УДК 512.7
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И СХЕМЫ
В. И. Данилов
содержав и е
Введение	175
Глава 1. Алгебраические многообразия: основные понятия .	.	.	176
§	1.	Аффинное пространство......................................177
1.1.	Основное поле.............................................177
1.2	Аффинное пространство......................................177
1.3.	Алгебраические подмножества...............................178
1.4.	Системы алгебраических уравнений и идеалы.................179
1.5.	Теорема Гильберта о нулях.................................180
§	2.	Аффинные алгебраические многообразия.......................181
2.1.	Аффинные многообразия.....................................181
2.2.	Абстрактные аффинные многообразия.........................182
2.3.	Аффинные схемы............................................183
2.4.	Произведения аффинных многообразий........................184
2.5.	Пересечение подмногообразий...............................184
2.6.	Слои морфизма.............................................185
2.7.	Топология Зарисского......................................186
2.8.	Локализация...............................................188
2.9.	Квазиаффинные многообразия................................189
2.10.	Аффинная алгебраическая геометрия........................189
§	3.	Алгебраические многообразия ...	. .....................190
3.1.	Проективное пространство................................  191
3.2.	Атласы и многообразия.....................................192
3.3.	Склеивание................................................193
3.4.	Многообразие Грассмана....................................194
3.5.	Проективные многообразия..................................194
§ 4.	Морфизмы алгебраических многообразий........................195
4.1.	Определения ..............................................195
4.2.	Произведения многообразий .	 196
4.3.	Отношения эквивалентности.................................197
4.4.	Проектирование .	  198
4.5.	Морфизм	Веронезе.........................................199
4.6.	Морфизм	Сегре............................................200
4.7.	Морфизм	Плюккера.........................................200
§ 5.	Векторные	расслоения ......................................201
5.1.	Алгебраические группы ,...................................201
5.2.	Векторные расслоения......................................202
5.3.	Тавтологические расслоения................................202
5.4.	Конструкции с расслоениями................................203
§ 6.	Когерентные пучки...........................................203
172
6.1,	Предпучки ...............................................
6.2.	Пучки....................................................
6.3.	Пучки модулей............................................
6.4.	Когерентные пучки модулей................................
6.5.	Пучки идеалов ...........................................
6.6	Конструкции многообразий.................................
§ 7.	Дифференциальное исчисление на алгебраических многообразиях
7.1.	Дифференциал регулярной функции..........................
7.2.	Касательное пространство.................................
7.3.	Касательный конус........................................
7.4.	Гладкие многообразия и морфизмы..........................
7.5.	Нормальное расслоение....................................
7.6.	Касательное расслоение...................................
7.7.	Пучки дифференциалов.....................__..............
Глава 2. Алгебраические многообразия: основные свойства
§ 1.	Рациональные отображения..................................
1.1	Неприводимые многообразия................................
1.2.	Нётеровы пространства....................................
1.3.	Рациональные функции.....................................
1.4.	Рациональные, отображения................................
1.5.	График рационального отображения.........................
1.6.	Раздутие точки...........................................
1.7.	Раздутие подсхемы........................................
§ 2.	Конечные морфизмы...................................  .	.
2.1.	Квазиконечные морфизмы...................................
2.2.	Конечные морфизмы........................................
2.3.	Замкнутость конечных морфизмов...........................
2.4.	Применение к линейным проекциям..........................
2.5.	Теоремы о нормализации...................................
2.6.	Теорема о конструктивности...............................
2.7.	Нормальные многообразия .	...........................
2.8.	Открытость конечных морфизмов............................
§ 3.	Полные многообразия и собственные морфизмы .	.	.	.
3.1.	Определения..............................................
3.2.	Свойства полных многообразий.............................
3.3.	Полнота проективных многообразий.....................
3.4.	Пример полного непроективного многообразия .	.	.	.
3.5.	Теорема конечности.......................................
3.6.	Теорема о связности......................................
3.7.	Разложение Штейна........................................
203
204
205
206
207
207
208
208
210
210
215
215
216
217
217
218
220
221
222
222
222
223
‘>23
224
224
225
226
226
227
227
228
229
230
231
§ 4.	Теория размерности...........................................231
4,1.	Комбинаторное определение размерности......................231
4.2.	Размерность и конечные морфизмы.............................232
4.3.	Размерность гиперповерхности...............................232
4.4.	Теорема о размерности слоев.................................233
4.5.	Теорема Шевалле о полуиепрерывности.........................233
4.6.	Размерность пересечений в аффинном пространстве .	.	.	234
4.7.	Теорема об общей гладкости.................................231
§ 5.	Неразветвленные и этальные морфизмы..........................235
5.1.	Теорема о неявной функции...................................235
5.2.	Неразветвленные морфизмы....................................’35
5.3.	Вложение проективных многообразий...........................436
5.4.	Этальные морфизмы...........................................237
5.5.	Этальные накрытия...........................................238
5.6.	Степень конечного морфизма..................................238
5.7.	Принцип постоянства.........................................239
§ 6.	Локальные свойства гладких многообразий......................240
6.1.	Гладкие точки...............................................240
6.2.	Локальная неприводимость....................................240
6.3.	Факториальные многообразия.................................241
173
6.4.	Подмногообразия большей коразмерности....................
6.5.	Пересечения на гладком многообразии......................
6,6.	Свойство Коэна—Маколея...................................
§	7. Применение к бирацнональной геометрии..................
7.1.	Фундаментальные точки....................................
7.2.	Основная теорема Зарисского .	........................
7.3.	Поведение дифференциальных форм при рациональных ото-
бражениях ....................................................
7.4.	Исключительное многообразие бирационального морфизма
7.5.	Разрешение особенностей..................................
7,6.	Критерий нормальности....................................
Глава 3. Геометрия на алгебраическом многообразии................
§ 1.	Линейные сечения проективного многообразия................
1.1	Внешняя геометрия многообразия............................
1.2.	Универсальное линейное сечение...........................
1.3.	Гиперплоские сечения ....................................
1.4.	Теорема о связности......................................
1.5.	Линейное соединение .. . ................................
1.6.	Применения теоремы о связности...........................
§ 2.	Степень проективного многообразия ........................
2.1.	Определение степени......................................
2.2.	Теорема Безу.............................................
2,3.	Степень и коразмерность..................................
2.4.	Степень линейной проекции................................
2.5.	Многочлен Гильберта......................................
2.6.	Арифметический род.......................................
§ 3.	Дивизоры..................................................
3.1.	Дивизоры Картье..........................................
3.2.	Дивизоры Вейля..............................  .	.	.	.
3.3	Дивизоры н обратимые пучки...............................
3.4.	ФункторнальностЬ.........................................
3.5.	Теорема о вырезании......................................
3.6.	Дивизоры на кривых.......................................
§ 4.	Линейные системы дивизоров................................
4.1.	Семейства дивизоров......................................
4.2.	Линейные системы дивизоров...............................
4.3.	Свободные линейные системы...............................
4.4.	Обильные системы.........................................
4.5.	Линейные системы и рациональные отображения .	.	.	.
4.6.	Пучки....................................................
4.7.	Линейная и проективная нормальность......................
§ 5.	Алгебраические циклы......................................
5.1.	Определения..............................................
5.2.	Прямой образ цикла.......................................
5.3.	Рациональная эквивалентность циклов......................
5.4.	Теорема о вырезании......................................
5.5	Пересечения циклов с дивизорами..........................
5.6	Классы Сегре векторных расслоений........................
5.7.	Принцип растепления......................................
§ 6.	Теория пересечений .......................................
6.1.	Пересечение циклов.......................................
G.2. Деформация к нормальному конусу..........................
6.3.	Гомоморфизм Гизина.......................................
6.4.	Кольцо Чжоу..............................................
6.5.	Кольцо Чжоу проективного пространства....................
6.6.	Кольцо Чжоу грассманнана.............................
6.7.	Пересечения на поверхностях..............................
§ 7.	Многообразие Чжоу.........................................
7,1.	Циклы на Р"..............................................
7.2.	От циклов к дивизорам....................................
242
243
243
245
245
245
246
246
247
248
249
249
249
250
251
252
253
254
255
255
256
257
258
259
259
260
260
261
261
262
262
263
265
265
266
266
267
267
270
270
271
271
271
272
27?
274
274
275
275
275
276
277
277
278
278
279
280
280
282
174
7.3.	От дивизоров к циклам..................................
7.4.	Циклы на произвольных многообразиях....................
7.5.	Исчислительная геометрия...............................
7.6.	Прямые на кубике.......................................
7.7.	Задача о пяти коииках..................................
Глава 4. Схемы..................................................
§ 1.	Алгебраические уравнения.................................
1.1.	Вещественные уравнения.................................
1.2.	Уравнения над полем....................................
1.3.	Уравнения над кольцами.................................
1.4.	Простой спектр.........................................
1.5.	Сравнение с многообразиями.............................
§ 2.	Аффинные схемы...........................................
2.1.	Функции на спектре.....................................
2.2	Топология на спектре................................	.
2.3.	Структурный пучок......................................
2.4.	Функториальность.......................................
2.5.	Пример — аффинная прямая...............................
2.6.	Пример — абстрактный вектор............................
§ 3.	Схемы....................................................
3.1.	Определения .	.	.................................
3.2.	Примеры................................................
3.3.	Относительные схемы .	.............................
3.4.	Свойства схем..........................................
3.5.	Свойства морфизмов.....................................
3.6.	Регулярные схемы ......................................
3.7.	Плоские морфизмы.......................................
§ 4.	Алгебраические схемы и их семейства......................
4.1.	Алгебраические схемы ..................................
4.2.	Геометризация..........................................
4.3.	Геометрические свойства алгебраических схем............
4.4.	Семейство алгебраических схем..........................
4.5.	Гладкие семейства......................................
Литература......................................................
282
283
283
283
284
285
285
286
286
287
287
288
289
289
289
290
290
291
291
292
292
292
293
294
295
295
295
296
296
296
297
298
298
299
ВВЕДЕНИЕ
Этот обзор посвящен основаниям алгебраической геомет-
рии, т. е. введению основных ее объектов и изложению главных
их свойств. Грубо говоря, алгебраическая геометрия имеет де-
ло с системами алгебраических уравнений и их решениями.
При этом она интересуется сразу всей совокупностью реше-
ний, рассматривая ее как единый геометрический объект, снаб-
жает его топологией, пучком функций и т. д. Отображения
между такими объектами соответствуют алгебраическим преоб-
разованиям решений.
Первоначально алгебраические многообразия (в аффинном
или проективном варианте) рассматривались над полями ве-
щественных или комплексных чисел; при этом широко исполь-
зовались трансцендентные методы (см. исторический очерк в
[15]). Параллели между теорией алгебраических кривых над
С (римановых поверхностей) и теорией алгебраических чисел
стимулировали поиски общего алгебраического фундамента.
175
После нескольких предварительных попыток (эволюцию поня-
тия алгебраического многообразия см. в [4], [15], [28]) было
выработано понятие схемы, позволяющее говорить на геометри-
ческом языке о системах алгебраических уравнений над любы-
ми коммутативными кольцами. И хотя схемами не исчерпыва-
ются объекты алгебраической геометрии (есть еще формальные
схемы, алгебраические пространства и т. д.), это основное,
центральное понятие современной алгебраической геометрии.
Тем не менее главное внимание мы уделяем не понятию схе-
мы, а интуитивно более понятному и наглядному понятию ал-
гебраического многообразия над алгебраически замкнутым по-
лем. Теория таких многообразий в своей элементарной части
строится параллельно теории дифференцируемых или аналити-
ческих многообразий, и в главе 1 мы акцентируем эти аналоги
(атласы, морфизмы, векторные расслоения, пучки, дифференци-
альное исчисление). Однако многие понятия алгебраической
геометрии специфичны именно для алгебраических многообра-
зий; это понятия неприводимости, полноты, рационального
отображения, размерности, особых точек. О них, а также бо-
лее глубоких свойствах алгебраических многообразий расска-
зывается в главе 2. В главе 3 больше внимания уделяется про-
ективной геометрии (степень, линейные сечения и проекции,
линейные системы дивизоров, многообразие Чжоу); там же из-
лагается теория пересечений. И только глава 4 посвящена соб-
ственно схемам. Она содержит главным образом определения и
обобщения на схемы понятий и результатов, знакомых по трем
предыдущим главам. Теориям когомологий на алгебраических
многообразиях, которые также следует отнести к основаниям,
будет отведена отдельная статья.
Предполагается, что читатель знаком с общематематичес-
кими понятиями множества, топологического пространства, по-
ля и алгебры, векторного пространства и многочлена, меньше —
категории и функтора (см. [14]). Желательно, хотя и не обя-
зательно, знакомство с дифференцируемыми и аналитическими
многообразиями и пучками. Большинство основных результа-
тов мы пытались снабдить эскизами доказательств, полагая это
необходимым для понимания теории.
Глава 1
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ:
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Цель этой главы — придать точный смысл словам: алгебраи-
ческое многообразие — эго объект, локально задаваемый поли-
номиальными уравнениями. Главное отличие алгебраических
многообразий от многообразий дифференцируемых или комп-
170
лексно-аналитических (о которых см. [13], [25], [50]) заклю-
чается в выборе локальных моделей. В дифференцируемом и
комплексно-аналитическом случаях это открытые подмножества
в Rn или Сп. Локальная модель алгебраического многообра-
зия — это подмножество координатного пространства, заданное
полиномиальными уравнениями. Чтобы придать этому смысл,
нужно зафиксировать поле коэффициентов К, над которым
будут рассматриваться и многочлены, и решения. Чтобы мак-
симально упростить алгебраическую сторону дела и сосредото-
читься на геометрии, мы в первых трех главах предполагаем,
что поле К алгебраически замкнуто. В этой главе мы обсудим
также простейшие алгебро-геометрические понятия, имеющие
прямые аналоги в дифференцируемом и аналитическом случаях.
§ 1. Аффинное пространство
1.1, Основное поле. При желании читатель может считать,
что основное поле К — это поле комплексных чисел С. Однако
даже к комплексным числам мы будем подходить чисто алгеб-
раически, т. е. аппелировать к операциям сложения и умноже-
ния, но не пользоваться понятиями предела и т. п. По этой при-
чине наши рассуждения будут пригодны для любого поля.
Здесь уместно вспомнить деление А. Вейлем методов на класси-
ческие (зависящие от свойств поля действительных или комп-
лексных чисел и берущих свое начало в топологии, анализе,
дифференциальных уравнениях или теории аналитических функ-
ций) и абстрактные, основанные на алгебре и применимые при
произвольном основном поле.
Имеются и более веские причины развивать теорию над
произвольными полями, в том числе над полями положительной
характеристики. Во-первых, это нужно для применений к тео-
рии чисел. Во-вторых, даже при доказательстве утверждений
над полем С часто удобно пользоваться свойствами многообра-
зий над конечными полями.
Единственное важное свойство поля С, которое мы будем
предполагать выполненным для А, — алгебраическая замкну-
тость. Это значит, что для К выполняется «основная теорема
алгебры» — любой многочлен с коэффициентами в К разла-
гается на линейные множители (многомерное обобщение см.
в 1.5). Отметим, что алгебраически замкнутое поле всегда бес-
конечно. По аналоги с С, элементы К также называются числа-
ми, или константами.
1.2. Аффинное пространство. Пусть п—натуральное число,
п-мерным (координатным) аффинным пространством называет-
ся А71 — «-я декартова степень К. Элементы Кп — это наборы
(х(,. .. , х„) из п чисел х^К. Такне наборы можно покоординат-
но складывать или умножать на константы, так что Кп— век-
торное пространство над полем К. Однако алгебраическая гео-
12-5834
8
177
метрия снабжает Кп более слабой структурой, которая состоит
в том, что среди отображений	(функций) выделяются
т. н. алгебраические или регулярные функции1’.
Какие же функции на К” естественно назвать алгебраичес-
кими? Прежде всего константы, отождествляемые с числами из
К. Затем координатные функции, т. е. проекции : Кп-+К,
Т,(Х],...,хп) И, наконец, функции, построенные из них в
результате элементарных алгебраических операций сложения и
умножения. Такие функции называются регулярными (чтобы
отличать их -от рациональных функций; рациональные функции
обязательно появятся, но несколько позже). Таким образом,
регулярные функции полиномиально выражаются через коор-
динатные функции Т(. Более того, в силу бесконечности поля
К кольцо регулярных функций на Кп можно отождествить с
кольцом многочленов К[Т1,..., Тп] от символов 7’i,...,7'n с
коэффициентами из К.
Можно было бы отнести к регулярным и функции вида 1//,
где функция / регулярна и нигде не обращается в нуль. Од-
нако такая функция / обязательно будет константой, и это ни-
чего нового не дает. Здесь используется алгебраическая замк-
нутость К, ибо над R функция отлична от нуля при всех
/6R.
1.3.	Алгебраические подмножества. Алгебраические подмно-
жества в Кп задаются системами алгебраических уравнений.
Алгебраическое уравнение — это выражение f = 0, где f — мно-
гочлен от	Если дано семейство F= (fr, r^R) много-
членов, системой алгебраических уравнений называется семей-
ство уравнений (/,=0, rcR) или коротко F = 0. Решением (или
нулем, или корнем) такой системы называется любая точка
хС-Л", для которой /г(х) =0 при всех rf'R. Множество всех ре-
шений системы Е = 0 обозначается V(F) или [F=0].
Определение. Подмножество Кп называется алгебраи-
ческим, если оно имеет вид V(F) для некоторого семейства F
многочленов от Т\, . . . , Тп.
Например, пустое подмножество, а также ect А" — алгеб-
раические (взять /-'={1} или Е = {0}). Пересечение алгебраичес-
ких подмножеств в любом числе снова алгебраическое, т. к.
f|V(/:'J) =/((J/’j)• Объединение конечного числа аглебраических
подмножеств тоже алгебраическое. В самом деле, V(Fi)U
\JV(F2) = V(Fr F2), где Ff-F2 состоит из произведений где
’> Такой способ задания структуры довольно распространен в математи-
ке. Например, на множестве комплексных чисел С можно рассматривать все
более общие множества функций: линейные, аффинные, полиномиальные, ана-
литические, дифференцируемые, непрерывные, измеримые и, наконец, произ-
вольные. Соответственно С будет объектом линейной алгебры, аффинной
геометрии, алгебраической или аналитической геометрии, гладким многообра-
зием, топологическим или измеримым пространством и просто континуальным
множеством.
178
f2^F2. Напротив, дополнение к алгебраическому подмно-
жеству КсгК„ не алгебраическое (кроме V=0. Кп).
Более конкретные примеры. Любая точка х^Кп является
алгебраическим подмножеством. Множество нулей V(f) одной
(непостоянной)- функции f называется алгебраической гипер-
поверхностью. Гиперповерхности в № называются плоскими
аффинными кривыми. Довольно условно такие кривые изобра-
жаются рисунками вроде рис. 1.
1.4.	Системы алгебраических уравнений и идеалы. Разные
системы уравнений могут иметь одно и то же множество реше-
ний. В самом деле, если к системе F добавить многочлен Sfjgj,
где fjt'F, a gjFK[Th .,., Тп], множество решений не изменится.
Скажем, что ^fjgj алгебраически выражается через семейство
F. Назовем семейства F и F' эквивалентными, если любой член
F алгебраически выражается через F', и наоборот. Ясно, что F
и F' эквивалентны тогда и только Tof-да, когда они порождают
один и тот же идеал в кольце K[\Ti,... ,Тп]. Переход к идеа-
лам полезен благодаря следующей теореме Гильберта о базисе:
Теорема. Любой идеал в кольце многочленов
Л[Т|,..., порождается конечным числом элементов.
Иначе говоря, кольцо многочленов над (любым) полем нё-
терово. Как следствие мы получаем, что любая система алгеб-
раических уравнений эквивалентна конечной системе уравнений,
или что любое алгебраическое подмножество является пересе-
чением конечного числа гиперповерхностей.
Как уже говорилось, эквивалентные системы уравнений име-
ют одинаковые множества решений; однако и неэквивалентные
12*
179
системы могут давать одно и то же подмножество. Причина
здесь крайне проста — нули у многочленов /, /2, /3 и т. д. оди-
наковы. Иначе говоря, извлечение корня также не меняет ну-
лей. В этой связи скажем, что семейства F и F' слабо эквива-
лентны, если для любого элемента jf-F некоторая его степень
fr алгебраически выражается через F', и наоборот. Слабо эк-
вивалентные системы уравнений снова имеют одинаковые мно-
жества нулей. Как мы сейчас увидим, верно и обратное. В лю-
бом случае, для каждого алгебраического подмножества
VcKn существует наибольший идеал, задающий V, — это иде-
ал /(V) всех регулярных функций, равных нулю во всех точ-
ках У.
1.5.	Теорема Гильберта о нулях. Начнем с простейшего слу-
чая. Ясно, что единичный идеал / = Л'[Ть . . ., Tnj задает пустое
подмножество V(l). Гораздо менее очевидно, что верно и об-
ратное; это утверждение называется слабой теоремой Гильбер-
та о нулях.
Теорема. Если идеал 1стК[1\......Тп] отличен от единич-
ного, подмножество V(l) непусто.
Здесь существенно, что поле К алгебраически замкнуто, ибо
1-|-/2=#=0 для всех /CR. Так как эта теорема играет важную
роль, наметим кратко ее доказательство. Можно считать, что
идеал I максимальный (среди неединичных, как обычно).
В этом случае факторалгебра К[Тt,..., Тп]/1 является полем,
содержащим К- Если мы покажем, что эти два поля совпада-
ют, то, обозначая через /,• образы Г,- в Л', мы получаем, что
точка t = (Zi,..., tn) принадлежит У(/). Итак, остается пока-
зать, что поле ... ,Тп]!1 изоморфно К (это утверждение
аналогично теореме И. М. Гельфанда и Мазура о максималь-
ных идеалах банаховых алгебр). В силу алгебраической зам-
кнутости Л’ это утверждение следует из чисто алгебраической
леммы:
Лемма. Пусть К— произвольное поле, L — К-алгебра ко-
нечного типа. Если L является полем, то оно алгебраично над К.
Доказательство леммы использует понятие целой зависи-
мости, которое нам еще понадобится п с которым можно под-
робнее познакомиться в [19], [23], [65]. Пусть АстВ— два
коммутативных кольца; элемент ЬеВ называется целым над А,
если он удовлетворяет уравнению целой зависимости /?т+
-Eait’"1-1-]-. . .-|-ат = 0, аДЛ. Здесь существенно, что старший
коэффициент равен 1. Если все элементы В — целые над А, ал-
гебра В называется целой над А. Суммы и произведения це-
лых элементов снова целые, поэтому множество целых элемен-
тов в В является подалгеброй в В, которая называется целым
замыканием А в В.
Перейдем к доказательству леммы. Пусть алгебра L по-
рождается элементами х, Х],...,хп. Так как L — поле, L со-
180
держит поле К(х). По индуктивному предположению, приме-
ненному к K(x)czL, элементы хь...,хп алгебраичны над А(х).
Если х алгебраичен над К, то все доказано. Предположим по-
этому, что х трансцендентен над К, т. е. кольцо /С[х] изоморфно
кольну многочленов от х. Так как х, алгебраичны над А(х),
существуют многочлены с коэффициентами из А[х], для
которых fi(xi)—0. Обозначая через g^K[x] произведение стар-
ших коэффициентов мы получаем, что х, — целые над коль-
цом А = А[х] [£"’]. Но тогда все L цело над А. Отсюда следует
немедленно, что А тоже поле. В самом деле, пусть а — ненуле-
вой элемент А; так как а-1 цел над А. Это значит, что
а~т-фа1а~т+'+...-|-ат = 0, где т. е.	. ..+amam =
= 0, откуда а~'= —(Qi+ . -. +атат-1)еА. С другой стороны, яс-
но, что А не поле, например, 1+я не обратимо в А. Это проти-
воречие доказывает лемму и теорему.
Следствие (теорема Гильберта о нулях). Пусть / —
идеал в ЛфЛ,..., 7\J, и многочлен [ обращается в нуль во
всех точках множества V(/)c:An. Тогда /ГС7 для некоторого
целого г)>0.
В пространстве Кп + ] с координатами То,	рассмот-
рим подмножество V = K.XV пулей многочленов из /. Функция
1—T0-f отлична от нуля во всех точках V. По предыдущей
теореме 1—Toj и / порождают единичный идеал в К[Т0, Tlt...
...,7’,1]. Записывая это и подставляя 1// вместо То, мы и по-
лучим /г6/.
§ 2.	Аффинные алгебраические многообразия
2.1.	Аффинные многообразия. Идея алгебраических подста-
новок и преобразований решений алгебраических уравнений
приводит к понятию отображений между алгебраическими мно-
жествами.
Пусть VczK" и WczKm — два алгебраических подмножества.
Отображение f: V-+W называется регулярным, (пли морфиз-
мом), если оно задается ш регулярными функциями . . .,
С’К[Т1,..., Т„], т. е. если оно продолжается до регулярного
отображения объемлющих пространств А"->-Ат. Композиция
регулярных отображений снова регулярное отображение. Таким
образом алгебраические множества вместе с регулярными
отображениями образуют категорию. Объекты этой категории
называются аффинными алгебраическими многообразиями
(или просто аффинными многообразиями). Так координатное
пространство А", рассматриваемое как аффинное многообразие,
обозначается А” и называется n-мерным аффинным простран-
ством (прямой и плоскостью при п = 1 и 2).
Различные алгебраические множества (и даже вложенные
в разные К") могут при этом оказаться изоморфными, т. е.
одинаковыми в определенном смысле. Так «прямая» Т2=1\ н
181
«парабола» 7’2 = 7’i2 в К2 изоморфны между собой, а также изо-
морфны аффинной прямой А1.
Регулярные отображения алгебраического множества V в К
называются регулярными функциями на V. Регулярные функ-
ции можно складывать и перемножать, так что они образуют
кольцо (и даже /(-алгебру) /([У]. Для алгебраического под-
множества УсД" алгебра Д[У] отождествляется с факторал-
геброй K[Ti,.... ТП]//(У). Вложение УстД" также восстанав-
ливается по образующим /,-= 7\ | У алгебры /([У].
Понятие морфизма легко переписывается в терминах регу-
лярных функций. Отображение f : V-+-W регулярно тогда и
только тогда, когда для любой регулярной функции £*-/([У7]
функция f*(g)=g°f регулярна на V. Отображение f* : К.[
-•-/<[ У] является в этом случае гомоморфизмом /(-алгебр. Об-
ратно, любой такой гомоморфизм /([№]->-/( [У] индуцируется
морфизмом
Взгляд на аффинное многообразие как на множество V с
дополнительной структурой — алгеброй /('[V'] регулярных
функций на V — оказывается очень полезным в концептуальном
отношении. В стиле Г. Вейля можно сказать, чго формулу-урав-
нение F = 0, которая могла бы соблазнить на механические
вычисления, мы заменяем кольцом /CfV]; так мы отвлекаемся
от несущественных характеристик и принимаем во внимание в
равной мере все уравнения, получающиеся из исходного путем
рационального преобразования переменных.
2,2.	Абстрактные аффинные многообразия. К-алгебра /([У]
регулярных функций на алгебраическом множестве У обладает
двумя специфическими чертами. Во-первых, она порождается
конечным числом образующих, т. е. имеет конечный тип. Во-
вторых, будучи алгеброй функций со значениями в поле К,
она не имеет нильпотентов (кроме 0), т. е. приведенная. Нако-
нец, по теореме Гильберта о нулях сопоставление точке хбУ
максимального идеала / (х) = {fe/( [ У],	является биек-
цией между У и множеством 8ресгп/([У] максимальных иде-
алов кольца /([У].
Эти свойства позволяют дать абстрактное определение аф-
финного многообразия над К как тройки (X, /([X], ф), где
X — множество, /([X] — приведенная /(-алгебра конечного ти-
па, а <р — биекция X па Specm К [X].
Элементы X называются при этом точками этого многообра-
зия, а элементы Д'[Х] — регулярными функциями на нем. В са-
мом деле, для х(‘Х и /€Д'[Х] имеет смысл /(х) —значение f в
точке х. По определению это образ f при композиции
а	Р
К[Х]->/<[А']/Ф(х)ц/<,
где а — проекция на факторалгебру, а |3 — структурный гомо-
морфизм К-алгебр, биективный в силу теоремы Гильберта о
182
нулях. Биективность ф означает, что и точек, и функций доста-
точно много: функций — чтобы различать точки, точек — чтобы
реализовывать все гомоморфизмы А-алгебр А[Х]->А'. В даль-
нейшем мы не будем писать <р, подразумевая значения в точ-
ках.
В этих терминах морфизмом (X, /C[X]) в (У, А[У]) называет-
ся пара (), f*), состоящая из отображения f: X-+Y и гомомор-
физма А-алгебр f* : А[У]->А[Х], таких что f* (g(x))	(х))
для любых £?А[У] и хбХ. Впрочем, f и f* взаимно определяют
друг друга.
Любое абстрактное аффинное многообразие (X, А[Х]) изо-
морфно алгебраическому множеству в подходящем аффинном
пространстве К". Для этого надо взять образующие ti,..., tn
алгебры А[Х] и с их помощью вложить X в А".
2.3.	Аффинные схемы. Если в определении абстрактного аф-
финного многообразия отбросить требование приведенности
кольца А[Х], мы получим объект, который будем называть
аффинной алгебраической К-схемой (коротко — аффинной схе-
мой). Элементы А[Х] определяют, как и в 2.2, отображения Х-+
-+К, однако их уже нельзя в общем случае отождествлять с
функциями. Дело в том, что ненулевые элементы А[Х] могут
давать функции, тождественно равные нулю на X. Впрочем, по
теореме Гильберта о нулях это может случиться лишь для
нильпотентных элементов А[Х].
Морфизмы аффинных схем определяются дословно так же,
как для аффинных многообразий в п. 2.2; однако теперь отоб-
ражение f на точках уже не определяет [*. Приведем несколь-
ко примеров схем.
Пример 1. Каждое аффинное многообразие является аф-
финной схемой. Обратно, с каждой аффинной схемой X кано-
нически связано аффинное многообразие Xred=(X, А[Х]//(Х)).
Здесь I(X) —идеал элементов К[X], равных нулю во всех точ-
ках X, т. е. идеал нильпотентов.
Пример 2. Пусть А — произвольная коммутативная /(-ал-
гебра конечного типа. С ней связана аффинная схема (SpecmA,
А), обозначаемая также Брест А. Гомоморфизмы А-алгебр да-
ют морфизмы (направленные в противоположную сторону) аф-
финных схем. Таким образом, категория аффинных схем анти-
эквивалентна категории А-алгебр конечного типа.
Пример 3. Пусть (Х,К[Х])—аффинная схема, / — идеал
в А[Х]. Тогда подмножество V(I) нулей /, снабженное коль-
цом К[Х]/1, является аффинной схемой. Она называется под-
схемой в X, заданной идеалом /. Например, подсхема в X, за-
данная идеалом /(X), есть ассоциированное многообразие Xr(.d-
Рассмотрим, например, подсхему прямой А1, заданную урав-
нением Г2=0 (или идеалом (Г2)). Ее кольцо А[7’]/(7’2) состо-
ит из выражений а+ЬТ, где а, Ь(-К.. Эти выражения «помнят»
не только значение функции в точке 0 (т. е. а), но и ее произ-
183
водную (т. е. Ь). Поэтому и в общем случае подсхему, задан-
ную идеалом /, представляют как «инфинитезимальную окрест-
ность» множества V(/)czAn.
Как и аффинные многообразия, аффинные схемы реализу-
ются как подсхемы подходящих аффинных пространств А". Мы
не будем систематически пользоваться языком схем до главы 4,
однако знать о нем надо. Многие естественные конструкции
приводят именно к схемам, даже если мы исходим из многооб-
разий. Конечно, всегда можно перейти к ассоциированному
многообразию, но при этом может утеряться важная геометри-
ческая информация. Недаром схемы появляются даже в таких
далеких от них книгах, как [1] или [32].
Приведем несколько простых способов строить новые аф-
финные многообразия из уже имеющихся.
2.4.	Произведения аффинных многообразий. Пусть X и У —
аффинные многообразия; тогда декартово произведение ХХ'У
также обладает естественной структурой аффинного многообра-
зия. Более точно, произведение естественно появляется как аф-
финная схема (АхУ, К[А']®ЯК[У]). И уже теоремой является
утверждение, что эта схема — многообразие. Для этого надо
проверить, что ненулевой элемент Zf, тензорного произведе-
ния А[А]®кК[У] дает ненулевую функцию T,fj(x)gj(y) на XX
X У. Функции I, можно считать линейно независимыми; тогда
если yeY— точка, где некоторое ^((/[^О, то функция
на X отлична от пуля.
Например, АпхА”’ изоморфно An+m.
Произведение А'ХУ обладает каноническими морфизмами—
проекциями на X и У и, вообще, является прямым произведени-
ем в категории аффинных многообразий. Графиком морфизма
f : А—>У называется подмногообразие Г, в АхУ, заданное урав-
нениями =	1, £А'К[У]. Как множество Г, состоит из
пар (х. y)(‘XxY, для которых f(x)=y. В частности, диагональ
A.vCzAxA (график тождественного морфизма Х-+Х) является
подмногообразием в ХхХ.
2.5.	Пересечение подмногообразий. Пусть Ун/ — подмного-
образия аффинного многообразия А'; тогда пересечение УПА
также подмногообразие в А. Однако более естественно и пра-
вильно понимать это пересечение как подсхему в А, заданную
идеалом /(У)+/(А). При этом появление нильпотентов у схе-
мы УПК свидетельствует о петрансверсальности У и Z.
Пример 1. Пусть А=С2 с координатами Т и S, У — «па-
рабола» [5 = Т2], Z — «горизонтальная» прямая [3 = 0]. Теоре-
тико-множественное пересечение У н Z состоит из одной точки.
Схемное же пересечение устроено интереснее и задается иде-
алом (S, S + 7'2) = (S, Г2); в частности, оно изоморфно схеме из
примера 3. Это связано с тем, что прямая Z касается кривой У
(см. рис. 2).
184
Если же вместо Z рассмотреть другую «горизонтальную»
прямую Zv=[S = t/], убС—{0}, то пересечение YRZy состоит из
двух точек (±Уу, у), даже в схемном смысле.
Рис. 2
Пример 2. Пусть У — подмногообразие в X, а У' — в X'.
Пересечение УхХ' и ХхУ' в ХхХ' является многообразием
УХУ'. Это отвечает интуитивному чувству, что многообразия
УхХ' и ХхУ' расположены в ХхХ' трансверсально.
2.6.	Слои морфизма. Пусть f : X-+-Y — морфизм аффинных
многообразий. Образ f(X) в общем случае не будет подмного-
образием в У. Пусть, например, Х= [7’17’2= 1] •—«гипербола» в
К2, a f — проекция на ось ТТогда f(X)=K—{0} и не являет-
ся алгебраическим подмножеством в Л'.
С прообразами дело обстоит лучше. Для точки убУ подмно-
жество (у) = {хСХ, f (х) = у} является алгебраическим под-
многообразием в X. Однако его снова лучше рассматривать как
подсхему в X, заданную идеалом f* (tny) /([X], где ту— макси-
мальный идеал точки у^У. Схема (у) называется слоем мор-
физма f над точкой у; она изоморфна пересечению графика Г,
с «горизонталью» Хх{у} в ХхУ. Такая терминология вызвана
тем, что многообразие X как бы расслаивается на многообразия
(или схемы) f~l{y), где у пробегает точки У.
Снова наличие нильпотентов в кольце схемы f"1 (у) свиде-
тельствует о какой-то особенности морфизма, ветвлении, крат-
ных слоях и т. п. Так, на рис. 2 изображен график отображения
f : С->С, f{x)=x2. При у=/=0 слой Д1 (у) приведен и состоит из
двух различных точек ±Vy; при у = 0 эти две точки сливаются
в одну «двойную» точку 0, из-за чего и появляются нильпотен-
ты. Рассмотрим еще два примера.
Пример 1. Пусть / : Л'->Л'2 переводит точку t в точку (t2,
/3). Его график rf—-кривая в №, заданная параметрически
(/, t2, t3), или уравнениями Ti = P. Т'2:=У3- Образ f —
кривая Ccz№ с уравнением	Хотя f и задает биекцию
185
между К и С, он не является изоморфизмом аффинных много-
образий. Дело в том, что слой / ч(р) содержит нильпотенты
(график Г, касается оси Т); геометрически это проявляется в
том, что точка Р особа на С (см. рис. 3).
Пример 2. Еще более поразительный эффект бывает,
когда ноле К имеет положительную характеристику р>0.
Пусть отображение F : К—*К задается формулой F(x)=xp (или
5 = 7'р); оно называется морфизмом Фробениуса. Теоретико-
множественно оно взаимно однозначно (если хр = х'р, то
(х—х')р — хр—х'р = 0 и х = х'), однако снова не изоморфизм.
Более того, для любой точки у(-К. слой F~l(y) задается иде-
алом ( Тр—у) = (Г—~]/у)р и поэтому неприведеп. Отображение F
критическое во всех точках (это видно и из вычисления произ-
водной: сРГфсГГ = р7'р'_[ = 0); во всех точках график его касается
горизонтали, и все же F не постоянно!
Вообще, пусть / : X-*-Y — морфизм аффинных многообразий,
и ХсдУ— подсхема, заданная идеалом /сзЛфУ]. Схемным про-
образом Z при / называется подсхема f'‘(Z) в X, задаваемая
идеалом /|:(7)К[Х]. Например, пересечение подмногообразий Y
и Z в X’ можно рассматривать как прообраз диагонали ЛхСдХХ
XX при вложении YxZczXхX, или как пересечение YxZ с Лх
в Х'хХ. Последний прием часто бывает полезен и называется
редукцией к диагонали. График Г, — прообраз диагонали при
морфизме zrfx/: Хх У-*ХхХ. Связь операций произведения,
пересечения и прообраза не случайна — это все частные случаи
более общей операции расслоенного произведения, см. п. 4.2.
2.7.	Топология Зарисского. Как в л. 1.3, алгебраическим под-
186
множеством (или подмногообразием) аффинного многообразия
X называется множество Y(/) общих нулей функций из некото-
рого идеала /сК[Х]. Как и раньше, алгебраические подмно-
жества в X замкнуты относительно пересечений и конечных
объединений. Поэтому их можно объявить замкнутыми мно-
жествами некоторой топологии на X, называемой топологией
Зарисского.
Пусть f : X-+Y—-морфизм аффинных многообразий. Как мы
видели, прообраз любого алгебраического подмножества
ЕсдУ алгебраичен в X. Это значит, что отображение f непре-
рывно в топологии Зарисского. В частности, любая регулярная
функция непрерывна. Обратно, топология Зарнсского — слабей-
шая топология, в которой точки замкнуты, а регулярные функ-
ции непрерывны. Если У — подмногообразие в X, то топология
па Y совпадает с топологией, индуцированной с X.
Отметим, что образ аффинного многообразия не обязательно
открыт или замкнут. В самом деле, рассмотрим пример мор-
физма / : А2->А2, заданного формулой f(x, у) — {х, ху) (см.
рис. 4). Его образ состоит из точки (0, 0) и открытого
множества 77= {(х, у), х=/=0). Это множество £7(J{(0, 0)} пе
замкнуто, даже локально. Однако оно состоит из (двух) ло-
кально замкнутых кусков — точки (0, 0) и U. Позже мы уви-
дим, что похоже обстоит дело всегда: образ алгебраического
многообразия является объединением конечного числа локаль-
но замкнутых кусков.
Топология Зарисского очень естественна, и в абстрактном
случае трудно придумать что-то лучше. И все же во многих
отношениях она выглядит непривычной по сравнению с обыч-
ной метрической топологией на С". Полиномиальные функции
187
на С" конечно непрерывны в топологии, задаваемой евклидовой
метрикой. Поэтому классическая топология на С” сильнее, чем
топология Зарисского. Иначе говоря, открытое (соответственно
замкнутое) по Зарпсскому подмножество будет открытым (соот-
ветственно замкнутым) в классической топологии. Обратное
неверно; например, алгебраические подмножества в С исчер-
пываются конечными подмножествами (и всем С). Таким обра-
зом, открытые по Зарпсскому подмножества «очень большие», в
частности, топология Зарисского сильно нехаусдорфова.
Другое отличие от классической топологии в том, что топо-
логия Зариского на произведении ХхУ двух аффинных много-
образий сильнее произведения топологий Зарисского на X и У.
Так, в A2 = A'xA' есть много алгебраических подмножеств, от-
личных от вертикальных и горизонтальных прямых (например,
диагональ).
Хотя классическая топология далека от топологии Зарисско-
го, их не разделяет непроходимая пропасть. Вот простейший
связывающий мостик: если открытое UczX плотно в топологии
Зарисского, оно плотно и в классической топологии. Более топ-
ким фактом является теорема о связности: из связности в топо-
логии Зарисского следует связность в классической топологии.
Подробнее о результатах такого рода говорится в статье о ко-
гомологиях алгебраических многообразий. Это позволяет при-
менять к комплексным алгебраическим многообразиям методы
алгебраической топологии (гомотопии, когомологии и т. д.) и
анализа (периоды интегралов, теория Ходжа); представление о
них дает книга [32]. Трансцендентные методы служат мощным
стимулом для поиска их алгебраических аналогов и способству-
ют дальнейшему развитию абстрактной алгебраической геомет-
рии.
2.8.	Локализация. Топология Зарисского позволяет более ло-
кально определить понятие регулярной функции. Пусть UciX
открытое подмножество аффинного многообразия X, и функ-
ция ДЛ'[.¥] отлична от нуля во всех точках U. Тогда функция
I// определена во всех точках U и может считаться «регуляр-
ной» функцией па U в силу ее алгебраического происхождения
(см. 1.2). Регулярными надо считать тогда и функции вида g/f,
где gfK [X].
Вообще, скажем, что функция h : U-+K регулярна в точке
x< U, если существуют функции f, g(X[X], такие что f(x)=/=0 и
h = glj в некоторой окрестности точки х. Более точно можно
сказать, что h совпадает с g/f на множестве	где
2)(f)~X—У(/) = {х'еХ, /(x')=#=0). ААножества вида 0(f) на-
зываются главными открытыми подмножествами, в X и образу-
ют, очевидно, базу топологии Зариского на X.
Функции на У, регулярные во всех точках U, образуют коль-
цо, обозначаемое д’.т(У). Если У'сдУ, то ограничение функций
188
c U на U' дает гомоморфизм колец (или Л-алгебр) Ол(Д)-’-
Такой объект Сх в дальнейшем будет играть важ-
ную роль и называться структурным пучком колец на X. Ясно,
что К[Х]с<7х(Х); на самом деле здесь равенство.
Предложение. /С[Х] =С*х(Х) для аффинного многооб-
разия X.
Действительно, пусть функция h: Х-+К регулярна в каждой
точке хсХ. Тогда h=^gxffx в 55(Д) и й(х)#=0. По теореме Гиль-
берта о нулях функции Д, хбХ, порождают единичный идеал в
А[Х]. Поэтому существует разложение \~Zaxfx, где ажб/С[Х].
Но тогда h~h-1 = Zaxhfx=ZaxgxQK[X].
В силу этого предложения можно не опасаться двусмыслен-
ности, говоря о регулярных функциях. Представление 1=ЕДхЛ
играет роль, аналогичную разложению единицы в теории диф-
ференцируемых многообразий.
2.9.	Квазиаффинные многообразия. Пусть снова U — откры-
тое подмножество аффинного многообразия X. В общем случае
пара (U, OX(U)) не является аффинным многообразием. Во-
первых, /С-алгебра	может не порождаться конечным
числом элементов. Во-вторых, в U может оказаться «мало» то-
чек, т. е. отображение U-^SpecmCХ(Д) (см. п. 2.2) может
быть не сюръективным.
Пример. Покажем, что [7 = АП—{0} не аффинно при
н^2. Для этого проверим, что ОАп (Й) совпадает с Л'[А"].
Иначе говоря, любая регулярная функция на Ап—{0} продол-
жается до регулярной функции на А". Это свойство напоминает
теорему Хартогса в теории аналитических функций и резко
отличается от ситуации в дифференцируемом случае.
В самом деле, пусть функция f регулярна на U. Покроем U
множествами £Z)(7\), где 7\ —координаты на А". Тогда ограни-
чение f на ®(Л) имеет вид gilT'j, Ш g^K [Ть .. ,,Г
а г(>0; можно также считать, что gi не делятся на 7\. Из сов-
падения иа 3) (Тi) П 3) (Г2) мы получаем	Из одно-
значности разложения на простые множители в кольце много-
членов А'[Т|,.... Т„] заключаем, что Г1 = г2 = 0 и gi = g2 = f.
Напротив, главные открытые множества 3>(f)czX являются
аффинными многообразиями. Приведем еще два связанных с
этим факта. Кольцо <УХ(3)(П) регулярных функций па 3)(f)
совпадает с кольцом К[X][/‘'1 ] дробей вида gif', где g^A[X],
г^О. Топология Зарисского на 0(f) индуцируется топологией
Зарисского на X.
В любом случае открытые подмножества аффинных много-
образий локально устроены как аффинные многообразия. Они
называются квазиаффинными алгебраическими многообрази-
ями.
2.10.	Аффинная алгебраическая геометрия. Хотя алгебраи-
ческая геометрия главным образом имеет дело с проективными
189
многообразиями, стоит отметить, что и аффинная алгебраиче-
ская геометрия имеет свои задачи, зачастую неожиданно труд-
ные. Трудности возникают уже для простейших аффинных
многообразий — аффинных пространств А". Упомянем пробле-
му Серра о векторных расслоениях на Ап, решенную лишь
сравнительно недавно (см. [12, 57]). Другая известная про-
блема: пусть многообразие ХуА” изоморфно AR+^; верно ли,
что X изоморфно А71? Утвердительный ответ очевиден при п=1
и лишь недавно был получен для п = 2 (см. [51]); при п>2
вопрос открыт.
Возможно, причина затруднений состоит в том, что прост-
ранство Ап (во всяком случае при п>1) очень «гибкое». Как
легко понять, автоморфизмы А1 имеют вид T'i=aT + b, где
а, Ы'К и а=£0. Автоморфизмов А" при п>1 гораздо больше,
как видно из примера треугольного преобразования
Тх = Ту -f- f0,
Л>=Г2+ /!,(/;),
7'л = Гл + /я_1(Г1.Т„_у),
где	..., Г,]. В частности, любое конечное подмножест-
во А" при п>1 можно перевести автоморфизмом в любое дру-
гое конечное подмножество той же мощности. При п = 2 любой
автоморфизм А” порождается треугольными и линейными ав-
томорфизмами. При п>2 это неизвестно и, скорее всего, невер-
но. К этим задачам близка проблема линеаризации действия
алгебраических групп на Ап.
Наконец, надо упомянуть т. и. проблему якобиана. Пусть
отображение [: С"—«-С" задается многочленами fi,..., f„ из
C[Ti, . .., Т„]. Предположим, что якобиан det (dfj/dT,) нигде
не обращается в пуль па С" (можно считать, что он тождест-
венно равен 1). Гипотеза якобиана состоит в том, что тогда [
является изоморфизмом. Обсуждение этой проблемы см. [21].
§ 3.	Алгебраические многообразия
Уже довольно давно было понятно, что рассматривая толь-
ко аффинные многообразия, мы получаем неполную картину
происходящего, видим лишь как бы только часть настоящего
многообразия. Связано это с иекомпактиостью аффинного про-
странства, с тем, что не контролируется поведение «на беско-
нечности». Например, за исключением параллельных, любые
прямые на аффинной плоскости пересекаются. Удобно предпо-
ложить тогда, что и параллельные пересекаются, по в «беско-
нечно удаленной точке». Добавление таких точек к аффинному
пространству А" превращает его в проективное пространство
190
Р”. Другое удобство проективной точки зрения в том, что та-
кие аффинно разные кривые, как эллипс, парабола и гипербо-
ла есть просто разные аффинные части коники. По этой при-
чине алгебраическая геометрия была и есть по преимуществу
геометрия проективная. И нам нужно от аффинных многообра-
зий переходить к более общим алгебраическим многообразиям.
3.1.	Проективное пространство. Проще всего n-мерное про-
ективное пространство Рп определить как множество прямых в
векторном пространстве Kn+l. Каждая прямая, т. е. одномерное
векторное подпространство LczKn+1, задается ненулевым векто-
ром (х0, • • •, х„)б/Сп+|, рассматриваемым с точностью до умно-
жения на ненулевую константу А.€К* = К—{0}. Поэтому можно
сказать, что Р” есть факторпространство Kn+1—{0}/К*.
Координатные функции То,... , Тп на Kn+i называются од-
нородными координатами на Р”. Стоит предостеречь, однако,
что Tt не являются функциями на Рп, как и любые многочлены
от Tt (кроме констант, конечно). Выражения типа ТJT4 можно
рассматривать как функции, но не на всем Рп, а лишь на части
[7( = Р‘—/Л, где А/, состоит из точек (х0, . .., х„) с х, — 0. Иначе
говоря, U, состоит из прямых LczKn+I, изоморфно проектирую-
щихся на г-ю координатную ось. При фиксированном i функ-
ции В/'> = Т:,Тг[, j=0, 1,...,п, задают взаимно однозначное со-
ответствие Ui с аффинным подпространством Т, = 1 в Кп + 1.
При этом состоит из прямых L, лежащих в гиперплоскости
Ti = Q и отождествляется с Рп-1. В этом смысле Р" получается
из аффинного пространства	прибавлением бесконечно
удаленной гиперплоскости = Pt!.
Множества образуют покрытие Рп, и каждое Ut обла-
дает естественной структурой аффинного многообразия А".
При этом на пересечениях UiP\U7 эти структуры согласованы.
В самом деле,	можно рассматривать как главное откры-
191
тое множество	в t/.t а также как главное открытое мно-
жество S>(sZ7) в UВ первом случае кольцо регулярных функ-
ций порождается	во втором —
6,<У)~'. Но эти кольца совпадают. Например,
s<'> = Tk/Tt = (Тк ITj)	=
и
^)-> = (Т'у/7'0-1 = Л/7'/ = &у).
Обратно, выражаются через g1’1.
Таким образом, Р" локально устроено как аффинное мно-
гообразие. Поэтому можно говорить о регулярных функциях
на Р" (правда, их мало — только константы), об алгебраиче-
ских подмногообразиях Р" (их уже много), топологии Зарис-
кого и т. д. Подобные понятия применимы не только к Рп, по
и к любому геометрическому объекту, локально устроенному
как аффинное многообразие. Возникающая при этом теория
алгебраических многообразий во многом параллельна теории
дифференцируемых или аналитических многообразий.
3.2.	Атласы и многообразия. Пусть X — топологическое про-
странство. Аффинной картой в X назовем открытое подмноже-
ство UaX, снабженное структурой аффинного многообразия;
при этом требуется, чтобы топология U совпадала с топологией
Зариского. Карты U и U' в X называются согласованными, ес-
ли для любого открытого VaUftU' выполняется C?u(V) =
=Ow (V).
Атласом на X называется семейство (Ut) 161 попарно сог-
ласованных аффинных карт, покрывающих X. Два атласа и
эквивалентны, если их объединение снова атлас, т. е. если
карты из и согласованные.
Структурой алгебраического многообразия на X называется
класс эквивалентных атласов. В дальнейшем мы ограничимся
только теми алгебраическими многообразиями, которые облада-
ют конечным атласом. Картой па многообразии называется аф-
финная карта некоторого атласа. задающего структуру на Л; у
любой точки существует сколь угодно малая карта.
Любое аффинное многообразие является алгебраическим
многообразием. Любое замкнутое подмножество УсХ алгебра-
ического многообразия снабжается канонической структурой
алгебраического многообразия; говорят также, что Y — под-
многообразие (или замкнутое подмногообразие) в X. Если
Ur~.X—’открытое подмножество, оно также обладает очевид-
ной структурой алгебраического многообразия.
Покрытие U, проективного пространства Рп является атла-
сом и превращает Р" в алгебраическое многообразие. Вообще,
если V — конечномерное векторное пространство над К, обоз-
начим через Р(Е) множество прямых в V, проходящих через
192
0. Если 1-.V-+K—ненулевой линейный функционал, пусть Htc.
сР(У) состоит из прямых LcKer /. Тогда £Л = Р(У)—Ht состо-
ит из таких прямых L, что l(L) =К и может быть отождествлен
с аффинным подпространством /~’(1)с:Е. Структуры на разных
Ui согласованы и превращают Р(Ё) в алгебраическое многооб-
разие. Конечно, Р” — Р(Л'”+1).
3.3.	Склеивание. Эта операция позволяет получать новые
многообразия из уже известных. Пусть (XJ —конечное покры-
тие множества X, и па каждом X, задана структура алгебраи-
ческого многообразия. Предположим, что: а) для любых i, /
XjflXj открыто в Х{ и Xh б) структуры алгебраического мно-
гообразия на Х,Г|Х, индуцированные с и Xh совпадают. Тог-
да на X существует и единственна структура алгебраического
многообразия, для которой X. — открытые подмногообразия.
Говорят, что X получено склеиванием многообразий Хг.
Можно, например, представлять, что проективное простран-
ство Р" склеено из аффинных пространств i = 0, 1,..., п.
Вот другой пример. Пусть X] и Х2 изоморфны аффинной пря-
мой A1, Ti и Т2— координаты на Х\ и Х2. Отождествим Х\—{0}
с Х2—{0} при помощи Т} = Т2. В результате получится «аффин-
ная прямая с раздвоенной точкой 0». Такое многообразие есте-
ственно возникает как множество орбит действия Х(х, у} =
= (Хх, X'1//) группы К* на плоскости К2.
°г
Рис. 6
Пример. Хорошее упражнение на тему склеивания пред-
ставляет конструкция торических многообразий. Зафиксируем
решетку М, т. е. свободную абелеву группу конечного типа
(изоморфную Z", но базис нам не нужен и даже отвлекает).
Пусть Scz'M — подмоиоид, т. е. содержит 0 и замкнуто относи-
тельно сложения. Тогда можно образовать полугрупповую
Х-алгебру Х[5]. Ее аддитивные образующие имеют вид х”,
где m+S, а перемножаются они по правилу xm-x’n’ =x™+m'. Ес-
ли моноид X порожден конечным числом элементов, X-алгебра
Х[3] имеет конечный тип и определено аффинное многообразие
SpecmX[S]. Например, если S = M, мы получаем п-мерный тор
T = SpecmX[Al] =Specm[7’l,..., Гп, Тг1,..., Л,-1]-
Пусть теперь в двойственной решетке Л4* = Нот (М, Z) за-
дано множество В, дополняемое до базиса группы М*. С ним
можно связать следующий моноид в М:
Вг = {т£М, b(m)>Q VbfzB};
13—5334
8
193
соответствующее аффинное торическое многообразие
Specm'/C [5х] обозначим Хв- (Оно называется торическим,
потому что на нем естественно действует тор Т). Если
то 5,Х:?5Х и мы имеем естественный гомоморфизм /С-алгебр
К [В1]-> М [В,х] и противоположный морфизм многообразий
Хв'-^Хв. Нетрудно проверить, что Хв-^-Хв является откры-
тым вложением.
Если теперь в М* задан набор Е таких подбазисов В, мно-
гообразия Хв и Хв- (В, B'gi) можно склеить по их открытым
кускам Хв(у и получить торическое многообразие Х$. Напри-
мер, Р” получается при [2 —...............В,}, где Bll — {ei,...,en},
Bi = {ex, ..., е;, ..., е„, — е} — ,..	<’„} при i--^ 1, ..., п.
Интерес дорических многообразий связан с тем, что различ-
ные объекты па (обратимые пучки, их когомологии, формы
и т. д.) удается описывать в комбинаторных терминах, связан-
ных с S. Например, обратимые пучки изображаются много-
гранниками в A10R, а сечения их — целыми точками много-
гранников. Подробнее об этом см. [3].
3.4.	Многообразие Грассмана. Пусть снова V — векторное
пространство над К. Обозначим через Г7(/г, У) (или G(k,n).
если n = dim V) множество fe-мериых подпространств U7crV; при
6=1 получаем Р(У). Обобщая конструкцию проективного про-
странства, снабдим G(k,V) структурой алгебраического мно-
гообразия, называемого многообразием Грассмана.
Пусть V=V'®V"— прямое разложение, причем dim V' — k.
С каждым таким разложением свяжем множество U(V',V"),
состоящее из подпространств W'cz Г, которые изоморфно про-
ектируются на V, Такие подпространства можно отождествить
с графиками линейных отображений V' в V". Таким образом.
U(V', V") =Жогщ ( V, V") V"® V* естественно отождествляет-
ся с векторным пространством размерности kin—k) и снаб-
жается структурой аффинного многообразия. Можно непосред-
ственно убедиться, что все эти карты U(V', V") согласованы и
задают на G(k,V) структуру алгебраического многообразия.
Подробнее о грассмапиане см. [32] и [33].
3.5.	Проективные многообразия. Замкнутое подмножество
проективного пространства называется проективным многооб-
разием. Приведем общий способ задания таких многобразий.
Пусть V—векторное пространство над К- Конусом в V на-
зовем алгебраическое подмногообразие CczV, инвариантное
относительно гомотетии, т. е. умножений па константы. Свяжем
с конусом С подмножество Р(С)с=Р(У), состоящее из прямых
LczC. Множество Р(С) замкнуто в P(V'). В самом деле, при
отождествлении карты Ui (где I: V—>-К линейный функционал)
с аффинным подпространством Z-1(l)cr V множество P(C)aUi
194
отождествляется с пересечением Cf|/_ 1 (1), очевидно замкнутым
в (1).
В координатах То,. .., Тп па V конус С задается однород-
ными уравнениями /Д7’о,.. ., Тп) =0, /6/. Тогда Р(С)Г|(/{ за-
дается уравнениями fj(T0/Tit ..., Tn/Ti) =0. Уравнения
называются однородными уравнениями Р(С).
Обратно, любое проективное многообразие XcP(V) имеет
вид Р(С) для некоторого конуса CczV. В самом деле, пусть
(Ui) — стандартный атлас Рл, и	задается уравнениями
/У)(7'0/7'ь ..., 7'л/7'()=О, j^Ji- Тогда для большого m
TTf'jil(T(jTi,...,Tr/lTiy---g<ji}(T,v	является однородной
формой от 7\), ..., Тп, и уравнения g<.'> = 0, jf<Ji = 0, 1, ..., n,
задают X в P".
Наиболее простые проективные многообразия — линейные.
Если U7с: V —векторное подпространство, подмногообразие
Р(1^)сР(И) называется линейным. Если W—гиперплоскость
в V, то Р (U7) называется гиперплоскостью в Р(У). Линейной,
оболочкой множества называется пересечение всех линейных
многообразий, содержащих множество; для двух разных точек
х, у это проективная прямая ху и т. д. Задать гиперплоскость
W aV — то же, что задать прямую в двойственном прост-
ранстве V’ и обратно, поэтому множество гиперплоскостей
в Р (V) тоже является проективным пространством P(V*).
Каждое векторное пространство V можно рассматривать как
аффинную часть проективного пространства Р(П®/<), а именно,
как дополнение к гиперплоскости Р (V) С Р	Если X с V —
алгебраическое многообразие, то замыкание X в Р(ЕФ/С)
является проективным многообразием. Это стандартный способ
перехода от аффинных многообразий к проективным (зависящий,
впрочем, от вложения XcV). В координатах gb ...,£„ на V
проективизация выглядит так. Пусть f (gb ..., £„) — многочлен
степени г/; назовем его гомогенизацией однородный многочлен
степени d f ..., Т n} = Ttf (Г  Тп/Го). Теперь если X
задается уравнениями /; = 0, то проективизация X задается
уравнениями f j = Q.
§ 4.	Морфизмы алгебраических многообразий
4.1.	Определения. Пусть X—алгебраическое многообразие
с атласом (Х,), Y—аффинное многообразие. Отображение
f : X-^Y называется регулярным, если регулярно ограничение f
на каждую карту X,-. В частности, мы получаем понятие регу-
лярной функции. Для открытого UdX обозначим через Ох(0)
/(-алгебру регулярных функций на U. Если U'dU, мы имеем
гомоморфизм ограничения
13*
195
Пусть теперь У — произвольное алгебраическое многообра-
зие. Непрерывное отображение [ : Х->-¥ называется морфизмом
(или регулярным отображением) алгебраических многообразий,
если для любой карты VcY индуцированное отображение
/-1(Е)->У регулярно. Иначе говоря, для любой регулярной
функции g на открытом УсУ функция [*(g)=g°f должна
быть регулярной на	Тем самым /* задает гомоморфизм
алгебр <7у(У)->б/х(/-'(Ю).
Композиция морфизмов снова морфизм, так что алгебраи-
ческие многообразия образуют категорию. Каноническое вло-
жение замкнутого подмногообразия является морфизмом; мор-
физм У—»-Х называется замкнутым вложением, если он осущест-
вляет изоморфизм У с замкнутым подмногообразием в X. Если
/ : Х->-У—морфизм, a Y'czY—замкнутое подмногообразие, то
f~'(Y') —замкнутое подмногообразие в X (см. п. 2.4). В част-
ности, для точки убУ многообразие f~'(y)czX называется сло-
ем морфизма f над у.
Многообразие X, снабженное морфизмом f : Х-»-У, называют
иногда многообразием над У, или У-многообразием. При этом
X представляют как семейство алгебраических многообразий
Х1/ = /‘'|(у), параметризованное точками г/бУ. Морфизм У-много-
образин /:Х-*У в : Х'-*-У—это морфизм ср : Х-+Х', такой
что	При этом слой отображается в слой f'~'(y),
и мы получаем семейство морфизмов <pv : Ху-+Ху'.
4.2.	Произведения многообразий. Пусть X и У—алгебраи-
ческие многообразия с атласами (X,) и (У,). Тогда (Х;ХУ,)
является атласом для ХхУ, так что ХХУ тоже алгебраическое
многообразие. Легко проверить, что ХхУ—прямое произведе-
ние X и У в категории многообразий.
В частности, для любого многообразия X диагональное вло-
жение А : Х-»-ХхХ(Д (х) = (х, х)) является морфизмом, хотя в
общем случае не. замкнутым вложением. Иначе говоря, диаго-
наль в А'хХ может оказаться незамкнутой. Пример доставля-
ет «аффинная прямая с раздвоенной точкой» из и. 3.3. Если все
же диагональ в XXX замкнута, многообразие X называется
отделимым (не путать с хаусдорфовостью X как топологичес-
кого пространства’). Например, любое аффинное многообразие
отделимо (см. п. 2.4). Класс отделимых многообразий замкнут
относительно прямых произведений и перехода к подмногооб-
разиям. Как мы проверим ниже, проективное пространство от-
делимо, откуда следует отделимость любых проективных мно-
гообразий. Поэтому в дальнейшем мы будем интересоваться ис-
ключительно отделимыми многообразиями.
Неотделимость многообразия связана с тем, что склеивая
его из аффинных кусков, мы склеиваем эти куски не до конца.
А именно, имеет место следующий критерий отделимости: мно-
гообразие X с атласом (Х() отделимо тогда и только тогда, ког-
1%
да образ Л^ПЛ^ при каноническом вложении в замкнут.
Действительно, образ Xt(]Xj в XiXXj есть пересечение XtXXj с
диагональю в XXX.
Применим этот критерий к стандартному атласу (t/i), i =
= 0, i,...,n, проективного пространства Рп (см. п. 3.1). Как
легко убедиться, образ UiftU, в UiXUj задается уравнениями
№ =	^) = ^)g(7), k = 0,...,n,
откуда мы получаем отделимость Рп.
Кроме прямых произведений, в категории алгебраических
многообразий существуют расслоенные произведения, что вы-
годно отличает ее от категории дифференцируемых многообра-
зий. Покажем это, ограничившись отделимыми многообразия-
ми. Пусть f : A'—<-Z и g . Y-*-Z—многообразия над Z; расслоен'
ным произведением X и У над Z называется подмногообразие
X X Y = {(х, у)ёХ XY, f(x)=g (у)}
в АХ У. Более правильно определить его как прообраз диаго-
нали Az при морфизме [Xg . XxY-^ZxZ- это сразу дает схем-
ную структуру на XxY. Частными случаями расслоенного
z
произведения является прямое произведение (Z— точка), слой
(У->7 — вложение точки) и пересечение подмногообразий.
Коммутативная диаграмма
д'
X х X—х
z	I
называется декартовым квадратом. Глядя на него чуть
несимметрично, можно сказать, что операция расслоенного
произведения превращает Z-многообразие X в У-многообразие
ЛХУ; такая операция называется заменой базы. Слой f' над
2
точкой убУ изоморфен слою f над точкой g(y)', замена базы—
это прямой аналог понятия индуцированного расслоения в то-
пологии.
В частном случае, когда g:Y-+-Z=Y — тождественный мор-
физм, расслоенное произведение состоит из (х, у)бАХ^, Для
которых f(x)=y, и по понятным причинам называется графи-
ком Г} морфизма j : X-+Y. Г} — замкнутое подмножество в
XXК если У отделимо. Проекция Гг+Х — изоморфизм, и лю-
бой морфизм f : X-+Y разлагается на замкнутое вложение
X ~„ГfdXX.Y и проекцию XXY-+Y.
4.3.	Отношения эквивалентности. Двойственным к понятию
расслоенного произведения является понятие амальгамирован-
ной суммы, т. е. универсальное дополнение диаграммы
197
R---► Y
i
।
t
X—*XUY .
R
Оно существует довольно редко. Мы обсудим кратко частный
случай — отношения эквивалентности. Отношением эквива-
лентности на многообразии X называется замкнутое .подмно-
гообразие R в Х%Х, которое теоретико-множественно есть от-
ношение эквивалентности (мы оставляем читателю формули-
ровку схемного варианта определения). Вопрос о существова-
нии фактормногообразия Х/R довольно деликатен и далек от
решения; обсуждение его см. [18], [39], [52]. В одном простом
случае ответ утвердителен — это когда обе проекции R~>X
являются локальными изоморфизмами; по существу, это склей-
ка (см. и. 3.3).
Любое многообразие X можно представить как фактормио-
гообразие U/R, где U — аффинное многообразие, а проекции
R локальные изоморфизмы. Для этого надо взять атлас
(Ui) и положить U=\__\U(, R=Uy,U. Вообще, мы могли бы
/	х
определить любое многообразие как пару (U, R), где U — аф-
финное многообразие, RcU\U — отношение эквивалентности
на U, п проекции R~$.U — локальные изоморфизмы. Морфиз-
мом пары (U,R) в пару (U',R') естественно считать морфизм
f : Д—*- U', такой что (/X/) (Rj cRОднако такое «простое»
решение вопроса об определении многообразия было бы
неправильным. Ведь задание пары (О, R)—это по существу
задашн- атласа, а надо еще отождествить эквивалентные атла-
сы (пн. 3.1 и 4.1). Оформление такого отождествления оставим
заинтересованному читателю.
Если в определении многообразия как пары (U, R) усло-
вие «проекции RzHJ — локальные изоморфизмы» заменить бо-
лее слабым «проекции RzJ£/ —этальные морфизмы» (см. § 5
главы 2), мы получим очень интересное понятие алгебраиче-
ского пространства, обобщающего понятие алгебраического
многообразия. Интерес алгебраических пространств в том, что
многие алгебро-геометрические конструкции (вроде фактор-
многообразий, стягиваний, схем модулей) реализуются именно
как алгебраические пространства, см. [18|.
Схематично генезис понятия многообразия выглядит так.
В исходном пункте мы имеем точку и аффинную прямую А1.
Расслоенные произведения приводят к аффинным простран-
ствам А" и их подмногообразиям — аффинным многообразиям.
Факторы по (локально изоморфным) отношениям эквивалент-
ности на аффинных многообразиях дают алгебраические мно-
гообразия, а по этальным — алгебраические пространства.
4.4.	Проектирование. Важные классы морфизмов достав-
ляют операции линейной и полилинейной алгебры. Начнем с
198
линейных. Пусть л : An+1—{0}->Рп— отображение, которое не-
нулевой точке x&Kn+i сопоставляет прямую Kxc.Kn+i, т. е.
точку Рп. Ясно, что оно регулярно. Если f — регулярная функ-
ция на Р", то л* (Л регулярна на An + i—{0}. Как мы видели в
п. 2.9, такие функции отождествляются с многочленами от
То, ...,Тп. Кроме того, л* (Л инвариантна относительно гомо-
тетий, так что многочлен должен иметь нулевую степень, т. е.
быть константой. Так мы получаем, что любая регулярная
функция на Рп постоянна-, этот простой результат — прообраз
многочисленных теорем конечности для проективных многооб-
разий.
Рассмотрим теперь проективный вариант проектирования.
Пусть Н^Рп — гиперплоскость в Pn+I и р — точка, не лежащая
на Н. Для любой точки xfiP’1+i—{/?} прямая рх в Pn+1 пересе-
кает Н в единственной точке лР(х). Так возникает отображе-
ние, очевидно, регулярное
лР : Р^-^Н^Р”,
которое называется линейной проекцией из точки р. При отож-
дествлении Pn + i—Н с An+i мы получаем предыдущий пример.
Если подмногообразие XccPn+I не проходит через точку
р, ограничение проекции на X дает морфизм 2С-»-Рп. Позже мы
обсудим и тот случай, когда р^Х. Проектирование из точки
можно итерировать, или сразу проектировать из линейного
подмногообразия. Вообще, если f : V——гомоморфизм век-
.торных пространств над К, то возникает естественный морфизм
Р (V) — Р(Кег Л->Р(U7), называемый коллинеацией. В частно-
сти, автоморфизм V дает автоморфизм Р(Е). Позже мы уви-
дим, что любой автоморфизм Рп является коллинеацией.
Операции полилинейной алгебры приводят к трем знамени-
тым морфизмам — Веронезе, Сегре и Плюккера.
4.5.	Морфизм Веронезе. Если IFczV — векторные про-
 странства, то переход к й-й симметрической степени дает вло-
жение Sym'! W'czSym'1 V, что можно интерпретировать как
отображение соответствующих грассманианов. Наиболее ин-
:	тересен случай, когда W одномерно; в этом случае Sym^IF
также одномерно и мы получаем отображение Веронезе
vlt: Р(П)^Р(5утЧД.
г Чтобы убедиться в его регулярности, рассмотрим на V коордн-
наты Тй, ...,Тп, а на Sym*V — координаты Та-= То° ... Тп"-‘
|	где а-^(а.о, ..., ап) — вектор с целыми неотрицательными коор-
|	динатами, и ^at = k. Тогда vk задается сопоставлением точке
t х = (х0, ...,х„) точки ц*(х) с координатами (хп==Хо’ ••• х"п).
t Легко проверить, что vh является замкнутым вложением;
| образ его задается квадратичными уравнениями ТаТь=Та'Ть',
199
где а-{-Ь = а'-\-Ь'. Образ Р1 при отображении Веронезе
vk : Р!->-Р'1 называется рациональной нормальной кривой сте-
пени k. При А=2 это коника с уравнением ToT2==Ti2; при
k=3 — кривая в Р3 с уравнениями ТйТ3— Т\Т2, Т0Т2—Т\2,
TiT^-Ti2. Проектируя ее из точки р=(0, 1,0,0) на плоскость
Р2, мы получаем, ио существу, пример 2.6.
Образ вложения и2: Р2-»-Р5 называется поверхностью Веро-
незе.
4.6.	Морфизм Сегре. Если WczV и W'aV'— вложения век-
торных пространств, мы получаем вложение IE®WczV®V',
что опять дает отображение соответствующих грассманианов.
В частности, если W и W одномерны, то W®W' одномерно,
и мы получаем отображение Сегре
s : Р(7)ХР(Е')-*Р(Е®1/').
В координатах точкам х= (х0,. . . , хп) и у = (у0,.. . , ут) соот-
ветствует точка s(x, у) с координатами (х,т/,), z = 0, ...,п,
/=0....т. Образ s задается в однородных координатах
на Р(У®Р") квадратичными уравнениями RtlRkr= RuRht. Лег-
ко проверить, что отображение Сегре — замкнутое вложение.
В частности, произведение проективных многообразий проек-
тивно.
Простейший случай — вложение Р’ХР1 в Р3; образ его —
квадрика с уравнением ХУ — ZT. Так как при вложении Сегре
слой Р'Х{у} переходит в прямую в Р3, то квадрика З(Р’ХР’)
заметается двумя семействами прямых, которое хорошо видно
на однополостном гиперболоиде.
4.7.	Морфизм Плюккера. Здесь используется внешняя сте-
пень. Если W— A-мерное подпространство векторного про-
странства V, то АМЕ— прямая в A4Z, и мы получаем мор-
физм Плюккера
р : G(k, V)-+P(AhV).
Снова можно убедиться, что р является замкнутым вложе-
нием, и чго образ его задается квадратичными уравнениями
(см. [32], [43]). Следствием этого является проективность
многообразий Грассмана.
При k=\ мы получаем изоморфизм G(l, V)~P(V). При
k=n—1, благодаря изоморфизму А"-’ 1'^	V*. мы
снова получаем изоморфизм О(п—1, Е)^Р(Е*). Поэтому
простейший нетривиальный пример — G(2,4), многообразие
прямых в Р3. Морфизм р вкладывает G(2, 4) в Р(Л2А'4)<^Р5
как гиперповерхность с уравнением Т^Ты—Т13Т2а+Т]АТ23=0.
Исследованию этого многообразия и его сечений посвящена
глава 6 книги [32].
200
§ 5.	Векторные расслоения
Алгебраические многообразия могут обладать дополнитель-
ной структурой, согласованной со структурой многообразия.
Мы кратко обсудим понятие алгебраической группы и более
подробно остановимся на векторных расслоениях.
5.1.	Алгебраические группы. Пусть на множестве G заданы
структура алгебраического многообразия и структура группы.
Скажем, что эти две структуры согласованы (и задают на G
структуру алгебраической группы), если отображение умноже-
ния ц : GXG->G и отображение обратного элемента t: G-*G
регулярны.
Например, множество невырожденных матриц GL(n, К)
является алгебраической группой, и даже аффинной как мно-
гообразие. В частности, GL(1,K) = K* называется мультипли-
кативной группой и обозначается иногда Gm. Другой пример
аффинной группы — аддитивная группа К со сложением в ка-
честве группового закона; она обозначается иногда Ga- Совер-
шенно другой пример доставляет групповой закон на плоской
кривой третьей степени, который мы обсудим в главе 3; это
частный случай т. н. абелевых многообразий (см. [54]).
Гомоморфизмом алгебраических групп называется гомомор-
физм групп	одновременно являющийся морфизмом
алгебраических многообразий. Его ядро Кег/=^-1(е) снова
является алгебраической группой. Например, умножение на
константу задает гомоморфизм Ga в Gn. Если поле К имеет
положительную характеристику р, морфизм Фробениуса
х ^х!‘ также является гомоморфизмом алгебраических групп,
причем инъективным. Гомоморфизмом будет и отображение
Артипа—Шрайера х~* х—хр, ядро которого отождествляется с
простым подполем Fpc:/C Возведение в n-ю степень, х^ хп,
является сюръективным гомоморфизмом Gm->-Gm. Ядро его,
обозначаемое рп, изоморфно группе корней n-й степени из 1 в
поле К.
В нашу задачу не входит изложение красивой и далеко
продвинутой теории алгебраических групп (см. [22], [44],
[62]). Два понятия все же надо упомянуть. Первое — понятие
действия алгебраической группы G на алгебраическом много-
образии X. Оно задается морфизмом многообразий р : GX
ХХ-+Х, удовлетворяющим двум требованиям: р(е,х)=х и
р(Я, р(Я/, х) ) =p(^gz> х). Замечательно, что их можно запи-
сать как коммутативность некоторых диаграмм; например,
второе требование выглядит как коммутативность диаграммы
G х G х х G х х
id*p	Р
Р '
G* X  =—* X
201
Второе понятие — алгебраическое семейство групп (Gx), па-
раметризованное точками многообразия X, или «группа» в ка-
тегории Х-мпогообразия. Нас больше будет интересовать
понятие семейства векторных пространств.
5.2.	Векторные расслоения. Векторным расслоением над
многобразием X называется Х-многообразие р.Е-^Х, снаб-
женное «нулевым» сечением 0 : Х->-Е, операцией «сложения»,
т. е. Х-морфизмом + : ЕХЕ->Е и операцией «умножения на
константы» К\Е-^-Ех, тоже являющейся Х-морфизмом. При
этом сложение должно быть коммутативным и ассоциативным,
умножение — дистрибутивным и т. д„ как при определении
векторного пространства. Для каждой точки xf-X слой Ех =
= р_|(х) обладает структурой векторного пространства над X,
поэтому векторное расслоение Е можно понимать как семей-
ство векторных пространств Ех, каждое растет над своей точ-
кой х(Х.
Гомоморфизмом векторных расслоений называется мор-
физм Хг-многообразий, коммутирующий с операциями «нуля»,
«сложения» и «умножения». Иначе говоря, слой переходит в
слой, и при этом является гомоморфизмом векторных про-
странств. Так возникает категория Vectx векторных рассло-
ений! над X. Замена базы f : Х-*У дает функтор /* : Vecty->-
->Vectx.
Приведем некоторые примеры. Каждое (конечномерное)
векторное пространство К можно рассматривать как векторное
расслоение над точкой. Для любого многообразия X рас-
слоение XXV-*X называется тривиальным векторным рас-
слоением (типа V, или ранга dim V). Векторное расслоение
р : Е->Х называется локально тривиальным, если существует
атлас (Xi), такой что индуцированные расслоения р~1 (Х.)->Х(
тривиальны. Такне расслоения известным способом задаются
коциклами g,j : X,nX>-*Aut V. Для локально тривиального
расслоения размерность слоя Ех локально постоянно зависит
от х; для произвольного векторного расслоения это не так и
размерность отдельных слоев может подскакивать.
Можно показать, что локально по базе любое векторное
расслоение устроено как векторное подрасслоение тривиаль-
ного векторного расслоения. Если : E-+F -- гомоморфизм
векторных расслоений, то существует расслоение ядер Кег<р =
= Ф~1(0;.), где 0— нулевое сечение F. К сожалению, для
коядер ф это уже не так, и факторрасслоение Е/Е можно оп-
ределить не всегда. В этом одна из причин широкого привле-
чения когерентных пучков вместо векторных расслоений. Од-
нако если Е — локально тривиальное векторное подрасслоение
в F, факторрасслоение F/Е существует.
5.3.	Тавтологические расслоения. Пусть G(k,V)—многооб-
разие Грассмана ^-мерных векторных подпространств вектор-
ного пространства V. Рассмотрим подмножество S в
202
G[k, V)xV, состоящее из nap (IF, v), таких что Легко
понять, что это будет векторное подрасслоение тривиального
векторного расслоения Va(k, v)= G (k, V) X У над G(k,V). Это
расслоение называется тавтологическим, или универсальным
подрасслоением над G(k, V). Оно локально тривиальное ран-
га k. Факторрасслоение Q= 1/G(a, vy/S называется универсаль-
ным фактор расслоением над G (k, V).
В частности,, над проективным пространством Р(У)
имеется тавтологическое линейное расслоение S.
Позже мы с каждым многообразием свяжем касательное
расслоение, играющее важную роль при исследовании много-
образия.
5.4.	Конструкции с расслоениями. Если Е и F— векторные
расслоения над X, их расслоенное произведение E\F как
х
/-многообразие также будет векторным расслоением. Оно
обозначается E&F и называется прямой суммой расслоений;
послойно это действительно прямая сумма слоев EXE)FX. Я не
знаю других общих конструкций для векторных расслоений.
Однако для локально тривиальных расслоений проходят все
естественные векторные конструкции: тензорные произведения
E®F, симметрические SymhE и внешние степени ЛрЕ, двой-
ственное расслоение Ev и т. п. Подробнее см. [25], [50].
Имитируя конструкцию проективного пространства, для
векторного расслоения Е-+Х, можно построить соответству-
ющее проективное расслоение Рх(£)->-Х, слоями которого
будут проективные пространства Р(£х). Можно также гово-
рить о конических подрасслоениях в Е, т. е. о подмногообра-
зиях СаЕ, инвариантных относительно действия К на Е. Та-
кие конуса СаЕ приводят к подмногообразиям PA-(C)c
cP.v(E), как в 3.5.
§ 6.	Когерентные пучки
Альтернативный и более удобный способ задания линейных
объектов доставляют когерентные пучки модулей. Ввиду их
важности, скажем о них несколько слов, хотя это и отвлекает
нас от геометрии. Подробнее о пучках см. [31], [41], [60].
6.1.	Предпучки. Пусть X — произвольное топологическое
пространство и ОР(Х)—категория открытых подмножеств А.
Предпучком множеств (групп, модулей или колец) называется
контравариантный функтор F из категории ОР(Х) в катего-
рию множеств (групп, модулей или колец). Иначе говоря, для
каждого открытого UczX должно быть задано множество
F(U), а для каждого включения открытых множеств VczU—
отображение ptr.v : F(U)—*-F(V). При этом ри,и должно быть
тождественным отображением, a pu,w~pv,w=pu.v-
203
предпучков, а затем применить переход к ассоциированному
пучку. В частности, с пучками множеств можно делать все, что
можно делать с множествами. Таким образом пучки множеств
служат хорошей моделью для теории множеств, формализуя
понятие «переменного множества». Нас, впрочем, больше бу-
дут интересовать пучки модулей.
6.3. Пучки модулей. Напомним, что структурный пучок С х
на алгебраическом многообразии X является пучком колец и
даже /(-алгебр. Поэтому можно рассматривать пучки модулей
над (Зх. Некоторое время нам будет несущественно, что X —
алгебраическое многообразие, и можно считать, что речь идет
о любом топологическом пространстве X, снабженном пучком
коммутативных колец Такой объект называется окольцован-
ным пространством. Прежде чем переходить к пучкам моду-
лей, остановимся на пучковом определении алгебраического
многообразия. В ,п. 2.8 аффинное многообразие было снабжено
пучком /(-алгебр; алгебраическое многообразие можно теперь
определить как окольцованное пространство, локально изоморф-
ное аффинному многообразию. Аналогичным образом можно
определять дифференцируемые и аналитические многообразия,
супермногообразия и т. п.
Ита, пусть (X, S&)—окольцованное пространство. Пучок
F на X называется пучком ^-модулей, если для каждого от-
крытого t/сХ множество F(U) снабжено структурой модуля
над кольцом s£(U), согласованой с отображениями ограниче-
ния. Все понятия теории модулей (гомоморфизмы, ядра, кояд-
ра, точные последовательности, прямые суммы, тензорные про-
изведения и т. д.) переносятся на пучки модулей. Например,
F®aG есть пучок, ассоциированный с предпучком
U •-*F(Lr)<8>A(U)^(U) • Известная тонкость связана и с понятием
коядра гомоморфизма пучков модулей <р : F-+G— это снова
пучок, ассоциированный с предпучком	G (U)/<p(F((7)). По-
этому точность последовательности пучков
0-^F-^G->//->0
означает лишь точность последовательности
0-^F(X)->G(X)->tf(X),
тогда как в общем случае G(X)->-//(X) не эпиморфно. Откло-
нение от эвиморфности контролируется когомологиями пуч-
ка F.
Пучок ^-модулей ^(/), где / — произвольное множество,
называется свободным ранга Card(/). Локально свободным
называется пучок модулей, локально изоморфный свободному.
Важную роль играют локально свободные пучки ранга один,
т. е. пучки, локально изоморфные л/; они называются обрати-
мыми. Тензорное произведение обратимых пучков F®^G снопа
205
Элементы F(U) называют также сечениями F над G, а
отображения р — отображениями ограничения и обозначают
pu,v (s) =s/U. Использование такой терминологии объясняет
следующий пример. Пусть f : Y-*-X— некоторое многообразие
над X; для открытого U^X сечением j над U назовем мор-
физм g : U-+Y, такой что композиция f°g есть каноническое
вложение U в X. Множество всех сечений f над U обозначим
Y (U); так мы получаем некоторый предпучок. В частности,
предпучком является Ох, построенный в 4.1.
Морфизмом предпучков <р : F-+-G называется набор ото-
бражений <рг : Л([/)->-<?(£/), где U пробегает ОР(Х), согласо-
ванных с ограничениями. В частности, если ср : У—<-Z—мор-
физм Х-многообразий, мы получаем морфизм предпучков
Ф : Y-+Z. Такой взгляд на многообразия как на предпучки
оказывается полезным при поисках обобщений понятия алгеб-
раического многообразия.
6.2.	Пучки. Предпучок F па X называется пучком, если он
удовлетворяет следующей аксиоме:
Пусть дано семейство (U,) открытых подмножеств X и
сечения x,C'F(t/,), согласованные на пересечениях (т. е.
s, \ U= s, \ (Uдля любых ( и /). Тогда существует, и |
при том единственное, сечение s(-F(|jGi), такое что 5( = х| Ut
для всех I.
Например, построенный в и. 6.1 по Х-многообразию У ;
предпучок Y является пучком. Пучком будет и предпучок Ох '
регулярных функций па алгебраическом многообразии X, а :
также предпучки гладких функций на дифференцируемом мно- ;
гоообразии, непрерывных функций на топологическом про- :
странствс и т. л. Можно сказать, что пучки возникают там, где
сечения задаются локальными условиями.
Конечно, не каждый предпучок является пучком. Напри- ;
мер. постоянный предпучок, которы йкаждому U сопостав-
ляет фиксированное множество А, очень редко бывает лучком.
Однако с каждым предпучком F можно связать в некотором
смысле ближайший к нему пучок F+. Строится он так. Для
открытого UaX обозначим через Cov((7) множество всех от- :
•крытых покрытий U. Для покрытия CU= (U{) GCov(G) опреде- г
лим F(7Z) как множество согласованных на пересечениях
U,Y\V, наборов s,CF(G,). Если покрытие дЛ вписано в 7/, :
имеется каноническое отображение FW)—rF(<2/'), и так воз- i
пикает индуктивная система F(°U), 7/fCov (Д).	Определим t
теперь F+(G) как индуктивный предел этой системы. Легко 
проверить, что: а) F+ является пучком, б) предпучок F есте- >
ствелпо отображается в F+, в) любой морфизм F в пучок G *
пропускается через F+.
Эта операция позволяет переносить на пучки все операции ;
с предпучками: надо сначала сделать операцию в категории
204
обратимо, и F ®aF*c~_^, где/7* = Hom^(F, ^) — двойственный
пучок. Поэтому множество Pic (Д') классов обратимых ^-моду-
лей с точностью до изоморфизма является абелевой группой и
называется группой Пикара X.
Пусть теперь f: X -> Y — морфизм многообразий, a F— пучок
модулей на X. Прямым образом F при f называется пучок
f *F модулей на Y, который открытому VcY сопоставляет
F (/-1 (V')). Чуть сложнее определить обратный образ f*Q
для пучка ОУ-модулей G. Предварительно определим пред пучок
f'G на X. Для открытого UcX положим (/’(7)(67) = lira G (V),
где индуктивный предел берется по открытым VaY, содержа-
щим / (67). Это предпучок моделей над /Оу. Тогда f*G —
пучок модулей, ассоциированный с предпучком f ’G ®f-c Ox-
Локальная свободность, ранг обратимость сохраняются при /*>
в частности, /* дает гомоморфизм групп Пикара PicK->PicA7
6.4.	Когерентные пучки модулей. Вернемся теперь к алгеб-
раическим многообразиям. Пучок модулей на многообразии на-
зывается квазикогерентным (соответственно когерентным), ес-
ли локально он изоморфен коядру гомоморфизма свободных
пучков (соответственно свободных пучков конечного ранга).
Пример 1. Пусть А' -аффинное многообразие, XI- модуль
над кольцом К [А']. Полагая для открытого UtzX M(U)=
мы получаем пучок модулей А1 на X.
Сопоставление /Ии- М сохраняет тензорное произведение,
точность и т. п. В частности, Л/ квазикогерентный (и когерент-
ный, если Л1 конечного типа); более того, любой квазикогерент-
той (когерентный) пучок модулей имеет такой вид.
Пример 2. Пусть р : Е-+Х—векторное расслоение. Свя-
жем с ним пучок SX(E) линейных форм на £; более точно, для
открытого UacX сечения этого пучка над U — это регулярные
функции на р ‘(И), линейные на слоях р. Получается когерент-
ный пучок модулей, свободный (соответственно локально сво-
бодный, обратимый), если векторное расслоение Е тривиальное
(соответственно локально тривиальное, линейное).
В частности, для тавтологического линейного расслоения S
над проективным пространством P^P(V) обратимый пучок
S p)S) обозначается (7Р(1) и называется тавтологическим,
фундаментальным или скручивающим обратимым пучком на Р.
Пространство его глобальных сечений 7/°(Р, Op (1)) канони-
чески изоморфно пространству V* линейных форм на V.
m-я тензоная степень б/Р(1) также обратима и обозначается
Ор(т).
Квазикогерентность и когерентность сохраняются при пере-
ходе к ядрам и коядрам гомоморфизмов пучков модулей, теи-
206
зорном произведении, обратном образе. Прямой образ квази-
когерентного пучка квазикогерентный. Однако прямой образ
когерентного пучка вообще говоря не когерентен. Вот два ти-
пичных примера.
ПримерЗ. Пусть / — морфизм А1 в точку. Тогда /+б7А.
есть по существу пространство /У°(А', 6/Ai) = К [Г], которое
бесконечно над К', поэтому в данном случае некогерентен.
Пример 4. Возьмем вложение А1—{0} в А1. Прямой об-
раз структурного пучка приводит к К[7’]-модулю К[Т, Г-1],
который также ие имеет конечного типа.
В главе 2 мы познакомися с важным классом собственных
морфизмов, сохраняющих когерентность при прямом образе.
В следующем параграфе мы познакомимся еще с одним приме-
ром когерентных пучков — пучками дифференциальных форм.
6.5.	Пучки идеалов. Еще один важный пример когерентных
пучков доставляют пучки идеалов. Пусть Y — подмногообразие
в X, а ЦУ) — подпучок в (Ух, состоящий из сечений, обращаю-
щихся в нуль на У. Это когерентный пучок идеалов (Ух, причем
факторпучок OXU(Y) изоморфен
Обратно, пусть JczOx — когерентный пучок идеалов. Носи-
тель факторпучка (т. е. множество точек хбХ; где J Х--У=
здесь и далее F х обозначает, как всегда, слой пучка Ев
точке х, т. е. iimE((/) по всем окрестностям (/ точки х) являет-
ся замкнутым подмножеством в X. В духе § 2 окольцованное’
пространство (supp(6EJJ), б?л7-0 можно назвать подсхемой в
X, заданной пучком идеалов Jc(jx.
Вообще, алгебраической схемой можно назвать окольцован-
ное пространство, локально изоморфное подсхеме аффинного
пространства. Откладывая систематическое рассмотрение схем
до главы 4, скажем о них несколько слов. Алгебраические схе-
мы отличаются от многообразий лишь тем, что могут иметь
нильпотенты в структурном пучке. Поэтому их можно представ-
лять как «инфинитезимальные утолщения» алгебраических мно-
гообразий. Уничтожая нильпотенты, т. е. редуцируя схему X,
мы получаем алгебраическое многообразие Апч1 с тем же мно-
жеством точек. Как мы видели и еще увидим, многие естест-
венные конструкции приводят именно к схемам и проходят
для любых схем.
6.6.	Конструкции многообразий. Одно из применений коге-
рентных пучков относится к глобализации рассмотренных ра-
нее локальных конструкций. Пусть дано алгебраическое много-
образие X и квазикогерентный пучок л/ бЛ-алгебр конечного
типа. Последнее означает, что локально порождается ко-
нечным числом сечений. Глобализуя конструкцию аффинного
многообразия Specm из § 2, мы построим схему Specm.Y(j/)-S
вместе с морфизмом л : 8рест.т(л/)-*-А. Делается это так.
Предположим сначала, что X аффинное; тогда 8рестДл/) =
207
= Specm^(Az), а морфизм л дуален структурному гомоморфна-[
му /(-алгебр Е[АГ]->Л^ (X). Если ®(f) —главное открытое под-
множество в X, то в силу квазикогерентности ii
имеем	(X) ®к,XIE[S> (/) ] = ^(Х) (/“'). Поэтому
Specm^-(-Z> (/)) отождествляется с открытым подмножеством
n-1(2>(f)). В общем случае надо взять атлас (Х() многообра-
зия X и склеить S из схем SpecnW(X,). Заметим, что л-(О’я) =
=«яЕ так что сечения s$- реализуются регулярные функции на
S. Морфизмы вида Specmx(^/)->X' называются аффинными.
Два частных случая этой конструкции особенно важны. Пер-
вый — построение векторного расслоения V (F) по когерентному
пучку модулей F. Для этого в качестве надо взять пучок
симметрических алгебр Sytn^ (Е) пучка F. Эта конструкция
коммутирует с заменой базы. В частности, для любой точки х£Х
слой V (Е) над х отождествляется с векторным пространством
F (х)*, двойственным к F (х)=Fx/mxFх, где mx — максимальный
идеал Ох.х- При этом сечения F реализуются как функции на
V (Е), линейные послойно, и более того, Е изоморфен пучку
•2’x(V(E)) линейных форм на V(E) (см. §5).
Другой частный случай полезен для конструирования проек-
тивных расслоений. Пусть пучок алгебр & градуированный,
•Ж — Ф X, причем а) ^0 = С7д-, б) пучок когерентный, в)
порождает над ^(). Канонический гомоморфизм пучков Ох —
алгебр Sym	сюръективен, что дает замкнутое вложение
А'-схем C = Specm,v(<s^)c-V(^/,). В силу градуированности
подсхема С инвариантна при действии К гомотетиями на век-
торном расслоении V(^/j), так что С представляет расслоение
на конусы. Соответствующее проективное расслоение РДС)—<-А
(см. § 5) называется проективным спектром градуировано™
пучка алгебр и обозначается Proj (.$£). Конструкция проек-
тивного спектра также коммутирует с заменой базы. Морфиз-
мы вида Рго](-?/)^Х называются проективными. Подробнее
см. [28], [34], [41], [53].
§ 7.	Дифференциальное исчисление
на алгебраических многообразиях
Понятия дифференциала отображения н касательного про-
странства— центральные в любой теории многообразий. Они
служат инструментом линеаризации различных задач.
7.1.	Дифференциал регулярной функции. Пусть f(Ti,...
.... Т„) -многочлен (или регулярная функция на А"); поль-
зуясь обычными правилами дифференцирования суммы и про-
изведения. можно без предельных переходов, чисто формально
определить частные производные dfidTt. Это снова будут мно-
гочлены. Дифференциалом f в точке xfAn называется линейное
отображение
dj:
которое точку £ = (s!,..., £Л)6АГЛ переводит в число (<^x/)(s) =
п
= 2 (dfldT^x) g(. Можно также сказать, что <УЛ/ —это ли-
/—I
нейная часть функции f в точке х, так как
п
/=1
где ... означает члены порядка >2 по %. В силу полиномиаль-
ности дf IдТi отображения dxf склеиваются в одно регулярное
отображение df:KnXh.n-»К, df(1-,x)=*(dxf)(l).
Строение слоя /“* (/ (х)) вблизи точки х зависит от того,
отличен от нуля дифференциал dxf или нет. Если dxf=^Q,
многообразие /~’(/(х)) устроено «похоже» на многообразие ну-
лей дифференциала axj и является -гладким) вблизи х. Линей-
ное пространство нулей dxf естественно считать «касательным»
к /-1(/(х)) в х. Если ясе dxf=0, картина усложняется. Ниже
нарисован график функции / = Г? + 7"i — Т\ и его сечение нуле-
вого уровня (0). Дифференциал обращается в нуль лишь
в начале координат, и в нем кривая	(0)=J?2= Г?+ ??] имеет
«особенность»; все остальные кривые равного уровня /-1 (с) «глад-
кие >.
14—5834
8
209
Заметим сразу, что дифференциал может равняться нулю во ,
всех точках, даже если f непостоянна (см. морфизм Фробениу-
са из § 2). Однако это бывает в очень специальных случаях:
Предложение. Пусть f — непостоянный многочлен и
дифференциалы dxf равны нулю во всех точках хС[~* (0). Тогда
f есть p-я степень некоторого многочлена, где р — характери-
стика поля К. В частности, f приводим.
В самом деле, пусть f неприводим, и df /dTt обращается
в нуль в точках (0). Из теоремы Гильберта о нулях dfldTt
делится на /. Но степень д f / дТ t меньше степени /, так что
многочлен дf /дТt нулевой. В нулевой характеристике отсюда
следует постоянство f. В характеристике р>0 можно утверж-
дать лишь, что f зависит от Т\,..., Т„. Но тогда / = gp для
некоторого многочлена g.
7.2.	Касательное пространство. Пусть теперь X — подмного-
образие (или лучше подсхема) в А", заданная идеалом /с
czK[Ti,..., Гя], и xQX. Скажем, что вектор касается X в
точке х, если (dxg) (%) =0 для любой функции g из J (или
только для образующих идеала /). Множество всех таких век-
торов образует векторное подпространство в К", которое обо-
значается Т„Х и называется касательным пространством к X
в х.
Ясно, что каждая регулярная функция f на X имеет диффе-
ренциал dxj : ТхХ^»-К. Вообще, если f : X—>-У — морфизм аффин-
ных многообразий, то определен дифференциал dx\: ТхХ-+
который К-линеен.
Приведенное определение касательного пространства до- |
вольно наглядно, однако аппелирует к вложению ХстА”. Легко '
понять, как от этого избавиться. Пусть шхс:Л'[Л] — максималь- \
ный идеал функций, нулевых в точке х^Х. Сопоставляя функ- 1
ции ее дифференциал, мы получаем К-липейный гомоморфизм
6 : т1-*(ГД)*. Легко понять, что он сюръективен, а его ядро
совпадает с шх2. Это позволяет дать инвариантное определение
ТхХ как пространства, двойственного к mr/niA2 (Зариский), а
также «склеить» все касательные пространства ТхХ в одно ка-
сательное расслоенно ТХ. Однако стоит немного задержаться
еще па одном полезном понятии.
7.3.	Касательный конус. С точкой л многообразия ХсА"
можно связать у. п. касательный конус СхХ. лежащий в каса-
тельном пространстве ТхХ- Интуитивно его можно представлять
как предельные положения секущих хх'. когда х'(*Х
и стремится к х.
Снова надо начать с одной функции. Пусть / =	—
а.
разложение на однородные формы; ненулевая форма наимень-
шей степени называется начальной, или ведущей формой.
210
Ясно, что поведение f вблизи начала координат определяется
главным образом ее начальной формой. Подмногообразие
(а точнее, подсхема) нулей называется касательным кону-
сом к гиперповерхности [/=0].
Примеры. Пусть X — нулевая линия уровня функции
/==Т? + 7'1—Т\, как (на рис. 8а). Касательный конус в начале
*7-2	*7-2
координат задается уравнением 71 = 72 и распадается на две
прямые —	Тх=—Т2. Аналогично для кривой Г2 = Г1
касательный конус задается уравнением Т2 = $ и представляет
удвоенную прямую T2=Q (рис. 8Ь)).
Рис. 8
Дадим теперь определение. Пусть подсхема Хет А" задает-
ся идеалом 1 и х — точка X, которую без ущерба для общно-
сти можно считать 0. Касательный конус СхХ—подсхема в
Кп, заданная нулями начальных форм всех gf-J (в общем слу-
чае одних образующих I уже недостаточно). Ясно, что С,Х
лежит в касательном пространстве ТхХ и порождает последнее
как векторное пространство (точнее, касательное пространство
к С,Х в нуле совпадает с Т„Х). В каком-то смысле многообра-
зие X вблизи х «похоже» па СхХ, хотя это и нельзя понимать
буквально, как локальный изоморфизм (см. рис. 8Ь).
Для более инвариантного определения касательного конуса
понадобится следующее алгебраическое понятие. Пусть Й—
идеал в кольце А; градуированным кольцом пары (Л,й) назы-
вается градуированное кольцо
gr(A, й)= Фо(^/Й^).
Подробнее об этом образовании см. [19], [23], [63], [65].
Можно показать, что в предыдущих обозначениях факторколъ-
цо К[Т\,..., ГД по идеалу ведущих форм I изоморфно
14*
211
gr(A'[X], шж). Поэтому для произвольного многообразия X ко- ;;
нус СхХ можно определить как Specm(gr (<7Л-,Х, шх)).
Касательный конус, как и касательное пространство — обра-
зования функториальные. Если f : Х->У морфизм, хбХ, то при *
линейном отображении dxf: ДХ-э-Т^У конус СхХ отображает- s
ся в конус Cf{X)Y.
7.4.	Гладкие многообразия и морфизмы. Наиболее просто 
многообразия устроены в точках, где они похожи на касатель- 
ное пространство.
Определение. Точка х на многообразии X называется
гладкой (или неособой; или регулярной; говорят также, что X
гладко в х), если СхХ = ТхХ. В противном случае, точка х на-
зывается особой.
Как мы видели в п. 7.1, почти все точки гиперповерхности в
А" гладкие. Позже мы увидим, что это верно для любого мно-
гообразия, так что множество Sing А' особых точек многообра-
зия X замкнуто и нигде не плотно. Если SingX пусто, то X
называется гладким. Гладкие многообразия наиболее похожи
На дифференцируемые или аналитические многообразия, глад-
кие по определению. Конечно, А" — гладкое, как и Р", и много-
образия Грассмана. Если X—гладкое многообразие и f; Х->
-+К—регулярная функция, то многообразие f~'(f(x)) гладкое
в тех точках х, где ёу#=0. Понятно, как это обобщается на
морфизмы гладких многообразий. Мы же дадим относительный
вариант понятия гладкости для семейства многообразий.
Определение. Морфизм f : Х->-У называется гладким в
точке хС-Х, если дифференциал dxf: CxX-+Cl(x}Y устроен как
проекция VxCi(x}Y на второй сомножитель, где V — векторное
пространство. В противном случае говорят, что f вырождается
в х. Нигде не вырожденный морфизм называется гладким.
Приведем несколько простых свойств гладких морфизмов:
а)	Если X и У — гладкие, то гладкость f сводится к сюръ-
ективности отображений касательных пространств.
б)	Многообразие X гладкое тогда и только тогда, когда
гладко отображение X в точку.
в)	Если У — гладкое многообразие, a f : Х->-У— гладкий
морфизм, то многообразие X тоже гладкое.
г)	Если f : X—>-У — гладкий, то его слой f_| (у) гладкий.
Утверждения в) и г) — частные случае более общего.
д)	Гладкость сохраняется при композициях и замене базы.
7.5.	Нормальное расслоение. Пусть КсХ и оба много-
образия гладкие и аффинные. Нормальным пространством к У
в X в точке ugY естественно назвать факторпространство
Ь'пх.и=ТITyY. Дифференциалы функций из идеала /(У)
лают линейные функционалы на Ny/x.u> нулевые для функций
из / (У)2. Поэтому Nyix.u двойственно к пространству
/ (У)/(/(У)2Ц-и1у). Это подсказывает способ склейки таких
нормальных пространств в одно нормальное расслоение.
212
i; Пусть К —уже произвольное подмногообразие (или подсхема)
| X, заданная пучком идеалов J<z.Ox. Факторпучок J]J2 =
сосредоточен на Г и его можно рассматривать как
|когерентный пучок на Г; он называется ненормальным. Вектор,
рное расслоение V(J/ J2) над Y, связанное с этим пучком (см. § 6),
[ называется нормальным к Y в X и обозначается
В духе п. 7.3 можно определить расслоена? нормальных
конусов СУ1х как Specmr (gr ((7%, J)) = Specmr (J*+1). Это
; замкнутая подсхема в N у /А-.
7.6.	Касательное расслоение. Касательное расслоение ТХ-+Х
’ к многообразию X проще всего определить как нормальное
расслоение к диагонали в ХхХ. Слой этого расслоения ТХ над
точкой х изоморфен Л^д-, т. е. ТхХ. Если f : Х->-Y — морфизм,
то f Xf : А'X А->-У X Y переводит диагональ в диагональ и по
i функториальности дает гомоморфизм касательных расслоений
Tf: TX-+TY, согласованный с f и послойно совпадающий с
 dxf : TX-+TMY.
Примеры, а) Т(ХХ Y) ^ТХХ TY.
б)	Если XczA, то имеется каноническая точная последова-
тельность векторных расслоений над Y
0->7'У-^7'Х|у-*?7у|Х.
в)	Касательное расслоение TG(k, V) к многообразию Грасс-
 мана G(k, V) отождествляется с расслоением S*®Q, где S и
Q — универсальные под- н факторрасслоения на G(k,V).
В частности, подкручивая па S* последовательность
О —> S —> Vp(/) —*• Q —> О
на проективном пространстве P(V), мы получаем точную после
довательность
О -> КР(о -> УР(И ®S* -> TP (V) -> 0.
7.7.	Пучки дифференциалов. Конормальный пучок к диаго -
нали в XXX, рассматриваемый как С/.х-модуль, называется
кокасашельным, или пучком дифференциальных 1-форм на X
и обозначается оф. Его сечения реализуются как (пос.тайно) ли-
нейные функции на ТХ и называются дифференциальными 1-
формами. Примерами 1-форм язляются дифференциалы df функ-
ций на X. Для хОХ дифференциал d дает изоморфизм тх1ш2х^
=<<2х(х). Дифференциалы функториальны в том смысле, что
морфизм многообразий f:X-+Y дает гомоморфизм пучков
Подробнее о пучках и модулях дифференциалов
см. 18], [9], [36], [41].
Пример 1. Пучок Пдп свободный с образующими dT...
...,dTn.
213
Пример 2. Для Рп есть точная последовательность пучков
О -> Q’ п Кп" ® Otn (-1) -> Of-, -> О,
к	i
двойственная к последовательности расслоений из примера5
8.6в).
Пример 3. Если YccX— подсхема с пучком идеалов Ic. 1
ссОх, имеется двойственная к примеру б) п. 7.6 точная после- ‘
довательность присоединения
6	.	,
Гомоморфизм 6 индуцирован дифференцированием d и часто бы-
вает инъективен (например, если X и Y гладкие).
Пример 4. Пусть XсР2 — гладкая кривая третьей степени. .
Тогда пучок идеалов J в X в Р2 изоморфен Ор\- 3), a J) Фг~
~Ох( — 3). Поэтому Пх®(7( — 3) изоморфен второй внешней
степени йр®(7л-, т. е. ограничению Д2‘»р. на X. Из примера 2
видно, что Л2Йр>^С7р«( —3). Отсюда Их—Ох, так что на X
есть нетривиальная регулярная дифференциальная 1-форма. ।
Конечно, эту форму можно написать явно. Рассмотрим в А3 1
три (рациональные) 1-формы	|
__ Т ,dT 2 — T2dT}	__Т 2dT а—Т „dT 2	TodT. — TxdTa |
"° дР/дТ„: '	— дР'/дТ, ' "2“ дР)дТ2 ’	!
где Е(7'о, Tj, Т2) — однородный многочлен 3-й степени задаю- i
щнй А'. Так как степени числителей и знаменателей ин равны 2, '
формы со, однородны и определяют 1-формы на Р2, регулярные i
вне кривых 3)х = [dF/d7\ — 0]. Главное — формы ьц совпадают ;
при ограничении на X; это следует из того, что при ограниче- ,
нии на X обращаются в нуль
Поэтому формы <0,1% задают одну форму со на X, регулярную
так как Di не пересекаются в точках Д' в силу гладкости X,
Заметим, что если степень d многочлена F будет >3,
формы <о( можно умножить на любой однородный многочлен
степени d~ 3 и по тем же причинам получить регулярную
1-форму на кривой [F=0]cP2. Поэтому на гладкой кривой
степени d в Р2 есть -	регулярных дифференциаль-
ных форм.
Внешние степени .V(Qx) пучка С/у-модулей Их обозначают-
ся и называются пучками р-дифференциалов на X. Как и
пучки 1-ди(| ференпиалов, они ведут себя контравариантно.
С ними можно делать обычные операции [25], [26|: а) операции
внешнего умножения, б) сворачивания с векторными полями
214
Е (т. е. сечениями касательного расслоения ТХ -> X), в) внешнего
I дифференцирования, d: Оу -> Qx+1 •
| Для алгебраических многообразий можно также рассматри-
вать векторные поля, дифференциальные операторы, дифферен-
|циальпые уравнения, связности и остальные дифференциально-
\ геометрические понятия [25], [32], [64].
Глава 2
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ:
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
В главе 1 теория алгебраических многообразий развива-
лась параллельно теории дифференцируемых многообразий.
В этой главе мы рассмотрим понятия и свойства, специфические
именно для алгебраических многообразий и либо не имеющие
дифференцируемых аналогов, либо требующие существенно
иного подхода. К первым относятся понятия неприводимости,
нормальности, рациональные отображения, раздутия. Ко вто-
рым — понятия полноты, размерности, гладкости. Здесь же
устанавливаются фундаментальные свойства алгебраических
многообразий — теорема о размерности слоев, теорема о конст-
руктивности образа, теорема о связности, основная теорема За-
риского, полнота проективных многообразий, теорема конеч-
ности и т. д. Это требует чуть большего привлечения алгебры,
нежели в главе 1.
§ 1.	Рациональные отображения
1.1.	Неприводимые многообразия. Начнем с плоской кривой
[7'17'2 = 0]с1А2. Она явно состоит из двух кусков — прямых
[Г^О] и [Т'2 = 0], пересекающихся в точке 0 (см. рис. 1).
В свою очередь, эти прямые уже не разлагаются на более
простые замкнутые подмножества. Оказывается, что и любое
алгебраическое многообразие разлагается в объединение конеч-
ного числа неприводимых компонент.
Начнем с общего определения. Топологическое пространст-
во X называется неприводимым, если оно не является объеди-
нением двух собственных замкнутых подмножеств. Или, что то
же самое, любое непустое открытое подмножество плотно в X.
В частности, неприводимое пространство связно, хотя обратное
неверно, как видно из приведенного выше примера. Замыкание
неприводимого подмножества неприводимо. Образ неприводи-
мого множества при непрерывном отображении неприводим.
Алгебраическое многообразие называется неприводимым,
если оно неприводимо в топологии Зариского.
215
Пример 2. Для Рп есть точная последовательность пучков
О -> Q'n Кп" ® Ofn (-1) ->	О,
К	i
двойственная к последовательности расслоений из примера1
Пример 3. Если УсдХ— подсхема с пучком идеалов /с 1
<=-Ох, имеется двойственная к примеру б) п. 7.6 точная после- ;
довательность присоединения
6 , ,
J/ J1 (Jx^Y
Гомоморфизм 6 индуцирован дифференцированием d и часто бы-
вает инъективен (например, если X и Y гладкие).
Пример 4. Пусть XсР2 — гладкая кривая третьей степени.
Тогда пучок идеалов J в X в Р2 изоморфен (7Р( — 3), a
— 3). Поэтому — 3) изоморфен второй внешней
степени	т. е. ограничению Д2‘»Р> на X. Из примера 2
видно, что Л2ЙР.^(7Р.(-3). Отсюда	так что на X
есть нетривиальная регулярная дифференциальная 1-форма.
Конечно, эту форму можно написать явно. Рассмотрим в А3
три (рациональные) 1-формы
_ Туатг — T2dT, T2dT,,— T„dT2 Т^-Т^Т,
0 дг/дт,. ’	—dTW,	’ “2=—57WT~’
Где F(T0, Th T2) —однородный многочлен 3-й степени задаю-
щий X. Так как степени числителей и знаменателей со, равны 2,
формы со, однородны и определяют 1-формы на Р2, регулярные
вне кривых = [dF/dTi = 0]. Главное — формы о>, совпадают
при ограничении на X; это следует из того, что при ограниче-
нии на X обращаются в нуль
Поэтому формы задают одну форму со на X, регулярную
так как Г), не пересекаются в точках Д' в силу гладкости X,
Заметим, что если степень d многочлена F будет >3,
формы со, можно умножить на любой однородный многочлен
степени d — 3 и по тем же причинам получить регулярную
1-форму на кривой [Л = 0]сР2. Поэтому на гладкой кривой
степени d в Р2 есть ———— регулярных дифференциаль-
ных форм.
Внешние степени Л''(йх) пучка (Zv-модулей Ох обозначают-
ся и называются пучками р-дифференциалов на X. Как и
пучки 1-дис] ференпиалов, они ведут себя контравариантио.
С ними можно делать обычные операции [25], [26]: а) операции
внешнего умножения, б) сворачивания с векторными полями
214
; (т. е. сечениями касательного расслоения ТХ-+Х}, в) внешнего
дифференцирования, d:
I Для алгебраических многообразий можно также рассматри-
вать векторные поля, дифференциальные операторы, дифферен-
Гциальпые уравнения, связности и остальные дифференциально-
геометрические понятия [25], [32], [64].
Глава 2
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ:
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
В главе 1 теория алгебраических многообразий развива-
лась параллельно теории дифференцируемых многообразий.
В этой главе мы рассмотрим понятия и свойства, специфические
именно для алгебраических многообразий и либо не имеющие
дифференцируемых аналогов, либо требующие существенно
иного подхода. К первым относятся понятия неприводимости,
нормальности, рациональные отображения, раздутия. Ко вто-
рым — понятия полноты, размерности, гладкости. Здесь же
устанавливаются фундаментальные свойства алгебраических
многообразий — теорема о размерности слоев, теорема о конст-
руктивности образа, теорема о связности, основная теорема За-
риского, полнота проективных многообразий, теорема конеч-
ности и т. д. Это требует чуть большего привлечения алгебры,
нежели в главе 1.
§ 1. Рациональные отображения
1.1. Неприводимые многообразия. Начнем с плоской кривой
[7’17'2 = 0] <=А2. Она явно состоит из двух кусков — прямых
[7^ = 0] и [72 = 0], пересекающихся в точке 0 (см. рис. 1).
В свою очередь, эти прямые уже не разлагаются на более
простые замкнутые подмножества. Оказывается, что и любое
алгебраическое многообразие разлагается в объединение конеч-
ного числа неприводимых компонент.
Начнем с общего определения. Топологическое пространст-
во X называется неприводимым., если оно не является объеди-
нением двух собственных замкнутых подмножеств. Или, что то
же самое, любое непустое открытое подмножество плотно в X.
В частности, неприводимое пространство связно, хотя обратное
неверно, как видно из приведенного выше примера. Замыкание
неприводимого подмножества неприводимо. Образ неприводи-
мого множества при непрерывном отображении неприводим.
Алгебраическое многообразие называется неприводимым,
если оно неприводимо в топологии Зариского.
215
Пример 1. Аффинное пространство Ап (а значит и Рп)
неприводимо. В самом деле, пусть An = V(f)(JV(g); тогда
f-g = O. Но кольцо многочленов АфТ;.7\] целостно, поэтому
либо f, либо g равно 0, т. е. либо V(f), либо V(g) совпадаете
Ап. Вообще, аффинное многообразие X неприводимо тогда и
только тогда, когда кольцо А[Х] целостно.
Пример 2. Если многообразия X и Y неприводимы, то не-
приводимо и ХхУ. Для этого заметим, что образ любого от-
крытого UaXxY при проекции на У открыт. В самом деле,
проекция U совпадает с объединением открытых Гхс:У, хбХ,
таких что (7П({х} X У) = {х} X Vx.
Примерз. Пусть ff*K [T’i.....ТД —неприводимый много-
член. Из теоремы Гаусса об однозначном разложении на мно-
жители в кольце К[ТХ..........7\] легко получить, что
гиперповерхность V (f)czA.n неприводима. Вообще, если
/=>/Л-—разложение на неприводимые множители, то-
V(/) = V (/,.)U ... U V'(/г) —разложение V (f) на неприводи
мые компоненты.
Определение. Неприводимой компонентой многообразия
X называется максимальное неприводимое подмножество X;
ясно, что оно замкнуто.
Любое алгебраическое многообразие разлагается на конеч-
ное число неприводимых компонент. В самом деле, если X при-
водимо, разложим его на два меньших подмногообразия и т.д.
То, что процесс закончится через конечное число шагов, гаран-
тирует специфическое свойство топологии Зарисского — иётеро-
вость.
1.2. Нётеровы пространства. Топологическое пространство X
называется нётеровым, если любая убывающая последователь-
ность замкнутых подмножеств У1ДэУ2о ... в X стабилизируется,
т. е. найдется г, что Уг==Уг+)= ... . Имеют место следующие
простые факты (см., например, [23]):
а)	Любое подпространство нётерова пространства нётерово.
б)	Пространство X нётерово т. и т. т., когда любое его от-
крытое подмножество U квазикомпактно (т. е. из любого от-
крытого покрытия U можно выбрать конечное подпокрытие).
в)	X нетерово, если оно покрывается конечнем числом нёте-
ровых пространств.
Предложение. Алгебраическое многообразие нётерово.
Напомним, что мы ограничились многообразиями с конеч-
ным атласом. Поэтому в силу а) и в) достаточно проверить
нётеровость аффинного пространства А”. Пусть У|ОУ2дэ...—
убывающая последовательность подмногообразии А" и 7(У1)ст
czI(Y2)cl . . . соответствующая возрастающая последователь-
ность идеалов в К.[7\,... ,Тп]. По теореме Гильберта о базисе
идеал иПУ<) конечно порожден. Его образующие лежат в не-
котором 7(УГ); тогда /(Уг) =/(Уг,	. и Уг=Уг+1=... .
it
11.3.	Рациональные функции. Рациональной функцией от пе-
ременных Т},...,Тп называется отношение fig двух многочле-
нов /, g от Л,..., Тп, причем g^=0. Отметим, что она является
функцией не на всем Ап, а лишь на открытом подмножестве
' 2>(gjczAn, где g отлично от нуля. При этом она однозначно
; определяется своим ограничением на любое непустое открытое
i Ucz0(g). Обратно, любая регулярная функция на открытом
( UczAn представляется рациональной функцией.
Это подсказывает следующее обобщение на любое алгеб-
k раическое многообразие X. Рациональной функцией на X назы-
s вается класс эквивалентности регулярных отображений f : (/->
! -+-Х, где U — открытое плотное подмножество в X. Два та-
> ких отображения f: U-+-K и f': U'-+X считаются эквивалент-
ными, если они совпадают на UnU'. Это действительно будет
, отношением эквивалентности, так как U[\U' также плотно в X.
(Наивное определение рациональной функции как отношения
i двух регулярных функций мало интересно, так как на Рп мало
! регулярных функций.)
Рациональные функции можно складывать и перемножать,
так что множество Х(Х} всех рациональных функций на много-
образии X является кольцом. Ясно, что Х(Х) есть индуктив-
ный предел НтСД(Д) колец <9>х(Д), когда U пробегает откры-
тые плотные подмножества в X. Если X неприводимо, К(Х)
является даже полем. В самом деле, если f : U-+K — ненуле-
вая функция, она обратима на непустом (следовательно, плот-
ном) открытом подмножестве U—/~‘(0). Далее, для неприво-
димого X поле Х(Х) совпадает с полем частных целостного
кольца /([£7], где U — любая аффинная карта X. Для произ-
вольного X кольцо X(X) есть прямая сумма полей K(Xi), где
Xi — неприводимые компоненты X.
1.4.	Рациональные отображения. Совершенно аналогично
определяется рациональное отображение многообразия X в от-
делимое многообразие Y как класс эквивалентности морфизмов
U-+Y, где U открыто и плотно в X. Среди таких U существует
наибольшее, которое называется областью определения рацио-
нального отображения ).
Пример. Рассмотрим преобразование Рл в себя, которое
точку с однородными координатами (х0, . ,.,х„) переводит
в точку (хуД, ...,Х“'). Оно определено, если все xz=/==0.
Однако область его определения шире и включает точки, для
которых лишь одно из xt равно нулю; такая точка
(О, X), .... хя) переходит в (1, 0, ..., 0). В частности, при /г= 1
это отображение определено всюду (и совпадает с (х, у)-*
->(у, х)). При н = 2 оно неопределено лишь в трех точках
(1,0,0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1).
Известный недостаток рациональных отображений в том,
что их композиция определена не всегда; в самом деле, образ
217
предыдущего отображения может оказаться целиком вне об-
ласти определения последующего. Этого не случится, если об-
раз любой компоненты плотен; такие отображения называются
доминантными. Если / : X----->~Y доминантное рациональное
отображение неприводимых многообразий, то поле К(У) вкла-
дывается в поле Jx(X').
Рациональное отображение f; X------>У неприводимых мно-
гообразий называется бирациональным, если оно обладает ра-
циональным обратным : Y---------<-Х; эквивалентно можно ска-
зать, что f* устанавливает изоморфизм полей Х(У) и К(Х).
Например, отображение х-*(х5,х3) устанавливает бирацио-
нальный изоморфизм прямой А1 и плоской кривой С=[7’|3 =
= Т2?]- Другой
Пример. Пусть СсР2 — неприводимая коника. Тогда сте-
реографическая проекция (см. рис. 9), т. е. линейная проекция
из точки р^С задает бирациональный изоморфизм коники С и
прямой Р1. Вообще, если XczPn—неприводимая гиперповерх-
ность степени два, то линейная проекция из гладкой точки
р('Х задает бирациональный изоморфизм X — -->РП“’. Как мы
увидим позже, гладкая кубическая кривая в Р2 уже бирацио-
нально не эквивалентна Р1.
Бирациональная эквивалентность доставляет более слабое
понятие эквивалентности, чем изоморфизм; в этом также спе-
цифика алгебраической геометрии. Изучение алгебраических
многообразий с точностью до бирациональных преобразований
и нахождение бирациональных инвариантов составляет пред-
мет бирациональной геометрии.
1.5.	График рационального отображения. Рациональное
отображение f : X—-->У можно еще одним способом предста-
вить морфизмом. Пусть [ определено на открытом плотном
Uc.X и Гr^U/Y—его график (см. п. 4.3 главы 1). Замыка-
ние Г в ХхУ называется графиком рационального отображения
f и обозначается Гр Проекция р : Гг-’-Х является морфизмом,
причем бирациональным, т. к. р изоморфизм над U. Если q—
вторая проекция Г/—►У, то / представляется как композиция
218
j
f p~' и морфизма q. Рациональное отображение / можно пони-
j. мать как многозначное отображение, сопоставляющее точке х
множество /(х) =<7(р-1 (х)) (и однозначное почти всюду).
| Вообще, алгебраическим соответствием между многообра-
; зиями X и Y называется замкнутое подмножество ГсдХ'хУ;
) образом точки х^Х при Т называется подмножество Т(х) =
= q(p~x (х)) в У, где р, q— проекции Т в X и У.
‘ Пример. Рассмотрим график отображения проектирова-
i ния л : An+I-->Рга из п. 4.4 главы 1; оно определено вне на
: чала координат ОбАп+1. График ограничения его на An+1—{0}
( состоит из пар (х,/), где х— ненулевая точка Кп+Х, а Z— пря-
’ мая в Л'п+|, проходящая через х, т. е. 1 = Хх. Замыкание его в
; Ап+1ХРп состоит из таких же пар (x,Z), x6Z, только теперь х
• может и равняться 0. Оно задается уравнениями
TiTj^TjTi, I, /==0,1,.,(♦)
|.
f где Т/ — координаты на An+1, а Тt — однородные координаты
| на Р".
 Обозначим получившееся многообразие (т. е. графи < л) через
Ап+1 и посмотрим, как выглядит его проекция о на А"44. Для
этого покроем А"44 картами Uh Z = 0, 1,...,а, заданными усло-
виями (иначе говоря, это прообразы карт U( на Р’, см.
п. 3.1 главы 1). Пользуясь (*), выразим Ts как Тгде
= T/lTi. Поэтому координатами на служат Тh а также V/1’
и они задают изоморфизм с An+I. Отображение о в
этих координатах имеет вид
а*(Л)=Л,	при j*i.
Отсюда видно, что о устанавливает изоморфизм А'14'1 —о~'(0) с
А"44— {0} (впрочем, это следует из определения графика). Более
важно, что о”1 (0) на карте Ut задается одним уравнением
Т^О.
Вообще, слой а"'(0) состоит из пар (0, Z), где Z —любая пря-
мая 1с.Км. Поэтому о-’(0) изоморфен Р* и называется исклю-
чительным подмногообразием в An+I. Точка 0бАл+| при о-1
как бы раздувается, взрывается по всем направлениям, и каждо-
му касательному направлению соответствует своя точка на
и сключительном многообразии о"1 (0) (см. рис. 10). По этой при-
чине морфизм о (а также многообразие А"44) называется разду-
тием А"44, или cs-процессом. с центром в точке 0.
Обратимся теперь ко второй проекции л; А"‘‘‘-* Р". Слой л
над точкой ZgPn, т. е. над прямой Zc/<'!+1, состоит из точек х,
лежащих на Z, т. е. отождествляется с самой прямой I. Поэтому
л может быть отождествлено с унизерсатьныл линейным рас-
219
Рис. 10
слоением 5 -> Р" из п. 5.3 главы 1. Исключительное многообра-
зие Е отождествляется при этом с нулевым сечением S.
1.6. Раздутие точки. Обобщением предыдущей конструкции
будет раздутие точки на любом многообразии. Предположим
сначала, что X вложено в А'ж и проходит через 0. Ограничим
проектирование л:А"'*’1-»-?1 на X и рассмотрим его график. Он
называется снова раздутием X в точке 0 и обозначается X.
Его можно понимать как замькание в А?н множества о’1 (X —
— {0}). Проекция ах:Х-+Х задает поэтому изоморфизм
Х-их’(О) и Х-{0).
Посмотрим теперь, что происходит над точкой 0. Мы утверж-
даем, что слой о.\-1 (0) отождествляется с проективизацией ]
Р(С0Л') касательного конуса СиХ к X в точке 0. Это отвечает I
интуитивному представлению, что раздутие разводит касательные
направления. Ограничимся случаем, когда X задается в А'14'1
одним уравнением f ^0, где fCf\[TQ, ...,Тп]. Пусть разложе-
ние f = fd на однородные формы степени d начинается с
d
fde- Тогда па ’-'арте Ut в А"и многообразие <Е'(Х) задается
нулями многочлена
сг*(/)=/(т,^),...,т^,'’)^г/’(Ло+пЛ.+1ч-...).
Поэтому полный прообраз a_,(.Y) состоит из исключительного
многообразия Е -сг_|(О) (с кратностью r/u) и X, которое на
карте U t задается уравнением
fj„+T if rfo+i + . • • = 0.
Видно также, что слой ох'(0) — ХГ\Е задается на карте
уравнениями 7\ = 0 и f.<,=0, а на Е^Р" —начальной формой
А=о.
220
Рассмотрим, например, раздутие плоской кривой СсА2 с урав-
нением Р-—АГ2+Х3 (см. рис. 8а). Подставляя вместо К выраже-
. ние АХ мы получаем уравнение ХУ —Х2 + Х3. Сокращая на А'2,
I (получаем уравнение £2—1Ц-Х, задающее С на одной из карт
усм. рис. 4). Аналогично раздутие кривой Y2 — X3 задается
’ зравнением j2 = X.
( Чтобы раздуть теперь точку х на произвольном многообра-
\ ии X, надо некоторую окрестность (J точки х вложить в
| Ал+1 так, чтобы х попала в 0, и склеить X — {х} с U по
^открытым U — {х} и U — Щ/1 (0). Получается Х-многообразие
>; <г.Хх-+Х. При этом возникает вопрос о том, не будет ли
i конструкция зависеть от выбора U и вложения U в А”4’1,
t Мы приведем другую конструкцию, инвариантную и более
I общую.
[	1.7. Раздутие подсхемы. Пусть Y с X — подсхема, заданная
 пучком идеалов / <z.Ox- Образуем градуированный пучок
। С7х-алгебр Ф /*. Проективный спектр этой алгебры
*>о
<г. Pro) («^)-»- X (см. п. 6.6 главы 1) называется раздутием
многообразия X вдоль подсхемы Y. В оправдание такого опре"
деления раздутия приведем три довода.
а)	Пусть точка xQX не лежит на Y. Тогда вблизи х идеал
I совпадает с Ох, ^==(7х[7'] и его Pro] изоморфен X.
Поэтому о является изоморфизмом наш X—Y.
б)	Посмотрим, что происходит над Y. В силу функториаль-
ности Pro] подсхема о-1 (К) устроена как Pro] алгебры
Oy—®(IkIIk+v) — gr(px,I')- Таким образом crl(Y)-+Y
х *>0
устроено как проективизация нормального конуса Су/х- Важно
отметить, что подсхема (Т’(У)с% локально задается одним
уравнением, как в п. 1.6; это свойство на самом деле характе-
ризует раздутия (см. [41]).
в)	В частном случае X — К1*1, Y={0}, эта конструкция
совпадает с рассмотренной в п. 1.6. В самом деле, пусть
Тй, ..., Т„ — координаты на А”4'1, а /у, ..., ТУ— образующие
идеала ni0, рассматриваемые как элементы степени 1 в градуи.
рованном кольце А— Ф т.*. Эти;элементы связаны соотношениями
ТiT'j^TjT'., и мы приходим к (*).
Раздутия служат средством изучения локального строения
многообразия X вблизи подмногообразия Y, позволяя как под
увеличительным стеклом рассматривать особенности. Раздутия
используются также для разрешения особенностей и устране-
ния точек неопределенности рациональных отображений. На-
пример, рациональное отображение Р2 в себя, заданное фор-
мулой (х, у, г)ь*(х~1, г/-1, г-1), становится регулярным после
раздутия трех точек (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1).
221
§ 2.	Конечные морфизмы
2.1.	Квазиконечные морфизмы. Простейшие многообразия —
конечные. Прежде чем переходить к более глубокому изуче-
нию бесконечных многообразий, полезно остановиться на се-
мействах конечных многообразий, т. е. на морфизмах с конеч-
ными слоями. Вопреки ожиданию, такие морфизмы называют-
ся квазиконечными. Термин «конечный морфизм» резервирует-
ся для морфизмов, удовлетворяющих дополнительному свойству
замкнутости.
Пусть /: X—>-У квазиконечный морфизм. Число элементов
слоя может зависеть от точки убУ. Рассмотрим, к при-
меру, две плоские кривые Ct и С2 в А2, заданные уравнениями
У2—ХУ = 0 и XY2—У = 0, и спроектируем их на ось х (см.
рис. 11). Прн фиксированном х мы имеем квадратичное уравне-
ние относительно у, поэтому каждый слой содержит не более
двух точек. Их действительно две, если х=#0. При х = 0 слой в
обоих случаях состоит из одной точки, но по совершенно раз-
личным причинам. В первом случае при х—>-0 обе точки слоя
сливаются в одну. Во втором случае одна из точек слоя «уходит
на бесконечность». В первом случае морфизм считается конеч-
ным, во втором — нет. Чтобы дать общее определение, прихо-
дится прибегнуть к алгебраической терминологии.
2.2.	Конечные морфизмы. Морфизм аффинных многообразий
f : X—>-У называется конечным, если кольцо Л'[Х] конечно по-
рождено не только как алгебра над Л'[У], но и как Л'[У] — мо-
дуль (в этом случае говорят, что Л'[Х] является конечной
Л'[ У]-алгеброй). По-другому можно сказать, что алгебра /<[Х]
целая над Х[У] (см. § 1 главы 1). В самом деле, пусть
и Мп — Л[У]-подмодуль в Х[Х], порожденный 1,	£п'~|.
В силу конечности Х[Х] над Л'[У] возрастающая последова-
тельность модулей	стабилизируется, Mr = Mr+t и
i £r выражается через \,...,gT~x с коэффициентами из К[У].
• Поэтому g цел над -/([К]; обратное тоже очевидно.
! Морфизм f: X—произвольных многообразий называется
I конечным, если для любой карты ГсУ многообразие
р аффинно, а морфизм	конечен. В этом случае пучок
^Су-алгебр ^ = Л(С*‘л-) когерентен, а /-многообразие X совпа-
дает с Specm(^). Обратно, для любого когерентного пучка (7у-
" алгебр ^4 морфизм Specmy (з^)->У конечен.
Свойство конечности морфизма сохраняется при компози-
ции и замене базы. Конечный морфизм квазиконечен: легко
проверить, что конечная К-алгебра имеет лишь конечное число
: максимальных идеалов.
2.3.	Замкнутость конечных морфизмов. Морфизм f : Х-Л
 называется замкнутым, если для любого замкнутого подмно-
i жества ZczX его образ /(Z) замкнут в Y.
j Теорема. Любой конечный морфизм замкнут.
i При доказательстве можно считать Y аффинным, a Z = X.
: Покажем, что если y$f(X), то найдется функция £ЕХ[У], такая
 что g(y) — l и f (X) содержится в нулях g, т. е. Х[Х] аннули-
? руется умножением на f*(g). Пусть Л = Х[У], В = Х[Х] и ш —
максимальный идеал в А, соответствующий точке у. По теоре-
ме Гильберта о нулях y$f(X) тогда и только тогда, когда
= В силу конечности В как модуля над А нужное
нам утверждение следует из т. н. леммы Накаямы;
Лемма. Пусть М — модуль конечного типа над кольцом А,
ааА идеал. Если аМ = М, то М аннулируется умножением на
некоторый элемент из 1-|-а.
Индукцией по числу образующих М доказательство леммы
сводится к случаю, когда М порождается одним элементом т.
Но тогда т = ат для некоторого аба и (1—а)т = 0.
Обычно эта лемма применяется в ситуации, когда А — ло-
кальное кольцо, а астД — максимальный идеал. Тогда аА1=Л1
(или М®Л (Д/а) —0) влечет М = 0.
2.4.	Применение к линейным проекциям. Пусть XczPn —
проективное многообразие, не проходящее через точку р^Рп.
Тогда линейная проекция л : Х-^Р”’1 с центром в точке р бу-
дет конечным морфизмом.
Чтобы убедиться в этом, раздуем Р” в точке р и рассмотрим
соответствующий морфизм л:Рп->- Р"-1. Можно считать, что
X — подмногообразие в Рп и оно не пересекает исключительное
многообразие fcP". Мы уже видели в § 1, что л —локально
тривиальное расслоение со слоем Р1. Покажем вообще, что если
Z—>-/—локально тривиальное расслоение со слоем Р‘ и замкну-
тое подмногобразие XczZ не пересекается с каким-либо сечени-
ем Е этого расслоения, то X конечно над Y.
Так как утверждение локально по Y, можно считать Y аф-
финным, Z = P’xF и Е'={оо}хУ. Наше многообразие X лежит
223
Конструктивным называется множество, полученное из от-
в А1 X У= (РХ Y) — Е и задается некоторым идеалом /сА[Т], д. /'	.
где А = А[У]. Для многочлена а07'п+ ... -)-ап из А[Т] назовем! Йрытых или замкнутых подмножеств при помощи конечного чис-
а0 старшим коэффициентом. Образуем идеал /осдА старших ко- ’ >ла операций пересечения, объединения и дополнения; см. рис. 4.
эффициентов многочленов из I. Легко понять, что идеал /0 за- Y" "---------- ------'------ * J i---- ------------ Ап
дает многообразие А()({оо}хУ), и так как последнее пусто, обладает следующим важным качественным
/о = А. Это значит, что I содержит многочлен вида Тп-[-... 4-о»л
Но тогда A-модуль А([А] =А[Т]/1 порождается элементами,
1, Т, ...,Тп~} и конечен над А. Это доказывает конечность X
над Y.	,
2.5.	Теоремы о нормализации. По теореме 2.3 множество;
л (А) замкнуто в Рп~‘. Если оно отлично от Рп-1, его снова!
можно спроектировать в Рп-2 и т. д. В результате мы получим
конечное и сюръективное отображение А->-Рт для некоторого
т. Иначе говоря, любое проективное многообразие конечным
образом отображается на некоторое проективное пространство,
Например, любая проективная кривая может рассматриваться’
как конечное накрытие Р*. Для нас более важен будет аффин-,
ный вариант:
Предложение. Для любого аффинного многобразия су-
ществует конечный сюръективный морфизм на аффинное про-!
странство.	
В самом деле, пусть АГ с А/1 — аффинное многообразие)
Вложим стандартно Ап в Рп, и пусть X — замыкание X в РА
Если Х^=\п, X не содержит бесконечно удаленную гипер-
плоскость /7 = Р" — А". Возьмем теперь центр проектирования
на И, но вне X. Тогда проектирование л:Х->Р" ' будет конеч-,
пым морфизмом, причем л-1)?'1'1—Н)=Х. Поэтому конечным
будет и А-*Р"“’—//=А"-1. Образ его замкнут в А"-1, и про-
цесс можно продолжить до тех пор, пока образ А не совпадет
с А’-.	(
Это предложение служит основным средством локального:
исследования алгебраических многообразий. Полезен также от-;
носительный вариант: для замкнутого подмногообразия Ас!
сА'ХК существует морфизм /-многообразий А-э-А^Х У, ко-;
вечный и сюръективный над некоторым непустым открытым Ус’
сУ. Для этого мы снова замкнем X в Р"ХУзэА"хУ, и в каче-;
стве центра проекцин_возьмем точку рбД, для которой {/?} X У,
не лежит целиком в X. Проекция получится конечной, но не'
всюду, а лишь над открытым множеством У={уС;У, (р, т/)ФА}.
2.6.	Теорема о конструктивности. В частности, из этого за-
мечания видно, что образ / (А) при доминантном морфизме
f : А’-*У содержит открытое непустое подмножество УсУ.
Индукцией отсюда легко получить теорему Шевалле о кон-
структивное-! и:
Теорема. Если f : A—-Y—морфизм алгебраических много-
образий, то образ f(X) конструктивен в У.
Х24
I 2.7. Нормальные многообразия. Аффинное пространство А"
-------------------------— --------------( свойством. Если
;Х->А" — конечный бирациональный морфизм, то он изомор-
-физм. В самом деле, покажем, что АДА] =Л'[АП]. В силу бпра-
циональности любой элемент гбА([А] можно представить не-
сократимой дробью f/g, где f, gf^K[Ti, ..., 7’„]. В силу конечно-
сти г удовлетворяет уравнению rm+ai/'m~1 + • • • +««1=0, где
:afiK[Tt,..., 7’„], или fm + alfm~,g + . . . + amgm = 0. Если h— не-
приводимый множитель для g, то fm делится на h, откуда (в си-
лу однозначности разложения на множители в кольце много-
членов) / делится на h. Это противоречит несократимости f/g.
Значит, g — константа и гб7([А"].
Вообще, алгебраическое многообразие X называется нор-
мальным, если любой конечный бирациональный морфизм Х'->-
-*-Х является изоморфизмом. Нормальность — локальное свой-
ство, и как мы увидим дальше, нормальные многообразия об-
ладают рядом хороших свойств. Для аффинного многообразия
X нормальность в точности означает целозамкнутость кольца
i А[А] в поле частных К(Х) (говорят также, что кольцо А[А]
.нормально). Приведенные выше аргументы показывают нор-
мальность любого кольца с однозначным разложением на мно-
жители.
Кривая С из примера 1 п. 2.6 главы 1, ненормальна; именно
приведенная там параметризация А‘-*С конечна и бирацио-
нальна, но не изоморфизм. Так как прямая А1 нормальна, мор-
физм А’->-С является нормализацией кривой С. Конечный би-
рациональный морфизм Ан—►А называется нормализацией, ес-
ли многообразие Xя нормально. Ясно, что нормализация опре-
делена с точностью до изоморфизма; более важно, что она
всегда существует. Конструкция нормализации основана на
двух фактах коммутативной алгебры. Первый — простой — со-
стоит в том, что целое замыкание коммутирует с локализацией.
Поэтому можно нормализовать аффинные карты X и склеить
затем получившиеся куски. Второй — более деликатный (см.
[23, гл. V, § 3]): пусть А —целостная А-алгебра конечного ти-
па с полем частных L, и LczL' конечное расширение полей;
тогда целое замыкание А в L' конечно над А.
2.8. Открытость конечных морфизмов. Морфизм f : X-XY на-
зывается открытым, если он переводит открытые подмножества
X в открытые подмножества Y.
Теорема. Пусть f : A-*- Y — конечный доминантный мор-
физм, причем многообразие Y нормально. Тогда f открыт.
Уменьшая Y, можно считать У и X аффинными. Пусть
ZEXgfcrX— главная окрестность точки х^Х, где gf‘K[A]; надо
показать, что f(0(g)) содержит окрестность точки У = /(%о)-
15-5834	8	225
Пусть Р(Т) ~Tm + a>Tm~'+ . .. + am — Q—-минимальное уравне-
ние для g над полем Л'(У). Мы утверждаем, что аЛ7<[У]. Для
этого используется
Лемма. Пусть А — целостное кольцо и элемент g— целый
над А. Пусть Тт + а\Тт~' + . . . +ат = 0—минимальный много-
член g над полем частных А. Тогда его коэффициенты Дь...
.. ., ат целые над А.
(В самом деле, если gb . .. , g„, — корни минимального много-
члена, то они, как и g, целые над А. Но а, представляются как
симметрические многочлены от gh . .. , gm и потому тоже целые
над А.)
Пусть Z—подмногообразие в УхА1, заданное нулями Р(Т).
Конечный морфизм (f, g) :Аг-*-УхА' пропускается через Z.
В силу минимальности Р(Т) многообразие X доминирует Z,
поэтому согласно и. 2.3 X отображается на Z. Так как g(xo)=#
#=0, один из коэффициентов а, отличен от нуля в точке у0. Но
тогда для любой точки y^Y, где <7,(//)=И=0, существует ненулевой
корень уравнения Т + а{ (у) Т'п1 + . . . +н„, (у) =0, а значит и
х^Х с g(x)=^0. Теорема доказана.
Нормальность У существенна, как видно из нормализации
«креста» [7’17'2 = 0]. Впрочем, нормальность У можно заменить
однолистностью. Многообразие У называется однолистным,
если морфизм нормализации У"—<-У биективен; тогда по теоре-
ме н. 2.3 он гомеоморфизм. Например, кривая на рис. 8£>) од-
нолистна, тогда как кривая рис. 8а) имеет две ветви в начале
координат. Теоремы пи. 2.3 и 2.8 верны в общих алгебраиче-
ских рамках и известны как теоремы Коэна—Зайдепберга о
подъеме и спуске простых идеалов (см. [23], [19], [65]).
§ 3.	Полные многообразия и собственные морфизмы
3.1.	Определения. Начнем с наводящих соображений. Над
полем С проективное пространство Р"(С) отличается от аффин-
ного пространства С" компактностью в классической топологии.
Интуитивно чувствуется, что и в абстрактной ситуации Р" «бо-
лее компактно», чем А"; можно ли придать этому точный
смысл? В топологии Зариского любое многообразие квазиком-
пактно. поэтому здесь нужен дрегой подход. Основан он на по-
нятии пополнения. Вложение A'cc.Y назовем пополнением, если
А открыто и плотно в .V. Тогда Ал обладает нетривиальными
пополнениями, например, A'czP”, тогда как Р" уже нельзя по-
полнить, по крайней мере, отделимым многообразием. Еще бо-
лее сильное ограничение на X состоит в требовании замкнуто-
сти образа X при любом морфизме, или при любом алгебраи-
ческом соответствии 7с:А'хУ. Так мы приходим к окончатель-
ному определению.
226
i Определение. Многообразие X называется полным, ес-
: ли оно отделимо, и если для любого многообразия У проекция
t ХхУ—>У является замкнутым морфизмом.
! Здесь чувствуется некая аналогия со свойством замкнутости
i конечных морфизмов. Имеется более общее понятие, включаю-
| щее как частные случаи понятия полного многообразия и ко-
[ печного морфизма. Морфизм многообразий f : Л->У называется
[ собственным, если он отделим (т. е. диагональное вложение
I X-^XXYX замкнуто) и универсально замкнут (т. е. при любой
замене базы Y'—>~Y морфизм f' : XXyY'—>~Y' замкнут). Отметим
параллель такого определения со свойствами собственных
отображений топологических пространств.
	3.2. Свойства полных многообразий. В основном мы сделаем
акцент на свойствах полных многообразий, так как перенесение
\ их на собственные морфизмы проходит бесхитростно.
а)	Замкнутое подмногообразие полного многообразия пол-
' ное. Если X-+Y — собственный морфизм, а У — полное много-
образие, то и X полное.
б)	Прямое произведение полных многообразий полно. Соб-
ственность сохраняется при композиции и замене базы.
в)	Образ полного многообразия при регулярном отображе-
нии является полным многообразием. В частности, регулярная
функция на полном связном многообразии постоянна. В самом
деле, ее образ — связное замкнутое подмножество в А1, отлич-
ное от А1 (ибо последнее не полно), т. е. одна точка. Над комп-
лексным полем это можно получить из принципа максимума
модуля.
г)	Многообразие полно тогда и только тогда, когда полны
все его неприводимые компоненты.
д)	Над полем С многообразие полно тогда и только тогда,
когда оно компактно в классической топологии.
Менее простым фактом является теорема Нагаты:
Теорема. Любое отделимое многообразие реализуется
как открытое подмногообразие полного многообразия.
3.3.	Полнота проективных многообразий. Наиболее важные
примеры полных многообразий дают проективные многообра-
зия.
Теорема. Любое проективное многообразие полно.
Следствие. Регулярная функция на связном проектив-
ном многообразии постоянна.
В силу свойства а) достаточно установить полноту Рл. Раз-
дувая точку па Р„, мы сводим дело к полноте Р". Оно же рас-
слоено над Р" ‘ со слоем Р1, поэтому все сводится к проверке
полноты Р*.
Пусть Z — замкнутое подмножество Р'ХУ; надо показать
что p(Z) замкнуто, где р— проекция на У. Заменяя У на p(Z),
можно считать, что Z доминирует У. Пересечение Z с сечением
{оо} х У имеет вид {ooJxE, где F замкнуто в У. Заменяя У на
15*
227
V—F, можно считать, что Z не пересекается с сечением (оо}х
ХУ. Но тогда морфизм Z—>-У конечен (см. п. 2.4), следователь-
но, p(Z) = У (теорема п. 2.3). Теорема доказана.
Мы воспользовались здесь свойствами конечных морфизмов
Из § 2. По другому полноту Рп можно установить, пользуясь
Теоремой Гильберта о нулях ([15], [56]) или теорией резуль-
тантов. Аналогично можно показать, что проективные морфиз-
мы собственны. В частности, раздутия из п. 1.8 являются соб-
ственными морфизмами.
3.4.	Пример полного непроективного многообразия. Хотя
большинство встречающихся на практике полных многообразий
проективны, существуют и непроективные полные многообра-
зия. Приведем простейший пример такого многообразия, опу->
ская детали. Возьмем сначала Р'ХР1 и раздуем на нем точку*
(О, 0). Получается линейчатая поверхность <р : У—>-Р’ с одним-:
вырожденным слоем над 0, который состоит из двух изоморф- :
ных Р1 компонент F и G (см. рис. 12).
-г______________
б	°°
Рис. 12
Теперь возьмем еще один экземпляр такой поверхности <р' : У'->
-+-Р1 с вырожденным слоем ф'”1 (0) =F'\jG' и склеим У с У',
отождествляя кривую F со слоем гр' Цоо) п F' со слоем
Ф-|(оо). Полученная поверхность X, схематично изображена
на рис. 13.
Рис. 13
228
Она состоит из двух компонент У и У', каждая из которых
проективна, поэтому X полное. Однако X нельзя вложить в Р”.
В противном случае, возьмем гиперплоскость Н в Р", которая
трансверсально пересекает F, G, F' и G' соответственно в v, ц,
v' и р' точках. Так как слой <p-1(O)=/:' + G «непрерывно дефор-
мируется» в слой ф”1 (оо) = F', мы получаем v + ji=v'. Анало-
гично v' + p' = v, откуда ц + ц'=0. Это значит, что гиперпло-
скость Н не пересекается с кривыми G, G', т. е. они лежат в
Рп-—Н. Но Рп—Н = Хп— аффинное многообразие и оно не мо-
жет содержать полных кривых.
Отметим, что поверхность X имеет особенности вдоль кри-
вых F и F', и это не случайно. Можно показать, что любая
гладкая полная поверхность проективна, как и любая полная
кривая. В размерности три бывают гладкие полные непроек-
тивпые многообразия. Интересно отметить следующее. Допу-
стим, что мы отождествим кривую А на У со слоем ср~’(оо), на-
пример, в категории аналитических пространств. Получится
объект, который не будет даже алгебраическим многообразием,
а лишь алгебраическим пространством в смысле Артина и
Б. Г. Мойшезоиа (см. п. 2.9 главы 1).
Все же полные многообразия близки к проективным, как
показывает следующая теорема Чжоу.
Теорема. Полное многообразие есть образ проективного
многообразия при собственном бирационалыюм морфизме.
Так, поверхность X из примера п. 3.4 есть образ несвязно-
го объединения проективных поверхностей У и У'. Эта теорема
Чжоу позволяет сводить многие вопросы о полных многообра-
зиях к проективным многообразиям.
3.5.	Теорема конечности. Сюжет, который естественно обсу-
дить в связи с полнотой, — теорема конечности Серра.
Теорема. Пусть F — когерентный пучок на полном мно-
гообразии X. Тогда пространство Н°{Х, F)=F(X) глобальных
сечений F конечномерно.
Для краткости обозначим Ж класс когерентных пучков с
конечномерным пространством глобальных сечений. Следующее
замечание тривиально: если G — подпучок F и G, FIG^X, то
F*X.
По индукции можно считать, что теорема верна для любого
подмногообразия в X, отличного от X. Из этого легко следует,
что теорема верпа для любого пучка с носителем, отличным от
X. В самом деле, пусть У — носитель F и /=/(У) —пучок иде-
алов У в X. Тогда убывающая цепочка пучков F^IFzdPF^ ..,
обрывается; действительно, локальное сечение F равно 0 вне
У и аннулируется умножением на /г при большом г. Фактор-
пучки FFjF^F аннулируются умножением иа / и поэтому мо-
гут рассматриваться как когерентные пучки на У. По индукции
эти пучки попадают в Ж, так что и
229
Что касается пучков с носителем .V, то легко приг,ести один'
такой пучок из X. А именно, Л-=<7д-. В самом деле, сечения;
Ох— регулярные функции, а они постоянны на связных компо-;
нентах X (см. п. 3.2в). Поэтому Нп(Х, 0х)~Кг'*<'Х\ где л0(Х)г
обозначает, как обычно, множество связных компонент X. Оказы-
вается, что этого уже достаточно для доказательства теоремы,
ибо любой пучок отличается от свободного О’х на пучки с мень-
шим носителем. В самом деле, над некоторым открытым UсХ
пучок F изоморфен О'х . И хотя этот изоморфизм не всегда
можно продолжить до вложения U’v в F, всегда найдется
когерентный подпучок Gc.O’x . совпадающий с О'х над U, |
который вкладывается в F. Так как очевидно ОбЛЛ а фактор- ;
пучок F/G сосредоточен вне U, то FХХ.Х и ВСХ/А. Теорема
доказана.
Стоит сделать два дополнения. Во-первых, теорема конеч-
ности верна не только для глобальных сечений когерентных
пучков, но и для любых когомологий. Во-вторых, она обоб- ;
щается на любые собственные морфизмы / ; Т—<-У и утверждает
когерентность f.F (а также пучков высших прямых образов
R'f.F).
3.6.	Теорема о связности. Следующая теорема лежит в ос-
нове многих дальнейших утверждений о связности.
Теорема. Пусть f : X-+Y — собственный морфизм и
/.Сд-^СТу. Тогда слои / связны.
В самом деле, предположим, что слой	над точкой
yf:Y несвязен и разбит на два замкнутых непересекающихся
множества А и В. Рассмотрим на / 1 (у) функцию sn, равную О
иа А и 1 на В. Предположим, что нам удалось продолжить ее
до регулярной функции s на некоторой окрестности слоя
По условию s имеет вид	где s' — регулярная
функция в окрестности у, и такая функция не может прини-
мать разные значения в слое. Противоречие.
Чтобы проверить продолжаемость функции sn до функции s, i
воспользуемся следующим фундаментальным результатом
Гротендика. Он утверждает, в частности, что для продолжа- .
емостн .s’,, на окрестность Зариского слоя (у) необходимо и |
достаточно, чтобы х0 продолжалась па любую инфинитезималь-
ную окрестность слоя /'('/)• Последнее означает следующее.
Пусть /— пучок идеалов подсхемы / '(у) в X; требуется су-
Шествование сечений X/, пучка Ox/F'"- согласованных при го-
моморфизмах О’д-/ 1т-^Од'//" (тфн|. Так как для нашей
функции Ар условие инфинитезимальной продолжаемости оче-
видно выполнено, ее продолжение s существует. К сожалению,
мы лишены возможности сказать подробнее о доказательстве |
теоремы Гротендика, ибо оно существенно опирается на кого- i
мологии, н отсылаем к [35], [41] или к обзору о когомоло- 
гиях.
230
3.7.	Разложение Штейна. Пусть f : Х^-У— собственный
J морфизм. Пучок (7у-алгебр f.(Jx когерентен, поэтому У-схема
[ y' = Specmy (/.О’х)-»-У конечна над У. Ясно, что f разлагается
i в композицию
‘ и f 'Ox~<?y - По теореме п. 3.6 слои морфизма f связны
; и непусты. Такое разложение собственного морфизма назы-
вается разложением Штейна; слой g~‘(y} состоит из связных
компонент слоя [''(.у).
Следствием предыдущего является теорема Зарисского о
связности, доказанная им без привлечения когомологий:
Теорема. Пусть f : Х->-У—собственный доминантный мор-
физм, причем У нормально, а слои / над некоторым непустым
открытым подмножеством U<z:Y связны. Тогда все слои f
связны.
Пользуясь разложением Штейна, можно считать дополни-
тельно, что f~ конечный и бирациональный; тогда утвержде-
ние теоремы следует из определения нормальности. Как и в
и. 2.8, вместо нормальности У можно потребовать однолист-
ность. Приведенная теорема представляет современную фор-
мулировку классического принципа Энриквеса, утверждающе-
го, что при вариации связное многообразие специализируется
в связное (см.[20]).
'	§ 4. Теория размерности
4.1.	Комбинаторное определение размерности. Размерность
многообразия — первый грубый численный инвариант многооб-
разия. Очевидное как в дифференцируемом, так и в аналити-
ческом случаях, это понятие менее тривиально для алгебраиче-
ских многообразий. Конечно, естественно считать пространство
Ап n-мерным, однако надо приписать размерность и каждому
замкнутому подмножеству Хс.А". Проще всего сделать это че-
рез степень трансцендентности поля К(Х) над К. Однако этот
способ аппелирует к алгебре, скрывая геометрический смысл
происходящего. Поэтому мы положим в основу комбинаторное
определение через цепочки подобъектов. В этом стиле размер-
ность векторного пространства есть длина наибольшего флага
подпространств.
Размерностью многообразия X в точке хС-Х называется
целое число dimxX, равное длине г наибольшей цепочки
{х} = Хос:Х|сд . .. сдХг различных замкнутых неприводимых
подмножеств X. Ясно, что dimxX зависит лишь от локального
строения X вблизи х. Кроме того, dimxX есть максимум раз-
мерностей неприводимых компонент X, проходящих через х.
По этой причине при изучении размерности часто ограничива-
ются неприводимыми аффинными многообразиями.
231
Из приведенного определения видно, что размерность АН
одинакова во всех точках в силу однородности Ап и
но совсем не видно почему она	
4.2.	Размерность и конечные морфизмы.
Предложение. Пусть f : Х-*У — конечный морфизм не-I
приводимых многообразий, х(‘Х и у=/(х). Тогда dimxX^ i
^dimyy, причем здесь равенство, если f доминантный. i
Покажем сначала, что для неприводимого подмногообразия
Х'сдХ, отличного от X, /(Х')=^У; утверждение dimXsCdimY
вытекает отсюда по индукции. Будем считать У (значит, X и
X') аффинными, и пусть g — ненулевая функция на X, обра-
щающаяся в нуль на X'. В силу конечности X над У мы имеем
уравнение целой зависимости £\ + ni.?n~l + • . + а„ = 0, где
а.('Х[У]. Если f(Xz) = y, то над любой точкой y'f'Y найдется
точка откуда а„ = 0. Сокращая уравнение на g, мы полу-
чаем уравнение меньшей степени и в конце концов получаем
g=Q. Противоречие.
Предположим теперь, что f доминантный морфизм. Проек-
тируя У на аффинное пространство (см. п. 2.5), можно считать
У=АП. Пусть Y' — неприводимое подмножество в У, проходя-
щее через у, в силу теоремы п. 2.8 любая неприводимая ком-
понента X' многообразия /“’(У'), проходящая через х, доми-
нирует Y'. Утверждение dimxX=dim!/y следует отсюда по
индукции.
Как следствие мы получаем, что размерность неприводимо-
го 'многообразия X в любой его точке одинакова (обозна-
чается dimX). Для этого надо считать X аффинным и спроек-
тировать его конечным образом на А".
Следствие, dim An = n.
Надо проверить неравенство dimA’^n; но индукции мож-
но считать это доказанным для А" при k<Z.n. Пусть УсдА" —
неприводимое подмногообразие, отличное от Ап. Подходящая
линейная проекция дает конечный морфизм У—«-А"~|, так что
мы получаем dim У^Г/г— 1 и dimA„sin.
Следствие. Размерность неприводимого многообразия X
равна степени трансцендентности ноля К(Х) над К.
Следствие, dim (А'Х У) =dim X'+dim У.
4.3.	Размерность гиперповерхности. Пусть У=У(/')сдАп —
гиперповерхность; мы утверждаем, что -размерность любой
неприводимой компоненты У равна п—1. Разлагая многочлен f
на множители, можно считать f неприводимым. Пусть Ап->
->А’' 1—линейная проекция, ограничение которой на У ко-
нечно. Очевидно, что У—<-А"“’ доминантный морфизм, поэтому
dim Y=n—1.
Аналогичное утверждение верно для любых многообразий.
Назовем гиперповерхностью в многообразии X множество ну-
лей V(l) регулярной функции f : X—>-Л'. При переходе к гипер-
232
поверхности размерность может только уменьшиться, однако
не более чем на единицу.
Теорема. Пусть Y—гиперповерхность в X. Тогда
dim^y^dimyX—1 для любой точки уеУ.
Можно считать X и У неприводимыми и аффинными. Пусть
л: Х-*АП— конечный сюръективный морфизм (см. п. 2.5) и
У=П(/). Пусть <р= (л, f) : Х->АПХА’; как мы видели в
п. 2.8, образ <р(Х) задается в АПХА’ минимальным многочле-
ном Tm + aITm-,-l- .. .+ат для/; причем а^К[Т\,. .. . Тп].
Тогда У есть прообраз гиперплоскости [Г=0]. Поэтому
dim y^dim ф(Х)П[У=0]. Последнее множество задается в Ап
уравнением ат=0, и по предыдущему его размерность —1.
По индукции отсюда следует, что если подмногообразие
УсХ задается п уравнениями, то dim,,y^dimvX—п. Подыто-
жим результаты теории размерности в следующем утвержде-
нии, обобщающим классический принцип счета констант.
4.4.	Теорема о размерности слоев. Пусть /: Х->У —доми-
нантный морфизм неприводимых многообразий. Интуитивно
следует ожидать, что слои [ имеют размерность dim X—dim У,
если и не все (см. отображение раздутия точки из п. 1.6), то
хотя бы типичные. И это верно.
Теорема. Пусть j : Х->У как выше. Тогда
a)	dim.,./’1 (/(х)) J^dirn X—dim У для любой точки xdX;
б)	существует открытое непустое Ус У, для любой точки у
которого dim / ‘ (у) = dim X—dim У.
При доказательстве а) можно считать У аффинным. Про-
ектируя У конечно на Ап, мы сводим а) к репетиции теоремы
из п. 4.3. При доказательстве б) можно считать аффинным и
X. Пользуясь относительным вариантом теоремы о нормали-
зации п. 2.5 (и уменьшая У, если нужно), мы получаем разло-
жение Хг>А(,ХУ~>У морфизма /, где g — конечный и сюръек-
тивный. Отсюда видно, что слои / имеют размерность d—
—dim X—dim У.
4.5.	Теорема Шевалле о полунепрерывности.
Теорема. Для любого морфизма / : Х->У и целого чис-
ла k множество Xfe={x6X, dim*/-1 (/(х))^6) замкнуто в X.
При доказательстве можно считать X н У неприводимыми,
а / доминантным. Пусть rf=dimX—dim У. Если k^d, то из
а) теоремы п. 4.4 имеем Хь=Х. Пусть теперь k>d и ПсдУ,
как в б) теоремы п. 4.4. Если обозначить У'=У—V, то Х^сд
с/-’(У') и замкнутость его следует по индукции из аналогич-
ного утверждения о морфизме f~l (Y')-^-Y'.
Отметим три полезных следствия.
1.	Множество точек хбХ, изолированных в слое /”’(/(*))
(т. е. точек квазиконечности морфизма /), открыто в X.
2.	Если морфизм f собственный, множества У^=
= {у(*У, dim/“'(</):>&} замкнуты в У. В самом деле, У„ = /(ХЛ).
233
3.	Пусть f : Х->У— собственный морфизм, все слои которо-
го неприводимы и имеют одну размерность; тогда если У
неприводимо, то неприводимо и X.
Приведем еще два следствия теории размерности.
4.6.	Размерность пересечений в аффинном пространстве.
Пусть Хи X' — подмногообразия в Ап и хбХПХ'. Тогда
dimx(XpX') ^dimxX+dimxX'—n.
Согласно редукции к диагонали, Х|"|Х' изоморфно пересе-
чению XXX' с диагональю Д в АПХАП. Но диагональ за-
дается п уравнениями Т< = 7’(', 1=1,..., п. Поэтому это нера-
венство следует из п. 4.3 и формулы для размерности XXX'.
Следствие. Пусть X, А"сР", причем dim X-f-dim Х'^п.
Тогда Х(]Х'¥=0.
В самом деле, пусть Х=Р(С), Х'=Р(С'), где С, С' — кону-
сы в An+1 (см. п. 3.5 главы 1). С и С' пересекаются в 0 и
dim0(CnC')^dim0C+ dim0C'— (n+1) =
= dim X-|-l-|-dim X'-f-l— («+1) 1 •
Поэтому СГ)С'¥={0) и ХГ\Х'^=0.
В частности, если dimX^l, то X пересекается с любой
гиперплоскостью НсР". Мы знаем это из другого соображе-
ния: Рп—Н^\п аффинно и потому любое полное подмногооб-
разие в нем нульмерно. Другой полезный частный случай:
при k<n система из k однородных уравнений /1= ... —/л=0
от п переменных всегда имеет ненулевое решение.
4.7.	Теорема об общей гладкости. Гладкость многообразия
X в точке х определялась в главе 1 через совпадение касатель-
ного конуса СхХ с касательным пространством ТхХ. Это оп-
ределение эквивалентно более привычному, аппелирующему
к понятию размерности:
Предложение. Точка х на многообразии X гладкая
тогда н только тогда, когда dim 7’xX=dimxX.
Предложение тривиально следует из более общего 'равен-
ства dim CxX=dimxX. Чтобы установить его, рассмотрим раз-
дутие <у : X—>Х в точке х. Так как ^’(х) локально задается в
X одним уравнением (см. п. 1.8), то dim о-1 (х) —dim X—1.
Кроме того, <т '(х) — Р(СхХ), так что dim CxX=dim о-1 (х) -|-
+1 = dim Х= dim X.
Теорема. Множество гладких точек любого алгебраиче-
ского многообразия открыто и плотно.
Иначе говоря, «общая» точка на многообразии гладкая. При
доказательстве многообразие X можно считать неприводимым и
аффинным. Применяя теорему о размерности слоев к ТХ->Х,
мы видим, что множество гладких точек открыто. Остается
показать, что оно непусто. Здесь мы впервые серьезно восполь-
зуемся тем, что X—многообразие, а не произвольная алгебраи-
ческая схема. Пусть XcAv и для любой точки xfX размер-
234
ность ТхХ больше n = dimX. Применяя общую линейную про-
екцию AJV->An+1, можно считать, что X — гиперповерхность в
An+1. Но это противоречит предложению п. 7.1 главы 1.
Следствие. Любое однородное многообразие гладко.
§ 5.	Неразветвлениые и этальные морфизмы
5.1.	Теорема о неявной функции. В дифференциальной и
аналитической ситуации важную роль играет теорема о неяв-
ной функции. Простейшая ее форма такова. Пусть f — функция
на Cn, f(0)=0 и (df/dTn) (0) =/=0; тогда существует окрестность
нуля i/cC"-1 и функция g: U-+C соответствующей гладкости,
такая что g(0,...,0)=0 и f (Ть ..., Тп-ъ g(Ti,..., Тп_г)) =0.
В более общей форме она утверждает, что отображение много-
образий f: X-+Y, индуцирующее изоморфизм касательных
пространств ТхХ-+ТцХ)У, локально является изоморфизмом.
Ничего похожего нет для алгебраических многообразий и
топологии Зарисского. Возьмем простейшую функцию f^T2 на
А1. В точке 1 производная dffdT=2T равна 2, однако никакое
открытое по Зарисскому подмножество А1 не отображается
инъективно при f.
И вообще, очень редко изоморфизм касательных пространств
влечет локальный изоморфизм многообразий — слишком уж
велики окрестности по Зарисскому. Тем не менее чувствуется,
что это важный класс морфизмов, заслуживающий наименова-
ния. Их назвали этальными, или стелющимися. Гротендик по-
шел дальше и предложил объявить этальные морфизмы U-+X
«открытыми подмножествами» многообразия X в этальной то-
пологии и таким образом восстановить справедливость теоре-
мы о неявной функции в алгебраической ситуации. Этальная
топология (см. обзор о когомологиях) является алгебраичес-
ким суррогатом классической топологии и позволяет в аб-
страктной ситуации говорить о гомотопических группах, кого-
мологиях, числах Бетти, формуле Лефшеца и т. п.
5.2.	Неразветвлениые морфизмы. В приведенном выше при-
мере функции f = T2 две точки ±^у слоя f~l(y) сливаются в
одну при у-+0. Говорят также, что функция Т2 ветвится над 0.
Неразветвленность означает отсутствие ветвлений. Дадим точ-
ное определение.
Пусть f\X-^Y—морфизм алгебраических многообразий,
хбХ, t/ = f(x), ш» и Шу—максимальные идеалы локальных колец
Ох,х и Oy,v соответственно. Легко показать, что следующие
утверждения эквивалентны:
a)	dxf: TxX-+TvY инъективен,
a') dxf индуцирует вложение СхХ в CyY,
б)	/’:Qr (t/)->Qx(x) сюръективно,
б)	f* (mJ порождает идеал тх в вх,*,
235
в') слой f~l(y) как схема совпадает с точкой х в окрест* Я
кости х. Например, при импликации б)=>в) используется лем-1
ма Накаямы.	Я
В этом случае говорят, что морфизм f неразветвлен в точке я
х. Например, функция f=T2 неразветвлена в точках, отличных!
от 0, и ветвится в 0 (если, конечно, характеристика К отлична я
от 2; если же характеристика равна 2, эта функция ветвится i
всюду). Морфизм f неразветвлен, если он неразветвлен во всех 3
точках X.	I
Открытое вложение неразветвлено. Замкнутое вложение I
также неразветвленное; кроме того, оно инъективное и конеч- |
ное. Оказывается, что эти три свойства характеризуют замкну- I
тые вложения.	I
Предложение. Пусть морфизм f-.X-^Y инъективный, ко- I
нечный и неразветвленный. Тогда это замкнутое вложение. 1
Вообще, если f—конечный, а слой /"* (у) как схема совпа- I
дает с х, то / является замкнутым вложением в некоторой
окрестности у. При доказательстве Y и X можно считать аф-
финными с кольцами регулярных функций А и В соответствен-
но. Пусть m — максимальный идеал точки у. Совпадение f~'(«/)
и х как схем означает, что B/f* (m) В^А/т.. Так как В конечно
над А, то по лемме Накаямы f* : А-*~В сюръективно (быть мо-
жет, Y придется заменить окрестностью у), т. е. /: X-*-Y замк-
нутое вложение.
5.3.	Вложение проективных многообразий. В § 2 мы строи-
ли конечные морфизмы л : Х->Р"-1, проектируя XczPn из точ-
ки рбРп—X. Пользуясь предыдущим критерием, можно прове-
рить, будет ли л вложением, т. е. будет ли X изоморфно своему
образу л (Д'). Касательные пространства к ХсРп удобно при
этом реализовывать как линейные подмногообразия в Р”. Точ-
нее, обозначим через ТхХ то единственное линейное многооб-
разие АсР", для которого TXL совпадает с ТхХ в ТхРп. ТЖХ
называется вложенным проективным касательным пространст-
вом.
Займемся сначала локальными вложениями. Пусть х$Х и
/z>max(dimxX4-l, dim7\X'). Тогда найдется точка рбР”,
проекция из которой л:Х-+Рп~1 будет замкнутым вложением
некоторой окрестности точки х. В самом деле, множество
хорд хх', когда х' пробегает Х — {х}, заметает многообразие
размерности <dimX-)-l. Поэтому Sx[jTxX имеет размер-
ность^ меньшую, чем Рп. Если взять центр проекции р вне
5хиГхХ, то слой проекции л~1(л(х))=2рх[}Х состоит из одной
точки х (p$Sx) и совпадает с ней как схема (р$ТхХ). Остается
применить предыдущий критерий.
В частности, окрестность точки х произвольного многообра-
зия X можно реализовать как подмногообразие в Аг, где г=
236
1«max(dimxX-H, dimTsX). Если x —гладкая точка X, то ло-
кально X вкладывается в An+I, n = dimX. Любое неприводимое
Многообразие размерности п бирацириально изоморфно гипер-
поверхности в Ап+1.
Перейдем теперь к глобальным вложениям.
|;? Предложение. Гладкое проективное многообразие раз-
I мерности п можно вложить в P2n+1.
Г Пусть XcPN. Рассмотрим в Рх два подмножества, связан-
• ных с X. Первое — многообразие секущих Sec Х\ это замыкание
' множества точек, лежащих на секущих или хордах хх', где
х, х7— различные точки_ X. Второе—ТапХ— объединение про-
ективных касательных ТхХ, хбХ. Ясно, что dim Sec X^2n+1, а
f dimTanX^2n. Поэтому при AZ>2n+l найдется точка, не ле-
| жащая на SecXUTanX. Проекция л :	из этой точки
I будет конечным неразветвленным инъективным морфизмом,
I т. е. замкнутым вложением.
I Например, любая гладкая кривая вкладывается в Р3, по-
? верхность — в Р5 и т. д. Если dimSecX^2n, можно вложить
г X в Р?п, однако это бывает редко. Можно проектировать X и
| дальше, стараясь получать по возможности более простые осо-
f бенности (см. [32, гл. 4, § 6]). X
|	5.4. Этальные морфизмы.
j Определение. Морфизм f: X-+Y называется этальным в
F точке хбХ, если dxf индуцирует изоморфизм СЯХ->С/(Ж)У каса-
s тельных конусов как схем.
i Можно также сказать, что этальный — это гладкий и нераз-
; ветвленный морфизм.
Например, открытое вложение этально. Напротив, если
замкнутое вложение этально в точке х, оно локально является
изоморфизмом. Размерность, как и гладкость, сохраняются при
; этальных морфизмах.
; Типичный пример. Пусть У — аффинное многообра-
зие, а ХсА'хУ задается нулями многочлена Рб/<[У] [Т]. Если
для точки хбХ производная (dP/dT) (х)=5^=0, то X эталей над У
в точке х.
На самом деле любой этальный морфизм локально устроен
так же как в этом примере. Мы покажем это, предполагая X
конечным над У (что, впрочем, не умаляет общности в силу
п. 7.2). Пусть X вложено в А"ХУ. Выбирая подходящую про-
екцию А"->-А| и пользуясь неразветвленностью в х, можно счи-
тать, что X лежит в А’ХУ-
Рассмотрим теперь слой над точкой y=f(x). Как подсхема
в А1 = А1Х{у} он задается нулями многочлена Т”4-а;?*"14- ...
... 4-am с коэффициентами из Л[У]/ш1/. Значит, 1, Т,..., 7’ж~1
порождают Л[Х] по модулю niv. По лемме Накаями они порож-
дают 2<[Х] над /<[У]. Значит, в Л[Х] выполняется соотноше-
ние Р(Т)I =7’m4-aITm“14- ... 4-Om«0, где а<е/([У], т. е. X лежит
237
в многообразии Х'сА'ХУ нулей многочлена Р. В силу нераз-i
ветвленности х — простой корень Р, так что (dPIdT) (х) ^=0 aj
X' этально над У в х. Но тогда этально и замкнутое вложение,|
XczX' и является изоморфизмом в окрестности х.	*
Как следствие мы получаем, что множество точек этально-.
сти морфизма f: X-+Y открыто в X. Кроме того, видно, что
этальность сохраняется при замене базы.
5.5.	Этальные накрытия. Конечный этальный морфизм назы-
вается этальным накрытием. Над комплексным полем и в клас-
сической топологии такие морфизмы являются неразветвлен-
ными накрытиями, т. е. локально тривиальными расслоениями
с конечными слоями. В частности, число точек слоя f~l(y) не
зависит от ytY. Покажем, что последнее верно и в абстрактной
ситуации.
Теорема о постоянстве. Пусть f: X-*- У — этальное
накрытие связного У. Тогда число точек слоя f~'(y) не зависит
от у б У.
В самом деле, рассуждая как в п. 5.4, мы получаем, что ло-
кально по У многообразие X может быть задано в А*хУ одним
уравнением Tm+aYTm~' + ... +am = 0, где а(бК[У]. В силу
этальности все корни уравнения Tm+al(y)Tm~l+ ... + am(y)’=Q
простые и их ровно т.
Аналогия этальных накрытий с неразветвленными накрыти-
ями из топологии позволяет построить чисто алгебраическую
теорию фундаментальной группы, тесно связанную с теорией
Галуа. Отсылая за подробностями к [37], мы ограничимся од-
ним определением. Связное многообразие X называется одно-
связным, если любое этальное накрытие Х'-*-Х со связным X'
является изоморфизмом.
Например, как мы увидим позже, Р" односвязно.
5.6.	Степень конечного морфизма. Из доказательства теоре-
мы о постоянстве видно, что число точек в слоях этального на-
крытия f : Х->У, которое естественно называть степенью f, рав-
но размерности кольца К(Х) над полем /С(У). Это подсказыва-
ет более общее определение степени.
Определение. Пусть f : X-+Y— конечный доминантный
морфизм. Размерность [А(Х) : А(У)] кольца рациональных
функций А(Х) над полем А (У) называется степенью f и обо-
значается degf.
Естественно задать вопрос — как связано число точек в
слоях конечного морфизма f с degf.
Теорема. Пусть / : Х->У— конечный доминантный мор-
физм и У нормально. Тогда |I deg(/) для любой точ-
ки y^Y.
Это утверждение очевидно, если X задается в А’хУ как
множество нулей многочлена Тт + а,\Тт~г + ... + лт€/С [У] [Г].
Общий случай сводится к этому при помощи линейных проекций
и леммы из п. 2.8. Предположение о нормальности У сущест-
238
рвение, как показывает пример нормализации плоской кривой
иС = [7'1=7'? + ?'?] (см. рис. 16 или 4).
|	5.7. Принцип постоянства. Уменьшение числа точек в слое
по сравнению с degf, можно объяснять тем, что они по-
ручаются в результате слияния или слипания нескольких то-
^Чек, что их нужно считать с некоторой кратностью, подобно то-
£ му, как это делают с корнями многочлена от одной переменной.
:Число корней многочлена с учетом кратностей равно степени
< многочлена. Аналогичный принцип постоянства, или непрерыв-
ности, состоит в том, что если правильно определить крат-
ность или локальную степень degI(f) конечного морфизма /, то
верна формула
deg СО = 2 degx(/)>
xgr-(»)
которая обобщает теорему п. 5.5. Откладывая обсуждение об-
щего случая до следующей главы, мы рассмотрим здесь один
важный класс конечных морфизмов.
Определение. Конечный морфизм f\X~^Y называется
локально свободным, если пучок f.ux локально свободен над
Ох. Локальной степенью такого морфизма f в точке х назовем
degx(/)=dim*	(my) 0x,x}.
? |Принцип постоянства верен в этой ситуации. В самом деле,
заменяя Y окрестностью у, можно считать Y аффинным, а
К [АГ] свободным К [К]-модулем ранга d = deg/. Поэтому и
7< [У]/ту-модуль К [Х\!ШуК [Х\ имеет ранг (или размерность)
d. Но .V[A']/mX[A']= © Ox,x!m.yOx,x, так что d=
= 2 degx(/)-
Пример 1. Этальное накрытие — локально свободный
морфизм, причем все degxf равны 1. Мы снова получаем теоре-
му п. 5.5. Обратно, если / локально свободен и degx(f) = l, то /
этален в точке х.
Пример 2. Пусть f : X-+Y — конечный доминантный мор-
физм, а У — гладкая кривая. Тогда f локально свободный мор-
физм.
В самом деле, пусть [У] — образующая максимального
идеала точки y(*Y. Пусть ..., sm — элементы Д'[Д'], дающие
базис Д' [Д’] по модулю и. По лемме Накаямы можно считать,
что sb	порождают К [К]-модуль /("[А']; покажем, что
они независимы над К [У-]. Пусть 2 ajsj=‘^ из независимости
Sj по модулю и все а} делятся на «, а^иа'^ Значит,
и	откУДа а/;=0, dj делятся на и и т. д. Полу-
чается, что а.] делятся на любую степень «, т. е. равны 0.
Пример 3. Приведем пример, где наше наивное опреде-
ление кратности не работает. Пусть V — плоскость в А4 с урав-
нениями Т] = Тз=0, V'— плоскость с уравнениями Г2 = Л=0 и
^ = VUV". Пусть отображение f : Х-*А5 задается функциями
Т[ + Т2 и Т3+1\. Ограничение f на V или V является изомор-
физмом, так что степень f равна 2, как и мощность почти всех
слоев. Однако deg0(/)=3.
В самом деле, X задается в А4 идеалом (ЛТз, ЛТъ Т3Т2,
Т3Т4), подсхема f~' (0)—идеалом (Т\Т2, ТгТ4, Т3Т2, Т3Т4, 7’1 +
+ Т2, Т3 + Т4), поэтому соответствующее факторкольцо 3-мерно
с базисом 1, Т\ и Т3.
§ 6.	Локальные свойства гладких многообразий
6.1.	Гладкие точки. В главе 1 мы определили гладкие точки
на многообразии X условием СхХ=ТхХ, где СхХ— касательный
конус, а ТхХ — касательное пространство к X в точке х. В силу
п. 4.7 это требование эквивалентно тому, чтобы размерность
ТхХ (или двойственного к нему векторного пространства
£2х'(х)) равнялась dimxX. Наконец, гладкость X в х эквива-
лентна существованию окрестности Uc.X точки х и этального
морфизма [7-*Ап. В самом деле, если иь ..., и„ — функции в
окрестности точки х, для которых du^,..., dun образуют базис
йх1 (х), то du : ТхХ^Ти1х} А” изоморфизм, так что и : J/-+-A*
этально в окрестности х.
Ясно, что множество гладких точек многообразия X откры-
то; согласно п. 4.7, оно всюду плотно. Таким образом, типичная
или «общая» точка X гладкая, и естественно задаться простей-
шим вопросом — как устроено многообразие в окрестности
гладкой точки. Интуитивно следует ожидать, что оно «похоже»
па аффинное пространство ТхХ. Конечно, как объяснялось в
п. 5.1, похожесть нельзя понимать, как локальный изоморфизм.
Смысл ее в том, что локально гладкое многообразие обладает
некоторыми важными качественными свойствами аффинного
пространства.
6.2.	Локальная неприводимость. Простейшее из свойств
А" — неприводимость. Покажем, что у гладкой точки х^Х су-
ществует неприводимая окрестность UczX. Для этого возьмем
две функции а и b на X, такие что ab — 0. Пусть и Ь&и1,
где ш — максимальный идеал точки х в кольце К[Х] и а, Б—
их образы в m7mi+I и иР/пР*1. Раз ab=0, то аБ=6 в кольце
gr(/C[X], m). Но для гладкой точки gr(K[X], ш) —кольцо мно-
гочленов и не имеет делителей нуля. Значит, скажем, 6=0 и
aGm,+I. Повторяя это рассуждение, мы получим, что aGm'” =
210
= П и'- Остается показать, что ш°°=(0). Но идеал ш” имеет ко-
вечный тип, и = Поэтому из леммы Накаямы т”=(0).
6.3.	Факториальные многообразия. Есть более тонкое свой-
ство аффинного пространства. А именно, если У — подмного-
образие А" размерности п—1 (говорят также, что коразмер-
ность Y равна 1; вообще, коразмерностью подмногообразия У в
X называют dimX—dim У), то У—гиперповерхность в А". Бо-
лее того, идеал 7(У) —главный в кольце Л[АП].
В самом деле, можно считать У неприводимым. Тогда суще-
ствует неприводимый многочлен f, равный нулю на У; покажем,
что идеал I(У) порождается f. Пусть другой многочлен g ну-
левой на У; тогда некоторая его степень делится на f. В силу
однозначности разложения на множители в кольце многочле-
нов g делится на f, что и требовалось доказать.
Аналогичное свойство выполнено для любого аффинного
многообразия X, кольцо которого А[Х] факториально, т. е. об-
ладает свойством однозначности разложения на неприводимые
множители (подробнее о таких кольцах см. [23]), но отнюдь
не для любого многообразия. Однако если X — гладкое, это
^свойство выполняется локально. Это значит, что для любого
подмногообразия УсХ коразмерности 1 найдется аффинная
окрестность U точки х, такая что идеал 7(У(]С/) —главный в
кольце А[С/]. В таком случае будем говорить, что многообра-
зие X — факториально в окрестности х.
Теорема. Любое многообразие факториально в окрест-
ности гладкой точки.
При доказательстве можно считать (см. п. 5.3), что многооб-
разие X вложено в Рч+1, где /г=dim АТ Кроме того, можно
считать, что Y неприводимо и проходит через точку х, глад-
кую на X. Возьмем теперь точку рбРч+1, чтобы: а) рЬХ,
б) р^ТхХ, в) прямая ~рх пересекала Y лишь в х; ясно, что такая
точка найдется. Спроектируем из нее все иа ТхХ. Переходя
к аффинной карте A',+1cPn+1, мы получаем конечный сюръектив-
ный морфизм л:А'->А'’, этальный в точке х. При этом Y
проектируется на замкнутое подмножество л(К)сА" коразмер-
ности 1, причем (см. п. 5.3) изоморфно в окрестности точки х.
В силу факториальности Д'* многообразие л (У) задается одним
неприводимым многочленом /в/С [Л, ..., 7’л]. Остается показать,
что п*(/)бА'[Х] задает Y в окрестности х. Пусть Ylf ...,Yt —
компоненты л-1 (л (К)), отличные от Y. Если мы покажем, что Yt
не проходят через х, то X— LlK/ — окрестность точки х, в ко-
/“1
торой Y задается функцией л* (/).
Именно в этом месте мы и воспользуемся гладкостью X.
В координатах Tt,	Т на Аи+1 многообразие X задается
нулями неприводимого многочлена F = 7’m+ai7'm-1+• • •+ат>
16-5834
8
241
а£К [74, ..Тп\, причем dF/dT(x)FO. Будем считать, что х
есть начало координат; тогда а,„(0) ~=0 и а„г_, (0)=^0. Пусть
A = f([Tj...Т„]/(/) — кольцо функций на л (У); тогда .тг1(л(У'))
задается нулями многочлена F ^=Т'п-^ахТт'} 4- ... -ф am,	—
образы а, в А. Так как К->л(У) локальный изоморфизм, сущест-
вует окрестность U точки 0 в л (У) и регулярная функция g
на LF такая что (Л g(0)€^ для любых Тогда F (g) = 0
и FJT)^G(T)[T-g\ где GfV< [7/]. Так как ат~х (0)^0,
то G(0)=4=0; но G обращается в нуль на U У/. Поэтому Ух
не проходят через л: = 0.
В частности мы видим, что гладкое многообразие нормально
(см. п. 2.7).
6.4.	Подмногообразия большей коразмерности. Пусть теперь
УсХ— подмногообразие коразмерности р>1; можно ли ло-
кально задать У р уравнениями? (Если да, то говорят, что У —
полное пересечение). При этом задание уравнениями можно
понимать теоретико-множественно, как У = V(fx, .. ., или ;
схемно, как /(У) = (f1(. .., fP). Второй вариант более тонкий и !
из пего следует первый Однако бывают подмногообразия, не '
являющиеся полными пересечениями даже теоретико-множест-
венно. Пусть например, УсА4— плоскость с уравнениями
Тх — T3=Q, а У'гэА4— уравнениями Т2 = Тх—0. Тогда У[]У' нель-
зя задать двумя уравнениями в А4 (см. § 1 главы 3, а также
[41, гл. III, упр. 4.9]).
Однако если подмногообразие Ус.У— гладкое, то локально ,
оно является полным пересечением в схемном смысле. Это ут-
верждает якобиев критерий гладкости;
Предложение. Подмногообразие У коразмерности р на
гладком многообразии X гладко в точке xf‘Y тогда и только
242
тогда, когда в окрестности х оно может быть задано как мно-
жество нулей р функций ft,..., fP, дифференциалы которых dj,
линейно независимы.
Проверим сначала, что для одной функции f на X с f(x) =0
и dJ=/=Q подсхема Y=f~>(0) гладкая в точке х. В самом деле,
TXY. задается как ядро ненулевого линейного функционала dj:
:ТхХ-+К, так что его размерность равна dim ГД—1. С другой
стороны, dimiy=dimIX—1. Поэтому dim 7’iy=dimI У и У глад-
ко. То, что У является многообразием в окрестности х, устанав-
ливается также, как в п. 6.2.
Гладкость У в общем случае устанавливается с помощью
индукции. Обратно, пусть У гладко в х. Так как пространство
йУ'(х) получается из Q/U') факторизацией по подпростран-
ству, порожденному дифференциалами функций из /(У) (см.
п. 7.6 главы 1), в /(У) найдутся р функций ft,.. . , с линейно
независимыми дифференциалами в х. По предыдущему много-
образие Y' = V(fi../р) гладкое в х, неприводимое и кораз-
мерность его равна р. Так как УсУ' и тоже коразмерности р,
Y=Y'.
6.5.	Пересечения на гладком многообразии.
Предложение. Пусть X гладкое n-мерное многообра-
зие, У и У' — его подмногообразия. Тогда для любой точки
хеУ|-|У'|
dimx УГ)У'^dimx У+dimx У'—п.	(•)
Как в п. 4.6, воспользуемся редукцией к диагонали. Так как
диагональ А в ХхХ является гладким подмногообразием, то
локально она задается п уравнениями.
Если в соотношении (*) имеет место равенство, то говорят,
что подмногообразия У и У' пересекаются собственно (или пра-
вильно) в точке х. Неправильность пересечения свидетельствует
о специальном расположении У и У' друг относительно друга
(например, У=У'). Еще более жесткое требование на располо-
жение подмногообразий—трансверсальность. Говорят, что У
и У' пересекаются трансверсально в точке х^Х, если они глад-
кие в точке х и векторные подпространства TXY и TXY' находят-
ся в общем положении в ТхХ. В этом случае многообразие
У(1У' также гладкое и коразмерность его равна сумме кораз-
мерностей У и У'.
Отметим, что утверждение п. 6.5 не выполняется для произ-
вольных многообразий. Пусть У и У'— плоскости в А4, как в
л. 6.4. Обе они лежат на трехмерном многообразии ХсА4, за-
данном уравнением Т17'2=ЁзЛ- Однако пересекаются У н У'
лишь в начале координат.
6.6.	Свойство Коэна—Маколея. Локальное кольцо гладкой
точки обладает еще одним важным свойством, установленным
16*
•243
Маколеем для колец многочленов и Коэном для произвольных
регулярных колец (подробнее см. [63], [65]).
Пусть	— локальное кольцо гладкой точки хСХ. По-
следовательность его элементов at,..., ап (из максимального
идеала) называется регулярной, если не делит нуль в
-4/(01,..., а,-1) при /=!,..., п (при ( = 1 это означает, что а,
не делитель нуля в А). Для такой последовательности
dimx V(at,..., a,)=dimxX—I. В самом деле, а( не обращается
в нуль пи на какой компоненте V(aI,..., a(_i), и поэтому раз-
мерность V(аь.,., а,) понижается ровно на единицу (см.
и. 4.3). Замечательное свойство гладких точек состоит в том,
что верно и обратное.
Теорема. При этих предположениях эквивалентны ут-
верждения:
a)	dimx У(аь ..., а„) =dimxX—п,
б)	dimx V(aIf . . ., a,) =dimxX—i при г= 1,..., п,
в)	последовательность	регулярна в А.
Мы уже показали в)=^б); эквивалентность а) и б) следует
из теории размерности. Главное — показать а)=>в); при этом
мы можем считать n = dimX. Размерность многообразия
К(а1...., н.,-)) равна 1, поэтому найдется функция f с dxf=£O,
такая что V(ai,..., а„_1)ПУ(/) = {х). Согласно п. 6.4, много-
образие V([) гладкое и меньшей размерности; по индукции по-
следовательность а..... an-i регулярна в АЩ), т. е. (f, ад,...
.... (7п-|) регулярна в А. Бесхитростно проверяется, что в лю-
бом нётеровом локальном кольце регулярность последователь-
ности («, Ь) эквивалентна регулярности (Ь, а). Отсюда следует
регулярность (d!, [«п-i), и так далее, и в конце концов
регулярность (а,, . .., a„-h f).
Пусть теперь Л=Д/(а|,..., надо показать, что умно-
жение на ап в Л инъективно. Дапо, что V(at..а„) = {х). Так
как /(х)=0, то некоторая степень f попадает в идеал (яь ...
. . . , а„), так что fr-=gan по модулю (at, . . ., п,,-,). Так как ум-
ножение па f (а значит и па fr) инъективно в А, то инъективно
и умножение на Теорема доказана.
Свойство Коэна—Маколея предыдущей теоремы выполняет-
ся не только для гладких точек. Например, любая гиперпо-
верхность (или схемное полное пересечение) в гладком много-
образии обладает им. Л вот пара плоскостей Y|JT' из примера
п. 6.4 не обладает свойством Коэна—Маколея. Приведем так-
же следующий факт (ср. с примером 2 из п. 5.7).
Предложение. Пусть f : X-+Y— конечный доминантный
морфизм, причем многообразие Y гладкое. Эквивалентны ут-
верждения:
а)	морфизм f локально свободен (см. п. 5.7),
б)	многообразие X обладает свойством Коэна—Маколея.
244
§ 7.	Применение к бирациональной геометрии
7.1.	Фундаментальные точки. Рассмотрим вопрос о том, как
устроено множество точек неопределенности рационального
отображения f : Х->У. Мы будем отождествлять отображение f
с его графиком (см. п. 1.5), замкнутым подмножеством ГсХх
ХУ, проекция которого р:Г^Х является бирациональным мор-
физмом. Отображение f определено в точке хСХ, если р яв-
ляется изоморфизмом над окрестностью х; в противном случае
говорят, что х — точка неопределенности или фундаментальная
точка f.
Ограничимся случаем нормального X. Строение множества
фундаментальных точек f сильно различается в случае аффин-
ного У и в случае полного У. Начнем с первого случая, где
утверждение напоминает принцип продолжения Хартогса из
главы 1 § 2.
Предложение. Пусть X — нормальное многообразие,
FaX—замкнутое подмножество коразмерности ^2 и У —
аффинное многообразие. Тогда любой морфизм f : (X—Г)->-У
продолжается до морфизма f : Х->У.
При доказательстве можно считать У = А'. Рассмотрим f
как рациональное отображение X в Р1 и пусть ГсХхР1—его
график. Множество ГП(ХХ {оо}) содержится в Ех{оо), по-
этому его размерность меньше dimX—1. С другой стороны,
Хх{оо) локально задается одним уравнением в ХхР1, поэто-
му dim(/"ri(Xx {oo)))^dim Г—l=dimX—1. Значит, Г не пе-
ресекается с Хх{сю}, морфизм Г^Х конечный. Так как он би-
рациональный, то в силу нормальности X он изоморфизм.
7.2.	Основная теорема Зарисского. Множество точек неопре-
деленности при отображении в аффинное многообразие имеет
коразмерность 1. Напротив, отображение в полное многообра-
зие неопределено лишь в коразмерности ^2.
Теорема. Пусть f:X-------->-У — рациональное отображение
нормального многообразия X в полное многообразие У. Если
х, над которой морфизм Г->-Х конечен, значит, изоморфизм. Но
тельную размерность.
Образно говоря, при рациональном отображении точка не-
определенности раздувается в многообразие размерности ^1.
Мы проверим теорему для проективного У и даже для У=РП.
Предположим противное, что f(x) конечно, и пусть ЯсР"—
гиперплоскость, не пересекающая f(x). Множество р(Г(](ХхЯ))
замкнуто и не содержит х. Дополнение к нему — окрестность
х, над которой морфизм Г->Х конечен, значит, изоморфизм. Но
тогда fопределен в точке х.
Напомним, что к тому же f(x) связно (см. § 3). На самом
деле, Зариский доказал более тонкий факт, которому Гротен-
дик придал следующий вид: для любого отделимого квазико-
245
немного морфизма Х->У существует разложение Х-*-Х'-»-У, где !
Х-+Х' — открытое вложение, а Х'->У — конечный морфизм.
Следствие. В предположениях теоремы множество F то-
чек неопределенности f имеет коразмерность ^2 в X.	.
В самом деле, с одной стороны, в силу теоремы dim рн(Л)>
>dim^. С другой стороны, р '(F)—собственное подмножест-
во Г.
7.3.	Поведение дифференциальных форм при рациональных
отображениях. Пусть (У, Йу’’)—регулярная дифферен-
циальная форма на У и f:X	Y—-рациональное отображе-
ние, удовлетворяющее условиям теоремы п. 7.2. Поразительный
факт состоит в том, что форма /*(<>) также регулярна!
В самом деле, пусть Г — график [, а р и q— проекции Г на
X и У. Тогда форма oj'=q*(a) регулярна на Г. По теореме
п. 7.2 р является изоморфизмом вне некоторого подмножества
FcX коразмерности ^2, так что f*(m) = (р-|)*<1/ регулярна на
X—F. Но тогда по принципу продолжения п. 7.1 она регулярна
всюду на X,
Как следствие мы получаем, что для полного гладкого мно-
гообразия X размерность пространства Н°(Х, ПЛ-Р) регулярных
дифференциальных р-форм является бирациональным инвари-
антом. Это же верно для любых пучков, построенных из Qxp
ковариантными тензорными операциями. Один случай наибо-
лее важен.
Пусть X — гладкое «-мерное многообразие. Тогда пучок
йх1 локально свободный ранга п. Его n-я внешняя степень
йхи = Л',йЛ| будет обратимым лучком; он называется канони-
ческим пучком на X и обозначается о.т. Размерность
Н°(Х, (o.v) называется геометрическим родом X н обозначает-
ся ре(Х). Как мы видели в § 7 главы I, рх(Рп) =0; там же бы-
ло показано, что для плоской гладкой кубической кривой род
^1, откуда следует ее нерациональность.
7.4.	Исключительное многообразие бирационального мор-
физма. Пусть р : Г-+Х — собственный бирациональный мор-
физм, X нормально и F — множество точек неопределенности
р_|. Исключительным подмногообразием р называется p~'(F).
Как показано в л. 7.2, его размерность больше, чем размер-
ность его образа F. Иначе говоря, при бирациональном мор-
физме некоторое подмногообразие «стягивается» в многообра-
зие меньшей размерности. Если X—гладкое, то это утвержде-
ние можно уточнить:
Теорема (ван дер Варден). Пусть многообразие X — ло-
кально факториальное (например, гладкое), а р:Г-+Х — бира-
циональный морфизм. Тогда любая компонента исключитель-
ного многообразия р имеет коразмерность 1 в Г.
Пусть .vf-.Y — точка неопределенности р и zf-p~'(x). Регуляр-
ные функции на Г можно рассматривать как рациональные
функции на X. Так как х — точка неопределенности, то найдет-
246
ся регулярная функция и на Г, u(z)=O, которая не регулярна в
точке х. Пусть и~а/Ь — несократимое представление, где а и b
регулярны в х. Пусть ZcT задается нулями функции р*(Ь);
его коразмерность равна 1. Так как р*(а)— up*(Ь), она тоже
равна нулю на Z. Значит, p(Z) лежит в нулях а и b и имеет
коразмерность >1. Поэтому многообразие Z исключительное.
Пример. Если X — не гладкое, то исключительное много-
образие может иметь коразмерность >1. Пусть X — конус в
А4, заданный уравнением Т\Т2 = Т3Т4. Это нормальное многооб-
разие; это видно из того, что кольцо Х[Х] есть пересечение
двух нормальных колец А[Г1т Т4/Тг, Гз/Д] и К[Т2, Т4/Т2, Т3/Т2]
в поле К(Х). С другой стороны, пусть f=TJT3 = T4/T2— рацио-
нальная функция на X и р : Г-+Х ее график. В однородных ко-
ординатах U и V на Р1 график задается уравнениями UT3=V7't
и UT2=VTi. Проекция р:Г-+Х является изморфизмом над
X—{0}, тогда как исключительное многообразие р~'(0) =
— {0} X Р1 имеет коразмерность 2 в Г.
В частности, многообразие X не факториально.
7.5.	Разрешение особенностей. Разрешением особенностей
многообразия X называется собственный бирациональный мор-
физм Х'-+Х с гладким X'. Например, морфизм Г-+Х из преды-
дущего примера разрешает особенность конуса X. В связи с
этим понятием встают два вопроса — существование и единст-
венность разрешения. Первый более принципиален и, видимо,
ответ на него утвердительный. Во всяком случае это так, если
характеристика К равна 0 (теорема Хиронаки) или если
dimX^2 ([16]).
Что касается единственности, ответ зависит от размер-
ности. Если X—кривая, ее десингуляризация однозначна с
точностью до изоморфизма (см. п. 7.2) и совпадает с норма-
лизацией. В размерности 02 гладкая модель не единственна.
Дело в том, что, раздув на гладком многообразии точку, мы
снова получим гладкое многообразие.
Предложение. Пусть о : Х-+Х—раздутие гладкого мно-
гообразия вдоль гладкого подмногообразия У. Тогда X — глад-
кое.
Действительно, в этом случае Cyix = Nyix является ло-
кально тривиальным векторным расслоением над У. Исключи-
тельное многообразие Е = о'',(У) =Ру(Ау/х) тоже гладкое.
С другой стороны, Е локально ^задается одним уравнением. От-
сюда легко следует гладкость X в точах Е; в остальных точках
X изоморфно X и тоже гладкое.
Все же для поверхностей однозначно определено минималь-
ное разрешение особенностей (см. [15], [32], [41], [56]). В раз-
мерности 3 и выше уже и это не так. Пусть снова X—конус в
А4, заданный уравнением Т\Т2 = Т3Т4. Десингуляризация
р:Г-+Х (график T\fT3) минимальна; однако минимальна и
247
Р ; Г (график заданная в АХР1 уравнениями
U ‘*=V Л, U'Ti—V Т3. Модели Г и Г' не изоморнфы как ?
A-многообразия. В самом деле, плоскость А2с:Г с уравнениями
U — 0, У=1, 7'| = 7'4 = 0 переходит в поверхность А^сдГ' с урав-
нениями и'Т^=УТз, Т1 = Т4=0. Картина тут такая:
Верхняя левая фигура X— еще одна десингуляризация X, изо-
морфная ГУ^Г'. Ее можно получить, раздув иа X точку 0.
7.6.	Критерий нормальности. Начнем со следующего свой-
ства нормального многообразия:
Предложение. Множество Sing А особых точек нор-
мального многообразия X имеет коразмерность ^2.
Уменьшая X, можно считать подмногообразие Sing А глад-
ким. Раз X не гладко в точках Sing А, последнее не задается
одним уравнением (даже локально) в А. Поэтому раздутие
о : А-»-А вдоль Sing А не изоморфизм, Sing А фундаментально
для о‘ ’ и, в соответствии с п. 7.2, имеет коразмерность ^2.
Следствие. Нормальная кривая гладкая.
Итак мы видим, что нормальное многообразие обладает
двумя важными свойствами: свойством Хартогса (п. 7.1) и
гладкостью в коразмерности 1. Мы утверждаем, что верно и
обратное. В самом деле, пусть / — рациональная функция на
А, целая над А. Так как А—Sing X нормально, f регулярна вне
Sing А. Но коразмерность Sing X больше 1, и по свойству
Хартогса f регулярна всюду.
В связи с этим отметим, что свойство Коэна—Маколея вле-
чет свойство продолжения Хартогса. Действительно, пусть ко-
размерность F в X больше 1, и рациональная функция а/b ре-
гулярна вис F. Пусть g— функция на X, такая что V {g)^F и
1/(^)Г1Е(4') имеет коразмерность 2 в X. Так как на А—V(g)
248
функция a lb регулярна, gTa делится на b при некотором г. По
свойству Коэна—Маколея g не делит нуль по модулю Ь. Зна-
чит, а делится на b и функция а/b регулярна всюду.
В частности, если X гиперповерхность в гладком многооб-
разии и SingX имеет коразмерность ^2, то X нормально. Это
дает другое доказательство нормальности квадратичного кону-
са X из примера п. 7.5. Подобным образом можно проверить,
что пара плоскостей V|JV' из примера 3 § 5 не является пол-
ным пересечением даже теоретико-множественно.
Глава 3
ГЕОМЕТРИЯ НА АЛГЕБРАИЧЕСКОМ МНОГООБРАЗИИ
Геометрия изучает свойства геометрических фигур и их
взаиморасположение. Фигуры алгебраической геометрии —
подмногообразия (или алгебраические циклы) фиксированно-
го алгебраического 'многообразия, чаще всего проективного
пространства. Обычно такие фигуры допускают непрерывные
вариации, и центральным понятием этой главы будет понятие
алгебраического семейства фигур. Простейшие фигуры — ди-
визоры (подмногообразия коразмерности 1)—локально зада-
ются одним уравнением. Линейные системы дивизоров дают
важнейшие примеры алгебраических семейств. Более сложные
фигуры можно образовывать из более простых при помощи
операций вроде пересечения или объединения; это предмет
теории пересечений.
Некоторые инварианты фигур не меняются при непрерыв-
ных вариациях. Пример такого инварианта — степень проек-
тивной фигуры. Все фигуры данной размерности и степени па-
раметризуются точками алгебраического многообразия — т. н.
многообразия Чжоу.
§ 1.	Линейные сечения проективного многообразия
1.1.	Внешняя геометрия многообразия. Простейшее проек-
тивное многообразие — проективное пространство Рп. Про-
стейшие подмногообразия в Рп—линейные подмногообразия,
т. е. подмногообразия вида Р(Х), где К — векторное подпро-
странство в Лп+1. Вопросы о таких многообразиях элементарны
и относятся скорее к линейной алгебре, чем к проективной
геометрии. Напомним, -что они параметризуются многообра-
зиями Грассмана.
Пусть теперь ХсРп — произвольное проективное многооб-
разие. До сих пор мы интересовались внутренними свойства-
ми X, такими как размерность, особые точки и т. д. Теперь нас
больше будет интересовать внешняя геометрия X, т. е. свой-
249
(гРаФик ^1/^4). заданная в ХХР1 уравнениями
'4 = V Т,, и'Т2=]/'Тз. Модели Г и Г' не изоморнфы как
A-многообразия. В самом деле, плоскость А2сГ с уравнениями
U=Q, V— 1, Т1 = 7'4 = 0 переходит в поверхность АгсЛ с урав-
нениями U'T2= У'Гз, 7'1 = 74 = 0. Картина тут такая:
Рис. 15
Верхняя левая фигура X— еще одна десингуляризация X, изо-
морфная Г\Г'. Ее можно получить, раздув на X точку 0.
7.6.	Критерий нормальности. Начнем со следующего свой-
ства нормального многообразия:
Предложение. Множество Sing X особых точек нор-
мального многообразия X имеет коразмерность ^2.
Уменьшая X, можно считать подмногообразие Sing Л глад-
ким. Раз X не гладко в точках SingX, последнее не задается
одним уравнением (даже локально) в X. Поэтому раздутие
<т: Х—*~Х вдоль Sing X не изоморфизм, Sing X фундаментально
для ст 1 и, в соответствии с п. 7.2, имеет коразмерность ^2.
Следствие. Нормальная кривая гладкая.
Итак мы видим, что нормальное многообразие обладает
двумя важными свойствами: свойством Хартогса (п. 7.1) и
гладкостью в коразмерности 1. Мы утверждаем, что верно и
обратное. В самом деле, пусть / — рациональная функция на
X, целая над X. Так как X—Sing X нормально, f регулярна вне
SingX. Но коразмерность Sing X больше 1, и по свойству
Хартогса f регулярна всюду.
В связи с этим отметим, что свойство Коэна—Маколея вле-
чет свойство продолжения Хартогса. Действительно, пусть ко-
размерность F в X больше 1, и рациональная функция а/b ре-
гулярна вне F. Пусть g— функция на X, такая что V(g)z^F и
1/(^)ПК(й) имеет коразмерность 2 в X. Так как на X—V(g)
248
функция a/b регулярна, gra делится на b при некотором г. По
свойству Коэна—Маколея g не делит нуль по модулю Ь. Зна-
чит, а делится на & и функция а/b регулярна всюду.
В частности, если X гиперповерхность в гладком многооб-
разии и Sing X имеет коразмерность ^2, то X нормально. Это
дает другое доказательство нормальности квадратичного кону-
са X из примера п. 7.5. Подобным образом можно проверить,
что пара плоскостей VIJV" из примера 3 § 5 не является пол-
ным пересечением даже теоретико- множественно.
Глава 3
ГЕОМЕТРИЯ НА АЛГЕБРАИЧЕСКОМ МНОГООБРАЗИИ
Геометрия изучает свойства геометрических фигур и их
взаиморасположение. Фигуры алгебраической геометрии —
подмногообразия (или алгебраические циклы) фиксированно-
го алгебраического многообразия, чаще всего проективного
пространства. Обычно такие фигуры допускают непрерывные
вариации, и центральным понятием этой главы будет понятие
алгебраического семейства фигур. Простейшие фигуры — ди-
визоры (подмногообразия коразмерности 1)—локально зада-
ются одним уравнением. Линейные системы дивизоров дают
важнейшие примеры алгебраических семейств. Более сложные
фигуры можно образовывать из более простых при помощи
операций вроде пересечения или объединения; это предмет
теории пересечений.
Некоторые инварианты фигур не меняются при непрерыв-
ных вариациях. Пример такого инварианта — степень проек-
тивной фигуры. Все фигуры данной размерности и степени па-
раметризуются точками алгебраического многообразия — т. н.
многообразия Чжоу.
§ 1.	Линейные сечения проективного многообразия
1.1.	Внешняя геометрия многообразия. Простейшее проек-
тивное многообразие — проективное пространство Рп. Про-
стейшие подмногообразия в Рп—линейные подмногообразия,
т. е. подмногообразия вида Р(Х), где X, —векторное подпро-
странство в A'n+1. Вопросы о таких многообразиях элементарны
и относятся скорее к линейной алгебре, чем к проективной
геометрии. Напомним, что они параметризуются многообра-
зиями Грассмана.
Пусть теперь XczPn — произвольное проективное многооб-
разие. До сих пор мы интересовались внутренними свойства-
ми X, такими как размерность, особые точки и т. д. Теперь нас
больше будет .интересовать внешняя геометрия X, т. е. свой-
249
ства А, связанные с вложением AczP'1, или свойства пары
(А,РП). Можно сказать, что это свойства конуса CaK,n+i та-
кого, что А=Р(С). Естественно начать внешнюю геометрию
с изучения взаимодействия А с линейными подмногообразиями
Р". Такая деятельность полезна даже в том случае, если нас
интересуют внутренние свойства X. Например, при доказатель-
стве нерациональности гладкой кубической гиперповерхности в
Р4 важную роль играет 2-мерное семейство прямых, лежащих
на кубике ([12]). См. также более элементарный пример
из § 3, где устанавливается нерациональность гладкой кубиче-
ской кривой в Р2.
Пересечение А с «общими» или типичными линейными
подмногообразиями используется для построения проективных
инвариантов, важнейшим из которых является степень. Здесь
и далее в главе 3 термин «общее» линейное подпространство
означает элемент из открытого плотного подмножества соот-
ветствующего грассманиана. Линейные подмногообразия, спе-
циальным образом расположенные относительно А (касатель-
ные, секущие, лежащие на А), также несут важную информа-
цию и позволяют связывать с А новые многообразия. Здесь мы
обсудим некоторые общие факты о пересечениях с линейными
многообразиями; общая идеология заключается в том, что мно-
гие свойства многообразия А наследуются его линейным сече-
нием AQL. Условно такие утверждения можно разделить на
теоремы типа Бертини про общие сечения и теоремы типа
Лефшеца о произвольных сечениях. Например, как мы видели
в главе 2, если dim L = n~dimA, то X(\L ‘не пусто; для общего
L оно еще и конечно.
1.2.	Универсальное линейное сечение. Часто полезно бывает
иметь дело сразу со всеми линейными сечениями. Для этого
мы зафиксируем целое число ш^О; пусть G обозначает мно-
гообразие Грассмана G(n4-1—т, п+1) векторных подпро-
странств коразмерности гп в Л'"*1 (или линейных подмногооб-
разий ^коразмерности т в Р"). Над G есть универсальное век-
торное (под)расслоение ScK’l!,xG (глава 1); проективиза-
ция его над G дает проективное подрасслоенне P(S)crPnXG.
Слой P(S) над точкой X<G (т. е. векторным подпространством
ZcA'1*1) есть линейное Р(Х)сдР".
Пусть теперь АсР” — проективное многообразие (обычно
неприводимое). Образуем многообразие инцидеиции IX как
пересечение AXG и P(S) в P"XG. Оно состоит из пар
(x,L)<X\G, таких что x*'L. Пусть р и q — проекции /А на А
и G. Расслоение q : IX-*-G назовем универсальным линейным
сечением X коразмерности т. Слой его над точкой Lf-G изо-
морфен (схемно) АПЛ. Проекция р ; /А->-А играет вспомога-
тельную роль. Для х(-Х слой р 1 (х) состоит из линейных L&G,
проходящих через х, и изоморфен G(n—т, п). В частности,
слои р неприводимы и имеют размерность т(п—т).
Обсудим подробнее случай m—r—dimX, т. е. пересечениях
с линейными пространствами дополнительной размерности.
Обозначим через U (соответственно Uo) подмножество в G,
состоящее из тех L, которые пересекают X в конечном числе
точек (соответственно трансверсально пересекают X); ясно, что
Uoc.U.
Теорема. Множества U и Uo открыты и плотны в G. Для
любого IX U число IХПТ| точек множества X|"|L не превосхо-
дит deg(z?) и равно oeg(z?) для IXU0.
В самом деле, в этом случае dim/X=dimX+
-f-dim G(n—m, n) =r-f-r(n—r) =dim G. Кроме того, как уже
отмечалось, ХПА=/=0 для любого IXG, так что q: IX-*-G
сюръективен. Из теоремы п. 4.5 главы 2 следует открытость и
плотность U, а из теоремы п. 5.7 главы 2 неравенство |ХПЛ|
^deg q. Перейдем теперь к трансверсальности. Пусть FczIX
состоит из пар (х, L), таких что L не трансверсально пересе-
кает X в точке х. Это подмножество замкнуто в силу теоремы о
размерности слоев и нигде не плотное из-за существования
гладких точек на X. Поэтому q(F) замкнуто в G и dim<?(F)^
sCdim fcdim/X=dim G. Это доказывает открытость и плот-
ность G0 = G—q(E). Так как q этальный над Uo, то из теоремы
о постоянстве |X(]L| = deg^ для L^U0.
Точно так же 'можно показать, что общее ТсдРп коразмер-
ности m>r=dimX не пересекается с X. Более точно, в этом
случае проекция q: IX-+-G является (бирационально) вложе-
нием и q(lX) имеет коразмерность т—г в G.
Аналогично, если L — общее линейное коразмерности т<
CdimX, то L трансверсально пересекает X во всех гладких
точках X. Один частный случай мы рассмотрим подробнее.
1.3.	Гиперплоские сечения. Пусть гп=1; в этом случае
G = P*—проективное пространство, двойственное к Р = РП.
Предположим, кроме того, что X — гладкое r-мерное. Тогда
IX — тоже гладкое, размерности гЛ-п—1 и q : /Х-»-Р* — мор-
физм гладких многообразий. Как уже говорилось, общий
слой q, т. е. пересечение X с общей гиперплоскостью Н, глад-
кий. Рассмотрим вырождения q.
Точки /X, в которых морфизм q не гладкий, — это пары
(х,Н), такие что гиперплоскость Н касается X 'В точке х, т. е.
Н^ТхХ. Множество таких точек СХ называется ненормаль-
ным к X, а его образ ^(СХ)=Х*сгР*— многообразием, двой-
ственным к X.
Эта терминология подразумевает, что двойственным к X*
снова будет X. Это почти всегда так, хотя надо сделать две
оговорки. Первая: как правило, X* имеет особенности, так что
определения нужно слегка обобщить. Вторая: даже если X*
гладкое, то рефлексивность может нарушиться.
Пример 1. Пусть характеристика К равна 2 и С=
=	Г|2] гладкая коника в Р2. Тогда все касательные к С
251
проходят через одну точку Р=(0, 1,0) (ср. с примером 2 § 2
главы 1). Получаем, что С* — прямая в Р2*, и С** = Р.
Этот пример интересен еще вот чем: q:IC-+P~* является
двулистным накрытием, разветвленным над прямой С*.
Ограничение q на Р2*—С* дает неразветвленное накрытие А2,
так что А2 не односвязно!
Впрочем, в нулевой характеристике всегда Х** = Х ([47]).
Обращаясь к первой проекции р : СХ->-Х, легко понять, что
СХ—гладкое многообразие размерности п—1.
Пример 2. Пусть X — гиперповерхность в Р; тогда СХ и
X изоморфны. Отображение q°p~' : Х->Р* называется отобра-
жением Гаусса. Если X задается формой F (Т^,. . . ,Тп), то ото-
бражение Гаусса сопоставляет точке х точку (<ЗР/
/дТп(х),...,дГ/дТ„(х)).
Так как СХ имеет меньшую размерность, чем Р*, следует
ожидать, что в типичном случае СХ—>-Х*— бирациональный
изоморфизм 'и dimX*~n— 1. Отсылая за подробностями к
[40], [47], приведем несколько фактов:
Предложение, а) Морфизм СХ-»-Р* неразветвлен в
точке (х, Н) тогда и только тогда, когда х—невырожденная
квадратичная особенность XQ//.
Если X — кривая, то морфизм q : IX-+P* конечен, так что
так, если характеристика равна нулю и dimX* = n—1), то
СХ—>-Х* является изоморфизмом над X*—SingX*; для любой
точки И, гладкой на X*, ХС\Н имеет одну (невырожденную
квадратичную) особую точку.
Если X — кривая, то морфизм q : /Х->Р* конечен, так что
X* имеет коразмерность 1 в Р*. Это частный случай теоремы
Зарис скога—Нагаты о чистоте ветвления ([38]):
Теорема. Пусть f : Y-+Z — конечный доминантный мор-
физм, Z гладкое, Y нормальное. Тогда множество ветвления f
имеет коразмерность 1 в Z.
Полезно сравнить это утверждение с примером 3 § 5 гла-
вы 2, где ветвление происходит в коразмерности 2.
Пример 3. Бывает, что коразмерность X* больше 1; в этом
случае //*Х* касается X вдоль подмногообразия (в общем слу-
чае линейного) положительной размерности. Простейший не-
тривиальный пример — Р'ХР2, вложенное по Сегре в Р5; оно
самодвойственное.
1.4.	Теорема о связности. Если коразмерность L меньше
dimX, то пересечение ХПЕ связно. Удобнее доказывать чуть
более общее утверждение.
Теорема. Пусть [: Х->Р" — собственный морфизм, X —
неприводимое многообразие, ТстР”—линейное подмногообра-
зие коразмерности <dim X. Тогда Xf)E связно.
Наметим доказательство. Пользуясь разложением Штейна,
можно считать f конечным. Пользуясь принципом связности
Эпрпквеса—Зарнсского, можно считать L общим. Проектируя
252
линейно f(X), можно считать f сюръективным. Наконец, мож-
но считать dimE=l. Возьмем точку pGPn и покажем, что для
любой прямой L, проходящей через р, кривая	связна.
Пусть л : Р"---*-Р"-1 проекция из р; мы имеем коммутатив-
ную диаграмму
где о (соответственно ох) — раздутие Рп в точке р (соответст-
венно X в /-1(р)). Надо доказать связность кривых лх~1(у),
уеРп~}. Фокус в том, что морфизм обладает сечениями; а
именно, для точки (р) сечением будет оу1 (х) = {%} Хсг1 (р).
Поэтому если разложить по Штейну морфизм лх : X-+Z—>~P'‘
то Z также будет обладать сечением над Р’1-1. С другой сто-
роны, Z неприводимо как образ неприводимого X, так что
7->рп-1 ИЗОМОРФИЗМ И СЛОИ Т1х~'(У) связны.
Фултон и Хансен придали теореме о связности более мощ-
ную форму:
Теорема. Пусть X—полное неприводимое многообразие и
/:Х—>-РпХРп— морфизм, такой что dim/(X)>n. Тогда f~l (А)
связно, где Д —диагональ в РпхРп.
Она сводится к предыдущей теореме при помощи следую-
щей простой, но полезной конструкции.
1.5.	Линейное соединение. Пусть V, V' — векторные про-
странства над К, вложенные в VxV' как VX{0} и {0}xV'.
Тогда P(V') и P(V")—непересекающиеся линейные подмного-
образия в P(VxV'), и любая точка из дополнения к ним лежит
на единственной прямой, пересекающей Р(У) и Р(У')-
Вообще, если X и X' — многообразия в Р(К) и Р(У') соот-
ветственно, то, соединяя прямыми точки X и X', мы заметаем
некоторое подмногообразие в P(VxV/), которое можно на-
звать линейным соединением X и X' и обозначить Х*Х'. На-
пример, соединение X с точкой есть конус с вершиной в этой
точке и основанием X. Если Х=Р(С), Х'=Р(С'), где С, С' —
конусы в V, V, то Х*Х' = Р(СхС').
Как уже говорилось, Р( Ух У') — (Р(У)11Р(V')) обладает
естественной проекцией на Р(У)ХР(У') со слоем А1—{0}.
Раздувая Р(У) и Р(У'), мы получим настоящий морфизм
р:Р05<?')->Р(ЮХР(И
со слоем Р1 и двумя каноническими сечениями.
Вернемся к теореме Фултона—Хансена. Пусть У= V'~Kn+l
и 6 — диагональ в Kn+1XA”+1- Тогда Р(6)сР2п+| = Рп*Рп изо-
253
морфно проектируется на диагональ АсРпхРп при р. Образу-
ем декартов квадрат
X-------X
f к
ОТ
р2п+1	, рПЛ рп
Так как (А) =/~' (Р(6)), то все следует из первой версии тео-
ремы о связности.
1.6.	Применения теоремы о связности.	|
Теорема (Бертини). Пусть X — неприводимое подмного-
образие в Рп. Тогда для общего линейного La:Pn коразмер-
ности CdimX пересечение XRL неприводимо. Так, если
dim Х)>2, общее гиперплоское сечение неприводимо.
Мы проверим это в крайнем случае, когда коразмерность
L равна dim X—1. Применяя теорему о связности к нормализа-
ции f : ХК->РП, мы получаем связность кривой для обще-
го L. С другой стороны, Хн гладко в коразмерности 1 (глава
2, § 7), поэтому для общего L кривая f ‘(L) гладкая, следова-
тельно неприводимая. Значит, неприводима и XRL как образ
Г(Е)-
Теорема. Пусть X, УсРп неприводимы и dimX-j-dim У>п. ;
Тогда ХГ)У связно.	1
Действительно, Х(~]У есть пересечение диагонали с вложени- (
ем Хх У<=Р"Х Р".	!
Теорема. Пусть X — неприводимое многообразие, f : X—«- ’
--<-Р'‘ конечный неразветвленный морфизм. Если 2dimX>n, то
[ является замкнутым вложением.
R самом деле, неразветвленпость f означает, что диагональ
A,\g:A'X'X открыта и замкнута в X v X = (/ X/)' (АРД, связ-
₽"
ном по теореме Фелтона — Хансена. Значит, Ах=ХХХ, f
р”
инъективно и остается применить критерий из § 5 главы 2.
Следствие. Любое многообразие в Р" размерности >п/2
односвязно. В частности, одиосвязпо Р".
Отметим, что А" одиосвязио лишь в нулевой характе-
ристике!
Теорема. Пусть X—нормальное проективное многообра-
зие размерности 02. Если гнисрплоское сечение X односвязно,
то односвязно и X.
В самом деле, пусть /: Х'-*Х—этальное накрытие со связ-
ным X'. Из-за нормальности X многообразие X' неприводимо.
По теореме о связности	тоже связно; в силу односвяз-
ности ХГ]// степень X' над X равна Е
Теорема (Ф. Л. Зак [5]). Пусть неприводимое многообра-
зие ХсР'1 не содержится ни в какой гиперплоскости. Пусть
254
LcPn— собственное линейное подмногообразие, касающееся
X вдоль У (так что для z/бУ имеем TyXaL). Тогда dim У^
^dim L—dim X.
Для доказательства возьмем линейное подмногообразие
McPn размерности п— 1—dim L, не пересекающее L, и пусть
лм : X^L — линейная проекция с центром в М. В силу каса-
ния X и L вдоль У эта проекция неразветвлена в точках М.
Отсюда следует, что У — связная компонента множества
лмн(У) =ХП(Т*Л1). Предположим теперь, что dim y>dimL—
—dim X. Тогда dim (Y*M) Д-dim X>n, и по теореме о связности
ХГ1(У*Л4) связно. Поэтому У = ХП(У*Л1). А так как М произ-
вольно, то X — YczL. Противоречие!
Следствие. Если X гладкое, то dimX*^dimX.
Следствие. Пусть X — гладкое подмногообразие в Р".
Тогда любое гиперплоское сечение X приведено при 2dimX>n
и нормально прн 2dimX>n4~l.
(Воспользоваться критерием нормальности § 7 главы 2.)
Другие применения теоремы о связности и ссылки на лите-
ратуру о наследовании свойств при переходе к гиперплоским
сечениям можно найти в обзоре [30].
§ 2.	Степень проективного многообразия
2.1.	Определение степени. Степень проективного многообра-
зия Хс:Рп — вторая по важности (после размерности) числен-
ная характеристика X, отражающая его расположение в Р".
Если r = dimX (как правило, предполагается, что все компонен-
ты X r-мерны), то степень deg X — это число точек пересечения
X с общим линейным многообразием L размерности п—г (см.
теорему п. 1.2). Если X пересекается с (и—г)-плоскостью L
более чем в degX точках, то XQL бесконечно.
Пример 1. Пусть X — линейное многообразие в Р"; тогда
degX=l. Верно и обратное.
Пример 2. Пусть X—гиперповерхность, заданная непри-
водимым однородным многочленом F(T0, .... Тп)- Тогда degX=
= degE.
Пример 3. Пусть СсРп — неприводимая кривая степени
два. Тогда она лежит в некоторой плоскости. В самом деле,
возьмем на С три общие точки х, у, z и проведем через них
плоскость L = xyz. Так как Е(~]С бесконечно, CczL. Отметим,
что неприводимость С существенна, как видно на примере двух
скрещивающихся прямых в Р3.
Пример 4. Степень пересечения X с гиперплоскостью Н
^degX’H равна degX, если И общая.
Пример 5. Пусть X* У — линейное соединение X и У. Тогда
degX«y=degX-degy. В самом деле, пусть L = P(X,) —общее ли-
нейное многообразие, пересекающее X в degX точках; анало-
гично Е' = Р(Х,'). Тогда линейное многообразие
255
пересекает Х*Х' по одномерному многообразию (XQE) * (Х'ПБ'),
состоящему из degX-degX' прямых. Теперь все должно быть
ясным.
Над К=С степень можно интепретировать как объем, см.
[32], [56].
2.2.	Теорема Безу. Если все неприводимые компоненты Хь
... А\ многообразия А' имеют одну размерность, то degX=
= deg A’i + ... + deg X,. Это можно рассматривать как аддитив-
ность степени при объединении. Наиболее знаменитая теорема
о степени — теорема Безу — утверждает мультипликативность
степени при пересечении. Конечное, при этом надо предполагать,
что пересекаемые многообразия расположены трансверсально
или приписывать пересечениям некоторые кратности. Проблему
кратностей мы обсудим в параграфе, посвященном общей тео-
рии пересечений, а сейчас приведем теорему Безу в той фор-
ме, которую ей придали Фултон и Макферсон [29].
Теорема. Пусть X,........А'г —равноразмерные многообразия
в Р" и Zi, .. ., Zt — неприводимые компоненты Хх Q ... ПЛ",.
Тогда degZy<II degX,.
/ <
Например, если пересечение н гиперповерхностей хх .. . хп в
Р" конечно, оно содержит ^dx ...dn точек, где c?, = degX,. Соб-
ственно это и установил Безу.
При доказательстве можно считать X, неприводимыми; кро-
ме того, для простоты мы ограничимся пересечением двух мно-
гообразий. Воспользуемся проективным вариантом редукции к
диагонали. Пусть б — диагональ в Кп + |ХК" + |- Линейное много-
образие Р(б) в Р"*Р" = Р2п 11 пересекает линейное соединение
А'|*А'2 как раз по A'|AAT. Пользуясь примером 5, мы видим, что
Аг2 можно считать линейным. Представляя линейное многообра-
зие как пересечение гиперплоскостей, можно считать Х2 ги-
перплоскостью. Теперь все очевидно (см. пример 5).
Когда пересечения трансверсальные, можно утверждать
больше Скажем, что многообразия X, УсдРп пересекаются
просто (или с кратностью 1). Если па каждой компоненте Х[~)У
найдется точка, в которой X и Y пересекаются трансверсально.
В этом случае X и Y пересекаются правильно в смысле размер-
ностей (см. §6 главы 2). Предыдущее рассуждение в случае
простого пересечения дает равенство
deg (ХП Y) -degX-degV.
Пример. Пусть СсР3 — нормальная рациональная кри-
вая степени 3. Тогда она не является полным пересечением,
т. е. простым пересечением двух поверхностей. В самом деле,
одна из нах по теореме Безу должна быть плоскостью, а С не
лежит ни в какой плоскости.
Другой простой факт, следующий из теоремы Безу, может
удивить лишь тем, что не появился раньше.
Следствие. Автоморфизмы Рп переводят гиперплоскости
в гиперплоскости и индуцируются линейными автоморфизмами
Кп+'.
В самом деле, пусть // — гиперплоскость в Р, a L — транс-
версальная ей прямая. Если <р — автоморфизм Рп, то ф(/7) и
<p(L) снова трансверсально пересекаются в единственной точке,
откуда degcp (//) = ! и <р(//) гиперплоскость.
2.3.	Степень и коразмерность. Степень многообразия накла-
дывает ограничения на размерность линейной оболочки много-
образия. Пусть, к примеру, С — неприводимая кривая. Возьмем
на С degC-4-l точку и проведем через них линейное пространст-
во L размерности s^degC. Так как С и L пересекаются в этих
точках, С лежит в L. Таким образом, любая неприводимая
кривая лежит в пространстве размерности ^degC. Пользуясь
гиперплоскими сечениями, легко отсюда получить
Предложение. Любое неприводимое проективное много-
образие X лежит в пространстве размерности < dimX-f-degX.
Например, многообразие степени 2 лежит в пространстве
размерности dimX-|-l; для коники мы это уже видели. Можно
также оказать, что коразмерность неприводимого многообразия
в своей линейной оболочке меньше степени.
Пример 1. Пусть С = г„(Р’)сРп — рациональная нор-
мальная кривая степени п. Ясно, что <С> = РП, так что оценка
предложения точная. Напротив, пусть С — невырожденная
(т. е. ие лежащая в гиперплоскости) кривая в Р" степени и.
Возьмем на ней п—1 точку xit ..., хп-ь Любая гиперплоскость
Н, проходящая через Х\, ..., х(1-ь пересекает С еще в одной
точке хн< С. Это устанавливает изоморфизм Р1 и С. Можно по-
казать, что С имеет вид vn(P').
Пример 2. Пусть SczP5— поверхность Веронезе, т. е. об-
раз плоскости Р2 при вложении Веронезе v : Р2-»-Р5. Предста-
вим общую 3-плоскость в Р5 как пересечение двух гиперпло-
скостей //, //'. Прообразы Н и Н' при v— две коники на Р2, и
они пересекаются в 4 точках. Поэтому степень S равна 4 и то-
же минимально возможная для поверхности в Р5.
Поверхность Веронезе S обладает еще одним интересным
свойством — ее многообразие секущих SecS имеет размерность
4 вопреки ожидаемой 5. Дело в том, что любая прямая /сР2
при v переходит в кривую степени 2. Поэтому линейная обо-
лочка <г(0> является 2— плоскостью. Так как SecS заметает-
ся плоскостями	когда I пробегает 2 — мерное семейство
прямых в Р2, то dim SecS = 4. С S можно связать еще одно
2-мсрпое семейство плоскостей — касательные к S; они заме-
тают 4-мерное многообразие TanS. Так как TanS содержится в
SecS, то они совпадают.
Многообразия минимально возможной степени имеют до-
вольно специальный вид и могут быть полностью описаны
17 5S31 б	'Х'7
пый член i. е. /<г(0). По историческим причинам чаще
употребляется число
которое называется арифметическим родом X. Оно всегда це-
лое и зависит только от А', а не от вложения X в Р”; это сле-
дует из когомологической интерпретации РЛ(0). На самом деле
для гладкого многообразия над полем характеристики 0 ариф-
метический род является даже бирациональным инвариантом
[20], [411, [56].
Например, арифметический род Рп равен 0, как и род гипер-
поверхностей степени d в Рп при d^Zn. Род плоской кубиче-
ской кривой равен 1, поэтому гладкая кубическая кривая нера-
циональна, что мы уже видели.
§ 3.	Дивизоры
3.1.	Дивизоры Картье. В предыдущих двух параграфах мы
занимались геометрией на Р". Обратимся теперь к общим мно-
гообразиям и начнем с простейших его фигур, задаваемых
(локально) одним уравнением.
Предположим, что X—гладкое многообразие, а У—под-
многообразие в А' коразмерности 1. Как мы знаем из § 6 гла-
вы 2, локально У задается одним уравнением. То есть суще-
ствует открытое покрытие (К,) многообразия А' и регулярные
функции g, на U,, такие что TfW, (как подсхема (7,) задается
уравнением g, =0. На пересечениях U Ди s функции g, и gj за-
дают одну и ту же подсхему и поэтому g,/g, и g,/g, регуляр-
ны на U ДиЭто приводит к общему
Определению. Дивизором Картье на многообразии X
называется семейство (U,. g,), i< /, где U, — открытые в А, по-
крывающие X, a g. — рациональные функции па U,, такие что
на пересечениях 1ХД1Д gjg, регулярны. Функции g, называ-
ются локальными уравнениями дивизора.
Точнее, дивизором Картье называется класс эквивалентности
таких данных; два набора (7/gf) и (Uэквивалентны, если
объединение их снова дивизор. Дивизоры Картье можно скла-
дывать, перемножая локальные уравнения; они образуют
группу, обозначаемую Div (А).
Пример I. Если локальные уравнения g, регулярны на
I1,. то дивизор Д) называется аффективным, 2)^0. Подсхемы
Г.-С^ б)[ в Uj склеиваются в одну подсхему в А, которая также
обозначается 3). Тем самым эффективные дивизоры Картье
отождествляются с подсхемами в А, локально задаваемыми
одним уравнением.
Пример 2. Ненулевая рациональная функция ff'K(X)*
определяет дивизор Картье (А,/), который называется глав-
26 о
ньш и обозначается div(f). Главные дивизоры образуют под-
группу в Div(X).
3.2.	Дивизоры Вейля. Носителем дивизора Картье
(t/,, g,), |(7, называется множество точек х, в которых локаль-
ные уравнения g, обращаются в нуль или бесконечность. Это
замкнутое подмножество коразмерности 1 позволяет более
геометрпчно представить дивизор. Однако можно пойти даль-
ше и приписать компонентам носителя некоторые кратности,
отражающие кратность нуля нли полюса локального уравне-
ния.
Определение. Дивизором Вейля на X называется ко-
нечная целочисленная комбинация Zn.F,-, где Ft— неприводи-
мые подмногообразия X коразмерности 1; группа таких диви-
зоров обозначается ДДХ).
Таким образом, мы хотим сопоставить дивизору Картье ДХ
дивизор Вейля [0] = SordK(£Z>)-F. Для этого надо опреде-
лить порядок ordr(12)) дивизора Д) вдоль неприводимого КсХ
коразмерности 1. Делается это в случае нормального X так.
Пусть g— локальное уравнение Д) в общей точке F- Умень-
шая X, можно считать, что идеал /(К)—главный (§ 6 гла-
вы 2) и порождается функцией uF. Поэтому g-<x-uFm, где а.
обратимо вдоль F. Тогда ordF(®) —m. Легко проверить, что
это определение корректно, т. е. не зависит от выбора локаль-
ного уравнения g, окрестности общей точки F и образующей
Up идеала 1(F). Получившийся гомоморфизм групп
Div (Х)^ДХ)
инъективен (для нормального X). В самом деле, на нормаль-
ном многообразии функция регулярна, если она регулярна вне
подмножества коразмерности ^2 (см. § 7 главы 2). Если X
локально факториально (например, гладкое), то группы
Div(X) и FZ(X) канонически изоморфны, и мы не будем делать
различия между дивизорами Картье и Вейля. В общем случае
они различны, однако дело даже не в этом. Дивизоры Картье
контравариантны, тогда как дивизоры Вейля ковариантны.
Дивизорам Вейля и их обобщениям на высшие коразмерности
мы посвятим отдельный параграф, а пока продолжим изуче-
ние дивизоров Картье.
3.3.	Дивизоры и обратимые пучки. Пусть JC х обозначает
пучок рациональных функций на X; для открытого UсХ
Xx(U) = K{U). Свяжем с дивизором Картье 3)^(Ui, g^tpr
подпучок (Хх(Д)) пучка Xf х\ над 1Д он равен gr''Oj.. Так как
на пересечениях g-[}(Xut и gy'^r/, совпадают в силу обратимости
gi!gj-, эти пучки склеиваются в один пучок CXx(3))dJfx- Напри-
мер, <7л-(0) = С?х и О*А-(®+	=
Ненулевые сечения 0Х(3)) —это такие рациональные функ-
ции / на X, что функции f-gt регулярны на £/,, т. е. дивизор
261
dif(/') эффективен. Если сам 3) эффективен, пучок Сл(3)]
обладает каноническим сечением s„, которое соответствует по-
стоянной функции 1. Напротив, пучок С7Л-(—0) для эффектив-
ного 3) является пучком идеалов Ох, задаваемая им подсхема
в X и будет 3).
Пучки Ох{3)~) обратимы; умножение на /z задает изоморфизм
<7х(2))| и~^0ие Сложению дивизоров соответствует тензорное
произведение обратимых пучков. Это лает гомоморфизм
6 : Div(X)->-Pic(X).
Ядро 6 СОСТОИТ из дивизоров 3), для которых пучок
изоморфен Ох, т. е. из главных дивизоров. Гомоморфизм 6
сюръективен. В самом деле, пусть 2— обратимый пучок на X
и U — открытое плотное подмножество, такое что 2\и~^Оц
Тогда этот изоморфизм продолжается до вложения 2с-Х %
Этот факт специфичен для алгебраических многообразий; на
комплексно-аналитических многообразиях дивизоров может
оказаться существенно меньше, чем обратимых пучков (см.
[15, гл. VIII]).
Сечения обратимых пучков задают дивизоры. Пусть
s£H° (X, 2') — глобальное сечение обратимого пучка 2, не рав-
ное тождественно нулю на компонентах X. Выбрав тривиализа-
ции ср,:!? | u ^jOu на покрытии (U,), мы получаем эффективный
дивизор (1Д, <рч(Х1)), который обозначается div(s, 2). Напри-
мер, каноническое сечение sD пучка Ох(3)) для эффективного
2 задает 3). Так мы получаем возможность задавать одним
уравнением s = 0 любой эффективный дивизор глобально, но за
счет того, что s не функция, а сечение обратимого пучка. Если
s' — другое ненулевое сечение 2, дивизоры div(s', 2) и
div(s, 2) различаются на дивизор рациональной функции s'js',
говорят также, что они линейно эквивалентны. Подробнее об
этом мы поговорим в следующем параграфе.
3.4.	Функториальность. Пусть f : X-+Y— морфизм многооб-
разий, 3)— дивизор на Y. Предположим, что никакая компо-
нента /(X) не содержится в носителе 3). Тогда на X определен
дивизор /'*(££)), называемый обратным образом 3) при f. Де-
лается это очевидным способом: если gt— локальные уравне-
ния 3) на покрытии V,, то f* (3)) задается уравнениями
(определенными и ненулевыми в силу f(X) <£supp 3)) на по-
крытии /“'(V,). В частности, если [: Х-э-У— доминатный,
f* (3>) определен для любого 3), и мы получаем гомоморфизм
/* : Div (r)->Div (X), согласованный с обратным образом на
группах Пикара Pic. Заметим, что на уровне Pic обратный об-
раз всегда определен, и в этом еще одно из преимуществ обра-
тимых пучков перед дивизорами.
3.5.	Теорема о вырезании. При вычислении групп Пикара
полезно следующее простое
Предложение. Пусть Y замкнуто в X и X факториально
в точках из Y. Тогда точна 'последовательность
262
Z*-*Pic (X)-^Pic(X- У)-Л),
где ZA порождается неприводимыми компонентами У, имеющи-
ми коразмерность 1 в X.
Пример 1. Группа Пикара Ап равна 0; это просто перефор-
мулировка факториальности кольца многочленов К[;Гь ..., Гп].
Позже мы дадим более геометрическое объяснение.
Пример 2. Найдем группу Пикара проективного простран-
ства Р=Р(У). Пусть И — гиперплоскость в Р; пользуясь тем,
что Р—Л~А", мы получаем, что группа Pic(P) порождается
классом дивизора И. Гомоморфизм Z—>-Pic(P) инъективеп. Это
следует из теории степени или из общего замечания: на пол-
ном многообразии лишь нулевой дивизор может быть эффек-
тивным и главным. В самом деле, если div(g)^0, функция g
регулярна, следовательно, постоянна.
Для любой гиперплоскости И cP обратимый пучок (7Р(Я)
изоморфен тавтологическому пучку б/Р(1) из § 7 главы 1. Сечения
(Я) имеют вид Z/Zo, где Zgl/*, a Z„=0—однородное уравне-
ние гиперплоскости Н. Сечения бр(1) отождествляются с V*.
Вообще, для любого /ngZ
tzo/n Z? I (° ПРИ w<0,
ZV (P, Cp(m)) — (Symm(V*) при nt >0.
Как следствие этих вычислений мы снова получаем, что авто"
морфизмы Р индуцируются автоморфизмами V. В самом деле,
автоморфизм Р индуцирует автоморфизм Pic(P)^Z. Поэтому
образующая <7Р(1) переходит в СР(1) (ибо СР(—1) не имеет
сечений), а гиперплоскости в гиперплоскости.
Пример 3. Аналогично легко показать, что группа Пикара
произведения Р (V) X Р (W) изоморфна Z®Z, а любой обратимый
пучок на этом произведении имеет вид /п2)- р^&рц.) (/«J®
®^*СР(1Г) (/«г)- Пара целых чисел (nIt т2) называется пипом
пучка. Например, если s:P"xP”l->-Pw--вложение Сегре, то
s*C(l) имеет тип (1,1). Диагональ на Р!ХР‘ тоже типа (1,1).
П ример 4. Многообразие Грассмана G~G(k, п). Зафикси-
руем разложение Kn = V®W, dim V=k. Обозначим через S
множество тех линейных пространств L&G, для которых LC\W=£-
¥=(0). Дополнение к S в G — это «клетка» U (V, №) (см. 3.4
главы 1), изоморфная V*®W~Ahln~lli. Легко показать, что S
бирационально изоморфно P(l^)XG(&—1, п—1), поэтому не-
приводимо и имеет коразмерность 1 в G. Из точной последо-
вательности вырезания мы заключаем, что Pic (G) изоморфен
Z в порождается классом X Отметим, что (7G(S)—Р*<?(1), г^е
р : G—>-Рл' — вложение Плюккера.
3.6.	Дивизоры на кривых. Конечно, вычислять группу Пика-
ра при помощи вырезания можно только для простых многооб-
разий вроде Рп или грассманианов. Для менее рациональных
многообразий она устроена более сложно и может содержать
263
«непрерывную» часть. Покажем эго на примере эллиптической
кривой. Пусть сначала С—полная гладкая неприводимая кри-
вая; дивизор на С — это линейная комбинация точек 2п,[х,] с
целыми п,. Степень такого дивизора есть Sri,-. Из теоремы о
постоянстве легко получить, что линейно эквивалентные диви-
зоры имеют одну степень. Поэтому гомоморфизм степени
Div (C)-*Z пропускается через Pic (С). Обозначим Pic°(C)
ядро Pic (С)—<-Z т. е. группу дивизоров степени 0 по модулю
главных.
Пусть теперь С — гладкая кубика в Р2. Зафиксируем на ней
точку р и произвольной точке х^С сопоставим дивизор нулевой
степени [х]—[р]. Получается отображение ср : C->Pic°(C). Мы
утверждаем, что ср биективно; этот факт можно истолковывать
двумя различными способами.
Во-первых, справа стоит группа Pic°(C), поэтому и С снаб-
жается структурой группы. Этот факт специфичен для кривой
третьей степени, хотя в ослабленной форме проявляется и для
кубических гиперповерхностей.
Во-вторых, слева стоит алгебраическое многообразие С, по-
этому группа Pic° (С) снабжается структурой алгебраического
многообразия. Этот факт верен уже для любой кривой (по
существу, с этого наблюдения и берет начало алгебраическая
геометрия, см. исторический очерк в |15]) и приводит к поня-
тию якобиева многообразия кривой. Размерность Picc(C) как
алгебраического многообразия совпадает с родом кривой С
(см. 'в. 7.3 главы 2), однако якобиан является гораздо более
тонким инвариантом кривой, чем род (см. [55], [62]).
Вернемся, однако, к отображению q : C->-Pic°(C). Начнем с
явного закона сложения точек С. Пусть х, t/f-C; прямая хуссР2
пересекает С в точках х, у и ете одной точке w. Теперь про-
ведем прямую pw и пусть г — третья точка пересечения ее с С.
Точка z и называется суммой х и у.
2G4
Согласованность этой операции со сложением в Pic0(С) видна
из того, что дивизор [х] +[у]+[®] линейно эквивалентен диви-
зору [p]+M+[z], ибо оба они высекаются на С прямыми из
Р2. Поэтому ([х] — [р]) + ([у[—[р]) ~ ([z]—[р]). Можно на-
писать и явные формулы для операции сложения (см. [15,
стр. 206]), откуда будет видна регулярность закона сложения.
Таким образом, ср : C-*-Pic°(C)—гомоморфизм групп, оче-
видно, сюръективный. Инъективность его следует из нераци-
ональности С (§ 7 главы 2). В самом деле, если точки х и у
переходят в одну, дивизор [х]— [р]—главный и существует
рациональная функция f на С с нулем в х и полюсом в у. Но
тогда f задает изоморфизм С Z- Р*.
Аналогично можно поступать и для особой кубики С, зада-
вая групповой закон на множестве гладких точек С—Sing(C).
§ 4.	Линейные системы дивизоров
4.1.	Семейства дивизоров. В предыдущем параграфе диви-
зор рассматривался как индивидуальный объект. Теперь мы пе-
рейдем к «непрерывным» семействам дивизоров.
Определение. Семейством дивизоров Картье на много-
образии X с базой S (где 3 тоже многообразие) называется
дивизор Картье Ф на ХхЗ, носитель которого не содержит
слоев проекции ХхЗ-»-3.
Ограничивая Ф на каждый слой ^?x{s}, мы получаем ди-
визор CD. на этом слое, или на X. Таким образом, Ф дает се-
мейство (Ф,), s^S. Далее в основном нас будут интересовать
эффективные семейства, когда CD или все Ф, эффективны.
С семействами дивизоров можно делать две вещи. Первая —
ограничивать их на подмногообразие УсХ; это возможно, если
У не содержится в Ф„ Вторая — делать замену базы. Если
Ф : Т-»-5 — морфизм, то можно образовать индуцированное се-
мейство (Ф^у), задающееся дивизором (idXq)*^* па
ХХТ.
Пример. Вот наиболее важный и простой пример семей-
ства дивизоров. Пусть V — векторное пространство, V* — со-
пряженное к V. Пусть 3@С2Р(У) ХР(У*)—дивизор нулей ес-
тественного спаривания VxV**->-A, (v, I) -< l(v). Для каждой
точки /fP(V*) уравнение 1 = 0 задает гиперплоскость И, в Р(У).
Поэтому «Ж— семейство гиперплоскостей на P(V), параметри-
зованное точками Р(У*) (сравните с п. 1.2). Это семейство уни-
версально в том смысле, что если Ф=(Ф,), sGS,— любое се-
мейство гиперплоскостей на Р(К), то существует единственный
морфизм ф : 3->Р(У*), такой что <2> = ф*(<9$) (или Ф, = Н^,}).
Впрочем, Хв можно рассматривать и как семейство гиперпло-
скостей на P(V*), параметризованное Р(У).
265
4.2.	Линейные системы дивизоров. Пусть 3?— обратимый
пучок па неприводимом многообразии X. Как объяснялось в
§ 3, ненулевое сечение s пучка 3? дает эффективный дивизор
div(s, 3) на X. Если VccH°(X, 3?) —некоторое конечномерное
подпространство сечений 3?, то мы получаем «семейство» диви-
зоров (div(s, S)), sGV—{0}. Так как при умножении s на кон-
станту div (s, 3) не меняется, можно считать, что наше «семей-
ство» параметризовано точками Р(У).
Построенное семейство является таковым и в смысле п. 4.1.
Укажем дивизор на X X Р (V"), задающий это семейство. Для
этого выберем базис $п, ..., s„ пространства V и зададим диви-
зор Ф уравнением	= где То, ..., /'„ — однородные
координаты на Р(У). Такие семейства дивизоров называются
линейными системами. Иначе говоря, линейная система в каче-
стве базы имеет проективное пространство Р", но этого мало —
она должна задаваться сечением обратимого пучка 3®q*(J(\)
на XX Р”.
Когда многообразие X полное, в качестве V можно взять
все пространство Н°(Х, 3} и получить так называемую полную
линейную систему, которая обозначается ]3\ или |<Z>|, если
ЗоХЦФ). Любой эффективный дивизор, линейно эквивалент-
ный Ф, встречается в полной системе причем один раз.
Приведенная в примере 4.1 система гиперплоскостей 3€ яв-
ляется полной линейной системой как на P(V), так и на Р(У*).
Если X — подмногообразие в P(V*), то, ограничивая на X ги-
перплоскости, мы получим линейную систему на X. Оказывает-
ся, что в некотором смысле любая линейная система устроена
так.
4.3.	Свободные линейные системы. Пусть ф — линейная
система на X, соответствующая пространству VaH°(X, 3).
Базисным множеством (или подсхемой) называется пересечение
В (Ф)= П Фз всех дивизоров из семейства (Ф^), s6P(V).
Иначе говоря, точка х базисная, если s(x)=0 для всех sGV.
Если базисное множество пусто, то говорят, что линейная си-
стема Ф свободна, или не имеет базисных точек; это эквива-
лентно тому, что V порождает 3. Например, система |т//|
на Р свободна при т^О.
Базисное множество B(D) можно описать так же, как множе-
ство точек х(-Х, для которых слой {х)хР(У) содержится в ди-
визоре ОсдХхР(У). Поэтому если B{D) пусто, D можно пони-
мать как семейство гиперплоскостей на Р(У) с базой X. Но
тогда оно индуцируется из универсального семейства
cP(V’) X Р(У*) при помощи морфизма <ре : Х-»-Р(V*). Так по-
лучается
Предложение. Если линейная система £>=(£>,), sfP(V),
свободна, то существует единственный морфизм <pD: Х-*-Р(У*),
266
такой, что система (D,) индуцирована гиперплоскостями иа
Р(Е*).
В этом главный смысл линейных систем —они задают отобра-
жения в проективные пространства. Приведем еще одно описание
<pg). Отождествляя слой S? (х) с К, мы получаем линейное ото-
бражение V-+K, s>-+s(jc), т. е. точку V*. Эта точка отлична
от нуля в силу свободы S) и определена с точностью до умно-
жения на константу. Поэтому корректно определено отображе-
ние Х-+У* — {0})//<* = Р (У*), которое и есть у®. Если
50, ..., s„ —базис V, то Ф^(л) = (д0(л-).$„(*))•
Примеры, а) Полная линейная система |mH| гиперпо-
верхностей (а точнее, эффективных дивизоров) степени m на
проективном 'Пространстве Р(У) параметризуется точками про-
странства P(SyrnmV*). Отображение ф|тН) : P(V)->-P(SymmV)
есть не что иное, как отображение Веронезе (см. §5 главы 1).
б)	Вложение Сегре задается полной линейной системой ди-
визоров типа (1, 1) на Р«ХРт-
в)	Вложение Плюккера G(fe, V)->P(AkV) задается полной
линейной системой |5| (см. пример 4 из п. 3.5).
4.4.	Обильные системы. Линейная система D называется
очень обильной, если она свободна и задает вложение X в Рп.
Обратимый пучок L называется очень обильным, если такова
полная линейная система | L\. Таким образом, очень обильная
система состоит из всех гиперплоских сечений X при некото-
ром вложении Хс- Рп. Гиперплоскостей в каком-то смысле дей-
ствительно много; во всяком случае, они разделяют точки (в
том числе бесконечно близкие). Обратно, если линейная систе-
ма D= (£>,) разделяет точки, то <ро вложение, В самом деле,
<р-1 (<р(х)) есть не что иное, как базисная подсхема линейной
системы D—х (т. е. подсистемы тех Ds, что xGDs), а она по
предположению совпадает с {х}. Теперь можно применить
п. 5.2 главы 2.
Дивизор D называется обильным, если при некотором m >0
очень -обильна система	Имеется численный критерий
обильности Накаи — Мойшезона.
Теорема. Дивизор D на полном многообразии X обилен
тогда и только тогда, когда для любого неприводимого под-
многообразия УсХ выполнено (£>’’-У) >0, где г = dim У.
Определение индексов пересечения (Ог-У) будет дано в § 6;
доказательство теоремы можно найти в [41], [45], [46]. В част-
ности, на кривой дивизор обилен, если его степень положитель-
на. На полной гладкой поверхности S дивизор D обилен, если
(D2) >0 и для любой кривой CcS (D. С) >0.
4.5.	Линейные системы и рациональные отображения. Даже
если линейная система D имеет базисные точки, она задает ото-
бражение X—B(D) в Р(У*), -которое можно рассматривать как
рациональное отображение X в Р(У*) (если, конечно, B(Z)),?t
267
=#=Х, т. е. система £> непуста).
Пример 1. Пусть D—\H—p\—линейная система гипер-
плоскостей в Р", проходящих через точку рбРп. Отображение
Фо: Рп—{р)-»-Рп~1 есть не что иное, как линейная проекция с
центром н р.
Пример 2. Рассмотрим линейные системы коник на Р2.
а)	Пусть D=\2H—a\—система коник, проходящих через
точку а. Ее размерность равна 4 (всех коник — пятимерное се-
мейство, прохождение через точку накладывает одно условие),
поэтому фр отображает Р2—{а} (или раздутие *Ра2) в Р4. Легко
понять, что это вложение и что степень образа равна 2-2—1=3.
Это отображение можно понимать как композицию вложения
Веронезе г : Р2~+Р и линейной проекции Р5-»-Р4 с центром в
точке у (а). Это еще раз показывает, что многообразие секущих
к о(Р2) отлично от Р5 (см. п. 2.3).
б)	Пусть 3)=\2Н — а — b | — система коник, проходя щи
через точки а и Ь. Она отображает Р2 - {а, 6} в Р3, ив общем
инъективно. В самом деле, если точка хбР2 не лежит на прямой
ab, то базисное множество (подсхема) системы [2// — а — Ь — х|
есть {а, Ь, х). Поэтому ф^> инъективно в точке х. Однако если
точка х лежит на прямой ab, то базисное множество системы
12Н— а~-Ь — х\ есть ab, и вся эта прямая отображается
в одну точку р. Легко понять, что образом будет гладкая
квадрика в Р3, и на ней лежат два трансверсальных друг другу
семейства прямых, произошедших из пучков прямых | Н — а | и
| Н — на Р2. Можно показать, что обратное к ф^> отображе-
ние— это линейная проекция из точки р и что любая гладкая
квадрика в Р3 получается таким образом.
268
р2	р1 х Р1
Рис. lb
в)	Рассмотрим систему 12Н—а—Ь—с\; размерность ее рав-
на двум, а степень — единице. Поэтому она задает бирацио-
нальное отображение Р2 в Р2, неопределенное лишь в точках а,
Ьнс.
Пример 3. Рассмотрим теперь системы кубик на Р2, Раз-
мерность системы |3/7| всех кубик равна 9. Если взять систему
|37/ —flj—... — а6| кубик, проходящих через шестерку точек
di,	находящихся в мало-мальски общем положении, она
задает вложение Р^....а,~ раздутия Р2 в этих точках —в Р5
как поверхности 3-й степени. Более детальный анализ дает, что
любая гладкая поверхность в Р3 третьей степени получается
таким образом.
Пусть С — кубическая кривая в Р2; зафиксируем на ней во-
семь точек. Линейная система кубик, проходящих через эти
точки, имеет размерность 9—8=1; поэтому все эти кубики пе-
ресекаются еще в одной, девятой точке. Так мы приходим к
классическому утверждению: если кубика С" проходит через 8
точек пересечения кубик С и С', то она проходит и через девя-
тую точку пересечения С и С'.
Следствие (теорема Паскаля). Пары противоположных
сторон шестиугольника, вписанного в конику, пересекаются в
трех коллинеарных точках.
Рис. 19
В самом деле, пусть Q — коника, a L\, ..., L6 — стороны
вписанного шестиугольника. Пусть С= L\-YL3-\-L3,	C'=L2-\-
-J-L4+/-6 и C" = Q-}-L, где L — прямая, проходящая через точ-
ки pi4 и рзб, где Pi^L^Lj. Так как С" проходит через 8 точек
пересечения С и С', опа проходит и через девятую точку р25-
В качестве другого применения можно получить ассоциатив-
ность группового закона на кубике (см. п. 3.6). Многочислен-
ные примеры линейных систем можно найти в [32, гл. 4 и 5.]
Классический прием изучения алгебраических многообразий и
их классификации состоит в использовании т. н. плюриканони-
ческих (рациональных) отображений X-----------»-Рх, заданных
кратностями канонической линейной системы |wA-®n| (си.
[45]). Среди спектра возможных ситуаций приведем лишь
20!)
крайние—-многообразия общего типа (шА- обилен) и много-
образия Фано (их-1 обилен).
4.6.	Пучки. Размерностью линейной системы (3).,), $бР(Е),
называется размерность ее базы Р(Е). Линейная система раз-
мерности один называется пучком (pencil); она задается ото-
бражениями на Р1. Слои этого отображения можно отождест-
вить с дивизорами
Пучками издавна пользовались, чтобы расслаивать много-
образия на подмногообразия на единицу меньшей размерности
и изучать их индуктивно. Простейший способ построения пуч-
ка на проективном многообразии ХсР такой. Возьмем пря-
мую / в двойственном пространстве Р*; она и задает пучок
гиперплоских сечений на X. Обычно стараются пучок выбрать
так, чтобы его члены ХПЯ«, sffl, были попроще.
Пусть, например, X—-гладкое и Х*сдР*— многообразие,
двойственное к X (см. § 1). Если прямая I не пересекает X*.
то все члены Xf}Hs гладкие. Как мы знаем из § 1, такая иде-
альная ситуация бывает редко; как правило, X* — гиперпо-
зерхность, I пересекает X* и среди слоев пучка встречаются
особые. Однако если прямая I трансверсально пересекает X*,
особенности Xp./L будут простейшие (см. п. 1.3). Такие пучки
называются пучками Лефшеца и издавна служат мощным
средством индуктивного -исследования многообразий (см. [27],
[40]); можно сказать, что это аналог теории Морса.
4.7.	Линейная и проективная нормальность. Пусть
ЛсР — проективное многообразие. Ограничивая на X линейную
систему \mH\ — \Cfp(rn.)\, мы получаем на X линейную систему
Lx (m). Более точно, эта система задается образом гомомор-
физма ограничения
Н° (Р, Cf (nt)) --> Н° (X, Сх (w))-
В общем случае этот гомоморфизм не сюръективный, т. е. си-
стема £д (т) не полна. Однако при больших пг система Lx(m)
полна (см., например, [41], [53], [56]).
Заметим, что предложение п. 2.3 дает оценку сверху на
размерность //°(Х, О’х(1)): опа нс превосходит dim Х+deg X.
Аналогично можно оценить размерность //°(Х, <7л-(т)), полу-
чив заодно другое доказательство конечномерности этого «про-
странства.
Определение. Проективное многообразие ХсР назы-
вается линейно нормальным, если система Е.г(1) полна.
Например, любая гиперповерхность в Р"(п^2) линейно
нормальна. Линейно нормальна и рациональная нормальная
кривая ип(Р')с:Рп (она потому и называется нормальной).
Проектируя многообразие в проективное пространство мень-
шей размерности, мы получаем линейно ненормальное много-
образие. Таким образом линейная нормальность означает, что
многообразие лежит в Р наиболее свободным образом. Отве-
270
чая на вопрос Хартсхорна [42], Ф. Л. Зак [5] получил следу-
ющий факт:
Теорема. Пусть ХсдРп— гладкое многообразие и
3dimX>2(n—1). Тогда X линейно нормально.
Более сильное ограничение накладывает требование проек-
тивной нормальности. Пусть Х=Р(С), где С — конус в А',+1.
Многообразие X называется проективна нормальным, если ко-
нус С является нормальным многообразием (т. е. кольцо
А[С] нормально). Если многообразие X нормально, это экви-
валентно полноте всех систем Lx(m) (или линейной нормаль-
ности всех образов Веронезе ит(Х)сдРт). Снова гладкая ги-
перповерхность в Рп проективно нормальна. Вот еще интерес-
ный
Пример. Пусть G— полупростая алгебраическая группа,
V — неприводимое линейное представление группы G со
старшим весом A, vW— старший вектор. Тогда множество
Gu(J{0}=C — замыкание орбиты старшего вектора — является
конусом. В [2] показано, что конус С нормален, так что мно-
гообразие Р(С)сдР(Е) проективно нормально. В частности,
проективно нормально многообразие Грассмана при вложе-
нии Плюккера.
§ 5.	Алгебраические циклы
5.1.	Определения. Перейдем теперь к фигурам коразмерно-
сти больше I. Уже на примере дивизоров мы видели, что ча-
сто удобно иметь дело с подмногообразиями, снабженными
«кратностями». Классики называли такие объекты виртуаль-
ными многообразиями; сейчас говорят об алгебраических цик-
лах, подчеркивая аналогию с гомологиями.
Алгебраическим циклом размерности k (или й-циклом) на
многообразии X называется конечная сумма а=Хп,[У(], где
n(GZ, a V( — неприводимые й-мерные подмногообразия в X.
Цикл а эффективен, если все п,^0. Носитель цикла а —
объединение Vt, с ненулевыми п(. Циклы можно складывать, и
группа й-циклов на X обозначается ^„(Х).
Как правило, мы будем считать, что X неприводимо. Если
n = dimX, то группа Збп(Х') изоморфна Z и порождается [X];
.З^-ЦХ) совпадает с группой 36(X) дивизоров Вейля.
5.2.	Прямой образ цикла. Циклы — ковариантные объекты.
Точнее, если f : X—>-У собственный морфизм, то определен гомо-
морфизм прямого образа
f. : 36k(X)-+36k(Y).
По аддитивности, достаточно определить [.[/] для неприводи-
мого ^-мерного подмногообразия VczX. Если dim/(/)<&,
то f.[V] = O. Если же dimf(V) = fe, то fV] — </-[f(V)], где d=
= [Л'(У) : Х(/(У))] — степень Упад f(V). Разумеется, если
g : Y->Z также собственный, то {g ° f)- = g- °f-.
271
Напомним, что в и. 3.2 с каждым дивизором Картье 3) на
нормальном н-мерном многообразии X был связан (п—1)-цикл
[<£>]. Теперь это можно сделать для любого многообразия X,
полагая [£Z>] = л * [л* (.2))], где л : Х,1->~Х — морфизм нормали-
зации.
5.3.	Рациональная эквивалентность циклов. Пусть S —
гладкая неприводимая кривая. Семейством k-циклов на X с
базой S называется (&+1)-цикл а на %XS, носитель которого
доминантно проектируется на S.
Такой цикл а на %Х5 называется семейством, потому что
для каждой точки s^S он определяет й-цикл а. на X (назы-
ваемый специализацией а в точке s), который зависит от s
«непрерывным образом». При определении специализации
можно считать <z=[V], где V—неприводимое подмногообразие
в Л'Х5, доминирующее S. Рассмотрим точку sC-S как дивизор
Картье на S и положим [ V]	(*>)]. где Р и q— проекции
V на X и 5. Отметим, что если а эффективен, то специализа-
ции а, тоже эффективны.
Циклы называются алгебраически эквивалентными, если
они включаются в семейство циклов; если при этом базисная
кривая S рациональна (обычно это А1 или Р1), говорят, что
циклы рационально эквивалентны. Легко убедиться, что ра-
циональная эквивалентность ~ действительно отношение эк-
вивалентности и согласована со сложением в J£ft(X). Фактор-
группа £!,(Х)/~ называется группой классов k-циклов иа X
и обозначается Aft(X).
Пример. Покажем, что Hh(An)=0 при k<.n (ср. с при-
мером 1 из п. 3.5). Пусть I7 — подмногообразие в Ап размер-
ности <п. Сдвигая I7, можно считать, что CKV. Гомотетия
Vt~C]V при >0 вытесняет V/ на бесконечность, так что
[ V'] ~0.
Предложение. Гомоморфизм прямого образа согла-
суется с рациональной эквивалентностью и задает f. :Аь(Х)->
-Л/,( Г).
В самом деле, пусть f: X-+Y— собственный морфизм, и
а-семейгтво циклов на X с базой 3. Тогда f}= (/Х'й/).«-семей-
ство циклов на Y с топ же базой, н остается проверить, что
(М-/'. (а„) для любой точки 5<S. Вспоминая определение спе-
циализации цикла, мы сводим все к так называемой формуле
проекции.
Формула проекции. Пусть g:V~+W — доминантный
морфизм многообразий одной размерности, 3) — дивизор
Картье на IV. Тогда
(1Z>)] = deg (£) • [&)].
При доказательтве можно выбрасывать из W подмноже-
ства коразмерности ^2, поэтому g можно считать конечным.
Нормализуя V и И", можно считать их нормальными и даже
272
гладкими. Но тогда g локально свободный морфизм (см. пред-
ложение п. 6.6 главы 2) и формула проекции следует из прин-
ципа постоянства.
Степенью 0-цикла <х=2пДх<] называется целое число
deg(a)=Snf (ср. с п. 3.6). Как следствие предыдущего пред-
ложения или из теоремы о постоянстве мы получаем, что на
полном многообразии степень 0-цикла сохраняется при ра-
циональной или алгебраической эквивалентности.
5.4,	Теорема о вырезании. Пусть У — подмногообразие в X.
Тогда точна последовательность
Ак (Y)^Ak {X)^Ah (% - Г) О,
где i — вложение УсХ, a /*—ограничение цикла на X—У.
Эта последовательность (ср. с п. 3.5) позволяет находить
А, для некоторых простых многообразий. Например, по индук-
ции легко показать, что АДР")—свободная абелева группа,
порожденная классом 6-плоскости Lh. Нетривиальность
следует из теории степени.
Аналогично можно вычислять А. для произведений проек-
тивных пространств, и, вообще, для многообразий, обладающих
«клеточным разложением». Последнее означает наличие филь-
трации
Х^Хп^Хп-1^ ... оХо=0
замкнутыми подмножествами, причем каждое Х(—Xi-i пред-
ставляет объединение нескольких экземпляров А' («клеток»).
Тогда АДХ) порождается замыканиями 6-мерных клеток. Вот
наиболее важный
Пример. Пусть 0=0(6, V)—многообразие Грассмана
6-мерных векторных подпространств n-мерного пространства
V. Для построения клеточного разложения G зафиксируем флаг
подпространств 0= VocViC ... cVn= V, dimV, = i. Для каж-
дой последовательности целых чисел а= (aj,..., аД, такой, что
П—6^П1^ . . .	положим
иУо = {АбО, dim(L^Vn-n+i-a) = «}•
Можно проверить, что Wa изоморфно аффинному пространству
размерности 6 (п — 6) — (tZi + ... + а*); его замыкание в G
Wa = {L£G, dim(LnV„_*+i-a()>i}
называется многообразием Шуберта типа а. Клетки Wa
покрывают Q и АДО) порождается (причем свободно) циклами
Шуберта оа — [U7a] (см. [29], [32]).
Например, цикл V7(i,o..о> имеет коразмерность 1 в О и
состоит из тех L, для которых	так что это просто
дивизор S из примера 4 § 3.
18-5834
8
273
5.5.	Пересечения циклов с дивизорами. Важнейшей структу-
рой на циклах является операция пересечения с дивизорами
и действие Pic(X) на Д.(Х). Пусть S — обратимый пучок на
X, а [V] —простой fe-цикл на X. Ограничение S\v пучка S на
V является обратимым пучком на V и потому определяет класс
дивизоров Вейля [AZ'jv] на И, который обозначается
Продолжая по линейности, получаем билинейное действие
П:Р1С(Х)Х2';.(Х)->Л-1(Х).
Для дивизора 2) на X мы пишем также 2>П[У]- вместо
(7x(0)n[V).
Более точно, если подмногообразие V не содержится в но-
сителе ф, можно указать конкретный цикл ED-[К] =\SD [ г] в
группе Zk-i (Vf]supp<Z>). Если же V'c:supp£Z), 0 [V] определен
лишь с точностью до рациональной эквивалентности.
Вот важнейшие свойства действия Pic(X) на циклы:
а)	если я~0, то 27Па = 0; поэтому определено действие
радхДДХ^А-ДХ);
б)	если f: X-+Y— собственный морфизм, а 27?Р!с(У), то
(формула проекции);
в)	^’П(^'Па)=^/А(27Па) для 2?, Sf'CPic (X).
Главную роль при их выводе играет утверждение ЕЬ\ЕЕ>'\ =
= <£>'•[<£)] для дивизоров на Д'. Эта формула непосред-
ственно проверяется, когда 0 и 2)' пересекаются просто, и оче-
видна при ЕЕ) — 3)'. Общий случай сводится к этим двум по-
средством раздутия 3)у\3)' на X.
5.6.	Классы Сегре векторных расслоений. Не только ли-
нейные, но и любые локально свободные векторные расслоения
порождают серию операторов на Д.(Х). Пусть р : Е-+Х— век-
торное расслоение ранга е+1, Рд (£)->-X— соответствующее
проективное расслоение с тавтологическим пучком О*([) на
Р.т(£). Морфизм q локально тривиальный со слоем Ре, и мож-
но определить гомоморфизм
г/* :Л(Х)-Л+.(Рл(£)),
полагая </*[ V] =[</ '(V)] для подмногообразий УсдХ. Опреде-
лим теперь для целого	—е операторы
М£) :А(Х)->А_,(Х),
полагая s, (Е) f]a = q. (С( I )е+,П<7* (<х)), где <?(I)',+i означает ите-
рированное действие обратимого пучка О (1) на Рл-(£). Опе-
раторы s,(E) называются классами Сегре Е. Подробнее об их
свойствах и о построении на их основе классов Чжэия см.
[29]; нам же понадобятся следующие простые замечания.
Из соображений размерности st(E)—O при (<0; почти
столь же очевидно, что s0(E) —тождественный оператор на
Л.(Х). Делается это так. Надо проверить, что s0(E) (~|[ V] = [V];
ограничивая Е на V, можно считать Х=У. Заменяя X откры-
274
тым подмножеством, можно считать расслоение Е тривиаль-
ным. Остается заметить, что е-кратное пересечение гиперпло-
скости в Р' есть точка.
Следствие. Гомоморфизм q* : Ак(Х)~^Ак+е(Рх(Е)) инъ-
ективен.
5.7.	Принцип расщепления. Этот принцип позволяет сводить
вопросы о векторных расслоениях к линейным расслоениям.
Из § 5 главы 1 мы знаем, что на РДЕ) существует точная по-
следовательность векторных расслоений 0-*S-+q*E-+Q-+0,
Поднимаясь на Ppx(E)(Q), мы получаем линейное подрасслое-
ние у Q и т. д. В конце концов ,мы получаем морфизм f: Х'-*-Х
такой, что:
а)	гомоморфизм : А*Х-+А*Х' инъективеи (см. предыду-
щее следствие),
б)	векторное расслоение f*E обладает флагом подрассло-
ений f*E = Ee+i^Ee^> ... zoE|^>E0=0 с линейными факторами
EJE^.
Теорема. Пусть р : Е-+Х—векторное расслоение ранга
е-Н. Тогда гомоморфизм р* : Ak(X)-^A>l+e+l (Е) биективен.
Инъективность р* устанавливается в три шага. Если Е —
линейное расслоение, то пересечение р*(а) с нулевым сечением
(которое является дивизором на Е) возвращает нас к а. Если
Е обладает флагом подрасслоений, рассуждаем по индукции.
Наконец в общем случае используется принцип расщепления.
Установим теперь сюръективность р*, т. с. что любой цикл
[V] па Е эквивалентен р* (а). Пользуясь вырезанием (и умень-
шая, если надо, X), можно считать, что V не пересекается с
некоторым сечением Е. Тогда рассуждая как в случае А” (см.
п. 5.3), мы выталкиваем V на бесконечность.
Гомоморфизм, обратный к р*, естественно трактовать как
пересечение цикла [3 на Е с нулевым сечением Е\ это частный
случай гомоморфизма Гизина.
§ 6.	Теория пересечений
6.1.	Пересечение циклов. Пусть для простоты X — гладкое
n-мерное многообразие, Y и Z— подмногообразия X. Как бы-
ло показано в § 6 главы 2, dim (УПХ) dim У + dim 2—п. Если
здесь равенство, т. е. многообразия У и Z пересекаются пра-
вильно, теория пересечений приписывает каждой компоненте
W' пересечения Y(]Z некоторую кратность ЦТС7; У, Z) и называ-
ет пересечением Y и Z цикл Y-Z—Zi(W; Y, Z) [№]. В общем
w
случае, когда У и Z пересекаются неправильно, предлагается
«пошевелить» их, заменив рационально эквивалентными цикла-
ми Y' и Z', которые пересекаются уже правильно. В этом слу-
чае Y-Z определено уже как класс циклов. Такое пересечение
превращает А.(Х) в кольцо, называемое кольцом Чжоу.
18*
275
До недавнего времени эти два шага делались отдельно и
выглядели достаточно громоздко. Фултону в [29] удалось до-
биться замечательного упрощения в основах теории пересече-
ния, и мы следуем ему в этом и предыдущем параграфах.
Ключевая идея состоит в том, что многообразие X в «окрест-
ности» своего подмногообразия У устроено как нормальный
конус Су,х (§ 7 главы 1).
6.2.	Деформация к нормальному конусу. Предположим
Сначала, что У — точка, а X вложено в аффинное пространст-
во А” так, что У помещается в начале координат. Для каж-
дого tf-K.* положим Xt=i~{-X, т. е. Xt получено в результате
растяжения X в t~' раз. Так получается семейство подмногооб-
разий Xt, tkK—{0}. Оказывается, что при /->-0 это семейство
имеет предел Хо, который есть в точности касательный конус
СйХ.
Эта конструкция может быть глобализована и в результате дает
Семейство вложений iYtczXt), /£А1, такое что при t=X0 пара
(УI, X,), изоморфна (Y, X), а при /==0 изоморфна вложению нулево-
го сечения в нормальный конус Су/Х. Делается это крайне просто.
Пусть Хх А1 -> А1 — тривиальное семейство и X X А1 — раздутие
ХхА1 вдоль подмногообразия У\{0}. Слой ХхА1 над /=0 состоит
из двух компонент: X — раздутия X вдоль Y и замыкания нор-
мального конуса Су/х- Положим теперь Й7 = X* А1 — X и пусть
p:S7-> А’ — проекция на А1. Слои р над /Х0 изоморфны X,
в то время как слой St^Cy/x- Подмногообразие Y вклады-
вается в каждый слой «'27,, причем вложение Y в 570 = Сг/х есть
вложение нулевого сечення (см. рис. 20).
276
Вообще, пусть V — подмногообразие в Х\ проделывая с па-
рой (V, V П К) ту же операцию, мы получаем подмногообразие
если угодно, это замыкание Их (А1—-{Оф в 20. Пусть
р^-.'^-э-А1—индуцированный морфизм; слой ри над 0 изоморфен
Cvqk/iz- Для нас важно, что его можно понимать как цикл
[рф(О)1 на 2C^V\ этот цикл называется специализацией, V
в нормальный конус Cr/л- и обозначается <т[У]. Отметим, что
a [VJ — эффективный цикл.
Продолжая по линейности, мы получаем гомоморфизм спе-
циализации <3.Zk (zY) -- Z.k(Cyix). Специализация согласована
с рациональной эквивалентностью и дает сг: А* (Д')-> А* (Сг/х).
6.3.	Гомоморфизм Гизина. Предположим теперь, что Y—
гладкое подмногообразие гладкого многообразия X. Тогда рас-
слоение нормальных конусов Су/х превращается в нормальное
расслоение Л^= Ny/x- Вспоминая изоморфизм р* : Ak (К)-> A^+r(rV)
п. 5.7, где г — коразмерность Y в X, мы можем определить
гомоморфизм
с	(₽*)'
АДХ)->АДАг/х)—А_г (Г).
Он называется гомоморфизмом Гизина вложения г. У—»-Х и
обозначается i* : Ah(X)->Ah_r(У); его действие интерпретирует-
ся как пересечение цикла на X с У.
Отметим, что, хотя цикл а[Г] эффективен на А, его пере-
сечение с пулевым сечением N может оказаться неэффектив-
ным (см. доказательство теоремы п. 5.7). Однако если V пра-
вильно пересекает У, пересечение У-[V] определено как эффек-
тивный цикл на УПУ. Это значит, что У-fV] имеет вид
где W пробегает неприводимые компоненты УНГ-
Целые положительные числа mw и называются кратностями
пересечения У и V вдоль U7.
6.4.	Кольцо Чжоу. Перейдем теперь к пересечению произ-
вольных циклов, но на гладком n-мерном многообразии А; мы
ограничимся пересечением двух циклов а и р. Здесь снова ис-
пользуется редукция к диагонали. Пусть 8:Х->~ХхХ— диаго-
нальное вложение, и диагональ гладкая на гладком ХхХ. По-
этому определен гомоморфизм Гизина 6*, и можно положить
аф=6*(аХЭ).
Здесь удобно перейти к коразмерностям, положив А/’=Ап_л
и A* (X)z= @АР (А'). При пересечении циклов коразмерности
р
складываются, и А* (Д’) является градуированым коммутативным
ассоциативным кольцом, называемым кольцом Чжоу. В ка-
ком-то смысле оно аналогично кольцу когомологий и обладает
похожими функциональными свойствами.
Пусть f : X-»-У— морфизм гладких многообразий. Для клас-
са циклов аМ’’(У) можно пересечь ХХа с графиком f в АхУ;
277
полученный класс циклов /*(а)СА}?(X) называется обратным
образом а при [. 'Обратный образ коммутирует с пересечения-
ми, т. е. является гомоморфизмом градуированных колец
/*: А*(У)-М*(Х).
Формула проекции связывает f* с / *: если [ — собственный, то
f*(f* (ab =a-f (р). В частности, если многообразие X полное
и гладкое, а циклы аир имеют дополнительную размерность,
то степень 0-цикла a-р называется индексом пересечения аир
на X и обозначается (а-0)Л- или (а-р).
Важный частный случай представляют пересечения дивизо-
ров. Если п эффективных дивизоров 3)...  S)n	на X имеют
точку Р изолированной точкой 3)[Г]    Г\б9п, то кратность пере-
сечения 3)\,...,3>п в Р равна dim<7x,p/(h,  .  ,/п), где./у —
локальные уравнения 3>i в точке Р. Надо сказать, что пересе-
чение п дивизоров можно определить на любом (не обязатель-
но главном) многообразии X как пересечение диагонали в Хп
с произведением 3)iX . .. Х3)п. В самом деле, ГЕ®, — локально
полное пересечение в X" и нормальный конус снова будет нор-
мальным расслоением, так что можно рассуждать как в п. 6.3.
Заметим, впрочем, что если X не обладает свойством Коэна-
Маколея, кратность пересечения 3)\,... ,3)п в точке Р уже от-
личается от размерности б?.г,п/(М, • • • > Ь) 
Приведем два примера вычисления кольца Чжоу.
6.5.	Кольцо Чжоу проективного пространства. Степенью
fe-цикла а на Р" назовем индекс пересечения его с это
определение согласуется с определением степени § 2. Из п. 5.4
видно, что a~ deg(a) [/?], так что кольцо Чжоу А*(РП) изо-
морфно Z[£]/(£"+1), где geA'fP")—класс гиперплоскости [7/J.
В частности, мы получаем общую формулировку теоремы Безу:
если ai,...,ar — циклы коразмерности pi,...,pr и	то
degfar •  • -ar) =deg(at) • ... -deg(ar).
Аналогично легко показать, что
A* (P"XP’n) =•?[?:,	£т+|).
где ч, -классы гиперплоскости в Р" ц Р'". Например, диаго-
наль Д в Р" X Р" записывается как с," -4	. . .+ь\ откуда
(А.Д) = /г 4-1. Или пусть /сР’ХР’*—дивизор инциденцин,
/~{(х, Н), хбН\. Тогда в кольце Чжоу на Р/Р* мы имеем
+ так что
Вычисления колец Чжоу нроективнзпрованных расслоений и
раздутий гладких многообразий см. в [9], [29].
6.6.	Кольцо Чжоу грассманиана. Пусть G==G(k, и)—много-
образие Грассмана. Как показано в п. 5.4, A*(G) порождается
классами циклов Шуберта <та. Имеются изящные формулы
умножения циклов аа (см. [29], [32], [43]). В частности, ов по-
линомиально выражаются через циклы а(а, о. • • •, о>, которые на-
зываются специальными. Мы приведем здесь лишь простейшую
формулу пересечения циклов дополнительной размерности. Для
набора а = (а\,... ,ah), как в п. 5.4, обозначим через а* набор
(п—k—ak,...,n—k—at). Тогда цикл оа* имеет дополнитель-
ную к оо размерность, и для двух циклов дополнительной раз-
мерности имеем (<та, <Т(,), = ба,ь*.
Остановимся подробнее на простейшем грассманиане
G(2,4)—грассманиане прямых в Р3. Здесь есть такие циклы
Шуберта:
oi,o=CTi,o(Z-) = {I, 1[}L=^=0} состоит из прямых, пересекающих
фиксированную прямую L; dim <71,0 = 3.
(J2,o = 02,oCP) — {I, PG} состоит из прямых, проходящих через
фиксированную точку Р, dim <72,0 = 2.
Ом =01,1 (Н) = {I, IczH} состоит из прямых, лежащих в фик-
сированной плоскости Я; dimoi,] = 2.
02,1 = 02,i (Р, Н) = {1, PGczH} состоит из прямых, лежащих в
плоскости И и проходящих через точку РбД; dim 02,1 = 1.
Пересечения находятся тут легко. Например, если плоскости
EI и Н' различны, циклы <7и(//) и о,,,(//') трансверсально
пересекаются в одной точке —прямой Нр\Н', и поэтому
(<72^—1. Аналогично ФЦМ и (о2.о, <7i,i)=0. Найдем теперь
о2 0. Для этого возьмем две прямые L и L', пересекающиеся
в точке Р. Тогда <7;,0(£)П Щ.о(Е') состоит из прямых I, пере-
секающих как L, так и £'. Такая прямая либо лежит в плос-
кости LL', либо проходит через точку Р. Поэтому <tj o=<72,o +
+ <7М и (о^0)= 2. Последнее видно также из того, что G —
квадрика в Р6 (см. п. 5.7 главы 1), а щ,о=2 —гиперплоское
сечение G.
6.7.	Пересечения на поверхностях. Пусть 3 — гладкая проек-
тивная поверхность. Индекс пересечения A1 (S) X А1 (S)->Z яв-
ляется симметричным билинейным спариванием на Л'(3).
Пусть И— класс гиперплоского сечения S; тогда
= (//2)>0. Если кривая С на 5 Достаточно подвижна (т. е.
существует эффективный цикл С~С, правильно пересекающий
С), то (С2)>0. Однако бывают и такие кривые С, для которых
(С2)<0. Такими являются, например, исключительные кривые
раздутий. Скажем об этом подробнее.
Пусть п:3 S — раздутие поверхности 5 в точке рОЗ. Мы
знаем, что 5 —снова гладкая поверхность, и что кривая
Е = о'1(р) изоморфна Р‘. Найдем индекс самопересечения (£Г2),г.
Для этого возьмем кривую CclS, проходящую через р и глад-
кую в р. Ясно, что о* (С) = С -ф Е, где С — собственный прооб-
раз С (т. е. замыкание в 5 кривой <7~’(С— {/?})). Кривая С
трансверсально пересекает Е в одной точке (соответствующей
279
касательному направлению ТрСсТрЗ). Так как стДЕ^О’
по формуле проекции получаем
0=-(cr*(£)C)s = (5o* (С))? = (Е2)- + (£С)Г,
откуда (£2)= — 1, В частности, кривую Е (или ее кратность)
нельзя пошевелить в эффективную кривую на S, почему она
и называется исключительной. Попутно получаем, что (С2)~ =
= (C2)s—1, так, что при раздутии точки на кривой ее индекс
самопересечения уменьшается на единицу (если раздувается
гладкая точка на С; в общем случае он уменьшается на muItpC).
Поэтому любую кривую можно сделать исключительной, разду-
вая на ней достаточно много точек.
Можно показать, что если Е — кривая на поверхности S',
изоморфная Р1 и (£2)^ — 1, то Е можно стянуть в гладкую
точку (теорема Кастельнуово). Точнее, существует поверхность S,
гладкая точка р на ней и изоморфизм S' с S — раздутием S
в точке р, такой, что £ —ст ’(/?). Например, раздувая две точки
на прямой L в Р2, мы получаем кривую L в Pxy с индексом
самопересечения  - 1. Стягивая L в точку р, мы получаем по-
верхность S, изоморфную квадрике QcP3. Построенное отобра-
жение P2-->-Q обратно к линейной проекции Q-->P2 из точки
P^Q-
Наиболее глубоким фактом о пересечениях на поверхностях
является теорема Ходжа об индексе. Пусть Ф>— дивизор на S,
имеющий нулевой индекс пересечения с гиперплоским сечением
S. Тогда <0, причем если (Ф,Ф) =0, то Ф принадле-
жит ядру спаривания. Доказательство можно найти в [32],
[41], |45], [53]. Различные следствия этой теоремы, включая
доказательство гипотезы А. Вейля для кривых, можно найти в
любом курсе, посвященном алгебраическим поверхностям; см.
также обзор о когомологиях в 37 томе серии.
§ 7.	Многообразие Чжоу
7.1.	Циклы на Р". Мы покажем в этом параграфе, что эф-
фективные циклы на Р” фиксированной размерности п степени
параметризуются точками некоторого алгебраического много-
образия. Мы уже видели это для многообразий степени 1, ко-
торые по определению парзметртуются многообразиями
Грассмана. По существу, мы видели это для циклов коразмер-
ности 1, которые параметризуются полными линейными систе-
мами. Скажем об этом подробнее.
Эффективные дивизоры степени m па проективном прост-
ранстве P(V) образуют линейную систему	парамет-
ризованную точками проективного пространства Р(Sym™V'*).
Соответствующий дивизор 5,псдР(1/) X P(Sym’nV*) задается
280
как дивизор нулей функции Ф: VXSymmкоторая точке
vf'V и форме F6SymmV* сопоставляет F(V). Эта система уни-
версальна в том смысле, что для любого семейства эффектив-
ных дивизоров №Т, на Р(У) степени пг существует един-
ственный морфизм ф : 7'->P(SymmV*), такой что 2Dt= (Sm)<p(/).
Конечно, «общий» дивизор из нашей системы будет простой и
даже гладкий, однако при т~^2 будут встречаться и дивизоры
с кратными компонентами
Пример 1. Дивизоры степени 2 на прямой Р1 параметри-
зуются точками плоскости Р2. В координатах То, 7\ на Р1 фор-
ма степени 2 имеет вид аТ02 + ЬТ } + сТ t2, и а, Ь и с надо по-
нимать как однородные координаты на Р2. Слившиеся (двой-
ные) точки соответствуют формам с нулевым дискриминантом
ft2—4ас; такие точки в Р2 образуют кривую С второй степени,
двойственную к кривой Веронезе. Универсальное семейство
Зг—>-Р2—двулистное накрытие с ветвлением над кривой С. Не-
сложно убедиться, что 3',2 = Р,ХР| и что над С лежит ровно
диагональ.
Отметим, что в характеристике 2 уравнение кривой С при-
обретает вид Ь2 = 0 и поэтому она является двойной прямой.
Это имеет два геометрических следствия. Во-первых, все каса-
тельные к конике пересекаются в одной точке. Во-вторых, су-
ществует этальное накрытие аффинной плоскости (Р'хР1—
—А)->(Р2—С) = А2 (сравни с примером из п. 1.3).
Пример 2. Дивизоры третьей степени на Р1 параметри-
зуются пространством Р3 форм аТо-\- ЬТ^Т г -)- сТпТ2 -^-dT2.
Накрытие третьей степени 3Я->Р3 ветвится над поверхностью
\FoPA отвечающей дивизорам вида 2P + Q. Явное уравнение
для 1F такое: Ь2с2 — 4ac3 — 4b3d — 27a-d2-{-18abcd — 0, откуда
deg\F^4. Дивизоры вида ЗР образуют кривую CcVZ степени
3. Можно показать, что W заметается касательными к С.
Пример 3. Дивизоры степени 2 на плоскости Р2, т. е.
плоские коники. Они параметризуются точками Р\ Вырожденные
коники —это пары прямых, они параметризуются некоторым
4-мерным подмногообразием IFczP5. В самом деле, W—это
фактормногообразие Р2 X Р2 по действию группы второго
порядка, переставляющей сомножители, ибо пары прямых не-
различимы между собой. Найдем степень W. Для этого возьмем
«общий» пучок коник QQ'czP5. Коники Q и Q' пересекаются
в четырех точках р, q, г и s, и пучок QQ' состоит из коник,
проходящих через эти четыре точки. Степень IF —это число
вырожденных коник в этом пучке. Но их ровно три: pq-{-rs,
pr + qs и ps-^qr. Поэтому deplF^3.
Приведенные коники, т. е. двойные прямые в Р2, параметри-
зуются поверхностью Веронезе ScP’; конечно, 5cU7. Более
281
того, как легко видеть, любая хорда к 5 также целиком :
лежит в W. Это согласуется с примером 2 из и. 2.3.
7.2.	От циклов к дивизорам. Перейдем теперь к циклам на
Р", степень и коразмерность которых больше 1. Оказывается, :
их можно превращать в дивизоры на многообразии Грассмана
и последние можно параметризовать подмножеством соответ- ]
ствующей полной линейной системы.
Пусть G = G(fe, м+1) — многообразие Грассмана, состоящее 1
из (k—1)-мерпых линейных подмногообразий в Р”, обознача- 1
емых L. Обозначим через 'F = {(x, L), xGL} множество иици-
денций в PnxG. Мы будем понимать У как соответствие из '
Р" в G, которое точке х₽Р" сопоставляет множество У (х) =
= {L, xf-L}~G(k—1, н). В частности, любому подмножеству
ZcP” можно сопоставить множество
У (Z) - и '1г (х) - {ЦЮ, О).
У (Z) замкнуто, если замкнуто Z, неприводимо, если таково Z, j
и коразмерность его в G равна 1, если codim(Z, Pn)=k. Заме-
тим, наконец, что и «степень» У(Z) в G равна rf=degZ. Под
«степенью» мы понимаем здесь индекс пересечения У (Z) с
1-мерным циклом Шуберта о=(Т|„	, «—л»; в этом случае
У (Z) линейно эквивалентен (см. п. 6.6). В самом деле,
пусть М — ^-мерное линейное многообразие в Рп, трансверсаль-
но пересекающее Z в deg Z точках. Если теперь а — пучок под-
пространств LczM, то ровно deg Z и.з них пересекается с Z и
поэтому ('F(Z)o)<,—г/.
Продолжая по линейности, мы получаем отображение
T:2:;(P’')--Div4 (G),
сохраняющее степень. Мы утверждаем, что У инъективно, т. е.
Z восстанавливается по дивизору 4/(Z). Для этого есть явная
формула: Z={xi:Pn, 'l'(x)c'lf(Zj}. Включение ед очевидно, а
включение —> следует из того, что для каждой точки x<tZ суще-
ствует Lf-G, содержащее х и не пересекающее Z.
7.3.	От дивизоров к циклам. I !ам осталось описать образ «
и показать, что он замкнут п пространстве Р (A/°(G,	(d))),
параметризующем все эффективные дивизоры на G степени d.
Для этого мы с любым эффективным дивизором 3)c~G свяжем
множество Z^)={a+P', н(л')х£/>}. Мы утверждаем, что оно
замкнуто в Р”. Для этого мы рассмотрим в Р'' '< G многообра-
зие Ф-=-иП(Р" z 3?)- Слой Ф над точкой xgP" изоморфен
и(х)П2>, и размерность его <dim и (л) = (&— 1)(лгД1— k),
причем равна dim и (л) в точности тогда, когда и(х)аЗ). По
теореме о размерности слоев, примененной к морфизму Ф->Р'!,
мы получаем замкнутость Zg)=={x, dim Ф(х)>(k — 1)(мф-1 — k)}.
282
Ясно, что <2):э'У (Zg,), и S) принадлежит образу Чт тогда и
только тогда, когда S) = 4r(Z^)), ибо в этом случае Zgy имеет
коразмерность k. Так как условие принадлежности образу Чг
носит характер совпадения двух соответствий, это условие
выделяет замкнутое подмножество в пространстве всех диви-
зоров. Детали мы опускаем. Полученное многообразие 5*, пара-
метризующее циклы степени d и коразмерности k в Р'!, назы-
вается многообразием Чжоу. Вычисление его в некоторых
простейших случаях приведено в [15].
7.4.	Циклы на произвольных многообразиях. Предыдущая
конструкция позволяет дать параметризацию эффективных
циклов на любом проективном многообразии ZtP". В самом
деле, ^-мерный цикл Z на X можно рассматривать как цикл на
Р". Обратно, если ZcX, его можно рассматривать как цикл на
X. Условие ZcZ можно переписать как dim (ZQX)^k, поэтому
циклы, лежащие в X, параметризуются замкнутым подмножест-
вом многообразия Чжоу циклов в Рп.
Это очень важное качественное свойство. Получается, что
все подмногообразия заданной степени в X параметризуются
конечным числом алгебраических многообразий. Эта теорема
конечности играет важную роль в арифметической теории мно-
гообразий.
Более удовлетворительная и современная конструкция мно-
гообразия Чжоу дана в [17]. Близко к нему и понятие схемы
Гильберта [4].
7.5.	Исчислительная геометрия. Она занимается нахождени-
ем числа геометрических фигур, удовлетворяющих заданным
геометрическим условиям [7]. Обычно такие задачи сводятся к
вычислению индексов пересечений на многообразиях, парамет-
ризующих такие фигуры. Проиллюстрируем ее задачи и методы
на трех примерах: бесчисленное количество других примеров
можно найти в [32], [43], [47], [59].
Первый пример совсем простой: даны четыре прямые в Р3,
находящиеся в «общем» положении; сколько прямых пересекает
их? Прямые в Р3 параметризуются многообразием Грассмана
G (2, 4). Прямые, пересекающие заданную прямую Ц, образуют
цикл Шуберта <Т! (А). Интересующее нас множество П (А,)
/-1
имеет поэтому мощность (<т4) = 2. Вообще, если даны 4 кривые
Ci, ...,С,| в Р3 в «общем положении), их пересекает
2-deg(C1)-. .. -deg(C4) прямых.
7.6.	Прямые на кубике. Сколько прямых лежит на кубиче-
ской поверхности в Р3? Пусть ХсР3 —наша кубика и Hi,...
..., Hi — четыре «общих» плоскости в Р3; С,= А7УЛ. Степени
С, равны 3, поэтому существует 2-34 прямых в Р3, проходящих
через	С^. Найдем число прямых, пересекающих JC в
четырех точках; так как эти четыре точки принадлежат X, та-
283
кая прямая обязана лежать па кубике X. Заметим, что Ct пе-
ресекается с С2 в трех точках, аналогично С3 и Сц. Соединяя
первые три точки со вторыми, мы получаем 9 прямых. Анало-
гично, соединяя С,ПС3с С2ПС4, или CiPlG с С2ПСз, мы получаем,
что 27 из наших прямых пересекают UC< в двух точках. Снова
возьмем точку пересечения С^ПСД проектируя нз нее на Р2,
мы получаем кривые третьей степени л(С3) и л(С4), которые
пересекаются в 9 точках. Три из них пас не интересуют, ибо
они произошли из C3f]Ct, а остальные дают 6 прямых. Можно
шестью способами выбрать пару кривых С(, Ch тремя способа-
ми— точку их пересечения, поэтому мы имеем 6-3-9 прямых,
пересекающих JC; в трех точках. Вычитая теперь из 2-34 27+
+ 6-27, мы получаем 27 прямых, пересекающих X в четырех
точках. Подробнее о них см. [32], [56].
7.7.	Задача о пяти кониках. Даны пять коник С5, . . ., С5 на
Р2 в «общем» положении; сколько коник касается этих пяти?
Все коники образуют Р\ коники, касающиеся заданной
коники С, образуют гиперповерхность Wc в Р6. Довольно легко
понять, что deg\Fc ~6. Казалось бы, теперь ясно, что 66 коник
касаются С\, ...,С5. Однако это заключение ошибочно, ибо
гиперповерхности Wc. пересекаются неправильно. В самом деле,
любая Wc содержит поверхность Веронезе 5сР5 двойных
прямых. Двойная прямая, геометрически никак не касаясь С,
пересекает С в двух двойных точках и считается ^касающейся .
Надо исключить двойные прямые.
Правильный ответ получится, если перейти на Р6—раздутие Р5
вдоль 5. Геометрически это означает, что вместо двойной
прямой 21 мы рассматриваем более тонкий объект — двойную
прямую 21 с парой точек р, р' на ней. Считается, что такой
объект касается коники С, если либо I касается С, либо р или
р' лежит на С. Сели IVV собственные прообразы Wct, то
остается найти индекс пересечения W<:,<  , Wct на Р5.
Здесь снова используется трюк. Представим, что коника С
вырождается в пару прямых I и V, пересекающихся в точке Р.
Тогда гиперповерхность W<: вырождается в гиперповерхность
W/Wf-\-2Wr>, где W, -- множество коник, касающихся прямой
/, a ДД — множество коник, проходящих через точку Р. Конеч-
но, WP - гиперплоскость в Р5, a гиперповерхность степени
два. На Р5 дивизор W(: эквивалентен 2Wr\2Wr>, и мы приходим
к вычислению индекса пересечения
(2Д/ ; 2Wpy -= 32(IV’,г; -5W'„WI + 101FM2 +
+ Ю^;Ж-| r>WpW] + WTl).
Индексы пересечения W'PW'! '' интерпретируются как числа коник
проходящих через i «общих> точек и касающихся 5 — i (общих’
284
прямых. Ясно, что №*=1 и W'pWt^2. |^=№Х=4.
Остальные индексы находятся по двойственности WpW3t =
— WpW2i = 4, WpW^=2 и W't = 1. Окончательный ответ
32 (1 + 5-2+ 10-4+ 10-4 + 5-2+ 1) =32-102 = 3264
был получен Шалем еще в 1864 г. Здесь предполагалось, что
характеристика А' отлична от 2. Подробнее см. [29], [32].
Мы закончили изложение общей теории алгебраических
многообразий и хотели бы отметить поразительную вещь. Мы
узнали много тонких и глубоких фактов о многообразиях над
полем К, по существу ничего не зная о самом поле К. В следу-
ющей главе, посвященной схемам, мы увидим, что во многих
вопросах не нужно и поле К, не говоря уже о его алгебраиче-
ской замкнутости.
Глава 4
СХЕМЫ
В этой главе мы займемся распространением геометриче-
ского языка па алгебраические уравнения над произвольными
полями и кольцами. Соответствующий геометрический объект,
обобщающий алгебраическое многообразие, называется схемой.
Подобно многообразиям, схемы склеиваются из локальных ку-
сков, называемых аффинными схемами. Поэтому основное вни-
мание мы уделим локальным вопросам, так как в остальном
все делается так или почти так, как в случае многообразий.
Теория схем объединяет Геометрию и Арифметику и реали-
зует цель, намеченную Кронекером [48]: «... задача здесь за-
ключается в том, чтобы для образов самого общего типа, при-
надлежащих одновременно арифметике и теории функций, т. е.
зависящих от любых заданных алгебраических чисел и алгебра-
ических функций от каких угодно параметров, достигнуть в об-
щем случае такой же степени законченности и полноты, какой
в той или иной степени обладают простейшие полученные ре-
зультаты.
Перед нами здесь открывается необъятный простор в обла-
сти чистой теории; царящая здесь всеобъемлющая закономер-
ность придает ей высшую степень стройности и красоты. Сле-
дует заметить, впрочем, что эта область пока далека от прак-
тических применений, хотя в будущем положение может изме-
ниться».
§ 1. Алгебраические уравнения
Этот параграф носит вводный характер. Его задача —под-
готовить и мотивировать понятие аффинной схемы.
285
кая прямая обязана лежать па кубике X. Заметим, что Ct пе-
ресекается с С2 в трех точках, аналогично С3 и С4. Соединяя
первые три точки со вторыми, мы получаем 9 прямых. Анало-
гично, соединяя С1ПС3 с GAG, или CiAQ с С2ПС3, мы получаем,
что 27 из наших прямых пересекают UC в двух точках. Снова
возьмем точку пересечения C,f]C2; проектируя из нее на Р2,
мы получаем кривые третьей степени л(С3) и л(С4), которые
пересекаются в 9 точках. Три из них нас не интересуют, ибо
они произошли из С3ПС4, а остальные дают 6 прямых. Можно
шестью способами выбрать пару кривых С,, Cjt тремя способа-
ми— точку их пересечения, поэтому мы имеем 6-3-9 прямых,
пересекающих UC, в трех точках. Вычитая теперь из 2-34 27+
+ 6-27, мы получаем 27 прямых, пересекающих X в четырех
точках. Подробнее о них см. [32], [56].
7.7. Задача о пяти кониках. Даны пять коник Ct,.. ., С5 на
Р2 в «общем» положении; сколько коник касается этих пяти?
Все коники образуют Р\ коники, касающиеся заданной
коники С, образуют гиперповерхность Wc в Р6. Довольно легко
понять, что deglFc ~6. Казалось бы, теперь ясно, что 66 коник
касаются Ср ...,С3. Однако это заключение ошибочно, ибо
гиперповерхности Wc\ пересекаются неправильно. В самом деле,
любая WA-; содержит поверхность Веронезе 5 с Р5 двойных
прямых. Двойная прямая, геометрически никак не касаясь С,
пересекает С в двух двойных точках и считается «'касающейся-.
Надо исключить двойные прямые.
Правильный ответ получится, если перейти на Р6—раздутие Р5
вдоль 5. Геометрически это означает, что вместо двойной
прямой 21 мы рассматриваем более тонкий объект — двойную
прямую 21 с парой точек р, р' на ней. Считается, что такой
объект касается коники С. если либо I касается С, либо р или
р' лежит на С. Вели UC. собственные прообразы Wct, то
остается найти индекс пересечения V7<_-..  Wct	на Р5.
Здесь снова используется трюк. Представим, что коника С
вырождается в пару прямых I и I’, пересекающихся в точке Р.
Тогда гиперповерхность W<: вырождается в гиперповерхность
-[ Wr 2Wp, где -множество коник, касающихся прямой
/, a Wr>--множество коник, проходящих через точку Р. Конеч-
но, Wp - гиперплоскость в Р', a 1Г, -гиперповерхность степени
два. Па Р5 дивизор \Vp эквивалентен 2Wl-^2Wp, и мы приходим
к вычислению инчекса пересечения
(2\V, i 2Wpy- .32(Wr;,	+
+	5\Ур\^ + \ГгГ).
Индексы пересечения W'pWi интерпретируются как числа коник
проходящих через i «общих» точек и касающихся 5— I «общих’
284
прямых. Ясно, что С = 1 и 1Г^(=2.
Остальные индексы находятся по двойственности W2PW^==
= WpW2t=4, WpW4f=2 и W;=l. Окончательный ответ
32 (1+5-2+10-4+10-4 + 5-2+1) =32-102 = 3264
был получен Шалем еще в 1864 г. Здесь предполагалось, что
характеристика А отлична от 2. Подробнее см. [29], [32].
Мы закончили изложение общей теории алгебраических
многообразий и хотели бы отметить поразительную вещь. Мы
узнали много тонких и глубоких фактов о многообразиях над
полем К, по существу ничего не зная о самом поле К. В следу-
ющей главе, посвященной схемам, мы увидим, что во многих
вопросах не нужно и поле К, не говоря уже о его алгебраиче-
ской замкнутости.
Глава 4
СХЕМЫ
В этой главе мы займемся распространением геометриче-
ского языка на алгебраические уравнения над произвольными
полями и кольцами. Соответствующий геометрический объект,
обобщающий алгебраическое многообразие, называется схемой.
Подобно многообразиям, схемы склеиваются из локальных ку-
сков, называемых аффинными схемами. Поэтому основное вни-
мание мы уделим локальным вопросам, так как в остальном
все делается так или почти так, как в случае многообразий.
Теория схем объединяет Геометрию и Арифметику и реали-
зует цель, намеченную Кронекером [48]: «...задача здесь за-
ключается в том, чтобы для образов самого общего типа, при-
надлежащих одновременно арифметике и теории функций, т. е.
зависящих от любых заданных алгебраических чисел и алгебра-
ических функций от каких угодно параметров, достигнуть в об-
щем случае такой же степени законченности и полноты, какой
в той или иной степени обладают простейшие полученные ре-
зультаты.
Перед нами здесь открывается необъятный простор в обла-
сти чистой теории; парящая здесь всеобъемлющая закономер-
ность придает ей высшую степень стройности и красоты. Сле-
дует заметить, впрочем, что эта область пока далека от прак-
тических применений, хотя в будущем положение может изме-
ниться».
§ 1.	Алгебраические уравнения
Этот параграф носит вводный характер. Его задача —под-
готовить и мотивировать понятие аффинной схемы.
235
1.1.	Вещественные уравнения. Главу 1 мы начинали с алгеб-
раических уравнений над алгебраически замкнутым полем К.
Теперь мы рассмотрим уравнения над произвольным полем К
и начнем с простейшего (или наиболее привычного) поля R ве-
щественных чисел. Пусть —	/С-/) — система алгебра-
ических уравнений над R, т. е. /д — многочлены от Tit.. ., Тп с
вещественными коэффициентами.
Обозначим через X(R) множество вещественных решений
нашей системы, т. е. таких наборов (Х].........x„)6Rn, что
ГДХ|, ..., хп)=0 для любых /6/. Однако даже если нас инте-
ресуют лишь вещественные решения, полезно знать о том, что
существуют комплексные решения и представлять строение
множества Х(С) всех комплексных решений системы Л'. Преж-
де всего потому, что именно многообразие Х(С) дает правиль-
ную картину происходящего. Понимание того, что корни урав-
нения Т2 + а — 0 при «>0 не исчезают, но переходят в комплекс-
ную область, — одно из величайших достижений математики.
Вещественные точки (или решения) выделяются среди ком-
плексных тем, что они инвариантны при комплексном сопря-
жении. В частности, невещественные решения встречаются на-
рами. Уже это тривиальное замечание позволяет иногда уста-
навливать существование вещественных решений. Например,
по теореме Безу число решений системы однородных уравне-
ний нечетной степени нечетно, и значит, обязательно содержит
вещественное решение. Отсюда можно получить, что размер-
ность алгебры с делением над R есть степень двойки (см. [15,
стр. 273]). Другой пример на эту тему доставляет теорема Хар-
нака о максимальном числе овалов вещественной кривой (см.
[15, гл. VII, § 4]).
1.2.	Уравнения над полем. Аналогично обстоит дело для
любого поля К- Если (Л,-=0) —система алгебраических
уравнений над К. то главную роль играет множество X (К)
всех Д'-злачных решений этой системы, где /< — алгебраическое
замыкание поля К- Это множество является алгебраическим
многообразием над К- т. е. объектом изучения предыдущих глав.
Однако то обстоятельство, что уравнения заданы над /С, дает
дополнительную структуру: для каждого промежуточного поля
КсК'сК выделяется подмножество .V X (К) решений со
значениями в /<'. Образно говоря, точки многообразия .V (К)
различаются но своей ..близости" к основному полю /<, как звез-
ды на небе по своей яркости. По другому дополнительная
структура задается действием группы Галуа Gal (/<//<) на мно-
жестве X(К) (но не на /^-многообразии X(Л’))- и снова точки
различаются величиной своих стабилизаторов. Получающиеся
объекты мы временно будем называть /^-многообразиями.
286
1.3.	Уравнения над кольцами. Пусть теперь К—кольцо,
коммутативное и с единицей, например, кольцо целых чисел Z.
Для любой Л'-алгебры L, т. е. коммутативного кольца Л, снаб-
женного кольцевым гомоморфизмом :/<->£, обозначим через
Х(Л) множество L-значных решений системы X=(Fj = 0, /*-/),
т. е. наборов (xlt..., xn) GLn, таких что Fj(xit... ,хп) =0 для
любых /&/. Заметим, что любой гомоморфизм /(-алгебр
ф: L->L' индуцирует отображение X(L')-+X(L').
Вкладывая кольцо Z в поле R мы видим, что если X(R) =
= 0, то и X(Z)=0. На самом деле для подобных целей годит-
ся любой гомоморфизм Z->-Z.; чаще всего в качестве L берут
кольцо вычетов Z/mZ по целому модулю пг. Например, уравне-
ние р2 = 3х24-3 не имеет решений по модулю 4, поэтому ле име-
ет и целых решений.
Так и в общем случае уравнения над кольцом естествен-
но пощупать всевозможными гомоморфизмами <р : K-+L, где L —
поле. Заменяя коэффициенты уравнений Fj при помощи q, мы
получаем систему Хр= (ф(/\,) =0) алгебраических уравнений
над полем L, а значит, и соответствующее /.-многообразие, ко-
торое мы также обозначим Итак, для каждого гомоморфиз-
ма <р : K-+L в поле L (мы их будем называть точками кольца
К) мы получаем алгебраическое многообразие Хф. Это наводит
на мысль связать с системой X геометрический объект, слой ко-
торого над точкой <р будет многообразием ХФ. В таком случае
решения Х(/() представлялись бы как сечения этого рас-
слоения.
Предварительно сделаем одно замечание. Не все точки
кольца К представляют одинаковый интерес. Если точка
ср': K-+L' пропускается через точку <р : /(->-£, т. е. индуцирует-
ся вложением полей LczL', многообразие Х,,/ не несет новой ин-
формации, по сравнению с Существенными являются лишь
минимальные, или простые в указанном смысле точки Л’. Про-
стота точки <р •. K.-+L означает, что L как поле порождается
ср(Х). Отсюда видно, что каждая точка пропускается через
единственную простую точку. В терминах кольца К простая
точка <р : K-+L задается своим ядром <р~'(0), который является
простым идеалом. Обратно, любой простой идеал рсХ (от-
личный от Л) задает простую точку/<->-£(р), где #(р)—поле
частных целостного кольца К/р (т. и. поле вычетов точки у).
1.4.	Простой спектр. Простым спектром кольца Л' называет-
ся множество простых точек, или простых идеалов К; обозна-
чается оно Spec (Л'). Оправдание терминологии п связь с поня-
тием спектра оператора можно найти в [24j. Например,
Spec(Z) состоит из точки ZczQ (идеала (0)) и точек Z—>-Z/pZ
(идеалов (р)) для простых чисел р. Конечно, спектр поля К
Id
состоит из единственной точки Х*К.
Конструкция Spec функториальна: с каждым гомоморфиз-
мом колец : А-+В связано отображение в обратную сторону
287
Spec(<p) : Spec(B)->-Spcc(A). Устроено оно так. Если ф: В->~
-*~L— простая точка В, то Spec (<р) (ip)—та единственная про-
стая точка .4, через которую пропускается точка A
В терминах простых идеалов все выглядит еще проще:
Spec((p) переводит простой идеал асй в простой идеал
(а) с:.4.
Теперь уже очень просто связать с системой уравнений X-
= (F} = 0, jdj) геометрический объект. Для этого надо взять
5рес(ЛЛ-), где Лх = К[Ть ..., Tn]/(Fj)jej. Структурный гомомор-
физм К-+АХ = К[Т]/(Л) приводит к отображению Spec(AA-)->-
->Spec(A). слои которого в некотором смысле есть многообра-
зия А'Ф. Мы еще вернемся к этому.
Видно, что конечность числа неизвестных Т|,...,7'п тут ни
при чем, как и сами неизвестные. Важно лишь то, что с каж-
дым коммутативным кольцом А можно связать множество
Spec Я. В следующем параграфе мы снабдим его топологией и
пучком колец, как в главе 1 было сделано для многообразий.
Однако предварительно стоит обсудить, как конструкция Spec
связана с многообразием, когда К—алгебраически замкнутое
поле.
1.5.	Сравнение с многообразиями. Пусть К—алгебраически
замкнутое поле, X— система уравнений над К., которую мы бу-
дем отождествлять с соответствующим аффинным многообра-
зием. Как же множество X связано со Spec(K[A']) ?
Конечно, каждая точка xi-X определяет простую точку
фх : К[Х]->К, <рЛ(f) = /(х). Однако SpecK[X] содержит много
других точек. А именно, каждое неприводимое подмногообразие
У ст А' дает точку А[А] либо как простой идеал /(К), либо как
гомоморфизм ЛДХ]-*-К[У]-*А'( У). Так получаются уже все
точки Spec(K[X]). В самом деле, простой идеал рстЛфХ]
имеет вид /(У) для неприводимого У=У(р). Точки X соответ-
ствуют при этом максимальным идеалам кольца К[Х].
Возникает вопрос — почему в общем случае нельзя обойтись
лини, максимальными идеалами вместо простых? Этому есть
несколько причин. Первая — зачем при исследовании уравне-
ний над кольцом К игнорирован, точки типа ZczQ? Вторая —
функториальность: прообраз максимального идеала может ока-
заться немакенмальным даже в столь простом случае, как вло-
жение ZczQ. Третья — в общем случае максимальных идеалов
«мало», чтобы по значениям в них судить о поведении функций.
Для алгебраических многообразий их хватало благодаря тео-
реме Гильберта о пулях, факту, специфическому для колец ко-
нечного типа над нолем. Наконец, даже в случае алгебраичес-
ких многообразий новые точки естественно интерпретируются
как общие точки неприводимых подмногообразий и это часто
бывает удобно.
§ 2.	Аффинные схемы
2.1.	Функции на спектре. В предыдущем параграфе с каж-
дым кольцом А было связано множество Spec (Л) его простых
точек ср : Л->-/г((р). Элементы кольца А при этом интерпрети-
руются как функции на 5рес(Л). Единственная новость здесь в
том, что значение функции а&А в точке <р принимается не в
фиксированном поле К, а в поле &(<р), своем для каждой точ-
ки ср. При этом значение а в точке ср есть просто <р(а). Вот как
выглядят числа 3, 5 и 6 как «функции» на Spec Z:
Впрочем, как и в п. 2.3 главы 1, представление элементов
А функциями на Spec Л страдает одним недостатком: ненулевые
элементы кольца Л могут приводить к нулевым функциям. Од-
нако как и для многообразий, это может случиться лишь для
нильпотентных элементов. Причем если в случае многообразий
мы извлекали это из теоремы Гильберта о нулях, то теперь это
почти тавтологичный факт, что нильрадикал кольца есть пере-
сечение всех его простых идеалов (см. [19, гл. 1]). Все это по-
казывает, что более правильно элементы кольца А представлять
как сечения некоторого пучка колец на Spec Л, а для этого
нужна топология.
2.2.	Топология на спектре. Как и в случае многообразий,
замкнутыми подмножествами Spec Л объявляются «нули функ-
ций» п€’Л. Иначе говоря, замкнутые множества топологии За-
рисского на Spec Л имеют вид V(l), где / — подмножество Л,
a V(I) состоит из точек ср, таких что ср(а)=О для всех аб/.
Как и в случае многообразий, топология Spec А в общем
случае нехаусдорфова. Более того, некоторые точки могут ока-
заться незамкнутыми. Например, если точка соответствует не-
приводимому подмногообразию Y многообразия X, то замыка-
ние ее содержит все точки Y. По этой причине ее называют
общей точкой подмногообразия Y. Вообще, если некоторая точ-
19-5834	8	289
ка g всюду плотна в Spec Л, она называется общей точкой. На-
пример, точка Spec Z, соответствующая нулевому идеалу Z,
общая. Замкнутые точки, напротив, соответствуют максималь-
ным идеалам кольца А. Вообще, если тючка х принадлежит
замыканию точки у, говорят, что х—специализация у н изо-
бражают это стрелкой у-+х.
2.3.	Структурный пучок. Строится он по существу так же,
как для многообразий в п. 2.8 главы 1. Для открытого U в
Spec Л положим
3[(7] = {абЛ, fp(a)=#O V<p6(7}.
Очевидно, подмножество 5 [Z7] в Л мультипликативно. Поло-
жим Л(1/) равным кольцу частных Л относительно 5 [L7], Иначе
говоря, A(U) состоит из дробей вида a/s, где af-A, a sg5[Z7].
Если U,:U', то 5 S [4/| и мы получаем гомоморфизм ко-
лец A(U')-t~A(U). Тем самым мы получаем предпучок колец Л
на Spec (Л). Как в предположении п. 2.8 главы 1 показывается,
что А является пучком; он обозначается также <7sPec(M) или
просто О и называется структурным пучком на Spec (Л).
Окольцованное пространство (Spec (Л), Л) называется аффин-
ной схемой, соответствующей кольцу Л, и также обозначается
Spec (Л). Эта схема уже -несет всю информацию о кольце Л,
так как Л-— Л (Spec Л). Таким образом мы можем работать не
с кольцом, а с более геометрическим объектом —аффинной
схемой.
Модуль М над кольцом Л приводит, как в п. 6.4 главы 1,
к пучку М модулей на Spec Л. Таким образом теория модулей
над кольцами превращается в торию квазикогерентных пучков.
Отметим еще, что пучок колец Л обладает тем свойством, что
его слой А, в любой точке <f£Spec А является локальным коль-
цом. В самом деле, это кольцо дробей вида а/b, где й(т)¥=О'>
его единственный максимальный идеал шр состоит из таких дро-
бей, у которых а(<р) =0. Поле вычетов локального кольца Л(р
есть в точности k (<р).
2.4.	Функториальность. Пусть ф: А -+ В — гомоморфизм ко-
лец. Как легко проверить, отображение Spec (ф): Spec В -> Spec Л
непрерывно. Более того, ф индуцирует естественный гомомор-
физм пучков колец ф>**: A -^(Spec ф)*5. так что / —5рес(ф) яв-
ляется морфизмом окольцованных пространств и даже локально
окольцованных пространств. Последнее означает, что гомомор-
физмы локальных колец Лп,, > -/<, локальны, т. е. переводят
максимальные идеалы в максимальные. Оказывается, верно и
обратное, т. о. любой морфизм локально окольцованных про-
странств f : Spec В-«-Spec А имеет вид Брес(Ф) для некоторого
гомоморфизма колец ф : А-+В. Таким образом, категория ком-
29')
мутативиых колец двойственна к категории аффинных схем, и
любое утверждение о кольцах я модулях получает геометри-
ческое истолкование в терминах аффинных схем и пучков мо-
дулей над ними.
2.5.	Пример—аффинная прямая. Для любого кольца
спектр кольца многочленов называется аффинной, прямой
над R и обозначается Ад. Во всяком случае эта терминология
согласуется с прежней, когда R=K — алгебраически замкнутое
поле. Пусть теперь К — произвольное поле; посмотрим, как
прямая устроена как множество. Прежде всего она содер-
жит общую точку, соответствующую нулевому идеалу кольца
АГ [7~]. Далее, К [Г] является кольцом главных идеалов, поэтому
остальные простые идеалы максимальны и имеют вид (/), где
f — неприводимый многочлен. Рассматривая корни f в алгебраи-
ческом замыкании К поля Д', мы видим, что замкнутые точки
Ад- отождествляются с орбитами действия группы Галуа
Gal (/<//<) на К. См. также п. 4.2.
В случае общего кольца R воспользуемся структурным мор-
физмом р: A/?-* Spec 7?, соответствующим вложению колец
R-+R[T]. Для каждой простой точки pgSpec/? слой р над
ней изоморфен аффинной прямой A*(yj над полем k (р). Таким
образом, А)? представляет семейство прямых А*(р), где р пробе-
гает Spec/^. Главное, что все эти прямые не разрознены, а
сцеплены в единое целое. Рассмотрим, например, прямую над
Z (см. рис. 21). Над каждым простым числом р расположена
прямая Az/pz- Однако есть еще и прямая Aq над общей точкой
SpecZ; точки этой прямой и связывают все предыдущие слои.
В самом деле, замыкание в Az точки из прямой Aq—это под-
множество в Az, конечнократно накрывающее базу Spec Z.
Читателю рекомендуется самому нарисовать, как выглядит
замыкание точек 1/2, /2 и /-1 .
Спектр кольца многочленов .., Т„\ называется п —
мерным аффинным пространством иад R и обозначается
А£.
2.6.	Пример — абстрактный вектор. Даже если Spec Л со-
стоит из одной точки, наличие нильпотентов в кольце А (или
структурном пучке, что в данном случае по существу то же
самое) сказывается на морфизмах этой схемы в другие схе-
мы. Рассмотрим простейший, но очень важный пример.
Простейшая алгебра с нильпотентами — алгебра дуальных
чисел А[е], где К—поле, а е2=0. Иначе говоря, ее элементы
имеют вид а-\-Ье, где a, bftf. Теоретико-множественно
Spec /([е] состоит из одной точки * (соответствующей просто-
му идеалу (е) или гомоморфизму колец б : Л'[е]->К,
19*
291
б(а+йе) = а). Пусть теперь А’ — аффинное многообразие над К.
Задать морфизм схем f : Spec К[е]->Х (точнее, морфизм
Л-схем, см. 3.3)—значит задать гомоморфизм К-алгебр
ф : К[Х]-»-Д'[6]. Последний определяется максимальным
идеалом 1П=Кег(6°ф) (т. е. точкой /’(*)=х^Х) и /(-линейным
отображением векторных пространств ni/m2—<-/<е=Л' (т. е. ка-
сательным вектором к X в точке х, см. п. 7.2 главы 1). Таким
образом, Spec/(]?.] 'надо представлять себе как точку, снаб-
женную торчащим 'из нее вектором.
Другой тип нильпотентов дает кольцо Z/4Z, у которого
нильпотенты идут в «арифметическом направлении».
§ 3.	Схемы
3.1.	Определения. Схемой называется окольцованное про-
странство X— (sp X, (Ух), локально изоморфное аффинной схе-
ме.
Иначе говоря, схема X состоит из топологического простран-
ства sp X (часто обозначаемого просто X) и пучка коммута-
тивных колец (Ух на нем. При этом каждая точка X обладает
открытой окрестностью U, такой что пара (Д,	тзо-
морфна аффинной схеме (а именно, Spec(7x (Д)). Пучок (Ух
называется структурным пучком схемы; слой его (У х,х в любой
точке х<Х является, как видно из п. 2.3, локальным кольцом.
Морфизмом схем называется морфизм их как локально
окольцованных пространств. Иначе говоря, морфизм / : X—«-У
схемы X в схему Y состоит из непрерывного отображения
sp f : sp X-*sp Y и гомоморфизма пучков колец /♦ : (Уу->-
—>(sp [).(Ух- При этом для любой точки х(Х и сечения s пуч-
ка (Уу в окрестности точки /(х) соотношение s(/(x))=0 вле-
чет (f*s) (х) =0. Локально любой морфизм схем имеет вид
Spec(cp) : Spec B->Spec .4 для гомоморфизма колец : А-+В.
Вообще, для любой схемы X и кольца А морфизмы X—«-Spec А
находятся во взаимно однозначном соответствии с кольцевыми
гомоморфизмами кольца А в б7л(Х).
3.2.	Примеры, а) Каждая аффинная схема является схе-
мой.
б)	Если U — открытое подмножество схемы X, то пара
(U, (УХ\1У) также схема и называется открытой подсхемой
схемы X. Морфизм схем У—«-Х называется открытым вложе-
нием,если он осуществляет изоморфизм У с открытой подсхе-
мой X. Например, для любого элемента а(-А схема Spec M[cz :]
отождествляется с открытой подсхемой Spec Л, индуцированной
на дополнении к замкнутому подмножеству К(а).
и)	Морфизм f : У->Х называется замкнутым вложением,
если sp f отождествляет У с замкнутым подмножеством X, а
гомоморфизм пучков (Ух~Ч.(Уу сюръективен. Например, если
292
Я —идеал в кольце А, то сюръекция А->А/Я дает замкнутое
вложение 5рес(Л/21)-»-Зрес(/4).
Квазикогерентный пучок идеалов задает замкнутую
подсхему (supp<?A-/Z, бЛ-//), и такое сопоставление осуще-
ствляет биекцию между идеалами (Ух и замкнутыми подсхема-
ми X. В частности, убывающая цепочка пучков идеалов
. cJn + l приводит к возрастающей цепочке замкнутых
подсхем	. з)""’ Хотя пространство sp У(п) у всех
этих подсхем одно и то же, с ростом п подсхема У(п) все более
точно отражает строение X в инфинитезимальной окрестности
У. Индуктивный предел У,пс| = Ит У<п) играет ту же роль, что и
ряд Тейлора дифференцируемой функции. Строго говоря,
У1”’— уже не схема, а т. н. формальная схема; в каком-то
смысле она заменяет понятие трубчатой окрестности У в X.
г) Обычно более сложные схемы склеивают из более простых
в духе п. 3.3 главы 1. Так можно получить относительное
аффинное пространство А"? над любой схемой X или относи-
тельное проективное пространство Р%. В духе п. 6.7 главы 1
для любого квазикогерентного пучка <Л~алгебр можно
построить схему Spec S& -> X. Аналогично, для градуированного
пучка (Zx-алгебр	можно построить проективный
спектр Proj(-7)->X и, в частности, говорить о раздутиях схем
вдоль подсхем.
3.3.	Относительные схемы. Теорию схем, как и теорию ал-
гебраических многообразий, отличает широкое использование
относительных понятий. Зафиксируем схему 3; S-схемой, или
схемой над 3, называется схема X, снабженная (т. н. струк-
турным) морфизмом f : X-+S. Морфизмом S-схемы X в 3-схе-
му У называется морфизм X—>-У, коммутирующий со структур-
ными морфизмами. Такой морфизм 3-схем называют также
А-значиой точкой S-схемы У; множество всех таких точек
обозначается У(X) (ср. с п. 1.3).
Как для многообразий, для схем существуют расслоенные
произведения. Для S-схем X и У их произведением называется
3-схема XXУ вместе с проекциями па X и У, такая что
(ХХГ)(Д) = А(Х)ХК(7)
5
для любой 3-рхемы Z. В случае аффинных схем такое произве’
дение двойственно тензорному произведению колец, т. е.
Spec А X Spec В—Spec (А ® В).
SpecC	С
Как для многообразий, расслоенные произведения позволяют
делать замены базы. В частности, для точки sgS расслоенное
произведение XXSpec(& (s)) = называется слоем морфизма
f :X-+S над s. Такое название оправдано тем, что теоретико-
293
множественно Xs совпадает с /~’(s). Тем самым относительную
схему X -> 5 можно представлять как семейство k (s)-cxeM X,,
параметризованное точками s(zS,
Любую схему X можно рассматривать как схему над Spec Z.
Это позволяет рассматривать семейства многообразий (или
схем) ХР (р=0, 2, 3, 5, .. .), определенных над полями различ-
ной характеристики р, переходить от положительной характе-
ристики к нулевой и обратно. В этом главная польза схем.
3.4.	Свойства схем. В основном это те же свойства, что и
для многообразий. Так, схема X называется неприводимой,
если неприводимо топологическое пространство sp X. Схема X
приведенная, если структурный пучок Ох не содержит нильпо-
тентов. Для любой схемы X существует приведенная замкнутая
подсхема с тем же пространством sp X; она обозначается ХГе<1
и задается пучком идеалов JczC?x, состоящим из сечений, ну-
левых во всех точках X.
Понятия нормальной схемы, и нормализации приведенной
схемы вводятся также как для многообразий. Например, схема
Spec Z [/Л _ з| ненормальна и ее нормализацией будет
Spec Z —
Размерностью схемы X в точке xgX называется максимум
длин цепочек л' = х0*-л'1<- . . . ч-л*„ различных точек; обозначает-
ся он dinixA'. По существу, это определение использовалось
длин многообразий. Например, размерность Spec Z равна 1 и
поэтому Spec Z следует рассматривать как «кривую». Аффинную
прямую А/ над Z следует рассматривать как (арифметическую
поверхность», ибо размерность ее в замкнутых точках равна 2.
Следует предостеречь, что для общих схем размерность ведет
себя не так идеально, как в случае многообразий.
В случае многообразий мы часто пользовались теоремой
Гильберта о базисе, т. е. пётеровостью колец конечного типа
над полем. В случае схем это надо специально требовать. Схе-
ма X называется нётеровой. если существует конечное откры-
тое покрытие X спектрами пётеровых колец. Топологическое
пространство sp X нётеровой схемы X нётерово, так что нёте-
рова схема квазикомнактна и разлагается на конечное число
неприводимых компонент. Однако существует более тонкое,
чисто схемное разложение нётеровой схемы на примарные
компоненты, учитывающее нильпотенты (см. [8]).
В дальнейшем мы ограничимся в основном нётеровыми схе-
мами; помимо многообразий, к ним относится спектр Z и,
вообще, спектр кольца целых алгебраических чисел. Для лю-
бой точки х нётеровой схемы X размерность dimxX конечна.
Если функция f не делит нуль в кольце Ох,х, то dimxV(/) =
= dimxX—1, как и для многообразий (п. 4.3 главы 2).
294
3.5.	Свойства морфизмов. Как правило, каждое свойство
схем имеет свой относительный аналог, свойство морфизма.
Грубо говоря, этим свойством должны обладать все слои мор-
физма.
Например, морфизм f : X-*S называется аффинным, если
для любой аффинной карты UczS схема (Z7) аффинна. Лю-
бой такой морфизм имеет вад Spec(^/)->S, где (Сх) —
квазикогерентный пучок (7я-алгебр. Аффинный морфизм
f : X->S называется конечным, если пучок /.(<?%) когерентен
над 0В. Все, что говорилось о конечных морфизмах в § 2 гла-
вы 2, переносится на схемы.
Наиболее важно понятие морфизма конечного типа. Пред-
положим сначала, что база S=SpecA аффинна. В этом случае
S-схема X имеет конечный тип, если существует конечное от-
крытое покрытие X аффинными картами Spec В,, такое что
А-алгебры Bt порождаются конечным числом элементов.
В общем случае морфизм f: X->S (или 3-схема X) имеет
конечный тип, если для любой аффинной карты UczS мор-
физм Д1	имеет конечный тип. Например, конечный тип
имеют такие 3-схемы, так аффинное пространство AJ или
проективное пространство Р" а также их замкнутые подсхе-
мы. Как правило, все действия в алгебраической геометрии
происходят в рамках схем конечного типа над нётеровой ба-
зой.
Морфизм конечного типа называется собственным, если он
отделим и универсально замкнут; все, что говорилось о соб-
ственных морфизмах в § 3 главы 2, переносится на схемы.
3.6.	Регулярные схемы. Понятие гладкого многообразия
имеет два обобщения — на схемы и на морфизмы. Сейчас мы
остановимся иа первом, а о втором скажем в следующем па-
раграфе. Нётерова схема X называется регулярной в точке х,
если размерность векторного пространства Шх/т*2 над полем
вычетов k(x) равна dimxX (здесь шж— максимальный идеал
локального кольца Ох,х)- Нётерова схема называется регуляр-
ной, если она такова во всех (или только в замкнутых) точ-
ках. Подробнее о свойствах регулярных схем и колец см. [36],
[63], [65].
Для многообразий над алгебраически замкнутым полем ре-
гулярность совпадает с гладкостью. Как и для многообразий,
регулярность схемы влечет ее приведенность, нормальность,
факториалыюсть и свойство Коэна—Маколея. Для одномер-
ных схем регулярность совпадает с нормальностью, снова как
для многообразий. Однако есть и различия. Так схема может
быть нерегулярной во всех точках, как Spec /С[е]; конечно, это
связано с нильпотентами. Кроме того, множество точек регу-
лярности нётеровой схемы не всегда открыто.
3.7.	Плоские морфизмы. Это новое для нас понятие, не
встречавшееся ранее, хотя очень важное и для многообразий.
295
Несмотря на довольно алгебраическое определение, плоские
морфизмы играют важную роль в алгебраической геометрии,
позволяя формализовать интуитивное представление о «непре-
рывных» алгебраических семействах схем и многообразий
(см. п. 4.4).
Алгебра В над кольцом А называется плоской, если для
любой точной последовательности А-модулей 0-+ М' М->
точна последовательность 0-> М'®В-+ М&В-+
А	А
->А4"®В->0. Достаточно, впрочем, потребовать инъективность
А
отображения 21®В->б для любого идеала 91с А. Подробнее
А
о плоских кольцах и модулях см. в [23].
Морфизм схем f: X-+S называется плоским в точке хеХ,
если кольцо (Ух,х плоско над (Уя.чх)- Морфизм f называется
плоским, если он таков во всех точках X. Например, мор-
физм Spec В—>-Spec А плоский тогда и только тогда, когда
А-алгебра В плоская. В частности, открытые вложения яв-
ляются плоскими морфизмами; напротив, замкнутые вложения
очень редко бывают плоскими (только если они еще и откры-
тые). Плоский и структурный морфизм А" —>S. Плоскостность
морфизма сохраняется при композициях и заменах базы.
Конечный морфизм X-+S плоский тогда и только тогда,
когда он локально свободен (см. п. 5.7 главы 2); для таких
морфизмов остается верен принцип постоянства.
§ 4.	Алгебраические схемы и их семейства
4.1.	Алгебраические схемы. Алгебраической схемой назы-
вается схема конечного типа над полем. Такие схемы наиболее
близки к алгебраическим многообразиям. Можно даже ска-
зать, что алгебраическое многообразие — это приведенная ал-
гебраическая схема над алгебраически замкнутым полем. Си-
стемы алгебраических уравнений над X с конечным числом
неизвестных приводят к алгебраическим схемам, н поэтому
стоит остановиться на них подробнее.
Стоит сразу сказать, что топологическое пространство sp X
алгебраической схемы X не всегда дает о ней правильное
я любого конечного расширения
состоит из одной точки, но как
объект перед нами, помогает опе-
этим мы понимаем переход от
/<-схеме X = Х '< Spec К, где
Хресд-
поля /С. Если забыть про ниль-
представление. Например, лл
полей XczX' Л’-схема Spec X'
они различны! Попять, что за
рация геометризации.
4.2.	Геометризация. Под
алгебраической /С-схемы X к
К — алгебраическое замыкание
2 96
потенты X, мы получаем многообразие над К, т. е. объект,
хорошо понятый из предыдущих глав. Схемы X и X связаны
морфизмом проекции л.:Х-+Х. Для каждой точки х^Х слой
JT1 (л) = Spec (/г (л)® АГ) —непустая нульмерная схема. В част-
к
ности, л сюръективен, и X надо представлять как фактор-
пространство X (сравни с п. 1.2).
Кроме того, морфизм л :Х-+Х — плоский и по существу
конечный; поэтому размерности X и X совпадают и теория
размерности для алгебраических схем выглядит как для много-
образий. Так, если схема X неприводима, размерность ее во
всех замкнутых точках одинакова и равна степени трансцен-
дентности поля k (g) над К, где g — общая точка X.
Стоит сделать одно предостережение. Мы говорили об ал-
гебраическом замыкании К как будто это каноническая конст-
рукция. Конечно, все замыкания поля К изоморфны, но не кано-
нически! Например, нет способа выделить один из корней К—1
в С. Это сказывается в том, что при геометризации неизоморф-
ные схемы могут стать изоморфными (говорят тогда, что они —
формы друг друга). Например, R-схемы, заданные уравнениями
7'2=1 и Г2= — 1, различны, но становятся изоморфными над С.
Аналогично обстоит цело с вещественными кониками X‘2-}-Y2-]-
+ Z2 = 0 и Х2 + Г2 —Z2--=0.
4.3.	Геометрические свойства алгебраических схем.
При геометризации неприводимая и приведенная схема может
стать приводимой и (или) неприведенной. Вот простейший при-
мер. Рассмотрим R-схему X = Spec(C), это точка. Однако,
X — Spec (С®С) состоит из двух точек. Впрочем, здесь схема X
R
приведена; в характеристике р>0 могут появиться и нильпо-
тенты. Пусть абЛГ не является р-й степенью, К' == К (а|/р)
и X = Spec/C'. Тогда АГ—спектр кольца К' ®К= К[Т]КТР—а)=
_	_	к
К — а}1р)Р=^К [S]I{S'>), где S--=T~aMp.
Если все же некоторое свойство схем верно для геометриза-
ции X, говорят, что /f-схема X обладает этим свойством гео-
метрически. Так X называется геометрически неприводимой
(соответственно геометрически приведенной, геометрически
нормальной, геометрически регулярной}, если X — Х®К
к
неприводима (соответственно приведенная, нормальная, регуляр-
ная); в этом случае X также неприводима (приведена и т. д.).
Обратное, как мы видели, верно не всегда; однако если поле К
совершенное, а X приведенная (соответственно нормальная или
регулярная) ЛГ-схема, то такой же будет и ее геометризация X.
207
20—5834
6
Отметим, что геометрически регулярная К-схема X называется
также гладкой, ибо это эквивалентно гладкости многообразия X.
4.4.	Семейство алгебраических схем. Пусть f : JC->-S — мор-
физм конечного тина. Тогда для каждой точки sC-S^(s)-схема
X,=f_I(s) =XXsSpec k(s) алгебраическая. Поэтому морфизмы
конечного типа можно представлять себе как семейства алгеб-
раических схем, параметризованные точками 3. При этом спе-
циальные члены такого семейства могут довольно сильно отли-
чаться от «общих». Заметим, что теперь понятию «общий» слой
можно придать смысл слоя над общей точкой базы 3 (когда
3 неприводима, что часто молчаливо предполагается). Как пра-
вило, свойства общего слоя наследуются для слоев над точ-
ками из некоторой окрестности общей точки S, особенно если
речь идет о геометрических свойствах. Например, если общий
слой геометрически неприводим, то и «близкие» слои геомет-
рически неприводимы и имеют ту же размерность; размерность
«далеких» слоев может при этом подскакивать, как мы видели
в главе 2.
Таких скачков размерности не происходит, если морфизм
f : X-+S плоский; в этом случае все слои X, имеют одинаковую
размерность, которая обозначается dim (f) и называется относи-
тельной размерностью f. Если морфизм f вдобавок проектив-
ный, то от sfcS не зависит степень Х„ а также другие численные
инварианты типа многочлена Гильберта, арифметического ро-
да и т. п. Все это дает основания считать, что слои плоского
морфизма конечного типа варьируются «непрерывно». Важно
отметить, что такое понимание «непрерывности» имеет смысл
и хорошо работает и в том случае, когда база 3 имеет нильпо-
тенты (например, когда 3 — спектр локального артинова коль-
ца, что позволяет построить теорию деформации схем и много-
образий) .
Даже при анализе одного конкретного многообразия его по-
лезно бывает включать в семейство. Так, включая особенность
в версальное семейство деформаций, мы как бы расправляем
эту особенность, что позволяет более детально проследить ее
генезис и строение [1]. Другой пример: пусть дано многообра-
зие Xq над полем Q; тогда существует схема конечного типа
X над Spec Z, слой которой над общей точкой изоморфен X q.
Здесь многообразие А'а раздвигается в арифметическом на-
правлении. Применение к такой арифметической схеме X поня-
тий и методов алгебраической геометрии, особенно теории пе-
ресечений и теории когомологий, приводит к различным инте-
ресным теоретико-числовым следствиям.
4.5.	Гладкие семейства. Морфизм конечного типа [ : А->3
называется гладким, если он плоский и если все слои его —
гладкие алгебраические схемы. Гладкий морфизм относитель-
ной размерности 0 называется этальным. Если схема S регу-
298
лярна, а морфизм Х->8 гладкий, то схема X также регулярна.
Гладкие морфизмы обладают следующим свойством инфи-
нитезимального подъема. Пусть дана S-схема У и ее замкнутая
подсхема Yo с тем же топологическим пространством, что и Y.
Тогда если морфизм f:	гладкий, то любой S-морфизм
У0->Х продолжается локально до S — морфизма Y-+X). Более
точно, если схема У аффинна, любой Yo-+X про-
должается до У—Такое продолжение единственно, если
f : Х->8 этальный.
Как и в случае многообразий, гладкость морфизма тесно
связана с его дифференциальными свойствами. Видимо нельзя
сказать, что такое дифференциальная форма (или касательное
расслоение) на произвольной схеме. Однако для относительных
схем эти понятия имеют смысл и вводятся так же, как для
многообразий (см. п. 7.7 главы 1). Пусть дана S-схема конеч-
ного типа Л'; пучком относительных дифференциалов X над 8
называется ненормальный пучОк к диагонали в Хх8Х. Обозна-
чается он как fix/s; при естественном отождествлении диагона-
ли с X пучок Q'x/s — когерентный пучок на X. Конструкция £2*
коммутирует с заменой базы и контравариантна. Пучки высших
дифференциалов строятся, как обычно, с помощью внеш-
них степеней.
Для алгебраической К-схемы X гладкость ее над Spec К
эквивалентна тому, что пучок йх|д- как (7х-модуль локально сво"
боден ранга dimA’. Поэтому гладкость морфизма f:X->S
равносильна выполнению двух свойств: f плоский и Qx'is— ло-
кально свободный <7х-модуль ранга dim (/).
Л ИТЕРАТУРА
В настоящее время имеется несколько современных изложений основ
алгебраической геометрии, и каждое из них по своему хорошо. Прежде всего
надо назвать грандиозный по замыслу, но так и оставшийся незавершенным
труд Гротендика «Элементы алгебраической геометрии», или EGA [33] — [36];
из запланированных 13 глав вышли лишь 4, заняв при этом 8 книг. Впрочем,
многие не вошедшие в EGA темы, разбираются в SGA (см. [37]—[40], а также
библиографию к [41]). В EGA изложение ведется на языке схем и в макси-
мальной общности. Более облегченные введения в теорию схем представ-
ляют [8], [28], [45], [53].
Изложение алгебраической геометрии с большим акцентом на алгебраи-
ческие многообразия и классические вопросы имеется в [15], [41]. Алгебраи-
ческим многообразиям над полем комплексных чисел и применению, наряду
с алгебраическими, аналитических и трансцендентных методов посвящены
книги [32|, [56]. Близко к ним стоит [13], где рассказывается о комплексно-
аналитических множествах. Как примеры книг догротендиковского периода
приведем [20], [43], [49], [58], [59].
Некоторые книги из списка литературы посвящены более специальным
вопросам. По теории пересечений появилась книга [29]; близкая к ней К-
теория излагается в [91. С уклоном в бирациональную геометрию написана
[45[. В [22], [44], [62] рассказывается про алгебраические группы, в [54],
20*
29!>
Отметим, что геометрически регулярная /Г-схема X называется
также гладкой, ибо это эквивалентно гладкости многообразия X.
4.4. Семейство алгебраических схем. Пусть f : X-+S — мор-
физм конечного типа. Тогда для каждой точки sf-Sk(s)-схема
X,=f-'(s)=XX.sS>peck(s) алгебраическая. Поэтому морфизмы
конечного типа можно представлять себе как семейства алгеб-
раических схем, параметризованные точками S. При этом спе-
циальные члены такого семейства могут довольно сильно отли-
чаться от «общих». Заметим, что теперь понятию «общий» слой
можно придать смысл слоя над общей точкой базы S (когда
<S неприводима, что часто молчаливо предполагается). Как пра-
вило, свойства общего слоя наследуются для слоев над точ-
ками из некоторой окрестности общей точки S, особенно если
речь идет о геометрических свойствах. Например, если общий
слой геометрически неприводим, то и «близкие» слои геомет-
рически неприводимы и имеют ту же размерность; размерность
«далеких» слоев может при этом подскакивать, как мы видели
в главе 2.
Таких скачков размерности не происходит, если морфизм
f : X->S плоский; в этом случае все слои X, имеют одинаковую
размерность, которая обозначается dim(f) и называется относи-
тельной размерностью /. Если морфизм f вдобавок проектив-
ный, то от seS не зависит степень Х„ а также другие численные
инварианты типа многочлена Гильберта, арифметического ро-
да н т. п. Все это дает основания считать, что слои плоского
морфизма конечного типа варьируются «непрерывно». Важно
отметить, что такое понимание «непрерывности» имеет смысл
и хорошо работает и в том случае, когда база S имеет нильпо-
тенты (например, когда 5 — спектр локального артинова коль-
ца, что позволяет построить теорию деформации схем и много-
образий) .
Даже при анализе одного конкретного многообразия его по-
лезно бывает включать в семейство. Так, включая особенность
в нереальное семейство деформаций, мы как бы расправляем
эту особенность, что позволяет более детально проследить ее
генезис и строение [1]. Другой пример: пусть дано многообра-
зие Xq над полем Q; тогда существует схема конечного типа
X над Spec Z, слой которой над общей точкой изоморфен X q.
Здесь многообразие Xq раздвигается в арифметическом на-
правлении. Применение к такой арифметической схеме X поня-
тий и методов алгебраической геометрии, особенно теории пе-
ресечений и теории когомологий, приводит к различным инте-
ресным теоретико-числовым следствиям.
4.5. Гладкие семейства. Морфизм конечного типа f : Х->8
называется гладким, если он плоский и если все слои его —
гладкие алгебраические схемы. Гладкий морфизм относитель-
ной размерности 0 называется этальным. Если схема S регу-
298
лярна, а морфизм Х->5 гладкий, то схема X также регулярна.
Гладкие морфизмы обладают следующим свойством инфи-
нитезимального подъема. Пусть даиа S-схема У и ее замкнутая
подсхема Уо с тем же топологическим пространством, что и У.
Тогда если морфизм f : X->S гладкий, то любой S-морфизм
У0->Х продолжается локально до S — морфизма У->Х). Более
точно, если схема У аффинна, любой Yo-+X про-
должается до У->Х. Такое продолжение единственно, если
f : X->S этальный.
Как и в случае многообразий, гладкость морфизма тесно
связана с его дифференциальными свойствами. Видимо нельзя
сказать, что такое дифференциальная форма (или касательное
расслоение) на произвольной схеме. Однако для относительных
схем эти понятия имеют смысл и вводятся так же, как для
многообразий (см. п. 7.7 главы 1). Пусть дана S-схема конеч-
ного типа X; пучком относительных дифференциалов X над S
называется коиормальный пучок к диагонали в Хх8Х. Обозна-
чается он как Q'x/s; при естественном отождествлении диагона-
ли с X пучок й’х/s — когерентный пучок на X. Конструкция S21
коммутирует с заменой базы и контравариантна. Пучки высших
дифференциалов строятся, как обычно, с помощью внеш-
них степеней.
Для алгебраической К-схемы X гладкость ее над Spec/С
эквивалентна тому, что пучок й,х|д- как С^-модуль локально сво"
боден ранга dim А'. Поэтому гладкость морфизма f'.X-+S
равносильна выполнению двух свойств: f плоский и — ло-
кально свободный <?д-модуль ранга dim (/).
Л ИТ ЕРАТУРА
В настоящее время имеется несколько современных изложений основ
алгебраической геометрии, и каждое из них по своему хорошо. Прежде всего
надо назвать грандиозный по замыслу, но так и оставшийся незавершенным
труд Гротендика «Элементы алгебраической геометрии», или EGA [33] — [36];
из запланированных 13 глав вышли лишь 4, заняв при этом 8 книг. Впрочем,
многие не вошедшие в EGA темы, разбираются в SGA (см. [37]—[40], а также
библиографию к [41]). В EGA изложение ведется иа языке схем и в макси-
мальной общности. Более облегченные введения в теорию схем представ-
ляют [8], [28], [45], [53].
Изложение алгебраической геометрии с большим акцентом на алгебраи-
ческие многообразия и классические вопросы имеется в ]15], [41]. Алгебраи-
ческим многообразиям иад полем комплексных чисел н применению, наряду
с алгебраическими, аналитических и трансцендентных методов посвящены
книги [32], [56]. Близко к ним стоит [13], где рассказывается о комплексно-
аналитических множествах. Как примеры книг догротендиковского периода
приведем [20], [43], [49], [58], [59].
Некоторые книги из списка литературы посвящены более специальным
вопросам. По теорми пересечений появилась книга [29]; близкая к ней К-
теория излагается в [91. С уклоном в бирациональную геометрию написана
[45]. В [22], [44], [62] рассказывается про алгебраические группы, в [54],
20*
299-
(55] —про абелевы многообразия. Книги [19, 23, 65] содержат все нужные
сведения из коммутативной алгебры. Дифференциальное исчисление на много-
образиях излагается в [25], [26], [50], [64].
1.	Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М., Особенности диффе-
ренцируемых отображений. М.: Наука, 1982, 302 с.
2.	Винберг Э. Б., Попов В. Л., Об одном классе квазиоднородных аффин-
ных миогобразий. Изв. АН СССР, сер. мат., 1972, 36, № 4, 749—764
3.	Данилов В. И., Геометрия торических многообразий. Успехи мат. наук,
1978, 33. № 2, 85—135
4.	Долгачев И. В.. Абстрактная алгебраическая геометрия. Итоги науки и
техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. 1972. 10, 46—112
5.	Зак Ф. Л., Проекции алгебраических многообразий. Мат. сб., 1981 116,
№ 4. 593—602
6.	Псковских В А., Лптнканоническне модели трехмерных алгебраических
многообразий. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. мат.: 1979,
12, 59-157
7.	Манин Ю. И., К пятнадцатой проблеме Гильберта. В кн. «Проблемы Гиль-
берта». М.: Наука, 1969, 175—181
8.	—, Лекции по алгебраической геометрии. Ч. I, Аффинные схемы. М.: МГУ,
1970. 133 с.
9.	—, Лекции по алгебраической геометрии. Ч. 2, К-функтор в алгебраиче-
ской геометрии. М.: МГУ, 1971, 86 с.
10.	—, Новые размерности в геометрии. Успехи мат. наук, 1984, 39, № 6,
47—74
11.	Суслин А. А., Проективные модули нал кольцом многочленов свободны.
Докл. АН СССР. 1976, 229, № 5, 1063-1066
12.	Тюрин А. Н., Средний якобиан трехмерных многообразий. Итоги науки
и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. мат.: 1979, 12, 5—57
13.	Чирка Е М., Комплексные аналитические множества. М.: Наука, 1985,
272 с.
14.	Шафаревич И. Р Основные понятия алгебры. Итоги науки и тсхи.
ВИНИТИ. Соврем, пробл. мат.: Фундам. направления, 1986, 11, 290 с.
15.	Основы алгебраической геометрии. М : Наука, 1972, 567 с.
16.	Abhyankar S. S., On the problem of resolution of singularities. В кн. «Тру-
ды международного конгресса математиков, 1466». М. 1968, стр. 469—480
17.	Angeniol В.. F'amilles de Cycles Algebriques—Schema de how. Berlin;
Springer, 1481, I 40 p
18.	Artin M„ Algebraic Spaces. Yale Math. Monographs 3, New Haven: Yale
Univ. Press, 1971 (Пер. ha рус. яз.; Артин Ж. Алгебраические простран-
ства. Успехи мат. паук. 1980, 26, № 1, 181—205)
19.	Atiyah М.. Macdonald Introduction Io Commutative Algebra, Mass.: Ad-
dison Wesley, 1969 (Пер. на рус. яз.: Атья М., Макдональд И., Введение
в коммутативную алгебру. М.: Мир. 1972. 160 е.)
20.	Baldassarry М, Algebraic varieties. Berlin: Springer, 1956, 195 p. (Пер.
на рус. яз : Бальдассарри М., Алгебраические многообразия. М.: ИЛ, 1961,
315 с.)
21.	Bass II., Connell Е. Н, Wright D., The Jacobian conjecture: reduction of
degree, and formal expansion of the inverse. Bull. Amer. Math, Soc., 1982.
7. 287-330
22.	Borel A.. Linear algebraic groups. N.-Y.: Benjamin, 1969, 398 p. (Пер. на
pvc. яз.: Борель А., Линейные алгебраические группы. М.: Мир, 1972,
269 с.)
23.	Bourbaki N„ Algcbrc Commutative. Paris: Hermann, 1961—1965 (Пер. на
рус. яз.: Бурбаки Н., Коммутативная алгебра. М.; Мир, 1971, 707 с.)
24.	- . Theory speclrales. Paris: Hermann, 1967. 166 p. (Hep. на рус. яз.: Бур-
баки Н., Спектральная теория. М.: Мир. 1972, 183 с.)
300
25.	—. Varietes diffferentielles et analytiques. Paris: Hermann, 1967—1971
(Пер. на рус. яз.: Бурбаки М., Дифференцируемые и аналитические много*
образия. Сводка результатов. М.: Мир, 1975, 220 с.)
26.	Cartan Н., Calcul differentiel. Formes differentielles. Paris, 1967, 178 p.
(Пер. на рус. яз.: Картон Л., Дифференциальное исчисление. Дифферен-
циальные формы. М.: Мир, 1971, 392 с.)
27.	Deligne Р., La conjecture de Weil, 1. Publ. Math. IHES, 1974, 43, 273—307
(Пер. на рус. яз.: Делинь П., Гипотеза Вейля, /. Успехи мат. наук, 1976,
30, выл. 5, 157—190)
28.	Dieudonne Algebraic geometry. Adv. Math., 1(969, 3, 233—321 (Пер. на
рус. яз.: Дьедонне Ж-, Алгебраическая геометрия. Математика, Сб. перев.
ин. статей, 1962, 9, № 1, 54—126)
29.	Fulton W., Intersection theory. Berlin; Springer, 1984, 470 p.
30.	—, Lazarsfeld R., Connectivity and its applications in algebraic geometry.
In «Algebraic Geometry», Berlin: Springer, 1981, 26—92
31.	Godement R., Topologie algebrique et theorie des faisceaux. Paris: Her-
mann, 1958, 283 p. (Пер. иа рус. яз.: Годеман Р. Алгебраическая топология
и теория пучков. М.: ИЛ, 1961).
32.	Griffiths Ph., Harris J., Principles of algebraic geometry. N.-Y.: Interscience,
1978, 813 p. (Пер. на рус. яз.: Гриффитс Ф., Харрис Дж., Принципы ал-
гебраической геометрии,' М.: Мир, 1982)
33.	Grothendieck A., Dieudonne J., Elements de geometrie algebrique. I. Heidel-
berg: Springer, 1971, 466 p. (Пер. на рус. яз. Успехи мат. наук., 1972,
27. № 2, 135—148)
34.	—, —, Elements de geometri в Algebrique. 11. Publ. Math. IHES, 1961, 8,
222 p.
35.	—, —. Elements de geometric algebrique. III. Publ. Math. IHES, 1961—
1963, 11. 17.
36.	—, —, Elements de geometric algebrique. IV. Publ. Math. IHES, 1964, 20,
1965, 24\ 1966, 28- 1967, 32.
37.	—. SGA 1, Revetements etale et groupe fondamental. Berlin: Springer,
1971, 447 p.
38.	—, SGA 2, Cohomologie locale des faisceaux coherents et theoremes de
Lefschetz locaux et globaux. Amstr.: North-Holland, 1968, 287 p.
39.	—. Demazure M„ SGA 3, Schemas en groupes. I. Berlin: Springer, 1977,
562 p.
40.	—, Deligne P., Katz M., SGA 7, Groupes de Monodromie en Geometric Al-
gebrique. Berlin: Springer, 1973, 438 p.
41.	Hartshorne R., Algebraic geometry. N.-Y,: Springer, 1977, 496 с. (Пер. на
рус. яз.: Хартсхорн Р., Алгебраическая геометрия, М.: Мир, 1981, 599 с.)
42.	—, Varieties of small codimension in projective space. Bull. Amer. Math.
Soc, 1974, 80, 1017—1032.
43.	Hodge W. V. D.. Pedoe D„ Methods of algebraic geometry, V. 2. Carnbr.
Univ. Press, 1952 (Пер. на рус. яз.: Ходж В., Пидо Д., Методы алгебраи-
ческой геометрии. Т. 2. М.: ИЛ, 1954)
44.	Humphreys I. Е., Linear algebraic groups. N.-Y.: Springer, 1975, 248 p.
(Пер. иа рус. яз.: Хамфри Дж., Линейные алгебраические группы. М.:
Наука, 1980)
45.	litaka S., Algebraic geometry. Ап introduction to birational geometry of
algebraic varieties, N.-Y.: Springer, 1982, 357 p.
46	Kleiman S. L, Towards a numerical theory of ampleness. Ann. Math., 1966,
84, 293—344
47.	—, The enumerative theory of singularities. In «Real and Complex Singu-
larities», Oslo: Sijthoff and Noordhoff, 1977, 297—396 (Пер. на рус. яз.:
Клейман С. Л., Численная теория особенностей, Успехи мат. наук, 1980,
35, вып. 6, 69—148)
48.	Klein F„ Vorlesungen uber die Sntwicklung der Mathematik im 19. Jahr-
hundert, Teil 1. Berlin, 1926, 385 p. (Пер. на рус. яз.: Клейн Ф„ Лекции
о развитии математики в XIX столетии. М.; Л.: Гостехиздат, 1937)
301
49.	Lang S., Introduction to algebraic geometry. N.-Y.: Interscience publ., 1958,
260 p.
50.	—, Introduction to differentiable manifold. N.-Y.: Interscience, 1962, 126 p.
(Пер на рус яз.: Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых много-
образий, М.: Мир, 1967, 203 с.)
51.	Miyanishi М., Non-complete algebraic surfaces. Berlin: Springer, 1981,
244 p.
52.	Mumford D. Geometric invariant theory. Heidelberg: Springer, 1965, 146 p.
(Пер. на рус. яз. в книге; Ды-донн-е Ж.. Кэролл Дж., Мамфорд Д., Гео-
метрическая теория инвариантов. М.: Мир, 1974, 125—256)
53.	—-. Lectures on curves on an algebraic surface. Princeton; Univ. Press,
1966, 200 p. (Пер. на рус. яз.: Мамфорд Д., Лекции о кривых на алгеб-
раической поверхности. М.: Мнр,1968, 236 с.)
54.	Abelian varieties. Oxford: Univ. Press, 1970, 300 p. (Пер. иа рус. яз/.
Мамфорд Д., Абелевы многообразия. М.: Мир, 1971, 299 с.)
55.	—, Curves and their Jacobians. Ann Arbor: Univ. Michigan Press, 1975
56.	—, Algebraic geometry. 1. Complex projective varieties. Berlin: Springer,
1976, 186 с. (Пер. на рус. яз. Мамфорд Д„ Алгебраическая геометрия, 1.
Комплексные проективные многообразия. М/. Мир, 1979, 256 с.)
57.	Quillen D., Projective modules over polynomial rings. Invent, math., 1976,
36. 167—171
58.	Samuel P„ Methodes d’algebre abstraite en geometrie algebrique. Heidel-
berg: Springer, 1955, 133 p.
59.	Semple J. G., Roih L., Introduction to algebraic geometry. Oxford: Univ.
Press, 1949
60.	Serre J.-P., Faisceaux algebriques coherents. Ann. Math., 1955. 61, 197—
278 (Пер. на рус. яз.: Серр Ж-П., Когерентные алгебраические пучки.
В сб. «Расслоенные пространства и их приложения», М.: ИЛ, 1958,
стр. 372—458)
61.	—, Geometrie algebrique et geometrie analytique. Ann. Inst. Fourier, 1956,
6, 1-42
62.	—, Groupes algebriques et corps de classes. Paris: Hermann, 1959, 202 p.
(Пер. на рус. яз.: Серр Ж.-LL, Алгебраические группы и поля классов.
М/. Мир, 1968, 285 с.)
63.	—, Algebre locale. Мultiplicites. Berlin: Springer, 1965, 190 p. (Пер. на
рус. яз.: Серр Ж-Л., Локальная алгебра и теория кратностей. Сб. перев.
ин. статей «Математика», 1963, 7, № 5, 3—93)
64.	Wells R. О., Differential analysis on complex manifolds. N.-Y.: Prentice-
Holl, 1973, (Пер. на рус. яз.: Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на
комплексных многообразиях. М.: Мир, 1976, 284 с.)
65.	Zariski О., Samuel Р., Commutative algebra. V. 1, 2. Princeton: van Nost-
rand, 1958, 1960 (Пер. иа рус. яз.: Зарисскиа О., Самюэль П., Коммута-
тивная алгебра. Т. 1, 2. М.: ИЛ. 1963, 373, 438 с.)
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель (Abel N.) 33, 79, 160—164, 167
Альфаи (Halphen G.) 133, 134
Артии (Artin М.) 201
Арцела (Arzela С.) 47
Баббидж (Babbage D.) 138
Безу (Bezout Е.) 117, 139, 256, 259,
278
Белый Г, В. 93
Бельтрами (Beltrami Е.) 53
Бертини (Bertini Е.) 250, 254
Бетти (Betti Е.) 47, 235
Бонне (Bonnet О.) 78
Брилль (Brill A. W.) 130
Ван дер Варден (van der Waerden)
246
Вейерштрасс (Weierstrass К.) 29, 71,
93, 94, 158
Вейль A. (Weil А.) 66, 71, 182
Вейль (WeyJ Н.) 261, 271, 274
Веронезе (Veronese G.) 87, 123, 127,
128, 199, 257, 267, 268, 281
Виртингер (Wirtinger W.) 49
Галуа (Galois Е.) 36, 43, 108, НО,
238, 286, 291
Гарнак (Harnack А.) 27
Гаусс (Gauss С. F.) 24, 29, 41, 54,
78, 216, 252
Гельфанд И. М. 180
Гизин (Gysin W.) 275, 277
Гильберт (Hilbert D.) 71, 73, 97, 134.
136, 179, 180, 182, 183, 189, 210,
216, 259. 283. 288, 289, 294
Грассман (Grassmann Н.) 100, 194,
200, 202, 212, 213, 249, 250, 263,
271, 278, 282, 283
Грин Г. (Green G.) 55, 57, 62
Грин М. (Green М.) 138
Гротендик (Grothendieck А.) 230, 235,
245, 299
Гурвиц (Hurwitz А.) 44, 45, 60, 61,
69, 70, 79, 85, 90, 118, 120, 123, 124,
144
Гюго (Hugo V.) 20
Данилов В. И. 95, 107, 118
Дирихле (Dirichlet Р. G. I..) 70, 71
Зак Ф. А. 271
Зейденберг (Seidenberg А.) 226
Зарисский (Zariski О.) 95, 96, 120,
129, 186—189, 192, 210, 215, 216,
226, 230, 231, 235
Зейферт (Seifert Н.) 43
Зигель (Siegel С. L.) 150
ван Кампен (van Kampen Е. R.) 43'
Картье (Cartier Р.) 260, 261, 262
Кастельнуово (Casteluuovo G.) 95,
132—135, 280
Кёбе (Koebe Р.) 71, 72
Кернс 55
Клебш (Clebsh R. F, А.) 95, 141, 142,
144, 145
Клейн (Klein F.) 13, 71, 72
Клиффорд (Clifford W.) 131, 132
Кодаира (Kodaira К.) 147
Коши (Cauchy A.-L.) 49
Коэн (Cohen I.) 226, 243, 244, 249,
278
Кронекер (Kronecker L.) 285
Кузен (Cousin Р.) 62
Курданов П. 166
Куликов В. С. 166
Лаплас (Laplace Р. S.) 13, 66
Лебег (Lebesque Н.) 66
Лейбниц (Leibniz G.) 49. 54
Лефшец (Lefschetz S.) 112, 113, 146,
153, 235, 250, 270
Ли (Lie S.) 24, 74, 76, 79, 147, 151
Лиувилль (Liouville J.) 29, 72
Лобачевский Н. И. 15, 52, 73, 74,
76, 77
Лоран (Laurent Р. А.) 28, 30, 54, 61,
94, 104, 158
Люрот (Liiroth J.) 121
Мазур (Mazur S.) 180
Маколей (Macaulay F. S.) 243, 244,
249, 278, 295
Макферсон (MacPherson R.) 256
Мамфорд (Mumford D.) 129
Мёбиус (Mobius А.) 74
Миттаг-Леффлер (Mittag-Leffler) 30,
62, 87, 90, 120
Морделл (Mordell L.) 93
Мойшезон Б. Г. 229, 267
Морс (Morse М.) 270
Нагата (Nagata М.) 227, 252
Накаи (Nakai Y.) 267
Накаяма (Nakayama Т.) 223, 236,
237 239 241
Нетер (Noether М.) 130, 133, 136,
138
Ньютон (Newton 1.) 54
Паскаль (Pascal В.) 117, 118, 269
Петри (Petri К ) 138
Пикар (Pickard Е.) 82, 162, 163, 206,
262 263
Плюккер (Plticker J.) 95, 144, 145,
200, 263, 267, 271
303
Пуанкаре (Poincare Н.) 47, 48, 52, 71,
72, 74, 76—81, 164, 165
де Рам (de Rham J.) 51, 55, 56, 67,
68, 91
Радо (Rado Т.) 41
Риман (Riemann В.) 7, 13, 14, 18
24, 26, 28—47, 49, 53, 56, 63, 6Д
69—73, 75, 76, 83, 85, 88—91, 109,
113, 120 121, 124, 126, 129, 1,30,
131, 133, 136, 146, 150—160, 165—
167
Рох (Roch Е.) 67, 85, 88. 90, 91, 113,
120, 124, 126, 129, 130, 131, 133
136, 166, 167
Сард (Sard А.) 47
Сегре (Segre В.) 96, 199, 200, 252,
263, 267, 274
Серр (Serre J.-P.) 90, 190, 229
Стакс (Stokes G. G.) 147
Тейлор (Taylor В) 90. 102, 104, 293
Тейхмюллер (Teichmiiller О.) 84
Торелли (Torelli R.) 166
Фальтингс (Fallings G.) 93
Фано (Fano G.) 138, 270
Ферма (Fermat Р.) 19, 25
Фробениус (Frobenius F.) 109 ПО,
149, 150, 186
Фубини (Fubini G.) 52, 53, 75
Фултон (Fulton W.) 253, 254, 256,
276
Фурье (Fourier J.) 152
Хансен (Hansen J.) 253, 254, 256
Харнак (llarnack А.) 286
Хартогс (Hartogs F.) 189, 245, 248
Хартсхорн (Hartshorne R.) 271
Ходж (Hodge W.) 67, 166, 280
Холф (Hopf Н.) 69
Чжень (Chern S. S ) 153, 274
Чжоу (Chow W.-L.) 92, 134, 151, 153,
176, 229, 249, 275, 277, 278, 280,
283
Шаль (Chasles М.) 285
Шафаревич И. Р. 5
Шварц (Schwarz Н. А.) 71; 79, 84
Шевалле (Chevalley С.) 224, 233
Шекспир (Shakespeare W.) 20
Штейн (Stein К.) 252, 253
Штейнер (Steiner J.) 133
Штудн (Study Е.) 52, 53, 75
Шуберт (Schubert F.) 273, 278, 279,
282 , 283
Эйлер (Euler L.) 43, 44, 61
Энриквес (Enriques F.) 138, 252
Якоби (Jacobi С.) 160, 161, 166
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизмы 23, 97
Алгебра конечного типа 180
— плоская 296
— целая 180
Атлас 192
— аналитический 21
— комплексный 21
атласы эквивалентные 192
Базис нормализованный 89
Бнкасательная простая 144
Ветвление ручное 118
—	сильное I !9
—	слабое 118
Вложение замкнутое 196, 292 .
— открытое 292
Вырождение 212
Вычет 62
Геометризация 296
Гиперповерхность 95, 179, 232
Гиперплоскость 95, 195
Гомоморфизм Гнзина 277
•	— периодов 56
График морфизма 184, 197
— — рационального отображения
218
Группа аддитивная 201
—	алгебраическая 146
—	дивизоров 32
-	классов ннклов 272
Группа когомологий де Рама 51
—	Ли комплексная 24
—	модулярная зигелева 151
—	монодромин 46
— мультипликативная 201
— Пикара 162, 163, 206
Группы фуксовые 81
Двойственность Серра 90
Десингуляризация 39, 107
Дивизор 32, 114, 249
— базисный 126
304
—	Вейля 261
—	ветвления 33
—	гиперплоских сечений 116
— гиперповерхностиого сечения 116
— главно поляризованный 154
— главный 33, 115, 154
— канонический 59, 115
— Картье 260
— конечный 32
— линейно эквивалентный 33, 115,
262
— мероморфного дифференциала 59
— нулей 33, 114—115
—	обильный 267
— поляризации 148, 153, 154
---канонический 166
•	— полюсов 33, 115
—	слоя 33, 114
— функции 33, 114
— эффективный 32, 114, 260
Дивизоры исключительные 130
—	• обыкновенные специальные 130
—	специальные 129
Диск единичный 24
---проколотый 24
Дифференциал 50
—	второго рода 63
—	гармонический 63
—	голоморфный 57
—	дифференцируемый 50
—	замкнутый 52
—	когомологичный нулю 52
— мероморфный 59
—	первого рода 63
— рациональный 109, 111
—	регулярный 109, 110
—	точный 52
— третьего рода 63
— функции 109, 208
Дифференцирование 49, 109
— универсальное 109
Замена базы 197
Замыкание целое 180
Идеал кривой 136
Изогения 154
Изоморфизмы 23, 97
Инвариант абсолютный 82, 157
Инволюция гиперэллиптическая 38,
107
Индекс ветвления 31, 118
—	пересечения 278
---петель 47
—	специальности 119
Иррегулярность 90, 119
Карта аналитическая 22
—	афиниая 21, 192
—	комплексная 20, 22
Карты согласованные 192
Квадрат декартов 197
Квадрики 100
—	плоские 100
Квартики 100
—	плоские 100
Класс дивизора фундаментальный
149
—	канонический 60
—	Сегре 274
Козамкнутость 63
Коллинеация 199
Кольцо нормальное 225
—	Чжоу 275, 277
Компонента неприводимая 216
Коника 25, 100
Конус 194
— Касательный 210, 211
—	Нормальный 213
Координаты вещественные 27
—	изотермические 53
Координаты комплексные 20, 21
—	конформные 53
—	однородные 191
Коразмерность 241
Кратность 102, 258
—	ветвления 113
—	отображения 31
Кривая 100, 111
— алгебраическая 100
— т— вещественная плоская 27
--- комплексная плоская 25
—	алгебраическая неприводимая 39
—	гиперэллиптическая 107
—	линейно нормальная 127
—	каноническая 123
—	невырожденная 126
—	необыкновенная 101
—	неособая 25
	— т-иормальиая 135
— плоская 100
— проективно нормальная 135
—	пространственная 100
—	рациональная нормальная 200
—	суперсингулярная 155
—	тригональная 131
—	Ферма 25
—	экстремальная 133
—	эллиптическая 146
	комплексная 25
Критерий гладкости якобнев 242
—	обильности Накаи—Мойшезона
267
Критерий отделимости 196
Кубика 60
—	в вейерштрасовой нормальной
форме 94, 157
Кубикн плоские 100
Лемма Накаяма 223
305
Матрица знгелева 149
—	нормализованная 149
—	периодов 148
Метрика кэлерова 52
—	евклидова 52
— Фубнни-Штуди 52
— риманова 53
Многообразие абелево 146, 201
---главно поляризованное 154
--------— изоморфное 154
— алгебраическое 95, 99, 192
—	алгебраическое квазиафинное 189
—	аффинное 96, 181
—	— алгебраическое 181
—	комплексно аналитическое 21
—	Веронезе 98
—	гладкое 212
-	- Грассмана 194
—	двойственное 251
—	дифференцируемое 27
— конормальнос 251
— комплексное 21, 22, 23
—	комплексно аналитическое 22
—	линейное 195
— линейно нормальное 270
Многообразие неособое 101
— неприводимое 215
—	нормальное 225
—	однолистное 226
—	односвязное 238
—	ориентируемое 40
—	отделимое 196
—	Пикара 162, 163
—	полное 227
— проективно нормальное 271
—	проективное 194
—	секущих 237
— факториальное 241
-	якобиево 264
Многообразия проективные алгебраи-
ческие 95
Множество ба шсное 266
—	Шуберта 273
—	Чжоу 249, 283
Многоугольник нормальный 77
Многочлен Гильберта 259
Модель каноническая 91
-	— плчориканоипческая 91
—	поля 38, 103
—	проективная 91
Монодромня 26, 45, 46
Морфизм алгебраических многообра-
зий 196
— аффинный 208, 295
— аффинных многообразий 183
— гладкий 212. 298
— замкнутый 223
Морфизм неразветвлеиный в точке
236
— конечный 222, 223, 295
— квазиконечный 222
— локально свободный 239
— неразветвлеиный 236
— открытый 225
—	плоский 296
—	Плюккера 200
—	предпучков 204
—	проективный 208
—	собственный 227, 295
—	схем 292
—	Фробениуса 186
— этальный 237, 299
—	этальный в точке 237
Накрытие п-листное 35
—	неразветвленное 34, 35
- этальное 238
Нётерова схема 294
Нётеровость 96
Нормализация 225, 294
Нормкривая рациональная 127
Носитель дивизора 32, 116, 261
— цикла 271
Нуль порядка 111
Область каноническая гиперболиче-
ская 73
--- параболическая 73
--- эллиптическая 73
— определения рационального
отображения 307
— регулярная 217
— регулярности 103, 104
— Оболочка линейная 195
—	Образ дивизора Обратный 262
пучка 206
—	прямой 206
-- цикла обратный 278
Отношение эквивалентности 163
Отображение Абеля 163
--- нормализованное 163
Отображение ассоциированное с ди-
визором 86, 121
— -с линейной системой 127
— бнрацнональное 105, 218
— Веронезе 98
— Галуа 36, 108
—	 Гаусса 252
—	гиперэллиптическое 38
—	голоморфное 23
—	дискретное 28
—	дифференцируемое 27
—	доминантное 105, 218
—	дробно-лпнейное 24
—	линейно нормальное 127
—	каноническое 87, 123
—	конечное 34
—	невырожденное 126
—	неразветвленное 34, 35
—	несепарабельное 106
—	нормальное 36
—	плюриканоннческое 87, 122
—	проектирования 24, 98
—	рациональное 104, 217
—	регулярное 181, 195
—	Сегре 200
Отображение сепарабельное 106
—	собственное 34
—	Фробениуса 108
—	чисто несепарабельное 106
Параметр локальный 28, 102
Перегиб 144
—	обыкновенный 144
Пересечение Полное 138, 242
—	правильное 243
•	— простое 256
—	собственное 243
— схемное 136
—	трансверсальное 243
Период замкнутой 1-формы 55
А-периоды 56
В-перкоды 56
Плоскость гауссова 24
Поверхность 27, 100
—	ВерОнезе 200
—	линейчатая 131
Поверхность ри манова 24
---алгебраической функции 26, 37
------- арифметическая 93
--- ассоциированная 111
-------- с кривой 25
--- гиперэллиптическая 38
—	— рациональная 38
Подмногообразие 23, 96, 192
—	исключительное 219, 246
—	линейное 195
—	открытое 23
Подмножество алгебраическое 178,
181
Подмножества главные открытые 188
Подсхема 184, 207
—	открытая 292
Подъем 97
Подъем функции 23
Поле произвольное 180
Полуплоскость верхняя 24
—	Зигеля 150
Полюс 28
—	кратности 104
—	порядка 31, 104, 111
Поляризация 149
Порядок 111
—	ветвления 113
—	нуля функции 102
—	мероморфиого дифференциала 59
—	мероморфной функции 31
—	функции 104
—	эллиптических точек 81
последовательность регулярная 244
Предпучок 203
Преобразование эллиптическое 81
Принцип постоянства 239
—	счета констант 233
Присоединение 214
Проективность 91
—	произведения проективных много-
образий 200
—	многообразий Грассмана 200
Проекция 199
—	гармоническая 67
—	гиперэллиптическая 107
—	линейная 199
Произведение комплексных многооб-
разий 22
— расслоенное 197
U-произведение 56
— афинное 177, 181, 291
— ассоциированных дифференциалов
119
— касательное 49, 101, 210
—	мероморфиых функций 86
—	модулей грубое 83, 124
—	неприводимое 215
—	Нётерово 216
— окольцованное 205
— проективное 191
— рациональных функций 119
<7-процесс 219
Прямая афинная 291
Пучок 204, 270
— дифференциальных форм 213, 214
—	канонический 246
—	квазикогерентный 206
—	когерентный 206
— кокасательный 213
—	конормальный 213
—	модулей 205
—	Лефшеца 270
—	локально свободный 205
—	обратимый 205
— относительных дифференциалов
299
—	очень обильный 267
—	свободный 205
—	структурный 290, 292
— тавтологический 206
Развертка 42
Раздутие 219, 221
Разложение Штейна 231
Размерность 99
—	вещественная 27
—	карты 24
—	линейной системы 270
—	многообразия 24, 231
—	схемы 294
Разрешение особенностей 107, 247
207
Ранг пучка 205
Расслоение векторное 202
—	касательное 213
—	локально тривиальное 202
—	нормальное 212, 213
—	нормальных конусов 213
—	тавтологическое 202, 203
—	тривиальное 202
—	универсальное 203
Редукция к диагонали 186
Род 259, 260
— арифметический 259, 260
— геометрический 57, 141, 246
— кривой 119
— римановой поверхности 42
Ряд Пуанкаре 80
Свойство Коэна—Маколея 244
Семейство дивизоров 163, 265
— кривых 124
— рнмановых поверхностей 83
— циклов 272
сечение универсальное линейное 250
Система алгебраических уравнений
178
— кратно каноническая 127
— линейная 125, 249
--- каноническая 127
--- очень обильная 267
---полная 125. 266
---свободная 126, 266
Системы координатные дифференци-
руемые 27
—	линейные специальные 129
—	специальные обыкновенные 130
—	— исключительные 130
Слой морфизма 185, 196, 293
—	пучка 207
Склеивание 193
Соединение линейное 253
Соответствие 219
Спектр проективный 208
—	простой 287
Специализация 272, 277, 290
Схема 292
—	алгебраическая 207, 296
—	афпиная 290
—	афннная алгебраическая 183
—	геометрически неприводимая 297
—	— нормальная 294, 297
—	— приведенная 297
---регулярная 295, 297
Схема гладкая 298
—	конечного типа 295
—	неприводимая 294
—	нётерова 294
—	нормальная 294
—	относительная 293
—	приведенная 294
—	регулярная 295
308
S-схема 293
Степень 32
—	гиперповерхности 100
—	дивизора 114, 264
—	кривой 116
—	линейной системы 126
— многообразия 153, 255
— морфизма 238
— локальная 239
-- отображения 34, 106
— цикла 273, 278
Структура комплексно-аналитическая
22
Сумма векторных расслоений прямая
Сфера рнманова 24
Теорема Бертини 254
— Безу 117, 256, 278
—	Ван дер Вардена 246
—	Гильберта о базисе 179
—	Гильберта о нулях 180, 181
—	Зарисского о связности 231
—	Зарисского основная 245
Теорема конечности 229
Нагаты 227
—	Ходжа об индексе 280
—	Чжоу 229
—	Шевалле о конструктивности 224
— Шевалле о полунепрерывное™
Теория пересечений 249
Тета-дивизор Рнмана 153, 157
Тета-константы 158
Тета-соотношения Рнмана 159
Тета-функция Римана 152, 158
Тета-функции с характеристиками
156
Тета-характеристика 155, 156
Тета-характеристнка кривой 166
—	невырожденная 166
—	нечетная 156
—	четная 156
Тип гиперболический 73, 76
—	параболический 73, 75
—	эллиптический 73, 75
Тождество Якобн 160
Топология Зарисского 96, 186, 187,
289
Тор комплексный 22
Тор поляризованный 149
—	главно поляризованный 149
Торическое многообразие 193
Точка базисная 126
—	ветвления 31, 113
---простая 113
—	гладкая 212
—	двойная 140
—	— обыкновенная 141
—	заострения 141
— каспцдальная 141
Точка неопределенности 245
— неособая 212
— общая 290
— особая 212
— перегиба 144
— простая
— фундаментальная 245
Точки эллиптические 81
Триангуляция 41
Уравнение дивизора локальное 260
Уравнения однородные 195
Фактор кривой 108
Фактор-многообразие 97, 98
Факторасслоение универсальное 203
Функция регулярная в точке 188
Фигура модулярная 77
Форма автоморфная 79, 80
Форма дифференциальная 213
(—1) форма дифференциальная 50
Форма начальная 210
Функции автоморфные 80
— голоморфные 23
Функция алгебраическая 25
(P-функция Вейерштрасса 29
Функция мероморфная 28
— первообразная 54
— рациональная 92, 103, 217
— регулярная 178,181
-----в точке 188
Характеристика поверхности эйлерова
43, 44
Часть функции главная 80
Цикл алгебраический 27.1
— Шуберта 273
— эффективный 271
Эквивалентность циклов алгебраиче-
ская 270
-----рациональная 270
элемент целый 180
Якобиан кривой 162, 163
— римановой поверхности 150