/
Author: Лузин Н.Н.
Tags: математика дифференциальное исчисление дифференциальные уравнения
Year: 1961
Text
Акад. Н. Н. ЛУЗИН
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
$ качестве учебного пособия для ВУЗОВ
ИЗДАНИЕ СЕДЬМОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
«ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва -1961
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Автор настоящего двухтомного курса математического ана-
анализа академик Николай Николаевич Лузин A883—1950) являет-
является одним из крупнейших советских математиков, по книгам
которого училось не одно поколение советских инженеров и
педагогов.
Николай Николаевич Лузин родился в г. Томске 10 декабря
1883 г. в семье служащего. По окончании Томской гимназии,
осенью 1901 г. он поступил на математическое отделение физи-
физико-математического факультета Московского университета, ко-
который окончил в 1906 г. Здесь Николай Николаевич учился у
знаменитых русских профессоров Н. Е. Жуковского, Б. К. Млод-
зеевского, Д. Ф. Егорова, оказавших значительное влияние на
его последующую деятельность.
По окончании университетского курса Николай Николаевич
был оставлен при университете для подготовки к профессор-
профессорскому званию.
В 1909 г. Николай Николаевич сдал магистерские экзамены
(соответствуют современным кандидатским экзаменам) и полу-
получил звание приват-доцента по кафедре «чистой математики».
В 1914 г. Николай Николаевич приступил к чтению лекций
по основным и факультативным курсам в Московском универ-
университете. Блестящий лекторский талант соединился у него с уме-
умением увлечь молодежь, воодушевить ее научным энтузиазмом
и вселить веру в собственные силы. Николай Николаевич с са-
самого начала и до конца своей деятельности был неисчерпаемым
источником свежих математических идей, преподносившихся им
в увлекательной форме. Лекции, которые читал Николай Нико-
Николаевич, пользовались большой популярностью и неизменно
привлекали большое число слушателей.
В 1916 г. Николай Николаевич представил к защите на со-
соискание ученой степени магистра диссертацию под названием
«Интеграл и тригонометрический ряд». Эта диссертация явилась
настолько глубоким и фундаментальным исследованием, что
вопреки существовавшим традициям, молодому математику,
минуя степень магистра, была присвоена ученая степень доктора
4 ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
математических наук. Эта диссертация не потеряла своего зна-
значения и в настоящее время: в 1951 г, она была переиздана
в виде отдельной научной монографии
В 1917 г. Николай Николаевич был избран профессором мате-
математики Московского университета.
Профессорская деятельность его в Московском университете
ознаменовалась созданием большого коллектива математиков,
работавших в области теории функции действительного пере-
переменного.
Н. Н. Лузин сплотил вокруг себя научных работников раз-
различных возрастов — от сформировавшихся ученых, ставших
работать вместе с ним, до начинающих свою научную деятель-
деятельность математиков из числа студентов и аспирантов, а также
воспитал ряд ученых, из которых многие сыграли и играют
в настоящее время выдающуюся роль в развитии математики.
В 1927 г. Николай Николаевич был избран членом-корреспон-
членом-корреспондентом, а в 1929 г.— действительным членом Академии наук СССР.
С этого времени он работал в основном в научных учреждениях
Академии наук. В последние годы жизни Николай Николаевич
возглавлял отдел теории функции действительного переменного
в Математическом институте им. Стеклова и принимал участие
в работе Института автоматики и телемеханики Академии наук.
Основная научная деятельность Николая Николаевича про-
протекала в области исследования теории функций действительного
переменного; в этой дисциплине им получены результаты, обога-
обогатившие математическую науку важнейшими открытиями. Труды
Николая Николаевича в теории функций действительного пере-
переменного стали в настоящее время классическими. Глубокие
фундаментальные исследования принадлежат Николаю Николае-
Николаевичу в теории тригонометрических рядов и в теории аналити-
аналитических функций, в которой им были применены методы иссле-
исследования теории функций действительного переменного.
В своей творческой работе Николай Николаевич не оставался
в рамках чисто теоретических исследований. Ему принадлежит
ряд работ по прикладной математике, а именно по численным
методам алгебры и анализа и, в частности, им произведены важ-
важные исследования по* численному интегрированию дифферен-
дифференциальных уравнений методом акад. С. А. Чаплыгина.
Николай Николаевич скоропостижно скончался 28 февраля
1950 г. от болезни сердца.
Имя Николая Николаевича Лузина — крупнейшего советского
ученого, педагога и патриота нашей великой Родины занимает
почетное место з истории советской науки.
ГЛАВА 1
ЧИСЛО
§ 1. Рациональные числа. Все положительные и отрицатель-
отрицательные целые числа и дроби, а также нуль, называются рациональ-
рациональными числами. Предполагается, что учащийся знаком с большин-
большинством элементарных свойств этих чисел и с пользованием этими
числами по обычному учебнику арифметики.
Учащийся знает, что четыре основные действия арифметики:
сложение, вычитание, умножение и деление, проде-
проделанные над рациональными числами, дают в результате опять
рациональные числа. Значит, этим путем мы не получим никаких
иных чисел.
§ 2. Практическое значение рациональных чисел. С точки
зрения практики никаких других чисел, кроме рациональных,
нам и не нужно знать для выполнения измерений.
Надо иметь в виду, что задача фактического измерения задан-
заданной величины всегда есть неопределенная задача. Пусть, напри-
например, нужно измерить длину некоторого прямолинейного отрезка,
данного нам физически. Самые его концы всегда ведь несколько
неопределенны, ибо всегда можно заменить данный отрезок дру-
другим, столь нечувствительно от него отличающимся, что мы не в
силах обнаружить этой подмены: для этого достаточно только,
чтобы разница длин обоих этих отрезков лежала за порогом чув-
чувствительности наших инструментов.
Таким-то образом имеется бесчисленное множество рациональ-
рациональных чисел, чрезвычайно близких друг к другу, каждое из которых
вполне можно принять за «истинную» длину нашего физического
отрезка. Свободой такого выбора на практике очень часто и поль-
пользуются. Так как результат какой-либо арифметической выкладкь
изменится весьма мало, если мы слегка изменим те числа, над
которыми производится самая выкладка, то для удобства вычис-
вычислений обычно сохраняют только очень небольшое количество деся-
десятичных знаков измеряемой величины. Так, например, часто просто
принимают
и = 3,14
б ЧИСЛО ГЛ. I
и отбрасывают все остальные десятичные знаки у более точного
значения
1г = 3,Ш 592 653 589 793 238 46...
Таким образом оказывается, что одних только рациональных
чисел вполне достаточно для нужд измерительной практики, ибо
они позволяют выполнять измерения с какою угодно степенью
точности. Но одних только рациональных чисел становится уже
недостаточно, когда надо решать вопросы геометрии, механики и
теоретической физики с абсолютной точностью, ибо здесь необ-
необходимо уже знание так называемых иррациональных чисел.
Мы сейчас увидим, как возникают эти новые числа и как их
следует понимать.
§ 3, Сопоставление рациональных чисел с точками прямой
линии. Последовательность рациональных чисел сама по себе есть
всюду плотная, ибо между двумя такими числами — какими бы
близкими друг к другу они ни были — всегда можно найти
сколько угодно промежуточных рациональных чисел. Поэтому-
то на первый взгляд и кажется, что для каких-нибудь новых
чисел в последовательности рациональных чисел как будто совсем
не остается никакого места.
Однако указанное первое впечатление оказывается глубоко
ошибочным, потому что в последовательности рациональных чисел
повсюду имеются просветы, как это становится ясным, когда
сопоставим последовательность всех рациональных чисел с после-
последовательностью точек на прямой линии.
- ^ - -¦— ,
Рис. 1
Чтобы осуществить такое сопоставление, возьмем прямую
линию бесконечную в обе стороны, на ней выберем начальную
точку О и примем определенную единицу длины для измерения
отрезков. Очевидно, всегда можно построить отрезок, имеющий
своею длиною любое заранее заданное рациональное число а,
и нанести его вправо, либо влево от О, смотря по тому, будет
ли а положительно или отрицательно. Таким образом мы получим
определенную концевую точку М, которую можно рассматривать,
как точку, соответствующую рациональному числу а1. Следова-
Следовательно, можно сказать, что всякому рациональному числу соот-
соответствует одна, и только одна, точка на прямой (рис. 1).
Полученную точку М мы воображаем черной и непрозрач-
непрозрачной; она-то и сопоставляется с взятым рациональным числом а,
1 На чертеже а, взята положительным.
§ 4 НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ
называющимся абсциссой точки /И. Когда это проделано со вся-
всяким рациональным числом а, прямая окажется покрытой густой
сетью черных непрозрачных точек М, как бы осевших на прямой
и населяющих — без пустот — каждый ее участок, т. е. отрезок,
где бы он ни лежал и как бы мал он ни был1. У всякой из этих
точек М имеется своя абсцисса а, являющаяся рациональным
числом. Ясно, что точки М с положительными абсциссами а ле-
лежат вправо от начала О, с отрицательными абсциссами — влево.
Абсцисса самого начала О равна нулю. Чем больше арифмети-
арифметически, т. е. беззначно, величина абсциссы а, тем дальше от
начала О лежит точка М.
Это и есть искомое нами сопоставление последовательности
рациональных чисел с точками прямой, при котором все точки М
полученной черной непрозрачной сетки имеют, очевидно, совер-
совершенно такое же взаимное расположение друг относительно друга,
какое имеют между собой их рациональные абсциссы а. Конец М
всякого отрезка О/И, соизмеримого с» взятой единицей Ьлипыу
заведомо содержится в сети, ибо такая точка М имеет рациональ-
рациональную абсциссу. Точки с рациональными абсциссами мы, для крат-
краткости речи, будем называть просто рациональными точками,
и составленную из таких точек сеть будем называть тоже рацио-
рациональной сетью.
Других точек и других чисел мы пока не знаем.
§ 4. Несоизмеримые отрезки. Если бы всякая точка прямой
оказалась содержащейся в построенной нами сети, т. е. если бы
совсем не существовало никаких несоизмери iif ы х отрезков,
тогда все дело обстояло бы необыкновенно просто: в этом случае
каждая точка нашей прямой имела бы рациональную абсциссу
и, значит, мы не имели бы ни малейшей нужды в каких-либс
новых числах, ибо тогда одних только рациональных чисел бы-
было бы достаточно для выражения всех теоретических соотно-
соотношений.
Но действительность оказывается гораздо сложнее, и одним
из великих открытий, сделанных, видимо, в глубокой древности,
является установление наличия отрезков, несоизмеримых с дан-
данной единицей длины. По-видимому, первым примером этого рода
была диагональ квадрата, сторона которого принята за единицу
длины2.
1 Это утверждение является постулатом, связанным с нашим обычным
представлением о прямой.
2 Нельзя установить даже приблизительно время этого открытия. Преда-
Предание, приписывающее его греческому философу Пифагору (около 2500 лет назад),
сохранило следы сильного впечатления, вызванного этим открытием в древнем
мире.
Однако не исключено и то, что Пифагор познакомился с ним во время
своего путешествия по Востоку и что сведения о существовании несоизмеримых
8 число гл. f
Отложив такой отрезок от начала О — что проще всего мож-
можно сделать, заставив диагональ ОС квадрата, вращающуюся
около О как твердый стержень, упасть на нашу прямую — мы
получим точку Му которая не соответствует никакому рациональ-
рациональному числу и у которой, строго говоря, пока нет никакой аб-
абсциссы (рис. 2). А так как имеется бесчисленное множество
различных длин, несоизмеримых с единицей масштаба, то прямая
линия оказывается в бесконеч-
бесконечное число раз более богатой
своими точками, чем последова-
последовательность рациональных чисел
своими числами. Значит, рас-
рассматриваемое сопоставление то-
-fa чек и чисел вынуждает нас
признать некоторую неполно-
Ри^« 2 ту в последовательности рацио-
рациональных чисел, тогда как пря-
прямой линии мы приписываем всю полноту и абсолютное отсут-
отсутствие каких-либо просветов, т. е. сплошность, или непрерыв-
непрерывность.
Если представить себе рациональные точки черными и непро-
непрозрачными, а все другие точки прозрачными, то мы, став против
света и держа нашу прямую перед глазами, увидали бы проби-
пробивающиеся всюду бесконечно тонкие лучи света, прошедшие через
точки, соответствующие концам отрезков, несоизмеримых с при-
принятой единицей длины.
отрезков восходят к глубинам ассиро-вавилонской культуры. В наше время
факт несоизмеримости отрезков стоит наряду со многими другими «фактами
невозможности». Так, имеются два равнообъемные тетраэдра, которые невоз-
невозможно рассечь на попарно тождественные более мелкие тетраэдры; невоз-
невозможно — с помощью циркуля и линейки — разделить на три равные части угол
равностороннего треугольника и т. д. Каждое такое установление невозмож-
невозможности является существенным шагом в ходе наших знаний.
Геометрическое рассуждение Пифагора о взаимной несоизмеримости сто-
стороны и диагонали квадрата имеется во всяком полном учебнике геометрии.
Арифметическое же доказательство таково: длина диагонали квадрата,
сторона которого есть единица, = У 2. Число это не может быть ни целым, ни
дробью. В самом деле, пусть, если возможно, будет У 2 =—, где % и у целые
числа, не имеющие общего делителя. Возвышая обе части в квадрат, имеем
2 = -g, т. е. 2y2z=x2. Значит, целое jc должно быть ч е т н ы м, т. е. х = 2х*,
где х* целое. Подставляя это выражение для х, имеем 2у2 = 4х*2, т. е. уг = 2л:*2.
Мы видим, что и целое у обязано также быть четным, что противоречит пред-
предположению о несократимости дроби —. Итак, У 2 , не будучи ни целым чис-
числом (когда у = 1), ни дробью, не может быть числом рациональным.
§ 5 ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 5. Иррациональные числа. Если мы желаем изучить пря-
прямую линию арифметически, то, так как последовательность
рациональных чисел оказывается недостаточной, является необхо-
необходимость в пополнении нашей последовательности чисел таким обра-
образом, чтобы она получила такую же сплошность, т. е. полноту
или непрерывность, как и сама прямая линия. Это достигается
введением иррациональных чисел, определяемых лишь при по-
посредстве рациональных чисел.
Рамки этой книги не дозволяют нам развить здесь одну из
обычных теорий иррациональных чисел. Поэтому мы ограничимся
только тем, что остановим внимание читателя на существовании
иррациональных чисел и на следующем положении: иррациональ-
иррациональные числа совершенно заполняют все просветы, имеющиеся в
последовательности рациональных чисел, т. е. мы принимаем,
что всякой точке прямой соответствует число, рациональное
или иррациональное, называемое абсциссой этой точки, и об-
ратно.
| | | 1 1 | ) | | I 1 | М | | ) М I I I I I I I I I 1 I I 1 I I I t I 1.1 I I I I 1 ) I I I | [ { ,_
~ Q ~~М
Рис. 3
Арифметически же иррациональные числа могут быть пред-
представлены в виде бесконечных десятичных дробей. Чтобы видеть
как это выходит, представим себе, что нам нужно измерить с
абсолютной точностью длину отрезка ОМ, лежащего на прямой
(рис. 3) и несоизмеримого с единицей длины.
С этой целью мы прикладываем к прямой идеально точную
измерительную линейку, разделенную на метры, дециметры,
сантиметры, миллиметры и т. д. до бесконечности. Слово «метр»
здесь взято только в смысле единицы длины; существенным яв-
является лишь то, что каждое деление нашей измерительной ли-
линейки разделено на десять дальнейших более мелких делений,
так что «дециметр» обозначает просто ^ единицы длины, «санти-
1 1
метр» — щ, «миллиметр»—^щ и т. д.
Самый процесс измерения длины несоизмеримого отрезка ОМ
мы ведем методически следующим образом:
Первый шаг. Заставляем левый конец измерительной ли-
линейки совпасть с начальной точкой О и затем прочитываем на
линейке максимальное число полных метров, содержащихся
в ОМ, начиная от точки О. Пусть это будет а0 метров (на
рисунке 3 ао = 3).
Второй шаг. Остаток измеряемой длины, содержащийся
между точкой а0 метров и М, имеет длину меньшую метра. Мы
1В Дифференциальное исчисление
10 ЧИСЛО ГЛ. 1
прочитываем на измерительной линейке максимальное число пол-
полных дециметров, содержащихся в этом остатке. Пусть это будет
ах дециметров (на рисунке а, = 7); ясно, что всегда я,< 9, т. е.,
что целое число ах есть просто цифра.
Третий шаг. Новый остаток измеряемой длины, содержа-
содержащийся между точкой а0 метров -j- ax дециметров и М, имеет длину
меньшую дециметра. Мы прочитываем на измерительной линейке
максимальное число полных сантиметров, содержащихся в этом
остатке. Пусть это будет а2 сантиметров; ясно, что а2 также
есть цифра, т. е. а2<9.
Этот процесс мы продолжаем, делая четвертый, пятый и
дальнейшие шаги.
Так как взятый нами отрезок ОМ по предположению несоиз-
несоизмеримый с единицей длины («метром»), то наш измерительный про-
процесс не может закончиться на конечном шаге, потому что точка М
никогда строго не попадает ни на одну из делящих точек линейки.
Поэтому, если мы, для памяти выпишем подряд одну за другой
прочитанные на линейке цифры, отделив начальное число а0 от
них запятой, то наш нескончаемый процесс измерения развер-
развернет перед нами единый целый бесконечный символ
а0, ata2as...an...9
состоящий из бесконечного множества цифр, поставленных
рядом друг с другом, и называемый бесконечной десятичной
дробью.
Для цели точного измерения этот бесконечный символ, разу-
разумеется, служить никак не может, потому что нельзя же на самом
деле сложить, в буквальном серьезном смысле этого слова,
бесконечно много слагаемых
а° » 10~* 100 » 1000 i в ' ' в
Однако указанный бесконечный символ а0, ах а2 аЛ. ..ап... очень
удобен для приближенного измерения с любой степенью точ-
точности. Действительно, обрывая этот бесконечный символ оста-
1 Никто никогда не мог, не может и не сможет сложить, в буквальном
смысле слова, бесконечно много слагаемых. И если говорят о «сумме» членов
бесконечно убывающей геометрической прогрессии вроде -=¦ -f- -г~Ь "о" ~+~ • • • +
JL 4 о
+ 9й~Ь-*«> то УчаЩийся должен все время иметь в виду, что сумма эта не
настоящая, а есть лишь предел суммы Sm составленной из первых п членов,
к которому она стремится при беспредельном возрастании числа п взятых членов.
§ б ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО — НЕПЕРИОДИЧЕСКАЯ ДРОБЬ И
новкой нашего измерительного процесса на (п-\-1)-ы шаге, мы
получаем конечную десятичную дробь
ао> ахаг.. мп,
т. е. получаем длину
а° + То""» юо ^ • • • i юге '
заведомо меньшую измеряемого отрезка ОМ, потому что цифры
а19 а2, ..., ап прочитывались нами на измерительной линейке так,
чтобы мы не перешагнули через точку М. А так как цифры эти
прочитывались всегда максимальными, то усиление какой-нибудь
одной из этих цифр хотя бы одной единицей наверное заставит
нас переступить вправо через конец М, т. е. мы будем иметь
уже больший отрезок, чем ОМ. Итак, при всяком п имеем нера-
неравенства
10 ~*~100 » ' ' * ' Ю"
10
показывающие, что конечная десятичная дробь
я0, ахаг...ап
является приближением по недостатку несоизмеримой длины
ОМ с точностью до ^ единицы, и что, усилив последнюю
цифру ап на одну единицу, т. е. взяв вместо ап цифру ап-\-\,
мы получаем уже приближение по избытку с той же самой
точностью до ^.
§ 6. Иррациональное число есть непериодическая бесконеч-
бесконечная десятичная дробь. До сих пор мы предполагали, что изме-
измеряемый отрезок ОМ есть несоизмеримый с принятой единицей
длины. Однако ясно, что указанный процесс измерения годится
и для того случая, когда ОМ соизмерим с единицей, т. е. когда
точка М имеет абсциссой некоторое рациональное число ~ .
Только в этом случае, как тому учит нас элементарная арифме-
арифметика, бесконечная десятичная дробь ао> ага2. . ,ап... становится
периодической (простой или смешанной), и в арифметике в этом
случае пишут условноег равенство
^=а0, агаж...ап...9 A)
1 Учащийся хорошо сделает, если отметит всю условность этого равенства
ведь настоящее « = » должно писаться, собственно, только тогда, когда обе его ча-
12 число гл. i
выражающее только ту мысль, что рациональное число ~ по-
постоянно содержится между двумя конечными десятичными дробями,
из которых меньшую получают, просто останавливая бесконечную
дробь на какой-нибудь /г-й цифре, а большую получают, увели-
увеличивая на единицу последнюю цифру остановленной дроби, причем
обе эти дроби сближены между собой на ^н -
Этим условным равенством A) арифметики и пользуется мате-
математический анализ, называя иррациональным числом просто
всякую непериодическую бесконечную десятичную дробь
а0, ах az аь.. ,ап... , и рассматривая это иррациональное число
большим всякого приближения по недостатку и меньшим вся-
всякого приближения по избытку.
Таким образом, например, пишут
1/^ = 1,4142136 ...,
тс = 3,141 5926535 ...,
? = 2,718 281828 459 045 ...,
Учащийся должен понимать, что никакого таинственного
смысла в этих равенствах нет, потому что бесконечный символ,
стоящий направо, есть просто инструмент, при помощи которого
указывают точку на прямой или — что все то owe самое — при
помощи которого указывают то отверстие (п р о с в е т) в после-
последовательности рациональных чисел, которое называется «чис-
сти, левая и правая, суть истинные числа. Здесь же налево стоит истинное
число ~ , а направо — не число, но лишь бесконечный символ, позволяющий по-
получить для истинного числа, написанного налево, его десятичные приближения.
Истинным это условное равенство становится только тогда, когда цифры ап>
начиная с некоторого номера &, сплошь равны нулю:
ak+i — ak+2=: ak+s= ••• =0.
В этом случае мы имеем уже истинное равенство
q ~~ °"^ 10 МОО ' '
в котором сумма, стоящая направо, составлена из конечного числа слагаемых,
каковые все можно фактически сложить.
1 Десятичный (обыкновенный) логарифм Бригга \g 5 есть число иррацио-
иррациональное. В самом деле, если бы lg 5=-г-, где а и Ь целые, то имели бы
а
10& =5, или 10Л = 5*, что невозможно, ибо левая часть этого равенства есть
число четное^ а правая — нечетное.
§ 7 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 18
лом V 2» и которое лежит между десятичными приближе-
приближениями 1,414 213 и 1,414 214, разность которых равна одной мил-
миллионной.
§ 7. Действительные числа. Все вместе рациональные и ирра-
иррациональные числа называются действительными, или веществен-
вещественными числами. Ясно, что действительные числа образуют, как и
рациональные числа, последовательность, располагаясь в порядке
их возрастания; из двух неравных действительных чисел а и b
одно всегда больше другого. Всякое положительное число больше
нуля; всякое отрицательное число меньше нуля. Сам же нуль
нейтрален; не будучи ни положительным, ни отрицательным
числом, нуль является лишь границей положительных и отри-
отрицательных чисел и благодаря этому, как увидим дальше,
имеет совсем особенные свойства, которых не имеют другие
числа.
Символ > читается «больше чем»; символ << читается
«меньше чем». Поэтому, чтобы показать, что число а больше
числа Ь, пишут а^>Ь. Формула а> 0 указывает, что число а по-
положительно. Точно так же формула 6<0 указывает, что b отри-
отрицательно.
Все такие формулы называются неравенствами. Неравенства
можно умножить на положительные числа. Так, если а<^Ь, то
справедливо и неравенство ас < be, если с положительное число.
Наоборот, умножая какое-нибудь неравенство на отрицатель-
отрицательное число, необходимо переменить самое направление нера-
неравенства на обратное. Так, если а < b и число d отрицательно,
то ad^>bd.
Символ ^ читается «больше или равно» и символ ^ чи-
читается «меньше или равно». Поэтому, если число а не пре-
превосходит числа Ь, пишут: а^Ь.
В этой книге, если не сделано оговорки, рассматриваются
только действительные числа.
§ 8. Абсолютная величина. Под абсолютной величиной дей-
действительного числа а понимают его величину, взятую беззначно.
Поэтому следует отличать абсолютную величину действительного
числа от его алгебраической величины, которая всегда пи-
пишется или мыслится со знаком. Абсолютная величина числа а
обозначается символом \а\. Так, имеем:
| + б| = б, 1 — 71 = 7, |±0| = 0.
Из этого определения прямо следуют два положения:
I. Абсолютная величина алгебраической суммы не больше
суммы абсолютных величин слагаемых, т. е.
14 ЧИСЛО ГЛ. !
Например
/7-3 + 8-13|<7 + 3 + 8 + 13.
II. Абсолютная величина разности больше или равна раз-
разности абсолютных величин, т. е.
\а — Ъ\т&\а\-г- \Ъ\.
Доказательство. Первое предложение, примененное к тождеству
а = {а — Ь) + Ь% дает / а | = | (а — b) + b\^\a — b\ + \b\. Отсюда непосредст-
непосредственно следует, что | я -~ Ь\^\а\ — \Ь\.
Укажем еще на следующее положение, также прямо вытекаю-
вытекающее из самого определения абсолютной величины.
III. Абсолютная величина произведения и частного в точ-
точности равна произведению и частному абсолютных величин, т. е.
\ = \a\- \Ь\- \с\- \d\,
=1*1.
§ 9. Деление на нуль запрещается. Во всех математических
расчетах, теоретических и практических выкладках учащийся не-
неизменно обязан руководствоваться одним из самых важных правил
математического анализа:
деление на нуль, безусловно, недопустимо ни в одном случае.
Это можно обнаружить самым отчетливым образом. Для этого
достаточно дать себе отчет в том, что такое частное у двух чи-
чисел а нЬ. Основное положение арифметики гласит: «частным двух
данных чисел а и b называется такое третье число с, которое при
помножении на него делителя b дает делимое а, т. е. для кото-
которого сЬ = а».
В силу этого чрезвычайно ясного определения деление на нуль
как раз и невозможно. В самом деле, надо рассмотреть только
два случая: в о-п е р в ы х, когда делимое а есть нуль, и, в о-в т о-
рых, когда делимое а не есть нуль.
В первом случае, у есть полная неопределенность.
Действительно, когда и делимое а, и делитель b оба суть нули,
т. е. когда а = 0 и Ь = 0, тогда всякое число с удовлетворяет ра-
равенству с# = #, потому что каждое число при умножении его на
нуль дает нуль. Поэтому ^- и есть полная неопределенность.
Во втором случае, -тг не имеет никакого смысла^ если
а отлично от нуля. Действительно, поскольку произведение вся-
всякого числа на нуль есть нуль, постольку нет никакого числа с,
которое будучи помноженным на нуль дало бы число а, отлич-
отличное от нуля.
§ 9 ДЕЛЕНИЕ НА НУЛЬ ЗАПРЕЩАЕТСЯ 15
Отсюда следует, что обе формы
О" и "о
являются только кажущимися математическими фор-
формулами: первая абсолютно бесполезна, вторая абсолютно бес-
бессмысленна.
Таким образом, деление на нуль есть действие всегда недо-
недопустимое.
Кажущийся парадокс. Для того чтобы научись учащегося осто-
осторожности в обращении с нулем, мы сейчас докажем равенство 1=2 и попро-
попросим учащегося, чтобы он сам отыскал то место, где рассуждение грешит
против вышеуказанного правила.
Возьмем число а, отличное от нуля, и число &, равное а. Очевидно,
имеем равенство аЬ = а2. Вычитая из обеих частей этого равенства Ь2, получаем;
Разлагая на множители левую и правую части, имеем:
Ь[а-Ь] = [а + Ь][а — Ь].
Опуская общий множитель у левой и правой частей, находим:
Так как, по сделанному предположению, число Ь равно числу а, то из
последнего равенства следует, что
а = 2а.
Деля обе части этого равенства на число а (что вполне законно, ибо
число а отлично от нуля), мы находим окончательно:
1=2.
ГЛАВА II
ВЕЛИЧИНА
§ 10. О величинах вообще. Не следует смешивать понятие
числа с понятием величины. Число всегда отвлеченно, так как по-
получается в результате индивидуального измерения; поэтому число
всегда единично, т. е. как бы кристаллично, и неспособно, само
по себе, ни к какому изменению. Напротив, величина всегда кон-
конкретна, так как является качеством предмета; поэтому величина
всегда как бы аморфна и в высокой степени склонна к изменению.
Величины бывают самых разнообразных родов. Всякая наука,
изучающая природу, имеет дело со своими собственными величи-
величинами, характерными для нее. В физике, например, температура,
теплоемкость, удельный вес, сила электрического тока суть ве-
величины. В механике величинами являются скорость, масса, тя-
тяжесть; в геометрии — длина линий, углы, площади, объемы и т. д.
Несмотря на чрезвычайное разнообразие величин, у всех у них
имеется одно общее свойство: каждая величина может быть изме-
измерена единицей величины этого же самого рода. Так, длина изме-
измеряется единицей длины — метром; температура измеряется едини-
единицей температуры — градусом; сила электрического тока измеряется
своей единицей — ампером и т. д. Как было уже указано, ре-
результатом такого измерения является всегда отвлеченное число,
выражающее собой меру рассматриваемой величины в принятой
для нее единице масштаба.
Отвлеченное число, получающееся как результат измерения
данной конкретной величины единицей масштаба этого же рода,
называется численным значением рассматриваемой величины.
Таким образом, значение величины есть всегда отвлеченное
число.
В математике величину обозначают просто буквой, напри-
мер х или а, которая может становиться тем или иным
отвлеченным числом.
Это отвлеченное число называется «численным значением»
математической величины х или а.
§ 11 ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА 17
Про это отвлеченное число, приписываемое букве х или а9
говорят, что оно «принимается» математической величиной.
Благодаря такой точке зрения на величину вообще, матема-
математический анализ достиг чрезвычайной мощности и гибкой прило-
приложимости к разнообразнейшим наукам и отделам техники, так как
любую конкретную величину, наблюдаемую в жизни, всегда можно
обозначить буквой х или а, а про численное значение этой кон-
конкретной величины, полученное путем ее измерения, всегда
можно выразиться, что «оно принимается буквой», т. е. припи-
приписать это отвлеченное число нашей букве как ее «численное зна-
значение».
§11. Переменная величина. В текущей жизни почти все кон-
конкретные наблюдаемые величины являются переменными, т. е.
изменяющимися с течением времени, хотя бы и немного. Если я
бросаю вверх камень, его расстояние х до поверхности земли
есть, разумеется, величина переменная, потому что это расстоя-
расстояние сначала увеличивается, пока камень уносится вверх, а затем
начнет уменьшаться, когда камень, достигнув высшей точки, на-
начинает падать, и под конец станет равным нулю, когда камень,
упав, будет покоиться. Значит, в этом случае расстояние х есть
величина переменная, т. е. имеющая в различные моменты времени
различные числовые значения.
Мы сказали, что в жизни почти все величины являются пе-
переменными. Даже там, где внимательное наблюдение как будто
дает величину постоянную, более тонкое измерение точным чув-
чувствительным прибором обнаруживает, что наблюдаемая величина
все-таки есть переменная, например рост учащегося в течение
одних только суток. Привычка заставляет нас считать этот рост
в продолжение одного дня одним и тем же. На самом же деле
измерение точным прибором обнаруживает, что утром рост всегда
немного выше, чем вечером, когда накопившаяся за день усталость,
какой бы незначительной она ни казалась, заставляет неизбежно
мускулы ослабевать и делает организм ниже.
Как общее правило, всякая величина, наблюдаемая в действи-
действительности, есть переменная. Лишь научное мышление видит в
текущей жизни постоянные величины, например, когда речь идет
о законах сохранения энергии или количества материи. Мы уже
видели, что математический анализ всякую конкретную величину
обозначает буквой. И так как конкретная величина все время
меняется, то математический анализ должен сообразно этому
предполагать, что эта буква все время меняет свои численные
значения.
Например, если д лдучау "бришишич и камни1 (JyflLW X йифзна-
чает расстояние его! дсмэмпи и<$ чиФФОД &П {?#8 НукДы х
зависит от времени «меняется иедрерывно, сначала увеличиваясь,
а потом убывая до нуля и остФМюз далее нулем, если мщ не
18 ВЕЛИЧИНА ГЛ. II
трогаем камня и пренебрегаем мелкими сотрясениями почвы,
которые всегда имеются. Таким образом: переменная величина
в математическом анализе обозначается буквой, например х,
которая с течением времени изменяет свое численное зна-
значение.
Следовательно, если л есть переменная величина, то буква х
обозначаете разные моменты времени различные числа. То число,
которое обозначает буква х в данный момент, называется значе-
значением переменной величины х в данный момент. Это значение
вообще изменяется от момента к моменту. Это обстоятельство часто
выражают словами, говоря, что «переменное х последовательно
проходит через ряд значений», или что «буква х пробегает ряд зна-
значений».
Переменные величины обозначаются последними буквами
латинского алфавита:
х, у, z, а также t, и, v, w.
§ 12. Постоянная величина. Величина, которая совсем не из-
изменяется, носит название постоянной величины. Так, в
геометрии сумма углов в треугольнике есть величина постоянная,
каким бы образом ни менялся треугольник, как бы ни вытягивались
или ни укорачивались его стороны и как бы ни изменялись его
углы. Другой пример из геометрии же — это отношение длины
окружности к ее диаметру, остающееся всегда тем же самым
(равным тт, где тг = 3,141592653...), какие бы окружности, большие
или маленькие, мы ни брали.
Постоянные величины принято обозначать первыми буквами
латинского алфавита:
а, Ь9 с и т. д.
Среди постоянных величин полезно различать абсолютные постоянные и
параметры. Первые сохраняют в любых условиях и при всяких заданиях
одно и то же определенное численное значение, например 2,5,У 7, п и т. д.
Параметры же суть лишь условные постоянные, т. е. в пределах одного воп-
вопроса их рассматривают как величины не меняющиеся, но в пределах другого
вопроса они могут иметь совсем другие значения, хотя точно так же не меня-
меняющиеся.
Например, рассматривая какую-нибудь одну прямую линию в аналитиче-
аналитической геометрии, мы пишем:
где х, у суть «текущие координаты» движущейся точки, описывающей своим
движением нашу прямую, следовательно, истинные переменные величины;
числа же a, b суть параметры, потому что остаются постоянными, коль
скоро мы выбрали определенную прямую; но они изменятся и будут другими,
§ 13 ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ВЕЛИЧИН 19
если мы перейдем от данной прямой к какой-нибудь другой прямой, так же
данной.
В этом же смысле говорят, например в электротехнике, о «параметрах»
радиолампы: это суть величины, характеризующие данную радиолампу и, значит,
остающиеся для нее постоянными, но изменяющиеся при переходе от одной
лампы к другой.
§ 13. Геометрическое изображение величин. Оно то же самое,
какое употребляется для изображения отвлеченных чисел.
Если хотят геометрически изобразить постоянную вели-
величину а, для этого ищут по прямой (рис. 4) ту точку Л, абс-
абсцисса которой как раз равна численному значению постоянной
величины а. Так как а есть величина постоянная, то ее чис-
численное значение сохраняется все время неизменным, и, значит,
точка А будет неподвижной. Итак, постоянная величина геоме-
геометрически изображается неподвижной точкой прямой линии.
Рис. 4
Если хотят геометрически изобразить переменную величину х,
то для этого сначала вспоминают, что она меняется с течением
времени, проходя через различные численные значения.
Поэтому сначала рассматривают переменную величину х, за-
захватывая ее в какой-нибудь определенный, хотя и произвольный,
момент времени. В этот самый момент х принимает некоторое
совершенно определенное численное значение и в этот же самый
момент мы поступаем с х точно так же, как поступали раньше
при геометрическом изображении постоянного числа а, именно,
находим на прямой ту точку М, абсцисса которой как раз равна
численному значению переменной величины х в этот момент.
Такая точка М отыскивается легко и будет единственной
(рис. 4).
Но с течением времени х изменяет свое численное значение.
Следовательно, в другие моменты времени точка М будет нахо-
находиться в других местах на нашей прямой, т. е. будет двигаться.
Таким образом, переменная величина геометрически изобра*
жается движущейся точкой прямой линии.
§ 14. Область значений переменного. Мы знаем, что всякая
переменная величина х с течением времени проходит через ряд
различных численных значений, принимая их одно за другим.
Часто очень полезно обратить внимание на эти принимаемые
переменной величиной х численные значения и выделить их сово-
совокупность отдельно от прочих чисел. Эта совокупность численных
значений, принимаемых переменной величиной х, называется
областью ее значений.
20 ВЕЛИЧИНА ГЛ. II
Не следует думать, что раз х есть величина переменная, то
уже тем самым она способна принимать всякие значения. Напри-
Например, если х есть число шахматных партий, выигрываемых каким-
нибудь опытным шахматным игроком со дня его рождения, то х
увеличивается с течением времени, значит, есть переменная ве-
величина. Но х может принимать только целые положительные
значения, ибо нельзя, например, выиграть "|/ партий. Значит, обла-
областью значений переменной величины х в этом случае явится неко-
некоторая сравнительно небольшая группа целых чисел.
После того что мы говорили о геометрическом изображении
перемедной величины, ясно, что область численных значений пе-
переменной величины х геометрически изобразится просто в виде
некоторого собрания точек прямой; это будет совокупность
тех самых точек, на которых побывает движущаяся точка М,
потому что абсцисса всякой такой точки и является тем значе-
значением, которое примет х в некоторый соответствующий момент
времени.
На приведенном примере шахматного игрока область числен-
численных значений переменного х изобразится просто в виде некото-
некоторого собрания точек с целыми абсциссами.
§ 15. Отрезок и промежуток. Часто приходится встречаться
с такими переменными величинами, у которых область значений
есть либо «отрезок», либо «промежуток».
Отрезок
Отрезком называется часть прямой, отсекаемая двумя непо-
неподвижными точками аи Ьу с обязательным присоединением к этой
части ее концевых точек а и b (рис. 5).
Рис. 5
Следовательно, отрезок есть совокупность точек прямой, со-
содержащихся между двумя ее точками а и Ь, причем слово
«между» в этом случае понимается в широком смысле, при-
принуждающем к обязательному включению сюда и самих гранич-
граничных точек а и b (рис. 6).
Это последнее важное обстоятельство, характеризующее
область значений рассматриваемого переменного х, записыва-
записывают в виде двойного неравенства-равенства
§ 15 ОТРЕЗОК И ПРОМЕЖУТОК 21
Самая же область значений сокращенно обозначается через
[а^х^Ь] или просто как [а> Ь] с непременным употреблением
квадратных скобок для напоминания о включении в область гра-
граничных точек.
Итак, граничные точки а и b включены в область и назы-
называются концами отрезка. Ясно, что точка а есть самая левая
точка отрезка, а точка b — самая правая
точка отрезка. Таким образом всякий от-
отрезок [а, Ь] всегда замкнут своими кон- o=zrr _^г=о
цами а и Ь. Отрезок можно изобразить
схематически в виде рисунка 6.
v Рис. 6
Пример. Пусть х есть переменная величина, определенная как синус
времени t, x = sin t. Ясно, что по мере возрастания времени t переменная
величина х всегда колеблется между — 1 и -f- 1, проходя постоянно не только
все промежуточные значения между границами — 1 и +1» но принимая и са-
самые эти граничные числа, ибо
sin Bk+~)n = -\-l и sin BJfe— 4Л* = —1
\ 1 / \ 1 )
при любом целом k. Значит, область значений нашего переменного х есть отре-
отрезок [-1, +1].
Промежуток
Промежутком называется часть прямой, отсекаемая двумя не-
неподвижными точками а и Ь, с обязательным выключением из этой
части ее граничных точек а и b (рис. 7).
Следовательно, промежуток есть совокупность точек прямой,
содержащихся между двумя ее точками а и Ьу причем слово
«между» теперь уже понимается в строгом смысле, принуж-
принуждающем к обязательному выключению отсюда
самых граничных точек а и b (рис. 8).
Это последнее важное обстоятельство, харак- «=- » , д»
теризующее область значений рассматриваемого
переменного х> записывают в виде двойного
строгого на этот раз неравенства Рис- 8
Самая же область значений сокращенно обозначается через
(а<л;<6) или просто как (а, Ь) с переменным на этот случай
употреблением круглых скобок для напоминания об исключении
из области граничных точек;
22 ВЕЛИЧИНА ГЛ. II
Итак, граничные точки а и b теперь уже не входят в область
и называются границами для промежутка (но не концами про-
промежутка, ибо промежуток концов, в него входящих, как раз и
не имеет). Из сказанного ясно, что всякая неподвижная точка М
промежутка (а, Ь) всегда отлична от обеих границ а и b и
поэтому отстоит от них на некоторое конечное (существенно
положительное, а не нулевое) расстояние. Значит, всякая точка
М промежутка является всегда окруженной с обеих сторон только
точками этого же промежутка (рис. 7). Здесь мы имеем дело
с чрезвычайно важным свойством всех промежутков, которое
обычно выражают словами:
всякая точка промежутка есть его внутренняя
точка.
Отсюда следует, что какую бы мы ни взяли точку проме-
промежутка, по обе стороны от нее окажутся опять точки этого же
промежутка. Поэтому в отличие от отрезка промежуток не мо-
может иметь ни самой левой, ни самой правой точки.- По этой
причине, в отличие от отрезка, промежуток не имеет концов:
точки а и b являются границами для промежутка, но в него не
входят.
Итак, промежуток открыт с обеих сторон, будучи без концов;
схематически его можно изобразить в виде рис. 8.
Не следует путать отрезок с промежутком1. Хотя отрезок
богаче промежутка лишь на две точки, однако разница между
ними крайне важна для математического анализа.
Примечание. Учащийся, прочитавший только что изложенное, без
всякого сомнения, почувствует живейшее недоумение и крайнее неудобство
мыслить промежуток как не имеющий концов и постарается самостоятельно
каким-нибудь образом устранить кажущуюся «нелепость». Однако пусть уча-
учащийся знает, что здесь нет никакой нелепости и что все дело только в при-
привычке к такого рода фактам. Для того чтобы облегчить действительно не-
нелегкое дело приспособления, мы советуем учащемуся проделать следующий
«умственный опыт»: пусть учащийся попробует представить себе, что он разла-
разламывает прямую линию в какой-нибудь точке /7 и затем отделяет друг от
друга получившиеся две части. Ясно, что самая точка перелома П войдет лишь
в одну часть (рис. 9), будучи ее истинным концом, ъ другая часть уже станет
открытой, потому что точка перелома /7 не может появиться в двух экземпля-
экземплярах и быть сразу и в одной и в другой части прямой.
К тому же самому учащийся придет, если попробует окрасить в какую-
нибудь краску только те точки прямой, которые имеют существенно поло-
положительную абсциссу: тогда самой левой окрашенной точки у учащегося не
будет, потому что всякую положительную абсциссу х можно разделить попо-
пополам, и, значит, влево от каждой окрашенной точки М будет иметься опять
окрашенная точка (рис. 10).
1 Терминологию мы здесь устанавливаемруссл^ю, заменяя иностранные тер-
термины, иногда употребляемые в русской литературе, следующим образом: слово
«сегмент» переведено словом «отрезок», а «интервал» переведен словом «про-
«промежуток».
§ 16 КЛАССИФИКАЦИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН 23
Пример. Пусть t есть время, а х переменная величина, определенная
формулою л:= ,0-t- Ясно, что по мере возрастания времени i переменная
величина х увеличивается и что при этом всегда имеем строгое двойное не-
неравенство О < х < 1. Ясно далее, что переменная х имеет численные значения,
сколь угодно близкие к нулю: для этого достаточно брать t отрицатель-
отрицательным, увеличивая абсолютную величину \t\ безгранично;так же точно х имеет
" -л*
X
Рис. 9 Рис. 10
численные значения, сколь угодно близкие к единице: для этого достаточно
брать * положительным и увеличивать его безгранично. И так как ни
при каком t переменная величина х не может стать ни нулем,ни единицей,то
отсюда следует, что область численных значений переменной величины х есть
промежуток @,1).
§ 16. Классификация переменных величин. Предвари-
Предварительное замечание. Всякая переменная величина х изменяет
свое численное значение с течением времени. Самый характер
этого изменения может быть весьма разнообразный. Естественно,
что в основу классификации переменных величин кладут именно
характер изменения.
Монотонные переменные величины
Те численные значения, которые переменная величина х при-
принимает раньше других, называются «предшествующими»,
а те, которые принимаются ею позже, называются «последую-
«последующими».
Определение* Если переменное х изменяется таким образом,
что всякое последующее его значение больше, чем предшествую-
предшествующее, тогда переменная величина х называется возрастающей.
Аналогична, если всякое последующее значение меньше пред-
предшествующего, х называется убывающей переменной величиной.
Переменные величины как возрастающие, так и убывающие,
называются все вместе монотонными величинами.
Рис. 11 Рис. 12
Ясно, что возрастающая величина х изобразится точкой М,
перемещающейся постоянно вправо (рис. 11), а убывающая
величина х изобразится точкой М, движущейся все время влево
(рис. 12).
24 величина гл. и
В противоположность этому, переменная величина, изменение
которой уже не монотонно, называется колеблющейся величиной.
Примеры, Примером реальной возрастающей величины служит само вре-
время, отсчитываемое от определенной даты. Время обычно обозначают буквой t
(первая буква латинского слова «tempus», что обозначает «время»). По самой
своей природе время t есть величина возрастающая.
Примером убывающей величины является дробь — , где t — время.
z
Примером колеблющейся величины служит синус времени sin t.
Чтобы убедиться в этом, возьмем окружность радиуса 1 с центром О и не
подвижным диаметром АВ (рис. 13). По ней
/if заставим двигаться точку М так, чтобы угол ЛОМ
4 между неподвижным радиусом АО и подвижным
радиусом ОМ был в точности равен времени /.
В этих условиях наша окружность становится
в некотором роде точными математическими
часами об одной стрелке, ибо единственная
подвижная стрелка ОМ своим концом М равно-
равномерно движется по циферблату, вечно обходя
окружность и указывая точное время t своим
углом АОМ. Ясно, что перпендикуляр РМ, рав-
равный синусу времени, РМ = sin t, вечно колеб-
колеблется между -f-1 и — 1 и принимает эти чис-
Рис, 13 ленные значения бесконечное число раз при
вертикальном положении стрелки. Таким обра-
образом, sin* есть колеблющаяся переменная величина, все время совершающая
размахи между + 1 и —1.
Ограниченные переменные величины
Определение. Переменная величина л называется ограничен-
ограниченной, если, начиная с некоторого момента времени,
ее абсолютная величина \л\ сделается и будет впредь всегда
оставаться меньше некоторого постоянного положительного
числа А.
Говоря аналитически, т. е. языком алгебраических формул,
переменная величина л есть ограниченная, если, начиная с неко-
некоторого момента времени, сделается верным и будет впредь оста-
оставаться всегда верным неравенство
\х\<А, A)
где А есть некоторое неизменное положительное число.
Геометрически это означает, что на прямой имеется такой
неподвижный промежуток ВС, внутри которого, начиная
с некоторого момента времени, будет впредь постоянно оста-
оставаться движущаяся точка М с абсциссой л (рис. 14).
Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, во-первых,
что соблюдение алгебраического неравенства A) указывает на
геометрическое пребывание движущейся точки М(л) внутри не-
неподвижного промежутка (— А, А) и, во-вторых, что пребыва-
§ 16 КЛАССИФИКАЦИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН 25
ние точки М(х) внутри какого-нибудь неподвижного промежутка
ВС наверное заставит соблюдаться неравенство A), ибо положи-
положительное число А можно взять столь большим, что промежуток
ВС попадет внутрь промежутка (—Л, А).
Переменная величина х называется неограниченной, когда
нельзя найти такого положительного числа А, чтобы неравенство
О В М С
_ • з ¦
Рис. 14
A) было постоянно соблюдено, начиная с некоторого мо-
момента времени.
Из сказанного выше ясно, что точка М(х), изображающая
неограниченную переменную величину х, будет — хотя бы по вре-
временам — выходить из всякого начерченного промежутка ВС, как
бы велик он ни был, причем моменты времени этого выхода
имеются за всякой эпохой, сколь бы отдаленной от нас она ни
была.
Примеры. 1. Если t есть время, то переменная величина я, определенная
равенством
х = sin t,
есть ограниченная величина, ибо синус не может никогда превосходить по аб-
абсолютной величине единицу.
Кстати, отметим одну особенность этой ограниченной переменной величины:
она все время (т. е. во все эпохи) остается по абсолютной величине меньшей
или равной единице.
Но отнюдь нет никакой необходимости удовлетворять неравенству I х | < А
действительно все время, чтобы х была ограниченной величиной: достаточно,
если это неравенство сделается верным, лишь начиная с некоторого момента.
Это обстоятельство обнаруживается на следующем примере.
2. Если t есть время, переменная величина х, определенная равенством
есть ограниченная величина, ибо, начиная хотя бы с момента времени
мы имеем неизменно сохраняющимся неравенство | х | < -у. То обстоятельство,
что х очень велико при весьма малом положительном t, не имеет никакой
важности, потому что решающее значение для признания х ограниченной пере-
переменной величиной имеет только тот факт, что \х\ сделается и будет оставаться
всегда меньше положительной постоянной А, т. е. что будем иметь | х | < Л,
начиная с некоторого момента.
3. Само время t, как и его квадрат t2, его куб t9 и т. д., очевидно, вели-
величины уже неограниченные, ибо с течением времени они превзойдут любое по-
постоянное А.
4. Интересна переменная величина х = t sin t, где t есть время. Она равна
нулю в моменты времени 2тс, 4тс, бтс, 8тс,..., иб° синус равен нулю для этих
26 ВЕЛИЧИНА ГЛ. 11
B. Можно, поэтому, подумать, что х есть ограниченная величина. Однако,
если мы учтем то обстоятельство, что синус для углов
равен единице и что поэтому произведение t sin t для таких моментов времени t
просто равно самому времени t, то мы немедленно заключим отсюда,
что х есть величина неограниченная.
Непрерывные переменные величины
Определение. Монотонная величина х называется изменяю-
изменяющейся непрерывно на отрезке [а, Ь], когда она, выходя из одного
его конца и приходя к другому, последовательно проходит через
все промежуточные численные значения, не пропустив никакого
из них.
Геометрически непрерывное изменение монотонной вели-
величины х поясняется чрезвычайно просто: движущаяся по отрезку
[а, Ь] точка /W, имеющая х своей абсциссой, при непрерывном
изменении численной величины х, должна своим движением обра-
образовать весь этот отрезок со всеми его точками; поэтому его нужно
рассматривать как след этого движения, т. е. как траекто-
траекторию движущейся точки (рис. 15).
ом
Рис. 15
Таким образом, движущаяся в одну только сторону по пря-
прямой точка М, описывающая какой-нибудь неподвижный отрезок
[а, Ь] со всеми его точками, имеет своей абсциссой х монотон-
монотонную непрерывно изменяющуюся величину. И обратно: всякая
непрерывно изменяющаяся монотонная величина х является
абсциссой движущейся указанным образом точки.
Примечание I. Полезно указать, что монотонная величина х, не
имеющая непрерывности, всегда изменяется скачками так, что на
отрезке [а, Ь\ непременно существует пустой промеэюуток, не заполненный
никакими численными значениями рассматриваемой монотонной величины х.
Чтобы убедиться в этом, предположим, что возрастающая от а до Ь пере-
мэнная величина х не принимает некоторого частного численного значения ха
(рис. 16). °
Мы рассматриваем сначала то время, когда движущаяся точка М с абсцис-
абсциссой х находится левее непринимаемой точки х0, а потом то время, когда М
находится правее точки х0. Благодаря этому вся прямая времени (рис. 17)
разломится на две части (см. § 15, примечание): левую, когда точка М еще
не перескочила через точку х0, и правую, когда М уже перескочила через
Хо. Самая точка разлома tx явится концом лишь одной части, например, пра-
правой. В момент времени tx переменное х получит некоторое численное значение
§ 17 ПРИРАЩЕНИЕ ПЕРЕМЕННОЙ ВЕЛИЧИНЫ 27
xv хх > ;с0, отличное от непринимаемого значения х0, и ясно, что между х0 и
хх не может оказаться никакого принимаемого численного значения: ибо до мо-
момента времени tx точка М находится левее точки х0, а после tx точка М нахо-
находится правее точки #г. Поэтому переменное х должно перескочить через весь
промежуток (#0, хг).
Итак, переменная величина х, возрастая от а до Ь, но не принимая числен-
численного значения х0, обязательно должна сделать скачок, перескочив не только
через рассматриваемую от-
отдельную точку #0, но и О ^ ,
хцгликом через некоторый не-*- I i ¦ % % Ifr "
нулевой промежуток (х0, хг) # «^ *v
л: ней примыкающий.
Случай, когда точка tx яг- рис ^
ляется концом левой части,
рассматривается аналогично.
Примечание II. В тексте мы определили непрерывность монотонно
изменяющейся величины х. Гораздо труднее определить непрерывность немо-
немонотонной переменной величины. Делается это следующим образом.
Определение. Немонотонная переменная величина х называется
непрерывно изменяющейся в течение отрезка времени
(Tv Г2), когда для всякого численного промежутка (а, Ь\ содержащего числен-
численное значение х0) принимаемое
п.[ ею в какой-нибудь момент вре-
i мени t0,имеется временной
г/ промежуток, содержащий
ри„ jy to,e течение которогорассмат-
которогорассматриваемая переменная величина
не выйдет из (а, Ь) (рис. 18).
Смысл этого вполне точного, но трудного для усвоения начинающим опре-
определения тот, что пространственный промежуток (а, Ь), охватывающий точку х09
может быть взят сколь угодно малым. А тогда это определение вполне согла-
согласуется с нашим повседневным представлением о непрерывном изменении как
таком, при котором численное значение переменной величины х изменяется
«нечувствительно мало», «очень слабо» и т. л в течение «достаточно малого»
О
¦ X -
Рис. 18
промежутка времени. Сказанное определение есть только математическая
формулировка этого представления, заимствованного из
жизни, ибо показывает, что точка х не может выйти за границы сколь
угодно малого фиксированного промежутка (а, Ь)* в течение достаточно
малого промежутка времени.
Учащийся видит, что это определение имеет много общего с понятием
ограниченной переменной величины,где изображающая пере-
переменную величину х точка М также не может покинуть неподвижный проме-
промежуток ВС (см. рис. 14), но только в течение бесконечного промежутка вре-
времени (ибо там в тексте говорится: «начиная с некоторого момента времени»)^
здесь же точка х не может покинуть сколь угодно малый неподвижный проме-
промежуток (а, Ь) в течение лишь достаточно малого промежутка времени.
§ 17. Приращение переменной величины. Изучение какой-либо
переменной величины начинается обычно с того, что наблюдают
28 ВЕЛИЧИНА ГЛ. Tl
то приращение, которое она получает, когда переходит от преж-
прежнего (т. е. более раннего) численного значения к новому (т. е.
более позднему).
Если переменная величина х, имея сначала некоторое
численное значение х\ примет затем некоторое другое числен-
численное значение х", то разность
х" — х'
между новым и прежним значениями называется прираще-
приращением переменного, потому что эту разность как раз и нужно
прибавить к прежнему значению х', чтобы получить новое
значение х".
Действительно, если эту разность обозначим через А, т. е.
если напишем:
х" — x' = fi,
то отсюда получим:
т. е. новое значение равно прежнему плюс приращение.
Приращение h обозначается еще и другим способом и должно
сказать, что этот другой способ предпочтительнее первого. Именно,
по-латыни разность называется differentia; но так как буквой d
в дифференциальном исчислении обозначается специальное понятие
«дифференциала» (о чем будет дальше), то для обозначения при-
приращения переменной берется буква Д—«дельта» греческого
алфавита, соответствующая латинскому d. Сообразно этому пои-
нято писать приращение х" — х' в виде значка
который читается так: «дельта икс прим». Этот значок есть
единое целое, и нельзя отделить Д или рассматривать его как
множитель, стоящий при х'. Значит, новое значение х" теперь
напишется в виде
Подобным же образом, если переменное у перейдет от у
к новому значению, получив приращение Ду, то новое значение
напишется в виде
Точно так же новое значение для переменного z пишется: г* -\- Дг'
и т. д. Значки Ьх\ Ду', Дг' и т. д. очень удобны, потому что
сразу видно, для какого переменного берется приращение.
§ 18 ПОСТОЯННАЯ ВЕЛИЧИНА КАК ПЕРЕМЕННАЯ 29
Сделаем одно важное примечание: число х\ которое мы назвали
«старым значением», или «прежним значением», называется обычно
просто первоначальным значением, и его чаще всего обозначают
той же буквой X) что и самую переменную величину х, т. е.
без значка «прим» вверху.
Сообразно этому первоначальное значение переменной вели-
величины будет х, а новое значение будет х-\-кх.
Чтобы геометрически изобразить приращение Дл переменной
величины х, изобразим точкой М первоначальное значение х9
а новое ее значение х-\-кх изобразим N (рис. 19).
Рис. 19
Значит, отрезок ОМ равен х и отрезок ON равен х-\-кх.
Отсюда следует, что отрезок MN, направленный от старой
точки М к новой точке N, и есть геометрический образ
приращения Ьх.
Если бы новое положение N было левее старого Му то
отрезок MN был бы направлен влево, и приращение Дл было
бы отрицательным, потому что новое значение х -\- kx оказалось
бы меньше старого х.
§ 18. Постоянная величина как переменная. На первый
взгляд, понятия переменной величины и постоянной величины столь
противоположны, что их нельзя и сравнить. На самом деле
очень часто бывает полезно рассматривать постоянную вели-
чину как частный случай переменной величины.
Делается это вот зачем: нередко, изучая какую-нибудь фор-
формулу, можно, на первый взгляд, подумать, что имеют дело с
истинной переменной величиной, и только внимательное изучение
ее обнаруживает, что это не переменная, а постоянная
величина.
Например, лицо, не знающее тригонометрии или забывшее ее, легко может
счесть сумму
sin21 + cos21
за переменную величину, так как, когда меняется время t, изменяются и оба
слагаемых суммы. Но известно, что эта сумма всегда равна единице.
Аналогично можно думать, что дробь
\-t*
есть переменная величина, цохому что числитель лмеет другой вид, чем зна-
знаменатель. На самом же деле числитель равен знаменателю, и дробь
просто Ь
30 величина гл. п
И геометрически также может случиться, что постоянная величина явится
частным случаем переменной. Например, если точка М движется как-нибудь
на плоскости, ее расстояние х от наблюдателя вообще меняется, т. е. является
переменной величиной. Но если точка М бежит по кругу, в центре которого
стоит наблюдатель, то х будет постоянной величиной, равной радиусу этого
круга.
Включить постоянную величину в разряд переменных можно
вот каким образом: переменную величину л мы выше рассматри-
рассматривали как проходящую последовательно через ряд значений. Но
в частном случае эти значения могут оказаться все равными
друг другу. В этом случае переменное л является на самом деле
постоянной величиной С.
Приращение АС постоянной величины С равно нулю, потому
что всякое новое значение всегда равно старому значению (раз
все значения равны между собой), и поэтому их разность есть
нуль:
ДС=0.
Очевидно, верно и обратное предложение: величина, у кото-
которой приращение всегда равно нулю, есть величина постоянная.
Ясно также, что всякая постоянная величина С есть вели-
величина ограниченная, ибо ее абсолютная величина остается неиз-
неизменной и, следовательно, меньше некоторого постоянного числа.
ГЛАВА III
ФУНКЦИЯ
§ 19. Функция. Наблюдения в текущей жизни с очевидностью
убеждают нас в том, что одни переменные величины зависят
от других. Говоря наиболее общим образом, ту переменную ве-
величину, которая зависит от другой, называют функцией этой
другой. -
Почти все величины, наблюдаемые в действительности, зави-
зависят одни от других, будучи связаны между собою. Почти все
научные проблемы имеют дело с соотношениями величин, т. е.
с зависимостью их друг от друга. В опытах повседневной жизни
мы постоянно сталкиваемся с обстоятельствами, подтверждающими
эту зависимость одной величины от другой. Так, тяжесть, кото-
которую может поднять человек, зависит от его силы, если считать
другие обстоятельства одинаковыми. Равным образом расстояние,
которое пробегает мальчик, зависит от времени, т. е. есть функ-
функция времени. Площадь квадрата есть функция его стороны, объем
шара есть функция его радиуса и т. д.
Математический анализ выделяет понятие функции и изучает
свойства функций, отвлекаясь от того, какие зависимости между
физическими величинами они выражают.
§ 20. Зависимые и независимые переменные. Переменное,
численные значения которого находятся всецело в нашем распо-
распоряжении, т. е. то переменное, которому можно приписать какие
угодно численные значения в границах, зависящих от рассматри-
рассматриваемой частной задачи (т. е. произвольные допустимые значе-
значения), называется независимым переменным, или еще иначе — ар*
zy ментом. Переменное же,численное значение которого вполне
определится, коль скоро дается численное значение независимого
переменного, называется переменным зависимым, или функцией.
Когда мы рассматриваем два такие связанные одно с другим
переменные, часто от нас самих зависит, которое из них принять
за независимое переменное. Но всякий раз, как такой выбор
уже сделан и нами после такого выбора написаны некоторые
32 функция гл. m
формулы, менять дальше роли независимого и зависимого пере-
переменных уже нельзя, по крайней мере, без больших предосторож-
предосторожностей и без введения надлежащих дополнительных формул.
Одна какая-нибудь переменная величина может оказаться
в действительности функцией одновременно двух или даже
большего числа других переменных величин. Например, цена
предлагаемой материи есть функция ее качества и ее количе-
количества; площадь треугольника есть функция основания и высоты;
объем прямоугольного параллелепипеда есть функция трех его
ребер и т. д.
§ 21 • Характеристика функции. Мы уже указали на то
обстоятельство, что современное естествознание изучает зависи-
зависимости одних переменных величин от других, т. е. занимается
изучением функций.
Открытие закона, по которому одна переменная величина
зависит от другой,— это та цель, которую ставит себе всякая
ветвь естествознания. Цель считается достигнутой, когда удается
выразить зависимость наблюдаемой переменной величины у от
другой наблюдаемой переменной величины х с помощью матема-
математических знаков, т. е. с помощью формулы.
Например, механика ищет зависимость длины пути s, прой-
пройденного падающим в пустоте телом, от времени t9 в течение
которого падало это тело. И когда механика пишет эту зависи-
зависимость в виде формулы
где ?=981, ... см\секгу то вопрос решен до конца, так как за-
закон открыт.
Всякая формула есть не что иное, как указание тех мате-
математических действий, которые надо произвести над величинами,
входящими в формулу.
Таким образом, всякая формула, выражающая зависимое
переменное у через х, есть не что иное, как совокупность
тех действий, которые надо произвести над независимым
переменным х и над коэффициентами, чтобы получить у.
Так, например, уравнение
Зх2 -}- lg х — sin x
У
ясно указывает, что именно нужно проделать с х и некоторыми
постоянными числами, чтобы получить у.
Часто случается, что одна и та же функция у от незави-
независимого переменного х много раз встречается в каком-либо иссле-
исследовании. Чтобы не выписывать каждый раз полностью формулу,
выражающую зависимость у от х, что явилось бы крайне затруд-
§ 21 ХАРАКТЕРИСТИКА ФУНКЦИИ 33
нительным, когда выражение у через х очень громоздко1, согла-
согласились обозначать эту формулу сокращенно, одной буквой.
Именно, согласились писать
обозначая значком f(x) рассматриваемую формулу, содержащую
независимое переменное х. Это равенство читают так: «игрек
есть функция от икса», или, еще короче, «игрек есть эф от икс».
В этом обозначении букву / называют характеристикой
функции, причем она обозначает просто совокупность тех
действий, которые надо проделать над величиной х, чтобы
получить величину у.
Если в одном и том же исследовании встречается несколько
различных функций от одного и того же переменного х, будет
неудобно и вызовет крайнюю путаницу употребление одной и
той же буквы для обозначения различных характеристик этих
функций. Так, если встречаются функции:
^ и т. д.,
то лучше писать сокращенно:
y=f(x), z = F{x), t=<$>{x)y u = <t(x) и т. д.
Но если одна и та же зависимость связывает разные пары
букв, можно и должно употребить ту же самую букву для
характеристики, потому что вид зависимости остается один
и тот же. Так, например, если
то следует писать сокращенно:
y=f{x) и v=f(u)9
потому что совокупность / действий та же самая в обоих слу-
случаях. Таким образом, всякая характеристика в течение одного
рассуждения необходимо должна обозначать одну и ту же сово-
совокупность действий; для обозначения различных совокупностей
действий должны употребляться различные характеристики.
По поводу сокращенного способа письма
следует заметить, что он удобен и не ради устранения одной
только громоздкости: часто бывает так, что, наблюдая в при-
природе изменение переменной величины у, зависящей от х, мы еще
1 Например, формула движения луны занимает около восьмидесяти страниц.
2 Дифференциальное исчисление
34 функция гл. ш
не успели открыть математическую структуру этой зависимости,
т. е. еще не умеем изобразить у в виде математической фор-
формулы, содержащей ху потому что от нас еще скрыта совокуп-
совокупность математических действий, дающих у. В этом случае самая
зависимость у от х на деле сказывается только в том, что
изменение величины х вызывает изменение величины у и по-
постоянство х сопровождается постоянством у.
Именно здесь-то и оказывается особенно удобным сокращен-
сокращенный способ записывания:
потому что характеристика / как раз обозначает эту еще нам
не известную совокупность действий. В этом же случае зависи-
зависимость величины у от х облекается в форму соответствия: мы
говорим, что у есть функция от х, если всякому рассматри-
рассматриваемому значению х соответствует определенное значение у.
Следует сказать, что учащийся уже, собственно, знаком
с такого рода символическим обозначением. Так, когда он в три-
тригонометрии встречает
j/ —sin.*, y = cosx, y = \gx, y = ztgx, y = diizs\nx и т. д.,
а также в алгебре
у = lg jc,
то символы sin, cos, tg, ctg, arc sin, lg как раз и обозначают ха-
характеристики функций, прямое выражение которых через х не
может быть дано элементарной математикой.
Наконец, когда переменное z является функцией многих,
например двух, независимых переменных х и у, то пишут:
где f(xt у) обозначает формулу, известную или еще не извест-
известную, содержащую переменные хну.
§ 22. Вычисление функций. Когда у есть функция аргумента
х с характеристикой /:
У =/(*),
тогда естественно обозначить через
то численное значение, которое принимается функцией у при
получении ее аргументом х численного значения а (т. е-
для х = а).
§ 23 ОБЛАСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ АРГУМЕНТА 35
Например, если f(x) = х2 — 9х + 14, тогда
/() = 02 —9-0+14=14,
/(— 1) = (— IJ — 9 - (— 1) +14 = 24,
/C) = 32 —9-3+14 = —4
и вообще, когда а есть какое-нибудь численное значение аргу-
аргумента х, мы имеем:
f(a) = a2 — 9а+14.
Такие же вычисления делаются и с функциями двух и более
независимых переменных: если z есть функция двух аргументов
х и у с характеристикой /
*=/(*, У),
тогда обозначают через
Ж *)
то численное значение, которое принимается функцией г при
получении ее аргументами хну численных значений а и b (т. е.
для х = а и у = Ь).
Например, если
fix у)— х~у
то
/B, 1) = 22-(- 12~~5~*
/и т— 3~°
и вообще
§ 23. Область изменения аргумента. По самому определению
функции y=f(x), зависимое переменное у получает вполне опре-
определенное численное значение всякий раз, как аргументу х нами
дано определенное численное значение. Но отсюда отнюдь еще
не следует, что мы можем давать аргументу х решительно всякие
численные значения. Могут иметься такие исключительные значе-
значения аргумента х> при которых формула разрушается, утрачивая
всякий математический смысл. Эти исключительные значения
аргумента х называются особыми для рассматриваемой формулы.
Так, например, функция
36 функция гл. in
особой величиной аргумента имеет х = Ъ> потому что прил: = 5
делитель делается нулем и величину у уже вычислять невоз-
невозможно, ибо делить на нуль нельзя.
При особых величинах аргумента функцию прямо
но формуле нельзя вычислять, потому что фор-
формула утрачивает при этих значениях аргумента
всякий численный смысл. Но, кроме особых значений аргу-
аргумента х, приходится часто избегать давать х такие величины, при
которых формула дает мнимые значения для уу хотя и вполне
определенные. В задачах практики нередко приходится избегать
давать х такие значения, при которых у мнимое, потому что
практике с мнимыми числами часто нечего делать.
Например, функция
мнима, когда х отрицателен. Приходится, следовательно, ограни-
ограничиваться положительными значениями х.
Функция
при основании а положительном становится мнимой, если х от-
отрицателен: ведь отрицательные числа не имеют действительных
логарифмов.
Аналогично функции
у = arc sin x,
у = arc cos x
не имеют смысла для х вне отрезка [— 1, +1], потому что синус
и косинус яе могут быть больше 1 и меньше —1.
Напротив, функции
хг — 2х + 5, sin xy arc tg x
можно вычислять при всяких конечных действительных х.
Всякая функция y=f(x) имеет свою собственную совокуп-
совокупность всех допустимых значений для аргумента х. Эта сово-
совокупность допустимых значений аргумента называете я областью
определения функции.
Пример. Найти совокупность допустимых значений аргумента функции
У 4 + х + У 3 — я, приняв во внимание одни только действительные значения.
Решение. Чтобы первое слагаемое было действительным, надо, чтобы подко-
подкоренное выражение 4-{-х было положительным или нулем. Поэтому х ^ — 4.
С другой стороны, чтобы второе слагаемое не дало мнимого числа, надо, чтобы
^3. Значит, область определения есть отрезок [—4, -J-3].
§ 24 ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ 37
§ 24. Приращение функции. Для дифференциального исчисле-
исчисления в высшей степени важно уметь находить приращение
функции, ибо-полное значение функции достигается нами лишь
тогда, когда мы знаем ее изменение при изменении аргумента.
А для этого мы должны уметь вычислять для функции у ее прира-
приращение Ду, когда мы даем ее аргументу х приращение Д.*.
Итак, пусть у=/(х) есть изучаемая функция.
Предположим, что аргумент сначала имеет некоторое значение
х, а затем получаем приращение Дл;. Тогда новое значение1
аргумента будет л + Дл;.
Но раз аргумент изменился и перешел от старого значения х
к новому значению х-\-кх, изменится и зависимое переменное,
перейдя от старого значения у к некоторому новому значению
у-\-Ьу, где Ду есть приращение функции, вызванное приращением
Дл; аргумента.
Но если аргумент имел старое значение, то и значение функ-
функции тоже было старым. Значит:
А если аргумент получил новое значение, то и значение функции
тоже сделалось новым. Следовательно,
Вычтя из этого равенства предыдущее, мы найдем основное,
важнейшее по следствиям и по приложениям равенство:
Таким образом, чтобы вычислить приращение Ду функции
y=zf{x), надо сделать следующие шаги:
Первый шаг. Заменить в формуле/(л), дающей функцию,
старый аргумент х на новый, наращенный аргумент х-\-1х.
Получим новое значение f(x-\-kx) нашей функции.
Второй шаг. Взять старое значение/(л;) функции.
Третий шаг. Вычесть из нового значения f(x-f-Дл:) ее ста-
старое значение f{x). Разность f{x-\-kx)—f(x) и есть искомое
приращение Ду функции.
Пример 1. Найти приращение функции у = х2.
Решение. Первый шаг [замена первоначальной величины х на нара-
наращенную величину аргумента (х + Д#)] дает:
К
Второй шаг (взятие функции при старом аргументе) дает х\
О приращении переменного вообще см. § 17 предыдущей главы.
38 функция гл. ш
Третий шаг (составление разности новой и старой величин функции)
дает формулу приращения:
коирая после вычисления и упрощения принимает вид:
Пример 2. Найти приращение функции у=:Ух.
Решение, Согласно общему правилу, имеем:
Ду = Ух -J- Дх — У"х.
Это приращение после преобразований можно представить в виде:
- У*) (
Пример 3. Найти приращение функции у = 5 — Зх -}- 4х5.
Отв. Д^ = (— 3 + 12л:2) Д* + 12х (ДхJ + 4-(ДхK.
§ 25. Геометрическое изображение функций. Мы уже видели,
что всякая величина изображается точкой. Легко также геомет-
геометрически изобразить всякую функцию.
Пусть нам дана некоторая функция у аргумента х:
y=f{x),
определенная в некотором промежутке.
Это значит, что всякому значению переменного х из этого
промежутка отвечает одна совершенно определенная величина
переменного у.
Заметив это, возьмем прямоугольную систему координатных
осей XOY на плоскости. Пусть Р есть точка рассматриваемого
промежутка, у которой абсцисса равна х. Если мы восставим к
оси абсцисс перпендикуляр в этой точке Р, то на этом перпенди-
перпендикуляре всегда можем отыскать такую единственную точку Ж,
ордината которой РМ в точности равна величине f(x) нашей
функции (рис. 20). Значит, мы имеем:
ОР=х, PM=y=
Вообразим, что наше построение мы проделали для всех зна-
значений, которые можно дать переменному х. Тогда во всех точках
Р нашего промежутка будет восставлено по перпендикуляру
и на всяком перпендикуляре будет отложено по отрезку Рму
равному значению данной функции у, когда аргумент имеет зна-
значение абсциссы точки Р.
В результате геометрическое место точек М образует неко-
некоторую кривую (рис. 21).
Таким образом, всякая функция f(x) может быть изобра-
изображена геометрически такой кривой, ордината которой у в лю-
§ 26
rE0METPH4FXFC0E ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРИРАЩЕНИЯ ФУНКЦИИ
39
бой точке х оса абсцисс в точности равна численному значе-
значению f(x) функции, когда ее аргумент равен абсциссе х.
Обратно, если мы имеем кривую, пересекаемую всякой прямой,
перпендикулярной к оси абсцисс в одной только точке, то такая
кривая изображает вполне определенную функцию, именно ту,
численные значения которой равны ординатам кривой при
численных значениях аргумента, равных абсциссам.
О х р
Рис. 20
Q x P
Рис. 21
Это обстоятельство можно выразить весьма кратко, сказав;
для всякой кривой ордината есть функция абсциссы.
В результате функция и кривая оказываются так тесно связан-
связанными друг с другом, что не приходится удивляться тому, что
математик, естественник и статистик отождествляют в уме эти
два понятия и, говоря о функциональной зависимости, своим
воображением видят соответ-
соответствующую кривую.
§ 26. Геометрическое изобра-
изображение приращения функции. Раз
всякая функция з/=г/(я)изобрази-
ма геометрически в виде кривой,
то весьма важно получить геоме-
геометрическое изображение ее при-
ращения Ду.
Пусть данная функция
У=/(х)
изображена геометрически в виде
кривой (рис. 22.)
Пусть точка Р на оси X изоб-
изображает первоначальное значение
аргумента, т. е. пусть отрезок ОР равен х. Тогда ордината РМ
равна значению рассматриваемой функции при этом значении ар-
аргумента, т. е. имеем РМ=/(х)=у. Дадим х приращение Дл;;
тогда новым значением аргумента будет x-\-kx. Если точка Р'
изображает это новое значение аргумента, то направленный отре-
40 функция гл. /in
зок РР' (от точки Р к точке Р') изобразит приращение кх, т. е.
РР' = кх. Поэтому ордината Р М' равна величине нашей функ-
функции для нового значения аргумента, т. е. имеем:
Но величина функции при новом значении аргумента является,
очевидно, ее новым значением, равным, поэтому, ее старому зна-
значению у плюс приращение Ду. Значит,
Теперь достаточно провести через точку М параллель к оси
ОХ> чтобы получить прямоугольник PP'QM, в котором сторона
P'Q равна у.
Следовательно, приращение Ду функции геометрически изо-
изображается вертикальным катетом QM' криволинейного пря-
прямоугольного треугольника MQAV.
Заметим, что горизонтальным катетом MQ этого треуголь-
треугольника служит приращение Дд; аргумента, гипотенузой же —
дуга ММ' кривой, изображающей данную функцию у=/(х).
§ 27. О различном происхождении функций. С формальной
точки зрения переменная величина у является тогда функцией
переменной величины х:
У =/(*),
когда всякому численному значению переменного х отвечает
вполне определенное численное значение переменного у.
Учащийся, однако, не должен переоценивать силы этого опре-
определения функции, потому что в нем выражается только та мысль,
что когда нам дается численное значение для х, то мы умеем
вычислить или вообще как-то определить соответствующее чис-
численное значение для у. И ничего больше в вышеприведенном по-
понятии функции не содержится.
Поэтому эта формальная точка зрения является, собственно
говоря, лишь логической схемой; в которой мы уклады-
укладываем самые разнообразные по своей природе функциональные за-
зависимости.
I. Наше умение вычислять у, задав себе х, может происте-
проистекать из полного знания тех аналитических {алгебраических)
операций, которые следует произвести над х, чтобы получить у.
Таков, например, случай, когда у дается каким-нибудь дроб-
дробным выражением от буквы х, вроде
У—
§ 28 КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ 41
II. Полная определенность переменного у при знании вели-
величины х может проистечь из фактов геометрической природы
при полном неумении отыскать соответственное аналитиче-
аналитическое выражение.
Таков, например, случай, когда мы имеем абсолютно точную
окружность радиуса 1, на которой измеряются дуги х (рис. 23).
Ордината РМ точки М, описывающей эту окружность, очевидно,
равна sin x, если дуга AM обозначена через х, потому что угол
АОМ измеряется дугой AM окружности. Эту ординату sin x мы
можем определить с безграничной точностью, и однако сущность
тех аналитических действий, которые надо проделать над х9
чтобы получить sinx, нам остается пока неизвестной. Учащийся
видит поэтому, что здесь знак синуса sin ( )
не стоит большего, чем самый общий функ-
циональный значок /( ).
III. Наконец, зависимость переменного у
от х может проистекать не из какой-либо
аналитической формулы и не из геометри-
геометрической обстановки, но может создаться фак-
фактами механического характера.
Таков, например, случай движения в кос-
космическом пространстве тела, подчиненного Рис* 23
только силам всемирного тяготения. В принципе, одно лишь зна*
ние места этого тела и его скорости в какой-нибудь фик*
сированный момент времени tQ определяет положение этого тела
во все времена. Таким образом, это положение есть совершенно
определенная функция времени t Однако мы не имеем для нее
ни точных аналитических формул, ни точно указанной геометри-
геометрической кривой.
§ 28. Классификация функций. Предварительное заме-
замечание. Здесь рассматриваются функции у только от одного не-
независимого переменного х. Всякая такая функция у пишется
в виде
y=f{x),
где f(x) есть формула, содержащая х и дающая величину рас-
рассматриваемой функции у. Эта формула является совокупностью
математических действий, проделываемых над аргументом х> и
ясно, что чем больше этих действий и чем они труднее выпол-
выполняемы, тем более сложной является сама функцияy—f(x) и тем
ее труднее изучать.
Поэтому, прежде чем приступить к изучению всяких функций
f{x), естественно постараться сначала их расклассифицировать по
характеру указанных в формуле f(x) аналитических действий,
2В дифференциальное исчисление
42 функция гл. ш
Многочлены
Так называются такие функции, f{x), которые получаются
из х только тремя первыми действиями арифметики: сложением,
вычитанием и умножением. Эти действия должны быть притом
Проделаны конечное число раз.
Из элементов алгебры известно, что когда произведены упро-
упрощения, т. е. когда все скобки раскрыты и все подобные члены
соединены в один, то многочлен можно написать но убывающим
степеням аргумента х, например:
у + — 3,
у = ах2 + Ьх + с
и т. д. Самый старший член пишется первым. Его степень назы-
называется степенью всего многочлена» Так, первый многочлен есть
кубический, второй квадратный.
Рациональные функции
Если к сложению, вычитанию и умножению мы прибавим еще
действие деления, то получающиеся при помощи этих четырех
действий (проделанных конечное число раз) функции называются
рациональными. Эти функции, разумеется, не содержат радика-
радикалов, относящихся к аргументу, и если мы выполним надлежащие
упрощения, то эти функции пишутся довольно просто: в виде
отношения двух многочленов.
Например, если
2х-~3 . Ъх — 2
х—2
то эта же самая функция у после выполнения указанных действий
изображается гораздо проще:
v=-~ , --23*2 + Ш + 2
У хг — x
Явные алгебраические функции
Если к четырем предыдущим действиям — сложению, вычита-
вычитанию, умножению и делению — мы присоединим еще одно дейст-
действие— извлечение радикалов любых степеней: квадратных, ку-
кубичных и т. д., то получаемые от выполнения этих пяти дейст-
§ 28 КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ 43
вий * (в конечном, разумеется, числе) функции называются явны-
явными алгебраическими.
Так,
2
есть явная алгебраическая функция.
Явные алгебраические функции вообще очень сложны и редко
могут быть упрощены.
Важно, однако, заметить, что, проделывая надлежащие пре-
преобразования, все радикалы можно устранить. Но это достигается
ценою того, что мы получаем такое равенство, где буква у встре-
встречается уже в квадрате, кубе и в еще более высоких степенях.
Например, явная алгебраическая функция
допускает вот такие преобразования:
и окончательно
где уже нет радикалов, но где у входит в высоких степенях
Как общее правило следует отметить, что
всякая явная алгебраическая функция y=f(x) после над-
надлежащих преобразований, предпринятых для удаления ради-
радикалов, приводит к уравнению вида
где F есть многочлен от двух букв х и у, т. е. к уравнению
вида
()y + ()y + ()y++()y + () y
где А (х), В(х), С(х), ¦ •,, Н(х) суть многочлены от одной только
буквы х.
1 Учащийся должен помнить, что в расчет берутся лишь действия, проде-
проделываемые над теми частями формулы, в которые аргумент х входит на самом
деле у но отнюдь не принимаются во внимание действия, проделываемые над
коэффициентами, ибо последние дают опять только коэффициенты же. Напри-
Например, функция У 2 хь — 6# -}~ 8 есть просто многочлен третьей степени, так
как радикал У~2 считается целиком за один из коэффициентов, притом этот
радикал можно обозначить одной буквой и написать весь многочлен в виде
ах* — бх + 8. Здесь радикала уже нет, и а есть постоянное число, не содер-
содержащее буквы х, равное У 2.
2В*
44 функция гл. ш
Неявные алгебраические функции
Предыдущий результат наводит вот на какие размышления.
Выше мы назвали функцией всякое зависимое переменное у,
зависящее от аргумента л, и обозначили у через /(л):
где /(л) есть формула, выражающая у через л, т. е. указываю-
указывающая совокупность математических действий, которые нужно про-
проделать над лу чтобы иметь у. Если эта совокупность действий
еще пока нам неизвестна, то мы все-таки удерживаем прежнее
обозначение
где /(л) обозначает как раз ату самую не известную нам пока
совокупность математических действий.
Функция у называется явной, если известны все те деист-
вия, которые должны быть проделаны над аргументом л,
чтобы получить у.
Если же для определения функции у аргумента л нам дано
лишь уравнение, содержащее обе буквы у и л:
решение которого определяет функцию у, и если мы не умеем
решить это уравнение относительно буквы у или если мы не
лотим его решать, то тогда у называется неявной функцией
аргумента л.
Неявная функция у становится тотчас же явной, если мы
решим уравнение Р{л,у) = 0 относительно буквы у; в этом слу-
случае у=/(л) обозначает найденную при решении совокупность
действий над л. Если же мы не умеем решить уравнение
/• (jr9y)=z 0 относительно буквы у или забыли его решение, тогда
в способе писать у=/(л) значок /(л) обозначает эту неизвест-
неизвестную нам или забытую нами совокупность действий над л.
Если Р(лу у) обозначает многочлен от двул букв, л и у,
то неявная функция у, удовлетворяющая уравнению Г(л,у) = 0,
называется алгебраической неявной функцией от буквы л.
Сперва можно подумать, что всякая неявная алгебраическая
функция у обращается в явную алгебраическую функцию, стоит
только решить уравнение F(.?, j/) —0 с помощью радикалов. На
самом деле не всякое алгебраическое уравнение разрешимо при
помощи радикалов, и, значит, класс алгебраических неявных
функций более широк, чем класс явных алгебраических функций,
т. е. написанных при помощи радикалов.
Так, например, уравнение
§ 28 классификация функций 45
уже не разрешимо относительно буквы у с помощью радикалов
любых степеней и в любом количестве, если бы даже мы их
выписывали миллионы. Значит, это уравнение определяет букву у
как существенно неявную алгебраическую функцию от х, кото-
которая никогда не сделается явной, пока мы ограничиваемся рас-
рассмотрением первых пяти действий: сложения, вычитания, умно-
умножения, деления и извлечения радикалов.
Учащийся не преминет отметить, что каждый из рассмотрен-
рассмотренных четырех классов функций — многочлены* рациональные
функции, явные алгебраические, неявные алгебраические — объем-
лет все предыдущие. Так, многочлен есть частный случай рацио-
рациональной функции (когда ее знаменатель есть единица), рацио-
рациональная функция есть частный случай явной алгебраической
(когда все радикалы извлекаются) и, наконец, явная алгебраи-
алгебраическая функция есть частный случай неявной алгебраической
(когда уравнение разрешимо в радикалах).
Трансцендентные функции
Понятие трансцендентной функции является одним из наи-
наиболее слабых и уязвимых мест современного математического
анализа, потому что до сих пор еще не имеется прямого и поло-
положительного определения трансцендентной функции с перечисле-
перечислением и классификацией всех трансцендентных действий. Такой
каталог трансцендентностей пока невозможен.
Поэтому в настоящее время ограничиваются совершенно отри-
отрицательным определением трансцендентной функции, а именно:
трансцендентной функцией называется всякая не алгебраи-
алгебраическая функция (ни явная, ни неявная).
Вначале математический анализ имеет дело лишь со следую-
следующими простейшими трансцендентными функциями (так называе-
называемыми элементарными трансцендентностями):
1. Степенная трансцендентность. Это есть функция
вида
где а есть иррациональное число1, например ху 2.
2. Показательные функции, где аргумент находится
в показателе;
2\ а\ х\
р.
1 Дробная степень не дает ничего нового, так как xq обозначает у хРу
следовательно, есть явная алгебраическая функция. Иное дело — иррацио-
иррациональная степень.
ФУНКЦИЯ ГЛ. Ш
3. Логарифмические функции при различных посто-
постоянных основаниях:
log,*, lgx.
4. Тригонометрические функции, т. е.
sinx, cos х, tg.x, ctgA:, sec л, cosec*.
5. Обратные тригонометрические функции1
arc sin x, arc cos л, arctgjc, arcctgx.
В высших же ветвях математического анализа изучаются еще
и другие трансцендентные функции (например, ценные для меха-
механики эллиптические функции и др.).
Функция от функции
Классификацию функций на основе аналитического признака
мы заканчиваем указанием важного семейства функций, получаемых
комбинированием предыдущих классов. Именно, среди разнообраз-
разнообразных примеров получения функций все более и более сложных одним
из самых важных является образование так называемых «функций
от функций».
Вот сущность этого приема.
Предположим, что f(x) есть какая-нибудь данная нам функция,
определенная на отрезке [а^х^Ь]. Пусь ее величина при из-
изменении аргумента х от а до b остается всегда заключенной
между двумя числами А и В.
Пусть теперь <р (у) есть некоторая функция аргумента у, также
нам данная, определенная как раз на отрезке [А^у ^В]иля на
отрезке еще более широком, т. е. содержащем отрезок [А ^у *^В].
Если теперь мы будем рассматривать букву у как равную во
всякий момент по величине первой функции f{x), т. е. если мы
положим у—/(х), то тогда <р{у), т. е. <p[f(xj] окажется просто
обыкновенной функцией аргумента х. В знак ее происхождения
она называется «функцией от функции», причем первая функция
аргумента х, т. е. f(x), называется внутренней, а вторая функ-
функция с аргументом у, т. е. <р (у), называется внешней (наружной).
1 Равенство у = arc sin х читается так: игрек равен углу, синус которого
есть х (по-латыни угол или дуга называется arcus). Значит, написанное соот-
соотношение между буквами у и х есть не что иное, как перефразировка перво-
первоначального уравнения ^ = i
Например, равенство (первоначальное) tg-j=l можно написать в виде
§ 28 классификация функций 47
Ясно, что полученная таким образом новая функция аргумента,
написанная явно:
или неявно:
у (у), где у=/{х),
определена везде на отрезке [а ^ х <, Ь\ ибо всякой величине х
этого отрезка отвечает вполне определенная величина у и, значит,
вполне определенное число <?(у).
Разумеется, мы можем продолжать и дальше: если величина
второй функции (f(y) все время содержится в том отрезке, где
определена некоторая третья функция аргумента z, например
ф(г), то можно, положив 2 = <р (у), рассматривать <b(z) опять как
функцию первоначального аргумента х> написав ее или явно в виде
или неявно в виде
ф(г), где z — ifiy), y=f(x).
И так далее.
Здесь кроется некоторое общее понятие, которым учащийся
уже пользовался много раз. Так, функция sin8 x есть не что иное,
как функция уг9 где у замещено через sin x, функция У\ -j- sin2 x
есть просто Уг, где z замещено через 1 -\-уг, а буквам, в свою
очередь, замещена через sin x. Функция а10**" может быть рас-
рассматриваема как ау, где у замещено через log^x, притом а1о2«ж есть
просто х (если л:>0), как это следует из теории логарифмов.
Более того: щожно утверждать, что всякая написанная в ко-
нечном виде функция аргумента х (т. е. выраженная через
конечное число элементарных знаков, вроде "[/"", lg, sin и т. д.)
составляется повторным применением операции «функции от
функции». Учащийся скоро убедится в этом, если станет разби-
разбивать любые сложные написанные функции аргумента х на повтор-
повторные применения принципа «функции от функции».
Пример. Разбить функцию
на повторные процессы функции от функции.
Решение. Ясно, что написанная функция составлена так:
Мы переходим сейчас к указанию еще нескольких классов
функций исходя скорее из геометрического признака, чем чисто
аналитического.
48
ФУНКЦИЯ
гл. ш
Однозначные и многозначные функции
Переменное^ называется однозначной функцией другого пере-
переменного х, если каждому значению л соответствует одно и только
одно значение у. Так, в уравнении
у = 3х* A)
у есть однозначная функция от л.
Если каждому значению переменного л соответствует не одно,
а несколько значений переменного у, то оно называется много-
многозначной функцией от л. Например, уравнение
х = 3у* B)
определяет у как двузначную функцию от х, потому что
-±/т-
C)
Легко объяснить, откуда взялась двузначность функции
у, определенной из уравнения B). Для этого заметим сперва, что
Рис. 24
Рис. 25
уравнение A) есть уравнение параболы, имеющей вершину в на-
начале координат О и ось ординат OY своей осью (рис: 24).
А так как парабола, расположенная указанным образом, пере-
пересекается лишь в одной точке всякой прямой, параллельной ее оси,
то однозначность функции у, определенной из уравнения A),
сама собой понятна.
Теперь уравнение B) отличается от уравнения A) только тем,
что в нем буквы л и у переставлены. Это показывает, что
уравнение B) есть уравнение той же самой параболы, .с той
только разницей, что оси координат ОХ и OY поменялись местами.
Значит, для уравнения B) наша парабола будет иметь такое
расположение, какое указано на рисунке 25. Поэтому д в у з н а ч-
§ 28
КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ
н о с т ь функции у, полученной от решения уравнения B), вполне
понятна: парабола, изображенная на рисунке 25, расположена сим-
симметрично относительно ее оси ОХ и всякая параллель оси OY ее
пересекает в двух точках, симметрично (зеркально) расположен-
Рис. 26
ных по отношению к оси ОХ; одна из этих точек имеет положи-
положительную ординату + у ~, другая — отрицательную — у -~,
с той же самой абсолютной величиной.
Таким образом, однозначные функции возникают от изо*
бражения кривых, пересекаемых параллелями оси OY в одной
только точке; если же кривая повернута У
так, что пересекается каждой такой
параллелью в нескольких точках,
тогда изображающая ее функция мно-
многозначна.
Пример. Показать, что функция arc sin x
есть бесконечндзначная.
Решение.Функция sinx есть однозначная
и уравнение y = sinx есть уравнение волнистой
линии (синусоиды), проходящей через начало^ коор-
координат О и пересекаемой всякой вертикальной пря-
прямой только в одной точке (рис. 26). Важно, что
линия эта состоит из бесконечного числа одинаковых
волн, идущих в горизонтальном направлении, при-
причем их гребни поднимаются над осью ОХ на рас-
расстояние + 1, а впадины их находятся под осью ОХ
на расстоянии —1.
Очевидно, что уравнение х = sin у, полученное
из предыдущего обменом мест буквами х и у, изо-
изображает ту же самую кривую, но только постав-
поставленную вертикально (рис. 27). Ясно, что проекция
вертикально стоящей кривой на ось ОХ есть отре-
отрезок [—1, +!]• Ясно, наконец, что всякая парал-
параллель оси ОУ, пересекающая этот отрезок, обяза- Рис. 27
телъно пересечет нашу кривую в бесконечном
числе точек. Поэтому функция у = arc sin x, полученная решением уравнения
х = sin у относительно неизвестного у} есть функция б е с к о н е ч н о-з н а ч н а я.
50
ФУНКЦИЯ
ГЛ. Ill
Возрастающие и убывающие функции
Одна из важнейших задач математического анализа состоит
в изучении изменения функций. Самым простым изменением функ-
функции является такое, при котором функция возрастает или убы-
убывает. Дадим точное определение, что нужно понимать под этим.
Какая-нибудь функция y—f(x), заданная на отрезке [а, Ь\
называется возрастающей на этом отрезке, если чем больше
будет взятая величина аргумента х9 тем большим станет соот-
соответствующее значение функции. И аналогично, f(x) называется
убывающей на отрезке [а, Ь\ когда увеличение величины аргу-
аргумента х влечет за собой, наоборот, уменьшение значения функции.
С аналитической точки зрения, это значит, что из неравенства
следуем неравенство
/C*iX/(«*i)» если функция есть возрастающая,
и неравенство
/(хг)>/(хг), если функция есть убывающая.
С геометрической точки зрения, возрастающая функция изобра-
изображается кривой, поднимающейся направо вверх, а убывающая
функция изображается кривой, наоборот, опускающейся направо
вниз (рис. 28 и 29).
№
№
X
ft»)
а
flbj
Р
Рис. 28
а р
Рис. 29
У возрастающей функции самая малая величина (минимум) на
отрезке [а, Ь\ осуществляется в его левом конце, т. е. при х — а9
а самая большая величина (максимум) осуществляется в его пра-
правом конце, т. е. при х = Ь. У убывающей, наоборот, максимум
имеется в левом конце а, а минимум — в правом конце Ь.
Если аргумент х возрастающей функции f(x) увеличи-
увеличивается от а до Ь, точка Р, имеющая х своей абсциссой, движется
по оси ОХ вправо, тогда соответствующая точка М движется по
кривой, а ее проекция Q на ось OY движется по этой оси посто-
постоянно вверх (рис. 28). Наоборот, если функция f(x) есть убы-
убывающая, тогда при увеличении ее аргумента х от а до Ъ%
точка Q движется по оси OY постоянно вниз (рис. 29).
§ 28
КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ
51
Функции возрастающие и функции убывающие называются
все вместе монотонными функциями. Из того, что сейчас
было сказано, вытекает следствие:
если у монотонной функции y=f(x) аргумент х возраста-
возрастает, то численное значение этой функции есть монотонная
переменная величина.
Определение. Функция у =/(¦*;), монотонная на отрезке
Ь\ называется непрерывной на этом отрезке,
если ее численное значение есть непрерывная переменная вели-
величина.
Отсылая учащегося к § 16, где было дано определение моно-
монотонной непрерывной переменной величины, мы напоминаем ее
основное свойство: проходить последовательно через все про-
промежуточные значения, лежащие между двумя ее крайними
значениями.
У
в
С
0
а
1
fib)
Рис. 30
Рис. 31
Так как в данном случае точка у движется по оси ординат
OY, 2l двумя крайними ее значениями служат максимальное и
минимальное значения f(a) и f(b) функции/(jc) на отрезке [а, Ь\
то значение у изменяется монотонно и непрерывно, не делая скач-
скачков и проходя последовательно по одному разу через все про-
промежуточные значения между f(a) и f{b).
Монотонные функции, изображенные на рисунках 28 и 29, оче-
очевидно непрерывны на отрезке [а, Ь].
Если же монотонная функция f(x) не непрерывна на отрезке
[а, Ь\ то ее численная величина у делает скачок, как было разъ-
разъяснено в § 16, ибо у не может пробегать всех промежуточных
значений между f{a) и /F), но при своем изменении должна
оставить пустым некоторый промежуток (с, d), перескочив через
него.
Монотонные функции, возрастающая и убывающая, изобра-
изображенные на рисунках 30 и 31, очевидно разрывны на [а, в\ ибо
имеют скачок, потому что на промежуток {с, d) не попадает ни
одного численного значения той и другой функции.
52
ФУНКЦИЯ
ГЛ. ТП
Если под абсциссой х мы будем понимать время, тогда
численная величина функции f(x) будет зависеть только от вре-
времени, т. е. явится истинной переменной величиной, и тогда к ней
приложимо все сказанное в § 16 о скачке монотонной не непре-
непрерывной величины.
Дадим, наконец, следующее определение:
функция, немонотонная на отрезке [а, Ь], называется ко-
колеблющейся на этом отрезке.
Примечание. Полезно иметь в виду следующее определение: если
колеблющаяся на отрезке [а, Ь] функция f(x) допускает разбиение этого
отрезка на конечное число
отрезков, на каждом из ко-
которых f(x) монотонна и не-
непрерывна, тогда такая ко-
колеблющаяся функция f(x)
называется непрерыв-
непрерывной на отрезке [а, Ь].
Было бы весьма естест-
естественным предположить, что,
вообще, всякая непрерывная
функция на отрезке [а, Ь], не
являющаяся на нем все вре-
время возрастающей или убы-
убывающей, позволяет разрезать
этот отрезок [а, Ь] на конеч-
конечное число таких более мел-
мелких отрезков [а, сг], [cv c2],
[с2, съ], ..., [ст, Ъ\ на каж-
каждом из которых рассматриваемая функция возрастает или убывает. К этому
как будто склоняет и рисунок 32, указывающий ясно, как надо сделать разрезы.
Но на самом деле это не так: возможность такого разрезания отрезка [а, Ь]
вовсе не следует логическим образом из определения непрерывности. Читатель
должен быть предупрежден заранее, что имеются такие функции y=f(x),
которые удовлетворяют определению непрерывности, которое будет дано даль-
дальше (см. гл. VI), и которые тем не менее не возрастают и не убывают (и не
постоянны) ни на каком сколь угодно мелком отрезке, являющемся частью
отрезка [а, Ь].
Обратные функции
Возьмем какую-нибудь функцию
у=П*\ A)
определенную на отрезке [а, Ь] оси ОХ. Здесь характеристика /
обозначает, как всегда, совокупность аналитических действий,
которые надо проделать над независимым переменным х, чтобы
получить численную величину переменного у. Но если в равен-
равенстве A) мы переменим роли х и у и будем рассматривать букву
у как переменное независимое, а букву х—как зависимое,
то тогда нам придется решать уравнение A) относительно вели-
§ 28 КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ 53
чины х, чтобы иметь ее численное значение при произвольно за-
заданном численном значении величины у. Ясно, что когда это
решение будет закончено, тогда буква х предстанет выраженной
через букву у в виде
B)
Таким образом, теперь уже буква х является некоторой функ-
функцией переменного уу подобно тому, как раньше буква у была
функцией / переменного х.
Функции f(x) и F(y) называются взаимно-обратными одна
по отношению к другой.
Их свойство взаимности следует из того, что если мы
вместо уравнения A) отправимся от уравнения B) и решим его
относительно буквы уу то должны будем, очевидно, придти к
первоначальному уравнению A).
Поэтому, теоретически говоря, от нас самих зависит,
которую из обеих функций f(x) и F(y) рассматривать как пря-
прямую функцию, а которую — как обратную функцию.
В нижеследующих примерах, если правые части в первом
столбце принять за прямые функции, то соответственные части
второго столбца будут их обратными функциями:
у = sin x, x = arc sin у.
Но в практическом отношении за прямые функции
обычно принимают однозначные функции, потому что обрат-
обратные им функции почти всегда многозначны.
Чтобы понять причину этого, рассмотрим сначала те редкие
случаи, когда обратная функция также однозначна. Это те слу-
случаи, кбгда данная функция у—f(x) монотонная и непрерывная
на отрезке [ау Ь] оси ОХ. Здесь мы имеем только две возмож-
возможности: либо f(x) есть возрастающая (рис. 33), либо убы-
убывающая (рис. 34).
Оба рисунка говорят одно и то же: когда переменное х не-
непрерывным движением описывает отрезок [а, Ь\ лежащий на оси
ОХ у тогда переменное у также-непрерывным движением описы-
описывает отрезок [с, d\ лежащий на оси OY. Если точка х движется
всегда направо, описывая отрезок [а, Ь], тогда в первом случае
точка у движется вверх, во втором случае — вниз.
Таким- образом, оба отрезка [а, Ь] и [с, d], лежащие на осях
ОХ и OY, точка по точке соответствуют друг другу. Если,
имея х, мы хотим найти у> нам надо в заданной точке х восста-
восставить перпендикуляр к оси ОХ; он пересечет кривую в точке Nly
54
ФУНКЦИЯ
ГЛ. Ill
ордината которой f(x) и будет искомой величиной у. Обратно,
если, имея у, мы хотим найти х, нам надо в заданной точке у
восставить перпендикуляр к оси OY; он пересечет кривую в той
же самой точке М, абсцисса которой F(y) и будет искомой
величиной х.
Уг/Л/
с
д a jc^ T
Рис. 33
О а х~~~
Рис. 34
Так как новое уравнение B) есть не что иное, как старое
уравнение A), только разрешенное относительно буквы jc, то, с
геометрической точки зрения, и старому уравнению A) y=f(x) и
новому уравнению B) x = F(y) соответствует та же самая кривая
линия, только для уравнения
у A) осью независимого пере-
переменного является ось ОХ, а
для уравнения B) осью не-
независимого переменного яв-
является ось OY.
Говоря образно, для на-
наблюдателя, идущего по
оси ОХ и имеющего голову,
направленной вверх в положи-
положительном направлении оси OY,
уравнением кривой линии бу-
будет прежнее уравнение A):
У =/(*)*
а для другого наблюдателя, идущего по оси OY (служащей те-
теперь для него осью его «абсцисс») и имеющего голову в положи-
положительном направлении оси ОХ (оси, играющей теперь для него
роль оси его «ординат»), уравнением той же самой кривой станет
новое уравнение B):
О
Рис. 35
Итак, когда данная функция у=/(х) есть монотонная и
непрерывная, обратная ей функция x = F (у) также монотонна
и непрерывна.
§ 28 классификация функций 55
Но когда данная функция у =/(.*) не есть монотонная, тогда
обратная функция л = F(у) всегда многозначная. Доста-
Достаточно просто взглянуть на рисунок 35, где прямая функция у =f(x),
хотя и непрерывная, но не есть монотонная на отрезке [я, b\ a
обратная функция x = F{y) есть уже трехзначная на промежутке
(а, р), ибо всякая прямая, параллельная оси ОХ, проведенная через
какую-нибудь точку у этого промежутка, пересечет кривую в трех
точках.
ЗАДАЧИ
1. Дано f(x) = х2 — 9х + 14; показать, что f(b + 1) = Ъ2 — 1Ь -f- б.
2. Дано f(x) = x3 — I(bc2-f 31х — 30; показать, что /@) = —-30, /B) = 0,
/C)=/E),/( —1) = —6/F)!
3. Если f(x) = x* + Zx2-5, найти /@), /A), /(-1), /B), /(-2).
4. Если F(x) = 4x, найти F{0), F( - 1), F (-7
5. Дано f(x)=:x9 — 1 Ox2 + 31% — 30; показать, что
f(x - 2) = х3 - 1бх2 + 83х - 140.
6. Дано / (х) = х2 — Ъх + 7; показать, что
/( + /) 2З + 7 +
/( + ) + + (
7. Дано /(х) = х2 + 4я — 1; показать, что
/(х + /г) -/(х) = Bх + 4) h + h\
8. Дано f(x) = —.; показать, что
9. Если Ф(х) — а*, показать, что Ф (у) • Ф (г) = Ф (_у + г),
1 —— jc
10. Дано Ф(х) = \%т—.—; показать, что
1 -J-X
11. Дано f(x) = sinx\ показать, что
f(x + Щ — /(х) = 2 cos (x + Л), sin А.
ГЛАВА IV
ПРЕДЕЛ
§ 29. Предел переменного. Мы рассматриваем переменную
величину х, которая изменяется все время. Изменяясь с течением
времени, переменное х принимает последовательно бесконечное
множество численных значений, через которые оно «проходит».
Для нас особенно существенно будет то обстоятельство, что
переменное х изменяется все время. Это значит, что переменное
х никогда не перестает меняться. Поэтому никакое из значе-
значений, принятых переменным х, не будет самым последним, так
как за каждым значением, принятым переменным л, имеются еще
дальнейшие значения, через которые наше переменное х пройдет
несколько позже.
Учащийся должен с самого же начала чрезвычайно внимательно отнестись
к этому в высшей степени важному факту. Ведь нельзя представить себе, что
имеется какой-то самый последний момент времени, за которым уже совсем нет
никакого времени; аналогично нельзя представить себе на прямой линии какую-
то самую последнюю точку, за которой дальше наша прямая уже перестает
простираться; нельзя, наконец, вообразить себе какое-то самое большое нату-
натуральное число, к которому уже нельзя было бы прибавить одну единицу и
тем самым еще более увеличить его.
Выше, в § 18, мы согласились рассматривать постоянную величину как
переменную (такую, которая последовательно проходит через ряд значений,
равных друг другу). Учащийся не должен при рассмотрении предела перемен-
переменной величины изгонять постоянные величины только на том основании, что
«они совсем не изменяются». Для нас важно, собственно, не то, что перемен-
переменная величина х изменяется все время, а важно то, что каин рассматривается
все время независимо от того,, проходит ли она через ряд существенно раз-
различных или же равных между собой значений.
Изменение переменного х может протекать весьма разнооб-
разнообразно. Но среди всех возможных изменений переменного х заслу-
заслуживает особенного внимания такое изменение переменной вели-
величины х, про которое обычная речь выражается такими словами:
«переменное х стремится к постоянной величине а», «перемен-
«переменное х безгранично приближается к а», «х становится соседним
с я», «х с течением времени нечувствительно мало отличается
т аъ и т. д,
§ 29 ПРЕДЕЛ ПЕРЕМЕННОГО 57
Все эти фразы достаточно ярко указывают, в чем дело: ха-
характер изменения переменного х должен быть таким, что отличие
х от а все более и более сглаживается с течением времени. Но
фразы эти опасны в том отношении, что всякая из них имеет
свой собственный оттенок, что может легко отразиться на самом
понимании основного явления. Поэтому все они должны быть
заменены математическим описанием, т. е. математическим
определением:
мы говорим, что переменное х стремится к пределу а, если
абсолютная величина разности х — а со временем сделается'
и будет потом все время оставаться меньшей любого малого
положительного числа г, т. е. если, начиная с некоторого
момента, будет все время справедливым неравенство:
\х — а|<е,
каково бы ни было, по своей малости, взятое положительное
число е.
Геометрически наличие предела у переменной величины истол-
истолковывается очень просто. В самом деле, изобразим в виде точки
О AM
Рис. Зо
М переменную величину л:, а в виде точки А — постоянную ве-
величину а (рис. 36). Так как х есть переменное и а — постоянное,
то точка М есть движущаяся, а точка А неподвижна.
Выберем теперь произвольно какое-нибудь положительное чис-
число s; выбор его произволен, но раз мы его сделали, то в дальней-
дальнейшем следует рассматривать s уже как совершенно определенное
число, не подлежащее никакому дальнейшему изменению. Взяв е,
мы откладываем вправо и влево от неподвижной точки А проме-
промежуток длины е. Мы получим на прямой небольшой неподвижный
промежуток длины 2s с центром в неподвижной точке А.
Теперь, по мере того как будет протекать время, точка М
будет как-нибудь двигаться по прямой. Но раз число а есть
предел переменной величины х, точка М кончит тем, что не-
непременно попадет на этот неподвижный промежуток и будет
там с этих пор оставаться все время, потому что разность
х — а по абсолютной величине сделается и останется меньшее,
по определению предела. А эта разность и есть расстояние под-
подвижной точки М до неподвижной точки Л, ее предела.
Таким образом: сказать, что движущаяся точка М стре-
стремится к неподвижной точке А как к своему пределу, это зна-
58 ПРЕДЕЛ ГЛ. IV
кит просто сказать, что точка М движется так, что попадет
?0 временем на любой заранее выбранный нами маленький про-
промежуток, охватывающий А, и будет впредь там оставаться.
Но то, каким именно образом будет двигаться в дальнейшем
точка внутри вышеупомянутого промежутка, попав на него, это
отнюдь не указывается, не предрешается и не важно для понятия
предела: это движение может быть весьма разнообразным; мы
увидим сейчас, что точка М может идти к А или справа, или
слева, или даже попеременно то с той, то с другой стороны.
Из указанного геометрического истолкования предела пере-
переменной величины следует, что
одна и та же самая переменная величина х может иметь
не более одного предела а.
В самом деле, если бы пределов было два разных, то одна
и та же движущаяся точка М при дальнейшем своем движении
оказалась бы одновременно вблизи двух совершенно разных
точек, что невозможно.
Но переменная величина может иногда совсем не иметь
никакого предела.
Например, переменная величина х, определенная равенством
х — sin t,
где буква t обозначает время, совсем не имеет никакого предела,
так как мы знаем (см. § 16), что синус будет колебаться все
время между -j- 1 и — 1 и, значит, не может приближаться ни
к какой постоянной величине.
Когда переменное х стремится к пределу а, это записы-
записывают символически в виде
или в виде
выше мы сказали, что всякую постоянную величину а можно
рассматривать как переменную (такую, которая проходит через
ряд значений, равных а). Из самого определения предела пере-
переменной величины следует, что рассматриваемая величина а имеет
своим пределом а. Это можно выразить, сказав:
предел постоянной величины есть она сама:
§ 30. О способах переменной величины приближаться к
своему пределу. Для ясного понимания идеи предела переменной
величины надо иметь в виду, что переменная величина может
стремиться к своему пределу различными способами: переменная
§ 30 О СПОСОБАХ ПЕРЕМЕННОЙ ПРИБЛИЖАТЬСЯ К ПРЕДЕЛУ 59
величина может или все время быть меньше своего предела, или
быть все время больше своего предела, или колебаться около
своего предела, т. е. проходить через бесчисленное множество
значений, попеременно то больших, то меньших этого предела;
наконец, переменная величина может во время процесса своего
изменения и стремления к пределу неограниченно большое число
раз проходить через значение, в точности равное самому пре-
пределу. Иллюстрируем все эти обстоятельства на примерах, частью
уже хорошо известных учащемуся.
I. Переменное меньше своего предела
Если число сторон правильного вписанного в окружность
многоугольника неограниченно увеличивается, то пределом пло-
площади этого многоугольника служит площадь круга. В этом
случае переменное всегда меньше своего предела.
II. Переменное больше своего предела
Подобно этому, если рассмотреть описанный около окружно-
окружности правильный многоугольник, то при безграничном увеличении
числа его сторон площадь круга явится по-прежнему пределом
площади этого многоугольника. Но теперь уже переменная
всегда больше своего предела.
III. Переменное, приближаясь к своему пределу,
все время колеблется около него
Чтобы дать конкретный пример и для этого случая, предста-
представим себе, что мы чертим вписанные в окружность правильные
многоугольники только с нечетным числом сторон, а пра-
правильные описанные многоугольники — только с четным числом
сторон. Тогда, если Мп есть начерченный нами правильный
/г-угольник, то он окажется вписанным, если п нечетно, и опи-
описанным— если п четно. Ясно, что при безграничном увеличении
числа сторон п площадь круга явится по-прежнему пределом
площади многоугольника Мп. Но в рассматриваемом случае пе-
переменное то больше, то меньше своего предела, смотря по
тому, четно или нечетно число п.
IV. Переменное, стремясь к своему пределу,
бесконечно много раз делается ему равным
во время своего изменения
В указанных выше примерах переменное никогда не достигало
своего предела. Но это есть лишь просто случайное обстоя-
обстоятельство, которое отнюдь нельзя возводить в общее правило.
60 ПРЕДЕЛ ГЛ. IV
В самом деле, из самого определения предела переменного ясно,
что самая сущность этого определения состоит просто только
в том, что абсолютная величина разности между переменным
и его пределом, т. е. \х— а\9 должна в некоторый момент
сделаться и в дальнейшем остаться меньше любого данного
положительного числа е, как бы мало оно ни было. И ни о чем
другом здесь больше не говорится.
Рассмотрим пример. Переменная величина х, определенная
равенством
sin*
Х—~Т'
где буква i обозначает время, имеет, очевидно, своим пределом
нуль, когда время t безгранично возрастает. Действительно,
числитель, будучи синусом, никогда не больше единицы; значит,
при любом t имеем:
откуда видим, что х стремится к нулю, когда t безгранично
растет, т. е.
Ясно, с другой стороны, что эта переменная величина х во
время своего изменения бесконечно много раз принимает в точ-
точности значение 0: это происходит всякий раз, когда время t
(т. е. угол t) делается равным тт, 2тт, Зтг, 4тг, 5тт... и т..д. (т. е.
целому числу полуокружностей).
Итак, в этом случае переменное, стремясь к своему пределу,
бесконечно много раз в точности принимает его величину
в течение своего изменения.
§ 31 • Бесконечно малые. Мы теперь вводим самое основное
понятие, на котором строится весь математический анализ.
Определение. Переменная величина называется бесконечно
малой, если она имеет своим пределом нуль. Следовательно,
если х есть бесконечно малое, то мы должны писать:
Нтл = 0, или х—^0.
Чтобы понять самую сущность бесконечно малого, необхо-
необходимо, разумеется, вернуться к определению предела, которое мы
дали несколькими страницами выше (см. § 29). Там мы устано-
установили, что когда какая-либо переменная величина х стремится
к пределу а, то разность х — а по абсолютной величине сде-
сделается и останется меньше е, т. е. \х — а|<е. Теперь в нашем
случае, когда х есть бесконечно малое, его предел а есть нуль:
а = 0. Поэтому разность х — а есть просто л, и абсолютная
величина \х—а\ есть просто |л|.
§ 31 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ 61
Из сказанного ясно, что переменная величина х называется
бесконечно малой, если она себя ведет так, что ее абсолют-
абсолютная величина \х\, начиная с некоторого момента, сделается
и будет все время в дальнейшем оставаться меньше любого
наперед заданного положительного числа в, как бы мало оно
ни было, т. е. если мы с известного момента постоянно
будем иметь удовлетворенным неравенство
Для правильного понимания самой сути дела учащийся дол-
должен хорошо усвоить, что бесконечно малое по самому своему
определению есть всегда переменная величина и что поэтому
никакое постоянное число, как бы мало оно ни было, никогда
не есть бесконечно малое. Учащийся должен остерегаться поль-
пользоваться сравнениями или уподоблениями вроде, например, сле-
следующего: «один сантиметр есть величина бесконечна малая по
сравнению с диаметром солнца». Эта фраза совершенно непра-
неправильна. Обе величины — и сантиметр и диаметр солнца — суть
величины постоянные и, значит, конечные, только, разумеется,
одна значительно меньше другой. Притом и сантиметр вовсе не
представится маленькой величиной, если мы, например, сравним
его с «толщиной волоса», а для движущегося микроба сантиметр
явится пространством колоссальной величины. Чтобы избавиться
впредь от всяких рискованных сравнений и субъективных слу-
случайных уподоблений, учащийся твердо должен помнить, что
никакая постоянная величина не является бесконечно малой,
так же как никакое число, как бы мало оно ни было.
Поэтому, в сущности говоря, было бы гораздо правильнее
употреблять не термин «бесконечно малое», но термин «беско-
«бесконечно умаляющееся», как более ярко выражающий идею пере-
менности. Согласно традиции мы, однако, сохраним прежний
термин,.
Исключением из всех чисел является нуль, который мы будем
считать величиной бесконечно малой, несмотря на то, что нуль
есть число постоянное. Вспомнив о том, что было сказано о ве-
величине постоянной, рассматриваемой как переменная, условимся
и в данном случае считать нуль за величину переменную, при-
принимающую в течение процесса изменения все время одно и то же
значение. Так как предел величины, принимающей только значе-
значения, равные нулю, есть нуль, .то, следовательно, нуль можно
считать величиной бесконечно малой. Такого рода точка зрения
позволит нам в дальнейшем сокращать формулировку большого
числа определений и теорем.
Геометрически, если мы изобразим бесконечно малую вели,
чину в виде точки М на прямой, то получим движущуюся точку 9
62 ПРЕДЕЛ ГЛ. IV
перемещающуюся по этой прямой таким образом, что, каким бы
малым промежутком длины 2s мы ни охватили начало координат
О, точка М в некоторый момент времени попадает на этот про-
промежуток и в дальнейшем будет двигаться только внутри его
(рис. 37).
Следствие. Всякое бесконечно малое есть величина
ограниченная.
В самом деле, только ограниченные величины изобразимы
движущейся точкой, остающейся, начиная с некоторого момента
времени, на конечном неподвижном отрезке.
о м
в в
Рис. 37
§ 32. Связь понятия предела и бесконечно малого. Легко
усмотреть зависимость, которая имеется между переменной вели-
величиной, стремящейся к пределу, и бесконечно малым. В самом
деле, если какая-либо переменная величина х стремится к пре-
пределу а, то разность х— а будет, очевидно, бесконечно малой
величиной, потому что согласно определению предела мы должны
иметь, начиная с некоторого момента, неравенство \х — #]<е,
каково бы ни было заданное положительное число е. А это не-
неравенство именно и характерно для бесконечно малого.
Отсюда, обозначая разность х — а через а, т. е. написав
X — а = а, мы получим:
из чего и выводим, что
всякая переменная величина, стремящаяся к пределу, раз-
разбивается на сумму двух слагаемых: первое слагаемое есть
постоянное число, являющееся пределом рассматриваемой пе-
переменной величины, второе же слагаемое есть бесконечно
малое.
Обратно также очевидно: если какая-либо переменная вели-
величина х написана в виде двух слагаемых:
из которых первое, а, есть постоянное число, второе же, а, есть
бесконечно малое, то такая переменная величина х стремится
к постоянному а как к своему пределу:
Urn х = а или х —> а.
33 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН 63
Эта зависимость и устанавливает связь теории пределов
и теории бесконечно малых.
§ 33. Предварительные свойства переменных величин, стре-
стремящихся к пределу. Мы знаем, что далеко не всякая переменная
величина стремится к пределу. Но раз какая-нибудь переменная
величина х стремится к пределу, то оказывается, что уже в силу
только одного этого обстоятельства она обладает рядом свойств,
которые важно иметь в виду.
I. Всякая переменная величина, стремящаяся к пределу,
есть величина ограниченная.
Доказательство. Если переменная величина х имеет
предел, пусть равный а, ее можно написать в виде х = а-\-ау
где а есть бесконечно малое. Но всякая бесконечно малая вели<
чина есть величина ограниченная (§ 31). Поэтому, начиная с не-
некоторого момента времени, мы будем иметь неравенство | а | < Л,
где А есть неизменное положительное число. Значит, с этого
момента мы будем иметь | х J < | а | -f- А. И так как в правой
части этого неравенства стоит неизменная положительная сумма,
то х есть ограниченная переменная величина.
II. Если переменная величина х имеет предела, отличный
от нуля, тогда обратная величина — есть величина огра-
ограниченная.
Доказательство. Прежде всего пишем х — а-\-а, где а
есть бесконечно малая величина. Так как, по условию, а^О,
то | а | > 0. И так как а есть бесконечно малое, то, начиная
с некоторого момента времени, мы будем иметь неравенство
IaI<С"^ • Поэтому с этого момента мы будем иметь
т. е. окончательно: | х | > -~. Разделив единицу на обе части
этого неравенства, мы обязаны переменить направление этого
неравенства на обратное, т. е. должны написать 1:|я|< 1:Ц-!.
1 2
Выполнив деление, мы имеем пл<пл» откуда окончательно
112 1
— <i—г. А это и показывает, что переменная величина —
X I j и | X
есть величина ограниченная, ибо правая часть этого нера-
неравенства есть неизменное положительное число.
Примечание. Свойство это становится абсолютно неверным, если
предел переменной величины х равен нулю, ибо в этом случае обратная ве-
величина — не может быть ограниченной. Например, если t есть время, го!да
64 ПРЕДЕЛ ГЛ. IV
х = — имеет пределом нуль, т. е. lim х = 0, ибо х становится с течением вре-
времени меньше сколь угодно малого положительного числа. Но обратная вели-
1 1-1
чина —, равная, как показывает вычисление —=Г.-— = tt самому времени t%
X X t
понятно, не есть величина ограниченная.
§ 34. Важнейшие свойства бесконечно малых. Эти свойства
следующие.
Свойство /¦ Сумма двух, трех и, вообще, любого неиз-
неизменяющегося числа бесконечно малых есть всегда беско-
бесконечно малая величина.
Доказательство. Начнем с суммы а —}— р двух беско-
бесконечно малых а и р. Пусть s какое-нибудь заданное (т. е. неиз-
неизменное) положительное число. Мы знаем, что, начиная с некото-
некоторого момента времени 7\, мы будем иметь справедливым нера-
неравенство | а | << y . Точно так же, имеется такой момент времени Тг,
начиная с которого удовлетворится и будет сохраняться неравен-
неравенство | Р | <С у • Отсюда следует, что после наибольшего из обоих
моментов Тх и Т2 мы будем иметь одновременно осуществленными
и сохраняющимися неравенства 1а|<С"о* и | Р | <С^"- Отсюда сле-
следует, что мы будем иметь
Это и показывает, что сумма а-|-р двух бесконечно малых
есть бесконечно малое.
Легко теперь видеть, уже не делая никакого нового рассуж-
рассуждения, что сумма трех, четырех, пяти и, вообще, ограни-
ограниченного числа бесконечно малых есть бесконечно малое.
Ибо сумму трех a -f- Р + у бесконечно малых можно написать
при помощи скобок в виде (« + P) + Y- Согласно предыдущему,
сумма в скобках есть бесконечно малое. Значит, и вся сумма
,а _|~ р _|-у есть бесконечно малое.
Точно так же, сумму четырех a-f-p + Y~b^ бесконечно малых
можно написать в виде (а-|-р + y) ~М- Согласно предыдущему,
сумма в скобках есть бесконечно малое. Значит, и вся сумма
a-j-p + T + ^ есть бесконечно малое. И так далее. Повторяя
этот прием, мы можем шаг за шагом дойти до суммы любого,
заранее заданного, числа т бесконечно малых слагаемых и, следо-
следовательно, можем установить бесконечную малость этой суммы.
§ 34 ВАЖНЕЙШИЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 65
Примечание. Доказанное свойство 1 бесконечно малых существенно
требует, чтобы общее число т складываемых бесконечно малых все время
оставалось неизменным, т. е. ограниченным.
Эта оговорка крайне необходима, потому что свойство 1 может оказаться
прямо ложным, когда общее число складываемых бесконечно малых не остается
неизменным, т. е. ограниченным, но, например, безгранично растет по мере
того, как каждое слагаемое стремится к нулю. В этом случае сумма а -\- [I -f-
-f- T + • • • + V- этих бесконечно малых может оказаться уже не бесконечно ма-
малой. Этим обстоятельством все время и пользуется интегральное исчисление.
Например, пусть имеем п переменных величин а, р, т,..., v, каждая из
которых равна —, т. е.
п п ' ' п ' "'' //
Когда общее число их п неограниченно увеличивается, каждая из этих
величин, очевидно, стремится к нулю, следовательно, это будут все бесконечно
малые величины. И, однако, их сумма
с = я + 8+Т +... +v = -i+ — + —+... -f—=л~ = 1
ТГТ1Т ' п ' п 1 п ' 1 п п
остается все время равной единице.
Сделаем еще одно замечание. Так как всякая бесконечно малая
величина, при перемене ее знака, продолжает, очевидно, оста-
оставаться бесконечно малой, то отсюда следует, что свойство 1 го-
говорит нам не только об арифметической сумме бесконечно малых,
но и о более общей алгебраической сумме а —[— р — у, т. е.
о такой, члены которой присоединяются друг к другу не только
при помощи знака -f-, но еще и при помощи знака —. Значит,
как частный случай мы получаем предложение:
разность а — р двух бесконечно малых а « р есть опять
бесконечно малое.
Свойство 2. Произведение х-си ограниченной переменной
величины х на бесконечно малое а есть опять бесконечно малое.
Действительно, раз х есть величина ограниченная, имеется
такое неизменное положительное число Л, что, начиная с некото-
некоторой эпохи 7\, мы постоянно будем иметь неравенство |я|<Л.
Зададим теперь положительное число s. Так как а есть беско-
бесконечно малое, то, начиная с некоторой эпохи Г2, мы будем иметь
соблюденным неравенство |а|<С4-•
Но так как всегда
|*.а| = |л;|.|а|,
то, значит, за эпохами Г, и Т2 мы будем иметь:
Дифференциальное исчисление
66 ПРЕДЕЛ ГЛ. IV
или окончательно
что и доказывает бесконечную малость произведения л:-а.
Учащийся уже знает, что всякая постоянная величина и всякая
переменная величина, стремящаяся к пределу, суть величины
ограниченные (§ 18 и § 33).
Отсюда, как частный случай, мы получаем предложение:
произведение постоянной величины на бесконечно малое есть
величина бесконечно малая; произведение переменной величины,
стремящейся к пределу, на бесконечно малое есть опять бес-
бесконечно малое.
Свойство 3. Частное ~ от деления бесконечно малого а
на переменную величину л, стремящуюся к пределу а, отлич-
отличному от нуля, есть опять бесконечно малое.
Действительно, частное — можно написать в виде произведения
х
и так как, в силу доказательства И в § 33, обратная дробь —
есть величина ограниченная, а а— бесконечно малая, то, применяя
только что установленное свойство 2 бесконечно малых, мы
имеем рассматриваемое свойство 3 доказанным.
Примечание. Оговорка, делаемая в формулировке свойства 3 о том,
что предел а знаменателя х должен быть отличным от нуля, в высшей степени
важна по двум причинам.
Во-первых, если бы предел х был равен нулю, то все доказательство II
в § 33 свойства обратной величины — , на которое опирается вывод свойства 3,
х
никуда бы не годилось, ибо в упомянутом доказательстве II всюду стоит в
знаменателе число | а |, т. е. нуль. А мы знаем, что ни при каких обстоятель-
обстоятельствах на нуль никогда делить нельзя (см. § 9). Таким образом, все доказа-
доказательство II в § 33 становится бессмысленным.
Во-вторых, если знаменатель х частного — имеет пределом нуль (т. е.
если а = 0) и, значит, если этот знаменатель сам есть тоже бесконечно
малое, то тогда свойство 3 может стать ложным. Дело в том, что тогда част-
частное — вообще уже не есть бесконечно малое] этим обстоятельством все время
и пользуется дифференциальное исчисление.
Пусть, например, имеем частное —, в котором числитель и знаменатель
а
суть равные бесконечно малые. Это частное все время равно единице, ибо
-=1 и, значит, уже не есть бесконечно малое»
35 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 67
Свойство 3 здесь перестает иметь силу именно вследствие того, что пре-
предел знаменателя а есть число, равное нулю.
§ 35. Основные теоремы о пределах. Доказанные свойства
бесконечно малых без труда позволяют установить следующие
три основные теоремы из теории пределов.
Теорема /. Предел алгебраической суммы любого неизмен-
неизменного числа переменных равен такой же алгебраической сумме
пределов отдельных складываемых переменных.
В символах:
lim(x—y-\-z-{-... -\-f) = \imx — limj;+limz-|- ... 4-Шп^-
Доказательство. Докажем ее, например, для случая
алгебраической суммы трех слагаемых х—y-\-z. Пусть пределы
переменных х, у и z соответственно равны числам a, b и с.
Значит, мы можем написать равенства:
где а, р и у —бесконечно малые. Беря теперь алгебраическую
сумму этих равенств, мы получаем:
Первая скобка (а — Ь-\~с) представляет собой, очевидно, ве-
величину ^п о сто янную. Вторая же скобка (а — Р ~i— Y) есть вели-
величина бесконечно малая (свойство 1). Поэтому первая скобка
есть предел переменной величины х—y-\-z, т. е.
lim (х—-у + z) = а — b -j- с = lim х — \\ту -\- lim z,
что и требовалось доказать.
Теорема //. Предел произведения любого неизменного числа
переменных равен произведению пределов отдельных перемно-
перемножаемых переменных. В символах;
\im(x-y-z.. J)=i(\imx)<(\imy)-{\imz) ... (lim?).
Доказательство. Докажем ее сначала для случая только
двух множителей х-у. Пусть пределы х и у суть соответственно
а и Ь; следовательно, имеем
где а, р бесконечно малые.
Отсюда, перемножая, находим8.
Трехчленное выражение, написанное в самой правой скобке,
есть, очевидно, величина б е„с к о н е ч н о малая (свойства 2 и 1).
3*
68 ПРЕДЕЛ ГЛ. IV
Поэтому постоянная величина ab есть предел переменной вели-
величины ху9 т. е.
lim (ху) = ab~ (lira х) • (limj>).
А теперь легко уже без всяких вычислений доказать нашу
теорему для трех, четырех и вообще любого заданного числа
множителей.
Например, имеем для трех множителей х, у и z следующие
равенства:
lim (x-y-z) — lim {[х-у]• z) = lim[х-у]• limz — limx• limy • lim z.
Теорема III* Предел частного двух переменных равен част-
частному пределов отдельных переменных, если только пре-
предел знаменателя не равен нулю. В символах:
limх
Доказательство. Пусть пределы хну суть соответ-
соответственно а я Ь, причем мы предполагаем, что Ь^0
Можем писать
где аир суть бесконечно малые.
Сделаем вот какую выкладку: напишем — и вычтем из этого
переменного его предполагаемый предел у; если после этого
вычитания у нас окажется в результате бесконечно малое, то
постоянное число у явится тогда на самом деле пределом пере-
переменной величины — :
х а а-\-<х а ab-\~ ab — ab — а§ _^Ьа — а§
В числителе находится бесконечно малое, потому что умень-
уменьшаемое Ьси и вычитаемое а$ бесконечно малы, как произведения
постоянного на бесконечно малое (свойство 2). А знаменатель есть
переменная величина, стремящаяся к пределу Ь2, отличному от
нуля, ибо #р есть бесконечно малое.
Значит, в силу свойства 3 вся полученная нами дробь есть
бесконечно малое. Поэтому
х\а11т х
)
при условии limj;=7^0, что и требовалось доказать.
Доказанные три основные теоремы обычно препровождают
следующим замечанием, нередко оказывающим большую услугу
при вычислениях предела, а именно;
§ 35 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 69
Если переменная величина остается заключенной все время
между двумя переменными величинами, стремящимися к од-
одному и тому же пределу, то она необходимо стремится к
тому же самому пределу.
Чтобы видеть справедливость этого, предположим, что Нтл; =
= limj/ = ? и что переменная величина z все время содержится
между х и у, т. е. x<^z<Cy- Если мы по обе стороны от точки
с (рис. 38) отложим промежуток s, то получим вдвое больший
промежуток, имеющий своей серединой точку с. Так как обе
движущиеся точки л и у имеют неподвижную точку с своим пре-
пределом, то наступит такой момент времени, когда обе они всту-
вступят в этот промежуток и никогда более его не покинут. Ясно, что,
начиная с этого момента времени, и точка z, содержащаяся между
точками х и у у также будет находиться на этом промежутке, не
покидая его более никогда. А это и показывает, что постоянное с
о.
—1 —# О 0-9
с х г у
Рис. 33
служит пределом для переменной величины, т. е. что
lim z — с = lim x — limy.
Эти три основные теоремы постоянно употребляются в задачах,
содержащих отыскание предела той или другой переменной вели-
величины. Поэтому эти теоремы имеют самое важное значение.
Формулируя их, мы, понятно, предполагали, что предел каж-
каждой переменной существует.
Очевидно, что если одна или несколько из переменных в этих
теоремах будут заменены постоянными, то наши рассуждения не
теряют силы и вышеприведенные теоремы останутся верными.
Действительно, любую постоянную величину законно рассматри-
рассматривать как переменную величину, у которой все ее значения оказы-
оказываются (случайно) равными между собой. Очевидно, что такая
«переменная» величина имеет предел (согласно определению поня-
понятия предела), который равен, понятно, этой же самой постоянной
величине. Это замечание и делает предыдущие теоремы примени-
применимыми также к постоянным величинам.
В качестве примеров чрезвычайно легкой и быстрой приложи-
приложимости этих основных теорем к фактическому вычислении
пределов мы даем здесь вычисление предела многочлен*
Р(х) и рационального выражения R(x), оба с постоянными коэф-
70 ПРЕДЕЛ ГЛ. IV
фациентами, когда их аргумент л стремится к пределу с, т. е.
когда limx = c.
I. Предел многочлена Р(х) равен значению этого же много-
многочлена от предела, т. е. если \шх = с, то
limP(x) = P(c).
В самом деле, по условию мы имеем
Р(х) = Ахт + Вхт~х -f... + Gx -f И,
где все коэффициенты Л, В, ..., G, Н суть постоянные числа.
Поэтому, когда аргумент х стремится к пределу с, нам остается
лишь обратиться к основным теоремам I и II, применение которых
нам и даст
Р (х)
II. Предел рациональной функции R(x) = ^j^, г$е Р и Q
суть многочлены от х, равен значению этой же функции от
предела, при непременном условий, чтобы знаменатель Q{x)
в пределе не обращался в нуль, т.е. если \imx = c, то имеем
lirn R (х) = R (с) при условии, чтобы Q()^0
В самом деле по условию мы имеем
где все коэффициенты суть постоянные числа. Согласно предыду-
предыдущему, по причине limx = c, мы в отдельности имеем
lim P(x)==P (с) и lim Q(x) — Q (с), не делая никаких ограничений
на предел с. Но если мы при этом вводим дополнительное требо-
требование, чтобы Q(c) не был равен нулю, т. е. чтобы Q(c)^=Oy то
тогда становится законным применение основной теоремы III, и
мы в этом случае имеем право писать
,. />(*)_tonР(*) Р(с)
Отсюда мы и заключаем, что
limR(x)==R(с), при условии Q
Вычисление же пределов lim/{x) иррациональных или транс-
трансцендентных функций/(л), когда limx = c> представляет большие
трудности и требует предварительного развития других теорий.
§ 38. Понятие о бесконечно большом (бесконечности: -f- oo,
— оо и ос). В математическом анализе встречаются три символа:
-f-°°> —оо и просто оо,
§ 3fi ПОНЯТИЕ О БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОМ 71
называемые «положительной бесконечностью», «отрицательной
бесконечностью» и просто «бесконечностью».
Эти символы в анализе играют весьма заметную роль, но,
к сожалению, само появление их представляется делом весьма
деликатным и нередко сопровождается огромной опасностью,
потому что влечет за собой у лиц, не ириобревших опыта в мате-
математических рассуждениях, нескончаемые неясности, иллюзии, недо-
недоразумения, парадоксы и очень часто приводит к грубейшим ошиб-
ошибкам при числовых выкладках.
Первоосновой всех этих недоразумений является то бессозна-
бессознательно вкрадывающееся в еще неопытный ум искушение, которое
приглашает нас считать эти символы числами. Это искушение,
по-видимому, столь сильно, что часто приходится слышать вырываю-
вырывающиеся невольно фразы: «возьмем конечное число», «пусть а есть
какое-нибудь конечное число» и т. д. А между тем такая квалифи-
квалификация рационального или иррационального числа прилагательным
конечное является, собственно, бессмысленной и излишней: по са-
самой природе своей всякое без исключения число всегда «конечно»,
потому что всякое без исключения число а, рациональное или ирра-
иррациональное, всегда содержится между такими двумя целыми чис-
числами т и п, из которых одно меньше его, а другое его превосходит:
всякое же целое число как собрание ограниченного количества
единиц — положительных или отрицательных, понятно, всегда
является «конечным» числом.
Всякое число, рациональное или иррациональное по самой своей
природе, всегда «конечно», и это обстоятельство должно настолько
вытекать из его природы, что, собственно, не должно подниматься
и речи о прозвании их «конечными»: обычно в жизни никогда не
поднимают разговора о вещах, и без того ясных всякому.
Аналогично, всякая постоянная величина есть необходимо
«конечная», потому что измеряется рациональным или иррацио-
иррациональным числом.
Бесконечных чисел нет, бесконечных постоянных величин
также нет. И если математический анализ вводит свои символы
~}-оо, —оо и сю, то вовсе не как некоторые таинственные числа,
предназначенные для выражения таких идей, как: «безграничность
в пространстве», «вечность во времени» и т. п. Назначение сим-
символов -f-oo, —оо и оо в математическом анализе, так сказать,
более прозаическое.
Роль символов -j~°°> —оо й оо состоит только в указании
на то или иное поведение переменных величин, «конечных» во
всякий момент времени.
Определение /. Переменная величина х называется положи-
положительной бесконечно большой, или, короче, положительной
72 ПРЕДЕЛ ГЛ. IV
бесконечностью, если ее изменение будет иметь следую-
следующий характер: х со временем сделается и впредь будет всегда
оставаться большей любого, выбранного по произволу положи-
положительного числа N (где N^>0), каким бы большим N ни было,
т. е. если осуществится и останется затем всегда в силе
неравенство
В этом случае мы иногда станем говорить, что х «неограни-
«неограниченно увеличивается», и будем это символически обозначать в
виде условного равенства
Это условное равенство, ради участия в нем знака предела
lim, а также еще ради однообразия в произношении с предыду-
предыдущими обозначениями (когда предел у переменного х действительно
имелся), иногда произносят так: «х приближается к пределу,
равному плюс бесконечность».
Хотя это символическое равенство, Итл; = -|- оо, и вышепри-
вышеприведенное устное его чтение и представляют практические удоб-
удобства, однако чересчур сильная привычка к нему может создать тео-
теоретическую опасность: может бессознательно усвоиться та мысль,
что бесконечность есть какое-то число вроде обычных «конечных»
чисел и что оно, стало быть, подчинено действиям арифметики.
А такой взгляд на бесконечность, как на постоянное число легко
может вызвать у учащегося неправильные представления и повлечь
впоследствии даже к ошибкам в вычислениях (особенно при обра-
обращении с интегралами между бесконечными пределамиI.
Учащийся должен хорошо помнить, что бесконечность не есть
предел в настоящим смысле (как мы выше его определили), ибо
настоящий предел есть число, а бесконечность не есть число: и
бесконечно большое и бесконечно малое суть прежде всего вели-
величины переменные, в каждый момент времени имеющие определен-
определенное численное (конечное) значение.
Геометрически бесконечно большая положительная величина х
изображается весьма просто: это есть движущаяся точка Му пере-
перемещающаяся по прямой таким образом, что со временем уйдет
1 Математическому анализу стоило много времени и труда освободиться от
взгляда на бесконечность как на постоянное число. Это очищение анализа вызы-
вызывается существеннейшими теоретическими соображениями и в настоящий момент
может считаться почти законченным. К сожалению, старый взгляд на бесконеч-
бесконечность как на постоянное число еще до сих пор имеет следы в уцелевшей преж-
прежней терминологии и символизации (вроде цитированного выше), что нередко
влечет за собой недоразумения и всегда создает большие педагогические труд-
трудности.
§ 36 ПОНЯТИИ О БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОМ 73
вправо за всякую положительную грань N, какую только мы ни
выберем, и будет впредь двигаться лишь за этой гранью (рис. 39).
Определение 2. Переменная величина х называется отри-
отрицательной бесконечно большой, или, короче, отрицательной
бесконечностью, если ее изменение будет иметь следую-
следующий характер: х со временем сделается и будет впредь оста-
ваться менее произвольно выбранного отрицательного числа
— N (где Лг>0), каким бы большим N ни было нами выбрано,
т. е. если осуществится и останется затем всегда в силе
неравенство х<^— N.
В этом случае мы иногда станем говорить, что х «неограни-
«неограниченно убывает» \ и будем записывать это символически в виде
условного равенства
lim х = — оо
0 М М О
-А/ *
Рис. 39 Рис. 40
Это равенство иногда читают так: «л: приближается к пре-
пределу, равному минус бесконечность».
Геометрически бесконечно большая отрицательная величина х
изобразится в виде движущейся точки М, в некоторый момент ухо-
уходящей влево за всякую грань — Л/и впредь там остающейся (рис. 40).
Наконец, если переменная величина х меняет свой знак от
времени до времени, но его абсолютная величина \ х \ неограни-
неограниченно увеличивается, тогда мы просто называем переменную
величину х бесконечно большой или скажем, что х стремится
к бесконечности, и напишем
Геометрически бесконечно большая величина х изображается
просто в виде точки М9 безгранично удаляющейся от начала коор-
координат О, но могущей двигаться прыжками так, что точка М ока-
оказывается попеременно то по одну сторону от начала координат О.
то по другую его сторону.
1 Учащийся не должен здесь быть введен в заблуждение некоторым недо-
недостатком обычной речи. Мы здесь говорим, что х «неограниченно убываете, но
это вовсе не значит, что х «мало» по абсолютной величине, т. е. мало в ариф-
арифметическом смысле. По абсолютной величине х здесь громадно, превышает
миллионы и миллионы единиц, но оно «мало» в алгебраическом смысле, потому
что является колоссальным отрицательным числом. Поэтому слово «убывает»
надо здесь понимать в алгебраическом смысле.
ЗВ Дифференциальное исчисление
74 ПРЕДЕЛ ГЛ. TV
Все оговорки, сделанные выше, сохраняются и здесь: оо (бес-
(бесконечность) не есть число, а есть не что иное, как способ называть
такое изменение переменной величины л, в силу которого она
неограниченно увеличивается по абсолютной величине.
§ 37. Связь бесконечно большого и бесконечно малого. Связь
эта самая тесная. Пусть л есть бесконечно большое, т. е. lim л — оо.
Разделим единицу на л и полученную таким образом дробь обо-
обозначим через а:
1
а = — ¦
х
Легко видеть, что а есть бесконечно малая величина.
Действительно, зададимся каким-нибудь произвольным поло-
положительным числом е. Так как л есть- бесконечно большая пере-
переменная величина, то наступит такой момент времени, начиная
с которого мы все время будем иметь неравенство 1лс|> -j. От-
Отсюда мы заключаем на основании равенства
что
т. е. |а|<е. А это неравенство и характеризует бесконечно ма-
малую величину, что и требовалось доказать.
Обратно, если а есть какая-нибудь бесконечно малая величина,
никогда не обращающаяся в нуль, то величина л, определенная
равенством
есть бесконечно большая.
Действительно, пусть N есть произвольно взятое большое
положительное число. Обозначим через е положительное количество
дг, т.е. положим e=Tf- Так как а есть бесконечно малое, то,
начиная с некоторого момента, мы будем все время иметь нера-
неравенство |а|<е. Значит, в силу равенства
мы, начиная с этого момента времени, будем постоянно иметь
неравенство
§ 37
СВЯЗЬ BFXKOHEMIIO БОЛЬТНОГО И BFCKOHE4HO МАЛОГО
75
т. е. \х\^>N. А это неравенство как раз характеризует беско-
бесконечно большую величину, что и требовалось доказать.
Итак, единица, деленная на бесконечно большое, есть бес-
бесконечно малое; единица, деленная на бесконечно малое, не
обращающееся никогда в нуль, есть бесконечно большое.
Это обычно символически записывают в виде условных равенств
относительно которых читатель должен помнить, что эти равенства
не настоящие, так как бесконечность не есть число, а также потому,
что на нуль делить нельзя. Только
так и надо понимать эти «равенства»,
которые некоторые авторы записы-
записывают даже в виде
оо-1=0 и (Г^со,
пользуясь просто тем соглашением,
делаемым в элементах алгебры, в си-
силу которого дробь — можно написать
в виде а.
Если а есть положительное бес-
бесконечно малое, тогда— есть поло-
положительная бесконечно большая ве- Рис. 41
личина; если а есть отрицательное
бесконечно малое, тогда—tz^h отрицательная бесконечно боль-
большая величина; если а меняет свой знак, — тоже изменяет знак.
Учащийся очень легко освоится с этим, когда изобразит функцию
в виде кривой (рис. 41).
ЗАДАЧИ
Доказать каждое из следующих утверждений:
= 12.
ОГ2
х+2
А
z-+2 V+~2 ~~ 4
*2 Q Ъ
2. lim z T~ = —±
3. limiLL? = i-
4. lim —:
X->0О OX -f- ОХ
6. lim D/ + ЗЛ/ — 2/г2) = 4/.
ЗВ*
76 ПРЕДЕЛ ГЛ. TV
7. 11тBх2 — 3/гх + /г2)==4-оо. и }. аохп
" 11+
ГЛАВА V
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
§ 38. Понятие непрерывности функции. Это понятие, кажу-
кажущееся вполне ясным, в действительности является сложным и
очень тонким.
Простейший вид его есть непрерывность функции y=f(x)
в заданной точке а. Чтобы подойти к нему, мы сначала отметим,
что эта непрерывность вызывает в нас представление об «очень
слабом» отклонении величины f(x) от первоначального значения
/(а) при «очень малом» удалении аргумента х от а. Это обстоя-
обстоятельство выражают еще иначе, говоря, что численное значение
функции f(x) «нечувствительно мало» отличается от /(а), когда
величина х аргумента «достаточно близка» к а.
Все эти фразы, смысл которых, разумеется, один и тот же,
наводят на мысль сказать: функция f(x) непрерывна в данной
точке а, если разность f(x)—f(a) «очень мала» по абсолютной
величине всякий раз, как разность х — а «очень мала» по абсо-
абсолютной величине.
Такое понимание непрерывности является почти правильным,
но здесь помехой служит некоторая относительность и субъектив-
субъективность представления об «очень малой» величине: один сантиметр
есть, разумеется, очень малая величина для движущегося на
полном ходу поезда, который ее пробежит в незначительную долю
секунды; для движущегося микроба это очень большая величина,
которую он может пройти лишь в течение ряда лет.
§ 39. Определение непрерывности функции в точке. Чтобы
избавиться от указанной относительности и сделать определение
вполне математическим, надо понимать непрерывность так.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке
а, если неравенство \/(х)— /(а)|<е, где s есть заранее взятое
какое-нибудь положительное число, делается заведомо верным
всякий раз, как соблюдено неравенство \х — #|<С*Ь гДе rj есть
некоторое положительное специально подобранное число, величина
которого обусловливается ранее взятым числом s.
78 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. V
Следовательно, непрерывность функции f(x) в точке а матема-
математически выражается двумя основными неравенствами:
\f{x)—f(a) К е A) I основные
\х— я|<4 (П) /неравенства,
из которых первое (I) должно оказаться следствием второго (II).
Учащийся легко найдет смысл каждого из этих неравенств.
Неравенство (I) говорит о том, что численная величина f(x) функ-
функции «сколь угодно мало» отличается от величины f(a) функции
в самой точке а. Неравенство же (II) говорит о том, что аргумента
является «достаточно близким» к числу а. И, наконец, само тре-
требование, чтобы неравенство (I) делалось верным, когда удовлетво-
удовлетворяется неравенство (II), как раз и говорит о том, что численное
значение f(x) функции «сколь угодно мало» отличается от f(d)
при «достаточной близости» аргумента х к а.
Определение. Функция /(х), не имеющая непрерывности в
точке а, называется разрывной в этой точке.
§ 40. Геометрическое изображение непрерывности функции
в точке. Мы уже знаем (см. § 25), что всякая функция y—f(x)
геометрически изображается в виде кривой линии. Чтобы при этом
изобразить геометрически непрерывность этой функции в заданной
точке а, нужно только перевести на язык геометрии оба наши
основные неравенства (I) и (II).
Первое основное неравенство (I), где мы вместо f(x) пишем
просто букву у
выделяет на плоскости XOY горизонтальную полоску шириной 2s
и имеющую серединной линией прямую y = f(a), проведенную
через заданную точку М[а, f(a)] кривой параллельно оси аб-
абсцисс ОХ. Действительно, только внутри этой полоски и содер-
содержатся точки, ордината у которых уклоняется от числа/ (а) меньше,
чем на е (рис. 42).
Второе основное неравенство (II)
выделяет на плоскости XOY вертикальную полосу шириной 27)
и имеющую серединной линией прямую х = а, проведенную через
заданную точку М кривой параллельно оси ординат OY. Действи-
Действительно, только внутри этой полосы и содержатся точки, абсцисса х
которых уклоняется от а меньше, чем на т] (рис. 43).
Поэтому оба основные неравенства (I) и (II) выделяют на
плоскости XOY маленький прямоугольник R, являющийся пере-
пересечением обеих указанных полосок, горизонтальной и вертикаль-
40
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ
79
ной. Высота этого прямоугольника произвольно мала, будучи
равна 2s; его основание равно положительному числу 2'/j. А цент-
центром его служит как раз заданная точка Л! нашей кривой у=/()
Y
О
Рис. 42
Существенно то, что все течение кривой у =f(x) совершается
внутри этого маленького прямоугольника R, когда аргумент х
уклоняется от а меньше, чем на т;. В этом и состоит геометриче-
о
г
чУ
а
Рис. 43
ское изображение непрерывности функции/(jc) в точке а (рис. 44).
Таким образом, кривая y—f(x) непрерывна в заданной ее точке
М[а,/(а)\, когда эту точку можно сделать центром такого
80
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ГЛ. V
прямоугольника R со сторонами, параллельными осям коорди-
координат XOY, и с произвольно малой высотой 2г, что кривая содер-
содержится внутри него, когда х описывает его проекцию на ось ОХ.
Но как будет вести себя кривая^ =/(л:), попав внутрь прямо-
прямоугольника R при выбранной произвольно малой его высоте 2s,
Л
1 А
а
Рис. 44
это совершенно безразлично, ибо нисколько не влияет на непре-
непрерывность функции f(x) в рассматриваемой точке а.
§ 41. Непрерывность в точке: двусторонняя и односторонняя. При опре-
определении непрерывности в точке а функции f(x) молчаливо предполагалось, что
эта функция была определена на всей оси ОХ или, по крайней мере, на каком-
нибудь отрезке [с, d]t содержащем точку а внутри. Это предположение делается
Рис. 45
в целях учета всяких значений аргумента х\ как больших числа а, когда х > а,
так и меньших его, когда х < а. Поэтому во втором основном неравенстве (И)
аргумент х предполагается безразлично: большим или меньшим числа а, лишь
бы расстояние обеих точек х и а было меньшим, чем постоянное т).
Следовательно, при осуществлении второго основного неравенства (II) со-
совершенно безразлично, с какой именно стороны точки а лежит точка х: справа
или слева.
§ 41
непрерывность в точке: двусторонняя и односторонняя
о
Определенная таким образом непрерывность функции / (х) в точке а назы-
называется непрерывностью обыкновенной или двусторонней в точке а.
Но если осуществле-
осуществление второго основного
неравенства (I) предпо-
предполагается только по одну
сторону точки а, справа
или слева, причем такое
осуществление его по-пре-
по-прежнему вызывает верность
первого основного нера-
неравенства (I), то 'г акая не-
непрерывность функции / (х)
называется непрерывно-
непрерывностью односторонней: она
правосторонняя,
когда точка х находится
направо от точки а или
совпадает с ней, и она
левосторонняя, ко-
когда точка х лежит нале-
налево от точки а или совпа-
совпадает с ней. Рис. 46
Односторонняя непре-
непрерывность геометрически изображается таким же образом, как и непрерыв-
непрерывность обыкновенная: по-прежнему кривая должна содержаться внутри пряло-
угольника R, когда точка х описывает его проекцию на ось ОХ. Только этот
прямоугольник, имеющий по-прежнему высоту 2е, теперь обязан иметь задан-
заданную точку М [а, / (а)}
у кривой y=f(x) в середи-
середине левой стороны для
случая непрерывности
правосторонней (рис. 46)
и в середине правой
стороны для случая не-
непрерывности левосторон-
левосторонней (рис. 47).
Ясно, что если функ-
функция f(x) непрерывна в
точке а в обычном смыс-
смысле, то она непрерывна в
точке а одновременно: и
справа, и слева. В этом
случае прямоугольник R
просто разрезается пря-
прямой х = а на две по-
половины, характеризую-
характеризующие порознь правосто-
X роннюю непрерывность
D
Рис. 47
слева, то она непрерывна
диться, достаточно просто
и левостороннюю непре-
непрерывность. Ясно, и об-
обратное тоже будет вер-
верным: если функция f(x)
непрерывна в точке а
одновременно и справа и
в обыкновенном смысле в этой точке. Чтобы убе-
склеить оба прямоугольника R> левый и правый,
82 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. V
уменьшив сначала основание более длинного из них, если они были до этого
не равны, в целях сделать их равными.
Пример. Функция f(x), равная — 1 для х отрицательного и равная +1
для всех остальных значений аргумента х, очевидно непрерывна справа
в точке х —0, но слева в точке х = 0 она уже не будет непрерывной, потому
Рис. 48
что мы имеем [f(x)—f@)] = 2 для всякого х, меньшего нуля, и, значит, основ-
основное неравенство (I) уже неверно для х отрицательного.
§ 42. Важнейшие свойства функций, непрерывных в точке.
Свойство. L Непрерывность функции f(x) в точке а вполне
равносильна стремлению численного значения f{x) к пределу
f (а), когда аргумент х стремится к пределу а любым способом.
Доказательство
Самая равносильность заставляет разделить рассуждение- на
две части. Во-первых, надо предположить функцию f(x) непре-
непрерывной в точке а и доказать, что переменная величина f(x)
стремится к пределу /(а), когда х стремится к пределу а каким
бы то ни было способом. Во-вторых, надо предположить числен-
численное значение f{x) стремящимся к пределу /(я), когда х стремится
к пределу а любым способом, и доказать, что функция f(x)
непрерывна в точке а.
Первая часть. Когда переменное х стремится к пределу ау
тогда обязательноудовлетворяется второе основноеыеравенство(Н),
начиная с некоторого момента времени. А так как функция f(x)
предположена непрерывной в точке а, то поэтому с этого же
момента времени обязано быть верным и первое основное нера-
неравенство (I), которое и говорит о том, что f(a) есть предел пере-
переменной величины f(x).
Вторая часть. Так как численное значение f(x) стремится
к пределу /(а) при любом способе аргумента х прибли-
приближается к пределу а, то за способ приближения мы имеем право
взять также и монотонное непрерывное приближение х к точке а
§ 42 ВАЖНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ 83
с той или другой се стороны, т. е. такое се движение, при кото-
котором с бесконечным течением времени точка л безгранично прибли-
приближается к точке а, двигаясь к ней постоянно в одну и ту же
сторону, не делая при этом никаких скачкев и никогда не
вступая в самую точку а. Отсюда же следует, что первое
основное неравенство (I) заведомо будет верным, начиная с неко-
некоторого момента времени, т. е. при достаточной близости точки х
к пределу а и, значит, при соблюдении второго основного нера-
неравенства (II). А это и говорит о том, что функция f(x) непрерывна
в точке а, ч. т. д.
Примечание. Из самого доказательства свойства I следует, что одно-
односторонняя непрерывность функции / (х) в ючке а равносильна стремлению
численного значения f(x) к пределу /(а), когда аргумент х стремится к точке а
любым образом с той стороны, с какой предполагается односторонняя
непрерывность в точке а.
Обыкновенная же (двусторонняя) непрерывность равносильна стремлению
функции f(x) к пределу }(а) любым образом с обеих сторон.
Доказанное важное свойство 1 функций, непрерывных в точке,
можно формулировать еще и так:
непрерывность функции f(x) в точке а равносильна системе
двух основных равенств
ИШНт"Й?(а) (Щ } основные равенства,
из которых первое обязано быть верным или при любом
стремлении аргумента х к пределу а, или, по крайней мере,
при монотонном без скачков стремлении его к а.
Законность такой формулировки прямо вытекает из самого
доказательства свойства 1.
Примечание. Не лишне указать на то, что оговорка: «без скачков»
чрезвычайно существенна, ибо верность первого равенства (I) при
mohotohhqm скачущем стремлении аргумента х к пределу а нисколько не обес-
обеспечивает непрерывности функции f(x) в точке а.
Пример. Возьмем функцию f(x) = sin —. Она определена для всякого х,
х
кроме х = 0, где она не имеет никакого численного значения. Поэтому ничто
нам не мешает условиться считать, что /@) = 0.
Если теперь п есть целое положительное число, и если мы увеличиваем
число п безгранично, то аргумент х=а—является положительной переменной
величиной, стремящейся к пределу 0 монотонно, а именно: убывая. По-
Поэтому мы имеем удовлетворенным второе основное равенство limx = О (И)
монотонным образом, С другой стороны, мы имеем для нашего аргумента х
очевидное тождество f(x) = 0 и? значит, имеем в пределе lim f(x) = 0. Поэтому,
приняв во внимание, что /@)t=0, мы имеем верным и первое основное ра-
равенство lim f (х) — f @). (I)
Таким образом, оба основные равенства (I) и (И) удовлетворены, причем
второе даже и монотонным образом. И, однако, точка % — 0 заведомо
84 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ V
есть точка разрыва, и притом справа и слева, для рассматриваемой функ-
цпч f(x). Чтобы в этом убедиться, достаточно заставить аргумент jc убывать до
и ля непрерывно. В этом случае дробь — непрерывно возрастает, уходя
х
г, положительную бесконечность. Поэтому рассматриваемая функция/(х)=sin— ,
будучи синусом непрерывно увеличивающегося угла —, должна совершать, по
X
мере приближения х к нулю, бесконечно много размахов, колеблясь от — 1 до
+1 и, значит, не может стремиться ни к какому пределу, когда аргумент х не-
непрерывно уменьшается, стремясь к нулю. Таким образом, функция/(я) = sin —
х
разрывна справа в точке х = 0. Но она разрывна и слева в этой точке, ибо с
переменой знака аргументом х функция / (х) только лишь изменит свой знак,
не утратив своего колебательного (от — 1 до + 1) характера.
Объяснение же того явления, почему соблюдение обоих основных равенств
(I) и (II) не вызывает непрерывности функции, состоит в том, что употребляв-
употреблявшийся там аргумент х=-к—> при стремлении целого п к + оо или к — оо,
хотя и монотонно стремится к нулю, но скачками, которые сами по себе ни-
никакой непрерывности для функции обеспечить не могут.
Следствие 1. Непрерывная функция позволяет пере-
переходить к пределу под ее знаком, т. е. делает законным
равенство:
lim/(.x)==/(limjc). (Ill)
Это равенсто говорит нам о том, что для вычисле-
вычисления предела непрерывной функции достаточно
вычислить эту функцию для самого предела
аргумента.
Чтобы доказать это, заменим в первом основном равенстве (I)
букву а через ее выражение из второго основного равенства (II);
тогда мы и получим желаемое равенство (III).
Краткость и выразительность равенства (III) делает его весьма привлека-
привлекательным и внушает мысль воспользоваться им для самого определения непре-
непрерывности функции в ^очке, вместо прежней системы двух основных
равенств (I) и (II). Но надо иметь в виду, что равенство (III) не вполне
ясное, ибо приходится указывать дополнительно, что функция / не вообще
непрерывна, а что она непрерывна именно в точке lim x и что при этом х
стремится к точке Ь'гах каким угодно способом. Но с такими разъяс-
разъяснениями равенство (III) становится слишком громоздким н утрачивает выгоду
своей кажущейся краткости. Поэтому гораздо более предпочтительна система
двух основных равенств (I) и (II).
Следствие 2. Обращаясь к § 35, мы видим, что там основ-
основные равенства (I) и (II) были доказаны для многочленов и рацио-
рациональных функций, при условии необращения в нуль знаменателя.
Отсюда мы заключаем, что всякий многочлен Р(х) с постоян-
постоянными коэффициентами
P{) A
§ 42 ВАЖНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ 85
есть всюду непрерывная функция и что всякая рациональная
функция R(x) с постоянными коэффициентами
есть непрерывная функция в каждой точке а, исключая зна-
значения а аргумента х, обращающих в нуль знаменатель, т. е.
корней уравнения Q(-*) — 0; всех этих корней имеется не
больше, чем п, и в них иногда случается нарушение непрерыв-
непрерывности функции R(x),
Пример. Функция f(x) = г непрерывна всюду, кроме точки х=1.
X —— х
В этой точке непрерывности уже нет, ибо функция не имеет предела при без-
безграничном приближении х к 1, так как ее численное значение уходит в бес-
бесконечность.
Хотя непрерывность функций представляет собой явление
общего характера, однако для других (т. е. для нерациональных)
функций оно доказывается гораздо труднее и требует предвари-
предварительной выработки особого правила испытания на непрерыв-
непрерывность, которое будет дано в следующем параграфе.
Свойство 2(арифметическая теорема о непрерывности). Скла-
Складывая, вычитая, умножая и деля две непрерывные функции
в какой-либо точке а, мы получаем в результате опять не-
непрерывную функцию в этой точке, если только знамена-
знаменатель частного не обращается в ней в нуль; в этом
последнем случае непрерывность в точке а, вообще, уже нару-
нарушается.
Доказ ательство
Мы знаем уже, что непрерывность двух функций и(х) nv (x)
в точке а равносильна системе равенств lim и (х) — и (а) и
limv(x) = v(a), когда имеем \imx~a. Поэтому, в силу основ-
основных теорем о пределах (см. § 40), мы имеем равенства
lim [и (х) + v (х)] — и (а) -{- v (a)y lim [и (х) — v (x)] = u(a) — v (a),
lim[a(x).v(x)] = u(a).v(a), lim ??j = ?gj,
если v (a) =/=¦ 0. Так как при этом аргумент х может стремиться
к а любым способом, то рассматриваемая арифметическая
теорема о непрерывности доказана.
Заметим, что теорема имеет силу не только для суммы и произведения
двух непрерывных в точке с функций, но и для суммы и произведения трех»
четырех и вообще любого неизменяющегося числа функций. Ибо с помощью
скобок, всегда возможно, например, сумму и произведение трех функций
представить как сумму и произведение двух функций:
и (х) - v (х) + w(x) = [и (х) - v (х)\ + w (х),
и (х) • v {x) -w{x) — [а (х) - v (х)] • w (x).
86 НППРКРЫВИОСТЬ ГЛ. V
Но теорема может стать и ложной, если число слагаемых или множите-
множителей не остается ограниченным, но, например, безгранично возрастает.
Следствие 3 (непрерывность функции от функции). Функ-
Функция от функцииу[/(х)] непрерывна в точке а, если внутрен-
внутренняя функция f(x) непрерывна в а, я если наружная функ-
функция у непрерывна в точке /(а).
Дока зательство
Так как внутренняя функция f(x) непрерывна в точке а, мы
имеем limf(x) = f(a)9 когда Итх = а, причем х может стремиться
к а любым способом. С другой стороны, так как наружная
функция <р(у) непрерывна в точке f(a)9 мы имеем lim<p(j/) =
— <Р [/(#)], когда limy—f (а). Следовательно, мы имеем:
Шп ?[/(*)]= Kmfo
х-*а у-* Да)
И так как х может стремиться к а любым способом, то
непрерывность функции от функции y[f(x)] в точке а доказана.
Говоря образно, непрерывность функции от функции ? [f(x)] возникает под
действием двух отдельных непрерывностей: непрерывности внутренней функ-
функции / и непрерывности наружной функции ср.
Точно так же, многократная функция от функции, например, ф { р[
непрерывна в точке а, если в точке а непрерывна внутренняя функция
если в точке f(a) непрерывна промежуточная функция <р и если в точке <р[/(я)]
непрерывна наружная функция <Ь. И так далее.
§ 43. Правило испытания на непрерывность. В целях выра-
выработки этого правила напишем сначала систему двух основных
равенств, выражающую непрерывность функции f(x) в точке а:
Е?=Г/(а) (И) } основные равенства
так: первое в виде \im[f(x)—/(a)] = 0 и второе в виде
lim(x — а) = 0; на это мы имеем право, ибо /(а) и а суть вели-
величины постоянные, и, значит, пределы их равны им самим.
Чтобы пойти дальше, обозначим через h разность х — а> т. е.
напишем х — а = А. Отсюда имеем x = a-\-h. Это позволяет
дереписать предыдущие равенства в виде:
/(а)] = 0, (I*)
0, (II*)
§ 43 ПРАВИЛО ИСПЫТАНИЯ НА НЕПРЕРЫВНОСТЬ 87
Легко дать словесную формулировку написанной
системе равенств. Для этого будем рассматривать число а как
старое значение аргумента, а букву х— как новое его значение.
В этих условиях разность х— a — h явится, очевидно, прираще-
приращением аргумента, а разность /(а -]- li)—/'(а) приращением функ-
функции (см. § 24), вызванным приращением аргумента &x = h.
Ясно теперь, что предыдущая система равенств (I*) и (II*)
должна читаться так:
непрерывность функции f(x) в точке а равносильна утвер-
утверждению, что приращение /(а + А)—f(a) функции делается
величиной бесконечно малой, когда приращение h аргумента
становится бесконечно малым.
Из системы двух равенств (I*) и (II*) легко выводится важ-
важнейшее практическое правило испытания на непре-
непрерывность. Но только для целей практики употребляют обычно
другие обозначения, руководясь полезным в практике принципом:
производить под знаком f функции y—f{x) как можно
меньше перемен.
Поэтому вместо буквы а оставляют прежнюю букву х, зато
вместо буквы h пишут символ &х приращения аргумента. Вслед-
Вследствие этого система равенств (I*) и (II*) принимает вид:
откуда и вытекает:
Правило испытания на непрерывность
Первый шаг. В функцию f(x) вместо х подставляем
x-\-kx, что дает нам новое значение f{x-\-kx) фу нщии.
Второй шаг. Вычитаем старое значение J:(х) функции из
ее нового значения f(x-\-kx) и таким образом находим при-
приращение функции &y=f(x-]-&x)—f{x). .
Третий шаг. Ищем предел найденного выражения
рассматривая букву х как постоянное и делая &х беско-
бесконечно умаляющимся. Если получим НтДу = 0 для точки х,
то функция f(x) непрерывна в этой точке.
Учащийся должен вполне освоиться с этим правилом, прилагая
§го к большому числу примеров.
Пример. Испытать непрерывность функции sin.**
Решение, Полагаем у = sin x%
88
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ГЛ. V
Первый шаг.
Второй шаг.
у _|- Ду = sin (х -f- Дл;).
у -J- Ду = §in (л -(- Ах)
Ду = sin (л -J- Дл)—sin jc.
Вспомнив из тригонометрии, что
sin а — sin ft = 2 sin —g— • cos —7j—
мы (полагая а = х-\-кх и ft = x) имеем:
cos(x+
Третий шаг. Делаем Ах бесконечно умаляющимся. Тогда,
очевидно, и sm-тг будет также бесконечно умаляющимся. Так
как оба другие множителя: 2 и cos (х -\- -у J суть величины огра-
ничейные, а «произведение ограниченной величины на бесконечно
малое есть опять бесконечно малое» (§ 34, свойство 2) то видим,
Y
-JJL
Рис. 49
что НтДу = 0. Поэтому функция sin л; непрерывна во всякой
точке х, как это можно видеть из рисунка 49.
Заметим, что теперь без всяких вычислений можно утверждать непрерыв-
непрерывность функции cosх во всякой точке х, ибо cos* можно написать в виде
sin f у— х), а по теореме о непрерывности функции от функции это есть не-
непрерывная функция во всякой точке х.
Отсюда следует общая непрерывность всех основных тригонометрических
функций tg х, ctgx, sec x и esc x, ибо соответствующие выражения их через
sin х cos x 1 1
синус и косинус:
cosx' sin я' cos x sin#
показывают, что непрерывность
§ 44 СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ 89
их может перестать существовать только в случае уничтожения знаменателя,
т. е. для тангенса и секанса лишь в точках, где имеем cos я = О, и для котан-
котангенса и косеканса лишь в точках, где sinx = 0. Значит, tgx и sex могут стать
разрывными лишь для х = пп -U _ t a ctg х и esc х — лишь для х = пп\ здесь п
есть число целое,
§ 44. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Основ-
Основное определение. Функция f{x), определенная на каком-
либо отрезке [а, Ь\ называется непрерывной на этом отрезке,
когда она непрерывна во всякой его точке, включая концы.
Так как функция f(x) может совсем не существовать вне
отрезка [а, Ь\, то непрерывность этой функции в его концах
подразумевается односторонняя: правосторонняя в точке а
и левосторонняя в точке Ъ.
Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом исключи-
исключительно важных свойств, из которых мы укажем три самые главные.
В крупном шрифте мы даем лишь описание этих трех
свойств, не пытаясь дать доказательств их, ибо хотя свойства
эти и выводятся логически из самого определения непрерывности
на отрезке, однако вывод этот крайне труден и основан на одном
специальном принципе, с которым учащийся дальше не будет
встречаться.
В мелком шрифте в целях научной необходимости мы
даем эти доказательства, но рекомендуем учащемуся при первом
чтении пропустить их и рассматривать сказанные свойства как
очевидные, по крайней мере для таких непрерывных функций,
которые имеют геометрическое или механическое (кинематиче-
(кинематическое) происхождение.
Свойство L Среди численных значений, принимаемых на
отрезке непрерывной на нем функцией, всегда имеется как
самое большое, так и самое малое значение.
Геометрически это означает, что непрерывная кривая у=/(х)
на отрезке \а, Ь] всегда имеет и самую большую ординату
f(c) = M и самую малую ординату f(d) = m, где с и d суть две
надлежащие точки этого отрезка. Поэтому все течение функции
f(x) на отрезке [ау Ь] остается сжатым между этими двумя чис-
числами М и //г, т. е. имеем:
какова бы ни была точка х отрезка [я, Ь] (рис. 50).
Отсюда следует, что непрерывная функция на отрезке не
может уходить в бесконечность (ни в ~(-оо, ни в —сю), ибо все
ее течение на целом отрезке должно быть ограниченным,
так как все численные значения рассматриваемой функции f(x),
90
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ГЛ. V
которые она может принимать на этом отрезке, должны покоиться
на отрезке [т, М] оси ординат OY. Заметим, что этот отрезок
нельзя уменьшить, ибо его концы т и М принимаются функцией.
Свойство 2. Непрерывная функция на отрезке, изменяющая
ас
Рис. 50
В
свой знак, проходит через нуль; непрерывная функция на
отрезке, с наибольшей величиной М и с наименьшей величи-
величиной т, принимает на этом отрезке любое промежуточное
значение L, где m<^L<^M.
Первая по.ловина этого свойства означает, что непре-
непрерывная кривая y=f(x), соединяющая две точки А я В, распо-
расположенные по разные стороны абсцисс ОХ, непременно должна
у пересечь эту ось в некото-
некоторой промежуточной точке С
[рис. 51).
Вторая половина
этого свойства является, ра-
^ зумеется, предложением бо-
более общим. Однако она мо-
моментально сводится на пер-
первую часть. В самом деле,
возьмем функцию <р (л:) =
=zf{x) — L. Ясно, что она
также непрерывна на отрезке
[а, Ь]. Но в точке С(с9 0), где f(c) — M, мы имеем: у(с) = М —
— L>0, a в точке d, где/(с) = яг, мы имеем: y{d) = m — L<0.
Значит, ср (х) меняет знак на отрезке [а, Ь]. Поэтому, в силу первой
половины рассматриваемого свойства, имеется на этом отрезке
такая точка S, что ср (?) = 0. А это и означает, что имеем/(?) = !,
чем втооая половина рассматриваемого свойства доказана.
0
Ъ
Рис 5i
§ 44 СВОЙСТВА ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ 91
Свойство 3, Непрерывная на отрезке функция f(x) имеет
разность значений f(x")—f{x') стремящейся к нулю, когда
разность аргументов х"— х' стремится к нулю.
Это одно из самых важных свойств непрерывности на отрезке
и его не надо смешивать с обычной непрерывностью в точке:
при этой последней одна из точек х' и х" неподвижна в то
время, как другая безгранично приближается к ней как к пре-
пределу. При непрерывности на отрезке нет ни малейшей необхо-
необходимости закреплять одну из этих точек х' и х": обе они могут
быть подвижными и обе могут двигаться по основному отрезку
[а, Ь] как угодно, совершая, например, бесконечно много неза-
незатухающих маятникообразных раскачиваний от одного его кони а
к другому; единственное, что от них мы требуем, это — чтобы
во время этого движения они безгранично сближались между
собой, ибо уже при одном только этом условии разность
f(x") — /РО делается бесконечно мала.
Это свойство функций, непрерывных на отрезке, часто назы-
называют равномерной непрерывностью.
Как и обыкновенную непрерывность в точке, так и равно-
равномерную непрерывность на отрезке можно выразить системой
двух основных неравенств, вполне освобожденной от вмешатель-
вмешательства времени. Эта система неравенств такова:
\f("\f(')\ (I**) )
Л**) f основные неравенства,
причем первое неравенство должно автоматически, т. е. само
собой удовлетворяться всякий раз, как мы удовлетворяем второе
неравенство. При этом положительное число е должно быть про-
произвольно малым, но заданным заранее, а положительное число rj
должно подбираться для уже известного нам е. В этом смысле
число *] до известной степени зависит от величины числа е.
Доказательства свойств функций,
непрерывных на отрезке
Введение
Принцип стягивающихся отрезков. Если имеем на прямой
бесконечно много вложенных друг в друга отрезков ох > о2 ><т3 > ... > ап > ...,
длина которых стремится к нулю с возрастанием п, то всегда имеется на
этой прямой такая неподвижная точка, которая входит во все без исклю-
исключения эти отрезки.
Самое название этого принципа вызывается тем, что беспредельно умень-
уменьшающийся отрезок сги, при увеличении его значка #, не движется по прямой
беспорядочным образом, но стягивается к неподвижной точке ?, которую он
обязан всегда в себе содержать (рис. 52).
92
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
гл.
Этот принцип тотчас же позволяет установить следующее общее предло-
предложение, имеющее з математике громадное теоретическое значение и, в част-
частности, являющееся фундаментом изложенных здесь доказательств.
Теорема о промежутках. Если для каждой точка с отрезка [а, Ь]
построен некоторый специальный промежуток Ьс, ее покрывающий, то
тогда из этих специальных промежутков можно отобрать конечное
число таких, совокупность которых целиком покроет весь отрезок [а, Ь].
Рис. 52
Доказательство
Обозначим данный отрезок [а, Ъ\ через а, и разделим сх пополам. Если ох
невозможно покрыть целиком конечным числом рассматриваемых специальных
промежутков, то по крайней мере для одной из его половин это также невоз-
невозможно сделать. Обозначим ее через о2 и, в свою очередь, разделим о2 пополам.
Так как отрезок о2 невозможно покрыть конечным числом рассматриваемых
специальных промежутков, то по крайней мере для одной из его половин это
также невозможно сделать. Обозначим ее через а3 и будем поступать и далее
по-прежнему.
Ясно, что мы получим бесконечно много отрезков
°1 > °2 > °3 > • • • > <*п > • • • .
каждый из которых является половиной предыдущего и каждый из которых
невозможно покрыть конечным числом рассматриваемых специальных проме-
промежутков. В силу принципа стягивающихся отрезков имеется на
начальном отрезке at такая неподвижная точка Б, к которой стягивается отре-
отрезок сп по мере увеличения его значка /г.
Рис. 53
С другой стороны, эта неподвижная точка $, как лежащая на начальном
отрезке al = [ai b], заведомо покрыта некоторым неподвижным специальным
промежутком 6^ (рис. 53), внутри которого она и содержится и внутрь которого
обязан целиком войти отрезок о„ при достаточно большом значке /2, ибо ап
стягивается к нашей неподвижной точке S, а она отстоит на конечное расстоя-
расстояние от обеих неподвижных граничных точек аи? промежутка\ = (а, {*).
§ 44 СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ 93
Таким образом выходит, что отрезок о,2, который не мог бьпь покрьпым
никаким конечным числом специальных промежутков 8О на деле оказался по-
покрытым даже одним специальным промежутком <к
Из вскрывшегося противоречия следует, что и начальный отрезок ct = [а, Ь]
достоверно может быть покрытым конечным числом специальных промежут-
промежутков Sc, ч. т. д.
Введем, наконец, последнее определение:
конечная система ? специальных промежутков о1У 82, ..., oki покры-
покрывающая целиком данный отрезок а=[а, J3], называется минимальной,
если из нее нельзя выбросить ни одного промежутка 5/ без того, чтобы
не открылась хотя бы одна точка отрезка о.
М
Минимальная система ? имеет особенное устройство, исключающее какую-
либо беспорядочность в расположении образующих ее промежутков ov 82, ... ,ok.
Чтобы усмотреть, каково оно, отметим сначала следующий вполне элементар-
элементарный факт:
если три какие-нибудь промеоюутка Д1, Д2, Д3 имеют общую им всем
трем точку М, тогда один из них целиком содержится в сумме двух
других и, значит, он излишен для покрытия.
На рисунке 54 промежуток Д2 является излишним, так как содержится
в сумме промежутков \ и Д3.
Опираясь на это соображение, можно сказать, что в минимальной системе S
никакие три из составляющих ее промежутков Зх, S2, ..., ok не могут иметь
общей точки. Поэтому общие точки могут иметь только два соседние перекры-
перекрывающиеся промежутка, и, значит, минимальная система всегда имеет вид, как
показано на рисунке 55.
Рис. 55
После этого введения перейдем к прямым доказательствам основных свойств
функций /(х), непрерывных на отрезке [а, Ь].
Свойство 1
Пусть г > 0 заданное число. Так как / (х) непрерывна в каждой неподвижной
точке с отрезка [а, Ь], то удовлетворена система двух основных неравенств
I/M-/WKJ, (I)
I X - С | < Y),,, (И)
94 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. V
где t\c есть некоторое положительное число, специально подбираемое для за
данной неподвижной точки с и для заданного е.
Обозначим через Ьс промежуток, имеющий своей серединой точку с и дли-
длиной 2ч\СУ и будем его называть «специальным промежутком», покрывающим
точку с.
В силу «теоремы о промежутках» имеется минимальная система 2,
составленная из специальных промежутков Ъ„ о2, ..., ok (рис. 55), покрываю-
покрывающая целиком весь отрезок [а, Ь].
Ясно, что граничные точки этих специальных промежутков ох, 82, ...5 ^
разделяют данный отрезок [а, Ь] на малые отрезки; мы обозначаем через tq
длину наименьшего из этих малых отрезков т) > 0.
Если теперь х' и х" две какие-нибудь точки отрезка [а, Ь], расстояние
между которыми меньше, чем т), то имеем:
| х" - х' | < г). (II**)
Ясно, что две такие точки л/ и х" обязаны попасть внутрь одного из про-
промежутков olf о2, ..., 6k, образующих нашу минимальную систему 2. Пусть они
попадут внутрь промежутка «5/, имеющего серединой точку cz-, тогда в силу
неравенства A) мы имеем:
I/M-/WK-J,
ибо обе точки л' и У лежат внутри промежутка 8/. Вычитая из нижнего не-
неравенства верхнее, мы находим окончательное неравенство
-/(*') |< е. (I**)
Ясно, что система двух неравенств (I**) и (II**) и составляет доказатель-
доказательство свойства 1> ч. т. д.
Свойство 2
Сначала заметим, что когда в какой-нибудь точке с отрезка [а, Ь\ функ-
функция f(x) не равна нулю, f(c) Ф 0, тогда всегда мооюно построить такой
специальный промежуток ос, покрывающий точку с, внутри которого везде
имеем: или f(x) >^-~, если f(c) положительное число, или /(я)< -У,
если f(c) отрицательное число.
Чтобы убедиться в этом, примем е=г:—|/(с)|. В силу непрерывности
А
функции / (х) в точке с, всегда имеется такое положительное число г\с, что при
осуществлении неравенства
I * - с К т), (И)
заведомо будет верным неравенство
!/(*)-/(*) К«. №
В качестве «специального промежутка» осЬ покрывающего точку с, мы при-
принимаем промежуток, имеющий серединой точку с, а длиной 2г1С. Из сказанного
следует, что внутри этого промежутка ос соблюдается всюду неравенство (I),
§ 44 СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ 95
которое можно написать в виде равенства f(x) — /(c) = 6s, где | С |< 1. Поэтому
мы имеем 1 -}- 0 > О и _l-f-G<0. В силу выбора числа е = у IAC) I MbI
имеем всюду внутри 8Й равенство f(x) =/(с) -\- Ь — | / (с) \ = у / (с) + -^ {f(c) +
+ 0|/(с)|). Если /(<:)> О, тогда /(с) = |/(с)|; в этом случае фигурная скобка
{...} положительна, ибо имеем { |/(с) + в |/(с)|} = |/(с) |.A+0)>О и поэтому
/(*)> —. Если же /(с)<0, тогда /(с) = —|/(с)|; в этом случае фигурная
скобка отрицательна, ибо имеем { — \f(c)\ + 6|/(с) 1} — 1/(с) И~"' 1 +^) < О
/ (с)
и поэтому / (я) < *Цр , ч. т. д.
Как следствие мы выводим: функция f (х) на всем выбранном нами
специальном промежутке &с имеет тот же самый знак, как и в его
середине с, т. е. знак числа f (с), если f (с) Ф 0.
Теперь свойство 2 докажется сразу. Пусть 2 минимальная система спе-
специальных промежутков Ьг, 82, ..., bk, покрывающих весь отрезок [а, Ь]. Так
как мы предполагаем, что функция f(x) ни в какой точке этого отрезка не
обращается в нуль, то она обязана иметь во всех промежутках 8,, 82, ..., 8А,
тот же самый знак, как и в первом промежутке 8Х. В самом деле, в каждом
из этих специальных промежутков 8,« функция /(х), согласно доказанному, не
может переменить знак; а второй промежуток 82 перекрывается с первым про-
промежутком ov Значит f(x) сохраняет в обоих промежутках 81 и о2 тот же самый
знак. И так как ?8 перекрывается с 82, о4 перекрывается с о3 и т. д., то во
всех S^g, . ..,o^ функция /(х) сохраняет тот же самый знак и, следовательно,
нигде не может переменить знак на отрезке [а, Ь\.
Поэтому непрерывная на отрезке функция не может переменить на
нем свой знак без того, чтобы не обратиться в нуль в какой-нибудь точке
этого отрезка.
Этим доказана первая половина свойства 2. Что же касается до
второй его половины о непременном принятии функцией /(х) любого
промежуточного числа, лежащего между двумя заведомо принимаемыми зна-
значениями, то эта вторая половина свойства 2 была уже доказана выше
в крупном шрифте.
Свойство 3
Возьмем минимальную систему S промежутков 8Р 82> ..., 8А, построенную
нами для доказательства свойства 1. На всем промежутке 8,- мы имеем неравен-
неравенство |/(х)—/(с^К-тг- (I), где С( есть середина этого промежутка. Отсюда
следует неравенство /(с/)— тг </(*)</(<ч)-т"-«- • Поэтому, взяв k постоянных
чисел /(с1))/(с2), ..., f(ck) и обозначив через Л наименьшее из них, а через В —
наибольшее, мы имеем неравенство:
Л-е </(*)< Я-И, (I)
справедливое для всего промежутка 8,- и, значит, верное, когда аргумент х
пробегает весь данный отрезок [а, Ъ\.
Из неравенства (I) следует, что функция f(x) есть ограниченная на всем
отрезке [а, Ъ\. А так как, в силу свойства 2, приняв два какие-нибудь числен-
численные значения т! и М\ т! <М', функция / (х) обязана принять, как свое чис-
численное значение в некоторой точке 5' отрезка [а, Ь], также и всякое число Z/,
содержащееся между ними, m'<L'<Af, т. е. ?'=/(?'), то отсюда следует,
что численные значения функции f(x), принимаемые ею на отрезке [а, Ь\,
сплошь заполняют некоторый промежуток (m, M) на оси ординат OY (рис. 56)^
96 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. V
вне границ т и М которого нет ни одного численного значения функции f(x),
принимаемого ею где-нибудь на отрезке [а, Ь].
Важно отметить, что самые граничные числа т и М также принимаются
функцией f(x) на отрезке [а, Ь].
В самом деле, если бы, например, число М ею не принималось нигде на
отрезке (а, Ь)> то тогда функция j-— ^ была бы непрерывной на отрезке
/ \Х) М
/ \)
[а, Ь] и, значит, ограниченной, что невозможно, потому что f(x) заведомо при-
принимает численные значения, сколь угодно близкие к М.
Этим свойство 3 вполне доказано, ч. т. д.
т
Рис. 56
Примечание. Свойство 3 (равномерной непрерывности), очевидно, верно
только для непрерывных функций. Но свойство 2 (прохождения через всякое
промежуточное число) иногда наблюдается и у разрывных функций. Например,
функция у :г=/(л;) = sin—, пополненная условием /@) = 0, проходит через
X
всякое число отрезка [— 1 ^ _у ^-|-1 ] и, однако, она разрывна при х~0.
§ 45. Пределы функции и их обозначения. Пределы в беско-
бесконечности. Иногда случается, что функция f{x), определенная для
всех численных значений аргумента ху стремится к вполне
определенному конечному пределу, когда аргу-
аргумент л^ безгранично увеличивается, не делая при
этом никаких скачков.
Тогда этот предел функции обозначают через /D~оо) и
пишут
lim/(*)=/( + «>).
#-»-}-со
Если же в указанных условиях /(л) предела не имеет, тогда
символ /(-f-oo) ничего не обозначает и его писать нельзя, по-
потому что он не имеет никакого смысла.
Аналогично, символ /(— оо) обозначает предел (если он
имеется) переменной величины /(л); когда аргумент л алгебраи-
алгебраически убывает безгранично и непрерывно (т. е. не делая скачков)
lim f(x) = f( — oo).
X -» — 00
Как пример ложного задания функции полезно указать фразу: «функция
f(x) равна нулю для всякого конечного х, /(х) = 0, и р'авиа единице для х бес-
бесконечного положительного, /(+ оо)= 1». Такое задание функции f{x) совер-
совершенно бессмысленно, потому что бесконечность не есть число и, значит, числен-
численного значения аргумента, равного бесконечности +°°> быть не может. И тот,
кто пишет/(+оо)==1, должен иметь в виду, что есть просто сокращенный
способ писать lim /(я)=1. А в данном случае это как раз и невозможно, ибо
X ->-|-СО
/(jc) = O для всякого конечного х, и значит, имеем lim /"(х) = 0, а не 1.
х 4°°
§ 45
ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ И ИХ ОБОЗНАЧЕНИЯ
97
Пример 1. На рисунке 57 изображен случай, где /(+ °°) и /(— °°)
являются настоящими значениями функции /(х), но для двух очень небольших
положительных величин аргумента х. В следующем примере этого уже нет
совсем.
Пример 2. На рисунке 58 изображен случай, где оба предела /( + 00) и
/(— оо) функции f(x) ею не принимаются никогда ни при каком х.
Следовательно, здесь оба числа: /(+00) и /(—°°) не СУТЬ численные
значения функции ни при каком х, но суть только пределы ее настоящих
значений.
Рис. 57
то
Легко дать и формулу для этой функции: f{x)= .—г. Ее ли х>0,
1
| х | = х, и, значит, / (х) =:
Поэтому / (х) возрастает
1 -h jc 1-f-jc'
с увеличением х, и мы имеем lim/(x)=l. Если же х<0, то х = — |х|, и,
значит, f(x) = — ' ' _ — /Aх|). Поэтому /(х) убывает с увеличением |х|
и мы имеем lim f(x) — —1.
Х-> —GO
Пределы в точке
Как и для бесконечно-
бесконечности, этих пределов имеется
тоже два: слева от точ-
точки с и справа от точки
с, и обозначениями для
этих пределов служат
f(c — 0) и /(<? + 0).
Первый предел, /(с—0),
получается так: предпола-
предполагают, что аргумент л непрерывно возрастает и безгра-
безгранично приближается к значению с, никогда, однако, не делаясь
ему равным. Если в этих условиях переменная величина /(л)
имеет предел, то его называют пределом функции /(л) в точке с
слева, обозначают через f(c — 0) и пишут
lim/(л) =/(<? — 0).
х<с
У
-А ^д
f
Рис. 58
4 Дифференциальное исчисление
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. V
Если же в указанных условиях f(x) не имеет предела, тогда
символ f(c — 0) ничего не обозначает и его писать нельзя, ибо
он не имеет смысла.
Второй предел, /(с + 0), получается точно так же: заставляют
аргумент х непрерывно убывать и безгранично приближаться
к значению с, никогда, однако, не делая его равным с. Если
в этих условиях переменная величина f(x) имеет предел, то его
называют пределом функции f(x) в точке с справа, обозначают
через /(с + 0) и пишут
ДГ-» С
х>с
Примечание. Обозначения /(с — О) и /(с + 0) возникли следующим
образом. Когда имеем х < с, тогда х = с —h, где h есть положительная вели-
величина. Если х непрерывно возрастает, безгранично приближаясь к значе-
значению с, но никогда не делаясь ему равным, тогда h непрерывно убывает до
нуля, причем, однако, во всякий момент времени мы имеем h > 0. Поэтому д о
предела f(x) пишется в виде /(с —/г), где положительное h—>0 убывает
непрерывно. Естественно и самый предел для f(x) написать в стилизо-
стилизованном виде, т. е. так, чтобы это обозначение f(c — 0) несло на себе отпе-
отпечаток самого происхождения того числа, которое оно заменяет \
Точно так же, когда х > с, мы имеем х = с -f- К где h положительно. Если х
непрерывно убывает, безгранично приближаясь к значению с, но никогда
не делаясь ему равным, тогда h непрерывно убывает до нуля, будучи, однако,
в каждый момент времени положительным, h> 0. Поэтому до предела f (х)
напишется в виде f(c-\-h), где положительное h — 0 убывает непрерывно.
Естественно, поэтому, и самый предел обозначить через j(с-f-0).
Учащийся видит, что обозначения /(с —0) и /(c-j-O) составлены по тому
же способу, как и обозначения /( + оо) и /( —¦ со). Но для начинающего они
представляют гораздо большую опасность. Легко понять причину этого.
Бесконечность не есть число и учащийся не станет рассматривать /(-f- оо)
как настоящее значение функции f(x), принятое ею при каком-то опреде-
определенном х.
Но в обозначении /(с — 0), когда им пользуются неосторожно, не давая
себе отчета в его истинном смысле, является громадная опасность принять с — 0
за число, считать его равным числу с, и, вставив его в выражение функции/(я)
вместо Ху начать производить с ним выкладки и, в конце концов, думать, что
/(с —0) и f(c) одно и то же. Это было бы грубейшей ошибкой, и чтобы
избежать ее, надо держаться правила:
рассматривать /(с — 0) как обозначение символическое, т. е. не как
настоящую величину функции } (х) при х, равном с, но как предел ее на-
настоящих величин для х, непрерывно возрастающего и безгранично прибли-
приближающегося к с, при условии иметь всегда х < с.
1 Буквально же (т. е. грубо, не символически) их понимать, разумеется,
невозможно, так как прибавление или отнятие нуля от с нисколько не изменит с>
потому что с-|- 0 = с и с —0 = с и, значит, обозначения /(с + О) и /(с — 0)
тогда не могут дать ничего ценного или интересного, выражая при грубом, не
символическом понимании их просто величину функции f(c) в самой точке с,
которую и без того можно было бы прекрасно написать в виде /(с).
§ 45
ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ И ИХ ОБОЗНАЧЕНИЯ
99
Поэтому нельзя из символа / (с — 0) отдельно вынимать разность с — 0
и производить на ней те или другие действия, но следует рассматривать
/ (с — 0) как единый цельный символ, от которого нельзя отделять частей, как
нельзя, например, в обозначении arc sin х отделять arc от sin х.
Все сказанное имеет силу и для обозначения f(c-\-Q).
С точки зрения геометрии, указанные обозначения: f(c — 0)
и /(? + 0) являются чрезвычайно ясными и не могут послужить
поводом к появлению каких-либо недоумений. Достаточно взгля-
взглянуть на рисунок 59, где изображена некоторая возрастающая
функция y = f(x).
В
Рис. 59
Здесь сразу видно, что когда аргумент х, оставаясь меньшим
чем с, возрастает и безгранично приближается к с, как к пре-
пределу, ордината РМ кривой стремится к некоторой предельной
величине f(c — 0), которая заметно меньше значения f(c)
функции f(x) в самой точке с. И когда х, будучи большим
чем с, убывает и безгранично приближается к су как к пределу,
ордината МР кривой стремится к некоторой предельной величине
/(с-|-0), которая заметно больше значения f{c) функции f(x)
з самой точке с.
В этом можно видеть доказательство того, что вообще все
три числа
f(c — % И /(С) И /(G + 0)
различны друг от друга. Притом, в рассматриваемом слу-
случае, только второе число f (с) есть настоящее значение функции
100 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. V
(в точке с); оба же остальные числа: f(c — 0) и /(с_[-0) отнюдь
не являются значениями рассматриваемой функции f(x) ни в ка-
какой точке х, но суть лишь пределы ее настоящих значений.
Пример. Возьмем функцию f(x)=:-—- где предполагаем, что х Ф 0.
Если я>0, имеем, очевидно, х = | х | и, значит, / (я) =-j-1. Если %<0,
имеем jc = — | jc | и, значит, /(х) = — 1.
Поэтому весь график функции f(x) представится в виде двух половин пере-
переломленной прямой, помещенных
над положительной частью оси
ОХ и под ее отрицательной ча-
^вяии1вви1в-и11ии|^и1ивш1в стью на расстоянии, равном
\j единице. Важно отметить, что
i X нижняя половина переломленной
прямой не имеет самой послед-
последней точки, а ее верхняя поло-
половина не имеет самой первой
(рис. 60).
риг лл Ясно теперь, что /( —0) =
* и =-1 и /(+0) = +1. Что же
касается значения / @) функции
(х) в самой точке 0, то его совсем нет, ибо формула, дающая функцию f(x),
при х=.О разрушается, принимая невычислимый вид -*-.
Необходимые и достаточные условия
непрерывности функции в точке
При помощи пределов f{c — 0) и /(с + 0) функции/(л:) слева
и справа от точки с очень просто выразить и самую непрерыв-
непрерывность функции в этой точке.
А именно, из свойства 1 (см. § 42) непрерывных функций
в точке мы знаем, что необходимым и достаточным признаком
непрерывности функции f(x) в точке с является осуществление
равенства \imf(x)=f(c) при монотонном без скачков стремлении
X -> С
аргумента х к с. Это и означает, что точка с непрерывности
функции f(x) вполне характеризуется двумя равенствами
f(c-0)=f(c)=f(c
Таким образом, необходимым и достаточным условием не-
непрерывности функции f(x) в точке с является осуществление
двух равенств
f@)f() A)
Примечание. Два равенства A) характеризуют обыкновен-
обыкновенную (т. е. двустороннюю) непрерывность функции f(x) в точке с.
Если же нам гарантировано только первое равенство /(с — 0) =
=/(?), то мы можем ручаться лишь за левостороннюю непрерыв-
§ 46 ТИПЫ РАЗРЫВОВ ФУНКЦИЙ 101
ность функции f(x) в точке с. Аналогично, если верным яв-
является второе равенство f(c-\-0)=f(c), то функция f(x)
заведомо имеет правостороннюю непрерывность в точке с.
§ 46. Типы разрывов функций. Неустранимый и устранимый
разрывы. Из предыдущего ясно, что всякая точка разрыва
с может возникнуть лишь по двум причинам.
Первая причина — это несуществование по крайней мере
одного из пределов f(c — 0) и f(c~\-O).
Вторая причина — это, при наличии обоих указанных пре-
пределов, нарушение равенств f (с — 0)==/(с)==/(с--|-0).
Первая причина разрыва
Она наступает тогда, когда при безграничном приближении
аргумента х к точке с функция f(x)
1) либо уходит в бесконечность (рис. 61 и 62);
2) либо совершает безгранично много незатухающих колеба-
колебаний (рис. 63.)
Рисунок 61 изображает течение функции j/ = —-, уходящей
в — оо при приближении х к с слева и уходящей B-f-°°> когда х
приближается к с справа. Рисунок 62 изображает течение кривой
у=- ^, уходящей в 4-оо, когда х—*с безразлично с какой
{X — С)
стороны.
Рисунок 63 изображает течение функции у = sin ^—^, делаю-
делающей бесконечное множество колебаний от -\-1 до —1, когда х
неограниченно приближается к с.
Вторая причина разрыва
Она наступает тогда, когда, при существовании обоих
пределов /(с — 0) и /(с + 0), мы имеем
1) либо неравенство f(c — 0)^/(^ + 0) (рис. 64);
2) либо, при наличии равенства f(c — O)=/(c-f-O), имеем
неравенство /(с — 0)ф/(с) (рис. 65).
Рисунок 64 изображает две разорвавшиеся ветви кривой
y=f(x). При этом совершенно безразлично, чему именно равно
численное значение f(c) функции f(x) в самой точке разрыва с,
ибо, делая его каким угодно, мы никогда не устраним оторван-
оторванности правой ветви кривой от левой и, значит, никогда не
можем уничтожить разрыв функции f(x) в точке с, Если мы,
по тем или иным причинам, располагаем возможностью свободного
выбора численного значения f(c) функции f(x) в самой точке с,
то самое большее, что мы можем сделать, это выбрать f(c) так,
чтобы иметь: или /(с)=/(с —0), или /(с)==/(с + О). Ясно, что,
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ГЛ. V
Рис. 62
Рис. 63
Рис. 64
§ 47 КАЖУЩИЙСЯ РАЗРЫВ 103
в первом случае, функция f(x) делается непрерывной слева
в точке су и, во втором случае, непрерывной справа в этой
точке.
Рисунок 65 изображает наиболее интересный случай так назы-
называемого устранимого разрыва, когда левая и правая ветви
кривой приближаются к одной и той же предельной точке
f(c — O)=/(c-j-O) на вертикальной прямой х~с. В этом случае
разрыв функции у =f(x) происходит только от того, что числен-
численной величиной функции f(x) в точке с является не общая
предельная величина f(c — O)=/(c-f-O), но какое-то постороннее
число f(c). Геометрически этот случай надо понимать так, что
из линии y=f(x), непрерывной в точке с, вынута точка
с абсциссой с и либо поднята выше кривой, либо опущена ниже
нее. В этом случае ясно, что, возвращая вынутую из кривой точку
на ее «прежнее место», мы восстанавливаем непрерывность кривой
в точке с. Таким образом, если имеем f(c — 0)=f(c-\-0), всегда
можно изменением численного значения функции f(x) в одной
только точке с сделать f(x) непрерывной в этой точке. Поэтому
этот вид разрыва носит название устранимый разрыв.
Все прочие виды разрывов невозможно превратить в непре-
непрерывность путем изменения численного значения функции f(x)
в одной только точке с. Поэтому они носят название неустра-
неустранимых разрывов.
Учащийся отнюдь не должен думать, что все описываемые случаи разры-
разрывов функции «слишком отвлеченны», имеют лишь «теоретический» интерес и
«никогда» не встречаются на практике. Напротив, современная техника как раз
имеет дело с описываемым поведением функции1. Например, при возведении
строения сплошь и рядом балка рассчитывается нагруженной неравномерно;
в одной ее части нагрузка одна, а в непосредственно прилегающей к ней
части нагрузка уже совершенно другая. Это соответствует как раз неустра-
неустранимому разрыву (рисЛ 64) для функции, задающей нагрузку. Резкая (сосредо-
(сосредоточенная) нагрузка балки в одной точке соответствует устранимому разрыву
функции, задающей нагрузку.
§ 47. Кажущийся разрыв и так называемая «истинная ве-
величина» функции. Раскрытие неопределенностей. Случается, что
функция выражается формулой, которая утрачивает численный
смысл при каком-нибудь значении аргумента.
Например, функция
(х-с?
1 Согласно акад. А. Н. Крылову: «Типичные встречающиеся в практике
случаи прерывной нагрузки следующие: нагрузка на различных участках
балки непрерывна на каждом участке в отдельности, но на разных участках
представляется различным образом и в ряде точек имеет скачки конечной
величины». Акад. А. Н. К р ы л о в. О расчете балок, лежащих на упругом
основании, Ленинград, 1930, стр. 26.
104 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. V
при х — с не равна ничему, потому что числитель и знаменатель
дроби оба обращаются при значении аргумента х = с в нуль.
В этих условиях формула, разумеется, невычислима.
Однако такое повреждение при х~с формулы f{x), дающей
функцию у =/(х), отнюдь не означает, что повреждена в этой
точке и сама функция y=f(x). Часто бывает, что формула/(лс)
повреждается при х = с, переставая служить для вычисления ве-
величины f(x), потому что утрачивает всякий смысл в точке с,
в то время как сама функция y—f(x) не представляет ничего
особенного в этой точке, имея в ней столь же гладкое течение,
как и в соседних точках.
Говоря самым общим образом, когда какая-нибудь формула
f{x)y содержащая букву х, утрачивает численный смысл при ка-
каком-нибудь исключительном значении с аргумента х, тогда есте-
естественно ожидать в этой точке с какой-нибудь неприятности для
течения функции, например неустранимого разрыва. Но часто
случается, что можно дать такую числен-
„ .„. ную величину функции у в точке с, что
эта функция станет уже на отрезке [а, Ь]
непрерывной.
Ясно, что для этого функция у должна
д стремиться к определенному пределу,
когда аргумент х стремится к точке с,
Рис 66 причем этот предел должен быть одина-
одинаковым независимо от того, стремится ли
аргумент х к точке с возрастая или убывая (т. е. слева или
справа от точки с). Ясно, наконец, что, давая функции у
эту предельную величину как ее значение в самой точке су мы
делаем функцию у непрерывной в точке с. Такой устранимый
разрыв называется кажущимся разрывом, и предельное значение
функции у в точке с называется ее «истинной величиной» в этой
точке.
Геометрически истинная величина функции у изобразится
точкой, вставляемой между правой и левой ветвями функции,
стремящимися к этой точке (рис. 66).
Таким образом, когда это обстоятельство случается, тогда
находят искомую величину функции y—f(x) в такой точке с,
просто вычисляя f(c-\-0) и f(c — 0). Если оказывается, что эти
количества равны друг другу, то считают, что в точке с повреж-
повреждена не сама функция, а лишь дающая ее формула, и тогда
просто принимают за f(c) общую величину
называя ее в этом случае истинной величиной функции в точке с.
Мы знаем, что этим восстанавливается непрерывность функции
/(л) в точке с.
§ 47 кажущийся разрыв 105
Иногда это восстановление величины функции у=:/(х) де-
делается чисто алгебраически, именно так, что надлежащими эле-
элементарными алгебраическими переделками в данной формуле:
сокращениями, приведением подобных членов и т. д., устраняется
повреждение формулы для х = с без изменения численных ве-
величин функции в других точках.
Из сказанного явствует, что естественно рассматривать этот
случай как случай кажущегося разрыва, обязанного не недостат-
недостаткам самой функции (в геометрическом смысле), а лишь некоторому
недостатку дающей эту функцию формулы, утрачивающей слу-
случайным образом свой численный смысл при х = с.
Например, формула
перестает служить для вычисления величины функции при х—19
потому что тогда два знаменателя обращаются в нуль.
Если мы раскроем скобки и «сократим» члены
то этим самым мы нисколько не изменим величины функции для
значений аргумента х, отличных от единицы, но тогда рассмат-
рассматриваемая формула переходит в другую формулу:
Ф{х) = 3х\
которая дает уже непрерывную функцию и величина которой
для х— 1 равна 3.
Так как имеем равенство
для всех х, отличных от единицы, то отсюда заключаем, что
= 3 и
Поэтому, полагая просто /A) = 3, мы восстанавливаем непре-
непрерывность функции и устраняем кажущийся разрыв, происшедший
от разрушения формулы f(x) при х=\.
Другой пример того, что подобная утрата численного смысла
той или иной формулой может произойти чисто случайно, уча-
учащийся заметит из того обстоятельства, что достаточно написать
любую непрерывную функцию f(x) в виде
xf(x)
или в виде
^+/(¦*)]-4 <
как новая формула уже утрачивает ч исленный смысл при л =
4В Дифференциал ыюе исчисление
106 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. V
В данном случае численное значение /@), утраченное функ-
функцией f(x), восстанавливается «сокращением».
Сокращение, по самой своей сути, есть такое действие,
которое, удаляя из написанной формулы те или другие ее части,
благодаря присутствию которых она повреждается и становится
невычислимой в некоторых точках, делает ее вычислимой и в
этих точках. При этом сокращение не изменяет численной вели-
величины функции вне этих точек, а после сокращения оказывается,
что в самих этих точках функция была непрерывной и только
наличие сокращаемых частей завуалировало (маскировало)
эту непрерывность.
Но далеко не всегда столь простым чисто алгебраическим
способом удается восстановить непрерывность функции и открыть
ее истинное значение в точке с, в которой разрушается формула.
Так, например, формула
очевидно, разрушается при л = 0, потому что мы получаем нуль
в знаменателе. И устранить этот нуль никаким чисто алгебраиче-
алгебраическим способом нельзя. Однако функция у =/ (х), даваемая этой
формулой, непрерывна при х = 0у как мы докажем в конце этого
параграфа, причем мы найдем, что «истинной величиной» функции
f(x) в точке х — 0 будет единица.
Находить «истинную величину» функции f(x) вообще дело
очень трудное, потому что в самой точке с формула утрачивает
смысл, и для нахождения предела \imf(x), когда х стремится
кс, прибегают обычно к дифференциальному исчислению, дающему
могучее средство к определению истинных величин функций, на-
называемое иногда «раскрытием неопределенности», так как функ-
функция f(x) неопределенна в точке х — с.
Неопределенность функции f(x) в точке х = с происходит от
того, что формула f(x) утрачивает смысл, когда полагают в ней
х = с. Эта утрата смысла чаще всего происходит от того, что
функция в точке х — с принимает вид -^. Вообще же, неопреде-
неопределенность может проистечь потому, что функция f(x) в точке
х = с примет один из следующих семи видов неопределенности:
1, ?, О.оо, оо-оо, 0», со», 1«.
Правила раскрытия этих неопределенностей изложены дальше
(см. гл. XIV).
В заключение мы приведем таблицу простейших пределов,
играющих особенно важную роль при изучении математического
§ 47 кажущийся разрыв 107
анализа. В этой табличке предполагается, что я>0, а буква с
всюду обозначает число, существенно не равное нулю.
В форме пределов В сокращенной, часто
употребляемой форме
1. ljm^ = oo; ~=OO.
2. Нтсл; = оо; с-оо = <х>.
л:-» со
3. Нт- = оо; ^=оо.
х-+<х>с О
4. Нт-=0; ^ = 0.
5. Нт ах = -\-оо, если бг<1; а^°° = 4-
6. lim ах — 0, если
X -*-{-00
7. Нт аЛ = 0, если
Х-± — 00
8. Нт а* = -}-оо, если
9. lim logajc = —оо для а>1; loga0 = —оо.
10. lim
Выражения, написанные во втором столбце, не следует рас-
рассматривать как выражения численных равенств (оо не есть число);
это просто — символические равенства, под которыми надо разу-
разуметь соотношения, указанные в первом столбце, и только так их
и нужно понимать.
Предел отношения синуса к дуге
Знать этот предел необходимо для изучения дифференциального
исчисления. Речь идет об отыскании предела отношения —^,
когда аргумент л стремится к нулю, будучи отличным от нуля.
Возьмем для этого окружность радиуса 1 и в ней угол АОВ,
равный 2ху который предполагаем небольшим (рис. 67). Ясно,
что хорда АВ равна 2 sin х, а кривая дуга АВ равно просто 2х,
ибо мы углы даем не в градусах, а в радианной мере. Наконец,
проводя карательные AD и BD в точках А и В в окружности,
мы видим, что AD = tgx, и, значит, обхватывающая ломаная
линия ADB = 2 tg х. Но из элементарной геометрии известно, что
обхватывающая линия ADB больше кривой дуги АВ. Значит,
4в*
108
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ГЛ. V
имеем неравенство 2sin.*<2.x;<2tg.x;, которое после деления
1
на 2 sin л;, запишется в виде 1
X 1
-—<
sin х cos х
Если мы, оставляя сначала л положительным, заставим
его безгранично приближаться к нулю, то cos л будет стремиться
к единице. Поэтому правая часть предыдущего неравенства имеет
своим пределом 1 и, значит (§ 35), отно-
отношение -— стремится к единице, когда по-
положительное л стремится к нулю. А так
\j) как мы имеем очевидное тождество
:-—, то из него заклю-
smx'
(— х)
Рис. 67
sin (— х) — sin х
чаем,
единице и тогда, когда аргумент х, будучи
отрицательным, стремится к нулю
что отношение -— стремится к
sin х
sinx
Итак, во все л случаял lim =1 и, следовательно, мы имеем:
lim
где л стремится к нулю, проходя как через положительные, так
и через отрицательные числа.
Если мы теперь рассмотрим функцию >>==
то читатель
видит, что она имеет кажущийся разрыв в начале координат
л = 0, где ее «истинная величина» (т. е. предел для л, стремя-
стремящегося к нулю) равна единице.
Y
Рис. 68
И так как знаменатель уничтожается лишь в начале коорди-
координат, то рассматриваемая функция нигде не имеет никаких разрывов.
'Гак как перемена знака аргумента л функцию не изменяет, то
кривая у — ?Ш? симметрична относительно оси У. Знак функции
х
зависит только от знака sin л:, когда л возрастает от 0до-{-оо.
§ 48 НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ 109
Притом функция стремится к нулю, когда х стремится к +°°>
ибо числитель по обсолютной величине не превышает 1, а знаме-
знаменатель возрастает до 4~оо.
Сказанного достаточно, чтобы видеть, что график функции
будет таким, как это изображено на рисунке 68.
Можно сказать, что хотя кривая и колеблется около оси
абсцисс, то возвышаясь над нею, то уходя под нее, однако коле-
колебания эти запухают, так как ордината у кривой стремится
к нулю, когда X возрастает до-j-oo.
§ 48. Натуральные логарифмы. График показатель-
показательной функции. Показательной функцией называется функция
вида
где а есть постоянное. Это постоянное, называющееся основанием
показательной функции, берется нами превышающим единицу,
а>1. Учащийся легко войдет во все свойства таких показатель-
показательных функций, если представит себе, что v
основание а есть какое-нибудь целое по-
положительное число, например 10.
Формула элементарной алгебры
а° = 1
обнаруживает, что показательная функция
ах равна 1 для х — 0. Если х возрастает,
начиная от нуля, до -f- оо, показательная
функция ах чрезвычайно быстро возраста-
возрастает, как читатель легко убедится, давая х
последовательно значения 1, 2, 3, 4, ... , для которых значениями
рассматриваемой функции являются числа
а, аа, ааа, аааа, ... ;
последовательность этих чисел возрастает чрезвычайно быстро,
например, 10, 100, 1000, 10000, ...
Для полного изучения показательной функции ах надо было
бы, собственно говоря, рассмотреть ее значения для дробных и
иррациональных величин аргумента х и обнаружить, что эта
функция непрерывна при всяком значении х и возрастает от 0
до -j-оо, когда аргумент х растет от —оо до -{-оо. Но мы не
будем делать этого трудного, выходящего притом из рамок насто-
по
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ГЛ. V
ящей книги, изучения. Мы ограничимся простым утверждением,
что показательная функция[ах с основанием а, большим единицы,
есть всюду положительная и всюду непрерывная функция; она
возрастает на всей оси абсцисс, причем она возрастает от
О до I на ее отрицательной части и возрастает от 1 до -f- <*>
на ее положительной части.
График показательной функции с основанием большим единицы
изображен на рисунке 69.
График логарифмической функции. Обратимся
теперь к логарифмической функции
Это равенство обозначает, что
Отсюда мы заключаем, что абсцисса х есть показательная функ-
функция ординаты^. Поэтому, чтобы изобразить соотношение х = ау
в виде геометрической линии,
нужно просто на рисунке 69
переменить букву х на бук-
букву у, и обратно. Ясно, что
тогда горизонтальная ось бу-
будет осью OYy а вертикальная
ось станет осью ОХ. А так
X как такое расположение осей
координат непривычно и не-
неудобно, то нужно для при-
приведения графика в обычный
вид перевернуть чертеж так,
чтобы новая ось OY стала
вертикально и новая ось ОХ
легла горизонтально. Это
можно сделать, повернув всю
плоскость чертежа на другую
сторону около равноделяшей прямой у = х, как около оси вра-
вращения; тогда положительная часть оси OY совпадает с положи-
положительной частью оси ОХ. Но проще всего — это отразить, как
в зеркале, показательную кривую (рис. 69) в этой равноделящей
прямой: тогда показательная кривая у — ах прямо отразится в ло-
логарифмическую кривую у = loga х, как это показано на рисунке 70.
Из этого рисунка мы непосредственно усматриваем, что:
1) логарифмическая функция \ogax есть непрерывная функ-
функция на положительной части ОХ оси абсцисс, причем она
Рис. 70
§ 48 НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ lit
отрицательна на промежутке (О, 1), возрастая от — оо
до нуля, и положительна на промежутке A, 4"°°)> возра*
стая от нуля до -\-оо;
2) для отрицательных значений аргумента х функция loga x
не существует: отрицательные числа не имеют ло-
логарифмов (в области действительных чисел);
3) loga 1 = 0 при любом основании а, а > 1.
До точки х = 1 логарифмическая кривая течет под осью ОХ:
логарифмы чисел, меньших единицы, отрицательны; после этой
точки кривая возвышается над осью ОХ: логарифмы чисел, боль-
больших единицы, положительны. При х, безгранично возрастающем,
\°%ах также безгранично возрастает, что условно (ибо бесконеч-
бесконечность не есть число и логарифма не имеет) записывают в виде
символического равенства
Натуральные логарифмы, переход от них к
обыкновенным логарифмам и обратно. Мы видим,
что всякому основанию а, а > 1 соответствует своя собственная
логарифмическая кривая y = \ogax и, значит, своя собственная
система логарифмов. Таким образом, систем логарифмов имеется
бесчисленное множество.
Но на самом деле употребительны только две системы лога-
логарифмов:
I. Система логарифмов Бригга, называемых иногда обыкно-
обыкновенными, или десятичными, логарифмами. В этой системе за
основание а взято число 10, а = 10.
II. Система логарифмов Непера, называемых часто нату-
натуральными, или гиперболическими, логарифмами. В этой системе
за основание а взято одно особенное иррациональное число,
обозначаемое буквой е, приближенную величину которого нетрудно
запомнить
е = 2,7 1828 1828 45 90 45 ...
Таким образом, если у есть десятичный логарифм числа xf
то имеем 10^=х, и если у есть натуральный логарифм числа xt
то имеем е^ = л.
При первом знакомстве с теорией логарифмов кажется вполне
естественным взять за основание системы логарифмов число 10,
т. е. употреблять всегда бригговы логарифмы. Эта естествен-
естественность обусловливается прежде всего нашей привычкой вырв-
жать целые числа в десятичной системе счисления и пользоваться
десятичными дробями в наших выкладках: таким образом, взять
число 10 за основание логарифмов побуждают, собственно, сооб-
соображения практического порядка.
112 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. V
Однако более глубокое знакомство с логарифмами и логариф-
логарифмическими функциями обнаруживает, что принятие числа 10 за
основание является случайным обстоятельством и влечет за собой
в дальнейшем такое усложнение формул, которое не может быть
оправдано ни теоретическими, ни даже практическими соображе-
соображениями.
Напротив, уже в элементах дифференциального исчисления
представляется наиболее целесообразным принять за основание
системы логарифмов не число 10, а вышеуказанное иррациональ-
иррациональное число е.
Только при употреблении этого иррационального числа е> как
основания логарифмов, формулы получают наиболее простой вид.
Два иррациональные числа: е и тг = 3,141592653 ... играют исклю-
исключительно важную роль в математике: первое, е — в анализе,
второе, тг — в геометрии.
Логарифмы с основанием е называются натуральными лога-
логарифмами (или логарифмами Непера) и обозначаются просто
IvlN
без указания основания. Обозначение же lg N удерживается для
десятичных логарифмов (логарифмов Бригга).
Мы предполагаем, что читатель из элементарной алгебры зна-
знаком с употреблением логарифмов Бригга lg N и умеет обращаться
с таблицами этих логарифмов.
На первый взгляд может показаться, что одновременно с таб-
таблицами бригговых (десятичных) логарифмов, \gN, необходимо
иметь еще и таблицы натуральных логарифмов, In N. На самом
деле это не так, потому что имеется очень простой способ пере-
перехода от одной системы логарифмов к другой, так что никакой
новой таблицы уже не требуется.
В самом деле, пусть у есть логарифм числа л при основании
а, т. е.
аУ = х.
Беря натуральный логарифм от обеих частей этого равенства,
мы получаем:
у\па = 1пх. A)
Следовательно, если известен натуральный логарифм In x числа
X, мы будем иметь логарифм этого числа х при любом основании
а простым умножением натурального логарифма на множитель
М=\—. Этот множитель иногда называется модулем основа-
основания а. Значит, помножая всю таблицу натуральных логарифмов
§ 48 НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ ИЗ
на модуль М основания а> мы немедленно получим таблицу ло-
логарифмов при основании а.
Этот модуль М можно вычислить еще иначе: положим, в пре-
предыдущем равенстве A) х — е. Тогда 1пе = 1 (потому что всегда
имеем logaa=l при любом основании а), и, значит, у = j— .
Но, с другой стороны, у = loga л = \oga е. Значит,
И обратно: если известен логарифм числа х при основании #,
мы немедленно получим натуральный логарифм этого числа про-
простым умножением на число -^, как показывает равенство A).
В частности, для десятичных (бригговых) логарифмов
а=10 и М=0,434 294 481903 ...,^=2,302 585 092994...
Чтобы переходить от одних логарифмов к другим, надо поль-
пользоваться умножением на М и -^ ;
\gN=M\nN.
Число е
Мы уже говорили, что наиболее целесообразной в теоретиче-
теоретическом отношении является такая система логарифмов, в основание
которых принято не число 10, а особенное иррациональное число
еу называемое числом Непера или просто числом е, приближенная
величина которого легко запоминаема:
е = 2,7 1828 1828 45 90 45...
Такая система логарифмов называется системой натуральных
(или неперовых, или гиперболических) логарифмов. Натуральный
логарифм какого-нибудь числа А обозначается просто
In Л.
Самое введение в математический анализ числа е совершается
при помощи следующей важной леммы:
Лемма. Выражение f I -j-~) , где п есть целое положи-
тельное число, стремится к вполне определенному пределу,
когда число п безгранично возрастает, Этот предел больше 2
и меньше 3.
114 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ.
Действительно, вспомним бином Ньютона:
, П(П — 1)(Л — 2) ... G2 — k+ I)
...-] 1.2.3...Л
и положим в нем
=1 и ?= —.
Тогда получим:
1 J72 ! i п(п-\) 1
, w(/i—!).,.(/» —Ае + 1) 1 ! i 1
•"•"Г" 1-2.3...& 'л*»'••"»«"•
Полученную формулу крайне выгодно написать несколько
иначе, так чтобы выявились некоторые ее свойства:
Для того чтобы понять как это делается, учащийся должен
просто обратить свое внимание на общий (&-й) член предыдущей
формулы и заметить, что в его числителе всех скобок имеется
к — 1 и что по сокращении первого множителя п со знаменателем
nk у нас в знаменателе останется пк9 значит, столько же мно-
множителей п, сколько в числителе скобок. А тогда, деля каждую
скобку на одно я, мы и получаем выделенную последнюю фор-
формулу.
Свойства же последней формулы следующие:
С одной стороны, каждая из скобок есть число положитель-
положительное, отсюда, заменяя всякую из этих скобок через нуль, мы
получим в правой части нашего последнего равенства меньше
того, что там ранее имелось; значит, всегда
С другой стороны, каждая из этих скобок меньше единицы;
отсюда, заменяя всякую из них единицей, а каждое из чисел
2, 3, 4, ... , находящихся в знаменателях перед скобками, просто
двойками, мы получим в правой части нашего последнего равен^
ства больше того, что там ранее имелось, значит,
+^' + ' + ++++
§ 48 НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ 115
Но правая часть этого неравенства всегда меньше 3, как уча-
учащийся легко убедится, вспомнив убывающую бесконечную геомет-
геометрическую прогрессию
Итак, для любого целого положительного числа п мы имеем
всегда:
Пусть теперь целое положительное число п начинает безгра-
безгранично возрастать. Посмотрим, что происходит тогда с напиеан-
ным выше разложением
Прежде всего надо отметить, что возрастает число слагаемых
в этом разложении и что, кроме того, все слагаемые этого раз-
разложения положительны. Затем следует заметить, что каждое
слагаемое, рассматриваемое в отдельности, также возрастает
по своей величине, ибо всякая скобка
с увеличением числа п начинает возрастать, неограниченно при-
приближаясь к своему пределу 1.
Так как сумма всех этих слагаемых и дает величину выра-
A \п
1+—) , то отсюда необходимо заключить, что с уве-
личением целого положительного числа п выражение [\-\—]
возрастает по своей величине.
Итак, когда п безгранично возрастает, выражение ( 1-]—]
есть положительная переменная величина, все время возрастаю-
возрастающая, но остающаяся все время меньше 3. Поэтому эта перемен-
переменная величина необходимо стремится к пределу \ когда п безгра-
безгранично возрастает, причем этот предел, очевидно, не меньше 2 и
1 Опираясь на теорию иррациональных чисел, нетрудно доказать, что вся-
всякая возрастающая переменная величина, остающаяся притом всегда
меньше некоторого числа, необходимо стремится к пределу. Не имея
возможности расширить рамки нашей книги, мы примем этот факт просто как
принцип, не входя в его обоснование. Геометрически этот принцип эквивален-
эквивалентен утверждению, что точка, движущаяся всегда в одном и том же самом
направлении и не уходящая бесконечно далеко, необходимо приближается
к некоторому определенному предельному положению.
116 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. V
A \ п
1 -|— J всегда на-
находится между этими границами.
Доказанная лемма позволяет дать следующее определение.
Определение. Предел выражения
0+т)'.
когда натуральное число п возрастает безгранично, назы-
называется неперовым числом и обозначается буквой е:
Um (l+!)"=*.
Мы выше видели, что число е заключено между 2 и 3. При-
Приближенная величина е следующая:
е = 2,7 1828 1828 45 90 45.
Примечание. На примере числа е учащийся ясно видит, как нельзя
быть легкомысленным и неосторожным в обращении с пределами и с беско-
бесконечностью. Ведь учащийся прекрасно мог «рассуждать» и так: «Мне надо найти
предел
ЫТ-
когда п безгранично увеличивается; очень хорошо: я и сделаю /г=оо. Тогда
и значит,
1+—= 1+0=1.
Значит, мне надо 1 возвысить в бесконечную степень. Но так как
12 1 13 — 1 \П . 1
то и в пределе я получу 1°°=1. Значит,
Заключение, как мы видим, совершенно ложное и происходящее от того,
что учащийся в выражении
(¦¦4)"
сначала в скобке сделал п = оо, положив
lim—= 0,
п '
и уже потом в показателе скобки ( )п сделал # = оо.
На самом же деле бесконечность оо не есть число, и сначала вычислять
1 -] при п -+ + оо и уже после этого вычислять ( )п при п -+ + оо недоиу-
§ 48 НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ 117
стимо. В действительности нужно п безгранично увеличивать, одновременно и
в скобке, и в показателе скобки. И когда мы это будем делать, то мы увидим,
что
lim f I J ) =2,7 ..., а не 1.
п->-\-оо \ П J
Учащийся, безусловно, прав, когда в отдельности заключал, что
lim
+
4\ n
и что
lim Iя = 1.
П-+-\-СС
Порознь так рассуждать можно. Когда п еще обозначает число (целое по-
пожительное и, значит, конечное), учащийся, вычисляя выражение
имеет право сначала вычислить внутри скобки сумму 1 -\ и уже потом вы-
вычислить степень скобки ( )п. Но с символом оо этого нельзя делать, потому
что этот символ не есть число, и тут уже надо одновременно увеличивать п
и в скобке и в показателе.
A \
1 -|— J , где п
(
означает натуральное число (т. е. целое положительное), имеет
своим пределом число Непера ?, когда п безгранично увеличи-
увеличивается:
+ 1Г) ^е'
Простые выкладки1 обнаруживают, что рассматриваемое вы-
выражение продолжает иметь своим пределом число Непера е не
только тогда, когда я, будучи натуральным числом, безгранично
увеличивается, но и тогда, когда п стремится к-[~оо, пробегая
все положительные числа как целые, так и дробные и даже
иррациональные. Более того, оказывается, что предел будет тот
же самый, если п даже стремится к — оо, пробегая все отрица-
отрицательные (соизмеримые или несоизмеримые) числа.
Таким образом, имеется предложение:
lim(l+4Y=*.
когда переменное п неограниченно увеличивается по абсолютной
величине, пробегая какие угодно значения: |/г|-^4~°°'
1 Учащийся может найти эти выкладки в более обширном курсе по мате-
математическому анализу. Мы не приводим их, потому что они длинны, неинте-
неинтересны и не могут дать учащемуся никакой новой мысли. Простая же проверка
указываемого ниже факта еще не может служить оправданием помещения ее
в кратком учебнике анализа.
118 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. V
Из этого предложения вытекает следующая важная теорема,
ради которой, собственно, в математический анализ введено число
Непера е.
Теорема. Функция (\-\~х)х аргумента х непрерывна в точ-
точке х = 0> стремясь к числу Непера е как к пределу, когда
аргумент х стремится к нулю.
Доказательство. Аргумент х в выражении функции
может быть каким угодно: как положительным, так и отрица-
отрицательным, за одним лишь исключением: он не может быть рав-
равным нулю, потому что при х — 0 формула
дающая функцию у, разрушается, переставая иметь какой-либо
смысл.
Таким образом, мы как будто бы сначала вправе ожидать
при х = 0 разрыва рассматриваемой функции .у —A +¦*)"*• Од-
нако это лишь кажущийся разрыв, и «истинная величина» функ-
функции у — A-\-х)х в точке х = 0 равна числу Непера е.
Для того чтобы убедиться в этом, положим х =—. Тогда
* / 1 \ га
выражение A -\-х)х перепишется в виде ( 1 + —) • Если х без-
безгранично приближается к нулю безразлично каким способом, т. е.
пробегая по положительным или отрицательным числам, абсолют-
абсолютная величина переменного п безгранично возрастает, так что
/ 1 \п
\п\ —>-[" оо. А мы видели, что в этих условиях lim ( 1 -| ) = е.
Следовательно, численная величина функции у = A -|- х)х
безгранично приближается к числу Непера еу когда абсолютная
величина | jc | аргумента х безгранично умаляется.
Полное построение графика рассматриваемой функции не
может быть произведено без дифференциального исчисления, т. е.
с помощью одних только элементарных методов. Забегая вперед,
мы укажем учащемуся, что график функции у = (\-\-х)х имеет
вид, изображенный на рисунке 71.
Таким образом, это есть непрерывная кривая, формой напоми-
напоминающая одну ветвь гиперболы. Она спускается из -f- оо при зна-
значении х = — 1 и идет, все время ниспадая, но, однако, оставаясь
§ 48
НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ
119
все время выше прямой у — 1. К этой последней кривая безгра-
безгранично приближается, когда аргумент х стремится к -j-oo. Итак,
кривая имеет две асимптоты: прямую х =— 1 и прямую у — 1, к
которым она безгранично приближается.
Ось У пересекается нашей кривой в точке у = е} как мы это
и обнаружили. Таким образом, разрыв кривой
при х = 0 был лишь кажущимся, обязанным не недостаткам самой
кривой, а лишь недостатку выражающей
ее формулы ^
V
случайно утрачивающей свой числовой
смысл при х=^0.
j_
Тот факт, что функция у = (\-\-х)х
убывает на всем промежутке
(_l<JC<+00)f
можно обнаружить, лишь употребляя могу-
могущественные методы дифференциального
исчисления.
Натуральные логарифмы обладают
следующим характерным свойством: по
мере приближения величины а к нулю
как своему пределу — безразлично каким способом — мы всегда
будем иметь равенство
-/
Рис. 71
1 =1п
J
(+)(
О L J La->0
ибо логарифм есть непрерывная функция, и, значит, можно пе-
переходить к пределу под его знаком (см. § 42),
ГЛАВА VI
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
§ 49. Введение. Теперь мы должны перейти уже к система-
систематическому исследованию того, каким именно образом изменяется
величина у рассматриваемой функции y—f(x) при изменении
аргумента л. Основная задача дифференциального исчис-
исчисления состоит в планомерной оценке этого изменения численного
значения функции.
Указанная планомерная оценка изменения величины функции,
происходящего по причине изменения величины аргумента, до-
достигается сравнительной оценкой приращений функции и ар-
аргумента.
§ 50. Приращение. Вообще приращением какой-либо перемен-
переменной величины, переходящей от прежнего численного значения
к новому, называется тот прибавок, который надо придать к ее
прежнему значению для того, чтобы получить ее новое значение.
Значит, приращение переменной величины есть просто разность
между новым значением и прежним, получаемая вычитанием преж-
прежнего значения из нового \
Приращение переменной величины л обозначается символом Д*,
так что если прежнее значение этой переменной величины обо-
обозначено буквой лу то новое (наращенное) ее значение будет
Символ Ил произносится «дельта л». Предупреждаем учаще-
учащегося, что символ этот никоим образом нельзя читать «дельта,
умноженная на л», или «дельта раз л;», потому, что буква А неот-
неотделима от бугювы х, без которой она не имеет никакого смысла;
учащийся уже знакам с аналогичным явлением в элементарной
1 Для более подробного знакомства с понятием приращения учащийся
должен обратиться к §§ 17, 24 и 26.
§ 50 ПРИРАЩЕНИЕ 121
алгебре, где lg Л имеет определенный численный смысл, обозначая
логарифм числа Л, тогда как буквы 1 и g, оторванные от буквы Л,
не имеют в отдельности никакого численного смысла.
Очевидно, что приращение переменной величины вовсе необя-
необязательно положительно: оно будет отрицательным, когда новое
значение меньше прежнего; это будет, например, когда перемен-
переменная величина убывает.
Аналогичным образом
Ду означает приращение у,
Дг означает приращение z,
Дер означает приращение переменного ср,
Д/(л) означает приращение функции f(x) и т. д.
Если в равенстве y=f(x) независимое переменное х получит
приращение Дх, то под Ду всегда разумеют соответствующее
приращение функции f(x), т. е. приращение зависимого перемен-
переменного у.
Следует приращение Ду отсчитывать всегда от определенного
начального значения у, соответствующего тому произвольно взя-
взятому начальному значению х, от которого отсчитывается прира-
приращение Дл. Рассмотрим, например, функцию
у=х2.
Взяв за начальное значение л; =10, получаем начальное зна-
значение у= 100.
Пусть л: увеличено до л: =12, т. е. Дл = 2; тогда у возросло
до jy = 144, значит Ду = 144—100 = 44.
Пусть х уменьшено до х = 9, т. е. кх =— 1; тогда у убыло
до j/ = 81, следовательно, Ду = 81— 100 = —19.
Вообще, если функция y=f(x) возрастающая, как, например,
наша х2 в промежутке 0<jc< + °°> то ясно, что если кх поло-
положительно, то и ку будет положительным, и если ^x отрицательно,
то и Ду тоже будет отрицательным. Значит, оба приращения,
кх и Ду, в этом случае имеют всегда одинаковые знаки.
Если же функция y=f(x) убывающая, то положительному
Их отвечает, очевидно, отрицательное Ду, потому что новое зна-
значение у меньше прежнего, а отрицательному кх отвечает уже
положительное by, ибо теперь новое значение функции больше
прежнего. Значит, Дл; и Ду в этом случае всегда будут противо-
противоположных знаков.
Наконец, мы знаем (см. § 43), что если функция
у=Дх)
122 дифференцирование гл. vi
непрерывна в точке х и если приращение кх аргумента стре-
стремится к нулю:
то и приращение Ду функции также будет стремиться к нулю:
т. е» оба приращения, &х и Aj/, суть одновременно величины
бесконечно малые.
§ 51. Сравнение приращений. Возьмем функцию
у=^х\ A)
Пусть начальное значение аргумента есть х, и пусть это на-
начальное значение х получает приращение кх.
Значит,
х есть начальное (прежнее) значение аргумента
и
x-\-Lx есть новое (наращенное) значение аргумента.
Если аргумент имеет прежнее значение, то и вся функция
имеет тоже прежнее значение, поэтому обе части равенства
являются начальным (прежним) значением функции.
Когда же аргумент делается новым (наращенным), то и соот-
соответственное значение функции становится точно так же новым
(наращенным); поэтому обе части равенства
j/ + A3> =,(-* +А-*J B)
являются новым (наращенным) значением функции.
Чтобы найти приращение Ду функции, нам теперь достаточно
просто вычесть из нового равенства B) прежнее равенство A).
Это вычитание нам даст:
кхJ — х\
или раскрыв скобку и сделав приведение подобных членов:
2. C)
Мы теперь получили приращение Ду функции, выразив его
через начальное значение х аргумента и через приращение kx
аргумента.
Если это приращение Дл аргумента начинает стремиться к
нулю, т. е. делается бесконечно малым, НтД^==0, тогда и соот-
соответственное приращение Ду функции также будет стремиться
8 51
СРАВНЕНИЕ ПРИРАЩЕНИЙ
123
к нулю, ИтДу —О, т. е. тоже будет бесконечно малым, как это
обнаруживает найденная величина C) приращения Ау функции.
Таким образом, мы имеем два бесконечно малые:
Ах и Ду.
Чтобы сравнить между собой эти два бесконечно малые, раз-
разделим второе, Ду, на первое, Ах, т. е. составим отношение
А?
Дл;'
Для вычисления величины этого отношения достаточно просто
разделить обе части равенства C) на Дл;, что дает нам:
g = 2x + Lx. D)
Чтобы видеть, каким образом одновременно изменяются при*
ращения Дл: и Ау, возьмем определенное числовое начальное
значение аргумента, например, возьмем .# = 4.
В этом случае предшествующая формула D) нам даст:
lim J* = 8.
Если мы хотим проследить тщательнее, каким образом изме-
изменяется отношение приращений Ду и Ах, когда приращение Ах
начинает делаться все меньше и меньше, обратимся к табличке:
Начальное
значение х
аргумента
4
4
4
4
4
4
4
Новое
значение
аргумента
5,0
4,8
4,6
4,4
4,2
4,1
4,01
Прираще-
Приращение А#
аргумента
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
од
0,01
Начальное
значение у
функции
16
16
16
16
16
16
16
Новое
значение
функции
25
23,04
21,16
19,36
17,64
16,81
16,0801
Прираще-
Приращение ку
функции
9
7,04
5,16
3,36
1,64
0,81
0,0801
\v
zl
Ах
9
8,8
8,6
8,4
8,2
8,1
8,01
Мы видим, что по мере уменьшения приращения Ах аргумента
уменьшается и приращение Ау функции, но их отношение равно
последовательно числам
9; 8,8; 8,6; 8,4; 8,2; 8,1; 8,01;
мы видим здесь на деле, что отношение -J- постепенно прибли-
приближается к числу 8. И мы, действительно, теоретически уже знаем,
124 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ГЛ. VI
что это отношение можно как угодно близко подвести к 8, сде-
сделав надлежаще малым приращение кх аргумента, ибо
lim ^ = 8
при начальном значении х = 4 аргумента.
§ 52. Производная функция одного переменного. Основное
определение дифференциального исчисления таково:
Производная данной функции есть предел отношения при-
приращения этой функции к приращению независимого перемен-
переменного, когда это последнее приращение приближается к нулю
как своему пределу.
Когда предел этого отношения существует и есть конечное
число, тогда говорят, что данная функция дифференцируема, или
что она имеет производную (обладает производной).
Вышеприведенное словесное определение можно дать в более
сжатой символической (математической) форме следующим об-
образом.
Дана непрерывная функция
у=№- 0)
Пусть аргумент х получает приращение Ajc. Тогда величина
у функции получит приращение Ау, и новым значением функции
будет
У + Ьу=/{х + Ьх). B)
Чтобы получить приращение ку функции, достаточно вычесть
из равенства B) равенство A); находим:
Ly=f(x + bx)^-f{x). C)
Разделив обе части этого равенства на приращение Дл; аргу-
аргумента, имеем:
Гх~ й • D)
Так вот, предел этого отношения, когда приращение kx аргу-
аргумента приближается к пределу, равному нулю, по только что
данному словесному определению, и есть производная.
Оказалось, по мере развития естествознания, что разрешение
весьма многочисленных и крайне разнообразных задач сводится к
вычислению пределов отношений вида D), Поэтому предел отно-
отношения D) получил особое имя «производная», и ему дано осо-
особенное стилизованное обозначение, такое, в котором как бы уце-
уцелели для нашей памяти следы самого происхождения этого пре-
предела. Именно производная обозначается символом
dy
dx>
§ 53 РАЗЛИЧНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 125
так что мы имеем:
или, более подробно:
** АХ-+0 Д* У '
Это равенство и определяет производную от функции у [или
от f{x)] no переменному х.
Процесс отыскания производной от функции называется диф-
дифференцированием ее.
Следует хорошо заметить, что производная есть предел от-
отношения, но отнюдь не отношение пределов, ибо последнее
отношение ввиду того, что ^x и Ду суть бесконечно малые, т. е.
О
имеющие своим пределом нуль, должно написаться в виде -^, а
это есть полная неопределенность.
§ 53. Различные обозначения производной. До перехода
к своему пределу, значит, во всякий момент времени, прираще-
приращения Lx и &у всегда конечны и имеют определенные численные
значения. При этом первое приращение kx, т. е. приращение ар-
аргумента, как всецело находящееся в нашем распоряжении, всегда
может быть взято отличным от нуля. Поэтому отношение
до своего перехода к пределу есть самая настоящая дробь, ибо
до перехода к пределу тут есть и числитель и знаменатель, при-
причем этот последний отличен от нуля.
Когда же мы отыщем предел этого отношения, т. е. когда мы
вычислим производную
dj
dx9
то эта производная есть просто только отвлеченное число (как
всякий вообще предел) и уже не дробь, ибо в этом отвлеченном
конечном числе, вычисленном как предел, мы не в состоянии бо-
более различать ни числителя, ни знаменателя. Поэтому на символ
dy
dx
нельзя смотреть как на неизменную настоящую дробь, но его
следует рассматривать лишь как предел некоторой переменной
истинной дроби. Тот факт, что эта переменная истинная дробь
ранее писалась нами в виде ~} отпечатлелся в несколько сти-
126 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ГЛ. VI
лизованном обозначении предела этой истинной дроби в виде
~. Но учащийся должен помнить, что символ производной
dy
dx
отнюдь не есть истинная дробь и что поэтому отдельные ча-
частицы этого символа
dy и dx
суть лишь символические (условные) числитель и знаменатель,
не имеющие в отдельности пока ни малейшего числового смысла,
если их брать порознь. Значит, все части символа -/ являются
иХ
крепко связанными между собой одним общим смыслом и неот-
неотделимы друг от друга (вроде того, как неотделимы буквы 1 и^ g
друг от друга в символе логарифма lgiV). Поэтому мы должны
рассматривать символ -^ как нечто цельное1.
То обстоятельство, что символ производной -~ не есть на-
настоящая дробь, и позволяет нам так свободно обращаться с этим
символом, как мы никогда не рискнули бы, если бы символ -~
был истинной дробью, с настоящими числителем и знаменателем.
Так, производная функции
не только обозначается в виде
dy
dx
ИЛИ
df(x)
dx '
но даже так:
1 В дальнейшем, именно в главе XII (в учении о дифференциале), уча-
dv
щийся познакомится с возможностью рассматривать символ производной -f как
ы X
истинную дробь, с конечными числителем и знаменателем. Пока же читатель
dy *
должен отказаться от толкования символа ¦—¦ как дроби и должен рассматри»
иХ
рать его как нечто цельное, без числителя и без знаменателя.
§ 53 РАЗЛИЧНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 127
сильно опуская вниз значок функции f{x). Здесь на символ
d
очевидно, надо смотреть лишь как на слово «производная», ко-
которое он и заменяет.
Так, например, производная от функции у = х2 может быть написана
в виде • ^ или -т-(#2). Аналогично производная от функции
&х ctx
может быть обозначена через
Учащийся отметит, что отношение приращений
до своего перехода к пределу зависит от двух переменных ве-
величин:
a) от начального значения х аргумента
и
b) от величины приращения Дле аргумента.
Так, например, когда рассматривают функцию у = хг, то, согласно сделан-
Д-у
ным выше вычислениям, имеют для отношения ~ выражение:
Но когда ищут предел этого отношения ~ приращений, заста-
заставив приращение кх аргумента стремиться к нулю, т. е. делая
ЦшДл = 0, тогда, разумеется, этот предел
lim y
перестает уже зависеть от исчезающего кх, потому что во время
отыскания указанного предела
Дд; -> 0 Дх
начальное значение х аргумента предполагается постоянной ве-
величиной, а всякий вообще предел переменной величины есть ве-
величина постоянная. Поэтому предел lim -—, будучи величиной
128 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ГЛ. VI
постоянной, может оказаться зависящим только от начального
значения аргумента х. Значит, этот предел
т. е. сама производная
dy
dx9
окажется выражением, содержащим только букву х9 и значит,
это будет некоторая новая функция аргумента х.
Эта новая функция аргумента х, будучи выведена из данной
функции j/=/(x) аргумента х или, иначе говоря, будучи произ-
произведенной данной функцией y—f(x), и получила по этой причине
имя производной функции от данной функции y=f(x).
То обстоятельство, что эта новая функция выведена из дан-
данной функции y—f(x) с помощью некоторого процесса или, еще
иначе, что она произведена данной функцией y=f(x) с по-
помощью некоторого процесса, часто ставят на вид, обозначая про-
производную просто такими символами:
у' или fr{x),
т. е. постановкой вверху функции ударения, или штриха (').
Таким образом, если данная функция есть
У=/(х),
то ее производная пишется шестью способами:
ТхУ или ?
У или f(x).
Наиболее часто для производной от данной функции y=f (x)
пишут равенство:
читая его вслух следующим образом: производная от у по х
равна эф штрих икс.
Символ же
d
dx'
рассматриваемый сам по себе, называется знаком дифференциро-
дифференцирования и просто показывает, что функцию, за ним написанную,
нужно продифференцировать по букве л.
§ 54 ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ 129
Пример. Вычислить и изобразить производную от функции у~х2.
^Решение. Согласно сделанным выше для эгой функции вычислениям, имеем
для отношения приращений ^-. выражение ~ =z2x-f- Д#. Заставляя в этом ра-
равенстве приращение аргумента Ах стремиться к нулю, т. е. делая ШпДх = 0,
мы находим lim Л = 2х, ибо /ix есть бесконечно малое; значит, производная
АХ -* о Ах
от функции у — х2 равна в точности 2х. Найденный результат записывают,
наконец, в виде одного из шести равенств:
^- = 2х\ ~у = 2х\ у' = 2х\ ^1=.2х) ~(х2) = 2х) (х2)' = 2*.
dx dxy J dx dxx } x '
§ 54. Дифференцируемые функции. Легко видеть, что только
непрерывные функции y=f(x) могут обладать производными.
Действительно, раз производная от функции y—f(x) суще-
существует при начальном значении х аргумента, то это значит, что
отношение —¦ есть переменная величина, стремящаяся к совер-
совершенно определенному конечному числовому пределу (к производ-
производной), когда приращение &х стремится к нулю. Следовательно,
тем самым это отношение есть ограниченная переменная величина
(§ 33). С другой стороны, величина /Их есть бесконечно малая,
ибо по условию lim 1х = 0. А так как произведение ограниченной
переменной величины на величину бесконечно малую есть опять
величина бесконечно малая (§ 34), то отсюда следует, что про-
произведение
есть величина бесконечно малая. Значит имеем:
lim Ду = 0.
А это и есть определение непрерывности функции y=f(x)
в точке х (§ 43).
Таким образом, разрывные функции заведомо не имеют ни-
никакой производной в точках разрывов.
Однако обратное заключение не всегда верно; в самом деле,
в настоящее время известны функции, которые, будучи непрерыв-
непрерывными, тем не менее не имеют производной. Но такие функции
вообще не встречаются в прикладной математике, а в этой книге
будут рассматриваться только дифференцируемые функции,
т. е. функции, имеющие производную для всех значений незави-
независимого переменного, за исключением, разве, некоторых отдельных
его значений.
Построение непрерывных функций, не имеющих производной, является
поучительным эпизодом в истории математики. Вначале просто считали, что
5 Дифференциальное исчисление
130 Дифференцирование гл. vi
всякая функция/(х) имеет производную f'(x) всюду, кроме исключительных
численных значений аргумента х. По этому поводу говорили: «Нет движения
без скорости, кривой без касательной, функции без производной». Потом в на-
научное сознание постепенно стала входить мысль о необходимости иметь точное
доказательство существования производной /' (х) у всякой непрерывной функ-
функции f(x). На важности, имея индивидуальную непрерывную функцию j(x)>
каждый раз доказывать существование ее производной /' (х) со всею опреде-
определенностью настаивал наш знаменитый геометр Н. И. Лобачевский еще задолго
до развития критической деятельности Вейерштрасса. Затем были сделаны
серьезные попытки известными математиками (Дюгамель и др.) доказать это
существование. Безуспешность этих попыток теперь понятна, потому что хотели
доказать ложную теорему; и, действительно, всякий раз обнаруживалось, что,
кроме непрерывности, бессознательно вносилось в процесс доказательства еще
какое-нибудь ограничительное предположение, например, что кривая y=f(x)
содержит дуги конечной длины. Затем Вейерштрасс дал пример непрерывной
функции / (х), не имеющей производной. Но, при расследовании, его пример
оказался не вполне убедительным, так как и его функция f(x) в действитель-
действительности имела производную /' (х) в некоторых точках всякого произвольно малого
промежутка 8. Наконец, А. С. Безикович дал решающий пример непрерывной
функции /(я), действительно не имеющей производной (конечной или беско-
бесконечной) ни в какой точке х оси ОХ.
§ 55. Общее правило дифференцирования. Из определения
производной следует, что процесс дифференцирования функции
y=f(x) распадается на следующие отдельные ступени.
Первый шаг. В функцию вместо х подставляем х-\-кх,
что дает новое значение функции, т. е. y-\-ky.
Второй шаг. Вычитаем данное значение функции из ее
нового значения и таким образом находим излишек Ду (при-
(приращение функции).
Третий шаг. Делим излишек Ду (приращение функции)
на Дя (на приращение независимого переменного).
Четвертый шаг. Находим предел частного, когда Длс
(приращение независимого переменного) приближается к пре-
пределу, равному нулю. Это и будет искомая производная.
Учащийся должен самым основательным образом усвоить себе
это правило, прилагая его к возможно большему числу примеров.
Три подобные примера приводим со всеми деталями вычисле-
вычислений. Следует принять во внимание, что в четвертом шаге
пользуются теоремами о пределах (§ 35), причем рассматривают
букву х как постоянное.
Пример 1. Дифференцировать Зя2-|-5.
Решение. Положив у = Ъх2 -f- 5, прилагаем последовательные шаги, ука-
указанные в общем правиле.
Первый шаг.
= 3 (х
§ 55 ОБЩЕЕ ПРАВИЛО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 131
Второй шаг.
_>> + Ду===Зл;2 + 6л>Дл; + 3(Л*J + 5
у г=3х2 +5
Ад; = 6
Третий шаг.
Четвертый шаг.
dx
Можно написать ответ еще так:
Пример 2. Дифференцировать хг — 2х + 7.
Решение. Полагаем
у
Первый шаг.
у + Ду = (х + Ах)8 — 2 (х + Ах) + 7 =
8 + З2А +
Второй шаг.
__у + у х + Ъх1х + ?>Х(х) + (х)
у =х* — 2х +2
Ajy= 3x2-Ax + 3x.(AxJ + (Ax)8 —2. Ах
Третий шаг.
Четвертый шаг.
или
Пример 3. Дифференцировать —^.
Решение. Полагаем
Первый шаг.
Второй шаг.
Третий шаг.
5*
132 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ГЛ. VI
Четвертый шаг.
dx х2 • х2 х3
или
* — ? /^_?_Л 2с
~~dx\xz)'~~ х3
ЗАДАЧИ
Дифференцировать следующие функции, пользуясь общим правилом.
I.y = 4rf. Отв. fx = Sx. u.y==?±2.
2. v = 3-x2. » ^ = — 2х. 15. у = L
х24-г у ~~ (x*+if
16. и = V » и' -=. - *'
4. Р = в'_36.
f,=«_6,. »
23.
24.
25.
11. ;; = ~x3-x. » / = xs —1. 28. j = :
"o"A Л. // J Л» 1. <-<J. О . ,2 .
12. у =*—-=. » / = --^. 29.); =
X X
13. у =
^— . » / = _!—. зо. з; = ^-.
— x ^ A-хJ ^ 2 — x
§ 56. Геометрический смысл производной. Мы сейчас рассмот-
рассмотрим теорему, являющуюся самой основной во всех приложениях
дифференциального исчисления к геометрии. Для этого необ-
необходимо напомнить определение касательной к кривой линии
в какой-нибудь ее точке М.
На рисунке 72 секущая S проведена через данную неподвиж-
неподвижную точку М кривой и через близкую к ней точку М\ также
лежащую на кривой. Пусть М' движется по кривой и безгранично
приближается к М. Тогда секущая 5 поворачивается около М и
§ 56
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
133
ее предельное положение Т и есть касательная прямая к кривой
АВ в точке М.
Пусть, действуя, например, приемами аналитической геометрии
на плоскости, нам удалось составить уравнение в декартовых
координатах для кривой АВ, и пусть это уравнение, разрешенное
относительно ординаты у, будет
В этом случае эта кривая явится графиком функции/(я).
У
Рис. 72.
Будем теперь дифференцировать функцию f(x) по общему
правилу, причем мы будем истолковывать геометрически ка-
каждый шаг этого правила на рисунке.
Мы начали с того, что взяли на кривой точку М(х> у) и еще
другую точку М(х-\-кх, у-\-ку)у близкую к М, тоже лежащую
на кривой.
Первый шаг. у-\-ку=/{х-\-кх) —Р'М'.
Второй шаг. jy + АУ ==/(-*+ д-*) =Р7И'
У =/(*) =PM=P'Q
=f(x + Их) — f(x) = QM'.
Третий шаг. &=
Ax PF ~ MQ ~
= tgQM/Vf ==tg<I>=: тангенсу наклона се-
секущей MS к горизонту (т. е. к оси ОХ абсцисс).
134 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ГЛ. VI
Значит, отношение приращения Ду функции к приращению \х
аргумента есть не что иное, как тангенс наклона1 секущей, про-
проведенной через точки М(х, у) и М'{х-\-кх, j/ + Ay) графика
функции f(x).
Для геометрического истолкования четвертого шага мы рас-
рассматриваем х как величину постоянную. Вследствие этого точка
М на кривой неподвижна. Но Дл: начинает изменяться и безгра-
безгранично приближаться к нулю. Сообразно этому, точка М прихо-
приходит в движение и начинает, двигаясь по кривой, безгранично
приближаться к Ж, как к своему предельному положению. На
рисунке
Ф = наклону секущей MS;
т = наклону касательной МТ.
Значит, имеем lim Ф=т. Так как тангенс есть функция непре-
рывная для всех численных значений аргумента (кроме значений
вида m~, где m положительное или отрицательное нечетное
число), то геометрический смысл четвертого шага будет сле-
следующий:
Четвертый шаг. -/ =/'(х) = lim tgФ = tgт =
ах д* -»о
= тангенсу наклона каса-
касательной МТ.
Таким образом мы получили важное предложение:
Теорема. Численное значение производной в какой-нибудь
точке кривой равно тангенсу наклона касательной в этой
точке кривой к горизонту (т. е. к оси абсцисс).
Эта-то именно задача о проведении касательной и привела
Лейбница2, со своей стороны, к открытию дифференциального
исчисления.
Пример. Найти наклоны касательных к параболе у = х2 в вершине и в
точке х=-?.
1 В дальнейшем, говоря о «наклоне», мы всюду будем иметь в виду, что
наклон —это угол, образуемый линией с осью абсцисс ОХ,
всегда принимаемой за горизонт.
2 Лейбниц A646—1716), немецкий ученый, был уроженцем Лейпцига. Све-
Сведения об этом даны самим Лейбницем в его автобиографии.
Его выдающаяся изобретательная сила сказалась оригинальными исследо-
исследованиями в различных областях знания. Свое открытие дифференциального
исчисления впервые он обнародовал в форме краткой записки, появившейся на
страницах ученого журнала «Acta Eruditorum» в Лейпциге? в 1684 г\
§ 56 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ 135
Решение. Дифференцируя по общему правилу, имеем ~ = 2х =
= тангенсу наклона касательной в произвольно заданной точке М(х> у) кривой.
Чтобы найти наклон касательной в вершине пара-
У болы, полагаем х = 0 в выражении для -f-. Это нам дает
Значит, касательная в вершине, имея нулевой наклон,
параллельна оси абсцисс и, в нашем случае, просто сов-
совпадает с ней.
Чтобы найти наклон касательной в точке УИ, где
1 1 dy a
# = — мы полагаем # = -7г в выражении для -f-. dTO
нам дает
Рис.73. ax=L
Значит, касательная в точке М делает угол в 45° с осью абсцисс (рис. 73),
ЗАДАЧИ
Найти дифференцированием наклон касательной к каждой из следующих
кривых в указанной точке. Проверив результат, вычертить кривую и касатель-
касательную прямую.
1. у = 4 —х2, точка я = 2. Отв. —4; 104°2'.
2. у = 4х — х\ х = 2. » 0; 0°.
9
а.. ^ v. О хч 1. 1ОСО
V = — . X — о. » — 1, 1 оО .
J X
5*ч V8 qv v i чч л. ло
• у Л* ОЛ, Л/ 1. » U, U .
j» -. <2лг у8 у 1 vv ___ 1 • 1 *ХК°
В каждой из трех следующих задач найти: 1) точки пересечения данной
пары кривых; 2) наклон касательной к той и к другой кривой; 3) угол между
касательными в их точках пересечения.
7, у = 2 — х2 4
, 2 ' Отв. Угол пересечения = arc tg-^- =5= 53°8\
У — X . о
•У — х~- > ъ arctg3=5=71°34' и arc tg -^ ^ 8°59\
у z=z 6Х — О. 1У
9. у = х2—2х + \,
10. Найти угол пересечения двух кривых: з; = ~иу = 6--^2в точке B,2),
ГЛАВА VII
ПРАВИЛА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ
§ 57. Важность общего правила. Общее правило дифферен-
дифференцирования, данное в предыдущей главе (§ 55), есть правило
основное, найденное прямо из самого определения производной,
и крайне важно, чтобы учащийся тщательно усвоил его. Однако
процесс применения этого правила к конкретным случаям вообще
есть вещь утомительная или даже трудная; вследствие этого,
чтобы облегчить труд, из общего правила был выведен ряд спе-
специальных правил для быстрого дифференцирования выражений
стандартного вида, часто встречающихся на деле.
Найдено было полезным выразить эти правила посредством
формул, приводимых ниже.
Совокупность этих формул образует канон дифференциального
исчисления, ибо это собрание является столь исчерпывающе полным, что
позволяет продифференцировать уже любую произвольно написанную функ-
функцию, лишь бы она была представленной в законченном виде, т. е. написанной
при помощи какого-нибудь конечного числа указанных в каноне действий.
Иначе говоря, после того, как канон дан, дифференцирование функции уже
не нуждается ни в каком переходе к пределу и поэтому не требует от лица,
отыскивающего производную, никакой изобретательности, а только простого
внимания. Ибо после того, как канон сделан, дифференцирование является про-
процессом, говоря образно, лишь механическим, следовательно, подчиненным
определенному алгоритму, т. е. располагающимся в строго определенном
русле вычислений, ^которые теперь не нуждаются ни в каких сторонних догад-
догадках, которые не представляют никакой неопределенности и которые поэтому
всегда должны удаваться.
Этим каноном наука обязана Лейбницу, который достаточно долго искал
канон и, наконец, дал его в указанных «Acta Eruditorum» A684 г.) в приводи-
приводимой ниже столь совершенной форме, что он быстро распространился и завоевал
общее признание, отовсюду вытеснив систему обозначений, которая сначала
вводилась Ньютоном.
Каких усилий этот канон стоил Лейбницу, это видно из того, что формула
дифференцирования произведения двух функций (uv)' = urv -f- iwf потребовала
от Лейбница, по его собственному признанию, шесть недель прилежных по-
поисков и размышлений, тогда как в настоящее время полный вывод этой фор-
формулы требует от учащегося на экзамене пять минут работы.
§ 57 ВАЖНОСТЬ ОБЩЕГО ПРАВИЛА 137
У Ньютона этого канона нет, один из создателей дифференциального и
интегрального исчислений — Ньютон прибегал к приемам дифференцирования
не в виде дифференциального исчисления как такового, т. е. не в общем виде,
но пользовался этим приемом в отдельных конкретных случаях, каждый такой
случай рассматривался заново. Такой же подход был у античных математиков,
которые при рассмотрении конических сечений изучали каждую задачу заново,
без связи с ранее решавшимися задачами. Лишь Декарт, с открытием им ана-
аналитической геометрии, радикально изменил положение дел и, введя общий ме-
метод «кривых 2-го порядка» (вместо рассматривавшихся отдельно конических
сечений различных типов), сразу дал общий канон для решения этого рода зада ч.
Учащийся должен не только каждую формулу удержать в
памяти, но и уметь соответствующее правило выразить словами.
В этих формулах и, v и w означают функции от х; все эти
функции предполагаются дифференцируемыми.
Формулы для дифференцирования
I. ^ = 0 (с = const, т. е. — постоянное).
(XX
II ?=1
1Ь dx
fT1 d t , ч du • dv dw
III. ^a + v-w) = dk + Tx-Tx'
VI. — (
vi*. 4-\
du dv
VII. ^-(^]=JTxT^.
du
VIII. ^ = ^#^> здесь у есть функция от а.
IX. ^ = ^> здесь у есть функция от х*
dy
5В Дифференциальное исчисление
1.38 ПРАВИЛА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ГЛ. VII
§ 58. Дифференцирование постоянного. Функция, о которой
известно, что она сохраняет одно и то же значение (см. § 18)
для всякого значения независимого переменного, есть постоянное
количество, и можно ее обозначить буквой с:
у —с.
Когда х получает приращение Дл;, функция не изменяет своей
величины, т. е. Aj/ = O, и
Поэтому мы имеем и
lim ^v = 0.
Но
lim (?)=$.
Следовательно,
I. ? = 0.
dx
Итак, производная постоянного есть нуль.
Этот результат легко можно было предвидеть. Ибо геометри-
геометрическое место точек у = с есть прямая линия, параллельная оси
абсцисс; значит, ее наклон к горизонту равен нулю. А тангенс
наклона и есть производная.
§ 59. Дифференцирование переменного по этому же самому
переменному. Пусть
у = х.
Следуя общему правилу, мы имеем:
Первый шаг.
Второй шаг.
Ду = &х.
Третий шаг.
Четвертый шаг.
f Av dv 1
lim -^ = ^.= 1.
Ах -> 0 Дл "Х
Следовательно,
II. ?_!.
Итак, производная переменного по этому самому перемен-
переменному равна единице,
§ 60 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СУММЫ 139
Этот результат также легко можно было предвидеть. Ибо
наклон прямой у = хк горизонту равен 45°, a tg 45° равен единице.
§ 60. Дифференцирование суммы (алгебраической). Пусть
= a-\-v — w.
Следуя общему правилу, имеем:
Первый шаг.
| Д | Дй + S> + Д?? — W —
Второй шаг.
ку = ku -\- kv — Are/.
Третий шаг.
Л у Ди I At; Ада
Ад: Дх ' Ал: Ал: #
И так как имеем:
I- Аг/ du ,. At; dv .. kw dw
то отсюда следует (по § 35):
Четвертый шаг.
dy du | dv dw
dx dx ' dx~lix'
Следовательно,
III. --(uA-V — W) = ^- + -j -r .
^/л:v l ; rfx ' rfx ^л:
Подобным же образом доказывается теорема и для алгебраи-
алгебраической суммы любого заданного конечного числа функций.
Итак, производная алгебраической суммы заданного конеч-
конечного числа функций равна той же алгебраической сумме их
производных.
§ 61. Дифференцирование произведения постоянного на
функцию. Пусть
y = cv.
По общему правилу:
Первый шаг.
у -j- Ay = с (v -j- Af) = cv-\-c* kv.
Второй шаг.
ky = c&v.
Третий шаг.
by At;
140 ПРАВИЛА ДЛЯ* ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ГЛ. VII
Отсюда (§ 35) имеем:
Четвертый шаг.
dy dv
dx~ — c'7x~*
Следовательно,
IV d f ч dv
Итак, производная от произведения постоянного на функцию
равна произведению постоянного на производную от функции.
§62. Дифференцирование произведения двух функций. Пусть
y = UV.
По общему правилу:
Первый шаг.
у _|~ ky = {и -f- Дм) (v -\- Дг>).
Выполнив умножение, получаем:
у -J- Ду = uv -j- и • Ью 4~ v • Ди -|- Дй • Д^.
Второй шаг.
ду = а • Д v + ^ • Д # + Д ^ • Д v.
Третий шаг.
Применяя § 35 и заметив, во-первых, что НтДй = 0 и, во-
вторых, что вследствие этого предел произведения Да--т— есть
нуль,
Ч
мы имеем:
етвертый
шаг.
dy
~3х
dv ,
du
dx
Отсюда
Итак, производная произведения двух функций равна первой
функции, помноженной на производную от второй, плюс вто-
вторая функция, помноженная на производную от первой.
§ 63. Дифференцирование произведения любого заданного
конечного числа функций. Разделив обе части формулы V на uv,
придадим ей вид:
d . . du dv
(UV)
~7 (UV) -j— -7-
dx v dx , dx
UV ~u * v
§ 64 ДИФФРРЕНЦИРОВАНИР ФУНКЦИИ 141
Следовательно, взяв произведение п функций, где п есть
число заданное,
можно написать:
d , dv, d , dvx dv2 d . .
dx -1 2 nf dx , dx v 2 3 w ш dx , dx . dx 3 * n/
^i/j dv2 dvs dvn
dx * dx x dx , j^ dx
Умножив обе части на vxv2... vny найдем:
Итак, производная произведения заданного конечного числа
функций равна сумме всех произведений, составленных умно-
умножением производной от каждой функции на произведение всех
остальных функций.
§ 64. Дифференцирование функции с постоянным показа-
показателем степени. Правило степени. Если каждый из п множи-
множителей в предыдущем результате будет равен v, мы получаем:
Если v = x9 равенство VI дает:
VI*. -^{xn)
Правило VI доказано только для случая п целого положи-
положительного. Но в § 93 будет показано, что эта формула остается
верной для какой угодно величины постоянного п> так что имеем
следующий общий результат:
производная степени функции с постоянным показателем
равна произведению показателя на степень функции с пока-
показателем., единицей меньшим, и на производную этой функции.
Правило это называется правилом'степей и.
§ 65. Дифференцирование частного. Пусть
По общему правилу:
Первый шаг.
142 ПРАВИЛА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ГЛ. VTT
Второй шаг.
ц _[_ Д^ ц V • &U—U'&V
•* V-\-tb.V V V (V
Третий шаг.
Аи Аи
Ay Их Ах
ДлГ v (v + At;)
Применяя § 35, мы имеем:
Четвертый шаг.
dx v2
Следовательно,
du dv
у»! d f и \ dx dx
~dx\v~] t? *
Итак, производная дроби равна произведению знаменателя
на производную числителя минус произведение числителя на
производную знаменателя, все делится на квадрат знамена-
знаменателя.
Если знаменатель есть количество постоянное, то, положив v = c в VII,
имеем:
du
лгтт* d / и \ dx Г . dv Me л 1
VIP. -г- — = ибо -г— = -j— = О
dx \ с J с I dx dx J
Можно еще вывести VII* из IV так:
d fu_\ l_tdu_
dx \ с J с * dx
du
dx
с
Итак, производная частного cm разделения функции на постоянное
равна производной от функции, разделенной на это постоянное.
Если числитель будет постоянной величиной, то, положив
и = с в VII, найдем:
dv
dx Г - dfo й?с
Итак, производная частного от разделения постоянного на
функцию равна минус произведению постоянного на производ-
производную от функции, разделенному на квадрат функции.
§ 65 ЗАДАЧИ 143
Следуя выведенным до сих пор правилам,- мы теперь уже в
состоянии дифференцировать всякую явную алгебраическую функ-
функцию одного независимого переменного.
ЗАДАЧИ
Когда учатся дифференцировать, тогда учащийся должен привыкать устно
дифференцировать следующие функции:
Решение.
-^ ===-?-(*•)== ЗА по
dx dx
2. у = ах4 — &х*.
Решение.
dy d d d
dx dx flfx a*x
= л -г— (x4) — b -— (x2) = no IV
ax dx
-2bx. no VI*
3. у = х3
Решение.
4. y — -5f! L_ _1_ 8 Vx1"
Решение.
, / i3\ , / iv / JL\
- == I OX / ; I IX I -j- I bX I =
dx \ J dx \ J dx \ J
4L==JL_(Sx4-^-Gx 3)+-4-(8x7)= no TIT
oq _fi_ 7 4 9/j 4
= -f-x6 +-r-x +Y^ no IV и VI*
5. з; = (х2— ЗM.
Решение.
^L = 5 (x2 — ЗL -4- (^ — 3) = по VI
dx dx
= 5 (х2 — 3L-2х = 10х (х2 — ЗL.
Можно бы было разложить эту функцию посредством бинома Ньютонау
затем приложить III и т. д., но указанный путь короче.
144
ПРАВИЛА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
ГЛ. VII
6. у=Уа2— ~хЛ
Решение,
-~- = -^— (a2 — jc2) 2 = -у (й2 — jc2) 2--г—(a2 — jc2) == no VI
[v = a2-x* и «=-yl
=г 1 (а2 - х2)" i (-2x)=- *
z у а2 —
7. у = C.x;2
Решение.
~L
= C^ + 2) -
a=3^+2 и г»=
-^Cx2 + 2)== no V
= no VI
= (Зх2 -f 2) A + 5jc2)"t-5x 4- 6jc-A
_ 2х (а2 — х2) + х (а2 + х2) _
3
(а2 — х2) 2
За2х - Xs
= по VII
Проверить каждое из следующих дифференцирований:
9. -А (бх* - 2* + 5) = 18х2-2.
- хв) = 6х - 6х5.
10.
11.
-—
§ 65
ЗАДАЧИ
12. -7-{axr — rxa) z=zar(xr-1 — Xй'1).
ctx
-fL
dx
dx \ x ) x%
X
1 2
16.
) = 2Г 3 —6^ 8
17.
-А
4 \ Q/ 4 <
22. jv = |/*3 + 4jc.
23. jj = ]/ 4 - 3jc.
24. y=T/Ti^?.
1
r x w f л
r ~~ 20 "KiS *
» v' = - r .
/3 + 4x
» y' = -
l/D-3;c)*#
5л;
l + 5a:2
26. /(*)=
27. /7F) = B —56)
28.
29. y=z>
30. ^ = /
31. y =
а — х
а-\-х '
B — 5в)
146
ПРАВИЛА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
ГЛ. VII.
32. r =
33. y =
34.;/ =
35. y = (
36. s = t
37. y = -
1 -92*
У - x2
Отв. -7тг =
40
A - О2J *
dy 4_
!-5
2t.
dy ____ 2(x2 + 4x + 2)
dx ~~ У"х2 + 4x
rf^ Ш — Ы2
~dt~~~ yr^W'
dy _____ 2 + 4x
B + 6x)
38. у = {х-\)у73Т.
dy ___
39. у = л
40. y==Ay^ZTJ5.
3(x+l);
дГу __ p
dx~~~ у "
cty 62x
Продифференцировать каждую из следующих функций:
2—Зх2
— , 4
У
44. у = -
х
— bx2
43. у— .
у 1 +2х
45. /(г) =
46. s =
48. у =
50. /- =
— 10.
О2
51. y =
dy
В каждой из следующих задач найти величину производной -^— для за-
Отв. 48.
данного значения аргумента х:
52. ^ = (^2 —2K; х = 2.
53. у —
54. у —
4-х
» 2.57. у=:У25~х2; х=4.
»__ I- 58. у=^хУЩ^Ъх\ х~2.
5 ~ .
§ бб ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОТ ФУНКЦИИ 147
= 4. Отв. -^. ^У —Т^ЗГ1
2 64. y = V\3 — 2х\ х = 2.
-77-. ^ - L
3 65. y~xVzb-x2\ х — А.
§ 66. Дифференцирование функции от функции. Напоминая
учащемуся, что первые сведения, относящиеся к понятию «функ-
«функции от функции» и к ее непрерывности, были даны в §§ 28, 42;
мы ограничиваемся здесь кратким указанием на суть дела.
Часто случается, что рассматриваемая нами величина у не-
неизвестна нам непосредственным образом как функция
аргумента л, но лищь из косвенных соображений мы
убедимся, что у зависит от л.
Чаще всего это бывает тогда, когда у сначала дается нам
как функция некоторой переменной величины и> у = у(и), и только
впоследствии мы узнаем, что и есть функция аргумента л,
и— /(л). В этом случае у является косвенной функцией аргу-
аргумента л, устанавливаемой через посредство переменной величины
а, называющейся промежуточным аргументом, в отличие от
истинного (окончательного) аргумента л.
Действительно, цепочка двух одновременных равенств
у = у{а), u = f{x) A)
ясно нам указывает, что при заданном численном значении ар-
аргумента л величина у приобретает неизменяющееся численное
значение; при изменении же л величина у также становится из-
изменяющейся. Значит, через посредство буквы и, у является ка-
какой-то определенной функцией аргумента л, т. е. мы должны
иметь у = р(л).
Чтобы отыскать эту функцию Г(л)> надо приобрести умение
смотреть на букву и, стоящую под знаком <р, не как на неза-
независимое переменное, но как на функциональное выражение f {л),
прямым образом зависящее от л. Этот прием прочит ы в а-
ния в букве и функционального выражения /(л)
называется исключением переменного и.
Применение этого приема приводит нас к искомой сложной
функции Р(л), называемой «функцией от функции»,
y = F(x)^^[f(x)], B)
дающей теперь уже непосредственную зависимость величины у
от аргумента л.
148 ПРАВИЛА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИГОВЛНИЯ ГЛ. VII
Например, если
я=1— х\
тогда у есть функция от функции. Исключая букву и, мы, разу-
разумеется, можем выразить у непосредственным образом
как функцию аргумента х. Но, вообще, делать это излишне.
когда нам нужно найти только ~~-.
Важно заметить, что в равенствах A) функции <р и / сами
по себе (т. е. в отношении их характеристик) нисколько не
зависят одна от другой, ибо и наружная функция ср и внут-
внутренняя функция /могут быть порознь взяты какими угодно.
Зависят друг от друга только их аргументы и и х.
Приступая теперь к отысканию производной -^ функции от
функции, возьмем цепочку двух одновременных равенств
y = V{u), п=/(х), A)
которые определяют у как функцию х через промежуточный
аргумент и.
Отсюда следует, что когда мы даем х приращение (свобод-
(свободное) Дл;, то тогда и получает приращение (вынужденное) Да
и поэтому у получит приращение by. Держа это в уме, приме-
применим общее правило дифференцирования одновременно к обеим
функциям
у = <р(и) и u=f(x).
Первый шаг.
у -|- Ly = <р (и -f- Да)
Второй шаг.
У =
у ф (ц J й) — <р (и)
Третий шаг.
Ьу ср (и -\- Ан) — ср {и)
Аи Аи
Аи
Ал;
Левые части этих равенств представлены в виде отношения
приращения каждой функции к приращению соответствующего
переменного; правые же части дают те же самые отношения
в другом виде. Прежде чем сделать переход к пределу, образуем
произведение этих обоих отношений, выбрав для этой цели ле-
левые части.
§ 66 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОТ ФУНКЦИИ 149
Это дает д^ • д^, что равно -Л. Напишем же тождество
ку by Aw /o\
Ал; lit' Дх# ^ '
Четвертый шаг. Заставим свободное приращение кх стре-
стремиться к нулю, т. е. сделаем Дл—>0. Переходя к пределу,
Нш J? = iim J2. Нш J». C)
Обе функции ср и / предполагаются дифференцируемыми: на-
наружная <р в точке и, внутренняя / в точке л. Так как из диф-
ференцируемости следует непрерывность, то, когда свободное
приращение Дл стремится к нулю, тогда вынужденное прираще-
приращение Да обязано автоматически стремиться к нулю. Забывая
теперь о вынужденности приращения Дя и считая, что его стрем-
стремление к нулю обусловлено не необходимостью, а происходит
свободным образом, мы можем переписать равенство C) в виде
Шп 52=lim ??. lim J-tt, D)
доА* доА« доА* W
откуда заключаем, что
Изложенное классическое доказательство формулы производной функции от
функции, исключительно ясное и естественное, имеет против себя то фор-
формальное возражение, что вынужденное приращение Аи для некоторых числен-
численных значений Ах, отличных от нуля, может стать равным нулю, Ла = 0. И так
как делить на нуль не полагается, то пользование тождеством B) для таких Ах
невозможно.
Но здесь достаточно добавить всего несколько слов в разъяснение, чтобы
сделанное возражение было полностью устранено. Для этого назовем «позволен-
«позволенными» те численные значения Ах, ^x Ф 0, при которых Дм отлично от нуля, и
«запрещенными» такие Ах, Ах Ф 0, при которых Ди = 0. Ясно, что равенство D)
остается безукоризненно верным, когда Ах стремится к нулю по позволенным
кисленным значениям, и что его правая часть в этом случае всегда равна
произведению <р' (и)*/' (х). Так как для всякого запрещенного Ах отношение
-- = 0, то при стремлении Ах к нулю по запрещенным значениям, мы обязаны
иметь j-^f (х) = 0. Значит, когда f'(x) Ф 0, тогда запрещенных Ах вблизи
нуля не имеется, т. е. всякое достаточно малое Ах есть позволенное. По-
Поэтому в этом случае левая часть равенства D) выражает истинную произ-
производную •?, что и доказывает формулу (VUI) для случая /' (х) Ф 0.
150 ПРАВИЛА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ГЛ. VTI
Когда же мы имеем /' (х) = 0, тогда равенство D) показывает, что при
Ду
стремлении Ах—^0 по позволенным численным значениям отношение -^
стремится к нулю. Но так как для всякого запрещенного Ах мы имеем:
ср (и -\~ Аи) — ср (и) =:Ау — 0,
Ду
то отношение -р тем более стремится к нулю, когда Ах приближается
к нулю по запрещенным численным значениям. Значит, когда /' (х) = 0, тогда
заведомо имеем -— = 0. Этим формула (VIII) полностью доказана для всех
С1Х
случаев.
Доказанная формула (VIII) имеет совершенно исключитель-
исключительную важность, ибо, в сущности, на основании ее одной ведется
в математическом анализе дифференцирование всяческих выраже-
выражений. Поэтому учащийся не только должен помнить ее наизусть,
но обязан уметь ее прочесть словесно:
если у = у(и), u=f(x), то производная функции у по аргу-
аргументу х равна производной функции у по промежуточному
аргументу и, умноженной на производную промежуточного
аргумента и по окончательному аргументу х.
Мы видим чрезвычайную практическую важность вопроса
отыскания производных функций от функций, потому что боль-
большинство явлений действительности выражается формулами функ-
функции от функции, у = у[/(х)], где функции щ и/в свою очередь
не очень просты, а сами часто являются опять функциями от
функций и т. д.
Пусть же имеем функцию от функции
y = <t\f(x)]. B)
Вводя промежуточный аргумент и, мы эту сложную зави-
зависимость разбиваем на цепочку двух более простых зависимостей:
у = <р(и); a=f(x) A)
и тогда дифференцируем у по х9 отыскивая производную -^
по правилу (VIII).
dv
Пример 1. Дано y=z2u2— 4, и — Ъх2-\-1; найти -f.
ах
п dv dy du dy . du c o
Решение. — = -/-•--, где -f=z4u и -г- = бх. Значит, подставляя сюда
dx du dx du dx
найденную промежуточную производную ¦— и окончательную производную
du
-г-, получим;
% = 4и- 6* = 24х Cx2 + 1).
CtX
§ 67 ОБ ОШИБКАХ ПРИ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ 151
Пример 2. Дано: у = (х2 + ЗI00; найти ^.
itX
Решение. Разбивая данную сложную функцию у = (х2 -f- 3I00 на цепочку
двух более простых зависимостей: у=щ100, и = х2-\~3, имеем: ~т=-т- • ~т »
где -~- = 100и" и -т- = 2%. Следовательно, подставляя, имеем:
du dx
Q = 100им • 2х = 200* (x2 + 3)".
Когда имеют дело не с двухзвенной, а с более длинной це-
цепочкой зависимостей, например, с цепочкой из трех зависимо-
зависимостей
y=zy(u), u — ty(v)9 v=f(x)9
тогда, применяя два раза формулу (VIII), имеем:
dy dy du du da dv
dx du dx dx dv dx'
откуда, подставляя в первое равенство найденное выражение для
du
-г-, получаем окончательно:
dy dy du dv
dx du * dv' dx*
Формулу эту словесно можно прочесть так:
производная функции от фзункции равна произведению всех
последовательных промежуточных производных на последнюю
производную.
§ 67. Об ошибках, часто случающихся при дифференциро-
дифференцировании функции от функции. Формулу (VIII), выделенную для
случая самой короткой цепочки из двух только зависимостей
у = у(а), a=f(x)
можно, очевидно, переписать в виде
которую нужно словесно читать так:
производная функции от какого угодно аргумента и по ка-
какому угодно независимому переменному х равна производной
данной функции, помноженной на производную аргумента.
Эта формулировка, равно как и относящаяся к ней формула
(VHP) очень полезны в практике дифференциального исчисления,
и поэтому знать ее нужно твердо.
Но иногда случается, что основную формулу (VIII), пользуясь
по существу верными равенствами:
152 ПРАВИЛА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ГЛ. VII
переписывают в виде:
VHP*.
и здесь следует указать, что формула эта, при небольшой невни-
невнимательности, может служить источником недоразумений и тяже-
тяжелых ошибок. И это обстоятельство делается тем более опасным,
что формула (VIII**) в глазах начинающего является обычно
более привлекательной: «потому что тут нет никаких вспомо-
вспомогательных, а на деле мне мешающих букв и, а есть только
функции настоящего переменного х». Но учащийся должен быть
предупрежден относительно того, что формула (VIII**) может
повлечь недоразумения: наиболее опасным является множитель
?'[/(-*)]• Опасность его состоит в том, что этот множитель
говорит нам сразу о двух действиях: а) действии дифференциро-
дифференцирования, символизируемом значком штриха, и Ь) алгебраическом
действии подстановки, символизируемом квадратными скобками
[ ], в которые и вставляется функция f(x). Надо в высшей
степени твердо помнить, какое из этих действий делается сперва
и какое потом; первым производится действие дифференци-
дифференцирования ('), причем оно ведется, собственно, по ненаписанному
аргументу [ ], и уже вторым, когда дифференцирование вы-
выполнено и закончено, производится алгебраическая подстановка
в окончательном результате в ненаписанный аргумент [ ]
функции у(х).
Если же сперва вставить функцию f(x) в ненаписанный ар-
аргумент, а потом продифференцировать, то учащийся наверное
получит ошибку, ибо тогда он получит просто
M/WF.
т. е. самую производную функции от функции, а не промежу-
промежуточную производную <?'[/(•*)]•
Например, учащийся твердо должен помнить, что хотя символ f (x) и обо-
обозначает производную от функции f(x), однако символ f Bх) отнюдь не обо-
обозначает производной от функции fBx)f ибо он вдвое меньше этой последней.
Чтобы убедиться, положим y=fBx). Разбивая эту функцию от функции
на цепочку двух более простых зависимостей введением промежуточного аргу-
аргумента y=f{u)y u = 2x, мы имеем:
dx du dx v ' * ' v /
Значит, производная функции fBx) вдвое больше числа f Bл;).
Обозначение производных через -г-, -т-, -т-, —, ... более
1 Г ах аи civ aw
надежное, потому что, употребляя его, учащийся не сделает
§ 68 ПРАКТИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИИ ОТ ФУНКЦИИ 153
ошибки. Если же не пользоваться этим обозначением, то произ-
производную от функции fBx) надо обозначить через
а отнюдь не через
f'Bx).
Численная разница между ними та, что [/Bл;)]' вдвое боль-
больше, чем /' Bх). Теоретическая же разница между ними та, что
в [/B.x)]' сначала вставляют в /( ) аргумент 2х и уже потом
дифференцируют (по х), а в/'Bл;), наоборот, сначала дифферен-
дифференцируют функцию /() по пустому аргументу () и уже потом
вставляют вместо ( ) количество 2х.
Таким образом, далеко не безразлично, сначала ли вставить
в функцию ср ( ) количество/(л) и уже потом дифференцировать,
или, наоборот, сначала получить дифференцированием <р' () и уже
потом вставить/(л). Результат вычислений зависит от порядка
этих двух действий, и формула VIII*
как раз и говорит нам об этой зависимости.
Если же не обращать внимания на порядок этих двух дей-
действий, то ошибка будет состоять в неизменном забвении мно-
множителя f (х).
§ 68. Практика дифференцирования функции от функции.
Учащийся не преминет заметить, что формула VI, -j-(vn) =
= nvn'1 -~ представляет собою применение выведенной формулы
производной функции от функции. Кроме того, очевидно, что
задачи с 5 по 8 и упражнения с 21 по 41 решаются по существу
применением этой же формулы. Равным образом и в дальнейшем
вместо того, чтобы пользоваться уже готовыми формулами таб-
таблицы производных (§ 57), можно во всех случаях применять
формулу производной функции от функции. Поэтому остановимся
более подробно на практике применения этой формулы.
Ради наибольшей теоретической ясности мы были вынуждены
в тексте нашего изложения изображать различными буквами и,
v, w, . .. те функции, которые вложены одна в другую в це-
цепочках зависимостей.
Учащийся в самом начале своего обучения дифференцированию
может сначала подражать этому, чтобы выучиться хорошо
распознавать функции от функций.
Пример дифференцирования при отсутствии на-
навыка
Найти производную функции у = A
154 ПРАВИЛА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ГЛ. VII
Чтобы распознать здесь функцию от функции, учащийся
может обозначить внутреннюю функцию буквой и, как мы это
делали выше; тогда он получит цепочку зависимостей:
откуда, применяя правило дифференцирования функции от функ-
функции, учащийся напишет:
dy=dy du_d& <*A+УТ)_
dx da' &; du dx
dx da' &; du dx 2У
ибо согласно формуле VI, мы имеем:
du dx
Но учащийся должен пользоваться лишь короткое время
своим правом вводить буквы иу v, w, ... и должен в дальней-
дальнейшем поскорее освободиться от этой ненужной привычки, пока
еще она не слишком сильно в него вкоренилась. Привычка вво-
вводить буквы a, v9 w9 ... чрезвычайно затягивает выкладки и за-
заставляет терять из виду самый ход вычислений; но, самое глав-
главное, она вредна для ума, ослабляя воображение.
Повторим предыдущий пример, не вводя никаких букв, т. е.
так, как надо всегда делать.
Пример дифференцирования при навыке
Найти производную от A-j-K-*)"-
Надо говорить себе так: производная от A -\-Vx)n равна
производной от (l+VOc)" по l-j-V*! т. е.
умноженной на производную 1 -f- Vx по х, т. е.
Значит, искомая производная равна
' 2W
В соответствии с изложенным рассмотрим на примере формы
записей, которых следует придерживаться учащемуся.
/ о /— 9 \ 35
Найти производную функции у=[ j/л + *" *
§ Р9 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБРАТНЫХ ФУНКЦИЙ 155
1-й способ записи (при отсутствии навыка):
2
dy_dy da_ocn^ I 2 ™
dx~du dx~6btt \JX
2-й способ записи, наиболее совершенный, к которому
учащийся и должен в конце концов перейти:
§ 69. Дифференцирование обратных функций. Отсылая уча-
учащегося к § 28, где были даны первые сведения, относящиеся к
понятию «обратной функции», мы ограничиваемся здесь самым
главным.
Когда переменное у определено как функция аргумента х при
помощи уравнения
A)
часто случается, что это уравнение можно разрешить относи-
относительно буквы х и написать
B)
В уравнении A) независимым переменным является буква х;
в уравнении B) независимым переменным служит буква у. Са-
Самые же функции / и ср, рассматриваемые без аргу-
аргументов, т. е. как частые характеристики, называются вза-
взаимно обратными. Любую из обеих функций / и ср мы можем
взять за прямую функцию, и тогда другая будет называться
обратной.
Две взаимно обратные функции / и ср, если их аргумент обо-
обозначить какой-нибудь нейтральной буквой, например t, обладают
тем замечательным свойством, что дают тождества
<?[f(f)] = t я f[<f(t)] = t. C)
Их получим: первое, внося у из A) в B), и второе,
внося х из B) в A). Эти тождества C) характеризуют взаимнук)
обратность / и ср.
156 ПРАВИЛА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ГЛ. VII
Примерами взаимно обратных функций могут служить три
следующие пары:
По вопросу о самом существовании обратных функций, т. е.
относительно возможности разрешить каждое из уравнений A)
и B) относительно аргумента, мы отсылаем учащегося к § 28.
Там доказывается, что в случае монотонности и непрерывности
функции f(x) на отрезке [а^х^Ь] уравнение A) всегда раз-
разрешимо относительно аргумента х, причем полученная об-
обратная функция <р {у) будет также монотонной и непрерывной
на отрезке [А^у ^В], концами которого служат максимум
и минимум функции f(x) на [а, Ь].
Для дифференцирования обратных функций мы применяем о б-
щее правило:
Первый шаг. у-\-Ьу = f (х-{-&х) x-\-?kX = y(y-\-ky)
Второй шаг. у-f-Ду =/{х-\-кх) х-j-&х = <р(у-\-Ду)
У =/(¦*) * {)
- ? (У)
Третий шаг. &=П* + **)-Нх) А; = У(у + у^о>
г кх кх ку &у
Взяв произведение левых частей этих отношений, мы имеем:
Xx'Iy f
т. е.
Лу J_^
kx Ал: "
ц
Четвертый шаг. Когда Ах —>-0, тогда, как было разъяс-
разъяснено выше, имеем и Ду —^ 0. Переходя к пределу, имеем:
IX. ^ = 1
dx ax
Ту
или
где, разумеется, заранее предполагаем, что производная ср'(у)
отлична от нуля.
Полученные формулы (IX) и (IX*) и дают правило диффе-
дифференцирования обратных функций. В этих формулах
§ 70 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 157
функция х = у(у) рассматривается как прямая, ибо предпола-
предполагается известной ее производная по букве у, т. е. ~ = <p'(j/), a
функция yz=zf[x) рассматривается как ей обратная.
Самое же правило словесно выражается так:
производная обратной функции равна обратной величине
производной прямой функции.
Само собой разумеется, что для окончательного получения
искомой производной -^ в виде функции от буквы х, мы должны
в знаменателе, т. е. в выражении <р' (у) заменить букву у че-
через f(x).
§ 70. Дифференцирование неявных функций. Отсылая уча-
учащегося к § 28, где были даны первые сведения, относящиеся
к понятию «неявной функции», мы ограничиваемся здесь необ-
необходимым напоминанием.
Если соотношение между переменными х и у дано в виде
уравнения, еще не разрешенного относительно буквы у, тогда
у называется неявной функцией от х. Например, уравнение
х2 — 4у = 0
определяет у как неявную функцию от х. Очевидно, что здесь
и х есть также неявная функция от у.
Иногда возможно разрешить уравнение, связывающее пере-
переменные х и у, относительно одного из них; в этом случае мы
имеем явную функцию. Например, решая написанное выше урав-
уравнение относительно буквы у, мы получаем выражение
дающее нам у уже как явную функцию от х.
В других же случаях такое разрешение является или совсем
невозможным, или слишком трудным.
Когда мы имеем дело с таким уравнением
F(x,y) = 0, A)
которое мы либо не умеем, либо не хотим разрешать относи-
относительно одной из букв х и у, тогда у определяется этим урав-
уравнением как неявная функция от х, и тогда надо уметь нахо-
находить производную ~ этой неявной функции, не решая на-
нашего уравнения.
Для этого имеется следующее правило: дифференцировать
написанное уравнение, рассматривая у как функцию аргумен-
158 ПРАВИЛА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ГЛ. VII
та х, и затем полученное новое уравнение разрешать отно-
относительно искомой производной ~ .
Это правило в дальнейшем будет доказано (см. § 167). Пока
же мы заметим, что полученное дифференцированием новое урав-
уравнение всегда будет первой степени относительно искомой про-
производной ~, так что из него очень удобно находить эту про-
производную, и что в найденное выражение для --- надо подста-
подставлять только такие численные значения букв х и у, которые
удовлетворяют данному уравнению A).
Применим это правило к отысканию -~ , когда неявная функция у дается
CLX
уравнением:
ах% + 2хъу — у7х=\7.
Тогда
+ 2х* &
х8 - 7ху«) ^ = у7- бах5 - Ьх2у.
Учащийся заметит, что теперь результат будет содержать, вообще, сразу
обе буквы х vl у.
ЗАДАЧИ
dv
Найти -f- для каждого из следующих уравнений:
ах
Отв. % = f.
y
dy У
Ъ.ху = с. » Тх=х- _
— dy -./ у
=а\ * Тх^-УТ-
§ 70 задачи 159
Отв. ^ =
dx
dx y2 — ax
9. х2 - 2ху +у*= 1. 12. х2/ - х4 — 2у* = 6.
10. х + Уху + У = а. 13. х /7- уУх = 10.
И. х+21Г7=у + 4у = с. 14. -J
Найти тангенс наклона для каждой из следующих кривых в данной точке:
15. х2 + 3^ + / + 1=0; B,-1). Отв. —~.
16. х*у + х' + у'+1 = 0; A,-1). » -i.
17. УТ+У7=5; D,9). » -1.
18. |/S-v/7=l; D, 1). » Л.
19. х8 — ахз; + 2а/ = 2а8; (а, а). » — ^..
о
20. х2 = б^-/; (-2,2). » I*.
21. Показать, что параболы у2 = 2р (х-\-~) и у2 = 2р (~ — х\ пере-
пересекаются под прямым углом.
22. Показать, что окружность х2+^2 —10# = 0 касается окружности
X2j^.yz^ \Qx^.Sy — 20 = 0 в точке B, 4).
23. Под каким углом линия у = х пересекает кривую х2-\-ху-\-у* = 12?
ГЛАВА VIII
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 71. Направление кривой. В § 56 было показано, что если
у=/(х)
есть уравнение кривой (рис. 74), то ^- —tgT=тангенсу на-
наклона1 касательной к кривой в некоторой точке М(х> у).
Направление кривой в любой точке определяют как направ-
направление касательной к кривой в этой точке. В силу этого опреде-
ления ^- = tg 1 — тангенсу угла наклона кривой в точке М.
Для некоторого частного положения точки, координаты
(х19 уг) которой известны, мы, следовательно, имеем:
25Г — =тангенсУ угла наклона кривой {или касательной)
в точке (х»ух).
1 В дальнейшем мы всюду термином «наклон» обозначаем угол, состав-
составляемый линией с осью абсцисс ОХ, всегда принимаемой за горизонтальную.
§ 71
НАПРАВЛЕНИЕ КрИВОЙ
161
В таких точках, как Д F, Ну где направление кривой парал-
параллельно оси ОХ, и, значит, касательная горизонтальна:
т = 0, следовательно, ^с" —О-
В таких точках, как Л, В, G, где направление кривой перпен-
перпендикулярно к оси ОХ, и, значит, касательная вертикальна:
т = 90°, следовательно, ^- = оо.
В точках, как Е, где кривая поднимается1, т = острому углу,
следовательно, ¦^¦== числу положительному.
Это имеет место влево от В, между D и F, и вправо от GL
В таких точках, как С, где кривая падаетх, т = тупому углу,
а потому ~г-=отрицательному числу.
Это имеет место между В и Ди между F я G.
Рис. 75
Пример 1. Дана кривая у = -- — х2 -[- 2 (рис. 75).
о
(a) Найти т, если jc = l.
(b) Найти т, если #:=3.
(c) Найти точки, где направление кривой параллельно оси ОХ.
(d) Найти точки, где т=:45о.
(e) Найти точки, где направление кривой параллельно прямой (линии АВ)
2х — Ъу = 6.
Решение. Дифференцируя, имеем -—- = xz — 2х = tg т.
(a) tgx==
(b)tgt =
= 1 — 2 == — 1; следовательно, т = 135° = 90° + 45°.
= 9 — 6 = 3; следовательно, x==arctg3^=71o34/.
dy
(с) т = 0, tg х = —^- = 0, следовательно, х2 — 2х = 0. Решая это уравнение^
1 Если двигаться по кривой слева направо.
6 Дифференциальное исчисление
162 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ГЛ. VIII
находим, что # = 0 или 2, что дает точки С @, 2) и D ( 2, -^-J , где касатель-
касательная горизонтальна.
d) т = 45°, tgT = -^-= 1; следовательно, %2 — 2х = 1. Решая, имеем:
CLX
Уг2|41 и —0,41,
что дает две точки, для которых тангенс наклона кривой (или касательной)
есть 1.
2 2
е) Тангенс наклона прямой равен -$-, следовательно, х2 —• 2х = -%•.
о о
Решив относительно я, находим^
х==1±: ]/ ~^2,29 и —0,29,
это дает точки Яи/7, где направление кривой (или касательной) параллельно
прямой Л?.
Так как кривая в какой-нибудь точке имеет то же самое на-
направление, как и касательная к ней в этой точке, то за угол
между двумя кривыми в их общей точке принимается всегда угол,
образуемый их касательными в этой точке.
Пример 2. Под каким углом пересекаются окружности (рис. 76)
*?+У* — 4х = 1, (А)
х8 +-У* — 2у = 9? (В)
Решение. Решая совместно эти уравнения, находим точки пересечения
C, 2) и A, —2) (рис. 76). Далее,
k1 = ^=-j- из (А) по § 56.
**=% = Т=-у из (В) по §56.
kt = ¦ """ • = — — = тангенсу угла наклона касательной к кривой (А)
в точке C, 2).
k2 = = = — 3 = тангенсу угла наклона касательной к кривой (В)
в точке C, 2).
Формула для нахождения угла между двумя прямыми, угловые коэффи-
коэффициенты которых суть kx и k2, такова:
g
Подстановка дает
ъ __ ъ
=1,
откуда 0 = 45°.
Таков же будет и угол пересечения кривых в точке A, —2).
§ 72. Уравнения касательной и нормали; длины подкасатель-
ной и поднормали. Уравнение прямой, проходящей через точку
(х19 уг) и имеющей k своим угловым коэффициентом, есть
к{ )
§ 72
УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ
163
Если эта прямая есть касательная к кривой АВ в точке Мх
(рис. 77), тогда угловой коэффициент k должен быть равен
тангенсу наклона кривой в точке Мх\ мы обозначаем через kx
это численное значение углового коэффициента k. Ясно, что:
Поэтому для точки прикосновения Мх (лх, ух) уравнение ка-
касательной МХТХ есть:
у — v =— (х — х) A)
А так как нормаль, по самому своему определению, есть пря-
прямая, проходящая через точку прикосновения М1 и перпендикуляр-
перпендикулярная к касательной в этой точке, то для того, чтобы написать урав-
уравнение нормали, нуж- v
но лишь знать ее угло-
угловой коэффициент. Но
мы знаем, что он должен
быть равен обратной А \ В
величине коэффициента
kXJ взятой со знаком ми-
минус, и, значит, равен
— -г-. Поэтому уравне-
уравнение нормали в точке Мх
напишется в виде:
Рис. 77
Длина отрезка МХТХ
касательной, имеющего
своими концами: точку
прикосновения Мх и точку Тх оси абсцисс, получила имя «длины
касательной», а проекция ТХРХ этого отрезка на ось абсцисс
носит имя «подкасательной» («субкасательной»). Анало-
Аналогично, длина отрезка MXNX нормали, имеющего своими концами:
точку прикосновения Мх и точку Nx оси абсцисс, называется «дли-
ной нормали», а проекция PXNX этого отрезка на ось абсцисс
получила название «поднормали» («субнормали»).
* Под этим символом подразумевается, что сперва нужно найти — ? за-
затем в результат подставить хх вместо х и ух вместо у. Учащийся должен осте-
остерегаться понимать символ ¦— так, будто он обозначает производную от ух по
хХУ ибо это не имело смысла, так как хх и уг суть величины постоянные, а
не переменные; между тем всякое дифференцирование необходимо предпола-
предполагает непрерывное изменение величины той буквы,по которой дифференцируют.
б*
164 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ГЛ. VII
Длина касательной и длина нормали суть длины двух нена-
ненаправленных отрезков и поэтому всегда рассматриваются
положительными, как это делает элементарная геометрия. Что
же касается подкасательной ТХРХ и поднормали PXNX, то это суть
направленные отрезки, ибо они лежат на направленной оси
абсцисс. Поэтому их длины могут иногда оказываться и отрица-
отрицательными, именно когда отрезки ТХРХ и PXNX направлены влево.
В треугольнике ТХРХМХ имеем tg тх = kx = -~~ = -^, следова-
/ хгх ах1
х1
тельно,
ТХРХ — ^ = y±=yxj± = длине подкасательной. C)
Р N
В треугольнике PXNXMX имеем tgx =А1 = т^г*-.
fxmx
Отсюда
поднормали. D)
Что же касается до длины касательной МХТХ и длины нор-
нормали MXN19 то их лучше всего находить из чертежа, ибо эти от-
отрезки суть гипотенузы прямоугольных треугольников, катеты ко-
которых известны.
Когда длина подкасательной или поднормали для какой-нибудь
точки кривой найдена, тогда легко можно построить касательную
и нормаль.
ЗАДАЧИ
1. Найти уравнения касательной и нормали, длины подкасательной, под-
поднормали, касательной и нормали в точке М(а, а) циссоиды
J ~~2a—x
(рис. 78),
Решение.
dv Ъах2 — x3
dx у {2а — xf *
Отсюда
Vi Г^1 За8 — а3
ii = -/- = — -g = 2 = угловому коэффи-
i-ис. 78 циенту касательной.
Подстановка в A) дает:
у = 2х — а.
Подстановка в B) дает:
2у + х = За,
Подстановка в C) дает:
ГР = -у- = длине подкасательной.
§ 72 задачи 165
Подстановка в D) дает:
PN= 2а = длине нормали.
Значит:
=: у ^ + а» = у 1/ = длине касательной,
MN= VPN2 -f РМ2 = )^4а2 + а2 = а У~5 = длине нормали.
2. Найти уравнение касательной и нормали в заданной точке к каждой из
следующих кривых:
(а) у=х2 — Ъх + 2\ (О, 2). Отв. Ъх+у — 2, х — 3j;r=—-6.
(c) %2 — Зху +/ + 1 = 0; B, 1).
(d) У-2у + Зя = 8; C, 1).
3. Показать, что подкасательная к параболе у2 = 2рх делится пополам ее
вершиной и что поднормаль есть величина постоянная, равная р.
4. Найти уравнения касательной и нормали, а также длины подкасатель-
ной и поднормали в точке (хХ1 ух) окружности х2-\-у2 = г2.
у2
Отв. ххг +ууг = г2, ухг — хух = 0, — -~-, — д:г
*i
5. Найти уравнения касательной и нормали в (хг, у.) к эллипсу
+ 2y2=za2b2.
Отв. ^л;^! + а2уух = a2b2% a2xyt — Ь2ухг =
6. Найти уравнения касательной и нормали, а также длины подкасатель-
ной и поднормали для каждой из следующих кривых в указанных точках:
(a)j> = ?; B, 1). Отв. х-у =
b) x« _j_ 4/ = 25; C, 2). » Зх + 8у = 25, 8х — Sy = 18.
16 3
3 ' — 4 '
(c) д?у = 12; C,4).
(d) x2=z2y2\ F, -.3).
7. Найти площадь треугольника, образованного осью абсцисс, касательной
и нормалью к кривой д>2 = 8х в точке B, 4).
Отв, 16.
8. Найти площадь треугольника, образованного осью ординат, касательной
и нормалью к кривой Ах2 -f- у2 = 20 в точке A, —4).
9. Найти углы пересечения каждой из следующих пар кривых:
(a) Ау = х2 + 4, х2 = 8 — 2у. Отв. 71 °34'.
(b) 4у = 2х2 — 3х, 4у = х2 + 4. В точке D, 5): 9°28\
(c) у2 = х3 — 4, х2 + у2 — Ъх + 4 = 0. В точке B, 2): 45°.
(d) ху=Ю, х2 + / = 29.
10. Найти точки прикосновения с горизонтальными и вертикальными каса-
касательными для каждой из следующих кривых:
(а) у = х2 — 6х. Отв. Горизонтальная в C, — 9);
(b)jc = 3y —v2. /9 3\
(с) j^f 4^-8* = «, вертикальная в ^, ^J .
166 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ГЛ. VIII
(d) х2 -f- xy 4- у2 = 4. Отв. Горизонтальная в
вертикальная в
(е) ^-^ + 4/=: 16.
(f)*2+4;cj;—/ = 9.
11. Показать, что гипербола я2— /==5 и эллипс 4#2+9^ = 72 пересека-
пересекаются под прямыми углами.
X*
12. Показать, что окружность х2 + у2 = 8ая и циссоида У = -
(a) перпендикулярны в начале координат;
(b) в двух других точках пересекаются под углом в 45°.
13. Показать, что касательные к листу Декарта х8 + у9 = 3аху в точках,
где он пересекает параболу y2z=zaxt параллельны оси ординат.
14. Найти уравнение нормали к параболе у2 = 16;с, образующей угол в 45°
с осью абсцисс.
15. Найти уравнение касательных к окружности x2+y2 = 41, параллельных
прямой 4х 4" 5у = 12.
16. Найти уравнения касательных к гиперболе 4я2 — у2 = 36, перпендику-
перпендикулярных к линии х-{~2у = 4.
17. Найти уравнения двух касательных к эллипсу х2 —|— 4у2 = 18, прохо-
проходящих через точку B, 2). Отв. х + 2у = 6, х + 14jj = 30.
18. Показать, что сумма отрезков, отсекаемых на осях координат касатель-
JL JL JL
ной к параболе хг -{-у2 =а2 в любой ее точке, есть величина постоянная,
равная а.
JL JL X
19. Показать, что для гипоциклоиды х9-\-у* = а3 отрезок касательной,
отсекаемый на ней осями координат, есть величина постоянная, не зависящая
от точки прикосновения, и равна а.
20. Уравнением траектории снаряда служит парабола у = х — щ, причем
ось ОХ горизонтальна и выстрел производится в начале координат О. (а) под
каким углом снаряд вылетает? (Ь) под каким углом снаряд поражает верти-
вертикальную стену, отстоящую на 75 единиц от точки выстрела? (с) под каким
углом снаряд поражает горизонтальное покрытие, имеющее высоту 16 еди-
единиц? (d) если выстрел производится на высоте 24 единиц, под каким углом
будет поражена почва? (е) если выстрел производится с вершины холма,
склон которого образует угол в 45°, под каким углом будет поражен этот
склон?
21. Канат висящего моста имеет вид параболы и прикреплен к вертикаль-
вертикальным опорам, отстоящим одна от другой на 200 м. Самая нижняя точка каната
находится на 40 м ниже точек подвеса. Найти угол между канатом и опор-
опорными колоннами (рис. 79).
§ 73. Наибольшая и наименьшая величина функции; введе-
введение. В громадном числе практических вопросов мы имеем дело
с функциями, у которых важно знать наибольшее (максималь-
(максимальное) или наименьшее (минимальное) значение. И тогда необ-
необходимо иметь те численные величины аргумента, для которых
функция получает эти важные для нас значения.
§ 73
НАИБОЛЬШАЯ И НАИМЕНЬШАЯ ВЕЛИЧИНА ФУНКЦИИ
167
Пусть, например, требуется определить размеры прямоуголь-
прямоугольника, имеющего наибольшую площадь из всех прямоугольников,
какие могут быть вписаны в круг радиуса 5 см. Рассмотрим
данный круг и впишем в него какой-нибудь прямоугольник
CDEB (рис. 80). Положим основание CD = x; тогда высота
DE = ]/r\00 — х2, и площадь S прямоугольника выразится, оче-
очевидно, следующим образом:
S = xVW0 — x2. A)
То, что существует прямоугольник с наибольшей площадью,
можно установить путем таких рассуждений.
Заставим возрастать основание CD==x до тех пор, пока оно
не станет равным 10 см (диаметр круга); при этом высота
DE — V ЮО — х2 будет уменьшаться до нуля, и площадь 5 обра-
обратится также в нуль. Пусть теперь уменьшается до нуля основа-
основание; тогда высота будет возрастать до 10 см, и площадь «S снова
обратится в нуль. Следовательно, интуитивно очевидно, что су-
существует такой вписанный прямоугольник, площадь которого
больше площадей всех других вписанных прямоугольников. Не-
Нетрудно догадаться, что когда прямоугольник обратится в квад*
рат, то площадь его станет наибольшей из всех возможных; не
это — догадка и остается пока простым предположением.
Более надежный метод решения вопроса состоит, очевидно,
в построении и исследовании графика функции A). Для облег*
чения вычерчивания графика заметим, что:
a) согласно смыслу задачи величины х я S положительны;
b) значение х содержится между 0 и 10 включительно.
Составим теперь таблицу значений х и S и вычертим график
(рис. 81).
Что нам дает исследование графика?
а) Если он аккуратно выполнен, мы можем весьма точно
определить значение площади прямоугольника для любого зна-
значения х, измеряя длину соответствующей ординаты. Так, напри-
например, когда:
168
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
ГЛ. VIII
=3 см, S =
38 2*
см
2*
см2 и когда jt = OiV=4,5 см,
2
Ь) Кривая имеет единственную горизонтальную касательную
RT. Ордината НТ точки Т касания больше всех других ординат.
Отсюда заключаем: один из вписанных прямоугольников имеет,
очевидно, наибольшую площадь сравнительно с площадью любого
другого из прямоугольников. Другими словами, мы можем от-
отсюда заключить, что функция A) имеет одно наибольшее значе-
значение (максимум). Мы не можем найти точно это значение (= НТ),
измеряя соответствующую ординату, но мы его легко найдем,
50
45
40
35
30
Z5
го
15
10
5
О 1 Z34 5 67 8 3/0
Рис. 81
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
S
0,0
9,9
19,9
28,6
36,6
43,0
48,0
49,7
48,0
39,6
0,0
воспользовавшись методами анализа. Нами замечено, что в точке Т
касательная горизонтальна; следовательно, наклон кривой в этой
точке равен нулю (§ 71). Поэтому, чтобы определить абсциссу
точки Т, найдем производную функции A), приравняем ее нулю
и решим получающееся таким образом уравнение относительно х.
Будем иметь:
S = x 1/100 — х\
ЮО — 2х2
= 0;
100— 2х2
У100 - х2
= 0.
Решая, имеем:
Подставляя это значение х в выражение, определяющее вы-
высоту DE, получим (см. рис. 81):
высота DE = 1Л00 — х* = 5
* Значок =5= указывает на приблизительную оценку численной
величины, полученной путем измерения ординаты.
§ 73
НАИБОЛЬШАЯ И НАИМЕНЬШАЯ ВЕЛИЧИНА ФУНКЦИИ
169
Итак, прямоугольник наибольшей площади, вписанный в дан-
данный круг, является квадратом и площадью его
= 5U см\
Следовательно, длина ординаты ЦТ равна 50.
Возьмем другой пример. Требуется сделать деревянную ко-
коробку, объем которой должен содержать 108 см\ Коробка
открыта сверху и имеет квадратное дно.
Каковы должны быть ее размеры, чтобы
на нее пошло наименьшее количество
материала?
Обозначим через х Длину стороны ос-
основания коробки и через у ее высоту.
Так как объем коробки известен, то у
можно выразить функцией от х. В самом
деле:
объем = х2у ==108
откуда
у = ^ (рис. 82).
Теперь мы можем выразить через х число М квадратных сан-
сантиметров дерева, потребное для того, чтобы сделать коробку:
площадь основания равна х2 см2
и
площадь четырех боковых сторон равна 4ху = — см\
Следовательно,
Рис. 82
Построим график функции B) (рис. 83)..
Mi
1 2345678$W
Рис. 8а
бВ Дифференциальное исчисление
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
М
433
220
153
124
111
108
111
118
129
142
170 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ГЛ. VII
Что дает нам исследование этого графика?
a) Если он тщательно выполнен, мы можем измерить орди-
ординату, соответствующую какому-нибудь значению л длины осно-
основания коробки, и определить таким образом число квадратных
сантиметров дерева, требующегося для построения коробки.
b) Кривая имеет единственную горизонтальную касательную
RT. Ордината точки касания имеет наименьшую длину сравни-
сравнительно со всеми другими ординатами. Отсюда мы заключаем:
очевидно, существует коробка, на которую пойдет наименьшее
количество дерева, сравнительно со всякой другой. Другими
словами, мы заключаем, что функция B) имеет одно наименьшее
значение (минимум). Найдем интересующую нас точку графика,
пользуясь методами анализа. Дифференцируя функцию B) для
нахождения наклона кривой в любой точке, получим:
dM — <)r 432
В наиболее низкой точке графика наклон равен нулю:
Отсюда следует, что когда х = 6, необходимое количество мате-
материала для коробки будет наименьшим.
Подставляя найденное значение х в формулу B), найдем, что
М=108 см\
Существование наименьшего значения функции М можно
показать также путем следующего рассуждения. Предположим,
что дно коробки изменяется, увеличиваясь от очень маленького
квадрата до очень большого. В первом случае высота коробки
очень велика, и поэтому количество необходимого материала
тоже очень большое. Во втором случае высота становится очень
малой, и поэтому для основания коробки при том же ее объеме
потребуется большое количество дерева. Следовательно, функция
Ж, отправляясь от очень большого значения," убывает, затем
возрастает от другого тоже большого значения, а потому имеет
наименьшее значение.
Перейдем к подробному исследованию вопроса о максимумах
и минимумах.
§ 74. Функции возрастающие и убывающие; их отличитель-
отличительные признаки *. Функция у —f(x) называется возрастающей, когда
1 Рассуждения в § 74—81 и ниже в § 85—87 основаны преимущественно
на наглядных геометрических представлениях и не являются строгими. Анали-
Аналитическое решение изложенных вопросов дано в §146. Как правило, ниже будут
рассматриваться функции с непрерывной производной (примечание редактора).
§ 74
ФУНКЦИИ ВОЗРАСТАЮЩИЕ И УБЫВАЮЩИЕ
171
у алгебраически увеличивается при возрастании переменного х и,
значит, убывает при убывании х. Функция называется убываю*
щей, когда у алгебраически уменьшается при возрастании пере-
переменного х и, значит, возрастает при его убывании.
Геометрическое изображение функции ясно показывает, воз-
возрастающая ли она или убывающая. Для примера рассмотрим
функцию у = ах, (а> 1), график которой дан на рисунке 84.
Если двигаться по кривой слева направо, то кривая подни-
поднимается, т. е. по мере
возрастания х функция^
все время возрастает.
Следовательно, ах есть
функция, возрастающая
для всех значений л,
С другой стороны,
рассмотрим функцию
у = [а — х)\ геометри-
геометрическое изображение ко-
которой дано на рисун-
рисунке 85.
В этом случае, п^
мере того как мы дви —
гаемся вдоль кривой
слева направо, кривая
\
\
О
Рис 84
Рис 85
падает, т. е. по мере возрастания х функция постоянно убывает.
Следовательно, (а — x)s есть функция, убывающая для всех зна-
значений л
Что функция может то возрастать, то убызать показывает
функция (рис 86).
y = 2xs— 9х2-\-12х — 3. A)
По мере того как мы передвигаемся по кривой слева направо,
кривая поднимается, пока мы не достигнем точки Л, затем —
от А до В — она падает, а вправо от В идет все время подни-
поднимаясь. вз„
172 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ГЛ. VIII
Следовательно, от л —— <х> до х=1 функция возрастает;
от л=\ до л = 2 она убывает; от л = 2 до л = ~\~<х> функция
возрастает.
Учащийся должен тщательно рассмотреть кривую, чтобы за-
заметить, что делается с функцией при л = 1 и при л = 2. Очевидно,
Л и Б суть точки поворота течения кривой: в точке А функция
от возрастания переходит к убыванию; в точке В имеет место
обратное. В точках А к В касательная (или
кривая), очевидно, имеет направление па-
параллельное оси ОХ и, следовательно, угло-
угловой коэффициент в этих точках равен нулю.
В какой-нибудь точке, например С, где
функция есть возрастающая, касатель-
касательная делает острый угол с горизонтом (осью
абсцисс). Поэтому тангенс ее наклона по-
положителен.
С другой стороны, в таких точках, ка-
Рис. 86 кова, например, точка Д где функция есть
убывающая, касательная делает тупой
угол с горизонтом. Поэтому тангенс ее наклона отрицателен.
Обратно, для данного значения л:
если /'(-?)>-0, то /(л) возрастает в этой точке,
если //(л)<0, то /(л) убывает в этой точке.
Это следует из того, что функция /(л) предполагается диффе-
дифференцируемой в точке, л и, значит, кривая у=/(л) имеет в точке
л определенное направление, совпадающее с направлением каса-
касательной к ней в этой точке. И раз касательная делает с гори-
горизонтом острый угол, то кривая, следуя течению своей касатель-
касательной, принуждена подыматься в точке л вверл; а если касатель-
касательная образует с горизонтом тупой угол, кривая вынуждена в точке
л опускаться вниз.
Мы сформулируем такой отличительный признак (критерий)
возрастания и убывания функций:
функция есть возрастающая, когда ее производная положи-
положительна и есть убывающая, когда ее производная отрицательна.
Например, дифференцируя A), мы имеем:
(Q=f' (x) = 6xz - 18* + 12 = 6(jc - l)(x - 2). B)
Когда x < 1, производная f(x) положительна и f(x) возрастает.
Когда 1 <#<2, производная /' (х) отрицательна и f(x) убывает.
Когда х>2, производная f(x) положительна и f(x) возрастает.
§ 75 МАКСИМАЛЬНЫЕ И МИНИМАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ФУНКЦИИ 173
Этот чисто аналитический признак, следовательно, находится в
полном согласии с теми заключениями, которые мы вывели из наблюдения
над кривой.
Если /'(я) = 0, то касательная в точке х параллельна гори-
горизонту, и тогда без дальнейшего исследования нельзя решить,
возрастает ли f(x) или убывает в точке х, или х есть точка по-
поворота.
§ 75. Максимальные и минимальные величины функции; их
логические определения. Максимальной величиной какой-нибудь
функции называем ту, которая больше чем другие ее величины
для достаточно близких значений аргумента. Минимальной вели-
величиной ее называем ту, которая меньше чем другие ее величины
для достаточно близких значений аргумента.
Например, на рисунке 86 ясно, что функция имеет максималь-
максимальную величину РА (=.у = 2), когда х = 1, и минимальную величину
QB(=j/ = l), когда х — 2.
Учащийся должен знать, что максимальная величина может
не быть наибольшей из всех возможных ее величин,
так же как и минимальная величина может не быть наимень-
наименьшей из всех возможных ее величин. Например, из.
рисунка 86 ясно, что справа от точки В функция (=у) имеет ве-
величины больше, чем ее максимум РА, а слева от точки А мень-
меньшие, чем ее минимум QB. Кроме того, если функция y=f(x)
имеет несколько максимумов и несколько минимумов, легко может
случиться, что иной ее минимум окажется больше какого-нибудь
ее максимума, ибо свойства максимальности и минимальности
функции у сохраняют свою силу лишь при достаточно ма-
малых изменениях аргумента х и вполне могут утратить
свою силу при больших отклонениях аргумента.
Предположим, что производная /' (х) непрерывна и что она
вблизи точки а изменяет свой знак лишь ограниченное число раз.
Тогда если f(x) имеет максимальную величину для х = а, то ясно,
что f{x) есть возрастающая функция от х, когда х незначительно
меньше, чем а, и что f(x) есть убывающая функция от х, когда
х незначительно больше, чем а. Но тогда /' (х) изменяет свой
знак с-[-на — при проходе через точку а. Поэтому, раз произ-
производная /' (х) непрерывна в точке ау она должна в ней уничто-
уничтожаться и, значит, мы дожны иметь равенство f'(a) = 0.
Так, на рисунке 86 в точке С производная /' (х) положительна,
в точке D она отрицательна; а в точке же А имеем f'(x) = Q.
С другой стороны, если/(х) имеет мицимальную величину для
х = а, то f(x) есть убывающая, когда х незначительно меньше,
чем а, и f(x) есть возрастающая, когда х незначительно больше,
чем а. Следовательно, раз /' (х) непрерывна в точке а, /' (х) дол-
должна уничтожаться для х = а, т. е. имеем /' (а) = О,
174 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ГЛ. VIII
Так, на рисунке 86, в точке D производная/' (х) отрицательна,
в точке Е она положительна; в точке же В имеем /' (х) = 0.
Справедливо и обратное предложение, дающее общие усло-
условия для максимальной и минимальной величин функции:
f(x) есть максимум, если /' (х) = 0 а /' (х) меняет знак
с-\-на —.
f(x) есть минимум, если /'(х)—0 и f'{x) меняет знак
с — на -f-.
Значения независимого переменного х, удовлетворяющие урав-
уравнению /' (х) = О, называются критическими. Так, уравнение B)
показывает, что его корни: л=1 и х = 2 суть критические зна-
значения аргумента х для функции, график которой дан на рисунке 86.
Самые же точки на кривой y=f(x), дающие максимум или ми-
минимум для функции f(x), носят название точек поворота кривой
y=f(x). Ясно, что в точках поворота касательные к кривой
горизонтальны.
Чтобы определить знак производной в точках, близких к рас-
рассматриваемой точке поворота, подставляем в производную сперва
значения аргумента, незначительно меньшие соответствую-
соответствующей критической величины аргумента, а потом незначительно
большие. Если первый знак -|~, а второй —, тогда функция
имеет максимальную величину для соответствующей критической
величины.
Если первый знак —, а второй -{-, тогда функция имеет
минимальную величину.
Если же знак есть тот же самый в обоих случаях,
тогда функция не имеет ни максимальной, ни минимальной
величины для рассматриваемого критического значения аргумента,
и тогда рассматриваемая точка на графике функции не есть точка
поворота.
Например, возьмем функцию A):
у =f (х) = 2х8 — 9х2 -f 12я — 3. A)
Тогда, как мы видели:
/ 2). B)
Полагая /'(х) = 0, мы находим две критические величины х = \ и х = 2*
Подвергаем испытанию сначала первую. Мы рассматриваем значения jc, близкие
к этой критической величине, подставляем их в правую часть равенства B) и
наблюдаем знаки множителей.
Когда х<1, Г(*) = (-)(-)
Когда *>!,/'(*) = ( + )()
X
1
2
У
2
1
§ 76 ПЕРВЫЙ СПОСОБ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ 175
Поэтому f(x) имеет максимальную величину, когда jc=1. Из таблички мы
видим, что эта величина есть у—/A) = 2.
Далее, подвергаем испытанию х = 2. Поступая, как было указано, мы берем
значения аргумента х теперь близкие к критической величине 2.
Когда *<2,/'(*) = ( + )(-) = -.
Когда х>2,/'(*) = ( + )( + ) = ¦+,
Поэтому /(я) имеет минимальную величину, когда х = 2. По указанной
табличке эта величина есть _у=/B) = 1.
Мы можем теперь соединить наши выводы в так называемое рабочее пра-
правило.
§ 76. Первый способ исследования функции на максимум и
минимум. Рабочее правило.
Первый шаг. Найти производную функции.
Второй шаг. Приравнять производную нулю и решить
полученное уравнение, найдя все его действительные нории.
Эти корни суть критические величины аргумента.
Третий шаг. Взять какую-нибудь критическую величину
и подвергнуть испытанию производную, сначала для значения
аргумента «немного меньшего», а потом «немного большего»
этой критической величины. Если знак производной сначала -[-,
а потом —, функция имеет максимальную величину для
рассматриваемого критического значения аргумента; если
знаки производной распределяются наоборот, функция имеет
минимальную величину. Если знак производной не изме-
изменяется, функция не имеет ни максимума, ни минимума.
Для третьего шага часто является удобным разложить
f'(x) на множители, как это сделано было на рассмотренном
примере.
Пример 1. В первой задаче, рассмотренной нами в § 73, мы показали путем
наблюдения графика кривой 5 = х У\ 00 — х2, что прямоугольник максимальной
площади, вписанный в круг радиуса 5 см, имеет вместимость 50 см2. Это
можно теперь доказать и аналитически, применив указанное правило.
Решение. f(x) = xVlQ0 — х2.
-2Г5
Первый шаг. /'(я) = .
1Л00 -х2
Второй шаг. Приравнивая /' (х) = 0, мы имеем:
х = 5 V2^ 7,07,
в качестве критической величины. У квадратного радикала нужно взять лишь
положительный знак, ибо, по природе задачи, отрицательный знак не имеет
смысла.
Третий шаг. Когда х < 5 У 2, тогда 2х2 < 100 и знак /' (х) есть -|-.
Когда х > 5 У2, тогда 2х2 > 100 и знак /' (х) есть — . Так как знак производ-
производной меняется с 4- на — , функция имеет максимальную величину:
/E /2) = 5 /2".5/2" = 50.
176
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
ГЛ. VIII
Приемр 2. Исследовать на максимум и минимум функцию (х — 1J(#-(- !)*•
Решение.
/(*) = (*- 1J(*+1K.
Первый шаг.
/' (х) = 2 (х — 1) (х + IK + 3 (л: — IJ (л; + IJ = (д: — 1) (х + IJ Eх — 1).
Второй шаг.
1 1
откуда критические величины я=1, — 1, -^-.
Третий шаг.
Исследуем сначала критическую величину л; = 1 (С на рисунке 87).
К <1/'() 5()( + JD
чогда
Когда
Заключаем, что при х = 1 функция имеет ми-
минимум /A) = 0 = ординате точки С.
Исследуем теперь критическую величину
# = -=-E на рисунке 87).
о
Рис. 87
Когда *<
¦§-,
Когда x>-J-, /'(*) = 5(-
Следовательно, при #=-f- функция имеет максимум, равный / f-^J =
= -f 1,10592 = ординате точки В.
Рассмотрим, наконец, критическую величину х = — 1 (точка А на рисунке 87).
Когда дс< —1, /'(jc) = 5( —)( — )¦( — ) = +.
Когда x>~l,/'W==5(-)( + J(-) = +.
Следовательно, когда # = — 1, функция не имеет ни максимума, ни мини-
минимума.
§ 77. Максимальная и минимальная величины непрерывной функции,
когда у нее нет производной в некоторых точках. Этот случай самый труд-
трудный и в то же время вполне конкретный.
А
,В
-X Л
Рис. 88 Рис. 89
Достаточно, например, взять функцию (рис. 88):
§ 77 МАКС. И МИН. ВЕЛИЧИНЫ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ 177
где квадратный радикал понимается всегда в арифметическом (т. е. положи*
тельном) смысле. Эта функция имеет своим графиком две полупрямые ОА и
ОВ, равноделящие углы второй и первой четверти. Она непрерывна и равна
нулю в точке х = 0, /@) = 0. Так как во всех других точках х функция /(х)
положительна, то ее значение /@) есть величина минимальная. И, однако,
найти ее по вышеуказанному рабочему правилу невозможно, ибо производной
f (х) в точке х = 0 не имеется, и, значит, получить значение 0 аргумента х
как критическую величину из уравнения /' (я) = 0 нельзя.
Чтобы убедиться, что производной /' @) нет, достаточно, согласно общему
правилу дифференцирования, рассмотреть отношение д^ для х = 0. Оно, оче-
очевидно, равно +1> когда Дх положительно, и равно — 1, когда Дх отрицательно.
Поэтому предела lim — при Дх, стремящемся к нулю, не имеется никакого.
Ах -> ()ДХ
Точно так же, рассматривая график (рис. 89) некоторой функции у =/(х),
нетрудно сразу же заметить, что / (х) имеет в точке Е минимальную величину,
а в точках В и G максимальную. Но абсциссу х0 какой-нибудь из этих точек
получить по рабочему правилу, как критическую величину, из урав-
уравнения /' (х) = 0 невозможноу ибо ни для одной из этих точек производной /' (х)
не имеется.
Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что график представляет три
пары кривых дуг: АВ и ВС, DE и EFt FG и GH, имеющих в точках В, В и G
прикосновение к вертикальным прямым. Поэтому, если мы составим отношение
~- для абсциссы х0 какой-нибудь из этих точек, то сразу заметим, что абсолют-
абсолютная величина
сказанного отношения стремится к -{- оо, когда Дх -> 0. От-
Отсюда следует, что производной /' (х0) иметься не может и, значит, абсцисса
х0 ни одной из этих трех точек В, Е и G не может быть получена, как крити-
критическая величина, из уравнения /'(х) = 0.
Ду
К тому же отношение ~- для абсциссы х0 каждой из трех указанных
точек изменяет свой знак при перемене знака приращения Дх, так что для
стремящихся к нулю приращений Дх одного знака отношение ~- стремится к
~{- оо, а для приращений Дх противоположного знака это отношение стремится
к — оо.
Заметим, наконец, что в точке Л, где кривая имеет настоящую, вертикаль-
вертикальную целую касательную прямую (а не полупрямую, как в точках В, Е и О), там
Ду
отношение —• стремится к -f- ob независимо от знака приращения Дх. Но в
точке А мы не имеем ни максимальной ни минимальной величины.
Такие точки кривой, как В, Е и С/, называются остриями. При исследова-
исследованиях, где ищутся у какой-нибудь функции у=/(х) все возможные максималь-
максимальные и минимальные величины, там надо принимать во внимание и острия.
Для этого ищут из абсциссы посредством уравнения
0 ю
ибо по мере приближения аргумента х к абсциссе х0 острия | f (x) | безгранично
увеличивается, что указывает на непрерывность обратной величины производной
в обращение ее в нуль для абсциссы х0 ос'трия. Поэтому включают в число
критических величин также- и корни уравнения A). Этим изменяется лишь
второй шаг рабочего правила. Остальные шаги остаются без переменц.
178
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
ГЛ. VIII
Поиски же других максимальных и минимальных величин, где нет произ-
производной /' (х), очень трудны и не подчиняются никаким правилам.
Пример. Исследовать функцию а — Ь (х — сK на максимум и минимум.
Решение.
М
Рис. 90
З(х-сK
L
1 _ З(х-сK
Г (х) — 2Ь
Здесь с есть критическая величина,
для которой ,, = 0 и для кото-
/ \х)
рой функция f (х) непрерывна. По-
Поэтому надо провести исследование
па максимальную и минимальную
величину для х = с.
Когда х < с, /' (х) = +.
Когда х > с, /' (я) = —.
Отсюда, когда х = с = ОЯ,
функция имеет максимальную
величин у/(с) = a=PAf (рис. 90).
ЗАДАЧИ
Исследовать каждую из следующих функций на максимальную и минималь-
минимальную величины:
Отв. х = — 1 дает макс. = 1,
х = 4 дает мин. = —124.
х = — 1 дает макс. = -^,
о
1. 2х9 — 9х2 — 24х — 12.
3.
4. 15 + 9jc —Зх2 —л8.
5. х4 - 2х2.
6. 6х2 — х\
7. 2-f24x2 — х4.
8. х4 - 8х8 + 22х2 - 24х + 12.
9. х*-
.
108
4
х = 2 дает мин. = — — .
о
х = —6 дает макс. = — 50,
х = — 2 дает мин. = — 82.
х = 0 дает макс. = 0,
jc = i:l дают мин. = —1.
х = 0 дае^ мин. = 0,
х = нн У дают макс. = 9.
х = 1 дает мин. = 3.
х = 2 дает макс. = 4,
х = 3 дает мин. = 3.
х = 2 дает мин. = 12.
§ 77 задачи 179
Отв. х = ±: 1 дают мин. = 2.
x = — 1 дает мин. = — 3,
х = 1 дает макс. = 3.
12».
•
14
15.
16.
17.
х2Н
1
V
6х ~
X2-
X2-
Xs
-1
-X
X
х+Г
(Х-
(х4
- 1]
- 2Ъ
2 *
+1
2(х
¦(*
1
-3)*.
-If.
2
29.
18. (x-3K (x-6K. x = 4 дает макс.
x = 6 дает мин. = 0.
19. х F + хJ F - х)8. х = - 6 дает макс. = 0,
х = — 3 дает мин. = —19 683,
1 х = 2 дает макс. = 8192.
20. Ь + с(х — аK. х = д дает мин. = &.
"з" нет ни макс, ни мин.
лл (х — а)(Ь — х) х = —%-гдает макс. = , , ,
22. Ц :- а + & 4а6
х а2 (а + Ь?
х = —г-т Дает макс. =v—!—-.
иг а2 (а - Щ
23' Т+7ГЦ- х^^—Иаетмин.=:^-
X а — X ^
24 ^2 + ^ ~ ^ х —2 дает макс. = -q"»
* "~;с + 1 х = 0 дает мин. = —1.
25. _, XJ". , , . х = — 3 дает мин. = —-g-.
26. (х — 2N Bх + IL. х = — -тг Дает макс. = 0,
Х—Т5 дает мин« == —^6,
х = 2 не дает ничего.
2_ ^ х — ~л" дает макс. — ~q*it
27. Bх - аK (х - аK. х = д дает мин# =. 0>
х = — не дает ничего.
28. х (а + хJ (а — я)\ х = — а дает макс. = 0,
л 9
х = — ^г- дает мин. = — — i
х = а не дает ничего.
х = 4 дает макс. = 1,
х— 10 # х=16дает мин. = 25.
оп (я ^ *)* а 27 ,
30* л—97*# Х==Т дает мин. = 57га1в
с* — &Х 4 32
180 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ГЛ. VIII
§ 78. Общие указания для наиболее практичного отыска-
отыскания максимальных и минимальных величин. Во многих задачах
нужно сперва составить, исходя из данных условий, ту функцию,
максимальную и минимальную величины которой дальше будут
искаться. Как делается такое составление, мы это видели на
двух примерах, подробно разобранных в § 73. Составление функ-
функции иногда представляет значительные трудности. К сожалению,
для этого составления нет никаких правил. Можно лишь руко-
руководствоваться следующим.
Общие указания
(a) Попробовать написать функцию, максимальная или ми-
минимальная величина которой фигурирует в задаче.
(b) Если написанное выражение содержит более одного пере-
переменного, тогда самые условия задачи должны дать достаточное
число соотношений между переменными для того, чтобы все
они могли быть выражены через только одно.
(c) К полученной окончательно функции одного переменного
применяем рабочее правило.
(d) В практических задачах обычно легко судить о том,
какая критическая величина дает максимум и какая дает
минимум, так что не всегда приходится прибегать к треть-
третьему шагу.
(e) Начертить график функции для проверки выполненной
работы.
Работа по нахождению максимума и минимума часто упро-
упрощается, когда пользуются следующими принципами:
A) Максимальные и минимальные величины непрерывной
функции обязаны чередоваться.
B) Если с положительное постоянное, тогда cf(x) имеет
максимум или минимум для таких значений переменного х и
только для таких, которые дают f(x) максимум или ми-
минимум.
Поэтому при отыскании критических величин и испытании их
на максимум и минимум можно опускать положительный постоян-
постоянный множитель.
Если с есть число отрицательное, cf(x) имеет максимум,
когда f(x) получает минимум и обратно.
C) Если с есть постоянное, тогда f(x) и c-\-f(x) имеют
одновременно максимум и минимум для тех же самых зна-
значений переменного х.
Поэтому можно опустить постоянный член при отыскании кри-
критических величин и их испытании,
§ 78
ЗАДАЧИ
181
ЗАДАЧИ
1. Из квадратного жестяного листа (рис. 91), сторона которого а, желают
сделать открытый сверху ящик возможно большего объема, вырезая равные
квадраты по углам, удаляя их и затем загибая жесть, чтобы образовать бока
ящика. Какова должна быть длина стороны у вырезаемых квадратов?
Решение. Пусть сторона малого квадрата равна х\ следовательно, сторона
квадрата, образующего дно ящика, равна а — 2#, а объем его:
такова функция, максимум которой нужно найти, выбирая надлежащим обра-
образом х. Прилагаем правило.
Первый шаг.
^=(а — 2xf — Ах (а — 2х) = аг — 8ах + \2х\
CLX
Второй шаг. Решая уравнение
а1 — 8ах + 12х* = 0,
находим критические значения:
а а
2 6 Рис. 91
Из рисунка 91 видно, что х = — дает минимум, ибо в этом случае вся жесть
будет вынута вырезкой, и материала для ящика не останется никакого. Обыч-
ным испытанием найдем, что x=z-^ Дает максимальный объем, равный 7z=- .
Итак, сторона у вырезаемых квадратов составляет шестую долю стороны
данного квадрата.
2. Известно, что прочность балки с прямоугольным поперечным сечением
(рис. 92) изменяется прямо пропорционально ширине и квадрату высоты. Ка-
Каковы будут размеры балки наибольшей прочности, какую
только можно выпилить из круглого бревна, диаметр кото-
которого равен d3
Решение. Пусть х будет ширина, у — высота балки; по
условию балка будет иметь наибольшую прочность, когда
функция ху2 достигает максимума.
Из чертежа имеем:
Рис. 92
следовательно, нужно исследовать функцию
f(x) = х (d* — х2) = d2x — х9.
Первый шаг.
ff(x) = d2-dx2.
Второй шаг.
откуда
182
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
ГЛ. VIII
есть критическое значение, при котором функция получает максимум. Заклю-
Заключаем, что если балка выпилена так, что
высота
ширина
то балка будет иметь наибольшую прочность.
а = л/ А диаметра бревна,
= л/ i_ диаметра бревна,
Рис. 93
3. Какова ширина прямоугольника максимальной площади, который можно
вписать в данный сегмент ОАА1 параболы (рис. 93)?
Указание. Если:
OC=h, BC=h — x и ЕЕ' = 2уу
Т то площадь прямоугольника EDD'E' будет:
[ I 2(h-x)y.
Но так как точка Е лежит на параболе
то исследуемая функция будет:
2 (h — х) Vlpx-
2
Отв. Ширина равна -тг Л.
о
4. Найти высоту конуса максимального
объема, который можно вписать в шар данного
радиуса г (рис. 94).
Указание. Объем конуса равен
поэтому исследуемая функция будет:
= y Br - у)]
4
Отв. Высота конуса равна -^ л
§ 79 ПРОИЗВОДНАЯ КАК БЫСТРОТА ИЗМЕНЕНИЯ 183
5. Найти высоту цилиндра максимального объема, который можно вписать
в данный прямой конус (рис. 95).
Указание. Пусть АС —г и BC = h. Объем цилиндра равен пх2у. Но из
прямоугольных треугольников ABC и DBG имеем:
откуда
r(h-y)
х— ъ -
Таким образом, исследованию подлежит функция:
Отв. Высота равна -~-Л.
§ 79, Производная как быстрота изменения, В §51 функцио-
функциональная связь
у=х* A)
дала для отношения соответствующих приращений величину
g = 2* + A*. B)
Когда jc = 4 и Дл: = 0,5, тогда уравнение B) дает
Ё=8-5- C)
В этом случае мы говорим, что средняя быстрота изменения
переменного у относительно переменного х равна 8,5, когда х
возрастает от х==4 до л = 4,5.
Вообще, отношение ~| = средней быстроте изменения пе-
переменного у относительно переменного х, когда х изменяется
от х до л + Дл. (А)
Постоянная быстрота изменения. Если
y = kx-\-b9 D)
тогда мы имеем:
Это означает, что средняя быстрота изменения переменного у
относительно переменного х равна k, т. е. угловому коэффициенту
прямой линии D), и, следовательно, есть величина постоянная.
В этом случае, и только в этом случае, изменение Ду пе-
переменного у, когда переменное х возрастает от какой-нибудь ве-
величины х до х-\-кх, равно быстроте изменения А, умноженной
на Дл;.
184
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
ГЛ. VIII
Мгновенная быстрота изменения. Если промежуток
(х,'х-{-?кХ) уменьшается и Ал—> (), тогда средняя быстрота из-
изменения переменного у относительно переменного х в этом про-
промежутке становится в пределе мгновенной быстротой
Рис. 96
изменения переменного у относительного переменного х.
Таким образом,
^=мгновенной быстроте изменения переменного у отно-
относительно переменного х для определенной величины перемен-
переменного х. (В)
Например, из уравнения A) следуем
?=2х- E)
Когда х=4, мгновенная быстрота изменения переменного у
есть 8 единиц на одну единицу измерения переменного х. Слово
«мгновенная» часто опускают в формулировке (В).
Геометрическое истолкование, Начертим (рис. 96) график
функции
F)
Когда х возрастает от ОР до ОР\ тогда у возрастает от РМ
до Р'М'. Средняя быстрота изменения у относительно х равна
угловому коэффициенту секущей MS. Мгновенная быстрота, когда
х = ОР, равна угловому коэффициенту касательной /ИГ.
§ 80 СКОРОСТЬ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ 185
Таким образом, мгновенная быстрота изменения у в точке
М (х, у) кривой равна постоянной быстроте изменения у вдоль
касательной прямой в М.
Когда х = х0, мгновенная быстрота изменения у, т. е. функции
f(x), есть/'(л;0). Если х возрастает от х0 до xQ-\-kx, тогда
точное изменение х не равно f'(xo)Ax, кроме того случая,
когда f'(x) есть постоянная величина, не зависящая от х> как в
случае D). Однако позже мы увидим, что это произведение есть
«почти» Aj/, когда Ах достаточно мало.
§ 80. Скорость прямолинейно-
прямолинейного движения. Важные приложения
возникают тогда, когда независи- /\ ¦ s %6Sog
g
мым переменным в быстроте изме- 0 М У
нения является время. Тогда эта рис 97
быстрота получает имя скорости.
Скорость прямолинейного движения есть простейший пример
тому.
Рассмотрим движение точки М по прямой АВ (рис. 97).
Пусть s есть расстояние, измеряемое от некоторой неподвижной
точки, например О, до положения движущейся вправо точки Ж,
которое она занимает в момент t времени. Ясно, что всякой ве-
величине времени t соответствует некоторое положение М точки и,
следовательно, расстояние s. Поэтому s оказывается функцией
времени t и, значит, мы можем писать:
s=f(t).
Пусть теперь t получает приращение М; тогда s получает
приращение As, где As означает расстояние, пройденное в тече-
течение отрезка At времени, и
As
Л= средняя скорость A)
точки М, когда она переходит от положения М к положению
М в течение отрезка М времени. Если точка М движется рав-
равномерно (т е. с постоянной скоростью), тогда указанное отно-
отношение A) имеет ту же самую величину для всякого отрезка М
времени и является скоростью в каждое мгновение.
Для общего случая движения, равномерного или неравномер-
неравномерного, мы определяем скорость v точки М (т. е. быстроту изме-
изменения проходимого точкой М пути s) в какой-нибудь момент
t времени как предел ее средней скорости, когда At безгра-
безгранично приближается к нулю.
Это означает, что:
186 РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ГЛ. VIII
Скорость точки в какой-нибудь момент времени есть про-
производная расстояния по времени, т. е. быстрота во времени
изменения проходимого пространства.
Когда v положительна, расстояние 5 есть возрастающая функ-
функция времени, и тогда точка М движется направо, в направлении
АВ. Когда же v отрицательна, s есть убывающая функция от t9
и тогда точка М движется влево, в направлении ВА.
Чтобы показать, что это определение вполне согласуется с тем
обычным представлением, которое мы уже имеем относительно
скорости, достаточно отыскать, например, ту скорость, которую
получает падающее тело в конце второй секунды.
Опытом найдено, что тело, падающее свободно из состояния
покоя, в пустоте, вблизи поверхности земли, приблизительно сле-
следует закону:
s = 4,9*2, B)
где s равно пройденному телом пространству в метрах, t равно
времени в секундах. Прилагаем общее правило дифференцирова-
дифференцирования*
Первый шаг.
s + bs = 4
Второй шаг.
Третий шаг.
= 9Ы\49М=средней скорости в течение отрезка време-
времени М, отсчитывая его от некоторого определенного момента
t времени.
Полагаем ?=2.
д| = 19,6 -|-4,9Д?= средней скорости в течение отрезка вре-
времени М по прошествии двух секунд падения. C)
Наше представление о скорости тотчас подсказывает нам, что
C) вовсе не представляет действительной скорости в конце двух
секунд: в самом деле, если М взять дзже весьма малым, поло-
положим М равным щ или щд секунды, все равно C) даст только
среднюю скорость в, течение соответствующего малого проме-
промежутка времени. Но то, что мы разумеем под скоростью в конце
двух секунд, есть предел средней скорости, когда М умень-
уменьшается до нуля, т. е. скорость в конце двух секунд по C) есть
J9,6 м\сек. Таким образом, даже обычное представление о ско-
§ 81 СВЯЗАННЫЕ СКОРОСТИ 187
рости, получаемое из опыта, включает идею о пределе, или со-
согласно нашему обозначению:
г/== lim — = 19,6 м1сек.
Приведенный пример хорошо иллюстрирует понятие о предель-
предельном значении. Учащийся должен освоиться с представлением, что
предельное значение есть вполне определенная величина, но не
есть нечто лишь приблизительное. Предельное значение перемен-
переменной величины 19,6-[-4,9Д^, когда М уменьшается до нуля, в точ-
точности равно 19,6.
§ 81. Связанные скорости. Во многих задачах встречаются
несколько переменных, каждое из которых, по самому существу
дела, есть функция времени. При этом соотношения между пере-
переменными устанавливаются из условий задачи. В этом случае со-
соотношения между скоростями этих переменных
находятся дифференцированием.
При решении задач на связанные скорости следует
руководствоваться таким правилом:
Первый шаг. Сделать чертеж, иллюстрирующий задачу.
Обозначить через х, у, z и т. д. переменные, зависящие от
времени.
Второй шаг. Получить соотношение между переменными
задачи, остающееся верным в каждый момент времени.
Третий шаг. Дифференцировать по времени это соотно-
соотношение.
Четвертый шаг. Составить перечень известных и иско-
искомых количеств.
Пятый шаг. Подставить известные количества в резуль-
результат, полученный дифференцированием (третий шаг) и решить
относительно неизвестного.
1. Человек приближается со скоростью 8 км\шс к подножию башни, выши-
вышиной в 60 лс. Какова скорость его приближения к вершине башни в момент,
когда он находится на расстоянии 80 м от ее основания?
Решение. Применим приведенное выше правило.
Первый шаг. Сделаем чертеж (рис. 98). Пусть х — расстояние чело-
человека от подножия башни ид/ — расстояние от вершины в произвольный момент
времени.
Второй шаг. Из прямоугольного треугольника имеем:
Третий шаг. Дифференцируя, получаем:
или
188
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
ГЛ. VIII
Четвертый шаг.
= 80, 7 = 8 км [час,
at
у = Ух* + 3 600 =100, ^ =
Пятый шаг. Подставляя в A), находим:
8
2. Точка движется по параболе 6у = х2 таким образом, что когда х = 6.
абсцисса возрастает со скоростью 2 м\сек. С какой скоростью возрастает в тот
же самый момент ордината?
Решение.
Первый шаг. Строим параболу (рис. 99).
Второй шаг.
Третий шаг.
Рис. 98
dt'
dx_
:dt
или
Четвертый
-? = 2 м/сек,
шаг.
х = 6, у
dy
dt
X
~ т
=6.
dx
' dt
B)
Пятый шаг. Подставляя в B), находим:
%=т'2=4м1сек-
Из этого результата мы видим, что в точке
М F,6) ордината изменяется по величине вдвое быстрее
абсциссы.
dx
О
Рис. 99
^-_,
В точке М ( — 6, 6) при — = 2 м/сек будем иметь ~ =. — 4 м\сек.
Знак минус означает, что при возрастании абсциссы
ордината убывает.
3. Круглый металлический диск расширяется от те-
теплоты так, что его радиус равномерно увеличивается
на 0,01 см\сек. С какой скоростью увеличивается его
площадь, если радиус равен 2 см?
Решение. Пусть радиус х (рис. 100) и площадь
диска у. Имеем у = кх2, дифференцируем по времени t\
Рис. 100
—
dt
C)
Итак, в каждый момент площадь диска возрастает в квадратных санти-
сантиметрах в 2пх быстрее, чем возрастает радиус в линейных сантиметрах,
,,__2 rfjc—001 ^ —?
§ 81 связанные скорости 189
Подставляя в C), получаем:
^ = 2*.2.0,01^ 0,04-3,14^0,13 смг\сек.
4. Дуговая лампа повешена на высоте 12 м над прямой горизонтальной
дорожкой, по которой идет человек, рост которого равен 1,5 м. Насколько
удлиняется его гень, если он удаляется от лампы со скоростью 49 м/мин?
Решение. Пусть расстояние человека от точки/7, лежащей непосредственно
под лампой L, будет х, а длина его тени у. Из рисунка 101 имеем:
{ + ) Ц512
откуда
Дифференцируя, получаем:
dy 1 dx
т. е. удлинение тени составляет -=- пути, пройденного человеком в то же время
или 7 MJMiin.
5. В параболе у2= 12л:, когда х возрастает равномерно со скоростью 2 см
в сек., требуется определить, с какой скоростью возрастает
у, если х = Ъ см? Отв. 2 см. в сек.
• 6. В какой точке предыдущей параболы абсцисса и
ордината возрастают с одинаковой скоростью? Отв. C,6).
7. В какой тоже эллипса 16x2 + 9jv2 = 400 ордината
убывает с такой же скоростью, как возрастает абсцисса?
о„. (,) _
8. Где в первой четверти угол увеличивается вдвое У М
скорее его синуса? Отв. 60°.
9. Сторона равностороннего треугольника равна 24 еж Рис. 101
длины и увеличивается со скоростью 3 еж в час. С какой
скоростью увеличивается площадь этого треугольника?
Отв. 36 "|/"з" см2 в час.
10. Вагон, стоящий на верхнем пути, находится на высоте 10 м прямо над
нижним вагоном, причем их пути пересекаются под прямым углом/ Ско-
Скорость верхнего вагона равна 30 км в час, а нижнего 18 км в час. С какой
скоростью они удаляются друг от друга 4 минуты спустя после встречи?
Отв. 34,9 км в час.
П. Один корабль плывет к югу со скоростью 6 км ъ час; другой —к
востоку со скоростью S км в час. В 4 часа пополудни второй пересекает путь
первого в точке, где первый проходил 2 часа тому назад, (а) Как изменялось
расстояние между кораблями в 3 часа пополудни? (Ь) Как — в 5 часов попо-
пополудни? (с) Когда расстояние между ними не изменялось?
Отв. (а) Уменьшалось на 2,8 км в час.
(b) Увеличивалось на 8,73 км в час.
(c) В 3,28 час. пополудни.
12. Предполагая, что объем дерева в стволе пропорционален кубу его диа-
диаметра и что последний равномерно увеличивается из года в год с ростом де-
дерева, показать, что скорость роста, когда диаметр = 0,9 м} в 25 раз больше,
чем при диаметре в Д8 см.
ГЛАВА IX
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 82. Определение последовательных производных. Мы ви-
видели, что производная функция от х вообще также есть функция
от х. Эта новая функция также может быть дифференцируема, и
в этом случае производная этой первой производной называется
второй производной первоначальной функции. Подобно этому про-
производная второй производной называется третьей производной
и т. д. до п-й производной. Так, если
dx"
Tx[dx) — mX '
И Т. Д.
Обозначения. Символы для последовательных производных
обыкновенно пишутся сокращенно следующим образом:
d_ fdy\ d*y
dx \dx) dx2 '
dx \dx)\ ~ dx \dx2) ~ dxz '
dx
di. ~
d (dn~ly\ d^2
dx\dxn-1i) dxn '
dx \
Если y—f(x), то последовательные производные обозначают
еще так:
§ 83 п-я производная 191
У, У, У", У\ ...,УП)
или
В данном выше примере наиболее удобным обозначением
является: у = 3х\ у'=\2х*, у" = 36х\ /" = 72*, у™ = 72.
§ 83. я-я производная. Для некоторых функций можно фак-
фактически для п-я производной найти общее выражение в функции
числа п. Обычный прием состоит в нахождении нескольких по-
последовательных первых производных, стольких, сколько будет
нужно для раскрытия закона их образования; затем, по догадке,
пишут л-ю производную и, наконец, оправдывают эту догадку
приемом так называемой «математической полной индукции»
(иначе говоря, «рассуждением от п кя-f-l»), состоящим в
том, что сначала предполагают догадку верной для числа п и
потом доказывают, что она остается верной и для числа л-f-1.
Пример. Найти /2-ю производную произведения uv двух функций и и и.
РАиеиие. Вводя обозначение
y=zuv,
мы имеем, но основной формуле V, сначала для первой производной
у' = u'v + uv'.
Потом, для второй производной, имеем:
/ = (tt'v)' + (uv'Y = u"v + u'v' + u'v' + uv" = u"v + 2u'v' + uv\
Далее, для третьей производной, имеем:
у'" = (u"v)' + Bа V)' + {uv")' = и"'V + u"v' + 2u"v' + 2u'v" + u'v" + uv"' =2
= u"'v -f 3u"v' + Zu'v" + uv"'.
Для догадки здесь можно остановиться, ибо сделанного уже достаточно.
В самом деле, сопоставим найденные дифференциальные формулы с
алгебраическими формулами степеней суммы:
у' = u'v -f- uv' y = u-\-v
у" =z u"v + 2u'v' + uv" y2 = {u + vf = u2 + 2uv + v2
y»f = u"'v + Ztfv' + Зи V + uv'n y' = (u + v)* = u8 +3u2v + Zuv2 + v9
Аналогия получается поразительная, если, с одной стороны, принять во
внимание, что самые первоначальные функции и и v можно рассматривать как
производные нулевого порядка, и значит, можно писать: н@) = и,
v{0)-=:v, и поэтому третья производная напишется в виде:
у (в) == и<*H«» j^ 3uWvA) + 3*zAV2> + u{0)v{S). A)
С другой стороны, если примем во внимание, что алгебраическая нулевая
степень всегда равна единице: и°=1 и t/° = l, и что введение множителем 1
не вредит верности алгебраических формул, то куб суммы напишется в виде:
у9 = иV + Zu2vl 4- ЗиV + u°v*. B)
Таким образом, дифференциальная формула для третьей производ-
производной (uv)(9) производная двух функций и алгебраическая формула для
куба суммы двух количеств в точности совпадают по внешнему своему виду.
192 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ГЛ. IX
Ясно, что такое совпадение имеется и для формулы второй производной и
квадрата суммы.
Поэтому естественной является догадка, что дифференциальная
формула для п-й производной произведения двух функций и алгебраи-
алгебраическая формула бинома Ньютона п-й степени всегда совпадают по
внешнему виду, т. е. что имеем:
(uv)n = u<n)v + mtn-V + п(п~ Х)и(* -%<"> + ... + ww(n). (A)
Эта догадка становится математической истиной, когда применяют способ
полной индукции для доказательства формулы (А). Для этого предполагают,
чго (А) верна для какого-нибудь целого положительного числа я, и затем,
дифференцируя обе части равенства (А) один раз по аргументу х, доказывают,
что полученное таким образом новое равенство имеет в точности такой же вид,
как и (А), но только здесь п заменилось на п-\-\. Действительно, после одно-
однократного дифференцирования по х, налево будет стоять (uvyn+1\ а направо,
после почленного однократного дифференцирования по х, будет стоять
такое выражение, которое — по приведении подобных членов — получит опять
прежний вид с заменой всюду числа п на число п-\-\. Мы опускаем здесь
соответствующие выкладки.
Формула (А) п-п производной произведения двух функций впервые была
установлена Лейбницем.
§ 84, Последовательное дифференцирование неявных функ-
функций. Чтобы иллюстрировать процесс, найдем ^ из уравнения ги-
гиперболы
b2x2 — a2y2 = a2b2. A)
Дифференцируя по х, как и в § 70, находим:
или
Дифференцируя еще раз и замечая, что у есть функция от л:,
получаем:
aWy-
d2y у_
dx2 aY
Подставляем вместо ~ ее значение из B):
dx2 a*y* " а4);8
Но в силу данного уравнения
Ь2х2 — а2у2 = а2Ь\
Следова!ельно,
§ 84 задачи 193
ЗАДАЧИ
Проверить каждое из следующих дифференцирований:
7х + 9. Отв. ^2 =
3. и =
4 — V\ — 2x iPy— Sx~~2
5.s= *
2—f
x
6. y = —^==.
Vx + 2
2
Указание. Привести дробь к виду — * '
Pi!
14.
В задачах 15—19 найти величины у' и у" для указанных значений пере-
переменных.
= 4.
18. х* + 4/ = 25; * = з, у = 2. >' = ~|; ^ = ~Ш
7 Дифференциальное исчисление
194
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
ГЛ. IX
= 7; х = 2, у = -1. Отв. / = |-; /' = 5|.
32*
20. у = (л;2 -+-1M; х=1.
21. уд^
23. у== у\1 -Зх; х = 1.
22. y = VlO —Зх; х = 2.
24. 4х2-/ = 64; х = 5; у = 6.
В каждом из следующих примеров найти -~?.
28. у= >х
30. у2 — 2ху = а2.
31.
§ 85. Направление изгиба кривой. Когда точка М(х,у) опи-
описывает кривую, тогда изменяется наклон касательной в точке М.
Рис. 102
Рис. 103
Если касательная находится под кривой, тогда кривая направ-
направлена своей вогнутостью вверх (рис. 102); если касательная нахо-
находится над кривой, тогда кривая направлена своей вогнутостью
вниз (рис. 103). В первом случае наклон т касательной возра-
возрастает, когда М описывает дугу АМ\ Поэтому производная f\(x)
есть возрастающая функция аргумента х. Во втором случае
наклон % убывает и f'(x) есть убывающая функция. Следова-
Следовательно, в первом случае /" (х) положительна (или равна нулю),
во втором случае отрицательна (или равна нулю).
Справедливо и обратное предложение, являющееся признаком
для распознавания направления изгиба кривой в точке: кривая
y=f(x) направлена своей вогнутостью вверх, если вторая
производная ^4 положительна и направлена вогнутостью
вниз, если эта производная отрицательна.
§ 86
ВТОРОЙ СПОСОБ ИСПЫТАНИЯ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ
195
§ 86. Второй способ испытания на максимум и минимум.
На рисунке 104 в точке В кривая обращена своей вогнутостью
вверх и ордината имеет минимальную величину. Значит, в точке В
f'(x) = Q и /"(•*) положительна. В точке А имеем: f'(x) — 0 и
f"(x) отрицательна.
Таким образом, мы имеем следующие достаточные условия
максимума и минимума функции f(x) для критических значений
переменного:
f(x) имеет максимальное значение, если /'(я) = 0, a f{x) от-
отрицательна;
f(x) имеет минимальное значение, если/'(*) = 0, a f"{x) no-
ложительна.
Соответствующее практическое правило будет таково.
Первый шаг. Ищем первую производную функцию.
Второй шаг. Приравниваем первую про-
производную нулю и из полученного уравнения
находим действительные корни, которые и
дадут критические значения переменного.
Третий шаг. Ищем вторую производную.
Четвертый шаг. Подставляем во вто-
вторую производную вместо переменного каждое
критическое значение. Если получится резуль-
результат отрицательный, то для испытуемого
критического значения функция имеет макси-
максимум; если же результат подстановки будет
положителен, то функция имеет минимум.
Если /" (х) = 0 или не существует, приве-
приведенное правило является недостаточным, хоть в
этом случае также может быть максимум или
минимум; в таких случаях обращаемся к пер-
первому основному методу. Обыкновенно поль-
пользуются вторым методом, и если процедура на-
нахождения второй производной не слишком
утомительна или продолжительна, то вообще метод этот крат-
кратчайший.
Пример 1. Применим предыдущее правило к аналитическому испытанию
функции
Решение.
Первый шаг.
432
— ¦
196 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ГЛ. IX
Второй шаг,
х=-6, критическое значение.
Третий шаг.
Четвертый шаг.
Следовательно, /F)= 108 — минимальная величина.
Пример 2. Исследовать функцию х8 — Зх2 — 9х + 5 на максимумы и мини-
минимумы (рис. 104).
Р
Первый шаг.
/'(х) = 3х8 — 6х — 9.
Второй шаг.
3;c2_6x--9 = 0;
отсюда критические значения:
х = —1 и х = 3.
Третий шаг.
/"(х) = 6х-6.
Четвертый шаг.
/»(-1) = -12.
Следовательно,
/(—¦ 1) = 10 (ордината точки А) есть максимум.
Аналогично
следовательно,
/C) = ^22 (ордината точки В) есть минимум.
ЗАДАЧИ
Исследовать каждую из следующих функций на максимум и минимум*
1. хъ — Зх2 + 5. Отв. х==0 дает max = 5,
х = 2 дает min= 1.
2. 3*s — 9х2 — 27* + 30. х = — 1 дает max = 45,
я = 3 дает min = — 51.
3. 2х* — 21л2 + 36* — 20. х = 1 дает max = — 3,
х = Ь дает min = —128.
4. х8 — Зх2 — 9х + 2. х = — 1 дает max = 7,
х = 3 дает min = — 25.
5. 9 — 24х + 15х2 — 2х5. х = 1 дает min = — 2,
х==4 дает max = 25.
6. 4х8-18х2+15х-20. х = ~дает тах= — ^,
5 . 65
x = Y дает min = —y«
7. x* + Зх2 + 9x — 5. Ни max, ни min.
8, Зх4 — 4x8 — Збх2 4-60. x = — 2 дает min = — 4.
x = 0 дает max = 60,
x = 3 дает min = — 129.
§ 86
ЗАДАЧИ
197
9. л;5 — 5л;2 — 20*-f 10.
10. ~—
о
11. 2л;8- 15л:2 + 36л:+10.
12. л:8 - 9л:2 + 15л: — 3.
13. х8~З
14. л;5-5
15. Зх5 —
16. (я-3J(л:-2).
17. (л;-1)8(л;-2J.
18. (л;-4K(л;-|-2)*
19. (jc-2
20.
21. Bл;-аK(л;-аK(я>0).
22. х(х —
23. л: (а + х? (я — л:)8 {а > 0).
24. Ь + с (х - аK (а > 0, с < 0).
Отв. х = —¦» 2 дает max = — 2,
л; = 2 дает min = — 18.
х=1 дает тах = -^-,
я = 3 дает min = 1.
х = 2 дает max = 38,
# = 3 дает min = 37.
х = 1 дает max = 4,
х = 5 дает min = — 28.
Ни max, ни min.
#= 1 дает max = 2,
х = 3 дает min = — 26,
# = 0 ни max, ни min.
х = — 4 и 3 дают max,
% = —3 и 4 дает min.
7 4
я = -о- дзет тах^^у,
# = 3 дает min = 0,
8
х = -=- дает max,
о
л; = 2 дает min,
л; = 1 нет ни max, ни min.
х = —2 дает max,
2
л: = -^-дает min,
x = 4 нет ни max, ни min.
x = —рг Дает max>
11
я — г—дает min,
д; = 2 нет ни max, ни mia.
1
X ==-2' дает шах>
x = — 1 и 5 дают min.
х = -я дает max,
^ = а дает min,
я= — нет ни max, ни
х = -jr- дает max,
я = 1 и —я- дают min,
* = — 1 нет ни max, ни min.
а
х = — а и ~ дают max,
а
x=za нет ни max, ни min.
# = а дает тах = &.
198 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ГЛ. IX
i.
25. а — Ь (х — ?K. Отв. Ни max, ни min.
Jo. 2 ,—^. # = <z дает тах = —»
# =— а дает min = — -^-.
27. —xJ°iq '• ;c==4 Дает max»
х= 16 дает min.
а
х = -т дает mm.
я = у дает min.
л; = У^ дает min,
я = — |/ 2 дает max.
(х--д)(&-х) 2а&
ЗЬ ^ л== дает max.
(а>0, ^>0). ^
^* 4х* — 9х24-6х* х=\ дает max = 10,
я = -^- дает min = 8.
33. 0^5 , оа^з , а^ , 1» Не1Г ни тах> ни mln.
34. y/2x3 + Ъх2 — 36л: + 17. х = 2 дает min = — 3,
я = — 3 дает тах =
35. 2х8 — Зх2— 12x4-4,
Я6 2 ¦¦ 1 3jc — 4jc2 jc
37.. (x-f lJ(x —2J.
38. x4- —
39. х2— i.
х2
40. Доказать, что при любом значении х
41. Требуется измерить возможно точным образом некоторую неизвестную
величину х. Положим, что для этого сделано было п одинаково тщательных
наблюдений этой величины, давших результаты
а» «2» Ял •••> Ял-
Погрешности этих наблюдений, очевидно, суть
х —а1э х — а2, х — as, ..., х — ап%
из которых некоторые положительны, другие отрицательны.
Известно, что наиболее вероятное значение х есть то, которое равно сумме
квадратов погрешностей, т. е. сумме
дает наименьшее значение. Показать, что наиболее вероятным значением Л
будет среднее арифметическое наблюдавшихся значений.
§ 86 задачи 199
42. Момент изгиба в точке В равномерно нагруженного бруска длины I
дается формулой
М = -^- wlx —^" wx*>
где w — нагрузка на единицу длины. Показать, что максимум момента изгиба
приходится в центре бруска (рис. 105).
43. Если полный расход энергии.на каждую милю A,596 км) для электри-
электрического проводника есть
где / — сила тока в амперах, г — сопротивление в омах на каждую милю и t и
b — величины, не зависящие от / и г, то какого сопротивления проводник яв-
является наиболее экономным при /, tub?
Отв. r = j .
44. Принимая, что энергия, отдаваемая элек-
электрическим элементом, дается формулой
Рис. 105
где Е — постоянная электровозбудительная сила, г — постоянное внутреннее со-
сопротивление, R — внешнее сопротивление, доказать, что Р имеет максимум, когда
R = r.
45. Сила, с которой круговой электрический ток радиуса а действует на
небольшой магнит, ось которого совпадает с осью круга, пропорциональна
где х — расстояние магнита от плоскости круга. Доказать, что сила достигает
максимума при
v_ a A M В
П3
46. В А и В имеем два источника теплоты
(рис. 105а), напряжения которых соответственно равны
а и Ь. Полное напряжение теплоты в расстоянии х от А Рис. 105а
дается формулой:
, а , b
— +(rf-яр'
Показать, что температура в точке М будет наименьшая, если
т. е. если расстояния ВМ и AM относятся, как кубичные корни из соответ-
соответствующих напряжений теплоты. Расстояние М от А будет
а3 +Ь
200 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ГЛ. IX
§ 87. Точки перегиба. Точной перегиба называется граничная
точка, отделяющая дуги кривой, имеющие противоположный изгиб.
Так, на рисунке 106 точка В, очевидно, является точкой пере-
перегиба. Когда вычерчивающая кривую точка проходит через точку
перегиба, тогда вторая производная должна переменить свой знак,
и, значит, если она непрерывна, то тогда она обязана обращаться
в нуль1 в точке перегиба.
" Отсюда:
. q в точках перегиба f"(x) — 0. A)
r\ Решая это уравнение, мы найдем абсциссы
точки перегиба. Чтобы определить направле-
ние искривления в смежности с точкой перегиба,
исследуют/" (л) для значения х, сперва «немного
Рис. 106 меньших», потом «немногих больших» абсциссы
этой точки.
Если /" (х) меняет знак, мы имеем точку перегиба, а получен-
полученные знаки укажут направление изгиба в соседству с точкой пе-
перегиба.
Знак второй производной ~^\ говорит нам, куда направлена кривая своей
иХ
вогнутостью: вверх или вниз. Это означает, что мы судим по отношению к
вертикальной оси ординат OY. Так как роли осей координат ОХ и OY одина-
одинаковы, то знак второй производной —2 говорит нам, куда направлена кривая
своей вогнутостью: вправо или влево, ибо мы в этом случае судим по от-
отношению к горизонтальной оси абсцисс ОХ. Поэтому точки перегиба можно
также определить как такие точки, где
(a) --^ = 0 и -г\ меняет знак,
или
dzx d2x
(b) -л = ° и —» меняет знак.
df dy2
Учащийся должен заметить, что поблизости с точкой, где
кривая вогнута вверх (как в Л), она лежит выше касательной,
а у точки, где кривая вогнута вниз (как в С), она лежит ниже
касательной. В точке перегиба (как в В) касательная, очевидно,
пересекает кривую (прикасаясь в то же самое время к ней).
Итак, имеем следующее правило для нахождения точек пере-
перегиба кривой, уравнение которой есть y=f(x), правило, содержа-
содержащее также указания для исследования кривой на направление ее
изгиба.
1 Предполагается, что /'(я) и f (х) непрерывны. В примере 2, в конце
этого параграфа, показано, как исследуют случай, когда и /' (х) и /" (х) обе
бесконечны.
§ 87 точки перегиба 201
Первый шаг. Ищем f"{x).
Второй шаг. Полагаем/" (jc)=O и находим действительные
корни этого уравнения.
Третий шаг. Исследуем /"(х) для значений х, сперва «не-
«немного меньших», потом «немного больших» каждого корня
уравнения f"(x) = 0. Если при этом f"(x) меняет знак, мы
имеем точку перегиба.
Если /" (х) > 0, кривая вогнута вверх (-f-).
Если /'' (х) < 0, кривая вогнута вниз (—).
Это правило легко запомнить, сказав: сосуд, имеющий форму кривой, там,
где она вогнута вверх, содержит (-(-) воду, а там> гДе она вогнута вниз, не
содержит ( —) воды (рис. 107).
Иногда это правило называется также «правилом дождя»: падающий на
кривую сверху дождь собирается ( + ) там> где кривая вогнута вверх, и скаты-
скатывается (—) с нее там, где она вогнута вниз.
Рис. 107. Рис. 108
Перед совершением третьего шага полезно разложить /" (х)
на множители.
ЗАДАЧИ
Исследовать следующие кривые на точки перегиба и на направление изгиба,
\.у = Зх4 — 4х3 4- 1 (рис. 108).
Решение.
Первый шаг.
//;(л;)=:3бх2 — 24л:.
Второй шаг.
откуда
2
# = у и х = 0 — критические значения.
Третий шаг.
/"(%) = 36% (я—-|Л.
Если х < 0, тогда /" (х) > 0.
2
Если у > я > 0, тогда /" (я) < 0.
7В Дифференциальное исчисление
202
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
ГЛ. IX
Следовательно, кривая вогнута вверх налево от начала О координат, и
вогнута вниз направо от него и вблизи него (на рис. 108 точка Л).
Если 0 <#<-?-, тогда /" (х)< 0.
о
2
Если х > -~- , тогда /" {х) > 0.
о
2
Следовательно, кривая вогнута вниз налево от точки -~- и вблизи нее, и
о
вогнута вверх направо от нее (на рис. 108 точка В).
Поэтому обе точки: Л@, 1) и Л U-, ^) суть точки перегиба.
Рис. 109
Кривая, очевидно, обращена своей вогнутостью вверх везде налево от точки
Л, имеет вогнутость, обращенную вниз между точками А и В, и обращена
«югнутостью снова вверх всюду направо от точки В.
2.(у~2K = х — 4 (рис. 109).
Решение.
Первый шаг.
dx о
Второй шаг. При х = 4
Третий шаг. При х<4.
- = _-(*-4)
и первая и вторая производные бесконечны.
а при х > 4
Заключаем, что касательная в точке D, 2) перпендикулярна к оси X и что
влево от D, 2) кривая вогнута вверх, а вправо от D, 2) она вогнута вниз.
Значит, точка D, 2) является точкой перегиба.
§ 87
ЗАДАЧИ
203
х3.
5 — 2х — х2.
= х8 - Зх2 — 9х + 9.
3. у
4. у
5. у
6.
7.
8. а2у = ^ —
9. xs-
10.
И.
* (а > 0).
Отв. Всюду вогнута вверх.
Всюду вогнута вниз.
Вогнута вниз влево и вогнута вверх
вправо от точки @, 0).
Вогнута вниз влево и вогнута вверх
вправо от точки A, —2).
Вогнута вниз влево и вогнута вверх
вправо от (Ь, а).
Вогнута вниз влево и вогнута вверх
/ 4 \
вправо от ( а, -^ а \.
х.
= х4- 12х8+48х2—50.
12. у =
+ 4а2
(а > 0).
13. у =
14. у:
гх-т-Збх2 —2х* —х4.
X { ~ лч
15.
(а>0;
16. у = а— Ух-Ъ.
17. Показать, что кривая
f &, —j- J .
Точка перегиба
Всюду вогнута вверх.
Вогнута вверх влево от х = 2; во-
вогнута вниз между х = 2 и х = 4; во-
вогнута вверх вправо от х = 4.
Вогнута вниз между точками
2а
/7
2
вогнута вверх вне этого промежутка.
Точки перегиба при х = 2 и х = — 3.
Вогнута вверх влево от точки
о
-За, -
вогнута вниз между точками
(-За, -J*) и @, 0);
вогнута вверх между точками
р у
@, 0) и (га, -J aj;
вогнута вниз вправо от точки
( »)
Точка перегиба
а
x = it ——.
Точка перегиба при х = ?.
имеет три точки перегиба, лежащие на прямой линии
у — 4а2у = 0.
18. Показать, что абсциссы перегиба кривой у2=/(х) удовлетворяют
уравнению
204 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ГЛ. IX
Найти точки перегиба и направление изгиба у следующих кривых:
19. у = 2х8 — Зх2 — 36х + 25. 21. у=х + — .
х
20. у = 24х2 - х4. 22. )/ = х2 + —.
х
§ 88. Вычерчивание кривых. Элементарный способ вычерчива-
вычерчивания (построения) кривой по заданному уравнению в прямоуголь-
прямоугольных координатах, способ, с которым учащийся уже знаком, со-
состоит в решении данного уравнения относительно у (или л), в
вычислении у (или л) по произвольным значениям, задаваемым л
(или у), в построении определяемых таким образом точек и в
нанесении кривой, проходящей через эти точки, руководствуясь
при этом соображением о непрерывности кривой; вычерченная та-
таким способом кривая является приблизительным образом искомой
кривой.
Этот способ исключительно кропотливый, и когда уравнение
кривой выше второй степени, формула решения такого уравнения
может оказаться весьма неудобной для вычисления значений зави-
зависимого переменного; этот способ может оказаться и совершенно
непригодным, потому что не всякое уравнение степени выше чет-
четвертой разрешимо относительно у (или л).
Но обычно требуется найти только самый общий вид кривой,
и в этом случае дифференциальное исчисление представляет в
наши руки могущественные методы для определения формы кривой
путем небольшого числа выкладок.
Первая производная дает наклон кривой (наклон касательной
к кривой) в точке; вторая производная дает возможность опреде-
определить интервалы, в которых кривая выпукла или вогнута книзу, и
точки перегиба, разделяющие эти интервалы; точки максимума и
минимума дают представление о том, где кривая достигает наи-
наибольшего подъема и наибольшего спуска, т. е. характеризуют
гребни и впадины кривой.
Нижеследующее правило дает учащемуся руководство для
работы по вычерчиванию кривых.
Правило для вычерчивания кривых, пользуясь
прямоугольными координатами
Первый шаг. Найти первую производную, приравнять ее
нулю; решить полученное уравнение в целял определения абс-
абсцисс точек максимума и минимума. Подвергнуть исследованию
эти абсциссы.
Второй шаг. Найти вторую производную; приравнять ее
нулю; решить полученное уравнение в целял определения абс-
абсцисс точек перегиба. Подвергнуть исследованию эти абсциссы,
§ 88
ЗАДАЧИ
205
Третий шаг. Вычислить ординаты точек, абсциссы ко-
которых были найдены в первых двух шагах. Вычислить, кроме
того, координаты нескольких дополнительных точек, которые
необходимы для более точного представления вида кривой. Со-
Составить таблицу, подобную приводимой в нижеследующем при-
примере.
Четвертый шаг. Построить найденные точки и начер-
начертить кривую, соответствующую результатам, представлен-
представленным в таблице.
Если значения ординат окажутся очень большими, то по оси
ординат следует выбрать меньший масштаб с таким расчетом,
чтобы кривая могла уместиться на предназначенном для вычерчи-
вычерчивания листе бумаги. Удобно пользоваться для вычерчивания кри-
кривой миллиметровой бумагой. Следует составить таблицы из резуль-
результатов вычислений так, как показано в разобранной ниже задаче.
В этой таблице величины аргумента х следуют одна за другой,
возрастая алгебраически.
ЗАДАЧИ
Вычертить кривые по нижеследующим уравнениям. Найти также уравнения
касательных и нормалей к этим кривым в точках перегиба.
1. yz=ixz — 9л;2 + 24л; — 7.
Y Решение, Воспользуемся данным выше правилом.
Первый ш а г. / = Зл;2 — 18л: + 24.
Зл:2 —18л;+ 24 = 0,
л;, =2, х2 = 4.
Второй шаг.
у" —6а; — 18.
6л; - 18 = 0,
Третий шаг.
X
0
2
3
4
6
У
7
13
И
9
29
У'
t
—
0
+
У"
—
0
X
Замечание
max
точка перегиба
min
Ход кривой
\ вогнута
| книзу
\ вогнута
/ кверху
Рис. ПО
Четвертый шаг. Построив точки и соединив их кривой, мы получаем
график (рис. ПО).
Чтобы найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке перегиба
Mt C, 11), мы употребляем формулы § 72. Это дает дх-{-у = 20 для касатель-
касательной и Ъу — х = 30 для нормали.
206 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ГЛ. ТХ
2. у = х5 — 6х2 — Збх 4- 5. Отв. max ( — 2, 45); min F,— 211); точка
перегиба B,-83); уравнение каса-
касательной: д' + 48л; — 13 = 0; уравне-
уравнение нормали* 48у — х + 3986 = 0.
3. у = х4 — 2x2-f-10. max @; 10); min (±: 1, 9); точки
перегиба I ±у==>
4. у = -. х4 — Зх2 4- 2. max @, 2); min ( ± Уз, — — ) ;
2 V i 2У
точки перегиба ( zt 1, — -^
5. )! = ¦ ^г max (I, 3); min( —1, —3); точки
перегиба @, 0); Г^УТ, ±: Ц^-
6. у = 12х —xs. max B, 16); min (—2,-16); точка
перегиба @, 0).
7. 4y-f-x3 — 3x2-f 4 = 0. max B, 0); miti @, —1); точка пе{е-
гиба
(, );
П, — -Л .
( 2J
о >. Яу^ — v^ 17 и y (y —— '
9. 3y = l8x —xa. 18. y = x-| .
10. 6y = Збх - Зх2 - 2x3. 19. у = x2 (x2 - 4).
2a3
x
12. 12^ = x4 — 24x24-24. 21. y = xs-| .
13. y = 3x5-10x3. Гл 8а'
14. y=x5--5x. 23.
15. у = 2х5 — 5x2. 24. x3y — 8y — x8 = 0.
16. y = 3x5 —5x3. 25. y=r-
§ 89. Ускорение прямолинейного движения. В § 80 скорость прямоли-
прямолинейного движения была определена как быстрота изменения во времени про-
проходимого пространства. Мы теперь определяем ускорение как быстроту
изменения скорости во времени. Это означает, что:
. dv
ускорение —j = -~.
И так как ^ — -^j to имеем:
d8s
§ 89 УСКОРЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ 207
Согласно предыдущему, мы имеем следующие признаки, приложимые
к определенному моменту t~t0.
Если />0, v возрастает (а1гебраически).
Если j < 0, v убывает (алгебраически).
Если />0 и 1/ = 0, s имеет минимальную величину.
Если /<0 и v = 0, s имеет максимальную величину.
Если /=0 и изменяет знак -|- на —, когда t происходит через t0, тогда
v имеет максимум при t = to\ если же смена знака величины / происходит от —
на -(-» тогда v имеет минимум при t = t0.
В равномерно ускоренном прямолинейном движении / есть величина по-
постоянная. Таков, например, случай тела, свободно падающего в пустоте под
действием одной только силы тяжести; в этом случае / = 9,8 м в сек. В самом
деле, здесь мы имеем:
s = 4,9ft if = J = 9,8f, /=^ = 9,8.
ЗАДАЧИ
1. Опыты показали, что тело, свободно падающее в пустоте у поверхности
земли, приблизительно следует закону
s = 4,9ft
где 5* равно пространству (высоте) в метрах, t равно времени в секундах.
Найти величины скорости и ускорения:
а) в любой момент, Ь) в конце первой секунды, с) в конце пятой секунды.
Решение.
«s — 4,9*2.
a) Дифференцируя, имеем:
^ = « = 9,8* лс/сея. (А)
Дифференцируя еще раз, имеем:
5f =/=*=9,8 м\сек\ (В)
откуда видно, что ускорение падающего тела есть величина постоянная; дру-
другими словами, что скорость возрастает на 9,8 м в каждую секунду падения.
b) Для нахождения ci и/в конце первой секунды подставляем в (А) и (В)
г; = 9,8 м\сек>
/=?•:= 9,8 м\секг.
c) Для нахождения v и j в конце пятой секунды подставляем в (А) и в
(В) *=5:
i; = 49 м\сек,
J=cg=9fl Ml сек2.
2, Законы прямолинейных движений заданы нижеследующими уравнениями;
найти в указанные моменты времени длину пути, скорость и ускорение.
a) s = ts + 2t2; t = 2. Отв. s=16, « = 20, /=16.
h)s = tz + 2t; t = 3. s = 15, if = 8, /=2.
c)s = S — 4t; * = 4. s = —13, » = —4, / = 0.
d)x = 2t-tz; t = \. x=l, » = 0, / = — 2.
e)v = 2^ — *3; ^ = 0. J^ = 0, f = 2, /=0.
f) Л = 20*+ 16^2; / = 10. Л = 1800, v = 340, / = 32.
208 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ГЛ. IX
3. Высота ^ в метрах, какой достигает в t секунд тело, брошенное верти-
вертикально вверх со скоростью vx метров в секунду, дается формулой
s = v1t — 4,9t2.
Найти:
a) величины скорости и ускорения в любой момент; если t;1 == 100 м/сек,
найти величины скорости и ускорения;
b) в конце второй секунды;
c) » » пятнадцатой секунды.
Сопротивлением воздуха пренебрегаем.
Отв. a) v = 1/, — 9,8*, J- — g~ — 9,8;
b) v = 80,4 ж/сек, j = — g= — 9,8 м\сек2\
c) v = — 47 м/сек, j = —* g=-^ 9,8 MJceK2.
4. Пушечное ядро, выпущенное вертикально вверх, вылетает со скоростью
196 м\сек. Найти: а) величину его скорости в конце десятой секунды; Ь) сколько
времени оно поднимается до наибольшей высоты.
Отв. а) 98 м\сек\ Ь) 20 сек.
5. Поезд выходит со станции и через t часов находится на расстоянии
51 — t3 -f- 2t2 ~\- 3* километров от станции отправления. Найти величину его
ускорения: а) в конце t часов и Ь) в конце 2 часов.
Отв. a) j = 6* + 4; Ь) /=16.
6. В момент t часов поезд находится на расстоянии -j-*4 — At* -\- \Ы2 кило-
километров от точки отправления. Найти: а) скорость и ускорение поезда; Ь) в ка-
какой момент поезд остановится и изменит направление; с) описать характер
движения поезда за первые десять часов.
Отв. a) v = tz — Ш2 + 32/, у—З^2 — 24^+ 32J b) B К0НДе четвертого и
восьмого часа; с) поезд будет двигаться вперед в течение первых четырех
часов; обратно — в течении вторых четырех часов; снова вперед по истечении
первых восьми часов.
7. Найти ускорение, если дано:
a) v = t2 + 2t\ t = 3. Отв. j— 8.
b) v — ?>t — tz\ t = 2. J— — 9.
8. Расстояние (в метрах), проходимое точкой в t секунд, выражается фор-
формулой 51 = 30* — 6t2. Найти величины скорости и ускорения в конце 2,5 секунд.
Отв. v = 0, y = — 12.
9. Дано * = 2t -f- 3?2 + \tb метров; найти величины скорости и ускорения:
а) в начале; Ь) в конце 5 секунд.
Отв. a) v = 2 Ml сек, / = 6 м\сек2';
b) v = 332 Mjcefc, /==126 м/сек2.
10. Дано 51 = —- + Ы2, где а к b — постоянные; найти величины скорости
и ускорения в любой момент.
11. В конце t секунд тело обладает скоростью З/2 -\-2t метров в секунду;
найти величину его ускорения: а) в любой момент; Ь) в конце 4 секунд.
Отв. а) /=6*4-2 м/сек2; Ъ) / = 26 м/секК
12. Если точка движется по прямолинейной траектории так, что s—V^t,
то показать, что величина ускорения отрицательна и пропорциональна кубу
скорости.
ГЛАВА X
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
До сих пор мы рассматривали дифференцирование одних только
алгебраических функций. Нам остается выучиться дифференциро-
дифференцировать функции такие, каковы, например, sin 2х, 3*, loga(l -\-xz),
называемые, в отличие от алгебраических, трансцендентными
функциями.
§ 90. Формулы производных; в-торой основной список. Ниже-
Нижеследующие формулы, собранные вместе для целей справок, будут
доказаны в этой главе. В соединении с формулами дифференци-
дифференцирования алгебраических выражений, данными в главе VII в § 57,
они образуют полную таблицу производных, встречаемых в на-
настоящей книге.
dv
v d (\« *,\ dx 1 dv
Х- ^A11^)=—=-^.
X*. :r ^??
dx
XI. ^-(av) = av\na^.
dx v ; dx
XIII. ^(sin^) = cos^^.
XIV. ^ ^
XV - (t?v)= A av
dx v s ' cos2 v dx '
xvi. -|-(ctgv)=—-L_#
twcv ' sin8 о йд
XVII. ^-(arcsin^) = -^=
210 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИИ ГЛ. X
XVIII. — (arc cos v) =
dxy J
dv
XIX. ^(a^
§ 91, Дифференцирование логарифма.
Пусть
Дифференцируем по общему правилу (§ 55); рассматри-
рассматривая v как независимое переменное. Мы имеем:
Первый шаг. \k \({k)
Второй шаг.
Трети.и шаг. —^=-7—In 1н .
К сожалению, мы не можем здесь вычислить прямо предел
правой части на основании одних только основных теорем о пре-
пределах (§ 35), ибо знаменатель Ью стремится к нулю как к пределу.
Но мы можем, еще до перехода к пределу, переписать предыдущее
равенство в виде
v —
V
умножая знаменатель на ¦
v
Мы переписали отношение ~ в этом виде, желая подогнать
выражение, следующее за In и написанное в квадратных скобках,
к виду (\-\~v) а, встреченному нами в § 48, ибо мы,можем здесь
положить а = — .
v
Четвертый шаг.
dy 1 | 1
dv v v
§ 92 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБЩЕЙ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 211
Если Ди—> \ тогда ——^0. Поэтому, полагая — = а, имеем а—>0.
1 \ л
Значит, в силу § 48, A-[-а)а—>е и, окончательно, In [_A +a)a J—> 1. Отсюда
следует результат .
Так как v есть функция аргумента х и так как требуется
продифференцировать \nv по ху то мы обязаны применить фор-
формулу VIII дифференцирования функции от функции, именно:
VIII. ^ = ^ . —.
dx dv dx'
Подставив величину -— из результата четвертого шага,
мы получаем:
dv
X. *(lnv) = ^=±%.
dxy } v v dx
Итак,
производная натурального логарифма функции равна ее про-
производной, деленной на эту самую функцию (или обратной ве-
величине функции, умноженной на ее производную).
Так как logai> = logae-lni>, то мы сразу получаем:
А # <&ЛЮ&* ' v dx'
так как множитель loga^ есть число постоянное1.
§ 92. Дифференцирование показательной функции. Пусть
v
Беря натуральный логарифм обеих частей этого равенства,
получаем:
Дифференцируя обе части этого равенства по х> причем к левой
части мы применяем правило дифференцирования функции от
функции, мы имеем:
dy dx y dxy dxK }
приравняв производные обеих частей, получим:
L% = lna%, откуда %=у]аа%
у dx dx' J^ dx •* dx
1 Учащийся не должен забывать, что функция \ogav определена только
для положительного постоянного основания а и для положитель-
положительных же значений функции v.
212 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. X
Подставляя в обе части вместо буквы у ее величину av, мы
находим окончательно:
XI. ?(а-) = а'1па?.
Итак, производная от постоянного с переменным показате-
показателем степени равна произведению натурального логарифма по-
стоянного на постоянное с переменным показателем и на
производную показателя.
В частности, когда постоянное а —?, тогда 1па = 1пе=1, и
мы получаем чрезвычайно простую формулу:
XI*. *(e*) = ev^.
dxv ' dx
§ 93. Дифференцирование общей показательной функции
Доказательство правила степени.
Пусть
где и и v суть функции от х> причем и может иметь только
положительные величины.
Беря от обеих частей этого равенства натуральный логарифм,
получаем:
lny=v\nu.
Дифференцируя обе части этого равенства по х> причем при
дифференцировании левой части мы пользуемся теоремой о про-
производной функции от функции, а при дифференцировании правой
части мы пользуемся еще и теоремой о производной произведения
двух функций, мы находим:
— и в dx
Следовательно:
Наконец, заменяя налево и направо букву у выражением и°,
мы окончательно получаем:
XII. !(«•)=««•" g+«g
Итак,
производная от степени функции с переменным показате*
лем равна сумме двух результатов, полученных: во-первых,
дифференцированием по формуле VI, рассматривая показатель
как постоянное, и, во-вторых, дифференцированием по фор-
формуле XI, рассматривая основание степени как постоянное
§93
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБЩЕЙ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
213
Пусть теперь функция v есть какое-нибудь постоянное п
(необязательно целое или дробное, но, вообще, какое-нибудь
иррациональное число, положительное или отрицательное),
v = n. В этом случае мы имеем ^-=0 и, значит, формула XII
нам дает:
Этим вполне доказано правило степени, сформулирован-
сформулированное нами в § 64, но доказанное там лишь для целых положитель-
положительных значений п.
Найти производные:
1. у = \п (х2 -f- #).
Решение.
Решение.
dy
dx
dx
ПРИМЕРЫ
dx 2x
1
A-х*J
X
noX
no X
no VI
y
Решение.
y
Решение.
5. у = xex.
Решение.
Q = In a • a8^2 4~ $x2) = bx In a. asx\
dx dx J
dx d
= bec2+xZ —¦ (c2 + x2) =
4L
dx
dx
dx
no XI
no IV
no IX*
no XII
214 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. X
§ 94. Практика дифференцирования логарифмических выра-
выражений. При дифференцировании логарифмических функций, вместо
применения сразу формул X и X*, мы можем иногда ради упро-
упрощения сперва воспользоваться одним из преобразований элемен-
элементарной алгебры. Так, пример 2 предыдущего параграфа можно
было бы решить следующим образом.
Пример 1. Дифференцировать у= ln^l — х2.
Решение. Можно сначала написать у в форме, свободной от радикала:
Отсюда
~ П _ х2)
dy _ 1 dx{ } _ 1 -2х _ х х
dx— 2 1-х2 * 2 ' 1 -х2 — ;?^ГГ
Решение. Упрощая, имеем
dx 2 L 1+x2 1 — x2
x , x 2x
по X
Когда приходится дифференцировать показательную функцию, и именно
переменное с переменным показателем, то лучше всего сначала взять логарифм
функции, а затем дифференцировать. Так, пример 5 предыдущего параграфа
изящнее решается следующим образом.
Пример 3. Дифференцировать у = хв<Е.
Решение. Взяв от обеих частей логарифм:
In у — ех*\пх,
дифференцируем обе части по х:
}-fX = eXTjax) + hx-TX(eX)= по X и по V
= е*- — + \пх-ех по X и XI*
X
или
)
Пример 4. Дифференцировать у = (Ах2 — 7J+^2 "~5
Решение. Берем логарифм:
1ц у = B + Ух2 — 5) In Dx2 — 7).
§ 94 ПРАКТИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ЛОГАРИФМ. ВЫРАЖЕНИЙ 215
Дифференцируем обе части по г.
В случае, когда функция состоит из нескольких множителей, иногда вы-
выгоднее, прежде чем дифференцировать ее, взять логарифм.
Пример 5. Дифференцировать у= 1/ ^—9 Х" \.
Г (X оДХ — 4)
Решение. Взяв логарифм, имеем:
\пу = у [In (х — 1) + In (х — 2) — In (х — 3) — In (jc — 4)].
Дифференцируем обе части по х\
±*l^L LJ_j ! \ L.1 =
у dx 2 [jc —l"^ —2 х — 3 х —4J
2x2- IOjc + 11
- (x-1)(x
или
g
dx~~ 1 1 jL 1'
ЗАДАЧИ
Проверить каждое из следующих дифференцирований.
Дифференцировать функции:
2. y =
6fX 1 — X2 '
, 1+х2 dy 4x
5. у =
6. у =
9. у = loga Bх + х'). | = loge e
10. ^ = jclnx. -?
216
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
ГЛ. X
П. / (X) = in (Xs).
12. f(x) = \n3x.
Отв. f(x)=—.
14. / (jc) = In (х
15. у = аеа5.
16. у = ^2.
17. y = 7*2+2*.
18. у = са*'х\
19. /- = ^.
20. г = а{п\
21. ^
22. и =
23. p =
24. ^ [е* A -
] = в* A ~ 2х -
26. ^
27. у = 1
29. y =
30. у=х?а*.
31. y = jc*
32. yzirx^.
33. у = х!плг.
X
la
а* — х*
du ае
35- ~~
dx
dy
л: х
fox)
dx
= еУ (inу+ У
§ 94 ПРАКТИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ЛОГАРИФМ. ВЫРАЖЕНИЙ 217
35. /(*) = —. Отв. /($)=
36. f(x) = In (In x).
37. ^(x^ln^lnx),
38. <p(x) —In(ln4x).
Указание. Сперва рационализировать знаменатель (т. е. освободиться
)
в знаменателе от радикала).
41. у — хЫх. Отв. -/ = 0.
' dx
42. у = е*т. ^х=ехХA+Ых)Xх.
44-^(тГ- 1='г(^ГA+1п^)*
45. w = v°\ dJE=ve*ev(l±l'
dv \ v
47. у = х*\
dx
50.
Указание. В этом и в следующих номерах, прежде чем дифференци-
дифференцировать, взять от обеих частей логарифмы.
— JL 2.
2 2:—148ч
— 2L (х —4K 12 (х - 2L (х - 4K
d 2 + ?Ь2
54 v_
218
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
ГЛ. X
55.^z
56. v
х*{а + Ъх)*(а - 2л;J. Отв. & = 5х4 (а + ЪхJ (а - 2х) (а2 + 2ах - Ш2).
ах
Ух-а
dy __(х —
(х-а)
dy
задачах 57—66 найти величины ~- для данного значения аргумента х.
CLX
57. y =
Отв. у'
у,
У
У
у--
У
У
У
= 6,09.
= 0,124.
= 2,409.
= 0,304.
= —0,024.
= ¦^0,217.
= 46,1.
= —1.
j
= 26.
d2y
67. Найти -~i для каждой из следующих функций:
(a) у = In ex. (d) jy =
(b) у = ёах. (q) y
(c) y = x\nx. (f) y=~.
Дифференцировать каждую из следующих функций:
68. \п(хУа?-х2).
69. х In У а2 — х\
75.
76.
77.
78.
80.
б*I
+ 4x
§ 95 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Sltl V 21 Э
§ 95. Дифференцирование sin©. Пусть
Согласно общему правилу, рассматривая v как независи-
независимое переменное, имеем:
Первый шаг.
у -j- ку = sin (v -j- kv).
Второй шаг.
Ду = sin (v -\- Дг>) — sin v.
Правую часть приходится преобразовать, чтобы сделать воз-
возможным переход к пределу в четвертом шаге. С этой целью
мы воспользуемся формулой тригонометрии
sin А — sm В = 2 cos —^— sin —^— •
Полагая здесь Л==г/ + Д^ и B=vy мы находим:
sin
Поэтому
Третий шаг.
Четвертый шаг.
[i sin Т 1
Так как lim —г— = 1, в силу § 47, и
\ 2 /
lim cos ( v + y J = cos ^ в силу непрерывности косинуса. |
.
J
Подставляя эту величину производной ~ в формулу произ-
производной функции от функции:
VIII *У=:*У.<!И
мы получаем ?. — cosvfa и> значит, имеем окончательно:
XIII. |(8inV) = COeV.
Правило легко словесно формулировать.
220
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
ГЛ. X
График функции у = sin л показан на рисунке 111. Так как
-J? —cos.*, то, вспомнив, что tgjji = ^, мы видим, что tg|i ко-
колеблется, когда х непрерывно возрастает до бесконечности, между
границами -f 1 и —1. Поэтому и самый наклон \х касательной
к горизонту также колеблется, причем наибольший наклон дости-
достигается в точках 0, + 2тт, -4- 4тг, ... и имеет величину -^, ибо в
тъя -зг
Рис. 111.
этих точках имеем tg jljl = 1 и, значит, jx = ~. Наименьший (алгеб-
(алгебраически) наклон ja достигается в точках ч^тг, ±3тг, Ч--5тг, ...,
где Xg\i = —1 и где, следовательно, jx = — ^ . Кривая j; =
и называется синусоидой.
§ 96. Дифференцирование cos©. Пусть
y
Эту функцию мы, очевидно, можем переписать в виде
Отсюда, применяя правило дифференцирования функции от
функции, мы находим сразу:
dy d .
si
ибо cos ( ^r — v j = sin v .
Значит,
XIV. ^()^
График функции у = cos л (рис. 112) легко получить из пре-
предыдущего графика 111, ибо для этого нужно лишь перенести
старую ось ординат ОУ в новое место, именно направо от преж-
прежнего начала координат О' на расстояние ~. В самом деле, при
таком переносе оси ординат, преобразование старой абсциссы х'
§ 97
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ tg V
221
будет: х' = ^-\-х, где х есть новая абсцисса. Значит, прежнее
уравнение y~s\nx' получит теперь новый вид:
На рисунке 112 старая ось ординат намечена пунктиром. Кри-
Кривая j/ = cos.* называется косинусоидой.
Рис. 112
§ 97. Дифференцирование tg v. Пусть:
По определению тангенса, имеем у — 55-Н. Дифференцируя
как частное, имеем:
dy cos v Ту (sin v) ~~sinvTx(cos v)
dv
'Jx
dv
'Jx
1
dx'
COS2 V
COS2 V
" cos2v* dx*
Итак-
XV.
График функции _y = tg^: представляет собой (рис. 113) бес-
бесконечный ряд ветвей, поднимающихся из глубины —оо и ухо-
уходящих ввысь -J- оо, ц тождественных друг другу. При возрастании
абсциссы xf ордината у точки М, описывающей ветвь, безгранично
непрерывно возрастает от — оо до -{- оо. И когда рассматриваемая
ветвь будет вся описана, движущаяся точка М, поднявшаяся
ввысь -|-оо> скачком уходит вниз —оо, затем, чтобы, снова
поднимаясь, точно так же описать следующую ветвь. И так далее
до бесконечности, пока весь ряд ветвей, одна за другой, не будет
описан. Мы замечаем, что величина функции j/ = tg;c, за исклю-
исключением точек разрыва ±у> ±Т' =Ь Щ > • • • > всегда возрастает,
когда увеличивается аргумент х. Поэтому-то производная -^= —т-
и оказывается всегда положительной. Наименьший наклон \х
касательной к горизонту достигается в точках пересечения кривой
222
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
ГЛ. X
с осью ОХ, т. е. при jtss-j-ir, ±2тт, +3тг,
равен -fl и где, следовательно, угол р. = 45°.
Кривая y = tgx называется тангенсоидой.
§ 98. Дифференцирование ctgv. Пусть
где cos2 л;
По определению котангенса, имеем у = —— . Дифференцируя
как частное, имеем:
. sin v -j- (cos v) — (cos v) -г sin v —sin2 v -= cos2 v -r -r-
(Q dxx } v } dx dx_ dx dx
dx sin2 v sin2t/ sin2*/'
Итак:
dx
1 do
sin2 v
График функции у = ctg л (рис. 114) получается прямо из
тангенсоиды y = tgx следующим образом: если мы возьмем тан-
Рис. 113
Htm
Рис. 114
генсоиду в прежней системе координат (рис. 113), y=tgx\
и если мы передвинем вправо прежнюю ось OY ординат на
~, мы будем иметь преобразование х1 = ^-\-х, где х' старая
абсцисса и х новая абсцисса точки М тангенсоиды. Подстановка
же преобразования нам дает j/ = tg(~ — х)= — ctgx. Мы по-
получили уже котангенс, но только с отрицательным знаком. Но если
мы теперь переменим знак, то это означает, что мы повернули
кривую около оси абсцисс ОХ как около оси вращения на 180°.
Это и будет искомая котангенсоида _y = ctg^: (рис. 114). Вместо
вращения около оси абсцисс ОХ, можно тангенсоиду отразить
в ней как в зеркале: это и даст нужную нам перемену знака.
Мы видим, что котангенсоида у — ctg л состоит из ряда нисходя-
§ 99 пояснение 223
щих от + оо до — оо ветвей, и, значит, эта функция есть везде
убывающая. Поэтому-то знак у ее производной ^ =—^г-^. всегда
отрицательный.
§ 99. Пояснение. При выводе наших формул применение общего правила
(т. е. четырех шагов, см. § 55) было необходимо только в следующих случаях:
HI. ^(u + v~w) = ^+-^--'?r- Алгебраическая сумма.
V. 4"(uv) = uzr + v^r- Произведение.
dx dx ' dx
da dv
Jy. Частное.
dx \ v j v2
VIII. -r-^-f- • -zr-- Функция от функции.
IX. -^- = —. Обратная функция.
X. -j— (In v) = — . Логарифм.
dx X)
XIII. -j- (sin v) = cos V'-j- • Синус.
He только все остальные формулы были выведены из основных семи
формул, но от этих формул зависят и все формулы, которые будут выведены
далее. А отсюда следует, что вывод фундаментальных формул дифференциро-
дифференцирования включает вычисление только двух пределов, представляющих некото-
некоторые затруднения, а именно:
2
lim f^L) =1, lim A +v)v =s (§ 47, 48).
ЗАДАЧИ
Дифференцировать функции:
1. у -=z sin ax2.
-^ = cos ax2 — (axJ = 2ax cos ax2. no XIII
[v=ax2]
— хJ=2 по XV
[v=V~x]
= seC2V"l -x4r(l -X) 2 (_1):=
sec2yr^"jc_ 1
2VT^x "" ^ 2 УГ^л; cos2 УП^
224
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
ГЛ. X
3. у = cos3 х} что можно написать так: у = (cos x)*.
[tf=COS X И И = 3]
= 3 cos2 х (—»sin #) = —*3 sin x cos2 х
4, у = sin «л: sin" #.
-/- = sin л# ~r- (sin #)" -4- sin" x т" (sin ля) =
dx dxv ' л dxx '
+ ^ sin" x cos nx =
= л sin" ~J л; (sin nx cos jc + cos nx sin x) =
i"i( + l)
5. у = sin 2я.
6. <? = 3?
Отв. );' =
*' = —3sin3/.
no VI
no XIV
no V
[я=sinn* и v=zsinnx]
= sin nx• л (sin x)"~l -r- (sin #) -|- sin" x cos л# -г- {nx) = no VI и XIII
8. j
9.
10.
11.
12.
= sc 50.
-i.
' = ^ esc2 Зл.
'== 5 sc 56 tg 59.
cos л;
14. s=z
15. 3;=
16. / F) == tg e — 0.
-- COS 9
18. ); = sin jc sin 2л.
19. у = In cos x.
20. y = ly"
21. y=zeax
22. ;>=<?-*cos-^.
23. p =
; — sin л; *
25. / (л;) = sin (x + я) cos (x •
у = x cos x -f sin л.
/W t2e
W g
fifp Q sin 6 4"cos ^
y' = 2 sin x cos 2л; +cos л; sin 2jc.
/ = —' tgx.
/==ctg2jc.
yf = еа^ (a sin
(
" sin 29#
dx'
f'(x) = cos2x.
7 U"~" A-cosOJ
§ 99
ЗАДАЧИ
225
27. p^-i-
28. y —
29. у = (sinx)*.
30. у = sin 2x.
31. p = cos aft.
32. tt==tgt/.
33. у = x sin x.
34. ,_««
Отв. p' = tg4 0.
dy . /sinx , , \
-f- = xsm* U cos x In x
dx \ x ' у
у' = (sin xf [In sin x + x ctg x].
- = — a2cos ab.
dy
-j^z = 2 cos x — x sin x.
dfx2
Л2у __ B — x2) cos x + 2x sinx
35. у =
36. у=*е~-
37. у = еах sin bx.
38. у = sin (x + у).
39. еУ =
40. sin у = In (x
В задачах 41—50 найти
аргумента х (в радианах),
.у sin —, х —
42. у = х cos х; х =
43. у = In sin х; х =
.. sin х
Л Л 4I ¦ ______ • у —
^¦х. V —— -——— д, ___
J X '
45. j; = sin 2x cos x; x =
46. у = х sin х -{- cos x; x =
47. у = е~* sinx; x =
48. у= Юе* cos тех; х=
Sx
dx2
= 2ех cos х.
(= е~х D sin 2х — 3 cos 2x).
jiF=eax [(a2— b2)sinbx+2ab cosdx].
dy ___ cos(x+y)
dx 1 — cos (x +>')"
?i( + )
1
rfy
dy_ =
dx (x + У) cos у — Г
величину —- для данного численного значения
Отв. / = 0,878.
у'== — 2,234.
У = -.0,233.
' 2 #
3.
1.
1
У == — 0,301.
у = 0,545.
у' = — 2,97.
У= — 0,111.
/=5 — 51,78.
/ = 4,12.
50. у = 10e 10 cos 2%; х = 1. у' = — 16,07,
Продифференцировать каждую из следующих функций:
51. 2 sin f-? — х J .
1
52. -i-cosx2
8 Дифференциальное исчисление
226 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. X
53. tg^. 57. In cos-.
и X
54. х ctg х. 58. х In tg x.
55. ?L^e 59. ^sin*.
x
56. sc2-|. 60. cose2*.
§ 100. Обратные тригонометрические функции. Из § 69 мы
уже знаем, что когда равенство
у=№ (I)
дает у как прямую функцию / от х> то уравнение с перестав-
переставленными буквами л и у
*=/(у) (И)
после математического решения относительно
буквы у дает у как обратную функцию <р от л
> = ?(*). (HI)
Здесь / и ср суть характеристики двух взаимно обратных
функций.
Применим сказанное к тригонометрическим функциям.
Первой прямой тригонометрической функцией является
у = sin х. (Ix)
Здесь знак sin есть характеристика этой прямой функции,
строго говоря, нам не известная в смысле указания тех
алгебраических действий, которые надо проделать с аргументом
л у чтобы получить у. Мы знаем только, что л есть дуга окруж-
окружности радиуса 1, стягивающая заданный угол, а у есть синус
этого угла.
Когда мы переставляем буквы у и л> мы получаем:
причем с переменой мест этими буквами изменяется и самый
смысл их: теперь у является дугой, стягивающей угол, а л
синусом этого угла.
Математически невозможно решить уравнение
(IIJ относительно буквы у1 поэтому, вместо истинного
решения, дают только смысловую его запись, сказав, что
«у равен той дуге, синусом которой служит л».
По-латыни «дуга» есть «arcus», а «синус» есть «sinus». Поэтому
указанную смысловую запись решения уравнения (IIJ сокращенно
пишут в виде:
у —arc sin л;. (jllj
§ 100
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
227
В
Здесь знак arc sin есть знак единый и цельный; его нельзя
разбивать на части, ибо он тогда утрачивает математический
смысл \ Этот знак arc sin может служить характеристикой, обратной
характеристике sin прямой функции sin л.
График этой обратной функции jy = arcsin.x; (рис. 115) мы по-
получим, когда возьмем график (рис. 111) прямой функции у —sin л,
переставим буквы X я Y у осей координат и расположим новую
ось абсцисс горизонтально. Мы видим прежде всего, что обратная
функция у = arc sin л есть функция многозначная, ибо вся-
всякому значению аргумента л, лежащему на
отрезке [— 1, -|- 1], отвечает бесконечно мно-
много численныл значений переменного^. Чтобы
не потеряться в этом бесконечном множе-
множестве значений многозначной функции
у = arc sin л, мы выделяем из них ряд основ-
ныл значении- за таковые мы принимаем орди-
ординаты дуги АВ, имеющей начало координат
О своей серединой. Эта дуга, как пока-
показывает рисунок 115, непрерывна, проходит
через начало О и имеет своими концами точ- ""
ки д(_1,_|.)иД(+ 1, +~). Ординаты
точек этой основной дуги АВ возрастают от
— Y до -f- у, когда аргумент л движется в
отрезке [— 1,-f-1], непрерывно возрастая. Эту
основную дугу АВ мы принимаем как гра-
график (геометрическое изображение) основной,
ветви многозначной функции у = arc sin л.
Принято обозначать через [arc sin л] ординаты
основной дуги.
Все остальные значения многозначной функции у = arc sin л
очень просто выражаются через значения однозначной функции
[arc sin л]. Действительно, одинаково направленные дуги СЕ, FD
и т. д. представляют собой дугу АВ, поднятую над осью абсцисс
ОХ на расстоянии 2тг, 4тг, бтт, ,, •, или опущенную под нее
на — 2тт, — 4тг, — бтт, ... Значит, для этих дуг мы имеем формулу:
\Н
Рис. 115
где п целое число.
Но имеются еще дуги (рис. 115), каковы СВ, ЛД ... ит. д.,
обратного направления: они все одинаковы между собой и все
1 Как нельзя, например, знак натурального логарифма In разбивать на
части 1 и п.
8*
228 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. X
их мы получим, сначала повернув основную дугу АВ около оси
абсцисс, как около оси вращения, на 180°, что дает нам убы-
убывающую функцию:
— [arc sin л],
затем подняв ее вверх на тг, что дает нам функцию:
тс— [arc sin л],
изображающую дугу СВ, и, наконец, перемещая эту дугу СВ
вверх и вниз на расстоянии 4:2тс, -+- 4тг, + бтс,..., что дает нам
общую формулу для всех дуг СВ, ДД... обратного направления:
— [arc sin л] ~j- тг -f- 2тш,
где п целое число.
Таким образом, мы олватываем все значения многозначной
функции у = arc sin л посредством двул формул: у = [arc sin л] -\-
4- 2тш и у = тс — [arc sin л] -J- 2тш, где п произвольное целое число,
положительное или отрицательное, или равное нулю. Функция
же [arc sin л] называется основной ветвью и является
однозначной непрерывной и возрастающей на отрезке
[— 1, + !]• Вне этого отрезка функция arc sin л не существует,
ибо синус не может превослодить -f-1, ни быть алгебраически
меньше, чем — 1.
По этому же способу изучаются и остальные три обратные
тригонометрические функции: arc cos л, arctg^ и arcctgx
Второй прямой тригонометрической функцией является
Ее обратная функция получается перестановкой букв у и л,
что дает
* = cosj/. (И2)
Это уравнение читают:
«у равен той дуге, косинусом которой служит х». Это
чтение записывают более коротко в виде:
у = arc cos л. (Ш2)
График этой функции получаем из рисунка 112, в котором
переставляем буквы X и Y у осей координат, причем мы распо-
располагаем новую ось абсцисс горизонтально. Это дает график 116.
Так как кривая этого чертежа есть не что иное, как кривая
предыдущего рисунка 115, только опущенная вниз на у, то все
свойства этого графика остаются прежними. Значит, функция
arc cos л: тоже многозначная и из бесконечно многих ее значений
§ too
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
229
выбирают как основные те, которые изображаются непрерывной
нисходящей веткой СВ. Она изображает однозначную непре-
непрерывную функцию, убывающую от тт до 0, когда х описывает
отрезок [—1,-j-l] в положительном направлении. Эту основную
функцию обозначают знаком [arc cos я]. Из рисунка 116 ясно, что
все остальные ветви многозначной функции у = arc cos х охваты-
охватываются двумя формулами:
у = [arc cos x] -f- 2тш
и
у = — [arc cos x] -f- 2тш,
где п любое целое число.
Важно заметить взаимную связь двух
основных однозначных непрерывных функций:
[arc sin л] и [arc cos x]. Именно, из сравнения
веток ВС на обоих чертежах, мы видим,
что [arc cos Л'] = — [arc sin х] ~\- ~ . Значит,
имеем тождество:
[arc sin x] -f- [arc cos x] = ~
A)
Третьей прямой
функцией является:
тригонометрической
о,)
Переставляя буквы у и х, имеем обрат-
обратную для нее функцию:
Это уравнение читается так:
«у равен той дуге, тангенсом которой слу-
служит х», и прочитанное записывается в виде:
Рис. 116
График этой функции получается из рисунка 113 обменом между
собой букв X yl Y у осей координат, причем новую ось абсцисс
располагаем горизонтально. Это дает график 117. Мы видим, что
функция y = axctgx есть многозначная, состоящая из бесконеч-
бесконечного ряда тождественных между собой кривых. Каждая из этих
кривых простирается бесконечно в обе стороны и представляет
собой непрерывную кривую линию, ординаты которой возрастают
с возрастанием аргумента х. За основную кривую принимают ту,
которая проходит через начало координат О. На рисунке это
есть ветвь АВ. Изображаемую ею функцию называем основным
230
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
ГЛ. X
значением многозначной функции у = arc tg х и обозначаем через
j;=:[arctg x]. Ясно, что пределом этого основного значения при
х—> — оо является — ~, и пределом при х—^ -f- оослужит -j- -^- .
Значит, можно писать:
[arctg(— оо)]=—? и [arctg(+oo)] =
те
1 '
Поэтому основная ветвь у — [arc tg x] протекает вся в горизонталь-
горизонтальной полосе ширины тт, имеющей средней линией ось абсцисс.
Рис. 117
Рис. 118
Остальные ветви многозначной функции у = arc tg x получаются
сдвигом основной ветви у = [arc tg л;] на ±тг,:+: 2-11,-4-Зтт,... вверх
и вниз. Таким образом, все остальные ветви многозначной функции
j/ = arctg.x охватываются одной формулой:
где п число целое, любое по величине.
Четвертой прямой тригонометрической функцией является
Переставляя буквы у и х, имеем обратную для нее функцию
x^ctgy. (Il4)
Это уравнение читается так:
«^ равен той дуге, котангенсом которой служит х», и про-
прочитанное записывается в виде:
§ 101 дифференцирование arc sin v 231
Ввиду того что график 114 прямой функции y=zz\gx есть
не что иное, как график ИЗ прямой функции у = tg x, перевер-
перевернутый около оси ОХ и сдвинутый вправо на ^, мы сразу по-
получим график обратной функции у — arc ctg.*;, взяв график преды-
предыдущей обратной функции у = arc tg х, перевернув его около оси
OY и сдвинув его вверх на -j. Это нам дает график 118.
Мы видим, что у = arcctgx есть функция многозначная, что
она состоит из ряда тождественных между собой ветвей. За
основную ветвь берут ВА, имеющую наименьшие положитель-
положительные ординаты. Функцию, изображаемую ею, обозначают через
у = [arc ctg x] и называют основным значением многозначной функ-
функции у = arc ctg x. Это есть однозначная убывающая непре-
непрерывная функция, имеющая предел при х—»— оо, равный тт, и пре-
предел при х—>-j-oo, равный 0. Все остальные ветви многозначной
функции _y = arcctg.* охватываются формулой:
д; = [arc ctg jcJ + /гтт,
где п любое целое число.
Важно указать на взаимную связь двух основных однозначных
непрерывных функций: [arc tg х] и [arc ctg х\ Из сравнения веток АВ
на обоих чертежах мы замечаем, что [arcctgx]=-|—[arctg-x;].
Значит, имеем тождество:
[arc tg x] + [arc ctg x] = у. B)
§ 101. Дифференцирование arc sin v.
Пусть
j;==[arcsint/J, где имеем — -^ ^^^ + -j.
Тогда
Дифференцируя по х обе части этого равенства, находим:
dv d / . v d (sin y) dy
Отсюда:
dy 1 dv_
dx cos у dx'
Так как у есть основное значение многозначной функции
arc sin v, то имеем неравенство — у ^ у ^ + ¦—, при котором
232 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. X
cosy является неотрицательной величиной. Поэтому, выражая
cosy через sin у по формуле:
необходимо брать квадратный корень в арифметическом (а не
в алгебраическом) смысле, т. е. надо брать этот квадратный ра-
радикал существенно положительным, т. е. только со зна-
знаком -\-. Поэтому, заменяя в написанном выше дифференциальном
равенстве у через [arc sin v] и cos_y через -j- Y1—vz, мы полу-
получаем окончательно:
dv
XVII.
где квадратный радикал, сам по себе, нужно брать в ариф-
арифметическом смысле, т. е. только со знаком -f-« Этот положитель-
положительный знак всего результата понятен,, ибо основная ветвь [arc sinv\
многозначной функции arc sin v есть функция однозначная, воз-
возрастающая при возрастании v и, значит, имеющая положитель-
положительную производную.
Примечание. Если бы мы взяли не основное значение [arcsint>] много-
многозначной функции у = arc sin v, то такое, которое выражается через основное
по формуле:
у = тс — [arc sin v] -f- 2тс/г,
где п есть целое число (§ 100), то, разумеется, мы получили бы:
~dxvv dx
dv dv
==v _/-. =- *T*0= _/-.
и, значит, тогда пришлось бы брать квадратный радикал уже не в арифмети-
арифметическом, но в алгебраическом смысле, т. е. со знаком минус. Этот отрица-
отрицательный знак у всего результата тоже вполне понятен, ибо рассматриваемая
ветвь многозначной функции arc sin v является однозначной убывающей функ-
функцией аргумента v и, значит, имеющей отрицательную производную.
§ 102. Дифференцирование arc cos v.
Пусть:
у = [arc cos v\ где имеем O^j/<tt.
Так как основные ветви [arc sin v] и [arc cos v] обеих много-
многозначных функций arc sin v и arc cost/ связаны между собой тож-
тождеством:
[arc sin v] -f- [arc cos v\ = -|, A)
§ 103 дифференцирование arc tg v 233
то, дифференцируя его по х, имеем:
gj: ([arc sin v)] -j- ^ ([arc cos v]) = 0.
Откуда, приняв во внимание только что выведенную формулу
XVII, мы получаем:
dv
XVIII. 4~\
dxy
где квадратный радикал, сам по себе, надо брать в арифме-
арифметическом смысле, т. е. со знаком -[~> ибо знак — уже вы-
вынесен вперед и поставлен перед всей дробью. Этот отрицатель-
отрицательный знак всего результата также понятен, потому что основная
ветвь [arc cos v] многозначной функции arc cos v есть функция
убывающая и, значит, имеющая отрицательную производную
Примечание. Если бы мы дифференцировали не основную ветвь
[arc cos v] многозначной функции у = arc cos v, а другую, даваемую формулой
у = — [arc cos v] -f- 2тся,
где п целое число (§ 100), то тогда у был бы уже возрастающей функцией
аргумента, v и, значит, тогда мы должны были бы писать:
d ,___ ___ч d /r 1Ч f dx \ dx
Появление арифметического радикала вполне понятно, ибо производная
возрастающей функции должна быть неотрицательной, и, следовательно, окон-
окончательный результат должен иметь
103. Дифференцирование
Пусть:
j; = [arc tg ^J, где имеем——•
Тогда:
v = Xgy.
Дифференцируй по х обе части этого равенства, находим:
dx dx ^ ?>"' dy dx cos2y dx
1
Но из тригонометрии известно, что 1 + ^8 3;===—г-«
Поэтому имеем:
8В Дифференциальное исчисление
234 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. X
Заменяя здесь tgj; через vf мы получаем окончательно:
do
Результат получился положительным. Это понятно, ибо и
основная ветвь [arctg г>], как и все без исключения
другие ветви многозначной функции arctg^, суть функции
возрастающие и, значит, имеющие положительную производную.
§ 104. Дифференцирование arc ctg v.
Пусть:
у = [arc ctg v\ где имеем
Так как основные ветви [arctg?>] и [arc ctg v] обеих много-
многозначных функций arctg^ и arc ctg v связаны между собой тож-
тождеством:
y, B)
то, дифференцируя его по л, имеем:
Отсюда, в силу только что выведенной формулы XIX, полу-
получаем окончательно:
XX.
Отрицательный знак результата понятен, ибо основная ветвь
[arcctgv\ как и все без исключения другие ветви
многозначной функции arc ctg v, суть функции убывающие и, зна-
значит, имеющие отрицательную производную.
ЗАДАЧИ
В нижеследующих задачах выполнить дифференцирование, причем всюду
предполагается заранее, что обратные тригонометрические функции arc sin,
arc cos* arc tg и arc ctg даны всегда только основными своими ветвями, хотя
указывающие на это обстоятельство квадратные скобки [ ] опущены.
I. у = arc tg ax\
Решение*
it-.
dx~~\+(ax2f~
[ибо v~
§ 104
дифференцирование arc ctg 1)
235
2. у = arc sin Cx — 4x3).
Решение,
? C* - 4x8)
dy dx }_
3 - 12л2
dx
yi _ gx2 ^_ 24x4 — 16x6 /l - xa
[ибо © = 3*-4*3]
X
3. jv = arccos— .
4. y — Mctg-r.
5» 3; = arc sin —.
x
6. у = arc sin V" x.
Отв. -? = —
dl-
dx
dl-
У
1
X
2 У.
га2
1
+
x-
X2*
1
X2-l
-X2
8. у = jc arc sin x.
9. y = x arc cos 2x.
10. y =
11. y = lnarctg y«
12. / (a) = и Уа2 — и2 + д2 arc sin —.
13. /(x) = "|/"a2 — x2 + a arc sin —.
14. / (x) = x arc sin ~ + /4 - x2.
а-4-r
16. O=tarct^ r—^—
t8. x = 2yg-
19. y = jx8arctgjc — -g-
./ = arc sin x +
dx
rfx"
- 4x2
/'(«) = 2 У"аа — и2.
+ 12
rfr ~+/'2*
dx щ s + 2
*V*-4
8B*
236 ЗАДАЧИ ГЛ. X
Продифференцировать каждую из следующих функций:
20. arc sin xl.
21. arc cos Ax.
22. arc tg (x — 2).
23. arc tg у.
24. ex arc sin x,
_ x
25. e2arctg2jc.
26. arc cos ex.
21. —. arc sin 4 — ~V9 — x2.
л о
28. 3 arc sin
29. у — arc sin (sin x).
|/ ^t? + ]/ - x - x*.
ГЛАВА XI
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ,
ПОЛЯРНЫМ УРАВНЕНИЯМ И К КОРНЯМ
§ 105. Параметрические уравнения кривой. Наклон. Коорди-
Координаты х и у точки кривой часто бывают выражены как функции
третьего переменного, называемого параметром U в виде:
¦С D\ \
A)
=/@ \
Каждое численное значение параметра t дает численные зна-
значения буквам х и у и, значит, определяет точку на кривой.
Если мы исключаем i из уравнений A), у
мы получаем уравнение кривой в пря-
прямоугольных координатах.
Например: ^ ^^М
суть лараметрические уравнения окружности,
указанной на чертеже; здесь t есть параметр.
Если мы исключим t, возводя в квадрат и скла-
складывая результаты, мы имеем:
х* -f- f = r2 (cos21 + sin21) = r2
уравнение окружности в прямоугольных коор-
координатах. Ясно, что, когда t изменяется от 0 до
2тс, точка М(х> у) описывает всю окруж-
окружность.
Рис. 119
Так как из уравнений A) следует, что у есть функция от t9
a t есть функция (обратная) от х, то мы имеем:
" dt
dv
dx'
dt
по VIII
до IX
238
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ
ГЛ. XI
Значит,
dy
dv dt &r {t\ -л г / \ /n\
^=_ = |_^= тангенсу наклона в точке М(х, у). C)
ах ах j \Т)
т
По этой формуле отыскивают наклон кривой, заданной пара-
параметрическими уравнениями.
Пример 1. Найти уравнение касательной и нормали, длины подкасательной
и поднормали для эллипса
у = Ь sin ср / (А)
в точке, для которой ср=—.
Решение. Так как параметром служит ср, то
dx
flfcp
Подстановка в C) дает:
~-= —-= угловому коэффициенту в любой точке.
dx
a sin ср
Подставляя ср = — в данные уравнения (А), находим точку касания:
1 Чтобы вывести параметрические уравнения эллипса, проведем большой
и малый вспомогательные
У круги эллипса (рис. 120).
Через точки В и С, взятые
на одном и том же радиусе,
проведем параллели к осям
координат. Эти две линии пе-
g ресекутся в точке М (х, у) на
эллипсе, ибо:
х = О А = OB cos ср = a cos ср,
или
= b sin cp,
х ±=
Рис. 120
cos ср, ^-= sin ср.
Возвышая в квадрат и
складывая, находим:
= cos2 ср -|- sin2 ср — 1,
т. е. уравнение эллипса в
прямоугольных координатах.
Иногда ср называют эксцен-
эксцентрическим углом эллипса.
§ 105
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ. НАКЛОН
239
Следовательно,
йхг -а
Подстановка в формулу A) § 72 дает уравнение касательной;
V2 «\ V
или
bx + ay = ah
Подстановка в формулу B) § 72 дает уравнение нормали
У -/—г: и \ "^ _/——
или
(ах —
Подстановка в формулы D) и C) § 72 дает:
Ь ( Ь\ Ь2
V2\ *) aV2
b / а\ а
V2\ Ь) у2
длина поднормали:
длина подкасательной:
Пример 2. Даны уравнения циклоиды1 в параметрической форме:
х = а(Ъ — sinO
у = аA — cost
= а(Ъ — sinO) \
A 9) / '
(В)
1 Кривая, которую описывает точка окружности круга, катящегося без
скольжения до неподвижной прямой, называется циклоидой (рис. 121).
Рис. 121
Пусть радиус катящегося круга равен а, М — производящая кривую точка, а
/V — точка касания круга с неподвижной прямой ОХ. Если длина дуги Mty
240 ПРИЛОЖЕНИЯ К ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ ГЛ. XI
где 9 —переменный параметр. Найти длины подкасательной, поднормали, каса-
касательной и нормали в точке, для которой 0 = ~.
Решение.
dx ,, fl dy *
Подставляя в C), имеем:
•— = - - = угловому коэффициенту касательной в любой точке.
ыХ 1 ~"~ COS v
Так как 0 = —-, точка касания будет (— —а, а) и -т^ = 1.
2. \а ) ахх
Подставляя в формулу C), D) § 72, имеем: _
длина иодкасательной = а, длина касательной = а У 2,
длина поднормали = а, длина нормали = а У2.
Примечание. Проводим (рис. 121) касательную МТ> вертикальный
диаметр NB и соединяем Мсб. Имеем:
dx 1-cosG o . 2 в g 2 #
JSin у
2
Отсюда:
п 9
С другой стороны:
так как измеряется половиной дуги NM, измеряющей центральный угол в, и
Сравнивая, находим:
?=? AMB.
Следовательно,
касательная к циклоиде всегда проходит через высшую точщ произво-
производящего круга.
Горизонтальная а вертикальная касательные. Из формулы
C) и из § 71 мы видим, что численные значения параметра t
равна ON, то точка М коснется базы в О, полагая, что круг катится влево.
Принимая угол AfGV=e за параметр, имеем:
я= ON — PN=zab — a sinЬ = а @ — sinG),
=a(l — cos в).
Исключив §, найдем уравнение циклоиды в прямоугольных декартовых коор-
координатах;
( -—^ j —
— j/2.
§ 105 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ. НАКЛОН 241
для точек прикосновения таких касательных даются уравнениями:
Горизонтальные касательные: решитьуравнение-|=О
относительно t.
Вертикальные касательные: решить уравнение ^ = О
относительно t.
Пример 3. Найти точки прикосновения горизонтальных и вертикальных
касательных к кардиоиде (рис. 122)
х = a cos 6 —7г cos 26 ——,
у = а sin 6 — -^ sin 26.
Решение.
-? — а(— sin 0 + sin 20);
-~ = a (cos 0 — cos 20).
а0
Рис. 122
Горизонтальные касательные. Для них cos 6 — cos 26 =0. Вспоминая, что
cos 26 = 2 cos2 6 — 1, подставляя в это уравнение и решая его, мы получаем
61==0, 62=120°, 63 = 240°.
Вертикальные касательные. Для них —- sin 6 -|~ sin 26 = 0. Вспомнив, что
sin 26 = 2 sin 0 cos 0, подставив в это уравнение и решив его, мы имеем: 61=:0,
64 = 60°, 65=г=180°, 06 = ЗОО°.
Общий корень 6j должен быть отброшен, ибо при нем и числитель и зна-
знаменатель в формуле C) становятся нулями, и, следовательно, наклон кривой в
точке 6 = 0 дается невычислимой формулой. Ясно, что для 6 = 0
имеем: х = 0 и jy = 0.
Эта точка кардиоиды называется острием.
Подстановка же 62, 0„ 64, 65 и 66 в уравнения кардиоиды дает:
(о о
вертикальные касательные: точки прикосновения (—2а, 0)Hf-j-a,zt:-j-T/
Заметим, что две вертикальные касательные, лежащие направо от оси
совпадают, образуя «двойную касательную».
ЗАДАЧИ
Найти уравнение касательной и нормали, длины подкасателыюй и поднор-
поднормали к каждой из следующих кривых в указанных точках:
Подка* п д
Касательная Нормаль сатель- и°онорт
ная малн
\* > » g •
2. x = t, y~t8; t = 2.A2x-y— 16=5=0, х + 12у -98 = 0, |-, 96,
242
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ
ГЛ. XI
Поднор-
Поднормаль
Подка-
Касателъная Нормаль сатвлъ-
ная
= t\y = t\t=\. Зл; — 23; — 1 = 0, 2л; + Зд; — 5 = 0, -§-, ~ .
о Z
4. х = 2е*,у = е-*9^ = 0. х
5. # = sin?, y~
4 = 0, 2х— у — 3 — 0, — 2, —-i.
* = ¦?-. 2y+4x — 3 = 0, Ay — 2x— 1=0, — -j, — 1.
Для нижеследующих кривых найти длины: а) подкасательной, Ь) поднор-
поднормали, с) касательной, d) нормали в любой точке.
6. Кардиоида1
х = а B cos t — cos 2?),\
( ). J
),
у = а B sin t — sin 2f).
1 Кардиоида представляет собой частный вид кривой, называемой эпици-
эпициклоидой.
Эпициклоидой ^называется кривая, которую описывает точка окружности
катящейся извне по другой окружности.
У
Рис. 123
Пусть О—центр неподвижной окружности, С — центр катящегося круга,
ДТ — точка соприкосновения обеих окружностей и М(х, у) — точка, описываю-
описывающая эпициклоиду (рис. 123). Предположим, что точка К представляет собою
положение точки М, при котором последняя находилась на неподвижной окруж-
окружности. Следовательно, KN = NM (продолж. сноски см. на стр. 243).
§ 105
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ. НАКЛОН
243
Отв. a)
7. Гипоциклоида (астроидаI
|;Ь)дМ8-|г; с)
cos — t.
у = 4а sin31.
Отв. a) -yctgt; b) -ytgt; c)^; d) ^_.
Примем О за начало координат и О/С—за ось ОХ. Опустим на ось ОХ
перпендикуляры CL и МР, проведем прямую MS параллельно ОХ и пусть R —-
точка пересечения этой прямой с перпендикуляром CL. Пусть а — радиус ка-
катящейся окружности и Ь — радиус неподвижного круга, 0 — угол ОСМ u t —
угол КОС. Будем иметь:
Таким образом:
Далее имеем:
х—ОР= OL + LP— ОС cos КОС — CM cos SMC=z
— (a-\-b) cost — a cos (t + Q) = (я + &) cos ? — acos
y = PM=LC — RC=OCsin/COC — CM sinSMC=
= {a-\-b) sint — a sin(t-\-6) = (a + 6) sint — a sin-
В частном случае, когда а = Ь, кривая носит наименование «кардиоида».
Как легко видеть, уравнения кардиоиды имеют вид^ данный в примере.
1 Гипоциклоидой называется кривая, описываемая точкой окружности,
катящейся без скольжения по другой окружности, соприкасаясь с ней внутрен-
М
Рис. 124
Рис. 125
ним образом (рис. 124). Следуя методу, данному в предыдущей сноске, легко
получим уравнения этой кривой:
х = (Ь — a) cos t -f- a cos —-— t9
y=:(b — a) sin t — a sin
a
b-a
t (прод. сноски см. на стр. 244),
244 ПРИЛОЖЕНИЯ К ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ ГЛ. XI
8. Эвольвента круга1
у = a (sin t — t cos t). f
Отв. а) у ctgf; b) ytgt; c) ^-; d) -JL-.
9. Показать, что у кривой:
•¦/""а 2 1 с 1 С —Т^С2—
Х= У С2 — V2 + —In
касательная имеет постоянную длину. Вследствие этого эта кривая называется
кривой равных касательных или трактриссой.
Параметрические уравнения трактрисой имеют вид:
A4. U
* = e(Intgy-
у = с sin и.
Показать, что касательная к трактриссе в любой точке имеет постоянную
длину.
В частном случае при Ь = 4а после элементарных преобразований получим
уравнения:
х = а C cos t -f- cos St) = 4a cos81,
у = a C sin t — sin 3*) = 4a sin31,
В этом случае гипоциклоиду называют астроидой.
1 Предположим, что на окружность круга навернута нить. Если возьмем
конец этой нити и будем ее развертывать, сохраняя ее все время в натянутом
положении, то конец нити опишет при этом кривую, называемую эвольвентой
круга (рис. 125). Пусть О — центр круга, a — радиус и А — конец нити в на-
навернутом на окружность положении. Примем О за начало координат и ОА за
ось ОХ. Пусть М (х, у) — произвольная точка эвольвенты, МК — касательная
к кругу и t — угол ХОК. Из процесса построения кривой следует, что
Проекция радиуса ОК на ось ОХ будет равна:
OA'cos^ = a cos?
и на ось OY
OK cos (t — -у) = a sin t.
Касательная КМ образует с осью ОХ угол t —-ис осью OY угол п — t*
Поэтому проекции КМ на оси координат соответственно будут равны:
KM cos It — у \=zat sin t%
KM cos (ti — tf) = — at cos *.
Координаты точки М являются проекциями отрезка ОМ на оси координат,
ОМ является замыкающей ломаной ОКМ. Поэтому будем иметь:
х = a cos t -f- a* sin t = a (cos * -f- ^ sin 0,
^ = a sin ^ — at cos * = a (sin t — *cos /).
§ 106 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ВТОрАЯ ПРОИЗВОДНАЯ 245
§ 106. Параметрические уравнения. Вторая производная.
Употребляя у* как символ первой производной от у по х, мы
можем написать уравнение C) предыдущего § 105 в виде:
/=*(<), C*)
ибо это уравнение явственно показывает, что у* есть функция
параметра L
Чтобы найти вторую производную у\ мы снова прибегаем
к формуле C) предыдущего параграфа, в которой только заменя-
заменяем букву у символом у'. Это нам дает равенство:
у dx dx_ /' @ ' W
dt
ибо, согласно равенствам A) предыдущего параграфа, мы имеем
Пример. Найти у" для циклоиды
= а(Ъ — sin 9) \ гШ « ио
Решение. Мы нашли в предыдущем параграфе, что
, sin 0 dx 1Л ЛЧ
у' =- и -JH =а(\ — cos 9).
у 1 — cos Ь dQ v ;
Дифференцируя, имеем:
dy'__(\ -cos9)cosQ — sin2Q cosQ — 1 ___ 1
db "*" A — cosOJ ~"A—cosGJ"^ i—cos§#
Подставляя в D), получаем;
y a A - cos 0J *
Заметим, что у" отрицательна. Значит, кривая всюду вогнута книзу.
ЗАДАЧИ
1. В каждом из следующих примеров найти выражения ^У и ^2У
через ^:
(a) jc = / — 1, у = ^г+1. Отв. ^ = 2^, ~^ = 2.
(f) jc== 2 A — sin 0, У =4 cos f.
^8 ^2
(d) * = -?-> >' = T*
2. Показать, что кривая x=rsc9, y = tgO не имеет точек перегиба.
246
ПРИЛОЖЕНИЕ К ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ
ГЛ. XI
3. В каждом из следующих примеров вычертить кривую и найти ее макси-
максимум, минимум и точки перегиба:
(a) х = 2а ctg 0, у = 2а sin2 0.
Отв. max @, 2а); точки перегиба (^z—f^> —) •
\ У 3 2 /
(b) x = tgt, у = sin ^ cos t.
точки
Отв. max fl, -~\ ; min ( - 1, — — j ;
перегиба f — ]/, — ~) @,, 0),
§ 107. Криволинейное движение. Скорость. Если параметр t
в параметрических уравнениях х —f(t),y—g (t) обозначает время,
и если функции f(t) и g(t)
суть непрерывные, то при
непрерывном изменении вре-
времени t точка М (х, у) дви-
движется по плоскости, вычер-
вычерчивая кривую, или траекто-
траекторию. В этом случае мы имеем
криволинейное движение,
и тогда уравнения
y = g(t) A)
уравнениями
Рис. 126
называются
движения.
Скорость v движущейся точки М(х,у) в какой-либо момент
времени определяется ее компонентами: горизонтальной и верти-
вертикальной.
Горизонтальная компонента vx равна скорости вдоль оси
абсцисс ОХ (рис. 126) проекции Р точки М и, значит, есть
быстрота изменения во времени абсциссы х. Поэтому, в силу
§ 80, где надо букву s заменить теперь буквой х$ мы имеем:
•.-§•
B)
Аналогично вертикальная компонента vv% т. е. быстрота из-
изменения во времени ординаты у, есть
Приставив векторы юх и юу к точке М, как указано на ри-
рисунке, мы выполняем четырехугольник и проводим диагональ из
§ 108 КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 247
точки М. Это и будет искомым вектором скорости v. Ясно из
рисунка, что ее величина и ее направление даны формулами:
dt
Сравнивая с формулой C) § 105, мы видим, что tgx равен
наклону траектории в точке М. Следовательно, скорость направ-
направлена по касательной прямой в точке М к траектории.
§ 108. Криволинейное движение. Компоненты ускорения. В курсах
механики доказывается, что в криволинейном движении вектор ускорения j не
направлен, подобно вектору скорости, по касательной, но направлен в сторону
вогнутости траектории. Ускорение j может быть разложенным на танген-
тангенциальную компоненту jt и на нормальную компоненту /д, где:
где R есть радиус кривизны (см. § 133).
Но ускорение также может быть разложено и на компоненты, параллель-
параллельные осям координат. Сообразно тому, что было сделано в предыдущем пара-
параграфе для компоненты скорости, мы определяем компоненты ускорения, парал-
параллельные осям координат ОХ и ОУ, формулами:
dvx dvy
1х = ЧГ' /y=Wt E)
Таким образом, когда построен четырехугольник с вершиной М и сторо-
сторонами Jx и /у, тогда вектор / есть диагональ из точки М. Отсюда формула:
дающая величину (всегда оцениваемую положительно) вектора ускорения в
какой-нибудь момент времен'
В первой задаче мы применяем уравнения движения к снаряду; эта задача
хорошо поясняет настоящий параграф и предыдущий.
ЗАДАЧИ
1. Пренебрегая сопротивлением воздуха, мы имеем уравнения движения
снаряда, написанными в виде:
— 16,112]
здесь vx — начальная скорость, Ф — угол выстрела с горизонтом и t — время
полета в секундах; х и у измеряются в футах. Найти компоненты скорости,
компоненты ускорения, скорость и ускорение: (а) в какой-нибудь момент вре-
времени; (Ь) в конце первой секунды, предполагая данными: vx = 100 футов в
секунду, Ф = 30°; (с) найти направление движения в конце первой секунды;
(d) уравнение траектории в прямоугольных координатах.
Решение, Из формул B) и C):
(a) vx = vx cos Ф; vy = vx sin Ф — 32,2^.
Поэтому из D): v = V i/* - 64,4^ sin Ф + 1036,8*\
Из E) и F): /* = 0; jy -32,2; / = 32,2 (направлено вниз).
248 ПРИЛОЖЕНИЯ К ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ ГЛ. XI
(b) Подставляя *=1, г;1 == 100, Ф = 30° в эти результаты, мы имеем:
1^ = 86,6 фут. в сек., У^ = 0,
t!y = 17,8 фут. в сек., jy=i — 32,2 в сек.2,
v (скорость) = 88,4 фут. в сек., / = 32,2 фут. в сек.2
vv 17,8
(c) т = arc tg — = arc tg h^f = П°37' = углу направления движения с гори-
горизонтом.
(d) Когда t;j = 100, Ф = 30°; тогда уравнения движения будут:
х = 50* / 3, у = 50* - 16ДЛ
Исключая i, имеем в результате: у = —^ L—• х2. Это есть парабола.
у 3 75
2. Снаряду дана начальная скорость в 200 фут. в сек. в направлении под
45° к горизонту, найти: (а) компоненты скорости в конце третьей и шестой
секунды; (Ь) скорость и направление движения в те же самые моменты.
Условия те же самые, как в задаче 1.
Отв. (а) Когда ? = 3, 1/^=141,4 фут. в сек., 1/^ = 44,8 фут. в сек.,
когда ? = 6, vx= 141,4 фут. в сек., t/j, = 51,8 фут. в сек.
(Ь) Когда * = 3, V— 148,3 фут. в сек., , т=17°35',
когда * = 6, 0 = 150,5 фут. в сек., т=159°53'.
3. Точка, отнесенная к прямоугольным координатам, движется так, что
х = a cos t + b и у = a sin t -{- с,
показать, что ее скорость есть величина постоянная.
4. Пусть траектория движущейся точки есть синусоида
x = at \.
у =zb sin at / '
показать: (а) что компонента скорости vx есть величина постоянная; (Ь) что
ускорение точки во всякий момент пропорционально ее расстоянию от оси ОХ.
5. С данными задачи 2 найти самую большую высоту, достигнутую снаря-
снарядом. Если снаряд поражает почву на том же самом горизонтальном уровне, на
котором был произведен выстрел, найти время полета и угол удара снаряда.
6. Точка движения против стрелки часов по окружности х2 + У2 = 100 (еди-
(единица расстояния 1 фут) с постоянной скоростью 6 футов в секунду. Найти ком-
компоненты скорости в точке F, 8).
Отв. t^ = —4,8 фут. в сек.; 1^ = 3,6 фут. в сек.
7. Даны уравнения движения #ч=*2, у = (* —IJ.
(a) Найти уравнение траектории в прямоугольных декартовых координатах.
(b) Вычертить траекторию с векторами скорости и ускорения для ^ = — ,
/=1, * = 2.
(c) В какой момент времени скорость имеет минимальную величину?
(d) Где находится точка, в которой скорость равна 10 фут. в сек.?
Отв. (а) Парабола; (Ь) *Г + уТ = 1; (с) t~-^\ (d) A6, 9).
8. Даны уравнения движения х = *2, у~-т?.
§ 109 полярные координаты 249
(a) Найти уравнение траектории в прямоугольных координатах.
(b) Вычертить траекторию с векторами скорости и ускорения для t = \,
T
(с) В какой момент времени векторы скорости и ускорения перпендикулярны?
8 У—
Отв. Равносторонняя гипербола] #у = 4; (с) ?= у 48.
9. Даны уравнения движения x = t2, y = 4t — t3.
(a) Найти уравнения траектории в прямоугольных декартовых координатах.
(b) Вычертить траекторию с векторами скорости и ускорения для tz=Q,
Л
, 1
(c) Для таких моментов времени скорость имеет минимум и максимум?
(d) В какой точке кривой ускорение наименьшее?
Отв. (а) у2 = хD-хJ] (с) * = 0, ~ 3 ; (d) @, 0).
10. Даны уравнения движения x=:t2, y = t2—— •
(a) Найти уравнение траектории в прямоугольных координатах.
(b) Вычертить траекторию с векторами скорости и ускорения для ? = 0,
t = \ и * = 2.
(c) Где находится точка, когда она движется параллельно оси ОХ?
(d) В какой точке ускорение имеет минимум?
Отв. Парабола] у = х — —] (с) B, 1).
11. Даны следующие уравнения криволинейного движения; требуется найти
в указанные моменты времени* vx, vy, v, jx, jy, j] положение точки (ее коор-
координаты); направление движения. Также найти уравнение траектории в прямо-
прямоугольных
(а)*
(Ь) х
(с) х
(d)x
координатах.
= *2; y = t; t=2.
= t\ y — t\ t=\.
(h)* =
(i) * =
(j) д; =
t] y=zcos2t] t=z*~.
(e) x=i —t2; y = 2t] t = 2. (k) x = t; У = Ц\ *=3.
(f) x = asint] y = acos^; t = -^.
§ 109. Полярные координаты. Угол между радиусом-векто-
радиусом-вектором и касательной. Пусть уравнение кривой в полярных коор-
координатах р, 6 будет
Р=/(в). A)
Докажем предложение:
Теорема. Если Ь—угол между радиусом-вектором ОМ а
касательной в точке М, тогда
4*1 = $. B)
, dp
где р f
250 ПРИЛОЖЕНИЯ К ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ ГЛ. XI
Доказательство. Через М и через близкую точку
Ж;(рН-Др, в -]— Дв) кривой проводим секущую АВ. Далее, прово-
проводим MR перпендикулярно к ОМ'.
Тогда (рис. 127) СШ'= р + Др, угол MOM' = Д6,
?piAG и О/?=рсо5Д0.
Значит,
tp Af Af'/? —М^ — MR — р sin М
g л "~/?М'~ ОМ' - О#~ р + Др - р cos Д0 *
Обозначим через ф угол между радиусом-вектором ОМ и ка-
касательной МТ. Если мы теперь заставим Д6 приближаться к
нулю, как к пределу, тогда
(a) точка М стремится к М как к
пределу;
(b) секущая АВ поворачивается
около М и приближается к касатель-
касательной МТ как к предельному положе-
положению;
(c) угол MMR приближается к ф
как к пределу.
' Поэтому
РИС- 12? tg*= lim Psi"A9
Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела так,
чтобы было можно применить основные теоремы теории пределов:
р sin ДО р sin Дб
[Д9 ~~1
ибо р — р cos Д0 = р A — cos Дб)=р»2 sin2 -—- I
sin ДО
Р"АГ
ДО 8Ш2- . Др
ТЖ + д9
2
ель и знаменатель на Д9
Когда Дб—^О, тогда
2
[разделив числитель и знаменатель на Д9 и переставляя множители].
. до
и далее
limsinf=0, Пт^З^р'.
§ 109
ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
251
Отсюда пределы числителя и знаменателя соответственно
равны р и р\ Это и доказывает формулу B), ч. т. д.
Из треугольника ОМТ мы имеем:
х = О + ф. C)
Таким образом, мы нашли х; поэтому
мы можем рассматривать как найденную
величину также и tgx. А это есть угло-
угловой коэффициент касательной в точке М.
Имеем для вычисления tgx формулу:
Рис. 12Ь
Пользуясь формулой B) и подставляя
сюда tgcb, находим наклон касатель-
касательн о + t Ф
Пример 1. Найти фит для кардиоиды 1 (рис. 128)
р —аA — cosO).
Решение.
1 Уравнение кардиоиды в полярных координатах может быть получено
из уравнений ее в параметрическом виде
х = а B cos t — cos 2t\ у = a B sin t — sin 2t)
(см. задачу 6, стр. 242) следующим образом. Воспользуемся рисунком 123.
Перенесем начало координат в точку К. Формулы преобразования будут:
Параметрические уравнения примут тогда вид:
aBcos* — со§2/ - \) = а B cos* — cos2^-f sin2^ — sin8* — cos20==
= 2acosf(l —cos*),
/ = a B sin t — sin 2t) = a B sin t — 2 sin t cos t) = 2a sin t A — cos *).
Разделив теперь второе уравнение на первое, будем иметь:
откуда найдем:
Подставив найденное значение для cos t в уравнение, определяющее х\ по-
получим:
, г, х!
Л
2;]
или
252
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ
ГЛ. XI
Подстановка в B) даст:
— JL а( ~~ с ^ 2
a sin О
Так как
то
Подставляя в C), находим:
2 sin — cos у
¦=т-
Примечание. Формулы B) и C) выведены из рисунка 127. Но располо-
расположение линий на этой фигуре есть расположение частное. Поэтому в каждой
задаче является та опасность, что можно смешать,
какие углы надо считать за основные и какие из
них дополнительные. Отсюда, в каждой задаче
надо определять соотношения между углами ф, т
и 0 путем исследования знаков их тригонометри-
тригонометрических функций, а также из рисунка.
Чтобы найти угол пересечения <р двух
кривых С и С, заданных уравнениями в
полярных координатах, мы поступаем так
(рис. 129):
Угол 7ЖГ = угол ОМТ — угол ОМТ,
или
Рис. 129
Отсюда
1+tgf
D)
где tgcj/ и tg ф вычисляются по формуле B) из уравнений кри
вых и из определения их точки пересечения М.
Пример 2. Найти угол пересечения кривых р — a sin 20 и p = acos20.
Решение. Решая оба эти уравнения одновременно, мы получаем для точки
пересечения этих кривых равенство:
tg 20 = 1, 20=45°, 9=22^.
Воспользовавшись теперь формулами перевода от прямоугольных коорди-
координат к полярным, будем иметь:
р2 = 2ар — 2aq cos 0,
или
р = 2а A — cos 0).
Полученное уравнение отличается от уравнения в рассматриваемом при-
примере тем, что в последнем а обозначает не радиус круга, а диаметр, чему и
соответствует коэффициент 2а найденного нами уравнения.
§ 110 ДЛИНЫ ПОЛЯРНОЙ ПОДКАСАТЕЛЬНОЙ И ПОЛЯРНОЙ ПОДНОРМАЛИ 253
Для первой кривой, на основании формулы B), находим:
Для второй кривой
1 __ 1 __ 1°
2 ь 2 2
Подставляя в формулу D), получаем:
2 "^ 2 4
4
Отв. ф = arc tg —.
о
§ 110. Длины полярной под касательной и полярной поднор-
поднормали. Проведем прямую NT (рис. 130) через начало координат
перпендикулярно к радиусу-вектору точки М
кривой. Если МТ есть касательная, a MN —
нормаль к кривой в М, тогда по определе-
определению:
ОТ' = длине полярной подкасателъной
и
ON=длuнe полярной поднормали кривой в
точке М.
Из треугольника ОМТ имеем:
tg ф==—. Нис. 130
Следовательно,
/¦/А
ОТ— р tg ф = р2 дг = длине полярной подкасательной. E)
Если 6 возрастает с возрастанием р, -т- будет положительно, и ф есть
острый угол, как на рисунке. Следовательно, и подкасательная ОТ будет
положительна и расположится вправо от наблюдателя, находящегося в О и
смотрящего по ОМ. Если ~ отрицательно, подкасательная будет отрицательна
и расположится влево от этого наблюдателя.
Из треугольника 0MN имеем:
Поэтому
ON = ~г = ^- —длине полярной поднормали. F)
Длину полярной касательной МТ и длину полярной нор-
мали MN можно найти из рисунка: каждая ес*гь гипотенуза
соответствующего прямоугольного треугольника.
254 ПРИЛОЖЕНИЯ К ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ ГЛ. XI
Пример. Найти длину полярной подкасательной и полярной поднормали
для лемнискаты1 (рис. 131):
2 = a2cos29.
Решение. Дифференцируя р по 9
как неявную функцию, находим:
2Р^:= — 2а2 sin 29,
или
Рис. 131 dp_ a2 sin 20
rf6"~ p
Подставляя в E) и F), имеем:
р« a2 sin 29
длина подкасательной = 2 . , длина поднормали = .
Если желательно выразить результаты в функции одного 0, находим из
данного уравнения р в функции 0 и подставляем. Таким образом в данном
примере найдем:
и, следовательно,
длина подкасательной — — a ctg 29 jAcos 29.
ЗАДАЧИ
1. В круге р = 2/* sin 0 выразить фит через 9.
Отв. ф = 6, т = 29.
2. Для параболы р = а sec2 -к- показать, что т -|- ф == те.
3. Показать, что для лемнискаты р2 = a2 cos 29
2ф + 49
1 Лемнискатой называется геометрическое место точек, произведение
расстояний которых до двух данных точек А и В (АВ = 2т) есть величина
постоянная, равная т2.
Для вывода уравнения лемнискаты расположим полюс О посредине рас-
расстояния между точками А и В (рис. 131). Тогда будем иметь:
Выражая МА и MB по известной формуле тригонометрии, приходим к
уравнению
yV + т2 + 2т? cos 9 • Ур2 + т2 — 2mp cos 9 = m2,
откуда получаем:
(«2 I m2J _ 4m2p2 COg2 Q __ m^ 4 = p
p2 = 2m2 B cos2 б — 1) == 2m2 cos 29.
Полагая 2mz = а2, окончательно находим:
p2 = a8 cos 29.
§110 ЗАДАЧИ 255
4. Показать, что для логарифмической спирали р = ае° угол ф имеет по-
постоянную величину. Так как касательная образует с радиусом-вектором по-
постоянный угол, эта кривая называется также равноугольной спиралью.
5. Дана конхоида р = а sin8 -=-; показать, что т = 4ф.
о
6. Показать, что для архимедовой спирали р = а$ имеем: tg<|» = 0. Вычи-
Вычислить ф для в = 2тс и 0 = 4тс.
Отв. ф = 80°57' и ф —85°17'.
7. Показать, что прямая р cos 0 == 2а пересекается с окружностью
р — Ъа sin 9 под углом arctg —.
8. Показать, что параболы р = а sec2 — и p^&cosec2^ пересекаются
под прямыми углами.
9; Найти углы пересечения линий р = a sin 0, р = а sin 29.
Отв. В начале 0; в двух других точках arc tg 3 ]/"&
10. Найти, наклоны нижеперечисленных кривых в указанных точках:
a) р = аA — cos0), 0=у. Отв. — 1.
b) р = a sec2 0, р = 2а. it: 3.
c) р = a sin 40, в начале. 0,1, оо, —1.
d) р2 —a2 sin 40, в начале. 0,1, оо, — 1.
e) р = a sin 30, в начале. 0, У% — УТ
11. Показать, что спираль Архимеда р = а0 и гиперболическая спираль
а
р — -т- пересекаются под прямыми углами.
Л
12. Найти угол, под которым пересекаются парабола p~asec2 — и пря-
прямая р sin б = 2а.
Отв. 45°.
13. Показать, что две кардиоиды р = а A -j- cos 0) и р = а A — cos 0) пере-
пересекаются под прямыми углами.
14. Найти длины подкасательной, поднормали, касательной и нормали в
произвольной точке спирали Архимеда_p = aQ.
Отв. ?-; а = const; -2- "^а2 -f- р2; }Ля2 + р2.
15. Найти длины подкасательной, поднормали, касательной и нормали ло-
логарифмической спирали pt=:a^.
] plna; ?Vl + hh;
Заметим, что при а = ? подкасательная равна поднормали и касательная
равна нормали.
16. Найти углы, образуемые пересечением кривых
р = а A + cos 0), р = Ь A — cos 0).
Отв. 0, -J.
17. Показать, что длина подкасательиой гиперболической спирали р = ~*
г О
постоянна.
256 ПРИЛОЖЕНИЯ К ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ ГЛ. XI
18. Показать, что равносторонние гиперболы р2 sin 29 = а2, р2 cos 20 = б2
пересекаются под прямыми углами.
§111. Отделение кратных корней у многочленов. Рассмо-
Рассмотрим многочлен п-ой степени
n-l-\-cxn~2-\- ... -\-px-\-q,
расположенный но нисходящим степеням буквы х. Эту букву х
мы будем считать независимым переменным, коэффициенты мно-
многочлена, т. е. буквы а, Ь, с, ..., р и q, будем считать данными
постоянными числами, причем первое из них, число а, будем
считать отличным от нуля, а=?0, потому что иначе данный мно-
многочлен был бы не степени п, а ниже.
Известно уже из элементов алгебры, что число а называется
корнем данного многочлена, если этот многочлен делается рав-
равным нулю, когда подставляют в него вместо буквы х рассма-
рассматриваемое число а, т е. когда справедливо равенство
Относительно корней, их существования и их свойств в выс-
высшей алгебре доказываются следующие два основные предложе-
предложения, на справедливости которых мы не будем останавливаться и
которые мы просто примем без доказательства.
Теорема I. Всякий многочлен п-й степени
axn-\-bxn-1-\-cxn~2+...-\-px-\-q
имеет в точности п корней а, р, у, ..., \х, v, не более и не
менее. Эти корни могут быть какими угодно, т. е. различ-
различными друг от друга или совпадающими друг с другом, дейст-
действительными или мнимыми, положительными или отрицатель-
отрицательными, рациональными или иррациональными, дробными или
целыми.
Теорема II. Если а, р, у, ...,[*, v суть все п корней дан-
кого многочлена п-й степени
алп + bxn~x + схп~2 + ... -\-px-\-<?,
то данный многочлен может быть представлен как произве-
произведение п разностей:
буквы х следовательно со всеми корнями, т. е. имеем тож-
тождество;
= a{x — а)(х — $)...(х — ЦДЛ — vj,
справедливое для всякого значения буквы х.
§ HI отделение кратных корней у многочленов 257
Если среди всех п корней
а, р, у, .. ., V-, v
данного уравнения я-й степени
axn-\-bxn~l + схп~2 + ... +/7jc + ^ = O A)
имеются корни, равные между собой, то тогда мы говорим, что
данное уравнение A) имеет кратные корни. Смотря по тому,
сколько именно раз встречается рассматриваемый корень среди
всех корней ос, р, у, ..., jx, v мы говорим, что рассматриваемый
корень обладает такой-то кратностью: так, если рассматривае-
рассматриваемый корень встречается среди а, р, у, ..., jx, v лишь дяа раза,
мы называем его в этом случае двукратным, если он встре-
встречается три раза, мы называем его трехкратным и т. д.
Корни, встречающиеся среди а, р, |, ..., |i, v лишь по од-
одному разу, мы называем простыми или однократными корнями.
Например, уравнение
имеет корни:
3, 3, 3, — 2.
Следовательно, 3 есть трехкратный корень, а —2— простой.
8 силу теоремы II это уравнение может быть написано в виде
(х — 3K(* + 2) = 0.
На первый взгляд кажется, что для того, чтобы узнать,
имеет ли данное уравнение кратные корни, единственное сред-
средство— это решить уравнение и затем посмотреть, имеются ли
среди его корней равные или же таковых совсем нет. Но реше-
решение алгебраического уравнения есть вообще операция крайне
тягостная, причем трудности этой операции быстро возрастают
с повышением степени уравнения. Поэтому является вполне це-
целесообразным изобретение такого приема, который еще до реше-
решения данного уравнения обнаружил бы существование или несу-
несуществование у предложенного уравнения кратных корней. Мы
сейчас увидим, что дифференциальное исчисление дает такой
прием, причем можно, не решая уравнения, не только убедиться
в существовании кратных корней (когда они есть), но еще, кроме
того, можно и отобрать все кратные корни, отделив их от про-
простых корней, притом все это можно сделать, не решая данного
уравнения.
В самом деле, пусть f(x) есть многочлен, имеющий число а
своим кратным корнем, и притом именно кратности т. Ясно,
что в силу теоремы II многочлен f(x) напишется в виде произ-
произведения, в котором будет содержаться в точности т множите-
9 Дифференциальное исчисление
258 ПРИЛОЖЕНИЯ К ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ ГЛ. XI
лей, равных разности х— а, остальные же множители будут
существенно отличны от х— а, т. е.
/(*) = (*-«Г •?(*), B)
где через у(х) мы обозначаем произведение всех остальных
множителей, существенно отличных от разности л — а.
Ясно, что у(х) есть многочлен, уже не имеющий числа а
своим корнем, так как в противном случае многочлен ср (jc) со-
содержал бы в своем составе (в виде множителя наряду с дру-
другими множителями) хотя бы один множитель, равный х — а; но
тогда это значило бы, что число а есть не т-кратный корень
многочлена f{x), а кратности более высокой. Итак,
Дифференцируя B), находим:
/' (х) = (х - a)"Y (х) + т (х - а)" ->(л),
или
/' {л) = (х- а)— [т? {л) + (¦*-«) ?' W1- C)
Выражение в квадратных скобках в правой части равенства
C) есть многочлен. Легко видеть, что число а не будет корнем
этого многочлена. Действительно, заменяя в этом многочлене
переменное х на а, мы его обращаем в
/яср (а) -}- (а — а) ср' (а) = ту (а) ф О
— число, отличное от нуля, ибо
тфО и <р
Равенство C) поэтому нас учит тому, что число а есть в точ-
точности (/тг—\)-кратный корень производной f{x). В частности,
когда т—\, мы видим, что простой корень данного уравне-
уравнения f(x) = 6 ни в каком случае не может оказаться корнем
производного уравнения /;(л:) = 0, потому что для последнего
необходимо, чтобы т > 1.
Итак, если в многочлене f(x) множитель х — а содержится
в точности т раз, то в /; (х) этот самый множитель встречается
в точности т — 1 раз.
Составим теперь общий наибольший делитель многочленов
f(x) nf'(x).
Из элементов алгебры мы знаем, что составление общего наи-
наибольшего делителя двух данных многочленов есть действие,
совершенно аналогичное отысканию общего наибольшего дели-
делителя двух данных натуральных чисел: и в том и в другом слу-
§ 111 ОТДЕЛЕНИЕ КРАТНЫХ КОРНЕЙ У МНОГОЧЛЕНОВ 259
чае он отыскивается путем последовательного деления одного
многочлена на другой, затем делителя на первый остаток, пер-
первого остатка на второй остаток и т. д. до тех пор, пока не полу-
получим остатка, равного нулю, т. е. до тех пор, пока деление не
завершится нацело. Тогда последний остаток, не равный нулю,
и будет общим наибольшим делителем.
Из сказанного ясно, что общий наибольший делитель много-
многочленов f(x) и /' (х) будет содержать множитель х— а в точ-
точности т—1 раз, т. е. а есть его (т—1)-кратный корень.
Если f(x) имеет еще некоторый другой кратный корень р
кратности г, то в силу предшествовавшего это число 3 есть
(г—1)-кратный корень общего наибольшего делителя.
Итак, общий наибольший делитель многочленов f(x) и f'(x)
имеет своими корнями лишь кратные корни данного много-
многочлена f{x), причем каждый из этих кратных корней данного
многочлена f(x) является корнем общего наибольшего дели-
теля кратности на единицу ниже; простые корни данного
многочлена f(x) совсем не являются корнями общего наиболь-
наибольшего делителя.
Можно, таким образом, высказать следующее правило для
нахождения кратных корней уравнения f(x) = Q.
Первый шаг. Находим f (x).
Второй шаг. Находим общий наибольший делитель для
f(x) uf'(x).
Третий шаг. Находим корни общего наибольшего дели-
делителя. Всякий из различных корней общего наибольшего дели-
делителя встречается в f(x) одним разом больше, чем в общем
наибольшем делителе.
Если случится так, что общий наибольший делитель совсем
не содержит х, то f(x) не имеет кратных корней, и описанный
выше процесс отделения кратных корней делу решения уравне-
уравнения ничем не поможет, а только обнаружит, что данное уравне-
уравнение f(x)=0 лишено кратных корней.
Пример. Решить уравнение
х* _ 8х2 + 13* — 6 = 0.
Решение. Пусть
f(x) = xs - 8я2-f Ш - 6.
Первый шаг.
/'(х) = 3х2 — 1бх+13.
Второй шаг. Заметим, что при нахождении общего наибольшего де-
делителя для удобства вычислений мы можем делимое, делитель и промежуточ-
промежуточные остатки при последовательном делении умножить на постоянный множи-
множитель: то обстоятельство, что общий наибольший делитель (О. Н. Д.) функции
f(x) и ее производной /' (х) будет отличаться от О. Н. Д., который находится
обычным образом, т. е. без указанных упрощений, на постоянный множитель,
не окажет влияния на разыскание корней, так как уравнение, получающееся
путем приравнивания нулю О. Н. Д., все равно можно сокращать или умно-
9*
260
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ
ГЛ. XI
жать на постоянный множитель. Поэтому при делении f(x) на /'(х), чтобы не
иметь первый член дробным, умножим предварительно /(х) на 3:
Зх3 — 24л;2 + 39л; — 18 | Зх2 - 16% + 13
(умножим
ток на
О. Н. Д.
Тре
Зх3
оста-
тий шаг.
— 16х2
+ 13х
-8х2 + 26х
24х2 —
24х2 —
Зх2
Зх2-
— ~
78хН
128х-
-18
- 54
-104
50х - 50
-16х + 13|х —
- Зх зх-
-!зхН
0
Н 13
- 13
8
1 (остаток умно-
^ жили на
1
50
х — 1 = 0, откуда х = 1.
Так как 1 является простым корнем уравнения #—1=0, то он будет
двукратным корнем данного первоначально уравнения, т. е. левая его (урав-
w нения) часть содержит множителем (х — IJ. Разделив
х3 — 8х2 -\- 12х — 6 на (х — IJ, находим второй мно-
множитель х —6, который дает корень 6. Следовательно,
корни нашего уравнения суть 1, 1, 6. Начертив гра-
фж функции (рис. 132), мы видим, что при х=1,
т. е. при х, равном двукратному корню, кривая ка-
касается оси ОХ, но не пересекает ее \
132
нений.
УПРАЖНЕНИЯ
способу § 111 решить следующие 10 урав-
урав1. х3-7х2+16х-12 = 0.
2. х4 — 6х2 — 8х — 3 = 0.
3. х4 — 7х3 + ^#2 + 27х — 54 = 0.
4. х4 — 5х3 — 9х2 4- 81 jc — 108 = 0.
5. х4 + 6х3 +х2 — 24x4-16 = 0.
6. х4 — 9х3 4- 23х2 — Зх - 36 = 0.
7. х4— 6х34-10х2 — 8 = 0.
8. х5 — х4 — 5х8 + х2 + 8х -f- 4 = 0.
9. х5 — 15х8 + Юх2 + 60х — 72 = 0.
10. х5 — Зх4 — 5х3 + 13х2 + 24х +10 = 0.
Показать, что следующие четыре уравнения не имеют кратных (равных)
корней.
П.
Отв. 2, 2, 3.
— 1, — 1, — 1, о.
3, 3, 3, - 2.
3, 3, 3, -4.
1, 1, —4, —4.
3, 3, - 1, 4._
2, 2, 1 :? У.
- 1, - 1, - 1, 2, 2.
2, 2, 2, - 3, - 3.
-1, -1, -1, Знн
1 Так как первая производная для каждого кратного корня обращается
в нуль, то ось X касательно, к кривой во всех точках» соответствующих
кратным корням. Если кратный корень встречается четное число раз, то в
такой точке кривая функции не пересекает оси X (рис. 132); если же он
встречается нечетное число раз, то кривая пересекает ось ОХ, в то же самое
время касаясь ее.
§ П2
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ КОРНИ УРАВНЕНИЙ
261
12. *4 - 15л;2-10л; +24 = 0.
13. х4 - Зх3 - 6х2 -f Ых + 12 = 0.
14. хп — ап^0.
15. Показать, что условие, чтобы уравнение х* -f- Здо -f- г = 0 имело дву-
двукратный корень, есть 4#3 -|— г2 = 0.
16. Показать, что условие, чтобы уравнение xs -f- ^P*2 -{-г—0 имело дву-
двукратный корень, есть г Dр3 -)- г2) = 0.
§ 112. Действительные корни уравнений. Графические ме-
методы. В прикладной математике часто только действительные
(т. е. вещественные) корни принимаются во внимание. Методы
приближенного определения этих корней, излагаемые здесь,
таковы:
Отделение и число кощей.
Первый метод. Если график функции/(х), т. е. геомет-
геометрическое место точек М(х,у), координаты х, у которых удовле-
удовлетворяют уравнению
у=№, A)
построен (следуя правилу § 88), то тогда абсциссы точек пере-
пересечения его с осью ОХ являются корнями уравнения f(x) = 0.
Следовательно, из рисунка, когда он хорошо выполнен, мы
сразу видим, каково число корней и каковы их приближенные
величины.
Пример. Отделить все действительные корни уравнения xs—9x2-f-24x—7=0.
Решение. График левой части уравнения был построен в §88, задаче 1.0н
пересекает ось ОХ между 0 и 1. Поэтому между этими числами заведомо
имеется один действительный корень. Других действительных корней нет.
Таблица дает величины /@) и /A), обнаруживая перемену знака в концах
отрезка [0, 1].
X
0
1
— 7
9
Иногда таблица численных значений х и у, употребленная
при вычерчивании графика, может в точности дать нам корень;
это будет, когда у = 0 прямо при некотором численном значении
аргумента х. Если этого нет, часто случается, что величины пе-
переменного у имеют противоположные знаки для двух последова-
последовательных величин х = а я х = Ь. В этом случае точки A [a, f{a)]
и В [ft, /(&)] лежат по разные стороны оси ОХ, и график функции
yzz=zf(x)} соединяющий две эти точки, должен пересечь эту ось.
262
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ
ГЛ. XI
А это означает, что имеется некоторый корень л0, лежащий
между а и Ь.
X
а
У
f(b)
Точная формулировка употребляемого здесь принципа такова:
если непрерывная функция f(x) изменяет знак на отрезке
[ау Ь\ а ее производная знака на нем не меняет, тогда уравне-
уравнение f(x) = Q имеет один и только один
корень на отрезке [а, Ь].
Отделение корня посредством испы-
испытания как раз зависит от этого прин-
принципа. Если а и & не пригодны в качестве
приближенных величин корня, тогда даль-
нейшее приближение находится интерпо-
интерполяцией. Таковая состоит в определении
пересечения оси ОХ хордой АВ. Это
означает, что часть графика, соединя-
соединяющая А и В, заменяется в качестве
приближения хордой.
Рис. 133
Пример (продолжение). Корень, лежащий между 0 и 1, можно-заменить
более точной выкладкой, как находящийся между 0,3 и 0,4. Это видно из таб-
таблицы. Пусть 0,3 -\-z будет этот корень.
X
0,4
0,3 -f- z (корень)
0,3
f(x)=y
1,224
0
- 0,583
Разность 0,1 1,807
Тогда интерполяция (т. е., собственно говоря, пропорция) дает нам:
г __ 0,583
0,1 "" 1,807'
: 0,032.
Отсюда х ^0,332 является вторым приближением. Это есть не что иное,
как пересечение оси ОХ хордой, соединяющей точки А @,3 — 0,583) и
8@ А, 1,224), лежащие на графике функции х* — 9х2 + 24х — 7. На рисунке 133
МА = —« 0,583, N8= 1,224. Шкала начерчена. Абсциссы точек М и N суть 0,3 и
0,4 соответственно. Таким образом, MC=z, и соответственные стороны по-
подобных треугольников МСА и ABR дают указанную пропорцию.
Для алгебраического уравнения, примером которого служит
только что рассмотренное уравнение, наилучшими являются ме-
§ 113
ВТОРОЙ МЕТОД ОТДЕЛЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ
263
тоды, гарантирующие желаемую точность при определении числен-
численного значения корня; эти методы разъясняются в курсах алгебры.
§ 113. Второй метод отделения действительных корней. Спо-
Способ, изложенный в § 88, хорошо приспособлен для скорого по-
построения графика функ-
функции /{л). Этот график
отделяет корни и опреде-
определяет их число. Однако во
многих случаях тот же
самый результат дости-
достигается быстрее вычерчи-
вычерчиванием известных пересе-
пересекающих кривых. Сле-
Следующий пример разъяснит
сущность дела.
Пример. Определить число
действительных корней х (в
радианах) уравнения
ctg х — х = О
A)
наименьший ко-
Рис. 134
B)
C)
и отделить
рень.
Решение. Переписываем уравнение A) в виде
ctg х = х.
Если мы вычертим кривые (рис., 134)
у =r ctg х и у = х
при тех же самых осях, то абсциссы х точек пересечения и будут корнями
уравнения A). Ибо ясно, что исключив у из C), получаем уравнение A), даю-
дающее нам абсциссы точек пересечения.
Чертя фигуру, нужно старательно нанести на оси ОХ обе шкалы (градусы
и радианы).
Число решений. Кривая у = ctg x состоит из бесконечного числа ветвей,
тождественных ветви AQB (рис. 134). Прямая у=х пересекает каждую ветвь.
Поэтому уравнение A) имеет бесконечное число корней.
х (градусы)
50
49
Разность
х (радианы)
0,873
корень
0,855
0,018
ctgx
0,839
0,869
ctg х — х
- 0,034
+ 0,014
- 0,048
Пользуясь таблицами натуральных котангенсов и радианов, эквивалентных
градусам, мы можем локализировать наименьший корень более тесно, чем это
показано в таблице. Интерполяция нам дает х^ 0,860.
264 ПРИЛОЖЕНИЯ К ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ ГЛ. XI
Второй метод можно описать следующим образом.
Перенести некоторые избранные члены уравнения
f(x) = 0
в правую часть так, что уравнение напишется в виде:
Л(х) = Ш. D)
Начертить кривые:
У=/Л*)> У =/*(*) E)
в тех же самых осях, выбрав надлежащие единицы масштаба
(не обязательно одинаковые на обеих осях).
Число точек пересечения этих кривых равно числу действи-
действительных корней уравнения f(x) = 0, а абсциссы этих точек и
суть эти корни.
Избранные члены, образующие функции /, (х) и /2 (х) в урав-
уравнении D), часто можно выбрать так, чтобы одни из кривых E),
или даже обе эти кривые, оказались хорошо известными класси-
классическими кривыми.
Например, чтобы отделить действительные корни уравнения х3-\-Ах—5=0,
мы пишем х3 — 5 — Ах. Теперь линии E) суть линии: у=х9 и у = 5 — Ах. Это
кубическая парабола и прямая.
Второй пример. Рассмотрим уравнение .2 sin 2x -f-1 — х2 = 0.
Его пишем в виде sin2x = — (я2 — 1). Обе кривые E) здесь суть j/ = sin2#
и j/= -—(x2— 1). Это синусоида и парабола.
§ 114. Метод Ньютона. Когда корень отделен, метод Ньютона
дает возможность вычислять его с замечательной степенью точ-
точности.
Рисунок 135а показывает, что две точки А [а, /(#)] и B[b,f(b)]
графика f(x) лежат по разные стороны оси ОХ. Пусть AT каса-
касательная в точке А (рис. 135а). Пересечение а' этой прямой с
осью ОХ очевидно является высоким приближением пересечения
графика и, значит, соответствующего корня уравнения /(л) = 0.
Метод Ньютона и определяет это пересечение а! касательной AT
с осью ОХ.
Пусть координаты точки А суть х1=^а я yl=f(a). Угловой
коэффициент касательной AT есть ml==fr(а). Поэтому уравнение
касательной AT есть
У-№=/'{аНх-а).
Делая у— 0 я решая относительно х, мы получаем данную
Ньютоном формулу приближения:
§ 114 МЕТОД НЬЮТОНА 265
Найдя отсюда а\ мы подставляем а! в правую часть на место
буквы а. Получаем:
Это есть второе приближение. Ясно, что процесс может про-
продолжаться безгранично далеко и что он дает нам последователь-
последовательность величин
а, а!, а!', а!", ...
являющихся приближениями истинного корня.
Рисунок 135а показывает, что касательную надо выбирать в
точке Л, но не в точке В, ибо только в этом случае касатель-
Ч
\В
Рис. 135а Рис. 135Ь
ная наверное пересечет ось ОХ ближе к корню, а не дальше от
него. Это последнее могло бы случиться, если бы мы пользова-
пользовались на рисунке 135а касательной в точке В.
Наоборот, на рисунке 135b надо пользоваться не касательной в
Л, а касательной в В, в целях той же самой гарантии. В этом
случае, заменяя в формуле Ньютона F) букву а буквой Ь, мы
получаем Ь\ из Ъ' получаем Ь" и т. д. Это дает приближения
Ь, V, Ъ\ &'", ...
к истинному корню.
Пример. Найти наименьший корень уравнения
методом Ньютона.
Решение. Здесь / (х) = ctg х — х
/'(х) = — -Д 1г= — 2 — ctg2 а:.
v ; sin2 х &
Мы берем а = 0,855, как это показано в примере, рассмотренном в предыду-
предыдущем параграфе. Тогда, на основании таблицы в этом параграфе, имеем
f(a) = 0,014. Далее имеем /' (а) = — 2 — @,869J = — 2,76.
Поэтому, ио формуле Ньютона F), получаем*
а' = 0,855 + |^ = 0,
Интерполяцией мы находим х ^0,860.
9В Дифференциальное исчисление
266 ПРИЛОЖЕНИЯ К ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ ГЛ. XI
Из рисунков 135а и 135Ь мы видим, что график пересекает ось
ОХ между касательной AT и хордой АВ в первом случае и
между касательной ВТ и хордой АВ во втором случае. Поэтому
истинный корень лежит между величиной, находимой методом
Ньютона, и величиной, находимой интерполяцией.
Из этого заме.чания сразу следует, что найденная нами величина корня
х —- 0,860 является верной до четвертого десятичного знака.
Однако следует указать, что для применения метода Ньютона
необходимо, чтобы график не изменял на дуге АВ выпуклость на
вогнутость (оцениваемые по направлению вверх), т. е. чтобы
на дуге АВ не было точек перегиба, т. е. корней уравнения
f"(x) — Q на отрезке [а, Ь].
ЗАДАЧИ
1. Определить графически число действительных корней и их приблизитель-
приблизительное расположение для каждого из следующих уравнений. Вычислить каждый
корень с двумя десятичными знаками.
(a) xz — 4х — 8 = 0.
(b) х3 -9х -5 = 0.
(c) х* + 3х — 5 = 0.
(d) х* — 6%— 12 = 0.
(e) ^-бл:2 + Зх + 5 = 0.
(f) xz + 9х2 + 24* + 17~ °-
(g) хь — Зх2 — 2х 4- 5 = 0.
(h) х* + 6х2 + 7х- 1 = 0.
li) x4+ 10% — 100 = 0.
(j) %4-4;c3-,4jc-4-12 = 0.
(к) %4 + 2 + 34 0
A) х4-
2. Определить графически число действительных корней для каждого из
следующих уравнений. Вычислить наименьший по абсолютной величине корень
(отличный от нуля), пользуясь и интерполяцией и методом Ньютона.
cos х — х = 0. Отв. Один корень; х =^ 0,739.
b) sin 2;с — % = 0. Три корня; л; =^ 0,947.
c) tgx — х~0. Бесконечность корней.
d J 2 sin x — х = 0. Три корня; х ^ 1,895.
е) sin х — х2 = 0. Два корня.
(f) cos л: — %2 = 0. Два корня,
g) tg x — х2 = 0. Бесконечность корней.
h) ctg x — х2 = 0. Бесконечность корней.
') 3 cos л: — # = 0.
) 5 sin х — х = 0.
:) 3 sin x — 2 cos 4x = 0.
1) ех — tg x = 0. Бесконечность корней; х ^ 1,30,
m) sin х — log10 x = 0.
о) cos х — log10 х = 0. "
Отв. 2,65.
— 2,67;
1,15.
3,13.
- 0,67;
— 4,53;
-3,40;
1,35;
—1,58;
- 0,58;
1,42;
— 3,35;
2,90.
4,06.
0,88.
3,25.
5,25.
- 1,12.
§ 114 МЕТОД НЬЮТОНА 267
(о) е* + х — 2 = 0. Отв. Один корень; х=^ 0,444.
(р) ?* — sin# = 0. Бесконечность корней;
х =- — 3,183.
(Ч) tg л; + # — 1 = 0. Бесконечность корней;
х ^г 0,480.
3. Показать, что уравнение 2sin* —(я— 1J = 0 имеет два действительные
корня, и вычислить каждый из них с двумя десятичными знаками.
Отв. 0,27 и 2,25.
9В*
ГЛАВА XII
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
§ 115. Введение. До сих пор мы рассматривали производные,
употребляя для обозначения производной от у=/(х) символ
!=/¦«¦
Особенно же мы всюду старались дать понять учащемуся,
что выражение ~ рассматривается не как дробь, в обычном смысле,
с числителем dy и знаменателем dx, а как особый символ для
обозначения предела частного —^ по мере приближения кх к
нулю.
Однако встречаются задачи, в которых весьма выгодно рас-
рассматривать dx и dy как количества отдельные, и особенно это
полезно в приложениях интегрального исчисления. Объясним, как
этого достичь.
§ 116. Определения. Если f'{x) есть производная от f(x) для
некоторого частного Значения х независимого переменного, а
Ах — произвольно выбранное приращение переменного х, то диф-
дифференциал ot/(jc), обозначаемый символом df(x), определяется
равенством:
df(x)=f'{x).bx. A)
Итак,
дифференциалфункции, в силу самого его определения,
есть произведение производной f'(x) от этой
функции на произвольное число кх, которое рас-
рассматривается как приращение независимого пе-
переменного х.
Учащийся должен отдать себе ясный отчет в том, что написанное прираще-
приращение Ах независимого переменного х, входящее как множитель в дифференциал,
не имеет ничего общего с тем приращением Дх независимого переменного,
коюрое ранее употреблялось ндми при вычислении производной /' (х).
§117
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
269
В самом деле, хотя при вычислении производной /' (х) как предела отно-
отношения
I. Ду 1. f (* "\-&х) — f (х)
\\f[\ —^- '* 11ПТ ' п' *
Ах -> О Д# Длг -»• О ^Л
нам и приходилось говорить о приращении Дя независимого переменного, тем
не менее совершенно ясно, что это приращение кх употреблялось лишь как
средство определить или вычислить производную, т. е. имело лишь преходя-
преходящее значение: действительно, вся роль этого приращения Дя сводилась лишь
к тому, что оно должно было стремиться к нулю, и раз рассматриваемая нами
производная уже вычислена или определена, то это значит, что процесс стрем-
стремления Дх к нулю уже завершился, и, следовательно, это приращение Дх уже
перестало возбуждать интерес, существуя скорее в прошлом, чем в настоящем.
Что же касается приращения Дх, которое фигурирует как множитель в
выражении дифференциала, то это есть приращение х, которое мы снова даем
уже после того, как вычислен первый множитель дифференциала, т. е. /' (х).
Поэтому это приращение Дх есть величина произвольная, ничем не обуслов-
обусловленная, могущая быть и большой и малой — смотря по желанию. Таким обра-
образом, дифференциал функции есть выражение, содержащее два независимые пе-
переменные: х и Дх. Оба эти переменные суть независимые друг от друга, и Д#
вовсе не обязано стремиться к нулю: как независимое переменное, оно нахо-
находится вСецело в нашем распоряжении.
Если теперь положить f(x)=x910 f (x) = l и{1) приводится
к равенству:
dx = Да:,
откуда видно, что если х есть независимое переменное, то диф-
дифференциал x( = dx) тождествен с Ах. Отсюда, если у=/(х), то
дифференциал можно вообще на-
написать в форме:
dy=f(x)dx. B)
Дифференциал функ-
функции равен произведе-
произведению ее производной на
дифференциал независи-
независимого переменного1.
§ 117. Геометрическое изо-
изображение дифференциала.
Пусть кривая,представленная на
рисунке 136, изображает функ-
функцию y=f(x). Пусть точка М
этой кривой имеет своими координатами хну. Пусть точка М\
лежащая также на этой кривой, имеет своей абсциссой
x-\-dx.
1 Принимая во внимание положение, которое здесь занимает /' {х), произ"
водную называют иногда дифференциальным коэффициентом.
Учащийся должен обратить внимание на важный факт, что так как dx
можно приписать какое угодно произвольное значение, то dx не зависит от х.
Следовательно, dy есть функция двух независимых переменных х и dx.
Рис. 136
270 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ГЛ, ХП
Ясно, что отрезок MQ, параллельный оси ОХ, равен dx. Ясно
также, что отрезок QM равен приращению ку функции, ибо
Если точка Т обозначает пересечение касательной, проведен-
проведенной к кривой в М, с ординатой точки М', то из прямоугольного
треугольника MQT находим:
то
А так как тангенс наклона касательной есть производная,
Поэтому отрезок QT есть дифференциал dy функции у =f(x).
§ 118. Приращение функции и дифференциал функции. Непо-
Непосредственно из рисунка учащийся видит, что приращение функции
Ду = QM и дифференциал функции dy — QT отнюдь не равны друг
другу. Их разность ТМ' есть отрезок между касательной и самой
кривой.
Рассмотрим этот вопрос с аналитической точки зрения. Пусть
независимое переменное л получает приращение Дх. Вычислим
соответствующее приращение функции, а также ее дифференциал.
Для приращения Ду мы находим равенство:
tyf{ + t)f()
Если теперь мы станем приращение кх независимого перемен-
переменного приближать к нулю, то, как известно,
и, значит, разность
/(х + Ах)-/(*)
есть величина бесконечно малая; обозначим ее через s:
f(* + toc)-f(x) ^//гч_р
д^ / W — е.
Из этого равенства мы заключаем, что
fix + Д-*) -fix) =f (x) Дл + еДх,
или, приняв во внимание, что левая часть этого равенства есть
приращение функции Ду, а первое слагаемое правой части есть
дифференциал dy этой функции, мы заключаем, что
Ду = dy -j- s • Дх.
Это основное равенство C) говорит нам о том, что приращение
Ду функции, вызванное получением независимым переменным
бесконечно малого приращения кх, и соответствующий диффе-
§ 119 О СРАВНЕНИИ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ДРУГ С ДРУГОМ 271
ренциал dy функции отличаются друг от друга на бесконечно
малую часть бесконечно малого &х.
В самом деле, если рассматривать бесконечно малое Дл как
единицу, то произведение екх является бесконечно малой
долей этой единицы.
§ 119. О сравнении бесконечно малых друг с другом. Когда
имеют несколько положительных бесконечно малых а, р, у, ... , X,
одновременно стремящихся к нулю, очень полезно выбрать среди
них одно за основное бесконечно малое, как бы за единицу мае-
штаба, и сравнивать с ним все другие.
С этой целью, выбрав за основное, например, бесконечно
малое а, составляют отношения—, —, ... , — и смотрят, как они
изменяются с течением времени.
о
Если отношение — стремится к нулю, бесконечно малое р
называется бесконечно малым высшего порядка (т. е. высшей
малости), чем а. В этом случае бесконечно малое р является
исчезающе малой долей бесконечно малого а, ибо
когда отношение -?- станет, например, меньше у^ощ, тогда р
явится меньше одной миллионной доли бесконечно малого а.
Можно поэтому сказать, что р быстрее стремится к нулю, чем а,
или что р является более мелким, чем а. Наоборот, про беско-
бесконечно малое а можно сказать, что оно медленнее стремится к
нулю, чем р, или что оно крупнее по своей величине, чем р.
Поэтому а называется бесконечно малым низшего порядка (т. е.
низшей малости) сравнительно с р.
Пример. Доказать, что бесконечно малое E = За2 — а8 есть высшего по-
порядка, чем а.
й Q 2 3 В
Решение. Имеем -*- = = 3а — а\ Значит, lim-^ = 0, так как
lim а = 0.
Если же отношение — стремится к пределу, отличному от
нуля (и от бесконечности), тогда а и р называются беско-
бесконечно малыми одинакового порядка. В этом случае можно ска-
сказать, что аир стремятся к нулю с одинаковой скоростью, или
что у них одинаковая степень малости. В частном случае, когда
этот предел оказывается равным единице, тогда аир называются
равносильными бесконечно малыми; в этом случае пишут а-^-р.
Равносильные бесконечно малые очень важны, ибо для них
имеется предложение:
272 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ГЛ. Xlt
при отыскании предела отношения у двух каких-нибудь бес-
бесконечно малых у и 8, их можно заменить им равносильными.
Это означает, что если у*^-у и 5*^5, то Нту = Пт|*.
Это предложение вполне очевидно, ибо мы имеем тождество,
'г ~ ^ • h' т * 0ТКУда и следует» чт°
lim4- = Hni~-lim~-lim-r==l -lim^-1 ==lim?.
Следовательно, оказывается важным уметь отыскивать для
данного бесконечно малого а ему равносильное а*. Для этой цели
служат два предложения.
Лемма 1. Два бесконечно малые а и р одинакового порядка
равносильны одно другому тогда и только тогда, когда их раз-
разность р — а есть бесконечно малое высшего порядка, чем они сами.
В самом деле, обозначая через у разность р — а, мы имеем
В = а 4- у. Отсюда — == 1 + — . Поэтому мы имеем lim — = 1 тогда
11 ос ' a J ol
и только тогда, когда имеем lim — = 0, т. е. когда у есть беско-
бесконечно малое высшего порядка, чем а.
Лемма 2. Сумма р -|- у -f-... ~f-1 неизменяющегося числа бес-
бесконечно малых р, у,... Д высшего порядка, чем а, есть бесконечно
малое опять более высокого порядка, чем а.
В самом деле, раз мы имеем lim у = 0, lim у = 0,..., lim у=0,
то должны иметь и
I
a
Из этих предложений вытекает следующее:
Практическое правило (упрощениябесконечно малых):
если имеется сумма а-}-р + у+...+Х ограниченного числа бес-
бесконечно малых и если среди членов этой суммы имеется лишь
один член наиболее низкого порядка, то можно зачеркнуть все
остальные члены, так как вся сумма равносильна этому члену.
Чтобы оправдать это правило, возьмем сумму
ограниченного числа каких-нибудь бесконечно малых
а, р, Ь Ь I
§ 119 О СРАВНЕНИИ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ДРУГ С ДРУГОМ 273
и допустим, что среди них только одно имеет самый низкий по-
порядок; пусть это бесконечно малое наинизшего порядка будет а.
Тогда бесконечно малые р, у, 8, ..., X будут более высокого
порядка, чем а. Значит, по предыдущей лемме, их сумма
будет также бесконечно малое более высокого порядка, чем а.
Написав теперь всю данную нам сумму а бесконечно малых
в виде:
Мы видим, что сумма в скобках представляет собой бесконечно
малое высшего порядка, чем первое слагаемое а. Значит, со-
согласно изложеннохму выше, вся сумма а равносильна а:
что и требовалось доказать.
Правило это формулируют иногда не совсем верно, говоря,
что при отыскании равносильных бесконечно малых можно пре-
пренебречь бесконечно малыми высших порядков. Дело в следующем:
фраза эта совершенно верна, если член наинизшего порядка
имеется в сумме только один; мы доказали выше законность
именно такого пренебрежения. Но если членов наинизшего порядка
будет несколько, то они могут взаимно уничтожиться, и
тогда правило пренебрежения свелось бы к тому, что и вообще
все члены можно вычеркнуть.
Точная оценка различных порядков бесконечно малых дости-
достигается благодаря следующей шкале бесконечно малых:
а, а2, а8, ... а", ...,
где а есть основное бесконечно малое, принимаемое нами за
бесконечно малое первого порядка. Чем дальше мы движемся
по этой шкале, тем встречаем бесконечно малые все более и бо-
более высших порядков, ибо, например, бесконечно малое а17 есть
высшего порядка, чем, например, а9, потому что имеем
Hm \ = lim а8 = 0.
Это обстоятельство позволяет нам назвать а2 бесконечно ма-
малым второго порядка, а3 — третьего порядка и, вообще, а* —
бесконечно малым п-го порядка.
Чтобы измерить точный порядок какого-нибудь бесконечно
малого р по отношению к основному бесконечно малому а, нужно
постараться определить такое положительное число я, чтобы оба
бесконечно малые
274 Дифференциалы гл. хп
оказались бы одинакового порядка. Это означает, что предел
должен существовать и быть отличным от нуля (и от бесконеч-
бесконечности). Если нам удалось отыскать такое п, тогда мы, по опре-
определению, называем р бесконечно малым п-ro порядка.
Это определение, притом, имеет силу и для всяких положи-
положительных чисел пу не обязательно именно целых (т. е. относится
ко всяким положительным пу дробным или, даже, иррациональ-
иррациональным).
Отметим, наконец, что если при отыскании порядка беско-
бесконечно малого р мы нашли, что этот порядок равен /г, >0
ввиду того, что получили:
где С есть число, отличное от нуля и от бесконечности, то бес-
бесконечно малое р равносильно бесконечно малому Со!2. Действи-
8
тельно, составляя отношение ^, видим, что оно имеет своим
пределом единицу:
Пример 1. Найти порядок бесконечно малого
—5а8.
Решение. Так как чем выше порядок бесконечно малого, тем оно мельче,
то среди членов, составляющих р, следует остановить внимание на самом круп-
крупном бесконечно малом, т. е. на члене 7а2. Поэтому естественно попробовать,
не будет ли f вторичного" порядка.
Делаем вычисление:
llm± = lim f4« + 7a-5q\ = ,imDa + 7 _5вв) =
Значит, fi в самом деле — бесконечно малое второго порядка.
Пример 2. Из сложного бесконечно малого
3 sin а — 5а8
получить более простое, равносильное ему.
Решение. Так как sin а есть бесконечно малое первого порядка, а член 5а8
третьего порядка, то мы просто зачеркиваем его и таким образом получаем
более простое бесконечно малое 3 sin a, равносильное данному первоначально
3 sin a — 5as,
т. е.
3 sin a — 5a8 ^ 3 sin a 'x, 3a, ибо sin a ^ a,
§ 119 О СРАВНЕНИИ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ДРУГ С ДРУГОМ 275
Пример 3. Упростить бесконечно малое
Р = A — COS а) -f16а3 - 8а5 -f За — 42а4.
Решение. Так как
1 — cos а = 2 sin2 —,
то 1 — cos а есть величина бесконечно малая и притом второго порядка. В са-
самом деле,
и, значит, sin — есть бесконечно малое первого порядка, а его квадрат, siir-^-,
имеет второй порядок. Так как среди всех членов, образующих бесконечно
"Малое р, член За наинизшего порядка, и притом только один, то, зачеркивая
все остальные члены, мы получаем р ~ За.
Пример 4. Упростить бесконечно малое
Р = A — COS аJ + За -f 16а8 + 5а4 — За + 6а5.
Решение, Член A — cos аJ четвертого порядка, ибо 1 — cos а второго по-
порядка. Так как наинизших членов За и — За два и они взаимно уничтожаются,
то после приведения получим:
Р = A — cos аJ + 16а3 + 5а4 + 6а5.
Теперь наинизший член 16а3 только один. Отсюда
Р ~ 16а3.
Пример 5. Найти предел отношения двух бесконечно малых
8а3 — 4а2 + 3 sin а — 6а7 -f 18 A — cos а)
Ит 4а7+A-cosaJ + 2a-17a5 + 6a3 "
Решение. Заменим числитель и знаменатель этого отношения равносильными
бесконечно малыми, для чего, как мы знаем, достаточно просто зачеркнуть члены
высших порядков (если член низшего порядка один в числителе и соответственно
один в знаменателе).
Так как 1 — cos a есть бесконечно малое второго порядка, то наинизший
член в числителе только один: 3 sin a, и наинизший член в знаменателе тоже
только один: 2а.
Значит, в силу указанного выше практического правила, искомый предел
равен просто
.. 3sina 3
Ь
ЗАДАЧИ
1. Показать, что cos x при х—^-у есть величина того же порядка малости,
что и ctgx.
2. Если порядок величины a (lim a = 0) принять за единицу, то какими
числами выразятся порядки бесконечно малых
„ i
у/ sin a, 1 — cos a? Отв. -^ \ 2.
276 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ГЛ. ХТТ
Решение.
а3
Urn *
а-* о a a -*0 a 2
3. Бесконечно малые р и] имеют относительно бесконечно малой а соот-
соответственно порядки 2 и 4. Определить порядки бесконечно малых
Ри=ъ fr. i- От 2» 6> 2-
Р
4, Показать, что если дуга окружности данного радиуса R стремится к ну-
нулю, то хорда, стягивающая эту дугу, есть бесконечно малая того же порядка,
что и рассматриваемая дуга, а стрела (отрезок радиуса, перпендикулярного к
хорде, заключенный между хордой и дугой) — высшего порядка. Определить
лорядок малости стрелы относительно хорды.
Решение. Обозначим радианную меру угла ЛОВ через а (см. рис. 67).
Тогда дуга AB=nR<x, а хорда ЛД = 2/? sin-|-'» откуда
АВ 2/?sinl
Далее,
Следовательно,
АВ ~ R*
откуда видно, что стрела СМ — бесконечно малая второго порядка малости от-
относительно дуги АВ, а следовательно, и относительно хорды АВ.
5. Показать, что при х —> 0 бесконечно малые величины 2 (tg х — sin x)
и Xs равносильны.
6. Показать, что при х—^0 бесконечно малые величины ух* + Ух* и
tg ух Ух равносильны.
Решение.
tg ух Ух 'ч, ух Ух , ибо tg а *ч, а. Далее,
А так как две бесконечно малые, равносильные порознь третьей, равно-
равносильны между собой, то
о , =— 3/- _/--
- tg у XV х.
§ 119 О СРАВНЕНИИ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ДРУГ С ДРУГОМ 277
7. Найти пределы при х—>-0 следующих выражений:
. х
sin Ъх # ~2 , arc sin л; t arc tg Зх
sin 2#' tg 2# ' sin 4# ' arc sin 2x'
3 113
Отв. у; т, —, -?.
Указание. Воспользоваться следующими соотношениями:
sin х ^ х; tg х ^ х\ arc sin x ^ x\ arc tg x ~ я.
Доказать, что если а ^ а' и р ^ р', то ар ^ а'р'.
Найти
2 3 5
arc tg — • arc sin -«-arc t? -r=
lira j g , LiL—. Отв. 2.
« iim ln(l+2*-3s + 4x)
o. Iim .—77—^ , o о— ^ 34- ¦ Отв. —2.
x -^ о In A — x + 2x2 — 7x3)
Решение. Покажем прежде всего, что
In (I -f-a) ^ а При а—> О*.
Iim lnA +g> = Iim 1пA + а)^' =1пб=1
Поэтому
2х
i 2
In A -
_ 7
Отв- -?•
Решение. Положим
Тогда будем иметь:
lirai (sin^=^.tg^] = lim
^/Ч * lt±J y-»° cos Г~ B^+ 7I
L14 J
= Iim i sin | ~ Bv 4- 7) I. Iim —
278 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ГЛ. XII
§ 120. Приближенное вычисление приращения функции при
помощи дифференциала. Мы доказали выше, что приращение Ду
и дифференциал dy связаны друг с другом соотношением:
.bx, C)
где s есть величина бесконечно малая, когда Дл стремится к
нулю.
Это основное равенство C) говорит нам, что приращение Ду
функции и дифференциал dy функции отличаются друг от
друга на бесконечно малое высшего порядка, чем kx = dx.
В общем случае производная /' (х) не равна нулю, и, значит,
дифференциал функции dy —/' (л) кл есть бесконечно малое пер-
первого порядка относительно приращения независимого переменно-
переменного Ьх. Но тогда s • Ал есть бесконечно малое порядка выше первого,
и, значит, бесконечно малое приращение Ду функции и дифферен-
дифференциал dy этой функции суть равносильные друг другу бесконечно
малые, т. е. Ду ~ dy, и, следовательно,
По этой причине на практике часто очень сложное по своей
природе приращение ку функции заменяют более простым ее
дифференциалом dy.
Пример 1. Возьмем функцию у = х3 + 5х2 — 4х + 6.
Если независимое переменное х получит приращение Д#, то приращение
функции будет:
Ьу = (х + ДхK + 5 (х + ДхJ — 4 {х + Дх) + 6 — Xs — Ьхг + \х - 6.
Приведение подобных членов дает:
Ду — (Зх2 + 10* — 4) • Дх + C* + 5) * (А*J + (Д*K.
Но, пренебрегая членами высших порядков, мы получим
(Зх2+10х —4).Дх,
а это и есть дифференциал dy нашей функции, как легко убедиться, вычислив
к — 4.
Дифференциал функции есть главная часть приращения функции, по~
лучающаяся зачеркиванием членов высшей малости.
Пример 2. В технике часто применяется приближенная формула
где Ь есть число малое сравнительно с а. Пояснить происхождение этой фор-
формулы.
Решение. Положим / (х) = У1 + х\ имеем вообще
_ f(x) =,Д/(х) ^ df(x) =/' (х) А*
§ 121 МАЛЫЕ ОШИБКИ 279
Значит,
/(х + Дх)=/ (х) + Д/(х) =^/(х) -f df(x) =/(x) +/' (х) Дх.
В частности, для х = 0, находим
Но имеем
Полагая —g = A#, получаем:
Va^+b = af (Дх) % a |/ @) + /' @) • Ах].
Так как / @) = 1 и /' @) = ~, то выводим окончательно:
Пример 3. Найти приближенно объем сферического слоя, имеющего внеш-
внешний диаметр 10 см, а толщину -^- см.
о
Решение. Объем V шара диаметра х есть V=.-^ пх3. Ясно, что точный
объем сферического слоя есть разность ДК между объемами двух шаров с диа-
7
метрами 10 см и 9-5- см соответственно. В целях получения лишь приближен-
о
ного значения ДК мы ограничимся вычислением ДК. Имеем:
„г 1 2 А к dV 1
dVz=z-— tzx2 ax, ибо -г- = — ъх*.
Подставляя х=10 и dx = —5"' мы получаем dV= 19,63 см2, пренебре-
о
гая знаком, обозначающим только то, что V убывает при убывании х. Точная
же величина есть ДК=19,4 см3. Заметить, что приближение является очень
хорошим, когда dx есть относительно малое, т. е. малое по отношению к
х(=10).
Пример 4* Вычислить tg 46° приближенно, пользуясь дифференциалом; при
этом дается, что tg 45° = 1, sc 45° = УТ и 1° = 0,01745 радиана.
Решение. Пусть y = tgx. Имеем dy = sc2х-dx. Когда х переходите
х + dx, у переходит приблизительно в у -\- dy. Подставляя в выражение:
dy = sc2 X'dx
численные значения x = -j-n (соответственно 45°) и dx — 0,0175, находим
rfy = 0,0350. И так как ^ = tg45° = l, то у + dy = 1,0350 = tg 46° приблизи-
приблизительно. Отв. Четырехзначные таблицы дают: tg 46° = 1,0355.
§ 121. Малые ошибки. Второе применение дифференциалов
происходит тогда, когда устанавливают в вычислениях наличие
малых ошибок.
280 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ГЛ. XII
Пример 1. Диаметр круга найден прямым измерением, равным 5,2 см,
причем максимальная ошибка не достигает 0,05 см. Найти приблизительно
максимальную ошибку в оценке площади, вычисляемой по формуле
А = -j- ъхг. (х — диаметр)
Решение. Ясно, что точная величина максимальной ошибки есть АЛ, когда
х переходит от 5,2 см к 5,25 см. Приближенная же величина максимальной
ошибки есть соответствующая величина дифференциала dA.
Отсюда
<М = 4" ™ <**== 4" теХ 5,2X0,05 = 0,41 см2.
Относительная и процентная ошибки. Если du
есть ошибка в оценке и> тогда отношения:
— = относительная ошибка,
100 ~ = процентная ошибка.
Относительная ошибка может быть найдена прямо логарифми-
логарифмическим дифференцированием.
Пример 2. Найти относительную и процентную ошибки в предыдущем
примере.
Решение. Взяв натуральный логарифм от обеих частей равенства
1
имеем:
Дифференцируя, имеем:
1 dA 2 dA 2dx
_ —- = — И —т- = •
A dx х А х
Подставляя # = 5,2, ^# = 0,05, мы находим:
относительная ошибка в оценке Л== 0,0192;
92
процентная ошибка в оценке А = 1 щ %.
Ошибки в вычислении здесь рассматриваются, как происходя-
происходящие от малых ошибок в данных, на которых основано вычисле-
вычисление. Таковые же могут случиться от недостаточной точности
измерения или от других причин.
§ 122. Формулы для нахождения дифференциалов функций.
Так как дифференциал функции равен произведению ее производ-
производной на дифференциал независимого переменного, то отсюда прямо
следует, что формулы для нахождения дифференциалов будут те
#се, что и формулы, служащие для нахождения производных,
§ 123 ДИФФЕРЕНЦ. ДУГИ В ПРЯМОУГ. ДЕКАРТОВ. КООРДИНАТАХ 281
данные в § 57 и 90, если каждую из них умножить на dx. Та-
Таким образом имеем:
III d(u + v — w) = da + dv- dw. XI* d (av) = a° In adv.
IV d(cv) = cdv. XI* d(e°) = evdv.
V d(uv) = шй> -f- уdiu XII rf (и*) = vttv"f rfa + In и• bv
VI d\vn) — nvn~Y dv, XIII
VI* d(xn) = n^l'mX dx. XIV ()
^( sc2t;-flfi; и т. д.
XVII rf(arc sin v) =-^=^=. и"т. д.
Термин «дифференцирование», таким образом, включает в себя
отыскание дифференциалов.
Однако при отыскивании дифференциалов проще всего нахо-
находить производную обычным способом и затем получившийся
результат умножить на dx.
Пример 1. Найти дифференциал от
Решение.
Пример 2. Найти dy из
2b2xdx —
— 6х — x2)dx
откуда
Пример 3. Найти dp из
р2 = a2 cos 28.
= — a2 sin 2в. 2дГв,
откуда
- Да sin 20^
dp = ao.
Пример 4. Найти d arc sin C* — 4/s).
Рш
?/ arc sin Ш 4r) = =
4r) = - = ¦ .
Y1 - C^ - 4t3J Y1 - t2 C - 4^2
§ 123. Дифференциал дуги в прямоугольных декартовых
координатах. Пусть 5 длина дуги AM, измеренная от неподвижной
282
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ГЛ. XII
точки А на кривой. Обозначим приращение дуги s, т. е. дугу
ММ через As. Нижеследующее доказательство основывается на
утверждении, что, когда М приближается к М,
limfхорда ММ\ г
ХХХХХ \ ш ж ш я» I ——— J, v
\ дуга MM j
Из рисунка 137 ясно, что
(хорда ММJ = (&хJ-\-{ИуJ.
Умножив и разделив на (AsJ левую часть и деля обе части
на (АлJ, мы получаем:
/хорда ММ'у /Д«Л2_1 , ftyy
•[Тх) —1~г[п) '
Пусть теперь М при-
приближается к М как к пре-
пределу; тогда Дл;—*0, и мы
имеем
Умножая обе части на
dx2, мы находим
A)
Рис. 137
Если мы теперь извле-
извлечем квадратный корень
из обеих частей этого ра-
равенства и умножим и разделим правую часть на dx, то получим:
dx. B)
C)
Аналогичным преобразованием равенства A) мы имеем:
Все эти формулы A), B) и C) очень полезны.
Далее, так как -^ = tgT, то
(лХ
Поэтому формула B) нам дает, при положительном знаке
квадратного корня, равенство ds — scz-dx. Отсюда мы легко вы-
выводим важные формулы:
1 = 003., g = 8inx D)
[^ dv dy dx , .1
ибо -j- = -г • ~т- = tg т-cos т = sin т .
ds dx d$ ь J
§ 124
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДУГИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
283
Группу формул A), B), C) и D) легко запомнить, ибо они
представляют собой не что иное, как соотношения в фиктивном
прямоугольном треугольнике } (рис. 138) с гипотенузой ds, кате-
катетами dx и dy и углом х, противолежащим катету dy. Для этого
прямоугольного треугольника имеем ds2=dx2+dy2 и соотношения
dx . dy
и sm = -f
cosx =
ds
ds
'dy
Рис. 138
Рис. 139
§ 124, Дифференциал дуги в полярных координатах. Из соот-
соотношений х = р cos 6 и у = р sin 6 между прямоугольными и поляр-
полярными координатами точки, мы получаем:
dx = tosb-dp — psinO-d6 и dy —sin6-dp-j-pcosO-fl!9.
Подставляя эти выражения в формулу A) и извлекая квадрат-
квадратный корень, мы получаем результат:
fpW. E)
Это можно написать также в виде
<¦'+{%
'•аъ.
F)
Для памяти: в фиктивном прямоугольном треугольнике
(рис. 139) с гипотенузой ds, катетами dp и pd6, а также углом
ф между катетом dp и гипотенузой ds, мы имеем очевидные со-
соотношения:
= р! = ?. где р'=|
Пример 1. Найти дифференциал дуги окружности х2 -f* у2 = г2.
Решение. Дифференцируем: ~- = .
Ы.Х/ У
1 Мы называем этот треугольник «фиктивным» потому, что то, что дано
на рисунке 138, в сущности, не является этим прямоугольным треугольником:
вертикальный катет, собственно, равен Д^, а не dy, а гипотенуза криволи-
криволинейна. Однако, пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, мы "можем
криволинейный прямоугольный треугольник, изображенный на рисунке, счи-
считать за прямоугольный. А тогда его элементы, т. е. стороны и углы, тожде-
тождественны с элементами фиктивного треугольника,
284 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ. ГЛ. XII
Чтобы найти ds выраженным через dx, мы пользуемся формулой B),
дающей:
*=
Пример 2. Найти дифференциал дуги циклоиды х = а @ — sin 0),
д; = аA —cos9), выраженный через 0 и Л
Решение. Дифференцируем: dx — a(l — cos 0) db, dy — a sin Ь db. Под-
Подставляя в A), находим:
ds2 = а2 A - cos ОJ rf02 -f a2 sin2 Ш2 = 2а2 A - cos 0) db2.
Так как 1 — cosO = 2 sin2—, то ds = 3asin~-db.
Пример 3. Найти дифференциал дуги кардиоиды р = а A — cos 0), выра-
выраженный через 0.
Решение. Дифференцируем: -^ —asinQ. Подстановка в F) дает:
ds = УЩ\ — cos 9J + a2 sin2 O^Q = a V2 — 2 cos 6-flfQ ==
§ 125. Скорость криволинейного движения как быстрота из-
изменения дуги. Изучая криволинейное движение в § 107, мы на-
нашли, что его скорость v дается уравнением v2 = <v2x~\-<v2, где
vx = -jj и Vy — 'ti4 Подставляя в него эти выражения для vx и vy,
мы находим:
2 (ал)~ \(dy\2 (dxf *{dyf (dxJ-\-(dyf (ateJ (ds}2
dtj i\dt) ~~ (dtf "Г(Л)» — (dtf ~~ (rf^J~" \dtj
Извлекая квадратный корень с положительным знаком, имеем:
ds
v dt'
Словесно:
в криволинейном движении скорость движения точки есть бы-
строта изменения во времени длины дуги траектории.
Это предложение вполне согласуется с определением скорости
прямолинейного движения как быстроты изменения расстояния во
времени (см. § 80).
§ 126. Неизменность формулы для дифференциала функции.
Вид формулы, дающий дифференциал функции, не изменяется
при выборе нового независимого переменного.
Пусть нам дана функция у от независимого переменного х
у=/(х). A)
Тогда формула дифференциала dy этой функции есть
dy=f'{x)-dx, B)
§ 126 НЕИЗМЕННОСТЬ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ 285
где dx есть дифференциал независимого переменного, т. е. произ-
произвольная величина.
Пусть теперь мы начали считать за истинное независимое пе-
переменное не букву ху а букву t> так что х, перестав быть неза-
независимым переменным, превратилась в функцию переменного t:
x = y(t). C)
В этих условиях у также станет функцией нового независи-
независимого переменного t по закону «функция от функции»:
y=f(x)9 x = <p(f), т. е. у=/ЫЩ. D)
Дифференциал dy функции у, вычисленный при новом неза-
независимом переменном t, дается, очевидно, формулой
dy = {f[y (t)]}fdt E)
Можно подумать, что мы получили совсем другое выражение
для дифференциала dy. Но на самом деле, на основании теоремы
о производной функции от функции, мы имеем:
Значит, равенство E) перепишется в виде:
dy=f(x).*'(t)dt. E*)
Но так как выражение -<р' (t)dt есть не что иное, как диффе-
дифференциал функции х, x = y(t), ибо dx = y' (t)dt, то равенство E*)
перепишется, в свою очередь, в виде:
dy=f(x)dx, E**)
и таким образом мы снова возвратились к тому виду B) диффе-
дифференциала, который был нами написан в предположении, что пере-
переменное х является истинным независимым переменным.
Таким образом мы приходим к чрезвычайно важному свой-
свойству дифференциала, выражающемуся словесно следующим образом:
формула дифференциала
dy—f'{u)-du
справедлива во всех случаях: как в том случае, когда и есть
независимое переменное, так и в том случае, когда и есть
функция другого независимого переменного; в этом последнем
случае под множителем йи надо понимать дифференциал
функции и.
В этом смысле часто называют дифференциал dy=f (x) dx функ-
функции у инвариантом преобразования независимого переменного,
ибо выражение /' (л;) dx всегда является дифференциалом функции
286 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ГЛ. ХН
f(x) при любых условиях, т. е. будет ли х переменным независи-
независимым или переменным зависимым от какого-нибудь другого, уже
истинного, независимого переменного.
Совсем иное дело представляет собой не дифференциал dy
функции, а производная у' функции. Ибо, когда х служит неза-
независимым переменным, тогда производная функция у (х) равна у' (х).
Но когда х перестает уже служить независимым переменным, а
является само функцией какого-нибудь независимого переменного t,
то тогда производная от у (х) уже становится равной произведе-
произведению у {х)' х'. Поэтому, говоря о производной, никогда не лишне
указывать, по какому именно независимому переменному берут
производную. Для дифференциала же такое указание
не нужно, ибо оно излишне.
Сделаем применение этого ценного для анализа свойства диф-
дифференциалов.
Пусть у есть функция независимого переменного х
У =/(*).
Тогда производная от у по х напишется в виде отношения:
dy
dx'
Пусть в некоторый момент рассуждения мы увидели, что и
буква у и буква х зависят обе от некоторого истинного неза-
независимого переменного t, так что имеем y~<b(t) и х = у (t), при
сохранении, однако, прежнего соотношения У~/{-х) между
буквами х и у. Значит, имеем тождество ф (t) =f[y {t)\
В этом случае, когда переходят от старого независимого пе-
переменного х к новому независимому переменному t, отноше-
отношение ~, выражавшее при старом независимом переменном х
производную от у по х, теперь приобретает вид:
Но, в силу теоремы о дифференцировании функции от функции.
мы имеем: ф' (*) = {/[?Ш'=/[<Р WH' (')=/' (*)Y W-
Значит, предыдущее отношение равно
Ф'(Q _Л*И'(*)_ /V /уЧ
?() *()
Таким образом, отношение дифференциалов ~-, выражавшее
при старом независимом переменном х производную f (x) от
у по х9 продолжает быть равным этой производной при всяком
другом независимом переменном.
§ 127 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 287
В частности, ~ обозначает производную обратной функции
для f{x), т. е. производную относительно у функции x = F(y),
которую мы получим, решив относительно переменной х уравне-
уравнение
§ 127. Дифференциалы высших порядков. Так как дифферен-
дифференциал функции вообще есть также функция независимого перемен-
переменного, мы можем дифференцировать ее дифференциал. Рассмотрим
функцию
у=/(л);
d (dy) называется вторым дифференциалом от у (или от функции)
и обозначается символом d2y.
Подобным же образом третий дифференциал от у, d [d (dy)]
пишется так: d3y и т. д. до п-го дифференциала от у:
dny.
Так как dx, т. е. дифференциал независимого переменного, не
зависит от х, то, дифференцируя dx по х, нужно рассматривать
dx как количество постоянное \ Зная это, мы придем к весьма
простым соотношениям между последовательными дифференци-
дифференциалами и последовательными производными. Таким образом,
dy =/' (х) dx
d*y^f"{x)dx\ A)
ибо dx рассматривается как постоянное2.
Так же
cry=f{x)dx* B)
и вообще
dny=f{n){x)djf. C)
Разделяя обе части каждого выражения на степень dx, стоя-
стоящую во второй части, получаем обыкновенное обозначение произ-
производных:
d2l — f (X\ ?l — г (х) ^ — Яя> (х\
Заметим, что, в отличие от формулы для первого
дифференциала dy, эти формулы не сохраняют
1 Ибо, как было сказано выше, dx не зависит от х, и, значит, относитель-
относительно х это есть величина, постоянная.
2 Здесь dx2, как и ниже dx3, ..., dxT\ обозначает соответствующую сте-
степень dx, т. е. (dxJ, (dx)s, ..., (dx)n, а не дифференциал степени х, т. е. не
d(x2) и, соответственно, не d(x*), ..., d(xn).
288 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ГЛ. XI!
своего вида, если в них вместо х ввести некоторую функ-
функцию от t
В самом деле, есляу=/(х) и x = y(f), т. е. теперь истинным
независимым переменным является t, то dx в формуле dy —/' (х) dx
уже не будет постоянным, а будет зависеть от t по формуле:
Поэтому при нахождении дифференциала от dy, т. е. d2y, мы
должны воспользоваться формулой для дифференциала произведе-
произведения двух функций /' (х) и dx. Таким образом получим:
y [f(y] [f()]\f(y()
=/* (х) dx.dx +/' (x) -d2x =/" (jc) Же1 +/' {х) d2x. D)
Дифференцируя еще раз и замечая, что не только dx, но и
d2x — ср" (?) гй2 является функцией i, найдем:
*y = d[f(x)dxt-\-f{x)dxt] = d[f(x)dxt]-\'d[f{x)
= d \f (x)] • djt+f (л) • d (^2)+rf [/ (л)] • rf2-^ +/' (x) •
—f [x)dx • ^2 -f/' (x) • 2d*. rf2jc -f/" (jc) c/jc • d^-f/' (*) • ^3-^=
=/" (jc) rfjc3 + 3/' (jc) 6/jc • d2x +/' (jc) rf8x. E)
Аналогично можно получить формулы и для дифференциалов
четвертого, пятого и т. д. порядков сложных функций.
Формула D) показывает, что между выражением dy первого
дифференциала и выражением второго дифференциала d2y есть
огромная разница:
первый дифференциал dy пишется всегда одинаково в виде:
dy=f'(x)dx9
безразлично от того, будет ли буква х истинным независимым
переменным, или окажется функцией какого-либо другого истин-
истинного независимого переменного t;
второй же дифференциал d2y пишется неодинаково в указан-
указанных обоих случаях.
Когда х есть истинное независимое переменное, тогда
но когда х есть функция от некоторого другого, уже
исти иного, независимого переменного t, тогда по D):
§ V2.1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 289
ПРИМЕРЫ
1. Найти третий дифференциал от у = Xs — 2х5 -f- Зх — 5.
Решение.
dy = Eх4 — б*2 + 3) Же,
<у ~ B0х3 — \2x)dx\
d3 60212K
Примечание. Очевидно, это — третья производная функции, умножен-
умноженная на куб дифференциала независимого переменного. Разделяя на (dxK, полу-
получаем третью производную:
?? = 60*-12.
dx3
2. Найти дифференциал второго порядка от у = sin и, u = Yx*
Решение.
dy = cos и diiy
d2y = — sin и da2 -\- cos a d2u,
где гг^г^д;, поэтому, если нужно получить результат в виде непосредствен-
непосредственной функции х, надлежит положить:
и = Vx, du = —^ Же, d2u = ^= rfx2,
2f 4V
после чего получим:
d2y = = (l^x~sin У"х -}- cos V~x) dx\
Аху х
ЗАДАЧИ
Найти дифференциалы следующих функций:
1. у = ах3 — Ьх2 + сх + d. Отв. dy = (Зах2 — 2^х -f с) dx.
i. L 2 1
2. у = 2х2 — Зх3 -|- бх -|- 5. dj; = Eх 2 — 2х ч — Ьх"
3. у =- (а2 — х2K. dy = — 10х (а2 — х2L dx.
4. у = УТ+х. dy= . Х = dx.
7. y — ^ + e-*I. dy=s2(e2*-- е-**)е1х.
8. y = e*lnx. dy=^[l|
9. J=sf-
10. p=tp
u. г— ^ tg o-t-tg^
10 Дифференциальное исчисление
i + sinf
290
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ГЛ. XII
, 1Л . \wxdx
-lnd-^jj—p.
(I -
Для каждой из следующих кривых найти дифференциал дуги, а также ко-
косинус и синус угла касательной с осью ОХ.
17. у2 = 2рх (парабола).
Отв. ds = —
cos т =
; sini = : —
18. х24-у2 = 25 (окружность).
Отв. ds = —; cos т = ^-, sin х = =-.
У О и
v
= ^-
19.
Отв. ds=:
20. 62х2 + а2>;2 = а2&2 (эллипс).
II
= —-а
()
Отв. ds~ if* Г *
о, т а ~~~
Г **?*
cos T = -7
а У а2 - х2
<**> где m^yj^^T2;
Ьх
21. ~ —1~2 == 1 (гипербола).
Отв.
= i- Л/'^f " f dx,
а г х2 —а2
cos т =
; sin т =
где m =
Ьх
22. у = ах9 (кубическая парабола).
Отв. ?fo = y
—
Vm2x2 — а4
sin т ^
23, y2==axs (полукубическая парабола).
OTB. а^Щ^**
+ 9a2x*
2 .
sin т =
Ъах2
—-
у У 4 + 9ах
§ 127 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 291
24. х = a (t — sin t)f у = а A — cos t) (циклоида).
Отв. ds = 2а sin -77 Л; cos х = sin -тг I sin x = cos -jr-
25. x = a cos8 Q, y = a sin8 б (гипоциклоида).
Отв. rfs = 3a sin 0 cos 9 tf; cos x = — cos 0, sin t = sin 0.
26. # = a (k cos ? — cos kt\ y = a(k sin t — sin kt) (эпициклоида).
Отв. flte = 2^a sin v—^—— dt\ cos x = cos —7^—1\ sin % = sm
Для каждой из следующих кривых, заданных в полярных координатах
р и <р, найги дифференциал дуги.
27. р == аср (архимедова спираль).
28. р = — (гиперболическая спираль).
29. р = сР (логарифмическая- спираль).
30. р = a sin cp (окружность).
31. р = a A — cos <p) (кардиоида).
32. p = a sec2-^- (парабола).
33. Вычислить приближенно приращение функции
при переходе переменного х от значения х = 4 к значению х = 4,001. Сравнить
приближенный результат с точным.
Отв. ку ^г 0,043. Точное значение отличается от
приближенного в пятом десятичном знаке.
34. Зная, что lg10 200 = 2,30103, найти lgl0 200,4. Сравнить полученный резуль-
результат с данными таблицы.
35. Объяснить происхождение часто применяющейся в технике приближенной
формулы
где | Ь | есть число малое сравнительно с | а |.
10*
ГЛАВА XIII
КРИВИЗНА, РАДИУС И КРУГ КРИВИЗНЫ
§ 128. Кривизна. В § 85 рассматривалось направление изгиба
кривой. Форма же кривой в точке (ее «вялость» или ее
«искривленность») зависит от быстроты изменения направления.
Эта быстрота называется кривизной в точке и обозначается бук-
буквой /О Нам нужно найти математическое выражение для К*
На рисунке 140 М есть вторая точка на кривой, близкая к М.
Когда точка прикосновения касательной описывает дугу ММ'
(=Д$), касательная поворачивается на угол Дт радианов. Это оз-
означает, что Д-с есть изменение направления касательной. Естествен-
Естественно дать следующие определения:
— = средняя кривизна дуги ММ'.
Кривизна ( = К) в точке М есть предел средней кривизны,
когда М' безгранично приближается к М, т. е.
/^=lim -^=-7- = кривизна в М.
У
^ /
Рис. 141
Иными словами, кривизна есть быстрота изменения наклона
кривой относительно ее дуги (см. § 79),
§ 129 кривизна окружности 293
§ 129. Кривизна окружности. Теорема. Кривизна окруж-
окружности в какой-нибудь ее точке равна обратной величине ее
радиуса и, значит, есть одна и та же во всех ее точках.
Доказательство. На рисунке 141 угол Дх между касатель-
касательными в точках М и М равен центральному углу МСМ между
радиусами СМ и СМ.
Поэтому:
As
Ах угол МСМ' ~R_ J_
As As As R >
ибо угол МСМ измеряется в радианах.
Значит, средняя кривизна дуги ММ окружности есть вели-
величина постоянная. Полагая ^s —>О, мы имеем теорему дока-
доказанной.
С точки зрения кривизны, окружность есть простейшая из
всех кривых, ибо она изгибается равномерно. Ясно, что кривизна
прямой линии везде равна нулю.
§ 130. Кривизна в прямоугольных координатах. Теорема.
Если кривая дана уравнением в прямоугольных координатах, то
К= У" з, . A)
A+/2J
где у' и у" суть первая и вторая производные ординаты у кри-
кривой по абсциссе х.
Доказательство. Так как T = arctgj/', где у' = ^, то,
дифференцируя, имеем:
5=Г&|- B) (по XIX)
С другой стороны, имеем:
Деля B) на C), получаем искомую формулу A).
Упражнение. Если у есть независимое переменное, доказать, что
где хг и х" суть первая и вторая производные абсциссы х кривой по ординате у.
Формула D) полезна, как дополнительная формула, в тех случаях, когда
дифференцирование по у проще, К гому же, формула C) перестает
294 КРИВИЗНА, РАДИУС И КРУГ КРИВИЗНЫ ГЛ. ХШ
служить, когда у' становится бесконечностью, т. е. тогда, когда касательная
в точке Р вертикальна. Тогда надо пользоваться формулой D), где теперь
х' = 0и где поэтому К — — х".
Знак кривизны К- Выбрав положительный знак для знамена-
знаменателя формулы C), мы видим, что К и У имеют одинаковый знак.
Это означает, что кривизна К положительна или отрицательна
в зависимости от того, направлена ли кривая своею вогнутостью
вверх или вниз.
Пример. Найти кривизну параболы
У2 = fyx
в точке (/?, 2р).
Решение*
dy_ 2р rf*y __2p<fy 4р2
dx у ' dx? у2 dx у*
Подставив в C), имеем:
это дает кривизну в любой точке. В точке (ру 2р)
16/2./78 4]/~2'.р#
§ 131. Кривизна в параметрической форме. Если кривая за-
задана в параметрическом виде, то имеем:
где <р и 6 суть данные нам функции параметра t Сообразно
с этим мы теперь обозначаем штрихом' взятие производной
по параметру t, так что х\ у', х\ у" обозначают первые
и вторые производные от координаты х и у по параметру t.
л — dt> у — dt> x —~dF*> y —~dt*-
Теперь формулу кривизны К в прямоугольных координатах
уже нельзя писать в виде формулы A), ибо в ней штрихом тогда
обозначалось взятие производной по абсциссе х, а не по пара-
параметру t, которого тогда еще не было. Поэтому кривизну эту
сейчас надо написать так, чтобы было явно указано, что диффе-
дифференцирование производится все время по абсциссе х. Итак, мы
переписываем теперь формулу кривизны К в виде:
2
§ 131 КРИВИЗНА В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 295
Выразим обе производные ^ и ^ через четыре количества:
\ / х"
х\ /, х" и /'.
Прежде всего имеем:
dy dt_ /_.
dx cfx x' *
Затем
//
fl— A (*f\ — А.(у1\ = U'
dxz dx \dx) dx\x'J dx dx^
dt
Подставляя найденные выражения для^ и ¦—$ в формулу A*),
E)
окончательно получаем:
Эта формула удобна, но лучше сначала вычислить -j- из
равенства: ^==^-|^-== h(t), потом вычислить ^ из равенства:
^==-^-^===гг|т~ и, наконец, подставить найденное в формулу
кривизны A*).
Пример. Найти кривизну циклоиды
х = a (t —т sin /), у = а A — cos *).
РешенЪе.
dx /л dy
— z=a(l — cost), ~z=^asmt\
d2y
jp — acost.
fx_
Подставляя в формулу E), найдем:
„ gcos^'g A — cos t) — a s\nt*a sin*
[a2 A — cos tf + a2 sin21]A
cos t — 1 1
4a sin -sp
296 КРИВИЗНА, РАДИУС И КРУГ КРИВИЗНЫ ГЛ. ХТ11
132. Кривизна в полярных координатах. Теорема. Если
кривая дана уравнением в полярных координатах, то
-*. F)
где р' и р" обозначают, соответственно, первую и вторую про-
производные от р по 6.
Доказательство. Отнесясь к § 109 и к рисунку 127, мы
видим, что т = 6-}~Ф* где 6 есть полярный угол точки М (р, 0)
кривой, а ф есть угол между радиусом-вектором ОР и каса-
касательной в точке Ж. При этом мы знаем из § 109, что
tg ф = ??- и» значит, c^ = arctg4-. Из первого равенства следует,
ЧТ0 5~Q=1+i> а И3 ВТОРОГО
Значит,
С другой стороны, из § 124 мы имеем:
g=(P2 + p?- B)
Деля равенство A) на B), имеем окончательно нужную нам4
формулу F) кривизны.
Пример. Найти кривизну логарифмической спирали р = аё^ в любой точке.
Решение.
Подписав в формулу F), найдем:
§ 133. Радиус кривизны. По аналогии с окружностью радиус
кривизны R в какой-либо точке кривой равен обратной величине
кривизны К в этой точке, т. ^в/<=^г. Поэтому из формулы
A) кривизны в прямоугольных координатах находим;
§ 134 рельсовый путь или переходные кривые 297
Пример. Найти радиус кривизны в любой точке цепной линии
.if Л
~а . ~~ а
Решение.
х ч / х а:
* « ) d2y \ [ а
Подставляя в G), имеем:
+ е-е
?Ч1, 2 / * *\*
Л 1 /«
ff^L \ 2 /J _N 2 / _ у ¦ ;_у2
J а(е«+е а^
а
2а
§ 134. Рельсовый путь или переходные кривые. При прокладке рельсо-
рельсового пути не дозволяется, вследствие высокой скорости поездов, резко пере-
переходить от прямолинейно протянутой колеи к дуге круга. Для того чтобы
сделать изменение кривизны постепенным, инженеры употребляют переходные
кривые, связывающие прямолинейную часть колеи с круговой колеей. Эти кри-
кривые имеют нулевую кривизну в точке стыка с прямолинейной колеей и кривизну
кривой колеи в точке соединения с этой последней. Как переходные кривые
вообще употребляют дуги кубических парабол.
Пример. Переходная кривая на рельсовом пути имеет форму дуги кубиче-
кубической параболы у = -$- х3. Q какою скоростью вагон на этом пути изменяет свое
о
направление (за единицу длины принята миля), когда он проходит через:
р ( дцу д р ),
(а) точку C, 9)? (Ь) точку B,-|) ? (с) точку A,1
Решение.
2jc
Подставляя в формулу кривизны A), имеем: АГ=
(а) в C, 9), К=-—^ радиан на милю=^=28' на милю;
(Ь) в
f 2, -5-) » ^== з" Радиан на милю^:3°16' на милю;
A7)Т
A7)
/ 1 \ 2
(с) в f 1, -я-), К=—з* РаДиан на милю^= 40°31' на милю.
Г2
§ 135. Круг кривизны. Рассмотрим на кривой какую-нибудь
точку М (рис. 142). Мы можем построить в кзждрй точке
Дифференциальное исчисление
298
КРИВИЗНА, РАДИУС И КРУГ КРИВИЗНЫ
гл. хщ
кривой круг, имеющий ту же кривизну, что и кривая в этой
точке.
Этот круг строится следующим образом: проводим нормаль
к кривой в точке М в направлении вогнутости кривой. Берем
на нормали расстояние МО> равное радиусу кривизны /? кривой
С в точке М. Из точки О как из центра описы-
описываем круг радиусом R. Следовательно, кривизна
круга
К
касательной
точке пере-
т. е. совпадает с кривизной кривой в точке М.
Круг, построенный таким образом, называется
кругом кривизны кривой в точке М.
В общем случае круг кривизны кривой в точке пересекает
кривую в этой точке, как это наглядно показывает рисунок 142
(сравните это явление с
^ поведением
прямой в
гиба).
Подобно тому как ка-
касательная к кривой, харак-
характеризуя направление кри-
кривой в точке, помогает
лучше представить себе
v, течение кривой в точке,
круг кривизны способ-
способствует лучшему пред-
представлению о кривизне кри-
кривой в точке, ибо скорость
изменения направления у
кривой и у круга кри-
кривизны одна и та же в
рис 143. точке М.
В § 142 круг кривизны
будет определен иначе: методом, аналогичным методу определе-
определения касательной (см. § 56).
Пример. Найти радиус кривизны равносторонней гиперболы ху = 12 в точке
C, 4) и построить круг кривизны в этой точке (рис. 143).
Решение.
_
их
dx2 х2 '
§ 135 задачи 299
В точке C, 4)
dx~~ 3 ' rfx2""~ 9 '
9
Круг кривизны пересекает гиперболу в двух точках.
ЗАДАЧИ1
1. Найти радиус кривизны нижеследующих кривых в указанных точках;
вычертить каждую кривую и построить соответствующий круг кривизны.
a) Ь2х2 + агу* = a2b2, (a, 0). Отв. R =± —.
b) Ъ*хг + ау = а*Ь\ @, Ъ). R = ^.
с)); = х4-4х3-18х2, @, 0). /?==4-
d) 16/ = 4х* - х\ B, 0). ^ = 2.
e) у = х«, ^, ь). ^ =
f). / = *•, D, 8). . А
^2
4
1) хг=4ау, @, 0).
j) (y-3*f = »*,{0, 0).
k) b*x
2. Найти радиус кривизны кривой а2у ~bx2 + cx2y в начале.
От
3. Показать, что радиус кривизны кривой у2 = — в вершине ра-
Отв. R = ~.
вент.
1 Во всех случаях вычисляется абсолютная величина кривизны и радиуса
кривизны. Постоянные величины всюду предполагаются положительными.
300 КРИВИЗНА, РАДИУС И КРУГ КРИВИЗНЫ ГЛ. XIII
4. Найти радиус кривизны кривой у = In sec х в точке {xv уг).
Отв. R = sec xv
A. i. i
б. Найти /С в любой точке параболы х2 -(-)/2 =а2 .
Отв. Р=——
6. Найти /? в произвольной точке гипоциклоиды
Л. *. 1.
хш+уш=а\
ОТВ. /?=:;
7. В какой точке кривая у = ех имеет наименьший радиус кривизны?
8. Показать, что в точке перегиба любой кривой радиус кривизны при-
принимает бесконечно большое значение.
Найти радиус кривизны следующих кривых в любой или в указанной точке:
9. Кривая | * II |f L t* tssl. Отв. R = 6.
10. Гипоциклоида < ^ — # gj^' t = tv R=Ъа sin tx cos tv
= д (cos / + * sin *)> я ла
11. Кривая <( tz= —. ^-j- ,
; = a (sin ? — tf cos t\ г 2
12. Кривая < ^==^0' ^? = л sin
1 у s= a (m sin ^ — sin m?), m — l
13. Окружность p = a sin 0. # = ? ,
14. Спираль Архимеда р^=а6Ф /?= p2 4-2a2 *
2
15. Кардиоида р = a A — cos 0). /? = -3 V Щ*
a2
16, Лемниската p2 = a2 cos 2 0. /?=g-.
17. Парабола p = asec2 1. ^ ===2a 8ec, _J #
18, Кривая p = asin81. i?=l
4-.
о
19. Трисектриса Р = 2a cos в - a, /?= a? -4cos9)T.
v 9 — о cos »
§ 136 ЦЕНТР КРИВИЗНЫ 301
^
20. Равносторонняя гипербола р2 cos 6 = a2. R = ^.
а A — е2)
21. Коническое сечение р = —^ (-.
г 1 — б cos Ь
О Д A — g2) A — 2е cos 9 — е2K
' A — е cos 6)8
22. Путь, по которому идет автомобиль, представляет собой эллипс
x2-f-16^2= 16. С какой скоростью автомобиль меняет направление:
a) когда он проходит через конец большой оси,
b) когда он проходит через конец малой оси,
c) когда он находится на расстоянии двух километров от малой оси?
(За единицу длины принят километр.)
Отв. а) 4 радиана на километр,
b) jg радиана на километр,
32
c) ото РаДиана на километр.
23. Пароход движется по дуге полукубической параболы 4у2 = ;с5. Если
предположим, что линия берега совпадает с осью ОУ и что за единицу длины
принят километр, то с какой скоростью изменяет пароход свое направление,
когда он находится на расстоянии одного километра от берега?
21
Отв. trc радиана на километр.
24. С какой скоростью меняет свое направление мотоциклетка, переме-
перемещаясь по кругу, имеющему 0,5 км в диаметре?
Отв. 4 радиана на километр.
25. Железнодорожное полотно имеет форму кривых, приближающихся
к виду дуг нижеперечисленных кривых. С какой скоростью меняет направле-
направление движения паровоз в указанных точках? (Единица длины — километр.)
ъ)у = х\ B, 8). d) у = е\ х = 0.
b) 37 = x2, C, 9). e)^ = c
c) x2-/ = 8, C, 1). f) pO = 4, 6 = 1. *
При укладке железнодорожных рельсов, вследствие большой скорости
движения поездов, нельзя резко переходить от прямолинейного участка к кри-
кривой части пути. Для постепенного изменения направления при соединении пря-
прямолинейных участков с- кривыми вводятся поэтому переходные кривые. В каче-
качестве переходных кривых употребляются обыкновенно дуги кубической параболы.ч
26. Найти радиус кривизны в каждой максимальной и минимальной точке
кривой у = х* — 2х\ Вычертить кривую и круг кривизны. Найти точки на
кривой, где радиус кривизны имеет минимум.
27. Показать, что в точке с минимальным радиусом кривизны на кривой
yz=zf\x) имеем соотношение
§ 136. Центр кривизны. Касательная к кривой, проведенная
в точке М(х> у), обладает тем свойством, что х> у ну' имеют
те же самые численные значения в точке М для касатель-
касательной прямой и для самой кривой. Круг кривизны имеет
аналогичное свойство, а именно х, у, у' и у" имеют те же
самые численные значения в точке М для круга кривизны и для
самой кривой.
302 КРИВИЗНА, РАДИУС И КРУГ КРИВИЗНЫ ГЛ. ХП1
Определение. Центром кривизны (а, р) в точке М(л, у)
кривой называется центр круга кривизны в этой точке.
Теорема. Координаты (а, р) центра кривизны в точке
М(х, у) суть:
a=x_t±L±ll, P==J,+<1±A. (8)
Доказательство. Уравнение круга кривизны есть
{X-O.y + {y-W=:R\ A)
где R дается формулой G).
Дифференцируя A), имеем:
Из правого равенства B), после подстановки R из уравнения
G) § 133, мы получаем:
±pl> значит: j,_p = _!±^!. C)
Из левого равенства B) мы выводим, пользуясь соотноше-
соотношением C):
Решая уравнение C) относительно р, а уравнение D) относи-
относительно а, мы получаем искомые формулы (8).
Упражнение 1. Вывести (8) прямо из рисунка, употребив формулы
D) § 123 (а = ;с —/?sint, p z=y-\-R cost и т. д.) (рис. 144).
Упражнение 2. Если х' и х? суть первая и вторая производные от х
по у, требуется вывести формулы для а и {J в виде:
*/2 0 У A4- х")
(8*)
Примечание. Формулами (8*) пользуются: либо тогда, когда у9 стано-
становится бесконечностью, либо когда дифференцирование по у проще.
Пример. Найти координаты центра кривизны параболы у2 = Арх соответ-
соответствующие: а) любой точке кривой; Ь) ее вершине (рис. 145).
Решение.
dy_ 2р. дРу Ар2
dx у ' dx2 у* *
а) Подставляя в (8), имеем:
±
у2
§ 137
Эволюты
303
есть
Следовательно, центр кривизны, соответствующий любой точке кривой,
Ъ) Центр кривизны, соответствующий вершине @, 0), есть Bр, 0).
Рис. 144
Рис. 145
Из предыдущего мы знаем, что в точке перегиба (какова
точка Р на рисунке 146) мы имеем -Д = 0. Отсюда формула для
%^их
кривизны К показывает, что в точкб перегиба К=0. Далее, из
формулы для а, р и R мы заключаем, что, во-
вообще, эти величины безгранично увеличиваются
по мере приближения точки М(х, у), движущейся
по кривой, к ее точке перегиба, если, разумеется,
касательная в таковой не имеет вертикального
положения. Это же означает, что если мы пред-
предположим точку М (л, у) вместе с ее касательной,
движущейся по кривой к точке М\ то в точкб
перегиба Р кривизна делается равной нулю, вра-
вращение касательной на мгновение приостанавли-
приостанавливается, причем после этого направление вращения
изменяется, центр движущегося круга кривизны
уходит в бесконечность, и радиус* кривизны становится также
бесконечным.
§ 137. Эволюты. Геометрическое место центров кривизны
данной кривой называется эволютой этой кривой.
Рассмотрим круг кривизны соответствующей точки М кривой.
Если точка М будет двигаться по данной кривой (рис. 147), то
можно предположить, что вместе с ней катится по кривой и со-
соответствующий круг кривизны, причем его радиус изменяется,
будучи всегда равен радиусу кривизны кривой в точке М. Кри-
Кривая, описанная центром круга, и будет эволютой кривой ЛШ7.
Рис 146
304
КРИВИЗНА, РАДИУС И КРУГ КРИВИЗНЫ
ГЛ. XTU
Формула (8) § 136 дает координаты (а, р) любой точки эво-
эволюты, выраженные в функции координат соответствующей точки
(х} у) данной кривой. Но у есть функция
х, следовательно,
dx2 dx2
тотчас дают нам параметрические урав-
уравнения эволюты в функции параметра х.
Чтобы найти обыкновенное уравнение
эволюты в прямоугольных координатах,
исключим из этих двух выражений х.
Нельзя дать общего способа исключения,
который был бы приложим во всех случаях, ибо удобоприменимый
метод зависит каждый раз от форм данного уравнения. Дем
не менее, в большинстве случаев можно находить уравнения
эволюты в прямоугольных координатах, поступая следующим
образом.
Общие указания для нахождения эволюты
Первый шаг. Ищем координаты центра кривизны a s p
из (8) § 136.
Второй шаг. Решаем два полученные уравнения относи-
относительно х и у, выражая их в функции аир.
Третий шаг. Эти значения х и у подставляем в данное
уравнение. Это и дает нам соотношение между переменными
а и Р; представляющее уравнение эволюты.
Пример 1. Найти уравнение эволюты параболы у2 = <
Решение»
Первый шаг.
Второй шаг.
Третий шаг.
?
dx у '
'4р2'
ИЛИ
i(
§ 137
эволюты
305
Припоминая, что а обозначает абсциссу,, а $ —ординату прямоугольной
системы координат, мы видим, что эволютой параболы ЛОВ служит полукуби-
полукубическая парабола DCE, причем центры кривизны находятся соответственно в
С, d, С2 и т. д. (рис. 148).
Пример 2. Найти уравнение эволюты эллипса
Решение.
dy_ ЬН_
dx ~~ а2у •
fy b*
dx2 ay
Первый шаг.
Второй шаг.
{а2 — Ь2) х*
а = ? '
g_ (д*-Ь2)у*
г — ил
Ь*
t 1
/ а*а \8 / Ь*$ \Т
Третий шаг.
и будет уравнение эволюты ЕНЕН* эллипса АВАВ\ Точки Я, &, Н*> И суть
центры кривизны, соответствующие точкам Л, А\ В, В' кривой, а С, С, С
соответствуют точкам М, М\ №' (рис 149).
Если уравнения кривой даны в параметрической форме, то
начинаем с отыскания
dy d*y
306
КРИВИЗНА, РАДИУС И КРУГ КРИВИЗНЫ
ГЛ. XIII
как в § 131, именно:
d±
dy_ dt
dx~ dx '
dt
dx d2y dy d2x
(Py ltl?~~dt'd?
dx2 (dxy '
\dt)
а затем подставляем результаты в формулы (8) § 136. Это и даст
параметрические уравнения эволюты в функции того самого па-
параметра, который фигурирует в данных уравнениях.
Y
(A)
(B)
Рис. 150
Пример 3. Параметрические уравнения кривой суть:
*3
х—
(С)
Найти уравнения эволюты этой кривой в параметрической форме, постро-
построить кривую и эволюту, найти радиус кривизны в точке t = \ и построить в
этой точке круг кривизны.
Решение.
Нх t dzx 1
Ж~~~~2' W~~1l*
ST = T' li2==t
Подстановка в формулы (А) и (В) и затем в (8) § 136 дает:
§ 137
эволюты
307
Эти соотношения и являются уравнениями эволюты в параметрической
форме.
Построим теперь кривую и ее эволюту (рис. 150).
Точка (-Ту 0 j — общая для данной кривой и ее эволюты. Данная кривая
(полукубическая парабола) расположена вправо, и ее эволюта влево от прямой
x = -j. Круг кривизны в точке А (-~-, -g-J , для которой tj=\, имеет центр
в точке А' ( ——, -г J , лежащей на эволюте, и радиус его равен АД'. Чтобы
проверить эти результаты, найдем радиус кривизны в точке A L-^-, -g-J . Со-
Согласно формуле E) § 131, будем иметь:
к
Рис. 151
(при *= 1), и это значение совпадает со значением длины отрезка АА'\
Пример 4. Найти параметрические уравнения эволюты циклоиды
х = a (t — sin t), )
yz=:a{\ — cos*). /-
Решение. Действуя, как в примере § 136, найдем:
dy sin t
dx 1 — cos * '
^y__ 1
(Е)
Подставляя эти результаты в формулы (8) § 136, получим:
а =вa(f-f sin*)» \
? =—аA -cos*). /
(F)
Примечание. Если исключить t m уравнения (F), то получится урав-
уравнение эволюты данной циклоиды 0ММ\ ^рис. 151), отнесенное к осям ОХ
308 КРИВИЗНА, РАДИУС И КРУГ КРИВИЗНЫ ГЛ. XIII
и OY. Преобразуем уравнения (F), отнеся их к новым осям ОХХ и OY^ посред-
посредством формул
а = х1 — па, §=zyl—2a, t~tl — к.
По подстановке в (F) и по упрощении уравнения эволюты примут вид:
Так как (G) и (Е) тождественны по форме, то заключаем, что
эволюта циклоиды сама есть циклоида, производящий круг которой равен
производящему кругу данной циклоиды,
у § 138. Свойства эволюты. Эво-
Эволюта имеет два интересные свойства.
Теорема /. Нормаль в точке
М(х, у) к данной кривой есть ка-
касательная к эволюте, причем точ-
точкой прикосновения ее к эволюте
служит центр кривизны С (а, р)
для точки М.
Доказательство. Из рисун-
рисунка 152 мы имеем:
0
/
/
/
1
1
\
S
. В
' А
ч
N
[осе] \
До 1/ >^ '
i I
)
OS т. }
Рис. 152 P=);-|-/?COST
Отрезок МС лежит на нормали к кривой в точке М, и мы
имеем:
^ v — I 1
tg наклона МС=Х _а = [ГГ1^
= tg наклона нормали в точке М.
Мы теперь должны показать, что tg наклона эволюты в точке
С (а, р) равен tg наклона МС. Заметим, что
tg наклона эволюты =—¦, B)
ибо аир суть прямоугольные координаты какой-нибудь точки
эволюты.
Выберем за независимое переменное длину дуги s данной
кривой. Тогда х, у, /?, х, а, р суть функции буквы s. Дифферен-
Дифференцируя A) по 5, получаем:
$-?-«*»¦?+«»«§.
§ 138 свойства эв'олюты 309
Но ^ = cost и ^- = sinx [формулы D) § 123], и также
-— = -1 Подставляя это в C) и в D) и произведя приведение,
мы получаем:
da . dR rfp dR /с;ч
Наконец, деля второе равенство E) на первое, мы имеем окон-
окончательно:
^-=—ctgx = — yL = наклону МСУ ч. т. д. F)
Теорема 2. Длина дуги а эволюты всегда равна разности
радиусов кривизны /^ и R2 данной кривой, прикасающихся к а
в ее концах, лишь бы вдоль соответствующей дуги s данной
кривой R изменялся монотонно (т. е. все время либо возра-
возрастая, либо убывая).
Доказательство. Возвышая в квадрат равенства E) и
складывая их, мы получаем:
ZYjl(UY(Y G\
ds) + \ds) —\dsj- {/>
Далее, обозначая через а длину дуги эволюты, имеем, оче-
очевидно,
по формуле A) дифференциала дуги (см. § 123).
Отсюда равенство G) утверждает, что
Но так как вдоль дуги s данной кривой радиус кривизны /?
изменяется монотонно (согласно нашему предположению, заранее
оговоренному в теореме), то мы все время имеем:
мб0%=+1> тб° аН—1- (9)
Это же означает, что быстрота изменения дуги о эволюты
по отношению к радиусу кривизны R есть величина постоян-
постоянная, равная: либо -\~lf либо —1.
В § 79 было указано, что когда какая-нибудь величина у
изменяется с постоянной быстротой а относительно переменной xf
то тогда изменение ку, вызванное переходом х от прежнего чис-
численного значения х к новому численному значению х -f- Ajct строго
равно быстроте изменения а, умноженной на Дя, т, е. Ду=
310
КРИВИЗНА, РАДИУС И КРУГ КРИВИЗНЫ
ГЛ. XIII
Отсюда мы выводим1, что в рассматриваемом случае соответ-
соответствующие приращения дуги эволюты а и радиуса кривизны R
должны быть численно равными. Это
означает, что
или, на рисунке 147, дуга
СС1 = ±(М1С1—МС)9 ч. т. д.
Этим теорема доказана.
В примере § 131 мы имеем:
R=-
2 '
55?
^3
Это выражение мы получаем, подставляя
dy d2y
наиденные там производные ~ и -~, выра-
выраженные через параметр t, в написанную здесь формулу радиуса кривизны R.
Из этого выражения мы видим, что имеем для t = О также и R = 0, и что
имеем для t — ъ величину R = — 4а. Отсюда мы заключаем, что в точке О
радиус кривизны нулевой, а в точке MV— равный 4а. Поэтому дуга OCCV
нижней циклоиды равна 4а (рис. 151).
Длина дуги циклоиды равна восьми радиусам производящего круга.
§ 139. Эвольвенты и их механическое построение. Предста-
Представим себе, что некоторая гибкая линейка согнута в форме кривой
СХС9 (рис. 153), т. е. в форме эволюты кривой МгМ9, и пред-
предположим, что нить длины RQ) одним концом укрепленная в точке
С9, огибает эту линейку (или кривую). Из результатов последнего
параграфа ясно, что если эту нить развернуть и натянуть, то
свободный конец ее опишет кривую МгМ9.
1 Мы должны здесь подчеркнуть, что этот вывод, безусловно, верный сам
по себе во всех случаях, не является, однако, здесь вполне оправданным, ибо
в сказанном параграфе речь идет о постоянстве средней быстроты, здесь же
мы имеем дело лишь с постоянством мгновенной быстроты. Ясно, что если
средняя быстрота постоянна и равна, например а, то мгновенная быстрота
также постоянна и равна той же величине а. Но обратное заключение о по-
постоянстве средней быстроты при постоянстве быстроты мгновенной не является
очевидным и есть, собственно, дело интегрального исчисления. А в нашем
случае мы как раз и сделали это обратное заключение о необходимости либо
равенства о — /? -|- постоянное, либо равенства а = —¦ R-\- постоянное, исходя
из равенства (9), т. е. исходя из постоянства лишь мгновенной быстроты, а не
средней. Из доказанных равенств (9) следует только то, что: либо имеем
для всякого R равенство 7Z = 0, либо ' ~/—~ = 0. Но что функция,
CtR uR
имеющая производную тождественной нулю, есть величина постоянная, т. е.
что имеем либо о — R — постоянной, либо a-j-R = постоянной, это дело уже
интегрального исчисления.
§ 139 ЭВОЛЬВЕНТЫ И ИХ МЕХАНИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ 311
Кривая МхМъ называется «эвольвентой» кривой С^^ Очевидно,
любая точка нити опишет эвольвенту, так что данная кривая
имеет бесчисленное множество эвольвент, но только одну эво-
эволюту.
Эвольвенты Af,/W9, M[M'9, М[Щ называются параллельными
кривыми, ибо расстояние между любыми двумя из них, измеряе-
измеряемое по их общим нормалям, постоянно.
Рекомендуем учащемуся ради упражнения построить параболу
и эллипс (§ 137) по их эволютам.
ЗАДАЧИ
Найти координаты центра кривизны и уравнение эволюты для каждой из
следующих кривых:
X2 V2
1. Гиперболы ~2—jT-=\.
отв.а —
5 , р ^
22 г
уравнение эволюты: (аа) 3 — (b$) 8 = (a2 -f- b2) 3.
2 2 2
2. Гипоциклоиды х3 -\~уъ = # 3 •
12 2 1
Отв. а = х + 3х* у* , р =у + Зд:3_у8
2 2 2
уравнение эволюты: (a -f" РK 4" (а "" Р) 3 == 2^3 .
3. Найти координаты центра кривизны кубической параболы у* = а2л:.
4. Показать, что для параболы я а -|- у 2 = а 2 имеет место соотношение
pr=3(x-fy).
5. Дано уравнение равнобочной гиперболы 2ху = а2, показать, что
Отсюда уравнение эволюты (a -f- fK — (а — р)8 ==2а3.
Найти параметрические уравнения эволют следующих кривых в функции
параметра t.
а г«г»Лт»М1/т1Л«я« / # = л cos8^, г>^п I a = a cos8/ 4- 3# cos/ • sin2/.
6. Гипоциклоиды lyy = a sin,,; Отв. | р = а sin^ ^ 3fl cog^# sin<
312 КРИВИЗНА, РАДИУС И КРУГ КРИВИЗНЫ ГЛ. ХШ
т.
Г л: = 4<, t a = -t>,
\ y=3 + ^. \ р = 11+ЗЛ
f x = 9-<*, f e = 7-3
\ y = 2t \ р=-2Л
17. Полукубической параболы л;8 = ад;2.
уравнение эволюты: 729а?2 = 16 [2а + Vа? — 18аа]2 [Va* — 18аа — а].
18. Трактрисы х = а\п а~^~ V ** ~~У Уаг — /.
a-X-V а2 — v2 а2 а / — ——\
Отв. а = а1п—^-^ —, р=—уравнение эволюты: ?=y ( еа4-е а ).
§ 140, Преобразование производных. Некоторые формулы,
выводимые выше самостоятельно, т. е. каждый раз отдельным
образом и, преимущественно, на основе геометрических соображе-
соображений могут быть получены сразу из других формул, устанавли-
устанавливающих соотношения между производными. Здесь представлены
два случая.
Обмен ролей функции и аргумента.
Обозначение. Пусть у' = |-:> / = 7?я§ и т* д#
, _dx Yn_dx' _d4
§ 140 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ 313
Тогда, по формуле IX § 57, имеем:
Прежде всего, по самому смыслу обозначения у\ имеем:
df_ rf/
„ d/_ dy__ jy_
y dx dx_ x' *
dy
С другой стороны, ищем -—. Имеем:
dy' V х' ) г , /1Ч1 х"
d^=d^T ^по Ф°РмУле A)]
формуле A)] = — zrr.
Значит:
У" = -?- B)
Далее, по самому смыслу обозначения у"\ имеем;
dy^ df_
df
С другой стороны, ищем -?-. Имеем:
ff jjqfl [„ формул,
Значит:
И так далее для высших производных. Этими формулами выра-
выражения, составленные из у\ у", у'" и т. д., преобразуются в вы-
выражения, состоящие из х\ хЛ\ х'" и т. д.
Пример. Преобразовать выражение кривизны /С, полученное в предполо-
предположении х независимым переменным, в выражение, где за независимое перемен-
переменное принято у.
Решение. В § 136 мы получили /С= —-^ считая за независимое
A + У/2)Т
переменное к. Пользуясь формулами A) и B), мы теперь имеем:
314 КРИВИЗНА, РАДИУС И КРУГ КРИВИЗНЫ ГЛ. XIII
Переход от прямоугольных координат к полярным. Преоб-
Преобразование прямоугольных координат в полярные дается формулами
аналитической геометрии
,* = pcosO и j/ = psin6. A)
Если полярное уравнение кривой есть р=/@), тогда уравне-
уравнения A) являются параметрическими уравнениями для
этой кривой, ибо 6 есть параметр, раз р выражен тоже через 6.
Обозначение. Независимое переменное есть 6, и х\ х\ у',
у", р', р" обозначают последовательные производные этих пере-
переменных по 6.
Дифференцируя соотношения A), имеем:
х' = — р sin Й -f- p' cos 6, у' = р cos 9 -f- p' sin 6;
х" = — 2р' sin 0 + (р" — р) cos 6, у" = 2р' cos 9 + (р" — Р) ™ 9-
Формулами A), B) и C) выражение, составленное из х, у, х\
У, х\ у\ преобразуется в выражение, состоящее из р, 9, р', р".
Пример. Вывести кривизну К в полярных координатах прямо из ее выра-
выражения в параметрическом виде.
Решение. В § 131 мы имеем К= ху" ~~*"\ -.
Беря числитель и знаменатель отдельно, мы подставляем выражения B)
и C) и делаем приведение. Это нам дает:
Отсюда мы прямо получаем выражение кривизны в полярных координа-
координатах, данное в § 132 на основе геометрических соображений.
ЗАДАЧИ
В задачах 1—5 переменить роли независимого и зависимого переменного.
dy . dv Л
dx2 ' -^ rfx
fdx\2 Л
-у т =0.
6, Преобразовать
X -f V
dx *
§ 140 задачи 315
принимая х = р cos 0, у = р sin 9.
Отв.
/-¦+C
2
7. Пусть /(#, j0 = 0 уравнение кривой. Найти выражение для ее наклона
dy\
~~- ) в полярных координатах.
(XX j
^ dy
Отв. -f- =
dx
8. Преобразовать уравнение -т\ — -j Ън~Л~'л ъ — ® в предполо-
иХ 1 — X С1Х 1 — X
копии х = cos t.
Отв. 5+^=0.
5
9. Преобразовать уравнение xz-r\-\-2x-^--\—5<у = 0,предполагая х = -т- .
Отв. g + a^ =
ГЛАВА XIV
ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 141. Теорема Ролля. Эта теорема лежит в основании тео-
теоретического развития дифференциального и интегрального исчис-
исчислений.
Читается эта теорема так.
Если, во-первых, непрерывная на отрезке [а, Ь] функция
f(x) обращается в нуль в его концах, f(a) = 0 и f(b) = O, и
если, во-вторых, она имеет во всякой внутренней его точке
производную /'(х), то тогда эта производная должна быть
равной нулю в некоторой внутренней точке ? этого отрезка,
т. е. мы должны иметь f'{?) = 0> где <$<6
Рис. 154
Доказательство этой сильной теоремы совпадает с ее
геометрическим истолкованием. В самом деле, раз функция f(x)
непрерывна на отрезке [а, Ь\ то уравнение
изображает некоторую непрерывную кривую дугу АСОВ (рис. 154).
Далее, раз мы имеем /(а) = 0 и f(b) = O, эта кривая дуга своими
концами А и В должна опираться на ось абсцисс. Наконец, раз
§ 141 ТЕОРЕМА РОЛЛЯ 317
имеется производная f'{x) в каждой внутренней точке отрезка
[а, Ь\ то рассматриваемая дуга АСОВ в каждой своей промежу-
промежуточной точке М, лежащей между ее концами А и В, имеет
касательную ТТ', т. е. вполне определенное направление и, зна-
значит, вполне определенный наклон к горизонту (т. е. к оси
абсцисс ОХ).
Если в какой-нибудь точке М касательная ТТ к дуге не
параллельна горизонту, образуя с осью абсцисс некоторый нену-
ненулевой угол 0 (либо острый как в М, либо тупой как в Л/),
тогда горизонтальная прямая EF, проведенная через М, разрежет
дугу АСОВ на две части так, что ее точки будут лежать
по разные стороны от EF (рис. 155).
Действительно, раз касательная ТТ не параллельна оси ОХ9
го прямая EF разрезает ее на две части ТМ и МТ\ лежащие
но разные стороны. А так как
всякая кривая линия имеет в
точке М то же самое направ-
направление, какое имеет касательная
прямая ТТ, проведенная к ней в
точке Му то прямая EF должна
разрезать и кривую дугу АСОВ
таким же образом, каким она разре-
разрезает ТТ у т. е. н а д в е ч а с т и, л е- Рис- 155
жащие по разные стороны.
Заметив это, возьмем наивысшую точку С и наинизшую точку
О рассматриваемой дуги. Если наивысших точек имеется не-
несколько, мы за точку С берем одну какую-нибудь из них. Также
за О берем одну какую-нибудь из наинизших точек, если их
имеется несколько. Обозначаем через ? абсциссу точки С и через
7] абсциссу точки D. Ясно, что /(?) есть наибольшее из числен-
численных значений функции f(x) на отрезке [я, Ь\ а /(Г|) наименьшее
из них. Заметим, что одна из точек ? и г) легко может явиться
концом отрезка [ау Ь\ но обе они будут тогда, когда /($) =/(tj) = 0
и, значит, когда функция f(x) тождественно равна нулю на
отрезке [ау Ь]. Предположим же, что имеем я<?<6, т. е.
что точка ? есть промежуточная между концами a w b отрезка
[ау Ь\ и, значит, что соответствующая точка С есть промежу-
промежуточная точка на кривой дуге АСОВ между ее концами
А а В.
Проведя горизонтальную прямую ОН через точку С, мы сразу
замечаем, что она должна явиться касательной к рассматрива-
рассматриваемой дуге в точке С. Ибо, если касательная к дуге в точке С
не горизонтальна, то тогда она должна делать ненулевой угол
с GH. А тогда прямая GH должна разрезать дугу АСОВ на две
части, лежащие по разные стороны от GH. Но это невозможно,
ибо точка С есть наивысшая, и поэтому кривая дуги д о л ж-
318
ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ГЛ. XIV
на вся лежать под прямой G/У, т. е. лишь по одну ее
сторону.
Таким образом, касательная в точке С должна быть гори-
горизонтальной и, значит, мы обязаны иметь:
/'(?) = О и a
А это и доказывает полностью теорему Ролля.
Замечание 7. Теорема Ролля устанавливает только существование
промежуточной точки Ч, в которой /'(?) = 0, но отнюдь не указывает,
где именно она находится на отрезке [а, Ь]. Таким образом,
Рис. 156а
Рис. 156Ь
Mo
место точки ? остается для нас неизвестным и у нас нет никаких средств
отыскать S. Это необходимо помнить, когда применяем теоремы о сред-
среднем, о чем речь будет дальше.
Замечание 2. Непрерывность
функции f(x) и наличие производ-
производной (конечной или бесконечной) /' (х)
очень важны для верности тео-
теоремы Ролля, ибо когда их нет, теорема
Ропля легко делается неверной. Так, рису-
/* У<^\ 1^^Ум /X Уг) нок **^а показывает» что ПРИ разрывно-
v чч ' ^г'9( гъ сти уг^ ^в точке С) теОрема р0Лля может
оказаться неверной. Далее, рисунок 15бЬ
показывает, что при непрерывности функ-
функции f(x) и при отсутствии производной
f (x) в одной только точке (в точке* с нет
никакой производной, даже бесконечной,
ибо /' (х) —> -f- оо, когда х —»- с слева, и
/' (х) —> — оо, когда х —> с справа), теорема
Ролля также может быть неверной.
Мы дадим сперва два приложения теоремы Ролля к гео-
геометрии.
§ 142. Соприкасающийся круг. Если через три точки (рис. 157)
Мо, /И,, М2 плоской кривой провести круг, и если точки Ж, и
М2 приближать к /Ио, двигая их по кривой к Мо как к их пре-
предельному положению, то круг, вообще говоря, и по величине
и по положению будет приближаться к некоторому предельному
Рис. 157
§ 142 СОПРИКАСАЮЩИЙСЯ КРУГ 319
кругу, называемому соприкасающимся1 кругом кривой в точ-
точке MQ,
Теорема. Соприкасающийся круг тождествен кругу кри-
кривизны.
Доказательство. Пусть уравнение кривой (рис. 157) будет:
У=№, 0)
и пусть х0, х19 х2 будут абсциссы, а у0, у1% у2 ординаты точек
Мо, Mlf М2, соответственно (а', р')— координаты центра, а /?' —
радиус круга, проходящего через эти три точки. Уравнение
этого круга будет:
(*-<*')¦+(у-р'I^1;
так как координаты точек Мо, М1У М2 должны удовлетворять
этому уравнению, то мы имеем:
(jc,—а-)-+cv,—?')•—/г-=о.
Рассмотрим теперь функцию х, определяемую уравнением
F (х) = (х — а'J + (у - р'I - /Г,
где у заранее нужно заменить функцией f(x) из A).
Из уравнения B) находим:
F(J 0 FW 0
По теореме Ролля F'(х) должна обращаться в нуль, по
крайней мере, при двух значениях х\ одном, лежащем между
х0 и х19 например х\ и другом, лежащем между хг и jc2, на-
например х"', т. е.
F(x') = 0, F(x") = 0.
По той же самой причине F" (х) должна обращаться в нуль
при некотором значении х, лежащем между х' и х\ например
при л8, т. е.
/* (*,) = <>.
Следовательно, элементы2 а', р' и R' круга, проходящего
через УИ0, Мх и уИ2, должны удовлетворять трем уравнениям:
/=•(*„) = 0. F'(x') = 0,
1 Этот круг нельзя называть «касающимся», потому что касающихся кру-
кругов к данной кривой в точке Мо бесконечно много (все они имеют общую
касательную, служащую касательной и для данной кривой в точке Af0), а со-
соприкасающийся круг только один. Следует делать различие между соприкос-
соприкосновением и простым касанием: соприкосновение есть частный случай каса-
касания, именно это есть касание весьма сильное, очень тесное, т. е. касание выс-
высшего порядка.
2 То есть координаты центра круга (а', р') и величина его радиуса /?'.
320
ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ГЛ. XIV
Пусть теперь точки Мх и УИ2 приближаются к Л10 как к пре-
предельному положению (рис. 158); тогда xlf х2, х\ x" и х3 все
будут приближаться к х0 как к пределу, и, следовательно, эле-
элементы а, C, /? соприкасающегося круга опре-
определятся из трех уравнений:
= O, F(xo) = 0, F"(xo) = O,
или, опуская значки:
; (А)
(*-«) +(у-P)-g=0' (в)
продифференцировав (А); и
продифференцировав (В).
Решая (В) и (С) относительно х — а и у— р, находим (пред-
(предполагая, что -Аф 0 ) :
dx2 ~ j
Рис. 158
— <х
5?
d2y
dx2
(D)
1 + [±
Отсюда координаты а и р центра соприкасающегося круга суть:
C)
Здесь предполагается, что ^
Подставляя значения х — аи у — риз (D) в (А) и решая от-
относительно R, находим:
D)
§ 143 ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ БЛИЗКИХ НОРМАЛЕЙ 321
Формулы C) тождественны с формулами (8) § 136, даю-
дающими координаты а и р центра кривизны; значит, круг
кривизны и соприкасающийся круг имеют один
и тот же центр. А так как выражение радиуса
соприкасающегося круга, даваемое формулой D), сов-
совпадает с выражением радиуса кривизны, найден-
найденным в § 133, формула G), то отсюда следует, что соприка-
соприкасающийся круг и круг кривизны есть тот же самый круг,
ч. т. д.
Выше касательная прямая была определена как предельное
положение секущей, проведенной через точку М и близкую к ней
точку М на кривой. Мы видим те-
теперь, что круг кривизны в точке М
может быть определен, как предельное
положение круга, проведенного через
точку М и через две другие точки М
и М" на кривой, близкие к М.
§ 143. Предельная точка пересече-
ния двух близких нормалей. Те о-
рема. Центр кривизны С для точки Рис. 159
М кривой есть предельное положение
пересечения нормали к кривой в точке М с близкой к ней
нормалью.
Доказательство. Пусть уравнение кривой будет
y=f(x). (A)
Уравнение нормалей к кривой в двух близких точках Мо и Мх
будут1:
Если нормали пересекаются в точке С (а', р') (рис. 159),
то координаты этой точки (а', р') должны удовлетворять обоим
уравнениям, что дает:
(¦*,-«'Жл-е')!;=0- I
Рассмотрим теперь функцию от х, определяемую уравнением
где у заранее нужно заменить через f(x) из (А).
1 На основании B) § 72, причем X и У суть текущие координаты.
11 Дифференциальное исчисление
322 ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ ГЛ. XIV
Уравнения (В) показывают, что
<р(*0) = 0, <f(xt) = 0.
Но по теореме Ролля, § 141, у'(х) при некоторых значениях
Л, лежащих между х0 и х19 например при х = х\ должна обра-
обращаться в нуль. Следовательно, а' и р' удовлетворяют уравне-
уравнениям:
»(¦*.)=о, ?'М=о.
Если теперь Мх будет приближаться к Мо как к предельному
положению, то х' будет приближаться к х0, и в пределе полу-
получим:
<р(*о) = О, ?'(-*•) = 0;
значит, С (а', р') будет приближаться к некоторому предельному
положению, а именно к центру кривизны С (а, р), соответствую-
соответствующему точке Af0 на кривой. Для доказательства, опустив указа-
указатели и написав два последние уравнения в виде:
усматриваем, что, решая их относительно аир, получим те же
результаты, что и решая (В) и (С) предыдущего параграфа отно-
относительно а и р, ч. т. д.
§ 144. Теоремы о среднем (законы среднего). Мы начинаем
излагать ряд теорем о среднем с предложения.
Теорема о среднем Коши. Если, во-первых, функции
f{x) и F(x) непрерывны на отрезке [а, Ь] и имеют во всякой
внутренней его точке производные f'(x) и F (х); если, во-вто-
р ы х, производная F' (х) не обращается в нуль ни в какой вну-
внутренней точке отрезка [а, Ь], то тогда имеем равенство
f(b)-f{a)_f® vma<t<b (A)
ГДе а\*<^ \А)
Доказательство. Возьмем вспомогательную функцию
Ф (х), Тождественную правой части равенства:
-Р(а)]-[Дх)-/(а)]. A)
Ясно, что Ф(а),= 0 и Ф(Ь) = О. Поэтому можно применить
теорему Ролля. Дифференцируя, имеем:
<&'(x)=fF<$)Ifp($)-F(x)-f'(x). B)
По теореме Ролля эта производная должна уничтожаться для
некоторого среднего числа S, т. е. промежуточного между а и Ь,
Это дает:
?^)-/'(^o. C)
§ 144 теоремы о среднем (законы Среднего) 323
Разделив на F (S) (что законно, ибо F (х) нигде в нуль не
обращается внутри отрезка [а, Ь]) и перенося член, зависящий от
среднего 5, вправо, мы получаем равенство (А), выражающее
теорему о среднем Коши, ч. т. д.
Следствие теоремы о среднем. Если, во-первых,
функции f(x) и F(x) непрерывны на отрезке [а, Ь\ так же, как
их первые п—1 производные, а обе п-е производные f{t2)(x) и
F{n){x) просто только существуют во всякой внутренней его
точке; если, во-вторых, функции f(x) и F(x) так же, как
их первые п—1 производные уничтожаются в точке х = а,
а производная F{n)(x) не уничтожается ни в какой внутрен-
внутренней точке отрезка [а, Ь\ то тогда имеем равенство:
/$=,?§, где „<!<». (В)
Доказательство. Это следствие доказывается шаг за ша-
шагом. Прежде всего заметим, что ни сама функция F{x) и ни
одна из ее первых п производных не уничтожаются ни в какой
внутренней точке отрезка [а, Ь]. Ибо, если бы случилось, что
Fik) (х*) — 0, где а<л*<<?, то, приняв во внимание, что
F{k)(a) = 0, мы по теореме Ролля должны иметь F{k+1)(x**) = 09
где а<.х** <С-**. Значит, если бы уничтожалась k-я производ-
производная внутри отрезка [а, Ь\ то то же самое произошло бы и с
k ~\- 1-й производной. Таким образом, мы бы дошли до уничто-
уничтожения и последней я-й производной F{n)(x), а она, по условию,
нигде внутри отрезка [а, Ь] не равна нулю. Значит, все функций
F(x), F'(x), F"(х), ..., F{n)(x) отличны от нуля внутри от-
отрезка [а, Ь].
Теперь по теореме 6 среднем Коши мы имеем:
F(b)-F (а) ~ Г (Ьг) *
Так как /(а) = 0 и F(a) = 0, то имеем просто:
Мы должны заметить, что равенство D) выражает переход
f(b)
от отношения -рщ к равному ему следующему за ним отношению
А- Но так как функции f'{x) и F\х) имеют буквально те
р
же самые свойства, как и первоначальные функции f(x) и F(x)f
то мы можем спуститься от отношения рттА к следующему за
ним равному ему отношению и написать равенство:
и*
324 ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГЛ. XTV
А от него мы можем спуститься к дальнейшему ближайшему
равенству:
т=?ш- *<»¦<*¦ <б>
и так далее, пока не напишем последнее равенство:
J \°n-i) / \°п) п ^ и ^ U П\
F(n~l)(b ) F{n)(b)f ^ n ^ n ~*" ^ '
Сопоставляя все написанные равенства, начиная с D), до са-
самого последнего G), и обозначая bn буквой ?, мы получаем окон-
окончательно равенство (В):
1 где а<*<ь> ч-т-д-
Теорема о среднем Лагранжа. Если f (л) есть непрерыв-
непрерывная на отрезке [а, Ь\ функция, имеющая во всякой внутрен-
внутренней его точке производную /' (х), то имеется такое число &,
промежуточное между а и Ъ, что
(С)
Доказательство. В теореме о среднем Коши, выражаемой
формулой (А), мы полагаем F(x) = x. Тогда F(b) — F(a) = b — a
и F(x) — \. Значит, Ff(?) = l. Итак, в этом частном случае фор-
формула (А) дает:
Отсюда, умножая на b — а полученное равенство, мы прихо-
приходим к формуле Лагранжа (С), ч. т. д.
Теореме о среднем Лагранжа легко можно придать еще и дру-
другой смысл. С этой целью мы, вместо буквы а, будем писать
букву х9 и вместо буквы b будем писать сумму х-\-кх. Итак,
полагаем а = ху b = x-\-kx. Тогда b — a — kx. Что же касается
до среднего числа ?, являющегося промежутком между а и Ь:
т. е. между х и х -\~ Lx, то его теперь придется писать в виде
где 6 есть положительное число промежуточное между 0 и 1;
его иногда (не совсем верно) называют «правильной дробью»,
хотя 8 может оказаться и иррациональным числом. Под-
Подставляя указанные обозначения в формулу Лагранжа (D), мы по-
получаем замечательное равенство:
или, обозначая функцию/(л) буквой у, т. е. полагая y=f(x),
§ И4
ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ (ЗАКОНЫ СРЕДНЕГО)
325
мы можем переписать полученную формулу (Е) в виде:
|?=/'(jc + 6Ajc). (E*)
Смысл обеих формул (Е) и (Е*) тот, что когда независимое
переменное х получает произвольное конечное приращение \х,
а функция у получает вследствие этого соответствующее ко-
конечное приращение ky, то отношение ~ двух сказанных ко-
конечных приращений Ду и &х не нуждается в стремлении Дл
к нулю, чтобы стать производной, ибо оно, еще до какого-либо
стремления kx к нулю, при всяком конечном Дл уже есть
V/
Рис. 160
производная, но только не в точке х, а в близкой точке
По этой причине теорема о среднем Лагранжа, записанная в
виде формулы (Е) и (Е*), получила имя теоремы о конеч-
конечном приращении.
В этом виде теорема Лагранжа имеет простое геометрическое
истолкование.
На рисунке 160 проведен график функции y=f(x). Точки:
М {х, у) и М (х -f- Дл, у -f- by) лежат по кривой. Отрезки МК= Д-*
и КМ' = Иу. Поэтом'у:
^=tgf, A)
где t угол наклона хорды ММ к горизонту (т. е. к оси ОХ).
Если мы станем двигать вниз прямую ММу заставляя ее со-
сохранять прежний угол t с осью ОХ, т. е. перемещая ее парал-
параллельно самой себе, то она сперва будет разрезать нашу кривую
в точном смысле этого слова, т. е. иметь ее точки по обе свои
стороны. Но затем она будет все более и более приближаться к
326 ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГЛ. XIV
такому предельному положению, при котором на ней окажутся
уже последние точки кривой дуги так, что по одну сторону
этой предельной параллели совсем не окажется уже никакой
точки дуги, и, значит, вся дуга будет находиться по другую
сторону этой параллели. На рисунке проведена эта предельная
параллель с последней на ней точкой N криЕой дуги. Ясно, что
касательная прямая в такой точке N должна совпасть с этой
предельной параллелью. Ясно, наконец, что точка N лежит
между концами М и № кривой дуги так, что абсцисса 5 точки
N лежит между абсциссами х к x-\-kx концов М и М!, т. е
имеем неравенство х<^Ъ<С.х-\-Д-*. Отсюда мы должны иметь
равенство:
5 = ;с + 6А*, где О<0<1.
Из того обстоятельства, что касательная к дуге ММ в точке
N параллельна хорде ММ', следует равенство:
f'(l)=f(x + bbx) = tgt. B)
Сопоставляя равенства A) и B), мы видим, что
&=Г (*+***).
А это и есть формула Лагранжа (Е*).
Таким образом, теорема о конечном приращении выражает
тот геометрический факт, что на всякой дуге MNM\ стягивае-
стягиваемой хордой ММ', имеется такая промежуточная точка N, каса-
касательная в которой параллельна хорде ММ'. Ясно, что это пред-
предложение для наблюдателя, идущего по хорде ММ', является
аналогом теоремы Ролля.
Заметим, что, умножив равенство (Е*) на kx, мы имеем:
Ду=/(л + вД;с)-Дл. C)
С другой стороны, дифференциал dy функции определяется
равенством
dy=f'{x)Lx. D)
Сравнивая правые части равенств C) и D), мы видим, что
приращение Ду функции есть не что иное, как дифференциал, вы-
вычисленный для некоторой промежуточной точки, лежащей между
х и х-\-Их.
Наконец, освобождаясь от знаменателя в формуле Коши (D),
мы имеем равенство:
где 5 есть промежуточное («среднее») число между а и Ь, т. е.
Это равенство F, являющееся по существу лишь другой фор-
формой теоремы о среднем Лагранжа, будет сейчас обобщено.
§ 145 ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ТЕЙЛОРА 327
§ 145. Теорема о среднем Тейлора. Возьмем п произвольных
чисел с0, clt c2, ..., сПштХ и составим при помощи их выражение
Ясно, что Т(х) есть многочлен степени п— 1 от переменного х.
Поэтому п-я производная и все дальнейшие производные от Т но
х тождественно равны нулю.
Многочлен Т (х) имеет то замечательное свойство, что он сам
и все его производные, до п— 1-й включительно, при х = а ста-
становятся равными числами с09 clf c2, ..., cn_v Этим мы хотим
сказать, что имеем равенства:
Т{а) = с99 Т'(а)=с19 Г{а) = сш9...9 Гя-1»(а) = ся., B)
Чтобы доказать это, достаточно один только раз продифферен-
продифференцировать выражение Т(х). Имеем:
Мы видим, что производная Т (х) имеет в точности тот же
самый вид, как и сам многочлен Т(х), только она степени на
единицу ниже и составлена из чисел с1У с2, ..., cnmml.
Отсюда прямо следует, что мы имеем Т(а) = с0, V (а) = с19 и
что для дальнейших производных до п—1-й включительно будем
иметь точно так же Т"(а) = с2У Т"'(а) = с3, ..., Т{п^1} (а)=^сп_1.
А это и суть равенства B).
Заметив это, возьмем какую-нибудь функцию f(x), непрерыв-
непрерывную на отрезке [а, Ь] вместе со своими п— 1 производными /' (х),
f"{x), ..., f{n~l){x) и имеющую /г-ю производную /{П)(х) во вся-
всякой внутренней точке этого отрезка. Эта последняя производная,
вообще говоря, уже разрывная функция.
Если мы теперь выберем числа с0, сх9 с2У ..., сп_1 соответ-
соответственно равными /(а), /' (а), /*(а), ..., Рп~1){а), т. е. если мы
положим
c.=f(a), cx=f{a)> с2=Г(а), ..., cn^=fn^{a)9 D)
то тогда разность
Ф(х)=/(х)-Т(х) E)
есть непрерывная функция на отрезке [а, Ь\ имеющая непрерыв-
непрерывными на ней все производные до порядка п—1 включительно,
причем, очевидно, имеем:
Ф(а) = 0, Ф>) = 0, Ф» = 0, ..., Ф^>(а) = О, F)
328 ТЕОРЕМА О СРЕДНеМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГЛ. XIV
Установив это, обратимся к следствию теоремы о среднем
Коши, где вместо функции f{x) возьмем Ф(х), а вместо F(x)
возьмем (х — а)п. Так как для обеих наших функций: Ф(х) и
{х — а)п соблюдены все условия этого следствия, то можем прямо
писать:
ибо имеем Ф(Л) (х) =f{n) (x), a /z-я производная от (х — а)п равна
постоянной п\ Так как Ф (b)=f(b)— T(b), то равенство G) дает
Наконец, вспоминая, что многочлен Т(х) дается формулой A),
а коэффициенты с0, cXJ с2У ..., сп_г определяются равенствами D),
мы находим окончательно:
+ (^пугГ } И + l
где
Формула (G) называется теоремой о среднем Тейлора или
расширенной теоремой о среднем (также расширенным законом
среднего). Последнее название равенство (G) получило потому,
что, полагая в нем я=1, мы получаем, как частный случай,
теорему о среднем Лагранжа (F).
§ 146. Максимум и минимум, исследуемые аналитически.
В § 86 мы дали весьма ценный в практическом отношении способ
распознавания максимума и минимума. Именно, мы там имели сле-
следующие достаточные условия:
/(х) имеет в точке а максимальное значение, если
f'(a) = 0 и /" (а) отрицательна;
f(x) имеет в точке а минимальное значение, если
f (а) = 0 и /' (а) положительна.
При этом мы видели, что равенство нулю первой производной
является необходимым условием для наличия в точке а либо
максимума, либо минимума. Но одно только это условие еще не
гарантирует нам ничего, ибо при/'(#)== 0 в точке а может
быть: и максимум и минимум, и может не иметься ни
того, ни другого.
Формула Тейлора (G) является прекрасным средством иссле-
исследования/
§ 146 МАКС. И МИН., ИССЛЕДУЕМЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИ 329
Пусть мы хотим исследовать на максимум или на минимум
какое-нибудь численное значение а аргумента х. Мы предпола-
предполагаем исследуемую функцию f(x) непрерывно?! на отрезке [Л, В],
так же как и все ее п первые производные включительно. Точку
а предполагаем лежащей внутри отрезка [А, В].
Пусть в точке а обращаются в нуль п—1 первые производ-
производные, но п-я производная в нуль в точке а не обращается. Итак,
пусть имеем
1 f(a)=fna)s=9mm=fi»-v{a) = o9 но /(Щ(а)ф0. A)
a-h _ _ a+h В
Рис. 161
Применяя к функции/(л) формулу Тейлора (G) и. учитывая
равенства A), мы находим:
Заменяя, для удобства, букву b буквой х, мы имеем:
f (х) = f (a)-\- ~i /(/2)(S), где я <?<.#. C)
Так как производная /{П)(х) непрерывна на отрезке [Л, В]
и в его точке а не уничтожается, то всегда можно окружить
точку а столь малым отрезком
[а — Л, a-\-fi\f чтобы производ-
производная рщ (х) не изменяла своего .
знакана[а — Л, a-\-h](рис. 161). Г—
Поэтому, если /{П)(а) положи-
положительное число, то на. отрезке
[а — h, а -\- А] и /("} (х) везде бу-
будет положительной, значит, —
будем иметь/G2)(S)>0. Точно
так же, если /(И) (а) есть отри- Рис. 162а
дательное число, то будем
иметь /(Я)($)<0 при всяком положении точки х на отрезке
[а — Л, a~\-h\
Из сказанного ясно, что если п есть число нечетное, то в
точке а нет ни максимума, ни минимума, ибо скобка (х — а)п
при переходе точки х с одной стороны от точки а на другую
сторону изменяет знак. Значит, по одну сторону будет
/(л)>/(а), а по другую сторону будет f(x)<if(a). Мы видим,
таким образом, переход кривой с одной стороны горизонтали
11В Дифференциальное исчисление
fW \f(*1
330
ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ГЛ. XIV
CD на другую сторону (рис. 162а). Здесь, следовательно, нет
ни максимума, ни минимума.
Если же п есть число четное, то скобка (х— а)п всегда
положительна, и тогда, если f(n) (а) < 0, имеем f(x) —f(a) < 0.
Поэтому f(x)<if{a) и имеем максимум (рис. 162Ь) в точке а.
Если же /(W)(a)>0, то имеем f{x)—f{a)>0, т. e. f(x)>f(a).
Значит, имеем минимум (рис. 162с) в точке а.
Таким образом мы получили признак:
чтобы имелся максимум или минимум, необходимо, чтобы
первая необращающаяся в нуль в точке х = а1 производная
fn) (x) имела четный порядок. И тогда, если fn) (tf)<0, имеем
максимум; если же f(П)(а)>0, имеем минимум.
Пример 1. Исследовать функцию х3 — 9х2 4- 24я — 7 на максимальные и
минимальные значения.
с S
с ^
а
fiaj \/{x)
1
Л
с V
а
Л
f(a]\fM
Л
Рис. 162Ь
Рис. 162с
Решение.
Решая уравнение
3%2 — 18*+ 24 = 0,
находим критические значения х = 2их = 4. Таким образом /' B) = 0 и /' D) = 0.
Дифференцируем вторично: /" (я) = 6х — 18.
Так как /"B)=: — 6, то заключаем, что /B) = 13 есть максимум.
Так как f D)= -f-6, то заключаем, что /D) = 9 есть минимум.
Пример 2. Исследовать на максимум и минимум функцию ех -\~ 2 cos x -f- e~x.
Решение.
f (я) = е*4-2 cos я 4-е""*,
/'(я) = 0* —2в1пя —0"* = О при х = 0,2
f"(x) = ex— 2cosx + e~x = 0 при я = 0,
/'" (я) = 0* 4- 2 sin я — 0""* = 0 при я = 0,
/iv() *424*4 ^
Следовательно, в силу признака, /@)==4 есть минимум.
1 Как и в § 75, критическое значение х~а найдем, приравняв нулю пер-
первую производную и определяя действительные корни полученного уравнения.
2 jc = 0 есть единственный корень уравнения
ех —
§ 147 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФОРМЫ 331
ЗАДАЧИ
Исследовать на максимумы и минимумы следующие функции, пользуясь
методом последнего параграфа.
1. Зх4 — 4xs-f 1. Отв. я = 1 дает miti = 0;
# = 0 не дает ни max, ни mliu
2. xs — 6x2-f 12.x;+ 48, х = 2 не дает ни max, ни min.
3. (jc— lJ(* + l)s. х=\ дает min = 0;
1 3456
х = т дает max^;
# = —Л не дает ни max, ни min.
4. Исследовать х5 — 5х4 + 5х8 — 1 при х = 1 их = 3.
Отв. х = 1 дает max; х = 3 дает min.
5. Исследовать х* — Зх2 -{- Зх + 7 при х = 1.
Отв. х = 1 не дает ни max, ни min.
6. Показать, что если первая производная, не обращающаяся в нуль при
х = а, будет нечетного (= п) порядка, то / (х) при х = а будет возрастающей,
либо убывающей функцией, смотря по тому, будет ли /<и) (а) > 0 или < 0.
§ 147. Неопределенные формы. Когда при некотором частном
значении независимого переменного формула, дающая функцию,
принимает одну из семи форм:
-§-, ~, О-оо, ос —оо, 0°, оо°, 1«,
то. говорят, что функция неопределенна, и для этого значения
независимого переменного функция данным аналитическим выра-
выражением (формулой) не определяется. Пусть, например, имеем:
и пусть для некоторого значения переменного, например для
х = а, будет
/(а) = 0, F(a)=*0.
Для этого значения переменного л наша функция не опреде-
определена, потому что деление на нуль невозможно, и потому мы
можем приписать ей какое угодно значение.
Как было указано в § 47, желательно приписать функции
такое значение, которое делало бы ее непрерывной • при х = а,
если это только возможно.
§ 148. Оценка элементарными приемами функции, принима-
принимающей неопределенную форму. Если функция f(x) получает
неопределенную форму, когда л = а, тогда, если
существует и является конечной величиной, мы рассматриваем
эту величину как численное значение функции для х = а \
1 Вычисление этого предельного значения называется раскрытием неопре-
неопределенности.
332 ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ ГЛ. XIV
Принятие этого предела как численного значения самой
функции f(x) в точке а, т. е- допущение
делает f(x) непрерывной при х = а. Это согласуется с изложен-
изложенным в § 47, а также и с практическими примерами гл. VI, где
вычислены пределы нескольких функций, принимающих неопре-
неопределенную форму -5г .
Эта предельная величина иногда может быть найдена с по-
помощью простых алгебраических или тригонометрических преоб-
преобразований, как показывают следующие примеры:
Пример 1. Дано /(*) = * ~* Найти /B).
Решение. /B) есть неопределенность. Но, предполагая, что х еще отлично
от 2, мы имеем право «сократить дробь», т.е. фактически разделить числитель
на знаменатель. Тогда мы имеем/ (х) = х + 2. Значит,lim f(x) = lim (x -\- 2) = 4.
Пример 2. Дано /(jc) = sc x — tg х. Найти /(у) •
Решение, f ( — ) есть неопределенность типа оо—оо. Преобразуем сле-
следующим образом:
1 sin д; 1 — sin х 1 — sin x 1 + sin x
cosjc cos х cos x ' cos x l-f-sinx
1 — sin2 x cos2 x cosx
cos jcA -f-sin jc) cosx(l -(-sinx) \ _|. sin x '
Поэтому lim / (x) = lim ™S* = j-r-r = 0.
Подобно этому многие примеры гл. VI поясняют, каким обра-
образом можно находить предельные значения некоторых функций,
принимающих неопределенные формы, употребляя соответствую-
соответствующие алгебраические или тригонометрические преобразования,
и каким образом, вообще, эти предельные значения делают соот-
соответствующие функции непрерывными в рассматриваемых точках.
Но более общие способы раскрытия неопределенностей основаны
на методах дифференциального исчисления.
§ 149. Раскрытие неопределенности -^-. Дана функция фор-
формулой ~г~ такой, ч,то/(а) = 0 и F(a) = O. Функция становится
неопределенной при х = а. Требуется найти
§ 149 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ -тг- 333
Для отыскания этого предела мы прибегаем к следствию
теоремы о среднем Коши (§ 144). Для этого мы предпо-
предполагаем, что,
во-первых, функции f(x) и F(x) так же как и их первые п—1
производные непрерывны на отрезке [Л, В], содержащем внутри
точку а; производные же п-го порядка fin)(x) и F(n)(x) просто
только существуют на отрезке [Л, В], кроме, может быть, самой
точка а, но, вообще, уже разрывны;
во-вторых, функции f(x) и F(x) так же как и их первые п—1
производные уничтожаются в точке а, но производная F(n)(x)
не уничтожается нигде в отрезке [Л, В] вне точки а.
В этих условиях мы имеем формулу (В), выражающую ука-
указанное следствие теоремы о среднем Коши:
где ? лежит внутри отрезка [а, х].
Поэтому, когда х—*а, тогда ? автоматически стремится
к точке а, как к пределу, и мы имеем равенство:
(Н)
где заранее предполагается, что предел правой части суще-
существует.
Эта последняя оговорка очень важна, ибо если предел правой
части равенства (Н) не существует, то тогда само это равенство
(Н) уже не служит ни к чему, и тогда его нужно совсем оставить.
Правило, вытекающее из равенства (Н), называется правилом
Лопиталя. Несколько грубовато оно словесно выражается вкрат-
вкратце так.
Правило Лопиталя раскрытия неопределенно-
неопределенности-^-. Имея дробь ~|^|, где f(a) = F (а) = 0, нужно продиф-
продифференцировать: отдельно числитель, отдельно знамена-
тель и составить новую дробь Ur\ • ^е величина ~ггт и явится
пределом старой дроби, когда х—>а.
Если окажется, что новая дробь нисколько не лучше старой
по той причине, что опять f (a) = F (а) = 0, тогда нужно повто-
повторить применение правила Лопиталя и составить дробь —^ > ве-
личина которой ~г|~ явится пределом обеих предшествующих
дробей, когда х—+а*
334 ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГЛ. XIV
Если опять окажется, что /'(я) = Z7" (а) = О, тогда надо спу-
if" (х)
ститься к следующей дроби р„, У;, и т. д.х
Иногда приходится повторять применение правила Лопа-
таля много раз, чтобы спуститься к такой дроби р{Пи\, У ко-
Г \ \Х)
торой числитель и знаменатель непрерывны в точке а и не
уничтожаются одновременно.
Если нам удалось добиться получения такой дроби F{n) , ,
тогда следствие теоремы о среднем Коши действует безукориз-
безукоризненно, и мы имеем:
=?Щ (Н*)
В этом случае правило Лопиталя оказывается достаточ-
0
ным для раскрытия неопределенности-^.
Правило Лопиталя есть правило практическое и его бывает
достаточно во многих случаях.
Но иногда случается, что при первом его применении мы
попадаем на дробь -рггх, у которой либо числитель, либо зна-
знаменатель теряют непрерывность в точке х = а. Тогда правило Ло-
Лопиталя приходится оставлять, ибо применение его не только ни-
ничего не дает, но может ввести в прямое заблуждение. В этом
случае новая дробь ~\ хуже старой дроби ^\.
Г \Х) Г \Х)
Пример 1. Раскрыть неопределенность ¦—(, где /(*) = x2-sin— и
* \Х) X
) = x при х = 0.
Решение. Числитель / (х) и знаменатель F(x) в точке х = 0 непрерывны
и равны нулю:/ @) = 0 и F(Q) = 0. Значит, имеем неопределенность вида ~ . При-
Применение правила Лопиталя ничего не дает, ибо имеем /' (х) = 2х sin cos —
X X
и F'(x)=l; поэтому новая дробь -^ЛА ~ 2х sin cos— просто не имеет
f \X) X X
никакого предела, когда х—*0, так как первый член 2х sin— стремится к
х
нулю, а второй член cos — колеблется, совершая бесчисленное множество раз-
х
махов от — 1 до + 1, когда х—>0. Таким образом, правило Лопиталя здесь
по самому существу дела неприменимо.
1 Предостерегаем учащегося от весьма неосмотрительной, но довольно
обычной ошибки дифференцирования всего выражения по правилу дифферен-
дифференцирования дроби.
§ 149 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ -jr 335
fix)
Однако предел дроби р имеется, когда х —-> 0. В самом деле, прямым
Г \Х)
делением /(х) на F(x) мы находим: „, \ = х sin — и, значит, имеем lim ¦ ь, ч— 0.
г \Х) х х -* о г \Х)
Здесь не должна казаться удивительной верность теоремы о средлем Коши,
ибо, хотя мы имеем верным равенство:
т. е.
х2 sin — * *
х о- . 1 1
= 2? sin -?- — cos т-1
однако, когда х —^ 0, двигаясь к нулю непрерывно, среднее 5 движется к нулю
скачками, так что cos-г- не испытывает никаких колебаний, но стре-
стремится к нулю.
Иногда правило Лопиталя не приводит к цели совсем по другой причине,
именно когда мы получаем все время дроби р,П)( i с уничтожающимися числи-
числителями и знаменателями при х=а.В этом случае новые дроби не лучше старых,
Пример 2. Раскрыть неопределенность ~-^, где f(x)z=e x2viF(x)=:e ^
г (х)
при х = 0.
Решение. Числитель f(x) и знаменатель F(x) в точке х==0 непрерывны
и равны нулю: /@) = 0 и F@) = 0. Значит, имеем неопределенность вида —.
Применение правила Лопиталя здесь бесполезно, ибо и производные всех по-
порядков функции е *2 непрерывны в точке # = 0 и равны нулю, тач что
0 =/@) =/' @) =/> @).. .и 0 = F@) = Ff @) == F" @) = F'" @)...
f (x)
Однако предел дробей -~—(прих—>-0 имеется, ибо имеем f(x)~F(x)
г \Х)
и, значит, эта дробь всегда равна 1, и ее предел тоже равен 1 \
1 Замечание дня преподавателей. Опыт показывает, что уча-
учащиеся, при первом знакомстве с правилом Лопиталя, склонны представлять его
более простым, чем оно есть в действительности, а при дальнейших размышле-
размышлениях, когда они замечают, что вещи являются более сложными, чем они сначала
думали, тогда они легко запутываются, и, чтобы вывести их из затруднения,
требуется помощь преподавателя.
В этом случае полезно им указать, что при однократном применении пра-
правила Лопиталя возникают четыре логически возможные случая, из
которых один нереален. Именно;
(I) lim-тг существует, Нт-т^ существует;
(II) lim у не существует, Нт-ттг существует;
(III) lim -тг существует, lim ~ не существует;
(IV) \im--p не существует, lim — не существует.
836 ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГЛ. XIV
Примечание. Прежде чем перейти к примерам и задачам на правило
Лопиталя, заметим, что если а=оо, подстановка х = — приводит задачу к вы-
z
числению предела для 2 — 0; таким образом,
г-Ю
Следовательно, правило имеет силу и в этом случае.
Пример 1. Вычислить
f(x) x3-3x + 2 ,
F (х) х3 — х2 — х + 1
(X)
Случай (I) есть случай, который имеет в виду правило Лопи-
Лопиталя, ибо обязательно имеем равенство: lim у = lim ^гг.
Случай (II) в действительности невозможен, ибо из существо-
существования lim j=rr следует обязательно существование lim у.
Случай (III) наблюдается в действительности, как это пока-
показывает пример 1, где /=x2-sin— и F=x.
х
Случай (IV) встречается в действительности. Например
/ = xsin — и F=x.
Г 1
В случае (III) новая дробь уг хуже старой дроби у \ здесь применение
правила Лопиталя невозможно и может повести к опасным заключениям
И недоразумениям.
/'
Но и б случае (I) иногда оказывается, что новая дробь уг нисколько не
f --
лучше старой дроби у, как это показывает пример 2, где f = F=ze x*.
Здесь применение правила Лопиталя бесполезно, хотя и не опасно. Это
есть случай реального бессилия правила Лопиталя.
Рассмотрим интересный случай формального бессилия правила
Лопиталя, а именно:/^У^х? uFz=x. Значит, старая дробь есть^г = -^-—.
i X
Радикал принимается в арифметическом смысле, и правило Лопиталя применяется
2х х
иа отрезке [0,1] для х —> 0. Имеем:/' = —^=- = -=. и F' = 1. Поэтому но-
2У 2 Ух2
вая дробь есть — = —=, т. е. равна перевернутой старой. По-
t V х
следовательное применение правила Лопиталя лишь перевертывает один раз
"VxF х ~V~1?
9а другим первоначальную дробь: ^L
х
у xz х
149
ЗАДАЧИ
337
Решение.
/A)
4)
/'A)
F'(\)m
Г (I)
х3-Зд; + 2 1 1—3 + 2 О
Xs — х2 — л; 4-1 лг=1 1 — 1 — 1 + 1 0
Зх2
' 6х
— jc* — х-4- ljj^=i 1-1-1 +
Зх2 - 3 1 __ 3-3 _ 0 ,
2 — 2л; — 1J ^=1 3 — 2 — 1 О'
неопределенное гь.
неопределенность.
[бх —2jx==i ~-2~~ 2 '
Пример 2. Вычислить
lim
/@)
Решение.
()
/МО) _
/>' @) -
/" (Q) __
F' @) ~~
?М0)
х — sin х
1-1-0
х — sin x
¦: неопределенность.
-" 0-0
1+1-2 0
i , = —\ -л— = 7Г: неопределенность.
1 — COSX |дг=О 1 — 1 0 ^
1-1 0
= = -ут : неопределенность.
sin х
е* + е"
COS X
д;=0
лг=О
О
—¦:
ЗАДАЧИ
Вычислить при помощи правила Лопиталя нижеследующие выражения '¦
1. lim
-16
Отв. ^г-. 12. lim
tg 9 + sec Q — 1
2. lim \
3. Km —
Г
4. lim
о sinx
-i-. 13. lim
n ^^
4
1.
2.
о tg 0 - sec 6 + Г
c2cp-2rg?<
1 + cos 4cp
Отв. 1.
1
a4 - 2a
6. lim
In sin x
7. lim
a* -bx
8. lim 5 2 ~ ¦.
f * ~— /7*
r -»a r u
0 — arc sin 0
9. lim
11. lim
sin8
2.
1^
8 "
Inf.
0.
eoscp.
2.
15. lim
16. lim
18» lim
2 (x — 4) ел" -f- t?2x
- 2
20#
2.
1
20. lim lncos^-1>.
21. lim
1-sinf
tg x — sin x
sin8 x
2 *
1 Продифференцировав, учащийся должен в каждом случае сперва привести
результат к простейшему виду и только после этого подставлять значение на
известного.
338 ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГЛ. XIV
§ 150. Раскрытие неопределенности ~.
Чтобы найти
когда обе функции /(л) и F(x) становятся бесконечными при
л—>а, мы по-прежнему следуем правилу Лопиталя*
Правило раскрытия неопределенности —. Имея
дробь у^у где f(a) = oo и F(a) = oo, нужно продифференци-
продифференцировать: отдельно числитель, отдельно знаменатель и со-
составить новую дробь уШ. Ее величина ^тШ и явится преде-
пределом старой дроби, когда л—>а1.
В случае, если новая дробь окажется неопределенной для
данного значения переменного, повторяем тот же процесс.
Доказательство правила. Неопределенность — мы
0
приводим к изученной нами неопределенности -^г следующим
/ (х)
образом. Сначала мы пишем данную нам дробь -^у- в виде отно-
шения -bt~\:7TV Потом, заметив, что оно представляет собою
Г \Х) J \Х)
0
неопределенность вида -тг-, применим к нему доказанное выше
правило Лопиталя. Это нам дает:
т. е.
fix)
Предполагая сначала предел дроби тгу-- конечным и отличным
Г {X)
от нуля, мы находим
f (y\ F' (y\
откуда получаем искомое правило:
Бели же предел lim j^~- равен нулю, тогда мы обловим
трудность, ища только что доказанным правилом предел дроби
1 f (х) и F* (я), по предположению, — функции непрерывные.
§ 150 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ — 339
оо
¦ ' р. '——, где k постоянное, отличное от нуля. Предел этой
Г \Х)
дроби равен, очевидно, k, и потому мы имеем право применить
это правило. Имеем:
у f(x) + kF(x)_y f'{x)+kF'{x)_y /'
ш й——llm —ТЧх\ —lm 74
Отсюда
и, вычитая по k из обеих частей, находим окончательно:
Значит, правило доказано во всех случаях.
Можно показать, что правило остается верным, если
Пример 1. Вычислить:
Ых л
при х = 0.
cosec х
Решение.
/@) Г Injc ] —со
F@)
Г Injc ]
=: =
Lcosec;cJ^=0
: неопределенность.
/'@) ~х Г sin»jc 1 О
t @) L — cosec x-ctgx J Xz=o |_ #cos;cj*=o 0
Г
[
/@) х Г sinjc 1 О
' ,'¦= т— = =~гг • неопределенность,
t @) L — cosec x-ctgx J Xz=o |_ #cos;cj*=o 0
2 sin л:cosx 1 _____0__0
F" @) [ cos x — x sin x\ *=° ^
Правило Лопиталя для неопределенности — допускает те же
самые оговорки в отношении случаев его неприменимости, реаль-
реального и формального бессилия, какие были сделаны выше для
неопределенности -^ .
т/*"! 4-х2
Пример 2. Найти предел —— для х—>-+оо.
х
Решение. Подводя знаменатель х под корень, имеем:
когда х—>-[-оо. Радикал берется только в арифметическом смысле (положи-
(положительным).
340 ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГЛ. XIV
Правило же Лопиталя являет здесь случай формального бесе и-
я и я, ибо, полагая / = ]/"l J-jc2 и F=zx, имеем: /'= г—= и F' — x.
у\+2
х
г Повторные применения правила
Лопиталя лишь последовательно перевертывают, раз за разом, первоначальную
дробь:
i =У\Т& Г = х Г=У+ ит
= = _
F х ' F' V\+x2' F"
х
§ 151. Раскрытие неопределенности 0-оо. Если функция
f(x)y-(x) принимает неопределенную форму 0-оопри х = а, мы
переписываем данную функцию в виде
так, чтобы она могла принять вид -^ или —, приводя, таким об-
образом, вопрос к рассмотренному в § 149 или § 150.
Пример. Раскрыть неопределенность sec3x»cos5# при # = —.
А
Решение.
[sec3#«cos5jc] к = оо • 0: неопределенность.
Подставляем «- вместо sec Ъх, что дает функции вид:
cos Ъх _
cos Ъх "
Имеем:
fcos 5x1 0
:= I :_-о.. I = -л-'. неопределенность.
V 2 У Г— sin5x»51 __?
/ / тс \ ~~~ L— sin 3jc-3J _ « ~~ 3 *
§ 152. Раскрытие неопределенности оо — оо. Вообще воз-
возможно преобразовать такое выражение в дробь, которая примет
один из видов: -тг или —.
U оо
Пример. Раскрыть неопределенность sec х — tg х при х = —-.
Решение.
[sec x — tgx] ^ = оо — оо: неопределенность,
§ 152
ЗАДАЧИ
34t
По правилам тригонометрии:
1 sin х 1 — sin x f(x)
sec x "mmm ts x —— ——— —— ——•— ''¦- ——————.,. .
° f/лс v cnc v me v h t v i
cos x cos x
COSX
1 - sin x
1-1 0
= —rr—=-jr: неопределенность.
7 [ 2 ) __\ — cosx 1 __JL — о
1. lim
2. lim
*-»o In*
3. lim 12#
4. lim ~.
5.
lim.
x-»oo Ш X
bsln2x
6. lim
x.+ о In sin x
In
8. lim
(¦-¦a
tg?
lnx
Отв. i-.
0.
0.
oo.
1.
3.
ЗАДАЧИ
12. lim (те — 2x) tg #.
13. lim -4
y-> oo ^
14. lim л; sin —.
*->QO X
15. lim x" In x (n >0).
х-» о
16. lim(l — tg 6) sec 29.
17. lim (a*_9*)tgS.
Ф -> a
18. lim
19. lim
ACL
-l л— 1 I
0 20. lim (sec в — tg в).
9. lim
*-»o ctgx
10. lim x In sin #.
at-» 0
11. lim x ctg тех.
o
24. Показать, что lim
0. 21.
ГД-^
L sin2 cp 1 — cos cp
0. 22. lim |~-JL---,-Ll .
y + i ly—1 \ny]
±m 23. lim If- —
те z-*>
: -f" s*
Отв. 2.
0.
a.
0.
1.
4a?
^ 2 *
-1.
0.
1
If
1
_> да X — Sin X
существует, но не может быть вычислен
по правилу дифференцирования числителя и знаменателя.
Решение.
1 i 8Ш х
.. х 4- sin # ,. "•" *•
lim—!—:—= lim
— sin л;
sin л;
342 ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГЛ. XIV
так как lim = 0. (| sin х | ^ 1)
Х-+СО %
Однако отношение производных числителя и знаменателя, равное
2 cos2 ?
2 __ х_
~~ * 2 э
1 - cos х п . 2 х ~~ * 2
2 sin2 ^
не стремится ни к какому пределу при я -> оо, откуда и следует, что правило
дифференцирования числителя и знаменателя неприменимо.
§ 153. Раскрытие неопределенностей 0°, Iе0, <х>°. Дана функ-
функция вида:
Чтобы функция могла принять одну из трех указанных форм,
для известного значения х должно быть:
/(л) = 0, <р(;с) = О, что дает 0°;
или
f(x) = \, ср(л) = оо, что дает I00;
или
f(x) = oo, ср(л) = О, что дает ооа.
Пусть
/
взяв от одних частей логарифм, имеем:
В каждом из приведенных выше случаев логарифм от у (функ-
(функции) принимает неопределенный вид
О-оо.
Раскрытие этой неопределенности способом, указанным в
§ 151, дает предел логарифма функции. Но последний равен
логарифму предела функции; таким образом, предел функции
известен \
Пример 1* Вычислить хх, если х — 0.
Решение. Функция при х = 0 принимает неопределенный вид 0°. Пусть
у = хх,
отсюда
lny = jcln;c = O'(—оо), если х —0.
По § 151
, \пх — оо
In у = —q— = , если я = 0.
J \ 00
1 То есть, если lim\ny~a, то имеем \nlimy — a и, значит, \\ту-=.еа.
§ 153 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 0°, I00, OO° 343
По § 150
1_
и, следовательно,
Пример 2. Вычислить A-[-#)*> если х = 0.
Решение. При х = 0 эта функция принимает неопределенный вид I00.
Пусть
1
у=(\+хO;
следовательно,
In v = — In A -|- х) = со • 0, если х — 0<
По § 151
. In A -4- х) 0 л
In^y = — ! = -jr ПрИ Х = 0.
По § 149
1
__ 1+JC _ 1 __.
У 1 1 -\- х '
Следовательно,
1'
Пример 3. Вычислить (ctg#)slnAr при х = 0.
Решение. При х = 0 эта функция принимает неопределенный вид оов.
Пусть
тогда
In v = sin x*\n ctgx = 0-oo, если х = Ос
По § 151
. lnctgx со
In у = ^— = —, если х = 0.
у cosec x оо
По § 150
cosec2 х
Следовательно,
ЗАДАЧИ
Вычислить при помощи правила Лопиталя следующие выражения:
~ 1 3. Hm (sin »)*2 °. Отв. 1.
1. \\тх х. Отв. —. fl «
т ctgx sin я л л
Inv=: 2-— = —=— = 0, если х = 0.
^ cosec X'Ctgx cos2 л:
2. llm — , • 1. 4. Нт
.ЫУ-
344
ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ГЛ. XTV
5. lim
Отв. e2. 9. lim (cos m9N2.
90
Отв.
1_
In х
6. lim (ctgx)
#-» о
7. lim A -f- nz)
10.
П. lim f— + lY
X-+<X> \ X J
12. lim (ctg xf.
x-+Q
e.
e\
8. lim tg -^
I. 13. lim (<2--
e x-* a \ a
§ 154. Асимптоты. Кривая может иногда обладать таким
свойством, что точка /И, неограниченно удаляясь по этой кривой,
вместе с тем все ближе подходит к некоторой прямой так, что
расстояние 8 подвижной точ-
Y ки от прямой стремится к
нулю1. Тогда говорят, что
кривая «асимптотически» при-
приближается к прямой, а самую
прямую называют асимпто-
асимптотой данной кривой.
Так, например, в уравнении
1,
Рис. 163
области значений переменных следующие:
— oo<;.#<-f-oo и 0<д/
причем: lim у = О
Х-* ± со
и соответствующая кривая (рис. 163) имеет асимптотой ось х.
В уравнении равносторонней гиперболы
ху = 1 У
имеем:
И так как
lim j;=±=0 и lim x — 0,
JC-» ± СО у-» ± <»
то рассматриваемая гипербола
имеет две асимптоты — одна
ось х, а другая ось у (рис. 164).
Эллипс:
Рис/164
1 Предполагается, что область значений хотя бы одной текущей коорди-
координаты не ограничена.
§ 155
НАХОЖДЕНИЕ АСИМПТОТ КРИВОЙ
345
не имеет асимптот, так как областями обеих переменных координат
служат ограниченные отрезки:
§ 155. Нахождение асимптот кривой, отнесенной к прямо-
прямоугольной системе координат.
Пусть кривая дана своим уравнением:
F(x, y)=0. A)
Надо найти ее асимптоты.
Предположим сначала, что существует асимптота, кне парал-
параллельная оси координат; тогда она может быть представлена
уравнением:
Y = kX + b, B) Y
и задача сводится к вычислению
значений параметров k и Ь.
Чтобы вычислить расстояние §
точки М(ху у) кривой A) от пря-
прямой B), надо привести уравнение
прямой к нормальному виду и в ле-
левую часть преобразованного урав-
уравнения подставить вместо текущих
координат X и У координаты дан- __
ной точки М(ху у), т. е.
n kx — у -f Ь
*к% + 1 Рис. 165
Согласно определению асимптоты, по мере того как точка М
неограниченно удаляется от кривой (рис. 165), что в данном
случае соответствует неограниченному возрастанию абсциссы xs
ее расстояние 8 от асимптоты стремится к нулю
цга § = li
отсюда следует, что
lim (kx—y-\-b) =
или
> —lim (у — kx).
Х-+ со
Последнее равенство можно преобразовать еще иначе:
= Нш .*•
346 ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГЛ. XTV
Но произведение двух множителей, при неограниченном воз-
возрастании одного из них, может иметь предел только в том случае,
когда другой множитель стремится к нулю, т. е.
lim ( ——k) = 0
Х-± оо \ ^ /
ИЛИ
k — \\m — • D)
X —> оо
Таким образом, правило для нахождения асимптот,
не параллельных оси ординат, сводится к следующему.
Первый шаг. Из уравнения кривой определяется отноше-
отношение текущих координат ^- и вычисляется его предел:
Второй шаг. Полученное значение k надо подставить в
разность (у — kx) и вычислить ее предел:
b = lim{y — kx).
Х~> CD
Третий шаг. Если оба предела k и b существуют, то они
являются параметрами асимптоты и их нужно подставить в ее
уравнение:
Y=kX-\-b.
Примечание. Если исследуемая кривая имеет несколько ветвей, дви-
двигаясь по которым точка М(х, у) может неограниченно удаляться, то вышепри-
вышеприведенное правило применяется для нахождения асимптоты каждой из этих ветвей
в отдельности.
Пример 1. Найти асимптоты гиперболы:
9 4 "~1#
Решение. Решаем уравнение относительно ординаты:
и определяем отношение координат:
2 ,. У^^Э , 2 . 2 .. У:^~9 2
Thm — = -fT и fe2 = —_-lim —= —-о
о х -»• оо •** *-* «JJC->oo л "
= lim (у - kxx) =-| Игл [/х2 - 9 - д;] = A iim "^9 = 0.
О *> о ^лг> оо У д:2 9jX
^2= lim fv-^) = —-| lim
§ 155
НАХОЖДЕНИЕ АСИМПТОТ КРИВОЙ
847
Гипербола имеет две асимптоты:
Пример 2. Найти асимптоту кривой
Ь= lim (у - kx) = Ит у - lim ^-^
Асимптота данной кривой совпадает
с осью х:
х = 0.
Если данная кривая
F(x, у) = 0
A)
имеет асимптоту, параллельную
оси ординат, то уравнение этой
асимптоты можно привести к
виду:
х — а. E)
Рис. 166
Значение параметра а также
определяется из условия, что по
мере удаления точки М (х, у) по кривой, ее расстояние 8 от асим-
асимптоты должно стремиться к нулю. Но в данном случае (рис. 166):
и, следовательно,
или
lim | х — а [ = 0
а= \irnx.
(б)
Таким образом, для определения параметра а надо из урав-
уравнения кривой найти предельное значение абсциссы при неограни-
неограниченном возрастании ординаты. Иногда удобнее найти те значения
абсциссы, при которых ордината неограниченно возрастает по абсо-
абсолютной величине.
Пример 1. Найти асимптоту, параллельную оси у, для кривой:
ху2 -5у2 — х — 2 = 0.
348
ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ГЛ. XIV
Решение, Решаем уравнение кривой относительно абсциссы:
- 1 '
тогда
5/4-2 e
lim.x; = lim ~——р=5,
и уравнение искомой асимптоты будет:
Пример 2. Найти те асимптоты кривой
х2у — 4у — 2х = 0,
которые параллельны оси у.
Решение. Уравнение данной кривой может быть легко решено относительно
ординаты:
W - JtX
Теперь очевидно, что у неогра-
неограниченно возрастает, когда х -> =t:2,
а потому кривая имеет две асим-
асимптоты, параллельные оси ординат:
х = 2 и х = —-2.
§ 156. Предельное поло-
положение касательной. Прове-
Проведем в точке М(х, у) каса-
-X тельную к данной кривой:
Рис 167 " '
Если теперь точка М будет неограниченно удаляться по кривой,
то касательная в ней тоже будет перемещаться; и может случиться,
что эта касательная, оставаясь на конечном расстоянии от начала
координат, стремится к некоторому определенному предельному
положению ТТХ (рис. 167).
Докажем, что если такое предельное положение касательной
существует, то оно служит асимптотой кривой.
Воспользуемся тем, что касательная к кривой в точке М (х, у)
изображается уравнением:
Y-y=y'{X-x)
или
Для существования предельного положения касательной нужно>
чтобы коэффициенты уравнения G) стремились к определенным
пределам, т. е. должны иметь место условия:
Iim у' = К (8)
§ 157 НАХОЖДЕНИЕ АСИМПТОТ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ 349
И
lim(y — y'x)=B. (9)
В таком случае уравнение предельной касательной будет:
(Ю)
Осталось показать, что полученная прямая A0) является вместе
с тем асимптотой кривой.
В самом деле, если существуют пределы (8) и (9), то при
вычислении параметров k и b асимптоты (см. § 155) можно при-
применить правило Лоииталя:
-У
т. е. асимптота действительно совпадает с предельным положением
касательной, когда это последнее существует.
Но нельзя отождествлять эти два понятия: если не сущест-
существует одного из пределов (8) или (9), соответствующая бесконеч-
бесконечная ветвь кривой не имеет предельной касательной и тем не ме-
менее она может асимптотически приближаться к некоторой прямой.
В § 155 было показано, что ось х служит асимптотой кривой:
Но когда точка неограниченно удаляется по этой кривой,
касательная в ней не стремится ни к какому предельному поло-
положению, так как не существует
Hm/=lim [2cos(.*2) — 5^
ибо cos (х2) при х —> оо . колеблется между -j- 1 и — 1 и предела
не имеет.
§ 157. Нахождение асимптот алгебраических кривых. Случай,
рассмотренный в предшествующем § 156, когда асимптота не
является предельным положением касательной, возможен только
у трансцендентных кривых. Это замечание, доказательство ко-
ТКОРЕМА О СРЕДНЕМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГЛ. XTV
торого здесь опускается, дает упрощенный метод нахождения
асимптот алгебраической кривой.
Пусть дана алгебраическая кривая своим уравнением:
f(x9y)=0. (Н)
Левую часть этого уравнения, не вводя никаких ограничений,
можно считать целой алгебраической функцией п-и степени отно-
относительно двух аргументов х и уу что всегда может быть достиг-
достигнуто соответствующими преобразованиями.
Если прямая
k + b A2)
служит асимптотой кривой A1), то она же является предельным
положением касательной при неограниченном удалении точки каса-
касания, и так как две точки пересечения кривой (И) с прямой A2)
сливаются в точке касания, то конечных точек пересечения
остается лишь п — 2, а потому при исключении у из уравнений A1)
и A2) получается уравнение п—2-й степени относительно х.
Другими словами, в уравнении:
f(x, kx + b) = 0 A3)
коэффициенты при /и/ должны равняться нулю. Но коэффи-
коэффициенты эти, вообще говоря, содержат k и Ь, и требование, чтобы
они равнялись нулю, выразится двумя уравнениями, из которых
и определятся параметры асимптоты1.
Если кривая A1) имеет асимптоту, параллельную оси у, урав-
уравнение этой асимптоты будет
х = а A4)
и прямая A4) может иметь на конечном расстоянии лишь п — 2
точки пересечения с кривой A1); поэтому, исключив х из урав-
уравнений этих двух линий, мы должны получить уравнение п — 2-й
степени относительно у, т. е. уравнение:
f{a, дО = 0 A5)
п
не должно содержать членов с уп и /"\
Может показаться, что для определения значений только
одного параметра а имеются два условия. Однако это не совсем
1 Если, приравняв нулю коэффициенты при х11 и Xм, окажется, что вто-
второе из этих уравнений есть следствие первого, надо приравнять нулю коэффи-
коэффициент при я*""а. Если в уравнение A3) вовсе не входят члены с я/1, хп 2,
.. , хп~р, то для получения второго уравнения надо приравнять нулю коэф-
коэффициент при хп~?~1ш
t
157 НАХОЖДЕНИЕ АСИМПТОТ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ 851
так: если уравнение A) кривой п-то порядка содержит член
с уп9 то коэффициент в этом члене может быть только постоян-
постоянным и не обратится в нуль ни при каком значении параметра а;
в бтом случае кривая заведомо не имеет асимптот параллельных
оси у. Если член с уп отсутствует в уравнении A1), он не
войдет и в уравнение A5) и для определения параметра а имеем
одно уравнение, которое получим, приравняв нулю коэффициент
при У1"*.
Пример. Найти асимптоты кривой:
х* + хгу — 2ху* + у = 0.
Решение. Уравнение третьей степени, но член с у* отсутствует; следова"
тельно, кривая может иметь асимптоту, параллельную оси ординат. Пусть ее
уравнение будет:
Исключив из обоих уравнений я, располагаем члены по убывающим сте-
степеням у:
--2а/-f >> (а2 + 1) + а3 == 0.
Приравниваем нулю коэффициент при у2:
— 2а = 0,
откуда а = 0.
Асимптотой служит ось у: х = 0.
Переходим к отысканию асимптот, не параллельных оси ординат, т. е. изо-
изображаемых уравнением:
у = kx -f- b.
Результат исключения у из этого уравнения и уравнения данной кривой
запишется так:
или
х«A j^k - 2к2) + х2{Ь - Abx) +x (k -
Приравниваем нулю коэффициенты при х* и хг\
-2?2 = 0 и &(l-4fc) =
Из первого условия получим: kx = 1; kt = — тг•.
Вставляя оба эти значения последовательно во второе условие, получим;
Таким образом кривая имеет еще две асимптоты:
* Если уравнение A5) не содержит члена с уп~1, надо приравнять нулю
коэффициент при уп~2 или, общее, коэффициент при старшей степени у*
352
ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ГЛ. XIV
ЗАДАЧИ
Найти асимптоты следующих кривых*
1. у = ех. Отв. у = 0.
2. у = е~х . у = 0.
3. y = lnx. x = 0.
4. у = ? *. # = 0;
5. у = ?""* sin л:. у = 0.
6. у = tg
7. у3 = 6.
8. у2 = 2^л:.
9. у3 = а* — л;3
2_ х3
' У ~2г — х
Асимптоты нет.
(циссоида).
П. ау2=:у2;с + *8.
12. у2(лJ + 1) = л;2(^2- 1).
14. л;2у2 = а2(х2 + у2).
16. (у — с)(х — Ъ)г — аъ.
17. хг-\-уъ — 3ajcy = 0 (Декартов лист).
18. х2у = 4а2 Bа — у) (Локон Аньези).
19. ху2 + х2у = а8.
20. л;3+2л;2у — ху2 — 2/-|-4у2-
х = 2а; y=± + (x + a).
x = b', x~ 2b, у = х -f- 3 № — я).
я = 0; у — 0; х + у — 0.
§ 158. Асимптоты кривой, отнесенной к полярной системе
координат. Пусть кривая лана уравнением:
F(Pt 6) = 0. A6)
Если прямая CD слу-
служит асимптотой этой кривой
(рис. 168), то расстояние 8 точки
М (р, 6) от асимптоты стремится
к нулю, когда точка неограни-
неограниченно удаляется по кривой.
За параметры, определяю-
определяющие положение асимптоты,
можно принять расстояние
p = ON асимптоты от полюса
и угол а наклона асимптоты
к полярной оси.
Тогда угол между радиусом-
вектором точки /W(p, 0) и асим-
асимптотой будет (а — 6) и не трудно выразить расстояние Ь через
координаты точки М м параметры асимптоты:
— OA~p— p-sin(a — 9).
Рис. 168
§ 158 асимптоты кривой 353
А так как, согласно определению асимптоты;
lim 5 = 0,
p-»QD
ТО
lim [p — р • sin (а — 6)] = О
р->со
или
р= limp-sin (а — бI. nj\
р -> со * '
Для существования этого предела необходимо, чтобы
lim sin (a — 0) = 0;
р-»со
откуда
а=Нтвв
р-»оо
Т
а
Рис. 169
Вычислив угол а по формуле A8), подставим его значение
в формулу A7) и определим второй параметр асимптоты р. При
вычислении предела формулы A7) можно заменить условие р—¦ оо
более удобным: 6—*а.
Пример. Найти асимптоту гиперболической спирали;
а
= lim0 =lim — =0,
р->оо р-»со Р
Решение,
р = lim р- sin (з — 0) = Jim ^ ¦' = — а.
Асимптота параллельна полярной оси и ироходиг над ней на расстоянии,
равном а (рис. 169).
1 Пользуясь формулой A7), можно получить как положительные, так и
отрицательные значения для расстояния р в зависимости от того, проходит ли
асимптота справа или слева от полюса, если смотреть по направлению радиу-
радиуса-вектора удаляющейся точки УИ,
12 Дифференциальное исчисление
354 ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГЛ. XIV
Примечание. Если асимптота кривой является вместе с тем и предель-
предельным положением касательной (см. § 156), то параметр р представляет собою
предельную величину подкасательной (см. § ПО), а потому может быть вычис-
вычислен по формуле:
p=lim?f A9)
Эта же формула получается, если пользоваться правилом Лопиталя при
вычислении предела в формуле A7).
ЗАДАЧИ
Исследовать на асимптоты следующие кривые:
1. р cos 9 = a cos 29.
Отв. Асимптота перпендикулярна к полярной оси и лежит слева от полюса
на расстоянии а.
2. p = atg9.
Отв. Кривая имеет две асимптоты, перпендикулярные к полярной оси и в
расстоянии а от полюса, по обе стороны от него.
3. р92 =а (жезл).
Отв. Полярная ось.
4. р = a sec 29.
^ а п Zn
Отв. Четыре асимптоты, для которых р= — и а = -т- и а=: — .
5. (р ~~ a) sin 9 = Ь.
Отв. Одна асимптота, параллельная полярнол оси и расположенная над ней
на расстоянии Ь.
6. p = a(sec29-f-tg2G).
Отв. Две асимптоты, параллельные прямой 9 = ~, по обе стороны от
полюса на расстоянии а от него.
7. Показать, что полярная ось служит асимптотой к обеим ветвям кривой
? sin 9= a2 cos 29.
Отв. Асимптот нет.
ГЛАВА XV
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
159. Непрерывные функции двух и более независимых пе-
переменных. Функция f(x, у) двух независимых переменных хну
непрерывна для значений 2
(а, Ь) переменных х, у, если
имеем:
lim f(x9y)=f{afb),
х -» а
у-*Ъ
каким бы способом х и у
ни приближались к своим
пределам а и Ь. Иногда это
определение кратко выража-
выражают, говоря, что весьма малое
изменение одного или обоих
независимых переменных од-
одновременно производит весь-
весьма малое изменение значения функции \
Поясним это геометрически: рассмотрим поверхность, пред-
представляемую уравнением:
Рассмотрим, далее, на поверхности постоянную точку Му для
которой:
Приращения независимых переменных х и у назовем &х и Ду,
а соответствующее приращение независимого переменного z
назовем Дг, и пусть:
Рис. 170
будут координаты точки М (рис. 170).
Значение функции в точке (а, Ь) будет:
1 Это будет понятнее, если учащийся просмотрит § 46 о непрерывные
функциях одного переменного.
12*
356 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ГЛ. XV
Если в точке М функция непрерывна, то, каким бы обра-
образом Дл: и ку ни приближались к пределу, равному нулю, Lz
будет также приближаться к пределу нуль, т. е. откуда бы
точка М ни приближалась по поверхности к точке Ж, Р'М будет
всегда приближаться к совпадению с РМ.
Подобное же определение удерживается и для непрерывной
функции более чем двух независимых переменных.
Во всем нижеследующем рассматриваются только такие зна-
значения независимых переменных, для которых функция непре-
непрерывна.
§ 160, Частные производные. Так как в функции:
*=/(*, J>)>
х и у независимы, то можно предположить, что х изменяется
в то время как у остается постоянным, или наоборот.
Производная от. z по х, когда изменяется х, а у остается
постоянным, называется частной производной от z по х, обозна-
обозначается символом ~. Можно, следовательно, написать:
Подобно этому, когда х остается постоянным, ay изменяется,
частная производная от z по у будет:
dz— Km Г/(*.У+^)-/(*.УI /m
«у- Л, L s* J • (B)
Вместо g-j" пишут также ^ f(x9 у) или ^; подобным же обра-
зом вместо gp пишут gp/(*, ^) или ^.
Во избежание всяких недоразумений для обозначения частного
дифференцирования всюду принято д круглое. Впрочем, употре-
употребительны и другие обозначения, как например:
/х(х>У),/;(*,УI Ac/, Dvf.
Наше обозначение можно распространить и на функцию какого
угодно числа независимых переменных. Так, для функции:
имеем три частные производные:
ди ди дп
§ 160 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 357
или
dF dF dF
дх ' ду ' dz *
Пример 1. Найти частные производные от
z = ах2 + ЪЪху + су2.
рассматривая у как постоянное;
рассматривая х как постоянное.
Пример 2. Найти частные производные от
и = sin (ах + ty + С2).
~ = acos(ax + ^ + c«),
рассматривая j/иг как постоянные;
¦-- = b cos (ax -f- ^V 4"cz)*
рассматривая х и z как постоянные;
^ = с cos
рассматривая хну как постоянные.
Обращаясь снова к функции
мы имеем в обозначениях, повсюду принятых:
Такие же обозначения употребляются для функций какого
угодно числа независимых переменных.
Обратившись к § 52, мы имеем:
Ах ->0
358
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
ГЛ. X
§ 161. Геометрическая интерпретация частных производных.
Пусть уравнение поверхности, представленной на прилагаемом
рисунке (рис. 171), будет:
z =f(x,y).
Проведем плоскость
KEMTJ через точку М(а, Ь)
поверхности параллельно пло-
плоскости хОг. Так как уравне-
уравнение этой плоскости есть:
то уравнение сечения JMK,
выделяемого ею на поверх-
поверхности, будет:
Z—f(xf Ь),
Рис. 171
если EF рассматривать как ось Oz, a FT — как ось Ох. В этой
плоскости -^ означает то же самое, что -т- и, следовательно,
dz
g- равно тангенсу угла наклона к оси Ох касательной к сече-
сечению JMK в точке М.
Подобным же образом, если провести плоскость BCDL через
М параллельно плоскости yOzy ее уравнение будет:
х = а,
и в плоскости сечения LMI производная ^- означает то же, что
р. Отсюда ~=tgРТ'М равно тангенсу угла наклона к оси
Оу касательной к сечению IML в точке М.
Пример. Дан эллипсоид
найти тангенс угла наклона к осям ОХ и ОУ сечений эллипсоида, образуемых:
а) плоскостью v = l в точке, где х = 4иг положительно; Ь) плоскостью х = 2
в точке, где /=3 и г положительно.
Решение. Рассматривая у как- постоянное, имеем:
откуда
Если же х постоянно, то
2х , 2*д?
24+ 6 дл; '
dz
dxz
X
е
§ 161 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 359
откуда
dz у
а) Для у = 1 и х = 4
следовательно,
Ь) Для х = 2 и у = 3
следовательно,
Ydz
ЗАДАЧИ
Найти частные производные функций:
Отв.
1. и = х* + Ъх?у —?. |^ = Ъхг + бху,
ду у
2. u=Ax* + Bxy + Cy* + Dx + Ey+F. ^ = 2Ax + By + D;
т5
2bnyu
^ + у
да Icnzu
"dz
dz +
. x du 1
4. H^arCSn
у* — х2
ди х
<ty )> У/ — х2'
6. а = axzy2z 4- bxy^z* -f- cj;6 -f" ^^8« ^- = Зах2)/2^
-f З^/хг2.
360 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ГЛ. XV
7. и = х8у2 — 2ху* + Ъх2уг\ показать, что
ди . да -
дх ~ у ду
xv ди , ди
8. и z=z —¦-— , показать, что х ^- 4-Vr — и-
х + у дх* ' ду
9. и^=(у - z){z - х){х -у)\ показать, что ^ + ^ + ^ —
10. и = \п(ех 4-еу)\ показать, что — + — —1.
41 дх ' ду
еху
11. и— х у; показать, что
ди , ди
дк+ту
12. z/^rx^j;^; показать, что
ди . ди
хд-х+уту=
13» zz = In(x* -{-у9 -\-z* — Ъхуг)\ показать, что
ди , ди , дк3
14, w = e^ sin у -f- ^ sin x; показать, что
15. в = In (tg x -{- tg у -)- tg z); показать, что
sin 2*| |
16. Пусть высота прямого круглого конуса будет у, а радиус его осно-
основания х. Показать: а) что если основание остается без изменения, то объем
изменяется в -^-тос2 раз быстрее высоты; Ь)что если высота остается без изме-
о
нения, то объем изменяется в -5- пху раз быстрее радиуса основания.
о
X2 V2
17. Точка движется по эллиптическому параболоиду 2 = -~-|-^- в пло-
скости, параллельной плоскости X0Z. Если я = 3 м и возрастает со ско-
скоростью 9 м\сек, то найти: а) скорость изменения z со временем; Ь) величину
скорости точки; с) направление ее движения.
Отв. а) 1>з = 6 м/сек; Ъ) 1^ = 3 У^Гз м\сек\ с) T = arctg-5—угол, состав-
о
ляемый с плоскостью X0Y.
18. Если на поверхности предыдущей задачи точка движется в плоскости,
параллельной плоскости X0Z, то, полагая, что у = 2 и возрастает со бко-
ростью 5 м/сек, найти а) скорость изменения z со временем; Ь) величину ско-
скорости точки; с) направление ее движения.
Отв. а) 5 м[сек\ Ь) 5 У^2 м\сек\ с) т = -^- — угол с плоскостью X0Y.
§ 162
ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ
361
§ 162. Полное приращение. Пусть дана непрерывная функция
двух переменных z=f(x> у). Если л и у получают одновременно
приращения Ал и Ду, то функция z получает приращение, назы-
называемое полным приращением в отличие от приращений функции,
образующихся от изменения только одного переменного, с чем
мы встретились при рассмотрении понятия частной производной.
Обозначая полное приращение функции через Д?, можно напи-
написать:
А* =
(A)
Когда Дл и Ду одновременно стремятся к нулю, точка
(л + Дл, у + Ду) на плоскости ХО У движется каким-нибудь обра-
образом к точке (л, у)у а значение v
функции / (л -f- Дл, у -J- Aj/) стре-
стремится к значению f(x,y). Заста-
вим точку (л-{-Дл, у-\-&у) при-
приближаться к точке (ху у), следуя
по определенному пути, именно
сперва по прямой, параллельной
оси ОХ, а затем по прямой, парал-
параллельной оси OY. Очевидно, при
этом точка (х -f- Длс, у -f- Д_у) переме-
переместится сперва в точку (л, у -f- Д_у),
а затем из этой точки — в точку
(х,у) (рис. 172).
Соответственно этому способу перемещения точки значения
функции z=f(x,y) будут тоже изменяться определенным обра-
образом: от значения/(х 4-Ал, у-\-ку) мы перейдем сперва к значе-
значению/^, у-\-&у), & затем от этрго значения к значению f(x, у).
Таким образом, полное приращение функции мы можем предста-
представить следующим образом:
Рис. 172
Рассматривая первую квадратную скобку, мы видим, что
переход от значения/(л + Ал, у-\-ку) к значению f(xy у -f- ky)
происходит при постоянном значении переменного д/, именно
при значении у -}- Aj/. Следовательно, приращение;
f(x + U, у + Ду) -/(
является результатом изменения только одного х> а поэтому
к этой разности можно применить формулы, относящиеся к
функции одного переменного; применим, в частности, формулу
Лагранжа (§ 144). При этом заметим, что теперь в формуле
Лагранжа нужно поставить не просто производную, а частную
12В Дифференциальное исчисление
362
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
i\7I. XV
производную по аргументу х9 соответственно тому, что напи-
написанное приращение соответствует изменению х при постоянном
y-t-Ду. Итак, можем написать:
f(x
х,
—/(*, у + Д.У) =
, J/ -f Ду) Д*.
где Oj—правильная положительная дробь.
Этот результат очевиден и с геометрической точки зрения:
при переходе от значения f(x -\~ kx,y -}- Ay) к значению f(x, у -\- \у)
точка М перейдет в точку
М\ следуя по поверхности
z=f(x,у) вдоль плоской
кривой, лежащей в плоскости,
параллельной плоскостиА'С^,
на расстоянии у-\-Иу от нее
(рис. 173). И чертеж пока-
показывает, что в некоторой точ-
точке Q между точками М и
М" касательная будет парал-
параллельна секущей. А это свой-
свойство плоской кривой как раз
и составляет геометрический
смысл формулы Лагранжа
(§ 144).
Рис 173 Рассуждая совершенно
аналогичным образом, мы
применим формулу Лагранжа для разности, стоящей во второй
квадратной скобке, и таким образом будем иметь:
, у) =/; (х, у+ъ2ьу) ну.
/(х, у+ду) — ;
Итак, полное приращение можно представить в следующем
виде:
Допустим теперь, что частные производные нашей функции
также непрерывны.
Это означает, что разности:
при кх -*0 и Ду —*0 будут стремиться к нулю, т. е. величины
е, и s2 будут бесконечно малыми.
§ 163 ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 363
1—¦ —-—~-——~—~~—*
Из последних равенств будем иметь:
/' (х + в,Ал, у + Ду) =/; (ху у) + elf
и равенство (В) может быть представлено в следующем виде:
Ь* =Л (х, У) Д* +/; (х, У) Ьу + в, Ал + е2Ду. (С)
§ 163. Полный дифференциал. Напомним сперва, что прираще-
приращение одного переменного y=f(x) выражается соотношением
у/()\
где s—э-0, когда кх—>0. Первое слагаемое/'(х) Дл было названо
дифференциалом функции:
dy=f'(x)bx.
Следовательно, приращение функции отличается от дифферен-
дифференциала на бесконечно малое высшего порядка сравнительно с Дх
или дифференциал есть главная часть приращения функции, по-
получающаяся зачеркиванием членов высшей малости.
В формуле (С) предыдущего параграфа слагаемые г,Дл: и з2Ду
также являются членами высшего порядка малости по отноше-
отношению, соответственно, к Дх и к Ду. И по аналогии с понятием
дифференциала функции одного переменного, полным дифферен-
дифференциалом функции z=f(x, у) мы назовем главную частыюлпого
приращения, т. е. сумму:
Обозначая полный дифференциал функции символом dz; таким
образом получим:
Правая часть этого равенства есть главная часть правой
части равенства (С); это означает, что dz есть весьма точное
приближение к величине Дг для малых величин приращений Lx
и Ду (сравните § 120). Ясно, что если z = x, то предыдущее ра-
равенство дает Лх = Дл, ибо ^ = 1 и ^- = 0. Точно так же, если
z=y, то dy = ky, ибо |? = 0 и ^=1.
Поэтому для случая, когда хну являются независимыми
переменными, Дл; = яи, ky = dy, и, значит, мы имеем:
12В
364 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ГЛ. XV
Аналогично, полным дифференциалом функции трех независи-
независимых переменных и=/(х,у, г) называется выражение:
у ди 1 , ди * , ди , /1/ч
В дальнейшем мы увидим, что формулы A) и (Г) сохраняют
свой вид в том случае, когда переменные л, у, z не являются
независимыми.
В главе, излагающей учение о дифференциале функции одного
переменного, было показано, что на практике часто вместо
сложного по своей природе приращения функции берут более
простой ее дифференциал. Получающаяся при этом ошибка не
имеет существенного значения вследствие того, что прираще-
приращение отличается от дифференциала на член высшей малости
(см. § 120).
Совершенно аналогичную роль для практики играет и полный
дифференциал функции нескольких переменных.
Рассмотрим пример на применение полного дифференциала для
вычисления погрешностей.
Пример. Период качания простого маятника выражается формулой;
где I — длина маятника и g — ускорение силы тяжести. Найти погрешность в
определении Т7 обусловливаемую небольшими погрешностями при измерении
I и g.
Решение, Обозначим погрешности, имеющиеся при изменении I и g, соот-
соответственно через dl и dg. Получающаяся благодаря этому погрешность при вы-
вычислении периода Т является приращением ДГ. Заменяя АТ через dT,получаем:
Относительная погрешность:
dT I (dl dg
Отсюда заключаем:
г. е. абсолютная величина относительной погрешности, получающейся при вы-
вычислении Г, не превышает полусуммы абсолютных величин относительных по-
погрешностей, имеющих место при измерении I и g.
§ 164 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ФОРМУЛЫ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА 365
§ 164. Закон сохранения формулы полного дифференциала
при преобразовании независимых переменных. Ранее, в§ 126, мы
доказали одно из важнейших свойств дифференциала функции
одного независимого переменного, а именно неизменность его
формулы:
df()d =f{u) A)
во в с е х случаях, когда буква и обозначает независимое перемен-
переменное, или, когда и есть промежуточная функция нового независи-
независимого переменного; только в этом последнем случае под множите-
множителем da надо понимать уже дифференциал функции и по
новому независимому переменному.
В предыдущем § 163 мы познакомились с понятием полного
дифференциала функции многих независимых переменных. И здесь
точно так же имеется неизменность его формулы:
dz=f'n(a, v)-da-{-ti(u, v)-dv, где z=f(a, v) B)
во всех случаях, когда и, v обозначают независимые пере^
менные, или когда я, v суть промежуточные функции новых
независимых переменных, в каком угодно числе, лишь бы под
множителями du, dv понимались полные дифференциалы
функций и, v по новым независимым переменным1.
Чтобы доказать этот закон сохранения формулы
полного дифференциала при всяких преобразованиях неза-
независимых переменных, мы докажем его сначала для того слу-
случая, когда х и у становятся функциями одного независимого пере-
переменного L
Итак, пусть x = y(t) и y = §(t), где ср и ф непрерывные функ-
функции, имеющие производные <?' (t) и ф' (t). Дадим t приращение
М; тогда х и у получат соответственные приращения Дя и Ду,
причем мы знаем, что когда М—*0, тогда кх—^0 и Ьу—^0, а
Д# Ду
отношения дт- и —¦ имеют пределами соответственные производ-
производные <p'(jf) и ф'@- Так как z=f(x,y), то z также получит неко-
некоторое приращение Дг, где:
—f(x, у).
Значит, Дг есть не что иное, как полное приращение (см. § 162J
и по его формуле (С) мы имеем*.
Д2 =f'x {х, У) •
где s^-^0 и s2— +0, когда Дя—>0 и Ду-~->0 и, следовательно,
когда Д^—^0.
1 А не приращение Ли, как в случае, когда буква и обозначает независи-
независимое переменное.
366 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ГЛ. XV
Деля это равенство на kt, мы имеем:
Делая М—^0 и переходя к пределу, мы, очевидно, получим
Отсюда, умножив обе части этого равенства на дифференциал
dt независимого переменного t, и вспомнив, что dz = z't-dt,
dx = <f' (t)dt и dy = <hr (t)dt, мы получаем окончательно:
dz=f'{x,y)dx+f;{x,y)dy. D)
А это равенство как раз и выражает закон сохранения фор-
формулы полного дифференциала, когда буквы х и у перестают
быть независимыми переменными, а становятся функциями
одного независимого переменного t.
В этой формуле dx,dy и dz суть обыкновенные дифференциалы
от функции х, у и z по переменному t, причем мы должны пом-
помнить, что z=f(Xyу).
То, что мы, ясности ради, ограничились рассмотрением функ-
функции/только двух переменных'.я, у, а не трех, четырех,
и т. д., это, очевидно, не имеет никакого значения. Таким обра-
образом, мы имеем следующее общее предложение:
Теорема. Если в функции w = F(x, у, z) многих независимых
переменных х, у9 z, имеющей непрерывные частные производные,
заменить аргументы х, у9 z дифференцируемыми функциями
одного и того же переменного t, тогда обыкновенный диф-
дифференциал dw количества w, ставшего функцией одного незави-
независимого переменного tf выражается через х, у> z и через обыкно-
обыкновенные дифференциалы dx, dy, dz no формуле полного дифферен-
дифференциала, как если бы переменные ху j/, z продолжали еще оста-
оставаться независимыми:
dF(x,y, z^dx + ^dy + ^d E)
где
x = <?(t), y=$(t) и z = ®{t).
Разделив равенство E) на дифференциал dt независимого пе-
переменного t, мы получим формулу:
dw dF(x, у, z) dF dx^\dF dy \dF dz /R.
dt~ dt ~ dx' dt*dy " dt*dz ' dt * W
которую словесно нужно читать так;
§ 164 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ФОРМУЛЫ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА 367
Правило дифференцирования сложных функций.
Если имеем сложную функцию независимого переменного t,
образованную заменой аргументов х, у, z9 ..., в выражении
F(xfy,z, ...) функциями от t, то, чтобы пдлучить производи
ную по t этой сложной функции, надо частную производную
выражения F по каждому аргументу помножить на произ-
производную этого аргумента по t и все эти парные произведения
сложить.
При этом, разумеется, предполагается, что выражение F
имеет непрерывные частные производные по всем своим ар-
аргументам, и что эти аргументы заменяются дифференцируе-
дифференцируемыми функциями от t*
Доказанное правило дифференцирования сложных
функций от одного независимого переменного
позволяет тотчас же доказать закон сохранения формулы пол-
полного дифференциала уже при всяких преобразованиях независимых
переменных.
Пусть (o = F(ut v, w) есть функция трех аргументов и, v, w,
которые сами, в свою очередь, суть функции каких-нибудь
новых четырех независимых переменных х, у, z и t> т. е.
и = и{х,у, z, t), v = v{x,y,z, t) и w = w{x,y, z, t).
Мы хотим отыскать полный дифференциал d® функции
® — F(ny v9 w), r&e аргументы и} v, w уже замейены функциями
и(х, у, z, t), v(x, уf zy f)r w(x,y, z, t) от х, уf zf t, следова-
следовательно, рассматривая со как сложную функцию независимых пе«
ременных х, у, z, t.
Прежде всего, по определению полного дифференциала, имеем:
fr^dx + ^dy+gdz + gdt. G)
С другой стороны, рассматривая аргументы х, у, z и t по оди-
одиночке (т. е. каждый в отдельности) как одно независимое пе-
переменное и, следовательно, предполагая постоянными численные
значения трех остальных букв, мы можем применить только что
выведенное правило дифференцирования сложных функций одного
независимого переменного и, значит, получить четыре частные
производные -^-, -р , -^- и -^т- по формулам:
(8)
да> dF
dx du
Ъу du
doy dF
dz du
dco dF
du i
du i
dz •
ди .
dF
dv
%
dv
dF
dv
"dx
'Ту
'%
dv
idF
idw'
' dw
. a/7
dl
dw
Oil
368 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ГЛ. XV
Умножая эти равенства, соответственно, на дифференциалы dx,
dy> dz и dt независимых переменных х> у> z> t и складывая
по вертикальным колоннам, мы в левой части будем иметь:
до» 1 , dio j i до» , , до» 1.
dxJdy + dz + dt
т. е. в силу равенства G), в левой части мы получаем полный
дифференциал dw сложной функции <о по истинным независимым
переменным х, у, z, t.
Что же касается правой части, то, складывая количества
первой колонны, мы будем иметь:
dF diti^ , dF да , , OF да , , dF да ,,
* dF ,.
или, вынося общий множитель -с- за скобку, получим:
да , , ди , , да
dy + dz +
Так как л:, j/, г, ^ суть независимые переменные, то сумма,
написанная в скобке, есть не что иное, как полный дифференциал
du функции и (х, у, z, t) по этим переменным. Поэтому, преды-
предыдущее выражение напишется просто в виде:
dF ,
яг*1-
Аналогично, сумма количеств второй колонны равна ^--dv,
где dv есть полный дифференциал функции v(x,y, z, t) по неза-
независимым переменным х, у, z, t. И, наконец, третья колонна дает
dF
дш
Таким образом, в левой части мы имеем dco, а в правой части
dF , . dF d/7
сумму _.^ + _.
Следовательно,
где rfco, rfa, dv, dw суть полные дифференциалы функций
со (л;, ^, г, t), и (х, у, z, f), v (х, у, z, t) и w (x, yy z, t) по истин-
истинным независимым переменным х, у, 2, t. Но так как со = /:г(й, v, w),
то формула (9), дающая в левой части полный дифференциал do
функции о) по четырем независимым переменным х, у, z, ty
§ 165 ПРАКТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ 369
имеет в правой своей части такой вид, как если бы промежу-
промежуточные функции и, v, w были независимыми переменными,
А это и есть закон сохранения формулы полного
дифференциала при преобразовании независимых
переменных.
В этом и состоит выгода знака полного дифференциала, ибо
равенство (9) не зависит ни от числа независимых переменных,
ни от их выбора.
§ 165» Практическое вычисление полных дифференциалов.
Доказанный закон сохранения формулы полного дифференциала
говорит нам о том, что полные дифференциалы вычисляются
по тем же самым формулам, по которым вычисляются дифферен-
дифференциалы функций одного независимого переменного.
Так, мы имеем:
d (uv) = vdu -f- udv9
i f u_ \ vdu — udv
mv J xr
где и и v суть функции каких угодно зависимых переменных
и в каком угодно числе.
Поэтому полные дифференциалы нужно вычислять прямо, т. е.
непосредственно, по обычным табличным формулам диффе-
дифференциального исчисления, не прибегая к предварительному
вычислению частных производных. Предварительное вычисление
частных производных было бы бесполезным осложнением работы
вычисления, ибо многие выкладки повторяются беспрестанно без
всякой пользы. Наоборот, когда полный дифференциал df(x, у)
получен, то тогда все частные производные сразу получаются
простым отбором. Ибо, когда мы получили полный дифференциал
df(x9 у), то частная производная по х будет просто коэффициен-
коэффициентом при dx, и частная производная по у будет коэффициентом
при dy в полученном выражении полного дифференциала.
Пример 1. Найти сразу обе частные производные функции arc tg 2- #
Решение. Находим сразу полный дифференциал:
tfarctg^- =
значит, отбирая коэффициенты при dx и при dy, находим одновременно:
darctg— darctg —
5 х _ у в х
дх хг + уг' ду
370 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ГЛ. XV
Пример 2. Найти обе частные производные от in Ух2 -{-уа.
Решение, Вычисляем непосредственно полный дифференциал:
Отсюда:
д\пУх2+у*_ х д\пУх2+у3_ 3 у2
дх х2 + у* ' ду 2 ' х2-\-у8'
§ 168. Частная производная и полная производная. Диф-
Дифференцирование вдоль линии. Согласно правилу дифференциро-
дифференцирования сложных функций одного переменного, мы имеем:
dF_dF dXj,dF^ dy , dF dz , (п
dt~~ дх' dt i ду' dt~i~dz ' dt^~' ' '* *b'
когда буквы x, у, z9 ..., стоящие под знаком функции
F(x, у, z, ...), суть величины,зависящие от переменного t.
Если в этой формуле мы примем ?=.*, т. е. предположим,
что независимым переменным является буква х, а все другие
буквы у у z, ... суть функции этого переменного х, то формула
F) примет, очевидно, вид:
d±-?l\dZ . d2 i dZ . dA к /а»ч
Лс""дхТау rfxTd2 dx~\ •" ^u^
В частности, для функции двух переменных /^(л, j/) имеем:
у) dF{x, у) , а/7 (х, у) dy_ ,R ^.
и для функции трех переменных /^(.х;, J/, 2:) имеем:
dF(x, у, z)__ dF(x, у, z) ¦ а^(х, у, z) dy , а/7^, ^, z) dz ,fi ^
fifx ~" dx » aj; ' Лс » а^ # dx' ^ 2 ^
Во всех этих формулах учащийся должен заметить, что
а/7 tf/7
^- и -^ имеют совершенно различный смысл.
IT ^
Частная производная ^- составляется в предположении, что
изменяется только одно переменное х, тогда как:
dF ,. ДУ7
dx Длг-»ОДл:
где Д/7 есть полное приращение функции F, производимое изме-
изменениями всех переменных^ причем эти изменения зависят только
qt изменения Ал независимого переменного х*
§ 166
ЧАСТНАЯ И ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ
371
Можно сказать, что -^ есть производная функции F по букве
х, той самой, которая лишь явным образом фигурирует в фор-
формуле, изображающей эту функцию F(x, у, z), тогда как ^ есть
производная функции F до букве х, содержащейся в F(x, у> z)
не только явно, но еще и неявно, так как предполагается, что
буквы у и z тоже некоторые функции буквы х.
т^ i> о dF dF
В отличие от частной производной -^ 9 производная ^- на-
называется полной производной по букве х.
Пример 1. Дано .Р= sin — , x = ef; y = t2; найти— .
Решение.
dF 1 x dF x
¦т—= — cos —; тг—= г cos
dx у У dy у2 у ии
Подставляя в F), найдем:
dF .. „ег ег
_ = (^-2>1Усо875.
х dx t dy
¦~~~» *. —— e « mi?. —
*
z2t.
Пример 2. Дано F=t
Решение,
dF
' — z), у = a sin x, z = cosr, найти ^-.
dx
dz •
Подставляя в F*), имеем:
^ = aeax (y-z) + aeax cos x + eax sin x =
(a8 -f 1) sin jc.
Примечание. В примерах, подобных вышеприведенному, можно было
бы посредством подстановки выразить F явно в функции независимого пере-
переменного и затем прямо дифференцировать, но вообще этот процесс был бы
длиннее.
Можно и геометрически пояс-
пояснить разный смысл частной про-
производной -g- и полной производ-
производной -jjr. Предположим, что имеем
функцию двух переменных хну,
а именно z = F(x, у). Она опре-
определена в некотором куске плоскости
XOY, Если в этом же куске плос-
плоскости начерчена некоторая кривая
дуга АВ (рис. 174), > равнение
которой есть у =/(*), то вдоль рис# 174
372 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ГЛ. XV
этой дуги функция z = F{x, у) очевидно равна z = F[x, f(x)].
Ее производная —-, вычисленная для точки М(х, у) дуги, есть,
очевидно, полная производная; по формуле Fг*) имеем:
Мы видим, что полная производная ^-, вычисленная для
точки М(х, у), зависит от направления кривой y—f(x), про-
проходящей через эту точку М.
Ибо, если через эту же самую точку М мы проведем какую-
нибудь новую кривую y—fl(x) уже с другим направлением
в точке М (т. е. с другой касательной в УН), то мы будем
иметь и другую величину полной производной — в точке М(х, у)
вдоль этой новой кривой, ибо, по условию, /' (х) t^/j (х), в то
dF dF x
время как частные производные ^, д- для обеих кривых в точке
Ж, очевидно, равны.
Наоборот, если новая кривая у =fx {x) имеет ту же самую
касательную в точке М(х, у), то /'(х)=Дх и ясно, что полная
производная -т- в точке М одна и та же вдоль обеих кривых.
Таким образом, полная производная -г- зависит не только
от того, в какой точке М (х, у) плоскости XOY ее вычисляют,
но еще и от направления в этой точке. Частная же производная
jp зависит только от точки М {х, у), в которой ее вычисляют,
и больше ни от чего не зависит.
Это обстоятельство становится вполне понятным, если обра-
обратить внимание на то, что, когда направление, по которому
вычисляют полную производную, делается параллельным оси
абсцисс ОХ, тогда полная производная -т- делается численно рав-
равной частной производной j-. Действительно, если в равенстве
A0) мы сделаем /'(.x) = 0, тогда получим ^=д^*
Пример 3. Высота кругового конуса, равная 100 м} уменьшается со ско-
скоростью 10 м/сек; радиус основания равен 50 м и возрастает со скоростью
5 м/сек. Как изменяется объем конуса?
Решение, Пусть у, — радиус основания и у — высота конуса. Тогда объем:
dV 2 dV 1 .
§ 167 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 373
Подставляем в формулу F):
dV 2 dx , 1 2dy
Так как х = 50, у = 100, ^ = 5, % = ~ Ю, то
f5H =4^-5000-5-4-^-2500.10 — 25000-^ л*3/сея.
at J #=50 о о о
#=^100
§ 167. Дифференцирование неявных функций. Уравнение
f{x,y) = 0 A)
определяет либо х> либо у как неявную функцию другого
переменного. Любое уравнение, содержащее буквы х и уу все
члены которого перенесены в левую часть, может быть написано
в виде уравнения A). Мы обозначаем буквой и функцию от букв
л я у, стоящую в левой части:
а=/(х,у). B)
Если у есть произвольная дифференцируемая функция перемен-
переменного х, мы имеем:
du df_\df_ дУ_ (о\
dx ~ дх "Г ду ' дх * W
Но у нас буква у изображает не какую-нибудь произвольную
функцию от ху а функцию неявную, делающую величину и тож-
тождественно равной нулю. Поэтому для неявной функции у (л) мы
имеем к = 0и ^—°-
Отсюда, уравнение C) становится:
Решая его, имеем:
Ш— — дГ' Где Ф7 )
§7
Это и есть формула дифференцирования неявной функции.
Геометрически она означает, что в то время, как точка М(х9 у)
движется по плоскости XOY таким образом, чтобы функция
f(xf у) неизменно удерживалась на той же самой численной
величине, т. е. чтобы f(x, y) = постоянной и, следовательно,
374 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ГЛ. XV
чтобы ??= 0, в это самое время направление этого движения
дается всегда формулой E).
Пример 1. Дано х2у* + sin у — 0; найти ¦/-.
cix
Решение. Пусть
Тогда
=2ху\
Из E) находим:
dy_ __ 2ху*
dx Ax2yz -f- cos У'
Пример 2. Если х, когда оно проходит через значение х = 3 ^лг, возрастает
со скоростью 2 дмIсек, то с какой скоростью должно изменяться jy, когда
д> = 1 дм, для того чтобы функция 2ху2 — Ъх2у сохраняла постоянную величину?
Решение. Пусть
f(x, y) = 2xy2-
находим частные производные этой функции по х и по у:
Подставляя в E), имеем:
dy __ 2у2 — бху
Их 4ху — 3#2'
или
^ __ 2у2 — бху
dx ~~ 4ху — Ъхг'
It
Но х = 3, jy == 1, — = 2; отсюда
Рассмотрим поверхность, уравнение которой есть (рис. 175)
F(x,y,z) = 0. F)
Пусть jc = y(?), j;==cb^), z — ®(f) три такие функции незави-
независимого переменного tf что уравнение поверхности F), после под-
подстановки, становится тождественно удовлетворенным. Это озна-
означает, что
(<) Щ z = *(t) G)
суть параметрические уравнения кривой, лежащей на поверх-
поверхности F),
§ 167
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
375
Введя обозначение:
U=F(x,y,z),
мы, после подстановки G), будем иметь тождественно ?/=0 и,
значит, -7/7*= 0- Это нам дает:
для всякой кривой G), лежащей на поверхности F).
в
Рис. 175
Мы рассмотрим два специальные случая.
Во-первых, на рисунке кривая дуга JMK есть плоское сече-
сечение, сделанное плоскостью j/== const. Поэтому в формуле (8)
имеем dy = 0 и мы получаем:
dF
dz
откуда:
dx~
at
dF
dx
dz
376 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ГЛ. Х\
Но левая часть этого равенства есть, очевидно, тангенс наклона
кривой JMK к оси ОХ. Отсюда:
dF
dz _ дх /Qv
дх' — ~~дР' W
dz
Во-вторых, совершенно аналогично мы получаем формулу
dF
?--¦§•
dz
Формулы (9) и A0) говорят нам о следующем: когда имеем
уравнение F), определяющее нам букву z как неявную функцию
двух независимых переменных х и у, тогда обе частные произ-
производные -^, j- этой неявной функции z даются формулами (9)
и A0).
Хг V2 Z2
Пример, Уравнением oI+fo+lT^1 величина z определяется как неяв-
неявная функция переменных х и у. Найти частные производные этой функции.1
Решение. F=~4+^ + L.- 1.
Отсюда ^ = ^, ^ = ^, §^ = у. По формулам (9) и A0) находим:
dz х dz
5jc 55' dy
ЗАДАЧИ
В следующих шести примерах найти полные производные, употребляя фор-
формулы F), (б!), F} (см. § 166).
y) z = sinx, y — e*.
Отв. ^ =
2. «-arctg^), y = e\ Отв. d±=
i?) ? ~| = —2
4. a =
8 167
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
377
5. и = arc sin (s — /*), /* =
-At\
Отв. ?=
= a sin я, 2: = cos x.
dx
В следующих примерах найти полные дифференциалы, пользуясь формулой
A, § 163).
Отв.
7. и = fy2jc -f-с#2 + gy* + ел. Лг — {by2 -f* 2cx + e) ^'
rftt = — dx + In a; dy.
8. и =
9. u —
10. tt =
И. U —
12.
13.
14. K = t
= ysinxlny cos x dx + s]nxy*inx~ldy.
dxA
— t ds)
yy
Лп v , In л: ,
= и —~ dxA dy
\ x ^ у y
(dt t d)
= sin
du ==
da =
p dq].
zx In xdy + xy In x «to).
9 fb \
) dx + 5
16. tt = arctg j
у dx — xdy
du — -— J'.
yv y2 — x2
18. Принимая, что уравнение, характеризующее совершенный газ, есть
17. и = arc sin — .
p R,
где v — объем, р — давление, Г — абсолютная температура, a R — постоянное,
каково будет соотношение между дифференциалам^ tfi/, dp, dT?
Отв. и flfp +p dv = RdT.
19. Сторона треугольника имеет длину 2,4 ж и возрастает со скоростью
10 см/сек, вторая сторона длиной 1,5 м уменьшается со скоростью 5 см/сек.
Угол, заключенный между этими сторонами, составляет 60° и возрастает со
скоростью 2° в секунду. Как изменяется площадь треугольника?
Отв. Возрастает со скоростью 444 см%\сек*
20. Как изменяется третья сторона треугольника предыдущей задачи?
Отв. 12,32 смIсек.
21. Сторона прямоугольника имеет 25 см длины и увеличивается со ско-
скоростью 5 см/сек. Другая сторона длиной 37,5 см уменьшается со скоростью
2,5 см\сек. Как изменяется площадь прямоугольника в конце второй секунды?
Отв. Возрастает со скоростью 75 см2/сек.
22. Ребра прямоугольного параллелепипеда имеют длины 7,5 см, 10 см и
12,5 см, и каждое из них возрастает со скоростью 0,5 см/сек. Как изменяется
объем параллелепипеда?
Отв. Возрастает со скоростью 146,88 смь\сек.
23. Человек, стоя на пристани, притягивает лодку за веревку, которую он
тянет со скоростью 0,6 м/сек. Руки его находятся на высоте 1,8 м над носом
лодки. С какой скоростью движется лодка в момент, когда она находится на
расстоянии 2,4 м от пристани?
Отв. 0,75 Mi сек.
378 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ГЛ. XV
24. Объем и радиус цилиндрического котла возрастают соответственно со
скоростью 27 dMsJMUH и 0,003 дм!мпн. Как изменяется длина котла в момент,
когда объем его становится равным 1,18 мь и радиус 0,6 м?
Отв. 0,228 дм/мин.
25. Вода вытекает из конического фильтра высотой 20 см и имеющего
диаметр основания длиной 15 см со скоростью 0,0125 см3/час. С какой скб-
ростью уменьшается площадь поверхности воды, когда уровень воды опустится
на 10 еж?
Отв. 0,0025 см21час.
26. Пусть х и у — координаты некоторой точки относительно прямоуголь-
прямоугольной системы координат, а г и 0 — полярные координаты той же точки. Пока-
Показать, что
xdy—ydx = гЧЪ, dx2 + dyг = dr2 + rW.
27. Закрытый ящик, имеющий в длину 10 см, в ширину 8 см и в вышину
7 см, сделан из дощечек, имеющих -^ см в толщину. Определить прибли-
женно объем затраченного на ящик материала.
Отв. 206 см*.
28. Ускорение g вычислено из формулы
« = ySA
Найти допущенную при этом погрешность в зависимости от небольших
погрешностей, допущенных при изменении s и t.
/л a* ^ 2ds — 2gtdt
Отв. Абсолютная погрешность dg=z -~—• .
dg ds 2dt
Относительная погрешность —- = -— .
g s t
dv
В остальных примерах найти -^-, пользуясь формулой G).
29. (х2 + у2J-а2 (х*-у2) = 0. Отв. ^- = -- • У212Т^ •
v ' у ' \ j > dx у 2{х2-{-у2)-\-а2
81. sin(^)-^-^=0.
32. sin
dy xyx l — xy In x
34. /(xy y)—f{y, x) = 0. Показать, что производная может быть выражена
при помощи дроби, числитель которой получается из знаменателя перестановкой
букв я и у.
§ 168. Производные высшего порядка. Если
*=/(-*, У), 0)
тогда
сами являются функциями букв х и у и поэтому могут быть,
в свою очередь, дифференцированы.
§ 168 ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 379
Так, беря первую функцию и дифференцируя ее, имеем;
Ш=КЛх,У)> $к=Г,Лх,у). C)
Таким же точно образом, из второй функции B) мы выводим
В равенствах C) и D) на первый взгляд находятся четыре
частные производные второго порядка. Но на самом деле их там
только три, ибо дальше строго доказывается тождество:
д2и д2и /дч
ду дх дхду9 ^ '
если только эти производные непрерывны.
Это означает, что
порядок последовательного дифференцирования по л и по у
безразличен.
Поэтому-то в равенствах C) и D) имеется только три частные
производные второго порядка, именно:
Это распространяется и на высшие производные. Например,
в силу тождества (А), имеем:
д'и __д ( дги\__ д*и _ д2 (ди\_ д2 [ди\_
П "Ч * ?" "~ ~Ч I -Ч -Ч I "~~*^™" "Ч -Ч -Ч w-*.^^ 1 1 ——^^ I I ^-^—
_ _ _ dhi
дх2 ду дх \дх ду ) дх ду дх дх ду \дх J дудх\дх ) ду дх2 *
То же самое имеет силу и для функций трех или более пере-
переменных.
д2и дЧь
Пример. Дано и = х9у — Ъх2у*\ проверить ^—-г- = ^ .
Решение.
Этим проверено тождество (А).
Доказательство тождества (А). Рассмотрим выра«
мсение*
380 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ГЛ. XV
Введем вспомогательную функцию:
считая (пока) у и ку постоянными.
Выражение U есть приращение функции ф(х), а именно:
Применив теорему Лагранжа, получим:
U = ? (х + Дл) - у (х) = Дх<р' (х
где 0<в,<1.
Вычислим производную ср' (х):
Следовательно,
Применим снова теорему Лагранжа, считая, что приращение
получает аргумент у, тогда получим:
у)> G)
где 0<62<1.
Выражение U можно преобразовать иначе, заметив симметрию,
с которой входят в него аргументы х и у.
Для этой цели составим вспомогательную функцию:
При помощи аналогичных рассуждений (изменив роли аргу-
аргументов х и у) получим:
?/= Ay bxfxy (х + 68Дл, у + 64Ду), (8)
где 0<68<1 и 0<64<1.
Приравняв значения U, представленные формулами G) и (8),
и сократив на кхку, получим:
/;, (х + Ъг*х, у + Ь^у) =fxy (х + ЬМ у + КЬу).
Заставив Дл:—>() и ку—^0 и вспоминая, что мы предположили
вторые производные непрерывными, мы получаем окончательно
тождество:
fyx(x, y)=fw{x,y), (A)
выражающее безразличие от порядка дифференцирования.
§ 169 ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ 381
ЗАДАЧИ
Найти вторые частные производные всякой из следующих функций:
I./(х, y) = 2 + 2 + b2
Отв. ?, (х, у) = 2; /^ (х, дО = 3; fy% (х, у) = 12.
2. / (х, у) = х8 + Зх1^ + 6х/ — /.
Отв. ?. (х, ;у) = 6х + 6^; /^ (х, у) = 6х + 12# jj, (х, у) = 12х - 6у.
— У
d2z__ Ay dzz -> 2(х + у) dzzАх
ax~2-(x;y)8; ;
4. /(х, _у) = ^ cosjy — еу cos x.
6. Если /(х, з;) = х4 — 8х2/ + 3;у4, показать, что
/ ;2B, — 1) = 32; ^B, — 1) = 64; ^аB, — 1) = — 16.
7. Если /(х, у) = sin х In (у + 1) + cos jy In A — x), показать, что
4@,0) = —1, fy@, 0) = 0,/;2@, 0) = -l, ^y@, 0) = l, /;a@,
8. Если / (x, y) — x8 — 3x2j; + 2y2, найти величины
/?.(- 1,2), /^(-1,2), /J,(-l,2).
9. Если ц =2х8 — 4x2y -f 5^2 -" %ХУ + 7^2» проверить, что
10. Если v = (ax2 + ^2 + сг2)8, показать, что
dsa dsu d*a
дх2 ду дх ду дх ду дхг'
xv
11. Если и= * , показать, что
дги , o a2w . 2 d2tt Л
12. Если u = ln"Kx2 +y2, показать, что ^-з + л^^0
13. Если цг= :> показать, что
++0
§ 169. Теоремы о среднем для функций нескольких незави-
независимых переменных (законы среднего). 'Георема о сред-
нем Лагранжа. Пусть и=/(х>у) непрерывная функция с
.непрерывными частными производными вблизи л = а, у — Ь.
382 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ГЛ. XV
Рассмотрим, как в § 144, приращение функции:
f(a + h9 b + k)-f(a, b)
и постараемся выразить его через «средние величины». Для этого
введем обозначение:
<p(f)=f{a + ht, b + kt).
Ясно, что ср(О)=/(а, Ь) и <p(l)=/(a-j-A, b-\-k). Применяя
к функции y(f) теорему о среднем Лагранжа на отрезке [0, 1],
мы имеем (см. § 144):
?(!)—У@) = A—0)?'F), где 0<8<1. A)
Так как:
<t'{t) = hf'x(a-\-ht, b + kt) + kf'y(a-\-ht, b + kt), B)
то равенство A) переписывается в виде:
, b + k)—f{a, b) = hf'x(a + + Щ +
+ ?/;( + 6A b + Щ. C)
Это равенство и является теоремой о среднем Лагранжа для
функций двух переменных.
Теорема о среднем Тейлора. По-прежнему полагая:
, b + kt),
мы пишем для y(t) теорему о среднем Тейлора для отрезка
[0, 1], причем мы останавливаемся на члене второго порядка (см.
§ 145):
? A) - ? @) = ^^ ?' @) + ibjS! f F), D)
где О<0<1.
Найдем <р" (t). Дифференцируя равенство B), имеем:
т. е.
И так как, в силу формулы B), <p'@) — hf'x(a, b)-\-kfy(a, b),
то равенство D) перепишется в виде
E)
/(a + A, b + k)=f(a, b)+[hfx(a, b) + kfy(a,
§ 170
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МАКСИМУМА И МИНИМУМА
383
Это равенство и есть теорема о среднем Тейлора для функ-
функций двух переменных, остановленная на членах второго по-
порядка.
Нетрудно распространить оба закона среднего на функции
трех или более переменных, так же как и продолжить среднее
Тейлора на члены третьего, четвертого и т. д. порядка.
§ 170. Необходимые условия максимума и минимума функций
нескольких переменных.
Пусть z=f(xy у). Мы говорим, что функция f(x, у) имеет в
точке М(ау Ь) максимум, если численное значение/(а, Ь) больше,
чем численное значение f(x, у) во всякой точке М (х> у), нахо-
находящейся вблизи М.
Аналогично, f{a, Ь) есть Z
минимуму если /(а, Ь)
Рис. 177
меньше, чем f(xt у)у когда точка М' {х, у) находится вблизи М
(рис. 176).
Аналитически эти определения переводятся следующим
образом:
если для всех h и k, меньших по абсолютной величине, чем
некоторое е, имеем:
f(a-{-ht b-\-k)—/(a, b) = отрицательному числу, F)
тогда /(а, Ь) есть максимум функции /(л, у), если же
/(а-f-A, b-\-k)—/(а, Ь) = положительному числу, G)
тогда /(а, Ь) есть минимум.
Геометрически эти определения переводятся следующим
образом:
точка М на поверхности z—f{x> у) есть точка максимума,
когда она «выше», чем все другие точки этой поверхности, нахо-
находящиеся вблизи М. При этом координатная плоскость XOY счи-
считается горизонтальной. Аналогично, точка А/1 на поверхности есть
точка минимума, когда она «ниже», чем все другие точки поверх-
поверхности поблизости от нее (рис. 177).
384 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ГЛ. XV
Необходимые условия максимума а минимума получить
чрезвычайно легко:
чтобы точка М(а, Ь) была точкой максимума или мини-
минимума, необходимо соблюдение двух одновременных равенств:
/'х(а,Ь) = 0и/'у(а,Ь) = 0. (8)
Доказательство. Если М(а, Ь) есть точка максимума или
минимума, тогда равенства F) и G) показывают, что разность
f(a-\-hi b-\-k)—/(a, b) не может изменять знака при перемене
знака числами h или k. Но если бы, например, величина fx (a, b)
была отличной от нуля, то тогда, полагая, в формуле Лагранжа C)
k — О, мы имели бы:
/ (а + Kb) —f(a,b) = hfx {a + 6ft, b). (9)
Так как по условию /'х(а,Ь)=?0, то в силу непрерывности
функции /х {х,у), мы будем иметь и fy (a -f- Ш,Ь) ф О, когда h
достаточно мало. А тогда первая часть равенства (9)
должна переменить свой знак, когда число h
переменяет свой знак. Это же невозможно, ибо левая
часть равенства (9) не должна изменять свой знак в точке М(а, Ь),
если f{a,b) есть максимум или минимум.
Итак, мы обязаны иметь равенство: f'x{a, #) = 0. Таким же
образом доказывается, что мы обязаны иметь в точке М (а,&)
максимума или минимума еще и второе равенство: /y(afb) = 0
ч. т. д.
Из сказанного вытекает следующее правило для оты-
отыскания максимумов и минимумов функций f(x, у)
двух независимых переменных:
Первый шаг. Найти две частные производные первого
порядка fx{x,y) и fy{x,y).
Второй шаг. Приравнять найденные производные нулю
и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизве-
неизвестными:
найдя все пары (а,Ь) действительных чисел, удовлетворяющих
им. Это и будут так называемые критические точки М(а,Ь)
для функции f(x>y).
Третий шаг. Взять какую-нибудь критическую точку
М{а> Ь) и составить разность f(a-\-h, b-\-k) —f(a,b). Если
она отрицательна для всяких h, k> близких к нулю,
имеем максимум f{ayb). Если она положительна для
всяких h, ky близких к нулю, имеем мини му м f(a, b). Если
она изменяет знак при изменении численных значений h, k%
тогда в точке М(а, Ь) функция f(x,y) не имеет ни максимума,
ни минимума.
§ 170 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МАКСИМУМА И МИНИМУМА 385
Этот способ распространяется без всяких изменений и на функ-
функции трех и более независимых переменных. Так, имея функ-
функцию u=f(x, у, z) трех независимых переменных, мы находим все
критические ее точки М(а, Ь, с), написав систему трех уравне-
уравнений с тремя неизвестными:
и отыскивая все действительные тройки (а, &, с) чисел, удовлет-
удовлетворяющие этой системе. Для окончательного же исследования
найденной критической точки М(а, &, с) неизбежно определение
знака разности:
f{a-\-h9 b-\-k> c-\-l)—/(a, b, с)
I
t
.J*
I . ^ Z4-2X
2
Рис. 178
при А, &, / весьма малых.
Пример. Железный лист имеет вид длинного прямоугольника шириной
24 см. Требуется его согнуть по пунктирным линиям и придать боковым сторо-
сторонам такой наклон, чтобы получить призматический сосуд максимальной вмести-
вместимости (рис. 178).
Решение. Задача требует иметь поперечное сечение максимальной
площади. Это сечение есть трапеция, имеющая: нижнее основание 24 — 2#,
верхнее основание 24 — 2х + 2х cos а, высоту х sin а. Поэтому площадь А
дается формулой:
А = 24# sin а — 2х2 sin a -J- x2 sin a cos а.
Прилагая сюда найденное правило, имеем:
= 24 sin а — 4л; sin а
= 24х cos а — 2х2 cos а + х2 (cos2 а — sin8 a).
— = 24 sin а — 4л; sin а + 2х sin a cos а,
дх '
-г—
QCt,
Приравнивая эти частные производные нулю, мы имеем два уравнения:
2 sin а A2 — 2х -f- # cos a) = 0,
х [24 cos а — 2х cos а + ^ (cos2 а "" sia2 аI ^ ^
Одно из решений этой системы есть а = 0 и х = 0, но оно не име&г смысла
в поставленной реальной задаче. Полагая же а Ф 0 и х Ф 0, мы находим
cosa = -— и х = 8.
13 Дифференциальное исчисление
386 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ГЛ. XV
Физическая же задача ясно говорит нам о том, что максимум должен суще-
существовать. Значит, он должен получиться, когда <х = 60° их = 8 см.
§ 171. Достаточные условия максимума и минимума функций
двух переменных. В предыдущем правиле два первые шага, в
принципе, не представляют затруднений. Но исследование най-
найденной критической точки М(ау Ь) на максимум и минимум,
составляющее сущность третьего шага, чрезвычайно трудно, и
его обыкновенно обходят, ссылаясь на чисто физические сообра-
соображения (как, например, в данном выше примере).
Однако в помощь этому исследованию имеется дополнитель-
дополнительное правило, сильно облегчающее сказанное исследование.
Для вывода этого правила возьмем критическую точку М (а, Ь)
и применим к приращению /(a-f-A, b-\-k)—f(a, b) теорему о
среднем Тейлора, остановленную на членах второго порядка (§ 169,
формула E)):
, b + k)-f(a9 b) =
где x и у, поставленные под знаками вторых производных f"x2y
fZytfy» суть средние величины, а именно: х = а-\-Ыг и y = b-\-bk.
Мы полагаем:
А=Г«(х.У)> B=f:y(x,y), С=/;2(х,у) A2)
и рассматриваем тождество:
Ah2 + 2Bhk + Ck2 =1 [(Ah + IlkJ + (AC—B2) k2]. A3)
Если имеем:
AC—?2>0, A4)
тогда выражение, стоящее в квадратной скобке, положительно,
и тогда левая часть тождества A3) должна иметь знак величины
А (или величины С, ибо Л и С, в силу формулы A4), должны
иметь одинаковые знаки).
Поэтому, когда имеем строгое неравенство A4) удовлетворен-
удовлетворенным в самой точке М(а9 Ь)у т. е. когда имеем строгое неравен-
неравенство:
ГА"> ьуг;ла, ь)-г;у(а, b)>o9 (i5>
тогда, § силу непрерывности всех трех частных производных
второго порядка A2), строгое неравенство A4) будет соблюдаться
не только при А = 0 и ? = 0, но и для всех A, k достаточно
§ 171 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МАКСИМУМА И МИНИМУМА 387
т. е. близких к нулю. И тогда знак А (или С) будет такой же
для h и k, близких к нулю, как и знак f'x2 (а, Ь) [или f\ (a, b)\
Значит, при соблюдении неравенства A5) левая часть тождества
A3), а с ней и правая часть равенства E*), не может изменять
свой знак, какими бы ни были числа h и k, лишь бы они были
достаточно малы, и этот знак будет таким же, как и знак вели-
величины f^2 (а, Ь) [или знак величины /*а (а, Ь)\
Это нас приводит к следующему практическому пра-
правилу для распознавания максимума или мини-
минимума функции f(x, у):
Первый шаг. Решить совместные уравнения:
Второй шаг. Вычислить для этих пар величин х а у
выражение:
у
А1 ( у
дх* ' df \дхду ) '
Третий шаг. Исследуемая функция f(x, у) имеет:
d2f ! d2f\
максимум, если Д > 0 и ^~ f или -р, J < О,
минимум, если А>0 и -^(или—^J >0.
Если же Д отрицательно, то в критической точке М (а, Ь)
функция f(x, у) наверное не имеет ни максимума, ни мини-
минимума1.
Наконец, если Д = 0, тогда вопрос совершенно не решен ни
в ту, ни в другую сторону и требует других приемов и методов
распознавания.
Распознавание максимумов и минимумов функций трех пере-
переменных, f(xy уу z), излагается в более полных учебниках.
Пример 1. Исследовать функцию:
Ъаху — у? — у8
на максимумы и минимумы, предполагая а > 0.
Решение.
fix, y) = Zaxy-x*-y*.
1 Ибо, если АС — ?2<0, то квадратная скобка в тождестве A3) изме-
изменяет свой знак при надлежащем подборе h и k> В самом деле, если & = 0э
эта скобка положительна; если же k Ф 0, то, выбирая h так, чтобы
ЛА + 2& = 0, мы имеем эту скобку уже отрицательной
13*
388 -частные производные гл. xv
Первый шаг.
^явЗал — Зу = 0.
ду '
Решая эти уравнения совместно, находим:
х = 0, у = 0; х = а, у
Второй шаг,
dx2 dx d;y ду2
Третий шаг. При х = О, у = 0 имеем Д = — 9а2, т. е. Д < 0, и сле-
следовательно, при @, 0) нет ни максимума, ни минимума.
При # = #, у~а имеем Д = 27а2, Д>0, а так как
то при
х = а, у = а
имеем максимум.
Подставляя в данную функцию
х = а, у = а,
находим, что ее величина в точке максимума равна а8.
Пример 2. Разделить а на такие три части, чтобы их произведение было
максимумом.
Решение. Пусть первая часть будет ху вторая у; югда третья часть будет
а — (х + у) = а — х — у,
и исследуемая функция будет
Первый ш а г.
тр = ау
Решая эти уравнения совместно, находим:J
тр = ау — 2л:у — у2 = 0; ~- = ах — 2ху — х2 = 0.
а
(ъ е. деление производится на три равные части).
Второй шаг.
дхду
1 Мы не исследуем случая, когда л=); = 0, или х = 0, у = а, или ^==а,
^ = 0, так как во всех этих трех случаях произведение ху = 0 и поэтому
ясно, что получается минимум.
§ 171 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МАКСИМУМА И МИНИМУМА 389
Л = Аху — (а — 2х — 2уJ.
Третий шаг. Если
а а
то
а так как
ОТ &
то, очевидно, при
а а
а3
наше произведение имеет максимум; величина его равна ^=,
ЗАДАЧИ
1. Найти минимум функции х2 + ХУ "\~У2 — a% — ^!У»
2. Исследовать на максимум и минимум функцию
Отв. При х = у = ~ имеем max =1,5,
при х=у = ~ имеем rain = -^3.
3. Показать, что функция xe^^~xsmy не имеет ни max, ни m,in.
4. Исследовать на максимум и минимум функцию
* + **+у-у*.
Отв. При я — О, у = 0 имеем max,
при х = у = 32~ и
при х = — y = 3z -7?Y?> имеем min.
5. Исследовать на максимум и минимум функцию
uz=zxy(x + y— 1).
Отв. При х=)> = — имеем min =-^7^.
о 27
6. Показать, что поверхность прямоугольного параллелепипеда данного
объема имеет минимум, когда тело есть куб.
7. Показать, что наиболее экономичные размеры для прямоугольного бас-
бассейна данного объема суть: квадратное основание и глубина, равная половине
стороны основания.
8. Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него конической вер-
верхушкой. При каких размерах на изготовление такой палатки данного объема V
потребуется наименьшее количество материи?
390 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ГЛ. XV
Отв. Если х — радиус основания палатки, у — высота цилиндрической
части, z — высота конической верхушки, то пропорции размеров определяются
соотношением:
z 2 о
9. Показать, что из всех треугольников, имеющих данный периметр, наи-
наибольшую плошадь имеет равносторонний треугольяик.
10. Найти наибольший прямоугольный параллелепипед, какой можно вписать
в эллипсоид.
Отв. Размеры параллелепипеда: 2-iL, 2-77=, 2-?=. Объем: ¦ п JL .
Указание. Положить v = хуг и поставить значение г, определенное из
уравнения эллипсоида. Получим функцию
только двух переменных.
ГЛАВА XVI
ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
§ 172. Особые точки. Пусть кривая дана уравнением:
F(x, j/) = 0, A)
тогда угловой коэффициент ее касательной определится по фор-
формуле (см. § 167):
dF
li~ dF W
ду
при условии, что в точке касания по крайней мере одна из произ-
dF dF rr
водных -т- или -т-отлична от нуля. Кривая в такой точке имеет
вполне определенное направление, и до сих пор мы ограничива-
ограничивались рассмотрением именно таких обыкновенных точек
кривой.
Если же окажется, что для некоторой точки М (л0, у0) кривой:
У=Уо У~Уо
направление касательной становится неопределенным, кривая
обладает здесь какой-то существенной особенностью, поэтому
такая точка называется особой точкой кривой.
Итак, координаты особой точки кривой A) должны удовле-
удовлетворять системе трех уравнений:
Но три уравнения с двумя неизвестными не всегда совместны,
а отсюда следует, что не на каждой кривой существуют особые
точки.
§ 173. Определение касательных в особых точках алгебраи-
алгебраической кривой. При исследовании характера кривой в окрестности
392 ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГЛ. XVI
какой-нибудь ее точки удобно предварительно перенести начало
координат в рассматриваемую точку; тогда уравнение алгебраи-
алгебраической кривой не будет содержать свободного члена и, сгруппи-
сгруппировав члены одинаковой степени, его можно привести к виду:
f(xyy) = (ax + by) + (cx2 + dxy + ey2) + (fx* + ...) + ... = 0. C)
Нас интересует нахождение касательной к кривой C) в начале
координат.
Рассмотрим пучок прямых, проходящих через начало координат
y = kx D)
и по характеру пересечения этих прямых с кривой выделим среди
них касательную.
Исключив у из C) и D), получим уравнение, определяющее
абсциссы точек пересечения:
f(Xy kx) = x(a + bk) + x2(с+ dk + ek2)+xs(/+...) + ... = 0.E)
Один из корней этого уравнения равен нулю при любом зна-
значении к, т. е. одна из точек пересечения каждой прямой пучка
и кривой совпадает с началом координат, а остальные точки пе-
пересечения имеют абсциссы, отличные от нуля.
Если же значение k выбрано так, чтобы
т. е.
*=-?¦ (б)
то два корня уравнения E) равны нулю и соответствующая
прямая
у — — - х
или
ах + Ьу=0, G)
имеет в начале координат две слившиеся общие точки с кривой.
Прямая G) и будет единственной касательной к кривой в на-
начале координат. Точка, в которую перенесено начало координат,
является обыкновенной точкой кривой.
Отметим, что уравнение касательной G) можно получить,
приравняв нулю группу членов первой степени из уравнения кри-
§ 173 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ В ОСОБЫХ ТОЧКАХ 393
вой C). Очевидно, что это заключение справедливо, если Ь^=0
или афО.
Переходим к рассмотрению случая, когда
я = 0 и & = 0,
но по крайней мере один из коэффициентов с, д или е отличен от
нуля.
В уравнении кривой:
f(x9 у) =.(Cx*-\-dxy + ey2) + (fx° + ...) + ... = О C')
отсутствует не только свободный член, но и все члены первой
степени; угловой коэффициент касательной F) в начале коорди-
координат становится неопределенным.
Легко проверить, дифференцируя урав-
уравнение кривой C), что
т. е. точка, в которую перенесено начало
координат, в этом случае является особой рКСш 179
точкой кривой (§ 172).
Для исследования пересечения кривой C') с прямыми пучка
D) получим:
f(x,kx) = x>{c + dk + ek*)-\-x!>(f+...) + ...=O. E')
Уравнение E') имеет при любом значении k два корня, рав-
равные нулю, откуда следует, что каждая прямая пучка пересекает
в начале координат кривую в двух слившихся точках, т. е. сама
кривая имеет в на.чале координат как бы двойную точку, что,
например, может иметь место, если в ней пересекаются две ветви
кривой (рис. 179).
Точка кривой, обладающая тем свойством, что всякая пря~
мая, через нее проходящая, имеет в ней две слившиеся общие
точки с кривой, называется двукратной или двойной
точкой.
Посмотрим, нет ли среди прямых пучка D) таких, которые
еще теснее примыкают к кривой и имеют с ней не две, а три
слившиеся точки пересечения в начале координат.
Очевидно этому условию удовлетворяют прямые, угловые
коэффициенты которых обращают в нуль коэффициент при л2 в
уравнении E'), т. е.
<?4-d/e + e/e2 = 0; (8)
13В Дифференциальное исчисление
394 приложения частных производных гл. xvi
так как уравнение квадратное, то существуют две прямые, обла-
обладающие вышеуказанным свойством. Эти прямые называются ка-
касательными в двукратной точке кривой.
Исключив k из (8) и D), получим уравнение пары искомых
касательных:
= 0. (9)
Таким образом, если начало координат перенесено в двукрат-
двукратную точку кривой и потому уравнение кривой не содержит чле-
членов нулевой и первой степени, то, приравняв нулю группу членов
второй степени, получим уравнение пары касательных в этой
двойной точке.
Подобным же образом, если
то по крайней мере один из членов третьей степени входит в
уравнение C), кривая имеет в начале координат трехкратную
точку и уравнение касательных в ней получим, приравняв к
нулю "группу членов третьей степени из уравнения кривой и т. д.
§ 174, Различные типы двукратных точек алгебраической
кривой. Характер кривой в двукратной точке зависит от корней
уравнения (8), т. е. от того, имеет ли она в этой точке две дей-
действительные и различные касательные, две совпадающие каса-
касательные или, наконец, две мнимые касательные.
Введем более удобные обозначения.
Вычислив частные производные второго порядка от левой
части уравнения кривой C), легко гроверить, что
°~2 \дх2)х=о' и~\дхду/У^о' *~ 2 [ду2 )х=о'
а потому уравнение (8) приводится к виду':
ду2 ' дх ду ' дх2 у '
I случай:
дхду) дх2 d
Кривая имеет в двойной точке две различные касательные.
Перемещаясь по кривой, подвижная точка может пройти через
двойную точку в двух разных направлениях, т. е. кривая в ней
i n d2f /d2f\
* Для упрощения записи мы будем писать ~~ вместо I -~ j _ и т. д.
§ 174 типы двукратных точек 395
сама себя пересекает или пересекаются две ветви кривой. Такая
двойная точка называется узлом (рис. 179).
U4) f
Обе касательные в данной точке сливаются, т. е. обе ветви
кривой, проходя через двойную точку, касаются друг друга.
Если при этом ветви кривой имеют точки в непосредственной
близости от точки касания по обе стороны от нее, точка назы-
называется точкой самоприкосновения
(рис. 180).
Если же обе ветви кривой простира-
простираются по одну сторону от точки касания,
эта точка называется точкой возвра- Рис 180
та или заострения.
В зависимости от того, расположены ли обе ветви вблизи
точки касания по разные стороны от общей касательной или по
одну сторону от нее, различаются точки возврата I рода (рис. 181)
и точки возврата II рода (рис. 182).
Кривая действительных касательных в двойной точке не
имеет. Двойная точка является действительной точкой пересе-
пересечения двух мнимых ветвей, и в непосредственной близости от нее
нет других действительных точек кривой. Такая особая точка
называется изолированной точкой.
Рис. 181 Рис. 182
Напомним еще раз все этапы, по которым ведется исследова-
исследование алгебраической кривой на особые точки.
Если алгебраическая кривая дана своим уравнением
F(X, У) = 0,
то вопрос о существовании на ней особых точек связан с рас-
рассмотрением системы уравнений:
F(X, Г) = 0, g=0, |^ = 0.
Если эти уравнения окажутся несовместимыми, кривая осо-
особых точек не имеет. 13в*
396 ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГЛ. XVI
Если вышеприведенные уравнения имеют общие решения, то
каждая пара (х0, у0) таких решений дает координаты особой
точки. Переносим начало координат в точки М (х0, j/0), не меняя
направления осей и, следовательно, пользуясь формулами:
A0)
Преобразованное уравнение кривой будет:
F(x+X<>, y+yo)=f(x, j/) = 0. A1)
Вычисляем значения частных производных:
\dxz)x=o' \
0
у = 0 у=0
и если по крайней мере одна из них отлична от нуля, точка
М(х0>у0) является двукратной точкой, тип которой определяется
исследованием разности:
IYJLY_22.
\_\дхду] дх2 y\
у=0
Примечание 1. Применяя к равенству A1) правило диф-
дифференцирования сложных функций и учитывая соотношения A0),
имеем:
\дх)х=о~\дх)х=х0; \dx*)Q—[dX2)xH T"
откуда
[\dxdyj дх* ду\1\) \хо
у=о у=Уо
Таким образом для определения характера двойной точки
М{хй,у0) нет надобности переносить начало координат в эту
точку, а можно вычислить частные производные второго порядка
от левой части не преобразованного уравнения и исследовать
разность, стоящую в правой части равенства A2).
Примечание 2, Метод, указанный для исследования алге-
алгебраических кривых, остается в силе для любой кривой
если только к функции Ф (X, У) может быть применена формула
Тейлора в области особой точки M(xoty0)t т. е.
^ (•*<>> У.) х* + 2Фу*0> У.) *У + % (Л, У о)
где х — Х—х0 и у = У—уг
§ 174
ТИПЫ ДВУКРАТНЫХ ТОЧЕК
397
Пример 1. Исследовать на особые точки кривую:
К2 = *(АГ-1J.
F(X9 Y)=zY2-X{X-\)\
Решение.
откуда
Решая совместно уравнения:
получим единственное решение: хо = 1, уо =
Кривая имеет особую точку М(\, 0).
Переносим начало координат в эту точку
Преобразованное уравнение кривой
будет:
f() *
или
¦y*--jC«--jc»=:O.
Начало координат является двойной
точкой кривой; уравнение касательных по-
получим:
у2 — xz = 0 или у — я = 0 и у -\-x=:Q.
Кривая имеет узловую точку (рис. 183).
Тот же результат мог быть получен иначе:
Рис. 183
^ 0Y2
L\dXdY.
Пример 2. Исследовать на особые точки кривую:
Решение.
Уравнение кривой не содержит членов нулевой и первой степени, следо-
следовательно, кривая имеет в начале координат двукратную точку.
Уравнение касательных в особой точке:
Касательные мнимые, начало координат является изолированной точкой
кривой. В самом деле, координаты @, 0) удовлетворяют уравнению кривой, но
на ней нет ни одной точки вблизи начала координат, так как действительные
значения для у получаются лишь при х = 0 и х^\ (рис. 184).
Пример 3. Исследовать на особые точки полукубическую параболу:
398
ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ГЛ. XVI
Решение. Кривая имеет двойную точку в начале координат; касательные
й У 0 б
р
в ней определяются уравнением
осью х.
Кривая имеет действитель-
действительные точки только при х^О,
вся она расположена по одну
сюрону от двойной точки и тем
самым отпадает возможность
самоприкосновения и мы можем
утверждать, что имеется точка
возврата.
У
у у р;
= 0, т. е. обе касательные сливаются с
Рис. 184
Рис. 185
Кроме того, кривая симметрична относительно оси х, обе ветви располо-
расположены по разные стороны от общей касательной.
Поэтому начало координат является точкой возврата I рода (рис. 185).
§ 175. Особые точки трансцендентных кривых. До сих пор
при определении и отыскании особых точек кривой:
F(x,y) = 0
предполагалось, что функция F(xy у), стоящая в левой части
уравнения кривой, непрерывна и имеет непрерывные частные про-
производные. При соблюдении этих условий, как, например, в случае
алгебраических кривых, все особые точки носили характер крат-
кратных точек: двукратных, трехкратных и т. д.
Если же мы откажемся от этих ограничений и будем рассмат-
рассматривать любые трансцендентные кривые, то могут встретиться
особые точки совершенно иного типа, существование которых
обусловлено разрывами непрерывности или самих функций, вхо-
входящих в уравнение кривой, или их производных.
В качестве примеров таких особых точек приведем концевую
точку у в которой кривая внезапно обрывается, и угловую точку,
обладающую тем свойством, что по мере того, как подвижная
точка кривой к ней приближается, касательная стремится к двум
разным предельным положениям в зависимости от того, с какой
стороны приближается точка.
§ 175
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КРИВЫХ
399
М
Пример 1. Проверить, что кривая
у —cos V х
имеет концевую точку.
Решение. Действительные точки кривой существуют лишь при х^О; по-
поэтому слева от оси у кривая продолжена быть не может; с осью у она имеет
только одну общую точку М
(О, 1).
Справа от оси у кривая
состоит из однозначной ветви,
которая простирается в беско-
бесконечность. Таким образом, кривая
обрывается в точке М@, 1),
которая и является ее концевой
точкой (рис. 186).
Примечание. Мы
продолжаем называть точ-
точку М концевой точкой
кривой, когда сама она и не принадлежит кривой, но служит предель-
предельным положением точки, движущейся по кривой, если это движение не
может быть продолжено за точку М.
Пример 2. Показать, что кривая
Рис. 186
имеет концевую точку в начале координат.
Решение. При я = 0 определить значение у из уравнения кривой нельзя.
Но
1
lim y = li
v--4.4-0 1 лг-^4-0 1 х-*4-0
— X
Рис. 187
Рис. 188
Начало координат является предельным положением точки, движущейся
по единственной ветви кривой в области положительных абсцисс. При х < 6
точек кривой не существует. Согласно сделанному примечанию, можно считать
начало координат концевой точкой кривой (рис. 187).
Пример 3. Проверить, что кривая
+ е*
имеет угловую точку в начале координат»
400 ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГЛ. XVI
Решение. При я = 0 имеется кажущийся разрыв непрерывности функции у.
Но так как
lim у~\ш у = 0,
х * -|- 0 х-+ — 0
то можно считать, что у = 0 при х = 0, и тогда ордината будет непрерывной
и однозначной функцией при любых значениях х, т. е. кривая состоит из одной
непрерывной, однозначной ветви.
Переходим к нахождению касательной в начале координат:
1
dy_ 1 ! "~
dx Хг / LY'
\1+ех)
\+ех х]
Вычислить значение производной для я = 0 нельзя, но
dy Л ,. dy л
lim ~=0 и lim -j- = 1.
Кривая имеет в начале координат две касательные: касательная дуги, рас-
расположенной справа от оси у, с приближением точки касания к началу коорди-
координат стремится совпасть с осью х, а касательная дуги, расположенной слева от
оси у, имеет своим предельным положением прямую у ~ х.
Начало координат является угловой точкой кривой (рис. 188).
ЗАДАЧИ
1. Для следующих кривых найти особые точки, исследовать их характер
и составить уравнения касательных в них.
а) х3 4- у8 — Ъаху — 0. Отв. Узел @; 0); х = 0, у = 0.
в) а4у2 = х4(а2 — х2). Точка самоприкосновения @; 0);
2 xz Точка возврата I рода @; 0);
d) у2 = jc2 (9 — х2). Узел @; 0); у = =? Зх.
e) -т4-— = 1- Изолированная точка @; 0).
f) х4 — 2ях2у — аху2 -f- а2У2 = 0. Точка возврата II рода @; 0); у2=0.
g) У2 (я2 + х2) = х2 (а2 — х2). Узел @; 0); у = ± я.
h) <z3y2 — 2я#х2у — х5 = 0. Точка самоприкосновения @; 0);
i) л4 + 2ах2у — ау3 = 0. Тройная точка @; 0); у = 0;
2. Показать, что кривая у2 = х (а + яJ имеет изолированную точку ( — а; 0),
если а > 0.
3. Проверить, что начало координат будет изолированной точкой кривой
ау2 — Xs -\~ Ьх2 = 0, когда а и Ъ имеют одинаковый знак, и будет узловой точ-
точкой, когда а и b имеют противоположные знаки.
4. Показать, что начало координат является для кривой (у — x2f = хп
угловой точкой при я = 2, точкой возврата I рода при я = 3, точкой самопри-
самоприкосновения при /2 = 4 (кривая распадается) и точкой возврата Н рода при п > 4.
5. Доказать, что точки пересечения кривой f — J -f- I ~ \ =1 с осями
координат суть точки возврата I рода.
§ 176
СЕМЕЙСТВО КРИВЫХ И ИХ ОГИБАЮЩАЯ
401
6. Исследовать па особые точки кривую*
— (я — р) {х — q){x — r)
в предположении, что
а) Р < Ч < л с) /? = # < /*;
Отв. а) Особой точки нет. Ь) Узел (q\ 0). с) Изолированная точка (р; 0).
d) Точка возврата I рода (/?; 0).
7. Показать, что начало координат служит концевой точкой для кривых
а) у = е*\ Ъ) уЛпх=1.
8. Проверить, что кривая y = xarctg— имеет угловую точку в начале
координат и касается в ней прямых _y = it — х.
§ 176. Семейство кривых и их огибающая. Положение кривой
относительно выбранной системы координат, ее форма и размеры
У определяются некоторыми постоян-
постоянными величинами, — параметрами
кривой, — входящими в ее уравнение.
i
г
Vj
Рис. 189
Рис. 190
Если уравнение, кроме переменных координат, содержит параметр,
который также может принимать различные числовые значения,
то уравнение изображает не одну, а бесчисленное множество
линий, уравнение каждой из которых получается из данного
уравнения при определенном числовом значении переменного па-
параметра. Такая совокупность кривых называется семейством
кривых, зависящих от одного переменного пара-
параметра.
Так, например, уравнение л-cosa-j-^-sina — 4 = 0 при пере-
переменном параметре а изображает совокупность прямых различного
направления, но все они проходят на расстоянии четырех единиц
от начала координат (рис. 189).
402
ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ"
ГЛ. XVI
Уравнение (л— а2) -\-уг — 1 определяет семейство одинаковых
окружностей, центры которых расположены на оси л, но на разном
расстоянии а от начала координат (рис. 190).
Уравнение ^j+т^—^=1 изображает семейство эллипсов,
отличающихся доуг от друга формой и размерами, но все они
у симметричны относительно
осей координат и обла-
обладают тем свойством, что
сумма их полуосей сохра-
сохраняет постоянную величи-
величину: a-{-b = 0L-\-E—а)=5
(рис. 191).
В общем виде семей-
семейство кривых, зависящих
от одного переменного па-
параметра а, изображается
уравнением:
Рис. 191
где под символ функции
F наряду с переменными
координатами введен и
переменный параметр а.
Иногда кривые семейства расположены так, что все они ка-
касаются одной и той же Линии, причем точки, в которых раз-
разные кривые семейства касаются
этой линии, не совпадают (вообще
говоря). Линия, обладающая этим
свойством, называется огибающей
данного семейства, а кривые семей-
семейства по отношению к ней назы-
называются огибаемыми.
Существенно, что каждая точка
огибающей есть точка прикосно-
прикосновения с одной из кривых семейства.
Например, для семейства прямых
л-cosia-fjf-sina —4 = 0 (рис. 189)
огибающей служит окружность
-*2-{-у2—16, так как все прямые
семейства касаются этой окружности и каждая точка окружности
принадлежит одной из прямых семейства, а именно той, которая
касается окружности в этой точке.
Если же мы возьмем семейство окружностей л2 -f- (у — аJ = а2,
то ось л, хотя и касается всех этих окружностей в начале ко-
координат, но не является их огибающей (рис. 192). Точно так
рис
§ 177
НАХОЖДЕНИЕ ОГИБАЮЩЕЙ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ
403
=*> хотя
хг у
же общие асимптоты гипербол семейства-^— (t&p=
являются общими предельными касательными всех этих гипербол,
но не служат огибающей рассматриваемого семейства гипербол
(рис. 193).
Может случиться, что огибающая касается каждой огибаемой
не в одной, а в нескольких точках. Например, семейство эллип-
эллипсов ^ -j- тт^Га^= 1 (Рис' 191) имеет своею огибающей астрои-
астроиду, которая касается каждого
эллипса в четырех точках, сим-
симметрично расположенных относи-
относительно осей координат (на рисунке
F(xyocj=0
Рис. 193
Рис. 194
изображена только четверть астроиды, касающаяся каждого эл-
эллипса в одной точке).
Заметим еще, что огибающая может состоять из несколь-
нескольких линий. Например, огибающей семейства окружностей
(х — аJ -|-:У2 = 1 служит совокупность двух прямых: у = 1
и у = — 1 (рис. 190).
§ 177. Нахождение огибающей семейства кривых, зависящих
от одного параметра. Пусть дано семейство кривых:
F(x,y, *) = 0* A)
и предположим, что оно имеет некоторую огибающую линию Е
(рис. 194).
Давая переменному параметру а различные числовые значе-
значения
1 Левая часть уравнения A) есть непрерывная функция всех трех аргумек*
в^ имеющая частные производные.
404 ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГЛ. XVI
мы будем получать отдельные кривые семейства:
F{xfytat) = 09 F(x,y9a2) = 0 F(x4 у, а,) = 0.. .
Все эти кривые касаются огибающей в соответствующих точ-
точках
Мх (Хи У,), М2 (Хш, У,), .... Ж,- (Х{, У,), ...,
и так как каждая точка огибающей есть точка прикосновения
огибающей с одной из огибаемых, то можно установить соответ-
соответствие между точками огибающей и значениями параметра а;
каждой точке M{(Xit У,-) будет соответствовать то значение па-
параметра a/t которое определяет кривую семейства, касающуюся
огибающей в этой точке. При непрерывном изменении параметра
а соответствующая точка М (X, У) будет двигаться, описывая
огибающую Е> Другими словами, текущие координаты огибаю-
огибающей должны быть функциями переменного параметра a
Х = Х(а) и y=Y(a)\ B)
Если нам удастся определить функции Х(а) и У (а), то урав-
уравнения B) будут служить параметрическими уравнениями огибаю-
огибающей и задача о нахождении огибающей данного семейства кри-
кривых будет решена.
Выразим прежде всего аналитически тот факт, что каждая
точка огибающей Mt(Xi9 У,-) лежит на одной из кривых семей-
семейства F(x, у у а/) = 0
или, учитывая формулы B),
а так как это равенство справедливо при любом значении пара-
параметра а, то ему можно придать более общий вид:
F[X(*), У(а),а] = 0. C)
Надо только помнить, что параметр а должен одновременно
принимать одинаковые значения во всех трех аргументах левой
части уравнения C).
Продифференцируем равенство C), принимая во внимание,
что левая часть его есть сложная функция одного независимого
переменного а:
F'x (X, Y, а) X' (а) + F (X, Y, а) У (а) + F. (X, Y, а) = 0. D)
1 X (ос) и У (а) могут оказаться и не однозначными функциями, если огибаю-
шая касается каждой огибаемой более чем в одной точке.
§ 177 НАХОЖДЕНИЕ ОГИБАЮЩЕЙ 405
Мы получили одно соотношение, которому должны удовлетво-
удовлетворять искомые функции Х(а) и У (а), т. е. координаты любой
точки огибающей.
Для получения второго аналогичного соотношения восполь-
воспользуемся тем, что каждая точка огибающей M{(Xh Y{) есть точка
прикосновения огибающей с соответствующей огибаемой
F(xy у, 06;) = 0, т. е. обе кривые имеют общую касательную в
этой точке.
Угловой коэффициент касательной к огибаемой F(xy у, а^^О
в точке Mt{Xh У,) вычисляется по формуле (§ 167):
ь —_
а угловой коэффициент касательной к огибающей:
Х = Х(а), У = У(а)
в точке Mi(Xi9 У/) вычисляется по формуле (§ 105):
и _Г'(*д
** — *>,»•
Но по условию обе эти касательные совпадают, а следова-
следовательно, их угловые коэффициенты равны:
откуда
F'x(Xit Yh a(.)-X'(
Последнее равенство выражает свойство любой точки огибаю-
огибающей, а потому оно должно быть справедливо при любом зна-
значении параметра а и можно написать:
Fx(Xt У, b).X'(b) + Fy(X9 У, а).У»=0. E)
Это и есть новое соотношение, которому должны удовлетво-
удовлетворять координаты любой точки огибающей.
Сопоставляя условия D) и E), получим:
Fa(X9 У, а) = 0. F)
Вспомним, что мы начали отыскивание огибающей семейства
кривых:
y,*) = Q A)
406 ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГЛ. XVI
указанием, что любая точка М(Х> Y) огибающей лежит на одной
из кривых семейства, а потому ее координаты удовлетворяют
уравнению A). Но не всякая точка, координаты которой удовле-
Ti-оряют уравнению A), т. е. не всякая точка огибаемых, принад-
принадлежит огибающей. И вот полученное равенство F) дает простое
дополнительное условие, позволяющее выделить те точки огибае-
огибаемых, которые вместе с тем являются точками огибающей.
Таким образом координаты точек огибающей должны удовле-
удовлетворять системе двух уравнений:
F(x,y9 а) = 0
Гв (¦*,*«) = 0
Решая уравнение G) относительно х и у, мы получим иско-
искомые параметрические уравнения огибающей:
*=/[*) \. (8)
Исключив параметр а из (8) или непосредственно из G), по-
получим обычное уравнение огибающей в прямоугольных коор-
координатах:
Ф{х9 у) = 0. (9)
Итак, правило нахождения огибающей семейства
кривых, зависящих от одного параметра, заключается в следую-
следующем:
Первый шаг. Дифференцируем уравнение семейства кри-
кривых A) по переменному параметру, рассматривая все осталь-
остальные величины, входящие в уравнение, как постоянные.
Второй шаг. Полученное таким образом уравнение F) и
данное уравнение семейства кривых A) решаем относительно
х и уу в результате чего будем иметь параметрические урав-
уравнения огибающей (8).
Замечание. Если нужно найти уравнение огибающей в прямо-
прямоугольных координатах, второй шаг может быть заменен исклю-
исключением параметра а из уравнений A) и F). Полученный резуль-
результат исключения и будет искомым уравнением огибающей.
Пример 1, Найти огибающую семейства прямых
х cos а 4- у sin а — 4 = 0,
Решение.
Первый ш а г: — х sin a -)- у cos a = (X
Второй шаг:
Я = 4 cos a )
у = 4 sin а f •
§ 177 НАХОЖДЕНИЕ ОГИБАЮЩЕЙ 407
Исключая параметр а, получим обычное уравнение огибающей:
Пример 2. Найти огибающую семейства окружностей:
(jc —а
Решение.
Первый шаг: — 2(л: — а) — 0 или х — а = 0.
Исключаем параметр a: v2—1.
Огибающая состоит из двух прямых:
у = +1 и у = —1.
Пример 3. Найти огибающую семейства эллипсов:
v-2 V2
а2
a2 l E-аJ
2jc2 2v2 я2 V2
Первый шаг: г -f~ /^ __ чЭ = О или ~з г== (с 1_ ^з •
Второй шаг: V или
5у« = E-а)» 1 /E - а)'
J У" V —5~"
Исключение параметра а даст:
2 2 2
т. е. огибающей служит астроида.
Примечание. Если после решения уравнений A) и F) относительно х
и у параметр а окажется исключенным и мы получим для хну некоторые
постоянные значения,— соответствующее семейство не имеет огибающей и,
применяя вышеприведенное правило, мы получим одну или несколько отдель-
отдельных точек.
Пример 4, Найти огибающую семейства окружностей:
Решение.
Первый ш а г: — 2 (у — а) = 2а или у = 0.
Второй шаг: x = 0
У = ° Г
Вместо огибающей получили начало координат,— единственную точку, об-
общую всем окружностям данного семейства.
Если кривые данного семейства имеют кратные (особые)
точки, то уравнениям G) удовлетворяют не только координаты
точек огибающей линии, но и координаты всех кратных точек
огибаемых.
В самом деле, если семейство кривых дано уравнением:
Г{х,У, а) = 0> A)
408 ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГЛ. XVI
то координаты особых точек этих кривых удовлетворяют не
только уравнению A), но и уравнениям:
Fx(x9y9a) = Q и Fv(x9y9u) = 0. A0)
Так как на каждой кривой семейства лежит своя особая
точка, то координаты особых точек являются функциями пара-
параметра а:
х = х(т) и у=у(а),
и они удовлетворяют уравнению семейства A) при соответствую-
соответствующих значениях параметра а, т. е.
F[x(*)9y(a), а] = 0.
Дифференцируем это равенство по единственному независи-
независимому переменному а:
Fx(x9 у, а).JC»+/%(*, у, a)./(a)+Fa(jt, у, а)=0.
Учитывая условия A0), получим уравнение:
/*«(-*. У. а) = 0>
которому удовлетворяют координаты кратных точек кривых дан-
данного семейства.
Таким образом, уравнения, полученные нами для огибающей,
изображают не только огибающую, но и геометрическое место
особых точек кривых семейства. Поэтому при наличии кратных
точек на кривых семейства необходимо каждый раз проводить
дополнительное исследование полученного уравнения.
Пример 5. Найти огибающую семейства полукубических парабол;
*2 — {У — «K = 0.
Решение.
Первый шаг. 3(у — аJ = 0 или у — а = 0.
Второй шаг. % = 0.
Т<)ким образом, огибающей может служить только ось у.
Исследование кривых на особые точки:
F(x,y, a) = x2~(y--a)8=
К<*> У» *)~ 2* = ° У Af(O, a).
Уу{х, у, а)в-3(у-<*>"==:0
Каждая кривая имеет двойную точку на оси у. При изменении параметра a
эти двойные точки заполняют ось у. Таким образом, уравнение х = 0 опреде-
определяет геометрическое место двойных точек, а огибающей данное семейство не
имеет (рис. 195).
§ 177
НАХОЖДЕНИЕ ОГИБАЮЩЕЙ
409
Примечание. При решении многих задач на отыскание огибающей
указываются лишь свойства огибаемых кривых, но не дается готового урав-
уравнения семейства этих кривых. Поэтому приходится предварительно составлять
уравнение семейства кривых по их геометрическим свойствам, и очень часто
бывает удобнее вводить в уравнение не один, а два переменные параметра,
что дает уравнение вида:
^(*э У» а» Р) = 0. (И)
Но если семейство кривых по существу зависит от одного переменного
параметра, то между а и f должна существовать функциональная зависимость,
которую тоже необходимо выразить некоторым
дополнительным отношением: Y
<р(«, Р) = 0. A2)
Можно было бы из зтого последнего равенства
выразить р через а и, вставив полученное выраже-
выражение в уравнение A1), свести задачу к уже изу-
изученному случаю, но такое решение иногда оказы-
оказывается весьма сложным и выгоднее сохранить в
уравнении A1) оба параметра, но при дифферен-
дифференцировании помнить, что р есть функция от а, оп-
определенная соотношением A2).
Тогда результат дифференцирования A1) по
единственному независимому параметру а будет:
?
!
Для определения производной ~ дифферен-
дифференцируем соотношение A2):
Рис. 195
Теперь, чтобы найти уравнение огибающей, достаточно исключить а, р и
jj| из A1), A2), A3) и A4).
Пример 6. Найти огибающую семейства эллипсов, оси которых совпадают
с осями координат, а площадь имеет постоянную величину.
Решение. Все эллипсы, симметричные относительно осей координат, могут
быть представлены уравнением:
= 1. (А)
Это семейство эллипсов, зависящее от двух переменных параметров а и Ь.
Выделим из них семейство эллипсов, зависящих от одного параметра, исполь-^
зовав второе данное свойство: площадь эллипсов, т. е. л»а«6, должна сохранять
постоянную величину. Обозначим эту постоянную буквой К\ тогда дополнитель-
дополнительное соотношение между параметрами будет:
п*а*Ь = К. (В)
Дифференцируем (А) и (В) по а, помня, что Ъ есть функция от ал
?
da
о. *+«•?-*
* /in
da
410
ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ГЛ. XVI
db
db
После исключения -г из этих двух равенств получим
51 — У1
Сопоставляя этот результат с уравнением (А), будем иметь:
откуда:
Ь2 ~~ 2 '
Рис. 196
и fc^rj^
Полученные выражения для па-
параметров подставим в уравнение (В):
Искомая огибающая состоит
из двух сопряженных равносторон-
равносторонних гипербол (рис. 196).
§ 178. Эволюта кривой
как огибающая семейства
ее нормалей. Возьмем любую
кривую
y = f(x)
и составим уравнение семей-
семейства касательных к этой кри-
кривой, приняв за переменный
параметр абсциссу хх точки
прикосновения:
Найдем огибающую этого семейства прямых.
Дифференцируем его уравнение по параметру хх:
- хх) -Г
откуда:
а так как:
/"(jc^O1, то х — хг =
и параметрические уравнения огибающей будут:
х ===.
У-
Исключая из них параметр xlt получим уравнение огибающей
в прямоугольных координатах:
y=f(x).
1 Ес/ш f"(хх)~Ъ при любом значении хх, данная линия y=f(x) есть пря-
прямая и все ее касательные сливаются с ней самой.
§ 178
ЭВОЛЮТА КРИВОЙ
411
Но это есть уравнение данной кривой.
Таким образом, всякая кривая служат огибающей семейства
своих касательных.
Доказанное положение непосредственно вытекает и из самого
определения огибающей.
В § 138 было доказано, что нормали кривой служат каса-
касательными к ее эволюте; другими словами, эволюта кривой
является огибающей семейства
нормалей данной кривой. Таким обра-
образом, мы теперь имеем второй метод для оты-
отыскания эволюты кривой: надо составить урав-
уравнение семейства нормалей данной кривой и
найти их огибающую, применяя правило § 177.
Кроме того, известно, что точка прикос-
прикосновения каждой нормали кривой к ее эволюте
есть центр кривизны кривой в соответствую-
соответствующей точке (рис. 197); поэтому параметриче-
параметрические уравнения огибающей семейства нормалей являются вместе
с тем формулами для вычисления координат центра кривизны
кривой в любой ее точке.
Конечно, результаты, получаемые этим вторым методом, ничем
не отличаются от тех, которые были получены раньше, но в це-
целом ряде случаев они будут достигнуты проще.
рассматривая ее как огибаю-
огибаюРис. 197
Пример. Найти эволюту параболы yz =
щую нормалей параболы.
Решение, Уравнение нормали к данной параболе в точке P(xv
вид:
имеет
При рассмотрении семейства нормалей придется в этом уравнении считать
xt и уг переменными параметрами; но так как они являются координатами
точек параболы, то связаны они между собой уравнением у* = 4рх1, и в данном
/
случае удобно выразить я, через yv а именно хх = ~, и уравнение семейства
нормалей будут содержать только один переменный параметр у{.
(А)
Дифференцируем (А) по параметру уг\
О..2
откуда
(В)
412 ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГЛ. XVI
Подставим это выражение в (А) и решим полученное уравнение относи-
относительно у:
/
У = ~Ф- (С)
Уравнение (В) и (С) определяет координаты центра кривизны параболы
в тюбой ее точке.
Исключая из этих уравнений параметр yv получим искомое уравнение эво-
эволюты параболы:
27ру2 = 4(х-- 2р)\
ЗАДАЧИ
1. Найти огибающую следующих семейств прямых линий:
а) у = ах -j- а2. Отв. х2 + 4у = 0.
b) у = ^
c) ~ — ~| = 2.
d) а2х + ау — 1=0. +
2, Найти огибающую и сделать соответствующие чертежи для следующих
семейств кругоз:
a) (х — аJ -\- (у — аJ = а2. Отв. Обе оси координат.
b) ( J + / 4 24 + 4
) (
с) (х-аJ+(у)
3. Найти огибающую семейства парабол:
ta2 -j- ^у = 1, где t — переменный параметр.
Отв. х4 + 4у = 0.
4. Прямая перемещается так, что сумма отрезков, отсекаемых ею на осях
координат, сохраняет постоянную величину I. Составить уравнение огибающей
всех положений подвижной прямой. __
Отв. Парабола }/lc + Vy=zYc.
5. Найти огибающую семейства прямых, на которых оси координат отсе-
отсекают отрезок постоянной длины L
Отв. Астроида хг -\-уг =Z3.
6. Найти огибающую семейства окружностей, диаметрами которых служат
двойные ординаты параболы у2 = 4рх.
Отв. Парабола у2 = Ар (х + р).
7. Найти огибающую семейства окружностей, диаметрами которых служат
перпендикулярные к оси х хорды эллипса Ь2х2 + агуг = a2bz.
Отв. Эллипс -?г^ + ^-=1-
8. Составить уравнение огибающей семейства окружностей, центры кото-
которых лежат на параболе у2 = 4ах, причем все окружности семейства проходят
через вершину этой4 параболы.
Отв. Циссоида х8 + У2 (* + 2а) = 0.
9. Найти огибающую кругов, проходящих через начало координат и имею-
имеющих центры на гиперболе х2 — у2 = а2.
Отв. Лемниската (х2 +у2J = 4а2 (х2 — у2).
10. Найти эволюту эллипса:
Ъ2
если его нормали даны уравнением:
by = ax tg <р — (а2 — b2) sin 9,
где $ — переменный параметр.
§ 179 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КРИВАЯ И ЕЕ УРАВНЕНИЕ 413
11 1
Отв. (ах)'6 + (&уK =(а2-/>2K.
11. Найти эволюту астроиды:
зная, что ее нормали могут быть даны уравнением:
у cos t — х sin t = a cos 2t,
где t —- переменный параметр.
2 2 i
Отв. ( + yf ( yf
12. Найти огибающую семейства кривых:
(я — *K —у2 = 0
и сделать соответствующий чертеж.
Отв. Огибающей нет; ось # есть геометрическое место точек возврата.
13. Найти огибающую семейства
эллипсов: *
сумма полуосей которых равна с.
111
Отв. Астроида х
14. Найти огибающую эллипсов,
оси которых совпадают с осями коорди-
координат, причем расстояние между кон-
концами большой и малой осей сохраняет
постоянную величину, равную I.
Отв. Квадрат, стороны которого Рис. 198
15. Ядра выбрасываются пушкой с начальной скоростью г/0. Предполагая,
что пушке может быть дано любое наклонение и что она всегда находится в
одной и той же вертикальной плоскости, найти огибающую всевозможных траек-
траекторий ядер, пренебрегая сопротивлением воздуха.
Указание. Уравнение любой траектории имеет вид:
2vQ cos2
где а — переменный параметр.
2
Отв. Парабола у = ~—^(рис. 198).
о
16. Найти огибающую семейства -строфоид:
[х2 + (у - аJ](х - 2) + х = 0.
Отв. Ось у. Прямая #=1 является геометрическим местом узловых точек
строфоид, а прямая х = 2 служит их общей асимптотой.
§ 179. Пространственная кривая и ее уравнение. Если все
точки кривой лежат в одной и той же плоскости, кривая назы-
называется плоской кривой, и, приняв эту плоскость за координатную
(л, у), можно представить кривую одним уравнением;
414 ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГЛ. XVI
Если же кривая не лежит в одной плоскости, ее точки мо-
могут быть отнесены к некоторой пространственной системе коор-
координат, и тогда эта пространственная кривая определяется систе-
системой двух уравнений:
F{xf у, z) = 0 \ m
т. е. рассматривается как линия пересечения двух поверхностей,
каждая из которых задана одним из уравнений A).
Однако в целом ряде случаев бывает удобнее пользоваться
так называемыми параметрическими уравнениями кривой, к ко-
которым естественно перейти, рассматривая пространственную кри-
кривую, как траекторию подвижной точки, т. е. как геометрическое
место всех ее последовательных положений в пространстве.
Движение точки в пространстве вполне определено, если в лю-
любой момент времени t известно положение точки, иначе говоря,
если для каждого значения t можно вычислить координаты х, у
и z подвижной точки.
Таким образом, мы приходим к уравнениям движения точки
в пространстве:
x=f(t), y = <?(t), * = ФЮ- B)
Но эти же уравнения определяют и траекторию точки, обыч-
обычные уравнения которой получаются исключением переменного
параметра t из B).
Уравнения B) называются параметрическими уравнениями
пространственной кривой. Иногда удобнее выбрать в качестве
переменного параметра не время, а какую-нибудь иную величину,
меняющуюся при движении точки, например, угол поворота
и пр.
Пример 1. Пусть дана кривая своими параметрическими уравнениями:
Представить ее, как пересечение двух поверхностей.
Решение. Чтобы исключить параметр t из трех данных уравнений, решим
первое из них относительно t и вставим полученное значение в два другие
уравнения:
t = х — а\
__ af _. ai; гг = 4а* - 2ах.
Данную кривую можно рассматривать как линию пересечения круглого
и параболического цилиндров, проектирующих эту линию соответственно на
плоскости (х,у) и (#, z).
Это не единственно возможный ответ предложенной задачи. Сложив, на-
например, уравнение обоих цилиндров, получим:
§ 179
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КРИВАЯ
415
т. е. данная кривая лежит и на этой сферической поверхности, а потому ее
можно представить, как пересечение шара с одним из прежних цилиндров
и т. д.
Пример 2. Составить параметрические уравнения винтовой линии, лежащей
на прямом круглом цилиндре и пересекающей все его образующие под одним
и тем же углом.
Решение. Примем ось цилиндра за ось z, плоскость одного из перпендику-
перпендикулярных сечений за плоскость (xty) и через точку А пересечения этой плоскости
с винтовой линией проведем ось л
Z (рис. 199). Постоянными параметрами
винтовой линии являются радиус а кру-
кругового сечения цилиндра и угол а, под
которым винтозая линия пересекает все
образующие.
Рис. 19Э
Рис. 200
Следующее соображение облегчит вывод требуемых уравнений: если разре-
разрезать цилиндрическую поверхность по образующей АС и развернуть ее на
плоскость, то окружность основания цилиндра развернется в прямую АА^ все
образующие составят систему прямых линий, перпендикулярных к А'А'^ а
винтовая линия, пересекающая все эти параллельные прямые под одним и тем
же углом а, развернется тоже в прямую A'D\ наклоненную к А'А^ под уг-
углом -7г- — а (рис. 200).
Возьмем на винтовой линии любую точку М и построим ее координатные
линии ММг=г, БМ1 = уу ОВ=х.
За переменный параметр t примем угол А0Мг, тогда из Д О/Ш, имеем:
x = a*co$t; у = a «sin t.
Аппликату ММг = М'М\ определяем из треугольника Л'ЛГЛГ, принимая
во внимание, что AM* =wАМх-=:а^\
z = ММ% = Af'AfJ = А'ЛГ-ctg а = a ctg a.*:
Обозначив постоянный коэффициент a«ctga через 6, получим параметри-
параметрические уравнения винтовой линии:
Исключив t из первых двух уравнений, получим:
= А
416
ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ГЛ. XVI
Это подтверждает, что винтовая линия лежит на данном круглом цилиндре.
Если же исключить параметр t из двух последних уравнений, то ока-
окажется, что:
z
у = а • sin -r-,
т. е. цилиндр, проектирующий винтовую линию на плоскость (yz), имеет сину-
синусоидальную направляющую.
§ 180, Касательная прямая и нормальная плоскость про-
пространственной кривой. Пусть дана кривая своими параметриче-
параметрическими уравнениями:
Z x=f(t); y = y(t); z — <h(t)* B)
и на ней точка М(х, у, z), соответ-
соответствующая некоторому начальному
значению параметра t (рис. 201).
Если дать t приращение Ht, все
координаты получат соответствующие
приращения ьх> Ду, Hz и точка зай-
Y мет на кривой новое положение
МА(х-{-Пх9 у-\-Пу, 2 + Az). Про-
Проведем через М и Мх секущую пря-
прямую, ее уравнения будут:
X х У у Z z
Рис. 201
= 1ЦУ=±=1** C)
ку Дг " к '
Касательной к кривой в точке М называется предель-
предельное положение МТ секущей, когда точка М неограниченно
приближается по кривой к точке1 М. Для получения уравнений
касательной надо в уравнениях C) перейти к пределу, в предло-
предложении, что М—^0 (а следовательно, кх—^0, Ну—^0, Hz—^0); но
это удобнее сделать, предварительно разделив все знаменатели
дробей, входящих в C), на Ht. Тогда уравнения секущей ММХ
примут вид:
Дх Ду Д^
м м м
и, перейдя к пределу, получим уравнения касательной:
dt
dy
dt
dz
dt
D)
* В дальнейшем будем всюду предполагать, что функции f(t), y(t) и
непрерывны и имеют непрерывные производные первого и второго порядка.
** Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (xv уг, zj и
X — хх У — ул Z— zx
(х& Уг> ^г)> имеют вид: * = =^-=г -; в данном случае
Х x У — V ^ — z
Xt—Xi — Дх, yz -у^ =
2 xi У г —
— zx = bz.
§ 1R0
КАСАТРЛЬНАЯ ПРЯМАЯ
417
Отсюда видно, что направляющие косинусы касательной к
кривой B) пропорциональны производным координат по перемен-
переменному параметру t:
Q dx dy dz df dy d^
cosa:cosp:cosy — -# :-# :-^ — 7r~^ .-# .
В случае плоской кривой, в каждой ее точке можно было
провести одну нормаль, прямую, перпендикулярную к касатель-
касательной в этой точке. Но в простран- Z
стве к касательной МТ в точке М
можно провести не одну, а бесчис-
бесчисленное множество перпендикуляр-
перпендикулярных прямых; все эти прямые назы-
называются нормалями пространственной
кривой и лежат они в одной пло-
плоскости, перпендикулярной к МТ в
точке М.
Плоскость, являющаяся геоме- /
трическим местом нормалей к кривой *'
в точке М, называется нормаль-
нормальной плоскостью (рис. 202);
уравнение ее следующее1:
Рис. 202
dz
E)
Пример. Составить уравнения касательной прямой и нормальной плоскости
к винтовой линии:
х = a cos t\ у = a sin t\ z = Ы
в любой ее точке и в точке, где ? = 0.
Решение,
dx
dv
dz_
dt
Уравнения касательной в точке М (х, у, z):
— у х b
Уравнения касательной в точке А (я, 0, 0):
X а У Z
—к— = — = -7Г или ЛТ=а и ЬУ — aZ=0.
0 а о
1 Уравнение всякой плоскости, проходящей через М(х, у, z), имеет вид
А (X — х) -\- В (У — у) -f- С (Z — z) = 0; коэффициенты А, В и С пропорциональны
направляющим косинусам прямой, перпендикулярной к плоскости, в данном
случае таким перпендикуляром служит касательная.
14 Дифференциальное исчисление
418 ПРИЛОЖРНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГЛ. XVI
Уравнение нормальной, плоскости в точке М {х, v, z)\
+(У — y) + b(Z — г) = 0 или yX—xV— b
р р {, , )
— у(Х — *) +х(У — y) + b(Z — г) = 0 или yX—xV— bZ + bz=0 и в точке
А (я, О, 0): aY + bZO
Теперь перейдем к выводу уравнений касательной прямой и
нормальной плоскости пространственной кривой в том случае,
когда кривая дана уравнениями:
F[x, у, z) = 0, \
Ф(л, у, 4=0- J
Можно всегда предположить, что та же кривая изображается
тремя уравнениями в параметрической форме. В самом деле,
достаточно положить в уравнениях A) х =/(/), где f(t) произ-
произвольно выбранная функция1, и, решив эти уравнения относи-
относительно у и z, получить для них определенные выражения, содер-
содержащие t.
Но так как кривая, изображаемая полученными таким обра-
образом уравнениями:
B)
целиком лежит на каждой из поверхностей:
F(x, у, г) = 0 и Ф(х, у, г) = 0,
то уравнения этих поверхностей удовлетворяются координатами
любой точки кривой B), т. е.
П№, *М. Ф@]=о и Ф[/(о, <?«), Ф(^)]=о. F)
Продифференцируем эти равенства, пользуясь правилом диф-
дифференцирования сложных функций:
dF_ dx^ , dF^ J11.JL.— *L П
дх ' dt "Г ду ' dt » dz ' dt~V>
дФ dx_ , _аФ dy_ , дФ_ dz Q
dx ' dt » dy ' dt » dz 'Tt
Принимая во внимание, что производные:
dx dy dz
~dt> 4i И 4i
характеризуют направление касательной к кривой B), находим
их отношения из системы двух однородных уравнений G):
dx^td?tdz_ /dF_ ^Ф__^ дФ\ .
dt : dt * dt { ду ' dz dz ~ду ) ''
. / д^Р ^ дФ д? дФ\ fdF_ лдФ_дГ дФ\
\ dz * дх дх' dz ) \ дх ду ду' дх J
1 Можно даже положите
§ 180
КАСАТЕЛЬНАЯ ПРЯМАЯ
419
Полученные результаты позволят привести уравнения каса-
касательной прямой к виду:
Х-х
dF дФ
ду а?
dF_ дф
dz ' ду
dF аФ
dz дх
dF аФ
dx dz
dF аФ
дх ' ду
ду дх
или, пользуясь детерминантами:
Х-х _ У~у
Z-z
dF
ду
дФ
ду
dF
dz
дФ
dz
dF
dz
dФ
dF
dx
dФ
~~dx
dF
dx
дФ
Их
dF
dФ
(8')
Нормальная плоскость может быть представлена в данном слу-
случае уравнением:
dF dF
dy dz
ду dz
{Х-х) +
dF
dz
дФ
dz
dF
dx
dФ
дх
(У-У) +
dF
dx
dФ
dx
dF
dy
dФ
W
-2) = 0. (9)
Примечание. Надо помнить, что во всех частных производных
dF dФ
•^—, -^— и т. д., входящих в уравнения (8), (9), переменные координаты заме-
ох ох
нены координатами точки прикосно-
прикосновения.
Пример. Найти уравнения касатель-
касательной прямой и нормальной плоскости к ли-
линии пересечения шара х2-{-у2-\- zz = 4r*
и цилиндра х2 -f- у2 = 2гу в точке
(г; r\ r V~2) (рис. 203).
Решение.
F(x,y9 z) = x* + y2 + z*-4r\
Ф(х, у, Z)=zx2 + y2-2ry.
%-*¦¦ #-*= &¦
cos a: cos p: cos 7 ^
Уравнения касательной прямой:
j^ r у r % r V~2
420 ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГЛ. XVI
Уравнение нормальной плоскости:
1Г2(К-г)-B-г/Т) = а
или
/2-У —Z=0.
§ 181. Соприкасающаяся плоскость пространственной кривой.
Принимая во внимание, что положение плоскости в пространстве
определяется тремя точками, всегда возможно провести плоскость
через три произвольно выбранные точки кривой. Эта секущая
плоскость может иметь с кривой еше другие общие точки,
но выбрать их по своему усмотрению уже нельзя.
Если две из выбранных точек пересечения кривой и плоскости
сливаются, то плоскость содержит касательную прямую, прове-
проведенную к кривой в этой точке. Через каждую касательную пря-
прямую можно провести бесчисленное множество — целый пучок —
плоскостей; все они называются касательными плоско-
плоскостями, и каждая из них имеет в точке касания две слившиеся
точки пересечения с кривой. Если же и третья точка пересечения
совпадает с первыми двумя, то вблизи рассматриваемой точки
соответствующая касательная плоскость будет теснее примыкать
к кривой, чем все остальные плоскости.
Предельное положение плоскости, три точки пересечения
которой с пространственной кривой сливаются в одной точке,
называется соприкасающейся плоскостью кривой1.
Пусть кривая дана уравнениями в параметрической форме:
B)
Возьмем на ней любые три точки: Мо (х09 у0, z0), соответствую-
соответствующую значению параметра t0, Мх (хг, у19 г,), соответствующую
значению tx и М2(х2, у2, z2), соответствующую значению tz.Про-
tz.Проведем плоскость через эти три точки.
Уравнение всякой плоскости имеет вид:
Ax-\-By-\-Cz + D = 0. A0)
Надо только подобрать коэффициенты уравнения A0) так,
чтобы плоскость прошла через выбранные три точки, т. е. иско-
искомые коэффициенты должны удовлетворять условиям:
Ах0
-By.
B
Ах. + Ву,—
' Вуг
1 Соприкасающаяся плоскость плоской кривой во всех ее точках совпадает
С плоскостью самой кривой.
§ 181 СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ КРИВОЙ 421
Пользуясь тем, что точки Мо, М^ и М2 взяты на кривой B),
можно придать условиям A1) более удобную форму, а именно:
подставим в уравнение плоскости A0) координаты точек, выра-
выраженные через параметр t
0, A2)
и, так как левая часть полученного уравнения есть функция од-
одного аргумента t, ее можно сокращенно обозначить через F{t):
Уравнению A2) должны удовлетворять значения toy tl9 t2f что
можно записать:
Но, если F(t) обращается в нуль при трех значениях аргу-
аргумента, ее производная F'(t), согласно теореме Ролля, должна
обращаться в нуль по крайней мере при двух значениях аргумента
i и f, т. е.
F {f) = 0 и F{f)=0,
где
t*<t<tx и tx<f<t%. A3)
Применяя еще раз теорему Ролля, но уже к производной F (t),
получим /7"(t) = 0, где
f<x<f. A4)
Таким образом, условия A1) равнозначны условиям:
F(to) = Q; Г@ = 0; f (х) = 0. A4')
Чтобы получить коэффициенты для уравнения соприкасающейся
плоскости, придется предположить, что точки М1 и /И2 неограни-
неограниченно приближаются по кривой к Мо, т. е. tx—>t0 и t2—>t99 но
тогда, в силу A3) и A4), t'—+tQ, f—+t0 и т—>?0; для этого
предельного случая условия AГ) примут вид:
O, F(g=0, A5)
или в менее сокращенных обозначениях:
F (Q = A
(.) f(9) + e@)
F (t0) = Af" (t0) + By" (iQ)
@) ,
> (t0) = 0.
422
ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ГЛ. XVI
Так как соприкасающаяся плоскость проходит через точку
М0(х0> у0, z0), она может быть изображена уравнением:
и отношения коэффициентов Л, В и С определяются из двух
последних уравнений A5'):
у'Х
ft ft
У О ^О
ф
сЬ
т
'in :
/ /
// ч
Z 0 JC 0
.'*'.'У
• # //
>
и, окончательно, уравнение соприкасающейся плоскости кривой B)
в точке Ме(х0, уй, z0) будет:
ХоУо
х'.у\
-«,) = 01. A6)
Пример. Составить уравнение соприкасающейся плоскости винтовой лмнии
я = #. cos ?, y~a-s\nt, z = bt
в точках М (х, у, z) и Л (а, 0, 0).
1 Формулы A5), полученные для определения коэффициентов соприкасаю-
соприкасающейся плоскости, позволяют легко доказать теорему.
Плоскость, проходящая через касательную в точке М0(х0Уу0, z0)парал-
z0)параллельно касательной в точке М1(х11 уХУ zx), стремится к соприкасающейся
плоскости как к своему предельному положению, когда Мг >MQ.
В самом деле, условие прохождедия плоскости A0) через касательную
в точке Мо выразится двумя равенствами:
условие параллельности этой же плоскости касательной прямой в точке Мг
имеет вид:
Применяя теорему Ролля к F'{t), убеждаемся, что это последнее условие
можно заменить новым:
^(^==0, где to<^<:tv
Итак, коэффициенты касательной плоскости в точке Мо, параллельной ка-
касательной прямой в точке Мх, вычисляются из равенств:
Для вычисления коэффициентов предельного положения рассматриваемой
плоскости следует предположить, что tx—>t0, а следовательно, и хг >tQ, а по-
потому эти коэффициенты вычисляются из'уравнений:
) = 0 и F"(tJ =
которые тождественны уравнениям A5), т. е. предельное положение рассма-
рассматриваемой плоскости совпадает с соприкасающейся плоскостью к кривой
в точке Мо.
§ 181 СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ КРИВОЙ 423
Решение. х' = — a sin t = — у; у' = я cos t = л;; г' = &,
х" = — a cos t = — я; у" = — a sin ? = — у; 2* = 0.
Уравнение соприкасающейся плоскости в М(х, y,z):
by (X- х) - bx(Y-y) + (x2 + y2)(Z- *) = 0,
или, учитывая, что для винтовой линии х2 -|- У2 = л2:
и после приведения подобных членов:
ЬуХ - bxY 4- a2Z — Л = 0.
Уравнение соприкасающейся плоскости в точке А (а, 0, 0):
Z — 0 или &r-~aZr=:0.
ЗАДАЧИ
Найти уравнения касательной прямой, нормальной плоскости и соприкасаю-
соприкасающейся плоскости для каждой из следующих кривых в указанных точках:
Отв.
при t=\. x-by + 80 -35 = 0;
16s-24у + г —12 = 0.
8. » = *.-!; , =
3. jc = /* — 1; у =
+-122 — 111—0;
— 12y -г 4-26 — 0.
= 4/-3/4-1; -2-=^-=^ = ^=^;
1 5 о
t—L x4-y + 3^-8 = 0;
9x-_3y — 2^4- 10 = 0.
4. x = /; у = sin *; г = cos t\
5. x=af, y = ^2; z = ct*\ t=\.
6. x = /; y=l —12\ z = Zt2 + 4t; t = — 2.
7. x = t\ y~el\ z = e*\ / = 0.
8. x = a sin ?; у = b cos t\ z=^t, t = -z-.
о
9. Найти уравнения касательной прямой к окружности
xf 4-у" 4-** = 25 \
в точке B; 2 V 3; 3).
Отв. х —2 _у — 2|/Т__ z? —3
424 ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГЛ. XVI
10. Найги уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к кривой
в точке A; — 1; 2).
Отв.
f
—2.
12 = 0.
8 10 7 "
11. Найти направляющие косинусы касательной к каждой из кривых:
a) x = t2; y = t'\ z = t\ b)xyz = l | c)y = x2
z = \ \
A 1 1)
в точке, где #^1. в точке A; 1; 1). в точке @; 0; 1).
§ 182. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Пусть дана поверхность уравнением
F(xy у, z) = 0. A7)
Возьмем на ней любые две точки М(ху у, z)viM1(x1Jyl,zl)\
прямая AlMlt их соединяющая, называется секу щей данной,
поверхности. Если тонка Мх, двигаясь по некоторой кривой,
имеющей касательную в
точке М и лежащей на
поверхности, неограничен-
неограниченно приближается к точ-
точке М, то секущая ММХ
стремится занять неко-
некоторое предельное положе-
положение МТ, которое назы-
называется касательной/^
поверхности в точке М
(рис. 204). Другими слова-
словами, касательной к поверх-
поверхности в данной точке назы-
называется касательная в той
же точке к кривой, через
нее проходящей и целиком
лежащей на поверхности.
Но так как на поверхности через данную точку М можно про-
провести бесчисленное множество кривых, имеющих различное на-
направление, то и касательных к поверхности в этой точке будет
тоже неограниченное число, и возникает вопрос о геометрическом
месте всех этих касательных прямых.
Докажем, что все касательные прямые к поверх-
поверхности в данной точке лежат в одной и той же
плоскости1.
Рис. 204.
1 Предполагается, что рассматриваемая точка поверхности F(x,y, z) — 0
не является особой ее точкой, т. е. по крайней мере одна из частных про-
dF dF dF
изводных гг—, -г—, ^— в этой точке отлична от нуля.
дх ду dz J
§ 182 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 425
Рассмотрим поверхность:
F{x, у, г) = 0, A7)
возьмем на ней точку М(х, у> z) и проведем на поверхности че-
через точку М любую кривую. Уравнения этой кривой пусть будут:
х=№; y = y(t); г=ф(*). B)
Как было показано в § 180, направление касательной к кривой
B) определяется угловыми коэффициентами1:
dx dy dz
Ш % TV Tt'
Воспользуемся тем, что кривая B) целиком лежит на поверх-
поверхности A7), т. е. при любом значении параметра t справедливо
равенство:
Откуда:
или, согласно правилу дифференцирования сложной функции:
dF dF йх\д?<1у yd? afe Q
dt dxdt *~ dy * dt* dz* dt '
Если в полученное соотношение A8) подставить вместо пере-
переменных координат координаты точки М, то вторые сомножители
в произведениях левой части равенства A8) будут равны угловым
коэффициентам касательной к кривой B) в точке М, а первые
dF dF dF л
сомножители — частные производные -*-, -*- и ^ будут не-
некоторые постоянные числа, зависящие только от выбора поверх-
поверхности A7) и точки М на ней.
Рассмотрим прямую MN, проходящую через точку М и имею-
имеющую своими угловыми коэффициентами значения частных произ-
производных ^-, у- и ¦?-, вычисленные для точки М\
1 Угловыми коэффициентами прямой в пространстве называются три числа,
пропорциональные ее направляющим косинусам.
Г4В Дифференциальное исчисление
426
ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ГЛ. XVI
Эта прямая называется нормалью к поверхности A7) в точке
М{х, у у z), а равенство A8) показывает, что касательная в
точке М к любой кривой B), лежащей на поверхности, перпен-
перпендикулярна к нормали, проведенной к поверхности в той же точке.
Если взять на поверх-
2 kn ности другую кривую,
угловые коэффициенты ее
касательной в точке М бу-
будут иные, но они все же
будут удовлетворять соот-
соотношению A8).
Таким образом, всекаса-
всекасательные к поверхности в
точке М перпендикулярны
я у к одной и той же прямой—-
к нормали поверхности;
следовательно, все они ле-
лежат в одной плоскости,
перпендикулярной к нор-
нормали (рис. 205).
Эта плоскость, являющаяся геометрическим местом всех
касательных прямых к поверхности в данной точке, называется
касательной плоскостью.
Касательная плоскость проходит через точку М(х, у, z) и
перпендикулярна к нормали A9); поэтому она изображается урав-
уравнением:
B0)
Рис. 205
Пример. Составить уравнение касательной плоскости к эллипсоиду:
= 1 в точке
X2 V2 Z2
Решение. F(x, у, г) = ^г +уг+JT —
уг
dF2x,
Уравнение касательной плоскости:
или
§ i 83 ГеОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА 427
§ 183. Геометрическая интерпретация полного дифферен-
дифференциала функции двух аргументов. Составим уравнение касательной
плоскости к поверхно-
поверхности, уравнение которой
разрешено относитель-
относительно z\
z=f(xfy). B1)
Перенеся все члены
уравнения в одну сто-
сторону, получим:
F(x, у, z) =
=f{x, y)-z = 0,
откуда вычислим произ-
производные:
dF df dz t
дх дх дх'
dF_df_dz.
ду ду ду9
д 2
Рис. 206
Подставив эти выражения вместо коэффициентов в B0), полу-
получим уравнение касательной плоскости:
где X, Yy Z — координаты любой точки N касательной плоскости,
а х, у9 z—координаты точки прикосновения.
Введем обозначения (рис. 206):
X—x = dx и Y — y—dy,
тогда уравнение касательной примет вид:
~.dx-\-%:.dy = Z — z. B2')
UX (Ху * '
Но левая часть этого равенства лредставляет полный диффе-
дифференциал функции z=f(x, у), т. е.
dz = Z — z.
Таким образом, полный дифференциал функции двух аргу-
аргументов, соответствующих их приращениям dx и dy, равен
соответствующему приращению аппликаты касательной пло-
плоскости к той поверхности, которая геометрически изображает
данную функцию.
ив*
428 приложения частных производных гл. xvi
ЗАДАЧИ
1. Найти уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к эллип-
эллипсоиду 4х2 + 9jr + З622 = 36 в точке, где я = 2, jy = l и z > 0.
Отв, 8(х-
8 9
2. Найти уравнение касательной плоскости к эллиптическому параболоиду
= 2x2 + 4y2 в точке B; 1; 12).
Отв. Sx + Sy — 2; = 12.
3. Составить уравнения нормали к однополосному гиперболоиду х2 — 4у* +
222 = 6 в точке B; 2; 3).
x — 2_y — 2__z — S
Отв. —р-_ —-— 3 .
4. Найти уравнение касательной плоскости к двухполосному гиперболоиду
^--^г-тг^1 в точке (*i> ^i» ^i)«
5. Найти уравнение касательной плоскости в точке (xv yv zj) к поверх-
поверхности ах2 -\- by* -\-cz2-\~d=0.
Отв. axlx-\-byly-\-czlZ'{'d^=^Q.
6. Показать, что уравнение касательной плоскости к шару х2 ~\-у2-\-z2-\-
-\-2Lx -\-2My -{-2Ш -{- D = b в точке (xv ylt zx) имеет вид:
XiX+y1y + zlz + L{x + x1) + M{y+yl) + N{z + zl) + D = O.
7. Найти уравнение касательной плоскости в любой точке поверхности:
й показать, что сумма квадратов отрезков, отсекаемых касательной плоскостью
на осях, есть величина постоянная.
8. Показать, что тетраэдр, образуемый координатными плоскостями с лю-
любой касательной плоскостью поверхности xyz = a9, имеет постоянный объем.
9. Составить уравнения нормали к следующим поверхностям в указанных
точках:
а) х2 + 4^2-1722 = 0;A;2;--1). d) х2у2 + 2х + zz = 16; jc = 2; V = 1.
Ъ)х* + у* + г* = \\\ C; 1; 1). е) х2 + 3/+ 2^2 = 9; у = \\ г = \.
с) З24/2 0 1 1
ГЛАВА XVII
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
В ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ
§ 184. Вектор-функция скалярного аргумента *. Непрерыв-
Непрерывность, Производная, Все переменные величины, с которыми мы
имели дело в дифференциальном исчислении,— безразлично, будь
то независимые переменные или их функции,— всегда носили
характер скалярных величин.
Однако, не говоря даже о более сложных задачах техники,
в самых основных вопросах физики или механики трудно обойтись
без рассмотрения переменных векторных величин. Примером пере-
переменных векторов могут служить: скорость качающегося маятника;
сила, под действием которой земля движется по своей орбите;
радиус-вектор подвижной точки и т, д.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением переменных
векторов, модуль (длина) и направление которых зависят от какого-
нибудь скалярного аргумента,
хотя бы от времени, или от
длины дуги, от величины
угла и t.jju
Если Q является таким
вектором-функцией аргумен-
аргумента /, мы выражаем эту за-
зависимость равенством:
= Q(t).
A)
X/
Задание одного вектора-
функции A) равносильно
заданию трех обыкновенных
скалярных функций того же Рис. 207
аргумента t.
В самом деле, всякий вектор в пространстве может быть
разложен по любым трем (некомпланарным) направлениям, на-
1 В дальнейшем предполагается, что учащийся знаком с основами вектоо
ной алгебры.
430 основы векторного анализа гл. xvii
пример, по трем осям координат, т. е. его можно представить
как геометрическую сумму трех векторов (компонентов), соответ-
соответственно параллельных осям координат. Если мы обозначим орты
(единичные векторы) осей координат через /, у, kt а проекции
вектора Q на оси координат обозначим соответственно через qlf
02> Qz> T0 (Рис 207)
Q=07+0.7+0,*- B)
Но, поскольку вектор Q меняется в зависимости от t, то и
проекции его также меняются в зависимости от t, и, следова-
следовательно, мы имеем:
01=ЛЮ. 0.=/,W. 0.=/.Ю. C)
Q(t) =/, (t)Г+/2 (t)Prfs (t)k. B)
Напомним, что проекции вектора на оси координат назы-
называются иначе координатами этого вектора, что кратко записы-
записывается так:
Q{0,> 0*> 0.} и™ Q {/,(*); /.W; ЛИЬ
Координаты вектора вполне определяют его, т. е. по коорди-
координатам вектора можно вычислить его модуль и направляющие ко-
косинусы:
D)
В дальнейшем будем предполагать, что все три скалярные
функции C) непрерывны и имеют непрерывные производные. По-
Покажем, что при этих условиях вектор:
также будет непрерывной и дифференцируемой функцией аргу-
аргумента t __
Вектор Q (t) называется непрерывной функцией от аргумента tr
если модуль его геометрического приращения | AQ | как угодно
мал при условии, что \М\ достаточно мало, т. е. для каждого
§ 184 ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 431
сколь угодно малого положительного числа е можно подобрать
такое s', что:
|AQ|<e, если |Д*|<е\
Пусть дан вектор:
Q @=/, т+Л W-7+/, {ty'k. B')
Дадим аргументу приращение М; тогда:
Вычтем из этого измененного вектора первоначальный B'):
Модуль полученного приращения вектора можно вычислить
по формуле D):
1AQ|=
но, так как функции /а (t), /2 (I) и /3 (t) по предположению не-
непрерывны, то можно выбрать приращение аргумента настолько
малым, | М К г', чтобы:
а потому:
|AQl<e.
Таким образом, непрерывность скалярных функций /, (t), /2
и /3 (?) влечет за собой непрерывность вектора-функции:
Приращение AQ = Q (^ -|" Д/^) — Q(t), как разность двух векто-
векторов, опять является вектором; разделим его на соответствующее
приращение аргумента, т. е. на скалярную величину М; резуль-
* Как и в случае скалярных функций, условию непрерывности вектора-
функции можно придать форму: lim Q (t 4- &t) = Q (t).
At -+ 0
432 ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА ГЛ. XVII
тат деления -—• есть вектор, параллельный AQ. Если М—>0, век-
тор -д- будет меняться по величине и направлению, но возможно,
что он будет приближаться к определенному вектору, как к сво-
своему пределу. Этот предельный вектор и называется производ-
производной вектора-функции Q(t) по аргументу tf т. е.
Мы уже видели, что для вектора:
геометрическое приращение выражается следующим образом:
AQ=[/, V+ДО -Л (ЭДЖЛ V +}t) -л j
откуда:
Переходим к пределу в предположении, что ЬЛ—^0 и помня,
что все три функции Д (^), /2 (if) и /3 (f) имеют производные, а
i, j n k являются постоянными ортами:
ТО
Таким образом, если Q {/, (t); /2 (t); /2@}>
dt
т. е. производную вектора-функции можно опре-
определить как новый вектор, координаты которого
равны производным соответствующих координат
первоначального вектора.
§ 185. Правила дифференцирования векторов. Основные пра-
правила дифференцирования векторов-функций содержатся в сле-
следующих формулах:
I. — = 0, где С—постоянный вектор.
§ 185 ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ВЕКТОРОВ 433
d(p-{-Q)_ dP . dQ
dt dt dt
III. * = a - -^, где a — постоянное число.
jy du{t).Q(t)_du q^4 l-gfflrfQ
iff ift ^ ' ' ^ ' dt *
V. ^M)^ (f, q) + (p, f) , Где (Р, ф-скалярное про-
изведение двух векторов.
D> Hi
VI. -Li-5J= L—. n 4- p, -~ L где ГР, 01 — векторное
произведение двух векторов.
В этой последней формуле нельзя менять порядок сомножи-
сомножителей.
VII. 4^=—•—, где 7>=zP(s) и s = <p(?).
at ds dt
При выводе этих формул можно или непосредственно пользо-
пользоваться определением производной вектора-функции E), которое
ничем не отличается от определения производной скалярной функ-
функции, или же можно свести дифференцирование векторов к диф-
дифференцированию скалярных функций — их координат.
Докажем, например, справедливость VI формулы, пользуясь
первым из этих методов.
Так как векторное произведение двух векторов есть новый
вектор, введем обозначение:
Дадим аргументу приращение М, тогда:
После вычитания получим:
Делим приращение векторов произведения на приращение ар-
аргумента:
АИ _ [Р (* + ДО, Q(f + Др] - [Р (*), Q (t)]
м Д^
Чтобы найти производную векторного произведения, осталось
дерейти к пределу, но для вычисления этого предела придется
434 ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА ГЛ. XVfl
предварительно преобразовать переменный вектор -^-; приба-
прибавим и отнимем от числителя Д/W одно и то же векторное про-
произведение [P(t), 13(?+ДЭД; тогда» благодаря свойству распреде-
распределительности векторного произведения, имеем:
), Q(t+M)]-[P(t), Q(t)]=[P(t), ДО],
а потому
(чтобы разделить векторное произведение на скаляр, достаточно
разделить на него один из сомножителей).
Теперь переход к пределу не представляет никаких затруд-
затруднений:
=[f ¦ Н+К f ]•
Дадим еще вывод формулы V, применяя на этот раз второй
метод.
Пусть P{plt рш, ps} и Q{q19 qt, qt}9 где рг, рл, pi9 qlf q2i qz
являются функциями аргумента t, имеющими производные
Ри р[, • • • , q[; тогда:
Как известно, скалярное произведение двух векторов равно
сумме парных произведений одноименных координат этих векто-
векторов, т. е.
(Р, Q)=p1ql
и, следовательно:
§ 186. Векторно-параметрическое уравнение кривой* Переходя
к геометрическим приложениям векторов-функций, напомним, что
положение точки М в пространстве бполне определяется одним
§ 186
ВеКТОРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ КРИВОЙ
435
вектором — радиусом-вектором г этой точки относительно произ-
произвольно выбранного полюса О, т. е.
7= ОМ.
Если мы выберем полюс О за начало координат, а направ-
направление осей определим тремя взаимно перпендикулярными ортами
i, у, k, то положение точки М
может быть задано двояким
образом — или тремя коорди-
координатами, или одним радиусом-
вектором (рис. 208):
М(х, у, z), или М{г),
причем:
т. е. координаты данной точки
являются вместе с тем и
координатами ее радиуса-вектора:
7{х, у, г].
Ьсли точка М перемещается в пространстве, описывая неко-
некоторую кривую, то координаты ее меняются в зависимости от вре-
времени или другого скалярного параметра, и траектория точки мо-
может быть задана уравнениями:
x=f(t), y^{f), г = Щ.
Но при движении точки М меняется и ее радиус-вектор г;
его зависимость от выбранного параметра t выразится равен-
равенством:
Обратно, если дан закон изменения радиуса-вектора точки М
в зависимости от параметра t:
Г=-Г\1)у (О)
то закон движения точки в пространстве, а следовательно, и
траектория будет вполне определена.
436 ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА ГЛ. XVII
Таким образом, вместо трех параметрических уравнений
пространственной кривой, мы получили одно векторно-
параметрическое уравнение
кривой F).
§ 187. Производная радиуса-век-
радиуса-вектора. Орт касательной. Пусть дана
пространственная кривая векторно-
параметрическим уравнением:
7=7 (t).
Начальному значению параметра /
соответствует на кривой точка М
(рис. 209). Дадим параметру при-
приращение Му тогда на кривой полу-
Рис. 209 " чим новое положение М подвижной
точки и
Геометрическое приращение радиуса-вектора:
7— T{t)
изобразится на чертеже вектором хорды Дг = ММ'. Разделим Дг
на приращение аргумента:
Аг ММ
Когда М—^0, точка М неограниченно приближается к М,
двигаясь по кривой, направление и длина секущего вектора МС
меняются. Предельное положение этого вектора направлено по
касательной кривой в точке М:
Итак, производная переменного радиуса-вектора есть вектор,
направленный по касательной к траектории конца радиуса-
вектора.
1 Чертеж сделан в предположении, что 0<Д^<1, так как векторы —
ц Д/* и имеют одинаковое направление и
§ 187 ПРОИЗВОДНАЯ РАДИУСА-ВЕКТОРА 437
Так как нам постоянно придется иметь дело с направлением
касательной, введем обозначение т для орта касательной, тогда;
dr -
dt ~T'
dr_
dt
Модуль производной радиуса-вектора можно вычислить, при-
принимая во внимание, что:
F{xt у, г},
а следовательно:
dr_ idx dy dz\
~dt\dt ' dt9 dt) '
откуда:
dr_
dt
Вектор -ТГ получит более конкретное толкование, если под
параметром t мы будем подразумевать время и, кроме того, в
качестве промежуточного аргумента выберем длину дуги кри-
кривой 5, измеряемой от произвольно выбранной на кривой началь-
начальной точки А:
Тогда, согласно формуле VII, имеем:
dr_ dr_ ds
Hi Is ' di '
Ho:
j^lim^lim Ш
так как вектор ^- имеет направление касательной, а модуль
его равен единице, как предел отношения длины хорды к длине
соответствующей дуги, когда эта последняя стремится к нулю.
С другой стороны, As есть путь, пройденный подвижной точ-
точкой за промежуток времени М; отношение ~ есть средняя ско-
скорость точки за этот промежуток времени, а предел отношения
даст истинную скорость, с которой движется по кривой точка М
в момент t
-т:= 11П1 -j-r^zVy
438 ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА ГЛ. XVII
и мы окончательно получим:
¦f = *-V=v. G)
т. е. производная по времени радиуса-вектора подвижной точки
равна вектору-скорости этой точки, другими словами, вектору,
направленному по касательной к траектории и имеющему модуль,
равный скалярной величине скорости.
§ 188. Дифференциал дуги пространственной кривой. Иссле-
Исследуя производную радиуса-вектора, мы видим, что производная
радиуса-вектора по дуге равна орту касательной:
dr -
ds
= т, т. е.
dr
Us
= 1. G')
Но этот модуль можно вычислить и при помощи координат
вектора-производной, если:
7{х, у, z}; то #{?,?, Й,
1 ' -yi n ds yds ' ds* ds)'
ds yds ' ds* ds
и следовательно,
dr_
ds
Сопоставляя этот результат с G'), имеем:
откуда получаем формулу для дифференциала дуги пространст-
пространственной кривой:
ds = Vdx2 + dy2+dz2. (8)
Тот факт, что производная радиуса-вектора имеет особо
простое значение, если за аргумент принять длину дуги, застав-
заставляет предполагать, что при таком выборе и последующие фор-
формулы получат более простой вид, а потому в дальнейшем, изо-
изображая пространственную кривую векторно-параметрическим
уравнением, мы будем брать длину дуги s в качестве переменного
параметра. Уравнение кривой примет вид:
7=7(s).
§ 189. Кривизна пространственной кривой. Определение кри-
кривизны, данное для плоской кривой, переносится без всяких из-
изменений на пространственную кривую.
§ 189
КРИВИЗНА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ
439
Пусть кривая (рис. 210) дана уравнением:
7=7(s)
и начальному значению параметра s соответствует на кривой
точка М. Если дать дуге приращение As, на кривой получим
вторую точку М'. Построим орты ка-
касательных в начале и в конце дуги
ММ9 т. е. x(s) и t(s-j-As). Эти орты
отличаются друг от друга направле-
направлением и угол между ними называется
углом смежности дуги ММ.
Средней кривизной дуги ММ
называется отношение угла смеж-
смежности к длине самой дуги. Но так как
касательные прямые, проведенные в
двух разных точках пространствен-
пространственной кривой, вообще говоря, не пересе-
пересекаются, то для получения угла смеж-
смежности построим в точке М не
только орт касательной в этой точке MT1—i(s), но и вектор
AfT2 = T(s-}-As). Угол T1MTt = ^f и будет углом смежности
дуги ММ.
Таким образом, средняя кривизна дуги ММ' = ^.
Кривизной кривой в точке М называется предел средней кри-
кривизны дуги ММ у когда М—>М, т. е.
Рис. 210
Д5-»0'
Для удобства вычисления этого предела делаем следующее
добавочное построение: соединим концы Тг и Г2 ортов вектором:
и эти же точки соединим дугой окружности, центр которой
совпадает с точкой М, а радиус равен единице:
Теперь переходим к вычислению кривизны кривой в точке М.
440
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
ГЛ. XVII
но так как предел отношения дуги к хорде, ее стягивающей,
равен единице, то:
/C= lim -д^==
Принимая во внимание, что:
L
ds
dr
''Is9
имеем:
ds2
(9)
или, пользуясь координатными обозначениями:
г \л> У у Ч> ds\ds ' ds> dsi > ds* X ds* > ds* > ds*f'
получим:
K=
ds2
Кривизну пространственной кривой всегда считают величиной
положительной.
Величина, обратная кривизне кривой в данной точке, назы-
называется радиусом кривизны в этой точке:
1
л/
ds*
A0')
§ 190. Главная нормаль кривой. Изучение кривизны про-
пространственной кривой привело нас к новому вектору-производной:
ds
ds2
_
И нам удалось вычислить его модуль A0).
Переходим к исследованию направления вектора -г-.
Воспользуемся тем, что переменный вектор т меняет свое на-
направление в зависимости от параметра s, но сохраняет неизменным
модуль, равный выбранной единице длины, т. е. во всех точках
кривой удовлетворяется соотношение:
§ 190 ГЛАВНАЯ НОРМАЛЬ КРИВОЙ 441
Продифференцировав это равенство, согласно формуле V по-
получим:
Но скалярное произведение двух векторов равно нулю, когда
эти векторы взаимно перпендикулярны: ^_L^
Таким образом, вектор-производная орта касательной перпен-
перпендикулярен к касательной прямой, а следовательно, имеет направ-
направление одной из нормалей пространственной кривой.
Та нормаль, по которой направлен вектор ^, называется
главной нормалью кривой; орт главной нормали обозначим
через v.
Учитывая, что ^
= К — — и ~||v, имеем:
Покажем, что главная нормаль кривой в данной точке М
лежит в соприкасающейся плоскости (см. § 181), проведенной
в этой точке.
С этой целью проследим (рис. 211), как геометрически полу-
получается производная ¦?•. К точке М отнесены два вектора: орт
касательной в данной точке
МТг = х (s) и вектор МТ2,. рав-
равный орту касательной в точке М:
Из построения следует, что
Разделив этот последний век- Рис. 211
тор на скаляр As, получим век-
вектор ТХВ— г1 того же направления, что и Дт.
Таким образом, вектор —=7^5 и равный ему вектор МС,
проведенный из точки М> лежат в плоскости треугольника МТгТ2>
т. е. в плоскости, проходящей через касательную прямую в точке
М параллельно касательной в точке М. Когда М—>М, эта
плоскость вращается вокруг касательной МТХ и в пределе стре-
442
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
ГЛ. XVtt
мится совпасть с соприкасающейся плоскостью (см. § 181). Но
переменный вектор ~ = TlB= MC все время лежит в этой вра-
вращающейся плоскости, а потому предельный вектор:
лежит в предельной, т. е. в соприкасающейся плоскости.
Раньше мы видели, что вектор ~ , отнесенный к точке М,
направлен по главной нормали кривой, теперь мы убедились,
что он лежит в соприкасающейся плоскости. Другими словами,
главной нормалью пространственной кривой называется та нор-
нормаль, которая лежит в соприкасающейся плоскости.
§ 191. Основной трехгранник. С каждой точкой Ж простран-
пространственной кривой:
r=r(s)
можно связать три взаимно перпендикулярные направления —
главные направления. Два из них определены ортом касательной
х, направленным в сторону
возрастания параметра 5,
и ортом главной нормали
v, направленным в ту сто-
сторону, в которую повора-
поворачивается касательная при
движении точки М по
кривой в ее положительном
направлении (рис. 212),
т. е. в сторону вогнутости
кривой. Через эти два орта
проходитсоприкасающаяся
плоскость. Третье главное
направление должно быть
перпендикулярно к пер-
первым двум, т. е. перпен-
перпендикулярно к соприкасаю-
соприкасающейся плоскости. Прямая, проведенная через точку М перпен-
перпендикулярно к соприкасающейся плоскости, служит тоже нормалью
к кривой. Эта вторая замечательная нормаль называется бинор-
бинормалью. Для определения положительного направления из би-
бинормали выбираем ее орт р так, чтобы х, v, p составили правую
тройку векторов, другими словами, р расположено относительно
Рис. 212
§ 191 ОСНОВНОЙ ТРЕХГРАННИК 443
х и v, как ось z относительно х и у. Можно было бы опреде-
определить орт р" как векторное произведение ортов касательной и
главной нормали:
Плоскость, проходящая через обе нормали, перпендикулярна
к касательной и, следовательно, является нормальной плоскостью
к кривой. Наконец, можно еще провести плоскость через каса-
касательную и бинормаль; эта последняя плоскость называется
спрямляющей плоскостью кривой (рис. 212).
Три взаимно перпендикулярные плоскости — соприкасающаяся,
нормальная и спрямляющая — составляют основной трехгранник
кривой; ребрами этого трехгранника служат касательная, глав-
главная нормаль и бинормаль. По мере того как точка М движется
по кривой, главные направления меняются, весь трехгранник
перемещается в пространстве, причем вершина его М скользит
по кривой и взаимное расположение его элементов сохраняется
неизменным. Основной трехгранник, сопровождающий точку М
при ее движении по кривой, служит естественной подвижной
системой координат, связанной с этой кривой.
Составим уравнения всех граней и ребер основного трехгран-
трехгранника. Это сделать особенно легко, пользуясь векторными обо:
значениями.
Напомним, что плоскость, проходящая через точку М(г) пер-
перпендикулярно вектору а, изображается уравнением:
где R—текущий радиус-вектор, т. е. радиус-вектор любой
точки N рассматриваемой плоскости.
1 Приведенное уравнение показывает, что вектор R — г, соединяющий
данную точку М с любой точкой N изучаемого геометрического места, перпен-
перпендикулярен к данному вектору а, т. е. все точки N (R) лежат в плоскости, про-
проходящей через М(г) перпендикулярно к а (рис. 213).
М
о
Рис. 213 Рис. 214
444 ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА ГЛ. XVII
Так как все основные плоскости проходят через точку М (г)
данной кривой и соответственно перпендикулярны ортам главных
направлений, то их можно изобразить уравнениями:
соприкасающаяся плоскость (R — г, р) = 0;
спрямляющая плоскость (R — f, v) = 0;
нормальная плоскость (R— f, т) = 0.
Для составления уравнений ребер трехгранника вспомним, что
уравнение прямой, проходящей через данную точку М(г) парал-
параллельно данному вектору а, отличается от вышеприведенного
уравнения плоскости только тем, что в него входит не скаляр-
скалярное, а векторное произведение тех же сомножителей, т. е. урав-
уравнение такой прямой имеет вид:
[Я—/-, а] = 0г;
откуда получим:
уравнение касательной [/? — г, т] = 0;
уравнение главной нормали [R—f, v] = 0;
уравнение бинормали [R—f, р] = 0.
Чтобы составить уравнения этих же элементов основного
трехгранника, но в более употребительных координатных обозна-
обозначениях, надо вычислить угловые коэффициенты основных ортов.
Принимая во внимание, что:
T = g и г{х, у, z},
имеем:
\
Но координаты орта, т. е. его проекции на оси координат,
являются вместе с тем и направляющими косинусами этого орта2:
cos (i% = ~; cos (A) =g; cos (k% =g, A3')
1 Уравнение [/?—f, a] = 0 показывает, что вектор MN = R—f паралле-
параллелен данному вектору а\ но так как через данную точку М(г) можно провести
только одну прямую, параллельную а, то все точки N(R) лежат на этой пря-
прямой (рис. 214).
2 ?i = np7:c = [Tj.cos(/r) = cos(//:) и т. д.
as
§ 19! основной трехгранник 445
поэтому касательная прямая изображается уравнениями:
Х- х_У-у __ Z- z
dx dy dz 9
ds ds ds
а уравнение нормальной плоскости будет:
Чтобы определить угловые коэффициенты главной нормали,
вспомним, что:
dx d2r v _ d2r
0TKyAavp
а так как:
d4(d*x d*y <Pz\
d$2\ds2' ds2' ds2) '
to:
-/ d2x d2y d2z
и, следовательно:
A d2x A d2V _A
; cos(/v) p.-j^; cos(A v) =
или в качестве угловых коэффициентов главной нормали можно
взять производные второго порядка координат по дуге:
/1:m:ii1=(MeG%:co8(^):(Ms(^) = g:g:g; A4')
уравнения главной нормали примут вид:
Х-х_ У -у _ Z-z
(?х ~ <?у_ ~ ?z *
ds2 ds2 ds2
а спрямляющая плоскость, перпендикулярная к главной нормали,
изобразится уравнением:
Осталось вычислить угловые коэффициенты бинормали. Вос-
Воспользуемся ранее данным определением орта бинормали;
446
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
ГЛ. XVII
-fdx dy
причем:
и, следовательно1:
dy dz
ds ds
d2y d2z
ds2 ds2
; p
dz
ds
d2z
ds2
dx
ds
d2x
ds2
* n
» P
dx
ds
d2x
ds2
dy
ds
d2y
ds2
A5)
Таким образом, угловые коэффициенты бинормали будут:
dy dz
ds ds
d?yd2z
ds2 ds*
•
dz dx
ds ds
d2z dzx
ds2 ds2
•
dx dy
ds ds
d2x d2y
ds2 ds2
A5')
и бинормаль изобразится уравнениями:
Х-х _ Y — y __
Z — z
ds ds
d2y d2z
ds2 ds2
dz dx
ds ds
d2z d2x
ds2 ds2
dx dy
ds ds
fxiPy
ds2 ds2
а уравнение соприкасающейся плоскости, перпендикулярной к
бинормали, примет вид:
dy dz
ds ds
d2y d2z
ds2 ds2
(X — jc)-f
dz dx
ds ds
d2z d2x
ds2 ds2
(У—у) +
dx dy
ds ds
d2x d2y
Ж2Ж2
(Z-*)=0.
§ 192. Кручение пространственной кривой. Формулы Френе.
Мы видели, что пространственная кривая имеет кривизну,
ничем не отличающуюся от кривизны плоской кривою
Шп Й =
AS-+Q US
ds2
ds2
ds
1 Если даны координаты двух векторов_5 {xv yv гг\ и Ь |я2, у2У ^2}>то ко-
координаты их векторного произведения [а, Ь] равны детерминантам второго по-
порядка, которые получаются из матрицы ^.lZJ последовательным вычерки-
ванием первого, второго и третьего столбца, причем у среднего детерминанта
§нак меняется на противоположный.
§ 192
КРУЧЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ
447
Кривизна кривой характеризует быстроту изменения ее на-
направления или, иначе, быстроту отклонения кривой от прямой
(от ее касательной).
Но пространственная кривая, не умещающаяся ни в какой пло-
плоскости, обладает еще второй кривизной — кручением, которое
характеризует быстроту отклонения кри-
кривой от плоскости. Из всех плоскостей,
проведенных через точку М простран-
пространственной кривой, теснее всех примыкает
к кривой, вблизи данной точки, сопри-
соприкасающаяся плоскость. Если мы возьмем
на кривой две точки М и М и проведем
в них соответствующие соприкасающиеся
плоскости, то эти две плоскости образуют
между собой некоторый угол ДО — угол кру-
кручения; и чем больше угол Д8 (при сохра-
нении длин дуги ММ), тем быстрее
отходит кривая от своей соприкасающейся
плоскости, тем больше кручение.
Предел отношения угла кручения Д6 к длине соответствующей
дуги ММ, когда М—>М называется кручением кривой в
точке М и обозначается буквой Т:
Рис. 215
Заметим, что угол между двумя плоскостями измеряется углом
между их нормалями, а потому угол кручения й = Дбесть угол
между бинормалями, проведенными в точках М и М (рис. 215),
т. е. между ортами p(s) и р (s -|-As). Чтобы построить угол кру-
кручения Дб, проведем в точке М не только орт соответствующей
бинормали ЖВ1 = р($), но и MB2 = $(s-\-ks). Вектор, соединяю-
соединяющий концы Вх и В2 этих двух ортов, будет:
Проведем через эти же две точки Вхя В2 дугу окружности, центр
которой находится в точке М и радиус равен единице:
^B,BZ = ДО.
1 Кручение всякой плоской кривой равно нулю, потому что соприкасаю-
соприкасающиеся плоскости, проведенные в различных точках такой кривой, сливаются и
Пространственные кривые, точки которых не лежат в одной плоскости, в
ртличие от плоских кривых называются криэыми двоякой кривизны»
448 ОСНОВЫ BFKTOPHOrO АНАЛИЗА ГЛ. XVTT
Теперь нетрудно вычислить кручение Т:
Jfl# , A6)
так как:
Таким образом, кручение пространственной кривой в данной
точке равно модулю вектора-производной орта бинормали по
дуге.
Хотя мы уже определили координаты орта р A5), но их про-
производные настолько сложны, что воспользоваться ими для вычи-
вычисления кручения Т— ~- не целесообразно.
Прежде чем искать выражения для крученця в координатных
обозначениях, остановимся на более подробном исследовании того
dl
вектора -— , с которым связана величина кручения.
Для определения направления вектора-производной -—¦ заме-
тим, что j}2= 1, следовательно, 2 Г р, -j-) — 0, т. е. —- J_ p. Поэто-
му, если мы отнесвхМ вектор -—- к точке М, то он будет лежать
в соприкасающейся плоскости; но этим еще не вполне определяется
его направление.
Для уточнения направления -~ примем во внимание, что:
откуда:
.!]=['. I]1
Но векторное произведение двух векторов перпендикулярно
к каждому из сомножителей, следовательно:
ds
Итак, вектор j- лежит в соприкасающейся плоскости и пер-
перпендикулярен к касательной, т. е. он лежит на главной нормали.
чи-
так как — I
Р
§ 102 КРУЧЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ 449
Сопоставляя два полученные результата:
имеем:
Присутствие двух знаков в последней формуле объясняется
тем, что вектор —, будучи параллелен главной нормали, может
as
иметь направление, совпадающее с направлением орта v, или
направление прямо противоположное. Это зависит от того, в каком
направлении вращается орт бинормали (а следовательно, и сопри-
соприкасающаяся плоскость) при перемещении точки по кривой из М в AT.
Если же мы условимся приписывать этот знак самому круче-
кручению, т. е. будем считать, что кручение Т может быть как поло-
положительной, так и отрицательной величиной, то формула примет
более простой вид:
или, введя в рассмотрение радиус кручения р1Э как вели-
величину обратную кручению, получим:
1 = ^ = 1. ,17)
Отметим, что мы теперь имеем простые выражения для про-
производных двух основных ортов A1) и A7):
di v d} "v
ds p ds pj'
где p — радиус кривизны, a pt — радиус кручения.
Дополним эти результаты выводом формулы производной
орта v.
Согласно определению т, v и р составляют правую тройку вза-
взаимно перпендикулярных ортов, а поэтому:
v=[p, х],
и, дифференцируя это векторное произведение, получим:
15 Дифференциальное исчисление
={№. »]+?["».
450
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
ГЛ. XV11
или, учитывая, что:
[F, vj = -[v, Й = -т и [v, .] = -[-,, vj = —р,
можно придать последней формуле более простой вид:
ds
Pi
Теперь окончательно получим так называемые формулы
Ф р е н е для производных всех трех основных ортов пространст-
пространственной кривой:
d-z
ds
v dv
7' 'ds'
?
Pi'
P,
A8)
Эти формулы обнаруживают тесную зависимость между зако-
законом изменения главных направлений пространственной кривой, ее
кривизной и кручением1.
Формулы Френе облегчают вывод формулы для вычисления
кручения кривой.
1 Мы дали формулы Френе в зекторных обозначениях, но, спроектировав
каждую из этих формул последовательно на три оси координат, мы получим
девять формул Френе, выражающих производные направляющих косинусов каж-
каждого из главных направлений через направляющие косинусы двух других на-
направлений и через радиусы кривизны и кручения пространственной кривой:
d cos ott cos a2 # dcos fjt cos P2. d cos yt cos y2,
ds ~~p * ds p * ds ~~p '
d cos a2 cosat cos a8. dcos$2 cos?, cosp$.
ds p Pj ' ds p Pi '
dcos y2 cosfi cos f»,
ds p pj '
, COSOt9, dCQS ^ CCS?2. d COS Y8 COS f2
ds
ds
Pi
ds
где обозначения углов взяты из таблицы:
т
V
?
X
«1
У
h
h
h
г
Ъ
Тг
Ь
§ 192
КРУЧЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ
451
Рассмотрим производную третьего порядка радиуса-вектора;
ds3 ds \ds2j ds \ p ) ds \ p ) ' p ds *
или, воспользовавшись второй формулой Френе:
Таким образом, вектор-производная третьего порядка от ради-
радиуса-вектора оказался разложенным по трем главным направлениям.
Умножим все члены полученного равенства скалярно на вектор
р и учтем, что:
(v, р) = 0; (х, р) = 0 и (р, р)=1.
Тогда будем иметь:
откуда определяем кручение 7= —:
adf d2fl d3r\_ 2 / \dr d2rl d*r\
Ts> P5?J ' d?J— *"P Ц^' 5?J I?)'
Смешанное произведение трех векторов (\-?, ^)\ , ^р
равно детерминанту третьего порядка, составленному из коорди-
координат векторов-сомножителей, и так как:
dridx dy dz\m ?ri<?x d?y dH\ d*r ld*x d*? ?z\
ds\ds> d$y ds) ' ds2 \ ds2 f ds* * ds2) й ds3 \ ds3 * ds3 > ds4 '
to:
adr сРП d*r\ _
ds9 ds2} ds*)~
dx dy dz
ds ds ds
d2x d2y dH
ds2 d'$*ds*
dz% dsy dzz
dsz Иь* 11?
452
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
ГЛ. XVII
Кроме того, мы имели A0'):
"Г [ds2) i-\dz2j
и теперь можно получить окончательную формулу для кручения
кривой в координатных обозначениях:
dx dy dz
ds ds ds
T= —
ds2 ds2 ds2
dH <Py d*z
ds* ds* dz*
d2xy , fd2y
d2z
A9)
Надо помнить, что во всех полученных соотношениях произ-
производные берутся по дуге; если же другая величина будет выбрана
за переменный параметр в параметрических уравнениях кривой, —
все формулы окажутся значительно сложнее.
Пример 1. Вычислить угловые коэффициенты главных направлений, кривизну
и кручение в любой точке М(х> у, z) винтовой линии:
Решение.
Вычислим производные первых трех порядков всех координат по дуге;
dy ,.,_.. dz
— = -aq2 cos (qs) = - q2x\ -Л=-а,
us as u.o
d*x g . 8 d*y з d*z
CIS CIS CIS
Пользуясь формулами A3'), A4') и A5'), составляем таблицу угловых коэф-
коэффициентов главных направлений:
т
V
т
1
-qy
X
— у cos a
т
qx
У
X COS а
п
COS з
0
-a2q
1 Эти уравнения винтовой линии могут быть получены из уравнений
# = acos*, y = asin?, z — actga-t, приведенных в § 184, если параметр
t = ^/ АОМ1 (черт. 199) выразить через дугу s = ^ AM = A'M'. Нужное соот-
соотношение просто получается из треугольника А'М'М'^ (черт. 200), а именно
Л'Л^ = А'М!• sin a или <*•? = $.sin а, откуда ?== s. При замене параметра
t в первых двух уравнениях винтовой линии введено обозначение -i-^ =
следовательно, t=zq*$.
§ 192
КРУЧЕНИЕ nPOCtPAHCtBEHHOft КРИВОЙ
453
Кривизну К вычисляем по формуле A0):
Для нахождения кручения Г вычисляем предварительно детерминант третьего
порядка, входящий в A9):
— aq sin (qs) aq cos (qs) cos a
cos (qs) sin (qs) 0
sin (qs) — cos (#s) 0
T D_ fl2ff5 cos a _^
=-\-a?q5* cos at
Обратим внимание на характерное свойство винтовой линии: кривизна и
кручение винтовой линии являются постоянными величинами.
Пример 2. Вычислить радиус кривизны и радиус кручения в любой 1\>чке
кривой:
х = -^- sin21, у = — (t + sin t. cos 0, 2? = sin ?.
Решение. Геометрическое значение параметра t нам неизвестно, поэтому
начнем с вычисления: — =
dx
:; ^=~-(l+cos2t--s[u4)==
——— ' РПЧ / "\r 41 fi^ / I poc2/ I , 1 —. ¦¦ *|/ О, рлп /
—
так как
dt
1, ^ не является дугой кривой и, следовательно, при вычислении
производных координат по дуге надо пользоваться правилом дифференцирования
сложных функций, учитывая, что — = --—= :
ds у 2*cost
dx dx d? sinj . dy dy_ di cos? dz __dz dt 1
ds ~~ dt ' ds~~Y2' ds~~ dtds~~ уъ' !s~~~ di * 7к~~~у^''
d*z
ds" 2 '
=0- ^—— f—JLt Л~——
2 V2 cos3 ^'
sin*
So?? °
e_ _i
8 cos81
, ^=2cos^.
454 Основы векторного анализа гл. xvn
ЗАДАЧИ
1. Вычислить дифференциал дуги кривой:
х =s t — sin ty у = 1 — cos t, z = 4 sin —
и составить уравнения ее главной нормали при i = tQ.
Отв. <fe = 2tf; ^^^^ Azi?
2. Вычислить кривизну кривой:
P t* tz
* = -?> У^Т* 2==2"
в точке, где t = l.
Отв. K^Xl.
о
8. Составить уравнения граней основного трехгранника кривой:
t t f . .
^=:—-—.«=:—-з ^ = lnSin^
в точке, где ? = — .
Отв. х— ^ = 0; z = 0; л:+у = -у=1.
4. Вычислить кривизну и кручение в любой точке кривой:
х = tt у = а, г = In (cos О
и составить уравнения главных плоскостей в точке, где * = 0.
Отв. K~cost, 7=0; у = а\ 2 = 0; я = 0,
5. Составить уравнения ребер основного трехгранника кривой:
х = y sin2 ?; >; = y (^ -f- sin t cos 0*> 2; = sin ^
в точке, где t = t0.
Отв. ^Lllfb —llziu==?zL!e. Z-Xo^K-^^Z-^.
sin^ cos^ 1 ' cos^ sin? 0 '
6. Вычислить кривиану в любой точке кривой:
V2
Отв. /С=
7. Вычислить кручение в любой точке кривой:
Огв. Г
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение I
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМУЛЫ
1. Формулы элементарной алгебры и геометрии. Для удоб-
удобства учащихся мы даем следующий список элементарных формул.
Начинаем с алгебры.
A) Квадратное уравнение ах2-f-bx-f-с = О
_ ь :? У V - Аас
решается по формуле #1,г = « '
Природа корней зависит только от выражения А = Ь2 — Аас, стоящего под
радикалом и называемого дискриминантом. Если Д > 0, корни действительные
и различные; если Д = 0, корни действительные и равные; если Д<0, корни
мнимые.
B) Логарифмы
\gan = n\ga\ lg 1 = 0;
C) Бином Ньютона (« целое положительное)
01
... | лСя — Ш* —2) -¦ (n~~k + l)an-kbk + ... 1 6ra,
/vi
D) Факториал n\ = 1-2-3 ... (/г— 1)«я.
В следующих формулах элементарной геометрии буквы г или
i? обозначают радиус, h—высоту, 5—площадь основания и/—об-
и/—образующую.
E) Круп Длина окружности = 2кг\ площадь = тег2,
F) Круговой сектор. Площадь = — r2a, где a — центральный угол
сектора, измеренный в радианах.
G) Призма. Объем = Sh.
(8) Пирамида. Объем = — Sh.
о
(9) П р я м о й круглый цилиндр. Объем = те/-2/г; боковая поверх-
поверхность =2тегЛ; полная поверхность = 2тег (г -j- Щ.
A0) Прямой круглый конус. Объем = -^ %r2h\ боковая поверх-
о
HOCTb = rcW; полная поверхность = тег (г + Q.
4
A1) Ш а р. Объем = ~- ъгг\ поверхность = 4тег2,
о
15В Дифференциально^ исчисление
458
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМУЛЫ
A2) У сеченный прямой круглый конус.
Объем = — ък (R2 -f- г2 -\- /?/•); боковая поверхность = id (R -f- г).
о
2. Формулы тригонометрии. Многие из следующих формул
оказываются полезными:
A) Измерение углов. Приняты два способа измерять величины углов;
в основу их положены две различные единицы измерения.
Градусное измерение. За единицу угла принимается ^т полного обо-
оборота; эта единица называется градусом.
Радианте измерение. За единицу угла принимается центральный угол,
вырезывающий из окружности дугу, длина которой равна ее радиусу; эта еди-
единица называется радианом.
Основное соотношение между двумя этими единицами измерения дается
уравнением
180 граду сов = it радианов,
где тс = 3,14159... Из него мы получаем:
1 градус^тба радиана = 0,0174 ... радиана
и
180
1 радиан = — градусов = 57,29 ... градусов.
Из определения радиана следует, что число радианов в угле —
вырезанной дуге
радиус
Эти уравнения позволяют нам переходить от одного способа измерения к
другому.
B) Соотношения между тригонометрическими функ-
функциями
1 1 1
ctg х = ; sc х = ; esc x =
& tg х cos х
sin x7
cos x
sin2 x -f- cos2* = 1; 1 + tg2 x = sc2 x\ 1 -f ctg2 x = esc2 x.
C) Формулы приведения углов
Угол
— *
90° — *
90°+ х
180° — х
180° +х
270° - х
270° + х
360° - х
Синус
— sin х
cosx
cosx
sin x
— sin x
— cosx
— cos я
— sin x
Косинус
COS JC
sin x
— sin x
— cosx
— cosx
— sm x
sin x
cosx
Тангенс
- tg*
ctgx
— ctg л
— tg#
tg*
ctg я
— ctg л;
- tg*
Котангенс
— ctg*
tg*
- tg*
— ctg*
ctg*
tg*
— tg*
— ctg*
ФОРМУЛЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ 459
D) Функции от х-\-у и от # — у
sin {х -\- у) = sin х cos у + cos x siny\
sin (x — у) = sin л; cos jv — cos я sin j>;
cos (я -|-д>) = cos я cos .у — sin x siny;
cos (я — y) = cos л: cos j; + sin л: sin y\
l-tgjctgy'
E) Функции от 2х и от -^
sin 2л; = 2 sin x cos л:; cos 2x = cos2# — sin2*; tg 2x = rj ^—
sin
y- /
X -. f\ — COS X
sin2 л: = — — cos 2x; cos2 x = — -f- -=p cos 2#.
(б) Теоремы сложения
sin x + sin у = 2 sin *^~^ cos *T \
% J- у x — V
sin*— sin^= 2cos—~ sin 2 ¦;
cos л; -|- cosy = 2 cos—^-^ cos—=-*-\
cos л: — cos у = — 2 sin 7"^ sin —^-^.
G) Соотношения для косоугольного треугольника
Закон синусов ——^ = ~—^ = . _.
sin Л sm В sin С
косинуса а2 = Ь2~\-сг — 2bc cos Л.
Формулы для площади S = 77- be sin Л
i- a2 sin 5 sin С
S== sin(?+C) '
= V>(p-a)(p-b)(p-c), где ^ =
3, Формулы аналитической геометрии на плоскости. Самые
важные формулы содержатся в следующем списке:
A) Расстояние между точками. M1(xl1 yt) и Mz(xt} y^
Тангенс наклона отрезка МХМ^ kz=z^2 ~~У\ z=tgcp.
х2 — хх
Середина отрезка х= ¦¦ "^" 2, ^= "I" ¦.
15В*
460 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМУЛЫ
B) Угол между двумя прямыми
и h
to G — —2 -L •
для параллельных прямых: k1 = k2; для перпендикулярных прямых: k^ ——1.
C) Различные формы уравнения прямой
Уравнение прямой пучка: у —• у^ = k {х —- хг).
Уравнение с угловым коэффициентом:
Уравнение прямой, проходящей через две точки:
У —У* ___.* —*i
У2 — Ух я* — *'
Уравнение в отрезках:
- + $¦ = !.
а 1 Ь
D) Расстояние точки Mt{xli ух) до прямой Ах + By -|~С = О
E) Соотношения между прямоугольными и полярными
координатами
х — р cos ср, у =р sin<р; р = У*2 •+• у2, <? = arctg — •
X
F) Уравнение о к р у ж н о с т и (х — аJ -{- (у — ?J =г2.
Центр (а, Ь).
G) Уравнение параболы
Уравнение с вершиной в начале:
I' Р \
у2 = 2/?^, фокус ( ~-, 0 ],
х2 = 2ру, фокус fo, ~ J.
Уравнение с вершиной в точке (а, Ь)\
(у — bf = 2р(х — а), ось у~Ь,
Уравнение с осью, совпадающей с осью СУ:
) Уравнения других кривых
ллипс с центром в начале и с фокусами на оси ОХ:
Гипербола с центром в начале и с фокусами на оси ОХ:
ФОРМУЛЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 461
Равносторонняя (разнобокая) гипербола с центром в начале и с осями
координат как ее асимптотами
4. Формулы аналитической геометрии в пространстве. Не-
Некоторые из наиболее важных формул таковы:
A) Расстояние между точками Мх (хг, yv zr) и М2(х2, у2, ?2)
<*=У (*• - л:,J + Су, - д^2 + (*i -
B) Прямая.
Направляющие косинусы: cos a, cos Р, cos f.
Направляющие коэффициенты: т, п, /?.
Для них
cos а cos р cos y
т /г jp '
cos2 а -f- cos2 p + cos2y == 1,
т
cos of = -.
п
•±.\ nf
cosy =
Для прямой, проведенной через (xv yv zt) и (х2, у2» ^г)
cos а cos Р cos y
C) Д в е прямые.
Направляющие косинусы: cos a, cos P, cos у; cos or', cos P',
Направляющие коэффициенты: /и, п,р] т', п',рг.
Если 0 есть угол между прямыми, то
cos 9 = cos a cos a' + cos P cos P' + cos y cos Y%
C03fl== mm'+nn'+pp'
Условие параллельности: —;=?=—;=: —
r mr n' p'
Условие перпендикулярности: mm' -f- nn' "\~РРГ = 0.
D) Уравнение прямой с направляющими коэффицд!GJt-
тами т, nf pf проходящей через точку (х1У yv z^\
E) Плоскость. Для плоскости Ах-\-Ву -\-Cz-\-D = 0 коэффициенты
А, В, С суть направляющие коэффициенты перпендикуляра к плоскости.
462
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМУЛЫ
Уравнение плоскости, проходящей через (xv yv zj и перпендикулярной
к прямой с направляющими коэффициентами АУ В, С:
F) Две плоскости.
Уравнения:
Ах +Bv +Cz + D = 0,
A' + tf+C + D'Q
Направляющие коэффициенты их линии пересечения:
ВС - СВ\ С А - АС, АВ - ВА\
Если 0 — угол между двумя плоскостями, тогда
с2
§ 5. Греческий алфавит
Буквы
А а
В В
Г 1
д i
Е в
Z С
Нт)
W 0
I i
К х
Л 1
Названия
Альфа
Бета
Гамма
Дельта
Эпсилон
Дзета
Эта
Тета
Йота
Каппа
Ламбда
Ми
Буквы
N v
2 5
О о
П л
тГ
Г о
Ф <р
X X
ф ф
Названия
Ни
Кси
Омикрон
Пи
Ро
Сигма
Тау
Ипсилон
Фи
Хи
Пси
Омега
Приложение II
КРИВЫЕ ДЛЯ СПРАВОК
Для удобства учащегося здесь собрано некоторое число наи-
наиболее известных кривых, встречающихся в тексте.
Рис. I. Кубическая
парабола.
Рис. II. Полукубическая
парабола.
у — ах*.
у2—ах*.
464
ПРИЛОЖЕНИЕ
Рис. III. Локон Аньези.
= 4а2{2а — у).
Рис. IV.
Циссоида Диоклеса.
у2 {2а — х) = л\
Рис. V. Лемниската
Бернулли.
Рис. VI. Конхоида
Никомеда.
р = a esc Ь -\- Ь.
КРИВЫЕ ДЛЯ СПРАВОК
465
Рис. VII. Циклоида обыкновенная.
У
л = a arc cos f 1 — ^) — Y2ay —у
= а(Ь — sin 0)
= a(l—cos 6).
Рис. VIII. Циклоида с вершиной в начале.
Г
11 — |Л -\-Y2ay—
= a(l — cos 6)
466
ПРИЛОЖЕНИЕ
Рис. IX. Цепная линия.
Рис. X. Парабола.
Рис. KI. Гипоциклоида
с 4 остриями.
Рис. XII. Эволюта
эллипса.
КРИВЫЕ ДЛЯ СПРАВОК
467
Рис. XIII. Кардиоида. Рис. XIV. Декартов лист.
р —я A_ cos 6).
Рис. XV. Синусоида.
у — sin x.
Рис. XVII. Улитка Паскаля.
Г
Рис. XVI. Косинусоида.
Y
у = cos х.
Рис. XVIII. Строфоида.
Y
р = й — a cos Й.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Рис. XIX. Спираль
Архимеда,
Рис. XX. Логарифмическая
спираль.
или
In p = аб.
Рис. XXI. Гиперболиче-
Гиперболическая спираль.
а
Рис. XXII.
Жезл.
Рис. XXIII. Параболиче-
Параболическая спираль.
(р—а)" =
Рис. XXIV. Логарифмиче-
Логарифмическая кривая.
у
у = In х.
КРИВЫЕ ДЛЯ СПРАВОК
469
Рис. XXV. Показатель-
Показательная кривая.
У
Рис. XXVI. Кривая веро-
вероятности.
Рис. XXVII. Кривая
секанса.
Y
\ /! \ /
-!§ /
If Л Щ1\гп
О I -#
л
; = SC Л.
Рис. XXVIII. Танген-
Тангенсоида.
Рис. XXIX. Трехлепест- Рис. XXX. Трехлепест-
ковая роза. ковая роза.
р = a sin 30.
р = a cos 39.
170
ПРИЛОЖЕНИЕ
Рис. XXXI. Четырехлепест- Рис. XXXII. Четырехлепест-
ковая роза.
ковая роза.
р = a sin 29.
Рис. XXXIII. Двухлепест-
ковая роза. Лемниската.
р=а cos 29.
Рис. XXXIV. Восьмилепест-
ковая роза.
p2 = a2sin29.
8
= asin49.
Рис. XXXV. Кривая с точкой Рис. XXXVI. Кривая с угловой
остановки в начале. точкой в начале.
^=sA х
у = х In л.
КРИВЫЕ ДЛЯ СПРАВОК
471
Рис. XXXVII. Кривая с изо- Рис. XXXVIII. Кривая с клювом
лированной точкой в начале. (острием второго рода) в начале.
= л3 — л2.
Рис. XXXIX.
Парабола.
Рис. XL. Равносторон-
Равносторонняя гипербола.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Число
A) Рациональные числа. B) Практическое значение рациональных чи-
чисел. C) Сопоставление рациональных чисел с точками прямой линии.
D) Несоизмеримые отрезки. E) Иррациональные числа. F) Иррациональное
число есть непериодическая бесконечная десятичная дробь. G) Действи-
Действительные числа. (8) Абсолютная величина. (9) Деление на нуль запрещается.
Глава П. Величина
A0) О величинах вообще. A1) Переменная величина. A2) Постоянная
величина. A3) Геометрическое изображение величин. A4). Область значений
переменного. A5) Отрезок и промежуток. A6) Классификация переменных
величин. A7) Приращение переменной величины. A8) Постоянная вели-
величина как переменная 16
Глава III. Функция
A9) Функция. B0) Зависимые и независимые переменные. B1) Харак-
Характеристика функции. B2) Вычисление функций. B3) Область изменения аргу-
аргумента. B4) Приращение функций. B5) Геометрическое изображение функ-
функций. B6) Геометрическое изображение приращения функции. B7) О раз-
различном происхождении функций. B8) Классификация функций 31
Глава IV. Предел
B9) Предел переменного. C0) О способах переменной величины при-
приближаться к своему пределу. C1) Бесконечно малые. C2) Связь понятия
предела и бесконечно малого. C3) Предварительные свойства переменных
величин, стремящихся к пределу. C4) Важнейшие свойства бесконечно
малых. C5) Основные теоремы о пределах. C6) Понятие о бесконечно
большом. C7) Связь бесконечно большого и бесконечно малого 56
474 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V. Непрерывность
C8) Понятие непрерывности функции. C8) Определение непрерыв-
непрерывности функции в точке. D0) Геометрическое изображение непрерывности
функции в точке. D1) Непрерывность в точке двусторонняя и односторон-
односторонняя. D2) Важнейшие свойства функций, непрерывных в точке. D3) Пра-
Правило испытания на непрерывность. D4) Свойства функций, непрерывных
на отрезке. D5) Пределы функции и их обозначения. Пределы в беско-
бесконечности. D6) Типы разрывов функций. Неустранимый и устранимый
разрывы. D7) Кажущийся разрыв и так называемая «истинная величина»
функции. Раскрытие неопределенностей. D8) Натуральные логарифмы , . 77
Глава VI. Дифференцирование
D9) Введение. E0) Приращение. E1) Сравнение приращений. E2) Про-
Производная функция одного переменного. E3) Различные обозначения про-
производной. E4) Дифференцируемые функции. E5) Общее правило диффе-
дифференцирования. E6) Геометрический смысл производной 120
Глава VII. Правила для дифференцирования алгебраических
выражений
E7) Важность общего правила. E8) Дифференцирование постоянного.
E9) Дифференцирование переменного по этому же самому переменному.
F0) Дифференцирование суммы (алгебраической). F1) Дифференцирование
произведения постоянного на функцию. F2) Дифференцирование произве-
произведения двух функций. F3) Дифференцирование произведения любого задан-
заданного конечного числа функций. F4) Дифференцирование функции с по-
постоянным показателем степени. F5) Дифференцирование частного. F6) Диф-
Дифференцирование функции от функции. F7) Об ошибках, часто случающихся
при дифференцировании функции от функции. F8) Практика дифференци-
дифференцирования функции от функции. F9) Дифференцирование обратных функций.
G0) Дифференцирование неявных функций 136
Глава VIII. Различные приложения производной
G1) Направление кривой. G2) Уравнения касательной и нормали;
длины подкасательной и поднормали. G3) Наибольшая и наименьшая вели-
величина функции; введение. G4) Функции возрастающие и убывающие. Их
отличительные признаки, G5) Максимальные и минимальные величины
функции; их логические определения. G6) Первый способ исследования
функции на максимум и минимум. Рабочее правило. G7) Максимальная и
минимальная величины непрерывной функции, кдгда у нее нет производ-
производной в некоторых точках. G8) Общие указания для наиболее практичного
отыскания максимальных и минимальных величин. G9) Производная как
быстрота изменения. (80) Скорость прямолинейного движения. (81) Связан-
Связанные скорости* 160
Оглавление 475
Глава IX. Последовательное дифференцирование
и его приложения
(82) Определение последовательных производных. (83) я~я производ-
производная. (84) Последовательное дифференцирование неявных функций. (85) На-
Направление изгиба кривой. (86) Второй способ испытания на максимум и
минимум. (87) Точки перегиба. (88) Вычерчивание кривых. (89) Ускорение
прямолинейного движения 190
Глава X. Дифференцирование трансцендентных функций
(90) Формулы производных; второй основной список. (91) Дифферен-
Дифференцирование логарифма. (92) Дифференцирование показательной функции.
(93) Дифференцирование общей показательной функции. Доказательство
правила степени. (94) Практика дифференцирования логарифмических вы-
выражений. (95) Дифференцирование sint;. (96) Дифференцирование cos v.
(97) Дифференцирование tgi/. (98) Дифференцирование ctgv. (99) Поясне-
Пояснение. A00) Обратные тригонометрические функции. A01) Дифференцирова-
Дифференцирование arc sint;. A02) Дифференцирование arc cost;. A03) Дифференцирование
arctgtf* A04) Дифференцирование arcctgt; 209
Глава XI. Приложения к параметрическим уравнениям,
полярным уравнениям и к корням
A05) Параметрические уравнения кривой. Наклон. A06) Параметриче-
Параметрические уравнения. Вторая производная. A07) Криволинейное движение. Ско-
Скорость. A08) Криволинейное движение. Компоненты ускорения. A09) По-
Полярные координаты. Угол между радиусом-вектором и касательной.
(ПО) Длины полярной подкасательной и полярной поднормали. A11) Отде-
Отделение кратных корней у многочленов. A12) Действительные корни урав-
уравнений. Графические методы. A13) Второй метод отделения действительных
корней. A14) Метод Ньютона 237
Глава XII. Дифференциалы
A15) Введение. A16) Определения. A17) Геометрическое изображение
дифференциала. A18) Приращение, функции и дифференциал функции.
A19) О сравнении бесконечно малых друг с другом. A20) Приближенное
вычисление приращения функции при помощи дифференциала. A21) Малые
ошибки. A22) Формулы для нахождения дифференциалов функций. A23)
Дифференциал дуги в прямоугольных декартовых координатах. A24) Диф-
Дифференциал дуги в полярных координатах. A25) Скорость криволинейного
движения как быстрота изменения дуги. A26) Неизменность формулы для
дифференциала функции. A27) Дифференциалы высших порядков .... 268
476 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XIII. Кривизна, радиус и круг кривизны
A28) Кривизна. A29) Кривизна окружности. A30) Кривизна в прямо-
прямоугольных координатах. A31) Кривизна в параметрической форме. A32) Кри-
Кривизна в полярных координатах. A33) Радиус кривизны. A34) Рельсовый
путь или переходные кривые. A35) Круг кривизны. A36) Центр кривизны.
A37) Эволюты. A38) Свойства эволюты. A39) Эвольвенты и их механиче-
механическое построение. A40) Преобразование производных 292
Глава XIV. Теорема о среднем и ее приложения
A41) Теорема Ролля. A42) Соприкасающийся круг. A43) Предельная
точка пересечения двух близких нормалей. A44) Теоремы о среднем (за-
(законы среднего). A45) Теорема о среднем Тейлора. A46) Максимум и мини-
минимум, исследуемые аналитически. A47) Неопределенные формы. A48) Оценка
элементарными приемами функции, принимающей неопределенную форму.
A49) Раскрытие неопределенности —. A50) Раскрытие неопределенности
—. A51) Раскрытие неопределенности 0«оо. A52) Раскрытие неопределен-
неопределенности оо — оо. A53) Раскрытие неопределенностей 0°, I00, оо°. A54) Асимп-
Асимптоты. A55) Нахождение асимптот кривой, отнесенной к прямоугольной
системе координат. A56) Предельное положение касательной. A57) Нахож-
Нахождение асимптот алгебраических кривых. A58) Асимптоты кривой, отнесен-
отнесенной к полярной системе координат 316
Глава XV. Частные производные
A59) Непрерывные функции двух и более независимых переменных.
A60) Частные производные. A61) Геометрическая интерпретация частных
производных. A62) Полное приращение. A63) Полный диффepeнциaлi
A64) Закон сохранения формулы полного дифференциала при преобразо-
преобразовании независимых переменных. A65) Практическое вычисление полных
дифференциалов. A66) Частная производная и полная производная. Диффе-
Дифференцирование вдоль линии. A67) Дифференцирование неявных функций.
A68) Производные высшего порядка. A69) Теоремы о среднем для функ-
функций нескольких независимых переменных (законы среднего). A70) Необ-
Необходимые условия максимума и минимума функций нескольких переменных.
A71) Достаточные условия максимума и минимума функций двух переменных 355
Глава XVI. Приложение частных производных
A72) Особые точки. A73) Определение касательных в особых точках
алгебраической кривой. A74) Различные типы двукратных точек алгебраиче-
алгебраической кривой. A75) Особые точки трансцендентных кривых. A76) Семейство
кривых и их огибающая. A77) Нахождение огибающей семейства кривых,
зависящих от одного параметра. A78) Эволюта кривой как огибающая
ОГЛАВЛЕНИЕ 477
семейства ее нормалей. A79) Пространственная кривая и ее уравнение.
A80) Касательная прямая и нормальная плоскость пространственной кри-
кривой. A81) Соприкасающаяся плоскость пространственной кривой. A82) Ка-
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. A83) Геометрическая ин-
интерпретация полного дифференциала функции двух аргументов 391
Глава XVII. Основы векторного анализа и его применение
в теории пространственных кривых
A84) Вектор-функция скалярного аргумента. Непрерывность. Про-
Производная. A85) Правила дифференцирования векторов. A86) Векторно-пара-
метрическое уравнение кривой. A87) Производная радиуса-вектора. Орт
касательной. A88) Дифференциал дуги пространственной кривой. A89) Кри-
Кривизна пространственной кривой. A90) Главная нормаль кривой. A91) Основ-
Основной трехгранник. A92) Кручение пространственной кривой. Формулы Френе. 429
Приложение I. Элементарные формулы 455
Приложение II. Кривые для справок 463
Николай Николаевич Лузин
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Редактор С. И. Новоселав
Редактор издательства Д. А. Тальский
Технический редактор В. А. Мурашова
Сдано в набор 8/1II 1960 г. Подписано к печати 2/XI — 61 г.
Бумага 60x90Vie- 30 печ. л. 29,2 уч.-изд. л.
Заказ № 249. Тираж 50 000 экз. Цена 98 коп.
Государственное издательство «Высшая школа»
Москва, Б-62, Подсосенский пер., 20.
Набор Первой Образцовой типографии имени А. А. Жданова
Отпечатано с матриц в 1-й тип. Трансжелдориздата МПС
Зак. 1767.
Москва, Б. Переяславская, 46.