Техническая термодинамика и теплопередача - Арнольд Л.В., Селиверстов В.М., Михайловский Г.А.

Author: Арнольд Л.В. Селиверстов В.М. Михайловский Г.А.
Tags: термодинамика энергетика теплоэнергетика теплотехника физика теплопередача теплообмен издательство высшая школа
Year: 1979
Similar
Техническая термодинамика и теплопередача
Термодинамика и теплопередача
Техническая термодинамика с основами теплопередачи и гидравлики
Text
                    | Л. В. АРНОЛЬД I
Г. А. МИХАЙЛОВСКИЙ
В. М. СЕЛИВЕРСТОВ
ТЕХНИЧЕСКАЯ
ТЕРМОДИНАМИКА
И ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
ИЗДАНИЕ 2-е, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено Управлением кадров и учебных заведений
Министерства речного флота РСФСР в качестве учеб-
ника для судомеханической специальности институтов
водного транспорта
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1979
ББК 31.31
А84
УДК 536.7 + 536.2(075.8)
Рецензент
В. А. 3 ы с и н — докт. техн, наук, проф.
(Ленинградский политехнический институт)
Арнольд Л. В., Михайловский Г. А., Селиверстов В. М.
А84 Техническая термодинамика и теплопередача: Учебник для
вузов. — 2-е изд., псрераб. — М.: Высш, школа, 1979. — 446 с.,
ил. + прил.
В пер.: 1 р. 20 к.
В первой части книги излагаются основные законы термодинамики и их приложе-
ние к анализу термодинамических процессов и циклов тепловых двигателей и холо-
дильных установок. Рассматриваются свойства пара и влажного воздуха, термодина-
мика потока и современные методы анализа циклов.
Во второй части — основы теории теплообмена и методы теплового расчета тепло-
обменных аппаратов, а также вопросы нестационарного теплообмена, тепловые волны.
30302—085	6П2.2
А------------81-79	1704020000	ББК 31 31
001(01)—79	ьы\ oi.oi
© Издательство «Высшая школа», 1979
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга является учебником для высших техничес-
ких учебных заведений. В его основу положены два тома учебника
профессора Л. В. Арнольда «Термодинамика и теплопередача», из-
данные в 1958 и 1959 гг. За истекшие-20 лет после завершения ра-
боты над этим учебником изменились воззрения на содержание
и построение курса, произошло уточнение терминов и толкований
некоторых понятий, введена Международная система единиц в соот-
ветствии с решением XI Генеральной конференции по мерам и весам
в 1960 г. и появились новые сведения по многим вопросам.
Работа над новым учебником была начата проф. Л. В. Арноль-
дом и продолжена его учениками проф. Г. А. Михайловским и проф.
В. М. Селиверстовым, которые всецело разделяют мнение Л. В. Ар-
нольда, считавшего наиболее важным оттенить физическую сторону
рассматриваемых в учебнике процессов. Такой подход к изложению
курса технической термодинамики и теплопередачи позволит уча-
щимся в дальнейшем самостоятельно разобраться в приложениях
этих дисциплин к таким областям науки и техники, которые недо-
статочно подробно изложены или вовсе не рассмотрены в этом но-
вом учебнике. Эти соображения определили в значительной степени
характер построения и методы изложения материала учебника.
Чтобы оттенить фундаментальные положения термодинамики, име-
ющие наиболее широкое применение в самых различных областях
науки и техники, признано целесообразным в основной части курса
рассмотреть первое начало термодинамики применительно главным
образом к закрытой системе, а для открытой системы (потока) —
только в таких условиях, когда изменением кинетической энергии
видимого движения рабочего тела можно пренебречь, что допустимо,
в частности, при рассмотрении преобразования энергии в турбине или
в компрессоре в целом. В полной же мере первое начало термоди-
намики для потока упругой жидкости излагать далее, непосредственно
перед рассмотрением закономерностей истечения, в XIV главе «Тер-
модинамика потока» —в сочетании с другими вопросами потока. Энтро-
пия, удельная энтропия и диаграмма Ts вводятся на рассмотрение
раньше термодинамических процессов, что позволяет изучать последние
одновременно в двух системах координат: pv и Ts. Математически
удельная энтропия вводится как функция состояния с помощью интег-
рирующёго множителя для элемента теплоты, а физически — как
параметр состояния, изменение которого в равновесных процессах
служит признаком теплообмена, определяет значение и знак теплоты.
Своеобразно излагаются физические представления и трактуются
закономерности преобразования энергии в потоке упругой жидкости.
1*
3
На основе сведений о преобразовании энергии в поток'е несжимаемой
жидкости, полученных студентами в курсе гидравлики, рассматри-
ваются особенности преобразования энергии потока упругой жид-
кости с учетом работы расширения (сжатия). Такая методика изложе-
ния наглядно раскрывает физическую сущность преобразования
энергии в потоке упругой жидкости.
Значение второго начала термодинамики шире тех следствий, ко-
торые вытекают из рассмотрения цикловых процессов по Р. Клау-
зиусу, что подтверждено многолетним опытом применения этого фун-
даментального закона в различных областях науки и техники.
В связи с этим было признано целесообразным основной постулат
его вводить по М. Планку, у которого «второе начало истолковывается
как закон, утверждающий, что в любом естественном процессе сумма
энтропий всех тел, участвующих в процессе, возрастает» *.
Большое внимание в учебнике уделено циклам тепловых двигате-
лей и холодильных установок, что необходимо для последующего
изучения специальных курсов. Введение понятия средней термодинами-
ческой температуры подвода (отвода) теплоты позволило современными
более наглядными методами и в полном соответствии с духом термо-
динамики (с ее вторым началом) выполнить анализ термодинамических
циклов тепловых двигателей.
. Шире рассмотрены приложения второго начала термодинамики
к анализу необратимых процессов и циклов теплоэнергетических
установок, чему посвящена отдельная глава.
В связи с развитием систем комфортного и технического конди-
ционирования воздуха в курс технической термодинамики включена
глава «Влажный газ».
Во Второй части учебника рассматриваются три основных способа
переноса теплоты: теплопроводность, конвекция и излучение (радиа-
ция). Излагаются также основы теории подобия и основы расчета
теплообменных аппаратов. Поскольку для теплообменных аппаратов
судовых энергетических установок переменные режимы не харак-
терны, в учебнике основное внимание уделено стационарному режиму
передачи теплоты.
Весьма большой теоретический и экспериментальный материал,
которым обогатилось за последнее время учение о превращении энер-
гии и теплообмене, конечно, не может быть изложен в сравнительно
кратком учебнике, каким является настоящая книга, поэтому в нем
рассмотрены только основные принципиальные вопросы технической
термодинамики и теории теплообмена, без усвоения которых студенты
не могут считаться подготовленными к изучению специальных теп-
лотехнических дисциплин.
Первая часть курса — «Техническая термодинамика», кроме
XX главы, переработана Г. А. Михайловским, вторая часть —
«Теплопередача» и гл. XX первой части —В. М. Селиверстовым.
В учебнике в уравнениях связи между величинами, широко при-
меняемыми в курсах технической термодинамики и теплопередачи,
* Планк М. Избранные труды, М., Наука, 1975, с, 651,
4
следует применять только единицы Международной системы единиц
(СИ). В уравнениях между значениями величин и в эмпирических
уравнениях наряду с единицами СИ могут быть применены кратные
и дольные от них, а также единицы, допускаемые к применению
наравне с единицами СИ. Наименования величин и единиц, их опре-
деления и обозначения соответствуют государственному стандарту
«Единицы физических величин», сборникам рекомендованных терми-
нов Комитета научно-технической терминологии АН СССР по термо-
динамике и теплообмену, международным стандартам и рекоменда-
циям Международной Организации Стандартизации (ИСО) МС-31
и Р-31 и Международному светотехническому словарю.
При работе над рукописью использованы ценные замечания по
термодинамике, сделанные заслуженным деятелем науки и техники,
докт. техн, наук, проф. А. А. Вулисом и докт. техн, наук, проф-
В. С. Жуковским. Много полезных замечаний по содержанию и из-
ложению курса в целом было получено от заслуженного деятеля
науки и техники, докт. техн, наук, проф. А. И. Андрющенко
и докт. техн, наук, проф. Б. В. Дзампова. Большую помощь в'ра-
боте над книгой оказал рецензент докт. техн, наук, проф. В. А. Зы-
син, рассмотревший рукопись и давший много полезных замечаний,
направленных на улучшение книги, а также возглавляемая им ка-
федра ТОТ Ленинградского политехнического института им. М. И. Ка-
линина. Большую и полезную работу выполнил научный редактор
книги канд. техн, наук, доц. Л. Р. Стоцкий. Выражаем большую
благодарность за все полученные замечания, которые мы постара-
лись учесть в работе над рукописью.
Замечания читателей, направленные на улучшение учебника, бу-
дут приняты авторами с признательностью.
Авторы
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
Глава I
ВВОДНАЯ
§ 1.1.	Предмет и метод термодинамики
Т е р м о д и н а м и к а * — наука о преобразовании энергии. Ее
возникновение в конце «первой четверти прошлого столетия было
вызвано необходимостью научного обоснования принципа действия
и методов расчета тепловых двигателей. Однако в своем дальней-
шем развитии благодаря универсальности и изяществу своих мето-
дов термодинамика перешагнула границы теплоэнергетики и ее ме-
тоды анализа с большим успехом стали применять во многих других
областях знаний, нередко весьма далеких от теплоэнергетики. Можно
с уверенностью сказать, что изучение свойств веществ и особен-
ности изменения их состояния — это, в сущности, изучение процессов
превращения энергии. От явлений микромира до процессов в галак-
тиках, от простого механического перемещения до сложнейших био-
логических процессов, Всевозможные физические и химические прев-
ращения, электромагнитные и гравитационные явления, распад и
синтез атомных ядер, рождение и гибель звезд —во всем этом ош
ределяющую роль играют превращения энергии. Поэтому исследо-
вания во всех таких случаях проводят с привлечением термодина-
мических методов.
Некоторые положения термодинамики широко используют и
в таких научных направлениях, которые не связаны с тепловыми
или энергетическими явлениями. Например, возникшее в процессе
развития термодинамики понятие энтропии широко используют в ки-
бернетике, в области социальных наук и т. п.
Не последнее место занимает термодинамика в формировании ми-
ровоззрения и наших представлений о мироздании. На протяжении
последнего столетия философские обобщения, вытекающие из вто-
рого начала термодинамики, являлись ареной острой идеологической
борьбы, не стихающей до наших дней. Ошибки, допущенные его
создателями (Р. Клаузиусом, В. Томсоном и др.), привели к проб-
леме «тепловой смерти» Вселенной, которая и сейчас еще служит
«научным аргументом» против материалистических концепций раз-
вития Вселенной и «опорой» для теологических выпадов представи-
телей мировой реакции.
* Название «термодинамика» произошло от греческих слов «термо»— теплота
и «динамис» — сила, что в XIX в. означало энергию,
6
Значительная широта и обособленность различных направлений,
охватываемых термодинамикой, привели к ее дифференциации. В са-
мостоятельные курсы выделены физическая или общая термодина-
мика (учение о состоянии вещества, теория фазовых превращений,
теория термоэлектрических и магнитных явлений, теория поверх-
ностных явлений и т. п.), химическая термодинамика (учение о хи-
мическом равновесии, о направлении химических реакций и их энер-
гетических эффектах, теория растворов и т. п.), релятивистская
термодинамика (изучение термодинамическими методами явлений и
процессов, происходящих в условиях действия теории относитель-
ности А. Эйнштейна), техническая термодинамика и т. п.
Техническая термодинамика вместе с теорией теплопередачи
являются теоретическими основами теплотехники, в частности осно-
вами для изучения тепловых двигателей, назначение которых —не-
прерывно превращать теплоту в работу. Поэтому основная задача
технической термодинамики — изучение закономерностей превращения
теплоты в работу и условий, при которых эти процессы совершаются
наиболее эффективно. Превращение теплоты в работу происходит
с помощью упругого тела (газа или пара), называемого рабочим те-
лом теплоэнергетической установки. Поэтому в курсе технической
термодинамики изучаются также термодинамические свойства рабо-
чих тел.
Сила термодинамики в ее методе, в строении логического и ма-
тематического аппарата, развиваемого на основе двух ее начал.
Начала термодинамики представляют собой обобщения опыта позна-
ния природы человеком и базируются на двух постулатах:
1.	«Энергия изолированной системы при всех изменениях этой
системы сохраняет неизменное значение». Этот постулат является
основанием первого начала термодинамики.
2.	«В любом естественном процессе сумма энтропий всех тел,
участвующих в процессе, возрастает». Этот, постулат является осно-
ванием второго начала термодинамики.
Заслуживают быть отмеченными две особенности термодинами-
ческого метода.
Первая— термодинамика не использует каких-либо гипотез или
теории о строении вещества (представления о микроструктуре ве-
щества используются в учебнике лишь в целях иллюстрации).
Вторая—термодинамическая система, рабочее тело или какая-
либо часть их, представляющая собой объект анализа, противопо-
ставляется всем другим телам, называемым окружающей
средой.
§ 1.2.	Закон сохранения и превращения энергии
Термодинамика в целом или любая специализированная область
ее в первую очередь основывается на законе сохранения и превра-
щения энергии.
Понятие «энергия» неотъемлемо от движения материи. Движение
связано с материей, являясь формой ее существования, а энергия
7
есть мера движения материи. Энергия не уничтожается и не соз-
дается из ничего, а только претерпевает различные превращения.
Факт взаимного превращения различных форм движения материи
при сохранении количества этого движения является содержанием
закона сохранения и превращения энергии. Этот
закон, понимаемый в указанном смысле, был назван Ф. Энгельсом
абсолютным законом природы.
К качественно отличным друг от друга формам движения мате-
рии относятся механическая, тепловая, электрическая и др. Поэтому
превращения этих форм движения материи в области физических и
химических явлений обычно называют процессами преобразования
одного вида энергии в другой.
Первым ученым, который дал общую формулировку закона со-
хранения и превращения энергии, был русский академик Михаил
Васильевич Ломоносов (1711—1765). Однако передовые мысли его
получили заслуженную оценку много позже, поскольку к середине
XVIII в. еще не назрела необходимость в их применении и не на-
копились в достаточном числе научные факты для перестройки всей
физики на основе принципа, выражающего взаимосвязь различного
вида энергий.
Только после изобретения в конце XVIII в. паровой машины и
ее промышленного внедрения началось изучение процессов получе-
ния работы путем превращения в нее теплоты.
Вслед за Ломоносовым обоснованием и развитием закона сохра-
нения и превращения энергии занимался ряд крупнейших ученых,
из числа которых в первую очередь следует назвать Сади Карно
(1796—1832). Карно писал: «Всюду, где работа исчезает, имеет место
возникновение теплоты». К сожалению, работа Карно не была из-
вестна до конца XIX в.
Новому взгляду на теплоту способствовали и дальнейшие откры-
тия, подтверждавшие взаимосвязь различных видов энергии. Так,
Фарадей (1791 —1867) открывает в 1831 г. электромагнитную ин-
дукцию. Русский академик Г. И. Гесс (1802—1850) опубликовывает
в 1840 г. открытый им основной закон термохимии — так называемый
закон Гесса (независимость теплового эффекта реакции от условий
протекания реакции), представляющий собою -закон сохранения и
превращения энергии в химических явлениях. В 1844 г. русский ака-
демик Э. X. Ленц (1804—1865), исследуя тепловое действие элект-
рического тока, открывает условия перехода электрической энергии
в теплоту (закон Ленца — Джоуля).
В итоге накопленный опыт экспериментальных и теоретических
исследований стал уже столь большим, что гипотеза существования
неизменных изолированных субстанций вроде теплорода должна была
с неизбежностью рухнуть, уступив место новому прогрессивному
взгляду, получившему свое выражение в законе сохранения и прев-
ращения энергии.
В 1842 г. немецкий врач * и физик Р. Майер (1814—1878) на
основе физиологических наблюдений, опираясь теоретически на закон
причинности, приходит к тем же выводам, что и М. В. Ломоносов,
8
и дает закону сохранения и превращения энергии дальнейшее раз-
витие и конкретизацию. Майер делает заключение, что качественно
различные формы, энергии превращаются друг в друга в неизменных •
количественных соотношениях.
Наряду с Р. Майером и независимо от него Дж. Джоуль (1818—
1889) в период с 1847. по 1850 г. проводит серию разнообразных
опытов для экспериментального определения теплового эквивалента
механической работы.
В то же время Г. Гельмгольц (1821—1894) в 1847 г. публикует
работу «О сохранении силы»*.
Дальнейшие успехи физики значительно расширили понятие об
энергии,., установив также взаимосвязь между энергией и массой
тела.
В явлениях, изучаемых технической термодинамикой, наибольший '
интерес представляет взаимное превращение теплоты и работы. Тща-
тельными и многочисленными опытами Джоуль установил, что между
затраченной работой L и полученной теплотой Q существует прямая
связь Q = AL, где А — термический эквивалент механической работы,
значение которого зависит от того, в каких единицах выражаются
теплота и работа. В современной записи, поскольку теплота и ра-
бота выражаются в джоулях и, следовательно, А=Л, имеем
Q = L.	(1.1)
Применительно к обратному превращению теплоты в работу Q —
превращенная (исчезнувшая) теплота, Л —полученная (возникшая)
работа.
Единицей теплоты и работы в Международной системе единиц
(СИ) является джоуль (Дж), кроме того, применяют кратные и доль-
ные единицы от джоуля — килоджоуль (кДж), мегаджоуль (МДж)
и др.
§ 1.3.	Особенности превращения теплоты в работу
и ее перехода от одного тела к другому
Особенности теплоты, проявляющиеся в процессе ее передачи и
превращения, не исчерпываются количественными соотношениями, вы-
текающими из закона сохранения и превращения энергии. Как по-
казывает опыт, теплота по своей физической природе не может само-1
произвольно превращаться в работу. Этот принудительный процесс
обязательно сопровождается другими энергетическими изменениями
в окружающей среде или в рабочем теле или в среде и теле однов-
ременно. В частности, располагаемая теплота не может полностью
превращаться в работу в тепловом двигателе, так как часть ее
должна быть передана окружающему воздуху или в судовых усло-
виях —- забортной воде. Особенность перехода теплоты состоит в том,
что он носит односторонний характер — теплота переходит самопроиз-
* В работах Майера и Гельмгольца «сила» имеет смысл современного понятия
«энергия».
9
вольно только от тела с более высокой температурой к телу с мень-
шей температурой. А обратный переход теплоты от тела с меньшей
температурой к телу с большей температурой является несамопроиз-
вольным, принудительным процессом. Для осуществления прину-
дительных процессов превращения и передачи теплоты созданы тепло-
вые машины, к которым относятся тепловые двигатели, предназна-
ченные для превращения теплоты в работу, и холодильные машины,
служащие для переноса теплоты от менее нагретого тела к более
нагретому.
Раскрытие особенностей превращения и перехода теплоты, их
анализ и далеко идущие следствия составляют содержание вто-
рого начала термодинамики.
Условия, при которых возможно превращение теплоты в работу,
открыты и впервые описаны французским инженером и ученым
Сади Карно в работе «Размышления о движущей силе огня и о ма-
шинах, способных развивать эту силу» (1824). Суть теории Карно
в том, что нельзя всю располагаемую теплоту превратить в работу
в тепловом двигателе.
Основополагающая роль «Размышлений» в термодинамике вообще
и в открытии ее второго начала в частности является столь значитель-
ной, что с полным основанием можно считать, что этот труд озна-
меновал своим появлением возникновение термодинамики как науки,
а 1824 год —годом ее рождения.
Дальнейшее развитие идеи Карно получили в работах многих
ученых: так, английский ученый В. Томсон (Кельвин) разработал
основные положения второго начала термодинамики, доказал существо-
вание термодинамической температуры; немецкий ученый Р. Клау-
зиус развил и обобщил идеи Карно, ввел в термодинамику понятие
энтропии.
Определенный вклад в развитие второго начала термодинамики
внесли русские ученые Н. Н. Шиллер, Т. А. Афанасьева — Эренфест
И др.
Глава II
ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ
§ 2.1.	Предварительные сведения и определения
Преобразование теплоты в работу или работы в теплоту осу-
ществляется обычно в термодинамическом процессе посредством
какого-либо упругого тела, называемого рабочим телом. В ка-
честве рабочего тела применяют, в частности, водяной пар, смесь
газов, получающихся при сгорании топлива, воздух и др. Рабочим
телом может служить также электромагнитное излучение — так на-
зываемый фотонный газ.
В ряде случаев рассматривается термодинамическая система,
представляющая собой совокупность тел, могущих энергетически вза-
имодействовать между собой и с другими телами и обмениваться с
ними веществом. В зависимости от условий взаимодействия с дру-
10
гимн системами различают открытую и закрытую, адиабатную и изо-
лированную системы. Открытой 1 (рис. 2.1) называют систему, в
которой происходит обмен веществом с другими системами, в закры-
той 2 системе такой обмен отсутствует. Адиабатной 3, 4 называют
систему, в которой отсутствует обмен теплотой с другими системами.
Адиабатной могут быть как открытая 3, так и закрытая 4 системы.
В изолированной 5 системе отсутствует обмен энергией и веществом.
Систему, сообщающую рабочему телу теплоту, называют тепло-
отдатчиком, а'систему, воспринимающую от рабочего тела теп-
лоту, — теплоприемником.
Если во всех частях термоди-
намической системы свойства оди-
наковы, то такую систему назы-
вают однородной.
Совокупность физических
свойств тела (или термодинами-
ческой системы) в рассматривае-
мых условиях называют состоя-
нием тела (или системы).
Величины, характеризующие со-
стояние термодинамической систе-
мы, называют те р модинами че-
скими параметрами. К ним
относятся температура (термоди-
намическая), давление, удельный
объем, плотность, удельная внут-
ренняя энергия, удельная энталь-
пия, удельная энтропия, молярный
объем и др. *
Различают: равновесное и нерав-
новесное состояния, стационарное
и нестационарное состояния рабочего тела (или термодинамической
системы). Состояние, в которое приходит система при постоянных
внешних условиях и характеризуемое неизменностью во времени
термодинамических параметров и отсутствием в системе потоков ‘ве-
щества и теплоты, называют равновесным. В противном случае
состояние называют неравновесным. Состояние системы, при котором
во всех ее частях температура одинакова, называют термическим
равновесием, при одинаковом во всех частях давлении — механи-
ческим равновесием.
Под влиянием подвода или отвода энергии в форме теплоты или
работы термодинамические параметры рабочего тела (или системы)
в общем случае изменяются. Однако при условии постоянства внеш-
них воздействий может установиться такое состояние, при котором
распределение значений параметров в различных частях системы хотя
и не является равномерным, но с течением времени не меняется.
* Отношение величины к массе называют удельной, отношение к объему —
объемной, отношение к количеству вещества —молярной величиной.
П
Например, давление и температура распределены так, что в различ-
ных точках они имеют разные значения, но с течением времени эти
значения сохраняются. Такое неравновесное состояние системы назы-
вают стационарным. Если же распределение значений параметров
меняется во времени, то состояние называют нестационарным. Иными
словами, стационарное и нестационарное состояния следует пони-
мать как состояния, установившиеся и не установившиеся во вре-
мени.
Рабочее тело (или термодинамическая система), равновесное состоя-
ние которого вполне определяется значениями двух независимых пере-
менных-функций состояния (например, рис, риТ, Т и s и т.п.),
называется простым телом (или простой системой)*. Примерами
простых тел являются газы, пары, жидкости и многие твердые тела
при условии, что эти вещества находятся в термодинамическом рав-
новесии и не подвержены действию химических и -фазовых превра-
щений, электромагнитных и гравитационных полей и сил поверх-
ностного натяжения (или подвержены в такой незначительной сте-
пени, что влиянием этих факторов можно пренебречь).
Под воздействием подвода или отвода энергии в форме теплоты
или работы происходит изменение состояния рабочего тела (или тер-
модинамической системы),т. е. происходит изменение значений термо-
динамических параметров. Изменение состояния системы (или рабо-
чего тела), характеризуемое изменением термодинамических пара-
метров, называют термодинамическим процессом.
Различают равновесные и неравновесные процессы. Равновесным
называют процесс, представляющий собой непрерывный ряд равно-
весных состояний. Процесс, при котором система (или рабочее тело)
проходит через неравновесные состояния, называют неравновесным
процессом.
§ 2.2.	Термодинамические параметры и уравнение состояния
Физические величины, характеризующие состояние рабочего тела,
делят на экстенсивные и интенсивные. Экстенсивными называют ве-
личины, пропорциональные массе рассматриваемого рабочего тела
или термодинамической системы. Если система состоит из несколь-
ких частей, то значение экстенсивной физической величины равно
сумме значений таких же величин отдельных частей системы, т. е.
экстенсивные физические величины обладают свойством аддитивности.
К экстенсивным величинам относят объем, внутреннюю энергию,
энтальпию, энтропию и др.
Интенсивные физические величины не зависят от массы термоди-
намической системы. Только интенсивные физические величины слу-
жат термодинамическими параметрами состояния. К ним помимо
температуры и давления относят удельные, объемные и молярные
величины, получаемые из экстенсивных физических величин путем
* р — давление, Т — термодинамическая температура, о — удельный объем,
s — удельная энтропия.
12
деления их на массу, объем или на количество вещества (удельный и
молярный объем, удельная и цолярная"внутренняя энергия, удельная
и молярная энтальпия, удельная, объемная и молярная энтропия ит. п.).
Уравнение, связывающее термодинамические параметры системы
в равновесном состоянии, называют уравнением состояния. Для про-
стого тела (системы) связываются три параметра, являющиеся по-
парно независимыми. Запишем уравнение состояния в общем виде.
F (р, v, Г) = 0	(2.1)
или
V = f(p, Т),	,	(2.1а)
где р —давление; v~ удельный объем; Т — термодинамическая темпе-
ратура.
Такими уравнениями, в частности, являются известные из курса
физики уравнение Клапейрона
pv = RT	(2.2)
или
р = RT/v = pRT	(2.2а)
и уравнение Ван-дер-Ваальса
(р + д/у2)(у-6)=Д7',	(2.3)
где R — удельная газовая постоянная; р —плотность; а и Ь — постоян-
ные, зависящие от свойств вещества.
При выражении v и ,Ь в м3/кг, R в Дж/(кг • К), Т в К, р в кг/м3
р и а/v2 выразятся в Па.
- § 2.3. Удельный объем и плотность, количество вещества,
молярный объем и молярная масса
Удельный объем вещества — физическая величина, определяе-
мая отношением объема вещества к его массе:
v = V/m,	(2.4)
где и —удельный объем; V — объем и т — масса. Если V выразить
в м3 и т в кг, то v выразится в м3/кг.
Плотность вещества — величина, определяемая отношением массы
к объему вещества:
P = /??/V,	(2.5)
где р —плотность вещества. При выражении т в кг и V в м8 р выра-
зится в кг/м3.
Как видно из равенств (2.4) и (2.5), удельный объем и плот-
ность — величины взаимнообратные, т. е.
v — 1/р и op = 1.	(2.6)
Значения удельного объема и плотности зависят от термодинами-
ческого состояния (в частности, от давления и температуры). В спра-
вочной литературе часто приводятся их значения для газов при
13
нормальных физических условиях, под которыми понимают давление,
равное 101,325 кПа^0,101 МПа (760 мм рт. ст.), и температуру,
равную 0°С; Для иных состояний, условия которых отличаются от
нормальных, ’ значения удельного объема и плотности вычисляют по
формулам (2.2), (2.2а), (2.4) и (2.5), по уравнению состояния для
идеальных газов и по специальным таблицам и диаграммам для
реальных газов и паров различных жидкостей.
Количество вещества представляет собой физическую
величину, определяемую числом структурных элементов (атомов,
молекул, ионов, электронов и др.). Единицей количества вещества
в СИ является моль. Кроме моля применяют кратные и дольные от
моля (кмоль, ммоль и др.).
Моль — количество вещества, содержащее столько структурных
элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг.
При применении моля структурные элементы должны быть специфи-
цированы и могут быть атомами, ионами, электронами и другими
частицами или специфицированными группами частиц.
Молярный объем * — величина, определяемая отношением
объема вещества к количеству вещества:
Vm=V/n,	(2.7)
где Vm — молярный объем; V — объем; п — количество вещества.
При выражении V в м3, п в моль Vm выразится в м3/моль.
Молярной массой вещества называют отношение массы веще-
ства к его количеству:
М—т/п,	(2.8)
где М— молярная масса.
При выражении т в кг, п в моль М выразится в кг/моль.
Беря отношение левых и правых частей равенств (2.7) и (2.8) и
учитывая (2.5) и (2.6), найдем связь между молярным объемом,
с одной стороны, молярной массой и удельным объемом или плот-
ностью—с другой:
/	Vm = Mv = M/p.	(2.9)
Из определений моля и молярной массы (2:8) следует, что число-
вые значения молярной массы М, выраженной в кг/моль, в 1000 раз
меньше относительной молекулярной массы ** Мг. Так, для углерода
Мг= 12,01, молярная масса /14 = 12,01 • 10:| кг/моль; для водорода
/Иг = 2,016, /И = 2,016 • 10~3 кг/моль; для кислорода /Иг = 32, М =
= 32 - 10 3 кг/моль; для углекислого газа Мг — 44,01, 34 = 44,01 х
Х10’3 кг/моль.
* Наименования физических величин —первичные понятия, а единицы физи-
ческих величин— вторичные понятия, в связи с чем в наименования и определе-
ния физических величин не могут входить единицы. Поскольку моль —единица,
нельзя говорить о мольном объеме или мольной массе; эти величины называют
соответственно молярным объемом и молярной массой.
** Под относительной молекулярной массой вещества следует понимать отно-
шение средней массы молекулы естественного изотопического состава вещества
к 1/12 массы атома нуклида 12С.
14
§ 2.4. Давление
Давление — физическая величина, равная отношению нормаль-
ной составляющей силы к площади, на которую действует сила.
"Единицей давления в СИ является паскаль — давление, вызываемое
силой в 1 Н, равномерно распределенной по поверхности, пло-
щадью 1 м2. Единицу давления паскаль обозначают Па (1 Па =
= 1 Н/м2). При равномерном распределении сил по поверхности
p = Fn/A,	(2.10)
где р — давление; Fn — нормальная составляющая силы; А — площадь,
на которую действует сила.
При выражении площади А в м2, силы Fn в Н, давление выра-
жается в Па (паскалях). Кроме паскаля — единицы СИ — в технике
используют кратные и дольнуе от паскаля: гигапаскаль (1 ГПа =
= 109 Па), мегапаскаль (1 МПа = 106 Па), килопаскаль (1 кПа =
= 103 Па), миллипаскаль (1 мПа = 10-3 Па) и др.
Ниже приведены соотношения между прежними единицами дав-
ления, подлежащими изъятию, и единицами СИ, кратными и доль-
ными от них:
1 кгс/м2 = 1 мм вод. ст. =9,80665 Па «10 Па;
1 кгс/см2 = 98,0665 кПа-«100 кПа = 0,1 МПа;
1 атм = 101,325 кПа = 760 мм рт. ст.
1 мм рт. ст. = 133,322 Па ««13.3 Па;
1 бар = 0,1 МПа; 1 мбар = 100 Па?
Для всех отраслей современной измерительной техники в области
измерения давления жидкостей и газов характерен широкий диапа-
зон измерений —от 1 пикопаскаля (1 нПа = 12 12 Па) до 1 гигапа-
скаля (1 ГПа = 109 Па).
Различают измерители абсолютного давления, отсчитываемого от
нуля (абсолютного вакуума), и избыточного давления, т. е. разности
между давлением жидкости или газа р и давлением окружающей
среды р0, когда р > р0, и разности между давлением окружающей
среды и давлением жидкости или газа, когда р < р0. Измерители
давления, равного давлению окружающей среды (атмосферного воз-
духа), называют барометрами, избыточного давления — м а н о-
метрами, а разности между давлениями окружающей среды и ра-
бочего тела — вакуумметрами, разности двух давлений, отлича-
ющихся от атмосферного, — д и ффе р е н ци а л ь н ы м и маномет-
рами.
В зависимости от принципа действия и конструкции чувствитель-
ного элемента — первичного преобразователя давления — различают
измерители давления — жидкостные, поршневые, деформационные
или пружинные (трубчатые, мембранные, сильфонные) и др.
Для манометров, измеряющих избыточное давление, действительны
соотношения
Рп = р-р0;	(2-Н)
Р = Ри + Ро«	'	(2-12)
15
где рн — избыточное давление, показываемое манометром; р — давле-
ние жидкости или газа, часто называемое абсолютным давлением и
являющееся параметром состояния; ри — давление окружающей среды,
называемое часто барометрическим давлением.
Для вакуумметров, измеряющих разность между давлением окру-
жающей среды и давлением жидкости или газа,
ра = Ро ~ р,
Р = Ро~Рв,
(2.13)
(2-14)
где рй —давление, показываемое вакуумметром.
На рис. 2.2 показана схема измерения избыточного давления
жидкости или газа с помощью
и жидкостного вакуумметра по
U-образного жидкостного манометра
разности высот h рабочей жидкости
(ртуть, спирт, вода и т. д.).
ро Столб рабочей жидкости вы-
сотой h при плотности жидко-
сти р оказывает на свое осно-
вание давление, равное
pH = Pg/iH (2.15)
и
Рис- 2-2	pB = pgha, (2.15а)
где ри — избыточное давление; рв — разрежение; р —плотность рабо-
чей жидкости; Ли —разность высот в жидкостном манометре; ha —
разность высот в жидкостном вакуумметре; g — ускорение свободного
падения.
При выражении h в м; g в м/с2; р в кг/м3 рн и ря выразятся в Па.
Атмосферное давление — величина переменная, поэтому в технике
часто применяют так называемое нормальное атмосферное давление
или кратко нормальное давление, равное р0 = 0,101325 МПа. Это
значение соответствует 760 мм рт. ст. и 1,03323 кгс/см2.
Из этого следует, что если единицей заданного избыточного
давления является мегапаскаль, то во многих случаях можно при-
нимать
4	р = р„ + 0,1.
При всех значениях ри 5=0,1 МПа погрешность будет менее 0,7%.
§ 2.5. Температура
Температура характеризует тепловое' состояние тела, она
является единственной функцией состояния, определяющей направ-
ление самопроизвольного теплообмена. Если между телами или эле-
ментами тел не происходит самопроизвольный переход теплоты, то
такие тела или элементы тел находятся в тепловом равновесии друг
с другом и температуры этих тел одинаковы. Если происходит само-
произвольный теплообмен, то имеется разность температур. Теплота
16
переходит самопроизвольно всегда от тела с большей температурой
к телу с меньшей температурой. Таким образом, понятие «темпера-
тура» и условленность о направлении ее отсчета связываются с на-
правлением теплообмена.
Из кинетической теории газов известно, что при тепловом равно-
весии двух тел средние значения кинетической энергии поступа-
тельного движения молекул этих тел одинаковы. Таким образом,
молекулярно-кинетическая теория устанавливает прямую связь между'
энергией поступательного. движения молекул и термодинамической
температурой Т:
kT = (2/3) mw2/2,	(2.16)
где — k — постоянная Больцмана, равная (1,380 622 ± 0,000059) х
Х 10 23 Дж/К 1,38-10~23 Дж/К; т — масса одной молекулы, кг;
w — средняя квадратическая скорость молекулы, м/с.
Для измерения температуры решением Международного комитета
мер и весов приняты две Шкалы: термодинамическая температурная
шкала, которая признана основной, и Международная практическая
температурная шкала 1968 г. (МПТШ-68), выбранная таким образом,
чтобы температура, измеренная по этой шкале, была близка к термо-
динамической температуре. Для каждой из этих шкал приняты две
единицы температуры: Кельвин (К) и градус Цельсия (°C). Темпе-
ратура, выражаемая в кельвинах, обозначается символом Т, темпе-
ратура в градусах Цельсия — t. Кельвину и градусу Цельсия отве-
чает один и тот же интервал температур, т. е.
1 К = 1 °C,
но отличаются значения температуры с такими единицами точкой
начала отсчета: Т — температуру, выражаемую в кельвинах, изме-
ряют от точки абсолютного нуля; / — температуру Цельсия (по
МПТШ-68) —от точки, смещенной на 273,15 К,
/ = 7,-7,0,	(2.17)
где 7^ = 273,15 К-
Таким . образом, следует различать: термодинамическую темпера-
туру (выражаемую в кельвинах) Т (К), термодинамическую темпе-
ратуру Цельсия /(°C), Международную практическую температуру
Кельвина T6s (К) и Международную практическую температуру
Цельсия /в8(°С).
Термодинамическим параметром является термодинамическая
температура Т. Термодинамическая температурная шкала устанав-
ливается * на основе известных из курса физики свойств цикла
Карно и поэтому не зависит от свойств вещества, используемого
для измерения температуры. При этом используется единственная
экспериментально определяемая реперная (т. е. опорная) точка,
каковой является тройная точка химически чистой воды. Тройной
точке воды соответствует такое состояние, иначе говоря, такие
* Рассмотрению вопроса установления термодинамической температурной
шкалы поовящен § 8.7.
17
значения температуры и давления, при которых в термодинамическом
равновесии находятся три агрегатных состояния — лед, жидкая вода
и пар. Этому состоянию присваивается температура 273,16 К (0,01 °C).
Другой точкой является температура абсолютного нуля (ОК). На
этом основании определяется размер кельвина. Кельвин —это
1/273,16 часть термодинамической температуры тройной точки воды.
Международная практическая температурная шкала 1968 г. осно-
вана на одиннадцати реперных точках, которым соответствуют темпе-
ратуры тройной точки равновесного водорода (—259,108 °C), трой-
ной точки воды (0,01 °C), кипения воды (100 °C), точки затвердевания
золота (1064,43 °C) и др.
Глава III
ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
§ 3.1. Понятия о теплоте, работе и их взаимном превращении
Теплота процесса и работа процесса являются наиболее важными
понятиями термодинамики и очень близкими по своей физической
природе. Теплота и работа представляют собой определенные формы
передачи энергии — тепловую и нетепловую. Из различных нетепло-
вых форм передачи энергии (электрической, магнитной, химической,
механической и др.) наибольшее значение в технической термодина-
мике имеет механическая деформационная работа, т. е. работа, свя-
занная с изменением объема рабочего тела.
Из курса физики известно, что элементарная работа 6L равно-
весного процесса определяется в общем случае произведением силы
на элементарное перемещение точки приложения силы:
8L = Fx dX = F cos (F, x)dX,	.	(а)
где F —сила; Fx — проекция силы на перемещение X; dX — элемен-
тарное перемещение.
При выражении F и Fx в ньютонах (Н), X в м L выразится
в джоулях (Дж).
Работа представляет собой эффект действия силы при ее пере-
мещении, зависит от условий протекания процесса и не зависит от
состояния тела, в связи с чем бесконечно малая, иначе элементар-
ная, работа не является полным дифференциалом и для нее приме-
няют символ бесконечно малой величины 6 (а не d — дифференциал).
Элементарная деформационная работа определяется произведением
давления на изменение объема. Покажем это па примере частного
случая, когда изменение состояния газа или пара происходит в ци-
линдре с движущимся поршнем. Производя замену в приведенном
выражении (а) для элементарной работы по формулам Fx = рА и
dX = dV/A, где р —давление газа (пара) в цилиндре; Л — площадь
поршня; dV — элементарное изменение объема газа (пара) в цилиндре
при перемещении поршня на dX, получаем
8L=FxdX = pdV.	(3.1)
18
В соответствии с выражением (3.1) работу расширения или сжа-
тия принято называть работой изменения объема или
деформационной работой.
Движущей силой передачи энергии любой формы является раз-
ность соответствующих потенциалов. Потенциалом называют
физическую величину, неодинаковость значений которой в рабочем
теле и окружающей среде приводит к возникновению потока энер-
гии. Каждой форме передачи энергии соответствует свой потенциал.
Энергия самопроизвольно переходит только из области большего
потенциала в область меньшего потенциала.
Необходимым условием передачи энергии в форме работы изме-
нения объема является разность давлений, следовательно, потенциа-
лом деформационной работы является давление р. Значит, работа
изменения объема представляет собой энергию, передаваемую одним
телом другому при их взаимодействии, зависящую от давления
• этих тел и не связанную с переносом вещества от одного тела
к другому.
. Элементарная теплота, как дальше будет показано (см. § 3.7),
может быть представлена формулой, аналогичной формуле (3.1) для
элементарной работы. Необходимым условием перехода теплоты от
одного тела к другому является неодинаковость температур этих
тел, из чего следует, что тепловым потенциалом является термодина-
мическая температура. Это значит, что аналогично определению
понятия работы изменения объема можно считать, что теплота — это
энергия, передаваемая одним телом другому при их взаимодействии,
зависящая от температуры этих тел и не связанная с переносом
вещества от одного тела к другому.
Передача энергии в тепловой форме и передача энергии в меха-
нической форме, т. е. теплота и работа, являются способами энерге-
тического воздействия окружающей среды на тело, поведение которого
изучается. Под влиянием энергетического воздействия происходит
изменение состояния рабочего тела, т. е. совершается термодинами-
ческий процесс. Характер процесса и особенности его протекания
зависят от размера и направления теплового и механического воз-
действий.
Можно говорить и об обратной зависимости — количества теплоты
и работы процесса от условий протекания процесса. Газ может
перейти из начального в конечное состояние различными путями,
совершая различные процессы, и каждому из них будет соответст-
вовать свое значение теплоты и работы. Если тело находится в со-
стоянии равновесия, значит энергетическое воздействие отсутствует.
Только при совершении термодинамического процесса можно гово-
рить о теплоте и работе. Следовательно, нельзя говорить о теплоте,
содержащейся в этих телах, так же как нельзя говорить о содер-
жании в них работы.
В соответствии с этим величина 6Q, так же как и 6L, не яв-
ляется приращением или полным дифференциалом; 6Q представляет
собой бесконечно малую величину, называемую элементарным коли-
чеством теплоты или элементарной теплотой процесса.
19
Тела внешней среды, отдающие или воспринимающие теплоту,
называют, как уже было сказано, источниками теплоты, а отдающие
или воспринимающие механическую работу — источниками работы.
Преобразование энергии не может происходить непосредственно
между источниками теплоты и работы без участия материального
субстрата — преобразователя энергии. В области явлений, изучаемых
р технической термодинамике, эту роль выполняет упругое веще-
ство-рабочее тело. От одних тел окружающей среды оно восприни-
мает теплоту, а другим — отдает механическую работу, или, как
принято говорить, совершает над ними работу. Оно является как
бы посредником между источником теплоты и источником работы.
Теплота, по существу, представляет собой передачу импульсов
при соударении молекул или квантов энергии (фотонов) при лучистом
теплообмене. При подводе энергии к рабочему телу, например
теплоты, собственная энергия тела должна естественным образом
увеличиваться. Но нетрудно представить себе, что энергия, воспри-
нимаемая в форме теплоты, может тут же отдаваться в форме меха-
нической работы. Достаточно вообразить, что границы рабочего тела,
«бомбардируемые» молекулами, перемещаются, например поршень
в цилиндре. И если собственная энергия тела при этом не меняется,
значит вся полученная теплота отдана в форме работы.
Так теплота превращается в работу. Аналогично протекает и
обратный процесс — превращение работы в теплоту посредством рабо-
чего тела. В этом случае энергия, полученная рабочим телом в форме
механической работы, отдается в форме теплоты.
В свете изложенного должно быть ясно, что равенство Q — L,
выражающее закон эквивалентности теплоты и работы, не следует
понимать в том смысле, что в термодинамическом процессе всегда
вся сообщенная рабочему телу теплота Q переходит в работу L и
что этот переход происходит непосредственно без промежуточных
превращений.
Равенство теплоты и работы в термодинамических процессах сле-
дует рассматривать только как частный случай. В общем же случае
процессы взаимного превращения теплоты и работы сопровождаются
такими изменениями состояния рабочего тела, при которых его
энергия меняется. Если энергия тела возрастает, значит часть сооб-
щенной ему теплоты (или работы) затрачивается на увеличение энер-
гии тела.
Изложенное показывает, что в баланс энергии, относящейся
к процессам преобразования теплоты и работы, необходимо вводить
помимо этих двух величин еще и изменение энергии рабочего тела.
Если полную энергию тела в начале процесса обозначить через Е1,
а в конце —через Е2, то можно записать
Qi.2-Li.2 = A£,	(3.2)
где &Е = Ег — Ех — изменение полной энергии тела.
В технической термодинамике теплота процесса ф12 считается
положительной, если энергия подводится к рабочему телу, и отри-
цательной, если отводится. Работа Lli2 считается положительной, если
20
энергия отводится от рабочего тела (рабочее тело совершает работу),
и отрицательной, если подводится (работа затрачивается окружаю-
щей средой).
В соответствий с этим закон сохранения и превращения энер-
гии в применении к процессам, изучаемым в технической термоди-
намике, имеет следующую формулировку: разность между полученной
извне теплотой и отданной внешним телам работой равна измене-
нию полной энергии рабочего тела (или термодинамической системы).
Если рабочее тело изолировано в тепловом отношении (адиабат-
ная система), т. е. теплота к телу не подводится и от него не отво-
дится, "то совершаемая работа равна приращению полной энергии
рабочего тела, взятому с обратным знаком:
L^ = -\E.	(б)
Энергия рабочего тела уменьшается, если система совершает
работу (затрачивая на это свою энергию), или увеличивается, если
работу совершает окружающая среда над системой (энергия к телу
подводится).
Если рабочее тело изолировано в механическом отношении, то
механическая работа равна нулю и теплота процесса равна измене-
нию полной энергии тела с тем же знаком:
Q112 = AE.	(в)
При подводе теплоты энергия системы увеличивается, при отводе
уменьшается.
Полная энергия рабочего тела Е складывается из внутренней и
внешней энергии, каждая из которых состоит из кинетической и
потенциальной энергии. Внутренняя энергия U состоит из
внутренней кинетической энергии движения молекул и внутренней
потенциальной энергии их взаимодействия. Внешняя энергия
представляет собой кинетическую энергию движения тела как целого
тю2/2 и потенциальную энергию внешних силовых полей т£П;
(гравитационного, электромагнитного, неравномерно распределенного
внешнего давления), где т — масса тела:
Е— U+ m(w2/2 + X^ld-	(г)
Удельная потенциальная энергия £ П/ внешних силовых полей,
рассматриваемая в технической термодинамике, состоит в общем
случае из: 1) удельной потенциальной энергии Пг в поле сил грави-
тации, равной произведению ускорения свободного падения g на
высоту h расположения центра тяжести рассматриваемого рабочего
тела от условного уровня отсчета, т. е. Пг = §й; 2) удельной потен-
циальной энергии Пэм рабочего тела в электромагнитном поле * и
3) удельной потенциальной энергии давления Пд, равной произведе-
нию давления на удельный объем Пд = ри.
* Прохождение электропроводящего газа через электромагнитное поле, сопро-
вождаемое непосредственным превращением части его полной энергии в электри-
ческую энергию, происходит в магнитогидродинамическом (МГД) генераторе.
21
Следовательно,
£ = U + m (^/2-фТТ,.-|-П,„-ф П.,).
(Д)
Поскольку в обычных теплоэнергетических установках электро-
магнитные поля не принимают участия в преобразовании энергии,
величину Пэм в дальнейшем не учитываем. Принимая во внимание
изложенное, записываем
E — U -\-т (щ2/2-ф§/г-[-рц).
(е)
§ 3.2. Уравнение первого начала термодинамики
В технической термодинамике уравнение первого начала широко
используют в двух существенно отличающихся условиях изменения
состояния рабочего тела: в условиях закрытой и открытой системы.
Под открытой системой будем понимать поток газа или пара при
неизменном массовом расходе.
Изменения состояния закрытой системы (рис. 3.1, а) являются
типичными, или, как говорят, стандартными, условиями применения
термодинамического метода анализа. Именно для этих условий были
приведены в предыдущем параграфе определения понятий теплоты
Рис. 3.1
и работы. Многочисленными примерами процессов, совершаемых
в условиях закрытой системы, являются процессы изменения состоя-
ния рабочего тела в цилиндре с подвижным поршнем. Рабочее тело
в этом случае ограничено замкнутой поверхностью, допускающей
обмен энергией с окружающей средой в форме теплоты и работы,
но не допускающей обмен веществом.
Условия преобразования энергии в потоке, когда помимо обмена
энергией в тепловой и механической форме происходит перенос веще-
ства, встречаются в теплоэнергетике не менее часто, чем условия
закрытой системы. При этом вещество поступает из области одного
давления р{ при удельном объеме Uj и удаляется в область другого
давления р2 при удельном объеме щ. Совершающиеся в этих усло-
виях процессы делят в свою очередь на две обширные группы: про-
цессы, в которых изменением кинетической энергии можно прене-
бречь (рис. 3.1,6), и процессы, в которых изменение кинетической
энергии является значительной, а часто даже единственной, формой
работы.
22
Примерами первой группы процессов являются рабочие процессы
турбин и компрессоров (рис. 3.1, б), расширительных машин и пнев-
матических двигателей, рассматриваемые с учетом изменения потен-
циальной энергии давления рабочего тела при прохождении его
через агрегат.
Вторая группа охватывает процессы преобразования энергии на
рабочих органах турбомашин в неподвижных (рис. 3.1, в) и в дви-
жущихся (рис. 3.1, г) каналах, где скорости потока рабочего тела
близки или превышают скорость звука и значительно изменяются.
Преобразуемая энергия рабочего тела, а в общем случае и теплота,
в этих процессах полностью или частично превращается в кинети-
ческую энергию потока и в работу вращения вала Lr или, наоборот,
кинетическая энергия потока и работа —в другие виды энергии
рабочего тела.
Процессы преобразования энергии в потоке, относящиеся к пер-
вой группе, подробно рассматриваются в гл. VII, процессы второй
группы —в гл. XIV. Здесь выведем уравнение первого начала термо-
динамики для закрытой системы и основную форму уравнения для
открытой системы, в которой работа выражается через параметры
состояния р и v.	
В случае закрытой системы, поскольку центр массы рабочего
тела не перемещается, внешняя кинетическая энергия равна нулю,
а внешняя потенциальная энергия не принимает участия в преобра-
зовании энергии. Следовательно, в преобразовании энергии прини-
мает участие только внутренняя энергия U и
E — U.
При этом уравнение (3.2) принимает следующий вид:
С1,2 = ^2 — ^1+^1,2»	(3.3)
где U2 и t/j — внутренняя энергия в конце и в начале процесса.
Для бесконечно малого изменения состояния
dQ = dU + dL.	(3.3а)
Введем обозначения для удельной теплоты, удельной внутренней
энергии и удельной работы изменения объема:
<7i,2 = Qi,2/m: u — U/tn', llt2 = Llt2/m.
При выражении Q12, U и Л1т2 в Дж величины qV2, и и /1>2 выра-
зятся в Дж/кг (джоулях на килограмм). При этом вместо уравне-
ний (3.3) и (3.3а) получим:
<71,2 = «2~«1 + /1.2;	(3-4)
8q ~du-\-bl.	(3-5)
Выражения (3.3)... (3.5) являются уравнениями первого начала
термодинамики для закрытой системы *. Таким образом, уравнение
* Уравнения (3.3) ... (3.5) применимы также для движущегося тела в случае
рассмотрения явлений в системе координат, связанной с центром массы.
23
первого начала термодинамики имеет следующий смысл: удельная
теплота, подведенная извне к рабочему телу, расходуется на изме-
нение удельной внутренней энергии тела и на совершение удельной
работы изменения объема.
В случае преобразования энергии в процессах с трением следовало бы в пра-
вую часть равенства, например (3.5), прибавить удельную работу трения б(тр,
а в левую —удельную теплоту 6<7гр, в которую переходит потерянная работа.
Но, поскольку 6<7тр = 6/тр, эти величины сокращаются. Следовательно, уравнения
(3.3)... (3.5) справедливы как для процессов, совершающихся с потерями работы
на преодоление сил треиия, так и для процессов без трения.
Из уравнения (3.4) следует, что приращение удельной внутрен-
ней энергии равно алгебраической' разности удельной теплоты и
удельной работы изменения объема: .
<<2	= ^1,2 ^1,2"	(3.5а)
Такая формулировка первого начала термодинамики имеет то
преимущество, что здесь разделены величины, различные по своей
физической природе: с одной стороны, энергия, содержащаяся в теле
в начальном и конечном состояниях (щ и ц2), с другой — энергия,
передаваемая в тепловой и механической форме (</112 и /12).
В общем случае внутренняя энергия рабочего тела может уве-
личиваться и уменьшаться как при подводе, так и при отводе теп-
лоты, поскольку на изменение внутренней энергии влияет не только
теплота, но и работа. Если, например, происходит расширение
(рис. 3.1, а), то работа совершается (/i,2>0), а это значит, что
энергия в форме работы отводится. И если при этом энергия, под-
водимая в форме теплоты, меньше энергии, отводимой в форме ра-
боты (<71,2 < ^1,2), то внутренняя энергия, несмотря на подвод теплоты,
будет уменьшаться («2 — <С 0), расходуясь частично на работу.
В случае потока (открытой системы) в преобразовании энергии
[см. формулу (e)J принимает участие помимо внутренней энергии
потенциальная энергия давления и потенциальная энергия гравита-
ции. Последняя, как правило, имеет пренебрежимо малое значение
сравнительно с другими составляющими полной энергии рабочего
тела. Пренебрегая ее значением, найдем, что энергия тела, способ-
ная превращаться в потоке в приращение кинетической энергии и
во внешнюю работу, состоит из внутренней энергии U и потенциаль-
ной энергии давления pV. Сумма этих двух величин составляет
новую физическую величину, называемую энтальпией, обозна-
чаемую буквой /:
I = U -ф pV, или i = u-\-pv.	(3.6)
Следовательно, энтальпия есть полная энергия рабочего тела
в потоке (открытой системе), определяемая термодинамическим
состоянием тела (системы).
Если потенциальная энергия давления уменьшается [d (pV) < 0],
то дополнительная работа, в которую она превращается, имеет поло-
жительное значение [6ЛП.Э.Д = — d (pV) > 0].
24
‘ Элементарная работа 6Ln0T открытой системы по формуле ,(а)
складывается из работы SL = pdV изменения объема и работы б£п.».д:
6ЛП0Т = 6Л + 6Ln.д = р dV - d (рV).
Поскольку d(pV) = pdV + V dp, окончательно получим
67-пот = ~ V dp,
или
6/Пот = — vdp,	(3.7)
где Lrt0T и 1ат — работа и удельная работа потока; V и о —объем и
удельный объем рабочего тела; р —давление.
В соответствии с изложенным уравнение первого начала термо-
динамики для открытой системы (потока) принимает следующий вид:
8Q = di -f- 6ЛП0Т
и	(3.8)
Qi,2 = 71 /г 7-пот-
Уравнение, содержащее удельные величины, запишем в диффе-
ренциальной форме с заменой элементарной удельной работы потока
по формуле (3.7):
6<7 = di-—v dp.	(3.9)
В дальнейшем будет показано, что уравнение (3.9) применимо и
для* закрытой системы, поскольку энтальпия является функцией
состояния.
§ 3.3. Работа изменения объема
Рассмотрим тело массой, т и объемом V, изображенное в -проек-
ции на рис. 3.2. На поверхность тела извне действует равномерно
распределенное нормальное давление р'. Определим работу L' внеш-
них сил. Положим, что объем тела увели-
чился и стал равным VA-dV (пунктирный
контур). Выделим элементарную площадку dA
на поверхности тела. Вследствие расшире-
ния тела эта площадка переместится на ве-
личину dx. Внешняя сила, действующая на
эту площадку, равна р' dA и по условию
нормальна к площадке. Элементарная работа
этой силы на перемещении dx равна — р' dA dx.
Суммируя элементарные работы по всей по-
верхности тела, получим
8L' = —£р' dA dX— —р' £ dAdX.
Давление р' вынесено за знак суммы, так как по условию оно
принято одинаковым по всей поверхности. Считая процесс равновес-
ным, заменим внешние силы внутренними силами упругости р = — р'.
26
При такой замене меняется знак работы, следовательно, работа
внутренних сил
6L = — &L' р £ dA dx,
где dAdx представляет собой объем элементарной прямоугольной*
призмы с основанием dA и высотой dx. Сумма объемов таких бес-
конечно малых призм равна приращению dV объема всего тела,
а, следовательно, элементарная работа процесса расширения равна
8L = pdV.	(3.10)
Разделив на т, получим выражение для элементарной удельной
работы
6/ = pdv.	(3.11)
При изменении удельного объема в пределах от до v2 работа
процесса определится интегрированием выражения (3.11) в пределах
от pjVj (состояние /) до р.,и2 (состояние 2);
2	2
li,2 — \8l — ^pdv.	(3.11а)
1	i
В общем случае в процессе может изменяться не только объем,
но и давление. Поэтому для вычисления работы по формуле (3.11а)
необходимо знать зависимость между давлением и удельным объемом
в данном процессе
р = <р(у).
Иначе говоря, должно быть известно уравнение процесса.
В частном случае изобарного процесса, поскольку р— const,
имеем
^P1,2 = P(U2 У1)-	(3.116)
Из формулы (3.11) следует, что при dv >» 0, т. е. в случае расши-
рения, и6/>0. Положительный знак работы показывает, что в про-
цессе расширения внутренние силы производят работу против внеш-
них, т. е. рабочее тело совершает работу, отдавая энергию в меха-
нической форме окружающей среде. Если dv < 0, то и б/ < 0, т. е.
механическая работа подводится извне.
Используя полученное выражение (3.11) для элементарной ра-
боты, напишем уравнение первого начала термодинамики [уравне-
ние (3.5)] в виде
8q = du + pdv.	(3.12)
* Объем dA dX можно рассматривать как объем прямоугольной призмы
ввиду малости величин dA и dX.
26
§ 3.4. Диаграмма pv. Графическое изображение работы
Как указывалось, состояние рабочего тела однозначно опреде-
ляется заданием каких-нибудь двух параметров состояния, напри-
мер р и V. Поэтому в координатной системе pv каждой точке соот-
ветствует некоторое равновесное состояние и каждому равновесному
состоянию рабочего тела отвечает одна определенная точка на пло-
скости pv. Всякая кривая, проведенная на плоскости pv, изображает
термодинамический процесс. Температуру рабочего тела на этой
диаграмме непосредственно определить нельзя. Она может быть вы-
числена по 'значениям р и v с помощью уравнения состояния.
Поскольку каждая точка кривой процесса однозначно характе-
ризует равновесное состояние рабочего тела, то на диаграмме состоя-
ний, каковой является диаграмма pv, может быть изображен только
равновесный процесс.
На рис. 3.3 показан процесс расширения l-a-2 (dv>0). Началь-
ное состояние (Pi^i) процесса характеризуется точкой 1, а конечное
состояние (р2п2) — точкой 2. Заштрихованная на чертеже элементар-
ная площадка 6/, равная р dv, графически изображает элементарную
удельную работу изменения объема б/. Тогда удельная работа изме-
нения объема процесса 1-2
г	i
ll^ = \fpdv	*	(3.13)
i
может быть представлена как площадь, ограниченная линией про-
цесса, двумя крайними ординатами и осью абсцисс.
Из рисунка видно, что при изменении состояния рабочего тела
в заданных пределах, но по другому закону (рис. 3.3, кривая 1-Ь-2),
удельная работа Zli2 изображается уже иной площадью и имеет,
следовательно, иное значение (в данном случае большее). Таким
образом, удельная работа изменения объема зависит от характера
процесса и является, следовательно, функцией процесса. Это свойство
работы имеет принципиально важное значение.
Проследим по рис. 3.3 обратный процесс, начинающийся в точке 2,
протекающий по линии 2-а-1 и заканчивающийся в точке /; он будет
представлять собой процесс сжатия, и удельная работа процесса,
изображаемая той же (заштрихованной на рисунке) площадью, будет
иметь отрицательный знак. При этом происходит подвод энергии
к рабочему телу извне.
На рис. 3.4 изображен процесс изменения состояния вещества
1-2 для открытой системы (потока) на диаграмме ри. Пусть при
удельном объеме v происходит бесконечно малое изменение состоя-
ния рабочего тела, при котором давление изменяется на dp. Эле-
ментарная площадка, заштрихованная на диаграмме, графически
изображает элементарную удельную работу открытой системы в со-
ответствии с выражением
(3-7).
Удельная работа всего
2
процесса /li2nor =— $ v dp
i
изображается площадью
fl2e. Как видно из диаграм-
мы, удельная работа про-
цесса открытой системы
—I----------1—	—!_________L_ складывается из удельной
V работы процесса закрытой
Рис. 3.5	системы (удельной работы
изменения объема), опреде-
ляемой площадью 12cd, и разности удельных потенциальных энергий
рабочего тела при впуске = пл. Of Id и при выпуске p2v2 = пл. е2сО.
При изменении состояния рабочего тела сначала по верхней
ветви 1-Ь-2 (рис. 3.3 для закрытой системы или рис. 3.4 для потока)
оно совершает удельную работу llb2 > 0, затем, возвращаясь в перво-
начальное состояние по нижней ветви 2-а-1, потребляет удельную
работу /2о1<0. Так как llb2 > ; /2(11 окружающая среда получит
удельную работу /ц = llba — 11.1а1:, определяемую площадью 1Ь2а1.
На диаграммах pV (рис. 3.5) изображен такой процесс, иначе
называемый циклом. Циклы, как это будет видно из дальнейшего,
имеют особое значение при изучении работы тепловых машин. Стрел-
ками на контуре показано направление процесса. В том случае,
когда процесс идет по направлению движения часовой стрелки
(рис. 3.5, а), т. е. когда процесс расширения (ветвь с) расположен
над процессом сжатия (ветвь d), получаем положительную работу
цикла Лц, определяемую площадью цикла, взятой в масштабе диа-
граммы. При обратном направлении процесса (рис. 3.5, б) абсолют-
ное значение отрицательной работы сжатия будет больше положи-
тельной работы расширения и в итоге для совершения кругового
* | | —знак, абсолютного значения,
28
процесса необходимо извне подвести работу Lu. Из изложенного
ясно, что
§8L = §pdV — La	(3.14)
или
ф6/ = фр£/и = /ц, >	(3.15)
где <§ —интеграл, взятый по замкнутому контуру.
В заключение следует еще раз обратить внимание на то очевид-
ное положение, что работа как форма передачи энергии может про-
являться только при изменении состояния тела, т. е. в процессе,
Единственно верным является утверждение, что сумма элементар-
ных работ 8L равна работе за весь процесс L1i2 и соответственно
этому математическое, выражение имеет вид
2	2
§6L = L1i2 и J6Z = Z1>2.
1	1
Получаемую термодинамическую работу часто называют абсолют-
ной или полной работой. Такая работа могла, быть получена только
в том случае, если бы с внешней стороны был установлен полный
вакуум (ро = 0). Но в некоторых случаях оказывается необходимым
знать ту часть термодинамической работы, которая может быть по-
лезно использована в реальных условиях действия машины. В этом
случае часть работы расширения затрачивается на преодоление со-
противления окружающей среды давлением р0; на pv- диаграмме
(рис. 3.3) она выражается площадью прямоугольника, высота кото-
рого равна р0. Остальная часть площади изображает полезную ра-
боту. Полезная работа расширения изображается, следовательно,
площадью между кривой процесса и линией давления окружающей
среды р0.
§ 3.5. Внутренняя энергия
Внутренней энергией называется физическая величина,
представляющая собой все виды энергии, связанные с внутренним
движением материи, энергию теплового движения молекул, хими-
ческую энергию и энергию, связанную с действием атомных и внут-
риядерных сил. Но в технической термодинамике учитывают только ту
часть внутренней энергии, которая принимает участие во взаимных
превращениях теплоты и работы без изменения химического и внут-
риатомного строения вещества. Следовательно, в термодинамике
внутреннюю энергию рассматривают как сумму кинетической энергии
теплового движения молекул UK, внутренней потенциальной энергии
их взаимодействия U„ и так называемой нулевой энергии Uu:
U — + Ua + Ц>-
При тепловом движении молекулы газа или пара совершают
прямолинейно-поступательное движение и в то же время находятся
во вращательном движении. Помимо того, атомы многоатомных мо-
29
лекул постоянно совершают внутримолекулярное колебательное дви-
жение относительно своего среднего положения.
Таким образом, энергия теплового движения в общем случае
складывается из кинетической энергии поступательного движения
молекул, кинетической энергии вращательного движения молекул
и энергии внутримолекулярных колебаний атомов.
Все эти составляющие внутренней энергии, как будет показано
в дальнейшем (см. § 4.5), определяются только термодинамической
температурой.
Из курса физики известно, что силы взаимодействия между мо-
лекулами идеального газа равны нулю. Следовательно, внутренняя
энергия идеального газа представляет собой энергию теплового дви-
жения молекул и однозначно определяется термодинамической тем-
пературой Т.
Напомним, что идеальным называют газ, равновесное состояние
которого описывается уравнением Клапейрона (2.2) pv = RT. Для со-
хранения равенства в этом уравнении должно соблюдаться условие:
при р-> сю должно с-^-0 и, поскольку удельная газовая постоянная
R — величина постоянная, из приведенного определения следует, что
идеальным называют газ, молекулы которого представляют собой ма-
териальные , точки, лишенные объема, а силы взаимодействия (при-
тяжения, отталкивания) между молекулами равны нулю.
Для реальных газов, т. е. газов, близких к началу конденсации,
и для конденсированных веществ (жидкостей, твердых тел) сущест-
венное значение приобретает потенциальная энергия взаимодействия
между молекулами, обусловленная действием присущих им электри-
ческих зарядов. Следовательно, для реальных газов помимо энергии
теплового движения молекул должна быть учтена еще четвертая
составляющая — потенциальная энергия взаимодействия молекул,
зависящая от расстояния между молекулами и от их взаимного рас-
положения. Значение этой составляющей внутренней энергии зави-
сит от удельного объема.
Нулевая энергия Uu представляет все те составляющие внутрен-
ней энергии, которые не изменяются при изменении термодинами-
ческого состояния тела, т. е. химическую, внутриатомную, внутри-
ядерную. Нулевую энергию в термодинамике условно принимают
равной нулю-
Таким образом, внутренняя энергия реального газа как простого
тела определяется двумя независимыми параметрами состояния. Этн
параметры могут быть выбраны произвольно, но поскольку энергия
теплового движения определяется термодинамической температурой,
а энергия взаимодействия между молекулами зависит от удельного
объема, наиболее удобными являются именно эти параметры — термо-
динамическая температура и удельный объем. Следовательно,
О = Ф(7’, V)
или для удельной внутренней энергии и = U/m имеем
« = Ф(Т,»).	(3.16)
30
Удельная внутренняя энергия - функция состояния,
представляющая собой сумму удельных кинетической энергии дви-
жения молекул и потенциальной энергии их силового взаимодействия.
Тот факт, что удельная внутренняя энергия является функцией со-
стояния, указывает на то, что du — полный дифференциал. Следова-
тельно,
2
^du — u2 — ult	(3-17)
i
где «!, и2— удельная внутренняя энергия в начальном и конечном
состояниях. Единица удельной внутренней энергии, как и любого
вида удельной энергии, в СИ —джоуль на килограмм (Дж/кг). При-
меняют кратные и дольные от джоуля на килограмм (кДж/кг,
МДж/гк, мДж/кг и др.).
Поскольку du — u + и0, удельную внутреннюю энергию можно
определять только с точностью до постоянной, равной и0. При изу-
чении термодинамических процессов опреде-
ляют изменение удельной внутренней энергии
Д« = м2 — «!, вызванное изменением состояния
рабочего тела. При необходимости вычисле-
ния и в данном состоянии начало отсчета
принимают произвольно для состояния, в ко-
тором но = О, руководствуясь лишь соображе-
ниями удобства применения значений и.
Изменение удельной внутренней энергии
находят по балансу теплоты и работы, т. е.
теплового и механического воздействий окружающей среды на ра-
бочее тело, с помощью уравнения первого начала термодинамики
Дн — ц2	^1,2*
Если рабочее тело, совершив круговой процесс (цикл), возвра-
щается в первоначальное состояние, то согласно первому началу
термодинамики совершенная удельная работа цикла /ц равна удель-
ному количеству подведенной теплоты в цикле qa. Тогда согласно
равенству (3.4) получим
<7ц —/ц = Диц = 0.	(а)
Пусть таким круговым процессом является процесс l-a-2-c-l
(рис. 3.6). Поскольку изменение удельной внутренней энергии в кру-
говом процессе равно нулю, имеем
"Т" А^2С1 — 0.
Аналогично можно записать для кругового процесса l-b-2-с
AW162 + Аи2с1 = 0.
Сопоставляя последние два равенства, находим
= AUijj*	(б)
31
Из зависимости (3.16) следует, что полный дифференциал удель-
ной внутренней энергии
du = (du/dT)v dT ф (du/dv)T dv,	(3.18)
в котором (du/dT)v определяет влияние приращения температуры
на изменение удельной внутренней энергий при неизменном удель-
ном объеме (v = const); (duldv)T определяет влияние приращения
удельного объема на изменение удельной внутренней энергии при
неизменной температуре Т=const.
Определение функции вида (3.16) для того или иного рабочего
тела возможно, вообще говоря, только на основе эксперименталь-
ного материала. Для некоторых простейших случаев искомая функ-
ция может быть получена на основе соображений о молекулярной
структуре газа, как это будет показано ниже (см. § 4.5).
§ 3.6. Энтальпия
В технической термодинамике и в прикладной теплотехнике
широко применяют физическую величину, получившую название
энтальпии и обозначаемую буквой I, и удельную энтальпию, обо-
значаемую буквой I. В § 3.2 было установлено, что энтальпия
есть полная энергия рабочего тела в потоке, зависящая от термо-
динамического состояния тела и представляющая собой сумму внут-
ренней энергии и потенциальной энергии pV, т. е.
r = U + pV.	(3.19)
Удельная э нт а л ь п и я— отношение энтальпии к массе тела:
i = I/m — u + pv.	(3.20)
В дифференциальной форме
di = du-[-d(pv).	(3.21)
Единицей энтальпии в СИ является джоуль (Дж), удельной эн-
тальпии—джоуль на килограмм (Дж/кг).
Молярная э н т а л ьп и я — отношение энтальпии к количеству
вещества:
im = [/n = Mi,	(3.22)
где im — молярная энтальпия; « — количество вещества; М — моляр-
ная масса.
При выражении I в Дж, п в моль, i в Дж/кг и М в кг/моль
молярная энтальпия im выразится в Дж/моль.
Поскольку удельная энтальпия (3.20) представляет сумму двух
функций состояния и и pv, она является функцией состояния и,
так же как внутренняя энергия для простого тела, определяется
двумя параметрами состояния, например давлением р и температу-
рой Т:
i=f(p, Л;	(3-23)
32
полный дифференциал удельной энтальпии
cli = (di/dT,)p dT + (дЦдР)т dp,	(3.24)
где, так же как в формуле (3.18), (di/dT)p определяет влияние изме-
нения температуры при неизменном давлении, (di/dp)? — влияние
изменения давления при неизменной температуре на приращение
удельной энтальпии.
Из уравнения (3.9) следует, Ито если процесс совершается при
постоянном давлении, когда р — const и, значит, dp = 0, то
dqp = di
и	(3.25)
Яр = г2 Ч"
В процессе при неизменном давлении приращение удельной эн-
тальпии равно удельной теплоте процесса. Примерами являются
подвод теплоты к воде и пару в котельном агрегате, к воздуху
в воздухоподогревателе.
Это свойство энтальпии послужило поводом называть величину i удельным
теплосодержанием при постоянном давлении или просто теплосодержанием. По-
следнее порождало ошибочные представления о её физической сущности и
о теплоте, якобы содержащейся в теле. Известно, что теплота — это энергия, под-
водимая к рабочему телу или отводимая от него в тепловой форме, но не содер-
жащаяся в теле (см. § 3.1). При подводе она непосредственно превращается во
внутреннюю энергию и (или) в работу расширения в соответствии с уравнением
первого начала термодинамики (3.4). А совпадение величин q и Д( в данном-
частном случае, т. е. при р — const, имеет простое объяснение: так как при dp = 0
второе слагаемое правой части равенства d (pv) = p dv-J-v dp обращается в нуль,
то элементарная работа изменения объема
6lp — pdv = d(pv)p
и, значит,
6qp = du-{-8lp = du-{-d (pv)p = di.
§ 3.7. Теплота и понятие об энтропии
Подставляя значение du из формулы (3.18) в уравнение 8q =
= du-[-pdv первого начала термодинамики, получаем
dq = (du/dT)v dT + [(duldv)T + p] dv.	(3.26)
Для частного случая, когда v = const, т. e. dv = 0, имеем
dqv = (du/dT)v dT.	(3.27)
Значит, вся извне подводимая теплота идет на изменение внут-
ренней кинетической энергии.
Для частного случая, когда Т = const, т. е. dT = 0, получим
6<7 = [(d«/du)r + p] dv,	(3.28)
Следовательно, подводимая удельная теплота в количестве pdv пре-
образуется в удельную работу изменения объема, остальная часть
ее идет на изменение удельной внутренней потенциальной энергии,
т. е. энергии взаимодействия молекул.
2 Зак. 4ft
33
Обратимся теперь к формуле (3.9) bq — di — vdp. Подставив в нее
выражение для di по формуле (3.24), найдем
= (дЦдТ)р dT + [(дЦдр)т - и] dp.	(3.29)
Для частного случая, когда р = const и dp — Q, имеем
f>qp = (di/dT)p dT.	(3.30)
Из уравнения (3.5) 6^ = dn 4-6Z видно, что 8q — сумма полного
дифференциала du и неполного 6/ и, следовательно, представляет
собой неполный дифференциал, а величина q есть функция процесса.
Величина 6q имеет интегрирующий множитель *, каковым является
величина, обратная термодинамической температуре, т. е. 1/71 (или,
иначе, термодинамическая температура является интегрирующим де-
лителем).
Если 8q/T есть ' полный дифференциал, то $ (bq/Т) представляет
/ ?	\
собой функцию состояния, приращение которой 4 8q/T) в равновес-
\|	/
ном процессе не зависит от характера процесса.
Таким образом, в термодинамике обнаруживается еще одна функ-
ция состояния (помимо удельной внутренней энергии), которую на-
зывают удельной э н т р о п и е й **. Ее принято обозначать бук-
вой s, а энтропию (произведение удельной энтропии на массу) — -
S = ms.
Следовательно, удельной энтропией называется функция состояния,
дифференциал которой
ds — 8q/T.	(3.31)
Дифференциал энтропии
dS — 8Q/T.	(3.32)
Удельную энтропию, так же как и удельную внутреннюю энергию
и другие функции состояния, в термодинамике определяют лишь
с точностью до постоянной:
s = $ ds + s0.
Поэтому вычисление удельной энтропии производят от условно
принятого состояния, в котором полагают so = O. В некоторых слу-
чаях принимают, что при OK so = 0.
Удельная энтропия в СИ выражается в Дж/(кг-К), энтропия —
в Дж/К. Энтропию и удельную энтропию нельзя измерить непосред-
ственно приборами, как, например, измеряют давление или темпе-
ратуру. Ее или, вернее, ее изменение можно вычислить, если заданы
параметры состояния. Для идеального газа это показано в § 4.7.
* Для идеального газа это показано в § 4.7.
** Название энтропия происходит от греческого слова «энтропос», что значит
превращение, изменение,
84
Подробное рассмотрение свойств энтропии и ее особой роли в тер-
модинамике составляет содержание второго начала термодинамики.
Здесь же рассмотрим только связь удельной энтропии (точнее ее
изменения) с удельным количеством теплоты в равновесных процес-
сах и воспользуемся только одним ее свойством, а именно тем, что,
являясь функцией состояния, она может служить, и действительно
служит, очень удобным параметром состояния, особенно в сочетании
с термодинамической температурой, в частности для графического
анализа процессов, что специально рассматривается в следующем
параграфе.
Связь между изменением удельной энтропии и удельным коли-
чеством теплоты устанавливается уравнением (3.31), которое удобнее
записать в следующем виде:
bq = Tds.	(3.33)
Элементарное количество подведенной (отведенной) удельной теп-
лоты в равновесных процессах равно произведению термодинамической,
температуры на изменение удельной энтропии.
Полное количество удельной теплоты находят интегрированием
от начального состояния / (Tlt sj до конечного 2 (Т2, s2):
2
q1:2 — ^T ds.	(3.33а)
1
Выражение (3.33) для элементарного количества удельной теплоты
оказывается аналогичным формуле (3.10) для элементарно^ удель-
ной работы изменения объема 8l = pdv. Эта аналогия имеет прин-
ципиальное значение —она связана с основным существом энергети-
ческого обмена между рабочим телом и окружающей средой. В этой
связи следует отметить два обстоятельства.
Первое. Подобно тому, как разность давлений является побуди-
тельной силой для передачи механической энергии в форме работы
изменения удельного объема, так и разность температур — причина
передачи энергии в форме теплоты. Термодинамическая температура
выступает здесь в роли теплового потенциала. Чем больше разность
тепловых потенциалов рабочего тела и окружающей среды, тем ин-
тенсивнее происходит теплообмен.
Второе. Подобно тому, как изменение удельного объема является
обязательным условием совершения (или затраты) деформационной
работы, изменение удельной энтропии является обязательным усло-
вием подвода (или отвбда) теплоты. И наоборот, только вследствие
подвода (или отвода) теплоты может происходить изменение удельной
энтропии в равновесных процессах.
Следовательно, энтропия — физическая величина, изменение кото-
рой является признаком обмена энергией в форме теплоты в равно-
весных процессах. Физический смысл энтропии в общем случае может
быть определен на основе второго начала термодинамики и рассмат-
ривается в § 9.4.
2*
35
Относительно количества теплоты отметим еще следующее. Всякая
работа есть форма передачи энергии, теплота также есть, форма пе-
редачи энергии, следовательно, теплота — определенный вид работы,
но особого рода работы, совершаемой, так сказать, на молекулярном
уровне, т. е. молекулами больших энергий над молекулами меньших
энергий. Это положение должно быть ясно в свете изложенного ана-
лиза выражения (3.33). По аналогии с выражением 6/= pdv видно,
что количество теплоты приобретает смысл «тепловой работы», на-
пример работы, совершаемой молекулами более нагретого тела при
передаче кинетической энергии молекулам менее нагретого тела.
Произведем в уравнении (3.12) замену 8q по формуле (3.33),
в результате чего получим
Т dS — du + pdv.	(3.34)
Уравнение (3.34) принято называть основным уравнением первого
начала термодинамики для равновесных процессов.
§ 3.8.	Диаграмма Ts
Значение энтропии зависит от массы или от количества вещества,
следовательно, подобно внутренней энергии и энтальпии, энтропия
является экстенсивной физической величиной. В аналитических и гра-
фических расчетах удобнее пользоваться удельной энтропией, явля-
ющейся интенсивной величиной. Поскольку удельная энтропия явля-
ется функцией состояния, она может служить и действительно слу-
жит очень удобным параметром состояния.
Чтобы вычислить удельную теплоту процесса по формуле
2
<7i,2 = $ Т ds,
1
необходимо знать уравнение связи между температурой и удельной
энтропией в каждой точке данного процесса, т. е. уравнение про-
цесса T — f(s), так же как это требовалось для вычисления работы
по формуле (3.11).
Если же процесс задан графически в системе координат Ts, то
и теплоту процесса легко найти графически; такой метод широко при-
меняется в термодинамическом анализе.
В координатах Ts (рис. 3.7), как и в координатах pv, каждой
точке на плоскости соответствует определенное термодинамическое
состояние тела и, обратно, любому состоянию тела соответствует опре-
деленная точка на плоскости. Равновесный процесс изменения состоя-
ния изображается непрерывной кривой, например кривой 1-2.
Диаграмма Ts носит название тепловой (энтропийной) диаграммы.
Удельная теплота процесса qli2 может быть определена графически
площадью под кривой процесса. Действительно, элементарная пло-
щадка с основанием ds и высотой Т равна Tds или, согласно фор-
36
муле (3.33), равна элементарной теплоте 6</. Вся площадь al2b on-
2
ределяет удельную теплоту процесса = J Т ds.
1
Изложенное еще раз подтверждает, что подводимое (или отводи-
мое) количество теплоты qb2 зависит от вида процесса, так как
между заданными точками 1 и 2 можно провести самые разнообраз-
ные кривые (например, пунктирную линию на рис. 3.7), и теплота
<7112 для каждого из таких процессов будет иметь иное значение.
Достоинство диаграммы Ts состоит еще и в том, что по направ-
лению кривой процесса легко определить знак теплоты. Из формулы
§q = Tds видно, что так как термодинамическая температура Т (в об-
ласти явлений, изучаемых в технической термодинамике) принимает
только положительные значения, знаки элементарного количества
теплоты и приращения энтропии . всегда совпадают. Следовательно,
если удельная энтропия в процессе возрастает (ds>0), то теплота
к рабочему телу подводится (bq> 0), как это показано на рис. 3.7.
Если же удельная энтропия уменьшается (рис. 3.8), то удельная
теплота отводится независимо от знака изменения температуры. Сле-
дует обратить внимание на последнее утверждение: увеличение или
уменьшение температуры в общем случае не позволяет судить о том,
подводится или отводится теплота. Признаком подвода теплоты мо-
жет служить только рост удельной энтропии, а отвода — ее умень-
шение. Это видно из приведенных рисунков и формулы (3.33). Такие
процессы рассматриваются в § 6.8.
В процессах подвода (или отвода) теплоты температура рабочего
тела в общем случае изменяется, поэтому удельную теплоту опреде-
ляют по формуле (3.34) через интеграл. В анализе идеальных цик-
лов весьма удобным оказывается использовать такую среднюю тем-
пературу Т подвода (отвода) теплоты, которая, будучи умноженной
на приращение энтропии в процессе, позволяет найти удельное ко-
личество теплоты qlti = Т (sa — sj. Величина Т носит название сред-
ней термодинамической температуры.
37
Средняя термодинамическая температура равна отношению уде-
льной теплоты, сообщаемой рабочему телу в процессе, к приращению
его удельной энтропии, т. е.
2
Т =91,2/(S2-S1) = 5Crf7’/(S2-Sl)-	(3‘35)
1
Графически она выражается высотой прямоугольника abed (рис. 3.8),
равновеликого площади a21d.
§ 3.9.	Теплоемкость
Теплоемкостью рабочего тела (или системы) называют от-
ношение элементарного количества полученной им теплоты 6Q в ка-
ком-либо процессе к соответствующему изменению температуры dT
тела в этом процессе:
C = oQ]dT.	(3.36)
Единицей теплоемкости в СИ является джоуль на кельвин (Дж/К)-
При различных температурах, а в общем случае и при различ-
ных давлениях, теплоемкость данного рабочего тела принимает раз-
личные значения и, значит, в течение процесса изменяется.
Средней теплоемкостью называют отношение количества
теплоты Qi, 2, полученной рабочим телом в течение процесса, к изме-
нению температуры ЛТ:
C-Q^/AT.	(3.37)
Теплоемкость, определяемая по формулам (3.36) и (3.37), харак-
теризует свойство тела данной массы т или данного количества
вещества п. В практике теплотехнических расчетов пользуются
удельной, объемной и молярной теплоемкостями.
Удельная теплоемкость определяется отношением тепло-
емкости рабочего тела к его массе. Разделив равенства (3.36) и (3.37)
на массу рабочего тела, получим истинную удельную и среднюю
удельную теплоемкости:
c — Clm = &qldT
и
c = C//n = ^,2/AT	(3.38)
где с и с —удельная и средняя удельная теплоемкости; qlt2 и —
удельная и элементарная удельная теплота процесса; АТ и dT —
изменение и бесконечно малое изменение температуры в процессе.
При выражении д,2 в Дж/кг и Т в К удельная теплоемкость
и средняя удельная теплоемкость выразятся в Дж/(кг-К).
Объемная теплоемкость представляет собой отношение
теплоемкости рабочего тела (или системы) в данном его состоянии
38
(при данных Т и р) к объему рабочего тела при нормальных физи-
ческий условиях [р = 101,325 кПа (760 мм рт. ст.); £ = 0°С]:
с’ = C/V0 = cp0,	(3.39)
где с'— объемная теплоемкость; Ко —объем рабочего тела при нор-
мальных физических условиях; р0 —плотность рабочего тела при
нормальных физических условиях.
Если теплоемкость С выражать в Дж/К, Ео —в м3, удельную
теплоемкость с — в Дж/(кг • К), р0 — в кг/м3, то объемная теплоемкость
с' — Дж/(м3-К).
Молярной теплоемкостью называют отношение теплоем-
кости к количеству вещества:
ст = С[п
и
ст = С/«,	(3.40)
где ст — молярная теплоемкость; Ст — средняя молярная теплоемкость;
/г — количество вещества.
При выражении С и С в Дж/К, п в моль молярная теплоемкость
выразится в Дж/(моль-К).
Теплоемкость тела, удельная, объемная и молярная теплоемкости
связаны между собой очевидной зависимостью
С = тс = Voc' ~ пст	(3.41)
или
с = с'/р0 = ст/Л4,	(3.42)
где с, с’ и ст — удельная, объемная й молярная теплоемкости; р0
и Ео — плотность и объем рабочего тела при нормальных условиях;
т, М и /г —масса, молярная масса и количество вещества рабочего
тела.
Каждая из рассмотренных теплоемкостей зависит не только от
физических свойств вещества, но и от способа нагрева или охлаж-
дения его, т. е. от вида процесса.
В термодинамической теории и в теплотехнических расчетах осо-
бенно широко применяют изохорную теплоемкость — теплоемкость
в процессе при постоянном удельном объеме и изобарную тепло-
емкость-теплоемкость в процессе при постоянном давлении.
Удельная изохорная теплоемкость равна отношению элементарной
удельной теплоты, подводимой к рабочему телу в процессе при
неизменном удельном объеме, к приращению температуры в этом
процессе
c-^bqJdT-, 8qv~cvdT.	(3.43)
Сравнивая выражения (3.27) и (3.43) при v — const, убеждаемся,
что
cv = (du/dT)v.	(3.44)
39
Удельная изобарная теплоёмкость равна отношению элементарной
удельной теплоты, подводимой к рабочему телу в процессе при неиз-
менном давлении, к приращению температуры:
cp = 6qpldT', 8qp — cpdT.	(3.45)
При сравнении выражений (3.30) и (3.45) видим, что -
cp — (di/dT)p.	(3.46)
В общем случае, поскольку и = F(T, v) и i = F1(T, р), имеем:
cv = <p(7’, v);	'(3-47)
CP = WAT, Р)-	(3.48)
Вид этих зависимостей устанавливается опытным путем. Из
выражений (3.47) и (3.48) следует, что удельные теплоемкости с„
и Ср — функции состояния вещества.
Глава IV
ИДЕАЛЬНЫЙ И РЕАЛЬНЫЙ ГАЗЫ
§ 4.1. Реальные и идеальные газы: условность разделения
Рабочее тело, применяемое в тепловых машинах, обычно бывает
в газообразном состоянии. Поэтому в первую очередь установим
основные свойства такого рода рабочих тел.
Уравнение состояния реального газа, отражающее все его свой-
ства, .как это будет показано ниже (см. § 4.9, 4.10) весьма сложно,
и непосредственное использование его при исследовании термодина-
мических процессов связано с большими трудностями. Процесс
вычислений значительно облегчают ЭВМ, с помощью которых по
сложным уравнениям вычисляют наиболее , употребимые параметры
состояния с относительно небольшими интервалами их значений.
По результатам расчета составляют таблицы термодинамических
свойств и строят термодинамические диаграммы, такие, как Т^-диаг-
рамма и ей подобные. Таблицы и диаграммы широко используют
в анализах и технических расчетах, например, процессов изменения
состояния водяного пара (см. § 11.6 и гл. XII) и других веществ.
Чтобы упростить уравнение, всегда можно выбрать определенный
диапазон изменения состояния газа, в пределах которого некоторые
из свойств реального газа будут исчезающе мало влиять на характер
процесса и на его энергетический баланс.
Вспомним, что внутренняя энергия реального газа складывается
из четырех составляющих (см. § 3.5), причем четвертой является
потенциальная энергия взаимодействия молекул, зависящая от рас-
стояния между молекулами, которое обозначим г.
-При весьма малых расстояниях между молекулами преобладают
силы отталкивания, препятствующие при повышении давления непо-
средственному соприкосновению молекул друг с другом, а при боль-
40
ших расстояния^ преобладают силы притяжения.. Силы притяжения
между молекулами обратно пропорциональны расстоянию между ними
в седьмой степени г7, а силы отталкивания — в тринадцатой степени г13.
Ясно, что с ростом г силы притяжения становятся значительно
больше сил отталкивания, но по абсолютному значению они умень-
шаются, делаются очень малыми и при г->оо стремятся к нулю.
Для удаления одной молекулы от другой на расстояние г необ-
ходимо затратить некоторую работу. Эта работа в точности равна
запасу потенциальной энергии положения, которой будет обладать
молекула, удаленная на расстояние г. При r-^-со потенциальная
энергия положения достигнет максимума. Приращение р этой
энергии будет зависеть от Аг, причем так, что чем больше абсолют-
ное значение г, тем меньше А(7Р при заданном приращении Аг.
Последнее объясняется стремительным уменьшением силы притяжения
(вернее, равнодействующей сил отталкивания и притяжения) с уве-
личением г.
Из изложенного следует, что после достижения некоторого услов-
ного значения гк и дальнейшем росте г значение величины dUp[dr<ie,
где е —заданная малая величина.
Приведенные рассуждения, отнесенные к одной молекуле, сохра-
няют значение и при рассмотрении совокупности всех молекул рас-
сматриваемого газа. Среднее значение расстояния г пропорционально
удельному объему газа,- значит чем больше удельный объем, тем
больше и среднее расстояние между молекулами, поскольку следует
считать, что молекулы газа по объему распределены равномерно.
При некотором значении г = гк (соответствующем определенному
значению v) влияние удельного объема v на- запас внутренней энер-
гии для любого реального газа становится пренебрежимо малым.
В таком случае с допустимой погрешностью можно положить
(du/dv)r = 0.	(4.1)
Газы, для которых справедливо равенство (4.1), носят название
идеальных газов.
Следствием равенства (4.1) является
u = m	(4-2)
т. е. внутренняя энергия идеального газа зависит только от темпе-
ратуры (закон Джоуля).
В природе существуют, конечно, только реальные газы, а диапазон
состояний, в котором возможно рассматривать газ как идеальный,
определяется установленной практикой необходимой точностью термо-
динамических расчетов. Поэтому для каждого газа (воздух, углекис-
лый газ, перегретый водяной пар и т. д.) существует область состоя-
ний, где газ можно рассматривать как идеальный. Так, в теории
двигателей внутреннего сгорания, газовых турбин и в теории комп-
рессоров рабочее тело (воздух или газообразные продукты сгорания
топлива) рассматривают часто как идеальный газ, а в теории паро-
энергетических установок рабочее тело — перегретый -водяной пар —
.рассматривают как реальный газ. В то же время воздух в области
41
весьма низких температур и высоких давлений рассматривают как
реальный газ, а высоко перегретый водяной пар, входящий в состав
продуктов сгорания топлива, так же как и глубоко разреженный
водяной пар, содержащийся в комнатном воздухе, принимают идеаль-
ным газом. Таким образом, не название рабочего тела позволяет
считать его идеальным или реальным газом, а та область состояний,
в пределах которой протекает термодинамический процесс. Состояния,
при которых практически (du/dv)T = 0, характерны для большинства
газов, достаточно удаленных от той области, где они переходят
в жидкое состояние.
В дальнейшем основное внимание будет уделено идеальному газу.
Это объясняется не только тем, что в ряде практических задач, как
это отмечено выше, идеализация свойств газа вполне допустима, но
и тем, что если рассматривать в качестве рабочего тела идеальный
газ, то термодинамические выводы значительно упрощаются и дела-
ются более наглядными с сохранением качественно правильного
описания физических явлений.
В конце настоящей главы даны краткие сведения об общих свой-
ствах реального газа. Более подробно в гл. XI будут изучены
свойства перегретого пара, который в свете изложенного надо рас-
сматривать как реальный газ.
§ 4.2. Основные законы и уравнение состояния идеального газа
Напомним основные законы идеального газа, известные из курса
физики.
Закон Бойля — Мариотта
ру = const при Т = const.
При одной и той же температуре произведение давления на
удельный объем данного газа есть величина постоянная, или
Pilp2 — V2/Vi ПРИ Т = const,
где индекс «1» относится к начальному, а индекс «2» — к конечному
состоянию газа.
Закон Гей-Люссака
yj/Уг = 7\/Т2 при р — const.
При постоянном давлении удельный объем газа изменяется прямо
пропорционально его термодинамической температуре.
Совместное применение этих законов к произвольному процессу
дает уравнение состояния идеального газа
pv = RT.	(4.3)
При умножении обеих частей уравнения (4.3) на массу газа т
получаем
pV = mRT,	(4.4)
42
где р — давление газа; v — удельный объем газа; V — объем газа;
R — удельная газовая постоянная; Т — термодинамическая темпера-
тура. При выражении v в м3/кг, V в м3, R в Дж/(кг-К), Т в К Р
выразится в Па.
Уравнения (4.3) и (4.4) называются уравнениями Клапей-
рона.
Из кинетической теории газов чисто теоретическим путем могут
быть получены формулы, выражающие закон Бойля — Мариотта и
закон Гей-Люссака, а следовательно, и уравнение состояния Кла-
пейрона. Исходной позицией классической кинетической теории газов
является представление, что молекулы газа являются материальными
точками, лишенными объема, и что между ними отсутствует какое-
либо силовое взаимодействие. Последнее, как это было показано
выше, равносильно условию (дц/дц)т- = 0, одновременно столь же
справедливо уравнение состояния pv = RT, поскольку объемом моле-
кул при этом можно пренебречь.
Закон Авогадро. В разных газах одинакового объема при
одинаковых температуре и давлении заключается одинаковое число
молекул.
На основе этого закона доказывается, что для разных газов при
одинаковых давлениях и температурах произведение молярной массы
газа на его удельный объем является одной и той же величиной
A4y = idem.
Произведение Mv представляет собой молярный объем Vm газа.
Следовательно, из закона Авогадро следует, что при одинаковых
условиях (давлении и температуре) молярные объемы любых газов
одинаковы.
Количество вещества можно определить делением массы газа на
его молярную массу:
п = т/М,	(4.5)
где п — количество вещества; т — масса газа; М — молярная масса газа.
Если т выразить в кг, М в кг/моль, п выразится в моль.
Определим молярный объем при нормальных физических усло-
виях р0 = 101,325 кПа (760 мм рт. ст.) и /о = О°С. Считая кислород
идеальным газом и пользуясь табличным, значением плотности кисло-
рода при этих условиях р0= 1,429 кг/м3, получаем
Vm0 = М у0 = Л4/р0 — 32 • 10-3/1,429 м3/моль —
= 22,414 • 10~3 м3/моль.	(4.6)
Округляя, получаем, что молярный объем любого идеального газа
при нормальных физических условиях равен 22,4-10”3 м3/моль.
И обратно, по значению молярного объема газа в нормальных
физических условиях и по молярной его массе можно находить плот-
ность газа в тех же условиях:
Po = M/Vmo= 103Л4/22,4,	(4.7)
43
Например, для азота М = 28-10-8 кг/моЛь. Следовательно, р0 =±
= 103- 28'10 3/22,4 кг/м3 =1,25 кг/м3.
Умножив обе части уравнения (4.3) на М — молярную массу газа,
получим уравнение Клапейрона — Менделеева:
pvM—MRT; pVm — RmT	(4.8)
или
Rm = MR = pVm/T.	(4.8а)
Так как молярный объем газа Vm при одних и тех же давле-
нии р и температуре Т имеет одно и то же значение для всех
идеальных газов (в соответствии со следствием закона Авогадро), то
комплекс pVm/T остается неизменным для всех идеальных газов.
Следовательно,
Rm = RM = const.	(4.86)
Величина Rm носит название универсальной газовой
постоянной. Очевидно, что
R = Rm/M.	(4.8в)
Вычислим значение универсальной газовой постоянной, подставив
в формулу (4.8а) соответствующие значения параметров, например
значения р0, То и Vm„ при нормальных физических условиях:
Rm = 101 325 • 22,414 • 10 3/27.3,15 Дж/(моль  К) = 8,3143 Дж/(моль • К).
Таким образом, уравнение состояния идеального газа Клапейрона —
Менделеева (4.8) примет вид
pVm = 8,3147';	(4.9)
а умножением обеих частей (4.9) на количество вещества получим
рК = 8,314пТ,	(4.9а)
поскольку V— nVm.
По формуле (4.8) легко вычислить удельную газовую постоянную:
R = Rm/M = 8,314/M.	(4.10)
Так, например, для кислорода
Т?о2 = 8,3143/(32 -10 3) Дж/(кг  К) = 259,8 Дж/(кг-К).
Для определения R можно также пользоваться формулой
R = 371,l/p0,	(4.11)
получаемой из выражения (4.10) подстановкой вместо М его значе-
ния из формулы (4.7). Так, например, для воздуха (р0 = 1,293 кг/м3)
получим
R = 371,1/р0 = 371,1/1,293 Дж/(кг • К) = 287 Дж/(кг-К).
Все реальные газы в некоторой мере отклоняются от закона
Авогадро. Действительные значения Vm для некоторых газов даны
44
в табл. 4.1. Там же даны значения физических постоянных для
наиболее распространенных газов.
Таблица 4.1
Газ	Формула	Относительная молекулярная масса		Плотность ро, кг/м’	Удельная газовая постоянная R, Дж/(кг-К)	Молярный объем V 10* м’/моль
		точное значение	округлен- ное значение			
Азот	Na	28,016	28	1,251	296,8	22,40
Аммиак	NH3	17,031	17	0,771	488,4	—
Аргон	Ar	39,994	40	1,783	208,2	22,39
Водопод	Н,	2,0156	' 2	0,0899	4124,0	22,42
Воздух	—	28,97	29	1,293	287,1	22,40
Гелий	Не	4,003	4	0,179	2078,0	22,42
Кислород	О.,	32,00	32	1,429	260,0	22,40
Метан	СН4	16,04	16	0,717	517,8	22,37
Окись углерода	СО	28,01	28	1,250	296,7	22,40
Сернистый ан-	SOa	64,06	64	2,926	129,7	21,89
гидрид Углекислий газ	СО2	44,01	44	1,977	188,8	- 22,26
Хлор	С12	70,914	71	3,22	117,2	—
Примечание. Плотность и молярный объем приводятся при нормальных
физических условиях (р0= 101,325 кПа и /=0°С).
Отметим, что для подавляющего большинства технических расче-
тов закон Авогадро достаточно точен.
Закон Дальтона рассмотрим особо в § 4.3.
§ 4.3. Закон Дальтона
В практических приложениях термодинамики большей частью
приходится рассматривать такие смеси газов, в которых составляющие
смесь компоненты не вступают друг с другом в химические реакции.
Примером может служить воздух, в котором объемная доля атмо-
сферного азота * примерно составляет 79%, а объемная доля кисло-
рода—21%.
Если давление газа рассматривать как результат ударов молекул
о стенки сосуда, то давление р смеси определится суммарным воздей-
ствием молекул всех составляющих газов, входящих в смесь. Объем V,
занимаемый смесью газов, одновременно является и объемом, зани-
маемым каждым газом в отдельности, так как молекулы, входящие
в смесь газов, равномерно распределены по всему объему сосуда.
Если каким-либо способом удалить из смеси один из составляющих
смесь газов, то давление смеси при условии неизменности ее темпе-
ратуры уменьшится на значение plt соответствующее той доле ударов
* Под атмосферным азотом понимают совокупность всех газов, входящих
в воздух, кроме кислорода, т. е. азота, углекислого газа, водорода, аргона,
ксенона, неона, криптона и гелия.
46
О стенки сосуда, которая приходилась на молекулы изъятого газа.
При удалении второго газа, входящего в смесь, давление смеси по
той же причине уменьшится на р.,. Рассуждая подобным образом,
можно доказать правильность опытного закона Дальтона:
Р = Pi + Рг + •  • + Рп — 2 Р‘!	(4-12)
где plt р2, рп — давления соответственно первого-, второго, ..., /г-го
газов, входящих в смесь, каждое из которых называется парци-
альным давлением r-го газа; р — давление смеси.
Давление смеси газов равно сумме парциальных давлений отдель-
ных газов, составляющих смесь.
Поскольку каждый газ, входящий в смесь, занимает весь объем
смеси, то для любого (z-го) компонента смеси справедливо уравнение
состояния
Р1У = тД1Т,	(а)
где V и Т — соответственно объем и температура смеси; — масса
рассматриваемого компонента.
Таких уравнений можно написать п (по числу отдельных газов,
входящих в смесь). Суммируя их почленно, получаем
V Ё Pi = VP = Т S mRi-	(б)
f = 1	i ~ i
Далее напишем уравнение состояния для смеси в целом:
pV = mRT.	(в)
Очевидно,
m = m1 + m2 + ... + m„= У пц.	(г)
г = 1
Из сравнения формул (б) и (в) с учетом формулы (г) имеем
У miR^mR.	(д)
i = i
Разделим обе части формулы (д) на m и обозначим отношение
гщ/гп через назвав эту величину массовой долей* данного
газа в смеси.
* Массовая, объемная и молярная доли, представляющие собой отношения
массы, объема или количества вещества компонента смеси к массе, объему или
количеству вещества смеси (соответственно),— относительные (безразмерные) вели-
чины; их выражают в долях единицы (или в процентах).
Массовая и молярная концентрации компонентов смеси, представляющие
собой отношение массы и количества вещества компонента к объему смеси (соот-
ветственно), не являются синонимами массовой и молярной доли; в, единицах СИ
их выражают в кг/м? и моль/м? (соответственно).
46
При этих обозначениях получим .
R = giRi+8Л + ---+gnRn = 5 giRi-	(4-13)
I й= 1
Разделив почленно уравнение (а) на (в), найдем выражение для
парциального давления:
pt^pgiRilR^PgiRil'ZgiRi-	(4-14)
Проще выглядит формула для определения pi в случае задания
смеСи газа объемнцми долями. Если каждый компонент смеси сжать
при постоянной температуре, равной температуре смеси, до давления
смеси р, получим объем который называется парциальным
объемом данного (i-го) компонента смеси. Сумма парциальных
объемов, составляющих смесь, равна объему смеси V, т. е.
1~П
v = y1+v2+...+v„ = ^ vi-	(е)
1 = 1
Для каждого газа, входящего в смесь, по закону Бойля— Мариотта
имеем право написать piV = pVt,
откуда	Pt~ pVi/V.
Обозначим отношение V г/V через rz и назовем эту величину
объемной долей данного газа в смеси. Тогда
Pi = rtp.	(4.15)
Парциальное давление компонента смеси равно произведению
объемной доли i-ro компонента на давление смеси.
§ 4,4. Смеси газов
Состав смеси газов может быть задан различными способами.
Во-первых, указанием массовых долей компонентов смеси, т. е. зна-
чениями величин gi в долях единицы (или в %):
L = П
gi + gz + '-’ + gn^^ gt = l-	(4-16)
i — 1
Во-вторых, указанием объемных долей компонентов смеси, т. е.
значениями величин в долях единицы (или в %):
i = п
r1 + r3 + ... + rn='£ п = 1,	(4.17)
» = 1
и, в-третьих, указанием молярных компонентов смеси в долях еди-
ницы. Под молярной долей vz компонента смеси понимается отношение
количества вещества компонента к количеству вещества смеси:
vi + v2 + vs + ..- + vn=2 VZ = L	(4.17а)
i=i
47
Нетрудно доказать, что для идеального газа vt — rt.
Действительно, умножая (количество вещества г-го компонента)
на молярный объем Vm, одинаковый для всех газов, взятых при
одинаковых физических условиях, получим, что произведение n{Vm
равно парциальному объему V/ взятого компонента, a nVm — объему
смеси, где « — количество вещества смеси. Следовательно,
Vi = п{/п = (Vmni/Vmn) = Vi/V = г{.	(4.18)
Таким образом, задание смеси идеальных газов объемными долями
компонентов равносильно заданию смеси молярными долями отдель-
ных газов.
Для пересчета состава газа из объемных долей в массовые или
обратно можно, сопоставляя формулы (4.14) и (4.15), получить
зависимость
ri—giRilR,	(з)
а из формулы (4.8) следует, MiRt = MR = Rm, тогда
ri=giMlMt,	(4.19)
gi = riMi/M;	(4.19а)
ri = giP/Pb	(4.196)
gi^ripi/p.	(4.19в)
Выведем формулы для определения величин Мир для обоих
способов задания состава смеси.
1. Смесь задана объемными долями компонентов, тогда
rtMi^giM;	(и)
ripi = gip.	'	(к)
Написав п таких равенств для всех компонентов, а затем про-
суммировав их почленно, получим:
г;Л4,.==Л4 2 gi\	(л)
i “ 1	i = 1
i = n	i — n
 £ np<=pj]	<M)
1 = 1	1=1
Поскольку У, gi = 1, получим:
i = l
м = у; r‘Mi>	<4-20)
I ™ 1
И
P = S r'P'-	(4.20a)
48
2. Смесь газов задана массовыми долями компонентов. Между
парциальным объемом V/, входящего в смесь газа, и его массой mt
существует очевидная зависимость Vi = mt/pi, а поскольку, рг =
= то .	-
(н)
Такая же зависимость существует между объемом смеси V и ее
массой т:
V — Vmm/M.	(о)
1—п
Так как И==2 т0 из формул (и) и (о) получаем
1 — п
Vmtn/M = Vm У, (milMt).	(п)
z = i
Деля обе части равенства (п) на т и решая относительно М\
получим расчетное выражение для молярной массы смеси
=	(4.21)
/ 1=1
аналогично, для плотности смеси
/ i=n
X(gi/Pi)>	(4-21 а)
§ 4.5.	Внутренняя энергия идеального газа
Как было показано в § 4.1, для всех идеальных газов u—f(T).
Установим вид этой функции, исходя из известных формул кине-
тической теории газов. Согласно теории, средняя кинетическая энер-
гия mw2/2 поступательного движения молекул и абсолютная темпе-
ратура газа связаны зависимостью
(2/3) (mw2/2) = kT,
где k — постоянная Больцмана, равная 1,38 • 10~23 ,Дж/К. Напом-
ним, что произведение постоянной Больцмана k на постоянную Аво-
гадро Л/а равно универсальной (молярной) газовой постоянной Rm:
kNA=Rm,
где Ун ==(6,022169±0,000040) 10м молы1 6,022• 1023 моль-1.
. Молярная внутренняя энергия газа Um, обусловленная только
поступательным движением молекул, равна
Um = NAmw2/2 = (3/2)N AkT - (3/2) RmT.
Так как Rm = 8,31441 ± 0,00026 Дж/(моль • К) «=> 8,314 Дж/(моль х
X К)* то
Um = (3/2)8,314т Дж/моль = 3-4,157Т Дж/моль. (4.22)
49
Полученная формула годна лишь для одноатомного газа, моле-
кулы которого рассматриваются как материальные точки. В двух- и
многоатомных газах молекулы наряду с поступательным движением
совершают и вращательное движение. Для учета энергии вращатель-
ного движения молекул воспользуемся специальным законом распре-
деления энергии по степеням свободы, согласно которому энергия
системы, находящейся в стационарном состоянии, распределяется
равномерно по всем степеням свободы (поступательного и вращатель-
ного движений).
В поступательном движении молекулы имеются три степени сво-
боды (координаты х, у, z). Поэтому из вышеприведенного закона
при сопоставлении его с формулой (4.22) следует, что на одну сте-
пень свободы движения молекулы приходится энергия, выраженная
в Дж/моль и равная 4,157 Т.
Молекула одноатомного газа обладает тремя степенями свободы.
У двухатомного газа число степеней свободы равно пяти: три в лю-
бом поступательном движении и две во вращательном движении
около произвольной оси, проходящей через центр тяжести молекулы
и перпендикулярной прямой, соединяющей центры тяжести атомов.
У трехатомного * и многоатомного газов шесть степеней свободы.
Обозначая через nt число степеней свободы, получим общую фор-
мулу для молярной внутренней энергии идеального газа (выражен-
ной в Дж/моль) любой атомности
= 4,157^7.	(4.23)
Формула (4.23) получена на основе кинетической теории идеаль-
ного газа, а поэтому все выводы из этой формулы сохраняют силу
только до тех пор, пока оправдана возможность пренебречь не только
влиянием сил взаимодействия между молекулами, но и внутримоле-
кулярными колебаниями атомов. Как это будет показано в следую-
щей главе (см. § 5.2), учет энергии внутримолекулярных колебаний
атомов уточняет характер зависимости внутренней энергии от темпе-
ратуры, но не меняет основного свойства идеального газа, состоящего
в том, что внутренняя энергия его зависит только от температуры
[(du/dy)r = OJ.
Изохорная теплоемкость cv = (ди/дТ)„ [формула (3.44)] для иде-
ального газа определяется уже не частной, а полной производной
cv — du/dT	(4.24)
или	«
du = cvdT.	(4.24а)
§ 4.6.	Энтальпия идеального газа. Формула Майера
Применим формулу (3.21) для идеального газа. Учитывая, что
для такого газа pv = RT, получим
di — du-\-d(pv) = du-}-RdT,	(а)
* Рассматривается нелинейная молекула.
50
Поскольку u — f(T), то и удельная энтальпия идеального газа
тоже является функцией одной только’ температуры:
i = F1(T).	(4.25)
Изобарная теплоемкость cp = (di/dT)p [формула (3.46)] для идеаль-
ного газа определяется полной производной
cp = di/dT	(4.26)
или
di = cpdT.	(4.26а)
Подставив в формулу (а) значения du и di по формулам (4.24а)
и (4.26а), найдем cpdT = cvdT + RdT, откуда получим так называе-
мую формулу Майера:
cp — cv — R.	(4.27)
Из формулы Майера следует, что для идеальных газов разность
удельных изобарной и изохорной теплоемкостей является величиной
постоянной и равной удельной газовой постоянной.
Подставляя выражения для du и di по формулам (4.24а) и (4.26а)
в равенства (3.12) и (3.9), получим следующие уравнения первого
начала термодинамики для идеального газа:
6<? = cvdT-\- р dv;	(4.28)
6<? = cpdT ~v dp.	(4.29)
§ 4.7.	Энтропия идеального газа
Обоснование существования энтропии в общем случае (для любого
тела) является сложной проблемой. Применительно к идеальному
газу эта задача не вызывает больших трудностей. Поскольку удель-
ная энтропия есть функция состояния, дифференциал которой равен
бу/Т, чтобы доказать ее существование, необходимо и достаточно
показать, что отношение есть полный дифференциал.
Обратимся к уравнению (4.28) первого начала термодинамики для
идеального газа. Можно убедиться, что 6g не является полным диф-
ференциалом, так как для этого должны быть равны между собой
(условие взаимности) накрест взятые производные от коэффициентов
при dT и dv, т. е.
(dcv/dv)r и (др/дТ)Р.
Так как удельная теплоемкость идеального газа не зависит от его
удельного объема, то (<?<?1,/(?а)г = 0; (dp/dT)v — R/v, как это легко
получить из уравнения состояния идеального газа *, т. е. величина,
не равная нулю. Следовательно, поскольку оказалось, что (dcjdv^r ¥=
* Производная по температуре от pv = RT при условии d = const равна
v (др/дТ)Р = R и (dq/dT)v~R/v.
51
Ф (dp/dT)v, величина 8q действительно не является полным диффе-
ренциалом.
Теперь убедимся, что 1/Т может служить интегрирующим мно-
жителем для 8q. Для этого умножим уравнение (4.28) на 1/Т и
после замены р/Т = R/v получим
8q/T = cvdT/T+Rdv/v.	(4.30)
В этом равенстве сформулированное выше условие взаимности
соблюдается. Действительно,
(dcv/dv)T/T — (dR/dT)v/v,
так как каждая из частных производных, содержащихся в этом
равенстве, равна нулю.
Таким образом, доказано для идеального газа, что dq/T есть пол-
ный дифференциал некоторой функции состояния, тем самым дока-
зано существование функции состояния, называемой удельной энтро-
пией.
§ 4.8.	Реальные газы
Все реальные газы в большей или меньшей степени отклоняются
от закономерностей, предписываемых законами Бойля — Мариотта и
Гей-Люссака. Наименьшее отклонение действительных зависимостей
между параметрами сравнительно с получаемыми на основе уравне-
ния pv = RT наблюдается у газов, находящихся в достаточно раз-
реженном состоянии.
Как известно, реальные газы при охлаждении их ниже так назы-
ваемой критической температуры Тк и при последующем сжатии
могут быть переведены в жидкое состояние. В состояниях, близких
к жидкой фазе, удельный объем газа значительно уменьшается и
в связи с этим (см. § 4.1) приходится учитывать влияние сил взаимо-
действия между молекулами на изменение запаса внутренней энергии,
т. е. du/dv =#= 0, и уравнение состояния pv = RT не отражает действи-
тельной связи между параметрами.
Свойства реальных газов и отклонение их поведения от поведе-
ния идеального газа нагляднее всего представить графически в виде
кривых.
Для оценки степени отклонения действительной связи между
параметрами от предписываемой уравнением Клапейрона применяют
так называемый коэффициент сжимаемости г:
z = pvl(RT}.
Для идеального газа z=l. Для встречающихся в природе газов г
может принимать значение большее и меньшее единицы. Отклонение
значения г от единицы тем значительнее, чем больше плотность газа,
или, что то же, чем меньше удельный объем его.
Графически величину г удобнее показывать в функции давления
И температуры. Зависимость z = pv/(RT) для некоторых газов от дав-
ления при температуре / = 0°С показана на рис. 4.1.
52
Весьма удобно использовать координатную систему pv — р (диа-
грамму Амага). В такой системе координат изотерма идеального
Газа (линия постоянной температуры) согласно уравнению pv — RT—
горизонтальная прямая. На рис. 4.2
в указанной системе координат *
приведены опытные изотермы воз-
духа. Как видно из графика, изо-
термы не являются горизонталями,
а имеют криволинейное очертание с заметным минимумом. Откло-
нение опытных изотерм от горизонтального направления позволяет
наглядно судить об отступлении реального газа от закона
Бойля — Мариотта.
§ 4.9.	Уравнения состояния реальных газов (Ван-дер-Ваальса и др.)
Уравнением состояния газа, в котором учтено влияние сил взаи-
модействия между молекулами, является уравнение Ван-дер-Ваальса.
В реальном газе свободный, пробег между двумя последователь-
ными столкновениями будет меньше, чем в идеальном, так как силы
отталкивания создают около каждой молекулы область в виде эле-
ментарной сферы, внутрь которой не могут проникнуть движущиеся
навстречу друг другу молекулы. Благодаря этому (при одной р
той же температуре) число столкновений молекул друг с другом и
число ударов о стенку сосуда у реального газа будет большим, чем
у идеального. Поэтому если для идеального газа давление p=RT/v,
то для реального газа той же температуры давление будет больше
p = RT/{v — b). Постоянная b является предельным удельным объе-
мом при р->оо. Значение величины b равно примерно учетверен-
ному суммарному удельному объему молекул газа.
Силы притяжения препятствуют расширению газа, т. е. действуют
в том же направлении, что и внешнее давление. Иными словами,
силы притяжения создают добавочное так называемое молекулярное
давление. Действительно / молекула п, находящаяся в середине объема
* На рис. 4.2 значения pv даны в долях от значения раиа при нормальных
физических условиях.
63
(рис. 4.3), подвержена действию сил притяжения весьма большого числа
молекул, окружающих ее со всех сторон. Благодаря этому равно-
действующая сил, действующих на молекулу п, равна нулю. Для
молекулы т, находящейся у стенки, силы притяжения не уравно-
вешивают друг друга, а приводятся к равнодействующей, направ-
ленной внутрь сосуда, которая и создает добавочное молекулярное
давление*, равное a/v2. Поэтому внешнее давление р меньше дав-
ления газа на a/v2. Следовательно,
p—RT/(y — b) — a/v2.	(а)
Постоянные а и b определяют опытным путем для каждого газа.
Уравнение (а) обычно записывают в виде
(р-\-a/v2) (v — b) = RT.	(4.31)
Рис. 4.3
Оно носит название уравнения Ван-дер-Ваальса.
При больших значениях v можно принять
(v-b)->v и a/v2->- 0; таким образом, для достаточно
разреженных газов уравнение Ван-дер-Ваальса пере-
ходит в уравнение pv/RT.
Изотерма в координатах pv по уравнению Ван-
т дер-Ваальса изображается кривой, соответствующей
уравнению третьей степени относительно v:
Vя - (ft + RT/p) v2 + av/p - ab/p = 0.	(4.32)
Положив в этом уравнении Т — const, можно по-
строить семейство изотерм (рис. 4.4).
Как усматривается из графика, протекание изо-
терм при низких и при высоких температурах каче-
ственно различно. Изотерма сжатия при температурах более низких,
чем температура 7\, сначала плавно возрастает, затем образует
характерную волну и далее круто, почти вертикально, подымается
вверх. Изотермы при температурах более высоких, чем Тк, не имеют
подобной волны и на всем протяжении, монотонно подымаясь вверх,
сохраняют гиперболический характер. Сама изотерма температуры
Тк имеет точку перегиба (точка k). В этой точке касательной
к изотерме является изобара рк. Точке перегиба изотермы Тк соот-
ветствует удельный объем vK. Удельный объем является трех-
кратным вещественным корнем уравнения (4.32).
Благодаря волнообразному характеру протекания любой изотермы
температуры Т </Т,. могут иметь место три точки пересечения ее
с изобарой давления р</рк (например, изобара pj. Последнее соот-
ветствует трем вещественным корням кубического уравнения (4.32)
при условии Т = const (удельные объемы в точках а, b и с). Изо-
бара давления р > рк может пересечь любую изотерму только в одной
* Для жидкостей внутреннее давление достаточно высокое (для воды при 20° С
оно составляет 1050 МПа), чем и объясняется ничтожно малая сжимаемость
жидкостей, поскольку увеличение внешнего давления на несколько мегапаскалей
практически не меняет суммарного давления. Для газов величина a/v2 незначи-
тельная, в связи с чем они в обычных условиях легкосжимаемы.
54
точке, что соответствует одному вещественному корню (два ком-
плексных корня не рассматриваются, как не имеющие физического
смысла).
Качественное различие в протекании изотерм, расположенных
выше и ниже изотермы Тк, позволяет именовать последнюю крити-
ческой изотермой, точку К — критической точкой, а параметры состо-
яния вещества в этой точке — критическими параметрами.
Еще в 1860 г. Д. И. Менделеев (1834—1907) установил существование для
всякой жидкости критической температуры (в работе Д. И. Менделеева она наз-
вана температурой абсолютного
кипения).
При температуре выше
критической температуры Тк
газ ни при каком давлении
не может быть переведен в
жидкое состояние. Таким об-
разом, все изотермы (рис. 4.4)
с температурой Т > 7\ долж-
ны быть отнесены к газооб-
разному состоянию вещества.
При сжатии же газа по изотер-
мам с температурой Т < Тк
при каком-то подлежащем
определению давлении р газ
должен претерпеть изменение
агрегатного состояния и пре-
вратиться в жидкость.
Экспериментальное иссле-
дование сжимаемости реаль-
ных газов показало отсут-
ствие у изотерм волнообраз-
ного участка в отличие от	р 44
изотерм, построенных по	ис' '
уравнению Ван-дер-Ваальса.
Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса можно применить только
для однородного (однофазного) вещества, т. е. только для газа или
жидкости. К двухфазной области указанное уравнение применимо
быть не может.
Уравнение Ван-дер-Ваальса, хотя и учитывает силы взаимодей-
ствия и объем молекул, является все же приближенным. Действи-
тельные свойства газов оказываются значительно сложнее. Для
повышения точности были предложены различные поправки к урав-
нению Ван-дер-Ваальса и в результатё получены новые уравнения
состояния.
Кроме уравнения Ван-дер-Ваальса для описания состояния реаль-
ного газа было предложено весьма большое количество уравнений
(более 150). Уравнение Ван-дер-Ваальса, являясь достаточно про-
стым, дает качественно правильную картину поведения реального
газа. Однако с количественной стороны при больших плотностях
55
газа это уравнение не обладает требуемой точностью. Наиболее
известны следующие:
уравнение Бертло
[р + а/(Tv*)] (v — b) = RT;
уравнение Дитеричи
p(v — b)~RTe.~c/<'RT'v'>;
уравнение К аммерл инг а — Оннеса
pv = RT + Btl/v + B3/v2 +...,
где B2, В3, ... — вириальные коэффициенты (второй, третий, ...),
являющиеся функциями температуры.
Наиболее точным и удобным для расчетов является уравнение
М. П. Вукаловича и И. И. Новикова, рассматриваемое в следую-
щем параграфе.
§ 4.10. Уравнение состояния реального газа М. П. Вукаловича
и И. И. Новикова
Точные уравнения состояния реальных газов обычно являются
столь сложными, что непосредственное практическое применение их
к расчетам невозможно. Такими уравнениями пользуются для со-
ставления термодинамических таблиц и расчетных диаграмм. К их
числу относится уравнение М. П. Вукаловича и И. И. Новикова,
основанное на разработанной ими теории реального газа.
По М. П. Вукаловичу и И. И. Новикову, реальный газ состоит
как из обычных так называемых одиночных молекул, так и из сдво-
енных и строенных молекул, образующих сложную частицу. Объеди-
нение молекул в сложную группу названо ими кажущейся ассоциа-
цией. Эта группа, представляющая механическое скопление молекул,
приобретает значение самостоятельной газовой частицы (такая ча-
стица не обладает всеми свойствами одной большой молекулы; этим
отличаются явления кажущейся ассоциации от действительной хими-
ческой ассоциации). Таким образом, реальный газ представляет собой
газовую «смесь», состоящую из нескольких «элементарных газов»,
отличных друг от друга тем, что первый газ, входящий в указанную
смесь, состоит из одиночных молекул данного вещества, второй
газ — из сдвоенных, а третий газ — из строенных молекул того же
вещества. Каждый из «элементарных газов» точно следует уравнению
Ван-дер-Ваальса.
Основываясь на указанных представлениях о строении молекул
реального газа, М. П. Вукалович и И. И. Новиков предложили
следующее уравнение состояния реального газа:
(4.33)
где Л1(7’); А2 (Т) — известные функции температуры, а а и Ь — по-
стоянные, имеющие тот же смысл, что и постоянные уравнения
Ван-дер-Ваальса, и определяемые таким же методом,
56
Рассмотрение всей теории ГЕ Вукаловича и И. И. Новикова
выходит за рамки настоящего курса, и мы отсылаем желающих озна-
комиться с этой теорией к оригинальной работе*. Уравнение со-
стояния (4.33) в применении к перегретому пару воды дано вч§ 11.8,
Глава V
ТЕПЛОЕМКОСТЬ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
§ 5.1.	Теплоемкость идеального газа
В теплотехнических расчетах используют различные удельные
теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном удельном
объеме (с индексом р или и): удельную с, объемную с' и моляр-
ную ст. Применительно к идеальному газу формула (3.41), связы-
вающая между собой три указанных теплоемкости, примет вид
[Vm>0 = (22,4136 zt 0,0030) 103 м3/моль ъ 22,4 • 10 3 м3/моль]
cm,v — Mcv — 22,4cv,	(5.1)
ст,р = Мер = 22,4Ср.	(5.1а)
Запишем формулу Майера (4.27):
ст.р — ст,„ = Яот = 8,314 ДжДмоль-К).	(5.2)
Разность молярных изобарной и изохорной теплоемкостей для
всех идеальных газов равна универсальной газовой постоянной, зна-
чение которой 8,314 Дж/(моль-К). Для разности объемных изобар-
ной и изохорной теплоемкостей** формула Майера запишется так
с'р-c'v = 8,314/(22,4-10-3) Дж/(м3-К) = 37,1 Дж/(м3-К). (5.3)
Найдем значения молярных теплоемкостей идеальных газов.
В предыдущей главе (см. § 4.6) на основе кинетической теории
газов была получена формула (4.23) для молярной внутренней энер-
гии идеального газа t/m = 4,157n17'. Так как cmtp = dUm/dT, то мо-
лярная изохорная теплоемкость
^,^ = 4,157/1! Дж/(моль-К),	(5.4)
а молярная изобарная теплоемкость
Ст,р = (4,157^4- 8,314) Дж/(моль-К).	(5.4а)
Пользуясь этими формулами, получим [выражая молярную тепло-
емкость в Дж/(моль • К)]:
для одноатомного газа (п2 = 3)
ст>„= 12^47 Дж/(моль-К) и ст,р = 20,79 Дж/(моль-К);
* Вукалович М. П. и Новиков И. И. Уравнение состояния реальных га3ов>
М., 1948.
** р0—101,325 кПа (760 мм рт, ст.) и ta — 0°С.
57
для двухатомного газа —
c,„'V = 20,79 Дж/(моль-К) и ст,р = 29,10 Дж/(моль • К);
для трехатомного и многоатомного газа («х = 6)
Ст. „ = 24,94 Дж/(моль-К) и ст,р = 33,25 Дж/(моль-К).
Таблица 5.1
	срг>р, ДжДмоль.К)	
Газ	теорети-	опытное
	ческпе	• значение
	значение	при 0°С
Одноатомный		
Аргон		20,79	20,89
Пары ртути		20,79	20,85
Двухатомный		
Азот		29 10	29,10
Водород		29,10	28'б4
Воздух 		29,10	29,06
Кислород		29,10	29,27
Многоатомный		
Ацетилен 		33,25	41,91
Метан		33,25	34,75
Сернистый ангидрид	33,25	38,86
Углекислота 		33,25	35,84
В табл. 5.1 приведены опытные значения молярной изобарной
теплоемкости некоторых газов.
Для одноатомных газов молярная теплоемкость ст, р, определен-
ная теоретическим путем, основанным на представлениях классиче-
ской кинетической теории га-
зов, оказалась достаточно
точно совпадающей с опыт-
ными данными.
Для двухатомных газов
наблюдается хорошее согла-
сование значений теплоемко-
стей, определенных теорети-
чески и экспериментально
при 0°С, и значительное
расхождение при более вы-
соких температурах. Так,
например, эксперименталь-
но для воздуха при 1000°С
Ст.р = 34,33 Дж/(моль • К)
и при 2000°С Ст,р =
= 36,68 Дж/(моль • К); для
водорода соответственно
Ст, Р = 31,28 Дж/(моль-К) и
ст,р = 35,04 Дж/(моль-К).
Опытные данные ясно указы-
вают на зависимость моляр-
двухатомных газов от температуры, причем
температуры молярная теплоемкость возрастает.
нои теплоемкости
с увеличением
Для многоатомных газов теоретические значения молярной тепло-
емкости при 0°С резко отличаются от определенных опытным
путем и молярная теплоемкость их еще в большей мере зависит от
температуры. Так, для углекислоты при /=1000"С ст,р =
= 56,77 ДжДмоль-К) и при / = 2000° С стр = 60,67 Дж/(моль-К).
§ 5.2.	Теплоемкость как функция температуры
При определении внутренней энергии идеального газа нельзя
ограничиться учетом только кинетической энергии поступательного
и вращательного движений молекул. Необходимо учесть и следующую
составляющую внутренней энергии — энергию колебательного движе-
ния атомов внутри молекулы так называемого молекулярного вибра-
тора. Понятно, что влияние этой формы внутренней энергии будет
тем существеннее, чем из большего числа атомов состоит молекула.
58
Для одноатомного газа остается в силе изложенная выше теория
теплоемкостей, поскольку наличие в молекуле только одного атома
предрешает отсутствие внутримолекулярной энергии колебаний ато-
мов, чем и объясняется хорошее совпадение значений теплоемкостей,
определенных опытным и теоретическим путем.
При низких и даже обычных температурах количество энергии,
поглощаемой или отдаваемой молекулярным вибратором, сравни-
тельно с кинетической энергией поступательного и вращательного
движений молекулы весьма незначительно и лишь при высоких тем-
пературах делается достаточно заметным.
В простейшем случае гармонического колебательного движения
молекулярного вибратора полная молярная энергия UmK0!l, приходя-
щаяся на одну степень свободы этого движения, согласно выводам
квантовой механики может
быть выражена формулой*
^коЛ = ^е/(е0/Г-1).(5,5) 
где 9 = pv характеристиче-
ская температура колеба-'
тельного движения; v — .соб-
ственная частота колеба-
ния; р — постоянная **.
Полученное выражение
представляет собой «при-
бавку» к значению внут-
ренней энергии [см. формулу
движениями атомов в молекуле. Однако формула (5.5) годна лишь
для двухатомного газа, так как дает значение энергии, приходя-
щееся только на одну степень свободы гармонического колебатель-
ного движения.
В многоатомной молекуле число степеней свободы колебательного
движения соответствует числу осей, соединяющих центры атомов
(рис. 5.1). Обозначая число степеней свободы колебательного дви-
жения через л3, будем иметь для одноатомного газа п2 = 0; для
двухатомного и2 = 1; для трехатомного газа п2 = 3;для четырехатом-
ного «2 = 6 и т. д.
Каждое из колебательных движений имеет свою собственную
частоту колебаний. В связи с этим выражение для Umкол должно
быть представлено в виде суммы членов вида (5.5) с числом членов,
равным пг. Таким образом, для идеального газа любой атомности
молярная внутренняя энергия, выраженная в Дж/моль, равна
Цетырехатом-
ный. газ
Трехатомный
газ
Двухатомный,
газ
пг~6
пг = 3
Рис. 5.1
л2=/
(4.23)],
вызванную
колебательными
Um = 4,157п17’4- 8,314	0//(е9'/г - 1).	(5.6)
г= 1
*	Более подробный анализ показывает, что внутримолекулярные колебания
имеют ангармонический характер.
*	* fi=^h/k, где h — постоянная Планка [/i = ( 1,0545919 ±0,0000080) 10~?4 Дж • с],
a k — постоянная Больцмана.
59
Поправка, вносимая учетом внутримолекулярных колебаний, не
меняет установленного положения, что молярная.внутренняя энергия
идеального газа, а также и молярная энтальпия являются функ-
циями только температуры.
Также следует подчеркнуть, что полученное на основе квантовой
механики уточнение вида функции u — f(T) не вносит изменения
в уравнение состояния, которым по-прежнему является уравнение
Клапейрона — Менделеева.
Зависимость молярной внутренней энергии от температуры [фор-
мула (5.6)] уже не подчинена линейному закону, и ее возрастание
идет быстрее, чем рост температуры, и, как следствие, молярная
изохорная теплоемкость газа находится в более сложной зависимо-
сти от температуры. Действительно, беря производную от Um, по-
лучим для молярной изохорной теплоемкости в Дж/(моль-К) сле-
дующее выражение:
стЛ = 4,157^ + 8,314 2 (ffr -4,157^ + 8,314	(5.7)
Из формулы для cm,v следует, во-первых, что молярная тепло-
емкость газа возрастает с повышением температуры, и чем сложнее
молекула (больше п2), тем значительнее влияние температуры на
теплоемкость, и, во-вторых, что молярная теплоемкость различных
двухатомных или трехатомных газов не одинакова, как это вытекало
из классической кинетической теории теплоемкостей, так как каж-
дому газу соответствуют свои значения 6/*.
Рост теплоемкости при увеличении температуры газа происходит
сравнительно медленно. Так, например, изобарная теплоемкость воз-
духа при изменении температуры от 0 до 100° С возрастает всего на
0,6%, но при изменении температуры от 0 до 2000°С увеличивается
на 27%. Поэтому, когда температура газа увеличивается или умень-
шается незначительно (примерно на 100... 200°С), вполне возможно
и целесообразно принять значение теплоемкости постоянным. При
значительном изменении температуры газа в процессах, происходя-
щих в двигателях внутреннего сгорания и газовых турбинах, а также
при охлаждении продуктов сгорания топлива в газоходах котла
необходимо считать теплоемкость зависящей от температуры.
В настоящей главе, предметом изучения которой является иде-
альный газ, а опытные и теоретические данные о значении тепло-
емкости относятся к идеализированным условиям, считаем, что рас-
сматриваются зависимости
Ст = ф(0 при £>—>-СО И Ор = ф(0 при р->0.
Чтобы подчеркнуть указанные условия, соответствующие тепло-
емкости иногда обозначают cv„ и сРо.
* Формула (5,7) непригодна как для очень низких, так и для очень высоких
температур.
60
§ 5.3.	Истинная и средняя теплоемкости
Для практических расчетов обычно пользуются таблицами удель-
ных и молярных теплоемкостей или формулами, полученными эмпи-
рическими 'методами, а также упрощением формул вида (5.7). И в том
и в другом случаях удельную (или молярную) теплоемкость (с индек-
сом v или р) часто выражают алгебраическим многочленом вида
с = а + М +<Д2 + е/3,
где a, b, d и е — постоянные коэффициенты, причем а —удельная
(или молярная) теплоемкость при 0°С.
Для двухатомных газов (кроме водорода) часто пользуются
двухчленными формулами вида
c = a-\-bt.	(5.8)
Следует различать удельную (или молярную) теплоемкость в дан-
ной точке процесса, а при заданной темпера
емкость с (или ст), определяемую в интер-
вале температур от до 72.
Соотношение между с и с может быть
легко установлено.
Если в координатах at изобразить зави-
симость, например, удельной теплоемкости
[с = ф (/)] для интервала температур от
до /2 (рис. 5.2), то площадь элементарной
вертикальной полоски с, основанием dt будет
равна cdt = §q. Вся заштрихованная пло-
щадь т12п равна qV2, т. е. количеству
удельной теплоты, которую необходимо сообщить для изменения
температуры тела от до t2.
Таким образом,
<71.2= 5 cdt’
но одновременно с этим
<71. г= ® — (О >	. (Ф
и среднюю тепло-
где с можно рассматривать как высоту прямоугольника ml'2'ln., имею-
щего основание 72 —и площадь, равную площади т12п. Следова-
тельно,
^2
£==<71,2/(^2 ^1) = \cdt/(t2 4).	(в)
В частном случае, когда c = a-\-bt (рис. 5.3), имеем
С = (а + &() di = а + у Gi -f- (j).	(5.9)
it
61
Часто интервал температур принимают от == О °C до t2 = t, тогда
средняя теплоемкость может быть определена по формуле
c — a-\-bt/2.	(5.10)
Иногда теплоемкость удельную (молярную) выражают в функции термодина-
мической температуры Т. Так как t=T — 273,15, то*
щем интервалу от до
Рис. 5.3
с = а + «=«а + *(7'-273) = а' + ЬТ,	(5.11)
где а' =к а —273&.
Для средней теплоемкости в интервале от 7\ до Т2 (очевидно, соответствую-
t2) формула (5.9) принимает вид
г=а'+»(Л+Тг)/2	(5.Па)
и для интервала от Т\ = 273,15 К до Т К
f = a' + ft (273 + Т2)/2 =
= (a' + 136,5Z>) + &7’2 = a" + *7V	(5-12)
В случае зависимости теплоемкости от тем-
пературы формула Майера, как это вытекает
из ее вывода, остается справедливой:
Ср cv = 7?.
Таким образом, разность переменных (т. е.
зависящих от t) изобарной и изохорной теп-
лоемкостей постоянна и не зависит от изменения температуры.
Поэтому, если
с„ = av + bt
и
cp = ap-\-bt,	(5.13)
то
Ср — cv = ap-av = R.	(5.14)
Изложенное выше в одинаковой мере распространяется на моляр-
ную теплоемкость ст и на объемную теплоемкость с'.
Для опытного определения значений теплоемкости газов иссле-
дователи использовали различные методы. В зависимости от точно-
сти исследований и диапазона температур, в котором определялась
теплоемкость, были опубликованы многочисленные формулы под име-
нами их авторов. Наиболее точные данные о теплоемкостях, полу-
ченные путем спектрографических измерений, приведены в прило-
жениях 1, 2 и 3, а о термодинамических свойствах воздуха — в прило-
жении 4.
§ 5.4. Теплоемкость смеси газов
Теплоемкость смеси газов вычисляют в зависимости от способа
задания состава смеси. Рассмотрим случай, когда известны массовые
доли gi компонентов смеси.
* Пользуясь справочниками с данными о теплоемкостях, необходимо обра-
щать внимание на температуру t °C или Т К, для которой приведены значения
истинной или средней удельной (или молярной) теплоемкости,
62
Масса смесй
i=n
m =	= mi,
; = i
где mt — масса i-го компонента. При повышении температуры смеси
газов (например, в процессе при р = const) на Д/ затрачивается
теплота mcpAt на каждый компонент смеси mtCpiAt. Следовательно,
I--/1
тсрAt = т1ср1 А1^т2с[Л At-\-., .-\-тпсРп At — У, micpiAt, (5.15)
i=i
деля обе части равенства на т At, получим
f = n
CP=glCrl + g'2CP2 + --- + g'«Cp„= у glCpi.	(5.16)
Z = 1
Когда смесь задана объемными долями компонентов, объемная
изобарная теплоемкость смеси определяется по формуле, аналогич-
ной (5.16),
Ср = Vp!+ Г2СР2+ •• + '	= 5 ricpi-	(5Л7)
(=1
Учитывая, что r,=v( (см. § 4.4), где v; — молярная доля г-го ком-
понента в смеси, получим формулу для молярной изобарной тепло-
емкости смеси газов:
Ст. п — rlCm. о) 4" Г2Cm. Р2 ~4~ • • • ~4~ t~r£m. пл ~ Cfim.pli (5.18)
1 = 1
где ст, р — молярная изобарная теплоемкость смеси.
Аналогично могут быть составлены формулы для истинных и
средних изохорных и изобарных теплоемкостей.
Глава VI
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ИЗМЕНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
(в условиях закрытой системы)
§ 6.1.	Постановка задачи исследования процессов
В этой главе рассматриваются равновесные термодинамические
процессы изменения состояния идеального газа при постоянной тепло-
емкости в условиях закрытой системы. При этом чисто механиче-
ские явления, связанные с перемещением рабочего тела как целого,
отсутствуют (или не учитываются) и обмен массой с окружашцей
средой не происходит, например процесс расширения газа в цилиндре
с подвижным поршнем или в таких условиях, когда явления рас-
сматриваются относительно центра инерции рабочего тела. В изло-
63
Жёйных условиях первое начало термодинамики описывается урав-
нением 8q = duJr8l. Состояние в каждой точке процесса, поскольку
оно является равновесным, а газ идеальным, подчиняется уравнению
состояния pv = RT.
Большое значение имеют процессы, совершаемые при неизменном
значении одного из термических параметров (р = const; v = const;
Т — const), и процессы, энергетический обмен в которых ограничен
условием равенства нулю одного из составляющих первого начала
термодинамики: при отсутствии теплообмена (67 = 6), при отсутствии
работы изменения удельного объема (6/ = 0) или при отсутствии из-
менения внутренней энергии (dz/ = O). Такие процессы называются
основными или частными процессами.
Дальнейшее рассмотрение упомянутых шести основных процессов
показывает, что в случае идеального газа получается только четыре
частных процесса. Действительно, в связи с тем, что изменение
удельной внутренней энергии идеального гйза du =cv dT, условие
постоянства внутренней энергии du = 0 (и = const) совпадает с усло-
вием постоянства температуры dT = 0 (Т = const), т. е. выполняется
в изотермическом процессе. Элементарная работа равновесного про-
цесса 6/ = р dv; следовательно, условие 81 = 0 (а значит, и /12 = 0)
совпадает с условием dv = 0 и v = const, т. е. соответствует изохор-
ному процессу.
Таким образом, для идеального газа получены только четыре
частных процесса: изохорный, совершающийся при постоянном удель-
ном объеме, изобарный — при постоянном давлении, изотермический —
при постоянной температуре и адиабатный, протекающий без обмена
теплотой между рабочим телом и окружающей средой. Далее рас-
сматриваются так называемые политропные процессы, в число
которых как частные случаи входят и указанные четыре основных
процесса.
Задача исследования термодинамического процесса состоит:
1)	в нахождении уравнения процесса и изображении его в си-
стемах координат pv и Ts, а также в установлении соотношений
между изменяющимися в процессе термическими параметрами;
2)	в установлении характера преобразования энергии, т. е. коли-
чественного соотношения между величинами, содержащимися в урав-
нении первого начала термодинамики, и в получении формул для
вычисления изменений удельных и молярных внутренней энергии,
энтальпии и энтропии, а также в определении количества сообщен-
ной теплоты и работы процесса.
Следовательно, требуется рассмотрение трех функций состояния,
изменение которых (Ди, At и As) не зависит от характера процесса,
и двух функций процесса (71>а и 112), т. е. величин, значения кото-
рых зависят от вида кривой процесса. Поэтому формулы для вы-
числения удельных количеств теплоты и работы различны для каж-
дого процесса; что касается выражений для вычислений изменений
удельных внутренней энергии, энтальпии и энтропии через параметры
состояния начала и конца процесса, то они являются общими для
всех процессов.
64
§ 6.2.	Приращение внутренней' энергии и энтальпии
Так как удельные внутренняя энергия и энтальпия являются
функциями состояния, их приращения однозначно определяются
двумя начальными и двумя конечными параметрами состояния рабо-
чего тела.
Для идеального газа удельная внутренняя энергия и энтальпия
являются функциями только одного параметра—температуры, поэтому
и их приращения зависят от изменения только температуры и опре-
деляются простыми зависимостями
и (4.26):
du — cv dT
и
d.i = cpdT.
При постоянной теплоемкости с =
z^2 Wj = Cv (Т2	7\),
i2 — ij = cp (T’2 — 7\),
Рис. 6.1
где и ср —средняя изохорная и изо-
барная удельные теплоемкости.
Так как произведение изохорной теплоемкости на изменение тем-
пературы равно удельному количеству теплоты, сообщаемой в изо-
хорном процессе, то
7^1, г —	TJ.
(в)
Это количество теплоты может быть графически определено пло-
щадью под линией процесса и — const на диаграмме Ts; оно равно
приращению удельной внутренней энергии [формулы (6.1) и (в)] и
может, таким образом, быть представлено площадью под изохорой
1-2V (рис. 6.1), располагающейся между температурами 7\ и Т2.
Изложенное позволяет заключить, что во всех процессах, совер-
шаемых в заданных пределах температур Тг и Т2, независимо от
вида процесса и значений подводимой (отводимой) теплоты и совер-
шаемой (затрачиваемой) работы приращение удельной ^внутренней
энергии имеет одно и то же значение, определяемое аналитически
равенством (6.1) и графически на диаграмме Ts площадью между
линией процесса и осью удельных энтропий, поскольку удельная
внутренняя энергия— функция состояния. Так, на рис. 6.1 заштри-
хованная площадь характеризует приращение внутренней энергии не
только в изохорном процессе 1-2V, но и в изобарном 1-2р, в адиабат-
ном /-2ад и в любом произвольном 1-2', 1-2".
Аналогично,
2(А — — h’	(г)
Изменение удельной энтальпии графически определяется площадью
a2pld под изобарой it~ii (рис. 6.1) для любого процесса, совер-
8 Зак. 49	65
шаемого между изотермами Тх и Т2, в частности для изохоры и
адиабаты.
В заключение следует заметить, что, поскольку i = и 4-ри и, сле-
довательно, —- /ф — и2 — их + p2v2 — piv1, пл. a2rj‘2Tb представляет
собой приращение потенциальной энергии давления, т. е. величину
p2v2 — pYvt в любом процессе, совершаемом в тех же пределах тем-
ператур.
§ 6.3.	Приращение энтропии
Найдем формулы для вычисления приращения удельной энтро-
пии. По определению (см. § 3.6), дифференциал удельной энтропии
ds — 8q/T.
Подставим вместо bq его выражение в одном случае по основному
уравнению первого начала (4.28) 8q = cv dT ф-р dv, в другом —по
уравнению (4.29) Sq = cpdT — vdp. В результате получим:
ds = cv dT ф- р dv/T;	(а)
ds = cpdT — v dp/Т.	(б)
Произведем замену (в соответствии с уравнением Клапейрона р/Т =
— R/v и v/T = R/p):
ds = cv dT/ТR dv/v;	(6.3)
*	ds = cp dT/Т — R dp/p.	(6.4)
Возьмем логарифмическую производную левой и правой частей урав-
нения pv = RT:
dv/v ф- dp/p dT/Т.	(в)
Подставив выражение pj\ndT/T из уравнения (в) в уравнение (6.3)
или (6.4) с учетом, что cp — cv = R, получим
ds = ср dv/v ф- cv dp/p.	(6.5)
Уравнения (6.3), (6.4), (6.5) устанавливают в дифференциальной
форме зависимость удельной энтропии от параметров Т, v;T, р и V, р.
Интегрируя найденные выражения для ds в пределах от значений
параметров в начальном и конечном состояниях, получим при посто-
янной удельной теплоемкости:
s2- Sj = cB In (Т^Т^ ф- R ln(w2/i>j),	(6.6)
s2 si = cp (T'a/T’i) R In (Pa/Pi),	(6-7)
s2 - Sj == Cp In (Uj/yJ Ф- cv In (p2/Pi).	(6.8)
Возьмем неопределенный интеграл от выражений (6.3), (6.4) и
(6.5), тогда
s = cv In Т 4- R In v 4- const,
s — cp In T — R in p 4-const,	(6.9)
s = Cp In v 4- cv In p ф- const.
66
Условно считают, что при некоторых значениях параметров То и р0
удельная энтропия $о = О. Обычно для газов принимают То
= 273,15 К (О°C), р0= 101,325 кПа* и v0 = RTv/p0.
При этих условиях, исходя из формулы (6.6), получим
s ~ cv In (T/To) + R In (v/v0).	(6.10)
Аналогично из формул (6.7) и (6.8) можно получить формулы,
выражающие зависимость s = Д (Т-1, р) и s = f2(v, р).
Если известна удельная теплоемкость процесса c = H>q/dT, то для
приращения энтропии удобно воспользоваться следующим выра-
жением:
ds = &qlT = cdT/T,	(6.11)
интегрируя которое при постоянной теплоемкости, получим
s2 —sx =с In (Т^/Т^).	(6.12)
Воспользовавшись уравнением (6.12) и выражением <?112 =
— с(Т2 — Г]), можно для введенной в _§ 3.7 средней термодинами-
ческой температуры по формуле (3.35) Т = <?1>2/(s2 — sx) получить сле-
дующее выражение, справедливое для процессов при постоянной
удельной теплоемкости:
Т’ = (Т2-Л)/1п(Т2/Л).	(6.13)
Формулу (6.13) используют, в частности, при сравнении'циклов
тепловых двигателей.
§ 6.4.	Изохорный процесс
Исследование проводим в соответствии с планом, приведенным
в § 6.1.
Уравнение изохоры v = const, следовательно, изохорный процесс
в координатах pv — вертикальная прямая (рис. 6.2, с). При подводе
теплоты давление увеличивается, при отводе —уменьшается.
Удельную энтропию можно определить по уравнению (6.12), если
положить в нем теплоемкость c = cv, a s2 и Т2 заменить перемен-
ными s и Т:
s = s1 + cv\n(TjTJ).	(6.14)
Следовательно, на диаграмме Ts изохора изображается логарифми-
ческой кривой (рис. 6.2, б). При подводе теплоты удельная энтро-
пия увеличивается, при отводе — уменьшается.
Приращение энтропии при переходе от изохоры o1 = const к изохоре v2 =
= const при постоянной температуре согласно уравнению (6.6), первое слагаемое
которого в правой части при 'Г1~Т2 — Т обращается в нуль, составляет
Asr=(s2-si)r=;^ln(t,a/vi)-	(а)
* 0*С и 760 мм рт. ст»
6»
67
Это равенство справедливо при любом значении Т, значит расстояние по гори-
зонтали между любыми двумя изохорами при различных температурах остается
одним и тем же. Из этого следует, что изохоры представляют собой семейство
эквидистантных кривых, т. е. все они могут быть получены передвижением одной
из них параллельно оси абсцисс. При этом изохоры, отвечающие большему
объему, располагаются правее.
Применяя уравнение Клапейрона для начального и конечного
состояний, имеем:
PyV = RT р	(б)
р2и = RT2.	(в)
Деля почленно уравнение (в) на (б), находим
(6.15)
Параметры р и Т изменяются по закону Шарля.
Приращение удельной внутренней энергии и удельной энтальпии
вычисляют по формулам (6.1) и (6.2); приращения удельной энтро-
пии по (6.12) при условии с = сг, т. е.
s2 —s1 = coln(T,/7’1).	(6.16)
В изохорном процессе dv = 0, следовательно, и 6/ = р dv = 0. Зна-
чит, удельная работа /Ь2 в изохорном процессе равна нулю:
/. = 0.	(г)
Следовательно,	вся	удельная теплота,	подводимая	в изохорном
процессе,	затрачивается на изменение	удельной	внутренней энергии:
Qul.2~U2	tll-	(Д)
Из определения удельной теплоемкости имеем
бри - ст, dt и QVi, 2 ~ Си (Т\2	7\).
Графически количество теплоты у., определяется на диаграмме Ts
площадью, ограниченной изохорой, двумя крайними ординатами и
осью абсцисс.
63
§ 6.5.	Изобарный процесс
Уравнение изобары cofist. Значит, процесс в координатах pv
изображается горизонтальной прямой (рис. 6.3, а); при 'подводе
теплоты удельный объем увеличивается, при отводе — уменьшается.
Удельную энтропию можно определить по уравнению (6.12),
если подставить в него теплоемкость с = ср„ а конечные значения s2
и Т„ считать переменными s и Т:
s = s14-cpln(T/T1).	(6.17)
Значит, изобара изображается на диаграмме Ts, так .же как изо-
хора, логарифмической кривой, но располагается она более полого.
Такой вывод вытекает из сравнения формул (6.14) и (6.17): так как
Рис. 6.3
cp>cv, то при одинаковом изменении температуры Asp>As„
(рис. 6.3, б).
Приращение энтропии при переходе от изобары рх к изобаре р2
при постоянной температуре находим по уравнению (6.7). Положим
Л = Л. тогда
Asr = (sa-s1)r = — R In (p2/pi).
(a)
Следовательно, изобары, подобно изохорам, представляют собой
семейство эквидистантных кривых. Знак минус в этом уравнении
показывает, что справа от данной изобары располагаются изобары
меньшего давления.
Применяя уравнение Клапейрона к начальному и конечному со-
стояниям:
p£/1 = Z?7\;	'	(б)
py2 = R7’2	(в)
и деля почленно (в) на (б), получаем
(6.18)
69
Изменение параметров v и Т в изобарном процессе подчинено
закону Гей-Люссака: удельные объемы идеального газа в изохорном
процессе прямо пропорциональны термодинамическим температурам.
Приращение удельных внутренней энергии, энтальпии и энтро-
пии можно определить по формулам (6.1), (6.2) и (6.12). Последняя
принимает вид
s2 - Sj = ср In	(6.19)
Удельную работу изменения объема определяют интегрированием
элементарной работы &l = pdv при условии р = const:
/р1.2 = Р (^2-^1)-	(6-20)
Графически на диаграмме pv удельная работа изображается пло-
щадью под линией процесса, заштрихованной на рис. 6.3, а.
Формулу (6.20) можно представить и в ином виде. Заменив произве-
дения и pvx по уравнению Клапейрона на RT2 и RTlt получим
р(и2-ц1) = /?(7’2-7’1).	(г)
Следовательно,
/Р1.2 = ^(Т,2-Л)	(6.21)
или
= ^pi. 2/(^2 ^i)-	(6.21а)
Газовая постоянная R равна отношению удельной работы изме-
нения объема идеального газа в изобарном процессе к изменению его
температуры.
Удельное количество теплоты в изобарном процессе определяют
по формуле
Qpi.i= Ср (Т'г ^1)-	(6.22)
Применяя уравнение первого начала термодинамики 8q = di — v dp*
к изобарному процессу, находим:
&qp = di,
9pi. 2= ^2 Ч-	(6.23)
Таким образом, при известных значениях удельной энтальпии
в начале и в конце процесса определение (в изобарном процессе)
теплоты процесса сводится к подсчету изменения удельной энтальпии.
Количество теплоты на диаграмме Ts изображается заштрихован-
ной площадью (рис. 6.3, б). Если удельная энтропия возрастает, то
это значит, что теплота подводится.
§ 6.6.	Изотермический процесс
Уравнение процесса в координатах pv находим из уравнения
Клапейрона pv = RT\ поскольку RT — величина постоянная, имеем
рц== const.	(а)
Это уравнение показывает, что изотерма на диаграмме pv изобра-
жается равнобокой гиперболой (симметричной относительно осей ко-
70
ординат). Чем выше температура, тем больше произведение pv и тем
дальше от начала координат располагается изотерма (рис. 6.4, а).
На диаграмме Ts изотерма изображается прямой, параллельной
оси абсцисс (рис. 6.4, б).
Поскольку произведение pv остается неизменным, имеем
Р1Ъ=РМ
V2/V1 = р2/Рг
или
(6.24)
(6.24а)
Изменение параметров р и и в изотермическом процессе подчи-
нено закону Бойля — Мариотта: в изотермическом процессе удельные
объемы идеального газа обратно пропорциональны его давлениям.
Рис. 6.4
Так как температура в изотермическом процессе остается неиз-
менной, удельные внутренняя энергия и энтальпия также не изме-
няются — их приращения равны нулю:
du = cvdT = 0;	(б)
di = cpdT = 0.	(в)
Вычисление приращений удельной энтропии в изотермическом про-
цессе упрощается:
2	2
S2-S1 = ^ 8q/T = 8q = qbi/T.	(6.25)
1	1
По формуле (6.5) при Т = const имеем
s2 — s1 = 7?ln(u2/v1).	(6.26)
Удельную работу изменения объема определяем по общей формуле
2
/1,2=$pdy.	(г)
71
Заменив р на RT/v из уравнения Клапейрона и проинтегриро-
вав, получим
Z1,2 = 7??’In (u2/yj).	(6.27)
С помощью уравнения Клапейрона и соотношения (6.24) формулу
(6.27) можно записать в следующих видах:
^i.2 = -R7’ln(Jp1/p2);	(6.28)
li,2 = Pivi In (vjvj;	(6.28a)
4,2 = РЛ !n (pi/p2)-	(6.286)
Удельная работа изменения объема /112 в координатной системе
pv графически изображается, как и в других процессах, площадью
под кривой процесса (рис. 6.4, а). При расширении работа положи-
тельная, при сжатии — отрицательная.
Поскольку удельная внутренняя энергия в изотермическом про-
цессе не изменяется (du = 6), из основного уравнения (3.5) первого
начала термодинамики находим
6<7 = Ыт-	(д)
В изотермическом процессе вся подведенная теплота преобразуется
в работу расширения, а в случае сжатия идеального газа вся затра-
ченная работа преобразуется в теплоту, отводимую от него.
Удельная теплота графически изображается площадью под ли-
нией процесса на диаграмме Ts (рис. 6.4, б). Если удельная энтро-
пия возрастает (ds^>Q), то теплота подводится (8q = T ds>0) и газ
расширяется (v^^v^, p1<Zpi)- И обратно, если удельная энтропия,
уменьшается, то теплота отводится и газ подвергается сжатию
(v2<vi; р2>Р1)-
§ 6.7. Адиабатный процесс
В полной мере обеспечить отсутствие теплообмена между рабочим
телом и окружающей средой, необходимое для адиабатного про-
цесса, не представляется возможным. Однако при достаточно хоро-
шей тепловой изоляции рабочего тела от внешней среды можно ука-
занный обмен теплотой свести к столь малому значению, что процесс
практически будет адиабатным. С достаточной для практики точ-
ностью можно принять процесс за адиабатный и тогда, когда он
протекает столь быстро, что теплоотдача, зависящая от времени, не
успевает существенно повлиять на ход изменения состояния. А от-
клонения от равновесного процесса учитываются в дальнейшем вве-
дением в расчеты специального коэффициента..
Положив 8q = Q (а следовательно, и qv 2 = 0), найдем из уравне-
ния первого начала термодинамики
б/=— du	(6.29)
ИЛИ
c^dT-\-р dv — Q.	(6.30)
72
Если 8q — 0, то предположение, что qi,2 — const, неверно. Един-
ственно правильно считать эту постоянную равной нулю, так как 8q
является неполным дифференциалом. Также отметим,, что qli2 может
быть равной нулю и в том случае, когда во время процесса имеют
место одни участки с подводом теплоты и другие участки с отводом
теплоты. В этом случае алгебраическая сумма *71,2 = § bq может ока-
1
заться равной нулю, но процесс не будет адиабатным, так как
имеются элементарные участки процесса, на которых 6</=й=0.
Из уравнения (6.29) непосредственно следует, что удельная ра-
бота при адиабатном расширении производится за счет изменения
удельной внутренней энергии, значение которой поэтому уменьшается,
и обратно: при адиабатном сжатии затрачиваемая работа преоб-
разуется во внутреннюю энергию, которая в этом случае возрастает.
Интегрируя уравнение (6.29) от первого др второго состояния,
получаем
4,2 = — \и = u1 — ui.	(6.31)
Разность и1 — и.г для любого процесса, совершаемого идеальным
газом, всегда равна cv (7\ — Т2).
Следовательно,
(6.32)
Уравнение (6.30) дает в дифференциальной форме связь-между
параметрами v, р и Т, обусловливающую адиабатнбсть процесса.
Для получения уравнения адиабаты с параметрами v и р исключаем
с помощью уравнения состояния температуру Т из уравнения (6.30).
Дифференцируя уравнение Клапейрона pv = RT, имеем:
р dv + v dp = R dT;	(a)
dT = pdv-{-vdp/R.	(6)
Подставляя выражение (б) для dT в уравнение (6.30), получаем
(c„ + R) pdv + cvvdp = 0.	(в)
Учитывая, что cv-\-R — cp, находим
срр dv^-c^v dp — Q.	(г)
Введем обозначение k для соотношения удельных теплоемкостей—
показателя адиабаты:
cp/cv = k.	(6.33)
Разделив обе части равенства (г) на произведение cvpv, разде-
ляем переменные, тогда
k dv/v + dp/p = 0.	(6.34)
Формула (6.34) является искомым дифференциальным уравнением
адиабаты. Принимая удельные теплоемкости, а следовательно, и k
73
не зависящими от температуры, после интегрирования получаем
k In In p = In В,	(д)
где В — произвольная постоянная интегрирования.
Потенцируя, получаем уравнение адиабаты
pVk = const.	(6.35)
Исключим из уравнения (6.35) параметр p = RTjv'.
(RT/v) vk = RTv*-1 = const	(e)
или
TV1 = const.	(6.36)
Полученное выражение является уравнением адиабаты идеального
газа в системе координат Tv.
Подстановка в уравнение (6.35) v = RT/p дает еще одно уравне-
ние адиабаты идеального газа в системе Тр:
р (RTlp)” = Т/р®->>/* = const.	(6.37)
Из уравнений (6.35... 6.37) следуют очевидные соотношения:
Рг/Pi = (ni/n2)ft;	(6.38)
(6.39)
Т./Т^^/р^-^.	(6.40)
Используя формулу Майера
cp — cv = R,	(ж)
можно установить зависимость cv и ср от газовой постоянной и по-
казателя адиабаты. Разделив обе части уравнения (ж) на cv, получим
k — 1 = R/cv	(з)
и
св = /?/(А-1).	(6.41)
При делении на ср получим
1 -\/k = Rlcp
и
cp — kR/(k — l).	(6.42)
Подставив в формулу (6.32) значение са из выражения (6.41),
получим удобную для расчетов формулу для определения удельной
работы изменения объема в адиабатном процессе:

(6.43)
74
Показатель адиабаты k — Cj>/cv для случая cv = const может быть
легко определен на основе кинетической теории газов. Так, для
одноатомных газов (см. § 5.1)
k = ст, р!ст, „ = 20,79/12,47 = 1,67,
для двухатомных идеальных газов
k = cm, р!ст^ = 29,10/20,79= 1,40
и для многоатомных идеальных газов
k — ст> p!cmi v — 33,25/24,94 = 1,33.
Адиабата в координатах pv принадлежит к семейству неравно-
боких гиперболических кривых. Так как £>1, то адиабата, пред-
ставляемая уравнением pvk, пройдет более круто, чем изотерма
pv = const (рис. 6.5, а).
Из равенства ds — bq/T при 6<? = 0 (для адиабаты) имеем
или
ds = 0	(и)
s = const.	(к)
Таким образом, адиабатный процесс является одновременно изо-
энтропийным процессом s = const. На диаграмме Ts адиабата изобра-
жается прямой, перпендикулярной оси энтропий (рис. 6.5, б). При
сжатии вследствие увеличения удельной внутренней энергии темпе-
ратура увеличивается и адиабата направлена вверх. При расшире-
нии температура падает и прямая процесса направлена вниз.
2
Удельная работа изменения объема li,2 — ^pdv выражается пло-
1
щадью под кривой процесса на диаграмме pv (рис. 6.5, а). Расчет-
ную формулу для определения удельной работы можно получить
интегрированием этого выражения либо на основе физических пред-
ставлений о равенстве удельной работы и 'приращения удельной
внутренней энергии, взятого с обратным знаком по уравнениям
75
(6.31) и (6.32). Заменяя в уравнении (6.32) удельную теплоемкость
по формуле (6.41), а температуру — по уравнению Клапейрона Т1==
= pv/R и Т2 = p2v2/R, получаем
^1,2 = (РЛ-№)/(й-!)•	(6-44)
Формулу для удельной работы можно представить и в ином виде.
Вынося за скобки произведение ptv± и используя выражение (6.38),
получаем
<б-45)
Уравнения (6.35)... (6.45) применимы в том случае, когда можно принять
удельную теплоемкость, а следовательно, и показатель адиабаты не зависящими
от температуры. Опыт подтверждает, что при температурах, близких к О °C, для
двухатомных газов показатель адиабаты k 1,40. Поэтому в тех случаях, когда
процесс протекает при невысоких температурах, можно принимать значение по-
казателя адиабаты постоянным и равным значению его при 0°С. С повышением
температуры газа показатель адиабаты уменьшается. Можно принять, что для
двухатомных газов в пределах от 0 до 2000 °C показатель адиабаты меняется по
линейному закону
£= 1,40 —0,5 - 10-4/.	(6.46)
Например, при /=1000 °C имеем 6 = 1,35.
Во многих случаях с достаточной для практических расчетов точностью
можно пользоваться уравнением адиабаты в виде
puft — const,	(6.47)
где 6— среднее значение показателя адиабаты для данного температурного ин-
тервала.
§ 6.8. Политропные процессы
Политропным * называется процесс изменения состояния идеаль-
ного газа, характеризуемый постоянной теплоемкостью с, называемой
политропной теплоемкостью. При определенных условиях удельная
теплоемкость c = 8q/dT принимает значения сг„ ср, ±оо (в изотер-
мическом процессе) и с = 0 (в адиабатном процессе). Следовательно,
рассмотренные ранее в настоящей главе четыре основных термодина-
мических процесса также являются политропными.
Приведенное определение политропного процесса имеет глубокий
физический смысл, так как условие постоянства теплоемкости нала-
гает определенные ограничения на характер преобразования энер-
гии, которые отличают политропный процесс от произвольного не-
политропного процесса. Если величины, содержащиеся в уравнении
первого начала термодинамики 8q — du-}- 81, выразить через пара-
метры состояния, их приращения и удельные теплоемкости: cdT =
= cv dT р dv и учесть, что удельные теплоемкости с и cv — вели-
чины постоянные, то и размер величины р dv останется в процессе
неизменным. Таким образом, условие постоянства удельной тепло-
* От греческих слов «poly»— много и «trope» — превращение, т. е, политроп-
ный значит многообразный, многовариантный.
76
емкости означает, что количественное распределение теплоты между
внутренней энергией и работой изменения объема в политропном
процессе остается неизменным. В этом состоит главная особенность
политропного процесса.
Запишем уравнение первого начала термодинамики в безразмер-
ном виде (в относительных величинах), разделив обе части уравне-
ния на 6р:
1 = du/bq + б//б(?	(а)
и обозначив
x = du/6q.	(6.48)
Величина х, равная доле теплоты, расходуемой на изменение
внутренней энергии, характеризует распределение теплоты между
внутренней энергией и работой; доля теплоты, идущая на работу
изменения объема, 6//6</ = (1— х). Следовательно, х в процессе не
меняется.
Найдем уравнение политропного процесса в системе координат pv,
для чего воспользуемся уравнениями первого начала термодинамики
6q = du-\-8l;	(б)
8q = di + 6/пот	(в)
или
с dT = cvdTр dv;	(г)
cdT = ср dT — V dp,	(д)
откуда
(с — с0) dT = р dv;	(е)
(c — Cp)dT = — vdp.	(ж)
Делим почленно уравнение (ж) на (е) и находим
(с — Ср}!(с — с0) = — vdpKpdv).	(з)
Вводим обозначение
(c-Cp)l(c — cv) — п.	(6.49)
Величина п называется показателем политропы.
Находим из выражения (з) уравнение политропы в дифференци-
альной форме:
п dv/v + dp/p = 0.	(6.50)
Интегрируем равенство (6.50) при постоянном п и находим:
п In у + 1п р = const;	(и)
In (ри") = const.	(к)
Если логарифм имеет постоянное значение, значит и величина
под знаком логарифма также постоянная, т. е.
pvn = const.	(6.51)
7Т
Выражение (6.51) есть искомое уравнение политропного процесса
в системе координат pv. Следовательно, политропным называется
процесс, описываемый уравнением pvn = const при обязательном усло-
вии, что показатель политропы п в процессе не изменяется.
Линия, изображающая политропный процесс на термодинамиче-
ской диаграмме, называется политропой. Показатель политропы мо-
жет .принимать любое постоянное значение, определяющее не только
вид политропы, но и особенности преобразования энергии. Практи-
чески интерес представляют политропы с показателем от 0,8 до 1,7.
Уравнение политропы удобно использовать для описания дейст-
вительных процессов, происходящих в тепловых машинах, в частно-
сти в двигателях внутреннего сгорания (поршневых и газотурбин-
ных), в компрессорах (поршневых и центробежных).
При нек'оторых частных значениях показателя политропы п урав-
нение pvn — const превращается в уравнения рассмотренных выше
четырех основных термодинамические процессов. Эти частные зна-
чения п получаются из равенства (6.48) при соответствующих зна-
чениях удельной теплоемкости. Так, при с = 0 п = k и по уравнению
(6.51) политропы имеем pvl!, т. е. адиабату. При с = “Соо п = 1
и, значит, pv----- const, что соответствует изотерме; при с = ср полу-
чаем п — О и pva = р = const, т. е. имеем изобару. Извлечем из обеих
частей уравнения (6.50) корень n-й степени pl/nv =- const, а затем
положим п = оэ. Так как при этом 1//г = 0, получим уравнение изо-
хоры v =--= const.
Внешнее сходство уравнения политропы с уравнением адиабаты
(вместо показателя адиабаты k показатель политропы п) позволяет
по аналогии с адиабатой (при k = const) написать уравнения поли-
тропы в виде
Tvnl = const;	(6.52)
= const.	(6.53)
Соотношения между параметрами в политропном процессе таковы:
Pz/Pi = (У1/Ц2)п;	(6.54)
Т2/Т1 = (И1/и2)« !;	(6.55)
Л/Л-(р2/А)(л п/я-	(6.56)
Работу в политропном процессе можно определить по формулам,
аналогичным формулам (6.43)... (6.45), выведенным для адиабатного
процесса с заменой k на п:
^i,2 = (piui-P2^)/(«-1);	(6.57)
/1,2 = й[1-^1)(Я-1)/Я];	<6'58)
(6.59)
Следует отметить, однако, что было бы ошибочным распростра-
нять подмеченную аналогию на формулы (6.29)... (6.32). Эти фор-
78
мулы получены из определения самого адиабатного процесса (Sq — 0)
и, конечно, к политропному процессу применены быть не могут.
Чтобы определить удельное количество теплоты, подводимое в по-
литропном процессе, необходимо знать теплоемкость процесса с, или
показатель политропы п, или, наконец, величину х. Удельную тепло-
емкость политропного процесса будем называть в дальнейшем иде-
альной политропной теплоемкостью. Найдем формулу для
ее определения через показатель политропы из уравнения (6.49).
Имея в виду, что отношение cp/cv = k, получим
c — cv (п — k)/(n — 1).	(6.60)
Располагая выражением для политропной теплоемкости, можно
для элементарного количества теплоты в политропном процессе за-
писать
Интегрируя это выражение (с0 и /г — постоянные), получим фор-
мулу для определения удельной теплоты в политропном процессе:
91.2 = с11^(Т2-7’1).	(6.61)
Изменения удельных внутренней энергии и энтальпии опреде
ляют, как и для любого процесса, по формулам (6.1) и (6.2). Для
вычисления изменения энтропии применима любая из формул (6.6),
(6.8), (6.12). Последнюю с учетом формулы (6.60) приводим к виду
s2 - Si = cv In (Т2/Л).	(6.62)
Найдем расчетное выражение для доли теплоты х, расходуемой
на изменение внутренней энергии [формула (6.48)]. Так как du —
— cvdT, a 6q = cdT, учитывая равенство (6.60), найдем
x = du/6q — cv/c = (п — k)/(n — 1).	(6.63)
Выражение (6.63) устанавливает зависимость между тремя вели-
чинами х, с, п, каждая из которых характеризует преобразование
энергии в политропном процессе. Доля теплоты х — необычная доля.
В различных процессах она принимает значения от — оо до -фоо.
Например, в адиабатном процессе расширения 8q = 0, a du <2 0, зна-
чит х = — оо. Поэтому величину х будем называть просто коэффи-
циентом распределения теплоты, что соответствует следующему хотя
и условному в известном смысле, но удобному уравнению первого
начала в применении к политропным процессам
<7 = л-<7 + (1 -x)q.	(к)
При cv = const и величина х — const. Следовательно, любой
политропный процесс может быть определен как процесс, в котором
на изменение внутренней энергии рабочего тела расходуется произ-
вольная, но неизменная в процессе доля теплоты.
79
Имеем:
(п2 — «,)/</,. 2 = х;	(6.64)
к з/71,2=1-х;-	(6.64a)
/1,2/(«2-«1) = (1 ~Х)/Х,	(6.646)
где	
х = (п — l)/(n — k);	(6.65)
1 — x = (k — l)/(k — ri)\	(6.65a)
(1 — x)/x = (k — !)/(! -n).	(6.656)
§ 6.9. Исследование политропных процессов
Воспользуемся дифференциальным уравнением политропы (6.57),
записав его в виде
dp — — пр dv/v.	(6.66)
Кроме того, продифференцируем уравнение (6.49):
(п — 1) Tvn 2 dv-}- vn1 dT — 0	(a)
или
dT = (1 — n) T dv/v.	(6.67)
В полученных дифференциальных соотношениях p/v и Tv яв-
ляются существенно положительными величинами. При этом из ра-
венства (6.66) следует, что при всех положительных значениях п
знаки изменения давления и удельного объема противоположны друг
другу*. Когда	то dp<0, т. е. давление уменьшается, и
обратно: в процессах сжатия (dv <zG) давление увеличивается
(dp>0). При п = 0 (изобара) получаем, как и следовало ожидать,
dp = O и р = const.
Из уравнения (6.67) следует, что при п<1в процессе расши-
рения температура повышается (dT > 0), а при сжатии температура
уменьшается (dT <0). При и7>1, когда разность 1— п становится
отрицательной, находим, что при расширении температура падает,
а при сжатии температура увеличивается. При п = 1 (изотерма)
имеем, что при любом знаке dv изменение температуры dT = 0, т. е.
Т — const.
Знак изменения удельной внутренней энергии du — cv dT опре-
деляется знаком величины dT; знак удельной работы изменения
объема 6/ = р dv зависит от знака dv, а знак удельной теплоты опре-
деляется знаком политропной теплоемкости с и знаком dT, как это
следует из уравнения bq — cdT. Из формулы (6.60) при 1 <Zk
следует, что удельная теплоемкость процесса отрицательна (с<0),
* Расширением называется процесс, связанный с увеличением удель-
ного объема. Неправильно характеризовать расширение как процесс с понижаю-
щимся давлением. При расширении, т. е. при п < 0, давление будет увеличи-
ваться. При п = 0, т. е. при изобарном расширении, давление остается посто-
янным.
80
а при других положительных значениях п (п< Г и n>k) тепло-
емкость положительна.
Все политропы со значениями л>0 можно разбить на три основ-
ные группы с характерным энергетическим балансом: 1) 0<п<1;
2) 1	3) n>k.
Основные политропные процессы с показателями п = 0; I; k; оо
служат границами между упомянутыми группами.
В качестве пояснения к вышеизложенному рассмотрим политропы
расширения с показателем п = 0,8; п=1,2 и п=1,6.
Примем для всех случаев &= 1,40.
1.	Политропа расширения при п = 0,8.
В данном случае давление будет уменьшаться (dp СО), а тем-
пература — увеличиваться (dT~>0). Политропная теплоемкость
c — cv (n — k)/(n — 1) ~cv (0,8 — 1,4)/(0,8 — 1) = 3ср > 0.
Так как рассматривается процесс расширения, то 6/>0, т. е.
производится положительная работа изменения объема. Поскольку
dT>0; то и d«>0, т. е. удельная внутренняя энергия возрастает.
При с>0 и dT>0 получим bq > 0, т. е. теплота подводится к ра-
бочему телу.
Рассматривая величину х— cv/c = cj3cv—\/3, уточняем баланс
энергии. Напишем в соответствии с определением политропы оче-
видное тождество
<5g = xbq-\-(l — х) bq или bq = (1/3) 67 + (2/3) bq.
Таким образом, в данном политропном процессе расширения
33,3% сообщаемой теплоты идет на изменение внутренней энергии
и 66,7%—на производство внешней работы.
2.	Политропа расширения при п = 1,2.
В этом случае dp СО, т. е. давление уменьшается, dT <0 —
температура уменьшается:
c = cv (1,2 — 1,4)/(1,2 — 1) = — cv < 0; х = —1.
Как и раньше, 6/ > 0, т. е. производится положительная удель-
ная работа изменения объема, но du<0, т. е. удельная внутренняя
энергия уменьшается, a bq — cdT —— cvdT>0, т. е. теплота под-
водится:
bq — — bq (1 4-1) bq — — bq + 2bq.
Разделим это уравнение на (1 — х) bq/bl= 1. Учитывая, что х =
——1, получаем
bq = 6Z/2;
значение du — bl/ty.
Следовательно, 'внешняя удельная работа изменения объема со-
вершается на 50% за счет подводимой теплоты и на 50% за счет
уменьшения внутренней энергии.
81
3.	Политропа расширения при п = 1,6.
В этом случае dp<0, т. е. давление уменьшается; dT <0 —
температура уменьшается:
с = с1)(1,6-1,4)/(1,6-1) = ст/3>0 и х = 3
По-прежнему 6/ > 0, т. е. производится положительная работа
изменения объема; с!ы-<0, т. е. внутренняя энергия уменьшается, и
6g <0, т. е. теплота отводится. Из тождества
или при 8q <0
8q = 36g + (1 — 3) 8q
— 8q = —36g + 26g.
Разделив это уравнение на x8q/du, получим
—\/3du = — du -\-2/3du.
Следовательно, 66,7% от всей использованной внутренней энер-
гии пошло на производство работы изменения объема, а 33,3% ее
отведено от рабочего тела в виде теплоты.
Рис. 6.6
Понятно, что в политропных процессах сжатия полученные отно-
шения должны быть взяты с противоположным знаком.
Политропы, описываемые уравнением pvn=const, в координатной
системе pv изображаются кривыми, характер которых зависит от
значения и знака показателя п. На рис. 6.6 в координатах pv и Ts
показано взаимное расположение политроп с различными значени-
ями п, но с одним и тем же начальным состоянием газа (точка /
с координатами vlt рг на одной диаграмме и Sj, 7\ —на другой).
Кривые процессов, совершаемых с увеличением удельного объема,
располагаются справа от изохоры (п = ±оо), они являются про-
цессами расширения и характеризуются положительным знаком ра-
боты. Последнее указано условно на диаграмме pv под осью объ-
емов (81 > 0). Процессы, располагающиеся слева от изохоры,
82
ЯВЛЯЮТСЯ процессами сжатия, и, следовательно,-работа в этих про-
цессах отрицательна (6/ < 0).
Процессы, в которых удельный объем и давление одновременно
возрастают или уменьшаются, характеризуются отрицательным пока-
зателем политропы (п<0), в теплотехнике встречаются редко и
поэтому в технической термодинамике не изучаются.
Процессы, совершаемые с подводом теплоты, легко исследовать
с помощью диаграммы Ts. Так как удельная энтропия в таких про-
цессах увеличивается, они располагаются справа от адиабаты (n — k).
Знак элементарного количества теплоты (67 > 0) показан под осью
энтропий. Процессы, располагающиеся слева от адиабаты, совер-
шаются с отводом теплоты (6g <0).
Знак изменения внутренней энергии совпадает со знаком измене-
ния температуры. Процессы, располагающиеся выше изотермы (п= 1),
совершаются, как это ясно из Ts-диаграм-
мы, с повышением температуры и сопро-
вождаются, следовательно, ростом удель-
ной внутренней энергии (d«>0). В про-
цессах, располагающихся ниже изотермы,
внутренняя энергия уменьшается (d«<0).
В процессах, лежащих между изотермой
и адиабатой	знаки элементар-
ного количества теплоты 6g и приращения
температуры dT противоположны, поэтому
удельная теплоемкость в этих про-
цессах принимает отрицательный знак
(с = Sq/dT < 0).
Проведем (рис. 6.7) через произвольную точ-
ку 1 изохору Vj, изобару Pi и политропу с пока-
зателем п. Затем проведем изотерму Т2 через произвольную точку 2, лежащую
на политропе. Через ту же точку 2 проведем изохору v2 и изобару р2. Как было
показано выше, отрезок а-2 = R 1п (р1/р2), а отрезок b-2 = R In (o2/Oi).
Таким образом, отношение отрезков a-2jb-2= In (Pi//72)/ln (t'z/t'i).
Так как точки 1 и 2 лежат на рассматриваемой политропе, то по формуле
(6.54) получим п = 1п (д1/р2)/1п
Указанным соотношением пользуются при построении политропы на диа-
грамме Ts.
§ 6.10. Применение уравнения политропы к исследованию
действительных процессов
Для исследования действительных процессов сжатия и расшире-
ния, протекающих в тепловых двигателях, криволинейную политропу
преобразуют в прямую линию.
Логарифмируя уравнение (6.38), имеем:
lg Pi - lgP2 = п (lg v2 - lg Vi),
n = (lg Pi ~ lg ^/(Ig - lg fi) = [lg (Pi/p2)]/[lg (v2/Ui)].	(6.68)
По формуле (6.68) можно определить показатель политропы п
по значениям параметров в двух произвольных точках, лежащих на
кривой процесса.
83
Логарифмируя уравнение политропы (6.48),получаем lgр-Гп 1g и =
= const = С, из которого следует, что в координатной системе у = 1g р
и х — lg v политропа выражается прямой у = С — п.х с угловым коэф-
фициентом, равным п (рис. 6.8).
Если при переносе ряда точек с действительной индикаторной
диаграммы в логарифмическую систему координат в результате полу-
чится прямая, то данная кривая может быть выражена уравнением
рип = const при n = tga, где а —острый угол, образованный прямой
процесса с осью абсцисс. На рис. 6.9 показана в логарифмической
системе координат кривая сжатия 1-Г-2, полученная при испытании
двигателя внутреннего сго-
рания. Участки 1-Г и Г-2
кривой с достаточной сте-
пенью приближения могут
быть заменены отрезками
прямых, образующих углы ос, и а2 с осью абсцисс. Измерением
определено: tgaj = l,53 и tga2 = 1,17. Таким образом, действитель-
ная кривая сжатия может быть заменена на участке от р± до р'
политропой рп1’53 — const, а на участке от р' до р.> — политропой
ри1.17 = const. Если по условию задачи может быть допущена мень-
шая точность расчета, то, как это видно из рис. 6.9, вся кривая
сжатия может быть заменена политропой рп1'37 = const, проходящей
через начальную и конечную точки процесса.
Политропы с показателем n>k* характерны тем, что в процессе
сжатия имеет место подвод теплоты, а при n<.k — отвод теплоты.
Таким образом, в начале процесса (/г-~-1,53 _>/г) к сжимаемому газу
подводится теплота (газ нагревается от стенок цилиндра), а в конце
процесса (п = 1,17<&) происходит обратное явление: газ в связи
со значительным сжатием имеет температуру более высокую, чем
стенки цилиндра, и тепловой поток направлен от газа к стенкам.
* Показателе адиабаты k для идеального газа можно определить в зависи-
мости от температуры, например, по формуле (6.46).
84
Из изложенного ясно,' что, разделив кривую сжатия не на два,
а на большее число участков, можно уточнить характер действитель-
ного процесса и количественно оценить явления теплообмена.
Наоборот, при замене действительного процесса одной политро-
пой (на рис. 6.9 политропой с /г=1,37) сохраняется лишь прибли-
женное соотношение между параметрами, что позволяет по их на-
чальным значениям определить с известной степенью точности конеч-'
ные или промежуточные значения, но теряется возможность устано-
вить истинное направление теплообмена. Действительно, из условия
n = l,37 <zk следует, что в процессе сжатия имеет место незначи-
тельный отвод теплоты от газа к стенкам цилиндра, но это, как
только что было показано, не отвечает действительности.
§ 6.11. Смешение газов
Практический интерес представляют случаи смешения несколь-
ких газов при условии, что они не действуют химически друг на
друга и представляют собой адиабатную систему, в которой отсут-
ствуют внутренние источники теплоты и работы.
Характерны два случая смешения газов: 1) когда смешиваемые
газы составляют закрытую систему, суммарный объем которой
остается неизменным (смешение при постоянном объеме), и 2) когда
смешиваемые газы представляют собой открытую систему, состоя-
щую из потоков газов в неподвижных каналах.
Закрытая система. Обозначим объемы смешиваемых газов
до смешения через Vlt И2, ..., Vn. Температуру и давление газов
обозначим соответственно через Т\, 7\, ..., Тп и ръ рг, ..., рп.,
После смешения объем смеси газов будет V — 7x4- И2 + - • • + Vn —
1 — п	i = п
= У, VI, масса смеси m = гщ 4-т2 +.. • + тп = У mt.
l — l	i — 1
Из условия, что смешение происходит без изменения объема, сле-
дует, что работа изменения объема Lx 2 в процессе смешения равна
нулю. Из основного уравнения термодинамики 6Q = AU -f-6L заклю-
чаем, что в данном случае 6(7 = 0 и U = const.
Следовательно, при таком смешении (при постоянном объеме)
внутренняя энергия системы остается без изменения, поэтому
17 = (7i4~(724-...-|-(7n = У Ut.
i
Внутреннюю энергию газов до и после смешения необходимо от-
считывать от одного и того же температурного уровня. Условно
примем, что при 74 = 273,15 К (/о = 0°С) внутренняя энергия газа
считается равной нулю. Тогда
и U= mcvt,
где cvl — средняя удельная изохорная теплоемкость i-ro газа в интер-
вале температур от 0 до °C; — средняя удельная изохорная тепло-
85
емкость "смеси газов в интервале температур от 0 до ЕС. Таким
образом,
I = п
i—n
Учитывая, что	tnftvi, получим
ui
i =n	I	l~n	I i n	i^=n	! i = n
t= У niiC^tti / mCv = 2 rn.tCvlti /	= giCviti /
i -.= 1	/	i 1	/ i -- 1	i -= 1	I i --1
(6.69)
Уравнение (6.69) называют уравнением баланса энергии при
смешении.
Из уравнения Клапейрона легко определить давление после сме-
шения:
PV = mRT --Г У	PiVi/Tt,
I 1	1 — 1
P-IT/V) у" piVi/Tl.	(6.70)
i==i
Формулу (6.69) можно привести и к иному виду.
Из уравнения р^ — т^Т}, где /<„ = 8,314 Дж/(моль-К), находим:
шг = ptViRRtT t) = А4(ргТ/(/(8,314Т();
fjypi^r t I‘у Р‘^Г г,	zR7n
i 1	1	I 1---1
Если возможно принять теплоемкость постоянной, а кроме того,
теплоемкость с,п, ы — одинаковой для газов равной атомности, то фор-
мула (6.71) значительно упрощается:
/ = ‘у 41 J‘y
Ti	Ti
i --= 1	J 1' 1
Заменяя температуру t термодинамической температурой T по изве-
стному соотношению t = Т — 273,15 (с индексом i или без индекса),
получаем
2	<6-72)
I | I Г = 1
Формулой (6.72) можно пользоваться для практических расчетов
при смешении газов одинаковой атомности и в том случае, когда
86
c1)=q>(!1), но когда температура t имеет значение, близкое к tt (отли-
чается не более чем на 100 — 200°С). Тогда вместо формулы (6.70)
можно пользоваться более простой

(6.73)
при давлении р, и температуре г,-
газов смешиваются и при этом уста-
получаемой путем подстановки в (6.70) значения Т по формуле (6.72).
Открытая система. Смешение газов чаще всего происходит
в потоке по схеме, изображенной на рис. 6.10. По каждому из п
трубопроводов (на рисунке — по трем) непрерывно поступает газ,
массовый расход которого л
В смесительной камере поток
навливается температура t.
Массовый расход смеси
i = п
т — У, т;. Давление смеси р,
t = i
вообще говоря, произвольно
и только ограничено усло-
вием, чтобы оно не было
выше наименьшего давления pt
(так как движение возможно
только в среде с меньшим
давлением). С этой целью на
подводящих трубопроводах
поставлены дроссельные кла-
паны или задвижки (а, b и с
на рис. 6.10). Соответствующим регулированием клапанов устана-
вливается желательное давление смеси.
Воспользуемся уравнением (3.8) 6Q == dl dLnm для открытой
системы, в которой изменением кинетической энергии пренебрегают.
Принимая во внимание, что по условию <5Q = 0 и 6ТПОТ = 0, получим
i = п
dit = т, dii — 0 и 1 = У Д.
i = i
При смешении газов в условиях открытой системы энтальпия
системы остается без изменения. Таким образом, формулы для тем-
пературы смеси С полученные в предыдущем параграфе для случая
смешения газов при U = const, применимы и для случая смешения
газов при / = const с соответствующей заменой U на I и cv на ср:
i=п	II =п
t= У	У ffllCpi,
i = 1	/i = i
V' Pi^l p f Pi^i z->
i — l	/i=l
(6.74)
(6.75)
87
Входящие в последнюю формулу объемы Vt следует рассматри-
вать как объемные расходы.
Объемный расход смеси Vt в общем случае не равен сумме объем-
ных расходов компонентов:
Vt = (T/p)	(6.76)
Если молярные теплоемкости смешиваемых газов можно принять
одинаковыми, формула (6.75) примет вид
1~П li~n
T=yPiV,,Jy^.	(6.77)
ля	/	11	'
1 — 1	/1^1
Из сравнения формул (6.72) и (6.77) следует, что температура
смеси Т в случае смешения газов одинаковой атомности (при усло-
вии с„ = const) при 1 = const совпадает со случаем смешения при
U = const. Таким образом, рассматриваемый случай смешения харак-
терен тем, что как внутренняя энер!ия Д, так-и энтальпия / сох-
раняют неизменное значение. Следовательно, для рассматриваемого
частного случая смешения потоков газа справедлива и формула (6.73).
Глава VII
РАБОЧИЙ ПРОЦЕСС ТУРБИНЫ И КОМПРЕССОРА
(изменение состояния в условиях открытой системы)
§ 7.1. Идеальная турбина
Рассмотренные в предыдущей главе политропные процессы, вклю-
чая четыре основных, совершаются в условиях закрытой системы,
когда превращаемой энергией тела является внутренняя энергия,
а механической работой — работа изменения объема.
Вместе с тем в теплоэнергетике широко используются процессы
превращения энергии в условиях потока (рткрытой системы). Напом-
ним (см. § 3.2), что в превращениях удельной энергии в этом слу-
чае принимает участие не только удельная внутренняя энергия и,
но и удельная потенциальная энергия давления pv, иначе говоря,
удельная энтальпия i — ti-\-pv. А удельная работа процесса откры-
той системы, равная — v dp, представляет собой сумму удельной
работы изменения объема рdv, совершаемой внутренними силами,
и удельной работы —d(pv), в которую превращается высвобождаю-
щаяся часть удельной потенциальной энергии давления pv. Для
таких процессов, совершающихся в турбине или в компрессоре
любого конструктивного оформления, характерно еще и то, что
разностью кинетических энергий на входе и на выходе из турбины
или компрессора можно пренебречь.
Рассмотрим здесь рабочие процессы идеальной турбины и идеаль-
ного компрессора более подробно и с этой целью познакомимся сна-
чала с турбиной.
88
неподвижные
каналы, называемые соп-
Лопатка
Сопло
'Вал
Диск
Рис. 7.1
Турбина служит для превращения энергии открытой системы
(энтальпии) в работу и является одним из элементов теплового дви-
гателя, в котором рабочее тело совершает круговые процессы, непре-
рывно превращая теплоту в работу. Турбины разделяются в зави-
• симости от применяемого рабочего тела на паровые и газовые, по
характеру преобразования энергии —на активные и реактивные.
Принцип действия простейшей турбины показан на рис. 7.1.
На вал насажен диск с укрепленными на окружности лопатками.
Перед лопатками установлены
лами (одно из сопл пока-
зано на рисунке).
Пар из котельного агре-
гата . (или газ из камеры
сгорания газотурбинной
установки) при давлении
рг поступает в сопла, где
давление его понижается SxoC^
до р2, вследствие чего он пара
расширяется и уменьше-
ние удельной' энтальпии
превращается в удельную
кинетическую энергию по-
тока. Пар приобретает
значительную скорость, со- 1
измеримую со скоростью
звука, а иногда и превы-
шающую ее, и с такой
скоростью поступает на
рабочие лопатки, где со-
вершает поворот на ПО —
130° (в идеальном пре-
дельном случае на 180°) и
покидает их со сравнительно небольшой скоростью. Сила F, с кото-
рой пар действует на рабочие лопатки, создает момент вращения М
(плечо момента равно радиусу г окружности, на которой располо-
жены лопатки), и диск получает вращательное движение. Таким
образом, энтальпия рабочего тела уменьшается, превращаясь в работу
вращения вала. Работа процесса, совершаемая паром (газом) в усло-
виях открытой системы для вращения рабочего вала турбины или
подводимая извне для вращения вала компрессора, называется тех-
нической работой.
При движении потока через проточную часть турбины в реаль-
ных условиях происходят различного рода потери энергии: на тре-
ние, завихрение и др. В идеальной газовой или паровой турбине
процесс расширения считают обратимым адиабатным процессом,
в котором потери отсутствуют: 6^ = 0, а следовательно, и <?112 = 0.
Для определения работы, производимой идеальной паровой тур-
биной (рис. 7.2), обратимся к уравнению (3.9) первого начала тер-
модинамики для открытой системы bq = di — v dp.
89
В соответствии с выражением (3.7) можно, следовательно, записать
=	(7.1)
где /т —удельная техническая работа.
В случае адиабатного процесса имеем
6/т = — di	(7.2)
или
^ri, 2 = ('i Ч,	(7.2а)
где jj и i2 — удельная энтальпия рабочего тела перед входом его
в турбину (компрессор) н после выхода.
Следовательно, удельная работа, совершаемая рабочим телом
в турбине или потребляемая им в компрессоре, равна разности
удельных энтальпий рабочего тела перед входом в турбину (или
компрессор) и после выхода из
нее. При расширении в турби-
не ц > t2 и удельная работа
при сжатии в компрес-
соре tj < i2 и /Т1,2 < 0.
Для газовых турбин работу
принято вычислять через тер-
Рис. 7.2	мические параметры состояния
р и V. Чтобы получить такую
зависимость, обращаемся к уравнениям первого начала термодина-
мики (7.1) и (3.9), из сравнения которых находим
или
б/т = — v dp
т 1.2 —
2
jj v dp.
i
(7.3)
(7.4)
При расширении рабочего тела в турбине давление его снижается
(dp<0) и работа по (7.3) получает положительное значение (— vdp>ty,
при сжатии — наоборот (dp>0 и —vdp<zQ), т. е. работа полу-
чает отрицательное значение.
Из уравнения (6.50) политропы в дифференциальной форме
п dv/v 4- dp/p = 0 находим
— vdp = npdv,	(7.5)
т. е. удельная работа открытой системы (потока) в п раз больше
удельной работы изменения объема:
/Т1, 2 =	2*	(7-6)
Используя формулу (6.58), находим для политропного процесса
(г1,2 = [«/(«- 1)]РЛ [1	(7.7)
Изложенное показывает, что независимо от типа турбины (и порш-
невой машины) и независимо от свойств рабочего тела удельная
90
работа, произведенная потоком в турбине, равна разности удельных
энтальпий при входе и при выходе из турбины. Графически эта работа
во всех случаях изображается заштрихованной на диаграмме pv
2
площадью а12Ь, равной —^vdp (рис. 7.3, 7.4). Превращаемая в эту
Рис. 7.4
работу удельная энергия рабочего тела в потоке (удельная энталь-
пия) изображается на диаграмме Ts (рис. 7.4) площадью под отрез-
ком изобары * давления plt расположенном между температурами 7\
и Т2 начала и конца процесса расширения (labc).
§ 7.2. Идеальный газовый компрессор
Анализ, выполненный на основе первого начала термодинамики
для потока применительно к турбине, обладает значительной уни-
версальностью. Он применим для анализа также любого адиабатного
компрессора независимо от принципа его действия. И это понятно,
так как преобразование энергии в компрессоре отличается лишь
тем, что процесс протекает в обратном направлении: в турбине эн-
тальпия преобразуется в техническую работу, которая отдается
внешнему потребителю (гребному винту, электрогенератору и т. п.),
а в компрессоре подводимая от внешнего источника (электрического,
теплового или иного двигателя) работа преобразуется в энтальпию
рабочего тела.
Поэтому выражения (7.1) ... (7.3) остаются справедливыми и для
идеального компрессора, в котором сжатие происходит без тепло-
обмена. Поскольку в компрессоре происходит сжатие, процесс на
диаграммах pv и Ts (рис. 7.3 и 7.4) рассматриваем в обратном
направлении (точки 1 и 2 следует поменять местами), причем работа
получает отрицательное значение.
* Поскольку удельная теплота изобарного процесса равна приращению уделы
ной энтальпии согласно формуле (6,23).
61
?А
Рис. 7.5
Все компрессоры можно разделить на две основные группы по
способу осуществления сжатия. К первой группе относят такие комп-
рессоры, в которых засасываемый газ сжимается поршнем (или заме-
няющим его элементом), а затем выталкивается в нагнетательный
трубопровод. Типичным представителем этой группы является порш-
невой компрессор (рис. 7.5). Ко
второй группе относятся компрес-
соры, в которых газу сначала со-
общается определенный запас кине-
тической энергии, а затем эта
энергия преобразуется с помощью
диффузора в энтальпию с повыше-
нием давления. К числу последних
относят центробежные и осевые
компрессоры и центробежные воз-
духодувки.
Несмотря на эти существенные
различия между компрессорами
различного принципа действия,
энергии и его конечные резуль-
общий характер преобразования
таты термодинамически совершенно аналогичны.
Рабочий процесс идеального газового компрессора более подробно
рассмотрим на примере поршневого компрессора, принципиальная
схема которого показана на рис. 7.5. При движении поршня направо
(по чертежу) воздух или иной газ при давлении через всасываю-
щий клагган 1 (обычно открываемый давлением внешнего воздуха
или газа) 'поступает в цилиндр компрессора. Всасывание продол-
жается в течение хода поршня от его крайнего левого до крайнего
Рис. 7.6
Рис. 7.7
'правого положения. После перемены направления движения поршня
клапан / автоматически закрывается и в цилиндре начинается сжа-
тие воздуха (или газа) до давления р2. Затем сжатый воздух (или
газ) своим давлением открывает нагнетательный клапан 2 и при
дальнейшем движении поршня справа налево выталкивается из ци-
линдра. Описанный процесс работы идеального поршневого'компрес-
сора может быть наглядно изображён в виде теоретической диаг-
раммы (рис. 7.6).
92
Линия а-1, параллельная оси объемов, изображает процесс напол-
нения цилиндра наружным воздухом, линия 1-2 — процесс сжатия
и, наконец, линия 2-6 —процесс выталкивания- Процессы а-1 и 2-Ь,
являясь процессами наполнения и выталкивания, не могут рассмат-
риваться как термодинамические изобарные процессы, поскольку
масса рабочего тела в этих процессах изменяется (в точке а она
равна нулю, а в точке 1 — достигает максимума).
Изображенная на рис. 7.6 теоретическая'диаграмма показывает
процесс идеального поршневого компрессора. Диаграмма, снятая
с действительного компрессора, так называемая индикаторная диаг-
рамма, имеет несколько иной вид (рис. 7.7), сохраняя в основном
форму диаграммы идеального компрессора. Отклонения реального
процесса от теоретического заключаются, во-первых, в волнистой
форме линии всасывания и нагнетания, вызываемой переменным зна-
чением гидравлических сопротивлений в клапанах, во-вторых, в нали-
чии вредного (мертвого) пространства и связанного с этим расши-
рения воздуха, оставшегося во вредном пространстве (линия, а'-а
в начале хода всасывания). Оставаясь в рамках общего курса тер-
модинамики, здесь и в дальнейших главах будут рассматриваться
только теоретические диаграммы (и циклы), по которым работают
идеальные машины. Изучение действительных процессов и анализ
причин, вызывающих отклонение этих процессов от идеальных,
является задачей специальных дисциплин.
При такой постановке вопроса можно отрешиться от второсте-
пенных, побочных явлений и благодаря этому получить возможность
в наиболее простой и наглядной форме изучить принципиальные
особенности работы того или иного типа машин.
§ 7.3. Анализ рабочего процесса идеального
поршневого компрессора
Анализ рабочего процесса в поршневом компрессоре производят
обычно с помощью теоретической диаграммы, на которой графически
изображена зависимость давления в цилиндре от объема газа или
от хода поршня * (см. рис. 7.6). Диаграмма записывается при работе
компрессора присоединенным к нему динамометрическим индикатором.
Теоретическая диаграмма поршневого компрессора не может быть
отождествлена с термодинамическим циклом. При работе компрес-
сора отсутствует термодинамическая замкнутость процессов — рабочее
тело не возвращается к исходным параметрам, а имеет место только
кинематическая замкнутость движения механизма, т. е. периодическое
повторение одной и той же последовательности явлений. Поэтому
за каждые два хода поршня или при кривошипной передаче за каж-
дый оборот вала в цилиндр компрессора поступает новая порция
воздуха, т. е. рабочее тело непрерывно обновляется.
* Объем V, описываемый поршнем за один ход, и длина хода поршня S —
величины пропорциональные: И=—^-5, где О—диаметр цилиндра.
93
В процессе наполнения на площадь А поршня со стороны газов
действует постоянное давление при этом на пути длиной S совер-
шается работа
La-i — piAS — Pi	(а)
поскольку AS = Vi-
Работа наполнения La-i равна потенциальной энергии давления
PiVi газа, наполнившего цилиндр. На диаграмме pV она изобра-
жается площадью 0а1Г.
Работа собственно сжатия
2
Li.2 = \pdV.	(б)
1
Работа Li-2 является величиной отрицательной (dV <0) и изо-
бражается на диаграмме pV площадью 2'21Г.
Работа выпуска L2-b, поскольку сила действует на поршень в сто-
рону, противоположную его движению, является также отрицательной:
Ц.ь = — p2V2.	(в)
Абсолютное значение этой работы равно потенциальной энергии
давления сжатого газа p3Vs и изображается эквивалентной пло-
щадью ОЬ22'.
Суммируя эти три составляющие работы, находим работу, затра-
чиваемую в компрессоре за один оборот вала:
2
LK = PiVi-p2V2 + \pdV.	(7.8)
i
На диаграмме pV эта работа изображается площадью а12Ь.
Если элементарную работу изменения объема выразить по фор-
муле р dV = d (pV) ~ V dp, получим
2	2
\pdV =p^2-piVx-\V dp.	(Г)
i	1
После соответствующей подстановки в формулу (7.8) получим
следующее выражение работы, потребляемой компрессором за один
рабочий процесс:
L^-\Vdp	(7.9)
1
или удельной работы:
2
/K = LK/m = — \vdp.	(7.10)
i
94
Выражая удельную работу по формуле. (7.7) для политропного
процесса (пренебрегая, как и в случае турбины, изменением кине-
тической энергии), получаем (при LK = mlK и V = bm)
Дспол = [«/(« - !)М[1 -(7-И)
Положив n = k, получим работу, потребляемую компрессором
при адиабатном сжатии:
LK.aI = [W-l)]PiV1[l-Ш*-™].	(7.12)
Для изотермического процесса сжатия, для которого п — 1, по
формуле (7.5) работа потока равна работе изменения объема, т. е.
LK из = Д,з, и, следовательно, по формуле (6.28) имеем
LK. из = PiVr In (V<JVX) = РуУх In (Pr/Pi).	(7.13)
Учитывая, что Р1У2 — p2V2, получим для изотермического сжатия
Ьк. из = Р^2 In (V2/IZj) = p2V2 In (Pi/p2).	(7.14)
При выражении p в Па, V в м3 LK выразится в Дж.
• Таким образом, в компрессоре с изотермическим сжатием работа
LK „з, потребляемая компрессором в целом, равна работе собственно
сжатия Тиз.
Вычисления по формулам (7.11) ... (7.14) дают отрицательные
значения работы, однако для целей инженерных расчетов требуется
определение абсолютного значения затрачиваемой работы. 'Поэтому
в теории компрессоров применяют формулы, в которых знак работы L
(а также теплоты Q) изменен на обратный. Кроме того, во многих
случаях удобнее бывает определять удельную работу. Заменяя в рас-
четных формулах объем V на удельный объем v и меняя знак на
обратный, получим абсолютные значения удельной работы компрессора:
I /к. пол !=[»/(» - 1)] РЛ [(p2/P1yn-^ - 1];	(7.15)
I h. ад I = [k!(k - 1)] РЫ [(р21Р1Ук- »/* - 1 ];	(7.16)
\h.«3\ = Piv\n(vllv2) = p1vl\n{p2lp1).	(7.17)
Мощность, потребляемая идеальным газовым компрессором мас-
совой подачей mz, определяют по формуле
M =	'	(7.18)
При выражении mt в кг/с, | /к | в Дж/кг N выразится в Вт.
Потребляемая мощность может быть найдена непосредственно по
формулам (7.11) ... (7.14), если вместо объема V подставить в них
объемную подачу У/. Так, например, при адиабатном сжатии получим
/V = [Z>/(A-l)]P1i/z[l -(р2/Р1)«-1)Д].	(7.19)
При выражении р в Па, Vt в м3/с N выразится в Вт.
На рис. 7.8. а, б в координатах pv и Ts показаны теоретиче-
ские процессы идеального компрессора при сжатии по изотерме 1-2,
адиабате 1-2 и по политропам, когда 1<п<й и n>k. Наимень-
шая работа компрессора (техническая) затрачивается при изотерми-
9$
леском сжатии, поэтому изотермический процесс и считается наи-
выгоднейшим.
Выполненный анализ поршневого компрессора со всеми получен-
ными аналитическими зависимостями в полной мере сохраняется и
для всех других типов компрессоров. Хотя теоретическая диаграмма
может быть построена только для поршневого компрессора, тем не
а;
Рис. 7.8
менее рис. 7.6 применим для компрессора любого типа как изобра-
жение его рабочего процесса. В этом случае удобнее использовать
диаграмму pv, где v — удельный объем газа (а не объем газа). При
этом для компрессоров непоршневого типа произведение теряет
смысл удельной работы наполнения, но сохраняет значение удель-
ной потенциальной энергии давления газа при впуске. Аналогично,
произведение р2у2 представляет собой удельную потенциальную энер-
гию давления сжатого газа.
§ 7.4. Многоступенчатое сжатие
Для уменьшения работы, потребляемой компрессором, процесс
сжатия стремятся приблизить к изотермическому путем охлаждения
воздуха или газа. Но такое охлаждение сопряжено со хначитель-
ными конструктивными труд-
ностями, поэтому при боль-
ших степенях повышения да-
вления р2/р\ применяют так
называемое многоступенчатое
сжатие. При переходе из
одной ступени в другую воз-
дух или газ охлаждается
в промежуточных охладите-
лях (холодильниках), устана-
компрессора.
Охлаждение
вливаемых между ступенями
часто производят до начальной темпера-
туры, которую имел газ при его всасывании в компрессор.
На рис. 7.9 показана схема трехступенчатого компрессора с двумя
промежуточными охладителями газа 1 и 2. Рабочий процесс на диаг-
96
рамме pv такого компрессора и изображение процесса на диаграмме
Ts приведены на рис. 7.10.
В первой ступени происходит политропное сжатие 1-а от началь-
ного давления рг до некоторого промежуточного р\. При этом тем-
пература газа повышается от Т2 до Т.2. Затем газ направляется
в промежуточный охладитель 1, где при постоянном давлении р\ он
охлаждается до начальной температуры Tt (процесс а-b на диаграм-
мах pv и Ts). Охлажденный газ сжимается во второй ступени Ь-с
до давления рп и затем охлаждается (c-d) в охладителе 2. В третьей
ступени компрессора газ сжимается до конечного давления р3 — про-
цесс d-2.
Описанный способ сжатия (рис. 7.10, б) в трехступенчатом комп-
рессоре позволяет получить экономию в потребляемой работе (срав-
нительно с одноступенча-
тым компрессором); работа
уменьшилась на величину,
показанную на ри-диаграм-
ме заштрихованной пло-
щадью (рис. 7.10, а).
Если охлаждение в про-
межуточных охладителях
производится до начальной
температуры и температу-
ра в конце сжатия во
всех ступенях компрес-
сора одна и та же, то и
степень повышения
7.10
пеням распределяется равномерно:
давления х по сту-
х = р1/р1 = ри/Р1=р2/рп	(а)
или
(Рг/Pii) (Pi i/Pi) (Pi/Pi) = Pz/Pi = x3,	(б)
откуда
Х = У Pz/pv	(7.20)
При г ступенях сжатия
X = V Ръ/Ри	(7.21)
где р2 — заданное конечное давление газа (после сжатия в послед-
ней ступени).
По этой формуле подбирают рациональное число ступеней сжа-
тия и вычисляют степень повышения давления в одной ступени.
При рассмотренных условиях распределения давления по ступе-
ням компрессора работа, затрачиваемая в каждой ступени, одина-
кова. Поэтому
LK = zL„.	(7.22)
Работу достаточно вычислить для одной ступени LCT, а умножив ее
на число ступеней z, найти работу, потребляемую компрессором.
4' Зак. 4»	97
§ 7.5. Изображение процесса идеального компрессора
на диаграмме Ts
Применим к исследованию работы компрессора полное уравнение
первого начала термодинамики для потока. Компрессор рассматри-
ваем как машину, к которой непрерывно поступает поток газа по
всасывающему трубопроводу, а по нагнетательному столь же непре-
рывно отводится сжатый газ (рис. 7.11). При такой постановке воп-
роса способ сжатия, осуществляемый в компрессоре, не будет влиять
на результаты исследования. Таким образом, выводы, которые будут
получены нами в этом параграфе, окажутся одинаково правильными
для всех возможных типов компрессорных машин, а не только для
поршневых компрессоров, исследова-
ние которых в предыдущем парагра-
фе основывалось на их теоретической
диаграмме.
По формуле (3.9) с учетом (3.7)
6<7 = di + 6/П01.	(7.23)
Интегрируя это уравнение в пре-
делах от сечения 1—1 до сечения
2 — 2, имея в виду, что работа потока Zn0T в данном случае равна
работе /к, потребляемой компрессором, получаем
= й	(7.24)
где ij —удельная энтальпия газа при входе; iz —при выходе из комп-
рессора.
Пользуясь уравнением (7.24), представим процесс компрессора на
диаграмме Ts. На диаграмме состояний можно построить только тер-
модинамические процессы, а поэтому процессы всасывания и нагне-
тания не могут быть изображены на ней.
На рис. 7.12 в тепловой диаграмме показаны процессы изотер-
мического и адиабатного сжатия в компрессоре (для простоты изо-
бражения изобары и изохоры показаны прямолинейными).
Для идеального газа
^ = Ср(^1-и + ?1,2’	(7.25)
Для изотермического сжатия в компрессоре t1 — t2 и
^из 7из-
Для адиабатного сжатия в компрессоре, когда ?il2 = 0, получим
^ад = “ 12 = ср (^1 ~~ ^)ад,	(7.26)
где — температура в конце адиабатного сжатия.
88
Изотермическое сжатие от давления рг до давления р2 изобра-
жается отрезком 1-2 изотермы. Работа /ИЗ = <7ИЗ определяется пло-
щадью а12Ь.
Адиабатное сжатие в тех же пределах давлений будет изобра-
жаться отрезком адиабаты 1-2'. В соответствии с формулой (7.26)
работа 1ад определяется на диаграмме площадью а2'2Ь, лежащей под
отрезком изобары' р2, проведенной через точку 2' до пересечения
с изотермой 7\. Работа собственно адиабатного сжатия /ад. сж =
.= (wt — м2)ад — сч> (^i — Qas будет определяться площадью а2'4с, лежа-
щей под изохорой v2. Таким образом, разность этих площадей, опре-
деляемая площадью с42’2Ь, графически определяет приращение потен-
циальной энергии давления.
Здесь, как и раньше, мы убеждаемся в выгодности именно изо-
термического сжатия. Разность между /ад и 1аз определяется пло-
щадью треугольника 12'2, равной (7\ — Т2)ял (s, — s2)/2.
На рис. 7.13 показан процесс компрессора со сжатием по поли-
тропе с показателем п(1<п<&). Для этого случая (по формуле
(7.24) имеем
^пол — l'i ~ 1'з + <71, з = Ср (7Х — t3) 4- з,
где i3 и t3 — соответственно удельная энтальпия и температура в конце
политропного сжатия.
Отведенная теплота qli3 изображается площадью al3d, лежащей
под политропой 1-3 (горизонтально заштрихованная площадь). Раз-
ность i3 — t! по общему правилу изображается площадью под соот-
ветствующим отрезком изобары, т. е. равна площади d32b (наклонно
заштрихованная площадь). Вся работа I изображается площадью
а1д2Ь, которая на площадь 132 больше, чем /из, и на площадь 12'3
меньше, чем /ад. Сравнивая рис. 7.12 и 7.13, замечаем, что суммар-
ная работа всасывания и нагнетания при политропном сжатии (если
n<zk) меньше, чем при адиабатном.
4*	99
Глава VIII
ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
§ 8.1. Круговые процессы (циклы). Термический к. п. д. цикла
Для непрерывного и как угодно долгого преобразования теплоты
в работу — а это и является назначением любого теплового двига-
теля _ необходимо осуществление круговых процессов. Разобранные
ранее различные термодинамические процессы относятся к категории
разомкнутых, при протекании которых параметры непрерывно и
односторонне изменяются. Так, например, в любом процессе расши-
рения непрерывно увеличивается удельный объем, что практически
ограничивает возможность продолжать процесс расширения и полу-
чать работу за счет подводимой теплоты. Так как обычно при рас-
ширении давление уменьшается, то и по этой причине внешние усло-
вия ограничивают степень расширения.
Таким образом, для непрерывного превращения теплоты в работу
разомкнутый процесс непригоден и должен быть заменен замкнутым
(круговым) процессом, называемым циклом.
В координатных системах pv и Ts цикл изображается замкнутой
кривой (рис. 8.1, а, б), отдельные части которой в общем случае
состоят из элементарных процессов.
Для каждого элементарного процесса имеет место свой баланс
энергии: подводится или отводится элементарное количество теп-
лоты 6Q, изменяется внутренняя энергия dU рабочего тела и в зави-
симости от знака изменения объема отдается во внешнюю среду
или подводится извне механическая работа 6L, причем всегда 60 =
= dt/ + 6L.
Интегрируя по замкнутому контуру 1Ь2а1 и принимая во вни-
мание, что <§> dU — 0, получаем
§ 6Q = ф 6L или <2Ц = Ьц,
где Lu —работа, совершаемая за цикл и изображаемая площадью,
ограниченной кривой процесса на диаграмме pv, QB —теплота, прен-
ию
ращенная в работу, определяемая площадью, ограниченной кривой
процесса на диаграмме Ts.
Работа £ц равна разности между работой расширения и абсолют-
ным значением работы сжатия. Работа расширения изображается на
диаграмме pv площадью, ограниченной линией расширения 1-Ь-2 и
осью объемов, а абсолютная работа сжатия — площадью между линией
сжатия 2-а-1 и осью объемов.
Элементарные количества теплоты 6Q могут быть разделены на
подводимые количества 6Q>0 (по ветви а-1-b цикла, заключенной
между двумя адиабатами, касательными к кривой цикла в точках а
и Ь), сумма которых равна Qlt и отводимые 6<2<0, абсолютное зна-
чение суммы которых равно | Q21 (по ветви b-2-a). Очевидно,
£ц = <2ц = <21-|<22|-	(8-1)
Таким образом, превращаемая в работу теплота, изображенная
на диаграмме Ts площадью цикла, представляет разность между
количеством подведенной к рабочему телу извне теплоты Qi и отве-
денной теплоты | Q.21.
Количество подведенной теплоты Qj изображается на диаграмме Ts
площадью между линией а-1-b подвода теплоты и осью энтропий,
количество отведенной теплоты Q2 — площадью между линией b-2-a
отвода теплоты и осью энтропий. Площадь, ограниченная замкнутой
кривой цикла, равна количеству теплоты, превращенной в работу.
Чтобы изменение состояния происходило по круговому процессу
(циклу), необходимо иметь один или ряд источников теплоты более
высокой температуры (теплоотдатчиков), которые снабжают рабочее
тело теплотой и один или ряд источников теплоты меньшей темпера-
туры (теплоприемников), куда отводится теплота Q% от рабочего тела.
Чем больше подведенная теплота Qj и чем меньше отведенная Q3,
тем большее количество теплоты превращается в цикле в работу
и тем выше, следовательно, эффективность превращения. Количе-
ственно это характеризуется термическим коэффициентом полезного
действия цикла. Термическим к. п. д. цикла называется отношение
количества теплоты, преобразованной в работу, к количеству под-
веденной теплоты:
щ = [Qi — I & IJ/Qi == 1 — IQ2 l/Qa -	(8.2)
Каждая теплоэнергетическая установка работает по определен-
ному циклу. При работе установки в реальных условиях в ней воз-
никают вследствие несовершенства процессов различные потери теп-
лоты и работы: от трения, от излучения во внешнюю среду и по
другим причинам. Цикл, в котором не учитываются реальные потери,
называется идеальным.
Термический к. п. д. цикла характеризует способность теплоты
превращаться в работу в данных конкретных условиях протекания
идеального цикла. В этом смысле термический к. п. д. является
в сущности коэффициентом превратимости теплоты в работу в цикле.
Исторически сложившееся название —коэффициент полезного дей-
ствия цикла (к. п. д.) — нельзя признать вполне удачным, так как
Mi
в идеальном цикле нет потерь теплоты в отличие от реальной уста-
новки, где потери происходят по причине несовершенства процессов.
Отвод теплоты Q2 к источникам низкой температуры не является
потерей —это «дань» (компенсация) за возможность превращения
в работу количества теплоты Qi —|Q2|, причем размер этой «дани»
определяется объективным законом природы и зависит только от
температур подвода и отвода теплоты.
Наряду с такими" циклами встречаются циклы, у которых изме-
нение состояния по кривой процесса совершается в обратном направ-
лении. На диаграмме pv (рис. 8.2, а) по нижней ветви происходит
расширение, а по верхней — сжатие; на диаграмме Ts (рис. 8.2, б)
' по нижней — подвод теплоты, а по верхней — отвод теплоты.
Работа сжатия в этом случае оказывается по абсолютному зна-
чению больше работы расширения. Следовательно, для совершения
такого цикла работа должна затрачиваться.
Направление перехода теплоты тоже изменилось на противопо-
ложное: при низкой температуре теплота Q2 подводится к рабочему
телу, а при высокой отводится в окружающую среду, т. е. теп-
лота в количестве Q2 переносится от менее нагретого тела с темпе-
ратурой Т2 к более нагретому с температурой 7\>7’2. Для этого
рабочее тело сначала сжимается, на что затрачивается работа Lu,
и его температура увеличивается до температуры более нагретого
тела или выше ее. Сумма Q2 +1 £ц | = |	| отводится от рабочего тела
к источнику высокой температуры. Такие циклы получили название
обратных циклов, а ранее рассмотренные циклы в отличие от
этого называются прямыми.
Прямые циклы применяются в тепловых двигателях, назначение
которых — превращать теплоту в работу, а обратные используют
в холодильных установках и тепловых насосах для переноса теп-
лоты от менее нагретого тела к более нагретому.
Для оценки эффективности обратного цикла служит так называе-
мый холодильный коэффициент, равный отношению коли-
чества теплоты Q2, отведенной от источника низкой температуры,
к затраченной работе:
е — Q3/Ьц.
(8.3)
102'
§ 8.2. Классические формулировки второго начала термодинамики
Все рассуждения и выводы, изложенные в предыдущих главах,
прямо или косвенно основывались на законе сохранения и превра-
щения энергии.' С точки зрения этого закона принципиально возмо-
жен любой процесс, не противоречащий первому началу термодина-
мики. Так, например, если внешняя работа не затрачивается, то при
теплообмене между двумя телами, по закону сохранения и превра-
щения энергии, теплота, отданная одним телом, равна приобретен-
ной другим. На вопрос, какое из этих двух тел отдает теплоту,
а какое получает, т. е. в каком направлении протекает процесс,
первое начало термодинамики ответа не дает.
Известная из нашего опыта односторонность теплообмена является
тем постулатом, который служит одной из классических формули-
ровок второго начала термодинамики.
Второе начало термодинамики можно сформулировать в виде так
называемого постулата Клаузиуса: теплота не может переходить от
тела с меньшей температурой к телу с большей температурой без
компенсации.
В такой редакции второе начало не вызывает никаких сомнений,
поскольку специфическое свойство теплоты — невозможность само-
произвольного нагревания горячего тела за счет отнятия теплоты
от более холодного тела — может быть принята как аксиома, не
требующая доказательств. Вместе с тем при такой формулировке
постулата не отрицается возможность перехода теплоты от тела
с меньшей температурой к телу с большей температурой, но только
в том случае, когда этот, так сказать, искусственный процесс будет
сопровождаться и другими, компенсирующими процессами, в частно-
сти преобразованием механической работы в теплоту. Такого рода
комбинация процессов составляет обратный цикл, используемый
в холодильных машинах.
Воспользуемся постулатом Клаузиуса для доказательства того,
что подводимая в цикле теплота не может быть полностью превра-
щена в работу.
Предположим обратное: цикл может быть организован так, что
теплота подводимая от источника с произвольной температурой 7\,
полностью превращается в работу L и, значит, L = Никакого
отвода теплоты Q2 в этом случае не будет. Совершая последовательно
такие циклы, можно сколь угодно долго и, значит, в неограничен-
ном количестве получать работу. Используем ее для изотермического
сжатия какого-либо газообразного тела с начальной температурой
В изотермическом процессе сжатия вся затраченная работа пере-
ходит в теплоту, отводимую от сжимаемого тела. Эту теплоту можно
передать какому-либо источнику теплоты с температурой, меньшей
или в предельном случае, равной температуре изотермического сжа-
тия Т'.
Если работа цикла полностью затрачена на сжатие газа, то и
теплота, полученная в цикле от источника с температурой Ти равна
103
теплоте, отданной при сжатии газа источнику с температурой Т'.
Таким образом, в итоге переход теплоты в количестве Q± от тела
с меньшей температурой Т± к телу с большей температурой Т' проис-
ходит без какой-либо компенсации, что находится в противоречии
с постулатом Клаузиуса и приведенной формулировкой второго
начала термодинамики.
Предположение, что цикл возможно осуществить без отвода теп-
лоты и, значит, при одном источнике теплоты, оказалось несостоя-
тельным. При наличии двух и большего числа источников различ-
ной температуры наряду с подводом теплоты к рабочему телу в коли-
честве Qi будет происходить и отвод теплоты от рабочего тела
в количестве Q,. Если в этом случае использовать работу цикла
ЛЦ = С1 — | Q2 I па изотермическое сжатие какого-либо газа с отводом
эквивалентного количества теплоты к источнику с температурой Т",
то получающийся в итоге переход теплоты в количестве — |Q2| от
менее нагретого тела с температурой 7\ к более нагретому с темпе-
ратурой Т' не будет единственным следствием, так как этому явле-
нию будет сопутствовать компенсирующий процесс — переход теп-
лоты | Q21 = Qi — от горячего источника с температурой 7\ к холод-
ному с температурой Т2. Повышение потенциала теплоты Qj — |Q2
от 7\ до Т' компенсируется понижением потенциала теплоты Q2 от 7\
до Т2.
В применении к теории круговых процессов формулировка вто-
рого начала термодинамики может быть дана и в такой редакции:
для осуществления кругового процесса необходимо иметь не менее
двух источников теплоты различной температуры.
Закон сохранения и превращения энергии, который в примене-
нии к термодинамическим явлениям носит название первого начала
термодинамики, как известно, отвергает возможность осуществления
вечного двигателя, т. е. установки, которая из ничего создавала бы
энергию. В отличие от этого второе начало термодинамики опровер-
гает возможность осуществления вечного двигателя второго рода, т. е.
машины непрерывного действия, которая, используя получаемую теп-
лоту от какого-либо источника, нацело преобразует ее в работу.
Отметим, что последнее не противоречит первому началу термоди-
намики.
Если бы существовала возможность построить вечный двигатель
второго рода, то перед человечеством открылись бы неограниченные
возможности для получения практически бесплатной энергии. Исполь-
зуя безграничные запасы энергии, содержащейся в воде океанов,
в атмосфере или в земной коре, можно было бы с помощью такого
двигателя преобразовывать получаемую теплоту в механическую
работу. Однако второе начало опровергает эту возможность, требуя
для использования этих неисчерпаемых источников теплоты еще
наличие теплоприемника — источника с температурой, более низкой,
чем температура воды океанов, атмосферы или земной коры, для
отвода теплоты Q2.
Изложенное позволяет второе начало закона термодинамики фор-
мулировать и таким образом: невозможно осуществить вечный dew-
104
гатель второго рода, или невозможно теплоту какого-либо тела
превратить в работу, не произведя никакого другого действия, кроме
охлаждения этого тела — постулат Томсона (Кельвина).
Приведенные и непосредственно вытекающие друг из друга фор-
мулировки второго начала термодинамики вскрывают специфические
свойства теплоты, проявляющиеся в области, наиболее для нас инте-
ресной: всегда при совершении кругового процесса только часть под-
веденной теплоты может преобразовываться в работу.
§ 8.3. Обратимые и необратимые процессы
В § 2.1 было введено понятие равновесного состояния, обуслов-
ленного внутренним равновесием. Расширим эти представления,
введя дополнительные условия внешнего равновесия. Равновесие,
обусловленное внутренним и внешним равновесием, называют тер-
модинамическим равновесием. При термодинамическом равновесии
температура внешней среды равна одинаковой во всех точках
температуре рабочего тела, а давление, производимое внешней
средой, уравновешиваегся внутренними силами упругости рабочего
тела.
Процессы, совершаемые в условиях термодинамического равно-
весия, обладают рассматриваемым ниже важным свойством, в силу
которого они получили название обратимых процессов. Различают
термически обратимые и механически обратимые процессы.
Если теплообмен между рабочим телом и окружающей средой
совершается при бесконечно малой разности температур, то процесс
является термически обратимым. Если обмен работой между
рабочим телом и окружающей средой совершается при бесконечно
малой разности давлений, то процесс является механически
обратимым. Процесс, удовлетворяющий условию термической и
механической обратимости, является полностью обратимым
процессом.
Основное свойство обратимых процессов рассмотрим сначала на
примере термически необратимого процесса. В реальном процессе
в случае, например, изобарного нагрева теплота может переходить
от внешнего источника с постоянной температурой Т'е к рабочему
телу с наибольшей температурой Т', только в том случае, если Т’е 2s T'i
(рис. 8.3).
После окончания процесса вернуть тело в первоначальное состоя-
ние можно, если отвести то же количество теплоты, для чего нужно
иметь другой внешний источник (теплоприемник) с температурой Т’е
ниже наименьшей температуры рабочего тела T’i, т. е. Т’е «£ Т'[.
Таким образом, после возвращения рабочего тела в первоначальное
состояние окружающая среда хотя и получит то же количество теп-
лоты, которое было отдано телу в прямом процессе, но при меньшей
температуре Т’е. Но чем меньше температурный потенциал теплоты,
тем меньшая ее часть может быть превращена в работу в тепловом
двигателе и тем ниже ее ценность. А повысить свой температурный
потенциал сама собой она не может.
105
Таким образом, если в процессе изменения состояния рабочего тела
между телом и окружающей средой при конечной разности темпера-
тур происходит теплообмен, то он сопровождается необратимыми
явлениями обесценивания теплоты, поэтому такой процесс называется
термически необратимым. При совершении термически обра-
тимого процесса в обратном направлении теплота будет отводиться
при той же температуре, что и подводилась в прямом, и никаких
необратимых изменений в окружающей среде не произойдет.
Примером механической необратимости служит адиабатный про-
цесс, совершающийся в цилиндре с подвижным поршнем (при дви-
жении поршня с конечной скоростью). При сжатии относительная
(по отношению к поршню) скорость молекул, движущихся навстречу
кроме того, плотность прилегающих
к поршню слоев газа возрастает
(рис. 8.4, а). Первое приводит к уве-
личению импульсов, передаваемых
при ударах молекул о поршень, вто-
рое — к увеличению частоты ударов.
а)	 б)
Рис. 8.3
Рис. 8.4
То и другое увеличивает давление газа р' на поршень по сравнению
с давлением р при равновесном, предельно медленном процессе сжатия.
Вследствие этого удельная работа б/' = р' dv, затрачиваемая
окружающей средой, по абсолютному значению больше работы 6/ =
= р dv равновесного (обратимого) процесса, т. е. 81' >б/. В обрат-
ном процессе, когда происходит расширение с конечной скоростью
движения поршня, происходит обратное явление (рис. 8.4, б): умень-
шается относительная скорость молекул и плотность прилегающих
к поршню слоев газа. В результате давление газа р" на поршень
становится меньше, чем давление р в равновесном процессе, и работа
8l" = p"dv, совершаемая газом, меньше работы 81 газа в равновес-
ном процессе расширения, т. е. 81" <281.
Таким образом, при сжатии газа окружающая среда затрачивает
работу 81', большую, чем получает при расширении 81". В резуль-
тате совершения такого процесса в прямом и обратном направле-
ниях окружающая среда затрачивает удельную работу, равную
I 6/'| — 81" (или за весь процесс \Г\ — 1"). Эта результативно затра-
ченная работа превратилась в удельную внутреннюю энергию Дм
рабочего тела, вследствие чего температура его повысилась. Чтобы
вернуть тело в первоначальное состояние, необходимо снять ади-
абатную изоляцию и отвести теплоту q, равную Дм и равную, сле-
довательно, затраченной работе |/'| — I". Вместо потерянной работы
окружающая среда получила эквивалентное количество теплоты.
106
Таким образом, после возвращения тела в первоначальное состоя-
ние в окружающей среде остается необратимое изменение: часть
затраченной работы, равная — превратилась в теплоту. Но,
как следует из предыдущего параграфа, теплоту нельзя полностью
превратить снова в работу. Следовательно, совершившиеся измене-
ния в окружающей среде являются необратимыми, поэтому такой
процесс называется механически необратимым.
Чтобы процесс был механически обратимым, он должен протекать
неограниченно медленно. При этом процесс будет совершаться равно-
весно так, чтобы р'~р" = р и I/'! = /" = /.
Следовательно, обратимым термодинамическим про-
цессом называют процесс, после которого система и взаимодейст-
вующие с ней системы (окружающая среда) могут возвратиться
в первоначальное состояние.
• Изложенное показывает, что обратимый процесс является тем
предельным процессом изменения состояния, когда в каждой его точке
рабочее тело находится в термическом и механическом равновесии
с окружающей средой. Все реальные процессы необратимы.
Следствием термической необратимости является обесценивание
теплоты (уменьшение способности теплоты превращаться в работу).
Следствием механической необратимости является потеря работы
(превращение части работы в теплоту).
8.4. Цикл Карно и его к. п. д.
Цикл Карно играет большую роль в развитии общей теории
термодинамики. Он служит эталоном для оценки совершенства иных
идеальных циклов, используется при установлении основных поло-
жений второго начала термодинамики и его аналитического выра-
жения; с его помощью производится оценка работоспособности
теплоты, а также оценка потерь работоспособности как результата
необратимости процесса и др.
Цикл Карно обладает максимально возможным термическим к.п.д.
в заданном интервале температур. Температурный интервал опре-
деляется температурами двух источников теплоты: теплоотдатчика
большей температуры 7\ и теплоприемника меньшей температуры Тг.
Поставим перед собой задачу построить цикл, который в задан-
ном интервале температур 7\ и Т2 имел бы максимально возможный
термический к.п.д. Максимальный термический к.п.д. может быть
получен только в том случае, если все процессы, последовательное
протекание которых образует цикл, будут полностью обратимыми,
так как только при этом не будет происходить потери работы или
обесценивания теплоты. Следовательно, цикл должен состоять только
из обратимых процессов.
При наличии одного теплоотдатчика и одного теплоприемника,
температуры которых по смыслу этих понятий остаются неизменными,
условие обратимости может быть выполнено только в том случае,
если цикл будет состоять из двух изотерм и двух адиабат. Дейст-
вительно, процессы подвода и отвода теплоты в цикле могут совер-
107
шаться обратимо только при условии, что температура рабочего тела
при подводе теплоты равна температуре теплоотдатчика Т\ (изо-
термическое расширение), а при отводе теплоты — температуре тепло-
приемника Т2 (изотермическое сжатие). Следовательно, подвод и
отвод теплоты должен осуществляться в обратимых изотермических
процессах, а изменение температуры рабочего тела от Л до Т2 и
обратно должны происходить без теплообмена, т. е. по обратимым
адиабатным процессам.
Цикл, осуществленный по указанной схеме, носит название
цикла Карно. Рассуждения, с помощью которых была определена
формула Карно, позволяют признать, что этот цикл должен обладать
наивысшим термическим коэффициентом полезного действия.
Рис. 8.6
На рис. 8.5 показан цикл Карно для газа. По изотерме 1-2
происходит обратимое расширение до объема V2 и давления р2.
В этом процессе к рабочему телу подводится теплота Qt при темпе-
ратуре Ту и производится работа, определяемая площадью а12Ь.
Заметим, что по обратимой адиабате 2-3 продолжается расширение до
объема V3 и давления р3, причем температура становится равной Т2.
Произведенная работа определяется площадью Ь23с. Далее начинается
обратимое изотермическое сжатие 3-4, сопровождаемое отводом теплоты
в количестве Q2 при температуре Т2. Конечные параметры равны
Pi и V4, а затрачиваемая (отрицательная) работа определяется пло-
щадью c34d. Точка 4 подбирается так, чтобы адиабата сжатия,
проведенная через эту точку, прошла через начальную точку 1
цикла. В результате адиабатного сжатия в процессе 4-1 все пара-
метры рабочего тела принимают исходные значения. Затрачиваемая
на это сжатие работа определяется площадью d41a. В итоге полу-
чается положительная работа L, определяемая площадью цикла 1234.
На диаграмме TS (рис. 8.6) цикл Карно изображается прямо-
угольником, так как изотермы и адиабаты — прямые линии. Отрезок
/-2 —изотерма подвода теплоты, причем 7\ —температура теплоотдат-
чика и рабочего тела в процессе подвода теплоты. Отрезок 3-4 —
изотерма отвода теплоты, а Т2 — температура теплоприемника и
108
рабочего тела в процессе отвода теплоты, 2-3 и 4-1 — адиабаты
расширения и сжатия рабочего тела.
Площадь а12Ь соответствует подведенной в цикле теплоте Qx ==
= 7\ (S2 — SJ, площадь a43b — отведенной теплоте | Q2 | = Т2 (S2 — SJ.
Разность Qi — | Q21 — теплота, превращенная в работу, изображается
площадью цикла 1234.
Термический к.п.д. цикла Карно
Лс = 1 -1Q2 l/Qx = 1 - [Л (5г - s1)]/[T1 (S2 - sj],
или
Лс = 1-7’2/Л-	(8.4)
Из формулы (8.4) следуют важные положения:
1.	Термический к.п.д. обратимого цикла Карно зависит только
от температуры теплоотдатчика 7\ и температуры теплоприемника
Т2. Он возрастает с увеличением 7\ и с уменьшением Т2.
2.	Термический к.п.д. цикла Карно не может достичь значения,
равного единице, так как для этого необходимо, чтобы Т1 = оо или
Т2 = 0, что неосуществимо.
Из этого следует, что теплота Qlt передаваемая рабочему телу
(газу или пару), в цикле не может быть полностью превращена
в работу; значительное количестве теплоты отводится к тепло-
приемнику.
3.	Термический к.п.д. цикла Карно при 7\ — Т2 равен нулю.
Это положение, известное как постулат Томсона, указывает на то,
что невозможно превращение теплоты в работу, если все тела системы
имеют одинаковую температуру, т. е. если они находятся в тепловом
равновесии.
4.	Термический к.п.д. цикла Карно не зависит от физических
свойств рабочего тела. Это положение, известное под названием
теоремы Карно, следует из того, что формула (8.4) не содержит
величин, характеризующих свойства рабочего тела, а использован-
ные для ее вывода выражения Q, и Q2 справедливы для любого
тела.
5.	Температура Т2 теплоприемника определяется обычно темпе-
ратурой окружающей среды и мало меняется. Поэтому термический
к.п.д. цикла Карно, а следовательно, и способность теплоты превра-
щаться в работу определяются главным образом температурой 7\
теплоотдатчика.
Значения гр цикла Карно в зависимости от температуры источ-
ника /(С при температуре приемника /2 = 20°С:
ti, °C |	100	|	400	|	800	|	1000	|	2000
Щ i (\21 i 0^6	|	0J3	|	0J7 j 0^81
В качестве примера определим термический к.п.д. двигателей, работающих
по обратимому циклу Карно: 1) двигателя внутреннего сгорания (дизеля), если
Г1 = 2200 К и Та —550 К; 2) пароэнергетической установки, если 7\ — 725 К и
72 = 300 К; 3) паровой машины с выхлопом в атмосферу, если Гх = 550 К;
Та ==375 К.
109
1)	w=l—7’2/7’1= 1—550/2200 = 0,750;
2)	w= 1-300/725 = 0,586;
3)	nz= 1-375/550 = 0,318.
В действительности, как это будет показано в дальнейшем, циклы двигателей
внутреннего сгорания и паросиловых установок отличаются от цикла Карно и
их термические к.п.д. ниже к.п.д. цикла Карно при тех же температурных
пределах.
Наряду с изображенным на рис. 8.3 и 8.4 прямым циклом Карно,
являющимся прототипом циклов тепловых двигателей, рассмотрим
обратный цикл Карно —так называемый цикл теплового насоса,
который, в свою очередь, служит прототипом для циклов холодиль-
ных машин.
В прямом цикле Карно точка, характеризующая начальное состо-
яние рабочего тела, движется по контуру цикла' в направлении
вращения часовой стрелки; в обратном цикле —против вращения
часовой стрелки, в связи с чем изотерма расширения располагается
ниже изотермы сжатия.
Из условия обратимости цикла Карно следует, что все превра-
щения энергии, совершаемые в обратном направлении, будут оста-
ваться прежними по абсолютному значению; в этом случае прием-
ник теплоты с температурой Тг становится теплоотдатчиком и цикл
получает теплоту в количестве Q2. По верхней изотерме при темпе-
ратуре Т] от рабочего тела отводится теплота, абсолютное значение
которой | Qj | = Q2 +; L I, где L — работа, уже не получаемая от цикла,
а подводимая к нему извне. В- результате совершения обратного
цикла Карно будет происходить переход теплоты в количестве Q2
от источника низшей температуры к источнику высшей температуры.
Для осуществления указанного перехода теплоты в соответствии
со вторым началом термодинамики необходимо извне подводить работу
L, которая преобразуется в теплоту, отводимую в теплоприемник
при температуре 7\.
§ 8.5.	Математическое выражение второго начала термодинамики
для обратимых циклов
Для любого цикла, в том числе и для цикла Карно, термический
к.п.д. определяется по формуле т]/= 1 — | Q2 |/Qr Кроме того, для
цикла Карно термический к.п.д. может быть подсчитан по формуле
Щ = 1 -Л/Л-
Сопоставляя эти два равенства для цикла Карно, имеем
Л/Л = Ш/<21
или
Qi/Л = I 0.г 1/Л-	(а)
В дальнейшем вместо абсолютного значения теплоты | Q21 будем
рассматривать его алгебраическое значение. Тогда
С1/Л + <2а/Л = 0.	(8.5)
Полученное выражение является характеристикой обратимого
цикла Карно, справедливой для всех тел, совершающих этот цикл,
но
вне зависимости от их физических свойств. Обобщим полученную
характеристику цикла Карно на любой обратимый цикл.
Для этого предварительно установим одно важное свойство обра-
тимости.
Если между точками а и Ъ обратимого цикла (рис. 8.7) провести
произвольный обратимый процесс а-b, то цикл разделится на два
самостоятельных цикла А и В. При совершении цикла А замечаем,
что участок а-b проходится в направлении от а к Ь, а при соверше-
нии цикла В тот же участок проходится в обратном направлении.
В связи с полной обратимостью процесса а-b все превращения, имею-
щие место в прямом процессе, полностью компенсируются в обрат-
ном. Таким образом, в смысле окончательного результата совершен-
но безразлично, будет ли совершен один цикл l-a-2-b-l или два
Рис. 8.7
Рис. 8.8
цикла: 1-а-Ь-1 и a-2-b-a. Понятно, что доказанное сохраняет силу и
в случае, если цикл будет таким же способом разделен на любое
число отдельных, более мелких циклов.
Рассмотрим произвольный обратимый цикл, изображенный на
рис. 8.8. Полная обратимость такого цикла, состоящего из самых
разнообразных термодинамических процессов, может быть достигнута
привлечением в качестве теплоотдатчиков и теплоприемников неогра-
ниченного числа точечных источников.
Разобьем цикл на п элементарных циклов проведением ряда
обратимых адиабат Ка, К.,, ..., Кп- Каждый элементарный цикл
образован двумя адиабатами и двумя участками основного цикла.
По доказанному, суммарный эффект превращений во всех п циклах
тождествен энергетическому балансу основного цикла.
Далее через точки контура основного цикла, отвечающие средним
термодинамическим температурам (3.35) подвода и отвода теплоты
в каждом элементарном цикле, проводим обратимые изотермы.
В результате получаем ряд циклов Карно, один из которых на рис. 8.8
заштрихован. Из понятия «термодинамическая температура» ясно,
что количество теплоты, подводимой по изотерме а-а в цикле Карно,
и количество теплоты, подводимой на участке а'-а" основного цикла,
111
совершенно одинаковы. То же следует сказать о количестве отво-
димой теплоты по элементу изотермы b-b и по элементу
цикла b'-b".
Увеличивая неограниченно число адиабат п, получаем бесконеч-
ное множество элементарных циклов Карно. При этом температуры
начала Т\ и конца Т] подвода теплоты и средняя термодинамическая
температура 7( подвода теплоты будут отличаться на бесконечно
малую величину. Поэтому их можно принять одинаковыми и равными
Т, т. е. Т{ = Т'( = Л = Tv
Сказанное справедливо и для температур отвода теплоты: То =
= 7'2 = Тг = 72.
Для любого из полученных элементарных циклов Карно (обра-
тимых) запишем в соответствии с (8.5) SQj/Tj + fiQ2/T2 = 0.
Понятно, что для различных элементарных циклов Карно элемен-
тарные количества подведенной и отведенной 6Q2 теплоты и
температуры подвода 7, и отвода 72 теплоты будут различными,
но записанное равенство сохраняется.
Интегрируя его по верхней ветви подвода теплоты и по нижней
1
ветви отвода теплоты, получаем J(6Q2/72) = 0, или по всему замкну-
тому контуру
ф (6Q/7) = 0.	(8.6)
В формулу (8.6), учитывая полную обратимость цикла, можно
подставлять как температуру рабочего тела 7, так и равную ей
температуру Источников и приемников теплоты.
Интеграл (8.6) носит название интеграла Клаузиуса и
является характеристикой любого обратимого цикла, совершаемого
любым рабочим телом.
Отправным пунктом доказательства, что 6Q/T1 = 0 для любого
обратимого цикла, являлось второе начало тормодинамики, поэтому
уравнение (8.6) можно рассматривать как его математическую фор-
мулировку для обратимых циклов. Легко убедиться, что из выраже-
ния (8.6) непосредственно следует утверждение о невозможности
осуществления вечного двигателя второго рода. Действительно, для
того чтобы сумма членов вида &Q/T равнялась нулю, необходимо,
чтобы часть элементарных количеств теплоты 6Q была положитель-
ной, а другая часть — отрицательной, так как термодинамическая
температура 7 всегда больше нуля. Иными словами, при круговом
изменении состояния рабочего тела должны быть участки с подводом
теплоты (6Q>0) и участки с отводом теплоты (6Q<0); этим утвер-
ждается невозможность осуществления цикла при наличии только
одного источника теплоты.
Математическим выражением второго начала термодинамики для
элементарного участка равновесного (обратимого) процесса служит
равенство
SQ = TdS.
(8-7)
112
§ 8.6.	Обобщенный цикл Карно. Эквивалентный цикл Карно
Если в цикле Карно обратимые адиабатные процессы заменить
любыми другими обратимыми процессами, обладающими тем свой-
ством, что на TS-диаграмме они изображаются эквидистантными *
кривыми, то получим так называемый обобщенный цикл Карно.
Термический к.п.д. такого цикла равен термическому к.п.д. цикла
Карно, совершаемого в том же интервале температур. На рис. 8.9
изображен цикл 1-2-3-4, состоящий из двух изотерм и двух изобар.
По изотерме 1-2 подводится теплота Qj, а по изотерме 3-4 отводится
теплота Q2. Кроме того, по изобаре 2-3 отводится теплота Qp, а по
изобаре 4-1 подводится такое же количество теплоты Qp. Равенство
подведенной и отведенной теплоты Qp обусловлено тем, что изобары
эквидистантны и их отрезки 2-3 и 4-1 заключены между парал-
лельными изотермами 7\ = const и 72 = const (процессы 1-2 и 3-4).
Используя неограниченное число точечных источников теплоты
(регенератдров), можно организовать еплообмен таким образом,
чтобы элементарное количество теплоты 6Q, отведенное при некото-
рой температуре Т рабочим телом в процессе изобарного охлаждения
2-3, было ему возвращено при той же температуре в процессе изо-
барного нагрева 4-1. Это значит, что после совершения кругового
процесса (цикла) остаточных изменений в точечных источниках
теплоты нет. В итоге извне к циклу 1-2-3-4 при постоянной тем-
пературе Т1 подводится теплота в количестве и отводится в при-
емник при постоянной температуре Т2 теплота Q2. Кроме того,
из равенства отрезков 4-4' и 3-3' следует, что криволинейные треу-
гольники 144' и 233' равны между собой. Следовательно, площадь
цикла 1-2-3-4 равна площади цикла Карно 1-2-3'-4', а равенство
подведенной и отведенной Q2 теплоты в обоих циклах обуслов-
ливает и равенство их термических к.п.д.
Для осуществления обобщенного цикла Карно необходимо ввести
в систему тел, участвующих в совершении цикла, неограниченно
Экви — равно, дистанция — расстояние, эквидистантные — равноотстоящие.
113
большое число точечных источников (теплоотдатчиков и теплопри-
емников). При наличии только двух источников теплоты возможен
цикл Карно и любой другой цикл, вписанный в цикл Карно 'и
осуществляемый в том же интервале температур.
Пусть между двумя источниками теплоты с температурами 7\ и
Тг осуществляется цикл Карно 1-2-3-4 и произвольный цикл Г-2'-
3’-4' (рис. 8.10), где для наглядности приняты одинаковые пределы
изменений энтропий и температур.
Термический к.п.д. цикла Карно выражается формулой (8.4)
г|с = 1 — Тг^Т1. Термический к.п.д. произвольного цикла (8.2) тр =
= 1 — IQjI/Qi- Количество подведенной теплоты Qi равно произве-
дению средней термодинамической температуры на приращение энтро-
пии Qi = аналогично \Q2\ = T2/\S.
Цикл, состоящий из двух изотерм, проведенных при средних
термодинамических температурах 7\ и Т2, и двух адиабат, проведен-
ных при значениях Sj = const и S2 = const, равных наименьшему и
наибольшему значениям энтропии в заданном цикле, называется
эквивалентным циклом Карно (эквивалентным данному
циклу по размеру работы и по эффективности превращения теплоты
в работу).
Термический к.п.д. эквивалентного цикла Карно (а следовательно,
и заданного произвольного цикла) найдем, подставив записанные
выражения и | Q21 в выражение (8.2). При этом получим
т], = 1 — Та/7\.	(8.8)
Поскольку всегда 7\ > 7\, а Т2 < 7’2, имеем
По. > тр-	(8.9)
Термический к.п.д. цикла Карно больше к.п.д. любого иного
цикла, осуществляемого в тех же пределах температур.
§ 8.7.	Термодинамическая температура
На основе второго начала термодинамики можно установить
шкалу температур, не зависящую от каких бы то ни было свойств
термометрического вещества жидкостного термометра и называемую
термодинамической шкалой.
Воспользуемся теоремой о независимости термического к.п.д.
обратимого цикла Карно от физических свойств рабочего тела
(см. § 8.4).
Какое бы рабочее тело ни совершало обратимый цикл Карно
между двумя источниками теплоты разной температуры, доля теплоты,
преобразуемая в работу, будет одной и той же. Если изменить темпе-
ратурный интервал, то соответственно изменится и доля теплоты,
преобразованная в работу. Следовательно,
Tk=l-|OQi = Oi, У	(а)
или
<21/|<2а1 = Ж	(б)
114
В формулах (а) и (б) под температурами и t2 следует понимать
некоторые величины, полученные по какой-либо эмпирической шкале
температур. Ясно, что вид функции f будет зависеть от способа
измерения температур, но в то же время ни способ измерения темпе-
ратур, ни свойства термометрического вещества, применяемого в изме-
рителе температур, не должны влиять на количество теплоты, пре-
образованной в работу. Поэтому, если степень нагретости тех же
источников теплоты, измеренная иным термометром по иной термо-
метрической шкале, будет определяться эмпири-
ческими температурами и 6-2, то
Qi/I 0.21 = <Р (^i, Ф2)	(в)
7G1, У = Ф(^1. ^2)-	(г)
Рассмотрим три обратимых цикла Карно, рас-
положенных в интервале температур tlt t2 и t3, как
это схематически показано на рис. 8.11. Согласно
формуле (б),
Qi/I Qs I—f(^i,	Q2/IQ3|—7(^г> ^з);
Рис. 8.11
<21/|<2з1=Ж
Перемножая почленно два первых равенства и сравнивая с пос-
ледним, получим
f(tu Wt2, =	/3).	(Д)
В правую часть равенства (д) температура /2 не входит. Последнее
возможно только в том случае, если функции, входящие в левую
часть, имеют вид
' f qm a2); f (у/ф &)
тогда и
f(ti, 4) = ШШ	(e)
Таким образом,
Qi/\Q2 I =/ (h, /2) = Ш)/Ш).	(Ж)
Так как в формулу (ж) входят абсолютные значения теплот
И-Я Qa | и | Q21 <Qi, то функция f(tlt t2) больше единицы, а функция
существенно положительна и должна возрастать с увеличением
температуры.
Температуру приемника теплоты (например, тающий лед) обоз-
начим t0, а температуру источника теплоты высшей температуры
(теплоотдатчика) обозначим /. Тогда согласно (е)
и-	(3)
На основе изложенного выше тр (/0) будет постоянной положительной
величиной, которую обозначим То. Тогда
/0).	(и)
115
Если ,Т0 удалось выбрать так, что значение ее не изменяется
в зависимости от способа измерения температуры и типа применя-
емого термометра, то согласно (и) значение "ф (/) также не будет
зависеть от термометрической шкалы. Подстановка в уравнение (и)
эмпирической температуры, измеренной каким-либо термометром, дает
значение ip (Z) = Т. Ясно, что число Т уже не зависит от рода при-
меняемого термометра, его называют термодинамической тем-
пературой, а последовательный ряд таких чисел — те р м о д и н а-
м и ческой шкалой. По доказанному, не может существовать
отрицательной термодинамической температуры (в области явлений,
изучаемых технической термодинамикой).
Установим еще одно важное свойство функций ф(/). Согласно
выражению (и), эмпирической температуре I соответствует одна строго
определенная ' термодинамическая температура Т, т. е. ф (/) — Т.
Теперь вместо термометрической температуры t в функцию ф под-
ставим термодинамическую температуру Т. Тогда
^Т) = Т.	(к)
Следовательно, если за термометрическую шкалу принята термо-
динамическая шкала, то функция ф(Т) равна самой термодинамичес-
кой температуре. В этом случае согласно формуле (ж)
Qi/I Q.41= т-jT %.	(л)
Все предыдущие выводы были основаны на том, что величина Тв
определена вне зависимости от термодинамической шкалы. Покажем,
как можно выполнить это требование. Для этого выберем два тела
с разным тепловым состоянием: тающий лед и кипящую воду при
атмосферном давлении. Соответствующие показания произвольного
термометра пусть будут t0 и tB. Термодинамические температуры —
соответственно То и Та. На основании формул (и) и (к)
Ж) = Л; ф(Тв) = Тв = Т0/(/в, t0).
Подчеркнем, что значение функции f(tB, t0) не зависит от способа
измерения эмпирических температур.
Интервал температур от То до Тк, не зависящий от термометри-
ческой шкалы, разобьем на п равных делений. Чтобы цена деления
термодинамической шкалы соответствовала цене деления практической
температурной шкалы, следует выбрать п = 100. Тогда
Тв — То = 100 °C, или Tof(ta, Q-То = Ю0 °C;
То=100/[/(/в, /0)-1].	(м)
Значение температуры То, полученное по формуле (м), не зависит
от эмпирической шкалы температур, т. е. поставленное выше тре-
бование выполнено.
Обозначая Тв через Т1М и принимая во внимание формулу (ж),
вместо (м) имеем право записать
т _ 100
0 Qioo/IQol —1’
116
где Qloo — количество теплоты, полученное обратимым циклом Карно
от источника с температурой 7’100 (кипящая вода при атмосферном
давлении); | Qo | — абсолютное количество теплоты, отданной в том же
цикле приемнику теплоты при температуре То, равной температуре
тающего льда.
Опытное определение Qloo/| Qo | дает число, равное 1,366. Тогда
по термодинамической шкале
То= 100/(1,366-1)== 273,15 к.
Следует отметить, что термодинамическая шкала температур
может быть установлена только с помощью второго начала термо-
динамики. При построении термодинамической шкалы необходимо
опытное определение каких-либо величин (например, отношений
Wi/i Qa
Отметим, что температура по идеальному газовому термометру
точно совпадает с термодинамической температурой при условии
тождественной цены деления шкалы.
По решению Международного комитета мер и весов термодина-
мическая температурная шкала признана основной.
Глава IX
ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ ДЛЯ НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ
§9.1.	Изменение энтропии при необратимом адиабатном
сжатии идеального газа
Рассмотрим необратимые, т. е. реальные, процессы с целью
выявления особенностей и качественного отличия их от обрати-
мых, т. е. идеализированных, процессов.
При протекании необратимых процессов па-
раметр s приобретает особое значение: его изме-
нение происходит не только под влиянием
сообщаемой или отводимой теплоты по формуле
Sq = T ds, как у обратимых процессов.
При необратимых изменениях состояния
возможен самопроизвольный рост энтропии
тела без какого-либо подвода теплоты извне.
Поясним это следующим примером. Сопоста-
вим обратимое (1-2) и необратимое (1-2') адиа-
батные сжатия идеального газа из одного и
того же начального (равновесного) состояния
до одинакового конечного удельного объема
(рис. 9.1). Будем считать, что после совер-
шения необратимого процесса сжатия рабочее тело, предоставленное
само себе и изолированное от внешней среды, через некоторый про-
межуток времени пришло в состояние равновесия. Таким образом,
начальное и конечное состояния рабочего тела являются строго
определенными.
117
Для обратимого адиабатного сжатия | L |о6р ~и2-иг.
Для необратимого адиабатного сжатия | L |Иеобр = U* ~
В связи с необратимостью сжатия (трение, конечная скорость
процесса) |Ь jlle06p> IЬ |обр, следовательно, U2>U2 и
Учитывая, что для обратимой адиабаты S± = S2, а также что
конечное состояние в необратимом процессе является равновесным,
изменение энтропии S2 —Sj можно определить по формуле (6.6), так
как конечные точки процессов лежат на одной изохоре:
S'. — S, = mcv In > 0.
Таким образом, хотя весь процесс происходил без теплообмена
(dQ = 0), энтропия рабочего тела в рассмотренном процессе необра-
тимого сжатия самопроизвольно возросла*. Разобранный частный
случай показывает, что для необратимых процессов равенство (8.7)
превращается в неравенство
и, значит, &Q/T <ZdS.
§ 9.2.	Значение интеграла	для необратимых циклов
Пусть между источником теплоты температуры Тг и приемником
теплоты температуры Т2 совершается обратимый цикл Карно, тогда
Т)Со = 1 Т 2/Т j.
Кроме того, между теми же источником и приемником теплоты
совершается необратимый цикл Карно. Необратимость вызвана
в общем случае отсутствием механического и температурного равно-
новесия как внутри тела, так и между рабочим телом и окружаю-
щей средой. Для такого цикла цен — 1 — | Q2 !/Qi- По ранее доказан-
ному, всегда т]со>т]сн, т. е.
(1 - I <2г I/Q1) < (1 - Т2/Т\) или (Q1/T1 - I Q2 \/Т2) < 0.
Заменяя, как и прежде, |Q2| на — Q2, -получаем
(Qi/Tr + Q./T.XQ.	(9.1)
В формулу (9.1) входят термодинамические температуры тепло-
отдатчика и теплоприемника, не равные температурам рабочего тела
при подводе теплоты и отводе теплоты ввиду термической необра-
тимости.
Обобщим полученное неравенство, характеризующее необратимый
цикл Карно, на любой необратимый цикл. Для этого поступим ана-
логично изложенному в § 8.6. Необратимый цикл разобьем на п бес-
конечно малых циклов, проведя для этого соответствующее число
бесконечно близких друг к другу обратимых адиабат. Для каждого
таким образом полученного элементарного цикла будет справедливо
неравенство (9.1). Не повторяя рассуждений, подробно изложенных
* К такому же результату придем и при рассмотрении необратимого адиабат-
ного расширения.
118
в §8.5, напишем окончательное.выражение, справедливое для любого
необратимого цикла:
§(8Q/T)<0.	(9-2)
Написанный интеграл является характеристикой любого необра-
тимого цикла. Отметим, что и здесь температура относится к тепло-
отдатчикам и теплоприемникам, а не к рабочему телу, а знак 6Q
определяется с позиции рабочего тела: положительный при подводе
и отрицательный при отводе теплоты.
Объединяя формулы (8.6) и (9.2), получаем
ф(б(?/Т)^0.	,(9.3)
Знак неравенства относится к необратимым циклам, а знак равен-
ства — к обратимым циклам.
Отметим, что изменение энтропии самого рабочего тела в термо-
динамически замкнутом круговом процессе вне зависимости от того,
обратим или необратим цикл, всегда равно нулю. Действительно,
во всяком круговом процессе начальное состояние рабочего тела
совпадает с конечным и оба эти состояния должны быть равновес-
ными для обеспечения термодинамической замкнутости процесса.
Последнее относится и к случаю необратимого цикла, поскольку и
у такого цикла исходное и конечное состояния являются равновес-
ными, несмотря на нарушение равновесности процесса в промежу-
точных состояниях; интеграл же §(8>Q/T) = 0 только для обратимого
цикла.
В необратимом цикле интеграл ф(<5ф/Т) всегда имеет отрицатель-
ное значение и зависит от условий подвода и отвода теплоты в цикле
и от условий изменения состояния рабочего тела.
Источники теплоты претерпевают за время совершения цикла лишь
односторонний процесс (не круговой), считающийся всегда равновес-
ным и сопровождающийся всегда изменением энтропии вследствие
отвода теплоты от одних и подвода ее к другим.
Подынтегральное выражение 8Q/T в необратимых процессах
теряет смысл бесконечно малого приращения энтропии. Чтобы это
выражение представляло собой дифференциал энтропии источников
теплоты, изменение состояния которых совершается предположи-
тельно обратимо, необходимо знак 8Q изменить на обратный, так
как он должен определяться в этом случае с позиции источников
теплоты. Поэтому ф (8Q/T) принимает значение, равное приращению
энтропии источников теплоты (теплоотдатчиков и теплоприемников)
и противоположное по знаку, если только рабочее тело изменяет
свое состояние внутренне равновесно.
Равенство нулю этого интеграла для полностью обратимого цикла
равносильно утверждению, что суммарное изменение энтропии всех
источников теплоты равно нулю, т. е. уменьшение энтропии одних ис-
точников должно равняться по абсолютному значению увеличению
энтропии других источников. Если цикл совершается обратимо, то
119
температура Т, входящая в интеграл (9.3), в одинаковой мере относится
как к рабочему телу, так и к источникам теплоты, поэтому усло-
вие ^(6Q/T) = 0 в этом случае относится ко всей системе в целом
и к рабочему телу в отдельности.
Если подвод и отвод теплоты в цикле происходит обратимо,
а изменение состояния рабочего тела происходит внутренне неравно-
весно, то увеличивается абсолютное значение отводимой в цикле
теплоты и интеграл принимает значение ф (6Q/T) < 0. Приращение
энтропии рабочего тела в круговом процессе равно нулю, а прира-
щение энтропии системы (теплоотдатчиков и теплоприемников)
Д5Г = — ф(ЖГ)>0.
Изложенное иллюстрируется на числовом примере применительно
к циклу Карно (см. § 9.5).
§ 9.3.	Закон возрастания энтропии
Рассмотрим необратимый разомкнутый процесс 1-а-2, совершаемый
между двумя равновесными состояниями 1 и 2 (рис. 9.2). Как изве-
стно, ни на какой диаграмме состояний необратимый процесс не
может быть изображен в виде непрерывной кривой, поэтому условно
изобразим его пунктиром. Затем из состояния 2 вернем рабочее тело
каким-либо обратимым путем 2-1 в исходное состояние 1. Рассматри-
вая совместно оба процесса, получим необратимый цикл 1-а-2, для
которого ф (6Q/T) < 0. Круговой интеграл представим в виде суммы
двух интегралов
2	1
Up	ради <0.
1	1	2
но $ (8Q/T) = \ dS = Si - S2, следовательно, J (6Q/T)<(S2-S1).
2	2	1
В последнем неравенстве означает энтропию в начальном,
a S2 —в конечном состоянии. Рассматривая точку 2 как точку с те-
кущими координатами и дифференцируя написанное неравенство,
получаем
dS > (ад/Г)11еобр.	(9.4)
Важно понимать и помнить, что энтропия S относится к рабочему
телу, а абсолютная температура Т — к источнику или приемнику теп-
лоты. Элементарное количество теплоты 6Q по своему абсолютному
значению одинаково вне зависимости от того, относится ли оно
к рабочему телу или к источнику, а его знак определяется по отно-
шению к рабочему телу (положительный, если теплота подводится
к телу).
Формула (9.4) является аналитическим выражением второго на-
чала термодинамики для необратимых изменений состояния рабочего
тела.
120
Во избежание неправильного толкования этой формулы следует
отметить, что нельзя понимать выведенное соотношение в том смысле,
что энтропия рабочего тела в необратимом процессе изменяется
больше, чем в обратимом. Изменение энтропии в любом процессе
между заданными равновесными состояниями, как это было указано
выше, будет всегда одно и то же, но для обратимого процесса
jj (8Q/T) равен изменению энтро- у
1
пни S2 — Sj, а для необрати-
мого этот интеграл меньше, чем
Sa — Sx.
В частном случае адиабат-
ного необратимого изменения со-
стояния, когда 8Q = 0, получим
dS>0. Следовательно, в адиа-
батном необратимом процессе
энтропия рабочего тела увели-
чивается.
Теперь обобщим неравенство
(9.4) на больший круг явлений. О
Для этого введем в рассмот-
рение термодинамическую си-
стему, адиабатно изолированную
от внешних воздействий, т. е. такую систему, для которой 6Q = 0.
Применяя выведенное выше неравенство к такой системе, получаем
dS>0,
Обратимый, процесс
----0-
HeoSpamaMbia процесс
S,
Рис. 9.2
(9-5)
где dS — элементарное изменение энтропии системы, равное сумме
изменений энтропии отдельных входящих в нее тел.
Итак, энтропия адиабатно изолированной системы не может
убывать, она может или увеличиваться (знак неравенства), или
в предельном случае оставаться неизменной (знак равенства). Напи-
санное выше неравенство названо законом возрастания
энтропии.
§ 9.4.	Физический смысл энтропии
При механически равновесном (обратимом) воздействии на адиа-
батно изолированную систему энтропия этой системы не изменяется.
В случае неравновесного механического воздействия энтропия системы
возрастает и тем больше, чем значительнее необратимость воздействия.
В примере, приведенном в § 9.1, где адиабатно изолированной системой
является газ, заключенный в теплоизолированный цилиндр с под-
вижным поршнем, при необратимом сжатии энтропия газа возрастает,
а при обратимом сжатии остается постоянной.
Таким образом, необратимое механическое воздействие повышает
энтропию адиабатной системы и никаким механическим воздействием
уменьшить до начального значения возросшую энтропию не удается.
121
Возвращение адиабатной системы к начальному значению ее энтро-
пии возможно лишь единственным путем: снятием .адиабатной изоля-
ции и отводом от системы некоторого количества теплоты.
Приведенные рассуждения позволяют сделать вывод, что теплота
и механическая работа эквивалентны друг другу в количественном
отношении (первое начало термодинамики), но теплота обладает осо-
бым специфическим свойством, сказывающимся, например, в том, что
только путем теплообмена можно уменьшить энтропию рассматри-
ваемой системы, а повысить ее (помимо теплообмена) возможно, любым
необратимым механическим воздействием. Последнее, как мы видели,
вытекает из второго начала термодинамики для обратимых изменений
состояния. Установленные выше неравенства (9.4) и (9.5) и отражают
специфику тепловых процессов, вытекающую из самой их природы.
Если адиабатно изолированную систему изолировать и от меха-
нических воздействий, т. е. рассмотреть полностью изолированную
систему, то энтропия такой системы также подчинится неравенству
(9.5). В общем случае система состоит из нескольких тел, действие
которых друг на друга обусловливает протекание внутри системы
тех или иных процессов. При протекании внутри такой системы
только обратимых процессов энтропия системы остается неизменной.
Энтропия одних тел может (и должна) уменьшаться, а у других тел
возрастать, но суммарное значение энтропии всех тел рассматривае-
мой системы при необратимости процессов может только возрастать.
Таким образом, закон возрастания энтропии, относящийся к изо-
лированной системе, внутри которой происходят необратимые (дейст-
вительные) процессы, показывает, что энтропия системы самопро-
извольно изменяется, и при этом односторонне: только в сторону
возрастания.
Из изложенного вытекает и физический смысл энтропии: ее можно
рассматривать как меру необратимости процесса, протекающего
в изолированной системе.
Пусть система (например, какой-либо газ) не находится в термо-
динамическом равновесии с окружающей средой. В некоторый момент
времени полностью изолируем систему от внешней среды. Как изве-
стно, под действием внутренних процессов такая система через тот
или иной промежуток времени неизбежно придет в состояние равно-
весия — произойдет затухание механических движений, выравнивание
температур, плотностей и т. щ. Все процессы, приводящие систему
в равновесное состояние, являются необратимыми, и тем самым про-
текание их обусловливает увеличение энтропии системы. Следова-
тельно, переход системы из неравновесного, а значит в термодина-
мическом смысле неустойчивого, состояния в равновесное устойчивое
состояние сопровождается ростом энтропии. Таким образом, в состоя-
нии устойчивого равновесия энтропия системы имеет наибольшее зна-
чение.
В пояснение к сказанному рассмотрим естественный переход теп-
лоты от более нагретого к менее нагретому телу при конечной раз-
ности температур. Пусть оба тела в совокупности представляют
адиабатно изолированную систему. Количество теплоты 6Q1( отданной
122
первым телом, имеющим температуру 7\, по абсолютному значению
всегда равно количеству теплоты 6Q2, воспринятой вторым телом,
находящимся при температуре Т2:
Изменение энтропии системы dS = dSl-]-dS2, где dSt и dS2—
соответственно изменения энтропии первого и второго тела, опреде-
ляемые в предположении, что каждое из тел меняет свое состояние
обратимо (внутреннее температурное равновесие — внутренняя обра-
тимость), хотя процесс взаимодействия между этими телами необра-
тим (нестатичность теплопередачи — внешняя необратимость):
dS - dS, + dS2 = - | 6Q |/7\ + 16Q |/T2 = | 6Q | (1/T2 - 1/Л).
Так как, по условию, Т2<Т\, то dS>0. Следовательно, имеет
место возрастание энтропии.
Если бы процесс теплообмена был обратимым, для чего необхо-
димо положить 7'1 = 7,2, то и dS = 0.
В заключение укажем на метод расчета изменения энтропии рабо-
чего тела в необратимых процессах. Возможно это только при допу-
щении, что начальное и конечное состояния рабочего тела являются
равновесными. Тогда разность энтропий Sj — S2 = AS в двух конечных
равновесных состояниях может быть определена из рассмотрения
любого обратимого процесса (или группы процессов), проведенного
между заданными равновесными состояниями. Таким образом, дей-
ствительный и поэтому необратимый процесс заменяется фиктивным
обратимым процессом, соединяющим оба крайних равновесных состоя-
ния рабочего тела. В этом случае изменение энтропии рабочего тела
в обратимом процессе равно итоговому изменению энтропии в необ-
ратимом процессе.
§ 9.5.	Иллюстрация интеграла Клаузиуса и закона
возрастания энтропии
Допустим, что цикл Карно совершается в пределах температур теплоотдат-
чика 7'1 = 750 К и теплоприемника 7'2 = 300 К- В цикле подводится теплота
(Д = 600 кДж. Требуется вычислить интеграл Клаузиуса ф (6Q/T) и приращение
энтропии системы Д5С в следующих случаях:
1.	Цикл полностью обратимый.
2.	Изотермические процессы подвода и отвода теплоты совершаются необра-
тимо при конечной разности температур ДТ= 80 К- Изменение состояния рабо-
чего тела происходит внутренне равновесно.
3.	Процессы адиабатного расширения и сжатия совершаются (в заданных
пределах температур) необратимо, причем так, что приращение энтропии в каж-
дом из них равно Д5ад = 0,10 кДж/K. Изотермические . процессы термически и
механически обратимы.
4.	Изотермические процессы совершаются по условиям п. 2, а адиабатные —
по условиям п. 3.
Первый случай. Представим интеграл по замкнутому контуру как сумму
интегралов, взятых По составляющим его процессам (рис. 9.3, а):
2	3	4	1
§ («Q/Г) = j (6Q/T) + J (6Q/7 ) + j (dQ/Г) + ( (6Q/T).
12	3	4
123
Процессы 2-3 и 4-1 адиабатные (6Q = 0). Значит, второе и четвертое слагаемые
равны нулю. В оставшихся двух температуры выносим за знак интеграла как
величины постоянные (7'1.2 = 7’1 = const, Т3.4 = Т2 = const) и получаем
ф (6Q/7') = Q17’1H-Q2/7’a.	(а)
В области явлений, изучаемых в технической термодинамике, термодинами-
ческие температуры Т — величины всегда положительные, значит отношение
Q1/T1 > 0, a Q2/T2 < 0. Поскольку подведенная теплота Qt изображается на Ts-
диаграмме площадью прямоугольника а!2Ь, одна из сторон которого равна 7\,
другая его сторона 1-2 равна отношению Qi/Tj. Аналогично, сторона 3-4 равна
отношению Оь/Т2.
Для вычисления по формуле (а) необходимо располагать значением величины
Q2; найдем его с помощью термического к. п. д. цикла Карно: т]с = 1— Т2!Т\ =
= 1 — 300/750 = 0,6. По формуле (8.2) | Q21 — Qx (1 — т]с) = 600 (1 — 0,6) кДж =
= 240 кДж или (?2 = — 240 кДж.
При этом по формуле (а)
ф (6Q/T) = 600/750 - 240/300 = 0,
т. е. для обратимого цикла Карно ф (SQ/7’) = 0.
Приращение энтропии системы, поскольку рабочее тело совершает круговой
процесс, равно сумме приращений энтропии источников теплоты. Для ее вычисле-
ния знаки теплоты 6Q или Q должны определяться с позиции источников теплоты:
отводимое от теплоотдатчика количество теплоты Q, является отрицательным
(Qi =—600 кДж), а подводимое к теплоприемнику Q2—положительным (<32 = 240кДж).
Значит, приращение энтропии теплоотдатчика Q1/7’1<0, а теплоприемника
Q2/7’2 > 0 (рис. 9.3, б).
Приращение энтропии системы 
ASC = Qt/rj + Q2/T = — 600/750 + 240/300 = 0.
Таким образом, приращение энтропии системы «рабочее тело —источники теп-
лоты» для обратимого цикла Карно равно нулю.
Второй случай. Как и в первом случае, сначала необходимо найти
величину Q2 по формуле для к. п. д. цикла. Если рабочее тело изменяет свое
состояние внутренне обратимо, к. п. д. может быть определен через температуры
рабочего тела при подводе теплоты Т[ и отводе ее Т'2 (рис. 9.4).
При заданной разности температур АТ’= 80 К находим температуру рабочего
тела при подводе теплоты: Г^ = Г1—ДГ=(750-80) К —670 К; при отводе теп-
лоты = Т2Д7 = (30080) К = 380 К- При этом термический к. п, д. необра-
тимого цикла.Карно
1 - Т^/Т; -1 - 380/670 - 0,433,
124
Эффективность цикла вследствие необратимости значительно снизилась. (Для
обратимого цикла т]с = 0,6.) Значит, уменьшилась превратимая часть теплоты и
соответственно должна возрасти отводимая в цикле теплота. Действительно, коли-
чество отводимой теплоты в рассматриваемом необратимом цикле
[Q2| = Qi(1—t]q) = 600 (1 —0,433) кДж = 340 кДж,
или Qa =—340 кДж (вместо 240 кДж в обратимом).
Далее, как и в первом случае, находим:
§(6Q/r) = Q1/T1 + Q2/7’2==(600/750 - 340/300) кДж/К = -0,333 кДж/К;
ASc = Q1/7’1 + Q2/7’2 = (—600/750+340/300) кДж/K = 0,333 кДж/К-
Полученное значение —0,333 интеграла Клаузиуса показывает, что в необра-
тимом цикле ф (6Q/7') < 0. Изменив знаки Q, и Q2 на обратные, получаем при-
ращение энтропии источников теплоты. Энтропия системы возрастает вследствие
необратимости подвода и отвода теплоты.
Рис. 9.4
Третий случай. Поскольку изменение состояния рабочего тела происхо-
дит необратимо, отводимое количество теплоты зависит не только от значения
термического к. п. д., но и от размера потерь в необратимых адиабатных про-
цессах. Так как теплота отводится по изотерме 3-4 при известной температуре
Т2, имеем
®2~ ^2	(б)
где AS3.4 — приращение энтропии вследствие отвода теплоты в необратимом изо-
термическом процессе сжатия 3-4 (рис. 9.5). Определим ее из условия равенства
нулю приращения энтропии рабочего тела в круговом процессе:
<^> dS = AS/.2 + AS2.3	у.# + AS4.4 — 0,
откуда AS 3_4 = — (AS/.2 + AS 2,3 + AS t
Приращение энтропии в обратимом изотермическом процессе расширения 1-2
AS/.2=Q1/7’1 = 600/750 кДж/K = 0,8 кДж/К-
В необратимых адиабатных процессах 2-3 и 4-1, по условию задачи,
AS2-3 — AS4_t =0,1 кДж/K-
Следовательно, AS3.4 =— (0,8+ 0,1 +0,1) кДж/K = —1,0 кДж/K; по фор-
муле (б) находим
Qg-300(-l,0)-- 300 кДж,
12S
Далее, как и в первых двух случаях, находим:
§ (6Q/T) = Qi/Tj + <?2/Т2 = (600/750) - 300/300 кДж/K = - 0,2 кДж/К;
ASc = Q1/7’1 + Q2/7’2 = (-600/750) + (300/300) кДж/K =0,2 кДж/К-
Этот случай является особенно поучительным. Во-первых, он показывает, что
ф (6Q/T) принимает отрицательное значение и в том случае, когда подвод и отвод
теплоты происходит обратимо, если только изменение состояния рабочего тела
Рис. 9.6
совершается механически необратимо. Во вто-
рых, он разъясняет кажущееся противоречие
между такими явлениями, как возрастание
энтропии рабочего тела на отдельных участках
цикла вследствие неравновесного изменения со-
стояния (в нашем случае в адиабатных процес-
сах) и равенство нулю ф dS для рабочего тела
вследствие замкнутости процесса. Возрастание
энтропии рабочего тела из-за необратимости
адиабатных процессов компенсируется более
значительным уменьшением энтропии в про-
цессе 3-4. Последнее объясняется увеличением
количества отводимой теплоты. А это в свою
очередь связано с тем, что неравновесность
адиабатных процессов приводит к потере ра-
боты, которая превращается в теплоту, допол-
нительно отводимую к теплоприемнику в про-
цессе 3-4.
Четвертый случай. Имея в виду,
что подвод и отвод теплоты происходит при
разности температур АТ = 80 К и приращение
энтропии от необратимости в каждом из
адиабатных процессов составляет 0,1 кДж/K, находим (рис. 9.6) приращение
энтропии:
теплоотдатчика
AS1 = Q1/T1 = —600/750 кДж/K = —0,8 кДж/К;
рабочего тела при подводе теплоты
AS/.2 = Q1/T; = 600/670 кДж/K = 0,895 кДж/К;
рабочего тела при отводе теплоты
ASM = —(AS/.2 + AS2..j + AS4./) = —(0,895 + 0,1 + 0,1) кДж/К =
= — 1,095 кДж/K.
Количество отведенной теплоты Q,, = Т2 &S3_4 — 380 (— 1,095) кДж/K —
= — 416 кДж/К.
Приращение энтропии теплоприемника
AS2 = Q2/7'2 = 416/300 кДж/K = 1,387 кДж/К.
Далее находим:
ф (6Q/T) = Qj/Tj + (?2/Г2 = (600/750 - 416/300) кДж/K = — 0,587 кДж/K;
ASc = <21/7’i + Q2/T2 = (- 600/750+ 416/300) кДж/К = 0,587 кДж/К-
Вследствие внутренней необратимости
ф (6Q/T) = Ql/7'[ + фг/Т^ = (600/670 —416/380) кДж/К = — 0,200 кДж/К;
Следовательно, для рабочего тела подтверждается, что в необратимых про-
цессах
fiQ/7’<dS и ф (pQ/T)<0,
126
§ 9.6. Обратимость и производство работы
Изолированная система только в том случае может совершить
работу, если входящие в нее тела не находятся в равновесии. Если
в системе имеются тела с различной температурой, значит система
является термически неравновесной. Если тела находятся под раз-
личным давлением, следовательно, система механически неравновесна.
Только неравновесная система может совершить работу.
Если система состоит из двух тел, температуры которых T1=j^T2,
и рабочего тела, вступающего с ними попеременно в тепловой кон-
такт, то система может циклически совершать работу, как это было
показано в § 8.1. Теплота Qj, получаемая от тела с большей темпе-
ратурой Тъ может быть превращена частично в работу £ц, а остав-
шаяся часть теплоты Q2 должна быть отдана телу с меньшей темпе-
ратурой Т2. При этом температура горячего тела должна в общем
случае понижаться, а холодного —повышаться. Разность температур
между горячим и холодным телом вследствие этого будет сглажи-
ваться, пока не наступит их полное термическое равновесие. При
этом каждый последующий цикл будет совершаться при меньшей
разности температур. Площадь цикла при одинаковом количестве
подводимой теплоты будет становиться все меньше и меньше, пока
цикл не выродится в линию (изотерму), а площадь цикла и, следо-
вательно, работа цикла не станут равными нулю. Дальнейшее пре-
вращение теплоты в работу становится невозможным.
Таким образом, термически неравновесная система может совер-
шать работу только до тех пор, пока не наступит термическое рав-
новесие.
Допустим теперь, что температуры теплоотдатчика (при отдаче
им теплоты) и теплоприемника (при получении теплоты) не изменя-
ются. Тогда изменение состояния рабочего тела может совершаться
по циклу Карно. Особенность такого цикла (см. § 8.7) состоит в том,
что термический к. п. д. его т]С больше к. п. д. тр любого другого
цикла, совершающегося в том же температурном интервале. Следо-
вательно, и работа £ц. к = Qt]c в этом случае будет получена наиболь-
шая, т. е.
т]с > Д и Тц. к > Тц.
Вместе с тем известно, что работа цикла Карно в заданном
интервале температур может быть различной в зависимости от сте-
пени обратимости цикла, так как к. п. д. необратимого цикла
меньше, чем обратимого (см. § 8.6). Чтобы работа была максималь-
ной, цикл Карно должен быть обратимым, т. е. он должен состоять
из обратимых процессов (изотерм и адиабат). В частности, теплооб-
мен между рабочим телом и источниками теплоты должен совер-
шаться при бесконечно малой разности температур.
Обратимся теперь к другому примеру: преобразование энергии
в разомкнутом процессе. Рассмотрим механически неравновесную
изолированную систему, состоящую из сжатого газа (или пара) и
среды. Предположим, что давление газа выше давления среды. Газ
127
может совершать работу, причем давление его будет понижаться,
приближаясь к давлению среды. Если центр инерции газа остается
неподвижным (расширение в цилиндре), то газ будет совершать
работу расширения, если же он находится в потоке, то техническую
работу*. И в том и в другом случае работа может совершаться
только до тех пор, пока давление рабочего гела не станет равным
давлению окружающей среды, т. е. пока не будет достигнуто меха-
ническое равновесие.
В тепловых двигателях процессы сжатия и расширения совер-
шаются с конечной скоростью, в некоторых случаях достаточно
большой. При этом внутреннее равновесие нарушается и процесс
становится необратимым. Вследствие этого часть работы превраща-
ется во внутреннюю энергию рабочего тела (в случае потока — в эн-
тальпию) или отводится в форме теплоты и таким образом теряется.
Для получения максимальной работы процесс должен совершаться
обратимо.
На основе изложенного приходим к следующим важным вы-
водам:
1. Изолированная система может совершать работу только при
том условии, что она не находится в состоянии равновесия. После
достижения равновесия способность системы совершать работу ока-
зывается полностью исчерпанной.
2. Для получения максимальной полезной работы все процессы,
связанные с преобразованием энергии, должны быть полностью обра-
тимыми.
§ 9.7. Техническая работоспособность, или эксергия
В естественных земных условиях источником теплоты наинизшей
температуры и телом, обладающим наименьшим давлением, является
окружающая среда, т. е. земная атмосфера на поверхности земли и
верхние слои гидросферы**. Поэтому для определения максимальной
полезной работы следует рассматривать переход тела из данного со-
стояния до состояния равновесия с окружающей средой. В случае
превращения теплоты в работу в круговом процессе окружающую
среду следует принимать за источник теплоты низкой температуры
(теплоприемник).
Вторым обязательным условием, как было сказано, является
обратимость всех процессов. Обратимыми должны быть процессы
перехода тела в состояние равновесия с окружающей средой и про-
цессы, составляющие цикл Карно.
Получаемая при этих условиях максимальная полезная работа
называется технической работоспособностью, или эксергией. Следова-
тельно, эксергией называют максимальную работу, которую может
совершить система при ее переходе от данного состояния до равно-
* В общем случае работу потока.
** Вода рек, озер, морей и океанов является источником теплоты низкой тем-
пературы (теплоприемником) для судовых и многих стационарных энергетических
установок,
128
весил с окружающей средой. Удельную Эксергию обычно определяют
как отношение эксергии Ех к массе. Ее обозначают ех и выражают
в СИ в Дж/кг.
Различают эксергию рабочего тела в потоке, эксергию неподвиж-
ного рабочего тела и эксергию теплоты.
Напомним, что энергией рабочего тела, способной в той или
иной мере превращаться в работу, является в случае потока энталь-
пия, а в случае неподвижного тела — внутренняя энергия. Оба эти
вида энергии не способны полностью превращаться в работу. Теп-
лота также не способна полностью превращаться в работу в круго-
вом процессе, но в процессе Т = const вся подводимая теплота пре-
вращается в работу. С этим свойством энтальпии, внутренней энергии
и теплоты и связано понятие эксергии. Эксергией называют превра-
тимую часть энергии рабочего тела и подводимой теплоты. Превра-
тимой мы называем ту часть энергии или теплоты, которая способна
превращаться в работу при сформулированных выше условиях.
Для таких видов энергии, которые обладают способностью к пол-
ному превращению, эксергия будет равна полному количеству рас-
полагаемой энергии. В частности, для механической работы, которая
способна полностью превращаться в теплоту, во внутреннюю энер-
гию или энтальпию, удельная эксергия равна всей удельной работе
ех = /т.	(9.6)
Определение значения эксергии теплоты, эксергии неподвижного
рабочего тела и движущегося в потоке имеет свои особенности.
Для определения эксергии теплоты рассматриваем систему,
состоящую из двух источников теплоты и рабочего тела. Теплопри-
емником является окружающая среда с температурой То. Заданная
температура теплоотдатчика равна Т, располагаемое удельное коли-
чество теплоты q.
Наибольшая удельная работа, которую можно получить из этой
теплоты в цикле, равна удельной работе обратимого цикла Карно:
^=<7Пс,
где т]с= 1 — То/Т — термический к. п. д. цикла Карно.
Следовательно, удельная эксергия теплоты
ex = t/(l — То/Т).	(9.7)
При выражении q в Дж/кг, То и Т в К ех выразится в Дж/кг.
Эксергия рабочего тела в потоке определяется максимальной
полезной работой, получаемой при обратимом переходе его в состоя-
ние термодинамического равновесия с окружающей средой (параметры
окружающей среды: ро и То). В общем случае состояние рабочего
тела может отличаться от состояния среды и давлением и темпера-
турой. Предположим, что эти параметры для рабочего тела заданы
и равны р и Т.
Для определения значения эксергии необходимо сначала устано-
вить, с помощью каких процессов переход тела в состояние равно-
весия со средой может протекать обратимо.
б Зак. 49	129
При переходе в состояние равновесия требуется в общем случае
подводить или отводить теплоту. Чтобы обеспечить условие обрати-
мости процесса с теплообменом, последний должен происходить при
бесконечно малой разности температур. В рассматриваемой системе,
состоящей из рабочего тела и окружающей среды, есть только один
источник теплоты — окружающая среда. Поэтому подвод или отвод
теплоты можно осуществлять обратимо только по изотерме при тем-
пературе окружающей среды. В противном случае температура рабо-
чего тела будет отличаться от температуры окружающей среды,
теплообмен будет совершаться при конечной разности температур и,
следовательно, необратимо. Чтобы совершать изотермический процесс
подвода (отвода) теплоты при температуре окружающей! среды, необ-
ходимо предварительно довести температуру тела Т до температуры
окружающей среды То, не допуская термической необратимости. Для
этого есть только одна возможность — исключить теплообмен, охла-
дить тело адиабатным расширением.
Из сказанного следует, что существует только один возможный
путь обратимого перехода тела из его начального состояния в со-
стояние равновесия с окружающей средой. Путь этот состоит из
двух процессов, совершаемых в такой последовательности (рис. 9.7):
сначала в адиабатном процессе ]-а расширения (сжатия) температу-
ра тела изменяется, достигая значения, равного температуре окру-
жающей среды То, (при этом давление становится равным ра), а затем
в изотермическом процессе а-0 давление изменяется так, что стано-
вится равным давлению окружающей среды р0.
В адиабатном процессе работа потока, по формуле (3.9), если
иметь в виду равенство (3.7), равна 6ZI10r =— di =— v dp, или
2
*пог = Ч - *« = — \vdp-	(а)
1
Эта работа изображается на диаграмме pv (рис. 9.7, а) площадью
labf, а превращенная в работу энтальпия —на диаграмме Ts
(рис. 9.7, б) площадью под отрезком изобары 1-d, т. е. площадью lecd.
130
В изотермическом процессе * работа потока равна la-o = ia —
— 1(1 + Qa-O-
Для изотермы qa.o = To(s0 — sa), где	следовательно,
la-0 — la Iq Д' T’o («о $1)'	(®)
Удельная работа по формуле (б) изображается на диаграмме pv
площадью aOcb, а превращенная в эту работу удельная теплота и
энтальпия —на диаграмме Ts площадью под изотермой а-О.
Алгебраическая сумма удельных работ по формулам (а) и (б)
представляет собой удельную эксергию рабочего тела в потоке
(индекс «1» в обозначениях и sx опускаем):
ex = i -i0-Tc, (s—-s0).	(9.8)
Формулу для удельной эксергии неподвижного рабочего тела,
заключенного, например, в цилиндр с подвижным поршнем, приве-
дем без вывода **:
ех = (и - и0) — T0(s — s0) + р0 (v - vu).	(9.9)
Последнее слагаемое учитывает работу сил давления окружающей
атмосферы, действующих на поршень с внешней стороны.
§ 9.8.	Потеря эксергии от необратимости процесса
Если все процессы, связанные с преобразованием энергии, проте-
кают обратимо, то эксергия системы остается неизменной. Если при
этом часть эксергии переходит в работу, то последняя будет макси-
мальной /тах, а сумма сохранившейся эксергии ех2 и произведенной
работы будет равна начальной эксергии ех1? т. е.
eXj = ех2 ф- /щач,
или
I m ах — eXj ех2.
Если же в системе совершаются также и необратимые процессы,
то будет происходить потеря эксергии и работа окажется меньше
максимальной в связи с потерями эксергии, т. е.
/ = exi — ех2 — А ех,	(9.10)
где Аех — потеря удельной эксергии, обусловленная переходом части
превратимой энергии (т. е. способной превращаться в работу)
в непревратимую.
Потеря удельной эксергии определяется произведением термоди-
намической температуры окружающей среды То (или в общем случае
* В случае идеального газа удельная энтальпия в изотермическом процессе
не изменяется и, следовательно, t'a=t0.
** Подробнее см. [16], с, 87 и 88,
б»
131
наименьшей температуры системы) на приращение удельной энтро-
пии Asc системы от необратимости процесса:
Aex = TnAst.	(9.11)
Это выражение справедливо и для потери эксергии теплоты и для
потери эксергии рабочего тела в потоке. Рассмотрим оба случая.
Чтобы вычислить потерю удельной эксергии теплоты, найдем раз-
ность эксергий начала и конца процесса:
ех1-ех2 = <?1 (1 - TjTy) -	- То/Тг) =
= qi-q<i + T0 (q2/T2 - q^Tj) = la + A ex.	(9.12)
Разность q1 — q.2* есть удельное количество теплоты, превращенной
в удельную работу /ц в круговом процессе, совершающемся по циклу
Карно <7i — q2=-~- /ц.
Следовательно, потеря удельной эксергии теплоты
kex = T0(q2/T2-~q1/T1).	(9.13)
Рассмотрим два предельных случая:
а)	если цикл полностью обратимый, то
q2/7'2 = q1/T1 и Аех = 0,
т. е. потери эксергии не происходит.
Следовательно, с помощью цикла Карно можно переносить теп-
лоту к телу с меньшей температурой, превращая часть этой теплоты
в работу и избегая таким образом ее обесценивания. Совершая цикл
Карно в обратном направлении, можно всю теплоту восстановить
в ее первоначальном потенциале, т. е. вернуть теплоту источнику
более высокой температуры 7\;
б)	теперь рассмотрим необратимый процесс теплообмена между
двумя источниками теплоты при конечной разности температур. В этом
случае теплота в работу не превращается, поэтому количество теп-
лоты, отведенной от источника с большей температурой Tlt равно
количеству теплоты, подведенной к источнику теплоты с меньшей
температурой Т2:
qi = qz = q и = о,
а потеря эксергии
Аех = 70(<7/7,2-<7/7’1).	(9.14)
Рассмотрим, что представляет собой потеря эксергии по формулам
(9.13) и (9.14), как она связана с приращением энтропии от необ-
ратимости процесса. Выполним это на примере последней формулы
и проиллюстрируем потерю эксергии на диаграмме Ts (рис. 9.8).
Источник теплоты с температурой Тх отдает теплоту qx, вслед-
ствие чего его энтропия уменьшается на величину А8г = — q/Tt.
* <?i и q2 рассматриваются безотносительно к теплоносителю, т, е. как вели-
чины всегда положительные,
132
Источник теплоты с температурой Т2 воспринимает то же количество
теплоты q, а его энтропия увеличивается на i\s2 = qlT\.
Приращение удельной энтропии системы равно алгебраической
сумме приращений удельных энтропий составляющих систему тел:
А.% = Asj + As2 = — q/T г + у/Т2.
Ha Ts- диаграмме Asc представлено соответствующим отрезком. Сле-
довательно, справедливо равенство (9.11) Дех = То Asc.
Рассмотрим теперь потерю эксергии потока. Потерю удельной
эксергии рабочего тела, движущегося в потоке, определяют как
удельную эксергию теплоты на основе
формулы (9.10):
ех^ ех3 +А ех. (9.15)
В этом случае по формуле (9.8)
ex, - ex., = [ij - (0 - То (st - s0)] -
[с й» ~ То (s2 .s0)] =
==«1-ь,- /’„(sy -s3).	(9.16)
Разность удельных энтальпий — /2
в адиабатном потоке равна удельной
полезной работе потока /пот. Разность
удельных энтропий s2 — Sj = — (s2 — s2)
есть приращение удельной энтропии
системы (в данном случае рабочего
тела) Asc вследствие необратимости
адиабатного процесса. Приравнивая
с учетом этих замечаний правые стороны написанных равенств
(9.15) и (9.16), получим
- и - То (sx - s„) = /п0, + А ех,
откуда
A ex = То (s2 - sj = То Asc.
Это значит, что потеря удельной эксергии рабочего тела в потоке
определяется по такой же формуле, как и потеря эксергии теплоты,
т. е. по формуле (9.11).
На диаграмме Ts потеря эксергии изображается заштрихованной
площадью прямоугольника.
Потеря эксергии тем больше, чем больше приращение энтропии,
вызванное необратимостью процесса. Формула (9.11) устанавливает
связь между приращением энтропии и потерей работы.
В свете изложенного, рассматривая какой-либо тепловой двигатель
(двигатель внутреннего сгорания, паросиловую установку) и окру-
жающую его внешнюю среду как адиабатную систему, приходим
к выводу, что при необратимости процессов, протекающих в таком

двигателе, происходит рост энтропии естественных приемников теп-
лоты (атмосферы, почвы, водоемов). Рост энтропии такой системы
при фиксированной температуре естественных теплоприемников про-
порционален потере механической работы вследствие необратимости
действительных процессов.
§ 9.9. Самопроизвольные и несамопроизвольные процессы
Ранее (см. § 1.3 и 3.1) отмечалось, что теплота процесса и дефор-
мационная работа есть способы энергетического воздействия окру-
жающей среды на рабочее тело. Встречаются и другие способы
энергетического воздействия — химическое, электрическое, кинема-
тическое (изменением кинетической энергии видимого движения),
динамическое (действием внешних силовых полей) и т. п. Мерой
всех таких воздействий является работа, определяющаяся соответст-
вующим потенциалом взаимодействия.
При воздействии любого рода энергия переходит самопроизвольно
от большего потенциала к меньшему, причем воздействие считают
положительным, если энергия к телу подводится, и отрицательным
— если отводится.
При переходе энергии разность потенциалов уменьшается, их
значения уравниваются и система приближается к равновесию.
С наступлением равновесия переход энергии прекращается.
Воздействие данного рода может совершаться изолированно или
в сочетании с воздействием иного рода. Если воздействия различного
рода имеют противоположные знаки, т. е. когда вследствие воздей-
ствия одного рода энергия подводится, а вследствие воздействия
другого рода—отводится, можно говорить о взаимном преобразова-
нии воздействий. Направление преобразования воздействий отнюдь
небезразлично. Самопроизвольно происходит превращение какой-либо
работы в теплоту (например, в теплоту трения, в джоулеву теплоту),
в то время как обратный процесс самопроизвольно совершаться не
может.
В связи с изложенным процессы превращения работы в теплоту
и процессы, в которых энергия переходит от большего потенциала
к меньшему, называются самопроизвольными процессами. В таких
процессах система приближается к равновесию.
Противоположно направленные процессы, в которых происходит
превращение теплоты в работу или передача энергии от тел с мень-
шим потенциалом к телам с большим потенциалом, вследствие чего
увеличивается разность потенциалов и система отдаляется от
состояния равновесия, самопроизвольно протекать не могут
и называются несамопроизвольными процессами. Следова-
тельно, несамопроизвольными являются процессы, в которых переход
и преобразование энергии происходит принудительно в направлении,
противоположном ее естественному переходу.
В самопроизвольных процессах разность потенциалов уменьша-
ется, система приближается к равновесию, способность энергии
к превращению ослабевает, теряется способность системы совершать
134
работу, работа превращается в теплоту, теплота переходит к мень-
шему потенциалу, рассеиваясь постепенно в окружающей среде, и
система, таким образом, деградирует. Наряду с этим в системе могут
совершаться несамопроизвольные процессы, в которых все изменения
происходят в обратном направлении: увеличивается разность потен-
циалов и способность энергии к превращению, теплота превращается
в работу и переходит от меньшего потенциала к большему, т. е. от
менее нагретого к более нагретому телу, происходит концентрация
энергии, повышается организация и усложняется функциональная
взаимосвязь элементов системы, система, таким образом, развивается
и совершенствуется.
Однако, как показывает опыт, несамопроизвольный процесс может
совершаться только при условии, что вместе с ним совершается
компенсирующий его по изменению энтропии самопроизвольный процесс,
сопряженный с ним условиями изменения потенциалов. Сочетание
сопряженных несамопроизвольного и самопроизвольного процессов
ничем не ограничено: каждый несамопроизвольный процесс может
сочетаться с любым самопроизвольным процессом. Преобразование
или передача энергии в самопроизвольном процессе связано с возра-
станием энтропии, в несамопроизвольном процессе энтропия убывает.
В природе и технике особенно большое значение имеют именно
эти последние (несамопроизвольные) процессы, прежде всего в живой
природе. В области явлений живой природы к ним относятся наибо-
лее высоко организованные физиологические процессы растений и
животных, процессы развития и совершенствования. В технике
несамопроизвольными являются процессы превращения теплоты
в работу и перенос теплоты от тела с меньшей температурой к телу
с большей температурой (от меньшего потенциала к .большему).
Первым простым и наглядным примером скомпенсированного изме-
нения потенциалов служат явления, наблюдающиеся при движении
•обычного маятника. Поскольку потенциалом работы 6LK -- mdw2/2 =
= wd (mw), совершаемой за счет кинетической энергии, является
окружная скорость w движения центра инерции маятника, а потен-
циалом работы 6L„ = — mgdh, совершаемой за счет потенциальной
энергии поля сил гравитации, является сила тяжести, при нисходя-
щем движении маятника работа LK > 0, а L„ <; 0; при восходящем
движении работа Лп>-0 и Лк<0.
Другим примером является колебательный контур, создаваемый
системой «конденсатор — катушка — сопротивление», представляющий
собой, в сущности, электрический маятник. В колебательном кон-
туре энергия электрического поля заряженного конденсатора пере-
ходит в энергию магнитного поля катушки индуктивности и обратно.
Таких примеров, в которых происходит взаимное превращение двух
видов энергии направленного движения, имеется бесчисленное мно-
жество при самых различных сочетаниях воздействий.
Сложнее протекают такие скомпенсированные процессы, в которых
несамопроизвольным является процесс превращения теплоты в работу
или перенос теплоты от тела с меньшей температурой к телу с боль-
шей температурой, приведенные в следующих двух примерах.
135
Пример третий (рис. 9.9): преобразование энергии в цикле теп-
лового двигателя, где теплота Q„ = Qi — IQ2I превращается в работу
(несамопроизвольный, принудительный процесс), а теплота Q2
переходит от теплоотдатчика большей температуры 7\ к теплопри-
емнику меньшей температуры 7\ (самопроизвольный компенсирующий
процесс).
Пример четвертый (рис. 9.10): преобразование энергии в цикле
холодильной установки (или термотрансформатора), работающей
по обратному циклу и превращающей теплоту Q2 меньшего потен-
циала 7\ в теплоту большего потенциала 7\ (иесамопроизвольный
принудительный процесс), а подводимая в цикле работа превра-
щается в теплоту 0„ (самопроизвольный компенсирующий процесс).
Теп/шгпдагпчик
7//////////Л Т1
Теплоприемник
Рис. 9.9
ТЕплоприемник
Теплоотдитчик
Рис. 9.10
•Для оценки отклонения системы от состояния равновесия под
влиянием изменения потенциалов различного рода (термодинамиче-
ской температуры, давления с обратным знаком и др.) и превраще-
ния теплоты в работу необходимо иметь общую меру. Такой мерой
является энтропия, точнее ее изменение.
Из сказанного следует, что самопроизвольный процесс может
совершаться либо изолированно от других процессов, либо в соче-
тании с несамопроизвольным процессом, для которого он служит
компенсирующим процессом. Самопроизвольный процесс, протекающий
изолированно при конечной разности потенциалов, является пол-
ностью необратимым * (см. § 8.3). Если же он совершается в каче-
стве компенсирующего процесса, то его «движущая сила» (уменьшение
разности потенциалов или затрата работы) частично или полностью
используется на совершение несамопроизвольного процесса (умень-
шение разности потенциалов или превращение теплоты в работу).
Если «движущая сила» самопроизвольного процесса полностью
используется на совершение несамопроизвольного процесса, такие
* Только в предельном случае бесконечно малой разности потенциалов само-
произвольный процесс является обратимым. Но в этом случае он бесплодный, так
как не в состоянии поддержать протекание несамопроизвольного процесса.
136
сопряженные взаимно скомпенсированные процессы являются пол-
ностью обратимыми. Все прочие сопряженные процессы являются
промежуточными между приведенными предельными (полностью необ-
ратимым и полностью обратимым) процессами и представляют собой
необратимые процессы с различной степенью необратимости.
Степень необратимости
£ = 1 — ф = 1 — | As- |/As+,
где As” — приращение энтропии в несамопроизвольном процессе
(отрицательное значение); As4 — приращение энтропии в самопроиз-
вольном процессе; ф —степень обратимости сопряженного процесса
или степень использования самопроизвольного процесса для компен-
сации несамопроизвольного процесса.
§ 9.10.	Физическая сущность и основной постулат
второго начала термодинамики
Большое значение в природе и в наших представлениях о ней
имеют рассмотренные выше самопроизвольные и несамопроизвольные
процессы: первые — процессы старения системы и деградации энер-
гии, вторые — развития и совершенствования системы и концентра-
ции энергии. Непосредственно с этими процессами связано действие
второго начала термодинамики, которое:
а)	устанавливает направление протекания самопроизвольных про-
цессов и возможность осуществления несамопроизвольных процессов
в условиях равновесного изменения состояния (второе начало для обра-
тимых процессов);
б)	объясняет особенности протекания необратимых процессов,
устанавливает степень их необратимости и размер деградации энер-
гии в реальных условиях ее передачи и превращения (второе начало
для необратимых процессов);
в)	формулирует условия осуществления реальных несамопроизволь-
ных процессов и определяет размер требующейся компенсации с уче-
том деградации энергии или потери эксергии в этих процессах.
Второе начало термодинамики — универсальное средство познания
свойств систем в живой природе и технике. Являясь законом, обоб-
щающим опыт, второе начало не доказывается, оно постулируется,
и постулат его должен быть таким же всеобъемлющим и универ-
сальным, не допускающим исключений в сфере своего применения,
каким является сам закон.
Классические формирования второго начала (см. § 8.2) не обла-
дают в полной мере этими свойствами, так как они ориентированы
на круговые процессы, притом только обратимые. Они не учитывают
реальных условий протекания необратимых процессов, которые могут
служить компенсацией * изменения энтропии в несамопроизвольных
процессах.
* Если в системе среди совершающихся процессов имеются необратимые, то
круговой процесс можег совершаться, цри одном, источнике теплоты.
Предъявляемым требованиям удовлетворяет постулат, основанный
на законе возрастания энтропии (см. § 9.3), что было отмечено еще
М. Планком (см. предисловие). Если помимо реальных необратимых
процессов учесть как предел допустимого идеальные обратимые (рав-
новесные) процессы, то основной постулат второго начала термоди-
намики может быть выражен следующим образом: сумма энтропий
всех тел (число которых п), принимающих участие в преобразовании
энергии, не может уменьшаться:
i~-n	1~п
dSs с- 0 или У, s2> i 2s У sb й
i=i	i=i
(9-17)
/	t— n	i--n \
она возрастает )dsc>0 и У s.2ti> У sK И в естественных необра-
\	i = 1	/
/	t ~ п
тимых процессах, либо остается неизменной — O и У s.,, t
\	i = i
i = r	\
— У Sj, Д если все процессы являются обратимыми.
i = i	/
Применяя этот постулат к сопряженным процессам, заключаем:
возрастание энтропии в компенсирующем самопроизвольном процессе
Asv должно быть больше или равно абсолютному значению отрица-
тельного приращения энтропии As- в несамопроизвольном процессе,
т. е. As+ | As |, или
Asc =- As1 + As ~ 2s 0.	(9.18)
Воспользуемся этим выражением для определения размера требую-
щейся компенсации несамопроизвольных процессов превращения теп-
лоты в работу и переноса теплоты от меньшего к большему терми-
ческому потенциалу. Рассмотрим с этой целью прямой и обратный
циклы, при совершении которых происходит изменение энтропии
теплоотдатчика и теплоприемника. Рабочее тело исключим из рас-
смотрения, так как в результате совершения цикла оно возвраща-
ется в начальное состояние и, следовательно, его энтропия не
меняется. Для упрощения рассуждений и математических зависимо-
стей возьмем в обоих случаях (в качестве прямого и обратного
цикла) цикл Карно, эквивалентный данному обратимому циклу со
среднетермодинамическими температурами подвода 7\ и отвода Д
теплоты и равными им температурами источников теплоты.
Первый случай. На рис. 9.11 показан произвольный обра-
тимый цикл Г-2'-3'-4' и эквивалентный ему цикл Карно 1-2-3-4
-в системе координат Ts. Процессы, составляющие цикл, являются
процессами изменения состояния рабочего тела, а соответствующие
площади представляют собой теплоту подведенную Q,, отведенную
Q3 и превращенную в цикле в работу Qu. Из рисунка видно, что
превращение теплоты в работу подчиняется закону сохранения
энергии (или первому началу термодинамики)
,1$
Чтобы проследить действие второго начала Термодинамики в дан-
ном процессе превращения теплоты в работу, рассмотрим рис. 9.12,
на котором показано изменение энтропии теплоотдатчика и тепло-
приемника при совершении цикла Карно по рис. 9.11. Площади
фигур на рис. 9.11 и 9.12 выражают теплоту соответствующих
процессов в одинаковом масштабе, поэтому имеем
пл. Г2'3'4’ = пл. 1234 = пл. bcde = Qll = Lil;
пл. 4356 = пл. abef-пл. ghif = |Q2I>
где Qu —превращенная теплота; — полученная работа цикла;
Q.2 = теплота, переносимая от теплоотдатчика к теплоприемнику для
компенсации несамопроизвольного процесса превращения Qu->Lu.
Рис. 9.12
Определим размер компенсации несамопроизвольного процесса
превращения теплоты в работу. Энтропия теплоотдатчика, от кото-
рого теплота QH отнималась при температуре 7’ь уменьшалась на
As = \sb-c = Qu,/ ! i =	7.ц/71-
Полагаем, что компенсирующим является процесс переноса теп-
лоты Q.j от теплоотдатчика с большей температурой Т, к теплопри-
емнику с меньшей температурой как это и происходит у всех
современных тепловых двигателей. При этом происходят соответст-
венно следующие изменения энтропии: теплоотдатчика Asa-z> =
- — i Qz '7'1\ < 0 и теплоприемника As = | Q2 \/Т2.
Следовательно, положительное приращение энтропии системы
в компенсирующем процессе равно
Asb = Asp	1/Л)-
Суммарное приращение энтропии системы «теплоотдатчик — теп-
лоприемник» согласно основному постулату второго начала и равен-
ству (9.18) при условии, что цикл является обратимым, должно быть
равно нулю, т. е.
Asc = As1 ф- As — [ Q2! (l/Г, - 1/7 J - Q„/7\ = 0.
139
Откуда находим количество теплоты IQ2|, которое должно быть
перенесено от теплоотдатчика к теплоприемнику, что и является
мерой требующейся компенсации в обратимом цикле: |Q2I =
= <?ц/71(1/Л-Л). или
!Q2|-QI17'2/(741-T2).	(9.19)
Размер компенсации в обратимом цикле определяется только
отношением термодинамических температур.
В случае необратимого цикла, если возрастание энтропии от
необратимости процессов равно AsH, то значение | Q., I возрастает:
пли, поскольку произведение 7\As„ равно потери эксергии А£г,
мож но записать
р2| = (?ц7’„/(Л-7'2)-|-АЕх.	(9.20)
Второй случай. На рис. 9.13 приведены произвольный об-
ратный обратимый цикл Г-2'-3'-4' и эквивалентный ему обратный
никл Карно 1 -2-3-4 на диаграмме Ts. Из рисунка видно, что в ре-
зультате совершения цикла рабочее тело возвращется в начальное
состояние, а подводимая теплота Q.,, согласно закону сохранения и
превращения энергии, суммируется с теплотой Qu, в которую пре-
вратилась подведенная работа La, и в форме теплоты Q, передается
источнику более высокой температуры 7\. А на рис. 9.14 показано-
в соответствии с совершенным циклом изменение энтропии источни-
ков теплоты. На рис. 9.13 и 9.14
пл. 1'2'3'65 = пл. 1265 = пл. ghie = nn. bafe = |Q2|;
пл. Г2'3'4' = пл. 1234 = nn.dcbe-QK = Lll.
Определим размер компенсации, требующейся для осуществления
несамопроизвольного процесса переноса теплоты в количестве i Q21
от тела с температурой Т2 к телу с более высокой температурой
140
Ту. Энтропия тела, отдающего теплоту, уменьшается в размере
Asfl.9 =— |Q2|/7\, а у тела, воспринимающего теплоту, — возрастает
в размере &st>.a = I Q2 \П\-
Изменение (уменьшение) энтропии системы в этом несамопроиз-
вольном процессе равно
As- = As,-./ = \sb.a = As/J.g = | Qs i/ (1Л — l/T’g)-
Допустим, что компенсирующим самопроизвольным процессом
является превращение работы, которую затрачивают в цикле, в теп-
лоту в количестве Лц = (?ц. Появляющаяся таким образом теплота
передается источнику высокой температуры Ту, вследствие чего
энтропия его возрастает в размере
дя’- = |Ьц!/Л = !
где работа цикла также рассматривается по абсолютному значению.
Если сопряженный процесс передачи теплоты и превращения работы
обратим, то согласно основному постулату второго начала получим
Asc = As1 + As- = | Тл \/T\ +1 Q21/(1/Л - l/7\) = 0.
Из последнего равенства находим минимально необходимый раз-
мер работы, подводимой и превращаемой в качестве компенсации
в теплоту:
I I = I Qz I (Л/П -1) = I & I (Л - П)/'А-	(9.21)
Следовательно, размер компенсации несамопроизволыюго процесса
переноса теплоты к большему температурному потенциалу опреде-
ляется только отношением температур.
В случае необратимости цикла при возрастании энтропии AsH
вследствие необратимости размер компенсации возрастает и стано-
вится равным
Л, --:Q2|(7’1-7;2)/7,2 + As1,(7i1-7'.?),
или
!А|==(|<22!/Л + МЛЛ-Л).
Поскольку As„ = А Ех/7’2, можно записать
1Лц|=-((?2 + АЕх)(Д-Т2)/Г2.	(9.22)
Обозначим
у = 7\/(7\-Г2),	(9.23)
где у — коэффициент компенсации.
При этом равенства (9.19) ... (9.22) примут вид:
(?2| = ТШ,	(9.19а)
I Q-21 = VI Qu I + Л	Ех,	(9.20а)
	(9.21а)
|Ь„|-(|в,| + ДЕх)/у.	(9.22а)
Компенсация несамопроизвольных процессов происходит и в незамк-
нутых термодинамических процессах.
141
9.11. Энтропия как статистическое понятие
Предварительно ознакомимся с понятием макросостояния и микросостояния
системы. Макросостояние системы определяется двумя любыми термодинамическими
параметрами. Следовательно, когда шла речь о термодинамическом состоянии систе-
мы (см. § 2.2), понималось именно ее макроскопическое состояние. Одно и то же
макросостояние молекулярной системы может осуществляться при различном рас-
пределении энергии между отдельными молекулами и при различном распределении
их по объему, или, иными словами, заданному макроскопическому состоянию систе-
мы соответствуют различные и весьма многочисленные микросостояния. Каждое
микросостояние характеризуется положением в пространстве и скоростью
каждой из всех N молекул, т. е. значением координат х, у и г и проекциями ско-
рости движения щЛ., Wii и w, каждой молекулы. Аналитический метод вычисления
координат и скоростей молекул невозможен в связи с колоссальным их числом
в любом теле, а поэтому взамен аналитического метода и< иольз)Ю1 |ак называемый
статистический метод, основанный на теории вероятностей.
Рассмотрим в макроскопическом смысле находящуюся в равновесном состоянии
молекулярную систему из А' молекул с общей энергией U. Пусть А1 молекул
обладают энергией (7,, молекул обладают энергией U2 ит. д., причем очевидно,
что
U^^UiN, и N^^Ni.	(а)
Если две молекулы поменяются местами в пределах своей энергетической
группы Л', (например, две молекулы с энергией (7(, входящие в число Ni), то
возникшее благодаря такой перестановке новое микросостояние будет тождественно
прежнему, так как молекулы ничем не отличаются друг от друга. В пределах
каждой энергетической группы таких перестановок можно осуществлять Nfl,
а по всем группам молекул число перестановок будет равно Л\! ЛЧ1 /V;i! ... Это
число перестановок не приводит к новым микросостояниям.
Если одна из молекул, входящая в группу Nlt т. е. находящаяся на энерге-
тическом уровне поменяется местом с молекулой из группы N2, причем моле-
кула из группы Nt перейдет на энергетический уровень U2, а молекула из группы
N2 станет обладать энергией (7), то получится повое микросостояние, эквивалент-
ное предыдущему. Все микросостояния, полученные подобным образом, не нару-
шают условий (а), или, иными словами, соответствуют одному и тому же макро-
состоянию.
Число эквивалентных микросостояний можно определить, исходя из следую-
щих рассуждений. При числе молекул N общее количество перестановок молекул
между собой равно (VI. Число перестановок молекул в пределах каждой энергетической
группы, не вызывающих появления нового микросостояния, равно A/\! Л/2! N3\ ...Nfl
Следовательно, число эквивалентных микросостояний W, отвечающих одному и
тому же макросостоянию при заданном распределении молекул по энергетическим
уровням, т. е. при заданном значении чисел Лд, N2, , N;, будет определяться
по формуле
Г=А!/(А1!А2!А3! ...А;!).	(б)
Величина W называется термодинамической вероятностью и,
как это вытекает из предыдущего, равна числу способов, какими может быть
распределено N молекул по энергиям заданным числом молекул в каждой энерге-
тической группе без нарушения условий (а). Иными словами, это число эквива-
лентных микросостояпий молекулярной системы.
Условиям (а) в общем случае может удовлетворять и иное распределение
молекул по энергетическим группам, а именно: число молекул с энергией £7,
пусть будет не A',, a Ntl, число молекул с энергией U2 будет равно ЛЧ, н т. д.
Термодинамическая вероятность такого распределения
W==,¥!/(A'n!/V21W2i.j! ... (V;,!).	(в)
Поэтому общее число микросостояний будет равно
... A7f),	(г)
142
где сумма берется по всем возможным способам распределения молекул по энер-
гиям, не нарушающим условий (а).
Поясним изложенное выше числовым примером, причем ради наглядности рассмот-
рим систему, состоящую из десяти молекул, распределенных на три энергетические
группы. В первую группу входят Ng молекул с энергией каждой из них, равной L/t==zz0,
во вторую группу Л4 молекул с энергией каждой U2 — 2u0 и, наконец, в третью
группу входят Л',., молекул с энергией Us = 3u0. Полная энергия равна U—\7u0.
Рассмотрим три возможных распределения. 1-е распределение: Л\ = 6;
N% = 1; Ng = 3.
По условию (а) У Ni= 10, тогда
У UiNi~6u0-[- 1  2zz0 3  3zz0= 17и0.
Термодинамическая вероятность такого распределения
1Г = 1У!/(Л\!ЛГ2!Л'3!) = 1  2 • 3  4 • 5 • 6 • 7  8 • 9 •10/(1 • 2  3 • 4 • 5  6 • 1 • 1 -2-3) = 840.
2-е распределение: Л4 = 4; N.2 = 5; Ng = 1 и
, UiNI ~ 4i/0 5 • 2«о [- 3zz0 = 17u0,
IF=l-2-3-4-5-6-7-8-9- 10/(1  2  3  4 • 1 • 2 • 3  4 • 5 • 1) = 1260.
3-е распределение: Л\ = 5; /V2 = 3; У, = 2 и
У 7/;/V,- — - 5г/01- 3 • 2zz() + 2  3z/0- 17;/(|,
«7 = 1-2-3- 4-5- 6-7-8-9  10/(1 - 2-3-4-5-1-2-3-1 -2) =2520.
Таким образом, первое распределение имеет 840 эквивалентных микросостоя-
ний, т. е. имеется 840 способов распределить молекулы по энергетическим груп-
пам. Второе распределение осуществляется 1260 способами, а третье— 2520 спосо-
бами. Всего различных микросостояний, удовлеторяющих условию (а), будет
У W = 840 4- 1260 4- 2520 = 4620.
Из приведенного примера видно, что в молекулярной системе, состоящей
даже всего из десяти молекул, число эквивалентных микросостояпий исчисляется
тысячами. Тела состоят из колоссально большого числа молекул, а поэтому
число эквивалентных микросостояний в таких молекулярных системах определяется
столь же большими числами. Из трех возможных распределений последнее осу-
ществляется наибольшим числом способов, а поэтому оно и обладает наибольшей
термодинамической вероятностью.
Значения термодинамической вероятности, отвечающие тому или иному зна-
чению чисел Ng, N2, ... , Nt, таковы, что всегда имеется такое распределение,
вероятность которого «7	* столь велика сравнительно с вероятностью других
распределений, что VJU7 практически равна максимальной термодинамической ве-
роятности lFmax **. Из этого следует, что для заданного равновесного макро-
состояния преимущественно наблюдается определенное, так сказать, основное, рас-
пределение молекул (значение чисел Л4, N2, ... , /V,), осуществляемое наибольшим
числом способов (эквивалентных микросостояний).
Развивая понятие о термодинамической вероятности, следует указать, что
всякое состояние молекулярной системы, осуществляемое меньшим числом способов,
стремится перейти в состояние, осуществляемое наибольшим числом способов,
т. е. в состояние, обладающее наибольшей термодинамической вероятностью.
*	Распределение, удовлетворяющее максимальной вероятности, называется
распределением Больцмана и находится определением максимума выраже шя (б).
Для удобства отыскивается максимум логарифма №
*	* При малом числе молекул условие У IF = ^т^конечно, не соблюдается.
Так, в разобранном выше примере
IFmax =2520, а У IF =4620,
Шал	4*4
143
В самопроизвольном стремлении системы переходить из состояния с меньшей тер-
модинамической вероятностью к состоянию с наибольшей термодинамической веро-
ятностью замечается сходство с самопроизвольным переходом изолированной
системы из неравновесного состояния в равновесное (см. § 10.4) и со связанным
с этим необратимым переходом — ростом энтропии системы.
Подробное и строгое исследование этого вопроса приводит к доказательству
существования прямой связи между термодинамической вероятностью и энтропией,
выражаемой формулой Больцмана
S = k In W -|-const,	(9.24)
где k — постоянная Больцмана, равная 1,381 • 10 -* Дж/К.
Энтропия изолированной системы в любом заданном состоянии пропорциональна
термодинамической вероятности данного состояния.
При переходе изолированной системы из состояния с энтропией St и термо-
динамической вероятностью W, в состояние с термодинамической вероятностью
1Е2 энтропия системы изменится на величину
S2-St = fe InftV'^Wj).	(9.25)
Если конечное состояние молекулярной системы обладает большим значением
термодинамической вероятности, чем начальное (IE., > W7!), то энтропия системы
возрастает. Если, наоборот, Uzi>IV'2, то энтропия изолированной системы умень-
шится.
Если конечное состояние является равновесным, то термодинамическая веро-
ятность равна максимальной термодинамической вероятности: 1Е3 == 1Ет.1Х.
Таким образом, при статистическом обосновании второго начала термодина-
мики доказывается, что в изолированной системе наиболее вероятны процессы,
сопровождаемые ростом энтропии системы, т. е. процессы, переводящие систему
от менее к более вероятным состояниям. Следует отметить, что статистическое
толкование энтропии в противоположность термодинамической трактовке не
исключает возможность процессов, приводящих к уменьшению энтропии. Эти
процессы обладают лишь значительно меньшей вероятностью.
С точки зрения статистической термодинамики, приобретает иной смысл, и по-
нятие об обратимых и необратимых процессах.
Обратимый (равновесный) процесс изменения состояния — это процесс, который
проходит через последовательный ряд состояний с максимальной термодинами-
ческой вероятностью. При проведении обратного равновесного процесса последний
пройдет через те же состояния с максимальной вероятностью, если только про-
цесс протекает достаточно медленно, т. е. в таком темпе, чтобы наиболее веро-
ятные состояния успели вновь восстановиться. Если процесс необратим, то это
значит, что в прямом направлении он проходил через маловероятные (неравновес-
ные) состояния, и очень мало оснований считать, что, меняя направление процесса,
можно провести его через те же самые маловероятные (т. е. достаточно редко
повторяющиеся) состояния. Принципиально такая возможность не исключается,
она остается только весьма маловероятной.
С этой точки зрения, необратимые процессы — это такие процессы, обратимость
которых маловероятна. Развивая эту мысль, надо принять, что такие явления,
как самопроизвольное сжатие, самопроизвольный переход теплоты от холодного
к горячему, невозможны, а только весьма и весьма маловероятны.
Самопроизвольные отклонения тех или-иных физических величин от их сред-
них (равновесных) значений называются флюктуациями. Чем больше число
молекул в системе, тем меньше значение флюктуации, а посколько окружающие
нас в действительности тела состоят из очень большого числа молекул, то значе-
ние флюктуации исчезающе мало и не может быть обнаружено ни нашими ощуще-
ниями, ни обычными измерительными приборами.
Таким образом, второе начало термодинамики и понятие об удельной энтропии
как функции состояния непосредственно вытекает из молекулярно-кинетической
природы вещества. При таком понимании второе начало термодинамики приоб-
ретает статистический характер и лишается той абсолютной категоричности,
которая заложена в формулировке постулата: «Теплота сама собой переходит лишь
от. тела с более высокой температурой к телу с более низкой температурой, но
144
никогда наоборот» (см. § 8.2). В свете изложенного приведенный выше постулат,
согласно М. Смолуховскому, следует дать в несколько измененной редакции: «Теп-
лота не может в течение продолжительного времени сама собой переходить от
более холодного гела к более нагретому».
В заключение приведем слова проф. А. К- Тимирязева *, устанавливающие
качественное различие между первым и вторым началами термодинамики: «Различие
это, пожалуй, можно сформулировать так: закон сохранения энергии подсказы-
вает нам то, что всегда бывает; мы знаем, что вечный двигатель (первого
рода.—Л.А.) невозможен; это — результат всего нашего опыта. Второй же закон
указывает на то, что бывает в подавляющем большинстве случаев, но не без-
условно всегда».
§ 9.12. Естествознание и второе начало термодинамики
Исходя из постулата об односторонности теплообмена, Р.Клаузиус,
основываясь на ненаучном представлении о процессах, совершаю-
щихся во Вселенной, сформулировал второе начало термодинамики
следующим образом: «Энтропия мира стремится к максимуму».
По Клаузиусу, мир представляет замкнутую систему, в которой все
время происходят необратимые процессы и в связи с этим возраста-
ние энтропии. Хотя общее количество энергии системы не изменя-
ется, но за счет необратимости процессов энергия деградирует.
В итоге все преобразования заканчиваются превращением любых
видов энергии в теплоту; последняя путем теплообмена и излучения
распределяется по всей системе, которая в итоге приобретает повсе-
местно одинаковую температуру, и, наконец, наступает так называ-
емая «тепловая смерть», т. е. полное обесценение энергии и пре-
кращение дальнейшего развития природы.
Отметим, что односторонность естественных процессов, лежащая
в основе постулата Клаузиуса, является опытным фактором и, как
всякое опытное положение, ограничена рамками опыта. Экстраполя-
ция на всю Вселенную опытного материала, полученного из ограни-
ченных наблюдений физических явлений земного масштаба, является
совершенно недопустимой. Поэтому выводы Клаузиуса, основанные
на приемах формальной логики, на подмене физических законов
математической формой, приводят к лженаучной теории о конце и
о начале мира и вытекающим из этого теологическим заключениям.
Положение о «тепловой смерти Вселенной» находится в полном
противоречии с основным положением диалектического материа-
лизма — о неуничтожаемости движения и неотделимости его от материи.
Энгельс с исчерпывающей полнотой показал, что признания положе-
ния Клаузиуса о стремлении энтропии Мира к максимуму приводит
к отрицанию закона сохранения и превращения энергии.
Отметим, не умаляя прогрессивной роли учения Больцмана, что
его рассуждения содержат весьма серьезные методологические ошибки.
Во-первых, Больцман рассматривает только механическое движение,
которым, как известно, не исчерпываются все формы движения ма-
терии, а во-вторых, он обобщает понятие о вероятности того или иного
явления на всю Вселенную. Картина Вселенной, рисуемая Больцма-
* Тимирязев А-К,- Кинетическая теория материи. М., 1937, с, 434.
145
ном, такова, что во всей Вселенной господствует тепловое равно-
весие и где-то изредка происходят вспышки жизни. Такая картина
не удовлетворяет нашим представлениям о развитии природы. На-
оборот, следует считать, что эти вспышки жизни не случайны
(в смысле Больцмана) и не редки, а закономерны, достаточно дли-
тельны и обязательны.
Движущейся материи присуща ничем не ограниченная способ-
ность к качественным превращениям и переходам из одной формы
в другую.
Научно обоснованное опровержение теории «тепловой смерти
Вселенной» дает релятивистская термодинамика, т. е.
термодинамика, связанная с общей теорией относительности.
«При рассмотрении достаточно больших участков Вселенной
важную роль начинают играть гравитационные поля. В общей теории
относительности гравитационные поля понимаются как изменение
пространственно-временной метрики и описываются с помощью особой
величины, называемой фундаментальным метрическим тензором.
Метрические свойства пространства-времени образуют как бы свое-
образные «внешние условия» для системы, у которой изучаются
статистические свойства ...» * **
Следует заметить, что гравитационное поле не может быть вклю-
чено в состав системы и относится поэтому к внешним для нее
условиям, причем очень важно подчеркнуть, что эти «внешние усло-
вия» не стационарны.
«В общем случае компоненты фундаментального метрического
тензора, определяющие гравитационное поле, переменны и зависят не
только от координат, но и ст времени. Но любая замкнутая система
приходит в состояние равювссия (т. е. достигает максимума энтро-
пии'), лишь если она находится в стационарных (не зависящих от
времени) условиях. А если с течением времени условия меняются,
то состояние равновесия не достигается. Следовательно, для доста-
точно больших систем, находящихся в нестационарном гравитацион-
ном поле, возрастание энтропии не ведет к наступлению статисти-
ческого (термодинамического) равновесия — энтропия возрастает, не
стремясь ни к какому максимуму (само понятие максимальной энтро-
пии теряет здесь смысл).
Поэтому, даже если Вселенную рассматривать как конечную
систему, ни о какой ее «тепловой смерти» не может быть речи. Даже
конечная Вселенная находится в своеобразных «внешних условиях»,
роль каковых играют метрические свойства пространства-времени
Вселенной. Поскольку эти «внешние условия» не стационарны,
возрастание энтропии не ведет к наступлению теплового равнове-
сия» * *.
«В нерелятивистской термодинамике энтропия всякой замкнутой
системы монотонно возрастает, достигая через достаточный промежу-
ток времени своего максимального значения, соответствующего
* Баженов Л. Б- и др. Философия естествознания. М., 1966, гл. Ш,
** Там. же,
146
состоянию термодинамического равновесия. В релятивистской термо-
динамике закон монотонного возрастания энтропии замкнутых систем
по-прежнему имеет место. Однако ... утверждение, что при этом
возрастании энтропия принимает в конце концов наибольшее при
данных энергии и импульсе значение, в применении к Миру как
целому теряет теперь смысл.
Таким образом, энтропия мира систематически возрастает без
того, однако, чтобы Мир переходил в какое-либо состояние равнове-
сия, обладающее максимальной энтропией»*.
Глава X
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ
§ 10.1. Дифференциальные уравнения для простых тел
Теория дифференциальных уравнений гермодинамики представля-
ет собой систему равенств, полученную в результате совместного
применения первого и второго начал термодинамики к равновесным
процессам. Дифференциальные уравнения термодинамики применимы
к любым простым телам, состояние которых определяется двумя
независимыми параметрами (р и v, v и Т, Т и s, i и s и др.).
В зависимости от выбранного уравнения состояния (например, опре-
деленного экспериментальным путем) из общих дифференциальных
уравнений можно получить частные решения, устанавливающие связь
между различными функциями состояния для данного рабочего тела.
И, наоборот, по экспериментальным данным о тех или иных физи-
ческих свойствах рабочего тела (например, удельной теплоемкости
с) можно, пользуясь дифференциальными уравнениями термодина-
мики, найти уравнение состояния изучаемого рабочего тела. Теорию
дифференциальных уравнений, в частности, широко используют при
вычислении значений отдельных физических величин реального газа
(молярных и удельных энтропии, энтальпии, теплоемкости), а также
при составлении термодинамических таблиц.
В настоящей главе рассмотрим важнейшие дифференциальные
уравнения термодинамики.
Зависимость удельных внутренней энергии и энтальпии от пара-
метров состояния выражается в общем виде уравнениями «=<р(и, Г);
i---f(p, Т), а уравнение состояния: f (р, v, T) = Q.
Число независимых параметров, как известно, равно двум.
При выборе в качестве независимых переменных v и Т уравне-
ние первого начала термодинамики имеет вид (3.26):
6q = {du/dT)vdT + [(du/dv)r-[- р] dv.	(10.1)
Вводя обозначение
(du/dv)T + p = hv	(а)
* Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. М. 1948, т. IV.
147
И учитывая, что (du/dT)v = cv, получаем
bq = cv dT 4-hv dv.	(10.2)
При выборе в качестве независимых переменных р и Т получим
иное выражение первого начала термодинамики (3.29):
bq = (дЦдТ)р dT + [(дЦдр)т -v]dp.
Вводя обозначение
(di/dp)T — v = hp	-	(б)
и учитывая, что (д1/дТ)р ср, получаем
5q — CpdT + lipdp.	(10.3)
Применение уравнений (10.2) и (10.3) при условии Т = const
(dT = 0) позволяет раскрыть физический смысл калорических коэф-
фициентов hv и hp:
hv —(bq/dv)T\	(в)
hp =---- (bq/dp)T-	(г)
Калорический коэффициент hv носит название удельной
скрытой теплоты расширения и равен отношению удель-
ного количества теплоты, сообщаемого телу, к изменению его удель-
ного объема в изотермическом процессе. Калорический коэффициент
/гр, называемый удельной скрытой теплотой повышения
давления, равен отношению удельного количества теплоты, сооб-
щаемого телу, к изменению давления в изотермическом процессе.
Калорические коэффициенты hv и hp могут быть определены
через удельные теплоемкости с„ и ср и уравнение состояния. По-
скольку
v = Hp, Т),	(д)
то, дифференцируя, получаем
dv--- (dv/dT)pdT (dv/dp)r dp.	(е)
Подставляя значение dv по формуле (е) в формулу (10.2) и при-
равнивая ее выражению (10.3), получаем
6<7 = р„ + /г0	(^rdp-=cpdT +hpdp. (ж)
Так как dT и dp независимы друг от друга, то написанное вы-
ражение (ж) действительно только в том случае, когда стоящие
перед дифференциалами dT и dp коэффициенты взаимно равны:
Cp=--cv-\-hv(dvldT)p\	(3)
hp = h,v(dvldp)r,	(и)
откуда
hv = (ср - cv) (dT/dv)p,	(10.4)
hp = (cp~cv) (dT/dv)p(dv/dp)T-	(10.5)
148
Продифференцировав уравнение состояния F (р, v, Т) = 0, найдем
(dF/dp)dp + {dFldv)dv-\-(dF/dT)dT = Q. При 7 = const получим
(дЛ	(к)
\др)т dF/dv ’	к ’
при v — const
(дР\	dF'dT	(П\
\dtjv	dF/dp	*• '
и, наконец, при р = const
Перемножая три частных производных, получаем
(dTldv)p (dv/dp)r (dp/dT)v =-- — 1	(н)
или
(dT/dp)v = — (dT/dv)p (dv/dp)r.	(о)
Следовательно, равенство (10.5) можно представить в следующем
ВИДЬ'	hp==-(Cp-cv)(dT/dp)„.	(10.6)
В уравнение первого начала термодинамики du=6q — pdu под-
ставим вместо bq его значение из формул (10.2) и (10.3):
du = cvdT~}-(hv — p)dv	(10.7)
и
du = cpdT + hp dp — p dv.
Подставляя в последнюю формулу значение dv по формуле (е),
получаем
du ~[Ср — р (dv/dT)p] dT + [hp~ р (dv/dp)r] dp. (10.8)
Так как du — полный дифференциал, то по условию взаимности
из (10.7) имеем
| (/1„ - р)]в = (dcv/dv)T	(п)
или
(dhJdT),,- (dcv/dv)r = (dp/dT)v.	(10.9)
Аналогично, из (10.8) имеем
(IT> ~ Р (ди/др)т) = [ Д (сР - р (дц/дТ),,)^
или
(dhp/dT)p - р [дМдрдТ)] = (дср!др)т - (dv/dT'),, - р [д2и/(дрдТ)] (р)
и окончательно
(dhpldT)p - (дСр/др)т = — (dv!dT)p.	(10.10)
149
Используя выражение для дифференциала удельной	энтропии,
В также (10.2) и (10.3), получаем ds =	=- cv dT/T |- Л „ dv/T И ds == ср dTГТ фhp dp/T.	(10.11) (10.12)
Так как ds —полный дифференциал, то 1 д fcv\] _ 1 д АМ1 или 1 /<9с„ \ _ 1 P)liv\	/ц, Г\1ПГт~~ т \дт Г тг’ (dh/dT)v — (dcv/dv)r -= hjT.	(10.13) (10.13а) (10.14)ч
Аналогично, из уравнения (10.12) имеем 1 д	1	1 д	1 1 др \Т 'Jr = 1 ОТ \Т / |р или (dhp/dT)p - (дср/др)т = hp!T.	(10.15) (10.16)
Сравнивая попарно уравнения (10.9) и (10.14), (10.10) и (10.16),
находим:
(dp/dT)v^hv!T;	(10.17)
— (dv/dT)p^hp/T.	(10.18)
Решая совместно уравнения (10.13) и (10.17), исключаем величину
hv/T:
fc)
или
(dcv/dv)T = Т (д2р/дТ2) „.	(10.19)
Аналогично поступаем с уравнениями (10.15) и (10.18):
или
(дср/др)т~ — Т (d2v/dT2)p.	(10.20)
Дифференциальные уравнения’ термодинамики (10.19) и (10.20)
устанавливают связь закона изменения удельных теплоемкостей ср
и с„ с уравнением состояния. Производные {др/дТ)„ и (dv/d7')p назы-
вают соответственно температурным коэффициентом давления и тем-
пературным коэффициентом объемного расширения.
Подставляя в формулу (10.7) значение hv из выражения (10.17),
получаем
du — cvdT + [Т (dp/dT)„ — p]dv.	(10.21)
ИЗО
Используя выражение di — bq-~vdp и подставляя вместо зна-
чение его из формулы (10.3), получаем di— cpdT(hp + v) dp.
Заменяя hp его значением по формуле (10.18), находим общее
выражение для дифференциала удельной энтальпии:
di—cpdT— [Т (dv/dT)p — v]dp.	(10.22)
Общее выражение для дифференциала удельной энтропии получим,
подставив в уравнения (10.11) и (10.12) значения hv и hp из (10.17)
и (10.18):
ds = cvdT/T-\-(dpldT)vdv	(10.23)
и
ds = cpdT/T — (dv/’dT)pdp.	(10.24)
§ 10.2. Дифференциальные уравнения термодинамики
для идеального газа
На основе дифференциальных уравнений термодинамики может
быть построена строгая термодинамическая теория идеальных газов,
т. е. газов, подчиняющихся уравнению состояния (уравнению Кла-
пейрона)
pv = RT.	(а)
Из уравнения (а) имеем
p = RT/v.	(б)
Дифференцируя уравнение (б), получаем
(dpldT)v = Riv	(в)
(<52р/<ЭГ)о==0.	(г)
Из уравнения (а) имеем
v = RT/p.	(д)
Дифференцируя уравнение (д), получаем
(dv/dT)p = R/p	(е)
и
(<52ц/№)р = 0.	(ж)
Подставим выражения (в), (г), (е) и (ж) в уравнения (10.19) и
(10.20):
(dcv/dv’)T = 0;	(з)
(dcp/dp)T = Q.	(и)
Таким образом, при неизменной температуре удельные тепло-
емкости идеальных газов при постоянных удельном объеме и давле-
нии с\, и ср остаются постоянными, иными словами, они зависят только
от температуры и .не зависят от удельного объема или давления.
151
Из (в) и (10.17) определяем калорический коэффициент hv для
идеальных газов:
Rlv=hv/T\	(к)
hv — RT/v—-P.	(10.25)
Из (е) и (10.18) определяем калорический коэффициент:
R/P = — hp/T;	(л)
= — RT/p~— v.	(10.26)
Из формул (10.4), (10.25) и (е) получим формулу Майера (4.27)
для разности удельных темплоемкостей при постоянных давлении и
удельном объеме для идеальных газов:
Р =	- Cv) p/R	/1 О 07\
или	_	(10.27)
Ср Cv ~~ г\ .
Из уравнений (а) в § 10.1 и (10.21) имеем
(du/dv)r=--=hv — р р — р = 0.	(10.28)
Из уравнений (б) в § 10.1 и (10.22) имеем
[di/др)г ^hp + v = — v v = 0.
Независимость удельных внутренней энергии и энтальпии идеаль-
ного газа от удельного объема и давления была определена и ранее
(см. § 4.5 и 4.6). Однако только теперь с полной строгостью дока-
зывается, что для газа, состояние которого подчинено уравнению
состояния pv -RT, удельные внутренняя энергия и энтальпия не
зависят ни от давления, ни от удельного объема И являются функ-
циями только температуры.
На рассмотренном в этом параграфе примере применения диф-
ференциальных уравнений термодинамики к идеальным газам убеж-
даемся в большой практической ценности полученных дифферен-
циальных уравнений.
§ 10.3. Термодинамические потенциалы
Термодинамическим потенциалом называется функция состояния,
убыль которой в равновесном процессе равна при определенных усло-
виях работе, произведенной системой. Термодинамическими потен-
циалами являются, в частности, удельные внутренняя энергия и
энтальпия.
В общем случае термодинамическая система может подвергаться
механическому и тепловому воздействию, что следует из уравнения
первого начала термодинамики (3.4):
Q1.2 ”	~ ^1 + 7.1,2	(а)
или
=	~A + Qi.a-	(.10-29)
152
Если закрытая термодинамическая система находится под одним
только механическим воздействием, то работа 71>2 равна изменению
внутренней энергии &U с обратным знаком (U1 — U2):
L1i2 = — AZ7 = С/х — U2.	(б)
Воспользуемся уравнением (8.4), предварительно проинтегриро-
вав его:
2
(в)
1
Если система (рабочее тело) находится в тепловом взаимодей-
ствии с окружающей средой, температура которой остается неизмен-
ной, то 1/Т можно вынести за знак интеграла, и так как \ 6Q = Qi,2, то
i
7(50-5,).	(10.30)
Знак равенства в выражении (10.30) соответствует максималь-
ному количеству теплоты, которое может получить система от внеш-
ней среды. Это возможно только в обратимом процессе, поскольку
в формуле (10.30), как и в (9.3), знак равенства относится к обра-
тимым процессам.
С учетом выражения (10.30) равенство (10.29) принимает сле-
дующий вид:
L1,2^(U1-TS1)-(U2--TS2).	(10.31)
Выражение (10.31) позволяет определить максимальную работу,
совершаемую системой, получающей теплоту от внешней среды с тем-
пературой Т. Все величины правой части последнего выражения
являются функциями состояния. Следовательно, U — TS также
является функцией состояния, ее принято обозначать буквой А.
Функцию состояния
A = U-TS	(10.32)
называют изохорно-изотермическим потенциалом или энергией Гельм-
гольца *.
Следовательно,
L1,2-^A1-A2;	(10.33)
71,2 max = ^1 — Лг	(10.34)
Поскольку эксергия есть максимально возможная работа, выра-
жение (10.31) можно получить непосредственно из выражения (9.9)
при неизменном объеме системы
* В литературе встречаются устаревшие наименования величин А (свободная
энергия) и G (свободная энтальпия).
153
Аналогично, Но формуле (9.8) можно записать
L1>2 max = Л - /2 - т (Sx - S2) - (Л - TSJ - (/2 - TS2), (10.35)
или
^-1,2 max — G1 — G2 = —^G,	(10.35a)
где
G — I — TS.
(10.356)
Функцию состояния G называют изобарно-изотермическим потен-
циалом или энергией Гиббса. Взаимосвязь между изохорно-изотерми-
Рис. ю.1
изотермический потенциал
ческим и изобарно-изотермическим по-
тенциалами, внутренней энергией и эн-
тальпией можно видеть на рис. 10.1.
Произведение TS только при низ-
ких температурах и высоких давле-
ниях получает значение меньше внут-
ренней энергии U и, значит, А и G
имеют положительные значения (нижняя
часть рис. 10.1). При атмосферном да-
влении значение TS (в технической
термодинамике), как правило, больше
энтальпии /, вследствие чего изохорно-
А и изобарно-изотермический потенциал G
принимают отрицательные значения (верхняя правая часть рис. 10.1).
Глава XI
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТИ И ПАРА
§ 11.1. Испарение и кипение жидкости
Однокомпонентное простое тело, т. е. тело, состояние которого
определяется заданием двух независимых параметров состояния
•(Т и s, р и v и др.), может находиться в однофазном и в двух-
фазном состояниях *. К числу тел, находящихся в двухфазном состоя-
нии, относится влажный насыщенный пар, представляющий собой
систему** «жидкость — сухой пар» в условии термического равно-
весия. При этом, давление р и температура насыщения (иначе —кипе-
ния) ts связаны уравнением равновесия фаз
q>(p, G) = 0	(а)
или
(б)
* В дальнейшем мы встретимся и с трехфазным состоянием, которое возможно
только в одной точке при строго определенных значениях параметров Т, р и v-
** При низких температурах ниже температуры трехфазного состояния двух-
фазная система представляет собой систему «твердое состояние —пар»,
154
т. е. температура насыщенного пара находится в строгой функцио-
нальной зависимости от его давления.
Перегретый пар- однофазное газообразное состояние веще-
ства, температура которого I при данном давлении выше температуры
насыщенного пара ts того же давления, т. е.
t > ts.	(в)
В теплотехнике и хладотехнике используют в качестве рабочих
тел и холодильных агентов различные жидкости и их пары: аммиак NH3,
двуокись углерода СО2, фреоны (фторхлорорганические соединения),
ртуть Hg и др., но наиболее широко применяют в качестве рабочего
тела теплоэнергетической установки и в качестве теплоносителя воду
и водяной пар. Объясняется это их ценными свойствами: высокой
удельной теплоемкостью жидкой воды и пара, доступностью, невы-
сокой стоимостью и др.
Фазовый переход вещества из жидкого состояния в состояние
пара называют парообразованием, а из парового состояния
в жидкое или твердое (кристаллическое) — конденсацией. Паро-
образование, происходящее только на свободной поверхности жид-
кости и твердого тела, называют испарением, а парообразование,
происходящее не только на свободной поверхности жидкости, но и
внутри, во всей ее толще, — кипением.
Из повседневного опыта известно, что жидкость, • находящаяся
в открытом сосуде, постепенно испаряется. Механизм этого явления
заключается в том, что при хаотическом тепловом движении молекул
жидкости отдельные молекулы, обладающие наибольшей скоростью,
преодолевают поверхностное натяжение и вылетают в пространство
над свободной поверхностью. Одновременно часть молекул пара,
хаотически движущихся вблизи свободной поверхности, возвращается
обратно в жидкость. Когда число молекул, вылетающих из жидкости,
станет равным числу молекул, возвращающихся в жидкость, другими
словами, если наступит состояние динамического равновесия, процесс
видимого испарения жидкости прекратится.
В рассматриваемом случае испарения жидкости в открытом сосуде
молекулы пара над жидкостью диффузией и перемешиванием прони-
кают в окружающую среду и в ней рассеиваются. Это обстоятельство
препятствует установлению динамического равновесия. Процесс паро-
образования продолжается до полного испарения всей жидкости
в сосуде.
При испарении уменьшается температура жидкости в открытом
сосуде, поскольку жидкость при испарении теряет молекулы, обла-
дающие наибольшей энергией, и уменьшается средняя кинетическая
энергия остающихся в сосуде молекул. Температура жидкости в сосуде
может стать меньше температуры окружающей среды, содержащей
вылетевшие молекулы. Возникающая таким образом разность темпе-
ратур побуждает переход теплоты от окружающей среды к жидкости
(с тем большей интенсивностью, чем больше эта разность). Когда
энергия, уносимая вылетающими из жидкости молекулами, стано-
155
вится равной количеству подводимой теплоты, температура жидкости
стабилизируется.
Температура жидкости, испаряющейся со свободной поверхности,
тем ниже, чем интенсивнее испарение (например, при движении воз-
духа на поверхности жидкости).
Иначе протекает парообразование в закрытом сосуде. Молекулы,
вылетающие из жидкости, заполняют все пространство над поверх-
ностью раздела фаз и не имеют возможности выйти из сосуда. Так же
как и в разобранном выше случае, наступит состояние динамиче-
ского равновесия (между паром и жидкостью), при котором концент-
рация молекул над поверхностью жидкости, а следовательно, и
давление пара достигнут вполне определенного максимального зна-
чения и дальнейшее парообразование прекратится. При этом пар
находится в термодинамическом равновесии с жидкостью (давление
и температура жидкости и пара имеют одинаковые значения). Пар,
находящийся в термодинамическом равновесии с жидкостям, называют
насыщенным паром.
Если, не меняя температуры, изменить объем над поверхностью
жидкости, например увеличить его, то концентрация молекул пара
уменьшится, динамическое равновесие нарушится и для его восста-
новления при подводе теплоты неизбежно образуется дополнительная
масса пара. В итоге установится как прежняя концентрация молекул,
так и прежнее давление насыщенного пара.
Таким образом, при заданной температуре давление насыщенного
пара (давление насыщения) имеет одно и то же строго определенное
значение. Само собой разумеется, что давление насыщения (при задан-
ной температуре) будет зависеть и от физических свойств испаряю-
щейся жидкости (воды, ртути, спирта и т. п.).
Если процесс парообразования будет происходить при более
высокой температуре жидкости, то благодаря большей скорости дви-
жения молекул состояние динамического равновесия установится
при большей концентрации молекул насыщенного пара, а следова-
тельно, и при большем давлении.
Поэтому чем выше температура, при которой протекает процесс
парообразования (кипения) жидкости, тем выше давление насыщен-
ного пара.
§ 11.2.	Фазовая диаграмма. Тройная точка
Зависимость между давлением насыщенного пара р и темпера-
турой кипения ts устанавливают опытным путем. На рис. 11.1 показана
зависимость p = f(ts) для водяного пара. Точки этой кривой — кривой
равновесия фаз — представляют те состояния, в которых пар и жид-
кость, или, иначе, жидкая и газообразная фазы, находятся в устой-
чивом термодинамическом равновесии. Следовательно, точки, лежащие
на кривой равновесия фаз, характеризуют различные состояния двух-
фазной системы. Для всех жидкостей, как правило, давление насы-
щения возрастает значительно быстрее, чем температура кипения.
Обычно пользуются специально составленными таблицами, в которых
156
даны значения р и соответствующие ему значения ts (таблица насы-
щенных паров воды дана в приложении 5).
Все точки, не лежащие на кривой равновесия фаз, соответствуют
отдельным фазам. В рассматриваемом случае всем точкам, лежащим
над кривой, соответствуют различные состояния жидкости (жидкая
фаза), а точкам, лежащим под кривой, — различные состояния газа
(газообразная фаза). Кривая равновесия жидкой и газообразной фаз
имеет ограниченную протяженность и заканчивается в критиче-
ской точке К (см. §4.9). При значениях параметров, больших рА-
или tK (для воды рк = 22,129 МПа и ^ = 374,15 °C), не происходит
переход из жидкого в газообразное состояние (или наоборот), так
как пределами точки К рабочее тело однородно и между газом и
жидкостью нет принципиальной разницы.
Кривая равновесия жидкой и газообраз-
ной фаз начинается в точке F (рис. 11.1).
Точка F называется тройной точкой
[для воды р/? = 610,8 Па и 77 = 273,16 К
или 7 = 0,01 °C (точно)]. В этой точке со-
существуют и находятся в термодинами-
ческом равновесии три фазы вещества
(твердая, жидкая и газообразная).
По правилу фаз, данному Д. Гиббсом
(1839—1903),
k = n-\-2 — т, (И-1)
где п — число компонентов, т. е. число хи-
мически различных веществ, входящих
в смесь; т —-число фаз; k — число степеней
свободы, или, иначе, число независимых тер-
модинамических параметров, определяющих состояние рабочего тела.
Для однокомпонентной жидкости или паров той же жидкости
число компонентов п = 1. Тогда k = 3 — т. Для однофазной системы
(взятых в отдельности пар или жидкость) k ==3 — 1=2, т. е. число
независимых переменных, определяющих состояние, равно двум: при
одном и том же давлении жидкость или газ может находиться при
различных температурах. Для двухфазной системы т = 2 и й =
= 3 — 2=1. Следовательно, для любой двухфазной системы заданному
давлению соответствует только одна строго определенная темпера-
тура.
Если жидкость при неизменном давлении не нагревать, а охлаж-
дать, то и в этом случае будет также происходить изменение агре
гатного состояния: вещество будет переходить из жидкого в твердое
состояние. Соответствующая этому явлению температура носит
название температуры затвердевания или плав-
ления.
В процессе плавления, так же как и в процессе парообразования,
вещество будет находиться в двух фазах, а следовательно, согласно
правилу фаз, температура плавления однозначно определяется зна-
чением давления. Аналогично кривой р = f (ts) можно построить кри-
157
вую /7 = /^ (/„ ,,). Точка пересечения кривой равновесия жидкой и газо-
образной фаз с кривой равновесия жидкой и твердой фаз является
фундаментальной, или тройной, точкой.
При наличии трех фаз, т. е. при т = 3 и при п--1, k—О. Иными
словами, совместное существование всех трех фаз возможно только
при одном определенном давлении рг и столь же определенной тем-
' '! этом смысле становится понятным выражение: «ноль»
К
пературе tr (в
Плавление
Затвердейание
JleiT' d
Парообразование
Конденсация
Pf
Пар
0,6108 кПа
--------! рииПШ
Сублимация
Десудлимация
Ле'д^/^\	- Пир
точки
Лед-пар tF
Рис. 11.2
степеней свободы). На рис. 11.2
в координатах pt нанесены (не в мас-
штабе) кривые равновесия фаз для
воды.
Поскольку при заданном давле-
нии насыщения (или плавления) тем-
пература в процессе фазового пере-
хода не меняется, рассматриваемые
кривые в координатной системе pt
разграничивают только однофазные
состояния.
Из диаграммы видно, что ниже
тройной точки жидкая фаза не су-
ществует. Ниже тройной точки про-
ходит кривая лед —пар, отделяющая
газообразную фазу от твердой. Пере-
ход через эту кривую слева направо показывает на возможность
непосредственного перехода из твердого состояния в газообразное,
минуя жидкую фазу (это явление объясняет запах твердых тел,
высыхание твердых тел на морозе и т. п.). Фазовый переход ве-
щества из твердого состояния непосредственно в пар называют
сублимацией, а обратный процесс непосредственного перехода
пара в твердое состояние получил название десублимации.
Р
t
§ 11.3.	Процесс парообразования и его изображение
в системе координат pv
Пусть в цилиндре со свободно движущимся поршнем (рис. 11.3, а)
находится жидкость массой 1 кг при температуре О °C. На поршень
положен груз, который вместе с поршнем оказывает на жидкость
давление р. Удельный объем жидкости при указанных условиях
обозначим v0. Изменение давления воды от 0,1 до 10 МПа вызывает
уменьшение удельного объема всего лишь на 0,5%. Практически
можно считать воду и другие жидкости несжимаемыми, что и при-
нимается в дальнейших рассуждениях значения удельного объема v0
(для воды) в зависимости от давления при 0 °C:
р, МПа	0,1	5	10	20	40
1О3со, м3/кг	1,0001	0,9976	0,9951	0,9904	0,9810
158
Таким образом, в координатной системе pv прямая F — а0 — Ьп — с0,
параллельная оси ординат с абсциссой = (рис. 11.4), будет
определять все возможные состояния жидкости при температуре О °C.
Если при произвольном давлении р < рк сообщать жидкости
теплоту, то ее температура будет повышаться, а удельный объем
Рис. 11.3
Р
Пограничная
кривая живности.
Пограничная
кривая пари
Обпасть перегретого
пара (однофазная
система)
и"
Рк к
Рис. 11.4
л
ь
Щ ____
у; и" и
Область ола/ино-'
го пара (двухфаз-
ная система)
и”
Р
увеличиваться. При достижении температуры насыщения ts начнется
кипение жидкости. Удельное количество теплоты, необходимое для
повышения температуры жидкости от О °C до ts (для воды ts =•= 99,64 °C
при р = 0,1 МПа; t., — 201,36 °C при р = 16 МПа), обозначим q.
Удельный объем увеличится при этом от v0 до v' > vn (рис. 11.3,6).
Состоянию воды при температуре ts будет соответствовать точка Ь'.
При более высоком значе-
нии р, а следовательно,
и ts удельный объем будет
большим (точка с'). С повы-
шением давления р удель-
ный объем v' увеличивает-
ся, причем увеличение
удельного объема вызвано
только температурным рас-
ширением жидкости, так
как уменьшение удельного
объема жидкости из-за уве-
личения давления исчезаю-
ще мало.
В координатной системе
pv геометрическим местом
точек, определяющих со-
стояние жидкости, темпе-
ратура которой доведена до
F-a'-Ь'-с'-К, называемая пограничной кривой жидкости или нижней
пограничной кривой.
Если продолжать подвод теплоты к жидкости с температурой
кипения при том же неизменном давлении, то начнется процесс паро-
образования (рис. 11.3, в) ив цилиндре будут одновременно жидкость
и пар, при этом обе фазы будут находиться в устойчивом равновесии.
V
ы кипения, является
TI
159
В момент окончания процесса парообразования пар будет сухим
насыщенным (рис. 11.3, г). Удельный объем его обозначим v" (точка Ь"
на диаграмме pv при давлении р); при ином давлении соответственно
получим точки а , с". Кривую а"-Ь"-с"-К называют пограничной кри-
вой пара или верхней пограничной кривой. Все точки, лежащие на
ней, определяют состояние сухого насыщенного пара. Пограничная
кривая жидкости переходит в пограничную кривую пара в крити-
ческой точке К- При критическом давлении фазовый переход не
сопровождается изменением удельного объема.
Последующий подвод даже ничтожно малого количества теплоты
при р = const превращает сухдй насыщенный пар в перегретый
(рис. 11.3,5), для которого I >• ts (точка /и); обратно: столь же
малое, но отведенное количество теплоты вызывает конденсацию
Рис. 11.5
части пара, в результате чего
пар становится влажным насы-
щенным (точка /г).
Из сказанного можно заклю-
чить, что в сухом насыщенном
паре отсутствуют взвешенные
частицы жидкой фазы, а темпе-
ратура равна температуре ки-
пения ts, соответствующей дан-
ному давлению.
Каждому давлению насыще-
ния (или температуре кипения <,)
отвечают вполне определенные
значения удельных объемов v'
и v". Изменение удельного объема сухого насыщенного водяного пара v"
в зависимости от давления насыщения показано на рис. 11.5. В области
малых давлений удельный объем сухого насыщенного пара во много
раз больше удельного объема жидкости, из которого он получен.
Так, для водяного пара удельный объем v" при р =0,1 МПа в 1630
раз больше удельного объема жидкости v', а при р = 5 кПа
(0,005 МПа) — в 28 000 раз. Из рассмотренного выше процесса паро-
образования следует, что удельный объем двухфазной системы («жид-
кость—пар»), называемой влажным насыщенным паром, находится
в пределах от v' до v".
Удельный объем влажного насыщенного пара зависит от соотно-
шения масс содержащихся в нем сухого насыщенного пара и жидкости.
Обозначим отношение массы сухого насыщенного пара к суммарной
массе влажного насыщенного пара (смеси пар — жидкость) буквой х и
назовем эту величину массовой долей сухого насыщенного пара*'.
х = тс.пМ.п
(11.2)
Величина 1— х называется массовой долей жидкости.
* Величина х называется также степенью сухости пара, 1 —х — степенью
влажности пара.
160
Для воды на пограничной кривой жидкости х = 0, а для сухого
насыщенного пара х = 1. Таким образом, по мере испарения жидкости х
увеличивается, принимая значения от 0 до 1.
Удельный объем влажного насыщенного пара vx заданного давле-
ния можно определить по правилу аддитивности как сумму произ-
ведений массовой доли жидкости 1 — х на ее удельный объем v' и
массовой доли пара х на его удельный объем v":
Vx = v' (1 — х) + v"x = v'X (v" — v').	(11-3)
При выражении v’ и v" в м3/кг vx выразится также в м3/кг.
Разность v" — v' представляет собой увеличение удельного объема
в процессе парообразования при постоянном давлении. Массовую
долю пара можно определить из формулы (1 i .3);
x = (vx — v')/(y" — v').	(11.4)
При решении технических задач, в которых предусматривается
использование влажного насыщенного пара с высоким паросодержа-
нием (х>0,7), можно вместо формул (11.3) и (11.4) применять упро-
щенные формулы (11.5), в которых v' принимается равным нулю,
поскольку значение v' мало по сравнению с v" и vx.
Но уже при р = 5 МПа определение х для водяного пара по
формуле (11.5) дает погрешность 1%, а при /? = 10 МПа —3%:
X7biVxlv" и Vx^v"X.	(11-5)
Удельные объемы и' и v" приводятся в таблицах насыщенного пара.
Отметим, что диаграмма на рис. 11.4 изображена не в масштабе.
При построении пограничных кривых, даже в весьма крупном
масштабе, кривые F-a0-b0-c0 и F-a'-b'-c' практически слива-
ются с осью ординат. Последнее становится понятным, если срав-
нить удельный объем жидкости с удельным объемом сухого насы-
щенного пара.
В области под пограничными кривыми можно нанести семейство
кривых постоянного паросодержания х. Из определения понятия
«паросодержание влажного насыщенного пара» следует, что при делении
отрезков а'-а", b'-b", с'-с" на равные части (на рис. 11.4 —на четыре
части) и при соединении соответствующих точек, лежащих на этих
отрезках, плавными кривыми последние и будут отвечать условию
х = const.
§ 11.4.	Удельная энтальпия жидкости и пара
Удельные энтальпия и энтропия являются функциями состояния,
определяемыми с точностью до постоянной; их отсчет производится
от условно принимаемого состояния. В частности, удельные энталь-
пия и энтропия водяного пара принимаются равными нулю для
жидкой фазы в тройной точке.
Следовательно, для воды при давлении р0 ==0,6108 кПа и темпе-
ратуре Г = 273,16 К (/ = 0,01 °C) имеем
io = O и s„ = 0.	(11.6)
6 Зан, 49	IQ1
Удельная внутренняя энергия воды в том же состоянии может
быть определена с помощью таблиц водяного пара по формуле (3.20) *
— pov'a — O — (0,6108-103) • (1,0002• 10~3) Дж/кг =—0,611 Дж/кг.
вторым — собственно
Рис. 11.6
Найденное значение удельной внутренней энергии воды «' нахо-
дится за пределами достижимой степени точности вычисления I и и.
Поэтому следует считать и'о = О.
Получение при постоянном давлении перегретого пара из жид-
кости с температурой 0 °C можно разделить на три этапа. Первым
этапом будет подогрев жидкости при постоянном давлении от темпе-
ратуры 0 °C до температуры кипения ts, зависящей от давления,
парообразование, при котором жидкость при
постоянном давлении и температуре кипения
превращается в сухой насыщенный пар
той же температуры, и, наконец, третьим
этапом будет перегрев пара — превращение
сухого насыщенного пара в перегретый.
Рассмотрим в отдельности каждый из ука-
занных этапов.
Подогрев воды при постоянном да-
влении. В начальном состоянии вода имеет
температуру 0 °C и находится под давле-
нием р. На диаграмме pv изобарный процесс
подогрева воды изобразится отрезком изо-
бары а-а' (рис. 11.4 и 11.6). При этом
необходимое удельное количество теплоты
определяют по формуле
qP^=cp(ts-t0) = cpts, (11.7)
где Ср —средняя удельная изобарная теплоемкость жидкости в интер-
вале температур от 0 до ts.
При выражении Ср в Дж/(кг- К), ts и t0 в °C q выразится в Дж/кг.
С другой стороны, удельное количество теплоты, подводимое
в изобарном процессе, равно приращению удельной энтальпии:
?P = t'-io,	(Н.8)
где I' — удельная энтальпия жидкости при температуре кипения,
отвечающей заданному давлению; i0 — удельная энтальпия жидкости
при 0 °C и том же давлении:
l0 = u0+pv0^pv0.	(11.8а)
Парообразование. После того как температура жидкости
при постоянном давлении под воздействием подведенной теплоты qp
повысилась до температуры кипения tSi дальнейший подвод теплоты
* Согласно решению VI Международной конференции (1963) по свойствам
водяного пара, для жидкой фазы в тройной точке должна приниматься равной
нулю не удельная энтальпия, а удельная внутренняя энергия воды, при этом
удельная энтальпия I=0,611 Дж/кг,
162
вызовет процесс парообразования, в конце которого вся жидкость
превратится в сухой насыщенный пар.
Удельную теплоту, затрачиваемую в процессе при постоянном
давлении на превращение жидкости, взятой при температуре кипе-
ния, в сухой насыщенный пар той же температуры называют удель-
ной теплотой парообразования и обозначают буквой г.
По первому началу термодинамики (3.4),
г =	(11.9)
где и" —удельная внутренняя энергия сухого насыщенного пара,
а /" — удельная работа расширения при постоянном давлении в про-
цессе парообразования.
На диаграмме pv процесс парообразования изображается изобаро-
изотермой а'-а" (рис. 11.7), крайние точки которой лежат на погра-
ничных кривых. Для двухфазной
системы изобара всегда совпадает
с изотермой, поскольку в процессе
парообразования (или конденсации),
протекающем при постоянном да-
влении, температура остается по-
стоянной (р = const; t = const).
Удельная работа расширения в
процессе парообразования при этих
условиях согласно (3.116) равна
l" = p(v"-v'),	(П.Ю)
где v" — удельный объем сухого
насыщенного пара.
При выражении р в Па, v' и	Рис- 117
v" в м3/кг Г. выразится в Дж/кг.
Удельное количество теплоты, равное разности удельных внут-
ренних энергий (и” — и') и затрачиваемое на удельную работу против
внутренних сил, называют внутренней теплотой парообразования и
обозначают буквой р. Удельное количество теплоты, затрачиваемое
на работу I" против внешних сил, носит название внешней теплоты
парообразования и обозначается буквой ф.
Таким образом,
г = р + ф.
(П-11)
Поскольку процесс протекает при постоянном давлении, то в со-
ответствии с выражением (3.25)
r — —	(11.12)
или
Г = 1' + г.	(11.12а)
Для определения теплоты парообразования влажного пара с паро-
содержанием х можно воспользоваться нижеследующими очевидными
формулами:
Гх — хг\ рЛ = хр; фЛ = хф.	(11.13)
в*	163
Удельная энтальпия и удельная внутренняя энергия влажного
насыщенного пара с паросодержанием х .определяются по правилу
аддитивности:
ix — i' 4~хг;	(Н-14)
их = и' -{-хр.	(11.14а)
Значения величин г и Г приводятся в таблицах насыщенного
пара, а значения величин р, ф и и" определяют по приведенным
выше формулам (с учетом того, что u — i — pv).
С увеличением давления удельная энтальпия жидкости Г воз-
растает и достигает максимума при критическом давлении. Удельное
количество теплоты г (как и удельные количества теплоты риф)
с увеличением давления уменьшается и принимает значение, равное
нулю в критической точке. Поэтому
удельная энтальпия сухого насы-
щенного пара Г = Г-|-г с ростом
давления проходит через максимум
(в частности, для водяного пара
imax = 2804 кДж/кг при давлении,
равном приблизительно 3 МПа).
Перегрев пара. Процесс
перегрева пара осуществляется
в пароперегревателе, входящем в
состав котельного агрегата; сухой
насыщенный пар (практически это
влажный насыщенный пар с паро-
содержанием х = 0,980.. .0,995) из
парового пространства котла на-
правляется в пароперегреватель, выполненный в виде трубчатого
теплообменника. Трубы теплообменника снаружи омываются горячими
газообразными продуктами сгорания топлива, которые, отдавая теп-
лоту движущемуся в трубах пару, его перегревают. 
Процесс перегрева пара происходит при постоянном давлении
(если пренебречь потерей давления из-за гидравлического сопротив-
ления самого пароперегревателя).
На рис. 11.8 показана линия равновесного изобарного перегрева
пара в координатах pv (изобара Ь"-1).
Удельное количество теплоты qnn, расходуемое на перегрев пара
от температуры насыщения ts до какой-либо заданной температуры t,
в изобарном процессе выражается согласно (3.25) через разность
удельных энтальпий перегретого (i) и сухого насыщенного пара (Г):
<?nn = i-i".	(11-15)
Следовательно, удельная энтальпия перегретого пара
i = i"qva — i' + r-\-qnn.	(11.16)
Удельная внутренняя энергия перегретого пара
u = i — pv.	(П.17)
164
Как известно, функции и, i и s могут быть найдены с помощью
дифференциальных уравнений термодинамики, если известно уравне-
ние состояния. Полученные таким образом формулы для вычисления
искомых функций по заданным значениям параметров (у, р и Т)
столь сложны, что для практических расчетов не могут быть при-
менены. По этим формулам обычно составляют таблицы перегретого
пара. В приложении 6 даны такие сокращенные таблицы. В них
приведены значения v, i и s для разных давлений и температур
перегретого водяного пара, там же приведены значения параметров
воды и перегретого пара.
§ 11.5.	Диаграмма Ts для водяного пара
Напомним, что при вычислении удельной энтропии водяного
пара ее условно принимают равной нулю (s', —0) в тройной точке
для жидкой фазы (7V = 273,16 К для воды). Следовательно, в системе
координат Ts тройная точка находится на оси температур при зна-
чении ТР — 273,16 К (0,01°С) (рис. 11.9). Приращение удельной
энтропии жидкости при повышении его температуры вдоль погра-
ничной кривой от температуры
TF = 273,16 К до температуры Ts
можно определить по формуле
Ts
s'—s0 = s' = c'sdT/T, (11.18)
273,16
где c's — удельная теплоемкость
жидкости, находящейся в равнове-
сии со своим паром; c'sdT = §q' —
элементарное количество теплоты,
сообщаемой жидкости при измене-
нии ее состояния вдоль нижней
пограничной кривой. Удельная
теплоемкость c's при сравнительно
низких относительно Т,: темпера-
турах может быть принята постоянной и равной ср (при совпадаю-
щих р и Т)*. Тогда
s’ = Ср In (7\/273).
(11.19)
Следовательно, в координатах Ts нижняя пограничная кривая
изображается логарифмической кривой, берущей свое начало из
точки с координатами s(' = 0 и Т = 273,16 К.
При приближении к критическим параметрам удельная тепло-
емкость c's уже не может быть принята равной ср. Удельная тепло-
емкость c's начинает с ростом температуры возрастать и при крити-
ческой температуре стремится к бесконечности (касательная к по-
* При подходе к пограничной кривой со стороны жидкости, т. е, при р =
= const и Т ->• Ts.
165
граничной кривой в критической точке горизонтальна). В связи
с этим нижняя пограничная кривая начинает отклоняться от лога-
рифмической кривой (делается более пологой) и, наконец, вблизи
критической точки меняет вогнутость (рис. 11.9).
Изобара жидкости по характеру (и по месту расположения) очень
близка к нижней пограничной кривой. Если, например, воду при
температуре кипения (точка а' на рис. 11.9) охлаждать при посто-
янном давлении, то кривая (изобара) будет немного отклоняться от
нижней пограничной кривой. Это отклонение столь незначительно,
что при небольших давлениях практически можно считать эти кри-
вые сливающимися.
В изобарном, одновременно являющемся изотермическим, про-
цессе парообразования приращение удельной энтропии находят по
формуле
х"-5'=Х]\г/Л = (1/Л)Х] dr — r/Ts (11.20)
х=0	х=0
и удельную энтропию сухого насыщенного пара —по формуле
s" = s' + r/Ts.	(11.21)
Откладывая от нижней пограничной кривой горизонтальные отрезки,
равные r/Ts, получим ряд точек, принадлежащих верхней погранич-
ной кривой. Очертание верхней пограничной кривой зависит, следо-
вательно, от удельной теплоты парообразования г, от температуры
насыщения ts и от формы нижней пограничной кривой.
Удельную энтропию влажного насыщенного пара можно опреде-
лить по правилу аддитивности:
sx = s' + xr[Ts.	(11.22)
Значения удельной энтропии воды s' (учетом переменного значе-
ния удельной теплоемкости с$) и сухого насыщенного пара s" при-
ведены в таблице насыщенного водяного пара.
Изменение удельной энтропии в равновесном изобарном процессе
перегрева пара:
ds = 6<7ПП,Т = cpdT/T,
т
s-s"= $ cpdTi'T = cpln(T/Ts).	(11.23)
rs
Следовательно, изобара перегретого пара изображается логариф-
мической кривой.
Удельная энтропия перегретого пара
s = s" + Ср In (T/Ts) = s' + r/Ts + Cp In (Т/Л).	(11.24)
При выражении Т и Ts в К, Ср в Дж/(кг • К) s, как и s", выра-
зится в Дж/(кг К).
166
равные части и соединяя
Рис. 11.10
— L. Помнимая в
В диаграмме Ts, так же как и в диаграмме pv, область под
пограничными кривыми жидкости и пара соответствует двухфазному
состоянию — влажному пару. Деля горизонтальные отрезки (а'а",
b'b", ...) между пограничными кривыми на
соответствующие точки, получаем кри-
вые х = const (рис. 11.9).	Т
Если принять, что в диаграмме Ts
(рис. 11.10) изобара жидкости совпадает
с нижней пограничной кривой, то линия
F-a-d'A на всем протяжении яв- Ts
ляется изобарой. Площадь, лежащая
под ней, равна удельной теплоте, затра-
ченной в процессе р = const на превра- Т
щение жидкости начальной температуры
0°С в перегретый пар. Эта площадь д
равна сумме площадей q, г, <?пп.Так как,
по доказанному ранее [см. (11.8), (11.11)
и (11.15)],	= —i0; r — — и
Qnn = i — i", то упомянутая площадь равна i
стве еще одного допущения i0 = pv't = 0 (см. § 11.4), что возможно
при относительно небольших по сравнению с рк давлениях, приходим
к выводу, что в координатах Ts площадь под изобарой, проведен-
ной из заданной точки в точку F, графически определяет удельную
энтальпию рабочего тела в состоянии, определяемом заданной точкой.
В качестве примера и пояснения к изложенному на рис. 11.11
показана в виде площади (заштрихованной на рисунке) удельная
энтальпия 1Х в точке 1 (влажный насыщенный пар).
Разность удельных энтальпий в двух состояниях рабочего тела
равна разности соответствующих площадей. На рис. 11.12 показана
в виде заштрихованной площади разность удельных энтальпий (t\ —12)
в точках 1 и 2 при адиабатном расширении перегретого пара, имею-
щем большое значение при исследовании циклов тепловых установок.
167
§ 11.6.	Диаграмма is для водяного пара
Для изучения и расчетов различных термодинамических процес-
сов, в которых рабочим телом является насыщенный и перегретый
пар (в общем случае реальный газ), особо удобна диаграмма is.
В системе координат is наносят пограничные кривые, изобары
и изотермы (иногда и изохоры). Пограничная кривая жидкости
(рис. 11.13) имеет очертание, мало отличающееся от очертания той
же кривой на диаграмме Ts. Пограничная кривая пара строится лоточ-
кам, по известным значениям Г и s". Для процесса р = const в области
влажного насыщенного пара
ds = 8q/Ts — di/Ts (а)
или
(dilds)p = T s.	(б)
Из выражений (а) и (б) сле-
дует, что i = 7\s +const. Для
влажного насыщенного пара в
процессе парообразования при
р = const одновременно и Ts —
— const. Следовательно, изо-
бары (одновременно изотермы)
в двухфазной области будут
изображаться на диаграмме is
прямыми с угловым коэффи-
циентом, равным Ts. Точка
а' изобары а'-а" лежит на
нижней пограничной кривой
(рис. 11.13), т. е. ордината ее
равна i', а абсцисса s'; для
точки а" ордината равна i",
а абсцисса s". 1аким образом,
проекция на ось ординат лю-
бой изобары, конечные точки которой лежат на пограничных кривых,
равна Г —г'— г, а проекция на ось абсцисс равна s" — s' = r/Ts.
Указанным соотношением можно воспользоваться для построения
одной пограничной кривой по другой. В критической точке г = 0,
следовательно, для критической изобары отрезок, расположенный
между пограничными кривыми, равен нулю, т. е. изобара, накло-
ненная к оси абсцисс под углом tga = 71K, является касательной
к пограничной кривой в критической точке К. В отличие от диаг-
рамм в координатах Ts и pv в диаграмме is критическая точка К
лежит не на вершине пограничной кривой, а в верхней части левой
ветви.
Для диаграммы is остается в силе то свойство, что паросодер-
жание х (в области влажного насыщенного пара для любой точки с)
может быть вычислено как отношение отрезков соответствующей
изобары.
168
Действительно,
а'-С _ sx — s' _ s' + xr/Ts — s' _	'	, .
a'-a"	s'' —s' s' -}-r/Ts—s'	'	' '
Используя полученное соотношение, строят в области влажного
пара кривые постоянной массовой доли х сухого пара во влажном.
Изохоры, изобары и изотермы в области перегретого пара строят
по точкам. Изохоры и изобары перегретого пара изображаются
слабо изогнутыми кривыми логарифмического вида. Изотермы в об-
ласти небольших давлений имеют почти горизонтальное направление
(перегретый пар приближается по своим свойствам к идеальному
газу), а в области высоких давлений — резко выраженное криволи-
нейное очертание. Обычно для практического использования диаг-
рамма is воспроизводится только в своей верхней части (в приложе-
нии 15 дана диаграмма is по М. П. Вукаловичу).
§ 11.7.	Уравнение Клапейрона — Клаузиуса
Уравнение Клапейрона — Клаузиуса устанавливает связь между
видом кривой равновесия фаз, характеризуемой производной dp/dTs
(тангенсом угла, образуемого касательной с осью температур в коор-
динатах рТ), удельной теплотой парообразования г (плавления или
возгонки) и изменением удельного объема при переходе вещества из
одной фазы в другую. Для вывода уравнения Клапейрона — Клау-
зиуса воспользуемся дифференциальными уравнениями термодинамики
(см. гл. X).
Из формул (а) и (10.17) § 10.1 имеем
hv==(du/dv)r + p = T (dp/dT)v.	(г)
Для состояний, определяемых координатами точек кривой равно-
весия фаз, для которых p=f(Ts), частную производную (др/дТ^
(температурный коэффициент давления) можно заменить производной
dpjdTs. Кроме того, в общем случае для процесса Т = const
§q = [(du/dv)t + p]dv.	(д)
При Т = const, учитывая, что для фазового перехода bq = dr и
dr/dv = r/Ап, находим
dr = hv dv	(e)
и
hv = rl(v" — v').	(ж)
Подставляя значение hv в формулу (ж), получаем уравнение
Клапейрона — Клаузиуса
Ts dp/dTs = r/(v" — v')	(з)
или
dp/dTs = r/[Ts (v" - y')].	(11.25)
169
Уравнение Клапейрона — Клаузиуса можно вывести, сопоставив
циклы в диаграммах pv и Ts. Этот способ весьма нагляден и рас-
пространен в термодинамике.
На рис. 11.14, а, б показан элементарный цикл 1-2-3-4, состоя-
щий из двух изобар (изотерм) и двух изохор. Площадь цикла
в координатах pv, как это усматривается из рисунка, равна
(v" — v')dp. В координатах Ts площадь того же цикла равна
(s" — s')dTs = r dT,/T,. Как в одной, так и в другой координатной
Рис. 11.14
системе площадь цикла выражает удельную теплоту, преобразован-
ную в работу; очевидно,
(v" — v')dp = r dTs/Ts	(и)
или
r/(v" — v’) = Ts dp/dTs.	(к)
Знак производной dpldTs зависит от знака разности Ди = п" —и'.
Если Др>0, то dp/dTs>G. Например, если при плавлении Дп>0,
то и dTn„/dp2>0, т. е. температура плавления увеличивается по
мере роста давления. Обратно: при Дп<0 получим dTn!Jdp < О,
т. е. температура плавления при повышении давления понижается
(кривая равновесия жидкой и твердой фазы воды приведена на
рис. 11.2).
§ 11.8.	Уравнение состояния перегретого пара
Качественно правильную картину поведения любого реального
газа дает уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, но количественная
сторона расчетов по этому уравнению, в особенности для состояний,
близких к пограничной кривой, не удовлетворяет требуемой точности.
Многочисленные экспериментальные работы по изучению свойств
перегретого пара позволили в разное время исследователям дать
эмпирические уравнения состояния перегретого пара. Эти уравнения
с той или иной степенью точности описывают наблюдаемые в опыте
свойства перегретого пара. По мере уточнения опытных данных,
а также значительного расширения исследованной области различ-
ных состояний перегретого пара эмпирические уравнения получались
I7Q
столь сложными, что непосредственное использование их при изуче-
нии термодинамических процессов стало практически невозможным.
Остановимся на обязательных требованиях, которые должны быть
предъявлены к рациональному уравнению состояния перегретого пара.
Одно из основных дифференциальных уравнений термодина-
мики (10.20)
(дср/др),=-т(д^тР,
как указывалось, устанавливает связь между уравнением состояния
v — f1(T, р) и уравнением для удельной изобарной теплоемкости
сР = Ф1(Л Р)-
Нахождение зависимости ср = cpj (Т, р), как это следует из урав-
нения (10.20), требует двукратного дифференцирования уравнения
состояния и последующего интегрирования. Таким образом, для
получения достаточно точной формулы для вычисления ср (т. е. пра-
вильно отражающей опытные данные по удельной изобарной тепло-
емкости) v = (Т, р) необходима большая точность не только в опи-
сании непосредственной связи между .параметрами р, v и Т, но и
в отношении первой и даже второй частных производных, т. е.
(dv/dT)p и (d2v/dT2)p.
Значение (d2v/dT2)p зависит от кривизны изобар, построенных
в координатах vT, кривизна которых весьма невелика. Поэтому
даже малые по абсолютному значению погрешности в исходном
уравнении состояния могут дать относительно большие погрешности
при определении производных (т. е. тангенса угла наклона касатель-
ной к изобаре). Этим обстоятельством объясняется то, что многие
ранее применявшиеся уравнения состояния перегретого пара, вполне
удовлетворительно описывавшие связь между параметрами р, v и Т,
оказывались полностью несостоятельными или в лучшем случае
недостаточно точными при попытке использовать их для получения
зависимости удельной изобарной теплоемкости от параметров.
Критерием обоснованности и точности уравнения состояния может
служить совпадение опытных данных по удельной теплоемкости со
значениями удельных теплоемкостей, полученными из приведенных
выше уравнений.
В свете изложенного особый интерес представляет уравнение
состояния перегретого пара М. П. Вукаловича и И. И. Новикова,
выведенное теоретическим путем и основанное на разработанной
ими теории реальных газов (см. § 4.10). Это уравнение нё только
правильно описывает связь между параметрами р, v и Т, но и дает
согласованные значения для удельных теплоемкости, энтальпии и
других величин.
В предположении, что одиночные молекулы путем кажущейся
ассоциации объединяются в комплексы, состоящие не более чем из
трех простых молекул (см. § 4.10), уравнение состояния перегретого
пара Вукаловича — Новикова имеет вид
pv — RT(l — A/v - В/и2),	(11.26)
где A =/i(7’) и В = /2(ц, Т).
171
По уравнению (11.26) составлены таблицы перегретого водяного
пара и построена диаграмма is (см. § 11.6) для водяного пара,
с помощью которых производят расчеты процессов изменения состо-
яния водяного пара.
§ 11.9.	Удельная теплоемкость перегретого пара
На рис. 11.15 дан полученный опытным путем график зависи-
мости истинных удельных теплоемкостей перегретого пара от темпе-
ратуры и давления.
Из графика видно, что в области, примыкающей к верхней
пограничной кривой, на значение удельной теплоемкости ср весьма
сильно влияет давление. По мере увеличения температуры влияние
давления становится слабее. При достаточно высоких температурах
все изобары сливаются в одну линию, т. е. удельная теплоемкость ср
стремится к удельной темплоемкости сРа — (/), что указывает на
возможность рассматривать перегретый пар при этих температурах
как идеальный газ.
Изменение удельной изобарной теплоемкости таково, что вначале
при увеличении температуры удельная теплоемкость резко падает,
достигает минимума, а затем весьма медленно повышается. Уменьше-
ние ср при повышении температуры тем резче, чем выше давление.
Высокие значения удельной теплоемкости в области, примыкаю-
щей К пограничной кривой, особенно при высоких давлениях, объ-
ясняются тем, что на начальных участках изобарного перегрева
происходит усиленный распад (диссоциация) сдвоенных и строенных
молекул на одиночные молекулы. Указанный распад сопровождается
поглощением теплоты, что и вызывает соответствующее повышение
172
удельной теплоемкости. По мере уменьшения числа ассоциирован-
ных молекул интенсивность процесса диссоциации замедляется и
соответственно уменьшается и удельная теплоемкость пара. После-
дующее незначительное повышение удельной теплоемкости связано
с увеличением энергии внутримолекулярных колебательных движе-
ний (см. § 5.2).
Среднюю удельную изобарную теплоемкость перегретого водяного
пара ср в интервале от температуры кипения ts до t можно опреде-
лить по схеме, показанной на рис. 11.16. Удельная теплота q„„,
идущая на изобарный перегрев пара от температуры ts до t, равна
<7пп
(11.27)
Как видно из рисунка, теплота qnn графически определяется
площадью a' 12b'. Средняя удельная теплоемкость ср равна высоте
прямоугольника, площадь которого a'abb' равна площади a' 12b'.
При интегрировании выражения (11.27) получаем
7пп = сР(^-^)-	(11.27 а)
Глава XII
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ИЗМЕНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ПАРА
§ 12.1. Изохорный процесс
На диаграмме pv изохорный процесс изображается отрезком
вертикальной прямой (рис. 12.1). Если повышение давления влаж-
ного насыщенного пара (в связи" с сообщением теплоты) происходит
при постоянном удельном объеме v<vK (процесс а-b), где ик —
удельный объем в критической точке, то в результате влажный насы-
щенный пар начального паросодержания ха полностью превращается
в воду в точке Ь. При этом давление возрастает до значения рь и
и соответственно растет температура, достигая в точке b температуры
173
кипения при давлении р. Если V>vK, паросодержание влажного
насыщенного пара повышается и пар становится сухим насыщенным
(процесс 1-1"). Дальнейший подвод теплоты вызывает перегрев пара
с повышением давления (точка 2).
Рис. 12.1
Рис. 12.2
На диаграмме Ts изохоры влажного и перегретого пара строят
по точкам: они имеют вид, показанный на рис. 12.2. Все изохоры,
пересекающие верхнюю пограничную кривую, не могут пересекать
нижнюю кривую, так как всегда удельный объем жидкости (х = 0)
меньше удельного объема
сухого насыщенного пара
(х = 1).
Рассмотрим в координа-
тах is изохорный процесс
в области перегретого пара.
Начальная точка процесса
считается заданной, т. е.
дана любая пара парамет-
ров, определяющая началь-
ное состояние. На диаграм-
ме is (рис. 12.3) находим
точку 1 начала процесса.
Если заданы значения рг
и tlt то точка 1 лежит на
пересечении изотермы, со-
ответствующей температу-
ре tlt с изобарой, соответ-
ствующей давлению р2.
1 будет лежать на пере-
ермой t^ — const. Понятно,
Если заданы значения и tlt то точка
сечении соответствующей изохоры с изс
что могут быть заданы и иные сочетания двух начальных парамет-
ров. Кроме того, считается известным один из конечных параметров
процесса, например температура t (или давление р2).
174
Через точку / проходит изохора v — const. Точка пересечения
изохоры с изотермой /2 = const определяет конечную точку 2 рас-
сматриваемого процесса. По отмеченным на диаграмме is точкам /
и 2 определяются соответствующие значения и i2 (а также р2
или /2).
На том же рис. 12.3 показана изохора в области влажного пара.
В двухфазной области изотерма совпадает с изобарой, поэтому пара-
метры р и t — ts уже не являются независимыми. Дополнительной
величиной, определяющей состояние влажного пара, должно быть
паросодержание хг Точка Г процесса лежит на пересечении изо-
бары рк (являющейся одновременно изотермой) с кривой постоян-
ного паросодержания х±. Из параметров, соответствующих конечному
состоянию (точка 2'), известны или р2 или х2. Дальнейшие построе-
ния понятны из рисунка.
Для изохорного процесса удельная работа расширения /12 = 0.
Подведенная удельная теплота qly2 (поскольку s2>sx)
<71.2 = «г(а)
Используя формулу i — и + pv, получаем
Я1,з = (»2 - А0 - (G - Piv) = h -ii-v (р2 ~Р1)-	(12.1)
При выражении и г2 в Дж/кг, v в м3/кг, рг и р2 в Па qly2
выразится в Дж/кг.
Для процесса, протекающего в области влажного пара, можно
установить некоторые зависимости, позволяющие решать задачи без
применения диаграммы is (или Ts), используя лишь таблицы насы-
щенного пара.
По формуле (11.3) имеем
и = и;4-Х1(У;'-и;) = и'+х2(^-и;).	(б)
Паросодержание х2 получают из формулы (б):
Удельные объемы v' и и" определяют по таблицам насыщенного
пара по известным значениям рх и р2 (или tsl и ts2) в начале и
в конце процесса.
Если можно пренебречь ввиду малости величинами v{ и v2, то
x2^x1v"1/v2.	(12.3)
На рис. 12.2 в координатах Ts изображен изохорный процесс
1-2. Начало процесса лежит в области влажного пара (точка 1),
а конец процесса —в области перегретого пара (точка 2). Площадь,
лежащая под изохорой, равна подведенной удельной теплоте: q12 =
^=u2-uv
175
§ 12.2. Изобарный процесс
12.4 и 12.5 показан изобарный процесс в координатах
частном случае начальная точка 1 лежит в области
На рис.
pv и Ts. В
влажного пара, а конеч-
ная — в области перегрето-
го пара.
Несмотря на простоту
и наглядность изображе-
ния изобарного процесса
в диаграммах pv и Ts,
для целей расчета удоб-
нее пользоваться диаграм-
мой is.
В координатах is про-
цесс изобарного расшире-
ния перегретого пара при
изменении температуры от
до /2 показан на рис. 12.6.
Аналогично изложен-
ному в предыдущем пара-
графе, по двум заданным
начальным параметрам и по одному конечному параметру опре-
деляют точки 1 и 2 процесса, лежащие на изобаре р. Тем самым
Рис. 12.5
Рис. 12.6
считаются известными все необходимые для расчета параметры
начала и конца процесса *.
В области влажного пара, как неоднократно указывалось, изо-
барный процесс совпадает с изотермическим и при подводе теплоты
* На диаграмме is изохора и изобара пересекаются под весьма острым углом,
что затрудняет точное определение удельных объемов Oj и v2. Целесообразно
определять удельные объемы перегретого пара в зависимости от р и I по таблице
перегретого пара (см. приложение 6), а в области влажных паров —по формуле (11.3).
170 .
является участком процесса, на котором происходит парообразование
при р = const.
Изменение удельной внутренней энергии
м2 - = (t2 - pv2) - о; - pvj = i2 - i± - p (v2 - Vj). (12.4)
Подведенная удельная теплота (поскольку s2>sx)
=	О2'5)
удельная работа расширения
li,2 = <71.2 - («2 - «1) = Р - ^)-	(12.6)
В двухфазной области при р = const
Ui = v’ ф-(v" — и');	(а)
п2 = п' + х2(и"-и').	(б)
Следовательно,
х2 = х1(и2-и')/(и1-п').	(12-7)
Если пренебречь удельным объемом и' в связи с тем, что и' Uj
и v' и2, то
х2 я«х1уг/ц1,	(12.8)
Удельные объемы и' и и" определяют по таблицам насыщенного
пара (см. приложение 5) по заданному давлению р.
§ 12.3.	Изотермический процесс
В области влажного пара изотермический процесс совпадает
с изобарным. Взаимное расположение изотермы и изобары в коор-
динатах pv и Ts видно из рис. 12.4 и 12.5. На рис. 12.7 показан
изотермический процесс 1-2 изме-
нения состояния пара в диаграм-
ме Ts. Процесс начинается
в области влажного насыщен-
ного пара с начальным паро-
содержанием х, и заканчивается р.
в области перегретого пара при
давлении p2<ZPi-
Как видно, при изотерми-
ческом перегреве пара его да-
вление уменьшается. Указан-
ное обстоятельство не позволяет
по практическим соображениям
(значительным снижением да-
вления вплоть до внешнего)
Рис. 12.7
осуществлять изотермический подвод теплоты в циклах паросиловых
установок, работающих на перегретом паре.
Изотермический процесс расширения 1-2 перегретого пара в коор-
динатах is показан на рис. 12.8. Определение начальной 1 и конеч-
ной 2 точек процесса понятно из ранее изложенного.
177
При неизменной температуре удельная энтальпия перегретого пара
при расширении незначительно увеличивается (заметное увеличение
удельной энтальпии происходит лишь в области высоких давлений).
Рис. 12.8
Изменение удельной внут-
ренней энергии *
(12.9)
Удельную теплоту, под-
веденную в процессе рас-
ширения пара, определяют
при Т = const по формуле
§q = Tds-.
ql.2 = T(si-s1). (12.10)
Удельная работа расши-
рения
^1,2 =	($2	$1)	(^2	"1) ’
(12.11)
При выражении Т в К, sx и s2 в Дж/(кг-К), их и и2 в Дж/кг
91,2 и ^1,2 выразятся в Дж/кг.
§ 12.4.	Адиабатный процесс
Для равновесного адиабатного процесса s = const. Поэтому tso
всякой энтропийной диаграмме (Ts и is) адиабата изображается
отрезком вертикальной прямой.
* В области значительного перегрева пара изотермы располагаются на диаг-
рамме is практически горизонтально. В этой области i'2 «к Ц и py = const, а сле-
довательно, u! = u2. Это показывает, что перегретый водяной пар приобретает
свойства идеального газа.
178
На рис. 12.9 и 12.10 в координатах pv и Ts показано протека-
ние адиабатных процессов.
При адиабатном расширении жидкости (процесс а-b) давление
уменьшается и, как это усматривается из рис. 12.10, жидкость
превращается во влажный насыщенный пар при паросодержании хь,
т. е. жидкость частично переходит в пар. При таком же расшире-
нии перегретого пара (процесс 1-1") происходит падение давления,
уменьшение степени перегрева и перегретый пар превращается
в сухой насыщенный (точка /"). Дальнейшее адиабатное расширение
сухого насыщенного пара делает его влажным (точка 2).
Линия постоянного паросодержания х = 0,5 в диаграмме Ts
имеет почти вертикальное направление и разделяет область влажного
насыщенного пара на две части.
В левой части, т. е. при
х<0,5, при адиабатном расши-
рении влажного насыщенного
пара паросодержание увеличи-
вается, а в правой части, на-
оборот, уменьшается.
Наиболее просто и точно рас-
считывают адиабатный процесс
расширения или сжатия с по-
мощью диаграммы is. На рис.
12.11 показан адиабатный про-
цесс расширения перегретого
пара. В нижней части рисунка по-
казан такой же процесс в области -	Рис. 12.11
влажного насыщенного пара.
Для адиабатного процесса qlt 2 = 0 и /1,2 = м1 —«2. Таким обра-
зом, удельная работа расширения (сжатия) в адиабатном процессе
к 8 = мх - и2 = - рл) - (<2 - p2v2).	(12.12)
Адиабатный процесс изменения состояния пара может быть при-
ближенно описан эмпирическим уравнением
pvk = const,	(12.13)
по форме не отличающимся от такого же уравнения для идеального
газа.
Для влажного пара с начальным паросодержанием хх показатель
адиабаты определяют по формуле
6 = 1,035 + 0,1 хх.	(12.14)
Таким образом, для сухого пара (хх = 1) показатель адиабаты
k — 1,135. Для перегретого пара опытным путем установлено £ = 1,3.
Это значение достаточно близко к действительному лишь при давле-
ниях пара не выше 4 МПа.
В формуле (12.13) показатель адиабаты k не равен отношению
(что справедливо для идеального газа), а является только
эмпирическим показателем степени.
179
§ 12.5.	Процесс дросселирования пара
Дросселированием называется термодинамический процесс нерав-
новесного расширения газа, пара и жидкости от большего к мень-
шему, происходящий без отдачи работы во внешнюю среду.
Если пренебречь изменением кинетической энергии потока пара
до и после прохода его через дросселирующее устройство, то про-
цесс адиабатного дросселирования выразится уравнением Ш = 0,
или i2 = ir, что означает, что конечная удельная энтальпия равна
начальной. Это следует из уравнения первого начала термодинамики
по формуле (7.1):
8q = di + 6ZT,
где &q — элементарное количество подведенной удельной теплоты
(6^ = 0, поскольку рассматривается адиабатное дросселирование),
6/т = — vdp — элементарная удель-
Рис. 12.12
ная работа потока (6/г = 0, по-
скольку отдача работы вовне равна
нулю); при этом получаем di = Q
и i = const. Следовательно, про-
цесс адиабатного дросселирова-
ния — это процесс при постоян-
ной удельной энтальпии.
Процесс адиабатного дроссели-
рования наиболее просто и нагляд-
но изображается в координатах is
(рис. 12.12). В области низких да-
влений (правая часть диаграммы)
линия 1-2 (на основе равенства
t2 = с) параллельна оси абсцисс и
практически совпадает с изотермой, т. е. с процессом t = const.
В области высоких давлений такая же линия 3-4 пересекает изо-
термы, и в процессе дросселирования температура перегретого пара
значительно снижается (охлаждающий эффект Джоуля — Томсона).
Массовая доля сухого насыщенного пара во влажном паре в резуль-
тате дросселирования увеличивается, так что пар в конце может
оказаться даже перегретым (процесс 5-6). В координатах pv и Ts
линии, условно изображающие дросселирование, строятся по точкам
и имеют гиперболический характер.
Для определения уравнения процесса дросселирования перегре-
того пара в координатах pv воспользуемся приближенным уравне-
нием адиабаты pvk — const.
Из формул (6.44) и (6.31) следует
«t - «2 = (PiVt - p2vj/(k - 1) = р^/Цг - 1) - p^/ik - 1).	(a)
Полученное выражение позволяет сделать заключение, что удель-
ную внутреннюю энергию перегретого пара можно определить по
формуле
и = pv/(k — 1) + const,	(б)
180
и удельную энтальпию —по формуле
i = и + pv 4- const = kpv/(k — 1)4- const.	(в)
Таким образом, уравнение процесса дросселирования в коорди-
натах pv имеет вид pv = const, т. е. 6 = 1*.
Процесс дросселирования принадлежит к ярко выраженным
неравновесным процессам, так как течение потока пара может про-
исходить только в область пониженного давления. При проходе через
дроссельный орган скорость струи резко возрастает, а затем в сво-
бодном сечении трубопровода за дросселем вновь принимает преж-
нее значение. Кинетическая энергия потока тратится на вихри и
внутреннее трение, т. е. переходит вновь в теплоту с восстановле-
нием прежнего значения удельной энтальпии. Как во всяком необ-
ратимом процессе, удельная энтропия возрастает (хотя 67 = 0).
Поэтому горизонтальная прямая процесса дросселирования
в диаграмме is не может рассматриваться как изображение этого
процесса, верное для всех последовательных состояний. Промежу-
точные точки а не характеризуют действительных состояний пара
в разбираемом процессе; только начальная и конечная точки опре-
деляют равновесное состояние до и после необратимого процесса
дросселирования.
Глава XIII
ВЛАЖНЫЙ ГАЗ (ПАРОГАЗОВАЯ СМЕСЬ)
§ 13.1. Основные понятия и определения
В природе, строго говоря, не существует сухих газов. Такие
широко применяемые в технике газы, как атмосферный воздух или
продукты сгорания топлива, всегда содержат водяной пар. Но даже
небольшое содержание пара при определенных условиях может ока-
зать существенное влияние на термодинамические свойства газа.
Если же массовая доля пара оказывается более или менее значи-
тельной или изменение состояния смеси происходит в такой области
параметров, когда пар претерпевает фазовый переход, то парогазо-
вую смесь следует рассматривать как особое рабочее тело с необыч-
ными для пара или газа термодинамическими свойствами. Между
тем такие процессы изменения состояния встречаются в технике
все более часто. Примерами могут служить процессы в системе
кондиционирования воздуха, процессы адиабатного сжатия или рас-
ширения с фазовым переходом одного из компонентов.
Влажным газом называют смесь сухого газа и водяного
пара, хотя в общем случае газ может быть увлажнен парами и
какой-нибудь иной жидкости — спирта, аммиака и т. п. Смесь сухого
воздуха и водяного пара называют влажным воздухом.
* Для идеального газа уравнение процесса будет иметь такой же вид, но
для идеального газа условие pv — const равнозначно требованию Т — const. Для
перегретого пара условие pv — const не связывается с требованием Т — const.
181
Если рассматривать влажный газ при относительно невысоком
давлении, когда парциальное давление пара в смеси обычно имеет
совсем небольшое значение, то можно принять без большой погреш-
ности, что газ (в частности, воздух) подчиняется уравнению Кла-
пейрона. Следовательно, влажный газ (воздух) в этом случае можно
рассматривать как идеальный газ, поэтому в соответствии с зако-
ном Дальтона для него можно записать
р = Рг + Рп,	(13.1)
где р — давление влажного газа; рг и рп — парциальные давления
газа и пара.
Состояние пара во влажном газе определяется его парциальным
давлением и температурой, равной температуре газа.
Если пар, находящийся в смеси с газом (воздухом), является
сухим насыщенным, то такой влажный газ (воздух) называется
насыщенным газом (воздухом). Парциальное давление пара рп
р этом случае равно давлению насыщения ps, соответствующему
температуре смеси, т. е. p^ — pSt или, что то же, температура пара
равна температуре кипения Ts, определяемой при парциальном
давлении пара ра, т. е. Tn = Ts.
Если пар находится в смеси с газом (воздухом) в перегретом
состоянии, то газ (воздух) ' называется ненасыщенным. При
этом р„ < ps и Тп > Ts.
Если, например, температура влажного воздуха равна 18° С,
а парциальное давление пара pn = 1 кПа, то, поскольку по таб-
лице насыщенного водяного пара заданной температуре соответст-
вует давление насыщения ps = 2,06 кПа, имеем pn<ips- Следова-
тельно, пар перегрет и воздух является ненасыщенным.
Или иначе: поскольку заданному парциальному давлению водя-
ного пара (по таблице) соответствует температура кипения /5 = 7°С,
имеем ta > ts, из чего следует тот же вывод.
Если охладить этот влажный воздух от 18 до 7 °C при постоян-
ном давлении, парциальное давление пара не изменится, а давле-
ние насыщения ps понизится от 2,06 до 1,00 кПа, следовательно, рп
окажется равным ps, пар станет сухим насыщенным, а влажный
воздух — насыщенным. Дальнейшее понижение температуры будет
сопровождаться конденсацией пара.
Температура, при которой в изобарном процессе охлаждения пар-
циальное давление пара р„ становится равным давлению насыще-
ния ps, называется температурой точки росы.
Изложенное показывает, что парциальное давление пара в смеси
не может быть выше давления насыщения, определяемого по темпе-
ратуре влажного газа (воздуха), т. е.
Pn^Ps-	(13.2)
Из (13.2) следует что массовая доля пара во влажном воздухе
ограничена парциальным давлением пара, которое не может быть
выше давления насыщения, соответствующего температуре влажного
газа (воздуха).
182
Чем больше отличается р„ от ps, тем газ менее влажен, хотя
массовая доля пара во влажном газе при большей температуре
может быть при этом больше.
Содержание влаги в газе (воздухе) характеризуют абсолютной
и относительной влажностью, массовым и молярным влагосодержа-
нием и массовой долей пара во влажном газе.
Абсолютной влажностью газа (воздуха) рпл называют от-
ношение массы влаги (в общем случае пара, жидкой и твердой фаз —
тумана и кристалликов льда) к ее объему или к равному ей объему
влажного газа (воздуха):
Рвл ” ^вл/^в. г»	(13.3)
где р„л — абсолютная влажность газа; твл — масса влаги, Кв. г — объем
влажного газа.
Абсолютная влажность при отсутствии жидкой и твердой фаз
равна плотности пара рп при его парциальном давлении рП и фор-
мула (13.3) принимает вид
Pn = mn/VB.r.	(13.3а)
При выражении твя и т„ в кг, Ув г в м3 рвл и рп выразятся
в кг/м3.
Отно си тельной влажное тьюср называют отношение плот-
ности пара при его парциальном давлении рп и температуре смеси
к плотности сухого насыщенного пара ps при той же температуре
независимо от давления смеси (или отношение действительной абсолют-
ной влажности газа (воздуха) рп к максимально возможной абсолют-
ной влажности газа (воздуха) ртах при той же температуре:
ф = Рп/Р5 = Рп/ршах-	(13.4)
При выражении р„, ртах или ps в кг/м3 <р будет представлять
относительную величину.
При повышении температуры (при р = const) относительная влаж-
ность уменьшается (и наоборот) в условиях сохранения постоянной
абсолютной влажности.
Применим уравнение Клапейрона к пару, содержащемуся во влаж-
ном газе для парциального давления пара рп и максимально воз-
можного давления pmax = ps-
Pn = PJ(RnT)-,	(а)
и
Pi = Ртах = Ps/(RnT).	(б)
После подстановок выражений (а) и (б) в формулу (13.4) получим
<P = P,,/PS-	(13.4а)
Значение ср выражают либо в долях единицы, либо в процентах.
Поскольку pn-<Ps, относительная влажность ср может принимать
значения от 0 до 1 (или от 0 до 100%), Значение ср = 0 соответст-
вует сухому газу (воздуху); при ср= 1, или 100%, влажный газ
(воздух) будет содержать в смеси сухой насыщенный пар.
183
Выражение (13.4а) применимо только при условии, что газ (воздух)
и пар подчиняются уравнению Клапейрона и их можно рассматри-
вать как идеальные газы.
Массовым в л а госо дер жа нием (сокращенно — влагосодер-
жанием) называют отношение массы влаги твл к массе сухого газа
(воздуха) г:
<4 = твл/тс.г.	(13.5)
При выражении т„, и тс г в кг d выражается в долях единицы.
Молярным в л аг ос о де р ж а н и ем х называют отношение
количества вещества влаги пвл в газе (воздухе) к количеству веще-
ства сухого газа (воздуха) /?с г:
х = пвл/пс.,.. *	(13.6)
При выражении нвл и пс-г в моль х выражается в долях еди-
ницы.
Производим замену:
пвл=твл/Мел;	(в)
«с. с = тс. Ж г,	(г)
где Л4вл и Л4С. г — молярные массы влаги и сухих газов;
х = (твл/Л4вл)/(тс. JM,.,.) = (тял/тс. г) (Л4С. Г/Мвл) = d (Мс. Г/Мвл). (д)
Окончательно получаем
х==с!Л4с.г/Л4вл.	(13.6а)
В частности, для влажного воздуха имеем Мс г = 28,96 • 10:|кг/моль
и Л4ВЛ = 18,016 • 10 3 кг/моль.
После подстановок этих значений 44 в формулу (13.6а) получаем
выражение для определения молярного влагосодержания воздуха
х=1,6Ы	(13.7)
и
d = 0,622%.	(13.8)
Массовой долей п а р a g„ во влажном газе (во влажном
воздухе) называют отношение массы пара тп к массе влажного газа
(влажного воздуха) тя г:
йп И1П//71ВЛ г cZH/( 1 —с?1ъ)	(13.9)
или
rfn = g-n/(l-gn),	(13.10)
где dn — массовое паросодержание; gn —массовая доля пара.
Обозначая удельный объем влажного газа (воздуха) через v,
а удельные объемы сухого газа (воздуха) и пара в условиях смеси —
через и 1»п,- можем в соответствии с законом Дальтона записать
184
(при условии, что объемы влаги в жидкой и твердой фазах не учи-
тываются, как исчезающе малые)
yr = y(l + d„) = vada.	(13.11)
Заменим удельные объемы плотностями р = 1/о. В результате
получим
р/(1 +4) = рп/4 = рг	(13.12)
или
р = рпМп4-рп = рг (1+^п)	(13.12а)
и после замены pn/d„ по (13.12) находим
Р = Рг + Рг = Рг О 4~ d„).	(13.13)
Запишем уравнение Клацейрона для сухого газа (воздуха) и для
пара, содержащегося во влажном газе (воздухе):
Рг^Г = КЛ Рп^п^п =
Поделив почленно второе равенство на первое и принимая во вни-
мание, что по формуле (13.11) vr = vadn, получим
(13.14)
В частности, для воздуха рв = р —рп и Ra/Rn = Л4П/МВ = 0,622,
тогда
dn = 0,622p„/(p —рп)-.	(13.14а)
Если вместо рп подставить максимально возможное при данной тем-
пературе парциальное давление пара ps в воздухе, получим формулу
для определения максимально возможного паросодержания в воздухе
ds = 0,622ps/(p-ps)-	(13-15)
По правилу фаз Гиббса [см. (11.1)], число независимых парамет-
ров, определяющих термодинамическое состояние рабочего тела,
k — n + 2 — т.
Для влажного ненасыщенного газа (воздуха) число компонентов
/г = 2, число фаз т = 1. Следовательно, число независимых парамет-
ров, определяющих состояние ненасыщенного газа (воздуха), k = 3.
Третий параметр прямо или косвенно должен определять концент-
рацию смеси (косвенно определяют термодинамические параметры,
значения которых зависят от концентрации пара).
§ 13.2. Экстенсивные свойства влажного воздуха и особенности
процессов изменения его состояния
В процессах изменения состояния влажного газа (воздуха) влага
может вводиться или удаляться из смеси и содержание пара вслед-
ствие фазового перехода может изменяться. Стабильным остается
только масса сухого газа (воздуха).
185
Энтальпия влажного газа (воздуха) массой (1 + <Д кг складывается
из удельной энтальпии сухого газа (воздуха) и энтальпии пара,
в нем содержащегося,
/-ir + dnin.	(13.16)
Аналогично, для внутренней энергии влажного газа (воздуха)
t/ = «r + dnUn.	(13.17)
При вычислении калорических функций смеси важно выбрать
одинаковое начало отсчета для всех компонентов. В частности, для
водяного пара за начало отсчета принимают состояние жидкости
в тройной точке, т. е. при 7’ = 273,16 К и р«=*0,611 кПа. Для
воздуха, как для идеального газа, достаточно указать температуру
Т = 273,16 К (0,01 °C).
Если во влажном газе (воздухе) помимо пара содержится влага
в жидкой и твердой фазе, то, очевидно,
/ = t r + dai п + dxix + dTiT.	(13.18)
Удельная энтальпия воздуха может быть определена так же,
как и в случае идеального газа. Если температура находится в пре-
делах — 50... + 100°C, то удельную изобарную теплоемкость можно
принять постоянной:
гг = ++	(а)
Для сухого воздуха кДж/(кг-К).
Для водяного пара удельная теплота парообразования при 0 °C
равна 2501 кДж/кг, а изобарную удельную теплоемкость принимают
постоянной, равной сРж = 1,90 кДж/(кг  К). При этом (значение удель-
ной энтальпии пара округляем) tn «=: 2500 +1,9 t, где /„ выражена
в кДж/кг, / — в °C.
При известном парциальном давлении пара значение удельной
энтальпии пара выбирают по таблицам в зависимости от давления.
Удельная энтальпия воды при удельной теплоемкости ее срж —
— 4,19 кДж/(кг-К) /ж = 4,19/, где /ж выражена в кДж/кг, t — в °C.
Поскольку удельная энтальпия жидкости при 0 °C принимается
равной нулю, удельная энтальпия льда является величиной отрица-
тельной и равной удельной теплоте плавления, взятой со знаком
минус /т0 =— гпл = — 330 кДж/кг.
При температурах, меньших 0°С, она принимает значения, мень-
шие на величину, равную ср/ = 2,1/, следовательно,
. iT = —330 + 2,1/,
где / — величина отрицательная; iT выражена в кДж/кг, / — в °C.
Таким образом, удельная энтальпия влажного воздуха, отнесен-
ная к 1 кг сухого воздуха, в общем случае равна
/ = срв/ + dn (2500 +1,9/) + 4,19dJ - dT (330 -2,1/),	(13.19)
где срв выражена в кДж/(кг-К); / -в кДж/кг.
186
Термодинамические процессы изменения состояния парогазовых
смесей (в частности, влажного воздуха) обладают рядом существен-
ных особенностей, отличающих их от процессов простых тел. Отме-
тим из них три основные.
Первая состоит в том, что изменение состояния влажного газа
(воздуха) может происходить при совместном или раздельном влия-
нии трех внешних воздействий: теплового, механического и фазового.
Под фазовым воздействием понимается определенное значение интен-
сивности фазового перехода.
Интенсивностью фазового перехода называют отноше-
ние массы образующегося или конденсирующегося пара к массе
сухого газа (или воздуха) и к разности его температур и обозна-
чают буквой S; она представляет собой производную от паросодер-
жания по температуре, т. е.
6^ddn/dT.	(13.20)
Для частного процесса следует брать частную производную. При
выражении Т в К, при dn — относительной величине 6 выражается
в кельвинах в минус первой степени (К?1)-
Интенсивность фазового перехода оказывает большое влияние
на экстенсивные свойства влажного газа (воздуха) в термодинами-
ческих процессах.
Вторая особенность. Поскольку состояние влажного газа
(воздуха) определяется тремя независимыми параметрами, два из них
могут оставаться в процессе неизменными. Следовательно, частные
термодинамические процессы могут совершаться при неизменном зна-
чении одновременно двух параметров. Так, частный процесс влаж-
ного газа (воздуха) с фазовым воздействием может быть, например,
адиабатно-изохорным, адиабатно-изобарным, адиабатно-изотермиче-
ским, изохорно-изобарным, изохорно-изотермическим, изобарно-изо-
термическим и т. п. Можно говорить о группе изобарных процессов,
группе адиабатных процессов и др.
Третья особенность связана со свойствами удельных теп-
лоемкостей.
Запишем уравнение первого начала термодинамики для влажного
газа (воздуха) применительно к частному процессу, совершающемуся
при неизменном значении каких-нибудь двух параметров у и г:
= dlyz — (V dp)y2.	(б)
Применим его к процессам, в которых одним из неизменных
параметров является давление (изобарная группа процессов). Поло-
жим у — Р- Поскольку dp = 0, последний член уравнения обращается
в нуль. Заменяя далее / по формуле (13.16) и беря производную
по температуре, получим формулу для изобарной теплоемкости
Срг = (dQ/dT)pz = (dI/dT)pz = срг + da (din/dT)pe + i„ (ddn/dT)pz. (в)
Производная {diJdT}pl не зависит от характера процесса и может
быть принята с достаточной степенью точности равной изобарной
187
удельной теплоемкости пара срп. Окончательно с учетом равен-
ства (13.20) получим
—Срг + ^Псрп + *1Д>г.	(13.21)
Аналогично, используя уравнение первого начала термодинамики
(13.12) для процессов закрытой системы и равенство (13.17), полу-
чаем формулу для изохорной теплоемкости
Cvz — cw + dacvn -ф- un6v^.	(13.22)
Частные производные = (ddnldT)pe и ЬРг — (дй„/дТ)рг, представ-
ляющие собой интенсивность фазового перехода, зависят не только
от условия р — const или V — const, но еще и от того, какой второй
параметр z остается -неизменным (например, dn или условие б<? = 0).
Вследствие этого в общем случае как изохорная, так и изобарная
теплоемкости (в отличие от чисто газовой смеси) являются функ-
циями процесса и принимают в различных процессах значения в пре-
делах от — оо доф-оо. В частности, изобарная теплоемкость (13.21)
в изобарно-изотермическом процессе и изохорная теплоемкость (13.22)
в изохорно-изотермическом процессе принимают значения — со при
отводе теплоты и -фоо при подводе теплоты.
§ 13.3 Диаграмма Id для влажного воздуха
Инженерные расчеты, связанные с изменением состояния влаж-
ного газа (воздуха), значительно упрощаются применением диаграмм
состояния Id и Is.
Диаграмма Id для влажного воздуха была предложена советским
ученым профессором Л. К- Рамзиным в 1918 г. Она строится для
постоянного барометрического давления, принимаемого обычно рав-
ным 99,3 кПа (745 мм рт. ст.) *. /d-диаграмму широко применяют
для расчета процессов, которые совершаются при постоянном давле-
нии, равном принятому при ее построении.
Диаграмма Id для влажного воздуха построена с расчетом на 1 кг
сухого воздуха. По оси абсцисс откладывается массовое влагосо-
держание в сухом воздухе (%), по оси ординат удельная энтальпия
воздуха (Дж/кг). Удельная энтальпия вычисляется по формуле (13.19).
Кроме того, на диаграмме строятся изотермы и линии постоянной
относительной влажности ср.
При построении диаграммы в декартовых прямоугольных коор-
динатах линии ср = const располагаются, во-первых, слишком близко
друг к другу и, во-вторых, пересекаются изотермами под очень
острыми (малыми) углами. То и другое снижает точность расчетов
по диаграмме и создает неудобства в ее применении.
Поэтому диаграммы строят в косоугольной системе координат
с расположением осей под углом, значительно большим прямого.
Обычно его выбирают равным 135°, иначе говоря, ось влагосодер-
жаннй поворачивают против часовой стрелки на 45°, а иногда и
* Средне-годовое давление в Центрально-промышленном районе СССР.
188
на больший угол. Наиболее удобным является такой угол (обозна-
чим его на рис. 13.1 через а), при котором изотерма ненасыщенного
(на рис. 13.1 вместо «насыщенного» читать «ненасыщенного») воз-
духа, отвечающая температуре t = O°C, принимает горизонталь-
ное положение [область ненасыщенного воздуха при t = О °C (и t < О °C)
можно видеть на рис. 13.2]. Но это последнее зависит еще и от соот-
ношения принятых масштабов для энтальпии и влагосодержания.
Взаимосвязь между углом а поворота оси влагосодержаний и отно-
шением масштабов устанавливается значением тангенса этого угла
(кДж/кг или кДж/г), определяемого частной производной от энталь-
пии по влагосодержанию при / = 0°С и при dK = dT = 0. Беря при
этих условиях производную от выражения (13.19), получаем
tg а — (дТ/dd„)o »с = 25000 кДж/кг.	(13.23)
Из этого следует, что если принять за равные отрезки 2,5 кДж
на оси ординат и 1 г влаги на оси абсцисс (горизонталь), то tga=l
и угол а = 45°. Если откладывать I в более крупном масштабе, угол а
будет увеличиваться.
Кроме того, из выражения (13.23) следует, что изотерма 0 °C есть
прямая.
Найдем, какое очертание и расположение должны иметь другие
изотермы. С этой целью рассмотрим ту же производную при усло-
вии, что t = const =£ 0 °C, тогда
(d//d<U = 2500+ 1,9/.	(13.24)
Из этого видно, что изотермы в области ненасыщенного воздуха
представляют собой прямые, тангенс угла наклона которых зависит
от температуры, увеличиваясь с увеличением последней.
189
В насыщенном воздухе содержится, как отмечалось (см. § 13.1),
максимально возможное влагосодержание ds (в насыщенном состоя-
нии), определяемое температурой. Поэтому линия насыщения влаж-
ного воздуха (ф=1) на диаграмме Id представляет собой геометри-
ческое место точек пересечения изотерм с линиями d — const = ds.
Паросодержание ds определяют по формуле (13.15) при давлении р,
равном атмосферному давлению, значение которого было принято
для построения диаграммы. Вычислив таким образом значения ds
для каждой температуры, откладываем их на соответствующей изо-
терме. Полученные точки принадлежат линии насыщения влажного
воздуха (ф = 1).
Поскольку линия насыщения определяет максимальное содержа-
ние пара при каждой данной температуре, дальнейшее увеличение
паросодержания при той же температуре невозможно. В случае уве-
личения влагосодержания d при t=~- const вся дополнительная влага
d — ds = dx может содержаться только в жидкой фазе, т. е. в виде
тумана. Поскольку удельная энтальпия жидкости меньше
удельной энтальпии пара на величину, равную удельной теплоте
парообразования г, приращение удельной энтальпии по линии t =
— const резко уменьшается (начиная от кривой насыщения воздуха
на величину rdx). Вследствие этого изотермы при пересечении линии
Ф = 1 претерпевают излом.
При температуре t < О °C жидкая фаза переходит в твердую.
Жидкость отдает удельную теплоту затвердевания, , равную
330 dr кДж/кг (в расчете на 1 кг сухого воздуха), туман переходит
в ледяной туман, и изотермы получают еще больший уклон.
Чтобы установить очертание и расположение изотерм в области
тумана и ледяного тумана, снова обратимся к выражению для энталь-
пии по формуле (13.19). Беря производную от энтальпии по паро-
содержанию при условии t = const, d„ = ds = const и dr = 0, получим
для изотерм области тумана, состоящего из частиц жидкости,
(<3Z/dd)z = <19/,	(13.25)
а при dn = ds = const и dx = 0 — для изотерм области ледяного тумана
(d//dd)0oC = —330 кДж/кг.	(13.26)
Следовательно, изотермы в области тумана также представляют
собой прямые линии, тангенс угла наклона которых также зависит
от температуры. Но тангенс угла, а следовательно, и наклон линии
резко меняются (рис. 13.2). На этом рисунке в отличие от преды-
дущего показана область температур, меньших 0°С, причем наклон
изотермы в области тумана, состоящего из частиц жидкости, распо-
лагается, как было показано, более полого, чем изотермы в области
ледяного тумана.
Нулевая изотерма а-b тумана из частиц жидкости (( = +0°С на
рис. 13.2) практически совпадает с линией / = const [по формуле
(13.25) (d//dd)o°c = 0], а изотерма а-с тумана из частиц льда той же
температуры (t — —0°С) располагается более круто, согласно фор-
муле (13.26).
190
Изотерма тумана при />0°С расположена более полого, чем
при £ = 4-0 °C, изотерма ледяного тумана при £<0°С расположена
более круто, чем при £ =— О °C, что легко усматривается из фор-
мул (13.25) и (13.26).
Диаграмму Id широко используют для расчета процессов кон-
диционирования воздуха, испарительного охлаждения при атмос-
ферном давлении и процессов
сушки.
При охлаждении, например,
ненасыщенного воздуха при по-
стоянном влагосодержании про-
цесс изображается вертикальной
прямой 1-2 (рис. 13.3). При
охлаждении до линии насыщения
(<р = 1) достигается точка росы
(точка 3). При дальнейшем ох-
лаждении выпадает влага в
жидкой фазе, т. е. появляется
туман и роса (точка 4). При этом
паросодержание соответственно
уменьшается и характеризуется
точкой 4' на линии насыщения.
Связь между точками 4 и 4'
определяется общей для них
температурой, т. е. они находят-
ся на одной изотерме. Массовое
паросодержание равно d\, а влага
в жидкой фазе diK = — d^.
В точке 5 достигается тем-
пература О °C (+0 °C)*, сохра-
няющаяся неизменной до точки
6(t ——0 °C). На этом интер-
вале влага, выпавшая (с!ж0 = г£5 — d's) в жидкую фазу, переходит
в твердую фазу — туман превращается в ледяной туман.
При дальнейшем отводе теплоты — процесс 6-7 — происходит десуб-
лимация, т. е. насыщенный пар переходит непосредственно в твер-
дую фазу — в ледяной туман и изморозь. В точке 7 паросодержание
равно dn7; остальная часть влаги, равная dtl = d — dn7, находится
в твердом состоянии.
§ 13.14. Диаграмма Is для влажного воздуха
Для расчета процессов изменения состояния влажного воздуха,
совершающихся при давлениях, отличных от атмосферного, и в общем
случае меняющихся в течение процесса, применяют диаграмму Is
для влажного воздуха.
* При достижении состояния 0°С со стороны положительной температуры
его обозначают +0 °C; при достижении его со стороны отрицательной темпера-
191
Поскольку состояние влажного газа (воздуха) определяется тремя
независимыми переменными, диаграмма Is должна была бы строиться
в пространственной системе координат. Между тем, как показало
специальное изучение этого вопроса, диаграмма для парогазовой
смеси может быть построена на плоскости, и притом достаточно
строго, если парогазовую смесь рассматривать как идеальный газ
и использовать некоторые свойства энтропийных диаграмм.
Принцип построения диаграммы 7s для влажного воздуха осно-
ван на следующих двух положениях. Во-первых, поскольку начало
отсчета энтропии выбирается совершенно произвольно, после постро-
ения диаграммы роль отложенных значений энтропии сводится лишь
к выражению масштаба. Поэтому то значение энтропии, которое
отвечает на диаграмме определенному состоянию (определенному
сочетанию параметров), может отвечать и другому состоянию, отли-
чающемуся, например, значением давления в данной точке. Доста-
точно предположить лишь, что меняется начало отсчета энтропии.
Во-вторых, удельная энтальпия идеального газа не зависит
от давления.
Эти два положения позволяют изображать на диаграмме одной
и той же точкой различные состояния, отличающиеся только значе-
нием давления. А это в свою очередь позволяет при построении
диаграммы фиксировать один из параметров, которым может быть
и не только давление.
Чтобы построить диаграмму 7s для влажного воздуха на плоско-
сти, необходимо уменьшить число независимых переменных на еди-
ницу, что достигается фиксированием одного из параметров. Однако
не всякий параметр может оказаться достаточно удобным для этого.
Его необходимо выбрать так, чтобы оказалось возможным исполь-
зовать условие независимости удельной энтальпии от давления.
А это в свою очередь позволяло бы с помощью построенной диа-
граммы производить расчеты процессов достаточно простыми прие-
мами и при других, в общем случае переменных, значениях зафик-
сированного параметра. Хорошо удовлетворяет этому требованию
относительная влажность, которую удобно принимать равной еди-
нице, т. е. строить диаграмму для воздуха, насыщенного паром.
Такая диаграмма позволяет производить расчеты процессов доста-
точно простыми приемами и для ненасыщенного газа.
При небольших массовых долях пара в смеси от 0 до 0,15...0,20
его содержание удобно характеризовать массовым или мольным паро-
содержанием. Калорические параметры состояния смеси (удельные
энтальпия и энтропия) рассчитывают в соответствии с этим на еди-
ницу массы или на единицу количества вещества сухого газа. При-
мером такой диаграммы может служить диаграмма 7s для влажного
воздуха (рис. 13.4).
При больших содержаниях пара характеризовать его количество
в смеси паросодержанием неудобно, так как при увеличении массо-
вой доли пара от 0 до 1 паросодержание возрастает от 0 до оо.
Величинами, характеризующими содержание пара в этом случае
являются массовая либо молярная доля пара. Соответственно строят
192
диаграммы на единицу массы (1 кг) или на единицу (1 кмоль) коли-
чества смеси. Так построена объединенная диаграмма is для водя-
ного пара и паровоздушной смеси. Здесь эта диаграмма не рассмат-
ривается *.
Построение и применение диаграммы is для влажного воздуха,
так же как и объединенной диаграммы is для водяного пара и паро-
Рис. 13.4
воздушной смеси, основано на зависимости относительной влажности
от общего давления смеси, а именно: если ненасыщенный газ сжи-
мать при постоянной температуре, то относительная влажность его
будет увеличиваться и газ будет приближаться к состоянию насы-
щения. Давление смеси, при котором ненасыщенный газ в изотерми-
ческом процессе сжатия становится насыщенным, называют давлением
изотермического насыщения или кратко давлением насыщения влаж-
ного воздуха и обозначают рн.
* Подробно обе диаграммы рассматриваются в кн. Михайловский Г. А. Тер-
модинамические расчеты процессов парогазовых смесей. Машгиз, 1962.
7 Зак, 49
193
В указанном процессе изотермического сжатия паросодержй-
ние d„, а следовательно, и объемная доля гп сохраняют неизменное
значение. Поэтому для любого промежуточного состояния вплоть
до достижения состояния насыщения справедливо равенство (4.15)
Рп = глр и ps = r„pH.
Поскольку при г„ = ги имеем рп/р = ps/p„ или p/pH=pn/Ps и имея
в виду, что по формуле (13.3) относительная влажность ф = рп/Ря
находим, что
Ф = р/р„.	(13.27)
Если учитывать реальные свойства водяного пара, то г„ #= г„.
Однако погрешность, которую дает вследствие этого формула (13.27),
невелика и можно показать, что она даже точнее, чем формула (13.3).
Таким обоазом, относительную влажность можно определять как
отношение полного давления влажного воздуха р к давлению изо-
термического насыщения его рн.
Поскольку энтальпию смеси в изотермическом процессе насыще-
ния можно принимать величиной неизменной, формула (13.26) позво-
ляет одной и той же точкой на диаграмме определять энтальпию
смеси при различных давлениях. При этом следует иметь в виду,
что нанесенные на диаграмме изобары отвечают не истинным давле-
ниям смеси, а давлениям насыщения р„. Истинное значение давле-
ния ненасыщенного газа вычисляют по формуле (13.27), а темпера-
туру, паросодержание и энтальпию определяют непосредственно
по диаграмме.
Диаграмма Is для влажного воздуха, построенная на 1 кг сухого
воздуха (рис. 13.4), отличается удобством применения и простотой
изображения на ней процессов, а также большой универсальностью.
Диаграмма позволяет рассчитывать всевозможные процессы в охва-
тываемой сю области параметров, т. е. при d„ = 0,0001 ... 0,15,
(= — 40 ... 250 °C и р = 0,01 ... 3 МПа. Область особенно высоких
давлений на диаграмме служит для определения состояний с неболь-
шими значениями относительной влажности. Так, например, на
линии /%=100 МПа находятся точки, определяющие состояние воз-
духа в соответствии с формулой (13.27) при давлении р = 0,5 МПа
и <р = 0,5% или при р=1 МПа и <р = 1% и при различных значе-
ниях t и d.
Требуется, например, определить конечную температуру и массу
сконденсировавшегося пара в адиабатном процессе расширения влаж-
ного воздуха при постоянном влагосодержании, если в начальном
состоянии: рх = 0,62 МПа, ф! = 0,60 (60%), d = j = 0,105; конеч-
ное давление 0,2 МПа.
Давления насыщения, отвечающее начальному состоянию, по фор-
муле (13.27),
рп = р/гр = 0,62/0,6 МПа = 1,033 МПа.
Точка пересечения изобары 1,033 МПа и линии постоянного паро-
содержания d = 0,105 (точка А на рис. 13.4) определяет начальное
состояние. В точке А находим (=110 °C.
194
Сначала расширение происходит при постоянном паросодержа-
нии, т. е. по линии d = const —0,105. Чтобы определить состояние,
в котором начинается конденсация, проведем горизонталь из точки А
до давления 0,62 МПа (точка В) и затем вертикаль до пересечения
с линией d = const (точка С). В этой точке при ср = 1 (100%) нахо-
дим р = 0,5 МПа, t = 90°C. Далее процесс адиабатного расширения
совершается с конденсацией при <р = const. Такой процесс без потерь
изображается вертикальной прямой (s = const).
В точке D пересечения вертикали с изобарой /?2 = 0,2 МПа нахо-
дим конечное состояние: /2 = 60°С, dI12 = 0,077. Массовая доля выпав-
шего конденсата (соотношение масс конденсата сухого воздуха)
MiK = dnl - dn2 = 0,105 -0,077 = 0,028.
Глава XIV
ТЕРМОДИНАМИКА ПОТОКА
§ 14.1. Особенности преобразования энергии.
Потенциальная энергия давления
В гл. III было приведено уравнение (У/ = di — v dp первого начала
термодинамики для потока и введено понятие удельной энтальпии
i = u+pv, представляющей собой удельную энергию рабочего тела в
потоке, определяющуюся его термодинамическим состоянием. В гл. VII
то и другое было использовано для анализа такого процесса изме-
нения состояния рабочего тела в потоке, когда можно пренебречь
приращением кинетической энергии. При рассмотрении термодина-
мики потока больших скоростей, соизмеримых со скоростью звука
и превышающих ее, должно быть учтено помимо технической работы
приращение кинетической энергии.
Термодинамика потока, изучающая закономерности преобразова-
ния энергии в открытой системе, движущейся со значительными
скоростями, является частью курса технической термодинамики и
представляет собой термодинамические основы курса газовой динамики.
Движение газа в потоке побуждается неравномерным распреде-
лением (неодинаковостью) давления вдоль оси канала: давление
во входном сечении канала отличается от давления в выходном; зна-
чения промежуточных давлений распределяются в определенной
(монотонной) закономерности вдоль потока. Значит, в каждой точке
пространства внутри канала на проходящую через эту точку частицу
рабочего тела действует некоторая сила. Такая совокупность сил
называется силовым полем.
Таким образом, поток находится под воздействием силового поля
неравномерно распределенного давления и обладает вследствие этого
определенным запасом потенциальной энергии, которую принято
называть потенциальной энергией давления.
Скорость по сечению канала также распределяется неравномерно.
У стенки она равна нулю, а в ядре потока достигает наибольшего
7*
195
значения. Под скоростью и> движения потока упругой жидкости
будем понимать ее среднее значение, определяемое отношением объ-
емного расхода Vt к площади А сечения канала:
w — Vt/A.
(14.1)
Поскольку Vt^mtv, где пр — массовый расход; v — удельный объем
на килограмм (м3/кг), можно записать
m/V — Aw.	(14.1а)
Выражение (14.1) называется у р а в н е н и е м с п л о ш н о с т и' (не-
разрывности) потока.
При выражении Vt в м3/с, А в м2 w выразится в м/с. При выра-
жении mt в кг/с, v в м3/кг, А в ма w выразится в м/с.
Рассмотрим стационарный поток идеальной (невязкой) упругой *
жидкости, движущейся в канале с прямолинейной осью (рис. 14.1).
В этих условиях давление по любому
сечению канала распределяется равно-
мерно и с течением времени не меняет-
ся. Выделим участок потока между се-
чениями /—/ и 2—2, расположенными
на произвольном расстоянии перпенди-
кулярно оси канала. В сечении 1—1
площадью А} на поток действует-сила
ргА± в направлении его движения.
Элементарная работа этой силы за
время dr равна 6LX = р^А^ dr и поло-
жительна по знаку, так как направление силы совпадает с напра-
влением перемещения потока.
Аналогично находим работу силы р2А2, действующей на поток
в сечении 2—2 в сторону, противоположную движению и совершаю-
щую поэтому отрицательную работу 5L, = — p2A2w2 dr.
Алгебраическая сумма работ и 6А3 равна работе 6ЛД сил
поля давлений, совершаемой над потоком газа за время dr:
6Лд =	+ 8L, = (рИх^! — p2A2w2) dr.
Произведя замену по уравнению сплошности (14.1а), получаем
6Лд = (р1ц1-рац2)т/с/т.
Разделив это равенство на массу газа, прошедшего через сечение /—1
(и 2—2) за время dr, равную пр dr, найдем удельную работу сил
поля давления:
/д ~ bL^Km.dr) = PiVj - p2v2 = — A (pv).
Для элементарного участка потока, при прохождении которого
происходит бесконечно малое изменение состояния рабочего тела
в потоке, получим
	8lt — — d(pv).	(14.2)
* Упругими или сжимаемыми жидкостями называются газообразные вещества
в отличие от капельных, практически несжимаемых жидкостей.
196
А поскольку работа сил поля, взятая с обратным знаком, равна
изменению потенциальной энергии давления г/Пд, то
dn, = d(pv).	(14.3)
Интегрируя и принимая константу равной нулю, получаем
Пд = ру.	(14.4)
Удельная потенциальная энергия рабочего тела в поле сил давле-
ния равна произведению давления на удельный объем.
Формула (14.4) получена посредством предварительного определения удель-
ной работы /д, совершаемой за счет потенциальной энергии давления (обратным
методом). Покажем более простой, но менее наглядный (прямой) метод.
В некотором поперечном сечении потока сила рА, будучи умноженной на
скорость ау, дает Потенциальную мощность потока в силовом поле давлений:
Na = pAw.	(14.5)
По уравнению (14.1) неразрывности потока Aw — mtv=Vt, следовательно,
=	(14.6)
где Vt — объемный расход.
При выражении р в Па, А в м2, ш в м/с, V, в м3/с Nд выразится в Вт.
Если потенциальную мощность потока разделить на массовый расход (N Л/т/),
то получим максимальную удельную работу, которую могут совершить силы
поля давления над рабочим телом. Другими словами, это тот запас удельной
энергии, которым располагает рабочее тело в поле сил давления, и, следовательно,
представляет собой удельную потенциальную энергию давления Пд.
Учитывая равенства (14.5) и (14.6) получаем
пд = Л,дМ = Р'//М = Ру-	(14-7)
Следует заметить, что полная мощность N потока больше, чем Л7Д,
на величину работы расширения массового расхода газа, пересекаю-
щего данное сечение. Она определяется градиентом давления dp/dx
и равна
поскольку р dw/dx = — dp/dx, т. е. произведение массы на ускоре-
ние равно силе, создающей ускорение, и Vtp — mt.
Как известно из курса физики, удельная потенциальная энер-
гия равна произведению потенциала поля на заряд. Потенциалом
поля давлений является само давление, а в качестве «заряда» высту-
пает удельный объем и. При изменении удельного объема число
«зарядов» остается неизменным, если только mt = idem * по всей
длине канала. Следует лишь иметь в виду, что при этом получается
поле переменного по размеру «заряда», так как при расширении
или сжатии изменяется удельный объем.
Силы поля давлений являются внешними по отношению к рабо-
чему телу, движущемуся в потоке, следовательно, удельная потен-
циальная энергия давления равна удельной работе внешних сил,
* idem —одно и то же.
197
требующейся для переноса массы рабочего тела из данного сечения
в «нулевое», т. е, в сечение с нулевой потенциальной энергией, или,
что то же, с нулевой термодинамической температурой.
Поскольку внешнее давление равно внутреннему, оно может рас-
сматриваться как параметр состояния рабочего тела в каждом дан-
ном сечении канала. Удельный объем, выступающий в качестве
«заряда» поля давлений, также является параметром состояния.
Следовательно, удельная потенциальная энергия рабочего тела во
внешнем силовом поле оказывается равной произведению двух пара-
метров состояния самого тела и, значит, является функцией состоя-
ния рабочего тела.
Таким образом, удельная потенциальная энергия давления, имею-
щая механическую природу, определяемая внешним силовым полем и
относящаяся поэтому к внешним видам энергии, является, подобно
удельной внутренней энергии, функцией состояния, т. е. однозначно
определяется внутренним термодинамическим состоянием рабочего
тела. А для идеального газа, для которого pv = RT, значение Пд
определяется еще проще — одной'только температурой.
Нулевое значение потенциальной энергии давления недостижимо.
Даже для идеального газа, как видно из уравнения Клапейрона (2.2),
оно могло бы быть достигнуто только при О К. Однако никаких
осложнений в термодинамические расчеты это обстоятельство не вно-
сит. Подобно другим функциям состояния, удельная потенциальная
энергия давления встречается только при таких условиях, в кото-
рых приходится оперировать лишь изменениями ее. Что же касается
вычисления ее значения, то в любом данном состоянии оно легко
определяется произведением давления на удельный объем и выра-
жается в СИ в Дж/кг.
§ 14.2.	Уравнение первого начала термодинамики для потока
Первое начало термодинамики в применении к потоку упругой
жидкости играет большую роль в технической термодинамике. В паро-
вых и газовых турбинах, в компрессорных машинах и в струйных
аппаратах через рабочие органы движется непрерывный поток рабо-
чего тела, в котором совершаются сложные процессы преобразова-
ния энергии. Как было показано в гл. VII, в турбинах энергия
потока преобразуется в работу вращения вала, в компрессорных
машинах происходит обратный процесс — подводимая (затрачиваемая)
работа внешнего источника, вращающего вал компрессора, преобра-
зуется в энергию рабочего тела.
В реактивных соплах современных самолетов, в неподвижных
каналах паровых и газовых турбин, в струйных аппаратах различ-
ного назначения происходит превращение потенциальной энергии *
потока в кинетическую. Во многих случаях происходит обратный
процесс превращения кинетической энергии потока в энтальпию.
* В дальнейшем будет показано, что потенциальной энергией потока является
энтальпия.
198
Понятно поэтому, что изучение процессов преобразования энер-
гии в потоке представляет значительный интерес.
При изучении движения упругой жидкости можно считать, что
любой, сколь угодно малый объем движущегося рабочего тела
находится в термодинамическом равновесии и характеризуется опре-
деленными значениями параметров. Параметры (в общем случае все
параметры) непрерывно изменяются при переходе от одного сечения
канала к смежному. При сделанном допущении и при отсутствии
сил трения процесс непрерывного течения жидкости будет равновес-
ным и, следовательно, обратимым. При течении с трением процесс
будет необратимым.
Считаем, что поток подчиняется уравнению сплошности (14.1) и
является установившимся (стационарным), т. е. скорость движения
и термодинамические параметры в любой точке внутри канала
с течением времени не меняются.
Движущееся в потоке рабочее тело
лишено вязкости, т. е. внутреннее трение
отсутствует и нет других потерь.
Рассмотрим поток упругой жидкости
(рис. 14.2), движущейся в канале в сто-
рону меньших давлений. Выделим беско-
нечно малый элемент потока двумя по-
перечными к оси потока сечениями 1—1
и 2—2. При перемещении его по каналу,
вдоль которого меняется давление, проис-
одит изменение его термодинамического
.^стояния. В общем случае он подвергается тепловому и механи-
ческому воздействию со стороны отброшенных частей потока и сте-
нок канала. Вследствие перехода элемента в область меньших да-
влений он расширяется и совершает удельную работу
81 = р dv.
(14.8)
При рассмотрении этого процесса в системе координат О (рис. 14.2),
связанной с центром массы элемента, преобразование энергии под-
чиняется уравнению первого начала термодинамики для макроскопи-
чески неподвижного рабочего тела [см. уравнение (3.6)]. Следова-
тельно, работа расширения может быть выражена равенством
8l = 8q — du.	(14.9)
В системе координат О', связанной со стенками канала, выделен-
ный элемент потока перемещается в поле сил давления и гравита-
ции *. Если в этих условиях в потоке находилась бы несжимае-
мая жидкость, то преобразование энергии подчинялось бы извест-
ному из курса гидравлики каноническому уравнению Бернулли
w2/2 + р/р + gh = const,
(14.10)
* В общем случае помимо силового поля давлений и гравитации может
действовать еще электромагнитное поле. Примером может служить магнитогидро-
динамический (МГД) генератор.
199
где u)2/2 — удельная кинетическая энергия движения; р/р = pv — удель-
ная потенциальная энергия давления [формула (14.4)]; gh.— удель-
ная потенциальная энергия положения (в поле сил гравитации ось h
направлена вверх).
Дифференцируя уравнение (14.10), заменяя р = 1/v и решая его
относительно приращения кинетической энергии, получаем
d(w2l2) = — [d (pv) + d (gh)].	(14.11)
Равенство (14.11) показывает, что кинетическая энергия потока
увеличивается [d (w2/2) > 0], когда сумма потенциальных энергий
внешних силовых полей уменьшается [суммарное приращение d(pv)+
+ d(gh) <0]. Поскольку приращение потенциальной энергии, взятое
с обратным знаком, равно работе сил поля *, заключаем: в потоке
несжимаемой жидкости в кинетическую энергию преобразуется работа
внешних силовых полей: поля гравитации и поля давлений.
В случае течения упругой жидкости должна быть учтена,
помимо того, удельная работа изменения объема. Если движение
происходит в область меньших давлений, то элемент потока под
действием силового поля давлений получает ускорение и, значит,
скорость в сечении 2—2, находящемся впереди (рис. 14.2), больше,
чем в сечении 1—1. Следовательно, расширение элемента потока
может происходить только в направлении движения, увеличивая
кинетическую энергию потока, причем, поскольку 8l = 8q — du
в удельную кинетическую энергию потока переходят удельная внут
ренняя энергия и удельная теплота, если последняя подводится.
Таким образом, удельная работа расширения pdv в потоке, д
жущемся с ускорением в поле сил давления, является мерой превра-
щения внутренней энергии и теплоты в кинетическую энергию.
Значит, в системе координат О' в кинетическую энергию пере-
ходит не только работа внешних силовых полей, но и работа рас-
ширения рабочего тела. В общем случае для стационарного потока
без потерь можно записать: сумма работ внешних силовых полей и
работы изменения объема равна полному приращению кинетическое,
энергии рабочего тела. Следовательно, для упругой жидкости вместо
равенства (14.11) получим
d(wz/2) = —(d(pv) + d(gh)] + 8l.	(14.12)
Заменяя по уравнению первого начала термодинамики 8l = 8q — du
и решая выражение (14.12) относительно 8q, получаем
8q = du -[-d(pv) + d (w2/2) + d (gh).	(14.13)
Производим замену в соответствии с равенством (3.21) для при-
ращения удельной энтальпии di = du-\-d (pv) и пренебрегаем несу-
* Например, работа сил поля гравитации равна приращению кинетической
энергии свободно падающего тела [6/г = </ (а»2/2)], которая в свою очередь равна
приращению потенциальной энергии положения с обратным знаком [d (ш2/2) =
= —d (^й)], следовательно, 6/r = — d (gh.).
200
шественным для газов значением величины d(gh), т. е. полагаем
упругую жидкость невесомой. При этом получим
6<7 = di + d (w2/2)
(14.14)
или после интегрирования

(14.15)
Выражения (14.14) и (14.15) представляют собой уравнения пер-
вого начала термодинамики для потока упругой жидкости в непод-
вижном канале, не содержащем внутрен-
них источников работы.
Большой интерес для техники пред-
ставляет такой случай, когда сам канал
перемещается, скажем, в направлении
оси U. При таких условиях происходит
преобразование энергии, например, в ка-
налах, образованных рабочими лопатками
паровых и газовых турбин. На рис. 14.3, а
показано рабочее колесо 1 турбины с на-
саженными на его ободе лопатками 2.
Вид сверху на обод, спрямленный на
плоскости, показан на рис. 14.3, б. Между
лопатками образуются каналы с криво-
линейной осью, представленные в более
крупном масштабе на рис. 14.3, в. Рабочее
тело (например, пар) входит в канал
под некоторым углом к плоскости ко-
леса с одной стороны и выходит с дру-
гой. Оказывая силовое воздействие на
лопатку, пар заставляет ее перемещаться	Рис. 14.3
в направлении и и совершает таким обра-
зом работу. Работа, затрачиваемая на вращение колеса (ротора) тур-
бины, представляет собой техническую работу удельное значение
которой
При преобразовании энергии в неподвижной с истеме коор-
динат О" (рис. 14.2), связанной в рассматриваемом случае с кор-
пусом турбины, должна быть учтена еще техническая работа. Поэ-
тому уравнения (14.14) и (14.15) должны быть дополнены в правой
части технической работой:
6<? = di4-d(u>2/2)4-6/T;
(14.16)
<71.а = «2-»1 + М-^)/2 + /т-	(14-17)
Выражения (14.16) и (14.17) представляют собой уравнения пер-
вого начала термодинамики для потока с учетом технической
работы.
201
§ 14.3.	Уравнение Бернулли
Обратимся снова к уравнению (14.12):
d (w2/2) = — [d (pv) 4- d (gh)] + 61.
Заменяя в нем элементарную удельную работу изменения объема
8l = pdv и пренебрегая по-прежнему приращением удельной потен-
циальной энергии положения d(gh)~ 0, получаем
d (w2/2) — — d (pv) ф-р dv.	(14.18)
Приращение удельной потенциальной энергии давления d(pv) =
—pdv-\-vdp, следовательно, d(u>2/2) =— v dp или
v dp-\-d(w2l2) = G.	(14.19)
Полученное уравнение называется уравнением Бернулли
для упругой жидкости*. Оно справедливо для того случая,
когда техническая работа не совершается, т. е. при рассмотрении
потока в системе координат О' (рис. 14.2) при отсутствии внутрен-
них источников работы.
В неподвижной системе координат О", относительно которой
канал перемещается, следует учитывать еще техническую работу и
Вместо (14.19) получим
v dp 4- d(w2/2) 4-6/т = 0.	(14.20)
Уравнение (14.20) называется обобщенным уравнением
Бернулли.
Уравнение Бернулли по формулам (14.19) и (14.20), так же как
уравнение первого начала термодинамики, выражает закон сохране-
ния и превращения энергии в потоке. Но в отличие от первого
начала уравнение Бернулли выражает закон сохранения только
через механические величины. Поэтому, если в процессе преобразо-
вания энергии вследствие трения происходит потеря кинетической
энергии или технической работы, а в общем случае их алгебраиче-
ской суммы [d (w2/2) 4- 6/J, это должно быть учтено дополнительным
членом 6/тр. При этом вместо (14.19) и (14.20) получим
V dp4-d(tw2/2)4-6/Tp = 0.	(14.21)
v dp 4- d (w2/2) 4- 6/т 4- б/тр = 0,	(14.22)
где 6/тр — элементарная удельная работа трения.
§ 14.4.	Работа потока
Кинетическая энергия потока может быть полностью превращена
в другие формы энергии или в работу, в частности в техническую
работу или энтальпию. Поэтому приращение удельной кинетической
энергии (wl - w{)/2 принято называть удельной работой истечения.
* Если при выводе уравнения (14.19) учесть d(gh=£0), то уравнение Бер-
нулли будет справедливо и для капельной жидкости,
202
В потоке упругой жидкости теплота и энтальпия превращаются
в механическую форму движения (в общем случае) двух видов:
в кинетическую энергию и техническую работу. Поэтому алгебраи-
ческую (т. е. с учетом знака) сумму работы истечения и техниче-
ской работы называют располагаемой работой или просто работой
потока. Следовательно, удельная работа потока в соответствии
с формулами (14.16) и (14.17) запишется
8lnaT = 8y-di^d(w2/2) + 8l.;	(14.23)
^пог = Я1.2 + ii +1’2 = (wl — ®i)/2 +	(14.24)
При этом уравнения первого начала термодинамики (3.16) и
(3.17) примут следующий вид:
6^==Щ‘ + 6/пог;	(14.25)
ft, 2 = 12-11 + /110т-	(14.26)
Из сказанного следует, что работа потока связана с изменением
термодинамического состояния рабочего тела и является поэтому
такой же термодинамической величиной, как и работа изменения
объема. Вместе с тем рабочее тело в потоке может совершать работу
без изменения термодинамического состояния. Примером такой работы
является переход кинетической энергии потока в техническую работу
(или наоборот). Переход одной формы механического движения в дру-
гую не является предметом изучения термодинамики. Такие явле-
ния рассматриваются в газовой динамике.
Следовательно, величина /пог является удельной термодинамиче-
ской работой потока, представляющей собой меру превращения теп-
лоты и энтальпии в механические формы движения', приращение
кинетической энергии в техническую работу. Мерой превращения
кинетической энергии потока в техническую работу является газо-
динамическая работа*.
Из обобщенного уравнения Бернулли (3.20) следует, что удель-
ная работа потока
6/llor = d(to2/2)4-6/T = — vdp.	(14.27)
Напомним, что правая часть этого равенства была получена
в (14.18) как результат суммирования удельной работы изменения
объема р dv и удельной работы, совершаемой силами поля давле-
ния [— d(pv)]. Следовательно, —vdp — это удельная работа рабочего
тела в процессе изменения его термодинамического состояния в поле
внешних сил давления**. Знак минус указывает на то, что работа
* Термодинамическая и газодинамическая работы могут совершаться раз-
дельно и одновременно. В так называемых активных турбинах они полностью
разделены и во вращающихся межлопаточных каналах совершается только газо-
динамическая работа. В турбинах, называемых реактивными, разделение этих
работ частичное и во вращающихся каналах совершаются одновременно термоди-
намическая и газодинамическая работы.
** Приведенное определение справедливо и для закрытой системы. Например,
в изохорном процессе величина —vdp есть удельная работа внешних сил, необ-
203
положительная, если давление в направлении движения падает, и
отрицательная, если повышается.
Имея в виду равенство (14.27) вместо уравнения (14.16) первого
начала термодинамики для потока получаем
Sq = di — vdp.	(14.28)
Сравнивая равенство (3.7) и (14.27), видим, что они совпадают,
т. е. равенство (14.28) справедливо как для неподвижного рабочего
тела, так и для потока.
Удельная работа потока в .процессе изменения состояния между
входным сечением 1 и выходным 2 равна
2
Лют = — \vdp.	(14.29)
1
В соответствии с уравнениями (7.7) и (7.2) в результате интегри-
рования (14.29) получим расчетные выражения для удельной работы
Рис. 14.4
потока в политропном процессе изменения
состояния рабочего тела:
/Пот = И-^1)/2 + ^т =
=	-(/’2/Р1)(л-,)/л]- (14.30)
Умножая на заданную массу газа или
пара т с начальным объемом V1 = mv1,
получим работу потока в политропном
процессе:
Lnm =	— wX}!2L^ =
[1 -(Р2/Р1)(л-1,/л]. (14.31)
Формулы (14.30) и (14.31) справедливы, в частности, для адиа-
батного потока при замене п на k.
Удельная работа потока, подобно работе расширения, может
быть изображена графически соответствующей площадью на диа-
грамме pv (рис. 14.4). Пусть между входным и выходным сечениями
канала происходит изменение термодинамического состояния рабочего
тела, описываемое кривой 1-2. Рассмотрим при некотором удель-
ном объеме v бесконечно малое изменение состояния, характеризуе-
мое приращением давления dp. Площадь — v dp эквивалентна работе
потока, получающей положительный знак (6(по, > 0) при уменьше-
нии давления (dp<0) по формуле (14.27). Работа за весь процесс
изображается всей заштрихованной площадью в соответствии с фор-
мулой (14.29).
ходимая для сохранения неизменным объема системы, ограниченной неупругими
стенками, и равная приращению удельной потенциальной энергии давления
системы,-взятому с обратным знаком, т. е. — d (pv). Применяемое иногда назва-
ние «работа изменения давления», построенное на чисто внешнем признаке, нельзя
признать удачным.
204
В качестве примеров использования в технике процессов преоб-
разования энергии в потоке помимо рабочего процесса турбины и
компрессора можно указать на два наиболее часто встречающихся
случая: первый — процесс в неподвижном канале с переменной пло-
щадью сечения, предназначенном для превращения потенциальной
энергии потока в кинетическую или обратно, и второй — процесс
в таких же движущихся каналах, образованных рабочими лопатками
~ДГ и
Рис. 14.5
компрессоров и реактивных турбин. Теплообменом между потоком
и окружающей средой вследствие быстротечности процесса можно
пренебречь (<7i,2 = 0)-
В первом случае скорости потока в подводящей (сечение /) и
отводящей (сечение 2) трубах турбины и компрессора относительно
невелики, обычно 30 ... 60 м/с. Поэтому изменением кинетической
энергии при переходе из сечения 1 в сечение 2 сравнительно с изме-
нением энтальпии можно пренебречь*, т. е. положить (о>| — &у®)/[2X
X (li — 1г)] = 0- При этих условиях
имеем: в турбине (рис. 14.5, а)
энергия рабочего тела в потоке
(энтальпия) переходит в работу
вращения вала (в техническую
работу), а в компрессорах
(рис. 14.5, б)работа, подводимая
к валу от постороннего источ-
ника (электрический или тепло-
в соответствии с формулой (14.23)
1	2
Рис. 14.6
вой двигатель), превращается
в энергию рабочего тела.
Техническая работа, совершаемая в турбине или затрачиваемая
в компрессоре, графически изображается на диаграмме pv одной и
той же площадью (заштрихованной на рис. 14.4), но направление
процесса и знак работы в компрессоре изменяются на обратный.
В случае неподвижного канала (рис. 14.6, а, б)/т = 0 и удельная
энтальпия переходит в удельную кинетическую энергию, если dp < 0,
или удельная кинетическая энергия в удельную энтальпию, если
dp > 0. Приращение удельной кинетической энергии, иначе удель-
* Так, например, для водяного пара при р1 = 4МПа, й=400°С и ат = 40 м/с,
ра = 5 кПа и а2==60 м/с имеем i1 = 3211 кДж/кг, i'a = 2064 кДж/кг (расширение
При s = const). Тогда (ш| — ш|)/[2 (ц — »а)] = (602 — 402)/[2 (3211 —2064) 10»] =
= 2000/(2  1147  103)	9  10~4 = 0,09%.
205
ная работа истечения, изображается на диаграмме pv той же пло-
щадью, что и техническая работа в первом случае (заштрихована
на рис. 14.4). Подробно преобразование энергии в этих двух слу-
чаях рассматривается в следующих двух главах.
§ 14.5.	Физический смысл энтальпии
Сравнивая выражения bq = du-\-bl и bq =	видим, что
в процессах изменения состояния закрытой системы собственная энер-
гия рабочего тела, определяемая его внутренним состоянием, харак-
теризуется значением и. В случае потока упругой жидкости собст-
венной энергией рабочего тела является энтальпия, включающая
внутреннюю энергию и потенциальную энергию давления. Очевидна
аналогия: энтальпия в потоке играет ту же роль, что и внутренняя
энергия в закрытой системе, — роль собственной энергии тела, опре-
деляемой его термодинамическим состоянием.
В адиабатном потоке (6^ = 0), рассматриваемом в неподвижной
системе координат, относительно которой канал перемещается, или
в неподвижном канале, содержащем источник работы (ротор турбины
или компрессора), по формуле (14.24) и (14.25) в общем случае
имеем
6/По,=— di и /Пот = й-«2-	(14.32)
В адиабатном потоке приращение энтальпии равно термодина-
мической работе потока.
В термодинамических расчетах элементов энергетического обору-
дования большое значение имеют два частных случая адиабатного
потока, характеризуемых тем, что одно из слагаемых, составляю-
щих удельную работу потока 6/И01 = d (к>2/2) 6/,, обращается в нуль.
В предыдущем параграфе они рассматривались в отношении удель-
ной работы потока, здесь же покажем физический смысл приращения
удельной энтальпии в этих двух случаях.
Первый случай. В системе координат, связанной со стенками
канала, в котором не содержится источник работы (6/т = 0),
по формуле (14.14) имеем
di + d(w2/2) = 0.	(14.33)
Это значит, что di и d (w2/2) равны по значению и противоположны
по знаку. При ускоренном движении приращение кинетической энер-
гии получается за счет энтальпии, при замедленном, наоборот, пере-
ходит в энтальпию. Поэтому энтальпию иногда называют потен-
циальной энергией потока.
Если поток затормозить (остановить) без теплообмена и без
выполнения технической работы, то кинетическая энергия направ-
ленного движения полностью перейдет в энтальпию. Поэтому сумму
удельной энтальпии и удельной кинетической энергии называют удель-
ной энтальпией заторможенного потока, ее обозначают через i*, т. е.
i* = i + ®2/2.	(14.34)
206
Энтальпию заторможенного потока часто используют в расчетах
турбин.
Второй случай отличается тем, что внутри канала имеется
источник работы (ротор турбины), а изменением кинетической энер-
гии между входным и выходным сечениями канала можно пренеб-
речь. В этом случае 6/пот = 6/ = — di и I, — — (i2 —-ц). Прираще-
ние энтальпии, взятое с обратным знаком, равно технической
работе.
Поскольку энтальпия является функцией состояния, применение
ее не ограничивается только случаем изучения изменения состояния
потока жидкости. Как было показано в гл. III, функцию i исполь-
зуют и в том случае, когда рабочее тело принимают макроскопи-
чески неподвижным.
§ 14.6.	Влияние потенциальной энергии давления
на преобразование энергии в потоке упругой жидкости
Приращение потенциальной энергии давления, взятое с обратным знаком,
т. е. — d{pv), равно элементарной работе сил поля давлений. А частное от деле-
ния работы на перемещение есть сила. Следовательно, удельная сила поля давле-
ний равна
Р =— d (pv)/dx,	(14.35)
где dx — перемещение вдоль оси канала.
При выражении р в Па, v в м3,'кг, х в м Р выразится в Н/кг.
Следует обратить внимание на интересные особенности удельной силы Р поля
давлений и удельной потенциальной энергии давления d {pv) упругой жидкости,
порождаемые тем, что «заряд» поля давлений, как было сказано, является вели-
чиной переменной: с изменением давления р (потенциал поля) изменяется в общем
случае и удельный объем v (заряд), причем так, что знаки dp и dv, как пра-
вило, противоположны.
Рассмотрим, как это обстоятельство влияет на удельную силу поля и что
представляет собой эта сила. Из выражения (14.35) имеем
Р = —v dp/dx — p dv/dx,	(14.36)
где — v dp/dx — удельная сила, действующая на массу в направлении меньшего
давления; при расширении она совпадает с направлением движения, при сжатии
направлена против движения; —р dv dx—удельная сила, возникающая вследст-
вие изменения удельного объема (переменная величина «заряда») и действующая
в направлении возрастания давления, при расширении она направлена против
движения, при сжатии -совпадает с ним.'
Таким образом, вследствие переменного размера «заряда» (о) поля давлений
удельная сила поля представляет собой геометрическую сумму двух сил, одна
из которых подталкивает элемент потока сзади (создает ускорение), другая при-
держивает его спереди, тормозит, и только их разность проталкивает элемент
потока в поле сил давлений. Следовательно Р, есть удельная проталки-
вающая сила.
Изменяемость «заряда» v поля давлений позволяет ответить на вопрос, на
что расходуется работа расширения в безнапорном (изобарном) потоке с подво-
дом теплоты. Обратимся с этой целью к выражению
d {pv) = v dp-\-p dv—pv (dp/p + dv/v).	(14.37)
Сумма выражений в скобках при понижении потенциала (давления) может
принимать не только отрицательные, но и положительные значения переходя
через нуль в точке, где dT = 0 (в случае идеального газа). А в случае неизмен-
207
кого потенциала поля p(dp = 0) приращение удельной потенциальной энергии
давления принимает значение, равное работе расширения:
d(pv)p — pdv.
Следовательно, силы поля давлений совершают в этом случае отрицательную
работу, равную по размеру работе расширения — d (pv) =— р dv.
Следовательно, вся работа расширения затрачивается в этом случае на повы-
шение потенциальной энергии давления. Понятно поэтому, что и работа потока
по формуле (14,27) равна нулю.
Глава XV
ТЕЧЕНИЕ И ИСТЕЧЕНИЕ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ
§ 15.1.	Основные уравнения течения упругой жидкости
Течение упругой жидкости рассматривается как равновесный,
т. е. обратимый, процесс. Жидкость любого элементарного объема,
выделенного из потока, находится в термодинамическом равновесии,
что позволяет применить к ней уравнение состояния.
Ограничимся рассмотрением лишь стационарного потока. В этом
случае в любом поперечном сечении потока параметры термодина-
мического состояния (p,'v, Т, i, s) и скорость потока имеют неиз-
менное значение, не изменяющееся во времени. Параметры и ско-
рость могут меняться только вдоль потока при переходе от одного
сечения к другому.
Таким образом, одним из уравнений, характеризующим поток
упругой жидкости, будет уравнение сплошности (14.1)
mz = юД/о = const,
где mt — массовый расход; Л —площадь сечения потока; w и v —
соответственно скорость потока и удельный объем жидкости в рас-
сматриваемом сечении.
Вторым является уравнение первого начала термодинамики для
потока упругой жидкости в системе координат, связанной со стен-
ками канала (14.14),
8q = di-\- d(w2/2).
Уравнение (14.14), как это было отмечено, одинаково применимо
как в случае течения с трением, так и без учета сил трения. В даль-
нейшем примем, что течение жидкости происходит без трения, это
дает право считать процесс обратимым.
• Вместо уравнения (14.14) может быть использовано уравнение
Бернулли (14.19)
v dp Д- d (ui2/2) = 0.
Ограничимся рассмотрением только адиабатных процессов, тогда
третьим уравнением, характеризующим поток, будет уравнение ади-
абаты
ри* = const или ds = O.	(15.1)
208
При адиабатном процессе уравнение (14.14) примет вид
di + d(u>2/2) — 0.
С помощью этого уравнения устанавливается связь между изме-
нениями удельной кинетической энергии и удельной энтальпии
потока. Удельную энтальпию в данном случае можно рассматривать
как удельную потенциальную энергию потока (см. § 14.5).
Из сравнения уравнения (14.19) и (14.33) получим (при условии
ds = O)
vdp = di.	(15.2)
§ 15.2. Характер изменения площади поперечного сечения
потока в зависимости от скорости
Уравнение Бернулли (14.19), поскольку d (w2/2) — w dw, предста-
вим в следующем виде:
wdw =— vdp.	(15.3)
Из уравнения (15.3) следует, что знак изменения скорости всегда
противоположен знаку изменения давления, т. е. скорость течения
(без учета сил трения) может увеличиваться только при движении
в область пониженного давления, и, наоборот, если скорость потока
понижается, то неизбежно должно повышаться давление.
Для несжимаемой (капельной) жидкости по уравнению сплош-
ности (14.1) произведение wA остается по всей длине канала неиз-
менным в связи с постоянством удельного объема V. Иными словами,
когда площадь поперечного сечения увеличивается, скорость потока
уменьшается, а при уменьшении площади сечения скорость воз-
растает.
Для сжимаемой жидкости увеличение скорости потока может
иметь место как в суживающемся, так и в расширяющемся канале
в зависимости от абсолютного значения самой скорости. Это объяс-
няется тем, что удельный объем рабочего тела (газа, пара) меняется
в зависимости от изменения давления и температуры потока.
Рассмотрим этот случай.
Продифференцируем уравнение сплошности mtv — Aw.
mt dv = w dA + A dw
и разделим его на исходное, тогда
dA/А =dv/v — dw/w.	(15.4)
Используем условие адиабатности потока. Из уравнения адиабаты
в дифференциальной форме
k dv/v 4- dp/p = 0
получим
dv/v = — dp/(kp).
209
Из уравнения Бернулли (15.3) найдем
dw/w = — vdp/w2.
Подставим полученные выражения в уравнение (15.4):
dA/А = — dp/(kp) + v dp/w2, или dA = A(kvp — w2)dp/(kpw2).
Обозначим
a — Ykvp,	(15.5)
тогда
dA = А [(а2 — w2)/(kpw2)] dp.	(15.6)
Характер изменения площади поперечного сечения потока опре-
деляется знаком изменения ее dA. Из формулы (15.6) следует, что
знак изменения площади
сечения dA зависит как от
знака изменения давле-
ния dp, так и от знака
разности величин а2 — w2
(величины A, w, р и k су-
щественно положительны).
Если скорость потока
w<a, знак dA совпадает
со знаком dp. Если же
w >а, то у dA и dp раз-
ные знаки.
Примем для определен-
ности, что в направлении
Рис- 15-!	движения давление умень-
шается (dp < 0), а следо-
вательно, происходит ускоренное движение потока. Начальная ско-
рость в сечении 1 — 1 равна Wj (рис. 15.1, а) и является величиной
малой. Пока w<.a, изменение площади сечения dA должно быть
меньше нуля, или, иначе, канал должен быть суживающимся.
Когда скорость w, например в сечении k — k, достигнет значения,
равного а, то dA = 0 и А = const. Далее, для того чтобы скорость
могла увеличиваться и стать большей, чем а (при этом выражение
а2 — w2 станет отрицательным), необходимо при dp < 0 иметь dA > 0,
или, иначе, площадь сечения канала должна возрастать, т. е. канал
должен быть расширяющимся.
Если в направлении движения потока давление увеличивается,
т. е. dp>0, то движение будет замедленным (dw<z0). При этом
условии, если начальная скорость- wr > а, необходимо иметь dA < 0,
т. е. канал вначале должен быть суживающимся и оставаться тако-
вым до тех пор, пока скорость не сделается равной а (сечение k — k
на рис. 15.1, б). При дальнейшем уменьшении скорости, когда а,
площадь сечения канала должна постепенно увеличиваться.
Канал, в котором происходит преобразование потенциальной
энергии потока (энтальпии) в кинетическую, называется соплом
21Q
(рис. 15.1, а). В сопле рабочее тело, движущееся в потоке, расши-
ряется. В обратном процессе, когда кинетическая энергия потока
преобразуется в потенциальную, т. е. в энтальпию по формуле
(14.33), канал называется диффузором (рис. 15.1, б). В диффузоре
рабочее тело в потоке сжимается.
Если в упругой среде внешние силы вызовут местное изменение
состояния — так называемое местное возмущение, то из места нару-
шения равновесия распространится волна, производящая аналогич-
ные возмущения в соседних частях среды. В частности, малые воз-
мущения плотности среды вызывают звуковую волну. Скорость рас-
пространения звука определяется по формуле Ньютона — Лапласа
w3 = Vkplp,
где р — давление среды; р — плотность среды, a k = cp/cv — показа-
тель адиабаты. Поскольку р = 1/ц, то
w3 — Vkvp,	(15.7)
Для идеального газа w3 = ]/ kRT.
При выражении р в Па, р в кг/м3, v в м3/кг, R в Дж/(кг-К),
Т в К w3 выразится в м/с.
Таким образом, введенная ранее величина а оказывается равной
скорости звука в данной среде. Скорость потока упругой жидкости,
равная скорости звука, называют критической скоростью wK.
Следует оговорить, что скорость звука a=wK следует определять
по значению параметров потока именно в том сечении, где скорость
потока достигает значения скорости звука. Поэтому в дальнейшем,
чтобы подчеркнуть это условие, речь будет идти не вообще о ско-
рости звука, а о местной скорости звука.
Таким образом, при адиабатном течении потока упругой жидкости
в каком-либо канале, сопровождаемом возрастанием скорости от
начального значения wx С wK до значения w.2 > wK (при этом давле-
ние изменяется от р, до р2; Pi> рг), канал сначала должен быть
суживающимся, а затем, после достижения скоростью потока значе-
ния &ук, — расширяющимся. Критическая скорость может возникнуть
лишь в узком сечении канала (dA = 0 и w = a = wK). Этот процесс
(при отсутствии трения) обратим, т. е. при обратном направлении
течения скорость потока уменьшится до исходного значения ш](
а давление возрастет до начального значения р2.
При скоростях потока ниже критической скорости для сжимаемой
жидкости (газа, пара) закон изменения площади сечения канала
имеет тот же характер, что и для несжимаемой жидкости (чем больше
площадь сечения, тем меньше скорость); при скоростях больших,
чем ш,., этот закон противоположен закону для несжимаемой жид-
кости. Уместно отметить, что выполнение расширяющейся части
канала после суживающейся является условием только необходимым,
но еще не достаточным, чтобы скорость в нем получила значение,
превышающее критическую скорость aiK. Понятно, что достижение
потоком определенной скорости течения обусловлено наличием соот-
211
ветствующего силового воздействия на жидкость поля давлений,
т. е. наличием определенного соотношения давлений в граничных
сечениях канала. Определениям этих силовых условий посвящены
следующие параграфы.
§ 15.3. Переход потенциальной энергии потока в кинетическую энергию
Установим зависимость между изменением удельной энтальпии
жидкости и соответствующим изменением скорости, т. е. исследуем
процесс перехода удельной потенциальной энергии потока в удель-
ную кинетическую.
Интегрируем уравнение (14.33) от начального состояния до
конечного:
— wj)/2 = — i2	(15.8)
и решаем полученное уравнение относительно ау2:
w2 = ]^w2I + 2(i1 — i2).	(15.9)
Весьма часто можно пренебречь начальной скоростью w1. Тогда
ЙУ2 = у 2 (ij - i2) .
(15.10)
в Дж/кг w2 выразится в м/с.
При выражении в м/с, гх и i2
Полученная формула удоб-
на для определения скоро-
сти w2 в выходном сечении
адиабатного потока пара с по-
мощью диаграммы is. Про-
водя адиабату 1-2 от на-
чального состояния с пара-
метрами и t-L (или pi и хх,
если пар влажный) до пе-
ресечения с изобарой конеч-
ного давления р2 (рис. 15.2),
непосредственно на диаграмме
отсчитываем разность удель-
ных энтальпий (ij —t2), назы-
Рис. 15.2	ваемую адиабатным пере-
падом удельной энтальпии.
Формула (15.10) не вскрывает условий, при которых скорость
адиабатного потока достигает критического значения.
Для определения значения параметров, при которых скорость
потока достигает местной скорости звука, воспользуемся формулой
удельной работы потока (14.30). Применительно к адиабатному
потоку следует положить n = k и, поскольку в соплах /т = 0, удель-
ная работа истечения
-«>0/2 = \k№ - 1)] р^ [ 1 - (р2/р J<*	(15.11)
212
Обозначим отношение р2/р1 через ₽:
Р2/Л = Р	(15.12)
и найдем скорость потока в сечении 2 — 2, т. е скорость истечения
газа из сопла:
u>2 = F 2 [k/(k - 1)] рЛ (1 - - о/*).	(15.13)
Принимая начальную скорость юх = 0 (только в случае ускорен-
ного движения), получаем
= /2 [k/(k - 1)] рЛ (1 -	»/*).
(15.14)
На рис. 15.3 показан график изме-
нения скорости истечения w2 в зависи-
мости от значения 0. Когда (3 = 1 (рх = р2),
т. е. при отсутствии перепада давле-
ния, то оу2 = 0. При р = 0 (р2->0) ско-
рость истечения стремится к максиму-
му, равному
Vmax = 2[M^-1)]Р1У1- (15.15)
некоторой точке k кривая
График да = /(Р) показывает, что
сначала, по мере уменьшения р, ско-
рость быстро возрастает. Далее темп
нарастания скорости уменьшается и в
претерпевает перегиб, при дальнейшем уменьшении Р скорость начи-
нает вновь резко возрастать и при р = 0 достигает значения &утах.
§ 15.4. Критическое отношение давлений
При изменении р от 1 до 0 скорость потока принимает последо-
вательный и непрерывный ряд значений от 0 до датах. При некото-
ром значении Р = Рк, соответствующем точке перегиба k кривой
а’ = /(Р) (рис. 15.3), скорость w достигает значения местной скорости
звука, иначе — критической скорости, равной wK, параметры потока
в этом сечении канала, где скорость равна критической, обозначены
vK и р|( (соответственно iK и /к).
При подстановке в формулу (15.14) Р = рк будет определена ско-
рость, совпадающая с местной скоростью звука. Эту же скорость
можно найти и по формуле (15.7). Таким образом, для определения
значения рк, называемого критическим отношением дав-
лений, необходимо приравнять правые части формул (15.7) и
(15.14):
V 2	-1)] рЛ (1 - Р? -1М) =	(а)
213
Используя соотношение параметров в адиабатном процессе, выра-
зим критические параметры через начальные параметры и рк:
(б)
ц^Мрг/Рк)17*;	(в)
РА = РЛ (рМ},к = PPh (Р1/рк)'/к (pjpi),	(г)
или
РА = РЛ (1 Я)1/Л  Рк = prf~	•	(15.16)
Подставляя в равенство (а) вместо произведения pKvK его значе-
ние и освобождаясь от радикалов и сокращая, получаем
2(1 -р^“1А>Ш-1) = Р^“1т-	(д)
Решаем уравнение (д) относительно рк:
рк = [2/(^+ 1)р/(*-1).	(15.17)
Критическое отношение давления рк = pK/Pi зависит только от
физических свойств газа, точнее — от его показателя адиабаты, и
может быть вычислено (см. табл. 15.1).
На основании изложенного в предыдущих параграфах заключаем,
что при ускоренном движении (dw >-0 и dp < 0) скорость адиабат-
ного потока в суживающейся части канала постепенно увеличивается
и достигает критического значения при давлении, равном рк = РкР1,
что достигается в том месте канала, где площадь сечения минимальна.
Подставляя в формулу (15.14) для скорости потока значение рк
по формуле (15.17), получаем
А = 1^2 [£/(& +1)] РА = «1 ‘КРА,	(15.18)
где cq — постоянная величина, зависящая от показателя адиабаты k
(см. табл. 15.1).
Таким образом, критическая скорость для определенного рабочего
тела зависит только от значений параметров в начальном состоянии.
С помощью диаграммы is критическая скорость определяется по
формуле
A = V2(i1-tK),	(15.19)
где iK — удельная энтальпия в конце адиабатного расширения от
давления р{ до давления рк = PPi (см. рис. 15.2).
Таблица 15.1
Рабочее тело	Показатель адиабаты	Рк	«1	а2
Газ (двухатомный)		1,40	0,528	1,08	0,686
Перегретый пар 		1,30	0,546	1,055	0,667
Сухой насыщенный пар (в пределах от 0 до 150 °C)		1,135	0,577	1,03	0,623
214
§ 15.5. Истечение из суживающихся сопел при скоростях,
меньших критической скорости (0 > 0К)
Рассмотрим случай, который в термодинамике носит название
истечения упругой жидкости из резервуарабеско-
нечно большой вместимости. Этот термин понимается в том
смысле, что начальные параметры газа или пара остаются в про-
цессе истечения неизменными *, а начальная скорость близка к нулю.
Последнее в соответствии с уравнением сплошности равносильно
условию, что начальная площадь сечения Д->оо.
Для наглядности дальнейших рассуждений на рис. 15.4 схема-
тически показан резервуар, в боковой стенке которого имеется
отверстие с короткой суживающейся насадкой (простое сопло)
с площадью выходного сечения Лт,п. Внутри резервуара, вмести-
мость которого предполагается бесконечно большой, находится газ
(или пар). Наружное давление р
меньше давления рг внутри резер-
вуара. Через насадку газ из ре-
зервуара вытекает во внешнее про-
странство.
Можно предположить, что где-
то внутри сосуда на некотором
расстоянии от отверстия начнется
образование свободной струи, ко-
торая далее, входя в сопло, будет
уже направляться ее стенками.
Примем, что начало движения по-
тока газа зарождается по поверх-
ности ab. В этом месте параметры
Рис. 15.4
среды сохраняют неизменные зна-
чения vlt р{ и /1; а начальная скорость	Ясно, что профиль
свободной струи будет суживающимся, а стенки насадки будут
являться ее естественными границами. Так как давление р2 во внеш-
ней среде меньше, чем давление pL, то движение потока будет уско-
ренным.
К рассматриваемому случаю истечения можно полностью приме-
нить все изложенное выше в настоящей главе. Считая процесс исте-
чения по-прежнему адиабатным и происходящим без трения, рас-
смотрим два возможных варианта: первый из них, когда pjpi^ Рк,
а второй, когда р2/р1 < рк. В настоящем параграфе рассмотрим пер-
вый из указанных случаев.
При перепаде давления от р± до р2 скорость потока в устье
насадки, по формуле (15.14),
w2 = У 2 [k/(k — 1)] prvt (1 — p(ft~ »/*).
* При истечении упругой жидкости из резервуара конечной вместимости
начальные параметры по мере убывания жидкости будут непрерывно изме-
няться.
215
Так как в данном случае р2 > 0KPi, то скорость w2<u>K. Следо-
вательно, истечение происходит с дозвуковыми скоростями. Давле-
ние в устье насадки будет равно давлению р во внешней среде.
Когда давление pY будет так подобрано, что р2==0крг, скорость
w2 достигнет значения wK = a1yrp1v1. В рассматриваемом случае
скорость истечения не может превысить критическую скорость. Этим
характерен режим истечения при 05-0К.
На рис.
показывает
15.5 участок a-b кривой в пределах от 0 = 1 до 0 = 0,
изменение скорости в
.	.'к
зависимости от значения 0.
Определим массовый рас-
ход т; упругой жидкости при
адиабатном истечении ее из
насадки. В уравнение сплош-
ности mt = Awlv подставим
значение скорости w в вы-
бранном сечении А = Лт1П.
Кроме того, удельный объем v,
отвечающий состоянию в уз-
ком сечении Дтш, выразим
через начальные параметры,
т. е. используем формулу
^ = ^1 (Pi/P'2)1/ft = ^’i0~1/fc-
Получим mt = (Л min01//e/v1) V[2k/(k — 1)] pYvx (1 — pc*—D/*) ИЛи, внося
pi/*
под знак радикала множитель ,
т, = Лт1п j/2^^(02/*-0(ft + 1,/ft).	(15.20)
При выражении рх в Па, t'j в м3/кг, А в м2 mt выразится в кг/с.
При 0 = 0А, т. е. при достижении потоком критической скорости,
массовый расход достигает максимального значения mtmax.
График изменения массового расхода в зависимости от 0 показан
на рис. 15.6 (участок а-b в пределах от 0 = 1 до 0 = 0К). Подставив
в формулу (15.20) 0 = 0к, по (15.17) получим
л 1Ай 1 /"ТГЬ Г/ 2 W"*1’	[ 2 \(* + D/(* —1)-]
^.nax-^min]/ -J/ 2^—fe+l)	]’
Вынося за квадратную скобку (2/(£ ф-l))2/<ft_1), после элементар-
ных преобразований получаем
л 1 Лй I /\ / 2 \(* + 1)/(Л —1)
СИ/max —Лт,п |/ — у k
Полученное выражение можно представить в виде
^/max = ®2^min	(15.21)
где коэффициент а2 зависит только от показателя адиабаты k, т. е. от
физических свойств газа. Значения коэффициента а2 даны в табл- 15-1.
216
Как это будет показано ниже, расход, определяемый по формуле
(15.21), является наибольшим для всех случаев адиабатного истече-
ния без трения.
При неизменном значении Лт|п, Pi и и при известном значе-
нии k массовый расход mt достигнет максимального значения, когда
выражение, стоящее в круглых скобках под знаком радикала в фор-
муле (15.20), будет иметь максимум. Для нахождения максимума
приравняем нулю первую производную от mt по р:
^.р(2-А)/л _^+..1 pl/* =о
или
р(1-*)/й_*±1) = о.
Решая последнее уравнение, получаем два ответа:
1) Р = 0 и 2) (2//г)	— (/г+ 1)//г = 0,
т. е.
1 \*/(1 — *)	/ 2 W(fe —I)
=р*-
(15.22)
Подведем итог изложенному для случая истечения при Р Рк,
т. е. при скоростях, меньших критической. По мере уменьшения р
скорость потока и соответственно массовый расход непрерывно уве-
личиваются (рис. 15.5 и 15.6) и достигают максимально возможного
значения w = wK и mz = /nzinax при значении Р = рк. При Р = рк как
скорость wK, так и массовый расход (при неизменной площади сече-
ния) зависят только от начальных параметров и от показателя ади-
абаты.
Выведенные формулы сохраняют силу и в том случае, когда исте-
чение будет происходить не через суживающееся сопло, а через
отверстие в стенке резервуара (рис. 15.7), т. е. через сопло постоян-
ной площади поперечного сечения А с длиною, равной толщине стенки.
217
§ 15.6.	Истечение из суживающихся сопел при Р<0К
Теперь рассмотрим истечение из суживающихся сопел при усло-
вии р2/р, = Р < Р„.
При этом условии разность давлений рх — р2 больше, чем в разоб-
ранном выше случае, и, на первый взгляд, естественно предположить,
что скорость w и массовый расход пр должны возрасти. Однако
в действительности это не так. Для того чтобы скорость направлен-
ного потока упругой жидкости превзошла критическую скорость,
необходимо (см. § 15.2), чтобы площадь сечения канала после пере-
хода через минимум постепенно возрастала. В суживающемся сопле
(а также при истечении из отверстия) площадь сечения потока не
увеличивается, а следовательно, при таком профиле сопла невоз-
можно получить скорость истечения, в выходном сечении превышаю-
щую критическую.
При всех значениях отношения р2/рх рк вплоть до значения
Р = 0, т. е. вне зависимости от значения противодавления р2, как
скорость истечения, так и массовый расход остаются неизменными,
соответственно равными шки т/тахи определяются по форму лам (15.18)
и (15.21). На рис. 15.5 и 15.6 горизонтальные участки b-с показывают
указанную зависимость скорости и массового расхода от значения (3.
В суживающемся сопле скорость wK и давление рк, равное PkPj,
устанавливаются в конечном (минимальной площади) сечении вне
зависимости от противодавления. Таким образом, при р<рк давле-
ние в устье сопла, равное рк, оказывается большим, чем давление
р2 внешней среды.
Отметим, что формула (15.20) для массового расхода, если под
р2 понимать давление среды, куда происходит истечение, верна
только для значений 0 от 1 до Рк. При значениях 0 < р/г в соответ-
ствии с формулой (15.20) график функции = пройдя макси-
мум при р = рк, будет изображаться убывающей кривой b-d, пока-
занной пунктиром на рис. 15.6. Так, например, при р = 0 [истечение
в пустоту (р = 0)] расход mt по формуле (15.20) становится равным
нулю. Понятно, что такое протекание кривой массового расхода
в области р < рк противоречит действительности.
Кажущееся противоречие между опытом и теорией легко устра-
няется, если учесть, что при р < рк в устье сопла всегда устанав-
ливается неизменное (при заданных pY и щ) давление рк, большее,
чем внешнее, и поэтому истечение из резервуара происходит под
действием постоянной разности давлений рг — рк, не зависящей от
давлений во внешней среде. Следовательно, в формулу (15.20) при
Р < Рк нельзя подставлять давление р2 среды, куда происходит
истечение, а необходимо подставить то давление, которое в действи-
тельности устанавливается в сечении потока минимальной площади,
т. е. давление pK = pKpj [в этом случае формула (15.20) преобра-
зуется в формулу (15.21)].
Физическую сущность того факта, что при Р < рк массовый рас-
ход и скорость истечения достигают предельных значений, можно
выяснить в результате следующего рассуждения.
218
Пусть из резервуара бесконечной вместимости происходит исте-
чение упругой жидкости через суживающееся сопло (или отверстие)
во внешнюю среду, давление в резервуаре обозначим рх. Примем,
что вначале внешнее давление равно также  т. е. (3 = 1, в этом
случае истечения не будет. Понизим давление в окружающей среде
до р' (понижение давления для наглядности дальнейших объяснений
примем происходящим скачкообразно). Понижение давления, являясь
местным возмущением, вызовет волну разрежения, распространяю-
щуюся со скоростью звука во все стороны. В связи с этим в устье
сопла установится давление р'. Под действием разности давлений
Р1~Р’ частицы упругой жидкости начнут вытекать из резервуара.
Причиной истечения, т. е. движения частиц рабочего тела, является
сила, пропорциональная указанной разности давлений. Под дейст-
вием этой силы частицы газа приобретают ускорение, определяющее
скорость истечения. Ясно, что при последующих понижениях давле-
ния сила, действующая на частицы газа, будет возрастать, а ско-
рость истечения и массовый расход - увеличиваться. Понижая внешнее
давление, можно, наконец, довести его до р,; = Ркрр тогда скорость
истечения и массовый расход достигнут значении и m/max. Пони-
зим внешнее давление до р", меньшего, чем давление рк. Волна раз-
режения, вызванная понижением давления до р" и распространя-
ющаяся со скоростью звука, уже не сможет изменить давление
в устье насадки, так как среда вытекает из резервуара навстречу
волне разрежения с той же местной скоростью звука, равной wK.
Поэтому всякое понижение внешнего давления до значения,
меньшего рк, хотя бы до нуля, не сможет изменить давления в устье
насадки. Движущая сила, пропорциональная разности р± — рк,
остается неизменной, тем самым обусловливая неизменность скорости
истечения и массового расхода, который, естественно, должен рас-
сматриваться для данных условий как максимальный.
§ 15.7.	Работа истечения
На рис. 14.4 было показано графическое изображение удельной
работы потока на диаграмме pv. В рассматриваемом здесь случае
удельная работа потока состоит только из удельной работы истече-
ния, поскольку техническая работа не совершается: dl.r = 0. Следо-
2
вательно, в соответствии, с формулой (15.3) — v dp — (wi — w\)!2,
i
а площадь, заключенная между адиабатой и осью ординат (рис. 15.8),
равна работе адиабатного истечения.
При wx О
2
-\vdp = w2/2.	(15.23)
I
Напомним, что при адиабатном истечении [формула (15.2)]
d(ay2/2) = — vdp — — di. Следовательно, площадь между адиабатой
и осью ординат одновременно равна разности удельных энтальпий
219
в начале и в конце адиабатного процесса (t1 —i2). Через параметры
р и v эту же площадь можно определить по формуле (15.11).
При истечении в случае |3 < 0К, когда максимальное значение
скорости не превосходит &ук, а давление среды р2, куда происходит
истечение, может быть значительно ниже рк, работа истечения
(рис. 15.9) будет определяться
Рис. 15.8
площадью между осью орди-
нат и отрезком адиабаты,
соответствующим перепаду
давления от р} до рк (от ц
до iK). Как это усматривается
из рис. 15.9, значительная
часть перепада давления от
рк до рг (от iK до i2) не ис-
пользуется.
В этом случае истечения
давление потока в устье на-
садки рк>р2- Поэтому струя
по выходе из насадки, уже
не естественная и не направленная ее стенками, начнет беспорядочно
расширяться во все стороны и, как это понятно, перепад давлений
рк — р2, воздействующий за пределами насадки на вытекающую струю
упругой жидкости, не создает заметного увеличения кинетической
энергии потока как целого.
Чтобы получить скорость истечения выше критической, как это
следует из изложенного в § 15.2, сопло должно иметь после сужи-
вающегося участка расширяю-
щуюся часть. Такого типа ком-
бинированное сопло обычно на-
зывают соплом Лаваля.
Рис. 15.10
В заключение параграфа выведем формулу для скорости истечения при малых
разностях давления: pt— р2 = &р. Площадь а!2Ь, изображающая работу истечения
(рис. 15.10), без большой погрешности можно заменить площадью прямоугольника
а12'Ь. Такая замена равносильна допущению, что рассматривается несжимаемая
жидкость, т. е. в процессе истечения изменение удельного объема Ао = 0.
Принимая Wi — 0, имеем
1£)аг/2 = и(р1-р2) = (р1-р2)/р
и
ш2 = /2 (Pj —р2)/р.	(15.24)
При выражении р в Па, и в ма/кг и р в кг/м? w выразится в м/с.
220
§ 15.8.	Истечение из сопел с расширяющейся частью
при Р < Рк* Сопло Лаваля
Сопло Лаваля (рис. 15.11) используют в тех случаях, когда
Р<Рк-
В сечении наименьшей площади Amin сопла (в его горловине)
давление потока упругой жидкости равно рк = PiPK, а скорость
достигает критического значения wK. Далее в расширяющейся части
сопла скорость потока будет выше местной скорости звука.
При адиабатном расширении газа или пара, как это усматри-
вается из графика v = f($) на рис. 15.12, при Р < рк удельный
объем с уменьшением р начинает весьма быстро увеличиваться. Дости-
жение сверхзвуковой скорости объясняется тем, что струя газа или
пара, двигаясь в расширяющейся части сопла без отрыва от огра-
ничивающих ее стенок, принудительно расширяется, в связи с чем
давление в направлении движения потока
уменьшается и делается меньшим крити-
ческого давления рл. Именно благодаря
значительному расширению газа или пара, несмотря на увеличение
площади сечения в направлении движения, скорость потока возрастает.
Непременным условием получения сверхзвуковых скоростей
является отсутствие отрыва струи от стенок сопла. Из опыта уста-
новлено, что для соблюдения этого требования необходимо угол
конусности у расширяющейся части сопла иметь не более 10... 12°.
Поэтому для одного и того же массового расхода mt длина сопла
получается тем больше, чем выше требуемая степень расширения,
т. е. чем ниже давление р2.
Полное использование перепада давления от рг до любого про-
тиводавления р2 обеспечивает преобразование всего располагаемого
перепада удельной энтальпии в удельную работу истечения, т. е.
в удельную кинетическую энергию струи. Поэтому удельная работа
истечения будет равна всей площади, заключенной между адиабатой
и осью ординат на’рис. 15.9.
Особо отметим, что сопло Лаваля позволяет получить скорость
истечения выше критической, но максимальная пропускная способ-
ность сопла определяется по значению критической скорости, имею-
щей место в минимальной площади сечений, т. е. определяется по
формуле (15.21):
/72;max —- ^min^ V
221
Из уравнения сплошности
^т1П®в/'*к = ^тахК/'-г/^'з
легко найти площадь
выходного сечения сопла Лаваля:
Лтах —= A minWKV2/(w2VK),
(15.25)
где — скорость на выходе из сопла, определяемая по формуле
(15.14)“; и2 —удельный объем в сечении площадью Лтах.
Рассчитав площади сечений 4min и Дтах и задаваясь углом
расширяющейся части сопла.
Профиль и длину сопла
конусности, можно определить длину
Рис. 15.13
выбирают из соображений
наибольшей плавности дви-
жения.
На рис. 15.13 показан
приблизительный вид кри-
вой расширения и кривой
роста скорости потока по
длине сопла Лаваля.
Построение этих кри-
вых для данного сопла
может быть произведено
использованием формулы
mt тах-= A xw:(/vx, где ин-
дексом х (см. рис. 15.11)
отмечены площадь произ-
вольного сечения сопла Ах
и соответствующие этому
сечению параметры по-
тока.
При нормальной ра-
боте сопла давление в
выходном сечении сопла
равно противодавлению р2. Такой режим работы сопла назы-
вается расчетным. В том случае, когда противодавление по
каким-либо причинам повысилось	и стало	равным ра	(нерасчетный
режим),	то, как показали опыты,	упругая	жидкость	на некотором
участке	сопла расширяется как	обычно,	причем в	конце этого
участка	давление рг (рис. 15.13)	делается	меньшим,	чем противо-
давление ра (но большим, чем расчетное противодавление р2). По
достижении давления р- (точка г) давление резко повышается, при-
ближаясь к противодавлению. В этой точке имеет место скачок
уплотнения, возникновение которого связано с частичной поте-
рей кинетической энергии. Чем больше противодавление отличается
от расчетного давления, тем дальше от выходного сечения лежит
место скачка уплотнения (точки г и г’). Если противодавление
ниже расчетного, то процесс расширения в пределах самого сопла
происходит нормально; давление в выходном сечении будет
222
равно расчетному противодавлению и будет достигнута
соответствующая ему скорость шг. За пределами сопла начнется
неорганизованное расширение струи с вихреобразованием и по-
терей энергии.
'§ 15.9. Влияние трения на процесс истечения
При наличии сил трения (вязкая жидкость) процесс течения
упругой жидкости необратим.
Представим себе мысленно обратимый процесс течения (без тре-
ния), при котором движущаяся жидкость проходит через те же
самые состояния, что и в необратимом процессе. Для осуществления
такого обратимого процесса необходимо к потоку подвести обрати-
мым путем извне количество теплоты, эквивалентное теплоте трения
б^тр- Удельное количество подведенной
цессе будет 67 + 67,,,, а изменение
удельной энтропии
6s = (67 + 67ip)/T.
Так как удельная энтропия — одно-
значная функция состояния, а началь-
ное и конечное состояния в обоих про-
цессах (необратимом и обратимом) оди-
наковы, то написанное выше значение
показывает изменение удельной энтро-
пии и в необратимом процессе течения
жидкости. В случае адиабатного по-
тока 6<7 = 0 и
6s = б^р/Т > 0,	(15.26)
теплоты в обратимом про-
так как 6<71р по своей природе не может	Рис. 15.14
быть меньше нуля. Следовательно, при
адиабатном течении из-за наличия сил трения энтропия упругой
жидкости возрастает по мере перемещения ее от одного сечения по-
тока к другому.
На диаграмме is (рис. 15.14) обратимый адиабатный процесс
истечения пара или газа в интервале давлений от р, до р2 изобра-
жается вертикальной прямой ab. Адиабатный необратимый процесс
в том же интервале давлений в силу неравенства ds > 0 условно
изображается кривой а-с. Применяя к обоим процессам уравнение
(14.15), справедливое, как это было указано, как в случае движе-
ния без трения, так и при наличии сил трения, получаем (при
и 71,2 = 0)
Ч — Сд = ®ад/2 И ix — i2 = wl/2,
где — скорость истечения при обратимом (идеализированном)
процессе, которую в дальнейшем будем называть теоретической
скоростью истечения; w2 — действительная скорость истечения
(т. е. протекающего с трением); !ад — удельная энтальпия в конеч-
нОм состоянии теоретического процесса; i2 —удельная энтальпия
в конечном состоянии действительного процесса. В связи с увели-
чением энтропии в действительном процессе истечения получим, что
Сд Ч, ^ад ''>
Таким образом, потеря удельной кинетической энергии, или, что
то же самое, уменьшение удельной работы истечения из-за наличия
сил трения, равна
Д/ = (^д-^|)/2 = г2 —/ад = Д/.	(15.27)
Отношение действительной скорости истечения к теоретической
скорости (в одинаковом интервале давлений) называют к о эфф и-
циентом скорости
Ф = ау2/йа„д.	(15.28)
Коэффициент ср определяют экспериментально, для обычных
насадок он равен 0,93... 0,98.
Заменяя в формуле (15.27) щ2 на сри»ад, получаем:
А/ = (1 — ср3) ка’д/г = сау 1д/2;	(15.29)
At = got|A/2,	(15.30)
где
1- cp2 = L	(15.31)
Коэффициент g носит название коэффициента потери
энергии. Значение его (0,05.. .0,15) характеризует потерю работы
истечения из-за наличия сил трения.
При известном значении коэффициента ср действительную ско-
рость истечения, как это следует из (15.28), определяют при исполь-
зовании диаграммы is по формуле
даг = ср/2(с1-1ад),	(15.32)
и при аналитическом расчете (в основном для газов) — по формуле
и»—сру" 2 [k/(k — IJJ/PiVj (1 — p(*-D/*)_	(15.33)
Состояние на выходе из насадки проще всего определяют по диаг-
рамме is. По заданному значению ср, а следовательно, по известному
значению коэффициента g по формуле (15.30) определяется значе-
ние Ai. Откладывая At по теоретической адиабате вверх от точки b
и снося полученную точку на изобару р2, легко находят конечную
точку действительного процесса истечения.
Само собой разумеется, что площади сечения насадки Xmin и
Ятах при заданном массовом расходе определяют по действительной
скорости и параметрам в действительном процессе истечения. Вслед-
ствие перехода работы трения в энтальпию изменяются не только
параметры в выходном сечении, но и критические параметры (в узком
сечении), а следовательно, и критическая скорость.
224
§ 15.10. Изображение работы истечения с трением
на диаграммах pv и Ts
Уменьшение из-за наличия трения кинетической энергии потока
на величину Д/ = ^wl^2 оказывается меньшим, чем работа сил тре-
ния /,р, так как некоторая часть работы этих сил восстанавливается
вновь в кинетическую
энергию.
Для объяснения этого
явления рассмотрим теоре-
тический и действительный
процесс истечения в коор-
динатах pv и Ts (рис.
15.15 и 15.16).
Удельная работа адиа-
батного истечения при
и отсутствии сил
трения, как известно, в ко-
ординатах pv изображает-
ся площадью dabe, где
ние. 15.15
кривая а-b является равно-
весной адиабатой расшире-
ния. Указанная площадь равна /ад = &аад/2. Действительная удельная
работа истечения Z = w®/2 будет меньше, чем /ад.
В соответствии с изложенным в начале § 15.9 действительный
процесс истечения можно заменить обратимым процессом а-с. Кри-
тельного истечения потока
вая а-с является таким обрати-
мым процессом, в котором рабо-
чее тело проходит через те же
состояния, что и в действитель-
ном процессе адиабатного исте-
чения. Понятно, что кривая а-с
будет расположена над обрати-
мой адиабатой в связи с выде-
лением теплоты трения, равной /тр.
Поэтому при одном и том же
противодавлении р удельный объем
v в действительном процессе исте-
чения будет больше, чем удельный
объем уад в случае истечения без
трения.
Применим уравнение Бернулли
к случаям идеального и действи-
ными стенками. Используем уравнение (14.21):
упругой жидкости из сопла с неподвиж-
v dp + d (w2/2) + б/тр = 0,
причем для идеального процесса работы сил сопротивления /тр = 0.
8 Зак. 49
225
Считая, что начальная скорость близка к нулю, находим для
р
идеального процесса /ад = w‘i^/2 ~ — $ С’ад dp\ для действительного
Ро
2
процесса I = пу2/2 = —$ vdp — /тр.
1
Вычитая почленно из первого уравнения второе, получаем фор-
мулу для определения потерянной удельной кинетической энергии:
2
А/ = /ад - / = Ид - ^а)/2 = /Тр - 5 (Уад -V)dp...	(15.34)
1
Интеграл, стоящий в правой части равенства, всегда положите-
лен, так как и!|д < v и dp<_Q. Этим подтверждается, что потерян-
ная удельная кинетическая энергия А/ меньше работы /тр, затрачен-
ной на работу против сил трения.
Последнее понятно, поскольку выделяющаяся теплота трения
вызывает увеличение удельного объема и тем самым увеличивает
2
работу расширения. Величина Ццад — v)dp, которую обозначим 1г,
।
является м е р о й восстановленной кинетической энер-
гии. На диаграмме pv удельная работа 1г может быть представлена
площадью abc (заштрихованной на рис. 15.15).
Из формулы (15.34) следует:
А/ = laa I = /тр /2.
На диаграмме Ts (рис. 15.16) вертикальной линией а-b между
изобарами р± и р2 показана равновесная адиабата, а линией а-с —
действительный процесс расширения (ds>-0). Точка с лежит на той
же изобаре р2, что и точка Ь*.
Площадь а'abb', как известно (см. § 11.5), равна /х —/ад и изо-
бражает удельную работу истечения /яд.
Площадь тасп, лежащая под кривой а-с, в соответствии с фор-
мулой (15.26) равна qrp, а следовательно, и /,р. Изобара b-с делит
эту площадь на две части. Площадь abc, заштрихованная на рисунке
и аналогичная такой же площади на рис. 15.15, изображает восста-
новленную удельную кинетическую энергию 1г. Окончательно поте-
рянная кинетическая энергия А/ будет изображаться площадью tnbcn.
Потерянную удельную энергию, как площадь под изобарой,
легко определяют через разность удельных энтальпий:
А/ 61Д1
/ ~ /ад А/ = (l\ 1ад) (/-2 /ад) = Ч /г-	(15.35)
Таким образом, удельная работа I в координатах Ts равна раз-
ности площадей: пл. (a'abb') — пл. (mbcri).
* На рис. 15.16 показан процесс расширения перегретого пара, однако,
как это будет ясно из дальнейших рассуждений, полученные выводы можно обоб-
щить на любое рабочее тело,
226
На диаграмме pv площадь, изображающая действительную работу
истечения I, может быть получена проведением изоэнтальпы с-с'.
Согласно формуле (15.35), для определения работы I необходимо из
площади dabe (рис. 15.15), равной работе /ад, вычесть площадь,
равную работе Д/. Последняя равна пл. ekc'b при условии, что
удельная энтальпия в точке с' равна удельной энтальпии в точке с.
Действительно, в этом случае пл.
понятно, что полная удельная работа
4- пл. kc'be.
Само собой разумеется, что дей-
ствительное состояние рабочего тела
в выходном сечении насадки опреде-
ляется точкой с, а не точкой с'.
Располагая сведениями о влиянии
трения на процесс истечения, следует
еще раз обратиться к процессу дрос-
селирования как к предельно необра-
тимому процессу, в котором вся ра-
бота затрачивается на преодоление
трения и сопротивлений. Для этого
удобно использовать диаграмму Ts.
Когда в результате внутреннего
тепловыделения за счет работы сил
dac'k равна 11 — 1г = 1. Также
/тр сил трения равна пл. abc -ф
трения удельная энтальпия в конце	Рис. 15.17
действительного процесса истечения
(точка с) достигнет начального значения, т. е. когда i2 = (рис. 15.17),
потерянная удельная кинетическая энергия Д/ будет равна ф —1ад,
иными словами, потерянная кинетическая энергия окажется равной
теоретической работе истечения. Ясно, что действительная работа
в этом предельном случае будет равна нулю. Это значит, что на
диаграмме Ts пл. тЬсп — пл. a'abb'.
Также поясним, что при дросселировании удельная работа /тр,
затрачиваемая на преодоление трения, складывается из удельной
работы /ад, которая возникла бы при адиабатном течении без тре-
ния, и из дополнительной удельной работы 1г (пл. Ьас), получаемой
в связи с увеличением удельного объема за счет внутреннего тепло-
выделения.
Глава XVI
МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЦИКЛОВ ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УСТАНОВОК
§ 16.1. Общие вопросы анализа циклов
Эффективность цикла определяется двумя факторами: во-первых,
тем, в какой степени теплота способна превращаться в работу
в данных температурных условиях, что определяется термическим
к. п. д. обратимого цикла, и, во-вторых, размером необратимых
потерь в цикле, учитываемых так называемым внутренним относи-
тельным к. п. д. цикла.
8*
227
В реальных теплоэнергетических установках должны быть учтены,
кроме того, потери, связанные с передачей работы к потребителю,
затратой работы на обслуживание установки, транспортировкой
рабочего тела между элементами установки и т. п. Эти потери обу-
словлены необратимыми явлениями теплообмена и трения, а также
гидравлическими сопротивлениями.
Эффективность установки в целом с учетом этих потерь харак-
теризуется эффективным к. п. д. установки.
Анализ теплоэнергетической установки и, в частности, ее цикла
имеет своей целью определить эффективность работы установки и
раскрыть возможности ее повышения. Для этого необходимо выяс-
нить прежде всего, какое влияние на эффективность работы уста-
новки оказывают отдельные процессы, совершаемые в элементах
установки — котельном агрегате или в камере сгорания, в турбине
и компрессоре, в теплообменниках и т. п.
С этой целью необходимо, во-первых, найти значение терми-
ческого к. п. д. цикла и пути его повышения; во-вторых, опреде-
лить значение различных необратимых потерь и установить таким
образом, какие процессы требуют совершенствования.
В свете изложенного внесем уточнение понятия «термический
к. п. д.»: под этим названием будем понимать к. п. д. только обра-
тимого- цикла. Обозначая через /ц удельную работу обратимого
цикла, можем записать
^ = ^/<71 = 1-|<7а I/71-	(16.1)
Действительная удельная работа цикла /ц д меньше работы обра-
тимого цикла в связи с необратимыми потерями Д/ц, которые прев-
ращаются в теплоту | Д<72ц |, отводимую к теплоприемнику. В связи
с этим отводимая в цикле удельная теплота ) <?2д | больше | q21, т. е.
I ^7гц I = I ?2Д I I 7г I =	^Ц. Д =
где Д/ц —потеря работоспособности (эксергии) теплоты в цикле
вследствие необратимости.
Внутренним относительным к. п. д. т],,г называют отношение дей-
ствительной работы цикла (необратимого) к работе обратимого цикла:
Ло<	(71 I 7гдI )/7i= 1 I 7гд |/7г	(16.2)
Произведение термического и внутреннего относительного к. п. д.
цикла равно внутреннему абсолютному к. п. д. цикла'.
Л/==ЛЛ)о/==кд/71-	(16.3)
Внутренний абсолютный к. п. д. цикла учитывает оба фактора,
определяющих эффективность цикла: способность теплоты превра-
щаться в работу в данных температурных условиях и потери вслед-
ствие необратимости цикла.	z
Удельная работа обратимого цикла представляет собой разность
удельной теоретической работы расширения /0„ и абсолютного зна-
чения удельной теоретической работы сжатия
^09 1 А)с Ь	(16.4)
228
16.2. Сравнение термических к. п. д. обратимых циклов
Сравнение обратимых циклов производят по их термическим
к. п. д. Для этого необходимо располагать значениями подведенной
и отведенной теплоты, вычисление которых бывает часто связано
с известными трудностями. Вместо удельной теплоты иногда рас-
сматривают эквивалентную ей площадь
на диаграмме Ts.
Основной недостаток такого мето-
да— его абстрактность, отвлеченность
от физических особенностей анализи-
руемых циклов.
Наглядным и физически обоснован-
ным методом, базирующимся на основ-
ных законах термодинамики, является
метод В. С. Мартыновского. По этому
методу сравнение термических к. п. д.
циклов производят по среднетермоди-
намическим температурам подвода и
отвода теплоты, рассмотренным в § 3.7.
Обратимся к рис. 16.1, на котором изображен произвольный
обратимый цикл a-b-c-d. Максимальная температура цикла Tlf мини-
мальная 7V Средняя термодинамическая температура подвода теп-
лоты 7\, отвода 7’2. Тогда
71 — A (S2 ~~ si)>
I Qi I = ^2 (S2 Sl)
и термический к. п. д. произвольного обратимого цикла a-b-c-d по
формуле (16.1) принимает следующий вид:
П/=1 —Г2/Л-	(16.5)
Термический к. п. д. тем выше, чем больше средняя температура
подвода и чем ниже средняя температура отвода теплоты.
16.3. Анализ необратимых циклов с помощью системы
коэффициентов полезного действия
Реальные процессы сжатия и расширения сопровождаются необ-
ратимыми потерями, учитываемыми внутренним относительным к. п. д.
т]о; машины, в которой совершается процесс.
При расширении (в турбине, в дизеле)
’loip = ^p//op	(16.6)
при сжатии (в компрессоре, дизеле)
Ло* с = I с |/*е,	(16.7)
откуда находим 1р = /орт]0/ и 11С | = | /ос
229
Потери уменьшают работу расширения и увеличивают работу
сжатия. В результате действительная работа цикла существенно
снижается:
4l,	I ^сж | == А) рЛо( р А)с/Ло/ с	(16.8)
После соответствующих подстановок в формулу (16.3) получим
выражение для внутреннего абсолютного к. п. д. цикла
Л/ц = [4 рЛо/ р | А)еж [/"По/ с]/Я1‘	0 6.9)
Эффективный (абсолютный) к. п. д. установки помимо потерь,
учитываемых внутренним абсолютным к. п. д. цикла, учитывает
механические потери введением механического к. п. д. и потери
в элементах и устройствах установки, не связанных с совершением
цикла (в котельном агрегате, в камере сгорания, в редукторе,
в электрогенераторе и т. п.) через их эффективные к. п. д.:
Пеун=1кПо/Пт],	(16.10)
где Пт] — произведение к. п. д., учитывающих упомянутые потери.
Эффективный к. п. д. показывает долю теплоты, выделяемой
при полном сгорании топлива, которая превращается в полезную
работу, отдаваемую потребителю (например, электрогенератору или
гребному винту):
4 =	(16.11)
Неиспользованная доля удельной теплоты состоит из удельной
теплоты ! 72д I, 01 водимой в цикле с учетом его необратимости, и
потерь удельной теплоты A<yn0T, не связанных с совершением цикла,
но неизбежных в реальной установке:
А<7 = (1 - т]е) Я1.	(16.12)
Очевидно,
Л<7пот = (Л/ц Ле) Ч1.	(16.13)
Эта потеря также рассеивается в окружающей среде.
Анализ теплоэнергетической установки с помощью системы коэф-
фициентов полезного действия основан на законе сохранения и пре-
вращения энергии, иначе —на первом начале термодинамики. Он не
учитывает, что теплота и работа не равноценны и что теплота раз-
личного потенциала имеет различную ценность.
Вследствие этого рассмотренный метод анализа хотя и дает вполне
надежную оценку эффективности теплоэнергетической установки, но
не использует всех возможностей термодинамического аппарата. Он
не позволяет обнаружить основные очаги необратимости, т. е. те
процессы, которые должны привлекать наше особое внимание
в целях повышения эффективности установки.
Этого недостатка лишены эксергетический и энтропийный методы,
основанные на обоих началах термодинамикй,
230
§ 16.4. Эксергетический метод анализа
Удельная эксергия теплоты заданного потенциала Т определяется
формулой (9.7):
ех = </х(1 —То/Т),
где <?х —удельная располагаемая теплота.
Если источником теплоты высокой температуры (теплоотдатчиком)
являются продукты сгорания топлива, изменяющие свою темпера-
туру при движении по газоходам котла, то эксергия подведенной
в цикле удельной теплоты определяется по следующей формуле:
ex —</х —T^As,.,	(16.14)
где Asr == $ (6<у/Т) — изменение (уменьшение) удельной энтропии газа
1
при отдаче им теплоты, вычисляемое по абсолютному значению.
Эксергетический к. п. д. цикла есть отношение полезно исполь-
зованной эксергии Дехи ко всей израсходованной энергии Дехрас:
т)ц.в = Аех„/Аехрас.	(16.15)
Полезно использованная эксергия в случае превращения ее в работу
в цикле равна действительной работе цикла с учетом его необрати-
мости /ц д. А израсходованная эксергия представляет собой разность
эксергии теплоты, подведенной в цикле [формула (16.14)] и отве-
денной. Следовательно,
Лц.» = /ц.д/(ехх-ех2).	(16.16)
При выражении I в Дж/кг, ех в Дж/кг г)ц 9 выражается в долях
единицы.
Поскольку эксергия теплоты представляет собой ее превратимую
часть, способную в обратимом цикле (например, в цикле Карно)
полностью превращаться в работу, эксергетический к. п. д. обра-
тимого цикла равен единице. Следовательно, эксергетический к. п. д.
цикла может принимать значения в общем случае от нуля до еди-
ницы:
0^Т]ц.9^1-
Формула (16.15) применима также для определения эксергети-
ческого к. п. д. щ любого элемента теплоэнергетической установки —
котла, турбины, теплообменника и т. п. При этом эксергию опре-
деляют как эксергию потока.
Для таких элементов установки, в которых работа не совер-
шается и не затрачивается, эксергетический к. п. д. представляет
собой отношение
== exBbIX/exBX,	(16.17)
где ехвх — удельная эксергия рабочего тела в потоке на входе
в аппарат; ехаых — эксергия на выходе из аппарата.
231
Глава XVII
ЦИКЛЫ ПОРШНЕВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ
§ 17J Принцип действия поршневых двигателей внутреннего
сгорания
Рабочим телом двигателей внутреннего сгорания (ДВС) является
смесь газов, образующихся при сгорании топлива, а источником
теплоты высокой температуры — горящее внутри цилиндра топливо.
Сгорая на некотором участке цикла, оно выделяет теплоту, переда-
ваемую газам. При последующем их расширении полученная энер-
гия частично превращается в
работу, а остальная часть от-
дается окружающей среде.
Все существующие поршне-
вые двигатели внутреннего сго-
рания разделены на две основ-
ные группы по типу идеального
цикла:
1) двигатели внутреннего
сгорания, для которых идеаль-
ным является цикл с изохор-
но-изобарным подводом теп-
лоты;
2) двигатели внутреннего
сгорания, для которых идеаль-
ным является цикл с изохор-
ным подводом теплоты.
В курсе технической термо-
динамики и в теории двигате-
Рис. 17.1
лей внутреннего сгорания принято рассматривать еще идеальный
цикл с изобарным подводом теплоты.
На рис. 1-7.1 показана теоретическая индикаторная диаграмма
двигателя с изохорно-изобарным подводом теплоты. При ходе пор-
шня вправо (по рисунку) в цилиндр двигателя засасывается воздух че-
рез открытый впускной клапан А. Процесс наполнения цилиндра
(1-й такт) на индикаторной диаграмме изображается линией а-Ь,
проходящей немного ниже линии давления атмосферного воздуха
Ро. После заполнения цилиндра воздухом впускной клапан закры-
вается и начинается при обратном ходе поршня процесс адиабатного
сжатия воздуха, который изображается линией b-с (2-й такт). В про-
цессе сжатия температура воздуха увеличивается до 600 —650 °C*,
превышая в конце процесса сжатия температуру самовоспламенения топ-
лива. При приближении поршня к крайнему левому положению впрыс-
кивается топливо с помощью форсунки в цилиндр двигателя. Топливо
(дизельное топливо, моторное топливо) подводится к форсунке под
* Напомним, что при адиабатном сжатии вся затраченная работа преобразу-
ется во внутреннюю энергию рабочего тела(
232
большим давлением (порядка 10...100 МПа) и, проходя через нее,
распиливается. Соприкасаясь с горячим воздухом, топливо загорается
(так называемое воспламенение от сжатия). Первые порции топлива
сгорают практически при постоянном удельном объеме (процесс c-d),
а последующие — по мере продвижения поршня — при постоянном
давлении (процесс d-d'). В точке d' прекращается подача топлива,
а поршень под давлением расширяющихся горячих газов (продук-
тов сгорания топлива) двигается вправо (3-й такт). Процесс расши-
рения газов изображается линией d'-e. По приходе поршня
в крайнее правое положение открывается выпускной клапан В,
поршень двигается в крайнее левое положение (4-й такт) и вытал-
кивает продукты сгорания в ат-
мосферу (процесс с-а).
На рис. 17.2 показана тео-
ретическая индикаторная диа-
грамма двигателя, для которого
образцовым является цикл с изо-
хорным подводом теплоты. При
ходе поршня вправо в цилиндр
двигателя засасывается через
открытый впускной клапан А
смесь воздуха с парами лег-
кого жидкого топлива (бензин,
керосин и т. п.) или горючего
газа. Процесс наполнения ци-
линдра (1-й такт) на индикатор-
ной диаграмме изображается
линией а-b. После заполнения
цилиндра горючей смесью впуск-
Рис. 17.2
ной клапан закрывается и начи-
нается (при обратном ходе поршня) процесс сжатия смеси, кото-
рый изображается линией b-с на индикаторной диаграмме (2-й такт).
При приходе поршня в крайнее положение с помощью электрического
запала (свечи) производится воспламенение смеси, которая теоретиче-
ски мгновенно сгорает. В связи с этим при неизменном удельном
объеме резко повышается температура и давление газа (линия c-d).
Под давлением горячих продуктов сгорания поршень начинает двигать-
ся (вправо по чертежу) — происходит процесс d-e расширения газа
(3-й такт). В конце расширения, по приходе поршня в крайнее по-
ложение, открывается выпускной клапан В. Далее поршень, двигаясь
к исходному положению (4-й такт), выталкивает продукты сгорания
в атмосферу (линия е-а). В таких двигателях температура конца
сжатия, зависящая от конечного давления, должна быть ниже тем-
пературы самовоспламенения горючей смеси.
Рассмотренный процесс работы двигателя внутреннего сгорания,
как это вытекает из изложенного, происходит за четыре хода пор-
шня (два оборота вала). Поэтому такие двигатели называются четы-
рехтактными. Возможно осуществить этот же процесс и за два хода
поршня (один оборот вала) путем установки специального продувоч-
233
ного насоса и соответствующего конструктивного оформления ци-
линдра. В этом случае двигатели называются двухтактными.
Рассматривая индикаторную диаграмму двигателя внутреннего
сгорания, нельзя отождествлять ее с термодинамическим циклом.
Однако, вводя некоторые упрощения в рассмотренные процессы,
можно с некоторой степенью условности принять, что двигатели внут-
реннего сгорания работают по термодинамическим циклам, т. е. по
обратимым замкнутым процессам.
Отметим, что процесс наполнения цилиндра (линия а-b) и про-
цесс выпуска отработавших газов (линия е-а) в смысле затраты
на них механической работы играют весьма малую роль (площадь
amba). В идеальном случае, когда можно положить сопротивление
проходу газов через впускной и выпускной клапаны равным нулю,
линии а-b и е-а сольются. Поэтому вспомогательные процессы вса-
сывания и выталкивания можно не учитывать.
Далее примем, что по линии c-d-d' происходит не сгорание топлива,
связанное с химическим изменением состава газа (меняется газовая
постоянная), а обратимым путем подводится извне теплота такая
же, какая выделяется топливом при его сгорании. Также примем,
что теплота, уносимая отработавшими газами в атмосферу, может
быть заменена теплотой Q2, обратимым путем отводимой от газов.
При таких предпосылках можно принять, что двигатели внут-
реннего сгорания работают по обратимым термодинамическим цик-
лам. Процессы сжатия и расширения будем считать происходящими
по обратимым адиабатам, а обратимость изохорных и изобарных
процессов, заменяющих действительные процессы сгорания топлива
и выхлопа продуктов сгорания, осуществляется с помощью лю-
бого числа точечных источников и приемников теплоты. Такого
рода идеализация действительных процессов в двигателях является
общепринятой, и в данном случае мы ей последуем. Более подроб-
ное изучение действительных процессов, происходящих в цилиндре
двигателя, является делом специального курса двигателей внутрен-
него сгорания.
§ 17.2. Цикл с изохорно-изобарным подводом теплоты —
цикл Тринклера * *
На рис. 17.3, а, б показан в координатах pv и Ts идеальный
цикл двигателя с изохорно-изобарным подводом теплоты. Выведем
формулу для термического коэффициента полезного действия такого
цикла.
Подведенная к циклу удельная теплота 7i = <7i + <7i' (равная
пл. а23’ЗЬ на диаграмме Ts), где q’ — удельная теплота, подводимая
изохорно (пл. а23'с)\ q'{ — изобарно (пл. сЗ'ЗЬ). По изохоре 4-1 отво-
дится удельная теплота q2 (равная пл. а!4Ь):
I I __ 1________cv —Т\)_______
 k	<б + я”	су(Т'3-Т2)+ср(Тя^Т'2у
* По имени русского инженера, впоследствии профессора Горьковского инсти-
тута водного транспорта.
234
При изучении циклов двигателей внутреннего сгорания приняты
следующие обозначения и наименования характеристик:
V JV2 — vjv2 = е — степень сжатия.
где 1Д —объем поступающего в цилиндр воздуха до сжатия; У2—
после сжатия (объем камеры сгорания); р31р2 = 'к —степень повыше-
ния давления. Значение % возрастает с увеличением массы топлива,
сгораемого при v = const; V3/V3 = v3/v3 = p —степень предваритель-
ного расширения. Величина р имеет тем большее значение, чем
больше сгорает топлива при р = const.
Выразим тр цикла через характеристики цикла е, р и 'К. Для
этого определим температуры, входящие в выражение для тр через
температуру 7\, используя
для этого соотношения
между параметрами в адиа-
батном, изобарном и изо-
хорном процессах:
т2
Т2=-Т2р'Л1р2^Т^к,
Т3 = T3v3/v3 = Т ^^р;
== Т3 (ц3Дз)'г1 (Уз/^1)^1 =
= W.
Рис. 17.3
Подставляя значения найденных температур в формулу для тр,
получаем
,	Хр/г-1
1 (Xe*~i — e,k-i) + k (Xpe*-i-Xs*-i)!
или
1	Xpft — 1	Ц 7 П
Т|/ “ 1 “ б*-1 [(X-l) + W (р— 1)J ’
Двигатели внутреннего сгорания, для которых идеальным цик-
лом является цикл с изохорно-изобарным подводом теплоты, назы-
ваются бескомпрессорными дизелями или просто дизелями.
Исследование формулы (17.1) показывает, что термический коэф-
фициент полезного действия цикла с изохорно-изобарным подводом
теплоты возрастает с увеличением степени сжатия е и степени повы-
шения давления X и уменьшается с ростом степени предварительного
расширения р.
Значение тр (при степени сжатия с =-=18...20, что соответствует
максимальным значениям*, применяемым в дизелях) достигает зна-
чения 0,65... 0,70.
В дизелях, для которых образцовым является цикл с изохорно-изобарным
подводом теплоты, как было указано выше, топливо в распыленном виде вво-
* В настоящее время встречаются и ббльшие значения е.
236
дится В цилиндр двигателя. Подача топлива к форсунке осуществляется специаль-
ным топливным насосом (так называемым насосным способом) под высоким дав-
лением в десятки мегапаскалей.
Ранее распиливание топлива производилось струен сжатого воздуха. Для
такого распыливания был необходим специальный компрессор, составляющий
неотъемлемую часть дизеля. Поэтому такие дизели называются компрессорными
дизелями. Компрессорные дизели в настоящее время не применяют. Образцовым
дЯя компрессорных дизелей является цикл с изобарным подводом теплоты.
Первый компрессорный дизель (топливо —керосин) был построен в 1895 г.
немецким инженером Р. Дизелем, а дизель, работавший на тяжелом топливе
(сырая нефть) с процессом сгорания при р const, был построен в 1899 г. па
заводе «Русский дизель». Патент на бескомпрессорный дизель был выдан в 1904 г.
русскому инженеру Г. В. Тринклеру. Все современные дизели выполняются как
бескомпрессорные.	. ,
§ 17.3. Циклы с изохорным
и изобарным подводом теплоты
На рис. 17.4, а, б показан в координатах pv и Ts идеальный
цикл с изохорным подводом теплоты.
По изохоре 2-3 подводится теплота ср (изображаемая пл. а23Ь
на диаграмме Ts); по изохоре 4-1 отводится теплота
				
		Ли		
				
				
Термический коэффициент полезного действия идеального цикла
с изохорным подводом теплоты
III/ 1 ст> (I't — ТУ)
В/ - I !/7i =- -	’
Температуры в основных точках цикла связаны между собой
зависимостью
T2/T1 — T3/Ti = (v1/v2)l‘~1 — e'!~l;
П/ = 1 ~ (Л/Л)	= 1 - ~.	(17.2)
Формулу (17.2) для тр цикла с изохорным подводом теплоты
легко получить из формулы (17.1), положив р = 1.
Термический коэффициент полезного действия цикла с изохорным
подводом теплоты зависит только от степени сжатия и показателя
адиабаты, и тем больше, чем больше степень сжатия. На рис. 17.5
236
дано семейство кривых, показывающих величину гр в зависимости
от степени сжатия и показателя адиабаты.
Увеличение р, цикла сдерживает относительно небольшое мак-
симально допустимое значение температуры = 7\efc-1. Для обыч-
ных бензиновых и керосиновых двигателей во избежание прежде-
временного воспламенения смеси е = 4...7; для газовых—до 8.
Формулу термического к. п. д. цикла с изобарным подводом
теплоты можно получить из формулы (17.1), положив Z = l:
Ф = 1-гтАттч--	(17.3)
1	k (р — 1) е" 1	'	'
Первый двигатель внутреннего сгорания образцового цикла с изохорным под-
водом теплоты (топливо — горючий газ) был построен немецким изобретателем
Н. Отто в 1876 г., а сам цикл с изохорным подводом теплоты был предложен
еще в 1862 г. Бо-де-Роша. В 1879 г. И. С. Костович впервые построил карбюра-
торный двигатель внутреннего сгорания, работавший на легком жидком топливе.
§ 17.4, Сравнительный анализ термодинамических циклов ДВС
Для оценки совершенства термодинамических циклов ДВС сравним
их по эффективности превращения теплоты в работу. Научно
обоснованный метод анализа, отвечающий основному постулату вто-
рого начала термодинамики, заключается в замене рассматриваемого
цикла эквивалентным циклом Карно путем введения среднетермо-
динамических температур 7\ подвода и Т2 отвода теплоты [по фор-
муле (3.35)]. При этом для любого цикла имеем по формуле (8.8)
Применим этот объективный метод анализа при условии равен-
ства максимальных и минимальных температур и давлений в срав-
ниваемых циклах (pj, р3 и 7\, Т3).
На рис. 17.6, а, б в системах координат pv и Ts представлены:
l-2v-3-4 — цикл ДВС с изохорным подводом теплоты; 1-2-3'-3-4 —
цикл с изохорно-изобарным подводом теплоты; 1-2р-3-4 — с изобарным
подводом теплоты*.
Как видно из рисунка, средняя термодинамическая температура
подвода теплоты в цикле с изохорно-изобарным (смешанным) под-
водом теплоты 7СМ больше, чем в цикле с изохорным подводом теп-
лоты Tlv, но меньше, чем в цикле с изобарным подводом теплота Т1р,
а средняя термодинамическая температура отвода теплоты Т2 для
всех циклов одинакова. Следовательно, Т2/Т\р < Т2/Т1ал< T2/Tlv и
по формуле (8.8) найдем
Фр фсм фи>
т. е. термический к. п. д. трсн —цикла с изохорно-изобарным под-
водом теплоты больше, чем цикла с изохорным подводом теп-
лоты, но меньше, чем трр в цикле с изобарным подводом теплоты.
* 1 -2р-3-4' —цикл газотурбинной установки с изобарным подводом теплоты,
рассматриваемой в § 19.2.
237
Для практически применяемых степеней сжатия термический
к. п. д. идеального цикла с изохорным подводом теплоты достигает
значений тр., = 0,4... 0,55; со смешанным подводом теплоты грсм —
= 0,55... 0,70.
Как видно из рисунка, степень сжатия е (процесс 1-2V) в цикле
с изохорным подводом теплоты оказалась наименьшей, что соответ-
ствует реальным условиям.
Глава XVIII
ЦИКЛЫ ПАРОСИЛОВЫХ УСТАНОВОК
18.1. Цикл Ренкина
Идеальным, или образцовым, циклом паросиловой установки
является цикл Ренкина. Тепловая схема такого цикла показана на
рис. 18.1.
В котельном агрегате К теплота, выделяемая при сгорании топ-
лива в топке, передается рабочему телу — воде, которая превра-
щается в пар заданных параметров. Из котельного агрегата пар
поступает в паровую турбину Т (или в паровую поршневую машину),
где происходит преобразование части подведенной в котельном агре-
гате теплоты в работу. Отработавший в турбине пар поступает
в конденсатор Конд., где отдает непревращенную в работу теплоту
охлаждающей воде (в судовых условиях — забортной воде). Пар кон-
денсируется, и конденсат с помощью питательного насоса П.н
направляется обратно в котельный агрегат.
Источником теплоты высокой температуры — теплоотдатчиком —
являются газообразные продукты сгорания топлива. Источником
238
теплоты низкой температуры — теплоприемником — природная охлаж-
дающая вода, циркулирующая по трубкам конденсатора.
На рис. 18.2, 18.3 и 18.4 в координатах pv, Ts и is изображен
цикл Ренкина * 1-2-3-4.
В котельном агрегате при давлении /д происходит изобарный
подогрев воды от температуры ti до tsl (участок 4-а'), затем изо-
барно-изотермический процесс парообразования (участок а'-а") и,
наконец, изобарный перегрев до температуры (участок а"-1).
В итоге из котельного агрегата выходит пар с давлением plt тем-
пературой и удельной энтальпией it.
Далее в турбине происходит адиабатное расширение пара 1-2 до
давления р2. После расширения удельная энтальпия пара равна i2.
Затем начинается изобарный процесс 2-3 конденсации пара (в обла-
сти влажного пара — изобарно-изотермический), в результате кото-
рого получается вода при температуре ts2 с удельной энтальпией
i3 — i'2. Далее в питательном насосе давление конденсата повышается
* Для наглядности масштаб построения несколько искажен.
239
до давления рх (процесс 4-3) и конденсат направляется в котельный
агрегат.
Термодинамические состояния 7, 2, 3, 4 соответствуют состоянию
рабочего тела в соединительных трубках, обозначенных теми же
цифрами на рис. 18.1.
Удельная техническая работа, отдаваемая турбиной /т, равна
i\ —z2, как было показано в гл. VII, и изображается в координа-
тах pv площадью а12Ь. Удельная работа, затрачиваемая на пита-
тельный насос, | /н | = — i3 достаточно точно изображается прямо-
угольником Ь34а = v'i (р4 — р.2).
=	= 0’1 - i2) - («4 - Q ИЛИ
Получаемая за цикл работа
I =
1^(к~Ц)-Ц2-13).	(18.1)
Разность удельных энтальпий — i4) представляет собой удель-
ное количество теплоты qit изобарно подведенной к рабочему телу
в котельном агрегате (в процессах подогрева жидкости, парообра-
зования и перегрева), а разность i2 — i3 равна теплоте \q2\, отведен-
ной в конденсаторе в изобарно-изотермическом процессе конденсации.
Принимая, что изобары жидкости совпадают с нижней погра-
ничной кривой, можно, не выходя за пределы требуемой точности,
пренебречь площадью 34а' на диаграмме Ts.
Тогда *
t.i == ts2, i3 ™ z4
и
I — ts— z2, t\\ == O'
(18.2)
* В идеальном насосе (без потерь) работа затрачивается только на увеличе-
ние потенциальной энергии давления жидкости. Если воду считать несжимаемой
и учитывая, что давление р3 около 0,01 МПа, будем иметь
РЛ~ p3v3 = v (Pi — Рз) == vp4.
При давлении, например, в 4 МПа получим
p4v — 4  10е • 1  10' 3 Дж/кг = 4 • 103 Дж/кг = 4 кДж/кг,
что составляет около 0,5% от располагаемого перепада удельной энтальпии
ii — /а.
240
При этих условиях цикл Ренкина будет изображаться на диаг-
раммах pv и Ts, как это показано на рис. 18.5 и 18.6.
На диаграмме pv указанные допущения выразятся в том, что
линия 3-4 сольется с осью ординат, т. е. пл. а12Ь окажется равной
пл. 4123 (рис. 18.5 и 18.2).
В действительности линия 3-4 отстоит от оси на расстоянии,
определяемом значением v[, так как нельзя представить термодина-
мический процесс при удельном объеме рабочего тела, равном нулю.
Термический к. п. д. цикла Ренкина
г1/ = /ц/^1 = (Ч-гя)/(й-«з)-	(I8-3)
Удельная работа /ц в диаграмме Т, изображается площадью
цикла 4а'а!'123, а разность удельных энтальпий (1\ — /3) — площадью
c4a'a"ld (рис. 18.6). Наиболее удобно для определения и гр пользо-
ваться диаграммой is.
§ 18.2. Система коэффициентов полезного действия
паросиловых установок
Ранее (см. гл. XVI) была установлена система коэффициентов
полезного действия, характеризующих работу тепловых двигателей;
применим ее к паросиловым установкам.
Если работа, развиваемая в турбине с учетом внутренних потерь,
равна It* (индикаторная или внутренняя работа), а работа идеаль-
ной турбины — /, то относительный внутренний к. п. д. [аналогично
формуле (16.2)]
Цо; = h/l = 4/(4 — 4)	(18-4)
представляет собой степень приближения действительного процесса
к идеальному.
Относительный внутренний к. п. д., характеризующий степень
отклонения реальной турбины от идеальной у современных мощных
паровых турбин, цо; = 0,8... 0,9.
Внутренний (абсолютный) к. п. д. представляет отношение работы
Ц к полной затрате теплоты, равной для цикла Ренкина (4 —1'2)
И/= 4/(4-4)-	(18.5)
Здесь вместо i3 введена i'2 — удельная энтальпия воды при темпе-
ратуре кипения, соответствующей противодавлению р2 (давлению
в конденсаторе).
Аналогично получим эффективные коэффициенты полезного дей-
ствия:
Пог = 4/(4 -i'z),	(18.6)
где 1е — удельная эффективная работа на валу машины;
Не П1Имех И Пог Пш'Пмех,
гДе циех — механический коэффициент полезного действия.
* Применительно к поршневым машинам работу // именуют индикаторной.
241
Механический к. п. д. у поршневых машин достигает значений
0,88... 0,93, а у паровых турбин 0,985.
Потери, учитываемые внутренним и эффективным (включающим
механический) к. п. д., относятся к потерям, проявляющимся в про-
цессе преобразования энергии в механическую работу в рабочих
органах с выходом на вал установки.
Однако получение пара в котельном агрегате, в топке которого
сжигается топливо с удельной теплотой сгорания Q“, тоже связано
с некоторыми потерями. Потери этого процесса учитываются к. п. д.
котельного агрегата т]к а (т]к а = 0,8.. .0,9 и достигает в мощных
агрегатах специальных типов значений 0,94.. .0,95).
Коэффициент полезного действия, учитывающий все потери в паро-
силовой установке, носит название экономического к. п. д.:
П9 = ПК.аПе = Пк.аПЛ1о01мех-	(18.7)
Причины отклонения реальных процессов в паросиловых уста-
новках от идеальных изучаются в специальных курсах котельных
установок, машин и турбин.
§ 18.3. Влияние начальных и конечных параметров пара
на термический к. п. д. цикла Ренкина
Оценка влияния параметров на термический к. п. д. является.
задачей курса термодинамики.
Анализ формулы (18.3) для термического к. п. д. цикла Ренкина
П> = («1 — f2)/(I'i-l2) = Mti-l2),	(18.8)
где ht — адиабатный перепад удельной энтальпии, показывает, что
возрастает при увеличении начальных параметров pt и t1n умень-
шении противодавления р2.
Влияние начальных и конечных параметров на значения h и щ
проще всего определить с помощью диаграммы is.
На рис. 18.7 в координатах is показано адиабатное изменение
удельной энтальпии при начальном давлении ръ но при неизменных
значениях (перегретый пар) и противодавления р2- Поскольку р.,
принято неизменным, то так же неизменна 1’2 (удельная энтальпия
воды при давлении р.2 на нижней пограничной кривой). В области
небольших давлений изотерма перегретого пара расположена почти
горизонтально, но с повышением давления начинает постепенно
отклоняться вниз от горизонтали. В области особо высоких давле-
ний изотермы начинают круто падать вниз. Такое расположение
изотермы обуславливает уменьшение с ростом р2, а следовательно,
и уменьшение количества подводимой удельной теплоты: qv = i± — 1%.
Значение ht с увеличением рх возрастает (причем с ростом рх темп
возрастания его уменьшается). В итоге цикла Ренкина увеличи-
вается.
Влияние начальной температуры tr на г); при неизменных значе-
ниях рх и р2 усматривается из рис. 18.8. С увеличением перегрева
242
пара'удельная энтальпия ilt а следовательно, и подведенная удель-
ная теплота увеличиваются. Адиабатный перепад ht также с ростом
tL увеличивается (так как изобары веерообразно расходятся). Таким
образом, в формуле (18.8) для ip одновременно увеличиваются и
числитель и знаменатель. Как показывают подсчеты, в итоге тр при
увеличении перегрева возрастает.
Рис. 18.8
Влияние противодавления р2 на тр при неизменных значениях pi
и можно определить, исходя из рис. 18.9. С уменьшением р2 (уве-
личение разрежения в конденсаторе) уменьшается 1г, а следовательно
удельное количество подведенной теплоты qY = iz —увеличивается
(в связи с большим расходом теплоты на изобарный подогрев конден-
сата). Наряду с этим заметно возрастает адиабатный перепад ht.
В связи с тем что на диаграмме is, как указывалось, изобары вееро-
образно расходятся, значение ht воз-
растает больше, чем qlt а в итоге тр
увеличивается.
Подводя итог изложенному, можно
прийти к заключению, что для по-
лучения высоких значений терми-
ческого к. п. д. цикла Ренкина необ-
ходимо повышать начальные пара-
метры pi и tr и уменьшать противо-
давление р2. Однако при выборе
параметров для паросиловой установ-
ки наряду со стремлением к повыше-
нию тр следует учесть и другие фак-
торы. Так, повышение начального давления в связи с уменьшением
удельного объема пара благоприятно сказывается на габаритных раз-
мерах установок и диаметрах паропроводов, поэтому в крупных ста-
ционарных установках давление пара доводят до 30 МПа (и выше).
Повышение начальной температуры ограничено способностью
металла пароперегревателя длительное время выдерживать высокие
температуры. В настоящее время температура /х,доходит до 600°С.
Снижение противодавления р2, т. е. создание высокого разреже-
ния в конденсаторе, связано с большим расходом охлаждающей воды
243
(а для судовых установок ограничено температурой забортной воды) *.
Также при малых значениях р2 резко возрастает удельный объем
пара** и в связи с этим возрастают размеры конденсатора и трубо-
проводов отработавшего пара.
Сказанного достаточно, чтобы прийти к выводу, что выбор пара-
метров пара для паросиловой установки должен производиться с уче-
том всех факторов, определяющих экономичность работы установки
и технологичность ее изготовления. Конечно, немаловажную роль
при выборе параметров пара будет иметь и термический к. п. д.
цикла.
18.4. Регенеративный цикл паросиловой установки
Большее значение термического к. п. д. идеального цикла Карно
цс, в заданном интервале температур сравнительно с таким же к. п. д.
идеального цикла Ренкина т)ц вызвано тем, что в цикле Карно сооб-
щение и отнятие теплоты происходит только в изотермических про-
цессах, в то время как подвод и отвод теплоты в цикле Ренкина
происходит по изобарам, которые только в области влажного пара
совпадают с изотермами. Подогрев воды до температуры кипения и
перегрев пара являются про- Таблица 18.1 цессами изобарного подвода			
Pi, МПа	’1R	Чс	теплоты с повышением темпе- no^HR/nc	ратуры. Остальные процес- сы, связанные с подводом и
1 2 3 4 5	0,265 0,300 0,320 0,335 0,344	0,296 0,343 0,371 0,391 0,406	отводом теплоты, в цикле 0,895	Ренкина изотермичны (паро- 0,875	образование и конденсация). 0’^57	При работе на насыщен- 0*847	ном паРе, в особенности при невысоких значениях началь-
ного давления, разница между
цс и т]д не столь велика, как это усматривается из приведенной
табл. 18.1 (принято р2=10 кПа, 1'2 = 191,9 кДж/кг).
При работе на перегретом паре при р2 = 3 МПа, ^ = 350°С и
ра = 4 кПа получим т]0 = 0,70, а при перегреве до 450°С т)о = 0,64.
Из этих примеров следует, что чем значительнее изобарный подогрев
воды и чем больше изобарный перегрев пара, т. е., чем больше
используются изобарные процессы в цикле Ренкина, тем значитель-
нее разница между цс и цГ1.
Изобарный перегрев пара неизбежен в паросиловых установках.
Что же касается изобарного подогрева воды, то отрицательное вли-
яние его на t]r можно частично уменьшить применением цикла
с регенеративным подогревом питательной воды.
* Напомним, что давлению р2 = 4 кПа соответствует температура ts = 29° С
и охлаждающая вода должна иметь температуру не выше 20° С.
** При понижении р2 от 5 до 3 кПа удельный объем водяного пара возра-
стает на 40%.
244
Вспомним, что обобщенный цикл Карно (см. § 8.4) отличается
от цикла Карно тем, что обратимые адиабаты заменяются любыми
обратимыми эквидистантными процессами. Поэтому если в цикле
Ренкина с насыщенным паром (рис. 18.10) заменить адиабатное рас-
ширение пара а"-2 обратимым политропным расширением а"-4 и
подобрать политропу так, чтобы она была эквидистантна нижней
пограничной кривой, то так организованный цикл будет иметь тер-
мический коэффициент полезного действия, равный цс.
Для этого необходимо, как это было показано в § 8.6, непрерывно
(путем наличия бесконечного числа регенераторов) отводить теплоту
в процессе политропного расширения (равную площади а4а''Ь) и
затрачивать ее на подогрев воды на участке 3-а' пограничной кри-
вой * жидкости.
Попятно, что практически та-
кой цикл из-за необходимости
иметь бесконечно большое число
регенераторов неосуществим, но
приблизиться к нему в некоторой
мере вполне возможно. Для этого
применяют ступенчатый подогрев
воды.
Цикл паросиловой установки,
в котором применен подогрев воды,
использующей теплоту конденса-
ции пара, отбираемого из турби-
Рис. 18.10
ны, называется регенеративным.
Теоретически схема регенеративного цикла с трехступенчатым
подогревом воды показана на рис. 18,11.
Пар с массовым расходом mt из парового котла, пройдя паро-
перегреватель, поступает в паровую турбину. Начальные параметры
пара plt и iL. Турбина на схеме разделена на три части: цилиндры
высокого, среднего и низкого давлений. Из всех цилиндров турбины
производится отбор пара массовыми расходами тп, mt2 и т/3.
Таким образом, до первого отбора через турбину проходит т(
пара и превращается в работу адиабатная разность удельной энталь-
пии i1 — ia. Между первым и вторым отбором через турбину прохо-
дит пар (/щ —m.i) и превращается в работу (1а~ Ц)- В части между
вторым и третьим отбором проходит rap (mf — ищ — тЦ) и превра-
щается в работу адиабатная разность удельных энтальпий (ib — ic)
и, наконец, через последний участок проточной части турбины про-
ходит пар mt — mti — mt2 — та и превращается в работу ic —t2. Далее,
как обычно, отработавший пар с параметрами р;> и i2 поступает
в конденсатор. Конденсат, имеющий температуру ts2 при удельной
энтальпии 1'2, направляется конденсатным насосом в бак питатель-
ной воды.
Пар отборов направляется к трем подогревателям, в которых
охлаждается и конденсируется. Конденсат из подогревателей, пройдя
* Принято, что изобара воды совпадает с пограничной кривой жидкости,
245
через дроссельные клапаны К, направляется в тот же бак питатель-
ной воды. В питательном баке происходит смешение четырех порций
воды, каждая из которых обладает своим значением удельной энталь-
пии, а именно: 1'я (конденсат массовым расходом m^i), 1'ь (конденсат
расходом mi2), i'c (ma) и i2 (mt — mt\ — тп — т(3)• В результате смеше-
ния весь конденсат приобретает удельную энтальпию, равную ia.
Затем весь конденсат с помощью питательного насоса пропускается
через трубы, расположенные в паровом пространстве подогревателей.
Пройдя третий (первый по ходу питательной воды) подогреватель, кон-
денсат, играющий роль охлаждающей среды для конденсирующего в по-
Рис. 18.11
догревателе отборного пара, нагревается и в теоретическом случае по вы-
ходе из подогревателя имеет температуру tc—tsc, т. е. равную темпера-
туре насыщения при давлении рс. Пройдя следующий подогреватель,
конденсат будет обладать уже температурой ^ = ^*>4 и, наконец,
после первого подогревателя конденсат поступает в котельный агре-
гат, обладая температурой ta = tsaZ>tb, т. е. значительно более
высокой, чем температура tS2.
В результате регенеративного процесса затрата теплоты извне
на подогрев воды в котельном агрегате будет меньше. Экономия
в затрате теплоты будет равна mt (i'a — i'2). Одновременно с экономией
теплоты уменьшается работа, совершаемая паром в турбине, так как
не весь пар (mz) расширяется до заданного противодавления р2.
Удельная работа, полученная при этих условиях в регенератив-
ном цикле, равна
грег = Ох - la) + (1 - mn/ml} (ia - is) + [1 - (m/14- т/2)М] X
X 07-k) + [1	(ic-ia) (18.9)
246
причем понятно, что
01 — (г'п 0) 4~ (4 ~ 0} + Ос — 1'з) ~ О — ^2»
где rritilmt — относительная масса i-ro отбора.
Удельная работа по циклу Ренкина равнялась бы
/r = ij	i 2»
следовательно,
^рег •
Однако относительная энтальпия в подводимой теплоте будет
больше, чем проигрыш в работе, и благодаря этому термический
к. п. д. цикла повысится, т. е.
Лрег
Лрег ^>ег/0’1	й)>
(18.10)
где i'a — удельная энтальпия воды по
выходе из первого (ближайшего к котлу)
подогревателя, теоретически равная
удельной энтальпии конденсата, полу-
ченного из пара первого отбора. Реге-
неративный подогрев воды повышает
термический к. п. д. цикла на 7... 11 %.
Для практических целей интересен
случай, когда заданы давления отбо-
ров р„, рь и р,.. Проводим адиабату
(рис. 18.12) на диаграмме is из началь-
ного состояния до пересечения с изобарой р2. После этого опреде-
ляют значения уделыюй энтальпии i„, ib и ic, а из таблиц насы-
щенных паров — значения удельных энтальпий i'a, i'b и i'c. Неизвест-
ными являются величины m/it та и пга. В соответствии со схемой
на рис. 18.11 имеем право написать, следующие уравнения:
уравнение материального баланса установки
тг\ Д- т, 2 + /Игз + тг = 1,
(а)
где mz== — У, '//??/ —относительная масса оставшегося пара
\ I
после последнего отбора;
уравнение теплового баланса сборного бака
mrl ia + mr2i ь + mr3i'c + mri"2 = id;	(6)
три уравнения теплового баланса подогревателей:
ТН-П (ia la)	—	la	ib,	(в)
Ofc ^'fc)	==	ib	ic,	(г)
тгз (ic — i'c)	= ic -	id-	(Д)
247
Написанные выше пять уравнений позволяют определить тг1,
mri, тга, тг и id.
Решение вопроса о наивыгоднейших давлениях отбора и о числе
отборов является задачей специальных курсов и в курсе термодина-
мики не рассматривается.
Регенеративный цикл можно изобразить в Ts-диаграмме. Следует
подчеркнуть, что такое изображение весьма условно, так как в отдель-
ных процессах (например, в адиабатном расширении) участвует раз-
личная относительная масса пара: до первого отбора 1 кг, после
отборов все меньшие и меньшие относительные массы.
Условное изображение регенеративного цикла в Ts-диаграмме
дает наглядное представление о самом цикле и позволяет достаточно
просто определить работу Zpcr и црРГ. Последнее возможно только
потому, что теплообмен с внешними источниками (в котле и конден-
саторе) происходит только в тех
процессах, в которых масса рабо-
чего тела остается неизменной.
На рис. 18.13 в координатах
Ts условно показан регенеративный
цикл (принято, что изобары воды
сливаются с нижней пограничной
кривой). Горизонтальные отрезки
ax-= a; b^b', (\~с соответствуют
трем отборам пара. Отрезок под-
бирается из расчета, чтобы площадь
Ьоа\аао равнялась площади Ь'пЬ’а'а’й.
Первая из указанных площадей
равна количеству теплоты, отве-
денной при давлении рй в первом
равна теплоте, подведенной к пита-
площадь
первом подогревателе. Таким же способом
подогревателе, а вторая
тельной воде в том же
подбираются размеры отрезков bt-b и q-c, а именно из расчета
пл. cub1bb0 = пл. c^c'b'b'n и пл. docxcco~ ^Зс'ся.
Ступенчатой формы площадь dc^cb^ba^d выражает работу, поте-
рянную в связи с тем, что отбираемый пар расширяется в турбине
неполностью. Вследствие этого работа меньше регенеративного цикла
IpetlR- Работа /рСГ равна площади, заштрихованной на рис. 18.13, а
извне подведенная теплота qx выражается площадью а'йа'Г 1ап. Линия
а'-Г-Г-1 по-прежнему изображает процесс изобарного подогрева воды,
парообразования и перегрева пара. По адиабате 1-2 происходит
расширение пара в турбине или машине, причем если относительная
масса расширяющегося пара равна 1 на участке адиабаты 1-а, то
на участке а-Ь2 расширяется относительная масса (1 — тГ1) и т. д. и,
наконец, на последнем участке адиабаты сг-2 расширяется всего лишь
относительная масса (1 — т1 — т2 — т3).
Изобаро-изотермический процесс полной конденсации влажного
пара первого отбора относительной массой, равной 1, изображается
линией а = а', но так как конденсируется только относительная
масса тГ1, то этот процесс условно изображают отрезком a-aL. По-
248
нятно, что a-aja-a' = mr,. Площадь под отрезком а-ах изобары позво-
ляет правильно подсчитать количество теплоты, переданное питательной
воде в первом подогревателе, но сам отрезок ни в коем случае не
может рассматриваться как процесс, характеризующий изменение со-
стояния пара при его конденсации в подогревателе. Процесс конденса-
ции пара второго отбора также условно изображается отрезком Ь-Ьх и т. д.
Процесс, происходящий в главном конденсаторе изображается
изобарой 2-3, но количество теплоты, отданное во внешнюю среду,
равно лишь площади d^3ddu, так как в конденсатор попадает пар
относительной массой Хп^т^т.,.
Отрезки aY-b\ Ь^с и cx-d показывают про- j
цессы адиабатного расширения уменьшенных
относительных масс пара.
Площадь под участком 3-а' нижней по-
граничной кривой по построению должна рав-
няться площади под ступенчатой линией
do-Ci^-c-b^b-a^a-ag. Первая из них дает сум-
марное количество удельной теплоты, пере-
данной питательной воде в подогревателях,
а вторая — суммарное количество теплоты,
отданной в подогревателях паром из отборов. -
Процесс 3-1' подогрева воды, как это попятно из схемы, относится
ко всей массе воды, поступающей в котельный агрегат, причем
только на участке а'-Т подогрев воды осуществляется в самом котле.
Из изложенного становится понятной условность изображения
регенеративного цикла в тепловой диаграмме и в каких случаях
таким условным изображением можно пользоваться.
При увеличении до бесконечности числа отборов ступенчатая
линия превратится в плавную кривую (рис. 18.10). В этом случае
Лрег = i)c (для сухого насыщенного пара).
Иногда регенеративный цикл изображают в тепловой диаграмме,
как это показано на рис. 18.14. Площадь 3a'd' представляет собой
недополученную работу, равную — /рег, а площадь d'03a’a'0 — выигрыш
в затрате извне подводимой теплоты.
Регенеративный подогрев воды применяют во всех современных
паросиловых установках.
§ 18.5. Цикл паросиловой установки с промежуточным
перегревом пара
При адиабатном расширении перегретого пара в цилиндре машины
или турбины до противодавления р2 пар обычно в конечном состоянии
становится влажным. Конечное паросодержание влажного насыщенного
пара х2 тем меньше, чем выше начальное давление (начальная точка
процесса сдвигается влево на диаграммах pv, Ts и ts). Паросодер-
жание х2 не должно быть ниже 0,87 ... 0,88 во избежание эрозии
лопаток паровых турбин. Поэтому при переходе к более высокому
начальному давлению необходимо одновременно повышать и
начальную температуру перегрева, так как при этом увеличивается х2,
249
что легко усматривается из рис. 18.8. Однако, как указывалось
(см. § 18.3), максимальное значение температуры ограничено каче-
ством применяемых сталей.
Одним из средств для получения высоких значений х2 в конце
адиабатного расширения является промежуточный (вторичный) пере-
грев пара.
На рис. 18.15 показана схема паросиловой установки, работаю-
щей с промежуточным перегревом пара. Как это ясно из схемы, пар
в первом цилиндре турбины расширяется от давления pj до давле-
ния рпр> р2, а затем поступает во второй пароперегреватель (пп2),
где вновь изобарно перегревается при рпр = const. После вторичного
перегрева пар поступает во второй цилиндр турбины.
Цикл с промежуточным перегревом пара в координах Ts показан
на рис. 18.16. Перегрев пара по изобаре р} до температуры
Рис. 18.16
происходит в первом пароперегревателе (пщ), адиабатное расширение
в первом цилиндре турбины изображается отрезком 1-а. Вторичный
перегрев пара а-b по изобаре рпр до прежней температуры происхо-
дит во втором пароперегревателе (пп2) и, наконец, адиабатное рас-
ширение b-с до противодавления р2 — во втором цилиндре турбины.
Паросодержание как результат вторичного перегрева увеличилось
и стало равным хс вместо х2, удельная теплота qlt подводимая к циклу
с промежуточным подогревом пара, складывается из удельной теплоты,
подводимой в основном цикле 3-1'-1-2 и равной — и удельной
теплоты, подводимой при вторичном перегреве пара и равной lb — ia
(площадь, заштрихованная на рис. 18.16):
— (G — i'i) + ((г> — ia)'
Удельная теплота q2, отдаваемая в конденсаторе,
\Pl\=lc i'll
/ = <71 - Ш = (й - ic) + (ib ~ ia),
или
/ = (ij — ia) Ц- (ib — ic)	(18.11)
n - ^1 — {a) + (ib — ic)	/10 im
^-Q + db-ia) ’
250
Можно осуществить цикл с двумя й тремя промежуточными
перегревами.
Термический к. п. д. цикла с промежуточным перегревом пара
может оказаться и выше и ниже tjr в зависимости от выбранного
промежуточного давления рпр.
Рассматриваемый цикл можно разбить на два цикла: обычнвш
цикл Ренкина 3-Г-Г-1-2-3 и цикл 2-а-Ь-с-2. К. п. д. цикла с проме-
жуточным перегревом пара будет выше тщ, если средняя термоди-
намическая температура подвода теплоты в цикле 2-а-Ь-с-2 будет
выше, чем в цикле J-1 -1-1-2-3.
Средняя термодинамическая температура подвода теплоты в цикле
Ренкина определится из равенства
Tr = (<i — Q/(s2 - «з) = (li ~ J'0/(Si ~ «0.
Действительно, определяется площадью под изобарой 3-Г-
Г-1 на диаграмме Ts и равно удельной теплоте qlt подведенной
в основном цикле, a sx — s2 является основанием указанной площади.
Для цикла 2-а-Ь-с-2 аналогично получим
^пер= Сй С)/(®с Sj}.
Поэтому для того, чтобы термический к. п. д. цикла с промежу-
точным перегревом пара был выше т]ы, необходимо, чтобы
(Зь -	~ Si) > (К - Q/($i - s.9.
Многократный промежуточный перегрев приближает линию 1-а-Ь
(рис. 18.16) к изотерме. Это обеспечивает заметное повышение тер-
мического к. п. д. цикла с промежуточным перегревом пара.
Глава XIX
ЦИКЛЫ ГАЗОТУРБИННЫХ УСТАНОВОК
§ 19.1. Принцип работы газотурбинной установки
Принципиальная схема газотурбинной установки показана на
рис. 19.1. Внешний воздух, засасываемый турбокомпрессором, сжи-
мается в нем до давления р2 и подается в камеру сгорания. В камеру
сгорания впрыскивается жидкое топливо, которое, сгорая, образует
газообразные продукты сгорания высокой температуры *. Затем про-
дукты сгорания поступают в газовую турбину (принципиально не
отличающуюся от паровой турбины), где расширяются до атмосфер-
ного давления. Выпуск отработавших газов из турбины производится
во внешнюю среду.
В газотурбинных установках с точки зрения термодинамики
процесс преобразования теплоты в работу осуществляется по тому же
* Масса воздуха, подаваемая компрессором, значительно больше необходимой
для горения. Это делается с целью снижения температуры газов в камере сгорания
до 600—800° С, соответствующей максимально допустимой температуре для жаро-
стойких сталей,
251
принципу, что и в поршневых двигателях внутреннего сгорания
(см. § 17.1). Действительно, в обоих случаях сжимается воздух,
в котором сгорает топливо, продукты сгорания расширяются и про-
изводят работу, часть которой тратится на сжатие воздуха (турбина
и турбокомпрессор имеют общий вал). Следовательно, газотурбинная
установка также представляет собой тепловой двигатель внутреннего
сгорания, но в отличие от поршневого это двигатель газотурбинного
типа.
В поршневых двигателях внутреннего сгорания сжатие воздуха
или горючей смеси осуществляется в том же цилиндре, где происхо-
дит и расширение, чередуясь во времени, что вызывает определенную
неравномерность работы двигателя,
сжатия предназначен специальный
Камера сгорания
Газовая
турбина.
i._ ....
воздух
Отработавшие
газы
В газотурбинной установке для
компрессор, а для расширения —
газовая турбина. Благодаря
этому осуществляется непрерыв-
ность процесса.
Иное конструктивное оформ-
ление газотурбинной установки
сравнительно с двигателем внут-
реннего сгорания позволяет осу-
ществить полное расширение
газов в турбине, т. е. довести
давление в конце расширения
Рис. 19.1
до внешнего давления, в то
время как в цилиндре двигателя
внутреннего сгорания это не удается осуществить из-за необходи-
мости чрезмерно увеличить объем цилиндра. Полное расширение,
как это будет показано ниже, увеличивает термический к. п. д.
Газотурбинная установка, так же как и двигатель внутреннего
сгорания, работает по разомкнутому процессу: из внешней среды
засасывается воздух и во внешнюю среду поступает отработавший
в турбине газ.
Введем ряд упрощений, подобных тем, которые были сделаны
при изучении циклов двигателей внутреннего сгорания, а именно:
процессы сжатия и расширения будем считать происходящими по
обратимым адиабатам, сгорание топлива заменим обратимым подводом
теплоты, а выпуск горячих газов из турбины — обратимым отводом
теплоты. При таких упрощениях можно считать, что газотурбинные
установки работают По определенным циклам. Также примем, что
рабочим телом является идеальный газ.
В зависимости от того, как организовано сжигание топлива
в камере сгорания, газотурбинные установки разделяют на установки
с изобарным и изохорным подводом теплоты.
Первая судовая газовая турбина с изобарным подводом теплоты была пост-
роена в 1897 г. иижснср-мсхаииком русского флота П. Д. Кузьминским и пред-
назначалась для катера. Однако распространение газовые турбины получили
сравнительно недавно. Это объясняется тем, что для осуществления экономичной
и надежной газотурбинной установки необходимо было предварительно получить
особо жаростойкие стали, а также создать турбину и компрессор с высо-
кими к.п.д.
252
§ 19.2. Цикл газотурбинной установки с изобарным подводом теплоты
На рис. 19.2, а, б показан в координатах pv и Ts цикл газо-
турбинной установки с изобарным подводом теплоты. Процесс сжатия
в компрессоре изображается отрезком адиабаты 1-2. По изобаре 2-3
подводится теплота qu а по изобаре 4-1 отводится теплота q2. Ади-
абатному расширению в газовой турбине соответствует участок 3-4
цикла.
Площадь а21Ь равна работе /к, затрачиваемой на сжатие в ади-
абатном компрессоре. Как известно, работа, потребляемая адиабат-
ным компрессором, | /к | = i2 — i\. Площадь а34Ь выражает удель-
ную работу, получаемую
нал работа, получаемая
от идеальной газотурбин-
ной установки, очевидно
равна / = /,.— 11К |.
Удельная теплота, под-
веденная к рабочему телу,
совершающему цикл,
qi ~ Ср (С ^а) ” С ^*2’
Удельная теплота, от-
веденная от цикла,
от турбины, равную /T = t3 — i4. Удель-
Рис. 19.2
I Яг I — ср (^4	^1) — Ч Ч-
Термический к. п. д. газотурбинной установки с изобарным под-
водом теплоты определяется по формуле
Ц/ = 1 | q2 \/qr = 1	(Тt Т1)/(Т3 Т2).
Для адиабатных процессов сжатия и расширения можно написать
P2/Pi = (^iM)ft =	(19.1)
где в — степень сжатия, равная v^v.^, отношение p2lpi = n называют
степенью повышения давления в компрессоре-.
Рз/Pt = (^M)fe-
В рассматриваемом цикле Pi = pi и р2 = р3. Следовательно,
или vJVi = v3/v2.
В то же время для изобарных процессов можно написать
ojvi = ТJTt и v3/v2 — Т 3/Т 2.
Из установленных отношений следует
Ti/Tl = Т3/Т2.	(19.2)
Подставляя полученные выражения в формулу для тр, имеем
253
1
Так как 7,1/7’a = e<ft-1), то
Ле = 1 — l/e*”1,
или
Тр = 1 -1/л<* -»/*,
поскольку
л — ъ'г.
(19.3)
(19.3а)
(19.36)
Таким образом, термический к. п. д. цикла идеальной газотур-
бинной установки с изобарным подводом теплоты совпадает с тер-
мическим к. п. д. цикла идеального двигателя внутреннего сгорания
с изохорным подводом теплоты (см. § 17.3) при одинаковой степени
сжатия. Если же принять одинаковые значения ра и Т3, то наи-
выгоднейшим оказывается цикл газотурбинной установки (см. цикл
1-2р-3-4' на рис. 17.6).
§ 19.3. Цикл газотурбинной установки с изобарным
подводом теплоты и регенерацией
Максимальная температура цикла газотурбинной установки,
а следовательно степень сжатия е, ограничена той температурой,
при которой могут достаточно длительное время работать лопатки
газовых турбин *. Тем самым ограничиваются и достижимые значе-
Кимерп
ния термического к. п. д. газо-
турбинной установки.
В целях повышения термиче-
ского к.п.д. газотурбинной уста-
новки применяют регенеративные
устройства.
На рис. 19.3 показана принци-
пиальная схема такого рода газо-
турбинной установки с изобарным
подводом теплоты. Регенерация за-
ключается в том, что отработавшие
газы турбины используются на
подогрев воздуха, поступающего из
компрессора в камеру сгорания.
Рис- 193	Изобары рх и р2 отвода и под-
вода теплоты в цикле газотурбин-
ной установки на диаграмме Ts являются эквидистантными кривыми.
Если у указанных изобар имеются отрезки, расположенные между
изотермами, пересекающими обе изобары, то на этих участках изо-
бар возможно организовать регенерацию теплоты.
На рис. 19.4 показан в координатах pv и Ts цикл газотурбин-
ной установки с полной регенерацией теплоты. Как усматривается
* У двигателей внутреннего сгорания степень сжатия обычно выше, чем
в рассматриваемой газотурбинной установке,
254
из диаграммы Ts, удельная теплота, подводимая на участке 2-4' изо-
бары р2, равна удельной теплоте, отводимой на участке 2'-4 .изобары pv
Эти количества теплоты (Ьбозначенные qp) не только равны друг
другу, но, что особо важно, процессы отвода и подвода теплоты
происходят в одинаковых температурных условиях (в пределах тем-
ператур от Т2 До Т4). Поэтому возможно путем введения в цикл
специального теплообменника передать теплоту, отводимую на уча-
стке 2'-4 от отработавших газов турбины, воздуху, нагнетаемому
в камеру сгорания.
Такое мероприятие существенно повышает термический к. и. д.
газотурбинной установки, так как из внешней среды заимствуется
меньшее количество теплоты q\ = qt — qp и во внешнюю среду отво-
дится также меньшее количество теплоты q'2 = q2 — qp, где q± и q2—
подводимая и отводимая теплота в цикле без регенерации.
Рис. 19.4
Термический к. п. д. рассматриваемого цикла равен
л/=1 -! <?; й:=1 - [сР (т2 - л)ж (т3 - л)], j
Из формулы (19.2) T2lT1 = Ts/Ti.
Следовательно,
ч- -1 - [г. (Й -1 )Иг< (й -1) I=1 ~ Й  <19")
или
тр=1 —1/р,	(19.5)
так как Ti/Ti = Т2/Тя = v2/vs = 1/р.
Из формулы (19.4) следует, что термический к. п. д. цикла газо-
турбинной установки с изобарном подводом и полной регенерацией
зависит только от температуры в конце адиабатного расширения
газа в турбине (температура Л, являясь температурой внешней среды,
изменяется весьма незначительно).
В действительных условиях для осуществления теплообмена между
газом и воздухом необходима некоторая разность температур. Поэтому
255
температура нагретого воздуха на выходе из регенератора будет
Г8 < а температура газов 7\ > Т2. Полнота совершающейся реге-
нерации оценивается значением отношения
а = (Л -Т2)/(7\ -Т2),	(19.6)
называемого степенью регенерации. В действительных условиях ст =
= 0,5 ... 0,7. При ст<1 термический к. п. д. цикла будет меньше,
чем в случае полной регенерации.
Глава XX
циклы ХОЛОДИЛЬНЫХ УСТАНОВОК
§ 20.1. Холодопроизводительность и холодильный коэффициент
Основной задачей холодильной установки является
искусственное охлаждение помещений и различных тел, например
продуктов в рефрижераторных трюмах и в провизионных камерах,
ниже температуры окружающей среды и поддержание этих темпера-
тур сколь угодно долго.
В холодильных установках осуществляются так называемые обрат-
ные циклы (рассмотренные наряду с прямыми циклами в § 7.1),
влении и температуре
в результате которых за счет извне
подводимой работы происходит переход
теплоты от тела более низкой темпера-
туры к телу с более высокой темпера-
турой.
Обратный цикл Карно для газооб-
разного рабочего тела изображен в ко-
ординатах Ts на рис. 20.1 (см. § 8.4),
состоящий из двух изотерм 1-2 и 3-4 и
двух адиабат 2-3 и 4-1.
Рабочее тело, которое в теории
холодильных машин носит название
холодильного агента, в на-
чальном состоянии находится при да-
Тг (например, воздух при нормальных
внешних условиях). С помощью компрессора холодильный агент
изотермически сжимается до давления р2 (процесс 1-2) и от него
во внешнюю среду обратимым путем отводится теплота Q. После
изотермического сжатия происходит адиабатное расширение до дав-
ления р3 (процесс 2-3), в результате которого холодильный агент
охлаждается до температуры Т2. Далее, при изотермическом расши-
рении холодильного агента до давления р4 (процесс 3-4) последний
получает теплоту Q2 от теплоотдатчика (охлаждаемого тела) при тем-
пературе Т2. Наконец, адиабатным сжатием (процесс 4-1) холодиль-
ный агент возвращается к исходному состоянию.
Согласно второму началу термодинамики, для перехода теплоты
в количестве Q2 от источника температуры Т2 к приемнику теплоты
256
с более высокой температурой Тъ чем -температура Т2, требуется
затрата механической работы L, равной разности и Q2:
\l\ = \Qi\ — \Qz\-
Графически работа L равна площади цикла 1234, теплота Q2 опре-
деляется площадью а34Ь, теплота Qx измеряется площадью а21Ь.
Приемником теплоты Qlt как правило, служит окружающая
среда — воздух или охлаждающая вода:
Ш = ш + 1И	(20.1)
Основными характеристиками холодильной установки являются:
1.	Холодопроизводительность, представляющая отношение коли-
чества отводимой теплоты Q2 от охлаждаемого тела ко времени т.
Если Q2 выразить в Дж, t-вс, то холодопроизводительность будет
выражена в Вт.
2.	Удельное количество отводимой теплоты q2 рарно отношению
количества отводимой теплоты Q2 от охлаждаемого тела к массе
холодильного агента т. Если Q2 выразить в Дж, т — в кг, то q2
выразится в Дж/кг.
3.	Объемное количество отводимой удельной теплоты q2 равно
отношению количества отводимой теплоты Q2 от охлаждаемого тела
к объему холодильного агента V или отношению удельного коли-
чества теплоты q2 к удельному объему холодильного агента v. Если
Q2 выразить в Дж, У —в м3, о-в м3/кг, то q2 выразится в Дж/м3.
Показателем совершенства обратного обратимого цикла является
холодильный коэффициент, представляющий отношение количества
теплоты, отведенной в цикле, к затраченной работе:
=	(20.2)
Из формулы (7.5) для обратимого цикла Карно имеем
(а)
или
(1<?1| + |Е|)/Л=с^тг,	(б)
откуда
\Ь\ = ШУ\-Т2)/Тг.	(20.3)
После подстановки значения \L\ в формулу (20.2) получаем фор-
мулу для определения холодильного коэффициента цикла Карно:
е/=^/(Л-Л)-	(20.4)
Холодильный коэффициент цикла Карно тем больше, чем выше
температура охлаждаемого тела Т2 и чем ниже температура тепло-
приемника 7\.
Для любого обратимого цикла, как и для цикла Карно, суще-
ствует связь между термическим к. п. д. прямого q, и холодильным
коэффициентом обратного цикла et.
9 Зак. 49	257
Термический к. п. д. прямого цикла тр = 1 — |1/1 Ci!» а холо-
дильный коэффициент обратного цикла определяется по формуле
(20.2), откуда
8/=1/т1/ — 1.	(20.5)
Практическое осуществление холодильной установки, работающей
по циклу Карно, затруднительно (громоздкость установки, необрати-
мость процессов, протекающих в реальных условиях). В общем слу-
чае осуществить процесс сообщения и отвода теплоты, близкий к изо-
термическому, возможно только при достаточно медленном его про-
текании или в том случае, когда изотермические процессы представ-
ляют собой конденсацию и испарение холодильного агента.
Холодильные установки делят на два основных типа: компрес-
сорные и абсорбционные. В свою очередь компрессорные холодиль-
ные установки подразделяют на газовые (воздушные) и паровые.
Ниже рассматриваются циклы этих холодильных установок.
§ 20.2.	Цикл газовой компрессорной холодильной установки
В газовых холодильных установках в качестве холодильного
агента используют воздух, который при всех его изменениях остается
в газообразном состоянии.
На рис. 20.2, а, б приведена принципиальная схема газовой
холодильной установки и показан цикл этой установки в диаграмме
Ts. Работа машины протекает следующим образом. Воздух из охлаж-
даемой камеры 1 при давлении засасывается компрессором 2 и
подвергается адиабатному сжатию до давления (процесс 1-2). Сжа-
тый воздух поступает в холодильник 3, где при постоянном давле-
нии р2 происходит его охлаждение (процесс 2-3). Далее охлажден-
ный воздух поступает в турбогетандер 4 (расширительную машину),
258
где адиабатно расширяется до давления в охлаждаемой камере
(процесс 3-4). В результате расширения воздуха в турбодетандере
происходит понижение его температуры. Холодный воздух поступает
в охлаждаемую камеру, где при р4 = const отнимает теплоту от
охлаждаемого тела (процесс 4-1).
Удельное количество теплоты, отводимой от холодного источника
\д2\ = Ср{Т\-Т4)	(а)
в диаграмме Ts изображается площадью а41Ь.
Удельное количество теплоты, передаваемой источнику высокой
температуры,
Ш = Л(Л-Л).	(б)
Удельное количество теплоты q4 на диаграмме Ts определяется
площадью а32Ь.'
Удельная затраченная работа
U ) = ! 711 I Яг I = С^г Л) Ср (Т1 Т4)	(в)
определяется площадью 1234.
Холодильный коэффициент теоретического цикла газовой холо-
дильной установки равен
8/ = ) Яг \/\1\ = (т2_Тз]__Ti) = (Т2_Гз)/(Г1 _ т4) -1 •
Поскольку адиабаты сжатия и расширения находятся между двумя
изобарами, то
Л/Л = Л/Л	(д)
и по свойствам пропорции получаем
Л/Л = Л/Л = (Л-Л)/(Л-Л)-	(е)
После подстановки в формулу (г) имеем
Б/=1/(Л/Л-1) = Л/(Л-Л).	(20.6)
Цикл воздушной холодильной установки имеет внешнюю необ-
ратимость, вследствие подвода и отвода теплоты по изобарам при
наличии разности температур между источниками теплоты и рабочим
телом.
Наиболее совершенными процессами подвода и отвода теплоты
в цикле были бы изотермические процессы 5-1 и 6-3 (рис. 20.2),
которые можно осуществить обратимым путем. Полученный таким
образом цикл 1-6-3-5 является обратимым циклом Карно, холодиль-
ный коэффициент которого равен
8/ = Л/(Л-Л)-	(20.7)
Как видно, из рис. 20.2, в идеальном цикле воздушной холодиль-
ной установки по сравнению с циклом Карно дополнительно затра-
чивается работа, равная площадям 154 и 632. Из формул (20.6) и
(20.7) видно, что холодильный коэффициент воздушной холодильной
8*	259
установки всегда значительно меньше холодильного коэффициента
соответствующего обратного цикла Карно, осуществляемого в интер-
вале температур 7\ и Тл.
Воздушные холодильные машины в основном применяют для
производства глубокого холода с температурами — 60 ... — 70°С.
§ 20.3.	Цикл паровой компрессорной холодильной установки
В паровых компрессорных холодильных установках в качестве
холодильных агентов используют пары жидкостей, которые при
изменении параметров переходят из газообразной в жидкую фазу,
меняя свое агрегатное состояние.
Из числа холодильных агентов, используемых в паровых комп-
рессорных холодильных установках, распространение получили
аммиак (NH3) и различные галогенозамещенные углеводороды мета-
нового и этанового рядов (фреоны). Наиболее распространенными
фреонами являются Ф-12 (CF2C13), Ф-22 (CHF2C1), Ф-113 (C2F3C13) и
Ф-142 (C2H3F2C1).
На рис. 20.3, а, б приведена принципиальная схема компрессор-
ной паровой холодильной установки и показан ее цикл в коорди-
натах Ts.
Компрессор 2 засасывает из испарителя 1, выполненного в виде
змеевика, влажный насыщенный пар холодильного агента и адиабатно
сжимает его до давления р2 (процесс 1-2). В процессе сжатия пар
становится сухим насыщенным или перегретым. Из компрессора пар
поступает в холодильник (конденсатор) 3, где конденсируется, отда-
вая теплоту окружающей среде. Процесс конденсации протекает по
изобаре, одновременно являющейся изотермой (процесс 2-3). Затем
жидкий агент подвергается дросселированию в специальном дрос-
260
сельном клапане 4 (процесс 3-4)', при этом часть жидкости превра-
щается в пар. Давление в процессе дросселирования уменьшается
до начального значения р1( а температура принимает значение Ти
соответствующее давлению насыщения. Далее агент в виде влажного
насыщенного пара направляется в испаритель, где за счет отвода
теплоты от охлаждаемой среды частично (или полностью) испаряется
при постоянной температуре Тг. Тем самым осуществляется требуе-
мое от установки охлаждающее действие (процесс 4-1).
Удельное количество теплоты, отводимое от холодного источника
72 = г'1-Д	(а)
в диаграмме Ts изображается площадью т41п.
Удельная работа, затрачиваемая на сжатие холодильного агента
в адиабатном компрессоре [формула (17.12)], равна
= *2 г'1	(б)
и изображается на диаграмме Ts площадью 1235 (рис, 20.3).
Теплота, изобарно отводимая в конденсаторе от холодильного
агента к охлаждающей воде,
41 = <2	^3-	(В)
Так как в результате процесса дросселирования удельная энталь-
пия не меняется, то г’з = и
<71 = Ч - h-	(г)
Удельное количество теплоты qx на диаграмме Ts изображается
площадью Ь32п.
При дроссельном расширении (процесс 3-4), как известно, внеш-
няя работа не производится, следовательно, затрачиваемая извне
удельная работа равна удельной работе компрессора: 1 — 1к. Таким
образом, холодильный коэффициент установки, работающей по рас-
смотренному циклу,
е = I Чз I/) I — (ii ~ Ц)/(<2 l'i) = (l'i 1'з)/(<2 — <1)-	(20.8)
Сравним цикл паровой компрессорной установки с циклом Карно
1-2-3-6 (рис. 20.3). В цикле Карно холодильный агент, поступающий
из холодильника, не дросселируется, а расширяется адиабатно в спе-
циальном расширительном цилиндре (схема цикла показана на
рис. 20.4). В отличие от процесса дросселирования при обратимом
расширении (процесс 3-6) получается удельная работа lp = i3 — t3.
Поэтому затраченная извне удельная механическая работа
Ш =	(е)
или
UI= О'» й) О’» 1е)-	(ж)
261
Эта работа изображается площадью 1236 цикла Карно (см. рис. 20.3).
Как видно из этого рисунка, при осуществлении цикла Карно, т. е.
при замене дросселирования обратимым адиабатным расширением,
затрачиваемая работа меньше на величину, измеряемую площадью
635, а удельное количество теплоты q2 возрастет до значения — ze,
измеряемого площадью Ь61п. Соответственно увеличится и холодиль-
ный коэффициент, который для
цикла Карно равен
ес -1 ?2 \/\11 -	•
(20.9)
Учитывая равенство удель-
ных энтальпий в состояниях 3
и 4 (и что площадь 635 равна
площади Ь64т), заключаем, что
1'з — гв — Ч — Ч- (3)
Таким образом, при приме-
нении дросселирования вместо
адиабатного расширения в рас-
ширительном цилиндре удель-
ное количество отводимой теп-
лоты уменьшается на величину,
равную дроссельной потере
Ч ~~ h, т- е- работе, которая была бы получена, если бы вместо дрос-
селирования было осуществлено обратимое адиабатное расширение.
Несмотря на невыгодность дросселирования, в практически
осуществляемых холодильных установках, в значительной мере
отклоняющихся от идеализированных, устанавливают дроссельный
клапан, а не расширительный цилиндр. Последнее объясняется как
конструктивными соображениями, так и удобством регулирования
работы холодильной установки.
§ 20.4.	Цикл паровой компрессорной установки
с сухим ходом компрессора и переохлаждением конденсата
В реально выполняемых компрессорных холодильных уста-
новках имеются некоторые отклонения от рассмотренного выше
цикла.
Во-первых, компрессор засасывает не влажный насыщенный пар
холодильного агента (при совершении так называемого влажного хода
компрессора), как это показано на рис 20.3 (точка /), а сухой насыщен-
ный или слегка перегретый пар (точка 7 на рис. 20.5) в условиях
совершения (так называемого сухого хода компрессора).
С термодинамической точки зрения такое мероприятие не является
целесообразным, так как при сухом ходе компрессора потребляемая
им удельная работа /к больше, чем при влажном ходе, н роет по-
862
требляемой работы опережает увеличение удельного количества от- ,
водимой теплоты q2. В связи с этим холодильный коэффициент цикла
уменьшается. Делается это, однако, из соображений уменьшения
теплообмена между перегретым паром агента (по сравнению с тепло-
обменом влажного насыщенного
пара) и стенками цилиндра ком-
прессора.
Во-вторых, происходит не-
которое переохлаждение холо-
дильного агента в конденсато-
ре. Поэтому процесс конденса-
ции заканчивается не в точке 3,
а в точке 9 (принимается,
что изобара жидкости совпа-
дает с нижней пограничной
кривой).
Из диаграммы усматривает-
ся, что в связи с переохлаж-
дением возрастает удельное ко-
личество отводимой теплоты на
величину, равную ц — i0 = i3 — г9
и измеряемую площадью т'04т,
а дроссельная потеря уменьшается до величины, измеряемой пло-
щадью 596' (вместо площади 536).
Переохлаждение холодильного агента не влияет на размер потреб-
ляемой удельной работы I, равный площади 782357, но увеличивает
удельное количество отводимой теплоты. В результате холодильный
коэффициент увеличивает-
ся и для цикла, изображен-
ного на рис. 20.5, равен
е = Ш/Ш =
= (ij — i0)/(i’8— h)- (20.10)
В холодильной технике
при расчетах чаще исполь-
зуют не диаграмму is,
а диаграмму lg р — i. Ло-
гарифмический масштаб да-
влений применяют с целью
получения более равно-
мерного распределения изо-
бар.
Рис. 20.6	На рис. 20.6 показана
диаграмма lg р — i. На ней
нанесены пограничные кривые х = 0 и х = 1; разделяющие плоскость
диаграммы на двухфазную и однофазную области состояния.
В области влажного насыщенного пара обычным способом наносят
кривые постоянного паросодержания х. Кроме того, в пределах всей
диаграммы нанесены (по точкам) изотермы и адиабаты (s== const).
263
В условной области жидкости (влево от нижней пограничной кри-
вой) изотермы практически совпадают с вертикальными прямыми
i = const. У пограничной кри-
вой изотермы немного искри-
вляются и в области влаж-
ного насыщенного пара сли-
ваются с горизонтальными
изобарами. В области пере-
гретого пара изотермы с ро-
стом удельной энтальпии
круто падают. В критиче-
ской точке изотермы имеют
точку перегиба.
На рис. 20.7 изображен
в координатах lg р — i цикл
Рис. 20.7	холодильной установки с пе-
реохлаждением и сухим хо-
дом компрессора (обозначения те же, что и на рис. 20.5). Подлежа-
щие определению величины q2 и I равны соответствующим отрезкам,
взятым на оси абсцисс.
§ 20.5.	Цикл абсорбционной холодильной машины
Рабочим телом абсорбционной холодильной машины является
раствор, состоящий из двух веществ — холодильного агента и абсор-
бента, имеющих разные температуры кипения при одном и том же
давлении.
В абсорбционных машинах
в качестве рабочих тел широ-
ко применяют водоаммиачный
(Н2О —NH3) и водоброми столи-
тиевый (LiBr — Н2О) растворы.
В этих растворах в качестве
холодильного агента используют
аммиак и воду, а в качестве
абсорбентов — воду и бромистый
литий. Первый раствор можно
использовать для получения
температур как выше, так и
ниже 0° С, второй — только для
температур выше 0°С. Помимо
названных растворов в абсорб-
ционных машинах возможно
применение фреоновых раство-	рис. 20.8
ров, например Ф-22 —димети-
лового эфира, тетраэтиленгликоля, Ф-22 — дибутилфталата и др.
На рис. 20.8 приведена схема идеальной абсорбционной холо-
дильной установки. В соответствии с приведенной схемой в генера-
торе 1 (кипятильнике) холодильной установки за счет подвода теплоты
264
Qr при Температуре Тг происходит выпаривание из раствора легко-
кипящего холодильного агента. Образовавшиеся пары холодильного
агента поступают в конденсатор 2, где, конденсируясь, отдают теп-
лоту в окружающую среду QK. В зависимости от температуры Тк
среды, охлаждающей конденсатор, в нем поддерживается, как и
в генераторе холодильной машины, давление р. Жидкий холодиль-
ный агент из конденсатора через турбину 3 направляется в испари-
тель 4, где за счет отвода теплоты Q2 от охлаждаемого источника
происходит кипение холодильного агента при давлении р2. Давле-
ние в испарителе зависит от температуры холодного источника Т2
и равно давлению в абсорбере 5. Образовавшиеся в испарителе пары
холодильного агента направляются в абсорбер, где поглощаются
абсорбентом, поступающим из генератора через турбину 7. Выделив-
шаяся в абсорбере теплота Qa при поглощении паров абсорбентом
отводится в окружающую среду при темпе-
ратуре Тй.	7
Таким образом, в рассматриваемой схеме
генератор как бы служит нагнетательной
стороной механического компрессора, вытес-
няя из раствора пары холодильного агента,
а абсорбер выполняет роль всасывающей сто-
роны компрессора, поглощая эти пары при
поступлении их из испарителя.
Образовавшийся в абсорбере раствор на-
сосом 6 подается снова в генератор. В схеме
для привода насоса используется работа, по-
лученная в турбинах 3 и 7.
Рассмотренный цикл абсорбционной холодильной машины
можно разбить на два цикла: прямой и обратный. Прямой цикл, т. е.
цикл парового двигателя, осуществляется по следующей схеме: кипя-
тильник — турбина — абсорбер, выполняющий роль конденсатора,—
насос. Обратный цикл, или цикл холодильной машины: конденса-
тор—турбина — испаритель—прямой цикл, выполняющий роль тер-
мокомпрессора.
На рис. 20.9 в диаграмме Ts показаны прямой и обратный циклы
абсорбционной машины. Прямой цикл 1-2-3-4 осуществляется раст-
вором при постоянных температурах в генераторе Тг и в абсорбере
ТЙ. В цикле холодильной машины $-6-7-8 теплота отводится от окру-
жающей среды при постоянной температуре Т2 и переносится к го-
рячему источнику с температурой Тк.
В рассмотренной идеальной абсорбционной машине все процессы
в ее аппаратах принимаются полностью' обратимыми. В процессе
кипения в генераторе происходит полное выпаривание холодильного
агента из абсорбента. Процессы подвода и отвода теплоты во всех
аппаратах установки (генератор, конденсатор, абсорбер и испаритель)
происходят по изотермам, а процессы расширения и сжатия в тур-
бинах и насосе — по адиабатам.
Таким образом, оба цикла (прямой и обратный) идеальной абсорб-
ционной машины являются циклами Карно.
265
В идеальном цикле работа, затрагиваемая в насосе La, равна
работе, полученной в турбинах LT п и LT 0. При этих условиях теп-
ловой баланс идеальной абсорбционной холодильной установки запи-
шется так:
IQr l + IQol-Ш + IQal-	(20.11)
Поскольку при совершении обратимых (прямого и обратного)
циклов абсорбционной машины суммарное изменение энтропии си-
стемы ф dS = 0, то можно записать
I Qr Fr + | Q0 Fo = I Qk \/Tk + | Qa Fa- (20.1 2)
Принимая, что количество теплоты, подведенной в генераторе,
равно количеству теплоты, отведенному в конденсаторе, т. е. Qr = QK,
можем записать уравнение (20.12) следующим образом:
I Qr I = I Qk I 7^ I Qi I — I Qa l>
ИЛИ
IQrl — |Qal = IQ«l -1 OF	(20.13)
Решая совместно уравнения (20.12) и (20.13), получаем
| Qr | (1 /Т’а — 1 /Тт) = IQ21 (1 /То - 1 /Тк).	(20.14)
Тепловая экономичность абсорбционной машины оценивается теп-
ловым коэффициентом
& = IOQF	(20.15)
Подставляя в это уравнение значения |Q2| и |Qr| из уравнения
(20.14), получаем
& = (1/Та - 1/Л)/(1/Т0 - 1/Тк).	(20.16)
Поскольку отвод теплоты в конденсаторе и абсорбере идеальной
абсорбционной машины происходит при одинаковой температуре
(окружающая среда, куда отводится теплота, имеет одну и ту же
температуру), то Та = Тк и уравнение (20.16) записывается так:
= [То (Тг - 7\)]/[Тг (Тк - Т2)].	(20.17)
Из полученного уравнения видно, что чем ниже температура
в конденсаторе Тх, тем больше тепловой коэффициент машины.
С понижением же температуры в генераторе Тт тепловой коэффи-
циент уменьшается.
В действительной абсорбционной установке выпаривание холо-
дильного агента из раствора в генераторе происходит не полностью.
Вместо турбин устанавливают редукционные клапаны, где происхо-
дит дросселирование соответственно жидкого холодильного агента
и раствора. Процессы, протекающие в аппаратах машины, являются
необратимыми. Все это приводит к тому, что действительный тепло-
266
вой коэффициент абсорбционной машины меньше рассчитанного
по формуле (20.17).
Основным преимуществом абсорбционных холодильных машин по
сравнению с компрессорными является использование теплоты невы-
сокого температурного уровня вместо дорогостоящей механической
энергии для получения холода.
§ 20.6.	Требования, предъявляемые к рабочим телам
холодильных установок
К рабочему телу, выполняющему роль холодильного агента в ком-
прессорных машинах, предъявляется ряд требований. Подробный
анализ и сравнение между собой свойств различных агентов приво-
дятся в специальных курсах. Поэтому здесь следует ограничиться
рассмотрением только некоторых требований, предъявляемых к агенту,
и то только таких, которые характеризуют его термодинамические
свойства.
Желательно, чтобы холодильный агент имел при наиболее низких
температурах в цикле (в испарителе) давление насыщения р.2 выше
атмосферного во избежание необходимости поддерживать разрежение
в испарителе. Этим устраняются весьма вредные подсосы внешнего
воздуха в испаритель.
При наивысших температурах, имеющих место в цикле (в кон-
денсаторе), давление насыщения pt не должно быть высоким в целях
облегчения конструкции установки. С этой точки зрения наиболее
ценен такой агент, который обладает низкой температурой кипения
при атмосферном давлении и незначительным давлением насыщения
при температуре в конденсаторе. Указанные качества агента можно
характеризовать разностью давлений насыщения при наивысших
и наинизших температурах цикла (щ —р2)-
На размер работы, потребляемой холодильной установкой, сущест-
венно влияет ее отношение давления pi/p^, чем оно меньше, тем
меньше потребляемая компрессором работа [формула (17.3)]. В этом
же смысле влияет и показатель k адиабаты.
Далее, показателем качества агента является объемное количество
отводимой им теплоты
<72 = <72/t>,	(20.18)
где v — удельный объем пара, всасываемого компрессором.
При выражении р2 в Дж/кг, v в м3/кг <?2 выразится в Дж/м3.
Чем выше значение р2, тем меньше габаритные размеры холодиль-
ной установки. Последнее играет существенную роль в судовых
условиях. Также желательно, чтобы нижняя пограничная кривая
проходила возможно круче (приближалась к адиабате): чем круче
нижняя пограничная кривая, тем меньше площадь 536, измеряющая
дроссельную потерю (см. рис. 20.3).
Как известно, вблизи критической точки удельная теплоемкость
увеличивается, в связи с чем нижняя пограничная кривая начинает
267
отклоняться вправо на диаграмме Ts. Поэтому нежелателен холо-
дильный агент, имеющий очень низкую критическую температуру *.
Положительным качеством холодильного агента является высокое
значение удельной теплоты парообразования г при температуре t2
цикла. Из рис. 20.3 ясно, что чем больше г при заданном значении
разности температур —12, тем меньше относительное значение дрос-
сельной потери. При прочих равных условиях чем выше удельная
теплота парообразования, тем меньшая масса холодильного агента
циркулирует в установке.
' К положительным свойствам холодильного агента следует отнести
невысокие значения его плотности как в жидком, так и в парообразном
состоянии. Увеличение плотности вызывает увеличенный расход энер-
гии на циркуляцию агента.
К важным и определяющим практическую ценность качествам
холодильного агента относится еще ряд различных его свойств, как,
например, воздействие на металл и смазку, огнеопасность, ядовитость
и т. д. Подробный анализ всех качеств того или иного холодильного
агента выходит за рамки настоящей книги. Однако и сформулиро-
ванные выше требования к свойствам агента столь многочисленны
и разнообразны, что до настоящего времени не найден холодильный
агент — а их существует несколько десятков, — который полностью
удовлетворял бы им.
В абсорбционных машинах рабочим телом являются два вещества —
холодильный агент и абсорбент, к каждому из которых предъявляют
определенные требования. К холодильному агенту в этих машинах
предъявляют те же требования, что и к агенту в компрессорных
машинах. К абсорбенту дополнительно предъявляют следующие требо-
вания: неограниченная смесимость с холодильным агентом; высокая
абсорбционная способность; возможно большая «зона» дегазации**.
Желательно также, чтобы абсорбент имел высокую температуру кипе-
ния. Последнее позволит исключить из состава абсорбционной холо-
дильной установки ректификационное устройство. Плотность раствора
должна быть по возможности низкой, что позволит уменьшить затраты
энергии на подачу раствора из абсорбера в генератор и уменьшить
потери давления в трубопроводах. Удельные теплоемкость и теплота
смешения раствора должны быть по возможности минимальными.
При использовании в качестве абсорбента вещества с большим
значением относительной молекулярной массы значительная доля
внешнего количества теплоты в генераторе расходуется на нагревание
раствора. В связи с этим рекомендуется установка между генерато-
ром и абсорбером теплообменника раствора.
* Нежелательна особо низкая критическая температура еще и по следующей
причине: при повышенной температуре воды, охлаждающей конденсатор (например,
при плавании в южных широтах), холодильный агент не сможет перейти в жидкое
состояние.
** «Зона» дегазации —разность концентраций раствора в абсорбере и генераторе.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ОСНОВЫ УЧЕНИЯ О ТЕПЛООБМЕНЕ
Введение
Учение о теп л ообм ене — наука, изучающая процессы распро-
странения теплоты в пространстве и передачи ее от одних тел к другим.
Перенос теплоты от одного тела к другому или теплообмен между
частями одного и того же тела происходит только при наличии
разности температур.
В процессе теплового воздействия одного тела на другое теплота
в соответствии со вторым началом термодинамики самопроизвольно
переходит от тела более высокой температуры к телу более низкой
температуры. При отсутствии разности температур процесс теплооб-
мена прекращается и наступает тепловое равновесие тел.
Наука о теплообмене является сравнительно молодой. Еще в начале
текущего столетия вопросам теплообмена уделялось сравнительно
небольшое внимание и вся практика теплотехнических расчетов
основывалась на небольшом числе эмпирических данных. Значительное
развитие теплотехники, характеризуемое появлением мощных котель-
ных агрегатов, паровых и газовых турбин, вызвало необходимость
в точном выполнении тепловых расчетов и обобщении разрозненных
эмпирических данных о теплообмене. Одновременно большие успехи
в области физики, в частности гидромеханики, позволили с доста-
точной полнотой выявить физическую сущность процессов теплооб-
мена, а применение теории подобия позволило дать научную основу
для разнообразных экспериментальных работ. Все это привело к тому,
что теория теплообмена в настоящее время входит на равных правах
с термодинамикой в физические основы теплотехники.
Теория теплообмена, кроме того, находит широкое применение
в самых различных отраслях техники (электротехника, приборострое-
ние, холодильная техника, металлургия и т. д.). В настоящее время
трудно найти отрасль техники, где не использовались бы знания
из области теории и практики теплообмена.
Русские и советские ученые внесли большой вклад в развитие
науки о теплообмене. В первую очередь следует назвать акад.
М. В. Кирпичева, который является основателем советской школы
изучения теплообмена на базе развитой им теории подобия. Даль-
нейшее развитие учения о теплообмене связано с именем акад.
М. А. Михеева; большие работы по исследованию теплообмена при
изменении агрегатного состояния выполнены С. С. Кутателадзе,
Г. Н. Кружилиным и др., А. В. Лыковым и Г. М. Кондратьевым—
в теории теплопроводности. Общее число и значимость работ совет-
269
ских ученых в области теплообмена настолько велико, что даже
краткое изложение их выходит за рамки настоящей работы.
Различают три способа распространения теплоты в природе —
теплопроводность, конвекцию и тепловое излучение (радиацию) и два
вида теплообмена между телами — конвективный и лучистый.
Процесс распространения теплоты теплопроводностью
является молекулярным процессом и происходит при непосредственном
соприкосновении тел или частиц тел с различной температурой.
В результате соударения частиц вещества (молекул, атомов и сво-
бодных электронов) происходит обмен энергией их теплового движения:
интенсивность движения частиц тела, обладающих меньшей внутрен-
ней кинетической энергией, увеличивается, а частиц тела, обладающих
большей внутренней кинетической энергией, уменьшается. .
Механизм распространения теплоты теплопроводностью зависит
от физических свойств тела: в газообразных телах перенос теплоты
теплопроводностью происходит в результате соударения молекул
между собой; в металлах — путем диффузии свободных электронов;
в капельных жидкостях и твердых телах-диэлектриках — путем упру-
гих волн (упругие колебания кристаллической решетки).
Конвекцией называется процесс распространения теплоты пу-
тем перемещения жидкости или газа в пространстве из области с одной
температурой в область с другой температурой. Конвекция в отли-
чие от распространения теплоты теплопроводностью может происхо-
дить только в жидкостях и газах и обусловливается перемещением
самой среды. Конвекция всегда сопровождается теплопроводностью,
поскольку при перемещении жидкости или газа всегда имеет место
соприкосновение отдельных частей тела, имеющих разные темпера-
туры.
Одновременное распространение теплоты конвекцией и теплопро-
водностью носит название конвективного теплообмена.
Различают естественную (свободную) и искусственную (вынужден-
ную) конвекцию. Причиной перемещения жидкости или газа из одной
части пространства в другую может быть различие плотностей отдель-
ных частей жидкости или газа из-за их неравномерного нагрева.
Более легкие частицы жидкости или газа будут подниматься вверх,
а на их место будут опускаться более- холодные частицы, обладающие
большей плотностью. В этом случае характер движения и теплооб-
мена определяется только условиями нагрева (температурным полем).
Такое движение жидкости или газа носит название свободной, а тепло-
обмен — конвективного теплообмена в свободном потоке.
В том случае, когда движение жидкости или газа вызвано искус-
ственно (вентилятором, насосом, компрессором и т. д.) и не связано
с тепловым воздействием, такое движение называют вынужденным,
а теплообмен — конвективным теплообменом в вынужденном потоке.
Тепловое излучение (радиация) — это излучение, возни-
кающее в результате возбуждения частиц вещества (атомов, молекул,
ионов и пр.) и распространяющееся в пространстве электромагнит-
ными волнами. Скорость распространения электромагнитных волн
в свободном пространстве (в вакууме) составляет 300 000 км/с.
270
При лучистом теплообмене происходит двойное превра-
щение энергии. Внутренняя энергия излучающего тела сначала пере-
ходит в лучистую, т. е. в энергию, переносимую излучением, а затем
лучистая энергия распространяется в пространстве, пока не встретит
непрозрачное тело, которое полностью или частично поглотит эту
лучистую энергию. При этом происходит преобразование лучистой
энергии во внутреннюю энергию поглощающего тела.
Распространение теплоты теплопроводностью и конвекцией про-
исходит только в вещественной среде (в твердых телах, жидкостях,
газах), в то время как распространение теплоты излучением может
происходить и в так называемом свободном пространстве.
В реальных условиях весьма редко какой-либо из трех указанных
способов распространения теплоты и теплообмена встречается изоли-
рованно. Так, например, в топочном пространстве котельного агрегата
теплота передается от продуктов сгорания топлива к наружным
стенкам кипятильных труб конвективным и лучистым теплообменом.
Через стенки труб теплота передается теплопроводностью, а затем
происходит процесс теплообмена между внутренними стенками труб
и кипящей водой или паром. Совокупность этих видов теплообмена
называется сложным теплообменом.
В различных машинах и аппаратах передача теплоты от одной
движущейся жидкости к другой осуществляется через разделяющую
их твердую стенку. Такой процесс передачи теплоты называется
теплопередачей.
Задачей учения о теплообмене является изучение закономерностей
в отдельности как каждого вида теплообмена, так и сложного
теплообмена.
Глава XXI
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛОТЫ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬЮ
§ 21.1.	Температурное поле и температурный градиент
Рассмотрим процесс распространения теплоты теплопроводностью
в вещественной среде. Как было указано, для возникновения про-
цесса теплопроводности необходимо наличие разности температур
в различных точках среды.
Совокупность значений температуры в данный момент времени
для всех точек рассматриваемой среды называется температур-
ным полем. В общем случае уравнение температурного поля
имеет вид
t = Ф (х, у, z, т),	(21-1)
где / — температура среды; х, у, г—координаты точки среды; г —
время.
В том случае, когда температура t зависит от времени т, темпе-
ратурное поле называется нестационарным. Если температура в лю-
271
бой точке среды не зависит от времени, то температурное поле назы-
вается стационарным и описывающее его уравнение примет вид
t=f(x, у, г).	(21.2)
Для такого поля
Й = °-	(21.2а)
Поскольку температура является скалярйой величиной, то тем-
пературное поле является скалярным полем.
Геометрическое место точек, имеющих в данный момент времени
т одинаковую температуру, называется изотермической поверх-
ностью. Уравнение изотермической поверхности
Ф(х, у, г, т) = const.	(21.3)
При нестационарном температурном поле изотермические поверх-
ности с течением времени изменяют свое положение в пространстве.
При стационарном температурном поле уравнение изотермической
поверхности будет
f (х, у, г) = const	(21.4)
и вид ее и расположение в теле остаются не зависящими от вре-
мени.
На рис. 21.1 схематически представлено сечение тела с нанесен-
ными через интервалы А/ изотермами (линии пересечения изотерми-
ческих поверхностей с плоскостью чертежа).
Вдоль всякого произвольного направления I, не совпадающего
с изотермой, температура изменяется. Наименьшее расстояние между
двумя изотермическими поверхностями имеет место в направлении
нормали п к изотермической поверхности (точка А на рис. 21.1).
272
Предел отношения изменения температуры Ы к расстоянию Ап
между изотермическими поверхностями, измеренному по нормали,
к ним, называется температурным градиентом:
lim (Д//Аи)дп-о — dt/dn = grad t.	(21.5)
Температурный градиент является вектором, совпадающим с нап-
равлением нормали к изотермической поверхности. За положитель-
ное направление этого вектора принято направление в сторону
возрастающих температур (ВС на рис. 21.1).
Для отдельных точек тела, а в общем случае и для различных
точек одной и той же изотермической поверхности температурный
градиент различен не только по направлению, но и по размеру.
Градиент тем больше, чем гуще расположены изотермы. Совокуп-
ность значений температурных градиентов в различных точках темпе-
ратурного поля образует векторное поле температурных градиентов.
Температурное поле полностью определяет поле градиентов, так как
направление последних должно совпадать с касательными к кривым,
нормальным к изотермическим поверхностям (рис. 21.2), а значения
их обратно пропорциональны отрезкам между двумя смежными изо-
термическими поверхностями. Эти нормальные к изотермам кривые
носят название линий теплового тока. Вектор grad t всегда
направлен по касательной к линии теплового тока.
§ 21.2.	Закон Фурье
По закону Фурье (1768—1830) — основному уравнению теплопро-
водности — элементарное количество теплоты, проходящей через эле-
ментарную площадь изотермической поверхности за элементарный
промежуток времени, пропорционально температурному градиенту,
элементарной площади поверхности и промежутку времени:
6Q = — X grad t dA dr,	(21.6)
где 8Q — элементарное количество теплоты; X —теплопроводность
материала тела; grad t — температурный градиент; dA — элементарная
площадь; dr — элементарный промежуток времени.
При выражении 6Q в Дж, grad t в К/м, dA в м2, dx в с X
выразится в Вт/(м-К).
Теплопроводность является физической величиной — параметром,
характеризующим способность вещества проводить теплоту.
Отношение количества теплоты, проходящей через заданную по-
верхность, ко времени называется тепловым потоком. Тепло-
вой поток обозначают буквой Ф и выражают в ваттах (Вт). Отно-
шение теплового потока к площади поверхности называют поверх-
ностной плотностью теплового потока, обозначают
буквой q и выражают в ваттах на квадратный метр (Вт/м2).
Тепловой поток и поверхностная плотность теплового потока
являются векторами, направленными по нормали к изотермической
273
поверхности в сторону, противоположную температурному градиенту.
Вектор поверхностной плотности теплового потока обозначается q:
q=8Q>/dA =— Kdt/dn =— Agrad/,	(21.7)
где dA — элементарная площадь; п — длина нормали к изотермичес-
кой поверхности.	>
Знак минус в уравнении (21.7) указывает, что вектор q направлен
в сторону, противоположную направлению вектора grad t (рис. 21.1).
Тепловой поток Ф, прошедший сквозь изотермическую поверхность
площадью А, находят из выражения
Ф = — A (dt/dn) dA.	(21.8)
А
Количество теплоты, прошедшее через эту поверхность в течение
времени т,
Q = — $ $ X (dt/дп) dA dx.	(2Г.9)
О А
Поверхностную плотность теплового потока в произвольном направ-
лении I находят проектированием векторного равенства (21.7) на это
направление (рис. 21.2):
qj = — A(grad/)z =— A (dt/dn) cos (n, I).	(21.10)
§ 21.3.	Определение теплопроводности
Из уравнения (21.7) следует, что теплопроводность
А = | </ 1/| grad 11.	(21.10а)
Таким образом, теплопроводность равна отношению поверхностной
плотности теплового потока к температурному градиенту.
При выражении | q j в Вт/м2, grad t в К/м А выразится в Вт/(м • К)
или Вт/(м °С), что одно и то же, так как 1 К = 1 °C для разности
температур.
Чем больше значение А, тем большей теплопроводностью обладает
вещество. В общем случае теплопроводность для данного вещества
не является величиной постоянной*: для твердых тел А зависит
от температуры, а для жидких и газообразных — еще и от давления.
Для металлов (кроме алюминия) теплопроводность с увеличением
температуры несколько убывает, что означает, что холодный металл
проводит теплоту лучше, чем нагретый. Теплопроводность металлов
А колеблется в пределах 2,3 ... 420 Вт/(м.«К).
Для изоляционных и огнеупорных материалов А при повышении
температуры возрастает. Последнее объясняется тем, что большин-
ство изоляционных материалов не представляют монолитной массы,
а являются пористыми телами — конгломератом отдельных частиц
с воздушными прослойками между ними. Эти воздушные прослойки
* В приложениях 7, 8 даны значения к для различных материалов, метал-
лов и газов,
274
уменьшают теплопроводность, но лучистый теплообмен, происходящий
в этих прослойках, в итоге увеличивает суммарную теплопроводность
(с учетом излучения) при повышении температуры пористого
тела.
Для таких материалов X зависит не только от свойств собственно
материала, но и от степени его уплотненности, что в свою очередь
характеризуется его плотностью. Кроме того, на теплопроводность
указанных материалов большое влияние оказывает влажность. С уве-
личением влажности теплопроводность возрастает. Для влажного
материала Л выше, чем для сухого материала и воды, взятых в от-
дельности. Так, например, для сухого кирпича А, = 0,35 Вт/(м-К),
для воды л=0,58 Вт/(м  К), а для влажного кирпича л= 1,05 Вт/(м  К).
Это объясняется тем, что адсорбированная в капиллярно-пористых
телах вода отличается по физическим свойствам от свободной воды.
Поэтому по отношению к такого рода веществам правильнее X назы-
вать видимой теплопроводностью. Теплопроводность теплоизоляцион-
ных материалов находится в пределах 0,02 ... 3 Вт/(м-К).
Для газов с увеличением температуры теплопроводность также
возрастает, но от давления X практически не зависит [кроме очень
низких (<2,5 кПа) и очень высоких (>200 МПа) давлений]. Для
газов теплопроводность лежит в пределах 0,006 ... 0,6 Вт/(м-К).
Для большинства капельных жидкостей теплопроводность нахо-
дится в пределах 0,09 ... 0,7 Вт/(м • К) и с повышением температуры
уменьшается. Вода является исключением: с ростом температуры
от 0 до 150 °C теплопроводность возрастает, а при дальнейшем уве-
личении температуры — уменьшается.
§ 21.4.	Дифференциальное уравнение теплопроводности
Рассмотрим процесс распространения теплоты теплопроводностью
сквозь однородное изотропное твердое тело. Примем, что отсутст-
вуют внутренние источники теп-
лоты и значения физических вели-
чин: теплопроводности (X), удель-
ной теплоемкости (с) и плотности
(р) — постоянны.
Выделим в рассматриваемом
теле элементарный параллелепипед
с ребрами dx, dy и dz (рис-. 21.3).
Составим уравнение теплового ба-
ланса для этого параллелепипеда,
для чего, используя закон Фурье,
определим приход и расход теп-
лоты, передаваемой теплопровод-
ностью через каждую его грань.
В соответствии с формулой (21.
грань с площадью dydz за время d'
чество теплоты
в направлении оси х через
поступает элементарное коли-
6Q1 = — A. dydz (dt/dx) dx.
(а)
275
Количество теплоты, поступающее из параллелепипеда за то же
время через противоположную грань, расположенную на расстоянии
dx и имеющей температуру dx,
=	+ d^dx^dydzdx.	(б)
Из уравнений (а) и (б) получаем, что количество теплоты, под-
веденное теплопроводностью к рассматриваемому параллелепипеду
в направлении оси х, составляет
6Q.V = 6Q; — bQx = %	dx dy dzdx.	(в)
Аналогично определяется количество теплоты, подведенное к эле-
ментарному параллелепипеду в направлении осей у и г:
— л dx dy dz dx;	(г)
6QS = X -g dx dy dz dx.	(д)
Из уравнений (в), (г) и (д) получим, что количество энергии,
аккумулированной в параллелепипеде объемом dV = dx dy dz за, время
dx, равно
SQ = 8QX + 6Qy + 6Q2 = X (g + ™ + g) cWt. (21.11)
По закону сохранения энергии, аккумулированная за время dx
энергия в количестве 6Q должна пойти на увеличение внутренней
энергии рассматриваемого параллелепипеда объемом dV
8Q = cpdV dx,	(21.12)
dt ,
где с — удельная теплоемкость; р — плотность; dx — изменение темпе-
ратуры параллелепипеда объемом dV за время dx.
При выражении с в Дж/(кг-К), р в кг/м3, V в м3, t в °C, х в с
Q выразится в Дж.
Приравнивая правые части уравнений (21.11) и (21.12) и сокра-
щая на dVdx, получим дифференциальное уравнение теплопровод-
ности (при отсутствии внутренних источников теплоты)
д- = Я д~~2 -ф 4~	,	(21.13)
от \дхг 1 ду2 oz2 /	'	'
где величина
я = Х/ср	(21.14)
носит наименование температуропроводности. Выражение,
стоящее в круглых скобках, оператор Лапласа, для сокра-
щения письма часто обозначается (знак V читается «набла»).
276
При этом обозначении дифференциальное уравнение теплопровод-
ности примет вид *
a\J2t = dt/dx.	(21.15)
При выражении X в Вт/(м-К), с в Дж/(кг-К), р в кг/м3 а выра-
зится в м2/с; '
Полученное дифференциальное уравнение теплопроводности уста-
навливает связь между временными и пространственными измене-
ниями температуры тела.
В случае стационарного режима в силу условий dt/dx = 0 и
ау=0 уравнение теплопроводности упрощается:
V2* = o.
Из уравнения (21.16) следует,
пературного поля в твердом теле
что характер стационарного тем-
не зависит от значения темпе-
ратуропроводности.
При решении некоторых задач тео-
рии теплопроводности (распространения
теплоты теплопроводностью в труб-
ках, дисках, валах и т. п.) удобнее
вместо декартовой прямоугольной си-
стемы координат использовать цилин-
дрическую систему координат (г, <р, г).
Произведя обычным - методом замену
переменных (рис. 21.4):
x = rcos<p; у = г sin ср,
(21.16)
получим выражение для оператора Лапласа в цилиндрической системе
координат:
\72t =	4- -1- — 4- —	4- —	/2117)
v йг'- ' г дг ] г'^ д<р2 дг2 •	{	’
Когда имеется одномерное температурное поле / = /(х) или
t = т. е. когда перенос теплоты теплопроводностью происходит
в направлении только одной из координатных осей (например, оси х),
дифференциальное уравнение теплопроводности значительно упро-
щается:
в системе прямоугольных декартовых координат
а/_ дч_
дх~~а дх*'
(21.18)
(21.19)
в системе цилиндрических координат
/д2/
<Эт а \дг- ' г дг]'
* В векторной форме уравнение теплопроводности имеет вид
di ,. .	...
, д-=а div (grad/).
277
Введенная ранее температуропроводность а является мерой те*
плоинерционных свойств тела*.
„	( dt\
Скорость изменения температуры во времени!-^-), как это сле-
дует из дифференциального уравнения теплопроводности (21.13),
прямо пропорциональна температуропроводности а. Следовательно,
при одинаковых условиях нагреется или охладится быстрее то тело,
у которого большая температуропроводность.
§ 21.5.	Краевые условия
Полученное в предыдущем параграфе дифференциальное уравне-
ние (21.13) описывает явление теплопроводности в самом общем виде.
Для того чтобы из обширного класса явлений распространения
теплопроводности в твердом теле, описываемых указанным уравнением,
выделить данное так называемое единичное явление, необходимо это
уравнение дополнить математическим описанием всех частных осо-
бенностей рассматриваемого процесса. Дифференциальное уравнение
совместно с частными особенностями, дающими полное математи-
ческое описание конкретного процесса теплопроводности, назы-
ваются краевыми условиями или условиями одио-
зна ч но ст.и.
Условия однозначности включают в себя:
временные или начальные условия, характеризующие распределе-
ние температуры в теле в начальный момент времени;
геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела,
в котором протекает процесс;
физические условия, характеризующие физические параметры
тела;
граничные условия, характеризующие взаимодействие окружаю-
щей среды с поверхностью тела.
Начальные условия задаются при нестационарном режиме. Они
задаются законом распределения температур по всему объему тела
для момента времени т = 0.
Граничные условия могут быть заданы тремя способами.
Граничное условие первого рода. В этом случае за-
дается температура /ст на поверхности тела в любой момент времени т.
В частном случае температура на поверхности может оставаться
неизменной за время процесса распространения теплопроводности.
Неизвестны температурный градиент, а следовательно, и поверх-
ностная плотность теплового потока q. Температурный градиент
определится в итоге решения дифференциального уравнения тепло-
проводности (с учетом указанного граничного условия). Тем самым
определится и поверхностная плотность теплового потока q, а также
закон распределения температур по объему тела для данного мо-
мента времени т.
* Значения температуропроводности для некоторых материалов и металлов
приведены в приложении 7,
278
Граничное условие второго рода. В этом случае за-
дается поверхностная плотность теплового потока (а следовательно,
и температурный градиент) в каждой точке поверхности тела для
любого момента времени. В частном случае поверхностная плотность
теплового потока для каждой точки поверхности тела может оста-
ваться неизменной. Температура t„ на поверхности тела неизвестна.
Граничное условие третьего рода. В этом случае
задается температура среды, окружающей тело. Температура t„
на поверхности твердого тела определяется через температуру t окру-
жающей среды (газ, жидкость). Следовательно, для использования
граничного условия третьего рода возникает необходимость учесть
распространение теплоты конвекцией, т. е. рассматривать конвек-
тивный теплообмен *.
Задание граничного условия третьего рода является в технических
приложениях теории теплообмена наиболее частым, так как обычно
температура окружающей среды считается известной (или она выби-
рается).
В основу изучения конвективного теплообмена между окружаю-
щей средой и поверхностью тела может быть положен известный
из курса физики закон Ньютона
q = a(t~tcr),	(21.20)
где q — плотность теплового потока; а — коэффициент теплоотдачи;
/„ — температура поверхности тела; / — температура окружающей
среды.
При выражении q в Вт/м2, / и /сг в °C а выразится в Вт/(м2 К).
Коэффициент теплоотдачи, как это вытекает из формулы (21.20),
равен отношению поверхностной плотности теплового потока к"раз-
ности температур окружающей среды и поверхности.
Сопоставляя уравнение Фурье (21.7) и уравнение Ньютона (21.20),
можно написать
— Л„(д//дп)ст== а (/ — /„),	(21.21)
где индекс «ст» (стенка) показывает, что температурный градиент
относится к поверхности тела.
Равенство (21.21) является математической формулировкой гра-
ничных условий третьего рода.
Решение дифференциального уравнения температуропроводности
с учетом начального ц граничного условий позволяет определить
температурное поле для любого частного случая. Определение вида
функции / = Ф(х, у, г, т) является основной задачей аналитической
теории теплопроводности.
Влиянию различных факторов на коэффициент теплоотдачи,
а также способам его определения для того или иного конкретного
случая посвящены дальнейшие главы.
* В ряде случаев при задании граничного условия третьего рода необхо-
димо учитывать и лучистый теплообмен.
279
Глава ХХП
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛОТЫ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬЮ
В ТЕЛАХ ПРОСТЕЙШЕЙ ФОРМЫ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА
§ 22.1. Распространение теплоты теплопроводностью в однородной
однослойной плоской стенке
Рассмотрим распространение теплоты теплопроводностью в одно-
родной однослойной плоской стенке толщиной 6 при неограниченных
ширине и длине ее.
Ось х направим перпендикулярно стенке (рис. 22.1). По обеим
поверхностям стенки как в направлении оси у, так и оси z благодаря
равномерному подводу и
Рис. 22.1
отводу теплоты температуры распределены
равномерно. В связи с тем что стенка
в направлении этих осей имеет бесконеч-
но большие размеры, соответствующие
температурные градиенты dt/dy = dt/dz = 0
и, таким образом, отсутствует влияние на
процесс теплопроводности торцовых по-
верхностей стенки. При этих упрощающих
задачу условиях стационарное температур-
ное поле является функцией только коор-
динаты х, т. е. рассматривается одномерная
задача. Применительно к разбираемому
случаю дифференциальное уравнение тепло-
проводности примет вид [формула (21.18)
при dt/dx = 0]
с!2Ш2 = 0.	(22.1)
Даны граничные условия первого рода:
А*-0 = ^СТ, 1
.	. рстх	*ст2 •
“ *ст2 )
Найдем уравнение температурного поля и определим тепловой
поток Ф, проходящий через участок стенки площадью А.
Первое интегрирование дает
dtldx = grad t = а,	(а)
т. е. температурный градиент является величиной постоянной по всей
толщине стенки.
После второго интегрирования получим искомое уравнение тем-
пературного поля
t = ax-\-b,	(б)
где а и Ь — постоянные интегрирования.
Таким образом, изменение температуры по толщине стенки сле-
дует линейному закону, а изотермические поверхности представляют
собой плоскости, параллельные граням стенки.
280
Для определения произвольных постоянных интегрирования ис-
пользуем граничные условия:
^Х-0 ~ Агт, ~ Ь,
tx—b = Ат. --	Ц- /сТ,,
т. е.
а = grad / = — (Атх — Ат2)/6.	(22.2)
Так как Ат, > Ат„, то проекция градиента на ось х отрицательна,
как это и следовало ожидать при выбранном направлении оси, сов-
падающей с направлением вёктора поверхностной плотности тепло-
вого потока.
Подставляя значение постоянных в уравнение (б), получим окон-
чательное выражение для температурного поля.
Линия а-b на рис. 22.1, так называемая температурная
кривая, показывает изменение температуры по толщине стенки:
=	х.	(22.3)
Зная температурный градиент, можно, пользуясь уравнением
Фурье (21.6), найти количество теплоты 6Q, проходящей за время т
через элемент площади поверхности dA, перпендикулярный оси х:
= X -c-^~frtL4T	(22.4)
и для участка поверхности площадью А
q =	(22.5)
Формула (22.5) для теплового потока и поверхностной плотности
теплового потока примет вид
Ф = М (Ат, —Ат2)/6;	(22.6)
<7 = Х(/СТ1-/Ст2)/6.	(22.6а)
При выражении X в Вт/(м-К), 6 в м, А в м2, т в с, Ат, и Ат„
в °C Q выразится в Дж, Ф в Вт и q в Вт/м2.
§ 22.2. Распространение теплоты теплопроводностью
в многослойной плоской стенке
Рассмотрим распространение теплоты теплопроводностью в мно-
гослойной плоской стенке, состоящей из нескольких (например, трех
плотно прилегающих друг к другу) слоев (рис. 22.2).
Очевидно, что в случае стационарного температурного поля
тепловой поток, проходящий через поверхности одинаковой пло-
щади А, будет для всех слоев одним и тем же.
Поэтому для каждого из слоев может быть использовано урав-
нение (22.6).
281
Для первого слоя
Ф = АХЛ (/„, - /ctJA;	(а)
для второго и третьего слоев
Ф = А2Л (/ст, — /Ст,)/б2;	(б)
Ф = А3Л (/стз /ст,)/б3>	(в)
где Аь А2 и А3; бъ б2
и б3 — соответственно теплопровод-
ности * * и толщины слоев.
На наружных границах трехслой-
ной стенки считаются известными
температуры /ст, и /„,- По плоско-
стям раздела слоев устанавливаются
температуры tCT1 и /СТз, которые
рассматриваются как неизвестные.
Написанные выше уравнения (а), (б)
и (в) решим относительно разностей
температур:
/ст, /ст3 — (Ф/Л) (брАД,	(г)
/ст2-/ст. = (Ф/Л)(62/Х2),	(д)
/ст3 /ст, = (Ф/Л) (б3/А3),	(е)
а затем почленно сложим и тем самым исключим неизвестные про-
межуточные температуры:
или
/ст, — /ст, — Ф/Л (6j/Ax + б2/А2 б3/А3)	(ж)
^СТ, ^ст,	.
61/+ 62/ А2 + баАз
^СТ, /ст,
7=7^5-----
i = 1
(22.7)
(22.7а)
Обобщая полученную формулу (22.7а) для n-слойной стенки,
получим
„___ ^ст1 /стга+1	/99 оч
Я~--------------- (22-8)
i = ।
Для определения промежуточных температур /СТ2, /ст,, по пло-
скостям разделов слоев используем формулы (г), (д) и (е):
/ст2 = /ст,	(з)
 /ст, =/ст, Я^^ч= /ст1 Я ба/А^),	(и)
* См, приложения 7, 8,
282
Наконец, обобщая вывод на п-слойную стенку, получим формулу
для температуры на границе i-ro и (г-}- 1)-го слоя:
Ст/+1 = ^ctj — </(61/^1 + 63Д2 +   • + 6//АД.	(22.9)
Иногда’ пользуются понятием об эквивалентной теплопроводно-
сти Х9К)!. Для поверхностной плотности теплового потока, проходя-
щего сквозь плоскую многослойную стенку, напишем выражение
q = Чкв (Ц - 4тя+1)!	<5/,	(22.10)
1~п
где 6,—суммарная толщина всех слоев многослойной стенки.
i = 1
Сравнивая выражения (22.8) и (22.10), заключаем, что
i = п
Чкв=7~--------•	(22.11)
i = 1
На рис. 22.2 в виде ломанной линии изображен график измене-
ния температуры по толщине многослойной стенки. В пределах слоя,
как было доказано выше, изменение температуры следует линейному
закону. Тангес угла наклона а температурной прямой к горизон-
тали равен
lg
т. e. абсолютному значению температурного градиента grad t. Таким
образом, по наклону прямых ab, Ьс и cd можно судить о значении
температурного градиента в том или ином слое. Кроме того, по за-
кону Фурье (21.7),
Xi (grad 01 = Х2 (grad /)2 = (grad /)3.
Следовательно,
М-2 = (grad /)2/(grad 0i,	(22.12)
т. е. температурные градиенты для отдельных слоев многослойной
плоской стенки обратно пропорциональны теплопроводностям этих
слоев. Это значит, что для получения больших температурных гра-
диентов (что требуется, например, при изоляции паропроводов и т. п.)
необходимы материалы с малыми значениями теплопроводности.
§ 22.3. Распространение теплоты теплопроводностью
в однородной однослойной цилиндрической стенке
Найдем для стационарного режима теплопроводности температур-
ное поле и поверхностную плотность теплового потока для однород-
ной однослойной цилиндрической стенки (рис. 22.3). Для решения
поставленной задачи используем дифференциальное уравнение тепло-
проводности в цилиндрических координатах.
883
Ось г направим по оси трубы. Примем, что длина трубы срав-
нительно с диаметром бесконечно велика. В этом случае можно
пренебречь влиянием торцов трубы на распределение температур
вдоль оси г. Будем считать, что в связи с равномерным подводом
и отводом теплоты температура на внутренней поверхности повсеме-
стно равна /Ст., а на
cm?
(j ffl2
Рис. 22.3
наружной поверхности /Ст2 (граничные усло-
вия первого рода). При этих упрощениях
dt/dz = b, а ввиду симметрии температур-
ного поля относительно любого диаметра и
д//дср = О. Изотермическими поверхностями
в этом случае будут поверхности цилиндров,
соосные с осью трубы. Таким образом, за-
дача сводится к определению одномерного
поля температур t=.f(r).
Дифференциальное уравнение теплопро-
водности (21.19) при' условии dt/dx = O при-
мет вид
d.4 ,	n
dr2 ‘ г dr
(22.13)
Введем новую переменную
и = dt/dr,
(a)
которая является градиентом
(grad 0.
Подставляя переменную и
ние (22.13), получим
температур
в уравне-
дифференциальное
уравнение первого порядка с разделяющими переменными
du/dr + и/г = 0	(б)
или
du/u + dr/г = 0.	(в)
Интегрируя, получаем
In « + In г = In а,	(г)
«г = я,	(д)
откуда
и = а/г — grad t.	(е)
Для цилиндрической стенки температурный градиент является
величиной переменной, возрастающей с уменьшением радиуса (г). Сле-
довательно, на внутренней поверхности температурный градиент
больше, чем на наружной.-
Подставляя значение и из уравнения (а) в уравнение (с), получаем
dt — a dr/г	(ж)
и
/ = а1пг + 6	(з)
(а и & —- постоянные интегрирования).
284
(и)
Следовательно, кривая распределения температур по толщине
стенки является логарифмической кривой (кривая а-b на рис. 22.3).
Определим постоянные а и Ь, входящие в уравнение темпера-
турного поля, исходя из граничных условий первого рода. Внут-
ренний радиус поверхности обозначим гь а наружный г2. Тогда
= = t„t = a In Ti + fe,
tr=r,=tcrt =alnr2 + &.
Решая систему уравнений, получаем:
t —t
ст. ст,
а~~ In (Г2/Г1) ’
t ~t
h — t	CT1 CT‘
° - Гст‘	In (r2/ri) 
(К) .
Уравнение температурного поля примет вид
^^-fe^lncr/ro.	(22.14)
Температурный градиент определяем по формуле (е):
grad t = dt/dr =	-	(22.15)
ь	г In (г3/гг) d In (d2/di)
где d = 2r — диаметр поверхности.
Так как /СТ1 > (СТ2, а < г2, то проекция grad t на радиус-век-
тор имеет знак минус. Последнее показывает, что для данного слу-
чая тепловой поток направлен от центра к периферии.
Для определения теплового потока, проходящего через участок
цилиндрической поверхности длиною I, воспользуемся уравнением
Фурье (21.6), в котором под величиной А следует понимать участок
площади любой изотермической поверхности, являющейся, как это
было указано выше, круговой цилиндрической поверхностью радиуса г
(rx=sS г г2). Следовательно, площадь поверхности
А — 2лг/ = л dl
и тепловой поток
Атг Ат,
d In (d-^dj)
Ф = —2Х
л dl — 2л7.
Ат, Ат3
In №/Д)
/.
(22.16)
Из формулы (22.16) следует, что тепловой поток, проходящий
сквозь цилиндрическую поверхность, зависит от соотношения наруж-
ного и внутреннего радиусов г2/гх (или диаметров d2/d1), а не от
толщины стенки.
Для цилиндрической поверхности применяются два различных
понятия: а) поверхностная плотность теплового по-
тока как отношение теплового потока к площади внутренней поверх-
ности qB. П = ФМВ. п либо к площади наружной поверхности qK п =
285
= Ф/ЛН.П; б) линейная плотность теплового потока
^ = ф//^ где Двп —площадь внутренней поверхности, Ди п —пло-
щадь наружной поверхности, / — длина цилиндрической поверхности:
?В.П = ФМВ.П = ^^=^;	(22.17)
(22.18)
’ <22-19>
где (^ — внутренний, a dz — наружный диаметр цилиндрической по-
верхности.
При выражении /, и d2 в м, ^СТ1 И /ст2 в °C, X в Вт/(м-К),
Лв-П и Дв-П в м2, Ф в Вт, <7В П и выразятся в Вт/м2,
qi — в Вт/м.
Из формул (22.17), (22.18) и (22.19) следует
<7( = <7в.пЛ(/1 = <7н.п^2-	(22.20)
§ 22.4. Распространение теплоты теплопроводностью
в многослойной цилиндрической стенке
Рассмотрим распространение теплоты теплопроводностью в трех-
слойной цилиндрической стенке (трубе) (рис. 22.4) с внутренним
диаметром dY и наружным диаметром dt. Промежуточные диаметры
отдельных слоев d2 и d3.
Известными считаются температура /СТ1 внутренней и температура
/ст. наружной поверхности. Подлежит определению линейная плот-
ность теплового потока </z и
температуры /СТг и /СТз на гра-
ницах слоев. Составим для
каждого слоя уравнение вида
(22.19):
Рис. 22.4
qt — 2лХ2 ~ст/ 73 ;	(б)
2 In №М)
qt = 2л7.3	.	(в)
'	3 In (d4/d3) v >
Решим уравнения (а), (б) и (в)
тур, а затем, почленно складывая,
относительно разностей темпера-
получим
(яц  /ст.—	1п(с/а/с!1)-j- In(с/3/с/а)-р ln(d4/ds)^.	(г)
286
Из формулы (г) имеем расчетное выражение для определения
линейной плотности теплового потока для трехслойной стенки:
_________________
-S— In (d2/^i) + "г- In (ds/d2) -|- In (d4/d3)
Обобщим формулу (22.21) на n-слойную стенку трубы:
2я(Ч ^yti)
f ~n
2 V ln (d^l)
(22.21)
(22.21a)
где i — порядковый номер слоя.
Из уравнений (а), (б) и (в) находим выражения для определения
температуры на границах промежуточных слоев:
/стг — tctx 2ллт (^2/^1) >
/ст3 = /ст2 2лл2	№з/^2) = ^СТ,
->[i ^(W + ^ln^)].
(д)
(е)
Температуру /ст на границе i-го и (/ф-1)-го слоя можно опре-
делить по аналогичной формуле:
Ц+1=tcTi~ik[г;1п+Т21п ^з/<^ + ’+~i ln 
(22.22)
При расчете тонкостенных труб допускается с некоторой погреш-
ностью пользоваться формулами, выведенными для плоской стенки.
Принимая площадь поверхности трубы равной 0,5л (d1 ф- d2) I, а тол-
щину стенки б = 0,5 (<ф — dj, получим приближенную формулу для
определения линейной плотности теплового потока:
qt = Ф/1 = л (dj ф- d2) (/ст, - /ст2).	(22.23)
Расчет по формуле (22.23) дает несколько большее значение для qh
чем по точной формуле (22.19). Погрешность зависит от отношения
di/di и погрешность тем больше, чем больше это отношение.
Если, например, считать допустимым относительную погрешность
в 0,5 % при определении линейной плотности теплового потока qt,
то при всех значениях d2/dx < 1,3, т. е. для тонкостенных труб
(труб паровых котлов, конденсаторов и т. п.) можно пользоваться
более простой формулой (22.23).
287
Глава XXIII
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛОТЫ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬЮ
В ТЕЛАХ ПРОСТЕЙШЕЙ ФОРМЫ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ТРЕТЬЕГО РОДА.
КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ
§ 23.1. Передача теплоты (теплопередача) сквозь плоскую стенку
Как было указано (см. § 21.6), граничные условия третьего рода
заключаются в задании температуры окружающей среды и закона
теплообмена между нею и поверхностью тела.
Рассмотрим плоскую стенку (рис. 23.1) при неограниченных ее
ширине и длине. Пусть такая стенка толщиной б разделяет две жид-
кости с разными температурами. От первой жидкости с постоянной
более высокой температурой /± теплота
будет передаваться сквозь разделяющую
стенку ко второй жидкости тоже с по-
стоянной, но более низкой температурой /2.
Процесс передачи  теплоты от одной
жидкости к другой сквозьразделяющую их
стенку называется теплопередачей.
Определим для рассматриваемого слу-
чая поверхностную плотность теплового
потока и температуры на поверхности
стенки в стационарных условиях тепло-
обмена.
Поверхностная плотность теплового по-
тока от жидкости с более высокой темпе-
ратурой к поверхности стенки конвектив-
ным теплообменом определяют по форму-
ле (21.20); в данном случае
q — ®i (/j	^ст,),
где — коэффициент теплоотдачи от
жидкости более высокой температуры
/Ст, — температура поверхности со стороны
(а)
к поверхности стенки;
теплоотдающей среды.
Поверхностная плотность потока теплоты, прошедшей сквозь
стенку теплопроводностью, равна для стационарного режима поверх-
ностной плотности теплового потока от жидкости более высокой тем-
пературы к поверхности стенки и определяется по формуле (22.6):
<7 = (Х/6) (/ст, ~/ст2),	(б)
где /СТ1 и /Ст2 — температуры на поверхностях стенки; X —теплопро-
водность материала стенки.
Поверхностная плотность теплового потока от стенки к жидкости
более низкой температуры /2 может быть определена по формуле
(21.20):
<7 = а2(/ст,-/2), 	(в)
288
где а2 — коэффициент теплоотдачи от стенки к тепловоспринимающей
среде; — температура поверхности стенки со стороны тепловоспри-
нимающей среды.
Решим написанные уравнения относительно разностей температур:
	/i tCTl — q (1/^1); tcr^tcT^q (SA); ^ст2 ^2=?(V^2), .	(г)
а затем их	почленно сложим:	•
откуда Обозначим Тогда	ti ~ 4 = q (1 /«i +	+ 1 /а2),	(д) П = 	— —	 (е) -гг r  гт,— = k.	(23.1) 1 Mi 6/Х Ч-l/oto (? = й</1-/2).	(23.2)	
Величина k называется коэффициентом теплопередачи. Коэффициент
теплопередачи численно равен количеству теплоты, которая пере-
дается через единицу поверхности стенки в единицу времени при
разности температур между жидкостями в 1 град.
При выражении q в Вт/м2, и /2 в °C, k выразится в Вт/(м2-°С),
или Вт/(м2-К), что одно и то же. Тепловой поток сквозь разделяю-
щую плоскую стенку
Ф = Ы(^-/2),	(23.3)
где Л —расчетная площадь поверхности плоской стенки.
Для многослойной плоской стенки, разделяющей две жидкости
с различными температурами, совершенно аналогичными рассужде-
ниями получим для коэффициента теплопередачи выражение
»=--------------------.	(23.4)
VaiH~ У 6/Д-]-1/а2
i = 1
Для определения температур на гранях n-слойной стенки и на
ее границах следует использовать формулы типа (г).
Температура на поверхности первого слоя со стороны теплоот-
дающей среды
^ст] = — V	(23.5)
Температура на границе между первым и вторым слоем
— — q Sj/Xj).	(23.6)
10 Зак. 49
289
Температура на границе между i-м и (i' + 1)-m слоем (где i поряд-
ковый номер слоя)
/ст;+, = — <7 (1/<^1 + 6jAi+• • • +б,А/)-	.	(23.7)
Температура на поверхности последнего слоя, соприкасающегося
с тепловоспринимающей средой,
^стл+1 — ti — Q (1 Ai + 2 ^*А/} — tz + q (VO-
(23.8)
§ 23.2.	Передача теплоты (теплопередача)
сквозь цилиндрическую стенку
Предположим, что сквозь цилиндрическую однородную стенку
(трубу) неограниченной длины передается теплота при стационарном
режиме от омывающей ее с одной стороны (изнутри) жидкости по-
стоянной, более высокой температуры tx к омывающей ее с другой
стороны (снаружи) жидкости тоже постоянной, но более низкой тем-
пературы t2. Определим линейную плотность теплового потока и
температуры на поверхностях стенки.
Аналогично изложенному в предыдущем параграфе для. плоской
стенки, для линейной плотности теплового потока qt можно напи-
сать три уравнения:
qt -—	(/j /ст,) лфр
qt = 2л>. -Нйт ;	(6)
qt — ^2 (^ct2	/2) ^^2'	(®)
Решая эти уравнения относительно разностей температур, а затем
складывая, получаем
п ______________________________________A-G)_______________
С!1 1 1 1
djnaj 2лЛ 1°	+ d2nas
(a)
Обозначив
— k[,
(г)
(23.9)
1
п—о—Г* (<7гА1) Н------~г~
ащЩ 2л X	aanda
где kt — линейный коэффициент теплопередачи, получим
qi = kt (^ -/2).
(23.10)
При выражении qt в Вт/м, 4 и в °C kt выразится в Вт/(м-К),
или Вт/(м  °C), что одно и то же.
Формула (23.9) для линейного коэффициента теплопередачи может
быть распространена на многослойную стенку:
1—п
aindi + 2лХ/ ,п(бА1А<)+ ааПС[л+],
(23.11)
290
Температура на поверхностях однослойной цилиндрической стенки
может быть получена из соотношений:
S-;	<23-,2>
£ [ Д-+а-«‘«Н+ ’ » <23-13>
Для многослойной стенки температура на границе между t-м и
(i+l)-M слоем определится по формуле
- ' - f Us-+i-ln <«+ • +lb•"«]  <23-14>
Для определения поверхностной плотности теплового потока для
цилиндрической стенки следует воспользоваться соотношением (22.20):
<7B.n = <7z/Mi);	' (23.15)
<7ч.п = ^/(лс!2).	(23.15а)
§ 23.3.	Термическое сопротивление
Величину, обратную коэффициенту теплопередачи, называют пол-
ным термическим сопротивлением и обозначают буквой R:
R = l/k,	(23.16)
а величину, обратную линейному коэффициенту теплопередачи, —
полным линейным термическим сопротивлением и обозначают Rp
Ri = l/kt.	(23.16а)
При выражении k в Вт/(м2- К), kt в Вт/(м  К) R выразится в м2' К/Вт,
R; — в м • К/Вт.
Из формулы (23.4) получаем
R = 1 Ik = 1 /ах + f + 1 /а2.	(23.17)
i~ 1
Из формулы (23.11) имеем
i
R‘=Чк,+ 2 2Й71” ам+^а—	(23.18)
Полное термическое сопротивление равно сумме отдельных, так
называемых частных, термических сопротивлений. Так, для плоской
стенки частными сопротивлениями являются:
термические сопротивления теплоотдачи (l/o^ и 1/и2);
термическое сопротивление соответственно первого слоя, второго
СЛОЯ, i-ГО СЛОЯ (Sj/Xj, 62Д2, 6;/7();
термическое сопротивление собственно многослойной стенки
(if 6t/d
v=i /
•io
S91
Частные термические сопротивления могут значительно (в сотни
раз) отличаться друг от друга. Поэтому полезно оценить влияние
на теплопередачу каждого частного сопротивления, с тем чтобы пра-
вильно определить влияние тех сопротивлений, которые могут суще-
ственно повлиять на количество переданной теплоты.
Выясним это на некоторых частных примерах.
Рассмотрим передачу теплоты сквозь поверхность нагрева паро-
вого котла, предполагая, что поверхность чистая, т. е. не загряз-
нена накипью (со стороны воды) и сажей (со стороны газообразных
продуктов сгорания). Коэффициент теплоотдачи от газов к стенке
(поверхности нагрева) обычно равен а, = 25 ... 50 Вт/(м2 • К), от
стенки к кипящей воде а2 = 10 000 ... 35 000 Вт/(м2-К). Толщина
стальной стенки 3 ... 5 мм. Теплопроводность стальной стенки Л. =
= 45 Вт/(м -К). Принимая cq = 40 Вт/(м2 К); а2 = 10 000 Вт/(м2 • К)
и 6 = 4,5 мм, получим значения термических сопротивлений:
1/ах = 1/40 = 0,0250 м2 • К/Вт,
1/а2= 1/10 000 = 0,0001 м2-К/Вт,
6Д = 4,5  10-3/45 = 0,0001 м2-К/Вт,
Я = 0,0250+ 0,0001 +0,0001 =0,0252 м2-К/Вт,
£=1/7? =1/0,0252 = 39,7 Вт/(м2-К).
В этом частном случае	и влияние сопротивлений 6Д и
1/а2 ничтожно мало и ими при практических расчетах можно пре-
небречь. В этом случае теплопередачу определяет наибольшее соп-
ротивление 1/аь которое, как это видно из приведенного примера,
в 250 раз больше каждого из двух других термических сопротив-
лений. Такое соотношение частных термических сопротивлений ха-
рактерно для теплообмена в установках паровых котлов. Поэтому
при тепловом расчете паровых котлов принимают cq k (в предпо-
ложении, что поверхность не загрязнена).
В свете изложенного бессмысленна с точки зрения теплопередачи
замена стальных труб медными, хотя теплопроводность меди (X =
= 380 Вт/(м-К) в 8,5 раза больше, чем у стали. Действительно,
такая замена стальных труб медными уменьшит местное сопротив-
ление 6/Л для медных труб 6/Х = 0,000014 м2-к/Вт, которое сравни-
тельно с 1/ах и без того мало и практически на коэффициент теп-
лопередачи не влияет.
Если стенка покрыта слоем накипи толщиной 6=1 мм при Л =
= 0,1 Вт/(м-К), то дополнительное местное сопротивление 6/Х =
= 1  10-3/0,1 м2-К/Вт = 0,01 маК/Вт будет величиной того же
порядка, что и 1/ах. В этом случае получим R = 0,0352 м2-К/Вт и
& = 28,4 Вт/(м2К)- Таким образом, загрязнение стенки накипью
уменьшило коэффициент теплопередачи на 28,5%.
Рассматривая теплопередачу в конденсаторе, где теплоотдающей
средой является конденсирующийся пар (1/^ = 0,0001 м2К/Вт),
а тепловоспринимающей средой — вода (1/а2 = 0,0002 м2К/Вт), полу-
чим заметное расхождение между коэффициентом теплопередачи в зави-
симости от того, будут ли использованы стальные или латунные
292
трубы [X = 100 Вт/(м • К)]- Так, для трубы с толщиной стенки 6 = 3 мм
получим (расчет ведется для случая плоской стенки):
для стальной трубы
R = 0,00010 + 0,00020 + 0,00007 = 0,00037 м2 • К/Вт;
k = 2700 Вт/(м2-К);
для латунной трубы
R = 0,00010 + 0,00020 + 0,00003 = 0,00033 м2  К/Вт;
/г = 3060 Вт/(м2  К) и разница в значении k достигает 11,3%.
Из рассмотренных примеров становится ясным, что не учитывать
какое-либо термическое сопротивление можно только в том случае,
когда оно мало сравнительно с другими частными сопротивлениями.
Если все термические сопротивления имеют значение одного и того
же порядка, то пренебрегать каким-либо из них нельзя, как, напри-
мер, в случае передачи теплоты в конденсаторе.
§ 23.4.	Тепловая изоляция. Критический диаметр изоляции
Для снижения тепловых потерь в окружающую среду необходимо
увеличение полного термического сопротивления нагретого тела.
Чаще всего это достигается путем нанесения на нагретую поверх-
ность слоя тепловой изоляции.
В качестве тепловой изоляции применяют материалы
с низким значением теплопроводности и достаточно стабильными дру-
гими физическими характеристиками. Теплоизоляционные материалы
изготовляют как из органического, так и неорганического сырья.
К сырью органического происхождения относятся шерсть, хлопок,
древесина и т. д., а неорганического —- асбест, шлак, глина, песок
и т. д.
В судовой практике в качестве теплоизоляционных материалов
наиболее распространены пробка, стекловойлок, стеклянная и шла-
ковая вата, мипора, пенопласты, асбодревесные плиты, винидур,
пенополиуретаны и др.
Исследуем влияние материала и толщины наружного диаметра
изоляции на полное линейное термическое сопротивление и тепло-
вые потери изолированного трубопровода.
С этой целью рассмотрим цилиндрическую трубу, покрытую
по внешней поверхности однослойной тепловой изоляцией. Полное
линейное термическое сопротивление такой двухслойной цилиндри-
ческой стенки определяется по формуле, аналогичной (23.18),
= l/ki	=	+ йй ln + Д1Д ln (d“M) 4-	• (а)
Считаются заданными все значения величин, входящих в выраже-
ние термического сопротивления, кроме внешнего диаметра изоляции
du3, который при известном значении внешнего диаметра d2 самой
трубы определяет толщину изоляции. С увеличением диаметра d„3
увеличивается местное термическое сопротивление слоя изоляции
293
н-l—ln(dH3/d2), но одновременно уменьшается местное термическое
сопротивление теплоотдачи 1/(а3лс/из).
Чтобы выяснить влияние наружного диаметра изоляции (а сле-
довательно, и толщины изоляции) на полное линейное термическое
сопротивление трубы, возьмем первую производную от правой части
уравнения (а) по dK3 и приравняем ее нулю:
_______Ц.	(б)
<?d[13	\2Хц3 cxg ^из/
Производная dRi обращается в нуль при некотором крити-
ческом диаметре dK, при котором термическое сопротивление
цилиндрической стенки проходит через экстремальное значение:
1/(2М- 1/(Миз) = 0	(в)
или
4 = d„3 = 2Хиз/а2.	(23.19)
Поскольку вторая производная от Ri больше нуля:
ld2Ri \ а2
____™	- > 0,	(г)
\ дЛк3 /dKp 8лА.из
то критический диаметр соответствует минимальному термическому
сопротивлению и максимуму теплового потока, а следовательно, и
максимуму линейной плотности теплового потока.
Из формулы (23.19) следует, что критический диаметр изоляции
dK не зависит от наружного диаметра трубопровода d2, толщины
изоляции 6ИЗ и коэффициента теплоотдачи cq (от жидкости или газа
к внутренней стенке трубы), а зависит только от теплопроводности
изоляции и коэффициента теплоотдачи а2 (от внешней поверх-
ности изоляции к окружающей среде).
Разность между линейным термическим сопротивлением неизоли-
рованной трубы Ri и линейным термическим сопротивлением трубы,
покрытой изоляцией,
Ri—Ri =_!_ _r_l_ln(43/d2)+—
из а2ле/2 |_2тсл-из v из/ 2/ 1 carina/
Если =	, то линейная плотность потока теплоты во внеш-
нюю среду будет одинакова как у изолированной, так и у неизо-
лированной трубы. Если	то наличие изоляции приводит
к увеличению тепловых потерь в окружающую среду. Наконец, если
Rt <; Ri то наличие изоляции приводит к уменьшению тепловых
потерь в окружающую среду.
Остановимся несколько подробнее на зависимости тепловых потерь
трубопровода от толщины изоляции (d„3) и ее количества, опреде-
ляемого теплопроводностью (А,из).
Если d2<dK, то при наложении последовательных слоев изоля-
ции толщина ее будет увеличиваться и, наконец, диаметр изоли-
294
рованного трубопровода достигнет значения dK. В этом случае по мере
увеличения толщины изоляции до значения dK тепловые потери будут
расти, превышая тепловые потери неизолированного трубопровода.
При дальнейшем увеличении толщины изоляции (dll3 > dK) тепловые
потери будут уменьшаться. На рис. 23.2 показана зависимость теп-
ловых потерь наружного диаметра изоляции (с?из) для случая d2<
<dK (кривая а).
Если d2 > dK, то при любой толщине изоляции диаметр da3
никогда не окажется равным dK и всегда dll3 > dK. В этом случае
применение изоляции с данным значением Хиз любой толщины обес-
печит уменьшение тепловых потерь; чем больше толщина изоляции,
тем меньше тепловые потери (кривая б на рис. 23.2).
Коэффициент теплоотдачи а2 для трубопроводов, проложенных
в закрытых помещениях (при +г = 0—150 °C), можно приближенно
определить по формуле
а2 = 9,8 + 0,07 (ZCT2-Q.	(23.20)
При выражении (Ст„ и 12 в °C а2 выразится в Вт/(м2-К).
В качестве примера определим dK для трубы, покрытой различ-
ными изоляционными материалами: бетоном [Х= 1,28 Вт/(м • К), асбе-
стом [Х = 0,11 Вт/(м • К)], совелитом [Х = 0,098 Вт/(м -К)].
По формуле (23.19) при а2,= 10 Вт/(м2К) имеем:
а)	для бетона
dK = 2Хиз/а2 = 2-1,28/10 = 0,256 м;
б)	для асбеста
= 2Хиз/а2 = 2 -0,11/10 = 0,022 м; "
в)	для совелита
dK = ^ = 112^ = 0,0196 м.
295
Следовательно, бетонная изоляция (при заданном а2) будет отно-
сительно эффективна, если внешний диаметр изолируемой трубы
будет больше 256 мм; только при этом условии dli3 всегда больше
dK. Для совелитовой изоляции da должно быть больше 19,6 мм.
§ 23.5. Передача теплоты сквозь ребристые поверхности
Когда одно из термических сопротивлений во много раз больше,
чем остальные, как, например, в случае передачи теплоты от газо-
вой среды через стенку в воде (cq^-oQ, то для выравнивания терми-
ческих сопротивлений путем уменьшения наибольшего из них при-
меняют оребрение поверхности с той стороны, где имеется наибольшее
сопротивление теплоотдачи.
Рассмотрим плоскую стенку толщиной 6. На одной из сторон
стенка имеет ребра (рис. 23.3). Примем (что делается ради упрощения
расчета), что стенка и ребра сделаны из одного
материала теплопроводностью X. Коэффициент
'A^ZZZZZZi теплоотдачи от среды к ребристой поверхности
t	t пусть будет а3 = ар, а со стороны гладкой по-
1	1 верхности aj^etp. Сделаем допущение, что
I '//^SZ-ZZ22) «2 температура по всей поверхности ребер и про-
ст<	стенков между ними одинакова и равна t„2.
I	Напишем три уравнения теплового потока
для стационарного режима:
ф==а1Лгл (/х —/СТ1);	(а)
Ф = ШХ-У;	(б)
Рис’Ш	Ф = арЛр(/СТ2-/3),	(В)
где Ар — площадь поверхности ребер и простенков между ними,
а АГл — площадь гладкой поверхности.
Отношение площади оребренной поверхности к площади гладкой
поверхности называют коэффициентом оребрения [J:
₽ = ^рМгл-	(г)
Решая написанные выше уравнения относительно разностей тем-
ператур, а затем почленно складывая их, получаем
Ф = TWA-J + 6/(МГл) + 1/(арЛр)	(23.21)
или
Ф = 1М + 6/А.+ 1/(арр)	^1 — ^М‘ л’	(23.22)
где k — коэффициент теплопередачи для плоской ребристой поверх-
ности, представляющей отношение теплового потока к площади глад-
кой поверхности и к разности температур жидкостей (теплоотдающей
и тепловоспринимающей сред):
, Ф	1
k = Лг“ (/i-Ц =	+ 1/(арР) •	(23-23)
296
Термическое сопротивление теплоотдачи 1/ар при наличии ребер
стало равным 1/(ар0), т. е. уменьшилось в 0 раз. Чем выше коэф-
фициент оребрения, тем меньше термическое сопротивление, однако
предельное значение 0 должно быть таковым, чтобы термическое
сопротивление l/(otp(3) не стало меньше сопротивления 1/аР
Для круглой ребристой трубы аналогичными рассуждениями
получим
(23.24)
где ^ — линейный коэффициент теплопередачи для ребристой поверх-
ности :
^4— + ок 1п	+— “Гн
АЛЛ	'ЛрЛ Ы2р
(23.25)
где dj — внутренний диаметр трубы; d2 — наружный диаметр трубы,
несущий ребра; 0 — коэффициент оребрения поверхности, представля-
ющий собой отношение площади поверхности ребер и простенков
между ними к площади наружной поверхности трубы.
Из различных видов оребрений наиболее распространены трубы
с поперечными, квадратными и круглыми ребрами (рис. 23.4, а, б).
Иногда ребристые поверхности удобно изготовлять с неразрезными
ребрами. В этом случае трубки пропускаются через большое число
параллельных собирающих пластин, которые одновременно служат
и ребрами. Места соединения пластин и трубок для лучшего кон-
такта лудят или оцинковывают (рис. 23.4, в). В зависимости от шага
между трубками в пластинах ребра получаются квадратной или пря-
моугольной формы.
297
Применяют также круглые трубки с непрерывным спиральным
оребрением (рис. 23.4, д'), которое выполняется навивкой ленты
с последующей пайкой. -В некоторых случаях ребра выполняют из
гофрированной ленты (для повышения турбулентности потока, омы-
вающего трубки).
В ряде теплообменных аппаратов применяют проволочное ореб-
рение (рис. 23.4, г). Из медной или стальной проволоки диаметром
0,5 ... 0,7 мм формируются петли, располагающиеся по винтовой
линии на наружной поверхности трубки. Положение петель фикси-
руется проволокой.
Формулы (23.23) и (23.25) получены в предположении, что тем-
пературы основной поверхности и ребер одинаковы. В действитель-
ности в элементах оребрения наблюдается градиент температуры,
вследствие чего степень тепловой эффективности оребренных поверх-
ностей по высоте ребра неодинакова. Степень тепловой эффективности
оребренной поверхности оценивается коэффициентом эффективности
этой поверхности, определяемым из выражения
т)о=1+(ЛрМ)(Пр- 1),	(23.26)
где Ар — площадь поверхности оребрения; А — полная площадь поверх-
ности теплообмена со стороны оребрения; т]р — коэффициент эффек-
тивности ребра.
Подставляя коэффициент эффективности оребренной поверхности
в формулу (23.23), получим следующее более точное выражение для
определения коэффициента теплопередачи для плоской ребристой
поверхности:
k‘= 1/0Ц + 6Д+ 1/(арр<) •	(23 • 27)
Аналогичным образом можно получить выражение и для круглой
оребренной поверхности.
Коэффициент эффективности ребра т]р —отношение средней раз-
ности температур оребренной поверхности и окружающей среды
к разности температур поверхности, несущей оребрение, и окру-
жающей среды:
J О dA
Т1₽=-Ъг-	(23-28)
где О —разность температур поверхности ребра в данной точке и
окружающей среды; — разность температур поверхности в осно-
вании ребра и окружающей среды; t/Л—элементарная площадь
поверхности ребра; Ар — полная площадь поверхности ребра.
В связи с тем что температура по высоте ребра /Ст2 переменна,
изменяется и коэффициент теплоотдачи ар, значение которого может
быть определено только экспериментальным путем.
Температурное поле ребра может быть определено расчетным
путем. Этому вопросу посвящен § 23.6,
298
§ 23.6. Распространение теплоты теплопроводностью
вдоль стержня (ребра) с постоянной площадью
поперечного сечения
любой точке любого попёреч-
температурой на его, оси.
Рассмотрим стержень (ребро) с постоянной площадью попереч-
ного сечения А. Периметр стержня обозначим и. Будем считать, что
высота стержня сравнительно с размерами его поперечного
сечения весьма велика (рис. 23.5). Ограничимся случаем стаци-
онарного режима теплопроводности.
Ось х направим вдоль стержня. В связи с тем что высота стержня
значительно больше размеров поперечного сечения, частные производ-
ные dtjdy и dt/dz могут быть приняты равными нулю. Это допущение
позволяет считать, что температура в
ного сечения стержня совпадает с
Иными словами, рассмат-
ривается одномерная за-
дача: ( = /(*)•
Примем, что коэффи-
циент теплоотдачи а от по-
верхности стержня к окру-
жающей среде температу-
рой ta остается неизменным
по всей длине стержня.
Вырежем двумя беско-
нечно близкими сечения-
ми элемент стержня дли-
ной dx. К выделенному
элементу со стороны на-
греваемого конца подво-
дится тепловой поток, а
другого конца отводится тепловой по-
ток Ф2. Введем новую переменную ft = t — t0. Ясно, что dti — dt.
При х = 0 имеем —10, где — температура на горячем торце
стержня. Введение новой переменной по существу равносильно
соглашению, что за начало отсчета температур взята температура tQ.
В этом смысле температуру Ф часто называют избыточной.
По уравнению Фурье имеем
(а)
(б)
где индексы х и xA-dx указывают, что температурные градиенты
взяты соответственно в сечениях с абсциссами х и xA~dx.
По боковой поверхности рассматриваемого элемента отводится
тепловой поток 6Ф. Последний может быть подсчитан по закону
Ньютона:
6Ф — аи$ dx.
(в)
299
Уравнение теплового баланса для вырезанного элемента примет
ВИД
+““»* (г>
откуда
/д$\	(d®\
\ dx)x + dx \dxjx _ d-ti _ аи „ _/„>
dx	dx2 ХА	’	W
где	________
m — ± ]/au/(M).	(23.29)
При выражении и в м, А в м2, а в Вт/(м2 - К), А, в Вт/(м • К)
т выразится в м1.
Полученное уравнение является линейным однородным дифферен-
циальным уравнением второго порядка, общее решение которого
будет
Ь = С1етХ + С2е-тх,	(23.30)
где Cj и С2 — постоянные интегрирования, определяемые из гранич-
ных условий
•0л=оо = о
^1 + ^2 = '0’1
и
Сгет 4_ С^е-от = 0.
Следовательно,
С1==0 и С2^^.
Таким образом, уравнение температурного поля будет выражаться
формулой
-у 1//"
'& = '&1е V	(23.31)
График распределения избыточной температуры вдоль стержня
дан на рис. 23.5. С увеличением х, т. е. длины стержня, темпера-
тура й быстро падает. Так, при хт = 4 получим '&/'й1	0,018.
Поверхностная плотность потока теплоты q, теряемая по всей
длине стержня через его боковую поверхность, ввиду стационарности
режима должна равняться поверхностной плотности потока теплоты,
входящей в стержень через торец. Следовательно,
q— X(dtydx)x-0.	(23.32)
Из уравнения (23.31)
(d^/dx)x.o = (— ^хтт)х.о - —
Окончательно получаем
Ф =	='0'1]/ а«М.	(23.33)
зоо
Остановимся на некоторой особенности выражения (23.31) для
избыточной температуры О. Обозначим произведение х У аи/(ХА)
буквой К- Тогда
УУ = е-«.	(23.34)
Из формулы (23.34) следует, что закон изменения избыточной
температуры (при равных значениях fl,1) будет одинаков у всех стер-
жней, у которых параметр К один и тот же, хотя значения отдель-
ных величин (х, А, и, X и а) могут быть и неодинаковыми.
Рассмотрим теперь стержень конечной высоты h, напри-
мер призматическое ребро прямоугольного поперечного сечения
(рис. 23.6). Дифференциальное уравнение, описывающее температур-
ное поле в стержне, и его интеграл
и для стержня бесконечной высоты
ничном условии на свободном торце
отдачей на торце стержня.
При этом допущении граничное
условие на свободном торце стержня
будет иметь вид *
=0.	(23.35)
\dx)х = h	v '
Из уравнения (23.30), определяя
id® \
I I , имеем
\dx ]x=h’
С^" _ С2е-”А = 0.	(е)
(23.30) остаются теми же, что
Отличие будет лишь в гра-
стержня. Пренебрегаем тепло-
icmt
Рис. 23.6
Решая полученное уравнение совместно с ранее найденным
граничным условием (при х = 0)
61 + б2 = У,	(ж)
определяем постоянные интегрирования С, и С2:
е-тЛ	Q-mh
1	*1 ^mh
n ^mh	?mh
=	(и)
Подставляя значения Ct и С.2 в формулу (23.30) находим урав-
нение температурного поля:
V -	2chm/i	1 ch m/i ’	(Zd.db)
* Если теплоотдачей на торце стержня не пренебрегать, то граничное усло-
вие примет вид —X (' =a.hA'dfl, где — коэффициент теплоотдачи на тор-
\dx )x = h
цовой поверхности.
301
Из формулы (23.36) при х—1 получим выражение для избыточ-
ной температуры на свободном конце стержня:
^А = -Лт-	(23.37)
п ch mil	'
Поток теплоты, переданной стержнем в окружающую среду, можно
определить по уравнению Фурье (23.32). Из (23.30) имеем
и
ф = fljX/т-гЛ th mh.	(23.38)
Формулы (23.37) и (23.38) являются приближенными, так как
при их выводе было принято, что теплоотдача на свободном торце
стержня равна нулю. В практических расчетах обычно пользуются
этими приближенными формулами в связи с их простотой. Как пока-
зали сравнительные расчеты, теплоотдачу со свободного торца можно
достаточно точно учесть путем условного увеличения высоты ребра
(стержня) h на половину толщины ребра, т. е. на значение 6/2.
§ 23.7. Передача теплоты сквозь ребра
Выведенные в предыдущем параграфе формулы (23.36) ... (23.38),
как это было указано, могут быть использованы для расчета тем-
ператур й теплоотдачи призматических ребер постоянного сечения
(рис. 23.6). Весьма часто ребра выполняются переменной толщины,
например трапециевидного сечения. Еще чаще встречаются круглые
ребра (см. рис. 23.4, б). Уравнения, описывающие температурное поле
таких ребер, очень сложны, и использование их в инженерных рас-
четах приводит к весьма трудоемким расчетам. Поэтому обычно
используют различные приближенные методы. Одним из таких мето-
дов является метод использования коэффициента эффективности ребер.
Тепловой поток, передаваемый ребристой поверхностью, определяют
по формуле
Ф = а0МгЛ-	(23.39)
Коэффициент эффективности всей -ребристой поверхности т|0, входя-
щий в уравнение (23.39), рассчитывают по формуле (23.26).
Для определения коэффициента эффективности ребер различной
конфигурации используем ранее приведенное уравнение (23.28). Это
уравнение при постоянном значении коэффициента теплоотдачи
по высоте ребра после интегрирования записывается так:
г|Р = ОоЛ%,	(23.40)
где —средняя разность температур поверхности ребра и окру-
жающей среды.
302
Выведем выражение для определения коэффициента эффектив-
ности ребер, используя формулы, полученные в предыдущем параг-
рафе.
Во многих теплообменных аппаратах ребра выполняют небольшой
толщины (0,2 ... 1,0 мм). В этом случае можно считать периметр
ребра равным и = 21 и площадь ребра Лр = 2Л/. Для таких ребер
в соответствии с уравнением (23.29)
™ =	(23-41)
При известной средней разности температур поверхности ребер
и окружающей среды тепловой поток, передаваемый одним ребром,
имеющим площадь поверхности Лр,
Ф = аЛрО'о = 2а/г/О'о.	(23.42)
Этот тепловой поток может быть подсчитан по уравнению (23.38).
Последнее уравнение, используя формулу (23.29), преобразуем и
приведем к следующему виду:
th mh.	(23.43)
Сопоставляя уравнения (23.42) и (23.43) и подставляя полученные
значения перепадов температур в формулу (23.40), получим следу-
ющее уравнение для коэффициента эффективности прямых и спи-
рально навивных ребер:
/гОо = (О th mh)lm,	(а)
откуда
T]p = O0/,0'1 = thm/i/(m/i).	(23.44)
В этом уравнении величина т определяется по формуле (23.41).
Для ребер треугольного сечения расчетную толщину ребра при-
нимают равной
6 ==0,75 б0,	-	(б)
где 60 — толщина ребра у основания.
Для ребер других конфигураций, приведенных на рис. 23.4,
коэффициент эффективности определяют по уравнению
тг]р = th mh'/(rnh').	(23.45)
Значения величин в этом уравнении принимают равными:
а) для квадратных ребер (рис. 23.4, а)
h' = h (1 +0,35 lnp');
р' = 1,14(1+^); /l = 0,5(a-d) = 0,5(6-d);
303
б)	для прямоугольных ребер
h' h (1 4-0,35 In р');
р'= 1,28р ]/&/« —0,2; /i == 0,5 (а — d); р —а/d;
в)	для круглых ребер (рис. 23.4, б)
h' =h (1 +0,35 In р)
/(- 0,5 (D —</); р = £>/+,
г)	для шестиугольных ребер
р' = 1,27р УЪ/а — 0,3; h = 0,5 (a — d); p = a/d.
Для ребристых поверхностей с неразрезными ребрами (см.
рис. 23.4, в) при коридорном расположении трубок значения всех
Рис. 23.7
величин определяют, как для прямоугольных или квадратных ребер
в зависимости от шага между трубками. При шахматном расположении
трубок значения этих величин определяют, как для шестиугольных
ребер.
Для упрощения расчетов теплообменных аппаратов с развитой
площадью поверхности теплообмена могут быть построены графичес-
кие зависимости для различных типов оребрений.
На рис. 23.7 приведена зависимость эффективности ребра от без-
размерного комплекса +[/2а/(Х6) для круглых ребер постоянной тол-
щины, а на рис. 23.8 —для круглых ребр трапецеидального сечения
по данным Гарднера. Приведенные графики являются приближен-
ными,' поскольку при их построении был сделан ряд допущений.
К наиболее существенным допущениям относятся: постоянство тем-
304
пературы окружающей среды; постоянство температуры в основании
ребра; постоянства коэффициента теплоотдачи по высоте ребра;
пренебрежение тепловым потоком через торцевую грань ребра.
Определив коэффициент эффективности ребра т)р, по формуле
(23.26) находят суммарный коэффициент эффективности всей ореб-
ренной поверхности и далее поток теплоты сквозь эту поверхность
[формула (23.39)].
Глава XXIV
КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
§ 24.1.	Основные понятия и определения
Под конвекцией, как уже было сказано выше, понимают
распространение теплоты в среде с неоднородным распределением темпе-
ратуры, осуществляемое макроскопическими элементами жидкости при
ее перемещении. Такое распространение теплоты может происходить
только в жидкостях и газах, частицы которых легко перемещаются
в пространстве. Распространение теплоты конвекцией всегда сопро-
вождается теплопроводностью, т. е. молекулярным переносом теплоты.
Теплообмен, обусловленный совместным действием конвективного
и молекулярного переноса теплоты, как уже указывалось, называется
конвективным теплообменом.
Конвективный теплообмен между движущейся жидкостью и поверх-
ностью ее раздела с другой жидкостью называется теплоотдачей.
Теплоотдача имеет место почти во всех судовых аппаратах и тепло-
вых машинах.
Конвективный теплообмен зависит от распределения температур
в потоке. В свою очередь характер температурного поля определя-
"	305
ется распределением скоростей в потоке, т. е. скоростным полем,
зависящим от режима течения жидкости.
При перемещении жидкости возможны два основных режима тече-
ния: ламинарный и турбулентный. При ламинарном режиме отдельные
струйки жидкости не перемешиваются друг с другом, или, иначе,
каждая частичка жидкости движется параллельно стенке твердого
тела (в частности, стенке канала). При турбулентном режиме каждая
частица потока, участвуя в общем поступательном движении, кроме
того, совершает различные поперечные движения, в связи с чем
поток движется в виде беспорядочной массы, сильно возмущенной
вихрями. Чем больше образуется вихрей, тем сильнее перемешивание
и тем больше турбулентность потока.
Характер течения жидкости предопределяет механизм переноса
теплоты в потоке. При ламинарном режиме течения перенос теплоты
к поверхности тела осуществляется теплопроводностью, поскольку
частицы жидкости не могут перемещаться в направлении, нормальном
к поверхности твердого тела. При турбулентном режиме течения
перенос теплоты в направлении, нормальном к поверхности тела,
осуществляется как теплопроводностью, так и конвекцией. При этом
распространение теплоты конвекцией может значительно превышать
распространение теплоты теплопроводностью.
Поток жидкости, омывающей твердое тело, может быть разбит на
две области: пограничный слой I и внешний поток II (рис. 24.1).
В теории теплообмена пограничным слоем называют область
течения вязкой теплопроводной жидкости, характеризуемой малой
толщиной и большим поперечным градиентом скорости или темпера-
туры, изменением которых обусловлен процесс переноса количества
движениях или теплоты.
Область потока жидкости, в которой влияние сил вязкости пре-
небрежимо мало и возмущение параметров течения обусловлено только
деформацией линии тока вследствие вытеснения жидкости обтекаемым
телом, называется внешним потоком,
30§
Рассмотрим процесс образования пограничного слоя при продоль-
ном обтекании поверхности тела потоком жидкости. У самой поверх-
ности частички жидкости прилипают к твердому телу и их скорость
движения равна нулю. Этот прилипший к поверхности слой жидкости
имеет бесконечно малую толщину. Около «прилипшего», слоя жидко-
сти вследствие действия сил вязкости образуется слой заторможенной
жидкости толщиной 8, в котором скорость изменяется от нуля до
скорости потока вдали от тела, т. е. до скорости внешнего потока.
Этот слой заторможенной жидкости около поверхности называют
динамическим пограничным слоем.
Структура пограничного слоя изменяется по длине обтекаемой
поверхности. На начальном участке обтекаемой поверхности обычно
образуется ламинарный пограничный слой; толщина этого слоя по
длине пластины постепенно увеличивается и на расстоянии хк от
передней кромки достигает максимального значения 6,,. Толщина
динамического (ламинарного) пограничного слоя определяется
по формуле
6Л = 5x/]/Re,	(а)
где Re —так называемое число Рейнольдса.
При x$sxl( ламинарный характер движения в пограничном слое
нарушается и возникает турбулентный пограничный слой, толщина
которого бг также возрастает по длине пластины. Однако между
поверхностью и турбулентным пограничным слоем располагается
весьма тонкий слой жидкости, где течение ее в среднем подчиняется
закономерностям ламинарного потока. Этот слой называется лами-
нарным-подслоем.
Наряду с динамическим пограничным слоем в потоке может быть
тепловой пограничный слой, который представляет собой
слой жидкости, где температура меняется от температуры стенки до
температуры среды во внешнем потоке. Тепловой пограничный слой
характеризуется большим поперечным градиентом температуры, под
действием которого и происходит процесс распространения теплоты.
В общем случае толщина динамического и теплового пограничного
слоев различна и их соотношение определяется из выражения
бг/6л'^1/)А^,	(б)
где v — кинематическая вязкость; а — температуропроводность.
У вязких жидкостей тепловой пограничный слой оказывается
значительно меньшим-, чем динамический. У газов толщины динами-
ческого и теплового пограничных слоев практически совпадают.
В пределах теплового ламинарного слоя или подслоя возможно
распространение теплоты только теплопроводностью.
Большое влияние на формирование пограничного слоя оказывают
форма и размеры поверхности твердого тела. Так, например, в удобно
обтекаемых телах значительная часть поверхности покрыта ламинар-
ным пограничным слоем. При течении в каналах длина ламинарного
пограничного слоя зависит от условий входа жидкости в канал.
307
На толщину пограничного слоя весьма существенно влияют физи-
ческие параметры жидкости. Так, с увеличением вязкости жидкости
возрастают толщина пограничного слоя и толщина ламинарного под-
слоя при турбулентном потоке, что ухудшает условия перемешивания.
В связи с этим в вязких жидкостях теплоотдача происходит менее
интенсивно. С уменьшением плотности жидкости увеличивается тол-
щина пограничного слоя и ухудшаются условия теплообмена.
Таким образом, все вышеизложенное показывает, что интенсивность
теплоотдачи во многом зависит от структуры и толщины погранич-
ного слоя. Поверхностная плотность потока теплоты, передаваемой
теплопроводностью сквозь ламинарный пограничный слой, может
быть определена по формуле Фурье
q =- — /-,к (дЦдп),
где Хж — теплопроводность жидкости в пограничном слое; dt/dn —
градиент температур в пограничном слое.
Однако в настоящее время в преобладающем большинстве случаев
не представляется возможным аналитически определить градиент
температуры в пограничном слое, а следовательно найти по приве-
денной формуле поверхностную плотность теплового потока. В связи
с этим пока основным расчетным уравнением конвективного тепло-
обмена является формула Ньютона — Рихмана
Ф-аЛ (/-/ст),	(24.1)
где / — температура жидкости или газа, омывающих тело; t„ — тем-
пература поверхности тела; А — площадь поверхности теплообмена.
Разность температур жидкости и тела /—/СГ = А/ называют часто
температурным напором.
Коэффициент теплоотдачи а, входящий в уравнение (24.1), харак-
теризует интенсивность теплоотдачи и равен отношению поверхно-
стной плотности теплового потока на поверхности раздела к темпе-
ратурному напору между жидкостью и поверхностью.
Приведенное выше уравнение было предложено Ньютоном для
случая теплообмена в свободном потоке при условии, что а зависит
только от физических свойств тела и среды. В действительности
коэффициент теплоотдачи а в отличие от теплопроводности X не
является величиной постоянной, а зависит от большого числа раз-
личных факторов, в том числе от формы и размеров тела, температуры
и характера потока среды, омывающей поверхность тела.
В связи с переменностью а закон Ньютона теряет свое значение
как закон, с помощью которого можно непосредственно определить
в различных случаях тепловой поток от поверхности заданного твер-
дого тела с температурой к столь же определенной окружающей
среде с температурой t. Значение а не может быть определено, напри-
мер, только по признаку «стальная труба омывается воздухом». Необ-
ходимо знать значительно большее число особенностей, характерных
для данного частного случая, как, например, скорость потока, направ-
ление потока по отношению к трубке, диаметр трубы, длина трубы,
физические параметры жидкости и еще ряд значений других величин.
308
В общем случае коэффициент теплоотдачи можно представить
в виде следующей функциональной зависимости:
a=F(/cr, t, р, [х, X, ср, w, Ф, I, X),	(24.2)
где Ф —форма тела; / — геометрические размеры тела; X —характер
движения жидкости.
Конвекция, как ранее сказано, бывает вынужденной и свободной.
Вынужденное движение может сопровождаться свободным движением.
При этом влияние свободного движения тем больше, чем меньше
скорость вынужденного движения и больше разность температур
отдельных частиц среды. При больших скоростях вынужденного
движения свободную конвекцию можно не учитывать ввиду ее неболь-
шого влияния. Процесс конвективного теплообмена, характеризуемый
совокупностью тепловых и гидромеханических явлений, может быть
описан системой дифференциальных уравнений.
§ 24.2.	Уравнение теплоотдачи
Рассмотрим процесс передачи теплоты на границе тела (рис. 24.2).
Как уже указывалось, частицы жидкости, непосредственно при-
легающие к телу, как бы прилипают к
его поверхности и имеют скорость, равную
скорости тела.
Там, где движение турбулентно, рас-
пространение теплоты осуществляется пере-
мешиванием частиц движущейся среды.
Благодаря интенсивному перемешиванию
в этой части потока изменение температуры
в направлении нормали п к стенке весьма
незначительно. В пределах же ламинар-
ного пограничного слоя распространение
теплоты возможно только теплопроводно-
стью. Термическое сопротивление ламинар-
ного пограничного слоя, равное 6/Х, сравни-
тельно с термическим сопротивлением тур-
булентной части потока является опреде-
ляющим, поэтому изменение от темпера-
туры стенки /сг до температуры потока t
в направлении нормали сосредоточено в
основном в пределах ламинарного погра-
ничного слоя. Толщина ламинарного слоя
зависит от физических свойств жидкости, а
также от средней скорости потока, уменьшаясь с увеличением
следней.
Применяя к пограничному слою закон Фурье, получаем
по-
6Ф = — МА (dt/dn),'	(а)
а согласно закону Ньютона,
бФ = а4Д (/„-/).	(б)
309
Сопоставив формулы (а) и (б), получим дифференциальное урав-
нение теплообмена, которое описывает процесс теплоотдачи на гра-
ницах тела:
а = — (Л./Д/) (dt/dn),
(24.3)
где а — коэффициент теплоотдачи; = — t — температурный на-
пор; ^ — теплопроводность жидкости; п — нормаль к поверхности
твердого тела; dt/dn — температурный градиент в пограничном
слое жидкости.
§ 24.3.	Уравнение энергии
(24.3), для нахождения коэффи-
температурный градиент в погра-
Как это следует из уравнения
циента теплоотдачи а надо знать
тарный параллелепипед за
поступит теплота
ничном , слое жидкости'
dt/dn. Выведем дифферен-
циальное уравнение, опи-
сывающее температурное
поле в жидкости; при
этом примем, что жид-
кость однородна и несжи-
маема.
Температурное поле по-
тока жидкости описывается
уравнением
t — f(x, у, г, т). (а)
Выделим из движущей-
ся среды элементарный
параллелепипед объемом
dV = dxdydz (рис. 24.3).
Из окружающей среды
теплопроводность в элемен-
время dx, согласно формуле (21.11),
W^(^ + ^ + ^)dVdx = WldVdx.	(б)
Аналогично изложенному в § 21.4, теплота в количестве 8Q,
поступившая в параллелепипед объемом dV, должна пойти на повы-
шение его энтальпии. Однако в отличие от изложенного в § 21.4,
где речь шла о твердом теле, здесь рассматривается текущая среда,
и в связи с этим координаты х, у, г, определяющие положение
в пространстве рассматриваемого параллелепипеда, за время dx
претерпят соответствующее изменение, зависящее от размера и на-
правления скорости в точке с координатами х, у, г.
310
Таким образом, уравнение температурного поля (а) должно быть
дополнено группой уравнений
х = Ср1(т);
г/ = ср2(т);
г = ср3(т).	/в)
Приращение температуры жидкости в параллелепипеде объемом dV
за время dr, т. е. величина dx, определяется из уравнения (а)
с учетом зависимостей (в).
Полная производная от температуры по времени
dt _ д/	.	dt dx	. dt dy dt dz	. .
dx	dx	'	dx dx	' dy dx ' dz dx	‘	*Г'
В силу зависимостей (в)
dx/dx = wx; dy/dx = wy', dz/dx — w.,	(д)
где wx, wy и wz — проекции вектора скорости w на координатные
оси. Таким образом,
dt Dt dt , dt , dt , dt	. .
dr = d/ = Тт + Tx ^4-^^+ay	(e)
Отметим, что производную dt/dx обычно обозначают Dt/dx и на-
зывают. субстанциальной производной, тем самым подчер-
кивая ее связь с движущейся средой (субстанцией). Частную произ-
водную dt/dx называют местным или локальным изменением значения
,	f dt dt dt \
величины t, а сумму	gywy~^~g^ — конвективным измене-
нием величины t.
Таким образом, изменение температуры жидкости в параллеле-
пипеде объемом dV за время dx в общем случае вызвано двумя
налагающимися’ друг на друга причинами: во-первых, изменением во
времени самого температурного поля в той точке пространства, где
находится в данный момент рассматриваемый элементарный парал-
лелепипед объемом dV (скорость изменения его характеризуется
локальной производной), и, во-вторых, тем, что элементарный парал-
лелепипед перемещается за время dx в другую точку пространства
(скорость изменения температуры характеризуется конвективной
производной).
Изменение энтальпии рассматриваемого параллелепипеда за
время dx
di = cppdV dxDt/dx.	(ж)
Приравнивая значение 6Q значению dl [формулы (б) и (ж)], полу-
чим искомое дифференциальное уравнение энергии, описывающее
311
температурное поле внутри движущейся жидкости:

или
aW^Dt/dx,
(24.4)
где а = К/(срр) — температуропроводность.
Формула (24.4) в развернутой форме записывается так:
а
dt , dt , dt . dt
- wx 4- , wu 4- -s- ws.
dt 1 dx x 1 dy 1 dz z
(24.5)
Если рассматривается твердое тело, то координаты х, у, г, опре-
деляющие положение в пространстве рассматриваемого параллелепи-
педа, остаются неизменными, т. е. wx = wy = Wg — 0 и Dt/дх =--д1/дх.
Поэтому для твердого тела уравнение (24.4) переходит в известное
уравнение теплопроводности (21.15).
Для одномерной задачи, когда t = f(x, х), уравнение (24.5) зна-
чительно упрощается:
d2t	dt	.	dt
а > —  _ 4- ~ т tjv,
dx2	dx 1	dx
и, наконец, в случае стационарного режима
d~t dt
a -r-v =
dx1 dx
(24.6)
(24.7)
В уравнение (24.5) наряду с температурой t входят проекции
переменной скорости w на координатные оси. Это показывает, что
температурное поле в потоке существенным образом зависит от поля
скоростей. В связи с этим необходимо при изучении конвективного
теплообмена включать в круг исследуемых вопросов и гидромехани-
ческие условия протекания процесса.
Наличие температурного поля, в свою очередь, вызывает измене-
ние плотности среды: там, где имеется более высокая температура,
плотность среды уменьшается, а поэтому элементы жидкости (газа)
приходят в движение, обусловленное самим температурным полем
(естественная или свободная конвекция). Поэтому наряду с влиянием
поля скоростей на температурное поле имеет место и обратное
воздействие температурного поля на поле скоростей.
Такого рода взаимодействие двух полей в значительной мере
усложняет изучение конвективного теплообмена, но, как показало
опытное исследование этого вопроса, возможно выделить такие пере-
мещения жидкости (газа), для которых влияние температурного поля
на поле скоростей можно не учитывать. Такого рода допущение
обычно принято при изучении теплообмена в вынужденном потоке.
В полученных дифференциальных уравнениях теплообмена и энер-
гии содержится три переменных: a, t, w. Чтобы сделать систему
уравнений замкнутой, необходимо ее дополнить уравнением движе-
ния, которое описывало бы изменение скорости в потоке жидкости
(газа).	'
312
§ 24.4. Уравнение движения вязкой жидкости
Выделим из потока жидкости элементарный параллелепипед
с ребрами, соответственно равными dx, dy и dz (рис. 24.4). Объем
параллелепипеда dV = dxdydz, а масса его равна pdV, где р — плот-
ность жидкости. Скорость в данной точке движущейся среды зависит
от положения рассматриваемой точки в пространстве и от времени,
т. е. поле скоростей описы-
вается уравнением
w = f(x, у, г, т).	(а)
Чтобы вывести дифферен-
циальное уравнение движе-
ния жидкости, используем
основной закон механики
=	(24.8)
где У, F — векторная сумма
всех сил, действующих на
выделенный параллелепипед;
водная от скорости.
В проекции на ось х уравнение (24.8) примет вид
£X = p^W.	(24.9)
На рассматриваемый параллелепипед действуют три силы: сила
тяжести, сила давления и сила вязкостного трения. Ось х направ-
лена, как это показано на рис. 24.4, вертикально вниз. Тогда проек-
ция силы тяжести на ось х будет равна
pgdV,	(б)
где g — ускорение свободного падения.
Если в данной точке давление среды р, то сила, действующая
на верхнюю грань (по рис. 24.4), равна pdydz, а сила, действую-
щая на противоположную грань, равна
(p + ^dx'jdydz. '	(в)
Проекция на ось х равнодействующей сил давления будет
[p-(p+idx}\dydz=~idV^	(г)
др
где ^7 — проекция градиента давления на ось х.
Если пренебречь силами вязкостного трения, то согласно фор-
муле (24.9) после сокращения на dV получим уравнение движения
жидкости в проекции на ось х:
pDwx/dT; — pg — др/дх.	(24.10)
313
Рис. 24.5
Таким же образом получаются уравнения движения жидкости в
проекциях на оси у и z:
pDwuldx = — dp/dy	(24.10а)
и
pDwzldx — — dpldz	(24.106)
(проекции силы тяжести pgdV на оси у и г равны нулю).
Уравнения (24.10), (24.10а) и (24.106) являются уравнениями
движения идеальной, т. е. невязкой, жидкости и носят название
уравнений Эйлера.
Для получения дифференциального уравнения движения вязкой
(реальной) жидкости необходимо учесть силы внутреннего (вязкост-
ного) трения, иначе —силы, обуслов-
ленные вязкостью жидкости. Соглас-
но закону Ньютона, касательное на-
пряжение s, возникающее между
перемещающимися с различной ско-
ростью слоями жидкости (отношение
силы трения к площади), пропор-
ционально градиенту скорости:
s = \idw!dn, (24.11)
где р — динамическая	вязкость;
п — нормаль к направлению переме-
щения жидкости; dw/dn — градиент
скорости, т. е. отношение измене-
ния скорости к длине нормали п.
Рассмотрим плоский ламинарный поток вязкой жидкости, в кото-
ром скорость wx меняется лишь в направлении оси у. Силы вязко-
стного трения вызывают в потоке жидкости касательные напряже-
ния. В ламинарном потоке силы трения возникают только на боковых
гранях элемента (рис. 24.5). Поскольку около левой грани скорость
движения частиц жидкости меньше, чем в самом элементе, сила тре-
ния направлена против движения и равна —sdxdz.
Около правой грани скорость.движепия частиц жидкости больше,
чем в самом элементе, поэтому сила трения направлена в сторону
движения и равна	dy\dxdz.
Равнодействующая этих сил равна
(s + -~dyjdxdz — sdxdz = i~dxdydz.	(д)
Подставляя значение s из уравнения (24.11), получаем
ds	,т,	 d*wx ,u	. .
dV	— it -x~ dV.	(e)
dy	r dy2	' '
Полученное уравнение (e) справедливо при одномерном движе-
нии. Если скорость изменяется по трем направлениям, то проекция
314
на ось х равнодействующей сил вязкостного трения, приложенных
к рассматриваемому параллелепипеду объемом dV, определяется сле-
дующим выражением:
Гд / да>х\ . д / dwx\ , д / dwx\ 1 ,,,
|s Г ~дг) + Ту + S £")] dV-
(ж)
Если движущаяся среда имеет постоянную вязкость, получим
Р- “I"	“I" 1^) ^TV2wxdV, (24.12)
где \72wx — оператор Лапласа.
Уравнение движения вязкой жидкости (уравнение Навье— Стокса)
получим из уравнения (24.10), если прибавим к его правой части
(к сумме объемных сил) величину p\72ffiC- Таким образом,
Dwx	др . _7,
Dwu др
р^г=-жг+^ш“;
(24.13)
Dwz др ,
Р тг=--fi-+HVX-
В развернутом виде дифференциальное уравнение движения вяз-
кой жидкости в проекции на ось х примет вид *
/ dwr , dwx , dwx . dw, \
P 'a-'* + Wx + wu + W, =
1 \ 3т r dx x 1 dy y 1 dz z)
др , !d~wx , d2wv , (Pwx \	,n. ,
= + +	+	(24-14)
Аналогично записываются уравнения в проекции на оси у и г.
В уравнение конвективного теплообмена и в уравнения энергии
и движения входят неизвестные a, t, w и р.
Следовательно, число имеющихся уравнений, равное трем, недо-
статочно — система уравнений опять не замкнута. Четвертым уравне-
нием, необходимым для замыкания системы, является уравнение
сплошности.
§ 24.5. Уравнение сплошности
Уравнение сплошности (неразрывности) выводится на основе закона
сохранения массы. Выделим в потоке жидкости элементарный парал-
лелепипед объемом dV со сторонами dx, dy и dz и вычислим массовый
расход жидкости через него за время dr (рис. 24.6).
* Все предыдущие уравнения, в том числе и уравнение (24.14), характери-
зуют движение вязкой несжимаемой жидкости. В случае сжимаемой жидкости
D jdwx dwu
в правой части уравнения появится еще один член, равный р.	I —— -|- —— -р
Ла
Введем понятие массовой скорости, равной произведению скоро-
сти на плотность (ри>) и определяемой отношением массового расхода
к площади поперечного сечения. Если выразить плотность в кг/м3,
скорость — в м/с, то массовая скорость выразится в кг/(с • м2). В направ-
лении оси х в рассматриваемый параллелепипед поступает за про-
межуток времени dx жидкость массой т'х, равной произведению
массовой скорости ри>х на поперечное сечение dydz и на время dx:
т'х — ywx dy dz dx. (a)
Через противоположную грань
параллелепипеда вытекает за вре-
мя dx жидкость массой
т"х = ^ргзух 4-	dx | dy dz dx. (б)
Изменение массы жидкости в
элементарном параллелепипеде за
время dx в направлении оси х со-
ставит
dmx = тх — т'х =
= —dx dy dzdx — -dV dx.
dx J	dx
(в)
Аналогично запишем изменение массы жидкости за время dx
в направлении осей у и г:
д (pwu)
(1ту = —~-(1У(1х;	(Г)
dm2 = ^^-dVdx.	(д)
Формулу для полного изменения массы жидкости в рассматри-
ваемом элементарном параллелепипеде объемом dV в направлении
всех трех осей за время dx получим, суммируя выражения (а), (б) и (в):
Гдфгох)	д (ршг)
+ ~дГ~
dV dx.
(е)
Это изменение массы вызвано изменением плотности жидкости р
в параллелепипеде объемом dV и равно изменению массы данного
параллелепипеда во времени:
р(ршЛ) t
’дх~ +
а (ра^)
ду
dV dx — — dV dx.
от
(ж)
Произведя преобразования и сокращения в уравнении (ж) окон-
чательно получим дифференциальное уравнение сплошности:
д <f>wx) д (pwu) д (ршг) ф _
дх + ду + дг + Дт
(24.15)
316
Для несжимаемых жидкостей р = const и уравнение (24.15) при-
мет вид
J4 ^ = о.	(24.16)
дх ' ду 1 дг	'	'
§ 24.6	Условия однозначности для конвективного теплообмена
Система дифференциальных уравнений (24.3), (24.5), (24.13) и
(24.15) дает математическое описание механизма конвективного тепло-
обмена при движении вязкой жидкости. Указанная система уравне-
ний описывает целый класс явлений и имеет бесчисленное число
решений. Чтобы выделить из этого класса явлений данное конкрет-
ное явление, а следовательно, и столь же конкретное решение, необ-
ходимо дополнить систему уравнений краевыми условиями, или,
иначе, условиями однозначности.
Условия однозначности должны содержать все специфи-
ческие особенности, относящиеся к рассматриваемому случаю и
влияющие на ход процесса. Понятно, что условия однозначности
устанавливаются вне зависимости от самого механизма явления,
описываемого соответствующей системой дифференциальных уравне-
ний, и применительно к конвективному теплообмену должны содер-
жать:
1)	геометрические условия, характеризующие форму и размеры
поверхности, омываемой средой (например, круглая труба опреде-
ленного диаметра);
2)	временные условия, которыми формулируются точно известные
особенности протекания процесса во времени (для стационарного
режима временные условия отпадают);
3)	граничные условия, которыми формулируются условия проте-
кания процесса на границах тела;
4)	физические условия, характеризующие те физические свойства
среды и тела, которые входят в дифференциальные уравнения, опи-
сывающие процесс конвективного теплообмена, например теплопро-
водность X, динамическая вязкость р, плотность р.
Полученная выше система дифференциальных уравнений, допол-
ненная условиями однозначности, как правило, не интегрируема
без существенных упрощений, а решения, полученные после таких
упрощений, в весьма малой степени могут быть использованы для
расчета теплообмена в технических задачах. В настоящее время изу-
чение теплообмена основывается на экспериментальных данных.
Однако для возможности обобщения таких данных и выявления гра-
ниц их применения экспериментальные исследования должны быть
построены на строгих теоретических, основах. Такой теоретической
базой современного эксперимента является теория подобия.
Теория подобия, как это будет показано в следующей главе,
позволяет, не интегрируя выведенные в этой главе дифференциаль-
ные уравнения, сделать на их основе ряд важных выводов, необхо-
димых для научной обработки результатов экспериментальных иссле-
дований.
317
Глава XXV
ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ
§ 25.1	Понятие о подобии физических явлений
Как известно, у геометрически подобных фигур сходственные
стороны пропорциональны. Если подобные фигуры одинаково ориен-
тированы в пространстве, то сходственные стороны не только про-
порциональны, но и параллельны друг другу.
Отношение Линейных размеров любых сходственных сторон двух
подобных фигур равно
постоянной с, которую принято называть
константой подобия. Так, для
двух подобных призм (рис.25.1)
= ^//з = с,,	(а)
где ct — константа подобия линейных
размеров.
Для сходственных площадей, по-
верхностей и объемов подобных фигур
получим:
ЛГ/Л; = ^;	(б)
I
Понятие о подобии может быть распространено и на любые физи-
ческие явления.
1.	Понятие подобия в отношении физических явлений применимо
только к явлениям одного и того же класса. Принадлежность физи-
ческих явлений к одному классу означает, что механизм этих явле-
ний описывается одинаковыми по форме и содержанию дифференци-
альными уравнениями. Так, может идти речь о подобии движения
двух потоков, жидкости, о подобии теплообмена и т. п.
2.	Обязательной предпосылкой подобия физических явлений должно
быть геометрическое подобие систем, в которых эти явления протекают.
3.	При рассмотрении подобных явлений между собой можно сопо-
ставлять только одноименные физические величины в сходственных
точках пространства и в сходственные моменты времени.
Одноименными (или однородными) называются такие физи-
ческие величины, которые имеют одинаковый физический смысл и
одинаковую размерность.
Сходственными точками пространства называются
такие точки в двух сопоставляемых системах, координаты которых
удовлетворяют условию геометрического подобия
х"/х’ = у" !у' = г"/г' = cz.
(В)
Развитие процесса во времени в двух сопоставляемых системах
в общем случае не одинаково, но для подобия явлений необходимо,
чтобы промежутки времени т' и т", отсчитываемые от общего начала
отсчета т0, всегда удовлетворяли равенству
(г)
318
Константа сх называется множителем гомохронности.
При сх — 1 получим синхронное протекание явлений. При стационар-
ном режиме требование о временном соответствии отпадает.
4	Подобие физических явлений означает как подобие всех одно-
именных физических величин, характеризующих рассматриваемые
явления, так и подобие полей этих величин. Подобные поля
одноименных величин —это поля, различие которых сводится лишь
к неодинаковости их масштабов.
В подобных физических явлениях в сходственных точках про-
странства, для которых соблюдается равенство (в), и в сходствен-
ные моменты времени, когда промежутки времени т' и т" связаны
равенством (г) и имеют общее начало отсчета, любая величина и'
первого явления пропорциональна одноименной величине и" второго
явления:
и” = саи',	(д)
где си — константа подобия величины и.
Пусть уравнение, определяющее исследуемый класс явлений,
имеет вид
F(ult и2, ..., ия) = 0,	(е)
где Uj, и2, ..., ип — переменные физические величины (например, иг —
плотность; и2 — температура; и3 — скорость; — температура и т. д.)
Рассмотрим две системы, в каждой из которых происходит явле-
ние, принадлежащее к одному классу. Для этих двух явлений имеем
право написать
Fiu'i, и'2..ы') = 0; |
Л(и;, ZZ2, .... ЦЯ) = О, j
где верхним индексом «штрих» отмечается принадлежность перемен-
ной к одной системе, а «два штриха» —к другой системе.
Подобие двух физических явлений, описываемых уравнениями (ж),
математически формулируется условиями
Uj /Uj Clii, ZZ-j/U-2 —- Су2, , . . , tin/Un == Сип,	(з)
Одноименные переменные и' и и" должны удовлетворять равен-
ствам (з) в сходственных точках пространства и в сходственные
моменты времени во всем объеме пространства, охваченного процес-
сом, т. е. во всех точках поля рассматриваемой переменной.
Каждая переменная имеет свою константу подобия с, отличаю-
щуюся по размеру от других. Около каждой константы подобия
ставится нйжний индекс, который показывает, к какой величине
она относится.
Константы подобия между собой находятся в определенных соот-
ношениях и не могут выбираться произвольно.
Поскольку нами рассматриваются две подобные системы, то можно
при наличии условий (з) выразить переменные второй системы через
319
(и)
переменные первой системы. В этом случае система уравнений (ж)
запишется следующим образом:
F(nJ, и'г, , tin) = 0;
F (ctllult с„2и.г, ..., cllfiuny^Q.
Рассмотрим некоторые свойства констант подобия и правила их
составления.
Если переменной является вектор, например скорость и, компоненты
которого их, иу и uz, то
и"/и = Ux/ux — Uy/Uy — uz/uz — си.	(к)
Если разность значений переменной и\ для двух точек первой
системы равна Им), а для сходственных точек в сходственные моменты
времени у второй системы равна Ди[, то
u'l/u’i —	= du\/du\ = cUt.	(л)
Таким образом, в равенстве типа (з) переменная и может быть
заменена любой ей одноименной величиной. Это так называемое пра-
вило замещения одноименных величин.
Уравнения типа (ж) в большинстве интересующих нас случаев
таковы, что переменные входят под знаком первой и второй произ-
водной. Для производных множители подобного преобразования
определяются следующим образом.
Рассмотрим, как пример, производную ди/дх. Для первой системы
ди’/дх', а для второй системы ди"/дх". Каждая переменная с двумя
штрихами связана с переменной, отмеченной одним штрихом, усло-
виями
и"/и'—Си, Х’/х'—С^	(м)
Следовательно,
ди/дх" = (си/С[) (ди/дх').	(н)
Для второй производной, рассматриваемая в качестве примера
д2и/дх2, получим
д2и"/дх"2 = (c„/ci) (д2и’/дх'2).	(о)
§ 25.2.	Теоремы теории подобия
Теория подобия является теорией эксперимента. При проведении
опыта необходимо знать: какие величины следует измерять в опыте,
как обрабатывать результаты опыта и на какие явления можно рас-
пространить полученные результаты. Основы теории подобия бази-
руются на трех теоремах, которые и дают ответ на поставленные
вопросы.
Как уже указывалось в предыдущем параграфе, константы подо-
бия не могут выбираться произвольно. Если явления подобны, то
между константами подобия имеются определенные зависимости,
ограничивающие произвольность их выбора. Последнее объясняется
320
тем, что сами физические величины, определяющие течение процесса,
связаны друг с другом определенными уравнениями, отражающими
законы природы. Примерами таких уравнений являются выведенные
в предыдущей главе дифференциальные уравнения теплоотдачи, энер-
гии, движения вязкой жидкости, сплошности.
Используя эти уравнения, можно получить безразмерные комп-
лексы, составленные из величин, характеризующих это явление. Эти
безразмерные комплексы называют критериями (числами) подобия.
Критерии подобия для всех подобных между собой явлений сохра-
няют одно и то же числовое значение. Поэтому первую теорему
подобия можно сформулировать следующим образом. У подобных
явлений одноименные критерии (числа) одинаковы. Критерии подобия
всегда имеют определенный физический смысл. Их обычно обозначают
начальными буквами фамилий выдающихся ученых, работавших в соот-
ветствующих областях науки.
Необходимой предпосылкой для вывода критериев подобия является
наличие аналитической зависимости между физическими величинами,
характеризующими данное явление (например, уравнение движения).
Если уравнение дано в дифференциальной форме, то нахождение
критериев подобия не связано с его интегрированием.
Возможность нахождения критериев подобия по дифференциаль-
ному уравнению приобретает особую ценность в тех случаях, когда
эти уравнения не интегрируемы. К таким в общем случае не интег-
рируемым уравнениям относится система уравнений, описывающая
конвективный теплообмен.
Вторая теорема теории подобия (теорема А. А. Федермана —
Букингэма) утверждает, что критерии подобия, полученные из диф-
ференциальных уравнений, одновременно являются и критериями
подобия, получаемыми из решения (интеграла) этих уравнений, т. е.
интеграл дифференциального уравнения (или системы уравнений)
может быть представлен как функция критериев подобия дифферен-
циального уравнения.
' В результате интегрирования дифференциального уравнения не
могут появиться какие-либо «новые» дополнительные критерии подо-
бия или исчезнуть «старые», получаемые из дифференциального урав-
нения.
Первые две теоремы теории подобия касались свойств заведомо
подобных систем. Третья теорема подобия формулирует условия,
достаточные для суждения о том, подобны ли явления.
Для выделения из данного класса явлений конкретного единич-
ного явления, как известно, необходимо знать условия однозначности
(см. § 24.6). Однако аналитическое решение системы дифференциаль-
ных уравнений при заданных условиях однозначности, как указы-
валось, невыполнимо. Поэтому интересующую связь между перемен-
ными устанавливают опытным путем (например, зависимость
коэффициента теплоотдачи от скорости течения воздуха в круглой
трубе заданных размеров).
Явление, изученное опытным путем, должно рассматриваться как
единичное явление, отвечающее конкретным условиям опыта
11 Зак. 49
321
(рабочее тело —воздух, круглая труба определенного диаметра и
длины и т. п.). Это изученное опытным путем частное явление для
удобства дальнейшего изложения будем называть первым. Очевидно,
существует неограниченное число явлений, подобных первому. Все
явления, подобные первому, а тем самым подобные друг другу,
образуют некоторую группу, входящую в данный класс явлений.
У всех явлений, относящихся к данной группе, условия одно-
значности подобны, т. е. между физическими и геометрическими
одноименными величинами, входящими в условия однозначности,
существует зависимость u'[=Ciu'i, где щ'— какая-либо величина, вхо-
дящая в условие однозначности первого явления; ct — одноименная
величина, входящая в условие однозначности второго явления (i =
= 1, 2, 3, ..., п, где п — число независимых величин, входящих
в условие однозначности). Нетрудно прийти к выводу, что в пределах
группы различие в условиях однозначности заключается лишь в неоди-
наковости их масштабов значений констант подобия с().
Требование подобия условий однозначности является непременной
предпосылкой к • подобию сопоставляемых явлений. Действительно,
в условия однозначности включаются граничные условия (см. § 24.6).
Если граничные условия не окажутся подобными друг другу, то на
границах сопоставляемых систем процессы тоже не будут подобна,
а следовательно, и явления, рассматриваемые во всем их объеме,
не подобны.
Возникает вопрос, достаточно ли выполнить подобие условий одно-
значности у первого и второго явлений, чтобы утверждать о подобии
этих явлений в целом? Очевидно, нет. Согласно первой теореме подобия,
у подобных явлений одноименные критерии должны быть одинаковы.
Следовательно, только одного подобия условий однозначности недоста-
точно для суждения о подобии сравниваемых явлений, необходимо
предъявить дополнительное требование: чтобы критерии подобия,
составленные из условий однозначности, были равны. Третья теорема
подобия доказывает необходимость и достаточность сформулированных
выше требований для суждения о подобии явлений. Подобны те
явления, условия однозначности которых подобны и критерии подобия,
составленные из условий однозначности, равны.
Критерии, составленные только из величин, входящих в условия
однозначности, называются определяющими. Все остальные критерии
называются неопределяющими. Если условия однозначности подобны
и определяющие критерии равны, то равенство друг другу соответ-
ствующих неопределяющих критериев получается само собой, как
следствие установившегося подобия.
Экспериментальное исследование какого-либо явления с целью его
наибольшего обобщения должно быть построено на основе тех поло-
жений, которые вытекают из теорем теории подобия. Можно сформу-
лировать, придерживаясь редакции акад. М. А. Михеева, следующие
основные правила организации и обработки экспериментальной
работы.
Согласно первой теореме, в опытах нужно измерять все те вели-
чины, которые содержатся в критериях подобия изучаемого явления.
322
Согласно второй теореме, результаты опытов необходимо обраба-
тывать в критериях подобия и зависимость между ними представлять
в виде критериальных уравнений.
Согласно третьей теореме, возможно обобщение полученных кри-
териальных зависимостей на все явления, подобные исследованному.
§25.3. Гидромеханическое подобие
Найдем условия подобия (числа подобия) движения двух потоков
несжимаемой вязкой жидкости в геометрически подобных системах.
Движение такой жидкости описывается уравнением Навье — Стокса
(24.13). Напишем это уравнение* для первого (знак «штрих») и
второго (знак «два штриха») потоков.
dw' ( dw' dw' dw'
P -д-7- + P'	==
r дт 1 r \ dx dy u 1 dz /
dp' ! d2w' d2w'	d2w' \
1 ° dx	“ \ dx2 1 dy2	dz 1 /	'	1
Для второго потока
др" I д-w" d2w" d2w" \
= P	\ dx"2 + ЛС2” +	•	(25.2)
Для подобных процессов
х"/х' = у"/у' =z"/z’ =ct\ w”xiw'x = cw-,
т"/т' = ст; р"/р' = Ср,	g"/g' = Cg,
Р"/Р' =Ср,	р'7р,'=Сц. .
(25.3)
Выразим все переменные второй системы через переменные пер-
вой системы и множители подобного преобразования. Получим
cpcw	,	dwx	,	cpc,
cx	P	dx'	Cl
,	,	cp	dP'
- CPcgP g	—~dX
dw' f dw' dw' \
A . Wx Я——у Wx H----д , Wz =
dx 1 dy 1 dz I
CpCw , ( ff2w'X d2wx ff’~<
c2 \ dx'2 + dy'2 + dz'2
(25.4)
После сделанных преобразований в уравнение (25.1) первой системы
и в уравнение (25.4) второй системы входят одни и те же переменные.
Из этих уравнений переменные должны определиться одинаковым
образом. Последнее возможно только в случае тождественности урав-
нений (25.1) и (25.4).
Для этого необходимо принять
CpCwjcx = с pCw/Ci — CpCg — Ср/с i = CpCw/c2.	(25.5)
* Уравнение Навье —Стокса ради простоты  запишем в проекции только на
ось х [формула (24.14)].
11*	323
Из условия
= CpCwICt
получим индикатор подобия
C^fCx/Ci 1 
Этому индикатору соответствует число гомохронности:
Но = шт//= idem.	(25.6)
Из условия
СрСщ/С; = CpCg
получим индикатор подобия
CgCi/Саи — 1 •
Этому индикатору соответствует число Фруда:
Fr = gl/w2 = i dem.	(25.7)
Из полученного выражения следует, что число подобия Fr является
мерой отношения удельной работы силы тяжести g{ к удельной кине-
тической энергии, пропорциональной ш2.
Из условия
CpCw/Ct = С p/Ci
1
получим индикатор подобия
Из этого индикатора выводится число Эйлера:
Ей =р/(рш2) = idem.	(25.8)
Пользуясь правилом замещения одноименных величин (25.1), пред-
ставим число Эйлера в виде
Ей = Ар/(рш2) = idem,	(25.8а)
где Др — перепад давлений.
Число Эйлера, как видно из выражения (25.8), является мерой
отношения перепада статических давлений (гидравлическое сопро-
тивление) в потоке жидкости к динамическому давлению потока.
Из условия
Cffiw/Ct = CpCwICl
получим индикатор подобия
CpCwCi/Cp — 1.
Из этого индикатора получим число Рейнольдса:
Re = p&y//p = idem.	(25.9)
Так как ц/р — v, где v — кинематическая вязкость, то число Рей-
нольдса может быть записано в виде
Re = ®//v.	(25.10)
324
Физический смысл числа Re легко выяснить, написав его в виде
Re = рш//р — рш2/(ц • w/l).
Критерий Рейнольдса является мерой отношения динамического
давления, пропорционального рву2, к давлению силы вязкого трения,
пропорциональному величине p(W0 [формула (24.11)].
Таким образом, в гидромеханически подобных системах в любых
сходственных точках числа подобия Но, Fr, Ей и Re имеют одина-
ковые значения.
Из полученных чисел подобия число Ей является определяемым
критерием, так как перепад давления Др является функцией про-
цесса (Др — искомая величина и поэтому не входит в условия одно-
значности). Числа подобия Но, Fr и Re являются определяющими.
В общем случае число Ей является функцией всех определяю-
щих чисел подобия:
Eu = f(Ho, Fr, Re).	(25.11)
В вынужденном потоке вязкой жидкости число Фруда исключается
из числа рассматриваемых в связи с весьма малым влиянием силы
тяжести на поле скоростей и давлений.
Таким образом, для стационарного вынужденного потока урав-
нение (25.11) запишется так:
Eu=f(Re).	(25.12)
В свободном потоке (естественная конвекция) число Фруда учи-
тывается, но преобразованием приводится к иному виду, поскольку
причиной движения жидкости в данном случае является разность
плотностей в смежных точках пространства; кроме того, невозможно
в свободном потоке измерять скорости.
В этом случае вместо числа Фруда удобнее применять число
Г расгофа, которое равно произведению критерия Фруда на Re2
и на симплекс* (р0 — р)/р- Если разность плотностей жидкости полу-
чается вследствие разности температуры Д/, то симплекс (р0 — р)/р =
= рД/.
В результате число Грасгофа записывают следующим образом:
Gr = FrRe2 (р0 - р)/р =	(^)2 0Д< = ₽	Д/,	(25.13)
где р— температурный коэффициент объемного расширения жидкости.
Число Грасгофа является мерой отношения подъемной силы, воз-
никающей вследствие разности плотностей жидкости, к силе вязкого
трения.
§ 25.4. Тепловое подобие
Установим критерии теплового подобия, т. е. подобия темпера-
турных полей и тепловых потоков. Обязательной предпосылкой тепло-
вого подобия является геометрическое и гидромеханическое подобие
систем.
* Симплексом называется безразмерное отношение Одноименных величин.
325
Напишем уравнение конвективного теплообмена и условия тепло-
отдачи на границе тела для двух подобных между собой систем.
Для упрощения вывода рассмотрим одномерную задачу [формула
(24.6)]. Для	первой системы , дЧ"	dt'	, dt' ,	, . й -5-77 =	-5-7	+ -5-7	(а) dx2	dx'	'dx	v ’ X' (dt'/dn') = a'At'.	(б)
Для	второй системы 34" dt" . dt" „	, . a	~ dx" + dx" Wx' Г (dt"/dn")=a"At".	(r)
Так	как процессы подобны, то х"/х' = п"/п' = ср, w'x/w'x = cw\ х'/х' = сг; =ср, а"/а'—са; а"/а' =са;
Выразим переменные второй системы через переменные первой
системы и множители подобного преобразования. Получим
са (ct/cj) а' (дЧ'/дх'г) = ct/cx (dt'/dx') + (с,/с,)	(dt'/dx') w'x; (д)
G. (ct/ci) X' (dt'/dn') = cacta Af.	(e)
Следовательно, условия подобия
Ca^tlCl — ' CtlCx = CtCw/Ci
и
ад/с( == cact или Q/CZ = ca
Из условия
Ct!cx
получим индикатор подобия
cacx/ci = 1.
Этому индикатору соответствует число Фурье:
Fo = ат//2 = idem,	(25.14)
который характеризует нестационарность тепловых процессов. Число
Фурье является безразмерным временем и выражает определен-
ное соответствие между темпом изменения условий в окружающей
среде и темпом перестройки температурного поля внутри тела.
Из условия CaCtlci = CtCa./Ct получим индикатор подобия C^.CjCa—X.
Из этого индикатора выводится число Пекле:
Pe = u>//a = idem.	(25.15)
Число Пекле — критерий подобия температурных полей. В этот
критерий не входит температура, но входит скорость. Следовательно,
326
шсло Пекле, как и число Рейнольдса, характеризует кинематическую
Остановку процесса. Для теплового подобия скоростные поля должны
удовлетворять не только тому требованию, которое вытекает из усло-
вия Re = idem, но и дополнительному требованию Ре = idem.
Выясним физический смысл числа Ре. Так как а = —— [формула
срр
21.14)], то
Рс срРш
к// •
(25.15а)
Массовый расход жидкости, как известно, равен pwA (где А — пло-
цадь поперечного сечения потока). Изменение энтальпии этого коли-
тества жидкости при повышении температуры на Д/ (в связи с пере-
мещением вдоль потока) будет равно CppwA&t. При А = 1 м2 и Д/ — 1 °C
изменение энтальпии будет равно cppw. Количество теплоты, пере-
даваемое теплопроводностью через 1 м:!, определяется по формуле
q = — к ,
7 Дл
три Д/=1°С и \п = 1 получим \q | = -у-. Следовательно, число Ре
является мерой отношения конвективного переноса теплоты к гпепло-
‘пе, поступающей в поток теплопроводностью.
Из условия
CyjCi = са
юлучим индикатор подобия
CaCl/Ck = 1
1 соответствующее число Нуссельта
Nu = a//X.	(25.16)
Число Нуссельта представляет собой безразмерный коэффициент
еплоотдачи. Оно характеризует итенсивность теплообмена на гра-
нице твердое тело — жидкость. Число Нуссельта является опреде-
ляемым, так как в него входит искомый коэффициент теплоотдачи a
не входящий в условие однозначности).
При тепловом подобии систем в любых сходственных точках и
сходственные моменты времени числа подобия Fo, Ре и Nu должны
меть одинаковые значения.
В общем случае уравнение конвективного теплообмена можно
аписать
Nu = /(Fo, Ре).	(25.17)
Числители чисел Ре и Re одинаковы, а знаменатели разные,
знаменатель числа Re входит кинематическая вязкость, т. е. та
изическая величина, от которой существенно зависит характер
эля скоростей. В число Ре входит температуропроводность а — фи-
щеская величина, характерная для процесса теплообмена.
327
При делении числа Ре на число Re получим новый критерий
который носит название числа Прандтля Рт:
Pr = Pe/Re = v/a.	(25.18
Условие Ре == idem и Re = idem может быть заменено требование!^
Re = idem и Pr = idem, а уравнение (25.18) записано следующиь
образом:
Nu-f(Fo, Рг).	(25.19;
В число Прандтля входят только физические характеристик!
жидкости, и тем самым число Рг является тоже сложной физическо!
константой. Число Прандтля характеризует собой механизм и спо-
собность распространения теплоты в жидкости.
Таким образом, гидромеханическое и тепловое подобия могут
иметь место только при определенном соответствии физических свойстг
сопоставляемых систем, выражаемом требованием, чтобы у эти^
систем Pr = idem.
Для идеальных газов число Рг зависит только от атомности газа
Для одноатомных газов Рг = 0,66; для двухатомных (сухой воз-
дух) Рг —0,71; для трехатомных Рг = 0,84 и для многоатомные
Рг = 1,0.
При Рг = 1 имеем v = a и Re = Pr, т. е. требования для подобш
температурного и скоростного полей совпадают.
При сопоставлении двух подобных систем, в которых протекаю-
процессы с идеальными газами одинаковой атомности (например
воздух), условие Pr = idem выполняется автоматически, а следова
тельно при выполнении требования Re = idem всегда имеет место 1
Ре = idem с той степенью точности, с какой газ следует законам
идеальных газов.
§ 25.5. Критериальные уравнения конвективного теплообмена
В соответствии со второй теоремой подобия критерии, определяе
мые из системы дифференциальных уравнений, описывающих конвек
тивный теплообмен, одновременно являются и критериями, получае
мыми из уравнения, представляющего решение этой системы. Пог
тому, используя полученные выше критерии подобия, критериально
уравнение конвективного теплообмена можно записать в следующе
общей форме:
Nu = /f(Ho, Gr, Re, Fo, Pe, l/l0).	(25.2(
Число гомохронности Но и число Фурье Fo являются определ!
ющими критериями для нестационарных процессов. При стациона[
ных процессах, для которых dt/dx = O и дшх/дх — 0, как это неш
средственно следует из рассмотрения уравнений (24.5) и (24.14
эти критерии отсутствуют. Отметим, что наибольший практически
интерес представляет определение коэффициента теплоотдачи а пр
установившемся режиме. Это позволяет в дальнейшем ограничить^
328
доставлением критериальных уравнений только для стационарного
теплообмена.
В этом случае уравнение (25.20) записывают так:
Nu=f(Gr, Re, Ре, ///„).	(25.21)
Учитывая, что Pe=RePr, критериальное уравнение (25.21) можно
записать в следующем виде:
Nu —f(Gr, Re, Рг, ///„).	(25.22)
В приведенных уравнениях симплекс ///„ — отношение линейных
размеров твердого тела (например, отношение диаметра трубы к ее
длине). Он характеризует условия геометрического подобия.
В отдельных случаях уравнение (25.22) упрощается. Так, в слу-
чае вынужденного турбулентного потока можно не учитывать влия-
ние естественной конвекции, т. е. пренебречь числом Грасгофа:
Nu = /(Re, Рг, ///„).	(25.23)
При свободном движении, т. е. когда вынужденная конвекция
отсутствует, в уравнение (25.22) не будет входить число Рейнольдса:
Nu = /(Gr, Рг).	(25.24)
Глава XXVI
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА
§ 26.1.	Определение коэффициента теплоотдачи
При изучении процессов конвективного теплообмена искомой ве-
личиной является коэффициент теплоотдачи а. Для его определения
используют различные методы. Наиболее распространен так назы-
ваемый метод стационарного теплового потока. При этом методе
средний коэффицинет теплоотдачи находят в соответствии с законом
Ньютона (24.1):
Фо	, ,
а~ (а)
Как видно из приведенного уравнения, для определения а в опы-
тах необходимо измерять тепловой поток Ф, температуру стенки
твердого тела /ст и температуру жидкости /.
Способы подвода теплоты к исследуемой жидкости могут быть
различными. Выбор исследователем того или иного способа подвода
и метода определения теплового потока зависит от вида конвектив-
ного теплообмена (свободная или вынужденная конвекция), формы
и размеров поверхности нагрева, от поставленных задач в опытах
и т. д.
Наиболее простой способ подвода теплоты к рабочему телу — это
нагрев поверхности теплообмена площадью А с помощью электри-
ческого нагревателя. Тепловой поток в этом случае определяется
329
по замеренным в опытах силе тока / и падению напряжения А«
в нагревателе:
Ф = /Ди.	(26.1)
При выражении / в А, Ли в В Ф выразится в Вт.
Большие тепловые потоки в опытах могут быть также получены
при пропускании через поверхность нагрева непосредственно посто-
янного тока низкого напряжения.
При исследовании теплообмена жидкости в трубах и других
каналах подвод (отвод) теплоты может быть осуществлен за счет
изменения энтальпии нагретой (охлажденной) однофазной жидкости.
Тепловой поток в этом случае находят по уравнению теплового
баланса
Ф = тхсрт(Гт-^),	(26.2)
где тх — массовый расход жидкости; Срт — средняя удельная изо-
барная теплоемкость жидкости; t'm и Гт — температура жидкости
на входе и выходе из опытной установки. При выражении тх в кг/с,
Срт в Дж/(кг К), t’m И t'm В °C Ф ВЬфаЗИТСЯ В Вт.
При обогреве поверхности теплообмена конденсирующимся паром
тепловой поток можно определить по формуле
Ф = тт(гп-1К),	(26.3)
где тх — массовый расход пара; in и iK —удельная энтальпия соот-
ветственно конденсирующегося пара и конденсата. При выражении
тх в кг/с, in и iK в Дж/кг Ф выразится в Вт.
Кроме рассмотренных методов тепловой поток в опытах может
быть определен и другими методами, описание которых приводится
в специальной литературе.
Температуру поверхности стенки /ст, через которую передается
теплота, в опытах обычно измеряют при помощи термопар, устанав-
ливаемых в нескольких точках поверхности нагрева. За расчетное
значение принимают ее среднее арифметическое значение.
§ 26.2.	Осреднение температуры и скорости потока
В потоке жидкости, отдающей или воспринимающей теплоту,
всегда наблюдается неравномерное распределение температур как
по сечению потока, так и по длине канала. В связи с этим при
исследовании конвективного теплообмена весьма важно правильно
определить среднюю температуру потока.
На рис. 26.1 для иллюстрации показан частный случай (для
турбулентного потока охлаждаемого перегретого пара в трубе d =
= 40 мм) распределения температур и скоростей по сечению трубы
(профили скоростей и температур). Из рассмотрения профилей непо-
средственно следует, что нельзя говорить о температуре жидкости в це-
лом, можно лишь говорить о ее среднем значении в данном сечении.
Разобьем площадь А сечения потока на элементарные площади dA.
Для каждой элементарной площади известны температура t и нор-
ззо
мальная к сечению скорость w (предполагается, что профили скоростей
и температур заданы). Тогда среднюю температуру /гр в пределах
данного сечения (среднюю калориметрическую температуру) опреде-
ляют по формуле
(tpCpOvdA
. =А_____________
ср (рс’рК'Д.4
А
(26.4)
pwdA = dmx представляет собой массовый расход жидкости через
сечение площадью dA.
Во многих случаях можно пренебречь
зависимостью ср и р от температуры,
тогда
\twd А
kp = ±—- = ~{twdA,	(26.5)
где Ут —объемный расход жидкости.
Так как поток жидкости отдает или
воспринимает теплоту, то в общем слу-
чае температура его в направлении
движения непрерывно меняется. Поэтому
необходимо произвести усреднение тем-
пературы и по длине участка тепло-
обмена. Если средняя температура во
входном сечении t', а в выходном сече-
нии t", то в простейшем случае сред-
няя температура потока /пог может бытъ
определена как среднеарифмети-
ческая из крайних значений:
Рис. 26.1
U = 0,5(f + f).	(26.6)
Формулу (26.6) можно применять при небольших изменениях
температуры в пределах участка теплообмена. В общем случае следует
находить среднелогарифмическую разность температур Д/ср
между усредненной по сечению переменной температурой потока /пог
и средней температурой стенки (см. § 31.3):
Д/ср = (Г-n/ln-^з-.	(26.7)
Средняя температура потока
/110,=/ег±^ср-	(26.8)
В формуле (26.8) знак плюс берется в случае охлаждения жид-
кости, а знак минус —при ее нагревании.
Если (Г —	— /С1)	1,7, можно без заметной погрешности
пользоваться формулой (26.6).
331
Усреднение скорости потока в заданном поперечном сечении
производят по формуле
® = VTM,	(26.9)
где Vx — объемный расход, Л — площадь поперечного сечения трубы.
При выражении Vt в м3/с, А в ма w выразится в м/с.
В приведенные ниже формулы для коэффициента теплоотдачи
всегда входит средняя скорость w. В дальнейшем там, рде это не бу-
дет особо указано, знак усреднения (черточка) над обозначением
скорости ради упрощения письма будет опускаться.
§ 26.3.	Обобщение опытных данных
Теория подобия позволяет установить закономерности конвек-
тивного теплообмена и общий вид критериальных зависимостей (25.21).
Однако, как уже указывалось ранее, теория подобия не дает воз-
можности установить конкретный вид зависимости критерия Нус-
сельта от определяющих критериев. Такая зависимость может быть
найдена исключительно экспериментальным путем. Опыт показывает,
что зависимость между критериями (конечно, в определенных пре-
делах изменения аргумента) обычно может быть представлена в виде
степенных функций. Так, для вынужденного потока
Nu=CRenPr'n,	(26.10)
где С, пи т — найденные из опыта коэффициенты (постоянные числа).
Если опыты проводятся с жидкостью, у которой число Прандтля
не зависит от температуры и является величиной постоянной, то
уравнение (26.10) записывают в более простом виде:
Nu = CRen.	(26.11)
Функции вида (26.10) и (26.11) удобно изображать графически
в логарифмических координатах. Для этого по полученным в опытах
значениям коэффициента теплоотдачи и скорости движения жидкости
вычисляют значения чисел Re и Nu. Далее по значениям чисел
строят график, на котором по оси ординат откладывают значения
числа Нуссельта Nu, а по оси абсцисс — значения числа Рейнольдса Re.
Рассмотрим метод определения постоянных Сияв уравнении
(26.11). Логарифмируя это уравнение, имеем
InNu = InC + nlnRe.
(26.12)
Полученное уравнение является уравнением прямой (рис. 26.2).
Показатель степени п представляет собой тангенс угла наклона пря-
мой к оси абсцисс; значение п определяют из выражения
lnNua — InNuj
n== lnRea — InRej ‘
(26.13)
Постоянную С находят из уравнения (26.11), которому должна
удовлетворять любая точка прямой.
332
Если опытные точки в координатах InNu — InRe не укладываются
на прямую, а располагаются по кривой, то полученную кривую за-
меняют ломаной прямой. Для каждого участка ломаной значения
Сип различны.
Если число Нуссельта Nu является функцией двух критериев:
ческих координатах InNu — InRe будет располагаться несколько па-
раллельных прямых линий, каждой из которых будет соответствовать
свое значение числа Рг (рис. 26.3). По этому графику определяют
показатель степени п у числа Рейнольдса. Показатель степени т
у числа Прандтля находят с дополнительного графика, построенного
в координатах lnNu/Ren — 1пРг. Постоянную С находят из уравнения
(26.10).
§ 26.4.	Определяющая температура и осреднение
физических параметров
В критерии подобия наряду с переменными входят физические
параметры жидкости, которые зависят от температуры. Поскольку
температуры по сечению и длине потока переменны, то переменны
и физические характеристики жидкости. Остановимся на способе
осреднения физических параметров (плотности, вязкости и т. д.),
зависящих от температуры.
Температура, при которой выбираются значения физических па-
раметров, называется определяющей. Весьма часто за определяющую
температуру принимают температуру потока /п01, а в ряде случаев —
температуру стенки /ст. Нуссельт предложил осреднять физические
параметры по формуле
фт
Лют
1	' С
= -t------— \ qdt,
‘пот ‘ст J
ст
(26.14)
где <р — физическая величина (вязкость, теплопроводность и т. д.),
а фот —ее среднее значение.
333
Если ср зависит от t линейно, то способ осреднения по формуле
(26.14) равносилен условию, что определяющую температуру вычис-
ляют по формуле
*т = 0,5(/пот-Нст).	(26.15)
Часто вычисленную таким образом определяющую температуру
называют средней температурой пограничного слоя.
Отметим, что различие в методах осреднения как температуры
жидкости, так и физических параметров приводит к тому, что на базе
одних и тех же опытов разные исследователи получают различные
формулы. В связи с этим при пользовании формулами для коэффи-
циента теплоотдачи следует обращать внимание на то, какая темпе-
ратура принималась в качестве определяющей. Обычно это отмеча-
ется соответствующими индексами у чисел подобия (например, Rellor,
ReCT, РгПО1 и т. д.).
В рассмотренном методе выбора физических параметров они как бы
принимаются постоянными и неизменными по сечению и длине потока,
поскольку находятся по определяющей температуре, которая счи-
тается в опыте постоянной.
При изучении ряда процессов конвективного теплообмена, напри-
мер в процессах, протекающих при больших тепловых потоках и
больших скоростях или при течении очень вязких жидкостей, физи-
ческие параметры нельзя принимать постоянными. В этих случаях
температура по сечению потока изменяется очень резко, а также
резко меняются и физические параметры жидкости, что оказывает
существенное влияние на коэффициент теплоотдачи. Здесь необхо-
димо учитывать переменность физических свойств по сечению потока.
Чтобы учесть влияние переменности физических параметров на
теплообмен, при выводе дифференциальных уравнений конвективного
теплообмена значения физических параметров нельзя выносить из-под
знака производной. Однако это приведет к изменению и усложне-
нию системы уравнений.
При умеренном диапазоне изменения физических параметров в ин-
женерных расчетах пользуются теми же уравнениями, что и при
постоянных физических свойствах, но с введением соответствующих
поправок. Так, например, все физические характеристики определя-
ются при температуре потока, а влияние переменности физических
свойств учитывается в виде отношения значений вязкости или"в виде
отношения чисел Прандтля соответственно при температуре потока
и стенки. Существуют и другие способы учета зависимости физи-
ческих параметров от температуры.
В настоящее время теория еще не дала единого способа учета
влияния переменности физических свойств на теплоотдачу.
§ 26.5. Определяющий линейный размер
Во многие числа подобия (например, Re, Nu, Ре и др.) входит
линейная величина /. Входящую в числа величину I называют опре-
деляющим линейным р а з м е р о м и выбирают в каждом слу-
334
чае в зависимости от изучаемого процесса. Если условиями одно-
значности заданы несколько линейных размеров, то за определяющий
линейный размер принимают тот, от которого в большей степени
зависит процесс конвективного теплообмена. Остальные заданные
размеры входят в критериальные урав-
нения в виде симплексов (Ijl, l2/l
и т. д.).
При изучении теплообмена для слу-
чая поперечного омывания гладких
труб в качестве определяющего разме-
ра I выбирают наружный диаметр
трубы. При течении жидкости в круг-
лых гладких трубах за определяющий
размер принимают внутренний диаметр
трубы, При изучении движения жидко-
сти и теплообмена в каналах иной фор-
мы в качестве определяющего линей-
ного размера берут так называемый
эквивалентный диаметр d9KB:
<4кв = 4Л/и,	(26.16)
где А — площадь поперечного сечения
канала; и —периметр сечения, через
который происходит передача теплоты.
При движении жидкости в канале
прямоугольного сечения со сторона-
ми а и & величину определяют из
выражения (рис. 26.4, а)
daKW = 2ab/(a + b).	(26.17)
В том случае, когда длина стороны b
весьма мала сравнительно с длиной
стороны а, т. е. канал имеет очерта-
ние узкой щели (рис. 26.4, б),
dBKB = 2ab/a = 2b.
(26.18)
При течении жидкости через кольце-
вое сечение между двумя концентриче-
скими поставленными трубами и при
передаче теплоты как через внешнюю,
так и через внутреннюю поверхность
ный диаметр равен
Рис. 26.4
(рис. 26.4, в) эквивалент-
_ л (<- df)
экв V(d^RF Й1+Й2-
(26.19)
В случае передачи теплоты только через Внутреннюю поверх-
ность (рис. 26.4, г)
d,KB = [л (d'i - di)J/(3T^i) = (di - dO/d^	(26.20)
335
прямоугольного сечения со сторонами а и Ь, и при передаче те-
плоты только трубам (рис. 26.4, д)
d„. _	= “ _ 4,	(26.21)
э	rmd„ rmdH
где п — число труб, расположенных в канале; da — наружный диа-
метр трубы.
Глава XXVII
ТЕПЛООБМЕН ПРИ ВЫНУЖДЕННОМ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ
§ 27.1.	Движение жидкости в трубах
В теории теплообмена нас интересует только такой поток жидко-
сти, который соприкасается с твердыми стенками. С этой точки зре-
ния. различают два основных случая. Первый случай, когда жидкость
течет внутри канала (например, в круглой трубе), это так назы-
ваемая внутренняя задача. Второй случай — когда жидкость
извне омывает твердое тело, такое взаимодействие тела и жидкости
соответствует внешней задаче.
Начнем с изучения внутренней задачи. Рассмотрим движение
вязкой несжимаемой * жидкости в круглой прямолинейной трубе.
Как известно, движение может быть ламинарным и турбулент-
ным. При движении жидкости переход ламинарного потока в турбу-
лентный определяется значением числа Рейнольдса Re. Опытом уста-
новлено, что при всех значениях Re <; ReK, — 2200 поток движется
ламинарно. Если поток искусственно завихрить, то по истечении
некоторого времени обязательно восстановится ламинарный режим,
если только Re <z ReK1, следовательно, при указанном условии лами-
нарный режим является устойчивым.
При Re>ReK2=104 имеет место развитый турбулентный режим.
Можно принятием специальных мер к успокоению потока воспроиз-
вести ламинарный поток и при значениях Re>ReK2, но в этом слу-
чае малейшее возмущение потока вызовет переход ламинарного по-
тока в турбулентный.
Критическая скорость wK определяется (при ReK,=2200) из ра-
венства
ayK = 2200v/d.	(27.1)
Между ламинарным и турбулентным движением имеется не только
качественное, но и количественное различие. Это различие заклю-
чается в законе распределения скоростей по поперечному сечению.
При всяком режиме движения жидкости скорость у стенки ка-
нала -всегда равна нулю, а в центре потока достигает максимума.
* Все капельные жидкости являются практически несжимаемыми. Что ка-
сается газов, то в теории теплообмена их можно принять несжимаемыми, если
скорость их значительно меньше скорости звука-
336
При ламинарном режиме устанавливается параболический закон рас-
пределения скоростей (рис. 27.1, а). Для всей области Re<ReK,
отношение средней скорости потока © к максимальной ©max (по оси
потока) постоянно и равно w/wmax — 0,5. Таким образом, в усло-
виях ламинарного потока вне зависимости от значения чисел
Рейнольдса Re скоростные поля подобны (автомодельность поля
скоростей).
При турбулентном потоке при Re>104 кривая изменения ско-
рости (рис. 27.1,6) имеет иной вид: в пределах ламинарного погра-
ничного подслоя кривая идет круто, а в средней части, в так назы-
ваемом ядре потока, — весьма полого. Толщина 6 пограничного под-
слоя у стабилизированного турбулентного потока весьма невелика
и составляет 6 = 64,26 Re~7/8.
а)
иг
-Ламинарный =
==. поток
Re < Не^тг-.-
^ГЛррйулентный поток’'
/Л 'Л Re_> ; Ю* - с1')
'Ф - >- иг i ? е 7 \
V 1
ЯП до потока ?
— График*
-скоростей;
-----МтахЬ
---------Ч
777777777777/777///\///7//Л
'//////77777////////^^/^
Ламинарный слой
Рис. 27.1
Отношение ©/©тах для каждого значения числа Re сохраняет
неизменное значение, но размер этого отношения меняется с изме-
нением числа Re (при ReK>= 104 отношение ®/ffi»max = 0,8).
В диапазоне значений числа Re = 2200... 10 000 режим движения
носит название переходного, поскольку при Re> 104 устанав-
ливается развитое турбулентное движение с опреде-
ленным законом распределения скоростей по поперечному се-
чению.
Указанное характерное распределение скоростей по поперечному
сечению потока наступает не сразу по входе потока в трубу. Всегда
имеется начальный участок, в пределах которого происходит стаби-
лизация движения. На этом так называемом участке гидродина-
мической стабилизации меняется характер потока (профиля
скоростей). Так, например, при ламинарном течении жидкости
(Re < 2200) во входном сечении на поверхности трубы образуется
динамический пограничный слой, толщина которого увеличивается
по мере удаления потока от входного сечения. В дальнейшем лами-
нарные пограничные слои смыкаются и течение приобретает лами-
нарный стабилизированный характер (рис. 27.2, а). При турбулент-
ном течении жидкости (Re > 104) вблизи входного сеченйя сначала
образуется ламинарный пограничный слой, который затем переходит
в турбулентный. В дальнейшем происходит смыкание турбулентных
пограничных слоев и течение приобретает турбулентный стабилизи-
рованный характер (рис. 27.2, б).
337
Установлено, что участок /н гидродинамической стабилизации при
ламинарном режиме равен 0,05d Re, а при турбулентном —/н?^ 15с/.
Рис. 27.2
Опыт и теория показывают, что наряду С участком гидродинами-
ческой стабилизации имеется.участок тепловой стабилизации,
который наблюдается как при ламинар-
ном, так и при турбулентном течении.
Непосредственно у входа в трубу коэф-
фициент теплоотдачи а имеет макси-
мальное значение (рис. 27-3), а затем
резко уменьшается, стремясь к предель-
ному и в дальнейшем неизменному зна-
чению. Длина участка трубы, на кото-
ром происходит указанное изменение
коэффициента теплоотдачи, является
участком тепловой стабилизации. Длина
этого участка зависит от многих фак-
торов.
Для горизонтальной круглой трубы
участок тепловой стабилизации при
ламинарном режиме приближенно может быть определен по фор-
муле /н т^ 0,05d Re Рг, а при турбулентном режиме —по фор-
муле /нт«^50с/.
§ 27.2.	Теплоотдача при движении жидкости в трубах и каналах
при ламинарном и переходном режимах
Коэффициент теплоотдачи а при течении жидкости в трубах или
каналах определяется по разным формулам в зависимости от того,
является ли режим ламинарным или турбулентным. В этом параг-
рафе рассмотрим теплообмен при ламинарном и переходном режимах
течения жидкости.
При ламинарном неизотермическом течении жидкости возможны
два режима движения: вязкостно-гравитационный и вязкостный. Эти
режимы имеют различные законы теплообмена.
338
При вязкостно-гравитационном режиме течения жидкости имеет
место турбулизирующее действие естественной конвекции^ а при вяз-
костном режиме влияние естественной конвекции отсутствует.
Распределение скоростей по сечению трубы при вязкостном ре-
жиме течения отклоняется от параболического. Это объясняется изме-
нением вязкости по сечению вследствие неизотермичности потока.
Распределение скоростей зависит также от того, происходит нагре-
вание или охлаждение жидкости. При одинаковой средней темпера-
туре потока при нагревании жидкости ее температура у стенки будет
больше, чем при охлаждении. Чем больше температура жидкости,
тем меньше ее вязкость, а следовательно больше скорость около
стенки и больше теплоотдача.
Для определения среднего коэффициента теплоотдачи при вяз-
костно-гравитационном режиме течения акад. М. А. Михеевым реко-
мендована следующая формула, полученная на основе обработки и
обобщения многочисленного экспериментального материала:
Nun0T = 0,17Re"oVPr»oVGr»’0‘T (Ргпот/Ргст)»’25.	(27.2)
По этой формуле определяют число Нуссельта Nu, а по нему —
коэффициент теплоотдачи
а== Nun0TX/d.
Индекс «пот» указывает, что за определяющую температуру для под-
счета физических констант взята температура потока [формула (26.6)
или (26.7)], а индекс «ст» — температура внутренней стенки канала.
Формулу (27.2) можно записать в виде
= pp>.4£U"°^r v>.8a =0,17Re"-Gr-.	(27.3)
‘пот к пот/ ст7
Множитель РГпот (РгПО1/Ргст)'125 для заданного вещества (воздуха,
воды, пара и т. п.) является функцией физических свойств вещества
(кинематической вязкости v и температуропроводности а) и для опре-
деленной жидкости и определенных температурных условий прини-
мает постоянное значение.
На рис. 27.4 в логарифмических координатах дан график функ-
ции (27.3). По оси абсцисс отложены значения RenoT, а по оси орди-
нат—значения Мо. Число Грасгофа Grn0, взято в качестве параметра.
Из графика следует, что при прочих равных условиях с увели-
чением GrnoT комплекс К„ растет, а следовательно, и число Нуссельта
увеличивается. Последнее объясняется влиянием на коэффициент
теплоотдачи естественной конвекции (свободного движения среды),
вызывающей заметную турбулизацию потока и соответствующее уве-
личение коэффициента а.
Как уже указывалось, вследствие неизотермичности потока по
сечению коэффициент теплоотдачи а зависит от температурного на-
пора (/Пот — 4т) и направления теплового потока: при нагревании
среды, текущей в трубе (т. е. при направлении теплового потока от
стенки к среде), при прочих равных условиях теплоотдача выше,
чем при обратном направлении теплового потока, т. е. при охлажде-
339
нии среды. Это обстоятельство учитывается введением в формулу
(27.2) множителя (РгП01/Ргст), который можно назвать темпера-
турным фактором.
Для сухого воздуха и двухатомных газов число Прандтля прак-
тически не зависит от температуры, а поэтому отношение Ргпот/Ргст
равно единице. Для дымовых газов среднего состава *, а также для'
воды и перегретого пара (примерно до 600 °C) число Прандтля Рг
с увеличением температуры уменьшается, а потому при нагревании
текущей среды (/„ > /пот) множитель (Ргпот/Ргст) > 1.
Формула (27.2) применима для стабилизированного в тепловом
отношении потока, т. е. при //d^s50. Для труб и каналов с дли-
ной, меньшей 50d, как это было указано (см. рис. 27.3), усреднен-
ное по длине трубы значение коэффициента теплоотдачи будет боль-
шим. Для таких относительно коротких труб вводится поправочный
множитель ez, значения которого приведены ниже в зависимости от
отношения lid:
lid	1	2	5	10	15	20	30	40	50
ei	1,90	1,70	1,44	1,28	1,18	1,13	1,05	1,02	1,00
При вязкостном течении жидкости для расчета теплоотдачи может
/	1 х
быть рекомендована следующая формула (при <0,0J и 0,02sg;
=С M-d/Рпот 1500^:
Nii = 1,55 (Ре (Цст/Цпот)-о^	(27.4)
* Для газообразных продуктов сгорания (молярные доли Н2О и СОа гн о =
= 0,11; гСО1 = 0,13) при 0 °C число Рг =0,72, при /=1600 °C Рг = О,бк
340
В приведенной формуле коэффициент теплоотдачи отнесен к сред-'
нему логарифмическому температурному напору. Физические пара-
метры жидкости, входящие в числа подобия Nu и Ре, а также зна-
чение рпот следует выбирать по температуре t — t„ — 0,5Д/.
Поправочный множитель в уравнении (27.4) е;, представляющий
собой поправку на начальный тепловой участок, определяют по гра-
фику на рис. 27.5 в зависимости от значения (l/d) (1/Re).
Вязкостный режим течения жидкости практически наблюдается
при значениях комплекса Сг<8105. Такой режим течения встре-
чается при расчете некоторых теплообменников (маслоохладители,
подогреватели мазута и моторного топлива).
В приведенных формулах за определяющий линейный размер при-
нят внутренний диаметр трубы. Расчет теплоотдачи в кйналах не круг-
лого сечения производят по
этим же формулам, но за
определяющий линейный
размер принимается экви-
валентный диаметр пэкв.
В этом случае расчет тепло-
отдачи является прибли-
женным. Точные границы
возможности применения
этого метода не установ-
лены.
Перейдем к рассмотре-
нию теплоотдачи при пере-
ходном режиме. В области
переходного режима движения жидкости (2 • 103 < Re < 1 • 104)
не имеется достаточно достоверных данных по теплообмену.
На рис. 27.4 дана зависимость комплекса Ко [формула (27.3)] от числа
Re в области переходного режима, которую можно рассматривать
только как наиболее вероятную.
Из кривых, приведенных на рис. 27.4, следует, что в переход-
ной области, как и при ламинарном течении, большое влияние на
теплообмен оказывает естественная конвекция: чем больше число
Грасгофа Gr, характеризующее интенсивность свободного движения,
тем больше значение комплекса Ко, а следовательно, и коэффициента
теплоотдачи а. По мере возрастания скорости вынужденного течения
интенсивность перемешивания жидкости возрастает и влияние свобод-
ной конвекции ослабевает. При развитом турбулентном течении сво-
бодное движение на теплообмен практически не оказывает влияния
(на рис. 27.4 при Re > 10 000 все кривые слились в одну линию).
§ 27.3.	Теплоотдача при турбулентном движении жидкости
в трубах и каналах
При развитом турбулентном режиме благодаря весьма интенсив-
ному перемешиванию отдельных струек температура ядра потока
остается практически постоянной и близкой к /П01. Постоянство тем-
341
пературы в пределах ядра потока позволяет считать, что при разви-
том турбулентном потоке влияние естественной конвекции исчезающе
мало. Поэтому из числа определяющих критериев может быть исклю-
чено число Грасгофа Gr.
Акад. М. А. Михеев для расчета теплоотдачи в случае турбу-
лентного потока внутри гладких труб или каналов рекомендует сле-
дующую формулу (при 1  104 < Ren0T 5 • 10е и 0,6 < Ргпог < 2500):
Nun0I = 0,021КепотРгпот (РгПО1/РгС1)"25.	(27.5)
Отношение (РгПО1/Ргс.,)0,25 учитывает влияние температурного на-
пора и направления теплового потока.
Применительно к воздуху (или другому двухатомному газу) фор-
мулу (27.5) можно значительно упростить. Так как для воздуха
Рг = 0,71 и РгП01/РгС| = 1, получим
Nunot = 0,0I8Re^T.	(27.6)
В развернутом виде формула (27.6) примет вид*
а = 0,018щ",с( °'2/.„01vri"p.
(27.7)
При l/d < 50 в формулу (27.5) вводят поправочный множитель е;,
значения которого приведены в табл. 27.1.
Таблица 27.1
	l/d								
'епот	I	2	5	10	15	20	30	40	50
1 • 10“	1,65	1,50	1,34	1,23	1,17	1,13 1,10	1,07	1,03	1,00
2- 10“	1,51	1,40	1,27	1,18	1,13		1,05	1,02	1,00
5- 10“	1,34	1,27	1,18	1,13	1,10	1,08	1,04	1,02	1,00
1 • 105	1,28	1,22	1,15	1,10	1,08	1,06	1,03	1,02	1,00
1 • 10°	1,14	1,Н	1,08	1,05	1,04	1,03	1,02	1,01	1,00
В ряде случаев теплообменные аппараты выполняют из гнутых
труб (спиралей, змеевиков и т. п.). При движении жидкости в таких
каналах под действием центробежной силы в. поперечном сечении
канала возникают циркуляционные токи —так называемая вто-
ричная циркуляция. При наличии вторичной циркуляции
отдельные струйки жидкости хотя и движутся по сложным траекто-
риям, но не смешиваются друг с другом.
Специальные исследования показали, что вторичная циркуляция
в винтовых змеевиках возникает при числах Рейнольдса больше не-
которого значения, определяемого по формуле
Ren0T= 11,6 (d/D)
(27.8)
* Для круглых труб d = dnH; для каналов иной формы d = d9KB. Это приме-
чание относится и ко всем другим формулам теплообмена при решении внутрен-
ней задачи.
342
Переход к закономерностям турбулентного режима наступает
при числах Рейнольдса
Renor = 18 500 (d/D)0-23,	(27.9)
где d —диаметр трубы; О —диаметр спирали.
Таким образом, в пределах значения RenoT< 11,6 (d/Z))-°-5 имеет
место ламинарное течение без вторичной циркуляции. При значе-
ниях 11,6 (d/D) °-5 < Renor < 18 500 (d/D)0-28 движение ламинарное со
вторичной циркуляцией. Для этого интервала изменения чисел Рей-
нольдса, как показали специальные опыты (В. Г. Фастовский и
А. Е. Ровинский), коэффициент теплоотдачи а может быть опреде-
лен по формуле для турбулентного режима (27.5). Это показывает,
что вторичная циркуляция, возникающая в змеевиках, влияет на
теплоотдачу в той же мере, как вихревые движения в установив-
шемся турбулентном потоке.
При движении жидкости в изогнутых трубах в области развитой
турбулентности при наличии вторичной циркуляции (RenoT>
> 18 500 (d/D)0’28) коэффициент теплоотдачи определяют по формуле'
аИз = 6£>аПр.	(27.10)
где аиз — коэффициент теплоотдачи для изогнутой трубы; апр —коэф-
фициент теплоотдачи, определяемый по формуле (27.5), для прямой
трубы; eD — поправочный коэффициент, определяемый по формуле
eZ3=l+3,6d/D.	(27.11)
Вышеизложенное относилось к теплообмену в круглых трубах.
Коэффициент теплоотдачи при турбулентном течении жидкости
в каналах квадратного, прямоугольного и треугольного сейений и
при продольном омывании пучка труб можно определить по формуле
(27.5), принимая за определяющий линейный размер эквивалентный-
диаметр d3K„.
Коэффициент теплоотдачи при течении газов и капельных жид-
костей в каналах кольцевого поперечного сечения рассчитывают по
уравнению
NuIIOI = 0,017Re"o’TPr,",olT (Ргпот/Ргст)0-23	(27.12)
В уравнении (27.12) особенности теплообмена в кольцевых кана-
лах учитываются множителем (da/dj018 (dt — внутренний диаметр
кольцевого канала, d2 —внешний диаметр). За определяющий Линей-
ный размер принят d9Kn = d2 — dv
Формула (27.12) применима при d2/d1 = l, 2... 14,0, Z/d = 50...
...460 и Ргпот = 0,7... 100.
В приложениях 9... 12 приведены значения физических парамет-
ров воздуха, газообразных продуктов сгорания, водяного пара и
воды на линии насыщения.
343
Глава XXVI11
ТЕПЛООБМЕН ПРИ ВЫНУЖДЕННОМ ПОПЕРЕЧНОМ ОМЫВАНИИ ТРУБ
§ 28.1. Теплоотдача при поперечном омывании
одиночной гладкой трубы
На рис. 28.1 показана схема движения жидкости при поперечном
омывании круглого цилиндра. Почти вся лобовая поверхность (в пре-
делах дуги а-а, соответствующей центральному углу 2ср) омывается
безотрывно потоком жидкости. За пределами дуги а-а происходит
отрыв струек, а вся тыльная поверхность цилиндра находится в вих-
ревой зоне.
В соответствии с такой схемой
движения жидкости коэффициент
теплоотдачи изменяется по окруж-
ности цилиндра. График изменения
числа Нуссельта Nu по длине ок-
ружности (для различных значений
числа Re) показан в полярных ко-
ординатах на рис. 28.2 *. При угле
<р (угол отсчитывается от лобовой
образующей цилиндра) в пределах

Рис. 28.2
Рис. 28.1
90... 100° значение числа Nu (а следовательно, и а) достигает мини-
мума, а при ф = 0 и 180° — максимума. Такого рода характер изме-
нения числа Nu объясняется тем, что при обтекании цилиндра
потоком жидкости на его поверхности образуется пограничный слой
переменной толщины. Этот слой имеет минимальную толщину у лобо-
вой образующей, постоянно утолщается по мере приближения к сред-
ней части трубы и достигает максимальной толщины приблизительно
у экваториального сечения. Благодаря большей толщине пограничного
слоя увеличивается тепловое сопротивление теплоотдачи, а в связи
с этим уменьшается коэффициент теплоотдачи а.
При углах <р порядка 80... 100° происходят разрушение погра-
ничного слоя и, как указывалось, отрыв струи с поверхности цилиндра
* В данном случае на графике приведены локальные значения числа Нус-
сельта (а следовательно, и локальные значения а), т. е. числа Nu в данной точке
окружности.
344
с образованием вихревой области. В связи с этим интенсивность
теплоотдачи возрастает, достигая вновь максимума при q> —180°.
Как видно из графика, приведенного на рис. 28.2, при малых зна-
чениях числа Рейнольдса теплоотдача на тыльной стороне ци-
линдра меньше, чем на лобовой стороне. По мере увеличения числа
Рейнольдса теплоотдача на тыльной стороне увеличивается.
Рассмотренный режим течения жидкости может быть назван сме-
шанным, поскольку на фронтальной стороне имеет место ламинарный,
а на тыльной — турбулентный режим. Такой характер течения наблю-
дается при Re = 5... 2 • 105.
Положение точки отрыва вихрей от цилиндра не является ста-
бильным. При большой степени турбулизации потока, характеризуе-
мой числом Re > 2 • 105, течение не только в канале, где установлена
труба, но и в пограничном слое переходит в турбулентное. Отрыв
турбулентного пограничного слоя от цилиндра происходит при гр =
= 120... 140°. Последнее обстоятельство улучшает обтекание цилиндра
вследствие уменьшения вихревой зоны и резко увеличивает тепло-
отдачу.
Ламинарное безотрывное течение жидкости по всему периметру
цилиндра имеет место при Re <5.
В результате многочисленных исследований и последующего
обобщения опытного материала теплоотдача одиночного цилиндра
в поперечном, перпендикулярном оси цилиндра потоке может быть
определена по формулам, предложенным А. А. Жускаускасом:
при Re = 5 — 1 • 103
Nun0, = O.SRe'XPrli'oT (РгШ)Г/Ргсг)0 25;	(28.1)
при Re=~l IO3 —2 IO5
Nun01. = 0,25RenoTPrnoT (PrnOT/PrCT)0-25.	(28'2)
По формулам (28.1) и (28.2) определяют осрсдненные по длине
окружности значения коэффициента теплоотдачи а. За определяющий
линейный размер в приведенных формулах принимают наружный
диаметр труб.
§ 28.2. Теплоотдача при поперечном омывании пучков труб
И без того сложная гидродинамическая картина обтекания оди-
ночного цилиндра (трубы) становится еще сложнее при обтекании
пучка круглых труб. В этом случае влияние на число Нуссельта
Nu оказывают схема расположения труб в пучке, поперечный шаг
llt продольный шаг /2 и число рядов труб г (рис. 28.3). Характери-
стиками пучка считают относительный поперечный шаг lr. х = /x/d и
относительный продольный шаг 1г<2 = 1г/<1.
Пучки труб устанавливаются обычно в каком-либо канале. Если
рассматривать поток жидкости относительно стенок канала, в кото-
ром расположен пучок труб, то можно, как обычно, отметить лами-
нарный и турбулентный режимы течения. Пучок, установленный
в канале, дополнительно турбулизирует поток. В связи с этим лами-
345
нарный режим течения может переходить при пониженных числах
Re в турбулентный.
При турбулентном режиме течения в межтрубном пространстве
пучка характер движения жидкости по периметру труб может быть
различным. Так, при Re < 1 -105 у поверхности трубы происходит
смешанное течение, т. е. фронтальная часть трубы будет омываться
ламинарным пограничным слоем, а тыльная — неупорядочными вих-
рями. При больших числах Рейнольдса турбулентное течение будет
наблюдаться как в межтрубном пространстве, так и в пограничном
слое около трубы.
В теплообменных аппаратах чаще встречается смешанный режим
течения, в связи с чем он и лучше изучен.
с) Коридорный пучок. 5)Шихма.тньш пучок
1,-поперечный шаг; ^-продольный шаг
= \	-диагональный шаг
Рис. 28.3
На рис. 28.4 показано (по данным Г. А. Михайлова) изменение
по длине окружности трубы локального коэффициента теплоотдачи
в зависимости от угла ср для первого, второго и последующих рядов
семирядного коридорного и шахматного пучков при смешанном режиме
течения. По оси абсцисс отложен центральный угол ср, отсчитанный
от лобовой образующей, а по оси ординат — отношение аф/а, где
ад, —локальное, а а — осредненное по окружности трубы значение
коэффициента теплоотдачи*.
Из рассмотрения кривых на рис. 28.4 следует, что аф для всех
рядов шахматного пучка достигает максимума при (р = 0°, т. е. на
лобовой поверхности трубы в месте удара струи о ее поверхность.
То же имеет место и для первого ряда коридорного пучка. Таким
образом, во всех рядах шахматного пучка и в первом ряду кори-
дорного пучка измерение локального коэффициента теплоотдачи по
окружности трубы подчинено принципиально той же закономерности,
что и для одиночной трубы.
* Локальное значение коэффициента теплоотдачи необходимо знать для опре-
деления максимальной температуры стенки (например, при расчете пароперегрева-
телей). Располагая осредненными значениями а, по кривым на рис. 28.4 можно
определить локальное значение «ф.
346
Для второго и следующих рядов коридорного пучка максималь-
ное значение соответствует углу ср «« 50... 60°. Это показывает,
что движение потока в межтрубном пространстве пучка с коридор-
ным расположением труб таково, что струя, вытекающая из просвета
между трубами предыдущего ряда, встречает (ударяет) поверхность
трубы в точках, определяемых углом ср=50...60°.
Из рассмотрения тех же кривых следует, что коэффициент тепло-
отдачи второго и особенно третьего ряда больше коэффициента тепло-
отдачи первого ряда в связи с большей завихренностью потока.
После третьего ряда турбулентность потока практически не меняется
/-первый ряд труд; 2-второй ряд труд; 3-7 последую-
щие ряды труд
Рис. 28.4
и коэффициент теплоотдачи всех последующих рядов остается оди-
наковым и равным коэффициенту теплоотдачи третьего ряда.
Коэффициент теплоотдачи в пучках труб зависит от размеров попе-
речного и продольного шагов. При смешанном режиме течения коэф-
фициент теплоотдачи глубинных рядов коридорных пучков труб
уменьшается при увеличении l2/d. Коэффициент теплоотдачи глубин-
l,/d г,
ных рядов шахматных пучков при <. 2 пропорционален величине
flJdX1/* п	1,1d	„	, ,
\F/dJ ' HP11 T~d коэффициент теплоотдачи от размеров относи-
тельных шагов не зависит.
Обобщение многочисленного экспериментального материала позво-
лило установить следующие формулы для определения коэффициента
теплоотдачи третьего ряда труб пучка при смешанном режиме тече-
ния жидкости (при RenoT= 1 • 103... 1 • 105):
а) при коридорном расположении труб
NulI0T = 0,26Re^P« (РгПО1/Ргст)°> гг,	(28.3)
347
где er = (/2/d) (>.15 —поправочный коэффициент, учитывающий влияние
относительных шагов для глубинных рядов;
б) при шахматном расположении труб
Nun0T = 0,41 RenoT Prt# (Ргпот/Ргст)°> er,	(28.4)
где при Zx/Z2с 2 er= (Zi/Z2)1/e; при	ег = 1,12.
Для вязких жидкостей в диапазоне чисел Рейнольдса Ren0I =
= 100... 1000, по данным А. А. Жускаускаса и А. А. Смоляка,
могут быть использованы уравнения:
при коридорном расположении труб
Nu110T = 0,52RenoTPrnoT (Ргпот/Ргст)0-25 ег;
при шахматном расположении труб
Nun01 = 0,6Re;-P« (Ргпот/Ргст)°.25er.
Скорость потока жидкости подсчитывают в самом узком сечении
ряда, а определяющим -линейным размером является внешний диа-
метр трубы.
Коэффициент теплоотдачи труб первого ряда принимают равным
0,6 от найденного значения а для третьего ряда. Для труб второго
ряда при шахматном их расположении поправочный коэффициент
равен 0,7, а для коридорного пучка принят равным 0,9 от значения
а для третьего ряда.
Средний коэффициент теплоотдачи для всего пучка, состоящего
из 2 рядов, определяют по формуле усреднения
г. ___а1Л1 + а2Л2 + ... + агЛг
”уг А + Л+... + Л,
(28.5)
где alt а2, .... аг — коэффициенты теплоотдачи соответственно пер-
вого, второго и 2-го рядов труб, а А2, ...., Az — площади наруж-
ных поверхностей первого, второго и г-го рядов труб.
Часто пучок состоит из труб одинакового диаметра и одинаковой
длины. В этом случае для пучка с шахматным расположением труб
«шах = (г —0,7)а/г;	(28.6)
для коридорного пучка
«кор == (г - 0,5) a/z,	(28.7)
где а —коэффициент теплоотдачи третьего ряда, определяемый по
формулам (28.3) и (28.4).
Если набегающий поток на пучок труб значительно турбулизи-
рован (например, в результате резкого расширения после вентиля-
тора или насоса), то коэффициент теплоотдачи может приниматься
одинаковым для_всех рядов труб.
Формулы (28.3) и (28.4) применимы для случая, когда поток
жидкости пересекает пучок труб под прямым углом. Опыты показали,
348
что с уменьшением так называемого угла атаки ф (рис.28.5) коэф-
фициент теплоотдачи уменьшается. В пределах изменения ф от 90
до 70° уменьшение а весьма невелико (не более 2%), в связи с чем
можно считать, что в указанных преде-
лах изменения угла атаки коэффициент
теплоотдачи остается практически постоян-
ным. Зависимость коэффициента тепло-
отдачи а от угла атаки ф можно предста-
вить в виде
а^ = а9ооЕф,	Рис. 28.5
где адо» — коэффициент теплоотдачи при угле атаки ф = 90°;	—
то же, при произвольном угле атаки ф.
Значения поправочного коэффициента в зависимости от угла
атаки ф:
ф,град	90	80	70	60	50	40	30	20	10
	1	1	0,98	0,94	0,88	0,78	0,67	0,52	0,42
§ 28.3. Теплоотдача при поперечном омывании пучка ребристых, труб
Теплообмен при поперечном омывании пучка ребристых труб
зависит не только от компоновки труб в пучке (коридорная или
шахматная), но и от формы и высоты ребер h, а также шага I между
ними. С увеличением высоты ребер вследствие снижения эффектив-
ности их работы коэффициент теплоотдачи, отнесенный к гладкой
неоребренной поверхности, понижается. С увеличением шага между
ребрами до расстояния I = (0,2.. .0,3) d наблюдается возрастание
коэффициента теплоотдачи.
Для газов и воздуха рекомендуется принимать высоту ребер рав-
ной (0,4... 0,8) d. Для трубок малого диаметра принимаются болыпйе,
а для трубок большего диаметра — меньшие значения высоты ребер.
Шаг между рёбрами в компактных пучках труб обычно принимается
равным (0,2... 0,4) d. При выборе шага между ребрами необходимо учи-
тывать условия очистки поверхности и технологию изготовления.
Экспериментальное исследование теплоотдачи труб с поперечными
круглыми ребрами в потоке воздуха было проведено В. М. Антуфье-
вым и Г. С. Белецким. Упомянутыми авторами предложены следую-
щие формулы для шахматных и коридорных пучков при условии,
что поперечный шаг равен продольному шагу /2.
Для шахматных пучков при 1,6 < 1Г < 3
Nи„ = [ 1 + 0,1 (/, - 2)] Reel69 -°‘37',/d (W)2 (//d) (а + ЬХ№/\) гг.
(28.8)
349
для коридорных пучков при 1,6 </г<2
NuCT = Rec0;78-°'35',/d (W’75 (l/dY0-* (a + ЬХм/М (28.9)
где d~ внешний диаметр несущей трубы; Л —высота ребра; / — шаг
между ребрами (рис. 28.6); lr=l1/d = l2/d.
Значения постоянных а, Ь и поправочного коэффициента 8, на
направление теплового потока [к формулам (28.8) и (28.9)] приве-
дены в табл. 28.1.
Таблица 28.1
Тип пучка	Нагревание газа			Охлаждение газа		
	ег	а	10*t>	ег	а	10‘Ь
Шахматный 		1,67... 0,87 Тпат/Т„	4,05	1,03	1,0	3,24	0,825
Коридорный 		1,67...0,87 T'„"Oi/T„	1,71	0,427	1,0	1,37	0,324
направление
теплового
Рис. 28.6
Поправочный коэффициент ег учитывает
потока и приводится в зависимости от соотношения термодинамиче-
ских температур потока Т„т и стенки Тст. Множитель вида
а + &ХнАГ) где лм и Хг — теплопроводности металла и газа (при
/ = /ст), учитывает влияние материала ребер на число Nu и а. Зна-
чения постоянных в формулах (28.8) и
(28.9) выбирают по данным табл. 28.1.
В приведенных формулах физиче-
ские постоянные, входящие в числа
Nu и Re, определяют по температуре
стенки /ст, а коэффициент теплоотда-
чи а, входящий в число Нуссельта
Nu, отнесен к площади наружной
поверхности гладкой трубы и учиты-
вает эффективность оребрения.
Скорость w, входящую в число
Рейнольдса, определяют для наимень-
шей площади сечения. Коэффициент теплоотдачи, отнесенный к пол-
ной площади поверхности ребристой трубы, составит аребр = а/0.
Формулами (28.8) и (28.9) можно пользоваться при соблюдении
следующих условий: ReCT = 1 • 104...6• 104; //d = 0,15.. .0,23; 6/d =
= 0,035... 0,08; h/d = 0,25.. „0,5; Ьм = 45... 200 Вт/(м • К). При нагре-
вании газов 7’пот/Тст = 0,77... 1,0; при охлаждении газов Тпот/7’ст =
= 1,0... 1,6.
В диапазоне чисел Рейнольдса Re = 3 • 103...2,5  104 для круглых
труб с круглыми и квадратными ребрами рекомендуется следующая
зависимость для определения коэффициента теплоотдачи, отнесенного
к площади полной оребренной поверхности:
NunoT = С (d/l)-W (/i//)-°.14Re^0T.	(28.10)
За определяющий линейный размер в числах Re и Nu здесь при-
нят шаг между ребрами. Значения коэффициента С и показателя
350
степени п приведены в табл. 28.2. Формулой (28.10) можно пользо-
ваться при Z/d — 0,21 ... 0,33. При определении числа Re скорость
следует принимать для наименьшей площади сечения.
Таблица 28.2
Форма ребер и расположение трубок в пучке	С	п
Шахматный пучок:		
круглые ребра 		0,223	0,65
квадратные ребра 		0,205	0,66
Коридорный пучок:		0,72
круглые ребра 		0,104	
квадратные ребра 		0,096	0,72
Коэффициент теплоотдачи, определяемый по формуле (28.10),
отнесен к площади полной оребренной поверхности и не учитывает
влияния эффективности ребра и неоднородности значений коэффи-
циента а по поверхности ребра. С учетом сделанных двух замеча-
ний коэффициент теплоотдачи полной оребренной поверхности будет
равен
«Р = «ЛоФ.	(28.11)
где г]0 —коэффициент эффективности полной оребренной поверхности,
определяемый по формуле (23.26); ф — коэффициент, учитывающий
неоднородность значений а по поверхности ребра (для поперечных
ребер рекомендуется ф = 0,85).
Исследование теплоотдачи шахматных, пучков из труб с прово-
лочным оребрением (см. рис. 23.4, г) проводилось С. Н. Тулиным.
На основе исследований им предложена следующая зависимость:
Nun0T = 2,8Re^	(28.12)
По приведенному уравнению определяют коэффициент теплоотдачи
для поверхности проволочного оребрения. В качестве определяющего
линейного размера принимают шаг витков /.
Шаг петель на наружной поверхности трубки l0 — nd/z (г —число
витков по окружности трубки).
Уравнением (28.12) можно пользоваться в области значений
Ren0T = 700... 7000; d/l = 1,41... 2,72; Zo/Z = 0,101... 0,278; h/l =
= 0,825 ... 2,505; Ргпот = 0,7... 1,0.
Коэффициент теплоотдачи для полной оребренной поверхности
трубки с учетом эффективности работы ребер аре6 определяют по
формуле (28.11). При этом значение эффективности ребра т|р в урав-
нении (23.26) находят по (23.45), а параметр т определяют по фор-
муле
т = 2 J/ 0,85a/(XMdo),	(28.13)
где — теплопроводность материала проволоки; d0 — диаметр про-
волоки.
351
Глава XXIX
ТЕПЛООБМЕН В СВОБОДНОМ ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ
§ 29.1.	Свободный поток в пространстве неограниченного объема
Если в жидкость достаточно большого объема ввести нагретое
тело, то внутри такого пространства возникнет естественная конвек-
ция. В этом случае жидкость приходит в движение, обусловленное
только наличием температурного поля и возникающим благодаря
этому процессом теплообмена. Такое движение жидкости называется
свободным. Причиной возникновения циркуляционных токов
является различие в плотностях неодинаково нагретой жидкости.
Если вводимое в жидкость тело имеет более высокую темпера-
туру, чем жидкость, то частицы жидкости, нагреваясь, стремятся
под действием возникающей подъем-
ной силы подняться вверх, а на
их место подходят холодные части-
цы из окружающего пространства.
Рассмотрим теплообмен в сво-
бодном потоке жидкости неограни-
Рис. 29.1	Рис. 29.2
ценного объема. Под неограниченным понимают объем, размеры
которого настолько велики, что тепловое возмущение, вносимое нахо-
дящимся в нем нагретым (или охлажденным) телом, не распростра-
няется на весь объем, в связи с чем на некотором удалении от тела
жидкость можно считать невозмущенной. Чем больше площадь
поверхности тела, тем большее пространство неограниченного объема
охвачено процессом, а чем больше разность между температурой
поверхности тела /С1 и температурой в невозмущенной части объема t0,
тем больше подъемная сила и тем интенсивнее свободное движение.
Примерами теплообмена в свободном потоке жидкости неограни-
ченного объема являются естественное охлаждение паропровода,
нагревание воздуха помещений отопительными приборами, нагрева-
ние воды в больших емкостях.
Характерная схема свободного движения воздуха вдоль нагретой
вертикальной трубы или плиты схематически показана на рис. 29.1.
352
В нижней части трубы в восходящем потоке воздуха устанавли-
вается ламинарный режим движения с постепенно увеличивающейся
толщиной ламинарной пленки. На некотором расстоянии от нижней
кромки трубы ламинарный слой начинает разрушаться и возникает
переходный режим. Далее, на высоте h и выше устанавливается
развитый турбулентный режим с ламинарным под слоем в непосред-
ственной близости к поверхности стенки. В соответствии с характе-
ром свободного движения изменяется коэффициент теплоотдачи а
вдоль трубы. В области ламинарного режима локальное значение а
по высоте трубы уменьшается в связи с утолщением ламинарного
слоя и достигает минимума там, где толщина ламинарного слоя
достигает максимума. Затем коэффициент а, постепенно возрастая,
принимает постоянное значение в области развитого турбулентного
потока.
На рис. 29.2 показана схема свободного движения воздуха около
нагретых горизонтальных труб различных диаметров. В случае
малого диаметра (d = 28 мм) восходящий поток сохраняет ламинар-
ный режим даже в области, расположенной над трубой. При боль-
шом диаметре (d = 250 мм) переход в турбулентный режим происхо-
дит в пределах поверхности. Следовательно, когда размеры тела по
высоте незначительны, то ламинарный характер восходящего потока
может сохраняться на всем протяжении поверхности тела.
§ 29.2.	Теплоотдача в свободном потоке
Теплоотдаче в свободном потоке жидкости посвящен ряд иссле-
дований, проведенных М. В. Кирпичевым, М. А. Михеевым и их
учениками. Объектами исследований были различные жидкости и
разные тела (трубы, плиты, шары).
В результате обобщения многочисленных опытных данных по
уравнению (25.24) получены критериальные зависимости для сред-
них значений коэффициента теплоотдачи для ламинарного и турбу-
лентного режимов движения жидкости.
Для области ламинарного режима 103 < (GrPr)„0T < 109 при сво-
бодном движении жидкости вдоль вертикальной поверхности (трубы,
пластины) конвективный теплообмен подчиняется следующей зависи-
мости:
NuIIOT = 0,76 (GrnoTPrnoT)»>25 (Ргпот/Ргст)°.2\	(29.1)
Переход от ламинарного к турбулентному режиму движения
происходит на некотором расстоянии ZK от начала поверхности. Для
воздуха это расстояние можно определить из выражения
1,89А/-[/3)	(29.2)
где AZ —разность между температурой поверхности и температурой
жидкости, омывающей эту поверхность.
Уравнение теплообмена в области турбулентного режима при
(GrPr)tIOf >; 109 имеет вид
Nunor = 0,15 (GrPr)^ (PrnoI/PrCT)0-25.	(29.3)
12 Зак. 49
353
В приведенных уравнениях в качестве определяющей темпера-
туры принимается температура окружающей среды, а в качестве
определяющего линейного размера — плиты или трубы 1г.
Применительно к воздуху или другому двухатомному газу при-
веденные формулы упрощаются (Рг — 0,71; Ргпот/Ргст = 1):
для ламинарного режима
Nunor = 0,7Gr»$,	(29.4)
для турбулентного режима
Nun0T = 0,132 Gr^.	(29.5)
При турбулентном течении жидкости коэффициент теплоотдачи
не зависит от геометрических размеров тела, т. е. процесс автомо-
делей. Автомодельность процесса вытекает из условия, что в число Nu
линейный размер входит в первой степени, а в число Сг в кубе.
Но при рассматриваемом режиме число Грасгофа входит в уравне-
ние (29.1) в степени 1/3. Следовательно, определяющие линейные
размеры сократятся.
Для расчета теплоотдачи горизонтальной плиты может быть
использована критериальная зависимость для вертикальной плиты.
При этом, если теплоотдающая поверхность плиты обращена вниз,
полученное значение коэффициента теплоотдачи по этому уравнению
следует уменьшить на 30%, а если вверх, то на 30% увеличить.
В качестве определяющего линейного размера принимается длина
меньшей стороны плиты.
Для горизонтальных труб уравнение теплообмена при 103<
< (GrPr)n0T < 108 имеет вид
Nun0T = 0,5 (GrPr)?,^ (PrnOT/Pr„)o.26.	(29.6)
Применительно к воздуху это уравнение записывают
NunoT = 0,46Gr°n$.	(29.7)
В качестве определяющего линейного размера для горизонталь-
ных труб принимается наружный диаметр.
§ 29.3.	Теплоотдача при свободном потоке
в ограниченном пространстве
Рассмотрим теплоотдачу при свободном потоке в ограниченном
пространстве. В малом (ограниченном) пространстве на характер
свободного потока будут оказывать влияние температурное состоя-
ние поверхностей, форма и размеры пространства.
Примерами свободного потока в ограниченном пространстве может
служить воздушная прослойка между металлическим корпусом судна
и зашивкой с изоляцией со стороны отапливаемого или охлаждае-
мого помещения, воздушная прослойка между наружными и внутрен-
ними рамами окна.
354
В зависимости от формы прослойки (плоская щель, кольцевая
щель) и ее расположения (горизонтальная или вертикальная воздуш-
ная прослойка) характер возникающих циркуляционных токов будет
различен.
В вертикальных каналах в зависимости от расстояния между стен-
ками характер циркуляции жидкости будет различен (рис. 29.3).
В широких каналах восходящие и нисходящие потоки движутся
без помех (рис. 29.3, а). В узких каналах вследствие взаимных помех
возникают циркуляционные контуры, размеры которых зависят
от ширины канала и температурных перепадов (рис. 29.3, б).
В горизонтальных каналах характер движения жидкости зависит
от положения нагретых и холодных поверхностей и расстояния
между ними. При верхнем расположении нагретой поверхности цирку-
ляция в канале будет отсутствовать (рис. 29.3, в). При нижнем рас-
положении нагретой поверхности в канале возникают чередующиеся
восходящие и нисходящие потоки (рис. 29.3, г).
В горизонтальных цилиндрических каналах характер циркуляции
жидкости зависит от соотношения диаметров и положения нагретых
поверхностей. На рис. 29.3, д показана схема движения при неболь-
12*
355
шом соотношении диаметров с внутренней горячей поверхностью,
а на рис. 29.3, е — при большом соотношении диаметров. Схема цир-
куляции потоков при нагретой наружной трубе показана на рис. 29.3, ж.
Из-за сложности процесса, протекающего в замкнутом простран-
стве, определить коэффициент теплоотдачи с учетом особенностей
циркуляции не представляется возможным. Поэтому на практике
расчет коэффициента теплоотдачи в ограниченном объеме сводится
к определению эквивалентной теплопроводности лэкв по формуле
Чкв = еЛ,	(29.8)
где ек —поправочный коэффициент, учитывающий конвекцию, кото-
рый является функцией комплекса GrPr; Аг — теплопроводность среды,
заполняющей прослойку.
Зная эквивалентную теплопроводность прослойки, условно по
формулам теплопроводности вычисляют среднюю плотность теплового
потока. Для плоского канала плотность теплового потока будет равна
Я =	(4т, - 4т,)/<5 •	-	(29.9)
Коэффициент ек для области значения аргумента GrPr> 103 опре-
деляют по формуле
ек = 0,18 (GrPr)0’25.	(29.10)
В качестве определяющей линейного размера принимают толщину
прослойки б, определяющей температуры — среднюю температуру
жидкости: tm ~ 0,5 (4т, + 4т,)•
Глава XXX
ТЕПЛООБМЕН ПРИ ИЗМЕНЕНИИ АГРЕГАТНОГО СОСТОЯНИЯ
§ 30.1.	Теплообмен при кипении жидкости
Рассмотрим процесс теплоотдачи при кипении жидкости (пере-
ход из жидкой фазы в газообразную) и при конденсации пара (обрат-
ный переход пара в жидкую фазу). Начнем с рассмотрения тепло-
отдачи при кипении жидкости.
Предварительно остановимся на некоторых особенностях процесса,
поясняющих механизм теплоотдачи при кипении жидкости.
При изучении в курсе термодинамики процесса парообразования
(и конденсации) принималось, что обе фазы в процессе изменения
агрегатного состояния жидкости находятся при одинаковой темпе-
ратуре насыщения ts, однозначно определяемой их давлением ps.
Однако, процесс парообразования связан с подводом теплоты,
а для возникновения теплового потока, как известно, необходимо
наличие температурного градиента. Поэтому на границе раздела фаз
должна существовать некоторая разность температур. Опыт подтвер-
ждает, что кипящая жидкость всегда несколько перегрета и на гра-
нице раздела фаз устанавливается небольшая разность температур
356
&t — tx — ts, тем большая, чем интенсивнее происходит процесс паро-
образования (для воды при атмосферных условиях Д/= 0,4 ... 0,8 °C)-
В кипящей жидкости устанавливается вполне определенное тем-
пературное поле, зависящее от условий теплообмена между фазами
(паром и водой) и от условий теплообмена с окружающей средой,
в том числе и с поверхностью нагрева. На рис. 30.1 показан получен-
ный опытным путем график распределения температур в толще кипя-
щей воды в зависимости от расстояния от поверхности нагрева (про-
цесс протекает при атмосферном давлении при подогреве воды снизу).
Из графика видно, что
температура жидкости /ж
не сохраняет постоянного
значения, а изменяется,
повышаясь по мере при-
ближения к поверхности
нагрева.
У самой поверхности
нагрева частицы жидкости
имеют температуру, рав-
ную температуре стенки t„,
и здесь перегрев жидкости
по сравнению с темпера-
турой насыщения ts наи-
больший:	ДЦГ = /ст — ts
может достигнуть зна-
чения в 25 °C).
Установлено, что пу-
зырьки пара образуются
°C
103
108
107
ы
106
1=105
10^
103
102
5
101
100
tern
Изменение температуры в
в толще кипящей жидкости
при атмосферном давлении
ts = ioo°c, лв=о,зсо; tCT=iO9,re;
&tCT=9,1°C. Поверхностная
плотность теплового потока.
22500 Вт/мг
вода.
о»
Поверхность
раздели фар/
ЮО^.О/Пир '
только на поверхности на-
грева, где перегрев жидко-
сти, как указано, достигает
наибольшего значения, и
0 1 2 3 3-5 6 7 8 см
Расстояние от поверхности
нагрева
Рис. 30.1
зарождаются они только
в отдельных точках обогреваемой поверхности, называемых цент-
рами парообразования. Центрами парообразования являются
пузырьки газа, адсорбированные поверхностью, неровности самой
поверхности и т. п. Чем больше действующих центров парообразо-
вания, тем интенсивнее протекает процесс парообразования.
Давление насыщенных паров над вогнутой частью поверхности
раздела фаз больше, чем над выпуклой. В условиях равновесия
разность этих давлений согласно формуле Лапласа уравновешивается
давлением, создаваемым поверхностным натяжением.
Применительно к сферическому пузырьку пара радиуса г можно
написать
Др = р - ps
2а р'
~ Р'-Р"’
(30.1)
где о —поверхностное натяжение жидкости; р —давление внутри
пузырька пара; ps — давление насыщения над плоской поверхностью;
р' —плотность жидкости; р" —плотность сухого насыщенного пара.
357
При выражении ст в Н/м, г в м, р' и р" в кг/м3 Др выразится
в Па.
Так как р > ps, то и температура насыщения tr внутри
пузырька пара выше температуры насыщения ts над плоской поверх-
ностью при давлении жидкой фазы.
Из курса термодинамики известно, что температура насыщения ts
является для данной жидкости функцией давления ts = f(p).
Следовательно,
=	=	(30.2)
Обозначив
tr — h = Atr,
получим из (30.2)
__2а dts р'
Г ~~ tst, dps р' — р" ’
(30.3)
Производную dts/dps можно определить по известной из курса
термодинамики формуле Клапейрона — Клаузиуса.
Из формулы (30.3) следует, что чем выше перегрев жидкости Д/г,
тем меньше радиус пузырька пара г. Это показывает, что зарожде-
ние пузырьков пара должно происходить на поверхности нагрева,
где Ыг достигает максиму-
ма, равного Д/Г = Д/СТ =
= 1„ — ts> а зародившиеся
пузырьки пара (центры
парообразования) имеют
минимальный радиус rmin.
По формуле (30.3) при
Д/Г=Д /ст определяется наи-
меньший возможный ра-
диус пузырька пара. При
r<rmin давление внутри пузырька больше равновесного и, следо-
вательно, пузырьки пара при r<rmin не могут существовать.
Также опытом установлено, что чем меньше радиус зарождаю-
щегося пузырька пара, т. е. чем больше перегрев жидкости, тем
больше число действующих центров парообразования и тем интен-
сивнее протекает процесс парообразования.
Размер образовавшегося на поверхности нагрева пузырька пара
радиуса rmin начинает увеличиваться, его размер в момент отрыва
его от поверхности в значительной мере зависит от смачиваю-
щей способности жидкости. Если кипян/ая жидкость смачи-
вает поверхность (например, вода, керосин), то пузырек пара имеет
тонкую ножку (рис. 30.2, а) и легко отрывается, а если поверхность
не смачивается (например, ртуть), то пузырек имеет толстую ножку
(рис. 30.2, б) и в связи с этим отрывается от поверхности с боль-
шим трудом, т. е. при достижении им большего объема. Размеры
пузырька в момент отрыва от поверхности зависят от подъемной
ЗЬ8
силы, Действующей вверх, и силы поверхностного натяжения, при-
жимающей пузырек к поверхности, а также от динамического воз-
действия циркулирующего потока жидкости.
Смачивающая способность жидкости определяется краевым
углом 0. Если 0 < 90°, то жидкость считается с м а ч и в а ю ще й
поверхность (для воды 0 = 50°); при 6 >90° считается, что жидкость
несмачивающая.
По мере роста пузырька пара у поверхности нагрева его форма
все больше отклоняется от сферической. Это вызвано тем, что
с ростом пузырька сила тяжести стремится вытянуть его в направ-
лении от поверхности нагрева. Изменение формы пузырька стано-
вится значительным, когда сила тяжести g(p' — р") соизмерима
с силами поверхностного натяжения &А/1 (Z — характерный размер
пузырька; А —площадь поверхности пузырька; У— объем пузырька).
Поскольку объем и площадь поверхности пузырька пропорциональны
соответственно кубу и квадрату размера I, то можно записать
Из этого соотношения следует, что деформация пузырька под
воздействием сил тяжести становится весьма существенной, когда
его размер достигает порядка I j/*^ (р' — р").
Отрывной эквивалентный диаметр паровых пузырьков в стати-
ческих условиях при различных значениях краевых углов опреде-
ляется по формуле
а0 = 0,02080 ^(р'-р").	(30.4)
Оторвавшийся от поверхности пузырек пара всплывает в толще
воды и, как показали специальные наблюдения, во много раз уве-
личивается в объеме за счет интенсивного испарения окружающей
жидкости в объеме пузырька. Последнее объясняется тем, что коэф-
фициент теплоотдачи от воды к пару достигает величин порядка
200000 Вт/(м2 • град). Объем пузырька пара тем больше, чем выше
перегрев жидкости и чем больше длительность всплытия пузырька.
§ 30.2.	Теплоотдача при кипении жидкости в большом объеме
Рассмотренный выше процесс развития в центрах парообразова-
ния отдельных пузырьков пара и их дальнейшего всплытия харак-
терен для режима пузырькового кипения. В этом случае
основная часть поверхности нагрева омывается жидкостью, причем
жидкость, а в особенности находящаяся у поверхности нагрева,
хорошо перемешивается благодаря отрыву и дальнейшему всплытию
пузырьков пара. Поэтому между жидкостью и поверхностью нагрева
происходит интенсивный теплообмен.
Учитывая, что площадь соприкосновения ножки пузырька пара
по сравнению с площадью поверхности теплообмена весьма мала,
а теплопроводность пара во много- раз меньше теплопроводности
359
жидкости, можно без особой погрешности принять, что при пузырь-
ковом кипении вся теплота передается от поверхности нагрева
к пристенному слою жидкости, затем конвекцией переходит к жид-
кости, заполняющей объем, и далее расходуется на испарение жид-
кости в пузырьках пара (это объясняет значительный рост пузырьков
пара во времени их всплытия).
Частота появления пузырьков в центрах парообразования и
число действующих центров парообразования, как указывалось,
зависят от температурного напора Д£ст, увеличиваясь с ростом тем-
пературного напора. В то же время
стает с увеличением поверхностной
Д/С1, как это попятно, возра-
плотности теплового потока q
(отношения теплового потока
к площади поверхности тепло-
обмена). Поэтому при пузырь-
ковом кипении с ростом Д/Сг
или с ростом поверхностной
плотности теплового потока q
интенсивность теплообмена
увеличивается.
С увеличением q (или Д/С1)
число действующих центров
парообразования непрерывно
увеличивается и, наконец,
их становится так много, что
образующиеся пузырьки пара
сливаются в один сплошной
паровой слой — пленку. Эта
пленка ввиду относительно
малой теплопроводности пара
изолирует поверхность на-
грева от жидкости, и в связи
с этим коэффициент теплоотдачи резко (в 20...30 раз) уменьшается,
а температура Д/Ст значительно возрастает. Такой режим кипения
жидкости называется пленочным. Переходу от пузырькового ки-
пения жидкости к пленочному соответствует .так называемая крити-
ческая поверхностная плотность теплового потока <?к.
На рис. 30.3 показаны график изменения коэффициента тепло-
отдачи воды и при кипении ее в пространстве большого объема от
температурного напора Д^ст и зависимость q от Д^ (пунктирная
кривая). Точка К при Д/СТ = Д£К соответствует изменению режима
кипения — наступлению пленочного режима.
Для кипящей воды при нормальном атмосферном давлении уста-
новлено: Д<К = 25°С; <7к =1,45 МВт/м2 и ак = 58 кВт/(м2  К).
Начальный участок кривой а = /(/„) до точки А протекает менее
круто, чем участок А К. На участке до точки А (для воды Д/ст ==
=5 °C и q кВт/м2) перемешивающая роль пузырьков пара неве-
лика и коэффициент теплоотдачи в основном определяется естествен-
ной конвекцией жидкости (см. § 29.3). За точкой А движение жид-
кости становится более интенсивным (большим, чем при естественной
360
конвекции в некипящей жидкости) за счет перемешивающего влия-
ния бурно образующихся пузырьков пара.
Для различных жидкостей из-за различия в значениях их физи-
ческих параметров (например, ст, р', р", v и т. п.), а также при
разных давлениях для одной и той же жидкости значения Д/к и
qK различны. С увеличением давления критическая поверхностная
плотность теплового потока qi( сначала резко возрастает, а затем, про-
ходя через максимум (для воды около 8 МПа), начинает уменьшаться.
На рис. 30.4 дан опытный график для определения отноше-
ния р!рл. По оси абсцисс отложены значения р/рк (для во-
ды рк —23МПа), а по оси ординат —значения отношения qJqAl,
где </Kl — критическая поверхностная плотность теплового потока
давления р = 0,1 МПа (для
воды <?К1 = 1,45 МВт/м2).
Знание значения крити-
ческой поверхностной плот-
ности теплового потока при
кипении жидкости имеет боль-
шое практическое значение
при расчетах теплообменни-
ков с кипящей жидкостью
(кипятильники, паровые кот-
лы). В таких теплообменни-
ках всегда должен быть обес-
печен пузырьковый режим
кипения, т. е. q<qK-
Если поверхность не сма-
чивается жидкостью, то при
росте пузырька отрывается
только его верхняя часть, а ножка остается на поверхности. В связи
с этим получается почти сплошная паровая пленка, отделяющая
жидкость от поверхности нагрева (явление, аналогичное переходу
за Д/к при пузырьковом кипении), и, естественно, в этом случае
интенсивность процесса парообразования невелика.
При развитом пузырьковом кипении в большом объеме теплоотдача
не зависит от формы и расположения теплоотдающей поверхности.
В связи с этим ускорение поля тяжести практически не влияет на
теплоотдачу. При этих условиях уравнение теплообмена для разви-
того пузырькового кипения может быть записано в следующем виде:
Nu = /(Re, Ргж).	(30.5)
В уравнении (30.5) критерии соответственно равны:
Nu = a/'A«; Re = te>K„n/7v«; Ргж = уж/аж.
В качестве линейного определяющего размера в уравнении-(30.5)
принимают величину пропорциональную линейному размеру
пузырька пара в момент его зарождения.
В число Рейнольдса входит приведенная скорость кипения (оукип),
определяемая по формуле
®кип = q/(rp"),	(30.6)
361
где q — поверхностная плотность теплового потока; г — удельная
теплота парообразования; р" — плотность пара.
При выражении q в Вт/м2, г в Дж/кг, р" в кг/м3 оукип выразится
в м/с.
Уравнение (30.5) было положено Д. А. Лабунцевым в основу
обобщения многочисленного опытного материала по кипению различ-
ных жидкостей и была получена следующая формула:
Nu = CRe"PrV\	(30.7)
Физические параметры, входящие в числа подобия, определяются
при температуре насыщения. Значения постоянных в уравнении
(30.7) составляют:
при Re <0,01	С = 0,0625;	п = 0,5;
при Re J>0,01	С = 0,125;	п = 0,65.
Приведенное уравнение применимо для области значений Re =
— 1О5...1О4; Ргж = 0,86...7,6; ш<:7 м/с.
К недостаткам приведенной выше зависимости относится необхо-
димость иметь данные о теплофизических свойствах жидкости и пара
при рабочем давлении, которые неизвестны для многих веществ.
В связи с этим на практике широко используют зависимости,
основанные на минимальном числе данных по теплофизическим
параметрам. Так, по многочисленным исследованиям коэффициента
теплоотдачи а, при пузырьковом кипении жидкости установлена
зависимость
а = Crqni = С2 Ып*.	(30.8)
Постоянные и С2 зависят от рода кипящей жидкости и от
давления, при котором протекает процесс.
Для воды в диапазоне давлений от 0,1 до 4,0 МПа в области
интенсивного пузырькового кипения уравнение (30.8) имеет следую-
щий вид:
а = 4,4</°’7р0’18 = 106 Д/2>33р°Л	(30.9)
При кипении фреона-12 в диапазоне температур от —40 до 10 °C
рекомендуется приближенная формула
а = 5,4р0в,	(30.10)
а для фреона-11 может быть использована зависимость
а = 4р°’6.	(30.11)
При выражении q в Вт/м2, р в МПа, А/ в °C а выражается в фор-
мулах (30.9), (30.10) и (30.11) в Вт/(ма-К)
Значения коэффициента теплоотдачи при кипении фреона-22 на
20% больше, чем для фреона-12.
При небольших температурных напорах А/ст значения коэффи-
циента теплоотдачи к кипящей жидкости невелики и определяются
362
условиями свободной конвекции (участок кривой до точки А на
рис. 30.3)., В этой области тепловых нагрузок коэффициент теплоот-
дачи может быть рассчитан по формулам для свободной конвекции.
В области неразвитого кипения для холодильных агентов может
быть использована следующая формула:
а = С<70’25.	(30.12)
Значение постоянной С в уравнении (30.12) принимается: для
аммиака-101,, фреона-12 — 38, фреона-11 — 33.
Уравнение (30.12) применимо при температурах кипения от —40
до 0 °C.
Отметим, что приведенные выше данные и формулы для подсчета
коэффициентов теплоотдачи относятся к случаю, когда подогрев
жидкости происходит снизу. Если поверхность нагрева обращена
вниз, то отделение пузырьков пара от поверхности резко ухудшается
и коэффициент теплоотдачи а уменьшается.
§ 30.3.	Теплоотдача при кипении жидкости внутри труб
При кипении движущейся жидкости внутри труб образование
паровой фазы происходит как на твердой поверхности теплообмена
(поверхностное кипение), так и внутри самого объема насыщенной
жидкости (объемное кипение).
При кипении движущейся жидкости в трубе _
образовавшийся пар движется вместе с жидкостью, —
образуя парожидкостную смесь с непрерывно воз-
растающим паросодержанием. Интенсивность тепло-
обмена при кипении в трубах зависит не только
от поверхностной плотности теплового потока,
физических свойств жидкости и давления, но и от
гидродинамической структуры потока. Структура _
двухфазного потока в вертикальных и горизон-
тальных трубах различна.
В вертикальных трубах при движе-
нии потока снизу вверх различают три зоны.
Первая зона (/) — зона подогрева поступающей
жидкости (экономайзерный участок) за счет кон- j
векции до температуры насыщения (рис. 30.5). у-
Вторая зона (//) — зона кипения (испарительный
участок). В этой зоне происходит как поверхност-
ное, так и объемное кипение жидкости. В нижней
части зоны происходит поверхностное кипение /,
которое в дальнейшем переходит в объемное, где наблюдаются
эмульсионный 2, пробковый 3 и стержневой 4 режимы течения.
В эмульсионном режиме мелкие пузырьки пара равномерно распре-
делены по сечению потока. С увеличением паросодержания мелкие
пузырьки сливаются, образуя пузыри-пробки, которые соизмеримы
по размеру , с диаметром трубы. В пробковом режиме крупные
пузыри пара разделены прослойками парожидкостной эмульсии.
363
В дальнейшем крупные пузыри пара сливаются, образуя стержневую
структуру потока. В стержневом режиме по центру трубки движется
пар, а на стенке ее расположен тонкий кольцевой слой жидкости.
По мере испарения жидкости толщина кольцевого слоя у стенки
уменьшается.
Третья зона (///) —зона подсушки пара. Эта зона начинается
после полного испарения жидкости на поверхности трубы и наблю-
дается только в длинных трубах.
С увеличением скорости циркуляции происходит увеличение
длины так называемого экономайзерного участка (т. е. участка, где
отсутствует кипение жидкости) и уменьшение зоны развитого кипе-
ния. С увеличением же поверхностной плотности теплового потока,
наоборот, уменьшается экономайзерный 
Рис. 30.6
участок и увеличивается зона разви-
того кипения.
При естественной циркуляции в вер-
тикальных трубах опытами В. И. Толу-
бинского установлено, что зона подо-
грева отсутствует. Условия теплообмена
здесь аналогичны условиям кипения
жидкости в пространстве большого
объема.
В горизонтальных трубах
и трубах с небольшим наклоном в за-
висимости от паросодержания в потоке
структура его может быть: расслоен-
ной (а), волнообразной (б) и эмульсион-
ной (а). Расслоенную структуру имеет
поток при небольшом паросодержании.
В этом случае в нижней части трубы
движется жидкая фаза, а в верхней — паровая фаза (рис. 30.6).
При увеличении паросодержания потока граница раздела фаз при-
обретает волновой характер и жидкость периодически достигает
верхней части трубы. В дальнейшем по мере увеличения паросо-
держания потока и его скорости на поверхности трубы образуется
движущаяся жидкая пленка, а внутри трубы — перемещающаяся
парожидкостная эмульсия. При эмульсионной структуре полной
осевой симметрии в потоке нет.
При расслоенной структуре потока интенсивность теплообмена
в верхней части трубы, где находится паровая фаза, невелика.
Наиболее благоприятные условия теплообмена создаются при эмуль-
сионной структуре потока.
В связи со сложностью процесса теплообмена при кипении жид-
кости в трубах имеющиеся опытные данные еще недостаточны и не
могут быть обобщены. Расчет коэффициента теплоотдачи при
кипении жидкости в вертикальных и горизонтальных трубах
следует производить по формулам, полученным на основании
опытных данных для конкретных жидкостей и соответствующих
условий.
364
При вынужденном движении кипящей воды в трубах коэффициент
теплоотдачи может быть подсчитан по следующим формулам, пред-
ложенным Д. А. Лабунцовым:
а)	при ак/аю=^0,5
a — aw-,	(30.13)
б)	при aK/aw^2,0
а = ак;	(30.14)
в)	при 0,5 sg ак/аю sg 2,0
a/aw = (4aw + ак)/(5а!а — ак),	(30.15)
где а — коэффициент теплоотдачи при вынужденном движении кипя-
щей воды в трубах; ак — коэффициент теплоотдачи при развитом
пузырьковом кипении в большом объеме и определяемый по формуле
(30.7); аи, — коэффициент теплоотдачи при турбулентном режиме
движения воды в трубах и определяемый по формуле (27.5).
Формулы (30.13)... (30.15) применимы для воды при давлениях
от 0,1 до 8,6 МПа, скоростях от 0,2 до 6,7 м/с и объемном паросо-
держании до 70%.
Для определения коэффициентов теплоотдачи при кипении неко-
торых наиболее распространенных фреонов могут быть использованы
следующие формулы. В области развитого кипения холодильных
агентов в горизонтальных трубах — эмпирическое уравнение С. Н. Бог-
данова
a =	(30.16)
где а — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2-К); q — поверхностная
плотность теплового потока, Вт/м2; т — расход фреона, кг/ч. Значе-
ния коэффициента А для фреона-22,-12 и -142 при температуре
кипения 10 и —10 °C приведены в табл. 30.1.
Таблица 30.1
Холодильный агент	10» Л при ts, °C	
	10	—10
Фреон-22................
Фреон-12................
Фреон-142...............
5,00
3,83
3,30
Для этих же фреонов в области неразвитого кипения при неболь-
ших расходах (ш = 0,05 — 0,1 м/с) могут быть рекомендованы зави-
симости:	'
а) для фреона-12		
		(30.17)
б) для фреона-22		
	а= 19О<7оа;	(30.18)
в) для фреона-142		
	а-110<2.	(30.19)
365
Расчет коэффициентов теплоотдачи при кипении фреонов в трубах
по приведенным формулам следует считать приближенным в связи
с тем, что этот процесс еще недостаточно изучен и имеются большие
расхождения между опытными данными, полученными различными
исследователями.
§ 30.4. Теплоотдача при конденсации пара
Различают два вида конденсации пара: капельную, когда
конденсат осаждается на охлаждающей поверхности в виде капелек,
и пленочную —в виде сплошной пленки. Капельная конденсация
происходит в том случае, когда охлаждающая поверхность не сма-
чивается жидкостью, например когда на охлаждающей поверхности
имеется тонкий слой масла (или любая жидкость с малым поверх-
ностным натяжением).
При капельной конденсации коэффициент теплоотдачи в 15...20
раз больше, чем при пленочной. По опытным данным, коэффициент
теплоотдачи при капельной конденсации колеблется в пределах от
60 до 150 кВт/(м2-К)-
Столь большое значение коэффициента теплоотдачи объясняется
тем, что в промежутках между каплями конденсата поверхность
охлаждения находится почти в непосредственном соприкосновении
с конденсирующимся паром. При пленочной конденсации между
поверхностью охлаждения и паром имеется пленка конденсата,
создающая ощутимое термическое сопротивление.
Опытным путем установлено, что в теплообменных аппаратах,
работающих на водяном паре, преобладает пленочная конденсация.
Рассмотрим случай пленочной конденсации пара на
вертикальной стенке или трубе. Конденсат, образовавшийся
при конденсации пара, образует пленку, стекающую вниз по верти-
кальной стенке. Толщина пленки по мере накопления конденсата
постепенно увеличивается. Там, где толщина пленки сравнительно
мала, т. е. когда масса образовавшегося конденсата невелика,
движение пленки ламинарное. При увеличении массы конденсата
движение пленки переходит в турбулентное. Опытом установлено,
что при конденсации чистого пара температура на границе фаз равна
температуре насыщения ts, а в слое конденсата, прилегающем
к стенке, — температуре /ст.
Задачу о теплоотдаче при конденсации пара рассмотрим только
для случая ламинарного течения пленки. Составим систему уравнений,
описывающих теплообмен при конденсации пара в случае ламинарного
движения пленки конденсата. Понятно, что при ламинарном движении
передача теплоты через пленку может осуществляться только тепло-
проводностью.
Расчетная схема дана на рис. 30.7. Ось х направлена вертикально
вниз, а ось у — перпендикулярно стенке. Линия а-b — граница раздела
фаз. Переменную толщину пленки конденсата обозначим 6.
Применим к стационарному течению пленки уравнение Навье —
Стокса (24.14). В данном случае w^ = wz = 0. Кроме того, поскольку
366
рассматривается плоский ламинарный поток, d2wx/dx2 = d2wx/dz2 = О
(скорость а>х изменяется только в направлении оси у, при z/ = 0,
т. е. у стенки, ®.t = 0; при у = 8 скорость wx достигает макси-
мума).
Проекция на ось х объемной силы тяжести p'g, где р' — плотность
жидкой фазы. Градиент давления в неподвижном паре по направлению
оси х grad р — dpldx = p"g, где р" —плотность пара. Таким образом,
уравнение движения (24.14) примет вид
р (dwxldx) wx = p'g - p"g + p (d2wx/dy2). (a)
Если пренебречь объемной силой инер-
ции р (dwx/dx) wx, что возможно при ла-
минарном движении, и принять р' >р",
получим
d2wx/dy2 = — p'g/p — — g/v. (30.20)
Применив уравнение (24.5) к пленке
конденсата, получим
a (d2t/dy2) = wx (dt/dx).	(30.21)
К уравнениям (30.20) и (30.21) для
полного описания рассматриваемого явле-
ния надо добавить уравнение теплоотдачи
на границе конденсат — стенка (24.3) и
уравнение теплового баланса, учитываю-
щее переход вещества из паровой фазы
в жидкую. Уравнение (24.3) для данного
случая
— A (dtldy)y^ = a	(30.22)
Температурный градиент dt/dy (аналогично плоской стенке) при
линейном распределении температур постоянен и равен (/„ — ts)/8.
Следовательно,
аЛ = А/6Л.	(б)
Чтобы составить уравнение теплового баланса, рассмотрим сечение
пленки, расположенное на расстоянии х = hx от начала вертикальной
стенки. Ширина стенки г. Массовый расход конденсата, протекаю-
щего через сечение 8xz, равен тхх = p8xzwx.
Тепловой поток, который необходим для отвода от пара, чтобы
получить указанный расход конденсата, равен Ф = rp8xzwx. Этот
тепловой поток должен равняться Ф = ahxz (ts — /ст). Следовательно,
уравнение теплового баланса можно записать (после сокращения
на г) в следующем виде:
грб xwx = ahx (ts - /ст) = Мгх (ts - /ст)/б Л, (30.23)
где г —удельная теплта парообразования, и)./—усредненная по
координате у скорость движения конденсата в сечении х; R и б —
367
усредненные по координате х, т. е. по высоте стенки, коэффициент
теплоотдачи и соответственно толщина пленки.
Четыре уравнения (30.20)... (30.23) описывают теплообмен при
конденсации пара на вертикальной стенке (при оговоренных выше
упрощениях задачи). Обычным образом найдем из этих уравнений
числа подобия.
Из уравнения движения находим число gl2/(wv), равное в свою
очередь
gl2/(wv) = gl3v/(v2wl) = ||,	(в)
где Ga = gl3/v2 — число Галилея (Ga = Fr Re2).
Из уравнения (30.21) находим уже известное число Пекле:
Ре = wl/a = Рг Re.	(г)
Из уравнения (30.22) находим число Nu = a//X.
Наконец, из уравнения (30.23) теплового баланса находим число
rpwl
ХМ
= PeK = PrReK,
а Ср kt
(д)
где К =—п —новое число, предложенное С. С. Кутателадзе,
Ср ы
характеризующее особенности теплообмена при фазовых превраще-
ниях. Число фазового превращения является мерой отношения
удельной теплоты г, идущей на изменение агрегатного состояния
вещества к удельной теплоте перегрева или переохлаждения данной
фазы относительно температуры насыщения (срЫ).
В условие однозначности скорость wx движения пленки конден-
сата не входит, поэтому числа Re и Ре не являются определяющими.
Умножая число Ga/Re на последнее из полученных чисел, полу-
чим новое число
PePrKGa/Re = GaPrK = Ко.
(е)
Число Ко является единственным определяющим критерием, так
как составлено только из величин, входящих в условия однознач-
ности. Следовательно,
Nu=f(K0).	(30.24)
Обработка экспериментального материала по конденсации различ-
ных жидкостей позволила раскрыть вид функции (30.24).
Наиболее распространенной формулой для расчета теплоотдачи
при конденсации является формула
Nu = СКГ5 = С / GamPrmK..	(30.25)
Раскрывая формулу (30.25), получим
K=cizW'	(зо-2б)
368
Физические параметры 1 и р определяют при температуре tm =
= 0,5 (4 + 4т)> удельную теплоту парообразования г принимают по
температуре ts. Разность Д/ = /? —
Формула (30.25), хотя и получена в предположении, что кон-
денсация пара происходит на вертикальной стенке или трубе, ока-
зывается пригодной и в случае конденсации на горизонтальной трубе.
Для вертикальной трубы (или стенки) коэффициент С = 1,13 и
определяющим линейным размером является высота трубы. Для
горизонтальной трубы С = 0,72 и за определяющий линейный размер
принимают внешний диаметр трубы d.
Формула (30.26) впервые была аналитически выведена Нуссельтом
без применения теории подобия. По Нуссельту, для вертикальной
трубы С = 0,94. Расчет по формуле Нуссельта давал для а несколько
заниженное значение. Как показал акад. П. Л. Капица, движение
пленки имеет волновой характер (в связи с действием сил поверх-
ностного натяжения). Теплопроводность такой пленки на 21% больше,
чем ламинарной. Поэтому коэффициент следует принимать С =
= 0,94-1,21 = 1,13.
При турбулентном течении пленки конденсата действительный
коэффициент теплоотдачи больше, . чем определяемый по формуле
(30.26). В этом случае расчет по формуле (30.26) позволяет опреде-
лить только минимальнее значение а.
§ 30.5. Влияние различных факторов на теплоотдачу
при конденсации пара
Влияние скорости пара. Подсчитанный по (30.26) коэффициент
теплоотдачи при конденсации относится к случаю неподвижного или
медленно движущегося пара (!»„< 10 м/с). При движении пара между
ним и пленкой конденсата возникают силы трения. Если пар дви-
жется вниз, т. е. в ту же сторону, что и стекающая пленка конден-
сата, то скорость течения пленки увеличивается, а толщина ее
уменьшается; в связи с этим коэффициент теплоотдачи увеличивается.
При обратном направлении движения пара (вверх) пленка будет
затормаживаться потоком пара, что приводит к уменьшению коэф-
фициента теплоотдачи.
Если сила трения пара о пленку превысит силу тяжести, то
пленка конденсата потечет вверх и коэффициент а будет тем больше,
чем выше скорость пара.
Коэффициент теплоотдачи а при ламинарном течении пленки
конденсата с учетом скорости движения пара может быть определен
по формуле
Ct
(30.27)
где а0 — коэффициент теплоотдачи при ю = 0, определяемый по фор-
муле (30.26); ew - поправочный коэффициент:
.. f / ;
w 1 \ W /
(30.28)
369
Значение ew принимают из графика, приведенного на
рис. 30.8.
Влияние перегрева пара. Процесс конденсации перегретого пара
при температуре стенки ниже температуры насыщения протекает
так же, как и у насыщенного пара, поскольку на границе раздела
фай всегда устанавливается температура ts. При конденсации пере-
гретого пара учитывают удельную теплоту перегрева
Д^'п.п = Срт (^п.п ts) ~ 61.п	I
где Ainn — удельная теплота подогрева; срт — средняя удельная изо-
барная теплоемкость пара; /пп — температура перегретого пара; ts —
температура насыщения; inn —удельная энтальпия перегретого
пара; i — удельная энталь-
пия сухого насыщенного
пара.
Поэтому в формулу
(30.26) вместо удельной
теплоты парообразования
г следует подставлять ве-
личину r-|-Atnu. В то же
время разность темпера-
тур А/ по-прежнему при-
нимают равной ts — tZT.
Влияние числа рядов
при горизонтальном рас-
положении труб. В отли-
чие от пучка вертикаль-
ных труб в пучке горизон-
тальных труб будет проис-
ходить стекание конденсата
с верхних труб на ниж-
Рис. 30.8
ние, что вызывает утолщение пленки конденсата на трубах после-
дующих рядов. Понятно, что по этой причине коэффициент тепло-
отдачи у этих рядов меньше, чем у первого (верхнего) ряда. Кроме
того, следует учесть, что если капля конденсата точно попадает на
верхнюю образующую ниже расположенной трубы, то симметрич-
ность пленки конденсата .на этой трубе не будет нарушена. Если
f же капля попадает на боковые образующие, то сечение пленки уже будет
несимметричным и капля под сжимающим действием сил поверхност-
ного натяжения в пленке потечет не только вниз, но частично будет
растекаться кверху. Поэтому в формулу (30.26) при применении ее
к горизонтальному пучку труб при ламинарном течении пленки
вводится поправочный коэффициент е,, зависящий от числа рядов
труб z и расположения их в пучке [коридорное или шахматное
(ромбическое)]:
й = 0,72ег
\/W-gr
У у. Ml ’
(30.29)
370
где а — среднее значение коэффициента теплоотдачи для всего пучка,
состоящего из г рядов горизонтальных труб. На рис. 30.9 дан график
для определения ег (по опытам С. С. Кутателадзе и Ф. П. Минченко).
Влияние содержания в паре
воздуха. Присутствие в паре
воздуха или иного инертного
газа ухудшает теплоотдачу.
В этом случае между пленкой
конденсата и ядром потока па-
ровоздушной смеси образуется
промежуточный слой, называе-
мый диффузионным. В этом
слое парциальное давление пара
меньше, а парциальное давле-
ние воздуха больше, чем в ядре
потока (поскольку конденси-
руется только пар). Через этот
слой будет происходить диффу-
зия пара из ядра потока.	Рис. 30.9
В итоге указанный слой будет
являться дополнительным сопротивлением, резко снижающим коэффи-
циент теплоотдачи; при массовой доле воздуха в водяном паре поряд-
ка 1% коэффициент теплоотдачи при конденсации снижается на 50%
Глава XXXI
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛОТЫ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬЮ
ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
§ 31.1. Общие положения
При нестационарном режиме температурное поле зависит
от времени т. Дифференциальное уравнение теплопроводности в этом
случае записывается так:
£ =	(а)
Как видно из уравнения (а), характер изменения температур
в теле зависит от физических свойств тела, характеризуемых темпе-
ратуропроводностью а, которая определяет скорость протекания
теплового процесса при нестационарном режиме. На характер изме-
нения температур в теле влияют также условия взаимодействия его
с окружающей средой.
В зависимости от взаимодействия с окружающей средой неста-
ционарные режимы теплопроводности бывают периодическими и
переходными. Периодические режимы —это режимы, при которых
происходит периодическое распространение теплоты в теле с после-
довательным его нагреванием и охлаждением. Возникающие в этом
случае тепловые воздействия многократно повторяются с одним и
371
тем же периодом. Длительность теплового воздействия на тело может
быть различной. Так, например, в дизелях период процесса сгора-
ния топлива составляет 25... 50 мс. Изменение температуры наруж-
ного воздуха вызывает периодические тепловые воздействия на судо-
вые помещения с суточным периодом. Переходные режимы —это
режимы перехода от одного стационарного режима к другому,
сопровождающиеся охлаждением или нагреванием тела. Такие режимы
имеют место при термической обработке металлов, при пуске и
остановке двигателей и т. д.
Хотя нестационарные переходные режимы теплообмена в технике
распространены достаточно широко, однако применительно к тепло-
вым двигателям в большинстве слу-
чаев они не являются расчетными.
Полученные зависимости для не-
стационарных режимов используют
для анализа причин аварий дви-
гателей, для выяснения их режи-
мов пуска и остановки и т. д.
Нестационарные процессы теп-
лообмена всегда связаны с охлаж-
дением или нагреванием тела.
На рис. 31.1 приведена зави-
симость изменения температуры на
поверхности /п и в центре тела /ц
при его нагревании средой с по-
стоянной температурой te.
Как видно из приведенного гра-
фика, в процессе нагревания тела
температуры на поверхности и в
центре тела различны. По мере
прогрева эта разность температур
сначала возрастает, а затем умень-
шается и по истечении значительного промежутка времени темпера-
туры всех частей тела выравниваются и становятся равными темпе-
ратуре окружающей среды tz.
Поток теплоты, полученный телом в процессе нагревания, также
изменяется во времени (рис. 31.1, б). По мере прогрева тела тепло-
вой поток постепенно уменьшается до пуля. Площадь под кривой
Ф = /(т) выражает собой количество переданной телу теплоты Q за
время т.
Для решения задач нестационарной теплопроводности могут быть
использованы различные методы. Наиболее общим, но весьма слож-
ным даже для тел простой формы, является аналитический метод,
при котором дифференциальное уравнение теплопроводности решается
совместно с граничными и временными условиями. Обычно резуль-
таты решения представляются в виде графиков, удобных для исполь-
зования.
Переходные процессы нагревания или охлаждения тел условно
могут быть разделены на два периода.
372
В первый период происходит распространение температурных
возмущений по всему телу и захват все новых и новых слоев тела.
На рис. 31.1, а этот период характеризуется отрезком времени тх.
Скорость изменения температур в различных точках тела в этот период
различна. Время этого периода в основном зависит от начальных
условий взаимодействия тела с окружающей средой. Постепенно
влияние начальных условий взаимодействия тела с окружающей сре-
дой уменьшается и наступает второй период — период упорядоченного
процесса распространения теплоты, когда относительная скорость
изменения температуры во всех точках тела становится постоянной.
На графике этот период характеризуется отрезком времени т2.
При решении ряда практических задач по нагреванию и охлаж-
дению тел первым периодом неупорядоченного процесса распростра-
нения теплоты можно пренебречь. В этом случае задача нестацио-
нарной теплопроводности существенно упрощается, поскольку в рас-
четах будет фигурировать только второй период, в котором температура
изменяется во времени по экспоненциальному закону. Период упо-
рядоченного процесса передачи теплоты был назван Г. М. Кондратье-
вым регулярным режимом и им же был разработан метод расчета
этого режима.
Наряду с аналитическим методом и методом регулярного режима
для решения задач нестационарной теплопроводности могут быть
использованы также метод конечных разностей, метод элементарных
балансов и другие методы.
§ 31.2. Результаты аналитического решения
для переходного режима
Аналитическое решение процессов нестационарной теплопровод-
ности весьма сложно, так как дает общее решение задачи. Практи-
чески аналитически удается решить задачу только для твердого
тела простейшей формы.
В качестве примера аналитического метода расчета теплообмена
при нестационарном переходном режиме рассмотрим плоскую одно-
слойную пластину, выполненную из однородного материала тепло-
проводностью X. Примем, что длина и ширина пластины весьма
велики по сравнению с ее толщиной, вследствие чего теплообменом
с торцов можно пренебречь. Будем считать, что температура среды,
омывающей пластину, постоянна, а взаимодействие тела со средой
описывается уравнением
а(К — Q = — (dt/dx).	(31.1)
При этом отвод теплоты с обеих поверхностей пластины проис-
ходит при одинаковом коэффициенте теплоотдачи. При этих условиях
теплообмена температурное поле вдоль оси х будет симметричным
относительно середины. Поэтому для удобства обозначим толщину
пластины б через 21.
При расчете нестационарного переходного процесса обычно тре-
буется найти температуру в центре и на поверхности tu пластины,
373
а также количество полученной (при нагревании) или отданной (при
охлаждении) теплоты Q. Отсчет температур пластины в любой момент
времени т для произвольной точки обычно ведут' от температуры
окружающей среды и Эту разность называют избыточной темпера-
турой.
Для одномерной задачи и при использовании избыточных темпе-
ратур дифференциальное уравнение теплопроводности запишется так:
дЪ;дх — ад^/дх.	(31.2)
В начальный момент времени при равномерном распределении
температур в пластине т = 0
ft = ft' = tz — t'.	(а)
В соответствии с уравнением (31.1) граничные условия для обеих
поверхностей пластины при х = ±/ запишутся:
' на оси пластины при х = 0
д^/дх = 0;	(б)
на поверхности пластины при х = 1
’/.(d^fdx) = аФ. ’	(в)
Дифференциальное уравнение теплопроводности (31.2) решают
методом разделения переменных, принимая зависимость t (х, т) в виде
произведения двух независимых функций:
Ф(х, т) = Ф(х)Ф(т).	(31.3)
Подставляя эту зависимость в основное уравнение теплопроводности
(31.2), будем иметь
д (х) Ф (т)] [д (х) (т)]	,
dr ~"а дх*
Дифференцируя уравнение (31.4) и группируя члены по пере-
менным, получаем (далее в тексте температура обозначена v)
1 9 [у (т)] _	1	& [у (х)]
а у(т) дт у (х) дх1 2 ‘	‘ '
Правая и левая части полученного уравнения (31.5) должны
быть равны одной и той же постоянной величине, не зависящей
ни от х, ни от т.
Принимая, что происходит охлаждение пластины, обозначим по-
стоянную через е2 (е > 0) и приравняем к ней правую и левую части
уравнения (31.5).-
(31.6)
(31.7)
1 d[vfr)l-T
ау(т)	дг
1 д2 [ у (х)]__________
у (х) дх2
374
Решая уравнение (31.5) относительно т, получим
v (т) = Cje- ае2х,	(31.8)
а относительно х
v (х) =c2 sin (ex) 4-с3 cos (ех). '	(31.9)
Подставляя полученные значения v(t) и v(x) в уравнение (31.3),
получаем
v (т, х) = с1е~ве!т[с2 sin (ex) 4-с3 cos (ех)].	(31.10)
Используя начальные и граничные условия, определяют постоян-
ные интегрирования Cj, с2 и с3. После их подстановки в уравнение
(31.10) получают следующую зависимость для избыточных температур
при охлаждении пластины:
п = со	А
Ни г ьш Цп СОЗ ]ЛП \ I /
п — 1
В уравнении (31.11) значение р, находят из равенства
ptgp = a//XCT.	(31.12)
В полученном уравнении (31.11) комплекс ат//3 представляет
собой число Фурье (Fo), а а/Дст —число Био (Bi). Физический смысл
числа Fo был рассмотрен ранее в § 25.3. Число Био является же
мерой соотношения между внутренним и внешним термическими со-
противлениями. Он выводится из уравнения (31.1).
По внешнему виду число Bi совпадает с числом Nu, однако,
между ними имеется принципиальное различие. В число Нуссельта
входит X —теплопроводность среды, омывающей стенку, а в число
Био — теплопроводность самой стенки.
Полученное уравнение для температурного поля весьма сложно
и требует выполнения весьма трудоемких расчетов. Поэтому на прак-
тике обычно пользуются графиками, построенными на основании
вышеприведенных формул. Для упрощения расчетов по графикам
избыточную температуру представляют в виде зависимости
v/v' = /(Bi, Fo, х//).	(31.13)
В технических расчетах в большинстве случаев достаточно знать
избыточную температуру на поверхности vn и в средней плоскости
пластины vn. В этом случае зависимость (31.13) упрощается:
vn/v' = /(Bi, Fo);	(31.14)
vu/v'=f(Bi, Fo).	(31.15)
Поток отданной (полученной) теплоты пластиной также можно
найти, зная число Fo и Bi. На графиках обычно приводится отно-
375
сительный поток теплоты, отданный пластиной Ф/Ф', где Ф' пред-
ставляет собой поток теплоты, отданной пластиной при т->оо,
Ф'= 2/ср (/с —/').	(31.16)
На рис. 31.2 приведены графики для расчета температур t„, /ц
теплового потока Ф для плоской неограниченной пластины. Приве-
денными графиками пользуются следующим образом. По известным
значениям времени т, коэффициента теплоотдачи а, теплопроводно-
сти X, температуропроводности а и линейным размерам тела опреде-
ляют числа Fo, Bi. Далее с помощью графиков определяют относи-
тельные температуры vn/v', vu/v', относительный поток Ф/Ф', а затем
и абсолютные их значения.
Аналогичные решения и графики имеются для неограниченной
длины цилиндра и шара.
376
§ 31.3. Метод регулярного режима
Как уже указывалось, в период регулярного режима изменение
температуры во времени одинаково для всех точек тела. В этот
период процесс распространения теплоты зависит только от физиче-
ских свойств тела, его размеров и условий теплообмена на границе
тела. Найдем зависимости, характеризующие регулярный режим.
Пусть имеем твердое однородное тело объемом V с площадью
поверхности теплообмена А. Примем, что температура окружающей
среды и коэффициент теплоотдачи а постоянны. Обозначим сред-
нюю избыточную температуру по поверхности тела через а сред-
необъемную избыточную температуру — через vy и запишем /равне-
ние теплового баланса за время dt для случая охлаждения тела:
— Vpcdvv~ — aAvAdx;	(31.17)
— Cydvy = aAvAdx.	(31.17а)
Разделив правую и левую части уравнения (31.17а) на Cvvy
(31.18), получим
dv,, —aXv.dx
—К = -	,4.= Mdx.	(31.18)
vv Lvvv
Величина М в уравнении (31.18) называется темпом охла-
ждения (нагревания) тела:
М =-~— tyAa/Cy,	(31.19)
VJ/ с у
где Су —теплоемкость тела (Су = срУ); с —удельная теплоемкость;
р — плотность; ф — коэффициент неравномерности.
При выражении а в Вт/(м2-К), А в м2, с в Дж/(кг-К), р в кг/м3;
Су в Дж/К М выразится в с л.
Коэффициент неравномерности температурного поля, представляю-
щий собой отношение средней избыточной температуры по поверх-
ности к среднеобъемной избыточной температуре (i|? = vp/vy), зависит
от числа Био.
При равномерном температурном поле ф=1,0, при неравномер-
ном поле ф<1,0. При Bi <0,1 температурное поле с достаточной
степенью точности можно считать равномерным.
Таким образом, величина /И, характеризующая темп охлаждения
тела, как видно из уравнения (31.19), зависит только от физических
свойств тела, его размеров и условий теплообмена на поверхности.
Интёгрируя уравнение (31.18), получаем
lnvK = — Мх + С.	(31.20)
Поскольку в период регулярного режима температура всех точек
тела изменяется по одинаковому закону, то уравнение (31.20) мо-
жет быть переписано следующим образом:
In v — — Мх + С.	(31.21)
377
Как видно из полученного уравнения, логарифм избыточной
температуры для всех точек тела во времени изменяется по линей-
ному закону.
На рис. 31.3 приведено изменение избыточной температуры во
времени при охлаждении для двух точек тела: 1 и 2. Регулярный
режим на графике наступает с момента изменения температуры во
времени по линейному закону, т. е. с момента времени tv До этого
времени режим неустановившийся, характеризуемый большим влия-
нием начального распределения
температуры в теле.
При регулярном режиме для
любых точек тела (на графике
точки 1 и 2) линейные зависи-
мости In v = f (т) параллельны
друг другу, т. е. они имеют
одинаковый угловой коэффи-
циент.
Напишем уравнение (31.21)
для двух произвольных момен-
тов времени и т2:
In vx = —	+	(а)
In v2 = — Л4та4-С. (б)
Вычитая уравнение (б) из уравнения (а), получаем
д!  In vi — In v2
Т2 — Ti
(31.22)
Из формулы (31.22) следует, что величина М, характеризующая
темп охлаждения (нагревания), является тангенсом угла наклона
прямой к оси абсцисс. Значение М может быть определено из опыта.
Используя полученные для регулярного режима зависимости,
можно решить ряд технических задач, например определить время
охлаждения или нагревания тела, по значению относительной ско-
рости изменения температуры в теле можно найти некоторые его
физические характеристики.
§ 31.4. Результаты аналитического решения для периодического режима
Наряду с переходными процессами во многих судовцх объектах
наблюдаются периодические нестационарные процессы теплообмена.
В этих процессах возникающие тепловые воздействия многократно
повторяются с одним и тем же периодом. Периодические тепловые
воздействия на объекты могут иметь различный характер. Так, в са-
мом простейшем случае периодичность воздействия осуществляется
в виде правильных гармоник по закону синуса или косинуса. Более
сложные случаи теплового воздействия на объект могут быть пред-
ставлены как сумма отдельных гармонических колебаний. В связи
с этим изучение периодических тепловых воздействий в виде про-
378
стих правильных гармонических колебаний представляет практиче-
ский интерес для судовых объектов.
При расчетах для удобства кривую гармонических колебаний
обычно выражают в виде косинусоиды. В этом случае гармониче-
ские колебания температуры могут быть представлены формулой
t (Г) = /0± At cos -у-т,	(31.23)
v (Т) = t (Т) -10 = At cos ~ х = At cos (сот), (31.23a)
где t0 — средняя температура за весь период ее колебания; At — ампли-
туда температурных колебаний; г — продолжительность периода ко-
тт
Рис. 31.4
лебаний температуры; т — время, отсчитываемое от начального момента;
2л/z = w — угловая частота колебаний.
При выражении 1и в °C, г в с, т в с, 2л/г и и в рад/с At выра-
зится в °C.
Приведенное уравнение показывает отклонение температуры с те-
чением времени от среднего ее значения t0.
Аналогичной формулой можно выразить и гармонические колеба-
ния тепловых потоков.
Рис. 31.4 иллюстрирует изменение температур окружающей среды
и поверхности тела при их правильных гармонических колебаниях.
Здесь температура наружного воздуха ta изменяется около среднего
ее значения toa с периодом га. Амплитуда колебаний температуры
равна максимальному отклонению температуры от среднего значения
^Hi==^maju — А>н- Температура на поверхности тела ta также изме-
няется около среднего значения /оп, и ее амплитуда равна Ata —
^шах п ^оп* При этом начальная фаза колебаний температуры
на поверхности по отношению к температуре наружного воздуха
в общем случае смещены на величину г' (угол фо).
379
Рассмотрим однородную плоскую толстую стенку. Наружная поверх-
ность стенки подвергается тепловому воздействию так, что темпе-
ратура на ее поверхности совершает гармонические колебания с пе-
риодом z и амплитудой А. Надо найти значения температуры по
толщине стенки в любом ее сечении х и в любой момент времени т.
Общее решение дифференциального уравнения теплопроводности
(31.2) независимо от того, является ли нестационарный процесс
переходным или периодическим, будет одинаковым. Однако постоян-
ная в уравнении (31.5) е2 во втором случае должна быть такой,
чтобы полученные зависимости были периодическими функциями
времени. Это будет обеспечено, если постоянная будет мнимой вели-
чиной.
Примем за такую величину е2 = ico/а и приравняем к ней правую
и левую части уравнения (31.5):
1 д [Z (т)] _ а.
at (т) дт ’
1	& V (*)]	„2
t (х) дх2 ~
(31.24)
(31.25)
Решив дифференциальное уравнение (31.24) относительно т, по-
лучим
I (Т) = еаЕ2х
или
i(r) = etoT.
(31.26)
Решая дифференциальное уравнение (31.25) относительно х, по-
лучаем
t (х) = CeEv.
(31.27)
Из теории комплексных чисел имеем У1 = ±	, следовательно,
е = ±(1 4-1)Уы/(2а) и уравнение (31.27) можно записать
дующем виде:
в сле-
f _ £е± (I + i) Vа>/(аа) х. #
(31.28)
Подставляя полученные значения t (т) и t (х) в уравнение
получаем
t (х т) = Се— 0 + 0 У<л/12а)х Qiu>r _ (Jq ^Уа/(2а) х qI (ат ± Vа)(2а) л).
Используя уравнение Эйлера ел1' = cos ф-Н sin ф и применяя
сматриваемой задаче знак минус, получаем
t (х, т) = Се~	х [cos (сот — У а>/(2а) х) + i sin (сот — У а/(2а) х)].
(31.30)
Постоянную интегрирования С в уравнении (31.30) определяют
из граничных условий при х = 0.
(31.3),
(31.29)
в рас-
380
При правильных гармонических колебаниях температуры на по-
верхности тела граничные условия могут быть представлены в виде
уравнения
*п(т)=Чп + ЛпС08(ОК).	(31.31)
При x — Q в соответствии с граничными условиями получаем
C = t„ (т, х = 0) = /п(т).	(31.32)
Подставляя значение постоянной интегрирования в уравнение
(31.30) и имея в виду, что член с мнимым множителем в этом урав-
нении, не удовлетворяющий граничным условиям при х = 0, отбра-
сывается, получаем следующее уравнение температурного поля в теле:
t(x, т) = ion + А/п cos (сот — фЛсо/(2а)х)	(31.33)
Убедиться в том, что формула (31.33) является решением диффе-
ренциального уравнения теплопроводности, можно, подставляя зна-
чения t(x, т) в это уравнение:
Л/пе-1^<й^81п(®т-]/^7(2а)х);	(31.33а)
a— — А1а е~ х со sin (сот — У<л/(2а) х).	(31.336)
Правые части уравнений (31.33) и (31.33а) равны, поэтому равны
и их левые части, а следовательно, и формула (31.33) является
решением дифференциального уравнения теплопроводности.
Из полученного уравнения (31.33) следует, что распределение
температуры в теле получается в виде затухающих волн. Уменьше-
ние амплитуды колебаний температуры по толщине определяется
экспоненциальным множителем е~1<м/<2а) *, который при х-><х> равен
нулю.
Длину температурной волны можно определить, принимая
cos (сот — ]/®/(2а)х)= 1	(31.34)
или
сот — V ы/(2а) х = 0.	(31.35)
При т = 0 х = 0; при т = гп x = ZB.
Выполняя в уравнении (31.35) соответствующие преобразования
и имея в виду, что со = 2л/гп, получаем
/.„ — 2 ]/лагп.	(31.36)
Приняв затухание колебаний температуры до 0,01 (1%), можно
определить толщину слоя заметного проникновения температурной
волны в тело, используя соответственно уравнения (31.33) и (31.36):
Е(т’ Zulma* = е- * = 0,01;	(31.37)
х'—Уагп/л In 100 = 2,6|/агп.	(31.38)
381
Как видно из полученного выражения (31.38), с увеличением
температуропроводности а и продолжительности периода колебания
температуры на поверхности гп глубина проникновения температур-
ной волны увеличивается.
Так, при совершении простых гармонических колебаний проник-
новение температурной волны в обшивку корпуса судна при суточ-
ных колебаниях температуры наружного воздуха (т = 24ч = 86 400 с)
и а = 0,117 мм2/с составляет 0,26 м, а в стенку цилиндра дизеля
при частоте вращения 25 с 1 и «=11 мм2/с (для чугуна) —1,7 мм.
Выше были рассмотрены простые гармонические колебания тем-
пературы. В тех случаях, когда имеют место сложные периодичес-
кие колебания, пользуются методом гармонического анализа, с по-
мощью которого любую периодическую кривую можно представить
как сумму соответствующих косинусоид.
Перейдем к исследованию поверхностных плотностей тепловых
потоков в стенке при простых гармонических колебаниях темпера-
туры.
Поверхностную плотность теплового потока q(x, т) находим,
дифференцируя t (х, т) по х:
q(x, T) = -z| = MZn]/'(^7(2H)'e-^S№x
x[cos (tor — ]/"<b/(2«) x) — sin (сот — ]Ло/(2а) x)].	(31.39)
Колебание поверхностной плотности теплового потока на поверх-
ности тела находим из уравнения (31.39) при х = 0:
(т) = У а>/(2а) [cos (сот — sin (сот)] =
— Mtn У <л/(2а) sin (л/4 — 2лт/г).	(31.40)
При т = — 2/8 sin (л/4 — 2лт/г) = ±1 и поверхностная плотность
теплового потока имеет максимальное значение. Амплитуда колеба-
ний поверхностной плотности теплового потока на поверхности тела
в этом случае
А?П = ±М,П У2л/(аг).	(31.41)
Глава XXXII
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 32.1. Общие сведения о тепловом излучении.
Основные определения
Под излучением (радиацией) понимают испускание и распро-
странение любого вида электромагнитных волн. В зависимости от
длины волны X различают у-лучи, рентгеновские, ультрафиолетовые,
световые лучи (видимое излучение), инфракрасные лучи и радио-
волны.
В курсе теплопередачи особый интерес представляет тепловое
излучение, т. е. излучение, осуществляемое такими лучами, энер-
382
ГИЯ которых При поглощении их телами полностью или частично
расходуется на увеличение внутренней энергии поглощающего тела.
чК тепловому излучению относится главным образом инфракрас-
ное излучение с длиной волны X = 0,8...800 мкм.
Всякое тело, если только температура его отлична от абсолют-
ного нуля, способно посылать в окружающее пространство излуче-
ние. Поэтому любое тело излучает на окружающие его тела и,
в свою очередь, находится под воздействием излучения этих тел.
Отметим, что большинство твердых и жидких тел имеет сплош-
ной (непрерывный) спектр излучения. Это значит, что они обладают
способностью излучать лучи всех длин волн.
Л у ч и с т ы м по т оком (или потоком излучения) называют отно-
шение лучистой энергии ко времени излучения:
Ф = 6(?Ж	(32.1)
где Ф —лучистый поток; Q — энергия излучения; т —время.
При выражении Q в Дж, т в с Ф выразится в Вт.
Отношение потока излучения, приходящегося на элемент площади
поверхности излучающего тела, содержащей заданную точку, к пло-
щади этого элемента представляет собой поверхностную плотность
лучистого потока (в точке поверхности) и называется излуча-
тельностыо:
М = ёФ/с1А,	(32.2)
где А — площадь поверхности излучающего тела; М — излучательность
тела.
При выражении Ф в Вт, А в м2 М выразится в Вт/м2.
Отношение лучистого потока, падающего на элемент площади
поверхности, содержащей рассматриваемую точку, к площади этого
элемента представляет собой поверхностную плотность падающего
лучистого потока и называется облученностью:
Е^ёФ/dA,	(32.3)
где Е — облученность; Л —площадь поверхности, на которую падает
лучистый поток.
Отношение лучистой энергии, падающей на элемент поверхности,
содержащий рассматриваемую точку, к площади этого элемента,
представляет собой поверхностную плотность падающего излучения
и называется лучистой экспозицией:
H=WA,	(32.4)
где Н — лучистая экспозиция; Q — лучистая энергия; Л —площадь.
При выражении Q в Дж, А в м2 Н выразится в Дж/м2.
Отношение лучистого потока, исходящего от источника и распро-
страняющегося внутри элементарного телесного угла, содержащего
заданное направление, к этому элементарному телесному углу назы-
вается силой излучения:
/ - ёФ/сШ,	(32.5)
383
где / — сила излучения; Q —телесный угол. При выражении Ф в Вт,
Й в ср / выразится в Вт/ср.
Лучистостью (в определенном направлении в точке, лежащей
на излучающей поверхности источника или приемника или на пути
распространения пучка лучей) называют величину, определяемую
по формуле
Д = б2Ф/(^4^Йсо8 9),	(32.6)
где L — лучистость; А — площадь излучающей поверхности; £2 —
телесный угол, содержащий заданное направление; 6 — угол между
направлением лучистого потока и излучающей плоскостью.
При выражении Ф в Вт, А в м2, Q в ср L выразится в Вт/(ср • м2).
Энергия излучения Q включает лучистую энергию, взятую в пре-
делах всех длин волн, которые способно излучать данное тело, и во
всех направлениях (т. е. в пределах полусферы произвольного ради-
уса*). Если излучение характеризуется сплошным спектром, то
в величину Q, согласно сказанному, войдет энергия, излучаемая
в пределах спектра, т. е. в пределах длин волн от /.-О до Z = oo.
Различают монохроматическое и сложное излучение. Монохро-
матическим называется излучение, характеризуемое одним зна-
чением частоты, в более широком смысле — излучение очень узкой
области или длины волн, которое может быть охарактеризовано
одним значением частоты или длины волны. Сложным называется
излучение, состоящее из совокупности монохроматических излучений
разных частот. Состав сложного излучения характеризуется спект-
ром излучения (непрерывным, линейчатым). В дальнейшем все вели-
чины, относящиеся к монохроматическому излучению, будут отме-
чаться индексом X.
Если на поверхность тела падает тепловое монохроматическое
излучение, то в общем случае часть, равная ад этого излучения,
поглотится телом, т. е. превратится в другую форму энергии
в результате взаимодействия с веществом, часть рд будет отражена
и часть Тд пройдет сквозь тело. Если принять, что падающее на
тело излучение равно единице, то
“х + рх + ^-1,	(32.7)
где ад — коэффициент поглощения тела; рд — коэффициент отражения
тела; Тд — коэффициент пропускания тела.
Когда в пределах спектра величины а, р, т остаются постоян-
ными, т. е. не зависят от длины волны, то надобность в индексах
отпадает. В этом случае
аф-р4-т=1,	(32.8)
т. е. написанное равенство относится к сложному излучению.
Если а—1 (р = т —0), то тело, полностью поглощающее все
падающее на него излучение, независимо от длины волны, направ-
* Так называемое полусферическое излучение —см, § 32,5.
384
ления падения и состояния поляризации излучения называются
черным телом или полным излучателем.
Если р = 1 (а = т = 0), то падающее на тело излучение полностью
отражается. В том случае, когда поверхность тела шероховатая, то
лучи отражаются рассеянно (диффузное отражение) и тело назы-
вают белым, а когда поверхность тела гладкая и отражение
следует законам геометрической оптики, то тело (поверхность) назы-
вают зеркальн ы м.
Если т =1 (а = р = 0), то тело проницаемо для тепловых лучей
(диате рмично).
Твердые тела и жидкости для тепловых лучей практически не-
прозрачны (т = 0), т. е. атермичны. Для таких тел
а + р = 1.	(32.9)
Черных тел, как и прозрачных или белых тел, в природе нет.
Такие тела должны рассматриваться как научные абстракции. Но
все же некоторые реальные тела могут достаточно близко подходить
по своим свойствам к таким идеализированным телам.
Надо отметить, что некоторые тела обладают по отношению
к лучам одной длины волны одними свойствами, а к лучам другой
длины— другими. Например, тело может быть прозрачным для
инфракрасных лучей и непрозрачным для видимых (световых) лучей.
Поверхность тела может быть гладкой по отношению к лучам одной
длины волны и шероховатой для лучей другой длины волны.
Газы, в особенности находящиеся под небольшим давлением,
в противоположность твердым и жидким телам излучают линейча-
тый спектр. Таким образом, газы поглощают и излучают лучи
лишь определенной длины волны, других же лучей они не могут
ни излучать, ни поглощать. В этом случае говорят о селектив-
ном (выборочном) поглощении и излучении.
В теории теплового излучения играет важную роль величина Мк,
называемая спектральной из лу чате л ыюстью и представ-
ляющая собой отношение излучательности в интервале длин волн
от X до Хф-dX к рассматриваемой ширине этого интервала d'K-.
MK = dM/dK.	(32.10)
Если М выразить в Вт/м2, Л в м, то выразится в Вт/м3.
/	§ 32.2. Закон поглощения
Если на какое-либо тело падает лучистый поток (рис. 32.1), то
в общем случае при прохождении сквозь тело он уменьшается. При-
нимают, что относительное изменение лучистого потока на пути dl
прямо пропорционально пути потока:
6Ф/Ф0= —ad/.	(32.11)
Коэффициент пропорциональности а называется показателем
поглощения, зависящим в общем случае как от физических
свойств тела, так и от длины волны.
13 Зак. 48
385
(32.12) получим соотношение между
,е'а1'
Ф^Ф0Е-а1<
Рис. 32.1
Интегрируя в пределах от I до 0 и принимая а постоянным,
получаем
In (Ф/Фо) = —al
или
Ф = Фое	(32.12)
Установим связь между спектральным коэффициентом поглоще-
ния тела ак и спектральным показателем поглощения гещества а,_.
Из определения спектрального коэффициента поглощения <z7 имеем
ах = (Фо-Ф)/Фо= 1-Ф/Фо-
После подстановки в это уравнение значения Ф из формулы
спектральным коэффициентом
поглощения а}_ и спектраль-
ным показателем поглоще-
ния
ад, — 1 — Фое~ ^/Фу =
= 1-е~а< (32.13)
Коэффициент поглощения
ад равен нулю при 1 = 0 и
а% = 0. При большом значе-
нии ак достаточно весьма ма-
лого значения dl, но все же
не равного нулю, чтобы значе-
ние ад было как угодно близко
к единице. В этом случае можно говорить, что поглощение проис-
ходит в тонком поверхностном слое вещества. Только в этом пони-
мании возможно говорить о поверхностном поглощении.
Для большинства твердых тел благодаря большому значению пока-
зателя поглощения аг имеет место в указанном смысле «поверхност-
ное поглощение», в связи с чем на коэффициент поглощения боль-
шое влияние оказывает состояние его поверхности.
Тела, хотя и с малым значением показателя поглощения, как,
например, газы, могут при достаточной толщине их обладать боль-
шим коэффициентом поглощения, т. е. делаются непрозрачными для
лучей данной длины волны.
Если щ, = 0 для интервала АХ, а для остальных длин волн ак
не равно нулю, то тело будет поглощать падающее излучение
только определенных длин волн. В этом случае, как было указано
выше, говорят о селективном выборочном коэффициенте
поглощения.
Подчеркнем принципиальную разницу между показателем погло-
щения вещества а-, и коэффициентом поглощения ак тела.
Первый характеризует физические свойства вещества по отноше-
нию к лучам определенной длины волны. Величина же а}, зависит
не только от физических свойств вещества, из которого состоит
тело, но и от формы, размеров и состояния поверхности тела.
336
§ 32.3. Основные законы излучения
М. Планк теоретически на основе электромагнитной теории уста-
новил закон (носящий название закона Планка), выражающий зави-
симость спектральной излучательности черного тела от длины волны
и температуры:
Мх(Х, Т) = дМ(К, =	' (32.14)
где М (X, Т) — излучательность черного тела; /ИЛ(Х, Т) — спектраль-
ная излучательность черного тела; X —длина волны; Т — термодина-
мическая температура; С\ и С3 — постоянные.
Если X выразить в м, Т — в К, — в Вт  м2, С2 — в м • К, то
М (Z, Т) выразится в Вт/м2 и Мк (X, Т) — в Вт/м3;
= 2л/гс2 - (3,741 • 50 + 0,0003)  10 16 Вт • м2;
С2 = Ш= (1,43879 + 0,00019)- 10 2 м- К,
где /г — постоянная Планка; h = (6,625 + 0,0005) • 10 14 Дж с; с —
скорость распространения электромагнитных волн в свободном про-
странстве, с 2,997925  108 м/с; k- постоянная Больцмана.
Из закона Планка следует, что спектральная излучательность
может равняться нулю [А1, (X, Т) —- 0] при термодинамической тем-
пературе, равной нулю (7’ —0), либо при длине волны А, = 0 и
Х = сю (при Г#=0).
Следовательно, черное тело излучает при любой температуре
больше 0К (Г > 0) лучи всех длин волн, т.'е. имеет сплошной
(непрерывный) спектр излучения.
Из формулы (32.14) можно получить расчетное выражение для
излучательности черного тела:
dM (к, Т) = Мк(К т)	(а)
Интегрируя выражение (а) в пределах изменения А, от 0 до оо
получаем
о
В результате разложения подынтегрального выражения (б) в ряд
и интегрирования его получают расчетное выражение для излуча-
тельности черного тела, называемое законом Стефана (1879) — Больц-
мана (1884):
М = аТ\	(32.15)
где М — излучательность черного тела; Т — термодинамическая тем-
пература; о —постоянная Стефана — Больцмана. При выражении М
в Вт/м2, Т в К ст выразится в Вт/(м2-К4):
а =	= (5>6697 — °,°°29) • Ю 8 Вт/(м2-К4).	(32.16)
13‘
387
Формулу (32.15) часто записывают в более удобной для расчета
форме:
М=С(77100)4,	(32.17)
где С — коэффициент излучения черного тела; С = 5,6697 ±
±0,0029 Вт/(м2-К‘)^5,67 Вт/(м2 К4).
Закон Стефана — Больцмана (32.15) формулируют так: излуча-
телъность черного тела прямо пропорциональна его термодинами-
ческой температуре в чет-
Рис. 32.2
вертой степени.
Если пренебречь в вы-
ражении (32.14) слагаемым
—1 в знаменателе этого
выражения, то получим
закон излучения Вина,
представляющий собой за-
кон Планка в приближен-
ном виде:
Л4Л(Х, Т) = СА ве~с*±г>.
(32.18)
Такое приближение до-
пустимо, если произведе-
ние КТ достаточно мало
(меньше 0,02 м-К). Напри-
мер, для красного света при
температуре Т < 3500 К
относительная погрешность
меньше 1%.
Если в уравнении (32.14)
разложить экспоненциаль-
ную функцию в ряд и пренебречь членами высшего порядка, то
получим закон Релея— Джинса, представляющий закон Планка
в приближенном виде:
Мк(К, T) = (C1/C2)ViT.
(32.19)
Такое приближение допустимо, если произведение КТ достаточно
велико (больше 0,72 м-К), как, например, для инфракрасного излу-
чения с длиной волны Л = 0,1 мм и температурой излучающего тела
> 7200 К.
Па рис. 32.2 показан график распределения спектральной излу-
чательности черного тела по длине волны при различных темпера-
турах, т. е. дан график функции MK=^f(K) при различных Т (32.14).
Как усматривается из расположения изотерм, каждая из них имеет
максимум, причем чем больше термодинамическая температура, тем
больше и значение М,, отвечающее максимуму, а сама точка макси-
мума перемещается в область более коротких волн. Перемещение
максимальной спектральной излучательности Ж max в область более
с88
коротких волн известно под названием закона смещения Вина, по
которому
ТХгпах = 2,88  10 3 м • К = const	(32.20)
и
Хтах = 2,88- 10 Я/Т,	(32.21)
где Хтах —длина волны, соответствующая максимальному значению
спектральной излучательности М^тах. Так, например, при Т = 6000 К
(примерная температура поверхности Солнца) максимум М\ распо-
лагается в области видимого излучения, на которую падает около
50% от излучательности Солнца.
Элементарная площадка под изотермой, заштрихованная на
рис. 32.2, равна М^ак. Ясно, что сумма этих площадок, т. е. интег-
рал (32.14), представляет собой м
излучательность черного тела /Л. A,th
Следовательно, площадь между
изотермой и осью абсцисс изоб- -
ражает в условном масштабе
диаграммы излучательность чер-
ного тела. При небольших зна-
чениях термодинамической тем-
пературы изотермы проходят
в непосредственной близости
к оси абсцисс и указанная пло-
щадь становится столь малой,
что практически, ее можно счи-
тать равной нулю.
Большую роль в технике
играет понятие о так называв-	Рис. 32.3
мых серых телах и сером излу-
чении. Серым называется неселективный тепловой излучатель,
способный излучать сплошной спектр, со спектральной излучатель-
ностью M^th* Для волн всех длин и при всех температурах, соста-
вляющей неизменную долю от спектральной излучательности чер-
ного тела	т- е-
(е..,) =е = const.
(32.22)
Постоянная е называется коэффициентом черноты тепло-
вого излучателя. Для серых тел коэффициент черноты е<1 и не
зависит ни от температуры, ни от длины волны. Для черного тела
е = 1.
На рис. 32.3 схематически показаны кривые распределения по
длинам волн спектральной излучательности черного тела ЛД, g.^ и
спектральной излучательности серого тела ЛД,той же темпера-
туры, что и черное тело (при е = 0,5 и е = 0,25).
* Индекс «/Л» означает, что. речь идет о тепловом излучателе.
389
Излучательность серого тела может быть определена по формуле
= /Их>гЛ = е/Им = еС(7’/100)4 = С/Л(Г/100)4. (32.23)
о
Величина
С/Л = еС	(32.24)
называется коэффициентом излучения серого тела.
Полученные из опыта значения коэффициента излучения даны
в приложении.
Большинство тел, применяемых в технике, могут быть приняты
за серые тела и их излучение — за серое излучение. Более точные
исследования показывают, что это возможно только в первом при-
ближении, однако достаточном для практических целей. Отклонение
от закона Стефана — Больцмана для серых тел обычно учитывается
тем, что коэффициент излучения Cth принимают зависящим от тем-
пературы. В связи с этим в таблицах указывается интервал темпе-
ратур, для которых экспериментально определено значение коэффи-
циента излучения Cth-
В дальнейшем для упрощения выводов будем считать, что коэф-
фициент излучения серого тела не зависит от температуры.
В приложении 13 приведены коэффициенты черноты различных
материалов.
§ 32.4. Закон Кирхгофа
Закон Кирхгофа устанавливает зависимость между излучатель-
ностью и коэффициентом поглощения серого тела.
Рассмотрим два параллельных серых тела бесконечной протяжен-
ности с плоскими поверхностями площадью А каждая. Считая рас-
стояние между поверхностями относительно незначительным (по срав-
нению с их линейными размерами — длиной и шириной), можно по-
ложить, что все лучи, посылаемые одним телом, полностью попадают
на другое. Примем, что коэффициенты пропускания этих тел т, —
= т2 = 0 и между поверхностями находится теплопрозрачная (диа-
термическая) среда. Обозначим через Л4Ь и и Л42, а», р2
и Т?2 соответственно излучательности, коэффициенты поглощения
отражения и температуры поверхностей первого и второго тел.
Для подсчета потока лучистой энергии составим схему (рис. 32.4).
(На рис. обозначены: излучательность Е, коэффициенты поглоще-
ния А и отражения R).
Поток лучистой энергии от поверхности 1 к поверхности /1 равен
произведению излучательности поверхности / на ее площадь, т. е.
МгА,. из которого часть а2МгА поглощается второй поверхностью,
а часть р2М1Л отражается обратно на поверхность /. Из этого отра-
женного потока ргМИ поверхность I поглощает	и отра-
жает р^М-ьА. Из отраженного потока энергии pip2MtA поверх-
ность // вновь поглотит «3р1р2Л41Д и отразит р®р1Л41Л и т. д.
зуи
Аналогично происходит передача лучистой энергии потоком МгА
от поверхности // к поверхности I.
В итоге поток лучистой энергии, поглощенный поверхностью 11
(или отданный поверхностью /), определится из выражения
= MjAа2 (1 pip2 + pipi + -..) =	— PiP-г). (a)
Поток лучистой энергии, поглощенной поверхностью I (или отдан-
ной поверхностью //), равен
Ф.2 ! = Л12/1 r/j (1 + pip2 + pipl + ...) = MA/fl - рхрг). (б)
В окончательном итоге поток лучистой энергии, переданной поверх-
ностью I к поверхности II, будет равен разности лучистых потоков
и Ф^р
Ф = Ф1_>2 —Фз-,1 = А (Ма-ЗД! -Р1р2).	(32.25)
Полученное выражение справедливо при всех значениях температур
7\ и Т2 и, в частности, при 7\ = 7\. В последнем случае рассматри-
ваемая система находится в динамическом тепловом равновесии,
и на основании второго начала термодинамики необходимо положить
Ф1 —а = Ф-2—1,	(в)
откуда следует
ЛДа2 = /И2а1	(г)
или
Mi&i = Л42а3 — const.
(32.26)
Далее положим, что поверхность // является черной. Тогда
M.<i = Мг-х и а2 = ав_1 = 1. Обозначая для простоты ЛД через Mth
и ОС]. = а, получаем
AWa==Mle_n==C(771OOr.
(32.27)
391
Полученное равенство,носит название закона Кирхгофа: отноше-
ние излучательности тела к его коэффициенту поглощения для всех
серых тел, находящихся при одной и той -же температуре, одинаково
и равно излучательности черного тела при той же температуре.
Если какое-либо тело имеет малый коэффициент поглощения,
как, например, хорошо полированный 'металл, то это тело имеет
и малую излучательность. На этом основании для уменьшения потерь
теплоты излучением во внешнюю среду теплоотдающие поверхности
покрывают листами полированного металла, применяемыми в качестве
тепловой изоляции.
При выводе закона Кирхгофа рассматривалось серое излучение.
Вывод останется справедливым и в том случае, если тепловое излу-
чение обоих тел рассматривается только в некоторой части спектра,
но, однако, имеет одинаковый характер, т. е. оба тела испускают
лучи, длины волн которых лежат в одной и той же произвольной
спектральной области. В предельном случае приходим к случаю
монохроматического излучения.
Тогда формула (32.27) примет вид
^ = Ж(Е-1),	(32.28)
т. е. для монохроматического излучения закон Кирхгофа должен
быть сформулирован так: отношение спектральной излучательности
какого-либо тела при определенной длине волны к его коэффициенту
поглощения при той же длине волны одинаково для всех тел, нахо-
дящихся при одинаковых температурах, и равно спектральной излу-
чательности черного тела при той же длине волны и той же темпе-
ратуре.
Сравнивая формулы (32.28) и (32.27), заключаем, что для серого
тела а —е, т. е. понятия «коэффициент поглощения» а и «коэффициент
черноты» е для серого тела совпадают. По определению, коэффициент
черноты не зависит ни от температуры, ни от длины волны, а следо-
вательно, и коэффициент поглощения серого тела также не зависит
ни от длины волны, ни от температуры.
Для пояснения закона Кирхгофа на рис. 32.5 схематически пока-
заны два графика один под другим: верхний график дает распреде-
ление спектральной излучательности в функции длины волны (спектр
излучения), а на нижнем графике даны соответствующие кривые
коэффициента поглощения (спектр поглощения).
Цифрой 1 помечена кривая	(К) для черного тела,
а цифрой 2 — кривая ЛЦ/л = /W Для серого тела (е = 0,5). Для черного
тела для всех длин волн — 1- Этому соответствует горизонталь-
ная прямая Г с постоянной ординатой, равной единице. Для серого
тела аЛ<аЛ(8_1) и, как указано выше, не зависит от Л,. Соответст-
вующая кривая (прямая) 2’ для серого тела будет также параллельна
оси абсцисс, но расположена ниже прямой 1'.
Кривые 3 и 4 показывают распределение спектральной излуча-
тельности в общем виде в случае так называемого цветного
излучения, Кривые 3' и 4’, ординаты которых определены из соот-
392
ношения а^ = УИх/М?.(е_1), показывают, что график коэффициентов
поглощения тела имеет тот же характер, что и кривая спектральной
излучательности. Где больше ЛД, там больше и ак. Для тех значений X,
где Мк достигает значения	(точка d), там и достигает
значения, равного единице.
Рис. 32.5
Л
На тех же графиках в интервалах длин волн АХ схематически
показаны кривые (а, b и с) спектральной излучательности и коэффи-
циента Поглощения при выборочном излучении. Из приведенных
кривых следует, что чем интенсивнее тело излучает лучи определенной
длины волны, тем большим коэффициентом поглощения обладает
оно по отношению к лучам той же длины волны.
§ 32.5. Закон Ламберта
Закон Стефана — Больцмана для черного (или серого) излучения
определяет излучательность поверхности по всем направлениям.
Направления эти характеризуются углом <(>, который они образуют
с нормалью к поверхности (рис. 32.6).
Рассмотрим элемент площади dAt поверхности излучающего тела.
Примем, что поверхность принадлежит серому телу и отражает лучи
рассеянно.
393
Энергия, излучаемая элементом площади aL4b не распределяется
равномерно по всем направлениям; ее распределение зависит от угла <р.
В направлении нормали к поверхности (<р = 0) излучаемая энергия
достигает максимума и по мере возрастания угла
уменьшается, достигая минимума, равного нулю,
при ф = л/2. В этом заключается закон Лам-
берта (закон косинуса): излучаемость идеальной
рассеивающей поверхности прямо пропорциональ-
на косинусу угла между направлением луча и
нормалью к элементу поверхности.
Выделим элементарный конус, ось которого
образует угол с нормалью и вершиной, совпа-
дающей с излучающим элементом (рис. 32.6).
Поток энергии 6ФЧ, излучаемый элементом, за-
ключенный в пределах элементарного телесного
угла dQ, т. е. в пределах элементарного кону-
са, пропорционален элементарной площади dXj*, пространственному
углу dQ и, по закону Ламберта, косинусу угла ср. Таким образом,
62ФЧ = В dAi dQ cos ср,
(32.29)
где В — коэффициент пропорциональности.
Для определения этого коэффициента поступим следующим образом:
окружим элемент площади dAi (рис. 32.7) полусферой радиуса г,
бесконечно большого сравнительно с размерами элемента. На поверх-
ности сферы двумя бесконечно близкими меридианальными сечениями
и двумя горизонтальными, также бесконечно близкими сечениями
выделим элемент dA2. Поток энергии, излучаемой элементом dAt
на элемент площади dA2 поверхности полусферы, может быть опре-
делен по формуле (32.29).
* Ввиду малости площади dAt можно считать, что вся площадь лежит в вер-
шине конуса.
394
Пространственный угол dQ определяется по формуле
dQ = tMa//-2.	(а)
Рассматривая элемент площади о!Д2 поверхности полусферы как
элементарный плоский четырехугольник (рис. 32.7), находим
dA2 = г d<pp dx и р = г sin ср,	(б)
dQ = г2 sin <р с/ср dx/r2 = sin ср dtp dx.	(32.30)
Подставляя в уравнение (32.29) найденное значение dQ., имеем
62Ф(р = В с/Д 1 sin ср cos q> с/<р dx В dAt dcp dx.	(в)
Проинтегрируем это выражение по всей поверхности полусферы,
т. е. в пределах изменения угла ср от 0 до л/2 и угла х от 0 до 2л.
В результате интегрирования будет определен поток энергии, излу-
чаемой элементом площади dAt во всех направлениях, или, как это
принято называть, излучаемой в полупространство. В свою очередь,
этот поток лучистой энергии, как известно, равен MdAr. Следова-
тельно,
Л/2	2л
М dAi = В dAi	dx = лВ dAT	(г)
б . б
и
В = Л1/л.	(32.31)
Подставив значение В в уравнение (32.29), получим
62Фф == dAydQ cos ср.	(32.32)
Подчеркнем, что поток энергии излучения в каком-либо направ-
лении понимается как поток энергии, ограниченный сколь угодно
малым, но обязательно не равным нулю телесным углом. Ясно, что
при dQ = 0 и 6Ф = 0.
Формула (32.32) выведена для полного (интегрального) излуче-
ния элемента dA^, понятно, что все рассуждения останутся в силе
и для монохроматического излучения. Для этого случая формула
(32.32) должна быть переписана в виде
62Ф?лр = (ЛД с/Д1 dQ cos ср)/л.	(32.33)
Найдем поток энергии 6Ф=УИ„б/Д1 (рис. 32.8), излучаемой эле-
ментом поверхности площадью tMj в направлении нормали (ср = 0)
в пределах телесного угла, равного единице (Q -----1).
По формуле (32.32) получим
6Ф„ = М dAjn. =-. бФ/л	(д)
или
Мп=М/л.	(32.34)
395
Величина М„ носит название нормальной излучатель-
ноет и. Следовательно, нормальная излучательность Мп в л раз
меньше излучательноети, которую в данном случае уместно на-
звать полусферической излучатель-
ностью.
Закон Ламберта полностью
справедлив для черного излучения.
Для реальных тел наблюдается
отклонение от этого закона.
Если бы закон Ламберта был
полностью справедлив для серых
тел, то, в соответствии с форму-
лой (32.20) коэффициент черноты
е должен был быть величиной по-
стоянной и не зависеть от напра-
вления излучения. Однако опытом
это не подтверждается.
Для большинства серых тел,
кроме чистых (неокисленных) ме-
пП
Рис. 32.8
таллов, заметные отклонения еф
наблюдаются при углах ср, больших 70°, как это усматривается
из полярной диаграммы на рис. 32.9 (кривая /), где по напра-
влению радиусов отложены значения eq. Отметим, что среднее зна-
чение ₽ф, взятое в пределах от —л/2 до л/2 (отвечающее полусфе-
рическому излучению), мало отличается от е,^. Поэтому к такого
рода телам с достаточной для практических целей точностью при-
меним закон Ламберта.
Рис. 32.9
Кривая 2 показывает изменение величины еф для чистых метал-
лов. Отклонение от закона Ламберта становится заметным уже при
углах порядка 20...40°. При углах ср, больших, чем 20...40°, сте-
пень черноты еф делается большей, чем еф_0, и только при значениях
угла ср, близких к 90°, резко уменьшается. При такой зависимости
степени черноты от угла ср среднее значение еф больше еф_0 при-
мерно на 15... 20 %.
396
§ 32.6. Излучение газов
Излучение газов существенно отличается от излучения твердых
тел. Поглощение и излучение газов селективное (выборочное). Газы
поглощают и излучают лучистую энергию только в определенных,
довольно узких интервалах АХ длин волн —так называемых поло-
сах. В остальной части спектра газы не излучают и не поглощают
лучистой энергии.
Двухатомные газы обладают ничтожно малой способностью погло-
щать лучистую энергию, а следовательно, и малой способностью ее
излучать. Поэтому эти газы обычно считаются диатермичными. В от-
личие от двухатомных газов многоатомные, в том числе и трехатом-
ные газы, обладают значительной способностью излучать и погло-
щать лучистую энергию. Из трсхатомных газов в области теплотех-
нических расчетов наибольший практический интерес представляют
углекислый газ (СО2) и водяной пар (Н2О).
В табл. 32.1 приведены данные о наиболее важных (с энергети-
ческой точки зрения) полосах спектров СО2 и Н2О.
Таблица 32.1
со2	1					Н2О	
№ полосы		>-2	д?.	м		АЛ
	мкм					
1 2 3	2,36 4,01 12,50	3,02 4,80 16,50	0,66 0,79 4,00	2,24 4,80 12,00	3,27 8,50 25,00	1,03 3,70 13,00
В отличие от твердых тел показатель поглощения для газов
(конечно, в области полос поглощения) мал. Поэтому для газообраз-
ных тел уже нельзя говорить о «поверхностном» поглощении (см.
§ 32.2), так как поглощение лучистой энергии происходит в конеч-
ном объеме газа. В этом смысле поглощение и излучение газов
называется объемным. Кроме того, показатель поглощения ак для
газов зависит от температуры.
По закону поглощения (см. § 32.2), спектральный коэффициент
поглощения тела может быть определен по формуле (32.13):
1	-- а-.1
аЛ = 1 - е '.
Для газообразных тел эта зависимость несколько усложняется
тем, что на коэффициент поглощения газа влияет его давление.
Последнее объясняется тем, что поглощение (излучение) протекает
тем интенсивнее, чем большее число молекул встретит луч на своем
пути, а объемное число молекул отношение числа молекул к объему
прямо пропорционально давлению (при / = const).
В технических расчетах газового излучения обычно поглощаю-
щие газы (СО2 и П.,О) входят как компоненты в состав смеси газов.
Вели давление смеси р, а парциальное давление поглощающего (или
397
излучающего) газа р{, то в формулу (32.13) необходимо вместо I
подставить величину р{1. Величина pj, представляющая собой произ-
ведение давления газа на его толщину, носит название эффектив-
ной толщины слоя. Таким образом, для газов спектральный
коэффициент поглощения определяют по формуле
a} = l-e-a^pil^f(T, Pil).	(32.35)
Спектральный коэффициент поглощения газа (в пространстве)
зависит от физических свойств газа, от формы пространства, его
размеров и температуры газа.
Установим связь между коэффициентом поглощения и излучатель-
ностыо газа. Для этого дредетавим себе полое тело, заполненное
диатермической средой (или свободное пространство, ограниченное
стенками с равномерно распределенной температурой /ст). Излучение,
Рис. 32.10
испускаемое стенками в полое
пространство, будет черным излу-
чением, т. е. распределение энер-
гии по длинам волн будет подчи-
нено закону Планка.
Выделим элемент поверхности
площадью «71. Поток энергии,
излучаемый этим элементом, ра-
вен для произвольного интервала
воли АХ величине MKtelldA. На
рис. 32.10 графически изображена
величина ТИд^.., п в виде заштри-
хованной площадки. Остальная
часть площади поверхности, в свою очередь, излучает энергию на
элемент площадью dA. Поскольку в отношении излучения вся внут-
ренняя поверхность тела находится в динамическом равновесии, то
температура выделенного элемента поверхности нс сможет .изме-
ниться (в противном случае было бы нарушено второе начало термо-
динамики). Следовательно, поток энергии, излучаемой элементом
поверхности площадью dA, в точности равняется потоку энергии,
излучаемой остальной частью поверхности на этот элемент.
Пусть теперь полое пространство заполнено газом, поглощающим
как раз в пределах той же полосы спектр шириной АЛ. Температура
газа tv в точности равна температуре стенки /С1. При этом условии
рассматриваемая система будет находиться ее температурном равно-
весии. Поток энергии, получаемый элементом площадью dA, будет
по-прежнему равен MSK(e._^dA, так как окружающая среда не вли-
яет на излучение самой оболочки. Излучение оболочки проходит
через поглощающую среду. Поэтому газ в объеме поглотит некоторое
количество лучистой энергии и к элементу дойдет меньшее коли-
чество энергии излучения оболочки, чем в рассмотренном ранее
случае. Так как температура как элемента поверхности площадью
dA, так и газа в объеме должна сохраниться неизменной, то недо-
стающее количество энергии должен излучить на элемент сам газ.
398
Таким образом, приходим к выводу, что при tCT — tr поток энергии,
излучаемой газовым объемом, равен поглощенной им 'энергии.
Следовательно,
Мл = ф(Т, ptl).
(32.36)
Излучательность в пределах одной полосы спектра Дл = 7, — X,
(рис. 32.10)
М
(32.37)
Излучательнось газа в замкнутом пространстве равна сумме излу-
чательностей (32.37), взятых по всем полосам спектра,
Я = £ М^.
1
(32.38)
Опытные исследования показали, что излучательность газов не
следует закону Стефана — Больцмана, т. е. зависимости от четвертой
степени термодинамической температуры.
Однако для практических расчетов излучения газов пользуются
законом четвертых степеней, введя соответствующую поправку в зна-
чение коэффициента черноты газа ег:
где
Л4г = ег (77100)1,
ег = ф(Т, pil) *.
(32.39)
Среднюю длину / пути луча определяют по формуле
/^3,6|//Л,
(32.40)
где V — газовый объем; А — площадь поверхности оболочки.
По формуле (32.37) определяют излучательность газа в свободное
пространство (пустоту) (свободное.пространство можно рассматривать
как черное пространство при 0 К). Но газовое пространство всегда
ограничено поверхностью твердого тела, в общем случае имеющей
температуру 7’cr =# 7\ п коэффициент черноты е,., < 1. Следовательно,
оболочка обладает- собственным излучением (обычно в пределах всех
длин волн), часть которого (в пределах полос АК) поглощается га-
зом. Это обстоятельство должно быть учтено.
* t'r = /v!r /Wjg-i), где Л1,Е д, — излучательность черного тела при температуре
газа, Л1Г —излучательность газа.
399
Поэтому излучательность газа, компонентами которого являются
СО2 и Н2О (газообразные продукты сгорания), к оболочке серого
тела определяют по формуле
Коэффициент черноты газа при температуре газа определяют
по формуле
fir ~ есо2 4- Ре на-
значения степени черноты есо2 и еца0 в зависимости от темпера-
туры при различных значениях параметра ptl приведены на рис. 32.11
400
и 32.12. Поправочный коэффициент р определяют по графику на
рис. 32.13.
Полосы излучения и поглощения для СО2 и Н2О несколько пере-
крывают друг друга (см. табл. 32.1), в связи с чем часть энергии,
излучаемой одним газом, поглощается другим. Поэтому коэффициент
черноты смеси углекислого газа и водяного пара при температуре
стенки определяют по формуле
Ог —ьсолНщо —Лог»	(32.42)
где Де,. — поправка, учитывающая указанное поглощение. Для газо-
образных продуктов сгорания обычного состава поправка Де.г состав-
ляет всего 2...4.% и ею можно пренебречь.
401
В формулу (32.40) входит так называемый, эффективный коэффи-
циент черноты оболочки ес'т, больший, чем ест, в связи с наличием
излучающего газа. Можно принять, что при ест = 0,8.,. 1,0 эффек-
тивный коэффициент черноты оболочки
eci =0,5 (естЦ-1).	(32.43)
Глава XXXIII
ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ МЕЖДУ ТВЕРДЫМИ ТЕЛАМИ
§ 33.1.	Теплообмен излучением между двумя телами
с плоскопараллельными поверхностями
Рассмотрим теплообмен излучением между двумя параллельными
серыми поверхностями с площадью А каждая, расстояние между
которыми мало сравнительно с их высотой и шириной. При этом
условии излучение каждой из них обязательно попадает на другую
(см. § 32.4).
Температура первой поверхности 7\, коэффициент излучения Сг
и коэффициент поглощения cq. У второй поверхности -- соответ-
ственно 7),, С., и а.,. Примем, что Т\ > Г2, а окружающая среда
диатермична.
Лучистый поток, переданный в результате теплообмена первой
поверхностью на вторую, по формуле (32.25)’ равен
Ф = Д(а2М1-а1Л12)/(1-р1р2).	(33.1)
Поверхностная плотность лучистого потока, переданного в резуль-
тате теплообмена первой поверхностью на вторую,
<7 = ФМ = (а2/И1--а1Л42)/(1 -Р1р2),	(33.2)
где ах и а2 — коэффициенты поглощения первой и второй поверх-
ности; Р1 и р2 — коэффициенты отражения первой и второй поверх-
ности; Лф и Л42 — излучательности первой и второй поверхности,
-402
Знаменатель в уравнениях (33.1) и (33.2) может быть представлен
в следующем виде:
1 — Р1Р2= 1 — (1 — «1)(1 — а2) = а1+®2 — а1а2-	(а)
Подставляя это выражение в уравнение (33.2), получаем
q = (а2М! —	+ а2 - ад).	(33.3)
Согласно формуле (32.23),
Л^СДТ^/ЮО)4,	(б)
М2 = С2 (Д./100)4,	(в)
учитывая, что для серых тел a = e = C/Cs ъ получаем
_	С, (Л/100? (Сг/С^-СНТг 100)» (С,/^)	, .
4	^/Свл + Сг/е.г-^С^л	’	'
Разделив числитель и знаменатель па	окончательно
будем иметь
q = ф/Д = Спр [(7\/!00)4 - (Т2/100)4],	(33.4)
где Спр — приведенный коэффициент излучения:
• (33'5)
Полученная зависимость (33.1) показывает, что поверхностная
плотность результирующего лучистого потока между двумя парал-
лельными поверхностями равна произведению приведенного коэффи-
циента излучения и разности термодинамических температур в чет-
вертых степенях.
Если бы рассматриваемые поверхности были черными, то
Спр = Се-1’
Результирующий лучистый поток
Ф = qA = С,,рД [(7\/100)4 - (Т2/100)4].	(33.6)
§ 33.2. Теплообмен излучением между телами,
одно из которых заключено внутри другого
Рассмотрим случаи, когда тело I с площадью наружной поверх-
ности Aj окружено со всех сторон другим телом II с площадью
внутренней поверхности Д2, как это схематически показано на
рис. 33.1. Поверхность внутреннего тела выпуклая, а наружного—
вогнутая. Пространство между телами диатермичпо. Температура
поверхности внутреннего тела 7\, коэффициент излучения Сх и коэф-
фициент поглощения av
Для второго тела температура поверхности Т^, коэффициент излу-
чения С2 и коэффициент поглощения а2.
403
Площадь поверхности внутреннего тела AL не равна площади
поверхности А2 внешнего тела, поэтому в отличие от случая, разоб-
ранного в предыдущем параграфе, следует рассматривать не поверх-
ностные плотности лучистых потоков, а сами лучистые потоки Ф = МА.
Лучистый поток, переданный в результате теплообмена между
телами, равен
Ф12 = Фх — <р21Ф2,
(33.7)
где <р21 — средний угловой коэффициент излучения, показывающий,
какая доля теплового потока Ф2 попадает на поверхность первого
тела площадью Д.
Лучистый поток (1 — (р21)Ф2, минуя первое тело, попадает на
свою же поверхность площадью А2.
Лучистый поток внутреннего тела складывается из потока соб-
ственного излучения MiA и той части падающего на него лучистого
потока от второго тела, которую первое
тело отражает:
<1>х - -	(1 — ссх) <р.г1Ф2. (33.8)
Лучистый поток второго тела состоит
из потока собственного излучения М2А2,
отраженной части падающего на него по-
тока Ф1 и отраженной части потока
(1 — Ф21)Ф-2 самого же второго тела:
Рис. 33.1
Ф2 - М,Л2 -|- (1 — а2)Ф1 +
(1--«0(1-<р21)Ф2.	(33.9)
Решая уравнения (33.8) и (33.9) относительно Ф] и Ф2, получаем:
АЛЛ, [а2 + (1 —«а) tp2i + МаЛ2ф21 (1 —оф]
«а + дща, (1 — а2)
ф _ А12Л2 + Al; Л [ (1 — д.2)
2 “а Н фа;»; (1 — -а2)	’
(33.10)
(33.11)
Подставляя значения Фх и Ф2 в исходное уравнение (33.7), получим
Ф» = «. + ф„с'(1-дг)	(33.12)
Заменяя собственные излучения обоих тел и М., по закону
Стефана — Больцмана и учитывая, что для серых тел a = C/Ce_lt
после преобразований- получаем
#12 = ^-! и------------!--------[(Г1/100)М1 + (р21(7’2/100)4Л3]. (33.13)
- - + <Pai (1/а2 — 1)
В уравнении помимо Ф12 неизвестной величиной является средний
угловой коэффициент излучения ф21. Коэффициент ср21 не зависит от
температур тел, поэтому он может быть определен из условия равен-
404
ства температур обоих тел	В этом случае Ф12 = 0, тогда
— ф.21Л2 = 0, откуда получаем
<p2l -= Ау/А2.	(33.14)
Подставляя найденное значение <р21 в уравнение (33.3), оконча-
тельно имеем
Ф12 = C12Aj [(Л/ЮОГ - (Г2/100)Ч,	(33.15)
где С12 — приведенный коэффициент излучения системы, определяемый
равенством
13 “ 1/CiH- (4,M2) (1/С2 — 1/Се_.д) •
(33.16)
Формулы (33.15) и (33.16) могут быть применены для тел любой
формы при условии выпуклости меныпего тела. При малых значе-
ниях отношения Ау/А, значение величины С12 приближается к Clt
в этом случае можно принять Ау/А.2 = О и С12^=Су.
§ 33.3. Защита от теплового излучения—экраны
Для уменьшения результирующего лучистого потока при тепло-
обмене излучением между двумя тягами применяют экраны. Обычно
экран представляет собой тонкостенный лист между
поверхностью и поверхностью, защищаемой от из-
лучения.	1
Рассмотрим две бесконечной протяженности
плоскопараллельные поверхности с температурами
Ту и Т2. Между поверхностями параллельно им т
расположен экран — плоский тонкий лист, терми- f
ческим сопротивлением которого можно пренебречь
(рис. 33.2). При стационарном режиме темпера-
тура экрана будет постоянной и равной 7\.
Воспользуемся формулой (33.4). Поверхност-
ная плотность лучистого потока, переданного от
первой поверхности на экран,
излучающей
7,, С'ьКЛ KW (7\/100)4].	(д)
Поверхностная плотность лучистого потока, переданного от экрана
на вторую поверхность,
^-C2s[(Ts/100)^-(T2/100y].	(е)
При установившемся тепловом состоянии ql3 = q92 = q'.
Рассмотрим частный случай, когда коэффициенты излучения обеих
поверхностей одинаковы; С1-^С2-=С, а коэффициент излучения для
экрана (на каждой из сторон его) равен С3.
405
Тогда по формуле (33.5)
С___________1	.
V ~~ 1/с+ 1/гэ - i/ce. г ’
(' —__________1______
23 - l/^ + l/C -l/Ce..! ’
1 . е • 1 g ~	2 g	.
Следовательно,
(Л/100)1 == 0,5 [(Л/100)4 - (Т2/100)Ч,	(ж)
q' = 0,5(7' [(Л/ЮО)1 - (П/100)4].	(з)
Если бы экран отсутствовал, то поверхностная плотность лучи-
стого потока определялась бы по формуле
д = С11р[(7\/100)1--(Т2/100)4],	(и)
где
1'Ся-1.'С2-Л7ёГ7 
Сравнивая выражения (з) и (и), заключаем
q' ~ 0,5qC'/C^.	(л)
В случае, когда С1 = С2==СЭ, имеем С' = С„р и
q’^-Ofiq.	(33.17)
Полученные соотношения выясняют роль экрана: включение одного
экрана (при Ci^-C., = C3) вызывает уменьшение результирующего
лучистого потока в два раза, т. е. с помощью экрана осуществляется
защита от излучения.
Формулу (33.13) легко обобщить на п параллельно поставленных
экранов:
g' = g/(«+l).	(33.18)
§ 33.4. Теплообмен йзлучением между двумя телами,
произвольно расположенными в пространстве
Теперь рассмотрим общий случай расположения излучающих
поверхностей, схематически показанный па рис. 33.3, Примем, как
и в предыдущих параграфах, что рассматривается серое излучение
и что среда, заполняющая пространство между поверхностями, диа-
термична. Кроме того, будем счцтать, что поверхности излучающих
тел обладают настолько большим коэффициентом поглощения; что
отраженным излучением можно пренебречь.
Параметры поверхности /: температура Тъ излучательность и
коэффициент черноты для поверхности // — соответственно 7\,
/И2 и е2. Рассмотрим элементарные площадки dAt и dA2 этих поверх-
ностей и будем считать, что расстояние между центрами их, равное г,
велико сравнительно с размерами элементарных площадок. Углы,
406
образуемые нормалями пг и п2 с направлением г, соответственно
равны <рх и <р2.
Лучистый поток, согласно уравнению (32.32), от элемента поверх-
ности площадью dAt на элемент поверхности площадью dA2 равен
62Фх = cos Ф1 d®	(а)
В данном случае телесный угол (т. е. угол, под которым
виден из точки 1 элемент площади dA2) определяется по формуле
dQj --= d/l2 cos ср2/г2.	(б)
Следовательно,
6«Ф1 =	dЛг dA2. (В)
Лучистый поток, поглощен-
ный элементом площадью сМ2,
б2ф1	dA..
1 “ я	Г“	1
(г)
Аналогичным образом опреде-
ляем лучистый поток, поглощен-
ный элементом площади dAx:
6зф 2^ cos^om,2^
1 1 Л	Г2	1
(д)
62Ф12 —62Ф.2 1==62Фгг и представляет собой лучистый поток, который
элемент площадью dA1 излучением передал элементу площади dA2
62Ф12 - (Мл - Л4а/61)
(е)
Используя закон Стефана — Больцмана и формулу (32.23), получим
62(1>],--Сир[(Г1/100)4-(Г2/100)1]-—(33.19)
где. Спр = CjCo/Cg,! —приведенный коэффициент излучения между
двумя поверхностями с площадями dA2 и dA2.
Поел?, двукратного интегрирования по Ау и А2 уравнения (33.19)
получим формулу для определения лучистого потока, переданного
излучением всей поверхностью площадью Аг на всю поверхность
площадью А.2:
Ф12 = Спр[(Г1/100Г-(Л/100)4] рА J	(33.20)
л, а2
Таким образом, определение лучистого потока Ф12 по существу
сводится к вычислению двухкратного интеграла, поскольку темпе-
ратуры и коэффициенты черноты рассматриваемых поверхностей счи-
таются заданными.
407
'Для удобства расчетов формулу (33.20) обычно записывают в сле-
дующем виде:
Ф12 = СпрЛр [(7\/100)* - (Л/100)*] Ф12>	(33.21)
где Ар — условная расчетная площадь поверхности теплообмена;
Ф12 —средний угловой коэффициент.
Средний угловой коэффициент является геометрической характе-
ристикой системы и зависит от размеров, формы и взаимного рас-
положения излучающих друг на друга поверхностей:
ф12	' f I*	ф'аДр (33.22)
Пп J	с»	ЛИ	dp V
1 А, А2	At
Угловой коэффициент ср' показывает, какая доля полусферического
излучения элемента площадью аА1 попадает на поверхность пло-
щадью А2. Значение же <р13 является усредненным значением ср' по
всей поверхности площадью
Вычисление углового коэффициента можно производить графи-
ческим или графоаналитическим способом. В сложных случаях этот
коэффициент определяют экспериментально. Для некоторых частных
случаев лучистого теплообмена значения угловых коэффициентов
приводятся в справочной литературе.
Глава XXXIV
ТЕПЛООБМЕННЫЕ АППАРАТЫ
§ 34.1. Типы теплообменных аппаратов
Теплообменным аппаратом называется устройство, в кото-
ром жидкость более высокой температуры передает теплоту другой
жидкости более низкой температуры. Если передача теплоты проис-
ходит без изменения агрегатного состояния (при отсутствии кипения
или конденсации), то температуры обеих жидкостей в процессе
теплопередачи изменяются.
Примерами теплообменных аппаратов являются паровые котлы,
воздухоподогреватели, экономайзеры, бойлеры, конденсаторы, водо-
подогреватели, маслоохладители и т. п.
По принципу работы теплообменные аппараты делятся на три
группы.
Рекуператорные аппараты (рекуператоры), в которых обмени-
вающиеся теплотой жидкости движутся одновременно и передача
теплоты происходит через разделяющие их стенки (поверхность тепло-
обмена). Такие аппараты являются наиболее распространенными.
Регенераторные аппараты (регенераторы), в которых поверхность
теплообмена их но очереди омывается то горячей, то холодной
жидкостью. В таком аппарате при протекании через него горячей
жидкости температура увеличивается (накапливается энергия), а затем
при протекании через него холодной жидкости — уменьшается (аппарат
406
отдает ей аккумулированную энергию). Регенераторы главным обра-
зом используются в различного рода печах (мартеновских, доменных).
Обе группы указанных теплообменных аппаратов принадлежат
к категории поверхностных теплообменных аппаратов, так как теплота
в них передается сквозь поверхность теплообмена. В рекуператорах
это поверхность, отделяющая жидкости друг от друга, а в регене-
раторах — поверхность тех тел, которые аккумулируют энергию,
а затем отдают ее.
Смесительные аппараты составляют третью группу теплообменных
аппаратов. В этих аппаратах передача теплоты от горячей жидкости
к холодной происходит при непосредствен-
ном смешении обеих жидкостей. Понятно,
что в таких теплообменных аппаратах от-
падает надобность в применении поверх-
ности теплообмена.
Ограничимся рассмотрением только
наиболее распространенных рекуператор-
ных теплообменных аппаратов.
В зависимости от взаимного направле-
ния потока горячей и холодной жидкости
различают три основные схемы движения
жидкостей:
если обе жидкости движутся параллель-
но в одном направлении, то схема движения
называется прямотоком (рис. 34.1,а);
если обе жидкости движутся параллель-
но, но в противоположных направлениях,
то схема движения называется противо-
током (рис. 34.1,6);
если одна жидкость движется в напра-
влении, перпендикулярном другой, то схе-
ма движения называется перекрест-
ным током (рис. 34.1,в).
Рис. 34.1
Кроме указанных основных так называемых простых схем исполь-
зуют сложные схемы, являющиеся различными комбинациями простых
схем.
При многократно перекрестном токе общее направле-
ние перемещения жидкости, движущейся внутри змеевика, может
либо совпадать с направлением движения другой жидкости переме-
щающейся снаружи змеевика (прямоток), либо быть противоположным
(противоток). На рис. 34.2, а показан случай прямотока.
В случае последовательно смешанного тока
(рис. 34.2, б,в) поверхность теплообмена состоит из двух участков.
На первом участке осуществляется перекрестный ток, однако общее
направление перемещения жидкости, движущейся внутри змеевика,
совпадает с направлением движения другой жидкости (прямоток).
На втором участке общее направление перемещения жидкости, дви-
жущейся внутри змеевика, меняется на противоположное (про-
тивоток).
409
В схеме с параллельно смешанным током
(рис. 34.2, г, д, е) осуществляется параллельное движение жидко-
Рис. 34.2
стей, но часть поверхности теплообмена используется по прямоточной
схеме, а другая часть —по противоточной схеме.
§ 34.2. Тепловой баланс теплообменного аппарата
Основу теплового расчета поверхностного теплообменного аппарата
составляют уравнение теплового баланса и уравнение теплопередачи.
Уравнение теплового баланса при отсутствии тепловых потерь
в окружающую среду — т( пловой поток от жидкости более высокой
температуры равен тепловому потоку к жидкости с более низкой
температурой Ф2 (Фг = Ф2 — Ф):
ф == niXicpm,	/?О. Рртг (Д-/2)	'	(34.1)
илп
Ф mT1 (i't — if) — /?zr, (if — i'i),	’	(34.2)
где Ф —тепловой поток; mt —массовый расход жидкости; ^„„ — сред-
няя удельная теплоемкость жидкости при постояннЪм давлении;
/ — температура жидкости; / — удельная энтальпия жидкости.
При выражении / в °C, срт в Дж/(кг  К), тх в кг/с i в Дж/кг
Ф выразится в Вт.
Нижним индексом «1» отмечены величины, относящиеся к жидкости
более высокой температуры, «2» —к жидкости более низкой темпе-
ратуры.
. Верхним индексом «штрих» помечены температура и удельная
энТальпия жидкости при входе в теплообменный аппарат; «два
штриха» —те же параметры жидкости при ее выходе из аппарата.
Обозначим произведение массового расхода жидкости на среднюю
удельную теплоемкость w = mxcpnt и разность температур жидкости
на входе Д/х = — i’i и выходе -Д/г = /f — if из теплообменного аппарата.
410
Тогда уравнение теплового баланса (34.1) можно записать так:
ау1Д(1 = и»аД^2.	(34.3)
Из уравнения (34.3) следует
Д^/Д/з = ьу2/^1.
(34.4)
Из соотношения (34.4) получаем, что изменения температур жидко-
стей обратно пропорциональны произведениям их массовых расходов
на удельные теплоемкости.
Введем обозначения для
разностей удельных энталь-'
пий жидкостей: Az'j = i'J — i'[ и
Д;'а = i", — ё..
Тогда уравнение теплового
баланса (34.2) можно запи-
сать так:
m^Mt = тх,М2. (34.5)
Из уравнения (34.5) следует
M2lMl = mxJme2, (34.6)
т. е. изменения удельных эн-
тальпий жидкостей обратно
пропорциональны их массовым
расходам.
Уравнения (34.1), (34.3) и
(34.4) можно применять толь-
ко в случае отсутствия фазо-
вых превращений (кипения, конденсации) одной или обеих жидкостей
в теплообменном аппарате, а уравнения (34.2), (34.5) и (34.6) —для
всех случаев теплообмена при наличии или отсутствии фазовых
превращений жидкости.
. На рис? 34.3 показаны характерные кривые изменения темпера-
тур жидкостей при движении их вдоль поверхности нагрева пло-
щадью А в зависимости от отношения wx/w2 для прямотока и про-
тивотока. В соответствии с формулой-(34.4) наибольшее изменение
температуры А/ происходит у того теплоносителя, у которого про-
изведение массового расхода на удельную теплоемкость тхсрт меньше.
§ 34.3.	Температурный напор
Уравнение теплопередачи для теплообменного аппарата в соот-
ветствии с формулой (23.3)
Ф = ЫД/т,	(34.7)
где Ф — тепловой поток от жидкости с более высокой температурой
к жидкости с более низкой температурой сквозь разделяющую их
поверхность теплообмена; k — коэффициент теплопередачи; Л —пло-
щадь поверхности теплообмена; Д(т-средняя разность температур
411
жидкостей, называемая температурным напором и зависящая в ос-
новном от их начальных и конечных температур и схемы теплооб-
мена (прямоточной, противоточной, перекрестной, смешанной и др.).
При выражении k в Вт/(м2-К), А в м2, Д/т в °C Ф выразится
в Вт.
Определим температурный напор Atm для общего случая тепло-
передачи, когда температура жидкостей меняется вдоль поверхности
теплового обмена (рис. 34.3).
Для этого рассмотрим теплообменный аппарат, работающий в ста-
ционарном режиме по схеме противотока (рис. 34.4, а) или по схеме
прямотока (рис. 34.4, б). Для элементарной площади dA поверх-
ности теплообмена, удаленного от начала поверхности на размер х,
можно написать уравнение теплопередачи (34.7) и уравнение тепло-
вого баланса (34.1).
Поскольку при стационарном режиме тепловые потоки для обеих
жидкостей равны, то уравнение теплового баланса можно записать
в дифференциальной форме:
а)	для случая противотока
6Ф = — W1 dlt = — w2 dt2;	(a)
б)	для случая прямотока
6Ф == — W1 dt1 — w2 dt2.	(6)
Знаки плюс или минус у dt2 и dt2 выбираются в зависимости
от направления движения жидкостей. Так, при противотоке при уве-
личении площади поверхности теплообмена на dA температуры и
t2 уменьшаются, а при прямотоке температура t2 увеличивается в то
время, как температура уменьшается.
В дальнейшем рассмотрим только случай противотока. Из урав-
нения (а)
Л^-бФ/г^,	(в)
dt2 = - 6Ф/ш2.	(г)
Вычитая почленно равенство (г) из равенства (в), получаем
d(^-/3) = -6Ф(1/ау1-1/даа).	(д)
412
С другой стороны, в соответствии с уравнением (34.7)
№ = kdA (h-Q.	(е)
После подстановки (е) в (д) получаем
— kdA (^-Q (l/ffi\- 1/ад,).	(ж)
Разделяя переменные, интегрируем в пределах изменения раз-
ности температур от —до /2 = v2 и А от 0 до А:
—	= /г(1/шх — 1/йУа) \ dA,	(з)
J Ч “ ч	♦ ’
Vi	О
In (vx/v2) = kA (1/ayj— 1>2).	(и)
Подставляя значение kA из (34.7) в формулу (и), получаем
In	— (Т) И !тп\ — 1 /тл»,\/\t—
ИЛИ
д^ = -йГ(^мГ-	('<)
Интегрируем уравнение (а) в пределах изменения температур
tL и t-i-
Ф/ш1 = ti-tl,	(л)
Ф/Ш2 = t'i -г- t'i-	(м)
Подставив выражения (л) и (м) в уравнение (к), получим окон-
чательную расчетную формулу для определения средней разности
температур Д/,п:
(34-8)
где Vj = t\ — t'> и v2 =	— для противотока.
В случае прямотока порядок вывода и окончательное выражение
для Д/„, остаются прежними, но для прямотока vx = t\ — t'., и v2 =
Таким образом, при переменных температурах жидкостей для
расчета теплопередачи вместо уравнения (23.3) следует применять
уравнение (34.7), определяя температурный напор (среднюю разность
температур) Д/ш по уравнению (34.8).
Величина \tm называется средней логарифмической
разностью температур пли среднелогарифмиче-
ским температурным напором.
Часто формулу для средпелогарифмпческого температурного на-
пора записывают в таком виде:

V» —ум
In (V(j/V4) 
(34.9)
413
В этой формуле вне зависимости от схемы (противоточной или
прямоточной) v6 означает наибольший, a vM — наименьший темпера-
турный напор между жидкостями.
Если температура (рис. 34.5) одной из жидкостей в пределах
поверхности теплообмена остается постоянной и равной температуре
t, фазового превращения (испарения, конденсации), то среднелога-
рифмический температурный напор определяют по формуле, получа-
емой из выражения (34.9):

(34.10)
где t' и i" — температура при входе и при выходе жидкости перемен-
ной температуры *.
При А/6/Д/м^1,7, как было указано (см. § 26.2), среднелогариф-
мический температурный напор с достаточной точностью может быть
заменен среднелогарифми-
ческой разностью темпе-
ратур:
Л/т = 0,5 (Л/б + Л4).
(34.11)
При любых значениях
температуры и любых зна-
чениях произведений мас-
сового расхода на удельную
теплоемкость т2с,!1П наи-
больший возможный температурный напор &tm достигается при исполь-
зовании противоточной схемы и наименьший напор — при прямотоке
(при прочих равных условиях), в связи с чем рекомендуется приме-
нение противоточной схемы. Однако при этом необходимо учесть, что
при противотоке поверхность теплообмена на начальном участке ее
находится в худших температурных условиях, чем при прямотоке,
так как этот участок омывается жидкостями, имеющими наибольшие
температуры и t"2y По этой причине (а иногда по конструктив-
ным соображениям) в некоторых случаях применяют прямоточную
схему или сложную, подобную изображенной на рис. 34.2, б (напри-
мер, в пароперегревателях с высокой температурой перегретогс? пара).
Среднелогарифмический температурный напор для любой смешан-
ной схемы движения теплоносителей всегда меньше, чем при проти-
вотоке, и больше, чем при прямотоке.
При перекрестной схеме и сложных схемах движения теплоноси-
телей задача нахождения среднего температурного напора требует
длительных математических выкладок, в связи с чем обычно исполь-
зуют упрощающие расчет графики. Для любой схемы теплообмена
можно написать
^tm	Пр01,
(34.12)
* См. также формулу (26.7).
414
где 8Д/ — поправочный коэффициент, меньший единицы, выбираемый
из графика. Значение ед/ можно представить как функцию двух без-
размерных параметров Р и R-.
р = (/; - /;.)/(/; - /') = д/../д/',	(34.13)
7? = (/;-r1)/(^-A9 = A^W2-
(34.14)
Разности температур А/1( А/2 и А/' приведены на рис. 34.6. Та-
ким образом, расчет сложных схем можно свести к определению
(А/,л)Прог по формуле (34.6) и по-
правочного коэффициента ед/ по
графику в зависимости от значе-
ний Р и R.
На рис. 34.7 дан график
функции еы—[(Р, R) для пере-
крестной схемы движения, когда
одна из жидкостей движется пер-
пендикулярно пучку параллель-
ных труб, внутри которых дви-
жется вторая жидкость. В при-
ложении 14 даны графики ед< —
= f (Р, R) для часто встречающих-
ся сложных схем.
В основное уравнение теплопередачи (34.7) входит коэффициент
теплопередачи k, вычисление которого производится в соответствии
с изложенным в § 23.1... 23.3. Обычно при расчете теплообменных
аппаратов считают k = const, поскольку коэффициенты теплоотдачи,
Рис. 34.7
«1 и а2 определяют по средней температуре жидкости или по сред-
ней температуре стенки. Для жидкости с большим значением W тем-
пературу tn0T1 принимают как среднеарифметическую из крайних
значений, а для жидкости с меньшим значением W среднюю темпе-
ратуру /пог2 подсчитывают по формуле
^пота — ^noTi—A/m.	(34.15)
415
§ 34.4. Основные положения по конструированию теплообменных
аппаратов
Целью теплового расчета теплообменного аппарата при его кон-
струировании является определение площади поверхности теплооб-
мена, необходимой для обеспечения заданного теплового потока. При
тепловом расчете аппаратов основными расчетными уравнениями яв-
ляются уравнение теплового баланса (34.1) или (34.2) и уравнение
теплопередачи (34.7). Для решения этих уравнений надо определить
коэффициент теплопередачи k и среднелогарифмический температур-
ный напор Д(т, для чего вначале выбирают скорость и направление
движения жидкостей и их распределение в аппарате, тип поверхно-
сти теплообмена и затем производят предварительную компановку
поверхности теплообмена.
При выборе расчетных скоростей жидкостей необ-
ходимо стремиться к получению развитого турбулентного режима,
так как это позволяет повысить коэффициент теплоотдачи. Однако
следует иметь в виду, что применение слишком высокой скорости
жидкости может привести к большим гидравлическим сопротивлениям,
что является нежелательным.
Скорости жидкостей в судовых теплообменных аппаратах реко-
мендуется принимать в следующих пределах (м/с):
Перегретый пар ..........................................40...	80
Насыщенный пар................................................20...	60
Охлаждающая вода в	трубках	конденсаторов.1,8... 3,0
Охлаждающая вода в	трубках	масло- и водоохладителей . .0,4... 1,2
Топливо в трубках топливонодогревателей ................0,4...	1,0
Газообразные продукты сгорания и воздух в трубках возду-
хоподогревателей	.................................... 5...	15
Вода в водяном экономайзере.............................0,3...0,8
Скорость воздуха в межтрубном пространстве теплообменного
аппарата принимают в пределах 5... 20 м/с, а скорость капельных
жидкостей —от 0,1 до 1,0 м/с.
Направление движения теплоносителей. Для умень-
шения площади поверхности теплообмена при отсутствии изменения
агрегатного состояния жидкости желательно применять в теплооб-
менных аппаратах противоточное движение жидкостей. При кипении
жидкости или конденсации пара хотя бы с одной стороны поверх-
ности теплообмена все схемы движения принципиально равноценны.
При выборе продольной или поперечной схемы омывания трубок
жидкостью необходимо стремиться к выравниванию коэффициентов
теплоотдачи для обеих жидкостей. При этом следует иметь в виду,
что при отношении Nu/Pr0-4 > 5,8 выгоднее продольное, а при
Nu/Pr0'4 < 5,8 — поперечное омывание,
Однако вопрос о том, какой из теплоносителей направлять по
трубкам, а какой — в межтрубном пространстве, следует решать в за-
висимости от ряда факторов. Так, например, с точки зрения приме-
няемого давления целесообразно жидкость с большим давлением на-
правлять по трубкам, что позволит уменьшить массу корпуса аппа-
416
рата. Необходимо также иметь в виду и эксплуатационные требования
с точки зрения отложения загрязнений, удобства очистки от них
и т. д.
Оребрение поверхности теплообмена применяют,
как уже указывалось, для выравнивания термических сопротивле-
ний теплоотдачи в тех случаях, когда с одной стороны поверхности
теплообмена наблюдаются большие значения коэффициента теплоот-
дачи, а с другой — малые.
Так, например, в водяных
экономайзерах коэффициент теп-
лоотдачи с водяной сторо-
ны а2 = 2000... 5000 Вт/(м2 К),
а с газовой стороны tXj =
= 10... 30 Вт/(м2 • К). Для ин-
тенсификации теплообмена в та-
ких аппаратах увеличивают пло-
щадь поверхности теплообмена
со стороны газообразных про-
дуктов сгорания за счет ее
оребрения. Степень оребрения
поверхности выбирают, исходя
из соотношения значений а, и а2.
Если значения а, и а2 малы,
то оребрение выполняют с обеих
сторон.
Разбивка трубок.
В корпусе теплообменного аппа-
рата применяют следующие раз-
бивки (расположения) трубок:
а) шахматную (рис. 34.8, а)
с пременением следующих отно-
сительных шагов: Ijd =1,5.. .3,0
и l2/d = 1,0... 2,2. Частным
случаем шахматной разбивки
труб является треугольная
(рис. 34.8, б) с размещением осей трубы в вершинах равносторон-
него треугольника, . сторона которого /1 = /2. Этот вид разбивки
труб позволяет разместить на одной и той же площади при одном
и том же шаге наибольшее число трубок. При этой разбивке
относительные расстояния между осями труб можно выбирать в пре-
делах от 1,3 до 2,5;
б) коридорную (рис. 34.8, в) с применением следующих отно-
сительных шагов- /,/41 = 1,3.. .2,0, l2/d = 1,3... 2,0. Частным случаем
коридорной разбивки является квадратная (рис. 34.8, г) с располо-
жением осей трубок в вершинах квадрата (со стороной, равной шагу:
( = /, = /,);
в) по концентрическим окружностям (рис. 34.8, д),
расположенным одна от другой на расстоянии шага /2. Разбивка
трубок .по этим окружностям делается обычно с шагом
14 Зак. 49
417
Выбрав тип поверхности теплообмена и направление движения
теплоносителей, производят компоновку аппарата. Так, например,
при проектировании трубчатого аппарата, задавшись скоростью жид-
кости, протекающей внутри труб, определяют число труб одного
хода. Выбрав число ходов и расположение труб в корпусе (шахмат-
ное, коридорное и т. д.\ производят разбивку труб по поперечному
сечению аппарата, задаваясь относительными шагами. Далее опреде-
ляют скорость жидкости внутри корпуса теплообменного аппарата.
При поперечном омывании поверхности теплообмена и при получе-
нии скоростей ниже рекомендованных необходимо предусмотреть
установку поперечных перегородок.
По значению теплового потока в аппарате из уравнения тепло-
вого баланса (34.1) определяют значения температур на входе и вы-
ходе из него, а затем среднелогарифмический температурный напор
(34.9).
Определив по соответствующим критериальным уравнениям коэф-
фициенты теплоотдачи для внутренней и наружной поверхностей теп-
лообмена, находят коэффициент теплопередачи. Необходимую по-
верхность теплообмена определяют из уравнения теплопередачи.
§ 34.5. Гидромеханический расчет
теплообменного аппарата
При движении жидкости всегда возникают силы сопротивления
этому движению. Поэтому при проектировании теплообменного ап-
парата нужно определить не только площадь поверхности теплообмена,
но и гидравлические сопротивления, которые будут определять затраты
энергии па привод вентилятора или насоса, подающего жидкость
в аппарат.
Гидравлические сопротивления, как и коэффициент теплопередачи,
зависят от скорости жидкостей в аппарате. С увеличением скорости
возрастает коэффициент теплоотдачи, что приводит к уменьшению
площади поверхности теплообмена, но одновременно увеличивается
гидравлическое сопротивление, что обусловливает возрастание затрат
энергии на обеспечение движения жидкостей в теплообменном аппа-
рате. В связи с этим скорости жидкостей в аппаратах следует выби-
рать в оптимальных пределах, исходя из стоимости теплообменного
аппарата и стоимости энергии на привод насоса или вентилятора,
обслуживающего теплообменный аппарат. Рекомендуемые значения
скоростей жидкости в теплообменных аппаратах были приведены
в § 34.4.
Полное гидравлическое сопротивление аппарата при неизотерми-
ческом движении жидкости через теплообменный аппарат определяют
по формуле
Ар —Apip4-ApM-j-Apy-|-Apc,	(34.16)
где Артр — сопротивления трепня; Арм —местные сопротивления; Ару—
гидравлические сопротивления, обусловленные ускорением потока
4L8
вследствие неизотермичности процесса теплообмена; Дрс —потери дав-
ления на преодоление самотягн.
Гидравлические сопротивления трения, возника-
ющие при продольном и поперечном омывании поверхности тепло-
обмена, различны.
При турбулентном неизотермическом течении жидкости в трубах
и каналах гидравлические сопротивления определяют по формуле
= <34-17)
где g — безразмерный коэффициент сопротивления трения; / — длина
канала; с/э — эквивалентный диаметр.
При выражении / и d3 в м, р в кг/м3, w в м/с Дргр выразится
в Па.
Коэффициент сопротивления трения зависит от режима течения
теплоносителя, чистоты поверхности и направления теплового потока.
Для турбулентного режима при высоте выступов шероховатости
меньше толщины пограничного слоя коэффициент трения вычисляют
по формуле
При поперечном обтекании пучков труб гидравлические сопро-
тивления следует рассматривать как суммарное сопротивление трения
и местных сопротивлений. При этом основную долю здесь состав-
ляют местные сопротивления расширения и сужения потока. Гидрав-
лические сопротивления различных пучков труб при поперечном их
обтекании определяют по формулам, приведенным в табл. 34.1.
Местные сопротивления в теплообменном аппарате скла-
дываются из сопротивлений, возникающих в связи с изменением
площади сечения канала, изменением направления потока, обтеканием
препятствий:
Дрм = 5мрш2/2.	(34.19)
Коэффициент местных сопротивлений с,, зависит от вида пре-
пятствия, деформирующего поток. Значения коэффициентов местных
сопротивлений приводятся в специальной и справочной литературе.
Гидравлическое сопротивление, вызванное изме-
нением скорости жидкости вдоль поверхности теплообмена
вследствие изменения температуры жидкости при постоянной площади
сечения канала, определяют по формуле
Дру == p2i^/2 — ,0^1/2,	(34.20)
где и —скорости во входном и выходном сечениях канала;
pi и р2 —плотности жидкостей во входном и выходном сечениях.
Для капельных жидкостей гидравлическое сопротивление Д/?у
мало по сравнению с общим сопротивлением и им можно пренебречь.
14*
419
Т а б л и ц a 34.1
Формулы для расчета гидравлических сопротивлений
при поперечном обтекании пучков труб
Характеристика пучка	Расчетная формула
Шахматный гладкотрубный 6 • 10» < Re < 6 • 10»	При -k^i-^0,53 h/d — 1 Eu = l,4(H + l)Re-»-’s; l-d/h при -г--, г > 0,53 hid— 1 Eu = l,93(n+1)	7^zrRe^'26
Коридорный гладкотрубный 6 • 10» < Re < 6 • 10»	При'7^Тг51'0 hid— 1 Eu — 0,265 (j /1 Re”1; \ h/d — 1 / h/d-0,8	. ПР« Z1/d_i >1-0 Eu = 0,265 ( l2//d~ 0:8 У n Re"», s	\ h/d— 1 j / /. ///	 I	\ 0.1-38 где /72 = 0,88 (	:	0,1)	-1 \ h/d — 1	)
Шахматный из трубок с попе- речными круглыми и прямо- угольными ребрами 1 • 10» < < Re < 6  10»	При /j/d = /2/d = 2 Eu = 1,35л (lild)"’i:‘ (l/d) °’72 Re	. для тесного пучка Еи = 0,99л^-^ j Re11,2»
Коридорный из трубок с по- перечными круглыми и прямо- угольными ребрами 1 • 10» < < Re <6- 10»	При h/d = h/d —'2 Eu = 0,09л (й/d)""’(//d) -.we. для тесного пучка Eu = 0,085 (Л/d)0'3 (//d)-°’58
Примечание. В таблице приняты следующие обозначения: h> /2 и Гл~
поперечный, продольный и диагональный шаги; d—диаметр трубки; п — число
рядов; Л — высота ребер; / — шаг ребер.
Гидравлическое сопротивление на преодоление
с а мот-яг и рассчитывают по формуле
аРс = ±£(Р-Рв)/п	(34.21)
где р и рв —средние плотности жидкости и окружающего воздуха;
h — высота, на которую поднимается или опускается жидкость в тепло-
обменнике.
При движении жидкости сверху вниз сопротивление увеличива-
ется и в уравнении (34.21) применяют знак плюс. При движении
420
нагреваемой жидкости снизу вверх сопротивление уменьшается и
в'уравнении (34.21) применяют знак минус. Если теплообменный
аппарат не сообщается с окружающим воздухом и работает в замкну-
той системе, то Дрс = 0.
Определив полное гидравлическое сопротивление теплообменного,
аппарата и зная массовый расход жидкости, находят мощность насоса,
необходимую для подачи жидкости через аппарат:
Р = тгДр/(рр),	(34.22)
где тх — массовый расход теплоносителя; Др —полное гидравлическое
сопротивление аппарата; р —плотность теплоносителя; г) —к.п.д.
вентилятора или насоса.
При выражении тх в кг/с, Др в Па, р в кг/м3 Р выразится в Вт.
В результате выполненных тепловых и гидромеханических рас-
четов находят наивыгоднейшее соотношение между затратами на со-
оружение теплообменного аппарата, которые в основном зависят от
площади поверхности теплообмена, и расходами энергии на его
обслуживание.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Истинные удельные теплоемкости воздуха и азота
Воздух	— 28,970				Азот (N2		Mr = 28,013	
/, °C	ср* кДж/(кг-К)	кДж/(кг- К)	k=cp/cv	t, °C	кДж/(кг-К)	cv’ кДж/(кг-К)	k = cp/%
—50	1,0019	0,7147	1,402	—50	1,0387	0,7419	1,400
0	1,0032	0,7159	1,401	0	1,0387	0,7419	1,400
50	1,0057	0,7184	1,399	50	1,0400	0,7432	1,399
100	1,0098	0,7226	1,397	100	1,0421	0,7444	1,399
200	1 09 я 1	П 7DZ?n V, 1 u'JU	1,389	200	1,0517	0,7549	1,393
300	1,0446	0,7574	1,379	300	1,0693	0,7725	1,384
400	1,0680	0,7808	1,368	400	1,0911	0,7942	1,374
500	1 0919	Q 304'7	1 °57	500	1,1158	0,8189	1,362
600	1,1149	0,827'7	1,347	600	1,1396	0,8428	1,352
700	1,1355	0,8487	1,338	700	1,1618	0,8633	1,344
800	1,1547	0,8675	1,331	800	1,1824	0,8855	1,335
900	1,1706	0,8834	1,325	900	1,1999	0,9031	.1,329
1000	1,1844	0,8972	1,320	1000	1,2154	0,9186	1,323
1100	1,1970	0,9098	1,315	1100	1,2292	0,9324	1,318
1200	1,2079	0,9207	1,312	1200	1,2414	0,9445	1,314
1300	1,2179	0,9307	1,308	1300	1,2518	0,9550	1,311
1400	1,2267	0,9295	1,305	1400	1,2615	0,9646	1,308
1500	1,2347	0,9475	1,303	1500	1,2694	0,9726	1,306
Приложение 2
Истинные
удельные теплоемкости
кислорода и двуокиси углерода
Кислород (O2) Mr — 31,996				Двуокись углерода (СО2) М = 44,0079			
t, °C	CD’ кДж/(кг«К)	%’ кДж/(кг‘К)	к = cp!cv	t, еС	ср* кДж/(кг- К)	cv' кДж/(кг- К)	k = cp!cv
—50	0,9102	0,6502	1,400	—50	0,7612	0,5723	1,330
0	0,9136	0,6536	1,398	0	0,8173	0,6284	1,301
50	0,9215	0,6615	1,393	50	0,8688	0,6799	1,278
100	0,9328	0,6728	1,386	100	0,9156	0,7268	1,260
200	0,9630	0,7030	1,370	200	0,9948	0,8060	1,235
300	0,9948	0,7348	1,354	300	1,0601	0,8713	1,217
400	1,0237	0,7637	1,340	400	1,1137	0,9249	1,204
500	1,0480	0,7880	1,330	500	1,1585	0,9697	1,194
600	1,0689.	0,8089	1,321	600	1,1962	1,0073	1,188
700	1,0860	0,8260	1,314	700	1,2276	1,0387	1,182 .
800	1,0999	0,8399	1,309	800	1,2544	1,0655	1,177
900	1,1120	0,8520	1,304	900	1,2766	1,0877	1,174
1000	1,1225	0,8625	1,303	1000	1,2958	1,1070	1,171
1100	1,1317	0,8717	1,298	1100	1,3126	1,1237	1,168
1200	1,1401	0,8801	1,295	1200	1,3264	1,1376	1,166
422
Продолжение приложения 2
Кислород (О2) Мг~ 31,996				Двуокись углерода (СО2) Мг~			44,0079
/, °C	ср' кДж/(кг- К)	съ' кДж/ (кг- К)	k cp/cv	/, °C	ср’ кДж/(кг - К)	Cv' кДж/(кг - К)	k = cplcv
1300	1,1476	0,8876	1,293	1300	1,3389	1,1501	1,164
1400	1,1551	0,8951	1,290	1400	1,3494	1,1606	1,163
1500	1,1627	0,9027	1,288	1500	1,3590	1,1702	1,161
Приложение 3
Истинные удельные теплоемкости водорода и водяного пара
Водород (Н2) М--2,0159				Водяной пар (Н2О) Мг~ 18,014			
t, °C	ср' кДж/(кг-К)	кДж/(кг-К)	к = cp/cv	t, °C	ср’ кДж/(кг-К)	%’ кДж/(кг-К)	к = СР1%
—50	13,808	9,684	1,425				
0	14,189	10,065	1,410	0	1,8606	1,3992	1,330
50	14,365	10,241	1,403	50	1,8711	1,4097	1,327
100	14,436	10,312	1,400	100	1,8899	1,4285	1,323
200	14,499	10,375	1,398	200	1,9393	1,4779	1,312
300	14,532	10,408	1,396	300	2,0000	1,5386	1,300
400	14,578	10,454	1,394	400	2,0649	1,6035	1,287
500	14,658	10,534	1,392	500	2,1328	1,6714	1,276
600	14,779	10,655	1,387	600	2,2027	1,7413	1,265
700	14,938	10,814	1,381	700	2,2734	1,8120	1,255
800	15,118	10,994	1,375	800	2,3442	1,8828	1,245
900	15,320	11,196	1,369	900	2,4133	1,9519	1,236
1000	15,525	11,401	1,362	1000	2,4794	2,0180	1,229
1100	15,734	11,610	1,355	1100	2,5418	2,0804	1,222
1200	15,952	11,828	1,349	1200	2,6000	2,1386	1,216
1300	16,165	12,041	1,342	1300	2,6540	2,1926	1,211
1400	16,374	12,250	1,337	1400	2,7038	2,2424	1,206
1500	16,580	12,456	1,331	1500	2,7495	2,2881	1,202
Приложение 4
Теоретические функции воздуха
t, сс	т, к	1, кДж/кг	и, кДж/кг	/, °C	Т, к	i, кДж/кг	и, кДж/кг
—50	223,15	223,1	159,1	750	1023,15	1072,4	778,7
0	273,15	273,2	194,8	800	1073,15	1129,8	821,9
50	323,15	323,4	230,7	850	1123,15	1187,8	865,4
100	373,15	373,8	266,7	900	1173,15	1246,2	909,5
150	423,15	424,4	303,0	950	1223,15	1304,9	953,8
200	473,15	475,4	339,6	1000	1273,15	1363,9	998,5
250	523,15	526,9	376,7	1050	1323,15	1423,3	1043,6
300	573,15	578,8	414,3	1100	1373,15	1483,0	1088,9
350	623,15	631,3	452,5	1150	1423,15	1543,0	1134,6
400	673,15	684,5	491,2	1200	1473,15	1603,3	1180,5
450	723,15	738,1	530,6	1250	1523,15	1663,8	1226,6
500	773,15	792,4	570,5	1300	1573,15	1724,6	1273,1
550	823,15	847,3	611,1	1350	1623,15	1785,6	1319,7
600	873,15	902,8	652,2	1400	1673,15	1846,8	1336,6
650	923,15	958,8	693,9	1450	1723,15	1908,2	1413,7
700	973,15	1015,3	736,0	1500	1773,15	1969,9	1461,0
423
Приложение 5
Насыщенный водяной пар и вода на линии насыщения
р, МПа	г, °C	V', ма/кг	V", м3/кг	р", кг/м»	г', кДж/кг	Г', кДж/кг	г, кДж/кг	s', кДж/(кг-К)	S", кДжДкг-К)
0,001	6,92	0,0010001	129,9	0,00770	29,32	2513	2484	0,1054	8,975
0,002	17,51	0,0010014	66,97	0,01493	73,52	2533	2459	0,2609	8,722
0,003	24,10	0,0010028	45,66	0,02190	101,04	2545	2444	0,3546	8,576
0,004	28,98	0,0010041	34,81	0,02873	121,42	2554	2433	0,4225	8,473
0,005	32,88	0,0010053	28,19	0,03547	137,83	2561	2423	0,4761	8,393
0,006	36,18	0,0010064	23,74	0,04212	151,50	2567	2415	0,5207	8,328
0,008	41,54	0,0010085	18,10	0,05525	173,9	2576	2402	0,5927	8,227
0,010	45,84	0,0010103	14,68	0,06812	191,9	2584	2392	0,6492	8,149
0,011	47,72	0,0010111	13,40	0,07462	199,7	2588	2388	0,6740	8,116
0,012	49,45	0,0010119	12,35	0,08097	207,0 ’	2591	2384	0,6966	8,085
0,014	52,58	0,0010133	10,69	0,09354	220,1	2596	2376	0,7368	8,031
0,016	55,34	0,0010147	9,429	0,10600	231,7	2601	2369	0,7722	7,984
0,018	57,82	0,0010159	8,444	0,1185	241,9	2605	2363	0,8038	7,944
0,020	60,08	0,0010171	7,647	0,1308	251,4	2609	2358	0,8321	7,907
0,025	64,99	0,0010199	6,202	0,1612	272,0	2618	2346	0,8934	7,830
0,030	69,12	0,0010222	5,226	0,1913	289,3	2625	2336	0,9441	7,769
0,050	81,35	0,0010299	3,239	0,3087	340,6	2645	2204	1,0910	7,593
0,075	91,80	0,0010372	2,216	0,4512	384,5	2663	2278	1,2130	7,456
0,10	99,64	0,0010432	1,694	0,5903	417,4	2675	2258	1,3026 	7,360
0,12	104,81	0,0010472	1,429	0,6999	439,4	2683	2244	1,3606	7,298
0,14	109,33	0,0010510	1,236	0,8088	458,5	2690	2232	1,4109	7,246
0,16	113,32	0,0010543	1,091	0,9164	475,4	2696	2221	1,4550	7,202
, 0,20	120,23	0,0010605	0,8854	1,129	504,8	2707	2202	1,5302	7,127
0,26	128,73	0,0010685	0,6925	1,444	540,9	2719	2178	1,621	7,040
0,30	133,54	0,0010733	 0,6057	1,651	561,4	2725	'2164	1,672	6,992
0,40	143,62	0,0010836	0,4624	2,163	604,7	2738	2133	1,777	6,897
0,50	151,84	0,0010927	0,3747	2,669	640,1	2749	2109	1,860	6,822
0,60	158,84	0,0011007	0,3156	3,169	670,5	2757	2086	1,931	6,761
0,80	170,42	0,0011149	0,2403	4,161	720,9	2769	2048	2,046	6,663
1,о	179,88	0,0011273	0,1946	5,139	762,7	2778	2015 '	2,138	6,587
1,2	187,95	0,0011385	0,1633	6,124	798,3	2785	1987	2,216	6,523
1,4	195,04	0,0011490	0,1408	7,103	830,0	2790	1960	2,284	6,469
1,6	201,36	0,0011586	0,1238	8,080	858,3	2793	1935	2,344	6,422
1,8	207,10	0,0011678	0,1104	9,058	884,4	2796	1912	2,397	6,379
2,0	212,37	0,0011766	0,09958	10,041	908,5	2799	1891	2,447	6,340
2,5	223,93	0,0011972	0,07993	12,51	961,8	2802	1840	2,554	6,256
3,0	233,83	0,0012163	0,06665	15,00	1008,3	2804	1796	2,646	6,186
4,0	250,33	0,0012520	0,04977	20,09	' 1087,5	2801	1713	2,796	6,070
5,0	263,91	0,0012857	0,03944	25,35	1154,4	2794	1640	2,921	5,973
6,0	275,56	0,0013185	0,03243	30,84	1213,9	2785	1570,8	3,027	5,890
7,0	285,80	0,0013510	0,02737	36,54	1267,4	2772	1504,9	3,122	5,814
8,0	294,98	0,0013838	0,02352	42,52	1317,0	2758	1441,1	3,208	5,745
9,0	303,32	0,0014174	0,02048	48,83 .	1363,7	2743	1379,3	3,287	5,678
10,0	310,96	0,0014521	0,01803	55,46	1407,7	2725	1317,0	3,360	5,615
11,0	318,04	0,001489	0,01592	62,58	1450,2	2705	1255,4	3,430	5,553
12,0	324,63	0,001527	0,01426	70,13	1491,1	2685	1193,5	3,496	5,492
13,0	330,81	0,001567	0,01277	78,30	1531,5	2662	1130,8	3,561	5,432
14,0	336,63	0,001611	0,01149	87,03	1570,8	2638	1066,9	3,623	5,372
15,0	342,11	0,001658	0,01035	96,62	1610	2611	1001,1	3,684	5,310
16,0	347,32	0,001710	0,009318	107,3	1650	2582	932,0	3,746	5,247
18,0	356,96	0,001837	0,007504	133,2	1732	2510	778,2	3,871	5,107
20,0	365,71	0,00204	0,00585	170,9	1827	2410	583,0	4,015	4,928
22,0	373,7	0,00273	0,00367	272,5	2016	2168	152,0	4,303	4,591
Параметры критической точки:
давление рк = 22,129 МПа,
температура гк = 374,15СС,
удельный объем су =0,00326 м3/кг.
Значения удельного объема V, м3/кг, удельной энтальпии кДж/кг,
при различных значениях темпера
р, МПа		0°	60°	100°	160°	200е	
	V	0,0010002	30,73	34,43	39,98	43,68	
0,005	i	0,0	2612	2668	2803	‘ 2880	
	S	0,0000	8,549	8,764	9,047	9,219	
	V	0,0010002	15,35	17,20	19,98	21,83	
0,010	i	0^0	2611	2688	2802	2879	
	s	0,0000	8,227	8,442	8,727	8,897	
	V	0,0010002	0,0010171	8,584	9,977	10,905	
0,020	i	o'o	251,1	2687	2801	2879	
		0 0000	0,8307	8,120	8,406	8,576	
	V	0,0010002	0,0010171	5,713	6,645	7,264	
0,030	i	0,0	251,1	2685	2801	2878	
	s	0,0000	0,8307	7,931	8,217	8,388	
	V	0,0010002	0,0010171	4,282	4,982	5,447	
0,040	i	0,0	251,1	2684	2800	2878	
	s	0,0000	0,8307	7,798	8,086	8,256	
	V	0,0010002	0,0010171	3,420	3,982	4,355	
0,050	i	0,1	251,1	2683	2799 _	2877	
	s	0,0000	0,8307	7,693	7,981	8,152	
	V	0,0010001	0,0010171	1,695	1,984	2,172	
0,10	i	0,1	251,1	2676	2796	2875	
	s	0,0000	0,8307	7,361	7,654	7,828	
	V	0,0010000	0,0010170	0,0010434	0,9840	1,080	
0,20	i	0,2	251,2	419,0	2790	2870	
	s	0,0000	0,8307	0,1367	7,324	7,501	
	V	0,0010000	0,0010170	0,0010434	0,6512	0,7161	
0,30	i	0,3	251,3	419,1	2783	2864	
	s	0,0000	0,8304	1,3066	7,126	7,306	
	V	0,0009999	0,0010169	0,0010433	0,3839	0,4249	
0,50	i	0,5	251,4	419,1	2767	2854	
	s	0,0000	0,8302	1,3063	6,864	7,056	
	V	0,0009998	0,0010168	0,0010432	0,0011020	0,2998	
0,70	i	0,7	251,6	419,1	675,3	2844	
	s	0,0000	0,8301	1,3061	1,941	6,884	
	V	0,0009996	0,0010166	0,0010430	0,0011018	0,2060	
1,0	i	1,0	251,8	419,3	675,4	2827	
	s	0,0000	0,8298	1,3058	1,941	6,692	
426
i ' >
Приложение 6
и удельной энтропии s, кДж/(кг  К), для воды и перегретого пара *
туры /,ВС, и давления р, МПа
	2 4 (Г	30(Г	360°	400°	440’	500®	550е
	47,37 2958 9,376	52,92 3077 9,595	58,47 3198 9,796	62,16 3280 9,921	65,85 3363 10,042	71,39 3490 10,214	76,01 3598 10,351
	23,68 2957 У,056	26,46 3077 9,274	29,23 3198 9,475	31,08 3280 9,601	32,93 3363 9,722	35,70 3490 9,895	38,01 3598 10,031
	11,83'2 2957 “*"8,735	13,220 30,77 8,954	14,606 3198 9,155	15,530 3280 9,281	16,45 3363 9,402	17,82 3490 9,575	18,99 3598 9,713
	7,882 2956 8,547	8,809 3076 8,766	9,734 3198 8,967	10,351 3280 9,093	10,967 3363 9,215	11,891 3490 9,388	12,661 3598 9,526
	5,912 2956 8,415	6,608 3076 8,635	7,301 3197 8,835	7,765 3279 8,962	8,228 3362 9,083	8,921- 3490 9,256	9,498 3597 9,393
	4,726 2956 8,311	5,284 3076 8,531	5,841 3}97 8,731	6,212 3279 8,858	6,582 3362 8,979	7,136 3489 9,152	7,598 3597 9,290
	2,359 2954 7,988	2,638 3074 8,211	2,918 3195 8,414	3,102 3278 8,511	3,288 3361 8,661	3,565 3488 8,833	3,797 3596 8,969
	1,175 2950 7,663	1,316 3071 7,887	1,457 3194 8,092	1,549 3276 8,219	1,641 3360 8,340	1,781 3487 8,512	1,897 3595 8,648
	0,7802 2946 7,470	0,8750 3068 7,695	0,9690 3192 7,902	1,032 3275 8,030	1,094 3359 8,151	1,187 3486 8,324	1,264 3594 8,460
	0,4644 2937 7,224	0,5224 3062 7,454	0,5794 3188 7,662	0,6173 3272 7,791	0,6548 3356 7,913	0,7109 3484 8,086	0,7576 3592 8,223
	0,3290 2929 7,058	0,3711 3056 7,291	0,4124 3183 7,502	0,4396 3268 7,632	0,4667 3353 7,755	0,5069 3482 7,929	0,5403 3591 8,065
	0,2274 2918 6,877	0,2578 3048 7,116	0,2871 3177 7,330	0,3065 3263 7,461	0,3255 3349 7,585	0,3539 3479 7,761	0,3776 3588 7,898
427
р, МПа		0е	60°	100°	160°	200°	
							
1,6 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 20,0 30,0	V i S V i s V i s i  s V i s V i s V i s V i s V i s V i s V i s V i s .	0,0009994 1,6 0,0000 0,0009991 2,0 0,0000 0,0009986 3,0 0,0000 0,0009981 4,0 0,0002 0,0009976 5,1 0,0004 0,0009971 6,1 0,0004 0,0009966 7,1 0,0004 0,0009961 8,1 0,0004 0,0009956 9,1 0,0004 0,0009951 10,1 0,0004 0,0009904 20,1 0,0013 0,0009857 30,1 0,0013	0,0010163 252,2 0,8296 0,0010161 252,6 0,8294 0,0010157 253,5 0,8290 0,0010152 254,4 0,8282 0,0010147 255,3 0,8273 0,0010143 256,1 0,8268 0,0010139 256,9 0,8263 0,0010134 257,8 0,8260 0,0010129 258,7 0,8253 0,0010125 259,6 0,8247 0,0010083 268,1 0,8188 0,0010041 276,5 0,8140	0,0010426 419,7 1,3052 0,0010424 420,1 1,3048 0,0010419 420,9 1,3038 0,0010414 42,7 1,3030 0,0010408 422,5 1,3020 0,0010403 423 3 1,3012 0,0010400 424,1 1,3003 0,0010398 424,9 1,2996 0,0010393 425,7 1,2988 0,0010386 426,5 1,2982 0,0010339 434,2 .1,2909 0,0010293 441,9 1,2834	0,0011013 675,7 1,940 0,0011011 675,9 1,939 0,0011004 676,4 1,938 0,0010997 677,0 1,936 0,0010990 677,7 1,935 0,0010983 678,4 1,934 0,0010977 679.0 1,933 0,0010972 679,6 1,931 0,0010966 680,3 1,930 0,0010956 681,0 1,929 0,0010891 687,4 1,919 0,0010825 693,6 1,908	0,00'11565 852,4 2,329 0,0011561 852,4 2,328 0,0011551 852,6 2,326 0,0011541 853,0 2,324 0,0011530 853,6 2,332 0,0011522 854,0 2,320 0,0011512 854,5 2,319 0,0011504 855,0 2,317 0,0011496 855,5 2,316 0,0011482 856,0 2,314 0,0011393 860,6 2,299 0,0011305 865,4 2,287	
Числа слева
от ступенчатой
линии относятся к воде, справа — к перегретому водяному
428
Продолжение приложения 6
	240г	300'	36 (Г	41)0	440°	500е	550°
	0,1382	0,1585	0,1775	0,1899	0,2021	0,2201	0,2350
	2893	3030	3164	3253	3341	3472	3582
	6,622	6,877	7,098	7,233	7,360	7,537	7,675
	0,1084	0,1255	0,1410	0,1511	0,1609	0,1755	0,1875
	2875	3019	3156	3246	3335	3468	3578
	6,491	6,757	6,985	7,122	7,251	7,429	7,569
	0,06826	0,08119	0,09230	0,09929	0,1061	0,1161	0,1243
	2823	2988	3135	3229	3321	3456	3569
	6,225		6,773	6,916	7,048	7,231	7,373
	0,0012280	0,05888	0,06781	0,07337	0,07870	0,08642	0,09270
	1037,4	2955	3113	3211	3306	3445	3560
	2,698	6,352	6,613	6,762	6,900	7,087	7,231
	0,0012264	0,04539	0,05316	’ 0,05781	0,06224	0,06858	0,07370
	1037,4	2920	3090	3193	3291	3433	3550
	2,696	6,200	6,483	6,640	6,781	6,974	7,120
	0,0012249	0,03620	0,04334	0,04742	0,05124	0,05667	0,06103
	1037,6	2880	3067	3174	3275	3421	3540
	2,693	6,060	6,371	6,535	6,681	6,878	7,028
	0,0012235	0,02948	0,03630	0,03997	0,04338	0,04817	0,05197
	1037,8	2835	3042	3155	3259	3409	3530
	; 2,591	5,925	6,270	6,442	6,593	6,795	6,947
	0,0012221	0,02129	0,03098	0,03438	0,03746	0,04177	0,04516
	1037,9	2784	3017	3135	3244	3397	3520
	2,688	5,788	6,177	6,358	6,515	6,722	6,876
	0,0012207	0,0014016	0,02678	0,03001	0,03286	0,03680	0,03988
	1038,1	1344,3	2989	3114 ’	3227	3386	3510
	2,686	3,249	6,089	6,280	6,443	6,656	6,813
	0,0012185	0,0013970	0,02337	0,02646	0,02915	0,03281	0,03566
	1038,3	1342,2	2958	3093	3211	3372	3499
	2,684	3,244	6,002	6,207	6,377	6,596	6,756
	0,0012056	0,0013598	0,001824	0,00998	0,01224	0,01478	0,01653
	1040,3	1333,2	1739	2816	3019	3238	3390
	2,664	3,204	3,876	5,553	5,847	6,144	6,339
	0,0011931	0,0013311	0,001634	0,00283	0,00621	0,00869	0,01016
	1042,9	1329,0	1676	2155	2743	3073	3268
	2,647	3,171	3,747	4,476	5,340	5,799	6,045
пару.
429
Приложение 7
Плотность р, теплопроводность 1, удельная теплоемкость с
и температуропроводность а различных твердых материалов
Наименование магериала	"С	р. кг/м;<	Вт/(м  К)	кД,к/(к|  К)	а, мм2/с
Изоляционные, строи- тельные и другие материалы Асбест листовой ....	30	770	0,116	0,818	0,198
Асбест волокно ....	30	470	0,110	0,818	0,290
Бетон		20	2300	1,280	х 1,13	0,494
Войлок шерстяной . . .	30	330	0,052	0,818	0,290
Глина огнеупорная . .	450	1845	1,035	1,090	0,515
Дерево дуб перпенди- кулярно волокнам . . . .	20	800	0.207	1,76	0,147
Дерево дуб параллель' но волокнам 		20	800	0,363	—	—
Каменный уголь , . . .	20	1400	0,190	1,31	0,104
Кирпич изоляционный	100	550	0,140	—	—
Кирпич строительный	20	800... 1500	0,23.. .0,29	—	—
Лсд		0	920	2,250	2,26	1,080
Минеральная шерсть	50	200	0,046	0,92	0,253
Опилки древесные . .	20	200	0,070	—	—
Пенопласты: полпхлорвиниловый	20	120	0,036				
нолистирольпый ПСБ	20	250	0,04	—	—
полиуретановый ППУ	20	300	0,0 1	—	—
Пробковая пластина . .	.30	190	0,042	1,88	0,117
Резина 		0	1200	0,163	1,38	0,098
Совелит 		100	450	0,098	—	—
Стекло 		20	2500	0,7 4 1	0,67	0,444
Стеклянная вата ....	0	200	0,037	0,67	0,278
Торфоплиты 		50	200	0,065	—	—
Шлаковая вата		100	250 '	0,070	—	—
Штукатурка		20	1680	0,780	—	—
Металлы Алюминий 		0	2670	203	0,921	91,1
Бронза		20	8000	64	0,380	21,0
Латунь		0	8600	100	0,377	30,8
Медь		0 .	8800	385	0,380	144,4
Олово 		0	7230	64	0,226	39,2
Ртуть 		0	13600	8	0,138	4,2
Свинец 		0	11400	35	0,130	23,6
Сталь		20	7900	45,4	0,460	12,5
Чугун		20	7220	63	0,500	17,4
430
Приложение 8
Теплопроводность А. некоторых газов при нормальном
атмосферном давлении
Температура t,	Теплопроводноегь Л, мВт/(м • К)		
	воздуха	водяного пара	углекислого I аза
0	24,4	16,2	11,7
100	32,1	21,0	22,7
200	38.7	33,0	30,9
300	46,1	43,4	39,1
400	52,1	55,0	47,2
500	57,5	67,9	54,8
600	62,2	82,2	62,1
700	67,1	97,9	68,8
800	71,8	11 1,9	75,1
900	76,3	133,2	80,9
1000	80,7	152,4	86,3
П р и л о ж о и и е 9
Физические параметры для сухого воздуха при нормальном атмосферном
давлении (р0= 101,325 кПа)
Темпера- тура С °C	I Уют- ность р, кг/м3	Удельная теплоемкость при постоян- ном давле- нии e/jt кДж/(кг • К)	Теплопровод- ность К, мВт/(м • К)	Динамиче- ская вязкость ц, мкПа • с	Ки нематиче- ская вязкость v, м№/с	Число Прандтля Рг
—50	1,584	1,013	20,6	11,61	9,23	0,728
—20	1,395	1,009	22,8	16,18	12,79	0,716
0	1.293	1,005	24,4	17,16	13,28	0,707
20.	1,205	1,005	25,9	18,14	15,06	0,703
40	1,128	1,005	27,6	19,12	16,96	0,699
60	1,060	1,005	29,0	20,10	18 97	0,696
80	1,000	1,009	30,5	21,08	21,09	0,692
100	0,946	1,009	32,1	21,86	23,13	0,688
120	0,898	1,009	33,4	22,85	25,45	0,686
140	0,854	1,013	34,8	23,73	27,80	0,684
160	0,815	1,017	36,4	24,52	30,09	0,682
180	0,779	1,022	37,7	25,30	32,49	0,681
200	0,746	1,026	38,7	25,99	34,85	0,680
250	0,674	1,038	42,7	27,36	40,61	0,677
300	0,615	1,047	46,1	29,71	48,33	0,674
350	0,566	1,059	49,1	31,38	55.46	0,676
400	0,524	1,068	52,1	33,05	63,09	0,678
500	0,156	1,093	57,5	36,19	79,38	0,687
600	0,104	1,1 14	62,2	39,12	96,89	0,699
700	0,362	1,134	67,1	41,18	115,4	0,706
800	0,329	1,156	71,8	41,33	131,8	0,713
900	0,301	1,172	76,3	46,68	155,1	0,717
1000	0,277	1,185	80,7	49,03	177,1	0,719
1100	0,257	1,197	85,0	. 51,19	199,3	0,722
1200	0,239	1,210	91,5	53,45	223,7	0,724
431
Приложение 10
Физические параметры газообразных продуктов сгорания при нормальном
атмосферном давлении (р0= 101,325 кПа) и парциальных давлениях
СО2, Н2О и N2 (рСОз = О,13ро; РНгО=0,11р0; рЫг = О,76р0)
Темпе- ратура t, ®G	Плот- ность р, кг/м’	Удельная теплоемкость при постоян- ном давле- нии с кДж/(кг • К)	Тепло- провод- ность X, мВт/(м • К)	Темпера- туропро- водность а, мм2/с	Динами- ческая ВИ ЗКОСТ1- ц, мкПа • с	Кинема- тическая вязкость V, мм2/с	Число Прандтля Рг
0	1,295	1,042	22,7	1.69	15 78	12,20	0,72
100	0,950	1,068	31,3	3,06	20,39	21,39	0,69
200	0,748	1,097	40,1	4,89	24,49	32,80	0,67
300	0,617	1,122	48,4	6,99	28,22	45,81	0.65
400	0,525	1,151	57,0	9,43	31,68	60,38	0,64
500	0,457	1,185	65,6	12,11	34,84	76 30	0,63
600	0,405	1,214	74,2	15,09	37,86	93,61	0,62
700	0,363	1,239	82,7	18,38	40,68	112,1	0,61
800	0,3295	1,264	91,5	21,97	43,37	131,8	0,60
900	0,301	1,290	100,1	25,80	45,90	152,5	0,59
1000	0,275	1,306	109,0	30,34	48,35	174,3	0,58
1100	0,257	1,323	117,5	.31,55	50,69	197,1	0,57
1200	0,240	1,340	126,2	39,24	52,98	221,0	0,56
Приложение 11
Физические параметры
водяного пара на линии насыщения
Темпе- ратура насыще- ния ®с	Дав- ление Р, МПа	Плот- ность р", кг/м3	Удельная теплоемкость при постоян- ном давле- нии с 'кДж/(кг  К)	Тепло- провод- ность X, мВт/(м • К)	Темпера- туропро- водность а, мм2/с	Ди н ами- ческая вязкость м. мкПа • с	Кинема- тическая вязкость V, мм2/с	Ч исло Иран- дтля Рг
100	0,1013	0,598	2,135	23,5	18,58	11,96	20,02	1,08
120	0,1985	1,121	2,206	26,0	10,50	12,85	11,46	1,09
140	0,3614	1,966	2,315	27,9	6,13	13,53	6,89	1,12
160	0,618	3,258	2,479	30,1	3,72	14,32	4,39	1,18
180	1,003	5,157	2,709	32,7	2,34	15,10	2,93	1,25
200	1,555	7,862	3,023	35,5	1,49	15,99	2,03	1,36
220	2,320	11,62	3,408	39,0	0,98	16,87	1,45	1,47
240	3,348	16,76	3,881	42,9	0,66	17,75	1,06	1,61
260	4,694	23,72	4,468	48,0	0,45	18,83	0,794	1,76
280	6,419	33,19	5,233	54,9	0,32	19,91	0,600	1,88
300	8,592	46,21	6,28	62,7	0,216	21,28	0,461	2,13
320	11,290	64,72	8,21	75,1	0,141	22,85	0,353	2,50
340	14,608	92.76	12,35	93,0	0,081	25,20	0,272	3,35
360	18,614	144,0	23,03	127,9	0,038	29,13	0,202	5,23
432
Приложение 12
Физические параметры воды на линии насыщения
(до 100 °C при атмосферном давлении)
Температура /, ®С	Давление Р, МПа	Плотность р'. кг/м3	Удельная теплоем- кость при постоян- ном давлении с кДж/(кг  К)	Теплопроводность Л, Вт/(м • К)	Температуропровод- ность а, мм2/с 		Динамическая вяз- кость ц, мкПа • с	Кинематическая вязкость V, мм2/с	Температурный коэф- фициент объемного расширения В • 10*» К	Число Прандтля Рг
0	0,1013	999,9	4,212	0,551	0,1308	1787,8	1,789	—0,63	13,67
90	0,1013	998 2	4,183	0,600	0,1436	1004,2	1,006	1,82	7,02
40	0,1013	992,2	4,174	0,635	0,1532	653,1	0,659	3,87	4,31
60	0,1013	983,2	4,178	0,660	0,1606	469,8	0,478	5,11	2,98
80	0,1013	971,8	4,195	0,676	0,1658	355,0	0,366	6,32	2,21
100	0,1013	968,4	4,220	0,683	0,1671	282,4	0,291	7,52	1.75
120	0,1985	943,1	4,250	0,687	0,1714	237,3	0,252	8,64	1,47
140	0,3614	926,1	4,287	0,686	0,1727	201,0	0,216	9,72	1,25
160	0,618	907,4	4,346	0,684	0,1732	173,5	0,191	10,7	1.П
180	1,003	886,9	4,417	0,676	0,1725	153,1	0,173	11,9	1,00
200	1,555	863,0	4,505	0,664	0,1708	136,4	0,158	13,3	0,93
220	2,320	840,3	4,614	0,646	0,1667	124,6	0,148	14,8	0,89
240	3,348	813,6	4,756	0,629	0,1625	114,8	0,141	16,8	0,87
260	4,694	784,0	4,949	0,606	0,1562	105,9	0,135	19,7	0,87
280	6,419	750,7	5,229	0,576	0,1467	98,1	0,131	23,7	0,89
300	8,592	712,5	5.736	0,541	0,1324	91,3	0,128	29,2	0,97
320	11,290	667,1	6,573	0,507	0,1156	85,3	0,128	38,2	1,Н
340	14,608	610,1	8,164	0,458	0,0920	77,5	0,127	53,4	1,38
360	18,674	528,0	13,98	0,397	0,0538	66,8	0,127	109,0	2,36
Приложение 13
Коэффициент черноты
различных материалов
Наименование материала	t, °C	8
Алюминий шероховатый		26	0,055
Алюминий, окисленный при 600 °C		200.. .600	0,11 ...0,19
Железо полированное		425... 1020	0,144...0,377
Железо окисленное		100	0,736
Железо окисленное гладкое		125...525	0,78 ...0,82
Стальное литье, полированное 		770... 1040	0,52 ...0,56
Сталь, окисленная при 600 °C		200...600	0,80
Чугун, окисленный при 600 °C	 Латунная пластина, прокатанная, с естественной	200...600	0,64 ...0,78
поверхностью		22	0,06
Латунь, окисленная при 600°C 		200.. .600	0,61 ...0,59
Медь, тщательно полированная, электролитная . . .	80...115	0,018...0,023
Медь, окисленная при 600 °C		200...600	0,57 ..-»,87
Хромоникель		125...1034	0,64 ...0,76
Олово блестящее луженое 		25	0,043.. .0,064
433
17 родолжение приложения 13
Наименование материал;!	°C	е
Ртуть очень чистая 		0...100	0,09...0,12
Свинец серый, окисленный		25	0,281
Серебро полированное, чистое 		225.. .625	0,0198...0,0324
Цинк продажный (99,1%) полированный'		225.. .32о	0,045.. .0,053
Оцинкованное листовое железо блестящее		28	0,228
Оцинкованное листовое железо серое, окисленное	24	0,276
Асбестовый картон			24	0,96
Вода		0...100	0,95.. .0,963
Гипс		20	0,903
Дуб строганый		20	0,895
Кирпич красный шероховатый, но без больших не-		
эовностей		20	0,93
Кирпич огнеупорный		1000	0,8...0,9
Лак черный матовый		40.. .95	0,96.. .0,98
Лак белый		40.. .95	0,80.. .0,95
Масляные краски различных цветов		100	0,92.. .0,96
Алюминиевая краска после нагрева до 325 С . . .	150...315	0,35
Резиновая твердая лощеная пластина		23	0,945
Резина мягкая серая, шероховатая (рафинированная)	24	0,859
Стекло гладкое 		22	0,937
Сажа, свечная копоть		95.. .270	0,952
Толь		21	0,910
Штукатурка шероховатая, известковая		10...88	0,91
Приложение 14
Графики для определения поправочного коэффициента е'д/ =/(/’, К)
для сложных схем теплообменников *
Схема №-2
* Приложение 15 см. вкл.
435
Схема №4
J.r
^t-f(P,R) ~*~P речном потоке)
Eat=f(P,R) -~P Схема №9
ЛИТЕРАТУРА
а) К разделу «Техническая термодинамика»
Андрющенко А. И. Основы технической термодинамики реальных газов.—М.:
Высшая школа, 1967.	.	.
Андрющенко А. И. Основы термодинамических циклов теплоэнергетических
установок.—М.: Высшая школа, 1968.
Базаров И. П. Термодинамика. — М.: Изд-во физико-математической литера-
туры, 1976.
Вулис Л. А. Термодинамика газовых потоков.—М.; Л.: Госэнергоиздат, 1950.
Вукалович М. П.. Новиков И. И. Техническая термодинамика.—М.: Машино-
строение, 1972.
Вукалович М. П. Таблицы термодинамических свойств воды и водяного пара. —
М. г Госэнергоиздат, 1963.
Второе начало термодинамики: Сб. работ / Сади Карно, В. Томсон-Кельвин,
Р. Клаузиус и др. под ред. А. К. Тимирязева.—М.: Гостехтеориздат, 1934.
Гельфер Я- М. История и методология термодинамики и статической физики
М.: Высшая школа, ч. I, 1969; ч. И, 1973.
Гохштейн Д. П. Современные методы термодинамического анализа.—М..
Энергия, 1969.
Гухман А. А. Об основаниях термодинамики.—Алма-Ата: Изд-во АН Казах-
ской ССР, 1947.
Дьярмати И. Неравновесная термодинамика.—М.: Мир, 1974.
Жуковский В. С. Техническая термодинамика. —М.: Изд-во технико-теорети-
ческой литературы, 1952.
Исаев С. И. Курс химической термодинамики. — М.: Машиностроение, 1975.
Казавчинский Я- 3. Лекции по технической термодинамике.—М.: Транспорт,
1970.
Кинан Дж. Термодинамика. — М.: Госэнергоиздат, 1963.
Кириллин В. А., Сычев В. В., Шейндлин А. Г. Техническая термодина-
мика.— М.: Энергия, 1974.
Кричевский И. Р. Понятия и основы термодинамики.—М.: Химия, 1970.
Техническая термодинамика/Под ред. Крутова В. И.—М.: Высшая школа,
1971.
Куда Р. Термодинамика.—М.: Мир, 1970.
Леонова В. Ф. Термодинамика. —М.: Высшая школа, 1968.
Леонтович М. А. Введение в термодинамику. — М.; Л.: Изд-во технико-теоре-
тической литературы, 1952.
Мартыновский В. С. Анализ действительных термодинамических циклов. —
М.: Энергия, 1972.
‘Михайловский Г. А. Термодинамические расчеты процессов парогазовых сме-
сей. — М.; Л._: Машгиз, 1962.
Планк М. Избранные труды. Термодинамика и пр.—М.: Наука, 1975.
Селиверстов В. М. Расчеты судовых систем кондиционирования воздуха. —
Л.: Судостроение, 1971.
.Сычев В. В. Сложные термодинамические системы.—М.: Энергия,-1970.
Трайбус М. Термостатика и термодинамика. —М.: Энергия, 1970.
Ферми Э. Термодинамика. — Харьков: Изд-во Харьковского университета, 1969.
Ястржембский А. С. Техническая термодинамика. —М.: Госэнергоиздат,
1960.
Ястржембский А. С. Термодинамика и история ее развития.—М.: Энергия
1966.
437
б) К разделу «Теплопередача»
Антуфьев В. М. Эффективность различных форм конвективных поверхностей
нагрева.—М.: Энергия, 1966.
Гухман А. А. Введение в теорию подобия.—М.: Высшая школа, 1973.
Жуковский В. С. Основы теории теплопередачи.—Л.: Энергия, 1969.
Исаченко В. П., Осипова В. А. и Сукомел А. С. Теплопередача.—М.: Энер-
гия, 1975.
Кейс В. М. Конвективный тепло- и массообмен. — М.: Энергия, 1972.
Кирпичев М. В. Теория подобия. — М.: Изд-во АН СССР, 1953.
Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. — Новосибирск: Наука, 1970.
Михеев М. А., Михеева И. М. Основы теплопередачи.—М.: Энергия, 1973.
Осипова В. А. Экспериментальное исследование процессов теплообмена.—М.:
Энергия. 1969.
Петровский Ю. В., Фастовский В. Г. Современные эффективные теплообмен-
ники.— М.: Госэнергоиздат, 1962.
Теория теплообмена'’(терминология).—М.: Наука, 1971.
Шорин С. И. Теплопередача.—М., Высшая школа, 1964.
Юдаев Б. Н. Теплопередача. —М.: Высшая школа, 1973.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...........................................................    3
Часть первая
Техническая термодинамика
Глава I. Вводная........................................................ 6
§ 1.1.	Предмет и метод термодинамики ................................... 6
§ 1.2.	Закон сохранения и превращения энергии .......................... 7
§ 1.3.	Особенности превращения теплоты в работу и ее перехода от одного
тела к другому.......................................................... 9
Глава И. Исходные понятия и термодинамические параметры................ 10
§2.1.	Предварительные сведения и определения.......................... 10
§ 2.2.	Термодинамические параметры и уравнение состояния............... 12
§ 2.3.	Удельный объем и плотность, количество вещества, молярный объем
и молярная масса....................................................... 13
§ 2.4.	Давление ....................................................... 15
§ 2.5.	Температура..................................................... 16
Глава III. Первое начало	термодинамики................................. 18
§3.1.	Понятия о теплоте, работе и их взаимном превращении............. 18
§ 3.2.	Уравнение первого начала термодинамики.......................... 22
§ 3.3.	Работа изменения объема......................................... 25
§ 3.4.	Диаграмма pv. Графическое изображение работы.................... 27
§ 3.5.	Внутренняя энергия.............................................. 29
§ 3.6.	Энтальпия................'...................................... 32
§ 3.7.	Теплота и понятие об энтропии................................... 33
§ 3.8.	Диаграмма Ts . ................................................ 36
§ 3.9.	Теплоемкость.................................................... 38
Глава IV. Идеальный и реальный газы ................................... 40
§4.1.	Реальные и идеальные газы: условность разделения................ 40
§ 4.2.	Основные законы и уравнение состояния идеального	газа........... 42
§ 4.3.	Закон Дальтона.................................................. 45
§ 4.4.	Смеси газов..................................................... 47
§ 4.5.	Внутренняя энергия идеального газа ............................. 49
§ 4.6.	Энтальпия идеального газа. Формула Майера....................... 50
§ 4.7.	Энтропия идеального газа........................................ 51
§ 4.8.	Реальные газы................................................... 52
§ 4.9.	Уравнения состояния реальных газов (Ван-дер-Ваальса	и др.) ....	53
§ 4.10.	Уравнение состояния реального газа М. П. Вукаловича и И. И. Но-
викова ................................................................ 56
Глава V. Теплоемкость идеальных газов.................................. 57
§5.1.	Теплоемкость	идеального газа ................................... 57
§ 5.2.	Теплоемкость	как функция температуры............................ 58
§ 5.3.	Истинная и средняя теплоемкости................................. 61
§ 5.4.	Теплоемкость	смеси газов........................................ 62
439
Глава VI. Термодинамические процессы изменения состояния идеального
газа.................................................................. 63
§ 6.1.	Постановка задачи исследования	процессов........................ 63
§ 6.2.	Приращения внутренней	энергии	и	энтальпии.................... 65
§ 6.3.	Приращение энтропии............................................. 66
§ 6.4,	Изохорный процесс............................................... 67
§ 6.5.	Изобарный процесс............................................... 69
§ 6.6.	Изотермический процесс.......................................... 70
§ 6.7.	Адиабатный процесс.............................................  72
§ 6.8.	Политропные процессы............................................ 76
§ 6.9.	Исследование политропных процессов............................. 80
§ 6.10.	Применение уравнения политропы к исследованию действительных
процессов . ........................................................... 83
§ 6.11.	Смешение газов................................................. 85
Глава VII. Рабочий процесс турбины и компрессора....................... 88
§ 7.1.	Идеальная турбина..............................................  88
§ 7.2.	Идеальный газовый компрессор.................................... 91
§ 7.3.	Анализ рабочего процесса идеального поршневого компрессора ....	93
§ 7.4.	Многоступенчатое сжатие......................................... 96
§ 7.5.	Изображение процесса идеального компрессора на диаграмме Ts. . .	98
Глава VIII. Второе начало термодинамики .............................. 100
§ 8.1.	Круговые процессы (циклы). Термический к. п. д. цикла.......... 100
§ 8.2.	Классические формулировки второго начала термодинамики	103
§ 8.3.	Обратимые и необратимые процессы............................... 105
§ 8.4.	Цикл Карно и его к. п. Д....................................... 107
§ 8.5.	Математическое выражение второго начала термодинамики для обра-
тимых циклов............................'............................ 110
§ 8.6.	Обобщенный цикл Карно. Эквивалентный цикл Карно................ 113
§ 8.7.	Термодинамическая температура.................................. 114
Глава IX. Второе начало термодинамики для необратимых процессов . .	117
§ 9.1.	Изменение энтропии при необратимом адиабатном сжатии идеального
газа ................................................................ 117
§ 9.Й.	Значение интеграла ф (6Q/T) для необратимых	циклов............. 118
'§ 9.3.	Закон возрастания энтропии ................................... 120
§ 9.4.	Физический смысл энтропии...................................... 121
§ 9.5.	Иллюстрация интеграла Клаузиуса	и закона	возрастания энтропии 123
§ 9.6.	Обратимость и производство работы.............................. 127
§ 9.7.	Техническая работоспособность, или	эксергия	................... 128
§ 9.8.	Потеря эксергии от необратимости процесса . . .'..........-.	.	131
§ 9.9.	Самопроизвольные и несамопроизвольные процессы ................ 134
§ 9.10.	Физическая сущность и основной постулат второгр начала термоди-
намики ............................................................... 137
§ 9.11.	Энтропия как статистическое понятие .......................... 142
§ 9.12.	Естествознание и второе начало термодинамики.................. 145
Глава X. Дифференциальные уравнения термодинамики..................... 147
§	10.1.	Дифференциальные	уравнения для простых тел................... 147
§	10.2.	Дифференциальные	уравнения термодинамики	для идеального газа	151
§	10.3.	Термодинамические	потенциалы................................. 152
Глава XI. Термодинамические свойства жидкости и пара.................. 154
§ 11.1.	Испарение и кипение жидкости.................................. 154
§ 11.2.	Фазовая диаграмма. Тройная точка.............................. 156
§ П.З.	Процесс парообразования и его изображение в системе координат pv 158
§ 11.4.	Удельная энтальпия жидкости и пара............................ 161
§ 11.5.	Диаграмма Ts для водяного пара................................ 165
§ 11.6.	Диаграмма is для водяного пара................................ 168
440
§ 11.7.	Уравнение Клапейрона —Клаузиуса ................................ 169
§ 11.8.	Уравнение состояния перегретого пара...........................  170
§ 11.9.	' Удельная теплоемкость перегретого пара . ........;	. ........ 172
Глава XII. Термодинамические процессы изменения состояния пара . . .	173
§ 12.1.	Изохорный процесс..................,.......................
§ 12.2.	Изобарный процесс..........................................
§ 12.3.	Изотермический процесс.......... . . ......................
§ 12.4.	Адиабатный процесс ........................................
§ 12.5.	Процесс дросселирования пара ..............................
173
176
177
178
180
Глава XIII. Влажный газ (парогазовая смесь)................................. 181
§ 13.1.	Основные понятия и определения................................ 181
§ 13.2.	Экстенсивные свойства влажного воздуха и особенности процессов
изменения его состояния .............................................. 185
§ 13.3.	Диаграмма Id для влажного воздуха............................. 188
§ 13.4.	Диаграмма Is для влажного воздуха............................. 191
Глава XIV. Термодинамика потока....................................... 195
§ 14.1.	Особенности преобразования энергии. Потенциальная энергия дав-
ления .......................................................... ....	195
§ 14.2.	Уравнение первого начала термодинамики для потока............. 198
§ 14.3.	Уравнение Бернулли...........................................  202
§ 14.4.	Работа потока................................................. 202
§ 14.5.	Физический смысл энтальпии.................................... 206
§ 14.6.	Влияние потенциальной энергии давления на преобразование энер-
гии в потоке упругой жидкости......................................... 207
Глава XV. Течение и истечение упругой жидкости.............................. 208
§ 15.1.	Основные уравнения течения упругой жидкости................... 208
§ 15.2.	Характер изменения площади поперечного сечения потока в зависи-
мости от скорости..................................................... 209
§ 15.3.	Переход потенциальной энергии потока в кинетическую энергию . .	212
§ 15.4.	Критическое отношение давлений................................ 213
§ 15.5.	Истечение из суживающихся сопел при скоростях, меньших крити-
ческой скорости (Р > рк).............................................. 215
§ 15.6.	Истечение из суживающихся сопел при Р < рк.................... 218
§ 15.7.	Работа истечения.............................................. 219
§ 15.8	Истечение из сопел с расширяющейся частью при р < рк. Сопло Ла-
валя ....................................;............................ 221
§ 15.9.	Влияние трения на процесс истечения........................... 223
§ 15.10.	Изображение работы истечения с трением на диаграммах pv и Ts 225
Глава XVI. Методы анализа циклов теплоэнергетических установок . . .	227
§ 16.1.	Общие вопросы анализа циклов.................................. 227
§ 16.2.	Сравнение термических к. п. д. обратимых циклов............... 229
§ 1G.3. Анализ необратимых циклов с помощью системы коэффициентов по-
лезного действия...................................................    229
§ 16.4.	Эксергетический метод анализа................................. 231
Глава XVII. Циклы поршневых двигателей внутреннего сгорания ....	232
§ 17.1.	Принцип действия поршневых двигателей внутреннего сгорания. . .	232
§’17.2. Цикле изохорно-изобарным подводом теплоты — цикл Тринклера *	234
§ 17.3.	Циклы с изохорным и изобарным подводом теплоты................ 236
§ 17.4.	Сравнительный анализ термодинамических циклов ДВС............. 237
Глава XVIII. Циклы паросиловых установок.............................. 236
§ 18.1.	Цикл Ренкина.................................................. 238
§ 18.2.	Система коэффициентов полезного действия паросиловых установок 241
§ 18.3.	Влияние начальных и конечных параметров пара на термический
к. п. д. цикла Ренкина......................................... 242
441
, § 18.4. Регенеративный цикл паросиловой установки.............................. 244
§ 18.5.	Цикл паросиловой установки с промежуточным перегревом пара . .	249
Глава XIX. Циклы газотурбинных установок......................................... 251
§ 19.1.	Принцип работы газотурбинной установки.............................. 251
§ 19.2.	Цикл газотурбинной установки с изобарным подводом	теплоты	.	.	.	253
S 19.3.	Цикл газотурбинной установки с изобарным подводом	теплоты	и	ре-
генерацией 	 254
Глава XX. Циклы холодильных установок............................................ 25G
§ 20.1.	Холодопроизводительность и холодильный коэффициент ...................... 256
§ 20.2.	Цикл газовой компрессорной холодильной установки.................... 258
§ 20.3.	Цикл паровой компрессорной холодильной установки.................... 260
§ 20.4.	Цикл паровой компрессорной установки с сухим ходом компрессора
и переохлаждением конденсата..........................................  262
§ 20.5.	Цикл абсорбционной холодильной машины.................................... 264
§ 20.6,	Требования, предъявляемые к рабочим телам холодильных установок 267
Часть вторая
Основы учения о теплообмене
Введение........................................................................  269
Глава XXI. Распространение	теплоты	теплопроводностью.......................... 271
§ 21.1.	Температурное поле и температурный градиент . . . ....................... 271
§ 21.2.	Закон Фурье ............................................................. 273
§ 21.3.	Определение теплопроводности ............................................ 274
§ 21.4.	Дифференциальное уравнение	теплопроводности.............................. 275
§ 21.5.	Краевые условия.......................................................... 278
Глава XXII. Распространение теплоты теплопроводностью в телах про-
стейшей формы при стационарном режиме и граничных
условиях первого рода.................................................. 280
§ 22.1.	Распространение теплоты теплопроводностью в однородной однослой-
ной плоской стенке .................................................... 280
§ 22.2.	Распространение теплоты теплопроводностью в многослойной пло-
ской стенке............................................................ 281
§ 22.3.	Распространение теплоты теплопроводностью в однородной одно-
слойной цилиндрической стенке ......................................... 283
§ 22.4.	Распространение теплоты теплопроводностью в многослойной цилин-
дрической стенке....................................................... 286
Глава XXIII. Распространение теплоты теплопроводностью в телах про-
стейшей формы при стационарном режиме и граничных
условиях третьего рода. Коэффициент теплопередачи . . .	288
§ 23.1.	Передача теплоты (теплопередача) сквозь плоскую стенку................... 288
§ 23.2.	Передача теплоты (теплопередача) сквозь цилиндрическую стенку 290
§ 23.3.	Термическое сопротивление ................................................291
§ 23.4.	Тепловая изоляция. Критический диаметр изоляции.......................... 293
§ 23.5.	Передача теплоты сквозь ребристые поверхности............................ 296
§ 23.6.	Распространение теплоты теплопроводностью вдоль стержня (ребра)
с постоянной площадью поперечного сечения.............................. 299
§ 23.7.	Передача теплоты сквозь ребра............................................ 302
Глава XXIV. Конвективный теплообмен ............................................. 305
§ 24.1.	Основные понятия и определения........................................... 305
§ 24.2.	Уравнение теплоотдачи.................................................... 309
§ 24.3.	Уравнение энергии........................................................ 310
§ 24.4.	Уравнение движения вязкой жидкости....................................... 313
§ 24.5.	Уравнение сплошности....................................................  315
§ 24,6,	Условия однозначности для конвективного теплообмена ..................... 317
442
Глава XXV- Теория подобия.............................................. 318
§ 25.1.	Понятие о подобии физическйх явлений........................... 318
§ 25.2.	Теоремы теории подобия......................................... 320
§ 25.3.	Гидромеханическое подобие...................................... 323
§ 25.4.	Тепловое подобие............................................... 32о
§ 25.5.	Критериальные уравнения конвективного теплообмена.............. 328
Глава XXVI. Экспериментальное изучение конвективного теплообмена. .	329
§ 26.1.	Определение коэффициента теплоотдачи........................... 329
§ 26.2	Осреднение температуры и скорости потока........................ 330
§ 26.3.	Обобщение опытных данных....................................... 332
§ 26.4.	Определяющая температура и осреднение физических параметров . .	333
§ 26.5.	Определяющий линейный размер.................................. 334
Глава XXVII. Теплообмен при вынужденном движении жидкости в тру-
бах .................................................................. 336
§ 27.1.	Движение жидкости в трубах..................................... 336
§ 27.2.	Теплоотдача при движении жидкости в трубах и каналах при лами-
нарном и переходном режимах .......................................... 338
§ 27.3.	Теплоотдача при турбулентном движении жидкости в трубах и ка-
налах ................................................................ 341
Глава XXVIII. Теплообмен при вынужденном поперечном омывании труб	344
§ 28.1.	Теплоотдача при поперечном омывании одиночной гладкой трубы	344
§ 28.2.	Теплоотдача при поперечном омывании пучков труб................ 345
§ 28.3.	Теплоотдача при поперечном омывании пучка ребристых труб . . .	349
Глава XXIX. Теплообмен в свободном потоке жидкости..................... 352
§ 29.1.	Свободный поток в пространстве неограниченного объема.......... 352
§• 29.2. Теплоотдача в свободном потоке ............................... 353
§ 29.3.	Теплоотдача при свободном потоке в ограниченном пространстве . .	354
Глава XXX. Теплообмен при изменении агрегатного состояния...........	356
§ 30.1.	Теплообмен при	кипении жидкости............................... 356
§ 30.2.	Теплоотдача	при	кипении жидкости	в	большом	объеме............. 359
§ 30.3.	Теплоотдача	при	кипении жидкости	внутри	труб.................. 363
§ 30.4.	Теплоотдача	при	конденсации пара............................... 366
§ 30.5.	Влияние различных факторов на теплоотдачу при конденсации пара 369
Глава XXXI. Распространение теплоты теплопроводностью при неста-
ционарном режиме.................................................... 371
§ 31.1.	Общие положения ............................................... 371
§ 31.2.	Результаты аналитического	решения	для	переходного	режима.	.	.	.	373
§ 31.3.	Метод регулярного режима	.................................. 377
§ 31.4.	Результаты аналитического	решения	для	периодического	режима	.	.	378
Глава XXXII. Основные законы теплового излучения....................... 382
§ 32.1.	Общие сведения о тепловом излучении. Основные определения . . .	382
§ 32.2.	Закон поглощения............................................... 385
§ 32.3.	Основные законы излучения....................................   387
§ 32.4.	Закон Кирхгофа ................................................ 390
§ 32.5.	Закон Ламберта...............................................   393
§ 32.6.	Излучение газов .............................................   397
Глава XXXIII. Теплообмен излучением между твердыми телами...........	402
§ 33.1.	Теплообмен излучением между двумя телами с плоскопараллельными
поверхностями......................................................... 402
§ 33.2.	Теплообмен излучением между телами, одно из которых заключено
внутри другого.......................................................  403
§ 33.3.	Защита от теплового излучения—экраны......................  ,	405
443
§ 33.4.	Теплообмен излучением между двумя телами, произвольно располо-
женными в пространстве............................................... 406
Глава XXXIV. Теплообменные аппараты.................................. 408
§ 34.1.	Типы теплообменных аппаратов................................. 408
§ 34.2.	Тепловой баланс теплообменного аппарата ..................... 410
§ 34.3.	Температурный напор ......................................... 411
§ 34.4.	Основные положения по конструированию теплообменных аппаратов 416
§ 34.5.	Гидромеханический	расчет теплообменного аппарата ............ 418
Приложения . . ...................................................... 422
Литература........................................................... 437
(Леонид Владимирович Арнольд!
Георгий Андреевич Михайловский
Владимир Михайлович Селиверстов
ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА И ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Научный редактор Л. Р. Стоцкий. Редактор Г. Н. Самошкина. Художественный редактор
Н. К. Гуторов. Технический редактор Н. А. Битюкова. Корректор Г. И. Кострикова.
ИБ № 1619
Изд. № ОТ-112. Сдано в набор 19.07.78. Подп. в печать 07.12.78. Т — 16370. Формат
60 X907ie. Бум. тип. № 3. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 28 усл. печ. л.+
4-0,16 печ. л. вкл. 27,87 уч.-изд, л. Тираж 18 000 экз. Зак. № 49. Цена ! р. 20 к.
Издательство «Высшая школа», Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское произ-
водственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького «Союзполи-
графпрома» при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книж-
ной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Гатчинская, 26,
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«ВЫСШАЯ ШКОЛА»
ВЫПУСТИЛО В СВЕТ В 1978 г.
для студентов втузов
следующие учебники
и учебные пособия:
Двигатели внутреннего сгорания: Учебник /X а ч и -
ян А. С., М о р о з о в к. А., Т р у с о в В. И. и др. 20 л.
с ил. — 1 р. 06 к. — В пер.
В книге рассмотрены теория двигателей внутреннего
сгорания, системы питания, наддува, пуска, охлажде-
ния и смазки, кинематика, динамика и уравновешива-
ние двигателей. Уделено внимание рассмотрению рабо-
чего процесса дизелей, особенностей работы двигателей
как на установившихся, так и на неустановившихся ре-
жимах. Уделено внимание проблеме токсичности отрабо-
тавших газов дизелей и карбюраторных двигателей.
Впервые в книгу включены разделы, освещающие ре-
жимы нагрузки двигателей при работе на строительных
и дорожных машинах. Специфические особенности ра-
бочего процесса.
П редназначается для студентов специальности «Строи-
тельные и дорожные машины».
Еремин Е. Н. Основы химической термодинамики:
Учебное пособие. 2-е изд., перераб. и доп. 23 л.—
1 р. 16 к. — В пер.
В основе данного пособия лежит изложение классиче-
ской термодинамики на основе I, II и III законов тер-
модинамики. Вводится представление о «нулевом зако-
не», позволяющем дать понятия о температуре и тер-
мическом равновесии, Во втором издании (первое вы-
шло в 1974 г.) при рассмотрении закона термодинамики
наряду с классическими приводится- формулировка Ка*
ратеодори, позволяющая ввести энтропию строго логи-
ческим и математическим путем. Уделено внимание
связям термодинамики с другими разделами физической
химии. Особый интерес вызывает девятая глава, где
сделана попытка математического изложения основ со-
временной неравновесной термодинамики.
П редназначается для студентов химических специаль-
ностей университетов.
Краснов Н. Ф., Кошевой В. Н. Управление и ста-
билизация в аэродинамике: Учебное пособие. Под ред.
Н. Ф. Краснова. 43 л., ил. — 2 р. 13 к. — В пер.
В книге рассматриваются аэродинамические схемы и
соответствующие аэродинамические характеристики ле-
тательных аппаратов как объектов управления и ста-
билизации, анализируются понятия устойчивости (ста-
тической и динамической), приводятся методы расчета
аэродинамических сил и моментов, оказывающих воз-
действие на устойчивость и управляемость, излагаются
схемы устройства, принципы действия, а также методы
расчета органов управления, даются сведения об уп-
равлении пограничным слоем (УПС), отрывными тече-
ниями, трением, теплопередачей, лобовым сопротивле-
нием и подъемной силой.
Предназначается для студентов втузов. Может быть по-
лезно инженерам и научным работникам.
Маргулова Т. X. Атомные электрические станции:
Учебник. 3-е изд., перераб. и доп. — 30 л. с ил.—
1 р. 68 к.-В пер.
В книге излагается теория тепловых электрических
станций применительно к установкам на ядерном топ-
ливе, рассматриваются вопросы, общие для обычных и
атомных электростанций, и вопросы,специфические для
атомных электростанций, реакторные и парогенератор-
ные установки; основы проектирования атомных элект-
ростанций и их генеральный план; дезактивационные
установки; основы компоновки атомных электростан*
ций; описания атомных электростанций с водными, га-
зовыми и жидкометаллическими теплоносителями.
В третьем издании (второе вышло в 1974 г.) приведены
данные о новых типах оборудования АЭС, появившихся
за последние годы.
Предназначается для студентов энергетических вузов
и факультетов. Может быть использовано инженерами.
УВАЖАЕМЫЕ ЧИТАТЕЛИ!
Издательство «Высшая школа» выпускает учебники,
учебные и методические пособия, плакаты. Подробнее
познакомиться с учебной литературой Вам поможет
аннотированный план выпуска литературы на 1978 год
(вузы и техникумы), который имеется в книжных ма-
газинах.
Предварительные заявки на книги Вы можете сделать
в магазинах Книготорга или потребительской коопе-
рации.