существенные детали, часто выпадающие из сферы внимания
экспериментатора, нами отмечены. К этому нас побудило то обстоя-
тельство, что приходится встречаться с ложными представлениями
об экспериментальной стороне методики регулярного режима даже
в работах авторитетных авторов (например, с представлением о ее
большой сложности на практике). Поэтому мы привели в некоторых
местах книги (гл. XVI, § 7; гл. XXI, § 6, 9) описание опытов, про-
водившихся с помощью самых простых приборов и тем не менее давав-
ших вполне приемлемые результаты. Мы указываем и случаи (гл. X,
§ 2; гл. XXII, § 4), когда требуются весьма чувствительные приборы.
Выбор аппаратуры определяется условиями опыта, физическими
предпосылками применяемого метода и физическим смыслом его рас-
четных формул. Нами приведено несколько примеров практического
применения методики с подробными численными расчетами: читатель,
интересующийся одним каким-нибудь приложением теории, легко
освоится с техникой ведения опыта и с техникой вычислений, если
будет иметь конкретный пример, взятый из повседневной практики.
Некоторые главы (XII, XXI, § 5, 6) являются иллюстрацией
того, как создается теория нового метода измерения какой-либо
физической величины и как путем несложных опытов устанавливается
практическая пригодность этого метода. В другом случае (гл. XXI,
§ 8—9) мы ограничиваемся только разработкой теории. Такие при-
меры создания новых, а иногда усовершенствования старых методов
измерения, как мы думаем, могут побудить читателя к новым иссле-
дованиям аналогичного характера.
Главным практическим приложением теории регулярного режима
в данный момент являются скоростные методы определения тепловых
свойств всяких материалов, особенно технических. Они пригодны для
испытания любых веществ и тканей, включая ткани тела человека и
12
ПРЕДИСЛОВИЕ
животных [41), на весьма большом диапазоне плотностей — от 10 до
8000 кг/м®. Исключение пока составляют газы и металлы с высокой
теплопроводностью порядка 70—80 ккал/м/час/град.
В данной монографии дается впервые систематическое изложение
теории методов и указаний по их осуществлению. Обширность вопроса
об определении тепловых свойств (коэффициентов теплопроводности,
теплоемкости и температуропроводности) материалов, по которому су-
ществует огромная литература [38], заставила нас отвести ему девять глав
книги. Мы не приводим цифровых данных для этих коэффициентов, по-
лученных по методам регулярного режима, во-первых, потому, что мы
не ставили себе целью составление таких таблиц, во-вторых, потому,
что теплопроводность и температуропроводность большинства мате-
риалов не отличаются устойчивостью. Большим постоянством обладает
удельная теплоемкость; для ориентировочных расчетов нами дана при-
веденная в тексте табл. 25.
Данной монографией охвачены не все приложения теории регуляр-
ного режима; мы ограничились теми из них, которые наиболее разра-
ботаны и шире других внедрены в практику. Начатый, на основе
теории регулярного режима, новый цикл исследований еще не принял
форму законченного, единого целого и поэтому он также не вошел
в содержание данной монографии. О характере этих исследований,
о перспективах развития теории и ее новых приложениях говорится
в „Заключении".
Теория регулярного режима — одно из многих достижений совет-
ской науки: хотя зарубежные ученые изредка пользовались частными
.случаями регулярного режима, очи не дошли до обобщения и широ-
ких выводов. Исключение составляет знаменитый французский физик
и математик Буссинеск (Boussinesq), который обобщил замечание Фурье,
относящееся к кубуи niapy, й указал в~_1901 г. на универсальность
экспоненциален»™ закона. Но он этим только и ограниййлсй, не" развив'*
свою мысль дальше и не сделав из нее практических выводов. Свой-
ства темпа охлаждения им не были исследованы.
Из приведенной здесь краткой характеристики данной монографии
видно, что она предназначена для подготовленного читателя: автор
имеет в виду, главным образом, научных работников, инженеров-
исследователей и студентов старших курсов энергетической и инже-
нерно-физической специальностей.
Автор считает своим долгом принести глубокую благодарность
Ю. В. Новожилову, ценные советы и указания которого были широко
использованы при устранении недостатков первоначальной редакции
рукописи и переработке ее многих мест.
1 См. статью Шэда (Н. Scheard) в Proceed, of the Phys. Stc., Vol. 48,
1936, n° 266, стр. 498 — метод двух точек — и идею Ф. Неймана (Fz. Neu-
mann) в Enzyklop, der mathem. Wlssenschaften. Bd. V, 1,
важнейшие обозначения
т — время.
t—температура среды (постоян-
ная), в градусах стоградусной
термодинамической шкалы с
началом счета температур в точ-
ке плавления льда (°C), прак-
тически совпадающей с между-
народной стоградусной шкалой.
Г—температура среды в абсолют-
ной термодинамической шкале
(К°).
Т—промежуток времени между
двумя моментами.
п — температура любой точки тела
пли системы (переменная) в С°.
U — температура любой точки тела
или системы (переменная) в °К.
иR —температура какой-либо точки
наружной поверхности S тела
или системы в °C.
(/s —температура какой-либо точки
наружной поверхности тела
или системы в °К.
— температура (постоянная) в °C
стенок, ограничивающих про-
странство с находящимся вну-
три него телом.
Г(.—температура стенок, выражен-
ная в °К.
О = и—t—разность температур ка-
кой-либо точки теза и среды.
= «я — i — разность температур
какой-либо точки наружной по-
верхности тела и среды.
0Чс ='ия— — U&— Те — разность
температур какой-либо точки
наружной поверхности тела и
окружающих стенок.
0 у, 0 — средняя объемная температура
тела, отсчитываемая от темпе-
ратуры окружающей среды.
0Ч — средняя поверхностная темпе-
ратура тела, отсчитываемая от
температуры окружающей сре-
ды.
U — основная (фундаментальная)
собственная функция.
ш — темп регулярного охлаждения
или нагревания системы.
е — постоянная термической (теп-
ловой) инерции системы или
термоприемника.
Z — коэффициент теплопроводности
(теплопроводность) материала.
а — коэффициент температуропро -
водности (температуропровод-
ность) материала.
с — удельная теплоемкость матери-
ала при постоянном давле-
нии.
cvoi—объемная теплоемкость мате-
риала при постоянном давлении.
7—объемный вес (плотность, вп- .
димая плотность) материала.
С — теплоемкость тела или системы
(при постоянном давлении).
а, С — коэффициент интегральной лу-
чеиспускательной способности
серой поверхности („радиаци-
онная константа”); С=108-с.
— коэффициент интегральной
лучеиспускательной способно-
сти черной поверхности (коэф-
фициент излучения черного тела
по терминологии, принятой в
1951 г. АН СССР); С ч = 10® • о /
а — коэффициент теплоотдачи.
п = ----относительный коэффициент
теплоотдачи.
* По новейшим данным
а,( = 5,673• 10-12 вт/см-Чгра^,
C,t = 4,88 ккал1мЧчае1град* за 4,9.
14 ВАЖНЕЙШИЕ бкоаНАЧЕЙНЯ
G — охлаждающая или нагревающая
сила среды, интенсивность ох-
лаждения или нагревания.
Ln — длина основного (определяю-
щего) размера тела.
£1, ... — длины отрезков, служа-
щих вместе с £0 для полного
геометрического определения
тела.
р — темп регулярного охлаждения
или нагревания однородного
изотропного тела в критериаль-
ной форме.
Bi — критерий Био.
С — обобщенный критерий Био.
0s
Ч* = -д--критерий неравномерности
температурного поля тела.
b — температурный коэффициент
удельной теплоемкости мате-
риала.
— отношение температуры в точке
на наружной периферии тела
к температуре его сердцевины
(со счетом температур от f).
fl—температурный коэффициент
теплопроводности.
К—коэффициент формы.
Е — относительный коэффициент
формы.
5 — относительный критерий регу-
лярного охлаждения или на-
гревания тела.
у; — обобщенный критерий интен-
сивности теплообмена между
телом и средой при его регу-
лярном режиме.
}К. Б, П, k — критериальные вели-
чины, характеризующие регу-
лярный режим шарового и
плоского бикалориметра.
8—толщина слоя материала.
w — скорость изменения темпера-
туры в данной точке тела.
W—скорость движения жидкой или
газообразной среды около тела.
Р— вес образца испытываемого ма-
териала.
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
ТЕОРИЯ
ГЛАВА I
ОХЛАЖДЕНИЕ ОДНОРОДНОГО И ИЗОТРОПНОГО
ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 1. Об охлаждении и нагревании твердых тел.
Постановка задачи
Охлаждение и нагревание тел — весьма распространенные в при-
роде и широко используемые в технике процессы. Естественно, что
они уже издавна — со второй половины XVIII в. — привлекали к себе
внимание физиков и техников, а в XIX в. стали предметом много-
численных математических исследований: возникла и развилась теория
теплопроводности и теплопередачи, нашедшая за последние десятиле-
тия широкое применение в науке и технике.
Явления охлаждения и нагревания очень разнообразны: во-первых,
тепловой режим окружающей тело среды может изменяться различ-
ным образом с течением времени, например, ее температура может
колебаться около постоянного значения, может возрастать и т. п.,
интенсивность и характер воздействия среды на тело также могут
быть весьма различными; во-вторых, тело, тепловой режим которого
исследуется, может находиться в том или ином агрегатном состоянии,
может состоять из изотропного или анизотропного материала и т. д.
Ограничим нашу задачу следующим образом:
1) будем рассматривать только твердое тело;
2) будем рассматривать только так называемое простое охлаждение
или нагревание, т. е. процессы, которые характеризуются постоян-
ством внешних условий. Это значит, что температура окружающей
среды, которую мы всегда будем обозначать t (в градусах стоградус-
ной термодинамической шкалы температур с нулем в точке плавления
льда), остается постоянной и что коэффициент теплоотдачи а 1 на
наружной поверхности тела остается постоянным:
t = const, а = const,
(1.1)
i Мы здесь пользуемся терминологией АН СССР [1], хотя, может быть,
термин „коэффициент теплообмена" и заслуживал бы предпочтения.
16 ОХЛАЖДЕНИЕ ОДНОРОДНОГО И ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА |гЛ.
т. е. обе эти величины не зависят от времени, которое мы будем
обозначать т.
В некоторых случаях условие (1.1) можно заменить условием
постоянства температуры поверхности тела t. Как увидим ниже,
последнее условие можно рассматривать как частный случай усло-
вия (11), а именно тот, когда а —> оо.
3) Мы будем рассматривать такие случаи нагревания или охла-
ждения, когда внутри тела не происходят физические или химиче-
ские процессы, сопровождающиеся выделением скрытой теплоты,
когда ни на внутренних, ни на внешних его границах нет источников
или стоков тепла, т. е. нет аппаратов, создающих тепло или холод,
или явлений, сопровождающихся тепловыделением или поглощением.
В дальнейшем, для большей определенности и упрощения речи,
будем всюду говорить об охлаждении, так как математическая теория
обоих процессов (нагревание и охлаждение) по существу одинакова;
единственное различие заключается в знаке разности температур тела
и окружающей среды: при охлаждении эта разность имеет знак плюс,
при нагревании — знак минус.
Теория регулярного теплового режима имеет целью установление
возможно более простой аналитической зависимости между темпера-
турным полем тела или быстротой его охлаждения и величиной коэф-
фициента теплоотдачи или другого параметра, выражающего воздей- *,
ствие окружающей среды на тело. Теория регулярного режима .•
относится к телам любой формы и в этом отношении отличается от
обычной теории теплопроводности, в которой рассматривается охла- *
ждение тел простейшей формы или их частей [2, 3, 4J.
Другая отличительная черта теории регулярного режима состоит
в том, что ее основные положения обобщаются на случай тел сколь
угодно сложного состава („систем“) и какой угодно формы, в то
время как обычная теория ограничивается изучением температурных
полей простых или — изредка — двухсоставных тел простейшей формы.
§ 2. Простейший случай охлаждения тел
Простейшим из возможных случаев охлаждения тел является тот
случай, когда внутри тела в течение всего процесса охлаждения
отсутствуют ощутимые нашими приборами разности температур,
вследствие чего поле температур тела можно считать равномерным.
Примерами могут служить: охлаждение тела из хорошо проводящего
тепло материала; охлаждение тела, хотя бы и из плохого проводника
тепла, но небольших размеров, при небольших величинах а. Именно
рассматривая такой случай, Ньютон нашел, что температура тела
изменяется со временем по экспоненциальному закону.
Обозначим температуру тела 0, полную его теплоемкость С, на-
ружную поверхность S. Применяя закон сохранения энергии к потере
тепла телом за элемент времени dx, получаем для 0 обыкновенное
§ 3] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 17
дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
^- + «(0 — Z) = О, (12)
где буквой т обозначено положительное число
wi = -^-. (1.3)
Его общий интеграл будет
0 — t=He~m\ (1.4)
где Н — произвольная постоянная, введенная интегрированием; мы
видим, что действительно, 0 изменяется по экспоненте.
В дальнейшем нам придется иметь дело не только с телами, со-
стоящими из какого-либо одного материала, однородного и изотроп -
ного, но и со сложными телами, которые мы иногда будем называть
системами, чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что они составные,
т. е. состоят из нескольких частей, тепловые свойства которых резко
отличаются между собой, меняясь разрывно при переходе от одной
части системы к другой. Вместе с тем мы наложим некоторое oipa-
ничение на рассматриваемую систему: мы предположим отдельные
части системы настолько плотно соприкасающимися одна с другой,
что при переходе через поверхность раздела двух каких-нибудь
частей температура меняется непрерывно.
Формулы, выведенные для разобранного простейшего случая, со-
храняют силу для каких угодно систем, если только их поле темпе-
ратур равномерно; части систем могут состоять из материалов одно-
родных или неоднородных, изотропных или неизотропных. Если
обозначить символом Ci теплоемкость какой-либо /-той части системы,
то, очевидно, С в уравнении (1.3) будет определяться, как сумма
теплоемкостей всех частей:
п
(15)
г = 1
Рассмотренный элементарный случай нашел важное практическое
применение в тепловых измерениях и исследованиях [19, 41, 42].
§ 3. Основные уравнения
Выводу основных уравнений теории теплопроводности и их под-
робному исследованию с чисто математической точки зрения посвящен
ряд монографий [2, 4]. Поэтому мы ограничимся лишь кратким вы-
водом, обратив особое внимание на делаемые при этом предположе-
ния физического характера.
Пусть охлаждающееся тело, произвольной формы и произвольных
размеров, состоит из однородного и изотропного материала. "Условия
2 Зак. 750. Г. М. Кондратьев
18 охлаждение'ОДНОРОДНОГО И ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА [гл. I
Рис. 1. Твердое тело, окруженное средой Е,
имеющей повсюду одинаковую темпера-
туру t.
охлаждения пусть таковы, что пренебречь температурными градиен-
тами внутри тела, как в предыдущем случае, нельзя: температурное
поле тела неравномерное.
Поэтому если мы обозначим температуру в какой-либо точке М
тела буквой и (рис. 1), то и будет не только функцией времени т,
но и функцией координат х, у, z точки М.
Обозначим с удельную теплоемкость тела, т. е. теплоемкость
единицы веса; cvoi — его объемную теплоемкость; у — его видимую
плотность или объемный вес
(или удельный вес, как иногда
говорят), г. е. вес единицы
объема.
Буквой л обозначим коэф-
фициент теплопроводности
(или „теплопроводность"),
а — коэффициент темпера-
туропроводности (или „тем-
пературопроводность").
Коэффициенты cVoi> к
связаны между собою соот-
ношением..—________
При рассмотрении в пре-
дыдущем параграфе простей-
шего случая охлаждения тела, простого или составного, нам не
требовалось делать какие-либо предположения относительно закона
теплообмена внутри тела; в данном же случае для нахождения
аналитического выражения функции и (т, х, у, г) знание этого закона
является совершенно необходимым.
Как известно, он содержится в гипотезе Фурье о пропорциональ-
ности между удельным тепловым потоком в М и градиентом темпе-
ратуры. Ее логическим следствием в сочетании с законом сохранения
энергии является известное уравнение теплопроводности Фурье-.
~ = а^и. (1.7)
ОТ v 7
Этот вид оно имеет в том случае, когда отсутствуют источники
или стоки тепла, что нами и было предположено с самого начала.
Символом V2 обозначен оператор Лапласа, который имеет различное
аналитическое выражение, смотря по тому, какую систему координат
мы выбрали.
В декартовых координатах х, у, z
д2и . д2и
дх2 Qyt
д2и
~д&~’
(1-8)
§ 3]
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
19
В цилиндрических координатах г, <р, г
дг3 'г дг ' г3 дч/1 ' Oz- ( • )
В сферических координатах г, «, О
2- д3и , 2 ди , 1 д3а . cos 9 ди , 1 д3и ,
Ч дг3 1 г дг ' г'4 <№ г3 sin 9 д9 "Г" г3 sin- 9 dtp’4 ’ v • ,
где ®—долгота; 0—полярный угол (рис. 2).
Уравнение (1.7) выражает теплопередачу—рассеяние тепловой
энергии внутри тела; к нему необходимо присоединить уравнение,
Рис. 2. Системы координат
декартовых, цилиндрических,
сферических.
Рис. 3. К выводу уравнений тепло-
обмена на наружной поверхности
твердого тела.
Выведем это уравнение, исходя из новой гипотезы — так называе-
мого закона охлаждения Ньютона, которым мы уже в сущности
пользовались в § 2.
Пусть dS — элемент наружной поверхности, окружающий какую-
либо точку Мг (рис. 3) поверхности S. Контур этого элемента обо-
значен «j#!. Пусть Мхп—направление внешней нормали к поверхности
в точке Mv Построим внутри тела в непосредственной близости
к dS элемент объема, имеющий форму цилиндра, высота которого
равна элементу длины нормали, а основания ограничены контурами ab
и a-fiv контур ab тождествен контуру и расположен бесконечно
близко от элемента dS, в расстоянии от него, равном аах = bbr = dn.
Объем этого цилиндра равен dS • dn. Предположим, что aav=dn
выбрано весьма малым по сравнению с размерами элемента dS.
Пусть F обозначает изотермическую поверхность, проходящую в дан-
ный момент времени т через точку тИр она может и не совпадать
2*
20 ОХЛАЖДЕНИЕ ОДНОРОДНОГО И ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА [гл. I
с поверхностью тела S, и она вообще меняет свою форму и размеры
с течением времени. Направление теплового потока в точке Л11
в момент времени т обозначим M}q (оно перпендикулярно к поверх-
ности F).
Рассмотрим тепловой баланс цилиндра за бесконечно малый про-
межуток времени 8т между моментами времени т и -г—{—S-c; ввиду
его крайней малости можно считать положения F и q не меняющимися
за это время.
Из количества тепла 8Q, полученного цилиндром из внутренних
частей тела, часть тепла 8Qa идет на его нагревание, вызывая измене-
ние его температуры их на 8и(, а другая часть 8Q, рассеивается
через поверхность dS, ограниченную контуром во внешнюю
среду Е-.
8Q=8Qo+SQ!. (i.ii)
На основании гипотезы Фурье q — — к grad «; применяя ее к ко-
личеству тепла 8Q и считая q одинаковым во всех точках поверх-
ности ab по причине ее малости, получим:
SQ = — X(gradnM)Ur=)t dSfc, (1.12)
где grad„ и обозначает проекцию градиента на направление внешней
нормали Мгп к поверхности S, которое вообще не совпадает с на-
правлением Mrf теплового потока. 1
Количество тепла, полученное цилиндром, равно произведению из
его теплоемкости на повышение температуры, т. е.
8Q0 — dS dn cval 8н1. (1-13)
(Напомним, что здесь их—температура цилиндра в момент вре-
мени т).
Рассмотрим количество тепла 8QX, теряемое поверхностью
соприкасающейся с внешней средой. Следуя Ньютону, величину 8Qj
мы определим с помощью гипотезы, что
gQ1 == « («j — f)dSfa, (1.14)
где коэффициент теплоотдачи а предполагается постоянным, т. е.
независящим от времени и от температур: их— точки и t—тем-
пературы окружающей среды.
В этом и состоит „закон охлаждения Ньютона".
Критика закона Ньютона дана во всех почти трудах по теплооб-
мену; далеко не во всех случаях закон точно описывает явление
теплообмена на границе тела и среды. Тем не менее а является важ-
нейшей технической величиной и без нее современная теория тепло-
обмена обойтись пока не в состоянии.
1 Здесь мы пренебрегли теплом, поступающим в цилиндр через его боко-
вую поверхность, по сравнению с 5Q; см. выбор aal = dn.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
21
§ 3]
В § 2 гл. VIII мы дадим критику этого закона с точки зрения
теории регулярного режима. Что касается аналитической теории тепло-
проводности, то она вся построена на законе Ньютона, т. е. на предпо-
ложении постоянства а.
Переходим к обычному выражению закона Ньютона. Из (1.11)
получаем на основании (1.12), (1.13), (1.14):
— A (grad„ u\l=u dS 8-с = dS dncynl Вы j —]—«(«] — t) dS 8т.
Разделив обе части этого равенства на dS 8т, мы увидим, что
первый член в правой части бесконечно мал по сравнению с другими
членами и его следует отбросить; поэтому, заменив grad„« через
„ du
производную по внешней нормали , перепишем последнее равенство
в виде:
Х(£) +=<(«!-С = 0. (1.15)
\«л 'U-UL
Проще выражаются условия на наружной поверхности тела в том
важном частном случае, когда во все время охлаждения ее темпера-
тура поддерживается равной температуре окружающей среды: в этом
случае функция и на поверхности S должна сохранять постоянное
значение 1\
(“Us=^ (1-16)
Кроме граничных условий (1.15) или (1.16), искомая фукция и
должна удовлетворять еще начальным условиям, т. е. в начальный
момент времени, который мы примем за начало счета времени — за
нуль, функция и должна обращаться в заданную функцию от коор-
динат;
и !т=0 = заданная функция координат. (1.17)
Таким образом, для того чтобы найти аналитическое выражение
зависимости температуры и от времени т в данной точке М тела,
следует найти общий интеграл уравнения Фурье (1.7) и подчинить
его граничным условиям (1.15) или (1.16) и начальным условиям (1.17).
Для упрощения вместо температуры и будем рассматривать тем-
пературные разности ft, определяя их как
ft=M — t. (1.18)
ft— температура в какой-либо точке М, отсчитываемая не от 0°С, а от
постоянной температуры t окружающей среды, г. е. отсчитываемая по
термодинамической шкале, нуль которой перенесен в точку I.
Очевидно, что с возрастанием времени т температура ft стремится
к нулю:
ft -э-0. (1.19)
22 ОХЛАЖДЕНИЕ ОДНОРОДНОГО И ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА [гл. I
Уравнение Фурье для & будет иметь тот же вид, как для и,
а именно:
^=<zV2fl (1.20)
в силу постоянства t. Граничное условие для 0 мы напишем в сле-
дующем виде:
обозначив относительный коэффициент теплоотдачи
h = (1.22)
Граничное условие для и (1.16) равносильно следующему условию
для
&s = 0. (1.23)
Начальное же условие (1.17) примет вид:
Н=о=/о(*. Л Д (1-24)
где / — заданная функция, которая в частном случае может сводиться
к постоянному числу.
§ 4. Нахождение общего интеграла уравнения Фурье
Если уравнение теплопроводности (1.20) имеет решение, удовле-
творяющее граничному условию (1.21) и начальному (1.24), то это
решение (общий интеграл) единственное. Для его нахождения исполь-
зуем классический метод, указанный Фурье, согласно которому сперва
ищется частное решение уравнения (1.20) в виде произведения двух
функций:
а == UT;
части ’
U — функции только координат и Т — функции только времени т:
U= U(x, у, г), Т—Т(у).
Так как тогда V2,)= TVVJ, то для U и Т получаем уравнение:
аТЧЧ] = U • ,
которое можно представить в виде:
dT
1'~аТ'
т. е. оказывается, что две функции независимых переменных—вре-
мени z и координат, фигурирующие в последних равенствах, должны
§ 4] НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО ИНТЕГРАЛА УРАВНЕНИЯ ФУРЬЕ 23
быть равны тождественно; это возможно лишь при условии, что каждая
функция сводится к одному и тому же постоянному числу. Это число
не может быть положительным, ибо предположение, что оно положитель-
ное, будет обозначать возможность частных решений, которые приводят
к бесконечному возрастанию & при т —>оо, тогда как опыт говорит,
что всегда ») —>0 [см. (1.19)]. Поэтому упомянутое выше число может
быть только отрицательным (нулем оно не может быть, так как тогда
d т
было бы — — 0, т. е. Т= const, что не имеет смысла). Обозначим
его — р.2; итак,
dT
W _ dx _
и ““ аТ ~ 11 • (1.25)
Отсюда получаем
dT
d? = -^r
и, обозначив
«и2=щ, (1-26)
приходим к экспоненциальному выражению для Т:
Т=Ае~т\ (1.27)
где nt — число всегда положительное. Постоянная интегрирования
обозначена А.
Из (1.25) получится также следующее уравнение в частных про-
изводных для U:
+ • Н = 0. (1.28)
Предположим, что найден ряд его частных решений: UOl Ut, ...,
Uj, . .., которые мы получим, придавая m любые произвольные зна-
чения; соответствующие им функции Т будут:
Аое~т“х, А1е-т‘\ ..., ...
Так как уравнение Фурье линейное, с постоянными коэффициен-
тами (о зависимости а, X, с от температуры речь будет дальше —
в § 1 и 6 гл. VIII и XIV), то и сумма п частных его решений будет
решением; бесконечный ряд,
» = , (1-29)
J=O 3=0
если он абсолютно и равномерно сходящийся, также — решение ура-
внения (1.20).
Однако все упомянутые выше решения только тогда представят
для нас интерес, если они могут быть подчинены граничным усло-
виям (1.15) или (1.16). Это налагает уже известные условия и на
числа nij.
24 ОХЛАЖДЕНИЕ ОДНОРОДНОГО И ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА [гл. I
Подставляя в эти уравнения одно из частных решений уравне-
ния (1.16), получаем:
или
и эти равенства должны удовлетворяться на поверхности S при вся-
ком т; отсюда получается ряд условий, которым должны быть под-
чинены функции координат Uj в точках поверхности S:
dUi
Здесь обозначает производную от функции Uj по внешней
нормали к наружной поверхности тела S.
Уравнения (1.30) или (1.31) — линейные относительно функций Uj
и их производных; поэтому, если эти функции удовлетворяют гра-
ничным условиям, то и функция 0, составленная по формуле (1.29),
будет удовлетворять граничным условиям (1.21) или (1.23).
В частных случаях задачи, когда тело имеет простую в геометри-
ческом смысле форму, было найдено, что уравнение, выражающее
граничные условия (1.30) или (1.31), имеет бесчисленное множество
корней и дает ряд возрастающих значений для чисел mj, предста-
вляющих дискретную совокупность чисел; построенная же при помощи
формулы (1.29) функция Я является общим интегралом уравнения
Фурье. Уравнение (1.28) называют характеристическим, а функции Uj,
являющиеся частными решениями уравнения (1.23),—характеристи-
ческими или собственными функциями задачи. Они соответствуют
совершенно определенным дискретным значениям параметра т.
Существование их совершенно строго доказа! одля немногих слу-
чаев, когда уравнение (1.28) оказывается возможным проинтегрировать ,
причем особенно подробно изучены те случаи, когда тело имеет про-
стейшую форму [2, 3, 4].
В случае тела неправильной или сколько-нибудь сложной формы,
геометрическое определение которой требует нескольких параметров
(двух-трех и больше), разыскание характеристических функций почти
всегда представляет непреодолимые трудности; между тем именно
такие тела и встречаются часто на практике. Путем довольно слож-
ных . рассуждений можно, хотя и менее строго, доказать, что и для
тела любой;.формы общий интеграл уравнения Фурье имеет такой же
ыт, как и в упомянутых выше частных случаях, и обладает анало-
ппяыми свойствами.
§ 4] НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО ИНТЕГРАЛА УРАВНЕНИЯ ФУРЬЕ 25
Формулируем это основное положение, высказанное Буссинеском
еще в 1900 г. [5], но не нашедшее применения в позднейших иссле-
дованиях по теплопроводности, несмотря на всю его практическую
ценность.
Основная теорема. Общий интеграл уравнения Фурье для
задачи охлаждения однородного и изотропного тела любой формы,
хотя бы и сколь угодно сложной (рис. 1), выражается бесконеч-
ным рядом, члены которого расположены по экспоненциальным
быстро убывающим функциям времени, а именно:
П + ..., (1.32)
так что положительные числа т0, ту, ... представляют собою
ряд всегда возрастающих дискретных чисел:
0 < mQ < тх < т.,<С ... (1.33)
Uo, Uр . . .— функции координат точек тела, все конечные-,
Ло, Лр ...— числа также конечные, постоянные, не зависящие
ни от времени, ни от координат. Функции Uj удовлетворяют
граничным условиям (1.30) или (1.31).
Существеннейшее обстоятельство заключается в неравенствах (1.33);
это следует особенно подчеркнуть.
Найденная чисто аналитически форма общего интеграла находится
в согласии с результатами опытов; если в частном случае все Uj
обращаются в нуль, за исключением 170, то мы получаем простую
экспоненту.
Функции Uj носят название собственных или характеристиче-
ских функций-, Uo называют основной или фундаментальной соб-
ственной функцией.
Общий интеграл должен еще удовлетворять начальному усло-
вию (1.24); оно обратится в следующее:
СО
^AjU3=fa{x, у, z) (1.34)
-=0
(ибо все функции e~mf при т = 0 обратятся в единицу). Отсюда мы
видим, что для соблюдения начальных условий требуется решить
сложную аналитическую задачу о разложении заданной функции от
х, у, z в ряд по функциям данного вида. Только для некоторых
частных видов функций эта задача решена до конца (например для
функций Бесселя).
Поскольку из наших дальнейших рассуждений все коэффициенты Aj
выпадают, нас не интересуют начальные условия (1.17); вид функ-
ции fo(x, У, z) может быть произвольным, т. е. мы будем рассма-
тривать тела с произвольным распределением температур перед охла-
ждением.
26 ОХЛАЖДЕНИЕ ОДНОРОДНОГО И ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА [ГЛ. I
Это обстоятельство имеет большое практическое значение, так
как крайняя сложность аналитического выражения коэффициентов
Aj [2, 3, 4, 5] заставляет в технических приложениях почти всегда
исходить из простейшего предположения относительно функции
/0(х, у, z), считая, что она сводится к постоянному числу, т. е. что
тело перед погружением в среду нагрето равномерно [6]. Такое пред-
положение далеко не всегда осуществляется на практике.
§ б. Определение регулярного теплового режима.
Свойства коэффициента т
Предположим, что рассматриваются моменты времени, все более
удаляющиеся от начального -г = 0. Тогда члены ряда (1.32), в силу
основной теоремы предыдущего параграфа, убывают по абсолютной
величине, но далеко не одинаково быстро: члены, начиная со второго,
соответствующего / = 1, уже очень скоро становятся пренебрежимо
малыми по сравнению с первым членом ряда. Поэтому температура и
в любой точке М еще задолго до того, как ей стать практически
равной /, будет выражаться первым членом ряда (1.32), другими сло-
вами, она будет следовать тому же простому экспоненциальному
закону, как и в частном случае равномерного температурного поля,
рассмотренном в § 2 гл. I, и мы получим:
u — t=b = AUe.m\ (1,35)
Здесь для простоты письма уничтожен значок „нуль"; с этих пор
под т будем понимать наименьшее из чисел т0, тг, т%, .. .
Как только наступит тепловой режим, характеризуемый простым
аналитическим выражением (1.35), мы будем говорить, что наступил
регулярный, т. е. упорядоченный, режим охлаждения (или нагрева-
ния').
Из формулы (1.35) вытекают важные для практики следствия.
Прологарифмировав ее, получаем:
In | ft | = — тх -J- G (х, у, z),
где G(x, у, z)— функция координат точки, следовательно,
1 — 1
д (In 101)_______________________ I дх I
дх ~ ' 101
Поэтому основное свойство всех процессов простого охлаждения
можно формулировать еще следующим образом. По истечении доста-
точного времени после начала охлаждения наступает регулярный
режим, отличительной особенностью которого является то, что лога-
рифм разности между температурой и в любой точке М тела и
температурой t окружающей среды Е изменяется с течением времени т
по линейному закону, причем скорость изменения логарифма т оди-
накова для всех точек.
(1.36)
(1-37)
т.
§ 5] ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНОГО ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА 27
Рассуждения этого и предыдущего параграфов относятся к любому
однородному и изотропному телу, какими бы сложными ни были его
очертания, какую бы величину ни имел коэффициент теплоотдачи а,
каковы бы ни были начальные условия (1.17).
Последнее обстоятельство вытекает из очень простого факта: при
взятии производной от 1п Я по времени исключился коэффициент А,
а только он и зависит от начальных условий.
Коэффициент А входит в (1.35) как произвольная постоянная, на
которую умножается основная собственная функция U; поэтому его
всегда можно выбрать так, чтобы U получила наиболее простое
аналитическое выражение. Этим замечанием мы воспользуемся при
решении частных задач (в гл. И, III и т. д.), что позволит значительно
сократить письмо.
Положительное число т играет центральную роль в теории регу-
лярного режима. Оно характеризует быстроту регулярного охлажде-
ния (или нагревания) тела в целом независимо от скоростей изменения
температур отдельных точек; эти скорости могут сильно меняться
от точки к точке и, кроме того, зависят от времени; чтобы подчер-
кнуть это свойство числа т, мы его называем темпом охлаждения
(нагревания) тела. Чем больше т, тем быстрее происходит охла-
ждение тела. Обратная величина е = —, имеющая размерность времени,
наоборот, служит мерой термической инерции тела.
Не только логарифм разности между температурой в какой-либо
точке тела и температурой окружающей его среды изменяется ли-
нейно со временем; то же свойство принадлежит логарифму разности
температур м2— иА двух любых точек тела ТИ2 и Mv Это непосред-
ственно следует из уравнения (1.35); отнеся его к двум точкам
и ТИ2, температуры которых в один и тот же момент времени равны
соответственно и1 и и2, и вычтя одно уравнение из другого, находим:
In | zz2 — а, | = — тх + const, (1.38)
где const обозначает величину, не зависящую от времени.
Рассмотрим отношение температурных разностей % и
двух каких-нибудь точек тела и среды. В силу той же основной
формулы (1.35) оказывается (ибо т одинаково для обеих точек), что
__ U (х-,, za)
U (xj, yit zj ’
т. е. тоже не зависит от времени. Следовательно, поле температур
тела во время его регулярного охлаждения остается во временном
отношении подобным самому себе (если температуру отсчитывать
не от 0°С, а от / °C — см. § 3 гл. I).
Графическая интерпретация проц°сса охлаждения (нагревания).
Если для графического изображения процесса охлаждения от самого
его начала t — О воспользоваться обычным приемом, откладывая по
28
ОХЛАЖДЕНИЕ ОДНОРОДНОГО И ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА
[гл: I
оси абсцисс время, а по оси ординат и или ft, то получатся, как
предсказывает теория и дает опыт, для разных точек тела (У) и (2)
Рис. 4. Кривые изменения температур различных точек
твердого тела при постоянных внешних условиях.
характерные кривые с общей асимптотой, параллельной оси времен,
что и изображено на рис. 4. Участок какой-нибудь из этих кривых,
Рис. 5. Тепловой режим твердого тела в полулога-
рифмических координатах.
близкий к начальному моменту времени, может иметь неправильную
форму; затем кривая приобретает упорядоченный вид экспоненты.
В термографии [7] этот прием графического изображения измене-
ния температуры является общеупотребительным. В практических
§ б]
КРИТЕРИЙ №
29
приложениях теории регулярного режима мы им не пользуемся, а употреб-
ляем полулогарифмическую анаморфозу, откладывая по оси времен
равномерную шкалу, а по оси ординат—логарифмическую шкалу раз-
ности и — t — 8. Это изображе-
но на рис. 5. Начальные участки
полулогарифмических графиков
имеют, вообще говоря, непра-
вильную форму; их вид обу-
словлен особенностями началь-
ного состояния тела, т. е.
видом функции /0 в (1.24), и
может меняться от случая
к случаю. Этот режим можно
назвать иррегулярным. Но —
рано или поздно наступает ре-
гулярный режим, и все графики
принимают форму прямых ли-
ний, тангенс угла наклона ко-
торых к оси времен равен ми-
нус т.
В силу одинаковости т для
всех точек тела эти прямые,
Рис. 6. Графоаналитическое определение
темпа регулярного охлаждения
или нагревания.
изображающие поле температур
в регулярном режиме, парал-
лельны между собой.
Для нахождения т доста-
точно взять на прямой полулогарифмического графика (рис. 6) две
точки Pj и Р1р соответствующие двум моментам и (тп > tj),
которым соответствуют значения t>r и 8И температуры 8 (8; > &п);
очевидно, что
In 8j — tn 8jj
nt =----------------
Эг — Э
(1.39)
§ 6. Критерий W
Рассмотрим во взаимной связи два рода граничных условий, ана-
литически выражаемых формулами (1.21) и (1.23). Нетрудно доказать,
что второе из них можно рассматривать как предельный случай
первого, а именно, соответствующий устремлению а к бесконечности:
условие а. -> оо равносильно условию 8g -> 0.
В самом деле, предположим, что а —> оо, т. е. что h—> оо. Про-
d» о
изводная по нормали не может во всех точках поверхности S
принимать бесконечно большие значения, ибо это означало бы, что
и тепловой поток д принимает бесконечно большие значения во всех
30
ОХЛАЖДЕНИЕ ОДНОРОДНОГО И ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА
|ГЛ. I
точках тела вблизи поверхности его, как это вытекает из формул
<7 = —X grad ft и ~ = —gradn(ft),
т. е. из закона Фурье, что физически невозможно. Итак,
конечным
млении а
величине,
Если,
-3— остается
ап
при устре-
не может
в ряде точек поверхности S; следовательно,
к бесконечности произведение ftga стремится к конечной
а значит, ftg должно стремиться к нулю.
наоборот, предположить, что ftg стремится к нулю, го а
, • rfft
оставаться конечным, так как это означало бы, что —
dn
к нулю, т. е. в точках тела вблизи наружной поверхности
стремится
тела .S’ температурный градиент постоянно оставался бы равным нулю.
Это тоже не имеет физического смысла; следовательно, при ftg —> О
произведение На стремится к пределу, отличному от нуля, а это
возможно только, если а стремится к бесконечности.
Отсюда вытекает математическая равносильность условий а —> оо
и ftg —> 0. Поэтому часто одно из них мы будем заменять другим.
к явлению охлаждения тела закон сохранения
тепловой энергии 8Q, тела за бесконечно малый
промежуток времени 8т равна коли-
честву тепла 8Q2, отданному поверх-
ностью тела S за тот же элемент вре-
мени внешней среде. В силу закона
сохранения энергии
= SQ2.
Выражение 8Л обозначает бесконечно
малое изменение какой-либо вели-
чины А, зависящей от времени; такое
обозначение мы употребляем во избе-
жание смешения с другими бесконечно
малыми величинами, не зависящими от
времени; их мы будем обозначать dA.
Вычислим отдельно 8Qj и 8Q.,. За эле-
мент времени 8т запас тепловой энергии какого-нибудь элемента
объема dV в точке М (рис. 7), имеющего температуру ft, умень-
шится
кости
туры;
будет
Применим теперь
энергии: полная убыль
крите-
S
Рис. 7. К установлению
рия Ф.
на бесконечно малую величину, равную произведению теплоем-
этого элемента на бесконечно малое падение 60 его темпера-
поэтому изменение запаса тепловой энергии элемента тела
равно
кВ
dQx = — су dV 80 = — су dV-£ 8т
или
dQ1 = — 8(c7dVft).
КРИТЕРИЙ ф
31
§ 6)
Для вычисления 8^ необходимо просуммировать нее dQt по всему
объему тела, т. е. взять интеграл по объему V:
8^ = 1^ = - Jcy8(fl dV).
V V
Вынося су за знак интеграла как постоянную и изменяя порядок
дифференцирования и интегрирования, получаем:
8Qj = — dV^.
Введем теперь среднюю объемную температуру тела
f
(1-40)
Очевидно, что
8Qj = — суУ86у,
где cyV—полная теплоемкость тела, т. е. С. Мы находим окон-
чательно:
8Q] = —C8'Jr (1.41)
Вычислим 8Q2. За тот же элемент времени 8т через элемент
поверхности тела dS (рис. 7) пройдет количество тепла, равное —
в силу закона Ньютона:
dQ,, = а !)(Ч dS 8т,
где &g обозначает температуру в какой-либо точке поверхности,
расположенной на ее элементе dS.
Просуммируем полученные выражения по всей наружной поверх-
ности 5; получим:
8Q2 = pQ2= J af>s dS 8т.
s
В этой формуле мы не выносим а за знак интеграла, так как а может
быть различным в разных местах наружной поверхности. Функция
координат ftg по наступлении регулярного режима сохраняет постоян-
ный знак; поэтому, применяя обобщенную теорему о среднем значении
интеграла, можно написать:
J = a J &sdS,
s
где а — среднее значение коэффициента теплоотдачи на поверхности
тела.
32 ОХЛАЖДЕНИЕ ОДНОРОДНОГО И ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА [гл. I
Вводя среднюю поверхностную температуру 0g по формуле:
[ dS
, (1-42)
окончательно преобразуем выражение
8Q„ = a SO,, 8т,
'’Jo
после чего закон сохранения энергии найдет свое выражение в ра-
венстве
— С80г=а5Оя8т. (1.43)
Введем новую величину нулевой размерности Ф, определяя ее
как отношение средней поверхностной температуры тела к его сред-
ней объемной температуре:
f)g f f V
t' = —--ПТч------------ <144)
Здесь — температура в какой-нибудь точке yg, £g) наруж-
ной поверхности S.
По введении Ф равенство (1.43) примет вид:
— С80у^аФ0(756т. (1.45)
Предположим, что наступил регулярный режим. Тогда непосред-
ственно усматривается важное свойство величины Ф: она остается
постоянной — не зависящей от времени — на протяжении всего про-
цесса охлаждения. Это видно из ее выражения
J J UsdS у
<1-46)
которое получится из (1.44), если там вместо bg и & ввести их
экспоненциальные выражения (1.35), характерные для регулярного
режима; тогда множитель Ае~тт сократится, что и доказывает не-
зависимость Ф от времени и начального состояния.
В теле найдется по крайней мере одна точка, температура которой
будет равна средней объемной температуре 0у; применим к ней
основную формулу теории регулярного режима (1.37). Из сопоста-
вления ее с законом сохранения энергии (1.45) находим:
т — «Ф • .
(1-47)
Величина Ф имеет простой физический смысл: она является
численной характеристикой того, насколько неравномерно поле
§ 7]
КРИТЕРИИ р И С
33
температур и теле; это очевидно из формулы (1.44). Если распре-
деление температур в теле равномерно, то 0g = и Ф = 1. Это —
наибольшее значение, которого достигает число 'Г. Наименьшее его
значение равно нулю и оно соответствует тому случаю, когда охла-
ждение тела идет настолько интенсивно, что 0g = 0, или, другими
словами, когда а —> оо.
Вместе с тем рассмотренный в самом начале этой главы элемен-
тарный случай вытекает как частный из изложенной здесь общей
теории [ср. формулы (1.47) и (1.3)].
§ 7. Критерии р и 5
Хорошо известно, какую роль в современной технической тепло-
физике играют критерии теплового подобия', теория подобия полу-
чила глубокое и разностороннее развитие в трудах акад. М. В. Кир-
пичева и его школы и нашла блестящие практические приложения.
В нашу задачу не входит изложение принципов теории подобия и мы
ограничиваемся лишь упоминанием о ней, отсылая читателя к специаль-
но посвященным ей сочинениям [8] и к общим курсам теплопере-
дачи. Эта теория является цельной, законченной областью тепло-
физики и представляет собою мощное орудие для решения весьма
многих практических задач [9, 10].
Аналогичные величины нулевой размерности оказываются весьма
полезными и в теории регулярного режима: они позволяют выразить
ее основные положения в более общей форме и тем расширить область
технических приложений теории.
Эти величины мы будем также называть критериальными величи-
нами или, иногда, критериями', их структура вытекает из аналити-
ческого вида уравнений, представляющих перевод на язык математики
основных предпосылок теории регулярного режима.
Прежде всего мы должны избрать величины, служащие для гео-
метрического описания тела, подобно тому, как это делается в теории
подобия. Такими могут быть некоторые линейные величины — отрезки
7-о> Т-р А2, ...
Выделим один из них и обозначим его Lo; в частности, Lo может
быть определяющий или основной размер тела.
Для описания формы тела могут служить величины нулевой раз-
мерности , ^ , . .. Вместо них можно задать уравнение поверх-
bQ •t'U
ности 5, ограничивающей тело
Е (Лд> .Уд' гд) —’ О
(1-48)
в декартовых координатах, которыми мы будем пользоваться при
выводе дальнейших соотношений, что не нарушит общности полу-
ченных выводов.
3 Зак. 750. Г. ЛА- Кондратьев
34 ОХЛАЖДЕНИЕ ОДНОРОДНОГО И ИЗОТРОПНОГО тела [гл. 1
Вместо координат х, у, г введем величины нулевой размерности
/ х , у / z
х ~Т ’ У = /’ 2 ~т-
/.и £о /-с
Соответственно этому из уравнения поверхности получится связь
между величинами х', у', z'
£*(4 *s) = ° (1Л9)
Наша первая задача заключается в отыскании собственных функ-
ций U, для чего необходимо найти общий интеграл уравнения (1.28).
Методы его определения рассматриваются в курсах высшего анализа
и некоторые из них дают его в виде, удобном для практических при-
ложений. Очень часто пользуются методом частных решений уравнения
Фурье. Это уравнение преобразуем, умножив обе его части на
LfW
Введем в рассмотрение положительную величину нулевой размер-
ности' _
а в выражении для V2t/ заменим независимые переменные х, у, z
безразмерными х', у', z', тогда уравнение (1.28) примет вид:
\дх'“- 1 ду>- 1 дг'Ч
Общий интеграл этого уравнения будет функцией безразмерных
координат х', у', z' и произвольных постоянных <Oj, <о2, ...; кроме
того, в его выражение как параметр войдет и р2, следовательно,
общий интеграл имеет форму:
U— Щх', у', z', ш п ш 2, . .., р2). (1.51)
Следующим этапом решения задачи будет подчинение этого инте-
грала граничным условиям (1.30). Их мы также преобразуем, умно-
жив обе части (1.30) на Ly. -
(L0^ + hL0U} =0.
\ 1 dn 1 и I пов. ,s
Безразмерная величина hL0 с точностью до постоянного мно-
жителя равна критерию Био и совпадает с ним, если за Ао взять
определяющий размер тела (6[.
Обозначим
С = (1.52)
' t а '
заменив h через v*
к
§71
К^ИТЕ^ИИ р И С
35
г» / Н
Вместо п введем п =-г] тогда предыдущее уравнение
Lq
вид:
=0.
\dnf ' /пов. $
примет
то это
(1.53)
Если сюда на место U ввести выражение (1.51) общего интеграла,
а от координат x's, y's, z's перейти к дробям
уравнение примет вид:
Г —___1 — 1 = г/п2 ^1 ^2
\ U /ПОВ. H \ ’/,()’£()’ ’ ’ /
Таких уравнений будет, вообще говоря, не одно, а бесчисленное
множество, что соответствует бесконечному множеству чисел ntj;
за р следует взять наименьший положительный корень, соответ-
ствующий наименьшему из т$, т. е. т. Постоянные интегрирования
шр <и2, <«3, ... будут определены на основании тех же граничных
условий и геометрических свойств наружной поверхности (1.49), т. е.,
в конечном счете, окажутся выраженными через ~ , ..., и мы
До ч>
поэтому окончательно получим:
Г Г f ")
Ч--- -.1//,,, ...I.
\ ‘-0 Lo )
Короче мы будем писать:
С = '? (/’),
(1.54)
причем следует помнить, что в аналитическое выражение функции
®(р) входят еще величины и т. д., характеризующие геомет-
До До
рические свойства наружной поверхности.
Разрешая уравнение (1.54) относительно р, получим р как обрат-
ную функцию С:
Р=/(С) (1.55)
(она однозначная — см. далее § 8).
В том случае, когда а = оо, т. е. 3g = 0 (см. начало § 6 этой
главы), подстановка общего интеграла (1.51) в уравнение (1.31) при-
водит к уравнениям вида:
x's' У#’ zs> = (1.56)
Здесь под poo мы понимаем то значение критерия р, которое полу-
чается для данного тела при а —> оо, т. е. С—> оо; соответственно
этому обозначаем:
/Лоо —— /Л | а->оо > (1 57)
^ = Ao/"^ = pUoo- (1.68)
3*
36
охлаждение Однородного и изотропного тела
[гл. 1
Если от
координат x's, у'., z's
перейти к дробям
'-о
а постоянные интегрирования <ор <«2, ... определить на
свойств поверхности S, то в конечном счете получаем:
Zo’
основании
^1
и(р2 ,
со ’
= 0,
и поэтому при а—>со оказывается, что р2^— функция только гео-
метрических параметров:
При решении конкретных задач приходится получать ®(р), а не
/(Q; эта последняя величина определяется как неявная функция,
обратная <р(р), что обусловлено аналитической особенностью гранич-
ных условий (1.53), дающих С как явную функцию р2.
§ 8. Связь между критериями р, Z, и Ф.
Теорема Кондратьева
Формула (1.47) позволяет обосновать молчаливое допущение, кото-
рое не было оговорено в предыдущем, и заключается в том, что при
бесконечном возрастании а или С число т или критерий р стремятся
к пределу, так что т„ и р.х— определенные числа, не равные нулю
или бесконечности.
Докажем справедливость этого допущения. Преобразуем (1.47),
заменив через /-1 • у, где буквой / обозначен некоторый конеч-
ный отрезок, величина которого определяется дробью
/ = ^> (1.60)
а число т заменив через яр2; тогда из (1.47) получится:
ЙФ = р2/. (1.61)
Если будет доказано, что при бесконечном возрастании h произ-
ведение ЛФ, которое принимает вид неопределенности оо. О, стре-
мится к пределу, не равному нулю или бесконечности, то и предел
числа р будет не равен нулю или бесконечности, другими словами,
и Отое будет не нуль и не бесконечность.
Обратимся к физическому смыслу величины Ф.
В силу ее определения получим:
§ 81 СВЯЗЬ МЕЖДУ КРИТЕРИЯМИ р, С и W 37
На поверхности 5 существует точка температура в кото-
рой будет равна 0g — средней из всех температур i>gi
В силу граничных условий (1.21) заменим = через равное
ему — -f- ; получаем:
iJ
(1.62)
Величина Оу по своему физическому смыслу конечна. В силу фи-
зических соображений и производная по нормали , равная проек-
ции градиента температуры на направление нормали, не может, вообще
говоря, быть равна нулю или бесконечности. Первое предположение
означало бы отсутствие теплового потока изнутри тела наружу
в точках, расположенных внутри тела в непосредственной близости
к его поверхности. Второе предположение означало бы наличие внутри
тела близ его поверхности температурного скачка. Оба эти предпо-
ложения лишены физического смысла.
Итак, числитель и знаменатель дроби в правой части равенства
(1.62) во всех физически возможных случаях охлаждения остаются
конечными величинами, неравными нулю. Поэтому и предел этой
дроби при h —> оо, т. е. и 11m (/гФ), не равен нулю и не равен бес-
конечности.
Величина имеет размерность длины (как это следует из раз-
мерностей а и X и из определения А); ~ имеет ту же размерность.
Из (1.61) следует, что
(L63)
Устремим здесь h к бесконечности; lini будет величиной ко-
нечной и будет иметь размерность площади; мы получаем, обозначив
его буквой К, следующую простую формулу:
а = Kmaj.
(1-64)
Коэффициенту К мы присвоили название коэффициента формы
тела', это — величина чисто геометрическая, зависящая только от
формы и размеров тела, безотносительно к веществу, из которого
состоит тело. Она ничего общего не имеет с величиной, носящей то же
название и характеризующей особенности формы изотермических по-
верхностей стационарного температурного поля. Если tx и /2— тем-
пературы двух таких поверхностей, то количество тепла Q, проходящее
38
ОХЛАЖДЕНИЕ ОДНОРОДНОГО И ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА [ГЛ. I
за единицу времени через кусок первой поверхности F ко второй,
может быть представлено в виде:
Q = ЛЛ* (/г —/2),
где L* и есть „коэффициент формы". Он имеет размерность длины.
Коэффициент К служит мерой термической инерции данной формы:
чем он больше, тем меньше т, тем медленнее идет охлаждение тела,
безотносительно к тому, из какого материала оно изготовлено.
Введя в закон сохранения энергии — в формулу (1.61) — наши
критерии С и р, получаем:
СФ = р2-4-. (1-65)
ьо
Таким образом, для связи между критериями С и р мы получили
две формулы: (1.65) и (1.54), которые должны быть тождественны.
Из них вытекает, что в выражение для 'Г, если этот критерий рас-
сматривать как функцию от С, должны войти как параметры дроби
^2
Lg’ Lg'
Для предельного значения С -> оо мы также имеем две формулы:
(1.64) и (1.59). Из них следует [в связи с (1.58)], что К можно пред-
ставить в виде*.
Аналогично этому’
Ч' = ф7с, £1, Ь, . (1.67)
. 1д )
Ф можно представить и несколько иначе:
’К = (£0Л, Lyh, (Г.68)
: Опыты, производившиеся с очень большим количеством тел раз-
личной формы в очень широком диапазоне изменений коэффициента
теплоотдачи а, показали, что всегда т возрастает с возрастанием а.
Математический анализ в отдельных частных Случаях, когда выпол-
нимо интегрирование уравнения Фурье, также подтверждает справед-
ливость этого заключения. Поэтому р(С) в формуле (1.55) и обратная
функция С = <р (р) монотонно возрастающие функции.
Наоборот, Ф является монотонно убывающей функцией а, а сле-
довательно, и С*, при малых а средняя поверхностная температура 6S
очень близка к средней объемной Оу (распределение температур в теле
близко к равномерному) и ФяИ; затем, по мере возрастания а кри-
терий ф убывает, стремясь к нулю при возрастании а до бесконеч-
ности.
На небольшом участке изменения С можно считать Ф const и
кривую (1.65) или (1.55) можно рассматривать как состоящую из
весьма большого числа прямолинейных отрезков, тангенс угла наклона
§ 81
СВЯЗЬ МЕЖДУ критериями р, < И ф
39
каждого из которых к оси абсцисс — оси С—-равен Ф и постепенно
убывает. А это при переходе в пределе от ломаной к кривой озна-
чает, что кривая (1.55) обращена выпуклостью в сторону положи-
тельных р, как йоказано на рис. 8.
Рис. 8. Графическое представление зависимости
между критериями Сир (или параметрами а и т).
Рассмотренные и изложенные в § 6, 7 и 8 этой главы положения
позволяют сформулировать следующую теорему.
Теорема Кондратьева. Темп регулярного охлаждения одно-
родного и изотропного тела т при конечном значении коэффи-
циента теплоотдачи а пропорционален поверхности тела и
обратно пропорционален его теплоемкости. Коэффициент про-
порциональности есть произведение а на критерий Ф, монотонно
убывающий при возрастании а и являющийся функцией критерия
Био или чисел , ... и формы тела .
Предельное значение тт = т | а^.аэ и температуропроводность а
материала тела прямо пропорциональны: а — Кт_,-, причем коэф-
фициент пропорциональности К—чисто геометрическая вели-
чина, зависящая от размеров и формы- тела.
График зависимости /и от а в декартовых координатах изобра-
жается выпуклой кривой, аналогичной кривой р—/(Q (рис. 8).
Для вычисления критерия ф, рассматриваемого как функция р,
необходимо знать уже функцию ® (р).
Из (1.61) вытекает, что
Метод нахождения <р(р) нами указан выше.
Вычисление коэффициента формы К- Вычислить К можно двояко:
или устремляя Loh к бесконечности, что вообще громоздко и нера-
ционально, или исходя из граничных условий (£7)пов. 8=0, которые
позволяют определить р^ непосредственно. Этот путь несравненно
40 ОХЛАЖДЕНИЕ ОДНОРОДНОГО И ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА [гл. I
проще, тем более, что возможны случаи, когда решение задачи в общем
предположении С конечного из-за ее сложности почти непригодно
для практических приложений, в то время как при условии С —> со
она решается относительно легко.
Зная р^, получаем:
К=4г- (1.70)
Рсо
Мы уже говорили, что ®(р) — четная функция р; из (1.69) видно,
что и W также четная функция р. Предположим, что каждая из них
может быть разложена в степенной ряд Маклорена. Из (1.69) видно,
что старший член разложения в ряд <р(р) должен непременно со-
держать р2, потому что если бы было не так, то, устремляя в (1.69) р
к нулю (а тогда Ф стремится к единице), мы впали бы в противо-
речие; итак, для С получается следующее разложение в ряд Макло-
рена :
С = ?(р) = -±р2+...
lq
Отсюда получаем:
72=^ = Во + ^ра + В2р^+..., (1.71)
где =
Для ’Г (р) получается на основании (1.69) аналогичное разложение:
Ф(р)=1 — Е^ — Е^ — ... (1.72)
§ 9. Резюме полученных результатов и их наглядная
интерпретация
Чтобы резче оттенить физический смысл предыдущей теории,
целесообразно объединить все ее результаты и изложить их в на-
глядной форме.
Предположим, что какое-либо однородное и изотропное твердое
тело, форма и размеры которого заданы, охлаждается при отсутствии
источников тепла внутри и снаружи и при неизменной внешней об-
становке, т. е. при соблюдении условий (1.1). Температуры тела
стремятся выравняться внутри него и сравняться с температурой t
окружающей среды.
Тепловая эволюция тела распадается на три стадии.
Первая стадия характеризуется резким влиянием на температур-
ное поле тела его начального теплового состояния, которое, вообще
говоря, имеет характер случайный, совсем не связанный с теми усло-
виями, в которых происходит охлаждение тела.
Иллюстрацией может служить картина изменения температур
в плоской стенке, охлаждаемой одинаково с обеих сторон, как это
§ 9]
РЕЗЮМЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
41
изображено на рис. 9: линия А А' дает распределение температур
в начальный момент; это — беспорядочная, сложная кривая. Такой
же характер имеет линия ВВ',
представляющая распределе-
ние температур в какой-либо
момент, близкий к началь-
ному.
С течением времени влияние
начальных особенностей темпе-
ратурного поля на его дальней-
шее изменение сглаживается,
примером чего могут служить
линии DD', ЕЕ' на рис. 9,
соответствующие более поздним
моментам. Вскоре закон изме-
нения температурного поля со
временем приобретает форму
экспоненты. Эту вторую ста-
дию мы называем правильным,
или регулярным, режимом.
Наконец, эта стадия посте-
пенно переходит в третью,
которая теоретически наступает
по истечении бесконечно дол-
гого времени и состоит в теп-
ловом равновесии тела с окру-
жающей средой.
В стадию регулярного ре-
жима, вообще говоря, различ-
ные точки тела вступают не
одновременно', но рано или
поздно регулярный режим охва-
тывает все точки (для иллю-
страции см. рис. 5).
Чтобы численно характери-
зовать одной величиной скорость
Рис. 9. Изменение температурного поля
плоской стенки с течением времени при
ее охлаждении; внешние условия по-
стоянные.
охлаждения тела, непригодна скорость падения температуры в какой-
либо его точке, ибо при произвольном выборе точек скорости падения их
температур не равны: вообще ~ (это видно и из графиков на
рис. 4). Далее, скорости падения температур g- уменьшаются с воз-
растанием времени т и стремятся к нулю.
Как мы видели ранее в § 5 этой главы, для характеристики
быстроты изменения температуры тела в целом единственно пригод-
ной величиной является темп охлаждения т.
42 ОХЛАЖДЕНИЕ ОДНОРОДНОГО И ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА [гл. I
Остановим наше внимание на определенном теле из определенного
вещества и рассмотрим, что с ним будет происходить при различных
условиях регулярного охлаждения. Пусть, например, один раз это
тело охлаждается в струе воздуха, имеющей постоянную температуру t
и постотнную скорость, другой раз оно охлаждается в спокойной
(неперемешиваемой) воде той же температуры и т. п.
Величиной, которой численно характеризуется действие среды на
тело, является коэффициент теплоотдачи а. Мерой ответной реакции
тела является /и; чем больше воздействие, тем больше реакция: т —
возрастающая функция а. Если будем придавать а ряд возрастающих
значений а0 < < а2 < .... каждому из которых соответствует свой
регулярный режим данного тела, то получим ряд возрастающих зна-
чений
т<°) < т(1) < т(2) < . ..
По мере возрастания а тело реагирует на действие среды все
слабее; при весьма больших значениях коэффициента теплоотдачи
даже значительное его увеличение вызывает еле заметное изменение т
и при а —> оо число т -+ = конечному числу.
Это предельное значение тш прямо пропорционально температуро-
проводности вещества тела [см. (1.64)J.
Величины т и а, связь между которыми мы писали в виде (1.47),
специфичны для данного тела и для данных внешних условий; вместо
них мы вводим две другие величины нулевой размерности — крите-
рии р и С; С можно рассматривать как меру интенсивности теплового
воздействия среды на тело: он уточняет определение этой величины,
для чего служит множитель у, превращающий а в величину нулевой
размерности, Аналогично этому уточнение меры реакции тела заклю-
^0
чается в том, что вводится множитель — , превращающий т в число
нулевой размерности: мы приходим ко второму критерию [см. (1.50)].
Вся совокупность возможных регулярных режимов тела характери-
зуется наличием определенной связи (1.55) между р и где в выра-
жение функции уже не входят параметры, зависящие от свойств ве-
щества тела и от его размеров; вид функции определяется только
формой тела.
В табл. 1 приведены важнейшие формулы теории регулярного
режима простого однородного и изотропного тела в их взаимной
связи.
Поскольку мы перешли к критериальным величинам, естественно
сопоставить теорию подобия и теорию регулярного режима.
1. Теория подобия приводит к заключению, что нестационарный
тепловой режим любого твердого однородного и изотропного тела
описывается математически посредством уравнения, связывающего
безразмерную температуру в какой-нибудь точке тела, имеющей
§ 91
РЕЗЮМЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
43
безразмерные координаты х', у', г', с критерием Фурье (Fo) и кри-
терием Био (Bi); следовательно, если Ос обозначает какую-либо по-
стоянную температуру, то на основании теории подобия
/- = X(Fo, Bi, х', у', г'). (1-73)
С
Теория подобия не дает указаний относительно аналитического
вида или относительно свойств функции для этого необходимо или
воспользоваться методами теории теплопроводности или прибегнуть
к опыту, комбинируя эксперимент с теорией, как это обычно делается
в других разделах учения о подобии.
Таблица 1
Воздействие среды
Реакция тела
Коэффициенты
т = аЧ' (а).
Критерии
' У
Р’~Г’
у
/-и
Р
Р~
'Г = >! (LJi.LJi, ...)
УК
/’-*Л
Теория регулярного режима ограничивается рассмотрением процесса
простого охлаждения или нагревания, но дает определенные указа-
ния относительно выражения функции у в (1.73). Эта функция равна
произведению простой экспоненты от Fo на основную собствен-
ную функцию U задачи. Полагая р9 Fo = т~, мы получаем уравне-
ние (1.50),
44 ОХЛАЖДЕНИЕ ОДНОРОДНОГО И ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА [гл. 1
2. Вывод уравнения (1.73) в теории подобия основан на сравне-
нии температурных полей двух подобных тел в подобных условиях;
наш очень простой вывод независим от предпосылок теории подобия.
3. Критериальные величины Ф и р не выводятся из теории по-
добия.
Связь между Ф, р, С не может быть найдена при помощи теории
подобия, из которой не вытекает существование такой связи.
4. Предпосылки о том, что теплопередача внутри тела подчиняется
закону Фурье, а на его поверхности закону Ньютона, одинаковы
в обеих теориях.
5. Некоторые положения теории регулярного режима однородного
и изотропного тела могут быть обобщены и на составные тела
(см. гл. V); современная теория подобия в применении к твердому
телу ограничивается почти исключительно простыми телами.
ГЛАВА II
РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ТЕЛ ПРОСТЕЙШЕЙ ФОРМЫ
§ 1. Постановка задачи
• Тела, регулярный режим которых будет рассмотрен в этой главе,
составляют издавна предмет многочисленных теоретических и экспе-
риментальных исследований по теплообмену [2, 3, 6]; их температур>-
ные поля чрезвычайно подробно изучались теоретически. Несмотря на
большую простоту задачи о регулярном охлаждении этих тел, мы
все же ее решим, чтобы на этом простом примере показать примене-
ние общего метода, изложенного в § 7 гл. I.
Прежде чем приступать к нему, сделаем несколько замечаний
в целях уточнения и некоторого обобщения в постановке задачи.
Мы будем считать размеры плоских оснований пластинки настолько
большими по сравнению с ее толщиной X, что граничные условия
по боковому обводу никакого влияния на температурное поле пластинки
не оказывают (термин: „пластинка").
Точно так же мы будем считать радиус прямого кругового ци-
линдра 7? настолько малым по сравнению с его длинойZ, что тепло-
отдача по торцам не оказывает влияния на температурное поле ци-
линдра (термин: „цилиндр").
Три тела— пластинка, цилиндр и шар (рис. 10) — являются основ-
ными формами и могут быть рассматриваемы как представители
трех классов некоторых групп сплошных тел, вообще говоря, непра-
вильной формы.
К первому — классу пластинки—принадлежат тела, длина и
ширина которых значительно превосходят их толщину, причем тол-
щина в разных местах может претерпевать незначительные колебания
около некоторой средней величины.
Ко второму — классу цилиндра — условно отнесены тела, длина
которых значительно превышает их ширину и толщину, причем оба
последних размера — одного порядка и незначительно меняются вдоль
длины тела.
Третий — класс шара — составляют тела, все три измерения
которых — одного порядка.
46
РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ТЕЛ ПРОСТЕЙШЕЙ ФОРМЫ
[гл. It
Чтобы изучить регулярное охлаждение какого-либо тела непра-
вильной формы, принадлежащего к одному из трех указанных выше
классов, можно сравнить его с охлаждением эквивалентного тела
того же класса правильной формы. Под эквивалентными телами мы
понимаем в случае тел первого класса тела, средние толщины кото-
рых равны; в случае тел второго класса — тела с одинаковыми сред-
ними площадями поперечного сечения (получаемыми, если переме-
щаться вдоль длины тела), в случае тел третьего класса — тела,
имеющие равный объем.
Приближенно температурное поле тела неправильной формы можно
заменить температурным полем эквивалентного тела правильной формы—
полем, которое описывается посредством удобных и простых формул.
Рис. 10. Три простейшие (основные) формы твердых тел:
а — пластинка; б — цилиндр и шар.
Это замечание позволяет для некоторых тел неправильной формы,
встречающихся на практике, дать приближенное решение задачи,
сведя ее к регулярному режиму пластинки, цилиндра или шара.
Далее мы предположим, что ввиду полной одинаковости гранич-
ных условий на наружных поверхностях всех трех простых тел тем-
пературное поле их зависит только от х в случае пластинки, от г —
в случае цилиндра и шара.
Поэтому и собственные функции для всех трех тел будут функ-
циями только одной независимой переменной; мы будем иметь:
= 0 = в случае
ду дг J
dU' 3U
— = 0 = -д- в случае
о г оу J
dU „ dU
в сл?чае
пластинки,
цилиндра,
шара.
§ 2] РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ГглаСгинки, ЦИЛИНДРА И ШАРА 4?
Здесь для пластинки выбрана система декартовых координат, при-
чем за координатную плоскость yOz взята центральная плоскость
пластинки; для цилиндра выбрана система цилиндрических координат,
ось которой Ог совпадает с осью цилиндра; для шара выбрана си-
стема сферических координат с началом в центре шара.
§ 2. Регулярный режим пластинки, цилиндра
и шара
Пластинка. В качестве основного размера выберем половину
толщины пластинки:
Ъ-^х.
Согласно общей методике, необходимо найти аналитическое выра-
жение сообственных функций, для чего следует проинтегрировать
уравнение (1.28) общей теории, т. е. в данном случае
~ 0.
dxJ 1 1
Из него получаем:
U — cos (рх-ф- со)
(с точностью до постоянного множителя — см. § 5 гл. I), обозначив
постоянную интегрирования со; со должно быть определено с помощью
граничных условий (1.3Э). Эти условия должно доставить нам и ура-
внение (1.53) для определения р.
Ввиду полной симметрии граничных условий, т. е. одинаковости а
на правой и левой сторонах пластинки, уравнения которых суть
х - —Z.Q, х — Lqi
U должна быть четной функцией от х, откуда вытекает, что со = 0.
Граничные условия напишутся следующим образом:
Подставив сюда вместо U ее выражение cosp-x и введя
= (2.1)
получаем:
v>t(p) = p^gp=4 = ^Xh. (2 2)
Введем обозначение
F(x) = xtgx. (2.3)
48 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ТЕЛ ПРОСТЕЙШЕЙ ФОРМЫ [ГЛ. 11
Таблица этой функции дана в приложении (см. табл. I).
Уравнение (2.2), где С задано, имеет бесчисленное множество кор-
ней р0, рг, р2, ..., каждому из которых соответствует своер^ и
свое mf, под р, согласно общей теории, мы понимаем наименьший
из них; он лежит между нулем и у. Устремляя С к бесконечности,
получим Роэ = ту • Поэтому, согласно (1.58) и (1.64), находим коэф-
фициент формы для пластинки:
<2-4'
что, впрочем, и непосредственно усматривается, если написать гранич-
ные условия (1.56) для данного частного случая:
^ = [cos(Zz-x)L=4 = 0-
Для разыскания функции Ф следует воспользоваться уравнением
«Y • 1 • 1 X
(1.69) общей теории. В данном случае величина / = 2 = у (в зна-
менателе фигурирует цифра 2 потому, что теплоотдача происходит
по обеим сторонам пластинки); поэтому уравнение (1.69) сводится к
«2
= (2-5)
Цилиндр (бесконечный). Определяющим размером здесь
мы изберем радиус поперечного сечения: Zo = R.
Для нахождения аналитического выражения собственных функций
необходимо проинтегрировать уравнение
+ - + (2.6)
dr* 1 г dr 1 г '
Это — частный случай основного уравнения теории бесселевых
функций [11].
Его общее решение, конечное при г — 0, с точностью до постоян-
ного множителя, т. е. основная собственная функция для бесконечного
сплошного цилиндра, будет
П = /о(^)- (2.7)
Для нахождения уравнения с т или р, согласно общей теории,
следует подчинить эту функцию граничным условиям (1.30), которые
сведутся к одному уравнению:
§ 2] РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ПЛАСТИНКИ, ЦИЛИНДРА И ШАРА 49.
так как наружная поверхность S цилиндра совпадает с изотермиче-
ской, а направление внешней нормали к ней совпадает с направлением
по радиусу от оси наружу: п = г. Подставив сюда выражение (2.7),
вводя критерий
р = = (2.8)
и воспользовавшись известной формулой — ]'й (х) — (х), перепишем
эти граничные условия в форме:
?(p) = ^ = W-C, (2.9)
Jo\P)
где Jl(p)—бесселева функция первого рода.
Обозначим
(2.10)
J 0 (.х)
Таблица этой функции дана в приложении (табл. 11).
Если равенство (2.9) рассматривать как уравнение относительно р,
считая £ заданным, то оно имеет бесчисленное множество корней,
образующих ряд возрастающих чисел; регулярному режиму соответ-
ствует наименьший из них, который мы. и обозначим р. Этот корень
лежит между нулем и наименьшим положительным корнем хг дй 2,4048
(12] функции J0(x). Остальные корни х2, х3, ... соответствуют даль-
нейшим членам разложения в ряд общего интеграла задачи.
Наименьший корень р уравнения (2.9) есть непрерывно возрастаю-
щая функция С, которая стремится к хА при С —> оо. Как и в преды-
дущем случае, найдем коэффициент формы цилиндра [см. (1.64) и
(158)]
_ да (2 11)
Д 5,783' I2-11)
Находим Ф по (1.69), вычислив I из рассмотрения отсека цилиндра,
имеющего высоту, равную единице:
. _ • 1 _ R .
2nR 1 2 ’
пг _ 1 . Р2 _ PJo (р)
2 ‘ (р) 2Jj (р) '
.2
(2.12)
Шар. За определяющий размер принимаем радиус шара: LC) = R.
Собственные функции задачи будут найдены путем интегрирования
обыкновенного дифференциального уравнения
£_(t/r) + ix2(c/r)==0,
общий интеграл которого с точностью до постоянного множителя равен
sin (рг + ш)
г ’
4 Зак. 750. Г- М. Кондратьев
50
РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ТЕЛ ПРОСТЕЙШЕЙ ФОРМЫ [ГЛ. 11
где ш — постоянная интегрирования. В рассматриваемом случае сплош-
ного шара она должна быть равна нулю.
Поэтому для сплошного шара собственная функция равна
U = -lnJK). (2.13)
Граничные условия в данном случае сведутся к одному условию:
[d. /sin . fa sin p-r I ______q
dr\ r J ‘ ~~r J,.=E “ ’
ибо направление внешней нормали совпадает с радиусом.
Развернув это выражение и заменив в нем р./? через р, получим
уравнение:
®(р)=1—pctgp = Rh = 'C. (2.14)
Обозначим
Ф (х) = 1 — х ctg х. (2.15)
Таблица этой функции дана в приложении (табл. III).
Под р мы понимаем наименьший положительный корень уравнения
(2.14); он всегда заключен между нулем и тг. При возрастании р
от нуля до и функция Ф(р) = С возрастает непрерывно, стремясь к
бесконечности при р -> = я.
Отсюда получаем коэффициент формы шара:
/?•’
Г?
(2.16)
который и непосредственно может быть найден из условия
и,ч = О
Вычисление Ф для шара выполним по формуле (1.69).
Для шара
4
, 3^7?
1 — ’ 3 ’
откуда
Ф=1, =____pi____
3 ?(/>) 3(1—pctgp)
(2-17)
§ 3. Приближенные формулы
Рассмотренные в § 2, 3 и 4 три случая имеют общую черту: каждая
из рассмотренных форм определяется только одним геометрическим
параметром, хотя поверхности, их ограничивающие, и глубоко различны
по своим свойствам: — плоская, линейчатая и двоякой кривизны.
§ 3]
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ
51
Таблица 2 наглядно показывает, как зависит функция <р(р) от
формы тела.
Таблица 2
Функция £ = ?(р) для простейших форм
Параметр Форма
шар цилиндр пластинка
^0 у ° 4° 4г
л <=3,142 л-1 =, 2,4048 1,5708
: = ? (/>) 1 — Р ctgp । РЛ (р) Ыр) Р^Р
Ft ЗС ‘М, г
Примечание. £> — диаметр шара или цилиндра;
Z — толщина пластинки.
Приближенные формулы для функций F, f, Ф. В практических
приложениях чаще приходится рассматривать С как функцию р, чем
ей обратную, так как очень часто из опыта мы определяем т или р
и уже после этого находим £. Поэтому в приложении даны таблицы
функций С (р) и ’Г (р) (табл. I—VI).
Наряду с ними представляют практический интерес и приближен-
ные формулы для вычисления С и р при очень малых р, которым
соответствуют малые значения критерия Био, и при р близких к р^,
когда критерий Био становится весьма большим.
Они выражаются приводимыми ниже приближенными формулами.
Малые значения С и р
Пластинка толщиной X:
<=К = ¥ = '’<Р>’“Р’ + т+4г- <2-18)
Обратная функция р = р (Q при малых значениях С дана формулой:
р2 —-Ь2. (2.19)
Цилиндр радиусом R:
C = /?/i=/(p)^^+^+g. (2.20)
4*
52 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ГЕЛ ПРОСТЕЙШЕЙ формы [гл. п
Обратная функция при малых значениях &
р^2Г — ±1?. (2.21)
Шар радиусом R:
I = Rh = Ф (р) +g + |g. (2.22)
Обратная функция при малых значениях
р2 = ЗС—уС2. (2.23)
Большие значения р близко к рм
Пластинка: р » = у . Пусть р = — е, где е — малое поло-
жительное число. Тогда
C=F(p)«£-l- £S + |s2. (2.24)
Обратно, р, рассматриваемое как функция С при больших С, дано
формулой:
'’«т-с-ття=1’671ттт- <2-25>
Цилиндр: роа = хг 2,4048. Пусть р = ха— в; тогда
' (‘ + 2й) '' <Xl>
ИЛИ
<2-26»
Обратная функция:
-тф! ~2,405 •г^г. (2.27)
Шар: рю = к. Пусть р = тс — в; тогда
С = ф(/>)^-р.±(1+15е2). (2.28)
Обратная функция:
р^гг-^ + К^)3. (2.29)
Более грубое приближение:
р?«к.^~^3,142.^. (2.30)
§ 3]
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ
53
Таким образом, при малых значениях критерия С зависимость р
от С приближенно изображается параболической кривой;
где
N= 1 2 3.
для пластинки цилиндра шара
При больших значениях С эта зависимость может быть предста-
влена гиперболой (2.25), (2.27), (2.30).
Формулы (2.25) и (2.27) верны с точностью выше 1°/0 в широком
интервале значений С: ошибка становится заметной только при С < 4.
При С = 4 она порядка О,5°/о. Формула (2.30) дает точность того же
порядка, лишь начиная с С =10.
Таблицы I, II, III приложения для вычислений С при значениях р,
близких к рт, становятся непригодными; в этих случаях вычисление
следует вести по формулам (2.24), (2.26), (2.28), дающим хорошую
точность. Так, например, формула (2.28) при р = 2,9 дает значение С
с ошибкой меньше 10~3.
ГЛАВА Ill
РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ
ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ
§ 1. Вывод основных формул для цилиндра
конечной длины
Обозначим длину цилиндра Z, диаметр основания D, его радиус
R = i- D. Определяющего размера пока назначать не будем, оставив
это для дальнейшего.
Предположим, что коэффициент теплоотдачи имеет одинаковое
значение во всех точках боковой поверхности цилиндра, равное а;
коэффициент теплоотдачи на торцах также одинаков и равен а'; но
вообще а.' может и не быть равным а. В силу этих предположений
температурное поле цилиндра по установлении регулярного режима
будет зависеть только от г и z, если для описания температурного
поля избрать цилиндрические координаты с началом в центре
цилиндра.
Уравнение (1.28), которое нам в первую очередь надлежит инте-
грировать, примет вид:
+ ^+^4-^=0 (3.1)
дг* 1 г дг 1 дг1 ' 1 ' '
[см. (1.9)|.
Для нахождения собственных функций U применим обычный
прием: будем искать функцию U как произведение двух неизвестных
функций U = ра, одна из которых р зависит только от г, а другая а
только от г. Подстановка этого выражения в (3.1) дает уравнение
Сайр:
из которого следует, что p = Jo(?r), ' = cos (yz—<в), где f(>0),
м(>0) и <и — постоянные интегрирования, которые, согласно, общему
методу решения задачи, изложенному в § 7 гл. I, мы должны опре-
делить, подчиняя U граничным условиям (в общей теории мы их обо-
значали <Ор <»д , . . . ).
§ 1] ВЫВОД ФОРМУЛ ДЛЯ ЦИЛИНДРА КОНЕЧНОЙ длины 55
Искомое число т выражается через [3 и v формулой:
(3-2)
Общие граничные условия (1.30) в данном случае распадаются на
три соответственно трем поверхностям, ограничивающим рассматри-
ваемое тело: боковая поверхность, нижний и верхний торцы (рис. 11).
Выразим производную по внешней нормали
dU ди
изводные -т— и -^г-
dz dr
dU
через частные про-
dU
dn
dU , . . dU , х
• cos (п, г) + ^у • cos(я, г)
и напишем граничные условия для каждой из
указанных поверхностей.
На боковой поверхности общее условие (1.30)
принимает вид:
при всяких
Подстановка сюда на место U его выраже-
ния ра приводит к тому же уравнению, которое
мы ранее получили в случае бесконечного ци-
линдра, только на место р в него следует
ввести р.
Обозначим
pR~s. (3.3)
Тогда условие на боковой поверхности све-
дется к следующему:
(З-О
Рис. 11. Цилиндр
конечной длины.
В силу симметрии условий на торцах (^при z = Z
ш = 0.
Подставив в уравнения, выражающие эти условия, на место а его
выражение cos (мг — <и) и обозначив
<7,
(3.5)
получаем для q уравнение;
56 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ [ГЛ. III
Заменив 0 и v безразмерными величинами у и q, имеющими харак-
тер критериальных
— Z
2
окончательно получаем решение задачи при помощи уже не одного
уравнения, как в разобранных выше простейших случаях гл. II,
а при помощи системы трех уравнений:
!х2=Ш2+('Г_)2’ = = (з.7)
s и q—наименьшие корни этих уравнений.
Основная собственная функция задачи дана формулой
U — Jo(0r)cos(v2). (3.8)
Случай бесконечного а; коэффициент формы.
Предположим, что а и а7 стремятся к бесконечности; тогда гра-
ничные условия, т. е. условия исчезновения U на поверхности цилиндра,
принимают вид:
/о(0г) cos(v^) = 0 при г = и при всяком Z,
J(, (0r) cos (*г) = 0 при Z = ± Z и при всяком г.
Отсюда получаем, обозначив
000= lim 0 и *оо= 1нн *,
а -> со а -> со
два следующих уравнения для неизвестных 0т и vM:
/0 (0со А?) = О, cos^-^—J = 0.
Мы должны взять наименьшие корни из бесчисленного множества
корней этих двух уравнений, так как именно эти корни дают для
темпа охлаждения т, равного
/«и = = а ([& + 4)>
наименьшее возможное значение; отсюда получаем:
'i Z
0^7? = Xj = 2,4048 ... , ^-=|.
Поэтому коэффициент формы К для цилиндра конечной длины
будет выражаться формулой:
К = 7TJ7V . / ТС \2 ~ 5J83~9j7’ (3’9-)
/?= + Z2
§ 2] РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И СОСТАВЛЕНИЕ ТАБЛИЦ 57
Отсюда получаются в предельных случаях
Z п „
/? И Z
как формула (2.4), так и формула (2.11).
§ 2. Практическое решение основных расчетных уравнений
и составление таблиц для цилиндра и диска
В теории теплопроводности при рассмотрении задачи об охла-
ждении сплошного конечного цилиндра обычно ограничиваются выводом
аналитического выражения для собственных функций, т. е. по суще-
ству уравнением (3.8) (2, 3]; решения уравнений (3.7), аналогичных
уравнениям (2.2), (2.9) и (2.14), не исследуются, подобно тому, как
это делают в простейших случаях [2, 3, 4]. Причина этого состоит
в том, что из уравнений обычной теории теплопроводности не выте-
кает прием, которым можно уменьшить число параметров, выражаю-
щих зависимость между коэффициентами nij (в том числе и интере-
сующим нас т) и величинами а, X, cVoi, Z, и D. Не указывает этого
приема и теория подобия.
Поэтому введение критерия р и безразмерных параметров является
значительным шагом вперед: процесс регулярного охлаждения описы-
вается посредством четырех величин вместо шести.
И все же выведенные в предыдущем параграфе уравнения (3.7)
непригодны для непосредственных вычислений, так как не позволяют
непосредственно связать р с С: в них входят еще вспомогательные
ГТ О г,
величины. При этом влияние параметра остается неясным. Един-
ственным путем практического решения задачи является путь вычи-
слений и составления таблиц, что и будет содержанием этого пара-
графа.
Мы не будем усложнять теорию, считая а.' Ф а: здесь, как ранее
в общей теории, сделаем упрощающее выкладки предположение, при-
няв а' = а.
Переходим к вычислительной стороне.
Мы будем пользоваться той или другой из вспомогательных вели-
чин s и q, смотря по тому, в какой области значений лежит безраз-
мерный параметр р.
Если D/Z< 1, т. е. имеем „цилиндр", то мы пользуемся вели-
чиной 5 и будем рассматривать систему уравнений:
»!+«’(4-)2=^ (ЗЛ0)
а за определяющий размер примем R, так что будет
(з-п)
58 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ [гл. III
[Система (3.10) получается из системы (3.7) по исключении из послед-
ней величины h\.
Если Z/D<1, т. е. если мы имеем „диск", то будем пользо-
ваться q и систему представим в виде:
а за определяющий размер примем -у > так чт0 будет:
Наконец, в том частном случае, когда Z = D, критерий р будет
обозначен pv соответствующие этому частному случаю значения s
й
Рис. 12. Ограниченный цилиндр, диск и их вырождения.
и q обозначим и в этом случае система (3.10) или (3.12) при-
мет более простой вид:
+ = (3.14)
Чтобы наметить удобный путь решения этих уравнений и построе-
ния графиков, рассмотрим всю совокупность возможных цилиндриче-
ских форм, которые получаются, когда Z3/Z проходит последова-
тельно ряд значений от нуля до бесконечности. Эти формы предста-
влены на рис. 12 и намечены буквами a, b, с, d, f.
Ц и л и н д р:
0>^> 1.
§ 21
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И СОСТАВЛЕНИЕ ТАБЛИЦ
59
Рассмотрим сперва все формы, заключенные между d п с.
В случае d, бесконечного цилиндра, >0, а поэтому F(q')—>сю
[в силу (3.6)], следовательно, q-+^, и система (3.10) сведется
к одному уравнению (3.4).
По мере того как D/Z возрастает, s уменьшается, что видно из
(3.10). Установим пределы, между которыми заключено число s. Для
этого, считая h' = h, исключим q из системы уравнений (3.7); полу-
чится уравнение с s:
Выражение под знаком tg есть не что иное, как q\ в силу только
что сказанного q < -% , т. е.
Выражение под знаком радикала должно быть также положитель-
ным, так что
Я2 • — — s2 > 0.
а
Как следствие этих неравенств получаем:
Я2. FL > S2 > . FL _ + .
а а \ Z)
или
Р > « > ]/~Р2~(^ • 4/ • (3.15)
Неравенства (3.15) облегчают решение задачи, так как они ука-
зывают пределы, между которыми заключается искомое значение s,
соответствующее заданному значению р.
Предположим, что D[Z задано и не превосходит единицы (слу-
чай а). Пусть р возрастает. Простой анализ показывает, что s воз-
растает монотонно с р. Наибольшее значение р получится из (3.10),
если там мы придадим числам s и q наибольшие возможные значения
и каковыми являются х, = 2,4048 и 1,5708:
lilM-A J 1Г1ДА ' J. / 1
Ах = 5,783 + 2,465
(3.16)
Если в качестве первого приближения считать, что а изменяется
прямо пропорционально р, то график зависимости s от р будет пря-
молинейным и для его построения достаточно знать две точки. Пер-
вая из них — начало координат, так как при р = 0 будет s = 0 и
<7 = 0; вторая получится из условия, что максимальному возможному
60 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ [ГЛ. III
значению у, которое равно 2,4048 . . ., соответствует максимальное
значение р, вычисляемое по формуле (3.16).
Придавая различные значения параметру D/Z, мы получим семей-
ство прямых, приближенно изображающих семейство кривых
являющееся следствием системы уравнений (3.10) по исключении
оттуда q.
Построение этих прямых представлено на рис.* 13: проводим пря-
мую, параллельную оси абсцисс, т. е. p-оси, в расстоянии
х, = 2,4048 ... от нее; задаемся каким-либо значением DjZ, вычи-
сляем по (3.16) число ргаах и откладываем его по оси абсцисс
в точке А; проводим через А прямую, параллельную оси ординат,
до пересечения ее в точке а с упомянутой выше прямой, параллель-
ной оси абсцисс. Искомая кривая (3.17) приближенно представится
в виде прямой, проходящей через начало координат О и точку а.
Заметим, что при -^->0 (случай d), кривая (3.17) переходит
в прямую уже совершенно точно, и уравнение этой прямой будет
s^p.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И СОСТАВЛЕНИЕ ТАБЛИЦ
61
§ 2|
Более точное построение кривых (3.17) может быть выполнено на
основании только что указанного первого приближения и неравенства
(3.15) путем последовательных приближений. Для этого необходимо
пользоваться таблицами функций / (х) и F (х), которые даны в при-
ложении.
Диск:
^ZjDy- 1.
Мы рассмотрели случаи d, а, с\ совершенно аналогично рассма-
триваются во взаимной связи случаи /, b и с.
В случае /, получаемом из b при приходим, в силу
уравнения (3.4), к выводу, что /(у)—>оо, а отсюда вытекает у-»х(;
система (3.12) сведется к одному уравнению (3.6).
По мере того как ZjD возрастает, q уменьшается. Пределы для q
устанавливаются посредством рассуждений, аналогичных тем, которые
были нами проведены в предыдущем случае', оказывается, что
p'>Q> — 5,783 (3.18)
Рассмотрим, как меняется q в зависимости от р', предполагая,
что Z/D задано; р' — возрастающая функция h. Приняв же во вни-
мание равенство (3.6) и основное свойство функции F (д), заключаем,
что р' — монотонно возрастающая функция q. Наибольшее возможное
значение р' получим, приписав у и q в формуле (3.12) наибольшие
возможные значения ymov и o,„nvl а именно, х. и подобно (3.16),
имеем:
р'тах«(|)2 4-5,7 83 . (3.19)
В качестве первого приближения можно принять прямую пропор-
циональность между q и р'\ тогда соответствующий график изобра-
зится прямой линией, подобно тому, что имело место выше — при
построении у, рассматриваемой как функция р.
Все семейство кривых
/ 7 \
4) (3'2°)
в первом приближении представится как совокупность прямых линий
(рис. 14). Способ их построения ясен из предыдущего.
При ZiD-^-Q совершенно точно имеем прямую: q = p'.
Архимедов цилиндр:
Другим предельным случаем является случай тогда мы
имеем систему (3.14), т. е. переходим к случаю с, промежуточному
между цилиндром а и диском Ь. Он требует особого рассмотрения.
62 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ [1 Л. Ill
Здесь q = qx и s = 51 — функции только p=pv Пусть сперва
Pl — число малое; тогда и тоже малые числа. Пользуясь раз-
ложениями F(q) и f(s) в степенные ряды (см. § 5 гл. II) и оста-
навливаясь на первых членах этих разложений, получаем из уравне-
ния (3.14):
2 2.2 2 .
*71 ~ > *7t + si— Pi i
отсюда следует, что
SjSS 0,8164 р^ ^^0,577 4pr
(3.21)
Эти уравнения дают решение
ний pL- Однако они годятся и для
даже превосходящих единицу.
системы (3.14) для малых значе-
значений вплоть до единицы и
Рис. 14. Приближенное построение зависимости q = q
(диск).
Лучшее приближение отыскиваем методом последовательных при-
ближений, в результате чего получается табл. 3.
Наличие табл. 3 и приближенного решения задачи позволяет
получить и более точное ее решение уже для любых значений пара-
метра DjZ.
Для упрощения выкладок можно, наряду с неравенствами (3.15)
и (3.18), воспользоваться следующим соображением, которое мы
поясним на случае цилиндра (^<1) • Даем р ряд значений от
нуля до ртах [см. (3.16)] и решаем уравнения (3.10) совершенно
тем же приемом, который был применен нами только что к си-
стеме (3.14).
§ 21
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И СОСТАВЛЕНИЕ ТАБЛИЦ.
63
Т а б л п ц а 3
Si и Qi — функции pj
Р1 = 0 0,5 1 1,5 2 2,2 2,5 2,7 2,87
*1 = 0 0,406 0,816 1,235 1,64 1,83 2,09 2,25 2,405
<11= 0 0,289 0,577 0,850 1,11 1,22 1,37 1,48 1,571
£1 = <h 1,38 1,41 1,45 1,48 1,50 1,52 1,52 1,53
Во-первых, для малых s и q имеем:
F(q^q\
а отсюда уравнения (3.10) обратятся в систему:
Следовательно, для малых s и q будет:
С другой стороны, приближенно:
^niax ,—> 2,40,J
Р Ртах Ртах
Эти два приближения позволяют легко найти третье, которое часто
будет достаточным.
Этим путем составлена табл. 4.
Таблица 4
Р '\ 0 0,3 0,5 1,0
0 0 0 0
0,5 0,5 0,47 0,45 0,41
1,0 1,0 0,95 0,91 0,82
1,5 1,5 1,45 1,39 1,24
2,0 2.0 1,96 1,88 1,64
2,2 2,2 2,16 2,07 1,83
2,4 2,4 2,36 2,28 2,01
2,5 — — 2,39 2,10
2,7 — — — 2,26
2,87 — — — 2,405
64 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ [ГЛ. III
Таблицей 4 охватываются формы цилиндров, помеченные па рис. 12
буквами d, а, с. Из нее видно, что кривые (3.17) мало отличаются
от семейства прямых, изображенных на рис. 13.
Диск:
4>i.
В этом случае преобладающую роль играет размер Z — высота;
ее половина и взята нами за определяющий размер [см. (3.13)].
Вычисления, аналогично изложенным ранге, приводят к табл. 5,
выражающей зависимость q от р' и ZJD.
Таблица 5
q = q (р', ZD)
р' Z/D\^ 0 0,5 1,0 1,5 2 Примечания |
0 0 0,5 1,0 1,5 — Х„а1 = 1,5708 <2
0,5 0 0,35 0,71 1,13 1,57 соответственно /’max ~ 1 >98 < 2
1 0 0,29 0,58 0,85 1,11 Ртах = 2>87
2 0 не выч. 0,44 не выч 0,8 Эта строка отно- сится к „цилиндру"
Таблицей 5 охватываются формы дисков, помеченные на рис. 12
буквами /, Ь, с. Из нее видно, что кривые (3.20) мало отличаются
от прямых, изображенных на рис, 14.
Практический интерес представляет та группа семейства кривых
(3.20), для которых значение параметра ZjD лежит между 0 и 0,5.
Результаты вычислений, выполненных при помощи описанного выше
приема для двух значений Z)D, а именно: 0,15 и 0,25, приведены
в табл. 6.
Таблица 6
q = q(p', Z/D) для малых значений Z/D
Z/£^\ 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 /
0,15 0,1993 0,3985 0,500 0,5977 0,7965 0,9946 1,913 1,385 1,544 1,611
0,25 0,162 0,330 0,420 0,505 0,680 0,877 1,075 1,280 1,488 1,681
В заключение приводим приближенные формулы, годные для
малых значений параметра D/Z или Z/D.
§ 3] физически!} смысл формул и графиков для цилиндра 65
Случай — — =т=Малое число („ц и л ин д р“). Приближенно
па основании формул (3.10) имеем:
, У max __ ____-*1________
Р Ртах Г 2 , /Л D\%’
V X1 + Grz)
откуда следует
- ----! . ____= . 1 . . (3.22)
Р . Г ' , ( « \2 ч У 1 + 0,423 е2
V
При е = 0, т. е. когда цилиндр становится бесконечно длинным,
имеем точную формулу s — р.
Формула (3.22) дает технически достаточное приближение (около 1°/0
и менее) при р порядка 1,5—2. При малых р (< 1,5 или 1) лучшее
приближение получаем, пользуясь разложением f(s) и F(q) в степен-
ные ряды.
Z
Случай ^ = в—малое число („диск11, круглаяпла-
с тин к а). Приближенно на основании формул (3.12) находим:
ГС
Л ~ gf.ax 2
Р Ртах I r2r/2
Г \2j + '
отсюда
Я ___________L_______~1____________ г я оч\
Эта формула дает приемлемую точность при меньших значениях е',
чем предыдущая (3.22).
§ 3. Физический смысл приближенных формул и графиков
для цилиндра
Полученные в предыдущем § 2 вычислительным путем резуль-
таты имеют важный физический смысл и большое практическое
значение, так как позволяют выяснить влияние торцов или боковой
поверхности на регулярное охлаждение цилиндра.
Рассмотрим сперва предположение -% 1 •
Наряду с р здесь был введен вспомогательный параметр s. Если
цилиндр вырождается в бесконечный, то = а -> 0, мы имеем слу-
чай d (рис, 12) и s = р. Если же цилиндр имеет конечную высоту,
то s < р, причем .9 стремится к р по мере увеличения высоты
5 Зак. 750. Г. М. Кондратьев
6G РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ [ГЛ. Ill
цилиндра, т. е. при &->0. Следовательно, можно сказать, что откло-
нение s от р, которое, как видно из таблиц и формул § 2 этой
главы, все возрастает по мере увеличения геометрического параметра
DjZ, характеризует влияние торцов на темп охлаждения. В самом
деле, если условия охлаждения заданы, т. е. Rh дано, то и у из-
вестно и задано; темп же охлаждения р (в критериальной форме)
будет зависеть уже только от D.Z = в. За меру влияния торцов
р р — s
можно принять -у, или р— s, или —-—.
Из графиков на рис. 13 и из табл. 4 мы видим, что дробь
не так уже сильно отличается от единицы даже для цилиндров,
близких к архимедову цилиндру (D = Z) — к форме с. Для цилиндра
же с высотой, вдвое больцей основания, влияние торцов становится
уже мало заметным при средних значениях критерия р. Отсюда вы-
текает, что ошибка, которую вносит в практические расчеты и
в опыты предпосылка а' = а, не может быть значительной, если
брать высоту цилиндра в два-три раза больше диаметра основания.
Для иллюстрации того, как падает эффект торцов по мере воз-
растания Z/D (при заданном D), можно рассмотреть, как изменяется
отношение s/p в зависимости от р при каких-либо двух значениях
DjZ\ пользуясь данными табл. 4, получим табл. 7.
Таблица 7
— как функция р
р 0,5 1,0 1,5 2,0 2,2 2,5
0,900 0,910 0,927 0,940 0,942 0,965 D для — = 0,5
"О | и 0,940 0,950 0,967 0,976 0,980 1,000 D л „ для = 0,3
На практике пренебрежение влиянием торцов для цилиндров,
у которых высота в два-три раза больше основания, влечет за со-
бой ошибку не свыше 7%.
Теперь предположим, что ^^>1: имеем дело с круглой пластинкой.
Наряду с р7 здесь вводится параметр q. В предельном случае
ZfD-^-Q, когда круглая пластинка обращается в неограниченную
(случай/, рис. 12), q = р’.
Величина отклонения q от р', очевидно, может служить числен-
ной характеристикой влияния краев на темп охлаждения (как в этом
§ 3]
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ФОРМУЛ И ГРАФИКОВ Для ЦИЛИНДРА
67
убедимся, повторяя.рассуждения, совершенно подобные предыдущим).
Когда пластинка имеет ограниченные размеры, отклонение q от р'
становится все ощутительнее по мере возрастания ZjD\ табл. 5 по-
казывает, что еще при ZfD = 0,5 влияние краев значительно. В этом
отношении диск ведет себя иначе, чем цилиндр: краевой эффект
становится пренебрежимым, только когда толщина диска в пять-
шесть раз меньше диаметра его основания. Это усматривается из
табл. 6. Пользуясь ею, можно для иллюстрации отклонения q от р'
вычислить разность р' — q при разных значениях параметра р' и
при заданной величине отношения ZID. Приняв ZjD = 0,15, т. е.
взяв диск, толщина которого в шесть-семь раз меньше диаметра,
получаем следующий результат (табл. 8).
Таблица 8
р' — q как функция р' при Z/D = 0,\5
р' 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,611
р' - q 0,0007 0,0015 0,0023 0,0035 0,0054 0,0087 0,0150 0,0560 0,0400
Следовательно, при таком соотношении D я 7. диск ведет себя
как неограниченная пластинка.
Аналитическое выражение критерия Ч. Критерий Ч можно
рассматривать двояко: как функцию критерия ч или как функцию
критерия р. В соответствии с этим в приложениях теории целесо-
образно избрать то или другое выражение для Ч.
Если исходить из задания критерия С, т. е. считать известными
Zh и Rh (понимая под h его среднее значение, соответствующее
осредненному по поверхности значению а = а), то требуемое выра-
жение Ч получим следующим образом. Как и раньше, исходим из
формулы (1.61) и подставляем в нее на место I его выражение
RZ
2(7? + Z)
/ =
; р-2 выражаем через s и q согласно первому из урав-
нений (3.7); получается:
(3.24)
Поскольку Rh и Zh известны, будут из двух последних уравне-
нений системы (3.7) найдены s и q\ по формуле (3.24) будет опре-
делен и критерий Ч.
Теперь предположим, что известно р, или р', или plt т. е. темп
охлаждения в критериальном виде. Здесь приходится различить три
случая, смотря по тому, как выбран определяющий размер; Ч полу-
чает различное выражение для каждого из них.
68 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ (гЛ. til
Первый случай. Цилиндр: DjZ—г между 0 и 1. За £0
_ «2
взято /?; = формула (3.24) обращается в
ф = «2 . . ___1____
р R 2(Z-\-R)h
Заменив здесь Zh через ZF (q), a Rh через /(s), получим:
ф = рг
(2 + z)f(sy
(3.25)
Соотношение между s и р нам известно; следовательно, формула
позволит вычислить Ф как функцию р.
Второй случай. Архимедов цилиндр: D = Z. За £0
попрежнему берем R. Так как /(s1) = F(^]), то формула для Ф при-
мет вид:
'3/(Si) 35(9,)’
(3.26)
Третий случай. Диск: ZlD = e! между 0 и 1. Здесь за
определяющий размер £0 взята Z; из (3.24) следует:
(1 -|-2ez)/ (дУ
(3.27)
Поскольку нам известна связь между р! и q [см. (3.20) или (3.23)],
уравнение (3.27) дает Ф как функцию //; в ее выражение входит
параметр У.
Из формул (3,25) и (3.27), устремляя а или е' к нулю, получим
формулы (2.12) и (2.5) для двух основных форм.
§ 4. Вывод основных формул для регулярного режима
прямоугольного параллелепипеда
Обозначим длины ребер параллелепипеда X, У, Z; введем при
решении задачи декартовы координаты, начало которых О поместим
в центре параллелепипеда. Предположим, что значения коэффициента
теплоотдачи на взаимно параллельных гранях одинаковы; обозначим
их «р а2, а3.
Для решения задачи необходимо проинтегрировать уравнение
(1.28), которое в данном случае примет вид:
^ + Й+~йгЧ-|^=0- (3.28)
дх1 1 ду2 1 дг2 1 г ’
Собственные функции задачи будем искать в виде произведения
трех функций U = Xf/лХч, гле Xi — функция только х, у2 — только у,
§ 4] ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА 69
Хз— только г. Подставив это выражение в (3.28) и разделив на
произведение получаем:
Ь. Ь , Х3
Xi Хз ' Хз
Отсюда вытекают три уравнения, которые позволят определить
функции xi, Х2, у3:
причем числа р.р р.,2, pi3 должны удовлетворять соотношению:
Н? + ^ + н| = И2 = у. (3.29)
Получаются следующие выражения для хР /2, /3:
Х2 = cos (p.j хoij), х9 = cos (р.2у + <u9), Хз = cos (Рзг + “з)-
Из симметричности граничных условий заключаем, что 8 — четная
функция, и поэтому о»! = 0, <и2 = 0, <о3 = 0; следовательно, собствен-
ные функции задачи будут:
£7 = cos (p-jx) • cos (р-2у) • cos f[x3z). (3.30)
Заметим, что в аналитической теории теплопроводности при вы-
воде уравнения (3.30) и при написании граничных условий исходят
из более простого предположения а1 = а2 = а8 [2, 3, 4]. Однако это
уравнение сохраняет свой вид и при отсутствии последнего равен-
ства, как это очевидно из предыдущего, граничные же условия на
основании (1.30) напишутся в данном случае следующим образом:
^-4-A.f7=0 при х — ±^г
дх 1 1 ‘ 2
+ = ° при У = ±~
d^+hsU=Q при г==~f
Здесь обозначено:
и при всяких значениях у и г;
и при всяких значениях z и х;
и при всяких значениях х и у.
(3.31)
Введем на место U ее выражение (3.30) в написанные выше гра-
ничные условия, а затем введем числа нулевой размерности qlt q„, q.,,
связав их с равенствами:
X Y Z
Pi у — 91’ Рз ~ 9а> Рз"2’== 9з' (3.32)
70
РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ [ГЛ. Ill
Тогда граничные условия примут вид:
(3.33)
<73*£
Числа qx, q<>, q3, в силу их определения и соотношения (3.29),
связаны с т равенством:
(3.34)
Нашей задаче удовлетворяют только наименьшие корни уравне-
ний (3.33), потому что им соответствует наименьшее значение т.
В дальнейшем под qu q.,, q3 понимаются именно эти корни; они
лежат между 0 и (ср. § 2 гл. II). Этими уравнениями дается
полное решение задачи, что ясно физически: в самом деле, если
заданы внешние условия, это значит, что известны все критериаль-
ные величины h,X, h9Y, h3Z, а тогда известны qu qti, q3; поэтому
известно [в силу (3.34)] и число т. Далее становятся известными
Ра, Рз, т- е- известна и основная собственная функция.
Случай а бесконечного; коэффициент формы. Для
его вычисления воспользуемся формулой (3.34), в которой устремим
к бесконечности числа а,, а2, Из формул (3.33) видно, что, так
7t
как тогда h^X, h,,Y, h3Z стремятся к бесконечности, то qA-+-y>
It л „1
‘Ze-* 2"» поэтому для = получаем:
а поэтому
Как частный случай, из (3.35) получается коэффициент формы
пластинки (2.4).
Ограничение в постановке задачи. До сих пор мы
считали, что ар а2, а3 вообще между собой неравны; практически
Ьрименять теорию при таком общем предположении затруднительно
из-за большой сложности выкладок, а поэтому мы наложим следую-
щее ограничение: будем считать а1 = а2 = а3=а и соответственно
этому = h.2 = h3 — h.
§ 41
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
71
При этих условиях найдем прежде всего Ф, а затем решим, при-
ближенно, задачу для некоторых частных предположений относи-
тельно X, Y, Z.
Для нахождения Ф воспользуемся теоремой § 8 гл. I, из которой
следует, что
tn С
a S
В случае, если тело имеет форму прямоугольного параллелепипеда:
С — c^XYZ =XYZ;
S^'2(XY+ YZ-\-ZX).
Заменим здесь его выражением (3.34), у заменим через h;
окончательно получим:
(3.36)
Если известны тепловые свойства вещества тела, т. е. а и л,
если известны внешние условия, т. е. дано а, если измерены ребра
параллелепипеда X, Y, Z, то, решая относительно qx, q.,, q3 при по-
мощи табл. I приложения уравнения (3.33), в которых hX, hY, hZ
известны, мы по (3.34) найдем и т, т. е. задача о регулярном охла-
ждении прямоугольного параллелепипеда будет решена. Однако в Очень
многих практических приложениях приходится решать обратную за-
дачу, а именно, считать т или р известным из опыта и отыскивать
зависимость (1.54), т. е. находить критерий С.
При такой постановке задачи мы встречаемся со сложными вы-
кладками и необходимостью составления новых таблиц, как это было
в случае конечного цилиндра: зависимость (1.54) в простом виде по-
лучить здесь уже нельзя; это оказалось возможным только для про-
стейших основных форм, рассмотренных в гл. II.
Общий ход аналитического решения задачи об установлении за-
висимости (1.54) для прямоугольного параллелепипеда следующий.
Прежде всего из уравнений (3.33) исключаем h\ получаем:
_ У
Z •
. .. X
У
(3.37)
Вводим определяющий размер Lo; выбор его мы не предрешаем
на этом этапе наших рассуждений, его будем выбирать особо в каждом
1‘i.
РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ [ГЛ. III
отдельном случае. Тогда уравнение (3.34) напишется в
виде, по замене в нем у- через :
следующем
(3.38)
Это уравнение в совокупности с двумя предыдущими составляет
систему трех уравнений с тремя неизвестными qr, q2, q3. (Напомним,
что р мы должны считать известным, поскольку мы предположили,
что т известно.) Решая эту систему относительно них, получаем
каждое из чисел qv q2, q3 как функцию р и безразмерных чисел
-Y/Z.o, Y/Lq, Z[L$\ они должны в нее войти, потому что уравнения (3.37)
можно представить так, что в них будут фигурировать только отно-
JV JV У
шения JV/Z.O и пр., ибо -^ = и т. д.
У Lq Lq
После этого вычисляется и С по следующей схеме:
ix ix
следовательно, мы получим и ®(р);
Наличие трансцендентных функций F (q^, F (q>2), F (q.,} сильно
усложняет практическое осуществление намеченного здесь пути реше-
ния задачи: приходится при заданных отношениях X/Y, Y/Z придавать
ряд значений р и для каждого р проводить указанные здесь вычи-
сления; в результате получается таблица значений С, соответствующих
ряду значений р. Взамен этого мы дадим приближенное решение за-
дачи для нескольких упомянутых выше частных случаев; для некото-
рых из них мы приведем и точное решение. При этом прибегнем
к рассуждениям, аналогичным тем, которые были нами проведены
в случае конечного цилиндра.
Они имеют целью изучить влияние на процесс охлаждения откло-
нений рассматриваемого частного вида прямоугольного параллелепи-
педа от какой-либо из простейших форм его, для которых аналити-
ческой теорией теплопроводности решение задачи дано в простом
виде, пригодном для использования на практике. Такими простейшими
формами являются куб, бесконечно протяженная пластинка, бесконечно
длинная квадратная призма. В дальнейшем эти формы обозначены
буквами а, п, б\ формы же, регулярное охлаждение которых сравни-
вается с регулярным охлаждением простейших форм, обозначены в,
г, д. В этой постановке задача аналитической теорией теплопровод-
ности не решается, между тем она-то и имеет важное значение для
приложений теории.
§ 5] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА 73
При описании процессов в теории теплопроводности лишь изредка,
несистематично, прибегают к безразмерным параметрам (см., напри-
мер, [2, 3]), ограничиваясь громоздкими формулами, почти непригод-
ными для практических приложений [3]. Наоборот, отличительная
черта нашей трактовки задачи о регулярном охлаждении—последо-
вательное применение безразмерных параметров и критериев.
§ 5. Частные случаи прямоугольного параллелепипеда
и приближенное решение расчетных уравнений
Регулярный режим куба. Ребро его X — Y = Z; за опре-
деляющий размер примем половину длины ребра: La = ~ X.
Из (3.37), (3.38) и (3.33) получаем:
<7!=-у=, £ = -Х/г = ?('-£=.'], р = 1х1/Г (3.39)
1 /3 2 \КЗ/ 2 * а !
Следовательно, эта задача вполне аналогична задаче об охлажде-
нии пластинки.
Коэффициент формы куба:
« = (3.40)
в силу того,
_ у
Ffjh) Z
если выбрать
Регулярный режим квадратной призмы бесконеч-
ной длины. В этом случае Y — X, Z-^-oo.
у
Так как Y = X, то <7У==<71; так как то>
что вообще не может быть Л(<7У) = 0, из уравнения
следует, что Л(<73)->0, т. е. </3->0. Следовательно,
за определяющий размер Lo = ^-X, уравнение с р, т. е. (3.38), сво-
дится к = р'[.
Поэтому
= C = —. (3.41)
1 К2 2 2) ‘ 2 V а 7
Коэффициент формы бесконечной квадратной призмы, толщина
которой равна X, найдем из формулы (3.35), устремляя в ней Z
к бесконечности; мы найдем:
следовательно:
2ла
(3-42)
74 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ [гл. HI
Регулярный режим квадратной пластинки. Равные
стороны пластинки примем за У и Z: Y — Z.
Обозначим, считая % < Y,
S = (3-43)
в заключено между 0 и 1; случай г->0, чему при заданном X соот-
ветствует Z —> оо, есть случай неограниченной пластинки; случай
s=l есть случай куба.
Так как Y = Z, то q2 = q3 и уравнения (3.33) и (3.38) сводятся
к двум следующим:
А—<7?+2^, (3.44)
если принять за определяющий размер половину толщины пластинки
Пусть известно (из опыта) число р, пусть известно г (из обмера
пластинки); из системы уравнений (3.44) получаем qr и q% как функ-
ции р и е, после чего найдем F (qj и, далее, = ——-FfqJ (см.
выше этот параграф).
Укажем простой графический прием приближенного определения
зависимости q от р и в, следуя пути, который аналогичен избранному
нами ранее в § 2 и 3 этой главы.
Прежде всего установим, в каких пределах лежит искомая кривая
'7i=9i(P> Е) (3.45)
при заданном в (0 е 1). Пределы возможного изменения р найдем
из первого из уравнений (3.44); qt и qa, в силу основных соотноше-
ний (3.33), могут меняться только от 0 до ~, так что их максималь-
ное возможное значение
В соответствии с этим максимально возможное при заданном в
значение критерия р получится, когда в (3.44) положим = (q1)nlM,
q2 = (<72)maj;. Мы, таким образом, находим
= + (3.46)
Сравним теперь между собой три формы, показанные на рис. 15:
бесконечную пластинку толщиной X—она обозначена я, квадратную
пластинку той же толщины, обозначенную в, и куб с ребром X —
обозначен а. Очевидно, что при одних и тех же внешних условиях —
§ 5]
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
75
при одном и том же а—темп охлаждения пластинки в будет заклю-
чаться между двумя крайними значениями его, соответствующими
случаями п и а, т. е. s = 0 и е=1. Значит, и кривая q^-g^p, в)
будет заключена между линиями, соответствующими этим крайним
Рис. 15. Квадратная пластинка и ее две предельные формы.
V=Z-X
t =1
значениям s = О и г = 1; а эти линии, как это видно из рассмотрен-
ных случаев куба и бесконечной пластинки,— прямые, уравнения
которых суть:
<7j = qr (pt 0) == р,
1>=J=.
Если зависимость q{ от р изобразить графически с помощью
декартовых координат, откладывая р по оси абсцисс, a qt — по оси
ординат, то все упомянутые выше кривые будут заключены между
двумя прямыми ОА0 и OAV показанными на рис. 16.
Точки Ло и At лежат на прямой, параллельной оси абсцисс и
расположенной от нее в расстоянии qx = — у, и определяются,
как точки, соответствующие абсциссам ртах обеих предельных линий,
т. е абсциссам ОР0 - у1,571 и ОРг = у]/3 2,72.
Максимально возможному (7i)max = -у для в, промежуточного
между 0 и 1, соответствует рт&х, вычисляемое по формуле (3.46).
Эти два значения дг п р определяют точку А на асимптоте д} — ~,
76 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ [ГЛ. III
которая получится как пересечение с этой асимптотой ординаты РА,
соответствующей абсциссе ОР0 = рП1ах [см. (3.46)]. Следовательно,
мы знаем конечную точку кривой (3.45): это — точка А, построенная
указанным способом. Так как qy— возрастающая монотонно функция р,
то наша кривая будет плавной непрерывной линией с началом в О и
концом в А. В первом приближении мы можем считать ее прямой
линией. Ее уравнение, в силу сказанного выше, будет:
р,» —г. 1 р. (3.47)
1 /1+2е2
В исследованиях, где имеется в виду техническая точность по-
рядка 1%, это приближение дает удовлетворительные результаты, и
поэтому мы ограничиваемся указанием формулы (3.47). Если потре-
буется ббльшая точность, следует составить таблицу с двумя вхо-
дами р и s. Это связано с подбором чисел qx и р2, удовлетворяющих
уравнениям (3.44).
Указываем схему вычислений для какого-либо заданного значения
а между 0 и 1.
Сперва по (3.47) определяем первое приближенное значение q, и
последовательно вычисляем, задав q^.
?2 — е |/ 2 ’ и Р(^)
§ 5]
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО параллелепипеда
77
.Эта последняя дробь должна быть равна ; если опа отличается
1 ,
от --, берем новое, немного измененное qx и повторяем все вычисле-
ния по этой схеме, и идем так далее, пока не получим удовлетвори-
1 /•(<?>)
тельного согласия между — и .
Регулярный режим квадратной призмы конечной
длины. Длину призмы обозначим Z, сторону квадрата в ее основа-
нии X; начало координат—в центре призмы, ось Oz— ее ось, оси
Х=У
2=°°
е'=0
Х=У
2 /ся
Рис. 17. Квадратная призма и ее две предельные формы.
Ох и Оу параллельны сторонам основания. Здесь имеем X < Z. За
определяющий размер примем наименьший: Ln = ^X (т. е. сторону,
а не высоту, как раньше).
Обозначим:
у V
~ = (3.48)
г' лежит между 0 и 1. В силу того, что Y = X, имеем q} — и
уравнения (3.37) и (3.38) сведутся к двум уравнениям:
2^ + = Р/2>
/Д<7з) ° ‘
(3.49)
Рассматриваемый случай — промежуточный между случаем б и
случаем а, как это показано на рис. 17. Форма б, соответствую-
щая s' = 0, является вырождением формы г, получающимся, когда
Z —> оо.
78 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ НЕКОТОРЫХ ГЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ [гл. Ill
Будем рассматривать как функцию р' и е':
^2 = ?2(/> еЭ (3-50)
и отыщем ее приближенное выражение, следуя тому же пути, по ко-
торому мы шли в предыдущем случае.
Находим максимальное значение которое соответствует мак-
симальным значениям </2 и g.,t
прие' = 0
при любом г' р'тя* =у]/2 4-е/2,
при s' = 1 п' — ^-1^3.
1 г max 2 '
(3.51)
Если зависимость (3.50) изобразить графически, откладывая по
оси абсцисс р', а по оси ординат значение «у2, то все кривые, изо-
бражающие эту зависимость, будут заключены между двумя пря-
мыми ОВ0 и OB, (рис. 18), соответствующими крайним значе-
ниям s': 0 и 1.
Уравнение прямой ОВ0:
р' = /2 ~ 2,22 д2.
Уравнение прямой ОВ^
p' = <h |/3^2,72?2.
§ 51
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
74
Для любого г' между 0 и 1 максимальное значение р(пи опреде-
лится по формуле (3.51); нанеся его на ось абсцисс, получаем
точку Р , лежащую между Ро и /ф; проведя чрез Р ординату до
пересечения ее в В с прямой, параллельной оси абсцисс, =
находим крайнюю точку линии, изображающей зависимость q2 от р'
при данном е.'. В первом приближении ее можно считать прямой,
уравнение которой
q2^^~P'-
V 2 -ф е'2
(3.52)
При е! — 0 и а' = 1 эта формула абсолютно точна.)
Для получения более точной зависимости q2 от р' следует про-
вести вычисления при заданных р' и а', подбирая так q2, чтобы
*робь Яй
была равна а'.
Перебирая все возможные значения р' от
пуля вплоть до р( )см. (3.51)], получим искомую зависимость в виде
таблицы. После этого задаемся новым значением а' и опять, прида-
вая р' различные значения от нуля до нового р^ , нах°Дим соответ-
ствующие значения q2. Следовательно, кривую зависимости q2 от р'
каждый раз приходится строить по точкам.
Вычисления ведутся по следующей схеме. Пусть а'— заданное
число. Придаем р' ряд значений между нулем и р(„ах’ тогДа
?2 -> = чг Р'2 ~~ 2<& F
^•(9з)
Регулярный режим бесконечной прямоугольной
призмы с неравными гранями. Этот случай—промежуточный
между неограниченной пластинкой и бесконечной квадратной призмой,
как это видно из рис. 19. У всех этих форм Z—>оо. У нашей формы
X < Y, у бесконечной квадратной призмы Х = Y.
Обозначим
и за определяющий размер примем Lo=±-X.
Так как Z—> оо, то >0; qv q2, р" связаны соотношениями —
следствием (3.37) и (3.38):
?? + А2 = р"2, = (3.53)
Будем искать зависимость qx от р" и а". Для крайних случаев —
п и б на рис. 19, рассматриваемых как предельные для данного
SO РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ [ГЛ. HI
случая, имеем прямую пропорциональность между и р" [см. (3.41)]:
случай п: е," = О, qx = у
случай б-. е" = 1, qx = у ]/!1р".
(3.54)
Изобразим зависимость qx от р" графически с помощью декарто-
вых координат, как и раньше (рис. 20): абсцисса ОРй соответствует
Рис. 19. Длинная прямоугольная призма с неравными гранями и ее две
предельные формы.
случаю е" = 0, абсцисса ОР"— случаю е" = 1; точки Со и на
прямой q, = ограничивают все возможные значения чисел qx и р"
в этих двух случаях. Уравнения прямых ОС0 и ОСТ суть (3.54).
Кривая
<71 = <71 (/', г") (3.55)
при е", заключенном между 0 и 1, будет лежать между прямыми
ОСй и ОС,. Крайняя ее точка С лежит на прямой ^i = -g и находится
из условия, что р" = р"ах; это ;/'ах определится из (3.53), если
§ 5]
частные Случаи прямоугольного параллелепипеда
81-
придать q{ и максимальные возможные значения, т. е. ~; следова-
тельно,
= (3.56)
Приближенно эту кривую можно заменить прямой, уравнение ко-
торой:
<Ь~Т7==Р"- <3'57>
V 1-Н"2
Для уточнения этой зависимости кривую следует находить по точ-
кам; вычисления ведутся по следующей схеме: пусть е" — заданное
Рис. 20. Приближенное построение зависимости Qi = qi(p",-y
(длинная прямоугольная призма с неравными ребрами).
число. Задаем р, ищем д}:
Ч’{^> F(Ч 1),
F (.Чч)
с
Самый общий случай прямоугольного параллелепипеда, когда все
X
ребра X, У, Z между собой неравны и ни одно из отношений у,
у
у нельзя считать стремящимся к нулю, связан с еще более сложными
вычислениями, методика которых намечается только что проведенными
рассуждениями. Этот случай мы рассматривать не будем.
6 Зак. 750. Г. М. Кондратьев
82 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ НЕКОТОРЫХ ГЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ формы [гл. iti
§ 6. Наглядная интерпретация приближенных формул
для частных случаев прямоугольного параллелепипеда
Рассмотрим случай квадратной пластинки. Пусть внешние усло-
вия заданы, т. е. а фиксировано, тепловые свойства материала пла-
стинки также известны, наконец, задана толщина X. Поставим себе
задачу: выяснить, как влияет на безразмерный темп охлаждения
р параметр е = у [см. (3.43)!, где Y—длина стороны квадрата.
Обозначим р* предельное значение р, соответствующее е -> О,
когда квадратная пластинка вырождается в неограниченную. Так как
заданы X, а, л, то известно и (. = ^Xh, а значит, в силу (3.33),
фиксировано численное значение параметра q^, что же касается р,
то р будет при заданном qr меняться в зависимости от е.
Применим приближенную формулу (3.47) и заметим, что q1 = pi',
получаем следующее приближенное соотношение:
%-2а2. (3.58)
Оно просто и наглядно характеризует влияние краев пластинки
на темп охлаждения', он увеличивается приблизительно в 1 -(- 2а2
раз по сравнению с темпом охлаждения неограниченной пластинки.
Наиболее резко это выразится в том предельном случае, когда пла-
стинка обратится в куб (е -> 1); тогда формула (3.58) будет уже
совершенно точной и р = р*)Лз.
В качестве наглядного примера приложения этих выводов к прак-
тике оценим ошибку, которая получается, если пренебречь краевым
эффектом для двух пластинок: „ толстой “, толщина которой только
вдвое меньше стороны основания, е = 0,5, и пластинки, для которой
в = 0,3. Из (3.58) непосредственно следует, что предположение р = р*
в первом случае влечет за собой ошибку в 19%, ибо р*яьг0,81 р,
а во втором — только 10%, ибо здесь р* 0,9 р.
Несколько иначе обстоит дело с квадратной призмой. Для вы-
яснения влияния торцов на темп охлаждения следует воспользо-
ваться приближенной формулой (3.52). Считая заданными сторону
квадрата основания X, затем а и А, приходим к выводу, что и па-
раметр q% известен и фиксирован; для исследования влияния торцов
на темп охлаждения р' нужно исследовать зависимость р' от е1.
Обозначим р** его величину, соответствующую предельному случаю
е'-э-О, когда квадратная призма вырождается в бесконечный цилиндр
с поперечным сечением в виде квадрата.
Исключая q2 из двух уравнений
/2 • <?, = ?**, q^---J_^p',
J/2-H'2
НЕКОТОРЫЕ правильные ТЕЛА СЛОЖНОЙ формы
найдем зависимость между р'' и р':
р’^р^у' 1+|е/2. (3.59)
Темп охлаждения увеличен в 1 раз по сравнению с бес-
конечно длинной квадратной призмой. Для сравнения с предыдущим
оценим ошибку, происходящую при пренебрежении эффектом торцов
квадратной призмы для тех же значений в'= 0,5 и 0,3, как и раньше:
при в' = -4 будет р* як 0,945 р’,
при е'= 4- будет р* як 0,98 р',
О
т. е. торцевой эффект гораздо меньше, чем краевой: темп охлаждения
призмы, у которой высота только вдвое больше основания, лишь
на 5% отличается от темпа охлаждения бесконечно длинной призмы,
тогда как для квадратной пластинки при том же г это отличие со-
ставляло «к 19%.
§ 7. Регулярный режим правильных тел сложной формы
В предыдущих параграфах мы рассмотрели, во-первых, простей-
шие тела, характерные тем, что для их геометрического описания
достаточен только один параметр (пластинка, цилиндр, шар, куб,
призматический цилиндр, т. е. бесконечная квадратная призма), во-
вторых, ряд тел, геометрическая характеристика которых требует
двух параметров (цилиндр конечной длины и частные случаи прямо-
угольного параллелепипеда).
Для тел первой категории основное уравнение (1.54), связывающее
критерии С и р, не заключало в себе никаких геометрических пара-
метров; для тел же второй категории в это уравнение уже вошло и
отношение LJLQ (роль % и £0 играли 4-D, 4-Z, —У, Это
последнее обстоятельство уже весьма заметно усложнило наши фор-
мулы: мы не могли получить С, как простую функцию критерия р,
и были принуждены ввести вспомогательные безразмерные величины,
например s и q для цилиндра (§ 1 и 2 этой главы), через квадраты
которых и выражался квадрат р.
Все это сильно осложнило задачу определения С по заданному р,
которая нас преимущественно интересовала. К еще более сложным
уравнениям мы приходим, если тело, хотя и имеющее правильную
форму, требует для своей геометрической характеристики трех и более
параметров, несмотря на то, что собственные функции задачи и не
отличаются чрезмерно сложной структурой; ограничимся рассмо-
трением одного такого случая. Кроме того, разберем и один случай,
6*
84 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ НЕКОТОРЫХ ГЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ [гл. tn
когда форма тела характеризуется лишь двумя параметрами и все
же формула задачи имеет сложный, неудобный вид. Оба эти случая
могут представить практический интерес.
Кольцевой и трубчатый цилиндр конечной длины. Эта форма
представлена на рис. 21. Радиус внутренней поверхности обозначим
/?1( внешней /?2, длину (высоту) цилиндра Z. Начало цилиндриче-
ских координат поместим на оси цилиндра в плоскости, делящей
эту ось пополам.
Коэффициент теплоотдачи обозначим: на наружной поверхности at,
на внутренней а', по концам цилиндра а". Таким образом, среда,
в которую погружен цилиндр, омывает его со всех поверхностей.
Рис. 21. Трубчатый и кольцевой цилиндр и круглое кольцо
прямоугольного сечения.
Для отыскания собственных функций задачи следует интегрировать
уравнение (3.1). Избирая тот же путь, по которому мы шли там,
ищем U в виде произведения двух функций, из которых одна зависит
только от г, другая—только от z (система координат та же, как
и в § 1 этой главы). Но в данном случае мы уже не имеем права
отбросить частное решение Т0(рг), и для U получаем более сложное
выражение:
U = [Л» О) + “ ’’о (?г)] cos (v2 — «/).
(3.60)
Числа ш, р, v, ш' — постоянные интегрирования—-подлежат опре-
делению при помощи граничных условий. Числа 3 и v, оба положи-
тельные, связаны равенством
2 = ^ = Р2 + '^-
(3 61)
§ 71 НЕКОТОРЫЕ ПРАВИЛЬНЫЕ ТЕЛА СЛОЖНОЙ ФОРМЫ 85
Для сокращения письма введем общепринятое обозначение [12]:
(fe — любое число).
Подчиняем функцию U граничным условиям, причем предвари-
тельно составим выражения для частных производных:
77 = ~ 3zi cos
77 — vZo (?г) sin (Зг — ш').
Здесь заменяем 7! через ZJ; пользуясь известной формулой из теории
бесселевых функций [12]:
Тх (rtAr)] (пх).
Граничные условия па нижнем конце цилиндра, где направление п
внешней нормали противоположно направлению Ог, т. е. и = —г,
могут быть написаны в виде:
v sin -|- ш') — h" cos (v •
Граничные условия на верхнем конце цилиндра, где направление
внешней нормали совпадает с направлением Oz (z = п), получаются
в виде:
— v sin (ф • ~— «/) -ф- h" cos ("т • 7 — ~ О-
На внутренней поверхности трубы, т. е. при r~Rr, направление
dU dU
внешней нормали противоположно направлению г, так что—---------
и мы приходим к следующему условию:
[3Zj(|3r) cos (yz — h'7jQ^r) cos (г? — «/)] = О
при г = R} и при ВСЯКОМ Z.
Отсюда следует, что
№)+*%(₽/?,) = о.
Подобным же образом условие на наружной поверхности, где
г = R2 и z меняются как угодно, приводит к уравнению
« + ^(3/?2) = о.
Здесь буквы h, h', h" обозначают:
86
РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ [ГЛ. lit
Из уравнений на концах цилиндра следует, что
tg (> • ^-4- ш'] = tg 4 • -w' j = — = положит, числу.
Это возможно лишь, если «/ = 0 (ср. с § 2 гл. II). Поэтому
граничные условия на концах сводятся к
vtg(v =
или, обозначая
= (3.6‘2)
Ч tg Q = F (?) = 4 ZA". (3.63)
Введем далее обозначения:
s', p/?2 = s. (3.64)
Тогда условия на внутренней и наружной цилиндрических поверхностях
можно представить следующим образом:
s'Z1(s')4-A'/?1Zo(s') = O, |
sZjs)-]-W?2Z0(s) = O. {
Для краткости письма обозначим:
А/?2 = С, h'R^V, ~Zh" = C". (3.65)
В этих уравнениях развернем Zo и Zx по формуле для Zft и затем
исключим из них постоянную интегрирования ш; в результате исклю-
чения получится сложнейшая зависимость:
14 (И TO(S)-Jo (^0(^1^ +
4- [J, (s') Yo (s) — Jo (s) Y\ (s')] s'r = [,/0 (s') 1*! (s) — Jx (s) Yo (s')] s?'
+ [J, (s') 4 (s) — 4 (S) Yj (s')] SS'. (3.66)
По существу, это — уравнение с одной неизвестной s, так как
= (3.67)
Для неизвестной q имеем уравнение
F(i7) = r,". (3.68)
Связь темпа охлаждения р со вспомогательными неизвестными q
и s дана формулой
<3-69)
являющейся следствием формул (3.61), (3.62) и (3.64),
§ 71
НЕКОТОРЫЕ ПРАВИЛЬНЫЕ ТЕЛА СЛОЖНОЙ ФОРМЫ
87
Формула (3.66) несколько упрощается, если считать а" = а' = а;
тогда h" = h' = h.
Исключая из уравнений (3.66), (3.68), (3.65) и параметр h, по-
добно тому, как это мы делали в предыдущем, получаем два урав-
нения с тремя величинами s, q, р; по исключении отсюда какой-либо
одной из них, например д, получаем р как функцию $, строя кривую
зависимости р от s по точкам
для различных значений двух геоме-
Ri
трических параметров, например,
Г\
и , после чего, также по точ-
кам, найдем с помощью уравне-
ния (3.66), зависимость между р и
каким-нибудь одним из чисел С,
С, С", хотя бы С, если за опреде-
ляющий размер взять Kv
Крайняя трудоемкость этих вы-
числений заставила нас временно от
них отказаться. Задача несколько
упрощается, если сделать некоторые
частные предположения относительно
толщины /?2— цилиндрического
слоя и его высоты, рассматривая,
скажем, тот случай, когда R.2—RX=Z
(кольцо квадратного сечения).
Полый цилиндр. В качестве дру-
гого примера на общую теорию
§7 гл. I рассмотрим цилиндри-
ческую трубу полую внутри, т. е.
предположим, что внутри трубы
существует вакуум; следовательно,
—ZRg—
0М=Г
Рис. 22. Полый весьма длинный
цилиндр.
/—совершенный теплоизолятор; 2—по-
лость; 3—теплоизолятор; 4 —совершенный
теплоизолятор.
в противоположность предыдущему случаю, здесь внутренняя полость
совершенно разобщена с внешней средой Е. Для простоты предпо-
ложим, что цилиндр — бесконечно длинный или что его торцы закрыты
идеальными теплоизоляторами (рис. 22). Условия теплоотдачи одина-
ковы по всей наружной поверхности цилиндра, поэтому & — функция
только от координаты г и уравнение, которое необходимо проинтегри-
ровать для нахождения собственной функции U, есть обыкновенное
дифференциальное уравнение (2.6); общий его интеграл равен
= Zo (pr) = Jo (рг) 4- шГ0 (рг),
причем здесь мы не вправе, как и в § 3 гл. II, считать о> = 0. Для
исключения о> нам послужат граничные условия на поверхностях
Г = Ац, г = R<2,
88
РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ [ГЛ. III
ограничивающих рассматриваемый цилиндрический слой и являющихся
вместе с тем изотермическими поверхностями.
На поверхности г = /?2 имеем прежнее граничное условие
так как на ней производная по внешней нормали равна обыкновенной
„ ли „
производной Отсюда получаем, пользуясь уже упомянутым ранее
равенством Z'0(x) = — Z, (.г), следующее уравнение:
ijJj (н/?2) -ф- (otiTj (|J./?.2) = hJ0 (<j./?2) -j- <ьЛТ0 (у/?.,)-
На поверхности r = R1 не может быть никакого теплообмена:
копвективно-кондуктивный теплообмен в вакууме отсутствует; лучи-
стый теплообмен между отдельными элементами замкнутой изотерми-
ческой поверхности (а такой и является поверхность г — отсут-
ствует также. Поэтому имеем:
(X grad й),.=В1 = О,
откуда следует, что
(Это равенство не находится в противоречии с § 8 гл. 1: необходимой
предпосылкой проводившихся там рассуждений было наличие тепло-
обмена, чего в данном случае нет.)
Последнее уравнение представляет собою второе уравнение, куда
входят р и ш; оно имеет вид:
+ (^1) = о.
Обозначим:
, Г,
р = (г/?, = р . t
выбрав за определяющий размер т. е. полагая
р = |г/?2. (3.70)
Тогда, исключая ш из граничных условий, получим искомую связь
между р и С = й/?2 | частный случай формулы (1.54)]:
-------• <37’>
§ 7] НЕКОТОРЫЕ ПРАВИЛЬНЫЕ ТЕЛА СЛОЖНОЙ ФОРМЫ 89
Первая часть (3.71) и представляет собою частный вид функции
®(р); в ее выражение как параметр входит геометрическая безраз-
Ц Ri
мерная величина = т?-
-^2 А*2 _____
Приведенные в этой и в предыдущей главе примеры достаточно
наглядно показывают, как следует применять общую методику, изло-
женную в гл. I, к тем редким случаям, когда уравнение, которым
определяется аналитическое выражение собственных функций, может
быть проинтегрировано. Мы воочию убедились, что даже такое не-
значительное усложнение формы, как введение одного нового пара-
метра типа LJL0, приводит к сложным вычислительным операциям,
избегнуть которых иногда можно, только идя по пути отыскания
приближенных формул.
ГЛАВА IV
РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ОДНОРОДНОГО И ИЗОТРОПНОГО
ТЕЛА ЛЮБОЙ ФОРМЫ
А. СЛУЧАЙ ВЕСЬМА БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ КРИТЕРИЯ С.
КОЭФФИЦИЕНТ ФОРМЫ
Практический интерес представляет тот предельный случай значе-
ний С, когда на всей наружной поверхности тела можно считать С->оо.
Это происходит, например, при весьма интенсивном теплообмене тела
со средой, т. е. при больших значениях а или, если велик наимень-
, а
ший размер тела, даже при сравнительно малом п==—.
Разбирая общую теорию вопроса, мы видели в § 8 гл. I, что за-
дача в этом случае упрощается: она решена, как только найден коэф-
фициент формы К, а это—величина, уже не зависящая ни от внеш-
них условий (т. е. от а), ни от свойств материала тела (т. е. от а и X).
Коэффициент К некоторых относительно несложных форм можно
получить чисто аналитическим путем, причем, конечно, знание вида
собственных функций и, следовательно, интегрирование уравнения
теплопроводности является неизбежным. В дальнейших параграфах
приведен ряд тел, коэффициенты формы которых нами найдены ана-
литическим путем; для полноты мы присоединили сюда простые тела,
рассмотренные в гл. III. Далее мы перейдем к телам неправильной
формы и укажем общий прием определения К для них.
Во многих формулах для удобства письма дано выражение для
1 т
К—мера термической инерции формы, обратная ей вели-
чина — мера темпа ее прогревания или охлаждения.
§ 1. Сплошные тела правильной формы
Три простейших тела
этих тел коэффициент формы К
шениями (гл. Ill):
для шара с радиусом R:
конечных размеров. Для
определяется следующими соотно-
1 ____ л2
§ II
КОЭФФИЦИЕНТ ФОРМЫ СПЛОШНЫХ ТЕЛ
91
для цилиндра прямого кругового с радиусом /? и высотой Z:
1 __ (2,4048...)2 , «2 .
№ ’
для прямоугольного параллелепипеда с ребрами Llt L.,, L,,‘.
Трубчатый цилиндр и кольцо с прямоугольным
поперечным сечением. Это .ело нами уже рассматривалось в
§ 7 гл. III. Высоту его обозначим Z, наружный радиус отноше-
ние внутреннего радиуса (диаметра) к наружному радиусу (диаметру) k.
Всего проще найти К при помощи формул (3.66) и (3.69), устре-
мляя в них h к бесконечности. Разделим обе части уравнения (3.66)
на С2; при устремлении h к бесконечности или а к бесконечности вто-
рой, третий и четвертый члены этого уравнения стремятся к нулю,
следовательно, и предел первого члена
должен быть нуль, т. е.
lira [ Jo (?) Го ($) — Jo (s) Yo (s') | = 0.
Обозначим
lim s = a;
так как
? — s = ks,
то последнее уравнение обращается
в следующее:
7ц(д) _ (^g) z.
r0(g) “'r0(Aa)- V ;
Из уравнения (3.68) видно, что при
со или т. -> оо число q стремится
г. т
к у 5 формула (3.69) доставит нам —,
Рис. 23. График зависимости с
от k для трубчатого цилиндра
или кольца.
а отсюда получается
(4-2)
В уравнении (4.1) число k следует считать заданным (между Ои 1);
решив его относительно а, получаем а как функцию k. Подставив
это значение □ в (4.2), находим и коэффициент формы К.
Можно пользоваться для простоты вычислений следующими
приближенными формулами [13]: в интервале значений k от 0,077
до 0,21 с точностью до 0,5% а выражается линейной функцией k\
(4 3)
g ~ 5,04 k [-2,81,
92
РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ТЕЛ ЛЮБОЙ ФОРМЫ
[ГЛ. IV
а для значений /г > 0,5 — с тем же или еще
лучшим приближением:
(4.4)
° ~ '1 — k •
График зависимости а от k изображен на
В предельном случае k -» 0 получим lim а = 2,4048.. . [т. е.
к -> 0
/о(а) = О]; формула (4.2) обращается в формулу (3.9) § 1 гл. 111.
1, требует некоторого пояснения,
е. кольца, толщина которого
по сравнению с радиусом R
(рис. 24). Йз формулы (4.4) получаем: так как
R~Ri .... 8
Другой предельный случай k -
Это — случай „тонкого" кольца,
8 = R — мала
т.
рис. 23.
то
Рис. 24. Тонкое
кольцо.
и, следовательно,
1 — k
R
R ’
а
R
о
С
а поэтому из формулы (4.2) получаем в предельном случае:
+# *4-5>
Эта формула совпадает с формулой для коэффициента формы бес-
конечной призмы с сечением в виде прямоугольника, имеющего сто-
роны о и Z.
Формулы этого параграфа можно вывести и иначе, независимо от
решения более общей задачи § 7 гл. III, а именно, написав условие
J7,s = 0 для всех четырех поверхностей, ограничивающих кольцевой
цилиндр, как это сделана в одной из наших работ [13].
§ 2. Полые тела
Три основных тела симметричной структуры с одной полостью
внутри.
Полая пластинка (неограниченно протяженная).
Она изображена на рис. 25. Возьмем плоскость симметрии за
плоскость yOz; начало координат О — в любой ее точке; темпера-
турное поле зависит только от х и времени т. Уравнения плоскостей,
ограничивающих один из плоских слоев, будут:
где А] и /.2—расстояния от плоскости симметрии.
Собственные функции задачи даны уравнением
U = cos (;j..t) oj sin ([>*).
Из граничных условий
U\ — 0, '7 - ()
'e-L- ctx
§2]
Коэффициент формы полых теЛ
93
мы определим обе неизвестные ш и у..1 * Исключение oj приводит
к уравнению
cos (p.Z.2) -j- SiU fty. sin (p.L2) = 0.
Введем толщину слоя 3 = Z.2— Lp, из последнего уравнения еле-
«Ч ft
дует, что ;ю = у, и поэтому
« = <4-6>
Полый цилиндр (неограниченный). Мы уже рассма-
тривали эту форму в § 8 гл. Ill при общем предположении, что кри-
терий С —какое угодно число; устремив его
к бесконечности, т. е. полагая С—> оо в фор-
муле (3.71), мы должны заключить, что тогда
знаменатель дроби в правой части этой фор-
мулы стремится к нулю, т. е. в пределе будет:
Jo (Р) г 1 (р') — А (р') А (Р) = °’
где
Р = Н^2> Р' = ЦЯ1-
По формуле (1.70), полагая L0 = R2, имеем
в данном случае
где р — корень (наименьший) предыдущего
уравнения.
Выгоднее вместо /?2 ввести в качестве определяющего размера
толщину о цилиндрического слоя, равную Л?2— /?р и представить
коэффициент формы в виде:
А = (4.7)
где о—безразмерный параметр, связанный с р соотношением:
о = р(1 — k). (4.8)
Параметр р определяется при помощи уравнения
А (Р) _ A (kp) . ,
А(р) ~ A(kP) ’
k — правильная дробь — обозначает отношение
4-51. (4.10)
1 Для простоты письма в разделе А этой главы мы опускаем значок оо
у букв у и т.
Й4
РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ТЕГ ЛЮБОЙ ФОРМЫ
(гл. tv
'Гак как р— функция k, то и а — тоже функция /г; произведен-
ные нами вычисления привели к табл. 9, выражающей зависимость а
от k (рис. 26).
Таблица 9
Коэффициент формы полого цилиндра: а как функция k
k = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
а = 2,4048 2,205 2,055 1,945 1,86 1,795
k = 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 —
а — 1,74 1,68в 1,64 1,60 1,5708 —
Из этой таблицы видно, что по мере уменьшения кривизны цилин-
дрического слоя, т. е. увеличения Rx и R^, его регулярное охлажде-
Рис. 26. График зависимости г от k
для полого цилиндра.
ние мало чем отличается от охла-
ждения полой пластинки, которое
дается формулой (4.6).
Полый шар. Наружный и вну-
тренний радиусы обозначены /?2 и /?/,
буква k имеет прежний смысл.
Собственная функция для шара имеет
выражение:
sin (р-г 4- <о)
(см. § 4 гл. II). Для р. и <и получим
два уравнения на основании гранич-
ных условий
°u,=«. "U=°.
после чего будет найден и коэффи-
циент формы
а2
где 8=/?2—т. е. К получается в том же виде, как и для по-
лого цилиндра.
Буквой а' обозначен наименьший положительный корень урав-
нения:
ф (o') = 1 — о' ctg о' =
(4.12)
§ 3| определение К Методом моделирования
95
Приводимая здесь табл. 10 содержит значения этого корня для
k от 0 до 1 (рис. 27), чему соответствуют значения а' от it
(сплошной шар) до (когда шаровой слой вырождается в плоско-
параллельный — в полую пластинку).
Таблица 10
Коэффициент формы полого шара: с' как функция k
k — 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
а' = те 2,85 2,57 2,365 2,181 2,03 1,91 1,80 1,72 1,64 1 а i
Сопоставляя эту таблицу с предыдущей и со случаем плоского
слоя, мы видим, что когда Rr становится больше 0,9 /?2, разница
между охлаждением плоского слоя и
слоя постоянной толщины, ограни-
ченного какими-нибудь неплоскими
поверхностями, составит от 8,5 до
3% и менее.
§ 3. Определение методом
моделирования коэффициента
формы тел сложных и
неправильных очертаний
Для форм более сложных очер-
таний, чем рассмотренные здесь,
разыскание аналитическим путем
коэффициента формы Л" сопряжено
с громоздкими, тягостными выклад-
ками.
Гораздо более целесообразным, а
иногда и единственно возможным,
является опытный метод определе-
ния К, уже с успехом применявшийся
на практике. Пользуясь им, нет необ-
ходимости интегрировать уравнение
теплопроводности: из всей теории нам
понадобится только одна наша основ-
Рис. 27. График зависимости о от /г
для полого шара.
ная теорема (§ 8 гл. I); моделирование дает нам полное практи-
ческое решение задачи о регулярном охлаждении тела любой формы,
происходящем в условиях совершенного контакта с окружающей сре-
дой, т. е. С—» оо.
96 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ТЕЛ ЛЮБОЙ ФОРМЫ [гЛ. IV
Идея его состоит в следующем. Из нормального вещества, т. е.
материала, обладающего достаточно стабильными тепловыми свой-
ствами (постоянными и известными а, А, с), изготовляют модель, ко-
пирующую в заданном масштабе объект, коэффициент формы кото-
рого К требуется определить. Охлаждая модель в таких условиях,
чтобы было обеспечено условие С->оо, определяют из этого опыта
темп регулярного охлаждения тт и по формуле (1.64), где а изве-
стно (ибо материал — нормальный), вычисляют коэффициент формы
модели /Смод- После этого коэффициент формы объекта К будет най-
ден из равенства:
К=П2Кмод,. (4.13)
если модель по линейным размерам в п раз меньше объекта.
Эта формула вытекает из общих свойств коэффициента формы,
рассмотренных в § 8 и 9 гл. I и формул (1.66) и (1.70).
Относительный коэффициент формы. Вместо коэф-
фициента формы К удобно ввести безразмерные коэффициенты Е,
определяемые как отношение коэффициента К к коэффициенту
формы Кц эквивалентного основного тела данного класса, т. е. как
дробь
(4.14)
A.V
Так, в соответствии с данной в § 1 гл. И классификацией
I р
для тел 1 класса с. = -&—,
^ГИ
II р
для тел 11 класса ^п~ 'р— »
цкл
нт г?
для тел Ill класса с,и = —
а1И
где АГпл, ТСцнл, обозначают коэффициенты формы пластинки, ци-
линдра, шара (одной из нормальных форм).
Чтобы получить наглядное представление об Е, сравним охлажде-
ние двух эквивалентных тел различной формы — правильной, нормаль-
ной, и неправильной, изготовленных из одного и того же вещества.
Обозначим темп охлаждения неправильной формы т (в условиях
С —> со), темп охлаждения нормальной формы ту; обе последние ве-
личины зависят не только от формы, но и от размеров тела. Для
ответа на вопрос о том, какое из этих равнообъемных тел охлаждается
быстрее, следует вычислить отношение .
Так как, в силу нашей теоремы § 8 гл. I,
а = Кт = KNmN?
§ 3) определение К методов моделирования
97
то отсюда вытекает, что
»/дГ К
т
(4.15)
Введением Е мы освободились от влияния размеров сравнивае-
мых форм', коэффициент Е, определяемый только формой тела и оди-
наковый для геометрически подобных
тел, можно назвать относительным
коэффициентом формы.
На рис. 28 представлены для
иллюстрации тела неправильной фор-
мы разных классов.
Относительный коэффи-
циент формы некоторых тел.
В качестве примера рассмотрим не-
которые формы второго и третьего
классов; для некоторых из них Е
определяется простым вычислением
(они дальше отмечены надписью
„выч.“), для других Е получено мо-
делированием, как указано в начала
этого § 3 (они отмечены надписью
лоп.“).
Для изготовления моделей тел
последнего рода в качестве нормаль- Рис. 28. Тела I и II класса,
ного вещества мы употребили на-
туральный, не обработанный пчелиный воск, температуропроводность
которого была предварительно определена и оказалась равной
п = 3,3 • 10 4 м^^час при температуре 0—5°.
D -4
Рис. 29. Тела вращения III класса, относительный
коэффициент формы которых найден опытным путем.
Изготовленные из воска формы имели различные размеры (длины
ребер и главные размеры), колебавшиеся в пределах от 3,5 до
10—12 см.
7 Зак. 750, Г. М. Кондратьев
98 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ТЕЛ ЛЮБОЙ ФОРМЫ [гЛ. 1V
Опыты касались почти исключительно формы третьего класса. Из
форм второго класса нами рассмотрены только две: длинная призма
с квадратным сечением и призма с сечением в виде правильного тре-
угольника. Получилось:
Е — 0,92 для квадратной призмы (выч.),
Е = 0,95 „ треугольной „ (оп.).
Рассмотренные нами несколько форм третьего класса перечислены
в табл. 11.
Таблица 11
Относительный коэффициент формы Е
№ Описание формы Е Примечание
1 Архимедов цилиндр (высота равна основанию) 0,912 ВЫЧ.
2 Куб 0,865 выч.
3 Трехгранная призма, все ребра ко- торой равны между собой 0,692 оп.
4 Конус; в проходящем через высоту сечении правильный треугольник . . 0,668 ОП. !
5 Правильный тетраэдр 0,635 оп.
6 Тело вращения, образованное диском с полушариями на основаниях . . . 0,96 011.
7 Яйцевидное тело, близкое к эллип-
сойду вращения с отношением осей 1,4 ~0,9 оп.
8 Тело вращения, состоящее из архиме- дова цилиндра с полушариями на основаниях цилиндра 0,83 оп.
Формы класса шара пригодны для выяснения влияния острых
углов и граней на тепловую инерцию формы.
Кроме того, нами были исследованы три сложные формы, огра-
ниченные сфероидальными и цилиндрическими поверхностями; они
помечены № 6, 7, 8.
Формы эти представлены на рис. 29.
Б. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ МОДЕЛИРОВАНИЯ
ЗАДАЧИ О РЕГУЛЯРНОМ РЕЖИМЕ ТЕЛА ЛЮБОЙ ФОРМЫ
ПРИ КОНЕЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ КРИТЕРИЯ С
В предыдущем параграфе был указан общий полуэксперименталь-
ный метод решения задачи о регулярном охлаждении тела любой
формы, но лишь для того случая, когда можно практически считать
§ 4) относительный Критерий темпа охлаждения £ 09
критерий С равным бесконечности; естественно возникает вопрос,
нет ли возможности создать подобный же метод в самом общем
предположении какого угодно С и таким образом и здесь избавиться
от необходимости интегрирования уравнения Фурье. Следующие па-
раграфы содержат изложение схемы такого метода; он основан на
общих положениях теории регулярного режима, причем в целях обоб-
щения и упрощения нами введены новые критериальные величины.
§ 4. Относительный критерий темпа охлаждения §
и его связь с критерием Ф
Критерий темпа охлаждения р обладает тем неудобством, что его
численное значение зависит от выбора определяющего размера Ао,
который произволен, причем возможны случаи, когда этот выбор
становится затруднительным. Естественно ввести такую величину,
которая была бы свободна от этого произвола. Этой величиной будет
служить новая критериальная величина £, которая показывает, ка-
кую долю темп охлаждения, в критериальном виде, т. е. р, наблю-
даемый в данных условиях, составляет от своего наибольшего зна-
чения рсо, возможного для рассматриваемого тела. В силу уравне-
ний (1.50) и (1.58) получаем:
= «16)
г^оо г оо
Так как Lo сократилось, то $ уже не зависит от выбора Lo.
Критерий $ тесно связан с величиной Ф, играющей особую роль
в теории регулярного режима вследствие ее ясно выраженного физи-
ческого смысла.
В дальнейшем нам придется рассматривать IP как функцию той
или другой переменной, принимаемой за независимую, и поэтому
в некоторых случаях именно эту переменную мы будем ставить после
буквы Ф. Ранее (в § 8 гл. I) критерий Ф мы рассматривали то как
функцию критерия £, то как функцию критерия р; теперь для дан-
ной формы будем рассматривать Ф как функцию нового критерия Е
(оба они не зависят от размеров тела, а определяются только
его формой, будучи одинаковы для всех геометрически подоб-
ных тел).
Так как £ прямо пропорционально р, а величина Ф (р) является
монотонно убывающей функцией (§ 8 гл. 1), то она должна быть
такой же функцией от $. При этом для всех форм $ всегда заклю-
чено между 0 и 1 подобно Ф'. Когда $ возрастает от 0 до 1,- то Ф
убывает от 1 до 0.
Мы вычислили Ф ($) для трех основных простейших форм — пла-
стинки, цилиндра и шара, пользуясь формулами, приведенными
в табл. I, II, III приложения, и графически обработав данные, полу-
ченные путем подсчетов; результаты сведены в табл. 12.
7*
100 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ТЁЛ ЛЮБОЙ ФОРМЫ [г.1. IV Таблица 12 ф (£) для трех простейших форм
С Форма £ Форма
Пластинка Цилиндр Шар Пластинка Цилиндр Шар
0,02 0,998 0,999 1,000 0,52 0,762 0,788 0,803
0,04 0,996 0,998 1,000 0,54 0,743 0,770 0,786
0,06 0,992 0,996 0,999 0,56 0,722 0,750 0,768
0,08 0,988 0,994 0,997 0,58 0,702 0,732 0,750
0,10 0,985 0,992 0,994 0,69 0,680 0,712 0,732
0,12 0,982 0,988 0,991 0,62 0,658 0,691 0,712
0,14 0,978 0,984 0,988 0,64 0,634 0,669 0,691
0,16 0,974 0,981 0,983 0,66 0,609 0,644 0,668
0,18 0,970 0,976 0,978 0,68 0,584 0,618 0,645
0,20 0,964 0,970 0,972 0,70 0,558 0,595 0,620
0,22 0,957 0,964 0,965 0,72 0,529 0,569 0,595
0,24 0,949 0,957 0,958 0,74 0,498 0,540 0,565
0,26 0,940 0,950 0,950 0,76 0,464 0,508 0,532
0,28 0,930 0,942 0,942 0,78 0,432 0,476 0,498
0,30 0,920 0,934 0,934 0,80 0,400 0,445 0,464
0,32 0,909 0,926 0,926 0,82 0,363 0,412 0,427
0,34 0,898 0,916 0,916 0,84 0,324 0,373 0,392
0,36 0,886 0,906 0,906 0,86 0,286 0,332 0,354
0,38 0,873 0,894 0,894 0,88 0,249 0,290 0,312
0,40 0,860 0,884 0,884 0,90 0,212 0,248 0,268
0.42 0,844 0,872 0,872 0,92 0,168 0,206 0,221
0,44 0,828 0,856 0,860 0,94 0,125 0,160 0,171
0,46 0,812 0,840 0,847 0,96 0,082 0,106 0,119
0,48 0,796 0,824 0,834 0,98 0,040 0,052 0,064
0,50 0,780 0,806 0,818 1,00 0,000 0,000 0,000
Сравнение табулированных таким путем трзх функций Ч/'пл (£)»
Фцил(5)1 in (5) показывает, что зависимость Ф (£) для всех них
почти одна и та же (с точностью до нескольких процентов).
Это особенно рельефно обнаруживается, если построить графики
этих функций в крупном масштабе. Получается тесное расположение
кривых <Гпл(5), ТцилС^), 1Irm(S), несмотря на крайнее различие гео-
метрических свойств этих трех форм: одна ограничена только пло-
скостями, поверхность другой—линейчатая, третьей — неразверты-
ваемая в плоскость. Исходя из этого замечательного обстоятельства,
можно дать универсальную зависимость Ф (£), которая, хотя и грубо,
в общих чертах, но охватывает все формы и изображается рис. 30.
График может быть заменен осредненной табл. 13.
§ 4]
ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ ТЕМПА ОХЛАЖДЕНИЯ С
101
Осредненная функия Ч- (?)
Таблица 13
В 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
1 0,992 0,97 1 0,93 । 0 385 [ 0,81 0,715 0,59 0,445 0 25 0
Для любой формы зависимость Ф(?) изобразится кривой, прохо-
дящей невдалеке от осредненной кривой Ф($); DNE и DPE на
рис. 30 изображают две такие
все кривые Ф (£), соответ-
ствующие всевозможным фор-
мам, заключены в верхней по-
ловине DEF квадрата ODFE
со стороной, равной единице.
Выпуклостью каждая кривая
Ф (5), по крайней мере в ее
верхней части, обращена в сто-
рону положительных S. В этом
можно убедиться, составив вто-
рую производную:
duqp) dp ,.-ч
di dp di dp
= pm (— 2E,p — 4E,2p':i — . . .),
в силу (1.72) (см. § 8 гл. I),
а отсюда
rf;- ' ' dp'-2 ~~
= p^(— 2Ej — 12E2p- — ...).
Рис. 30. Осредненная кривая ’Г = T ($)
и кривые ’Г = ’Г (?) двух каких-либо
форм.
Так как при небольших значениях р, а следовательно, и при ма-
лых $ знак суммы степенного ряда
— 2£j — 12Е2р2 — ...
определяется знаком его старшего члена, то -^-<.0, что и под-
тверждает наше предположение о кривизне кривой ф = Ф (?) (сле-
дует вспомнить, что £j > 0, ибо предположение Ej < 0 несовместимо
с основным свойством критерия Ф; Ф 1).
Чтобы уточнить зависимость Ф = Ф (?) для данной конкретной
формы, какова бы она пи была, следует произвести опыты над ре-
гулярным охлаждением модели этой формы при различных значениях
102 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ТЕЛ ЛЮБОЙ ФОРМЫ [1 Л. IV
коэффициента теплоотдачи к, изготовив эту форму из нормального
вещества.
Для каждого значения а определяем из опыта соответствующее
значение т (методы описаны в практической части в гл. X и XI).
Результатом одного какого-либо опыта будет пара совокупных зна-
чений т и я. Зная их, вычислим величины Е и Ф по формулам
(4.18)
и таким образом получим одну какую-либо точку кривой Ф — Ф (!•).
Произведя несколько опытов, получим число точек, достаточное
для построения всей кривой; характерный вид всех кривых, группи-
рующихся вблизи средней кривой DME, позволит обойтись неболь-
шим числом опытов; чтобы надежно начертить кривую, требуется
немного точек.
Формула (4.17) — следствие определения (4.16) критерия $ и фор-
мулы (1.64); формула (4.18) — иначе переписанное уравнение (1.47),
ибо [см. (1.60)].
С V V ,
S ~ S с'(’ а S ~ '
Следовательно, совокупность уравнений (4.17) и (4.18) пред-
ставляет собой сжатое выражение основных свойств регулярного
режима, определяемых теоремой § 8 гл. I: это — перевод физиче-
ского закона на язык математики.
Существенную роль в этом рассуждении играет коэффициент
формы К. В предыдущей главе было показано, что и он может быть
найден опытным путем; его следует предварительно определить из
особого опыта, проводимого при частном условии а —> оо. Именно,
учитывая важное значение коэффициента К, мы и сочли полезным
привести в предыдущем параграфе несколько примеров форм,
ускользающих от математического анализа.
Итак, для построения зависимости Ф от 5, или ф от р, или Ф
от С нет необходимости в интегрировании уравнения теплопровод-
ности (1.28).
Не одна только критериальная величина Ф пригодна для харак-
теристики инертности данной формы при различных значениях С:
наравне с Ф в некоторых случаях можно ввести и другую величину,
которую мы обозначим [3. Для этого рассуждаем следующим об-
разом.
Предположим, что форма тела допускает выделение внутри него
центральной части — сердцевины, где температура всюду почти оди-
накова и равна и.(, и в то же время можно указать наружную его
часть, периферическую, во всех почти точках которой, за исключе-
§ 4] ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ ТЕМПА ОХЛАЖДЕНИЯ С 103
нием, может быть, некоторых ее участков (например углов), темпе-
ратура также одинакова и равна ив.
Введем величину ,
а = - °C .
‘ щ — t ’
(4.19)
р не зависит от времени (см. § 5 гл. I) и, подобно Ф, является
критерием степени неравномерности температурного поля, а следо-
вательно, и мерой реак-
ции тела на воздействие
среды.
Для трех тел простей-
шей формы — шара, ци-
линдра, пластинки — ве-
личина Р равна соответ-
ственно J0(p)> ccsp.
Очевидно, что р всегда
будет убывающей функ-
цией р; когда р меняется
ст нуля до рм (т. е. когда (.
меняется от 0 до оо),
р падает от 1 до 0.
Вычислим £ как функ-
цию р для этих простых
форм; окажется, что
£ = £(Р) в первом при-
ближении не зависит от
формы, как наглядно по-
казывают графики этой
Рис. 31. График зависимости между 'Г5и $'для
пластинки, цилиндра и шара.
функции для пластинки, цилиндра и шара, изображенные на рис. 31.
Столь малое отличие функций £(Р) для столь различных форм
дает основание ожидать, что для тел трех упомянутых выше классов
они будут мало отличаться от осредненной функции. Значения ее
приводятся в табл. 14.
Таблица 14
Осредненная функция Е (0)
3 = 0,05 0,10 0,15 020 ОДО 0,35 0,40
5 = 0,96 0,92 0,89 0,85 0,77 0,74 0,71
3 = 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75
5 = 0,67 0,63- 0,605 0,565 0,52 0,48 0,436
3 = 0,80 0,85 0,90 0,95 0,975 1,00
? = 0,38s о,зз5 0,275 0,185 0,125 0,00-
Замечание. Для £ в пределах от 0 до 0,7 имеем почти линейную
зависимость; 1^1-0,743 ₽.
104
РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ТЕЛ ЛЮБОЙ ФОРМЫ
[ГЛ. IV
Случай ’Г близкого к единице. W принимает значения,
близкие к единице, при малых значениях критериев С, р и В.
По введении $ в (1.72) вместо р получаем разложение ’F (?) по сте-
пеням В, действительное для малых В:
причем
*F(B)=1 — ...,
Н.=р* Е >0.
1 'СО 1
(4.20)
Чтобы получить среднее численное значение коэффициента НА,
в первом приближении пригодное для всех форм, вычислим EY и
для трех основных форм, пользуясь формулой (1.69) и приближен-
ными формулами § 5 гл. II; получится:
для шара Ч’я а 1 — ь 1 — Р* 15 Рг 8 " а 1—0,658 11 —0,723 В2, (4.21)
для цилиндра
для пластинки к 1 — Р2 - 3 " к 1 — 0,822 В2.
Осреднение дает:
= 1 — 0,73 В2, (4.22)
так что /7, = 0,73.
Уточнение коэффициента для данной конкретной формы может
быть произведено путем постановки опыта при каком-либо малом
значении а с моделью данной формы, изготовленной из нормального
материала; наблюдая регулярное охлаждение этой модели, находим
соответствующее т, а затем по формуле (1.47) вычисляем Ч‘.
Поскольку коэффициент формы модели можно считать извест-
ным, мы будем знать и соответствующее В, вычислив его по фор-
муле (4.17). Имея, таким образом, Т и соответствующее значение В
для данной формы, вычисляем для нее и коэффициент
Формула (4.22) дает достаточное приближение для ’Г в широком ин-
тервале значений В — примерно от 0 до 0,5, а не только для малых В.
§ 5. Приближенное изображение регулярного режима
при помощи критериальных величин § и ч
Установление связи между величинами ’F и В еще не решает за-
дачи о регулярном охлаждении или нагревании тела, так как обе
они по своему физическому смыслу характеризуют тепловой процесс
внутри тела; чтобы связать этот последний с воздействием на тело
внешней среды, необходимо ввести новую величину. В качестве
таковой выше фигурировал критерий С; теперь мы введем новую
§ 5] ВВЕДЕНИЕ КРИТЕРИАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН ; И 7| 105
критериальную величину т;, которая не зависит уже от выбора
определяющего размера Lo, входящего в критерий С, и которая дает
возможность более общей характеристики регулярного режима, в пер-
вом приближении охватывающей тела любой формы.
Разделим уравнение (4.18) на (4.17); получится уравнение:
’F (г)
= (4.23),
где -г; — число нулевой размерности, зависящее от геометрических и
тепловых свойств тела и от а; структура его дана формулой:
г] = — • -X- = -X-. (4.24)
1 a SK Kh v 7
На основании сказанного ранее W (?) в первом приближении —
универсальная функция, характеризующая поведение тел различной
формы; поэтому уравнение (4.23) дает тоже универсальную зависи-
мость между £ и т], которая получается, когда $ пробегает все значения
от нуля до единицы; при этом изменяется от бесконечности до нуля.
Весьма большие значения г] означают очень слабое воздействие
среды; тогда '1‘ близко к единице. По мере убывания 7], т. е. по
мере возрастания С (ибо т| обратно пропорционально а, т. е. С,—
см. (4.24)], Ф убывает и стремится к пулю. Зависимость между 5
и г дана в табл. 15.
Таблица 15
Среднее ; к.к функция ч
0,0 °,* 99,2 0,2 24 Q3 юз 04 5.58
Г CCZ. 05 01> 0,7 08 09 1 0
5 = 3,24 1,98 1,20 0,695 0,309 0
Очевидно, что 1Г можно также рассматривать как функцию
(см. табл. 161.
_ Т а б л и ц а 16
Среднее 4" как функция ч
ч = > 1 99 2 24 2 ЮЗ 5 53 3 24 1 98 1 0 ,695
•г .= 1 0,992 0,97 0,93 0,885 Q81 Q 715 059 0445
7| ” 0,309 0
•г = i 0,25 0
Подобно 5, критерий т, не зависит от выбора определяющего
размера: LQ в уравнение (4.24) не входит. Заметим, что с точностью
до постоянного множителя критерий т; равен обратной величине кри-
терия Био.
106 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ГЕЛ ЛЮБОЙ ФОРМЫ [гл. IV
§ 6. Решение задачи о регулярном режиме при помощи
критериев р и £
В гл. I мы пришли к заключению, что решение задачи о регу-
лярном охлаждении тела любой формы сводится к установлению зави-
симости (1.54) между критериями р и С. Мы сейчас увидим, что общие
свойства регулярного режима позволяют получить ее на основе экспе-
римента: кривую (1.54) или (1.55) можно построить по точкам с до-
статочной технической точностью (порядка 1°/0).
Осуществляется такое построение следующим образом. Изгото-
вляем модель исследуемой формы в любом масштабе из нормального
материала. Производим тщательное определение всех геометрических
величин, необходимых и достаточных для описания данной формы.
Нагрев форму, предоставляем ей охлаждаться в условиях постоянства а
и температуры внешней среды t. Измеряем это а, например по методу
электрокалориметра, и определяем обычным способом т. После этого
по формулам (1.52) и (1.50) вычисляем соответствующие численные
значения критериальных величин С и р. Их совокупность дает точку В
па кривой (1.55) рис. 8. Далее повторяем опыт с охлаждением формы
при той же температуре, но уже при другом численном значении а'
коэффициента теплоотдачи, и находим другой темп охлаждения т';
вычислив опять критериальные величины, получаем другую точку В'
кривой (1.55). Идем так далее, пока не наберем достаточного числа
точек, чтобы провести через них главную кривую. В силу нашей
основной теоремы она имеет асимптоту, параллельную оси С и нахо-
дящуюся от нее в расстоянии р^. Для определения этой последней
величины необходимо найти коэффициент формы К, что также осуще-
ствляется, как мы видели в § 3, экспериментальным путем.
Выпуклая кривая, асимптота которой известна, имеет настолько
характерный вид, что для ее построения потребуется совсем неболь-
шое число точек. Можно заметить, что при малых значениях крите-
рия С она близка к параболе:
2 — - L0S
м у
(ибо тогда Ф 1), а при значениях р, близких к рт, она близка
к гиперболе:
Роо—'
Эти замечания общего порядка еще больше облегчают построение
кривой (1.55).
Критериальная величина Д' не менее важна практически, чем р.
Кривая ее зависимости от С или от р может быть построена по точ-
кам с помощью изложенного здесь экспериментального метода. При-
менение его основывается на формулах (1.47) или (1.63), если ищем
зависимость Ф (С), и на (1.69), если ищем зависимость Ф (р).
ГЛАВА V
ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ
ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
НА СЛУЧАИ СОСТАВНОГО ТЕЛА (СИСТЕМЫ)
В этой главе нами будет поставлена более сложная в мате-
матическом и физическом отношении задача, а именно, задача об охла-
ждении или нагревании тела, состоящего из нескольких частей,
материалы которых резко между собою различаются по тепловым
свойствам, как, например, металлы и диэлектрики. В гл. I нами было
дано определение этого понятия и введен также
термин система. Составные части
системы обозначим цифрами I, II,
III, .. . (рис. 32), физические кон-
станты материалов этих частей — бук-
вами А, а, с, f с соответствующим
номеру каждой части значком.
для краткости речи
Рис. 32. Составное тело (система).
§ 1. Основная теорема
о регулярном режиме системы
Предположим, что на наруж-
ной поверхности S системы тепло-
обмен с окружающей средой под-
чиняется закону Ньютона, т. е. ана-
литически выражается тем же уравнением (1.15), как и в случае
простого однородного тела. Однако здесь не только а может быть
различным в различных точках наружной поверхности, но еще и X
может не везде сохранять постоянное численное значение: с внешней
средой могут соприкасаться различные части системы, имеющие раз-
личные коэффициенты теплопроводности; поэтому граничные условия
следует писать в более общем виде:
—о] —о,
I ип _1нар. поп. Я
6 = 1, 2, ...
(5-1)
где буквой k обозначен номер какой-либо одной из частей системы,
соприкасающихся с внешней средой. Температуру среды t и условия
108
ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ СОСТАВНОГО ТЕЛА (СИСТЕМЫ)
[ГЛ. V
теплообмена со средой попрежнему будем считать неизменными во вре-
менном отношении, т. е. условия (1.1) соблюдаются в течение всего
процесса.
Обычно предполагается, что величины Ay, а^ Cj, у, где j — номер
какой-либо части системы, в пределах этой части сохраняют постоян-
ное значение; здесь мы сделаем относительно них более общее пред-
положение, а именно: мы предположим, что тепловые свойства
могут зависеть от координат точек данной части системы
(например, если материал неоднороден), но будем считать, что
kj, aj, Cj, у- не зависят от температуры в тех пределах тем-
ператур, которые могут наблюдаться в системе на всем протя-
жении процесса.
При указанных выше предположениях весьма общего характера
остается действительной основная теорема § 4 гл. I, т. е. общее
решение задачи об охлаждении или нагревании системы может
быть представлено в виде бесконечного ряда (1.32).
В данном случае аналитический вид U функций координат зависит
от формы и взаимного расположения всех частей системы и от гра-
ничных условий.
Aj— постоянные, зависящие только от начального состояния системы,
nij—положительные, убывающие числа, постоянные, т. е. не завися-
щие ни от времени, ни от координат точки М системы, в какой бы
части системы эта точка ни находилась, наконец, не зависящие от
начального состояния. Числа uij образуют дискретную совокупность
неограниченно возрастающих положительных чисел
и0 < т j < т„ < .. .
Дальше под т мы будем всюду понимать наименьшее из них, т. е. /и(|.
Положение о переходе от неупорядоченного состояния к регу-
лярному режиму, доказанное Буссинеском для любого однородного
и изотропного тела (§ 5 гл. 1), имеет место безоговорочно и для
системы, и все, что было сказано в § 9 гл. I об эволюции твер-
дого тела, целиком относится к системе.
Графически температурное поле системы Урег = функции z изо-
бразится в полулогарифмических координатах семейством параллель-
ных прямых.
Поэтому температурное поле остается подобным самому себе
по времени, как и для простого тела (см. § 5 гл. 1).
Для системы темп охлаждения т является еще более сложной,
чем для простого тела, функцией параметров, характеризующих систе-
му и воздействие среды. Темп охлаждения системы зависит от сле-
дующих величин:
1) от формы и размеров системы и взаимного расположения, раз-
меров и формы ее частей;
2) от термических констант a.z, а$, С] материалов, из которых эти
части состоят;
§ 2j ойщиЙ Метод аналитического решения чаДАЧИ 109
3) от условий теплообмена на наружной поверхности системы,
характеризуемых величиной коэффициента теплоотдачи а;
4) от условий на границах раздела соседних частей системы.
Сосредоточим внимание на определенной заданной системе; в этом
случае все только что перечисленные величины следует считать
заданными и т будет зависеть только от коэффициента теплоотдачи а.
Заставляя а меняться от »0 до бесконечности, мы охватим все воз-
можные для данной системы регулярные режимы. Для системы,
совершенно так же как для простого тела, будет верен закон
асимптотического возрастания т с возрастанием а: предел
Нтт = т_,, есть величина конечная.
а ->оо
Однако введение критериев, аналогичных тем, которые нами полу-
чены для простого тела—р, и пр.,— в настоящее время для системы
еще не представляется возможным; в этом направлении необходимы но-
вые теоретические исследования. Этот вопрос сопряжен, повидимому,
с большими математическими трудностями, потому что анализ даже
Рис. 33. Двухсоставные тела.
самых простых систем—двухсоставных тел, состоящих из двух
частей 1 и II (рис. 33), материал каждой из которых однородный
и изотропный, ведет к сложным уравнениям. Заметим, все же, что
теорию регулярного охлаждения некоторых простых видов двухсостав-
ных тел нам удалось представить в упрощенном виде, путем введе-
ния критериальных величин, специфичных именно для этих видов и
поэтому не имеющих такого универсального значения, как р, Q, Ф
(см. ниже гл. VI).
§ 2. Общий метод аналитического решения задачи
о регулярном режиме системы
Введем упрощающее предположение: коэффициент теплоотдачи а,
являющийся вообще функцией координат точек поверхности 5, заме-
ним осредненной по поверхности величиной а = а.
110 ОБОБЩЕНИЕ ИА СЛУЧАЙ СОСТАВНОГО ТЕЛА (СИСТЕМЫ) [ГЛ. V
Далее введем еще ограничение: пусть каждое из тел /, If,
образующих систему, состоит из однородного и изотропного мате-
риала; поэтому константы aj, Cj, меняются разрывно при пере-
ходе от одного тела системы к дру-
гому, но в пределах данного тела сохра-
няют постоянное значение. В силу пред-
положения об абсолютно плотном со-
прикасании соседних тел (§ 1 гл. I) тем-
пература и, а поэтому и & = и—t —
непрерывная функция координат точек
системы. Но производная по нормали к
поверхности соприкосновения меняется
разрывным образом.
Условия на этой поверхности, кото-
рую обозначим буквой £, будут напи-
саны на основании следующих сообра-
жений.
Предположим, что £ отделяет тело
Рис. 34. Тепловые потоки на системы, носящее, номер I, от тела,
границе раздела различных тел. носящего номер j', положительное на-
правление нормали к £ в какой-либо ее
точке Р от /-го тела к /-му обозначим v (рис. 34).
Тогда температурные градиенты, взятые в направлении нормали к
поверхности раздела двух тел, связаны между собою соотношением:
Так как то температурный градиент претерпевает разрыв
на поверхности раздела £ различных тел.
Кроме того, на У имеем условие непрерывного изменения темпе-
ратуры :
= W (5-3)
Условия на наружной поверхности S имеют вид (5.1) или, что
то же:
(^ + W))s = 0- (5.4)
Для установления математической зависимости между темпом
охлаждения т и определяющими его, указанными выше параметрами
воспользуемся, во-первых, общим выражением для 0рег, во-вторых,
условиями (5.2), (5.3), (5.4) и, в-третьих, гипотезой Фурье. Для
/-той части мы имеем
38.,,
общий метод аналитического ёешёния Задачи
111
§ 21
В силу основной теоремы § 1 этой главы для первой, второй,
третьей и т. д. частей системы имеем уравнения:
!lJ = uJ — t = A'U'e~mz, )
!)и= ип— t = A"U"e-m\ |
(
!\<) = % — 1 = |
• ....................... 1
(5.5)
Значок (/) вверху буквы U указывает номер той части системы,
к которой относится функция U.
Каждая из функций U удовлетворяет своему уравнению в частных
производных, а именно:
V2lP’+—= 0.
(5.6)
Уравнение (5.6) является следствием (5.5) и основной теоремы § 1.
—функция координат точек /-той части системы, определяемая
как общий интеграл уравнения в частных производных (5.6). Предполо-
жим, что эти интегралы найдены для всех частей системы: все функции
U', U", ... в (5.5) известны. В их выражения войдут в качестве пара-
метров произвольные постоянные интегрирования ш1( ш2, ..., которые
при дальнейших математических операциях должны быть либо исклю-
чены, либо определены.
В систему (5.5) входят еще „амплитуды" А', А", ..., подобно
коэффициенту А в случае простого тела [см. (1.35)]. Эти коэффи-
циенты зависят лишь от начального состояния системы, но каждый
из них имеет одинаковое численное значение только в пределах одной,
данной, части системы — отсюда и значок / у коэффициента А<{}.
Поэтому исключение их из уравнения задачи представляется более
сложной операцией, чем в случае простого тела, а между тем именно
ее и следует выполнить в первую очередь: коэффициенты как
связанные только с начальным состоянием системы, нас не интересуют.
Для их исключения воспользуемся условиями (5.2) и (5.3) на поверх-
ности раздела двух каких-нибудь соприкасающихся частей Z-той и
у-той системы; подставив в них на место l)f и 1^ их выражения (5.5),
т. е. сочетая эти условия с основным законом регуляризации, при-
ходим к двум уравнениям:
А{^и(1} = Аи)ии\
d'tij з d-<l}
112 ойойщение на Случай Составного тела (Системы) [гл. V
Отсюда, разделив одно уравнение на другое, получим:
. dU(i> . dUu'
t'i . ' i i
и таким способом исключим амплитуды А.
Для определения постоянных интегрирования <о1, ш.2, ..., входящих
в U, послужат условия (5.4) на наружной поверхности; вводя в них
выражения (5.5) для и сокращая на А^'е~т\ приходим к одному
или нескольким уравнениям вида:
(^T + 7f/W),s = °- (5’8)
Если охлаждение системы происходит в условиях а —> со, урав-
нение на поверхности 5 будет несравненно проще:
= (5.9)
Здесь относятся к каждому из Л-тых тел, граничащих с внеш-
ней средой.
Комбинация уравнений (5.7) и (5.8) или (5.9) приведет к группе
уравнений, куда войдут <Uj, <о2, ..., а также т и а; по исключении
из них чисел «j, w.2, . .. получаем уравнение, связывающее т с а;
в него войдут все параметры, характеризующие систему, г. е. ее
геометрические свойства — размеры и конфигурацию частей и тепло-
вые свойства материалов, из которых эти части состоят.
В некоторых случаях уравнения (5.7) приходится заменять иными;
это те случаи, когда какая-нибудь часть системы в данных условиях
эксперимента обладает равномерной температурой, так что для этой
части функция сводится к постоянной, которую без нарушения
общности можно считать равной единице.
В этих случаях условия на поверхности X*, ограничивающей
область равномерной температуры, напишем в следующем виде:
/ dU' \ idU"\
+ (510)
Здесь символом С* обозначена полная теплоемкость области равно-
мерной температуры; Я", — величины поверхностей других
тел системы, окружающих ее отовсюду:
v* = s'+r+...
Номера ], //, ... на рис. 35 относятся к этим телам; v—направле-
ния нормали в отдельных точках поверхности за ее положительное
§ 2]
ОБЩИЙ МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
ИЗ
направление принято направление изнутри области равномерной темпе-
ратуры к телам /, II, ... (рис. 35).
В целях наглядности изложения вывод (5.10) будет дан на частном
примере в гл. VI, § 4 [см. формулу (6.26)]; обобщение не предста-
вляет трудности.
Последующие главы посвящены тем различным частным случаям
составных тел, когда может быть дано точное или приближенное
решение задачи о регулярном охлаждении. Нами подобраны случаи,
представляющие, с одной стороны, практический интерес и, с другой
стороны, пригодные для наглядной
иллюстрации того, как следует при- /
менять общую теорию к решению /
конкретных задач. В дальнейшем V /
нам придется рассматривать систе- V.—
мы, у которых одна какая-либо из / v»
частей являетсяобластъю равно-
мерной температуры-, чтобы из-
бежать такого громоздкого выра-
жения, к которому пришлось бы
прибегать довольно часто, мы его
заменим условно терминами ме-
талл, металлический, противо-
поставляя эти термины терминам
Рис. 35. К уравнению (5.10).
термоизолятор, теплоизолятор.
Таким образом, эта терминология — сравнительная и относится только
к системам. (В указанном смысле под понятие „металла“ подойдет
и жидкость, подвергаемая настолько интенсивному перемешиванию,
что в занимаемом ею объеме отсутствуют заметные градиенты тем-
ператур.)
Сделанное нами в этой главе обобщение теоремы Буссинеска
(§ 4 гл. I) и ее следствий имеет большое практическое значение,
так как им обоснована возможность применения теории простого
охлаждения (или нагревания) и вытекающей отсюда теории регуляр-
ного режима к промышленным объектам, элементы которых зачастую
отнюдь не являются простыми однородными и изотропными телами,
а представляют собою системы из чрезвычайно большого числа мелких
частей, как, например, теплоизоляция трубопровода. Наши выводы
и для таких систем остаются в силе, потому что число частей I, II, .. .
системы ничем не ограничено.
g Зак. 750. Г. М. Кондрата
ГЛАВА VI
РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ДВУХСОСТАВНЫХ ТЕЛ
ИЗ ЯДРА И ОБОЛОЧКИ
§ 1. Ядро в тонкой оболочке
Приближенное решение задачи о регулярном режиме метал*
лического ядра, заключенного в теплоизоляционную оболочку.
Изучаемая здесь система состоит из двух частей: металлического
ядра Л и со всех сторон к нему прилегающей оболочки В (рис. 36).
Оболочку считаем „тонкой", это
-•. -- ----С-' значит, что ее максимальная тол-
Рис. 36. Ядро из металла в тонкой
теплоизоляционной оболочке.
А — металлическое ядро; В —теплоизоляцион-
ная оболочка.
тина мала по сравнению с наимень-
шим из линейных размеров ядра;
практически говоря ,их отношение
не должно превышать1/g—1//р-
Будем считать, что наружная
поверхность ядра, величину кото-
рой обозначим S', имеет плавные
очертания; допустимо только не-
большое число линий сопряжения
между частями поверхности под
прямыми или тупыми углами
(пример: архимедов цилиндр).
Внутри металлического ядра
могут быть и полости, но не со-
прикасающиеся с оболочкой.
Относительно оболочки сделаем
еще предположения: во-первых,
что ее толщина о не вполне равномерна, а меняется плавно от точки
к точке поверхности S', во-вторых, что она состоит из нескольких
теплоизоляционных слоев.
Наконец, коэффициент теплоотдачи а будем считать функцией
координат точек поверхности.
Рассмотрим количество теплоты 8Q, потерянное ядром за элемент
времени 8т и прошедшее через поверхность S'. Мы его найдем путем
§ и
ЯДРО В ТОНКОЙ ОБОЛОЧКЕ
115
суммирования элементарных тепловых потерь соответствующих
элементам поверхности У:
8Q = J aq,
S'
причем интегрирование распространяется на всю поверхность S'. Коли-
чество тепла, потерянное элементом dS' за время 8т и прошедшее сквозь
оболочку, если ее толщину в этом
месте обозначить 3, можно предста-
вить в виде:
37 = -^^-.rfS/3T,
0 1
где и — температура ядра; t — тем-
пература внешней среды.
Здесь Хэ обозначает эквивалент-
ный коэффициент теплопровод-
ности сложного слоя, каковым
мы и считаем оболочку В (см.
гл. XIX, § 1).
Это выражение для 3</ прибли-
женное; оно тем ближе к истине, чем
относительно тоньше слой В, и осно-
вано на предположении, что вдоль
нормали av (рис. 37) к поверхности S'
в точке а, где толщина аЬ — Ъ, тем-
пература внутри слоя следует закону
прямой линии, так что температур-
ная линия вдоль ab состоит из прямолинейных отрезков, как и
в случае сложной плоской стенки [6].
Из двух предыдущих уравнений, вынося и — f за знак интеграла
(так как температура ядра одинакова во всех его точках, хотя и
изменяется со временем), получаем:
М
Рис. 37. Распределение температур
в многослойной оболочке металли-
ческого ядра (приближенно).
Д--ядро; В—оболочка; темпе-
ратурная линия.
8Q = (« — f) 8т I* ^dS j-
.4' -------1-----
лэ a
С другой стороны, то же количество теплоты можно выразить
иначе, а именно: через понижение За температуры ядра за время Зт,
считая известной полную его теплоемкость С':
<iQ = — С7 За.
8*
116 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ДВУХСОСГАВНЫХ ТЕЛ ИЗ ЯДРА И ОБОЛОЧКИ [ГЛ. VI
Сопоставляя два последних уравнения и замечая, что в силу по-
стоянства температуры t можно заменить 8м через 8 (м — i), приходим
к равенству
(и — /)8т | t = — С'8(и — f).
S’ + 7
По наступлении регулярного режима будет иметь место соотношение
о (м — t)
Поэтому предыдущее равенство сводится к
f Ц- • dS' = тС.
J А + 1
S' Хэ' “
Интеграл в левой части можно заменить произведением из площади
этой поверхности S' на среднее значение подинтегральной функции,
т. е. заменить 8 и а их средними значениями, которые обозначим 8
и а. Таким путем мы приходим к равенству
Введем осредненное эквивалентное тепловое сопротивление
слоя В, обозначив его Рэ, и осредненное поверхностное сопротивление
Рп=-=- на наружной поверхности системы; предыдущее равенство
а
примет вид:
т -^•(Р8 + Рп)= 1. (6.1)
Суммарное тепловое сопротивление между ядром и окружающей
средой Е будет равно
Реум = Рэ + Рп. (6.2)
Здесь обозначено
P-=S$=SP<’ р-=1- <6-3>
В формулах предыдущей теории и в следующих главах часто
встречается величина С/S', имеющая значение для практических
приложений теории регулярного режима; введем для нее обозначение:
ф = (6.4)
§ 1]
ЯДРО В ТОНКОЙ ОБОЛОЧКЕ
117
ф — константа ядра. Если ядро состоит только из одного ме-
талла, удельная теплоемкость которого равна с', а вес Р7, то С' = с'Р';
если ядро — составное и в его состав входит первый металл весом Рр
имеющий удельную теплоемкость ср второй — весом Р2 с удельной
теплоемкостью с2 и т. д., то
С' = с^г с^Р2
Формулу (6.1) на основании (6.2) и (6.4) можно написать еще и так:
/иФРсуы=1. (6.5)
Случай а = со. В этом случае Рп = 0. Мы получаем:
dS’ — тС,
а отсюда
~-S' = тС. (6.6)
О
Если слой однородный и его со-
противление равно Р, то уравне-
ние (6.6) обратится в следующее:
т =
1
ФР ’
(6.7)
Недостатком этого очень про-
стого вывода является предпосылка
относительно вида температурной
кривой вдоль нормалей к поверх-
ности S'. На рис. 38 трапецеидаль-
ная линия O^PMNQQ^ представляет
распределение температур по одному
из разрезов ядра и оболочки, за-
Рис. 38. Распределение температур
в системе из металлического ядра,
заключенного в теплоизоляцион-
ную оболочку (приближенно).
1~-ядро (металл); /Z—оболочка (теплоизо-
лятор).
ключающему в себе две какие-либо прямо противоположные нормали.
Для простоты рисунка оболочка изображена однослойной. По отно-
шению к прямой, параллельной оси абсцисс, изображающей равно-
мерное распределение температур в ядре, края трапецоидальной линии
могут быть приняты за отрезки прямых, если только ядро сильно
развито сравнительно с оболочкой: они невелики сравнительно с этой
центральной частью температурной кривой.
Второй недостаток — осреднение теплового сопротивления Ра и
коэффициента теплоотдачи а; здесь мы, в сущности, должны были бы
ввести поправку на отклонение поверхности ядра от плоскости .и
ввести коэффициент формы, почти равный А* (см. § 8 гл. I).
Наконец, третье обстоятельство — менее существенное: мы пре-
небрегли теплоемкостью оболочки по сравнению с теплоемкостью ядра.
118 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ДВУХСОСТАВНЫХ ТЕЛ ИЗ ЯДРА И ОБОЛОЧКИ [ГЛ. VI
Как показали многочисленные опыты, изложенное здесь решение
задачи удовлетворяет требованиям практической точности — порядка
1-5%.
Достоинство решения — в том, что впервые рассмотрен практиче-
ски важный случай, не поддающийся точному математическому ана-
лизу,— случай системы, в кото-
Рис. 39. Сплошное тело простейшей
формы, заключенное в тонкую обо-
лочку равномерной толщины.
рую входят многослойные тела,
а именно, оболочка и притом не-
равномерной толщины.
Регулярный режим сплош-
ного ядра простейшей формы,
заключенного в тонкую оболоч-
ку постоянней толщины. Пусть
ядро имеет одну из трех основных
простейших форм — пластинки,
цилиндра или шара (см. § 1 гл. П).
Оболочка его тонкая в том же
смысле, как и в предыдущем параграфе, но повсюду имеет равномер-
ную толщину, которую обозначим 8 (рис. 39).
Термические константы ядра и оболочки могут быть произволь-
ными. Относя их к ядру, которое обозначено /, будем снабжать их
одним штрихом вверху; для оболочки II снабдим их двумя штрихами.
Допустим, что распределение температур внутри оболочки вдоль
нормали к ядру следует закону прямой линии,
линейная функция расстояния а, если это
расстояние отсчитывать по направлению наи-
большего падения температуры, т. е. по нор-
мали М к поверхности ядра от какой-нибудь
ее точки W (рис. 40); а меняется от 0 до 8:
(>" = (M-|-Afc)e-«l\
Обозначим собственные функции задачи:
для ядра (/) через U', для оболочки (II) че-
рез U". Очевидно, что
т. е. что температура —
Для ядра 17' —функция только одной Рис. 40, к выводу фор-
координаты г или х; она будет найдена из Мулы (6.8).
уравнения (5.6), т. е. будет вычисляться по
формулам (2.7), (2.16) и U’ = cos (р-х), выведенным в гл. II; в них лишь
/ / Г т
вместо а следует ввести а , а вместо р ввести р/ = 1/ —.
Выразим аналитически условия на границе раздела £ тел I и II
(непрерывность температуры и закон преломления изотерм):
ЯДРО В ТОНКОЙ ОБОЛОЧКЕ
119
§ 1]
Выразим далее аналитически закон сохранения энергии: тепло,
прошедшее за время St из ядра / через поверхность X в оболочку II,
равное 8Qn минус тепло 8Q2, израсходованное на нагревание оболочки,
равно теплу 8Q, потерянному во внешнюю среду:
8<?! — =
Первая величина в силу закона Фурье будет дана формулой
вторая равна приращению тепловой энергии слоя 11 за время 8т;
если 6" — его средняя объемная температура, а С"—его (полная)
теплоемкость, то
8Q2 = — С" 86",
где 86" — изменение этой температуры за время 8т.
В силу сделанного предположения о распределении температур
вдоль N't и основанной на нем приведенной выше формулы для ft",
интегрирование по объему сведется к интегрированию по прямой NP
(рис. 40) и мы получим:
6" = (Л4 Ц-
и
6Q2 = тС" №) е~т'- 8т.
Далее
8Q = aft'sS 8т.
Здесь 8g—значение температуры ft" на поверхности S, т. е.
при а = 8:
ftg = (Af-(-A/S)e-»»\
Для температуры внутри ядра, согласно общей теории, по (5.5)
имеем:
V^=AU'e-™.
Пользуясь этим выражением, а также формулами для ft" и U",
перепишем условия на поверхности £ в виде:
AUt=M,
Подставим в равенство, выражающее закон сохранения энергии, приве-
денные выше выражения для SQp 6(?2, 8Q и 8g и заменим входящие
в них величины Л/ и Л' согласно двум последним уравнениям; после
некоторых упрощений получится равенство:
Г (д-^\ + Р (1 — у + (6.8)
\ da Д [ S а 1 \ 2 aS ) J 1 \ aS / 4 7
120 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ДВУХСОСТАВНЫХ ТЕЛ ИЗ ЯДРА И ОБОЛОЧКИ [ГЛ. VI
В частном случае, когда а —> оо, оно обратится в
Х'(^Р-}-^=0, (6.9)
если обозначить тепловое сопротивление
^ = Р. (6.10)
Если ядро имеет, хотя и плавные очертания, но отличающиеся от
одной из простейших форм, то в формулах (6.8) и (6.9) под
/ д& \
и следует понимать средние значения этих величин на поверх-
ности
Если же ядро имеет одну из трех форм — шара, цилиндра или
пластинки, то ~^- = и уравнение (6.8) преобразуется к виду:
1 1 I т> Л 1 mC"W f. тС"\ ,
• -+Р(i -т• -^)J = (1 —^у-0; (б.и)
тогда под <р(р) следует понимать одну из трех функций F, f, Ф,
введенных нами ранее в § 2, 3 и 4 гл. II.
Здесь введено новое обозначение
Р=Ц]/Г (6.12)
В случае очень тонкой или мало теплоемкой оболочки, когда
и С"—0, из (6.11) получим:
®(р) =—где Р'= 4)1. (6.13)
Р -4-А
а
В том частном случае, когда а -> оо,
?(Р) = -^. (6.14)
Предположим, что оболочка II—из металла, ядро же 1—из
теплоизолятора. Это значит, что отношение -> 0; поэтому произ-
ведение
VP = K8_>0
и (6.11) обращается в следующее уравнение:
= (6.15)
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
121
§ 2]
Последняя формула определяет собою регулярный режим тела,
состоящего из теплоизоляционного ядра, заключенного в тонкую
металлическую оболочку.
Впоследствии мы увидим, что она абсолютно точна для ядер про-
стейшей формы (см. § 3).
§ 2, Аналитическое выражение закона сохранения энергии
для двухсоставного тела
*
Для общего случая какого угодно двухсоставного тела из ядра
и оболочки выведем вспомогательную формулу, которая понадобится
в дальнейшем.
Обозначим собственные функции задачи: для ядра U', для обо-
лочки U". Это, вообще говоря, функции трех координат.
Введем средние объемные температуры: ядра 6' и оболочки 6"
(принимая, как и в предыдущем, температуру окружающей среды
за условный нуль).
Количество тепла, отданное телом среде в течение бесконечно
малого промежутка времени 8т, выразится формулой
8Q = — (С7 80' +С" 86").
Это же количеств тепла приобретено средой и может быть пред-
ставлено в виде:
8Q = aftgdSfrz
s
или, по введении средней поверхностной температуры 6g на наруж-
ной поверхности тела:
8Q = a 8т.
Подставим в формулы для 67, 0", 6S вместо &' и &'7 их выраже-
ния (5.5); эта подстановка приведет к уравнению:
aSUs - т U'ap С + U"p С"'),
где Ucp —осредненные по соответствующим объемам I и II величины
собственных функций задачи, a Ug— осредненная по поверхности 5
величина функции Ug.
Условие непрерывности температуры при переходе из ядра I в обо-
лочку II, т. е. 1% = &£ для любого момента времени во всех точках
поверхности X, приводит к условию, связывающему А' и А", а именно:
А'и'г = A"u'i..
Подставив вытекающее отсюда отношение амплитуд А'[А" в пре-
дыдущее уравнение, получим окончательно формулу, которую мы и
122 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ДВУХСОСТАВНЫХ ТЕЛ ИЗ ЯДРА И ОБОЛОЧКИ [ГЛ. VI
имели в виду:
— / и" \
aSUg==ml—i-• UcvC -\-U"pC" ). (6.16)
Ее форма не меняется, каковы бы ни были тела /, //: металлы
или теплоизоляторы.
§ 3. Регулярный режим ядра из теплоизолятора,
заключенного в металл
Предположим, что тело 11 металл; размеры его какие угодно, но
температура во всех точках тела одинакова. Поэтому U"= 1, а зна-
чит, f7£=l = U", C7s = 1.
Наше основное уравнение (6.16) примет вид:
aS = m(С'^-4-С” ).
и*
Обратим внимание на физический смысл дроби ; она равна
^ср
отношению температур Gs/9 , где под 9S следует понимать осреднен-
ную по поверхности 12 температуру ядра /, а под О' — его среднюю
объемную температуру. В соответствии с формулой (1.44) мы введем
47' (штрих вверху указывает, что критерий этот относится к ядру,
рассматриваемому независимо от оболочки), а именно:
Ф' =
А
^Ср ’
I7
уравнение закона сохранения энергии примет вид:
тС \ . т С"
<6Л7)
Преобразуем формулу (6.17), введя в нее функцию <р(р) на
место Ф'. По (1.69) находим:
т с' — s L’^ —
S Ч" а’ к ‘ S 1р* ~
= V - £.0<р(р) = -^ - <р (р) - [см. (6.12)].
Подставляя это выражение в левую часть равенства (6.17), при-
водим его к виду:
, / “Л)/. Ш Собол a S . „ 1О.
'?(?) = -7’—5—(6Л8)
§ 3] ЯДРО ИЗ ТЕПЛОИЗОЛЯТОРА, ЗАКЛЮЧЕННОГО В МЕТАЛЛ 123
где С" = Са6ол, т. е. получаем ту же формулу (6.15), которую вы-
вели раньше, пользуясь приближенным допущением, что оболочка
весьма тонкая.
Частные случаи шара, цилиндра или диска из теплоизолятора,
заключенного в металлическую оболочку. Шар. Этот случай
является тем частным случаем предыдущего, когда ядро имеет форму
шара; пусть оболочка также шаровая концентрическая с ядром. Обо-
значим радиус ядра Rlt наружный радиус оболочки /?2; так как
•5/2 = R^/R^, то, приняв Lo — Ru получаем
из (6.18):
, __ ^2 /, tit ^**обол \ /о ,
ЛФ(р) = -^1 — — (6.19)
Под Ф(р) следует понимать то выражение,
которое принимает <р(р) для шара, т. е.
ф(р)=1 —р ctgp,
причем
----ZR2----—Г
f— 2Rf —ч
<?-
: 2/ Z,
Й
и
Рис. 41. Цилиндр или
диск из теплоизоля-
тора в металлической
оболочке.
а и а обозначают теплопроводность и темпера-
туропроводность теплоизолятора, из которого
состоит ядро.
Цилиндр или диск. Пусть цилиндр
ограниченный, причем оболочка представляет
собою сочетание цилиндрического слоя с двумя
дисками. Толщину цилиндрической части оболочки обозначим 8, тол-
щины торцевых ее частей 6' и 8", радиус и высоту ядра и Zv
наружный радиус оболочки /?2, ее высоту Z2 (рис. 41). Различим,
в соответствии с § 2 гл. III, два случая:
1) R значительно меньше Z („цилиндр");
2) Z значительно меньше R („диск").
В первом случае за определяющий размер примем Rr, так что
будем иметь:
(6-20)
а роль функции <р(р) будет играть /($) [см. (3.4)].
Во втором случае за определяющий размер примем у Zj и введем
параметр ___
= <6-21)
Роль!р(р) будет играть функция F(q) [см. (3.6)].
И в том и другом случае, очевидно, S/S выражается одинаково:
S Ri (Ri + ^2) _ /1 1 8 ) (1 । 8 “Ь ,J' + Ъ" \
L A’Hffi + Zi) — v^4-z, ?
124 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ДВУХСОСТАВНЫХ ТЕЛ ИЗ ЯДРА И ОБОЛОЧКИ [ГЛ. VI
Цилиндр. Подставляя в (6.18) на место Lo и уничтожив
значок у X', приходим к формуле:
l/(S) = «R,(l+^+C).(l---(6.22)
где
/(«) =
sJi (s)
Jo(s) ‘
Параметр s соотношением (3.17) связан с р, которое определяется
формулой (6.20). Характер (3.17) подробно был изучен в § 2 и 3
гл. III.
Диск. Подобным же образом, путем подстановки .Zj на место Lo
в (6.18), получаем:
АС/Ч 1 *7 fl I 8 \ (1 I ° 4" (1 т ^ОбОЛ \ {(•
XF(g)=a Z.(l +^(1 + Ry+Zi Д1 - (6.23)
где
Связь параметра q с р', которое определяется из (6.21), подробно
рассмотрена в той же гл. III.
Формулы (6.22) и (6.23) позволяют для заданных условий охла-
ждения, т. е. для заданного а, определить для данного цилиндра или
диска функцию f(s) или F(q), далее, по таблицам, приведенным
в приложении, найти соответствующее а или q, затем по формулам
и таблицам гл. III вычислить р или р' и, наконец, с помощью (6.20)
или (6.21) найти т. Этим путем задача о регулярном режиме цилиндра
из теплоизолятора, помещенного в металлическую оболочку, решена
до конца.
Случаи неограниченного цилиндра и неограниченной
являются частными случаями решенной здесь задачи.
В первом
случае
во втором, кроме
пластинки
того, еще
6 + &' + 6" _п
+ ’
а
= 0. Поэтому для бесконечного цилиндра:
Х/(р) = а/?2(1 — ™
с
^обол
—7Г“
(6.24)
для неограниченной пластинки
XF(p')=a • 1/^1 — (6.25)
(так как в этих случаях s-+p и q -> р' — см. гл. III).
§ 4) РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ЯДРА ИЗ МЕТАЛЛА 125
§ 4. Регулярный режим ядра из металла, заключенного
в теплоизолятор
Численные значения и 0" температуры в каких-либо точках М'
и М" тел / и II выразятся теми же формулами, как и в предыду-
щем § 3; так как ядро I в данном случае — из металла, то, в отли-
чие от § 3, здесь имеем:
О' = А'е~т\ D" = A" U" е~т\
Выразим аналитически тот факт, что полное количество тепла,
потерянное за элемент времени 8т: телом и прошедшее сквозь поверх-
ность X, поступило в окружающее его со всех сторон тело II и вы-
звало нагревание бесконечно тонкого слоя тела //вблизи поверхности
мы получим равенство:
С'81)' = f
J ач '
х
где о — знак дифференцирования по времени; интеграл в правой его
части берется по поверхности
Подставив сюда выражения
ЗЯ7 = — A'me~MZ 8т, — А"е~тх •
ач ач
и для простоты опуская штрихи у X и U, перепишем это равенство
в виде:
— С'А'т = ХА" J
£
Условие непрерывности температуры на £ приводит к равенству
(так как U' = 1): A' — A"Ui. Подставляя дробь А'/А" в предыдущее
равенство и вводя среднее значение производной по нормали к
, ~dU
которое пусть обозначено , представляем это равенство в виде:
-OT№=x(^)sS. (6.26)
Здесь металлическое ядро /— какое угодно; оно может быть
сплошным и многосоставным [ср. (1.5) и § 2 гл. I].
Вводя константу ядра Ф [см. (6.4)], можем уравнению (6.26) при-
дать иную, общую форму:
-Х(-^ = »1Ф (6.27)
(по замене U через 6"). Температура Я" одинакова во всех точках
поверхности £.
126 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ДВУХСОСТАВНЫХ ТЕЛ ИЗ ЯДРА И ОБОЛОЧКИ [ГЛ. VI
Второе из граничных условий, которому подчинена функция U,
получится из условий на наружной поверхности термоизолятора S:
Gsr+W)s = °- <6'28>
Регулярный режим полого тела.
Тело, внутри которого имеется одна пустая
полость, со всех сторон окруженная однородным
и изотропным теплоизолятором (рис. 42), можно
рассматривать как вырождение предыдущего
случая, а именно, — когда теплоемкость ядра
становится бесконечно малой. Из (6.26) тогда
получаем первое граничное условие в форме:
Рис. 42. Тело с одной
полостью.
/—полость; II — теплоизо-
лятор.
<6-29>
во всех точках поверхности S.
Второе граничное условие остается попрежнему (6.28). Функцию же
координат U, как всегда, находят путем интегрирования уравне-
ния (1.28).
§ 5. Двухсоставные тела простейшей формы
симметричной структуры
Пусть толщина оболочки //—всюду одинакова, так что все тела,
которые составят предмет последующих рассуждений, имеют симметрич-
ную структуру.
Общая схема метода решения задачи для двухсоставного
цилиндра и шара. В обоих случаях собственные функции зависят
только от координаты г и имеют следующую форму:
для шара
ц, _ sin (р-'г)
г ’
U" — sln (р"г + т)
для цилиндра
В силу основной теоремы гл. V числа р' и р" связаны между
собою зависимостью:
а/р'2 = а"р"2 == т. (6.30)
Таким образом, собственные функции задачи и для шара и для
цилиндра имеют одинаковый вид, причем собственная функция сплош-
ного ядра I зависит только от рг, а собственная функция оболочки
II—еще и от ш. Обозначим эти функции, для простоты,
и = и (р'г), 1Г = 1Г(р"г 4- ш).
Радиусы оболочки и ядра обозначим /?2 и
§ 5] ДВУХСОСТАВНЫЕ ТЕЛА СИММЕТРИЧНОЙ СТРУКТУРЫ 127
Применим уравнение (5.7) общей теории к границе раздела £
тел I и //, причем для удобства введем обозначения:
р'Ят = р'% = Р", = я-
Так как нормаль v направлена из ядра 1 в оболочку
правление совпадает с г, то мы получим:
4/(/) W(q, «о)1
(Здесь штрихи обозначают производные по р' и q.)
Выражая аналитически условия теплообмена на
где г = Т?2, т. е. применяя уравнение (5.8), получаем
шение между р.', у." и прочими величинами:
(6.31)
II и ее на-
(6.32)
поверхности 5,
второе соотно-
W' (р", <о) а
(6.33)
Уравнения (6.30), (6.32) и (6.33) необходимы и достаточны для
решения нашей задачи, которая состоит в нахождении соотношения
между т и остальными параметрами, служащими для характеристики
регулярного режима двухсоставного тела: исключая из (6.32) и (6.33)
параметр <и, получаем уравнение, куда входят у/ и р//; каждая из
этих последних величин, в силу (6.30), выразится чрез пг, следова-
тельно, мы придем к искомому соотношению. Это соотношение,
вообще говоря, имеет сложную форму, мало пригодную для решения
практических вопросов, и только при некоторых частных предположе-
ниях относительно ядра и
оболочки упрощается и до-
пускает возможность более
или менее наглядной интер-
претации. (Аналогичный при- п.
мер мы уже имели в § 1.) (-г)
Ввиду особой сложности
формул для цилиндра мы по
отношению к этой форме
ограничимся выводом формул
лишь для случая двухсостав-
ного цилиндра с металли-
ческим ядром.
Регулярный режим двух-
составной пластинки сим-
метричной структуры.
В этом случае применять
Рис. 43. Двухсоставная пластинка симметрия
ной структуры.
формулы (6.32) и (6.33) предыдущего параграфа нельзя, так как
тело II не охватывает целиком тело /, а состоит из двух раздельных
частей II и Пг (рис. 43).
Рассмотрим одну половину этого двухсоставного тела; начало
координат О возьмем в его плоскости симметрии — плоскости уОг
128 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ДВУХСОСТАВНЫХ ТЕЛ ИЗ ЯДРА И ОБОЛОЧКИ [ГЛ. VI
(рис. 43); расстояния плоскостей £ и S от этой плоскости обозначим
71 И ^2-
Выражения для температур каких-либо двух точек М и М будут:
= A' COS (р/х 4“ “О й-Н!т,
= A" cos (|х"х 4- ш") е~№.
Так как в плоскости симметрии, т. е. при х=0, температура О/
имеет (для всех х) или максимальное или минимальное значение
(ввиду полной симметрии условий на наружных поверхностях S и S1),
то о/ = 0.
Условие (5.7) общей теории обращается на поверхности 2, где
x — Lx, в условие
ху tg У£х)=X V tg 4- <о").
Условие на поверхности S, где x = L2, в силу (5.8), напишем
в форме
[Iff£2tg «£24-ш") = Л£2,
где под h следует понимать
(6-34)
Исключая ш" из двух предыдущих уравнений, находим связь
между tn и прочими параметрами:
Ы-г [г=? 5 — F<P')ig “
=4» •s [4-4 F(s)• <6-35>
где _
р/ = £1/'-^, 5 = (£2-£1)|/’^г, 6 = 4; • (6‘36)
Следовательно, (6.35) — трансцендентное уравнение относительно s
или р'; решив его, найдем одну из этих величин — допустим для
определенности s — как функцию безразмерных параметров ,
д /
, k, hLv и задача теоретически будет решена.
Регулярный режим двухсоставного шара симметричной струк-
туры. Введем безразмерные параметры:
/^=р', р%=р", = k, V!'H1=p"k = q. (6.37)
Функции U и W (см. стр. 127) в данном случае будут:
у.'г ’ “ р-"г
§ 6] СИММЕТРИЧНАЯ ДВУХСОСГАВНАЯ ПЛАСТИНКА И ШАР 129
Условия (6.32) и (6.33) в этих обозначениях примут вид:
(1 —/ ctg/)Xz = [1 — ?ctg(<7-(-<D)lX",
1—p//ctg(p"4-<0)==^.
Введем Ф(х)= 1—xctgx и исключим из предыдущих уравне-
ний ctg а>.
Результатом исключения будет формула
(l-^2)(l + ng5) = p"(P-tg5),
У=-----. (6.38)
Здесь введен, как и в предыдущем случае, параметр s — p"—q =
§ 6. Регулярный режим симметричной двухсоставной
пластинки и шара, ядро которых во много раз
теплопроводнее оболочки
Пластинка. Пусть X" в десятки раз меньше X'; пусть то же
можно сказать об а" и а'.
Легко доказать, что фигурирующее в (6.35) произведение
^-Л(р)— число не бесконечно малое и не бесконечно большое,
каково бы ни было отношение Х'/Х". Поэтому, когда Х'/Х" становится
очень большим, функция Р(р') принимает очень малые значения и
можно приближенно положить Р(р')^р'2, пользуясь разложением
(2.18) в ряд (см. § 5 гл. II); рассматриваемое нами выражение тогда
может быть преобразовано следующим образом:
А О/ Г\ ‘У /Ч СТ К.-
После подстановки этого выражения в уравнение (6.35) и сокра-
щений оно преобразуется к виду:
(6-39)
Шар. Пусть теплопроводность оболочки шара 1" во много раз
меньше теплопроводности X' ядра; пусть то же имеет место для а'и а".
9 Зак. 750. Г. М. Кондратьев
1 30 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ДВУХСОСТАВНЫХ ТЕЛ ИЗ ЯДРА И ОБОЛОЧКИ [гл. VI
Рассмотрим отношение В силу (6.30),
р' =kp"
а"
а'
Так как А<1, р" — конечное, то р' — число, во всяком случае,
небольшое. Поэтому входящая в основное уравнение (6.38) функция
Ф(р') может быть заменена с достаточной точностью ее приближен-
»'2
ным выражением (см. § 5 гл. II).
После этого фигурирующее в (6.38) выражение — Ф(р') мы пре-
образуем следующим образом:
7." > И' 3 3 c"-t" (1—А)2 ’
а первое из уравнений (6.38) так, чтобы всюду вошел только один
параметр s; для краткости письма введем обозначение
M = (6-40)
Тогда преобразованное уравнение (6.38), где —Ms2, при-
мет вид:
hR2 [1 — кФ (s) — (I — к)Ms2\ =
= (1 — k) Ф (s) + s2 — Ms2 [Ф (s) — A]. (6.41)
Примечание. Здесь употребляется только один безразмерный пара-
метр 5, зависящий от т и от оболочки; если ее толщину обозначить
о — = А?2 — (6.42)
то 5, очевидно, определяется уравнением:
(6-43)
Это значительно упрощает вычислительную сторону (ср. с § 7 гл. III).
§ 7. Регулярный режим бесконечно длинного двухсоставного
цилиндра с металлическим сердечником и оболочкой
из теплоизолятора
В выводах предыдущего параграфа упрощение выкладок было
обусловлено существованием для тангенса и котангенса простой алге-
браической формулы сложения; отсутствие аналогичных формул для
цилиндрических функций крайне усложняет формулы для регулярного
режима двухсоставгого цилиндра, как мы увидим, даже ограничив-
§ 7] БЕСКОНЕЧНО ДЛИННЫЙ ДВУХСОСТАВНОЙ ЦИЛИНДР 131
шись рассмотрением случая, когда ядро (или „сердечник") цилиндра—
из металла (рис. 44).
В этом случае задача решается путем применения общей теории.
Направления внешних нормалей v и п к поверхностям Е и S совпа-
дают с направлением радиуса г от оси цилиндра наружу. Для про-
стоты мы отбросим штрихи у букв )",
с", у", относящихся к теплоизолятору.
Собственная функция задачи в данном
случае будет:
U = Zo (рг) = Jo (рг) + о (К), (6.44)
где <о — постоянная интегрирования, кото-
рую мы потом исключим; р связано с т
известным соотношением:
т — ар2.
Условие (6.26), если ею отнести к от-
секу цилиндра, имеющему длину равную
единице, будет написано так:
— R^nc'y'Zo (рЯ5) = 2XpZo (рТ?,).
Введем безразмерный параметр
т <6-45)
и заменим в последнем равенстве к че-
рез асу; оно приведется к виду:
(ср. § 8 гл. III). Второе уравнение задачи
Рис. 44. Двухсоставной ци-
нам, как всегда, доставят условия (6.28)
на наружной поверхности 5, а именно:
[pZo (рг) -ф- hZ0 (pOUr, = 0.
Введя обозначение
<6-47)
линдр с металлическим сер-
дечником и теплоизоляцион-
ной оболочкой.
/ — металл; //—теплоизолятор.
и заменяя —70 через Zp
можно представить уравнение (6.46) в виде:
gZj (9) = RJiZq (</).
(6.48)
Развертывая функции Zo и Zp исключим из уравнений (6,46)
и (6.48) постоянную ш и получим уравнение для т:
R<>h
В,
Н, G,
— kPq
Д, А,
G, О,
= kPq<1
Вр A Blt В
G — q Hlt H
(6.49)
1 3'2 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ДВУХСОСГАВНЫХ ТЕЛ ИЗ ЯДРА И ОБОЛОЧКИ [гл. VI
Здесь для краткости введены следующие обозначения:
a = jm b = j^P), о=т0(р), я=Ш1
A = W, B^J^q), G^Y^q), H^^q).] [ }
Буквой P обозначен безразмерный параметр
P = l.£^. (6.51)
2 cf ' '
Теоретически уравнение (6.49) содержит решение задачи; оно
представляет собою уравнение относительно q [ибо р — kq, в силу
(6.45) и (6.47)| и дает q как функцию безразмерных параметров R^h,
Р, k, после чего из (6.47) будет определено и т.
Физический смысл формул § 6. При выводе формул (6.39) и
(6.41) этой главы мы исходили из предпосылки, что А' „во много
раз" больше А". Смысл этого выражения уясняется, если заметим,
что уже когда в 10—20 раз больше к", произведенная нами замена
р'2 2
Ф(р') через и F(p ) через р' (в § 6) влечет за собой ошибки
порядка не более 1°/0 в соответствующих слагаемых точных формул
(6.38) и (6.36), потому что р'? того же порядка, как р, т. е. 1/10,
следующие же члены разложений в степенные ряды этих функций
р'2 р'2
будут ^5 и %’
А"
Итак, когда р — число порядка 1/10—1120, на упомянутые выше
формулы следует смотреть как на приближенные. Если от этого случая
перейдем к предельному р—> 0, т. е. к случаю металлического ядра
в теплоизоляционной оболочке, то из рассуждений, проведенных в § 6,
отнюдь еще не следует, что формулы, связывающие т с другими
^/7
параметрами, будут иметь тот же вид: задачу для случая р—>0
требуется решить независимо от предыдущей. Решая ее по той же
схеме, которая была применена в § 7 для двухсоставного цилиндра,
мы придем к тем же формулам (6.39) и (6.41), которые, следова-
тельно, при р -> 0 будут уже совершенно точными.
Из тождественности вида формул, получаемых для „металличе-
ского" ядра (методом § 4 этой главы) и для ядра, „во много раз
теплопроводнее оболочки", мы заключаем, что даже если распреде-
ление температур в ядре и не вполне равномерное, практически регу-
лярный режим его очень незначительно отличается от режима того
же ядра при его абсолютно равномерной температуре, т. е. при
условии, что точно р = 0: решающей величиной является полная
теплоемкость С' ядра.
§ 8]
КРИТЕРИИ Б, Ж, П ДЛЯ ДВУХСОСТАВНЫХ ТЕЛ
133
Таким образом, нашим выводом обоснована возможность более
широкого применения формул для тел с „металлическим" ядром.
Схематизируя аналитическое описание явления регулярного охла-
ждения двухсоставных тел, можно приближенно формулы для двух-
составного шара применять и к телам сфероидальной формы с плохо
проводящей оболочкой постоянной толщины, и к пластинчатым телам
с аналогичной оболочкой. При этом соотношение между размерами
ядра и оболочки, характеризуемое параметром k, какое угодно,
в частности, „ядро" может иметь совсем незначительные размеры по
сравнению с „оболочкой" (рис. 44). В этом заключается существен-
ное отличие данной задачи от задачи, решенной нами в § 1 этой
главы: там оболочка была „тонкой" по сравнению с ядром, т. е.
практически было k 1.
§ 8. Описание некоторых частных случаев регулярного
режима двухсоставных тел при помощи критериальных
величин Б, Ж, П
В общем случае какой угодно системы до сих пор не оказалось
еще возможным дать аналитическое представление ее регуляр-
ного режима в виде зависимости между безразмерными парамет-
рами\ удалось решить эту задачу только для некоторых част-
ных случаев, причем построенные автором критериальные величины
и установленные между ними соотношения специфичны только для
этих частных случаев, не обладая той общностью, которая характерна
для критериев /?, С, Ч" и связей между ними, изученных ранее
в гл. I и IV Б.
Переходим к этим частным случаям.
Регулярный режим шарового металлического ядра, заклю-
ченного в теплоизоляционную оболочку. Регулярный режим шара
изобразится уравнением (6.41). Для простоты письма уничтожим
штрихи у величин, относящихся к оболочке, и преобразуем (6.41),
вводя последовательно некоторые новые величины. Начнем с s2, так
как она имеет аналогию с р1 в теории регулярного охлаждения про-
стого тела [обе части уравнения (6.41) — четные функции $].
В силу (6.43)
s2 = 82
Введем величины:
постоянную ядра
отношение радиусов
(6.S3)
— = — т • -----в---.
« ' 4/?2 ъ c't'
о
Ф = <6-52>
о
ядра и оболочки
134 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ДВУХСОСТАВНЫХ ТЕЛ ИЗ ЯДРА И ОБОЛОЧКИ [1Л. VI
тепловое сопротивление слоя теплоизолятора толщиной 8
Р
(6.54)
Поверхность раздела металла и теплоизолятора, ранее названную X,
мы обозначаем S'.
Тогда
^=3РЩФ
Введем новую величину Ж, пропорциональную отношению тепло-
емкостей ядра и оболочки, положив
Тогда (6.55) О/с С/ <?2 = £ФРОТ- 4/- (6.56) /П
Величину нулевой размерности, стоящую в правой части (6.56) и
аналогичную той, с которой мы встречались ранее [см. (6.5) и (6.7)],
обозначим Б — ЬФРт. (6.57)
Тогда = <6-58> /А
Введем новую величину n=k-^. (6.59)
Введем параметры Б, Ж, П в уравнение (6.41), оно примет вид:
= + 4 + <6-60)
//*. о f
Уравнение (6.60), где s2 дано (6.58), охватывает все мыслимые
регулярные режимы всевозможных шаров с металлическим ядром, так
как оно представляет собою соотношение, связывающее критериаль-
ные величины Б, Ж, k и П. Величина Ж может принимать все
значения от 0 до оо, k меняется от 0 до 1,5 меняется также от
0 до 1.
В самом деле: из (6.58) и (6.60) вытекает, что
Жв2 = Б= 1— k<P(s) — П\ .. . ;,
т. е. всегда Б<[1, /7<у.
Приближенная формула. Предположим, что Ж—число
порядка 2—3 и более; тогда s2-—числа порядка 1/а—!/з и меньше
§ 8]
КРИТЕРИИ Б, Ж, П ДЛЯ ДВУХСОСТАВНЫХ ТЕЛ
135
(ибо s2 = замена в формуле (6,60) функции Ф($) ее при-
^2
ближенным значением вызовет ошибку порядка 1°/0 или меньше.
Сделав такую замену, получим приближенное алгебраическое выраже-
ние для упомянутой выше зависимости между критериями. Соотноше-
ние (6.60) принимает вид;
о /К
k- п
(6.61)
ЗЖ
Из (6.61) мы видим, что по мере возрастания Ж критерий Б
стремится к следующему значению:
lim 5=1— kn. (6.62)
Ж -> оо
Случай а оо. Здесь аналитическая сторона задачи значи-
тельно упрощается: П—> 0, и мы получаем:
M>(s)-f-5=l, Xs9 = 5. (6.63)
Наибольшую наглядность процесс регулярного режима приобре-
тает, если рассматривать критериальную величину Б как функцию Ж,
считая k, т. е. геометрическую характеристику, постоянной.
При Ж = 0 будет и Б — 0.
По мере возрастания Ж и устремления его к бесконечности Б
возрастает — сперва быстро, затем все медленее, асимптотически
стремясь к единице. Из (6.58) очевидно, что при Ж-+с® параметр
стремится к нулю; уже при Ж^^ он мал и, заменяя Ф($) чрез
Is2 в уравнении (6.63), получим:
и
(6.64)
Зависимость
Б = /(Ж, А) (6.65)
для всевозможных Ж и k представлена графически на рис. 45. На-
глядно зависимость эту можно себе представить таким образом. Пусть
фиксированы размеры и свойства материала металлического шара,
т. е. Ф. Станем на него надевать различные теплоизоляторы, выбирая
их толщину 8 всегда одной и той же; пусть мы переходим от теп-
лоизоляторов более плотных к менее плотным, так что С делается
все меньше и меньше по сравнению с теплоемкостью С массивного
металлического ядра; поэтому Ж все увеличивается; Б сперва ме-
няется довольно заметно, поуже при Ж^-2 почти остается постоян-
ным. Тогда, как это видно из формулы (6.57), темп охлаждения т
одетого шара меняется приблизительно пропорционально коэффи-
циенту теплопроводности А теплоизолятора.
136 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ДВУХСОСТЛВНЫХ ТЕЛ ИЗ ЯДРА И ОБОЛОЧКИ [ГЛ. VI
При этом охлаждение происходит в условиях совершенного кон-
такта с внешней средой: а->оо.
Регулярный режим металлической пластинки с обкладками
из теплоизолятора. Предположим, что двухсоставная пластинка
имеет симметричную структуру (рис. 43). Оси координат выберем,
как и в предыдущем § 5.
Выделим из неограниченной пластинки часть, ограниченную двумя
одинаковыми поверхностями Sv слева 'и'справа; если размеры этих
Рис. 45. График зависимости k) для шарового бикалориметра.
плоскостей, параллельных плоскости уОг, весьма велики по сравне-
нию с обводом, т. е. с размером А2, то неограниченную пластинку
можно заменить этой ее частью. Обозначим С' теплоемкость метал-
лического ядра выделенной части двухсоставной пластинки, С — сум-
марную теплоемкость обеих обкладок; толщину каждой из них обо-
значим 8 == — Ар
Случай конечного а. Уравнение (6.39), изображающее регу-
лярный режим пластинки, преобразуем совершенно так же, как мы
преобразовали в предыдущем параграфе уравнение (6.41) шара. При
этом введем следующие новые величины:
г/ С'
ф* = ±_. (6.66)
О
(Двойной штрих везде опускаем для простоты письма).
Преобразуем
» s I С' С Ф*
s — Рс?т8 и с?8 — 2 • с, — ;
в правой
величину
(6.67)
(6.68)
(6.69)
§ 8| КРИТЕРИИ Б, Ж, П ДЛЯ ДВУХСОСТАВНЫХ тел
отсюда
s2 = РтФ* • .
zti
Преобразуем уравнение (6.39), замечая, что
Ж* — Z1 .£Х — k -с'^ •
L-t — Li И 1 — k * су ’
оно обратится в следующее уравнение:
Преобразовав множитель перед квадратными скобками
части последнего равенства и введя новую критериальную
п* _тф*
а ’
получим:
Обозначим
Б* = ф*Р/и.
Тогда
= Б*.
Так как 1—}K*F(s) > 0 и F(s) > №, то из (6.68) следует, что
всегда 1 —Б > 0.
Исключая из двух уравнений (6.68) и (6.69) параметр s, полу-
чаем зависимость между критериальными величинами Б*, Ж*,
П*, которая описывает возможные регулярные режимы всех двух-
составных пластинок симметричной структуры.
Замечательно, что в это соотношение не входит отношение k\
благодаря этому вместо шести величин, характеризующих процесс—
/?п /?2, С', а, X, а, — мы имеем только три; в случае шара их было
четыре.
Критерий Б* всегда лежит между нулем и единицей; критерий П*
не может никогда превзойти единицы, ибо из (6.68) следует, что
т. е. 1 — П* > 0,
Критерий Ж* может принимать все значения от нуля до беско-
нечности.
Случай а—> оо. При этом условии уравнение очень упро-
щается; П* —>0 и система уравнений (6.68) и (6.70) приводится
к виду:
Ж*Б (s) = 1, Б* =
(6-71)
138 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ДВУХСОСТАВНЫХ ТЕЛ ИЗ ЯДРА И ОБОЛОЧКИ [ГЛ. VI
Исключив отсюда s, получим зависимость Б* от Ж*, которая
имеет характерный вид кривой с асимптотой, параллельной оси Ж*
и лежащей от нее в расстоянии, равном единице (рис. 46).
Прибл иже иные формулы. Рассмотрим общий случай:
а какое угодно и П* вообще не равно нулю. Пусть Ж* приобре-
Рис. 46. График зависимости Б = Б(Ж) для плоского
бикалориметра.
случае F (s) мало, а значит, s2 тоже малое. Разлагая F ($) в ряд
[см. (2.18)| и удерживая первые два члена — с s2 и s4, можем пере-
писать это равенство в виде:
Б*
п*
1 _ /71; —
ж-
1—П*
-— 1- 1
ЗЖ*
(6.72)
§ 9. Некоторые частные случаи регулярного режима
трехсоставных тел
Регулярный режим трехсоставного тела из двух металлов
с теплоизолятором между ними. Это тело представлено на рис. 47.
Ядро из металла обозначено цифрой /, металлическая оболочка — II,
теплоизоляционный сл<№ — 111. Поверхности раздела между I и III
обозначены S; между III и II—посредством Sj наружная поверх-
ность S. Остальные обозначения понятны из рисунка.
Для получения уравнений, дающих полное решение задачи о ре-
гулярном охлаждении этого тела, следует идти тем же путем, кото-
рый мы избрали в аналогичном случае в § 3 этой главы. Обозначая
§ 9] РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ТРЕХСОСТАВНЫХ ТЕЛ
139
6', 6", О'" средние объемные температуры отдельных частей системы,
получаем в силу закона сохранения энергии для изменений 36', 86",
86"' этих температур за элемент времени 8т:
_ (С'86' + С"86" -j- С'"86"') = aSOs 8т,
где 6S—-температура наружной поверхности.
Заметив, что
ft' = Л'е
<)" _ , <у// — A!"Ue-m',
П
Рис. 47. Трехсоставное тело из
двух металлических частей
с теплоизоляционной прослой-
кой между ними.
/ — первый металл; П—второй металл;
///—теплоизолятор.
подставим эти выражения в предыдущее равенство и обозначим 17ср
осредненное по объему теплоизолятора
значение собственной функции задачи U.
Написав два уравнения для поверх-
ностей раздела S и выражающие
непрерывность температуры во всем
объеме тела(5.3), получим возможность
исключить неинтересующие нас ампли-
туды А', А", А'" из уравнения закона
сохранения энергии, которое примет вид:
т С' С"'} = 7.S, (6.73)
'•С'2 U^i '
вполне аналогичный (6.16). Здесь lh и
— численные значения собственной
функции U на поверхностях 2 и Sx.
Условие (5.10) на границе раздела 2
тел / и III доставит уравнение:
— tnC'Ut = x(-^. (6.74)
Уравнение теплопроводности Фурье
(1.28) после его интегрирования, если
таковое окажется возможным, даст аналитическое выражение для U
как функции координат. Это даст возможность вычислить Us, Ust, Uap.
Совокупность уравнений (6.73), (6.74), (1.28), таким образом,
дает, теоретически говоря, решение задачи.
Уравнению (6.73) можно придать иную форму, если ввести в него
величину <Г*, аналогичную критерию Т и величине УГ' в (6.17), а
именно, учесть неравномерность температурного поля теплоизолятора,
полагая
0V U.
= (6-75)
Тогда уравнение (6.73) преобразуется к виду:
т (С" । Us С'у тС" 1
Tv's + = ‘т*'
(6.76)
140 РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ДВУХСОСТАВНЫХ ТЕЛ ИЗ ЯДРА И ОБОЛОЧКИ [ГЛ. VI
Аналогия с (6.17) очевидна; это последнее уравнение — частный
случай (6.76), когда С/ = 0.
Заметим, что величины mCO-jaS имеют характер критериальной
величины /7.
Регулярный режим трехсоставной пластинки симметричной
структуры из двух различных металлов с теплоизоляционной
прокладкой между ними. Пластинка неограниченная, но, как и
в аналогичном случае (ср. § 8 этой главы), выделим из нее часть,
размеры которой в направлениях Оу и Oz, перпендикулярных к ее
толщине АГ3 (рис. 48), достаточно велики, чтобы считать краевой
эффект пренебрежимо малым, когда заменим этим реальным объек-
том воображаемую неограниченную пла-
Рис. 48. Трехсоставная
пластинка симметричной
структуры с металличе-
ским сердечником и ме-
таллической оболочкой.
стинку.
Площадь каждой из плоскостей, ограни-
чивающих эту ограниченную пластинку, обо-
значим Sy. Толщину ядра обозначим Хх, сум-
марную толщину ядра и теплоизоляционного
слоя обозначим Ха. Три штриха у величин,
относящихся к изолятору, опустим. Толщину
изолятора (одного его слоя) обозначим
х*-хл.
Начало координат О возьмем в плоскости
симметрии пластинки. Очевидно, что
Уравнение (6.74) в данном случае примет
вид-.
— тС' cos fy рЛ) Ч- ш
= — ^2XSy sin (у рАф + ш
ибо собственная функция задачи здесь равна
U = cos (ух -ф- ш).
Вводя обозначения р8 = s, у pAr1 -\-оу = q, предыдущее уравнение
перепишем очень просто:
C's = С tg q,
а уравнению (6.73) придадим вид:
s (2а5^ — тС") = Cm tg (q -ф- s).
§ 9]
РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ТРЕХСОСТЛВНЫХ ТЕЛ
141
Воспользовавшись предшествующим уравнением, исключим из
последнего уравнения параметр q и придем к окончательной фор-
муле:
где
Уравнения (6.77) можно представить как соотношения между
критериальными величинами-, для этого следует преобразовать вы-
ражение s2 так, как это нами сделано в § 8 этЬй главы, и ввести
критерии
Б = Р^т, Ж=~
(где для простоты письма уничтожен значок *).
Пользуясь выражением для s2 (§ 8), мы и в данном случае най-
дем, что
Же* = Б.
Введем далее, в соответствии с (6.67) критериальную величину
ж С'
П— — , где Ф = -т- ,
а. 1
и для полного описания регулярного режима нашей трехсоставной
пластинки — величину
7=1—^.
aS
При помощи величин Б, Ж, П и Т первое из уравнений (6.77)
преобразуется к виду:
Т-П=(БТ±^).^, где Жв* = Б. (6.78)
Следовательно, наша теория позволила описать при помощи связи
между только четырьмя критериальными величинами довольно сложное
явление, зависящее от восьми параметров: Хх, Х2, Х§, k, а, С', С", а,
которыми определяется девятый параметр т.
При больших значениях критерия Ж уравнение (6.78) может быть
заменено приближенным:
(6.79)
В частном случае а —> оо критерий П обращается в нуль и Т
в единицу, и уравнение (6.78) переходит в (6.71); наружный слой
металла перестает играть роль.
ГЛАВА VII
ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
В практических приложениях теории регулярного режима иногда
возникает вопрос о том, по истечении какого времени от начала
охлаждения системы можно считать наступившим регулярный режим.
Это вызывает необходимость рассмотрения теплового состояния си-
стемы, предшествующего регулярному, которому мы присвоили на-
звание иррегулярного (в § 5 гл. I). Возникает также тесно связан-
ный с предыдущей задачей вопрос о количествах тепла, теряемых
или получаемых системой. В настоящей главе будут приведены не-
которые соображения о решении этих обеих задач.
§ 1. Иррегулярный режим
В тех редких случаях, когда удается проинтегрировать уравнение
теплопроводности, и в исключительных случаях, когда интеграл за-
дачи не приводит к чрезмерно сложным формулам, задача об ирре-
гулярном режиме распадается на две задачи: во-первых, нахождения
аналитического выражения для амплитуд А<& и, во-вторых, нахожде-
ния постоянных коэффициентов т0, тг, ...
Определение амплитуд. Мы изложим известный метод их опре-
деления, принадлежащий Фурье, но в обобщенном виде, распростра-
нив его на случай системы, состоящей из конечного числа различных
частей—тел, тепловые константы которых различны, так что они
изменяются разрывно при переходе от одной части системы к дру-
гой, с ней соседней. Но температура при этом пусть меняется не-
прерывно, во всем объеме системы: нет тепловых сопротивлений на
границе между двумя любыми телами системы.
В пределах каждого тела л, с, у могут быть функциями коорди-
нат его точек, но от температуры не зависят. Поэтому уравнение
теплопроводности будет иметь вид:
дх\. дх) 1 ду\ ду) 1 dz \ dz) 1 v ’
а не форму (1.7) или (1.20), которая соответствует предположению,
что Z, с, 7 не зависят от координат. Уравнений (7,1) будет столько,
сколько тел входит в систему.
ИРРЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ
141
§ 11
Кроме того, функция & должна удовлетворять граничным усло-
виям (5.2) и (5.3) на поверхности отделяющей г-тое ..тело от
у-того, и (5.4) на наружной поверхности 5.
Для решения задачи в этой, более общей постановке естественно
искать ее частное решение в той же форме, которая была нами най-
дена ранее в гл. I, т. е. положить
части == T(y)U(x, у, z). (7.2)
Рассуждения, совершенно подобные проведенным нами в гл. I,
дают следующее линейное и однородное уравнение в частных про-
изводных для функции U:
d ( dU\ , df^dU\ , д /. dU\ ,
в то время как для 7 получаем:
Т=е~™, (7.4)
где т — число непременно положительное, связанное с частным реше-
нием (7.2), на которое пока никаких условий еще не наложено. Эти
условия получим, приняв во внимание (5.2), (5.3) и (5.4).
Из них вытекает, что на поверхности £ и S функция U должна
удовлетворять следующим уравнениям § 1 гл. V:
А -a (dU-' , 0'1
(S)
Обе части основного уравнения (7.3) умножим на WdV, где
dV = dxdy dz— элемент объема и W— одно из частных решений этого
уравнения, и проинтегрируем по всему объему системы;
“Ш J J J +
+ ^(a^)W=o.
1 dz \ dz J J
Каждое из произведений и пр. в подинтегральном вы-
ражении второго интеграла представим в виде разности
VtT'AA—) — — (wk — } (к—\
дх \ dxj дх\ дх / \л дх) дх
и преобразуем предыдущее равенство
“ J ] j j4®
+ J J J [й (ri Э + 5 (п + Ji (гл dV - °- «
144 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [ГЛ. VII
Обозначим = Р и произведением дифференцирование в квад-
ратных скобках в последнем интеграле:
дР_ dU\dP_ дЦ_\дР_ ди . p(S>U ( &U , d2U\
I • • • J дх ' дх ду ду ' дг дг \ дх2 ‘ ду2 ‘ dz2)"
Применяя к первой из этих сумм формулу Остроградского— Грина,
получим:
f f f (дР ди , дР ди , дР dU\.,,
J J J Ur ‘ дх + ду ' ду + dz ‘ dz)dV
— Ш PmJdV+ f f Р' Гп dS-
Поэтому третий член в левой части равенства (*) будет равен:
- [ [ f №</P+ J [iw-^.dS+
...................ячж+^+^и.
т. е. он сведется к интегралу:
/ = | f \W-~dS.
J J dn
Так как, применяя формулу Остроградского — Грина ко всей си-
стеме, мы должны разбить ее на отдельные тела, то в последнее
выражение войдут и поверхности, ограничивающие рассматриваемое
тело, обозначенные ранее £, и для некоторых тел — куски наружной
поверхности S. Под п в выражении I следует понимать или какое-
либо из направлений, ранее обозначенных v^-, либо п в (5,2) и (5.4).
В силу соглашения о выборе положительного направления от I
к J и соглашения о выборе и в формуле Остроградского — Грина,
члены в /, соответствующие поверхностям S, взаимно сократятся,
. , аи
так как фигурирующие в нем произведения л на любой из по-
верхностей S удовлетворяют условию (S); останутся под знаком
интеграла только элементы, соответствующие кускам наружной по-
верхности; любой из них, в силу условий (S) на этой поверхности,
может быть представлен в виде:
— akU^dS.
В результате основное равенство (*) примет вид, симметричный
относительно U и IT, а именно:
ИГ пюм f f I dU dW dU dW\ ... .
V V
Я J
s
aUWdS. (7.5)
§ 1| ИРРЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ 145
Здесь важна непрерывность функций U и U7 во всем объеме
системы, включая и поверхности раздела: второе из условий (Е)
имеет существеннейшее значение. Физически это значит, что в местах
соприкасания отдельных тел отсутствуют какие-нибудь заметные
тепловые сопротивления, например воздушные прослойки.
Что же касается а, X, с, у, то это, вообще говоря, функции
координат.
На равенстве (7.5) и основан обобщенный метод Фурье опреде-
ления амплитуд. Предполагается, что аналитическое выражение соб-
ственных функций задачи уже найдено. Пусть функция полу-
чается при значении т в (7.5), равном ?и;, a — при его значении,
равном ту, получаем, полагая Z7=>{7(4), W=U^'.
mt | | J dV =
f Г f, fdU'^ dlP> I du{i> dt№ , dU^ du(i>\ ... ,
= J J J + + +
+ [ [ at/(‘W dS.
Переставим теперь функции и t/CP. В левую часть послед-
него равенства вместо /щ- войдет т^т^, правая часть останется без
изменения, будучи симметричной относительно и t/W; поэтому,
вычитая одно равенство из другого, получим:
(mj — т{) J J J c-fU^U^ dV = 0,
откуда следует:
f f f CfU^UO) dV = 0, (7.6)
v
или по умножении на e~(mi+m^r’.
J J J
где, в силу (7.2) и (7.4), обозначено частное решение, соответ-
ствующее т — mt.
Это и есть основное свойство простых частных решений за-
дачи об охлаждении', взятая по всему объему системы средняя
величина произведения двух взвешенных частных решений задачи
равна нулю (под „весом" понимаем значение объемной теплоемкости
су в какой-либо точке системы).
Как и ранее в гл. I, так и здесь общий интеграл задачи пред-
ставится в форме (1.32), т. е.
П (х, у, z, т) = 5 A<U^ (х, у, z) е~т? . (7.7)
/=0
Ю Зак. 750. Г. М. Кондратьев
146 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА (ГЛ. VII
Пусть задано начальное распределение температур
/0(х, у, z) = ft(x, у, z, 0) = (х, у, г) (7.8)
J=o
[ср. (1.34)]. Если удастся определить коэффициенты Ао, Лр . . .
так, чтобы было возможно разложение (7.8), задача может считаться
решенной, ибо ряд (7.7) удовлетворяет граничным условиям на по-
верхностях Е и S. Для их определения умножим обе части уравне-
ния (7.8) на (х, у, z)dV и проинтегрируем по всему объему
системы V; в силу (7.6) все члены ряда, кроме /-того, будут равны
нулю; /-тый член будет равен
— f f f c"(W<i}(x, у, z)]QdV.
v
Поэтому для А. получим;
c-'f0 (х, У, z) U (х, у, z)dV
(7-9)
J J j*П [С^г)(лг, у, z)]2rfV
V
Законность разложения в ряд (7.8) для любой функции по функ-
циям заданного вида доказана строго математически для частных
случаев, когда система сводится к одному телу.
Применяя формулу (7.9) к очень частным случаям, а именно'
1) когда система сводится к одному только телу простейшей формы
(гл. II), 2) когда начальное распределение температур равномерное,
3) когда су не зависит от координат, — получаем цитируемые во
всех сочинениях по теплообмену [2, 3, 4] формулы для амплитуд At.
Например для пластинки:
Л; = 2а0.-—:
' 0 Pi+ sin/>f cos pi
Pi — корни трансцендентного уравнения (2.2); это — функции крите-
рия ^ = ~Xh.
Если система состоит из двух тел, то выражения для Д- получаются
очень сложными, даже когда мы ограничимся телами простейшей
формы и поставим простейшее граничное условие а = оо.
Очевидно, что уже в этом случае не имеет практического смысла
заниматься разысканием амплитуд.
Определение коэффициентов С аналитической точк и зрения
не менее сложной задачей является разыскание чисел т0, mlt .. .,
характеризующих роль времени в первой стадии охлаждения. Просто
она решается только для трех элементарных случаев гл. II: пластинки,
§ 11
ИРРЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ
147
цилиндра, шара; здесь ~ • р*. Числа рг для i = 0 (для „фун-
даментального" или основного частного решения), а также для
i=l, 2 ... даны в табл. VII, VIII, IX приложения.
Стоит только немного усложнить задачу, и мы наталкиваемся на
крайне сложные математические операции. Хорошим примером этого
могут служить громоздкие, утомительные выкладки, выполненные
нами в § 2 гл. III, когда усложнение состояло только в том, что мы
от неограниченного цилиндра перешли к цилиндру конечной длины;
только для того, чтобы получить основное решение р0 = р, мы были
вынуждены ввести вспомогательные параметры s и <?; отыскание
рп р.2 и т. д. потребует еще более трудных или совсем невыполни-
мых вычислений. О двухсоставных телах и говорить нечего: нахо-
дить всю последовательность корней s0 = s, Sj, s2, ... хотя бы, на-
пример, такого уравнения, как (6.39) (двухсоставная пластинка с хо-
рошо проводящим тепло ядром), — дело, очевидно, безнадежное.
Что непосильно для теории, может в данном случае быть частично
достигнуто экспериментом, а именно: наблюдая иррегулярный режим
системы, т. е. отмечая моменты времени т и соответствующие им
значения температуры 0 в произвольно выбранной точке системы,
можно определить не только темп регулярного охлаждения (или на-
гревания) = но и коэффициент тг
Для этого заметим, что чрезвычайно многочисленные опыты и не-
которые приводимые ниже расчеты указывают на очень быстрое убы-
вание членов с е~т"-, е~тг- и пр. в разложении (7.7). Следовательно,
для математического описания иррегуляного режима достаточно огра-
ничиться первыми двумя его членами, полагая
ft = AUe^n-\-Apj}e-^. (7.10)
Возьмем моменты времени z' А z" < т'", близкие к начальному
z — 0, и обозначим значения, которые принимает температура точки
М в эти моменты f)z, ft", ft'":
ft' = AUe-'"'' -ф- A ,
ft" =. AUe~m~" А Pf-w" ,
ft'" = AUe~m'"' -\-APie-ms"’.
Исключим из этих трех уравнения величины AU и Агр, входя-
щие туда линейно; это — система трех линейных однородных урав-
нений относительно 1, AU, A1U1] поэтому определитель
ft', rM', e-m‘z'
Q" q-w:" q—mp"
(7 11)
10*
148 ДОПОЛНЕНИЯ И ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНОГО режима [гл. Vit
Величины х', х", т!" и ft', ft", ft'" известны из опыта, поэтому
равенство (7.11) представляет собою уравнение с двумя неизвест-
ными т и яг,. Производя еще такие же наблюдения, получим еще
одно уравнение с та т}, после чего найдем их как функции из-
вестных из опыта величин.
Можно дать следующую рекомендацию для практического при-
менения.
Пусть моменты х', х", х'" отделены друг от друга промежутком
времени А:
т"—т' = т'" —а" = Д.
Разделим члены второго столбца определителя (7.11) на е~т~',
третьего на е~т^' и введем At
1, 1
= 0
ft"'
Развернем определитель по элементам первого столбца, разделим
полученное равенство на общий всем членам множитель e~mL — е~тА.
Получится уравнение, связывающее яг, и т; напишем его в виде:
(7.12)
Дождемся наступления регулярного режима и из наблюдений над
ним определим т, как об этом говорится в гл. X. Тогда формула
(7.12) позволит вычислить и яг,.
Продолжительность иррегулярного режима. Из предыдущего
видно, что в огромном большинстве случаев даже приближенная
оценка длительности иррегулярного режима на основании теории
невозможна. Весьма многочисленные опыты показывают, что обычно
она невелика. Это обусловлено быстрым убыванием экспонент e~mt'
с возрастанием значка /. Представляются все же мыслимыми и такие
начальные состояния тела и, следовательно, такие численные значе-
ния амплитуд Ао, At, А% и т. д., при которых Л,, Л., и пр. будут
значительно превышать Ло, и поэтому долгое время температура
в большей части точек тела будет зависеть и от всех членов, сле-
дующих за основным. Однако на практике такие случаи встречаются
редко; обычно позднее наступление регулярного режима объясняется
отклонением условий опыта от предпосылок, лежащих в основе
теории регулярного режима.
Решающая роль принадлежит, все же, не амплитудам А{, а коэф-
фициентам Насколько быстро они возрастают с возрастанием i,
можно составить себе представление, анализируя соотношения между
ИРРЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ
149
§ и
mQ и т1 для трех простейших основных форм (остальные коэффи-
циенты /я2, /и3, ... не играют роли и их можно оставить без
внимания).
Когда т возрастает, е~т^, е~т^ и т. д. становятся малыми раз-
личного порядка. Поставим вопрос: какого порядка и малости будет
если за малую первого порядка принять е~т^‘, мы находим:
"'1 Р1
п = — =
'«о Ро
Эго следует из того, что для всех трех форм мы имеем:
<?(р,) = Яй, (7.13)
где <р обозначает одну из трех функций F, /, Ф, введенных нами
в § 2, 3 и 4 гл. И, числа же mi связаны с корнями уравнения
(7.13) уравнениями:
Л = (/ = 0,1,2,...).
Поэтому для получения численных значений — можно восполь-
зоваться табл. VII, VIII, IX приложения.
При помощи их нами построена табл. 17 зависимости — от Rh
тй
для трех основных форм.
Таблица 17
Зависимость — от Rh
т0
Rh Форма 0,0 0,1 1 4 10
Пластинка . . . qq 104,0 15,8 9,73 9,00 9
Цилиндр .... оо 75,7 10,6 5,81 5,36 5,244
Шар оо 69,7 9,0 4,54 4,07 4
Из нее видно, что при средней интенсивности теплоотдачи, чему
соответствует значение единица критерия р, порядок малости второго
члена разложения в ряд (7.7) будет по отношению к первому при-
мерно 9—15; это значит, что практически регулярный режим насту-
пает очень быстро. Размеры тела при этом роли не играют.
По мере уменьшения Rh отношение — стремится к бесконеч-
но
ности, т. е. в разложении (7.7) остается только первый член и это
даже имеет место для малых моментов времени т.
150 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [1'Л. VII
Критерий 'Г дает физическую интерпретацию этих соотношений:
когда Rh мало, критерий Ф близок к единице, распределение тем-
ператур в теле равномерное, и мы приходим к элементарному ньюто-
нову случаю (см. § 2 гл. I). Но по мере возрастания критерия Rh
число Ф уменьшается, как это видно из табл. 18, а второй член
Чг = Т (£), где J — Rh или ~ Xh
Таблица 18
- Форма 0 0,1 1 4 10 оэ
Пластинка . . . 1,000 0,970 0,740 0,405 0,205 0
Цилиндр .... 1,000 0,975 0,788 0,453 0,234 0
Шар 1,000 0,980 0,830 0,510 0,270 0
разложения (7.7) начинает оказывать сперва едва заметное, а потом
и более ощутимое влияние; это
Рис. 49. Сплошное тело сложной
формы. С ясно выраженной серд-
цевиной и периферией.
влияние наиболее сильно выражается
при {—оо, т. е. Ф=0. В этом случае
порядок малости экспоненты е~тг- не
будет меньше 4 (см. табл. 17). При
р = 1, чему соответствует Ф«0,8,
имеем промежуточный случай.
На основании этих примерных
расчетов можно ожидать, что в боль-
шинстве случаев длительность ирре-
гулярного режима будет составлять
малую долю общей продолжитель-
ности охлаждения—порядка несколь-
ких процентов.
Мы уже упоминали в § 9 гл. I,
что различные точки тела вообще не
одновременно вступают в стадию ре-
гулярного режима. Если тело имеет
сложную форму, например, такую,
сечение которой плоскостью чертежа
изображено на рис. 1, то невозможно
высказать никаких соображений о том,
в каком приблизительно порядке
происходит вступление точек тела в регулярный режим. Если в теле
можно выделить сердцевину и периферическую часть (рис. 49), то ход
изменения температуры точки периферии с течением времени при { конеч-
ном изобразится кривой, имеющей характер," показанный на рис. 50, а,
§2] О ТЕПЛОВЫХ ПОТЕРЯХ ВО ВРЕМЯ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА 151
т. е. с резким падением в начальный момент; температурная кривая
сердцевины, наоборот, будет в начальный момент иметь касательную,
почти параллельную оси времен, и лишь постепенно примет типичную
Рис. 50. Изменение со временем температур точек: а) периферии,
б) сердцевины и в) промежуточных в сплошном твердом теле.
экспоненциальную форму с переходом через точку перегиба (рис. 50, б).
В местах, лежащих между сердцевиной и периферией, получится про-
межуточная картина (рис. 50, в). В этом случае ясно, какова после-
довательность вступления частей тела в регулярный режим.
§ 2. О тепловых потерях во время регулярного режима
Тепловая потеря системы. Полная потеря тепла Q систе-
мой за время Т = х"—х', где V и т" — два момента времени, сле-
дующие за наступлением регулярного режима всей системы, найдется
путем суммирования потерь тепловой энергии каждым элементом
объема dV системы. Охладившись с температуры и' до темпера-
туры элемент dV потерял тепло
dQ = (и' — и") dV.
Для регулярного режима имеем:
u = t-[-AU(J)e-mz
{j-—номер той части системы, в которой находится элемент объема dV).
Поэтому полная теплопотеря за время Т будет:
Q= J J f А^и(^си)^}dV(e-mz' — (7.14)
причем А обозначает первую из амплитуд, соответствующую основ-
ному коэффициенту m0 — m, т. е. ( = 0 в формуле (7.9).
Здесь — вообще функция координат элемента dV. Пусть
теперь cH')-y(J) не зависит от координат, а зависит только от номера
части системы, будучи одинаковым в этой части; выберем т' = 0.
152 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [ГЛ. VII
Тогда из (7.14) получится:
Q = А 2 J J U{3idV(\ — е~тТ) (7.15)
(п — число частей системы).
Охлаждающая (нагревающая) сила среды. Под тер-
мином охлаждающая или нагревающая сила среды принято понимать
количество тепла, которое теряет или приобретает под тепловым воз-
действием среды единица поверхности данной системы в единицу
времени.
Обозначим эту величину О и будем рассматривать только регу-
лярный режим системы.
За элемент времени 8т средняя температура системы изменится
на 89, а поэтому, согласно определению, охлаждающая сила среды
выразится формулой:
G = (7.16)
Для случая нагревания мы сохраняем формулу в этом же виде;
тогда G имеет отрицательный знак.
Из (7.16) видно, что G является функцией времени; в силу основ-
ной формулы (1.37), это равенство можно переписать в виде:
G = (7.17)
0
Условность введенного здесь термина очевидна, так как G хара-
ктеризует не одно лишь воздействие среды, но зависит также от
свойств системы. Следует, однако, заметить, что и единственная, тех-
нически для этой характеристики теперь применяемая величина —
коэффициент теплоотдачи а тоже зависит, хотя и в меньшей степени,
от свойств системы, а именно, от ее геометрических особенностей.
Но в то время как а отнесено к температурной разности в один гра-
дус, G таким условием не связано, поэтому на практике иногда ока-
зывается полезным ввести и эту величину.1
Тепловая потеря простого тела. Предположим, что си-
стема свелась к одному однородному и изотропному телу. Применив
к (7.17) нашу основную теорему § 8 гл. I, выражаемую равен-
ством (1.47), получаем следующее выражение:
G = a’F9. (7.18)
1 Термин «охлаждающая сила среды" нельзя признать удачным; мы им
пользуемся лишь потому, что этот термин, будучи общеупотребительным
в практике тепловых измерений (например в кататермометрии), является
в то же время и единственным для величины G. М. А. Михеев недавно
предложил более удачный термин интенсивность охлаждения (ср. со столь
же неудачными терминами, как „сила света', „сила тока’ и т. д.).
§ 2]
О ТЕПЛОВЫХ ПОТЕРЯХ ВО ВРЕМЯ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
153
Примечание. В равенстве (7.15), как и в других равенствах, служа-
щих для описания регулярного режима тех или иных систем (например
в § 1 и 8 гл. VI), постоянно присутствуют выражения типа CIS. Величина G
С
дает повод для их наглядной интерпретации: у = Ф представляет собою ко-
личество тепловой энергии, прошедшей через единицу наружной поверхности
данной системы при условии, что ее средняя температура изменилась на 1°.
Ф не зависит от времени, ее можно трактовать как некую константу системы,
свойственную именно системе, ибо она ни в какой степени не зависит от
среды.
Тепловая потеря при а = со. Найдем выражение для эле-
ментарной потери тепла 8Q. Очевидно, что
80 = — С • • 8т = СтЬ 8т.
от
Отсюда при а = со получаем, в силу основной теоремы и (1.64):
8Q = аС • • 6 от.
По замене С через су К и а через у- это равенство принимает
вид:
3Q=),V.-1.0 8t.
А
Отсюда особенно рельефно видна роль К: во-первых, количество
тепла, теряемого телом за единицу времени при охлаждении его каж-
дый раз на одно и то же число 0 градусов, тем меньше, чем больше К',
во-вторых, изменение температуры, при данной температуре тела, идет
тем медленнее, чем больше К.
Из предыдущего мы видим, что для вычисления полного коли-
чества тепла, потерянного за конечный промежуток времени, необхо-
димо иметь аналитическое выражение основной амплитуды А —
см. (7.15). Если же есть возможность хотя бы приближенно оцени-
вать среднюю температуру системы или тела 0, то для оценки по-
тери тепла можно воспользоваться средней охлаждающей силой за
некоторый промежуток времени:
f (idz
~Т
(7.19)
Вставив сюда на место G его выражение (7.16), получаем:
_ с Г 69
— ST J 8т
154 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ регулярного РЕЖИМА [ГЛ. VII
или
G = — • Ф. (7.20)
Потеря тепла за время Т, в течение которого средняя темпера-
тура системы упадет с уровня 9' до уровня 6", будет равна
Q=GST. (7.21)
В самом деле;
3Q = - С80 = GS 8т
в силу (7.16); проинтегрировав это равенство в пределах от t' до т"
и применив определение (7.19), придем к последней формуле, кото-
рую можно было бы написать и непосредственно, если бы мы не же-
лали внести ясность и точность в понятия G и G.
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
ТЕПЛООБМЕН С ВНЕШНЕЙ СРЕДОЙ
И ТЕПЛОВЫЕ РАСЧЕТЫ
ГЛАВА VIII
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОСНОВНЫХ ПРЕДПОСЫЛОК
ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
§ 1. О законе Фурье
Рассмотрим несколько подробнее, чем это общепринято, закон
Фурье, который является исходным пунктом всех исследований по
теплопередаче в твердых телах.
Предположим, что мы имеем дело с телом твердым в собственном
узком смысле слова; пусть в нем создано неравномерное температур-
ное поле, стационарное или нестацио- п
нарное. Рассмотрим явление передачи к
тепла внутри тела в окрестностях точ- \ J
ки М для какого-либо момента вре- \
мени т. Предположим, что температура
в М в этот момент времени равна и;
выделим элемент dF изотермической по- ./
верхности F, проходящей через М, и
поставим себе задачу выразить численно
количество тепловой энергии <3Q, пе- / /
редаваемой за элемент времени 8т от /-> / ММ'.-г
элемента dF к элементам бесконечно F МР У
близко к ней расположенной изотерми- „ „
г 1 Рис. 51. К выводу аналитического
ческой же поверхности F, точки ко- выражения закона Фурье,
торой имеют температуру и' = и -}- du.
Обозначим Мп нормаль к изотермической поверхности F в точке М,
М'— точку ее пересечения с поверхностью F' (рис. 51). Расстоя-
ние ММ' обозначим г, а расстояние МР от М до любой точки Р
изотермической поверхности F' обозначим р. Угол (всегда острый)
между ММ' и МР обозначим <а. Очевидно, что
__ г
sin <р ’
Энергия тепловых колебаний атомов или молекул твердого тела
(или энергия теплового движения электронного газа, если тело из
156
ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [1'Л. VIII
металла), находящихся на элементе dF, передается по всем направле-
ниям МР и воспринимается всею поверхностью F'; количество тепло-
вой энергии, передаваемое в направлении МР, заключенное в эле-
менте rf<u телесного угла, охватывающего это направление, будет равно
SQ = /(p, «, и') d<a dF 8т, (8.1)
т. е. оно пропорционально телесному углу, площади, времени и яв-
ляется функцией температур и, и’ и расстояния р, вдоль которого
происходит передача тепловых колебаний.
Всякая функция от и и и’ может быть рассматриваема как функ-
ция от и и и — а'-.
f(p, и, ц')=/[р, и, и —(и —и')]. (8.2)
Функция / обладает следующими очевидными свойствами:
а. При любых р в любых направлениях она обращается в нуль,
если и' — и. Это вытекает из того обстоятельства, что температура
является мерой интенсивности тепловых движений; если энергия этих
движений (колебаний атомов или молекул, беспорядочных движений
электронного газа) одинакова в М и Р, никакой передачи энергии не
происходит:
/(Р, «. всяк. Р = °‘
б. Функция / при заданной разности и — и' уменьшается с уве-
личением расстояния р: далекие точки Р не воспринимают энергии
тепловых колебаний в М.
Рассматривая У(р, и, и') как функцию разности ц — и — и', т. е.
как F (v), разложим ее в ряд Маклорена:
У(р, и, й')=Г(О) + (В-и')Ш + ...
\ av/®=о
Отбрасывая бесконечно малые второго и высших порядков отно-
сительно v и заметив, что в силу свойства „а“ будет F(Q) = 0, по-
лучим отсюда:
У (р, п, «') = (« —и')У!(р, «),
так как производная , в силу уравнения (8.2), будет функ-
®= о
цией двух других переменных: р и и.
В силу свойства „6“ функция если ее рассматривать как
функцию от р, будет его убывающей функцией; сделаем относительно
ее вида простейшее из возможных предположение, что она обратно
пропорциональна р, т. е,
Л(Р> «) = =^.
О aAROHF. 4>УРЙЁ
157
§ И
Резюмируя сказанное выше, приходим к следующему выражению
для функции /:
7(р, и, = (8.3)
Для того чтобы от 8Q перейти к dQ, следует просуммировать все
элементы 8Q, соответствующие всевозможным углам <s и ш, т. е. взять
интеграл
dQ = f 8Q.
ф, ш
Подставляя (8.3) в (8.1), интегрируя по <и и по v и вынося члены,
не зависящие от <s и ш, за знак интеграла, получаем:
dQ = (u — u')fn_(u)dFbz [у.
Интеграл в правой части этого равенства
ft/ш f sin <t da> 1
J P J г r
Окончательно
^_ = Е=^.4/о(и).
dr от r J'
Полагая здесь и’ = и -|- du и переходя к пределу, получаем в ле-
вой части этого уравнения удельный тепловой поток q; дробь, стоя-
щая в правой части, примет вид:
,. (и — и'\ du ,
lim ----- = — — = — grad и.
r^o\ г J dn s
Обозначим коэффициент пропорциональности 4л/9(«) через X; ока-
зывается, что
q =— X grad а. (8.4)
Мы пришли к обычному аналитическому выражению закона Фурье.
При этом мы исходили из представления о тепловой энергии как
энергии колебательных движений мельчайших частиц, размеры кото-
рых и взаимные расстояния все же настолько малы по сравнению
с нашими инструментами, что заполненное ими пространство можно
считать континуумом. Температуру мы рассматривали как меру ин-
тенсивности этих движений и исходили из допущения (8.3) относи-
тельно вида функции /(р, и, и')—простейшего из мыслимых. Следо-
вательно, закон или, вернее, гипотеза Фурье, как опирающаяся на об-
щие представления о тепловой энергии, имеет достаточно общий
характер.
Из предыдущих рассуждений вытекает важное в практическом
отношении следствие: мы должны ожидать, что X, вообще говоря,
функция температуры и; это и подтверждается опытом. Однако
158 ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА (гЛ. VHI
вся математическая теория теплопроводности построена на предполо-
жении, что X, а также а и с-— постоянные. Наложить такое ограничение
исследователи оказались вынужденными из-за крайних математических
трудностей, возникающих при постановке проблемы в ее общем виде;
эти трудности математиками до сих пор еще не преодолены.
Известные из литературы [4] решения частных задач этого рода
(одно из последних принадлежит А. Н. Тихонову [2]) даны в форме,
мало или вовсе непригодной для использования в физике и тех-
нике.
Теория регулярного теплового режима также основана на
предположении о независимости X, а, с от температуры. Но здесь
обстоятельства складываются более благоприятно: по наступлении
регулярного режима температуры и всех точек системы не очень сильно
отличаются от температуры среды /, а поэтому предположение о не-
зависимости X, а, с от и является вполне приемлемым. Этим объ-
ясняется хорошее совпадение ряда выводов теории регулярного режима
с опытом и в тех случаях, когда эти величины сильно зависят от
температуры.
§ 2. О законе охлаждения Ньютона
Система, регулярный режим которой мы наблюдаем, может быть
окружена различными телами и теплообмен между ними и ею может
происходит!) тремя путями: чистой теплопроводностью (кондукцией),
конвекцией и излучением. Каждый из этих видов теплообмена в от-
дельности у нас не встречается: мы имеем комбинацию двух или трех
видов теплообмена.
Под окружающей средой мы разумеем: а) жидкость или газ, со
всех сторон омывающий систему; б) тела, окружающие систему и
обменивающиеся с нею теплом путем излучения. Эти последние тела
являются ,стенками", ограничивающими жидкость или газ, в кото-
рый погружена система.
Рассмотрим общий случай, когда жидкость или газ прозрачны
для радиации.
Количество тепла 8Q, потерянное или полученное системой за элемент
времени от, слагается (алгебраически) из двух частей: — тепло,
теряемое конвекцией, и SQ,t— тепло, теряемое или приобретаемое путем
лучистого теплообмена со стенками, температура которых t и$.
Первое слагаемое выразится формулой
s
При не очень больших температурных разностях порядка несколь-
ких градусов llg можно считать не зависящим от Поэтому
§ 2] о законе охлаждения ньютона 159
осредняя по поверхности, получим:
8Q,. = Sx, (8.5)
где ак—постоянное.
Второе слагаемое получается путем интегрирования по поверх-
ности S выражений вида:
(U1 — Т<.) - /(as, =е, а,„ геом.) • dS 8-г.
Здесь as, а., — коэффициенты инте!ральной лучеиспускательной
способности поверхности S, поверхности стенок и черного тела. Функ-
ция f зависит не только от них, но и от величины и взаимного рас-
положения элемента поверхности dS и стенок („геом.“). Обозначим
zzs, — = f}>s,c — U — Тс и преобразуем входящую сюда разность
четвертых степеней:
= 47’- ft.sc [1 + у(^) + ]•
Введем это выражение в предыдущее, затем проинтегрируем по
поверхности S и вынесем осредненную температурную разность и
выражение в квадратных скобках за знак интеграла; получим:
о — I з / 5с,, \
3Q.,, = 4TeF(ss, о,., a,„ геом.) • ft.so 1 -(• ’ \T)
+(^г) + (8-6)
где F— знак новой функции, получаемой указанным выше интегри-
рованием и зависящей от тех же параметров, от которых зависит /.
Последнему равенству можно придать более простой вид:
80 == a -ft . S . 8т. (8.7)
Коэффициент ал принято называть коэффициентом теплоотдачи
излучением или радиацией: он равен
7Л = 4ТЦ1(8-8)
где Л — величина, зависящая от конфигурации, взаимного расположе-
ния и радиационных свойств поверхности системы и окружающих
ее стенок; поскольку эти последние зависят, вообще говоря, от Та,
и величина А тоже зависит от Тс„ В некоторых случаях А может
быть вычислено [6.14].
Из (8.8) видно, что «л приближенно можно считать, как и «к,
постоянным, если только разность температур ft,sc поверхностей,
взаимно теплоизлучающих, невелика по сравнению с Та.
160 ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ТЕОРИЙ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА (гл. VIII
Во многих случаях 8Qjt может оказаться пренебрежимо малым по
сравнению с 8QK, например, когда газ, омывающий систему, приведен
в сильное движение, вследствие чего ал составляет малую долю от ак.
Предположим теперь, что среда повсюду имеет одинаковую
температуру.
Тогда = и из уравнений (8.5) и (8.7) получаем:
8Q = (ак 4- ал) 8т.
Полагая здесь
а = ак-)-ал, (8.9)
приходим к выражению для элементарной потери тепла, тождествен-
ному по форме с аналитическим выражением (1.14) „закона охлажде-
ния Ньютона", данным в § 3 гл. I.
Если среда, омывающая систему, непрозрачна для радиации или
пропускает лучи, обладающие весьма малым тепловым действием
вблизи температуры t, то ал весьма мало и в этом случае а = ак.
Таков случай охлаждения твердого тела в жидкой среде — воде,
в металле и т. д.
Заметим, что при интенсивном охлаждении или нагревании тела
его наружная поверхность может принять температуру, близкую к t,
в то время как его внутренние части будут находиться при темпера-
турах, очень далеких от t: закон Ньютона будет правильно описывать
явление теплообмена поверхности тела с окружающей средой еще
задолго до вступления тела в стадию регулярного режима.
§ 3. Коэффициент теплопроводности как техническая
характеристика материала
Очень многие технические материалы, в частности технические
теплоизоляторы, огромное большинство строительных материалов,
а также порошкообразные материалы, грунты, почвы и т. д., отнюдь
не являются твердыми телами в собственном смысле, который мы
придавали этому слову в теории и в двух предыдущих параграфах
этой главы, а представляют собою системы из очень большого числа
твердых частиц, отделенных друг от друга порами, которые заполнены
газом (чаще всего воздухом) или жидкостью. Передача тепловой энер-
гии в материалах этого рода слагается из передачи тепла теплопро-
водностью через твердый порообразующий скелет, теплопроводностью
и конвекцией через поры и излучением между стенками пор.
Каждое из количеств тепловой энергии, передающееся любым из
этих способов, пропорционально разности температур и — и'. Поэтому
принимают, что математически суммарный процесс теплопередачи даже
и в этом случае происходит согласно закону Фурье (8.4), но под А
следует уже понимать условный коэффициент, который численно
характеризует свойство материала передавать тепловую энергию одно-
временно всеми указанными способами. Уподобление технического
Ml
ТЕРМИНОЛОГИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЙ
161
материала твёрдому веществу, т, е, континууму, будет тем ближе
к истине, чем меньше крупинки и поры материала по сравнению
с размерами тела, изготовленного из этого материала; так, например,
слой песка толщиной 30 мм при размерах песчинок приблизительно
0,3—0,5 мм практически ведет себя, как сплошное тело.
Точно так же условный смысл приобретает и коэффициент
температуропроводности а, его видимая плотность или объемный
вес 7; что же касается удельной теплоемкости материала, то, будучи
теплоемкостью единицы веса или массы, эта величина непосредственно
связана с запасом тепловой энергии, безотносительно к способу ее
передачи, и она сохраняет физический смысл.
§ 4. Терминология и обозначения
Как в теоретической, так и в практической части этого труда мы
придерживаемся терминологии, принятой Академией наук СССР,
в частности избегаем неудачного, но до сих пор встречающегося
в нашей литературе термина коэффициент внешней теплопровод-
ности. Мы в дальнейшем часто употребляем слово калориметр
с различными приставками: „альфа", „а“, „би“ и т. д. Этому слову
мы придаем более широкий смысл, чем физики: под ним мы понимаем
не только прибор, предназначенный для тепловых измерений, но и
систему, входящую в его состав, тепловое состояние которой — ее
регулярный режим в особенности — является предметом нашего иссле-
дования; в этом смысле образец материала, тепловые свойства кото-
рого мы хотим измерить, также получает название „калориметр".
Приставки, сопровождающие термин, служат для указания наиболее
характерного признака данного метода измерения или прибора.
В численных примерах и расчетах, встречающихся далее, почти
все цифры даны в технической системе единиц; в ней основными
единицами являются: килограмм, час, метр и градус стоградусной
термодинамической шкалы температур, которая практически совпадает
с международной стоградусной шкалой температур, принятой в СССР
(начиная с 1927 г.) за эталонную [15].
Зак. 760. Г. М. Кокдратьей
ГЛАВА IX
ТЕПЛОВЫЕ РАСЧЕТЫ
§ 1. Постоянная отставания (константа термической инерции)
и время охлаждения или нагревания системы
Для практических целей, а также для придания наглядности можно,
наряду с т, ввести величину
Она имеет размерность времени и характеризует термическую
инерцию системы: чем больше е, тем медленнее приближается —
„подползает" — система к состоянию термического равновесия со сре-
дой. В приборостроении принято называть в константой, или по-
стоянной термической инерции, или постоянной отставания.
Для данной системы в — функция а.
Обозначим посредством Т время, в течение которого температура
в какой-либо точке системы (в частности ее средняя температура)
изменится от значения ир которое она имела в момент времени Tj,
до значения ип, соответствующего моменту времени тп (тц > Tj).
Тогда время Т, в силу формул (1.39) и (9.1), будет определяться
формулой:
/ и, — t \
7' = sln(^7j- (9.2)
'"и г 7
Если в известно, формула (9.2) позволяет вычислить полное время
охлаждения или прогрева Т (изделия, промышленного объекта и т. п.).
Для этого следует задаться в (9.2) той величиной абсолютного зна-
чения разности — t, которое практически уже не играет роли,
например лежит за пределами точности или чувствительности наших
измерителей температуры; смотря по обстоятельствам, это могут
быть градусы или сотые доли градуса. За и{— t можно принять
разность температур системы и среды в момент погружения системы
в среду.
Примеры аналитического определения m рассматривались в теоре-
тической части.
§ 2] РАСЧЕТ тепло изо ля цибннсй околочкй 1Й
Следует оговориться, однако, что наши формулы (9.1) и (9.2)
дают приемлемые по точности результаты, если их прилагать к боль-
шим промежуткам времени (считая с начала охлаждения или нагре-
вания). Тогда продолжительность иррегулярного режима составит
малую долю всего искомого промежутка времени 7, и погрешность,
происходящая от того, что мы не учли иррегулярности режима в его
начальной стадии, будет незначительна. Некоторые соображения о дли-
тельности иррегулярного режима нами высказаны в § 1 гл. VII.
Иногда называют постоянными или константами времени числа,
обратные коэффициентам т{; постоянной ~ = е присваивают
название главной.
§ 2. Расчет теплоизоляционной оболочки объекта
без внутренних источников тепла
Довольно часто в практике встречаются задачи предохранения
какого-либо замкнутого пространства от чрезмерного охлаждения или,
наоборот, перегрева. Для этого вокруг объекта устраивают тепло-
изоляцию. Отсутствие внутренних источников тепла и, следовательно,
невозможность создания стационарного режима исключают возможность
применения обычных приемов расчета изоляции. Здесь можно приме-
нить теорию, изложенную в теоретической части в гл. VI: мы можем
внутреннее пространство уподобить „ядру", а изоляцию рассматри-
вать как „тонкую оболочку".
Формулы (6.1), (6.2), (6.3) в сочетании с (9.1) и (9.2) позволяют
дать технический прием расчета; роль изоляции сводится только
к тому, чтобы, задаваясь допустимой по данным условиям величи-
ной «п-—t (понимая под и температуру ядра) и временем Т, подо-
брать технически приемлемые параметры изоляции.
Случай C'^Q. Предметы, заполняющие изолируемое простран-
ство, могут находиться в теснейшем контакте с изоляционным слоем,
так что будет соблюдаться основное условие, лежащее в нашем
определении понятия системы, данном в § 2 гл. I. Это дает нам право
применять упомянутую выше формулу, а за С принять полную тепло-
емкость этих предметов.
Их совокупность — ядро, конечно, не будет иметь равномерного
распределения температур; но наш вывод по отношению к двум
частным случаям, когда ядро имеет форму шара и пластинки, фор-
мулированный в конце § 7 гл. VI, может быть распространен и на
более сложные случаи, когда ядро и оболочка имеют сложную форму.
Расчет изоляции будет состоять в следующем.
Исходим из допустимого падения температуры ядра иу1 — t, соот-
ветствующего времени Т и начальной разности иу— t температур
ядра и среды. По (9.2) рассчитываем е. Далее, зная внутренние
условия, определяем Ф = С'/S'. Анализируя внешние условия —
И*
164
ТЁПЛОВЫЕ PAC'iETbi
(гл. tx
обдувание ветром, омывание водой и т. д. — задаем а или ему обрат-
ное Рп. После этого формула (6.1), которую иначе можно написать
»Ф°Р« е = Ф(Р. + Р.)
и в которой известны все величины, кроме Рэ, позволит определить
эту последнюю искомую величину.
Неравномерность температур ядра можно учесть приближенно,
вводя Ф*, аналогичное критерию Ф, и задаваясь им „на глаз"; тогда
предыдущая формула заменяется более общей:
е = ^.(Рэ + Рп), (9.3)
где Ф* < 1.
Случай C'ttO. Может случиться, что между предметами, нахо-
дящимися внутри подлежащего теплоизолированию помещения, и
теплоизоляционной оболочкой контакт отсутствует или осуществляется
несовершенно. Тогда схема, выбранная нами для расчета, не отвечает
явлению, хотя бы полная теплоемкость ядра и была значительной.
Ролью „ядра" можно пренебречь и считать Cz = 0; тогда предыдущие
формулы уже становятся неприменимыми: мы должны обратиться
к уравнениям для полых тел.
Пренебрегая влиянием формы, можно приближенно рассматривать
ядро с оболочкой как полый шар. Тогда уравнение для темпа охла-
ждения т получается из рассмотрения частного случая двухсоставного
шара (см. § 6 гл. VI), соответствующего предположению М— 0;
из (6.41) находим, вводя и /?9:
а8 RjR2
Ф (s)
(9.4)
к
где
Ал
Сопоставляя этот случай с предыдущим] мы видим, что если там
в выборе теплоизоляции играло роль только тепловое сопротивление
Р=-1 то здесь дело обстоит сложнее: в уравнение (9.4), которым
Л
‘ Rt
к нулю (причем 8 остается
определяется т, входит еще температуропроводность а теплоизолятора.
Формула (9.4) действительна при любом соотношении между
ft
и /?2; у нас оболочка—„тонкая", т. е. близко к единице; заме-
Ri , । 8 8
няя через 1 + и устремляя „-
<vi «1
постоянной), получаем из (9.4):
а8
Т
«а
1 — Ф (S)
tgs = F(s),
(9.5)
§ 2]
РАСЧЕТ ТЕПЛОИЗОЛЯЦИОННОЙ ОБОЛОЧКИ
165
т. е. уравнение для плоского слоя, охватывающего пустую полость.
Итак, кривизна теплоизоляционного слоя в нашей схеме роли не
играет.
Для решения задачи следует прежде всего вычислить г, а затем
подобрать одновременно и материал, т. е. а и X и его толщину 8.
Из (9.5) и (9.1) находим следующее уравнение, связывающее s
с остальными параметрами:
Выбрав какой-либо материал, т. е. задав X и а, определяем из
этого уравнения необходимое 8.
Очень просто решается задача, если поставлено условие весьма
интенсивного теплообмена с окружающей средой: а = со (это—самое
It
невыгодное условие). Из уравнения (9.5) находим, что тогда s = —.
Для подбора толщины 8 и тепловых констант материала получаем
уравнение [из (9.4)]:
Из (9.6) видно, что в этом случае время охлаждения или про-
гревания изолируемого объекта определяется температуропроводно-
стью теплоизоляционного слоя, а не его тепловым сопротивлением,
как в предыдущем случае, когда С =£ 0.
В качестве примера практического приложения этого результата
приведем задачу о прогревании стены жилого помещения, на которую
падает интенсивная солнечная радиация, причем температура наружной
поверхности стены становится равной или выше температуры окру-
жающего воздуха, что обычно имеет место летом в южных районах СССР.
Подбирая простую схему для аналитического изображения этого про-
цесса, можно прежде всего пренебречь теплоемкостью предметов,
находящихся в помещении, так как они не абсолютно плотно сопри-
касаются с внутренней поверхностью стены. Далее, влияние радиации
настолько велико, что граничные условия на наружной поверхности S
стены можно изобразить приближенно уравнением us = const (и$ О,
что аналитически равносильно условию а = со, причем за t следует
уже взять us- Следовательно, имеются налицо те условия, при кото-
рых действительна формула (9.6).
Подбирая толщину стены и ее материал, можно достичь того,
чтобы s в (9.6) имело наперед заданную величину. Наиболее выгодным
будет материал с малой температуропроводностью а. На практике
возможны случаи, когда окажется менее выгодной стена с большим
тепловым сопротивлением по сравнению со стеной, тепловое сопро-
тирдение которой меньше, *р, е, высокоэффективной тепдоизрляционнь|И
166
ТЕПЛОВЫЕ РАСЧЕТЫ
[ГЛ. IX
материал может оказаться невыгодным. В самом деле, для материа-
лов типа пенобетона, ракушечного камня и т. п. константа а будет
порядка 10 • 10-4—12 • 10~4 м^/час при объемном весе 7 порядка
1000 кг}м*, тогда как для таких хороших теплоизоляторов, какими
являются стеклянная вата с объемным весом у порядка 100 кг)мй
или современные пенопластические массы („ипорка“, „мипорка“ и т. п.),
имеющие у = 15— 30 кг/мй, температуропроводность будет значи-
тельно выше: порядка 16 • 10-4 до 40 • 10-4 мР/'час, если не больше.
Сопоставим эти цифры с цифрами для искусственных камней, обык-
новенного строительного кирпича, керамики: для них температуро-
проводность будет выражаться цифрами примерно от 16 • 10-4 до
25 • 10~4 м2[час.
Другой предельный случай мы получаем, когда а очень мало.
Тогда в уравнении (9.5)
F(s)^s* = ^- —;
v В * 1 а
получается:
>.
или, по замене — через су, следующее выражение для г:
Распределение температур в оболочке будет почти равномерное,
а решающая роль будет принадлежать объемной теплоемкости мате-
риала; это — случай „металлической11 стенки.
Между этими двумя предельными случаями — а малого и а боль-
шого,— когда главную роль играют или cvoi или а, лежат проме-
жуточные случаи, когда обе эти константы должны быть учитываемы;
вместо cvoi можно ввести X = «cvoi; но знания одного только X недо-
статочно для решения задачи.
Выводы, к которым мы пришли в этом параграфе, служат хоро-
шей иллюстрацией того, насколько рискованно переносить заключение
о роли теплоизоляции, правильное для случаев стационарного ее
состояния, на случаи ее нестационарного, например регулярного,
режима.
§ 3. Влияние формы и размеров простого тела
на скорость его охлаждения
или нагревания
В различных областях техники, например при термической обра-
ботке изделий, приходится встречаться с вопросом о влиянии на ход
охлаждения или нагревания формы и размеров исследуемого образца.
Поставим ребе целью рассмотреть по-новому лищь одну сторону этой
§ 31 ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ И РАЗМЕРОВ ТЕЛА НА СКОРОСТЬ ЕГО ОХЛАЖДЕНИЯ 167
задачи и наметить пути ее приближенного решения, а именно, огра-
ничимся рассмотрением случая, когда исследуемое тело состоит из
однородного и изотропного материала, внешние же условия, т. е. t
и а, остаются постоянными. Поэтому мы исключаем хотя бы такой
случай, когда температура среды меняется со временем по заданному
графику, и ему подобные.
Схематизируем задачу далее: предположим, что а не зависит от
координат точек наружной поверхности S тела (говорим о „наружной"
поверхности, чтобы отличить ее от внутренней: тело может иметь
пустоту или пустоты — полости, совершенно разобщенные с внешней
средой). Кроме этого вида граничных условий, в наших рассуждениях
будет фигурировать и другой наиболее простой их вид, а именно,
когда охлаждение или нагревание тела происходит при поддержании
температуры его наружной поверхности постоянной, что математически
равносильно устремлению а к бесконечности; физически говоря, это
означает, что критерий С приобретает большие значения — порядка
десятков и сотен.
Далее мы предположим, как это делается в теории регулярного
режима, что какие бы то ни было источники тепла в теле отсут-
ствуют. В применении к конкретным практическим случаям это озна-
чает, что нет искусственно питаемых нагревателей или охлаждаю-
щих приспособлений ни внутри тела ни на наружных его границах,
что в нем не происходят параллельно с изменением температур еще
сопутствующие процессы, сопровождающиеся выделением или погло-
щением теплоты, например, испарение влаги или ее замерзание во
влажных материалах, изменение структуры в сталях, в керамических
материалах и т. п.
Расчет времени охлаждения и температурных полей дан только
для некоторых тел простой формы: трех простейших тел, изученных
в гл. II, а также для квадратного бруса и т. д., в предположении,
что в начальный момент времени тело нагрето равномерно [1, 2, 6, 14].
Метод расчета, пригодный для тел любой формы, до сих пор отсут-
ствует. Введенные нами в гл. IV теоретической части критерии $ и т;
и коэффициент формы К позволяют указать такой метод, хотя и при-
ближенный.
Прежде чем переходить к нему, введем в рассмотрение еще одну
величину, имеющую значение для многих технологических процес-
сов, — скорость изменения температуры в данной точке тела.
Ее абсолютную величину обозначим
После регуляризации теплового режима, в силу (1.35), будем
иметь да = т | AU\е~тх, другими словами:
да = т |01. (9.9)
168
ТЕПЛОВЫЕ РАСЧЕТЫ
[ГЛ. IX
Рассмотрим два случая: L —> оо и С конечное.
Случай С—>оо. В этом случае (см. гл. IV) задача решается
чрезвычайно просто — она сводится к определению коэффициента
формы /<. В силу формул (1.70) и (1.64), оказывается, что уравне-
ние (9.9) в этом случае может быть написано в виде:
w = (9.10)
Lo
где число р‘^. зависит только от формы тела, но не от его размеров.
Отсюда вывод: при С-> со скорости изменения температур точек
тела приблизительно обратно пропорциональны квадрату его линей-
ных размеров. Влияние же формы на скорость охлаждения или нагре-
вания учитывается числом нулевой размерности ps.
Из двух тел I и 11 одинакового состава, но имеющих разные
размеры и различную форму, охлаждается быстрее то, коэффициент
формы которого меньше, ибо при а1 = а11 — а будет:
а — K^rij = Китп,
т. е.
mi: тп.ц = Кii : Ki.
В гл. IV были указаны приемы аналитического и полуэкспери-
ментального определения К для тел любой формы.
Случай С конечного. Случай этот несравненно сложнее, и
только с помощью критериев $ и т] удается наметить пути прибли-
женного решении задачи. Очевидно, что для этого требуется свя-
зать р с С, что, далее, сводится к универсальной зависимости между $
и т). При помощи нее задача решается просто и сводится к опреде-
лению двух величин: К и /, определяемой уравнением (1.60). Зная
их, тепловые свойства тела и условия охлаждения, т. е. а, которое
может быть для данного конкретного случая получено при помощи
альфакалориметра (см. гл. XI) или же оценено по имеющимся лите-
ратурным данным, вычисляем критериальную величину
^=44- (9J,)
Зная ее, по универсальной табл. 15 (§ 5 гл. IV) находим Z и,
наконец, вычисляем
т = 4 — (9.12)
А
Формула (9.9) позволит найти и w.
Для выяснения закономерностей общего характера может ока-
заться полезным наряду с этими критериями еще и критерий Т.
Случай малых значений С. Этот случай довольно часто
встречается на практике; примером может служить охлаждение
§ 3] ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ И РАЗМЕРОВ ТЕЛА НА СКОРОСТЬ ЕГО ОХЛАЖДЕНИЯ 169
на воздухе металлических болванок; тогда а — величина малая,
порядка 20 ккал/м21час/град; к относительно велико, порядка
30—40 ккал'м/час/град, и поэтому даже для больших предметов,
размерами до 1 м, ЧТ будет отличаться на 2 — 5% от единицы, как
это следует из рассуждений в § 4 гл. IV, ибо С будет число порядка
0,2—0,4. Но если ss 1, то формула (9.9) приводит к заключению, что
(9.13)
т. е. что скорость охлаждения или нагревания приблизительно про-
порциональна параметру S/V или обратно пропорциональна Ф [фор-
мула (9.13) — следствие (4.18)|.
Таким образом, в этом случае (ибо это, очевидно, случай гл. I, § 2)
влияние формы и размеров на скорость охлаждения определяется
одним параметром /.
Чтобы приблизительно наметить характер зависимости га от S/V
в общем случае, обратимся теперь к формуле (4.18) и воспользуемся
установленной в гл. IV зависимостью Чг(-q); имеем:
(9.14)
критерию же т; придадим следующий вид:
где Ц—отвлеченное число, зависящее только от формы тела. Так
как Ч;(т]) — монотонно возрастающая от нуля до единицы функция
то в некотором интервале значений -q ее можно считать пропорцио-
нальной некоторой степени k этого параметра, где & > 0; т. е.
где В — коэффициент пропорциональности.
После этого из (9.14) найдем:
Отсюда можно заключить, что w приблизительно пропорционально
д-ой степени величины SjV, где /г > 1, ибо п = 1-|-/г.
Эта формула дает некоторые указания относительно того, от
каких факторов преимущественно зависит скорость охлаждения чи
в той или иной точке тела: из нее следует, что
У 11 — 1 / С \ п
Й.
pY9l
(9.15)
170
ТЕПЛОВЫЕ РАСЧЕТЫ
[ГЛ. IX
Первый множитель в правой части (9.15) выражает влияние только
формы тела, второй — свойств материала, третий — влияние а, четвер-
тый— влияние размеров и формы одновременно.
Заметим, что, поскольку т возрастает с возрастанием а, в (9.15)
должно быть 2 — п > 0; следовательно, 2>я>1.
§ 4. Исследование закалки стали как пример приложения
теории регулярного режима
В процессе закалки величина w особенно интересует термистов,
и исследования зависимости ее от различных факторов имеют большое
практическое значение; в этих исследованиях обычно идут чисто эмпири-
ческим путем; оперируя с осредненными цифрами, выводят некоторые
зависимости, которые далее и используются. Теория, изложенная
в предыдущем параграфе, позволяет более глубоко проанализировать
задачу и дает указания, какие параметры являются решающими и ка-
кова форма связи между ними.
Для проверки полученных нами далее выводов необходимо рас-
полагать какими-либо опытными данными. За отсутствием собствен-
ного опыта мы обратились к литературным данным [16] относительно
закалки сталей.
В первую очередь надлежало убедиться в том, что явление закалки
подчиняется основному закону — экспоненциальному. Для этого мы
обрабатывали кривые охлаждения и таблицы [16], строя по ним зави-
симость In | и — от т. В подавляющем большинстве случаев мы полу-
чали линейную зависимость, что давало нам право характеризовать
каждый опыт темпом охлаждения т, как это и сделано в табл. 19.
Замечательно, что регулярный режим наступает быстро, и его начало
часто соответствует высокой температуре — порядка 800—600°С.
Отсюда мы заключаем: во-первых, закон охлаждения Ньютона оправ-
дывается во многих случаях и, во-вторых, то обстоятельство, что X,
а, с зависят от температуры, не вызывает значительных отклонений
от экспоненциального закона.
В табл. 19 и* обозначает температуру, приблизительно соответ-
ствующую моменту наступления регулярного режима.
Рассмотрим теперь различные следствия, вытекающие из теории
регулярного режима, и сопоставим их с теми закономерностями, ко-
торые представляют собою результат обработки опытных данных
различных исследователей.
1. При охлаждении в воздухе, т. е. при малых С, мы, согласно
§ 3, имеем формулу (9.13): для тел из одинакового металла
S
/исУ0| — а • -ту
, °- f
или т прямо пропорционально дроби -j-. 1 руппа опытов с шарами
§ 41
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКАЛКИ СТАЛИ
171
Таблица 19
№ Образец (размеры в см) Условия опыта и*, °C f, °C Примечание
1 Шары: а) диаметром 28,57 б) „ 19,05 в) „ 12,06 г) ,, 6,35 Д) „ 2,54 е) „ 1,27 Охлажде- ние в спо- койном воздухе 100 1 20 0,471 0,732 1,11 206 7.6 156
о Шар диаметром 2,54 В водяной струе под давлением 8 ата 700 20 713
3 Шар диаметром 2,54, рифленая поверх- ность: а) обр. № 2117 б) обр. № 2121 В воде 800 800 20 20 130 139
4 Шары: а) диаметром 12,06 б) диаметром 19,05 1 В масле | № 2, движу щемся со скоростью 0,9 м)сек 10,7 4,29
5 Шар диаметром 19,05 Те же, как в п. 4 8,35 Состав стали: С = 0,60—0,80 Мп = 0,9—1,2 Р = 0,05 S = 0,05
6 Шар диаметром 28,57 В воде 600 20 26,3 с = О,19о/о
7 Шар диаметром 3,81: а) из стали б) из меди В воде 120 120 20 20 246 1 320 1
8 Болванка диаметром 61 В воздухе 0,136 Опыты Баша
172 ТЕПЛОВЫЕ РАСЧЕТЫ [ГЛ. IX
Продолжение
№ Образец (размеры в см) Условия опыта и*, °C 1, °C т, час-1 Примечание
9 Куб, ребро: 45,7 а) б) в) В воде В масле В воздухе 4,32 2,10 0,254
10 Куб, ребро: 30,5 а) б) В воздухе В воде 600 700 20 20 0,438 9,66 Опыты Гарпера
11 Цилиндр О = 1,27, Z — 5,08: а) б) В растворе 5°/0 NaCl В масле 800 800 80 20 900 200
различных диаметров, фигурирующая как п. 1 табл. 19, подтверждает
правильность этой закономерности.
Чтобы в этом убедиться, рассуждаем следующим образом. Обо-
значим D' диаметр наибольшего шара, D — какого-либо другого.
Так как для шара
А -1— 1
v"~ I ~ D’
то из предыдущего равенства следует, что
а tn D
а' т' D' '
Из опыта известно, что, если охлаждение происходит в более
или менее спокойном воздухе, то а для объектов достаточно боль-
ших размеров, не имеющих резких углов, почти не зависит от LQ,
в данном случае от D\ так, при D примерно 3—4 см будет а = а'.
Следовательно, при этих значениях D, если только правильна ука-
занная здесь зависимость, мы должны получить т : т! —
при D малом уже будет а'<а.1 Если так, то дроби ~ в опы-
D'
тах 1а, 16, 1в, 1г должны быть равны дробям .
1 Теоретически выведенная Нуссельтом независимость а от D для шара
р свободном потоке не оправдывается для малых О,
ЙССЛЁДОВАНИЁ ЗАКАЛКЙ СТАЛИ
173
Составляем табличку:
Диаметр в см 28,57 19,05 12,06 6,35
2L- D ~ 1 1,50 2,37 4,50
т _ т' 1 1,55 2,36 4,37
Расхождение не превосходит 3%. Вообще же мы имеем:
а ___ mD
а' т' D’ ’
и для шаров диаметром 2,54 и 1,27 см получаем ^-=1,43 и 1,47,
что также согласуется с опытом.
2. Рассмотрим закалку при весьма больших т. е. случаи за-
калки в масле, воде и т. д.; предположим, что опять имеются тела
одинаковой формы, но различных размеров. Мы имеем точную формулу
для первого тела:
„2
__ Р са
/Яда = —г- ,
для второго тела:
, &
in — —j- •
Приближенно при больших С будет:
т тт ’
т. е. в силу предыдущего
Этот вывод теории также хорошо подтверждается на практике,
как это видно из п. 4а и 46 табл. 19 (здесь как раз имеем случай
больших С); в самом деле:
ГМ2-да?-о 4
krJ — \19,05/ ’
и опыт дает
174
Тепловые расчете!
[гл. IX
3. При больших С, в силу (9.10), можно ожидать, что скорость
охлаждения приблизительно обратно пропорциональна квадрату ли-
нейных размеров. Для цилиндров эмпирически установлено, что время
охлаждения Т при закалке в жидкостях прямо пропорционально
D2 = Lq. Очевидно, что это — прямое следствие (9.2) и (9.10),
ибо е прямо пропорционально 1%.
4. Некоторые авторы [16] нашли чисто опытным путем, что
время охлаждения обратно пропорционально та. Это непосредственно
вытекает из (9.1) и (9.2):
Т = -1п М- . (9.16)
5. Зависимость ш от Д для цилиндров при закалке в циркули-
рующей жидкости искали в иной форме, полагая та = Dn [16] и
пытаясь уложить в эту формулу опытные данные. Теория регуляр-
ного режима дает объяснение этой зависимости. В самом деле,
общую формулу (9.9), учитывая (9.14), можно написать в виде:
та = 4 • — • 'Г».
I С vol
Если пренебречь зависимостью Ф от линейных размеров, то ре-
, “ , D ,,
тающую роль будет играть величина у ; здесь Z= —, а коэффи-
циент а, согласно [6], выражается формулой вида:
деО.7 *
а « А —-т-.
Д0,3
Поэтому
в конечном счете оказывается, что с грубым приближением
Вместо показателя 1,3 можно более общим образом ввести и > 1;
это п будет зависеть от условий закалки и возрастает по мере воз-
растания а; его наименьшее значение больше единицы (см. конец § 3).
6. Термисты пытаются более совершенным и общим способом
характеризовать влияние формы и размеров закаливаемого изделия,
вводя параметр S/V, имеющий смысл для любой формы. Обработка
экспериментальных данных основывается на априорном допущении
существования зависимости
fs\n
^=С2\у) •
* UZ — скорость циркулирующей жидкости.
§ 4] исследование ЗАкллки стали 175
Постоянные Clt и п отыскивают, относя -w к определенной
температуре; так часто обрабатывают опытные данные для [16].
Очевидно, что предыдущая формула — прямое следствие нашей при-
ближенной формулы (9.15).
7. Из теории регулярного режима следует, что коэффициент
теплоотдачи а играет решающую роль; наши формулы показывают,
какой характер имеет зависимость т или <w от а. Чтобы их при-
менить, необходимо измерить величину а для разных условий за-
калки, что позволило бы характеризовать их численно и наметить
новые пути исследования. Никаких, хотя бы ориентировочных, дан-
ных об а в настоящее время не имеется; взамен этого даются опи-
сания условий закалки: „в масле", „в воде" и т. д. Исходя из
цифровых данных, мы попытались примерно оценить а для образцов
малых размеров шаровой и цилиндрической формы. Порядок полу-
ченных нами чисел а для закалки следующий (в ккал 1м?1 час/граду
в масле без перемешивания........около 1000
в масле перемешиваемом..................1500
в воде.................................. 2000
в растворах NaCl, NaOH.................. 4000 и выше
в струе воды под давлением ~ 8 ата . . . 6000—7000 и выше
Закалка в воздухе без обдувания происходит при весьма низких
значениях а, порядка 20—40 (в зависимости от формы и размеров
изделия).
В заключение следует сказать, что изложенные нами в пп. 1 — 7
зависимости скорости закалки или охлаждения от различных величин
имеют характер первого приближения; лучшее приближение будет
достигнуто по введении параметров т; и S [см. (9.11) и (9.12)].
Очевидно, параметр S/V далеко еще недостаточен для характе-
ристики влияния формы и размеров: необходимо ввести К.
Выгода перехода к безразмерным критериям $ и т) — очевидна;
структура этих параметров указывает, как следует группировать фи-
зические величины а, А, я, К и /, чтобы установить общие законо-
мерности, действительные для изделий любой формы, а не только
для тех простейших форм, которые почти исключительно и служили
предметом исследований.
Исследования [16] интересны еще и в том отношении, что они
послужили нам для опытного подтверждения теории регулярного ре-
жима в условиях чрезвычайно быстро текущих процессов: в ряде
случаев падение температуры на сотни градусов происходит в тече-
ние нескольких секунд: например 7 сек. в случае п. 2 табл. 19,
12 сек. — п. 7а, 6 сек. — п. 106.
ГЛАВА X
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПА
РЕГУЛЯРНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ т
§ 1. Схема определения т. Измерение
времени
В любом практическом приложении теории регулярного режима,
связанном с экспериментом, основная операция состоит в определении
темпа охлаждения т той или иной системы, того или иного „кало-
риметра". Теоретически говоря, для определения т следует, фикси-
ровав какую-либо точку М системы, дождаться наступления регу-
лярного режима и после этого измерить температуру в этой точке
для двух каких-нибудь моментов времени т, и Тц. Пусть в эти мо-
менты она равна и, и иа\ пусть измерена также температура окру-
жающей среды /; тогда по формуле (1.39) найдем искомое т.
На практике мы редко ограничиваемся измерением температуры
только для двух моментов времени: почти всегда мы измеряем ее
для ряда моментов: < т2 < т3 .. ., и на основании этих опытных
данных строим полулогарифмическую линию охлаждения (или нагре-
вания), откладывая по оси абсцисс времена Тр т2, т3, ..., а по оси
ординат In &j, In i)2, ..., как об этом уже говорилось в § 5 гл. I.
Этот прием выгоден в двух отношениях. Во-первых, легко уста-
навливается момент прекращения иррегулярного и наступления регу-
лярного режима, во-вторых, большое количество экспериментальных
точек позволяет с гораздо лучшей точностью найти т, чем на осно-
вании измерений только в двух точках.
Обычно при правильной постановке опыта экспериментальные
точки точно располагаются по прямой, если пользоваться обычной
клетчатой бумагой, ибо точность нанесения сетки квадратов при
современной технике изготовления клетчатой бумаги весьма велика.
Наравне с обыкновенной миллиметровой мы успешно применяем и
полулогарифмическую бумагу.
Измерение времени. В подавляющем большинстве случаев
практики т не превышает 50—100 час-1, и поэтому отметка мо-
ментов времени не представляет трудностей; достаточен секундомер
или даже хорошие часы с секундной стрелкой.
§ 2| ИЗМЕРЕНИЕ ТЕМПЕРАТУР (ПЕРВЫЙ ВАРИАНТ) 177
При быстро протекающих процессах, когда т — число порядка
150—200 час-1, необходимо применять хронограф, на ленте кото-
рого отмечаются моменты прохождения указателя прибора — зайчика
гальванометра — через удобно фиксируемые штрихи шкалы прибора,
например через целые его деления. Обработка записи на ленте осу-
ществляется без труда; т определяется с большой точностью.
§ 2. Измерение температур (первый вариант)
Для измерения температуры и, которая изменяется с течением
времени и притом в одну сторону, т. е. монотонно (если исключить
из рассмотрения иррегулярный режим, во время которого возможно
и не монотонное изменение и), мы пользуемся чаще всего термо-
парами и только в некоторых случаях применяем ртутные стеклянные
термометры. Некоторые из экспериментаторов применяли миниатюр-
ные электрические термометры сопротивления, и довольно успешно;
конечно, эти термометры допускают, вообще говоря, большую точ-
ность измерений, чем все другие, однако громоздкость требующейся
здесь электроизмерительной аппаратуры заставляет нас воздержи-
ваться от рекомендации методов, основанных на применении термо-
метров сопротивления.
Предпочтения заслуживает термоэлектрический метод, между
прочим, и потому, что при выборе тонких термоэлектродов и их
рациональной монтировке искажение температурного поля калори-
метра совсем невелико и не влияет на точность измерений,1 * чего
нельзя сказать о других методах измерений, при которых тепло-
чувствительная часть прибора имеет теплоемкость и размеры, вообще
говоря, сравнимые с теплоемкостью и размерами того тела, внутрь
которого эта теплочувствительная часть вводится.
Применяемые нами калориметры имеют обычно небольшие раз-
меры, материалы, из которых они состоят, зачастую обладают не-
значительным объемным весом 7, а следовательно, и малой объем-
ной теплоемкостью cvof, поэтому ртутные стеклянные термометры
можно применять в тех случаях, когда материал, внутрь которого
вводится термометр, имеет объемный вес не ниже 600—700 кг/м3,
а диаметр шарика термометра по крайней мере в пять-шесть раз
меньше наименьшего размера калориметра.
При умелом применении ртутных термометров точность измере-
ния может быть не ниже 2—3%, даже если употреблять техниче-
ские инструменты с наименьшими подразделениями шкалы на 0,5—
1,0° С. Лучше всего брать те термометры, у которых ход по-
правки в измеряемой области температур, т. е. вблизи t, отличается
плавностью и которые не обнаруживают заметного .мертвого хода".
Шарики (резервуары) не должны быть чрезмерно массивными и
1 Указание относительно монтировки термопар дано в гл. XIV, § 3, п. 2.
12 Зак, 750. Г. М. Кондратьев
178 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЛ РЕГУЛЯРНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ П1 [ГЛ. X
должны иметь цилиндрическую или слабо коническую форму с утол-
щением книзу.
Несмотря на простоту обоих применяемых нами методов, необхо-
димо обратить особое внимание на технику эксперимента, пренебре-
жение деталями которой, на первый взгляд не имеющими значения,
влечет за собой грубые ошибки в измерении температур и и t, а тем
более их разности. Именно этим обстоятельством объясняется су-
ществующее до сих пор даже среди специалистов по тепловым
измерениям неправильное мнение об экспериментальной стороне ме-
тодики регулярного режима.
При измерении температур и и t термопарами мы обычно при-
меняем термоэлектроды толщиной от 0,10 до 0,65 мм, чаще всего
0,3—0,4 мм. Выбор металлов термопары определяется температур-
ным уровнем t; для t не выше 400° С можно применять медно-кон-
стантановые или медно-копелевые термопары, до 800°—хромель-
алюмелевые, до 1300°—платинородий-платиновые.
Рекомендуемые нами наивысшие пределы применения термопар
значительно ниже указываемых в литературе, в частности, тех наи-
высших температур, которые даны для отечественных стандартных
термопар в официальных таблицах [18]. Дело в том, что термопара
пригодна только для кратковременных измерений температур, близ-
ких к максимально для нее допустимой температуре, а всякое дли-
тельное (и даже повторное кратковременное) пребывание ее при
высоких температурах вызывает необратимые изменения термоэлек-
тродов, вследствие чего термопара становится пригодной только для
грубых технических, но отнюдь не для точных измерений.
Экспериментаторы не всегда уделяют должное внимание хими-
ческой и физической однородности термоэлектродов, забывая о том,
что даже их резкий излом, слабое перекручивание и т. п. являются
источником паразитных электродвижущих сил.
Переключатели, курбели и прочие детали электроизмерительного
устройства не должны вводить в цепь термопары непостоянных и
больших сопротивлений. Температуру свободного конца целесо-
образно поддерживать при температуре 0 или 20° С с точностью до
0,02—0,05°.
Термопары следует тщательно отградуировать либо в комбинации
с хорошим пирометрическим милливольтметром, или, еще лучше,
с зеркальным гальванометром, либо приключая их к потенциометру.
Нельзя обойтись без градуировки установки, полагаясь на стан-
дартные таблицы для термопар, так как взаимозаменяемость термо-
пар еще не настолько совершенна, чтобы обеспечить необходимую
точность при измерениях, требующих повышенной точности.
При опытах с металлами и близкими к ним по тепловым свой-
ствам материалами процесс протекает так быстро, что применять
потенциометр становится невозможным; в этих случаях приходится
прибегать к мало инерционному зеркальному гальванометру, струн-
§ 3] ИЗМЕРЕНИЕ ПОСРЕДСТВОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ТЕРМОПАРЫ 179
ному гальванометру и осциллографировапию. При исследованиях по
закалке стали, о которых говорилось в § 4 гл. IX, был применен
струнный гальванометр с оптической записью показаний, вольфра-
мовый волосок которого имел диаметр только 0,0075 мм.
§ 3. Измерение посредством дифференциальной термопары
(второй вариант)
Для построения полулогарифмического графика регулярного режима
достаточно измерять величину температурной разности 0 и нет необ-
ходимости измерять по отдельности и и t, как это нами было про-
делано в предыдущем параграфе. Для измерений же разности Я очень
удобна дифференциальная термопара, присоединенная к чувствительному
Рис. 52. Схема измерения температурной разности и — t посредством
дифференциальной термопары в соединении с магнитоэлектрическим
гальванометром.
гальванометру магнитоэлектрического типа по обычной схеме, которая
изображена на рис. 52. Буквой Е здесь обозначена среда, в которую
погружены калориметр F и термоэлактроды дифференциальной термо-
пары А и В, один спай которой М находится при температуре к,
а другой—-N при t. В точках т и п термоэлектроды присоединены
к медным проводам С, идущим к гальванометру G.
При употреблении весьма чувствительного fальванометра может
оказаться необходимым понизить его чувствительность, особенно
в начальный момент, когда разность В велика, ток i, текущий через
гальванометр, значителен и может быть опасен для целости инстру-
мента; с этой целью в цепь термопары последовательно с ним вклю-
чается многоомный магазин сопротивления, который позволяет вклю-
чить сопротивление Rm, изменяя его по желанию, и тем снизить силу
тока i.
12*
180 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПА РЕГУЛЯРНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ т [ГЛ. X
Этот второй вариант измерения температур имеет серьезное пре-
имущество перед первым: он позволяет значительно повысить чувстви-
тельность измерений и упростить вычислительные операции и избав-
ляет от необходимости градуировать термопару, как это усматривается
из дальнейших рассуждений.
Согласно теории дифференциальной термопары, термоэлектродви-
жущая сила £д, развиваемая в ее цепи, составленной по схеме
рис. 52, дана формулой
= ПО-1)
Здесь Е— э. д. с. термопары из металлов А и В, один спай
которой поддерживается при постоянной температуре (обычно 0
или 20° — см. предыдущий § 2), а другой имеет изменяющуюся тем-
пературу 0; символически
E = EAB((), /0) = F(6).
В правой части равенства (10.1) стоит производная от Е по О,
т. е. Г' (6), отнесенная к значению 0 = t, причем t есть температура,
лежащая между и и t, т. е.
Обозначим <р угол отклонения подвижной системы, например рамки
гальванометра, от ее положения равновесия, соответствующий силе
тока /, проходящего через гальванометр.
Согласно теории гальванометра, <р и I прямо пропорциональны:
4> = k'i, (Ю-2)
причем коэффициент пропорциональности k' практически не зависит
от колебаний температуры гальванометра, т. е. от колебаний темпе-
ратуры помещения, где находятся приборы.
С другой стороны, применяя закон Ома к цепи термопары,
в которой действует э. д. с., равная Ея, получаем:
где Rr— сопротивление гальванометра, г — сопротивление внешней
цепи, равное сумме сопротивлений: Rt— термопары, Rn—соедини-
тельных проводов и Rm — магазина сопротивлений:
г — Rt -f- Rn + Rm •
Из сопоставления формул (10.1), (10.2), (10.3) находим следующую
зависимость между <о и температурной разностью ft = и — t:
k' , -
Пусть отсчет D по шкале гальванометра, соответствующий углу
поворота пропорционален этому углу, т. е. D = k"<?.
§ 3] ИЗМЕРЕНИЕ ПОСРЕДСТВОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ТЕРМОПАРЫ 181
Это легко осуществляется в зеркальных гальванометрах при до-
статочном удалении шкалы от гальванометра или при применении
круговой шкалы, причем пропорциональность сохраняется даже при
очень малых силах тока— порядка 10~9д. В более грубых магнито-
электрических приборах пропорциональность соблюдается в силу
самого устройства прибора и его равномерной шкалы; она нарушается
только для_ точек шкалы, близких к нулю, если нуль соответствует
отсутствию тока в приборе.
Из двух последних равенств вытекает, что
или проще
D = k\\, (10.4)
где k — коэффициент пропорциональности, структура которого
формулой
дана
и /?г
про-
k'k" —
k = 'd).
г -г «Г
Если условия опыта не изменяются, то величины k', k", г
остаются также неизменными. То же самое следует сказать и о
изводной Р'(/), ибо разность температур ft невелика (не более 100° —
ведь мы рассматриваем регулярный режим), a t отличается от посто-
янной температуры t не более чем на 3 градусов, будучи заключена
между и и t, разность которых равна ft. При изменении же темпе-
— dE
ратуры t в этих пределах производная F' (6) = практически для
употребительных термопар остается постоянной, так как практически Е
тогда меняется линейно с 9.
Из предыдущих рассуждений вытекает важное с точки зрения
техники
остается
простой:
измерений следствие: поскольку на протяжении опыта k
постоянным, формулу (1.39) можно заменить гораздо более
In Dj — liiDH
т ----------------
тп — \
(10.5)
(так как In k сокращается).
Следовательно, применяя для измерения температур второй ва-
риант, мы избегаем необходимости градуировать термопару и получаем
возможность наилучшего использования чувствительности гальвано-
метра. Кроме того, здесь не играет роли нестабильность электродов,
вызванная их перегреванием, которая, как указывалось ранее в § 2,
имеет существенное значение для точности измерений ft по первому
варианту.
По причине этих особенностей второго варианта он вошел во все-
общее употребление. Первым вариантом мы пользуемся гораздо реже,
182 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПА РЕГУЛЯРНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ Ш [ГЛ. X
преимущественно, когда сказывается возможным применять ртутные
стеклянные термометры или же когда по конструктивным сообра-
жениям применение дифференциальной термопары нецелесообразно.
Существеннейшим условием правильной работы схемы рис. 52
является равенство температур мест присоединения т и п термоэлек-
тродов к медным проводам; эти температуры могут быть какие угодно,
лишь бы они были равны между собою.
При измерении Я посредством медно-константановой или меднс-
копелевсй термопары это условие отпадает, если за термоэлектрод А
взять медь, т. е. С.
Хотя по самой сути дифференциального метода измерения темпе-
ратур нет необходимости измерять /, тем не менее рекомендуется
контролировать температуру t среды Е с помощью отдельнсго при-
бора, который не служит для измерений, а играет лишь роль инди-
катора температуры и позволяет следить за ее постоянством; поэтому
выгодно выбирать чувствительные термометры, например калориме-
трические.
ГЛАВА XI
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛООТДАЧИ.
АЛЬФАКАЛОРИМЕТРЫ
Теория регулярного режима дает в руки исследователей новый
простой метод определения коэффициентов теплоотдачи а, пригод-
ный как для объектов простой формы, так и для объектов слож-
ных очертаний. В этом отношении методика регулярного режима
дополняет существующие данные, основанные на теории подобия и
относящиеся почти исключительно к телам трех простейших форм,
которые были нами рассмотрены в гл. II.
§ 1. Применение теории регулярного режима однородного
и изотропного тела
Идея нашей методики определения а вытекает непосредственно из
формулы (1.53) или (1.54) и заключается в следующем. Из нормаль-
щго материала (см. определение этого понятия в § 4 гл. VI) изго-
товляют тело, наружная поверхность которого копирует по форме и
размерам поверхность объекта, теплоотдачу которого требуется опреде-
лить. Внутрь этого тела закладывают дифференциальную термопару
по схеме рис. 53; тело снабжают трубкой, внутри которой проходят
термоэлектроды и соединительные провода, ведущие к гальванометру.
Один спай (7V) дифференциальной термопары выведен наружу, дру-
гой (А4) укреплен в какой-либо точке тела.
Такая комбинация — тело плюс гальванометр плюс термопара —
составляет прибор, которому можно присвоить название альфакало-
риметра, так как посредством него легко определить а (альфа).
Для этого тело, т. е. теплочувствительную часть прибора, погру-
жают в среду (рис. 53), причем в момент погружения оно имеет
температуру, отличающуюся от температуры t среды; наблюдая спа-
дание показаний гальванометра с течением времени, определяют темп
нагревания или охлаждения, как описано выше в § 1 гл. X, а затем
находят и искомое а по формуле (1.54), которую можно написать
в следующей форме:
а = Е<s nt). (11 L)
184
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛООТДАЧИ
[ГЛ. XI
Здесь Е и Н — постоянные прибора:
Lq та
(И-2)
Для трех простейших основных форм и для некоторых тел пра-
вильной формы вид функции © или известен или может быть найден
вычислением; для тел сложной и неправильной формы функция <р
может быть определена графически или табулирована посредством
метода, изложенного в § 6 гл. IV (заметим, что <р от размеров тела
не зависит). Поскольку, таким образом, функция ф может считаться
известной и известны Е и Н, уравне-
ние (11.1) сводит определение искомого а
к определению т.
Применение критериев’!' и В.
В качестве первого приближения можно
дать следующее решение задачи об
определении а, основанное на универ-
сальной зависимости Ф (?), установлен-
ной нами в гл. IV, выражением которой
является табл. 13.
Прежде всего перепишем фор-
мулу (1.47), другими словами, основную
теорему § 8 гл. I, в виде
Ф
а = т •
(11.3)
где Ф— константа калориметра, равная
Рис. 53. Схема альфакалори- 1 = S'
метра с дифференциальной тер-
мопарой. Пусть для данной формы К тоже
найдено (что не требует интегрирова-
ния уравнения Фурье — см. § 3 гл. IV); зная из опыта т, вы-
числяем соответствующее численное значение критерия $ по фор-
муле (4.17), т. е.
Найдя $, по универсальной табл. 13 определим соответствующее ЧГ,
а затем из (11.3) определим искомое а.
Чтобы получить более точное решение задачи, необходимо поста-
вить эксперименты на модели, копирующей только форму исследуемого
объекта, но не его размеры,—так, как это описано в § 4 гл. IV,
т. е. уже совсем при иных значениях а, к и прочих величин: для
нахождения зависимости ’Г от 5 нет необходимости заботиться о со-
блюдении какого-либо иного вида цодобия, кроме геометрического.
§ 2] ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА ДВУХСОСТАВНЫХ ТЕЛ 185
§ 2. Применение теории регулярного режима
двухсоставных тел
В силу соображений конструктивного характера иногда может
оказаться удобным изготовить альфакалориметр из двух, резко раз-
личающихся по своим тепловым свойствам материалов — теплоизоля-
тора и металла.
Теория регулярного режима таких двухсоставных тел — бикалори-
метров— была нами рассмотрена в гл. VI и найдет свое применение
здесь.
Д в у х с о с т а в н ы е а л ь ф а к а л о р и м е т р ы первого вида.
Под этим термином мы понимаем тела, „ядро" которых состоит из
теплоизолятора, а „оболочка"—из металла.
Общие расчетные формулы для двухсоставных альфакалориметров
выводятся из соответствующих формул гл. VI. Из (6.18), уничтожив
штрих у X', получаем, по раскрытии скобок, формулу
* а = Е® (И т)-\-Fm. (ll.-i)
Здесь Е, Н, F—константы калориметра, вычисляемые по формулам:
« = ^/7, е=5-Т' <1Ь5)
(Собол = С").
Напомним, что £0 относится к внутренней части — к ядру, 2 —
величина поверхности раздела ядра и оболочки, S — величина наруж-
ной поверхности.
Если ввести величину ф' (см. гл. VI, § 3), то вместо (11.4) будем
иметь:
получаемую из (6.17).
Буква Ф имеет прежний смысл, если под С понимать теплоемкость
ядра, т. е. старое С.
Равенство (11.6) более удобно для предварительных исследований
и более наглядно характеризует связь а с параметрами альфакалори-
метра и темпом охлаждения т.
Д в у х с о с т а в н ы е а л ь ф а к а л о р и м е т р ы второго вида.
В калориметрах этого вида оболочка изготовлена из теплоизолятора,
ядро — металлическое.
Расчетные формулы для трех простейших форм имеют гораздо
более сложный вид, чем в предыдущем случае. Они непосредственно
получаются из формул (6.39), (6.41) и (6.49), которые позволяют
выразить hL2 или hR^ как явную функцию гп и параметров калори-
метра.
186 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛООТДАЧИ [ГЛ. XI
В качестве примера разберем двухсоставной цилиндрический
альфакалориметр второго вида.
Введем в равенство (6.49), выражающее регулярный режим этого
тела, вместо q и /?2 параметры р и Rp, разрешив его относи-
тельно а, получаем:
. (НВх —ВН^)'-р (GBi —AHj)
а = п~ ' Р---------------j-----------•
** ptAGt-GAJ-p^BG!- HAJ
Здесь буквы А, Аг и прочие имеют смысл, указанный в § 7
гл. VI (и, конечно, Н ничего общего не имеет с обозначением Н,
употребленным ранее в настоящем параграфе).
Предположим, что известны все тепловые величины, которыми
характеризуются материалы, входящие в состав альфакалориметра, и
его радиусы R± и /?2.
Тогда, произведя наблюдение над охлаждением альфакалориметра
и подсчитав т обычным способом, по последней формуле опреде-
лим а (ибо Р и р также известны).
Альфакалориметры второго вида удобны для измерения больших
величин теплоотдачи, когда а — число порядка сотен (выражая его
в единицах ккал/м^/час/град).
В качества примера практического использования альфакалориметра
второго вида приведем определение коэффициента теплоотдачи ци-
линдра диаметром 2,6 см в спокойной воде, имеющей температуру
около 0°С. Для этого А. В. Тарховой в 1940 г. [19] был поставлен
чрезвычайно простой опыт: толстостенная пробирка из кварцевого
стекла, имевшая внутренний и наружный радиусы R} = 0,725 см и
/?2 = 1,29 см, была наполнена ртутью и подвергалась охлаждению
в водо-ледяной смеси (без перемешивания). Длина пробирки была
15 см, так что ее можно было считать цилиндрическим альфакалори-
метром и применить вышеуказанную формулу. Один из спаев диф-
ференциальной термопары находился в ртути, другой — в воде.
Тепловые константы кварцевого стекла для температур вблизи 0°
по предварительным исследованиям равны: с = 0,175 ккал/кг/град;
л =1,1 ккал[м/час)град; 104 • а = 29,6 мА\час; 7 = 2120 кг/мй.
Для ртути при тех же температурах: с' = 0,033 и у'= 13 600.
Поэтому по (6.51) найдем:
р- = 1,65.
Во время отита пробирка была герметически закрыта пробкой
и со всех сторон окружена водой. Опыт дал т = 45,8 час~х. Отсюда
по (6.45) и (6.47) находим:
р = 0,9, q =1,6.
§ 3]
АЛЬФАКАЛОРИМЕТР КИРПИЧЕВА---КОНДРАТЬЕВА
187
Пользуясь таблицами бесселевых
А, 4, и пр. и находим:
ЯВ, — ВЯ,= —0,560;
4G, — 04, = 0,529;
функций [121, вычисляем числа
ОВ, —4Н, =0,446;
ВО, —Я4, = 0,893.
После этого получаем:
а = • 100 • 1,2 = 183 ккал м'2/час1град.
Двухсоставные альфакалориметры второго вида до сих пор еще
не нашли приложения на практике и навряд ли могут быть приме-
нены в качестве переносных приборов для измерений на
производстве из-за громоздкости вычислительных операций.
Но они могут оказать большую помощь при полупро-
изводственных или чисто лабораторных исследованиях.
Приведенный только что пример имел целью иллюстриро-
вать это обстоятельство.
§ 3. Альфакалориметр Кирпичева — Кондратьева
Приоритет в создании приборов для измерения коэф-
фициентов теплоотдачи, основанных на нестационарном
тепловом потоке, принадлежит советской науке: в 1927 г.
академик М. В. Кирпичев указал автору этой книги, каким
образом явление охлаждения или нагревания цилиндра мо-
жет быть положено в основу метода измерения коэффи-
циентов теплоотдачи трубок водотрубного котла. Связан-
ное с этим теоретическое исследование автора [20] явилось
исходным пунктом дальнейших исследований, приведших
к созданию теории регулярного режима (последний термин
был предложен М. В. Кирпичевым в 1928 г.).
Железный цилиндрический альфакалори-
метр. В своей первоначальной конструкции калориметр
представлял собою сплошной железный цилиндр, внутри
Рис. 54.
Первая мо-
которого вдоль его оси расположены изолированные элек- дельальфа-
троды термопары. Цилиндр составлен из двух пришлифо-
ванных полуцилиндров, плотно прижатых друг к другу
посредством навинченных по их концам обойм, как показано
на рис. 54; одна из обойм соединяется с трубкой и ру-
калоримет-
ра Кирпи-
чева—Кон-
дратьева.
/—железо;
кояткой; через которые термоэлектроды выводятся наруку канал ДЛ!1
к гальванометру, а по оси цилиндра сделаны узкие каналы пары .
для их ввода. Высота цилиндра 30 см, радиус его 2 см.
Для определения а прибор вводили в пространство, подлежащее
исследованию, и определяли т, применяя первый вариант метода,
изложенного в гл. X (§ 2); следовательно, требовалась еще термопара
для измерения температуры t среды.
188 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛООТДАЧИ [ГЛ. XI
Этот калориметр применялся в 1934—1935 гг. при испытаниях
котлов на МОГЭС. Кроме того, М. П. Стаценко [21] поставил опыт
над охлаждением калориметра в поперечном воздушном потоке и
сравнил даваемые им результаты с теми, которые получаются, если
применять известные формулы для теплоотдачи цилиндров [6]. Он
пользовался формулой:
проводя опыты в воздушном потоке при различных его скоростях
[м/сек]', температура воздуха была близка к Z = 20°; d обозначает
диаметр цилиндра. В применении к нашему цилиндру d = 0,04 м
и вышеуказанная формула обращается в
«к = 16,8 Ц70,56.
Приводим результаты сравнения:
W а —___ 4,33 5 6,5 10,1
Вычислено по формуле Получено из опыта с 37 40,5 50,5 60,5
калориметром . . , 38,8 42 51,5 66
Опытные значения систематически превышают теоретические, так
как показания калориметра дают суммарный коэффициент теплоотдачи
а=«к-[-ал; следовательно, согласие авнч и аОп—удовлетворительное.
Расчетная формула для этого альфакалориметра имеет вид (11.3);
при не чрезмерно больших значениях а или, лучше сказать, при
малых значениях критерия С, что и имеет место в данном случае,
с хорошим приближением будет 4^=1, и (11.3) принимает очень
простой вид:
а = тФ, (11.7)
т. е. а и т прямо пропорциональны друг другу.
Шамотовый цилиндрический альфа калориметр
с железной оболочкой. Сплошной железный калориметр из-за
большого веса неудобен в обращении; целесообразно заменить его
металлической трубкой, наполнив ее порошком из плохо проводящего
тепло материала.
В качестве наполнителя нами был выбран тщательно отсортиро-
ванный зернистый шамот; оболочкой служила железная трубка, стенка
которой имела толщину в несколько миллиметров. Влиянием такой
оболочки пренебречь уже нельзя: расчетной формулой здесь будет
формула (11.6), причем за <р следует взять функцию /, таблица кото-
рой дана в приложении (табл, II),
§ 3| АЛЬФАКАЛОРИМЕТР КИРПИЧЕВЛ— КОНДРАТЬЕВА
189
В целях выяснения надежности показаний прибора были произ-
ведены опыты с калориметрами, имевшими различные диаметры; пере-
считывая значения а к одному и тому же диаметру, мы должны полу-
чить согласные цифры. Это и наблюдалось как в лабораторных
испытаниях, так и в производственных усло-
виях.
Приводим один пример. При испытаниях котла
на 1-й ГЭС в Москве в 1935 г. в третьем ходе было
найдено: из опыта с малым калориметром по (11.6)
при т = 4,01 час~\ а =36,7 ккал).ч-/час-град',
из опыта с большим калориметром а = 28,8.
Размеры калориметров в миллиметрах:
Калориметр 27?! 2А»а Z Толщина стенки 0
Малый . . . 38,5 43,5 612 2,5
Большой . . 51 66 747 4,5
Пересчет по формуле (11.7) дает для боль-
шого калориметра а = 29,3 в весьма хорошем
согласии с данными непосредственного опыта.
В начале наблюдений температура калориметров
была 300°, газов 323°.
Схема калориметра дана на рис. 55. Константы
калориметра Е, Н, F несколько меняются в зави-
симости от того, при какой температуре t среды
производится измерение. Совокупность экспери-
ментальных и вычислительных операций, необхо-
димых для их определения, мы назовем калиб-
ровкой.
Калибровка цилиндрических альфа-
калориметров, описанных выше.
а. Для железного альфакалориметра, при'тем-
пературах t порядка 300—400° С, R = 2 см, Z =
= 30 см, мы нашли, принимая для железа с = 0,13,
у = 7700, А = 50, а — 0,05, что до значений
а 100 и т<(10 можно считать ’Г^й1, а сле-
довательно, _
а = 9,7m.
Рис. 55. Схема
цилиндрического
альфакалориметра;
наполнитель —
шамот, оболочка —
железо.
/—вводная трубка;
2—термоэлектроды;
3—наполнитель
(теплоизолятор);
4—оболочка (металл).
Таков в данном случае коэффициент Ф общей формулы (11.7).
б. Для шамото-железного альфакалориметра зависимость терми-
ческих свойств шамота от температуры учитывалась на основании
данных собственных опытов и опытов других исследователей. Мы
принимали следующую линейную зависимость удельной теплоемкости с
190
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛООТДАЧИ
[ГЛ. XI
шамота от температуры:
с = 0,193 (1 + 3,9 • 10 (/).
Для температуропроводности а нами была принята также линейная
зависимость, причем мы исходили из опытных данных: при /=400°
« = 8,5-104; при / = 0° а = 7,8 • 10“4.
Объемный вес шамота у = 1400; А. вычислялось, когда были най-
дены с и f, по формуле X = асу.
Для железа при этих температурах мы приняли в среднем
с" = 0,125, 7" = 7700, т. е считали с"^' = 962.
Этот пример наглядно иллюстрирует технику калибровки.
Вычислительные операции. Вычислительные операции
не представляют трудностей и производятся следующим образом.
1. Если альфакалориметр сплошной металлический, так что можно
считать 47=1, вычисление производится по (11.7).
2. Если влиянием металлической оболочки калориметра можно,
по причине ее малой толщины и теплоемкости, пренебречь, или, если
она отсутствует, а основное тело калориметра — из теплоизолятора,
так что Ф Ф 1, то расчет а выполняется по формулам:
а = Ef (Н |/»г),
Е = —, Н = Д
(И-8)
3. Если калориметр имеет толстую металлическую оболочку, то а
вычисляется по формулам:
(П.9)
Под знаком f (х) следует понимать функцию (2.10); и Т?2 обо-
значают внутренний и наружный радиусы металлической оболочки;
С"—ее полная теплоемкость; S—ее наружная поверхность.
Формулы (11.8) и (11.9)—частные случаи выведенных ранее
общих формул (И.1), (11.2) и (11.4), (11.5). Вычисления по этим
формулам можно заменить таблицей или графиком для данного альфа-
калориметра, дающими для каждого т соответствующее ему а; наличие
такой градуировочной таблицы или кривой чрезвычайно упрощает
пользование альфакалориметром. Для каждой t будет своя градуиро-
вочная кривая; все эти кривые будут близко расположены друг к другу.
Вид градуировочной кривой любого альфакалориметра предуказан
общей теорией регулярного режима—асимптотическим законом воз-
растания т с а, действительным для любой системы, как об этом
говорилось в § 1 гл. V; следовательно, градуировочная кривая имеет
вид, представленный на рис. 9: чувствительность прибора падает по
мере возрастания а.
§ ,4|
IIEIСПЕКТИВЫ ПРИМЕШ-ГЬЯ ЛЛ1.ФАКЛ10РИМЕТР011
191
§ 4. Перспективы применения альфакалориметров
СССР; применяются
в
В настоящее время, к сожалению, альфакалориметры еще не на-
шли достаточно широкого распространения
широко только цилиндрические альфакалори-
метры, а шаровым и плоским не пользуются.
Возможность построения альфакалори-
метров любой, технически интересной формы и
рациональный метод их калибровки нами были
указаны в 1948 г. [22]; §2 этой главы и тео-
рия, изложенная в гл. IV, содержат все, что для
этого необходимо. Как видно из § 2, в слу-
чае альфакалориметров сложной формы, нет
смысла основывать расчет на функции о; един-
ственно целесообразным путем решения задачи
является введение в расчет критериев Ф и 5,
которые, оба меняясь монотонно, всегда за-
ключены между нулем и единицей; геометри-
ческие же особенности данной формы учиты-
ваются главным образом величинами I и К.
В качестве примера практических вопро-
сов, к решению которых, хотя бы приближен-
ному, может быть приложена изложенная нами
в § 2 общая теория альфакалориметров, приве-
дем теплоотдачу металлоизделия при его тер-
мической обработке, керамики при обжиге,
объектов в разреженной или влажной атмо-
сфере. В ряде аналогичных случаев отсут-
ствуют хотя бы ориентировочные цифровые
данные для коэффициента теплоотдачи а;
поэтому нам думается, что даже прибли-
женная его оценка, рекомендуемая нами, при-
несет пользу.
Вывод спая N дифференциальной термо-
пары в среду по схеме рис. 53 практически
не всегда удобен, а в большинстве случаев
невозможен; поэтому в наших первоначальных опытах (рис. 54) мы
были вынуждены измерять раздельно и и t, т. е. вести измерения
согласно первому варианту § 2 гл. X; дифференциальный метод не
применялся. Принципиальным и вместе с тем конструктивным улуч-
шением альфакалориметра является использование дифференциальной
термопары с перенесением ее второго спая из исследуемой среды
внутрь приемника прибора; законность такой операции обосновывается
замечанием, сделанным нами в § 5 гл. 1 [см. уравнение (1.38)].
На рис. 56 дана схема двухсоставного альфакалориметра этого типа
с металлической оболочкой.
А гальванометру
Рис. 56. Схема альфакало-
риметра с дифференциаль-
ной термопарой внутри
приемной части.
/ — термоэлектроды; 2 —вводная
трубка (до 2— 2,5 м длины);
5— термоизоляционное ядро;
4— металлическая оболочка.
(92 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛООТДАЧИ (гл. XI
При различных технологических процессах, особенно при тех,
которые протекают в условиях высоких температур, важное значение
имеет не только средняя температура обрабатываемого объекта, но и
количество тепла, получаемое им от среды или отдаваемое в среду;
мерой этого теплового воздействия среды на тело, очевидно, будет
служить теплоотдача с единицы поверхности в единицу времени —
введенная в § 2 гл. VII величина G.
Производя одновременное измерение коэффициента теплоотдачи а,
температуры поверхности тела и температуры среды I, можно оце-
нить G; по (7.18) имеем, вводя среднюю его поверхностную темпе-
ратуру и среднюю объемную иу (см. § 6 гл. I), следующее выра-
жение:
0 = аФ(и7—/) = а (иа—t). (11.10)
Для измерения us можно применить методы оптической термо-
метрии, для t—термоэлектрический метод; единственным же методом
прямого определения а является изложенный здесь.
Знание G или а рабочего пространства какой-либо промышленной
печи имеет важное практическое значение; качество изделия опреде-
ляется не только температурой, но и получаемым количеством тепла,
т. е. а или G. Помещая альфакалориметр в различные места печи,
можно исследовать пространство печи и выяснить, насколько равно-
мерную величину имеет а в ее рабочей части. Рассматривая прибор
с этой точки зрения, альфакалориметр иногда называют тепловым
зондом.
§ 5. О приборах аналогичного типа
После того, как альфакалориметры были созданы в СССР, ана-
логичные приборы были построены в Германии и США [23, 24]
с приемниками цилиндрической, шаровой и пластинчатой формы,
изготовленными из меди или керамической массы. Идея возможности
создать прибор с приемником сложной формы заграничными иссле-
дователями не высказывалась, так как обобщенное физическое обо-
снование принципа действия прибора у них отсутствует.
Иллюстрацией могут служить первые по времени шаровой и пла-
стинчатый зонды [25], предназначенные для 'исследований явлений
теплопередачи в промышленных установках при повышенных и при
высоких температурах. По быстроте нагревания зачерненного шара
или пластинки в интервале от 300 до 400° заключают о количестве
тепла Q, поглощаемого единицей поверхности зонда в единицу вре-
мени. Для него дана формула
з=4, (н.п)
в которой А — константа прибора, приблизительно равная С/S, где
С—средняя теплоемкость приемника между 300 и 400°, S—его
КРИТИКА МЕТОДА
193
§ 61
поверхность; т—время, в течение которого показание термопары,
находящейся в центре зонда, поднимается с 300 до 400°.
Анализ теории, приведенной в [25], показывает, что наблюдения
с зондом ведутся уже по наступлении регулярного режима, а поэтому
сюда применимо наше основное уравнение (1.47), причем по причине
хорошей теплопроводности меди можно при не чрезмерно больших а
считать Ф = 1. Расчетная формула (11.11) — не что иное, как замена
точной формулы (1.47) приближенной, получаемой, если т заменить
через у • и принять раз навсегда ДО = 400 — 300° =100°; тогда
получается с грубым приближением:
Универсальное физическое обоснование действия прибора может
быть дано только при помощи теории регулярного режима; не лишне
также заметить, что известное решение для неограниченной пластинки,
из которого обычно исходят, не может быть безоговорочно исполь-
зовано в случае „пластинчатого зонда*— ограниченного диска, имев-
шего диаметр 8 см и толщину 1,5 см.
Зонды, применявшиеся американскими исследователями [24], прин-
ципиально не отличаются от германских зондов.
Двухсоставных термоприемников, позволяющих значительно умень-
шить вес прибора, заграницей не применяют и поэтому некоторые
заграничные приборы громоздки и неудобны в обращении. В каче-
стве примера можно сравнить медный цилиндрический альфакалори-
метр немецкой конструкции [23] с нашим двухсоставным альфакало-
риметром, о котором говорилось в § 4 настоящей главы [21].
К разряду альфакалориметров относится и кататермометр, отли-
чающийся некоторыми особенностями, заставляющими рассмотреть
его особо — вне рамок данной монографии.
§ 6. Критика метода
Изложенный здесь метод, несмотря пл свою универсальность,
в одном отношении является ограниченным: им не учитывается зави-
симость а от разности температур поверхности тела и среды — от
l)g = zzg — t, так как одной из основных предпосылок теории регу-
лярного режима является закон Ньютона, т. е. постоянства а. Следо-
вательно, мы получаем при помощи теории регулярного режима, вообще
говоря, то предельное значение а, которое соответствует малым зна-
чениям fts, причем степень „малости* приходится выяснять экспери-
ментальным путем. Общепринятое мнение, что закон Ньютона имеет
силу, только пока |ftg| — число порядка нескольких градусов и
во всяком случае не превышет 10°, нельзя принимать безусловно
13 Зак. 750. Г. М. Кондратьев
10 I ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛООТДАЧИ [ГЛ. XI
на веру: в ряде экспериментов мм наблюдали наличие экспоненциаль-
ного закона изменения температур тела, когда |ПЧ| была величиной
порядка 30—49°. Нетрудно видеть, что этот факт несовместим с пред-
положением, что а функция хотя бы в первом приближении,—
линейная, т. е. вида а — «0(1 —f—AsHg).
Эти опытные факты противоречат результатам исследований ряда
авторов и установленным ими законам, например, законам и1/,/ и
для случая свободной конвекции [6]. Противоречие, на наш взгляд,
объясняется различием в постановке опытов: данные других авторов
были получены из опытов, произведенных при стационарном тепловом
режиме теплоотдающего объекта, так ч.о температура «ч искусственно
поддерживалась постоянной на протяжении всего эксперимента, наши
же данные относятся к его переменному состоянию. Картина тепло-
вых и механических процессов, происходящих в среде в непосред-
ственной близости к поверхности твердого тела при этих двух его
режимах, несомненно, различна, и именно особенностями этих процес-
сов определяется численное значение а.
Таким образом, большое обилие экспериментальных и теоретиче-
ских исследований, относящихся к закону Ньютона, не привело, пока-
мест, к окончательному заключению о пределах его применимости.
Далее, наш метод дает только осредненную по.поверхности вел i-
чину а; локальные значения а при помощи его определить невозможно.
Большое преимущество метода заключается в крайней простоте и
небольшой продолжительности опыта; метод может быть назван ско-
ростным.
ГЛАВА All
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЛУЧЕИСПУСКАТЕЛЬНОЙ
СПОСОБНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
Опираясь на законы теплового излучения черных и серых поверх-
ностей, а именно
„ I Т V -,м
ш™ '7==з7
и
С — еС,, или а -= аз.,
и используя формулы для теплообмена излучением между двумя по-
верхностями, расположенными определенным образом относительно
друг друга, — примером чего могут служить две концентрические
шаровые поверхности, — можно построить методы, позволяющие вычи-
слить искомую величину а (или С). Такие методы, хорошо разрабо-
танные, дают надежные результаты, однако требуют довольно слож-
ного оборудования, тщательной градуировки приборов и умелого обра-
щения с ними [23].
Поэтому является естественной попытка построить какой-либо
новый метод, который позволил бы обойтись без сложной аппаратуры,
но вместе с тем обеспечил бы достаточную для техники точность
измерений. Эта глава содержит описание предлагаемого нами метода,
основанного на теории регулярного режима. Метод предназначен длг
измерений при комнатных температурах, т. е. порядка 300°К.
§ !. Теоретическое обоснование методики
Пусть какое-либо тело относительно небольших размеров, состоя-
щее из хорошо проводящего тепло металла (например из красной меди),
охлаждается в камере, наполненной воздухом, причем стенки камеры
все время поддерживаются при постоянной температуре /(°C), равной
температуре воздуха. Меняющуюся со временем температуру тела обо-
значим О (°C). Предположим, что движение воздуха к камере сохраняет
определенный характер, так что характер конвекции вокруг тела все
13*
19() определение коэффициента ЛУЧеиСпУскат. способности [гл. in
время остается неизменным; в частности это может быть явление сво-
бодной конвекции, и тогда наша камера будет камерой спокойного
воздуха.
Если камера имеет большие размеры сравнительно с охлаждаю-
щимся телом и окружает его со всех сторон, то поверхность тела,
равная S, вся находится в радиационном теплообмене со стенками
камеры и при небольшой разности температур тела 0 и среды t и при
указанном здесь расположении тела внутри камеры коэффициент тепло-
отдачи а, как мы видели в § 2 гл. VIII, может быть разбит на два
слагаемых: из общего теплообмена можно выделить ту его часть ал,
которая падает на долю радиации:
а = ак-|-ал. (12.1)
Если бы в камере был вакуум, то мы имели бы ак = О, и а све-
лось бы к ал.
Назовем Г полную теплоемкость тела, которая прежде нами обо-
значалась С (так как букве С мы в этой главе придали иной смысл—
согласно общепринятому обозначению [6]).
Очевидно, что при описанных здесь условиях эксперимента кри-
терий Ч будет иметь очень малое значение, ибо X велико, а мало,
Lo—тоже мало; поэтому критерий (Г практически можно считать
равным единице.
Поэтому а и т связаны очень простой формулой (1.3), т. е.
а =/пФ, где ф = -^-. (12.2)
Из теории лучистого теплообмена вытекает, что в нашей схеме
эксперимента радиационное слагаемое ал суммарного коэффициента
теплоотдачи может быть представлено в виде:
/0 + 273,2 у /1 + 273,2у
к 100 J +\ 100 J „
“л =----------^7-----------сп,
где Сп — приведенный коэффициент лучеиспускания и поглощения
[6|, в данном случае равный:
С-------------1________ •
п - 1,2 / J_______’
С + Зс с,)
здесь Сс—лучеиспускательная способность внутренней поверхности
стенок камеры, So —величина этой поверхности.
При соответствующем выборе размеров тела—„калориметра"—
и камеры (см. ниже § 2) дробь S/So будет ничтожно мала, и вторым
слагаемым в знаменателе правой части последней формулы можно
пренебречь по сравнению с первым, т. е. с 1/С, вследствие чего
с высокой степенью точности можно принять CnttC (С—лучеиспу-
скательная способность поверхности тела).
§ 1] ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДИКИ 197
Поэтому ал может быть представлено формулой:
«л=<2/, (12.3)
причем f вычисляется по формуле
100 е_, 100 -• (12.4)
Так как температуры 0 и t незначительно различаются между со-
бой^ то / близко к единице и может быть представлено в виде:
/=14-7](0, /), (12.5)
где г[ — число положительное, являющееся функцией 0 и t.
Для iq при /==20° С имеем табл. 20.
Таблица 20
1] при t = 20° С
8 = 20° 25° 30° 35° 40° 45° 50°
*) = 0,008 0,034 0,060 0,087 0,114 0,143 0,172
Пусть теперь в тех же условиях в той же камере охлаждается
второе металлическое тело, которое имеет те же наружные размеры
и ту же форму, как и первое тело, а состоит, вообще говоря, из
другого металла. Обозначим его наружную поверхность S', теплоем-
кость Г'. Величина поверхности S', хотя и весьма близка к вели-
чине 5, но может несколько отличаться от нее в силу несовершенства
изготовления.
Пусть условия движения воздуха вокруг второго тела при его
охлаждении те же, что и при охлаждении первого тела, но лу-
чеиспускательная способность его поверхности иная, а именно, о'
или, в другом обозначении, С: а' #= У, С =/= С, поэтому и суммарный
коэффициент теплоотдачи при охлаждении второго тела, который мы
обозначим а', не будет равен а и темп его охлаждения, обозначен-
ный т', не будет равен т. Если постоянную второго тела обозначим
Ф' = ^, (12.6)
то во втором опыте будем иметь:
а = «л , ® = т Ф , a'L = C'f . (12.7)
В силу сделанного нами предположения о тождественности кон-
вективно-кондуктивных явлений в обоих опытах будет иметь место
равенство:
«к = «к-
(12.8)
198 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЛУЧЕИСНУСКАТ. СПОСОБНОСТИ [ГЛ. XII
Далее, в силу сказанного выше относительно / (см. табл. 20),
можно считать
/'==/• (12.9)
Поэтому, вычтя из равенства (12.7), равенство (12.2), приходим,
приняв во внимание (12.8) и (12.9), к следующей формуле:
о.' — а = щ'Ф' — тФ = {С — C)f
или, окончательно,
С—С= а’~а^ ”'ф . (12.10)
С помощью формулы (12.10) можно построить простой сравнитель-
ный метод определения лучеиспускательной {полной или интеграль-
ной) способности С какой-либо поверхности.
Пусть лучеиспускательная способность некоторой другой поверх-
ности известна и эта поверхность приняла за нормальную, например
тело покрыто по определенному рецепту сажей, радиационная способ-
ность которой весьма близка к Сч . Примем эту величину за С.
Тогда, изготовив два металлических калориметра и покрывая один из
них—„нормальный" — слоем с „нормальной" лучеиспускательной спо-
собностью, а другой — слоем, для которого эту лучеиспускательную
способность С требуется найти, и охлаждая калориметры в условиях,
характеризованных выше, мы получим искомое С из формулы (12.10),
ибо в ней известны все величины, кроме С: Ф' и Ф находятся
по (12.2) и по (12.6) раз навсегда; С известно, т’ и т будут вы-
числены на основании опытных данных, f определится по (12.5), при-
чем т| применительно к условиям данного опыта будет вычислено на
основании приведенной выше табл. 20.
В предыдущей теории мы пренебрегли тепловым сопротивлением
нанесенных на калориметры слоев, так как они обычно весьма тонки—
порядка десятых долей миллиметра. В том случае,' если этого нельзя
сделать, надлежит несколько дополнить наши рассуждения. Они при-
ведут к формуле, аналогичной (12.10), по более сложной.
Здесь ничего не было упомянуто о форме тел; целесообразно будет
выбрать тела правильной формы, близкие к обтекаемым,—взять, на-
пример, шар или цилиндр.
Конечно, можно вести опыт так, что один и тот же калориметр
покрывается один раз испытываемым слоем, другой раз — нормальным;
при таком порядке ведения опыта, очевидно, будет Lv = Г, S'= 3,
и, следовательно, Ф' = Ф (теплоемкостью стоя можно, очевидно, пре-
небречь по сравнению с Г и Г').
Теоретически говоря, безразлично, при каком значении вести
опыт: важно лишь, чтобы при опыте с первым калориметром и при
опыте со вторым калориметром этот коэффициент теплоотдачи был
одинаков: условие (12.8) является существеннейшим. Поэтому, каза-
лось бы, можно вести наблюдение и. в свободном потоке и в вынуж-
§ 2|
ОПИСАНИЕ ОПЫТНОЙ УСТАНОВКИ
199
денном потоке. Но практически выбор условий, которыми определяется
величина ак, далеко не безразличен: если ак значительно превышает ал,
то а будет мало отличаться от аа , и поэтому а! и а будут близки
между собой, т. е. их разность будет составлять малую долю от а,
и для ее точного измерения потребуется с чрезвычайной тщательно-
стью осуществить условие (12,8), например, весьма строго выдержи-
вать постоянство скорости, если наблюдение ведется в вынужденном
потоке. В самом деле, только тогда разность а'—а или, что то же,
а л — 7 л будет определена с достаточной точностью. А этим определяется
и точность измерения С'—С, как видно из теории метода. Следовательно,
выгодной является такая постановка опыта, при которой tzK невелико
по сравнению с ал . Поэтому, казалось бы, всего лучше будет создать
вакуум вокруг калориметра. Однако неизбежное при этом усложнение
установки совершенно нежелательно. Поэтому целесообразно будет
остановиться или на камере спокойного воздуха или на аэродинамиче-
ской трубе, создавая в ней слабый воздушный поток (примерно
0,5 —1,0 м'сек); тогда мы будем экспериментировать в условиях ма-
лого <7К,
После этих предварительных соображений переходим к практиче-
ской части.
§ 2. Описание опытной установки
В качестве термостатированной воздушной среды мы применяем
„камеру спокойного воздуха", изображенную на рис 57. Таким обра-
зом, калориметр охлаждается в условиях есте-
ственной конвекции. Камера цилиндрической
формы. Размеры ее достаточно велики (диа"
метр ^70с.и и высота «^90 см), а стенки ее
обладают значительной теплоемкостью, что
обеспечивает постоянство режима внутри ка-
меры во все время охлаждения калориметра как
в отношении температуры, так и в смысле
постоянства картины конвекционных токов во-
круг калориметра.
Примерное движение воздуха вокруг нагре-
того калориметра изображено на рис. 57.
Стенки камеры, дно и съемная крышка —
двойные, разрез их показан на рис. 58. Из гего
видно, что стенка состоит из двух медных
сеток, отделенных слоем воздуха толщиной
ю о ю го оо ыо 50см
Рис. 57. Камера спо-
койного воздуха с на-
гретым калориметром.
8—10 мм; снаружи камера покрыта тремя сло-
ями термоизоляционного бумажного войлока, коэффициент тепло-
проводности которого при 20°С равен 0,033 KKaA'MiHacizpad, л теп-
лоемкость 0,33 ккал1кг1члс1град. Этим путем и достигается выше-
упомянутая независимость температурного и аэродинамического режи-
мов внутри камеры от условий снаружи нее.
200 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЛУЧЕИСПУСКАТ. СПОСОБНОСТИ [ГЛ. XII
Рис. 58. Разрез стенки
камеры спокойного
воздуха.
/•—металлическая сетка;
2— воздушная прослойка;
3—бумажный войлок;
4—алюминиевая фольга.
Чтобы экранировать камеру от внешних радиационных воздей-
ствий, камера покрыта алюминиевой фольгой, обладающей, как изве-
стно, весьма малой лучеиспускательной и, сле-
довательно, поглощательной способностью. Пред-
варительные исследования показали хорошее
качество построенной нами камеры.
При выборе формы калориметров мы оста-
новились на теле вращения, составленном из
архимедова цилиндра с двумя полушариями по
торцам, как изображено на рис. 59. Эта форма
весьма благоприятна для обтекания и удобна
для монтировки термопар. Для ее характери-
стики принципиально достаточно знать лишь
диаметр D.
Коэффициент ак в условиях естественной
конвекции зависит: 1) от формы и размеров ка-
лориметра и 2) от формы и размеров камеры. К идеальным условиям
естественной конвекции в неограниченной „ спокойной“ газовой среде
мы приблизимся тем больше, чем меньше раз-
меры калориметра по сравнению с размерами
камеры и чем меньше перепад температур между
поверхностью калориметра и воздухом камеры.
Мы предполагаем его малым (см. выше), и
поэтому явление теплоотдачи конвекцией и коы-
дукцией будет следовать закону Ньютона с точ-
ностью, совершенно достаточной для наших це-
лей. (Поскольку давление и температура воздуха
в течение опыта остаются неизменными, зависи-
мость ав от них не имеет значения.) Исходя
из этих соображений, мы выбрали внутренний
диаметр нашей камеры.
Диаметр D калориметра невыгодно брать
чрезмерно малым, так как ак возрастает по
мере уменьшения диаметра. С другой стороны,
значительно увеличивать D тоже нецелесо-
образно: величина D должна находиться в соот-
ветствии с размерами камеры. Учитывая резуль-
таты наших прежних опытов в различных каме-
рах спокойного воздуха, мы можем считать
наиболее подходящим размер D = 3,5 4,0 см.
Делать калориметры сплошными невыгодно,
потому что тогда теплоемкость Г получается
большой, Ф также увеличивается, что влечет
темпа охлаждения тя, т. е. продолжительность опыта возрастает, что
нежелательно. Поэтому нами взяты полые толстостенные калориметры
двух видов: с толщиной стенок 1,2 и 2,0 мм. Материалом для кало-
*—----п------
Рис. 59. Калориметры
для определения ра-
диационной константы
покровных слоев тех-
нических поверхностей.
за собой уменьшение
§ 2]
ОПИСАНИЕ ОПЫТНОЙ УСТАНОВКИ
201
риметра может служить достаточно хорошо проводящий тепло металл.
Хорошая теплопроводность и умеренно малая толщина стенок необхо-
димы, чтобы выравнять температуру по всей массе калориметра.
Зная вес калориметра Р и удельную теплоемкость металла с,
определяем Г по формуле:
Г = Рс. (2.11)
Подходящими металлами для изготовления калориметров являются:
с \ккал\кг]град] /[°C]
медь 0,092 20—25
алюминий 0,218 20
дюралюминий 0,219 25
латунь (60% Си 4- 40%Zn) . . 0,0917 20—100
бронза (85% Си ф- 7,2% Zn ф- + 6,4% Sn + 0,6% Ni) . . . 0,0913 18
железо .... • 0,107 20
Теплопроводность и температуропроводность этих материалов
достаточно высоки, чтобы обеспечить равномерность температуры
в калориметре.
Для измерения малой разности температур 9 — t мы применяем
медно-константановую термопару, проволоки которой имеют диаметр
0,25—0,35 мм, в соединении с зеркальным гальванометром чувстви-
тельностью 10-8—10-9 а.
Эта схема измерения, обычная в методике регулярного режима,
представлена на рис. 60, где показан также способ укрепления горя-
чего спая термопары U внутри
калориметра.1 Ее холодный спай Т
расположен в достаточном удале-
нии от калориметра — не менее
10 см.
Материалом для наших калори-
метров послужила латунь.
Вес калориметров, результаты
обмера их поверхностей и их по-
стоянные Ф, рассчитанные по урав-
нению (12.2), приведены в табл .21.
На рис. 59 показан способ мон-
тировки калориметра. Верхняя его
Рис. 60. Схема измерения радиацион-
ной константы по методу регулярного
режима.
часть —съемная; ее соединение с нижней частью осуществляется за
счет сил трения. Благодаря точной пригонке соединение обеих частей
чрезвычайно плотное. Горячий спай U медно-константановой термо-
пары плотно приклеен (клеем „Рапид" или металлом Вуда) ко дну
калориметра. Термоэлектроды (проволочки термопары) выведены через
1 Ее теплоемкостью для простоты мы пренебрегли: она ничтожна по
сравнению с Г.
202 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЛУЧЕИСПУСКАТ. СПОСОБНОСТИ [ГЛ. ХИ
тонкую двухканальную фарфоровую трубочку b наружу. Калориметр
подвешен в центре камеры (см. рис. 59 и 57) на нитях dd, которые
прикреплены к крючкам kk на внутренней стенке нижней части кало-
риметра. Нити выведены наружу через то же отверстие в верхней
части калориметра, через которое проходит фарфоровая трубочка b
термопары. Отверстие весьма плотно заделано, так что совершенно
исключена возможность сообщения воздуха, заключенного внутри
калориметра, с наружным воздухом.
Таблица 21
№ кало- риметров D мм н мм мм^ р 2 Г кал г-град ф кал
№ град
1 34,92 74,-10 8140 193 177,6 2,18
2 34,52 73,26 7920 174 160,1 2,02
3 34,92 73,10 7995 113 104,0 1,30
При вычислении поверхности калориметра мы рассматривали его
как комбинацию цилиндра с двумя полушарами по основаниям.
Поэтому, если обозначить диаметр калориметра буквой D, а его пол-
ную высоту буквой Н (рис. 59), то поверхность будет равна kHD.
Необходимо, однако, вычесть отсюда площадь отверстия для тру-
бочки термопары, радиус которой обозначим г. Поэтому
S = -ИГ) — тгг2.
У нас было 2г = 5 мм, а следовательно,
S = -HD — 20 мм0-.
§ 3. Испытание камеры спокойного воздуха
На режиме некоторых, исследованных нами ранее камер довольно
заметно отражаются внешние условия, т. е. температурный и венти-
ляционный режимы помещения и даже местоположение в нем камеры.
Поэтому а1С, зависящее от ряда факторов, из которых мы сделали
постоянными все, кроме режима помещения, может быть различным
в разные времена года, при различных внешних обстоятельствах,
например может зависеть от количества людей в помещении, от интен-
сивности работы отопительных устройств и т. д.
Поэтому, строго говоря, следовало бы вести все наши исследования
в той обстановке, в которой ведутся обычно точные исследования,
например калориметрические, а именно, в специально оборудованной
термостатированной комнате, как это практикуется лабораториями
калориметрии. Можно было бы воспользоваться и помещением, так
сказать, „автотермостатированным",— например глубоким подвалом,—
§ 31 ИСПЫТАНИЕ КАМЕРЫ СПОКОЙНОГО ВОЗДУХА 233
как ' поступал Нуссельт в опытах по методу шара при определении
теплопроводности порошкообразных тел. Мы же экспериментировали
в обычном лабораторном помещении, и поэтому можно было гаранти-
ровать лишь, что ак будет оставаться постоянным в течение тех
нескольких (2—3) часов, которые требуются для проведения опытов;
уже на следующий день внешний режим может измениться, а это
сейчас же отзовется на ак.
При таких условиях казалось рискованным сравнивать опыты над
калориметром, покрытым нормальным слоем N (сажей), с опытами
над калориметром, покрытым испытываемым слоем, если только эти
опыты проделывались не в один и тот же день. Чтобы избежать
возникающей отсюда необходимости проведения опыта с калоримет-
ром N при каждом новом испытании и сделать более устойчивым
режим камеры, мы усилили ее тепловую изоляцию, как это видно
из ее описания (в § 2).
При выборе теплоизоляционного материала мы руководствовались
не только его теплопроводностью, но еще и температуропроводностью:
чем она меньше, тем менее глубоко проникают внутрь материала на-
ружные температурные волны. Для нашего материала это число мало:
оно порядка 5 • 10-4 м'2[час, т. е. значительно ниже, чем, скажем, для
стеклянной ваты, являющейся первоклассным теплоизолятором. Этим
путем мы повысили термическую инерцию камеры и ожидали, что
режим камеры будет более или менее независим от условий помещения.
Опытная проверка правильности этих соображений основана на
следующей идее.
Возьмем два различных по весу калориметра А и В, по изгото-
вленных из одного и того же вещества, с одинаковыми или очень
близкими поверхностями S; тогда для них будет одинаковым, если
только режимы камеры, при которых ведутся опыты на охлаждение
с тем и другим калориметром, идентичны. Обработаем теперь их
поверхности совершенно одинаковым способом (например покроем
одинаковое число раз одной и той же краской); тогда мы для них
вправе считать и вл одинаковыми, а поэтому и суммарные коэффи-
циенты теплоотдачи будут одинаковы, ио только в том случае, если
режим камеры всегда один и тот же, ибо только тогда значения <гв,
получаемые в разные дни, будут идентичны.
Применим теперь общие формулы (12.2) и (12.11) к нашим кало-
риметрам А и В; получится:
аД = ФА ,пА _ РА SB
аВ тВ Ф_В "'Л РВ SA
Если аА = то из этого равенства следует, что всегда должно
иметь место равенство:
204 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЛУЧЕ ИС ПУСК АГ. СПОСОБНОСТИ [ГЛ. ХП
Наоборот, отклонения отношения — от величины, стоящей в правой
тв
части равенства (12.12) и совершенно не зависящей от режима камеры,
будут свидетельствовать о непостоянстве этого режима.
Мы и проделали ряд опытов в разные дни над тремя калоримет-
рами, обработав их пастой ГОИ. Оказалось, что равенство (12.12)
---— I мин
Рис. 61. Графики регулярного охлаждения, полученные при испытании
камеры спокойного воздуха.
вполне удовлетворительным. На рис. 61 представлены для иллюстра-
ции графики двух из этих опытов; роль А играет калориметр № 3,
роль В — № 2. Мы имеем на основании табл. 21:
Наблюдения же дали:
РВ
Ра
SA _
SB
1,555.
тА
тв
__ 2,580 _
“ 1,695“
1,525.
§ 4. Ведение опыта
Опыт, как и во всех случаях применения теории регулярного
режима, отличается чрезвычайной простотой и включает в себя две
операции: 1) предварительное нагревание калориметра, 2) наблю-
дение над его охлаждением в камере.
§
ВЕДЕНИЕ ОПЫТА
205
Мы умышленно но время первой операции избегали большого
нагревания образца; оно не превышало нескольких градусов и про-
изводилось от тепла руки наблюдателя: образец, обернутый восковой
бумагой во избежание загрязнения его рукой, короткое время дер-
жали в руке и затем помещали в центре камеры.
Хотя нашими упомянутыми выше предварительными опытами и
было установлено, что на режиме внутри камеры очень мало отра-
жается внешняя обстановка, мы все же выбирали такое время для
ведения опытов, когда тепловой и вентиляционный режимы лабора-
тории не подвергались значительным колебаниям.
Наблюдения мы вели только над одним калориметром, так как
при вводе двух калориметров возможны нарушение постоянства явле-
ния и незначительные вариации ак в процессе самого опыта.
Далее, наличие двух нагретых тел вместо одного могло вызвать
заметное повышение температуры стенок камеры в течение опыта и,
следовательно, изменение температуры воздуха в ней, а при таких
условиях наша методика уже неприменима: основное требование
постоянства этой температуры t не соблюдается и расчетные формулы
не имеют силы.
Конечно, возможно, что и при наличии двух слабо нагретых кало-
риметров было бы соблюдено постоянство и достаточная стабиль-
ность ак; чтобы это выяснить, необходимо было произвести еще
новое экспериментальное исследование; не располагая достаточным
временем, мы были вынуждены от него отказаться и вопрос о том,
насколько приемлемы результаты опытов с одновременным охлажде-
нием двух калориметров, остался, таким образом, невыясненным. Во
всяком случае, «к для какого-либо калориметра, в условиях его оди-
ночного охлаждения, отличается от ак для того же калориметра,
когда он охлаждается в присутствии другого калориметра. Поэтому
мы должны получить различные значения и для а, хотя бы луче-
испускательная способность поверхности и оставалась постоянной,
что влечет за собой неизменность ал. Какого порядка изменение
в ак при этом может получиться, видно из результатов следующих
опытов.
Калориметр № 3 (опыт .№ 16) охлаждался в присутствии другого
калориметра № 2, удаленного от него на расстояние ~40 см (при-
чем калориметр № 2 также был предварительно нагрет). Найдено:
Wj = 2,34 и, в силу (12.2), = 3,04.
Опыт № 17 тем же калориметром № 3, когда из камеры был
удален другой калориметр, привел к цифре ;и2 = 2,51, откуда
«2=3,26. Разница в а составляет:
а2—ct; = 0,22.
Так как мы оперировали с одним и тем же калориметром № 3,
и в обоих опытах его поверхность была обработана совершенно
206 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЛУЧЕИСПУСКА Г. СПОСОБНОСТИ [гЛ. XI1
одинаковым образом, то ал одно и то же в опытах № 16 и № 17:
г/л|=а,|2. Отсюда, ио (12.1), получим:
с7к3 — »к1 = 0,22.
Здесь индекс „1“ относится к тому случаю, когда калориметр охла-
ждается в присутствии другого, индекс „2“, — когда он охлаждается
один, т. е. аК2 по смыслу совпадает с тем о котором говорится
дальше (в § 6).
Так, нами установлено, что »к = 2,08, следовательно, отклонение
«к1 от «к — величина порядка 1О°/о, причем наличие второго нагре-
того калориметра замедляет темп охлаждения наблюдаемсго калори-
метра.
Почти все опыты велись нами при закрытой крышке, так что
воздух в камере был разобщен с наружным воздухом; если этого ге
сделать, то, во-первых, ав получится уже инее и, во-вторых, неиз-
менность от одного дня к другому режима в камере будет под боль-
шим сомнением, будучи зависима от режима помещения. Данные
табл. 22 получены из опытов при закрытой камере.
Предварительная подготовка образцов состоит из двух операций:
1) прикрепления горячего спая термопары к внутренней стенке
калориметра;
2) нанесения на наружную его поверхность испытываемого слоя.
Первая операция производилась с применением клея „Рапид",
состоящего из кинопленки, растворенной в ацетоне. Для успеха опыта
необходимо абсолютно плотное укрепление спая термопары на стенке.
При нанесении краски или при каком-либо другом способе обра-
ботки поверхности (например полировке) необходимо следить за тем,
чтобы все части поверхности были обработаны одинаковым образом,
например слой краски или лака и им подобных веществ должен во
всех местах иметь одинаковую толщину.
Подготовив образец, приступают к опыту, а именно: сперва его
нагревают, как указано выше, затем вводят внутрь камеры, закры-
вают крышку и записывают отсчеты по гальванометру, отмечая одно-
временно и моменты отсчетов, т. е. применяют метод определения п’,
изложенный в § 3 гл. X. Вычисление т производится по фор-
муле (10.5).1
§ 5. Обработка опытных данных. Выбор нормального
покрытия
По идее метода для получения константы С испытываемого покры-
тия необходимо сравнить темп охлаждения покрытого им калориметра
с темпом охлаждения калориметра, покрытого нормальным веществом,
1 Необходимо, чтобы камера не находилась в непосредственной близости
от сильных источников радиации (например печи) и не подвергалась дей-
ствию интенсивных постоянных токов конвекции.
§ 6| РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ, ИХ КРИТИКА И ВЫВОДЫ 207
лучеиспускательная способность которого выше нами обозначена С'-,
назовем ее теперь Су; для лучеиспускательной же способности иссле-
дуемого покрытия или поверхности оставим попрежнему обозначение С.
Тогда искомое С будет найдено по формуле (12.10), для вычисления
же а. следует воспользоваться формулами (12.2) и (12.7); f найдем
по (12.5).
Следовательно, .для обработки опытных данных имеем следующую
совокупность расчетных формул:
ал = а =/иф;'
/=1+^(0, t r>
aN — а ’
C=CN—
С„ = .
N N ч
(12.13)
Для оценки л; служит табл. 20. В наших опытах t было близко
к 20°, О в среднем было па 2—3° выше t\ поэтому т,— число
порядка 0,02.
Весьма существенное значение имеет надлежащий выбор нормаль-
ного покрытия. В качестве такового нами была избрана сажа; нор-
мальным калориметром служил калориметр № 2.
Приводим результаты одного из опытов с ним. При особенно
тщательном чернении, как в этом опыте, получается максимальное
лучеиспускание и, следовательно, максимальное aN, а значит, и макси-
мальное оно найдено равным: mN = 3,43 час*. Следовательно,
по (12.13) и по табл. 21 получается: = 3,43 • 2,02 = 6,93.
Чтобы подсчитать С, необходимо знать С^\ для принятого нами
способа чернения степень черноты весьма велика и может быть
оценена в 6^.='0,975. Принимая за наивероятнейшее значение Сч
число 4,88, находим: Су = 4,76.
Следовательно, для расчета С имеем очень простые формулы:
С = --702)07 ; а = ягФ. (12.14)
§ 6. Результаты некоторых опытов, их критика
и выводы
По указанной выше схеме был произведен ряд опытов с метал-
лическими поверхностями, которые в одних случаях подвергались
особой обработке, например полировке, в других же случаях служили
основой для нанесения какого-либо лака или краски. Всего было
исследовано десять различных состояний поверхности. Этих опытов,
конечно, достаточно для проверки практической пригодности пред-
ложенной нами методики. Результаты приведены в табл. 22.
208 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЛУЧЕИСПУСКЛТ. СПОСОБНОСТИ [гл. XII
Таблиц а 22
Интегральная лучеиспускательная способность различных
покрытий
Состояние поверхности калориметра т а адг —а а№а / С £ Приме- чание
1 Покрыта сажей (тща- тельное чернение) . . 3,43 6,93 . 4,76 0,975 Калори-
2 Покрыта эмалевым ла- ком в 4 слоя .... 5,09 6,62 0,31 0,30 4,45 0,91 метр № № 2 3
3 Покрыта черным спир- товым лаком в 4 слоя 4,54 5,90 1,03 1,01 3,75 0,77 № 3
4 Покрыта цапон-лаком . 3,34 6,75 0,18 0,18 4,58 0,94 № 2
5 Покрыта резиновым ла- ком 2,30 4,65 2,28 2,24 2,52 0,52 № 2
6 7 Никелированная поли- рованная поверхность Полирована венской из- вестью 1,977 1,901 2,57 2,47 4,36 4,46 4,27 4,37 0,49 0,39 0,10 0,08 № 3
8 9 Полирована крокусом . Латунь, полированная пастой ГОИ (продаж- ной) 2,28 2,60 2,96 3,38 3,97 3,55 3,89 3,48 0,87 1,28 0,18 0,26 № 3
10 То же 1,70 3,43 3,50 3,43 1,33 0,27 № 2
11 » 1,64 3,58 3,35 3,28 1,48 0,30 № 1
Сопоставление данных, полученных посредством разработанного
нами метода, с результатами иных методов, к сожалению, затрудни-
тельно, так как точные спецификации на обработку поверхностей
или на краску отсутствуют [26]. В табл. 23 приводим некоторые
цифры (всюду указана степень черноты а).
Таблица 23
Степень черноты а
М. А. Михеев „ОсновыТтеплопередачи" [6] Немецкие данные [26] Наши опыты
Белый эмалевый лак па железе 0,906 Черный блестящий лак 0,82—0,88 Эмалевый лак в 4 слоя 0,91
Черный лак 0,96—0,98 Весьма белый эмалевый лак 0,907 Цапон-лак 0,94 Черный спиртовой лак в 4 слоя 0,77
Белый лак 0,80—0,95
§ 6] РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ, ИХ КРИТИКА и выводы 209
Из этой таблицы видно, что все цифры достаточно близко схо-
дятся друг с другом (следует учесть, что они относятся к техниче-
ским поверхностям и поэтому отсутствует гарантия в совершенной
одинаковости покрытий).
1. Цифровые данные табл. 22 могут быть использованы для
косвенной проверки методики и точности эксперимента, исходя из
следующих соображений.
Если конвективно-кондуктивная часть як суммарного коэффициента
теплоотдачи а остается постоянной во всех опытах и если верны основ-
ные предпосылки теории (§ 1), то из формул (12.1) и (12.3) следует,
что число
аЕ — a — Cf
должно всегда оставаться постоянным, какие бы поверхности ни
брать и какие бы числа из табл. 22 ни подставлять в эту формулу
на место а и С (считая f= 1,02).
Все вычисления всецело это подтверждают: все опыты приводят
к одному и тому же значению ак, которое в среднем оказывается
равно 2, или, точнее,
а,: = 2,08 ± 0,01 ккал]м-/час!град
для цилиндра, у которого диаметр равен 3,5—3,6 см при обтекаемой
форме концов и при полной высоте вдвое больше диаметра.
Это число меньше других значений ав, получаемых нами для тел иной
формы и в камерах других размеров (и другой формы); следовательно,
наша цель, поставленная нами в начале (см. конец § 1), а именно,
добиться всемерного уменьшения ак, достигнута: выбор камеры
и выбор формы (обтекаемой) и размеров калориметров сделан удачно.
Цифра 2,08 хорошо согласуется с результатами аналогичных
опытов наших Отечественных теплотехников по теплоотдаче труб
и плит в условиях естественной конвекции [27], а также с данными
французских исследователей; немецкие данные по большей части
несколько выше.
2. Обращает на себя внимание громадная лучеиспускательная
способность лаков и красок, например цапон-лака, которая была
констатирована нашими и иностранными исследователями.
На величину С влияет толщина покрытия; мы не приводим здесь
цифровых данных, относящихся к различным толщинам одного и того
же покрытия, так как они не имеют устойчивого характера, а даем
то значение С, при котором толщина покрытия настолько велика,
что вся радиация, проникшая в толщу покрытия, им целиком погло-
щается, не дойдя до металлической поверхности (отсюда и указание
„покрыта в 4 слоя").
Если основной прием обработки металлической поверхности один
и тот же, например полировка, то даже незначительные различия
в обработке заметно отражаются на лучеиспускательной способности С.
|4 Зак. 750. Г. М. Кондратьев
210 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЛУЧЕИСПУСКАТ. СПОСОБНОСТИ (гЛ. XII
Это видно из пп. 7 и 8 табл. 22: если никелированную поверхность
полировать крокусом, получаем (2 = 0,87; полировка той же поверх-
ности венской известью дает (2 = 0,39. То же заключение вытекает
из взаимного сравнения цифр, данных в пп. 9, 10, 11.
Так как С оказывается довольно чувствительным к малым изме-
нениям состояния поверхности, то, быть может, это обстоятельство
позволит использовать С для контроля качества обработки металли-
ческих поверхностей или их загрязненности.
3. Мы не производили подробного анализа точности предложенного
метода, так как нашей основной целью было достижение технической
точности порядка 5%, что нами и получено, но вполне достижима
и более высокая точность — порядка 1°/0. Она может быть достигнута
без изменения установки, а лишь путем более тщательного ведения
опыта, что сводится к увеличению количества отсчетов, лучшей
стабилизации режима помещения и т. д.
ГЛАВА XIII
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОНСТАНТЫ
ТЕРМИЧЕСКОЙ инерции термометров и пирометров
Рассматриваемый вопрос имеет большое значение для метрологии,
поверочного дела, экспериментальной физики и для измерений на
производстве. Поэтому уже с самого возникновения точной термо-
метрии он привлекал к себе внимание и послужил предметом довольно
многочисленных исследований, которые, как будет видно ниже, еще
и в настоящее время нельзя считать законченными. Здесь будут
сообщены некоторые результаты наших исследований, основанных на
теории регулярного режима.
§ 1. Постановка вопроса. Отставание термометра и его
термическая инерция
Отставание термометра слагается из двух явлений: во-первых
термоприемник переходит от своего прежнего теплового состояния
к новому, соответствующему температуре данного момента т, с неко-
торым запозданием; это явление назовем тепловой, или термической,
инерцией прибора; во-вторых, тепловой импульс, полученный тер-
моприемником от среды Е, передается на указатель и шкалу прибора,
в свою очередь, не мгновенно, а с запаздыванием, присущим переда-
точному механизму и обусловленным его особенностями. Это явле-
ние не получило особого названия; будем его называть механической
инерцией прибора. Наблюдаемое отставание является результатом
совместного действия этих обоих видов „инерции".
В огромном большинстве задач, встречающихся на практике,
механическая инерция особенного значения не имеет и ее вредное
действие устраняется тщательным изготовлением передаточной и изме-
рительной частей прибора. В качестве примеров приведем хорошо
известное термометристам явление „мертвого хода" в жидкостных
стеклянных термометрах [28], в частности скачкообразное движение
мениска в ртутно-стеклянных термометрах.
Аналогичное явление имеет место в термометрах с манометри-
ческой пружиной Бурдона [29]. Точно так же электромеханические
14*
212 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНСТАНТЫ ТЕРМИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИИ [гЛ. xili
явления в столь часто употребляемом физиками и техниками гальва-
нометре Депре д’Арсонваля приходится учитывать только в немногих
вопросах; хорошо разработанная теория этого гальванометра [30] помо-
гает разобраться в каждом отдельном случае и подобрать такой галь-
ванометр, электромеханические свойства которого обеспечат прене-
брежимо малую величину его механической инерции.
Правда, в некоторых случаях измерения температуры механическая
инерция играет центральную роль, например, когда применяется
термоэлектрический метод (термопара) для измерения температуры
в какой-либо точке закаливаемого металлического изделия малых
размеров (порядка нескольких сантиметров); в этом примере терми-
ческая инерция ничтожна, ко механическая инерция гальванометра,
даже наиболее чувствительного, слишком велика, ибо падение темпе-
ратуры происходит чрезвычайно быстро; приходится применять струн-
ный гальванометр (см. гл. X § 2) или осциллограф.
На основании сказанного выше мы ограничим нашу задачу рас-
смотрением только термической инерции. Прежде чем к ней перейти,
изложим общепринятый критерий величины отставания. Он основан
на упрощенном математическом истолковании явления, а именно, что
изменение исправленного на инструментальную погрешность показа-
ния прибора 2'1 за бесконечно малый промежуток времени 2т прямо
пропорционально этому промежутку и разности температур 6 и окру-
жающей среды t, т. е.
20 = ^(/—0)2т. (13.1)
Коэффициент пропорциональности k (число всегда положительное)
1 < 1
имеет размерность---------, его обратная величина -г, имеющая
1 ед. врем. r k
размерность времени, служит мерой отставания термометра. Предпо-
лагая, что это — величина постоянная, т. е. не зависящая от времени,
и проводя опыт в условиях
/—const, (13.2)
из уравнения (13.1) находят, что абсолютное значение разности
между 0 и t меняется со временем но экспоненциальному закону,
так что
|0 — /| = |0о — Ч (13.3)
стремясь к нулю при т —> оо.
Здесь 0о — показание термометра в начальный момент времени т0,
т. е. в момент погружения термоприемника прибора в среду Е.
Заметим тот момент времени для которого показатель уев фор-
муле (13.3) станет равным—1 (минус единица). Из формулы (13.3),
полагая т = заключаем, что для этого момента времени разность
ОТСТАВАНИЕ ТЕРМОМЕТРА
213
§ И
между температурой среды и показанием термометра станет рав-
ной у, т. е. равной приблизительно 0,4 своего первоначального
значения — тсго, которое сна имела в момент погружения термометра
1
в среду; одновременно мы видим, что тогда должно быть —т0= .
Таково обоснование общепринятого определения термина „постоянная,
или константа отставания", или „постоянная времени": у—„время, за
которое, при постоянной температуре / среды, термометр, нагретый выше
этой среды, охлаждается на ~ 0,357 первоначальной разности
температур термометра и среды".
Явление, интерпретацией которого являются формулы (13.1) и (13.3),
состоит в простом охлаждении (если % > /) или нагревании (если 0о < /)
термометра, и оно-то положено в основу опытного определения кон-
станты отставания. Обычно опыт ведут таким образом, что замечают
моменты времени т и соответствующие им показания термометра 0,1
причем измеряют постоянную температуру / среды, в которую введен
термометр.
Обработка опытных данных состоит в вычислении значений 1п | О — /|
и построении по точкам лилии
1п | 0 — /| = — k(z— t0)-J-const. (13.4)
Эта линия должна быть прямой, если верно предположение о постоян-
стве числа k. Из формулы (13.4) видно, что котангенс угла, составля-
емого этой прямой с осью абсцисс — осью времен, и есть искомая
константа отставания. И, действительно, опыт показывает, что в боль-
шинстве случаев отклонение графика от прямой настолько незначи-
тельно, что отклонение это скорее следует приписать несовершенству
постановки опыта, чем относить к неправильности исходной предпо-
сылки, которая приводит к уравгению (13.4).
Почти все авторы, занимавшиеся вопросами отставания термомет-
ров, довольствовались построением прямых (13.4) в различных усло-
виях и разбором полученных данных, не вникая более глубоко
в суть дела [31J. Исключение представляет исследование Мак-Леода
[32], появившееся более 20 лет тому назад, где автор применил
аналитическую теорию теплопроводности; полученные им сложные
формулы мало пригодны для практических приложений, кроме того,
они относятся -лишь к ограниченному классу приборов. Наконец, нами
была предпринята попытка несколько глубже рассмотреть вопрос
и систематизировать те факторы, от которых зависит отставание
термометра [33].
1 Таким образом, 0 здесь имеет иной физический смысл, чем в гл, I теоре-
тической части.
214 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНСТАНТЫ ТЕРМИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИИ [ГЛ. ХП
§ 2. Анализ понятия о константе термической инерции
на основе теории регулярного режима и физическое
обоснование нового метода ее экспериментального
определения
В только что изложенном определении величины k учитываются
одновременно и термическая и механическая инерции прибора, а при
исследовании их следует разделить, ибо это —величины физически
совершенно различные, причем вторая в практических измерениях всегда
Рис. 62. Термоприем-
ник термоэлектриче-
ского пирометра про-
мышленного типа.
1—термоэлектроды; 2— ке-
рамическая (фарфоровая
и т. п.) трубка; 3— метал-
лическая защитная трубка;
4—термоспай.
термоэлектрического
оказывается, как уже ранее говорилось, по своему
эффекту пренебрежимой сравнительно с первой.
Поэтому предположим, что тепловой импульс
от термоприемника мгновенно передается на
шкалу и указатель и, следовательно, величина /г,
введенная в § 1, чисто термическая величина.
Тогда экспериментальный способ определения k,
указанный ранее, приводит к изучению явления
простого охлаждения или нагревания термоприем-
ника при условии, что тепловое воздействие на
него среды Е остается постоянным. Это условие
характеризуется двояко: во-первых, имеет место
уравнение (13.2), во-вторых, коэффициент тепло-
отдачи а на границе между наружной поверх-
ностью S термоприемника Т и средой Е также
остается постоянным:
я == const.
Отсюда уже сраЗу усматривается, что кон-
станта k должна зависеть от я. Далее усматри-
вается и другое обстоятельство, которым никак
нельзя пренебречь во многих случаях и на ко-
торое почти все исследователи обращали мало
внимания. Оно заключается в следующем.
Термоприемник многих приборов пред-
ставляет собою сложную систему (см., например,
рис. 62, на котором изображен термоприемник
пирометра). Эго—система различных тел, часто
состоящих из плохих проводников тепла; поэтому зачастую распреде-
ление температур по объему термоприемника далеко от равномерности:
когда точки внешней его поверхности S уже почти успели принять тем-
пературу t среды Е, внутренние его точки еще имеют температуру,
заметно отличающуюся от t. Это обстоятельство приходится учитывать
не только в таких сложных и массивных термоприемниках, как
у технических приборов, но даже при некоторых условиях измерения
(например при больших .значениях я), в простейших жидкостных
стеклянных термометрах, как уже давно было указано Мак-Леодом
§ 2] ПОНЯТИЕ О КОНСТАНТЕ ТЕРМИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИИ 215
Рис. 63. Принципиальная схема
термоприемника технического
термометра.
и нами. Температура выравнивается лишь постепенно и будет равно-
мерно распределена по объему термоприемника, теоретически говоря,
при т = оо. Это иллюстрировано на принципиальной схеме термо-
приемника, изображенной на рис. 63 (его различные части помечены
цифрами I, II, III)-. температура и в какой-либо точке его М и тем-
пература в точке Мх, т. е. и$, вообще говоря, неравны.
Так как описанный в § 1 общепринятый способ экспериментального
определения постоянной отставания термометра основан на явлении
простого охлаждения, то сколь бы сложным ни было устройство
термоприемника, к нему применимо общее положение гл. V и, следо-
вательно, определяемый вышеуказанным
способом коэффициент k есть не что
иное, как наш темп охлаждения си-
1
стемы, т. е. термоприемника, а у = е
(см. гл. IX). При этом не только тем-
пература любой точки термоприемника
изменяется по одному и тому же за-
кону, но, очевидно, то же свойство
имеет и температура, полученная осред-
нением температур по какой-либо части
объема или по всему объему или по-
верхности системы. Одна из этих тем-
ператур и будет соответствовать той,
которая в § 1 обозначена 6, т. е.
исправленному показанию прибора.
Таким образом, из теории регуляр-
ного режима вытекает, что действи-
тельно в формуле (13.1) и ей равно-
сильной (13.3) коэффициент k не зависит от времени. Но эта тео-
рия дает больше того: она указывает, 1) что постоянство k = tn. имеет
место во всех случаях, каково бы ни было распределение температур
по отдельным точкам термоприемника;. 2) она указывает, какие
условия необходимы и достаточны, чтобы испытание термометра или
пирометра на отставание, производимое по общепринятой схеме, как
описано в § 1, давало достаточно обоснованный с физической точки
зрения результат.
Остановимся на последнем обстоятельстве. Так как в состав
термоприемников могут входить жидкие и газообразные тела, то рас-
пределение температур в этих последних или должно быть равномерным
или должно подчиняться закону передачи тепла в твердых телах, т. е.
закону Фурье. Далее, должно быть соблюдено условие (1.1) постоянства
условий теплообмена на поверхности термоприемника S. При этом,
если среда Е находится в движении, необходимо, чтобы все время
характер и скорость движения не менялись; если среда Е— газ, то
и давление его при этом не должно меняться, т. е. должен иметь
216 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНСТАНТЫ ТЕРМИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИИ [гЛ. XIII
место закон Ньютона. Первое условие соблюдается почти во всех
термоприемниках, второе должно быть осуществлено в процессе
испытания на инерцию. В гл. VIII, § 2, и гл. XI мы указали, как
достичь постоянства коэффициента теплоотдачи а и как его измерить.
Итак, при правильной постановке опыта прием, описанный в § 1,
можно признать достаточно обоснованным. Однако определение понятия
о константе термической инерции, приведенное в этом параграфе
и вошедшее во многие технические условия, никоим образом нельзя
считать обоснованным: в нем скрыто допущение, что регулярный
режим наступает мгновенно, что не всегда оправдывается в действи-
тельности.
В силу основного общего положения, сформулированного в гл. V,
а зависит, во-первых, от свойств самого термоприемника, а именно,
от формы, размеров и взаимного расположения его составных частей,
и от физических свойств материалов, из которых они изготовлены,
и, во-вторых, от значения коэффициента теплоотдачи. Если бы
приемник состоял из однородного и изотропного вещества и имел
теплоемкость С, то константа термической инерции могла бы быть
вычислена по формуле:
в которой <1> означает константу, зависящую только от свойств
приемника, ибо она равна
Число Ч; дано формулой
На__f
W = J—1, (13.6)
и — t
где Us—средняя поверхностная, а и—средняя объемная его темпе-
ратура.
При а, стремящемся к нулю, число 'Г приближается к единице;
когда а стремится к бесконечности,—-физически это означает изме-
рение в плотной, находящейся в энергичной циркуляции жидкости
или плотной вязкой или твердой массе и т. п., — тогда УГ стремится
к нулю.
В случае сложной системы математический анализ бессилен дать
решение задачи: однако, заменяя приемник эквивалентным однородным
и изотропным телом, можем сохранить формулу (13.5). Заметим, что
если бы в каждый момент времени можно было считать распределение
температур равномерным, т. е. 'Г = 1, то формула (13.5), обращаясь в
Ф
(13.7)
§ 2] ПОНЯТИЕ О КОНСТАНТЕ ТЕРМИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИИ 217
была бы справедливой для приемника сколь угодно сложного состава.
Вводя в (13.7) поправочный коэффициент Ф, можем распростра-
нить (13.7) и на случай неравномерного распределения температур по
приемнику.
Предыдущее рассуждение показывает, в какой форме следует
искать зависимость г от конструкции термоприемника и от внешних
условий.
Конструкция отражается прежде всего на величине Ф, которая
только от нее и зависит. От внешних условий измерения, характе-
ризуемых коэффициентом теплоотдачи а, число Ф не зависит: это —
константа, присущая термоприемнику, т. е. константа прибора. (Правда,
она несколько изменяется с температурой i постольку, поскольку
изменяется с температурой удельная теплоемкость всех веществ,
а следовательно, меняется С, а также не сохраняется постоянным
S — в силу теплового расширения).
Что касается 'Г, то это — величина сложная, зависящая не только
от а, по и от конструкции термоприемника. Зависимость ее от них
в огромном большинстве случаев прихо-
дится устанавливать эмпирически.
Интенсивность теплового воздействия
среды Е на прибор определяется вели-
чиной а, и от этого параметра сильно
зависит тепловая инерция, что наглядно
показывает формула (13.5): е прибли-
зительно обратно пропорционально а.
Пусть имеется определенный термо-
приемник, т. е. выбран определенный
термометр; пусть его применяют в раз-
личных условиях, например для изме-
рения температур газов, жидкостей —
воды, масла и т. п., спокойных и рнс g4_ Характеристическая
движущихся; во всех этих случаях кривая тепловой инерции си-
коэффициент а будет различным, и теп- стемы (термометра),
ловая инерция прибора s также будет
варьировать. Поставим вопрос: как г зависит от а? Ответ на это
дает кривая, изображающая эту зависимость [33, 34]; ее мы назвали
характеристической, кривой тепловой инерции', уравнение этой
кривой дается формулой(13.5), ^которой Ф—постоянное, а Ф— функ-
ция а. Эта кривая для любого (термометра имеет гиперболообразный
вид, как показано на рис. 64.! Для полного суждения о свойствах
прибора данного типа является \ необходимым построить эту кривую ,
хотя бы в той ее части, которая соответствует нормальным условиям
применения прибора.
Обратим внимание на одно с|войство этой кривой, имеющее важное
практическое значение. Мы виДим, что s монотонно убывает с воз-
растанием «; спрашивается, не (южет ли случиться, по крайней мере
218 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНСТАНТЫ ТЕРМИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИИ [ГЛ. Х1П
для некоторых типов термоприемников, что их термическая инерция
станет в пределе при а = со равной нулю? На это приходится
ответить отрицательно: если предельное значение константы терми-
ческой инерции, соответствующее бесконечному а, обозначим еш, то
это число никогда не будет равно нулю; к такому заключению при-
водят установленные нами основные законы регуляризации теплового
режима (см. гл. V, § 1).
Правда, подбирая термоприемник ничтожных размеров, можно
снизить ет до практически нулевого значения, но если наименьший
возможный размер приемника ограничен, то нельзя сделать его
термическую инерцию как угодно малой', она ограничена размерами
приемника, ибо — функция этих размеров. По этому поводу см.
наши работы [33, 34].
§ 3. Метод определения константы термической
инерции
Экспериментальное определение константы термической инерции
по общепринятой схеме § 1 возможно только на изготовленном и уже
выверенном термометре или пирометре, ибо в расчетной формуле (13.4)
фигурирует температура 6 той части термоприемника, которая непо-
средственно воздействует на передаточный механизм. Такой метод
обладает двумя недостатками: 1) в нем не отделена термическая
инерция от механической и 2) он сложен в экспериментальном
отношении, если приходится иметь дело со сколько-нибудь сложным
прибором. Так, например, если требуется исследовать отставание
платинового термометра сопротивления, то необходимо его предва-
рительно проградуировать, а эксперимент вести с помощью громоздкой
в обращении электроизмерительной аппаратуры; другой пример: иссле-
дованию термической инерции термопары должка предшествовать ее
градуировка и т. д.
Теория регулярного режима позволяет значительно упростить про-
цесс измерения s и при этом дает широкие возможности изучения
самых различных по конструкции термоприемников в самых разно-
образных условиях; никаких выверенных приборов при применении
этого нового метода определения s, как будет видно из дальнейшего,
не требуется; необходимо только располагать достаточно чувстви-
тельным зеркальным гальванометром. Для исследования некоторых
технических приборов, например отсасывающих пирометров [35],
новый метод дает не только существенную экономию во времени, но
является, пожалуй, и единственно надежным.
Идея метода очень проста и состоит в том, что, исходя из основной
нашей теоремы (§ 1 гл. V), для получения е пользуются данными
наблюдений над изменением со временем абсолютного значения лога-
рифма разности температур & = и — t любой точки М внутри термо-
приемника и температуры среды Е.
§ 3] МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОНСТАНТЫ ТЕРМИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИИ 219
Для измерения 8 воспользуемся дифференциальной термопарой,1
помещая один спай внутрь термоприемника, в точке М, взятой так,
как нам представится удобней, а другой — в точке W среды Е; термо-
пара приключается к зеркальному гальванометру. В силу основного
положения теории регулярного режима график изменения величины In &
с течением времени т позволит определить е, ибо аналогично фор-
муле (13.4) имеем, заменив 6—t через 8,
In 8 = — т~ -\-Н,
где Н— постоянная, т. е. величина, не зависящая от т (хотя и имеющая
различные значения для разных точек приемника).
Относя последнее уравнение к двум моментам времени т/ и тп,
получаем, исключив из них Н, формулу для вычисления е:
„_____тп — Т1
с In Oj — 1118ц
Из предыдущего ясно, что для испытания любого термоприемника
на термическую инерцию по описанному методу требуется иметь:
1) среду Е постоянной температуры, в которой осуществляются
данные условия измерения, т. е. требуемое t и требуемое а;
2) зеркальный гальванометр с периодом колебаний до 10 сек.
и обычной амперной чувствительностью;
3) дифференциальную термопару;
4) часы или секундомер.
Подчеркнем, что понятие „константа термической инерции та-
кого-то термометра" вполне определено лишь при точном задании
внешних условий.
Время установления прибора. В практике температурных
измерений нередко приходится решать следующую задачу.
Термометр или пирометр погружают в среду Е измеряемой темпе-
ратуры на короткое время, ибо долгое его выдерживание в среде по
той или иной причине недопустимо (хотя бы потому, что среда
агрессивная; пример: угольно-карборундовая термопара погружена
в жидкую сталь); в момент погружения т0 термоприемник, естественно,
имеет температуру 60, иногда весьма значительно (если не применен
предварительный подогрев термоприемника) отличающуюся от изме-
ряемой температуры. Спрашивается, через сколько времени следует
извлечь пирометр из среды Е, чтобы ошибка измерения не превзошла
заданной величины Д/.
Очевидно, что ответ дается формулой (13.4): искомое время —
обозначим его Т — будет найдено, как равное
£| 1П|6дГ~| • (13.8)
1 Спай термопары в точке М настолько мал по сравнению с'приемником,
что его наличие не изменяет заметно термическую инерцию последнего.
220 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНСТАНТЫ ТЕРМИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИИ [ГЛ. XIII
Следовательно, для определения Т необходимо знать г, если
считать заданной величину |0о—t\, которая оценивается сообразно
обстановке измерения в каждом отдельном случае особо.
Изложенный нами метод позволит быстро испытать термоприемники
различного устройства, а формулы (13.5) и (13.7) в некоторых случаях
дадут возможность оценить порядок величины г, а следовательно, и
ожидаемое Т.
Такая предварительная оценка может быть полезной в том смысле,
что она сразу заставит отказаться от ряда конструкций и тем сокра-
тит число испытаний.
Примером такой предварительной оценки могут служить сделанные
нами расчеты численного значения константы термической инерции
для ртутно-стеклянных термометров с шаровым резервуаром. О них
сообщается в одной из наших работ [33].
Немалую трудность в таких расчетах представляет оценка а.
Здесь уместно заметить, что обычно, чтобы характеризовать условия
измерения, т. е. а, описывают ту среду Е, в которой производятся
измерения: спирт, вода, масло и т. д. Правильнее было бы указы-
вать соответствующее значение а, ибо отставание в двух различных
средах может оказаться и одинаковым, если одна из них в спо-
койном состоянии, а другая подвергается энергичному перемеши-
ванию.
В некоторых случаях можно воспользоваться данными учения
о теплообмене, ибо многие из термоприемников имеют форму цилиндра,
теплоотдача которого изучена довольно полно.
Возникает, естественно, вопрос: какова величина наименьшей воз-
можной для данного термоприемника константы тепловой инерции?
Этот вопрос равносилен задаче об определении асимптотического
значения этой константы. Нахождение его аналитическим путем
представляет большую математическую трудность даже для самых
простых видов термоприемников, а потому почти единственный воз-
можный путь решения задачи—эксперимент, поставленный в надлежащих
условиях. Теория все же может быть полезна в том отношении, что
она дает указания о верхнем и нижнем пределах, между которыми
заключена искомая величина вю.
Подчеркнем еще раз, что для данного термоприемника ни при
каких обстоятельствах его термическая инерция не может быть сни-
жена сколь угодно мало: как мы видели, всегда отлично от нуля
(см. конец § 2).
Примером могут служить советские эталонные платиновые термо-
метры сопротивления, по своему устройству подобные эталонам других
государств: для них гоз — число порядка 50—60 сек. Константа
термической инерции термометров этого типа была исследована подробно
по описанному здесь методу в 1940 г. [19], о чем сообщается далее
в § 6. Результаты, как и следовало ожидать, вполне согласуются
с результатами, полученными другим приемом,
§ 41
критикл ми.Тода
221
Изложенные в § 2 общие законы могут быть применены к расчету
термометров с искусственно повышенной тепловой инерцией. Такие
термометры применяются в некоторых измерениях на производстве [341
для измерения температуры сыпучих тел, особенно же часто в геологии
для измерения температуры в буровых скважинах [36|.
Эти термометры иногда называют ленивыми. Идея их
устройства очень простая: шарик ртутного стеклянного
термометра плотно заделывают в небольшой блок, имею-
щий приблизительно цилиндрическую форму и изготов-
ленный из материала, плохо проводящего тепло, после
чего его помещают в прочную, чаще всего металли-
ческую оболочку или пирометрический жезл, предохраняя
основную часть прибора от вредных воздействий внеш-
ней среды Е. Термоприемник, таким образом, конструи-
руется по схеме, изображенной на рис. 65.
При погружении „ленивого" термометра в среду Е
он довольно быстро, примерно в 30—40 мин., принимает
ее температуру, так как эти термометры применяются
в условиях больших значений а, что соответствует
точкам характеристической кривой, близким к ее асим-
птоте; таким образом, при измерении е близко к ем.
По извлечении термометра из среды Е он попадает
в среду Е', которая имеет температуру, сильно отли-
чающуюся от I; термическая его инерция а в условиях
этой среды (спокойного воздуха) очень велика, ибо
в спокойном воздухе а имеет очень малые значения,
которым соответствуют на характеристической кривой
Рис. 65. Тер-
моприемник
инертного
термометра.
1 — металл;
2 — плохо прово-
дящий тепло ма-
териал; 3—ре-
зервуар(„шарик'‘)
термометра;
4 — воздух.
большие значения е. Поэтому термоприемник прибора при отсчитывании
(т. е. в воздухе) не успевает сколько-нибудь заметно изменить свою
температуру, равную температуре среды t.
§ 4. Критика метода
Теория явления термической инерции, на которой основаны при-
веденные в § 2 формулы, невполне охватывает всю картину тепло-
обмена термоприемника с окружающими его телами: в ней есть про-
бел. Чтобы его уяснить, обратимся к общей схеме измерения темпе-
ратуры.
Для определенности предположим, что измеряемая температура выше
температуры воздуха и что термометр в начальный момент времени т0
имеет температуру ниже t.
По погружении термоприемника в среду Е оп получает тепло от Е,
и его температура повышается; но одновременно он отдает некоторую
долю получаемого тепла через свой держатель или оправу и через
неразрывно с ним связанную часть конструкции передаточного меха-
низма путем кондукции от более нагретых мест к более холодным
222
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНСТАНТЫ ТЕРМИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИЙ [гЛ. ХШ
(на рис. 66 это показано стрелками вверх). Этой долей тепла мы пре-
небрегли при выводе наших фор^гл, в чем и заключается неполнота
нашей теории.
Единственное теоретическое обоснование законности такого прене-
брежения заключается в том, что тепловоспринимающая поверхность 5
термоприемника, вообще говоря, велика по сравнению с поперечным
сечением той его части, которая слу-
жит местом сопряжения с оправой
(на рис. 66 оно помечено ab, в то время
как поверхность 5 есть acb). Влияние
этих выступающих наружу частей термо-
метрической установки учесть аналити-
ческим путем, повидимому, в высшей
степени трудно.
Чтобы все же выяснить характер
этого влияния, мы [191 применили тео-
рию теплопроводности к наипростейшему
случаю — охлаждению или нагреванию
жидкостного стеклянного термометра
палочного типа — и выяснили влияние
на е стержня термометра, введя при
этом еще дополнительно упрощающее
условие, а именно, предположив, что и
стержень и шарик термометра находятся
в среде Е (пример: ведется наблюдение
над охлаждением термометра в комнат-
--------- ном воздухе). Оказалось, что решение
Рис. 66. Отвод тепла через
оправу термометра.
- задачи даже в такой упрощенной трак-
товке имеет сложную форму. Стержень,
который играет роль держателя по отно-
шению к шарику термометра, увеличивает инерцию. Некоторые опыты,
хотя и незаконченные, дали удовлетворительное согласие с теорией.
Влияние стержня в наших опытах оказалось порядка 10% и, следо-
вательно, им пренебрегать при более точных исследованиях было бы
неправильно.
Поэтому настоящее исследование, дающее удобный метод ис-
пытания на инерцию, хотя и представляет собою шаг вперед в раз-
решении задачи, тем не менее должно быть дополнено новыми иссле-
дованиями, имеющими целью выяснить влияние выступающих наружу
частей арматуры приборов. Эти исследования будут иметь главным
образом экспериментальный характер; однако некоторые приближенные
формулы, устанавливаемые при помощи новых предпосылок, и здесь
окажутся полезными.
Вторая величина, подлежащая исследованию, — коэффициент тепло-
отдачи а; как видно из нашего анализа, без ее знания решение во-
проса не может быть признано полным. Имеющиеся в настоящее
§5] О ТЕРМИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИИ ТЕРМОМЕТРОВ СОПРОТИВЛЕНИЯ 223
время решения, о которых вскользь говорилось в § 4, далеко не
охватывают всего разнообразия случаев, встречающихся на практике.
Необходимо измерять а. одновременно с измерением а; этот вопрос
можно разрешить, применяя альфакалориметры (гл. IX).
§ 5. О термической инерции эталонных платиновых
термометров сопротивления
Константу термической инерции эталонных платиновых термомет-
ров сопротивления необходимо знать при сличениях с ними жидко-
стных нормальных термометров и эталониро-
ваниях, ибо во всех этих случаях требуется:
1) оценить время установления прибора и
2) учесть влияние изменений температуры
ванны на показания приборов, а для этого
необходимо, в первую очередь, знание кон-
станты отставания.
Приемник платинового термометра сопро-
тивления представляет собою довольно слож-
ную систему, и особенности применяемой
при эталонировании электроизмерительной
аппаратуры сильно затрудняют отсчет мгно-
венных значений сопротивлений /?( термо-
метра, не говоря уже о том, что переход
от Rt к температуре связан с громоздкими
и длительными вычислениями. Таким обра-
зом, прямой отсчет по термометру при изме-
рении меняющейся его температуры должен
быть исключен. Этого мы достигаем, при-
меняя изложенный выше универсальный метод
определения s. Из него вытекает следующая
методика эксперимента. Внутри приемника
прибора укрепляют один из спаев дифферен-
циальной термопары U (рис. 67), другой ее
спай Т погружают в ванну, температура ко-
торой t остается постоянной; температура
приемника в момент погружения не равна t.
Наблюдают изменение разности температур и
и t со временем, находят искомое s = —
по способу, изложенному в гл. X. Это чрез-
вычайно упрощает ведение опыта и позво-
ляет в короткий срок накопить достаточно
Рис. 67. Схема заложения
рабочего спая диффе-
ренциальной термопары
внутрь теплочувствитель-
ной части эталонного пла-
тинового термометра со-
противления.
большой опытный материал.
Результаты определения е. В качестве объекта для экспе-
риментов нами был избран платиновый термометр сопротивления
224 ОПРЕДЕЦЕПИЕ. КОибТАНТЫ ТЕРМИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИИ (ГЛ. Х1Й
эталонного типа № 3 Харьковского государственного института мер
и измерительных приборов. Его наружная оболочка, изготовленная из
стекла, имеет длину 50 см, внутренний ее диаметр 0,81—0,82 см,
наружный 1,03—1,04 см, обмотка термометра помещается на фар-
форовом кресте, поперечное сечение и размеры которого изображены
на рис. 68. Вообще же термометр изготовлен по образцу эталонных
платиновых термометров сопротивления термометри-
ческой лаборатории ВНИИМ и настолько мало от них
отличается, что в опытах по термической инерции
он может вполне заменить эталонные платиновые
термометры сопротивления.
Способ ввода рабочего спая дифференциальной
_ термопары внутрь термометра показан на рис. 67.
Рис. 68. Фарфо-
ровый крест —
деталь эталонно-
го термометра
сопротивления.
Остальные детали опытов настолько просты, что не
требуют пояснений.
Чтобы возможно более полно изучить отставание
термометра в зависимости от внешних условий, мы
их варьировали в широких пределах — начиная от
охлаждения в спокойном воздухе и кончая охлаждением в перемеши-
ваемой воде; первое соответствует малым, второе — большим значениям
коэффициента теплоотдачи а. Результаты опытов графически пред-
ставлены на рис. 69 в виде совокупности полулогарифмических гра-
фиков и сведены в табл. 24.
Таблица 24
№ гра- фиков Условия охлаждения £ в сек.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1'1 12 Камера спокойного воздуха (t = +18,6 °C) Воздушный поток скорости, м/сек: U7 = 2 • U7=3 117=3,9 U7 = 4,7 • Кислородная ванна открытого сосуда Дьюара без пере- мешивания — 180 °C) То же, е перемешиванием Водяная ванна с перемешиванием (комнатной темпера- туры) Кислородная ванна другой конструкции с перемешива- нием (* да—180 °C) Тающий лед, залитый дестиллированной водой .... Водяная ванна с интенсивным перемешиванием (г= + 17,5 °C)) Тающий лед, трубка термометра наполнена спиртом . 315 83 79 74,5 71 59 54 54 54 53 43 37,5
Условия опытов № 6—11 соответствуют в полной мере условиям
работы термометра при его эталонировании и при сличениях с ним
§5] о Термической инерции термометров сопротивления 225
нормальных термометров. В частности, глубина погружения его р. ванну
везде была равна 24 см, как это принято обычно. Опыты № 1—5
не соответствовали нормальным условиям эталонирования; они имели
целью установить возможные пределы колебаний константы отстава-
ния в зависимости от изменения внешних условий.
эталонного платинового термометра сопротивления.
Из таблицы видно, что при эталонированиях и сличениях константа
отставания эталонного термометра лежит в пределах от 43 до 59 сек.;1
вариации обусловлены различиями в конструкциях термостатов. Но
даже интенсивное перемешивание не позволяет значительно понизить
термическую инерцию прибора; единственным радикальным средством
к тому будет либо изменение конструкции термометра, либо введе-
ние в его трубку какого-нибудь наполнителя взамен воздуха.
Оставляя в стороне вопрос сб изменении конструкции, ибо это
связано уже с заменой существующей группы эталонных термометров
1 Заметим, что обычным приемом (§ 1 этой главы) при охлаждении во
льду получается е^50 сек.
Зак. 750. Г. М. Кондратьев
226 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНСТАНТЫ ТЕРМИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИИ [ГЛ. Xllt
сопротивления новыми, мы должны были избрать второй прием сни-
жения термической инерции. Для этого было естественно заменить
воздух какой-либо жидкостью; можно было ожидать, что ее лучшая
теплопроводность по сравнению с газом позволит уменьшить инерцию.
Замена воздуха спиртом действительно позволила снизить инерцию с 53
до 37,5 сек., как это видно из графика № 12 и табл. 24. Этот
выигрыш не настолько значителен, чтобы стоило дальше идти по
пути подыскания наполнителя оболочки: мало шансов на то, чтобы
замена воздуха значительно уменьшила термическую инерцию. Эта
замена может быть полезной в другом отношении (например для
низкоградусных термометров она позволит избежать осаждения влаги
на обмотке термометра).
Фарфоровый крест должен играть немалую роль в тепловой инер-
ции прибора. В этом мы убедились, измерив тепловую инерцию
платинового термометра сопротивления, отличающегося от эталонного
термометра тслько тем, что фарфоровый крест заменен слюдяным. Мы
получили для константы отставания в тающем льде е = 21,5 сек.
(ср. с графиками № 10 и 12).
ВЫВОДЫ
Таким образом, теория регулярного режима позволила развить
общий метод определения константы отставания s термометров какой-
угодно конструкции, который в данном случае был применен к ис-
следованию термической инерции эталонных платиновых термометров
сопротивления. Метод дал возможность измерить константу е для
разнообразных условий работы термометра, указанных в табл. 24,
что в дальнейшем позволит построить характеристическую кривую
термической инерции, как указано в конце § 2 этой главы. Такое
подробное исследование произведено над эталонными термометрами,
насколько нам известно, впервые.
Измерив константу отставания для данных условий эксперимента,
нетрудно вычислить величину погрешности эталонирования, обусло-
вленную тепловой инерцией, как это разъяснено выше.
Одновременно выяснилось, что для значительного понижения тер-
мической инерции необходимо существенное изменение конструкции
приемника прибора.
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ СВОЙСТВ
МАТЕРИАЛОВ
Прилагая аналитическую теорию теплопроводности к решению
практических задач, выдвигаемых физикой или техникой, исследова-
тель— техник, инженер, ученый — прежде всего встречается с вопросом
о том, какие численные значения следует приписать термическим
коэффициентам а, X, с, входящим во все расчетные формулы. Они
являются важнейшими факторами, определяющими ход любого тепло-
вого процесса, интересующего технику, будь то нагревание или охла-
ждение изделия, перенос тепла в машине или аппарате и т. п. Без
знания термических коэффициентов за теорией теплообмена остается
только роль одного из разделов математического анализа. Поэтому
одновременно с возникновением теории теплопроводности, т. е. еще
в 20-х годах прошлого столетия, физики и техники занялись созда-
нием методов определения констант а, с.
Работы в этом направлении, начатые еще Био, Фурье и другими,
продолжаются и по настоящее время; даже в чисто математических
трудах [3, 37] мы находим изложение методов определения X и а.
Таким образом, эта задача приобрела характер одной из основных
проблем тепловых измерений. Ее специфическая трудность привела
к тому, что вплоть до начала настоящего столетия не все стороны
проблемы получили правильное освещение, экспериментальная разра-
ботка методов зачастую была несовершенной, наконец, было немало
и принципиальных ошибок.
В нашу задачу не может входить обзор и критика очень обшир-
ной литературы вопроса; заметим только, что методы определения
X и а разрабатываются по двум разным направлениям: для металлов,
точнее говоря, для „хороших" проводников тепла, имеющих тепло-
проводность не ниже, примерно, 10—12 ккал1м'[Час1град, и для „пло-
хих" проводников — материалов, имеющих теплопроводность не выше
2—3 ккал[м1час[град. Методы, пригодные для металлов, в большин-
стве случаев мало пригодны для теплоизоляторов. Эти последние
являются наиболее разработанными и весьма многочисленны: практика
именно в них наиболее нуждается. Методы определения X в пределах
3—10 (случай руд, специальных материалов, некоторых искусствен-
ных камней) почти не освещены в литературе.
15*
228 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ
Гораздо меньше разработаны методы определения температуро-
проводности а; они стали предметом внимания исследователей преиму-
щественно в XX столетии [38, 39, 40, 41, 42]. Знание двух кон-
стант X и а, если к ним присоединить без труда определяемый объ-
емный вес, уже достаточно для тепловых расчетов, так как cvoi и с
найдутся отсюда простым делением, в силу (1.6). Тем не менее пред-
ставляют несомненный интерес и методы прямого определения с.
Существует несколько надежных методов определения удельной тепло-
емкости металлов; гораздо менее надежны методы, применяемые для
плохих проводников тепла, так как почти везде плохо учитываются
теплообмен калориметра с окружающей средой и несовершенное вы-
равнивание температуры образца испытываемого материала.
Теория регулярного режима привела к созданию группы методов
комплексного определения всех термических коэффициентов; эти ме-
тоды пригодны для материалов, объемный вес которых заключен между
10 и 8000 кг[м?, теплопроводность—между 0,03 и 150 ккал/м/час/град,
другими словами, ими охватывается огромное большинство физиче-
ских тел, теплоизоляционных, строительных и других технических
материалов; они нашли применение для определения тепловых
свойств тканей органов человека и некоторых высших млекопитающих,
органических веществ сложного состава, например, битума, смол,
полуфабрикатов хлебопекарной и кондитерской промышленности и т. д.
Следующие главы и посвящены описанию этих методов.
Возможность построения методики определения X и а на основе
нашей теории легко усматривается из уравнений, связывающих темп
охлаждения т с а и другими параметрами какой-нибудь системы.
Возьмем в качестве примера уравнение (1.54), где р дано форму-
лой (1.50). Предположим, что из испытываемого материала изгото-
влен образец определенной формы и размеров, хотя бы цилиндр;
пусть функция ® для него известна, пусть обмерены все его размеры
Z.o, .. . . Произведем два опыта на охлаждение при одной и той же
температуре t внешней среды: один в условиях, когда а = а', другой
в условиях а = а", причем а' Ф а" (конкретно говоря: один опыт—
в спокойном воздухе, другой — при обдувании образца сильной воз-
душной струей). Пусть, далее, во время каждого из этих опытов из-
мерено а.
Применив (1.54) дважды, получаем:
/, \ 0 V а )
“х V?
Здесь т' и т"—темпы охлаждения образца в первом и втором
опыте; очевидно, т" =£ т'. Каждое из чисел т!, т" мы определяем
так, как это описано в гл. X. В результате оба написанных выше
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ
229
уравнения представляют собою два уравнения с двумя неизвестными а
и X, которые и будут найдены путем их совместного решения. 1 * *
Заметим, что различные тела сильно отличаются между собою по
теплопроводности X и температуропроводности а. Наибольшими X и а
обладают металлы и немногие неорганические вещества, например
чистый карборунд SiC, теплопроводность которого близка к тепло-
проводности технического железа; наименьшими —легкие органические
материалы и ткани, плохая теплопроводность которых обусловлена
наличием в них мелких пор, наполненных воздухом, который, как
почти все чистые газы и их смеси, очень плохо проводит тепло. Вели-
чина X меняется в пределах примерно от 300 до 0,03 ккал1м1час1град,
величина а — в пределах от 1000- 10~4 до 3- 10-4 м^чаа или не-
сколько ниже, с меняется приблизительно от 0,03 до 0,70 ккал<кг1град,
достигая больших значений для влажных материалов.
Эти цифры дают представление о диапазоне численных значений
тепловых коэффициентов, подлежащих измерению.
1 Это—идея метода, который можно назвать методом двух альфа. Он
покамест еще экспериментально не разработай, хотя предварительные опыты
дали положительные результаты (1941—1942 гг).
ГЛАВА XIV
ПЕРВЫЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
§ 1. Теория первого метода
и его экспериментальное осуществление.
Термостаты. Акалориметры
Предположим, что из испытываемого материала изготовлен образец,
коэффициент формы которого К известен. Подвергнем образец охла-
ждению или нагреванию, причем создадим такую обстановку опыта,
чтобы соблюдались условия (1.1), т. е.
t— const, а —> оо . (*)
Определим экспериментально темп охлаждения т = (см. гл. X);
тогда на основании общей теоремы § 8 гл. I имеем (1.64), т. е. нахо-
дим температуропроводность материала по формуле:
а=Кт. (14.1)
В соответствии с только что изложенной теорией мы должны
располагать средой Е постоянной температуры t, физически говоря, —
термостатом, позволяющим достаточно долгое время поддерживать
эту температуру. Этого еще недостаточно; необходимо, чтобы было
обеспечено соблюдение второго из условий (*). Этого можно достичь,
употребляя в качестве среды Е жидкость, лучше всего подвергаемую
энергичному перемешиванию; как известно из опыта, в таких условиях
коэффициент теплоотдачи а приобретает настолько большие значения,
что практически можно считать реализованным условие а —> оо. Если
среда Е — расплавленный металл, например олово или свинец, то
отпадает даже необходимость перемешивания. Точно так же можно
от него отказаться, если опыт ведется при температуре, являющейся
точкой изменения агрегатного состояния термостатной жидкости: точкой
плавления, затвердевания, кипения.
Наиболее просто осуществить условия (+) двумя способами: во-
первых, приготовив смесь льда с водой, во-вторых, взяв в качестве
термостата сосуд, наполненной водой при комнатной температуре и
снабженный приспособлением для ее размешивания.
§ И
ТЕОРИЯ ПЕРВОГО МЕТОДА И ЕГО ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ
231
Подробности приготовления водо-ледяной смеси можно найти
в практических руководствах по термометрии. Размеры сосуда с этой
смесью должны соответствовать размерам испытываемых образцов;
для образцов, объем которых не превышает 200 сл8, необходим
сосуд объемом не менее приблизительно 2 л (рис. 70).
Устройство водяного термостата для температур выше комнатной,
вплоть до 90°, не представляет затруднений; один из вариантов показан
на рис. 71. Основное требова-
Рис. 70. Сосуд с водо-ледяной
смесью для опытов с акалори-
метрами при /=(РС.
/—красная медь; 2 — нержавеющая сталь;
3—теплоизоляционный материал; 4—смесь
воды со льдом.
Рис. 71. Водяной термостат.
/ — латунный сосуд с водой;
2—теплоизоляция; 3 — электрона-
гревательная обмотка;
направление движения воды.
струкции: хорошее перемешивание жидкости в рабочем пространстве
и равномерность температуры в нем. Следует стремиться к осуще-
ствлению турбулентного режима.
Рационально применение геликоидальной мешалки с большим шагом
винта с тремя-пятью оборотами, помещенной внутрь трубы, открытой
с обоих концов, как это изображено на рис. 71, где движение жидко-
сти показано стрелками: жидкость засасывается в трубу сверху и
в кольцевой зоне между трубой и стенками цилиндрического сосуда
термостата поднимается вверх. Угловая скорость вращения мешалки
500—600 об/мин. На мешалку насажен шкив, приводимый во враще-
ние от электромотора.
Экспериментируя при комнатных температурах, при более грубых
измерениях можно даже прибегнуть к размешиванию от руки. Такой
термостат имеет мешалку в форме кольца, прикрепленного к стержню.
232
ПЕРВЫЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
[ГЛ. XIV
Кольцо охватывает образец, погруженный в калориметр; мешалка
движется вверх-вниз. Схема другого применявшегося нами устройства
показана на рис. 72.
Для экспериментов при температуре t выше комнатной ta наиболее
целесообразно применять электрический нагрев ванны за счет ленц-
джоулева тепла, развивающе-
Рис. 72. Масляный термостат.
/ — сосуд термостата; 2—масло; 3— электро-
нагревательные обмотки; -/ — теплоизоляция —
засыпка из крупы легковесного огнеупора;
-> направление движения масла.
гося в проволоке (или ленте)
электронагревателей, которые
не дслжны находиться в непо-
средственном соседстве с по-
груженным в ванну образцом.
Обычно электронагревательные
обмотки располагаются по бо-
ковой поверхности цилиндри-
Рис. 73. Ванна с расплавлен-
ным оловом.
1 — железный сосуд (цилиндр);
2 — олово; 3—электроизолирующий
слой; -/ — хромоникелевый электро-
нагреватель; 5 —теплоизоляция
(засыпка из зерен шамота).
ческе го сосуда термостата. Термостат следует снабдить хорошей
теплоизоляцией, стремясь к тому, чтобы теплоизоляторы, из которых
она изготовлена, имели малую теплопроводность при относительно
большой температуропроводности.
Регулирование температуры водяной ванны не представляет труд-
ностей. Можно обойтись и без терморегулятора, если предварительно
изучить тепловой режим ванны и установить, какая мощность электро-
нагревателей необходима для поддержания заданной разности темпе-
ратур /— /й.
Для температур выше 90°, вплоть до 250°С, можно пользоваться
масляными ваннами, применяя, в зависимости от t, различные масла;
в частности, от 150 до 250° С можно брать тяжелое цилиндровое масло.
Схема одного из построенных нами масляных термостатов предста-
§ и
ТЕОРИЯ ПЕРВОГО МЕТОДА И ЕГО ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ
233
влена на рис. 72. Ванны с расплавленным металлом пригодны до
весьма высоких температур—порядка 1200—1400°С. Особенного
внимания заслуживает ванна из расплавленного олова.
На рис. 73 представлена ванна, построенная нами и
М. В. Ивановым и применявшаяся для температур
до 500° С. Она оказалась удобной и для измере-
ний а в точке затвердевания олова, т. е. при
/=231,9°С. [41].
Для измерений при отрицательных температурах
употребляются термостаты, охлаждаемые рассолом,
протекающим по трубкам змеевика, которые распо-
ложены внутри жидкости термостата или на его бо-
ковой поверхности. Термостатической жидкостью слу-
жит спирт или другая органическая жидкость
с низкой точкой замерзания. Можно использовать сам
холодильный агент — рассол, криогидратные смеси;
в последнем случае смесь является оболочкой, окру-
жающей ванну термостата. Изменение температуры
Рис. 74. Схема
простого «кало-
риметра.
t может быть
осуществлено путем монтировки в термостате электронагревателей,
работающих одновременно с охладителями.
Рис. 75. Основные части
аппаратуры, применяемой
для измерений по методам
регулярного режима.
Образец испытываемого материала в целях сохранения его це-
лости и неизменяемости и для предохранения от всякого воздействия
Среды, кроме теплового, в огромном большинстве случаев приходится
234 ПЕРВЫЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [гл. XIV
заключать в жесткую — чаще всего металлическую — оболочку; само
собой разумеется,* что это неизбежно при испытании порошкообраз-
ного материала.
От оболочки можно отказаться только в опытах с плотными мате-
риалами, например с некоторыми горными породами, стеклом, пласт-
массой. 1
Такую оболочку, внутренний объем которой и коэффициент
л называем акалориметром'. наблюдая охла-
ждение этой оболочки с наполнителем в усло-
виях (*) и определив темп охлаждения т,
можно найти величину а (отсюда и название
калориметра).
Ниже, в § 10, мы рассмотрим вопрос об
определении константы калориметра; в дальней-
шем мы будем считать ее известной.
Устройство акалориметра, один из вариантов
которого изображен на рис. 74, чрезвычайно
простое: это металлический сосуд V, например
цилиндр, плотно закрываемый крышкой А, к ко-
торой наглухо приделана или привинчена труб-
ка D, служащая для ввода внутрь образца
термопары или термометра. Трубка D вместе
с тем исполняет роль держателя калориметра:
она захватывается лапкой Е штатива F, как
это показано на рис. 75.
Место соединения крышки с сосудом кало-
риметра должно быть тщательно герметизиро-
вано во избежание проникновения внутрь него
жидкости из термостата.
Это достигается при опытах в воде или
масле промазыванием места соединения жиром
или обмазыванием клеем, пастой и т. и. всего
шва с наружной стороны, или применением прокладок из резины и
ей подобных материалов.
Опыты в жидких металлах не требуют этого приема: здесь
герметичность достигается хорошей пригонкой крышки и сосуда;
крышка привинчивается к сосуду, как это изображено на
рис. 76. Погружая акалориметр в металлическую ванну, сле-
дует принять меры против прилипания к его поверхности шла-
ков и кусочков графита, плавающих на поверхности металла, так
как это может быть источником весьма значительных ошибок, сни-
жая т.
1 Такие меры, как покрытие пористого образца защитным слоем, напри-
мер парафином, меняют тепловые свойства материала, и их мы избегаем.
М. П. Стаценко успешно применял обертывание образца алюминиевой фоль-
гой с промазыванием швов водонепроницаемым клеем [43].
известны
12 мм
8мм
Резьба
-50мм-
1
Рис. 76. Цилиндриче-
ский акалориметр.
§ 2| ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ АППАРАТУРЫ. ВЕДЕНИЕ ОПЫТА 235
§ 2. Основные элементы аппаратуры.
Ведение опыта и обработка опытных данных
В состав установки для измерений посредством акалориметра вхо-
дят следующие части, изображенные на рис. 75: термостат В на этой
схеме — ледяная ванна, состоящая из стеклянного колокола, перевер-
нутого своим тубусом вниз, на который надета резиновая трубка для
спуска излишней воды; акалориметр V; дифференциальная термо-
пара bM'tNuM"d, состоящая из медных проволок uM"d и bM't и
константановой проволоки tNu, присоединяемая в точках b и d к мед-
ным проводам, ведущим через ключ S и регулируемый (грубо) магазин
сопротивлений или реостат R к гальванометру О; часы или секундо-
мер /7.
Из тех же элементов состоит установка для измерений всеми
другими методами: варьируются только термостаты и калориметры.
Выше, в гл. X, мы уже говорили подробно о приемах изме-
рения температуры и времени, и поэтому здесь о них говорить не
будем.
Процесс ведения опыта чрезвычайно прост и вытекает из самой
идеи метода. Наполнив акалориметр испытываемым материалом и, по-
местив внутрь него термометр или термопару, акалориметр подогревают
(в теплой воде, сушильном шкафе, на плите, в электрической печи
и т. п.) и погружают в термостат В. Затем ведут наблюдение за ходом
изменения температуры, показываемой термометром, или показаниями
гальванометра О. Изменение показаний измерительного прибора идет
в начале регулярного режима довольно быстро, затем с умеренной
скоростью, а потом настолько замедляется, что фиксирование моментов
времени, соответствующих этим показаниям, становится уже мало
точным. Тогда наблюдения прекращают.
Обычная продолжительность опыта от 15 до 50 мин. при той
аппаратуре, которая здесь описана (§ 2, 8 и 9), при тех теплоизо-
ляторах, с которыми обычно приходится иметь дело, и при указан-
ных далее (в § 8) размерах акалориметров.
Обработка опытных данных сводится к построению полулогариф-
мического графика охлаждения и вычислению т\ она подробно опи-
сана ранее, в § 1 гл. X. Вычислив т, по основной расчетной формуле
(14.1) находим искомую температуропроводность а.
По поводу вида графиков можно сделать следующие замечания.
1. В начале опыта до наступления регулярного режима эксперимен-
тальные точки могут и не расположиться по прямей линии) прямо-
линейная же часть графика будет всегда одна и та же, независимо
от особенностей начального состояния образца, например от местного
перегрева его. Кстати сказать, поэтому нам не нужно заботиться
о том, чтобы перед погружением в термостат акалориметр был про-
грет равномерно. При обработке опытных данных начальные точки,
не располагающиеся на прямой, конечно, не принимаются в расчет.
236 ПЕРВЫЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [ГЛ. XIV
2. Вследствие неизбежных погрешностей опыта — неточностей в от-
счете температур, моментов времени, несовершенств аппаратуры, —точ-
ки прямолинейной регулярной части графика не всегда совершенно
точно расположатся по прямой линии. Поэтому для повышения тон-
не сти результатов и в целях контроля рекомендуется опыт повторить
и вновь вычислить т. Если расхождение окажется больше 3%, опыт
следует проделать в третий раз; новое расхождение, выходящее за
эти пределы, указывает на неполадки в измерительном устройстве,
или на переменное состояние образца, или на неправильную постановку
опыта. В среднем точность определения т составляет 2—3% при
единичном имерении. Повторение опыта позволяет еще повысить точ-
ность измерений. Число К определяется предварительной калибровкой
акалориметра с точностью до 0,5—1%. Следовательно, точность
определения а с помощью акалориметра порядка 2 — 4%.
Необходимо оговориться, что сказанное относится к материалам
однородного строения; если приходится испытывать материал с резко
выраженной неоднородностью, то сами его тепловые „константы “ не
будут отличаться постоянством и повторные испытания могут не дать
близко сходящихся результатов. Примером может служить определе-
ние температуропроводности, а следовательно, и теплопроводности
шлака в зернах: если, зарядив акалориметр пробой неотсеянного шлака,
в которой присутствуют кусочки размерами меньше 1 мм и даже
имеется пыль, а вместе с тем попадаются куски размерами до 8 мм,—
произвести опыт, затем материал высыпать из калориметра и вновь
его наполнить той же пробой и опыт повторить, то расхождение между
результатами обоих опытов может получиться порядка 10—15%:
зерна одной и той же пробы в обоих опытах располагаются по-раз-
ному. (Здесь уместно вспомнить разъяснение о физическом смысле
коэффициентов X, а, с, данное нами в § 3 гл. VIII.) Но сколь бы
неоднороден ни был материал, полулогарифмический график охла-
ждения всегда будет иметь прямолинейную часть, если только нет
неполадок в монтировке аппаратуры и если в процессе испытания
соблюдаются условия постоянства t и а, ибо основное положение тео-
рии регулярного режима относится ко всяким системам, ко всяким
условно твердым телам, а не только к однородным и изотропным.
Сделанное замечание следует обобщить; с тем же обстоятельством
мы сталкиваемся во всех методах всех видов испытаний технических
неоднородных материалов, будут ли это испытания механические,
объемные, тепловые и т. д.: для получения средних величин — сред-
него объемного веса, средней теплопроводности и др. — необходимо
отобрать несколько проб материала, испытать'каждую и взять сред-
нее арифметическое из результатов отдельных опытов. Исключение
представляет только одна величина — удельная теплоемкость с, чис-
ленное значение которой относится к единице массы или веса
данного вещества, безотносительно к тому, какой объем эта масса
занимает.
источники ошибок
237
§ 3]
Разумеется, это верно лишь постольку, поскольку можно пренебречь
теплоемкостью воздуха, заполняющего поры, и поскольку механические
воздействия на вещество — его дробление, уплотнение — не сопряжены
с какими-либо особыми эффектами. Для материалов обычного грану-
лориметрического состава повторные опыты с различными пробами
дают хороню сходящиеся результаты, что позволяет сократить число
испытаний, даже ограничить их одним-двумя.
§ 3. Источники ошибок
отдельных опытов
Рис. 77. Искажение
температурного по-
ля корольком тер-
мопары.
Только что упомянутое обстоятельство — расхождение результатов
опытов с разными пробами одного и того же материала — не сви-
детельствует о неточности и несовершенстве методики или о грубых
ошибках эксперимента: расхождения в результатах
обусловлены свойствами, лучше сказать, техни-
ческими недостатками самого материала. Теперь
мы переходим к рассмотрению ошибок, зависящих
от неправильной работы отдельных частей изме-
рительной установки и от неправильного ведения
опыта.
1. Неправильное заложение внутри образца
горячего спая термопары или резервуара термо-
метра. Как следует из теории регулярного ре-
жима, положение точки М внутри тела не имеет
никакого значения для определения /я: прямоли-
нейные части графиков охлаждения все параллельны
друг другу. Практически же мы измеряем „темпе-
ратуру в точке“ при помощи измерителя темпе-
ратуры, приемник которого может иметь раз-
меры, сравнимые с размерами калориметра, и его
присутствие может значительно искажать темпе-
ратуру в месте его нахождения. В самом деле, если даже взять спай
термопары ('„королек"), представляющий собою сфероид диаметром
в несколько десятых долей миллиметра, то его нахождение вблизи
стенок акалориметра сильно изменит теоретическую картину „точки
вблизи поверхности". Это ясно видно из рис. 77: здесь размеры ко-
ролька L сравнимы с расстоянием х его центра до внутренней поверх-
ности стенки калориметра, а поэтому в зоне J около стенки и ко-
ролька распределение температур резко отличается от того, которое
было до ввода термопары. Если же поместить спай подальше от
стенки, то искажение температурного поля уже не будет ощутитель-
ным. Вообще же оно тем слабее, чем больше плотность материала;
для хороших теплоизоляторов им никоим образом пренебрегать нельзя,
а поэтому следует помещать горячий спай термопары (м на рис. 75)
на расстоянии не ближе 12 —15 мм от стенок калориметра, т. е.
внутри дважды заштрихованной области на рис. 78.
238
йерйыЙ Метод регулярного режима
[гл. X1V
Рис. 78. Рабочий
объем калори-
метра.
В еще большей мере это замечание приложимо к ртутно-стеклян-
ному термометру, обладающему массивным, по сравнению с нашими
калориметрами, приемником: его следует так распо-
лагать, чтобы расстояние х на рис. 79 верхней око-
нечности резервуара до крышки было не менее
20 мм. Всего целесообразнее располагать измеритель
температуры по оси вводной трубки с таким расче-
том, чтобы глубина погружения его приемника со-
ставляла от 1/2 до 2/3 высоты акалориметра, как
это показано на рис. 80.
2. Отвод тепла через выступающую наружу
вводную трубку D калориметра и через стер-
жень термометра или проволочки и трубочку
термопары. Необходимым условием успешности
опыта является достаточная глубина погружения
всего акалориметра в среду Е, ибо только при этом
условии температура среды повсюду на его наружной поверхности
будет равна t.
Практика показывает, что расстояние х от свободной поверх-
ности воды до крышки А калориметра должно быть не менее 20 мм
(рис. 75). Однако даже при соблюдении этого
требования часть поверхности калориметра, а имен-
но, занятая вводной трубкой D, будет находиться f
в иных условиях, чем вся остальная его поверх- f '
ность, омываемая водой. Нали-
чие трубки вызовет искажение
температурного поля. Чтобы
сделать его пренебрежимо ма-
лым, следует ограничить диа-
метр трубки примерно 9 —
12 мм, применяя для нее, по
возможности, не особенно хо-
рошо проводящий тепло металл
или делая стенку ее как можно
тоньше.
Проволоки термопары и их
арматура и стержень термо-
метра также вызывают допол-
нительное искажение процесса
охлаждения: они подводят тепло
извне к охлаждающемуся ка-
лориметру и замедляют темп
охлаждения.
-2
x=l-h
х 2 3
h
п
I
Рис. 80. Правиль-
ное расположение
термометра внутри
калориметра.
Z — термометр со вло-
женной шкалой;
2—шкала; 3—„ножка"
термометра.
Рис. 79. Неправиль-
ное расположение
ртутного термо-
метра относительно
крышки калори-
метра.
Чтобы устранить вредное влияние рассматриваемого фактора, сле-
дует ограничить диаметр применяемых термопар, взяв его порядка
0,20—0,40 мм, когда приходится испытывать обычные теплоизоля-
ИСТОЧНИКИ он Ивок
239
§ 3]
ционные материалы, объемный вес которых не менее 100 кг[мй. *
Далее следует избегать применения массивной арматуры для этих
проволочек: целесообразно взять фарфоровую двухканальную трубочку
диаметром 3,5—4 мм, в крайнем случае 5 мм, или соответствующую
по толщине одноканальную фарфоровую или стеклянную. Применяя,
на худой конец, ртутно-стеклянный термометр, следует выбрать его
так, чтобы диаметр „ножки" или стержня не превышал 8 мм\ такой
же диаметр, с утоньшением книзу, должен иметь и резервуар термометра.
3. Непостоянство температуры t среды Е (в нашем случае
воды) может также явиться источником ошибок. Постоянство
температуры ледяной ванны достигается соблюдением надлежащей
пропорции льда и воды в ней; необходимо, с одной стороны, чтобы
лед был хорошо напитан водой и представлял собою слепившийся
ком, внутри которого находится калориметр, со всех сторон омы-
ваемый водой; с другой стороны, излишнее количество воды, особенно
в нижней части сосуда, где температура часто бывает близка к —|-4°С,
вызывает повышение температуры смеси. Поэтому время от времени
следует спускать излишнюю воду через насадок в нижней части
сосуда и добавлять свежий лед. Лед должен быть заготовлен заранее
в измельченном виде, в виде кусочков размерами примерно с горо-
шину. Лед в ванне заливается дестиллированной или пресной чистой
водой, не содержащей солей,
Постоянство температуры вангы, наполненной водой комнатной
температуры, обеспечивается достаточным объемом этой ванны, по-
стоянством температурного режима помещения и рациональным выбо-
ром места для ванны в помещении: следует избегать непосредственной
близости к сильным источникам тепла (например к печи, калориферу
и т. п.).
Допустимо изменение температуры ванны за время опыта не более
чем на 0,1° С.
4. Чрезмерно малое значение коэффициента теплоотдачи, обу-
словленное недостаточно интенсивным перемешиванием воды, может
явиться источником ошибок при испытании плотных материалов,
не относящихся к теплоизоляторам, например горных пород и неко-
торых искусственных камней, как карборунд, теплопроводность
которых больше 2—3 ккал/м/час/град.
Однако это обстоятельство играет роль и для теплоизоляторов
в узком смысле слова; поэтому рекомендуется энергичное размеши-
вание термостатической жидкости, чтобы довести а до значений
порядка 200—300 ккал/м^/час/град. Чем больше размеры акалори-
метра, тем меньше влияние недостаточного численного значения а.
* Для теплоизоляторов с очень малым объемным весом — порядка
20—50 кг[м? следует брать проволочки диаметром 0,10— 0,15 мм, причем
находящиеся внутри материала их части не должны быть заключены в стек-
лянные или фарфоровые трубочки. Для таких материалов целесообразнее
пользоваться методом бикалориметра.
240
ИеРпЫЙ метод регулярного реЖиМА
[гл. XIV
Особенное внимание следует обратить на устранение непо-
ладок в термоэлектрической цепи: следует тщательно изолировать
друг от друга и от окружающих, особенно металлических, предме-
тов проволоки термопары (Л4', М", N) и провода к гальванометру
(М, М на рис. 75) на всем их протяжении; спаи uni изготовлять
сваркой или спайкой; проволочки термопары отжечь и т. д. Поло-
жение нуля гальванометра следует проверять перед каждым опытом:
оно может измениться от разных при-
чин, в том числе от простого смеще-
ния шкалы, если гальванометр зер-
кальный, происшедшего по недо-
смотру наблюдателя.
Применяя ртутно-стеклянный тер-
мометр, следует убедиться в отсут-
ствии трения между столбиком ртути
и стенками капиллярного канала.
Следует так вести опыт, чтобы
акалориметр не подвергался толчкам
и сотрясениям, могущим вызывать
смещение материала внутри него.
Таковы важнейшие источники
ошибок и приемы их устранения.
§ 4. Подготовка образца
к испытанию
При наполнении акалориметра
испытываемым материалом необхо-
димо позаботиться о том, чтобы
не было воздушных прослоек или
воздушных включений между стен-
ками калориметра и материалом.
Эти прослойки или включения могут
часто встретиться, когда цилинд-
куском материала, близким по форме
и размерам к калориметру, но не вполне правильной цилиндрической
формы; полученные при этом пустоты следует заполнить порошком
того же материала или его кусочками, склеенными с остальной
массой.
Большие воздушные включения могут случайно оказаться как раз
в месте заложения горячего спая термопары или резервуара термо-
метра; этот случай может встретиться при испытании неоднородного
насыпного или волокнистого материала, как изображено на рис. 81.
Тогда передача тепла в непосредственной близости к приемнику
инструмента не будет следовать закону передачи в твердом теле
(хотя бы и условно твердом): окружающий спай или прилегающий
Рис. 81. Воздушное включение
в месте заложения спая термопары
в образец.
/ — двухканальная фарфоровая трубочка,
2 —термоэлектроды, 3 — спай (рабочий)
термопары, 4—испытуемый материал.
рический калориметр заполняют
§ 5] ЗАМЕЧАНИЯ 0G АНАЛИЗЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ 241
к нему пузырек воздуха совершенно исказят этот процесс и данные
испытания окажутся недостоверными. Возникающая отсюда ошибка
устраняется, если уже при наполнении акалориметра облепить спай
уплотненным слоем материала.
Как правило, все материалы испытываются в сухом состоянии.
Даже незначительная влажность (порядка 5%) заметно сказывается
на всех тепловых константах материала; тем значительнее ее влияние,
когда материал становится явно влажным. Миграции влаги, вызывае-
мые местным нагреванием или охлаждением влажного образца, делают
его настолько неоднородным, что для его испытаний приходится при-
менять особую, весьма тонкую методику; здесь обычные методы
стационарного теплового потока — методы пластинки, трубы, шара—
уже почти непригодны и лишь методы регулярного режима дают
доступное для обычных лабораторий решение задачи. Этот вопрос
мы оставим в стороне, предполагая, что материал нормально приме-
няется сухим и испытываться должен также в сухом виде. По-
этому перед испытанием материал следует высушить до постоянного
веса.
Если материал сухой, то для его предварительного подогрева не
требуется никаких особых предосторожностей, в частности не нужно
добиваться равномерного его нагрева, как об этом уже говорилось
выше.
Наконец, перед погружением образца в водяной термостат следует
тщательно герметизировать калориметр от проникания воды внутрь
материала.
§ 5. Замечания об анализе результатов
испытания
Методы регулярного режима, в отличие от обычно применяемых
методов стационарного теплового потока, позволяют немедленно по
окончании опыта и по обработке его результатов вывести известное
заключение о степени достоверности опыта, критерием которой яв-
ляется то, насколько хорошо ложатся на прямую охлаждения наблю-
денные точки: чем больше точек на ней лежит, тем больше уверен-
ности в правильности ведения опыта, тем выше точность опреде-
ления т, а следовательно, и а.
Если график охлаждения в его части, соответствующей регуляр
ному режиму, имеет слабую, но явно заметную тенденцию к искри-
влению (все точки лежат по одну сторону любой прямой, проводимой
через две какие-либо из них), то это служит указанием на какую-то
ошибку при ведении опыта. Его необходимо переделать, изменив
несколько обстановку опыта.
Причина' искривления графика может быть различная: наличие
конвекционных токов в воздушных включениях, выделение скрытых
теплот, вибрации и т. д. Беспорядочное расположение точек часто
10 Зак. 750. Г. М. Кондратьев
242 ПЕРВЫЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [гл. XIV
служит указанием на неполадки в термоэлектрической цепи: возможны
замыкания в плохо изолированных местах, что случается при влаж-
ной атмосфере помещения или нарушении целости проволочек тер-
мопары, и т. д.
Поэтому следует особенно тщательно собирать электрическую
схему установки, не взирая на ее простоту; нужно помнить, что мы
имеем дело с крайне слабыми токами, не достигающими часто
даже 1 ма.
Иногда график получается в виде ломаной линии, состоящей из двух
прямых; в огромном большинстве случаев это объясняется проникно-
вением воды внутрь материала, вследствие чего его температуропро-
водность резко меняет свою величину (обычно падает).
Предположим, что график получился удовлетворительного вида.
Это дает гарантию, что опыт был проведен правильно, но не дает
еще права без дополнительного разбора всех обстоятельств опыта
применять расчетную формулу метода (14.1): дело в том, что она
основана на некоторых дополнительных предположениях, которые
должны быть осуществлены в процессе опыта, наличие же прямо-
линейного графика будет иметь место даже и при несоблюдении их,
ибо закон регуляризации температурного режима распространяется,
как мы уже говорили, на весьма широкий класс, явлений.
Эти предположения следующие:
1) коэффициент теплообмена а стремится к бесконечности;
2) во всех точках наружной поверхности испытываемого образца
условия теплообмена с окружающей средой одинаковы;
3) измерительный инструмент не искажает заметно распределения
температур в образце.
Нужно создать такую обстановку испытания, чт. бы эти предпс-
ложения осуществились с достаточной точностью; как это сделать,
указано выше в § 2 и 3. Пренебрежение этими указаниями ведет
к значительным ошибкам в определении а.
§ 6. Определение теплопроводности 1 на основании
результатов измерения температуропроводности
В силу (1.6) для определения X, когда а уже найдено, требуется
найти сир
Определение объемного веса образца производится с большой
точностью путем взвешивания образца и деления его веса Р на из-
вестный уже объем акалориметра V:
Удельная теплоемкость материала с может быть определена из
особого опыта (хотя бы при применении второго метода регулярного
режима); проще воспользоваться табл. 25 для теплоемкостей, что,
§ 61
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ А
Таблица 25
Удельные теплоемкости с некоторых употребительных в практике
теплоизоляционных и строительных материалов для интервала
температур 0°, +20° С
Название материалов Уд. тепло- емкость с Название материалов Уд. тепло- емкость с
Неорганические Шлак паровозный, шла- 0,18
материалы кован вата
Шлак бессемеровский . 0,165
Кирпич строительный Мрамор Бут 0,21 0,19
сильно обожженный . 0,20—0,22
То же, слабо обожжен- Зола . . . 0,2
ный Шамот (камни и зерно) Кирпичи магнезитовые Кирпичи огнеупорные 0,24—0,23 0,195 0,225 0,195 Ас бест Шифер Магнезия „уста" . , . 0,1 95 0,18 0,27
легковесные .... Органические
Кирпичи хромитовые . Диатомовый и инфу- 0,18 материалы
зорный кирпич . . . Бетон 0,20—0,22 0,20—0,21 Угли древесные (воз- 0,30—0,38
Цемент Граниты (в зависимости 0,19 душно-сухие) .... Растительные волокна: хлопок, вата бумаж- ная, бумага, капок . Древесина (сосна, ель),
от месторождения и состава) донбасские и др 0,10—0,19 0,32-0,33
Известняки 0,20 высушенная при
Гнейс 0,19 105° С, и опилки из 0,37—0,38
Мел 0,21 нее
Гипс . . 0,20—0,25 Тропическое дерево
Каменная соль (но- „бальса" (воздушно- 0,26 0,41—0,49
рода) ' . . Глина (естественная 0,20 сухое) Торф (воздушно-сухой)
сухая) Песок речной и гор- НЫЙ . . 0,22 0,16—0,19 Пробка без посторон- них примесей .... средн. 0,45 0,41-0,43
Песок чистый кварце- Пробка с органически- 0,51
вый 0,175 ми примесями до . .
Плавленый кварц . . . 0,174 Органические тепло-
Слюда, вермикулит . . 0,205 изоляционные мате-
Супесь 0,17 риалы с неорганиче-
Суглинок 0,20 сними связующими 0,34
Диатомиты в естествен- веществами
ном виде (необож- Бакелит 0,30—0.33
женпые) и трепелы . 0,23 Бакелит с древесной
Стеклянная вата, вой- мукой 035
лок, шерсть .... 0,19 Гудрон чистый .... Парафины 0,63 0,59
10*
244 ПЕРВЫЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [гл. X1V
конечно, менее точно, но во многих случаях практики оказывается
достаточным. Для предварительных подсчетов можно грубо принимать
удельную теплоемкость сухих неорганических материалов равной
в среднем 0,2, а сухих органических 0,35—0,40 ккал!кг!град.
Часто теплоизоляторы представляют собою системы — смеси из
нескольких компонентов; назовем удельные теплоемкости последних
cv с%, ..., а процентное их содержание в смеси, по весу, xlf х2, ...
(это — отвлеченные числа, сумма которых равна единице); тогда,
если имеем дело с сухими материалами, удельная теплоемкость с
композиции может быть вычислена по аддитивной формуле:
с = -ф- с2хг2 -ф- •
Напомним, что величины cit не зависят от степени уплот-
нения материалов.
Приведенные в табл. 25 цифры представляют собою по большей
части результаты некоторых испытаний, производившихся под нашим
руководством в ленинградских научно-технических учреждениях [6, 43,
44, 45], отчасти заимствованы из других источников [40, 46, 47].
Некоторые цифры, преимущественно касающиеся древесины, пласт-
масс и аналогичных органических материалов, нуждаются в уточнении,
на их теплоемкость сильное влияние оказывает влажность, что иногда 1
можно учесть аддитивной формулой, приведенной выше.
Зависимость с от температуры для значительных температурных
интервалов (порядка нескольких сот градусов в случае неорганических
материалов) выражается довольно сложной функцией температуры 0;
однако в технических расчетах ее можно принять линейной, т. е.
полагать
с = с0(1 + Ж
где Ь не зависит от 0.
Для технической керамики и кирпича коэффициент Ь, которым
учитывается зависимость с от 6, довольно близок к 3 • 10-4 град -1
(т. е. к ’/273)1 этой цифрой можно пользоваться в приближенных
подсчетах и для других неоргаников. В частности, для шамота в ин-
тервале (0, 500°) получается:
с = 0,193 (1 4- 0,039 .
К органическим материалам можно применить ту же формулу, но
для них зависимость с от 0 более значительна; в приближенных под-
счетах можно принимать
b = 1—1,2 10~3 град-1.
Итак, у теплоизоляторов с возрастает с температурой.
1 При малых значениях влажности —не более 15°/0.
§7] О ИСПЫТАНИЯХ С ПОМОЩЬЮ АКАЛОРИМЕТРА 245
§ 7. О некоторых сравнительных испытаниях с помощью
акалориметра
Все сколько-нибудь эффективные теплоизоляторы обладают высо-
кой пористостью и их объемный вес у подвержен довольно широким
колебаниям, обусловленным колебаниями пористости. Эти колебания,
естественно, имеют большую величину для новых материалов, техно-
логический процесс изоготовления которых и состав исходного сырья
не в полной мере определились. Отсюда и колебания в теплопро-
водности X.
Увеличение объемного веса данного материала вызывает повышение
его коэффициента теплопроводности; это повышение зависит от рода
материала и подлежит особому исследованию в каждом отдельном
случае. Выполнить такое исследование легко с помощью акалори-
метра, причем нет необходимости знать удельную теплоемкость с
материала.
В самом деле, предположим, что один и тот же акалориметр
наполнен дважды исследуемым материалом, так что плотность его
набивки один раз характеризуется объемным весом 7', а другой
раз — объемным весом 7". Соответствующие этим различным плот-
ностям теплопроводность и температуропроводность обозначим; А' а'
и А", а". Произведя два опыта при разных 7, получим различные
темпы охлаждения, которые пусть будут т' и т", соответственно.
Из формул (1.6) и (14.1), применяя их к этим двум опытам, получим:
X' — а'су' = Кт'су',
к" = Кт" су" = а" су",
а отсюда
В правой части формулы (14.2) стоят величины, известные из
опыта, а поэтому она дает точное указание о том, как меняется
теплопроводность материала при его уплотнении.
Если известны удельные теплоемкости ci и сц двух различных
материалов I и II, объемные веса, теплопроводности и температуро-
проводности которых суть 7р 7П, Ар Ап, а{ и а{1 соответственно, то,
испытывая их в одном и том же (или в одинаковых) акалориметре
и измерив темпы их охлаждения тг и ти, можем сравнить и их тепло-
изоляционные качества, т. е. X, так как из тех же уравнений (1.6)
и (14.1) вытекает:
Aj = KnijCfy^ Ар — Km^c^y
Поэтому
л, т. С, 7г
(14,3)
Ац тЦ СЦ 1ц ’
246 ПЕРВЫЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [гл. XIV
Отсюда видно, что для сравнительных исследований нет даже
необходимости знать коэффициент формы акалориметра: можно вос-
пользоваться сосудом любой формы, например стеклянной колбой.
§ 8. Размеры и форма простейших акалориметров
Размеры и форма акалориметра выбираются в соответствии со
свойствами испытываемого материала. Для обычных порошкообразных,
волокнистых, пенопластов, пенобетонов, изоляционных кирпичей
и т. п. теплоизоляционных материалов однородной структуры мы
применяем акалориметры трех ферм: шаровой, цилиндрической и
призматической (в виде квадратной призмы или в виде прямоуголь-
ного параллелепипеда). Их примерные размеры даны в табл. 26.
Таблица 26
Размеры употребительных акалориметров в сантиметрах
Цилиндрические II II а 7 7 10
Призматические тГ 'Г ОС ' II 1! II : 5 10 5 6,5 12
Шаровые D = 5 6 8
Размеры термостата В, которому целесообразнее всего придать
цилиндрическую форму, должны быть в соответствии с размерами
акалориметра V, со степенью его предварительного нагрева, со
свойствами материала.
Для акалориметров, размеры которых указаны в табл. 26, коэффи-
циент формы не превосходит 2 см-, и при нагреве образцов на
10—20° выше г! объем ледяной ванны должен быть примерно 3—5 л,
объем водяной — от 8 до 15 л. Если ограничить предварительный
подогрев 5—10°, то будут достаточны размеры 1,5—3 л и 5—-8 л,
соответственно.
§ 9. Трубчатый акалориметр
Трубчатый акалориметр может оказаться полезным в тех случаях,
когда остальные акалориметры неудобны или даже вовсе непригодны.
(Его коэффициент формы см. § 1 гл. IV).
Для определения коэффициента формы трубчатого акалориметра,
который целесообразно делать из металла, путем обмена находят
внешние, его диаметры, затем, зная толщину боковых стенок, полу-
§ 9]
ТРУБЧАТЫЙ АКАЛОРИМЕТР
247
Рис. 82. Трубчатый акалори-
метр.
чают внутренние расчетные диаметры Dy и О2, после чего вычисляют
k — Измерение внутренней высоты Z не представляет трудностей;
рис. 82 поясняет сказанное.
Чтобы было удобнее наполнять акало-
риметр исследуемым материалом, вводная
трубка D для термопары не наглухо при-
делана к крышке, как в большей части
акалориметров, а ввинчивается в пробку Р,
которая в свою очередь снабжена нарезкой
для ввинчивания в верхнее основание А
акалориметра (рис. 83). Для наполнения
акалориметра пробка Р вывинчивается,
благодаря чему образуется широкое отвер-
стие в верхнем основании, в которое сво-
бодно входят крупные зерна материала.
Это одна из осуществленных конструк-
ций, конечно, возможны и другие; выбор
конструкции обусловлен свойствами иссле-
дуемого материала.
Если материал монолитный и непро-
ницаем для термостатической жидкости
(например воды), так что образец можно
непосредственно погрузить в нее без защитного кожуха, определение
расчетных размеров Г\, D2, Z не нуждается в пояснениях.
Сложность данной формы побудила нас сделать опытную про-
верку того, с какой точностью осуществляется описанная здесь ка-
либровка акалориметра, понимая под этим
совокупность операций, необходимых для по-
лучения констант прибора. Был произведен
опыт с восковой формой, имевшей размеры
= 3,6 см, 2/?2 = 8,6 см., 2 = 4,4 см.
Калибровка ее производились двояко Во-парвых ,
было найдено К путем вычисления по фор-
муле (4.2). Найденное этим способом значе-
ние К обозначим KBWi. Во-вторых, К опреде-
лялось из опыта по охлаждению этой восковой
формы в тающем льду,
значим /Соп.
Вычисление дает:
Рис. 83. Деталь устрой-
ства пробки и вводной
трубки.
Найден-ое
таким способом значение К обо-
А = 0,419;
т = 5,4;
АГвы,£ =0,478 • 10 4 л2
следующим
Опыт приводит к
пчелиного воска при /=0° температуропроводность равна
и = 3,3 • 10 4 м2!час
результатам. Для натурального
248
ПЕРВЫЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
[гл. XIV
материалов.
-----\2R,
(из опыта с восковым акалориметром кубической формы размерами
5,7 X 5,7 X 5,7 см8).
При охлаждении трубчатого акалориметра найдено т = 6,91 члсл.
Отсюда по формуле (14.1) получается:
Коп = 0,48 • Ю-* л2.
Таким образом, согласие между ^вЫ•I и АГОП получено весьма хо-
рошее.
Практические приложения теории трубчатого акалориметра сле-
дующие.
1. Испытание на теплопроводность неоднородных
практике приходится сталкиваться с испытанием
на теплопроводность материалов, в состав которых
входят компоненты, резко отличающиеся друг от
друга по структуре, пористости и прочим свой-
ствам, в силу чего материал представляется весьма
неоднородным. В этом случае непригодны обычно
употребляемые в лабораториях методы испытания
(например методы пластинки), 1 так как неодно-
родность материала заставляет крайне увеличивать
размеры образцов, вследствие чего величина прибо-
ров оказывается непомерно большой и время уста-
новления режима чрезвычайно возрастает.
В качестве примера возьмем теплобетон, в ко-
тором наполнителем служит крупнозернистый шлак
с зернами размером 30—40 мм. Если для испыта-
ния такого материала применить какой-либо из
методов пластинки, образец необходимо взять тол-
щиной 80—100 мм, а в соответствии с этим диаметр
его должен быть выбран не менее 400—500 мм.
При малой температуропроводности теплобетона стационарный режим
в столь большом образце будет устанавливаться крайне медленно, и для
массовых испытаний метод окажется совершенно непригодным. Здесь
можно применить первый метод регулярного режима, так как этот режим
наступает несравненно быстрее, чем стационарный. Однако вследствие
неоднородности материала для получения средних значений коэффи-
циента теплопроводности мы и здесь вынуждены брать образцы весьма
больших размеров. Обычная форма образцов (параллелепипед или ци-
линдр) в этом случае мало рациональна, потому что коэффициент К
для этих форм весьма велик, в связи с чем число т мало и про-
должительность опыта велика (составляет примерно 1—2 часа).
Придав образцу форму трубчатого цилиндра, можно значительно
понизить К без заметного уменьшения массы испытываемого мате-
------2Rz —Н
Рис. 84. Схема коль-
цеобразного акало-
риметра.
Оицгание стандартных методов пластинки дано
В BKG 7458'
§ 9]
ТРУБЧАТЫЙ АКАЛОРИМЕТР
249
поэтому толщину кольца
—8см —6см~~
Рис. 85. Образец резко
неоднородного материала.
из них /? = 8,23 см,
риала. При этом высоту Z цилиндра не следует брать чрезмерно
большой; ее удобно выбрать так, чтобы она немного отличалась от
толщины цилиндра, равной /?2 — Rr. Образец примет кольцеобразную
форму (рис. 84).
Для того чтобы выяснить, насколько мы выиграем в темпе охла-
ждения, обратимся к примеру и сравним числа К для двух форм рав-
ного объема: трубчатого цилиндра и прямого круглого цилиндра.
Предположим, что мы имеем дело с весьма неоднородным материалом,
как это схематически изображено на рис. 85: в массе плотного ма-
териала заключены крупные зерна пористого вещества, например
шлака, размером 20—30 мм. Выбираем
/?2— /?! = 80 мм, высоту Z = 100 мм,
диаметр внутренней части 2/?* = 60 мм.
Образец этих размеров эквивалентен пло-
скому образцу толщиной 80 мм. Для него
k = 0,3, а == 4,4 (согласно графику рис. 30),
откуда по формуле (4.2) 7<=3,42 с.и'-.
Если образцу материала придать форму
сплошного цилиндра, приняв его высоту Z
равной диаметру 2/?, то при одинаковом
объеме обеих форм получим для втор1
К= 11,27 см2 [по той же формуле (4.2), в которой при /г = О
следует считать а = хг да 2,4048]. Темп охлаждения в первом случае
будет в 3,3 раза больше, чем во втором, в соответствии с чем сокра-
тится и продолжительность опыта.
Указанные здесь размеры трубчатого акалориметра не являются
предельными: имеется возможность увеличить толщину его примерно
до 120 мм. Надобность в образцах столь необычных размеров может
встретиться при испытаниях весьма неоднородных по составу строи-
тельных материалов, каковыми являются материалы, употребляемые
для гидротехнических сооружений, для устройства полов, отопле-
ния и т. п.
Относительно высокая температуропроводность их (порядка
10—20-10-4 м^/час) позволяет увеличить и размеры образцов, что
видно из формулы (14.1), в силу которой для осуществления задан-
ного темпа охлаждения т при большой температуропроводности а
следует взять большим К; величина /< тем больше, чем больше раз-
меры образца.
Образцы значительных размеров требуют увеличения объема при-
меняемых для охлаждения термостатов. Удобно и просто осуще-
ствляется постоянная температура в 0°, получаемая в смеси воды со
льдом; объем ледяной ванны для образцов примерно такого размера,
как это было указано выше, следует взять в 25—30 л.
Расположение горячего спая термопары внутри акалориметра можно
выбрать произвольно. Одно из возможных расположений указано на
рис, 86 (точка /И),
250
ПЕРВЫЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
[ГЛ. XIV
Рис. 86. Схема распо-
ложения рабочего спая
термопары внутри
трубчатого акалори-
метра.
2. Испытание на теплопроводность теплоизоля-
торов в форме листов и пластин, а также тканей
одежды. Метод трубчатого цилиндрического акалориметра можно
применить к определению теплопроводности ма-
териалов, имеющих форму тонких пластин или
листов. При техническом применении листы
материала накладываются друг на друга и рас-
полагаются перпендикулярно по отношению
к тепловому потеку (например теплоизоляцион-
ный картон). Лабораторное испытание материала
должно копировать эти условия, т. е. в лабо-
раторных приборах тепловой поток должен
иметь направление, перпендикулярное к пло-
скости листа.
Если применять для испытания методику ре-
гулярного режима, то наиболее пригодной в дан-
ном случае представится именно форма трубча-
того акалориметра. Материал навертывают на
внутренний цилиндр ABCD (рис. 87) с той или
иной плотностью (соответственно объемному весу, который он имеет
на практике), вставляют в наружный цилиндр EFGH и закрывают
акалориметр крышкой с отверстием и трубкой для ввода термопары
внутрь материала, как показано на схематическом
рис. 87.
Для того, чтобы направить тепловой поток вну-
три материала перпендикулярно к листам, т. е. по
радиусу, необходимо значительно увеличить высоту
цилиндра Z по сравнению с радиусами и /?2,
взяв Z примерно в три-четыре раза больше Rc,.
Тогда количество тепла, уходящее через торцы, бу-
дет невелико, и коэффициент формы К будет лип ь
на несколько процентов отличаться от коэффициента
формы К' бесконечного цилиндра. Это нетрудно
усмотреть из сопоставления формулы (4.2) с формулой
Рис. 87. Схема
а к а л op 11 м е тр а дл я
испытания слои-
стых материалов,
тканей одежды
II т. п.
получающейся из формулы (4.2) при Z—>сю.
При указанном выше выборе Z и R,, влияние
искривления изотермических поверхностей по торцам
на направление теплового потока будет настолько мало, что им можно
пренебречь.
Очевидно, что трубчатый акалориметр в только что описанном
оформлении пригоден и для испытания па теплопроводность тканей
Одежды, потому что для них в обычных условиях носки тепловой
§ 91
ТРУБЧАТЫЙ АКАЛОРИМЕТР
251
поток перпендикулярен по отношению к волокнам. Рациональные раз-
меры акалориметра в этом случае следующие:
Z = 35 см; Ry = 3 см; RQ = 7 см.
3. О применении трубчатого акалориметра для
испытания теплоизоляционных материалов. Для испы-
таний сыпучих и пластических термоизоляционных материалов следует
предпочесть акалориметры более простой формы.
Можно, однако, думать что трубчатый акалориметр найдет при-
менение при испытании скорлупной изоляции на образцах, размеры
которых весьма близки к производственным.
В этом отношении он может до известной сте-
пени заменить опытную трубу ван-Ринзума,
испытание на которой отнимает немало времени
и сопряжено с довольно сложной монтировкой
термопар.
Ориентировочно для этого случая можно
указать следующие размеры акалориметра
(минимальные):
Ry = 5 см; /?2=10 см; Z = 30 см.
Соответствующий жидкостный термостат для
производства опытов с образцами этих разме-
ров показан схематически на рис. 88. Метал- Рис 88. Трубчатый ака.
лический акалориметр с заключенным внутри... лориметр в сочетании
него образцом изоляции является частью термо- с водяным термостатом,
стата, а именно, внутренней его трубой. При
этом мешалка термостата попадает внутрь акалориметра. Такое рас-
положение удобно тем, что оно дает возможность энергично омывать
жидкостью всю поверхность акалориметра и тем самым создать на
ней условия постоянства температуры и отсутствия температурного
скачка, что является необходимой предпосылкой правильного приме-
нения метода. Направление движения жидкости показано стрелками.
Сообщив мешалке достаточно большую скорость (порядка 500—
600 об/мин) и выбрав правильно форму ее лопастей, мы получим
энергичное перемешивание.
Высоту Z и радиусы Ry и R2 можно выбрать самым различным
образом в зависимости от назначения акалориметра. Следует, однако,
принять во внимание, что ио практическим соображениям невыгодно
для радиусов Ry и /?2 назначать такие величины, при которых отно-
р
шение = k становится больше 0,5. В самом деле, по графику
рис. 23 видно, что при больших значениях k (порядка 0,5—0,6 и
более) даже незначительная ошибка в обмере, т. е. незначительная
ошибка в k, уже заметно отражается на а, а следователь^ и на Д)
т. е. на точности измерений.
252 ПЕРВЫЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [гл. XIV
§ 10. Калибровка акалориметров
Оболочка акалориметров, имеющих одну из изученных простейших
форм (см. § 8 и 9 этой главы), для которых К выражается анали-
тически, никогда не имеет совершенной формы; например, реальный
шар всегда в большей или меньшей степени отклоняется от идеаль-
ного. Тогда возникают вопросы: как отклонение формы от идеальной
отражается на коэффициенте формы К\ если форма не идеальная,
что следует принять за длины R, Z и т. д. в расчетных формулах,
чтобы, применяя их, получить К с наибольшей точностью. Ответа,
общего для всех четырех случаев правильной формы, дано быть не
может; в каждом случае приходится вырабатывать свой особый прием.
Однако одно для всех случаев общее условие, которому должны
удовлетворять определяющие форму отрезки Lo, Lv L^, . .. (§7 гл. I),
может уже и теперь быть указано — они связаны уравнением: объем V
равняется известному числу.
Считая объем известным и подчиняя эти искомые величины, функ-
цией которых является К, такому условию, исходим из того сообра-
жения, что внутренний объем акалориметра, какой бы
формы он ни был, может быть всегда найден с весьма
большой точностью посредством взвешивания акалори-
метра пустого и с водой.
1. Калибровка шарового акалориметра.
Внутренняя полость шарового акалориметра может за-
метно отличаться от шара, представляя собой в сущности
сфероид. Измерение наружного диаметра шара с вычи-
танием удвоенной толщины стенки в разных местах шара
часто дает различные значения для 2R и на нем осно-
вываться рискованно. Наиболее естественным является
измерить объем сфероида V, что делается с большей
точностью, вычислить радиус R равного ему по объему
шара по формуле R = 0,62035 ]/ V и подставить это
значение в формулу (2.16).
Этим приемом мы постоянно пользуемся при калибровке шаровых
акалориметров. Из многочисленных опытов, произведенных над стек-
лянными колбами невполне правильной (сплющенной или вытянутой)
формы, мы убедились, что эти отклонения формы на точности изме-
рений не отражаются.
В дополнение к этим опытам были обработаны следующим обра-
зом результаты опытов с плоскодонной колбой, форма которой изоб-
ражена на рис. 89 и уже весьма значительно отличается от шаровой.
Она была прокалибрована и коэффициент формы для нее найден
^=l,21 • 10-4 ж2. Объем колбы У =199 см3.
Далее был вычислен радиус равнообъемного с ней шара и, зная
его, вычислили коэффициент формы шара на основании фор-
мулы (2Д6); он оказался равным Кт = 1,33 • 10-4 ,w2.,
Рис. 89.
Акалориметр
сложной
формы.
101
КАЛИБРОВКА АКАЛОРИМЕТРОВ
255
Из рис. 89, где объем V заштрихован, видно, как далека рас-
сматриваемая форма от формы сфероида; несмотря на это, наш прием
калибровки шарового акалориметра в применении к этой форме дает
ошибку всего только 8—9%. Отсюда понятно, что в опытах со
сфероидами, близкими к шару, в пределах точности обыкновенных
измерений разницы между сфероидальной и точной шаровой формой
не удалось заметить.
2. Калибровка цилиндрического акалориметра.
Пусть форма цилиндра несколько отличается от идеальной. Чтобы
в этом случае определить К, заменяем данный реальный цилиндр
идеальным прямым круговым цилиндром равного объема с данным
и одинаковой высоты с ним; площадь основания этого последнего
пусть равна F. Имеем: F =
Вычисляем R из условия ~R-=F. Это R вместе с измеренным
уже Z вставляем в расчетную формулу (3.9). Таким образом калиб-
ровка сводится к определению V и Z, вместо R и Z.
Установить, насколько этот прием обеспечивает точность в опре-
делении К, можно только экспериментальным путем, так как до сего
времени неизвестны формулы для температурных полей тел сложной
формы.
Нами отдельно исследованы влияние отклонения формы оснований
цилиндра от правильного круга и влияние коничности формы и уста-
новлено, что принятый прием калибровки акалориметра цилиндриче-
ской формы является вполне надежным.
3. Калибровка акалориметра, имеющего форму
прямоугольного параллелепипеда. В этом случае форма
может быть изготовлена более совершенной, чем в двух предыдущих
случаях, и непосредственные измерения длин Л2, £3 можно сделать
точнее, чем измерение длины R. Целесообразно будет измерить две
наибольшие из длин А2, пусть LA > Z,2 > Z..,; затем найдется
вычислением по формуле:
V определяется непосредственно взвешиванием.
При недостаточно тщательном изготовлении аколориметра его
боковые стенки могут оказаться несколько вдавленными или выпучен-
ными. Тогда целесообразно вести калибровку следующим образом.
Измеряем длину тех четырех ребер, по которым Пересекаются эти
стенки. Затем измеряем расстояния между точками пересечения этих
ребер с ребрами основания и находим их отношение. Пусть оно
равно k. Далее вычисляем /_.2 и А3, принимая отношение равным k
и присоединяя сюда
мулу (3.35.)
уравнение L2La =
-=—. Наконец, применяем фор-
5254 ПЕРВЫЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [гл. XIV
4. Определение коэффициента форма К опытным
путем. Первый прием экспериментального определения К указан нами
ранее в § 3 гл. IV и основан на использовании нормального мате-
риала.
Второй, также экспериментальный, прием, пригодный для оболочки
любой формы, гснован на следующем простом соображении.
Пусть имеется оболочка нормальней формы, т. е. такая, для
которой коэффициент формы известен: пусть он равен К„. Наполняем
одним и тем же порошком и совершенно одинаковым способом акало-
риметр нормальный и акалориметр калибрируемый. Заставляя их
охлаждаться в одинаковых условиях (1.1), находим из соответствую-
щих графиков темпы охлаждения тя и т. Благодаря тождественности
материала и способа наполнения можно считать температуропровод-
ность одинаковой в обоих опытах; поэтому получается уравнение:
а = Kin — Кит„,
из которого находим искомое:
К==КЯ- —. (14.4)
т v ’
5. Некоторые замечания о методике калибровки.
На основании предыдущего намечается следующий порядок калиб-
ровки акалориметра.
Необходимо иметь основной („эталонный") акалориметр, изготовлен-
ный с особой тщательностью, весьма правильной формы. Из простей-
ших форм следут предпочесть ф.рму шара. Для эталонного акалори-
метра определяется К прямым измерением — путем обмера давильной
формы, служившей для его изготовления, и, кроме того, К вычис-
ляется из объема, как указано в п. 1. Разница не должна выходить
за границы допуска, величину которого можно установить в настоя-
щее время в 0,2—0,3%. Тогда коэффициент формы для этого
акалориметра, согласно формуле (2.16), будет известен с точностью
не ниже 0,5%.
Полезно иметь второй такой же акалориметр, отличающийся от
первого только величиной радиуса; из многократных экспериментов
с ними можно, сопоставляя уравнение (2.16) с уравнением (14.4),
найти наиболее достоверные значения коэффициентов формы.
Всякий акалоример калибрируется двояко: 1) посредством приемов,
указанных в пп. 1, 2, 3 настоящего параграфа (в зависимости от
его формы); 2) из сравнения его с эталонным акалориметром — опыт-
ным путем — по принципу, изложенному в п. 4. Из сопоставления
результатов и критического разбора обстановки опыта находят
наиболее достоверное значение К.
Если калибрируемый акалориметр сложной формы, то остается
только второй путь.
§10] калибровка акалориметрОв 255
Для калибровки опытным путем следует иметь порошкообраз-
ный материал — наполнитель оболочек. Основной предпосылкой этого
метода являются постоянство и одинаковость температуропровод-
ности а в обоих экспериментах: и при наполнении материалом эта-
лонного акалориметра и при наполнении им калибрируемого акалори-
метра. Поэтому необходимо вести опыт так, чтобы факторы, влияющие
на а, были одинаковы в обоих экспериментах.
Для определения следует вести калибровку при одной и той же
температуре. При какой — теоретически безразлично, так как коэф-
фициент формы, хотя и находится экспериментальным путем, по
существу есть чисто геометрическая величина (см. § 8 гл. I). Прак-
тически всего удобнее вести опыт при 7=0°, как мы и делали.
Выбор нормального материала существенного значения не имеет,
го более предпочтительным является порошкообразный материал,
сс стоящий из зерен равной величины (слишком крупные зерна и
слишком мелкие — пыль — нежелательны).
Для иллюстрации приводим результаты калибровки акалориметра,
имевшего сложную форму, изображенную на рис. 89.
Материал Асбесто- инфузорная масса марки И2 Измельченный инфузорный кирпич Чистый кварце- вый песок
7 (хг/л3) ........ 529 700 1 700
10W (л/2) .- 1,225 1,193 1,21
~ Д/<
Относительная погрешность в определении/<, равная зависит
А
от формы акалориметра. Для ее вычисления достаточно вспомнить,
что К есть функция длин Lo, ..., определяющих форму:
K=f(L0, L}, ...).
Ik этому, обозначив абсолютные значения абсолютней ошибки
измерения длин £0, Lv . . . через AZ,J; . . ., находим:
_ I df | &L0 , I 3/ | AZ-j ,
К i dL0\' |‘ f~1~ •••
Приводим результаты подсчета:
для шара
М _ 9 ДА* .
"~К R’
для цилиндра
ДК о „15,783 ДА? . 9,87 dZ I
~К = 2К[ Ж • Z I •
256
ПЕРВЫЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
[гл. Xiv
Найденная так погрешность есть максимальная погрешность одного
опыта; повторяя опыты, можно улучшить точность.
Средняя квадратичная погрешность нескольких опытов вычисляется
по формуле:
со квадо А/< -i/~( df - АМа \ (df . 1
ср. квадр. к — у J + j + ...
§ 11. Цилиндрический акалориметр с открытым
верхним концом. Теория
Акалориметр любой формы всегда снабжается вводной трубкой D,
как показано на рис. 89, служащей для ввода внутрь акалсри-
метра измерителя температуры, — чаще всего заключенной в двух-
канальную фарфоровую трубочку термопары или ртутного термометра.
Самой простой формой акалориметра будет та, в коте рой отсут-
ствует вводная трубка или же та, в которой трубка и самый акалори-
метр представляют собою
одно целое, т. е. совпа-
дают. Таким образом мы
приходим к акалориметру,
изображенному на рис. 90:
это просто-напросто труб-
ка из металла, стекла и
т. п. с закрытым нижним
концом. Верхний откры-
тый конец трубки захва-
тывается лапкой держателя
штатива и таким способом
Рис. 90. Акалориметр простейшего типа.
1—держатель, 2—воздух, 3—исследуемый теплоизолятор,
/—жидкость термостата, энергично размешиваемая.
погружается в термостат.
Однако при таком,
простейшем из возмож-
ных, устройстве часть по-
верхности акалориметра aob, имеющая размеры, сравнимые с его
остальной поверхностью afb, окажется уже в условиях, при которых
равенство а = сю не имеет места; поэтому возникает сомнение в воз-
можности применения расчетной формулы первого метода регулярного
режима (14.1) или а—Ктх. Условие (1.1) соблюдено на поверхности afb’,
если она велика по сравнению с поверхностью aob, то влиянием
этой последней можно пренебречь и без заметной ошибки пользоваться
формулой (14.1). А это будет тогда, когда высота цилиндра Z
достаточно велика по сравнению с его радиусом насколько велика —
следует установить путем теоретического рассмотрения.
Основная предпосылка здесь будет нами принята следующая. Мы
предположим, что температура термостата t и температура f воздуха,
омывающего поверхность aob, одинаковы:
t — t' — const.
(14.5)
§ И] ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ АКАЛОРИМЕТР С ОТКРЫТЫМ концом 257
Если опыт происходит при комнатной температуре и термостат
долго при ней выдержан, условие (14.5) соблюдается с достаточной
точностью; если опыт ведется при температуре, отличающейся [от
комнатной, над поверхностью aob должно быть устроено защитное
приспособление, позволяющее приблизить температуру t' к t, и таким
образом равенство (14.5) будет
выполняться приближенно.
Коэффициент теплоотдачи gt
воздуха к поверхности aob обо-
значим а. Коэффициент тепло-
проводности материала обозна-
чим X, температуропроводно-
сти а. Обозначим ^- = h.
К
Предположим, что стенки
акалориметра не оказывают
влияния на соблюдение усло-
вия (1.1) (на поверхности afb).
Положительное направление
оси Oz — оси цилиндра — при-
мем вертикальным вниз; начало
координат О поместим в центре
хом (рис. 91).
Собственная фундаментальная
i
Рис. 91. К вывоту формул (14.18)
и (14.21).
верхнего торца, омываемого возду-
функция, дающая решение задачи,
в случае цилиндра имеет вид:
^=4)(М cos(^ + ?).
(14.6)
Здесь г, z — цилиндрические координаты; v, |Э, q— постоянные,
которые должны быть определены посредством граничных условий.
Они связаны с т и р. в данном случае формулой:
р2 = р9 4-А
(14.7)
На наружной поверхности должно быть соблюдено условие (1.30)
или
=о,
\ ап. /нар. пов.
где — знак производной по внешней нормали.
Мы имеем, при указанном выше выборе оси Oz, в верхнем торце
цилиндра
_ dU
dn dz
Граничные условия, в силу сделанных предположений, будут иметь
вид:
(7=0 (14.8)
17 Зак. 750. Г. М. Кондратьев
258
ПЕРВЫЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
[ГЛ. XIV
на нижнем торце;
U=0 (14.9)
на боковой поверхности;
+ = O (14.10)
на верхнем торце.
Так как на боковой поверхности z имеет любые значения, а г = /?,
где 7? —радиус цилиндра, то уравнение (14.9) может быть выполнено
тогда и только тогда, когда будет /оф7?)==О, откуда следует,
что р/? должно быть наименьшим корнем х} бесселевой функции
первого рода порядка нуль (Xj = 2,4048.. .): ^7? = ^.
На нижнем торце z = Z, а г принимает любое значение между 0
и 7?; поэтому условие (14.8) соблюдается тогда и только тогда,
когда будет тождественно
cos (vZ-|- q) = 0. (14.11)
Наконец, на верхнем торце получаем, в силу (14.10) и (14.6):
Jo (₽г) [v sin (*г q) h cos (^ -}- ^-)] = 0
при z = 0 и любом г, а это может быть соблюдено тогда и только
тогда, когда выражение в квадратных скобках [...] будет тожде-
ственный нуль, т. е.
v sin q -J- h cos q — 0. (14.12)
Уравнения (14.11) и (14.12) послужат для определения v и q;
а. здесь любое число.
Частный случай: пусть а—>со. Тогда h—>оо и в силу (14.12),
где у число конечное, находим, что cos^ = 0, а поэтому будет:
где 7V—целое число.
В силу (14.11),
>z + 7 =
N' — также целое числе. Поэтому
vZ — (N' — 7V)ir.
Регулярному режиму соответствуют такие W и N', при которых v,
будучи не равно нулю, будет наименьшим по абсолютной величине,
а это влечет за собой равенство 7V— 7V= 1, так что v, которое
теперь обозначим будет определяться из равенства vrZ = л или
(14.13)
§ 11] ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ АКАЛОРИМЕТР С ОТКРЫТЫМ концом 259
Поэтому т в формуле (14.1) для случая цилиндра будет дано
формулой:
+ (14.14)
причем
0 = -^. (14.15)
Отсюда и получается старая формула для К (3.9).
Пусть теперь а конечное, так что и h конечное число. Исключая q
из уравнений (14.11) и (14.12), получаем следующее трансцендентное
уравнение для определения v:
>ctp(vZ4-/z) = O, (14.16)
имеющее бесчисленное множество корней. Чтобы выбрать тот из
них, который отвечает физической картине явления, руководствуемся
следующими соображениями. Так как т всегда возрастающая функ-
ция а, то т в нашем случае будет меньше того т, которое соответ-
ствует бесконечному а по всей поверхности, т. е. тх'. т < тх.
А отсюда следует, в силу формул (14.14) и (14.7), что v < другими
словами [по (14.3)], yZ < it. Поэтому физике явления удовлетворяет
наименьший положительный корень уравнения (14.16), меньший it.
Введем вместо v положительное число а, полагая
vZ = ir —а. (14.17)
Таким образом, разыскание v сводится к отысканию е, которое
„ л
всегда лежит между 0 и и удовлетворяет уравнению
(к — s)ctgs = AZ; (14.18)
а — убывающая функция от hZ, которая при hZ —> оо (т. е. а —> оо)
стремится к нулю.
Приближенные формулы. Предположим, что критерий hZ
принимает большие значения; в нашей постановке опыта это может
быть достигнуто, при заданных а и А, путем увеличения Z; тогда а
величина малая и, заменяя tge через а, из (14.18) получаем прибли-
женное равенство, которое позволит определить а как функцию hZ,
а именно:
л
T+hZ
при больших hZ,
(14.19)
а отсюда на основании (14.17):
л
(14.20)
17*
260
ПЕРВЫЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
[ГЛ. XIV
Вычислим, насколько т, полученное в условиях а конечного,
отличается от тх, другими словами, какая ошибка получается при
применении в данном случае формулы (3.9).
Имеем:
Из (14.20) и (14.13), разделив одну формулу на другую, получим:
~ hZ + 1
откуда, возводя в квадрат и пренебрегая величинами второго и высшего
порядка малости е?, а3, ..., получим:
Следовательно,
— ~1------=—
„г hZ + 1 •
т ~ 1 2
~ ~ , Р ' hZ + 1 '
+ 4
Так как
Z
л R
то
7ь
0,586 —,
7?2
и окончательно
(14.21)
§ 12. Поправка на оболочку
Предыдущая теория относилась к тому случаю, когда распреде-
ление температур в стенке акалориметра равномерное, точнее сказать,
когда температурный градиент в стенке бесконечно мал по сравнению
с градиентами внутри вещества, наполняющего акалориметр. Практи-
чески это осуществляется, если испытываемый материал плохо про-
водит тепло, а стенка акалориметра металлическая, так что ХОбОЛ при-
мерно в 100 и более раз превышает X.
Однако может оказаться желательным изготовить акалориметр из
стекла или пластмассы, теплопроводность которых является величиной
§ 12]
ПОПРАВКА НА ОБОЛОЧКУ
261
соизмеримой с теплопроводностью материала наполнителя. В этих
случаях необходимо учесть влияние оболочки. Предполагая ее тонкой
и допустив, что распределение температур в ней подчиняется линей-
ному закону (рис. 92), мы пришли к выводу,
ложениях
мула:
имеет место следующая фор-
Lo
<?(Р) = -Г
лобол 1
где
(14.22)
являющаяся следствием формул (6.13) и
(6.14); £0 — основной размер ядра, т. е.
в нашем случае радиус цилиндра; 8 — тол-
щина стенки оболочки.
Обозначим малую величину:
1 8 X
?(/>) £« Мол
(ибо по самой сути дела <р(р) величина
большая).
Критерий р в нашем случае близок к хх:
р =
где Е—малое положительное число. Для
цилиндра
что при этих предпо-
Рис. 92. Распределение тем-
ператур в акалориметре
с тонкой оболочкой из тепло-
изолятора.
М(р)
Р = Ц
Jj — знак бесселевой функции первого рода порядка единица.
Найдем связь между т; и $. Разлагая в ряды по степеням ?, имеем:
—=—(i +—+4+ Л
р хх\ хх х{ )
\(р)= л (*i) — (лх)+7i (xi) — • • • >
Л (?) = л (*т) - (-S) + т4 7о -•
Заметим, что /о(х1) = О и что J'(x) = — /Дх). Подставив эти
выражения в формулу для т; и удерживая члены с 5 не выше вто-
рого порядка, получаем:
[^(^)—4
т; « —---------------------------2-,. (14.23)
262 ПЕРВЫЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [ГЛ. XIV
Обозначив для краткости
л_2_ , 1
X] । 2 (Xi)
и отбросив члены с из предыдущей формулы, получаем:
Xj7]«E4-^2. (14.24)
Обратно, из (14.24), рассматривая Е, как функцию -rj, разложив ее
в степенной ряд и ограничиваясь членами не выше, чем с т,2, на-
ходим:
; да луг,— #х2т,2. (14.25)
Вычислим b. В силу одного из свойств цилиндрических функ-
ций [12],
Ji W =
отсюда, полагая x = xv имеем:
^(•^1)=— 4л(х1)-
Таким образом, вычисление b в (14.24) сведется к вычислению
(х,) и J2(Xj). По таблицам функций [12] вычисляем их и нахо-
1 Ji (X.) 1
дим • —у——г- да; — 0,196; — да 0,4158; поэтому Ь да 0,22.
2 Jj (X]) X] ’ J ’
Формулы (14.24) и (14.25) позволяют составить таблицу функ-
ции <р(р) для цилиндра при значениях р близких к хг, когда ®(/?)
становится весьма большим.
Из (14.22) получаем:
D2 1
а — ttiR1 —.
Очевидно, что
J_ = J Л+2 .. .)да± (1+27,)
р Х± \ Xj J
[ограничиваемся членом только с ц]; получаем:
/?2
а т • —- (1 -(- 2tj)
Ч
или
а да Кт (1 + 2 . (14.26)
\ лобол/
Формула (14.26) представляет собою преобразование формулы
(14,22) и отличается от нашей обычной (1.64) наличием члена с 8,
§.13]
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ТЕОРИИ
263
учитывающего влияние оболочки; она обращается в (1.64) при двух
предположениях:
если — = 0 или если = 0.
R лобол
Формула (14.26) приближенная; точная имеет вил:
а = Кт(\ + 2т|-]-&т|9-|-&1г13-|- .. .),
где k, kv ... — числа нулевой размерности.
Мы отбросили бесконечный ряд, так как его сумма ничтожна по
сравнению с единицей.
§ 13. Экспериментальная проверка теории
Прежце чем переходить к описанию опытов, заметим, что поправка
на выступающий конец калориметра, рассмотренная в § И и опре-
деляемая по формуле (14.21), может быть представлена в несколько
ином виде, если вместо тх ввести коэффициент формы [по (1.64)],
а именно:
а т^Кт
1
1 + 0,586
(14.27)
Такое выражение удобней, так как в него входит только число т,
находимое из опыта. Коэффициент формы К вычисляется по формуле:
<СМ- §
которую в нашем случае — „длинного" цилиндра—удобней писать
в виде:
Кта 0,1729 /?2[1 — 1,707 (14-28)
В большинстве случаев второй член в квадратных скобках фор-
мулы (14.28) очень мал по сравнению с единицей (порядка 1-—2%);
R и Z обозначают внутренние размеры калориметра.
Чтобы ввести рассматриваемую поправку, необходимо, как это
видно из (14.27), знать а и А,
Для точного определения первой величины необходима постановка
специальных опытов; приближенно ее можно оценить примерно
в 7—10 ккал1м?1час]град, если считать, что поверхность aob (рис. 90)
теплоизолятора находится в естественном состоянии или прикрыта
пластинкой, степень черноты которой—число порядка 0,8—0,9. Та-
кова степень черноты для картона, керамики и т. п. шероховатых
теплоизоляторов, а также порошкообразных, зернистых и волокнистых
материалов.
264 ПЕРВЫЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [ГЛ. XIV
Что касается X, то его можно оценить сперва приближенно, зная
7 и с материала и вычислив а по приближенной формуле а^Кт,
т. е. пренебрегая влиянием выступающего конца акалориметра.
Имея эти приближенные значения а и А, подставляем их в (14.27)
и находим уже более точное значение а. Имея это, второе, прибли-
жение, вычисляем второе приближенное значение X и идем так далее
путем последовательных приближений.
Практически в этих выкладках нет необходимости: достаточно
выбрать Z в 10—12 раз больше /?, чтобы поправкой в (14.27) можно
было пренебречь. Нетрудно в этом убедиться на примере, взяв какой-
либо неблагоприятный случай, когда поправка будет наибольшей воз-
можной.
Из (14.27) следует, что поправка тем больше, чем меньше а, чем
меньше Z, чем больше X. Число а во всяком случае не меньше 5;
число X, поскольку мы имеем дело с теплоизоляторами, не больше еди-
ницы (все числа — в технической системе единиц). Пусть калориметр —
относительно короткий, т. е. возьмем неблагоприятное соотношение
R 1
между 7? и Z, а именно: = -°, и положим
£ о
Z = 0,12 м, Z/R = 8,
а = 5 ккал/м-/час!град, Х = 1 ккал)м!час/ град.
Тогда величина поправки будет по (14.27) порядка 3%.
Совершенно таким же образом можем оценить порядок этой по-
правки в любом конкретном случае.
Из ее структуры видно, что порядок второго множителя при доста-
точно большой величине Z будет составлять десятые доли и в худ-
шем случае единицу. Возьмем Z наименьшим, которое допустимо:
Z= 15 см; а будет равно 7; пусть испытываемый материал — плотная
горная порода с Х = 3 (например норит); тогда ^ = 0,35.
Если далее взять = 1,5 см, то получим для этой поправки 0,35,
т. е. примерно 0,6%.
Поэтому, если Z порядка 15 см или выше, a R порядка 1,5 см,
то при испытании теплоизоляционных и строительных материалов,
грунтов и почв (сухих и влажных) поправкой на выступающий конец
акалориметра можно пренебречь: она меньше 1%. Целесообразно вы-
бирать R не меньше 1,5 см, a Z с таким расчетом, чтобы было
Здесь предполагалось, что поперечное сечение акалориметра —
круг; но предыдущий вывод можно распространить и на случай лю-
бого сечения, например прямоугольного или квадратного; необходимо
лишь, чтобы отношение квадрата высоты цилиндра к площади его
поперечного сечения было число порядка 30 или больше. Это заме-
чание указывает на новые практические возможности испытания бето-
§ 13]
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ТЕОРИИ
265
нов, строительных материзлсв, сгнеупорсв и т. п., образцам которых
легче всего придать форму удлиненных призм (желательно квадрат-
ного сечения). Возможность же оставить верхний конец акалориметра
открытым значительно облегчает эксперименты: упрощается задача
защиты образца и термопары от проникновения жидкости термостата,
в который погружен акалориметр.
С поправкой на оболочку, разобранной в § 12, дело обстоит зна-
чительно хуже: поскольку мы
ными акалориметрами, по-
скольку в формулу (14.26)
входит отношение &/R, ко-
торым мы не так свободно
можем распорядиться, как
отношением ZjR,— ее нам
везде приходилось принимать
в расчет.
Во всех наших опытах,
описанных далее, мы поль-
зовались дешевыми, просты-
ми калориметрами—стеклян-
ными пробирками, мензур-
ками и трубками.
Результаты опытов. Для
введения поправки на обо-
лочку необходимо знать
в наших
Рис. 93.
опытах пользовались стеклян-
Опытные стеклянные цилиндри-
ческие акалориметры.
коэффициент теплопроводно-
сти стекла; непосредственно
мы его не определяли, оценили на основании опытных данных [48].
Мы приняли среднее значение ХОбол~0,6. Материалом — наполните-
лем акалориметров служил мелкий речной песок, температуропровод-
ность которого, предварительно определенная при помощи металли-
ческого акалориметра, оказалась равной 8,7 • 10-4 м^/час. Теплопро-
водность этого песка, по опытам А. Ф. Бегунковой, равна 0,26
(найдена посредством плоского бикалориметра [51]).
Первый опыт. Акалориметром служила U-образная стеклянная
трубка, изображенная на рис. 93, а.
Эту трубку можно рассматривать как сложенные нижними осно-
ваниями два цилиндра с открытыми верхними основаниями; в фор-
муле (14.28) за Z следует взять половину длины отрезка осевой
линии трубки, заключенного между открытыми основаниями.
Размеры следующие: Z = 17 см; R = 6,7 мм; 8 = 1,3 мм.
Опыт в водяной ванне с энергичным перемешиванием дал:
т = 93 час'1.
Поправка на оболочку по (14.26) равна:
_ 1,3 0,26 П1Й
2 ‘ 67 • “6J = 0>16б-
266
ПЕРВЫЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
[гл. XIV
Коэффициент формы по (14.28):
#=0,0778 • 10-4.
Отсюда находим, по (14.26):
а = 0,0778 • 93 • 1,16б 10~4 = 8,4 • 10~4.
Второй опыт. R = 10,5 мм; 8=1,3 мм;
(р»е. 93, 1Г); к= 0,189.10-*.
Опыт дал: /п = 41,4 час-1. Поправка на оболочку
а = 41,4 • 1,89 • 1,11 • 10-* = 8,65 • 10"*.
Z = 14,2 см
равна 0,107;
Третий опыт. Толстостенная мензурка: наружный диаметр 50 мм,
внутренний 46 мм, высота песка 22,5 см, т. е. R = 23 мм; 8 = 2 мм
(рне. 93,«); 0,915.10-.
Опыт дал: т = 8,5 час~\ Поправка на оболочку: 0,075.
а = 8,5 • 0,915 1,075 • 10~* = 8,35 • 10-“.
Четвертый опыт. Тонкостенная трубка с запаянным концом:
Z? = 15,4 мм; 8=1,1 мм; Z = 223 мм (рис. 93, г);
0,1729 • 1,54 • 10~4 [ 1 — 1,707 ЖУ] = 0,407 • 104
I \22t>3 / J
Опыт дал: т — 19,65. Поправка на оболочку: 0,062.
Отсюда
а= 19,65 • 0,407 • 1,062 • 10~4 = 8,5 • 10~*.
Сводка опытных данных
№ опыта мм Ci, мм W, час~г Поправка на обо- лочку 10*. л, м2/час Примечание
1 6,7 1,3 93 0,165 8,4 Применялся зер-
2 10,5 1,3 41,4 0,107 8,65 кальный гальва-
3 23 2 8,5 0,075 8,35 нометр и нуль-
4 15,4 1,1 19,65 0,062 8,5 гальванометр
ср. 8,5
Таким образом, теория, расчеты и опкты приводят к заключе-
нию, что цилиндрический акалориметр с выступающим концом вполне
пригоден для точных измерений, если правильно выбрать его основ-
ные размеры.
ГЛАВА XV
ВТОРОЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА.
ЛАМБДАКАЛОРИМЕТР
§ 1. Первый вариант метода
и его экспериментальное осуществление
Общая теория. Предположим, что посредством первого ме-
тода регулярного режима найдена температуропроводность а испы-
тываемого материала. Тогда его теплопроводность X может быть
определена посредством второго метода регулярного режима, который
заключается в следующем. Пусть из этого материала изготовлен
образец определенной формы и пусть он охлаждается (или нагре-
вается) в газообразной среде при постоянных граничных условиях,
т. е. t = const, а = const. Примером тому может служить охлажде-
ние предварительно нагретого цилиндра в камере спокойного воз-
духа, находящейся в комнате с установившейся температурой.
Предположим, что, введя внутрь образца какой-либо измеритель
температуры, мы из наблюдений над ходом охлаждения его нашли т
(см. гл. X).
Применим теперь к этому явлению формулу (1.54) и представим
критерий С в развернутом виде; мы получим:
где
<Р(Р) ’
(15.1)
Стоящая в правой части функция <р(р) должна считаться извест-
ной функцией параметра р; она может быть дана в виде таблицы,
или посредством графика, или аналитически. Так как т, а и Lo
известны, то мы находим вычислением р, а после этого и его функ-
цию <р(р). Предположим, что мы определили для данных условий
опыта коэффициент теплоотдачи а; тогда вся правая часть фор-
мулы (15.1) будет вычислена, т. е. мы будем знать теплопровод-
ность X,
268
ВТОРОЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
(ГЛ. XV
Предположим, что и объемный вес материала у тоже определен;
раз уже известны а и у, мы, в силу (1.6), найдем удельную тепло-
емкость материала с:
X
с = —.
а-{
Для реализации изложенного метода необходимо, прежде всего,
располагать термостатом — воздушным или газовым. В качестве та-
кового можно применить „камеру спокойного воздуха", описанную
в гл. XII. Для работ при температурах выше комнатной следует
применить электрический нагрев. Весьма целесообразно поместить
внутрь камеры дополнительную цилиндрическую стенку из красной
меди или алюминия: она повысит теплоемкость всей установки и
создаст, благодаря хорошей теплопроводности металла, изотерми-
ческую поверхность, что, в свою очередь, обеспечит равномерность
температуры воздуха внутри камеры.
Для экспериментов при высоких температурах (до 1100°C) при-
годна электрическая печь, описанная далее в § 7 гл. XVI.
Для экспериментов при низких температурах в зимнее время
можно воспользоваться естественным холодом, внося в холодное по-
мещение или на открытый воздух камеру, подобную вышеописанной,
или построив специальную камеру (меньших размеров), охлаждаемую
извне за счет холода бифилярно навитого на ее поверхность змее-
вика (из меди), по которому протекает хладоагент от холодильной
машины.
Во всех этих случаях необходимо позаботиться об устройстве
мощной теплоизоляции.
Для опытов в вынужденном потоке при комнатной температуре
мы применяли трубы (деревянные или металлические), снабженные
Рис. 94. Горизонтальная трубка с вынужденной циркуляцией
воздуха для ламбдакалориметра.
на конце вентилятором, приводимым в движение электромотором.
Схема одной из таких труб, имеющей квадратное поперечное сече-
ние 30X30 см, дана на рис. 94.
Рациональнее располагать трубу вынужденного потока верти-
кально. Именно такое расположение предусмотрено в двойной трубе
ПЕРВЫЙ ВАРИАНТ МЕТОДА
269
§ И
М. П. Стаценко [43]. Эта установка состоит из двух легких железных
труб, диаметром по 20 см, идущих параллельно в вертикальном
направлении на расстоянии 25 см друг от друга и соединяющихся
наверху в один общий рукав, идущий горизонтально и оканчиваю-
щийся насадкой длиною 50 см и диаметром 35 см.
Внутри насадки помещается мотор с вентилятором, создающий
два одинаковых параллельных потока воздуха. Длина прямой части
труб равна 100 см, расстояние их нижних концов от пола 75 см .
В нижней части каждая труба снабжена раструбом для выравнивания
потока. Необходимо тщательное изготовление для обеспечения пол-
ной тождественности воздушных потоков. Это устройство анало-
гично устройству нижней части психрометра Ассмана.
Трубы вынужденного воздушного потока для температур выше
комнатной нами не применялись; очевидно, здесь придется избрать
трубу с замкнутой циркуляцией воздуха и с боковым электрона-
гревом.
Для опытов в свободном потоке воздуха можно использовать
иногда и комнатное помещение, если оно находится в благоприятных
температурных условиях; таковы, например, в летнее время поме-
щения на северной стороне здания, имеющие толстые стены и, сле-
довательно, большую термическую инерцию .
Следует, впрочем, заметить, что всякие неплотности в дверях,
окнах и пр, уже отражаются на постоянстве вентиляционного режима
помещения, а поэтому, если отказаться от камеры спокойного
воздуха, то ее следует заменить экраном против воздушных по-
токов случайного характера, возникающих и исчезающих в данном
месте.
Все вышеперечисленные термостатированные камеры должны удо-
влетворять двум требованиям: во-первых, стенки камеры должны
иметь повсюду одинаковую температуру, во-вторых, картина цирку-
ляции воздуха в ней должна быть устойчива по времени и хорошо
воспроизводима от опыта к опыту.
Обеспечить соблюдение этих условий в течение длительного вре-
мени в камерах спокойного воздуха далеко не всегда оказывается
возможным: режим камеры зависит от режима комнаты; но на про-
тяжении нескольких часов или суток даже при не особенно устой-
чивом режиме помещения режим камеры, если она правильно устроена,
меняется мало.
Для режима камер с циркуляцией воздуха существенное значение
имеет постоянство скорости вращения вентилятора, которое обу-
словлено постоянством числа оборотов электромотора, вращаю-
щего вентилятор; это число не должно меняться в течение всего
опыта.
Критерием постоянства вентиляционного режима может служить
показание какого-либо альфакалориметра, помещаемого всегда в одно
и то же место камеры (ср также § 3 глХП) .
270 ВТОРОЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [гл. XV
В ряде случаев возникает обстоятельство, подобное тому, с ко-
торым мы уже столкнулись при реализации первого метода: прихо-
дится герметизировать образец от внешней среды, или обертывая его
тонкой металлической фольгой или заключая его в сосуд, чаще всего
металлический, иногда стеклянный.
Сосуд с жесткими стенками, имеющий определенные размеры и
такую форму, для которой функция в (15.1) известна, назван
нами ламбдакалориметр. Наполнив его исследуемым термоизоля-
тором, проведя опыт в условиях известного а (конечного), можно
найти теплопроводность А („ламбда") материала; отсюда и название
калориметра.
Иногда этот термин мы употребляем и по отношению к комби-
нации из только что упомянутого сосуда и приспособления для опре-
деления коэффициента теплоотдачи.
Основные элементы установки при измерениях по второму методу
те же, как при первом методе; они перечислены в § 2 гл. XIV.
Роль термостата В играет камера или труба принудительной цир-
куляции или само помещение.
Применяя электрические методы, можно вести дистанционные
измерения температуры t и температурной разности U. Для измере-
ния t можно применить электрический термометр сопротивления —
медный или платиновый (в зависимости от высоты температуры t)
или термопару; измерение & производится по схеме § 3 гл. X. Это
позволяет использовать печи полупромышленного типа и помещения
холодильников.
§ 2. Определение коэффициента теплоотдачи а
Первый способ определения а. Пусть наряду с испы-
тываемым образцом или калориметром имеется альфакалориметр той
же формы и тех же размеров. Заставим его охлаждаться совершенно
в тех же условиях, как и образец, так, чтобы а можно было для
них обоих считать тождественным.
По одной из формул (11.1), (11.3), (П.4) или (11.6) определяем а.
и вносим это его значение в расчетную формулу (15.1) второго
метода.
Второй способ определения а. Этот способ — электро-
калориметрический— основан на определении теплопотери полого
металлического калориметра, нагреваемого посредством находящегося
внутри него электрического нагревателя и имеющего ту же форму
и размеры, как и образец.
Здесь при помощи термопары, которая перед тем должна быть
тщательно проградуирована, измеряется температура поверхности ка-
лориметра tg и электрическим способом определяется полное коли-
чество тепла Q, которое должен в единицу времени развивать
электронагреватель для поддержания постоянной разности темпера-
§ 2] ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛООТДАЧИ а 271
тур ts —1= Д/ между поверхностью калориметра и окружающей
средой.
Само собой разумеется, что электрокалориметр должен нахо-
диться в тех же условиях, в которых охлаждается исследуемый
образец, т. е. нагрев регулируется так, чтобы постоянная разность Д/
незначительно отличалась от и — t, чтобы среда Е находилась в одном
и том же состоянии при обоих опытах.
Если I—выраженная в амперах сила тока в нагревателе, V—на-
пряжение на его зажимах в вольтах, то выделяющееся в нагревателе
за час ленц-джоулево тепло равно
Q — 0,860 IV [ккал/час],
а коэффициент теплоотдачи выражается формулой
___ Q Г ккал I .. _ 9
а ' .S Д/ [.и- X час X г/wdj ‘ 1 • )
При этом способе измерения а предполагается, что стенка кало-
риметра обладает достаточно большой толщиной, а ее материал —
металл — настолько высокой теплопроводностью, что температура
выравнена по всей наружной поверхности. При небольших размерах
калориметров (Ао порядка 3—5 см) это предположение достаточно
хороню оправдывается на опыте, если брать для изготовления электро-
калориметра медные, латунные и им подобные металлы, а толщину
оболочки брать не ниже 2—2,5 мм.
Из этих двух способов определения а мы пользуемся на прак-
тике почти исключительно первым; он проще и по точности не
уступает второму.
В качестве нормального материала для изготовления альфакало-
риметра мы берем металл, для которого хорошо изучена зависимость
удельной теплоемкости от температуры и который обладает высокой
теплопроводностью.
Для ориентировки можно воспользоваться цифровыми данными
для с некоторых металлов, приведенными в § 2 гл. XII, и следую-
щими данными:
свинец...........с = 0,031 при t=18°
олово.............с = 0,052 „ t = 18°
ртуть.............с = 0,0333 „ t = 0—20°
Альфакалориметр, который в дальнейшем мы для краткости бу-
дем обозначать буквой IV, в то время как для образца или его обо-
лочки изберем букву X, в данном случае изготовляется из металла:
теплоизоляторов мы здесь почти не применяем.
Применение металлов с известной теплоемкостью не только
чрезвычайно упрощает эксперимент: оказывается возможным для
вычисления а воспользоваться простейшей формулой а =• /мФ, так
как при нашей постановке опыта можно считать Ф = 1. В самом
272 ВТОРОЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО режима [гл. XV
деле: главный размер Lo наших калориметров не превышает, как мы
увидим далее, 4—5 см; величина а при охлаждении в воздухе, даже
при его энергичной циркуляции, есть число порядка 30—40; для метал-
лов X число порядка 30—40 или выше; поэтому критерий С исчисляется
сотыми долями, а тогда Ф отличается от единицы меньше, чем на 1%,
как это видно из таблиц для простейших тел, помещенных в приложе-
нии. К тому же заключению приводят критерии $ и т]. Следовательно,
это верно для случая тел из металла какой угодно формы, имеющих
размеры примерно такие же, как описываемые ниже калориметры.
Необходимым условием успешного проведения опыта является
тождественность а для калориметра N и калориметра X. Покажем,
какими экспериментальными приемами это достигается.
Прежде всего заметим, что устройство всех описанных термо-
статов имеет одну общую черту: стенки их поддерживаются при
постоянной температуре ta. Поэтому и температура ограниченного
ими воздушного пространства будет та же самая: t = Следова-
тельно, если ламбдакалориметр или альфакалориметр М располо-
жены симметрично по отношению к стенкам термостата или пооче-
редно, т. е. разновременно, помещаются в одно и то же место ка-
меры, например в ее центр, то ак будет для них одинаково; не-
обходимо лишь вести опыт при малых разностях температур ид и ia,
как это разъяснено в § 2 гл. VIII.
Далее, на основании высказанных там соображений можно счи-
тать для каждого калориметра
ot = ак «л-
Поэтому для достижения полного равенства aN и нужно,
чтобы коэффициенты интегральной лучеиспускательной способно-
сти aN и были одинаковы у обоих тел: альфакалориметра и
образца. В самом деле, в нашем случае взаимного расположения
стенок термостата и тела можно считать
“л = ° I1 + ''I (US’ «1
[см. (12.5) и (12.3)], где т]—положительное число, которое очень
мало меняется, когда ug принимает значения, близкие к t. Поэтому
для осуществления условия
= Юх
необходимо и достаточно, чтобы было
=
(ср. с гл. XII).
Осуществляется это условие без труда: если образец испыты-
ваемого материала не заключен в оболочку, то можно одинаково
§ 3] ОСнойнЫе элементы аппаратуры, пеДеНиё ОпыгА 273
закрасить или покрыть лаком, пастой и т. п. и образец и альфа-
калориметр; если же он находится в металлической оболочке, можно
по желанию ее никелировать или зачернить и т. п.
Если наши опыты будут протекать в вышеописанных условиях,
то закон Ньютона, являющийся одной из предпосылок теории ре-
гулярного режима, будет действителен, и мы будем вправе ожидать
полного согласия между выводами теории и результатами экспери-
ментов, что подтверждается многочисленными опытами. В качестве
примера один из них нами приводится далее в § 6.
§ 3. Основные элементы аппаратуры.
Ведение опыта
Основные элементы аппаратуры, необходимые при применении вто-
рого метода регулярного режима, те же, как и в первом методе.
Разница лишь в типе термостата, т. е. в агрегатном состоянии термо-
статируемой среды Е'. там Е— жидкая или твердая среда, здесь Е —
газ (воздух). Кроме того, опыт более длителен, так как здесь необхо-
димо определить а.
Не затрагивая покамест вопроса об устройстве и калибровке
ламбдакалориметра, дадим общие указания по ведению опыта.
Опыт состоит в наблюдении охлаждения альфакалориметра N и
в наблюдении охлаждения ламбдакалориметра X. Предварительно
нужно убедиться в том, что вентиляционный и тепловой режимы тер-
мостата и помещения, где он находится, установились. После этого
калориметр нагревают на 5—10° выше температуры t термостата и
подвешивают на тонких нитях или проволоках в камере или в трубе,
в ее центральной части, т. е. на равных расстояниях от дна и от
верха и на одинаковых расстояниях от боковых стенок. В двойной
трубе вынужденного потока, описанной в § 1 этой главы, калори-
метры подвешиваются на расстоянии 60 см от конца.
Расстояние холодного спая термопары от калориметра выбирается
в зависимости от условий измерения: если опыт проводится в камере
спокойного воздуха, то не следует располагать холодный спай ближе
10 см, иначе он попадает в зону воздуха с интенсивными токами
естественной конвекции и с переменной температурой; если же опыт
ведется в вынужденном потоке, холодный спай можно поместить и
в непосредственной близости к калориметру. В первом случае полезно
„одеть" его небольшим, распушенным комочком ваты, который предо-
храняет спай от случайных попаданий струй воздуха, не характерных
для среднего режима камеры.
Если режим хорошо изучен, так что известны условия его ста-
бильности, то достаточно провести два измерения: одно—с телом АГ,
другое—с телом X. Если есть некоторые сомнения в стабильности
режима, следует повторить опыт или с X или с N в последователь-
ности: N, X, N.
13 Зак. 750. Г. М. Кондратьев
274 ВТОРОЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА (гл. XV
Если в первом и во втором опыте с альфакалориметром темпы
его охлаждения mN значительно — на 4—5% и больше — между собою
отличаются, это служит указанием на изменение термического и гидро-
динамического состояния камеры, происшедшего уже в течение опыта;
следует тщательно изучить камеру и стабилизировать величины, от
которых зависит ее состояние.
Считая, что изменение состояния камеры происходит довольно
медленно, можно принять, что mN изменяется приблизительно про-
порционально времени, а поэтому среднее арифметическое из двух
показаний альфакалориметра yV будет соответствовать примерно вре-
мени охлаждения калориметра X.
Точность определения А вторым методом регулярного режима в зна-
чительной степени обусловлена точностью измерения а, и этой опера-
ции следует уделить особое внимание; следует добиваться хорошей
повторяемости в измерении а.
Если все параметры, от которых зависит работа данного воздуш-
ного термостата, стабилизированы, тогда вполне определяется и вели-
чина а для альфакалориметра, в нем охлаждающегося. Однако вели-
чину а нельзя определить раз навсегда так, чтобы при всех после-
дующих измерениях ограничиться только наблюдением охлаждения
калориметра X. Опыт показывает, что в камерах спокойного воз-
духа даже незначительные различия в температурных условиях стенок
камеры или, если это сверху открытая камера, в вентиляции воздуха
вне ее — уже отражаются на повторяемости результатов. Поэтому
необходимо каждый раз определять я. Чем меньше размеры калори-
метра, тем хуже повторяемость результатов: всякие вариации в рас-
пределении я по поверхности сильнее отражаются на осредненном
значении я, которое только и позволяет измерить альфакалориметр
(см. § 6 гл. 1).
Обработка опытных данных отличается некоторыми особенностями.
Они обусловлены структурой расчетных формул, обзору которых
посвящены § 4 и 5. Мы рассмотрим по порядку различные формы
ламбдакалориметров, — простейшие, вошедшие в практику, для кото-
рых нами установлены простые приемы расчета. Сперва рассмотрим
формулы, получающиеся в предположении, что оболочка отсутствует
или теплоемкость оболочки ничтожно мала по сравнению с тепло-
емкостью образца испытываемого материала, и ее толщиной можно
пренебречь по сравнению с его размерами.
§ 4. Расчетные формулы для ламбдакалориметров
без оболочки
Шаровой ламбдакалориметр. Для испытания твердых тел этот
вид ламбдакалориметра мы почти не применяем из-за трудности изго-
товления образцов шаровой формы; однако он пригоден для испыта-
ния дерева, пластмасс и т. n., j_ .также для вязких плотных и сильно
§ 4[ ФОРМУЛ,! ДЛЯ ЛАМБД КАЛОРИМЕТРОВ БЕЗ ОБОЛОЧКИ 275
теплоемких масс (вроде смол, мазута, гудрона), налитых в жидком
виде в тонкую об блочку ( из металла, стекла) - и в ней застывших.
Расчетная фомула дана в § 4 гл. II; развернув формулу (2.14),
находим:
, Ч 7? ГА в / /И / , Г“ 0 \
здесь /? — радиус шара.
Коэффициент теплоотдачи а определяется при помощи шарового аль-
факалориметра, наружный радиус которого одинаков с диаметром
образца. Обозначив его полную теплоемкость и наружную поверх-
ность 5ДГ, получим а из формулы:
= (15-4)
где Фм — константа альфакалориметра, определяемая раз навсегда.
Если ламбдакалориметр изготовлен из одного металла и сплош-
ной, то
“ЧШЛ- (15-5)
где и удт—удельная теплоемкость и плотность металла.
Функция Ф(р) вычисляется по табл. III приложения.
Цилиндрический и дисковый ламбдакалориметры. Обозначим
радиус, диаметр и высоту цилиндра /?, D, Z, опуская значок „Ха
для простоты письма.
Расчетные формулы нам дает теория регулярного охлаждения
цилиндра, изложенная в § 1, 2, 3 гл. III. Различим три случая:
Z/D>1, Z?/Z>1, D = Z.
Случай ZfD>\. Из формулы (3.4) следует, что
1=т®; !=!Н); (15.6)
[см. (3.10), (3.11), (3.17)1.
Поэтому для вычисления А следует сперва определить р, исходя
из т и а, а затем по табл. 4 значений функции s = s(p,
найти $; после этого первая из формул (15.6) позволить определить X.
Случай DfZ >1 (круглая пластинка или диск). Из
формулы (3.6) следует, что
a2z
х = т4г' •' = </’'. 4); = <16-7)
[см. (3.12), (3.13), (3.20) и табл. 5 и 6].
18*
2/6 ВТ0РСЙ МЕТОД РЕВ/ Л» HOD РЕК ИА j Г I. X?
Случай D- - Z (архимедов цилинд р). Здесь можно поль-
зоваться любой из вспомогательных величин Sj и qv связанных между
собою уравнениями (3.14). Если в предыдущих случаях
делающий размер мы брали каждый раз наименьшую из
-^-Z, то в данном случае р и р' совпадают и рг обозначает
величину:
за опре-
длин R и
их общую
(15.8)
Функциональные зависимости и qx от рг даны в табл. 3 (см.
§ 2 гл. III).
Предельные случаи. Случай весьма длинного ци-
линдра: Z/Z)-»oo. Как разъяснено в § 3 гл. III, если высота ци-
линдра превышает в три-четыре раза его диаметр, он практически
ведет себя, как бесконечно длинный: s^ap, и вместо (15.6) мы имеем
для расчета простую формулу:
Случай „тонкой" круглой пластинки. Как разъяснено
в § 3 гл. III, диск, толщина которого в шесть-семь раз меньше диа-
метра, практически охлаждается, как неограниченно протяженная пла-
стинка: q^pr, и расчетная формула примет простой вид:
aj_z _
1 = Ж; /Ч2/"•
Всюду в предыдущих формулах встречаются функции / (х) и Л’(х);
для их вычисления следует пользоваться таблицами, данными в при-
ложении.
Вспомогательные параметры s и q удобнее не вычислять по таб-
лицам, а определять из графиков, приведенных на рис. 13 и 14
(см. гл. III).
Альфакалориметры при испытании образцов цилиндрической формы
имеют форму цилиндров одинаковых с образцом размеров; формула для
вычисления а имеет тот же вид (15.4), как и в случае шара, —на-
ружная поверхность калориметра, CN—его полная теплоемкость.
Цилиндрическая форма образца наиболее удобна в практическом
отношении, так как точное изготовление образцов такой формы не
представляет затруднений. Поэтому цилиндрические и дисковые
ламбдакалориметры получили наибольшее распространение.
Прямоугольный призматический ламбдакалориметр. Этот вид
ламбдакалориметра, особенно пригодный для испытаний строитель-
ных материалов, до сих пор не получил распространения, хотя
§ 4] ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЛАМБДАКАЛОРИМЕТРОВ БЕЗ ОБОЛОЧКИ 277
опыты по его применению привели к вполне благоприятным резуль-
татам [49].
Мы пользовались им и для испытаний теплоизоляционных материа-
лов (например пробки).
Расчетные формулы для наиболее общего случая нами не выве-
дены по причине громоздкости вычислений, о чем мы говорили еще
в конце § 5 гл. III.
Поэтому здесь мы рассмотрим некоторые частные случаи прямо-
угольного призматического ламбдакалориметра, расчетные формулы
для которого могут быть даны, как простая перефразировка теории,
изложенной в § 5 той же главы.
Квадратный удлиненный призматический ламбда-
калориметр. Обозначим сторону квадрата в осно-
вании ¥ = X, высоту Z (рис. 95); отношение ребер
За определяющий размер возьмем наименьший:
Теория, изложенная в § 5 гл. III, приводит к сле-
дующим расчетным формулам:
Рис. 95. Удли-
ненный квадрат-
ный призматиче-
ский ламбдака-
лориметр.
(15.11)
Вторая из этих формул выведена в гл. III: это формула (3.52);
третья — это одна из формул (3.33), написанная в предположении,
что осг = а2 = а3 = а.
Частный случай: кубический ламбдакалориметр
(§ 5 гл. III). Он получается, очевидно, когда s' = l. В этом случае
мы имеем совершенно точные формулы:
где X—длина ребра куба.
Предельный случай весьма длинной квадратной
Y
призмы: (е'—> 0). В § 6 гл. III доказано, что когда вы-
сота Z квадратной призмы в три-четыре и более раз превышает
сторону Y — X квадрата в ее основании, то эта призма ведет себя
практически, как, бесконечно длинная, регулярный режим которой
278
ВТОРОЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
[ГЛ. XV
определяется уравнениями (3.41) (§ 5 гл. III). Поэтому расчетные
формулы будут следующие:
1/2/
Квадратный пластинчатый ламбдакалориметр. Его
теория содержится в § 5 гл. III. За определяющий размер выбе-
рем половину толщины пластинки: LQ = ^X, Y=Z (рис. 96).
Первая из формул (3.33) и формула (3.41) и
являются в данном случае расчетными, так что мы
будем иметь:
Рис. 96. Пластин-
чатый квадрат-
ный ламбдакало-
риметр.
1 ,,, Г т 1
п = -о- л 1/ — ; -г.-- р\
и 2 V а ' 4 у 1 +2»-2
Х= -я=—.
(15.14)
О XX
Здесь & = — —
При е = 1 мы отсюда получим, как частный слу-
чай, кубический ламбдакалориметр.
Предельный случай „тонкой" квадрат-
ной пластинки. Из рассуждений § 6 гл. III
следует, что квадратная пластинка, толщина которой
в шесть-семь раз меньше стороны основания ее, охлаждается почти
как неограниченная; расчетная формула для такой „тонкой" пластинки
получится из (15.14), если положить в = 0. Мы видим, что, как и сле-
довало ожидать, эта формула совпадает с формулой (15.10) для тонкой
круглой пластинки.
Заметим в заключение, что случай длинного призматического
ламбдакалориметра, торцами которого служат прямоугольники с не-
равными сторонами, разбирается совершенно аналогичным образом.
За определяющий размер принимаем половину наименьшей из сто-
1 У
рон прямоуюльника: -^-Х. Обозначим —.
2 . Л
Расчетные формулы будут:
(15.15)
§ 5] ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЛАМБДАКАЛОРИМЕТРОВ В ОБОЛОЧКЕ 279
§ 5. Расчетные формулы для ламбдакалориметров
в металлической оболочке
Порошкообразные материалы, теплоизоляторы, имеющие малый
объемный вес, которые в настоящее время находят все более широ-
кое распространение, необходимо заключать в жесткую оболочку.
Этим избегают нарушения целости хрупкого образца и конвекции
наружного воздуха сквозь поры материала (если это незамкнутые поры,
что чаще всего и бывает). Тепло-
емкость оболочки в этих случаях
почти всегда настолько велика, что
пренебрежение ею совершенно недо-
пустимо; расчетные формулы преды-
дущего § 4 должны быть заменены
новыми, к которым мы сейчас и пе-
рейдем.
Мы ограничимся рассмотрением
только двух случаев: шарового и ци-
линдрического ламбдакалориметров,
которые практически хорошо раз-
работаны и получили широкое при-
менение. Будем предполагать, что
оболочка из металла, а поэтому
теплопроводность ее в несколько де-
сятков раз превышает теплопро-
водность заключенного внутрь нее
теплоизолятора. Поэтому градиенты
температуры внутри оболочки пре-
небрежимо малы по сравнению с гра-
диентами внутри образца — ядра, и
распределение температур вдоль по
радиусу изображается так, как эт<
теория регулярного охлаждения тел этого рода изложена в § 3 гл. VI.
Расчетные формулы для шарового ламбдакалориметра в ме-
таллической оболочке. Эти формулы представляют собою частный
случай формулы (6.18) общей теории, а именно, формул (6.19) и
(6.20) § 3 гл. VI:
Рис. 97. Температурное поле
ламбдакалориметра с оболочкой
из металла.
1—теплоизолятор, 2—металл, 5—темпера-
турная кривая для момента времени т.
показано на рис. 97. Общая
•^2 1 /. т ^обол \,
Л ~ ® Л>Г * фТрГ V a S~/ ’
(15.16)
Ф(р)= 1 — pctgp.
Здесь и — внутренний и наружный радиусы шаровой оболочки;
5 —ее наружная поверхность ( = 4it /?р; Собол— ее теплоемкость,
280
ВТОРОЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
[гл. XV
Расчетные формулы для цилиндрического ламбдакалориметра
в металлической оболочке. Эти формулы аналогичны предыдущим
и приведены в той же гл. VI. В зависимости от того, будет ли Z > D
или D > Z, вводится тот или иной из вспомогательных парамет-
ров s, q.
Случай Z > Z) (ц и л и н д р). В этом случае расчетные формулы
целесообразно представить в виде — см. (6.22):
где
_ аВ А т С060Л\
S )'
B=R
3 + о' 4- о"\
7?1 + Zi )
(15.17)
s — безразмерный параметр, являющийся функцией р и дроби DJZp,
он вычисляется, когда известно р, способом, указанным в § 4 этой
главы. В этом случае р будет дано равенством (6.20), т. е.
P = Ri
(15.18)
8—толщина цилиндрической поверхности оболочки; 8' и 8"— тол-
щины ее оснований; и — радиус и высота внутренности обо-
лочки.
Случай D > Z (диск). Для этого случая удобнее пользоваться
параметром q. Расчетные формулы будут (6.23) и (6.21); для крат-
кости письма первую из них напишем в виде:
, А Собол) )
° ' S i (15.19)
и 1 7 Л । ° । s-H' + vc !
ГДе 2 Zi И +/лД.1 Н flj+Zj )’ |
q—-безразмерный параметр — функция р', где
/ = (15-20)
и дроби когда р' известно, q вычисляется способом, указанным
ранее в § 4 этой главы.
Предельные случаи. Случай весьма длинного
цилиндра из теплоизолятора в металлической оболочке: Z1/Z)]—>оо.
Если цилиндр весьма длинный, то В = ТА, s = р, и расчетная
формула (15.17) принимает вид (6.24) или
1 A Србо.А . __ Гт ,.j г г,.
P~R1V (15-211
Случай „тонкой" к р у г л о й п л а с г и н к и из термоизрлятора
р металлической оболочке: D^ZX —> оо.
§ 6]
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ЛАМБДАКАЛОРИМЕТРА
281
Для „тонкого" диска имеем q = р',
мула (15.19) принимает вид (6.25) или
и расчетная фор-
(15.22)
Примечай и е. Из теории, изложенной
ких ограничений на толщину металлической
в гл. VI, вытекает, что ника-
оболочки не накладывается:
н частном случае, когда термоизолятор занимает бесконечно малый объем,
т. е. Ад-> 0 и мы имеем liin/(p) = 0, lim/(s) = 0 и т. д., а это воз-
т
можно только при условии 1-----
обол __ Q
что и должно быть.
Таким образом, „оболочка" — здесь чисто условный термин.
§ 6, Примеры применения метода ламбдакалориметра
На конкретных примерах всего нагляднее можно видеть, как при-
меняется второй метод. Мы приведем два примера, оба относящиеся
к порошкообразным материалам, что, конечно, ни в какой мере не
отражается на методике ведения опыта и на расчетах.
Первый пример. Испытание гдовского диатомита в мелком
порошке; интервал температур: 0—20°. Образец предварительно
высушен в сушильном шкафу при 110°; 7 — 400 кг!мА.
Для определения а материал, насыпанный в шар с внутренним
диаметром 3,89 см, был охлажден в ледяной ванне. График охла-
ждения в полулогарифмической анаморфозе по его обработке дал
а = 5,82 • 10-4 мР/час. Далее материал с той же плотностью набивки
насыпан в один из шаров ламбдакалориметра, имевший радиус 2,9 см
и очень тонкую оболочку, эффектом которой мы сочли возможным
поэтому пренебречь.
Были произведены наблюдения над охлаждением прибора в воздухе
в вынужденном потоке при t= 13,4°С и 117=3,34 м!сек.
По данным наблюдений построен второй полулогарифмический
график и из него найдено /и = 5,66 час~1. Коэффициент теплоот-
дачи а был определен электрокалориметрическим способом посредством
шарового электрокалориметра и найден равным 20 ккал м^ час!град.
Полулогарифмические графики охлаждения акалориметра и ламбда-
калориметра представлены на рис. 98. Ввиду хорошей однородности
порошка, мы считали себя вправе принимать температуропроводность а
одинаковой в обоих калориметрах.
Обработка опытных данных ведется по формуле (15.3); мы нахо-
дим последовательно
р = 2,9 = 2,86,
282
ВТОРОЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
[ГЛ. XV
далее по приближенной формуле (2.28)
ф(р)= 10,88,
затем по (15.3)
Х = 0,0532 и с = 0,23.
Непосредственное определение с отечественных и заграничных
диатомитов дало ту же цифру.
Этим примером воспользуемся для описания экспериментальной
установки М. П. Стаценко, употреблявшейся здесь при определении «
Рис. 98. Полулогарифмические графики охлаждения образца
диатомита при а = ос и а конечном
(шары различных диаметров).
Применявшиеся в установке шары имели диаметр 6 или 8 см; они
были изготовлены из красной меди, высеребрены и состояли из двух
полушарий, которые в одном случае были снабжены нарезкой и плотно,
наглухо соединялись друг с другом. Через отверстие в верхней поло-
вине шара внутрь него вводилась нагревательная спираль из нихромо-
вой проволоки сопротивлением ~ 28 ом, служившая источником тепла
постоянной мощности. Разность температур Д/ измерялась посред-
ством медно-константановой термопары, приключенной к стрелочному
милливольтметру сопротивлением 435 ом со шкалой 0—8 мв с деле-
ниями на 0,5 мв. „Горячий" спай термопары был прикреплен к внут-
ренней поверхности шара, а холодными спаями служили зажимы
милливольтметра; температура его при установившемся температурном
режиме помещения может быть принята равной температуре воздуха
Помещения. Проволочки термопары, имевшие диаметр 0,15 мм, былц
§ 6]
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ЛАМБДАКАЛОРИМЕТРА
283
заключены в тонкую двухканальную фарфоровую трубочку диамет-
ром 3 мм и выведены наружу через пробку, плотно закрывающую
отверстие в верхней части шара. Тем же способом выведены наружу
концы нагревательной проволоки. Измерение мощности, развиваемой
электронагревателем, производилось посредством точных амперметра
и вольтметра; источником питания служила батарея аккумуляторов.
Рис. 99. Шаровой электрический калориметр стационарного
теплового потока по М. П. Стаценко.
1—фарфоровая трубка, 2—электронагревательная спираль из нихромовой
проволоки, с?—термопара.
Схема электрокалориметра представлена на рис. 99. Приводим при-
меры определения а по этому способу [применяется формула (15.2)].
/ V Q/S is t М а Примечание
Шар D = 8 см, S = 0,020 м*
0,25 6,78 72,5 31,2 16,6 14,6 4,96 В спокойном воздухе
0,40 11,68 199,5 26,0 16,6 9,4 21,20 при 17= 3 м/сек, давл. атм. = = 763,7 мм рт. ст.
Ша э D = 6 см, 5 = 0,0113 м'2
0,40 4,65 141,5 45,0 15,0 30,0 4,72 В спокойном воздухе
0,70 8,14 433,0 33,3 15,2 18,1 24,0 при 17=3 м{сек, давл. атм. = = 756,9 мм рт. ст.
Второй пример. Определение термических коэффициентов
химически чистого нафталина в порошке при температурах около 20° С.
Нами применялся цилиндрический ламбдакалориметр из латуни,
имевший следующие размеры (в сантиметрах): D1 = 4,88, Z)2 = 5,02,
^j=10f00, Z., —10,22, толщина цилиндрической стенки 3 = 0,07,
284 ВТОРОЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [гл. XV
толщина дна и крышки У = 8" = 0,11, внутренний объем 187 сма.
Его константы:
- °^од = 0,761 ккал',м?1град\
О
В = 2,57 • 10-2 л.
Альфакалориметром служил сплошной латунный цилиндр, имевший
размеры: Dy =5 см, Zy—Юсм. Его константа:
Су
Фу = = 7,6 ккал /ма/град.
ojr
J Оба цилиндра были тщательно никелированы, что сводило почти
к нулю ал.
Наблюдения производились в камере спокойного воздуха, имевшей
кубическую форму 60X60X60 см, открытой сверху, со стенками из
толстой латуни, обшитыми войлоком. Калориметры поочередно подве-
шивались в ее центре. Предварительно посредством акалориметра мы
нашли температуропроводность порошка нафталина, которая при вариа-
циях его видимой плотности у от 710 до 730 кг)ма оказалась постоян-
ной и равной а = 5,75 • 10-4л«2/час в интервале (0°, 20°).
Приводим результаты одного из опытов с обработкой опытных
данных. Мы пользовались для измерения температурной разности fl
дифференциальной термопарой, приключая ее к хорошему зер-
кальному гальванометру чувствительностью приблизительно 10-8 —
10-9а/дел.шк./лг расст., с периодом колебаний около 10 сек. Перед
началом опыта калориметр нагревался на 5—6° выше комнатной тем-
пературы tK = t, при которой производился опыт. С этой целью его
мы погружали в воду, температура которой была 26-—28°, до верхней
крышки, причем свободные концы термопары через магазин сопроти-
влений приключали к гальванометру, чтобы по отклонению зайчика
судить приблизительно о степени нагретости цилиндра.
Сплошной металлический цилиндр N нагревается в воде очень
быстро-—в течение примерно 3 мин.; цилиндр X с испытываемым
материалом нагревается в воде в течение 10—15 мин. в зависимости
от величины температуропроводности материала. Нагретый цилиндр
перед опытом тщательно насухо вытирают.
Предварительно определяют видимую плотность 7 нафталина. В дан-
ном примере 7 = 727,3 кг!м'А.
Приводим результаты наблюдений над охлаждением сплошного
металлического цилиндра N и цилиндра с нафталином А"; записи
велись по схеме § 3 гл. X и сведены в таблице, приведенной ниже,
где п обозначает отклонение зайчика гальванометра.
Из построенных на основании этих наблюдений полулогарифми-
ческих графиков охлаждения находим:
pf y = 0,495 час~\ /л^=1,15 час~\
iei
((РИМЕРЫ IP ИМЕЛИ-fi ИЯ МЕТОДА «МВД At ЛОВИ ЕТРА
№
п In п т (МИН.) п In п 'Г. мин.
300 Цилиндр N 5.704 0,00 300 Цилиндр X 5,704 0,00
295 5,687 2,10 295 5,687 0,80
290 5,670 4,15 290 5,670 1,77
285 5,652 6,27 285 5,652 2,58
280 5,635 8,30 280 5,635 3,55
275 5,617 10,47 275 5,617 4,53
270 5,598 12,65 270 5,598 5,53
265 5,580 14,97 265 5,580 6,47
260 5,561 17,30 260 5,561 7,45
255 5,541 19,58 255 5,541 8,48
250 245 240 235 230 225 5,521 5,501 5,480 5,460 5,438 5,416 9,55 10,55 11,65 12,70 13,87 14,95
Расчетные формулы для нашего ламбдакалориметра будут следую-
щие [см. выше (15.17), (15.18), (15.4) и табл. 4 в гл. Ш|:
o( = 7,61mw; р = 2,44-10~2
s = s(p,0,5); Я = 2,57-10-2;
100 Х = 2,57-7^(1 —0,761
/(S)\ а /
(все величины выражены в технических единицах).
Находим последовательно: а = 3,75; р = 1,09 и по графику на
рис. 13 s=l,00; далее по табл. II приложения /(s) = 0,57514,
и окончательно Х = 0,129. Зная а и у, получаем отсюда и удельную
теплоемкость нафталина: ср — 0,308 при /=20 = 25° С.
гг г и т ^ОбоЛ
„Поправка на оболочку , т. е. — • —, в данном примере соста-
вляет 23%, в других случаях она может достигать и большей вели-
чины, доходя до 50%.
Чтобы дать представление о повторяемости цифр, в табл. 27
приведены результаты нескольких опытов с нафталином и стандартной
бензойной кислотой, употребляемой для определения теплового экви-
валента стандартных калориметров сожжения и, следовательно, имею-
щей гарантированную чистоту.
В опытах с нафталином каждый раз порошок извлекался из кало-
риметра, так что каждый опыт производился с новой порцией наф-
талина; несмотря на значительные колебания в а, согласие между
286 ВТОРОЙ МЕТОД РЕ1У ЛЯРНОГО РЖ ЙА i гл. «
результатами различных опытов удовлетворительное. Опыты произво-
дились в разные дни; в течение одного-двух дней колебания а яй ак
были незначительны. Таким образом, опыты служат иллюстрацией
к замечанию, сделанному нами в конце § 1 этой главы.
Таблица 27
Определение 1 и с цилиндрическим ламбдакалориметром
№ опытов 7 тХ а Р /(*) А С
Нафталин: а = 5,75 10“4
1 716,6 0 501 1,193 3,82 1,11 0,596 0,1255 0,304
2 721,9 0,420 1,010 3,20 1,02 0,488 0,129 0,308
3 721,9 0,469 1,129 3,57 1,08 0,556 0,1255 0,302
4 727,3 0,495 Б е н з с 1,150 иная к 3,76 И С Л О 1,09 т а: а 0,575 = 4,95 0,129 Средн, с ю-« 0308 = 0,305
1 406,4 0,518 1,642 3,947 1,41 1,176 0,062 0,308 ,
2 406,4 0,513 1,639 3,909 1,405 1,106 0,062 Средн, с 0,306 = 0,307
Удельная теплоемкость с обоих материалов — величина вполне
стабильная, чего нельзя сказать о X и а, меняющихся в зависимости
от пористости. Цифры, полученные здесь для с, являются результатом
нескольких операций, каждая из которых может внести свою ошибку.
Сопоставляя наши цифры с цифрами для этих, химически вполне
определенных, веществ, полученными другими исследователями при
помощи обычных методов калориметрирования, можно установить
критерий точности нашего метода.
Для нафталина в литературе мы нашли цифры [50]:
при Т = 273,2° К = 0,2800
„ Г = 299,7° К Ср = 0,3088
Интерполирование для t— 20° С, или Т = 293,2°К, дает с = 0,304.
Для бензойной кислоты мы нашли в литературе только данные,
относящиеся к 1927 г. Согласно им [50], с = 0,304 для /=25°С.
Полученное здесь совпадение наших цифр с литературными дан-
ными следует признать хорошим, ибо определения удельной теплоем-
кости плохих проводников тепла дают часто расхождения, в лучшем
случае порядка 2—4%, что объясняется и различиями в степени
чистоты исследуемых образцов и качеством применяемых методов
и, наконец, искусством экспериментатора.
§ f] ОФОРМЛЕНИЕ лАш дакалориметров; их калибровка 28?
Таким образом, приведенный нами пример свидетельствует о том,
что методика регулярного режима вполне пригодна не только для
технических измерений, но и для исследований метрологического
характера.
§ 7. Оформление ламбдакалориметров; их калибровка.
Примеры
Когда мы изучали акалориметр, главное наше внимание было
обращено на внутренние его размеры: если только оболочка металли-
ческая, а исследуемый материал — теплоизолятор с теплопроводностью,
ничтожной по сравнению с теплопроводностью металла оболочки, то
практически внешняя форма оболочки не играет роли — крышка может
иметь выступающие части, шурупы и т. п. Наконец, — что особенно
важно, — вводная трубка для термопары при рациональном выборе
ее диаметра и толщины стенок практически не влияет на точность
измерений.
Совершенно иначе стоит этот вопрос по отношению к ламбдака-
лориметру: выступающая металлическая трубка здесь уже недопустима,
так как она сильно искажает результаты измерений; необходимо
тщательное изготовление калориметра, т. е. соблюдение однородной
толщины стенок, геометрически правильная форма, минимум высту-
пающих частей.
Неотъемлемой частью ламбдакалориметра является альфакалори-
метр или электрокалориметр, который обязательно должен обладать
той же внешней формой; в частности, должны быть одинаково
устроены ушки или крючки для подвешивания. Только при этом
условии конвективно-кондуктивная часть ак суммарного коэффициента
теплоотдачи а будет одинакова для того и другого калориметра. Для
обеспечения одинаковости коэффициентов ал необходимо одинаково
обработать наружные поверхности обоих калориметров, например
отполировать, хромировать, выкрасить и т. д.
Размеры ламбдакалориметров невыгодно брать чрезмерно большими,
так как это сильно понижает т, тем самым увеличивая длительность
опыта и уменьшая точность отсчетов из-за слишком медленного дви-
жения зайчика или стрелки гальванометра. В табл. 28 приведены
размеры применяемых нами ламбдакалориметров. На рис. 100 изобра-
жены эти калориметры.
Таблица 28
Размеры употребительных ламбдакалориметров
в сантиметрах
Цилиндрические D„, DN zx> ZN 4 8 5 10 6 12
Шаровые Zljf, Одг 5 6 —
ВТОРОЙ МЕТОЙ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
[гл. .XV
Совокупность операций, необходимых для определения констант
калориметров, мы назвали калибровкой. Прежде всего следует
определить вес Р калориметра N, если он изготовлен из одного
металла, или веса отдельных его частей Рр, обозначим удельные
теплоемкости металлов, из которых они состоят, ср, тогда тепло-
емкость каждой такой части равна Ct = Рр:р, теплоемкость всего
альфакалориметра С будет дана формулой (1.5).
Веса Pt достаточно определить с точностью до десятых долей
грамма. Наружный диаметр шара или цилиндра измеряется штанген-
циркулем или катетометром с выверенной шкалой в нескольких ме-
стах, и за Z)2 принимают сред-
" нее арифметическое. Внутрен-
ний диаметр Dy определяется
объемным методом, изложенным
в § 10 гл. XIV. У цилиндра
измеряем с точностью до
сотых долей сантиметра хоро-
шей линейкой, разделенной на
миллиметры. Внутренний его
объем V находим по весу воды
или ртути, наполняющей его при
температурах, близких к 20° С.
X—испытуемый, ЛГ—нормальный материал.
Плотность ртути при вы-
числении объема принимается
равной 13,565 г/см$ (при
g = 980,665 см^ек1*).
Когда, таким образом, из-
вестны V и Zj, получаем
по формуле:
Исходя из данных обмера,
получают и другие величины:
о, 8', 8" и В, которая вычисляется по формуле (15.17). При отсут-
ствии оболочки В совпадает с Ri. После этого, зная удельные тепло-
емкости металлов, из которых изготовлены калориметры N и X,
находят их константы:
S и Sy вычисляются по уже найденным Z)2,
„Константы“ калориметров зависят от температуры t, поскольку
удельные теплоемкости металлов зависят от t', это следует принимать
во внимание, если измерения ведутся при температуре, сильно отли-
чающейся от нормальной (20° С в СССР).
§ 7] оформление ламбдакалориметров; их калибровка 239
В некоторых случаях мы применяли для изготовления альфакало-
риметра не металлы, а диэлектрики; так, например, мы с успехом
пользовались пластинчатым альфакалориметром из белого мрамора,
имевшим форму квадратной пластинки размерами 26X148X148 мм [45].
М. П. Стаценко в качестве нормального (или „эталонного", согласно
общепринятой терминологии) материала для шарового альфакалори-
метра во время опытов при невысоких температурах избрал гипс,
применяемый в скульптурном деле (CaSO4 • 2Н2О). Альфакалориметр
был отлит в шаровой форме за одно целое с ртутным стеклянным
термометром палочного типа с делениями на 0,1° и со шкалой от О
до 50°; поправки термометра были очень малы и в интервале темпе-
ратур от 0 до 30° выражались сотыми долями градуса. Оболочка
этого калориметра была изготовлена из красной меди и высеребрена;
толщина стенок 1,1 мм; наружный диаметр 8 см, внутренний
Г\ = 7,78 см [43].
Покажем на данном примере прием калибровки неметаллического
альфакалориметра, т. е. определения констант Е, Н, F в формулах
(11.4) и (11.5).
Здесь
р____________________ kn R____^2
£ — в , где В — •
Так как оболочка „тонкая", т. е. ее толщина 8 мала сравнительно
с R{, то для альфакалориметра
для красной меди с'760; 8'= 1,1 • 10-3; поэтому
£^1 = 0,84.
Имея и /?2, находим:
В = 16чя°ч~2 = 4>и • 10~2-
о,оУ
Для определения ад-и X# гипса мы воспользовались самим калибри-
руемым калориметром. Охлаждая его в тающем льде, мы определили
по первому методу, применив формулу (1.64), искомое «д=11,17 10~4.
Для определения X# мы имеем формулы (15.16), т. е. в данном
случае
а / т w \
XN = —— 1 — 0,84 • -- 4,11 • IO'2;
Ф(Р)\ aN'
/тк
19 Зак. 750. Г. М. Кондратьев
290
ВТОРОЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
[ГЛ. XV
Охлаждая гипсовый шар и одновременно ранее описанный электро-
калориметр в двойной тр_, бе вынужденного потока, имевшего ско-
рость 2,6 м/сек (см. первый пример § 6), мы нашли:
aN— 19,7, mjy. = 3,472.
Отсюда мы определили: р = 2,17 и по табл. III приложения
Ф(р) = 2,474. Поэтому Хх = 0,28; = 1100; отсюда = 0,227.
Формула для определения а будет иметь вид (11.4), т. е.
или в данном случае
а = 6,82 0(^)4-0,84/^; pN=l, 165/^
Для контроля точности калибровки было произведено сравнение
показаний альфакалориметра и электрокалориметра в вынужденном
потоке, имевшем скорость W'= 2,05 м/сек. Альфакалориметр показал
/ми = 3,17; отсюда по его калибровочной формуле мы нашли:
Pjxt=2,07, Ф(/?#) = 2,128, а= 14,5 4-2,66 = 17,16.
В то же время электрокалориметр показал а = 16,9; незначитель-
ное расхождение в 1,5% свидетельствует о хорошей точности изме-
рений, достигаемой посредством альфакалориметра.
Выбор нормального материала следует производить тщательно,
путем многократного испытания его, чтобы удостовериться в хоро-
шей воспроизводимости получаемых результатов, т. е. в неизменности
его свойств. Повидимому, представляется возможным воспользоваться
обезгаженной водой, если для устранения конвекции внутри оболочки
альфакалориметра ввести какой-либо наполнитель, имеющий ничтож-
ную массу. М. П. Стаценко брал натуральную морскую губку. Для
воды А определено довольно надежно:
Х = 0,48 для /яа8°С, Х = 0,548 для /^41° С.
Чтобы проверить пригодность в качестве эталона губки, напитанной
водой, мы определили для нее температуропроводность а путем нагре-
вания шара с губкой при / = 30° в водяной ванне; получено
а = 5,37 • 10 в хорошем согласии с вышеприведенными числами.
§ 8. Техника эксперимента. Источники ошибок
Все замечания относительно техники эксперимента и источников
ошибок, сделанные нами в § 3 гл. XIV по поводу акалориметра,
в полной мере относятся и к ламбдакалориметру. Сделаем только
несколько дополнений к сказанному ранее. Отвод тепла по проволоч-
кам термопары или по трубке термометра при экспериментах вблизи
§ 8] ТЕХНИКА эксперимента. ИСТОЧНИКИ ошибок $91
t = ts (температуре комнаты), конечно, ничтожен и на точности изме-
рений не скажется; однако, если термостат — будь то ванна с жидкостью,
как это имеет место в первом методе, будь то электрическая печь,
как во втором методе, — имеет температуру, значительно отличаю-
щуюся от комнатной, то возникает вопрос о том, не повлечет ли за
собой значительную ошибку применяемый нами способ монтировки
термопары (см. рис. 75), тем более, что при нем в некоторых случаях
проволоки термопары расположены наиболее неблагоприятно — они
идут перпендикулярно к изотермическим поверхностям (например
в шаре).
На это можно ответить, что дифференциальный метод измерений,
который нами почти исключительно теперь применяется (см. § 3 гл. X),
исключает указанную ошибку в силу самой своей сущности. В самом
деле: из-за отвода тепла по двум термоэлектродам, ведущим к спаю и
(см. рис. 75), мы делаем ошибку Дм, так что действительная темпе-
ратура спая равна и -j- Ди; точно так же вместо t мы имеем темпе-
ратуру f-ф-ДД Следовательно, дифференциальная термопара дает нам
(и-|-Ди)— ввиду того, что и и t близки друг к другу,
Ди = Д/ и, следовательно, будет измеряться неискаженная разность
температур спаев и—/ = &. То же самое можно сказать и об изме-
рении разности температур u2 —их в усовершенствованном альфа-
калориметре— см. § 5 гл. XI.
При монтировке термопары в теле металлического альфакалори-
метра следует принять меры, обеспечивающие наилучшую передачу
тепла от металла к спаю термопары. Так, например, в описанном
(второй пример § 6) цилиндрическом латунном калориметре был при-
менен такой прием. По оси этого сплошного цилиндра был высверлен
канал диаметром 5 мм, глубина которого была равна половине вы-
соты цилиндра. В этот канал наливался расплавленный металл Вуда
и затем в него погружалась до упора фарфоровая двухканальная
трубочка с термопарой. Через час металл Вуда застывал и плотно
охватывал термопару. Диаметр трубочки для термопары 3—4 мм,
диаметр проволочек 0,2—0,6 мм.х Возможны и иные приемы: нали-
вание воды или масла в вышеупомянутый канал, припаивание спая
термопары к металлу альфакалориметра и т. д.
При любой монтировке необходимо тщательно уплотнить верхнюю
часть канала с тем, чтобы была совершенно исключена возможность
попадания наружной среды — воздуха, воды и т. д. — внутрь канала.
Наконец, необходимо обратить внимание на одно обстоятельство,
связанное с основным характером функции <р(р). При значениях р, не
особенно сильно отличающихся от р,^, эта функция, подобно тангенсу
, Л ,
вблизи -у, изменяется весьма быстро, так что малому изменению
1 В опытах, о которых шла речь в § 6, мы применяли медно-констан-
тановые термопары диаметром 0,1 мм.
19*
ВТОРОЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
[гл. XV
2§2
аргумента р соответствует большое изменение функции; поэтому не-
значительная ошибка в определении р, которое вычисляется по (15.18)
или (15.20), сильно отражается на определении <р(р), а следовательно,
на к и с. С этим обстоятельством иногда приходится встречаться,
экспериментируя с ламбдакалориметром в вынужденном потоке — ср.
хотя бы первый пример § 6. Для уменьшения ошибки в этих случаях
следует перейти в область меньших значений р, т. е. в область мень-
ших значений С, что может быть достигнуто за счет уменьшения а
или Lo (при заданном к—т. е. при данном материале).
§ 9. О применении критерия Ф к определению удельной
теплоемкости теплоизоляторов (второй вариант второго
метода регулярного режима)
Второй вид расчетной формулы для ламбдакалориметра.
В предыдущем параграфе для построения метода определения теп-
лопроводности к мы воспользовались связью между критериями р и С;
но методику можно построить иначе, а именно: исходя попрежнему
из уже известной температуропроводности а, найти сперва cvoi. а затем
уже вычислить k = acvui. Для этого необходимо воспользоваться кри-
терием Ф и основной формулой (1.47) или (6.17), соответствующей
альфакалориметру в оболочке.
Ламбдакалориметр без оболочки. Из формулы (4.18),
которая совпадает по смыслу с (1.47), получим выражение для cVoi
через другие параметры; если здесь рассматривать Ф как функцию р,
то получим:
(15.23)
Р
Предположим, что функция Ф(р) для данной формы известна; для
трех простейших форм она дана аналитически формулами (2.5), (2.12)
и (2.17), являющимися частными случаями формулы (1.69), или таб-
лицами.
Очевидно, что равенства (15.23) дадут решение задачи о нахо-
ждении сТ01, а следовательно, и с: зная а и т, находим р, затем Ф(р)
и, наконец, cvoi из первого равенства (15.23).
Ламбдакалориметр в металлической оболочке.
При наличии металлической оболочки такое же преобразование фор-
мулы (6.17) приводит к равенствам
г / П
P = L0 у -
(15.24)
§9] О ПРИМЕНЕНИИ КРИТЕРИЯ Ф 13 КАЛОРИМЕТРИИ 293
Следует подчеркнуть, что в (15.23) и в (15.24) буква 5 всегда
обозначает наружную поверхность системы, в то время как V—вну-
тренний объем калориметра, т. е. объем, занятый теплоизоля-
тором.
Расчетной формуле (15.24) в приложениях можно придать вид:
= Л~ (15.25)
где Ли М — константы калориметра, раз навсегда вычисляемые по
формулам:
л=!ка^, (15.26)
* внутр ‘'внутр
Преимущество второго варианта второго метода сказывается при
больших значениях р, т. е. при экспериментах в вынужденном потоке.
В первом варианте фигурирует функция <s(p), быстро возрастаю-
щая с р при больших значениях р, вследствие чего небольшая ошибка
в а или т уже значительно влияет на ф, а следовательно, и на X и
на с. Во втором варианте мы имеем дело с функцией Ф (р), не обла-
дающей этим неприятным свойством: она всегда конечна, и поэтому
ошибка в а менее отражается на определении с.
Приближенное решение задачи об определении с для образцов
любой формы посредством критерия Будем в (15.24) считать Ф
функцией уже не р, а введенной нами в гл. IV критериальной вели-
чины $, которая связана с т формулой (4.17). Тогда для расчета с
получим формулы:
Н = ФЮ- (15.27)
Приближенная зависимость Ф от £, в среднем верная для тел любой
формы, приведена в гл. IV (см. табл. 13).
Несколько примеров послужат нам для иллюстрации использования
критериев Ф и $ при решении практических задач.
Первый пример. Определение удельной теплоемкости нафта-
лина при t вблизи 20°. Возьмем за основу данные того же опыта,
которые были нами обработаны во втором примере § 6 предыдущей
главы.
Ламбдакалориметром служил латунный калориметр, внутренние
размеры которого были R1 = 2,44 см, Zj= 10,00 см\ наружные — ука-
заны ранее.
Коэффициент формы и константы Л и М вычисляем на основании
этих данных по формулам (3.9) и (15.26):
/<=0,9325 • 10"4; Л= 1,07 -100; М = 0,816 • 100,
294 ВТОРОЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО режима [гл. XV
Поэтому расчетные формулы (15.27) для данного калориметра
будут иметь вид:
^ = (-^-.1,07—0,816) 100 Ф.
Из опыта найдено: т =1,15; 104а = 5,75; а = 3,76. Вычисляем
$ = 0,432; и по табл. 13 находим Ф = 0,86 и, далее, су = 231;
с = 0,316; т. е. по сравнению с точным методом получилась
ошибка 3%.
Второй пример. Определение удельной теплоемкости порошка
инфузорного кирпича при t = 20°. В качестве ламбдакалориметра ис-
пользован медный шар. Его размеры: 7?2=3,025 • 10~2; ^=2,94 • 10-2.
Константы калориметра следующие:
Собол = 75,8 • 10-4; V=106.10-e; S„ap = 115 • 10-4;
Л= 1,085 • 102; 44 = 0,715 • 102.
Расчетная формула для этого шара будет:
П = (— • 1,085 —0,715^ 100Ф.
1 \т ’ ’ J
Опыт в спокойном воздухе дал: т = 2,32 при а = 4,78; опыт
в тающем льде: 7^= 10,15. Отсюда было по формуле (4.16) най-
дено £ = 0,477 и по табл. 13 Чг(£) = 0,83. Поэтому Cf = 126.
Так как у = 575, то с = 0,22 в полном согласии с точной тео-
рией [41].
В этом примере характерно огромное влияние оболочки, дости-
гающее 47°/0 от измеряемой величины.
§ 10. Определение теплопроводности теплоизолятора,
удельная теплоемкость которого известна,
посредством второго метода регулярного режима
Предположим, что и объемная и удельная теплоемкость, т. е. croi
и с теплоизолятора, известны. Тогда критерий Ф позволяет найти
теплопроводность его X. В самом деле, в силу (15.25),
V
6vol ' <?
^(р)=а с •
а_________^обол
т S
у С 6
Если известны константы калориметра / = -=- и 0 °л, если про-
о «3
изведен опыт с регулярным охлаждением испытываемого образца при
§ 10] ОПРЕДЕЛЕНИЕ к ТЕПЛОИЗОЛЯТОРА С ИЗВЕСТНОЙ С 295
известном а (в вынужденном потоке) и из этого опыта определено т,
то в правой части последнего равенства стоят только известные вели-
чины, значит, будет известно 'Г (р) и обратная функция р (Ф); тогда А
мы вычислим по формуле:
Этот, третий, вариант второго метода регулярного режима нами
еще не применялся. Целесообразно его применять только для относи-
тельно больших значений р\ если р невелико, то Ф (р) очень мало
меняется с изменением р; это значит, что довольно сильно отличаю-
щиеся друг от друга материалы, в силу чего и р и т будут довольно
сильно отличаться между собой, будут приводить к очень близким
между собой значениям Ф; кривая Ф(р) долгое время почти парал-
лельна p-оси. Необходимо создать бдльпие градиенты температур
в образце и уменьшить Ф, т. е. следует вести опыты в вынужден-
ном потоке.
ГЛАВА XVI
ТРЕТИЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
(МЕТОД ДВУХ ТОЧЕК)
§ 1. Теория метода двух точек
В этом методе используется одно из основных свойств регуляр-
ного режима, установленное в § 5 гл. I для любых систем: поле
температур остается все время подобным самому себе, т. е. отноше-
ние температур двух произвольно взятых точек и Л42, которое
мы будем обозначать
(16.1)
не зависит от времени т.
Теория метода в его простейшей форме основана на следующих
соображениях.
Применим основное уравнение (1.35) к каждой из точек и М2
испытываемого образца, рассматривая их для одного и того же
момента времени:
Р'2- <°1> ш2>
$2 = AU(x2, у’2, z'„ w2,
причем материал образца предполагаем однородным и изотропным;
L7 — фундаментальная собственная функция задачи.
Разделим оба уравнения друг на друга и воспользуемся форму-
лой (16.1); получим:
b=f{p'1, л-;, Ур 4, < у', z').
Присоединим сюда основное выражение (1.50), определяющее
критерий р:
р2 т
Zg а
Исключив из двух последних уравнений число р, получаем соот-
ношение между b и дробью ;
ь= х{, X, 4 х'2, у'. <)• (16.2)
§ 2] РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ МЕТОДА ДВУХ ТОЧЕК 297
Поскольку b и т известны из опыта, это соотношение позволит
нам определить температуропроводность а.
Достоинство этого метода состоит в тем, что, во-первых, нет
необходимости определять коэффициент теплоотдачи а, который исклю-
чается, в силу исключения параметра р (на знании которого основан
второй метод), и, во-вторых, нет необходимости добиваться в про-
цессе эксперимента весьма больших значений С, на чем зиждется
первый метод: опыт можно вести в условиях естественной или выну-
жденной конвекции воздуха, а поэтому отпадают строгие требования
о герметизации калориметра.
Недостаток метода — в некотором осложнении аппаратуры.
Эту общую идею мы приложим к частным конкретным случаям.
При этом нам потребуется найти в каждом случае аналитическое
выражение собственной функции, чего нам удалось избежать и в пер-
вом методе и во втором варианте второго метода. Правда, некоторая
попытка построить метод более общим образом будет сделана и здесь.
Точки TWj и ?И2 не следует выбирать слишком близко друг к другу
или лежащими почти на двух изотермических поверхностях, напри-
мер, на сферах одинакового радиуса; далее, их следует выбирать так,
чтобы число b не было чрезмерно малым (или большим).
В дальнейшем значок „1“ будем приписывать для определенности
той из двух точек 714 п М2, температура которой ниже, так что у нас
всегда будет
1.
При b = 1 точки и М2 лежат па одинаковых изотермах;
этот случай может иметь место и для весьма удаленных точек,
если в охлаждающемся регулярно теле почти отсутствуют темпера-
турные градиенты,— когда тело из металла или, лучше сказать,
когда С очень малая величина, т. е. W почти равна единице.
§ 2. Расчетные формулы метода двух точек применительно
к трем основным телам простейшей формы
Эти тела изучены в гл. II; полученные там результаты и будут
положены в основу наших расчетных формул. В целях их упрощения
точку Л42 мы всегда будем выбирать в „сердцевине" (см. этот тер-
мин в § 4 гл. IV); точка может быть любой точкой, не лежащей
в сердцевине тела.
Пластинка. Собственная функция дана формулой U — cos(|ix).
. 1
ее к безразмерной координате х = -у—, где Lo = Х=
= половине толщины пластинки:
[гл. XVI
298
ТРЕТИЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
Очевидно, что
^(4 X’ 4 Р2) = [ссз(1ллг)1а.=0 = 1.
Поэтому расчетные формулы будут следующие:
b = cos (х'р),
(16.3)
Цилиндр. Собственная функция дана формулой (2.7). Обозначив
безразмерную координату г', получим, подобно предыдущему, сле-
дующие расчетные формулы:
(16.4)
Шар. Собственная функция дана (2.13).
Расчетные формулы будут:
ь = sin (г'р)
(16.5)
Схема применения метода следующая. Наблюдая регулярное охла-
ждение или нагревание образца исследуемого материала, которому
придана одна из трех простейших форм, вычисляют т и Ь; зная b
и место расположения точки М1, т. е. зная г, определяют г' и /?,
зная еще т, находят искомое а.
О роли оболочки. Предположим, что образец заключен в обо-
лочку, и пусть распределение температур в ней равномерное, в соот-
ветствии с рис. 97. Условие равномерности температуры будет осу-
ществляться, если оболочка имеет весьма малую толщину сравни-
тельно с Lo или, при ее конечной толщине, если она состоит из
металла. Как показано в § 2 и 3 гл. VI, температурное поле
внутри образца определяется уравнением ftr = A'U'e~mT, а внутри
оболочки — уравнением &" = Л"е-™л, ибо сно не зависит от коор-
динат, в силу сделанного нами предположения. Отсюда вытекают
такие следствия.
Во-первых, если обе точки, и и .И2, находятся внутри тепло-
изолятора /, то общая теория метода двух точек применима без изме-
нений.
Во-вторых, если одна точка, а именно гИ2, находится внутри
изолятора, то теория также применима, ибо тогда температура
та же, что и температура на поверхности £ раздела теплоизолятора
и оболочки, т. е. этот случай — частный предыдущего, а именно тот,
когда Afj находится на поверхности £.
Поэтому мы можем сделать важное в практическом отношении
заключение: очень тонкая оболочка из термоизолятора или оболочка
§ 3] О ПРИМЕНЕНИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО КРИТЕРИЯ $ 299
конечной толщины из металла, в которую будет помещен образец,
имеющий одну из трех простейших форм, не изменяет принципиальной
схемы метода двух точек: оболочка этого типа отражается лишь
на темпе охлаждения т в сторону его уменьшения.
§ 3. О возможности применения относительного
критерия S в методе двух точек
Еще более ограничим выбор точек ТИ2 и М}: оставляя ТИ2
попрежнему в сердцевине образца, перенесем точку выбор кото-
рой пока ничем не был обусловлен, на поверхность образца; соот-
ветствующее этому специфическому выбору точек Л42 и значение
параметра b обозначим |3. Очевидно, что тогда во всех трех случаях
предыдущего параграфа безразмерная координата обратится в единицу
(х' — 1 = г'), т. е.
Р = cos р для пластинки,
Р = Л)(р) » цилиндра, (16б)
a sin Р
Р = -у- „ шара.
Если на место р введем критерий $ по формуле (4.16), то, как
это разъяснено в § 4 гл. IV, зависимость р ст £ и, наоборот, $ от р
будет в среднем мало зависеть от формы, т. е. в первом приближе-
нии будет одинаковой для всех трех форм. Эта зависимость дана
табл. 14 в § 4 гл. IV.
Отсюда естественно вытекает такая видоизмененная схема метола
двух точек.
Выберем за точки и Л12 точки: М{ в центральной части об-
разца и Мв на периферии его. Определим р=-|^ из опыта; опреде-
лим также т, при помощи табл. 14 вычислим £ = $(Р).
Тогда искомое а будет дано формулой (4.17), т. е.
Таким образом, эта схема третьего метода предполагает предва-
рительное знание коэффициента формы образца. Зато отпадает необ-
ходимость измерения координат точек и ТИ2, которые входят
в общую расчетную формулу (16.2) метода двух точек. Именно в этом
состоит выгода данной схемы метода; кроме того, намечается пер-
спектива применения его к образцам, форма которых уже значительно
отличается от одной из трех простейших форм, например цилиндров
и пластинок ограниченных размеров и т. п. Все же выбор этих форм
сильно ограничен: они должны допускать возможность выделения
сердцевины и периферийной области, что далеко не всегда возможно.
300 ТРЕТИЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [ГЛ. XVI
Разумеется, если в выражении для функциональной зависимости
$ = $(Р) учесть специфические особенности формы образца, то фор-
мула (16.7) обращается в совершенно точную формулу; в качестве
таковой мы и будем ее рассматривать.
При практическом приложении методики мы строим два полулога-
рифмических графика: для точки Afj и для точки 2И2. Поэтому непосред-
ственно из этих графиков мы находим не саму величину b (или [3), нас
интересующую, а разность In %—1п или разность In Z)2— 1п£\
(в случае измерений т с применением дифференциальной термопары,
т. е. по варианту § 3 гл. X), т. е. мы получаем In----см. (16.1).
Обозначим это число нулевой размерности (всегда положительное,
ибо 0<^£><^1) буквой v. Тогда
b — v = In 02—In Ир (16.8)
В том частном случае, когда за исходные точки берем и Ме,
букву v заменим через р:
р = 1п&<— In &е, 3 = (16.9)
Вполне целесообразно в расчетную формулу (16.7) вместо ;2 ввести
непосредственно определяемое из опыта число р. Для этого следует
вместо Р в выражение £ = g (Р) подставить р = е~р; величина $2 станет
функцией от р, которую мы обозначим / (р), и расчетная формула
примет вид:
л = (16.10)
7. (Р)
Полезно, составить приближенную таблицу функции /_(р) следую-
щим способом. Задаемся каким-нибудь значением р между нулем и
бесконечностью; по (16.9) находим р, по табл. 14 — соответствую-
щее $(Р), затем £2 = ^(р).
Для значений р 3 число Р очень малое и поэтому, пользуясь
приближенной формулой
Е«1 — 0,743р,
упоминаемой в § 4 гл. IV, получим:
£2^1 —1,48бр,
т. е. для р^-3 будет х(р)р»1— 1,486 е~е.
Этим способом нами получена табл. 29 функции /(р).
Наличие табл. 29 чрезвычайно упрощает обработку опытных дан-
ных: из полулогарифмических графиков охлаждения (рис. 101) мы
определяем р и т; табл. 29 дает /(р), а формула (16.10) позволяет
очень просто вычислить а.
Из физического смысла критериальной величины р вытекает и
характер функции х(Р): для малых значений р, когда температуры
О ПРИМЕНЕНИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО КРИТЕРИЯ $
301
§ 3]
1)в и Ilf почти совпадают, т. е. [3 почти равно единице, функция эта
близка к нулю; по мере уменьшения [3 функция монотонно возрастает,
асимптотически стремясь к единице.
Таблица 29
7. (р) = 0.07 0,0510 0,10 0,072 0,12 0,0860 0,15 0,105 0,17 0,118 0,20 0,137
р = 0,22 0,25 0,30 0,35 0,4 0,5
X (р) = 0,147 0,165 0,196 0,228 0,252 0,301
Р = 1,0 1,5 2 3 3 5
X (р) = 0,527 0,696 0,808 0,927 0,973 0,99
Эти выводы с некоторыми видоизменениями могут быть перене-
сены не только на тот случай, когда образец заключен в изотерми-
ческую — лучше всего металлическую — оболочку, но и когда централь-
ная его часть — сердцевина — представляет собою металлическое ядро.
1пЗ
Рис. 101. К методу двух точек: полулогарифмические графики
изменения температур сердцевины и поверхности образца.
Изложенный в этом параграфе вариант метода двух точек пред-
ставляет собою несомненный шаг вперед по сравнению с вариантом,
изложенным в § 2 данной главы: там в расчетные формулы входили
координаты точек М2 и и формулы писались по-разному для
различных форм образцов [см. формулы (16.3—16.5)]; координаты
следовало обязательно измерить, и на точность определения а, в силу
структуры расчетных формул, сильно влияли ошибки в заложении
горячих спаев термопар; здесь исчезли индивидуальные особенности
форм и координаты спаев, а имеется универсальная для всех форм
табл. 29; особенности же формы образца учитываются коэффициен-
том формы /<.
Однако не следует упускать из виду, что универсальность этой
таблицы нельзя принимать без оговорки-, она относится к формам,
302 ТРЕТИЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГОРЕЖИМА [гл . XVI
для которых оправдывается исходная гипотеза § 4 гл. IV о суще-
ствовании изотермической сердцевины, которая сохраняет неизменным
свое положение внутри тела, и о наличии такой же изотермической
периферии. Отсюда вывел-, необходимы экспериментальные иссле-
дования с теми формами, которые представляют практический
интерес, для установления, дает ли изложенная здесь теория доста-
точную степень приближения и в каких дополнениях и исправлениях
она нуждается.
§ 4. Теория метода двух точек для ограниченного
цилиндра и диска
В § 2 теория была применена к весьма длинному цилиндру и
только за счет этого получились простые удобные для расчетов
формулы. Путем обобщения мы пришли в § 3 к варианту метода,
удобному практически, ко еще нуждающемуся в экспериментальном
обосновании.
Здесь мы дадим точную теорию метода двух точек в применении
к цилиндру; мы увидим, насколько сложнее оказывается обработка
опытных данных по сравнению с § 2 и 3.
Собственная функция задачи дана фермулой (3.8) при указанном
в гл. III выборе системы координат. Эту формулу мы перепишем
в виде:
U — Ja(s • ^cos^ • (16.11)
Параметры q и 5 даны формулами (3.3) и (3.5) и связаны с крите-
рием С пссредством формул:
F{q) = qtgq = ^Zh,
[см. (3.4) и (3.6)].
Темп охлаждения т выражается через q и s следующим образом:
юмя
2 Z
По исключении отсюда h = у получим два уравнения:1
""/ТТТ, у- (i6.i2)
2 z
1 Обозначения f и F см. (2.10) и (2.3).
§ 41
ТЕОРИЯ ДЛЯ ОГРАНИЧЕННОГО ЦИЛИНДРА И ДИСКА
303
Поверхности боковую и торцевые в данном случае уже нельзя
считать изотермическими: это видно из аналитического выражения
(16.11) собственных функций; поэтому выбору точек ТИ2 и М1 нужно
уделить особое внимание. Для упрощения выкладок целесообразно
за точку Л1.2 взять центр С цилиндра; выбор же точки возможен
двоякий: во-первых, за нее можно взять какую-либо точку А на ци-
линдрической поверхности в месте пересечения ее с экваториальной
плоскостью цилиндра; во-вторых,
за Afj можно взять центр В одного
из торцов (рис. 102).
Значения собственной функции U
в этих точках будут:
t7G=^L=0i).=0 =1,
^А == U | г=0. r=R
Ub = UI . — cos q.
г=— Z, r=0
I
(16.13)
Первый случай: Z > 2/? Рис. 102. Выбор точек Л12 и Afj
(„цилиндр"). Если образец имеет для цилиндра и диска,
форму удлиненную, то всего удобнее
поместить „горячий" спай одной термопары 2И2 в С, а другой Afj в А.
В силу уравнений (16.13) получаем
.____, х
b ~~ (s)'
(16.14)
Так как левая часть уравнения (16.14) известна из опыта—см. (16.8),
то по таблицам бесселевых функций, имея заданное J0(s), найдем s,
как обратную функцию от Jo. ~
дем /($), а затем по второй
=й /(»)
После этого по табл. II приложения най-
из формул (16.12) вычислим F(q) =
Далее вычисляем q, как обратную функцию от F(q) по табл. I
приложения. Следовательно, нами найдены s a q‘, первое из уравне-
ний (16.12), в правой части которого стоит известное из опыта
число т, дает возможность вычислить а.
Второй случай: 27? > Z („диск"). „Горячий" спай одной тер-
мопары попрежнему помещаем в С, второй — в В. В силу уравнений
(16.13) получаем:
ав
Z» = g-=COS^. (16.15)
По таблицам тригонометрических функций находим q = arc cos b,
после чего из (16.12) получим:
/(S) = ^.F(9), (16.16)
304
ТРЕТИЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
[ГЛ. XVI
ибо F (q) определится с помощью табл. I приложения. Зная f(s),
и силу уравнения (16.16), найдем по табл. II приложения s, как об-
ратную функцию от f(s). Таким образом, вычислены q и 5, а зна-
ние т позволит вычислить искомое а по (16.12).
При Z — 27? безразлично, где помещать спай Л11 — в А или в В.
§ 5. Теория метода двух точек для прямоугольного
параллелепипеда
Собственная функция задачи дана формулой (3.30) при указан-
ном в гл. III выборе системы координат. Эту формулу мы перепишем
в следующем виде:
U = cos (qi • cos (?2 • r^p)cos (16.17)
Числа qt, q2, q3 связаны с т формулой (3.34), из которой выте-
кает, что
а = т
1
(16.18)
Параметры qy, q%, q., (нулевой размерности) связаны с крите-
рием уравнениями (3.33), которые по исключении неинтересного
для нас в данном случае числа h приведутся к (3.37) или к двум
следующим уравнениям:
= = (16.19)
Для упрощения выкладок наиболее целесообразно за точку /И2
взять центр С параллелепипеда, т. е. начало координат, а за точку
взять центр А одной из граней. Если это — грань, перпендикулярная
к направлению оси Ох, так что координаты точки ЛТ, суть 1/2 X, 0, 0,
то UA = cosqlt Uc=l и
/’=^ = cos^-
(16.20)
Левая часть уравнения (16.20) известна из опыта, а поэтому из
него мы найдем q.. Зная qlt измерив X, Y, Z, вычисляем по (16.19)
значения функций F (q,2) и F (<73), а отсюда найдем q2 и <73, как их
обратные функции. Поскольку известны qlt q2, q3, а из опыта изве-
стно еще и т, — вычислим при помощи (16.18) искомое а.
Частный случай куба X — Y = Z. Этот случай заслуживает
внимания, потому что здесь значительно упрощаются вычисления: все
§ 6J ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАЗРАБОТКА МЕТОДА 305
величины qY, q2, qs между собою равны, и поэтому из расчета выпа-
дают функции F(<72), F(93). Найдя их общую величину q из
(16.20), вычисляем а по формуле:
0=з7±Г; <1б'21)
3М/2а )
X — длина ребра куба, q = arc cos b.
§ 6. Экспериментальная разработка метода
двух точек
До настоящего времени метод двух точек экспериментально раз-
рабатывался только в применении к строительным материалам (сюда
относится исследование Н. Г. Резцова [49]), к твердым теплоизоля-
торам с объемным весом не ниже 600—700 кг/м^, к тяжелым порош-
кообразным массам, плотным листовым материалам — фанера, картон
и т. п. (7:% 900—1000 кг!м*).
Во всех этих случаях метод применялся в условиях малых значе-
ний а, не превышавших 20—30 ккал)м2/час/град, и лишь в 1948—
1949 гг. М. П. Безпечный [51] воспользовался методом двух точек,
осуществляя весьма большие значения а, для определения температу-
ропроводности металлов, чему посвящена специальная гл. ХХП.
Термостаты, употребляемые нами для реализации первого и вто-
рого методов, вполне пригодны и для третьего метода, поэтому на
их описании мы не остановимся; мы рассмотрим далее (в § 7) только
одну электрическую печь, применявшуюся до 1100° С для исследова-
ния огнеупорных материалов. На их примере выяснится техника экспе-
римента, которая в общем остается той же самой и при более низ-
ких температурах.
При монтировке и вводе термопар внутрь образца следует руко-
водствоваться указаниями, данными нами в § 3 (пп. 1, 2 и 4)
гл. XIV. Это — в том случае, если ни одна из точек Ж2 и не
расположена на поверхности образца, точнее говоря, если они вы-
браны обе вдали от поверхности, например, как в § 2 этой главы.
Но, как мы видели в § 3 и 4, весьма заманчивым представляется
взять точку в Ме, т. е. на поверхности. А тогда возникают труд-
ности, присущие всякому измерению поверхностных температур.
Правильный результат получается, если спай и проволоки термо-
йары находятся в теснейшем контакте с поверхностью, составляя одно
целое с образцом материала. Для этого на наружной поверхности
образца делаются неглубокие 0,5 мм) канавки, приблизительно
параллельные наиболее длинной оси образца, в которые укладываются
проволочки термопары (без фарфоровой арматуры, если образец не-
велик — диаметром ~ 5—6 см). Они замазываются густой пастой,
20 Зак. 750. Г. М. Кондратьев
306
ТРЕТИЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
[ГЛ. XVI
которая при твердении должна плотно схватиться с веществом образца.
Цемент применять не рекомендуется, так как экзотермический эффект
и большая длительность твердения могут нарушить регуляризацию
режима и исказить результаты опыта.
Особенностью метода двух точек является необходимость опре-
деления параметра b или, лучше сказать, v и р — см. (16.8) и (16.9).
Поэтому приходится пользоваться, как общее правило, двумя зер-
кальными гальванометрами. Их показания D' и D" пропорциональны
С
Рис. 10.3. Уравнивание показаний гальванометров в методе двух точек при
применении дифференциальных термопар.
А', В’ и А", В"—термоалечтроды дифференциальных термопар е' и е', Сг и СУ' —соедини-
тельные провода, xf, xf и xff, л"— свободные концы дифференциальных термопар, Gf и G,f—
гальванометры, и /^' — реостаты, D и D — термостаты (дьюаровские сосуды).
температурам Ф, как это доказано в § 3 гл. X. Коэффициент про-
порциональности k в формуле (10.4) зависит от многих параметров,
в том числе от сопротивления цепи. Он вообще будет различен для
первой и для второй термопары: мы будем иметь при одной и той
же температурной разности II различные показания гальванометров,
т. е. будем иметь:
D' = k'b и D" = k"i}
с k'^k".
Варьируя переменное сопротивление магазинов R‘ и R" — обоих
или одного из них, включенных в цепи термопар, можно всегда
добиться того, что будет D' = D", так что одинаковым температур-
ным разностям будут для обеих термопар соответствовать одинако-
вые отклонения зайчиков обоих гальванометров.
Уравнивания показаний гальванометров можно достичь двумя спо-
собами.
§ 6]
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАЗРАБОТКА МЕТОДА
307
Во-первых, обе дифференциальные термопары можно изготовить
совершенно тождественными; далее, создать какую-либо разность
температур спаев одной из них и, приключая ее по очереди к каж-
дому из гальванометров путем варьирования R' и R", достичь того,
чтобы было D' = D"\ тогда, в силу предыдущего fe'fl = А"8, т. е. k' — k".
Во-вторых, если даже дифференциальные термопары совершенно
различны, можно уравнять коэффициенты k’ и k", погружая в два
сосуда с жидкостью D и D* (рис. 103) обе термопары одновременно
так, чтобы их соответствующие спаи находились при одной и той
же разности температур 8; варьирование сопротивлений R' и R"
Рис. 104. Схема включения одного гальванометра на
две дифференциальные термопары с одним общим
термоэлектродом.
в этом случае производится без переключения термопар на тот или
другой гальванометр. Очевидно, что 8 совершенно произвольное число
(хотя бы 5—10°); температуру одного из сосудов выгодно взять
равной комнатной 1а; значит, температура другого будет /к±8.
Так как в методе двух точек используется отношение темпера-
тур 5Г — см. (16.1),
температуры 8j и 82
то при его вычислении можно заменить эти
любыми другими физическими величинами, им
пропорциональными, лишь бы коэффициент пропорциональности был
один- и тот же для каждой температуры, т. е. вместо 8j и 82 мы
можем взять отсчеты Z)j и D,2 по уравненным гальванометрам:
В том случае, когда темп охлаждения мал, можно избежать при-
менения двух гальванометров, а вести отсчеты по одному гальвано-
метру, включая его поочередно на ту или другую термопару, согласно
схеме, изображенной на рис. 104. Здесь один из термоэлектродов,
20*
308 ТРЕТИЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [ГЛ. XVI
а именно В, является общим для обеих термопар, которые сварены
друг с другом в точке и; благодаря этому схема значительно упро-
щается, так как обе термопары имеют один общий свободный спай
при температуре t, а присоединение термопар к гальванометру G
производится при помощи ключа k, который переводится в положе-
ние 1 или 2 в зависимости от того, какую температурную разность
в данный момент мы измеряем.
На рис. 104 обозначены: А — второй термоэлектрод, М, М, М —
медные провода, идущие к гальванометру через ключ k. Выгода
этой схемы еще и в том, что здесь мы имеем три провода вместо
четырех. Места присоединения М к 4, т. е. h, f, d должны нахо-
диться при одинаковой температуре; это достигается их тесным рас-
положением и помещением их в алюминиевую толстостенную ко-
робку.
Когда применяется медно-константановая или медно-копелевая тер-
мопара, А есть медный термоэлектрод, и вышеуказанное требование
отпадает.
Размеры и формы применявшихся нами и другими исследовате-
лями образцов: 1) цилиндры диаметром 5 — 6 см с высотой, вдвое
большей диаметра; 2) прямоугольные параллелепипеды, вырезанные
из кирпичей, размерами приблизительно 5X6X12 см\ 3) квадратные
пластинки толщиной около 1 см со стороной основания приблизи-
тельно 10—12 см.
Опыты велись на охлаждение, чаще всего в условиях естественной
конвекции; ниже цитируемые опыты О. И. Рауша велись на нагрева-
ние [52].
§ 7. Примеры приложения метода двух точек
В качестве первого примера мы приводим описание разработан-
ной О. И. Раушем экспериментальной установки для измерений тем-
пературопроводности по методу двух точек при высоких температурах
и изложение приемов обращения с нею [52]. В качестве второго
примера мы приводим результаты некоторых из наших опытов, по-
ставленных специально с целью выяснить возможность применения
на практике приема расчета, изложенного в § 3 и основанного на
критерии 5. Другие авторы вели расчеты а с помощью простого
приема, изложенного в § 2.
1. Подготовка образцов к испытанию. Образцы в форме
цилиндра диаметром 50—60 мм и высотой 70—100 мм получаются
вытачиванием из кирпича. По оси цилиндра до середины образца
просверлено отверстие для термопарной трубки. На боковой поверх-
ности образца вырезаны желобки для проволок внешней термопары,
с таким расчетом, чтобы спай ее находился на той же высоте, как
и спай средней термопары. Внутренняя Pt—PtRh термопара, заклю-
ченная в двухканальную фарфоровую трубку, плотно вмазана замазкой
§ 7] ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ДВУХ ТОЧЕК 309
из мелкого корунда (15 или 30 меш), замешанного на минимальном
количестве жидкого стекла.'1 Этой же замазкой примазывалась и
термопара на поверхности образца, причем проволоки термопар без
изоляции вмазывались в прорезанные бороздки. В таком виде образцы
выдерживались в течение двух суток, после чего приступали к испы-
таниям. Эта замазка прекрасно выдерживала нагревание до темпера-
туры 1200°, давая только незначительные, мелкие трещины, и при-
ставала к материалу настолько крепко, что после испытания приходилось
образец разбивать и термопару с поверхности сбивать зубилом.
Обычно приходилось срубать термопару вместе с куском огнеупора,
который затем разбивался и измельчался молотком на наковальне.
Двухканальная трубочка средней термопары, конечно, также ломалась
(в той части, которая была вмазана в образец), так что она посте-
пенно укорачивалась.
2. Характеристика образцов. Образцы для испытания
были доставлены лабораторией методических исследований Инсти-
тута огнеупоров. Образцы изготовлены мокрым формованием (за ис-
ключением № 501, который отформован сухим прессованием из лат-
ненской глины Орлов-Ложского карьера). Во всех образцах шамот
из той же глины составляет 60%, глина воздушно-сухая — 40%.
Кроме того, испытанию подвергался еще образец № 17, изученный
ранее в 1935 г. при испытании его до 800° по первому методу регуляр-
ного режима. При этих испытаниях он имел вид цилиндра диаметром
80 мм и высотой 250 мм. Для настоящих опытов он был обточен
до размеров D = 50 мм, Z = 85 мм. Этот образец был изготовлен
в 1935 г. шамотной лабораторией Института огнеупоров из 50%
латненской глины Орлов-Ложского карьера и 50% шамота той же
глины.
Таким образом, представилось возможным сравнить результаты
определения теплопроводности одного и того же материала при помощи
различных методов.
Все остальные данные относительно образцов даны в табл. 30.
3. Описание установки. Печь. Для наших опытов была спе-
циально сконструирована вертикальная силитовая печь особого устрой-
ства (рис. 105). Части В, С, D изготовлены из шамота. Основание А
и пробка г изготовлены из легковеса, полученного на латненской
глине с примесью 30% древесных опилок. Все части обожжены при
температуре 1150°. Между кожухом и внутренней жаровой коробкой
находится засыпка F из измельченного легковеса. Эта изоляция ока-
залась для данного случая вполне достаточной: печь даже после
трехчасового нагрева до температуры 1200° была снаружи едва
теплая. Размеры внутренней части печи, имеющей цилиндрическую
1 К образцам из магнезита, хромита и т. д. термопары примазывались
замазкой (соответственно): жидкое стекло — магнезит, жидкое стекло — хро>
мит и т, д,
310
ТРЕТИЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
[ГЛ. XVI
Таблица 30
Характеристика образцов
Гранулометрический с остав СО К 1 5ЛИЯ, ори- О
с
№ масс —6 мм со -1 мм -0,5 мм сч О' 1 ММ tn и га * си га га е s ° § | S со Р я га Q, СО <и fa S й ъемяая >сть, % 5S tt S <D со
О 1 о 1 СО 1 о ио 5 Е- о 3 г О о о & \О О
и 30 20 20 30 700 1 380 20,8 2,17
51 — 30 20 20 20 10 700 1 380 20,0 2,09
51 — 30 20 20 20 10 1 350 1 380 26,0 1,93
81 — — 30 30 20 20 700 1 380 19,5 2,10
501 — 30 20 20 20 10 700 1 380 13,6 2,29
17 4—2 мм = = 20%; 2—0,5 мм = 40%;
' 0,5 мм = А 0% 1 350 1 350 26,5 1,88
форму (d = 17 см, h = ‘27 см), достаточно велики по сравнению
с размерами образца, так что мы вправе ожидать, что температура
пространства в непосредственной близости от образца достаточно
равномерна. Чтобы избежать интенсивной конвекции и утечки тепла
из печи, отверстие ее обращено книзу; снизу же вводится в печь и
образец. Такая конструкция оправдала себя в двух отношениях:
во-первых, печь действительно хорошо держала тепло—через 20—22
часа после испытания образец, вынутый из печи, был еще заметно
теплый; во-вторых, такая конструкция удобна еще тем, что петли
дифференциальных термопар снаружи печи свободно висят в воздухе,
не требуя никаких особых опор.
Образец помещался на фарфоровой трубке (рис. 105), укреплен-
ной на пробке г. Проволоки центральной и поверхностной термопар
выводились наружу через отверстия в этой пробке. Свободные спаи
дифференциальных термопар вводились через специальные фарфоровые
трубки аа, вмазанные в основание печи, причем одна из проволочек
в свою очередь продевалась в более тонкую фарфоровую трубку.
Эти термопары держались трением между станками трубки с одной
стороны и трубкой и проволокой термопары — с другой.
Пробка с образцом помещалась на металлической лапке с, кото-
рая поднималась и опускалась передвижением муфты е по стержню d
(с помощью винта /). Таким образом образец монтировался на спу-
щенной лапке и затем вводился в печь, причем пробка закрывала
отверстие печи.
Шесть силитовых стержней приключались по схеме, указанной на
рис. 105, а, к трехфазной сети переменного тока. Регулировка произ-
водилась цо трем реостатам и трем амперметрам, введенным в каждую
§ 7]
ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ДВУХ ТОЧЕК
311
фазу. При максимальной силе тока в каждой фазе 17,5 а была
получена температура 1200°. Температура пространства печи изме-
рялась платина-родий-платиновой термопарой Ь, введенной сверху и
приключенной к милливольт-
метру. Никаких особых
приспособлений для поддер-
жания постоянства темпера-
туры холодных спаев у нас
не было, так как нам важно
было только, чтобы темпе-
ратура печи во время от-
счета (2 мин.) не изменя-
лась. Будет ли температура
печи точно Z°C или на 20°
больше или меньше, это,
конечно, никакого значения
не имеет, так как из полу-
ченных результатов и из
литературных источников
видно, что теплопроводность
Рис. 105. Электрическая печь с силитовыми нагревателями
(отдельно справа) конструкции О. И. Рауша для испытания по
методу двух точек до 1200° С.
огнеупоров даже при изменении температуры на 100—200° изменяется
весьма незначительно.
Регулировка температуры печи оказалась одним из самых дели-
катных и трудоемких элементов нашей работы. В результате различ-
ных опытов мы остановились на следующем режиме нагрева. Печь
312
ТРЕТИЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
[ГЛ. XVI
с введенным в нее образцом подогреваемся током порядка 10 а до
температуры 620—680°, на что требовалось от 1,5 до 2 часов. Затем
более сильным током температура печи быстро (приблизительно в те-
чение 15 мин.) поднималась до 760—770°. Последний подъем тем-
пературы до 800° шел уже медленнее, так что в конце подъема
в течение 2 мин. можно было температуру печи считать постоянной.
Для проверки этого постоянства температуры нами применялся чувстви-
тельный милливольтметр с подвесной системой, который показывал
незначительное изменение лишь по истечении 4—5 мин. после начала
Рис. 106. Расположение платино-родий-
платиновых дифференциальных термопар
в образце и приключение их к гальвано-
метрам в опытах О. И. Рауша.
а найти таковые не удалось, то мы
отсчетов; отсчитывание дли-
лось обычно максимум
2 мин.; следовательно, во
время опыта температуру
среды t можно было считать
постоянной.
Измерительная часть
установки. Включение тер-
мопар понятно из схемы
рис. 106. Заштрихованный
прямоугольник представляет
собой образец; А, В, А1(
— спаи дифференциаль-
ных термопар. Концы термо-
пар приключены через рео-
статы к двум зеркальным
гальванометрам и G2. Так
как по условиям опыта не-
обходимо, чтобы оба галь-
ванометра были одинаковы,
взяли гальванометры с боль-
шими сопротивлениями (порядка 3000 ом) и приключили к ним
по реостату. Затем оба гальванометра приключались параллельно
к одной термопаре, которая помещалась в среды различных темпера-
тур. Регулировкой при помощи реостатов мы достигали одинаковости
показания обоих гальванометров (с разницей не более 2 мм шкалы,
при расстоянии между гальванометром и шкалой 160 см).
Места присоединения термоэлектродов Pt и Pt — Rh к медным
проводам, ведущим к гальванометрам, помещались в воздухе внизу
печи. Чтобы обеспечить одинаковую температуру этих четырех точек,
они были расположены весьма близко друг к другу. Для контроля
мы переключали термопары с одного гальванометра на другой, при-
чем получались одинаковые отклонения.
Зайчики от зеркал гальванометров направлялись на одну и ту же
стеклянную линейку. Чтобы они не налегали друг на друга, один из
зайчиков мы направляли на верхнюю шкалу линейки, другой — на
нижнюю. Нумерация делений шкал была заменена числовыми отмет-
§ 7] ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ДВУХ ТОЧЕК 313
ками соответствующих значений натуральных логарифмов. На рис. 107
показана часть линейки с двумя нанесенными на ней шкалами.
Этот прием позволил одному наблюдателю вести запись показа-
ний обоих гальванометров и привел к упрощению вычислений.
4. Ведение опыта. После укрепления образца и вывода про-
волок термопар лапка подъемного приспособления с пробкой и образ-
цом поднималась кверху и укреплялась в верхнем положении винтом.
—I—I—I—I—I—I—1—I—I—'—г
Ю 9 8 7 6 5 k 3 2 1 0
2,'звз\ 2,073>\ 1,792 I >,38б\ I I
\ 2,197 \ 1,99б\ 1,609 \ 1,099 \ | |
123 ^56789 /О
0.693 1386 । 1392 I 2.079 1 2,303
\1,099\1.609\1,9Ь6\2,197\
I 2J97 \ 1,996 I 1,60я\ 1,09я\ I I | I 1,0991 7,60! I 7.99б\ ljs7\
гзо^ 2,079\ 1,792 \ 1,386 | 0,693 \ | | 0,693 | 7,386 | 1,792 | 2,079\2,303
10 9 8 7 6 5 9 3 2 1 О 1 2 3 i 5 в 7 8 9 70 (
I I I I I I I I I III I I I I I I I I I
Рис. 107. Двойная логарифмическая шкала зеркального
гальванометра.
Затем включался ток и поддерживался во всех трех фазах одинако-
вой силы. Концы термопар висели свободно.
По достижении температуры 650—680°, на что уходило 1—1,5
часа, включались осветители гальванометров и проверялась установка
на нуль. При небольшом отклонении от нуля мы передвигали соот-
ветствующую трубу горизонтальным винтом до слияния нити зайчика
с нулем шкалы.
Затем приключали термопары к гальванометрам и увеличивали
силу тока в печи, так что температура ее начинала быстро подни-
маться. Минут через 15—20 температура печи достигала 750—760°.
Тогда мы немного уменьшали силу тока (на 0,25—0,5 а) в каждой
фазе, и подъем температуры на последний десяток градусов до 800°
происходил медленно. Когда температуру печи можно было считать
установившейся, мы приступали к отсчетам по гальванометрам. При
некотором навыке можно было легко за 2 мин. записать по четыре-
пять точек для каждого зайчика. Дольше продолжать наблюдения
нет смысла, так как уже появляется неуверенность в постоянстве
температуры t печи. Отсюда видно, что основной опыт и запись на-
блюдений производились весьма короткое время; с большой затратой
времени была связана регулировка температуры печи.
Весь опыт, начиная от укрепления образца и кончая последней
записью при температуре 1200°, требовал 4 часов,
314 ТРЕТИЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [ГЛ. XVI
§ 71
ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ДВУХ ТОЧЕК
315
На рис. 108, а и б приведены полулогарифмические графики на-
гревания цилиндрического образца № 81 при / = 800° и / = 990°С;
на рис. 108, в — графики для образца № 11 при / = 1200°С.
Обработка опытных данных производилась по методу, изложен-
ному в § 1 и 2.
Пример применения метода двух точек к образцам цилиндри-
ческой формы, заключенным в оболочку (использование кри-
терия §). Материал, послуживший объектом экспериментов, о кото-
рых здесь будет говориться, — грунт, состоящий из мелких зерен
песка и пылевидной глины, подвергнутый довольно продолжительному
прокаливанию при температуре 400° С. Его объемная теплоемкость
cvol = 410 ккал!м^град', а = 18,6 • 10-4 м^час', 7 = 1865 ккал!м\
отсюда X — 0,76 ккал/м, час/град, с = 0,22 ккал/кг/град. Эти цифры
получены независимо от опытов по методу двух точек.
Точки М- и Ме выбраны так, как указано в § 3 этой главы;
для измерения температуры взяты технические термометры, довольно
грубые, имевшие цену деления в 1°, иногда даже в 2°, и только
Рис. 109. К методу двух точек: расположение термометров в образце
грунта (о); пример построения полулогарифмических графиков охла-
ждения (б).
в редких случаях в 0,1—0,2°. Точность измерения температуры по-
этому составляла в наших опытах ±0,1° и иногда доходила до
±0,05°. Предварительно термометры были проверены сравнением
с нормальным; поправки их иногда достигали по абсолютной вели-
чине 1°.
Термометры помещались внутрь калориметров таким образом, что
их резервуары были на одинаковой глубине, а именно, в экваториаль-
ной плоскости цилиндра; один термометр (Л4,) находился в центре,
другой (Л4е) вблизи оболочки (рис. 109).
316 ТРЕТИЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [ГЛ. XVI
Применялись два калориметра: 1) никелированный, латунный,
имевший внутренний диаметр 5,68 см и высоту 11,96 см; вес его
составлял 246 г, вес крышки 5 г; объем ~ 302 см&; 2) картон-
ный— несколько больших размеров; он весил с крышкой 9 г. Коэф-
фициент формы, найденный вычислением: К= 1,28 • 10-4 м1 латун-
ного и К= 1,55 • 10-4 картонного калориметра.
Крышка калориметра была изготовлена из того же материала,
как он сам; в ней были проделаны отверстия для термометров.
Мы не располагали камерой со спокойным воздухом или трубой
с принудительной циркуляцией воздуха. Роль такой камеры у нас
исполняло само помещение лаборатории. Некоторые опыты прово-
дились при сильной циркуляции воздуха вокруг калориметра. Это
осуществлялось таким способом: калориметр подвешивался к длинной
проволоке, верхний конец которой был прикреплен к потолку, а
нижний снабжен грузом, так что получался маятник с качавшимся
внизу калориметром. На время отсчета термометров маятник оста-
навливали.
Несмотря на крайнюю простоту измерительной аппаратуры и по-
становки опытов, они дали вполне удовлетворительные результаты;
в табл. 31 приведены некоторые цифровые данные.
Таблица 31
№ опытов т 10* -а Примечание
1-А 0,75 0,932 18,8 Латунный калориметр в спокойном воздухе
2-А 0,75 0,932 18,8 То же
5 2,37 0,78 18,5 Латунный калориметр при цирку- ляции воздуха
2 1,31 0,852 18,3 Картонный калориметр в спокой-
4-А 1,18 18,0 ном воздухе
В качестве примера на применение формул § 3 приводим обра-
ботку данных опыта № 2. Данные наблюдений и их обработка
в целях построения полулогарифмических графиков (44,) и (44е) при-
ведены в табл. 32.
На основании данных, полученных в столбцах 1, 3, 5 табл. 32,
строим графики охлаждения—см. рис. 109. При их построении мы
замечаем, что точки, помеченные звездочкой, совершенно „выскакивают"
с прямых (44е) и (44^; это объясняется грубым промахом наблюда-
теля, сделавшего ошибку в 5' при отсчете момента времени: следует
писать 44'50" вместо 49'50".
Построение графиков выгодно начинать с прямой (44f), так как
на ней лежит больше точек; затем уже проводим прямую (44 Д
317
ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ДВУХ ТОЧЕК
§ 71
которая ей параллельна. Из чертежа находим:
р = 0,16; /«=1,31 час-1.
Зная К, по формуле (16.7), пользуясь табл. 29 для у (р), в силу
которой )г(р) = 0,111, вычисляем а = 18,3 • 10-4.
Таблица32
т (1) (2) 1п(10^) (3) (4) 1П (10&в) (5) Отсчет ы времени по часам в мин.-сек. Щ ие t
°C
0' 18 5,19 15 5,01 33' 00" 32 29
5',4 16 5,07 13,5 4,90 38' 25" 30 27,5
*16', 85 14 4,94 *12 *4,79 *49' 50" 28 26 14
18',5 12 4,79 10,2 4,62 51'30" 26 24,2
27' 10 4,60 8,7 4,47 60' 00" 24 22,7
Для контроля точности результатов, полученных посредством
этого варианта метода двух точек, мы определили температуропро-
водность нашего материала посредством акалориметра, для которого
было К— 2,01 • 10—4; опыт, производившийся в размешиваемой воде
при той же температуре /=14°, при которой велись наши опыты,
дал т = 9,23, откуда следует а — 18,6 • 10-4: мы получили хорошее
совпадение с результатами применения метода двух точек.
Разбирая критически эти результаты, мы не можем это совпаде-
ние объяснить простой случайностью, так как опыты протекали
в самых различных условиях, что наглядно показывает табл. 31.
Следовательно, новая трактовка метода двух точек, изложенная в § 3
настоящей главы, вполне пригодна для образцов цилиндрической
формы, если испытываются плотные материалы. Вместе с тем уста-
новлена пригодность измерителей температуры невысокой, средней
точности.
Постоянство коэффициента теплоотдачи а вряд ли строго осуще-
ствлялось в описанных здесь опытах; учитывая же их хорошие ре-
зультаты, приходится заключить, что а колебалось около некоторой
средней постоянной величины и что эти колебания, период которых
мал по сравнению с термической инерцией охлаждающегося объекта,
не отражаются заметно на точности опытов. Точно так же, несом-
ненно, существующая неравномерность а — поля на поверхности ци-
линдра, и даже его колебания по времени, особенно резко проявляю-
щиеся в опытах с качанием калориметра, не влияют на результат.
Следовательно, допустимо вести опыты по методу двух точек и в уп-
рощенной обстановке.
Согласно теории способ расчета температуропроводности не зави-
сит от того, будет ли заключен образец материала в оболочку или
318 ТРЕТИЙ МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [гЛ. XVI
нет; к этому выводу мы пришли в конце § 2 этой главы, где его
справедливость доказана для трех простейших форм. Наши опыты
не только всецело подтверждают такой вывод, но и позволяют его
распространить на цилиндры, высота которых в два раза и более
больше диаметра. В самом деле, сравним результаты двух групп
опытов: № 1-А, 2-А, 5 и № 2, 4-А. Полная теплоемкость С грунта,
насыпанного в калориметр, впервой группе опытов равна С— 124• 10~3
ккал!град‘, теплоемкость латунной оболочки равна Собол=-23,1 . 10“3
ккал-град (считая слат = 0,092). Во второй группе опытов — с кар-
тонным калориметром, имевшим объем приблизительно 400 см\
С = 164 • 10~3 ккал[град, в то время как теплоемкость оболочки,
которая весила только 9 г, составляла СОбОЛ = 3 • 10-3 (принимая
удельную теплоемкость картона 0,33 ккал!кг]град').
Отсюда отношение теплоемкостей оболочки и образца оказалась
равным:
^обол__1 0,186, т. е. 20% в случае металлической оболочки,
С (0,0183, т. е. 2% в случае картонной оболочки.
Таким образом, при обыкновенных технических измерениях кар-
тонной оболочкой можно пренебречь; опыты показали, что и метал-
лическая оболочка, влияя на т, на способе расчета не отражается!
Выше описанные опыты представляют собою первый шаг в иссле-
дованиях того рода, о которых мы говорили в конце § 3 этой главы;
следует их провести в более широком масштабе, чтобы выяснить,
нет ли возможности избежать громоздких вычислений, подобных тем,
схема которых дана в § 4 и 5, где изложена точная теория.
ГЛАВА XVII
МИКРОКАЛОРИМЕТР РЕГУЛЯРНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ
Первый и третий методы регулярного режима позволяют без осо-
бых затруднений найти температуропроводность а материала. Для
определения удельной теплоемкости с можно употребить второй вариант
второго метода, описанный в гл. XV. Однако же он требует предва-
рительного определения температуропроводности «; в этой главе
изложен метод, который позволяет обойтись без этой операции или
ограничиться очень грубой оценкой температуропроводности.
§ 2. Идея метода
Предположим, что охлаждение образца исследуемого материала
происходит в условиях, при которых критерий р является малой вели-
чиной. Этому будут соответствовать малые значения критерия С.
Отсюда непосредственно вытекает указание о постановке эксперимента:
если считать заданной теплопроводность материала X, то для получе-
ния малых С = следует брать малые навески материала (этому соот-
ветствуют малые Lq) и вести эксперимент в камере спокойного воздуха,
заключив навеску материала в тонкую капсюлю, наружная поверхность
которой покрыта слоем, обладающим малой лучеиспускательной спо-
собностью, например алюминирована или изготовлена из алюминия.
Этим путем мы приходим к построению лабдакалориметра очень малого
размера, у которого 2А0 порядка 20—30 мм; его естественно назвать
микрокалориметром.
При малых значениях р критериальная величина 'Г (см. § 4 гл. IV)
будет близка к единице, причем даже грубая ошибка в оценке а (а этот
параметр входит в состав критерия р) мало повлияет на величину Ф.
Написав расчетные формулы для каждого из калориметров, образую-
щих в совокупности микрокалориметр, в виде (4.18) и разделив
одну из них на другую, исключаем а и приходим к простому методу
определения удельной теплоемкости исследуемого вещества. В первом
приближении можно считать Ф = 1. Как и всегда, в качестве нормаль-
ного вещества следует избрать вещество с хорошо изученной в ши-
рокой области температур теплоемкостью — воду, медь, железо и т. п.
320 МИКРОКАЛОРИМЕТР РЕГУЛЯРНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ [гл. XVII
Очень простой стеклянный шаровой микрокалориметр был исполь-
зован в 1940 г. А. В. Тарховой для определения удельной тепло-
емкости спирта и масел [53].
§ 2. Цилиндрический микрокалориметр. Теория
и расчетные формулы
Рис. 110.: Цилиндри-
ческий микрокалори-
метр регулярного
охлаждения.
Предположим, что микрокалориметру придана форма длинного
цилиндра, т. е. такого цилиндра, высота которого Z примерно в три
раза превышает диаметр основания D (рис. ПО).
В этом случае влиянием торцов можно пре-
небречь, и критерий Ф в зависимости от р вы-
разится формулой (4.21), т. е.
Ф«1-^. (17.1)
Эта формула дает Ф с хорошей точностью —
порядка долей процента (не ниже 1%),—-вплоть
до значений р порядка 0,6—0,7.
Предположим, что рассматривается регуляр-
ное охлаждение двух таких цилиндров, причем
один из них изготовлен из вещества, термические
свойства которого известны, — лучше всего из
металла, — а другой представляет собою ци-
линдрический маленький тонкостенный сосуд,
наполненный теплоизолятором, удельную тепло-
емкость которого с требуется определить.
Применим общую теорию, причем снабдим
все величины, относящиеся к первому ци-
линдру, состоящему из „нормального" вещества,
значком N. Предположим, что внешние размеры обоих цилиндров
одинаковы и коэффициент лучеиспускательной способности наружной
поверхности их один и тот же. Если оба они охлаждаются в одина-
ковых условиях, то коэффициент теплоотдачи а для них одинаков,
и мы согласно общей теории получаем, в силу (6.17) и (1.47):
тС 1 . т С'
~^S~~ ' Ф ~ 1 ~а. S”
1 ..
(17.2)
С' — теплоемкость оболочки.
Предположим, что для нормального вещества ’IrN = 1; тогда,
исключая а из формул (17.2), мы находим следующую зависимость
между С—-полной теплоемкостью навески Р исследуемого вещества,
§ 3] ВЫБОР РАЗМЕРОВ МИКРОКАЛОРИМЕТРА 321
теплоемкостью CN калориметра N и темпами охлаждения т и mN:
C=cp='r(£-?'C»-C')i <17'3>
здесь С' — теплоемкость сосуда (цилиндрика) с исследуемым веще-
ством; CN—теплоемкость цилиндрика из нормального вещества.
Критерий Ф вычисляется по формуле (17.1), где
P = R^-, (И)
7? обозначает внутренний радиус сосуда.
Следовательно, формулу (17.1) можно написать так:
Ф^1 —• (17.5)
8 а 4 J
Отсюда ясна идея метода: из наблюдения над регулярным охла-
ждением обоих цилиндриков, протекающем в одних и тех же усло-
виях и лучше всего одновременно, определяем т и т^, далее по
(17.4) и (17.5), зная температуропроводность а теплоизолятора, опре-
деляем Ф, затем по (17.3) находим С и, наконец, считая вес мате-
риала Р уже известным, вычисляем удельную теплоемкость с. При
этом предполагаются известными величины CN и С' — константы
микрокалориметра. Кроме них, должен быть известен и радиус R.
В расчет не входит а, вследствие чего определение теплоемкости с
значительно упрощается; однако все же необходимо предварительно
определить температуропроводность теплоизолятора а; из дальнейшего
будет видно, что эту операцию можно обойти.
§ 3. Выбор размеров микрокалориметра и условий
охлаждения
Критерий Ф является убывающей функцией критерия С=аЛ0/Х
(у нас Lq = R), причем Ф—> 1, когда > 0; поэтому, чтобы прибли-
зить Ф к единице, следует, во-первых, уменьшить Zo и, во-вторых,
уменьшить а. Мы выберем LQ~R= 1 см, но не меньше, чтобы избе-
жать необходимости применять чрезмерно тонкие термопары, являющиеся
обязательными при опытах с миниатюрными образцами. Для умень-
шения а будем вести опыты в условиях свободной конвекции —
„спокойного воздуха", а наружные поверхности калориметров нике-
лируем; в этих условиях нельзя ожидать, чтобы а превзошло
7—8 ккал/м^нас/град.
При этих условиях, выбрав за нормальное вещество для калори-
метра N какой-либо металл с хорошо изученной теплоемкостью,
можно считать Ф^^ = 1. Для доказательства воспользуемся критериаль-
ными величинами т| и $ (см. § 4 и 5 гл. IV).
21 Зак. 750. Г. М. Кондратьев
322 МИКРОКАЛОРИМЕТР РЕГУЛЯРНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ [гл. XVII
В применении к цилиндру имеем:
V _ Р
5 ~ 2 ’ л— 5,783 ’
и потому
7!= 2,892.^-. (17.6)
Возьмем самый неблагоприятный случай: цилиндр из плохо проводя-
щей тепло хромистой стали ЭЯ-I-T, для которой [51] а = 1,54 • 10~2;
к= 14,6 (при / = 20° С).
Тогда из (17.6) находим, что при а = 10 критерий т] = 450.
На основании определения Ф [формулы (4.23) и (4.20)] имеем:
ф^1 —
откуда для больших т|
В нашем случае /71
так что
пренебрежимо мало по сравнению с tq,
11.1
Отсюда найдем по формуле (4.21), что Ф приблизительно только
на две тысячных отличается от единицы. Следовательно, применяя
в качестве нормального вещества металл, мы вправе считать ф=1.
Переходим теперь к калориметру, наполненному исследуемым
теплоизолятором, и поставим вопрос: как ошибка в определении а
отражается на точности определения Ф по формуле (17.5) или (17.1).
d'V р
Мы имеем з—=— 3-, а отсюда
ар 4
Пусть р — число порядка 0,6—0,7; тогда из предыдущей формулы
следует, что
^~о,1.^,
Р
т. е. относительная ошибка в определении р порядка 10% вызовет
ошибку порядка 1% в определении Ф; но из (17.4) следует, что
dp 1 da
— = — TIT’ а огсюда вывод: если в оценке а ошибемся примерно
на 20%, т0 проистекающая отсюда он ибка в определении Ф будет
всего лишь 1°/0. В действительности ошибка будет и того меньше:
она возрастает с р и мы приняли pss>0,7, тогда как р будет меньше,
если только уплотнить материал и тем самым повысить А.
§ 4] ОПИСАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО МИКРОКАЛОРИМЕТРА 323
Для уплотненного материала можно А оценить примерно 0,8.
Тогда приближенный расчет соответствующего значения р даст сле-
дующий результат. Возьмем зависимость между р и С; для цилиндра
при не очень больших р будет
Сяйу или р2г^2...
Оценим С:
так что будет приближенно p2ss0,25, откуда р^0,5. Этим и
оправдано наше утверждение.
Следовательно, если только не стремиться к очень большой точ-
ности, можно ограничиться грубой оценкой а.
§ 4. Описание цилиндрического микрокалориметра
Оба цилиндра микрокалориметра изготовлены из латуни; их
наружные диаметры можно считать одинаковыми (с точностью до
0,05—0,1 мм) и равными 20 мм. Внутренний радиус полого цилинд-
рика, который наполняется испытываемым материалом, равен 8,6 мм.
Он плотно закрывается крышкой. Высота калориметров Z одинакова
и равна 60 мм. Таким образом, в нашем случае S = SN. Оба кало-
риметра снабжены ушками для подвешивания (рис. ПО).
Для измерения разностей температур калориметра и окружающей
среды мы применяли медно-константановые термопары в соединении
с переносными стрелочными гальванометрами. Гальванометр, включен-
ный в цепь термопары нормального калориметра, имел чувствитель-
ность 2,7 мка на одно деление шкалы, а гальванометр в цепи термо-
пары калориметра, наполненного теплоизолятором, — чувствитель-
ность в 0,8 мка/цел. шк. Проволочки термопар имели диаметр 0,4 мм;
конечно, они слишком толсты для калориметра, наполненного испы-
тываемым материалом; в некоторых случаях приходится принимать
в расчет их теплоемкость и вычитать ее из С. Для нормального кало-
риметра толщина проволочек 0,4 мм допустима.
Существенное значение имеет правильный монтаж термопар. Термо-
пара, вводимая внутрь цилиндрика N, заключена в двухканальную
фарфоровую трубочку диаметром 3,5 мм, которая упирается в дно
цилиндрического отверстия (см. рис. 110); для обеспечения хорошего
контакта с металлом цилиндрика в отверстие налито несколько капель
масла.
Термопара, вводимая внутрь цилиндрика, наполняемого материалом,
монтирована без фарфоровой трубочки; по отношению к массе мате-
риала она явилась бы инородным телом, теплоемкость которого сле-
дует сделать как можно меньше по сравнению с теплоемкостью ма-
териала; при таких малых навесках материала, как в данном случае,
21*
324 МИКРОКАЛОРИМЕТР РЕГУЛЯРНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ [гл. XVII
теплоемкость фарфоровой трубочки стала бы сравнимой с теплоем-
костью навески, и поэтому целесообразно обойтись без нее.
С целью понизить коэффициент теплоотдачи а опыт проводился
в условиях свободного, а не вынужденного потока; поверхности ци-
линдриков были никелированы. Для успеха опыта необходимо обес-
печить устойчивое значение а на протяжении всего опыта; всякие
случайные его колебания, вызванные даже слабыми воздушными по-
токами, т. е. легкими сквозняками, радиацией нагретых предметов
и другими факторами случайного характера, не особенно сильно влияют
на калориметры обычных размеров, у которых Lo порядка 3 см,
но совершенно искажают результаты, как только мы переходим к ка-
лориметрам малых размеров с Lo порядка 1—1,5 см.
Поэтому необходимо применять специальную защиту против этих
влияний, например пользоваться камерой спокойного воздуха. Мы
поступили проще: штатив с подвешенными к нему калориметрами
стоял на столе на высоте 70 см от пола и был окружен щитом
в виде овального цилиндра из картона. Такой простой экран обес-
печивал, во-первых, постоянство а во время опыта и, во-вторых,
одинаковость а для обоих цилиндриков. Кроме того, этот экран служил
защитой и рт влияния наблюдателя, сидевшего тут же за столом, на
котором находились оба гальванометра.
§ 5. Калибровка микрокалориметра и ведение опыта
Калибровка, т. е. определение постоянных прибора Сх, С, /?,
по своей простоте не требует объяснений. Для вышеописанного ла-
тунного калориметра, приняв удельную теплоемкость латуни при 20° С
равной 0,092 ккал1кг{град, мы нашли Су = 1,42 «Ю-2 ккал-град',
С’ = 0,42 • IO"2 ккал/град (с крышкой). Представляет интерес и по-
стоянная Фу для сплошного цилиндра, так как, зная ее, мы можем
определить а. Эта постоянная найдена равной
Фу ==- = 3,24 ккал/м"2!град.
О
Следовательно, расчетная формула для описанного здесь микро-
калориметра будет иметь вид:
С = cP = Ф (1,42 • — — 0,42^ IO-2,
\ т )
Ф = 1 —0,0925 • =^—
104-л
(при температурах комнаты, близких к 20° С).
Навеска материала (Р) должна быть измерена с точностью не
ниже 5 сг.
§ 6] РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 325
Ведение опыта — обычное для методики регулярного режима.
В наших опытах оба калориметра охлаждались одновременно и один
наблюдатель вел отсчеты по двум гальванометрам.
Предварительный нагрев калориметров был порядка 30—40°,
т. е. на 10—20° выше /«20° С.
Для грубой оценки температуропроводности а служил примитив-
ный акалориметр, в виде шаровой стеклянной колбочки, диаметр ко-
торой был равен 25—30 мм.
Хотя в силу самой идеи метода, измерять коэффициент тепло-
отдачи а не требуется, тем не менее, мы его подсчитывали (по фор-
муле а = туФц) в каждом опыте, чтобы выяснить, настолько устой-
чивым сохраняется этот коэффициент. Его постоянство в наших
условиях опыта оказалось достаточно хорошим: а менялось на не-
сколько процентов от опыта к опыту.
Испытываемый материал целесообразно привести в состояние одно-
родного мелкого порошка. Материалы, с которыми мы эксперимен-
тировали, были по большей части порошкообразны и в специальной
подготовке не нуждались. Волокнистые материалы при наполнении
калориметра были уплотняемы. Все материалы испытывались в воз-
душно-сухом состоянии; до опыта они продолжительное время хра-
нились в лаборатории в открытом виде при температуре 20° или
немного выше и при относительной влажности воздуха приблизительно
45—55%.
§ 6. Результаты опытов. Заключение
Произведенные нами опыты разбиваются на две группы. Предме-
том опытов первой группы явились химически достаточно определенные,
чистые вещества, удельная теплоемкость которых измерялась неод-
нократно различными экспериментаторами. Опыты второй группы от-
носятся к различным техническим материалам, плохим проводникам
тепла, в частности к теплоизоляционным материалам.
Опыты первой группы имели целью установление достижимой,
на данной стадии разработки метода, точности.
Опыты с чистыми веществами.
1. Продажный рафинированный сахар; кристаллы размерами при-
близительно 0,5 мм; мы получили с = 0,304 при /=20->25°.
В литературе встречаем цифры между 0,298 и 0,302.
2. Кварцевый песок (в виде порошка), степень чистоты: 0,019%
окиси железа, остальное SiO2. Мы получили с = 0,174 в хорошем
согласии с другими исследователями и с результатами, полученными
3. Е. Лобановой в Институте огнеупоров в 1937 г. при измерении
удельной теплоемкости кварцевого стекла по методу шарового метал-
лического блок-калориметра смешения [54].
3. Графит в порошке, применяемый для термометрических целей,
высокой частоты: £ = 0,18. Литературные данные не совсем согласны
между собой; мы находим цифры между £«0,16 и с«0,20 (при t
326 МИКРОКАЛОРИМЕТР РЕГУЛЯРНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ [ГЛ. XVH
около 20°). Объяснение этих расхождений следует искать, как нам
думается, в наличии различных примесей в графитах различного про-
исхождения.
Опыты с техническимиматериалами.
1. Соль поваренная продажная: с = 0,19б.
2. Карборунд: с = 0,23.
3. Форстерит: с = 0,18.
4. Асбо-пух-шнур: с = 0,28.
Кроме описанного здесь металлического микрокалориметра, мы
применяли стеклянный микрокалориметр. Он состоит из двух одина-
ковых стеклянных сосудиков цилиндрической формы, которые закрыты
стеклянными же крышками, имеющими отверстия для ввода термопар.
В качестве нормального вещества мы брали ртуть или воду; при ка-
либровке калориметра удельная теплоемкость стекла, обычно приме-
няемого для стеклодувных работ, принята с = 0,19 [48].
ГЛАВА XVIII
ВЗАИМНАЯ СВЯЗЬ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ
МЕТОДАМИ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
Изложенные в гл. XIV—XVII методы, несмотря на различие рас-
четных формул, несмотря на различие их технического оформления, тесно
связаны между собой; в их основе лежит одно и то же явление, под-
чиняющееся одному и тому же — асимптотическому — закону, только
протекающее в различных условиях: при различных а и различных т.
Эта взаимная связь станет ясной, если мы обратимся к универсальным
критериям р, 'Г.
Представим себе совокупность тел одинаковой формы, т. е. по-
добных геометрически; они могут быть изготовлены из различных
веществ, они могут регулярно охлаждаться в каких-угодно условиях.
Рис. 111. 'Г — функция £( = /?/г для шара).
Следовательно, для этой совокупности физические величины Ао, X
а, а могут принимать какие угодно численные значения, а критерий
С = может меняться от нуля до бесконечности. В соответствии
с этим критерий р = L(j ]/~~ будет принимать ряд значений от нуля
до роо и оба критерия будут связаны зависимостью, имеющей вид,
изображенной на рис. 8.
Аналитическое выражение функции С, = <р (р) (1.54) будет совер-
шенно определено, коль скоро задана форма тел рассматриваемой
328 СВЯЗЬ МЕЖДУ МЕТОДАМИ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [гл. XVIII
совокупности, ибо оно зависит только от формы. Любой регулярный
режим любого тела данной согокупности описывается математически,
как одна из точек кривой (1.54), имеющей асимптоту р — р^.
Пользуясь этим геометрическим образом, мы сейчас укажем, ка-
ким участкам кривой соответствует экспериментальная обстановка
того или иного метода.
Оболочку мы исключим из рассмотрения, так как она играет
только вспомогательную роль.
Наравне с критерием р мы будем характеризовать состояние тела
данной формы критерием Ф, который, если его трактовать как функ-
цию С, изобразится представленной на рис. 111 кривой с асимпто-
той Ф = 0. Аналитически ее выражение зависит только от формы
тела.
§ 1. Связь между акалориметром, ламбдакалориметром
и микрокалориметром
Применяя акалориметр, мы ставим образец испытываемого мате-
риала в такие условия, при которых его регулярный режим изобразится
дальними точками кривой рис. 8, т. е. теми точками, в которых кривая
практически совпадает со своей асимптотой, точнее говоря, подби-
раем столь большое С > С*, при котором р^ — р будет весьма малым —
меньше наперед заданного весьма малого положительного числа, или,
Рео— Р* , „ „
иными словами, при котором --------- будет заданной малой величи-
Роо
ной, например 1%, 2% и т. п. Только если эти неравенства осуще-
ствлены в условиях эксперимента, применение расчетной формулы
(1.64), на которой основан акалориметр, не будет сопряжено со зна-
чительными ошибками.
В гл. XIV мы указали, что больших значений а можно достичь,
выбирая в качестве среды Е плотную жидкость и подвергая ее энер-
гичному перемешиванию. Спрашивается: всегда ли такой прием обес-
печит соблюдение требуемого нами приближения к асимптоте? Так
как ход явления определяется критериями и связью между ними, то
мы сейчас же скажем, что одно только осуществление больших зна-
чений а еще не достаточно, чтобы во всех случаях практики га-
рантировать возможность применения расчетной формулы акалори-
метра: даже при очень больших значениях а — в несколько тысяч
ккал]м?1час]град возможны случаи (при Lo малом и Л большом),
когда критерий С будет мал, и явление изобразится точкой, близкой
к средней части кривой (1.54); а тогда не может быть и речи даже
о грубом приближении р к ри,.
Испытывая теплоизоляционные материалы, теплопроводность ко-
торых не превосходит нескольких десятых (техн, ед.), и выбирая
основной размер Lo образцов порядка 3 см и более, мы попадаем
как раз в благоприятнее условия-, достаточно создать такую обета-
§ 2] СВЯЗЬ МЕЖДУ ПЕРВЫМ, ВТОРЫМ И ТРЕТЬИМ МЕТОДАМИ 329
нОвку опыта, при которой а число порядка нескольких сотен, что
и достигается на аппаратуре, описание которой дано в § 2 гл. XIV.
Случай акалориметра соответствует весьма малым значениям кри-
терия Ф. Подвергнем теперь тот же образец охлаждению в усло-
виях, когда С имеет средние значения — порядка нескольких единиц,
а Ф—число больше 0,1—0,2; это будет случай средних значений а
(если иметь в виду, опять-таки, теплоизоляторы) — порядка единиц
и десятков: образец обратится
в „ламбдакалориметр".
Изменяя его основной размер Lo
и уменьшая а, можно добиться
весьма большого снижения кри-
терия С, так что он будет выра-
жаться числами в несколько деся-
тых и даже меньше, — мы при-
ходим к значениям Ф, очень
близким к единице; регулярный
режим образца будет представлен
точками кривой (1.54), близкими
к началу координат. Это значит,
что наш образец играет роль
микрокалориметра. Рис. Ц2. Регулярные режимы микро-
Таким образом, регулярный калориметра, ламбдакалориметра и
режим образца управляется всегда акалориметра во взаимной связи,
одним и тем же законом, хотя
аналитические выражения расчетных формул в трех методах совсем
различны. На рис. 112 кривая разделена, конечно условно, на участки,
соответствующие трем методам.
§ 2. Связь между первым, вторым и третьим методами
Метод двух точек и первый метод регулярного режима. Пред-
положим, что образец испытываемого материала имеет такую форму,
которая допускает применение критерия £, и, следовательно, расчет-
ная формула третьего метода имеет форму (16.7) или (16.10) § 3
гл. XVI. Одна из точек выбрана в центральной части образца, вто-
рая— на его поверхности. Будем охлаждать образец при различных
значениях коэффициента теплоотдачи а. При малых а критерий ? бу-
дет иметь малую величину и р = 1п — 1п 1>е будет также число малое:
полулогарифмические прямые для точек Л4{ и Ме будут расположены
очень близко друг к другу.
По мере увеличения а прямые меняют (рис. 101) свое положение,
причем их наклон к оси абсцисс возрастает, и прямая Мв удаляется
от прямой Mt. Критерий Е постоянно возрастает. В предельном случае
когда а -> оо, критерий $ принимает значение единица, а формула
(16,10) обращается в расчетную формулу (1.64) акалориметра. При
330 СВЯЗЬ МЕЖДУ МЕТОДАМИ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА [ГЛ. XVIII
этом темп охлаждения становится наибольшим возможным, прямая М{
принимает положение, соответствующее а -> оо, т. е. наиболее кру-
тое, прямая же Ме удаляется в бесконечность. Следовательно,
в некотором отношении первый метод является частным случаем
третьего.
Сочетание второго и третьего методов. Согласно основной идее
третьего метода, изложенной в § 1 гл. XVI, зная безразмерные ко-
ординаты х', у', г' и х', у', г' двух точек образца и найдя из опыта
b = , вычисляем р2 на основании уравнения с b гл. XVI, т. е. урав-
нения
*=/(р2. 4 •••• 4 •••)• (18.1)
Предположим, что одновременно с этим мы определим еще и ко-
эффициент теплоотдачи а, как это делается в опыте с ламбдакалори-
метром. Для общности будем считать, что образец заключен в тон-
кую оболочку, теплоемкость которой обозначим СОбол- Тогда, согласно
формуле (6.18), получим:
_ а£0 S / т , Собод\
<р (р) 2 \ a S J'
(18.2)
Поскольку р уже найдено и а известно, последнее уравнение по-
зволит нам вычислить X. Найдя из опыта т, вычислим также и
1 9
« = « • 72 • Р2-
Примечание. Если оболочка отсутствует, то для нахождения X нет
необходимости знать т: мы имеем два уравнения
„Г
й=/(р2, х'г...,х', ...), Х = ??А, (18.3)
в которые темп охлаждения т не входит. Исключая р из этих уравнений,
получаем связь между X и Ь.
Цилиндр: Z > 2/?. Предположим, что точки Л42 и выбраны
так, как это описано в § 4 гл. XVI, и присоединим к уравнению (16.14)
уравнение (3.4), выражающее в критериальной форме условия тепло-
обмена на боковой поверхности цилиндра; мы получим систему двух
уравнений:
6=/=J0(S), /(s) = —, (18.4)
С
в которой величины Ь и а следует считать известными из опыта;
R также известно. Поэтому из этих уравнений, исключив s, получим
теплопроводность материала X.
Диск: Z < 2R. Предположим, что за взята точка В—«центр
одного из оснований диска, а Л1,, попрежнему центр диска.
§ 2] СВЯЗЬ МЕЖДУ ПЕРВЫМ, ВТОРЫМ И ТРЕТЬИМ МЕТОДАМИ 331
Опять составим систему уравнений, аналогичную предыдущей, из
(16.15) и (3.6):
1 а
* = / = cos<7, F(^)=2-Z-t. (18.5)
О
Поскольку b и а известны, эта система, по исключении qt позво-
Рис. 113. Комбинация второго и третьего методов
регулярного режима: Н(6) для цилиндра
и диска.
Прямоугольный параллелепипед. Выберем точки М2
и Mlt как указано в § 5 гл. XVI, т. е. за М1 возьмем центр А од-
ной из его граней, а за Л12 — центр С параллелепипеда.
Уравнение (16.20) и уравнение теплообмена этой грани с окру-
жающей средой (3.33) образуют систему уравнений:
6 = -^ = coS<71, (18.6)
из которой, зная b и а, получим X.
Во всех только что разобранных случаях параметры s и q играют
вспомогательную роль; их можно исключить и непосредсдве.нно связать
332
СВЯЗЬ МЕЖДУ МЕТОДАМИ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
[ГЛ. XVII!
с Ь безразмерную величину Н
смотренному в гл. IV).
к
а£0
(аналогичную критерию т;, рас-
Для этого следует придать b ряд значений от нуля до единицы,
например 0,9; 0,8; ...; 0,2; 0,1, вычислить соответствующие s или q,
затем по таблице функции f (у) или F (q) вычислить ее значение и
найти Н
7^) или Таким образом будет составлена
таблица
значений функций H(Z>). Графики ее для цилиндра и диска предста-
влены на рис. 113.
Рис. 114. Н(р) для цилиндра и диска.
Обработка опытных данных при этом получается очень простая:
зная р = In Од—In Од, вычисляем Ь = е~с, по графику функции Н
находим Н и вычисляем А по формуле:
А=аА0Н, (18.7)
где Lo — R или Z, или X.
Можно рассматривать величину Н, как функцию р, причем число р
непосредственно берется с чертежа, и вычислять А по этой же фор-
муле (18.7); графики Н(р) представлены на рис. 114.
ГЛАВА XIX
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ ТОНКИХ
СЛОЕВ ПОСРЕДСТВОМ БИКАЛОРИМЕТРА, ИМЕЮЩЕГО
ЯДРО ЛЮБОЙ ФОРМЫ
§ 1. О тепловых величинах, характеризующих тепло-
изолирующие свойства слоев
В основе всех методов, изложенных в предыдущих главах, лежит
теория охлаждения простого, т. е. односоставного тела; если мы и
привлекали на помощь теорию регулярного охлаждения двухсоставных
тел, то она имела подсобное значение, — мы были к тому вынуждены
техникой эксперимента, повлекшей за собой необходимость применять
оболочки. Группа методов, к изложению которых мы переходим, на-
оборот, именно тем и характерна, что она основывается на рассмотре-
нии регулярного охлаждения двухсоставного тела, а именно, ядра из
хорошо проводящего тепло вещества— „металла", заключенного в обо-
лочку, изготовленную из испытываемого термоизолятора, который мо-
жет быть многослойным.
С
При условии, что константа ядра Ф = известна, темп т его
регулярного охлаждения явится функцией теплоизоляционных свойств
материала, служащего для одевания ядра, и условий охлаждения,
т. е. а. Если удастся аналитически связать то и другое, то, измеряя
т, можем получить из этой аналитической зависимости ту или иную
величину, численно характеризующую теплоизоляционную способность
материала, примененного для изоляции: его теплопроводность или те-
пловое сопротивление и т. д. Все составные тела этого рода мы для
краткости речи будем называть бикалориметрами.
Для численной характеристики теплоизолирующей способности
какого-либо слоя, защищающего от теплового воздействия внешней
среды данный объект, например человеческое тело, наряду с коэффи-
циентом теплопроводности X служат другие тепловые величины, ко-
торые также принято называть коэффициентами, и обратные им ве-
личины, которым присвоено название сопротивлений. Их определение
дается во многих сочинениях по теплообмену [6].
334 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ ТОНКИХ СЛОЕВ [ГЛ. XIX
Пусть Q — полное количество тепла, прошедшее за время т че-
рез поверхность плоской стенки 5 от ее „горячей" стороны, имеющей
температуру к „холодной" стороне, имеющей температуру /2;
S — толщина стенки.
Тогда тепловое сопротивление плоской стенки (или плоского
слоя) определяется формулой
Р=Л.
к
Очевидно, что удельный тепловой поток
„ _ Q __h — Ч
4 ~ Sz~~ Р ’
т. е. стационарный тепловой поток через плоскую стенку, подчиняется
закону, который по форме совпадает с законом Ома,
. _ Ц - ^2
R ’
причем вместо потенциалов Ц и У2 в двух точках однородного про-
водника следует ввести температуры поверхностей стенки, а вместо
электрического сопротивления R— аналогичную ему величину Р. Чем
она больше, тем меньше тепловой поток при заданном температурном
напряжении tx — tv
Аналогия между обоими процессами станет еще полнее, если
основную формулу передачи тепла через плоскую стенку переписать
так:
О б —
т 8 ’
хГ
а под тепловым сопротивлением понимать величину
8
W
Х5
Тогда дробь истолковывается, как тепловой ток, т. е. количе-
ство тепла, проходящее через всю поверхность S стенки в единицу
времени, подобно тому, как электрический ток равен количеству элек-
тричества, проходящему в единицу времени по проволоке, поперечное
сечение которой равно <о: электрическое сопротивление R куска про-
волоки длиною I будет равно
R = ^-,
ш ’
где рал—удельное электрическое сопротивление материала про-
волоки.
§ 11
ТЕПЛОИЗОЛИРУЮЩИЕ СВОЙСТВА СЛОЕВ
335
Совершенно аналогично этой последней формуле, ей предшествую-
щую формулу можно представить в виде:
Р8
где под р следует понимать величину, характеризующую способность
материала стенки сопротивляться прохождению тепла:
1
р=т-
Аналогия совершенно очевидна: рэл заменено через р, ш через S,
I через 8. Очевидно, что
Р
S'
Обычно в тепловых расчетах пользуются только величиной Р.
Если рассматриваемый плоский слой — сложный, т. е. состоит из
ряда слоев, материалы которых различны и толщины, вообще говоря,
неодинаковы, то удельный тепловой поток через этот сложный слой
может быть изображен как частное от деления температурного на-
пора на „полное" тепловое сопротивление сложного слоя, равное
сумме тепловых сопротивлений Р{ составляющих его простых
слоев. Это полное сопротивление называют эквивалентным", обозна-
чим его Рэ.
Ра есть тепловое сопротивление такого воображаемого простого
слоя, материал которого имеет теплопроводность (фиктивную) Аа та-
кую, что при той же самой толщине 8 = 87, где 8^ — толщины со-
ставляющих слоев, и при том же температурном напоре он пропускает
тот же тепловой поток q, как и реальный данный сложный слой.
Величины Рэ, Хэ следующим образом определяются через тепло-
вые сопротивления Pi = и коэффициенты теплопроводности лг от-
дельных слоев:
Величину ).я называют эквивалентным коэффициентом тепло-
проводности.
Кроме этих величин, хотя и реже, употребляют другие: А, Аа,
Рц> Реум-
Под А понимают величину, обратную Р и характеризующую спо-
собность данного теплоизолятора пропускать тепло безотносительно
к его толщине; ее называют коэффициентом теплопроводности слоя
(а не „материала"). Аналогичный смысл имеет Аэ — эквивалентный
коэффициент теплопроводности сложного слоя. Под поверхно-
стным тепловым сопротивлением Рп понимают величину, обратную
336
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ ТОНКИХ СЛОЕВ [гл. XIX
коэффициенту теплоотдачи а. Наконец, под суммарным тепловым
сопротивлением Роум или Ро понимают сумму тепловых сопротивле-
ний Рэ и Рп; Рсум—величина, обратная k — суммарному коэффи-
циенту теплопередачи.
Если обозначить tx температуру поверхности изолируемого объ-
екта, ta—температуру поверхности изоляции, ts — температуру внеш-
ней среды Е (рис. 115), то мы имеем:
*1 ''и *Е *1 (е
9 р р р
э л сум
Теплопередача внутри слоя определяется величинами: X, Р, если
это простой слой, и Ха, Рэ, если это сложный слой.
Теплоотдача наружу: а, Рп, причем
суммарная теплопередача: k, Роум, причем
Рсум = 4=Рэ + ]
Наконец, для полной характеристики тепловых свойств исследуе-
мого слоя, в частности ткани, одежды, необходимо еще знать коэф-
фициент интегральной луче-
испускательной способности
его наружной поверхности
или радиационную константу
ее о (С).
Введение, наряду с различ-
ными „ коэффициентами “, еще
и „сопротивлений" представляет
двоякую выгоду: во-первых,
Рис. 115. Тепловой поток через плоско- описание явления передачи тепла
параллельный сложный слой. от нагретого тела во внешнюю
среду становится простым и
наглядным; во-вторых, тепловые сопротивления, подобно электри-
ческим, обладают свойством аддитивности, которого нет у тепловых
коэффициентов.
Следует, однако, тут же подчеркнуть, что эти величины имеют
ограниченную область применения: они пригодны лишь до тех пор,
пока рассматриваемые слои имеют малую кривизну или малую тол-
щину по сравнению с изолируемым объектом. Для таких объектов
с плавными очертаниями мы можем, если не преследуем особой точ-
ности, пользоваться вышеперечисленными величинами. Но по всей
строгости они применимы только к плоским слоям—плоским стен-
кам. Достаточно перейти к цилиндрическим и сферическим слоям,
чтобы формулы получили существенное изменение и утратили про-
§ 2] ИДЕЯ МЕТОДА И ЕГО РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ 337
стоту и наглядность [6]; однако для слоев малой толщины эти фор-
мулы практически совпадают с формулами для плоского слоя. На это
обстоятельство мы обращали внимание еще в § 2 гл. IV (теоретиче-
ской части). С точки же зрения характеристики тепловых свойств
слоистых теплоизоляционных материалов и изделий рассмотренные
нами величины имеют большое практическое значение; поэтому уси-
ленно разрабатываются методы их определения.
Ниже излагаются два метода, основанные на теории регулярного
режима, отличающиеся чрезвычайной простотой и наглядностью. Ши-
рокое распространение нашел второй из них в применении к испы-
танию текстильных изделий, главным образом тканей одежды, и на
нем мы остановимся более подробно.
§ 2. Идея метода и его расчетные формулы
Нанесем исследуемый материал в виде тонкого слоя, который во-
обще может иметь не везде совершенно одинаковую толщину, на
металлический блок, например шар, эллипсоид и т. п. Образованный
таким способом бикалориметр нагреем и подвергнем затем охлажде-
нию при условии сохранения постоянства температуры на его наруж-
ной поверхности. Это условие математически равносильно условию
а —> оо. Применим к регулярному охлаждению данного тела тео-
рию, изложенную в § 1 гл. VI. При этом предположим, что слой ис-
следуемого материала вообще сложный и каждый из его составляющих
слоев вообще неоднородный.
В силу условия а —> со, можем считать Рп -> О и, вводя осред-
ненные значения теплового сопротивления сложного слоя и его соста-
вляющих слоев Ра и Ро в силу (6.5), получим:
тФР8 = 1. (19.1)
Эту формулу в развернутом виде можно изобразить еще и так
[см. (6.6)]:
~-S' = C'm. (19.2)
Здесь буквой S' обозначена полная теплоотдающая поверхность
металлического блока — ядра, С'—его полная теплоемкость (см. § 1
гл. VI).
В том частном случае, когда слой состоит из одного однородного
материала повсюду одинаковой толщины, будем иметь:
тФР=1, (19.3)
как частный случай формулы (19.1).
Слово „тонкий" мы понимаем в том относительном смысле, кото-
рый указан выше — в начале гл. VI. Практически нецелесообразно
22 Зак. 760. Г. М. Кондратьев
338 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ тонких слоев [гл. iiit
экспериментировать с блоками больших размеров, а поэтому иссле-
дуемый слой у нас будет „тонким" в обычном смысле этого слова:
8 — число порядка нескольких миллиметров и долей миллиметра.
Предположим, что константа ядра Ф известна; тогда по формуле
(19.1) или (19.3) мы будем в состоянии, определив т из вышеупомя-
нутого опыта, найти искомое Рэ или Р; а если еще сумеем опреде-
лить среднюю толщину слоя, то можем найти—по (19.2) — также Хэ.
Методику только в том случае целесообразно применять, когда Рп
по условиям опыта весьма мало по сравнению с искомым Р0.
§ 3. Экспериментальное осуществление метода
бикалориметра при а = оо
Реализация метода, в силу самой его сущности, очень проста и
в особых пояснениях не нуждается.
Для конкретности опишем один из калориметров этого типа. Он
представляет собою сплошной латунный цилиндр, высота и диаметр
которого равны 6 см. Вес цилиндра 1,37 кг. Внутри него по оси
высверлен на глубину.—'3,5 см канал для ввода медно-константа-
новой дифференциальной термопары, которая заключена в двух-
канальную фарфоровую трубку; эта последняя в свою очередь поме-
щается в тонкую трубку из стали, желательно нержавеющей, или
латуни, которая плотно скреплена с цилиндром.
Горячий спай дифференциальной термопары при помощи металла
Вуда припаян к дну канала. Вышеупомянутая вводная трубка захва-
тывается лапкой штатива и позволяет погружать калориметр в ванну
с энергично перемешиваемой жидкостью — водой, благодаря чему
практически достигается условие а —> оо, как при экспериментах
с акалориметром.
Исследуемый материал должен быть плотно, без воздушных про-
слоек, прижат к поверхности калориметра. Если этот материал слабо
или вовсе не гигроскопичен, калориметр, одетый материалом, непо-
средственно погружают в воду. Если же материал гигроскопичен, его
следует защитить от проникновения воды. М. П. Стацекко применял
обертывание одетого калориметра тонкой алюминиевой фольгой, которую
снаружи покрывал тонким слоем нерастворимого в воде клея „Рапид“
[43]. Клей, высыхая, сжимал фольгу и одновременно обеспечивал
необходимую водонепроницаемость.
В частности, этот прием оказался пригоден для весьма пористого
(7^40 кг/м'А) волокнистого теплоизоляционного материала из дре-
весины, совершенно не выносящего влаги. Тепловое сопротивление
такого защитного слоя пренебрежимо мало по сравнению с сопроти-
влениями слоев из высокоэффективных изоляторов, по отношению
к которым именно и возникает вопрос об увлажнении. Такие материалы,
как кожа, резина, некоторые пластмассы, можно безнаказанно погру-
жать на непродолжительное время в воду.
§ 3] ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ МЕТОДА БИКАЛОРЙМЕТРА ПРИ а = ОО 330
Опыты с шаровыми и цилиндрическими блоками разных металлов
дали вполне удовлетворительные результаты.
Точность определения Р с помощью описанного метода зависит,
главным образом, от точности определения константы Ф; поэтому
для изготовления блока следует употреблять металл, удельная тепло-
емкость которого хорошо изучена. Поверхность S' следует тщательно
измерить.
Наличие пустот внутри металлического блока не имеет значения;
наоборот, выгодно, в целях сокращения длительности опыта, даже
не изготовлять блок сплошным, а сде-
лать его, например, в виде толсто-
стенной коробки. Это позволит зна-
чительно уменьшить С', что, при
прочих равных условиях, вызовет
увеличение т, как это видно из (19.2),
где левая часть постоянная. Наруж-
ная поверхность S' блока должна
быть тщательно обработана.
При испытании плотных материа-
лов, например резины, следует вся-
чески избегать воздушных прослоек
между поверхностью металла и тепло-
изолятора: касание должно быть
абсолютно плотным. Это требование
может и не соблюдаться строго, если
испытываемый материал сильно по-
ристый, например губчатая резина.
• Серьезным источником ошибок
являются тепловые мостики между
частями калориметра, омываемыми
жидкостью, и его внутренним ядром.
Они могут возникнуть в месте со-
пряжения вводнсй металлической
Рис. 116. Бикалориметр для опре-
деления тепловых сопротивлений
тонких слоев теплоизоляторов при
а — со.
/—вводная трубка (держатель) для термо*
пары, 2 —дифференциальная термопара,
3— защитный теплоизоляционный слой
(резиновая трубка ит. д.), 4—испытуемый
теплоизоляционный слой, 5—металличе-
ский сердечник (латунный цилиндр).
трубки для термопары с ядром. Применение тонких трубок плохо
проводящих тепло металлов позволяет свести вредный эффект мостика
к приемлемому минимуму. Можно рекомендовать одевание вводной
металлической трубки теплоизолятором, например резиной и т. д.
(рис. 116). Радикальным приемом было бы изготовление трубок из
эбонита, дерева, пластмассы, фарфора или керамики.
В силу этого обстоятельства, а также трудностей, связанных
с герметизацией собранного калориметра, этот метод большого рас-
пространения не получил. Однако мы полагаем, что он может принести
пользу при испытании эмалей и им подобных покровных слоев при
высоких температурах; здесь термостатом будет служить ванна с рас-
плавленным металлом.
22*
ГЛАВА XX
ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ БИКАЛОРИМЕТРА
ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ СВОЙСТВ ТКАНЕЙ ОДЕЖДЫ
И ТКАНЬЕВЫХ ПАКЕТОВ
§ 1. Особенности измерений, зависящие от характера
теплообмена одетого тела с окружающей (газовой)
средой и от свойств тканей
Обычные методы испытаний материалов на теплопроводность,
например метод пластинки в его разнообразнейших вариантах, наши
методы акалориметра и ламбдакалориметра, построены в предположении,
что известны размеры испытываемого образца, в частности его
толщина 8.
Имея дело с отдельными тканями или „пакетами", т. е, со сложными
слоями, составленными из чередующихся тканей, мы не можем точно
измерить толщину. Это измерение связано с наложением на ткань
измерительного инструмента, который вследствие неизбежного, хотя бы
и ничтожного, давления изменяет ее структуру и толщину; кроме
того, толщина и даже структура метаются в зависимости от натяга
и других факторов. Исключение составляют лишь немногие ткани,
а также обувные материалы (кожа и пр.).
Поэтому для характеристики теплозащитной способности ткани
или тканьевого пакета целесообразно избрать такие величины, которые
в силу самого своего состава позволяют учесть одновременно и
коэффициент теплопроводности материалов и их толщины. Этими
величинами, как явствует из гл. XIX, являются: во-первых, коэффи-
циент теплопроводности простого слоя А и сложного слоя Аа, во-
вторых, тепловые сопротивления простого и сложного слоя Р и Ра-
величины, обратные предыдущим.
Но не одни лишь эти величины влияют на величину теплспо-
тери q одетого тела: нужно еще учесть тепловое сопротивление на
границе между наружной поверхностью одежды и омывающим ее
воздухом, т. е. Рп или обратную величину а. Таким образом, полная
численная характеристика теплозащитной способности одежды будет
§ И
ОСОБЕННОСТИ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ХАРАКТЕРА ТЕПЛООБМЕНА
341
представлена суммой Р3-|-Рп. т. е. величиной Рсум, или ей обратной
k =-----Ц-.
Рациональными методами испытаний теплозащитной способности
одежды следует признать те, которые позволяют непосредственно
измерить k или Роум, т. е. величину теплопрохождения в целом.
Метод, кроме того, должен по возможности соответствовать условиям
теплообмена человеческого тела через одежду1 с окружающей средой.
Совершенно ясно, что одетый испытываемым тканьевым пакетом
металлический предмет (бикалориметр), свободно омываемый воздуха м —
спокойным или движущимся, разреженным, сухим или влажным и
т. д.,— может явиться осуществлением названного метода. Теория
его уже содержится в гл. VI; описание одной из установок дано
ниже.
Прежде чем переходить к описанию, обратим внимание еще на
некоторые особенности передачи тепла через одежду. В нее входят,
во-первых, отдельные составляющие ткани и, во-вторых, воздушные
прослойки между ними и между одеваемой поверхностью и при-
легающей к ней тканью. Теплозащитное действие одежды — комплекса
этих слоев — обусловливается не только
одним суммарным их тепловым сопротивле- ________
нием, но еще и воздухопроницаемостью. ~~
Она же, в свою очередь, зависит от воз - w а
духопроницаемости отдельных слоев, от ----------
более или менее плотного их прилегания
друг к другу и к телу, от порядка их _ ,_ л
w j г Рис. ну Схема обдувания
чередования. воздушным потоком одетого
Поясним это на примере одетого тканью цилиндра.
тканью теплого цилиндра А (рис. 117).
Пусть он одет тканью J, которая в одном случае плотно к нему
прилегает, а в другом находится от него в некотором расстоянии,
так что поверхность цилиндра отделена от ткани воздушным слоем
в несколько миллиметров. Предположим, что цилиндр обдувается
ветром, имеющим направление W. В таком случае между а и b
установится разность давлений, в силу которой воздух, входящий в а
и уходящий из Ь, вызовет отвод тепла конвекцией между цилиндром А
и тканью J. По мере уменьшения величины воздушного слоя его
сопротивление проникновению воздуха возрастает и вместе с тем
понижается конвективный отвод тепла. Наоборот, в первом случае —
плотного прилегания ткани к цилиндру — практически не образуется
никакого воздушного потока: воздухопроницаемость ткани перестает
играть роль, на первое место выступает ее тепловое сопротивление.
1 В собственном смысле слова; вообще же под словом „одежда” мы
понимаем тканьевый пакет и пользуемся этим словом для краткости речи,
342 ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ СВОЙСТВ ТКАНЕЙ [ГЛ. XX
Высокое тепловое сопротивление (или низкая теплопроводность)
ткани оказывает значительное теплоизолирующее действие при плотном
прилегании, потому что содержащийся в ее порах воздух по большей
части остается в покое и передача тепла происходит только путем
теплопроводности, которая ничтожна. Наоборот, при наличии замет-
ного воздушного промежутка роль этих пор сводится к нулю и
теплоотдача определяется интенсивностью вынужденной конвекции
в нем, а она тем больше, чем больше воздухопроницаемость ткани.
Такие же приблизительно соотношения существуют и при одевании
человеческого тела, когда ткань, соприкасающаяся с наружным,
движущимся воздухом, отделена от тела слоем набивной ткани, обла-
дающей малой воздухопроницаемостью. Непосредственное проникно-
вение ветра, как это описано выше, оказывается устраненным.
При нахождении цилиндра в спокойном воздухе воздухопрони-
цаемость тканей почти не играет роли: теплоизолирующее действие
одежды обусловлено почти исключительно тепловым ее сопротивлением
в целом, т. е. Реуч.
§ 2. Идея метода и реализация бикалориметра
для измерения теплозащитной способности текстильных
материалов и одежды
Металлический блок, для которого известна константа Ф, одевают
исследуемой тканью или одеждой, нагревают и помещают в камеру
(или комнату) спокойного воздуха или в трубу с принудительной
циркуляцией воздуха, например в аэродинамическую; наблюдают регу-
лярное охлаждение этого бикалориметра, обеспечив в процессе экспе-
римента соблюдение постоянства t и а, т. е. условий (1.1).
Определив на основании опытных данных темп регулярного охла-
ждения т (см. гл. X), вычисляют искомое Реуч = Рэ-)-Рп или k по
формулам:
Реум = ИЛИ k — m'T'. (20.1)
Прибор для измерения k или Рсуи очень прост: в качестве ядра
берут толстостенную металлическую (медную или алюминиевую) трубу;
плотно закрывают металлическими же крышками оба ее конца; при-
паивают или приклеивают в середине трубы рабочий спай а диф-
ференциальной термопары, тогда как свободный спай t помещают
в окружающий воздух; обшивают трубу исследуемой одеждой или
тканью.
На рис. 118 изображен малый калориметр Института гигиены
труда и профзаболеваний РСФСР [55]; Он изготовлен из куска
дюралюминиевой трубы, наружный диаметр которой равен 64 мм,
толщина стенки около 4 мм, длина цилиндра 200 мм\ он закрыт
крышками, которые снабжены петельками для подвешивания калори-
§ 3] О ФИЗИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 343
метра. Константа его при 20° С равна Ф = 2,03. Для очень толстой
одежды испытание на этом цилиндре сопряжено с некоторой ошибкой,1
во избежание которой следует применять цилиндр ббльших размеров,
а именно диаметром 80—90 мм и длиной
400—600 мм. Рационально изготовить его
из латуни толщиной 3,5—4 мм.
Применение толстостенной трубы, вме-
сто сплошного металлического блока,
выгодно в двух отношениях. Во-первых,
значительно снижается вес калориметра,
что облегчает обращение с ним (ср. с § 3
. XIX: маленький сплошной калориметр
весит уже около 1,5 кг); во-вторых, по-
лучающееся благодаря этому сильное
уменьшение константы Ф ведет к боль-
шому сокращению длительности опыта
(тм не получится ниже нескольких деся-
тых, а вообще будет порядка несколь-
ких единиц). То обстоятельство, что изо-
термичность ядра здесь осуществляется
не столь совершенно, как в сплошном
блоке, не может отразиться ощутительно
на точности результатов: это доказано
в § 7 гл. VI относительно ядра плоской
и шаровой формы и может быть обобщено
на случай ядра других форм и подтвер-
ждается опытным путем.
При одевании ядра одеждой следует
позаботиться о том, чтобы металл ядра
не был связан никакими тепловыми мости-
ками с наружной поверхностью одежды.
Воздушная полость ядра должна быть
совершенно разобщена слоем металла от
наружного воздуха.
Рис. 118. Схема цилиндри-
ческого бикалориметра (по
Кондратьеву) Института ги-
гиены труда и профзаболе-
ваний РСФСР для опреде-
ления теплозащитной способ-
ности текстильных изделий
и одежды методом регуляр-
ного режима.
I—медный термоэ^ектрод' 2—кон-
стантановый (или копелевый)термо-
эцектрод; 3 — алюминиевая или
дюралюминиевая и т. п.) наглухо
закрытая трубка; 4—испытуемая
ткань (одежда).
Благодаря своей крайней простоте, не вредящей точности, описанный
выше бикалориметр нашел широкое распространение при гигиенических
исследованиях.
§ 3. Замечания о физическом смысле результатов измерений
тепловых свойств тканей. О радиационной константе тканей
Характерной особенностью процесса прохождения тепла через
ткань или одежду является наличие просасывания наружного воздуха
сквозь исследуемый сложный слой, имеющий волокнистую структуру.
1 Начинает играть роль кривизна слоя, которой здесь мы пренебрегаем.
344 ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ СВОЙСТВ ТКАНЕЙ [ГЛ. XX
Явление это очень далеко от явления передачи тепла в твердом теле,
которое лежит в основе теории регулярного режима. Тем не менее,
применяя эту теорию к столь сложной системе, как наш бикалориметр,
мы получаем очень хорошие полулогарифмические графики, а цифровые
данные для Рсум или k вполне согласны с результатами опытов,
произведенных при помощи иных методов — методов стационарного
теплового потока.
Этот, на первый взгляд, парадоксальный факт находит свое объя-
снение в том, что суммарный перенос тепла в тканях и воздушных
слоях в первом приближении может быть описан математически по-
средством закона Фурье, как разъяснено в § 3 гл. VIII. Он оказывается
пригодным даже в том случае, когда происходит в порах и воздушных
слоях вынужденная конвекция тепла, вызываемая поступлением воздуха
извне: и здесь соблюдается, приближенно, пропорциональность между
удельным тепловым потоком и температурным градиентом. Следова-
тельно, все вышеперечисленные тепловые величины имеют условный
смысл; соответствующие обозначения следовало бы снабдить еще
особым значком, указывающим на эту особенность, чего не делают,
чтобы избежать чрезмерного усложнения символики.
Так как в суммарном переносе тепла от поверхности тела через
одежду участвует и радиация, то не безразлично, в каком состоянии
находится наружная поверхность одеваемого блока или трубы: чтобы
как можно ближе подойти к естественным условиям, ее следует по-
красить или лакировать, выбрав покрытие, радиационная константа
которого близка к радиационной константе человеческой кожи. Отно-
сительно последней прямые экспериментальные данные отсутствуют;
гигиенисты оценивают степень черноты кожного покрова человека
очень высокой цифрой — порядка 90—95%. Во всяком случае она
вряд ли ниже 70—80%. Поэтому трубу, описанную в § 2 данной
главы, мы рекомендуем покрыть лаком, стойким против атмосферной
влаги.
Методика определения теплозащитных свойств тканей и одежд,
основанная на теории регулярного режима, будучи скоростной по самой
своей сути, позволяет в короткое время собрать обширные данные
о поведении той или иной ткани и комплекса тканей в зависимости
от разнообразных метеорологических факторов, среди которых важ-
нейшую роль играет ветер. Исследованием влияния этого фактора
занималась Н. Е. Никифорова. Техника эксперимента была разработана
А. В. Тарховой, 3. А. Яшумовой и К. В. Мигаем [55].
К исследованию тканей можно применить и акалориметр, который
для этого изготовляется в виде плоской круглой (или квадратной)
коробки, высота которой приблизительно 3 см, а диаметр 12—13 см',
вводная трубка располагается параллельно основанию и термопара
помещается посередине между кружками, вырезанными из ткани и
заполняющими коробку. Другой тип акалориметра для тканей — цилин-
дрический сосуд диаметром 4 см, длиной 20—25 см, в который
§ 3] О ФИЗИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 345
образец испытываемой ткани вкладывается в свернутом виде [56].
О применении трубчатого акалориметра см. § 9 гл. XIV.
Важно, чтобы тепловой поток был направлен перпендикулярно
волокнам; это до известной степени осуществляется в плоском акалори-
метре, особенно, если окружить кружки ткани лентой из нее, ширина
которой равна высоте калориметра; более строго соблюдается это
условие в длинном цилиндре.
;" Для вычисления X ткани необходимо знать удельную теплоемкость с
и плотность набивки у ткани. Удельная теплоемкость огромного боль-
шинства тканей, если они предварительно высушены, равна в сред-
нем 0,33.1 Плотность набивки должна соответствовать по возможности
естественному состоянию ткани.
Зная X и вычислив 8, как частное от деления основного размера
калориметра на число слоев, получим и характерную для ткани вели-
. X
чину А = -j-.
Этот метод, подобно всем методам, сопряженным с необходимостью
заключать образец ткани в закрытую отовсюду оболочку, приводит
к таким значениям А, которые редко соответствуют естественным
условиям носки. Они могут быть использованы только в двух случаях:
во-первых, когда одетый объект находится в спокойном воздухе
(чего почти никогда не бывает), во-вторых, когда костюм, в который
как составной элемент входит испытываемая ткань, снабжен воздухо-
непроницаемым слоем ткани (например прорезиненной). Таким образом,
акалориметр (а также ламбдакалориметр) имеет в данном случае
очень ограниченное применение.
В опытах следует учитывать очень заметную зависимость X и
прочих коэффициентов от температуры; ориентировочно можно считать,
что
Х=Х0 (14-0,00331!).
Для уточнения зависимости их от t следует проводить опыты при
разных t.
Теплозащитная способность одежды зависит еще и от радиационной
константы ее наружной поверхности, так как
-4- = а = ак + ал (20.2)
гп
[см. (8.9)], а лучистая часть коэффициента теплоотдачи ал = а/, где
'п *Е
1 Это — удельная теплоемкость сухого растительного волокна и шерсти.
Для резины и пропитанных тканей с необходимо определить из специального
опыта.
346 ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ СВОЙСТВ ТКАНЕЙ [ГЛ. XX
Для определения а тканей можно применить методику, изложен-
ную в гл. XII, внеся некоторое видоизменение, или воспользоваться
приемом 3. А. Яшумовой [551. Он заключается в следуощем. Про-
изведем два опыта с данной тканью по методу бикалориметра на
приборе, описанном в § 2.
Первый опыт будет состоять в определении теплового сопроти-
вления Pj исследуемой ткани, навитой на цилиндр в один слой плотно,
но без натяга; пусть тейп охлаждения в этом опыте равен тх.
Во втором опыте определим для тех же внешних условий, т. е.
при тех же а и t, темп охлаждения /п2 ткани, навитой в два слоя;
назовем тепловое ее сопротивление во втором опыте Р2. При условии
тщательной навивки можно считать Р2=2Рр если бы во втором
опыте ткань была навита в п слоев, то мы имели бы Р2=иРр
В этих двух опытах а — суммарный коэффициент теплоотдачи,
т. е. он дан формулой (20.2); определим, опять-таки для тех же
условий охлаждения, слагаемое ак (путем опыта над металлическим
цилиндром приблизительно того же диаметра, но с наружной хорошо
отражающей поверхностью, например алюминизированной, полирован-
ной и т. д.).
Полученные в наших опытах суммарные тепловые сопротивления
Pei и Рс2 связаны с соответствующими темпами охлаждения и т2
формулой (20.1); по введении сюда а на основании (20.2) получим:
1 _ 2. I р * — 2. । р,
/я2Ф а р /п2Ф а ‘ 2”
Присоединим сюда уравнение Р2 = яР1 и исключим Р и Р2 из
полученной таким образом системы уравнений; мы придем к урав-
нению:
а (— — -Ц = (п — 1)Ф,
т2/ v '
откуда
, (/г — 1) Ф
= -----j---«к.
Mj т2
Так как ак известно из опыта, то последнее уравнение доставит
нам искомое а; число /яйЮ8.
К косвенному выводу о величине а для тканей привела обработка
опытов с большим количеством весьма различных тканей, суммарное
тепловое сопротивление которых Ро определялось в одних и тех же
условиях кондиционированного воздуха, а именно, при /=20°, ско-
рости воздуха порядка 10—20 см/сек (т. е. почти спокойного воз-
духа) и при относительной влажности 60—65% [55]. Оказалось,
что Ро является линейной функцией толщины ткани 8:
РС = Л1%М;
§ 3] О ФИЗИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 347
экстраполируя опытные данные на предельный случай 8 = 0, нахо-
дим: так как
Рв=| + Рп=Л< + М,
ТО
Г»=т=л-
Мы получили Рп = 0,127, т. е. а = 7,9 приблизительно для всех
тканей. Опыты производились посредством упоминавшегося в § 2
цилиндра. Для него конвективная часть теплоотдачи ав в условиях
спокойного воздуха равна приблизительно 4,4—4,5. Отсюда можно
вывести заключение, что ал~7,9—4,5 = 3,4. Считая /яй1-108,
находим отсюда а ^3,4 • 10-8. Следовательно, степень черноты тканей
приблизительно равна = 70%. Опыты 3. А. Яшумовой по ее
методу дали цифру того же порядка: 70 — 80%.
Заметим, что эти цифровые данные получены для закрытых поме-
щений, т. е. в условиях, когда падающее излучение практически чер-
ное; на открытом воздухе — в условиях солнечной радиации — луче-
испускательная способность тканей выражается иными численными
характеристиками.
ГЛАВА XXI
ШАРОВОЙ И ПЛОСКИЙ БИКАЛОРИМЕТРЫ
А. ШАРОВОЙ БИКАЛОРИМЕТР ПРИ БЕСКОНЕЧНОМ АЛЬФА
Одна из предпосылок двух методов, изложенных в главах XIX
и XX, состоит в ограничении толщины 8 слоя испытываемого тепло-
изолятора; это ограничивает и область их применения. Определение
же этими методами X иногда влечет за собой значительные ошибки,
так как измерение малых толщин сопровождается значительной отно-
сительной погрешностью; поэтому предыдущие методы и предназна-
чены преимущественно для определения тепловых сопротивлений.
Естественно возникает вопрос, — нельзя ли метод бикалориметра при-
менить для слоев какой угодно толщины. При такой постановке
вопроса мы уже должны сделать определенное предположение о форме
ядра. Сложность математической стороны задачи заставляет остано-
виться на какой-либо простейшей форме. К числу таких форм отно-
сится сферическое тело, представляющее собою шар, к которому
прилегает концентрический с ним шаровой слой испытываемого
теплоизолятора, в свою очередь заключенный, если в том встретится
надобность (см. ниже), в металлическую тонкую оболочку.
§ 1. Теория метода „шар в шаре“
Рассмотрим регулярный режим этой системы; пусть в процессе
опыта осуществляются следующие две предпосылки:
Первая предпосылка. Ядро I имеет во всех точках почти
одинаковую температуру, или, точнее говоря, градиенты темпе-
ратур в нем весьма малы по сравнению с градиентами внутри обо-
лочки II.
Вторая предпосылка. Тепловое воздействие среды Е на
бикалориметр настолько интенсивно, что практически отсутствует
скачок температуры между средой и наружной поверхностью S слоя
теплоизолятора — поверхностью оболочки II (рис. 33), т. е. темпе-
ратура этой последней равна t в течение всего опыта. Другими сло-
вами, пусть
а = оо.
(21.1)
§ 1) Феория МЕТОДА „шар в шаре* Й4Й
Явление регулярного охлаждения нашего бикалориметра теорети-
чески рассмотрено в § 6 гл. VI. Формулы этого параграфа как раз
и выведены при наличии первой предпосылки. Если а конечно, они
чрезмерно сложны, но если ввести вторую предпосылку, то гро-
моздкие формулы (6.41) значительно упрощаются и позволяют
связать простыми зависимостями найденный из опыта темп охлажде-
ния т с параметрами ядра, толщиной 8 оболочки и тепловыми свой-
ствами теплоизолятора. Поэтому эти последние могут быть опреде-
лены при помощи упомянутых выше формул. Варьируя размеры ядра
и оболочки, преобразовывая формулы различными способами, полу-
чаем различные варианты данного метода.
Применение критериальных величин Б и Ж в расчетных
формулах шарового бикалориметра. Большую пользу при построе-
нии расчетных формул нам принесут критериальные величины Б
и Ж. Как известно из гл. VI, совокупность всех мыслимых регу-
лярных режимов всех шаровых бикалориметров с их помощью охва-
тывается уравнением (6.65). Эго уравнение табулировано [57] и гра-
фически изображено на рис. 45. При помощи него, т. е. при помощи
этой таблицы или графика мы, зная k и Ж, можем найти соответ-
ствующее значение
5 = /гРФ/«.
Исходя из этого, выведем расчетные формулы метода „шар
в шаре" при условии (21.1).
Пусть известны и раз навсегда фиксированы диаметры D' ядра
и D поверхности S оболочки; следовательно, константа
ту
(21.2)
известна. Пусть известна полная теплоемкость С' ядра. Тогда будет
известна и вторая константа бикалориметра, которую мы обозна-
чим С* и которая вычисляется по формуле
С* = |(1+?+^)С'- <21-3>
Предположим, что тем или иным способом мы нашли полную
теплоемкость С оболочки. Тогда, зная константу С*, найдем и кри-
терий Ж'-
г*
(21.4)
Последняя формула есть не что иное, как формула (6.55), слу-
жащая определением Ж-
Воспользуемся теперь определением Б — формулой (6.57). Из нее
и из (6.54) следует, что
А =
АФ8
356 ШАРОВОЙ и плоский бикаЛОриМе+ры [гл . xxi
О * * D — D' . D'
Заменим здесь толщину 8 оболочки через —д—, k через ,
х U
a S' в формуле (6.52), определяющей Ф, выражением и/)'2; преоб-
разованное этим путем выражение 6Ф8 будет третья константа бика-
лориметра; ее обозначим
Л = ^(в7-т)с'- <2LS>
Тогда предшествующая формула примет очень простой вид:
Х = (2i.6)
Формулы (21.4) и (21.6) являются расчетными формулами первого
варианта метода „шар в шаре", который применяется по следующей
схеме. Определяем теплоемкость С теплоизолятора, затем по (21.4)
вычисляем Ж и по таблице или графику — соответствующее Б\ после
этого формула (21.6), поскольку т известно из опыта, позволит
вычислить искомое л. Константы бикалориметра k, С* и А должны,
конечно, быть предварительно определены.
В гл. VI показано, что уже для не очень больших значений Ж, точнее
говоря, начиная с Ж =2, 3, ..., зависимость между Б, Ж и k
с хорошей точностью может быть представлена уравнением (6.64), т. е.
ПРИ *>2. (21.7)
О/7\ "Т" К
Формула (21.7) по мере возрастания Ж становится все более
точной и при Ж —> оо переходит в абсолютно точную:
Дя->со=1. (21.8)
Этот характер зависимости Б от Ж> сохраняющийся при всех
значениях k, важен в практическом отношении, так как в силу него
в очень многих случаях применения описанного варианта метода можно
обойтись без точного определения удельной теплоемкости испытываемого
теплоизолятора, а оценить ее приближенно. В самом деле, в области
значений Ж^>2 критерий Б очень медленно возрастает с возраста-
нием Ж' необходимо Ж изменить на 20—30%, чтобы Б возросло
только на 2—3%. А это значит, что ошибка в оценке с порядка
20—30%, влекущая за собой такую же ошибку в определении С —
см. формулу (21.4),—мало отразится на точности определения Б
по (21.7), т. е. и на определении X.
Можно так подобрать вес, размеры и металл ядра, что его тепло-
емкость С' во всех случаях практически употребительных теплоизо-
ляторов в три-четыре раза и более превзойдет теплоемкость шаро-
вого слоя С, а поэтому, как видно из (21.3) и (21.4), и критерий Ж
будет число порядка 3 и выше.
Следовательно, необходимость предварительного точного калори-
метрирования испытываемого теплоизолятора в данном варианте метода
§ 11
Теория метода „шар в шаре
351
во многих случаях отпадает. Если же материал очень плотен, а ядро
мало развито, может случиться, что Ж окажется значительно меньше
двух и даже единицы; в этом случае явление изображается точкой
на одной из кривых рис. 45, далекой от
зоваться формулой (21.7) недопустимо:
таблице или к графикам.
Случай высокоэффективных
теплоизоляторов: малое 7. Для
испытания теплоизоляционных материалов,
обладающих малым объемным весом —
50 кг/мй и меньше (к ним относятся вы-
сокоэффективные материалы, производство
которых постоянно расширяется), — ме-
тоды, связанные с необходимостью ввода
измерителя температуры внутрь материала,
мало или вовсе непригодны. Даже при-
менение очень тонких термоэлектродов и
монтировка термопары по схеме, пред-
ставленной на рис. 119, не предотвращают
во многих случаях искажения температур-
ного поля. Пользуясь бикалориметром, мы
вводим измеритель температуры в его ядро,
т. е. в металл, и тем самым избегаем
ошибки измерения, вызываемой монтиров-
кой термопары. Вместе с тем мы можем
уменьшить, если пожелаем, толщину слоя
теплоизолятора до 1 см и даже менее,
что недостижимо при пользовании первыми
тремя методами (ср. пп. I, 2, 3 § 3 гл. XIV).
Таким образом, величина 7 перестает
играть роль.
Для испытаний материалов с 7 50 кг/м9 методика еще и потому
особенно пригодна, что в этом случае критерий Ж приобретает
бтлыьие значения — порядка 20—40 и более, а следовательно,
Б — число порядка 0,97—0,99 или даже более. Поэтому для „легчай-
ших" материалов можно с точностью до 1—3°/0 принять Б
расчетная формула для них — общая формула (21.6) — принимает
особенно простой вид:
асимптоты Б= 1, и поль-
необходимо прибегнуть к
Рис. 119. Монтировка термо-
пары внутри образца в опы-
тах с материалами малой
плотности (50<л-<300 кг/м?)',
первый, второй и третий
методы регулярного режима.
/ — пробка; 2—двухканальная фар-
форовая трубочка 0 3,5—4.0 мм;
3—термоа; ектроды 0<М мм;
4—испытуемый материал.
1, и
X - = Ат.
(21.9)
Обобщая, можно сказать, что и для обычных теплоизоляторов
коэффициент теплопроводности и темп охлаждения в первом прибли-
жении можно считать прямо пропорциональными.
Случай обычных теплоизоляторов: 7 порядка
600 кг/мй и меньше. В этом случае следует пользоваться для
расчета Б формулой (21.7), а для X—формулой (21.6). Ее выгодно
352
ШАРОВОЙ И ПЛОСКИЙ БИКАЛОРИМЕТРЫ
[ГЛ. XXI
преобразовать так, чтобы непосредственно ввести в расчет С, минуя Б.
Для этого число-g-, фигурирующее в (21.6), заменим, в силу (21.7),
k
его приближенным выражением 1 -4- ; введя, далее, на основа-
О/IX ’
нии (21.4), константу С*, получаем:
ЗС* ’ т
или, окончательно:
Х=(ДН-ВС)т;
здесь В — новая
и ВС
Число —— в
А
константа бикалориметра, равная
о_ _1_ 1-k
2nD'' А(1 -f-A-f-A2)'
(21.10)
(21.П)
предыдущей расчетной формуле — число порядка
с7=ц-£з-— lj^, т- е- не более 0,2; поэтому второе слагаемое
в ней играет роль поправки на теплоемкость С теплоизолятора, обра-
щаясь в нуль, когда С=0.
§ 2. Конструкция шарового блкалориметра
Конструкция и размеры шарового бикалориметра определяются
свойствами испытываемого теплоизолятора. В соответствии с этим
были разработаны и применялись несколько разновидностей прибора.
Первый предназначен для плотных материалов и материалов не-
однородного гранулометрического состава (7 > 600), как, например,
грунтов, песков, шлаков и т. п. Наружная оболочка изготовлена
особо прочной, жесткой; внутреннее ядро, наоборот, мало развито.
Этот бикалориметр имеет большие размеры: D не менее 8 см, а во-
обще 10—12 см и до 14 см\ D' от 3 до 5 см\ k^\-. Термопара
о
вводится внутрь испытываемого материала и расположена на расстоя-
[)___________________________[у
нии приблизительно равном —— от внутренней поверхности наруж-
ного металлического кожуха. Более подробно об этом сообщается
в § 9.
Второй вариант предназначен, наоборот, преимущественно для
материалов, обладающих малым объемным весом — меньше 600 и до
10 кг)м^. К ним относятся порошкообразные и волокнистые мате-
риалы, например минеральное и растительное волокно, вата, пух,
перья, мхи и другие набивочные и насыпные материалы. Второй ва-
риант также характерен сильным развитием полости, хотя и lie в та-
кой степени, как это имеет место в первом варианте: здесь k «0,5.
Размеры бикалориметра: О'«20—25 мм, О «45—48 мм.
§ 2]
ШАРОВОЙ БИКАЛОРИМЕТР
353
Третий вариант характеризуется сильным развитием ядра и умень-
шением слоя теплоизолятора, который получает толщину порядка
10 мм; k число порядка 2/3 или больше; D' 40—45 мм, 7)^50—
70 мм. Он предназначается для тех же материалов, как и второй
вариант. О четвертом варианте — с очень узкой полостью — речь
будет ниже, в гл. XXIII.
Ядро следует изготовлять из металла (чистого или сплава),
удельная теплоемкость которого хорошо изучена: меди, железа, бронзы,
дюралюминия и т. п. Наружный кожух — из нержавеющего металла.
Рис. 120. Шаровые бикалориметры (а = оо): второй (а) и третий (б)
варианты.
а) 1 — фарфоровая двухканальная трубочка для термопары; 2— вводная эбонитовая трубка
3—металлическое ядро; -/ — испытуемый теплоизолятор; 5— металлическая пробка.
6) J—вводная эбонитовая или деревянная трубка; 2 —теплопередающий слой (вода, металл
Вуда и т. п.); 3—металлическое ядро: / — испытуемый теплоизолятор*, 5—металлическая
гробка.
На рис. 120 а и б изображены схемы бикалориметров по вто-
рому и третьему вариантам.
Сопряжение вводной трубки с ядром и с кожухом должно быть
осуществлено таким образом, чтобы устранялись тепловые мостики.
Поэтому выгодно изготовить вводную трубку из плохо проводящего
тепло материала — эбонита, дерева, фарфора, стеатита и т. п. Изго-
товляя ее из металла, следует сделать стенку трубки как можно
тоньше. Можно сочетать металл и плохой проводник тепла, соеди-
няя вводную металлическую трубку с ядром переходной муфтой,
23 Зак. 760. Г« М. Кондрачьеа
354
ШАРОВОЙ И ПЛОСКИЙ БИКАЛОРИМЕТРЫ
[гл. XXI
изготовленной из вышеупомянутого теплоизолятора. Муфта плотно
скрепляется с металлом ядра.
Если ограничиться точностью измерения X порядка 5—10%, то
можно применить и стеклянный бикалориметр, состоящий из двух
длинногорлых
Рис. 121. Про-
стейший стеклян-
ный шаровой би-
калориметр для
измерений пони-
женной точности.
1—пробка (муфта);
2—жидкость или ме-
талл; испытуемый
теплоизолятор.
известна; теплоемкость стеклянного шарика
и должна быть учтена, хотя бы
шаровых колбочек, диаметры шаров и горла которых
подбираются так, чтобы меньшая могла быть вставлена
внутрь большей.
Диаметры колбочек приблизительно D' 20—
—25 мм, 0^45—£0 мм.
Во внутреннюю, меньшую, колбочку наливают
какую-либо жидкость, не очень плохо проводящую
тепло, удельная теплоемкость которой должна быть
точно
также входит в С
приближенно. Пробочная муфточка 1 (рис. 121), дер-
жащаяся на трении, обеспечивает неизменность взаим-
ного положения обеих колбочек.
На первый взгляд может показаться, что вода в
качестве материала для ядра непригодна, ибо она,
подобно другим жидким телам, за исключением ртути
и расплавленных металлов, — плохой проводник тепла,
а поэтому температура внутри ядра не выравняется.
Это соображение не имеет значения, если только
испытываемый материал имеет теплопроводность,
сильно отличающуюся от теплопроводности воды,
т. е. 0,5 ккал)м]час/град, как это и имеет место при
испытаниях эффективных термоизоляторов; ибо при
таком соотношении теплопроводностей X' и X" — ядра
и оболочки — несовершенная изотермичность ядра не
отразится на виде расчетных формул. Это было нами
доказано в § 7 гл. VI теоретически и подтверждается
опытом.
Наконец, возможна и такая конструкция стек-
лянного бикалориметра, при которой меньшая кол-
заменяется ртутным стеклянным
придана шаровая форма.
бочка с ртутью
вуару которого
Следовательно, во всех здесь перечисленных
ций соблюдается предпосылка первая § 1 этой
ческого осуществления предпосылки второй, т.
метр помещают в водяной или металлический термостат с циркули-
рующей жидкостью, как об этом подробно говорится в гл. XIV, § 1.
Отсюда и возникает необходимость в герметизации жесткого метал-
лического кожуха, который в совокупности с ядром и представляет
собою „бикалориметрпрокладки и промазывание швов клеем и па-
стой, хорошо пригнанные металлические пробки (рис. 120) позволяют
предохранить полость прибора от проникания жидкости термостата.
термометром, резер-
вариантах конструк-
главы. Для практи-
е. (21.1), бикалори-
§ 3] ИДЕЯ МЕТОДА ПЛОСКОГО БИКАЛОРИМЕТРА 355
Металлические выступающие наружу детали кожуха не имеют значе-
ния, так как не нарушают условия (21.1); внутренняя же поверхность
его должна быть гладкой сферической и тщательно отделана.
О применении шарового бикалориметра. Первый вариант при-
бора (самый крупный) из-за больших размеров не получил широкого
распространения, хотя и был применен в 1935 г. Н. 3. Долгим при
исследованиях сухих, влажных и мерзлых грунтов в интервале тем-
ператур от —20 до 4*30°.
Третий вариант оказался вполне пригоден для многих теплоизоля-
ционных материалов и с успехом был применен в 1940 г. Н. Я. Бе-
линской при исследованиях материалов малого объемного веса |57|.
Второй вариант—прибор из металла — применялся очень мало,
а стеклянный малый бикалориметр (ТУ да 2 см, Ода 4,2 см) был
довольно широко использован нами в 1949 г., особенно для материа-
лов с малым у, оказался прост в обращении, но пригоден по причине
искажающего действия широкой стеклянной трубки только при изме-
рениях ограниченной точности.
Шаровой бикалориметр может быть с успехом применен для кон-
троля качества исходного сырья, используемого при изготовлении
данного вида теплоизоляционных изделий, например диатомита, тре-
пела и т. п. в порошке, а также для контроля эффективности того
или иного технологического процесса на разных стадиях обработки
сырьевого материала.
Б. ПЛОСКИЙ БИКАЛОРИМЕТР ПРИ БЕСКОНЕЧНОМ АЛЬФА
§ 3. Идея метода плоского бякалоряметра
Шаровой бикалориметр пригоден для испытаний на теплопровод-
ность порошков и набивочных материалов, но для испытания слоистых
теплоизоляторов, вроде картона, пробки, губчатой резины и т. п.,
им воспользоваться нельзя; возникает необходимость в создании би-
калориметра, который позволил бы успешно решить задачу опреде-
ления X слоистых материалов. Для этого и предназначен бикалори-
метр, ядру которого придана форма диска или квадратной металли-
ческой пластинки I, сторона основания которой L' в 8—10 раз
и более больше толщины ее 8'. Его для краткости назовем плоским
бикалориметром.
Предположим, что ядро окружено двумя обкладками из теплоизоля-
тора II, имеющими одну и ту же толщину 8; суммарная толщина
полученного таким образом диска равна Д = 8'-|-28. Предположим,
далее, что обкладкам из теплоизолятора также придана форма диска
или квадратной пластинки со стороной L = LI -j- 28*, как это пока-
зано на рис. 122. Пространство между двумя выступающими за
пределы ядра частями обкладок, расположенных симметрично отно-
сительно последнего, заполнено каким-либо высокоэффективным
23*
356
ШАРОВОЙ И ПЛОСКИЙ БИКАЛОРИМЕТРЫ
[ГЛ. XXI
материалом, в частности тем же, из которого состоят обкладки. Таким
образом ядро по своей боковой периферии окружено кольцом из
теплоизолятора, имеющим прямоугольное поперечное сечение шири-
ной 8* и высотой 8'. В результате мы имеем систему, состоящую из
металлического ядра, со всех сторон окруженного теплоизолятором.
Если 8 малб сравнительно с 8', так что 8?^ 0,1 8' и менее того,
и то же относится к 8*, то к нашей системе целиком может быть
приложена приближенная теория § 1 гл. VI; мы приходим к типу
бикалориметра, уже рассмотренному в гл. XIX, § 2. Здесь мы такое
- о о *
ограничение снимем: дроби и — никаким условиям не подчинены —
даже, наоборот, в силу практических соображений может оказаться
в ряде случаев выгодным сделать 8'
меньше 8.
Но зато мы наложим на нашу
систему другое ограничение: мы
предположим, что суммарная тол-
щина Д мала сравнительно с L —
в 6—8 раз и более меньше L.
Только что сформулированные
допущения относительно 3'/xz и
А/х позволяют считать, что темпе-
ратурное поле плоского бикалори-
метра этого типа — мы его на-
зовем симметричным.— очень мало
Рис. 122. Схема плоского бикалори- отличается от температурного поля
метра симметричной структуры. неограниченно протяженной слож-
ной пластинки, рассмотренной
в § 6 и 8 гл. VI; поэтому вполне допустимо применить к ее регуляр-
ному охлаждению изложенную там теорию.
Идея метода плоского бикалориметра вполне аналогична идее, ле-
жащей в основе шарового бикалориметра; различие заключается лишь
в форме металлического ядра. Расчетные уравнения для плоского
бикалориметра будут частным случаем уравнений для шарового: при
а —> сл уравнение (6.39), которое выражает регулярный режим пло-
ского бикалориметра, есть не что иное, как частный вид уравнения
(6.41) шарового бикалориметра. Но и при а конечном то же самое
обстоятельство имеет место: формулы для плоского бикалориметра
суть частный случай формул для шарового, а именно тот, когда
k = 1.
Теория плоского бикалориметра симметричного типа. Пусть
в процессе эксперимента с плоским бикалориметром осуществлены
две предпосылки, формулированные в § 1 этой главы. Введем крите-
риальные величины Б* и Ж*, определение которых дано в § 8 гл. VI.
В силу только что сказанного, расчетные уравнения будут получены из
расчетных.уравнений предыдущих § 1 и 2, если положить в них k = 1.
§ 3] ИДЕя'мЕТОДА ПЛОСКОГО БИКАЛОРИМЕТРА 357
В частности, формула (21.6) сохранит свой вид — мы будем
иметь:
X = (21.12)
где Б* соответствует й = 1, т. е.
£==РФот (21.13)
(значок * мы для простоты не пишем).
Но постоянная А получит иное выражение, а именно
^ = £•3; (21.14)
о
здесь S' обозначает полную наружную поверхность сердечника.
По точному смыслу формулы (6.66), которая служит исходной
для вычисления А, мы должны были бы, на первый взгляд, писать
вместо S' только величину 2Sy— сумму площадей плоских поверх-
ностей пластинки, ибо
Б = РФт == -____—
откуда и вытекает (21.14).
Такое рассуждение неправильно, так как в нем остается неучтен-
ной часть общей теплопотери, приходящаяся на боковой обвод пла-
стинки— ядра: следует рассматривать полное количество тепла, выте-
кающее из ядра и проходящее через всю поверхность S', а не только
через ее часть, равную 2Sy, другими словами, следует повторить
рассуждения § 1 гл. VI, но ввести в них исправление, которым учи-
тывается конечная — не весьма малая толщина слоя термоизолятора 3.
В этом случае произведение РФг/г уже не будет равно единице,
как при весьма малом 3, а станет функцией и G'/c, причем эта
функция должна по виду совпадать с функцией, соответствующей
предельному случаю бесконечно протяженной пластинки, другими сло-
вами, быть равной критериальной величине Б*, фигурирующей в (6.71).
Отношение толщин 8 и 8' в вычислительные операции не входит,
как мы отмечали еще в § 8 гл. VI.
Зависимость Б от /К изображена графически на рис. 46. При
больших значениях Ж—порядка 2 — с точностью, достаточной для
большинства случаев практики, эта зависимость может быть предста-
влена приближенной формулой (6.72), т. е., в силу (21.1),
При этом здесь критериальная величина Ж получает уже более
простое выражение, чем в случае шарового бикалориметра: Ж дано
первой из формул (6.66), т. е.
Ж^~. (21.16)
358
ШАРОВОЙ И ПЛОСКИЙ БИКАЛОРИМЕТРЫ [ГЛ. XXI
Заметим, кстати, что эта формула — частный случай (21.4), соот-
ветствующий значению А = 1, ибо тогда D' = D и С* = С'.
Вышеизложенная теория содержит и очень простую схему метода.
Пусть известны константы бикалориметра, т. е. С' и А; пусть най-
дена полная теплоемкость пробы заложенного в калориметр тепло-
изолятора С. Из опыта над его регулярным охлаждением находим т.
Зная С, вычисляем По (21.16) критерий Ж и по таблице или по фор-
муле (21.15) находим Б-, тогда формула (21.12) даст нам искомую
теплопроводность X.
По поводу плоского бикалориметра можно сделать совершенно
те же замечания, которые были нами сделаны в § 2 этой главы
о шаровом бикалориметре.
Во-первых, в огромном большинстве встречающихся на практике
случаев нет необходимости точно знать теплоемкость С испытываемой
пробы. Во-вторых, при испытаниях материалов с объемным весом
600—700 кг/мй можно упростить основную расчетную формулу (21.12),
ибо тогда Ж > 2 и с хорошей точностью выражается формулой
(21.15). В силу нее имеем:
X = А (1 4- w = у • у Sjni
[см. (21.16) и (21.14)1, т. е.
Х = (Д + ВС)/и, (21.17)
где В — вторая постоянная калориметра, вычисляемая по формуле:
В = (21.18)
Имея дело с особо легкими теплоизоляторами, формулу (21.17)
можно упростить далее: в этом случае поправка на теплоемкость
теплоизолятора, равная ВС, составляет меньше 1—2% от А (ибо
=4- • -£т = ъттЛ и, следовательно, мы получим аналогично (21.8):
21 о С1 о/К J
\ttAm.
Итак, асимптотический характер зависимости Б от Ж значительно
упрощает применение данного метода.
§ 4. Конструкция плоского бикалориметра
симметричного типа
Схема одного из бикалориметров этого типа с указанием разме-
ров дана на рис 123. Ядро оформлено в виде тонкого латунного
диска, в котором просверлен канал для ввода двухканальной фарфо-
ровой трубочки с термоэлектродами (на глубину х/2—диаметра
диска). Наружный кожух представляет собою круглую стальную
коробку, снабженную крышкой, которая ее герметически закрывает,
§ 4)
ПЛОСКИЙ БИКАЛОРИМЕТР
359
для чего служат прочные винты, позволяющие привинчивать крышку
к коробке. Вводная трубка для термопарной трубочки и спая термо-
пары — из металла — непосредственно сое-
динена с внутренним диском и нигде не
соприкасается со второй, ее охватываю-
щей трубкой, которая соединяется с ко-
жухом и служит для ввода бикалориметра
в термостат и захватывается лапкой шта-
тива. Конструкцией обеспечено отсутствие
Медь
J К зажимам
гальванометра
_____________
Константан
$-8.5 мм
8'= 80 мм
Рис. 123. Основные размеры (а) и одна из конструкций (6) плоского
бикалориметра симметричной структуры А. Ф. Бегунковой (а = оо) [51].
«) / — металлический сердечник; 2—диск из испытуемого материала; 3—крошка испытуемого
материала,
б) /—вводная трубка с термопарой; 2—термоэлектроды; 3—резиновая прокладка; 4—испы-
туемый материал; 5— металлический сердечник; 6—круглый металлический кожух (коробка
с крышкой); 7—прижимные винты.
тепловых мостиков между кожухом и внутренним ядром и между
этим последним и вводной трубкой.
Условие а —> оо осуществляют, помещая калориметр в ванну
с энергично перемешиваемой жидкостью или с расплавленным металлом.
360
ШАРОВОЙ И ПЛОСКИЙ БИКАЛОРИМЕТРЫ
[ГЛ. XXI
плоского бикалориметра к определению тепловых
тонких слоев теплоизоляторов. Калориметры не-
типа. Имея дело со сложными материалами, пред-
Применение
сопротивлений
симметричного
ставляющими собою чередование слоев с разными X, с гофрированными
изделиями и т. п., для их испы-
таний можно с большим успехом
применить метод плоского бика-
лориметра описанного в преды-
дущем параграфе типа. В этих
случаях, как мы видели в главах
XIX и XX, рациональной характе-
ристикой теплоизолирующей спо-
собности изделия будет уже не
X, а Л или Аа, или— еще лучше —
Р или Рэ.
Плоский бикалориметр осо-
бенно удобен для нахождения Рэ
по формуле:
Рис. 124. Схема плоского бикалори-
метра несимметричной структуры
(а = оо).
P. = /s. (21.19)
При таком варианте метода
постоянными бикалориметра бу-
дут Ф и С'.
А. Ф. Бегункова, которая по-
строила бикалориметр симметрич-
ного типа по схеме предыдущего
параграфа, не только применила
его для определения X, Р и Р ,
но и разработала метод несим-
метричного плоского бикалори-
метра, построенного по схеме
рис. 124; в нем обкладки имеют
вообще разные толщины и,82
и состоят из различных материа-
лов: Xt вообще не равно Х2. Поэтому и их тепловые сопротивления
Pj и Р2 вообще неравны.
Элементарная теория приводит к следующей формуле:
2Ф/п = -4- + ^- (при а —> оо).
Fi rS
(21.20)
Если же обкладки выполнены из одного и того же материал:’,
теплопроводность которого Л, то имеем:
2Ф • • т.
(21.21)
ПЛОСКИЙ БИКАЛОРИМЕТР
361
§4’
Здесь предположено, что теплоемкостью исследуемых слоев можно
пренебречь сравнительно с С', чего нетрудно достичь, увеличивая 8'
по сравнению с и 82.
Ошибку, возникающую из-за неплотного прилегания отдельных
частей сложной пластинки, что вызывает появление дополнительных
тепловых сопротивлений, А. Ф. Бегункова устраняет введением при-
жимных дисков; эта конструкция хорошо себя зарекомендовала.
Точно так же нашли полное подтверждение на опыте выведенные
А. Ф. Бегунковой приближенные формулы для численной оценки
влияния краев (в предположении а —> оо), относящиеся к бикалори-
метрам несимметричного типа. На их основе разработан метод опре-
деления теплового сопротивления тонкого слоя путем сравнения его-
с материалом, обладающим известной и стабильной теплопроводно-
стью. Применяется формула, представляющая собою по существу
ту же (21.20), корректированную введением члена, учитывающего
влияние „охранного кольца".
Образец исследуемого материала в плоском бикалориметре имеет
форму диска заданных размеров (например толщиной 8,5 мм в при-
боре, описанном в § 4).
Метод плоского бикалориметра (в условиях а —> оо) подвергся
экспериментальной разработке в 1949—1950 гг., причем он оказался
пригодным для определения коэффициентов теплопроводности и теп-
ловых сопротивлений разнообразнейших материалов, не только листо-
вых и слоистых—бумаги, асбеста, пенопластов и т. п., но и волок-
нистых и сыпучих. Объемный вес испытанных материалов колебался
в широчайших пределах: от 10 до 2000 кг)мъ и даже выше [51].
На принципе плоского бикалориметра симметричного типа основан,
метод и прибор Г. Б. Симонова [66]. Особенность этого метода —
в сочетании плоского бикалориметра с методом двух точек; Г. Б. Си-
монов вводит дополнительную дифференциальную термопару, один из-
спаев которой он помещает в какой-либо точке М" (рис. 43), нахо-
дящейся на расстоянии А2— х от одной из наружных поверхностей
5, S бикалориметра. Простой расчет позволяет связать определяемое
&"
из опыта по методу двух точек отношение -^- = о с параметром
s = |i3 и дробью —2-j—— k. Эта связь непосредственно вытекает из
условий на поверхности раздела X ядра и оболочки и формулы
U = cos (р-х -ф- ш) для основной собственной функции задачи и имеет
вид
b sins = sin (&s).
Зная b и k, находим из этого уравнения s, т. е. будем знать и
362
ШАРОВОЙ И ПЛОСКИЙ БИКАЛОРИМЕТРЫ
[ГЛ. XXI
Для определения X Г. Б. Симонов пользуется уравнением, которое
является преобразованием уравнения (6.71) и имеет вид:
с'ч'п' У та
т
а
или проще
— =—------• т.
о sctgs
Последняя формула получается из первого уравнения (6.71), когда
здесь произведем замены:
С = c'y'VSy, С = cybSv
и исключим из последнего уравнения с^З, выразив его через X • =
В. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ ПЛОСКИХ СЛОЕВ
ТЕПЛОИЗОЛЯТОРОВ ПОСРЕДСТВОМ ПЛОСКОГО БИКАЛОРИМЕТРА
ПРИ УСЛОВИЯХ КОНЕЧНОГО АЛЬФА
Плоский бикалориметр симметричного типа в условиях конечного а
«был нами успешно применен в 1949 г. для определения тепловых
сопротивлений воздушных слоев и материалов с малым 7 600 кг/м3').
Это исследование является довольно типичным примером эксперимен-
тальной разработки метода и способа его проверки; поэтому мы
•сочли полезным на нем остановиться особо, тем более, что при ана-
лизе методики усматриваются и перспективы ее дальнейшего развития
м возможности ее применения при решении задач, выдвигаемых про-
мышленностью.
§ 5. Идея метода и расчетные формулы
Представим себе плоское ядро из металла /, окруженное с обеих
сторон одинаковыми, имеющими одну и ту же толщину 8 слоями II
испытываемого теплоизоляционного материала (рис. 22). Пусть общая
толщина Д этого трехсоставного тела мала по сравнению с размерами
его больших, плоских граней.
Практически такой „бикалориметр" можно осуществить, взяв
в качестве ядра металлическую круглую или квадратную пластинку,
толщина которой 8' в 10—12 раз меньше стороны квадрата L', и
наложив на квадратные ее поверхности два одинаковых теплоизоля-
ционных слоя также квадратной формы; длину L стороны квадратов
целесообразно сделать несколько больше L' так, как показано на
рис. 122. Таким образом металлическое ядро оказывается отовсюду
§ 5] ПЛОСКИЙ БИКАЛОРИМЕТР В УСЛОВИЯХ КОНЕЧНОГО а 363
окружено теплоизолятором. Общая толщина Д = 8'-|- 28 бикалориметра
должна быть примерно в шесть-семь раз меньше L.
Изготовив описанный здесь бикалориметр и вложив внутрь него
горячий спай дифференциальной термопары, в то время как другой
ее спай находится в окружающей среде, имеющей постоянную тем-
пературу /, нагреем бикалориметр и будем наблюдать его регулярное
охлаждение. Пусть при этом коэффициент теплоотдачи а от калори-
метра к среде известен.
Определим обычным путем темп охлаждения т.
Для описания явления введем критерии Б, Ж, П:
Б = ФРт, Ж=-^, П=~, (21.22)
согласно § 8 гл. VJ. 1
Здесь буквами Г' и Г обозначены полные теплоемкости ядра и
окутывающего его теплоизолятора, буквой Ф обозначена постоянная
ядра, равная
Ф = -^7, (21.23)
где S' — полная поверхность ядра. Буквой Р обозначено тепловое со-
противление каждой пластины:
(Г' и Г по смыслу равносильны прежним обозначениям С и С).
В том случае, если пластина состоит из нескольких слоев раз-
личных теплоизоляторов, под Р следует понимать суммарное их
тепловое сопротивление, а под X эквивалентный коэффициент тепло-
проводности.
Сделаем предположение, что Г7 велико по сравнению с Г, точнее
говоря, что число Ж большое—порядка 2, 3.........:
Ж > 2. (А)
Это предположение можно всегда считать осуществленным прак-
тически: теплоизоляционные материалы имеют малый объемный вес
по сравнению с металлами, а поэтому при достаточной толщине 8'
ядра всегда Г' будет намного больше Г; легко подсчитать, что это
будет случаться даже при небольшом 8' по сравнению с 8. Следова-
тельно, условие (А) будет практически выполнено.
Согласно теории (§ 8 гл. VI), в этом случае критерии Б, Ж, П
связаны между собою следующей приближенной зависимостью:
1 — П—
(21-24)
1 Значок * мы опускаем для простоты письма.
364 ШАРОВОЙ И ПЛОСКИЙ БИКАЛОРИМЕТРЫ [ГЛ. XXI
В правой части формулы (21.24) стоят величины П и Ж, кото-
рые можно считать известными. В самом деле, если из опыта из-
вестны т и а и если определена постоянная ядра Ф, то критерий П
можно вычислить по третьей из формул (21.22); далее, взвесив тепло-
изолятор и зная его удельную теплоемкость с, мы будем знать Г,
а тогда вторая из формул (21.22) дает нам и Ж-
Из этого очевидно, что формула (21.24) позволяет вычислить на
основании данных опыта интересующий нас критерий Б = РФт;-
Так как Фит известны, то из последней формулы определяется Р,
которое в общем случае, когда слой сложный, мы обозначили Ра‘.
Р. = ^Г-
Зная Рэ, получаем:
АЭ =4-. (21-26)
1 э
На этих формулах и основан новый метод определения А3 или Рэ,
который заключается в следующем.
Смонтированный указанным образом бикалориметр заставим охла-
ждаться в определенных условиях, а именно, при постоянном а и
постоянной t. Измерим это а и найдем из опыта т. Определим
также Г (как указано). Пусть постоянная Ф известна. Зная ее,
зная Г, т, а, находим последовательно Ж и П по формулам (21.22),
Б—по (21.24), наконец, Рэ и лэ по (21.25) и (21.26).
В практических приложениях метода можно оценить с и Г грубо,
так как расчет показывает, что большая ошибка в оценке с — порядка
20—25% — и проистекающая отсюда ошибка в вычислении Ж по
(21.22) совсем незначительно отражаются на численном значении кри-
терия Б, который для легких теплоизоляторов, имеющих у — 600 кг/м3
и ниже [разумеется, при соблюдении условия (А)], будет незначительно
отличаться^от величины
Б^Л—П, (21.27)
что следует из (21.24),
Формула (21.27), как легко убедиться, перейдя от критериев Б
и 27 к размерным величинам, имеет простой физический смысл, усма-
триваемый почти непосредственно, так как она совпадает с форму-
лой (6.5), выводимой почти по интуиции.
Однако существенно в (21.27) то, что на дробь никакого огра-
ничения не накладывается, в то время как формула (6.5) пригодна,
вообще говоря, при условии, что 8 малб по сравнению с основным
размером ядра; таким образом, несмотря на полное совпадение фор-
мул, формула (21.27) более общая.
§6]
РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА И ПРОВЕРОЧНЫЕ ОПЫТЫ
365
§ 6. Реализация метода и проверочные опыты
Рис. 125. Разрез ма-
кета плоского бпка-
лориметра для опы-
тов прк а конечном.
1—дюралюминий; 2—на-
полнитель (воздух или
стружки); <S— оболочка
(картов),
полное основание
В качестве ядра была взята квадратная дюралюминиевая пластинка,
размерами У = 10 мм, А'= 150 мм, весом 626,5 г.
Отсюда определили Ф, принимая при комнатных температурах
для дюралюминия сг = 0,219 ккал]кг]град-, Ф = 2,7 ккал/град^мъ.
Для определения а была взята тонкая плоская же коробка из ла-
туни, наполненная водой: она играла роль альфа-
калориметра.
Опыты проводились в спокойном воздухе, в
комнате с установившимся тепловым режимом;
калориметры подвешивались на нитях.
Дюралюминиевая пластинка помещалась внутрь
картонного кожуха, размеры которого были по-
добраны так, что расстояние между его внутрен-
ней поверхностью и поверхностью дюралюминиевой
пластинки (82 на рис. 125) было равно ~5лтлт.
Толщина картона 8^ = 1,5 мм.
Оба калориметра — бикалориметр и альфакало-
риметр— были окрашены одинаковой масляной
краской, так что радиационная константа их на-
ружных поверхностей была одна и та же. Поэтому
при установившемся тепловом режиме в помеще-
нии, где производились опыты, и при почти одно-
временном и тем более при совершенно одновре-
менном охлаждении обоих калориметров имелось
считать коэффициент теплоотдачи а одинаковым для них обоих.
Для измерения температур была применена медно-константановая
дифференциальная термопара и нуль-гальванометр серийного выпуска.
Температура t во время опыта равнялась 20°С.
Чтобы проверить практическую приложимость нашего нового ме-
тода, мы провели два опыта с двумя материалами — наполнителями
вышеописанной картонной коробки: мелкими сосновыми стружками и
воздухом.
Контроль заключался в том, что величину суммарного теплового
сопротивления двойного слоя (в первом опыте — картон плюс стружки,
во втором — картон плюс воздух) мы определяли по формуле:
Р = РЭ = |14-^, ' (21.28)
зная (из независимого опыта) и Х3, и сравнивали это вычисленное Р,
которое в дальнейшем условно обозначается Рвыч, с тем значением Р,
которое получалось по нашему новому методу; оно обозначено далее Роп.
И в том и в другом опыте было необходимо знать теплопровод-
ность картона. Его теплопроводность — из специального опыта — была
найдена равной = 0,06 ккал!м!град, а плотность равна 534 кг!м*.
366 ШАРОВОЙ И ПЛОСКИЙ БИКАЛОРИМЕТРЫ [ГЛ. XXI
Приводим результаты опытов.
Первый опыт: наполнитель — стружка воздушно-сухого сосно-
вого дерева. Ее теплопроводность Х2 нами оценена 0,05 (при f2= 120).
При указанных в предыдущем параграфе толщинах слоев полу-
чаем по (21.28) Рвыч =РКаРт +Ротр — 0,125. Опыт дал Роп=0,13.
Второй опыт: наполнитель — воздух. В этом случае Р2 рас-
считывается по формуле:
Р2=^-, (21-29)
где Ав — эквивалентная теплопроводность воздушного слоя, характе-
ризующая суммарную теплопередачу через воздушный слой, которая
осуществляется чистой теплопроводностью, зависящей от Хвозд, кон-
векцией и радиацией, так что
ДВ==ДХ4-ДС4-ЛГ. (21.30)
Величина Л». вычисляется по формуле:
= (21.31)
ивазд
где Лв03д обозначает чисто молекулярную теплопроводность воздуха;
8ВОЗД — толщина воздушного слоя, в данном случае то же, что 8.3.
Ло — зависит от толщины и расположения (горизонтальное, вер-
тикальное) воздушного слоя и от высоты его; находится опытным
путем. Можно считать, что
(21.32)
причем для вертикального воздушного слоя А = 4,79, и = 0,62, если
пользоваться технической системой единиц.
При малых толщинах воздушного слоя — вплоть до 10 мм —
ролью конвекции можно пренебречь; следовательно, в нашем случае
До = 0, ибо у нас 8ВОЗД = 5 мм.
Подсчитаем Дг. При малой разности температур ограничивающих
воздушный слой плоскопараллельных стенок, как в нашем случае,,
можно представить Аг в виде:
Лг = 4 • 10-8Т*Сп; (21.33)
здесь Т*— абсолютная температура одной из поверхностей, у нас
очень близкая к абсолютной температуре Т окружающей калориметр
среды — воздуха. Без ощутительной погрешности можно в (21.33)
Т* заменить через i-j- 273 = 293; Сп — величина, зависящая от ра-
диационных констант С и С" поверхностей, ограничивающих воз-
душный слой; она вычисляется по формуле [6]:
----j—-р, (21.34)
О + С" “ С7
§7] ПЕРСПЕКТИВЫ ПРИМЕНЕНИЯ НОВОГО МЕТОДА 367
где Со — радиационная константа абсолютно черного тела, равная
4,9 ккал/м?1 час/град*.
Все вышеуказанные величины (кроме Со) зависят еще от темпера'
тур ограничивающих стенок.
При температурах воздушного слоя порядка 25—30°, что имело
место в наших опытах, можно принять Хвозд = 0,022. Отсюда Д> = 4,4.
Для подсчета Аг следует знать (У и С". У дюралюминия
эта величина близка к той, которую имеет окисленный в воздухе
алюминий; учитывая некоторое загрязнение дюралюминия, примем:
С = 0,45 ккал1м^1час}град^ (вместо 0,27 для алюминия). Для картона
С" по справочным данным можно ориентировочно принять равной 4,6,
Согласно (21.34) находим:
Д- = 2,4; Сп = 0,417.
Далее по (21.33) вычисляем Лг = 0,438. Отсюда получается по
(21.30) Дв = 4,84 и по (21.29) Р2 = 0,206.
Общее тепловое сопротивление
Рвыч == Ркарт ~Рвозд — 0,226.
В то же время опыт дал Роп = 0,20.
Таким образом, в результате опытов нами получено:
Род слоя Толщина, мм роп р выч
Картон и стружка ~5 0,13 0,125
Картон и воздушная прослойка ~ 5 0,20 0,226
Если принять во внимание, что мы имеем дело с довольно грубым
макетом прибора, а оценку величин С и С" произвели не с очень
большой точностью, следует заключить, что метод пригоден, во всяком
случае, для технических измерений; его стоит разрабртать. Как и все
методы регулярного режима, это упрощенный, скоростной метод.
§ 7. Перспективы применения нового метода
1. Метод можно применить к испытанию теплоизоляционных плит,
фибролита, толстой фанеры, дерева и т. п. материалов; в этом слу-
чае мы будем иметь дело с „макрообразцами" толщиной от 1 до 3 см.
Поэтому ядро необходимо будет изготовить в виде большой плиты
соответствующей толщины, чтобы выполнялось условие (А) § 5,
Внутрь нее следует заложить электронагреватель, чтобы упростить.
'368 ШАРОВОЙ И ПЛОСКИЙ БИКАЛОРИМЕТРЫ [ГЛ. XXI
операцию предварительного прогревания бикалориметра. Необходимо,
конечно, подъемное приспособление.
Опыт при повышенных температурах следует вести в большом
воздушном термостате, снабженном электронагревателем. Термостат
должен быть хорошо защищен от сообщения с наружным воздухом.
Очень желательно осуществить энергичную циркуляцию воздуха внутри
термостата так, чтобы он одинаково омывал поверхности бикалори-
метра.
Для опытов при температурах ниже нуля можно воспользоваться
зимним временем, устроив большую камеру в неотапливаемом поме-
щении.
2. Методика пригодна и для тонких листовых материалов: мы бу-
дем иметь дело с „микрообразцами“.
В некоторых случаях может потребоваться обеспечение плотного
соприкосновения испытываемого материала с металлом ядра; следует
разработать технику устранения неплотностей касания, влекущих за
собою добавочные тепловые сопротивления и искажающих результат.
Для пористых материалов (пеноматериалов, губчатой изоляции и т. и.),
для матов, волокон и т. д. — неплотности касания не имеют значения.
3. Методика может быть без труда использована для определения
радиационной константы технических покрытий, например красок,
побелки и т. д., как это вытекает непосредственно из предыдущих
формул, относящихся к случаю теплопередачи через воздушный слой.
Рассуждаем следующим образом. Пусть одна из поверхностей,
ограничивающих воздушный слой, для определенности предположим —
та, которая соответствует картону в предыдущем опыте, покрыта
исследуемой краской, радиационную константу которой обозначим С"
в соответствии с предыдущим. Поверхность ядра пусть тщательно
зачернена, в силу чего можно считать, что ее радиационная константа
С = Сс, т. е. равна константе черной поверхности. Из формулы (21.34)
следует, что тогда искомое С" = С„.
Эта же последняя величина может быть найдена из опыта с регу-
лярным охлаждением бикалориметра. Действительно, из опыта с регу-
лярным охлаждением мы найдем по новому методу Р; зная из пред-
варительного опыта тепловое сопротивление Pj слоя теплоизолятора,
на который нанесена исследуемая краска, получим Р2=Р—рх —
условное тепловое сопротивление воздушного слоя, а потом по (21.29)
отыщем Дв; вычтя отсюда Д( и Ас, которые будут вычислены по
формулам (21.31) и (21.32), получим:
Дг = Ап — Дх — Д„.
Поскольку Дг известно, из (21.33) находим Сп = С".
Теплоизолирующее действие воздушных слоев часто используется
для изоляций зданий и промышленных объектов, причем эффект изо-
ляции, например конструкций из алюминиевой фольги, сильно зависит
от условий эксплуатации •— загрязнения, осаждения влаги и т. п.
§ 8] ОПРЕДЕЛЕНИЕ С ПРИ ПОМОЩИ БИКАЛОРИМЕТРА 369
Наш метод определения Р2 без труда позволит в короткое время
собрать достаточные данные для суждения о том, как та или иная
конструкция будет себя вести в эксплуатации, ибо воспроизведение
эксплуатационных условий при помощи нашей установки не пред-
ставляет трудностей.
Интересно исследовать приложимость метода к материалам типа
гофрированного картона, мятого альфоля и т. п., для которых X не
имеет смысла, а речь может идти только о Рэ.
В заключение заметим, что опыты в таких условиях, при которых
параметр Ж имеет малые значения, не дали еще хороших результа-
тов. Поэтому можно думать, что условие (А) играет роль для успеш-
ного применения изложенного здесь метода.
Г. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОЙ ТЕПЛОЕМКОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
ПОСРЕДСТВОМ БИКАЛОРИМЕТРА
Мы указали в гл. XV, § 9, как следует видоизменить расчетные
формулы ламдакалориметра для создания метода калориметрирования
плохих проводников тепла; то же можно сказать и о расчетных фор-
мулах для шарового и плоского бикалориметров: их видоизменение
приводит к новому, довольно своеобразному, методу калориметриро-
вания, изложение которого и составляет содержание следующих пара-
графов.
§ 8. Идея метода и расчетные формулы
В тех случаях, когда в распоряжении экспериментатора имеются
термостаты или ванны с жидкими наполнителями, например с водой
или водо-ледяной смесью (/=0°), с холодным рассолом, жидким
металлом и т. д., можно для определения удельной теплоемкости
какого-либо твердого вещества применить шаровой или плоский би-
калориметр в сочетании с акалориметром. Для этого нужно, прежде
всего, несколько видоизменить формулы для этих двух бикалоримет-
ров, соответствующие предположению (21.1), а именно, удобно запи-
сать расчетные формулы следующим
в случае шарового бикалориметра
С _ 1 + k + £2
С' ~ ЗА
в случае плоского бикалориметра
^=F(s). (21.36)
Формула (21.35) является следствием формул (6.63) и (6.55);
формула (21.36)-—следствие (6.71) и (6.66).
образом:
№
(21.35)
1 — АФ
24 Зак. 750. Г. М. Кондратьев
370
ШАРОВОЙ И ПЛОСКИЙ БИКАЛОРИМЕТРЫ
[ГЛ. XXI
что, во-первых
Рис. 126. Схема
плоского бикало-
риметра (диск)
для определения
удельной тепло-
емкости тепло-
изоляционных
материалов.
соответствии с
Смысл обозначений здесь следующий: (?' —теплоемкость ядра
(металлического); С —- теплоемкость оболочки (плохо проводящей тепло);
Ь = (21.37)
где D' и D — внутренний и наружный диаметры оболочки;
5 = (21.38)
8—толщина теплоизоляционного слоя; функции Ф(б') и F (s)—см.
приложение (табл. III и I).
Схема метода калориметрирования следующая. Предположим,
, постановка эксперимента обеспечивает соблюдение
условия (21.1); во-вторых, из предварительного опыта
уже найдена температуропроводность а исследуемого
материала (при этой же температуре /); в-третьих,
в качестве металла для изготовления ядра бикалори-
метра выбран металл с хорошо изученной в некото-
ром температурном интервале теплоемкостью.
Наполнив бикалориметр исследуемым материалом и
определив темп т его регулярного охлаждения в термо-
стате при данной температуре t, находим по (21.38)
параметр s (ибо о, а, т — известны), далее находим
соответствующее значение функции Ф($) или F (s),
для чего можно воспользоваться таблицами или гра-
фиком; после этого формула (21.35) или (21.36) до-
ставит нам полную теплоемкость С насыпанной в ка-
лориметр пробы материала: если ее вес равен Р, то
С
искомая удельная теплоемкость с = -р.
Для успеха опыта существенное значение имеет
однородность пробы материала; ее нужно должным
образом подготовить. Подготовка заключается в дроб-
лении материала, в результате которого получается
зернистая или порошкообразная масса, которую сле-
дует тщательно отсеять для получения зерен одина-
кового размера. Размер зерен должен находиться в
толщиной 8 слоя материала, насыпанного в бикалори-
метр: их наибольший размер должен быть в несколько десятков раз
(— зо—40) меньше этой толщины, так как только при таком выборе
соотношения между размерами зерен и толщиной слоя уподобление
порошка однородному и изотропному веществу не повлечет за собой
ошибки, выходящей за пределы технической точности.
Кроме того, необходимо, чтобы температуропроводность а пробы
материала, насыпанного в акалориметр, была та же, что и пробы, насы-
панной в бикалориметр. Так как температуропроводность может сильно
зависеть от степени уплотнения порошка, т. е. от его объемного
§ 9]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ С ПРИ ПОМОЩИ БИКАЛОРИМЕТРА 371
веса *(, то при наполнении акалориметра необходимо добиваться той же
плотности, что и для бикалориметра.
Насыпая в калориметры порошок, следует следить за тем, чтобы
вся рабочая зона калориметров была равномерно заполнена порошком:
никакие воздушные прослойки между стенками калориметра и порош-
ком недопустимы, равно как недопустимы и воздушные включения
в его массе.
Метод этот неприменим, если операция дробления или приведения
материала в порошкообразное состояние сопровождается изменением
его теплоемкости. Этот случай в нашей практике встречается редко;
он имеет место для капиллярно-пористых коллоидных материалов,
в которых присутствует связанная влага, — глина, волокна торфа,
влажная древесина и т. д.
При выборе формы бикалориметра следует иметь в виду, что
формула (21.36) для пластинки, подкупающая своей простотой
(в нее не входит даже k\ строго говоря, действительна только для
пластинки бесконечно протяженной в на-
правлениях, перпендикулярных к ее тол-
щине. Казалось бы, это должно при
реализации плоского бикалориметра по-
вести к его громадным размерам; прак-
тика показала, что это не так; достаточно
суммарную толщину Д (рис. 122 и 126)
взять в шесть-семь раз меньше диа-
метра D, чтобы практически можно
было принять такую систему за беско-
нечно протяженную.
Получаемую при этом ошибку можно
установить с помощью аналитического исследования. При постановке этой
задачи можно в целях упрощения считать толщину 2 теплоизоляционного
слоя повсюду одинаковой. Для бикалориметра, теплоизоляционный слой
которого имеет толщину 8, а ядро геометрически описывается при
помощи отрезков Lx, L%, ., (рис. 127), имеем
£ = ....................)' <21'39’
Рис. 127. Бикалориметр сложной
формы с теплоизоляционным
слоем равномерной толщины.
Представляется небезинтересным с точки зрения практических при-
ложений установить, хотя бы для некоторых частных случаев, хотя бы
приближенно, вид функции G в (21.39).
§ 9. Осуществление метода и схемы приборов
Шаровой бикалориметр. Применяя шаровой бикалориметр для
целей калориметрирования, целесообразно строить прибор с сильно
развитым шаровым слоем теплоизолятора и относительно малым, но
массивным, сплошным, т. е. сильно теплоемким, ядром. Константы
прибора суть 8, k, С'.
24*
372
ШАРОВОЙ И ПЛОСКИЙ БИКАЛОРИМЕТРЫ
[гл. XXI
В 1935 г. нами был изготовлен шаровой бикалориметр этого типа
с медным ядром и латунной наружной оболочкой по схеме рис. 128 [68].
Он имел следующие размеры: 0 = 8 см, D' = 3 см.
Рис. 128. Одна из конструкций шарового бикалориметра.
/—эбонитовая пробка; 2—пробка ив красной меди; 3—целлулоид или
железо; 4—ртуть; 5—красная медь; 6—пробка из красной меди;
7—исследуемый плохо проводящий тепло материал
Вводная трубка для термопары была расположена эксцентрично,
так что термопара вводилась внутрь материала.
Удовлетворительные результаты были получены с плотными су-
хими материалами, имеющими однородную структуру.
Расчетные формулы для этого бикалориметра имеют вид:
с*{ = 2,667 — Ф (s) ’ 5 = 2-5 ]/" 1()t.a (21.40)
С помощью шарового бикалориметра в опытах, произведенных
в ледяной ванне, были получены следующие данные:
для песка
т = 4,8; 104 • а = 9,5; 7 = 1544;
^7 = 294; с = 0,179; Х = 0,28;
§ 91
ОПРЕДЕЛЕНИЕ С ПРИ ПОМОЩИ БИКАЛОРИМЕТРА
373
Рис. 129. Общая схема шарового
бикалориметра (первый вариант);
шаблоны для центрировки ядра.
для парафина (продажного)
m = 2,19; Ю4 • а = 4,10; c-f = 457;
7 = 880; г? = 0,57; А = 0,188.
С этого времени опыты не повторялись; небольшое количество
опытов заставляет признать, что методика не может считаться разра-
ботанной экспериментально до конца.
На рис. 129 приведена схема большого калориметра, пред-
назначенного для калориметрирования больших порций материала;
здесь 8 ориентировочно 3,0—4,5 см,
D' = 4,0 н- 5,5 см.
В калориметрах меньших разме-
ров следует применять иной способ
ввода термопары: ее придется вво-
дить внутрь ядра, так как при малой
толщине 8 теплоизоляционного слоя
даже тоненькая фарфоровая трубочка,
на которой монтирована термопара,
сильно исказит температурное поле
теплоизолятора. В этом случае можно
брать 8 порядка 1,5—2 см, a D —
порядка 6—7 см.
При первом способе ввода тер-
мопары можно, как это видно из
дальнейшего, в одном приборе объединить акалориметр и бикалори-
метр. Для этого следует внутренний шар, жестко скрепив его с на-
ружной металлической оболочкой, изготовить в виде тонкостенной
шаровой колсы,—настолько тонкостенной, чтобы ее теплоемкость
была ничтожной по сравнению с теплоемкостью С пробы теплоизоля-
тора. Предположим теперь, что эта колба ничем не наполнена, — в ней
оставлен только воздух; пусть она герметически закрыта пробкой из
теплоизолятора, так что внутренняя полость совершенно разобщена
с внешней средой (водой, маслом и т. п.), в которой находится ка-
лориметр. Очевидно, что по наполнении его кольцевого шарового
слоя теплоизолятором эту систему можно рассматривать, при усло-
вии (21.1), как шаровой акалориметр с пустой полостью внутри.
Коэффициент формы для него будет равен:
' (21.41)
где а — наименьший корень уравнения
ф(=)=4-, (21-42>
как это нами доказано в § 2 гл. IV.
Для вычисления с по заданному k можно воспользоваться табл. 10
гл. IV.
374 шаровой и плоский бикллориметры [гл. XX)
Формула (21.42) — очевидное следствие (21.35): она получается
С
из этой последней при—> 0.
Итак, первый опыт производится при пустой внутренней колбе:
прибор работает, как акалориметр. Найдя т = т*, получим темпе-
ратуропроводность а по формуле:
а = Кт*,
где К—см. (21.41), т. е. константа прибора, наравне с величинами
3, А, С'.
Второй опыт производим, наполнив внутреннюю колбочку ртутью,
теплоемкость которой хорошо известна, или водой. После этого,
опять проведя опыт с регулярным охлаждением прибора в том же
термостате (причем он работает, как бикалориметр), находим т, да-
лее s по (21.38) и С по (21.35).
Такой вариант метода имеет принципиальное преимущество, так
как оба опыта — и для определения а
изводятся над одной и той же пробой
варианта заключается в необходимости
шими калориметрами.
Заметим, что для расчетов формулу
в двух видах:
во-первых, в виде:
Зсу А3
с'ч' 1 —А'!—АФ(з)’ {И-ЧО)
во-вторых, в виде:
X С' 1 /П1 лич
о — т • s, - . (21.44)
и для определения су — про-
материала. «Недостаток этого
экспериментировать с боль-
(21.35) можно написать еще
Первая из этих формул является следствием формулы (6.41) § 6
гл. VI и получается из этой последней по замене параметра М его
выражением (6.40).
Вторая формула представляет собою преобразование первой из
формул (6.63) и выводится путем замены в ней критерия Б его вы-
ражением (6.57).
При опытах с упомянутым в § 8 бикалориметром мы расчетной
формуле придали вид (21.43): формула (21.40) и есть формула (21.43),
примененная к конкретному бикалориметру.
Плоский бикалориметр. В этом случае прибор следует конструи-
ровать, как бикалориметр, описанный в § 4, сохраняя приблизительно
масштаб с тем, чтобы довести 8 примерно до 1 — 2 см, но не увеличи-
вая особенно сильно толщину ядра: 1,2—:— 1,5 см будет достаточно.
Термопару следует ввести внутрь ядра, так как ввод ее внутрь
теплоизолятора повлечет за собой значительное увеличение диа-
метра D и чрезмерную громоздкость бикалориметра.
§ 9] ОПРЕДЕЛЕНИЕ С ПРИ ПОМОЩИ БИКАЛОРИМЕТРА 37Й
Основные требования к калориметрам:
1. Конструкция латунной, медной или бронзовой наружной обо-
лочки, изготовляемой из двух полушарий, должна обеспечить полную
герметичность: недопустимо проникание жидкости термостата (напри-
мер воды) внутрь теплоизолятора. Толщина оболочки должна быть
достаточной для предохранения ее от смятия (1—2 мм).
2. Внутреннее сплошное металлическое ядро должно быть жестко
соединено с наружной оболочкой, но притом так, чтобы материал,
служащий для конструктивной реализации этого соединения, был
плохим проводником тепла; например, трубка на рис. 120, соединяю-
щая внутренний шар с металлической оболочкой, должна быть сде-
лана из целлулоида, эбонита, керамики или, в крайнем случае, из
нихрома, инвара или нержавеющей стали; в последнем случае трубка
должна иметь, насколько возможно, тонкие стенки. Пробка, необхо-
димая, если внутренний шар полый и служит для наливания ртути,
также должна быть из плохого проводника тепла. Необходимо при-
нять все меры к устранению тепловых мостиков между внутренним
ядром и наружной оболочкой.
Это требование в одинаковой мере относится и к плоскому и
к шаровому бикалориметру и его соблюдение имеет существеннейшее
значение для правильной работы приборов.
3. Для шарового бикалориметра большой модели (рис. 128), где
предусматривается ввод термопары внутрь испытываемого теплоизоля-
тора, необходимо вводную трубку для термопары располагать так,
чтобы спай и термопары находились примерно в середине теплоизо-
ляционного слоя (или несколько ближе к внутреннему шару). Длина
трубки должна быть настолько велика, чтобы калориметр был глу-
боко погружен в жидкость термостата (примерно на 12—15 см,
считая от верхнего уровня пробки).
Недостатком изложенного метода является одна лишняя операция —
определение температуропроводности а порошка, которая сама по себе
нас совершенно не интересует, но в то же время нам необходимо
производить ее с хорошей точностью, потому что это является необ-
ходимым условием возможности применения метода.
Достоинство метода состоит в том, что при умелом оформлении он
позволит определить зависимость теплоемкости от температуры, не
прибегая к газовой камере, без которой нет возможности обойтись,
когда используется метод микрокалориметра или ламбдакалориметра.
Если газовые камеры удобны для невысоких температур, особенно же для
комнатной, то по мере повышения температуры трудности эксперимента
все возрастают, тогда как вести опыт в жидких средах и их термо-
статировать гораздо легче.
ГЛАВА XXII
О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДОВ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ТЕМПЕРАТУРОПРОВОДНОСТИ
МЕТАЛЛОВ
Температуропроводность а является одним из важнейших факто-
ров, определяющих термическую стойкость материала, и ее знание
особенно важно при решении задачи о тепловых напряжениях в ме-
таллах. Поэтому большой интерес представляют методы, позволяющие
эту величину определять непосредственно; наиболее простыми и, по-
жалуй, единственно осуществимыми в настоящее время являются первый
и третий методы регулярного режима.
Здесь будут изложены некоторые соображения, касающиеся физи-
ческой стороны вопроса, так как эти соображения определяют пра-
вильную постановку опытов и указывают путь дальнейшей экспери-
ментальной разработки методики.
§ 1. О применении первого метода регулярного
режима
Мы уже неоднократно указывали, что для осуществления на на-
ружной поверхности образца испытываемого материала условия
а -> оо (А)
или
(В)
являющегося необходимой предпосылкой первого метода регулярного
режима, можно поступать следующим образом: поместить образец
в энергично перемешиваемую жидкость — например в воду, металл,
масло, и поддерживать температуру жидкости постоянной. При этом
мы считали, что охлаждающийся или нагревающийся в такой обста-
новке образец во всех точках своей наружной поверхности S будет
иметь температуру «s, ничтожно мало отличающуюся от t\ ничтож-
ная величина разности &s = — t гарантировалась в достаточной
степени, как мы думали, большим значением а.
§ 1]
О ПРИМЕНЕНИИ ПЕРВОГО МЕТОДА РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
377
Такое рассуждение является неполным, потому что из него еще
не вытекает, какой порядок должна иметь величина а в том или
ином конкретном случае, чтобы получаемый при этом значении а
темп охлаждения достаточно мало отличался от своего предельного
значения т<х, т. е. совпадал бы с с
точности, скажем, 2—3%. Чтобы
это установить, воспользуемся
связью между критериями р и С.
Предварительно заметим, что
уже наперед видно, что только
тогда можно считать величину тем-
пературного скачка &s практически
равной нулю, когда эта разность
достаточно мала по сравнению
с температурными разностями вну-
три образца. Эти же последние
величины зависят уже и от раз-
меров образца и от его теплопро-
водности X. Таким образом, мы
непременно обязаны учесть еще и
эти два фактора.
Поставим вопрос: как следует
подобрать, при заданных л и Lo
(основной размер образца), число а,
чтобы разность между тт и т
не превосходила бы, в долях
от т-со, заданной малой величины е,
т. е. чтобы было Шоо—=
(например s = 2%).
Это условие представлено гра-
фически на рис. 130, а, понятном
без особых объяснений. Тогда
заданной наперед степенью
Рис. 130. Отклонение от условий:
а = со (а), С — со (<?).
ошибка от применения расчетной
формулы первого метода, относящейся к предельному случаю (В),
практически в нашей постановке опыта недостижимому, будет не
больше е.
Чтобы решить поставленный вопрос, обратимся к критериальной
форме зависимости, списывающей явление. В силу основного положе-
ния теории регулярного режима, р и С связаны между собою зависи-
мостью (1.65) или (1.55), выражающей основной асимптотический закон
возрастания р с С — см. § 8 гл. I; эта зависимость р=/(С) графи-
чески изображена на рис. 130, б, совершенно аналогичном рис. 130, а.
Отклонению т от предельного значения 7Пт, равному ггаме, будет
соответствовать отклонение р от своего предельного значения рта,
равное р^, так что
Pre)
378 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ [ГЛ. ХХП
Для значений р, близких к зависимость (1.55) может быть
заменена приближенной гиперболической кривой
Р-°°—. (22.1)
Р^—Р ’
Отсюда непосредственно следует, что
Из структуры критерия р вытекает, что
— =(—Y, т. е 1 —е = (1 — 3)2,
откуда, отбрасывая малую величину второго порядка, получаем:
г^2о.
Значит, искомое С, соответствующее заданному е, будет опреде-
ляться формулой:
9
(22.2)
Присоединив сюда формулу, определяющую структуру критерия С,
т. е. (1.52), можем найти искомое значение а.
При этом мы видим, что достижение заданной точности опреде-
ления а зависит по существу не от я, а от С
Проведенное здесь простое рассуждение позволяет решить вопрос
о том, как следует экспериментировать с металлами.
Возьмем конкретный случай определения температуропроводности
какой-либо стали, для которой л величина порядка 30 ккал м1час[град.
Пусть допускаемая ошибка измерения s = 2%. В силу (22.2), зна-
чение критерия Био, которое должно быть осуществлено на опыте
путем подбора подходящей для термостатирования жидкости и ее
перемешивания, оказывается равным:
откуда aL0 яз 3000.
Наибольшее значение я, которое уже трудно достижимо в обыч-
ных условиях,— порядка 10 000 ккал1.м?1час1град. Остановившись на
нем, получаем для Lo колоссальную величину: Lo порядка 0,3 м,
т. е. 30 см' другими словами, применение первого метода связано
с весьма большими затруднениями: если в качестве среды брать та-
кие жидкости, как вода, масло и т. п. (например, применяемые при
закалке стали), то необходимо, для обеспечения требуемой точности,
брать образцы гигантских размеров, что практически почти невозможно,
§2] О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ДВУХ ТОЧЕК 379
Остается применить в качестве термостатированной среды жидкий
металл, например олово; можно ожидать, что для него а будет иметь
гораздо ббльшую величину, чем для обычно применяемых воды, масла,
селитры и т. п. жидкостей. Однако, за отсутствием каких-либо циф-
ровых данных для металлических сред, было бы рискованно выска-
зываться определенно насчет возможности их использования. Все
же некоторые из опытов 1935 г., проводившихся в термостатной
ванне, наполненной жидким (загрязненным примесями) алюминием при
/да -J- 700 °C, давали указание ня то, что ванны с жидким металлом —
единственно пригодные для нашей цели [41].
Образцы, с которыми в то время мы вели опыты, имели цилин-
дрическую и шаровую форму и диаметр D = 2£0 = 5 н- 6 см (мате-
риал — железо).
Те же трудности, хотя и в очень смягченной форме, встречаются
и при опытах с некоторыми горными породами: если для них в ка-
честве термостатной жидкости взять вону, то необходимо применить
особое устройство для повышения коэффициента теплоотдачи.
При экспериментах с теплоизоляторами требование С=10Э осу-
ществляется без труда, так как эти материалы имеют теплопровод-
ность не больше 0,2—0,3 и, следовательно, при том же основном
размере образца £0=3 см оно сводится к требованию а = 1000, что
достигается энергичным перемешиванием воды.
Примечание. С чисто математической точки зрения условие (А) и
условие поддержания температуры на наружной поверхности образца посто-
янной и равной температуре окружающей среды /, т. е. условие (В), между
собой равносильны. Это было доказано в § 6 гл. I. Но с точки зрения физи-
ческой следует считать, что условиям (А) и (В) соответствует различная об-
становка опыта. Условие (А) нами рассматривалось, как асимптотическое.
Условие же (В) можно интерпретировать так, что в распоряжении экспери-
ментатора имеется особое устройство, позволяющее все время поддерживать
температуру us постоянной и равной t.
Примером такой постановки эксперимента являются опыты О. И. Рауша
(1936 г.) и В. В. Сазонова (1940 г.) [52], производившиеся с огнеупорами в
Институте огнеупоров: образец чрезвычайно плотно был вставлен в массивную
металлическую оболочку, на которую были навиты спирали электрического
нагревателя; нагрузка последнего регулировалась таким образом, что нагре-
вание его в некоторый момент замедлялось и температура на поверхности
образца, до этого момента возраставшая, стабилизировалась на определенном
уровне t, и при этом условии происходил дальнейший прогрев образца. Таков
пример конкретного осуществления условия (В). Он существенно отличается
от предыдущего.
§ 2. О применении метода двух точек
Преимущество этого метода состоит в том, что здесь, во-первых,
не приходился заботиться о соблюдении условия (А) или (В), — на-
оборот, метод обычно мы применяем, когда С или а умерегно ве-
лики и не очень малы; во-вторых, знать а, как во втором методе,
пет необходимости.
380 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ [ГЛ. XXII
Существеннейшим условием успеха опыта является наличие доста-
точно больших градиентов температуры внутри металла. Поэтому для
того, чтобы установить, применим ли метод двух точек к металлам,
следует прежде всего выяснить, будет ли и при каких значениях а
здесь обеспечено выполнение этого условия.
При решении этого вопроса нам помогут критерии Ф и т] гл. IV.
Задаваясь численным значением критерия Ф, мы тем самым даем не-
ко"орую оценку и среднего температурного градиента внутри образца
(вспомним, что по своему физическому смыслу Ф и есть критерий
неравномерности температурного поля тела). Поэтому зададим какое-
либо численное значение Ф, скажем Ф = 0,72. Далее, зная Ф, вос-
пользуемся приближенной зависимостью между Фит;; тогда можно
будет сделать вывод и относительно того, как осуществить заданное Ф,
другими словами, добиться достаточных градиентов внутри металла.
Возьмем конкретный случай — образец железа с А = 50, в форме
цилиндра, радиус которого La — 3 см. По определению критерия т]
(4.24) в нашем случае у 7? = 1,5 • 10-2 и 7<«i 1,5 • 10~4 ж2. По-
этому, в силу (4.24), 5 • 103. С другой стороны, зная Ф = 0,72,
находим, согласно табл. 16 (§ 5 гл. IV), т] = 2. Сопоставляя два по-
следних равенства, получаем а ^2500: такое численное значение а
нужно осуществить в установке, чтобы получить улавливаемые на-
шими обычными термометрическими приемами разности температур
в образце. Численное значение а этого порядка достигается в водяных
ваннах с энергичной циркуляцией, а тем более в оловянных жидких
что метод двух точек
должно быть отмечено,
найти отношение темпе-
s. - -
ваннах.
Таким образом, мы приходим к выводу,
может дать удовлетворительные результаты.
Есть еще одно обстоятельство, которое
В методе двух точек необходимо из опыта
ратур на периферии и в середине образца, равное ^ = р. Вычислим р
для нашего конкретного примера, воспользовавшись для этого уста-
новленной в § 4 гл. IV приближенной зависимостью между 3 и от-
носительным критерием темпа охлаждения Е. У нас, как мы сейчас
увидим, Е не превосходит 0,7, а в интервале этих его значений можно
считать Е«^1—0,743 р.
Воспользуемся одновременно зависимостью Ф от Е (см. табл. 13);
для Ф = 0,72 находим $ = 0,6. Подставив же Е в предыдущую фор-
мулу, получаем соответствующее ррй0,54.
Отсюда следует, что полулогарифмические графики изменения
температур Ве и Я{, т. е. прямые (Л4в) и (.М{) на рис. 101, будут
отстоять достаточно далеко друг от друга (разность ординат между
соответствующими точками их по теории третьего метода равна
§ 31
ПРАКТИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ
381
Такое раздвижение прямых является необходимым для обеспече-
ния надлежащей точности в определении р, а следовательно, и самого 0
и оно должно быть осуществлено в процессе опыта; если а недоста-
точно велико, то критерий ЧТ будет близок к единице, 0 — тоже,
а прямые (Ме) и (ЛЦ) на рис. 101 почти совпадут.
Приходится особенно опасаться этой возможности в опытах с ме-
таллами; предыдущий расчет показывает, что в намечаемой здесь по-
становке опыта эта возможность будет исключена.
§ 3. Практические выводы из предыдущего.
Некоторые замечания о технике эксперимента
Приведенные в двух предыдущих параграфах расчеты приводят
к следующим выводам.
1. Возможность применения первого метода к металлам является
сомнительной. Для выяснения этого вопроса следует провести иссле-
дования по определению а различных объектов в ваннах, наполнен-
ных жидкими металлами.
2. Можно ожидать успеха от применения метода двух точек, так
как здесь реализация требуемых сущностью метода граничных усло-
вий не представляет серьезных затруднений.
3. При измерении быстро меняющихся температур fte и или ft
приходится с особым вниманием относиться к гальванометру: он дол-
жен быть почти безинерционным. Конечно, вполне приемлем струн-
ный гальванометр или осциллограф; в некоторых случаях может быть
допустим и короткопериодный зеркальный гальванометр.
Чтобы ориентироваться в выборе прибора, приводим примерный
расчет скорости изменения температуры в какой-нибудь точке образца
для самого неблагоприятного случая, а именно: пусть применяется
первый метод, так что асо , а материал — очень чистое железо,
для которого ХяабО. Размер образца Ао = О,ОЗ м (см. выше); обра-
зец— цилиндр; К= 1,53 • 10-4 ж2. Принимая (= 7850 лгг/л3, можем
(с преувеличением) оценить температу-
ропроводность л = 71,5 • 10-3 м^1час
(с= 0,107 ккал/кг/град).
Соответственно этим предположе-
ниям величина, обратная темпу охла-
ждения, будет равна -i- = 7,3 сек.
1 /Q. \
По общей формуле т = —— • 1п
можно составить приведенную здесь
а т
100° с 0 сек.
80° 1,63 „
60° 3,73 „
40° 6,69 „
20° 11,75 „
таблицу, если считать, что в начальный момент времени т0 = 0 раз-
ность температур образца и среды ft0= 100°.
Грубо говоря, спадание температуры на 100° происходит примерно
за 15 сек., а поэтому для записи показаний гальванометра следует
применить хронограф.
382 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ [ГЛ. XXII
4. Скажем несколько слов о форме и размерах образца. Крайне
неудобно вести опыты с болванками, имеющими размеры порядка
10—20 см или более, хотя это и позволило бы упростить электро-
измерительную часть. Поэтому нужно остановиться на круглых ци-
линдрических или шестигранных призматических образцах толщиной
примерно 0 = 6—8 см и длиной 7=12—15 см.
§ 4. Экспериментальная разработка метода двух точек
для металлов
Изложенные в предыдущих параграфах соображения и расчеты,
относящиеся к 1945 г., были использованы М. П. Безпечным в 1949 г.
Рис. 131. Водяной термостат
М. П. Безпечного для определения
температуропроводности металлов
по методу двух точек.
/—исследуемый образец металла (цилиндр);
2—трубка с движущейся но ней водой;
3—цилиндрический бак с водой;
-> направление движения воды.
при экспериментальной разработке
метода в интервале от 20 до 100° С.
Отметим некоторые особенно-
сти [51] созданной им установки.
М. П. Безпечный обратил особое
внимание на подбор гальванометров:
он взял два зеркальных коротко-
периодных гальванометра, имевших
близкие параметры: чувствительность
— 10-8—10~9 а'мм]м расст.; кри-
тическое сопротивление ~100 ом,
период колебаний ~3сек. Он под-
черкивает, что равенство периодов
имеет существенное значение.
Образцы исследованных метал-
лов имели форму цилиндров диа-
метром D — 40 — 60 мм и высотой
7 = (2,5 —3)£>.
Горячие спаи термопар припаива-
лись оловом ко дну каналов, слу-
живших для ввода термопар в обра-
зец; проволочки термопар были
тщательно изолированы; в местах
ввода в образец были установлены
нипели, на которые надевались ре-
зиновые трубки.
М. П. Безпечный отмечает, что
для успеха опыта необходимо обес-
печить равномерность альфаполя на
боковой поверхности цилиндра при
обтекании его термостатной жид-
костью.
В качестве термостата в опытах при комнатной температуре
М, П. Безпечный применял показанный на рис, 131 бак 3 объемом 100 л,
§ 4] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАЗРАБОТКА МЕТОДА ДВУХ ТОЧЕК 383
наполненный водой. Чтобы достигнуть равномерности обтекания бо-
ковой поверхности образца Об, в бак погружена U-образная труба Тр,
в одном из колен которой находится мощная пропеллерная мешалка,
а в другом помещен (строго по оси трубы) образец-. Стрелками по-
казано движение воды. Это устройство хорошо себя оправдало; меняя
число оборотов мешалки, получаем возможность несколько варьиро-
вать а, т. е. изменять условия опыта.
При испытании материалов с малой температуропроводностью, не
превышавшей 0,02 м^/час, отметку моментов времени можно вести
с помощью двух секундомеров. Но при больших значениях ш, как
правило, М. П. Безпечный применял хронограф в сочетании с хроно-
метром; моменты времени отмечались на бумажной ленте и фиксиро-
вались с точностью до 0,1 сек.
Расчет температуропроводности производился по формуле (16.18).
Для посчета теплопроводности определялась плотность 7 металла
опытным путем и бралось значение удельной теплоемкости с из таблиц
физических констант; тогда X — асу.
С целью проверки получающейся на его установке точности
М. П. Безпечный провел опыт над образцом очень чистого железа —
с содержанием Fe не ниже 99,9%.
Им получены следующие цифры:
« = 8,13-10-2, X == 67 при t= 15н-25°С;
а = 7,31- 10-а, X = 62 „ /=100° С.
При вычислении X принято с = 0,108, 4 = 7830 кг)мл. Коэффици-
ент формы АГ = 1,069 - 104 .и2. Эти цифры хорошо согласуются
с данными в литературе для железа армко.
Приведем еще цифры для стали марки ЭЯ-1-Т, образец которой
имел состав: 18% Сг, 8% Ni, 1% Ti, остальное Fe. Найдено:
а = 1,54 • 10~2, Х=14,6 при /=15-н25°С.
М. П. Безпечный был исследован и ряд технических сталей из-
вестных марок, но без данных химического анализа; сообщаем и эти
цифры; они относятся к / = 15-г-25° С; каждая получена осреднением
результатов нескольких опытов:
Марка стали С-15 С-25 С-45 С-20
ЮОя 4,92 4,36 4,7 4,0
42,5 ±0,4 38,3 ± 0,6 40,5 ± 0,2 34,3 ± 0,3
384 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ [ГЛ. XXI (
Опыты с образцами из латуни и дюралюминия дали плохую схо-
димость (так, например, а колебалась от 0,13 до 0,14 и от 0,29
до 0,35).
Эти опыты имеют большое значение: ими впервые доказана полная
возможность применить методику регулярного режима к определению
температуропроводности сталей и металлов, температуропроводность
которых не превосходит 0,1 м?1час.
Опытами М. П. Безпечного была также установлена возможность
использования и для этих определений очень несложного оборудования;
разработанная М. П. Безпечным техника эксперимента также отли-
чается чрезвычайной простотой.
Методика для области низких температур может быть несколько
усовершенствована. Очередной же задачей является ее распростра-
нение на область высоких температур до 1000° С, в чем особенно
заинтересована наша машиностроительная и металлургическая про-
мышленность. Путь решения этой задачи предуказан исследованием
М. П. Безпечного.
ГЛАВА ХХШ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ЖИДКОСТЕЙ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
Задача измерения теплопроводности жидкостей связана с большими
экспериментальными трудностями и была решена удовлетворительно
только в начале текущего столетия, если не считать некоторых еди-
ничных удачных работ, например, работы Пекле с ртутью [58], от-
носящихся ко второй половине XIX столетия. До 1920 г. теплопро-
водность даже столь распространенной жидкости, как вода, была
исследована до такой степени неполно и неточно, что результаты
всех ее определений не могли служить основой даже грубых техни-
ческих расчетов.
Усовершенствование техники эксперимента на протяжении послед-
них ЗЭ—35 лет имело своим результатом накопление значительного
количества цифровых данных, точность которых в большинстве слу-
чаев удовлетворяет запросам техники, хотя и здесь расхождения
между цифрами, полученными различными исследователями, состав
вляют несколько процентов.
Обычно применяемые для этого методы (например, усовершен-
ствованный В. Л. Варгафтиком и Д. Л. Тимротом [59] метод Шлейер-
махера [60]), которые были предложены и не вполне успешно при-
менены еще в прошлом столетии, требуют умелого и тонкого экспери-
ментирования и точной довольно сложной измерительной аппаратуры,
что исключает возможность их широкого использования при исследо-
ваниях технических жидкостей. Теория регулярного режима позволяет
создать простые методы определения X жидкостей, доступные обыкно-
венным техническим лабораториям. С их помощью достигается та
же точность, которая осуществлена в обычных методах.
Эти новые методы можно построить различным образом. В 1945 г.
М. Ф. Казанский с успехом применил цилиндрический бикалориметр
[61]. Еще раньше (в 1935 г.) первые исследования по применению
методики регулярного режима к жидкостям были произведены А. В. Тар-
ховой, а в 1940—1941 гг. их продолжил М. П. Стаценко, исследо-
вавший более 30 сортов различных технических масел [57]. Наконец,
в 1948 г. Г. Н. Данилова воспользовалась той же,методикой для
изучения фреонов [62]. Эти экспериментаторы работали с шаровым
25 Зак. 750. Г. М. Кондратьев
38 (i
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ЖИДКОСТГ-.Й
[ГЛ. XXIII
бикалориметром. В настоящей главе мы ограничимся только этим
последним прибором и дадим краткое описание сущности метода,
который как бы уже подсказан теорией, изложенной нами ранее —
в гл. VI.
§ 1. Идея устройства шарового бикалориметра
для определения теплопроводности жидкостей.
Два варианта метода
Пусть мы имеем в распоряжении шаровой бикалориметр третьей
разновидности, описанный в § 3 гл. XXI, причем предположим, что
теплоизолятором, теплопроводность X или тепловое сопротивление
слоя Р которого мы хотим измерить, как раз и является исследуемая
жидкость. Чтобы избежать или по возможности ослабить влияние
конвекционных токов, слой жидкости II (рис. 39 и 40) выберем очень
тонким — не более 5 мм. Таким образом, мы получаем прибор, схема
которого такова: шар 1 (хотя бы и не сплошной), металлический,
теплоемкость которого С' и диаметр D' известны, жестко соединен
(но без тепловых мостиков) с жесткой же шаровой концентрической
оболочкой из металла с внутренней поверхностью S'; полость между
шаровыми поверхностями центрального шара S' и оболочки S запол-
нена исследуемой жидкостью, тонкий слой которой толщиной 8 со
всех сторон, таким образом, облегает центральное ядро I.
Подвергнув описанную систему регулярному охлаждению или на-
греванию в условиях (21.1) и применив к этому явлению теорию,
изложенную в гл. VI, § 6 и 8, и расчетные формулы § 1 гл. XXI, мы
получаем возможность определить искомую теплопроводность X, если
будем знать константы бикалориметра.
Выбирая диаметр ядра D' достаточно большим по сравнению с 8,
мы в нашем методе будем всегда иметь параметр k близким к единице,
порядка 0,8—0,9 и даже более. Знать точно удельную теплоемкость с
испытываемой жидкости при таком выборе параметров бикалориметра
не потребуется, ибо у нас критериальная величина Ж всегда будет
иметь большие значения и ошибка в ее оценке, проистекающая от
неточного знания с, не отразится существенно на результатах опре-
деления А, как это подробно объяснено в § 1 гл. XXI.
Определение X по методу шарового бикалориметра, как мы уже
ранее указывали в гл. XXI, можно осуществить в двух вариантах.
Во-первых, можно предварительно определить температуропровод-
ность исследуемой жидкости а, после чего X вычислится по формуле
(21.44), которую можно написать в виде:
8
а = -т;---------------- Фт,
где
(23.1)
§ 1] ИДЕЯ УСТРОЙСТВА ШАРОВОГО БИКАЛОРЙМЕТРЛ 38/’
Ввиду малости 8 член <7>(s) в знаменателе дроби в правой части
первого из уравнений (23.1) незначителен по сравнению с > 1,
а поэтому ошибка в определении а, от чего зависит величина
Ф^8 j/" у), будет мало отражаться на величине знамена- г
теля, который в первом приближении равен , так что
Х^8йФ/п. (23.2)
Приближенно определить температуропроводность
жидкости можно по первому методу регулярного ре-
жима; за акалориметр целесообразно взять маленькую
стеклянную шаровую колбочку с длинным и узким гор-
лом; ее диаметр -примерно 20—25 мм (рис. 132).
Если опыт с этим акалориметром производить при ма-
лой величине начальной разности температур и и t, то
конвекционные токи в колбочке будут мало интенсив-
ными и определение температуропроводности не будет
сопряжено со значительной ошибкой.
При таком варианте метода необходимо знать три
величины:
Рис. 132.
Стеклянная
колбочка —
простейший
акалориметр
для прибли-
женного
определения
температуро-
проводности
жидкостей.
их рационально выбрать за константы бикалориметра.
Во-вторых, можно воспользоваться критериальными
величинами Б и Ж и исходить из формул (21.10) и пр.
В этом варианте предполагается уже известной удель-
ная теплоемкость с жидкости. Зная ее и найдя С, как
произведение из веса жидкости на с, вычисляем
= (23.3)
причем, учитывая, что k близко к единице, можно считать проще
Ж^~, (23.4)
после чего определим и теплопроводность л:
Х = 8.^.т. (23.5)
Предварительно следует найти Б — по таблице, графику или по
формуле (21.7).
Во втором варианте константы прибора суть:
6, k, Ф, С или 1 +fe2 -С'^С.
ОК
25*
388 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛО ПРОВОДНОСТИ ЖИДКОСТЕЙ [ГЛ . ХХШ
Для определения с можно с удобством применить описанный
в гл. XVII микрокалориметр — цилиндрический или шаровой; но даже
и в этом часто нет необходимости: при подходящем выборе параме-
тров, характеризующих прибор, можно с оценить приближенно, ис-
ходя из табличных данных: это не отразится существенно на точно-
сти определения X.
Второй вариант имеет преимущество перед первым в двух отно-
шениях: во-первых, он более совершенен с точки зрения метрологи-
ческой, во-вторых, он основан на более общих закономерностях,
связывающих критериальные величины Б, Ж, k.
При /Л-^>2 формула (23.5) второго варианта может быть написана
еще и так [в силу (21.7)]:
X^8fe(l (23.6)
Из сравнения этого последнего уравнения с, аналогичным прибли-
женным уравнением (23.2) первого варианта видно, что в (23.6) учтено
влияние теплоемкости слоя жидкости; пренебрегая им, т. е. считая
Ж—> со, мы приходим к формуле (23.2).
§ 2. Металлический и стеклянный бикалориметры
Наиболее совершенным прибором является бикалориметр, внутрен-
нее массивное ядро которого изготовлено из металла с хорошо
известной удельной теплоемкостью. Мы пользовались медью и
латунью. Наружная оболочка изготовлена также из металла, лучше
всего нержавеющего (латуни, стали и т. д.).
Не входя в описание деталей конструкции, которая не отличается
сложностью и основные черты которой описаны выше (в гл. XXI, § 2),
укажем на хорошо разработанные Г. Н, Даниловой приборы, выдер-
живавшие давление до 8 ата [62].
Толщина слоя 8 жидкости должна быть по возможности мала;
в только что упомянутых бикалориметрах она равнялась 1,5—2 мм.
Воспользовавшись для оценки роли конвекции критерием Кирпичева Ki,
Г. Н. Данилова доказала, что при столь тонком слое и при малых
градиентах температуры в слое конвекцию можно считать исключен-
ной. Мы убедились из экспериментов, что в ряде случаев без ущерба
для точности можно повысить 8 до 5 мм.
Так как теплопроводность жидкостей не превосходит
0,5 ккал/м1час[град (причем наибольшую теплопроводность имеет
вода), то тепловое сопротивление наружной металлической оболочки
бикалориметра практически бесконечно мало по сравнению с сопро-
тивлением слоя испытываемой жидкости (мы исключаем из рассмот-
рения жидкие металлы вроде ртути, олова и пр.)—аналогично
тому, что мы имели в случае акалориметра (ср. § 12 гл. XIV).
Однако влиянием тепловых сопротивлений элементов конструкции
§ 2]
МЕТАЛЛИЧЕСКИЙ И СТЕКЛЯННЫЙ БИКАЛОРИМЕТРЫ
389
прибора уже нельзя будет пренебречь, если бикалориметр изготовить
из стекла, что показано схематически на рис. 133.
Стеклянный бикалориметр представляет собою подобие дыоаровской
колбы, имеющей узкое и длинное горло Е, которое снабжено двумя
отростками К и L, сообщающимися с полостью В, отделяющей внут-
ренний стеклянный сосуд J от наруж-
ного И.
Отростки служат для наполнения по-
лости В жидкостью, для ее просушивания
и соединения с вакуумным насосом. Роль
металлического ядра здесь играет ртуть А,
наливаемая во внутренний сосуд J. Тепло-
вые сопротивления стеклянных стенок со-
судов J и Н представляют собою величины,
сравнимые с тепловым сопротивлением Рж
слоя исследуемой жидкости, и их следует
принять во внимание. Расчетная формула
в этом случае примет уже иной вид. Чтобы
ее получить, прежде всего введем в рас-
смотрение тепловые сопротивления Рст—
стенки сосуда J и Р,т— стенки сосуда ?/;
тепловое сопротивление слоя жидкости
обозначим Рж.
Формулу (23.5), которой мы пользова-
лись в предыдущем безоговорочно, теперь
-Е
8 = +
Рис. 133. Стеклянный шаро-
вой бикалориметр для опре-
деления теплопроводности
жидкостей (в условиях
а = со).
напишем в виде:
р_ 5 .. 5
A №т
(23.7)
Выберем теперь 8 в 10 или более раз
меньше диаметра шара /; тогда предыду-
щая формула будет справедлива и в том случае, когда рассматривае-
мый слой сложный (ср. с теорией § 1 гл. VI). Применим ее к нашему
случаю. Здесь мы имеем трехсоставной слой:
1) слой стекла стенки сосуда J, толщину которой обозначим 8',
2) слой испытываемой жидкости, толщину которого обозначим Вж,
3) наконец, слой стекла стенки сосуда Н, толщину которого назовем 8".
Таким образом, мы имеем 8 = 8'-|-8"8Ж и
?ст
О'
Р — —
Х '-ж
Р" = —,
ст Ст
(23.8)
где Хет—теплопроводность стекла.
Сумму сопротивлений стеклянных стенок обозначим:
= - <23-9)
ст
390 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ЖИДКОСТЕЙ [ГЛ. ХХН1
Тогда формула (23.7) приводит к следующему выражению для
а = - е- ----. (23.10)
—-----Р
йФ/n ст
Этим способом мы и учитываем эффект стенок бикалориметра.
„ , D'
Под к попрежнему следует понимать отношение диаметров ;
D' — внутренний диаметр внутренней колбы (т. е. диаметр ртутного
шара), D — наружный диаметр наружной стеклянной колбы (рис. 133>.
К прежним константам бикалориметра добавляется новая Рот, кото-,
рая также должна быть предварительно определена.
§ 3. Калибровка стеклянного бикалориметра
Хотя этот калориметр, целиком состоящий из одного материала,
исключительно прост, его калибровка отличается особенностями и
поэтому послужит здесь предметом отдельного рассмотрения; в целях
придания нашему изложению большей конкретности, мы рассмотрим
калибровку одного из применявшихся нами в (1946 г.) бикалориметров.
Главную трудность представляет определение величины 8Ж, имею-
щей основное значение в данном методе: от точности ее определения
и зависит преимущественно точность определения X, как это видно
из расчетной формулы (23.10). Заметим, что вследствие неизбежного
отклонения формы обеих шаровых колб от строго шарсвой,
под 8Ж в (23.10) следует понимать среднюю толщину слоя жидкости.
Само собою понятно, что то же замечание относится и к остальным
величинам 6', 8", D' и D.
Величину D' определяем объемным методом, D — прямым обме-
ром, С— из взвешивания ртути. Так, для нашего бикалориметра № 1
получилось: /У = 4,76 см; 3 = 5,50 см; С' = 25,46 кал}град (при-
нимая для ртути с' = 0,033 кал[час1град при 20° С). Отсюда
k = 0,865.
Заметим, что ошибки в измерении D' и D не будут заметно отра-
жаться на k, вызывая колебания этой величины порядка 1%.
Зная D’, находим S' = 71,2 см? (пренебрегая небольшим эффек-
том горла), а отсюда и Ф=3,57 ккал/м2/град.
Далее необходимо определить сумму тепловых сопротивлений Рот.
Точно это сделать довольно трудно, однако ошибка в определении Рст
не очень ощущительно сказывается на результате, потому что Рет
невелико по сравнению с первым членом Б[1гФт в знаменателе дроби
расчетной формулы (23.10). Обмеры некоторых аналогичных колб
дали нам для 87 и 8" числа порядка 0,5—0,6 мм; поэтому примем
8' -ф- 8" да 1,1 мм. Теплопроводность стекол, обычно применяемых для
стеклодувных работ, — порядка 0,6 ккал[м1час1град. Отсюда
р _ 1 о . 10-3 ' час' гРад
ккал
§ 3] КАЛИБРОВКА СТЕКЛЯННОГО БИКАЛОРИМЕТРА 391
Измерить ож мы не могли прямым путем из-за отсутствия необ-
ходимых оптических приспособлений; да и при их наличии вряд ли
получили бы хороший результат. Поэтому мы прибегли к методу
калибровки посредством нормальной жидкости, т. е. такой, тепло-
проводность которой известна с достаточной точностью и не под-
вергается сильным вариациям.
Зная С', k (см. выше) и С, вычисляем по (23.3) параметр Ж,
а затем по графику или по формуле (21.7) параметр Б, являющийся
функцией Ж и k. После этого обращаемся к уравнению (23,10); оно
даст нам искомую среднюю толщину 8Ж.
Такой метод осреднения 8Ж, очевидно, наиболее совершенен.
Мы не располагали никакой достаточно надежной жидкостью,
кроме воды, и были вынуждены остановиться на ней, хотя это и было
невыгодно по причине большой теплоемкости и теплопроводности
воды, близкой к теплопроводности самих стеклянных стенок бикало-
риметра. Вода была дестиллирована и хорошо прокипячена, что позволяло
считать ее в достаточной мере обезгаженной. Опыт мы вели в водя-
ной, энергично перемешиваемой ванне при / = /к~20°С. При этой
температуре с точностью до 2—3% лпод = 0,5 ккал[м[час!град.
Опыт дал «2=33,3 часЖ
Оценим С. Теплоемкость С слагается из теплоемкости воды и
теплоемкости двух стеклянных шаровых стенок:
С = Свод -|- Сет.
Вес налитой в бикалориметр воды равен 18,1 г; Свод =
= 18,1 кал!град. Теплоемкость стекла оцениваем как произведение
из его объема на его объемную теплоемкость, каковую можно принять
равной 0,494. Объем стекла равен SCT (S' -ф- 8") = 8,25 еж3; отсюда
получается <?ст = 4,1 кал/град. Следовательно, С ^22,2 кал)град.
Выше мы нашли С' = 25,5 кал/град. Приняв во внимание еще
k = 0,865, находим по (23.3) _/А'‘=1,15. Отсюда по графику рис. 45
5 = 0,8 с точностью до 1%. Согласно формуле (23.10), подставляя
в нее 5=0,8, т== 33,3, Р,.т = 1,8. 10*8, АФ=3,09, получаем:
8Ж = 2,75 10~8ж = 2,75 мм.
В итоге найдены все константы бикалориметра № 1:
1 + * + *2 = 1,006; йФ = 3,09; 8Ж = 2,75 • Ю"3;
ЗА
Рст = 1,8 • 10-3 (при наполнении ртутью).
Примечание. Располагая двумя нормальными жидкостями с резко
различающимися теплопроводностями, наполняя ими бикалориметр поочередно
и произведя два опыта, получим два различных W] и н соответственно
этому два уравнения (23.10) с двумя неизвестными Рет и ож, откуда эти
неизвестные и будут найдены. Однако такой более сложный способ опреде-
ления этих констант калориметра вряд ли оправдывается необходимостью:
в силу несовершенства формы стеклянный бикалориметр не может претен-
довать на ту же степень точности, как металлический. Точность наших опы-
тов с вышеописанным бикалориметром — порядка 7%.
392
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ЖИДКОСТЕЙ
[гл. ххш
§ 4. Пример
В качестве иллюстрации приведем описание одного из опытов,
выполненных с упомянутым выше бикалориметром № 1. Наполнен-
ный некоторой жидкостью X бикалориметр был предварительно либо
нагрет, либо охлажден на несколько градусов выше или ниже тем-
пературы ^=20°С водяного термостата; наблюдения его регулярного
режима в этих условиях дали следующие значения т (в час-1'.
13,06; 13,42; 13,24. За расчетное мы взяли арифметическое среднее:
т = 13,24 час-1.
Согласно теории метода надлежит определить Ж и Б, для чего
необходимо знать (с грубым приближением порядка 20—30%) удель-
ную теплоемкость с жидкости X. Такое грубое определение мы
произвели следующим образом. Применяем формулу (23.10), прене-
брегая в ней теплоемкостью жидкости С по сравнению с теплоемко-
му
стью ядра С, т. е. считаем > оо, или Ж—> оо. Тогда Б = 1 и
формула (23.10) обращается в следующую: 1 = йф -j-РС1^ • як
Из нее, подставив сюда величину констант калориметра, находим
первое приближенное значение Aj теплопроводности жидкости:
>4 = 0,122, явно заниженное, так как Б^=1, как мы предположили,
а Б< 1.
Чтобы найти приближенно с, сперва определяем температуропро-
водность а жидкости, пользуясь упомянутым в § 1 этой главы
маленьким стеклянным акалориметром. Тогда, зная ее плотность у,
наряду с а, находим приближенное значение с1 удельной теплоемкости
по формуле Cj — —. Опыт дал: а = 4,1-10-4; f = 920; отсюда
с1 = 0,325.
Исходя из найденного значения удельной теплоемкости, вычислим
параметр Б точнее. Начинаем с С. Вес жидкости в нашем опыте
был 15,85 г. Поэтому С= Сжидк-|-Сст 9,33 кал[град. Согласно
(23.3), имеем /5=2,7, а отсюда по (21.7) 5 = 0,9.
После этого находим уже окончательную величину X: фор-
мула (23.10) дает Х = 0,136, или с округлением Х = 0,14.
Приведенный пример поучителен в том отношении, что он наглядно
показывает крайнюю простоту эксперимента, когда наблюдатель
располагает прокалибрированным калориметром. Опыт с бикалориметром
отнимает 10—20 мин. Столько же, или еще меньше, времени зани-
мает опыт с акалориметром, для которого используется тот же термо-
стат, что и для бикалориметра. Впрочем, этого опыта можно избе-
жать, оценивая температуропроводность а жидкости на глаз: эта
константа колеблется в нешироких пределах — от 3 • 10-4 до
5 • 10~4 мХчас у большинства жидкостей, достигая наибольшей вели-
чины для воды. Для измерения температурной разности и — (=0
§ 5] измерения Теплопроводности технических Жидкостей 393
можно даже воспользоваться только ртутными стеклянными термомет-
рами, ведя опыт по схеме § 2 гл. X. Термометр, погруженный внутрь
ртути, налитой во внутреннюю колбу, измеряет ее температуру с хо-
рошей точностью, а его тепловая инерция совсем ничтожна (в этих
условиях) и на точности измерений нисколько не отражается.
§ 5. Результаты некоторых измерений теплопроводности
технических жидкостей по методу шарового
бикалориметра
Первые исследования технических жидкостей и вязких веществ
по данному методу были произведены в 1935 г. А. В. Тарховой [57]).
Приводим в табл. 33 результаты некоторых ее опытов (нами выбраны
резко отличающиеся между собою по физическим свойствам вещества).
Таблица 33
Жидкость Плотность, кг/мВ 9 Теплопровод- ность, ккал1м1час!град Темпера- тура, °C
Сурепное масло 910 0,136 0,139 4-20° 0°
Тяжелое цилиндровое масло 898 0,106 0,097 4-20° 0°
Парафинистый мазут марки Г 878 0,108 10°
Патока 8О°/о 1425 0,26 20°
В 1940—1941 гг. М. П. Стаценко воспользовался тем же мето-
дом при испытаниях на теплопроводность свыше 30 сортов техни-
ческих масел [57].
Оба названные исследователя производили опыты с шаровым
би калориметром, внутреннее сплошное ядро которого (из меди)
имело диаметр D' = 50 мм\ толщина слоя жидкости была равна 5 мм.
Был использован первый вариант метода, описанный в § 1 этой
главы, так что расчетной формулой служила формула (23.1).
В 1948 г. второй вариант метода, для низких температур — вплоть
до минус 30°, был экспериментально разработан Г. Н. Даниловой при
исследованиях отечественных фреонов. Построенные ею бикалориметры
имели внутреннее медное ядро диаметром 50 мм при толщине слоя
жидкости 1,5—2 мм, как уже упоминалось в § 2. Детали конструк-
ции приборов описаны в статье Г. Н. Даниловой [62].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Широкие практические применения теория регулярного режима
получила за последние годы. С ее помощью были исследованы явле-
ния охлаждения и разогрева паровых турбин различной мощности —
вплоть до 100 000 кет [63|, проведены важные для практики тепло-
вые расчеты промышленных объектов; она применяется и в приборо-
строении, например, при исследовании тепловых режимов полупро-
водниковых термочувствительных сопротивлений, так называемых
термисторов, размеры которых порядка 1 мм; скоростные методы
определения тепловых свойств технических теплоизоляционных и строи-
тельных материалов, основанные на теории регулярного режима [42],
вошли в практику многих лабораторий и научно-исследовательских
институтов Советского Союза.
Однако не все возможности практических приложений теории
исчерпаны, не все возникающие в связи с ней теоретические и экспе-
риментальные задачи разрешены. Укажем некоторые из них и оста-
новимся на перспективах дальнейшего развития и обобщения теории.
1. До сих пор при определении тепловых коэффициентов А, а, с
технических материалов по методам регулярного режима эксперимен-
тируют, за редкими исключениями [67], с образцами малых разме-
ров— порядка нескольких сантиметров, тогда как строители в данный
момент выдвигают требование о создании простых и удобных методов
тепловых испытаний крупных образцов. Пути решения этой задачи
намечаются теорией регулярного охлаждения двухсоставных и полых
тел (гл. IV и VI).
2. Удачный опыт применения методов регулярного режима к ме-
таллам (см. гл. XXII) является только первым шагом в разработке
новых методов определения тепловых свойств металлов и веществ,
близких к ним по тепловым свойствам. Необходимо продолжить раз-
работку методики, охватив широкий диапазон температур как низких
(до минус 150—180°), так, в особенности, и высоких (до плюс
1000—1200° С), учитывая, что точное значение температуропровод-
ности необходимо при решении проблемы термической стойкости.
3. Следует заметить, что и в применении к диэлектрикам методы
регулярного режима до сих пор еще недостаточно разработаны экспе-
риментально для области высоких и для области низких температур;
отсутствуют окончательно установившиеся типы аппаратуры, не до
Заключение
39S
конца разработана техника эксперимента. Более того: существующие
конструкции приборов, применяемых в области средних температур,
также требуют доработки, хотя некоторые из них уже стали почти
стандартными.
Задачей ближайшего времени является проведение вытекающих
отсюда экспериментальных и, быть может, некоторых теоретических
исследований.
4. Современная теория теплопроводности целиком основана на
упрощенном предположении, что коэффициент теплоотдачи а не за-
висит от координат xg, ys, zs [2, 3, 4]. В общей теории (гл. I и V)
мы исходили из более общего предположения, считая а их функцией,
однако, прилагая теорию к частным случаям тел простой формы
(гл. II, III, IV, VI), мы основывались на том же упрощенном пред-
положении, т. е. оперировали с осредненным по всей поверхности S
коэффициентом теплоотдачи а.
Это последнее предположение в ряде случаев не вполне точно
описывает физическую картину явления, и поэтому представляет боль-
шой практический интерес решение этих частных задач в предположе-
нии, что а имеет различную величину в различных частях поверх-
ности S, хотя бы и не зависящую от xg, у в пределах этой
части. Примером может служить теплоотдача вертикально подвешен-
ного цилиндра, свободно охлаждающегося в спокойном воздухе. Здесь а
имеет три заметно между собою отличающихся значения: на верх-
нем, на нижнем торце и на боковой цилиндрической поверхности;
однако локальные значения коэффициента теплоотдачи на каждой из
этих трех поверхностей практически одинаковы. Такого рода коэф-
фициенты теплоотдачи, численно характеризующие теплоотдачу от-
дельного, имеющего конечные размеры, куска общей поверхности S,
мы называем раздельными коэффициентами теплоотдачи, в отличие
от a (xg, ys, Zg) — локального или местного коэффициента тепло-
отдачи. Только при помощи локальных или раздельных а точно опи-
сывается физическая сторона процессов теплоотдачи; однако труд-
ности математического характера заставляют вводить среднее а.
Задачей ближайших исследований является построение теории
регулярного режима некоторых тел простой формы, в которой были бы
учтены раздельные коэффициенты теплоотдачи, и приложение этой
теории к их определению. Некоторые шаги в решении этой задачи
уже сделаны. В 1951—1952 гг. А. И. Лазарев и Е. С. Платунов,
пользуясь обобщенными формулами, дали метод экспериментального
определения раздельных коэффициентов теплоотдачи пластинки и ци-
линдра в условиях естественной конвекции [64]. Этим открывается
перспектива более широкого применения альфакалориметра регуляр-
ного режима.
5. Точно так же введенные в гл. IV новые обобщенные критери-
альные величины $ и т] открывают переспективы создания новых
зАкл1очёййё
методов определения средних коэффициентов теплоотдачи объектов
сложной конфигурации, например частей двигателей, деталей при-
боров и т. п. (до сих пор экспериментаторы ограничивались объек-
тами простых очертаний).
6. Теория регулярного режима в том виде, как она изложена
в данной монографии, не позволяет определить зависимость коэффи-
циента теплоотдачи а от разности температур тела и среды. Возни-
кает вопрос о том, не является ли, все же, возможным, путем видо-
изменения метода альфакалориметра регулярного охлаждения дать
методику определения этой зависимости а — а (Дг). Исследования
Г. Н. Дульнева и Э. М. Семяшкина [64] показали, что в некоторых
случаях решение поставленного вопроса представляется возможным.
Задачей дальнейших исследований является расширение разработанной
ими методики.
7. Практика выдвигает ряд требований к дополнению теории но-
выми математическими исследованиями; укажем некоторые из них:
а) необходимо упростить крайне громоздкие формулы для цилин-
дрического бикалориметра, введя критериальные величины, аналогич-
ные Б, Ж, П, которые были нами введены для шарового и плоского
бикалориметров (гл. VI, § 8 и 9);
б) следует решить, хотя бы приближенно, более общую задачу
о построении расчетных формул для бикалориметров, имеющих ядро
любой формы и оболочку равномерной толщины. Решение этой задачи
следует искать в виде зависимости между критериальными величинами;
в) интересно исследовать свойства функций Фиф, рассматривая
их как функции р, для тела любой формы, в частности установить,
имеются ли у них точки перегиба. Интересен вопрос о предельных
кривых для Ф (;) (гл. IV, § 4);
г) следует теоретически рассмотреть искажение температурного
поля образца испытываемого материала, вызываемое наличием ввод-
ной трубки для некоторых простейших типов акалориметров и бика-
лориметров. Этот вопрос был нами исследован только эксперимен-
тально.
Переходим к обобщению теории регулярного режима, которое нами
намечается в двух направлениях. Можно обобщить понятие о регу-
лярном тепловом режиме системы, а именно, назвать режим пра-
вильным или регулярным в том случае, когда этот тепловой
режии может быть математически описан простым законом
изменения температурного поля системы со временем х, и при-
том законом, общим для всех точек системы.
Это только тогда возможно, когда и температура <£ внешней
среды Е изменяется по простому закону (а считаем независящим от
времени).
Сообразно трем типичным законам изменения мы различаем
регулярные режимы трех родов. Первый, рассмотренный в данной
монографии, соответствует простейшему предположению (к = const;
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
397
второй— предположению = const = b\ третий — предположению,
что tE простейшая периодическая функция времени: /£ = Лсоэ/гт.
Не только для простого однородного тела, но и для системы, как
угодно составленной из простых тел, во всех вышеупомянутых слу-
чаях по истечении достаточного времени от начала, каково бы ни
было начальное состояние системы, наступает регулярный режим. При-
знаки регуляризации режима следующие.
Для регулярного режима первого рода — изменение температуры
и в какой-либо точке системы происходит по экспоненте, одина-
ковой для всех точек'.
u — t„—AUe~mx,
Л/
причем U — функция х, у, z — удовлетворяет уравнению в частных
производных:
U=Q,
где т — постоянное > 0.
Для регулярного режима второго рода признак регуляризации
состоит в том, что скорость изменения температуры и является
величиной постоянной, обш,ей для всех точек системы и равной
скорости изменения Ь температуры внешней среды'.
ди dtE , .
17=^ = ^ т- е' « =
где W = W (х, у, z) удовлетворяет уравнению в частных производных:
а
В третьем случае — осциллирующего закона изменения темпе-
ратуры внешней среды — регулярность режима выражается в том,
что температура и любой точки системы колеблется около
среднего значения с тем же периодом колебаний, как и темпера-
тура окружающей среды, т. е. с периодом, одинаковым для всех
точек системы'.
и= V sin (kt) W cos (kt),
где V и W — функции координат, удовлетворяющие уравнениям
в частных производных:
V2(V2V) + -§" V=0, U7= — jV2V.
Регулярный режим второго рода однородных тел простейшей формы
довольно давно стал предметом теоретических исследований [2, 3] и
получил некоторые практические приложения в работах проф. А. В. Лы-
кова и его учеников [39]. Термин „регулярный режим второго рода“
был предложен в 1933 г, Г. П, Иванцовым [65],
398
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Общая формулировка законов регуляризации для всех трех родов
регулярного режима, охватывающая тела любой формы и 'состава,
т. е. системы, здесь нами дается впервые.
Задачей ближайших исследований является обоснование этого обоб-
щения для случаев регулярного режима второго и третьего рода и
приложение новой теории к решению практических задач.
Изложенная в монографии теория относится к случаю „простого"
нагревания или охлаждения (см. § 1 гл. I), когда, следовательно,
предельное состояние системы, соответствующее т —* оо, есть состоя-
ние теплового равновесия. Нами произведено обобщение теории на
случай неравновесного предельного состояния, когда при т —> оо
поле температур системы неравномерное, так что температура любой
ее точки в предельном состоянии, которую мы обозначим t, является
функцией координат:
t= Нши(х, у, z, т) = /(х, у, г).
"С->СО
В системе могут быть дискретные или объемные источники тепла
постоянной мощности; условия на поверхностях, ограничивающих
систему, т. е. температуры внешних сред, с ней соприкасающихся,
и коэффициенты теплоотдачи также предполагаются постоянными,
В этом, весьма общем, случае, каковы бы ни были начальное и конеч-
ное состояния системы, переход от одного состояния к дру-
гому также подчиняется закону регуляризации, выражающемуся
в том, что устремление а к t происходит, по истечении доста-
точного времени, по экспоненте-.
t — zzpcr = В = AUe~m\
Некоторые подробности относительно этого обобщения даны в ра-
боте О. А. Сергеева, где описаны опыты, поставленные с целью
экспериментальной проверки обобщенной теории [64].
Можно ожидать, что она также найдет практические приложения,
в частности к решению некоторых задач из области приборостроения.
Таким образом, теория регулярного режима первого рода является
отправным пунктом дальнейших исследований. Ее основные положе-
ния распространяются на обширный класс тепловых явлений и очень
большое число систем. Эти положения и следствия из них установлены
не только математическим путем, но и подтверждаются огромным коли-
чеством экспериментальных данных; поэтому мы вправе рассматри-
вать их как обобщение опыта. Именно эта тесная связь теории
с практикой и является главным достоинством теории регулярного
режима,
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица I
Функция £ = F(p) = ptgp (пластинка)
р Нр) Р .1 F(p) Р F(p) Р Р(Р)
0,00 0 0,40 0,16912 0,80 0,8237 1,20 3,087
0,01 0,040000' 0,41 0,1782 0,81 0,8509 1,21 3,207
0,02 0,034001 0,42 0,1876 0,82 0,8788 1,22 3,334
0,03 0,039003 0.43 0,1972 0,83 0,9075 1,23 3,468
0,04 0,0=16009 0,44 0,2071 0,84 0,9371 1,24 3,611
0,05 0,022302 0,45 0,2174 0,85 0,9676 1,25 3,762
0,06 0,0=3604 0,46 0,2279 0,86 0,9989 1,26 3,923
0,07 0,0=4908 0,47 0,2387 0,87 1,0312 1,27 4,094
0,08 0,0=6414 0,48 0,2499 0,88 1,0645 1,28 4,277
0,09 0,0-8122 0,49 0,2614 0,89 1,0988 1,29 4,473
0,10 0,010033 050 02732 0,90 1,1341 1,30 4,683
0,11 0,012149 0,51 0,2853 0,91 1,1706 1,31 4,909
0,12 0,014470 0,52 0,2977 0,92 1,2082 1,32 5,152
0,13 0,016996 0,53 0,3105 0,93 1,2470 1,33 5,416
0,14 0,01973 0,54 0,3237 0,94 1,2871 1,34 5,703
0,15 0,02267 0 55 0,3372 0,95 1,3285 1,35 6,015
0,16 0,02582 0,56 0,3511 0,96 1,3712 136 6,356
0,17 0,02918 0,57 0,3654 0,97 1,4154 1,37 6,731
0,18 0,03275 0,58 0,3800 0,98 1,4611 1,38 7,145
0,19 0,03654 0,59 0,3950 0,99 1,5084 1,39 7,604
0,20 0,04054 0,60 0,4105 1,00 1,5574 ! 1,40 8,117
0,21 0,04476 0,61 0,4263 1,01 1,6081 1,41 8,693
0,22 0,04920 0,62 0,4426 1,02 1,6607 1,42 9,345
0,23 0,05385 0,63 0,4593 1,03 1,7152 1,43 10,089
0,24 0,05873 0,64 0,4765 1,04 1,7718 1,44 10,947
0,25 0,06384 0,65 0,4941 1,05 1,8305 1,45 11,945
0,26 0,06917 0,66 0,5122 1,06 1,891 1,46 13,123
0,27 0,07473 0,67 0,5308 1,07 1,955 1,47 14,534
0 28 0,08051 0,68 0,5499 1,08 2,021 1,48 16,255
0,29 0,08654 0,69 0,5695 1,09 2,090 1,49 18,40
0,30 0 09280 0,70 0,5896 1,10 2,161 1,50 21,15
0,31 0,09930 0,71 0,6103 1,11 2,236 1,51 24,81
0,32 0,10604 0,72 0,6315 1,12 2,314 1,52 2990
0,33 0,11303 0,73 06533 1,13 2,395 1,53 37,48
0,34 0,12027 0,74 0,6757 1,14 2,481 1,54 49,99
0,35 0,12776 0,75 0,6987 1,15 2,570 1,55 74,52
0,36 0,13550 0,76 0,7223 1,16 2,663 1,56 144,49
0,37 0,14351 0,77 0,7466 1,17 2,761 1,57 1971,55
0,38 0,15178 0,78 0,7716 1,18 2,864 ТС
0,39 0,16031 0,79 0,7973 1,19 2,973 2" ОО
400
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица II
Функция (цилиндр)
•'О \Р)
р Лр) Р /(р) !i /(р)
/(р) Р
0,00 0,00000 0,25 0,03149 0,50 0,12908 1,50 1,63501
0,01 0,00005 0,26 0,03408 0,55 0,15725 1,55 1,80822
0,02 0,00020 0,27 0,08679 0,60 0,18861 1,60 2,00228
0,03 0,00045 0,28 0,03958 0,65 0,22323 1 65 2,22023
0,04 0,00080 0,29 0,04250 0,70 0,26134 1,70 2,46799
0,05 0,00125 0,30 0,04551 0,75 0,30305 1,75 2,75168
0,06 0,00180 0,31 0,04862 0,80 0,34858 1,80 3,07852
0,07 0,00245 0,32 0,05187 0,85 0,39839 1,85 3,46198
0,08 0,00320 0,33 0,05521 0,90 0,45239 1,90 3,91867
0,09 0,00405 0,34 0,05866 0,95 0,51122 1,95 4,48926
0,10 0,00501 0,35 0,06195 1,00 0,57514 2,00 5,14694
0,11 0,00606 036 0,06585 1,05 0 94445 1 2 0Ъ 6 02076
0,12 0,00721 0,37 0,06966 1,10 0,71983 2,10 7,16326
0,13 0,00847 0,38 0,07354 1,15 0,80171 2,15 8,74613
0,14 0,00982 039 0,07753 1,20 0,89101 2,2 11,07971
0,1.5 0,01128 0,40 0,08163 1,25 0,98816 2,4 497,5
0,16 0,01284 0,41 0,08586 1,30 1,09433 1 Xj =
0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,01450 0,01626 0,01814 0,02010 0,02217 0,02434 0,02662 0,02900 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,09020 0,09467 । 0,09943 1 0,10378 0,10870 0,11364 0,11867 0,12379 1,35 1,40 1,45 1,21085 1 1,33826 । 1,47929 = 2,4048 ,.. сп
ПРИЛОЖЕНИЕ
401
Таблица Ш
Функция £ = Ф(р) = 1—pctgp (шар)
р Ф (р) Р Ф(р) Р ф(р) Р ф(р)
0,0 0,00000 1,40 0,75854 1,90 1,6491 2,40 3,6201
0,1 0,00333 1,42 0,78425 1,92 1,6991 2,42 3,7503
0,2 0,01336 1,44 0,81058 1,94 1,7507 2,44 3,8875
0,3 0,03018 1,46 0,82400 1,96 1,8038 2,46 4,0322
0,4 0,05390 1,48 0,86525 ,! 1,98 1,8587 2,48 4,1850
0,5 0,08480 1,50 0,89364 2,00 1,9153 2,50 4,3566
0,6 0,12300 1,52 0,92274 2.02 1,9738 2,52 4,5180
0,7 0,16394 1,54 0,95257 2,04 2,0342 2,54 4,7000
0,8 0,22310 1,56 0,98317 2,06 2.0970 2,56 4.8938
0,9 0,28581 1,58 1,01445 2,08 2,1613 2,58 5,1006
1,00 0,35791 1,60 1,0467 2,10 2,2282 2,60 5,3218
1,02 0,37352 1,62 1,0798 2,12 2,2975 2,62 5,5591
1,04 0,38954 1,64 1,1137 2,14 2,3693 2,64 5,8143
1,06 0,40597 1,66 1,1485 2.16 2,4437 2,66 6,0895
1,08 0,42284 1,68 1,1842 2,18 2,5210 2,68 6,3877
1,10 0,44013 1,70 1 2209 2 20 26014 2,70 6,7115
1,12 0,45789 1,72 1,2586 2,22 2,6849 2,72 7,0649
1,14 0,47608 1,74 1,2973 2,24 2,7718 2,74 7,4521
1,16 0,49474 1,76 1,3370 2,26 2,8622 2,76 7,8783
1,18 0,51386 1,78 1,3679 2,28 2,9566 2,78 8,3502
1,20 0.53348 1,80 1,4199 2,30 3,0550 2,80 8,8756
1,22 0,55354 1,82 1,4632 2,32 3,1578 2,90 12,76
1,24 0,57417 1,84 1,5077 2,34 3,2654 3,00 22,07
1,26 0,59529 1,86 1,5534 2,36 3,3780 03
1,28 0,61692 1,88 1,6006 | 2,38 3,4962
1,30 0,63911
132 0,66183 1
134 0,68513
1,36 0,70899
1,38 0,73347 I
2() Зак. 7Q0. Г. М« Кондрату
402
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица IV
Функция W (р) для пластинки
р ЦТ Р ф- 1 Р Р
0.02 1,000 0,42 0,940 0,82 0,764 1,22 0,446
0,04 1,000 0,44 0,936 0,84 0,755 - 1,24 0,428
0,06 0,999 0,46 0,932 0,86 0,740 1,26 0,406
0,08 0,998 0,48 0,922 0,88 0,732 1,28 0,384
0,10 0,996 0,50 0,915 0,90 0,714 1,30 0,361
0,12 0,994 0,52 0,908 0,92 0,700 1,32 0,338
0,14 0,992 0,54 0,900 0,94 0,686 1,34 0.315
0,16 0,990 0,56 0,893 0,96 0,672 1,36 0,291
0,18 0,988 0,58 0,885 0,98 0,658 1,38 0,267
0,20 0,987 0,60 0,877 1,00 0,642 1,40 0,242
0,22 0,980 0,62 0,868 1,02 0,628 1,42 0,216
0,24 0,977 0,64 0,860 1,04 0,612 1,44 0,189
0,26 0,976 0,66 0,850 1,06 0,594 1,46 0,176
0,28 0,974 0,68 0,841 1,08 0,578 1,48 0,135
0,30 0,970 0,70 0,830 1,10 0,560 1,50 0,106
0,32 0,966 0,72 0,820 1,12 0,540 1,52 0,077
0,34 0.960 0,74 0,810 1,14 0,522 1,54 0,041
0,36 0,956 0,76 0,798 1,16 0,504 1,56 0,017
0,38 0,952 0,78 0,788 1,18 0,484 ТС 0,000
0,40 0,946 0,80 0,776 1,20 0,468
ПРИЛОЖЕНИЕ
403
Таблица V
Функция ЧТ (р) для цилиндра
р Ф Р ’Г Ч' Р Т
0,02 1,000 0,62 0.951 1,22 0,800 1,82 0,514
0,04 1,000 0,64 0.948 1,24 0,792 1,84 0,500
0,06 1,000 0,66 0,945 1,26 0,786 1,86 0,486
0,08 1,000 0,68 0,942 1,28 0,780 1,88 0,474
0,10 0,999 0,70 0,939 1,30 0,772 1,90 0,460
0,12 0,998 0,72 0,936 1.32 0,764 1.92 0,448
0,14 0,998 0,74 0.932 1,34 0.756 1,94 0,432
0,16 0,997 0,76 0,928 1,36 0,748 1,96 0,418
0,18 0,997 0,78 0,924 1,38 0,740 1,98 0,404
0,20 0,997 0,80 0,920 1,40 0,732 20 0388
0,22 0,994 0,82 0.916 1,42 0,722 2,02 0,376
0,24 0,992 0,84 0,912 1,44 0,712 2,04 0,358
0,26 0,991 0,86 0,908 1,46 0,704 2,06 0,340
0,28 0,990 0,88 0,904 1,48 0,696 2,08 0,318
0,30 0,989 0,90 0,899 1.50 0,688 2,10 0,308
0,32 0,987 0,92 0,894 1.52 0,678 2,12 0,292
0,34 0,985 0,94 0,889 1,54 0.668 2,14 0,274
0,36 0,983 0.96 0,884 1,56 0,660 2,16 0,256
0,40 0,979 0,98 0,879 1,58 0,650 2,18 0,236
1,00 0,874 1,60 0,640 2,20 0,218
0,42 0,977 1,02 0,867 1,62 0,630 2,22 0,198
0,44 0,975 1,04 0,860 1,64 0,620 2,24 0,180
0,46 0,973 1,06 0,856 1,66 0,608 2,26 0,160
0,48 0,971 1,08 0,847 1,68 0,596 2.28 0,140
0,50 0,969 1,10 0,840 1,70 0,586 2,30 0,120
0,52 0,966 1,12 0,835 1,72 0,574 2,32 0.100
0,54 0,963 1,14 0,828 1,74 0,562 2,34 0,076
0,56 0,960 1,16 0,822 1,76 0,552 2.36 0,052
0,58 0,957 1,18 0,815 1,78 0,540 2,38 0,028
0,60 0,954 1,20 0,808 1,80 0,528 2,40 0,000
25*
404
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица VI
Функция *F(p) для шара
р Ф Р Ф Р Ф Р ф
0,02 1,000 0,72 0,964 1,42 0,856 2,12 0,652
0,04 1,000 0,74 0,962 1,44 0,852 2,14 0,644
0,06 1,000 0,76 0,960 1,46 0,848 2,16 0,636
0,08 1,000 0,78 0,958 1,48 0,844 2,18 0.628
0,10 1,000 0,80 0,956 1,50 0,840 2,20 0,620
0,12 0,999 0,82 0,954 1,52 0,835 2.22 0,612
0,14 0,999 0,84 0,952 1,54 0,830 2,24 0,604
0,16 0,999 0,86 0,950 1,56 0,825 2,26 0,596
0,18 0,999 0,89 0,948 1,58 0,820 2,28 0,585
0,20 0,999 0,90 0,946 1,60 0,815 2,30 0,576
0,22 0,999 0,92 0,943 1,62 0,810 2,32 0,568
0,24 0,998 0,94 0,940 1,64 0,805 2,34 0,560
0,26 0,997 0,96 0.937 1,66 0,799 2,36 0,551
0,28 0,996 0.98 0,934 1,68 0,793 2,38 0,540
0,30 0,995 1,00 0,931 1,70 0,789 2,40 0,530
0,32 0,994 1,02 0,928 1,72 0,782 2,42 0,520
0,34 0,993 1,04 0,924 1,74 0,776 2,44 0,510
0,36 0,992 1,06 0,921 1,76 0,770 2,46 0,500
0,38 0,991 1,08 0,918 1,78 0,764 2,48 0,490
0,40 0,990 1,10 0,914 1,80 0,758 2,50 0,478
0,42 0,989 1,12 0,910 1,82 0,752 2,52 0,465
0,44 0,988 1,14 0,906 1,84 0,748 2,54 0,448
0,46 0,987 1,16 0,903 1,86 0,742 2,56 0,442
0,48 0,986 1,18 0,900 1,88 0,736 2,58 0,432
0,50 0,985 1,20 0,896 1,90 0,730 2,60 0,420
0,52 0,983 1,22 0,893 1,92 0,724 2,62 0,410
0,54 0,980 1,24 0,891 1,94 0,718 2,64 0,398
0,56 0,978 1,26 0,888 1,96 0,712 2,66 0,385
0,58 0,976 1,28 0,884 1,98 0,706 2,68 0,372
0,60 0,974 1,30 0,880 2,00 0,700 2,70 0,360
0,62 0,972 1,32 0,876 2,02 0,694 7t 0,000
0,64 0,970 1,34 0,872 2,04 0,688
0,66 0,968 1,36 0,868 2,06 0,676
0,68 0,967 1,38 0,864 2,08 0,668
0,70 0,965 1,40 0,860 2,10 0,660
НРйЛбЖЬййЁ
405
Таблица VII
Корни р} уравнения pf tgpf = £ — -? Xh как функции £
(пластинка)
Ра=Р
0 1 2 3
0 0 п 2тс Зя
0,01 0.10 3,14 6,.'8 9,42
0,1 0,31 3,17 6,30 9,43
0,5 0,65 3,29 6,36 9,47
1.0 0,86 3,42 6,43 9,52
4,0 1,26 3,93 6,81 9,78
10 1,43 4,30 7,22 10,20
20 1,50 4,49 7,49 10,51
50 1,54 4,62 7,70 0,78
100 1,56 4,66 7,77 10,88
1000 1,57 4,71 7,84 10,98
1 3 5 7
со — тс
* 2 2 2
Корни р? уравнения
PjMPj
Jo(Pj)
Таблица VIII
= £ = Rh как функции С (цилиндр)
0 1 о 3 4
0,00 0,000 3.832 7,016 10,174 13,324
0,05 0,315 3,85 7,02 10,18
ОД 0,443 3,86 7,03 10,19
0,5 0,940 3,96 7,09 10,22
1.0 1,253 4,08 7,16 10,27
4 1,906 4,60 7,52 10,54
10 2.17 5,03 7,96 10,94 —
20 2,29 5,26 8,25 11,27
50 2,35 5,41 8,48 11,56
а? 2,405 5,520 8,654 11,792 14,931 ,
Таблица IX
Корни рл уравнения 1—р^ ctgPj = £ = Rh
как функции £ (шар)
Рй^Р
0 I 2 3
0,00 0,00 4.49 7.72 10,90
0,05 0,39 4,51 7,72 10,91
од 0,54 4,52 7,74 10,91
0,5 1.17 4,60 7,79 10,95
1.0 1,57 4,71 7,85 10,99
4 2,45 5,23 8,20 11,25
10 2,84 5,72 8,66 11,65
1'0 2,98 5,98 8,98 12,00
50 3,08 6,12 9,24 12,31
оо я 2п Зя 4я
ЛИТЕРАТУРА
1. Терминология теплопередачи. Ко-
митет технической терминологии
АН СССР, 1951.
2. Лыков А. В. Теория теплопро-
водности. Гостехиздат, 1952.
3. Кэрслоу и Е г е р (Н. S. Cars-
law and J. С. Jaeger). Conduction of
Heat in Solids. Oxford 1947—1950.
4. Грёбер Г. и ЭркС. Основы
учения о теплообмене. ГТТИ, 1936.
5. Б у с с и н е с к Ж. (J. Boussinesq).
Theorie analytique de la chaleur,
t. I et t. II, 1901.
6. Михеев M. А. Основы тепло-
передачи. Гостехиздат, 1949.
7. Берг А. Н., Н и к о л а е в Д. М.,
Роде С. И. Термография. Изд.
АН СССР, 1944.
8. Кирпичев М. В. и Кона-
ков П. К. Математические осно-
вы теории подобия. Изд. АН СССР,
1949.
9. Кирпичев М. В. Теория подо-
бия как основа эксперимента. Сб.
„Юбилейная сессия АН СССР",
1945.
10. Кирпичев М. В. Тепловое мо-
делирование. Юбил. сб. АН СССР,
1947, ч. 2.
11. Кузьмин Р. О. Бесселевы функ-
ции. ГНТИ, 1933.
12. Янке Е. и Эмде Ф. Таблицы
функций. Гостехиздат, 1948.
13. Кондратьев Г. М. Трубчатый
акалориметр. Точная индустрия
№ 8—9, 1936.
14. М а к - А д а м с В. Теплопередача.
ОНТИ, 1936.
15. ОСТ/ВКС 6954. Температурная
шкала.
16. Френч Г. Исследование закалки
стали. ГНТИ, 1933.
17. Шак (A. Schack). Der industrielle
Warmeubergang. Verlag Stahleisen,
1929.
18. ГОСТ 3044—45. Градуировки тер-
мопар.
19. К о н д p а т ь e в Г. M. О некото-
рых типичных проявлениях тепло-
вой инерции. Сб. Трудов Всесо-
юзного н.-исслед. института ме-
трологии, вып. 2(47), 1941.
20. Ко н д р а т ье в Г. М. Прило-
жение теории нестационарного
теплового потока в цилиндре к
определению теплопередачи в кот-
лах. Прикл. физ., т. V, вып. 3—4,
1928.
21. Кондратьев Г. М. Калориметр
Кирпичева — Кондратьева. Точ-
ная индустрия № 9, 1935.
22. К о н д р а т ь е в Г. М. Общая тео-
рия альфакалориметров, основан-
ных на регулярном режиме. Изв.
АН СССР, отд. техн, наук, вып. 7,
1948.
23. К н о б л а у х и Кох (G. Knob-
lauch und We. Koch) Technisch-
physikalisches Praktikum. Julius
Springer, 1934.
24. Хоттель, Майер, Стюарт
(Hottel, Mayer, Stewart), Ind.
Eng., 28, 1936.
25. Газе (D-r R. Hase). Arch, fur
Warmewirtschaft und Dampfkessel-
wesen. Bd. 13, 1932.
26. Справочник „Der Chemie-Inge-
nieur Handbuch, 1-ter Band, 1-ter
Teil, 1933.
27. Кирпичев M. В., Михеев M. A.,
ЭйгенсонЛ. С. Теплопередача.
Энергоиздат, 1940.
28. Эберт (H. Ebert). Zschrift fiir
Instrumentkunde, 1930.
29. С и д о p о в И. И. Манометры и
их проверка. Изд. № 75 Гл. Па-
латы мер и весов, 1930.
30. П о п о в М. М. Термометрия и
калориметрия. ОНТИ, 1934.
Литератора
40?
31. Л ин е в е г (Lieneweg). Сб. „Arch,
fiir techn. Messen", Lief. 89, Bit.
143, 1938.
32. Ma к - Ле о д (Mc-Leod). Phil.
Mag., Vol. XLI1I, 1922.
33. Кондратьев Г. M. Об изме-
рении нестационарных температур
и об отставании термометров. Сб.
Трудов ВНИИМ, вып. 10 (26),
1936.
34. К о н д р а т ь е в Г. М. и Ста-
ценко М. П. О тепловой инер-
ции эталонных платиновых тер-
мометров сопротивления. Сб.
Трудов ВНИИМ, вып. 4 (59),
1947.
35. К у л ь б у ш П. П. Электрические
термометры. ОНТИ, 1932.
36. Шимановский С. В. Методы
измерения температур горных
пород. Изд. АН СССР, 1952.
37. Егер и Диссельгорст
(К. Jaeger und О. Dlsselhorst).
Warmeleitung. Encykl. der math.
Wissensch., Bd. V, 1-ter, Tell.
38. Ч у д н о в с к и й А. Ф. Физика
теплообмена в почве. Гостехиздат,
1948.
Там же весьма обширный указатель
литературы вопроса.
39. Лыков А. В. и А у э р б а х ЛЛ”.
Теория сушки. Пищепромиздат,
1946.
40. Т и м р о т Д. Л. Определение
теплопроводности строительных
и изоляционных материалов.
НКПС — Энергоиздат, 1932.
41. Кондратьев Г. М. Испытания
на теплопроводность по методам
регулярного режима. Стандарт-
гиз, 1936.
42. К о н д р а т ь е в Г. М. Приборы
для скоростного определения те-
пловых свойств материалов. Маш-
гиз, 1948.
43. К о н д р а т ь е в Г. М. и Ста-
ц е н к о М. П. Опыты по опреде-
лению теплопроводности изоля-
ционных материалов при помощи
ламбдакалориметра. Изв. ВТИ
№ 7—8 (76), 1932.
44. К о н д р а т ь е в Г. М. и Ста-
ц е н к о М. П. Физические свой-
ства материалов, применяемых
в теплофикации. Тепло и сила
№ 3, 1933.
45. К о н д р а т ь е в Г. М. О новых
методах определения термических
констант плохих проводников
тепла. Сб. Трудов Ленингр. ин-
ститута точн. мех. и опт., т. I, вып.
4, 1940.
46. Геннинг (F. Henning). Warme-
technische Richtwerte. VDI Ver-
lag, 1938.
47. Справочник „Tables annuelles de
constantes physiques”, Vol. V, VI,
VII (1925—1930).
48. Вильнер Д. E. и Ильина О. В.
Теплопроводность, температуро-
проводность и теплоемкость сте-
кол. Сб. Трудов Ленингр. заво-
да оптического стекла, работы
н.-иссл. отд., вып. 1, 1939.
49. Резцов Н. Г. Испытания строи-
тельных материалов на теплопро-
водность методом регулярного
режима. Стройиздат, 1941.
50. Справочник Ландольт — Берн-
штейн (Landolt — Bornsteln).
Physih.-Chemische Tabellen, Erg.-
Bd. 11, III, 1923.
51. Кондратьев Г.М. Теория ре-
гулярного теплового режима и ее
практическое приложение. Труды
£^Йаучно-техн. сов. работников про-
м ышл„ деятелей науки и техники,
вып. 91, 1951.
52. Рауш О. И. Разработка нового
метода определения теплопровод-
ности огнеупоров при температу-
рах свыше 1000°. Труды Инсти-
тута огнеупоров, вып. XVI, 1937.
53. Тархова А. В. Инструкция по
применению и градуировке шаро-
вого кататермометра. НКЗ РСФСР,
1941.
54. Лобанова 3. Е. Новый шаро-
вой блок-калориметр смешения.
Зав. лаб., т. V11, №7, 1938.
55. Г а л а н и н Н. Ф. Тепловые свой-
ства тканей и одежды как гигие-
нический фактор. Труды юб. сес-
сии Института гиг. тр. и проф-
заболев. РСФСР, 1940.
56. Кондратьев Г. М. Примене-
ние шарового бикалориметра к
исследованию теплозащитных
свойств тканей. Сб. „Лучистая
энергия на производстве" Инсти-
тута гиг. тр. и профзаболев.
РСФСР, 1938.
литература
57. Кондратьев Г. М. Приложе-
ние теории регулярного охлажде-
ния двухсоставного шара к опре-
делению теплопроводности плохих
проводников тепла. Изв. АН СССР,
отд. техн, наук, № 4, 1950.
58. Пекле (Е. P6clet). Tralte de la
chaleur, vol. I. Paris, 1860.
59. T и м p о т Д. Л. и В a p г а ф-
т и к В. JI. Journal of Physics
USSR, t. II, 1940.
60. Ш л e й e p м a x e p (A. Schleler-
inacher). Wiedemanns Annalen,
m. 34, 1888.
61. Казанский M. Ф. Приложе-
ние цилиндрического бикалори-
метра к исследованию тепловых
свойств плохих проводников тепла.
ЖТФ, т. XIX, 1949.
62. Д а н и л о в а Г. Н. Теплопровод-
ность жидких фреонов. Холодиль-
ная техника № 2, 1951.
63. И л ь и н с к и й И. В. Об остыва-
нии турбин. Научно-технические
заметки № 3, 19а0.
64. С е р г е е в О. А. Эксперименталь-
ная проверка обобщенной теории
регулярного режима; Плату-
II о в Е. С. Определение раздель-
ных коэффициентов теплоотдачи
ограниченных цилиндров на ос-
нове теории регулярного режима.
Сб. работ Студенческого научного
общества Ленингр. института точ-
ной мех и опт., вып. 8, 1953.
65. Иванцов Г. П. Теория неста-
ционарных тепловых процессов.
ЖТФ, т. IV, вып. 3, 1934.
66. Симонов Г. Б. Новый плоский
. прибор для определения термиче-
ских констант строительных и
термоизоляционных материалов.
Строительная промышленность
№ 8, 1952.
67. Г и н з б у р г Ц. Г. Определение
коэффициента температуропро-
водности бетона. Изв. Всес.
н.-иссл. института гидротехники,
т. 47, 1952.
68. К о н д р а т ь е в Г. М. Новый
сравнительный метод определения
коэффициента теплопроводности
плохих проводников тепла и осно-
ванный на нем прибор—шаровой
бикалориметр. Точная индустрия
№ 6, 1935.
Г. /И. Кондратьев. Регулярный тепловой режим
Редактор Ю. R. Новожилов
Техн, редактор К. М. Волчок Корректор А. И. Исакова
Сдано в набор 7/IX 1953 г. Подписано к печати 28/ХП 1953 г.
Бумага 60x92/vi. Физ. печ. л. 25,5. Усл. печ. л. 25,5. Уч.-изд. л. 25,97.
Т-08279. Тираж 500J экз. Цена 15 руб. Заказ № 750.
Государственное издательство технико-теоретической литературы
Москва, Большая Калужская, 15.
4-я типография им. Евг. Соколовой Союзполиграфпрома Главиадата Министерства культуры СССР.
Ленинград, Измайловский пр., 29.