Hairn Brezis
Analisis funcional
Teoria y aplicaciones
Versi6n espanola de
Juan Ramon Esteban
Alianza
Editorial

Titulo original:
Analyse fonctionnelle. La edicidn original de esta obra ha sido
publicada en franees por Masson Editeur, de Paris.
© Masson, Paris, 1983
© Ed. cast.: Alianza Editorial, S. A., Madrid, 1984
Calle Milan, 38; ® 2000045
ISBN: 84-206-8088-5
Deposito legal: M. 34.699-1984
Fotocomposici6n: EFCA. Avda. de Pablo Iglesias, 17.28003 Madrid
Impreso en Artes Graficas Ibarra, S. A., Matilde Hernandez, 31. 28019 Madrid
Printed in Spain

INDICE
Introdncci6n
I. Los teoremas de Hahn-Banach. Introdncci6n a la teoria de las fnnciones conve-
xas conjngadas 1
1.1. Forma analitica del teorema de Hahn-Banach: extensidn de formas lineales. 1
1.2. Formas geometricas del teorema de Hahn-Banach: separaci6n de conjun-
tos convexos 4
1.3. Introducci6n a la teoria de las funciones convexas conjugadas 8
Comentarios 13
II. Los teoremas de Banach-Steinhans y de la grafica cerrada. Operadores no acota-
dos. Noci6n de adjnnto. Caracterizaci6n de los operadores sobreyectivos IS
11.1. Repaso del Lema de Baire 15
11.2. El teorema de Banach-Steinhaus 16
11.3. Teorema de la aplicaci6n abierta y teorema de la grafica cerrada 18
11.4. Suplementario topoldgico. Operadores invertibles por la derecha (resp.
por la izquierda) 21
11.5. Relaciones de ortogonalidad 23
11.6. Introducci6n a los operadores lineales no acotados. Definici6n de adjun-
to 26
11.7. Caracterizaci6n de los operadores con imagen cerrada. Operadores sobre-
sobreyectivos. Operadores acotados 29
Comentarios 32
VII

Indice
III. Topologfas debiles. Espacios reflexivos. Espacios separables. Espacios nniforme-
mente convexos 33
III. 1. Repaso sobre la topologia menos fina que hace continuas una familia de
aplicaciones 33
111.2. Definici6n y propiedades elementales de la topologia debil a(E, E') 35
111.3. Topologia debil, conjuntos convexos y operadores lineales 38
111.4. La topologia debil • a(E', E) 39
111.5. Espacios reflexivos 43
111.6. Espacios separables 47
111.7. Espacios uniformemente convexos 51
Comentarios 52
IV. Los espacios 1/ 54
IV. 1. Algunos resultados de integraci6n que es absolutamente necesario cono-
cer 54
IV.2. Definici6n y propiedades elementales de los espacios V 55
IV.3. Reflexividad. Separabilidad. Dual de V 59
IV.4. Convoluci6n y regularizaci6n 66
IV.5. Criterio de compacidad fuerte en V 72
Comentarios 75
V. Los espacios de Hilbert 78
V.I. Definiciones. Propiedades elementales. Proyecci6n sobre un convexo ce-
rrado 78
V.2. Dual de un espacio de Hilbert 81
V.3. Teoremas de Stampacchia y de Lax-Milgram 82
V.4. Suma Hilbertiana. Base Hilbertiana 85
Comentarios 87
VI. Operadores compactos. Descomposici6n espectral de los operadores compactos
antoadjnntos 89
VI.1. Definici6n. Propiedades elementales. Adjunto 89
VI.2. La teoria de Riesz-Fredholm 91
VI.3. Espectro de un operador compacto 94
VI .4. Descomposici6n espectral de los operadores compactos autoadjuntos ... %
Comentarios 98

Indice k
VII. El teorema de Hille-Yosida 101
VII. 1. Definici6n y propiedades elementales de los operadores maximales mo-
ndtonos 101
Resoluci6n del problema de evoluci6n —— + Au = 0, «@) = u0; existencia y
unicidad 104
VII.3. Regularidad 110
VJI.4. El caso autoadjunto 112
Comentarios 116
VIII. Espacios de Sobolev y formulaci6n variacional de los problemas de contorno en
dimensi6n uno 119
VIII.l. Motivaci6n 119
VIII.2. El espacio de Sobolev W'-*(I) 120
VIII.3. El espacio W'-*(I) 132
VIII.4. Algunos ejemplos de problemas de contorno 135
VIII.5. Principio del Maximo 143
VIII.6. Funciones propias y descomposici6n espectral 145
Comentarios 146
IX. Espacios de Sobolev y formulaci6n variacional de los problemas de contorno en
dimensi6n N 149
IX.1. Definici6n y propiedades elementales de los espacios de Sobolev W'^fi). 149
IX.2. Operadores de prolongaci6n 159
IX.3. Desigualdades de Sobolev 162
IX.4. El espacio W^(fi) 171
IX.5. Formulaci6n variacional de algunos problemas de contorno elipticos ... 175
IX.6. Regularidad de las soluciones debiles 181
IX.7. Principio del Maximo 189
IX.8. Funciones propias y descomposici6n espectral 192
Comentarios 193
X. Problemas de evoluci6n: la ecuaci6n del calor y la ecuaci6n de ondas 204
X.I. La ecuaci6n del calor: existencia, unicidad y regularidad 204
X.2. Principio del Maximo 211

x Indies
X.3. La ecuaci6n de ondas 213
Comentarios 218
Referencias bibliograficas 225
Indice alfabttico 231

Notaciones generates
E' espacio dual de E
< , > producto escalar en la dualidad E', E.
[/ = a] = {x;/(x) = a}
B(x0, r) = {x; ||x - xo|| < r} bola abierta, centrada en x0, de radio r
BE= {xeE; ||x|| *£ 1}
epi (p = {(x, k); (p(x) s£ k} epigrafo de <p
q>* funci6n conjugada de ip
i?(E, F) espacio de los operadores continuos de E en F
M1 ortogonal de M
D(A) dominio del operador A
G(A) grafo del operador A
N(A) nucleo del operador A
R(A) imagen del operador A
<?(E, E) topologia debil definida en E
er(E', E) topologia debil • definida en E'
-- convergencia debil
J inyecci6n can6nica de E en E*
p' exponente conjugado de p, es decir, 1- — =1
P P'
ct.p. para casi todo punto
IAI medida (de Lebesgue) del conjunto A
SuPP / soporte de la funci6n /
/ * 9 producto de convoluci6n
P« sucesi6n regularizante
(tj)(v) = f(x + h) trasladada de la funci6n /
M c c ^ abierto oj fuertemente incluido en fi, es decir u> es compacto >y u> c fi.
Pk proyecci6n sobre el convexo cerrado K
I I norma Hilbertiana
XI

xi Notaciones
p(T) conjunto resolvente del operador T
<r(T) espectro del operador T
VP(T) valores propios del operador T
ix = (I + kA) ~' resolvente del operador A
A)l = AJ^ regularizaci6n Yosida del operador A
du du\
'—• .. — = gradu
x cx2 dxNJ 6
Att = Z —2 = Laplaciano de u
, = i cxf
R+ = [x = (x', xN)e RN~' x R, xN > 0}
Q = (x = (x'. xN)€ RN"' x R; |x'| < 1 y |xNj < lj
O = O r> d?
Qo = (v e Q; xN = 0!
I
(D,,i()(.v) = — (u(x + h) - u(x))
— derivada normal exterior
G1
Espacios funcionales
il c RN abierto
(ifj = r = frontera de il
L^fi) = (m medible en il y |«|" cfcc < oo), 1 < p < »,
L' (fi) = [u medible en U y existe C tal que \u(x)\ < C c.t.p. en il)
Cr(ii) funciones continuas con soporte compacto en il
C*(fi) funciones A: veces continuamente diferenciables en il (k > 0)
C'(fi) = D C*(fi)
Cj(fi) = C*(fi) n Cc(fi)
C," (fi) = CMfi)n Cr(fl) = Q:(il)
C(H) funciones continuas en H
C*(fi) funciones u de C*(ii) tales que para cada multi-indice a, \a\ < k, la apli-
caci6n x € fi k-» Dq«(a:) se extiende con continuidad a fi
C°-«(fl) = Lc(fi); sup l^^M < ocl con 0 < a < 1
I v.,Ai |x - y\* J
C*'(fi) = iueC(fi); DJueC0'(fi) Y/, |/| < k}
W", Wi", W", H', Hi, Hm espacios de Sobolev.

INTRODUCTION
Este texto recoge en una forma sensiblemente mas elaborada un curso de Maitrise impartido en
la Universidad Pierre y Marie Curie (Paris VI). Supone conocidos los elementos basicos de la
Topologia General, de la Integraci6n y del Calculo Diferencial.
La primera parte del curso (Capitulos I a VII) desarrolla los resultados «abstractos» del
Analisis Funcional. La segunda parte (Capitulos VIII a X) se dedica al estudio de espacios fun-
cionales «concretos» que intervienen en la teoria de ecuaciones en derivadas parciales; en ella
se muestra c6mo los teoremas de existencia «abstractos» permiten resolver ecuaciones en deri-
derivadas parciales. Estas dos ramas del Analisis estan estrechamente ligadas. Hist6ricamente, el
Analisis Funcional «abstracto» se desarroll6 en primer lugar para responder a cuestiones plan-
teadas por la resoluci6n de ecuaciones en derivadas parciales. Inversamente, los progresos del
Analisis Funcional «abstracto» han estimulado considerablemente la teoria de ecuaciones en
derivadas parciales. Este curso no contiene ninguna referenda hist6rica; recomendamos al lec-
lector la consulta del texto de J. Dieudonne [3]. Deseamos que este libro pueda ser util tanto a los
estudiantes interesados en las «Matematicas Puras» como a quienes deseen orientarse hacia las
«Matematicas Aplicadas».
Mi agradecimiento a:
—M. G. Tronel, que me sugiri6 numerosas mejoras.
—Mm. Ph. Ciarlet y P. Rabinowitz por sus valiosos consejos y estimulos. .
—Mm. Berestycki, Gallouet, Kavian, Me Intosh por sus utiles comentarios.
—El Mathematics Reseach Center, University of Wisconsin, y al Department of Mathema-
Mathematics, University of Chicago, donde fueron redactadas algunas panes de este libro.
Dedico este libro a la memoria de Guido Stampacchia, en homenaje a un Maestro del Ana-
Analisis Funcional, prematuramente desaparecido.
H. BREZIS
XIH

xiv Introduccidn
Observations
1) La notaci6n [BT] hace referenda a la obra de H. Brezis-G. Tronel, Analyse Fonction-
nelle, Recueil de Problimes et Exercices Masson.
Algunos resultados enunciados en este volumen se demuestran en ejercicios de [BT].
2) Ciertos enunciados o parrafos aparecen precedidos del simbolo •; se trata de pasajes
muy importantes. El simbolo • precede a ciertos enunciados que se pueden omitir en primera
lectura.
3) Hemos adoptado una numeraci6n continua para las proposiciones, teoremas y corola-
rios; unicamente los lemas estan numerados de forma separada.
4) En todo el texto considerarhos s61o espacios vectoriales sobre U A° cual es reprobable,
pero simpliflca la presentacidn). La mayoria de los enunciados son validos para los espacios
vectoriales sobre C ; a veces son necesarias algunas modificaciones. En [BT] se establece la lista
de cambios a introducir cuando se trabaja en espacios vectoriales sobre C.

Capitulo I
LOS TEOREMAS DE HAHN-BANACH.
INTMODUCCION A LA TEORIA DE LAS
FUNCIONES CONVEXAS CONJUGADAS
I.I. Forma analitica del teorema de Hahn-Banach: extensi6n de formas
Uneales
Sea E un espacio vectorial sobre R. Recordemos que una forma lineal es una aplicaci6n lineal
definida sobre E, o sobre un subespacio vectorial de E, con valores en R. El resultado esencial
de §1.1 hace referenda a la extensidn de una forma definida sobre un subespacio vectorial de E
a una forma lineal definida sobre todo E.
Teorema I.I (Hahn-Banach, forma analitica).—Sea p: E — R una aplicacidn que verified
A) p(kx) = Xp(x) Vx e E y VX > 0,
B) p(x + y) ^ p(x) + p{y) Vx, yeE.
Sean tambiin G c E un subespacio vectorial y g: G — R una aplicacidn lineal tal que
C) g(x) *£ p(x) Vx e G.
Entonces existe una forma lineal f definida sobre E que extiende a g, i.e.
g(x) = f(x) Vx e G
y tal que
D) /(*) < P(x) Vx e E.
La demostracidn del teorema I.I requiere la utilizacidn del lema de Zorn, cuyo enunciado
recordamos. Comencemos precisando algunas nociones de la teoria de los con juntos ordena-
dos.
Sea P un conjunto dotado de un relaci6n de orden (parcial) notada < . Se dice que un sub-
conjunto Q C P esta totalmente ordenado si para todo a, b de Q se tiene (al menos) una de las
relaciones a < b o b < a.

2 Teoremas de Hahn-Banach
Sea QcPun subconjunto de P; se dice que cGPes una cota superior de Q si para todo
a E Q se tiene a s£ c.
Se dice que mEPesun elemento maximal de P si para todo x E P tal que m < x se tiene
necesariamente x = m.
Finalmente, se dice que P es inductivo si todo subconjunto totalmente ordenado de P admi-
te una cota superior.
Lema I.I (Zorn).—Todo conjunto ordenado, inductivo y no vacio admite un elemento maxi-
maximal.
Se encontrara una demostraci6n del lema de Zorn (a partir del Axioma de Elecci6n) en N.
Dunford-J. Schwartz [1] (Vol. 1, Teorema 1.2.7.) o bien en P. Dubreil-M. L. Dubreil Jacotin
[1] (Cap. 6).
Nota 1.—No es indispensable para un analista conocer la demostracidn del lema de Zorn, sin
embargo es esencial entender bien su enunciado y saberlo utilizar. El lema de Zorn tiene nume-
rosas y muy importantes aplicaciones en Analisis; es una herramienta indispensable para es-
tablecer ciertos resultados de existenda.
Demostraci6n del teorema I.I. - Se considera el conjunto
p = 1 /,
\
n: ^(A) c E — B.con DC1) subespacio vectorial de E, h lineal,
G c D(A), h extiende a g y h(x) < p(x) vx €
P esta dotado de la relaci6n de orden
(A, < hj o (D(A,) c D(A2) y A2 extiende a hx).
Es claro que P no es vacio, ya que g E P. Por otra parte, P es inductivo. En efecto sea Q c P
un subconjunto totalmente ordenado; denotado por Q = (h,)l€1. Se define
D(h) = U D(h,) y h(x) = /i,(x) si xeD(h,).
l€l
Se comprueba que esta definici6n tiene sentido, que h E P y que h es una cota superior de Q.
Resulta del lema de Zorn que P admite un elemento maximal, notado por /. Probemos que
D(/) = E — lo que terminara la demostraci6n del teorema I.I. Razonemos por reducci6n al
absurdo y supongamos que D(/) #E. Sea x^ E D(/); pongamos D(A) = D(/) + ~Ux0 y para
x E D(/), h(x + txj = Xx) + tec (t E U) donde a es una constante que se fijara posterior-
mente de forma que h E P. Nos debemos asegurar de que
f(x) + ra ^ p(x + tx0) Vx e D(/), Vt e R.
Gracias a A) basta comprobar que
(f(x) + a s: p(x + x0) Vx e D(/)
l/(x) - a < p(x - x0) Vx e D(/).
O lo que es igual, hay que elegir a verificando
Sup {fiy) - piy - x0)} ^ ex ^ Inf {p(x + x0) - fix)}.
y € D(/) x € D(/)

Forma analftica del Teorema 3
Tal elecci6n es posible ya que
f(y) - P(y - *o) « P(* + x0) - f(x) Vx e D(/), Vy e
en efecto, observese que
/(*) + f(y) *S P(x + y) s£ p(x + x0) + p(y - x0)
gracias a B).
Se concluye que / esta mayorada por h y que / # h; esto contradice la maximalidad de /.
Indiquemos ahora algunas aplicaciones sencillas del teorema I.I cuando Eesun espacio
vectorial normado (e.v.n.) de norma H H.
Notaci6n: Se designa por E' el dual (topoldgico) (') de E, i.e. el espacio de las formas lineales
y continues sobre E; E' esta dotado de la norma dual B)
E) II/IIe- = Sup |/(x)| = Sup f(x).
*eE xeE
Cuando/ € E' y x E E se notara generalmente</, x}en lugar defix); se dice que < , > es el
producto escalar en la dualidad E', E.
• Corolario 1.2.—Sea G un subespacio vectorial de E, y sea g: G — U una aplicacidn lineal y
continua de norma
HsIIg' = Sup g(x).
G
Entonces existe / € E' que extiende a g y tal que
II/IIe- = ll*irG-
Demostracion.—Aplicar el teorema I.I conp(x) = llgBGJjcll.
• Corolario 1.3—Para todo x0 E E existe f0 6 E' tal que
ll/oll = Ikoll y <fo,xo> = Ikoll2.
EteMOSTRACi6N.—Aplicar el corolario 1.2 con G = Uxg y g(tx0) = fBx^ll2 de forma que
Nota 2.—El elemento f0 definido en el corolario 1.3 no es unico en general (intentar construir
un ejemplo o ver [BT]). Sin embargo, si E' es estrictamente convexo C) — lo cual es cierto por
ejemplo si E es un espacio de Hilbert (ver capitulo V) o si E = V(Q) con 1 < p < oo (ver
capitulo IV) — entonces f0 es unico. De forma general, se designa, para cada x0 E E,
F(xo)= {/oeE'; ||/0|| = ||xo|| y </0>x0> = ||xo||2}.
(') En la literatura americana el dual topol6gico de E se designa por E*. jAtenci6n a las confusiones!
B) En general se escribira simplemente 1/1 en lugar de I/1E', excepto si hay ambigUedad.
C) Se dice que un espacio vectorial normado E es estrictamente convexo si vx, y 6 E con
\x\ = 0>l = 1 y * * y se tiene Itx + A - 0^1 < 1 W € ]0, 1[.

4 Teoremas de Hahn-Banach
La aplicaci6n (multivoca) x0 i—► F(x0) es la aplicaci6n de dualidad de E en E'; se encontraran
algunas de sus propiedades en [BT].
• Corolario 1.4.—Para todo x € E se tiene
F) ||x|| = Sup |</,x>| = Max \<f,x>\.
feE feE
II/IK1 II/IK1
Demostraci6n.—Supongamos que x # 0. Claramente se tiene
II/IK1
Por otra parte (corolario 1.3) se sabe que existe/0 € E' tal que I/OB = BxB y</0, x} = Bxl2.
Se pone/, = IjcI~'/0 de forma que 11/,H = 1 y</,, x} = Ixl.
Nota 3.—Conviene distinguir la fdrmula E), que es una definici6n, de la f6rmula F), que es un
resultado. En general el «Sup» que aparece en E) no es un «Max» i.e. no se alcanza (ver un
ejemplo en [BT]). Sin embargo, este «Sup» se alcanza si E es un espacio de Banach reflexivo
(ver capitulo III); un teorema dificil debido a R. C. James aflrma el reciproco: si E en un espa-
espacio de Banach tal que para todo / 6 E' el «Sup» en E) se alcanza, entonces E es reflexivo (ver
por ejemplo Diestel [1], capitulo I, u Holmes [1]).
1.2. Formas geomttricas del teorema de Hahn-Banach: separaci6n de
conjuntos convexos
Comencemos con algunos preliminares sobre hiperplanos. En todo lo que sigue E designa
un e.v.n.
Definici6n.—Un hiperplano (afin) es un conjunto de la forma
H = {xeE; /(x) = ex}
donde f es una forma lineal (') sobre E, no idinticamente nula y a € U. Se dice que H es el
hiperplano de ecuaci6n [f = «].
Proposici6n 1.5.—El hiperplano de ecuacidn [f = a] es cerrado si y solamente sifes continua.
Demostraci6n.—Es claro que si/es continua entonces H es cerrado. Reciprocamente, supon-
supongamos que H es cerrado. El complementary Q H de H es abierto y no vacio (ya que / # 0).
(') No necesariamente continua (cuando E es de dimensi6n infinita, siempre existen formas lineales no
continuas; ver [BT]).

Formas geomdtricas del Teorema 5
Sea Xq € Q H y supongamos (para fijar ideas)
donde
B(x0>r) = {xeE; ||x - xo|| < r}.
Se tiene
G) /(x) < ex VxeB(x0)r).
< a. Sea r > 0 tal que B(xj,, r) c ()H
En efecto, supongamos que ./(*,) > a para algun xt € B(x^, r). El segmento
{x, = A - t)x0 + tx,; te[O, 1]}
esta contenido en B(j%, r) y asi^x,) # a W 6 [0, 1]; sin embargo, J{xt) = a para
j _ /l^i) ~ a j0 cuaj es absurdo, y asi G) queda demostrado. Resulta de G) que
Axx) - Axa)
f(x0 + rz) < a Vz e B@,1).
Por consiguiente / es continua y II./1I < —(a — f{x0)).
r
Definici6n.—Sean AC EyBC E.Se dice que el hiperplano H de ecuaci6n [f - a] separa A
y B en sentido amplio si se verifica
/(x) ^ ex Vx e A y /(x) 3s ex Vx e B.
Se dice que H separa A y B en sentido estricto si existe £ > 0 tal que
/(x) sgcx-E VxeA y /(x) > ex + e, Vx e B.
Geometricamente la separaci6n significa que A y B se situan «de un lado y de otro de H».
Recordemos flnalmente que un conjunto A c E es convexo si
tx + (l-t)yeA Vx, y e A, Vt e [0, 1].
• Teorema 1.6 (Hahn-Banach, primera forma geometrica).—Sean A c E y B c E dos con-
juntos convexos, no vacios y disjuntos. Supongamos que A es abierto. Entonces existe un hi-
hiperplano cerrado que separa A y B en sentido amplio.
La demostraci6n del teorema 1.6 se basa en los dos lemas siguientes
Lema 1.2 (Funcional de Minkowski de un convexo).—Sea C c E un convexo abierto con
0 € C. Para todo x € E se define:
(g) p\x) = Inf {ex > 0; oT'xeC}
(se dice que p es el funcional de Minkowski de C).

6 Teoremas de Hahn-Banach
Entonces p verifka A), B) y
(9) existe M tal que 0 < p(x) « M||x|| Vx e E,
A0) C = [x € E; p(x) < 1).
Demostraci6n del lema 1.2.—Sea r > 0 tal que B@, f) c C; es claro que
p(x) *£ - ||x|| Vx e E.
r
De donde (9).
La propiedad A) es evidente.
Demostremos A0). Supongamos primero que x € C; como C es abierto, A + £)x € C pa-
£ > 0 suficientemente pequefio. hsi p(x) s£ < 1. Inversai
1 + £
0 < a < 1 tal que a~lx E C y asi x = a(a-'x) + A - aH € C.
ra £ > 0 suficientemente pequefio. Asi p(x) s£ < 1. Inversamente, si p(x) < 1, existe
1 + £
Demostremos B). Sean x, y € E y sea £ > 0. De A) y de A0) se sabe que - € C
p(x) + £
y ^ € C. Asi —— + ^ ~ ^ e C para todo t € [0, 1]. En particular, para
p(y) + £ p(x) + £ p{y) + £
+ £se obtiene ^-^ € C. Se deduce de ello, gracias a A) y
() + {) + 2£
, se obtiene
p(x) + piy) + 2£ p(x) + p{y) + 2£
A0), que p(x + y) < p(x) + piy) + 2£ v£ > 0. De donde se sigue B).
Lema 1.3.—Sea CcEiw convexo abierto no vacio y sea x0 € E con x0 ^ C. Entonces existe
f 6 E' tal que fix) < f(x0) vx 6 C. En particular el hiperplano de ecuacidn [f = fix,)] separa
\xo\ de C en sentido amplio.
Demostraci6n del lema 1.3.—Por traslaci6n se puede siempre suponer que 0 € C e introdu-
cir el funcional de Minkowski de C (lema 1.2) denotado por p. Se consideran G = R*o y la for-
forma lineal g deflnida en G por
g(tx0) = t, ten.
Es claro que
g(x) < p(x) VxeG
(tomar x = tx0 y distinguir los casos t > 0 y t <g 0). Gracias al teorema I.I, existe una forma
lineal / sobre E, que extiende a g, y tal que
/(x) < p(x) Vx e E.
En particular se tiene f{x0) = 1 y / es continua en virtud de (9). Por otra pane se deduce de
A0) que J{x) < 1 para todo x € C.
Demostraci6n del teorema I.6.—Se pone C = A - B de_£orma que C es convexo (esto es
facil de comprobar), C es abierto (observese que C = U (A - y)) y 0 ^ C (ya que
A n B = 0). Segiin el lema 1.3 existe/ € E' tal que >€B
f(z) < 0 Vz e C

Formas geom&hcas del Teorema 7
es decir
f(x) < /(>•) Vx e A, Vy e B.
Se fija a E R con
Sup/(x) < ex < Inf/(y)
X € A y e B
y entonces el hiperplano de ecuaci6n [f = a] separa en sentido amplio A y B.
• Teorema 1.7 (Hahn-Banach, segunda forma geometrica).—Sean AcEyBcE dos con-
juntos convexos, no vacios y disjuntos. Supongamos que A es cerrado y que B es compacto.
Entonces existe un hiperplano cerrado que separa A y B en sentido estricto.
Demostraci6n.— Para £ > 0 se pone AE = A + B@, £) y BE = B = B@, E) de forma que
A- y BE son convexos, abiertos y no vacios. Ademas, para £ > 0 suficientemente pequeflo, AE
y BE son disjuntos (en caso contrario, se podrian encontrar sucesiones £n — 0, xn E A, e
yn E B tales que ixn - yji < 2£n; y se podria extraer una subsucesi6n yni —■ y E A fl B).
Por el teorema 1.6 existe un hiperplano cerrado de ecuaci6n [f = a] que separa AE y B, en el
sentido amplio. Se tiene entonces
f(x + ez) s£ ex < f(y + ez) Vx e A, Vy e B, Vz e B@, 1).
de donde resulta que
/(x) + E||/|| < cx ^ f(y) - e||/||, Vx e A, Vy e B.
Y se concluye que A y B estan separados en sentido estricto por el hiperplano [f = a] ya que
I/I # 0.
Nota 4.—Sean AcEyBCE dos conjuntos convexos, no vacios y disjuntos. Sin una hip6te-
sis suplementaria no se pueden separar A y B en sentido amplio con un hiperplano cerrado.
Induso se puede construir un ejemplo donde A y B son dos convexos cerrados, no vacios y dis-
disjuntos tales que no existe ningun hiperplano cerrado que separe A y B en sentido amplio; ver
[BT]. Sin embargo, si E es un espacio de dimensi6n finlta, siempre se pueden separar en senti-
sentido amplio dos convexos A y B, no vacios, disjuntos (;sin hip6tesis suplementaria!); ver [BT].
Indiquemos por ultimo un corolario muy util cuando se trata de probar que un subespacio
vectorial es denso.
• Corolario 1.8.—Sea F c E un subespacio vectorial tal que F * E. Entonces existe f 6 E',
f * 0 tal que
</ x> = 0 Vx e F.
Demostraci6n.—Sea x0 E E, jq, (£ F. Se aplica el teorema 1.7 con A = F y B = (x^). Existe
entonces / € E', / * 0 tal que el hiperplano de ecuaci6n [f = a] separa en sentido estricto F
y (jg. Se tiene
</, x> < ex < </, xo> Vx e F.
De donde resulta que </, X} = 0 vx € F, ya que X</, X) < a para todo X € Ik.
• Nota 5.—Frecuentemente se aplica el corolario 1.8 para demostrar que un subespacio vecto-
vectorial F c E es denso. Se considera una forma lineal y continua/sobre E tal que/ = 0 sobre F
y se prueba que / es identicamente nula sobre E.

6 Teoremas de Hahn-Banach
1.3. Introducci6n a la teoria de las funciones convexas conjugadas
Comencemos con algunos preliminares sobre las funciones semicontinuas inferiormente y
sobre las funciones convexas.
En esta secci6n se consideran funciones <p definidas sobre un conjunto E y con valores en
]- 06, + oo ]; asi pues <p puede tomar el valor + oo, (pero el valor — oo queda excluido). Se de-
signa con D(<p) el dominio de cp es decir, el conjunto
D((p) = {xeE; <p(x)< +00}
Notaci6n. El epigrafo de cp es el conjunto
epi (p = {[x, X] e E x R; (p(X) ^ X} (')
Se supone ahora que E es un espacio topol6gico. Recordemos la
Definici6n.—Una funci6n cp:E — ]-oo, +00] se dice semicontinua inferiormente (s.c.i.) si
para todo x E E se tiene
lim inf (p(y) > (p(x).
y—x
Utilizaremos algunas propiedades elementales de las funciones s.c.i. (ver Choquet [1] o Dixmier
[1]):
(a) Si 9 es s.c.i., entonces epi 9 es cerrado en E x R ; y reciprocamente.
(b) Si ~<p es s.c.i., entonces para todo X E R el conjunto [<p< X] = {x E E; (p(x) ^ Xj es
cerrado; y reciprocamente.
(c) Si <Pi y (p2 son s.c.i., entonces (p, + (p2 es s.c.i.
(d) Si (<p,)iei es una familia de funciones s.c.i. entonces la envolvente superior de las (<p,) es
s.c.i., es decir, la funci6n cp definida por
<p(x) = Sup <p,.(x)
l€l
es s.c.i.
(e) Si E es compacto y si (p es s.c.i., entonces (p alcanza su cota inferior sobre E.
Se supone ahora que E es un espacio vectorial. Recordemos la
Definici6n.—Una funci6n 9 : E — ]- 00, +00] se dice convexa si
<p(fx + A - t)y) ^ f<p(x) + A - t)v(y) Vx,yeE, Vte]O, 1[.
Utilizaremos algunas propiedades elementales de las funciones convexas:
(a) Si 9 es una funci6n convexa, entonces epi 9 es un conjunto convexo en E x R ; y
reciprocamente.
(b) Si 9 es una funci6n convexa, entonces, para todo X € R el conjunto [<p «S X] es conve-
convexo; pero el reciproco no es cierto.
(') lnsistamos en el hecho de que R = ] — °°, + °° [ y asi X no toma el valor + 00.

Introduccidn a la teoria de las funciones 9
(c) Si (p, y <p2 son funciones convexas, entonces <Pi + 92 es convexa.
(d) Si ((pj), €! es una familia de funciones convexas, entonces la envolvente superior de las
((Pi) es convexa.
En todo lo que sigue se supone que E es un e.v.n.
Definici6n.—Dada una funci6n (p : E — ] — oo, + oo] tal que <p # + oo (i.e. D((p) * 0) se de-
define la funci6n <p* : E' — ]— oo, +oo], conjugada de (p por
<p*(/) = Sup {if x> - <p(x)} (/e E').
xeE
Notemos que <p* es una funci6n convexa s.c.i. sobre E'. En efecto, para cada x E E ftyo la
aplicaci6n f\—►</, x) - q>(x) es convexa y continua, y por tanto s.c.i. Por consiguiente, la en-
envolvente superior de estas funciones (cuando x recorre el conjunto de indices E) es convexa y
Proposici6n 1.9.—Supongamos que (p es convexa, s.c.i. y (p ^ +oo. Entonces <p* # +oo.
Demostraci6n.—Sea jq, € D(<p) y sea \, < (p^. Se aplica el teorema 1.7 (Hahn-Banach, se-
gunda forma geometrica) en el espacio E x U con A = epi (p y B = {[x0, XJ).
RA
Existe entonces un hiperplano cerrado H en E x R de ecuaci6n [4> = a] que separa estricta-
mente A y B. Observese que la aplicaci6n x E E h-> * ([x, 0]) es una forma lineal y continua
sobre E y asi *([*, 0]) = </, x>para algun/ E E'. Tomando k = *([0, 1]) se tiene entonces
que
O([x, X]) = </, x> + kX para todo [v, X] e E x U.
Escribiendo 4> > a sobre A y 4> < a sobre B se obtiene:
<J, x> + kX > ex, V[x, X] e epi <p
y
En particular se tiene
A1)
y entonces
if, x> + fc(p(x) > ex VxeD((p)
^o> + ^<p(xo) > ex > </ xo> + kX0.

10 Teoremas de Hahn-Banach
De donde k > 0. Se deduce de A1) que
t ex
< - jf,x> - <p(x) < -- VxeD((p)
k k
y por tanto m*( / I < + oo.
V k I
Se define ahora, cuando (p* ^ +00, la funci6n (p** : E — ] — 00, +00] por
<p**(x) = Sup{</, x> - (p*(/)}.
/e E'
• Teorema 1.10 (Fenche\-Moreau).—Supongamos que cp es convexa, s.c.i. y <p # +00. Enton-
ces (p** = (p.
Demostraci6n.—Se procede en dos etapas:
1.* etapa. Se supone ademas que <P 35 0. Ciertamente, (p** ^ <p; en efecto, de la definici6n de
(p* se tiene
if, x> < (p(x) + (p*(/) Vx e E, V/e E'.
Para probar que <p** = <p razonemos por reducci6n al absurdo suponiendo que existe un
x0 E E tal que
(p**(x0) < (p(x0).
Posiblemente se tiene (p(x,) = + 00, pero siempre es (p**(*o) < + 00. Se aplica el teore-
teorema 1.7 (Hahn-Banach, segunda forma geometrica) en el espacio E x U con A = epi (p y
B = [x0, (p**(x,)]. Existen entonces —como en la demostraci6n de la proposici6n 1.9-
/6E';Ar€ U y a E R tales que
A2) if, x> + kX > ex, V[x, X] e epi <p
O3) a*o> + /c(p"(xo)< ex.
Resulta de ello que k 3s 0 (elegir en A2), x E D((p) y X = n — +00). [Aqui no se puede
concluir, como en la demostraci6n de la proposici6n 1.9, que k > 0; se podria tener posible-
posiblemente k = 0, lo que corresponderia a un hiperplano H «vertical» en E x R]. Sea £ > 0; co-
como (p > 0, en virtud de A2) se tiene:
if x> + (k + E)(p(x) 35 ex Vx e D((p).
- I < - ; por la definici6n de (p**(x,), resulta
k + £/ k + e
fc + E V & +
<p"(*o)
fc+E fc + E
Por consiguiente
if, *o> + (k + £)(p"(x0) > ex Ve > 0,
lo cual contradice A3).
2.* etapa: Caso general. Sea/0 € D(<p*)(D((p*) # 0 por la definici6n 1.9). Para situarnos en
el caso precedente se introduce la funci6n
(p(x) = (p(x) - </0, x> + (p*(/0)

Introduccidn a la teoria de las funciones 11
de forma que <p es convexa s.c.i., <p#+ooy(p^o. Dela primera etapa se sabe que
((p)** = <p. Calculemos ahora (<p)* y (<p)**. Se tiene
((p)**(x) = (p**(x) - </0, x> + (p*(/0).
De donde <p" = (p.
UN ejemplo.—Tomemos <p(x) = ttjcU. Se comprueba facilmente que
0 si H/H < 1
^+00 si Il/H > 1.
Asi pues
<P"(x) = Sup </ x>.
IL/II « i
Escribiendo la igualdad <p" = (p se obtiene (parcialmente) el corolario 1.4.
Finalicemos este capitulo con otra propiedad de las funciones conjugadas.
* Teorema 1.11.—Sean (p y \|< dos funciones convexas. Supongamos que existe x0 E E tal que
<p(Xo) < + oo, vj/Oto) < + oo y que (p es continua en jc0. Entonces
Inf {(p(x) + ty(x)\ = Sup {— <p*( —/) — »|»*(/)} = Max {— <p*( — /) — »)/*(/)].
xeE /eE' /e E'
La demostracidn del teorema 1.11 utiliza el
Lema 1.4.—Sea C c E un conjunto convexo; entonces Int C es convexo (')• Si adem&s
Int C # 0, entonces se tiene
C = intC.
Para la demostraci6n del lema 1.4 ver por ejemplo L. Schwartz [2], Bourbaki [1] o bien
[BTJ.
Demostraci6n del teorema 1.11.—Se pone
a = Inf {(p(x) + v|/(x)}
xeE
b = Sup { - (p*( - /) - \|>*(/)}
Se comprueba facilmente que b «S a. Por otra pane, se tiene o bien a € R o bien a = - oo.
Si a = - oo, la conclusi6n del teorema 1.11 es evidente. Supongamos entonces a € R . Se po-
pone
C = epi <p.
Claramente se tiene que Int C # 0 (ya que <p es continua en x0). Aplicaremos ahora el
(') Int C designa el interior de C.

12 Teoremas de Hahn-Banach
teorema de Hahn-Banach, primera forma geometrica, con A = Int C y
B = {[*, X] eE x R; X s£ a - vj/(x)}.
A y B son convexos, no vacios; comprobemos que son disjuntos: si [x, X] 6 A se tiene
X > (p(x) > a — v|/(x)
(por la definici6n de a) y asi [x, X] ^ B. Por consiguiente existe un hiperplano cerrado H que
separa_A y B en sentido amplio. Luego H separa tambien A y B en sentido amplio. Pero
A = C por el lema 1.4. Por tanto existen fEE; kEUyaEU tales que el hiperplano H
de ecuaci6n [* = a] en E x R donde
= (f, x> + kX
separa C y B en sentido amplio.
Se tiene entonces
A4) ' (f,x} + kX^a V[x, X]eC
A5) </x> + U<cx V[x, X]eB.
Eligiendo x = x0 y X— + oo en A4) se observa que k 3* 0. Demostremos que
A6) * > 0.
Recordemos primero que * # 0 lo cual se escribe B/1 + \k\ * 0. Razonemos por reducci6n
al absurdo suponiendo que k = 0. Se tendria (de A4) y A5))
</, x, > ex Vx e D(q>)
</ x> ^ ex Vx s D(i|/).
Ahora bien, B(x0, £„) <= D((p) para £0 > 0 suflcientemente pequeflo, y entonces
if, x0 + eoz> > cx Vz e B@, 1).
Resulta de ello que (f,xny ^ a + eol/l. Ademas se tiene
</, xo> ^ ex ya que x0 e D(\|>).
Por tanto / = 0, lo cual es absurdo (pues k = 0). Asi hemos probado A6). De A4) y A5) se
deduce que
•*(-{)<-£ ♦•©<£-
y por tanto
Como ademas se tiene (por la definici6n de b)
Se concluye que

Comentarios sobre el capttulo I 13
Un ejemplo.—Sea K c E un convexo cerrado no vacio. Se pone
0 si x e K
f oo si x i K.
IK se llama funci6n indicatriz de K. Observese que IK es convexa, s.c.i. eIK 5 + 00. La fun-
ci6n conjugada IK* se llama funci6n de apoyo de K. Demostremos que para todo x0 E E se
tiene
A7) dist (x0, K) = Inf || x - xo|| = Max {</ xo> - I*(/)}.
xeK /eE'
ll/IKi
En efecto, se tiene Inf ||x - xo|| = Inf {(p(x) + v|/(x)} con
xeK xeE
(p(x) = ||x - xo|| y v|/(x) = IK(x).
Y se aplica el teorema 1.11.
Nota 6.—La igualdad A7) puede aportar informaciones interesantes en las situaciones en que
Inf ||x — xo|| no se alcanza; ver un ejemplo en [BT].
xeK
La teoria de superficies minimas porporciona un cuadro muy instructivo en el cual el problema
primal no admite (en general) soluci6n (i.e.Inf (cp(x) + v|/(x)}no se alcanza) mientras que el pro-
xeE
Uema dual (i.e. Max {- <p*(-/) - i|/*(/)}) posee una soluci6n; ver Ekeland-Teman [1].
Comentarios sobre el capitulo I
1) Generalizaciones y variantes de los teoremas de Hahn-Banach;
La primera forma geometrica del teorema de Hahn-Banach se extiende a los espacios vecto-
riales topoldgicos generates. La segunda forma se extiende a los espacios localmente convexos
—espacios que juegan un papel importante, entre otras, en la teoria de distribuciones (ver L.
Schwartz [1]). El lector interesado podra consultar N. Bourbaki [1], Kelley-Namioka [1], G.
Choquet [2] (volumen 2).
2) Aplicaciones de los teoremas de Hahn-Banach.
Son numerosas y variadas. Seflalemos algunas:
(a) El teorema de Krein-Milman
Recordemos primero algunas definiciones. Sea E un e.v.n. y sea A c E. La envoltura con-
convexa cerrada de A —notada por conv A— es el conjunto cerrado y convexo mas pequeflo que
contiene a A. Sea K c E un conjunto convexo. Se dice que un punto x E K es extremal si
x = A - f)x0 + fx, con t e ]0, 1 [ y x0, x, e K I => I x0 = x, = x
• Teorema 1.12 (Krein-Milman).—Sea K c E un conjunto convexo compacto. Entonces K
coincide con la envoltura convexa y cerrada de sus puntos extremales.

14 Teoremas de Hahn-Banach
El teorema de Krein-Milman tiene muchas aplicaciones y extensiones (teorema de represen-
taci6n integral de Choquet, teorema de Bochner, teorema de Bernstein, etc.)- Sobre este tema,
consultar Bourbaki [1], Choquet [2] (volumen 2), Phelps, [l],Dunford-Schwartz [1] (vo-
lumen 1), Rudin [1], Larsen [1], Kelley-Namioka [1], Edwards [1] y [BT].
b) En la teoria de las ecuaciones en derivadas parciales.
Citemos, en particular la existencia de una soluci6n fundamental para todo operador dife-
rencial P(D) con coeficientes constantes, no identicamente nulo (teorema de Malgrange-Ehren-
preis); ver por ejemplo HOrmander [1], Yosida [1], Rudin [1], Treves [2], Reed-Simon [1] (vo-
(volumen 2). En la misma linea citemos la demostracidn de la existencia de una funci6n de Green
para el Laplaciano por el metodo de Garabedian y Lax; ver Garabedian [1].
3) Funciones convexas.
La teoria de funciones convexas y de problemas de duaKdad se ha desarrollado conside-
rablemente desde hace unos treinta aflos; ver Moreau [1], Rockafellar [1], Ekeland-Teman [1].
Como aplicaciones citemos entre otras:
a) La teoria de juegos, la economla, la optimizacidn, la programacidn convexa; ver Aubin
[1], [2], Karlin [1], Balakrishnan [1], Barbu-Precupanu [1], Moulin-Fogelman [1], Stoer-
Witzgall [1].
b) La mecdnica; ver Moreau [2], Duvaut-Lions [1], Germain [1], el articulo de Teman-
Strang [1] y los comentarios de Germain que siguen a este articulo. Es de citar tambien la utili-
zaci6n de la dualidad en un problema que aparece en la teoria del plasma (ver Damlamian [1] y
las referencias citadas).
c) La teoria de operadores mondtonos y de los semigrupos no lineales; ver Brezis [1].
d) Los problemas variacionales ligados a la busqueda de soluciones periddicas para sistemas
hamiltonianos y las ecuaciones no lineales de cuerdas vibrantes, ver los trabajos recientes de
Clarke, Ekeland, Lasry, Brezis, Coron, Nirenberg (citemos por ejemplo Clarke-Ekeland [1],
Brezis-Coron-Nirenberg [1] y las referencias de estos articulos).
4) Extensi6n de operadores lineales continuos.—Sean E y F dos espacios de Banach. Sea
G c E un subespacio vectorial cerrado y sea g : G — F un operador lineal continuo. Se plan-
tea la cuesti6n de saber si existe/: E — F operador lineal continuo que extiende a g. Observese
que el corolario 1.2 resuelve la cuesti6n solamente si F = U. La respuesta es afirmativa en cier-
tos casos:
a) Si dim F < oo, se puede elegir una base en F y aplicar el corolario 1.2 a cada componen-
te de g.
b) Si G admite un suplementario topoldgico (ver capitulo HI); ese es el caso por ejemplo si
dim G < oo o si codim G < oo, o bien si E es un espacio de Hilbert.
La respuesta es negativa en el caso general, incluso si E y F son espacios reflexivos (ver [BT]).
Por supuesto, tambien se puede plan tear la cuestidn de saber si existe una extensi6n/de g
tal que ||/||y(t.n = llgllnc f>- Este problema es dificil.

fnt'lo II
LOS TKORr.M t> UJK B-% V\C II-
STOMUI S \ III i A <JI\FIf
RKI.U'IOMS !».
OPHI %IKlt!frS NO AOH4IM)N.
NOC*!--?X III- Al)Ji..:Y$O.
CARM n.RI/AC'ION Pi-. I Oh
OPHI -.?;» ?K3t n SOBRI-M C ! i % OS
II. 1. Repaso del lema de Baire.
El siguiente lema es un resultado clasico que juega un papel esencial en las demostraciones del
capitulo II.
Lema II.1 (Baire).—Sea X un espacio mitrico completo. Sea (Xn)n>, una sucesidn de cerrados.
Supongamos que
Int Xn = 0 para cada n > 1.
Entonces
( U X.) = 0 .
»=i /
Nota.—El lema de Baire se suele utilizar en la siguiente forma. Sea X un espacio metrico com-
completo no vacio. Sea (Xn)n>l una sucesidn de cerrados tal que U Xn = X. Entonces existe n0 tal
n= i
que Int Xno # 0.
Demostraci6n.—Se pone On = C Xn de forma que On es un abierto denso. Se trata de demos-
GO
trar que G = f) On es denso en X.
n= i
Sea o) un abierto no vacio de X; probaremos que oj n G # 0.
Escribimos
B(x,r) = {yeX; d(y, x) < r}.
15

16 Teoremas de Banach-Steinhaus y de la grAfica cerrada
Sean x0 E ui y r0 > 0 arbitrarios tales que
B(v0, r0) <= co.
Se eligen ahora xx E B(x0, r0) n 0, y rt > 0 tales que
B(.v,,r,)c: B(xo,ro) nO,
0<r,<^
lo cual es posible ya que O, es abierto y denso. Por inducci6n se construyen asi dos sucesiones
(■*„) y (O tales que
B (*»+!, rn+1) a B(xn, rn) n On+1 Vn > 0
0< r.+ 1 <^.
Resulta de ello que la sucesi6n (*„) es de Cauchy; sea xn — /. Como xn+p E h(xn, rn) para todo
n > 0 y todo p > 0, se obtiene en el limite (cuando p -~ co):
I e B(xn, r.) Vn 3* 0.
En particular / E ui n G.
II.2. El teorema de Banach-Steinhaus
Notaci6n.—Sean E y F dos e.v.n. Se designa por ^(E, F) el espacio de los operadores lineales
y continuos de E en F dotado de la norma
E, F) = SUP
xeE
Se escribe i?(E) = JS?(E, E).
• Teorema II.1 (Banach-Steinhaus).—Sean Ey¥ dos espados de Banach. Sea (T,)/ei unafami-
lia (no necesariamente numerable) de operadores lineales y continuos de E en F. Supongamos
que
A) Sup ||T>|| < oo V* e E.
IE 1
Entonces
B) Sup ||Ti||^(EiF) < co.
IE!
Dicho de otro modo, existe una constante c tal que
||T>|| < c||*|| VjreE, Vie I.
Nota 2.—En la literatura americana el teorema II. 1 suele llamarse Principio de Acotaci6n Uni-
forme —lo cual expresa bien el contenido del resultado: se deduce una estimaci6n uniforme a
partir de estimaciones puntuales.

Teorema de Banach-Steinhaus 17
Demostraci6n.—Para cada entero n 3s 1 se pone
Xn= {xeE; Vi e I ||T,x|| ^ n]
de forma que Xn es cerrado y gracias a A) se tiene
U X. = E.
n= i
Resulta del lema de Baire que Int Xna # 0 para algun n0 3s 1. Sean x0 G E y r > 0 tales que
B(, r) C Xn>. Se tiene
||T,.(x0 + rz)\\ s£ n0 Vi el, Vz e B@, 1).
Por consiguiente resulta
de donde B).
Indiquemos algunos corolarios inmediatos del teorema de Banach-Steinhaus.
Corolario II.2.—Sean E y F dos espaclos de Banach. Sea (Tn) una sucestdn de operadores //-
males continuos deEenF tales que para cada x € E, T^r converge cuando n — <x> aun limi-
tt que notamos por Tx.
Entonces se tiene
(a) SuP IITJUe, f) < »
(b) TejSP(E,F)
(C) IITII^e, F) < Hm inf ||TJ|^(E, R.
Demostraci6n.—(a) resulta directamente del teorema II. 1. Existe una constante c tal que
||Tnx|| s: c||x|| Vn, Vx e E.
En el limite se obtiene
||Tx|| < c||x|| VxeE.
Por otra parte es claro que T es lineal; resulta entonces (b).
Finalmente se tiene
HTnx|| <||TJ|^(E]F)||x|| VxeE
De donde se deduce (c).
• Corolario 11.3.—Sea G un espacio de Banach y sea B un subconjunto de G. Supongamos
que
C) para todo f E G' el conjuntof(B) = [J </, *> es acotado (en U ).
Entonces
D) B es acotado.

18 Teoremas de Banach-Steinhaus y de la grdfica cerrada
Demostraci6n.—Se aplica el teorema II.1 con E = G',F = R el = B. Para cada iGBse
pone
Tfc(/) = </, by, fe E = G'
de forma que
Sup|Tfc(/)| < oc V/eE.
En virtud del teorema II. 1, existe una constante c tal que
K/fc>l<c||;il V/eG' VbeB.
Por consiguiente, tenemos
\\b\\^c VbeB
(ver corolario 1.4).
Nota 3.—Para comprobar que un conjunto esta acotado basta «mirarle» a traves de todas las
formas lineales continuas: eso es lo que se hace generalmente en dimensidn finita utilizando los
componentes sobre una base. El corolario II.3 sustituye en dimensidn infinita el recurso a una
base. La conclusidn del corolario II.3 tambien se expresa diciendo que «debilmente acotado»
=> wfuertemente acotado» (ver capitulo III).
Existe un enunciado «dual» del corolario II.3:
Corolario WA.—Sea G un espacio de Banach y sea B' un subconjunto de G'.
Supongamos que
E) para todo x € G el conjunto <B', *> = U </, xy es acotado (en U).
Entonces
F) B' es acotado
Demostraci6n.—Se aplica el teorema II.1 con E = G, F = U, I = B'. Para cada b E B' se
pone
Tfc(x) = <b, x> (x e G = E)
y se concluye la existencia de una constante c tal que
|<b, x>| < c||x|| VbeB', Vx e G.
Asi (segun la definicidn de norma dual)
||b|| < c VbeB'.
II.3. El teorema de la aplicaci6n abierta y el teorema de la grafica cerrada.
Los siguientes resultados fundamentals se deben a Banach.
• Teorema II.5 (Teorema de la aplicaci6n abierta).—Sean E y F dos espacios de Banach y sea
T un operador lineal continuo y sobreyectivo de E sobre F.
Entonces existe una constante c > 0 tal que
G) T(BE@, 1)) => BF@, c).

Teorema de la aplicacidn abierta 19
Nota 4.—La propiedad G) implica que T transforms todo abierto de E en un abierto de F
(;de ahi el nombre de este teorema!). En efecto, sea U un abierto de E; demostremos que T(U)
es abierto. Sea y0 € T(U), de forma que y0 = Tx0 con xo€ U. Sea r > 0 tal que
B(x0, r) C U i.e. x0 + B@, r) C U. Se tiene entonces
y0 + T(B@,r)) c T(U).
Pero de G) se obtiene
T(B@, r)) => B@, re)
Por consiguiente
B(y0, re) <= T(U).
Del teorema II. 5 se deduce inmediatamente el
• Corolario H.6.—Sean E y F dos espados de Banach y sea T un operador lineal continuo y
biyectivo de E sobre F. Entonces T es continuo de F en E.
Demostraci6n del corolario H.6.—La relaci6n G) expresa que para todo x E E tal
que BTxIl < c se verifica KjcII < 1. Por homogeneidad se obtiene
||x|| < -||Tx|| VxeE
e
y asi T~' es continua.
• Nota 5.—Sea E un espacio vectorial dotado de dos normas llxll, y llxll2. Supongamos que E
dotado de cada una de estas normas II II, y II II2 es un espacio de Banach. Supongamos tam-
bien que existe una constante C > 0 tal que
||x||2 <C||x||, VxeE.
Entonces existe una constante c > 0 tal que
IMI, <c||x||2 VxeE.
Dicho de otro modo, las dos normas son equivalentes. Basta aplicar el corolario II.6 con
E =(E,|| ||,), F = (E,|| ||2) y T = Id.
Demostraci6n del teorema II.5.—La demostracidn se hace en dos etapas:
Prfanera etapa.—Sea T un operador lineal y sobreyectivo de E sobre F. Entonces existe c > 0
tal que
(8) T(B@, 1)) => B@, 2c).
Demostraci6n.—Se poneXn = nT(B(O, 1)) ;como T es sobreyectivo se tiene U Xn = F y gra-
n = 1
cias al lema de Baire sabemos que existe n0 tal que Int X,, # 0. Resulta de esto que
Int [T(B@, 1))] * 0.
Sean c > 0 e y0 E F tales que
(9) B0>o,4c)<=T(B@,l)).
En particular y0 e T(B@, 1)), y por simetria se tiene
A0) - yoeT(B@, 1)).

20 Teoremas de Banach-Steinhaus ydela gnifica cerrada
Al sumar (9) y A0) resulta
B@, 4c) <= T(B@, 1)) + T(B@, 1)).
Finalmente, como T(B@,1)) es convexo, se tiene
T(B@, 1)) + T(B@,1)) = 2T(B@,1)).
De donde se sigue (8).
Segunda etapa.—Sea T un operador lineal y continuo de E en F que verifica (8). Entonces se
tiene
A1) T(B@, 1)) => B@, c).
Demostraci6n.—Sea ;£F fijo, con lyl < c. Hallaremos x € E tal que
||x|| < 1 y Tx = y.
De (8) se sabe que
1
A2) Ve > 0 3zeE con ||z|| < - y \\y - Tz|| < e.
Q
Tomando £ = — se obtiene zx € E con
ll*ill<2 y My - TaJI < |-
Aplicando el mismo procedimiento con y — Tzx (en lugar de y) y con £ = —, se obtiene un
4
z2 € E tal que
II22II < t y \\(y-Tzi)-Tzi\\<2'
4 4
Continuando asi, se construye por inducci6n una sucesi6n (zn) tal que
Il2.ll < ^ y \\y~ T(*i +z2+ ■■■ + zM < ~ Vn.
Asi, la sucesi6n xn = zx + z2 + ... + zn es de Cauchy. Sea xn -~ x; se obtiene Ixl < 1 e
y = Tx ya que T es continua.
• Teorema II.7 (Teorema de la grafica cerrada).—Sean E y F dos espacios de Banach. Sea T
un operador lineal de E en F. Supongamos que la grafica de T, G(T), es cerrada enExF.
Entonces
T es continuo.
Not a 6.—Naturalmente, el reciproco es verdadero ya que toda aplicaci6n continua (lineal o no
lineal) tiene grafica cerrada.
Demostraci6n del teorema H.7.—Se aplica la nota 5. Se consideran en E las dos normas
(') Esta norma se llama nonna de la grafica.

Suplementario topold&co 21
Como G(T) es cerrado, E dotado de la norma H II, es un espacio de Banach. Por otro lado,
\\x\\2 s NxH,. En consecuencia, estas dos normas son equivalentes: existe una constante c > 0
talque KxN, :£ dxi2. Por tanto BTjcIIf < cljcllE.
* II.4 Suplementario topol6gico.
Operadores invertibles por la derecha (resp. por la izquierda)
Comencemos describiendo algunas propiedades geometricas de los subespacios cerrados de
un espacio de Banach que resultan del teorema de la aplicaci6n abierta.
• Teorema II.8.—Sea E un espacio de Banach. Sean GyV. dos subespacios vectoriales cerra-
cerrados tales que
G + L es cerrado
Entonces existe una constante C > 0 fa/ que
todo z E G + L admite una descomposicidn de la forma
z = x + y con x E G, y E L, IxH < Ctz\ y B^ll < Cllzl.
Demostraci6n.—Se considera el espacio producto G x L dotado de la norma
y el espacio G + L dotado de la norma de E. La aplicaci6n T:GxL — G + L definida por
T[x, y] = x + y es lineal continua y sobreyectiva. Segun el teorema de la aplicaci6n abierta
existe una constante c > 0 tal que todo z E G + L con HzII < c se escribe z = x + y con
x 6 G, y E L y llxll + ll>ll < 1. Por homogeneidad, todo z E G + L se escribe
z = x + y con xeG, yeL y ||x|| + |M| < - ||z||.
c
* Corolario H.9.—En las mismas hipdtesis del teorema II.8 se verifica que existe una constante
C tal que
A4) dist (x, G n L) s£ C[dist (*, G) + dist (*, L)] V* e E.
Demostraci6n.—Sean x E E y £ > 0. Existen a E G y b E L tales que
||x - a|| «g dist (x, G) + e, ||x - b\\ ^ dist (x, L) + e.
La propiedad A3) aplicada a z = a - b prueba la existencia de a' E G, b' EL tales que
a - b = a' + b \\a-\\ *£ C||a - b\\, \\b'\\ < C||a - b\\.
Por consiguiente a — a' GGflLy
dist(x,G nL)^ ||x - (a - a')|| < ||x - a\\ + \\a'\\
H ||x - a|| + C||a - fc|| s: ||x - a\\ + C(||x - a\\ + ||x - fc||)
^ A + C) [dist (x, G) + dist (x, L)] + A + 2C)e.
De aqui se deduce A4) haciendo tender £ a 0.

22 Teoremas de Banach-Steinhaus ydela gr&fica cerrada
Nota 7.—El reciproco del corolario II.9 es cierto: si G y L son dos subespacios cerrados que
verifican A4), entonces G + L es cerrado (ver [BT]).
Definici6n.—Sea G c E un subespacio cerrado de un espacio de Banach E. Se dice que un su-
bespacio L de E es un suplementario topoktgico de G si:
(i) L es cerrado
(ii) G n L = @] y G + L = E.
En este caso todo z € E se escribe de forma unica z = x + y con nSGjSL. Resulta
del teorema II.8 que las proyecciones zi—>x y z\—>y son operadores lineales y continuos. (Esta
propiedad podria haber servido para definir los suplementarios topologicos).
Ejemplos.
1) Todo subespacio G de dimensi6n finita admite un suplementario topoldgico. En efecto
R
sea ex, e2, ..., en una base de G. Para Jt6Gse escribe x = £ x,e, y se define <p,(x) = xt.
i« i
Se extiende cada <p, a una forma lineal y continua (p/sobre E (gracias al teorema de Hahn-
Banach, forma analitica, o con mas exactitud, al corolario 1.2). Facilmente se comprueba que
L = p| ((p,)~'@) es un suplementario topoldgico de G.
i= i
2) Todo subespacio cerrado G de codimensi6n finita admite un suplementario topoldgico.
En efecto, basta elegir cualquier suplementario algebraico (que es cerrado automaticamente, por
ser de dimensidn finita).
He aqui un ejemplo tipico de esta situaci6n. Sea N c E' un subespacio de dimensi6n p.
Entonces
G = {xeE; </x> = 0 V/e N}
es cerrado y de codimensidn p.
En efecto, sea/,,/2, ...,/,, una base de N. Entonces existen eu e2, ..., ep € E tales que
</;,ej> = 8,, vi,/ = 1,2 p.
[Considerese la aplicaci6n (p : E -» W definida por
V6E h
La aplicaci6n J es sobreyectiva —en caso contrario, por Hahn-Banach (segunda forma geo-
metrica) se podria encontrar c* = (a,, a2, ..., ap) * 0 tal que
(.x) = < £ ex,/,, .x> = 0 Vx e E,
lo cual es absurdo].
Se comprueba con facilidad que los (e,)lslS/I son linealmente independientes y que el espa-
espacio vectorial generado por los (e^lsisp es un suplementario de G.
3) En un espacio de Hilbert todo subespacio cerrado G admite un suplementario topoldgico
(ver capitulo V.2).
Nota 8.—Incluso en los espacios reflexivos se pueden construir subespacios cerrados que no
poseen ningun suplementario topoldgico. Un resultado notable de Lindenstrauss y Tzafriri [1]
aflrma que todo espacio de Banach no isomorfo a un espacio de Hilbert posee subespacios ce-
cerrados sin suplementario topoldgico.

Relaciones de ortogonalidad 23
Sea T un operador lineal continuo y sobreyectivo de E sobre F. El teorema de la aplicaci6n
abierta prueba que:
V/eF, 3xeE tal que Tx =j y ||x|| « C|[/||.
Resulta natural plantearse la cuestidn de saber si se puede construir un operador lineal conti-
continuo S de F en E tal que T»S= IdF. Se dice entonces que S es un inverso por la derecha de T.
* Teorema 11.10.—Sea T un operador lineal, continuo y sobreyectivo de E sobre F. Las si-
gulentes propiedades son equivalentes:
(i) T admite un inverso por la derecha.
(ii) N(T) = T-'CO) admite un suplementario topoldgico en E.
Demostraci6n.
(i) => (ii) Sea S un inverso por la derecha de T. Se comprueba facilmente que R(S) = S(F)
es un suplementario topoldgico de N(T).
(ii) => (i) Sea L un suplementario topoldgico de N(T). Se designa por P la proyecci6n de E
sobre L (P es un operador lineal continuo). Dada/ € F, se designa por x una de las soluciones
de la ecuaci6n Tx = /y se pone S/ = Px; observese que S es independiente de la elecci6n de x.
Se comprueba con facilidad que S es un operador lineal continuo tal que T ° S = IdF.
Nota 9.—Se pueden construir ejemplos de espacios E y F reflexivos y de operadores sobreyec-
tivos que no poseen inverso por la derecha. Considerese por ejemplo G c E subespacio cerra-
do sin suplementario topoldgico (nota 8), F = E/G y M la proyecci6n candnica de E sobre F
(para la deflnici6n y propiedades del espacio cociente E/G ver por ejemplo [BT]).
Analogamente, se dice que S es un inverso por la izquierda de T si S es un operador lineal
continuo de F sobre E tal que S»T = IdE.
* Teorema 11.11:—Sea T un operador lineal, continuo e inyectivo de E en F. Las siguientes
propiedades son equivalentes:
(i) T admite un inverso por la izquierda.
(ii) R(T) = T(E) es cerrado y admite un suplementario topoldgico en F.
Demostraci6n.
(i) => (ii) Es facil comprobar que R(T) es cerrado y que N(S) es un suplementario topoldgi-
topoldgico de R(T).
(ii) =» (i) Sea P una proyecci6n continua de F sobre R(T). Sea / € F; como P/ € R(T),
oriste un unico x € E tal que P/ = Tx. Se define S/ = x. Claramente se tiene que
S o T = IcfE; por otra parte, S es continuo en virtud del corolario II.6.
II.5. Relaciones de ortogonalidad
Notaciones.—Sea X un espacio de Banach.
Si M c X es un subespacio vectorial, se escribe
M1 = {fe X'; </, x> = 0 VxeM}.
Si N c X' es un subespacio vectorial, se escribe
N1 = {xeX; </, x> = 0 V/eN}.

24 Teoremas de Banach-Steinhaus y de la gr&fica cerrada
Se dice que (Mx (resp. Nx) es el ortogonal de M (resp. N). Seflalemos que Mx (resp. Nx) es
un subespacio vectorial cerrado de X' (resp. X).
Comencemos con un resultado sencillo:
• Proposici6n 11.12.—Sea McXra subespacio vectorial. Entoncesse tiene
(M1I = M
Sea N c X' un subespacio vectorial. Entonces se tiene
(N1I => N.
Nota 10.—Puede ocurrir que (Nx)x # N; ver un ejemplo en [BT]. En el capitulo III veremos
que si X es reflexivo, entonces (Nx)x = N. Mas generalmente se vera que si X es un espacio de
Banach cualquiera entonces (Nx)x coincide con el cierre de N en la topologia o(X', X).
Demostraci6n de la proposici6n 11.12.—Es claro que M c (Mx)x y como (Mx)x es cerra-
cerrado, se tiene M c (Mx)x.
Inversamente, demostremos que (Mx)x c M. Razonemos por reduccidn al absurdo supo-
niendo que existe x0 € (Mx)x tal que x0 £ M. Se separan entonces \x0] y M en sentido estricto
por un hiperplano cerrado. Asi pues, existen/ € X' y a € U tales que
A5) </, x> < ex < </, xo> VxeM.
Como M es un subespacio vectorial resulta que (f,x) = 0 vx € M. Asi/ € Mx; y por consi-
guiente (f, x0) = 0 —lo cual contradice A5). _
Es claro igualmente que N c (Nx)x y asi N c (Nx)x.
Nota 11.—Es instructivo intentar continuar la demostraci6n para llegar a probar que
(Nx)x_= N. Supongamos, para llegar a una contradicci6n, que existe f0 € (Nx)x tal que
f0 i N. Se separan entonces \fo\ y N en sentido estricto por un hiperplano cerrado en X'. Asi
pues existe <p€X"ya€ R tales que
Tambien se tiene <p(/) = 0 v/ € N, pero no se puede continuar —excepto si «por azar» exis-
existe x0 € X tal que
<P(/) = </, xo> V/6 X'
(iy esto es exactamente lo que ocurre cuando X es reflexivo!).
Proposici6n 11.13.—Sean G y L dos subespacios cerrados de X. Se veriflca
A6) G n L = (G1 + L1I
A7) Gx n Lx = (G + LI.
Demostraci6n.—De A6). Claramente GOLC (Gx + Lx)x; en efecto, si x € G n L y
/€ Gx + Lx, entonces </, x>= 0. Reciprocamente, se tiene Gx c Gx + Lx y asi
(Gx + Lx) c Gxx = G (observese que si N, c N2 entonces Nx c Nx); igualmente
(Gx + Lx)x C L. Por tanto (Gx + Lx)x c G n L.
De A7).—Evidente.

Relaciones de ortogonalidad 25
Corolario II.4.—Sean G y L dos subespacios cerrados de X. Se verified
A8) (G n LI => G1 + L1
A9) (G1 n L1I = GTT
Demostraci6n.—Aplicar las proposiciones 11.12 y 11.13.
Veamos ahora un resultado mas pro fun do:
• Teorema 11.15.—Sean G y L dos subespacios cerrados de X.
Las siguientes propiedades son equivalentes:
(a) G + L es cerrado en X.
(b) Gx + Lx es cerrado en X'.
(c) G + L = (Gx n Lx)x
(a) Gx + Lx = (G n L)x.
DEMOSTRACI6N.
(fl) » (c) resulta de A7).
(d) ■» (b) es trivial.
Queda pues demostrar que (a) => (d) y F) => (a).
(a) ■» (<f). Gracias a A6) es suflciente probar que (G n L)x c Gx + Lx. Sea entonces
/€ (G fl L)x. Se define una aplicaci6n <p : G + L — R de la siguiente forma. Dado
x G G + L, de modo que x = a + b con a G G y b € L, se pone
<pC*) = </. a)
Observese que <p es independiente de la descomposici6n de x y que <p es lineal. Por otro lado
(teorema II.8) se puede elegir una descomposici6n de x tal que Hall < Cllxll y asi
|<p(x)| < C||x|| Vx e G + L.
Extendiendo <p a una forma lineal continua cp sobre X, se obtiene
f — (f — o) ~t~ q con f — p^ G~^ y (p g L .
(A) ■» (a). Se sabe, gracias al corolario II.9, que existe una constante C tal que
B0) dist (/, G1 nL^C [dist (/, G1) + dist (f, Lx)] V/e X'.
Por otra parte se tiene
B1) dist (/, G1) = Sup </, x> V/e X'
xeG
lAplicando el teorema 1.11 con q>(x) = Ib-g(o.d(^)-</,x> y v|/(x) = IG(x)].
Igualmente se tiene
B2) dist (/, L1) = Sup </, x> V/eX'
ieL
llxll« 1
B3) dist (/, Gx n L1) = dist (/, (G + L^-) = Sup_ </, x> V/g X'
xeG + L

26 Teoremas de Banach-Steinhaus y de la gr&fica cerrada
Combinando B0) B1) B2) y B3) resulta
B4) Sup_ </ x> < C [Sup </, x> + Sup </, x>] V/e X'.
xeG + L xeG xeL
II*II<1
Y de B4) resulta que
B5) BG@, 1) + BL@, 1) =. - B^@, 1).
En efecto, supongamos —por reducci6n al absurdo— que existe x0 e G + L con
1 "
ll^oll < - y xo#BG@, 1) + BL@, 1).
Se podrian entonces separar estrictamente \x0] yBG@, 1) + BL@, l)con un hiperplano cerrado
en X: existirian / € X' y a € M tales que
</, x> < ex < </ xo> Vx e BG@, 1) + BL@, 1).
Por consiguiente se obtendria
Sup </ x> + Sup </ x> sj a < </, xo>
11*11 <1 11*11 <1
que esta en contradicci6n con B4). Asi, queda demostrado B5).
Se considera por ultimo el espacio E = G x L dotado de la norma
l![x, y]|| = Max
y el espacio F = G + L dotado de la norma de X.
La aplicaci6n T : E — F definida por T([x, y]) = x + y es lineal y continua, y por B5) se
sabe que T(B, @, 1)) => BF( 0, - j Se concluye que [ver la demostraci6n del teoremall.5 (teore-
ma de la aplicacidn abierta), 2.a etapa] que
T(BE@, l))=.BFfo,— V
V 2C/
En particular T es sobreyectiva de E sobre F i.e. G + L = G + L.
II.6 Introducci6n a los operadores lineales no acotados.
Definici6n de adjunto.
Definiciones.—Sean E y F dos espacios de Banach. Se llama operador lineal no acotado de E
en F a toda aplicaci6n lineal A : D(A) c E — F definida sobre un subespacio vectorial
D(A) C E con valores en F. D(A) es el dominio de A.
Se dice que A es acotado si existe una constante c > 0 tal que
||Au|| s: c\\u\\ Vu6D(A).

Introduccidn a los operadores lineales no acotados 27
Nota 12.—Puede suceder que un operador no acotado sea acotado. La terminologia no es
muy afortunada, pero es la comunmente empleada y jno genera confusiones!
Precisemos algunas notaciones y definiciones importantes
Grafo de A = G(A) = \J [u, Au] c E x F
«eD|A)
Imagen de A = R(A) ~ \J Au c F
ueD(A)
Nucleo de A = N(A) = [" e D(A); Au = 0} c E.
Definici6n.—Se dice que un operador es cerrado si G(A) es cerrado en E x F.
• Nota 13.—Para demostrar que un operador es cerrado se suele proceder de la forma si-
guiente. Se toma una sucesi6n (un) en D(A) tal que un - u en E y Aun ~ /en F. Despues se tra-
ta de comprobar que
(a) u E D(A)
(b) / = Am
Nota 14.—Si A es cerrado, entonces N(A) es cerrado.
Nota 15.—En la practica, la mayoria de los operadores no acotados que se encuentran son ce-
rrados y con dominio D(A) den so en E.
Definlci6n del adjunto A*.-Sea A : D(A) C E - F un operador no acotado con dominio
denso. Vamos a definir un operador no acotado A* : D(A*) cF'-E' como sigue. Se pone
D(A*) = [tNF'; 3c > 0 tal que |<d, Au>| ^ c\\u\\ VueD(A)}.
Qaramente D(A*) es un subespacio vectorial de F'. Ahora se define A*v para cada
v € D(A*). Dado v € D(A*) se considera la aplicaci6n g : D(A) - U definida por
g(u) = <u, Au>, ue D(A).
Se tiene
\g(u)\ tc c\\u\\ VueD(A).
Gracias al teorema I.I (Hahn-Banach, forma analitica) se sabe que g puede ser extendida a una
aplicaci6n lineal /: E — U tal que
\f(u)\ < c-||u|| Vu 6 E.
Por tanto / € E'. Observese que la extensi6n de g es unica ya que / es continua sobre E y
D(A) es denso.
Se define
A*v =/.
Qaramente A* es lineal. El operador A* : D(A») CF'-E'se llama adjunto de A. Se tiene
por tanto la siguiente relaci6n fundamental entre A y A*:
<d,Au>f F = <A*t\ u>E E VueD(A),
Nota 16.—No es necesario recurrir el teorema de Hahn-Banach para extender g. Es suficiente
utilizar la extensi6n «por continuidad» de g (ya que g esta definida sobre D(A) denso, g es

28 Teoremas de BanachSteinhaus ydela gnifica cerrada
uniformemente continua y Res completo); ver por ejemplo Choquet [1], teorema 20-14 del ca-
pitulo V.
• Nota 17.—Puede ocurrir que D(A*) no sea denso en F', incluso si A es cerrado; ver un
ejemplo en [BT]. Sin embargo, se demuestra que si A es cerrado, entonces D(A*) es denso en
F' para la topologia o(F', F) deflnida en el capitulo III; ver [BT]. En particular, si F es reflexi-
vo, entonces D(A*) es denso en F' para la topologia usual asociada a la norma; ver §111.5.
• Proposici6n 11.16.—Sea A : D(A) c E — F un operador no acotado con dominio denso.
Entonces A* es cerrado, i.e. G(A*) es cerrado en ¥' x E'.
Demostraci6n.—Sea vn € D(A*) tal que vn — uenF'y A*vn — /en E'. Se trata de probar
que (a) v € D(A*) y (b) A*v = /. Para ello se utiliza que
<[)„, Au> = <A*vn, u> VueD(A).
De donde, en el limite resulta
(v, Am) = <f, u) vm € D(A).
Por consigutente v € D(A*) (por la deflnici6n de D(A*)) y A*v = /.
Los grafos de A y A* estan ligados por una relaci6n de ortogonalidad muy sencilla. En
efecto, consideremos la aplicaci6n J:F' x E' —E' x F' deflnida por
J([v,f]) = [-/, v]
Sea A un operador no acotado, A : D(A) c E — F con D(A) = E. Entonces se tiene
J[G(A*)] =
En efecto. Sea [v,f\ 6F' x E'; entonces
[i>, f] e G(A*) <* </, u> = <t>, Au> Vu 6 D(A)
o - </, u> + <i\ Au> = 0 Vu 6 D(A)
Resulta c6modo introducir el espacio X = E x F de modo que X' = E' x F' y conside-
rar los subespacios G = G(A) y L = E x [0] en X. Se pueden describir N(A), N(A*), R(A) y
R(A*) en terminos de G y L.
Facilmente se comprueba que
B6) N(A) x {0} = G n L
B7) E x R(A) = G + L
B8) {0} x N(A*) = GInLi
B9) R(A») x F = G1 + L1.
• Corolario 11.17.—Sea A : D(A) C E — F un operador no acotado, cerrado y con
D(A) = E. Entonces se verifica
(I) N(A) = RfA*I
(ii) N(A*) = R(AI
(iii) N(AI => R(A*)
(iv) N(A*)X = R(A).

Caracterizacidn de tos operadores con imagen cerrada 29
Demostraci6n.—De (i).—De B9) resulta
R(A*^ x {0} = (G1 + V-f = G n L (gracias a A6))
= N(A) x {0} (gracias a B6)).
De (ii).—De B7) resulta
{0} x R(A^ = (G + L^ = G1 n L1 (gracias a A7))
= {0} x N(A*) (gracias a B8)).
De (iii) y (iv).—Utilizar (i) (resp. (ii)), pasar al ortogonal y aplicar la proposicidn 11.12.
Nota 18.—A titulo de ejercicio, intentese una demostraci6n directa de (i) y (ii) sin introducir G
y L; ver [BT].
• Nota 19.—Puede darse el caso, incluso si A es un operador lineal y continuo de E en F, de
que N(A)X # R(A*); ver un ejemplo en [BT]. Sin embargo (cf. nota 10) se puede demostrar
que N(A)X coincide con el cierre de R(A*) en la topologia o(E', E); en particular si E es refle-
xivo siempre se tiene N(A)X = R(A*).
II.7. Caracterizaci6n de los operadores con imagen cerrada.
Operadores sobreyectivos. Operadores acotados.
* Teorema 11.18.—Sea A : D(A) C E — F un operador no acotado, cerrado, con D(A) = E.
Las siguientes propiedades son equivalentes:
(i) R(A) es cerrado
(ii) R(A*) es cerrado
(iii) R(A) = N(A*)X
(iv) R(A*) = N(AI.
Demostraci6n.—Siguiendo las notaciones introducidas en §11.6 resulta
(i) o G + L es cerrado en X (cf. B7))
(ii) <*GX + Lx es cerrado en X' (cf. B9))
(iii)<* G + L = (Gx n Lx)x (cf. B8))
(iv)<* (G n L)x = Gx + Lx (cf. B6) y B9))
Se concluye gracias al teorema (II.IS).
Nota 20.—Sea A : D(A) c E — F un operador no acotado, cerrado. Entonces R(A) es cerra-
cerrado si y solamente si existe una constante C tal que
dist(u, N(A)) ^ C||Au|| Vu 6 D(A);
ver [BT].
El siguiente resultado es una caracterizacidn muy util de los operadores sobreyectivos.
» Teorema 11.19.—Sea A : D(A) c E — F un operador no acotado, cerrado y con
D(A) = E. Las siguientes propiedades son equivalentes:
(a) A es sobreyectivo, i.e. R(A) = F.

30 Teoremas de Banach-Steinhaus y de la gr&fica cerrada
(b) existe una constante C > 0 tal que
|H| < C||A*v|| VveD(A»)
(c) N(A*) = @] y R(A*) es cerrado.
Nota 21.—En la practica, para establecer que un operador A es sobreyectivo, se utiliza la im-
plicaci6n (b) => (a) del siguiente modo. Se considera la ecuaci6n A*v = / con f G E' y se
prueba que IIvH «g CH/11 con C independiente de/. Esta tecnica se llama metodo de estimaci6n
a priori: no preocupa saber si la ecuaci6n A*v = /posee o no soluci6n; se da a priori una so-
Iuci6n de esta ecuaci6n y se intenta estimar su norma.
Demostraci6n
(a) *>(c). Es consecuencia directa del corolario 11.17 y del teorema 11.18.
(b) => (c) es evidente (razonar con sucesiones de Cauchy)
(c) => (b) Gracias a B8) y B9) se sabe que G1 n L1 = @) y que G1 + Lx es cerrado.
Apliquemos el teorema II.8: existe una constante C tal que todo z G G1 + L1 se descompone
de forma unica (ya que G1 n Lx = @]) en
r = a + fc con a e G1, b e L\ ||a|| < C||z|| y ||fc|| sj C||z|j.
Sea v € D(A*), entonces z = [A*v, 0] se escribe z = a + b con
a = [A*o, T d] e Gl y b = [0, t>] 6 L1.
Asi obtenemos
llfcll = \\v\\ « C||z|| = C||A*»||.
Nota 22.—A titulo de ejercicio establezcase la implicaci6n (a) => (b) con otra demostraci6n.
Con ayuda del teorema de Banach-Steinhaus demuestrese que —en la hip6tesis (a)— el conjun-
to{tN D(A*);||A*d|| «g l}esta acotado en F'.
«Simetricamente» se tiene el
• Teorema 11.20.—Sea A: D(A) CE-Fun operador no acotado, cerrado y con D(A) = E.
Las siguientes propiedades son equivalentes:
(a) A* es sobreyectivo, i.e. R(A*) = E'
(A) existe una constante C tal que
V«eD(A)
(c) N(A) = @] y R(A) es cerrado.
Demostraci6n.—Es semejante en todos sus puntos a la del teorema 11.19. El lector podra re-
dactar los detalles a titulo de ejercicio.
Nota 23.—Si se supone que dim E < oo o que dim F < oo entonces se tienen las equivalen-
cias:
A sobreyectivo *> A* inyectivo
A* sobreyectivo o A inyectivo.

Caracterizacidn de los operadores con imagen cerrada 31
En efecto, pues R(A) y R(A*) son de dimensi6n finita y por tanto cerrados.
En el caso general, s61o se verifican la implicaciones.
A sobreyectivo => A* inyectivo
A* sobreyectivo => A inyectivo.
El reciproco es falso, como muestra el ejemplo siguiente:
E = F = P; a todo x G P, x = (xn)n .. , se asocia Ax = I - x» I de forma que A = A*.
A* (resp. A) es inyectivo pero A (resp. A*) no es sobreyectivo; A (resp. A*) tiene imagen den-
sa, no cerrada.
Indiquemos por ultimo una caracterizacidn de los operadores acotados:
Teorema 11.21.—Sea A: D(A) c E — F un operador no acotado, cerrado, y con D(A) = E.
Las siguientes propiedades son equivalentes:
(i) D(A) = E
(ii) A es acotado
(ill) D(A*) = F'
(iv) A* es acotado
En estas condiciones se verifica
Demostraci6n.—(i) => (ii) Aplicar el teorema de la grafica cerrada.
(ii) => (iii) Aplicar la deflnici6n de D(A*).
(iii) => (iv) Aplicar la proposicidn 11.16 y el teorema de la graflca cerrada.
• (iv) => (i) es mas delicada. Observemos primero que D(A*) es cerrado. En efecto, sea
vn € D(A*) con vn — v en F. Se tiene
I|A*(». - OH « ell", -Ol;
por consiguiente (A* vn) converge a un limite/. Como A* es cerrado, v € D(A*) yA't=/.
En el espacio X = E x F, consideremos los subespacios G = G(A) y L = @) x F de forma
que
G + L = D(A) x F y Gl + Ll = E' x D(A*).
Por consiguiente G1 + L1 es cerrado en X'. El teorema 11.15 permite concluir que G + L es
cerrado; asi D(A) es cerrado. Como D(A) = E, se deduce que D(A) = E.
Demostremos ahora que IIAIIr(E F) = IIA*lly(F. E.). Se tiene
<d, Au> = <A*y, u> VueE, VoeF'.
Asi
|<», Au>| ^ ||A*|||H||u||

32 Teoremas de Banach-Steinhaus y de la gr&Uca cerrada
||Au|| = Sup |<t), Au>| ^ ||A*||||u||
IMKl
(en virtud del corolario 1.4). Por tanto IIAll s£ IIA*II. Inversamente se tiene
||A*t)||D=FSup \<A*v, u)\ = Sup |<t), Au>| s: ||A||||t>||.
Por consiguiente BA*B < IIAII.
Comentarios sobre el capitulo II
1) Se pueden describir explidtamente ciertos subespacios cerrados que no poseen ningun suple-
mentario topol6gico. Por ejemplo, c0 no posee suplementario topol6gico en /" (ver De Vito
[1]); recordemos que l°° designa el espacio de las sucesiones x = (xn) acotadas de U dotado de la
norma ||x|| = Sup |xj y c0 es el subespacio cerrado de las sucesiones tales que lim x, = 0.
Otros ejemplos se pueden encontrar en Rudin [1] (un subespacio de L1) o en Kothe [1] y en
Beauzam y [1] (un subespacio de V, p # 2).
2) La mayoria de los resultados del capitulo II se extienden a los espados de Frechet (espacios
localmente convexos, metrizables, completos). Sop posibles numerosas generalizaciones; ver
por ejemplo, Schaefer [1], Horvath [1], Edwards [1], Treves [1], [3], Kothe [1]. Estas extensio-
extensiones vienen motivadas por la teoria de las distribuciones (ver L. Schwartz [1]) donde muchos es-
espacios importantes no son espacios de Banach. Para las aplicaciones a la teoria de ecuaciones
en derivadas parciales se puede consultar HOrmander [1], Treves [1] [2] [3].
3) En Kato [1] se encuentran algunas extensiones de los resultados de § U.S.

Capitulo III
TOPOLOGIAS DEBILES.
ESPACIOS REFLEXIVOS.
ESPACIOS SEP ARABLES.
ESPACIOS UNIFORMEMENTE
CONVEXOS
III. 1. Repaso sobre la topologia menos fina que hace continuas a una
familia de aplicaciones
Comencemos con un repaso de topologia general. Sea X con conjunto y sea (Y,),e, una fa-
familia de espacios topol6gicos. Para cada i € I se da una aplicaci6n (p, / X — Y,.
Problems 1.—Dotar a X de una topologia que haga continuas todas las aplicaciones (<p,),e v Si
es posible, construir la topologia 5" menos fina, i.e. con el minimo de abiertos [dicho de otro
modo la topologia mas «ecor>6mica»] que hace continuas a todas las (<p,),6 v
Observemos que si X esta dotado de la topologia discreta [i.e. todo subconjunto de X es
abierto], entonces cada <p,- es continua; por supuesto, esta topologia dista de ser «ecor>6mica»
—es la menos econ6mica. Sea «>, c Y, un abierto, entonces (pf'^es neceswiamente abierto
para la topologia % . Cuando «>, describe la familia de abiertos de Y, y cuando i recorre I, los
(p,~ '(w;) constituyen una familia de subconjuntos de X que son necesariamente abiertos en la to-
topologia 5" ; designemos esta familia por (Ux)XeA . La topologia £T es la topologia menos fi-
fina tal que los (Ux)xe a son abiertos. Asi hemos desembocado en el problema siguiente:
Problema 2.—Construir la familia & de subconjuntos de X, lo mas ecor>6mica posible, que sea
estable para f) y U y tal que Ux e & para todo X € A. La respuesta al problema 2 vie-
finita arbitraria
ne dada en la siguiente construccidn:
Se consideran primero las intersecciones finitas i.e. f] Ux, F <= A, F finito. Se obtiene asi
una familia * de subconjuntos de X estable para f) ■ Se considera despues la familia &
finita
obtenida con uniones arbitrarias de elementos de *. Claramente la familia & es estable para
uniones arbitrarias; sin embargo, no es evidente que la familia & sea estable para D Este
finita
es del objeto del
33

34 Topologies ctebiles
Lema III. 1.—La familia & es estable para f).
finita
La demostracidn del lema III. 1 se deja al lector. Constituye un agradable (!) pasatiempo de
teoria de conjuntos.
Not A 1.—No se puede invertir el orden de las operaciones en la constnicci6n de &. Hubiera
sido igualmente natural comenzar realizando las U de conjuntos (Ux) y continuar to-
arbitraria
mando las f)
finita
La familia asi obtenida seria estable para fl , pero no seria estable para U . Seria
finita arbitraria
necesario realizar una vez mas las uniones arbitrarias.
Recapitulemos: los abiertos de la topologia f se obtienen al considerar primero las interseccio-
nes finitas de conjuntos de la forma (pf '(o);), coj abierto de Y, y despues las uniones arbitrarias.
Dado un punto x E X se obtiene una base de entornos x para la topologia S" al considerar
los conjuntos de la forma (~| tp,"' (V,) donde V, es un entorno de (p,(x) en Y,.
finita
En lo que sigue, se dota a X de la topologia ^ ; recordemos algunas propiedades elementa-
les de esta topologia.
• Proposici6n III.l.—Sea (xn) una sucesidn en X.
Entonces xn — x si y solamente si (p, (xn) — (p,(x) para todo i E I.
Demostraci6n.—Si xn — x, entonces <p,(xn) — (f>t(x) para todo / E I ya que cada <p, es conti-
continua.
Reciprocamente, sea U un entorno de x. Por lo anterior siempre se puede suponer que U es de
la forma U = ("") q>(~' (V,), Jcl finite Para cada i E J existe un entero N, tal que <p,(xn) E V,-
para n > N,. Sea N = Max N,. Resulta entonces que xn E U para cada n 3s N.
• Proposici6n III.2.—Sea Z un espacio topoldgico y sea \p una aplicacidn de Z en X. Entonces
\p es continua si y solamente si tp,. o 4> es continua de Z en Y, para cada i E I.
Demostraci6n.—Si <J/es continua, entonces <p, o v)/es tambien continua para cada / E I. lnver-
samente, sea U un abierto de X; demostremos que »)/ ~ '(U) es un abierto de Z. Se sabe que U es
de la forma U = \J f"| <Pi~' (ui) con w/ abierto de Y,. Por consiguiente
arbitraria finita
f(U)= u n *'|[<pri(o>i)] = u n
arbitraria finita arbitraria finita
y esto es un abierto de Z ya que cada aplicaci6n (p. o \\f es continua.

Definition y propiedades elementales 35
III.2. Definici6n y propiedades elementales
de la topologia debil a(E, E')
Sea E un espacio de Banach y sea/ E E'. Se designa por(py : E — R la aplicaci6n dada por
(f> x). Cuando/recorre E' se obtiene una familiafcpyjyg E. de aplicaciones de E en R.
Definici6n.—La topologia dfebil o(E, E') sobre E es la topologia menos fina sobre E que hace
continuas a todas las aplicaciones ((pf)f e E. (en el sentido de § III. 1 con X = E, Y, = Ri e
I = E').
Proposici6n III.3.—La topologia dibil a(E, ¥/)es separada.
Demostraci6n.—Sean jc,, x2 E E con x, * x2. Se trata de construir O, y O2 abiertos en la to-
topologia debil o(E, E') tales que xx E O,, x2 E O2 y con O, n O2 = 0. Por el teorema de
Hahn-Banach (segunda forma geometrica) existe un hiperplano cerrado que separa (jc, | y [x2]
en sentido estricto. Asi pues existen/ 6E'ya£ R tales que
</; x,> < ex < </, x2>.
Sepone
O, = {xeE; </ x> < ex} = (p/'Q- 00, cx[)
O2 = {xeE; </ x> >cx} = (p/'Qcx, + oo[).
0, y 02 son dos abiertos de a(E, E') que verifican xx E O,, x2 E O2 y O, n O2 = 0.
Proposici6n III A.—Sea x0 E E; se obtiene una base de entornos de x0 para la topologia
o(E, E')al considerar todos los conjuntos de la forma
V = [*eE; |</,, x - *0>| < e Viel}
donde I esfinito, f-, E E' y £ > 0.
Demostraci6n.—Esta claro que V = flV/'Qai - e, a, + e[)cona, = (/„ x0)esunabiertopa-
ra la topologia a(E, E') y contiene a x0. Inversamente, sea U un entorno de x0 en a(E, E'). Se
sabe (cf. § III.l) que existe un entorno Wde^,WcU de la forma W = f"| 9/ '(«>.)> I fi-
nito, y co, entorno (en R ) de (/), x0) = at. Asi pues existe £ >0 tal que \a, - £, a, + £[ c u),
paracada/ G I. Por consiguiente x0 E V C W C U.
Notad6n.—Dada una sucesi6n (xn) en E, se designa por xn -»xla convergencia de xn axen la
topologia debil a(E, E'). Para evitar confusiones, a veces se precisa «xn ^x debilmente en
o(E, E')». En caso de ambigfledad, se insiste diciendo «xn—x fuertemente» cuanto Bjcn — jell — 0.
• Proposici6n III.5.— Sea (xn) una sucesidn en E. Se verifica:
d) [*„— xena(E, E')]<*[</, *„>_»(/, *> v/GE']
ID Sixn -~ x fuertemente, entonces xn -- jc debilmente para o(E, E')
QU) 5/JCn -- * dibilmente para a(E, E'), entonces |jcnl erta acotada y BjcB < lim inf »jcnll.
W) 5/ Jcn -» jc dibilmente en o(E, E') >> «/„ — f fuertemente en E' (i.e. B/n - /IE. — 0),
*aus(f* xny - </, *>.
en-

36 Topologias d&iles
Demostraci6n.
(i) resulta de la proposici6n III. 1 y de la definici6n de la topologia debil o(E, E).
(ii) resulta de (i) ya que | if, xH) - if, x)\ < I/I txn - xi.
Demostraci6n de (ill).—Se aplica el corolario II.3 —que es una consecuencia del teorema de
Banach-Steinhaus. Basta comprobar que para cada/ E E' el conjunto (if, xn])n esta acotado.
Para cada / E E', la sucesi6n if, xn) converge a if, x) (en particular esta acotada). Sea / E E';
se tiene
l</. *.>l « II/IIIWI
y en el limite
l</. *>l « ll/ll I"" inf ||xj|.
Por consiguiente (corolario 1.4)
||x|| = Sup |</ x>| *£ lim inf ||xj|.
Demostraci6n de (iv).—Se tiene
K/., *<■> - </. *>l « l</. -/- *.>l + l</. *. - *>l « 11/. -/IIIWI + |</. xn - x>|.
Y se concluye gracias a (i) y (iii).
Proposki6n 111.6.—Cuando E es de dimensi6n finita, la topologia dibil o(E, E') >> la topologia
usual coinciden. En particular, una sucesidn (xn) converge dibilmente si y solamente si conver-
converge fuertemente.
DemostraciOn.—La topologia debil siempre tiene menos abiertos que la topologia fuerte. Inver-
samente, hemos de comprobar que todo abierto fuerte es un abierto debil. Sea x0 E E y sea U
un entorno de x0 en la topologia fuerte. Hemos de construir un entorno V de x0 en la topologia
debil o(E, E') tal que V C U. O dicho de otro modo, encontrar un subconjunto finito (/)), e ,
de E' y £ > 0 tales que
V = {xeE; |</., x - xo>| < e, V» e 1} c U.
Supongamos que B(x0, r) C U. Escogiendo una base et, e2, ..., en de E con II^1 = 1, v». Para
n
todo x E E se tiene una descomposici6n x = £ x,e,; las aplicaciones x\—>jc, definen n for-
i- 1
mas lineales continuas sobre E denotadas por ft. Se tiene entonces
n
llx- - xo|| s: X |</(, x - xo>| < ne
para x E V. Al elegir £ = — se obtiene V C U.
n
Nota 2.—Los abiertos (resp. los cerrados) de la topologia debil o(E, E') son tambien abiertos
(resp. cerrados) en la topologia fuerte. Cuando E es de dimensi6n infinita la topologia debil
ct(E, E') es estrictamente menos fina que la topologia fuerte i.e. exist en abiertos (resp. cerra-
cerrados) en la topologia fuerte que no son abiertos (resp. cerrados) en la topologia debil. He aqui
dos ejemplos:

Definicidn y propiedades elementales 37
Ejemplo 1.—El conjunto S = {x E E; Bxl = 1) nunca es cerrado en la topologia debil
o(E, E'). Mas exactamente demostremos que
A) SO(F"E'= {xeE; ||x|| *£ 1}
p<KE. e ) designa el cierre de § en la topologia <j(E, E')].
Sea x0 E E con Bx0B < 1; comprobemos que x0 E S"<E' E) Dado un V entorno de x0 en
o(E, E') vamos a probar que VHS* 0. Siempre se puede suponer que V es de la forma
V = {xeE; |<X x - xo>| < e Vi = 1, 2 ... «}
con
e>0 y /,,/,,... /neE'.
Fijemos y0 E E, y0 * 0 tal que
</,, >'o> =0 Vi = 1, 2, ... n
[un tal y0 existe; en caso contrario la aplicaci6n (p: E — R" definida por
seria inyectiva y <p seria un isomorfismo de E sobre (p(E) —de donde dim E < n].
La funci6n g(t) = Bx0 + t yji es continua en [0, + oo[ con
< 1 y lim g(t) = + oc.
f-t + X
Asi pues existe t0 > 0 tal que llx0 + t<pol = 1. Por consiguiente x0 + Vo e v n s (')■ Aca"
bamos de probar que
S c {xeE; ||x|| ^ 1} cS"'"''
Y se deduce de ello A) si se sabe que {x E E; llxB < 1) es cerrado en la topologia a(E, E')
—pero esto resulta del teorema 111.7.
Ejemplo 2.—El conjunto U = {x E E; BxU < 1] nunca es abierto en la topologia debil
o(E, E'). Mas exactamente, vamos a comprobar que el interior de U en o(E, E') es vacio. En
efecto, supongamos —para obtener una contradicci6n— que existe un x0 E U y un entorno V
de x0 en a(E, E') tal que V C U. Por lo anterior se sabe que V contiene una recta que pasa por
xj, — y esto contradice V c U.
Nota 3.—Cuando E es de dimensidn inflnita la topologia debil a(E, E) no es metrizable, i.e.
no existe una metrica (y a fortiori ninguna norma) definida en E que induzca sobre E la topo-
topologia debil; ver [BT]. Sin embargo, veremos que si E' es separable entonces se puede construir
una metrica definida sobre B = \x E E; BxU s£ 1 ] que induce en B en la misma topologia que
la topologia debil o(E, E'); ver el teorema III.25'.
♦ Nota 4.—Cuando E es de dimensi6n infinita existen en general sucesiones que convergen de-
bilmente pero que no convergen fuertemente. Por ejemplo, si E' es separable (cf. § III.6) —si
Ees reflexivo (cf. § III.5)— siempre se puede construir una sucesi6n (*„) en E tal que UxJ = 1
(') La interpretacidn geomfetrica de esta construccidn es la siguiente. En dimensidn infinita, todo entor-
entorno V dex0 para la topologia a(E, E') contiene una recta que pasa por x0 —e incluso un «enorme» espacio
afin conteniendo a x0.

38 Topologias ctebiles
y xn -* 0 en la topologia a(E, E'); ver [BT]. No obstante, existen espacios de Banach de dimen-
si6n infinita donde toda sucesi6n debilmente convergente es fuertemente convergente. Por
ejemplo, E = /' posee esta propriedad «llamativa»; ver [BT]. No obstante, estos espacios son
mas bien escasos y «patol6gicos». Por supuesto, esto no contradice el hecho de que en dimen-
si6n infinita la topologia debil y la topologia fuerte son siempre distintas (cf. nota 2). [Recor-
demos que dos espacios metricos que poseen las mismas sucesiones convergentes, tienen la mis-
ma topologia. Sin embargo, dos espacios topol6gicos que poseen las mismas sucesiones conver-
convergentes no tienen necesariamente la misma topologia].
III.3. Topologia debil, conjuntos convexos
y operadores lineales.
Todo conjunto cerrado en la topologia debil a(E, E') es cerrado en la topologia fuerte. Vi-
mos (nota 2) que el reciproco es falso en dimensi6n infinita. Sin embargo, vamos a probar que
para los conjuntos convexos estas dos nociones coinciden.
• Teorema III.7.— Sea C c E convexo. Entonces C es dibilmente cerrado en o(E, E') si yso-
lamente si es fuertemente cerrado.
Demostraci6n.—Supongamos que C es fuertemente cerrado y demostremos que es debilmen-
debilmente cerrado. Comprobemos que QC es abierto en la topologia o(E, E'). Dado x0 $ C, por el
teorema de Hahn-Banach existe un hiperplano cerrado que separa en sentido estricto [x0] y C.
Asi pues, existen/ E E'yaG U tales que
(f, xo> < ex < </, >•> Vy e C.
Pongamos
V = {xeE; </, x><oc}:
de modo que x0 E V, V n C = 0 (i.e. V C CQ y V es abierto en o(E, E').
Nota 5.—La demostraci6n anterior prueba que un convexo cerrado coincide con la intersec-
ci6n de los semiespacios cerrados que lo contienen. Por otra parte, el teorema III.7 implica
que si una sucesi6n (xn) converge debilmente a x, entonces existe una sucesi6n de combinacio-
nes convexas de los xn que converge fuertemente ax; ver [BT].
• Corolario III.8.—Seaq> : E — ] — oo, + oo] unafuncidn convexa, s.c.i. (para la topologia
fuerte). Entonces <p es s.c.i. para la topologia dibit a(E, E'). En particular, si xn — x en
o(E, E'), entonces
< lim inf (p(jcn)
Demostraci6n.— Es suficiente comprobar que para todo X E R el conjunto.
A = {xeE; <p(x) s£ X}
es cerrado en a(E, E'). A es convexo (por ser (p convexa) y A es fuertemente cerrado (ya que 9
es s.c.i. para la topologia fuerte). Segun el teorema III.7 el conjunto A es tambien cerrado en
o(E, E').
Nota 6.—Se obtiene en particular que si xn -* x en o(E, E') entonces llxll s£ lim inf llxj. En
efecto, la funci6n <p(x) = llxll es convexa y continua para la topologia fuerte, y a fortiori (p es
s.c.i. para la topologia fuerte —y por consiguierite 9 es s.c.i. para la topologia debil a(E, E').

Topologfa d6bil 39
Teorema 111.9.—Sean E y F dos espacios de Banach. Sea T un operador lineal y continuo de E
en F. Entonces T es continuo de E dibil a(E, E') c« F dibil 4>(¥, ¥'). Y reciprocamente.
Demostraci6n.—Segun la proposici6n III.2 es suficiente comprobar que para toda/ E F' la
aplicaci6n x'—>(f, Tx)es continua de E debil o(E, E') en R. Pero la aplicaci6n xi—>(f, Tx)es
una forma lineal y continua sobre E. Por consiguiente tambien es continua para la topologia
debil a(E, E').
Reciprocamente, supongamos que T es lineal y continuo de E debil en F debil. Entonces
G(T) es cerrado en E x F para la topologia a(E x F, E' x F') y a fortiori G(T) es cerrado en
E x F para la topologia fuerte. Con ayuda del teorema de la grafica cerrada (teorema II.7) se
concluye que T es continuo de E (fuerte) en F (fuerte). El mismo razonamiento prueba que si T
es lineal y continuo de E (fuerte) en F debil, entonces T es continuo de E (fuerte) en F (fuerte).
Nota 7.—La hip6tesis «T lineal» del teorema III.9 juega un papel esencial en la demostraci6n.
Una aplicacidn no lineal continua de E fuerte en F fuerte no es en general continua de o(E, E')
en o(F, F'); ver [BT].
III.4. La topologia debil * a(E', E)
Sea E un espacio de Banach, sea E' su dual (dotado de la norma dual 11/11 = Sup | (f, x)\)
xEE
I.vlsl
y sea E" su bidual, i.e. el dual de E' dotado de la norma
||!;|| = Sup |<!j, />|.
ll/IKl
Se tiene una inyecci6n can6nica J : E — E" deflnida como sigue: sea x E E fijo, la aplicaci6n
ft—^if, x)de E' en U es una forma lineal continua sobre E' i.e. un elemento de E" notado
41). Asi pues,
<Jx,/>E.,E = </, x>E.E VxeE, V/eE'.
Qaramente J es lineal y J es una isometria i.e. II JjcII E. = llxllE para todo x E E; en efecto
||Jx|| = Sup |<Jx, />| = Sup |</, x>| = ||x||
(gracias al corolario 1.4). Puede ocurrir que J no sea sobreyectiva B); ver por ejemplo [BT].
Con ayuda de J siempre se puede identificar E con un subespacio de E". Sobre el espacio E'
quedan asi definidas dos topologias:
a) la topologia fuerte (asociada a la norma de E')
b) la topologia debil o(E', E") (introducida en § III.3).
(') No confundirse con la aplicacibn de dualidad, F : E — E', introducida en la nota 1.2, que en gene-
general no es lineal (excepto en el caso Hilbertiano).
B) Cuando J es sobreyectiva, se dice que E es reflexivo; ver § III.5.

40 Topologias ctebiles
Vamos a definir ahora una tercera topologia sobre E': la topologia debil • que se nota con
a(E', E) ('). Para cada x E E se considera la aplicaci6n q>x : E' — R definida por
/'—'"Pxif) = {f, x). Cuando x recorre E se obtiene una familia de aplicaciones (<px)x e E de E' en
R.
Definici6n.—La topologia debil * designada tambien por o(E', E) es la topologia menos fina
sobre E' que hace continuas a todas las aplicaciones (<pjx e E.
Como E C E", resulta claro que la topologia a(E', E) es menos fina que la topologia
o(E', E")- Dicho de otro modo, la topologia <t(E', E) posee menos abiertos (resp. cerrados)
que la topologia a(E', E"). que a su vez posee menor abiertos (resp. cerrados) que la topologia
fuerte.
Nota 8.—Quiza el lector se extrafle de esta «obstinaci6n» en empobrecer las topologias. El
motivo es el siguiente: si una topologia posee menos abiertos tambien posee mas compactos.
Veremos, por ejemplo, que la bola unidad de E' tiene la notable propiedad de ser compacta
para la topologia debil * a(E', E). Los conjuntos compactos juegan un papel fundamental
cuando se trata de establecer teoremas de existencia. De ahi la importancia de esta topologia.
Proposici6n III.10.—La topologia dibil *a(E', E) es separada.
Demostraci6n.—Sean /, y /2 en E' con /, * /2. Existe entonces un x E E tal que
</,,*>* </2, x) (aqui no se utiliza el teorema de Hahn-Banach, sino la definici6n de/, * /2).
Supongamos, para fijar ideas, que /,, x < f2,xe introduzcamos a tal que
</,, x> < ex < </2, x>.
Sepone
O, = !/eE'; </; x> < ex} = (p;'Q- oo, cx[)
O2 = {/eF; </, x> >cx} = (pJ'Qcx, + oo[).
O, y O2 son abiertos —en a(E', E)— que verifican/, E O,, /2 E O2, y O, n O2 = 0.
Proposici6n III.ll.— Se obtiene una base de entornos de un punto /„ E E' para la topologia
o(E', E) al considerar todos los conjuntos de la forma
V = j/eE'i |</-/o. jt,>| <e V/el}
donde I esfinito, jc, E E y £ > 0.
Demostraci6n.—Copiar la demostraci6n de la proposici6n III.4.
Notaci6n.—Dada una sucesi6n (fn) en E' se designa con /„ 4/ la convergencia de/n a/en la
topologia debil * o(E', E). Con el fin de evitar confusiones, se precisa a menudo «/n ^/en
o(E', E)», «/„ ^ /en o(E', E")» y «/„ — /fuertemente».
• Proposici6n 111.12.— Sea (/"„) una sucesidn deE'. Se veriflca
@ fn * fen <KE', E)] o[{fn, x) ~ <f, x) vjc E E]
(ii) Sifn - f fuertemente, entonces fn ^ f en o(E', E")
Sifn ^fen o(E', E"), entonces fnZ fen o(E', E).
(') La terminologia debil* es una traduccibn del ingles weak*; la estrella recuerda que se trabaja sobre
el dual, designado por e* en la literatura americana.

Topologla ctebil 41
(Hi) Sifn *• feno(Y.', E) entonces H/J estd acotado yl/k < Urn inf H/J.
(iv) Sifn 4 / en a(E', E) y si xn — xfuertemente en E, entonces (/"„ *„) — (J, x).
Demostraci6n.—Calcar la demostraci6n de la proposici6n III.5.
Nota 9.—Si /„ */ en o-(E', E) (o incluso si/n —/en o-(E', E")) y si *„ — xen o-(E, E') no
se puede concluir que (fn, xn) — if, x) (intentese construir un ejemplo en un espacio de
HObert).
Nota 10.—Cuando E es de dimensi6n finita, las tres topologias (fuerte, a(E', E") y <*(E', E))
coinciden; en efecto, J es entonces sobreyectiva de E sobre E"ya que dimE = dimE' = dimE"
ypor consiguiente o(E', E) = o(E', E").
* Proposici6n III. 13.—Sea (p : E' — R una aplicacidn lineal y continua para la topologia
o(E', E). Entonces existe x G E to/ que
<P</) = if, x) v/ - E'
La demostraci6n utiliza un lema algebraico muy util.
Lema III.2.— Sea X un espacio vectorialy sean cp,, cp2 (pnformas lineales sobre X tales que
B) IVM = 0 Vi = 1, 2, ...«]=> [<p(v) = 0].
n
Entonces existen X,, X2 Xn G R tales que <p = X KVi-
Demostraci6n del lema III.2.—Consideremos la aplicacidn F : X — R" + 1 definida por
F(u) = [<p(u), cp] (u), cp2 (u), ... <pn(u)].
Resulta de la hip6tesis B) que a = [1, 0, ..., 0] no pertenece a R(F). Se pueden asi separar es-
trictamente (a) y R(F) por un hiperplano en R" +' i.e. existen X, X,, X2, ..., Xn G R y ex e R tales
que
n
X < a. < kq>(u) + X Kf>Au) Vu e X.
Por consiguiente, se tiene
yX < 0 (de donde X * 0).
Demostraci6n de la proposici6n III. 13.—Como <p es continua para <r(E', E) existe un entor-
noVdeOen a(E', E) tal que
|(p(/)| < 1 V/eV.
Y se puede suponer que V es de la forma
V = {/eE'; |</ x,>| <e V/ = 1, 2 ... n)

42 Topologias ddbiles
con x, E E y £ > 0. En particular, si (f, x,) = 0 vi = 1, 2, ..., n, entonces <p(/) = 0. Aplican-
do el lema III.2 se ve que
I A, </,*■> = </', I V,> V/eE'.
1=1 ,=i
* Corolario 111.14.—Sea H un hiperplano de E' cerrado en la topologia a(E', E). Entonces H
es de la forma
H=!/eE'; </ *> = aJ
para a/gun x € E, x * 0 >> a/?un a € R.
Demostraci6n.—El conjunto H es de la forma
H = 1/eE'; <p(/) = «}
donde (p es una aplicaci6n lineal de E' en R, cp =£ 0. Sea/0 ^ H y sea V un entorno de/0 en
la topologia o(E', E) tal que V C Q H. Se puede suponer que
V = !/eE'; |</-/0, x,>| <e Vi = 1, 2, . . . n}
Gracias a la convexidad de V, se tiene
C> <p(/) < a V/e V
o bien
C') <p(/) > a V/e V.
De C) se deduce que
y como — W = W, se obtiene
D) |(pC)| sj |a - <p(/0)| V3 e W.
Se llega a la misma conclusi6n a partir de la hip6tesis C'). Resulta de D) que (p es continua en
0 para la topologia a(E', E) (ya que W es un entorno de 0). Se puede entonces aplicar la pro-
posici6n III. 13: existe x € E tal que
<P(/) = </,*>
Nota 11.—Cuando J noes sobreyectivadeE sobreE" (i.e. E * E"), la topologia ct(E', E)eses-
trictamente menos fina que la topologia o(E', E). Existen incluso convexos cerrados en o(E', E")
que no son cerrados en o(E', E). Por ejemplo si J € E" y J £ J(E), entonces
H = {/eE'; <!j, /> =0}
es un hiperplano cerrado en a(E', E"), pero no es cerrado en o(E', E) (ver corolario III.14).
Retengamos que existen dos tipos de convexos cerrados en E':
a) los convexos fuertemente cerrados [o cerrados en a(E', E") —que coinciden, segun el
teorema III.7],
b) los convexos cerrados en a(E', E).
• Teorema 111.15 (Banach-Alaoglu-Bourbaki).— El conjunto Bj., = [f G E'; 11/11 sj \) es com-
pacto en la topologia dibil * o(E', E).

Espacios refiexivos 43
Nota 12.—Veremos mas adelante (teorema VI.5) que la bola unidad cerrada de un espacio
normado de dimensi6n infinita nunca es compacta en la topologia fuerte. Se comprende ahora
la importancia fundamental de la topologia a(E', E) y del teorema III.IS.
Demostraci6n.—Se considera el espacio producto Y = RE, y se designan los elementos de Y
por co = (cov)v eE con cov G R . El espacio Y esta dotado de la topologia producto (ver, por
ejemplo, Dixmier [1] o L. Schwartz [2]) i.e. la topologia menos fina sobre Y que hace conti-
nuas a todas las aplicaciones u> i—► cov (cuando x varia en E). En lo que sigue se dotara sistemati-
camente a E' de la topologia <r(E', E). Se considera la aplicacidn 4> : E' — Y deflnida por
*(/) = (</, x)),eE. Claramente 4> es continua de E' en Y (observese que para cada x E E fijo,
la aplicaci6n/i—►(#(/))x = (f, x)es continua y utilicese la proposici6n III.2). Demostremos
que 4> es un homeomorfismo de E' sobre 4> (E'). Claramente 4> es inyectiva; comprobemos
que *' es continua. Es suficiente (en virtud de la proposici6n III.2) demostrar que para todo
x € E fijo, la aplicaci6n on—►(*1(co), x)es continua sobre <J>(E); y esto es evidente ya que
(i'\oi), X) = cox.
Por otra parte es claro que 4>(BE.) = K donde
K = {co e Y; |coj < ||x||, <j)x+i = (or + ©>, coXjt = Xmx VX e R, Vx, y eE}.
Basta entonces demostrar que K es un compacto de Y para concluir que BE es un compacto de
E'.
Peio K = K, n K2 con
K, = {coeY; |wj < ||x|| Vx e EJ
K2 = {coeY; wx+y = (ox + (oy y coXjt = k(ox VX e R, Vx, yeEj.
El conjunto K, = J~[ [- ||x||, + ||x||] es compacto (como producto de intervalos compactos
—recordemos que el producto de espacios compactos es compacto, ver por ejemplo Dixmier
[1], L. Schwartz [2]). Por ultimo K2 es cerrado; en efecto, para cada X€ U, y x, y E E fijos
los conjuntos
AX|> = {weY; co^ + ) - co^ - w, = 0}
Bx,x = {coeY; coXjt - Xu« = 0}
son cerrados (por ser continuas las aplicaciones
III.5. Espacios refiexivos
Definici6n.—Sea E un espacio de Banach y sea J la inyecci6n can6nica de E en E" (ver
S III.4). Se dice que E es refiexivo si J(E) = E".
Cuando Ees refiexivo se identifican implicitamente E y E" (con ayuda del isomorflsmo J).
♦ Nota 13.—Es esencial utilizar J en la definici6n anterior. Se puede construir (ver James [1])
un ejemplo sorprendente de espacio no refiexivo E para el que existe una isometria sobreyecti-
vadeEen E".
El siguiente resultado enuncia una caracterizaci6n importante de los espacios refiexivos.

44 Topologies ctebiles
• Teorema 111.16.—Sea E un espacio de Banach. Entonces E es reflexivo siysdlo si
BE={xeE; ||x|| < 1}
es compacto en la topologla o-(E, E').
Demostraci6n.—Supongamos primero que E es reflexivo. Entonces -KBg) = BE.. Por otra
parte (teorema III. 15) BE. es compacto en la topologia a(E", E'). Asi, es suficiente comprobar
que J es continua de E" dotado de <r(E", E') con valores de E dotado de a(E, E'). Y esto se
reduce a probar que (cf. proposici6n III.2) para toda/ E E' fija la aplicaci6n £i—► (f, J~'£)es
continua sobre E" dotado de a(E", E'). Pero <f, J-'£) = (£, f) y la aplicaci6n f i—► <f, /> es
continua sobre E" dotado de o(E", E').
Para establecer el reciproco utilizaremos dos lemas:
Lema III.3 (Helly).—Sean E un espacio de Banach, /,, /2, ...,/„€ E' y au <*2, ..., an G R
fijos.
Las siguientes propiedades son equivalentes:
(i) Ve > 0 3xeeE talque \\xt\\ < 1 y
|</, x£> --ot,| < e Vi= 1, 1 ... n,
(ii)
I P,«.
I P./ vp,,p2 ... p.
Demostraci6n.
ft
(i) => (ii). Fijemos j3,, |32, ..., |3n y pongamos S = ^ |P,|. Resulta de i) que
I Pi</,,X.>- I P.CX,.
< eS
y asi
De donde (ii).
I p.«,
^^ rlJ I
eS
Pi/J + eS, Ve > 0.
(ii) => (i). Pongamos ? = («„ a2> •••. a«) G R" y consideremos la aplicaci6n (p : E — R"
definida por (p(x) = (</"„ x^ (/i, x) ... (/„, xj. La propiedad (i) expresa que c? € <p(B^). Razo-
nemos por reducci6n al absurdo suponiendo que c? ^L (Bg). Se pueden entonces separar estric-
tamente en R", { ex } y (p(BE) i.e. y existe p = (P,, p2 ... pj e R" y existe 7 E R tales que
Por consiguiente
(p (x). P < y < a. . P Vx e BE .
= V < I «,Pi
I = 1
I P,/| < v < I ot,.p,.
e BE
lo que contradice (ii).
Lema III.4 (Goldstine).— Sea E un espacio de Banach. Entonces KB^ es denso en BE. para la
topologia ct(E", E').

Espacios reflexivos 45
Demostraci6n.—Sea £ E BE. y sea V un entorno de £ en la topologia o(E", E'). Se ha de
probar que J(BE) n V * 0. Se puede suponer que V es de la forma
V = {neE"; |<ti - Z,,Q\ <e, V; = 1, 2... n}.
Se trata de hallar x E BE tal que
|</,, *> - «,/i>l <e, V; = 1, 2...n.
Pongamos a, = (£,/) y observemos que V/3,, |32, ..., /3n € R se tiene
I Pi«(
5, I
(por ser B£ll < 1). Segun el lema III.3 existe xz E BE tal que K/j, x£> - a,| < e V; = 1, 2 ... n
Le. J(x£)eJ(BE) n V.
Nota 14.—Observese que J(BE) es cerrado en BE. para la topologia fuerte (utilizar el hecho de
que BE es completo y J es una isometria). Asi, en general, J(BE) no es denso en BE. para la to-
topologia fuerte —salvo, claro esta, que E sea reflexivo, en cuyo caso se tiene JfBg) = BE-.
Nota 15.—En [BT] se puede encontrar una demostraci6n directa del lema III.4 basada en una
aplicaci6n del teorema de Hahn-Banach en E".
Nota 16.—Por supuesto, los espacios de dimensi6n finita son reflexivos.
Fin de la demostraci6n del teorema III. 16. Supongamos ahora que BE es compacto en la
topologia a(E, E').
Observemos primeramente que J : E — E" es continua para las topologias fuertes, y asi (teorema
III.9) J tambien es continua para las topologias debiles a(E, E') — <r(E", E '"). A fortiori J es
continua para las topologias a(E, E') — a(E", E'). Por consiguiente J(BE) es compacto en la
topologia a(E", E'). Como J(BE) es denso en BE. para la topologia a(E", E') (lema III.4) se
concluye que
J(Be) = BE. y asi J(E) = E".
Indiquemos ahora algunas propiedades element ales de los espacios reflexivos.
• Proposici6n 111.17.—Sea E un espacio de Banach y sea M C E un subespacio vectorial ce-
cerrado. Entonces M —dotado de la norma inducida por E— es reflexivo.
Demostraci6n.—Observemos primeramente que sobre M se tienen deflnidas dos topologias
debiles:
a) La topologia o(M, M').
b) La traza sobre M de la topologia a(E, E').
Se comprueba facilmente («jugando» con restricciones y extensiones de formas lineales) que es-
tas dos topologias coinciden.
Se ha de demostrar (en virtud del teorema III. 16) que BM es compacto en la topologia
«(M, M'). Pero BE es compacto en la topologia o(E, E') y M es cerrado en la topologia
o(E, E') (teorema III.7). Por tanto BM es compacto en la topologia o(E, E'), luego tambien en
la topologia o(M, M').
Corolario 111.18.—Sea E un espacio de Banach.
Entonces E es reflexivo si y solamente si E' es reflexivo.

46 Topologlas ddbiles
Demostraci6n.—E reflexlvo =» E" reflexive Se sabe (teorema III. 15) que BE. es compacto en
ct(E', E). Por otra parte se tiene a(E', E) = <r(E', E") por ser E reflexive Por consiguiente
Bg. es compacto en o(E', E"), y asi E' es reflexivo (teorema 111.16).
E' reflexivo => E refiexivo. Se sabe (por la etapa anterior) que E" es reflexivo. Como J(E)es
un subespacio cerrado de E" resulta que J(E) es reflexivo. Por consiguiente E es reflexivo (').
• Corolario 111.19.—Sea E un espacio de Banach reflexivo. Sea K C E un subconjunto conve-
convexo, cerrado y acotado. Entonces K es compacto en la topologia o(E, E').
Demostraci6n.—K es cerrado en la topologia a(E, E') (teorema III.7). Por otro lado existe
una constante m tal que K C mBE, y /mBe es compacto en a(E, E') (teorema III. 16).
• Corolario 111.20.— Sean E un espacio de Banach reflexivo, Ac Em convexo cerrado no
vacio >»(p:A—]-oo, + oo] una funcidn convexa, s.c.L, (p * + <x> tal que
E) lim <p(x) = + oo (ninguna hipdtesis si A es acotado).
xeA
|-00
Entonces cp alcanza su minimo sobre A, i.e. existe x0E A tal que cp(x0) = Min (p.
A
Demostraci6n.—Sea a € A tal que \0 = <p(a) < + oo. Se considera el conjunto
A = {x e A; (p(x) < k0}.
A es un convexo cerrado y acotado (en virtud de E)), y por tanto compacto en la topologia
ct(E, E'). Por otra parte (pes s.c.i. en la topologia a(E, E') (corolario III.8). Por consiguiente
(p alcanza su minimo sobre A: existe x0 E A tal que
(p(x0) < (p(x) Vx e A.
Si x € A \ A tenemos (p(x0) < (p(a) < <p(x) y asi, de hecho
<P(*o) < 9(x) v x E A
Nota 17.—El corolario III.20 explica el papel esencial que juegan los espacios refiexivos y las
funciones convexas en el calculo de variaciones, el control 6ptimo, etc.
Teorema 111.21.—Sean E y F dos espacios de Banach refiexivos. Sea A : D(A) cE-Fib
operador lineal no acotado, cerrado y con D(A) = E.
Entonces D(A*) es denso en F'.
Esto permite introducir A** : D(A**) C E" — ¥" y considerar A** como operador no acota-
acotado de E en F.
Entonces A** = A.
Demostraci6n.
1) D(A*) es denso en F'. Sea (p una forma lineal continua sobre F', nula sobre D(A*). Se
(') Es evidente que si E y F son espacios de Banach y si T es una isometria sobreyectiva de E sobre F
entonces (E reflexivo) « (F reflexivo). ;Esto no esta en contradicci6n con la nota 13!

Espacios separables 47
trata de probar (corolario 1.8) que <p a 0. Como F es reflexivo, se puede suponer que <p E F y
que
F) <w, <p> = 0 Vwe D(A*).
Si <p * 0, entonces [0, (p] ^ G(A) en E x F. Se separan entonces estrictamente [0, (p] y G(A)
conun hiperplano cerrado en E x F, i.e. existe [f, v] E E' x F' tal que
</, u> + <i>, Au> < a < <d, (p> Vu e D(A).
Resulta de ello, en particular, que
</, u> + <i>, Au> =0 Vu e D(A)
y
<t>, <p> # 0.
Asi, v E D(A*) y se obtiene una contradicci6n al elegir w = i> en F).
Por consiguiente (p = 0 y D(A*) es denso en F'
2) A** = A.
Se utilizan las relaciones
J[G(A*)] =G(A^
J[G(A")] = G(A'I
(ver § II.6) ('); de las que resulta
G(A**) = G(A>^ = G(A)
ya que A es cerrado.
III.6. Espacios separables
Definici6n.—Se dice que un espacio metrico es separable si existe un subconjunto D C E nu-
numerable y denso.
Proposici6n III.22.-5fa E un espacio mitrico separable y sea F un subconjunto de E. Enton-
Entonces ¥ es separable.
Demostraci6n.—Sea («„) una sucesi6n numerable densa en E. Sea (rm) una sucesi6n de nume-
ros reales positivos con rm — 0. Se eligen (arbitrariamente) am „ E B(«/n, rm) n F cuando este
conjunto no es vacio. Claramente, la sucesidn (amn) constituye un subconjunto numerable y
denso en F.
Teorema 111.23.—Sea E un espacio de Banach tal que E' es separable.
Entonces E es separable.
Nota 18.—El reciproco no es cierto. Existen espacios de Banach E separables tales que E' no
es separable; por ejemplo E = L'(fi) (ver capitulo IV).
Demostraci6n.—Se designa por (/„)„s , una sucesidn numerable y densa en E'. Como
||/J| = Sup</.,x>(
(') Aqui J designa la aplicacibn [v, J] i—► [-/, v]; ique no tiene nada que ver con la inyeccibn can6nica
deEenE"!

48 Topologias ctebiles
existe x. € E con
= 1 y </., x.> > -
Se designa por Lo el espacio vectorial sobre Q generado por los (*„)„ a , i.e. el conjunto de las
combinaciones lineales finitas con coeficientes en Q de elementos de (xn)n a ,. Observese que Lq
es numerable; en efecto, para cada «, An = espacio vectorial sobre Q generado por
[jti, x2, .... xn] esta en correspondencia biyectiva con un subconjunto de Q" y Lo = U An,
nil
Sea L el espacio vectorial sobre R generado por los (xn)nj! ,-. Esta claro que Lo es un subcon-
subconjunto denso de L. Comprobemos que L es denso en E (de lo cual resultara que Lo es denso en E
y por tanto que E es separable). Sea/ E E' tal que</, x} = 0 para todo x € L; demostremos
(corolario 1.8) que/ = 0. Dado £ > 0 existe n tal que B/ — fjt < £; se tiene
\ II/JI < </., *„> = </„ -/, xn> + if, xn> < e
(ya que <f, xn) = 0. Asi B/ll < B/ - /nll + B/nll < 3 £. Por consiguiente/ = 0.
Corolario 111.24.— Sea E un espacio de Banach.
Entonces (E es reflexivo y separable) «. (E' es reflexivo y separable).
Demostraci6n.—Se sabe (corolario III. 18 y teorema III.23) que (E' reflexivo y separable) =•
(E reflexivo y separable). Inversamente, si E es reflexivo y separable, entonces E" = J(E) es re-
reflexivo y separable; y asi E' es reflexivo y separable.
Las propiedades de separabilidad estan estrechamente ligadas a la metrizabilidad de las to-
topologias debiles.
Teorema 111.25.—Sea E un espacio de Banach separable. Entonces BE es metrizable para la to-
pologia a(E', E)(').
Reciprocamente, si BE es metrizable para a(E', E), entonces E es separable.
Nota 19.—El espacio total E' nunca es metrizable para la topologia w(E', E) —excepto en el
caso de dimensi6n finita. Ver [BT].
Demostraci6n.—Sea (xn)n ^, un subconjunto numerable denso de BE (tomar D numerable
denso en E y considerar D fl BE). Para f,g£ BE., se define
Claramente d es una metrica. Demostremos que sobre. BE la topologia asociada a d coincide
cona(E', E).
a) Sea/0 E BE. y sea V un entorno de/0 en a(E', E). Probemos que existe r > 0 tal que
U = {/eBE.; d(f,f0) <r] a V.
(') Es decir, existe una metrica definida sobre BE. tal que la topologia asociada coincide con a(E', E)
sobre BE..

Espacios separable!
Se puede suponer que V es de la forma
V = {/eBE.; |</-/0, y;>| < e V« =1,2, ... *:}
y, sin perdida de generalidad, \\y,\\ < 1 para todo / = 1, 2, .... k. Como la sucesi6n (xn)n2 , es
densa en BE para cada /' se puede encontrar un entero «,■ tal que Vty; — xn II < —. Fijemos r > 0
£ ' 4
tal que 2"r < — para todo / = 1,2, ..., k; y demostremos que U c V.
En efecto, si d(f, /q) < r, se tiene
Yn, K/-/o. Xn)\ <r V<= 1, 2, ... k
yasi
E E
n, 2 2
Vi =1,2, ... k.
De donde f E V.
b) Sea/0 E BE.. Fijemos r > 0 y demostremos que existe V entorno de/0 para a(E', E) en
Be. tal que
V^U = {/eBE. ;</(/,/„)< r}.
Tomemos V de la forma
V = {/eBE.; |</-/0, xf>| < e, Vi = 1, 2 ... k}.
y determinemos k y £ para que V C U. Si/ € V, se tiene
. - 1 2" " „ _ 4 + .2" 0 > n I A -jn "" ">* - 1
Se eligen entonces £ < — y k suficientemente grande para que — < —
2, 2 2
* Reciprocamente, supongamos que BE. es metrizable para o(E', E) y demostraremos que E es
separable. Sea Un = </eBE.; d(f,O) < ->y sea Vnun entorno deO en a(E', E)talqueVn C Un.
I n)
Podemos suponer que Vn es de la forma
V. = {/eBE.; |</, x>| < e., Vx.eO.}
oo
donde *„ C Ees un subconjunto finite Observemos que D = (J <!>„ es numerable. Por otra
parte »=i
fj V. = {0} y asi «/, x> = 0 Vx e D) => (f = 0).
It = 1
Resulta de ello que el espacio vectorial generado por D es denso en E; de donde E es separable.

50 Topologias d6biles
«Simetricamente» se tiene el
* Teorema III.25'.—Sea E un espacio de Banach tal que E' es separable. Entonces BE es me-
trizable en la topologia a(E', E).
Y reclprocamente.
Para demostrar la implicaci6n (E' separable) =» (BE metrizable para la topologia a(E, E'))
se puede repetir palabra por palabra la demostraci6n del teorema III.25 cambiando los papeles
da E y E'.El reciproco es mas delicado; ver por ejemplo Dunford-Schwartz [1] o [BT].
• Corolario III.26.—Sea E un espacio de Banach separable y sea </„) una sucesidn acotada en
E'. Entonces existe una subsucesidn (fn ) que converge en la topologia a(E', E).
Demostraci6n.—Supongamos, para fijar ideas, que ll/nll < 1 para todo n. El conjunto BE. es
compacto y metrizable en la topologia a(E', E) (teoremas III. 15 y 111.25). De ahi la conclusi6n.
• Teorema III.27. Sea E un espacio de Banach reflexivo y sea (xn) una sucesidn acotada en E.
Entonces existe una subsucesidn (xn^ que converge en la topologia o(E, E').
Demostraci6n.—Sea Mo el espacio vectorial generado por los (xn) y sea M = Mo. M es un es-
espacio separable (ver la demostraci6n del teorema III.23). Ademas M es reflexivo (por la propo-
sici6n III. 17). Resulta de ello que BM es un conjunto metrizable y compacto en la topologia
ct(M, M'). En efecto, M' es separable (corolario 111.24) y, por tanto, BM. (= BM) es metrizable
en a(M", M') (= a(M, M')) gracias al teorema III.25. Se puede entonces extraer una subsuce-
subsucesidn (jcnj que converge en la topologia a(M, M'). Se deduce de esto que (xn^) converge tambien
en la topologia a(E, E') (por restricci6n a M de las formas lineales continuas sobre E).
Nota 20.—El reciproco del teorema III.27 tambien es cierto. Mas exactamente se tiene el
* Teorema III.28 (Eberlein-Smulian).—Sea E un espacio de Banach tal que toda sucesidn aco-
acotada (xn) posee una subsucesidn (xn/) convergente en la topologia a(E, E'). Entonces E es refle-
reflexivo.
La demostraci6n es delicada; ver por ejemplo Holmes [1], Yosida [1], Dunford-Schwartz
[1] o [BT]. Con el fin de precisar el interes del teorema III.28 recordemos que:
i) un espacio topoI6gico (general) en el que toda sucesion posee una subsucesidn convergen-
convergente no es necesariamente compacto.
ii) en un espacio topoI6gico compacto pueden existir sucesiones que no poseen ninguna sub-
subsucesidn convergente.
iii) en un espacio metrico
(compacto) •» (toda sucesidn posee una subsucesidn convergente).
Existen efectivamente ejemplos de espacios de Banach E y de sucesiones acotadas (/") en E'
que no poseen ninguna subsucesidn convergente en la topologia a(E', E); ver [BT]. Natural-
mente, tal E no es ni reflexivo ni separable; en este caso el conjunto BE. provisto de la topolo-
topologia a(E', E) es compacto y no metrizable.

Espacios uniformemente convexos 51
III.7. Espacios uniformemente convexos
Definici6n.—Se dice que un espacio de Banach E es uniformemente convexo si v £ > 0,
3 6 > 0 tal que
x, y e E, ||x|| sS I,
I y ||x -
> e
x + y
< I - 5 .
Observese que en esta definici6n interviene una propiedad geometrica de la bola unidad (que
ha de ser «muy redonda») y que no es estable al cambiar a una norma equivalente.
Ejemplo 1.—T6mese E = R2. La norma ||x||2 = (|x,|2 + |x2|2J es uniformemente convexa,
mientras que la norma llxll, = |x,| + |jc2| no es uniformemente convexa. Podemos conven-
cernos de esto «mirando» las imagenes de las bolas unidad ('):
Bola unidad de E para
Bola unidad de E para II II
Ejemplo 2.—Mas adelante veremos (cf. capitulos IV y V) que los espacios de Hilbert son uni-
uniformemente convexos, asi como los espacios V (fi) para 1 < p < oo. Por el contrario L'(fi),
L" (Q) y C(K) (K compacto) no son uniformemente convexos.
• Teorema 111.29.—Todo espacio de Banach uniformemente convexo es reflexivo.
Nota 21.—Es sorprendente que una propiedad de naturaleza geometrica (la convexidad uni-
forme) implique una propiedad de naturaleza topoI6gica (reflexividad). La convexidad unifor-
me suele ser una herramienta c6moda para demostrar que un espacio es reflexivo [pero este
metodo no siempre funciona: existen espacios reflexivos que no poseen ninguna norma equiva-
equivalente uniformemente convexa].
Demostraci6n.—Sea £ € E" con ll^ll = 1. Se trata de demostrar que £ € J(Be). Como
es fuertemente cerrado en E", es suficiente probar que
Ve > 0 3x e BE tal que
- J(x)|| < e.
Sea entonces £ < 0 fijo y sea 5 < 0 el correspondiente a la definicidn de convexidad uniforme.
Sedige/ E E' con ||/|| = 1 tal que
F)
(esto es posible ya que ll£ll = 1).
Sepone
/> > 1 - 2
(') A titulo de ejercicio hagase tambien el razonamiento con £ y 6.

52 Topologlas dtbiles
de forma que V es un entorno de £ para la topologia o(E", E'). Segiin el lema III.4 se sabe que
V ("I J(BE) * 0. Fijemos x G BE tal que J(x) G V.
Demostremos que £ G J(x) + £BE. —y esto terminara la demostraci6n. Razonemos por
reducci6n al absurdo suponiendo que £ G C(JW + E be-) = w- Observese que W es tambien
un entorno de £ en la topologia <r(E", E') (ya que BE. es cerrado en la topologia <KE", E'))- Al
aplicar nuevamente el lema III.4 se obtiene que (V n W) n J(BE) * 0 i.e. existe X G BE tal
que J(fl£Vn W. Resulta entonces (por ser J(x), J(x) G V)
Y asi, al sumar
x>
+5
y por F),
x + x
Por consiguiente (convexidad uniforme) Bjc — JPII < £. Pero
tambien (jc - fll > e por ser J(j?) G W, llegandose a un absurdo.
Terminemos con una propiedad util de los espacios uniformemente convexos.
Proposici6n III.30.—Sea E un espacio de Banach uniformemente convexo. Sea (xn) una suce-
sidn en E tal que xn — x en la topologia dibit o(E, E') y
lim sup ||jrj
Entonces xn — x fuertemente.
Demostraci6n.—Se puede suponer que x * 0 (en caso contrario, la conclusi6n es evidente).
Sea
X, = Max {llxJI, ||x||}
de modo que Xn — ixi. Se pone
Entonces yn — y en o(E, E'). De esto se deduce que
III.5 (iii)).
lim inf
(cf. proposici6n
Por otra parte
= 1,
1 y asi de hecho es
resulta que tyn — >»H — 0. Por tanto xn - x fuertemente.
1. Por la convexidad uniforme
Comentarios sobre el capitulo III.
1) Las topologias o(E, E'), o(E', E") y o(E', E) son topologias localmente convexas sepa-
radas. Poseen por tanto las propiedades generates de los e.l.c.s. Entre otros, los teoremas
de Hahn-Banach (formas geometricas), el teorema de Krein-Milman, etc., permanecen vali-
dos; ver Bourbaki [1] y [BT].

Comentarios sobre el capltulo III 53
2) Merecen ser citados otros resultados sobre topologias debiles. Por ejemplo, el
* Teorema 111.31 (Banadi-Krein-Smulian).— Sea E un espacio de Banach y sea C C E' un
eonvexo. Supongamos que
V n, CO («BE ) es cerrado en la topologla a(E', E)
Entonces C es cerrado en la topologla a(E', E).
El lector interesado puede encontrar la demostraci6n en Bourbaki [1], Larsen [1], Holmes
[1], Dunford-Schwartz [1], Schaefer [1] y como ejercicio en [BTJ. Las referencias citadas con-
tienen tambien otras numerosas propiedades ligadas al teorema de Eberlein-Smulian.
3) La teoria de espacios vectoriales en dualidad, que generaliza la dualidad o(E, E'), conoci6
nis momentos de gloria durante los aflos 1940-1950. Se dice que dos espacios vectoriales X e Y
estan en dualidad si existe una forma bilineal < , ) sobre X x Y que separa puntos (i.e.
Vjr * 0, ay tal que (x, y) * 0 y vy * 0, ix tal que (x, y) * 0). Se puede definir sobre X
(resp. sobre Y) una multitud de topologias localmente cpnvexas. Entre las mas frecuentes re-
cordemos, ademas de la topologia debil o(X, Y), la topologia de Mackey r(X, Y), la topologia
faerte /3(X, Y), etc. Estas topologias desempeflan un papel interesante cuando se trabaja en es-
espacios no normados, por ejemplo, en los espacios que aparecen en la teoria de las distribucio-
nes. Sobre la teoria de espacios vectoriales en dualidad se pueden consultar Bourbaki [1],
Schaefer [1], Kothe [1], Treves [1], Kelley-Namioka [1], Edwards [1].
4) Las propiedades de separabilidad, de reflexividad, y de convexidad uniforme estan tambien
estrechamente ligadas a las propiedades de diferendabilidad de la funci6n x *-* HjcH (ver Diestel
[1], Beauzamy [1] y [BT]). La existencia de una norma equivalente que posea buenas propieda-
propiedades geometricas es un tema muy estudiado; por ejemplo, <,c6mo caracterizar los espacios de
Banach que poseen una norma equivalente uniformemente convexa? (')• La geometric de los
Mpados de Banach ha conocido un desarrollo espectacular desde hace quince aflos, gracias en-
entre otros a los trabajos de James, Lindenstrauss, Enflo, L. Schwartz y su equipo (Pisier, Mau-
rey, Beauzamy...), etc. Sobre este tema se pueden consultar Beauzamy [1], Diestel [1],
Iindenstrauss-Tzafriri [2] y L. Schwartz [4].
(') Estos espacios se Hainan super-reflexivos, ver Diestel [1] y Beauzamy [1].

Capitulo IV
LOS ESPACIOS 1/
En todo lo que sigue, fi designa un abierto de R N dotado de la medida de Lebesgue dx. Se
supone que el lector esta familiarizado con las nociones de funci6n integrable, funci6n inedible
y conjunto de medida cero; ver por ejemplo Marie [1], Rudin [2], Guichardet [1], Dieudonne
[2], Kolmogorov-Fomin [1], Chae [1], Hewitt-Stromberg [1], Wheeden-Zygmund [1], etc. Se
designa por L'(fi) el espacio de las funciones integrables sobre fi con valores de R. Se escribe.
-I
II/IIl- = I/Ml dx.
Ja
Cuando no hay ambigiiedad, se escribe L1 en lugar de L'(fi) y J/en lugar de J f[x)dx. Como
es habitual, se identifican dos funciones de L1 que coinciden c.t.p. = para casi todo punto
(= excepto en un conjunto de medida nula).
Extraordinariamente utiles, recordemos...
IV. 1. Algunos resultados de integraci6n
que es absolutamente necesario conocer
• Teorema IV.1 (Teorema de la convergencia mon6tona de Beppo Leyi).—Sea (/"„) una suce-
sidn creciente de funciones de Vtal que Sup j/n < oo.
ft
Entonces fn(x) converge c.t.p. en Q a un limite finito denotado por fix); ademds f G L1 y
v.-yiL. -o.
• Teorema IV.2 (Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue).—Sea (fn) una sucesidn
de funciones de V. Supongamos que
a) /„(*) - fix) c.t.p. en fi,
b) existe una funcidn g G V tal que para cada n, \fn(x)\ $ g(x) c.t.p. en Q (').
(') Se dice que g es una mayorante integrable de las funciones (/"„).
54

Definicidn y propiedades elementales 55
Entoncesf G V(Q) y \fn -flLi - 0.
Lema IV.l (Lema de Fatou).— Sea </„) una sucesidn de funciones de V tal que
A) para cada n, fn{x) 3s 0 c.t.p. en fi.
B) Sup /„ < oo.
Para cada x G fi se pone f(x) = lim inf /„(*).
Entonces f G V(fl)y
inf
j/..
Notad6n.—Se designa por Cc(fi) el espacio de las funciones continuas en Q y con soporte com-
pwto,esdecir, Cc(fi) = [f G C(il);f(x) = 0«G fi\Kdonde K c fi es un compacto).
Teorema IV.3 (teorema de densidad).—El espacio Cc (fi) es denso en L'(fi); es decir
V/eL'(n) >- Ve>0, 3/,eCc(fi) to/9«« ||/-/,||L. < e.
Sean fi, c RNv fi2 c RN> abiertos y sea F: fi, x fi2 - R una funci6n medible.
Teorema IV.4 (Tonelli).—Supongamos que
I
|F(jc, y)\ dy < oo para casi todo x e fi,
yque
hi
\F(x, y)\ dy < oo.
Entonces F G L'(fi, x fij.
Teorema IV.5 (Fubini)—Supongamos que F G L'(fi, x fi2).
Entonces para casi todo x G fi,,
F(jc,>-NLi(fi2) y I F(jc,>-)rfy6Li(fi,).
Igualmente, para casi todo y G fi2,
i F(jc, >-) rfjreLjffi,)
•la,
•la,
Ademds se verifica
I rfx I F(x, >-) dy = I rfy I F(x, >-) dx = 11 F(x, y) dx dy.
IV.2. Definici6n y propiedades elementales
de los espacios LA
Definici6n. Seap G R con 1 $ p < oo; se define
L"(fi) = \f; fi - R; /medible y |/|" G L'(fi))

56 Los espacios Lp
y se nota
I Up
Jn
Mas adelante comprobaremos que II || Lp es norma.
Definid6n.—Se define
L" (fi) = [f: fi - R ;/es medible y existe una constante C tal que \J[x) < C c.t.p. en fi)
y se nota
||/||L» = Inf {C; |/(x)| <; C c.t.p. en ft}
Mas adelante comprobaremos que U U l°° es una norma.
Nota 1.—Si/ G L", entonces
I/Ml ^ II/IIl- c.t.p. en ft.
En efecto, existe una sucesi6n Cn tal qiie Cn - B/l l» y para cada n, \Ax)\ ^ Cn c.t.p. en fi.
Asi, \J{x)\ < Cn para todo x G fi \ En con En de medida cero. Se pone E = U E, de forma
que E es de medida cero y se tiene \J[x)\ ^ Cn para todo n y para todox G fi \ E. En conse-
cuencia I/Ml < II/IIl- para todo x G fi\E.
Notaci6n.—Sea 1 < p ^ oo; se designa porp' el exponente conjugado dep, i.e. _L + =i.
• Teorema IV.6 (Desigualdad de Holder).—S«m / G V y g G V con 1 < p ^ oo. Enton-
Entonces f • g G Vy
C) J \fg\ < ll/llu.
Demostraci6n.—La conclusi6n es evidente sip = 1 y sip = oo. Supongamos entonces que
1 < p < oo. Recordemos la desigualdad de Young.
(A) ab s£ - a" + - b"' Va 3* 0, Vfc 3s 0 (');
W P P'
la demostracion de D) es evidente: al ser la funci6n log c6ncava sobre ]0, oo [ se tiene
log ( - a" + — h? ) 3* - log a" + - log ¥ = log ab-
\p p' ) P P
Y entonces
I/MII0MI ^ - I/Ml" + - toMI' c.t.p.xefi.
p p
De donde resulta que fg G L1 y que
E) \\fg\ ^ - WfW'w + -, \\g\\(p'
J P P
(') Que a veces se utilizara tambi6n en la forma ab ^ za" + C^ con C, = e p~i.

Defmicidn y propiedades elementales 57
Sustituyendo en E)fpor )f(k > 0) resulta
I
J
\fg\ ^ — II/H'lp + ~ \\g\\(p:
P Xp'
Eligiendo X = ||/||u> \\g\\[/ (para minimizar el termino de la derecha en F)), se obtiene C).
Nota 2.—Es conveniente retener una consecuencia muy util de la desigualdad de Holder: sean
/,,/2 fk funciones tales que
/ 6 L'-(Q) 1 s£ / s£ Jfc con - = — +—+... +1^1.
P Pi Pi Pk
Entonces el producto / = /, /2 ..../* pertenece a L"(fi) y
II/IIlp < ll/illi/. ••■IIAIIlp.-
En particular, si / G I/(fi) n L«(fi) con 1 < p « q < oo, entonces / G I/(fi) para todo
p ^ r ^ q y se verifica la desigualdad de interpolaci6n
ll/lli/^ ll/lllf II/IIl«" donde - = - + Lzl @ < a ^ 1);
r p q
ver [BT].
Teorema IV.7.—If es un espacio vectorialy $ (Lp es una normapara todo 1 ^ p ^ oo.
Demostraci6n.—Loscasosp = 1 yp = oo son evidentes (utilicese la nota 1).
Supongamos que 1 < p < oo y sean/, j 6 L". Se tiene
g(x)\> ^ (|/(x)| + \g(x)\Y ^ 2'(|/(x)|' + \g(x)\').
Por consiguiente / + a G L". Por otro lado se tiene
II/+<P = jlZ+al'-'l/s-al =
Pwo |/ + a|p~' G L"' y gracias a la desigualdad de Holder se obtiene
11/+ glfw ^ II/+ all^;1 II/Ulp + ||/ + all^'j
i.e. 11/ + a||LP ^ ||/||LP + ||g||LP.
* Teorema IV.8.—V es un espacio de Banach para todo 1 ^ p ^ oo.
Demostraci6n.
1) Supongamos primero que p = oo. Sea (/"„) una sucesi6n de Cauchy en L". Dado un entero
k > 1 existe Nk tal que
1
ll/m -/JIl- < £ Para m, n ^ Nt.
Y asi existe EA de medida cero tal que
G) I/.M -/.Wl < j^ Vx6fi\Et, Vm, « > Nt.
Poniendo E = \J Et (E es de medida cero), se observa que para todo x G Q \ E la sucesi6n

58 Los espacios Lp
/„(*) es de Cauchy (en R ). Sea /„(*) - f{x) para x G fi \ E. Al pasar al limite en G) cuando
m — oo se obtiene
1
|/(x) - /,(x)| < - Vx 6 fi\E, • Vn ^ Nt.
k
Asi/ G L" y \\f - /J|L* s£ - Vn 3s Nt. Por consiguiente 11/ - /JIL« -» °-
2) Supongamos ahora que 1 ^ p < oo. Sea (/"„) una sucesi6n de Cauchy en V. Para concluir
la demostraci6n es suficiente probar que una subsucesi6n es convergente en V.
Se extrae una subsucesi6n {fn^ tal que
1
11/,,,, -/JIlP ^ Tf V/t > 1
[Se procede como sigue: existe «, tal que ||/m -/r||LP ^ - para m, n ^ «,; se toma despues
«2 2; «! tal que ||/m - /,||LP ^ — para m, n < «2, etc.]. Demostraremos que/n^ converge en U
Para simplificar la notaci6n escribimos/* en lugar de/n^, de forma que se tiene
i
(8) ll/l + 1
Poniendo
resulta
Del teorema de la convergencia mon6tona se deduce que c.t.p. en fi, gn(x) converge a un limite,
que se denota g(x), con g G L". Por otra parte, para cada m ^ n > 2 se verifica
Y resulta de esto que c.t.p. en fi (fn(x)) es de Cauchy y converge a un limite, designado por fix).
Se tiene c.t.p. en fi
(9) |/(x) - fm(x)\ < g(x) para n > 2.
De donde resulta que / G L". Por ultimo ll/n -/ll u>- 0; en efecto, se tiene
c.t.p. y |/n(x) - /Wl^ g"(x) una mayorante integrable. Y se concluye gracias al teorema de
Lebesgue.
Teorema IV.9.—Sean (/„) una sucesidn en V y f G If, tales que ll/n - /IILP - 0. Entonces
existe una subsucesidn (fn/) tal que
(a) fnk(x) - fix) c.t.p. en fi
(W I/„*(*)! ^ h(x) vk y c.t.p. en fi, con h & V.
Demostracion.—El resultado es evidente para p = oo. Supongamos entonces que
1 ^ p < oo. Como la sucesi6n (/"„) es de Cauchy, se puede repetir la demostraci6n del teorema
1V.8 y extraer una subsucesi6n {fn^ verificando (8). Continuando como en la demostraci6n del

Reflexividad. Separabilidad. Dual de if 59
teorema 1V.8, se ve que/n^(x) converge c.t.-p. a un limite, que se designa por/* (x) ('). Ademas
se tiene, gracias a (9)
I/*M - /r,(x)| < g(x) V/c, c.t.p. en fi, con g e L".
De donde resulta que /* € L" y que fnk — /* en L" (por el teorema de Lebesgue). Por consi-
guiente/ = /* c.t.p. y se deduce (a). Para obtener (b) basta elegir h = |/*| + g.
IV.3. Reflexividad. Separabilidad. Dual de If
Distinguiremos el estudio de los tres casos:
(A) 1 < p < oo
(B) P= 1
(Q p = oo
A. Estudio de V para 1 < p < oo.
Es este el caso mas «favorable»: V es reflexivo, separable y el dual de L" se identifica a
V.
« Teorema IV.10.-I/ es reflexivo para \ < p < oo.
La demostraci6n se Ueva a cabo en tres etapas.
I.1 etapa (Primera desigualdad de Clarkson). Sea 2 < p < oo; se verifica
A0)
t + 0
2
p
+
2
\\g\\U
Demostraci6n.—Claramente, es suficiente demostrar que
a + b
a-b
Se tiene
a' +
\b\")
Va,
a, beR.
0
(reducirlo al caso /3 = 1 y observar que la funci6n (x2 + 1)p/2 - x" - 1 es creciente sobre
[0, oo[). Tomando a =
a + b
a-b
resulta
a + b
a-b
a + b
a-b
2Y/2
)
p/2
1
testa ultima desigualdad resulta de la convexidad de la funci6n x h-> \x\p/2 por serp 3* 2].
I1 etapa: W es uniformemente convexo, y por tanto reflexivo para 2 sg p < oo. En efecto,
tea £ > 0 fijo. Se supone que
II/IIlp < i. llplli/ < i y 11/
(') A priori es necesario distinguir entre fyf*: sabemos que/n - /en V y (\\xefnk(x) - f*(x) c.t.p.
ffiQ.

60 Los espacios Lp
Se deduce de A0) que
||/"+oil" /eV H/"+fl
21 < ' ~ B) V entonces f-J1
con
-O-g
< 1 - 5
> 0.
Por consiguiente LP en uniformemente convexo, y por tanto reflexivo gracias al teorema III.29.
3. ■ etapa: V es reflexivo para 1 < p < 2.
Demostraci6n.—Sea 1 < p < 2. Se considera el operador T : 1/ — (I/)' definido como si-
gue:
Sea u G L" fijo; la aplicaci6n/ G LP' \-* w/es una forma lineal y continua sobre LP', desig-
nada Th, de forma que J
<Tu,/> = L/ V/el/.
Se tiene (por la desigualdad de Holder)
|<Tu,/>|
y entonces
A1) l|Tu||(l/r < INIlp-
Por otra parte, pongamos
/0(x) = |u(x)|'-2u(x) (/0(.x) = 0 si u(x) = 0).
Se tiene /oe I/, ||/0||,/ = HmH^1 y <Tu,/0> = ||u||^.
Y entonces
A2)
Al comparar A1) y A2) se obtiene flTwH(MT = (wU^. Resulta de ello que T es una isometria
de Lp sobre un subespacio cerrado (por ser LP completo) de (LP')'. Pero LP' es reflexivo B.*
etapa) y asf (corolario III.18) (L"'y es reflexivo. Se sigue (proposici6n III.17) que T(L') es re-
reflexivo, y por tanto tambien LP.
Nota 3.—Se demuestra que el espacio LP es tambien uniformemente convexo para 1 < p $ 2.
Para ello se utiliza la segunda desigualdad de Clarkson, valida para 1 < p ^ 2:
2 IIlp
Esta desigualdad es sensiblemente mas dificil de establecer que la primera desigualdad de
Clarkson; ver por ejemplo [BT] o Hewitt-Stromberg [1J. Para un enfoque un poco distinto ver
Diestel [1], Morawetz [1] y [BT].

Reflexividad. Separabilidad. Dual de W 61
• Teorema IV.ll (Teorema de representaci6n de Riesz).—Sea 1 < p < oo y sea ip G (V )'.
Entonces existe u G I/' unico tal que
-J'
Ademas se verified
Nil/ = lltpll(LP)-
• Nota 4.—El teorema IV.ll es muy importante. Expresa que toda forma lineal continua so-
bre V con 1 < p < oo se representa por medio de una funci6n de V. La aplicaci6n cpi—>u es
un operador lineal isometrico y sobreyectivo que permite identiflcar el dual de V con V'. En
to que sigue, se hara sistematicamente la identificaci6n
(L')' = L"'.
Demostraci6n.—Se define el operador T : L" — (L^' por
<Tu, /> = j «/ V/6 L'
y se tiene
HT«||(LP). = INI,/ Vu 6 L"'
(proceder como en la demostraci6n del teorema IV.10, 3.* etapa). Hemos de probar que T es
sobreyectivo. Se pone E = T(L"). Como E es un subespacio cerrado, basta demostrar que E
es denso en (L^'. Sea h G (I/)" [= L" por ser L" reflexivo] tal que <Tu, h) = 0 para todo
u G If'; comprobemos que h = 0. Se tiene
J"
\uh = <Tu, h} = 0 Vuel/.
Yse concluye que h = 0 eligiendo u = \h\p-2 ft.
Teorema IV.12 (Densidad).— El espacio Cc(fi) « dewso e« lf(Q) para 1 ^ p < oo.
Comencemos con una definici6n y un lema.
Definici6n.—Sea 1 < p < oo; se dice que una funci6n /: 0 -» R pertenece a Lf^fi) si
/1K G L"(fi) para todo compacto K C fi.
Lema IV.2.—Seaf G L^fi) tal que
ViieCc(fi).
J
Entonces f = 0 c.t.p. en fi.
DemostraciOn del lema 1V.2.—Se lleva a cabo en dos etapas:
1) Supongamos que ademas se verifica/ G L'(fi)y |0| < oo (').
Dado e > 0 existe/ G Cc(fi) tal que (/ - /1Li < e. Por A3) se tiene
Vu 6 Cc(fi).
A4) /,«
(') Dado A C Q inedible, se designa por IAI la medida de A; IAI puede ser infinita.

62 Los espacios If
Sean
K, = {xefi; Mx) 3* e}
K2 = {xefi; /,(*)< -e}
Como K, y K2 son compactos disjuntos, se puede construir gracias al teorema de Tietze-
Urysohn (ver Dieudonne [1], L. Schwartz [2] o Yosida [1]) una funci6n u0 G Cf(fi)
, , [+ 1 si xeK,
0 1- 1 si xeK2
y
|uo(x)| ^ 1 para todo xefi.
Poniendo K = K, U K2 resulta
[ fu =[ fu + f fu
Jn lU° Jn\K lU° + Jk lU°
| l/il = J /i«o < e + j |/iuo| < e + j
f l/il = f l/il + [ l/il < e + 2 f |/il < e + 2e|fi|
Jn Jk Jn\K Jn\K
yaque
|/,| < e en fi\K.
Entonces
II/IIl- ^II/-/iIIl- + II/,IIL. < 2e + 2e|fi|.
Como esta desigualdad es valida para todo £ > 0, se concluye que/ = 0 c.t.p. en fi.
2) Consideremos ahora el caso general. Se escribe Cl = \JCln con fin abierto, fin compacto,
n
fin C fi [Tomar, por ejemplo fin = {x e fi; dist (x, ftCl) > - y |x| < «}]. Aplicando lo anterior
n
a fi« y/|«n * ve <lue / = ° c.t.p. en fin y se concluye que/ = 0 c.t.p. en fi.
Demostraci6n del teorema IV. 12.—Se sabe ya que Cc(fi) es denso en L'(fi). Supongamos
entonces que 1 < p < oo. Para demostrar que Cc(fi) es denso en L"(fi) es suficiente comprobar
que si h G L"'(fi) verifica \hu = 0 para todo u G Cc(fi), entonces h = 0. Pero h G Lj^fi) ya
que j |/j1k| < ViMy,' \ K| Up < oo y entonces se puede aplicar el lema IV.2 para concluir que
h = 0 c.t.p.
Teorema IV.13.—I/(fi) es separable para 1 < p < oo.

Reflexividad. Separabilidad. Dual de Lp 63
DemostraciOn.—Se designa por (R,), e , la familia (numerable) de rectangulos R de la forma
N
* = fl K. KL con ak,bkGQ y R C fi.
Se designa por E el espacio vectorial sobre Q generado por las funciones 1R| (i.e. las combina-
cibnes lineales finitas con coeflcientes racionales de las funciones 1R;); de modo que E es nume-
numerable. Demostremos que E es denso en L"(fi). Sean / G L"(fi) y £ > 0 fijos. Sea /, G Cc(fi)
tal que (/ - f^y, < £ (teorema IV.12). Sea fi' un abierto acotado tal que Supp/, c fi' c fi.
Como/, G Cc(fi'), se construye facilmente una funci6n/2 G E tal que Supp/2 c fi' y que
1/jM - /i(*)l ^ y c.t.p. en fi' (se comienza recubriendo Supp/, con un numero fi-
p
nito de rectangulos R, sobre los cuales la oscilaci6n de /, es inferior a ). Resulta de
estoque B/2 - f$y,<Z y entonces 11/ - /2ULp< 28.
Nota 5.—Para demostrar el teorema IV. 13 se podria haber utilizado el hecho de que si K es un
espacio m£trico compacto entonces C(K) es separable (ver por ejemplo Dieudonne [1] G.4.4)).
B. Estudio de L1.
• Teorema IV.14.—Sea (p G (L1)'. Entonces existe u G L" unica tal que
<cp, /> = j 11/ V/6 L1.
Ademas se verified
IMIl- = llq>ll(fy.
Nota 6.—El teorema IV. 14 afirma que toda forma lineal y continua sobre L1 se representa por
medio de una funci6n de L". La aplicaci6n (pi—>ues una isometria que permite identificar
(L1)' con L°°. En lo que sigue se hara sistematicamente esta identificaci6n:
(L1)' = L«.
Demostraci6n.— Comencemos demostrando la existencia de u. Se fija una funci6n w G L2(fi)
tal que para todo compacto K c fi, w > £* > 0 c.t.p. en K. [Es claro que tal funci6n existe:
tomar por ejemplo w(x) = an para xGfi, «< |jc| < n + l,y ajustar las constantes an > 0
para que w G L2(fi)]. La aplicaci6n/ G L2i—► ((p, w/)es una forma lineal y continua sobre L2.
Segfin el teorema IV. 11 (aplicado con p = 2) existe una funci6n v G L2 tal que
A5) <(p, wf} = \vf V/eL2.
Pongamos u(x) = —±J—; lo cual tiene sentido ya que w(x) > 0 para todo x G fi y u es ine-
inedible. Demostremos que u G L°° y que llullL« < H<pH(Li)'- Por A5) se tiene
A6) I W\ < llVik') Ik/llf V/6L2.
Sea C > H(pJI(Li).. Demostremos que el conjunto

64 Los espacios I?
es de medida cero (y de ahi resultara que u € L°° y que UuULa> < UcpU(Lir. Razonemos por re-
ducci6n al absurdo.
Si A no es de medida cero, existe A c A inedible tal que 0 < I Al < *>. Sustituyendo en A6)
la funci6n
resulta
que
Ja
1
w
\u\w s£
>0.
ll<Pll,L
f(x) =
+ 1
0
si
si
si
xe A
X 6 A
X6fi\A.
y w, y por consiguiente C
Ja Ja
y
y
w i
u(x)
u(x)
S IMI(L
> 0
<0
y \ w, lo cual es absurdo ya
Ja
Recapitulemos: se ha construido u G L°°@) con UuUL» < U<pU(L,,- tal que
A7) <q>, w/> = juwf V/e L2.
De donde resulta que
A8) <cp, g> = \ug VgeCc(fi).
En efecto, si g G Cc(fi), entonces / = — G L2 (ya que w 3s £ > 0 sobre Supp g) y se puede
sustituir/en A7). Como Cc(fi) es denso en L1 se deduce de A8) que
= \u
<(p, 0> = \ug VgeV.
Por ultimo, se tiene
l<q>, g>\
J \
luego U(pU(Lir < UuUL». Por consiguiente HuHL* = U(pU(Lir. La unicidad de u es consecuencia
inmediata del lema IV.2.
• Nota 7.—El espacio L1 no es reflexivo. En efecto, supongamos (para fijar ideas) que 0 G 0.
j
Consideremos la sucesi6n/, = otnlB(o,l )con n suflcientemente grande para que B@, -) c fly
_j " n
<*„ = B@, -) de forma que U/JLi = 1. Si L1 fuera reflexivo, existirian una subsucesi6n (fnJ
n
y una funci6n/ G L1 tales que/n^ --fen la topologia debil o(V, L"). Asi pues
^'^ /n,<P -» \f<P V(p 6 L°°.
Cuando (p G Cc(fi\ @)) se ve que /^ cp = 0 para A: suflcientemente grande. Resulta de A9)que
\fv = 0 Vq> - Cc(fi\{0}).

Reftexividad. Separabilidad. Dual de Lp 65
Aplicando el lema IV.2 en el abierto fi \ @) a la funci6n / (restringida afi\ @|) se obtiene que
/ = 0 c.t.p. en fi \ @). Por lo tanto / = 0 c.t.p. en fi. Pero si se toma cp ■ 1 en A9), resulta
j'f = 1 — lo que es absurdo.
C. Estudio de L°°.
Hemos visto (teorema IV. 14) que L" = (L1)'. En virtud de este hecho, el espacio L" posee
algunas propiedades «agradables». Entre otras se verifican:
• (i) La bola unidad cerrada BL«, es compacta en la topologia debil * o(L°°, V) (teorema
III. 15).
• (ii) Si (/„) es una sucesi6n acotada en L°°, cabe extraer una subsucesi6n que converge
en L" en la topologia debil * (KL", L1) (teoremas 111.25 y IV. 13).
Sin embargo, L°° no es reflexivo (en caso contrario, L1 lo seria segun el corolario III. 18 y se sa-
be que L1 no es reflexivo).
H dual de L- contiene a L1 (ya que (L1)' = L") y es estrictamente mayor que L1: existen for-
mas lineales continuas (p sobre L" que no son del tipo
<cp,/> = \uf V/eL°° con ueL1.
Construyamos un ejemplo «concreto». Supongamos que 0 G fi y sea (p0: Cc(fi) — M definida
por (po(/) = f(Q) para / G Cc(fi). Se tiene que cp0 es una forma lineal y continua sobre Cc(fi)
para la norma U UL». Segun el teorema de Hahn-Banach, (p0 se extiende a una forma lineal y
continua sobre L" notada (p. Se verifica
B0) <<P./>=/@) V/eCt(fi).
Demostremos que no existe una funci6n u G L1 tal que
<<P. /> = \uf V/e L00.
En efecto, si tal funci6n existiera, se tendria
L/=0 V/6Cc(fi\{0}).
En virtud del lema IV.2 (aplicado sobre (fi) \ @)) se obtendria u = 0 c.t.p. en fi \ @), y enton-
ces
<<P, /> = 0 'V/e L"
—Jo cual contradice B0).
« Nota 8.—Si el dual de L* no coincide con L1, entonces se puede preguntar a que se «pare-
A este efecto consideremos L" (fi; C) como una C* algebra de Banach conmutativa (ver por
tjemplo Rudin [1]). Segun el teorema de Gelfand, L°°(fi; C ) es isoformo e isometrico a
C(K; C) (donde K es un espacio topol6gico compacto, mas exactamente el espectro del algebra
L"). En consecuencia, L°°(fi; C)' se identifica con el espacio de las medidas (de Radon) sobre
K(con valores de C) [y L°°(fi; R)' se identifica con el espacio de las medidas (de Radon) so-
sobre K con valores en U ]. Para mas detalles, ver Rudin [1] o Yosida [1], p. 118.

66 Los espacios If
Nota 9.—El espacio L" no es separable. Para establecer este hecho es c6modo utilizar el
Lenta IX.3.—Sea E un espacio de Banach. Supongamos que existe una familia (O,)/el tal que
(i) Por todo i G I, O, es un abierto no vaclo de E.
(ii) O,nO;=0 si i * j.
(iii) I no es numerable.
Entonces E no es separable.
Demostraci6n del lema IV.3.—Razonemos por reducci6n al absurdo suponiendo que E es
separable. Sea (un)n g N una sucesi6n densa en E. Para cada / G I, O, D (un)n eN * 0 y se eli-
ge «@ tal que un(i) G O,. La aplicaci6n /1—> n(i) es inyectiva; en efecto, si n(i) = n(j) entonces
um = unif) G O, noyy asi / = j. Por consiguiente, I es numerable, contrariamente a (iii).
Demostremos ahora que L" no es separable. Para todo a G fi se fija ra < dist (a, Q fi); se
pone ua = lB(a Fa) y
Oa = j/6 L- ; 11/ - u.||L. < -
Se comprueba facilmente que la familia (Oa)a e a satisface (i), (ii) y (iii).
El siguiente cuadro recapitula las principales propiedades de los espacios YP presentadas en
§IV.3.
V
1 < p < oo
L1
L"
Reflexivo
SI
NO
NO
Separable
SI
SI
NO
Espacio dual
V
L"
Contiene estrictamente a L1
IV.4. Convoluci6n y regularizaci6n
En todo este paragrafo, excepto en la proposici6n IV. 17 y en el corolario IV.23, se conside-
rafi= RN. f<£ ,itr,
• Teorema IV. 15.— SeanfrG I/(RN) con 1 < p < oo.
Entonces, para cast todo x G R N, lafuncidn y h-> f(x-y)g(y) es integrable sobre K N. Se defi-
define
(/ *
=
/(* - y)g(y) dy.
Entonces f*g G I/(RN)>-

Convolucidn y regularizacidn 67
DemostraciOn.—La conclusi6n es evidente sip = <». Supongamos primero que p = lysea
F(x, y) =Ax - y)g(y).
Paracasitodo>6 iNsetiene
Jd-VJ'F(X'
, y)|dx = |g(y)|j|/(x - y)|dx = ||/||L,|»(y)| < oo
Aplicando el teorema de Tonelli (teorema IV.4) se ve que F G L'(RN x RN).
Gracias al teorema de Fubini (teorema IV.5) se obtiene
|F(x, y)\dy < oo c.t. .v e RN
J'
jdxj|F(x,
y)\dy ^ ll/ll
v\\y\\L'.
Esto corresponde exactamente a la conclusi6n del teorema IV. IS.
Supongamos ahora que 1 < p < oo. Por lo anterior, se sabe que para casi todo x G RN
fljo, la funci6n y i-> \f(x - y)\ \ci(y)\" es integrable sobre RN, i.e.
\f(x - y)!1" \g(y)\ e LJ(RN).
Como \f(x - y )|Up' G LJ.se deduce de la desigualdad de Holder que
l/(* - >')l \g(y)\ = l/(x - y)\l" \g(y)\ . |/(x - y)|'"' e L,!
\\f(x - y)\1g(y)\dy ^ Q|/(x - yMgWdy\
i.e. l(/ * 9){x)\' < (|/| * \g\')(x).
Aplicando el resultado del caso p = 1, se ve que
f * geL' y ||/ * g\\"LP H ||/
Wl 11/ *
Notaci6n.—Dada una funci6n/se escribe fix) = /{• — x)
Proposici6n IV. 16.— Sean/G L\M"),g G I/(RN)y h G V'(RN).
Entonces se veriflca
\<J*g)h= \g(f*h).
DemostraciOn.—La funci6n F(x, y) = f{x - y)g(y)h(x) pertenece a L'( RN x RN) ya que
jl''«|(]|/(x - y)\\g(y)\dy)dx < oo
gracias al teorema IV.IS y a la desigualdad de Holder.

68 Los espacios W
Por consiguiente
* g)(x)h(x)dx = |dxjF(x, y) dy = \dy F(x, y)dx = \g(y).(J * h)(y)dy.
Soportes en la convoluci6n.
La noci6n de soporte de una funci6n continua es conocida: es el complementario del mayor
abierto sobre el que/es nula (o, igualmente, la adherencia del conjunto \x;f(x) * 0). Cuando
se trabaja con funciones medibles se ha de ser mas prudente —ya que estas funciones estan de-
finidas solamente para casi todo punto— y la definici6n anterior ya no es adecuada [nos pode-
mos convencer de esto considerando po]. La definici6n apropiada es la siguiente:
Proposici6n IV. 17 y definici6n de soporte.—Sea fi G RN un abierto y sea f una funcidn defini-
daenQ con valores en U. Se considera lafamilia de todos los abiertos (co,),€l, o>, C fi tales que
para cada i G I, / = 0 c.t.p. en a>r Se define co = U co,.
Entoncesf = 0 c.t.p. en w.
Por deflnicidn, Supp/ = fi \ oi.
NOTA 10.
a) Si/, y/2 son dos funciones tales que/, = f2 c.t.p. en fi, entonces Supp/, = Supp/2. Se
puede asi hablar de soporte de una funci6n / G V (sin precisar el representante elegido en la
clase de equiValencia).
b) Si/es continua en Q se comprueba con facilidad que esta definici6n coincide con la defi-
nici6n usual.
Demostraci6n.—No es evidente que/ = 0 c.t.p. en a> ya que la familia I no es numerable.
Sin embargo, la demostraci6n se puede reducir al caso numerable mediante el siguiente proce-
dimiento:
Sea (Kn) una sucesi6n de compactos tales que co = U Kn
n
[tomar, por ejemplo, Kn = {x e co; dist (x, RN\co) > - y |x| < n}].
Se sigue que para cada n, Kn esta recubierto por un numero finito de u,. Sea K, c |J co; con
In n I finito. Poniendo J = U h (J es numerable) se tiene co = U °>i • Como/ = 0 c.t.p". en o>,,
it ;eJ
se concluye que/ = 0 c.t.p. en a>.
• Proposici6n IV.18.— SeanfG L1(RN)>>£ G I/(RN). Entonces
Supp (/* g) c Supp/+ Supp^
DemostraciOn.—Sea x G RN fijo, tal que la funci6n y i->./(jc - y)g(y) sea integrable (ver teo-
rema IV. 15). Se tiene
(/ * g)(x) = \f(x - y)g(y)dy = f(x - y)g(y)dy.
J J(jc-Supp/)r,Supp9

Convolucidn y regularizacidn 09
Six 4 Supp/ + Supp g, entonces (x - Supp/) n Supp g = 0 y {f * g)(x) = 0. Por lo tanto
(/* g)(x) = 0 c.t.p. en(J(Supp/+ Suppg)
y en particular
(/ * g)(x) = 0 c.t.p. en Int C (Supp/+ Suppg).
En consecuencia, Supp (f * g) C Supp/ + Supp g.
• Nota 11.—Naturalmente, si / y g tienen ambas soporte compacto, entonces f * g tiene so-
porte compacto. En general, si s61o uno de los soportes es compacto, entonces/ * g no tiene
soporte compacto.
Proposki6n IV. 19.— Seonf G CC(IRN)>'£ G L,1^ r n). Entonces
Demostraci6n.— Observemos primero que para todo x G RN la funci6n yi—>f(x - y)g(y) es
integrable sobre R N y asi (f * g)(x) tiene sentido para todo x G R N.
Sea xn — x y pongamos
¥n(y)=f(xn-y)g(y)
=/(x - y)g(y)
de modo que Fn(y) — F(y) c.t.p. en R N. Por otra parte, sea K un compacto fijo tal que
(*„ - Supp /) C K para todo n. Asi fixn - y) = 0 para >> £ K y por tanto
). mayorante integrable. Se deduce del teorema de Lebesgue que
(/ * g)(xn) = j Fn(y) dy - j F(y) dy = (/ *
Notaciones
C*(fi) designa el espacio de las funciones k veces continuamente diferenciables sobre 0.
Cj(fi) = C»(fi) n Q(fi)
Cf (fi) = C°°(fi) n Cc(fi)
(algunos autores utilizan la notaci6n @(fi) o bien C"(fi) en lugar de Cc°°@)).
• Proposici6n IV.20.— Seanf G C*(RN)>'£ G L/^rN) (* natural). Entonces
/*£eC*(IRN) >- D*(/**) = (D*/) * ^(').
En particular, sif G CC(RN) >-^ G Lj^RN), entonces f*g G
(') Aqui D* designa una cualquiera de las derivadas parciales

70 Los espacios if
Demostraci6n.—Por recurrencia, se reduce inmediatamente al caso k = 1.
Seax G RN fijo; demostremos que/ * g es diferenciable en xy que
V(/ * <7)M = (V/ * </)(x) (')
Sea h G RN con | h \ < 1 (ft destinado a tender a 0). Se tiene
|/(x + h - y) - /(x - y) - W/(x - y)\
[/iV/(x + sh - y) - /iV/(x - y)] As
con £(|/i|) — 0 cuando \h\ — 0 (ya que v/es uniformemente continuo sobre RN).
Sea K un compacto fijado suflcientemente grande para que x + B@, 1) - Supp/ c K. Se tie-
ne
fix + h - y) -f(x - y)- ftV/(x - y) = 0 V>< f^ K, V/i e B@, 1)
y entonces
|/(x + h - y) -/(x - y) - h\f(x - y)\ ^ \h\ e(|ft|)lK(y) Vy 6 RN Wi 6 B@, 1).
I
Jk
Por consiguiente
\(f * g)(x + h) - (f * g)(x) - hiSf * »)(x)| < \h\z(\h\) I
Jk
De donde resulta que / * g es diferenciable en x y que V (f *g) = ^V
Sucesiones regularizantes
Definici6n.—Se llama sucesi6n regularizante (mollifiers en ingles) a toda sucesi6n (pn)n 2 , de
funciones tal que
Pn 6 C*(RN), Supp pn cz B@, [-), Ln =1, Pn ^ 0 en RN.
En adelante, se utilizara sistematicamente la notaci6n (pn) para designar una sucesi6n regu-
regularizante.
Observemos que existen sucesiones regularizantes. En efecto, basta fijar una funci6n
con Supp p C B@, 1), p > 0 en RN y p > 0; tomar por ejemplo la funci6n
_ i
p(x) =
e|v|'-' si |x| < 1
0 si |x| ^ 1.
GV1
p I
/
Proposici6n IV.21.-5ea/ G C(RN); entonces pn * / — / uniformemente sobre todo compacto
deM™.
CXN

Convolucldn y regu\anzac\6n 71
Demostracion.—Sea K C RN un compacto fijo. Para todo £ > 0 existe 5 > 0 (dependiente
de K y de £) tal que
\f(x - y) - f(x)\ < e Vx e K, Vy e B@, 5).
Setiene
(P. * /)(*) -/(*) = \U(x - y) -Ax)-]pm[y)dy = I [/(x - >■) -/(x)]pn(y)dy
J J B@. i )
Y entonces, para n > — y x G K,
5
KP. * /)(*)-/(x)| <
• Teorema IV.22.—Seaf G I/(RN) con 1 < p < «. Entonces 6n *f - /«i L"(RN).
Demostraci6n.—Sea £ > 0 y sea /, G CC(RN) fija tal que 11/ - J^^ < £ (ver teorema
1V.12). Por la proposici6n IV.21 se sabe que pn */, — /, uniformemente sobre todo compac-
compacto. Por otra parte, se tiene (ver proposici6n IV. 18).
Supp (pn * /,) c B@, -) + Supp/, c K, K compacto fijo.
n
Por consiguiente, se deduce que
IIP. */,-/.ll^ir7^o.
Finalmente, se escribe
P. * /-/= [P. *(/-/i)] + [p. * /i -/,] + [/, -/];
de donde resulta que
lip. * /-/IIl/- < 2II/-/JILP + up. * /, -/JI.P
(en virtud del teorema IV. 15).
Se tiene entonces
lim sup Up, * f-f\\u> < 2e Ve > 0
n—* oo
i-e. lim Up, * f-f\\LP = o.
n->oc
• Corolario IV.23.—Sea DC RN un ablerto arbltrario.
Entonces C|°(fi) es denso en 1/@) para 1 < p < oo.
Demostraci6n (').—Sean/G L"(fi), £ > Oy/, G CL.(fi) tales que
11/ —/iIIlp(«) < £•
Seconsidera la funci6n/, definida por
f/,(x) si xefi
JllX) {0 si xeRN\fi
(') La tecnica de regularizaci6n por convoluci6n fue introducida por Leray y Friedrichs.

72 Los espartos W
de modo que/, G L"(RN) y (teorema IV.22) llen */, - /Ju^n, - 0. Por otra parte
Supp (pn */,) c B@,-) + Supp/j <= fi para n suficientemente grande.
n
Sea un = (pn * /,),„. Entonces, para n suficientemente grande, un G Cc(fi) y demas
~~ 0- Asi, para n suficientemente grande, Hun — /ll^m <2e.
IV.5. Criterio de compacidad fuerte en Lp
Es importante saber reconocer cuando una familia de funciones de Lp(fi) es relativamente
compacta en l/(fi) para la topologia fuerte. Recordemos primero el teorema de Ascoli, que res-
ponde a esta misma pregunta en C(K), siendo K un espacio mfetrico compacto.
• Teorema IV.24 (Ascoli).— Sea K un espacio metrico compacto y sea jf un subconjunto aco-
ado de C(K).
Supongamos que .# es uniformemente equicontinuo, i.e.
[21) Ve > 0 35 > 0 talque </(*,, x2) < 5 => |/(jr,) - f(x2)\ < z Vfejf
Entonces jf es relativamente compacto en C(K).
Para la demostraci6n del teorema de Ascoli ver por ejemplo Dixmier [1], Choquet [1],
Dieudonne [1], Yosida [1J.
El siguiente teorema (y su corolario) con «versiones Lp» del teorema de Ascoli.
Notaciones
1) Se escribe (tJ)^) = f(x + h) (traslaci6n de/por h).
2) Sea fi C RN abierto; se dice que un abierto co esta fuertemente incluido en fi, y se escribe
co C c Q si to c Q (') y si to es compacto.
• Teorema IV.2S (Frtchet-Kolmogorov).— Sea fi C RN un abierto y sea u C C fi. Sea & un
subconjunto acotado de I/(fi) con 1 ^ p < oo. Supongamos qae
B2) Ve > 0 35 > 0, 5 < dist (to, (Jfi) tal que
Entonces &u es relativamente compacto en I/(oj).
(') co designa el cierre de a' en RN.
B) Observese que si x € a> y l/il < 6 < dist (a>, (Jn) entonces x + hGUyf(x + h) tiene sentido. U
hip6tesis B2) es una condici6n de equicontinuidad «integral» analoga a B1).

Criterio de compacidad fuerte en W 73
Demostraci6n.—Siempre se puede suponer que fi es acotado. Para/ S & se pone
si xen
Se escribe
t 0 si x e RN\fi.
de forma que J* esta acotado en L/XlRN) y en L'(RN). Se ptocede en tres etapas:
a) Se tiene
IIP, */-/IIl/'(o» < e V/6^ y V/i > -•
o
En efecto, se tiene
KP. * /)(*) - f(x)\ s$ \f(x - y) - f(x)\pn(y) Ay < ( \ \f(x - y) - f(x)\"pn(y) Ay)
l(pn * fXx) - f(x)\" ^ | \f(x - y) - j{x)\"psy) dy
y por tanto
B@. ')
Luego entonces
- y) - f(x)\" Ax < e'
f * f)(x) - JixW Ax < f d f
B@. )
para n > — (Por B2)).
5
b) La familia Jf = (pn *^")|a verifica, para cada n, las hip6tesis del teorema de Ascoli. En
efecto, en primer lugar se tiene
IIP- */IIl"(rN) ^ HpJIl-II/IIl- ^ Cn v/e !?.
Ypor otra parte, se tiene Vjc,, x2 S RN, v/Gf
i(p. */)(*■) - (p. */)(*2)i ^ i*, - *2iiipji
De donde resulta que ^f es relativamente compacto en C(o) y a fortiori en Lp(o>).
c) Fin de la demostraci6n. Dado £ > 0 se fija n > — de forma que
8
IKP.*/) -/lll*.)<e V/e*.
Como jf es relativamente compacto en V(o>), se puede recubrir y( con un numero finito
... ,. „ „ IPn(Zl) - Pn(Z2)l
(') IIPjlLip = Sup ; ;

74 Los espacios Lr
de bolas de radio £ (en Lp(to)). Las bolas correspondientes de radio 2e recubren entonces F^.
Por consiguiente P ]w es relativamente compacto en Lp(co).
•. Corolario IV.26.— Sea Q S RN u/i abierto, y sea ¥ un subconjunto acotado de V(Q) con
1 < p < oo.
Supongamos que
B3) Ve > 0 Vco c c fi, 35 > 0, 5 < dist(co, ()fi)
1*1 < 5 *
B4) Ve > 0 3w c c O rfl/9ue ||/||LP@ m) < e V/e .
Entonces !W es relativamente compacto en 1/@).
Demostraci6n.—Dadoe >Osefijao C C Qtalque
Ve
Ih
Ve
>
■J
>
0
"-
0
Vco
/Ik"
3w
«.» <
n,
E
Por el teorema IV.25 se sabe que ^^ es relativamente compacto en Lp(oj). Se puede entonces
recubrir & lu con un numero finito de bolas de radio e en Lp(oj). Sea
k
•^Ko c U Bto,,e) con (/, e L"(o))
i= i
(estas bolas se consideran en Lp(o))). Se pone
\ij\x) XE(£>
Se comprueba con facilidad que F <= |J B(g,, 2e) (estas bolas se consideran en Lp(®))-
i= i
Nota 12.—El reciproco del corolario IV.26 es cierto (ver, por ejemplo [BT]).
Nota 13.—Sea 2F un subconjunto acotado de LP(RN) con 1 < p < <x> que verifica
Ve > 0 35 > 0 tal que \\xj - /||lp(Rn, < e VA con \h\ < 5 y V/e .'^.
En general no se puede concluir que 3- es relativamente compacto en Lp( RN); s61o se puede de-
cir que ,T ,u es relativamente compacto en Lp(o) para todo o abierto acotado de RN. Ver un
ejemplo en [BT].
Terminemos con otra aplicaci6n sencilla (jpero util!) del teorema IV.25.
CorolarioW.ll.—SeaG G V(UN)unafunci6nfljaysea
3= = G * M
donde ffl designa un acotado de L/>(RN) con 1 ^ p < oo.
Entonces J* u m relativamente compacto en V(u>)para todo abierto acotado co ete RN.
Demostraci6n.—Es claro que .^ esta acotado en LP(RN). Por otro lado, si / = G * u con
u S -i?, se tiene
IIW- /"IIlp(»n) = II(T/,G - G) * m||lp,rn, ^ C||tfcG

Comentarios sobre el capftulo IV 75
Y se concluye gracias al
Lema IV.4.— Sea G S L»(MN) con 1 s$ q < oo. Entonces
lim IKG - G||L,(RN) = 0.
Demostraci6n.—Sea £ > 0 dado y sea
G, 6 CC(RN) tal que ||G - G,||L« < e.
Se tiene
IIT*G - G||L, s$ ||t,G - t,G,||l, + ||t,G, - G,||L, + ||G, - G||L,
Porotraparte, es evidente que lim ||xftG, — G,||L, = 0 yentonces
lim sup \\xhG - G||L« ^ 2e.
Comentarios sobre el capitulo IV.
1) Hemos recordado en §IV.l algunos principios basicos de la teoria de integraci6n. Entre los
resultados utiles que no fueron mencionados citemos, entre otros, el
* Teorema IV.28 (Egorov).—Supongamos que |Q| < oo. Sea (fn) una sucesidn de funciones
medibles deQenU tal que
/„(-»') -»/W c.t.p. enil (con \f(x)\ < oo c.t.p.).
Entonces
Ve > 0 3Acfi medible tal que
|fi\A| < e y /„ -»/ uniformemente en A.
Para la demostraci6n, ver por ejemplo Yosida [1], Chae [1], Friedman [3], Dieudonne [2],
Hewitt-Stromberg [1], Wheeden-Zygmund [1J.
2) El espacio de las medidas sobre 0. Conjuntos debilmente compactos en L1.
Vimos que los conjuntos acotados de LP(Q) son relativamente compactos en la topologia
o(L", L" ) cuando 1 < p ^ oo. Por el contrario, L'(fi) no es reflexivo e incluso se puede de-
mostrar que L'(fi) no es un espacio dual. Resulta de esto que los acotados de L'(fi) no poseen
ninguna propiedad de compacidad relativa en una topologia debil. Para «obviar este inconve-
niente» se puede sumerglr L'(fi) en un espacio mayor: el espacio M(fi) de las medidas de Radon
sobre 0.

76 Los espartos Lp
Para ello se considera el espacio E = CC(Q) dotado de la norma Hull = Sup \u(x)\. Se designa
Jc6fl
su dual E' por M(Q). Identificaremos L'(Q) con un subespacio de M(fi). Con este prop6sito se
introduce la aplicaci6n T : L'(fi) — M(Q) definida como sigue.
Dada / S L'(fi), la aplicaci6n u S CC(Q) i—» \fu es una forma lineal y continua sobre CC(Q)
notada If; de forma que J
u e cc(fi) .- [fu
<T/, u>E, E = j/u.
Se comprueba facilmente que T es una aplicaci6n lineal de L'(fi) en M(fi) y que
IIT/IImw) = Sup [fu = ||/||L,(n) (ver [BT]);
dicho de otro modo, T es una isometria de L'(fi) en M(fi). Gracias a T se puede identificar
L'(Q) con un subespacio de M(fi). Los acotados de L'(fi) son relativamente compactos en M(fi)
en la topologia debil * a(M, Cc). Igualmente se ve que si (/"„) es una sucesi6n acotada en L'(Q),
existe una subsucesi6n (fn ) que converge a una medida n en la topologia o(M, Cc) i.e.
f
J nku^
Planteemos por ultimo la siguiente cuesti6n delicada: iCuales son los conjuntos de L'(fi) que
son relativamente compactos en la topologia a(L', L°°)?
La respuesta viene dada por
* Teorema IV.29 (Dunford-Pettis).—Sea fi C RN un abierto acotado (para simplificar). Sea
& C L'(fi) un subconjunto acotado.
Entonces ;? es relativamente compacto en a(L', L°°) siy solamente si se verified
Ve > 0 35 > 0 tal que
< e V/e & y VAcQ con |A| < 5.
Para la demostraci6n, ver por ejemplo Dun ford-Schwartz [1] o Edwards [1J.
3) Funciones con valores vectoriales
Sea fi un abierto de RN y sea E un espacio de Banach. Se define Lp(fi; E) como el espacio
de las funciones definidas en Q con valores en E, medibles en un sentido a precisar, tales que
H/^jc)H'p dx < oo (modificaci6n usual parap = oo). La mayoria de las propiedades presenta-
Jn
das en §IV.2 y IV.3 permanecen validas con las hip6tesis adecuadas sobre E (E separable, o
bien E reflexivo). Por ejemplo, si E es reflexivo y 1 < p < oo, entonces Lp(fi; E) es reflexivo
y su dual se identifica a LP'(Q; E') (ver por ejemplo Edwards [1]). Estos espacios juegan un pa-
pel importante en la teoria de ecuaciones de evoluci6n (fi es entonces un intervalo de R).

Comentarios sobre el capitulo IV 77
4) Teoria de interpolaci6n
Citemos un resultado sorprendente que es punto de partida de esta teoria.
• Teorema IV.29 (M. Rlesz-Thorin).—Sean fi C RN un abierto acotado (para simp Hear). Sea
T:L'(fi) - L\Q) un operadorlinealycontinuo.SupongamosqueT : L°°(fi) - L°°(fi). Entonces
T : I/(fi) - V(Q) para todo 1 < p < <x>.
Para la demostraci6n ver por ejemplo Dunford-Schwartz [1], Stein-Weiss [1], Bergh-Lofs-
trOm II], Reed-Simon [1] (volumen 2). La teoria de interpolaci6n ha sido desarrollada por
Lions, Peetre, Calder6n, Stein y otros. Constituye una herramienta muy util en Analisis, y en
particular en la teoria de ecuaciones en derivadas parciales, ver por ejemplo Lions-Magenes [1].
5) Desigualdad de Young
* Teorema IV.30 (Young).— Seanf S I/(IRN).yg e L»(RN) con
l^p^oo, l^^^oo y - = - + ls>0
r p q
Entonces
f*g€ L'(RN) y ||/* f||L,
Para la demostraci6n ver por ejemplo [BT].
6) La noci6n de convoluci6n —generalizada a las distribuciones(ver L. Schwart [1])— juega un
papel esencial en la teoria de ecuaciones lineales en derivadas parciales. Esto procede, entre
otros, del hecho de que la soluci6n de una ecuaci6n P(D)u =/(donde P(D) es un operador di-
ferencial con coeficientes constantes) se puede expresar en la forma u = E */donde E es la so-
Iuci6n fundamental de P(D) (Teorema de Malgrange-Ehrenpreis); ver el comentario 2b del ca-
capitulo I.

Hr H
V.I. Definiciones. Propiedades elementales.
Proyecci6n sobre un convexo cerrado
Definici6n: Sea H un espacio vectorial. Un producto escalar (u, v) es una forma bilineal de
H x H en R, simetrica, definida positiva [i.e. (u, v) > 0 Vu S H y (u, u) > 0 si n* 0]. Re-
cordemos que todo producto escalar verifica la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
|(u, v)\ ^ (u, u)l'\v, vI'2 Vu, veH.
[Setialemos que para establecer la desigualdad de Cauchy-Schwarz no se utiliza la hip6tesis
(u, u) > Osiu * 0J.
Recordemos tambien que \u\ = (u, u)[/2 es una norma (').
[Enefecto, \u + v
2 + 2(u, v)
+ 2\u\
Recordemos por ultimo la «identidad del paralelogramo»:
A)
a + b
a -b
+ \b\2) Va, beH.
Definici6n.—Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial H dotado de un producto escalar
(u, v) y que es completo para la norma (u, u I/2.
En todo lo que sigue H designa un espacio de Hilbert.
Ejemplo fundamental: L2(fi) dotado del produco escalar
Ja
u(x)u(x) dx
es un espacio de Hilbert; el espacio de Sobolev H1 que encontraremos en los capitulos VIII y IX
es un espacio de Hilbert «modelado» sobre L2.
(') A menudo, la norma asociada a un producto escalar se notara I | (en lugar de II II).
78

Definiciones. Propiedades elementales 79
• Proposici6n V.I.—H es uniformemente convexo, ypor tanto reflexivo.
Demostraci6n.—Sean £ > 0, u, v G H tales que \u\ ^ 1, \v\ ^ 1 y |u - v\ > e. En vir-
tud de la identidad del paralelogramo se tiene
U + V
1 y entonces
u + v
( £2\'/2
1 - 5 con 5 = 1 - I 1 > 0.
V 4/
• Teorema V.2 (Proyecci6n sobre un convexo cerrado)—Sea K C H un convexo cerrado no
vacio. Entonces para todof G H, existe u G K unico tal que
B) ,ek
Ademds, u se caracteriza por la propiedad:
ueK
(f - u, v - u) H 0
Se escribe u = VJ = Proyeccidn de f sobre K.
C)
+ oo. Por lo tanto
Demostraci6n
a) Existencia.—Indicaremos dos demostraciones.
1) La funci6n <p(i;) = \f — v\ es convexa, continua y lim <p(v
V| - »
(colorario III.20) <p alcanza su minimo sobre K ya que H es reflexivo.
2) La segunda demostraci6n no utiliza la teoria de espacios reflexivos. Sea (vn) una sucesi6n
minimizanteparaB)i.e. vn G Ky
dn = |/ - vK\ -» d = Inf |/ - u|.
Demostremos que (vn) es de Cauchy. Aplicando la identidad del paralelogramo con
a = f - vn, b = f - vm resulta
1 ,
Pero —2 — 6 Ky entonces
2
/- —
dl + dl
Asi v — u G K y se tiene tf = \f - u\.
= j W + "»>■
1 Por consiguiente
y lim K - um| = 0.
b) Equivalencia de B) y C)
Seau G K verificando B) y sea w G K. Se tiene
v = A - t)u + tweK. para te]0, 1]
yentonces
1/ - "I «£ 1/ - [A - 0" + tw]| = l(/ - u) - t(w - u)\.

80 Los espacios de Hilbert
Por tanto
1/ - u\2 < |/- u\2 - 2r(/ - u, w - u) + t2\w - u\2.
i.e. 2(f - u, w - u) ^ t\ w - u\2. Cuando t — 0seobtieneC).
Inversamente, sea u verificando C). Entonces se tiene
I" ~ /I2 - \v - J]2 = 2(/ - u, v - u) - \u - v\2 ^0 Vi' 6 K;
de donde B).
c) Unicidad
Sean u, y u2 verificando C). Se tiene
D) (/-«,, u - «,)< 0 VveK
E) (f-u2,v-u2)^0 VueK.
Sustituyendo i; = u2en D)y y = u, en E), se obtiene despues de sumar, u, - u2|2 ^ O(').
Proposici6n V.3.—En las hipdtesis del teorema V.2 se verifica
|Pk/> - Pk/2I < I/, - /2I V/,,/2eH.
Demostracion.—Poniendou, = PKf, y u2 =■ P^/jresulta
F) (/i - "i, i> - u,) < 0 VyeK
G) (/2 - . f - ) < ° Vi; 6 K.
Sustituyendo v = u2 en F) y v = u, en G), se obtiene despues de sumar
l"l - I2 ^ (/l ~fl, «1 - «2>-
Por consiguiente u, - u2| ^ |/, - /2|.
Corolario V.4.— 5«aM C H un subespacio vectorial cerrado. Seafe H.
Entonces u = V^fsecaracterizapor
(8) JM
[(/- H, »-) = 0 Vf6 M.
Ademds PM «s un operador lineal.
Demostraci6n.—De C) se tiene
(/ - u, v - u) «c 0 Vi; 6 M
y entonces
(f-u,tv-u)<0 Vi; 6 M, Vt 6 R.
De donde resulta que
{f - u, v) = 0 Vi; 6 M.
Inversamente si u verifica (8) se tiene
{f - u, v - u) = 0 Vi; 6 M.
(') La unicidad de u, en la forma B) resulta tambien directamente de la convexidad estricta de la nor-
ma de un espacio de Hilbert.

El dual de un espacio de Hilbert 81
V.2. El dual de un espacio de Hilbert
• Teorema V.S (Teorema de representaci6n de Riesz-Frtchet).— Dada <p S H', existe f € H
unico tal que
^<p, y) = (/, v) V>' 6 H.
Ademds se verified
\r\ = imIh-
Demostraci6n .—Nuevamente, presentaremos dos demostraciones:
1) La primera se asemeja a la demostraci6n del teorema IV.ll. Se considera la aplicaci6n
T : H — H' construida como sigue: dado/ S H, la aplicaci6n v i—>(/, v) es una forma lineal
continua sobre H; asi pues, define un elemento de H' notado T/ i.e.
<T/, v) = (/, v) Vi; 6 H.
Es claro, en virtud de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, que HX/ll H. = |/|. Por tanto, T es
un operador lineal isometrico de H sobre T(H), subespacio cerrado de H'. Para concluir, falta
demostrar que T(H) es denso en H'. Sea h£H'=H (ya que H es reflexivo) tal que
(If, h) = 0 V/6H; comprobemos que h = 0. Se tiene (f, h) = 0 V/ S H y por consiguiente
h = 0.
2) La segunda demostraci6n no utiliza la teoria de espacios reflexivos.
Sea M = q>~ '@); M es un subespacio cerrado de H.
SiM = H,i.e.<p = 0, seconcluye tomando/= 0.
Supongamos que M * H. Demostremos que existe un elemento cj £ H tal que:
cj<£M, ■ \g\ = 1 y {g, w) = 0 VweM.
En efecto, sea cj0 S H con g0 ^ M, y sea cj, = PM</0; se toma ahora cj = — ^—.
\(lo ~ (l\\
Todo i' S H admite una descomposici6n de la forma v = kg + w con \£Kyw£ M: es
suficiente escribir
i <<p' "> i
X = y w = v - Xg.
<<P, <J>
Resulta entonces 0 = (g, w) = (g, v - \g) i.e. (g, v) = X = S^lHI . Se concluye que
<<P, A>
<<p, v)= (f, c)vc S Hdonde/estadefinidopor/= <<p, g}g.
• Nota l.-HyH': ^identificar o no ldentificar?
El teorema V.5 muestra que toda forma lineal continua sobre H se puede representar por
medio del producto escalar. La aplicaci6n <pi—>/ es un isomorfismo isometrico que permite
klentificar H y H'. Esta identificaci6n se hara a menudo, pero no siempre. Describamos una
jituaci6n tipica donde no ha lugar esta identificaci6n. Sea H un espacio de Hilbert dotado del
producto escalar ( ,) y de la norma asociada | |. Sea V un subespacio vectorial, denso en H.
Se supone que V esta dotado de una norma II II que hace de el un espacio de Bahach reflexi-
reflexive. Se supone que la inclusi6n can6nica de V en H es continua, i.e.
|r| ^ CHi'll Vi; 6 V.

82 Los espacios de Hilbert
Se identifican H'yH. Siempre se puede sumergir H en V mediante el siguiente procedimien-
to: dado/ G H, la aplicaci6n v G V i-» (/", u) es una forma lineal continua sobre H y a fortiori
sobre V, se la denota por T/ G V' de modo que
(Tf, i>V , v = (/■.») V/ G H, vu G V.
Se comprueba facilmente que T : H — V' posee las siguientes propiedades:
(i) IIT/llv. « C|/| V/G H,
(ii) T es inyectiva,
(iii) T(H) es denso en V (').
Con ayuda de T, H se sumerge en V' y se tiene el esquema
(9) V c H = H' c V
donde las inclusiones can6nicas son continuas y densas.
Observese que con esta identificaci6n (<p, i;>viV coincide con (<p, v) siempre que <p G H y
v G V. Se dice que H es el espacio «pivote».
Supongamos ahora que V, en lugar de ser un espacio de Banach general, es un espacio de Hil-
Hilbert con su propio producto escalar (( , )) asociado a la norma II II. Se podrian identificar en-
tonces V y V via el producto escalar ((,)). Sin embargo (9) resulta absurdo. Esto demuestra
que no se pueden hacer las dos identificaciones simultaneamente: es necesario elegir. Se tiene la
costumbre —es una elecci6n arbitraria— de preferir la identificaci6n H' = H, con (9) como
consecuencia, y no identificar V' con V. Sobre este tema, recomendamos al lector que medite
el siguiente ejemplo.
H = I2 = {u = (un); Y.ul < °°] dotado del producto escalar (u,v) = Z«,p,,
V = {u = (m,,); Im2u* < oc] dotado del producto escalar (u, v) = l.n2unvn.
Nota 2.—Utilizando el isomorfismo de Riesz-Frechet (y la segunda demostraci6n del teorema
V.5) se podria establecer directamente que H es reflexivo sin pasar por la teoria de espacios
uniformemente convexos.
Nota 3.—Si se hace la identificaci6n H' = H, entonces el ortogonal Mx de un subespacio
M C H se considera como un subespacio de H y
En un espacio de Hilbert todo subespacio cerrado admite un suplementario topol6gico (ver ca-
pitulo 11.4). En efecto, es claro (en virtud del corolario V.4) que si M es un subespacio cerrado
se tiene
M nMJ = {0! y M + M1 = H.
V.3. Los teoremas de Stampacchia y de Lax-Milgram.
Definici6n.—Se dice que una forma bilineal a(u, v): H x H — R es
(i) continua si existe una constante C tal que
\a(u,v)\ sc C|u||!>| Vu, veH,
(') En general T no es sobreyectiva de H sobre V'.

Los teoremas de Stampacchia y de Lax-Milgram 83
(ii) coerciva si existe una constante a > 0 tal que
a{v, v) > ot|f|2 VceH.
Teorema V.6 (Stampacchia).— Sea a(u, v) una forma bilineal continua y coerciva. Sea K un
convexo, cerrado y no vacio.
Dado <p G H', existe u G K linico tal que
A0) «(«, v - u) ^ <<p, v - u) Vp e K.
Ademds, si a es simetrica, entonces u se caracteriza por la propiedad
ueK
(H) , r,
- a(«, u) - <<p, h> = Min <- a(v, v) - <q»,
2 reK (.2
Para demostrar el teorema V.6 se utilizara el siguiente resultado clasico:
• Teorema V.7 (Teorema del punto fijo de Banach - mfetodo de aproximaciones sucesivas de
Picard).
Sea\unespaciometricocompletoyseaS:\ ~ X una aplicacidn tal que
d{Svt, Sv2) « kd(v,, v2) Vp, , v2 e X con k < 1.
Entonces S tiene un punto fijo unico, u = Sw
(ver por ejemplo Choquet [1] o L. Schwartz [2]).
Demostraci6n del teorema V.6.—Segun el teorema de representaci6n de Riesz-Frechet (teo-
(teorema V.5) existe/ G H unico tal que
<<P, v) = (/, v) Vt- e H.
Por otra parte, para todo u G H fijo, la aplicaci6n »i—>a(u, v) es una forma lineal continua
sobre H, y gracias al teorema de representaci6n de Riesz-Frechet existe un elemento de H, no-
tado por Au, tal que a(u, v) - (Ah, d) Vb G H. Es claro que A es un operador lineal de H en
Hyque
A2) |Au| s: C|u| Vu e H
A3) (Au, u) > a|u|2 Vu e H.
El problema A0) consiste entonces en encontrar u G K tal que
A4) (Aw, v -u)> (/, v - u) Vi- e K.
Sea p > 0 una constante que se fijara mas adelante. La desigualdad A4) equivale a
A5) (p/ - pAu + u - u, v - u) sc 0 Vr e K
i-e. u = PK(p/ - pAu + u).
Para todo nGK.se pone Su = PK(p/ - pAu + v). Demostremos que si p > 0 se elige ade-
cuadamente, entonces S es una contracci6n estricta, i.e. existe k < 1 tal que
|St', - Sv2\ « k\v, - v2\ Vt,, v2 e K.
En efecto, por la proposici6n V.3 se tiene
|Se, - Sv2\ « |(d, - v2) - p(At, - Av2)\

84 Los espacios de Hilbert
y entonces
\Sv, - Sv2\2. ^ \v, - v2\2 - 2p(Ai;, - Ai;2, vt - v2) + P2|Ai;, - Ai;2|2
^ \v, - v2\2(\ - 2pa + p2C2).
Fijando p < ©tal que k2 = 1 - 2pa + p2C2< 1 (tomar 0 < p < jse ve que S admite
un punto fljo unico (').
Supongamos ahora que la forma a(u, v) es sim£trica. Entonces a(u, v) define un nuevo pro-
ducto escalar en H cuya norma asociada a(u, hI/2 es equivalente a la norma | |. Asi pues H
es tambten un espacio de Hilbert para este producto escalar. Aplicando el teorema de represen-
taci6n de Riesz-Frechet se obtiene g G H tal que
<<p, v} = a(cj, v) Vi; g H.
Entonces A0) se escribe
A6) ' a(cj - u, v - u) ^ 0 VceK
i.e. u = Prf, proyecci6n en el sentido del producto escalar definido por a. Segun el teorema
V.2 A6) equivalea hallarw € K donde se alcanza
Min a(cj - v, cj - v)l/2.
Esto es minimizar sobre K a(g — v, cj - v), o tambten
a(v, v) - 2a{g, v), o tambien - a{v, v) - <<p, d>.
Nota 4.—Se comprueba con facilidad que si a(u, v) es una forma bilineal tal que
a(v, v) > 0 Vi; e H
Entonces la funci6n v i—>a(v, v) es convexa.
• Corolario V.8 (Lax-Milgram).—Sea a(u, v) una forma bilineal, continua y coercive Enton-
Entonces para todo ip£H' existe u G H unico tal que
A7) fl(«, »-) = <<P, »-> Vp g H.
Ademds, si a es simitrica, entonces u se caracteriza por la propiedad
hgH y - a(u, u) - <<p, h> = Min <- a(v, v) - <(p, v}>.
2 ,eH 12 J
Demostraci6n.—Aplicar el teorema V.6 y razonar como en el corolario V.4.
Nota.—El teorema de Lax-Milgram es una herramienta sencilla y eficaz para la resoluci6n de
ecuaciones lineales elipticas en derivadas parciales (cf. capitulos VIII y IX). Es interesante ob-
servar la relaci6n entre la ecuaci6n A7) y el problema de minimizaci6n A8). Esta relaci6n suele
tener una interpretaci6n en mecanica o en fisica (principio de minima acci6n, minimizaci6n de
(') Si se pretende calcnlar el punto fijo con un metodo iterativo, tiene interes elegir q = a/C2 (que mi-
nimiza k) para acelerar la convergencia de las iteraciones.

Suma Hilbertiana. Base Hilbertiana 85
una energia, etc.). En la terminologia del calculo de variaciones la ecuaci6n A7) es la ecuaci6n
de Euler del problema de minimizaci6n A8). Obs6rvese tambiin, sobre esto, que la ecuaci6n
A7) aparece cuando se escribe «/="(«) = 0» donde F(v) = —a(v, v) - (<p, v).
Nota 6.—Se puede dar una demostraci6n directa y elemental del hecho de que la ecuaci6n A7)
admita una soluci6n unica. En efecto, resolver A7) es demostrar que
V/g H, 3u g H unica tal que Au = /,
dicho de otro modo, que A es biyectiva. Pero
(a) R(A) es cerrado ya que a\ v| < \Av\ Vv G H.
(b) R(A) es denso ya que.
(Ah, v) = 0 Vw € H
y esto implica v = 0.
V.4. Suma Hilbertiana. Base Hilbertiana
Deflnici6n.—Sea (En)n s x una sucesi6n de subespacios cerrados de H.
Se dice que H es suma Hilbertiana de los (En), y se escribe H = © En si:
n
(i) Los E,, son ortogonales dos a dos, i.e.
(h, v) = 0 Vu G Em, vv G En, m * n
(ii) El espacio vectorial generado por los (En) es denso en H (').
• Teorema V.9.—Supongamos que H es suma Hilbertiana de los (£„)„ , r Sea u G H y sea
«„ = Peb «•
Entonces se veriflca
00 k
(a) « = X "» '■'■ « = Hm X u-
(*) l"l2 = Z l"»l2 (desigualdad de Bessel-Parsevat)
n= 1
Reciprocamente, dada una sucesidn («„) en H tal que un G Envny £ |«J2 < oo, entonces la
qo n= 1
serie Y. un« convergente y u = ^ «, veriflca un = PE/j u.
k
Demostraci6n.—Sea Sk = Y. pe '< s* es un operador lineal y continuo de H en H. Para
u G H se tiene »='
A9) |S*«I2 = I I"J2-
n= 1
(') Se trata del espacio vectorial generado en sentido algebraico i.e. las combinaciones lineales finitas
de elementos de los (En).

86 Los espacios de Hilbert
Por otra parte (corolario V.4) se tiene
(«, «.) = I"J2
y al sumar
(u, Sku) = |S4u|2.
De donde
B0) IVI < M Vu e H.
Se designa por F el espacio vectorial generado por los (En). Sea £ > 0 y sea u 6 Ftal que
|« - w | < £. Para k suficientemente grande se tiene Sku = u. Por otra parte (en virtud de
B0)) se tiene
\Sku - Sku\ s$ \u - u\.
Por consiguiente \Sk u - u\ ^ 2|w - u\ < 2£ para k suficientemente grande, i.e. lim
S,H = U.
De A9) se deduce entonces F).
no
Nota 7.—En general X I"J = °° y entonces la serie £Un no es, en general (absolutamente)
convergente. "='
Definici6n.—Se llama base Hilbertiana (o simplemente base si no hay posibilidad de confu-
si6n (')) a toda sucesi6n (en) de elementos de H tales que
(i) \en\ = 1 v/i, (em, en) = 0 vm, n, m * n.
(ii) El espacio vectorial generado por los (en) es denso en H.
Resulta del teorema V.9 que si (en) es una base Hilbertiana entonces todo u G H se escribe
" = I (". en)en con |u|2 = ^ |(u, en)\2.
„=i n=1
00
Inversamente, dada una sucesi6n («„) G P, la serie ^ anen converge a un elemento notado por
u; se verifica »=i
00
(u, e,) = aB y |u|2 = ^ a2.
n= 1
• Teorema V. 10.—Todo espacio de Hilbert separable admite una base Hilbertiana.
Demostraci6n.—Sea (vn) un subconjunto numerable denso de H. Sea Fk el espacio vectorial
generado por [vit v2, ..., vk]. Los (F*) forman una sucesi6n creciente de subespacios de dimen-
TO
si6n finita tal que U es denso en H. Se elige una base ortonormal de F,, que se completa a
k= 1
una base ortonormal de F2, etc. Se obtiene asi una base Hilbertiana de H.
Nota 8.—Si H no es separable, se puede tambien establecer (con ayuda del lema de Zorn) la
(') No confundirse con una base algebraica i.e. una familia (e,) de H tal que todo elemento de H se es-
escribe de forma unica como combinaci6n lineal finita de los (e,).

Comentarios sobre el capitulo V 87
existencia de una base Hilbertiana («,), e , no numerable. El teorema V.9 permanece valido si
se sustituyen las series convergentes por familias sumables (ver Choquet [1] o L. Schwartz [2].
Nota 9.—El teorema V.10 muestra que todos los espacios de Hilbert separables son isomorfos
e isometricos al espacio P. Por supuesto, este resultado (;de apariencia espectacular!) no resta
importancia al estudio de L2(fi) (o del espacio de Sobolev H1).
Nota 10.—Veremos en el capitulo VI c6mo construir una base Hilbertiana formada por vecto-
res propios de operadores compactos. En L2(fi) se utilizan con frecuencia bases especiales for-
madas por funciones propias de un operador diferencial (cf. § VIII.6 y § IX.8). Por ejemplo en
L2@, tt) la base formada por las funciones
— sin «x 1 , o tambien /- cos mx
k ) n>x W*
da lugar a los desarrollos en serie de Fourier y al Analisis Arm6nico; ver por ejemplo Katznel-
son [1J. En cuanto a las bases asociadas a las funciones de Bessel, Legendre, Hermite, Lague-
rre, Tchebichev, Jacobi, etc. el lector puede consultar Courant-Hilbert [1], volumen 1.
Comentarios sobre el capitulo V
• 1) Caracterizaci6n de los espacios de Hilbert
Es interesante saber reconocer si una norma II II dada sobre un espacio vectorial E es una nor-
norma Hilbertiana, i.e. si existe un producto escalar ( ,) en E tal que
(u, uI/2 = ||u|| VugE.
Se conocen algunos criterios:
a) Teorema V.ll (Frechet-Von Neumann-Jordan).—Si la norma II II verifica la identidad del
paralelogramo A), entonces II II es una norma Hilbertiana.
Para la demostraci6n, ver Yosida [1] o [BT].
b) Teorema V.12 (Kakutani [1]).—Sea E un espacio normado con dim E > 3. Supongamos
que todo subespacio F de dimensidn 2 admite un proyector de norma 1 (i.e. existe P : E — F
operador lineal continuo con Pw = u para todo u G ¥y IIPII < 1).
Entonces la norma II II es Hilbertiana (').
c) Teorema V.13 (de Figueiredo-Karlovitz II]).—Sea E un espacio normado con dim E 5= 3. Se
pone
u si ||«||
T« =
(') Obs6rvese que todo subespacio F de dimensi6n 1 admite siempre un proyector de norma 1 (gracias
al teorema de Hahn-Banach).

88 Los espacios de Hilbert
Supongamos que
||T« - Ti-H s£ ||« - v\\ V«, v e E.
Entonces la norma U U es Hilbertiana (').
Sobre este tema, recordemos tambien un resultado ya mencionado (cf. nota II.8).
Teorema V.14 (Lindenstrauss-Tzafriri II]).—Un espacio de Banach es Hilbertizable (i.e. existe
una norma Hilbertiana equivalente a la norma inicial) si todo subespacio cerrado posee un su-
plementario topoldgico B).
2) Inecuaciones variacionales
El teorema de Stampacchia es el punto de partida de la teoria de inecuaciones variacionales
(ver Kinderlehrer-Stampacchia [1]); esta teoria tiene numerosas aplicaciones en mecanica, en fi-
sica (ver Duvaut-Lions [1]), en control 6ptimo (ver Lions [2]), en control estocastico (ver Ben-
soussan-Lions [1], etc.
* 3) Ecuaciones no lineales asociadas a operadores mon6tonos.
Los teoremas de Stampacchia y Lax-Milgram se extienden a ciertas clases de operadores no
lineales. Citemos por ejemplo el
Teorema V.15 (Minty-Browder).— Sea E un espacio de Banach reflexivo. Sea A : E — E' una
aplicacidn (no lineal) continua tal que
<Aj>, - Av2, v, - v2) > 0 Vp, , v2eE, v, / v2
,. <Ar, v>
hm = oo
IN - ■* IMI
Entonces, para todo f G E' existe u G E unica solucidn de la ecuacidn Au = f.
* 4) Bases en los espacios de Banach.
La noci6n de base se extiende a los espacios de Banach. Se dice que {en)n> , es una base de
Schauder del espacio de Banach E si para todo u G E, existe una sucesi6n (an)n >x en R, uni-
00
ca, tal que u = £ anen. Las bases juegan un papel importante en la geometria de los espacios
n= 1
de Banach (ver Lindenstrauss-Tzafriri [2]). Todos los ejemplos usuales (separables) del Analisis
poseen una base de Schauder (ver por ejemplo 1. Singer [1]). Este hecho condujo a Banach a la
siguiente pregunta: iTodo espacio de Banach separable admite una base de Schauder? La res-
puesta es negativa (Enflo 1972). Incluso se pueden construir subespacios cerrados de V con
1 < p < oo, p ^t 2, sin base (ver Lindenstrauss-Tzafriri [2]). Recientemente, Szankowski ha
demostrado que if (H) no admite base (H es un Hilbert separable de dimensi6n infinita). En el
capitulo VI encontraremos una pregunta paredda para los operadores compactos que tambien
fue resuelta negativamente.
(') Se demuestra que en todo espacio normado se tiene
||Tu - Tu|| *£ 2||u - v|| Vu, beE
y que, en general, la constante 2 no se puede mejorar.
B) Es lo mismo que decir que todo subespacio cerrado admite un proyector continuo P. Observese que
aqui no se supone HPH *£ 1, contrariamente a las hip6tesis del teorema V. 12.

Capltulo VI
OPERADORES COMPACTOS.
DESCOMPOSICION ESPECTRAL DE LOS
OPERADORES COMPACTOS
AUTOADJUNTOS
VI. 1. Definiciones. Propiedades elementales. Adjunto.
Sean E y F dos espacios de Banach.
Defmici6n.—Se dice que un operador T G i?(E, F) es compacto si T(Be) es relativamente
compacto en la topologia fuerte. Se designa por JT(E, F) el conjunto de los operadores com-
pactos y se pone JT(E) = Jf(E, E).
Teorema VI.l.—El conjunto Jt (E, F) es un subespacio vectorial cerrado de & (E, F) (para la
norma U II y (Ei F>).
Demostraci6n.—Es claro que la su. de dos operadores compactos es un operador compac-
compacto. Suponiendo que (Tn) G JT (E, F), T G & (E, F) y IT, - Til y(E p, - 0, demostremos que
T G Jf (E, F). Como F es completo, es suficiente comprobar que para todo £ > 0, T(BE) se
puede recubrir con un numero finito de bolas B(/}, e) en F. Se fija n tal que BTn - TU y(E F) < —.
(\
/, -) con I finito. Entonces
2/
TU
Definici6n.—Se dice que un operador T G & (E, F) es de rango finito si dim R(T) < oo.
Es claro que todo operador continuo de rango finito es compacto.
Corolario VI.L—Sea (Tn) una sucesldn de operadores continuos de rango finito de E en F y
seal G ^ (E, F) tal que IT, - Tlly(EF) - 0. Entonces T G Jf (E, F).
* Nota 1.—El famoso «problema de aproximaci6n» (Banach, Grothendieck) se refiere al reci-
proco del corolario VI.2. Dado un operador compacto, iexiste una sucesi6n (Tn) de operadores
de rango finito tal que IT, - Tly(EiF) - 0?

90 Operadores compactos
En general, la respuesta es negativa (Enflo, 1972) —incluso para ciertos subespacios cerrados
de f A < p < <», p =£ 2); ver por ejemplo Lindenstrauss-Tzafriri [2J. No obstante, la respues-
respuesta es afirmativa en numerosas ocasiones; por ejemplo, si F es un espacio de Hilbert. En efecto,
sea K = T(BE); dado £ > 0 se recubre K con I) B(/,, e), o I finito. Sea G el espacio vectorial
l€l
generado por las /, y sea TE = Po <> T (Tt es de rango finito). Comprobemos que
IITr - TII^(E F) < 2G. Si x G BE, existe /„ G I tal que
A) IITx - /J| < e.
Por tanto ||P0 o Tx - PGf,J\ < e
i.e.
B) I|Pg°Tx -/J| <e.
Combinando A) y B) se ve que
||PGoTx - Tx|| < 2e VxeBE>
i.e.
IIT. - T\W.f) < 2e.
[Se demuestra con facilidad que si F posee una base de Schauder, entonces la respuesta tam-
bien es afirmativa].
Seflalemos por otra parte una tecnica muy util en analisis no lineal —que permite aproximar
una aplicaci6n continua (lineal o no lineal) por aplicaciones no lineales de rango finito.
Sean X un espacio topol6gico, F un espacio de Banach y T : X — F una aplicaci6n continua
tal que T(X) es relativamente compacto en F.
Entonces para todo £ > 0, existe una aplicaci6n T; : X — F continua, de rango finito tal que
C) ||T,(x) - T(x)|| < e VxgX.
En efecto, K = T(X) es compacto y se puede recubrir K por un numero finito de bolas,
K. c= (J B(/,,-), con I finito.
Se pone £ q{x)f.
Tt(x) = — donde q,(x) = Max {e - ||Tx - f,\\, 0};
I q,(x)
l€l
y facilmente se demuestra que Tr verifica C).
Este metodo permite, entre otras cosas, establecer el teorema del punto fijo de Schauder a
partir del teorema del punto fijo de Brouwer; ver [BT]. Recientemente esta tecnica tambien ha
sido utilizada con exito —jy de forma sorprendente!— por Lomonosov para demostrar la exis-
tencia de subespacios invariantes respecto de ciertos operadores lineales; ver por ejemplo
Akhiezer-Glazman [1J.
Proposici6n VI.3.—Sean E, F y G tres espartos de Banach. Si T G <£ (E, F) y S G X (F, G)
[resp. T G X (E, F) y S G <£ (F, G)J, entonces S » T 6 / (E, F).
Demostraci6n evidente.
Teorema VI.4 (Schauder).—Si T6/(E, F), entonces T* G X (F\ E'). Yreciprocamente.

La teorla de Riesz-Fredholm 91
Demostraci6n.—Demostremos que T*(BF.) es relativamente compacto en E'. Sea (fn) una su-
cesi6n en BF.; demostremos que se puede extraer una subsucesi6n tal que T*(i»nJ converge. Sea
K = T(BE) (metrico compacto) y sea Jf C C(K) definido por
Jf = {<pn : x g K \—* <«;„, x> ; n = 1, 2, .. .}
Se verifican las hip6tesis del teorema de Ascoli (teorema IV.24) y se puede entonces extraer una
subsucesi6n designada por q>nk que converge, en C(K), a una funci6n (p G C(K). En particular
SupK^, Tu> - (p(Tu)|—► 0.
ueBE t-»x
Por tanto
Sup \<.v , Tu> - <!;„,, Tu>| ► 0,
U€BE t,/->=o
i e \\T*v - T*v ||E >• 0. Por consiguiente T*v converge en E'.
' ' "' ' U-x *
Reciprocamente, supongamos que T* G JT(F', E')- Por lo anterior T** G X (E", F") y en
particular T**(BE) es relativamente compacto en E\ Ahora bien, T(BE) = T**(BE) y E es ce-
cerrado en E". Por consiguiente T(BE) es relativamente compacto en E.
VI.2. La teoria de Riesz-Fredholm
Comencemos con algunos resultados preliminares.
Lema VI.l (Lema de Riesz).— Sea E un e.v.n. y sea M C E un subespacio cerrado tal que
M * E. Entonces.
Ve > 0 3«6 E tal que \\u\\ = 1 y dist (h, M) > 1 - e.
Demostraci6n.—Sea i> G E, con v G M. Como M es cerrado, entonces d = dist (u, M) > 0.
Se elige m0 G M tal que
d ^ ||r - wioll ^ •
1 - e
Entonces
v - m0
u =
resuelve el problema.
En efecto, si m G M se tiene
u - m =
v - mn
1 - e
.11" ~ '"oil
yaque
m0 + \\v - mo\\m e M.
Nota 2.—Si dim M < oo (o con mas generalidad si M es reflexivo) se puede tomar £ = 0 en el
lema VI.l; pero no en el caso general (ver [BT]).

92 Operadores compactos
• Teorema VI.5 (Riesz).—Sea E un e.v.n. tal que BE es compacta.
Entonces E es de dimensidn finita.
Demostraci6n.—Razonemos por reducci6n al absurdo. Si E es de dimensi6n infinita, existe
una sucesi6n (En) de subespacios de dimensi6n finita tales que En_, £ EB. En virtud del lema
VI. 1 se puede construir una sucesi6n (un) con un G En, IIuj = 1 y dist (un, En_,) ^ —. En
particular II un - um( > — para m < n. Por tanto la sucesi6n (un) no posee ninguna subsuce-
si6n convergente —y esto es contrario a la hip6tesis «BE es compacta».
• Teorema VI.6 (Alternative de Fredholm).— Sea T G * (E). Entonces
a) N(I - T) es de dimensidn finita,
b) R(I - T) es cerrado, y mas exactamente
R(I - T) = N(I - T*y
c) N(I - T) = @) o R(I - T) = E
d) dim N(I - T) = dim N(I - T*).
Nota 3.—La Alternativa de Fredholm hace referenda a la resoluci6n de la ecuaci6n
u — Tu = /. Expresa que:
o bien para todo/ G E la ecuaci6n u — Tu = /posee soluci6n unica,
o bien la ecuaci6n homogenea u - Tu = 0 admite n soluciones linealmente independientes y,
en ese caso, la ecuaci6n no homogenea u - Tu = /tiene soluci6n si y solamente si/verifica n
condiciones de ortogonalidad (i.e. / G N(I - T*)x).
Nota 4.—La propiedad c) es familiar en dimensi6n finita. Si dim E < oo, un operador lineal
de E en si mismo es inyectivo si y solamente si es sobreyectivo. Por el contrario, en dimensi6n
infinita un operador acotado puede ser inyectivo sin ser sobreyectivo y viceversa: por ejemplo
el desplazamiento a la derecha (resp. a la izquierda) en P. La conclusi6n c) expresa, pues, una-
notable propiedad de los operadores de la forma I - T con T G Jf (E).
Demostraci6n.
a) Sea E, = N(I - T). Entonces BE C T(BE), luego BEl es compacta. Segun el teorema
VI.5, E, es de dimensi6n finita.
b) Sea /„ = un - Tun — f. Hay que demostrar que / G R(I - T). Pongamos
dn = dist (un, N(I - T)). Como N(I - T) es de dimensi6n finita, existe vn G N(I - T) tal
que dn = U un - vj. Se tiene
D) /„ = ("„ - O - T(un - vj.
Demostremos que IIun - i;J esta acotada. Razonemos por reducci6n al absurdo suponiendo
•/ — vn
que existe una subsucesi6n tal que Uu. — v II — oo. Poniendo vc. = — > se tendria,
* * II", - vn\\
gracias a D) wn — Tve — 0. Extrayendo una sub-subsucesi6n (tambien notada (^J para
(') Ver la nota 5 mas abajo.

La teoiia de Riesz-Fredholm 93
simplificar) se puede suponer que Twn^ — z. Asi pues, wn — z y z G N(I - T). Por otra
parte
dist(un, N(I - T))
dist (*■„, N(I - T)) = ^ 5— " = 1
II". - "»ll
(ya que vn G N(I - T)). En el limite se obtiene dist (z, N(I - T)) = 1 —lo que es absurdo.
Por consiguiente II un — vj esta acotada y como T es compacto, se puede extraer una subsuce-
si6n tal que T(unk - vn) - /.
Se deduce de D) que unk - vn^ - / + /; poniendo cj = / + / se tiene g - Tg = f i.e.
/G R(I - T). Asi se ha demostrado que el operador I - T tiene imagen cerrada. Se puede
entonces aplicar el teorema 11.18; se tiene
R(I - T) = N(I - T*I y R(I - T*) = N(I - T)\
c) Demostremos primero la implicaci6n =>.
Razonemos por reducci6n el absurdo suponiendo que
E, = R(I - T) / E.
E, es un espacio de Banach y T(E,) C E,. Entonces T[El G Jf (E,) y E2 = (I - T) (E,) es un
subespacio cerrado de E,. Ademas E2 * E, (por ser (I - T) inyectivo). Poniendo
En = (I - T)"(E) se obtiene una sucesi6n estrictamente decreciente de subespacios cerrados.
Segun el lema de Riesz existe una sucesi6n (un) tal que un G En, llunll = 1 y dist (un, En + ,) ^ —.
Se cumple
Tu. - Tii., = - (ii. - Tii.) + (um - TiiJ + (ii. - hJ.
Observemos que si n > m, En +, C En C Em +, C Em y por consiguiente
- (". - Tun) + (um - TuJ + a,eE,tl.
Entonces II Tun - TuJI ^—, lo cual es absurdo ya que Tes compacto. Por tantoR(I - T) = E.
Inversamente, supongamos que R(I - T) = E. Entonces (corolario 11.17),
N(I - T*) = R(I - Ty = @). Como T* G JT(E'), se puede aplicar lo anterior a T* y con-
duirque R(I - T*) = E'. Entonces (corolario 11.17), N(I - T) = R(I - T*)± = @).
d) Sea d = dim N(I - T), d* = dim N(I - T*). Demostraremos primero que d* < d.
Razonemos por reducci6n al absurdo suponiendo que d < d*. Como N(I - T) es de dimen-
si6n finita, admite un suplementario topol6gico en E (ver § II.4, ejemplo 1); existe entonces un
proyector continuo P de E sobre N(I — T).
Por otra parte R(I - T) = N(I - T*)± es de codimensi6n finita d* y en consecuencia
R(I - T) admite (en E) un suplementario topol6gico, notado F, de dimensi6n d* (ver § II.4,
ejemplo 2). Como d < d*, existe una aplicaci6n lineal A : N(I - T) — F que es inyectiva y no
es sobreyectiva. Pongamos S = T + (A o P); entonces S G jf (E) ya que A o P es de rango
finite
Demostremos que N(I - S) = @); en efecto si
0 = u - Su = (u - Tu) - (A o Pu),

94 Operadores compactos
entonces
u - Tu = 0 y A o Pu = 0,
i.e. «f N(I-T)y Au = 0; por tanto u = 0.
Aplicando c) al operador S se ve que R(I - S) = E. Esto es absurdo porque existe
/G F,/ £" R(A); la ecuaci6n u - Su = /no admite soluciones.
Por tanto, se ha demostrado que d* ^ d. Aplicando este resultado a T* se ve que
dim N(I - T**) s£ dim N(I - T*) < dim N(I - T).
Pero N(I - T**) =>_ N(I - T) —y esto permite concluir que d = d*.
VI.3. Espectro de un operador compacto.
Definiciones.—Sea T G & (E).
El conjunto resolvente es
p(T) = {Xe R; (T - XI) es biyectiva de E sobre E).
El espectro o(T) es el complementario del conjunto resolvente, o(T) = R\ g(T).
Se dice que X es valor propio (o autovalor) —y se escribe X G VP(T)— si
N(T - XI) / 0;
N(T - XI) es el espacio propio asociado a X.
Es importante retener que si X G g(T) entonces (T - XI) G <£ (E) (cf. corolario II.6).
Nota 5.—Es claro que VP(T) C a(T). En general la inclusi6n es estricta ('): puede existir X tal
que
N(T - XI) = {0j y R(T - XI) * E
(tal X pertenece al espectro, pero no es un valor propio). Por ejemplo tomemos en E = P,
Tu = @, u,, u2, .„.) donde u = (uu u2, ....) (i.e. T es el desplazamiento —o shift— a la dere-
cha). Entonces 0 G a(T) y 0 g VP(T).
Proposid6n VI.7.— El espectro <r(T) es un conjunto compacto y
Demostraci6n.— Sea X G R con |X| > IITII; demostremos que T - XI es biyectivo —y esto
probara que o(T) c [-1 Til, + IITII]. Dado/ G E la ecuaci6n Tu - Xu = /admite soluci6n
unica pues la ecuaci6n se escribe u = —(Tu - f) y se puede aplicar el teorema del punto fijo
de Banach. ^
Demostremos ahora que g(T) es abierto. Sea Xo G g(T). Dados X G R (pr6ximo a Xo) y/ G E
se trata de resolver
E) Tu - Xu = /.
Pero E) se escribe Tu — \ft = f + (X — X0)u i.e.
F) u =(T- X0I)-'[/+(X- X0)u],
(') Excepto, claro esti, si dim E < oo, pues entonces VP(T) = a(T).

Espectro de un operador compacto 95
Aplicando nuevamente el teorema del punto fijo de Banach se ve que F) posee soluci6n unica
Xoij-'ll < l.
• Teorema M.S.—Sea EGJf (E), con dim E = oo.
Entonces se verified
a) 0 G <r(T),
b) o(T) \ @] = VP(T) \ @),
c) una de las siguientes situaciones:
—o bien <r(T) = @),
—o bien <r(T) \ @) esflnito,
—o bien o(T) \ @) es una sucesidn que tiende a 0.
Demostraci6n.
a) Supongamos que 0 j£ er(T). Entonces T es biyectivo e I = T o T~' es compacto. Por
tanto BE es compacta y dim E < oo (cf. teorema VI.5).
b) Sea X G ct(T), X * 0. Demostremos que X G VP(T). Razonemos por reducci6n al ab-
surdo suponiendo que N(T - XI) = @). Entonces, por el teorema VI.6c se sabe que
R(T - XI) = E y, por tanto, X G g(T) —lo cual es absurdo.
Para continuar la demostraci6n necesitamos el
Lema VI.2.—Sea (Xn)n ^ , una sucesidn de numeros reales distintos tal que
x^x
y Xne o(T)\{0} Vn.
Entonces X = 0.
Dicho de otro modo, todos los puntos de ct(T) \ [0) son aislados.
DemostraciOn.—Se sabe que Xn G VP(T); sea en * 0 tal que (T - \l)en = 0. Sea En el es-
pacio vectorial generado por [e,, e2, ..., en]. Demostremos que En ^ En + , para todo n. Es su-
ficiente comprobar que, para todo n, los vectores eu e2, ..., en son linealmente independientes.
Razonemos por inducci6n sobre n. Admitamos el resultado para n y supongamos que
en+1 = £ a.,e,. Entonces.
Por tanto a,{X, - Xn + ,) = 0 para todo i = 1, 2, ..., n; luego a, = 0 para todo / = 1, 2, ..., n
—lo que es absurdo. Por tanto En £ En + , para todo n.
Por otra parte, es claro que (T — XnI)En C En_,. Aplicando el lema de Riesz se construye
una sucesi6n (un)n>l tal que un G En, llunll = 1 y dist (un, En_,) ^ — para n > 2. Sean
2 ^ m < n de forma que
Em-i <= Em c E,_, <= En.
Se tiene
Tu.
(Tun - Xnun) (Tum - Xmun)

96 Operadores compactos
Si Xn — X ^t 0 se Uega a una contradicci6n ya que (Tun) admite una subsucesi6n convergente.
Demostraci6n del teorema VI.8 c— Para todo entero n s> 1, el conjunto
o(T) r, {XeR; \X\ > -}
es vacio o flnito (si tuviera una cantidad inflnita de puntos distintos, tendria un punto de acu-
mulaci6n —ya que a(T) es compacto— y se llegaria a una contradicci6n con el lema VI.2).
Cuando a(T) \ [0) contiene una cantidad inflnita de puntos distintos, se les puede ordenar en
una sucesi6n que tiende a 0.
Nota 6.—Dada una sucesi6n (an) que tiende a 0, se puede construir un operador compacto T
tal que o(T) ;= («„) U @). Basta considerar en E = P el operador T : u = (un)t—»Tu = (ocnun).
Observese que T es compacto porque existe una sucesi6n (Tn) de operadores de rango flnito tal
que UTn - Til — 0. En este ejemplo tambien se ve que 0 puede pertenecer, o no pertenecer, a
VP(T); ademas si 0 G VP(T), puede ocurrir que el espacio propio asociado, i.e. N(T), sea de di-
mensi6n inflnita.
VI.4. Descomposici6n espectral de los operadores
compactos autoadjuntos
En lo que sigue se supone que E = H es un espacio de Hilbert y que T G & (H). Identifi-
cando H'yHse puede considerar que T* G Sf(H).
Deflnici6n.—Se dice que un operador T G & (H) es autoadjunto si T* = T, es decir,
(Tu, v) = (u, Tv) V«, i' 6 H.
Proposici6n VI.9.—SeaT G & (H) un operador autoadjunto. Pongamos
m = Inf (Th, h) y M = Sup (Th, h).
«€H «€H
l«| = 1 N - 1
Entonces o(T) C [m, MJ, tn G a(T) y M G a(T).
Demostraci6n.—Sea X >M; demostremos que X G e(T). Se tiene
(Tu, u) ^ M|u|2 Vu e H,
y por consiguiente
(ku - Tu, u) 3* (X - M)|u|2 = a|u|2 VueH, con a > 0.
Aplicando el teorema de Lax-Milgram se ve que XI — T es biyectivo.
Demostremos que M G a(T). La forma a(u, v) = (Mu - Tu, i) es bilineal, simetrica y
a(v, v)^0 Vi- 6 H.
Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz a la forma a(u, i) resulta
|(Mu - Tu, i>)| ^ (Mu - Tu, uI/2(Mi; - Ti;, vI2 Vu, v e H.

Descomposicidn espactral de los operadores compactos autoadjuntos 97
De donde se obtiene en particular que
G) |Mu - T«| s£ C(Mu - Tu, uI'2 Vu 6 H.
Sea (un) una sucesi6n tal que \un\ = 1 y (Jun, un) — M. Gracias a G) se ve que
Mun - Tun\ - 0, y entonces M G a(T) (pues si M G e(T). entonces
un = (MI - T)-'(Mun - Tun)- 0).
Las propiedades de m se obtienen sustituyendo T por - T.
Corolario VI.10.—Sea T G if (H) un operador autoadjunto tal que o(J) = @).
Entonces T = 0.
Demostraci6n.—Por la proposici6n VI.9 se sabe que
(Tu, u) = 0 VueH.
De donde resulta que
2(Tu, i;) = (T(u + v),u + v)- (Ju, u) - (Tv, v) = 0 Vk, i> e H.
Y entonces T = 0.
El siguiente resultado es fundamental: demuestra que todo operador compacto autoadjunto
es diagonalizable en una base convenientemente elegida.
• Teorema W.W.—Supongamos que H es separable. Sea T un operador compacto y autoad-
autoadjunto.
Entonces H admite una base Hilberttanaformada por vectores propios de T.
Demostraci6n.—Sea (Xn)n& i la sucesi6n de valores propios distintos de T, excluido el 0; se es-
escribe X,, = 0.
Se pone Eo = N(T) y En = N(T - XnI); recordemos que,
0 s£ dim Eo s£ x y que 0 < dim En < x.
Demostremos primeramente que H es suma Hilbertiana de los (En)n > 0:
(i) Los (En)nS1 son ortogonales dos a dos. En efecto, si u G Em y si v G En con m * n
entonces
Tu = Xmu, Tv = Xnv
y
(T«, v) = Xm(u, v) = (u, Tv) = Xn(u, v).
Por lo tanto
(«, v) = 0.
(ii) Sea F el espacio vectorial generado por los (En)nS0. Comprobemos que F es denso
enH.
Es claro que T(F) C F.De esto se sigue que TtFJ^) C F^ en efecto si u G Fx y v G F, enton-
entonces (Tu, i?) = (u, Tv) = 0. El operador To = T1F± es autoadjunto y compacto. Por otra parte
<KTo) = 10); en efecto, si
X e o(T0)\{0}, entonces X e VP(T0)
y entonces existe « 6 F1, « * Otal que Tou = \u. Por consiguiente X es uno de los valores
propios Xn de T y u G Fx D En. Por tanto u = 0, lo que es absurdo.

98 Operadores compactos
Resulta del corolario VI, 10 que To = 0; por lo tanto
F1 <= N(T) <= F y F1 = {0}.
Y entonces F es denso en H.
Finalmente se elige en cada En una base Hilbertiana. La uni6n de estas bases es una base
Hilbertiana en H formada de vectores propios de T.
Nota 7.—Sea T un operador autoadjunto compacto. Por lo anterior se puede escribir todo
u G H en la forma
con u«
de modo que Tu = £ Kun ■ Se define
n= 1
k
TV 1
t,u = / Aw.
K ^j n n
n= 1
Es claro que T* es un operador de rango finito y que
||T4 - T|| s£ Sup \XJ -> 0 cuando k -> oo.
Se vuelve a encontrar asi el hecho de que T es limite de una sucesi6n (T^) de operadores de ran-
rango finito. Recordemos que en un espacio de Hilbert, todo operador compacto —no necesaria-
mente autoadjunto— es limite de una sucesi6n de operadores de rango finito (ver nota 1).
Comentarios sobre el capitulo VI
* 1) Operadores de Fredholm
El teorema VI.6 es un primer paso hacia la teoria de los operadores de Fredholm. Sean E y
F dos espacios de Banach. Se dice que un operador A G if (E, F) es de Fredholm —se nota
A G Fred(E, F)— si
(i) N(A) es de dimensi6n finita.
(ii) R(A) es cerrado y de codimensi6n finita (').
El indice de A se define por Ind(A) = dim N(A) - codim R(A).
Por ejemplo, A = I - T donde T G X (E) es un operador de Fredholm de indice 0 (ver teo-
teorema VI.6).
Las principales propiedades de los operadores de Fredholm son las siguientes:
o) El conjunto Fred(E, F) es abierto en if (E, F) y la aplicaci6n Ai—>Ind(A) es continua
—y por tanto constante— sobre cada componente conexa de Fred(E, F).
(') Se demuestra que si A G If (E, F) es tal que N(A) es de dimensidn finita y R(A) es de codimensi6n
finita (i.e. R(A) adtnite un suplementario algebraico de dimensi6n finita) entonces R(A) es cerrado; ver
[BT].

Comentahos sobre el capitulo VI 99
b) Todo operador A G Fred(E, F) es invertible m6dulo un operador de rango finito, i.e.
existe
B G y (F, E) tal que (A»B- IF)y(B»A- IE) son de rango finito.
lnversamente si A G & (E, F) y si existe B G if (F, E) tal que
A o B - IF 6 JT(F) y B o A - 1E 6 jf(E),
entonces A G Fred(E, F).
c) Si A G Fred(E, F) y si T G JT(E, F), entonces
A + T e Fred(E, F) y Ind(A + T) = Ind A.
d) Si A G Fred(E, F) y B G Fred(F, G), entonces
B o A 6 Fred(E, G) e Ind(B o A) = Ind(A) + Ind(B).
Para estas cuestiones ver Kato [1], Schechter [1] o [BT].
2) Operadores de Hilbert-Schmidt
Sea H un espacio de Hilbert separable. Se dice que T es un operador de Hilbert-Schmidt si
existe una base (en) de H tal que HTIIJ,S = £|TeJ2 < oo. Se comprueba que la definici6n es
independiente de la elecci6n de la base y que define una norma; ademas T es com pact o. Los
operadores de Hilbert-Schmidt constituyen un subespacio importante de Jf (H) —en particular
a causa del
Teorema VI.12.— Sean H = L\Q) y K(x, y) G L^fi x fi). Entonces el operador
u ^ (K«)(jc) = I K(x,y)u(y)dy
es un operador de Hilbert-Schmidt.
Reclprocamente, todo operador de Hilbert-Schmidt sobre L2(fi) se representa de manera
unicapor medio de unafuncidn K(x, y) G L2(fi x fi).
Para este tema, ver Balakrishnan [1], Dunford-Schwartz [1], volumen 2, L. Schwartz [3] o
[BT].
3) Multiplicidad
Sea T G jf (E) y sea X G o(T) \ @). Se demuestra que la sucesi6n N((T - XI)*), k = 1,2,...
es estrictamente creciente hasta cierto rango finito p y despues se estabiliza (ver por ejemplo
Dieudonne [1], Kreyszig [1] o [BT]). Se dice que p es el orden de X. Se llama multiplicidad geo-
mttrica del valor propio X a la dimensi6n de N(T - XI) y multiplicidad algebraica a la dimen-
si6n de N(T - Xiy; se comprueba que ambas coinciden cuando E es un espacio de Hilbert y T
es autoadjunto (ver [BT]).
4) Analisis espectral
Sea H un espacio de Hilbert. Sea T un operador autoadjunto (o con mas generalidad, nor-
normal i.e. T*T = TT*) no compacto e incluso posiblemente no acotado. La resoluci6n espectral
es una tecnica que generaliza la descomposici6n espectral del § VI.4. Permite, entre otras co-

100 Operadores compactos
sas, definir un calculo funcional i.e. dar sentido a/TO para/funci6n continua. El Analisis es-
pectral es un tema muy amplio que tiene numerosas aplicaciones y ramificaciones. Para una ex-
posici6n elemental ver Rudin [1], Kreyszig [1], Friedman [3], Yosida [1], Huet [1]. Para una
presentaci6n mas completa ver Reed-Simon [1], Kato [1], Dunford-Schwartz [1], volumen 2,
Akhiezer-Glazman [1] y Schechter [2].
5) Principio Min-Max
Las f6rmulas del min-max de Courant Fischer aportan una caracterizaci6n muy util de los
valores propios de un operador compacto autoadjunto; ver por ejemplo Courant-Hilbert [1],
Raviart-Thomas [1], o [BTJ. El fasciculo de Weinberger [2] contiene numerosos desarrollos de
este tema.
6) El teorema de Krein-Rutman
El sigueinte resultado tiene aplicaciones de interes en el estudio espectral de los operadores
elipticos de segundo orden (ver capitulo IX).
* Teorema VI.13 (Krein-Rutman).—Sea E un esparto de Banach y sea C un cono convexo de
virticeO(esdecir\x + py G C, V\ > 0, n > 0, x G C,y G C). Supongamos que C es cerrado,
Int C * 0 y C n (- C) = @). Sea T G /(E) /a/ que T(C\ @)) C Int C. Entonces exlste
u G Int C y existe X > 0 tales que T« = Xu; ademds X es el linico valor propio asociado a un
vector propio de T en C (es decir, Tv = /iv con v G C, v * 0, implied n = X). Finalmente
y la multiplicidad igeomitrica y algebraica) de X es igual a uno.
Ver Schaefer [1] y [BTJ.

Capituio VII
EL TEOREMA DE HILLE-YOS1DA
VII. 1. Definici6n y propiedades elementales
de los operadores maximales mon6tonos
En todo lo que sigue H designa un espacio de Hilbert.
Definid6n.—Sea A : D(A) C H — H un operador lineal no acotado. Se dice que A es mon6-
tono (■) si
(Ad, v) > 0 Vu 6 D(A),
A es maximal mon6tono si ademas R(I + A) = H, i.e.
V/e H, 3u 6 D(A) tal que u + Au = f.
Proposki6n VIM.— Sea A un operador maximal mondtono. Entonces
a) D(A) es denso en H.
b) A es cerrado.
c) Para todo X > 0, (I + XA) es biyectivo de D(A) sobre H, (I + XA) es un operador
acotado y 11A + ^)"'IIijc(h) ^ 1.
Demostraci6n
a) Sea/ G H tal que (f, v) = 0 para todo v G D(A). Comprobemos que/ = 0. En efecto,
existe v0 G D(A) tal que »0 + An0 = /. Se tiene
0 = (/, »0) = K\2 + (A»o, »o) > Kl2-
Portanto v0 = 0 y de ahi que/ = 0.
b) Observemos primero que para todo/ G H existe u G D(A) unico tal que u + Au = /.
En efecto, si u designa otra soluci6n, entonces se tiene (u - u) + A(u - u) = 0. Haciendo el
(') Ciertos autores dicen que A es acretivo o que — A es disipativo.
101

102 Teorema de Hille-Yosida
producto escalar con (u — u) y aplicando la monotonia de A se ve que u — u = 0. Por otra
parte se tiene | u|2 + (Au, u) = (f, u), y por consiguiente \u\ ^ |/|. El operador/i—>u nota-
do (I + A)~' es entonces un operador lineal acotado de H en H y 11A + A)~'ll£(H) < 1. De-
mostremos que A es cerrado. Sea (un) una sucesi6n tal que un G D(A) para todo n, ur — u y
Aun — /. SeTia de comprobar que u G D(A) y que Au = /. Se tiene un + Aun — u + /y en-
entonces
Por consiguiente u = (I + A)~'(u + f), i. e. u G D(A) y u + Au = u + f.
c) Supongamos que para algiin Xo > 0 se tiene R(I + \\) = H. Demostremos que para
todo X > ^ se tiene R(I + XA) = H.
Comencemos observando —al igual que en b)— que para todo / G H existe u G D(A) unico
tal que u + XqAu = /; el operador /•—>u se designa por (I + XqA)" y se tiene
((I + XqA)- 'II <fiH) ^ 1. Se trata de resolver la ecuaci6n
con X > 0.
A)
Se escribe A) en
o tambien
B)
Se ve entonces
la forma
que si
1
X
u +
= (I H
< 1
XAu
h Xo/
i.e.
= /
X >
< 1 i.e. X > -^> entonces B) admite una soluci6n gracias al
teorema del punto fijo de Banach.
Concluyamos. Si A es maximal mon6tono entonces I + A es sobreyectivo. Por lo anterior
I + XA es sobreyectivo para X > — y, por tanto, tambien para X > —, etc. Por inducci6n se
2 4
ve que I + XA es sobreyectivo para todo X > 0.
Nota 1.—Si A es maximal mon6tono, entonces XA tambien es maximal mon6tono para todo
X > 0. Por el contrario, si A y B son dos operadores maximales mon6tonos entonces A + B
definido en D(A) ("I D(B) no es necesariamente maximal mon6tono; ver [BT].
Definiciones.—Sea A un operador maximal mon6tono. Se pone, para todo X > 0
J^fl + XA) y A, = - (I - JJ.
K
Jx es la resolvente de A y Ax es la regularizaci6n Yosida de A.
Retengase que UJxlly(H) < 1.
Proposici6n VII.2.—Sea A un operador mondtono. Se verifica
b)
A,
Ai
IA,
V
V
M
= A(J,F)
= JJAp)
< |Av|
V»-e
We
We
H y
D(A)
D(A)
VX
y
y
> 0
VX >
V/. >
0
0

Deflnicidn y propiedades elementales 103
c) lim V = v W e H
rf) lim Axv = Av V»- e D(A)
i-0
e) (A^, »-) > 0 Vp e H, VX > 0
/) |A,r| s$ i M V. 6 H, VX > 0.
Demostraci6n.
a,) es equivalente a u = (Jx v) + XA(JX v) —que resulta de la definici6n de Jx,
02) Se tiene
Av = - [(/ + XA)d - u] = - (I +
K A.
jfdeaqui
J^Ai; = - (u - Jxv).
K
b) Resulta de a2).
c) Supongamos primero que v G D(A). Entonces
|d - 3xv\ = X\Axv\ ^ X\Av\ por b).
Por tanto lim Jx v = v.
X-0
Pasemos al caso general. Sea v G H y sea £ > 0. Como D(A) = H (proposici6n VII. 1) existe
t, 6 D(A) tal que | v - », | < e. Se tiene
^il |ii il li I | ,| U^, u,| < 2e
Por consiguiente
lim sup \Jxv - v\ ^ 2e, Ve > 0
i-0
y entonces
lim |J,y — v\ = 0.
rf) Aplicar flj) y c).
«) Se tiene
(A^i;, ii) = (Axv, v — J^v) + {Axv, Jxv)
= X\Axv\2 + (A(J^), J^).
Por tanto
C) (A^, v) > X\Axv\2 > 0.
f) Resulta de C) y de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Nota2.—Es conveniente retener de la proposici6n VII.2 que (Ax\>0 es una familia de opera-
operates acotados que «aproximan» A cuando X — 0. Claro esta, IAxly(H) «explota» cuando
X-0.

104 Teorema de Hille-Yosida
VII.2. Resoluci6n del problema de evoluci6n
du
— + Au = 0 en [0, oo[
"@) = uQ
Existencia y unicidad
Comencemos recordando un resultado clasico.
• Teorema VII.3 (Cauchy, Lipschitz, Plcard).— Sea E un espacio de Banach y seaT :E -E
una aplicacidn tal que
||Fn - Fv|| s$ L||n - v\\ Vu, v e E (L > 0).
Entonces Vm0GE 3mGC'([0, °° [ ; E) unica tal que
du
- = Fu en [0, cc[
At
D)
u@) = u0 (dato inicial).
Demostraci6n.—Existencia. Resolver D) es equivalente a hallar u G C([0, oo [ ; E) tal que
E) "(') = "o + F(u(.s)) ds.
Jo
Dado k > 0 —que se fijara mas adelante— se introduce
X = »«eC([0,x[; E); Sup e" ||u(r)|| < x}
Se comprueban con facilidad las siguientes propiedades:
i) X es un Banach con la norma
||M||x = Sup e-"||u(OII
ii) Para todo u G X la funci6n
(<t>u)(i) - u0 + F(u(s)) ds
Jo
pertenece a X.
L
ni) ||<Du - <Dii|x < - \\u ~ i'Hx Vu veX.
k
Para k > L, * admite un punto fijo, que es una soluci6n de E).
Unicidad.—Sean u y u dos soluciones de D). Poniendo
<p@ =

Resolucidn del problema de evolucidn 105
setiene, gracias a E),
P
<p(t) ^ L <p(s) d.s W > 0.
Jo
Yasi(p a 0.
El teorema de Cauchy-Lipschitz-Picard presta un gran servicio en el estudio de las ecuacio-
■es diferenciales ordinarias, pero es practicamente inservible para resolver ecuaciones en deri-
derivadas parciales. El resultado que sigue es, por el contrario, una herramienta muy eficaz para la
resoluci6n de las ecuaciones de evoluci6n en derivadas pardales (ver capitulo X).
• Teorema VII.4 (Hille-Yosida).— Sea A un operador maximal mondtono en un espacio de
Hilbert H. Entonces para todo u0 G D(A) existe una unica funcidn
Udque
F)
Ademdsse
verifica
\u
@1 ^ 1-0
([0,
J
OH
«@
+
+
) =
y
co[;
Aii =
= «o
H)
= 0
du
dr
r
C([0, + oo
en [0,
(dato initial).
(t)
= |A«(OI <S
[; D(A»
+ <»[
|A«OI
Vr ^ 0.
Nota3.—El principal interes del teorema VII.4 reside en el hecho de que resolver el problema
de evolud6n F) se reduce a comprobar que A es maximal mon6tono, es decir, a estudiar la
ecuaci6n estacionaria u + X Am = /.
Demostraci6n.—La descompondremos en 6 etapas.
1." etapa: Unicidad.—Sean u y m dos soluciones de F). Se tiene
1 — (u - m), m - m) ) = - (A(u -«),«-«)< 0.
\At )
Pero 0
Id _ , (A _ - \
- -- |tt@ - M@|2 = -" (U(t) - U(t)), U(t) - U(t) ,
2 At \At )
1 entonces la funci6n /1—► | u(t) - u(t) \ es decreciente sobre [0, + oo [. Como
|«@) - m@)| = 0, se deduce que
\u(t) - u(t)\ = 0 Vr > 0.
Para demostrar la existencia de u, se sustituye A por su regularizaci6n Yosida Ax, se establecen
iversas estimaciones independientes de X y se pasa al limite cuando X — 0.
(') El espacio D(A) esta dotado de la norma de la grifica | »| + | Kv\ o de la norma Hilbertiana equi-
i Es importante retener que si (p G C'([0, oo[ ; H) entonces
|(p|2eC'([0, + oo[; R) y — |tp|2 = 2(-^, tp).

106 Teorema de Hille-Yosida
Sea mx la soluci6n del problema
du,
G)
At
+ A^ = 0 en [0, + co[
I) = u0 e D(A).
Observese que mx existe gracias al teorema de Cauchy-Lipschitz-Picard aplicado a F =
2." etapa.—Se cumple la estimaci6n
- Ax,
r@
= |AA(r)| s$ |Auo|
0,
0.
Esta desigualdad es consecuencia inmediata del
Lema VII.1.—Sea w G C'([0, + oo [; H) unafuncidn que verified
(9)
— + A.h- = 0 en [0, + x[.
At
Entonces las funciones t *-^\w(t)\y t
Aw
At
= lA^OI son decrecientes sobre [0, + oo[.
dw
Demostraci6n.—Se tiene (—, w) + (A^w, w) = 0.
at
1 d
Pero (proposici6n VII.2 e) (Ax w, w) ^ 0 y por tanto \w\2 st 0.
2 d(
Por otra parte, como Ax es un operador lineal acotado, se deduce de (9) que w es C°° y que
dw
^—)
At
= 0.
Se aplica entonces lo anterior a
At
3." etapa.—Demostraremos que para todo t ^ 0, mx(/) converge, cuando X — 0, a un limite
notado u(t); ademas esta convergencia es uniforme en / sobre cada intervalo acotado [0, TJ.
En efecto, sean X, n > 0. Se tiene
y por consiguiente
A0)
At At
2 d(
AMuM = 0
M, ux - uM) = 0.

Resolucidn del problema de evolucidn 107
Ahora bien
Se deduce entonces de (8), A0) y A1) que
2 at
y al integrar
IMO -"M@l2 <4(X
i.e.
A2) MO - "M@l < 2 v/fTTnK |Auo|.
Resulta que, para cada / ^ 0 («x@) es de Cauchy, y por tanto convergente cuando X — 0 a un
limite notado u(t). Pasando al limite en A2) cuando n — 0 se obtiene
K(r) - u(t)\ < iJXt |Auo|.
Por consiguiente la convergencia es uniforme en / sobre cada intervalo acotado [0, T] y
uG C([0, oo[;H).
4." etapa.—Se supone ademas que uQ G D(A2) i. e. u0 G D(A) y Au0 G D(A), entonces
duk
——@ converge cuando X — 0, para todo ( > Oy uniformemente en / sobre cada intervalo
at
acotado [0, TJ.
En efecto, pongamos vx = —Q. de forma que —^- + Ax v\ = 0.
dt dt
Procediendo como en la 3.a etapa se obtiene
A3) k ^
2 dT k "^ ^ (|AaI + ^m'vDWAaI + HlAM
Segun el lema VII. 1 se tiene tambien
A4) |A^| ^ |A^@)| = |A,A,uo|,
e igualmente
A5) \\vv\ ^ |AMuM@)| = |AMAMuo|.
Finalmente, como Au0 G D(A) resulta
A^A^Uo = JiAJ^Auo = J^AAu,, = J2A2u0,
y entonces
06) lAAuol ^ |A2u0|, |AMAMu0| ^ |A2u0|.

108 Teorema de Mile- Yosida
Combinando A3), A4), A5) y A6) resulta
J T" \h ~ <Vl2 « 2(X + H)|A2"O|2.
2 dt
Se concluye como en la tercera etapa que rx(/) = —^-(/) converge cuando X — 0 para todo
dt
t ^ 0 y uniformemente en / sobre cada intervalo acotado.
5." etapa.—Existe una soluci6n de F) si se supone ademas que u0 G D(A2).
En efecto, por lo anterior, se sabe que para todo T < oo :
MO -> "@. cuando X -* 0, uniformemente en [0, T],
dut
-7- (r) converge, cuando X -* 0 uniformemente en [0, T].
De donde resulta que u G C'QO, oo [ ; H) y que ^Hf) - -^-<0. cuando X - 0, uniforme-
dt dt
mente sobre [0, TJ. Se escribe G) en la forma
— (r) + A(J,M0) = 0.
dt
Observemos que Jx ux(t) —■ u(t) pues
X — O
IJiMO - "@1 < |Ji"i@ - Ji"@l + |Ji"@ - "@1 < |"i@ - "@1 + |Ji"@ - "@1 —• °-
Aplicando el hecho de que el grafo de A es cerrado, se deduce de A7) que
h@ G D(A), \/t > 0 y que
— @ + Au(t) = 0.
dt
Por ultimo, como u G C'([0, oo [ ; H), la funci6n / i-> Au(t) es continua de [0, oo [ en H y en-
entonces u G C([0, oo [ ; D(A)).
Por consiguiente, se ha obtenido una soluci6n de F) que cumple |u(r)| ^ !uo|, Vr ^ 0 y
Idu
@
|Auo|, Vr > 0.
Para terminar sera necesario el
Lema VII.2.—Sea u0 G D(A). Entonces
Ve > 0, 3u0 e D(\2) tal que \u0 - uo\ < z y \KUf) - kuo\ < z.
Dicho de otro tnodo, D(A2) es denso en D(A) (para la norma de la grdflca).
Demostraci6n del lema VII.2.—Sea u0 = Jxm0, de modo que u0 G D(A) y
Entonces Am0 G D(A), i.e. u0 G D(A2).

Resolucldn del problema de evolucidn 109
Por otra parte se sabe (cf. proposici6n VII.2) que
Au0 = A^o = 3xAu0,
lim
- uo| = 0,
lim
- Auo| = 0.
Se elige entonces X > 0 suficientemente pequeflo y se obtiene la conclusi6n del lema.
6.* etapa: conclusi6n.—Sea u0 G D(A). En virtud del lema anterior existe una sucesi6n
("on) G DfA2) tal que uOn — u0 y AwOn — Au0. De la quinta etapa se sabe que existe una solu-
ci6n un del problema
A8)
Ademas se verifica
Por consiguiente
+ Aun = 0 en [0, oo[,
df
«.@) = «„„.
\un(t) - ujt)\ s$ \uOn - uoj
0,
T
df
At
@
- AuOm|
0.
un(t) — u(t) uniformemente sobre [0, oo [
du du
——it) — @ uniformemente sobre [0, oo [,
d> dt
con u G C'([0, oo [ ; H). Pasando al limite en A8) gracias a que A es cerrado, se ve que
u G C([0, oo [ ; D(A)) y que u verifica F).
Nota 4.— Sea mx la soluci6n de G).
a) Supongamos que u0 G D(A). Se sabe (de la tercera etapa) que, cuando X — 0, mx(/) con-
converge, para todo / ^ 0, a un limite notado u(t). Se puede demostrar (ver [BT]) que
u G C'([0, oo [ ; H) ("I C([0, oo [ ; D(A)) y que u verifica F).
b) Supongamos que u0 G H. Se puede demostrar (ver [BT]) que, cuando X — 0, mx(/) con-
converge, para todo ( ^ 0, a un limite notado u(t). Pero puede darse el caso de que
m@ G D(A), v/ > 0 y que u(t) no sea diferenciable en ningun punto de ]0, oo[ (ver un ejemplo
en [BT]). Asi, a fortiori u(t) puede no ser una soluci6n «clasica» de F). De hecho, en ese caso,
el problema F) no posee ninguna soluci6n en el sentido clasico. No obstante, u(I) se considera
como soluci6n «generalizada» de F). Sin embargo, mas adelante se vera (cf. § VII.4) que si A
es autoadjunto entonces u(t) es soluci6n «clasica» de F) para todo u0 G H, incluso si
«o i D(A).
» Nota 5 (Semigrupos de contracciones).—Sea / > 0; se considera aplicaci6n lineal
: u01—> u(t) de D(A) en D(A), donde u(t) es la soluci6n de F) obtenida en el teore-

110 Teorema de Hille-Yosida
ma VII.4. Dado que | SA(O«OI ^ I Mol > se puede extender SA(/) por continuidad y densidad a un
operador lineal continuo de H en si mismo. Tambien la extensi6n se designa por SA(/)C). Se
comprueba facilmente que SA@ posee las siguientes propiedades:
a) Para cada / ^ 0, SA(/) : H — H es un operador lineal continuo y ||SA@lly(H) ^ '
|SaC, + '2) = SA(r,) oSA(r2) Vr, > 0. W2 > 0
jsA(O) = I
c) lim |SA(r)u0 - "ol = 0 V«ceH.
Una familia (S(/)),30 de operadores dei?(H) definida para cada valor del parametro / > Oy
que cumpla a), b) y c) es, por definici6n, un semigrupo continuo de contracciones.
Se demuestra (Hille-Yosida) que reciprocamente, dado un semigrupo continuo de contrac-
contracciones S@. existe un operador A maximal mon6tono unico tal que S(/) = SA@ para todo
/ > 0.
Se establece asi una correspondencia biyectiva entre los operadores maximales mon6tonos y los
semigrupos continuos de contracciones.
Para la demostraci6n, ver por ejemplo [BT] y las referencias citadas en los comentarios so-
bre el capitulo VII.
• Nota 6.—Sea A un operador maximal mon6tono y sea X G U. La resoluci6n de la ecuacion
{du
— + Au + Xu = -0 en [0, + oo[
At
"@) = u0
se reduce facilmente a la resoluci6n de F) gracias al siguiente artificio. Se pone
t>@ = euu(t)-
Entonces v verifica
idv
— + Av = 0 en [0, + co[
v@) = u0.
VII. 3. Regularidad
Completaremos ahora el resultado del teorema VII .4 demostrando que la soluci6n u de F)
es mas regular B) con hip6tesis suplementarias sobre el dato inicial u0.
(') Resulta igual definir SA@ como la aplicaci6n u0 G H i—► u(t) G H puesta de manifiesto en la nota 4.
B) Recordemos que la conclusion del teorema VII.4 afirma solamente que u G C'([0, oo[ ; H).

Regularidad 111
Para ello se define por inducci6n el espacio
D(A')= (ceD(A'"'); Ao e D(A*~')}, k entero 5* 2.
Se comprueba facilmente que D(A*) es un espacio de Hilbert con el producto escalar
y la norma asociada es
/ * Y<2
I"Id,v, = I |AJu|2 .
\j~o /
Teorema Wl.S.—Supongamos que u0 G D(A*) con A 5= 2. Entonces la soluddn u del proble-
problems F) obtentda en el teorema VII.4 verifica ademds
ueC*-'([0, + oo[; D(AJ)) P«r« y = 0, 1, . .. fc.
Demostracion .—Comencemos suponiendo que A: = 2.
Se considera el espacio de Hilbert H, = D(A) dotado del producto escalar (u, i;)D(A), Es fa-
cil comprobar que el operador A, : D(A,) C H, - H, definido por
|D(A,) = D(A2)
[A,m = Am para ueD(A,)
es maximal mon6tono en H,. Aplicando el teorema VII.4 al operador A, en el espacio H, se ve
que existe una funci6n
'([0, + oo[; H,)nC([0, + oo[;
talque
{du
— + \yu = 0 en [0, + co[
At
"@) = u0-
En particular u verifica F); y en virtud de la unicidad, esta es la soluci6n de F). Falta solamen-
te comprobar que u G C2([0, + oo [ ; H). Como
AsjE?(H,,H) ycomo u e C'([0, + oo[; H,),
resultaque Am G C'([0, + oo[ ; H) y que
(9) (A«) aA.
At At
Aplicando F) se ve que *^L e c'([0, + oo [ ; H) es decir, u G C2([0, + oo [ ; H) y que
At
B0) jA + A(j) = 0 en [0, + oo[.
At At At

112 Teorema de Hille-Yosida
Pasemos ahora al caso general k > 3, Se razona por inducci6n sobre k: admitamos el resul-
tado hasta el orden k - 1 y supongamos que uQ G D(Ak), Por lo anterior se sabe que la solu-
ci6n u de F) pertenece a C2([0, <x[ ; H) ("I C'([0, <x[; D(A)) y que u verifica B0).
Poniendo
du
se obtiene
'[0, + oc[; H) nC([0, oc[;
dv
~ + Ati = 0 en [0, oc[
v@) = - Au0.
Dicho de otro modo, v es la soluci6n de F) correspondiente al dato inicial vQ = - Au0. Como
v0 G D(A* " '), se sabe por la hip6tesis de inducci6n que
B1) ueC-'-^O, + oo[; D(AJ)) para j = 0, 1, ... k - 1,
i.e.
ueC J([0, + oo[; D(AJ)) para j = 0,1, ...k - 1.
Queda solamente comprobar que
B2) ueC([0, + co[; D(A*)).
Aplicando B1) cony = k - 1, se obtiene que
B3) — eC([0, + oo[; D(A*-'))-
df
Se deduce de B3) y de la ecuaci6n F) que
AueC([0, oo[; D(A*-'))
i.e. B2).
VI1.4. El caso autoadjunto
Sea A : D(A) C H — H un operador lineal no acotado con D(A) = H. Si se hace la iden-
tificaci6n H' = H se puede considerar A* como un operador no acotado en H.
Definici6n.—Se dice que
A es sim6trico si
(Au, v) = (u, Av) Vu, reD(A);
A es autoadjunto si
A* = A
y se sobrentiende D(A*) = D(A).

El caso autoadjunto 113
Nota 7.—Cuando A651 (H), la distinci6n entre operador simelrico y operador autoadjunto
no ha lugar. Por el contrario, si A es no acotado la distinci6n entre «sim6trico» y «autoadjun-
to» es sutil. Es claro que todo operador autoadjunto es sim&rico. El reciproco no es cierto: A
es simetrico si y solamente si A C A* - i.e. D(A) C D(A*) y A* = A sobre D(A). Cuando
A es simetrico, puede ocurrir que A ^ A* (ver [BT]).
El siguiente resultado prueba que cuando A es maximal mon6tono, entonces
(A simetrico) o (A autoadjunto).
Proposici6n VII.6.— Sea A un operador maximal mondtono, simitrico.
Entonces A es autoadjunto.
DemostraciOn.—Sea J, = (I + A). Demostremos primero que J, es autoadjunto. Es sufi-
ciente comprobar —puesto que J, G S£ (H)— que
B4) (J,u, v) = (u, J,i>) Vu, ueH.
Pongamos u, = J,u, vl = J,r de forma que
u, + Au, = u
t>, + Av, = v.
Como («,, Ad,) = (Am,, d,), resulta que (m,, v) = (u, f,) i.e. B4)
Sea u G D(A*) y pongamos/ = u + A* u. Se tiene
(/, v) = (u, v + Av) Vd 6 D(A)
i.e. (/, J.h') = (", w) VweH.
Por consiguiente u = J,/, luego u G D(A). Conclusi6n: D(A*) = D(A).
Nota 8.—;Atenci6n! Si A es un operador mon6tono, incluso simetrico, entonces A* no es ne-
cesariamente mon6tono; ver [BT]. Por el contrario, se demuestran las siguientes equivalencias
(ver [BT]):
A maximal mon6tono
o A* maximal mon6tono
o A cerrado, D(A) denso, A y A* mon6tonos.
• Teorema VII.7.—Sea A an operador maximal mondtono, autoadjunto.
Entonces para todo u0 G H (') existe una unicafuncidn
«6C([0, + oo[; H) nC'QO, + oo[; H) nCQO, + oo[; D(A))
talque
du
— + A« = 0 en ]0, + oo[
At
(') Insistamos en la diferencia entre el teorema VII.4 y el teorema VII.7: aqui u0 £ H (en lugar de
u0 € D(A)). La conclusi6n es mas d6bil porque —^-(<) puede ocasionalmente «explotar» cuando t — 0.
At

114 Teorema de Hille-Yosida
Ademds se verified
Au 1
l«ol y l~r('>l = lAu('>l < - l"ol
B5) ueCQO, + oc[; D(A')) Vfc, / noturales.
DemostraciOn.
Unicidad. Sean u y u dos soluciones. Aplicando la monotonia de A se ve que la funci6n
(p@ = |m@ - m@12 es decreciente sobre ]0, + oo[. Por otra parte, tambien es continua sobre
[0, + oo [ y (p@) = 0. Por tanto (p = 0.
Existencia.
1." etapa. Supongamos primeramente que u0 G D(A2) y sea u la soluci6n de F) obtenida end
teorema VII.4. Establezcamos la estimaci6n
<26> |^0)| <i|uol Vt>0.
dl t
Observemos que
It = h y A? = Ax VX. > 0
(ver la demostraci6n de la proposici6n VII.6).
Continuemos la aproximaci6n utilizada en la demostraci6n del teorema VII.4:
du,
B7) — + Axux = 0 en [0, oo[, ux@) = u0.
dl
Multiplicando escalarmente B7) por ux e integrando sobre [0, T] se obtiene
1 fT 1
B8) |Ui(T)|2 + (A.u,, ujdf = - |uo|2.
2 Jo *-
Haciendo despues el producto escalar de B7) con /—^—@ e integrando sobre [0, T] resulta
At
B9)
Ahora bien
dl
du>
1 dl + (AA(l), —" (t))ldt = 0.
dl
1 (Axux, ux) = (Ax ^, ux) + (Axux,^) = 2(Axux, ^)
ya que A* = Ax.
Por consiguiente, al integrar por partes, se obtiene
C0)
d( = - - [(Axux, ux)]ldl
2 J ^
= - (Axux(T), ttx(T))T - - (A,ux, uj dl
2 ' Jo

El caso autoadjunto 115
Por otra parte, como la funci6n /1—> I —^-(t) I es decreciente (lema VII. 1) se tiene
At
C1) f|^O)l2rdrH^(T)l2y
Jo df df 2
Combinando B8), B9), C0) y C1) se llega a
- K(T)|2 + T(AA(T), ux(T)) + T2 |^ (T)|2 s? - |uo|2;
2 df 2
de donde resulta, en particular, que
C2) |^ (T)| < i |uo| VT > 0.
df T
Se concluye la demostraci6n de B6) pasando al limite en C2) cuando \ — 0 (observese que
-!&- — gracias a la quinta etapa de la demostraci6n del teorema VIM).
dt At
2.* etapa. Se supone ahora que u0 € H. Sea (uOn) una sucesi6n en D(A) tal que uOn — u0. Sea
un la solucidn de la ecuacidn
f ^ + Au. = 0 en [0, + oc[
1 ^
I u,@) =uOn.
Se sabe (teorema VII.4) que
k@ - MOI < \uOh - uOm\ Vm, n, Vf ^ 0
y (primera etapa) que
-T- (t - — 0
df df
1
- l«o» - uoJ Vm, n Vf > 0.
De donde resulta que un(t) converge a un limite u(t) uniformemente sobre [0, oo [ y —O- con-
d ^'
verge a uniformemente sobre cada intervalo [5, + oo [ con 5 > 0. Asi pues
At
ueC([0, + oo[; H) nC'QO, + oo[; H).
Se concluye facilmente que m(/) G D(A) para todo / > 0 y verifica la ecuaci6n —— + Am = 0
At
sobre ]0, + oo[ (utilizar que A es cerrado).
Demostraci6n de B5).—Demostraremos por inducci6n sobre k ^ 2 que
C3) ueCM]0, + oc[; D(AJ)) V/= 0, 1 ... fc.
Admitamos pues C3) para fc — 1; de ello resulta en particular que
C4) ueCQO, + oo[; "'

116 Teorema de Hille-Yosida
Para establecer C3) para k, es suficiente (en virtud del teorema VII.5) comprobar que
C5) ueCQO, + oo[; D(Ak)).
En el espacio de Hilbert H = D(A* " '), se considera el operador A : D(A) C H — H definido
por
fD(A) = D(A")
U =A.
Se comprueba con facilidad que A es maximal mon6tono y simetrico (y, por tanto, autoadjun-
to) en H.
Aplicando la primera parte del teorema VII.7 en H al operador A se ve que, para todo
i>0 G H, existe una unica soluci6n del problema
{Av
— + Ad = 0 en ]0, + oo[
At
f@) = v0
con
t>eC([0, oo[;fl)nC'(]0, oo[; fl) nC(]O, oo[; D(A)).
Eligiendo v0 = u(8) (8 > 0) (d0 G H gracias a C4)) se ve que u G C(]8, + oo[ ; D(A*)). Y de
aqui C5).
Comentarios sobre el capitulo VII
1) El teorema de Hille-Yosida en los espacios de Banach
El teorema de Hille-Yosida se extiende a los espacios de Banach de la siguiente forma.
Sea E un espacio de Banach y sea A : D(A) C E — E un operador lineal no acotado. Se dice
que A es w-acretivo si D(A) = E y si para todo \ > 0, I + \ A es biyectivo de D(A) sobre E,
conll(I + XA)-'I,,(E) ^ 1.
Teorema VII.8 (Hille-Yosida).— Sea A un operador m-acretivo en E.
Entonces para todo u0 € D(A) existe una unica funcidn
«eC'([0, + oo[; E) nC([0, + oo[; D(A))
tal que
{du
- + A« = 0 en [0, + =o[
Ademas, se verifica
du
IMOII < ll«oll y \\-7-(t)\\ = IIA«(OII < ||A«0|| v/>o.
at
El operador u0 i-+ «(/) extendido por continuidad a E se nota S^(t); SA(f) es un semigrupo
continuo de contracciones en E.

Comentarios sobre el capltulo VII 117
Reciprocamente, dado un semigrupo continuo de contracciones S(t), existe un operador A
m-acretivo, unico, tal que S(t) = SA(f) para todo t > 0.
Para la demostraci6n, ver por ejemplo J. Goldstein [1], Yosida [1], Schechter [1], Reed-Si-
Reed-Simon [1], volumen 2, Tanabe [1], Pazy [1], Dunford-Schwartz [1], volumen 1, Friedman [2],
Davies [1], Balakrishnan [1] y [BT]. Estas referencias contienen abundantes desarrollos de la
teoria de semigrupos.
2) F6rmula exponencial
Existen numerosos metodos iterativos que permiten resolver el problema C7). Citemos en
particular el
Teorema VII.9.—Supongamos que A es m-acretivo. Entonces para todo u0 E D(A) la solucidn
u de C7) viene dada por la fdrmula exponencial
C8) u(t) = lim [(I + -A)-1]"«0
Ver por ejemplo Yosida [1] y Pazy [1].
Observese que la f6rmula C8) corresponde exactamente, en el lenguaje del Analisis Numeri-
co, a la convergencia de un esquema implicito de discretizaci6n en t para la ecuaci6n C7) (ver
Raviart-Thomas [1]). En efecto, para determinar la soluci6n de C7) se fija / > 0, se divide el
intervalo [0, /] en n intervalos iguales de longitud At = —, se resuelven sucesivamente las ecua-
n
ciones
a partir de u0. Dicho de otro modo
un = (I + At A)-"u0 = I I + -A ) u0.
V " /
Cuando n — oo (i.e. At — 0) es totalmente «natural» que un converja a u(t).
3) El teorema VII.7 es un primer paso en la teoria de semigrupos analiticos; para este tema ver
Yosida [1], Kato [1], Reed-Simon [1], Friedman [2], Pazy [1], Tanabe [1].
4) Ecuaciones con segundo miembro. Ecuaciones no lineales
Consideremos el problema
( Au
C9) ) j- @ + Au(r) =f(t) en [0, T]
lu@) = uo.
Se tiene el siguiente resultado:

118 Teorema de Hille-Yosida
Teorema VII.10.—Supongamos que A es m-acretivo. Entonces para todo u0 G D(A) y toda
f G Cl(l0, Tl ; E) existe una unica funcldn
ueC'ICO, T]; E) nC([O, T]; D(A))
solucidn de C9). Ademas u viene dadapor lafdrmula
D0) „(/) = SA(/)«0 + SA(/ - s)f(s) ds,
Jo
donde SA(f) es el semigrupo introducido en 1).
Retengase que si/ G L'@, T ; E) la f6rmula D0) —que siempre tiene sentido— se puede
considerar como una soluci6n generalizada de C9). Para estos temas ver Kato [1], Pazy [1],
Martin [1], Tanabe [1].
En las aplicaciones aparecen numerosas ecuaciones «semi-lineales» del tipo
du
— + Au = F(u)
dt
donde F es un operador no lineal de X en X; ver por ejemplo Martin [1], Brezis [2] y los co-
mentarios sobre el capitulo X.
En esta misma direcci6n, indiquemos que la mayoria de los resultados del capitulo VII ad-
miten una versi6n no lineal, i.e. A : D(A) C E — E es un operador no lineal; ver Brezis [1],
Barbu [1], Benilan-Crandall-Pazy [1].

\ ill
ESfAC IOS III- sciIIOi t.\ \
FOKM1 I \MO\ \ AN!*CJ
PROBU'MA1* !)F. COMOl
DIMIAMON L\O
VIII. 1. Motivacidn
Consideremos el siguiente problema. Dada/ G C([a, b]) hallar una funci6n u(x) que verifi-
que
en [a, b]
A)
f - u" + u = /
ju(a) = u(b) = 0.
Una soluci6n clasica —o soluci6n fuerte— del problema A) es una funci6n de clase C2 en [a, b]
que verifica A) en el sentido usual. Claro esta, A) se puede resolver explicitamente con un cal-
culo muy sencillo, pero ignoraremos este aspecto con el fin de ilustrar el metodo a partir de es-
te ejemplo elemental.
Se multiplica A) por G Cl([a, b\) y se integra por partes; resulta
B)
J u'cp' + J ucp = j /cp Vcp6C'([a, b]), cp(a) = «p(b) = 0.
Observese que B) tiene sentido si u G C'([fl, b\) (contrariamente a A), que supone u derivable
dos veces); de hecho, incluso seria suficiente tener u, u' G L\a, b), u' en un sentido a preci-
sar. Digamos (provisionalmente) que una funci6n u de clase C1 que verifica B) es una soluci6n
dttil de A).
El programa siguiente describe las grandes lineas del enfoque variacional de la teoria de
ecuaciones en derivadas parciales:
Etapa A.—Se precisa la noci6n de soluci6n debil; esto hace intervenir a los espacios de Sobo-
lev, que son la herramienta basica.
Etapa B.—Se establecen la existencia y la unicidad de una soluci6n dlbil con el m£todo varia-
variacional, via el teorema de Lax-Milgram.
Etapa C—Se demuestra que la soluci6n debil es de clase C2 (por ejemplo): un resultado de re-
gularidad.
119

120 Espacios de Sobolev
Etapa D.—Recuperaci6n de la soluci6n clasica. Se demuestra que toda soluci6n debil de clase
C2 es soluci6n clasica.
La etapa D es muy sencilla. En efecto, supongamos que u E C2([a, b]), u(a) = u(b) = 0 y
que u verifica B). Al integrar por partes en B) se obtiene
(- u" + u - /)cp = 0 Vcp 6 C ([a, b]), cp(a) = <P(&) = 0
y a fortiori
P
(- u" + u -/)cp = 0 VcpeCc'(]a, b[).
Ja
Como C^Ja, b[) es denso en L2(a, b) (corolario IV.23), - u" + u = /c.t.p. (de hecho en to-
todo punto ya que u E C2).
VIII.2. El espacio de Sobolev W1 "(I)
Sea I = ]a, b[ un intervalo acotado o no y sea p E U con 1 < p < oo.
Definici6n.—El espacio de Sobolev W^I) se define por (')
W'"(l) = (ueL'd); 3g s L"(l) tal que ucp' = - gcp VcpeQ'd)}.
Se pone
Para cada u G W'^A) se nota u = g B).
Nota 1.—En la definici6n de W se dice que cp es una funci6n test. Se pueden utilizar indis-
tintamente Cj(I) o C"(I) como conjunto de funciones test ya que si cp E C^(I), entonces
P, • cp E C"(I) para n suficientemente grande y pn • cp — cp en C1 (ver § IV.4; por supuesto,
para definir el producto de convoluci6n pn • cp se comienza extendiendo cp por 0 fuera de I).
Nota 2.—Es claro que si u E C'(I) n LP(I) y si u' E LP(I) (aqui u' es la derivada usual de
m), entonces u E W'^I). Ademas la derivada usual de u coincide con la derivada de u en el
sentido de W1-". En particular si 1 esta acotado, entonces C'(T) c W'-^I) para todo
1 < p< oo .
Ejemplos.—Sea I = ]— 1, + 1[. Compruebese a titulo de ejercicio que:
i) La funci6n u(x) = —(|jc| + x) pertenece a W'^I) para todo 1 s; p ^ oo y que u' = H
donde
1 si 0 < x < 1
H(x) =
si
(') Cuando no haya confusion, se escribira Wlj) en lugar de ^)
B) Observese que esto tiene sentido: g es linica en virtud del lema IV.2.

El espacio de Sobolev Wtp(l) 121
Con mas generalidad, toda funci6n continua sobre I y derivable con continuidad a trozos en I
pertecenea W1>p(I) para todo 1 < p < oo.
ii) La funci6n H no pertenece aW' para 1 < p sj oo.
♦ Nota 3.—Para definir W-" se puede utilizar tambien el lenguaje de la teoria de distribuciones
(ver L. Schwartz [1]). Toda funci6n u G LP(I) admite derivada en el sentido de las distribucio-
distribuciones, que es un elemento del enorme espacio ®'(I). Se dice que u G W1-" si esta derivada distri-
distributional coincide, en el espacio &' (I), con una funci6n de V.
Cuando I = R y p = 2, tambien se pueden definir los espacios de Sobolev con la transfor-
mada de Fourier; ver por ejemplo Lions-Magenes [1] o Malliavin [1]. Aqui no tendremos en
cuenta este punto de vista.
Notaciones.—El espacio W1^ esta dotado de la norma
llwllw1 p = \\uWiJ> + llM'llu>
(oa veces de la norma equivalente [||u||lj> + ||«'|lui]"'>). El espacio H1 esta dotado del producto
escalar
(u, v)H\ = (u, v)l2 + (u\ v')L2;
la norma asociada
MIHi = (IMk2 + Iklk.2)
es equivalente a la norma W-2.
Proposici6n VIII.l.—El espacio WI>P es un espacio de Banach para I ^ p ^ oo. El espacio
W1* es reflexivo (*) para 1 < p < oo y separable para 1 < p < oo. El espacio H1 es un espacio
de Hilbert separable.
DemostraciOn.— a) Sea (un) una sucesi6n de Cauchy en W1'"; entonces (un) y (u'n) son sucesio-
nes de Cauchy en L". Por consiguiente un — u en Lp y u'n — g en Lp. Se tiene
u> V(p6t;ii),
y en el limite
r r
ucp' = - gy V9 6 C? (I).
1 Ji
Portanto u G W1^, u' = g y llwn — mIIwi^ — 0.
b) W1'" es reflexivo para 1 < p < 00.
En efecto, el espacio producto E = LP(I) x h"{\) es reflexivo. El operador T : W1'" — E defi-
nido por Ju = [u, u'] es una isometria de W1-*" en E; por tanto T(W1''') es un subespacio cerra-
do de E. Resulta entonces (proposici6n 111.17) que TtW1^) es reflexivo —y por consiguiente
tambien lo es W*.
(') Esta propiedad es una ventaja considerable del espacio W''p. En los problemas de c&lculo de varia-
dones se utiliza preferentemente W'^ en lugar de C1, que no es reflexivo (ver corolario III.20).

122 Espacios de Sobolev
c) W1''' es separable para 1 < p < oo.
En efecto, el espacio producto E = L"(I) x f(I)es separable, por tanto tambien TCW'^es se-
separable (ver proposici6n III.22). Por consiguiente W-" es separable.
Nota 4.—Es conveniente retener de la demostraci6n anterior el siguiente hecho: sea (un) una
sucesi6n en W1-*" tal que un — u en V y u'n converge a cierto limite en Lp, entonces u G W1* y
IIun - mIIw',p — 0 (cuando 1 < p $: oo es suficiente saber que (u'n) esta acotada en V para
concluir que u G W1-"; ver [BT]).
Las funciones de Wlj) son «grosso modo» primitivas de funciones de V. Exactamente se
verifica el
Teorema VIII.2.— Sea u G WliP(I); entonces existe una funcidn u G C(I) tal que
u = u c.t.p. en I
Nota 5.—Precisemos bien el alcance del teorema VIII.2. Sefialemos primero que si una fun-
ci6n de u G W1^, entonces toda funci6n v tal que u = v c.t.p. en I tambien pertenece a W1^. El
teorema VIII.2 afirma que toda funci6n u de W1-" admite un representante continuo (y s61o
uno) i.e. existe una funci6n continua perteneciente a la clase de equivalencia de u para la rela-
ci6n u ~ v si u = v c.t.p. Cuando esto sea de utilidad ('), se sustituira sistematicamente u por
su representante continuo; y con el fin de no recargar la notaci6n se designara tambien por u al
representante continuo. Observese por ultimo que la propiedad «u posee un representante con-
tinuo» es distinta de la propiedad «u es continua c.t.p.w.
Nota 6^^Es claro que si u G W1-" y si W G C(I) entonces u G C'(T) (mas exactamente
u G C'(I), pero como acabamos de decir, no distinguiremos entre u y Q).
En la demostraci6n del teorema VIII.2 se utilizaran los
Lema VIII. 1.— Seaf G L^d) tal que
r
C) /9' = 0 Vcp 6 Cc' (I).
Ji
Entonces existe una constante C tal quef = C c.t.p.
Demostracion.—Se fija una fu
w G CC(I) existe <p G C^(I) tal que
Demostracion.—Se fija una funci6n \|/ G CC(I) tal que \|/ = 1. Para toda funci6n
<p' = w - ( | w J\|/
En efecto, la funci6n h = w -I w ]\|/es continua, con soporte compacto en I, y
VJi /
(') Por ejemplo, para dar sentido a u(x) para todo x £ I.

El espacio de Sobolev Wtp(l) 123
\ h = 0, ft tie
/ tv - ( tvU =0 VtveCc(
Ji L VJi / J
como I h = 0, h tiene una primitiva (unica) con soporte compacto. Se deduce de C) que
J
c(I)
Vh>6Cc(I)
yportanto (lema IV.2),/ -| I /,U = 0 c.t.p., i.e./ = C c.t.p. con C = /<|/.
Lema VIII.2.—S«?a g G L,'OC(I); para y0 fijo en I se pone
v(x) = g(t) dt, xel.
Entonces v G C(I) y
wp' = - g«p VcpeC'O).
DemostraciOn.—Se tiene
fcp' = 0(Odf <p'(x)dx = - dx g(tW(x) dt + \ dx 0(f)cp'(x)dt.
Aplicando el teorema de Fubini, se deduce que
f f>» f f* f»
ucp' = — 0(f) df cp'(x)dx + 9@ df cp'(x) dx
Jl Jfl Jo JyQ J(
-I'
DemostraciOn del teorema VIII.2.—Se fija y0 G I y se pone u(x) = T u'(t) At.
Segfin el lema VIII.2 se tiene
ucp' = - u'cp VcpeQ'd).
J[ Vi
Portanto (u - u)cp'= 0 Vcp G C^(I). Resulta del lema VIII. 1 que u - u = C c.t.p. La fun-
d6n «(at) =■ u{x) + C tiene las propiedades deseadas.
Nota 7.—El lema VIII.2 demuestra que la primitiva t) de una funci6n g de V pertenece a W-"
siempre que t) G V —y esto siempre ocurre cuando I esta acotado.

124 Espacios de Sobolev
Proposici6n VIII.3.—Sea u G V con 1 < p $: oo. Las siguientes propiedades son equivakn-
tes
(i) m G W-".
(ii) Existe una constante C to/ gi/e
V9 6Cf(I).
(Hi) £Jt«rt i/«a constante C fa/ gi/e para fodo abierto uCCl y todo h G R con
\h\ < dist(u,CI) se verifica
Ademas, sepuede elegir C = \\u' IIlp en (ii) y (Hi).
DemostraciOn.
(i) =» (ii) Evidente.
(ii) =» (i) La forma lineal
tpeC^d) h—► Lcp'
deflnida en un subespacio denso de Lp' es continua para la norma de Lp'. Por tanto, se extien-
de a una forma lineal y continua F en Lp (aplicar el teorema de Hahn-Banach, o bien la exten-
si6n por continuidad). Segun el teorema de representaci6n de Riesz (teoremas IV. 11 y IV. 14)
existe g E Lp tal que
<F, cp> = jo«p V9 6LA
De donde en particular
j»9 = jfl
Vq>eCf
y asi m G W1-".
(i) =» (iii) Segun el teorema VIII.2, se tiene para x G u
u(x + h) - u(x) = u'(t)dt = h u'(x + sh)ds.
Jx Jo
De donde
\u(x + h) - u(x)\ « \h\ \u'(x + sh)\ ds.
Jo
La conclusi6n es evidente si p = oo; supongamos entonces que 1 < p < oo. Aplicando la de-
sigualdad de Holder se tiene
\u(x + h) - u(x)\" « \h\" \u'(x + sh)\'ds.
Jo

El espacio de Sobolev Whp(l) 125
Por consiguiente
\u(x + h) - u(x)\" Ax s; \h\p Ax \u'(x + sh)\p As
= \h\p As \u'(x + sh)\pAx.
Ahora bien, para 0 < s < 1, se tiene
\u'(x + sh)\p Ax = \u'(y)\" Ay « \ul(y)\p Ay.
Jtn Jhi + sh Jl
De donde se deduce (iii).
(iii) - (H)
Sea cp G C^(I); se elige u C C I tal que Supp ipC u. Para h G U con \'h\ < dist(a), CO
se verifica
[u(x + h) - u(x)]cp(x) dx = u(x)[cp(x - h) - cp(x)] dx.
Utilizando la desigualdad de Holder y (iii) se obtiene
[u(x + h) - u(x)]cp(x) dx
Pasando al limite cuando h — 0 se deduce que
lucp' $ L||<pllLp Vcp 6 Cc'.
• Nota 8.—Cuando p = 1, permanecen validas las siguientes implicaciones
(i) => (ii) « (iii)
Supongamos a continuaci6n que I es acotado. Las funciones que verifican (i), es decir, las fun-
funciones de W1-1 son las funciones absolutamente continuas. Se caracterizan por la propiedad:
( Ve > 0 35 > 0 tal que para toda sucesi6n finita de intervalos disjuntos ]ak, fek[ de I
( tal que £|ftk - ak\ < 6, se verifica £|/(/\) - f(ak)\ < e.
Las funciones que verifican (ii) [o (iii)] con p = 1 son las funciones de variaci6n acotada; estas
funciones se pueden caracterizar de diversas maneras:
—como diferencia de dos funciones crecientes acotadas (ocasionalmente discontinuas) en I.
—como las funciones u que verifican la propiedad:
existe una constante C tal que
i
(VB)
1 - «(f,)l < C para todos los t0 < f, < . . . < tk de 1
—como las funciones u G L'(I) cuya derivada distribucional es una medida acotada.
Para este tema se pueden consultar Hewitt-Stromberg[l], Kolmogorov-Fomin [1] o Chae [1].

126 Espacios de Sobolev
Corolario VIII.4.—Una funcidn u de L°°(I) pertenece a Wl0°(I) si y sotamente si existe una
constante C tal que
\u(x) - u(y)\ « C|jc - y\ c.t. ' x,y e I
DemostraciOn.—Aplicar la proposici6n VIII.3 [(i) » (iii)] conp = oo.
Algunas operaciones fundamentales del Analisis tienen sentido unicamente para las funcio-
nes deflnidas en todo U (por ejemplo la convoluci6n, la transformada de Fourier, etc.). Asi
pues, es util poder prolongar una funci6n u G W'^I) a una funci6n u G WliP(IF8) ('). El si-
guiente resultado responde a esta cuesti6n.
Teorema VIII.5 (Operador de prolongaci6n).—Sea 1 < p < oo. Existe un operador deprolon-
gacidn P : WliP(I) - WliP(B) lineal y continuo tal que
(i) Pji,, = u V«6 W'-'d).
(ii) ||P«||LP(R1 « C||«||LP(I) V«6W'-"(I).
(iii) ||P«||wi,(R) < C||«||wi.PA) V« 6 W'-'(I)
(donde C sdlo depende de 111 « oo B)).
DemostraciOn.—Comencemos por el caso I = ]0, + oo[ y demostremos que la prolongaci6n
por reflexi6n definida por
\u(x) si x > 0
(Pu)(x) = u*(x)
[u(- x) si x < 0
resuelve la cuesti6n.
Primeramente se tiene I«*Ilp(R) s 2IImIIlpA)
Pongamos
f u'(x) si x > 0
V(x) = \ ■ n
[- u'(- x) si x < 0.
Se comprueba facilmente que v G f(IR)yque
u*(x) - u@) = v(t)dt VxeR.
Jo
Por consiguiente u* G WliP(R) (ver nota 7) y IIm*IIwi,p(R) <2IImIIwi,p<d.
Consideremos ahora el caso de un jntervalo acotado I; siempre se puede reducir al caso
I = ]0, 1[. Se fija una funci6n v G C'(R), 0 < jj < 1, tal que
1 si x < -
nW = ^ 3
0 si x > -
4
(') Si se prolonga u por 0 fuera de I la funci6n asi obtenida no pertenece, en general, a W'^R) (ver
VIII.3).
B) Se puede tomar C = 4 en (ii) y C = 4l 1 + — I en (iii).

El espacio de Sobolev W1-P(l) 127
Dada una funci6n/definida en ]0, 1[, se pone
f(x) si 0 < x < 1
jf(x) si 0 < x
/(X)=1O si x>l
Sera necesario el
Lema VIII.3.— Sea u G W'"(I), entonces
DemostraciOn.—Sea <p G C^(]0, oo[); se tiene
[* - r r
rjucp' = 1"<p = "[A9) ~ n'9]
Jo Jo Jo
= - u'r|cp - uri'cp ya que rjcp eQ'QO, 1[)
Jo Jo
f™ -
= - (u'r\ + ur|')<p.
Jo
Fin de la DemostraciOn del teorema VIII.5.—Dada u G W1J)(I) se escribe
u = r\u + A - r\)u.
La funcidn r\u se prolonga en primer lugar a ]0, 00 [ por n" (gracias al lema VIII.3) y despuls se
prolonga a R por reflexi6n. Se obtiene asi una funci6n xv G W'^tR) que prolonga r\u y tal que
(donde C depende de II?;'IIL<»).
Se procede de forma analoga con A - rfiu, es decir, se prolonga primero A - r))u a
] - oo, 1] por 0 en ] - oo, 0] y despuls se prolonga a R por una reflexi6n (respecto del pun to
1). Se obtiene asi una funci6n v2 G W'^R) que prolonga A - rj)u y tal que
Entonces Pm = vl + v2 resuelve la cuesti6n.
Algunas propiedades de las funciones de clase C1 son validas para las funciones de W1"*" (ver
por ejemplo los corolarios VII.9 y VII. 10). Es muy c6modo establecer estas propiedades «por
densidad», con ayuda del resultado siguiente.
• Teorema VIII.6 (Densidad).— Sea u G W'^tf) con 1 =S p < oo. Entonces existe una suce-
sidn (un) en C" (R) tal que unl - u en Wlj)(l).
DemostraciOn.—Siempre se puede suponer que I = R ; en caso contrario se comienza por
prolongar u a una funci6n de W'^R) segun el teorema VIII.5. Se utiliza una tecnica muy im-
portante de convoluci6n (que proporciona las funciones C°°) y de truncamiento (que propor-
ciona las funciones con soporte compacto).

128 Espacios de Sobolev
a) Convoluci6n
Sera necesario el
Lema VIII.4.— Sea p G V(U)ysea v G WliP(R) con 1 « p « oo. Entonces
p * v 6 W'-'flR) y (p * r)' = p * v.
DemostraciOn.—Supongamos primero que p es de soporte compacto. Se sabe que
p*v G V. Sea cp G Q(R); por las proposiciones IV.16 y IV.20 se tiene
(p * t))cp' = \v(p * cp') = \v(p * cp)' = - t/(p * cp) = - (p * t)')cp.
De donde
p * v e w1-' y (p *■ I-)' = p * v'.
Si p no es de soporte compacto se introduce una sucesi6n (pn) de CC(R) tal que pn — p en L1.
Por lo anterior se tiene
p.* few1-' y (p. * vY = pn * V.
Ahora bien, pn * v — p * v en L" y pn * v — p * v en V (ver teorema IV.22). Se concluye,
con ayuda de la nota 4, que
p * ve W1" y que (p * v)' = p * v'.
b) Truncamiento
Se flja una funci6n X, G CC(R) tal que 0 « C, a 1 y
fl si \x\ < 1
^<X) = jo si |x| > 2.
Se define la sucesi6n
D) CM = C I-1 Para n = 1, 2, ...
Se comprueba facilmente, gracias al teorema de la convergencia dominada, que si una funci6n
/ G V con 1 < p < oo entonces C,J — /en LA
c) Conclusi6n
Se elige una sucesi6n regularizante (pn) Demostremos que la sucesi6n un = (,n(pr * u) con-
converge a m en W1^. Primeramente se tiene llwn - mIIlp — 0. En efecto, se escribe
K - u = C.[(p. * u)- u-] + K.« - u]
Y entonces
ll(p, * ") - "IIlp + IIC," - "IIlp -* 0.
A continuaci6n, en virtud del lema VIII.4 se tiene

El espacio de Sobolev W1-p(l) 129
Por consiguiente
Ik - «'IIlp < HCUPn
c
< - inilp + ikp. * «') - "iiu" + iicy - m'Ulj. - o
dondeC = HC'IIl--
Nota 9.—En general no se puede elegir, en el teorema VIII.6, una sucesi6n (un) de C"(I) (para
esto ver § VIII.3). Dicho de otro modo CC°°(I) no es denso en W'^d) (excepto si I = R ).
• Teorema VIII.7.—Existe una constante C (dependiente sdlo de | 11 =S oo) tal que
E) IWIl-,i, < CIMlwij,,,, V«6W'-"(I), VU^qo,
dicho de otro modo W'-"(I) C L°°(I) con inyeccidn continua para todo 1 =S p ^ oo.
Ademds, cuando I es acotado se verifica
F) la inyeccidn W1 "(I) c C(T) es compacta para 1 < /> ^ co
G) la inyeccidn W '(I) c L«(I) es compacta para 1 < q < oo.
DemostraciOn.—Se comienza demostrando E) para I = U ; el caso general se deduce de este
gracias al teorema de prolongaci6n (teorema VIII.5). Sea v G C^(R); si 1 =£ p < oo se pone
G(s) = \s\p-' s. La funci6n w = G\v) pertenece a C}.(u) y
W = G'(v)v' = p|i>r~ V.
Por tanto, para x E R se tiene
G(v(x))= 1
y utilizando la desigualdad de Holder se obtiene
De donde se deduce, gracias a la desigualdad de Young (ver § IV.2) que
® I|i>IIl» < C|M|wi.P VdsQ'W
donde C es una constante universal (').
Se razona ahora por densidad. Sea u G W1'"; existe una sucesi6n (un) G C^(R) tal que
«„ — u en WliP(R) (teorema VIII.6). Aplicando (8) se ve que (un) es de Cauchy en L°°. Asi
pues, un — m en L°° y se obtiene E).
Demostraci6n de F).—Sea & la bola unidad de W'^I) con 1 < p ^ oo. Para u G jf se
tiene
\u(x) - u(y)\ =
u'(t)dt
llp' < \x-y\llp'
- y\llp' < \x-y\
Y resulta entonces del teorema de Ascoli que <F es relativamente compacta en C(I).
Demostraci6n de G).—Sea & la bola unidad de W'(I). Para demostrar que & es relativamen-
relativamente compacta en L«(I) con 1 « q < oo se aplica el corolario IV.26. Comprobemos la
(') Observese quepWp *S eWe vp > I.

130 Espacios de Sobolev
condici6n (IV.23). Sea u cc I, u G & y \h\ < dist(a), CO- Por la proposici6n VIII.3 (iii)
se tiene
y entonces
y por consiguiente
\u(x + h) - u(x)\"dx < B\\u\\L,(l))i-{ \u(x + h) - u(x)\dx H C\h\,
\u(x + h) - u(x)\"dxj < C1"!/!!1" < e si \h\<8.
Comprobemos la condici6n (IV.24). Para « G f se tiene
siempre que 11 \ w| sea suficiente pequefio; se elige u para que esto se verifique.
Nota 10.—La inyecci6n W''(I) c C(I) es continua, pero nunca es compacts, incluso si I es un
intervalo acotado; intentar convencerse de ello o ver [BT]. Sin embargo, si (un) esta acotadaen
W'-'(I) (con I acotado o no acotado) existe una subsucesi6n (wnj tal que un (x) converge para
todo x E I (teorema de Helly; ver por ejemplo [BT]). Cuando I no es acotado y 1 < p ^ oo,
la inyecci6n W'-^I) C L°°(I) es continua, pero no es compacta; intentar convencerse de ello o
ver [BT]. No obstante, si (un) esta acotada en W'^I) con 1 < p « oo, existe una subsucesi6n
(Hpi) y existe u G W'^I) tal que u — u en L°°(J) para todo J acotado, J C I (ver por ejem-
ejemplo [BT]).
Nota 11.-Sea I un intervalo acotado y 1 =S q =g oo. Gracias a E) se demuestra facilmente que
la norma
es equivalente a la norma de W'^O) (ver por ejemplo [BT].
Nota 12.—Sea I un intervalo no acotado. Si u E W'^I), entonces u E L*(I) para todo
q E \p, oo ] ya que
Pero en general u fL L«(I) para q E [\,p[ (ver [BT]).
Corolario VIII.8.—Supongamos que I no es acotado y sea u E W'^d) con 1 < p < oo. En-
Entonces se veriflca
(9) £ u(x) - °-
|r| - x
Demostracion.—Segun el teorema VIII.6, existe una sucesi6n (un) E C^(R) tal que wn , — u
en W'^I). Se deduce de E) que llwn - ull, »A) - 0; y de aqui (9). En efecto, dado 8 > 0, se
elige n suficientemente grande para que llwn - ull, »A) < 8; y para \x\ suficientemente grande
se tiene un(x) = Oyportanto |«(jc)| < 8.

El espacio de Sobolev Whp(l) 131
• Corolario VIII.9 (Derivaci6n de un producto).— Sean u, v G W'^d) con 1 « p < oo. Enton-
cesuv G O
A0) (uv)' = u'v + uv'.
Ademds se verifica lafdrmula de integracidn por partes
Cx f*
A1) u'v = u(x)v(x) - u(y)v(y) - uv' Vx,ye\
Jy Jr
DemostraciOn.—Observemos primero que u G L°° (teorema VIII.7), luego uv G LA Comen-
cemos por el caso I =S p < oo; sean (un) y (vn) sucesiones en Cc(R) tales que wn , — u y
i)n|, — v en W'^O). Entonces un — u y vn — v en L°°(I) (teorema VII.7); en consecuencia
unvn — uv en L°°(I) y en L"(I). Se tiene
("„''»)' = <i\ + Ki'n -* u'v + uv' en L"(I).
De donde resulta que uv G W'^I) y que (uv)' = u'v + uv' (aplicar la nota 4 a la sucesi6n
«nDn). Finalmente se obtiene (II) al integrar A0). Supongamos ahora que u,v G W'°°(I). En-
Entonces
ureLl(I) y u'v + uv'e L* (I).
Queda comprobar que
r r
uv')q> V«p6Cc'(I).
f . r .
uva> = — I (uv
Ji Ji
Para esto, se fija un intervalo abierto y acotado J c I tal que Supp cp C J. Entonces
«, v G W'^U) para todo p < oo y por lo anterior se sabe que
esdecir
r r
(u'i> + ui')cp.
uicp' = - (u'v + uv')q>
Ji Ji
uicp' = — (u'v
Corolario VIII.10 (Derivaci6n de una composici6n).— Sea G G C'(R) tal que G@) = 0 B) y
seaue W'"(I). Entonces
G°«eW'"(l) y (G o «)' = (C o «)«'.
DemostraciOn.—Sea M = llullL°°. Como G@) = 0, existe una constante C tal que
|G(s)| s: C|s| para s G [ - M, + M]. Entonces G o u G L"(I) ya que |G o u\ H C\u\.
Igualmente (G' o u)u' G L"(I). Falta comprobar que
A2)
(Gou)cp'= - (G'ou)u'cp VcpeC;(I).
Supongamos primero que I j£ p < oo. Entonces existe una sucesi6n (un) de C™(R) tal que
un - u en W1J)(I) y en L°°(I). Luego G » un — G » u en L°°(I) y (G' o un)u{, — (G' » u)u'.
(') Observese que este resultado contrasta con las propiedades de V: en general, siuyc pertenecen a
V el producto u. v no pertenece a V. Se dice que W1'p es un algebra de Banach.
B) Esta restricci6n es iniitil cuando I es acotado [o bien cuando I es no acotado yp = oo]. Es esencial
cuando I es no acotado y I ^ p < oo.

132 Espacios de Sobolev
en LP(I). Tambien se verifica
oujcp' = - (G'ouju> V(peCc'(I).
De donde se deduce A2).
Tara efi caso p = oo se procede como en €i coro'iario'v'i'i'i.S'.
Los espacios de Sobolev W"'iP(I)
Definici6n.—Dados un entero m > 2 y un numero real 1 < p ^ oo, se define por recurrencia
el espacio
Wm"(I) = jue Wm" '-'(I), u' 6 Wm" '-'(I)}.
Se pone
Hm(I) = Wm2(I).
Se comprueba facilmente que u G W^I) si y solamente si existen m funciones
</,, ..., gm G LP(I) tales que
iuD'ip =(- \y\gp
Vcpeq°(I), V/ = 1, 2, ... m
donde D'cp designa la derivada de orden j de cp. Cuando u G Wm'''(I), se pueden considerar las
derivadas sucesivas de u, u' = 9\, («')' = g2 ... hasta el orden m; se designan por D«,
D2m Dmw. El espacio W-" esta dotado de la norma
m
ll"llw»'.c = \\u\\ip + X HD'uHl,
O= 1
y el espacio Hm esta dotado del producto escalar
m
(U, v)Hm = («, V)L2 + X f0'"' D"V^
«= 1
Se demuestra que la norma II llwm.p es equivalente a la norma IIMII = IMIlp + ||H>mM||Lp.; mas
exactamente, se establece que si I =S j j£ m - I, entonces V 8 > 0 3C (dependiente de 8 y de
|I| ^ oo)talque
||DJu||LP ^ e||Dmu||Lp + C||«||Lp Vu e Wm-P
(ver por ejemplo [BT]).
El lector podra extender a los espacios W-" las propiedades demostradas para W1'"; por
ejemplo W'"^!) c Cm~' (I) con inyecci6n continua.
VIII.3. El espacio Wi
Definici6n.—Dado 1 < p < oo.se designs por W^(I) el cierre de C^(I) en W'^I). Se nota
i J2) ')
(') A menudo se escribira W^ y H^ en lugar de W^(I) y H^I)-

El espacio Wg"(l) 133
El espacio W^ esta dotado de la norma inducida por WliP; el espacio H^ esta dotado del
producto escalar inducido por H1.
El espacio W^ es un espacio de Banach separable; es reflexivo para 1 < p < oo. El espa-
espacio Hi es un espacio de Hilbert separable.
Nota 13.—Cuando I = U, se sabe que C£(R) es denso en W''"(R) (ver teorema VIII.6) y en
consecuencia W^R) =
Nota 14.—Utilizando una sucesi6n regularizante (gn) se comprueba con facilidad que:
(i) CC°°(I) es denso en
(ii) si m G W'^I) n CC(I), entonces u G
El siguiente resultado provee una caracterizaci6n esencial de las funciones de
• Teorema VIII. 11.—Sea u G W'^fl), entonces u G W^I) siy solamente si u = 0 sobre 31.
Nota 15.—El teorema VIII. 11 explica el importante papel que juega el espacio W^. En efec-
to, las ecuaciones diferenciales (o en derivadas parciales) estan acopladas a condiciones de con-
tomo, es decir, el valor de u sobre 31 viene fijado.
Demostracion.—Si m G Wq''', existe una sucesi6n («„) de C^(I) tal que un — u en W'^I). En-
Entonces un — m uniformemente sobre I y por consiguiente u = 0 sobre 31.
Reciprocamente, sea u G W1'" tal que u = 0 sobre 31. Se fija una funci6n G G C'(IR) tal que
fO si
G(f) =
y
G@ = i, i in > 2
|G(f)| < |f| para todo f s U.
Se pone un = —G(nu) de forma que un G WliP(I) (corolario VIII.10). Por otra parte
n
Supp un c lie I; |u(x)| > -}
n
y entonces Supp un es un compacto incluido en I (utilizar el hecho de que u = 0 sobre 31 y
u(r) — 0 cuando |jc| — oo, jr G I). Por consiguiente un G W^ (ver nota, 14). Por ultimo se
comprueba facilmente con ayuda del teorema de la convergencia dominada que un — u en
Nota 16.—Indiquemos otras dos caracterizaciones de las funciones de W^ (ver por ejemplo
[BT]):
(i) Sean 1 < p < oo y u G L"(I), entonces u G W^^I) si y solamente si existe una cons-
tante C tal que
ucp
C||cp||LP(,i V«peCc'(R)

134 Espacios de Sobolev
(ii) Sean 1 < p < oo y u E LP(I); se define u por
fu(x) si x g I
I 0 si x e I
Entonces m E W^I) si y solamente si u E WUp(M).
• Proposici6n VIII.12 (Desigualdad de Poincare).— Supongamos que I es acotado. Entonces
existe una constante C (dependiente de j 11) tal que
A3) IMIw'.e < C||«'||LP V« g WJ-'(I).
Dicho de otro modo, en W^fl) to cantidad lu'lLpo M«a norma equivalente a to nomia de
1
Demostracion.—Para u E W^I) se tiene
|u(x)| = \u(x) - u(a)\ = 11 u'(t) df
Y entonces I«IL»; de donde se deduce A3) gracias a la desigualdad de Holder.
Nota 17.—Si I es acotado, la expresi6n («', r')i_2 define sobre Hq un producto escalar, y la
norma asociada —es decir llu'llL2 - es equivalente a la norma de H1.
Nota 18.—Dados un entero m > 2 y un real 1 < p < oo.se define el espacio WJ^I) como el
cierre de C™(I) en Wm'p(I). Se demuestra que
WJ-"(I) = {u g Wm"(I); U = Du = ,.. = Dm" 'u = 0 sobre ^IJ.
Es conveniente distinguir bien entre
W^"(I) = Jug W2"(I); u = Du = 0 sobre dl\
y
W2-'(I) n Wi"(I) = {u g W2"(I); u = 0 sobre Pl\;
ver [BT]
* El espacio dual de W^
Notaci6n.—Se designa porW" iJ>'(l) el espacio dual de W^I) (con 1 « p < oo) y por H '(I)
el espacio dual de H/,(I).
Segun la nota 1 del capitulo V, se identifican L2 y su dual, pero no se identifican Hq y su
dual. Se tienen las inclusiones
con inyecciones continuas y densas.
Si I es acotado, se tiene
wip <= L2 c w ~ '■' para todo 1 ^ p < <x,
con inyecciones continuas y densas.

Algunos ejernplos de problemas de contomo 135
Si I no es acotado, se tiene solamente
Wip <= L2 c W"lp' para todo I < p < 2
con inyecciones continuas y densas (ver nota 12).
Los elementos de W" '•''' se pueden representar por medio de funciones de Lp'; exactamente
se veriflca la
Proposici6n VIII. 13.— Sea F G W1" . Entonces existen f0, /, G V tales que
||F|| = Max {||/oIIlp, ||/,|li>}.
Cuando I es acotado, se puede totnar f0 = 0.
DemostraciOn.—Se dota al espacio E = Lp x Lp de la norma
h = [/i
La aplicaci6n T : u G W^f—>[u, m'] G E es una isometria de W^ en E. Se pone
G = T(W^), dotado de la norma inducida por E, y S = T : G - W^. La aplicaci6n
h € Gf—>(F, Sh)es una forma lineal y continua sobre G. Gracias al teorema de Hahn-Banach
se la puede extender a una forma lineal y continua sobre E notada 4>, con B4>IIE. = IIFL Por el
teorema de representaci6n de Riesz se sabe que existen /0,/, G Lp' tales que
f f
= \foho + k/i,
f f
<<&, h) = \foho + k/i, V/ieE.
Es facil comprobar que H*HE. = Max {||/0||,y ||/,||LP}.
Cuando I es acotado se dota a W^ de la norma Hm'Blp (ver proposici6n VIII.12). Se aplica el
razonamiento anterior con E = Lpy T : u £ W^ »-» u' G Lp.
Nota 19.—Las funciones/0 y/, no son unicas.
Nota 20.—Es costumbre identificar F con la distribuci6n /0 — /[ (por definici6n, la distribu-
d6n/0 - /,' es la forma lineal v t—» \fov + /,i' sobre C").
Nota 21.—La conclusi6n de la proposici6n VIII. 13 permanece valida para las formas lineales
y continuas sobre
VIII.4. Algunos ejemplos de problemas de contorno
Resolver el problema
A4) (-u" + u =/ en I = ]0,l[
l«@) = «(I) = 0
donde / es una funci6n dada (por ejemplo de C(T), o de L2(I)). Las condiciones de contorno
u@) = mA) = 0 se llaman condiciones de Dirichlet (homogeneas).

136 Espacios de Sobolev
Definiciones.—Una soluci6n clasica de A4) es una funci6n u G C2(I) que verifica A4) (en el
sentido usual). Una soluci6n debil de A4) es una funci6n u G H^(I) que verifica
<15> j u'v + \ uv =\ fv VueHj
«Pongamos en marcha» el programa descrito en § VIII. 1.
(I)
Etapa A.—loda soluci6n clasica es soluci6n Aib'A. Esto es evidente gracias a la fdrmula de in-
tegraci6n por partes del corolario VIII.9.
Etapa B.—Existencia y unicidad de una soluci6n dSbil:
• Proposici6n VIII.14.—Para toda f G L2, existe «G HJ linica solucidn de A5). Ademasu
viene dada por
Min ] (y'2 + ,2)- fv\;
es el llamado principio de Dirichlet.
Demostracion.—Se aplica el teorema de Lax-Milgram (o simplemente el teorema de represen-
taci6n de Riesz-Frechet) en el espacio de Hilbert H = Hi(I) con la forma bilineal
a(u, !•) = lu'v' + \ui = (u, t)H,
y con la forma lineal cp : v >—► \Jr-
Nota 22.—Dada F G H"', se sabe por el teorema de Riesz-Frechet que existe «6 Hj tal que
(«,«■)„, = <F, «•>„ ..„. VceHj.
El operador Fi—> u es el isomorfismo de Riesz-Frechet de H" ' sob re H^. Se puede considerarw
como soluci6n generalizada de la ecuaci6n - u" + u = F.
Etapas C y D.—Regularidad y recuperaci6n de la soluci6n clasica.
Observemos primeramente que si / G L2 y si u G H^ es soluci6n debil, entonces u G H2.
En efecto, se tiene
iv' = ((/-«)<■
\/v e C'
y asi u' G H1 (ya que/ - u G L2), i.e. u G_ H2. Si ademas/ G C(I) entonces la soluci6n debil
m pertenece a C2(T). En efecto («')' € C(T) y entonces u' G C'(T) (ver nota 6); por tanto
u G C2(I). El paso de una soluci6n debil u G C2(I) a una soluci6n clasica se realiza como en
§ VIII.1.
Nota 23.—Si/ G H*(I) con k natural > 1, se comprueba facilmente (por inducci6n) que la
soluci6n m de A5) pertenece a H* + 2(I)

Algunos ejemplos de problemas de contomo 137
El melodo arriba descrito es extremadamente flexible y se adapta a una gran variedad de
problemas. Indicamos algunos ejemplos que aparecen con frecuencia. En cada problema es
csencial precisar bien el espacio funcional sobre el cual se trabaja.
Ejemplo 1 (Condici6n de Dirichlet no homogenea).—Resolver el problema
A6) \-u" + u=f en ]0, 1[ - I
(-u" + u=f
|u@) = a, «A) =
con a, 0 G R dados y/una funci6n dada.
• Proposici6n VIII. 15.—Dados f G L2(I) y a, 0 G R, existe u G H2(I) unica que verifica
A6). Ademas u viene dada por
Min
.fH1
r@) = a. r([) =
Ademas si /G C(T), entonces u G C2(T).
DemostraciOn.—Indiquemos dos posibles planteamientos.
Primer me'todo.—Se fija una funci6n u0 regular tal que uo(O) = a y uo(l) = 0 (') y se hace el
cambio de inc6gnita u = u — u0; entonces u verifica
f - u" + u = f + ul - u0
\ «@) = 5A) = 0.
Y u esta en la situaci6n del problema anterior.
Segundo me'todo.—En el espacio H1 se introduce el convexo cerrado
K = {dsH'(I); u@) = a, v{l) = P}.
Si u es una soluci6n clasica de A6) se tiene
u'(v - «)' + u(v - u) = \ f(v - u) Vd s K.
Y asi, en particular se verifica
u'(v - «)' + u(v - u) > /(f - u) Voe K.
A7)
Se utiliza entonces el teorema de Stampacchia (teorema V.6): existe u G K unica, que verifica
A7); ademas u viene dada por
Min {i I (t,'2 + v2)- f /„}•
veK U Ji Ji )
Para «recuperar» la soluci6n clasica, se elige en A7) v - u ± w con tv G Hq(I).
(') Elegir por ejemplo u0 funci6n afin.

138 Espacios de Sobolev
y se obtiene c c C
u'W + uw = fw VweHj(I).
Esto implica u G H2(I), etc.
* Ejemplo 2. (Problema de Sturm-Liouville).—Resolver el problema
i - (pu')' + qu = j en ]0, 1[ = I
m@) = u(\) = 0
donde p G C'(T), q G C(T) y/ G L2(I) son datos con
p(x) > a > 0 Vx e T.
Si u es una soluci6n clasica de A8), entonces se tiene
j pu'v' + j quv=\ fv Vv s Hj(/).
Se toma como espacio funcional el espacio H^(I) y como forma bilineal, continua, simetrica
r r
u(u , r) = pu'v + quv.
J] Ji
Si ^ > 0, esta forma es coerciva gracias a la desigualdad de Poincare (proposici6n VIII.12).
Entonces (teorema de Lax-Milgram) existe u G H<J unica tal que
Ademas u viene dada por
r i r
Min i- (pv'2 + qv1) -
■f«J BJi
Es claro que pu' G H1; asi pues u' = —pu' G H1 y por tan to u G H2. Por ultimo, si
P
/ G C(T) entonces u G C2(T) y u es soluci6n clasica de A8).
Consideremos ahora el problema mas general
f- (pu)' + ru + qu = I en ]0, 1[ = I
Las hip6tesis sobre py q son las mismas que antes, y r G C( I).
Si u es soluci6n clasica de A9), se verifica
c c c c
pu'v' + ru'v + quv = fv Vt'eHAO).
J] J] J] J]
Se toma como espacio funcional el espacio Hq(I) y como forma bilineal, continua
a(u . v) = pu'v' + ruv + quv.
J] J] J'
Esta forma no e^simitrica. En algunos casos es coerciva: por ejemplo si q > 1 y r2 =£ a, o si
q > 1 y r G C'( I) con \r'\ < 2 —observese que
v2 VreHj(I).

Algunos ejemplos de problemas de contomo 139
Se puede entonces aplicar el teorema de Lax-Milgram, pero no hay un problema de minimi-
zacidn asociado. Indiquemos un artificio que permite reducir el problema al caso de una forma
bilineal simetrica. Se introduce una primitiva R de — y se pone X, = eR. La ecuaci6n A9) se
P
escribe, despues de multiplicar por X, :
- Xjpu" - Xjfu1 + Xjru' + X,qu = X,f
otambien (ya que C'p + X,r = 0):
+ to* = U-
Se introduce entonces en Hq la forma bilineal, continua, simitrica
a(u , t>) = X,pu'v' + \X,quv.
Si q > 0, a(w, r) es coerciva y asi existe «6 Hj unica tal que
a(u , r) = I X,fv
Ademas, u viene dada por
- f v\
J] J
fir 2 2
Min \- (X,pv + X,qv
>eHi (.2 J]
Se comprueba sin dificultad que m G H2 y que si / G C([0,l]), entonces m G C2([0,l]) es una
soluci6n clasica de A9).
Ejemplo 3 (Condici6n de Neumann homog^nea). Resolver el problema
-«" + «=/ en ]0, 1[ = I
B0)
k@) = u'(i) = o.
• Proposici6n VIII.16.—Para todaf G L2(I) existe u G H2(I) unica que veriflca B0) ('). Ade-
Adenitis u viene dada por
Min \- (v'2 +v2) - ft
rsH' (.2 J] J\
Sf G C(T), entonces u G C2(T).
DemostraciOn.—Si u es una soluci6n clasica de B0), se tiene
B1)
I" uV + (" uv = j fv Vi'sH'(I).
Es conveniente ahora trabajar en el espacio de Hilbert H'(I) y no en Hq(I), como anteriormente
(insistamos sobre el hecho de que u@) y u(l) son desconocidos a priori). Se aplica el teorema
de Lax-Milgram (o el teorema de representaci6n de Riesz-Fr6chet) con la forma bilineal
unica
<K«. ") = u v + \ uv y con la forma lineal 9 : v i—► \ fv. Se obtiene una soluci6n unii
(') Observese que u £ H2(I) => u e C'(T) y entonces la condici6n u'@) = u'(l) = 0 tiene sentido.
Notendria sentido si s6lo se supiese que u £ H1.

140 Espacios de Sobolev
u G H'(I) de B1). Se deduce primero de B1) que u G H2@ y a continuaci6n
B2) f (- u" + u -f)v + «'(l)f(l) - "'(OMO) = 0 VdsH'(I).
En B2) se comienza eligiendo v G H^(I) y se obtiene - u" + u = /c.t.p. Volviendo a B2)
queda
u'(l)i>(l) - u'@)v@) = 0 VueH'(I).
Como v@) y i'(l) son arbitrarios, se deduce que u'@) = m'A) = 0.
Ejempio 4 (Condici6n de Neumann no homogenea). Resolver el problema:
B3) $-u" + u=f en ]0, 1[ = I
(u'@) = a, «'A) = p
con a, 0 G R dados y/una funci6n dada.
Proposici6n VIII.16.—Para toda f G L2(I) y todo aj€ R exfe/e u G H2(I) M«fcfl
verifica B3). Ademds u viene dada por
Min |- (v'2 + v2) - \ f
reH' 12 J, J,
s una soluci6n clasica de B
u'v' + uv=\ fv - ai)@) + Pu(l) VdsH'(I).
Ji Ji J|
DemostraciOn.—Si u es una soluci6n clasica de B3) se tiene
B4)
Es conveniente entonces aplicar el teorema de Lax-Milgram en el espacio H'(I) con la forma bi-
lineal a(u> v) = u'v' + uv\y la forma lineal
Ji Ji .
cp :v h— \fv - au(O) + PdA).
Esta forma lineal es continua (gracias al teorema VIII.7). Despues se procede como en el ejem-
ejempio 3 para demostrar que u'@) = a, u'(l) = 0.
Ejempio 5 (Condiciones mixtas de contorno).—Resolver el problema:
j- u" + u = f en ]0, 1[ = I
B5) l«@) = 0, «'A) = 0.
Si m es soluci6n clasica de B5), se verifica
B6) u'v' + \ uv = \ fv VteH1 A) con v@) = 0.
Ji Ji Ji
Es conveniente trabajar en el espacio de Hilbert
H = {ueH'(I); v@) = 0}.
La continuaci6n del programa se deja al lector.

Algunos ejemplos de problemas de contomo 141
Ejemplo 6 («Tercera» condici6n de contorno).—Resolver el problema:
\- u" + u =/ en ]0, l[ = I
B7)
(u'@) - ku@) = 0, u(l) = 0
donde it 6 R es un dato (').
Si u es una soluci6n c'asica de B7), se tiene
u'v' + uv + *u@)i'@) =
uv + ku@)v@) = fv Vie H'(I) con id) = 0.
Es conveniente aplicar el teorema de Lax-Milgram en el espacio de Hilbert
H = [reH'(I); r(l) = 0}
con la forma bilineal, continua y simetrica
f f
a{u , v) = uv + uv + /cu(O)i(O).
Esta forma es coerciva cuando k > 0 B).
Ejemplo 7 (Condici6n de contorno peri6dica).—Resolver el problema:
nB\ f - u" + u = / en ]0, 1 [ = I
B8) I
0) = u(l), u@) = u'(l).
a u es soluci6n clasica de B8), se tiene
B9) u'v' + uv = fv VieH'(I) con r@) = dA).
Es conveniente entonces aplicar el teorema de Lax-Milgram en el espacio de Hilbert
con la forma bilineal a(u, v) = u'v' + uv. Cuando / G L2(I), se obtiene una solucidn
Ji _ Ji
u € H2(I) de B8); si ademas/ G C( I), entonces esta soluci6n es clasica.
Ejemplo 8 (Condici6n de contorno en R ).—Resolver el problema
C0) [-u"+u^f en R
[u{x) -> 0 cuando 1^1 -► co
con/G L2(R).
Una soluci6n cldsica de C0) es una funci6n u G C2(R) que verifica C0) en el sentido usual;
(') Con mas generalidad se puede plantear la condici6n de contorno
aou(O) + Po"(O) = 0, a,u(l) + P,u(l) = 0.
B) Si At es negativo con |Ar| suficientemente pequeflo, la forma a(u, v) es coerciva. Por el contrario, un
cilculo explicito demuestra que existe un valor negativo de Ar y funciones / para los cuales B7) no admite
soluci6n (ver [BT]).

142 Espacios de Sobolev
soluci6n (Ubil de C0) es una funci6n u G H'(R) que verifica
C1) f U'v' + [ uv= \ fv
J J J
f U'v' + [ uv= \
JR Jr Jr
Demostremos primeramente que si u es una soluci6n clasica de C0) entonces u es una soluci6n
debil de C0). En efecto, comprobemos en primer lugar que u G H'(IR). Se elige una sucesi6n
((;„) como en la demostraci6n del teorema VIII.6 (f6rmula D)). Multiplicando C0) por
integrando por partes se obtiene
De donde
C2)
Ahora bien,
2
[ u'(^W + C'nu) + I i>2 = I Uu.
Jr Jr Jr
f Uu'2 + u2) = f Uu + l- f C «2-
Jr Jr ^ Jr
- [ cy < S- f  con c = i
Jr 1 Jn<|x|<2n
y — m2 — 0 cuando « — oo, ya que m(at) — 0 cuando |jc| — oo. Resulta entonces
»2 J.<w<«-
que m G H'(R) (observese que (;/u < - ^nu2 + - (;/2 y pasese al limite en C2) cuando
Jr 2 Jr 2 JR
Jr ^ Jr ^ Jr
« — oo). Por ultimo, si u es una soluci6n clasica de C0), se tiene
j u'v' + \ uv = \ fv
Jr Jr Jr
y por densidad, Vd G H'(R); asi pues, u es soluci6n debil de C0).
Para obtener la existencia y unicidad de una soluci6n debil es suficiente aplicar el teorema de
Lax-Milgram en el espacio de Hilbert H'(R). Se comprueba facilmente que la soluci6n d6bil u
pertenece a H2(R) y que si ademas/ G C(R), entonces u G C2(R).
Conclusi6n: dada / G L2(R) n C(R) existe una unica soluci6n clasica de C0) (que adem&s
pertenece a H2(R)).
Nota 24.—El problema
f _ u" = / en R
\u(x) -> 0 cuando |x| -► co
no se puede abordar con la tecnica anterior, ya que la forma bilineal a(u, v) = u'v no es
coerciva en H'(R). •'»
Nota 25.—Con el mismo metodo que aqui arriba se puede resolver
f- u" + u = f en ]0, oo[
\u@) = 0 y u(x) -> 0 cuando x -► + oo
con/G L2@, oo)dada.

0 principio del maxima 143
VIII.5. El principio del maximo
Sea I = ]0, 1[; se verifica el
• Teorema VIII.17.-5ea/ G l?(\) y sea u G H2(I) to solucidn delproblema de Dirtchlet
C3) [-«" + «=/ en I
Mo) = <*> «(i) = P-
Entonces se verifica
C4) Min {<*, P, Inf /} < u(x) « Max {a, P, Sup f) Mx e I (').
1 i
DemostraciOn.—(Metodo de truncamientos de Stampacchia). Se tiene
C5) u'v' + uv = \ fv VueHi(I).
Ji Ji Ji
Se fija una funci6n G G C'(R) tal que
(i) G es estrictamente creciente en ]0, + oo [
(ii)G(/) = Opara/ G ] - oo.O].
Sea K = Max {a, 0, Sup/1; se supone que K < oo. Demostremos que u ^ K c.t.p. en I. Sea
d = G(u - K); se sabe que v G H1, y tambien v G Hi ya que
u@) -K=ot-KsjO y u(\) - K = P - K $ 0.
Sustituyendo v en C5) se obtiene
u'2G'(u - K) + uG(u - K) = fG(u - K)
es decir
u'2G'(u - K) + (u - K)G(u - K) = (/- K)G(u - K).
Ahora bien (f - K) « 0 y G(u - K) ^ 0, de donde resulta
(u - K)G(u - K) sj 0
Ji
ycomo /G@ > 0 V/ G R , la desigualdad anterior implica que (u - K) G(u - K) = 0 c.t.p.
Por consiguiente m ^ K c.t.p. La demostraci6n de C4) se termina cambiando u por — u.
(') Sup/e Inf/designan respectivamente el Sup ess de/(posiblemente = + oo) y el Inf ess de/(posi-
blemente = - oo). Recordemos que Sup ess/ = Inf \C\f(x) $ C c.t. x\ e Inf ess/ = - Sup ess (-]).

144 Espacios de Sobolev
Nota 26.—Cuando / G C( I) y u G C2( I), se puede establecer C4) con un metodo distinto.
Sea x0 G I el punto donde u alcanza su m&ximo sobre I. Si x0 = 0 o si x0 = 1, se tiene
u < K. En caso contrario 0 < x0 < 1 y entonces u'(x0) = 0, u"(x0) < 0; de la ecuacibn C3)
resulta
u(x0) =f(x0) + u"(x0) «/(x0) « K.
Este metodo presenta la ventaja de poderse extender a los problemas de Sturm-LiouviUe gene-
rales.
Deduzcamos algunas consecuencias inmediatas del teorema VIII. 17:
• Corolario VIII.18.—Sea u una solucidn de C3)
(i) Si u > 0 sobre 31 ysif^O en I, entonces u > 0 en I.
(ii) Siu = 0 sobre 31 y si f G L™ (I), entonces H«IIL°°A) < l/lL">(i,-
(iii) Sif = 0 en \, entonces *bHl»A) < luHL»(S1).
Se verifica un resultado analogo para la condici6n de Neumann.
Proposici6n VIII. 19.—Seaf G L2(I)y sea u G H2(I) la solucidn delproblema
J - u" + u = f en I
l«'@) = «'A) = 0.
Entonces
C6) Inf /««<*)< Sup/ Vjt e T.
> i
DemostraciOn.—Se tiene
C7) u'v' + uv = \ fv Vd6H'(I).
Se sustituye en C7) v = G(m - K) donde K = Sup /. A continuaci6n se procede como en la
i
demostraci6n del teorema VIII. 17.
Nota 27.—Si / G C(T), entonces u G C2(T) y se puede establecer C6) como en la nota 26.
Observese que si u alcanza su maximo sobre 31, por ejemplo en 0, entonces u"@) < 0 (exten-
(extender u por reflexi6n a la izquierda de 0).
Nota 28.—Supongamos I = U. Sea/ G L2(R) y sea u G H2(R) la soluci6n de
- u" + u = / en R
Entonces
Inf /< u(x) < Sup/ Vx6R
ft ft
(ver por ejemplo [BT]).

Funciones propias y descomposicidn espectral 145
VIII.6. Funciones propias y descomposici6n espectral
Sea I = ]0, 1[. Se verifica el
• Teorema VIII.20.— Sea p G C'fl) con p ^ a > 0 en I y q G C(T). Entonces existen
una sucesidn (\n)n >, de numeros reales y una base Hilbertiana (en)n >, de L2(I) tales que
e,€C\l)y
1 en@) = em(l) = 0.
Ademds \n — + oo cuando n — oo .
Se dice que los (\n) son los valores propios del operador diferencial Am = - (pit')' + qu
con la condicidn de Dirichlet y que las (en) son las funciones propias asociadas.
DemostraciOn .—Siempre se puede suponer que q 3? 0, en caso contrario se elige una cons-
tante C al que q + C > 0, lo cual implica sustituir \n por \n + C en la ecuaci6n C8). Para to-
da/ G L2(I) existe entonces m G H2(I) n H^(I) unica que verifica
| - (pu')' + qu =f en I
C9) 1 u@) = iiA) = 0.
Sedesigna por T el operador f\—>m, considerado como operador de L2(I) en L2(I) (').
Comprobemos que T es autoadjunto y compacto. Se tiene, gracias a C9),
y entonces a II u' II ^2 < ||yi|L2 ||mIIl2. De esto resulta que HmIIh' ^ C11/11L2 (donde C es una cons-
tante que s61o depende de a), lo cual se puede escribir asi:
Como la inyecci6n de H'(I) en L2(I) es compacta (ya que I es acotado) se deduce que T es un
operador compacto de L2(I) en L2(I). Demostremos que
[(If) 9= f /(Tg) V/,geL2(I).
Enefecto, pongamos m = T/y v = Tg; se tiene
D0) -(pu'Y+qu=f
D1) - (P"')' + qv = 9 ■
Multiplicando D0) por v y D1) por u e integrando se tiene
f f f (
pu'v' + \ quv = \ fv = \ gu.
Ji Ji Ji Ji
(') Tambien se podria considerar T como operador de H^ en H^ (ver § IX.8).

146 Espacios de Sobolev
Observemos por ultimo que
D2> j (TOf = I uf=\ (pu'2 + qu2) > 0 V/6 L2(I)
y por otra parte N(T) = {0| ya que si If = u = 0 entonces / = 0.
Por el teorema VI.ll, L2(I) posee una base Hilbertiana (en)n9 , formada por vectores propios
de T asociados a valores propios (nn)n > ,. Se tiene nn > 0 (en efecto, nn > 0 por D2) y n,± 0
ya que N(T) = {0|) y se sabe que nn — 0.
Escribiendo Ten = nnen se ve que
- (Pe'j + <}e» = V» donde >.„ = —
Finalmente se observa que en G C2(T) ya que/ = \nen G C( I) (de hecho, sip, q G C°°(T), en-
entonces en G C°°(T)).
Ejemplo.—Si p = 1 y ^ = 0 se obtiene
en(x) = y/2 sen (nnx) y >.„ = n2n2, n = 1, 2...
Nota 29.—Para un mismo operador diferencial, los valores propios y las funciones propias de-
penden de las condiciones de contorno. A titulo de ejercicio se pueden determinar los valores
propios del operador Am = - u"con las condiciones de contorno de los ejemplos 3, 5, 6 y 7.
Nota 30.—La hip6tesis «I es acotado» interviene de forma esencial para establecer la compact-
dad del operador T. Cuando I no es acotado la conclusi6n del teorema VIII.20 es falsa en ge-
general ('); aparece entonces un fen6meno muy interesante de espectro continuo, ver Reed-Si-
Reed-Simon [1]. A titulo de ejercicio se pueden determinar los valores propios y el espectro del opera-
operador T : /i—«•« donde u G H2(R) es la soluci6n de - u" + u = /en R (T es un operador aco-
acotado autoadjunto de L2(R) en L2(R), pero no es compacto); ver [BT].
Comentarios sobre el capitulo VIII
1) Algunas desigualdadas
Citemos algunas desigualdades muy utiles que afectan a las normas de Sobolev.
A) Desigualdad de Poincare-Wirtinger
Sea I un intervalo dado. Dada u G L'(I) se pone u = — \ u (la media de u en I). Se veri-
fica |!| Jl
\\u - u\\L. < ||«'||L, Vue W'-'(I)
(ver [BT]).
(') En algunas circunstancias la conclusi6n del teorema VIII.20 permanece valida (ver [BT]).

Cornentarios sobre el capitulo VIII 147
B) Desigualdad de Hardy
Sea I = ]0, 1[ y sea u G WMl) con 1 < p < oo. Entonces ——— G 1/A) y ademas
x(l - x)
VueWi"(i)
(ver [BT]).
C) Desigualdades de interpolaci6n de Gagliardo-Nirenberg
Sea I un intervalo acotado. Sea l^r<ooyl<qr<p<oo. Entonces existe una cons-
tante C tal que
D3) IMIu><C|M|J.riMlw'-' VueW'-'(I)
donde 0 < a < 1 esta definida por a\ + 1 ) = — ; ver [BT].
\q r ) q P
De la desigualdad D3) se deduce, en particular, que si p < oo (o bien si p = oo y r > 1), en-
entonces
fVe > 0 3CE tal que
IINI < eINIw" +CJM|L, ViieW'-'(l).
(Tambien se puede establecer D4) con un «mitodo de compacidad»; ver [BT]).
Otras desigualdades mas generales se pueden encontrar en Nirenberg [ 1 ] (ver tambien Fried-
Friedman [2] o [BT]). Citemos, entre otras, la desigualdad
donde p es la medida arm6nica de q y r, i.e. =-(- + -
p 2\q r
2) Operador de Hilbert-Schmidt
Sea I un intervalo acotado. Se demuestra que el operador />—»u que a / G L2(I) asocia la
unica soluci6n del problema
' - {pu'Y + qu = f en I
u@) = u(l) = 0
(con p ^ a > Oy q >0)
es un operador de Hilbert-Schmidt de 1/A) en L^(I); ver [BT].
3) Propiedades espectrales
Se conocen numerosas propiedades espectrales del operador de Sturm-Liouville
Au = - (pu'Y + qu con condici6n de Dirichlet en ]0, 1[. Entre otras cosas se sabe que:
A) Todo valor propio tiene multiplicidad 1: se dice tambien que todo valor propio es simple.

148 Espacios de Sobolev
B) Si se ordenan crecientemente los valores propios (Kn), entonces la funci6n propia en{x)
asociada a \n posee exactamente (« - 1) ceros en ]0, 1[; en particular, la primera funci6n pro-
propia ie,(x) tiene signo constante en ]0, 1[.
C) El cociente —— converge, cuando n — oo, a un limite > 0.
n1
Para estos temas, se pueden consultar Weinberger [1], Protter-Weinberger [1], Coddington-Le-
vison [1], Hartman [1] y Agmon [1].

M
¥\ V
III h'h
i.i I
F.\
IX. 1. Definici6n y propiedades elementales
de los espacios de Sobolev WllP(Q)
Sea fi C RN un abierto y seap G R con 1 < p < oo.
Definici6n.—El espado de Sobolev W'"(fi) se define por (').
h, 92< ■ ■ ■> 9n e L"(n) tales que
Vipe <:»(*}) Vi = 1,2,
wlp(n) =
. 39i. 92> • • -.9n
Ja ox-, Jn
Sepone
H'(fi) = W12(fi)
Para u G W'-"(n) se nota
du
dx, ~ 9'
El espacio W'"(fi) esta dotado de la norma
/ du du
y vu = -——-.
\3x, dx2
du
= grad u.
Nlw'.» = IMIl» + I
du
(N II d 11 ** '
||u||lp + Y. W'T'W
(') Cuando no haya confusi6n, se escribira a menudo W1-'' en lugar de
{) Esta notaci6n tiene sentido: g, es linica en virtud del lema IV.2.
149

150 Espacios de Sobolev
El espacio H'(fi) esta dotado del producto escalar
la nor ma asociada
/ N
IMIh' = [\\u\\l2 + I
es equivalente a la norma de W1-2.
• Proposici6n IX. 1.—El espacio W-" es un espacio de Banach para 1 < p < 00; W>p es re-
flexivo para \ < p < 00 y separable para 1 < p < 00.
El espacio W es un espacio de Hilbert separable.
Demostracion.—Adaptar la demostraci6n de la proposici6n VIII. 1 (utilizar el operador
Tu = [u, Vu]).
Nota 1.—En la definici6n de W-" se pueden utilizar indistintamente C^(fi) 0 Cc°°(fi) como con-
junto de funciones test (para demostrar esto utilicese una sucesi6n regularizante (en))-
Nota 2.—Es claro que si u G C'(fi) n L"(fi) y si -^- G L"(Q) para todo / = 1, 2, ..., N
dx.
(aqui designa la derivada parcial de u en el sentido usual), entonces u G W1 •"(!!); ademAs,
dx,
las derivadas parciales en el sentido usual coinciden con las derivadas parciales en el sentido de
W1>p. En particular, si fi es acotado, entonces C'(fi) C W'^fi) para todo 1 ^ p ^ 00. Inver-
samente se demuestra que si u G W'^fi) n C(fi) con 1 < p < 00 y si —— G C(fi) para todo
dX,
i = 1,2, ..., Nl designa aqui la derivada parcial en el sentido de W1^ I,entonces u G C'(fl)
\dx, )
(ver [BT]).
* Nota 3.—Sea u G L,'(fi); la teoria de las distribuciones permite dar sentido a —— (——
dx, V *r,
es un elemento del «enorme» espacio de las distribuciones &' (fi) —espacio que contiene en parti-
particular a LloclQ) I. Utilizando el lenguaje de las distribuciones se puede decir que W•"(!!) es el con-
junto de funciones u G Lp(fi) tales que todas las derivadas parciales , 1 < / < N (en el sen-
dx,
tido de las derivadas distribucionales) pertenecen a Lp(fi).
Cuando fi = UN yp = 2 tambien se pueden definir los espacios de Sobolev con la transforma-
da de Fourier; ver por ejemplo Lions-Magenes [1], Goulaouic [1] o Malliavin [1]. Aqui no tendre-
mos en cuenta este punto de vista.
Nota 4.—Es conveniente retener los siguientes hechos:
a) Sea (un) una sucesion enW* tal que «„ -» u en V y (Vwn) cotHtienc a un limite en (L")N, en-
entonces u G W'^y llwn - mIIw'.p — 0. Cuando 1 < p j£ 00, es suficiente saber que un — wenL''
y que (Vun) esta acotada en (LP)N para concluir que u G

Definicidn y propiedades elementales 151
b) Dada una funci6n/definida en fi, se define por/su extensi6n por 0 fuera de fi, es decir
f(x) si x 6 n
/<x) ' o si xeRN\n.
Seanw G W'"(fi)ya G C^(fi). Entonces (').
_ e — Pu Pix
ui6W1''(RN) y t—(ow) = a — + — u.
Px Px ex
t(ow) a +
Px, Px, ex,
En efecto, sea G Clc( RN); se tiene
au —- = au —- = \ u — (a<p) - — <p
Jrn 5x, Jn 5x, Jn |_fo, ft, J
f /du fa \ r ( du ~~fa \
= _a(p + u <P = - a T- + - « <P-
Jq\cx, fix, J Jrn\ Px, Px, }
La misma conclusi6n es valida si en lugar de suponer aG C^(fi)setomaa G C'(RN) n Lc
conVa G L°°(RN)N ySuppa C RN\r.
He aqui un primer resultado de densidad; mas adelante se establecera (corolario IX.8) un re-
sultado mas preciso con hip6tesis suplementarias sobre fi.
• Teorema IX.2 (Friedrichs).— Sea u G W'-^D) con 1 ^ p < oo. Entonces existe una sucesidn
{ua)enC?(RN)talque
A) «»m-»« en L'(tl)
B) v«n|.u -* Vh|oj en L/(u>)N para rodo to a a Q.
(Recordemos que la notaci6n uCC fl significa que oi es un abierto tal que & C fi y s es com-
pacto).
En la demostracidn se utilizara el
LemaIX.1.—Sea q G V(UN)yseav G W'"(IRN) con 1 sj p < oo. Entonces
C ("v
p*»£ W'-P(IRN) y — (p * v) = p * — Vi = 1, 2, . . . N.
cxt Px,
DemostraciOn del lema IX. 1.—Adaptar la demostraci6n del lema VIII.4.
DemostraciOn del teorema IX.2.—Se nota
\u(x) si x e fi
U(X) [ 0 si x e RN\fl,
y se pone vn= pn • u (donde pn es una sucesi6n regularizante). Se sabe (ver § IV.22) que
vn G C°°(RN) y i>, - u en V>iUN).. Demostremos que Vvnlu - VmIcj en V(u) para todo
a c C fi. Dado to C C fi se fija una funci6n a G C^(fi), 0 ^ a < 1, tal que a = 1 en un en-
(') iAtenci6n! E*/general u <£ W''"(RN) (iporque?).

152 Espaaos de Sobolev
torno de u (tal funci6n existe; ver por ejemplo [BT]). Observemos que para n suficientemente
grande se tiene
C) pn * aw = pn * u en to.
En efecto,
Supp(pn * olu - pn * u) = Supp [pn * (I -
c Supp pn + Supp (I - a)u a B@, -) + Supp (I - i) c f(o
n
para n suficientemente grande. De donde C).
Segun el lema IX. 1 y la nota 4b se tiene
o . —. / du da
— (P. * otu) = p, * U — + — u
cx> \ dx, dx,
y por consiguiente
En particular
y en virtud de C)
d — du da.
— (p. * ait) - a — + — „ en L>(R»).
S — du
--(p. * au)-—- en L"(a>),
dx, dx,
en
Finalmente se «trunca» la sucesi6n (vn) como en la demostraci6n del teorema VIII.6. Mas exacta-
mente, se pone un = £nvn ('). Se comprueba sin dificultad que la sucesi6n (un) tiene las propieda-
des deseadas, es decir un G CC°°(RN), un — MenL"/8)yVu, — Vuen L"(w)N.
• Nota 5.—Se demuestra (teorema de Meyers-Serrin) que si u E Wlj)(fl) con 1 < p < <x, en-
tonces existe una sucesi6n (un) tal que un G C°°(fi) n W1>p(Il)y«B — u en W'^fi); lademostra-
ci6n de este resultado es bastante delicada (ver, por ejemplo, Adams [1] o Friedman [2]). En ge-
general, si fi es un abierto arbitrario y si u G W'^fi), no se puede construir una sucesi6n (wn)en
Q(RN) tal que un — u en W1'"(fi)(ver [BT]); comparar el teorema de Meyers-Serrin (validopara
un abierto fi cualquiera) con el corolario IX.8 (que supone fi regular).
(') De ahora en adelante (fn) designara sistematicamente una sucesi6n de «truncamientos», es decir, se fi-
jauna funci6n f £ Cc°° (RN)con 0 ^ f ^ 1 y
(I SI |x|
1-0 si |jc|
ysepone C.W = Cl- )■ " = 1.2 —

Definicidn y propiedades elementales 153
He aqui una caracterizaci6n sencilla de las funciones
Proposici6n IX.3.— Sea u G V(Q) con 1 < p < oo. Las siguientes propiedades son equivalen-
tes:
(i) u G W'-'fll).
(ii) Existe una constante C tal que
k C||ip||L/,' V<peC*(fi), Vi = 1, 2, ... N.
iii) Existe una constante C tal que para todo abierto u C c fi y todo h G RN co«
| < dist(a), Qfi)^
«Hu>,m, < C|A|.
Adeds, se puede tomar C - II Vu II lp en (ii) y (iii)
» Nota6.—Cuandop = 1, permanecen validas las siguientes implicaciones:
(i) - (ii) « (iii)
Las funciones que verifican (ii) [o (iii)} con p = 1 son las funciones de variaci6n acotada (en el
lenguaje de las distribuciones, se trata de funciones de L1 cuyas derivadas primeras en el sentido
de las distribuciones son medidas acotadas). Este espacio juega un papel mas importante que el
espacio Wu; las funciones de variaci6n acotada (o de igual naturaleza) aparecen en la teoria de
superficies minimas (ver, por ejemplo, Giusti [1] y los trabajos citados de De Giorgi, Miranda
etc.), en los problemas de plasticidad (funciones de deformaci6n acotada, ver Teman-Strang [2] y
el trabajo citado de Suquet), en las ecuaciones cuasilineales de primer orden que admiten solucio-
nes discontinues, u ondas de choque (ver, por ejemplo, Volpert [1]).
» Nota 7.—Resulta del teorema IV.25 y de la proposici6n IX.3 que si 9- designa la bola unidad
de W''"(n)con 1 < p < °° (fi un abierto arbitrario) entonces & icJes relativamente compacto en
I/(w) para todo u c C fi. [Mas adelante se vera (teorema IX. 16) que si fi es acotado y regular,
entonces & es relativamente compacto en Lp(fi); esta conclusi6n puede ser falsa si fi no es acota-
acotado, o si fi no es regular]. Se sigue que si (un) es una sucesi6n acotada de W'-^fl) con 1 < p < oo
y fl un abierto cualquiera, se puede extraer una subsuccsi6n (un) tal que unk(x) converge c.t.p. en
fl(ver]BT]).
Demostracion
Q) =» (ii)Evidente
(ii) =» (i) Proceder como en la demostraci6n de la proposici6n VIII.3.
0) - (Mi)
Comencemos suponiendo que u G Cc°° (RN).. Sea h G UN y pongamos
v(t) = u(x + th), I s R.
Entonces i;'(/) = h.Vu(x + th) y entonces
1 (M
u(x + h) - u(x) = D(l) - 0@) = 0'(r)dr = h.Vu(x + th)dt.
Jo Jo

154 Espacios de Sobolev
Por tanto
'f
Jo
|Vu(.x + f/i)|" df
1'
- u(.x)|"dx sj \h\"
W
Jin JO
|Vu(x + th)\" df
|Vu(jc + f/i|"dx =
\Vu(Y)\p dy.
Fijando \h\ < dist(a),Qn), existe un abierto &>' C C fi tal que « + rt C «' para todo
/ G [0, l],yentonces
D)
Ahora, para m G W'^fi) y p * oo existe una sucesi6n (un) en CC°°(RN) tal que un — u en L/(fl)y
Vwn — Vm en Lp(fc) Vco C c fi. Se aplica la desigualdad D) a un y en el limite se obtiene (iii).
Cuandop = oo, se aplica lo anterior (parap < oo)ydespuessehace tenderp a infinite
(iii) - (H)
Sea ip G Q°(fi); se considera un abierto u tal que Supp ip C u c C fi. Sea h G (RN con
\h\ < dist(a), (Jfi). Gracias a (iii) se tiene
(xhu -
Por otra parte, como
(u(x + h) - u(x))(p(x)dv =
Ja Jn
resulta
Eligiendo h = te,, t G R, y pasando al limite cuando / — 0, se obtiene (ii).
» Nota 8.—La proposici6n IX.3 ((i) =» (iii)) demuestra que si u G W''°°(fi) y si fi es un abierto
convexo, entonces se verifica
E)
\u(x) - u(y)\ sg ||Vu||L, distn(v. i) C.t. .v. y g Q
donde distn(x, y) designa la distancia geodisica de x a y en fi; se sigue que u posee un representan-
te continuo que verifica E) para todo x, y G fi. De esto se deduce que si u G W'^fi) con
1 $ p ^ oo, fi es un abierto arbitrario y Vm = 0 c.t.p. en fi, entonces u es constante en cada
componente conexa de fi.
Observese finalmente que si u G W'°°(fi) con fi abierto convexo, entonces se verifica
\u(x) - u(y)\ sj ||Vu||L. \x - y\ Vx, y e fi.

Definicidn y propiedades elernentales 155
Proposici6n IX.4 (Derivaci6n de un producto). —Sean u, v G W''"(ll) n L°°(fi) con
1 s£ p H oo. Entoncesuv G W'"(fi) n L°°(fi)y
— (uv) = —- v + u i = 1, 2, ... N.
ox, ox, Sx,
DemostraciOn.—Siempre nos podemos limitar al caso 1 < p < oo (ver la demostraci6n del co-
rolario VIII.9).
Segun el teorema IX.2, existen sucesiones (un), (vn) en C™(RN) tales que
un -> u, i\ -> v en Lp(fi) y c.t.p. en fi
Vun -» Vu, Vin -. Vr en L"(a>)N para todo to <= <= n.
Repitiendo la demostraci6n del teorema IX.2 se ve facilmente que ademas se verifica
II«JIl«« II"IIl- y IIi'JIl-« lU'lk--
Por otra parte se tiene
Pasando al limite, de la convergencia dominada resulta
r <> r A'" <>\
ur—-= - — i- + u— <p
Proposici6n IX.5 (Derivaci6n de una composici6n).— Sea G G C(R) tal que G@) = 0 y
G'(*)| < M vs G u. Sea u G W'"($)), entonces
— (Co«) =
DemostraciOn.—Se tiene |G(*)| < M|s| Vs G R y asi |G <> u| sj M|u|; por consiguiente
G o m G 1/@) y tambien (G' ° u) —^- G 1/@). Falta comprobar que
ax,
F) r •, r
(G°w)— = - (G'ou)-ip VipeC'(fi).
Jn Sx, Jn ex,
Cuando 1 ^ p < oo, se elige una sucesi6n (un) en C"(RN) tal que un — u en L"@) y c.t.p. en
fl, Vun - Vm en Lp(co)N Vu C C 0 (teorema IX.2). Se tiene
(GouJ— = - (G'ou,)—ip VipEQ'ffi).
Jn fXi Jn dx,
Pero G o wn - G ° u en 1/@) y (G' o «„)—^- - (G' o u)—— en l/(w) por la convergencia do-
minada. Y se deduce F).
Cuando p = oo, se fija un abierto 0' tal que Supp CO' cc 0. Entonces u
€ W1J)@') vp < oo yse deduce F) por lo anterior.

156 Espacios de Sobolev
Proposici6n IX.6 (F6rmula del cambio de variables).—Sean 0 y 0' dos abiertos de RN y sea
H : 0' — 0 una aplicacidn biyectiva, x = H(y), talque
HeC'(Q'), H"'sC'(n), Jac H e L^Q'), Jac H~ ' g Lx(fi)(').
Seau G W"(fi), entoncesu o H G W'"(fi')y
(H £
Vy = 1, 2, ... N.
DemostraciOn.—Cuando 1 sg p < oo, se elige una sucesidn (un) en Q°'(RN) tal que un — u en
LP(O) y Vun — V m en Lp(u))N Vco C CO. Entonces wn o H — m o H en L"(O') y
f!uB \ (?H, /flu \EH,
- " o H -- - I —- o H —- en L'(co') Vco' c c Q'.
c.x, / ayj \5x, / dys
G C^(O')severifica
En el limite, se obtiene el resultado buscado.
Cuandop = oo, se procede como en el final de la demostraci6n de la proposici6n IX.5.
Los espacios Wm"(Q)
Seanra $ 2 un entero y sea pun numero real con 1 $ p sg oo. Se define por recurrenda
w""(n) = {hew™ lp
O lo que es igual B)
SenotaD"M = ga.
El espacio Wm'''@) dotado de la norma
es un espacio de Banach.
e W™ '"(Q) Vf = 1,2 NX
I
con |a| ^ m 3ga e L"(n) tal que
uD> = (- 1)"' ^,cp Vip g Cc* (Q)
n Jn
0 < \i\t, m
■ail
(') Jac H designa la matriz Jacobiana\—-'; se trata de una funci6n L°°(t2')N x N.
B) Un multi-indice a es una N-upla a = (a,, a2, ..., aN) con a, ^ 0 natural; se pone

Operadores de prolongaddn 157
Se pone Hm(fi) = Wm2(fi); Hm(fi) dotado dej producto escalar
(u, v)H,n = £ (D'u, D'i-)L:
esun espacio de Hilbert.
* Nota 9.—Se demuestra que si fi es «suficientemente regularw con r = dfi acotada, entonces la
norma de W^O) es equivalente a la norma
IMIl/> + £ l|Dau||,/..
Mas exactamente, se demuestra que para todo multi-indice a con 0 < |a| < m y para todo
£ > Oexiste una constante C (dependiente de fi, 8, a) tal que
e £ IID^IIl/- + C|HL/, Vi/EW"'(ft)
IPI = «•
(verAdams[l]o[BT]).
IX.2. Operadores de prolongaci6n
Con frecuencia, es c6modo establecer propiedades de las funciones de W'^fi) comenzando
por el caso fi = RN (ver por ejemplo los resultados de § IX.3). Asi pues, es util poder prolongar
una funci6n u G Wlj)(fl) a una funci6n u G W'''(IRN). Esto no siempre es posible. Sin embargo,
cuando el abierto fi es «regular», si se puede construir tal prolongaci6n. Comencemos precisando
la noci6n de abierto regular.
Notaciones.—Dado at G RNse escribe
x = (x\ xN) con x'eRN-', x' = (x,, x2, . . ., xN_,)
y se pone
Se denotan
UN+ = {x =(x', xN); xN > 0}
Q = {x =(x',xN); |x'| < I y |xN| < 1}
Qo = {x =(x',xN); |x'| < 1 y xN = 0}.
Definici6n.—Se dice que un abierto fi es de clase C si para todo x G T = BQ existen un entorno
Udexen R N y una aplicacidn biyectiva H : Q — U tal que
HeC'(Q). H-'eC'fU), H(Q + ) = UnQ y H(Q0) = U n T.

158 Espacios de Sobolev
Teorema W.I .—Supongamos que fi es de close C con Y acotada (o Men fi = R'J). Entonees
existe un operador de prolongacidn
P:Wlp(fi) - W'-'dR*1)
lineal, tal que para todo u G W'^fi)
(i) I*«|j, = «
(ii) ||P«||, ,,(Mn, sj CMmIIlpCQ)
(iii) ||PH||ttiP(l[IN, s? C||«||wi ,>,„,
donde C sdlo depende de U.
Comencemos demostrando un lema sencillo, pero fundamental, a prop6sito de la prolonga-
prolongacidn por reflexidn.
Lema IX.2.—Dada u G W1J)(Q+) se define sobre Q la funcidn u* prolongacidn por reflexidn,
eSdeCif „, , l«(x'.xN) ,/ xN>0
u*(x', xN) = <
iu(x, - jrN) si xN < 0.
Entonees u * G W "(Q) y
\\«*\\ip«i, « 2
DemostraciOn.—Comprobemos que
s; UJ para
(8) ^ f^)°
1
donde ('") designalaprolongaci6n porreflexi6nde —
\Px,J Sxt
y donde se pone, para/definida en Q +
c', .xN) si xN < 0.
Se utilizara la sucesion {qk) de funciones C°°(R) definida por
r|k(f) = r\(kt) (eR, k = 1,2, ...
donde -q es una funci6n fija, r) G C°°(R)talque
0 si f < -
1 si f > 1.
Demostremos G); sea ip G C,!(Q), para cada 1 ^ / $ N — 1 se tiene
(9)
donde
Jn &, Jq. '^.
x', xN) = ip(x', xN) + ip(x', - xN).

Operadores de prolongacidn 158
En general la funci6n <|» no pertenece a C^(Q + ) y no se puede utilizar con»o funci6n test, pero
y entonces
f ? r ^
U — (T1t\|») = -
Jq. cx, Jq, cx,
Porotraparte—-—(jj^y) = Vk , yporconsiguiente
dx, dx,
A0) I ^ -I
I rx ] f'x
Jq , l i jq,^^
Pasando al limite en A0) cuando k — oo (por la convdrwncia dominada) se obtiene
A1) u— = - ,—v)/-
Jq. ^x' Jq.'Xi
Combinando (9) y A1) se tiene
u'^= - — ♦= - — U-
Jq <x, Jq. rx, JQ\«,/
De donde se sigue G).
Demostremos (8); sea 9 G C^(Q), se tiene
Jq ^nt Jo ("x
'X
Jq <'xn
donde
Z(-x', xN) = (p(x', .xN1 - (p(x', - xN).
Observesequex(Jf', 0) = 0, luego existe una constante M tal que |x(x',jcn)| ^ M |jcn| enQ. Co-
mo r)k\ £ C^(Q + )se tiene
f r r cu
» , (TUX) = - ,
Jq. ' a'n Jq. <xn
Pero
A4)
Demostremos que
A5)
En efecto, se tiene
!
con C = Sup r)
ie [o,n
1
'@1
<\\N
H*,T|'(*,.XN)X
Jq.
.M'<i*N>z
« kMC
;de donde A5).
-> 0
{
J0-< \^
+ fcTi'(fc.XN)X-
cuando fc -» x.
f
|u|.xN dv sj MC
|u|dx

160 Espacios de Sobolev
Se deduce entonces de A3), A4) y A5) que
f ex f eu
Jq, cxn Jq. pxn
T- X = h— <P-
Jq, <xn Jq \(xn/
Finalmente se tiene
A6)
Combinando A2) y A6) se obtiene (8).
La conclusi6n del lema IX.2 permanece valida si se sustituye Q+ por R^ (la misma demos-
traci6n) —y esto demuestra el teorema para 0 = R*J.
• Nota 10.—El lema IX.2 permite construir con sencillez operadores de prolongaci6n para
ciertos abiertos que no son de clase C1. Sea ejemplo
= {xeR2; 0 < x,
0 < x2
Sea u G W1JI(fl). Con cuatro reflexiones sucesivas se obtiene una extensi6n u G W'^fi) de u
en
fi = {xeR2; - 1 < x, < 3, - 1 < x2 < 3},
r ^
3
2
L J
o
4
1 i
L J. .J
Se fija a continuaci6n una funci6n v|; G C^(fi) tal que \\i = 1 en fi. Se designa por Pu la
funci6n \(/m prolongada a R2 por 0 fuera de ft. Se demuestra facilmente que el operador
P: W'"(fi) - W'"(IR2) verifica (i), (ii) y (Hi).
En lo que sigue utilizaremos el
Lema IX.3 (Particiones de la unidad).— Sea T un compacto de RN y sean U,, U2> ..., l)kabier-
tos tales que re \J V,.
Entonces existen funciones 60, e,,e2, .... 0k de C°°(RN) tales que
(i) 0 ^ 6, « I Vi = 0, I, 2, ... Ic y X 6, = 1 en Rn
i = 0
jSupp 9, es compacto y Supp 9, <= U, Vi = 1, 2, ... k
isuppe0 a RN\r.
SI 0 es un abierto acotado y T = dfi, entonces dom G C"(fi).
DemostraciOn.—Ver [BT]. Este lema es clasico; se pueden encontrar enunciados cercanos a
este por ejemplo en Agmon [1], Adams [1], Folland [1], L. Schwartz {!], Malliavin [1].

Operadores de prolongaddn 161
DemostraciOn del teorema IX.7.—Se «rectifica» T con cartas locales y se introduce una
partici6n de la unidad ('). Mas exactamente, como T es compacta y de clase C, existen abier-
tos (U,), 5utdeRN tales que r c y U, y existen aplicaciones biyectivas H,: Q - U, tales
que
H, sC'(Q), H,"'eC'(U,), H,(Q + ) = U, n fi y H,(Q0) = U, n P.
Se consideran las funciones 90, 9,, ...,6k introducidas en el lema IX.3. Dada u G W1 ■"(!!) se es-
escribe
" = Z 9i" = Z "•• donde u, = 9,u
i-0 , = 0
Ahora se prolonga cada una de las funciones u, a RN distinguiendo entre u0 y las otras
a) Prolongaci6n de u0.—Se define la prolongaci6n de u0 a U N por
f uo(x) si -v e n
<x) I o si x6RN\n.
Recordemos que 90 G C'(RN) n L°°(RN) y V90 G L°°(RN) ya que V90 = - £ V9, es de so-
t= i
porte compacto y Supp 90 C R N \ V. Se sigue entonces (nota 4b) que
d —
d Pu dQ0 _
y — u0 =90-- +~-«.
('.x, ^x, <5x,
Asi pues
b) Prolongaci6n de u,-, 1 ^ / < At. Se considera la restricci6n de u a U, n fi y se «transporta»
esta funci6n a Q + con ayuda de H,; mas exactamente, se pone v,iy) = u(Hj(y)) para y G Q + .
Se sabe (proposici6n IX.6) que r; G WliP(Q + ). Se define a continuaci6n en Q la prolongaci6n
por reflexi6n de r, (lema IX.2), sea i-*; se sabe que rf G W'^Q). Se «transporta» v* a U, con
ayuda de H,"', sea
"'.(*) = rr[H,-'(.x)] para x e U,.
Se tiene entonces tv, G W1>P(Q), w, = u en U, O fi y
Ilvvillwl/'(U ^ ^'ll^llw1 /"(L1 nll|-
Finalmente, se pone para x G R N
9,(.v)h-,(a) si .x s U,
0 si x s RN\U,,
(') En lo que sigue, esta tecnica se utilizara frecuentemente para pasar de un resultado demostrado so-
sobre r'J (o sobre Q + ) al mismo resultado sobre U abierto regular.

162 Espacios de Sobolev
de forma que a, G WliP(RN) (nota 4b), u, = u, en fi y
Conclusi6n.—El operador Pir = u0 + £ ''■ P°see todas las propiedades pedidas.
• Corolario IX.8 (Densidad).—Supongamos que fi es de close C1. Sea u G Wlp(Q) con
1 =S p < oo. Entonces existe una sucesidn (un) en CC°°(RN) to/ ^we wnln — u en Wlj>(tl). />/cfco
<fe ofro mw/o, tas restricciones ail de las funciones de C™(UN)forman un subespacio denso de
W'^fi).
DemostraciOn.—Supongamos primero que F es acotada. Entonces existe un operador de pro-
Iongaci6n P (teorema IX.7). La sucesi6n (') fn(pn • Pu) converge a Pu en W1''(|RN) y por tanto
resuelve el problema. Cuando F no es acotada, se comienza considerando la sucesi6n fnw; da-
do 8 > 0 se fija «0 tal que lfBn« — utVJ\j> < 8. Se puede entonces construir una prolongaci6n
v g w1'"IRN) de inu (ya que s61o interviene la intersecci6n de F con una bola grande). Se
lonstruye por ultimo"w G CC°°(RN) tal que lltv - uIwi.p,hn, < 8.
IX.3. Desigualdades de Sobolev
En el capitulo VIII se vio que si fi es de dimensi6n 1, entonces W'-^fi) C L°°(fi) con inyec-
ci6n continua. En dimensi6n N > 2 esta inclusi6n es valida s61o para p > N; cuando p < N,
se pueden construir ejemplos de funciones W1-'' que no pertenecen a L°° (ver nota 17 y [BT]),
Sin embargo, un importante resultado debido esencialmente a Sobolev a fir ma que si
1 s£ p < N entonces Wlp(fi) C V"(Q) con inyecci6n continua para ciertop* G ]p, + oo[.
Comencemos considerando el:
A. Caso en que fi = R N.
• Teorema IX.9 (Sobolev, Gagliardo, Nirenberg).— Sea 1 sj p < N, entonces
W "(RN) c L''*(RN) donde p* viene dado por - = ' _ -,
P* P N
y existe una constante C = Cip, N) B) /a/ ^we
A7) ||h||l/.-
(') (en) sucesi6n regularizante y (fn) sucesi6n de truncamiento como en la demostraci6n del teorema
IX.2.
B) Se puede tomar C(p, N) = '—, pero esta constante no es 6ptima; se conoce la meior cons-
N-p
tante (|y es complicada!), ver Th. Aubin [1], Talenti [1] y Lieb [1],

Desigualdades de Sobolev 163
Nota 11.—El valor de p* se puede obtener con un argumento de homogeneidad muy sencillo
(ret6ngase que los razonamientos por homogeneidad proporcionan a veces enseflanzas intere-
santes a cambio de poco esfuerzo). En efecto, si existen constantes C y 1 ^ q ^ °° que verifi-
can
entonces necesariamente q — p*. Para verlo, se pone en A8) ux(x) = m(Xjc) (\ > 0) en lugar de
u. Resulta
||«||L, «oA + " /1-||V«||L,, VA. > 0.
yesto implica q = p*.
En la demostraci6n del teorema IX.9 utilizaremos el
Lema IX.4.—Sean N > 2y/,,/2> ...,/N G LN - '(RN - '). Para x G (RNyl ^ / ^Nsepone
x, = (x,. x2, ... x,_,, x,t,, ... xN)e MN~l.
Entonces la funcidn
f(x) =/,(J,)y,(x2) ■ --/nW xeUN
pertenece a L'( KN) y
N
ii/Hl'.m") « n n/;ik^ w >,■
DemostraciOn.—El caso N = 2 es trivial. Consideremos el caso N = 3; se tiene
L/(.x)|dxj = |/jU,,.x2)| |/,(.x2, \y
Jr Jr
(por Cauchy-Schwarz). Aplicando nuevamente la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene
(.VII dx :
|./(.v
Jr1
El caso general se obtiene por inducci6n; admitamos el resultado para N y demostremoslo para
(N + 1). Se fija xN + ,; gracias a la desigualdad de Holder se tiene
j|/(.v)|d.v1d.x2 ...d.xN ^ ||/N + ,||LN(RNyi/,./a ■ ■ ■ /nIN d.x, . . . d.vNJ
N
N' =
N - 1
Aplicando la hip6tesis de inducci6n a las funciones |/,|N', |/2|N', ..., |/N|N' resulta

164 Espacios de Sobolev
De donde
f
|
| dx, ... dxN
Ahora se hace variar xN + ,; cada una de las funciones xN + , >-* llfjl ln(Rn - i( pertenece a LN(R),
1 s£ i s£ N. Por consiguiente el producto n H/JIln(rn-|) pertenece a L'(R) (ver la nota 2 que
sigue a la desigualdad de Holder en el capitulo IV) y
r n + ,
Ulx)|ax, ...axNaxN + l $ jj M7,||lncrn)■
DemostraciOn del teorema IX.9.—Comencemos con el caso p = 1 con u G C^(RN). Se
tiene
du
|u(x,,.v2, ... xN)| = — -(f,x2 .xN)df
e igualmente para 1 < i < N
r
J - at
-r, OX,
5x,
Asi pues
Jx
(f, x2, . . . xN)
df
,.,,f, x,+ ,, ... xN)
df =
Se deduce del lema IX.4 que
\u(x)
Por consiguiente se tiene
A9)
N
m
n-' = n
L1(RN I, II
I- I
L'|RN)
H,R
-,< n
cu
L'(RN)
Sea / > 1; se aplica A9) a |«|'~'« en lugar de u. Resulta
B0)
(V,
/N N — 1
Se elige entonces / de forma que = p'(t — 1), lo que da / = p* (/ > 1 puesto
N - 1 N
que 1 $ p < N).
Se obtiene
n
dx,

Desigualdades de Sobolev 165
Asi pues
IMIl/>* « C||Vu||L,, Vu6Cc'([Rn).
Sea ahora u G W'"(IRN); se sabe que existe una sucesi6n (un) G C^(RN) tal que un - u en
W'^fl^Se puede suponer tambien (extrayendo una subsucesi6n si es necesario) que un — u
c.t.p. Para todo n, se tiene
IKIliT ^ C||VuJ|Lp.
Y resulta del lema de Fatou (') que
ueLT y que ||u||^- « C||Vu||LP.
• Corolario IX. 10.—Sea 1 =S p < N. Entonces
L«(RN) V9e[/>, p»]
con inyeccidn continua.
DemostraciOn.—Dado p sj q sj p*se escribe
1 a 1 - a
- = - + con 0 < a sj 1.
q p p*
Se sabe (ver nota IV.2) que
IMIl« ^ IMIlp IIkIIl/1* < IMIlp + II"IIlp*
(por la desigualdad de Young). Se concluye gracias al teorema IX.9 que
• Corolario IX.11 (El caso Ifmitep = N).— Se veriflca
W'-N(RN) c L'(RN) V9s[N, + oc[
con inyeccidn continua.
DemostraciOn.—Supongamos que u G Q(RN); aplicando B0) con p = N se tiene
|M|'L,N|N-H ^ f||«||'j,!|,N(N I, ||V«||LN Vf > 1
y gracias a la desigualdad de Young se obtiene
B1) IMIl-nin h < C(||«||L<, unin i, + ||Vu||ln).
(') Se puede obtener la misma conclusi6n observando que la sucesi6n (un) es de Cauchy en Lp".

166 Espacios de Sobolev
En B1) se elige / = N; resulta
|N|LN2[N I) Sj C||U||WI,N
y por la desigualdad de interpolaci6n (nota IV.2) se tiene
B2) Hwlln? s£ C||w||^i,n
N2
para todo N < q sj .
N - 1
Reiterando este argumento con / = N + 1, / = N + 2, etc... se llega a
B3) ||"I|L9 « C||u||wi.n VueQ!, V N sj q < oo
con una constante C que depende de q y de N ('). La desigualdad B3) se extiende por densidad
aW1N.
• Teorema IX. 12 (Morrey). —Seap > N,entonces
B4) W'-"(RN) c L"(IRN)
con inyeccidn continua.
Ademas, para toda u € WliP(RN) se verifica
B5) |h(x) - «0')l < C|x - )f ||V«||L/, c.t. x, y e RN
con a = 1 - — y C una constante (que sdlo depende de p y de N).
P
Nota 12.—La desigualdad B5) implica la existencia de una funci6n a E C(RN) tal que u = u
c.t.p. en RN. [En efecto, sea A C RN un conjunto de medida cero tal que B5) se cumple para
cadax.y E R N \ A; como RN\ A es denso en RN, mrnva admite una (unica) extensi6n conti-
continua a RN]. Dicho de otro modo, toda funci6n u E WUp, p > N, posee un representante con-
continue En lo que sigue sustituiremos sistematicamente u por su representante continuo siempre
que esto sea util.
Demostracion.—Se comienza por establecer B5) para u E Q(RN). Sea Q un cubo abierto
que contiene a 0, cuyas aristas —de longitud r— son paralelas a los ejes de coordenadas. Para
x E Q se tiene
f d
M(.V) - "@) = --U(f.V)df
Jo di
y entonces
B6)
( U
— (fv)
di.
(') Y que «explota» cuando g - + oo.

Desigualdades de Sobolev 167
Pongamos u = — u(.x) dx (u es la media de u sobre Q). Integrado B6) en Q se obtiene
\u - u@)|
' f A v f
— dx >
IQI Jq , = , Jo
du
dx,
df
\ C f N du I P f N
r Jo Jo ■= i cx, r Jo JiQi-i
dx,
(y)
Pero por la desigualdad de Holder se verifica
du_{
|Q VX,
(ya que (Q C Q para 0 < / < 1).
De donde se deduce que
p\'ip
- "@I
1
\\Up'
tNlP- ri -Nip
-^ df = 1—— ||Vu|
Por traslaci6n, esta desigualdad es valida para todo cubo Q de lado r cuyas aristas sean parale-
las a los ejes de coordenadas; de donde
B7)
I" - u(x)\
1 - N/p
Sumando (y aplicando la desigualdad triangular) se tiene
B8)
||Vu||LP(Q) VxeQ.
\u(x) - u(y)\
_ N
Vx,yeQ.
Para dos puntos cualesquiera x, y de RN existe un cubo Q de arista r = 2\x - y\ que contiene
xty. Y se deduce B5) para u G Q(RN). Cuando u G W'"(IRN), se utiliza una sucesi6n (un)
de Cj(RN) tal que un — u en W1'P(IRN) y un — u c.t.p.
C^(R) tal que un m en W(IR) yu,u c.t.p.
Demostremos ahora B4). Sean u G C^( RN), x G RN y Q un cubo de arista r = 1 que contie-
contiene a at. Por B7) se tiene
|u(.x)| ^ \u\ + C||Vu||L/.|Q) sj C||u||wi.P|Q) ■
donde C s61o depende de p y de N. Entonces
||u||lx(Rn. < C||u||wi.p(RN, Vu6C'(IRN').
Cuando u G WliP(RN) se utiliza una sucesi6n (un) de C^(RN) tal que un — u en W'iP(RN) y
c.t.p.
Nota 13.—De B4) se deduce que si u G W'"(RN) con N < p < oo, entonces
lim u(x) = 0.
En efecto, existe una sucesi6n (un) en C]C(UN) tal que un - u en W'"(IRN); por B4) u tambien
es limite uniforme sobre U N de las u .

168 Espacios de Sobolev
• Corolario IX. 13.— Sean un entero m^lyl^p<oo.Se veriflca:
si '' _ ^ > o, entonces Wm "(RN) <= L«(RN) donde - = ---,
P N 9 p N
si - — = 0, entonces Wm'"(RN) c L«(RN) Voefp, + oof
t m
si — — < 0, entonces Wm"(RN) c L°°(IRN).
p N '
con inyecdones continuas.
N
Ademds, si m - — > 0 no es un entero, se ponen
P
k = \m y 9 = m - — -fc @ < G < 1).
Yse veriflca, para toda u G Wm''(IRN)
||D"«||Lx « C||«||wm.P Va con |a| ^ k (')
y
|DaH(x) - D'h^II ^ C||u||wm,P |x - y|e c.t. x, y e Us, Va, |a| = k.
En particular Wm"(RN) C C*(RN)B).
DemostraciOn.—Todos estos resultados se obtienen por aplicaci6n reiterada del teorema
IX.9, del corolario IX.11 y del teorema IX.12.
• Nota 14.—El caso p = 1 y m = N es bastante particular: se tiene WNi1 C L°°. En efecto,
sea u G Cc°°; se verifica
y entonces
B9) IM|Lx < ||u||wN| VueQ.
Si m G WNI, se procede por densidad.
Consideremos ahora el:
B. Caso en que fi C RN.—Supongamos que fi es un abierto de clase C con r acotada, o bien
0 = RN+.
• Corolario IX. 14.— Sea 1 < p *S oo. Se veriflca.
si 1 sj p < N, entonces W "(Q) c I/*(Q) rfonrfe _L = I _ 1
p* p N
si p = N, entonces W' "(Q c L«(n)
si p > N, entonces W "(Q) c LX(Q),
con inyecdones continuas.
(') De donde resulta que Da uM - Dauty)| « Cll«llwm./>|jc - j>| v^:, y G KN y Va con |«| < k
B) M6dulo la elecci6n de un representante continuo.

Desigualdades de Sobolev 169
Ademds, sip > N, se verified para toda u G W•"(!!)
\u(x) - u(y)\ «S C||«||wi.,|x - y|" ct.p. x, y e Q
con a = 1 - — y C dependiente sdlo dett,pyH.En particular W"(fi) c C(fi) (').
P
DemostraciOn.—Se introduce el operador de prolongaci6n
P : W'"(n) - W'"(IRN)
(ver teorema IX.7); a continuaci6n se aplican el teorema IX.9, el corolario IX. 11 y el teorema
IX. 12.
• Corolario IX.15.—La conclusidn del corolario IX. 14 permanece vdlida si se sustituye RN por
DemostraciOn.—Por aplicaci6n reiterada del corolario IX. 14 C).
• Teorema IX.16 (Rellich-Kondrachov).—Supongamos fi acotado de close C. Se verifica
si p<N, entonces W-'(Q) <= L'(Q), V9 e [!,/»*[ donde _L = I _ 1
P* P N'
» p = N, entonces W'-'(Q) c L«(n), V»e[l, + oc[,
» p > N, entonces W'-"(n) c C(Q),
con inyecciones compactas D).
DemostraciOn.—El caso p > N resulta del corolario IX. 14 y del teorema de Ascoli. El caso
p = N se reduce al caso p < N.
Supongamos entonces que p < N. Se aplica el corolario IV.26 con !F la bola unidad de
Comprobaci6n de (IV.23).—Como 1 sj q < p*. se puede escribir
1 a 1 - a
- = —t- con 0 < a < 1
q 1 p*
Sean w C C fi, u € J^ y |/i| < dist(cj, (Jfi). En virtud de la desigualdad de interpolaci6n (no-
ta IV.2) se tiene
IK H - u\\lhm\\xhu - ull^V,,.
(') M6dulo la elecci6n de un representante continuo.
B) Precisemos que si m > 0 no es un entero, entonces
P
Wm"(fi) c C'lfi) donde k
■[-?]
y Ck(Q) = \u € Ck(Q); Dau admite una extensi6n continua a Q para todo a con |«| § k\.
C) Tambien se podria aplicar directamente el corolario IV. 13, pero esto precisaria de una hip6tesis su-
plementaria: seria necesario que U fuese de clase Cm para construir el operador de prolongaci6n
p wmi>(n) -. wm"(RN)
D) En particular W1J>(J1) C 1/A2) con inyeccidn compacts para todo p.

170 Espacios de Sobolev
Pero segun la proposici6n IX.3 se tiene IIt^m - MllL'(a,) ^ \h\ llVullLi(n). Por consiguiente
< (W HVu||Li(n)n2||u||LP-(n)I^ sj C\h\°
(aplicar la desigualdad de Holder y el corolario IX.14). Se concluye que IIt^m - ^ II !_*(„> < £
para | h \ suficientemente pequefio.
Comprobaci6n de (IV.24).—Sea u G ,? ; por la desigualdad de Holder se tiene
|' ^p* < |fi\co|'V
para u> elegido adecuadamente (').
Nota 15.—El teorema IX. 16 es «casi» 6ptimo en el siguiente sentido:
(i) Si fi no es acotado, la inyecci6n W'^fi) C W(Q) no es compacta en general B).
(ii) La inyecci6n W'^fl) C LP\U) nunca es compacta, incluso si fi es acotado y regular
(ver [BT]).
• Nota 16.—Sea fi un abierto acotado de clase C. Entonces la norma
IIMII = l|Vu||L/> + ||«||L,
es equivalente a la norma de W1-'' siempre que
1 < </ < p* si l^p<N
U (/ < oo si p = N
1 < q < oo si p > N
(ver [BT]).
• Nota 17 (caso limite p = N).—Sean fi un abierto acotado de clase C'yu£ W1N(fi). En-
Entonces en general u f£ L°°(fi). Por ejemplo, si
n = |v e RN; |v| < 1/2J
la funci6n «(v) = (log - -) con 0 < a < 1 pertenece a W1N(fi) (ver [BT]), pero no esti
V hi/ n
acotada a causa de la singularidad en x = 0. Sin embargo, se tiene la desigualdad de Trudin-
ger:
f
N " <oc Vii6WIN(Q)
(ver Adams [1], y Gilberg-Trudinger [1]).
(') Por eiemplo u = \x € Q; dist. (x, Y) > &\ y S > 0 suficientemente pequefto (aplicar el teorema de
la convergencia mon6tona o el de la convergence dominada).
B) Incluso para ciertos abiertos de medida finita y frontera regular (ver Adams [1] p. 167).

B espacio W1OP(C1) 171
IX.4. El espacio W^@)
Definici6n.—Sea 1 s£ p < oo; Wj-"(n) designa eieterre de C^(fi) en W'^fi). Se nota
El espacio W^ dotado de la norma inducida por W1-'' es un espacio de Banach separable; es
reflexivo si 1 < p < oo. Hq es un espacio de Hilbert con el producto escalar de H1.
• Nota 18.—Como C^(IRN) es denso en W1J?(RN), se tiene
Por el contrario, si fi C RN, entonces en general W^ffi) * W1 •"(!!). No obstante, si [RN \ fi es
wsuficientemente pequeflow y p < N, se tiene W^fi) = W'^fi). Por ejemplo, si
fl = RN\ |0| y N > 2, se demuestra que Hi(fi) = H'(fi) (ver [BT]).
Nota 19.—Se comprueba facilmente —con ayuda de una sucesi6n regularizante (en)— que
Q°(fi) es denso en W^fi). Dicho de otro modo, se pueden utilizar indistintamente C"(fi) y
CJ(tl) en la definici6n de W^"(fi).
Las funciones de Wo'p(fi) son «grosso modo» las funciones de W'^fl) que «se anulan sobre
T = dfi». Es delicado dar un sentido preciso a esta afirmaci6n ya que una funci6n
m G W'^fi) s61o esta definida c.t.p. (;y r es de medida cero!) y u no tiene representante
continuo B). Sin embargo, las siguientes caracterizaciones sugieren que se trata de funciones
que «se anulan sobre F». Comencemos con el
Lema IX.5.—Sea u G W-^fl), 1 ^ p < oo, con Supp u compacto incluido en fi, entonces
u G Wi'"(fi).
DemostraciOn.—Se fija un abierto a> tal que Supp uCooC Cfiyse elige a G C\(u>) tal que
a = 1 sobre Supp u; asi au = u. Por otra parte (teorema IX.2) existe una sucesi6n (un) en
C"(RN) tal que u, - u en Lp(fi) y Vun — Vu en V(oi)N. Por consiguiente aun — au en
W'^fi) y au G W^ffi). De donde resulta que u G
Teorema IX.17.—Supongamos que fi es de clase C Sea
u G W'^(fi) n C(fi) con 1 p < oo (^)
Entonces las propiedades siguientes son equivalentes;
(i) m = 0 sobre T
(ii) u G W^(fi).
(') Cuando no haya ambiguedades, se escribira W^p, H^ en lugar de W^n), H^(n).
B) Sin embargo, si a € W'^Q), se puede dar sentido a «,,. (cuando n es regular) y demostrar que
« r € LP(F); para esto es necesario utilizar la teoria de trazas (ver los comentarios sobre este capitulo).
C) Sip > N, entonces u € W'-"(n)=> u G C(«) (ver corolario IX.14).

172 Espacios de Sobolev
DemostraciOn.—(i) => (ii). Supongamos primero que Supp u es acotado. Se fija una funci6n
G G C'(R) tal que
Vre I
y G(t) =
0 si |r|
If si |f| > 2.
Entonces un = —G(nu) pertenece a WliP (proposici6n IX.5). Se comprueba facilmente (por
n
medio del teorema de la convergencia dominada) que un — u en WliP. Por otra parte
:}
Suppun <= <xefi; \u(x)\
(
y entonces Supp un es un compacto contenido en fi. Segun el lema IX.5, un G WolP y por tanto
u G WolP. En el caso general en que Supp u no es acotado, se considera la sucesi6n fnu de
«truncamientos» de u, (fn como en la demostraci6n del teorema IX.2). Por lo anterior
{•„« G WJ-* y por otro lado fB« - u en W"; de donde u G WJ-".
(ii) =» (I). Con cartas locales se reduce al problema siguiente: dada
m G Wi'"(Q + ) n C(Q + ), demostrar que u = 0 en Qo.
Sea (un) una sucesi6n en Q(Q + ) tal que un — u en WUp(Q + ).
Se tiene, para (*', xN) G Q +
\un(x, xN)|
y entonces para 0 < 8 < 1
x', ,xN)|dx
En el limite cuando n — oo (8 > 0 fijo) se obtiene
SxN
Iff*
b Jm<i Jo
r
Jo
'dxN<[ r
Jk'l<i Jo
df
du.
dx df.
\u{x\ xN)|dx'dxN <
E J\xf\<\ Jo J|il<l Jo
du
dx' df.
Finalmente cuando 8 — 0, se tiene
\u(x\ 0)|dx' = 0
(yaque m G C(Q + )y
L'(Q + ))- Por tanto u = 0 en Qo.
Nota 20.—En la demostraci6n de (i) =» (ii) no se utiliza la regularidad de fi. Sin embargo, el
reciproco (ii) => (i) exige una hip6tesis de regularidad para fi (considerese por ejemplo
fi = U N \ |0| con N > 2 y p ^ N; ver [BT]).
He aqui otra caracterizaci6n de WolP:
Proposici6n IX.18.—Supongamos que fi es de clase C. Sea u G I/(ft) con 1 < p < oo. Los
siguientes propiedades son equivalentes.
(i) u G WJ*(O).

Elespacio W10p(n) 173
(ii) Existe una constante C tal que
VcpeC,1
Vi= 1,2, ...N.
(iii) La funcidn u(x) =
(x) x 6 n
o x 6 RN\n
pertenece a
i este caso — = —
DemostraciOn.—(i) =» (ii). Sea (un) una sucesi6n en C(fi) tal que un — u en W1^. Para
<p G C^(RN)setiene
En el limite se obtiene (ii).
(ii) =» (Hi). Sea cp G C^(RN); se tiene
«—- = u—-
Y entonces u G W'-^R1") (por la proposici6n IX.3).
(iii) =» (i). Siempre se puede suponer que fi es acotado (en caso contrario se consideran los
truncamientos f nu de u). Con cartas locales y una partici6n de la unidad se reduce al siguiente
problema: sea u G LP(Q + ); supongamos que la funci6n
x6 Q, xN > 0
x 6 Q, xN < 0
pertenece a W'^Q); demostrar que
Sea (pj una sucesi6n regularizante tal que
por ejemplo, se puede tomar
Va6Cc'(Q).
;^<*N<->;
pn(x) = nNp(nx) y Supp p c jx 6 UN; - < xN < 1 1.
Entonces pn • (aw) — aw en WliP(IRN) (observese que aw extendida por 0 fuera de Q pertenece
a WliP(RN) Por otra parte.
Supp (p, * au) c Supp pn + Supp (au) c Q +
para « suficientemente grande. Por consiguiente
pn *■ (au)e CC'(Q + ) y entonces au 6 Wi'p(Q + ).
Nota 21.—La demostraci6n del corolario IX. 14 utiliza un operador de prolongaci6n, y para
ello se debe suponer que fi es regular. Si se sustituye W'^fi) por W^fi), se dispone de la pro-

174 Espacios de Sobolev
longacidn candnica por 0 fuera de ft, que es valida para un abierto cualquiera (observese que
en la demostraci6n de la proposici6n IX. 18, la implicaci6n (i) =» (iii) no utiliza ninguna hipote-
sis de regularidad sobre ft). Resulta, en particular, que el corolario IX. 14 es cierto para W^(fl)
con ft abierto cualquiera; el teorema IX. 16 es cierto para W^fft) con ft cualquier abierto aco-
tado. Del teorema IX.9 se deduce tambien que si ft es un abierto cualquiera y si 1 s p < N
entonces
C0) \\u\\Lr- s= C(p, N)||V«||Lp VueWj-'(O).
• Corolario IX.19 (Desigualdad de Poincare).— Supongamos que ft es un abierto acotado.En-
acotado.Entonces existe una constante C (dependiente deSXy de p) tal que
|L,
j "(fi) A «: p < oo).
En particular, la expresidn HVull^, es una norma en Wi"(ft), equivalente a la norma Hwllwi,/>; en
Wo (ft) la expresidn VwVv es un producto escalar que induce la norma II Vwll l2 equivalente a la
norma BwllHi. •'"
Nota 22.—La desigualdad de Poincare es cierta si ft es de medida finita, o si ft es acotado en
una sola direcci6n (Ver [BT]).
Nota 23—Para m entero > 1 y 1 ^ p < oo se defini6 el espacio W^"(ft) como el cierre de
C^(ft) en Wmp(ft). «Grosso modo», una funci6n u pertenece a W^ft) si u 6 Wm"(ft) y
D"w = 0 sobre r para todo multi-indice a tal que |a| ^ m — 1. Es conveniente distinguir en-
tre W^^Cft) y (Wm" O W^") para m =* 2.
El espacio dual de Wq"
Notaci6n.—Se designa por W" (ft) el espacio dual de Wi"(ft), 1 < p < oo y por H~'(ft) el
dual de Hi(ft).
Se identifican L2(ft) y su dual, pero no se identiflcan H^(ft) y su dual. Se tiene el esquema
Hj(fi) a L2(O) c
con inyecciones continuas y densas.
Si ft es acotado, se tiene
2N
<= L2(fi) c W-""(O) si
N + 2
con inyecciones continuas y densas.
Si ft no es acotado, se tiene
2N
L2(fi) <= W-"(fi) si ^-j-^ ^ p ^ 2.

Formulacidn vahacional de algunos problemas 175
Los elementos de W~1>/J' se pueden caracterizar con la
Proposici6n IX.20.— Sea F 6 W" '•" (ft), entonces existen f0, /„ ..., /N en V (ft) tales que
<F,v> = /„>■ + ]
Max II/Hlp = ||F||.
Si ft « acotado, se puede tomarf0 = 0.
Demostraci6n.—Adaptar la demostraci6n de la proposici6n VIII. 13.
IX. 5. Formulaci6n variacional de algunos
problemas de contorno elipticos
Vamos a abordar ahora la resoluci6n de algunas ecuaciones en derivadas parciales (') elipti-
cas, de segundo orden.
Ejemplo 1 (Problema de Dirichlet homogeneo). Sea ft c RN un abierto acotado; se busca una
funci6n u : ft — R que verifique
Au + u = / en fi
u = 0 sobre F = <3fi
donde
Au = \ ^— = Laplaciano de u,
y/es una funcidn dada en ft. La condici6n de contorno u = 0 sobre F se llama condici6n de
Dirichlet (homogenea).
Definiciones.—Una solucion cl&sica de C1) es una funci6n u 6 C2(ft) que verifica C1). Una
soluci6n debil de C1) es una funci6n u 6 H^(ft) que verifica
f vu Vi' + [ uv = I fv Vt e Hj(O).
C2)
Pongamos en marcha el programa descrito en el capitulo VIII.
Etapa A. Toda soluci6n clasica es soluci6n debil.—En efecto, u E H'(ft) O C(ft) y entonces
u 6 Hi(ft) gracias al teorema IX. 17 (ver tambien la nota 20). Por otra parte, si v 6 C^(ft)
(') En abreviatura EDP (= PDE en ingles).

176 Espacios de Sobolev
se verifica
\ VuVv + \ uv = \ fv
Jn Jn Jn
y por densidad, esta igualdad es valida para toda v E H^(fi).
Etapa B. Existencia y unicidad de la soluci6n debil.
• Teorema IX.21 (Dirichlet, Riemann, Hilbert).—Para todaf E L2(fi) existe u E H]0(Q) unica
solucidn debil de C1). Ademas u viene dada por
Min \l- |
v2) - [ fv
J
Es el llamado principio de Dirichlet.
Demostraci6n.—Aplicjr el teorema de Lax-Milgram (o simplemente el teorema de represen-
taci6n de Riesz-Frechet) en el espacio de Hilbert H = H^(fi) con la forma bilineal
a(u, v) = (Vu.Vy + uv)
Ja
y la forma lineal cp : v i—► \ fv.
Ja
Etapa C. Regularidad de la soluci6n debil.—Esta cuestidn es delicada; la abordaremos en el
§ IX.6.
Etapa D. Recuperaci6n de la soluci6n clasica.—Admitamos que la solucidn debil u E H^(ft) de
C1) pertenece a C2(fi) y supongamos que fi es de clase C. Entonces u = 0 sobre T (segun el
teorema IX. 17). Por otro lado se verifica
{- Au + u)v = fv Vt>eCc'(fi)
y entonces - Aw + u = f c.t.p. en fi ya que C'C(Q) es denso en L2(fi). De hecho, se tiene
- Am + u = /en todo punto de fl puesto que u E C2(fi); asi pues, u es soluci6n clasica.
Describamos ahora otros ejemplos. Insistamos sobre el hecho de que es absolutamente fun-
fundamental precisar bien el espacio funcional en el que se busca la soluci6n debil.
Ejemplo 2 (Problema de Dirichlet no homogeneo). Sea fie RN un abierto acotado. Se busca
una funci6n u : Q — R que verifique
•33) {- Au + u =f en fi
u = g sobre F

Formulacidn variacional de algunos problemas 177
donde/es una funci6n dada en ft y g es una funci6n dada sobre F.
Se supone que existe una funci6n g 6 H'(fi) 0 C(fi) tal que g = g sobre F (') y se introduce el
conjunto
K = jceH'P; v -£eHj(fi)}.
Del teorema IX. 17 resulta que K es independiente de la elecci6n de g (y depende s61o de g);
K es un convexo cerrado no vacio de H'(fi).
Definiciones. Una soluci6n cl&sica de C3) es una funci6n u 6 C2(fi) que verifica C3). Una so-
Iuci6n d6bil de C3) es una funci6n u 6 K que verifica
C4) j (Vu.Vd + uv) = fv Vt>eH>(fi).
Jn Jn
Es claro que toda soluci6n clasica es soluci6n debil.
• Proposici6n IX.22.—Para toda f 6 L2(fi) existe u 6 K unica solucidn dibil de C3). Ademas
u viene dada por
Min I' f (|Vv|2 + v2) - fv
,ek 12 Jn Jn
Min
rtk
Demostraci6n.—Observemos primeramente que u 6 K es soluci6n debil de C3) si y s61o si se
verifica
Vu(Vv - Vu) + u(v - u)> \ f(v - u) Vt) e K.
Jn Jn Jn
jci6n debil de C3), es claro que
f f f
Vu(Vu - Vu) + u(v - u) = /(y - u) Vt) e K.
Jn Jn Jn
C5)
En efecto, si u es soluci6n debil de C3), es claro que
Inversamente, sin 6 K verifica C5) se elige v + u ± wen C5), con w 6 H^(fi) y se obtiene
C4). Se aplica entonces el teorema de Stampacchia (teorema V.6) en H = H'(fi). El estudio de
la regularidad y la recuperaci6n de la soluci6n clasica se realizan como en el ejemplo 1.
Ejemplo 3 (Ecuaci6n eliptica de segundo orden). Sea ft C R N un abierto acotado. Se dan las
funciones a,pc) 6 C'(fi), 1 ^ i,j ^ N que verifican la condici6n de elipticidad:
C6) I a,Ax)%&j > «l^l2 Vxefi, V^RN, con a > 0.
Se da tambien una funci6n ao(x) 6 C(fi). Se busca una funci6n u : Q - R que verifique
■ anu = f en fi
C7) \-lj[^y
(. u = 0 sobre r
(') Por ejemplo, esta hip6tesis se verjjica si f2 es de clase C'yj€ C'(F). Si £2 es suficientemente regu-
regular, no es necesario suponer que g € C(fi). Aplicando la teoria de trazas (ver los comentarios a este capitu-
lo), es suficiente saber que g G H'(fi) i.e. que g G H1/2(r).

178 Espacios de Sobolev
Una soluci6n clasica de C7) es una funci6n u 6 C2(fi) que verifica C7). Una soluci6n debil de
C7) es una funci6n «£Hj que verifica
C8)
I" I "u '-" V + I" «oi<r= I A" VreHi(O).
Jii , j i < x. < xj Jh Jh
Es claro que toda soluci6n clasica es soluci6n debil. Por otra parte, si ao(x) > 0 en ft, entonces
para toda / 6 L2 existe una unica w 6 HJ soluci6n debil; en efecto, se aplica el teorema de
Lax-Milgram en el espacio H = Hq con la forma bilineal continua
Cv
Observese que la coercividad de a( , ) resulta de la hipdtesis de elipticidad y de la desigualdad
de Poincare. Si ademas la matriz (ay) es simetrica, entonces la forma a( , ) es simetrica y u vie-
ne dada por
< H,', UJnV^ Vv, cXj J Jn J
Consideremos ahora un problema mas general: encontrar una funci6n u :Q — R que verifique
{<~ ( iu \ <~u
-I^^u^J + I",^ +«o"=/ en n
;/ = 0 sobre T
donde las a,(x) son funciones dadas en C(fi). Una soluci6n debil de C9) es una funci6n u 6
tal que
D0) Jo L «„ ,Xi r^ + J^ L «, rx_ •• + J^ «o«i- = J A Vi e ]
Es conveniente entonces introducir en H^(fi) la forma bilineal continua
En general, esta forma no es simetrica ('); en algunos casos es coerciva: se demuestra entonces
la existencia y unicidad de una solucidn debil via el teorema de Lax-Milgram. En todos los ca-
casos se verifica el
Teorema IX.23.—Sif - 0, entonces el con junto de soluciones u 6 H^(fi) de D0) es un espacio
vectorial de dimensidn finita, notada d. Ademas, existe un subespacio vectorial F C L2(Q) de
dimensidn d tal que
[D0) posee una solucidn] «• [ \ fv = 0 Vv 6 F] B).
(') En dimensi6n N no se conoce un artificio que permita, como en dimensi6n 1, reducirla al casosi-
metrico.
B) Dicho de otro modo [D0) posee una solucion] ■=■ \f cumple d condiciones de ortogona-
lidad).

Formulation variational de algunos problemas 179
Nota IX.24.—Supongamos que la ecuaci6n homogenea asociada a D0), es decir con/ = 0, po-
see u = 0 como unica soluci6n. Entonces, para toda/ 6 L2, existe una solucidn unica u£Hj
de D0) ('). En particular, si a0 > 0 en ft, se demuestra —con un metodo del tipo «principio del
maximo»— que (f = 0) =» (w = 0). Se deduce entonces, con la unica hip6tesis a0 > 0 en ft,
que para toda/ 6 L2 existe soluci6n unica w 6 H^ de D0); ver Gilbarg-Trudinger [1] y [BT].
Demostracion.—Se fija X > 0 suficientemente grande para que la forma bilineal a(u, v) +
+ X uv sea coerciva en Hg. Para toda/ 6 L2 existe entonces «6 HJ unica tal que
J f
a(u, <p) + A. I u<f> = j<f> V(p e Ho-
Jn Jn
Se nota u = If; de modo que T : L2 — L2 esoin operador lineal compacto (como ft es acota-
do, la inyecci6n H^(ft) C L2(ft) es compacta; ver teorema IX. 16 y nota 21). La ecuaci6n D0) es
equivalente a
D2) u = T(/ + /.«).
Se introduce v = / + Xw como nueva inc6gnita y D2) pasa a ser
D3) v - XTv = j.
Y entonces se aplica la Alternativa de Fredholm.
Ejemplo 4 (Problema de Neumann homogeneo).—Sea ft C RN un abierto acotado de clase C1.
Se busca una funci6n u :ft — R que verifique
{- Au + u =j en Q
-" = 0 sobre F
8n
donde / es una funci6n dada en ft; designa la derivada normal exterior de u, es decir
. dn
= Vm. n donde n es el vector unitario de la normal exterior a F. La condici6n de con-
du
torno = 0 sobre F se llama condici6n de Neumann (homogenea).
dn
Definiciones.—Una soluci6n clasica de D4) es una funci6n u 6 C2(ft) que verifica D4). Una
soluci6n debil de D4) es una funci6n u 6 H'(ft) que verifica
D5) [ VuVr +j«r= \ Jv VreH'(O).
Jn Jn Jn
Etapa A. Toda soluci6n clasica es soluci6n debil.—Recordemos en primer lugar que en virtud
de la f6rmula de Green se tiene
D6) (Au)r = —ida- I Vm Vr VueC2(H),
(Au)v= ™
Jn JrC7J
(') Observese la estrecha relaci6n que une la existencia y la unicidad de las soluciones de una ecuaci6n
eliptica. Esta notable relaci6n es consecuencia de la Alternativa de Fredholm (teorema VI.6).

180 Espacios de Sobolev
donde da es la medida de superficie sobre r. Si u es soluci6n clasica de D4), entonces
u 6 H'(ft) y se tiene
De donde se deduce por densidad (corolario IX. 8) que
Vu Vv + \ uv = \ fv Vt;eC'(ft).
Ja Ja Ja
sidad (corolario IX. 8) que
Vu Vi; + \ uv = \ fv Vt;eH'(fi).
Ja Ja Ja
Etapa B. Existencia y unicidad de la soluci6n debil.
• Proposici6n IX .24.—Para toda f 6 L2(ft), existe u 6 H'(ft) linica solucidn dibit de D4).
Ademas, u viene dada por
A
Min
-14
Ja J
Demostraci6n.—Aplicar el teorema de Lax-Milgram en H = H'(fi).
Etapa C. Regularidad de la soluci6n debil; ver § IX.6.
Etapa D. Recuperaci6n de la soluci6n clasica.—Si u 6 C2(fi) es una soluci6n debil de D4), se
verifica, en virtud de D6)
D?) (- Au + u)v + ~vda = \ fv Vi;eC'(n).
Ja Jron Ja
En D7) se elige primeramente v 6 C[C(Q); resulta
- Au + u =f en fi.
A continuaci6n, se vuelve a D7) con v 6 C'(fi), obteniendose
f du
— vdo = 0 VveCl{ft\
Jrdn
y por consiguiente = 0 sobre r.
dn
Ejemplo 5 (Dominio no acotado).—En el caso en que ft es un abierto no acotado de RN se im-
pone — ademas de las condiciones de contorno sobre r = d ft habituales— una condici6n en el
infinito, por ejemplo u(x) -^- 0. Esta condici6n se refleja en la soluci6n debil (') en la con-
dicidn u 6 H1. La existencia y unicidad de soluci6n debil es facil de demostrar.
Ejemplos: a) ft = RN; para toda/ 6 L2(RN), la ecuaci6n
- Au + u =f en RN
(') Claro esti, hay que demostrar primeramente que si u es una soluci6n clisica tal que u(x) — 0 cuan-
do |jc| — oo, entonces necesariamente u G H1; ver un ejemplo en [BT].

Regularidad de las soluciones debiles 181
posee una unica soluci6n debil en el siguiente sentido:
H'(RN) y I" VuVv+j* uv = \ fv VveH'(RN).
Jrn Jr* Jrn
b) ft = RN; para toda/ 6 L2(R*) el problema
- Au + u =/ en R+
u(x\ 0) = 0 I'eR^
{
posee una unica soluci6n debil en el siguiente sentido:
y Vu Vu + \ uv = /i> Vt;eHj(fi).
Jo Jo Jo
c) ft = R +; para toda/ 6 L2(R^) el problema
- Au + u=/ en
— (x',0)=0 x'
f5xN
posee una unica soluci6n debil en el siguiente sentido:
ueH'(fi) y VuVi;+ \ uv = \ fv VtieH1 (fi).
IX.6. Regularidad de las soluciones debiles
Definici6n.—Se dice que un abierto ft es de clase Cm, m entero > 1, si para todo x 6 F exis-
ten un entorno U de x en RN y una aplicaci6n biyectiva H : Q — U tal que
HeC"(Q), H'eCm@), H(Q + ) = Unfi, H(Q0) = U n T.
Se dice que ft es de clase C" si es de clase Cm para todo m.
Los principales resultados de regularidad son los siguientes:
• Teorema IX.2S (Regularidad para el problema de Dirichlet).— Sea ft un abierto de close C2
con T acotada (o bien ft = R^). Seaf 6 L2(ft) y sea u 6 Hi(ft) que veriflca
D8)
j VbVcp + j ii<p = I /<p V<peHi(O).
Jn Jn Jn
Entonces u 6 H2(ft) >> llwllH2 ^ CII/IIL2 donde C « wna constante que sdlo depende de ft.
Ademds, si ft « tfe ctoi« Cm + 2 y sif 6 Hm(ft), entonces
2(fi) con |N|H- + 2
en particular, si m > — entonces u 6 C2(ft).
Por ultimo, si ft es de clase C" y sif 6 C°°(Q),entonces u 6 C"(ft).

182 Espacios de Sobolev
Teorema IX.26 (Regularidad para el problema de Neumann).—Con las mismas hipdtesis del
teorema IX.25 se obtienen las mismas conclusiones para la solucidn del problema de Neumann,
es decir para u 6 H'(ft) tal que
f f
«<p =
Jo Jn
D9) V« V<p + «<p = /<p V(peH'(fi).
Jn Ja Jo
Nota 25.—Las mismas conclusiones se obtienen para la soluci6n del problema de Dirichlet (o
del problema de Neumann) asociado a un operador eliptico general de segundo orden, es decir,
si u 6 H^ verifica
Z a'j T~ y~ = /<P V<p e Hi(fi)
entonces
/eL2(fi) y a^eC'fnx1) => ueH2(Q),
y para m > 1,
/eHm(fi) y fl,jeC"t|(S)(l)=>ueH"tI(fi).
S61o demostraremos el teorema IX.25; la demostraci6n del teorema IX.26 es completamente
analoga (ver [BT]). La idea directriz de la demostraci6n es la siguiente. Primero se establece el
teorema IX.25 para ft = U N y a continuaci6n se establece para ft - U +. En el caso en que ft es
un abierto general se procede en dos etapas:
1) Regularidad en el interior, es decir, en todo abierto u C C Q (inspirada en el caso
ft = RN).
2) Regularidad en la frontera (inspirada —utilizando cartas locales— en el caso ft = U").
Recomendamos al lector una buena asimilaci6n de los casos ft=RNyft = RN antes de
abordar el caso general.
El desarrollo de este paragrafo sera el siguiente:
A. Caso ft = RN.
B. Caso ft = RN.
C. Caso general:
C,. Estimaciones en el interior.
C2. Estimaciones en la frontera.
El ingrediente esencial de la demostracidn es el metodo de las traslaciones B), debido a L. Ni-
renberg.
A. Caso ft = RN.
Notaci6n.—Dado h 6 RN, h # 0 se pone
1 u(x + h) - u(x)
D*" = m (T*" ~ "'• es decir (D»u)(x) = — •
(') Cuando fi no es acotado, se ha de suponer tambien que
D'alt e L*(Ci) Va, |a| « 1 (resp. |a| « m + 1).
B) Tambien llamado ticnica de los cocientes incrementales.

Regularidad de las soluciones ddbiles 183
Se toma en D8) cp = D^D^m), lo cual es posible ya que cp 6 H'(RN) (por ser u 6 H'(RN));
resulta
.Ml2 = j/
/D-»(D»u),
J J
y entonces
<5°) HD»u||2Hi
Por otra parte se tiene
E1) ||D_fcy||L2(RN, < ||Vw||l2(Rn, VtieH1
En efecto, recordemos (proposici6n IX. 3) que
||D_fcy||L2f@) ^ HVuHl^rn, Vra <= <= RN,
dedondeE1).
Combinando E0) y E1) se obtiene
y entonces
En particular
D,^ <||/1IL2 V/=l,2, ...N
0 Xj L
y entonces —— 6 H1 (gracias a la proposici6n IX.3); de donde u 6 H2.
Demostremos ahora que/ 6 H1 =» u 6 H3. Se designa por Dm una cualquiera de las deri-
vadas , 1 ^ j < N. Se sabe ya que Dm S H1 ; se trata de demostrar que Dm 6 H2. Para
ello es suficiente comprobar que
err
E3) V(Du)Vcp + (Du)cp = (D/)cp VcpeH1
(a continuaci6n se aplica la etapa anterior, que da Dm 6 H2; y de ahi u 6 H3). Sea entonces
cp 6 C"( RN). En D8) se puede sustituir cp por Dcp; resulta
VuV(Dcp) + | uDcp = |/Dcp
J
y entonces
r f f
Vu V(Dcp) + uDcp = J
J J J
V(Du)V(p+ (Du)cp =
Esto implica E3) ya que Cc" (RN) es denso en H'(RN) (corolario IX.8).
Para demostrar que / 6 Hm =» m 6 Hm + 2 es suficiente razonar por induccidn sobre m y
aplicar E3).

184 Espacios de Sobolev
B. Casoft = RN+.
Tambien se utilizan las traslaciones, pero s6lo en las direcciones tangenciales, es decir, se
elige h 6 RN~' x |0): se dice que h es paralelo a la frontera y se escribira h//T. Es esencial
observar que
u e Hj(fi) => xhu e H>(fi) si h//T;
dicho de otro modo, H[0(Q) es invariante por traslaciones tangenciales. Se elige h//T y se pone
cp = D.^DfcW) en D8); resulta
i.e.
E4)
Ahora se utiliza el
Lema IX .6.—Se verifica
HD»u||Hi
'(n), VA//T.
Demostraci6n.—Se comienza suponiendo que v 6 C^(IRN) y se repite la demostraci6n de la
proposici6n IX.3 (observese que si h//T entonces fi + th = fi para 0 < t < 1); raz6nese por
densidad cuando v 6 H'(fi).
Combinando E4) y el lema IX.6 se obtiene
E5) IID.uHhI < \\f\\L2 Vfe//r.
Sean 1 < y < N, 1 < k ^ N - 1, h = \h\ek y cp 6 Cc"(fi). Se tiene
y gracias a E5)
Pasando al limite cuando | A | — 0 resulta
E6)
Demostremos por ultimo que se verifica
E7)
V(peC"(n>.
Para ello, se vuelve a la ecuaci6n D8); esta implica la desigualdad
N-l
I,
en virtud de E6). Combinando E6) y E7) se llega a
CII/IMIMI1.2 VcpeC^fi), VI
dxj dxk
N.

Regularidad de las soluciones ddbiles 185
Por consiguiente u 6 H2(ft) (observese que existen fjk 6 L2(ft) tales que
VcpeC»(fi),
gracias al teorema de Hahn-Banach y gracias al teorema de representaci6n de Riesz-Frechet).
Demostremos finalmente que / 6 Hm(fi) =» u 6 Hm + 2(ft). Se designa por Dm una cual-
quiera de las derivadas tangenciales Dm = , 1 < j ^ N - 1; se establece el lema siguiente
ax,
y despues se concluye por inducci6n sobre m (').
Lema IX.7.—Sea u 6 H2(ft) O HJ(fi) que veriflca D8). Entonces Du 6 Hl0(U) y
E8) j*V(D«)V(p + (D«)(p = (D/)(p V(peHj(fi).
Demostraci6n.—Su unico punto delicado es demostrar que Dm 6 H^(fi) [en efecto, se elige
cp 6 C"(fi) y se sustituye cp por Dcp en D8); E8) se deduce por densidad]. Sea h = \h\eJt
1 < y < N - 1; entonces Dhu 6 H^ (ya que H^(fi) es invariante por traslaciones
tangenciales). Segiin el lema IX.6 se tiene
Entonces existe una sucesi6n hn — 0 tal que Dh u -^ g debilmente en H^ (ya que H^ es un espa-
cio de Hilbert). A fortiori Dh u — g debilmente en L2. Para cp 6 C"(fi) se tiene
f f
(Dhu)(p = uD_,,(p
y en el limite cuando hn — 0 se obtiene
f f e<?
|0(p=-lu— Vcpe Q00
Por consiguiente -^- = 36
ax,
C. Caso general
Demostremos que / 6 L2(fi) =» u 6 H2(fi) B). Para simplificar, se supone fi acotado; se
k
utiliza una partici6n de la unidad y se escribe u = J] 9,u corno en la demostraci6n del teore-
teorema IX.7. 1=0
C,. E^stimaciones en el interior
Se trata de demostrar que GqM 6 H2(fi); como 80)n 6 C"(fi), la funci6n Q^u extendida por 0
fuera de ft pertenece a H'(RN) (ver nota 4b). Se comprueba facilmente que GpH es soluci6n debil
en RN de la ecuaci6n
- A(90u) + eou = e0/- 2 veo.vu -
(') Para estimar las derivadas normales es necesario volver de nuevo a la ecuaci6n D8).
B) Para demostrar que/ G Hm(f2) => u € Hm + 2(f2) se razona por inducci6n sobre m, como en los ca-
sos A y B.

186 Espacios de Sobolev
con g 6 L2(RN). Del caso A se deduce queSpH 6 H2(RN) con
||80u||H2 s= C(\\j\\L2 + IMIhO <
ya que llwHHi ^ I/IL2 (gracias a D8)).
C2. Estimaciones en la front era
Se trata de demostrar que 9,w 6 H2(fi) para 1 < / < k* Recordemos que 8, 6 C"(U,) y
que se tiene una biyecci6n H : Q — U, tal que
HeC2(Q), J = H'eC2(O,), H(Q + ) = finU,, H(Q0)=rnU,.
Se escribes = H(y)ey = H-'(x) =
Se comprueba con facilidad que v = 8,w 6 H[0(U O U,) y que v es soluci6n debil en ft n U,
de la ecuacidn
- Av = 8,/- 8,u - 2(V8,)(Vu) - (A8,)u = g
con g 6 L2(fi O U,) y ll0llL2 ^ CII/IIL2; mas exactamente se tiene
E9)
f f
Vi;V(pdx= gtpdx V<p e Hj(fi n U,).
Jn ^ u, Jar, u,
Se transporta i^,, n U( sobre Q + ; y se pone
w(y) = i;(H(y)) para y eQ +
es decir
w(Jx) = u(x) para xeil n U,.
El lema siguiente —que es fundamental— demuestra que la ecuaci6n E9) se transforma sobre
Q+ en una ecuaci6n eliptica de segundo orden (').
Lema IX.8.—Con las notaciones anteriores, se verifica w 6 H^(Q+) y
F0)
Jq, oyk <Jy, JQ(
donde g = (g o H)| Jac H| 6 L2(Q+) y las funciones ak, 6 C'(Q+) veriflcan la condicidn de
elipticidad C6).
Demostraci6n.—Sea i|/ 6 H^(Q+); se pone (p(x) = ty(Jx) para x 6 fi O U,). Entonces
<p 6 Hi(fi O U,) y
Sv dw dJk d<p d\\i dJ,
cxj k dyk dXj dxj , dy, 8Xj
Entonces
f f „ sik si, dw ey J f „ ajk aj( aw a>)/
Jnnu, Jonu,;j,j«;^4^ Jq, m.( 5x7 BXj oyk By,
(') Con mis generalidad, la condici6n de elipticidad es estable respecto de cambios de variable.

Regularidad de las soluciones dibiles 187
segun las f6rmulas usuales del cambio de variables en las integrales. Por consiguiente, resulta
F1) f VrV«p=
U, Jq. k.l O'k Of
con
Observemos que akl 6 C'(Q+) y que se verifica la condici6n de elipticidad, ya que para todo
£6 U N se tiene
,11 2
ak£kt, = |Jac H
v.
con a > 0, puesto que los jacobianos Jac H y Jac J no son singulares.
Por otra parte, se tiene
f f
F2) 0(pdx = @oH)«|/|JacH|d>>.
JtlnU, Jq.
Combinando E9), F1) y F2) se obtiene F0), lo que termina la demostraci6n del lema IX.8.
Demostremos ahora que w 6 H2(Q+) y que llwllH2 ^ CIMIL2 ('); esto implicara, volviendo
a U O U,, que 8,w pertenece a H2(fi O U,) y entonces tambien pertenece a H2(fi) con
Como en el caso B(ft = U1), se utilizan traslaciones tangenciales; en F0) se elige
\\i = D_h(Dhw) con h//Q0 y \h\ suficientemente pequeflo para que v|/ 6 Hq(Q+) B). Se obtiene
entonces
F3> > I UfclOu —
Pero
F4) j 5D.A(DAw)<||5llL2||D.A(DAw)||L2<||5llL2||VDAw||L2
Por otro lado, se escribe
flu —b) = "kl(y + h)—Dhw(y) + (Dhakl(y)) — (y),
oyj dyk dyk
y por consiguiente, se tiene
(') En lo que sigue, C designa diferentes constantes que s61o dependen de los akl.
B) Recordemos que Supp w <= {(x1, xN); |x| < 1 - 8 y 0 < xN < 1 - 8} con 5 > 0.

188 Espacios de Sobolev
Combinando F4) y F5) se obtiene
F6) IIVD,,w||L2 s= C(|M|Hi
(observese que gradas a F0) y a la desigualdad de Poincare se tiene llwllHi
De F6) se deduce —como en el caso B— que
F7)
Jq Sykdy,
Vv|/eCc'(Q+)
(N, N).
Para concluir que w 6 H2(Q+) (y llwHH2 «= CHyHL2) falta demostrar que
F8)
Jq fyti 8yN
C||5||L2||v|/||L2 Vv|/eCt'(Q + ).
Para ello, se vuelve a la ecuaci6n F0), donde se sustituye v|/ por v|/(v|/ 6 C^(Q+)) —lo cual
— fl
es posible ya que «NN 6 C'(Q+) y «NN > a > 0. Resulta
flNN
aNN
es decir
F9)
Combinando F7) (') F9) se obtiene
/(NN) J ?y\ \PyJaNN u,l/(NN) J Syk 8y,\aNN J'
L
i'v);
Vv|/eCc'(Q+);
de donde F8).
Nota 26.—Sea fi un abierto cualquiera y sea u 6 H'(fi) tal que
I VuVcp = /cp V<peCf(O).
Supongamos que /6 Hm(fi). Entonces 8w 6 Hm + 2(fi) para toda 9 S C"(fi): se dice que
w 6 HJ3,.+ 2(n) [para demostrarlo, es suficiente repetir las estimaciones a priori del caso Cx y
razonar por induccidn sobre m\. En particular, si/ 6 C°°(ft) entonces u € C°°(ft) B).
La misma conclusidn es valida para una soluci6n muy dibil, es decir para toda funcidn
u 6 L2(fi) que verifique
- I uAcp = /<p V<p6Cf(O)
(la demostraci6n es un poco mis delicada; ver por ejemplo Agmon [1]). Insistamos sobre el ca-
(') Se utiliza F7) con
en lugar de i|».
B) Pero en general u £ C(fl) (incluso si £2 es de clase C°°), pues no se ha fijado la condici6n de contor-

El principio del Mdximo 189
racter local de los teoremas de regularidad. Sea / 6 L2(fi) y sea u 6 H^(fi) la unica soluci6n
debil del problema
f C C
Vu V<p + u<p = /<p V<p 6 Hi(
Jn Jn Jn
Fijemos u C C Q; entonces M|u depende de los valores de/sobre todo U —y no solamentede
los valores de/sobre w ('). Por el contrario, la regularidad de u u depende unicamente de la re-
regularidad de/|u; por ejemplo/ 6 C°°(w) =» u € C°°(w), incluso cuando/es muy irregular fue-
ra de w. [Se dice que Aes hipoeliptico].
Nota 27.—Los resultados de regularidad son, en cierto sentido, un poco sorprendentes. En
efecto, una hip6tesis sobre Aw, es decir sobre la suma de las derivadas £ —-.implica una con-
d2u '
clusi6n de igual naturaleza sobre todas las derivadas consideradas individualmente.
dx, dXj
IX.7 El principio del Mdximo
El Principio del Maximo admite numerosas formulaciones; presentemos algunas de ellas.
Sea U un abierto cualquiera de UN.
• Teorema IX.27 (Principio del Maximo para el problema de Dirichlet).— Sean
/eL2(fi) y «eH'(fi)
tales que
G0)
Entonces
r C C
V«V(p+ i«p = /<p V<peHj(O).
Jn Jn Jn
Min {Inf u, Inf/} ^ u(x) ^ Max {Sup u, Sup/} para xeQ.
[Aqui y en todo lo que sigue Sup = Sup ess e Inf = Inf ess].
Demostraci6n.—Se utiliza el metodo de truncamientos de Stampacchia. Se fija una funci6n
G 6 C'(R) tal que
(i) |G'(s)| ^ M VseR
(ii) G es estrictamente creciente en ]0, + <x[,
(iii) G(s) = 0; Vs ^ 0.
(') Por ejemplo, si/ ^ 0 en Q,f # 0, y/=0enu, entonces siempre se verifica que u > 0 en u (ver
el principio del maximo fuerte en los comentarios sobre este capitiilo).
B) Si £2 es de clase C1, se puede suprimir la hip6tesis u € C(U) utilizando la teoria de trazas, que per-
mite dar un significado a u|P (ver los comentarios sobre este capitulo); igualmente, si u € H^(£2), se puede
suprimir la hip6tesis u E C(£2).

190 Espartos de Sobolev
Sepone
K = Max {Sup m, Sup/} supuesto < + oo.
r n
y v = G(w - K).
Se distinguen dos casos:
a) Caso \Q\ < oo.
Entonces v 6 H'(fi) (por la proposici6n IX.5 aplicada a la funci6n
t>—>G(t - K) - G( - K)). Por otra parte, v 6 Hj(fi) ya que v 6 C(fi) y v = 0 sobre T (ver
el teorema IX. 17). Se introduce entonces v en G0) y se continiia como en la demostraci6n del
teorema VIII. 17.
b) Caso |B1 = oo.
Se tiene K > 0 (pues/(x) ^ K c.t.p. en U y/ 6 L2(fi) implican K > 0). Se fija K' > K.
Entonces v = G(w - K') 6 H'(fi) (proposici6n IX.5 aplicada a la funci6n n—>G(f - K')).
Ademas y 6 C(fi) y u = 0 sobre F; entonces v E Ho(fi). Introduciendo t> en G0) se tiene
G1) |Vu|2G'(u - K) + uG(u - K') = fG(u - K').
Jn Jo J
Por otra parte G(w - K') 6 L'(fi) ya que
0 s= G(u - K1)
y en el conjunto [w > K'] = [x 6 fi; m(jc) > K') se tiene
,,2
< 00.
Se deduce entonces de G1) que
f f
(u - K')G(u - K) < (/ - K')G(u - K') ^ 0.
Jn Jn
Por consiguiente u ^ K' c.t.p. en fi y entonces w ^ K c.t.p. en fi (pues K' > K se fij6 arbi-
trariamente).
• Corolario IX.28.—Sean f 6 L2(fi) y u 6 H'(fi) O C(fi) B) 9w« vertflcan G0).
G2^ (« > 0 sobre T)y (/ > 0 en fi) => („ > 0 en fi)
G3) ||«||L,(n) ^ Max [|W|L.,ri, 11/IIlmq.J-
£n particular,
G4) 5//= Owfi entonces IMIlmoi ^ IWIk-in;
G5) 5/ u = 0 *o6r« T entonces ||«||L.(o) < li/lk-mr
NOTA 28.—Si fi es acotado y si w es una soluci6n clasica de la ecuaci6n
G6) - Au + u =/ en fi
(') PuesG(u - K') - G( - K') < M|u| y G( - K') = 0 porque - K' < 0.
B) La hip6tesis u € C(fi) es inutil en algunos casos; ver la nota al pie del teorema IX.27.

a principio del Mtkximo 191
entonces se puede dar otra demostraci6n del teorema IX.27. En efecto, sea x0 6 fi tal que
u(x,) = Max u;
a
• Si jc0 6 F, entonces u(x^ ^ Sup u.
32
• Si x0 6 fi, entonces Vu(x0) = 0, ——(xJ ^ 0 para 1 ^ i ^ N, y entonces Aw(x.) ^ 0.
dxf
Por lo tanto, utilizando la ecuaci6n G6) se tiene u(x0) = f(x0) + Au(x0) ^ f(x0).
Este metodo presenta la ventaja de que se puede aplicar a las ecuaciones elipticas generales de
segundo orden:
£ £ du
Observese que si x0 6 fi entonces
en efecto, con un cambio de base en x0, el problema se puede reducir al caso en que la matriz
a:j{x0) es diagonal en x0. La conclusidn del teorema IX.27 tambien es valida para las soluciones
debiles de G7), pero la demostraci6n es mas delicada; ver Gilbarg-Trudinger [1].
• Proposici6n l\.29.—Supongamos que las funciones at] 6 L"(fi) veriflcan las conditions de
elipticidad C6) y que «„ «0 6 L" con a0 > 0 en Q. Sean f 6 L2(U) y u 6 H\U) O C(fi) (')
tales que
_. f du 5(p f _ du f f
Jn i.j ^-^i ^j Jn ' ^*i Jn Jn
G9) (u > OsobreT) y (/> 0 en fi) => (» > 0 «n fi).
Supongamos que a0 = 0 >> ^m« fi « acotado. Entonces
(80) (/ > 0 en fi) => (u > Inf u en Q)
r
(81) (/ = 0 «n fi) =* (Inf u ^ u s; Sup u «n fi).
r r
Demostraci6n.—Demostremos este resultado cuando a, = 0, 1 ^ i ^ N; el caso general es
mis delicado (ver Gilbarg-Trudinger [1], Theorem 8.1).
Establecer G9) es lo mismo que demostrar que
G9') (« «S 0 sobre T) y (/ s= 0 en fi) => (u ^ 0 en fi).
Se elige cp = G(w) en G8) con G como en la demostraci6n del teorema IX.27; se obtiene en-
entonces
f (<u du f
XauT-t-G» s: 0 y entonces
Jn i.j (xi cxi Jn
f
» s: 0 y entonces |Vu|2G'(u) s= 0.
J
(') La hip6tesis u € C(f2) es inutil en algunos casos; ver la nota al pie del teorema IX.27.

192 Espacios de Sobolev
Jo
Pongamos H(r) = [G'(s)]l/2 ds, de forma que
H(u) e H0(fi) y |VH(u)|2 = |Vu|2G'(u) = 0.
De donde resulta que H(w) = 0 en fi (') y entonces u ^ 0 en fi.
Demostremos ahora (80) en la forma siguiente
(80') (/^0 en Q) => (u ^ Sup u en fi).
r
Pongamos K = Sup u; entonces (w - K) verifica G8) ya que «0 = 0 y (w - K) 6 H'(fi) por-
r
que fi es acotado. Aplicando G9') se obtiene u - K < 0 en fi, es decir (80'). Por ultimo (81)
resulta de (80) y (80').
Proposici6n IX.30 (Principio del Maximo para el problema de Neumann).—Sean f 6 L2(Q) y
u 6 H'(fi) tales que
VU V(P + «(?=.,
Jn Jo Jo
Entonces se verifica
Inf / s: u(x) < Sup / c.t. xeQ.
a a
Demostraci6n.—Es analoga a la demostraci6n del teorema IX.27.
IX.8. Funciones propias y descomposici6n espectral
En todo este paragrafo se supone que fl es un abierto acotado.
• Teorema IX.31.— Existe una base Hilbertiana (en)n 3 , de L2(U) y existe una sucesidn (Xn)n > ,
de numeros reales con \n > 0 y \n — oo tales que
(82) £,6HS(Q)nC'(fi),
(83) ~ Ae" = X"e" e" °'
Se dice que los (Xn) son los valores propios de - A (con la condicidn de Dirichlet) y que las
(«„) son las funciones propias asociadas.
Demostraci6n.—Dada / 6 L2(fi), se designa por u = If a la unica soluci6n u 6 H'0(U) del
problema
(84) I Vu V<p = /<p V<p e H0(fi).
(') Obs^rvese que si/ E W^"(n) con 1 < p < » y V/ = 0 en fl, entonces/ = 0 en «. En efecto, sea
/la extension de/por 0 fuera de £2. Entonces/e W'-P(IRN) y v/= Vf = 0 (proposici6n IX.18). Por con-
siguiente/es constante en RN (nota 8) y como/ E L^R1"),/ = 0.

Comentarios sobre el capitulo IX 193
Se considera el operador T como un operador de L2(fi) en L2(fi). T es un operador compacto
autoadjunto (repitase la demostraci6n del teorema VIII.20 y utilicese que la inyecci6n H^ C L2
es compacts). Por otra parte N(T) = |0) y (J/J) > 0 vf 6 L2. Se deduce (en virtud del teo-
teorema VI. 11) que L2 admite una base Hilbertiana (en) formada por vectores propios de T asocia-
dos a valores propios nn con \in > 0 y \in — 0. Se tiene entonces en 6 H^ y
f 1 f
Ve. V<p = — eB <p V<p 6 HJ.
Jn V» Jo
Dicho de otro modo, en es una soluci6n debil de (83) con Xn = \i~'. Segiin los resultados de re-
gularidad del § IX.6 (ver nota 26) se sabe que en 6 H2(u) para todo u C c fi; por tanto
en 6 H4(u) para todo w C c Q, en 6 H6(w) para todo u c c fi, etc. Entonces ene fl Hm(w)
m> 1
para todo uCCflypor consiguiente en 6 C"(u) para todo w c C fi; es decir, «n 6 C"(fi).
Nota 29.—En las hip6tesis del teorema IX.31 la sucesi6n —!_ es una base Hilbertiana de
f / e \
Hg(Q) para el producto escalar Vu Vi> [resp. la sucesi6n I — " I es una base Hilbertiana
[ C " / e, \
de Hq(U) para el producto escalar Vu Vf + uv\. Es claro, en efecto, que la sucesi6n I —-=
Ja Ja \/K'
es ortonormal en H^ (utilizar (83)). Queda comprobar que el espacio vectorial generado por las
(en) es denso en Hq. Sea entonces/ 6 H^ tal que (f, en)H' = 0 V« y demostremos que/ = 0.
Por (83) se tiene Xa \ej = 0 Vn y por tanto/ = 0 (ya que («„) es una base hilbertiana de L2).
Nota 30.—En las hip6tesis del teorema IX.31, se demuestra que en 6 L"(fi) (ver [BT]). Por
otra parte, si ft es de clase C™, entonces en 6 C°°(ft); esto resulta ficilmente del teorema
IX.25.
Nota 31.—Sean av 6 L™(fi) funciones que verifican la condicidn de elipticidad C6) y sea
«0 6 L"(fl). Entonces existe una base Hilbertiana («„) de L2(fi) y existe una sucesi6n (Xn) de nii-
meros reales con Xn — + oo tales que en 6 Ho(fi) y
Jom cx> cxj Jn Jn
Comentarios sobre el capitulo IX
Este capitulo constituye una introducci6n a la teoria de espacios de Sobolev y a la teoria de
ecuaciones elipticas. El lector que desee profundizar en estos amplios temas puede consultar
una abundante bibliografia; citemos entre otros, Agmon [1], Bers-John-Schechter [1], Lions
[1], Lions-Magenes [1] Friedman [2], Miranda [1], Folland"[l], Treves [4], Adams [1], Gilbarg-
Trudinger [1], Stampacchia [1], Courant-Hilbert [1] (volumen 2), Necas [1], Mizohata [1],

194 Espacios de Sobolev
Ladyzhenskaya-Uraltseva [1], Morrey [1], Protter-Weinberger [1], Nirenberg [1]... y las refe-
rencias de estos textos.
1) En el capitulo IX hemos supuesto con frecuencia que ft es de clase C1, lo que excluye, por
ejemplo, dominios con «esquinas». Esta hip6tesis se puede debilitar segun los casos, y sustituir-
se por condiciones mis o menos «ex6ticas»: ft es de clase C a trozos, ft es lipschitziano, ft
cumple la propiedad del cono, ft cumple la propiedad del segmento, etc.; ver por ejemplo
Adams [1], Agmon [1], NeCas [1].
2) El teorema IX.7 (existencia de un operador de prolongaci6n) se extiende a los espacios
Wm-p(Q) (ft de clase C") mediante una generalizaci6n adecuada de la tecnica de prolongaci6n
por reflexi6n; ver por ejemplo Adams [1], Necas [1], Lions-Magenes [1], Lions [1], Friedman
[1] y [BT].
3) He aqui algunas desigualdades utiles que afectan a las normas de Sobolev.
• A) Desigualdad de Poincare-Wirtinger.—Sea ft un abierto conexo de clase C y sea
l^p ^ oo. Entonces existe una constante C tal que
\\u - u\\tr ^ C\\Vu\\Lr VueW'"(fi) con u = -
De donde se deduce, gracias a la desigualdad de Sobolev, que si p > N,
||u - u\\Lr' s= C||Vu||L/, VueWL'(fl).
Ver, por ejemplo [BT].
• B) Desigualdad de Hardy.Sea ft un abierto acotado de clase C y sea 1 < p < oo. Se pone
d(x) - dist(x, F). Entonces existe una constante C tal que
Ihll ^ C||Vu||LP
u e W "(Q) y -e L"(fi) U(«e Wi"(fi))
Inversamente,
Ver Lions-Magenes [1] y [BT] para el casop = 2.
• C) Desigualdades de interpolaci6n de Gagliardo-Nirenberg.—Citemos algunos ejemplos que
aparecen frecuentemente en las aplicaciones. Para el caso general ver Nirenberg [1] o Friedman
[2] (algunas desigualdades se demuestran en [BT]).
Sea ft C RN un abierto acotado regular (para fijar ideas).
Ejemplo 1.—Sea u 6 L"(ft) O W2f(ft) conl^p^ooyl^r^oo. Entonces u 6 W'"(ft)
donde q es la media arm6nica de p y r, es decir - = -(- + -), y
q 2\p r)
||Du||L, < C||u||w2.r||u||LP

Comentarios sobre el capitulo IX 195
Casos particulares: a) p = <x y entonces q - 2r. Se verifica
||||H|||
||Du||L2r <
Esta desigualdad permite, entre otras cosas, demostrar que W2'r O L™ es una algebra, es decir
u, v e W2-r nL*» uv e W2-r n L*
[esta propiedad permanece valida para W'"'r O L" con m entero > 2].
b) p = q = r. Se verifica
1,2 1/2
2HIll
De donde, en particular, se deduce
||Du||L, « e||D2h||l, + C£||u||L, Ve > 0.
Ejemplo 2.—Sean 1 ^ q ^ p < <x. Entonces
(85) IImIIl/" < C||m||U"||m|Iw«-'v VueWlfv(fi) con a = 1 - -•
Sefialemos el caso particular, que se utiliza frecuentemente,
JV = 2, P = 4, ? = 2 y a = -.
2
es decir
||u||L4 < C||u||l22||u||hi VueH'(fi)
A prop6sito, observese que tambien se tiene la desigualdad de interpolaci6n usual (nota 2 del
capitulo IV)
IMIl'1 ^ IIuIIl« IIuIIlx con a — \ —
p
pero esta no implica (85) ya que Wl/V jf L".
Ejemplo 3.—Sean 1 < q ^ p ^ ooyr>N. Entonces
1 1
\\u\\Lr ^ C||u||LD0||u||w1-r VueW'-r(fi) con a = - ■
^ + N ~~ r
• 4) Algunas veces es util la siguiente propiedad. Sea u 6 W'"(fi) con 1 ^ p ^ oo y fi un
abierto cualquiera, Entonces Vw = 0 c.t.p. en el conjunto pr 6 ft; m(jc) = k) donde k es una
constante arbitraria; ver Stampacchia [1] o [BT].
* 5) Las funciones de Wlp(fi) son diferenciables en el sentido usual c.t.p. en fi cuandop > N.
Mis exactamente, sea u 6 W'"(fi) con p > N. Entonces existe A C Side medida cero tal que
u(x + *>)- u(x) - h.Vujx)
hm = 0 Vx e fi\A.

196 Espartos de Sobolev
Esta propiedad no es cierta cuando u 6 WliP(fl) yp ^ N(N > 1). Para esta cuesti6n, consiil-
tese Stein [1] (Capitulo VIII).
6) Espacios de Sobolev fraccionarios.—Se puede definir una familia de espacios intermedios
entre L"(fi) y W'"(fi). Mas exactamente, siO<*< 1 (j 6 R) y si 1 « p < <x, se pone
\ \u(x) - u(y)\ }
= <u e L"(fi); -±- -^- e L"(fi x fi)\,
1 \x - yr~P J
dotado de la norma natural. Se nota Hs(ft) = Ws'2(ft). Para el estudio de estos espacios, ver
Adams [1], Lions-Magenes [1], Malliavin [1]. Retengase que los espacios Ws>'J(ft) tambien se
pueden introducir mediante interpolaci6n entre W1^ y YP, o tambien con la transformada de
Fourier si p = 2 y ft = RN.
Por ultimo se define Ws>'J(ft) para * real, no entero, * > 1 como sigue. Se escribe
s = m + a con m - parte entera de s, y se pone
Wsp(fi) = {ueWm"(fi); D'uEW"(fl) Va con |<x| = m}.
Por medio de cartas locales, tambien se define WS"(D donde T es una variedad regular (por
ejemplo la frontera de un abierto regular). Estos espacios desempefian un papel importante en
la teoria de trazas (ver comentario 7).
• 7) Teoria de trazas.—Sea 1 < p < <x. Comencemos con un lema fundamental:
Lema IX.9.— Sea ft = M™. Existe una constante C tal que
\u(x\ 0)|p dx' ) s: C||ii||wi.P@) VueCc'(RN).
Demostraci6n.—Sea G(f) = |f|p-'fyseaw6 C^(rn). Se verifica
f+x P f+x 8u
G(u(v, 0)) =- , G(u(.x', xN))dxN = - G'(u(x', xN)) (x', xN)dxN.
Jo rxN Jo CxN
Entonces
•I
u(\', xN
IIP-'
(.x', xN)
d.xN
\ \
u(x',.xN)|"dxN
du
dxN
(x', xN)
dxNl
y la conclusi6n se sigue por integraci6n en x' 6 UN~
Del lema IX.9 se deduce que la aplicaci6n u >-> w,r con r = 8U = RN-' x |0) definida de
C,r N) en Lp(r), se extiende por densidad a un operador lineal y continuo de W'-'J(fi) en L/(r).
Este operador es, por definici6n, la traza de u sobre T; tambien se designa por M)r.
Observese que hay una diferencia fundamental entre L/(R^) y W'^dR^); |as funciones de
I/(R+) no tienen traza sobre T.
Ficilmente se imagina c6mo definir —por medio de cartas locales— la traza sobre T = dU de
una funci6n u 6 WliP(n) cuando fi es una abierto regular de RN (por ejemplo, ft de clase C1

Comentarios sobre el capitulo IX 197
con r acotada). En ese caso W|r 6 LP(F) (para la medida superficial da). Las propiedades mas
importantes de la traza son las siguientes:
i) Si u 6 W'"(fi), entonces w|r 6 W
II ^irllw' ~''^-^(r) ^ ^11 ^llw'-P(n)
Ademas, el operador traza u i-> M)r es sobreyectivo de W'^fi) sobre
ii) El nucleo del operador traza es W^p(ft), es decir
W^fi) = {ue W'-^fi); u,r = 0}.
iii) Se verifica la f6rmula de Green:
f du f dv f - -
Jn^. Jn ^, Jr
donde «*es el vector normal unitaria exterior a F. Observese que la integral de superficie tiene
sentido ya que u, v 6 L2(F).
De igual forma se puede hablar de — para una funci6n u 6 W^ft): se pone — =(Vw,r);n
on on ''
-que tiene sentido ya que Vw|r 6 L"(F)N - y y 6 L"(F) (de hecho -^ 6 W "
Se verifica la f6rmula de Green
- Aut= VuVt- — vdo
iv) El operador un »|r,- es lineal, continuo y sobreyectivo de W^ft) en
W2-'""(r) x W'-'^r). Para estas cuestiones, ver Lions-Magenes [1] para el caso p = 2 (y
las referencias citadas en Lions-Magenes [1] para el caso p # 2).
8) Operadores de orden 2m y sistemas elipticos.—Los resultados de existencia y regularidad
demostrados en el capitulo IX se extienden a los operadores elipticos de orden 2/m y a los siste-
sistemas elipticos (')■ Uno de los ingredientes esenciales es la desigualdad de Carding. Para estas
cuestiones, ver Agmon [1], Necas [1], Lions-Magenes [1], Agmon-Douglis-Nirenberg [1]. Los
operadores de orden 2m y ciertos sistemas elipticos juegan un papel importante en mecanica y
en fisica. Sefialaremos en particular el operador biarm6nico A2 (teoria de placas), el sistema de
elasticidad y el sistema de Stokes (mecanica de fluidos); ver por ejemplo Ciarlet[l], Duvaut-
Lions [1], Raviart-Thomas [1], Temam, Necas-Hlavacek [1], Gurtin [1].
9) Regularidad en los espacios V y COa.—Los teoremas de regularidad demostrados para
p = 2 en el capitulo IX se extienden al caso p *= 2:
• Teorema IX.32 (Agmon-Douglis-Nirenberg [X\).—Supongamos que ft es un abierto de close
C2 con T acotada. Sea 1 < p < <x. Entonces para toda f 6 W(Q), existe solucidn unica
u 6 W2^(fi) O Wj"(fi) de la ecuacidn
(87) - Am + u =/ en Q.
(') Pero no el principio del mdximo, salvo casos excepcionales.

198 Espacios de Sobolev
Ademds, si Q es de close Cm + 2ysif€ W"-"(Q) (m entero > 1), entonces
[Resultado analogo cuando (87) se sustituye por una ecuaci6n eliptica de segundo orden con
coeficientes regulares].
La demostracidn del teorema IX.32 es considerablemente mas complicada que la del caso
p = 2 (teorema IX.25). Esencialmente, se basa en dos ideas:
a) Una fdrmula de representaci6n explicita de u por medio de la solucidn fundamental. Por
Q
ejemplo, si ft = R3, entonces la soluci6n de (87) viene dada por u =G */donde G(x) = — e~w
\x\
(ver [BT]). De modo que formalmente -— = -— */; «desgraciadamente»
OX/ dXj ox, ox, oXj
no pertenece a L'(R3) ('), a causa de la singularidad en x = 0, y no se pueden utilizar las esti-
maciones elementales de los productos de convoluci6n (teorema IV. 15).
b) Para superar esta dificultad se utiliza la teoria de integrates singulares en V debida a
Calderon-Zygmund (ver por ejemplo Stein [1] y Bers-John-Schechter [1]).
Retengase que la conclusi6n del teorema IX.32 es falsa parap = 1 y p = <x .
Tambien se conocen resultados de regularidad en los espacios de funciones Holderianas f2):
• Teorema IX.33 (Schauder).—Supongamos que Q es acotado y de close C2-a con 0 < a < 1.
Entonces para todaf 6 C°'a(fi) existe u 6 C2>a(fi) solucidn unica del problema
(88) f- Air+ « =/ en Q
[ u = 0 sobre r.
Ademds, siU es de close Cm + 2a (m entero > \)y sif 6 Cma(?2), entonces
»eC*t2j(fi) y ||if||cM + 2»
[Resultado analogo cuando (88) se sustituye por una ecuacidn eliptica de segundo orden con
coeficiente regulares].
La demostraci6n del teorema IX.33 se basa —como la del teorema IX.32— en una repre-
sentacidn explicita de u y en la teoria de integrates singulares en los espacios C0'" debida a Hol-
Holder, Korn, Lichtenstein, Giraud. Para este tema, ver Agmon-Douglis-Nirenberg [1], Bers-
John-Schechter [1], Gilbarg-Trudinger [1] y tambien el enfoque elemental desarrollado recien-
temente por A. Brandt [1] basado unicamente en el principio del maximo).
Sea U un abierto acotado y regular y sea / 6 C(fi). Segun el teorema IX.32, existe
u 6 W2"(fi) O Wi"(fi) (para todo 1 < p < <x) soluci6n unica de (87). En particular
u 6 C'•"($}) para todo 0 < a < 1 (gracias al teorema de Morrey (teorema IX. 12)). En gene-
general, u no pertenece a C2, ni siquiera a W2<°°. Esto explica por que se evita a menudo trabajar en
los espacios L'(fi), L"(fi) y C(fi), espacios para los cuales no se tienen resultados 6ptimos de re-
regularidad.
(') jPero casi!
B) Recordemos que
Sup
up ^^
v * \
cm '(") = i

Comentarios sobre el capltulo IX 199
Los teoremas IX.32 y IX.33 se extienden a los operadores elipticos de orden 2m y a los sis-
temas elipticos; ver Agmon-Douglis-Nirenberg [1]. Sefialemos por ultimo, y en otra direcci6n,
que las ecuaciones elipticas de segundo orden con coeficientes discontinues son objeto de nume-
rosos trabajos. Citemos, por ejemplo, el resultado siguiente:
* Teorema IX.34 (De Giorgi-Stampacchia).—Sea Q C RN un abierto acotado regular. Supon-
gamos que las funciones atJ 6 L"(ft) veriflcan la condicidn de elipticidad C6). Sea
fe L2(fi) O V(Q)conp > —yseau 6 H'0(Q) tal que
f „ du da> C
L "tJ - =
■la ,., Sx, dx. Jn
Entonces u 6 COa(fi) para cierto 0 < a < 1 (que depende de ft, av, p).
Para estas cuestiones, ver Stampacchia [1], Gilbarg-Trudinger [1] Ladyzhenskaya-Uralt-
seva [1].
10) Algunos inconvenientes del metodo variacional, y c6mo remediarlos
El metodo variacional permite establecer con facilidad la existencia de una soluci6n debil.
No siempre es aplicable, pero puede completarse. Indiquemos dos ejemplos.
Sea ft C RN un abierto acotado regular.
a) Metodo de dualidad (o transposici6n).—Sea/ 6 L'(fi) —o incluso sea/una medida (de Ra-
Radon) sobre ft— e intentemos resolver el problema
(89) j-Au + u=/ en fi
u = 0 sobre T.
I
Como N > 1, la forma lineal cp i—> /ip no esta definida para cp 6 H^(fi) y por consiguiente
el metodo variacional es inoperante. Sin embargo, se puede utilizar la tecnica siguiente: Se de-
signa por T : L2(fi) — L2(fi) el operador/i—►« (donde u es la soluci6n de (89), que existe para
fe L2(fi)). Se sabe que T es autoadjunto. Por otra parte (teorema IX.32) T : L"(fi) - W2"(fi)
para 2 < p < oo y gracias a los Teoremas de Sobolev y Morrey, T : L"(fi) — C(fi) si p > —.
Por dualidad se deduce que
T* : M(fi) = C(n)' -► l/lfi) si p > -•
Pero como T es autoadjunto en L2, T* es una extensi6n de T; asi pues, se puede considerar
u = T*/ como una soluci6n generalizada de (89). De hecho, si / 6 L'(fi), entonces
N
u = T*/ 6 L«(fi) para todo q < ; u es la unica soluci6n (muy) debil de (89) en el si-
N — 2
guiente sentido:
- uAcp + u<p = /<p V(peC2(fi), cp = 0 sobre T.
Jn Jo Jn
En la misma linea, se puede estudiar (89) para/dada en H~m(fi); ver Lions-Magenes [1].

200 Espacios de Sobolev
b) Metodo de densidad.—Sea g 6 C(F) e intentemos resolver el problema
- An + u = 0 en ft
u - g sobre F
En general, si g1 6 C(F), no existe ninguna funci6n g 6 H'(ft) tal que g r = g (vease el co-
mentario 7 y observese que C(F) $ H1/2(F)). Asi pues, queda excluida la busqueda de una so-
lucidn de (90) en H'(ft): el metodo variacional es inoperante. Sin embargo, se tiene el
• Teorema IX.35.— Existe una unica u 6 C(ft) O C"(ft) solucidn de (90).
Demostraci6n.—Fijemos g 6 CC(RN) tal que g,r = g; g existe en virtud del teorema de
Tietze-Urysohn (ver Dieudonne [1], L. Schwartz [2]). Sea (gn) una sucesi6n en C" (RN) tal que
<jn — g uniformemente en RN. Pongamos gn = g^r. Aplicando el metodo variacional y los re-
sultados de regularidad, se ve que existe un E C2(ft) solucidn clasica del problema
' - Aun + un = 0 en ft
un = gn sobre F
Por el principio del maximo (corolario IX.28) se tiene
Por consiguiente («n) es de Cauchy en C(ft) y un — u en C(ft). Es claro que se verifica
u( - Acp + cp) = 0 Vcp e Q* (ft)
I
y por lo tanto u 6 C"(fi) (ver nota 26). Entonces u 6 C(fi) fi C"(fi) verifica (90). La unici-
dad de la soluci6n de (90) resulta del principio del maximo (ver nota 28).
* Nota 32.—En el teorema IX.35 es indispensable suponer que U es bastante regular. Cuan-
do ft tiene una frontera «patol6gica» se desemboca en cuestiones de la teoria del potencial
(puntos regulares, criterio de Wiener, etc.).
Otro planteamiento que resuelve (90) es el metodo de Perron, clasico en teoria del potencial.
Se pone.
m(.x) = Sup 'i-(.x); r e C(fi) n C2(fi), - Av + v «: 0 en fi y i -^ g sobre FJ
y se demuestra que u verifica (90).
Una funci6n r tal que — Av + v < 0 en ft se dice sub-arm6nica; si ademas i ^ g sobre F
se dice que v es una sub-soluci6n de (90).
11) Principio del Maximo, fuerte.—La conclusidn de la proposicidn IX.29 se puede precisar
cuando u es una soluci6n clasica. Mas exactamente, sea ft un abierto conexo, acotado, regular.
Sean «y 6 C,(ft) que verifican la condici6n de elipticidad C6), a,, a0 6 C(ft) con a0 > 0 en fi.
Se verifica el
Teorema IX.36 (Hopf).— Sea u 6 C(ft) O C2(ft) que verifica
(9D -l

Comentarios sobre el capltulo IX 201
Supongamos que f > 0 en ft. Si existe x0 6 ft tal que u(x^> = Min u y si u(x0) ^ 0 ('), enton-
a
ces u es constante en ft (y ademds f = 0 en ft).
Para la demostraci6n, ver Bers-John-Schechter [1], Gilbarg-Trudinger [1] o Protter-
Weinberger[l].
• Corolario IX.37.— Sea u 6 C(ft) O C2(ft) que verifica (91) con f ^ 0 en ft. Supongamos
que u > 0 sobre F. Entonces
• o bien w > 0 en ft.
• o bien w = 0 en ft.
Para otros resultados ligados al principio del maximo (desigualdad de Harnack, etc.) ver
Stampacchia [1], Gilbarg-Trudinger [1], Potter-Weinberger [1], Sperb [1].
12) Operador de Laplace-Beltrami.—Los operadores elipticos definidos sobre variedades Rie-
mannianas (con borde o sin borde) y en particular el operador de Laplace-Beltrami, aparecen
en geometria diferencial y en fisica; ver por ejemplo Choquet-De Witt-Dillard [1].
13) Propiedades espectrales.—Los valores propios y las funciones propias de los operadores
elipticos de segundo orden gozan de numerosas propiedades notables. Citemos algunas. Sea
ft C IRN un abierto conexo, acotado y regular. Sean av 6 C'(ft) que verifican la condici6n de
elipticidad C6) y a0 6 C(ft). Sea A el operador
v d ( du
con condici6n de Dirichlet homogenea (« = 0 sobre F). Se designa por (Xn) la sucesi6n de valo-
valores propios de A ordenada en orden creciente, con Xn — <x cuando n — <x. Entonces el primer
valor propio X, tiene multiplicidad 1 (se dice que X, es un valor propio simple) B) y se puede
elegir la funci6n propia asociada e, tal que e, > 0 en ft; ver el teorema de Krein-Rutman en los
comentarios sobre el capitulo VI. Por otra parte, se demuestra que Xn ~ cn2/N cuando n — <x
con c > 0; ver Agmon [1].
Las relaciones existentes entre las propiedades geometricas C) de ft y el espectro de A son
objeto de intensas investigaciones; ver Kac[l], Marcel Berger[l], Osserman [1], I.M. Singer[l].
El objetivo es «recuperar» el maximo de informaciones sobre ft a partir del conocimiento del
espectro (Xn).
Un problema abierto sorprendente es el siguiente. Sean ftj y ft2 dos dominios acotados de
R2; se supone que los valores propios del operador - A (con condici6n de Dirichlet) son los
mismos para ft, y ft2. <,Son isometricos ft, y ft2? Este problema ha sido apodado: Can one hear
the shape of a drum? (<,Se puede oir la forma de un tambor?) D). Se sabe que la respuesta es
afirmativa si ft, es un disco.
Otra cuesti6n importante es la siguiente. Consideremos el operador A« = - A« + aou ( +
condiciones de contorno). iQue propiedades de a0 se pueden «recuperar» a partir del conoci-
conocimiento del espectro de A?
(') La hip6tesis u(x0) < 0 es iniitil si a0 = 0.
B) En dimensi6n N S 2, los otros valores propios pueden tener multiplicidad > 1.
C) Particularmente, cuando £2 es una variedad Riemanniana sin borde y A es el operador de Laplace-
Beltrami.
D) Pues los armonicos de la vibraci6n de una membrana ft fijada a su borde r son las funciones
en(x) sen VXnf donde (Xn, en) son los valores propios y funciones propias de - A con condici6nde Dirichlet.

202 Espacios de Sobolev
14) Problemas elipticos degenerados.—Se trata, de resolver problemas de la forma
- v ILf !JL\ v (U
•■i' xj\ ixi) i ' xj
+ condiciones de contorno sobre F o sobre una parte de F.
donde las funciones at] no verifican la condici6n de elipticidad C6) sino solamente
C6') Y.">Ax)Z>Aj > 0 Vxefi, V^elRN.
Para este amplio tema, consultar por ejemplo los trabajos de Kohn-Nirenberg [1], Baouendi-
Goulaouic [1], OJeinik-Radkevitch [1].
15) Problemas elipticos no lineales.—Inmenso campo de investigaciones, motivadas por nume-
rosos problemas de geometria, mecanica, fisica, control 6ptimo, teoria de probabilidades, etc.
Ha conocido desarrollos espectaculares desde los primeros trabajos de Leray y Schauder al co-
mienzo de los afios treinta. Distingamos algunos grupos:
a) Los problemas semi-lineales.—Se trata por ejemplo, de resolver problemas de la forma
'- Au =/(x, u) en fi
(92) { u = 0 sobre r
siendo/fo «) una funci6n dada.
Este grupo incluye, entre otros, los problemas de bifurcaci6n, donde se estudia la estructura
del conjunto de soluciones (X, u) del problema
(<)V) (-Au=fk(x,u) en fi
1 u = 0 sobre r
siendo X un parametro variable.
b) Los problemas cuasi-lineales.—Se trata, de resolver problemas de la forma
(93)
u = 0 sobre
donde las funciones a,pc, u, p) son elipticas, pero ocasionalmente degeneradas; se tiene por
ejemplo
con a(«, p) > 0 V« 6 U , vp 6 RN, pero a(«, p) no esta minorado uniformemente por una
constante a > 0. Asi, la ecuacidn de superficies minimas se escribe en la forma (93) con
a,j = 5y(l + |V«|2)/2. Con mis generalidad se plantean problemas elipticos de la forma
(94) F(*. ", Du, D2u) = 0

Comentarios sobre el capitulo IX 203
donde la matriz (x, u, p, q) es eliptica (ocasionalmente degenerada). Por ejemplo, en este
grupo se encuentra la ecuaci6n de Monge-Ampere.
c) Los problemas de frontera libre.—Se trata de resolver una ecuacidn eliptica lineal en un
abierto ft que no viene dado a priori. El hecho de que ft sea desconocido suele estar «compen-
sado» por el conocimiento de dos condiciones de contorno sobre F: por ejemplo Dirichlet y
Neumann. El problema consiste en encontrar simultaneamente un abierto ft y una funci6n u ta-
tales que...
a) En cuanto a los problemas (92) o (92') se dispone de numerosas tecnicas:
• Metodo de monotonia, ver Browder [1] y Lions [3].
• Metodos topol6gicos (teorema del punto fijo de Schauder, teoria del grado de Leray-
Schauder, etc.); ver J. T. Schwartz [1], M. Krasnoselskii [1] y L. Nirenberg [2], [3].
• Metodos variacionales (teoria de puntos criticos, teoria de Morse, etc.); ver Rabinowitz
[1], Melvyn Berger [1], M. Krasnoselskii [1], L. Nirenberg [3].
b) La resolucidn de problemas del tipo (93) exige a veces una tecnica muy elaborada de esti-
maciones('); ver los trabajos de De Giorgi, Bombieri, Miranda, Giusti, Ladyzhenskaya-
Uraltseva, Serrin, etc. descritos sn Ladyzhenskaya-Uraltseva [1], Serrin [1], Bombieri [1], y
Gilbarg-Trudinger [1]. Recientemente, se ha realizado progresos importantes sobre la ecuaci6n
de Monge-Amp£re; ver Yau [1].
c) En cuanto a los problemas de frontera libre, han aparecido muchos resultados nuevos en
los ultimos afios, principalmente en relacidn con la teoria de inecuaciones variacionales; ver
Kinderlehrer-Stampacchia [1], Baiocchi-Capelo [1] (y los trabajos de la «Escuela de Pavia» ci-
tados en esta obra), Free Boundary Problems [1], [2].
(') Este es, por ejemplo, el caso de la ecuaci6n de superficies minimas.

Capitulo X
PROBLEM AS DE EVOLIJCION: LA
ECX'ACION DEL CALOR Y LA
ECUACION DE ONDAS
X. 1. La ecuaci6n del calor: existencia,
unicidad y regularidad
Notaciones.—Sea fi C RN un abierto de frontera F. Se nota
Q = Q x ]0, + oo[, I = r x ]0, + oo[;
2 es la frontera lateral del cilindro Q.
Consideremos el problema siguiente. Hallar una funci6n u(x, t) : Q x [0, + °°[ -~ R tal
que
A)
B)
C)
donde A
du
Au = 0
dt
u =0
u(x, 0) = uo(x)
en Q
sobre I
en fi
Sxf
designa el Laplaciano respecto de las variables espaciales, t es la variable
tiempo y uo(x) es una funcidn dada.
204

La ecuacidn del calor: existencla 205
La ecuacidn A) se llama ecuaci6n del calor, pues modela la distribucidn de temperatura u
en el dominio ft en el instante t. La ecuaci6n del calor y sus variantes intervienen en numerosos
fen6menos de difusi6n (') (ver los comentarios sobre este capitulo). La ecuaci6n del calor es el
ejemplo mis sencillo de ecuacidn parab6lica B).
La ecuaci6n B) es la condici6n de contorno de Dirichlet; se puede sustituir por la condici6n
de Neumann
— = 0 sobre I
B') dn
(n es el vector unitario de la normal exterior a F) o bien por una cualquiera de las condiciones
de contorno expuestas en los capitulos Vlll y IX. La condici6n B) expresa que el borde F de fl
se mantiene a temperatura cero; la condici6n B') expresa que el flujo de calor a traves de F es
cero.
La ecuacidn C) es la condici6n inicial o dato de Cauchy.
Resolveremos el problema A) B) C) considerando u(x, t) como una funci6n definida en
[0, + oo [ con valores en un espacio H, donde H es un espacio de funciones que s6lo dependen
dex; por ejemplo, H = L2(ft), o H = H^(fi), etc... Asi pues, la notaci6n «(/) designara un ele-
mento de H, es decir, la funci6n x<—*u(x, t) con t fijo. Este planteamiento permite obtener
una soluci6n del problema A) B) C) muy facilmente, combinando el teorema de Hille-Yosida y
los resultados de los capitulos VIII y IX.
Para fijar ideas, se supondra en todo este capitulo X que fi es de clase C" con F acotada
(pero cuando s61o interesan las soluciones «debiles», esta hip6tesis se puede debilitar considera-
blemente).
• Teorema X.l.—Supongamos que u0 6 L2(fi). Entonces existe una unica funcidn u(x, t) que
verified A) B) C) y
D) «eC([0, oo[; L2(fi)) nCflO, oo[; H2(fi) n H>(fi)),
E) «eC'(]0, oo[; L2(fi)>
Ademds
«6C°°(n x [e, oo[) Ve > 0.
Por ultimo u 6 L2@, oo ; H'0(Q)) y se verified
F) \ l«(T)|2L2)ni + £ Wu{t)\[2(a) it = \ |«0|2La)ni VT > 0 (•').
Demostraci6n.—Se aplica el teorema de Hille-Yosida en el espacio H = L2(fi) (pero son posi-
bles otras elecciones, ver teorema X.2).
Para ello se introduce el operador no acotado A : D(A) C H — H definido por
|D(A) = H2(fi) n HJ(«)
(') La propagaci6n del calor es s61o un ejemplo entre otros muchos.
B) A prop6sito de la clasificaci6n tradicional de las EDP en tres tipos: «eliptico», «parab61ico», «hi-
perb61ico», ver por ejemplo Courant-Hilbert [1].
C) Precisemos las notaciones:
... = |u(x, T)|2 dx, I'

206 Problemas de evolucidn
Es importante observar que la condici6n de contorno B) se incorpora a la definici6n del
dominio de A. Comprobaremos que A es maximal mon6tono y autoadjunto. Entonces se po-
dra aplicar el teorema VI.7 y concluir la existencia de una soluci6n linica de A) B) C) D) E).
i) A es mon6tono. En efecto, si u 6 D(A) se verifica
r r
(Au, u)L2 = I ( - Au)u = |Vm|2 Js 0.
ii) A es maximal mon6tono. Es suficiente demostrar que R(I + A) = H = LA Ahora bien,
se sabe que para toda / 6 L2 existe « € H2 n HJ soluci6n linica de la ecuaci6n u - A« + /;
esto resulta del teorema IX.25.
iii) A es autoadjunto. Gracias a la proposici6n VII.6 es suficiente comprobar que A es si-
metrico.
Si u, v 6 D(A) se tiene
(Au, i;)l2 = I ( - Au)t; = Vu Vv
r r
(u, Ai;)L2 = \u( - Av) = Vu Vi;
J J
y por consiguiente (Am, v) = («, An).
Por otra parte, del teorema IX.25 se deduce que D(A') C H^fi) con inyecci6n continua;
mis exactamente, se tiene
D(A') = Jue H2'(fi); u = Au = ... A'" lu = 0 sobre r}.
Se sabe (teorema VII.7) que la soluci6n u de A) B) C) pertenece a
C'(]0, + oo[; D(A'))Vk, VJ
y entonces « 6 C*(]0, + oo[; H27^)) vk, v/. Resulta (en virtud del corolario IX.15) que
ueC(]0,+ oo[;C@)) Vk.
Demostremos F); formalmente, se multiplica A) por u y se integra sobre fi x ]0, T[. Sin em-
embargo, hay que ser prudentes pues «(/) es diferenciable en ]0, + oo[ pero no en [0, + <»[. Con-
sideremos la funci6n cp(f) = - \u(t)\\a '• <P es de clase C en ]0, + oo[ (por E)) y
<P'(O = (u(ty ~ (t)) = (u, Au)lj = - I |Vu|2.
\ dt Jo. Jn
Por consiguiente, siO<G<T<oo,se tiene
<p(T) - <p(E) = J <p'(Odt = - J
Cuando e -► 0, cp(e) -► - Kl^m, V se deduce F).
Mediante hip6tesis suplementarias sobre «0 la funci6n u se hace mis regular^ en torno a
t = 0 (recordemos que por el teorema X.I siempre se tiene que u 6 C°°(fi)x [S, <x[)
VS > 0).

La ecuacidn del calor: existencia 207
Teorema X.2.
a) Supongamos que u0 6 H[0(U), entonces la solucldn u de A) B) C) verifica
«eC([0, oc[; H0(fi)) n L2@, oo; H2(fi))
y J^eL2@' °C; L2(O))-
Ademas se tiene
SU J 2 . 1 ._ 2 1 ._ .2
G)
Jo
W Supongamos que u0 6 H2(fi) O H^(fi), entonces se verifica
»eC([0, oc[; H2(fi)) n L2@, oo; H3(fi))
— eL2@, oc; H'(fi)).
c> Supongamos que u0 6 H*(fi) v/c >> que verifica las condiciones de compatibilidad
(8) «0 = A«o = ... = AJu0 = ... = 0 sobre V Vj natural,
entonces u S C"(fi x [0, oo [).
Demostraci6n.—a) Se elige H, = H^(fi) dotado del producto escalar
(u , u)H = Vu Vf + uv.
Ja Ja
En H, se considera el operador no acotado A, : D(A,) c H, — H, definido por
|D(A,) = {ue H3(fi) n H0(fi); Au e H0(fi)}
(.A,u = — Au.
Comprobemos que A, es maximal mon6tono y autoadjunto:
i) A, es mon6tono. En efecto, si u 6 D(A,), se tiene
(A,u, u)H| = V(- Au) Vu + (- Au) u = |Au|2 + |Vu|2 Ss 0.
ii) A, es maximal mon6tono. Se sabe (teorema IX.25) que para toda / 6 H'(fi) existe
u 6 H3(fi) O H'0(Q) soluci6n unica de la ecuacidn u - Au = /.
Si ademas/ S H^(fi), entonces (a partir de la ecuaci6n)
Au e Ho(fi) y entonces u e D(A,).
iii) A, es simetrico. Si u, v 6 D(A,) se tiene
(A,u, i;)H_ = V( - Au)Vi; + ( - Au)u
= Au Ai; + Vu Vv = (u, A, i;)H|
Aplicando el teorema VII.7 se ve que si «0 6 H'0(Q), existe una soluci6n u de A) B) C)

208 Problemas de evolucidn
(que coincide con la obtenida en el teorema X.I, gracias a la unicidad) tal que
ueC([0, oo[;HJ(fi)).
Finalmente, pongamos <p@ = - |Vu(f)l^(n). La funci6n <p es C" en ]0, o=[ y
,, „ du du \du
(p'(f) = (Vu(f), V — (f))L2 = (- Au(f), — (f)),2 = - — (f)
df df df
De donde resulta que siO<£<T< oo, entonces
(p(T) - (p(e)
f
2
dt = 0
L2
y se concluye cuando £ — 0.
b) Se razona ahora en el espacio de Hilbert H2 = H2(fi) O Hj(fi) dotado del producto es-
calar
(u, f)Hi = (An, Af)L2 + (u, f)L2.
En H2 se considera el operador no acotado A2 : D(Aj) C H2 — H2 definido por
|D(A2) = {ue H4(fi); u e Hi(ii) y Au e H£(fi)}
(_ A2u = — An.
Se comprueba facilmente que A2 es maximal mon6tono y autoadjunto en H2 ('). Entonces se
puede aplicar el teorema VII.7 a A2 en H2. Por ultimo se pone cp(f) = - |Aw(/)|Lj; la funci6n cp
es C" en ]0, oo [ y se verifica
<p'(f) = (Au(f), A -^ (f))L: = (Au(f), A2u(f))L2 = - |V
De donde, para 0 < S < T < oo
1
2
1 ,» ^ -' > 2 fT 2
- |Au (T)|L2 - - |Au(e)|L2 + |V Au(f)|L2 df = 0.
J £
En el limite cuando S — 0, se ve que u 6 L2@, oo ; H3(fi)) y (a partir de la ecuaci6n),
-^- 6 L2@, oo ; H'(Q)).
dt
c) Se considera en H = L2(fi) el operador A : D(A) C H — H definido por
|D(A) = H2(fi) n Hi(O)
[\u = - Au.
Se sabe (teorema VII.5) que para «0 S D(A*), k > 2, se verifica
ueC-'P, oo[; D(AJ)) Vj = 0, 1, ... k.
(') De forma general, si A : D(A) C H — H es maximal mon6tono y autoadjunto, se puede introducir
el espacio de Hilbert H = D(A) dotado del producto escalar_(u, r)fl = (Au, Av) + (u, v). Entonces, el
operador A : D(A) C H — H definido por D(A) - D(A2) y A = A, es maximal mon6tono y autoadjunto
enfi.

La ecuacidn del calor: existencia 209
Pero la hip6tesis (8) expresa exactamente que u0 G D(A*) para todo k > 1. Por consiguiente,
se tiene
ueC-J ([0, oo[; D(AJ)) Vfc > 1, V/ = 0, 1, ...fc.
De donde resulta que « S C"(fi x [0, oo[) (como en la demostraci6n del teorema X.I).
• Nota 1.—El teorema X. 1 demuestra que la ecuaci6n del calor tiene un efecto fuertemente re-
gularizante sobre el dato inicial u0. Ob serve se que la solucidn u(x, f) es C°° en x para cada
/ > 0, incluso si el dato inicial u0 es discontinue De esto resulta, en particular, que la ecuaci6n
del calor es irreversible. En general, no se puede resolver el problema
du
(9) — - Au = 0 en fi x ]0, T[
A0) u = 0 sobre r x ]0, T[
con un dato «final»
A1) u(x, T) = uT(x) en fi.
Necesariamente, se tendria que cumplir
uT e C* (fi) en AJuT = 0 sobre T, V/ ;s 0.
Pero ni siquiera estas hip6tesis son suficientes para garantizar la existencia de una solucidn del
problema retr6gado (9) A0) A1).
No hay que confundir el problema (9) A0) A1) con el problema (9') A0) A1) donde
(9') - — - Au = 0 en fi x ]0, T[
que siempre admite soluci6n unica para cada «T G L2(Q) (cambiar (enT - t y apticar el teo-
teorema X.I).
Nota 2.—Los resultados anteriores tambien son validos, con algunas modificaciones, para el
problema de Cauchy con condici6n de Neumann. (y«
Nota 3.—Cuando fi es acotado, el problema A) B) C) se puede resolver por descomposici6n
sobre una base Hilbertiana de L2(fi). Para ello. es muy c6modo elegir una base (e,{x)). t de
L2(fi) formada por funciones propias de - A con condici6n de Dirichlet (ver § IX.8), es decir
- Ae, = V, en fi, e, = 0 sobre r.
Se busca una solucidn de A) B) C) de la forma
X
A2) «(x, f) = I '
De inmediato se ve que necesariamente se tiene
«',(') + \o,C) = 0; de donde a,(t) = a,(
(') Por razones evidentes, este metodo tambien se llama metodo de «separaci6n de variables* (o meto-
do de Fourier).

210 Problemas de evolucidn
y las constantes «,{0) se determinan a partir de la relaci6n
A3) "oM = I «.@W*)-
Dicho de otro modo, la solucidn de A) B) C) viene dada por
A4) «(*.') = I fl.@)e-Vei(x),
donde las constantes «,{0) son las componentes de uo(x) en la base (e,). Para el estudio de la con-
vergencia de la serie A4) (y el estudio de la regularidad de u a partir de A4)) ver por ejemplo
Raviart-Thomas [1] o Weinberger [1]. Observese la analogia de este metodo con el metodo
usual de resolucidn de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
&u -»
+ Mu =0
dt
donde M es una matriz simetrica (o diagonalizable, etc.). Claro esta, la dificultad del problema
A) B) C) estriba en quc se debe resolver un sistema de dimensi6n infinita.
Nota 4.—Las condiciones de compatibilidad (8) no deben sorprendernos. Tambien son condi-
ciones necesarias para que la soluci6n u de A) B) C) pertenezca a C"(fi x [0, oo[), (la hipote-
sis u0 S C"(Q) y «0 = 0 sobre I\ ella sola, jno es suficiente!). En efecto, supongamos que
u G C"(fi x [0, oo [) verifica A) B) C); se tiene
du d'u
« = —=..= — =..=0 Vj sobre r x ]0, oo[
y por continuidad resulta
A5) T7 = ° V ^ sobre r x W °°[-
Por otra parte se tiene
^ = Au en Q
dt
Af^ en Q
dt1 \dtj
\>u V j en Q,
Vj en ft x [0, oo[.
De donde se deduce (8) al comparar A5) y A6) sobre T x |0|.
y por continuidad
A6)
se obtiene
d'u
It1
= AJu

El principio del miximo 211
Nota 5.—Por supuesto, se pueden obtener una infinidad de resultados de regularidad para u
en torno a / = 0, con hip6tesis intermedias entre las hip6tesis b) y c) del teorema X.2.
X.2. El Principio del M&ximo
El resultado esencial es el siguiente:
• Teorema X.3.—Sea u0 G L2(fi) y sea u la solucidn de A) B) C). Entonces se verified
Min {0, Inf u0} s? u(x, t) < Max {0, Sup u0) V(jr, t) e Q.
a a
Demostraci6n.—Se utiliza el metodo de truncamientos de Stampacchia. Sea
K = Max {0, Sup u0] supuesto < + oo.
n
Se fija una funci6n G como en la demostraci6n del teorema IX.27 y se pone
H(s) = G(cr)dCT, seU.
A continuaci6n se introduce la funci6n
<p(f) = I H(u(x, f) - K)dx
"I'
Se demuestra ficilmente que cp tiene las siguientes propiedades:
A7) <peC([0, oc[; R), <p@) = 0, <p > 0 en [0, oo[
A8) (peC'QO, x[; R)
y
<p'(f) = G(u(x, t) - K) ~ (x, f)dx = G(u(x, f) - K) Au(x, f) dx
Ja c' Jo
G'(u(x, f) - K)|Vu(x, f)|2 dx < 0
Ja
ya que G(u(x, t) - K) S W0(U) para / > 0.
Resulta de esto que cp ^ 0 en ]0, oo[ y por consiguiente <p ■ 0. Asi pues, para cada / > 0,
u(x, t) < K c.t.p. en fi.
• Corolario X.4.—Sea ua G L2(fi) y sea u la solucidn de A) B) C).
(i) SI u0 > 0 c.t.p. en U, entonces u ;s 0 en Q.
(ii) SI u0 G L"(fi), entonces u G L" (Q) >>
Corolario X.5.—Sea u0 G C(fi) O L2(fi) con «0 = ^ en T (').
Entonces la solucidn u de A) B) C) pertenece a C(Q).
(') Cuando fi no es acotado, se debe suponer ademis que uo(x) — Ocuaiido |x| — oo.

212 Problemas de evolucidn
Demostraci6n del corolario X.5.—Sea («On) una sucesi6n de funciones en Cc"(ft) tal que
"on -* wo en L"(ft) y en L2(ft) (para la existencia de tal sucesi6n, ver por ejemplo [BT]). Segiin
el teorema X.2 la solucidn un de A) B) C) correspondiente al dato inicial uOn pertenece a
C™(Q). Por otra parte (ver teorema VII.7) se sabe que
k(') - "(OIl2<0) < l«Oi, - «oIl2@) V' > 0.
Finalmente, gracias a A9), se tiene
Ik ~ umliLx(Q) ^ HUOn ~ uOmllLx@)-
Por consiguiente, la sucesi6n («n) converge a u uniformemente sobre Q, y entonces u G C(Q).
El principio del maximo tambien se puede abordar desde un punto de vista distinto. Se su-
pone aqui, para fijar ideas, que ft es acotado. Sea u(x, t) una funci6n que verifica
B0) ueC(nx[0, T]) con T>0
B1) u es de clase C respecto de / y de clase C2 respecto de x en ft x ]0, T[
du
/■>■» Au ^ 0 enfixlO, Til1).
Teorema X.6.—En las hipdtesis B0) B1) y B2), se verifica
., , - Max u = Max u
(*•*> iIx[0.T] P
donde P = (ft x |0|) U (r x [0, T]) es lafrontera «parab6lica» del cilindro ft x ]0, T[.
Demostraci6n.—Pongamos v(x, t) = u(x, t) + S|x|2con S > 0 de forma que
B4) ~ - Ai • s: - 2eN < 0 en fix ]0, T[.
Demostremos que Max v — Max u; razonerflos por reducci6n al absurdo suponiendo que
0 x [0. T| P
_Max v = y(.x0 , f0) con (,x0, f0) e fi x [0, T] y (.x0, f0) * P.
Como x0 (= ft y 0 < /0 § T, se tiene
B5) At)(xo,fo)^O
B6) — (x , O > 0
fit ° ^
se tiene -^-(x0, /„) = 0 si /0 < T y ——(x0, t0) > 0 si /0 = T) B). Combinando B5) y B6) se
dt dt )
(^) Observese que no se prescribe condici6n de contorno, ni condici6n inicial.
B) Para ser del todo rigurosos, habria que trabajar sobre fi x ]0, T'[ con T' < T y despues hacer ten-
tender T' aT.

La ecuacidn de ondas 213
62u
u(x,
du
Au = 0
u = 0
0) = uo(x)
0) = vo(x)
en
Q
sobre I
en
en
n
n
obtiene (— - aAx0. 'o) > °. en contradicci6n con B4). Por consiguiente
\8t J
Max v = Max v < Max u + eC, donde C = Sup |x|2.
Sx[o. r] p p *€"
Como u < v, resulta Max « < Max u + EC VS > 0; de donde B3).
0x[0,T| P
X.3. La ecuaci6n de ondas.
Sea ft C RN un abierto de frontera I\ Como anteriormente, se nota Q = ft_x ]0, oo[ y
2 = T x ]0, oo[. Consideremos el problema siguiente. Hallar una funci6n u{x, t):Q x [0, oo[ — jj
talque
B7)
B8)
B9)
C0)
at
N ^2
donde A = £ —- designa el Laplaciano con respecto a las variables espaciales, / es la variable
tiempo y u0, v0 son funciones dadas.
La ecuaci6n B7) se llama ecuaci6n de ondas. El operador A se designa por D algu-
di1
nas veces; es el D'Alembertiano. La ecuacidn de ondas es un ejemplo y modelo de ecuaci6n hi-
perb6lica.
Cuando N = 1, ft = ]0, 1[, la ecuacidn B7) describe las vibraciones pequenas (') de una
cuerda que no esta sometida a ninguna fuerza externa. Para cada / > 0, la grafica de la fun-
ci6n x S ft i—► u(x, f) coincide con la configuraci6n de la cuerda en el instante /. Cuando
N = 2, la ecuacidn B7) modela las pequenas vibraciones de una membrana elastica. Para cada
/ > 0, la grafica de la funci6n x G ft h-> u(x, t) coincide con la configuraci6n de la membrana
en el instante /. De forma general, la ecuacidn B7) es un modelo de la propagaci6n de una onda
(aciistica, electromagnetica, etc.) en un medio elastico homogeneo ft C U N.
La ecuacidn B8) es la condici6n de contorno de Dirichlet; se puede sustituir por la condi-
ci6n de Neumann o por una cualquiera de las condiciones de contorno expuestas en los capitu-
los VIII y IX. La condici6n « = 0 sobre 2 expresa que la cuerda (resp. la membrana, etc.) esta
fija en el borde T; la condici6n de Neumann expresa que la cuerda tiene sus extremos libres.
Las ecuaciones B9) y C0) representan el estado inicial del sistema: son los datos de Cauchy;
la configuraci6n inicial (tambien llamada desplazamiento inicial) viene dada por uo(x) y la velo-
cidad inicial viene dada por vo(x).
Para fijar ideas, en todo lo que sigue se supone que ft es de clase C™ con r acotada.
(') La ecuaci6n completa es una ecuaci6n no lineal muy dificil de resolver; la ecuaci6n B7) es una li-
nealizaci6n en las proximidades de una posici6n de equilibrio.

214 Problemas cfe evolucidn
• Teorema X.7 (Existencia y unicidad).—Supongamos que u0 € H2(fi) O Hj(fi) y que
v0 S Hj(fi). Entonces existe una unica solucidn de B7) B8) B9) C0) con
C1) «eC([O, oo[; H2(fi) ni
Ademds se verlflca
, oo[;
C2([0, oo[; L2(fi)).
C2)
-(')
Nota 6.—La relacidn C2) es una ley de conservaci6n que expresa que la energia del sistema es
invariante con el transcurso del tiempo.
Afiadamos aqui un resultado de regularidad:
Teorema X.8 (Regularidad).— Supongamos que los datos initiates verifican
«0 e H'(fi), v0 e H'(fi) Vfc
al igual que las condiciones de compatibilidad
«o = A«o = ... = AJu0 = ... =0 sobre F Vy natural
v0 = Av0 = ... = Ajv0 = =0 sobre T Vy natural.
Entonces la solucidn u del problema B7) B8) B9) C0) pertenece a C"(fi x [0, oo [).
Demostraci6n del teorema X.7.—Como en el § X.I, «(x, t) se considera como funci6n defi-
nida en [0, °°[ con valores en un espacio vertorial; mas exactamente para todo t > 0 fijo,
u(t) designa la aplicacidn x>—>u(x, t). La ecuacidn B7) se escribe en forma de sistema de pri-
primer orden B):
du
- v — 0 en Q
C3)
en Q
y se pone U = ( ) de forma que C3) pasa a ser
dU
— + AU = 0
C4)
con
C5)
AU =
0 ~
-A
0
- A
OAv
— v
- Au
Ahora se aplica el teorema de Hille-Yosida en el espacio H =
ducto escalar
x L2(fi) dotado del pro-
(') Precisemos las notaciones
(
dx. |Vu
r N
= I
Jo .= !
cut
Si1
dx.
B) Este es el metodo usual consistente en escribir una ecuaci6n diferencial de orden £ en t como siste-
sistema de £ ecuaciones de primer orden.

La ecuacidn de ondas 215
J,,U2)= Vu, Vu2 dx + u,u2dx + v,v2dx
Ja Jo Jo
donde
Se considera el operador no acotado A : D(A) c H — H definido por C5) con
D(A) = (H2(fi) n H>(fi)) x Hj(fi).
Observese que la condici6n de contorno B8) queda incorporada a la definici6n del espacio H;
observese tambien que gracias a B8) se tiene automaticamente v = —— = 0 sobre E.
dt
Comprobemos que A + I es maximal mon6tono en H.
fu\
i) A + I es mon6tono; en efecto, si U = I e D(A), se tiene
\vj
(AU, U)H + |U|J, = - VuVu - \uv + (- Au)v + \u2 + |Vu|2 + \v2
+ \u2 + \v2 + |Vu|2 > 0.
ii) A + I es maximal mon6tono. Es suficiente probar que A + 21 es sobreyectivo. Dada
F = ( ) S H, se ha de resolver la ecuaci6n AU + 2U = F, es decir, el sistema
C6) f -i> + 2u=/ end
- Au + 2v = g en Q
con
ueH2(fi) nHj(O) y veH'(fi).
De C6) se deduce que
C7) - Au + 4u = 2f + g.
Ahora bien, la ecuacidn C7) posee solucidn unica u S H2(fi) O H^(fi) (ver teorema IX.25). Se
obtiene entonces v S H^(J2) poniendo t> = 2« — /; y esto resuelve C6).
Aplicando el teorema de Hille-Yosida (teorema VII.4) y la nota VII.7 se ve que existe una
unica solucidn del problema
f ^ + AU = 0 en [0, oo[
C8) J dt
con
C9) UeC'([0, oo[; H) nC([0, oo[; D(A))
ya que Uo = ( "° ) e D(A). Interpretando C9) se obtiene C1).
\v0/

216 Problemas de evolucidn
Para demostrar C2) basta multiplicar B7) por e integrar sobre ft. Observese que se tiene
dt
du
~dt
(x, I)
dx
C 82u du 1 d C
Jn fl^ Jt dX = 2 It Jn
y
f du [5 1 B C
(- Au)— dx = Vu — (Vu) dx = |Vu|2 dx.
Jo dt Jo dt 2 df Jo
Nota 7.—Cuando ft es acotado, se puede utilizar en H^ft) el producto escalar Vu, Vu2
corolario IX. 19) y en H = H^(ft) x L2(ft) el producto escalar
(U,. U2)= I Vu,Vu2 + vlVl donde ui=("') V U2 = {)■
Jo Jn \Ki/ x^27
Con este producto escalar se tiene
(AU, U) = - \VvVu + (- Au)u = 0 V U = f"jeD(A).
Se comprueba facilmente (ver [BT])que
i) Ay - A son maximales mon6tonos.
ii) A* = - A.
Asi pues, tambien se puede resolver el problema:
dU
o tambien
- AU = 0 en [0, + oo[, U@) = Uo
dt
— + AU = 0 en ]-oo, 0], U@) = Uo (').
df
Retengase finalmente que la relaci6n C2) se escribe
|U(OIh = |U0Ih VreR;
se dice que |U(/)|, 6R es un grupo de isometrias sobre H.
• Nota 8.—La ecuacidn de ondas no tiene ningun efecto regularizante sobre los datos iniciales
—contrariamente a la ecuacidn del calor. Para convencerse de esto, considerese el caso ft = R.
El problema B7) B8) B9) C0) tiene una soluci6n explicita muy sencilla:
D0) U(x, f) = - [uo(x + f) + uo(x -')] + - J t'o(s)ds-
En particular, si v0 = 0, entonces
1
"(*. f) = - \_uo(x + t) + uo(x - f)].
(') Dicho de otro modo, el tiempo tiene un cariUer reversible; observese el contraste con la ecuaci6n
del calor.

La ecuacidn de ondas 217
Es claro que u no es mas regular que u0. Incluso se puede precisar: supongamos que
u0 S C"(R \ pr0)). Entonces u(x, ()esC*enRxR, excepto sobre las rectas de ecuaciones
x + t = x0 y x - t = x0; estas son las caracteristicas nacidas del punto (x0, 0). Las singulari-
dades se pro pagan a lo largo de las caracteristicas.
Nota 9.—Cuando fi es acotado, el problema B7) B8) B9) C0) se puede resolver —como la
ecuacidn del calor— por descomposici6n sobre una base Hilbertiana. Para ello, se elige una ba-
base (e,{x)) de L2(fi) formada por funciones propias de — A con condici6n de Dirichlet, es decir
— Ae, = XjC,- en fi, e, = 0 sobre r (observese que X, > 0). Se busca una soluci6n del problema
B7) B8) B9) C0) de la forma
D1) u(x, 0 = 1
i
De inmediato, se ve que necesariamente ha de ser
V,@ = 0;
de donde
o,@ = o,@) cos
)
= sen
Las constantes «,<0) y «,'@) vienen determinadas por las relaciones
uo(x) = X a.fOtofx) y vo(x) = ^
dicho de otro modo, son las componentes de «0 y de v0 en la base (e,). Para el estudio de la
convergencia de la serie D1), ver por ejemplo Raviart-Thomas [1] o Weinberger [1].
Demostraci6n del teorema X.8.—Se repiten las notaciones de la demostraci6n del teorema
X.7. Por inducci6n sobre k se comprueba facilmente que
D(A") =
ueH'*'(fi) y AJu = 0 sobre r V0<;< -
v e H"(n) y AJi; = 0 sobre T V 0 < y < -^-i- -
En particular D(A*) C H* + '(fi) x H*(fi) con inyecci6n continua. Aplicando el teorema VII.5
se ve que si Un =("° ) e D(A'), entonces la soluci6n U de C8) verifica
\v0J
UeC*-J([0, oo[; D(AJ)) V j = 0, 1, ... k;
en particular, i/£C" J([0, oo[ ; HJ + '(fi)) Vy = 0, 1, ..., k. Finalmente se concluye, con ayu-
da del corolario IX. 15, que en las hip6tesis del teorema X.8 (es decir, Uo S D(Ak) Vk), se tie-
ne« S C(Qx [0, <»[) vk.
Nota 10.—Las condiciones de compatibilidad introducidas en el teorema X.8 son necesarias y
suficientes para que la soluci6n u del problema B7) B8) B9) C0) pertenezca a C"@ x [0, oo[)
(igual razonamiento que en la nota 4).

218 Problemas de evolucidn
Nota II.—Las tecnicas utilizadas en el § X.3 son validas para la ecuaci6n de Klein-Gordon
B7') —j - Au + m2u = 0 en Q con meU, m ^ 0
Observese que no se puede reducir a B7) mediante el cambio de inc6gnita v(x, t) = ex'u(x, t)
Comentarios sobre el capitulo X
Comentarios sobre la ecuaci6n del calor
1) El teorema de J. L. Lions
El siguiente resultado permite establecer, en un marco abstracto muy general, la existencia y
unicidad de una soluci6n debil para problemas parab61icos. Este teorema desempefla, en los
problemas parab6licos, un papel comparable al del teorema de Lax-Milgram. Sea H un espacio
de Hilbert dotado del producto escalar ( , ) y de la norma | |. Se identifican H y su dual. Sea
V otro espacio de Hilbert de norma II H. Supongamos que V C H con inyecci6n continua y
densa, de forma que
V <= H c V.
(ver nota V.I).
Sea T > 0 fijo; para casi todo / S [0, T] se considera una forma bilineal
a{t; u, i>): VxV-H que verifica las propiedades
(i) la funci6n / t-> a(t; u, v) es medible, Vu, v, € V,
(ii) \a(t;u, v)\ ^ A/||u||||v|| c.t.p. f e [0, T], Vu, v e V,
(iii) a(t\ v, v) > a||i;||2 - C|i;|2 c.t.p. f e [0, T] VveV,
donde a > 0, My C son constantes.
Teorema X.9 (J. L. Lions).— Dados f € L2@, T; V) y u0 G H, existe una unica funcidn u tal
que
i»eL2@, T; V) n C([0, T]; H) y — eL2@, T; V)
at
du
Jf ('), »>> + «(»; u(t), v) = </(r), v) c.t.p. t e [0, T], Vv e V
"@) = «„.
Para la demostraci6n, ver Lions-Magenes [1] o [BT].
Aplicaci6n: H = L2(U), V =H'$l)
a(t ;u,v) = Z a,](x, t)^ ^ dx+l f a,(x, t) ~ v dx + f ao(x, t) u v dx
i.j Ja ox, dXj , Ja pXi Jn
con a¥ a,-, a0 G L»(fi x ]0, T[) y
D2) £ a,.(.x, t)%^ > a\%\2 c.t. (x. t) e Q x ]0, T[, V^e RN, a > 0.

Comentahos sobre el capltulo X 219
Se obtiene asi una soluci6n debil del problema
I a; £■ + aou =/ en Q x ]0, T[
D31
* u = 0 sobre r x ]0, T[
u(x, 0) = uo(x) en fi.
Con hip6tesis suplementarias sobre los datos, la solucidn de D3) es mis regular; ver los comen-
tarios que siguen.
2) Regularidad C
Se supone aqui que ft es acotado y de clase C". Sean «„, «„ «0 S C"(ft x [0, T]) que veri-
fican D2).
Teorema X. 10.—Supongamos que u0 G L2(Q)yque/G C"(ft x [0, T]). Entonces la solucidn
u de D3) pertenece a C"(ft x [S, T]) para todo S > 0.
Si ademas u0 € C°°(ft) y_\f, u0) verifican ciertas condiciones de compatibilidad (') sobre
T x|0), entonces u S C"(ft x [0, T]).
Para la demostraci6n ver Lions-Magenes [1], Friedman [1], [2], Ladyzhenskaya-Solonni-
kov-Uraltseva [1] y [BT]; se basa en tecnicas de estimacidn muy parecidas a las desarrolladas en
elcapitulo VII yen X.I.
Sefialemos que existe una teoria abstracta que generaliza la teoria de Hille-Yosida a las ecua-
ciones de la forma (t) + A@«@ = .A0. donde para cada / S [0, T], A@ es maximal
At
mon6tono. Esta teoria ha sido desarrollada por Kato, Tanabe, Sobolevski y otros; es mis com-
plicada tecnicamente y menos ficil de manejar que la teoria de Hille-Yosida, ver Friedman [2],
Tanabe [1] y Yosida [1].
3) Regularidad V y C0-"
Consideremos el problema
— - Au = / en fi x ]0, T[
D4) ^ „ = 0 sobre r x ]0, T[ B)
u(x, 0) = uo(x) en fi.
Supongamos, para fijar ideas, que ft es acotado de clase C™. Comencemos con un resultado
sencillo.
(') No hacemos explicitas estas condiciones; se trata de una generalizaci6n natural de (8) (ver tambien
la nota 4).
B) Claro esta, se puede dar una condici6n de contorno no homogenea, u(x, t) = g(x, t) sobre F + ]0, T[,
pero para simplificar, nos restringimos al caso en que g = 0.

220 Problemas de evolucidn
Teorema X.ll (Regularidad L2).—Dados/ G L2(ft x ]0, T[) y u0 G Hj(fi), existe una linica so-
lucidn u de D4) tal que
«eC([0, T]; Hj(fi)) n L2@, T; H2(fi) n Hj(fi))
y Bu
— eL2@, T; L2(fi)).
La demostraci6n es facil; ver Lions-Magenes [1] o [BT]. Con mis generalidad, en los espa-
cios YP se tiene el
Teorema X.12 (Regularidad V).—Dadasf S L"(fi x ]0, T[) con 1 < p < <x y Uo= 0 (') exis-
existe una linica solucidn de D4) tal que
"' T.' T~' IT^h e LP(O x ]0' T[) V'' J-
St OX, OX, CXj
Teorema X.13 (Regularidad Holderiana).— Sea 0 < a < 1. Supongamos que
f e O"/2(fi x [0, T]) B) y que u0 G C2 + t*(fi) vertflcan las condiciones de compatlbilidad natu-
rales
u0 =0 en r y - A«o = f(x, 0) en T.
Entonces D4) tiene solucidn linica tal que
cu du 82u
n
8t dx{ ox, dXj
Las demostraciones de los teoremas X.12 y X.13 son delicadas (excepto en el caso p = 2
del teorema X.12). Como en el caso eliptico (ver comentarios sobre el capitulo IX), estas utili-
zan:
a) una fdrmula de representaci6n explicita de u con ayuda de la solucidn fundamental
del operador A; por ejemplo, si fi = RN y si/ = 0, entonces
dt
D5)
u(x, t) = E(x - y, t)uo(y)dy = E * u0
Jrn
(* es la convoluci6n s6lo respecto a la variable espacial x)
donde E(x, r) = Drcr)-N 21~ l"|2/4', ver por ejemplo Folland [1].
b) una tecnica de integrates singulares.
Ver Ladyzhenskaya-Solonnikov-Uraltseva [1] y Friedman [1]. En cuanto al teorema X.12, ver
tambien Grisvard [1] (Secci6n 9) y Stroock-Varadhan [1]; Brandt [2] (ver tambien Knerr [1])
presenta una demostracidn muy sencilla de la regularidad Holderiana «en el interior» de
fi x]0, T[ (conclusi6n parcial del teorema X.13).
Con hip6tesis suplementarias sobre la diferenciabilidad de / se obtiene mayor regularidad
(') Para simplificar. a/2
B) Edecir, |/(Xl, (l) _/(x2, r2)| < C(|x, - x2|2 + |r, - r2|) Vx,,, x2, f,, r2.

Comentarios sobre el capitulo X 221
para u. Retengase la siguiente «moraleja»: en general, si u0 = 0, todo ocurre como si
3t
y Aw tuviesen, independientemente, la misma regularidad que/.
Seflalemos por ultimo que las conclusiones de los teoremas X.I I, X.12 y X.13 permanecen
validas si se sustituye A por
d ( du\ ^ du
d ( du\ ^ du
/ — \a,; — + ? a; — + aou
?j dXj \ " dx-J i Sx,
con coeficientes regulares tales que
D6) I a;j(x, t%£j > vl^l2 Vjc, t, V$ e RN, v > 0.
En el caso de coeficientes irregulares (av- 6 L"(fi x ]0, T[)) que verifican D6), un dificil teore-
ma debido a Nash-Moser afirma que existe a > 0 tal que u 6 Oa/2(fl x [0, T]); ver Ladyz-
henskaya-Solonnikov-Uraltseva [ 1 ].
4) Ejemplos de ecuaciones parab6licas
Ecuaciones (y sistemas) parab61icos lineales o no lineales aparecen en multitud de situacio-
nes: mecanica, fisica, quimica, biologia, control 6ptimo, probabilidades, etc. Citemos entre
otros:
i) El sistema de Navier-Stokes
T[, 1 < / < N
du,
It
- Au, +
div u
N
I
=
du,
u —
dxj
u
«i(x, 0)
= 0
= 0
= "o(
dp_
x)
en
en
sobre
en
n x ]
n x ]
r x ]
n,
0, T[
0, T[
0, T[
que juega un papel fundamental en la mecanica de fluidos, ver Temam [1] y las referencias alii
citadas.
ii) Los sistemas de reacci6n-difusi6n. Ecuaciones (resp. sistemas) parab61icas no lineales de
la forma
MA ^ =/( l!) en ti x ]0, T[
+ Condiciones de contorno y dato inicial
donde u{x, t) es un vector de m componentes, M es una matriz diagonal m x m y f: Um -> Rm
es una aplicaci6n no lineal. Estas ecuaciones modelan fen6menos que aparecen en campos va-
riados: quimica, biologia, neurofisiologia, epidemiologia, combusti6n, genetica de poblaciones,
etc. Ver Fife [1] y las numerosas referencias que en el se citan.
iii) Los problemas de fronteras libre. Por ejemplo, el problema de Stefan describe la evolu-
ci6n de una mezcla agua-hielo; ver la exposici6n de Magenes [1] (que contiene numerosas refe-
referencias), Free Boundary Problems [1] [2], Moving Boundary Problems [1] (y las referencias ci-
citadas).
iv) Las ecuaciones de difusi6n intervienen en la teoria de probabilidades (movimiento
browniano, procesos de Markov, procesos de difusi6n, ecuaciones diferenciales estocasticas, et-
etcetera); ver Stroock-Varadhan [1].

222 Problemas de evolucidn
v) Para otros ejemplos de problemas parab61icos no lineales, ver D. Henry [1], Benilan-
CrandaU-Pazy [1], H. Brezis [2].
vi) Citemos finalmente una original utilizaci6n de la ecuaci6n del calor en teoria del indice,
de Atiyah-Singer, ver Gilkey [1].
5) Para otras propiedades ligadas al principio del maximo ver Friedman [1], Protter-
Weinberger [1], Sperb [1]. Por ejemplo, se demuestra que si u es la soluci6n de A) B) C) con
u0 > 0 y w0 # 0, entonces u(x, t) > 0, w£ H, W > 0. Cuando fi = U N, esta propiedad es
evidente gracias a la f6rmula D5) de representaci6n explicita.
Comentarios sobre la ecuaci6n de ondas
6) Soluciones debiles de la ecuaci6n de ondas
Se pueden establecer la existencia y la unicidad de soluci6n debil para la ecuacidn de ondas
(con segundo miembro./) en un marco abstracto muy general. Sean V y H dos espacios de Hil-
bert tales que V C H C V (ver comentario 1). Sea T > 0; para cada / 6 [0, T] se considera
una forma bilineal simetrica «(/; u, v) : V x V — U tal que
(i) la funci6n / h-> a(t; u, v) es la clase C1, Vw, c 6 V.
(ii) a(t; v, v) ^ ol\\v\\2 - CM2, Vr e [0, T], Vi; e V, a > 0.
Teorema X.14 (J. L. Lions).— Dados f 6 L2@, T ; H), u0 6 V, v0 6 H existe una linicafun-
cidn u tal que
u e C([0, T]; V), ^ e C([0, T] ; H), ^ e L2@, T; V)
d2«
< ^1 <'>• "> + aC; "W, v) = </(f), v> c.t. t e [0, T], VvsV
Para la demostraci6n del teorema X.14 ver Lions-Magenes [1].
Aplicaci6n.—V = Hi(fi), H = L2(fi)
f Bu Bv [
a(t; u, v) = V a, :(x, /) — —- dx + aou vdx
Ja Z dx< Sxj J"
con D2) y
"' dt ' "' dt ' '' "'
Se obtiene entonces una soluci6n debil del problema
d2u ^ d I bu
'"¥~f ennx]0'T[
B8) B9) C0).
Observese que las hip6tesis sobre los datos iniciales (u0 E H'0(U) y v0 6 L2(Q)) son aqui mas
debiles que en el teorema X.7. Con hip6tesis suplementarias sobre/, u0 y v0 (regularidad y con-

Comentarios sobre el capftulo X 223
diciones de compatibilidad) y sobre los coeficientes aSj, a0 se demuestra que u es mas regular;
ver Lions-Magenes [1].
7) La teoria V para la ecuaci6n de ondas es delicada y todavia mal conocida.
8) Principio del Maximo
Son validas ciertas formas muy particulares del principio del maximo; ver Protter-Weinber-
ger [1]. Por ejemplo, sea u la soluci6n de B7) B8) B9) C0).
(i) Si fi = R, w0 ^ 0 y v0 > 0, entonces u > 0.
(ii) Si U = R2, u0 = 0 y v0 ^ 0, entonces v > 0.
El punto (i) resulta de la f6rmula D0) de representaci6n explicita. Una f6rmula del mismo tipo,
pero mas complicada, es valida para fi = RN; ver por ejemplo Mizohata [1], Folland [1],
Weinberger [1], Courant-Hilbert [1], Mikhlin [1] o [BT]. De ella se puede deducir el punto (ii).
Por el contrario, se llama la atenci6n sobre los siguientes puntos (ver [BT]):
(iii) Si fi = ]0, 1 [; u0 > 0 y v0 = 0 no implican u > 0.
(iv) Si fi = R2; u0 ^ 0 y v0 = 0 no implican u ^ 0.
9) Dominio de dependencia. Propagaci6n de ondas. Principio de Huygens.
Existe una diferencia fundamental entre la ecuaci6n del calor y la ecuaci6n de ondas:
a) Para la ecuaci6n del calor, el efecto de una pequeAa perturbaci6n es observado inme-
diatamente en todo punto, es decir, Vx 6 fi, V/ > 0. Por ejemplo, se vio que si w0 > 0 y
u0 ^ 0, entonces u(x, f) > 0, Vx £ Q, v/ > 0. Se dice que el calor se propaga a velocidad
infinita (>).
b) En la ecuaci6n de ondas se da un fen6meno completamente distinto. Consideremos por
ejemplo, el caso ft = R. La f6rmula explicita D0) muestra que u(x, t) depende unicamente de
los valores de u0 y v0 en el intervalo [x - t, x + f\.
x - t x + t
Se dice que el intervalo [x - f, x + f] del eje de las x es el dominio de dependencia del
punto (x, f).
La misma propiedad tambien es valida para fi = RN (con N ^ 2): u(x, f) depende sola-
mente de los valores que toman u0 y v0 en la bola [x 6 R N; | jc - x\ <H- Esta bola (en el hi-
(') Fisicamente, esto no es muy realista. Sin embargo, la f6rmula de representaci6n D5) demuestra que
una perturbaci6n inicialmente localizada en torno a x0 tiene efectos despreciables en el punto (x, t) si t es
ft ' \ d

224 Problemas de evaluaddn
perplano RN x |0J) se llama dominio de dependencia del punto (x, I); geometricamente, es la
intersecci6n del cono
{(x, /) e RN x R ■ \x - x| < 7 - I y t < 7}
con el hiperplano RN x |0). Esta pr.opiedad se puede interpretar fisicamente como sigue: las
ondas se propagan con una velocidad que a lo mas es igual a 1 ('). Una serial localizada en el
dominio D en el instante / = 0 B) afecta al punto x 6 RN unicamente a partir del instante
/ > dist (x, D) (para / < dist (x, D) se tiene u(x, 0 = 0).
Cuando N > 1 es impar —por ejemplo, N = 3— se tiene una propiedad todavia mis
sorprendente: u(x, f) s61o depende de los valores de w0 y v0 C) sobre la esfera
\x 6 RN; \x - x\ = fl. Este es el Principio de Huygens. Fisicamente, expresa que una serial
localizada en el dominio D en el instante t - 0 es observable en el punto x 6 RN unicamente
durante el lapso de tiempo [/,, t2] donde /, = Inf d(x, y) y t2 = Sup d(x, y). Despues del ins-
tante t2 la serial cesa de tener efecto sobre el punto x.
Por el contrario, en dimensi6n N par (por ejemplo N = 2), el efecto de la serial persiste pa-
para todo / > /, D).
Aplicaci6n musical. Un oyente situado en R3 a una distancia d de un instrumento musical (')
escucha en el instante / unicamente la nota ejecutada en el instante t - d, ;y ninguna otra! F).
Para mis detalles sobre el Principio de Huygens el lector puede consultar
Courant-Hilbert [1], Folland [1], Garabedian [1], Mikhlin [1].
(') La velocidad 1 interviene a causa de la forma normalizada de la ecuaci6n de ondas. Algunos lec-
tores preferirin trabajar con la ecuaci6n —— - c2 Au = 0 para que la velocidad c juegue un papel pri-
vilegiado.
B) Es decir, datos iniciales u0, u0 con soporte en D.
C) Y de algunas de sus derivadas.
D) Este efecto se amortigua con el tiempo, pero nunca cesa por completo.
E) Supuesto de dimensi6n despreciable.
F) Mientras que en U2 escucharia una combinaci6n ponderada de todas las notas ejecutadas en el in-
tervalo de tiempo [0, t — d].

Illlil UHM \O€ \
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IN DICE
ALFABETICO
Adjunto, 26.
Alternativa de Fredholm, 92.
Autovalor, 94.
Base:
— Hilbertiana, 86.
— de Schauder, 88.
Caracteristica, 217.
Condici6n de contorno en dimensi6n 1:
— Dirichlet, 135, 137.
— mixta, 140.
— Neumann, 139, 140.
— peri6dica, 141.
Condici6n de contorno en dimensi6n N:
— Dirichlet, 175, 176.
— Neumann, 179.
Condici6n de elipticidad, 177.
Condici6n inicial, 105.
— para la ecuaci6n del calor, 205.
— para la ecuaci6n de ondas, 213.
Condiciones de compactibilidad, 207, 214.
Conjunto resolvente, 94.
Convoluci6n, 66.
D'Alembertiano, 213.
Dato de Cauchy:
— para la ecuaci6n del calor, 205.
— para la ecuaci6n de ondas, 213.
Derivada normal, 179.
Descomposici6n espectral, 97.
Desigualdad de:
— Cauchy-Schwarz, 78.
— Clarkson, 59, 60.
— Gagliardo-Nirenberg en dimensi6n 1, 147.
— Gagliardo-Nirenberg en dimensi6n N, 194.
— Hardy en dimensi6n 1, 147.
— Hardy en dimensi6n N, 194.
— Holder, 56.
— Morrey, 166.
— Poincare en dimensi6n 1, 134.
— Poincare en dimensi6n N, 174.
— Poincare-Wirtinger en dimensi6n 1, 146.
— Poincare-Wirtinger en dimensi6n N, 194.
— Sobolev, 162.
— Trudinger, 170.
— Young, 56, 77.
Dominio de dependencia, 223.
Dual, 3.
Dual de L", / < p < oo, 61.
Dual de L1, 63.
Dual de L", 65.
Dual de W,}-" en dimensi6n 1, 134.
— en dimensi6n N, 174.
Dual de un espacio de Hilbert, 81.
Dual (norma), 3.
Dualidad (aplicaci6n de dualidad), 4.
Ecuaci6n:
— del calor, 204.
— eliptica, 177.
— hiperb61ica, 213.
— de Klein-Gordon, 218.
— de Navier-Stokes, 221.
231

232 Indice alfabStico
— de ondas, 213.
— parab61ica, 205.
— de reacci6n-difusi6n, 221.
— de superficies minimas, 221.
Espacio:
— L>, 55.
— propio, 94.
— reflexivo, 43.
— separable, 47.
— de Sobolev en dimensi6n 1:
— W1-", 120.
— WA.p, ,32.
— W-", 132.
— WJ1-", 134.
— de Sobolev en dimensi6n N:
— W1-", 149.
— WJ-", 171.
— W'", 156.
— WJ1-", 174.
— de Sobolev fraccionario, 196.
— uniformemente convexo, 51.
Espectro, 94.
Estimaciones V:
— para las ecuaciones elipticas, 197.
— para la ecuaci6n del calor, 220.
Estrictamente convexo, 3.
Forma lineal, 1
F6rmula exponencial, 117.
— de Green, 179.
Frontera lateral, 204.
— parab61ica, 212.
Funci6n:
— absolutamente continua, 125.
— de apoyo, 13.
— conjugada, 9.
— convexa, 8.
— indicatriz, 13.
— semicontinua inferiormente (s.c.i.), 8.
— test, 120.
— de variaci6n acotada en dimensi6n 1, 125.
— de variaci6n acotada en dimensi6n N, 153.
Hiperplano, 4,
Igualdad de Bessel-Parseval, 85.
Interpolaci6n:
— Desigualdad de interpolaci6n, 57, 147, 194.
— Teoria de interpolaci6n, 77.
Inverso por la derecha, 23.
— por la izquierda, 23.
Inyecci6n compacta, 129, 168.
— continua, 129, 168.
Lema de
— Baire, 15.
— Fatou, 54.
— Goldstine, 44.
— Helly, 44.
— Riesz, 91.
— Zorn, 2.
Ley de conservaci6n, 214.
Medida, 75.
Metodo de aproximaciones sucesivas, 183.
— de Perron, 200.
— de las traslaciones de Nirenberg, 182.
— de truncamientos de Stampacchia:
para las ecuaciones de 2." orden en dimen-
si6n 1, 143.
para las eduaciones de 2." orden en dimen-
si6n N, 189.
para la ecuaci6n del calor, 211.
Multiplicidad de un valor propio, 99.
Operador acotado, 26.
— acretivo, 101.
— autoadjunto acotado, 96.
— autoadjunto no acotado, 112.
— cerrado, 27.
— compacto, 89.
— disipativo, 101.
— de Fredholm, 98.
— de Hilbert-Schmidt, 99.
— maximal mon6tono, 101.
— mon6tono, 101.
— no acotado, 26.
— de prolongaci6n en dimensi6n 1, 126.
— de prolongaci6n en dimensi6n N, 158.
— de rango finito, 89.
'— simetrico, 112.
Ortogonal, 24.
Partici6n de la Unidad, 160.
Principio de Acotaci6n Uniforme, 16.
Principio de Dirichlet en dimensi6n 1, 136.
— en dimensi6n N, 176.
Principio de Huygens, 223.
Principio del Maximo para la ecuaci6n del calor,
211.
— para las ecuaciones elipticas de 2." orden:
en dimensi6n 1, 143.
en dimensi6n N, 189.
Principio del Maximo de Hopf, 200.
Problema de Aproximaci6n, 89.
— de frontera libre, 203, 221.
— de Stefan, 221.
— de Sturm-Liouville, 138.

Indies alfab&ico 233
Propagaci6n de una onda, 213.
Proyecci6n sobre un convexo, 79.
Reflexivo, 43.
Regularidad de las soluciones debiles, 181.
Regularizaci6n Yosida, 102.
Representante continuo, 122, 166.
Resolvente, 102.
Semigrupo de contracciones, 110.
Separable, 47.
Separaci6n de conjuntos convexos, 5.
Shift, 94.
Soporte, 68.
Sucesi6n regularizante, 70.
— de truncamiento, 128, 152.
Suma Hilbertiana, 85.
Suplementario topol6gico, 22.
Teorema de
— Agmon-Douglis-Nirenberg, 197.
— aplicaci6n abierta, 18.
— Ascoli, 72.
— Banach-Alaoglu-Bourbaki, 42.
— Banach-Krein-Smulian, 53.
— Banach-Steinhaus, 16.
— Cauchy-Lipschitz-Picard, 104.
— convergencia dominada, 54.
— convergencia mon6tona, 54.
— De Giorgi-Stampacchia, 199.
— Dunford-Pettis, 76.
— Eberlein-Smulian, 50.
— Egorov, 75.
— Fenchel-Moreau, 10.
— Frechet-Kolmogorov, 72.
— Friedrichs, 151.
— Fubini, 55.
— Gr&fica cerrada, 20.
— Hahn-Banach, en forma analitica, 1.
— Hahn-Banach, en forma geometrica, 5, 7.
— Helly, 130.
— Hille-Yosida, 105, 116.
— Krein-Milman, 13.
— Krein-Rutman, 100.
— Lax-Milgram, 84.
— Lebesgue, 54.
— B. Levi, 54.
— Lions, 218, 222.
— Meyers-Serrin, 152.
— Minty-Browder, 88.
— Morrey, 166.
— punto fijo de Banach, 83.
— Rellich-Kondrachov, 169.
— representaci6n de Riesz, 61.
— representaci6n de Riesz-Frechet, 81.
— Riesz, 92.
— Riesz-Thorin, 77.
— Schauder, 198.
— Sobolev, 162.
— Stampacchia, 83.
— Tonelli, 55.
Topologia menos fina, 33.
— debil o(E, E'), 35.
— debil «o(E', E), 39.
Traza, 196.
Uniformemente convexa, 51
Valor propio, 94
Vibraci6n de una cuerda, 213.
— de una membrana, 213.