Мф.Уатэдчер и&нсЛ^бэтУнс
ПЕРЕХОДНЫЕ
ПРОЦЕССЫ
В ЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМАХ
*
М. Ф. ГАРДНЕР и Дж. Л. БЭРНС
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ
ПОСТОЯННЫМИ
ПЕРЕВОД G АНГЛИЙСКОГО
П. И. ЗУБКОВА и М. С. ЛИБКЙНДА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Г. И. АТАБЕКОВА и Я. 3. ЦЫПКИНА
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ ИСПРАВЛЕННОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 195 1 ЛЕНИНГРАД
13-6-4
АННОТАЦИЯ
Книга содержит систематическое изложение тео-
рии метода преобразования Лапласа, лежащего
в основе операторного исчисления, и практи-
ческих правил пользования этим методом при-
менительно к широкому классу задач из области
механики, электротехники, теории регулирования
и т. д.
Русский перевод дополнен главой, посвящённой
более полному изложению теории электромеханиче-
ских аналогий и решениями задач на составление
интегро-дифференциальных уравнений переходных
процессов в электрических, механических и элек-
тромеханических системах.
Редактор Б. Б. Кузнецова.	Техн, редактор С. С. Гаврилов.
Подписано к печати 3/1 1951 г. Бумага 60Х92/1в. 16,25 бум. л. 32,5 печ. л. 89,26 уч.-изд. л.
48 320 тип. зн. в печ. л. Тираж 3 000 экз. T-00S02. Цена книги 23 руб. 55 коп.
Переплёт 2 руб. Заказ № 1977.
4-я типография им. Евг. Соколовой Главполиграфиздата при Совете Министров СССР.
Ленинград, Измайловский пр.» 29.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов русского перевода ................................ 4
Из предисловия авторов ......................................... 6
Глава I. Введение............................................... 9
Глава II. Составление уравнений для электрических и механи-
ческих систем.................................................  32
Глава III. Введение в теорию прямого и обратного преобразова-
ния Лапласа................................................... 109
Глава IV. Прямое преобразование и его применение к простым
функциям...................................................... 127
Глава V. Прямое преобразование интегро-дифференциальных
уравнений, содержащих функции одной независимой
переменной.................................................... 148
Г л ’а в а VI. Обратное преобразование рациональных алгебраи-
ческих дробей................................................  176
Глава VII. Полное решение одномерных задач, касающихся
электрических и механических систем........................... 195
Глав аVIII. Некоторые свойства преобразования Лапласа........	253
Глава IX. Решение линейных разностных уравнений с постоян-
ными коэффициентами........................................... 317
Пр ил ож е ния
I. Сводка теорем; таблицы изображений и оригиналов функций . .	368
II. Сопоставление методов преобразования Лапласа и Фурье ....	398
Приложения переводчика
I. Теория электромеханических аналогий........................ 400
II. Решения некоторых задач................................... 435
Литература.................................................... 515
Предметный указатель.......................................... 517
1*
ОТ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Операторный метод исследования переходных процессов получил
за последние два десятилетия широкое распространение в различ-
ных областях техники. Трудами ряда советских и зарубежных учё-
ных операторный метод получил вполне строгое математическое
обоснование и развитие на базе общей теории функциональных
преобразований и, в частности, преобразования Лапласа. Предлагае-
мая вниманию советского читателя в русском переводе книга Гард-
нера и Бэрнса является систематическим курсом теории переходных
процессов в линейных системах, изучаемых с помощью преобразо-
вания Лапласа.
К достоинствам этой книги следует отнести, с одной стороны,
строгость математической трактовки метода, а с другой, ясность
и доступность изложения, а также большое число рассмотренных
физических и технических задач из области электрических цепей,
электроники, механики и электромеханики, автоматического регули-
рования и т. д. Значительное место в книге уделено элементам
теории электрических и механических цепей и электромеханическим
аналогиям. Авторы не обошли вниманием существенного для каж-
дого исследователя вопроса, а именно: методики составления урав-
нений для изучаемых процессов.
Новым в книге является развитие метода преобразования Ла-
пласа в применении к решению разнообразных задач, .приводящихся
к разностным и разностно-дифференциальным уравнениям.
Большое число примеров и задач, предлагаемых читателю, спо-
собствует более глубокому усвоению теории и приложений метода.
Книга снабжена обстоятельной и систематически составленной
таблицей изображений часто встречающихся функций.
Приведённая в оригинале историческая справка о развитии
метода преобразования Лапласа и родственных ему методов, содер-
жащая в основном перечень имён и отличающаяся тенденциозностью
изложения, не представляет интереса для читателя л поэтому
в русском переводе опущена.
Следует также отметить, что в обширной библиографии ориги-
нала содержались многочисленные ссылки на второстепенные работы
и работы, не имеющие прямого отношения к содержанию книги.
Авторы обошли молчанием существование фундаментальных трудов
ОТ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА	5
в области операторного метода, опубликованных в СССР. Эти
труды, представляющие оригинальные монографии, вышедшие в свет
задолго до появления книги Гарднера и Бориса, содержат решения
множества новых задач и важные научные результаты, полученные
впервые советскими авторами.
Учитывая интересы советского читателя, в русском издании
указатель литературы авторов заменен указателем, составленным
редакторами.
Перевод снабжён пояснительными примечаниями переводчиков
и редакторов. Было признано также целесообразным снабдить книгу
двумя приложениями, в которых для русского читателя дано более
полное изложение теории электромеханических аналогий, построен-
ной на основе общей теории пассивных четырёхполюсников (при-
ложение I, стр. 400), и подробные решения задач па составление
уравнений для переходных процессов в электрических, механиче-
ских и электромеханических системах (приложение II, стр. 435).
Эти приложения будут в большей мере способствовать самостоятель-
ному изучению материала.
Предлагаемая книга может быть рекомендована в качестве
руководства для научных работников, аспирантов, инженеров и
студентов старших курсов высших технических учебных заведений,
интересующихся вопросами электромеханики, приборостроения, ра-
диотехники и т. п.
Главы I, II, III, IV, IX и приложения переведены П. И. Зуб-
ковым. Им же составлены решения задач и написана дополни-
тельная глава по теории электромеханических аналогий. Главы V,
VI, VII и VIII переведены М. С. Либкиндом.
Во втором издании, выходящем в свет через два года цосле
опубликования первого издания, тираж которого полностью разо-
шелся, внесены некоторые необходимые исправления и уточнения,
а также из него устранены опечатки, вкравшиеся в первое издание.
Г. И. Атабеков
Я 3. Цыпкин
Москва 1950 г.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
Настоящая книга является результатом обработки односеместро-
вого курса лекций, читавшихся аспирантам Массачузетского техно-
логического института.
Как указано в названии, книга посвящена линейным физиче-
ским системам. В математическом отношении системы последнего
вида приводятся к обыкновенным интегро-дифференциальным или
разностным уравнениям. Системы с распределёнными постоянными,
приводящиеся к интегро-дифференциальным уравнениям в частных
производных, будут рассмотрены в другой книге. Такое разделение
предмета изучения соответствует общепринятому разделению курса
дифференциальных уравнений. Так как при составлении настоящей
книги имелись в виду главным образом разнообразные приложения
излагаемого в ней метода, то для решения той или иной конкрет-
ной задачи, естественно, не всегда применяется наиболее целесо-
образный способ.
В главе I помещены некоторые основные сведения, касающиеся
природы переходных процессов, и объясняются мотивы, по которым
эта книга ограничивается только линейными системами. Глава за-
канчивается пропедевтическим изложением сущности метода решения
функциональных уравнений с помощью преобразования Лапласа.
В главе II излагаются методы математического формулирования
одномерных задач, относящихся к электрическим и механическим
системам. Эта глава имеет самостоятельное значение и может слу-
жить дополнением к курсу обыкновенных дифференциальных урав-
нений в высшей технической школе.
Введение в теорию преобразования Лапласа, составляющее со-
держание главы III, излагается путём последовательных обобщений
теории рядов и интегралов Фурье.
В главе IV выполняется преобразование элементарных функций
и излагаются основные теоремы, касающиеся преобразования Ла-
пласа.
В главе V преобразуются и решаются алгебраическим методом
уравнения, сформулированные в главе II. Решения этих уравнений
выражаются в виде рациональных дробей.
Для обратного преобразования рациональных алгебраических
функций (т. е. для отыскания оригиналов по заданным изображе-
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
7
ниям) необходимо предварительно разложить их на простые дроби.
Это составляет содержание главы VI.
Наконец, в главе VII даются формулировки и полные решения
некоторых типичных задач.
Дополнительные теоремы, их варианты и их приложения со-
браны в главе VIII.
Последняя глава IX посвящена интегро-дифференциально-раз-
ностным уравнениям.
Сводка теорем и таблицы изображений операций и наиболее
часто встречающихся функций приведены в приложении I (стр. 368)
в форме, удобной для практического применения. Дополнительные
замечания относительно связи между преобразованиями Фурье
и Лапласа помещены в приложении II (стр. 398).
Мы стремились к простому и практическому изложению совре-
менных методов решения не только обыкновенных интегро-диффе-
ренциальных уравнений, но и разностных уравнений и дифферен-
циальных уравнений в частных производных. Для этой цели
используется таблица изображений функций, составляемая и при-
меняемая аналогично обычной таблице интегралов. Благодаря этому
удалось обойтись без интеграла, определяющего обратное преобра-
зование Лапласа, и, следовательно, не заниматься его вычислением,
что потребовало бы интегрирования в комплексной плоскости. Такое
построение книги даёт инженерам эффективный и надёжный метод
решения многих задач, избавляя их в то же время от трудностей,
связанных с интегрированием функций комплексного перемен-
ного.
В отличие от символического, т. е. формального операторного
метода, границы применимости которого точно не устанавливаются,
используемые здесь методы основаны на общеизвестных положениях
классического анализа. Границы их применимости либо указы-
ваются в тексте, либо могут быть определены классическими ме-
тодами. Таким образом, изложение может быть сделано сколь
угодно строгим.
Мьг не ставили своей целью подтвердить с помощью теории
преобразования Лапласа справедливость ранее разработанных мето-
дов операторного исчисления. Напротив, мы стремились показать,
что теория этого преобразования, основанная на строгих матема-
тических положениях, приводит в сочетании с системой сокращён-
ных обозначений к столь же удобным приёмам формулирования и
решения задач. Не нарушая строгости метода функционального
преобразования, мы старались придать ему надлежащую эффектив-
ность и^ простоту.
Мы придерживались такой последовательности изложения, при
которой различные математические приёмы вводятся только по
мере надобности. Принятый план позволил отодвинуть в конец
книги наиболее трудные математические вопросы. Для простоты
<8
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
мы сводили все рассуждения, касающиеся каждого отдельного
этапа решения различных задач, в особую главу.
Заслуживают упоминания некоторые особенности этой книги.
Аналогично таблицам преобразований Фурье, составленным Кемп-
беллом и Фостером, в наших таблицах максимально использованы
конечные математические выражения. Ряды и асимптотические
формулы вовсе исключены из настоящей книги/
Особое внимание обращено на систематическое изложение
методов составления уравнений для физических задач.
В главе I и III, а также в приложении II сопоставляются ме-
тоды преобразования Фурье и Лапласа. •
Некоторые элементы новизны могут быть найдены в главе IX,
связывающей предыдущие главы этой книги, в которых трак-
туются одномерные задачи, с задуманной нами книгой, посвящённой
многомерным задачам. В частности, широко применяется так
называемая ступенчатая функция, определённая в непрерывной
области и служащая для интерполирования функций, определённых
только для дискретных значений независимой переменной.
Книга содержит большое число тщательно разработанных при-
меров. В конце каждой главы помещены практические задачи,
заимствованные из самых различных областей техники. Некоторые
задачи представляют собой не только практические упражнения,
но и своего рода обобщения и развитие материала, изложенного
в тексте. Они составляют неотъемлемую часть книги.
ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ
Приступая к изучению математической теории переходных
процессов в линейных системах, необходимо уточнить некоторые
основные понятия, касающиеся природы этих процессов, и отчётливо
уяснить причины, побуждающие ограничиться изучением только
линейных систем. В этой вводной главе излагаются как эти пред-
варительные сведения?,, так и мотивы выбора метода преобразования
Лапласа в качестве средства математического анализа линейных
физических систем в переходном состоянии.
А. ПРИРОДА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Несколько примеров хорошо известных переходных процес-
сов явятся своего рода введением в сущность предмета иссле-
дования.
Радиоприёмник с подогревными электронными лампами начинает
действовать надлежащим образом примерно через полминуты с мо-
мента его включения. Промежуток времени, в течение которого
происходит нагрев катодов, является переходным промежутком.
Говорят, что тепловые и электрические характеристики приёмника
находятся в переходном (неустановившемся, устанавливающемся,
нестационарном) состоянии в течение этого промежутка времени.
Таким образом, переходный промежуток является тем промежутком,
в течение которого происходит переход от одного установившегося
состояния (соответствующего холодным катодам) к другому установив-
шемуся состоянию (соответствующему нагретым катодам).
Другим хорошо известным примером переходного состояния слу-
жит состояние электрического двигателя во время его пуска. В ме-
ханическом отношении происходит переход его ротора из устано-
вившегося состояния покоя в установившееся состояние равномер-
ного вращения. Этот процесс сопровождается переходом двигателя
из состояния механического покоя в состояние механических коле-
баний (вибраций). Одновременно изменяется и электрическое состоя-
нпе двигателя, так как его противоэлектродвижущая сила возрастает
от нуля до установившегося рабочего значения.
10	ВВЕДЕНИЕ	[гл. I
§ 1.	Определения понятий установившегося и переходного
состояний
В вышеприведённых примерах можно было легко отличить
состояние, называемое установившимся, от состояния, называемого
переходным. К сожалению, это удаётся не всегда. Идеализация,
которую приходится вводить в постановку физических задач, для
того чтобы сделать их разрешимыми/ часто маскирует различие
между установившимся п переходным состояниями в упрощённой
задаче. Иногда после упрощения задачи исчезает переходное состоя-
ние, т. е. как бы исчезают начало и конец процесса. Иными
словами, длительность установившегося состояния становится равной
бесконечности. Другой возможной крайностью может явиться отсут-
ствие установившегося состояния. В подобных случаях теряется
смысл определения переходного состояния как процесса перехода
от одного установившегося состояния к другому.
Для того чтобы сохранить сущность наших обыденных пред-
ставлений об установившемся и переходном состояниях и вместе
с тем сделать их достаточно общими, мы вводим следующие опре-
деления:
Состояние динамической системы называется установившимся
(стационарным), если переменные величины, описывающие её
поведение, не меняются во времени или являются периодическими
функциями времени (в определённом промежутке его изменения).
Динамическая система находится в переходном (нестационарном)
состоянии, если её состояние не может быть названо установившимся.
С физической точки зрения переходное состояние физической системы
можно охарактеризовать как состояние, существующее во время
изменения её энергетических условий при переходе от одного
установившегося состояния к другому.
§ 2.	Вредные переходные процессы
Некоторые переходные процессы часто являются нежелательными,
но вместе с тем неизбежными следствиями перераспределения
энергии в какой-либо физической системе.
К числу подобных вредных процессов относятся, например,
грозовые разряды, образование электростатических зарядов на
проводах линий электропередач, процессы, возникающие в электри-
ческих системах в результате коммутационных операций, и т. д.
Вредные механические переходные процессы могут быть отнесены
либо к категории природных явлений (атмосферные и морские бури,
землетрясения и т. д.\ либо к категории искусственно вызываемых
процессов (вибрации, возникающие во время пуска машин, и т. п.).
Указанные электрические и механические процессы могут
сопровождаться тепловыми и акустическими переходными процессами.
§ 3]	ПОЛЕЗНЫЕ ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ	11
Тепловые переходные процессы, происходящие в природе ежесуточно
и ежегодно, оказывают сильнейшее влияние на нашу жизнь, а пере-
ходные процессы, возникающие в электрических и механических
устройствах, нередко накладывают значительные ограничения на
возможность их использования. Вредным акустическим переходным
процессам приходится уделять большое внимание при конструиро-
вании акустических устройств для аудиторий и радиостудий.
§ 3.	Полезные переходные процессы
В противоположность вредным не поддающимся регулированию
процессам существуют полезные и регулируемые переходные
процессы, применяемые для различных целей. Так, например,
важнейшим состоянием телефонной или радиоцепи, управляемой
звуком или ключом, является её переходное состояние. Оно же
является важнейшим состоянием в акустических устройствах, так
как звуки голоса и инструментальной музыки являются, по существу,
сочетаниями переходных акустических процессов.
Полезные -Переходные электрические процессы используются
в телевизионных устройствах для модуляции и синхронизации.
Практическая пригодность двигателя с изменяющейся скоростью
вращения зависит главным образом от характера протекания
переходных процессов, возникающих при изменении нагрузки на
валу. Это относится почти ко всем двигателям, применяющимся
в наземном, водном и воздушном транспорте.
Основным во всех системах автоматического регулирования
является поведение системы в неустановившемся состоянии. Значение
подобных автоматических систем для регулирования положения,
скорости, напряжения, частоты, громкости звука, температуры,
влажности, уровня жидкости и, в особенности, работы станков и хода
технологических процессов быстро возрастает.
Короче говоря, многие динамические системы должны изучаться
в .переходном состоянии: одни — с целью уменьшения влияния вред-
ных переходных процессов, другие — с целью использования полез-
ных переходных процессов.
Во всяком случае, какова бы ни была роль переходных процессов,
полезной или вредной, их изучение представляет собой технически
важную задачу, а их расчёт часто наталкивается на значительные
трудности.
Б. ОГРАНИЧЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
Если бы математическое исследование любой динамической
системы в переходном режиме могло быть выполнено достаточно
просто и полно, мы, естественно, занялись бы в первую очередь
изучением наиболее важных систем. Так как это невозможно, мы
12	ВВЕДЕНИЕ	[ГЛ. I
вынуждены выбрать в первую очередь системы, поддающиеся
наиболее простому и полному математическому исследованию. Этому
условию удовлетворяют линейные системы, к тому же играющие
значительную роль в технике и физике.
§ 4.	Определение понятия «линейная система»
Сопротивления, подобные тем, которые применяются в радио-
приёмниках, обладают следующим характерным свойством: в рабочем
диапазоне, на который рассчитано данное сопротивление, текущий
по нему ток пропорционален падению напряжения на нём. Пружины,
аналогичные тем, которые применяются в пружинных весах,
обладают сходным свойством: в рабочем диапазоне, на который
рассчитана данная пружина, приложенное к ней усилие пропорцио-
нально вызываемому им изменению её длины.
Говорят, что поведение физического элемента, например, упо-
мянутых выше сопротивления или пружины, линейно в определён-
ном интервале изменения переменных величин, служащих для его
описания, если эти величины связаны между собой линейным
уравнением (т. е. уравнением первой степени). Термин «линейное
уравнение» употребляется взамен термина «уравнение первой
степени» (безразлично: алгебраическое, разностное, дифференциаль-
ное или интегральное) в порядке расширения области применения
этого термина, относящегося, по существу, к алгебраическому
уравнению первой степени с двумя переменными, геометриче-
ским образом которого в декартовых координатах служит прямая
линия.
Элемент, применяющийся только в том интервале, в котором
его поведение лииейпо, называется для краткости линейным эле-
ментом.
Поведение большей части конструктивных элементов- различ-
ных устройств отнюдь не является линейным в неограниченном
интервале.
В одних случаях наблюдается постепенный, а в других —
скачкообразный переход от линейности к нелинейности. Так,
например, величина сопротивления, упоминавшегося выше, будет
меняться постепенно вследствие нагрева, если протекающий по
нему ток будет достаточно увеличен. С другой стороны, его изоляция
может внезапно нарушиться, если будет достаточно увеличено
приложенное к нему напряжение. Оба эти явления ограничивают
область линейности.
Аналогичные’ эффекты ограничивают область линейности пру-
жины, Когда нагрузка на весах достаточно .возрастёт,, напряжение
материала, из которого сделана пружина, превысит предел упругости.
Другими словами, свойства пружины, в конце концов, станут
нелинейными.
§ 6] АДДИТИВНЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 13
§ 5.	Замена реальной физической системы упрощённой
математической системой
Для облегчения решения физических задач условно пренебре-
гают существованием интервалов, в которых физические элементы
нелинейны. В таких случаях реальные физические элементы
заменяются упрощёнными (идеализированными) элементами, кото-
рым приписывается свойство линейности в неограниченном ин-
тервале.
В некоторых случаях подобная замена может оказаться недо-
пустимым искажением физической действительности. Такое искаже-
ние сопряжено с определённой ответственностью, если теоретические
выводы используются в дальнейшем для объяснения и предсказания
новых физических фактов.
Подобные упрощённые элементы обычно фигурируют в различ-
ных физических теориях. Нередко после их введения в теорию
забывают об их отношении к реальным физическим элементам,
взамен которых они были введены. Так, например, закон Ома при
отсутствии указания на интервал его применимости справедлив лишь
для упрощённых элементов. То же относится к закону Гука.
Теория, основанная на применении линейных элементов, может
иногда давать, хотя и грубо приближённые, .но ценные результаты,
даже если соответствующие реальные физические элементы не
линейны ни в одном конечном интервале. Предположим, что прибли-
жённое уравнение представляет собой линейное алгебраическое
уравнение с двумя переменными. Геометрически это интерпрети-
руется следующим образом: «достаточно короткий» отрезок кривой
заменён прямолинейным отрезком. Иногда прямой линией можно
заменять и более длинный отрезок кривой. В этом случае прямая
играет роль верхней или нижней границы области, в которой
расположены точки кривой.
§ 6.	Аддитивные свойства линейных
математических систем
Простейшими алгебраическими функциями являются линейные
функции. Они обладают очень важным свойством, заключающимся
в том, что сумма двух линейных функций представляет собой также
линейную функцию.
Решение линейных уравнений выполняется проще решения ка-
ких бы то ни было других алгебраических уравнений. Эта простота
решения распространяется и на системы линейных алгебраических
уравнений. Кроме того, изящные методы теории определителей и
теории матриц применимы лишь к системам линейных алгебраи-
ческих уравнений.
14	ВВЕДЕНИЕ	(гл. t
Продолжая это сопоставление, мы должны отметить, что линей-
ные разностные, дифференциальные и интегральные уравнения
решаются проще, чем соответствующие уравнения высших степе-
ней. Эти линейные уравнения также обладают аддитивными свой-
ствами.
Можно получить полное решение системы линейных уравнений,
содержащих различные заданные функции, путём суммирования её
частных решений, получаемых в предположении, что в каждом
отдельном случае существует только одна такая функция, а все
остальные равны нулю. Этот принцип суммирования частных
решений, найденных при указанных условиях, носит название
«принципа наложения». Короче говоря, простота и вытекающие
из неё аддитивные свойства линейных математических систем
служат причиной того, что полное решение относящихся к ним
задач может выполняться с относительной лёгкостью.
Следует противопоставить сравнительную лёгкость анализа линей-
ных математических систем трудностям математического анализа
существенно нелинейных систем, т. е. таких физических систем,
которые не могут быть представлены линейными математическими
системами без искажения их важнейших характеристик. Основные
элементы таких физических систем нелинейны. Примерами могут
служить катушки с ферромагнитными сердечниками, сопротивления
в грозозащитных устройствах или электронные лампы в генератор-
ном режиме.
Полный математический анализ сложных физических систем,
содержащих подобные элементы, чрезвычайно труден и очень
часто практически нецелесообразен.
Математический анализ нелинейных систем более труден, чем
линейных, ибо поведение первых сложнее поведения вторых.
Функции и уравнения, с помощью которых описывается поведение
нелинейных физических систем, не обладают характерными ад-
дитивными свойствами, присущими линейным элементам. Дру-
гими словами, принцип наложения неприложим к нелинейным си-
стемам.
При отсутствии аддитивности применение метода разложения в
'ряды приводит к значительно большим трудностям. Решение си-
стемы нелинейных уравнений не может быть выполнено эффектив-
ными и стандартными методами матричной алгебры.
Практические методы, пригодные для анализа нелинейных
систем, неточны и • сложны. Это — либо графические, а потому
грубоприближённые методы, либо трудоёмкие методы последователь-
ного приближения, либо, наконец, это методы, основанные на
применении различных счётно-аналитических машин.
Изучение нелинейных систем часто выполняется более успешно
экспериментальными, а не математическими методами. В этих слу-
чаях особенно пригодны модели или аналогии.
§ 8]
ЗАМЕНА ФИЗИЧЕСКИХ ВОЛИЧИП
16
§ 7.	Независимость пассивных элементов от времени
Элементы, вносящие энергию в физическую систему, назы-
ваются её активными элементами или источниками. Остальные
элементы системы либо накапливают энергию, либо отводят её из
системы (часто в форме тепла); такие элементы называются
неактивными или пассивными элементами. С целью упрощения
дальнейшего изложения мы ограничимся рассмотрением лишь не
зависящих от времени (постоянных) пассивных элементов.
Для лучшего уяснения этого последнего ограничения рассмотрим
электрический конденсатор. Его ёмкость может претерпевать
медленные изменения в течение длительного времени вследствие
столь же медленного изменения свойств (старения) диэлектрика.
Вместе с тем ёмкость может претерпевать изменения и за краткие
отрезки времени вследствие быстрых изменений температуры
обкладок и диэлектрика. Наконец, могут иметь место вынужден-
ные изменения ёмкости, вызываемые различными внешними
факторами.
Во всех математических системах, которые будут рассматриваться,
отсутствуют, согласно определению, какие бы то ни было изменения
параметров с течением времени. Другими словами, параметры наших
систем будут считаться постоянными.
Изменения во времени, происходящие в системе вследствие
коммутационных операций, будут рассматриваться не как измене-
ния элементов системы, а как переход от одной системы к дру-
гой системе с другими элементами, также не изменяющимися во
времени.
В дальнейшем будет показано, что поведение такой не изменяю-
щейся во времени системы зависит исключительно от поведения
системы в окрестности какого-либо одного предшествующего момента
времени.
§ 8.	Замена физических величин упрощёнными
математическими функциями
Поведение линейных систем с постоянными (не изменяющимися
во времени) элементами описывается линейными интегро-дифферен-
циальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Необходимо
рассмотреть не только виды математических операций, встре-
чающихся в этих уравнениях, но и виды функций, с которыми
придётся иметь дело как в самих уравнениях, так и в реше-
ниях. '
Физические функции времени, определяющие поведение системы,
как-то: силы, скорости, токи и напряжения, заменяются более про-
стыми абстрактными функциями с той же целью и по тем же при-
16	ВВЕДЕНИЕ	[ГЛ. 1
чинам, по которым физические элементы системы заменяются более
простыми идеализированными элементами.
Физические функции — это однозначные и (с макроскопической
точки зрения) непрерывные функции. Мы желали бы перенести
эти свойства однозначности и непрерывности и на те упрощённые
функции, которыми заменяются физические функции. К сожалению,
оба эти свойства несовместимы в точках разрыва первого рода
упрощённых математических функций. В таких -точках мы условно
сохраняем требование однозначности за счёт отказа от требования
непрерывности, так кйк скачкообразный разрыв непрерывности
функции легче поддаётся математической трактовке, чем её много-
значность, представляемая графически прямолинейным отрезком,
параллельным оси ординат.
Однако часто избегают встречающихся здесь трудностей тем,
что из рассмотрения исключают поведение упрощённой функции
в окрестности точки ^разрыва.
Упрощённые функции, применяемые взамен исходных -физи-
ческих функций, относятся к 'классу так называемых «функций с
ограниченной вариацией» *). Функции этого класса выбраны на
основании следующих соображений. В конкретных физических за-
дачах мы никогда не встречались с функциями, выходящими за пре-
делы названного класса. В частности, мы не встречались с не-
обходимостью пользоваться функциями, которые относились бы
к более широкому классу функций, «измеримых по Лебегу»**), но
одновременно не принадлежали бы к классу функций с ограничен-
ной вариацией. В математической литературе имеются многочислен-
ные и обстоятельные исследования класса функций с ограничен-
ной вариацией. Мы не знаем ни одного другого хорошо изученного
более узкого и более специального класса, который охватывал
бы все те функции, которыми мы собираемся пользоваться в даль-
нейшем.
*) Функция /‘(ж), заданная в интервале (а, 6), называется функцией
с ограниченной вариацией, если при любом выборе точек разбиения
a xi < ж2 < • • • < хп < & сумма абсолютных значений приращений функ-
ции на частичных интегралах
где М—постоянное число, зависящее от вида функции/1 (ж) и интервала
(а, Ъ) и не -зависящее от выбора числа п точек разбиения.
Функция с ограниченной вариацией может обладать только точками
разрыва первого рода; она может быть представлена разностью двух
монотонно возрастающих функций и, следовательно, может иметь только
конечное число максимумов и минимумов в любом конечном интер-
вале. (См. [1]). (Прим, перев.)
**) О функциях, измеримых в смысле Лебега, см. там же. (Прим,
перев.)
§ 10]	СРАВНЕНИЕ ЧЕТЫРЁХ СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ	17
§ 9.	Значение линейных систем, не изменяющихся во времени
Ограничиваясь рассмотрением линейных инвариантных во времени
систем как наиболее простых моделей реальных физических систем,
по причинам, которые могут быть пояснены одним словом — целе-
сообразность, мы переходим к вопросу о преимуществах и значении
тех физических систем, которые могут быть достаточно хорошо
аппроксимированы такими идеализированными системами.
Прежде чем говорить о степени аппроксимации, необходимо
установить меру точности или допустимую величину погрешности.
Эта мера зависит, конечно, от специфической цели, ради которой
предпринимается та или иная аппроксимация. Необходимо счи-
таться также с тем, что в некоторых случаях применение других
идеализированных систем, ближе соответствующих реальной физиче-
ской системе, чем линейная система с постоянными элементами, мо-
жет потребовать такого количества дополнительного труда, что исполь-
зование линейных систем всё же окажется более целесообразным.
О содержании ответа на поставленный выше вопрос о значении
линейных систем с постоянными элементами можно лишь догады-
ваться. Мы убеждены, что, за небольшим числом исключений, почти
все физические системы, поддающиеся в настоящее время исчерпываю-
щему анализу математическими методами, могут быть представлены
в первом приближении подобными идеализированными системами.
Другая сторона вопроса о значении математических систем
заключается в следующем. Когда мы переходим от реальных физи-
ческих к абстрактным математическим системам, мы часто обна-
руживаем, .что различные физические системы приводятся к одним
и тем же идеализированным системам, т. е. к одним и тем же
математическим задачам. Такие физические системы называются
аналогами. Соответствия, существующие между аналогичными физи-
ческими системами и между ними и представляющей их матема-
тической системой, могут дать при условии их полного использо-
вания колоссальную экономию труда, затрачиваемого на исследование
физических систем. Действительно, решение, полученное для какой-
либо одной идеализированной задачи, одновременно даёт решение
для всех представляемых ею физических задач. Значение и полез-
ность линейных математических систем с постоянными коэффициен-
тами показаны на примерах, данных в конце каждой главы, начи-
ная со второй.
В. ПРЕИМУЩЕСТВА МЕТОДА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
§ 10.	Сравнение четырёх существующих методов
. Задачи, подлежащие решению, математически формулируются
в виде систем линейных интегро-дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами, содержащих функции, принадле-
жащие к классу функций с ограниченной вариацией, и с произ-
2 Зак. 1977. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
18
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
Табл
Сопоставление четырёх
Название метода	Дополнительные условия, ограничивающие область практической применяемости	
Классический метод	1)	Уравнения должны содержать функции од- ной независимой переменной 2)	Число постоянных интегрирования должно быть невелико 3)	В уравнениях, содержащих интегралы искомых функций, заданные функции должны быть дифференцируемыми (допускается наличие некоторых второстепенных функций, для кото- рых остальные три метода непригодны)	
Метод Коши-Хевисайда	1)	Начальные или граничные значения ис- комых функций должны быть равны нулю. В противном случае необходимы искусствен- ные приёмы 2)	Отсутствует интерпретация произведения функций аргумента t 3)	Метод не даёт указаний о границах его применимости	•	
Метод преобразования Фурье	1) Непригоден при ненулевых начальных (или граничных) условиях 2) Заданные искомые функции должны иметь изображения Фурье. (Допускаются функции с разрывами непрерывности 1-го рода, но многие полезные функции исключаются.)	
Метод преобразования Лапласа	1) Заданные и искомые функции должны иметь изображения Лапласа. (Пригоден для всех функций, для которых пригоден метод Коши-Хевисайда и метод преобразования Фурье. Пригоден для многих функций, для которых непригоден классический метод.)	
§ 10]	СРАВНЕНИЕ ЧЕТЫРЁХ СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ	19
иц а 1
существующих методов
	Условия справедливости решения	Простота с точки зрения практического использования	Возможности дальнейшего развития
	Существуют, но мало известны. Они могут быть определены обыч- ными математическими методами	Метод не очень прост, ибо определение посто- янных интегрирования даётся нелегко, кроме случаев, когда их число мало	Возможности велики, но реализация их встре- чает большие трудно- сти
	Метод не даёт воз- можности определить эти условия. Частично они могут быть опре- делены по аналогии с методом преобразования Лапласа	Метод превосходен	Возможности малы, если только его даль- нейшая разработка не будет произведена по аналогии с методом преобразования Лапласа
	Точные условия из- вестны	Метод превосходен	Возможности ограни- чены, ибо он применим, по существу лишь к функциям, для кото- рых существуют изо- бражения Фурье
	Точные условия из- вестны	Метод превосходен	Возможности велики
2*
20	ВВЕДЕНИЕ	,	[ГЛ. I
вольными заданными начальными или граничными условиями.
Существует четыре различных метода решения задач такого рода.-
Наиболее широко известен метод, излагаемый в элементарных кур-
сах, посвящённых интегрированию обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений. Назовём его классическим методом. Тремя другими
методами являются операторный метод Коши-Хевисайда (см. при-
ложение II), метод преобразования Фурье и, наконец, метод пре-
образования Лапласа.
Ни один из этих методов не был разработан исчерпывающе
с точки зрения области и условии применения, а также с точки
зрения практической простоты и ясности.
По мнению авторов этой книги наименее широко известный
в настоящее время метод преобразования Лапласа является, од-
нако, наиболее общим и наиболее многообещающим в смысле его
дальнейшего совершенствования.
Характерные особенности и относительные достоинства этих
четырёх методов, взятых в той форме, в какой они применяются
в настоящее время, приведены в таблице I. Приведём следующие
замечания в дополнение к этой таблице.
Все четыре метода весьма сходны между собой в некоторых
отношениях. В частности, три метода: Коши-Хевисайда, Фурье и
Лапласа являются лишь разновидностями одного и того же единого
метода.
Ознакомление с операторным исчислением Коши-Хевисайда при-
водит к выводу, что этот метод в его современной форме применим
лишь в сравнительно узкой области и не поддаётся ни дальнейшему
развитию, ни интерпретации без помощи иных менее формальных
отраслей математического анализа.
Ранняя работа Коши, посвящённая этой форме операторного
исчисления, показывает, что уже Коши имел некоторое пред-
ставление о тесной связи между этим методом и методом преоб-
разования Лапласа. Хевисайд же не придавал никакого значения этой
связи. После него различные авторы делали попытки обосновать и
повысить строгость методов операторного исчисления Коши-Хеви-
сайда, применяя для этой цели одну из разновидностей преобра-
зования Лапласа. В настоящее время считают вполне установлен-
ным, что метод преобразования Лапласа может рассматриваться
как строгое обоснование и средство для объяснения символических
(формальных) методов операторного исчисления Коши-Хевисайда.
Если стать на эту точку зрения, легко не только дать объяснение
формальным приёмам операторного исчисления в его современной
форме, но и предвидеть те возможные направления его дальней-
шего развития, которые не могут быть обнаружены иным способом.
Совокупность разрозненных формальны?; правил заменяется
логически обоснованным, внутренне связанным систематическим
методом.
§11] ОСОБЕННОСТИ МЕТОДА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА	21
В настоящей книге последовательно проводится отказ от сим-
волического операторного исчисления Коши-Хевисайда в пользу
строго обоснованного метода преобразования Лапласа и даже не
делается попыток проводить параллели между обоими методами.
Метод преобразования Лапласа требует по сравнению с клас-
сическим методом более глубоких математических познаний, зато
он даёт возможность глубже проникнуть в связь между переход-
ной и установившейся частью решения. Упрощение и унификация
приёмов, вытекающие из применения более глубоких математи-
ческих идей, полностью оправдывают труд, затрачиваемый на
ознакомление с этими идеями.
В главе III будет показано, как метод преобразования Фурье
может быть включён в метод преобразования Лапласа в качестве
частного случая последнего.
В этой книге будут изложены основные свойства метода пре-
образования Лапласа и будут указаны типы задач, решение кото-
рых может быть упрощено с его помощью. Кроме того, будут при-
ведены и задачи таких типов, решение которых не поддаётся
значительному упрощению с помощью этого метода, например,
задачи с граничными условиями, заданными в двух точках*).
§ 11.	Особенности метода преобразования Лапласа
Метод преобразования Лапласа, пригодный для решения задач,
относящихся к линейным инвариантным во времени системам,
обладает следующими характерными особенностями:
а)	Метод указывает прямой путь аналитического решения прак-
тичёских задач о переходных процессах при общих начальных
или граничных условиях, заданных в одной точке.
Решение начинается с составления интегро-дифференциальных
уравнений и приводит непосредственно к искомому результату,
соответствующему конкретным условиям задачи. В этом отношении
метод преобразования Лапласа составляет полную противоположность
классическому методу, который предполагает отыскание в первую
очередь общего решения и его последующее приспособление к
частным условиям конкретной задачи. Равным образом он отличается
от обычного метода операторного исчисления Коши-Хевисайда,
требующего наличия особых начальных условий, а именно, равен-
ства нулю начального запаса энергии в системе. При наличии началь-
ных или граничных условий более общего характера метод Кошп-
Хевисайда требует применения различных искусственных приёмов.
б)	Метод позволяет накапливать опыт решения сходных задач
в форме удобных таблиц, содержащих функции и их изображения
или операции и их изображения.
*) См. § 14 главы VII. (Прим, перев,)
22	ВВЕДЕНИЕ	’ [гл. I
в)	Метод позволяет получать одновременно как установившуюся,
так и свободную части решения поставленной задачи и ясно ука-
зывает на тесную внутреннюю связь между ними.
г)	Метод пригоден для решения не только обыкновенных диф-
ференциальных уравнений, но и линейных разностных уравнений
с постоянными коэффициентами, уравнений в частных производ-
ных и некоторых интегральных уравнений.
д)	Метод Лапласа лежит в основе не только анализа суще-
ствующих систем, но и приёмов конструирования (синтеза) новых
систем, удовлетворяющих тем пли иным предписываемым требо-
ваниям.
е)	Наконец, метод Лапласа позволяет получать решения задач
о переходном состоянии, не прибегая к составлению, а тем более
к решению интегро-дифференциальных уравнений системы. В этом
отношении он сходен с символическим методом (методом ком-
плексных чисел), который, как известно, также не требует предва-
рительного составления интегро-дифференциальных уравнений для
получения решения задачи об установившемся состоянии системы. .
§ 12.	Примерный перечень задач из области физики	;
и техники, для решения которых целесообразно применять \
метод преобразования Лапласа	5
Задачи, для решения которых целесообразно применение метода
преобразования Лапласа, разнообразны и многочисленны. В далеко 1
неполный перечень входят, например, такие задачи:
а) Определение формы кривой напряжения или тока импульс-
ных генераторов.
. б) Переходные процессы в линейных цепях с ламповыми уси- :
лителями.	j
в)	Системы автоматического управления с гибкими обратными
связями (следящая система; автоматическое регулирование	темпе-	4
ратуры, напряжения, углового перемещения, скорости,	уровня	»
жидкости, громкости звука, частоты и т. п.).	|
г)	Неустановившиеся колебательные процессы в механических
системах (механические фильтры, сейсмографы).	•;
д)	Неустановившиеся колебательные процессы в электромеха- $
нических системах (микрофоны, репродукторы, пьезо-электриче-
ские кристаллы).
е)	Различные цепи в катодных осциллографах (выдержки вре- ;
мени, отклонения луча, развёртки, синхронизации).	I
ж)	Переходные процессы в цепях реле и контакторов.	|
з)	Переходные процессы в машинах переменного тока при I
коротких замыканиях.
и)	Переходные процессы в генераторах для дуговой сварки.
к)	Переходные процессы в системах, подвергающихся перио-
дическому коммутированию.
§13]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	23
л)	Переходные процессы при возмущённом полёте самолёта.
м) Переходные процессы в электрических фильтрах и искус-
ственных линиях.
н) Переходные процессы, связанные с появлением бегущих волн
в воздушных и кабельных линиях передач, вызванные грозовыми
разрядами, коммутацией (переключением) и короткими замыканиями
(отражения от узлов и концов линии).
о)	Восстановление напряжения при размыкании цепи.
п) Импульсная защита (защита от перенапряжений) трансфор-
маторов и электрических машин. Колебания в трансформаторах.
р)	Распространение сигналов по линиям связи (телефонные я
телеграфные сигналы, синхронизирующие импульсы и импульсы
для передачи изображения в телевизионных схемах).
с) Индуктивные помехи, вызываемые в линиях связи возму-
щениями, происходящими в расположенных по соседству силовых
сетях.
т) Переходные процессы при распространении звуковых волн.
у) Переходные процессы в выходных цепях оконечных уси-
лителей, питающих громкоговорители.
ф) Неустановившиеся поперечные и продольные колебания стерж-
ней.
х) Неустановившиеся тепловые потоки в машинах, в изоляции,
в кабелях, в местах сопряжения стекла и металла (в уплотне-
ниях), в стальных отливках.
ц) Неустановившиеся магнитные поля в массивных железных
сердечниках (их влияние на скорость возбуждения крупных генера-
торов переменного тока и на скорость реверсирования двигателей
постоянного тока для прокатных станов).
Г. КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
В этом разделе будет изложено краткое формальное введение
в сущность преобразования Лапласа и его применения к решению
интегро-дифференциальных уравнений. Области применимости и
условия существования этого преобразования подробно рассмотрены
в дальнейших главах этой книги.
§ 13. Преобразование Лапласа
- Преобразование Лапласа представляет собой одно из функцио-
нальных преобразований. Оно служит для преобразования опреде-
лённого класса функций вещественной переменной в функции
комплексной переменной, «аналитические'” на полуплоскости или
в определённой прямоугольной области комплексной плоскости».
Объяснение последнего выражения будет дано ниже. Обычно пре-
образуемая функция (оригинал) и её изображение совершенно раз-
личны по виду.
24
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
Прямое преобразование Лапласа (8-преобразование) записы-
вается уравнением
оо
J f (t) e~st dt<=F (s),	(1.1)
О
в котором по определению s==a-j-J<o,	—1, а ° и «s
являются вещественными переменными. Уравнение (1.1) записы-
вается сокращённо так:
= 7? (з).	(L2>
Это интегральное преобразование служит для определения пре-
образованной функции («изображения») F(s), соответствующей
заданной функции («оригиналу») f(t).
Функциональное соответствие может быть удобно представлен:-
следующей таблицей пар: оригинал — изображение.
Оригинал	Изображение
/(0	F(5)
При составлении такой таблицы
мы пользуемся прямым преобразова-
нием для перехода от какой-либо
функции, помещённой в левом столб-
це (под названием «оригинал»), к со-
ответствующей функции, помещённой
в правом столбце (под названием «изображение»). При пользова- .
нии таблицей соответствий часто приходится совершать обратный
переход от функции F(s), помещённой в правом столбце таблицы,
к функции f (i), помещённой в той же строке левого столбца, и
таким образом выполнять обратное преобразование Лапласа функ-
ции F (s). Обратное преобразование Лапласа записывается так:
й-1^^)] (=)/•(«); *>о.	(1.з>
Знак «(=)» означает «равно почти везде», смысл чего
будет объяснён ниже. Ограничение возможных значений аргумента t
областью согласуется с определением прямого преобразования
Лапласа; записанного уравнением (1.1), в соответствии с которым
интегрирование производится в пределах от £ = О до
§ 14.	Упрощение функций с помощью прямого преобразования
Лапласа
Многие функции вещественной переменной преобразуются в бо-
лее простые функции комплексной переменной в результате при-
менения к ним прямого преобразования Лапласа. Так, например,
функции, обладающие конечным числом точек разрыва первого рода,
преобразуются в функции, аналитические в комплексной полу-
плоскости, а многие часто встречающиеся трансцендентные функ-
ции преобразуются в алгебраические функции.
§ 14] УПРОЩЕНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРЯМОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 2&
О при f < а,
1 при t > а,
(1.4>>
, Рассмотрим в качестве примера функцию с одной точкой раз-
рыва первого рода:*
где а — неотрицательное вещественное число. Для этой функции.
со
Г	Г р — st ~l°°	p — as
2 [Л (0] = J	= е— (1.5>
во всей области, где Re (s) > 0. Символ Re (з) означает «веществен--
ная часть з». Легко видеть, что при t = a не существует произ-
£ — as
водной функции f\ (£), тогда как у её изображения -у- существуют
все производные во всей комплексной полуплоскости, где Re (s) > 0.
В качестве другого примера рассмотрим трансцендентную функция)
е~а#, определённую для всех значений t^-О при вещественном
Здесь
со	со
g [e-a*] = J* e~ate~stdt =	£-(*+«)*	(1.6}h
б	о
в области, где Re (s) >—а. В то время как заданная функциям
(оригинал) представляет собой показательную, т. е. трансцендент-
ную функцию, её изображение 1/($4~а) является алгебраической:
функцией.
Рассмотренные примеры сведены в таблицу II пар: оригинал —
изображение. К ним доблавлена третья пара. Она получается из.
Таблица II
Оригиналы и их изображения
F(s)

( 0 при а |
( 1 при J
е~а* при t > 0
1 при ^^0
~e~~as< а>0, Re(s)>0
—т—,Re (s)>— a
s a
A- , Re (e) > 0
первой пары, если положить а = 0, или из второй пары, если:
положить a = 0. Она может быть также получена путём прямого
преобразования Лапласа.
26
ВВЕДЕНИЕ
[гл. I
§ 15.	Упрощение операций е помощью их преобразования
Прямое преобразование Лапласа обладает не только свойством
упрощать определённые функции, но и гораздо более важным свой-
ством упрощать определённые операции. В дальнейшем будут при-
меняться следующие обозначения:
и
t
J f(t)dt^fW (f)-/(-!)(()),
О
или
t
о
Последнее мы будем иногда заменять символом
Применяя интегрирование по частям, можно получить два важ-
ных соотношения, которые впоследствии будут доказаны как
-теоремы.
Первое из них представляет собой преобразование первой произ-
водной :
(f)]=sF(s) — /-(0).	(1.7)
Второе является преобразованием первого интеграла:
= j^GO+A-^o)].	(1.8)
Эти два соотношения показывают, что дифференцирование и
Интегрирование (операции анализа) преобразуются соответственно
в умножение и деление (операции алгебры).
Третье важное соотношение, выражающее свойство линейности
прямого преобразования Лапласа, является следствием того же
свойства интеграла суммы конечного числа функций. Это соотно-
шение имеет вид
2 [a/i (0 + а/2 (01 = <hFi 00 + «2^s (s)>	(I-9)
где и а2 могут быть как вещественными, так и комплексными
числами.
§16] ПРИМЕР РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА 27
Соотношения, выражаемые уравнениями (1.7), (1.8) и (1.9)
сведены в таблицу III.
Таблица III
Операции и их изображения
ПО	^(S)
aifi (0 + «2/2 (0 f{~1} (0	а1^\ (A) + «2^2 (s) sF(s)-f(O) A [F (S) + /-D (0)]
§ 16.	Пример решения математической задачи методом
преобразования Лапласа
Для решения задач, сформулированных в виде интегро-диффе-
ренциальных уравнений с заданными начальными условиями, пополь-
зуются оба свойства преобразования Лапласа, а именно, упрощение
функций и упрощение операций.
Рассмотрим для примера отыскание полного решения линейного
интегро-дифференциального уравнения с постоянными коэффициен-
тами:
^- + 77/+12j ydt = e~*, у^у®,	(1.10)
с заданными начальными условиями:
у(0)==2; 7/-П(о) = 1.
Предположим сначала, что искомая функция у (t) имеет изобра-
жение, получаемое с помощью прямого преобразования, и обозна-
чим его Y \s). Умножим обе части уравнения (1.10) на e~st и про-
интегрируем их в пределах от 0 до оо:
оо	,	оо
I	+ e~st e-2fe~st di. (1.11)
о	о
В сокращённой записи это имеет вид
+7у+12/у^]=й[е“й]-	.О-12)
Из таблицы II находим, что результатом преобразования правой
части уравнения (1.12) является l/(s-f-2). Из таблицы III, исполь-
28	ВВЕДЕНИЕ	[гл. I
зуя первую пару, получаем левую часть уравнения (1.12) в виде
2 [У']+ 72 М+122 [у^],
затем, используя вторую и третью пары, преобразуем эту левую»
часть к виду
py (S) - У (0)] + 7 У (а) + 12 4 • [У (з) +	(0)].
Подставляя начальные значения и приравнивая левую и правую
части, получим преобразованное уравнение (1.12):
(5 + 7 + ^)У(5)=т4 + 2-^.	(1.13)
Решая это уравнение относительно Y ($) и разлагая правую
часть на простые дроби, получим:
1	. о 12
s + 2^ s	2s2 —7s —24	__
"" s + 7Н_12 (s + 2) (s + 3) (s + 4) “
=	_g3_	(114)
s-j-2 ’ s-j-З ‘ s-|-4’	7
где
А\ вв [(а + 2) У (а)]8= _2 = 8~Ц4?— = ~ Ь
Гт- rz I о\ vr \1	18 4-21 — 24	~
Л2= [(^4“3) Y(s)]s=-3— (_ . х —	1^,
t-z-  rz , Л\ v z \i __4" 28 — 24 q
Л-8 = [(5 + 4) Y (s)]s=_4 —	2). (_ 1) — 18.
Обратное преобразование уравнения (1.14) записывается следующим
образом:
S“‘[r(S)]=f-[-7T2-7Tv + 7T4]-	О'15»
В соответствии с ранее введённым условием левая часть этого
уравнения даёт
ГЧУООН-ЫО.
Пользуясь таблицей III, переписываем правую часть уравне-
ния (1.15) в виде
__Q-1 Г 1 1 ir.p-i Г 1 1 _L. 1RP-1 Г—-—1
|_« + 2 J [s + 3j^ Ls + 4 J
§ 16] ПРИМЕР РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА 29
X
а воспользовавшись таблицей II, приходим к выражению вида
— e~2t — 15е~3*+18е-4*; />0.
Следовательно, окончательный результат таков:
у (0 (=) —15е-^+18е-’4#; f>0.	(1.16)
В этом полном решении заданного интегро-дифференциального
уравнения (1.10) первый член представляет собой вынужденную часть
решения, а второй и третий члены — его свободную часть. Для
проверки полученного решения следует показать, что удовлетво-
ряются как заданное уравнение (1.10), так и заданные начальные
условия.
Проверка начального значения у (0) выполняется очень просто.
Действительно, оно равно
у (о) = — 1 —15 + 18 = 2.
' К сожалению, начальное значение уС-1) (0) не может быть про-
верено столь же простым способом. Это происходит потому, что
у("!) (/) равно (см. § 15) определённому интегралу функции y(t),
сложенному с неопределённой постоянной интегрирования. Так как
значение этой постоянной указывается в том начальном условии
задачи, выполнение которого необходимо проверить, мы вынуждены
признать в конце концов, что окончательная проверка решения
этим способом'невозможна. Другими словами, интегрирование функ-
ции не даст возможности проверить, удовлетворяет ли найденное
решение условию относительно начального значения у(-1) (0), так
как интегрирование представляет собой однозначную операцию
лишь с точностью до аддитивной постоянной.
Однако можно воспользоваться для второй проверки решения
следующим приёмом. Дифференцируем функцию у (t) и сравниваем
значение производной, получающееся при подстановке в неё
значения t = 0, т. е. у' (0), с тем значением у' (0), которое
может быть получено непосредственно из интегро-дифференциаль-
ного уравнения после подстановки в него заданных начальных
условий.
Воспользовавшись этим приёмом, получаем:
у' (t) = 2е~м + 45бГ3* — 72е“4*,
-а после подстановки t = 0:
у' (0) = 24-45 —72 = — 25.
30	ВВЕДЕНИЕ	[гл. I
Это согласуется с решением уравнения (1.10) относительно у'Ц),
при подстановке / = 0; действительно,
/(0) = |\?-2*— 7у— 12 J ydt\ = 1—7-2 —12 - 1 = —25.
Если подставить в заданное интегро-дифференциальное уравне-
ние явное выражение найденной функции y(t), получится тожде-
ство. Этим будет доказано, что найденная описанными приёмами
функция у (0 действительно является решением заданного интегро-
дифференциального уравнения.
§ 17. Ограничение физическими задачами с одной независимой
переменной
В главах от I до VIII будут рассматриваться только такие физи-
ческие системы, поведение которых может быть описано' одной
независимой переменной (в качестве которой обычно служит время)
и конечным числом п зависимых переменных (функций). Хотя
излагаемые методы теоретически пригодны при любом п, трудность
получения численного решения быстро возрастает по мере роста п.
Мы сосредоточим наше внимание на системах, для которых п мало
и для которых численные результаты могут быть получены .без
затраты особенно большого труда. Исключение составят так называе-
мые цепные системы, описываемые рекуррентными уравнениями.
Интегро-дифференциальные уравнения, содержащие функции
только одного переменного, будем называть «обыкновенными» урав-
нениями в точном соответствии с терминологией, принятой в теории
дифференциальных уравнений. Следовательно, мы ограничимся рас-
смотрением лишь обыкновенных интегро-дифференциальных уравне-
ний и систем таких уравнений. Глава IX составит исключение:
в ней будут рассмотрены задачи, касающиеся электрических цепей
или схем, состоящих из тождественных элементов в повторяющихся
сочетаниях. Такие задачи приводятся к обыкновенным линейным
разностным и интегро-дифференциальным разностным уравнениям.
Интегро-дифференциальные разностные уравнения занимают про-
межуточное место между обыкновенными дифференциальными урав-
нениями и дифференциальными уравнениями в частных производ-
ных и служат логической переходной ступенью к последним, т. е.
к задачам, которые предполагается рассмотреть в другой книге -
Задачи
Решение алгебраических уравнений составляет неизбежный этап
в процессе отыскания полного решения числовых задач, излагаемых
в последующих главах. Читатель, незнакомый с приёмами численного
решения алгебраических уравнений, хотя бы третьего и четвёртого поряд-
ков, должен заранее ознакомиться с ними [15, 18, 32, 36] и приобрести
соответствующие практические навыки.
ЗАДАЧИ
3t
Для упражнения предлагается несколько уравнений, приведённых:
ниже.
Обратить внимание на замечания, помещённые в § 8 главы VI настоя-
щего тома.
1.1.	s’ +18,53 82 + 575 s + 1,243 = 0;
1.2.	83 4- 8,22 S2 4.157 5 -|_ 231 = 0;
1.3.	83 4-1,25 • 107 з2 4- 6,3* • 1013 8 + 3,16 • 1014 = 0;
1.4.	$3 4-1,64 • 103 82 4- 6,95 • 105 s 4- g,46 • 107 == 0;
1.5.	s3 4- 75 s2 4- 2,0 • 103 s 4- 1,83 • 104 = 0;
1.6.	84 +1,43 • 104 s3 4- 268,5 • 106 §3 4-1,58 • 1012 s 4- 1,*6 • 10*5 = 0;
1.7.	s4 4-1,18 • Ю5 83 4,39 • 109 s2 4“ 6,05 • 10*3 8 + 2,98 • Ю16 = 0;
1.8.	84 4- 3,60 • 106 s3 4- 7,63 • io12 S* 4- 2,12 • Ю*7 s 4-- 3,56 • 1021 = 0.
Примечание. В первую очередь рекомендуется упростить коэф-
фициенты. Для этого необходимо заменить переменную 8 переменной и
по формуле s = 10ww и затем выбрать показатель степени п так, чтобы из
коэффициентов нового уравнения относительно гь были по возможности
исключены степени числа 10.
ГЛАВА II
«ОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
И МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- Практика показала, что одним из наиболее трудных этапов
^решения задач о переходных процессах является математическое
выражение соотношений между различными переменными, которыми
описывается поведение системы. Овладение эффективными методами
решения дифференциальных уравнений мало что даёт, если не-
известно, как составить эти уравнения. Необходимо сначала уста-
новить конкретные физические принципы, относящиеся к задаче,
:а затем на основании этих принципов точно сформулировать
«соотношения, которые должны существовать между переменными.
Большая часть этих соотношений выражается математически в форме
дифференциальных уравнений.
Задача настоящей главы состоит в том, чтобы показать целе-
сообразные способы выбора переменных, составления дифференциаль-
ных уравнений и формулировки начальных условий для электрических
и механических систем. Настоящая глава ограничивается математи-
ческой формулировкой задач. Методы решения будут изложены
в последующих главах. Изложение правил составления уравнений
сбудет представлять собой, по существу, обзор известных элементар-
ных принципов электротехники и механики, необходимых для
дальнейшего использования в тексте и задачах.
Необходимо подчеркнуть различие между одномерными и много-
мерными задачами. Число измерений задачи определяется числом
независимых переменных, необходимых для её правильной форму-
лировки. Если все зависимые переменные, фигурирующие в форму-
лировке задачи, могут быть выражены как функции одной един-
ственной независимой переменной, задача называется одномерной.
Если для этой цели потребуются две или большее число независимых
переменных, такая задача будет называться соответственно двумер-
ной или многомерной.
Исходя из числа независимых переменных, можно различать
задачи, относящиеся к цепям, от задач теории поля. В задачах
первого рода рассматриваются системы с сосредоточенными элемен-
тами, а функциональные соотношения выражаются обыкновенными
дифференциальными уравнениями. В задачах второго рода рас-
гл. и]
СОСТАВЛЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
33
сматриваются такие системы, в которых все или Но крайней мере
важнейшие элементы считаются распределёнными, а часть функцио-
нальных соотношений имеет вид дифференциальных уравнений
в частных производных.
В этой главе рассмотрены только одномерные задачи, касающиеся
электрических и механических систем. В основном это будут задачи
о динамических системах. Характерный! свойством таких систем
является возникновение переходных процессов в результате пере-
распределения энергии. Независимой переменной здесь будет время.
В этой книге рассматриваются только линейные системы
с постоянными сосредоточенными элементами. Это ограничение,
однако, не исключает изучения систем, элементы которых могут
претерпевать конечные скачкообразные изменения. Например, если
электрическая цепь изменяется в результате последовательных
коммутационных операций (т. е. переключений), то поведе-
ние системы в течение каждого отдельного промежутка времени,
заключённого между двумя последовательными коммутационными
операциями, может рассматриваться обособленно. При этом состоя-
ние системы в конце каждого промежутка времени должно рас-
сматриваться как её начальное состояние для последующего
промежутка. Вследствие такого ограничения уравнения всегда будут
обыкновенными дифференциальными или интегро-дифференциаль-
ными уравнениями с постоянными коэффициентами. Именно такой
смысл будет в дальнейшем вкладываться в термины «дифференциаль-
ное» или «интегро-дифференциальное. уравнение» (если не будет
оговорено противоположное).
В тексте термин «постоянная» будет использоваться чаще, чем
термин «параметр», для того чтобы подчеркнуть тот факт, что
изучаемые системы постоянны в течение рассматриваемых про-
межутков времени. На протяжении всего текста нам нигде не придётся
пользоваться понятием «переменного параметра».
Составление математического выражения для какой-либо физи-
ческой задачи заключается в принятии исходных допущений, выборе
подходящих переменных, выборе системы отсчёта и в применении
соответствующих физических принципов. Эти этапы иллюстрируются
рядом примеров, помещённых в следующих параграфах. Единицы
измерения переменных и коэффициентов уравнений будут указаны
только при решении числовых задач. Уравнения не нуждаются
в каких бы то ни было изменениях, если все входящие в них величины
измеряются в какой-либо единой системе единиц.
А. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПОСТОЯННЫМИ
Электрические задачи оказываются при ближайшем рассмотрении
задачами поля, т. е. для их формулировки требуются как простран-
ственные, так и временные переменные. К счастью, во многих практи-
чески интересных случаях допустимо пренебрегать зависимостью
3 Зак. 1977. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
34
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[гл. II
величин от пространственных координат и считать, что любое
возмущение распространяется мгновенно по всей системе. Другими
словами, можно считать, что для изучения данной системы доста-
точно рассмотреть соответствующую задачу из теории цепей с сосредо-
точенными постоянными, вместо того чтобы рассматривать задачу
из теории поля.
При исследовании установившегося состояния системы принято
считать её постоянные сосредоточенными, если длины основных
волн токов велики по сравнению с наибольшими геометрическими
размерами системы. Так, например, размеры цепи, которую можно
собрать на столе, малы по сравнению с длиной волны тока, частота
которого равна 100 герц, так как длина такой волны равна при-
близительно 3000 километров. Напротив, размеры той же самой
модели не могут считаться малыми по сравнению с длиной волны
тока, частота которого равна 100 мегагерц, так как в этом случае
длина волны равна приблизительно 3 метрам.
К сожалению, при рассмотрении переходных состояний, вызы-
ваемых возмущениями, при которых скорости нарастания приложен-
ных напряжений и токов обычно очень велики, приходится иметь дело
практически со всем спектром частот. Поэтому вышеприведённый
критерий не может быть непосредственно применён к подобным
случаям. Однако он может послужить для выявления тех случаев,
когда распределённый характер системы вынуждает нас ввести
в аппроксимирующую цепь определённые сосредоточенные элементы,
отражающие характерные эффекты поля, которые остались бы
в противном случае неучтёнными.
§ 1. Элементы электрической цепи
Электрические цепи состоят из активных и пассивных элементов.
Активными элементами являются источники энергии или генераторы,
а пассивными — сопротивления, конденсаторы п катушки индук-
тивности.
Существуют источники двух видов: источники напряжения и
источники тока. Такая классификация источников является матема-
тической, но она имеет физическую основу. Величина и форма
кривой внутреннего напряжения (эдс) одних источников остаются
почти постоянными при различных значениях отдаваемого ими
тока, в то время как величина и форма кривой внутреннего тока
других источников остаётся почти постоянной при различных зна-
чениях напряжения на их зажимах. В первом случае небольшое
внутреннее сопротивление или внутренняя индуктивность источника
напряжения в зависимости от точности анализа могут быть либо
включены во внешнюю цепь, либо оставлены без учёта. Равным
образом во втором случае небольшая внутренняя проводимость или
ёмкость источника тока могут быть либо включены во внешнюю
§ d
ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
йв
"(!)-() У-
цепь, либо оставлены без учёта. Источники напряжения и источ-
ники тока будут обозначаться на схемах так, как показано на фиг. 1.
Электродвижущая сила будет обозначаться так же, как и разность
потенциалов, буквой и для того, чтобы буквой е можно было, как
обычно, обозначать основание натуральных логарифмов. Знаки -j-
и — будут применяться для обозначения полярности источника
напряжения в любой момент времени,
когда функция и (t) положительна.
Стрелка, поставленная рядом с источ-
ником тока, будет указывать направление
движения положительного заряда в лю-
бой момент времени, когда функция г (/)
положительна.
Сопротивление В является пассив-
ным элементом, символизирующим сток
энергии. Это — такой элемент, в котором
происходит необратимый процесс преоб-
разования электрической энергии в тепло-
вую Его величина будет считаться постоянной во времени и не
зависящей ни от силы протекающего по нему тока, ни от падения
напряжения на нём.
Падение напряжения на элементе В в направлении, принятом
за положительное
<У ь) с)
Фиг. 1. Активные элемен-
ты электрических цепей:
а — источник напряжения,
Ъ — источник постоянного
напряжения, с —источник
тока.
(2.1)
at Ъ) a
Фиг. 2. Пассивные
элементы элект-
рических цепей:
а— сопротивление,
Ъ — ёмкость, с —
индуктивность.
для текущего по нему тока, связано с величиной
тока уравнением
ur (О = ^r (О
или обратным уравнением
(0 == GUq (t).	(2.2)
Здесь коэффициент G^-B-1. Он носит назва-
ние (активной) проводимости. Условное обозна-
чение для В или G, применяемое в схемах, изо-
бражено на фиг. 2, а.
Элемент 8*) является другим пассивным
элементом, символизирующим резервуар электри-
Это такой элемент, в котором происходит нако-
ческой энергии.
пление электрической энергии. Величина 8 считается постоянной
во времени и не зависящей ни от величины заряда, ни от напря-
жения. Если представить заряд, накопившийся в этом элементе,
при помощи интеграла J is (t) dt, то напряжение (отсчитанное в на-
правлении положительного тока) выражается уравнением
t
ug(f) = S f is(t)dt==S f is(t)dt-{-us (0).
0
(2-3)
*) —величина, обратная ёмкости, или инверсная ёмкость — см. ниже.
3*
36	СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. if
Взяв первую производную от обеих частей уравнения (2.3) и решив
получившееся уравнение относительно тока, получим
dun (t)
=	(2.4)
где Cs^S-1 называется ёмкостью. Условное обозначение для 8
или С, применяемое в схемах, изображено на фиг. 2,6.
Индуктивность L является пассивным элементом, символизи-
рующим резервуар магнитной энергии. Это — элемент, в котором
накапливается магнитная энергия. Величина L считается постоян-
ной во времени и не зависит ни от тока, протекающего по этому
элементу, ни от напряжения между его зажимами. Напряжение
между зажимами элемента L, отсчитанное в направлении, принятом
за положительное для тока, выражается уравнением
‘	dir (t)
'	=	(2.5)
При этом предполагается, что существует первая производная
функции iL (t) по времени t.
Проинтегрировав уравнение (2.5) по времени, а затем решив
получившееся уравнение относительно тока, получим:
t
ir(t) = r f ur(t)di^rf ur(t)dt + iF(O).	(2.6)
О
Здесь коэффициент r^L-1 представляет собой величину, которую
мы будем называть инверсной индуктивностью. Позже (§ 13) мы
покажем, что инверсная индуктивность представляет собой величину,
обратную индуктивности только в тех случаях, когда связь данной
индуктивности с другими индуктивностями, оцениваемая с помощью
коэффициента взаимоиндукции, отсутствует. Поскольку взаимо-
индукция не является самостоятельным элементом цепи, она не рас-
сматривается в этом параграфе (см. § 7). Условное обозначение
для L и Г, применяемое в схемах, показано на фиг. 2,с.
Идеальные элементы В, 8 и L являются такими же математи-
ческими фикциями, как и идеальные источники тока или напряже-
ния, ибо ни один из них не встречается обособленно от остальных.
Так, например, катушка, состоящая из нескольких витков проволоки,
обладает и активным сопротивлением, и индуктивностью, и распре-
делённой ёмкостью. Её ёмкостью можно пренебречь, когда частота
протекающего по ней тока невелика. Если она сконструирована
с расчётом на максимальное активное сопротивление и минимальную
индуктивность, она может служить в качестве сопротивления.
В противном случае она может служить в качестве индуктив-
ности. Катушка может быть сконструирована так, чтобы в ней
преобладало главным образом одно из двух указанных свойств,
§ 2]	НЕКОТОРЫЕ ТЕРМИНЫ ГЕОМЕТРИИ ЦЕПЕЙ
37
и всё же она никогда не сможет явиться ни чистым JR ни чистым L.
Наконец, при высоких частотах, вследствие распределённой ёмкости,
в ней может проявляться свойство элемента 8 даже в более сильной
степени, чем свойство элемента L. Другим аналогичным примером
может служить конденсатор. В конденсаторе велика ёмкость по
сравнению с проводимостью диэлектрика и сопротивлениями и индук-
тивностями соединительных проводников, которые доведены до
минимума.
§ 2. Некоторые термины геометрии цепей. Системы отсчёта
для переменных
Элемент
Фиг. 3. Скелетная схема цепи.
Два конца (зажима, полюса) любого элемента называются его
узлами. Единичный элемент или несколько последовательно соеди-
нённых элементов образуют ветвь. В одну и ту же ветвь могут
входить разнообразные элементы, как, например, источники и
сопротивления. При соединении
двух элементов между собой их
узлы накладывают друг на друга
(совмещают), образуя единый узел.
Сочетание различных активных
и пассивных элементов при нали-
чии гальванических, индуктивных
и ёмкостных связей между ними образует электрическую цепь.
Скелетная или чисто геометрическая схема цепи состоит из
отрезков линий, изображающих ветви цепи, которые пересекаются
или соединяются между собой
в узлах, образуя определён-*
ную геометрическую конфигу-
рацию (фиг. 3). Замкнутый
путь, проходящий по одной
или нескольким последователь-
но соединённым между собой
ветвям, называется конту-
ром. В частности, единствен-
ная ветвь, будучи замкнута
сама на себя, образует контур
с наименьшим возможным чи-
слом узлов, равным единице.
Самостоятельной частью
цепи называется всякая её
f)
Фиг. 4. Примеры скелетных схем.
Схемы а), Ь) и с) имеют лишь тео-
ретическое значение.
часть, состоящая из одной ветви, или контура, или нескольких
соединённых между собой ветвей или контуров, связанных с осталь-
ными частями цепи только индуктивными, по не гальваническими и
не ёмкостными связями. На фиг. 4 представлены шесть примеров
различных геометрических ^конфигураций электрических цепей,
38
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. II
В состав цепей а), Ъ), с), d) и е) входят по одной самостоя-
тельной части, а в состав цепи f)— две самостоятельные части.
В каждой самостоятельной части цепи можно выбрать какой-
либо определённый узел в качестве начального узла (узла отсчёта).
Все остальные узлы этой самостоятельной части цепи образуют с вы-
бранным начальным узлом независимые пары узлов. Если заземлить
к начальных узлов цепи, число всех уэлов и число самостоятель-
ных частей цепи уменьшится на к— 1, так как одновременное за-
земление нескольких узлов означает их совмещение (фиг. 5).
Геометрические конфигурации электрических цепей называются
их линейными схемами или просто схемами. В теории линейных
схем не делается различия
между типами элементов,
образующих ветви, а сами
ветви являются основными
звеньями схемы. Однако
в теории линейных электри-
ческих цепей рассматрива-
ются элементы четырёх раз-
личных видов и свойства
а)	. ь)
Фиг. 5. Скелетные схемы а) и Ъ) тождест-
венны в геометрическом отношении.
этих элементов существенно различны в электрическом отношении.
Поэтому при изучений геометрических свойств линейных электри-
ческих цепей каждый элемент заменяется линейным отрезком.
В основание геометрической теории цепей могут быть положены
два очень важных общих соотношения, почерпнутые из теории
линейных схем и несколько видоизменённые применительно к данному
случаю:
1—е —	(2.7)
пр = п — s,
(2.8)
где 1 = числу независимых геометрических контуров, пр = числу
независимых геометрических пар узлов, е= числу элементов,
п = числу узлов, 5 = числу самостоятельных частей цепи.
Можно составить сколько угодно примеров, подтверждающих
соотношения (2.7) и (2.8). Применение этих равенств к скелетной
схеме цепи, изображённой на фиг. 3, даёт пять независимых
контуров (/ = 5) и шесть независимых пар узлов (пр = 6). Для
схем, изображённых на фиг. 4, они дают:
а) 1 = 0,
Ь) 1=1,
с) 1 = 3,
^ = 0;
пр = 0;
d) Z = 4,
е) 1=Ь,
f) 1=ь,
пр = 3;
пр = 0\
пр==3.
Для схем, изображённых на фиг. 5, они дают в обоих слу-
чаях а) и Ь):
п^ = 3,
§ 4]	ОДНОКОНТУРНАЯ ЦЕПЬ, СОДЕРЖАЩАЯ L, В и	39
Для описания электрического поведения цепи необходимо выбрать
систему отсчёта переменных. Направление тока, принятое для данной
ветви за положительное, указывается стрелкой, поставленной рядом
с ветвью. Падение напряжения, принятое для элемента, ветви или
цепи за по.южительное, указывается знаками Ц- и —, поставлен-
ными рядом с соответствующими зажимами. Здесь действительны
те же условия, которые были приняты для источников тока и напряже-
ния (см. выше § 1).
§ 3. Законы Кирхгофа
Дифференциальные уравнения для электрических цепей могут
быть сформулированы путём непосредственного применения двух
известных законов Кирхгофа:
1) В ветвях, сходящихся в любом узле цепи, сумма мгновенных
значений токов, текущих от этого узла или к этому узлу, равна
нулю, т. е. для любого узла
2Ш=0,	(2.9)
где суммирование распространяется на ветви, сходящиеся в дан-
ном узле.
2) Сумма мгновенных значений падений напряжения, подсчитан-
ная в определённом направлении по любому замкнутому контуру
цепи, равна нулю, т. е. для любого замкнутого контура
• *
2 »ft (0 = 0,	(2.10)
где суммирование распространяется на все элементы данного
контура.
Эти законы будут использованы для составления интегро-диф-
ференциальных уравнений нескольких простых электрических цепей.
§ 4. Одноконтурная цепь, содержащая Z, J? и 8
Рассмотрим цепь, состоящую из одного контура, в котором
содержатся последовательно соединённые элементы L, R и 8,
источник напряжения u (t) и рубильник К (фиг. 6). Рубильник
замыкается в момент времени f==0. Эта цепь не содержит никакого
начального запаса энергии, т. е. начальные значения напряжения
конденсатора 8 и тока в катушке L равны нулю.
В цепи имеются три неизвестные величины: ток в контуре и
напряжения между каждым из двух узлов и третьим узлом, при-
нятым за начальный. Цепь содержит один источник напряжения и
це содержит ни одного источника тока, В геометрическом отноще*
40
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. II
нии эта цепь характеризуется тем, что она состоит из одного
контура и имеет три независимые пары узлов. Простой подсчёт
показывает, что число неизвестных токов равно числу независимых
геометрических контуров (1), уменьшенному на число источников
тока (0), и что число неизвестных падений напряжения по отно-
шению к начальному узлу (2) равно числу независимых пар гео-
метрических узлов (3), уменьшенному на число источников напря-
жения (1).
Если требуется найти все три неизвестные величины, необ-
ходимо составить три уравнения. Если задача заключается в оты-
скании только одного тока, то достаточно одного уравнения. Но
для определения одного падения напря-
жения потребуется уже два уравнения:
очю уравнение для тока и одно уравне-
ние для падения напряжения, либо два
уравнения для падения напряжения.
Положим, что требуется найти только
ток. Этот ток можно рассматривать как
единств енную з а виси мую переменную.
Фиг. 6. Одноконтурная цепь, Примем условно положительное направле-
содепжащая элементы
R и &	ние тока в контуре совпадающим с направ-
лением вращения часовой стрелки. В со-
ответствии со вторым законом Кирхгофа сумма мгновенных зна-
чений всех напряжений, отсчитанных в положительном направле-
нии, равна нулю, т. е.
«ь 0) + (0+(0—«(о=о.
Подставляя выражения для напряжений, получим:
л/	Г
+ S J idt=u(t); i =
(2.11)
Вследствие нулевого начального напряжения конденсатора £ имеем
t
8 J idt = 8
О
и уравнение (2.11) приобретает вид
t
L + fidi = u(t).	(2.12)
о
Таким образом, одно начальное условие включено в интегро-диф-
ференциальное уравнение, Другое начальное условие есть i(0) = 0t
§ 5]	ДВУХКОНТУРНАЯ ЦЕПЬ О ЁМКОСТНОЙ связью	41
§ 5. Двухконтурная цепь с ёмкостной связью
В цепи, состоящей из двух контуров, изображённой на фиг. 7, а,
имеется рубильник К, замыкаемый в момент времени t = Q.
Начальное напряжение между концами элемента St равно нулю,
но в результате предшествовавших операций переключения на-
чальное значение напряжения между концами элемента S2 7^0 и
начальное значение тока в элементе рфО. Полярность началь-
ного напряжения и направление начального тока показаны
на схеме. Составим интегро-дифференциальные уравнения для
этой цепи.
При формулировании начальных условий для какой-либо си-
стемы целесообразно не смешивать понятия численной величины и
знака. В частности, буквами 7, р, X и т. п. мы будем пользоваться
только для обозначения численных значений соответствующих на-
с)	Ь) '	с)
Фиг. 7. Обозначения начальных условий, токов в ветвях и кон-
турных токов.
чальных величин, а знаки этих величин будем указывать явным
образом. Так, например, мы будем писать и (0) — — 7 или i (0) = — р.
Пусть i2 и i8 означают токи в соответствующих ветвях,
а их направления указаны стрелками на фиг. 7, Ъ. В силу первого
закона Кирхгофа
—*1 + *2 —*з==0-	(2.13)
Уравнение (2.13) содержит только две независимые перемен-
ные, например, и i2, так как i3 = i2— iP Токи и i2 могут
рассматриваться как контурные токи первого и второго контуров
соответственно, как показано на фиг. 7, с. Контурным током назы-
вается ток, приписываемый всему контуру в целом. За положи-
тельное направление контурного тока обычно принимается напра-
вление вращения часовой стрелки.
В цепи, изображённой на фиг. 7, имеется 5 неизвестных: два
контурных тока и три падения напряжения между тремя какими-
либо узлами и четвёртым узлом, принятым за начальный. Эта
цепь характеризуется следующими геометрическими свойствами: она
состоит из двух независимых контуров и содержит четыре неза-
висимые пары узлов. Так как в эту цепь входит лишь один
источник напряжения и не входит ни одного источника тока, легко
видеть, что число неизвестных контурных токов (2) равно числу
42
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. II
независимых геометрических контуров (2), уменьшенному на число
источников тока (0). Равным образом, число неизвестных падений
напряжения между узлами (3) равно числу независимых пар
узлов (4), уменьшенному на число источников напряжения (1).
Если рассматривать контурные токи в качестве единственных
зависимых переменных, то для определения поведения цепи потре-
буются лишь два интегро-дифференциальных уравнения. Если же
за зависимые переменные будут приняты падения напряжения
между узлами, потребуются три таких уравнения. Целесообразность
выбора двух контурных токов, а не трёх напряжений очевидна.
Мы поступим именно таким образом.
Применив второй закон Кирхгофа сначала к первому, а затем
и ко второму контуру, получим:
-Rih + ^i J S2 J (it—i2)dt— (t) = 0;	(2.14)
—4)^ = 0.	(2.15)
Начальные условия, сформулированные в начале этого пара-
графа для элементов и 82, дают:
t
8i J* i1di = SY J* dt;
о
t
82 J" (Ц — ^2) dt = S2	i%) dt — у.
о
(2.16)
Переписав уравнения (2.14) и (2.15) в симметричной форме и
включив в них равенства (2.16), получим:
t	t
JR1i1 (^i + $2) J h dt — S2 J i2 dt — (t) 4“ y;
о	0
t	t	1(2-17)
— ^2 J” h dt 4“ -Eq 4 4" -^2*2 + ^2 J* ^2 dt = — 7.
0	0
Таким образом, два начальных условия включены в инте-
гро-дифференциальные уравнения. Третье начальное условие есть
»9(0)=—р. f
Интеграл J ijdf выражает заряд, сообщённый контурным то-
О
t
ком 4 элементам и 52. Интеграл J i2 dt выражает заряд, сооб-
9
§ 6]	СВЯЗЬ МЕЖДУ ЧИСЛОМ ЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ	43
ценный элементу jS2 током г2. При = О эти интегралы обра-
щаются в нуль. Начальное падение напряжения между концами
элемента 82 влияет на оба тока и г2, протекающие через него,
как батарея с напряжением у, направленным согласно с током it
и навстречу току i2. Следовательно, уравнения (2.17) могли быть
написаны непосредственно, минуя уравнения (2.14) и (2.15), на
основании физических соображений.
§ 6. Связь между числом зависимых переменных и методом
составления уравнений
При составлении интегро-дифференциальных уравнений для
какой-либо электрической цепи рекомендуется выбирать в качестве
искомых переменных либо неизвестные контурные токи, либо не-
известные напряжения между узлами, так как выбор .однородных
искомых переменных приводит к симметрии уравнений. Однако
в некоторых частных случаях более простая формулировка уравне-
ний может быть получена при одновременном пользовании токами
и падениями напряжения в ветвях.
Если в качестве искомых переменных выбраны контурные
токи, то говорят, что уравнения составлены по методу контур-
ных токов. Число искомых переменных в этом случае равно
числу независимых геометрических контуров I, если в цепи от-
сутствуют источники тока. При наличии источников тока число
искомых переменных, подлежащих определению, уменьшается на
число заданных источников тока, так как токи в тех ветвях, в ко-
торые они включены, становятся известными. Вводя обозначения:
= числу неизвестных контурных токов, введённых в урав-
нения, составленные по принципу контурных токов;
I =числу независимых геометрических контуров, определяе-
мому по уравнению (2.7);
is = числу заданных источников тока, получим:
nt=:l — ig.	(2.18)
Если в качестве искомых переменных выбираются напряжения
между узлами, то говорят, что уравнения составлены по методу
узловых напряжений. Число искомых переменных в этом случае
равно числу независимых пар узлов пр, если в цепи отсутствуют
источники напряжения. При наличии источников напряжения число
подлежащих определению неизвестных напряжений между узлами
уменьшается на число заданных источников напряжения, так как
каждый источник напряжения создаёт одно известное узловое на-
пряжение (или одну известную разность узловых напряжений).
Вводя обозначения:
пи=. числу неизвестных узловых напряжений, введённых в урав^-
неция? составленные по методу узловых напряжений;
4А
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. II
пр = числу независимых пар узлов, определяемому по урав-
нению (12.8);
= числу заданных источников напряжения, получим:
пи = пр — us. *	(2.19)
При выборе метода составления уравнений цепи необходимо
руководствоваться следующими соображениями: должен быть выбран
тот из двух методов, который позволяет проще получить искомый
результат при наименьшем числе неизвестных функций и урав-
нений.
До сих пор были рассмотрены лишь случаи применения метода
контурных токов; примеры применения метода узловых напряжений
будут приведены ниже. В двух ранее рассмотренных цепях числа
неизвестных контурных токов были меньше чисел неизвестных
узловых напряжений, и потому было целесообразно воспользоваться
методом контурных токов.
§ 7. Двухконтурная цепь со связью через сопротивление
и индуктивность
Два контура электрической цепи, по которым протекают раз-
личные токи, могут совместно накапливать магнитную энергию,
о___	__о Общий запас магнитной энергии цепи может быть
Л м |~ подразделён в таком случае на три части: первая часть
^2 запаса магнитной энергии приписывается собственной
Г I индуктивности первого контура вторая часть —
0 собственной .индуктивности второго контура L2. а
Фиг. 8. Схе- третья— взаимной индуктивности контуров М. Взаим-
о^означе^ие лая ИНДУКТИВНОСТЬ отмечается на схемах так, как по-
взаимнойин- казано на фиг. 8. Хотя для взаимной индуктивности
дуктивности. введён особый символ М, однако она не будет рассма-
триваться как самостоятельный элемент цепи.
При изменении тока в первом контуре во втором контуре
наводится электродвижущая сила
Аналогично, при изменении тока во втором контуре в первом
наводится электродвижущая сила
и,
М всегда будет положительным вещественным числом. Позже мы
обсудим вопрос о знаках, которые следует приписывать членам
рида М входящим в интегро-дифференциальные уравнения.
§ 7]	ДВУХКОНТУРНАЯ ЦЕПЬ О ИНДУКТИВНОЙ связью	4о
Два контура цепи, изображённой на фиг. 9, связаны между
собой гальванически при помощи общего сопротивления Д и ин-
дуктивности La и индуктивно — при помощи взаимной индуктив-
ности М. Рубильник К замыкается в момент времени t = О.
Начальный ток в катушке Lt равен нулю, а начальный ток
в катушках L2 и L3 отличен от нуля и равен р. Направление
начального, тока указано на схеме. Go-	w
ставим дифференциальные уравнения для _
ЭТОЙ ЦеПИ.	I	Гга—	Д_
Эта цепь содержит два независимых яД i3<y
геометрических контура и пять незави- |	Л, .	Y+ 2
.симых лар геометрических узлов. *“---------3 -------
Так как (см. § 6) число неизвестных фиг. 9. двухконтурная цепь
токов равно 2, а число неизвестных па- со связью через Rs, Ls и ЛГ.
. дений между узлами равно 4, целесооб-
разно выбрать в качестве зависимых переменных контурные токи,
положительные направления которых указаны на схеме.
Второй закон Кирхгофа, применённый к указанным контурам,
даёт два дифференциальных уравнения:
Д +1?А + L3 - i2) + Д Д - ± И =0;
,.	,	(2.20)
Д	£ (*9~	(Ч—ч)±М%-к2 (0=0,
*
в которых знаки перед членами вида ещё не определены.
Перепишем уравнения (2.20), расположив их члены симме-
трично:
(Д + Д) + (Д+Д) Ъ - (Д » $ - Д4 = о;
,.	,.	} (2.21)
— (Д^М) § - ДД + (Д + Д)	+ (Д + Д) ц = «9 (0.
Начальные условия, сформулированные в условии задачи, имеют
вид
Ч (0)=0,
«з(0) = —Р-
Согласно этим условиям, как было сказано выше, начальный
ток в Д равен нулю, в Z2 равен —р, а начальный ток в эле-
менте равен
(0) = i± (0) i2 (0) = р.
Возвращаясь к вопросу о выборе знака перед Ж в урав-
нении (2.20), необходимо выяснить, вызывает ли возрастание
4б
^ОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[гл. ii
тока г2 во втором контуре падение или повышение напряжения
в первом контуре в направлении, указанном стрелкой и принятом
за положительное для этого контура. Если оно вызывает падение
напряжения, необходимо поставить знак плюс. В противном случае
необходимо поставить знак минус. Это правило знаков, таким
образом, согласуется с нашим общим условием, в силу которого
падения напряжения в направлении, указанном стрелкой, должны
считаться положительными.
Аналогичный вопрос необходимо выяснить и для Ж Вызы-
вает ли возрастание тока в первом контуре падение или повы-
шение напряжения во втором контуре в направлении, указанном
стрелкой? Если оно вызывает падение'
l2 напряжения, необходимо поставить знак
Г	плюс. В противном случае следует по-
/ V 7 zL \ ставить знак минус/
Ч	Для ответа на эти вопросы необхо-
[	димо располагать некоторыми дополни-
Фиг. 10. Катушки Lx и
Ь2, входящие в цепь фиг.
9, показаны намотанны-
ми на сердечники. В со-
ответствующих уравне-
di
ниях члены М-=т долж-
ен
ны быть взяты со зна-
ком «минус».
тельными сведениями, касающимися шы
дуктивно связанных катушек. Эти све-
дения могут быть сообщены по крайней
мере двумя различными способами:
а)	Могут быть указаны направления
намотки обеих катушек. Рассмотрим для
примера две катушки, намотанные так,
как показано на фиг. 10. Здесь стрел-
ками указаны направления контурных то-
ков и и соответствующие им направления магнитных по-
токов вдоль осей катушек. Если производная положительна, то
соответствующая электродвижущая сила, индуцируемая в первом
контуре, действует в направлении стрелки. Следовательно, в урав-
нении (2.20) перед членом М надо поставить знак минус. Ана-
di<
логично, если производная ~ положительна, то соответствующая
электродвижущая сила, индуцированная во втором контуре, также
действует в направлении стрелки. Поэтому в уравнении (2.20)
перед членом М следует поставить знак минус. Совпадение
знаков перед М и Ж ~ характерно для членов, выражающих
электродвижущие силы взаимной индукции.
б)	Второй возможный способ заключается в указании полярно-
сти электродвижущей силы, индуцируемой в каждой катушке при
условии, что производная тока по времени в другой индуктивно
связанной с ней катушке положительна. Катушка, в которой ток
§ 7] ДВУХКОНТУРНАЯ ЦЕПЬ О ИНДУКТИВНОЙ связью	47
отсутствует, считается разомкнутой на концах. Полярности элек-
тродвижущих сил, индуцированных в катушках Z2 и Д положи-
тельными приращениями токов катушек Д и Б2, показаны на фиг. 11, а
знаками 4" и —(Д™ катушек, изображённых на фиг. 10).
При применении второго способа знаки 4“ и — У зажимов
катушек могут быть определены экспериментально. Для этого до-
статочно отсоединить эти катушки от общей цепи, сохранив при
этом их взаимное расположение, и присоединить к зажимам одной
из двух катушек вольтметр постоянного тока, а к зажимам дру-
гой— батарею с рубильником, как показано на фиг. 11,6.
В момент включения батареи стрелка вольтметра отклонится
в ту или иную сторону. Если стрелка отклонится в положительную
сторону, то конец катушки, присоединённый к положительному
Фиг. 11. Определение полярности концов индуктивно-связан-
ных катушек с помощью батареи и вольтметра (определение
начала и конца).
зажиму вольтметра, должен иметь знак 4~- Ес™ стрелка откло-
нится в отрицательную сторону, то конец катушки, присоеди-
нённый к положительному зажиму вольтметра, должен иметь
знак —.
При этом знаки у зажимов катушки, присоединённой к ба-
тарее, определяются по полярностям соответствующих зажимов
батареи. Батарея создаёт в присоединённой к ней катушке ток,
направленный от её положительного зажима к отрицательному.
Возрастание этого тока служит причиной появления разности потен-
циалов на зажимах катушки, присоединённой к вольтметру.
Нетрудно показать, что аналогичный опыт, проделанный после
взаимной перестановки вольтметра и батареи (фиг. 11, с), при-
водит к тем же результатам. Поэтому достаточно одного опыта.
Этот простой метод определения полярности совершенно необ-
ходим в тех случаях, когда встречается не поддающаяся расчёту
индуктивная связь между катушками или контурами цепи. Он
может быть распространён и на случаи трёх и большего числа
индуктивно связанных контуров. Во всех этих случаях необходим
только один опыт: вольтметр присоединяется к одной, а батарея —
к другой индуктивно связанной с ней катушке.
После того как отмечены полярности индуктивно связанных
катушек и выбраны определённые положительные направления
48
Доставление Уравнений
[гл. It
(указанные стрелками) для контурных токов, можно уточнить
знаки всех членов интегро-дифференциальных уравнений. Это по-
казано на примере, изложенном в следующем параграфе.
§ 8. Трёхконтурная цепь
Фиг. 12. Цепь, содержащая три
индуктивно-связанные катушки.
В трёхконтурной цепи, изображённой на фиг. 12, все три ка-
тушки индуктивно связаны между собой. Рубильник К замыкается
в момент времени £ = 0. В этот момент по катушкам протекают
токи и между обкладками конденсаторов имеются падения напря-
жения, величины и полярности которых указаны на фиг. 12. Со-
ставим интегро-дифференциальные
уравнения этой цепи.
Рассматриваемая цепь содержит
три независимых геометрических
контура и восемь независимых пар
геометрических узлов. Число неиз-
вестных контурных токов равно 3,
а число неизвестных независимых
напряжений между узлами равно 6.
Следовательно, для составления ин-
тегро-дифференциальных уравнений
цепи целесообразно выбрать ме-
тод контурных токов. В качестве
три контурных тока:	г2 и г3.
направления отмечены на схеме
стрелками.
Интегро-дифференциальные уравнения для трёх контуров имеют
вид:
t
а л “F	J*	4“-^2(^1	^2) 4“
о
+ ^2^7^1 — *2) — МыЦл	~dt *2) ’
искомых переменных приняты
Их условные положительные
t
(*2 —*1) 4~$2 J (г2	72 ~Ь
О
+	+	>81	- ^82 i & - il) +
+м21
t	t
J (*з h)	+ f (^ + ^2) ^ + 72 = °-
о	0
(2.22)
§ 9]	ЦЕПЬ, СОСТОЯЩАЯ ИЗ I КОНТУРОВ	49
Знаки перед членами, выражающими электродвижущие силы
взаимоиндукции, поставлены в соответствии с полярностями кату-
шек, указанными знаками -{-и —, ив согласии с правилами,
изложенными в § 7.
Начальные условия, относящиеся к падениям напряжения между
обкладками конденсаторов, включены в уравнения (2.22). Началь-
ные условия, относящиеся к токам в катушках, имеют вид
(9) — Pi • ^2 (9) — Рз*
§ 9. Цепь, состоящая из I контуров
По мере усложнения цепи усложняются и соответствующие
интегро-дифференциальные уравнения. Возникает необходимость
в сокращённой записи. Предлагаемая ниже схема обозначений
и символов позволяет упростить запись уравнений и систематизи-
ровать вычисления.
Спроектируем все контуры цепи на плоскость и выберем напра-
вление вращения часовой стрелки за положительное направление
для всех контурных токов. Введём обозначения:
Ljj == суммарная собственная индуктивность контура j, в состав
которого могут входить и взаимные индуктивности между элемен-
тами этого контура;
JR^ = суммарное сопротивление контура j;
Sjj = суммарная инверсная ёмкость контура
Ljk = суммарная собственная индуктивность и взаимная индук-
тивность элементов, общих контурам j и Тс;
Hjk = суммарное сопротивление всех элементов, общих кон-
турам j и к;
Sjk = суммарная инверсная ёмкость всех элементов, общих кон-
турам j и к.
Собственный интегро-дифференциальный оператор контура j
и взаимный интегро-дифференциальный оператор контуров j [и к
определяются символическими тождествами:
^jk= Ljk -Rjk $jk dt.
Необходимо указать на некоторые исключения.
1) В случае наличия взаимной индуктивной связи между кон-
турами, во взаимные интегро-дифференциальные операторы могут
входить члены с производными, имеющие положительный знак.
2) Если проекция пространственной цепи на плоскость не может
быть вычерчена без перекрещивания ветвей, некоторые взаимные
4 Зак. 1977. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
50
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. II
интегро-дифференциальные операторы состоят не только из отрица-
тельных, но и из положительных членов. Это происходит вследствие
того, что некоторые ветви такой цепи неизбежно принадлежат не
двум, а большему числу её контуров.
Полагая, что все источники энергии являются источниками
напряжения, и обозначая контурные токи через а суммы
электродвижущих сил источников, включённых в соответствующие
контуры, через (t), можно записать систему интегро-дифферен-
циальных уравнений цепи в виде
а А (0 + «12*2 (0 + • • • + «и«г (0 = «1 (0;
АА (0 + ^22^2 (О 4“ • • • 4“ a2ih (0 —
(2.23)
(2.24)
уравнения,
(0 4" а12 (О "Т • • • 4“ аиН (0 = МО;
или сокращённо:
г
2	(0 = ^(0; j=l, 2,
7l = 1
Индекс з означает как номер контура, так и номер
составленного для этого контура и вошедшего в систему уравнений
(2.23) или (2.24). Индекс ft означает номер того контурного тока,
влияние которого на контур с номером з учитывается членом,
стоящим на ft-м месте в j-м уравнении.
Сокращённая запись системы уравнений в виде (2.24) удобна
при формулировании некоторых общих положений теории . цепей.
Однако для получения численных решений необходим развёрнутый
вид записи (2.23).
Рассмотрим вновь цепь, изображённую на фиг. 9, уравнения
(2.21) которой были приведены выше в § 7, и используем её для
иллюстрации этого способа записи. Интегро-дифференциальные
уравнения этой цепи имеют вид
А А (О А 2^2 (0 ==
А А (0	^22^2 (0 == А (О*
Операторы в данном случае имеют следующий смысл:
,	Ai —Ln
а22 = i22	-f- Т?22;
А2==а21==	-^12"^--^12-
§ 10]	СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЦЕПИ	51
Ранее было найдено, что перед членами вида М в уравнении
(2.20) должен стоять знак —. Следовательно, параметры цепи
равны:
^>11 =	B11 = Bi-^-B3',
Jj22 = ^2 4“ -^8;	^22 — ^2 "4
Z12 = L.2i = Zs 4“	В12 = T?21 = 2?3.
§ 10. Составление уравнений цепи по методу узловых
напряжений
Уравнения цепей, рассматривавшихся в предыдущих примерах,
составлялись по методу контурных токов (на основании второго
закона Кирхгофа). Для этой же цели может быть использован метод
узловых напряжений, причём в этом случае уравнения напишутся
на основании первого закона Кирхгофа. При составлении уравне-
ний по первому методу основное внимание обращалось на выбор
независимых контурных токов, а при составлении уравнений по вто-
рому методу основное внимание должно быть обращено на выбор
независимых напряжений между узлами цепи. Второй метод соста-
вления системы уравнений применяется реже первого, но ему сле-
дует отдавать предпочтение в тех случаях, когда число неизвест-
ных узловых напряжений меньше числа неизвестных контурных
токов.
В таблице IV сопоставляются оба метода составления урав-
нений. Понятие об инверсной индуктивности, встречающееся
в третьей части таблицы, разъясняется ниже в § 13.
При составлении уравнений по методу узловых напряжений
в каждой самостоятельной части цепи необходимо выбрать один из
узлов в качестве узла отсчёта. Разность между потенциалом любого
другого узла, принадлежащего той же .самостоятельной части цепи,
и потенциалом узла отсчёта представляет собой узловое напряжение
этой пары узлов. Это напряжение указывается на схеме около
узла и обозначается и (О с соответствующим подстрочным индексом
(номером узла). Оно принимается за искомую зависимую перемен-
ную, если только не является заданным напряжением источника.
Система отсчёта для этих зависимых переменных устанавливается
так, что всем узлам отсчёта приписывается знак —, а всем про-
чим узлам приписывается знак -|-. В те моменты времени, в ко-
торые падение напряжения между двумя узлами такой пары выра-
жается положительным числом, соответствующий узел имеет положи-
тельный потенциал по отношению к тому узлу отсчёта, с которым
он составил пару.
4*
Таблица IV	g
Электрические цепи. Сравнение контурного и узлового методов исследования
	Метод контуров		Символ	Метод узлов	
1		р Указывают поляр- ность, когда и (t) поло- жительно	—F u(t) Напряжение	Источник	< («) Ток	Указывает напра- вление тока, когда i (t) положительно
2	Ug = S J" ig dt	S' Инверсная ёмкость	•—II—» Резервуар электрической энергии	- С Ёмкость	i । О II II!
	ITR = TtiR	It Сопротивление	Сток тепло- вой энергии	G Проводимость	'S к 1 III
	ul==l<^	L Индуктивность	Резервуар маг- нитной энергии. Собственная ин- дуктивность	Г Инверсная ин- дуктивность	1 —- Г*	иdi V^L-1
		1	1		
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
3		£1 Индуктивность 1-й катушки (2-я разомк- та) Индуктивность 2-й катушки (1-я разомк- нута) М Взаимная индуктив- ность	+ 1 . М Т + 4,-'р'Г 'г у ,г с. J & 1 + НСф Резервуар маг- нитной энергии. Индуктивность и взаимная ин- дуктивность	1\ Инверсная ин- дуктивность 1-й катушки (2-я за- корочена) А Инверсная ин- дуктивность 2-й катушки (1-я за- корочена) Инверсная взаимная индук- тивность	— L^-M* Г = . LtL2 — M‘2 Г -	К
4		1 = е — тг-j- s Число независимых геометрических кон- туров	—	Пр = П — S Число незави- симых геоме- трических пар узлов	За начало отсчёта принимается заземлён- ный узел
5	Необходимое число уравнений, составлен- ных по методу контур- ных токов	? s Число неизвестных контурных токов	—	= ^р Число неиз- вестных узло- вых напряжений	Необходимое число уравнений, составлен- ных по методу узло- вых напряжений
6	Падение напряже- ния, отсчитанное в на- правлении обхода кон- тура, обычно прини- мается положительным	По замкнутому кон- туру ? 2 w в о Й = 1 Второй закон Кирхгофа		В общем узле ^»к(О = о к = 1 Первый закон Кирхгофа	Токи, направленные от узла, обычно счи- таются положитель- ными
Пояснения к разделам таблицы:!. Активные элементы. 2. Пассивные элементы. 3. Взаимная ин-
дуктивность. 4. Независимые контуры и пары узлов на геометрической схеме цепи. 5. Необходимое число зави-
симых переменных. 6. Закон электрической цепи, применённый при составлении уравнений.	со
§10]	СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЦЕПИ
54
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
[ГЛ. II
§11. Цепь, содержащая одну пару узлов
Цепь, изображённая на фиг. 13, состоящая из параллельно
включённых элементов С, G и Г, подключается размыканием
рубильника К в момент времени t = 0 к источнику тока i (0.
Начальное напряжение конденсатора С и начальный ток в катушке Г
равны нулю. Составим интегро-дифференциальные уравнения для
этой цепи. После размыкания рубильника в цепи образуются три не-
зависимых геометрических контура и одна независимая пара геоме-
трических узлов. Число неизвестных контуров токов равно числу
независимых контуров, уменьшенному на
Фиг. 13. Цепь с одной
парой узлов.
число заданных источников тока, т. е. двум
(см. § 6), а число неизвестных напряже-
ний между узлами равно единице, так как
в цепи отсутствуют источники напряжения.
Поэтому здесь целесообразно выбрать в ка-
честве искомой зависимой переменной един-
ственное узловое напряжение, обозначив
его и (0. Согласно первому закону Кирх-
гофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов, вытекающих
из любого узла, равна нулю. Поэтому
^(0 + ^(О + гг(О — г (0-0.
(2.25)
Подстановка выражений для этих токов через узловое напря-
жение и (t) даёт:
+	= U = u{t).	(2.26)
Так как начальный ток в элементе Г равен нулю,
t
г J* udt = r J udt,
О
и уравнение (2.26) может быть переписано в виде
t
C^-\-Gu-\-r\udt = i(t).	(2.27)
О
Таким образом, одно из двух начальных условий уже вклю-
чено в это интегро-дифференциальное уравнение. Второе начальное
условие имеет вид: и (0) = 0.
§ 12. Цепь, содержащая две пары узлов
В цепи, изображённой на фиг. 14, размыкание рубильника К
происходит в момент времени f — 0. В этот момент времени на-
пряжение в элементе Сг равно у, а ток в элементе Г равен р.
Полярность начального напряжения и направление начального
§ 13]
ИНВЕРСНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ1
55
тока показаны на схеме. Составим интегро-дифференциальные
уравнения цепи.
В геометрическом отношении эта цепь характеризуется четырьмя
независимыми контурами и дву-
мя независимыми парами узлов.
Число неизвестных контурных то-
ков равно трём (см. § 6), а число
неизвестных напряжений между
узлами равно двум. Следовательно,
целесообразно выбрать в качестве Фиг. 14. Цепь с двумя парами
искомых зависимых переменных два	узлов.
напряжения и w2(/).
Применяя первый закон Кирхгофа, получим для первого и для
второго узлов:
+ Л [ (^ —м2)^ —г\(0 = 0; |
/	,	> (2-28)
+ ^2	+ Л J («2 — Щ) = 0. 1
В силу начального условия для тока в элементе Гг
t
Г\ J* (X — и2) = I\ J	— w2) dt Ц- р. (2.29)
о
Включив условие (2.29) в уравнения (2.28) и переписав послед-
ние в симметричном виде, получим:
t	t
л fu2 <?t = «!«)—р;
. dl	е /	f J
оо	,
f	t	(2.30)
—Л J «1 di + C2+ G2u2 + Л J w2 dt = p.
0	b
Таким образом, одно из начальных условий уже включено
в составленные интегро-дифференциальные уравнения. Два других
начальных условия имеют вид
ui (°) — Т и и.2 (0) == 0.
§ 13. Инверсная индуктивность при наличии взаимной
индуктивности
При составлении интегро-дифференциальных уравнений по,
методу узловых напряжений для цепи, содержащей элементы, свя-
занные взаимной индуктивностью, приходится заменять собствен-
ные и взаимные индуктивности инверсными собственными индуктив-
56
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. II
постами и инверсными взаимными индуктивностями. Так как
инверсная собственная и инверсная взаимная индуктивности
являются не просто обратными величинами собственной индуктив-
ности и взаимной индуктивности, то эти термины требуют специаль-
ных пояснений.
В противоположность собственной индуктивности и взаимной
индуктивности, являющимся характеристиками холостого хода, ин-
версная собственная индуктивность и инверсная взаимная индуктив-
ность являются характеристиками короткого замыкания. Инверсная
собственная индуктивность индуктивного элемента определяется
как отношение тока, текущего по этому элементу, к интегралу напря-

£
V	Ь)
Фиг. 15. Индуктивно связанные элементы. Схему
а) удобнее анализировать по методу контурных
токов, а схему Ъ) — по методу узловых напряже-
ний.

женин между его зажимами, когда остальные элементы, с которыми он
связан индуктивно,
замкнуты накоротко.
Т„ J В общем случае по
дг2цэтим коротко замкну-
тым элементам текут
некоторые токи. Ин-
. версная взаимная ин-
дуктивность двух ин-
дуктивно связанных
между собой элемен-
тов определяется как
отношение тока ко-
роткого замыкания,
интегралу напряжения
текущего по одному из этих элементов, к
между зажимами другого элемента, когда все остальные индук-
тивно с ним связанные элементы цепи, кроме этого последнего,
замкнуты накоротко.
Обозначения, применяемые в схемах для инверсной собственной
индуктивности и для инверсной взаимной индуктивности, соответ-
ственно те же, что и для прямой собственной индуктивности и для
прямой взаимной индуктивности.
Инверсные индуктивности могут быть выражены через прямые,
индуктивности. Соотношения между ними могут быть получены
путём решения уравнений, составленных для напряжений индуктивно
связанных элементов, относительно токов, протекающих по этим
элементам.
Найдём, для примера, указанным способом инверсные индуктив-
ности двух индуктивно связанных элементов, показанных на
фиг. 15, а. Допустим, что эти элементы входят в состав какой-либо
сложной цепи, не показанной в деталях. На схеме цепи отмечен
только узел отсчёта этой цепи. Допустим также, что показанные
здесь индуктивные элементы являются единственными индуктивными
элементами, присоединёнными к узлам 2, 2, 3 и 4, и что между
этими двумя элементами и другими элементами той же цепи отсут-
§ 13]	ИНВЕРСНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ	57
ствуют какие бы то ни было индуктивные связи. Обозначим паде-
ния напряжения между этими четырьмя узлами и узлом отсчёта
соответственно:	w3 и Допустим, что токи и г2, теку-
щие по рассматриваемым элементам, направлены так, как показано
стрелками. Уравнения напряжений для этих элементов таковы:
+	(2.31)
Jf-^+Z2-g==«3-«4.	(2.32)
тт	div	-	diy
Исключив из этих уравнении, получим уравнение ^ля
(AZ2— 2Г)	= L2 (W1 — u2) — М («з - w4).	(2.33)
Исключив из тех же уравнений (2.31) и (2.32), получим урав-
(/1'2
нение для :
(ДХ2 - Ж2)	- м («х -	+ Л («в - О-	(2.30
Интегрирование уравнений (2.33) и (2.34) даёт:
i1 = rij‘ (ил—и2) dt— Гы J (?f3—ui)dt =
t	t
= I\ J (ui—u2)dt—Гы J (w3—w4) dt ir (0);	(2.35)
о	о
i2 = — ГJ" (?*j — w-2) dt	Г<2 J* (w3 — w<) dt =
t	t
= —<ar J(«1 — w2)^ + Af («3 —+	(2.36)
0	0
Здесь
= j, £2 ~jj2 — инверсная собственная индуктивность 1-го эле-
мента, когда 2-й элемент замкнут накоротко;
Z2 —	“ инверсная собственная индуктивность 2-го эле-
мента, когда 1-й элемент замкнут накоротко;
—М2 — инверсная взаимная индуктивность между
обоими элементами, когда один из двух элементов замкнут накоротко-
58	СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. II
Знак — (тильда)' ставится над символами Г19 Г2 и Гм для того,
чтобы показать, что величины Ги Г2 и Гм являются не просто
обратными значениями соответствующих величин L{, L2 и М.
После замены прямых индуктивностей инверсными схема, изобра-
жённая на фиг. 15, а, принимает вид, показанный на фиг. 15, Ъ.
Токи и г2, представленные формулами (2.35) и (2.36),
являются суммарными токами, текущими по индуктивным элемен-
там в указанных на схемах направлениях, т. е. от узлов 1 и 3
или к узлам 2 и 4 соответственно. Включение членов zt(0) и г2(0)
в уравнения (2.35) и (2.36) учитывает возможность существования
отличных от нуля начальных токов в этих элементах.
I\ J (^i—u2)dt представляет собой собственную слагающую
чока направленную Jot узла 1, т. е. в положительном напра-
влении.
Гм ]* (^з — ^4) dt представляет собой индуцированную слагающую
тока направленную к узлу 1, т. е. в отрицательном напра-
влении.
Р2 У (из — dt представляет собой собственную слагающую
тока г2, направленную от узла 3, т. е. в положительном напра-
влении.
Гм у	— и2) di представляет собой индуцированную слагающую
тока г2, направленную к узлу 3, т. е. в отрицательном направлении.
Подобный метод может быть применён при наличии трёх или
^большего числа индуктивно связанных элементов. Это преобразова-
ние прямых индуктивностей в, инверсные является необходимым
предварительный! этапом составления [уравнений цепи по методу
узловых напряжений.
Г§ 14. Замена источников
Интегро-дифференциальные уравнения, составленные по методу
узловых напряжений, являются уравнениями токов. Этими урав-
нениями удобно пользоваться, когда все источники, включённые
в цепь, являются источниками тока. Если же в рассматриваемой
цепи имеются источники напряжения, соединённые последовательно
с какими-либо пассивными элементами, они могут быть заменены
соответствующими источниками тока и пассивными элементами,
соединёнными между собой параллельно так, чтобы сохранились
как условия на зажимах, так и начальные условия задачи. Такую
.замену следует рассматривать лишь как удобный аналитический
приём, облегчающий для заданной цепи составление уравнений по
методу узловых напряжений.
§ 14J
ЗАМЕНА ИСТОЧНИКОВ
59
При составлении уравнении цепи по методу контурных токов
необходимо выполнять обратную аналитическую операцию, а именно:
заменять заданные источники тока эквивалентными источниками
напряжения. Ниже будут изложены те условия, которые должны
соблюдаться при такого рода заменах.
Докажем, что источник напря-’
жения и (7) с последовательно вклю-
чённым сопротивлением В (фиг. 16)
может быть заменён источником тока
г (t) с параллельно включённой про-
водимостью G = JR~1 так, чтобы со-
и =R i	l~Gи
Фиг. 16. Замена источника на-
пряжения с последовательно
включённым сопротивлением
эквивалентным источником
тока с параллельно включён-
ной проводимостью {Gt =
напряжения w(0 и внутрен-
хранились условия на зажимах. Для
доказательства примем, что напря-
жение на зажимах и ток, отдаваемый
источником во внешнюю цепь, ко-
торые должны сохранить свои значе-
ния при этой замене, равны соответ-
ственно (t) и (Z). Тогда при по-
следовательном включении источника
него сопротивления R отдаваемый ток равен
{и —	= Gu — Gua = i — Gut
(2.37)
где
i = Gw.
Уравнение (2.37) представляет собой уравнение цепи, состоящей
из источника тока и шунта, показанных в правой части фиг. 16.
Можно сделать и обратное заклю-
чение: источник тока i (t) с параллельно
"т*- включённой проводимостью G может быть
у заменён источником напряжения w(f) и
последовательно включённым сопротив-
-1 лением JR, если выполнены два условия:
Z=C^-	
2? = G-1;
и (/) = Ri (/).
Аналогично можно доказать, что
источник напряжения и (/) с последова-
тельно включённой инверсной ёмкостью 8
(фиг. 17) может быть заменён источ-
ником тока г(1) с параллельно включённой ёмкостью С, если вы-
полнены два условия:
0 = 8-';
Фиг. 17. Замена источника
напряжения с последова-
тельно включённой инверс-
ной ёмкостью эквивалент-
ным источником тока с
параллельно включённой
ёмкостью (G = S-i).
60
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. II
При этом начальное напряжение % между зажимами элемента £
сохранит свою численную величину и полярность в качестве началь-
ного напряжения между зажимами ёмкости С. Данное положение
может быть доказано следующим образом:
».) = СУ-=
™	I
(2.38)
При обратном переходе от источника тока i (t) к источнику напря-
жения и (t) последний должен быть связан с первым соотношением
Фиг. 18. Замена источника на-
пряжения с последовательно
включённой индуктивностью
эквивалентным источником
тока с параллельно включён-
ной инверсной индуктивно-
стью (Т = L-1).
u(t)==S $
Источник напряжения u(t) с после-
довательно включённой индуктив-
ностью L (фиг. 18) может быть заменён
источником' тока г (t) с параллельно
включённой инверсной индуктив-
ностью Г, если выполнить условия
t
iff) = Г § и (0 dt.
о
Действительно,
t
= у (и — dt — у | (и — dt-[-p =
о
t	t	t
= Г [ udt— Г j*dt -|- р = г— Г d/ -j-p,
об	б
(2.39)
t
где г = Г j* udt.
о
При обратном переходе от источника тока i (t) к источнику
напряжения и (t) они должны быть связаны соотношением
г.\ _ т di (t)
u^L~dT’
а шунтирующая катушка с инверсной индуктивностью Г должна
быть заменена последовательно включённой катушкой с индуктив-
ностью L = r~r.
ЗАМЕНА ИСТОЧНИКОВ
G1
§ 14]
Замена источника напряжения с последовательно включённым
пассивным элементом эквивалентной комбинацией, состоящей из
источника тока и параллельно включённого пассивного элемента,
приводит к уменьшению числа независимых пар геометрических
узлов цепи на единицу. С другой стороны, каждая обратная опе-
рация замены влечёт за собой уменьшение на единицу числа
независимых геометрических контуров.
В § 6 были изложены правила подсчёта числа неизвестных
зависимых переменных, необходимых для анализа цепи с помощью
уравнений, составляемых как по методу узловых напряжений, так
и по методу контурных токов. Там было указано, что при поль-
зовании методом узловых напряжений число неизвестных меньше
числа независимых пар геометрических узлов на число заданных
источников напряжения и что при пользовании методом контурных
токов число неизвестных меньше числа независимых геометрических
контуров на число заданных источников тока. В этом параграфе
мы убедились в том, что можно добиться дальнейшего уменьшения
числа неизвестных зависимых переменных путём замены источни-
ков одного вида источниками другого вида при составлении урав-
нений как по первому, так и по второму методу.
Пр и м ер. В цепи, изображённой на фиг. 19. а,рубильник К замыкается
в момент времени 7 = 0. В этот момент по элементу L протекает ток р
в направлении, указанном на схеме. Конденсатор вначале разряжён. Тре-
буется составить уравнение для определения неизвестного напряжения
между обкладками кон-
денсатора С.
Число неизвестных
контурных токов рав-
но 2, а число неизвест-
ных напряжений равно 1.
Следовательно, целесо-
образно составить одно
уравнение по методу уз-
ловых напряжений, тем
более, что единственное
неизвестное напряже-
ние между узлами и яв-
ляется тем напряжением
между обкладками кон-
денсатора, которое надо
определить. Источник
напряжения u(t) и включённый с ним последовательно элемент L целе-
сообразно заменить источником тока г (7) с включённым параллельно
к нему элементом Г. Начальный ток в элементе Г должен иметь те же
величину и направление, что и в элементе L (см. фиг. 19,6). Поло-
жив Г= L-1 и
a(t)
L и,
а)	Ъ)
Фиг. 19. Предварительная замена источника на-
пряжения u(t) эквивалентным источником тока
г {ty
t
TJ* u(t)dt, где =
о

t
i (t) — Г I и (t) dt,
о
62
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. IL
пользуясь первым законом Кирхгофа, можно написать интегро-дифферен-
циальное уравнение
dt = i (t).
Произведя в соответствии с первым начальным условием замену
t

о
получим:
t
c^t+ GV1 + rf "1- p = w 
0
Второе начальное условие имеет вид
Ul (0) = О,
так как начальный заряд на G отсутствует.
При рассмотрении вопроса о замене источников одного вида,
источниками другого вида мы ограничились случаями, когда в вет-
вях, присоединённых к источникам последовательно или параллельно,
содержатся однородные пас-
сивные элементы. Этот приём
замены источников может быть
распространён и на более об-
щий случай, а именно: когда,
в ветвях содержатся разно-
родные пассивные элементы,
а сами ветви включены по-
следовательно - параллельными
группами. Правда, при этом,
возникнут некоторые трудности, для устранения которых потре-
буется располагать методом быстрого решения дифференциальных
уравнений. Так, например, на фиг. 20 показана замена источника
тока источником напряжения. При этом параллельная источнику
ветвь, содержащая последовательно включённые элементы G и Г,
заменена последовательно включённой ветвью, содержащей элементы.
R = G~1 и Z = P-1.
. Это следует из равенства
«1 = M<? + Mr = ±^i + Tr^(i~^ =
^Bi^Ljr-Bi.-L ^u-B^-L^,
Фиг. 20. Замена источников тока в слу-
чае, когда параллельная ветвь содер-
жит два различных элемента.
где
‘ at
§15]	АНАЛОГИЧНЫЕ ИЛИ ДУАЛЬНЫЕ ЦЕПИ	63
Обратная задача перехода от заданного источника напряже-
ния и (i) к эквивалентному источнику тока г (f) не может быть ре-
шена столь же просто, как прямая, ибо i (I) может быть выра-
жено через и(1) лишь в результате решения дифференциального
уравнения
L^ + Ri = u.
at 1
В дальнейшем, после ознакомления с методом преобразования
Лапласа, дающим возможность алгебраизировать дифференциальные
уравнения, нахождение зависимости i от и будет значительно
облегчено. Мы убедимся в том, что даже сложные сочетания иэ
последовательно-параллельно включённых элементов не создают
серьёзных затруднений, благодаря чему замена источников одногсь
вида источниками другого вида всегда и безусловно выполнима.
§ 15. $ Аналогичные или дуальные цепи
Сравнивая между собой интегро-дифференциальные уравнения.
(2.11) и (2.26), составленные для цепей, изображённых соответ-
ственно на фиг. -6 и 13, можно заметить, что их математическая
форма тождественна. Таким образом, обе упомянутые цепи являются
двумя различными физическими представлениями одного и того же
интегро-дифференциального уравнения.
Две системы, являющиеся двумя различными физическими пред-
ставлениями одной и той же системы интегро-дифференциальных
уравнений, называются аналогичными системами, Аналогичные
электрические цепи часто называют дуальными цепями. Постоян-
ные параметры двух физических систем вовсе не должны быть
такими, чтобы численные значения коэффициентов, входящих
в соответствующие системы уравнений, совпадали. Достаточным,
условием является лишь общая математическая форма уравнений
для обеих систем.
Сравнение интегро-дифференциальных уравнений двух анало-
гичных или дуальных электрических цепей показывает/ что кон-
турные токи одной и напряжения между узлами другой цепи
играют роль аналогичных зависимых переменных. Действительно,,
если уравнения для одной цепи содержат сумму мгновенных на-
пряжений между её узлами, то в уравнения дуальной цепи входят
суммы мгновенных значений токов. Источники тока являются
аналогами источников напряжения. Проводимость является анало-
гом сопротивления, ёмкость — аналогом индуктивности и инверсная
индуктивность — аналогом инверсной ёмкости.
Дуальные цепи существуют не для всех электрических цепей..
Так, например, дуальная цепь отсутствует, если заданная цепь
не планарна, т. е. если она не может быть вычерчена на пло-
скости в виде -схемы с неперекрещивающимися ветвями.
64	СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. II
Если дуальная цепь существует, она может быть безошибочно
найдена следующим приёмом:
1.	Составляются интегро-дифференциальные уравнения для за-
данной цепи с помощью метода узловых напряжений или метода
контурных токов.
2.	В этих уравнениях заменяются соответствующими аналогами
.все переменные, постоянные и заданные функции, характеризующие
источники.
3.	Даётся физическая интерпретация этих преобразованных
уравнений путём вычерчивания схемы такой цепи, поведение ко-
торой определяется иди описывается полученными уравнениями.
Удобный графический приём построения дуальной цепп для
-заданной планарной цепи заключается в следующем:
Внутри каждой области, ограниченной независимым контуром
заданной цепи, а также в области, внешней по отношению ко всей
Фиг. 21. Графический способ построения дуальной цепи.
цепи в целом, следует выбрать по одной точке. Эти точки явятся
узлами дуальной цепи. Соединяя эти точки между собой, получаем
ветви дуальной цепи. Между каждыми двумя узлами следует
включить по одному элементу взамен каждого элемента, входящего
в состав общей ветви двух контуров цепи, окружающих намечен-
ные узлы дуальной цепи. Каждый включаемый элемент должен
быть аналогом того элемента, взамен которого он включается.
-	Найдём, для примера, дуальную цепь для цепи, рассмотренной
в § 5 и изображённой на фиг. 21, а.
Фиксируем три узла I, 2,3 и соединяем их между собой
пунктирными линиями, представляющими ветви будущей дуальной
цепи. Эта дуальная цепь воспроизведена в виде схемы фиг. 21, Ъ,
на которой вместо абстрактных ветвей показаны определённые
элементы — аналоги элементов заданной цепи, пересечённых этими
же ветвями на фиг. 21, п. Убедиться в том, что построенная цепь
аналогична заданной, можно, составив и сравнив их интегро-
дифференциальные уравнения. Форма этих уравнений не будет
отличаться от формы уравнений (2.14) и (2.15), но коэффициенты,
зависимые переменные и правые части будут иными.
Если повторить операцию перехода к дуальной цепи дважды,
то в итоге получится исходная цепь. Существуют такие электри-
§15]	АНАЛОГИЧНЫЕ ИЛИ ДУАЛЬНЫЕ ЦЕНЙ	65
ческие цепи, которые геометрически тождественны своим дуальным
цепям. Такие цепи являются в топологическом отношении авто-
дуальными цепями. Таковы, например, мостовые цепи, содержащие
по одному элементу в каждой ветви между каждой парой узлов.
Несмотря на то, что до сих пор взаимная индуктивность не
рассматривалась как самостоятельный элемент цепи, при дуализации
цепи, содержащей индуктивно связанные элементы, появляется
ёмкостный элемент, соответствующий взаимной индуктивности. Этот
случай представляет собой исключение из общего правила, согласно
которому число элементов заданной цепи должно быть равно числу
элементов дуальной цепи. Если обозначить подстрочными инде-
ксами 1 и 2 принадлежность той или иной величины соответственно
к заданной и к дуальной цепям, то можно будет написать:
но
Если индекс 3 будет относиться к дважды дуализированной цепи,
т. е. к цепи, полученной из цепи 2 так, как она была получена из
цепи 1, то
h —
но
пр^ЧФпрс
В третьей (дважды преобразованной) цепи можно опознать исход-
ную цепь, в которой все взаимные индуктивности заменены
общими собственными индуктивностями и в которой произведено
соответствующее уменьшение величин собственных индуктивностей,
имевшихся в исходной цепи.
На фиг. 22, а показана цепь, состоящая из двух самостоятель-
ных частей, индуктивно связанных между собой. Первое преобра-
зование приводит к цепи, изображённой на фиг. 22, Ь, в которой
ёмкость заменила взаимную индуктивность, а обе самостоятельные
части цепи объединились. На фиг. 22, с показан результат повтор-
ного преобразования, в котором вместо ёмкости появилась собствен-
ная индуктивность.
Некоторые ветви непланарной цепи являются по необходимости
общими ветвями трёх или большего числа контуров. Попытка при-
менить указанный выше графический приём построения дуальной
цепи наталкивается на значительные геометрические трудности,
как только его приходится применить к такой ветви*). Действи-
тельно, единая ветвь дуальной цепи должна связать три или ббль-
шее число узлов, что геометрически невыполнимо. Для каждой
планарной цепи существует её дуальная топологическая цепь.
*) Подробнее см. приложение переводчика I, § 7.
5 Зак. 1977. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
66
Составление уравнений
(гл. п
Обратное утверждение также справедливо: если для данной цепи
существует дуальная цепь, то данная цепь планарна. Кроме того,
можно показать, что невозможность существования геометрической
дуальной цепи для данной цепи равносильна невозможности суще-
ствования и физической дуальной цепи. Так, например, в интегро-
Фиг. 22. Графический способ построения дуальной цепи для цепи,
содержащей взаимную индуктивность.
дифференциальных уравнениях, составленных для непланарной
цепи по методу контурных токов или по методу узловых напря-
жений, можно произвести формальную замену входящих в них
постоянных, переменных и заданных функций, характеризующих
источники, их соответствующими аналогами, но полученные таким
путём математические уравнения, хотя и идентичные по форме
первоначальным уравнениям, не будут являться отражением какой бы
Фиг. 23. Две простейшие непланар-
ные скелетные схемы.
то нп было реальной физиче-
ской цепи.
Скелетные схемы двух про-
стейших непланарных цепей пред-
ставлены на фиг. 23, а и 23, Ъ.
На фиг. 23, а изображена скелет-
ная схема, состоящая из пяти
узлов, каждый из которых связан
с четырьмя остальными узлами.
В скелетной схеме, изображён-
ной на фиг. 23, Ь, имеется шесть узлов, причём каждый из трёх
верхних узлов связан со всеми тремя нижними узлами.
Здесь необходимо подчеркнуть различие между, свободой выбора
одного из двух методов составления интегро-дифференциальных
уравнений для одной и той же цепи и дуальностью между двумя
различными цепями. При составлении уравнений для одной и той
§ 161
КООРДИНАТЫ ДВИЖЕНИИ
67
же цепи можно воспользоваться как методом контурных токов,
так и методом узловых напряжений. Предпочтение отдаётся тому
из них, который может дать либо меньшее число уравнений, либо
более удобные уравнения. Выбор метода составления уравнений
осуществляется совершенно независимо от того, существует или
не существует для данной цепи дуальная цепь. Если дуальная цепь
существует, то это означает, что существует такая другая цепь,
интегро-дифференциальные уравнения которой, составленные по
методу узловых напряжений, имеют ту же самую математическую
форму, что и интегро-дифференциальные уравнения для заданной
цепи, составленные по методу контурных токов. Это означает
также, что уравнения, составленные для дуальной цепи по методу
контурных токов, имеют ту же самую математическую форму,
что и уравнения для заданной цепи, составленные по методу
узловых напряжений.
Б. МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ
ПОСТОЯННЫМИ
Остановимся в первую очередь на известных принципах дина-
мики, которыми воспользуемся впоследствии для составления диф-
ференциальных уравнений движения твёрдых тел, подчинённых
внешним связям. В связи с тем, что мы ограничимся рассмотре-
нием твёрдых тел и элементов связи с бесконечно малой массой,
вопросы теории изгиба и волнового распространения напряжений
окажутся исключёнными. При этом потребуется только одна неза-
висимая переменная (в задачах на переходные процессы ею явится
время). Другими словами, здесь будут рассматриваться лишь одно-
мерные задачи. Уравнения движения будут представлять собой
обыкновенные дифференциальные уравнения, а не уравнения
в частных производных. Короче говоря, будет предполагаться, что
рассматриваемые системы состоят из элементов с сосредоточен-
ными, а не распределёнными постоянными. Поэтому соответствую-
щие задачи будут задачами теории цепей, а не теории поля.
§ 16. Координаты движения
Твёрдое тело может совершать либо поступательное, либо вра-
щательное, либо комбинированное поступательно-вращательное дви-
жение. Траектория каждой точки поступательно движущегося
твёрдого тела параллельна траектории его центра тяжести. Если тело
вращается, одна прямая линия, принадлежащая телу или его про-
должению и жёстко связанная с телом, остаётся неподвижной.
Общий случай движения твёрдого, тела может рассматриваться как
результат совмещения двух простых движений: поступательного
и вращательного. Если мгновенные оси вращения проходят через
5*
68
СОСТАВЛЕНИЙ УРАВНЕНИИ
[гл. II
центр тяжести тела, поступательное и вращательное движения
динамически независимы друг от друга. Движение произвольной
точки тела задаётся с помощью шести координат: трёх коорди-
нат х, у, я, характеризующих перемещение его центра тяжести,
и трёх координат 0, ср, Ф, характеризующих вращение тела вокруг
трёх взаимно перпендикулярных осей, проходящих через его центр
тяжести.
Механические системы классифицируются в зависимости от
числа координат, необходимых для описания движений, совершае-
мых их материальными точками. Например, система, представляю-
щая собой твёрдое тело, ’Движущееся поступательно параллельно
.определённой плоскости и вращающееся вокруг оси, перпендику-
лярной к этой плоскости, относится к классу трёхкоординатных
систем или систем с тремя степенями свободы. К классу систем
с тремя степенями свободы следует отнести также систему, состоя-
щую из трёх тел, связанных между собой пружинами, перемещаю-
щихся по общей прямой и не совершающих вращательных дви-
жений. Координаты системы, их производные или их интегралы,
необходимые для характеристики её движения, входят в качестве
зависимых переменных в уравнения движения.
§ 17. Элементы механических систем
Механические системы с сосредоточенными постоянными могут
рассматриваться как механические цепи. Такая точка зрения
упрощает перенос методов изучения электрических цепей с сосре-
Фиг. 24. Активные
элементы механиче-
ских цепей с поступа-
тельным движением:
f (t) — источник силы,
v (t) — источник ско-
рости.
доточенными постоянными на эти механиче-
ские системы.
Механические цепи состоят, как и элек-
трические цепи, из активных и пассивных
элементов. Активные элементы являются источ-
никами энергии. Роль пассивных элементов
играют массы, пружины и механические сопро-
тивления.
Рассмотрим в первую очередь систему,
движущуюся поступательно. В такой системе
могут быть источники двух видов: источ-
ники силы и источники скорости. Источником силы в схеме меха-
нической цепи является приложенная к системе заданная внешняя
сила f(t).
Если вместо силы задаётся скорость какой-либо определённой
точки системы v (0, эта известная скорость фигурирует в схеме
механической цепи в качестве источника скорости, присоединённого
к соответствующей точке. Источники поступательного движения изо-
бражаются на схемах так, как показано на фиг. 24. Стрелка, поста-
вленная рядом с символом источника указывает направление дей-
§ 171
ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
69
ствия силы или соответственно направление скорости, когда функ-
ция f (t) или v(t) имеет положительное значение.
Масса М служит характеристикой элемента, обладающего инер-
цией. Это такой пассивный элемент, в котором накапливается
кинетическая энергия поступательного движения. Будем считать
массу постоянной во времени и не зависящей от состояния движе-
ния элемента.
• Если перемещение элемента М относительно координатных осей
равно хм, а его скорость относительно тех же осей равна vM
то сила, действующая на этот элемент но направлению оси х и
d2xM
сообщающая ему ускорение —равна
d2xM dvw
<2-«»
Величина, численно равная, но противоположная по знаку
d2x
произведению массы на ускорение, т. е. —М --pgr , называется
реакцией инерции или силой инерции.
Масса тела, обладающего весом ТУ, равна М = W/g, где д —
ускорение силы тяжести.
Проинтегрировав обе части уравнения (2.40), получим выраже-
ние для скорости
t
=	+	(2.41)
6
Величина М-1 = 1/М называется инверсной массой.
Условное обозначение для массы М и инверсной массы М.-1
показано на фиг. 25, а. Для того чтобы подчеркнуть то обстоя-
тельство, что перемещение, скорость и ускоре-
ние массы определены по отношению к неко-
торой координатной системе, а также для того,
чтобы в схеме механической цепи можно
было показать, какова эта координатная си-
стема, символ массы (прямоугольник) * даётся
4	I	4
а)	Ь)	с)
Фиг. 25. Пассивные
в обязательном сочетании с символом коор- элементы механиче-
динатной системы (уголок). Таким образом, ских цепей с поступа-
элементу массы приписываются два полюса, тельным движением.
Один из них находится на самой массе, а дру-
гой— на системе отсчёта. Последний может быть соединён с общей
системой координат рассматриваемой механической системы. Пре-
имущества, связанные с изображением массы в виде элемента
с двумя концами, т. е. в виде двухполюсника, выявятся . позже,
когда мы перейдём к вычерчиванию^ схем механических цепей.
70
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. II
Для того чтобы ещё сильнее подчеркнуть, что масса является эле-
ментом типа двухполюсника, удобно рассматривать как силу,
действующую вдоль оси х и вызывающую разность ускорений полю-
сов элемента М, равную •
Пружины создают силы, стремящиеся восстановить относитель-
ные координаты системы, т. е. противодействующие её деформациям.
Растянутая пружина стремится сократиться, т. е. создаёт силу
натяжения. Сжатая пружина стремится распрямиться, т. е. создаёт
силу давления. Силы натяжения или давления, развиваемые соот-
ветственно растянутой или сжатой пружиной при данной деформа-
ции (т. е. данном относительном перемещении её концов), пропор-
циональны её оюёсткости К. Пружина играет роль пассивного эле-
мента, в котором накапливается потенциальная энергия. Будем
считать, что её жёсткость неизменна во времени и не зависит от
величины её деформации, т. е. от относительного перемещения её
концов. Сила fK (t), необходимая для относительного перемещения
хк (t) концов пружины, обладающей жёсткостью К, действует вдоль
оси х и равна
fK(t) = KxE(t) = Kj vK(t)dt.	(2.42)
Продифференцировав обе части уравнения (2.42), получим:
। dfv- (t)
.	(2.43)
где — называется гибкостью пружины. На фиг. 25, Ь
показано условное обозначение элемента К или If-1 в виде двух-
полюсника.
Демпфирующие силы, действующие в линейной механической
системе, должны быть пропорциональны первым степеням относи-
тельных скоростей. К этому типу сил относятся, вообще говоря,
силы, создаваемые вязким трением, или силы электромагнитного
происхождения, действующие на катушки, движущиеся в магнитных
полях. В результате действия демпфирующих сил происходит
необратимый процесс преобразования кинетической энергии системы
в тепло.
В схеме цепи, построенной для поступательно движущейся меха-
нической системы, пассивным элементом, представляющим собой
сток энергии, является элемент В — сопротивление поступательному
движению. Будем считать, что сопротивление В неизменно во вре-
мени и не зависит от разности скоростей его концов.
Сила fB (t), необходимая для создания разности скоростей
_______ dx (i)	rt t,
vB(t) = —~— концов элемента сопротивления В, действует
§ 171
ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИЧЕСКИХ . СИСТЕМ
71
вдоль оси х и равна
dx п (t)
. (2-4*)
Определяя разность скоростей концов vB (t) из уравнения (2.44),
получаем:
vB(t)== В-1 fB(t),	(2.45)
угловой скорости.
Фиг. 26. Активные
элементы механиче-
ских цепей с враща-
тельным движением:
т (t) — источник вра-
щающего момента,
со (t) — источник угло-
вой скорости.
влияет не только
где В~х = if В можно назвать инверсным сопротивлением или по-
датливостью поступательному движению.
Условное обозначение для элемента В или В-1 в виде двух-
полюсника дано на фиг. 25, с.
Во вращающихся системах также встречаются источники энергии
двух видов: источники момента и источника
Заданный вращающий момент z(f), действую-
щий на систему, будет изображаться в схеме
цепи как источник момента, а заданная угло-
вая скорость (t) какой-либо её точки — при-
соединённым к соответствующей точке источ-
ником угловой скорости. Источники энергии
вращательного движения будут изображаться
символами, показанными на фиг. 26. Изо-
гнутая стрелка указывает направление вра-
щающего момента или угловой скорости, когда
функция т {t) или (t) имеет положительное
значение.
На вращение тела вокруг какой-либо осп
масса тела, но и её распределение относительно этой оси. Инер-
ционный элемент характеризуется в этом случае полярным момен-
том инерции J = 31г2, где г — радиус инерции тела относительно
оси вращения. Это—пассивный элемент, в котором накапливается
кинетическая энергия.
Если означает угловое перемещение элемента J относительно
йа.
координатных осей, а —----------угловую скорость относительно
тех же осей, величина вращающего момента, действующего вокруг
оси г), необходимого для сообщения элементу J углового ускорения
c/о -г d2$j
~==-~№-, определяется уравнением
, х d20 т cZco f
(2.46)
Величина, обратная по знаку и численно равная произведению
момента инерции на угловое ускорение,., называется моментом силы
инерции,
72	СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. II
Интегрируя уравнение (2.46), получим выражение
t
Xj.(t)dt — J-1 f TjWdt + vjtO), (2.47)
0
где = называется инверсным моментом инерции.
Элемент J или J-1 будет изображаться на схемах с помощью
того же самого символа, который был принят для обозначения эле-
мента массы М (см. фиг. 22, а). В силу двухполюсной природы
момента инерции рекомендуется рассматривать вращающий момент
как момент, действующий вокруг оси 0 и способный созда-
вать разность угловых ускорений концов элемента J, равную .
Упругие илигпружиноподобные тела, совершающие вращательные
движения и подвергающиеся скручиванию, оказывают ему сопро-
тивление, величина которого пропорциональна их крутильной жёст-
кости К. Поэтому момент, необходимый для создания относитель-
ного углового перемещения 0^ (t) концов (полюсов) упругого тела
с крутильной жёсткостью К, действует вокруг оси 0 и равен
V (0 = (t)=Kf (I) dt.	(2.48)
Продифференцировав обе части этого уравнения, можно опре-
делить разность угловых скоростей
<^(0=^-1—(2.49)
где K-* = \jK называется крутильной гибкостью,
Элементы К или К"1 будут изображаться на схемах с помощью
того же самого двухполюсника, который был принят для обозначе-
ния жёсткости или гибкости (см. фиг. 25, Ь).
Ограничиваясь рассмотрением линейных вращающихся систем,
в которых демпфирующие моменты создаются лишь вязким тре-
нием, мы должны считать, что моменты сил трения пропорциональны
первой степени разностей угловых скоростей точек, принадлежащих
трущимся поверхностям. Обозначим коэффициент пропорционально-
сти буквой В и будем называть его сопротивлением вращению или
крутильным сопротивлением. Момент, необходимый для создания
разности угловых скоростей между полюсами элемента, ока-
зывающего сопротивление вращательному движению относительно
оси 0, должен быть приложен к оси 0 и должен быть равен
(О=	==	(0*	(2.50)
§ 18]
ВТОРОЙ ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ НЬЮТОНА
73
Решив уравнение (2.5.0) относительно разности угловых скоро-
ростей а>в (() концов этого элемента, получим:
= £-%(*),	(2.51)
где В~1 = 1/В называется инверсным крутильным сопроти-
влением или крутильной податливостью. Условное обозначение
элемента В или В”1 указано на фиг. 25, с.
Необходимо отметить, что мы будем одинаково обозначать на
схемах элементы механических систем, движущиеся поступательно,
и вращающиеся элементы, а также пользоваться одними и теми же
математическими символами для обозначения жёсткости и крутиль-
ной жёсткости или сопротивления и крутильного сопротивления.
Там, где это совпадение обозначений может повести к двусмыслен-
ности, для указания того, что данная постоянная относится к си-
стеме, совершающей вращательное движение, будет использоваться
подстрочный индекс г.
Как и в электрических цепях, механические элементы, пере-
численные выше, являются лишь математическими абстракциями.
Реальные физические элементы обычно обладают одновременно
несколькими свойствами, приписываемыми этим идеализированным
элементам. Тела, обладающие массой, обладают обычно также и
упругостью, а пружины обычно обладают массой. И в тех и в дру-
гих телах происходят внутренние потери энергии, характерные для
элементов с вязким трением и вызывающие затухание колебаний.
Наконец, демпфирующие элементы также не лишены массы. Весь
вопрос заключается лишь в относительном значении этих второсте-
пенных свойств физических элементов. Вопрос о целесообразности
включения в исследование тех или иных второстепенных свойств
элементов должен решаться самостоятельно в каждом отдельном
конкретном случае.
§ 18. Второй закон движения Ньютона. Принцип Даламбера
Для составления дифференциальных уравнений движения меха-
нической системы можно воспользоваться либо уравнениями Лагранжа
второго рода (в которые входят выражения для кинетической и
потенциальной энергии системы и которые являются следствием
принципа наименьшего действия Гамильтона), либо непосредственно
вторым законом Ньютона. В дальнейшем будет применяться второй
закон Ньютона (или его несколько изменённая форма, известная
под названием принципа Даламбера), так как этот закон сходен по
форме с первым законом Кирхгофа для электрических цепей.
Второй закон Ньютона формулируется следующим образом:
§	Если на тело действует несколько сил, его ускорение совпадает
по направлению с результирующей этих сил и пропорционально
отношению последней к массе тела.

СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[гл; и
Если движение происходит вдоль оси х, то математическим
выражением закона Ньютона будет уравнение
<2-52>
где 5/®(О означает сумму слагающих сил вдоль оси х.
Уравнение (2.52) может быть переписано в виде
2^(0-^ = °.	(2.53)
В последнем уравнении заключается математическая формули-
ровка принципа Даламбера, который гласит:
Сумма мгновенных значений слагающих внешних сил, прило-
женных к телу, и слагающей силы реакции этого тела, действующих
по некоторому направлению, равна нулю.
Удобство этого принципа заключается в том, что он позволяет
применять уравнения статики для изучения динамики системы.
В рассматриваемых случаях внешние силы обычно являются функ-
циями времени. К ним добавляются члены, выражающие силы
реакции тел, возникающие вследствие их инерции.
Закон Ньютона и принцип Даламбера, сформулированные выше
для поступательного движения, применимы и к вращательному дви-
жению. Закон Ньютона для вращательного движения выражается
уравнением
где то(0— компонента результирующего момента сил вдоль оси 0,
a J—момент инерции тела относительно той же оси.
§ 19. Выбор координатной системы
Положительное направление силы f(t) или момента т(0 указы-
вается стрелкой. Считают, что сила или момент действуют по ука-
занным стрелками направлениям, когда их мгновенные значения
положительны.
В задаче на определение прямолинейного (поступательного) дви-
жения какого-либо тела относительно начала координат будем счи-
тать, если это окажется удобным, что начало координат совпадает
с положением равновесия тела, когда взаимно уравновешиваются
все приложенные к телу силы, включая и силу его веса. Направле-
ние положительного перемещения х (0 будет указываться стрелкой,
а перемещение будет считаться совершившимся по направлению
этой стрелки, когда функция x(t) положительна.*
Иногда более удобно измерять перемещение тела в подвижной
системе координат, движущейся равномерно и поступательно отно-
сительно неподвижной системы координат. В этом случае величины
§ 20]
ПОСТУПАТЕЛЬНО ДВИЖУЩАЯСЯ СИСТЕМА
75
и знаки перемещений точек твёрдого тела будут зависеть от выбора
координатной системы.
Угловые перемещения при вращении могут также отсчиты-
ваться по отношению к неподвижной или равномерно вращающейся
системе координатных осей. Последний способ оказывается полез-
ным, когда установившееся движение тела представляет собой рав-
номерное вращение и когда исследуются лишь отклонения от этого
состояния под действием внешних возмущающих моментов. Поло-
жительное направление углового перемещения указывают стрелкой.
Считают, что перемещение происходит в указанном направлении,
когда функция 0 (О положительна.
 В следующих параграфах показано применение второго закона
Ньютона к нескольким простейшим механическим системам.
x(t)
Фиг. 27. Система
с поступательным
движением и с од-
ной степенью сво-
боды.
§ 20.	Поступательно движущаяся система
с одной степенью свободы
На фиг. 27 показано твёрдое тело с массой М, опирающееся
на пружину. Свобода движения тела ограничена неподвижными
направляющими так, что допускаются только вертикальные посту-
пательные перемещения. Приложенная сила f(t)
действует по вертикальному направлению между
рамой (координатной системой) и телом М.
Между телом и направляющими возникает вяз-
кое трение, которое может быть представлено
как сопротивление поступательному движению В.
Пусть при t — 0 тело находится в состоя-
нии равновесия. Это означает, что пружина
сжата в этот момент так, что её сила реакции
точно уравновешивает силу веса тела Мд. Со-
ставим уравнение движения такой системы.
Будем считать, что рама этого механизма неподвижна и что
с нею связана система координатных осей. Пренебрежём массой
пружины. Следовательно, будет
учитываться только масса тела М.
Для описания движения достаточна
одна координата. Пусть этой ко-
ординатой будет вертикальное пе-
ремещение х (t), отсчитываемое
вниз от начального положения ста-
тического равновесия.
Пользуясь условными обозна-
чениями, приведёнными в § 17,
можно построить схему механической цепи для данной механиче-
ской системы так, как показано на фиг. 28.
Между развитием символических механических схем и развитием
письменности наблюдается известный параллелизм. Действительно,
f(t)\
V =z'(t)
Фиг. 28. Схема цепи для меха-
нической системы, изображённой
на фиг. 27.
76
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. II
на первой стадии развития письменности для обозначения понятий
применялись изображения, которые впоследствии были вытеснены
абстрактными символами. Так и первоначальные механические
схемы, близко напоминающие реальное устройство механизма
(например, схема, изображённая на фиг. 27), заменяются символи-
ческими схемами (фиг. 28). Несимволические схемы не теряют
своего значения изобразительного средства, служащего упрощён-
ным введением в символические схемы, в особенности для слож-
ных систем.
При составлении символических схем рекомендуется придержи-
ваться следующей последовательности:
а)	Определяют оба полюса каждого активного и пассивного
элементов.
б)	Соединяют в общие узлы те полюсы различных элементов,
которые движутся совместно.
в)	Соединяют с узлом отсчёта те полюсы элементов, которые
остаются неподвижными по отношению к координатной системе.
г)	Около каждого элемента, являющегося источником силы или
источником скорости, ставят стрелку, указывающую положитель-
ное направление силы или скорости.
д)	Приписывают определённую координату каждому подвижному
узлу и указывают стрелкой направление отсчёта положительных
значений этих координат.
Аналогия между построенными таким образом механическими
цепями и электрическими цепями будет рассмотрена в § 22.
Обращаясь теперь к схеме фиг. *27 или к схеме фиг. 28 и при-
меняя второй закон Ньютона, запишем уравнения движения в виде
^S=./’(0-/’k(0-/,b(0;	(2.55)
или, в соответствии с принципом Даламбера,
/(0-4(0 — Гв (0 — ^^ = 0.	(2.56)
Подставив в уравнение (2.55) или в равносильное уравнение (2.56)
выражения для упругой силы пружины и для силы трения, получим:
=	(2.57)
Знаки членов этого уравнения выбраны в соответствии со сле-
дующими соображениями: внешняя сила f (t), действуя в положи-
тельную сторону, должна вызывать положительное ускорение тела Ц[.
Если перемещение тела положительно, пружина подвергается сжа-
тию и давит на тело М снизу вверх, сообщая ему отрицательное
ускорение. Если скорость тела положительна, то оно движется
§ 21]
ПОСТУПАТЕЛЬНО ДВИЖУЩАЯСЯ СИСТЕМА
11
вниз, а противодействующая сила трения направлена снизу вверх,
т. е. создаёт отрицательное ускорение тела М.
Уравнение (2.57) может быть записано в виде
+^=Г(О-	(2-58)
Так как перемещения х отсчитываются от начального положе-
ния, совпадающего с положением статического равновесия при
/’(/) = О, начальные условия имеют вид
х (0) — 0 и


==0.
t^o
§ 21.	Поступательно движущаяся система с двумя степенями
свободы
Тело, обладающее массой М1 (фиг. 29), опирается на пружину,
которая, в свою очередь, опирается на тело, обладающее массой Л/2.
Последнее установлено на пружине, опирающейся
на раму, покоящуюся на упругом основании. Пе-
ремещения тел и М2, а также рамы относи-
тельно неподвижной горизонтальной плоскости мо-
гут совершаться только по вертикали. Свобода
перемещения тел и АГ2 ограничена направляю-
щими, между которыми развиваются силы вязкого
трения. и />2 означают эквивалентные сопро-
тивления движению тел Мг и Л/2. и If2 озна-
чают жёсткости пружин. Абсолютные перемещения
тел и И2 и рамы обозначены соответственно
xlf #2 и и отсчитываются сверху вниз. Рама
совершает перемещения по заданному закону
#3==#8(0. Начальные перемещения тел и АГ2
из положений статического равновесия и их начальные скорости
даны в таблице:
Фиг. 29. Систе-
ма с поступа-
тельным дви-
жением и с дву-
мя степенями
свободы.
Масса	Начальное перемещение	Начальная скорость
ж	«1 единиц вниз а2 единиц вверх	единиц вверх Ь2 единиц вниз
Составим дифференциальные уравнения движения системы.
Схема механической цепи для этой системы представлена на.
фиг. 30. Так как скорость рамы известна, она должна быть при-
писана источнику скорости
dx*
v'i==~di 9
присоединённому к механической цепи.
78
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Ггл. II
Применив второй закон Ньютона сначала к массе а затем
к Массе М2, получим два дифференциальных уравнения
^5 = ^
М2 = — К1 (ж2 — xt) + К2 (ж3 — ж2) -1- ,Л'2 ± (*3 — ж2),
где хх =	(t); ^2=^2(f); x% = x3(t).
Выбор знаков в правых частях этих уравнений основан на сле-
дующих соображениях. Если х2 больше х19 пружина Кх тянет
тело Мг вниз, сообщая ему положитель-
на	Г"Ъ>, ное ускорение. Она же тянет тело Л72
М f	вверх, сообщая ему отрицательное уско-
Фиг. 30. Схема цепи для ме-
ханической системы, изо-
бражённой на фиг. 29.
рение. Если скорость больше скоро-
сти , рама движется вниз быстрее, чем
тело Jfi, и стремится увлечь его за со-
бой, сообщая ему положительное уско-
рение. Равным образом тело ЛГ2 увле-
кается рамой вниз, если скорость боль-
ше скорости . Наконец, если переме-
щение рамы хъ больше перемещения
тела lf2, пружина 1\2 растягивается и тянет тело ЛД вниз, сообщая
ему положительное ускорение.
Уравнения (2.59) могут быть переписаны в симметричном виде
л/,	f, (#);
- к1Х1 + м* +в2 н- (к1 + к2) =
=	+	(2.60)
Поскольку ж8(£) и его производная г>3(£)— известные функции
времени, А (<) = Вг ~ = В^„ представляет собой известную внеш-
dt
нюю силу, приложенную к телу Равным образом известна
сила, приложенная к телу М2. Она равна
/2 (0 = B2v.A (0 4- К2 J «8 (0 dt = .B2vs (t) + 712 J v3 (/) dt 4- K2xa (0).
§ 22]
ПОНЯТИЕ ОБ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ аналогиях
79
Прибегая к терминологии теории цепей, можно сказать, что источник
скорости (на схеме фиг. 30), включённый последовательно
с элементом Blf заменён источником силы f\ (/), включённым
параллельно элементу Bv Источник скорости г/3(/), включённый
последовательно с двумя параллельно включёнными элементами В2
и йГ2, заменяется двумя источниками силы, которые складываются
в один источник силы f2 (£), включённый параллельно элементам
В2 и К2. Такая преобразованная механическая цепь, в которой
источник скорости (0 заменён
двумя источниками силы f\ (t)
и представлена на фиг. 31.
Замена источников скорости
источниками силы выполняется
по правилам, аналогичным пра-
вилам замены источников одного
вида источниками другого вида
в электрических цепях (§ 14).
В таблице V приведена сводка
некоторых общепринятых правил
замены источников одного вида
Фиг. 31. Схема цепи, изображённой
на фиг. 30, после замены в ней од-
ного источника скорости двумя
источниками силы.
источниками другого вида в элек-
трических и в механических цепях. Замена производится с сохра-
нением условий на зажимах источников.
Начальные значения координат системы и их первых произ-
водных должны быть записаны в соответствии с условиями задачи
следующим образом:

«2 (0) —	а2; £ й/2 ]#=о — Ъ2.
§ 32. Понятие об электромеханических аналогиях
Согласно определению, данному в § 15, аналогичными систе-
мами называются системы, являющиеся различными физическими
интерпретациями одной и той же системы интегро-дифференциаль-
ных уравнений. Можно построить электрический аналог произволь-
ной механической системы. Для этого необходимо подыскать такую
электрическую цепь, система интегро-дифференциальных уравнений
которой совпала бы по форме с системой таких же уравнений для
данной механической системы. Во многих случаях можно восполь-
зоваться интуицией, но всё же более надёжный путь правильного
Таблица V
Замена источников одного вида источниками другою вида
Электрические цепи	^=/?г	l-R’u				ёг'ёЕ d/=Z
					
Механические цепи с поступательным движением		t			°	/77	udt
			v^M''Jrat f-м^		
Механические цепи с вращательным движением	OU xBr t T =£Loj	iBr >	г 'ё’7 O)=J ftcft		r^rjwdf
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ	[ГЛ. П
§ 22]	ПОНЯТИЕ ОБ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ АНАЛОГИЯХ	81
построения аналогов должен заключаться в последовательном при-
менении следующих приёмов:
1)	Составляют уравнения для заданной системы-прототипа.
2)	Переписывает эти уравнения, заменяя постоянные и пере-
менные, входящие в эти уравнения, аналогичными постоянными и
переменными, характерными для электрических цепей.
3)	Интерпретируют эти последние уравнения, вычерчивая схему
такой электрической цепи, поведение которой описывается этими
уравнениями.
В § 15 было указано, что для электрических цепей существуют
дуальные электрические цепи, причём из этого общего правила
имеются определённые исключения. Следовательно, для некоторых
механических цепей может быть построено несколько аналогичных
электрических цепей. Рассмотрим для примера поступательно дви-
жущуюся механическую систему. Линейные дифференциальные урав-
нения с постоянными коэффициентами, составляемые для этой
системы на основании второго закона Ньютона, являются уравне-
ниями сил. Но уравнения такого же типа, получаемые для электри-
ческих цепей на основании законов Кирхгофа, могут быть либо
уравнениями токов, либо уравнениями напряжений.
Следовательно, можно пользоваться двумя системами аналогий:
в одной из них ток является аналогом силы (сокращённо: i~f),
в другой—напряжение является аналогом силы (сокращённо и ~f).
Обе построенные таким образом электрические цепи, аналогичные
одной и той же механической цепи, будут дуальными цепями, так
как узловые напряжения одной цепи окажутся аналогами контур-
ных токов другой.
v Вернёмся к рассмотренной в § 20 механической цепи с одной
степенью свободы, соответствующей поступательно движущейся си-
стеме, изображённой на фиг. 27. Перепишем её уравнение движе-
ния (2.58), заменив для удобства сравнения перемещения скоро-
стями по формуле v =	:
м	vdt=f(t).
Прибегая к первой системе электромеханических аналогий,
в которой г — f, получаем уравнение токов, аналогичное данному:
Г udt = г (/).	(2.61)
Нетрудно убедиться в том, что это — уравнение электрической
цепи с одной парой узлов, подобной приведённой на фиг. 32. Эта
цепь имеет ту самую скелетную схему или ту же самую тополо-
гическую форму (§ 2), что и механическая цепь, представлен-
ная на фиг. 28. Она могла быть построена и непосредственно на
основе их топологической идентичности путём замены элементов
6 Зак. 1977. М. Ф. Гарднер я Дж. Л. Бэрнс.
82
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. II
механической цепи соответствующими элементами электрической
цепи, а именно:
источник силы f(t) — источником тока i(t),
*• пассивный элемент М — пассивным элементом С,
»	,,»	Б	»	»	G,
»	»	К	»	»	Г,
неизвестную скорость i'(f) — неизвестным напряжением u(t).
Если воспользоваться второй системой электромеханических
аналогий, в которой «— f, то получим аналогичное уравнение
напряжений
L^-±Ri-]-S f idt = u(t).	(2.62)
at	J
Нетрудно убедиться в том, что
электрической цепи, изображённой
и
это — уравнение одноконтурной
на фиг. 33. В топологическом
Фиг. 32. Электрический
аналог механической
системы, изображённой
на фиг. 27. Аналогия по
методу i~f.
Фиг. 33. Электрический
аналог механической
системы, изображённой
на фиг. 27. Аналогия по
. методу u~f.
отношении эта цепь дуальна по отношению к цепи, изображённой
на фиг. 32 (см. § 15). Она может быть получена и непосредственно.
Для этого необходимо:
1) Построить скелетную схему, топологически дуальную по
отношению к скелетной схеме заданной механической цепи.
2) Вставить в эту схему элёктрические элементы, заменив ими
соответствующие механические элементы, а именно:
источник скорости v(f)— источником напряжения u(Q,
пассивный элемент К*-1 — пассивным элементом L,
»	»	Б-1	»	»	Б,
»	»	Af -1	»	»	S,
неизвестную силу f(t) — неизвестным током г(/).
Продифференцировав обе части уравнения (2.61) по времени,
получим:
с$+а5-+л‘=4г--
Это уравнение, в левую часть которого входят производные
напряжений между узлами схемы фиг. 32, имеет ту же форму,
§ 22]	ПОНЯТИЕ ОБ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ АНАЛОГИЯХ	83
что и уравнение (2.58), члены которого выражены не через ско-
рости, а через перемещения.
Электрическая цепь, соответствующая уравнению (2.63), отли-
чается от электрической цепи, изображённой на фиг. 32 и соответ-
ствующей уравнению (2.61), только тем, что на её схеме должен
быть указан не ток i(0, а производная этого тока ~~ . Эта цепь
является также одной из возможных аналогичных цепей, в которой
соблюдены следующие аналогии:
и~х.
Таким образом, получены три аналогичные электрические цепи
для одной и той же механической цепи, изображённой на фиг. 27.
Число таких аналогичных цепей может быть увеличено до беско-
нечности, если применять неограниченное число раз операции диф-
ференцирования или интегрирования к уравнениям (2.61) и (2.62).
В таблице VI приведена сводка соответствий между постоян-
ными и переменными величинами, входящими в уравнения анало-
гичных механических и электрических цепей, и указаны соотно-
шения между их скелетными схемами. Другие системы аналогий
могут быть получены из той же таблицы. Для этого достаточно
представить себе, что часть столбца, содержащая переменные элек-
трической цепи, сдвинута вверх или вниз по отношению к столбцу,
содержащему переменные механической цепи. Так, например, сдви-
нув на одну строку вверх среднюю часть последнего столбца, мы
„ /»
получим систему аналогии, основанную на принципе: j—.
Необходимо подчеркнуть, что при переходе от одной системы
аналогий к другой путём дифференцирования или интегрирования
одной из двух аналогичных переменных (например, при переходе
от уравнения (2.61) к уравнению (2.63)) не изменяются ни соот-
ветствия между электрическими и механическими постоянными, ни
схема цепи.
Изложенные здесь принципы построения электрических цепей,
аналогичных сравнительно простым механическим цепям, приме-
нимы в равной степени и к значительно более сложным цепям.
Исключение составляют упоминавшиеся выше случаи, когда задан-
ная цепь не может быть представлена планарной схемой и когда
поэтому для неё не существует дуальной цепи *). Эти принципы
в сочетании с правилами замены источников одного вида источни-
ками другого вида позволяют без особого труда применять как
*) Можно построить дуальную цепь и для непланарной цепи, предва-
рительно заменив её эквивалентной планарной цепью (см. приложение пе-
реводчика I § 7). {Прим, перее.)
6*
84
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. II
Табл
Аналогичные постоянные, переменные и скелетные
	Механические системы		
	с поступательным движением	с вращательным движением	
Постоянные величины	JZ В К	J Вг Кг	
Переменные величины			
	рл f df di X	(h dt 0	
	dx dt~~V (fix	de dt ““ Й2©	
	d^==a	dfi a	
Скелетная схема цепи	Схема строится в соответствии с приме- нёнными способами сочленения элементов ме- ханической системы		
1
§ 22]
ПОНЯТИЕ ОБ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ АНАЛОГИЯХ
85
и ц а VI
схемы цепей для электрических и мсханическгьх систем
	Электрические системы				
	i~f или т	dz	л или’	u~f или т	du dt '	или т
	G (г Г	с G Г	L R 8	L R 8	
	J* idt = q	i	У и dt		И
	i	di dt	и		du dt
	di		du		d*u
	dt	dt* .	dt		dt*
	J* и dt	и	J* i dt = q		i
		du			di
	и	dt			di
	du	d*u	di		dti
	dt	d$	dt		df?
	Скелетная схема аналогичной элек- трической цепи совпадает со скелет- ной схемой механической цепи		Скелетная схема аналогичной электрической цепи дуальна по от- ношению к. скелетной схеме меха- нической цепи		
Таблица VII
Механические цепи с поступательным движением
Сравнение контурною и углового методов исследования
	Метод контуров		Символ	Метод узлов	
1	Указывает, направление скоро- сти, когда значение v (t) положи- тельно	V(l) Скорость	Источник	Ло Сила	Указывает на- правление силы, когда значение f(l) положительно
	= Х-Чв	B-1 Инверсное 1 сопротивление । (податливость)	с	Ч~[—-О Сток (тепло- вой)	В Сопротивление	fв = ^в
2		Zf-i Инверсная жёсткость (гиб- кость)	Резервуар по- тенциальной энергии	К Жёсткость (упругость)	= K f vKdt
	=	J fNdt ''	M-i Инверсная масса	Резервуар ки- нетической энер- гии (только за счёт собствен- ной массы)	М Масса	
	j	1			
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. II
зет
3	~-1_	Му	1 МГ ~	—	~ М & — 1 = ' = 1 _1+.^ Кз лгхм2 —л/ lfl 1			1 ^1^2	^2 Мт	м	м-i Инверсная мас- са конца 2, ког- да конец 2 сво- боден ~-1 Мз Инверсная масса конца 2, когда конец 1 свободен Мы Инверсная вза- имная масса	Резервуар ки- нетической энер- гии (с учётом собственных и взаимных масс)	Собственная масса конца 1, когда конец 2 закреплён м2 Собственная масса конца 2, когда конец 1 закреплён Взаимная мас- са	й-К2 щ = м 3 ,, 1 * 11 + *2 Х2 ==М—— _ 1А1.> — 1Р w		ft
4	'—	Z= е — п + 5 Число незави- симых геоме- трических кон- туров	—	пр = п — *9 Число незави- симых пар гео- метрических уз- лов	За начало от- счёта принимает- ся неподвижный или равномерно движущийся узел
5	Необходимое число уравнений, составляемых по принципу конту- ров	— ns Число неизвест- ных контурных сил	—	— п" Число неиз- вестных узло- вых скоростей	Необходимое I число уравнений, составляемых по принципу узлов
6	Увеличение скорости считается положительным	По замкнуто- му ^контуру 2 (*)=° к=1	•	В каждом узле пр J4(O = O (Начало Далам- бера)	Сила, направ- ленная вдоль по- ложительного на- правления оси X (где х — переме- щение узла), счи- тается положи- тельной
Пояснения к разделам таблицы:!. Активные элементы. 2. Пассивные элементы. 3. Взаимная масса
(схематическое изображение жёсткого стержня см. § 27). 4. Независимые контуры и пары узлов в геометрической •
схеме. 5. Необходимое число независимых переменных. 6. Применённый закон механики.
ПОНЯТИЕ ОБ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ АНАЛОГИЯХ
88
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. II
аналитические, так и чисто графические приёмы построения элек-
тромеханических аналогий.
В таблице VII сопоставляются два метода анализа механических
систем, движущихся поступательно, а именно: метода механических
контуров и метода механических узлов. Часть материала, поме-
щённого в 3-м разделе этой таблицы, будет разъяснена в § 27.
Некоторые другие разделы таблицы найдут применение в задачах.
Отчётливо видимое сходство содержания таблицы VII для меха-
нических цепей и таблицы IV для электрических цепей делает
излишними более подробные объяснения.
§ 23. Вращающаяся система с одной степенью свободы
На фиг. .34 изображён крутильный маятник, состоящий из махо-
вой массы, насаженной на середину упругого вала, концы кото-
Фиг. 34. Вращаю-
щаяся система с
одной степенью
свободы.
Фиг. 35. Схема
цепи для ме-
ханической си-
стемы, изо-
бражённой на
фиг. 34.
рого закреплены. Оба пролёта
вала (правый и левый) обладают
равными крутильными жёстко-
стями Z1/2. Момент инерции
маятника равен J. Крутильные
колебания этого маятника демп-
фируются вязким трением, при-
чём крутильное сопротивление
равно В. Маятник был выведен
из положения равновесия поворо-
том на начальный угол . против
часовой стрелки (если смотреть
со стороны правого конца вала),
а затем предоставлен самому себе.
Схема механической цепи этой
системы показана на фиг. 35.
Если обозначить угол закручивания вала через 0 (£), то урав-
нение движения маятника примет вид
(2-64)
Знаки членов в правой части уравнения выбраны следующим об-
разом. Положительной величине 0 (t) соответствует закручивание
вала против часовой стрелки, если смотреть с его правого конца.
Поэтому восстанавливающий момент упругого вала действует по
часовой стрелке и стремится сообщить маятнику отрицательное
угловое ускорение. Положительная угловая скорость создаёт g
момент трения, направленный по часовой стрелке, который, следо-
вательно, сообщает колесу также отрицательное ускорение.
§ 24] ВРАЩАЮЩАЯСЯ СИСТЕМА С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 89
Согласно условию задачи начальные условия должны быть запи-
саны в*виде
0(O) = ?J; Г^1 =0.
v 7 La^J^=o
т?т
Фиг. 36. Вращаю-
щаяся система с дву-
мя степенями сво-
боды.


та)
Фиг. 37. Схема цепи для
механической системы, изо-
бражённой на фиг. 36. Ко-
ординатные оси вращаются
с постоянной угловой ско-
ростью <0/.
§ 24. Вращающаяся система с двумя степенями свободы
Свободный вал с двумя насаженными на него роторами приве-
дён в состояние крутильных колебаний вращающим моментом тс-|-т (t)f
приложенным к ротору № 1. Здесь % — постоянная часть, а т(£) —
переменная часть вращающего момента. По-
стоянная составляющая вращающего момента
уравновешивается постоянным моментом на-
грузки и постоянными моментами трения, сумма
которых равна по величине тс, направлена
в противоположную ему сторону и будет
считаться приложенной к ротору № 2. Мо-
менты инерции роторов равны соответственно
и J2. Крутильная жёсткость отрезка вала,
заключающегося между ними, равна К. Коле-
бания угловой скорости каждого ротора относительно постоянной
средней угловой скорости‘демпфируются вязким трением, моменты
которого равны соответственно и В2. Начальные угловые коор-
динаты и скорости роторов определяются постоянной составляющей
вращающего момента тс. Составим урав-
нения движения системы.
Нас не интересует постоянная состав-
ляющая угловой скорости <ос, создаваемая
постоянной составляющей вращающего
момента тс. Поэтому в уравнения дви-
жения включаются только колебания уг-
ловой скорости, создаваемые переменной
составляющей вращающего момента т (f)<
Иными словами, изучение движения си-
стемы будет проведено не в неподвижной,
а в равномерно вращающейся системе ко-
ординат.
За положительное направление вра-
щающего момента x(t) принимается на-
правление, противоположное направлению вращения часовой стрелки,
если смотреть с правой стороны.
Пусть и <о2 означают отклонения угловой скорости роторов
от общей постоянной составляющей угловой скорости системы <ос
(фиг. 36). Они будут считаться положительными, если они также
направлены против часовой стрелки.
Схема механической цепи системы изображена на фиг. 37.

СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. II
На основании второго закона Ньютона, применённого сначала
к ротору № 1, а затем к ротору № 2, получаем уравнения движе-
ния системы в виде
«Л = - (П _ К / (Ш! - ш2) dt -
, г	|	. (2.65)
= К J (ш, - ш.2)dt - .£?2ш2,
в которых	й ш2==®2 ([). Если интеграл J (®i— <о2) dt
имеет положительное значение, ротор № 1 опережает ротор № 2,
т. е. левый конец вала закручивается против часовой стрелки от-
носительно его правого конца. Следовательно, восстанавливающий
момент, развиваемый упругим валом,, стремится сообщить ротору № 1
ускорение, направленное по часовой стрелке, а ротору № 2 — про-
тив часовой стрелки, т» е. соответственно отрицательное и положи-
тельное ускорения. Моменты трения, действующие на оба ротора,
пропорциональны соответственно их угловым скоростям и противо-
положны им по направлению, т. е. их знаки противоположны зна-
кам <»! и ш2.
Уравнения (2.65) могут быть переписаны в симметричной форме
4 § .В^ 4- К f ^dt—K f a>2dt = x(t);
С	л	Г	(2.ев)
-KJ ^dt+Js^ + ^+K J ш2Л = 0.
Следует заметить, что эти уравнения можно написать непосред-
ственно по схеме механической цепи (фиг. 37), пользуясь методом
механических узлов. Это было бы равносильно применению прин-
ципа Даламбера к каждому ротору в отдельности.
Для формулировки начальных условий следует вспомнить, что
угловые перемещения и скорости измеряются относительно положе-
ний и скоростей, соответствующих динамическому равновесию.
Начальные условия имеют вид
^(0) = °; 4-D (0)_ш(-1)(0) = 0.
ш2(о) = о;	v
§ 25. Вращающаяся система с двумя степенями свободы
и с внутренней связью через момент инерции
Три коротких вращающихся вала (фиг. 38, а) соединены между
-собой с помощью дифференциала (фиг. 38, &), который устроен так,
что валик № 3 вращается со скоростью, в г раз большей разности
угловых скоростей валиков № 1 и № 2. Моменты инерции валиков
§ 25]
ВРАЩАЮЩАЯСЯ СИСТЕМА С ВНУТРЕННЕЙ СВЯЗЬЮ
91
вместе с насаженными на них коническими зубчатыми колёсами
равны соответственно Ja, Jc- Внешние вращающие моменты,
приложенные к валикам, "равны соответственно (/), т2 (t) и (t).
Составим уравнения движения этой системы.
Пусть (о2 и а>3 означают соответственно угловые скорости
валиков; их положительные направления указаны стрелками. Обозна-
чим (для удобства составления уравнений) — эквивалентный
момент нагрузки, приложенный к валу № 1 со стороны дифферен-
циала. С другой стороны, реакция xd явится тем вращающим
моментом, который приложен через дифференциал к валикам № 2
и № 3 со стороны валика № 1. Рассматривая детали конструкции
дифференциала (фиг. 38, Ь), нетрудно заметить, что передаточные
Фиг. 38. Три валика, соединённые между собой при
помощи дифференциала. Детали устройства диффе-
ренциала изображены на фиг. 38, Ъ.
отношения подобраны так, что при <о3 = 0 <^/0)2=1, что при
<о2 = О oog/oji = г и что при — 0 <о3/(о2= — г. Эти соотношения
являются частными следствиями из общего соотношения
o)3==r (coj—<о2).	(2.67)
Применив второй закон Ньютона по очереди ко всем трём валам,
получим три уравнения движения системы;
	г deni da~ =1:1—' Zd>	(2.68)
		(2.69)
	т *«>3	 _ I 'а	(2.70)
Исключив из	уравнений (2.68) и (2.70), получим: Т	1 Л. Т		' «Г	(2.71)
Исключив из	уравнений (2.69) и (2.70), получим: -г dufo	т tZco>	(2.72)
92
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ
[ГЛ. II
Если теперь исключить угловую скорость ш3 с помощью соот-
ношения (2.67), то взамен уравнений (2.71) и (2.72) получим:
~ ' “S + № + Л'-’ “я “ - "=
(2.73)
а)	Ь)
Уравнения (2.73) можно рассматривать как уравнения движения
системы с двумя степенями свободы, состоящей из двух вращаю-
щихся тел; движения этих тел связаны между собой через пара-
метр r2Jc, который может быть назван взаимным моментом инерции.
Другими словами, дифференциальный механизм является техниче-
ским средством осуществления дина-
мической связи посредством взаим-
ного момента инерции.
Если обозначить взаимный момент
инерции то в этом примере Jm—
= r2Jc. В схеме механической цепи
взаимный момент инерции может быть
показан в виде трёхполюсника (фиг.
39, а). Другая возможная форма сим-
вола взаимного момента инерции, по-
казывающая его зависимость от от-
ношения г: 1 и от момента инерции
третьего тела Jc, изображена на фи-
гуре 39, &.
Определение понятия взаимного момента инерции может быть
получено из уравнений (2.73). Если т3 = 0, т. е. если вал № 3
может вращаться совершенно свободно и если к валу № 1 приложен
достаточно большой вращающий момент способный поддерживать
скорость вращения вала № 1 постоянной, в то время как валу № 2
сообщается ускорение , тогда
(It
Фиг. 39; Условные обозначе-
ния взаимного момента инер-
ции в схемах цепей враща-
тельных механических систем.
-г __ I
—
Таким образом, взаимный момент инерции Jm численно равен
моменту Тр который должен быть приложен к валу Xs 1 для того,
чтобы воспрепятствовать его ускоренному вращению, когда
валу № 2 сообщается угловое ускорение = 1 и когда вал № 3
вращается совершенно свободно.
Аналогично можно определить взаимный момент инерции Jm
из отношения
=	(2.74')
§ 25]
ВРАЩАЮЩАЯСЯ СИСТЕМА О ВНУТРЕННЕЙ СВЯЗЬЮ
93
Фиг. 40. Схема цепи для
механической системы,
изображённой на фиг. 38.
если предположить, что в уравнениях (2.73)	— и т3 = 0.
Таким образом, взаимный момент инерции Jm численно равен
также моменту т2, который должен быть приложен к валу № 2 для
того, чтобы воспрепятствовать его ускоренному вращению, когда
валу № 1 сообщается угловое ускоре-
ние • = 1 и когда вал № 3 вращается
совершенно свободно.
Схема механической цепи этой системы
изображена на фиг. 40. Электрический ана-
лог, построенный по принципу при-
ведён на фиг. 41, а, а построенный по
принципу и — т — на фиг. 41, &.
В рассуждениях, приведённых выше,
предполагалось, что т2 и т3 являются
внешними вращающими моментами. Это по-
зволило построить для дифференциального
механизма эквивалентную механическую
цепь. В более общем виде можно утверждать, что моменты т2
и т3 создаются различными сочетаниями активных и пассивных
элементов механической цепи.*
ri-
(а)	(Ь)
Фиг. 41. Электрические аналоги механической системы, изо-
бражённой нафиг.38, построенные по методам: a) Ъ)
В таблице VIII приведена сводка, в которой сопоставлены кон-
турный и узловой методы составления и анализа уравнений для
механических цепей, соответствующих вращающимся системам.
’ Эта таблица составлена по той же единой схеме, что и таблица VII
для механических систем, движущихся поступательно, и таблица IV
для электрических цепей. Сравнение этих таблиц подтверждает
существование аналогии между цепями, построенными для механи-
ческих и электрических систем.
В таблице V указаны правила замены источников одного вида
источниками другого вида во вращающихся системах, при которых
сохраняются условия на полюсах.
Т а б л и ц a VIII	<£>
Механические цепи с вращательным движением
Сравнение контурного и углового методов исследовангья
	Метод контуров		Символ	Метод узлов	
1	Указывает на- правление угловой скорости, когда значение <о(/) поло- жительно	Угловая скорость	Источник	Момент	Указывает напра- вление момента, когда значение т (t) положительно
		V  Инверсное, кру- тильное сопроти- вление	Сток (тепловой)	Вг Крутильное со- противление	= Br®J3
2		г;1 Крутильная гиб- кость	Резервуар потен- циальной энергии	Кг Крутильная жёст- кость	zk J* dt
	1 J" •	J-1 Инверсный мо- мент инерции	Резервуар кинети- ческой энергии (только собственный момент инерции)	Момент инерции	TdmJ
					
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. II
3	j""1—-	^2 = —й— 2 ^-4 ~-1 _ Лд Т Т. Т2	J11 Инверсный мо- мент инерции ва- ла 7, когда вал 2 свободен Л-1 Инверсный мо- мент инерции ва- ла 2, когда вал 1 свободен Инверсный вза- имный момент инер- ции	Ц? •	^b " , |J или J?. 'HCbOvaOH Резервуар кинетиче- ской энергии (с учётом собственного и взаим- ного моментов инерции)	Момент инерции вала 1, когда вал 2 закреплён Момент инерции вала 2, когда вал 1 закреплён Jm Взаимный момент инерции	<Г1 = «Га + «Гт <ГП1 == Г^ТQ
4	—	1 = е— тг -j- s Число независи- мых геометриче- ских контуров	— .	пр = п — S Число независи- мых пар геометри- ческих узлов	За начало отсчё- та принимается не- подвижный или вра- щающийся узел
б	Необходимое чи- сло уравнений, со- ставляемых по принципу контуров	пх = 1 — 0)8 Число неизвест- ных контурных мо- ментов		 —	^<0 ~ П%)	 ^8 Число неизвест- ных узловых угло- вых скоростей	Необходимое чи- сло уравнений, со- ставляемых по принципу узлов
6	Увеличение угло- вой скорости счи- тается положитель- ным	По замкнутому контуру 2 O)fc (t) = 0	' ।	В каждом узле пк 2 ъ =° 7й=1	’ (Начало Даламбера)	Момент, направлен- ный в положитель- ную сторону отсчё- та 0 (t), для данного узла считается по- ложительным
Пояснения к разделам таблицы: 1. Активные элементы. 2. Пассивные элементы. 3. Взаимный
момент инерции (схематическое изображение дифференциала). 4. Независимые контуры и пары узлов в геометри-
ческой схеме. Необходимое число зависимых переменных. 6. Применённый закон зяехацикщ
§ 25] ВРАЩАЮЩАЯСЯ СИСТЕМА С ВНУТРЕННЕЙ СВЯЗЬЮ
о
'96
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. II
§ 26. Система с одной степенью свободы, совершающая
комбинированное поступательно-вращательное движение
В предыдущих параграфах рассматривались системы, совершаю-
щие либо только поступательное, либо только вращательное движе-
лие! В этом и в следующем параграфах будут рассмотрены две
сравнительно простые системы, совершающие комбинированное посту-
пательно-вращательное движение.
На фиг. 42, а изображены основные детали сейсмографа, слу-
жащего для измерения прямолинейных колебаний с помощью вра-
щающейся механической системы. Этот прибор состоит из рамы,
поддерживающей маятник, качания которого могут происходить
только в плоскости рамы. Рама устанавливается в вертикальной
плоскости и прикрепляется к тому телу, колебания которого тре-
Фиг. 42. Механическая 'система с одной степенью свободы, совер-
шающая комбинированное поступательно-вращательное движение.
буется измерить. Она совершает те же вертикальные перемещения,
что и это тело.
Масса маятника равна М. Его центр тяжести (точка С,
•фиг. 42, Ъ) расположен на расстоянии I от оси подвеса, а его радиус
инерции (гироскопический радиус) относительно горизонтальной оси,
перпендикулярной к плоскости качания маятника и проходящей
через его центр тяжести, равен h. Спиральная пружина с крутиль-
ной жёсткостью Кг стремится удерживать маятник в горизонталь-
ном положении. Качания маятника (т. е. его угловые перемещения
относительно рамы) демпфируются вязким трением, величина кото-
рого характеризуется крутильным сопротивлением Вг.
Допустим, что в момент t — 0 рама выходит из состояния покоя
и совершает вертикальное перемещение уо(О- Перемещение вверх
будет считаться положительным. В начальный момент времени
маятник покоится относительно рамы. Уравнение прямолинейного
движения центра тяжести маятника относительно рамы будет напи-
сано в предположении, что амплитуда его угловых перемещений
мала.
На фиг. 42, Ь схематически показан тот же маятник в откло-
нённом положении. Перемещение оси подвеса по вертикали уо(0
отсчитывается по отношению к неподвижной системе координат. Угло-
вое перемещение оси маятника по отношению к раме обозначено
§ 26]	Система о одйой отененью свободы	97
0 (Л; линейное перемещение центра тяжести по отношению к раме
равно Так как угловое перемещение мало, можно считать,
что
ух (Л = I sin 0 <0 asZ0 (Д
Если маятник совершил относительное угловое перемещение 0
и обладает относительной угловой скоростью , приращение момента,
(20
с которым рама действует на маятник, равно 2ГГ0 -{- Вг . Эта
величина может быть заменена эквивалентным моментом lf%, созда-
ваемым парой сил /д, приложенных к центру инерции и к оси вра-
щения маятника. Если рама к тому же получила собственное вер-
тикальное ускорение, то появляется добавочная сила приложен-
ная к оси вращения маятника.
Маятник совершает плоскопараллельное движение, которое может
рассматриваться как составное движение: оно состоит из 1) посту-
пательного движения, при котором все точки движутся так же, как
центр тяжести, и 2) вращательного движения вокруг оси, проходя-
щей через центр тяжести перпендикулярно к плоскости движения.
Иными словами, поступательное и вращательное движения могут
рассматриваться отдельно.
Рассмотрим в первую очередь поступательное движение без вра-
щения. Абсолютное перемещение центра тяжести равно у0Ч~У1-
Оно подчиняется уравнению
М .^(Уо+уО = fa + fi_ fs = л	(2.74)
Так как углы отклонения маятника от горизонтального положе-
ния малы, то можно считать все приложенные к нему внешние
силы вертикальными силами.
Рассмотрим теперь вращательное движение маятника относи-
тельно оси, проходящей через его центр тяжести при отсутствии
поступательного движения. Так как момент инерции маятника отно-
сительно этой оси равен Л/fe2, то можно написать:
(2-75)
После замены lf% и lf\ получим:
=	+ вг g) - IM d2(y;+yi).	(2.76)
Замена 0 через у JI и M (A2-f-Z2) через J даёт:
Z2	fi dt ' fi	ш dfi '
7 Зак. 1977. M. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.

СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. II
В уравнение (2.77) входит величина J = М (h2-\-l2), являю-
щаяся моментом инерции маятника относительно поперечной гори-
зонтальной оси, проходящей через его точку подвеса. Эта величина
состоит из суммы момента инерции относительно оси, проходящей
через центр тяжести Mh2, и члена Ml2, равного произведению массы
маятника на квадрат расстояния между этими
двумя осями.
Уравнение (2.77) является уравнением пря-
молинейного движения. Постоянные коэффи-
циенты, входящие в это уравнение, получены
путём деления постоянных J, Вг и Кг, харак-
терных для вращательного движения, на I2,
благодаря чему их размерности оказались
Фиг. 43. Система с
поступательным дви- равными размерностям соответствующих
жением, эквивалент- постоянных, характерных для поступатель-
НжённойТТа%иг°^а” ного Движения- Поступательно движущаяся
женно на <риг. . СИоТема> эквивалентная системе маятника, по-
казана на фиг. 43. Она сходна с поступательно движущейся системой,
разобранной в § 20. Единственное различие между ними заклю-
чается в различном выборе направления положительных переме-
щений.
Так как при t = 0 маятник находился в покое относительно
рамы, начальные условия задачи выражаются равенствами
У1 (0) = 0;
§ 27. Система с двумя степенями свободы, совершающая
комбинированное поступательно-вращательное движение
Жёсткий стержень, изображённый на фиг. 44, а, опёрт по кон-
цам на пружины и подчинён связям, ограничивающим его движе-

а)
Фиг. 44. Механическая система с двумя степенями сво-
боды, совершающая комбинированное поступательно-вра-
щательное движение.
ния колебаниями в вертикальной плоскости. Радиус инерции
стержня, определённый относительно горизонтальной оси, проходя-
щей через его центр тяжести, равен h. Масса стержня равна М.
Жёсткости пружин равны соответственно и JK2. В состоянии
§ 27]	СИСТЕМА С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
99
покоя стержень занимает горизонтальное положение. Демпфирование
системы очень мало, и им можно пренебречь. Стержень выводится из
положения статического равновесия тем, что оба его конца пере-
мещаются вниз на одно и то же расстояние после чего он внезапно
освобождается. Напишем дифференциальные уравнения движения
системы и сформулируем начальные условия.
Освобождённый стержень будет совершать комбинированное дви-
жение, состоящее из поступательных и вращательных колебаний.
Отклонение стержня от его положения равновесия определяется
двумя координатами: вертикальным перемещением его центра
тяжести уоО) и поворотом всего стержня на угол 0(f) против ча-
совой стрелки относительно горизонтальной оси, перпендикулярной
к плоскости вращения и проходящей через его центр тяжести
(фиг. 44, Ъ).
Таким образом, мгновенное положение любой точки стержня
будет определяться двумя координатами yQ(t) и 0(f). Эти две коор-
динаты играют роль неизвестных функций системы.
Отвлечёмся на время от пружин и представши себе, что на концы
стержня действуют две внешние вертикальные силы: f\ (f), напра-
вленная вниз (когда она положительна), и f2 (f), направленная вверх
(когда она положительна).
Применив второй закон Ньютона сначала к поступательному,
а затем к вращательному движению, составим два уравнения дви-
жения
м _______f ___f
м dt* —‘1
(2.78)
Здесь Mh? — момент инерции стержня относительно горизонталь-
ной оси, перпендикулярной к плоскости его движения и проходящей
через центр инерции.
Уравнения (2.78) могут быть переписаны в симметричном виде
после соответствующей замены переменных. Обозначим перемеще-
ния концов стержня относительно их положения равновесия через уг (О
и как указано на фиг. 44, Ь. Тогда
?Л = ?/о+^10; I
оп	(2.79)
^2 = -?/0 + ^- /
Дифференцируя уравнения (2.79) дважды по t и определяя из
них вторые производные 0 и у0> получаем:
Д2е _ 1,/^щ , Л/2\.
dt2 ~ г \dt2 т dt2 )’
d2yo _ 1 /j dfyi J d2y2 \	(2-80>
—<1'Л2"Л
7*
100
СОСТАВЛЕНИИ УРАВНЕНИЙ
[гл. 1Г
Здесь I — + Z2. Подстановка выражений (2.80) в уравнения
(2.78) даёт:
71/Г ^2	-Л/Г ^2  f f .	)
дт 7г2 d2y^ । пуг 7г2 d2y2  if । 1 f \
Л1Т“да“ + жТ 'да' —j
Решение уравнений (2.81) относительно fx и /*2 приводит к двум
симметричным уравнениям
I2 ' dt2	Z2 ’ да —
7 1	12 j2	?2 1 т2 ^2	(2.82)
f 1/Г^ + Л3 Й/2
11 р ’ да z2 ’-да —'2- ,
Уравнения (2.82) превратятся в уравнения движения стержня,
если выразить силы*’/*! и f2 через соответствующие перемещения,
а именно:
/2 ~	^2‘ /
(2.83)
Знаки минус поставлены здесь по следующим причинам: если г/,
представляет собой положительное перемещение, пружина Кг под-
вергается сжатию и действует на левый конец стержня с силой /\,
направленной вверх, т. е. отрицательной. Если же у2 положительно,
т. е. направлено вверх, пружина К2 растягивается и тянет вниз
правый конец стержня с силой f2, которая, таким образом, ста-
новится отрицательной.
Начальные условия выражены равенствами
2/1(0) = ^;	у'(0) = 0;
y2(°)=—ai; ?л<°) = 0-
Уравнения (2.82) описывают поступательное движение системы
с двумя степенями свободы. Внутренние связи системы опреде-
ляются некоторой массой, которую можно назвать взаимной массой.
Таким образом, жёсткий стержень является, физическим средством
осуществления связи с помощью взаимной массы в механической
системе, состоящей из двух тел, движущихся поступательно. Припи-
сывая массы этих тел концам стержня и применяя теорему о соот-
ношении между моментами инерции относительно двух параллель-
ных осей, можно ввести следующие определения и обозначения:
Z2 + Л2 J.
Mr =5 М	— собственная масса, приведённая к концу 2,
когда конец 3 закреплён;
§ 27]	СИСТЕМА С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ	101
“I*	<1.,	г>
2112 == 21/ --р— = -р- — собственная масса, приведённая к концу 2,
когда конец 1 закреплён;
21/.„=н 21/ ^2 —— ВзаИмная масса.
w	№	к
Обозначив скорости концов соответственно и г>2, запишем
уравнения (2.82) в виде
dt ilm dt
, л	(2.84)
__аг JEl _|_ М ^2. f
di -1-^2 dt —/2-
Можно дать определение понятия взаимной массы, основываясь
на уравнениях (2.84). Действительно, так как
2ИТО^-Л/-^ при -^ = 0,
ИЛИ
1 г	1' I dvl
при -^=0,
то взаимная масса Мт численно равна силе, которую необходимо
приложить к первому концу стержня для того, чтобы не допустить
его ускорения, когда ускорение второго конца равно единице.
Взаимная масса численно равна также силе, которую необхо-
димо приложить ко второму концу для того, чтобы не допустить
его ускорения, когда первый конец получает ускорение, равное
единице.
Взаимная масса может быть обнаружена и в определённых мате-
матических соотношениях, относящихся к поведению физического
маятника. Если к какой-либо точке маятника, не. совпадающей
с его центром удара, будет приложен импульс поперечной силы,
удар передастся на его ось подвеса. Представьте себе, что таким
физическим маятником является наш твёрдый стержень, ось подвеса
которого проходит через его первый конец, и что к его второму
концу прикладывается импульс поперечной силы, вызывающий его
ускорение . Сила этого поперечного удара, как показывают вы-
числения, должна быть равна
1
га + ла / 2 й(л
_____it,г д?Уъ
т л ,2
at
102
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. II
Это является следствием того, что
¥	+	1г
1* + ^}	?
лу=__м
Условное обозначение взаимной массы показано на схеме фиг. 45,
уравнения для которой даны выше в виде (2.84).
Фиг. 45. Схема цепи для механической си-
стемы, изображённой на фиг. 44, на которую
действуют внешние приложенные силы. Вза-
имная масса указана особым символом.
Сводка соотношений для жёсткого стержня приведена в третьем
разделе таблицы VII.
§28. Электрические аналоги жёсткого стержня
Жёсткий стержень и рычаг, т. е. стержень с одной неподвиж-
ной точкой, являются весьма распространёнными средствами меха-
нической связи. Существуют такие виды связи между частями элек-
трической цепи, которые являются аналогами стержня и рычага.
Аналог, входящий в систему аналогий, построенную по прин-
ципу может быть найден, если переписать уравнения (2.84),
как уравнения напряжений, а именно:
у (Zt'J у fZlg	е
у (Zlj । у _
(2.85)
Здесь Lm означает взаимную индуктивность (в предыдущих
параграфах она обозначалась М, т. е. так, как теперь обозначена
масса). Эти уравнения являются уравнениями трансформатора без
потерь, схемы которого представлены на фиг. 46, а и 46, Ъ. Анало-
гичные элементы могут быть найдены путём сравнения коэффициен-
тов уравнений (2.84) и (2.85).
Коэффициент связи между двумя контурами, показанными на
схемах фиг. 46, а или 46,6, равен к ^Lm/yL^L^. Аналогично и
стержень, изображённый на фиг, 44, а, обладает определённым коэф-
§ 28]	ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ АНАЛОГИ ЖЁСТКОГО СТЕРЖНЯ	103
фициентом связи. Он может быть найден в результате подстановки
механических постоянных, эквивалентных Lmf Lx и Z2, входящих
в определение коэффициента fc. Эта подстановка даёт:
У2 —7г2
(2.86)
Легко видеть, что & = 0, когда h2 = l}l2, и к = 1, когда Д = 0.
Когда к = 0, стержень может вращаться вокруг любого конца 1 или 2
совершенно свободно. Это означает, что движение точки 2 не
будет вызывать движения точки 1 и наоборот. Условие к — 1 может
быть осуществлено с известной степенью приближения, если сосре-
доточить всю массу стержня в его центре тяжести. В этом случае
система стремится вращаться около своего центра тяжести. Второй
способ обращения к в единицу заключается в том, что неподвижную
Фиг. 46. Электрические аналоги абсолютно жёсткого стержня
с прил' женными к нему внешними силами: схемы а) и Ъ) по-
строены по методу u~f, а схема с)—по методу i~f.

опору стержня помещают в центре тяжести. В этом случае стер-
жень превращается в обыкновенный механизм, служащий для изме-
нения силы. Если трением в опоре можно пренебречь, то аналогом
стержня явится идеальный трансформатор без потерь с током на-
магничивания, равным нулю, и с коэффициентом связи, равным
единице.
Аналог, входящий в систему аналогий, построенных по прин-
ципу I'*—Л может быть найден, если переписать уравнения (2.84)
в форме уравнений токов:
z~y	__j .
dt dt1'	,	
, л	(2-87)
dt “Iе2 dt
104	СОСТАВЛЕНИИ УРАВНЕНИЙ	[гл. II
Здесь напряжения между узлами иг и и2 играют роль зависимых
переменных, аналогичных скоростям и «2. Электрическая цепь,
описанная уравнениями (2.87), показана на фиг. 46, с. Сравнение
коэффициентов в уравнениях (2.87) и (2.84) позволяет найти ана-
логичные элементы обеих цепей. Цепь, изображённая на фиг. 46, с,
топологически не отличается от механической цепи, изображённой
на фиг. 45, и вместе с тем топологически дуальна цепи, изобра-
жённой на фиг. 46, Ъ.
В. ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ
ПОСТОЯННЫМИ
Рассмотрев правила составления уравнений" для электрических
и механических систем в отдельности, обратимся теперь к электро-
механическим системам. В этом случае вопросы целесообразного
выбора переменных, систем отсчёта и единиц измерения приобре-
тают исключительно важное значение.
§ 29. Сочетание одноконтурной электрической системы
и механической системы с одной степенью свободы
На фиг. 47 изображена простейшая электромеханическая система,
служащая для преобразования электрической энергии в механиче-
скую энергию прямолинейного движения. Якорь, обладающий_мас-
Фиг. 47. Одноконтурная электромеханическая система
с одной степенью свободы.
сой М, опирается на пружину, обладающую жёсткостью К, и снаб-
жён катушкой, состоящей из N витков, расположенных в радиальном
магнитном поле цилиндрического постоянного магнита с концен-
трическими полюсами. Магнитная индукция в зазоре равна р.
Свободному перемещению якоря препятствует демпфер, характери-
зующийся механическим сопротивлением В. Средний радиус витков
цилиндрической катушки равен г. Сопротивление катушки равно
а индуктивность—Д. В момент времени f = 0 произошло вклю-
§ 29] ОДНОКОНТУРНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ ОИОТЕМА	105
чение катушки, вследствие чего к её зажимам оказалось, приложен-
ным напряжение w0(Z). В этот момент якорь был в покое в поло-
жении равновесия. Требуется составить уравнения для описанной
электромеханической системы.
Система состоит из двух частей: электрической одноконтурной
и механической с одной степенью свободы. Обозначим перемещение
якоря из его положения равновесия x(t), а ток в катушке i(t).
Направление тока в контуре (см. фиг. 47, Ъ) должно быть согла-
совано с направлением тока в витках катушки. Допустим, что это
направление, принимаемое за положительное, указано точками и кре-
стиками, проставленными в сечениях витков катушки (см. фиг. 47, а).
На основании второго закона Кирхгофа можно написать уравне-
ние для электрической цепи в виде
+	=	(2.88)
Здесь U = Назовём постоянную величину U электро-
механическим коэффициентом связи. Произведение предста-
вляет электродвижущую силу, возбуждаемую в катушке во время
её поступательного движения по направлению, перпендикулярному
к линиям индукции магнитного поля. Когда скорость^ положительна,
катушка движется вниз. Полярность этой возбуждённой электро-
движущей силы такова, что она создаёт падение потенциала по
направлению, указанному стрелкой. По этой причине перед U —
поставлен знак плюс.
Второе уравнение для механической части системы записывается
на основании второго закона Ньютона:
М^ = -Кх —	(2.89)
at*	at 1	4	'
Постоянная U, входящая в это уравнение, представляет тот
же коэффициент электромеханической связи, который вошёл в урав-
нение (2.88). Кроме того, здесь предполагается, что постоян-
ные и переменные величины, фигурирующие в обоих уравнениях,
измеряются в единицах какой-нибудь единой системы единиц, на-
пример: системы «метр-килограмм-секунда» (практическая система)
или системы «сантиметр-грам а -секунда» (абсолютная электромагнит-
ная система) и т. п. Это позволяет исключить из уравнений все
безразмерные множители, как, например, положительные и отри-
цательные степени 10.
Проводники, из которых состоит катушка, расположены почти
перпендикулярно к линиям индукции магнитного поля. Поэтому на
них действует суммарная сила, равная Ui. Когда ток положителен,
106
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. II
на катушку действует сила, направленная вниз. Эта сила сообщает
якорю положительное ускорение. Поэтому перед членом Ui в урав-
нении (2.89) поставлен знак плюс.
Когда х положительно, пружина сжата и давит с силой Кх,
действующей вверх, т. е. сообщает якорю отрицательное ускорение.
Если скорость положительна, якорь движется вниз, а сила тре-
ния направлена вверх, стремясь сообщить якорю отрицательное
ускорение. Поэтому в уравнении (2.89) перед членом поста-
влен знак минус.
Начальные условия системы записываются равенствами
<о) = о; ,(0) = 0;
§ 30. Чисто электрический и чисто механический аналоги
электромеханической системы
Механическая часть электромеханической системы, рассмотрен-
ной в § 29, может быть заменена эквивалентной электрической
цепью. Ввиду того, что эта эквивалентная электрическая цепь
должна вести себя как составная часть единой электрической системы,
содержащей катушку, ток которой должен быть равен действи-
тельному току заданной комбинированной электромеханической си-
стемы, числовые значения постоянных коэффициентов эквивалентной
цепи должны быть подобраны надлежащим образом.
В первую очередь следует переписать уравнения (2.88) и (2.89),
придав им симметричную форму:
=	(2.90)
Обозначим произведение U , имеющее размерность напря-
жения и являющееся возбуждённой электродвижущей силой, бук-
вой и:
Тогда уравнения (2.90) и (2.91) примут вид
Li^ + Rii = u0(t) — и-	(2.92)
Cut
Г* 1R “Ь 7Г2 “Ь $ J м ~ i"	(2.93)
§ 30] ЧИСТО ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ И ЧИСТО МЕХАНИЧЕСКИЙ АНАЛОГИ 107
Уравнение (2.93) показывает, что множитель, связывающий
механические постоянные М, В и К с электрическими постоян-
ными С, G и Г, выраженными в одной и той же единой системе
единиц, равен (7~2. При этом получаются следующие эквивалент-
ные электрические постоянные:
ГУ _ . ГУ _____, В t	. К
Таким образом, получена чисто электрическая цепь, которая
описывается двумя уравнениями:
(2.94)
GTt + Gu~^r \ ndt==i-	(2-95)
Схема соответствующей электрической цепи изображена на фиг. 48, а.
Эта цепь представляет собой чисто электрический аналог рассмо-
G)	ь)
Фиг. 48. Чисто электрические аналоги электромеханической
системы, изображённой на фиг. 47, построенные по методу i~f.
тренной электромеханической системы, построенный по принципу
i ~f. Если в этой цепи произвести замену источника напряжения
эквивалентным источником тока
(см. таблицу IV), получится цепь,
изображённая на фиг. 48, &.
При желании построить чи-
сто механический аналог задан-
ной электромеханической си-
стемы можно воспользоваться
либо аналитическим методом,
базирующимся на уравнениях
(2.92) и (2.93), либо графиче-
ским приёмом, применив его к
схеме электрической цепи фиг.
48, Ь. Если воспользоваться при. этом системой аналогий, осно-
ванной на принципе f~i, получится схема механической цепи,
изображённая на фиг. 49.
Соотношения между аналогичными электрическими и механиче-
скими постоянными могут быть получены без особого труда,
но с учётом следующих положений:
\к
Фиг. 49. Чисто механический аналог
электромеханической системы, изо-
бражённой на фиг. 47, построенный
по методу f^i.
?IQ ф5'
108	СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. II
1. Механическая часть системы создаёт в её электрической
части напряжения (эдс) и = Uv.
2. Электрическая часть системы создаёт в её механической
части силу f = Ui.
Так, например, соотношение между В и В может быть найдено
из электрического уравнения
г — Gu
путём замены г и и по формулам
f
г = -~ и и = Uv.
Получается новое уравнение
= GUv,
откуда
В = ^ = U2G = ^-.
v	R
Более того, при использовании какой-либо единой системы еди-
ниц для измерения как электрических, так и механических вели-
чин размерность произведения U2G равна размерности В.
Точно так же можно показать, что
К=и*Г и М=1РС.
§ 31. Заключение *)
В этой главе были даны указания относительно выбора переменных
и систем отсчёта в одномерных электрических и механических
системах, сформулированы интегро-дифференциальные уравнения
для электрических цепей, показана принципиальная возможность
применения двух методов составления уравнений: метода контур-
ных токов и метода узловых напряжений, и указана относительная
целесообразность применения того или иного метода в каждом
конкретном случае.
Кроме того, было показано, как формулируются дифференциальные
уравнения для механических систем, движущихся поступательно,
вращательно или совершающих комбинированное движение, и
были показаны принципы, построения электрических аналогов для
этих систем. В заключение была рассмотрена в качестве примера
одна электромеханическая система, для которой составлены диф-
ференциальные уравнения, описывающие её поведение, и показаны
её чисто электрический и чисто механический аналоги**).
*) Задачи к главе II с решениями, составленными П. И. Зубковым,
помещены в конце книги (см. приложение переводчика II). (Прим, ред.)
**) Подробнее см. приложение переводчика I, §§ 4, 5 и 6.
ГЛАВА III
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРЯМОГО И ОБРАТНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
В предыдущей главе была рассмотрена методика составления
обыкновенных линейных интегро-дифференциальных уравнений,
решение которых упрощается методом преобразования Лапласа.
В настоящей главе излагается сущность метода прямого и обрат-
ного преобразований Лапласа, применяемого для решения уравне-
ний этого типа и некоторых других, о которых будет сказано
ниже.
§ 1. Аналогия между методом логарифмирования
и методом преобразования Лапласа
Логарифмирование является одним из наиболее широко извест-
ных и простейшим методом преобразования. То, что логарифмиро-
вание может рассматриваться как один из методов преобразования,
легко показать на примере перемно-
жения двух чисел.
Один из способов отыскания про-
изведения двух чисел заключается, как
известно, в применении таблицы ло-
гарифмов. Такая таблица в простейшем
виде (см. таблицу IX) состоит из со-
вокупности пар чисел, расположенных
в двух столбцах. Перемножаемые числа
помещены в левом столбце под назва-
нием «оригиналы». В правом столбце
под названием «изображения» поме-
Таблица IX
Оригиналы и логарифмические
изображения чисел
Оригинал	Изображение
1	0
10	1
100	2
щены числа, полученные из первых
в результате некоторого определённого преобразования. В данном
случае преобразование заключается в том, что каждое число — ори-
гинал— выражается в виде определённой степени числа 10. Показа-
тель этой степени или логарифм оригинала представляет собой его
изображение. Само преобразование носит название логарифмирова-
ния.
110	ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [г.Т. Ш
Если столбцы расположены так, как в таблице IX, результат
логарифмического преобразования может быть получен следующим
приёмом. От оригинала, помещённого в левом столбце, переходят
к его изображению, помещённому в той же строке в правом
столбце. Когда этой же таблицей пользуются в обратном порядке,
то соответствующее преобразование называют обратным лога-
рифмическим преобразованием в отличие от указанного выше, кото-
рое можно назвать прямым преобразованием.
С помощью этой терминологии можно описать общеизвестный
приём отыскания произведения двух чисел следующим образом.
Применяя прямое преобразование, т. е. переходя от левого столбца
к правому столбцу более полной таблицы, аналогичной таблице IX,
находят изображения заданных сомножителей. Затем эти изображе-
ния складывают для нахождения промежуточного результата. Нако-
нец, к промежуточному результату применяют обратное преобразо-
вание, т. е. читают таблицу справа налево. Число, соответствующее
промежуточному результату, является окончательным результатом
умножения.
Это общеизвестное применение логарифмического преобразова-
ния служит дня упрощения операции умножения. Упрощение дости-
гается вследствие того, что операция умножения заменяется
с помощью таблицы преобразования более простой операцией
сложения. Равным образом операция сложения может быть заме-
нена операцией умножения, если воспользоваться таблицей лога-
рифмов сначала справа налево, а затем слева направо. Однако
к этому приёму не прибегают, так как он не упрощает, а услож-
няет операцию сложения.
Метод логарифмического преобразования упрощает решение
арифметических задач: так, он позволяет заменять операции умно-
жения, деления, возведения в степень и извлечения корня более
простыми операциями сложения, вычитания, умножения и деления.
Аналогично метод преобразования Лапласа применяется для
упрощения решения линейных интегро-дифференциальных уравне-
ний с постоянными коэффициентами и уравнений некоторых других
типов. Применение прямого преобразования к заданному уравнению
и начальным условиям задачи приводит к более простому уравне-
нию, которое является по существу уже не интегро-дифферен-
циальным, а алгебраическим уравнением. Это более простое урав-
нение решается относительно некоторой промежуточной функции,
по которой затем отыскивается необходимое решение заданного
уравнения с помощью обратного преобразования Лапласа. Оба
преобразования, прямое и обратное, на практике выполняются с по-
мощью соответствующей таблицы, которой пользуются как слева
направо, так и справа налево.
Как будет показано ниже, существуют некоторые принципиаль-
ные различия между логарифмическим преобразованием и преобра-
§ 2]	ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И АПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	111
зованием Лапласа. Одно из них заключается в следующем: лога-
рифмирование применяется для преобразования чисел, а преобразо-
вание Лапласа — для преобразования функций. Однако их основные
приёмы вполне аналогичны, так как общее важное свойство обоих
преобразований заключается в том, что они преобразуют опреде-
лённые операции в другие — более простые. Это свойство является
основным мотивом их применения.
Лица, ещё не знакомые с прямым и обратным преобразованиями
Лапласа, познакомятся с ними в этой главе в порядке их сравне-
ния с рядами и интегралами Фурье. Такой порядок изложения вы-
бран по той причине, что интересующиеся методом преобразования
Лапласа часто имеют некоторое предварительное знакомство с тео-
рией рядов Фурье. Преобразование с помощью интеграла Фурье
является естественным развитием метода разложения в ряд Фурье,
а преобразование Лапласа является своего рода обобщением метода
интеграла Фурье. Другой причиной, по которой был выбран этот
порядок изложения, является то, что он даёт возможность сопоста-
вить методы интеграла Фурье и интеграла Лапласа, а такое сопо-
ставление интересно безотносительно к порядку изложения.
§ 2. Периодические и апериодические функции
В первую очередь необходимо установить различие между поня-
тиями периодической и апериодической функций. Функция f(t)
вещественной переменной t называется периодической функцией
с периодом Т, если существует такое вещественное число Т, для
которого	— при всех значениях t, заключающихся
в интервале —оо<£<оо. Функция вещественной переменной t,
не удовлетворяющая этому условию, называется апериодической.
Так, например, если а, Ъ и Т—вещественные числа, то функция
f (7) == a cos у1 + b sin -у t, — оо < t < оо,
представляет собой периодическую функцию с периодом Т и угло-
вой частотой у.
С другой стороны, функция /*(/), определяемая уравнениями
[ 0	при I < О,
2те . 1 7 . 2тс .
a cos у t -j- Ъ sm — t при t > О,
является апериодической функцией. Нетрудно видеть, что функ-
ция f(t) остаётся неопределённой в точке разрыва. То же будет
относиться и к другим разрывным функциям, которые будут рас-
сматриваться ниже. Основания для этого будут изложены в гла-
ве IV, § 7. Буква t принята для обозначения независимой веще-
ственной переменной, так как в приложениях этой переменной
112	ВЙЁДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРЕОБРАЗОВАНЬЯ ЛАПЛАОА (ГЛ. tit
обычно является время. Однако можно считать, что этим символом
обозначена любая независимая вещественная переменная, например,
какая-либо пространственная координата.
Периодическая функция в вышеприведённом примере является
гармонической функцией. Она может быть записана как косинусоида
с некоторым начальным фазовым углом, т. е. в виде
/’(<) = Лсо8(-^« + ф),
где	______
Л = _]/а2 - j- &2> ф = arc tg (—	,
или в виде суммы двух комплексных показательных функций:
f (t) = A cos (^- + ф) = 4 V т +	) =
, z . 2rc	. 2л .
==±-(Ает -\-Ае 3 т ); ;=/— 1. (3.1)
Множители А — Ае^ и А — Ае~^ являются сопряжёнными ком-
плексными амплитудами соответствующих показательных функ-
ций выражающих f(t), а ±=ф— углы, соответствующие началь-
ным фазам этих функций, отсчитываемым от некоторой выбранной
оси отсчёта. Заметим, что множитель 2^/Т, фигурирующий
под знаком косинуса, переходит в показатели обеих показатель-
ных функций с положительным и соответственно с отрицательным
знаками. Эти экспоненты, являющиеся комплексными функциями
вещественной переменной t, по отдельности не допускают физиче-
ского толкования. Несмотря на это, они лежат в основе общеиз-
вестного векторного метода представления синусоидальных функций.
В расчётах установившихся режимов общепринято применять ком-
плексные числа взамен синусоидальных функций. Замена косинусои-
дальной функции A cos 1 -j- ф) комплексным числом А является
в известном смысле этого слова функциональным преобразованием.
Это преобразование может быть записано символическим уравне-
нием g	а обратное преобразование—уравнением g-1 [2] =
= f (t). Периодические функции заменяются комплексными числами
потому, что операции сложения, вычитания, умножения и деле-
ния выполняются над комплексными числами проще, чем над
периодическими функциями.
у	„	3 гр
В связи с введением комплексных функций вида е 1 возни-
кает необходимость в рассмотрении функций комплексных перемен-
ных и комплексных функций вещественных переменных. Такие
функции рассмотрены в следующей главе.
§ 3]
РЯДЫ ФУРЬЕ
113
§ 3. Ряды Фурье
Рассмотрим периодическую, но не синусоидальную функцию f (t).
часть такой функции. При известных
На фиг. 50 представлена
условиях эта функция мо-
жет быть разложена в ряд
Фурье, который сходится
во всех точках, в кото-
рых функция непрерывна.
Ряд Фурье, представляющий
заданную периодическую
функцию f (i) с периодом Т,
записывается в обычной
тригонометрической форме
fit)-
Фиг. 50.
Периодическая несинусоидаль-
ная функция.
следующим образом:
(3.2)
п=1
где п— целое положительное число. Коэффициенты ряда вычисляются
по формулам
т
3
f f(t) dt,
__/т_
2
2
f (t) cos t dt,
_T_
2
T
2
aos
(3.3)
—
ъп— J ft*)sin *dt-
2
В уравнении (3.2) символ (==) означает «равно почти везде».
Термин «почти везде» представляет собой точное математическое
выражение, означающее «везде, за исключением совокупности точек
(в данном случае представляющих значения t), которые могут быть
покрыты совокупностью прямолинейных отрезков, сумма длин кото-
рых может быть сделана сколь угодно малой». Такая совокупность
может содержать бесконечно большое число точек. Понятие «равно
почти везде» включает в себя, в частности, понятие «равно во
всех точках, в которых функция непрерывна».
Множитель 1/f, обычно включаемый в формулы (3.3), служащие
для вычисления коэффициентов а0, ап и Ъп, здесь вынесен из
8 Зак. 1977. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
114	ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. lit
этих коэффициентов и явно введён в уравнение (2.2) для того,
чтобы облегчить те сравнения и сопоставления, которые будут при-
ведены ниже, в §§ 4 и 6.
Условия возможности представления функции рядом Фурье, упо-
мянутые в начале этого параграфа, обеспечивают сходимость инте-
гралов в выражениях (3.3), служащих для вычисления коэффициен-
тов ряда, и сходимость ряда (3.2), сумма членов которого стремится
к fit). Иными словами, вычисление коэффициентов и суммы членов
ряда должно быть выполнимо, а эта сумма должна стремиться к зна-
чению функции f(t) во всех точках, где функция непрерывна.
Ряд, записанный в виде (3.2), может быть представлен более
компактно в комплексно-показательной форме, что часто удобнее
на практике. Для перехода к этой * новой форме записи следует
заменить в уравнении (3.2) каждую пару членов, соответствующих
одной и той же частоте, суммой двух степеней числа е с мнимыми
показателями, как указывалось выше применительно к косинусои-
дальной функции. Так, например, для любой пары функций, стоя-
щих в уравнении (3.2) под знаком суммы, можно написать:
апcos-у- £ + bnsin -у-1 =
. 2пп	. 2кп
Уравнения (3.3) и формулы Эйлера дают:
т
. J /‘(0 е 3 т dt^F^y,
__'т_
2
Т
F	л.
*n-\-3bn= yf(t)e3T dt^F(-^y
_т_
-г-»	2кп
Введя для угловой частоты обозначение -у = со, можно
сать выражение, стоящее под знаком суммы в уравнении
в виде
(3.4)
запи-
(3.2),
ап cos t + bn sin 1 = [F (ш)	-f- F (— <о) e~Jw].
Здесь F(w) и F(—<о) являются двумя сопряжёнными коэф-
фициентами комплексных амплитуд. Они названы здесь «коэффи-
циентами», так как сами по себе они могут служить лишь для
суждения об относительных величинах модулей и о фазах ком-
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
115
§ 4]
плексных амплитуд, значения которых могут быть получены путём
умножения вычисленных здесь амплитудных коэффициентов на 2/2'.
Если ряд значений, пробегаемых индексом п, по которому про-
изводится суммирование, будет расширен так, чтобы в него вошли
также нуль и целые отрицательные числа, то из уравнений (3.4)
будет следовать, что F(O) = ao и что ряд (3.2) может быть запи-
сан в виде
ю = оо
/(0Ну2 F(«)^.	(3.5)
ш=—со
Но 1/7’=®/2я». Поэтому уравнение (3.5) может быть записано
также в виде
<О±=ОО
- ОО
а уравнение (3.4) — в виде
т
F(<o) =	f	(3.7)
2
Следует отметить, что в этой форме нам удалось обойтись одной
суммой (3.6) и одним коэффициентом (3.7). Уравнения (3.7) и (3.6)
выражают функциональные преобразования и могут быть записаны
в виде
Ss[/,(0]=^(«);	(3.7')
871 [*»](=) /’(О-	(з.б')
Уравнение (3.7) служит для перехода от вещественной функции
переменного t к комплексной функции переменного <о, алгебраи-
ческие операции над которой выполняются проще, чем над первой.
Таким путём удаётся распространить те преимущества, которые
даёт переход от простой синусоидальной функции к её изображе-
нию— комплексному числу (см. конец § 2), на сложные периодиче-
ские функции.
§ 4. Преобразование Фурье
Выше рассматривались только периодические функции. Перейдём
к рассмотрению апериодических функций. Пример такой функции
приведён на фиг. 51.
Апериодическая функция при известных условиях также может
быть представлена в некотором конечном интервале значений
8*
116
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. III
независимой переменной рядом Фурье, сходящимся почти везде*).
Начало координат может быть выбрано, как это сделано на фиг. 51,
посредине заданного интервала, так что его концам могут быть
т т
приписаны значения t, соответственно равные — v и -к-. Этот
интервал принимается равным периоду Т некоторой искусственно
образованной периодической функции, форма которой повторяется
на всех равных интервалах, расположенных справа и слева от
Т ,, Т
заданного интервала — — < £	.
л	j
Разложение такой искусственно образованной периодической
функции в ряд Фурье даёт ряд, который, вообще говоря, будет
f хч	сходиться к функции f(0
/ \ W	только в заданном интер-
/	\	/~\	вале, если коэффициенты
_______>	\	/	\ Z' этого ряда будут вычислены
-f " fV 7	? по значениям функции f (0
\J	в этом же интервале..
I	Применяя этот метод ис-
Фиг. 51. Апериодическая функция. следования, рассмотрим та-
кую апериодическую функ-
цию, которая может быть представлена на каждом конечном интер-
вале почти везде сходящимся рядом Фурье.
В связи с этим можно поставить два вопроса:
1) Во что превращается ряд Фурье, представляющий заданную
функцию в некотором конечном интервале изменения её аргумента,
когда этот интервал расширяется в обе стороны до бесконечности?
2) Во что превращаются интегралы, служащие для вычисления
коэффициентов ряда?
Ответы на эти вопросы таковы:
1) Если наложить некоторые дополнительные ограничения на
рост функций при | £ | — оо, то сумма членов ряда формально
превращается в интеграл
со
(3.8)
—оо
называемый интегралом Фурье.
2) Ряд дискретных значений коэффициентов ряда превращается
в совокупность значений непрерывной функции; пределы, в которых
берётся интеграл (3.7), становятся бесконечно большими. Этот
интеграл, приобретающий вид
оо
F (в>) = J f (0 е'*»* dt	(3.9)
X-ОО
♦) Смысл термина «почти везде» разъяснён выше, в § 3, после фор-
мулы (3.3).
§ 5]	ОДНОСТОРОННЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	117
и также называемый интегралом Фурье, в данном случае служит
для определения коэффициентной функции. Следует сопоставить
уравнения (3.8) и (3.6) и соответственно (3.9) и (3.7). Величина F(<a),
вычисленная с помощью интеграла (3.9), представляет собой ком-
плексный амплитудный «коэффициент», который может служить
лишь для суждения об относительных значениях модулей и о фазах
комплексных амплитуд. При этом сами модули комплексных амплитуд
становятся бесконечно малыми.
Так как здесь речь идёт об апериодической функции, интервалом
интегрирования должен служить двойной бесконечный интервал,
в котором определена данная функция, т. е. —оо<£<оо, а не
конечный интервал, равный периоду, как это было в случае пе-
риодических функций.
Преобразования, выражаемые интегралами (3.9) и (3.8), назы-
ваются преобразованиями Фурье. Сокращённо они записываются так:
^[/(0]-Г(ш);	(3.9')
(=)/•(/).	(3.8')
Преобразование, записанное уравнением (3.9Z), называется
прямым, а записанное уравнением (3.8Z)— обратным преобразова-
нием Фурье. Эти преобразования являются функциональными
преобразованиями, так как они преобразовывают некоторую функ-
цию переменного t в некоторую совершенно иную функцию пере-
менного <о, и наоборот. Таким путём удаётся распространить и на
апериодические функции преимущества, вытекающие из замены
сложной функции вещественного переменного сравнительно более
простой функцией угловой частоты.
§ 5. Одностороннее преобразование Фурье
Функции, наиболее часто применяющиеся в задачах, решение
которых упрощается методами функционального преобразования,
следующие:
1) единичный скачок*), определяемый равенствами
/ ° при < < О,
I 1 при t> О
(фиг. 52), и
*) Единичный скачок называют также единичной функцией и единич-
ным толчком. В частности, он может быть представлен аналитическим
выражением
где |fl означает абсолютное значение (модуль) I, (Прим, перев.)
118	ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. III
2) произведение синусоидальной функции на единичный скачок
sin (^ + ф) -1(0
(фиг. 53).
Преобразование Фурье, записанное уравнением (3.9), неприме-
нимо ни к первой, ни ко второй из этих апериодических функций
без некоторого предварительного
f w	искусственного приёма. Попытки
f	""—-	применения преобразования Фурье
к первой и ко второй функциям
------------—------------т неизбежно приводят к несобствен-
ному расходящемуся интегралу,
Фиг. 52. Единичная скачкообраз- т. е. предельный процесс, преду-
ная функция (единичный ска- сматриваемый интегралом Фурье,
чок'*--------------------не приводит к какому-либо опре-
делённому конечному результату.
Вследствие того, что преобразование Фурье неприменимо непо-
средственно к этим двум простым функциям, возникает необхо-
димость в таком преобразовании, которое было бы применимо как
к этим двум функциям, так и к ряду других функций более слож-
ного вида. Этим требованиям удовлетворяет преобразование Лапласа
и определённым образом обобщённое преобразование Фурье. Обра-
тимся теперь к рассмотрению этих двух преобразований и начнём
с рассмотрения обобщённого преобразования Фурье.
Фиг. 53. Произведение синусоидальной
функции с амплитудой, равной единице,
на единичный скачок.
Один из способов расширения области применимости преобра-
зования, записанного уравнением (3.9), заключается в том, что
предварительно умножают преобразуемую функцию на другую функ-
цию, обеспечивающую сходимость интеграла, выражающего преобра-
зование их произведения. Для этого необходимо, чтобы произведение
функций убывало при Такой функцией, вводимой в качестве
множителя, обеспечивающего сходимость интеграла Фурье, может
служить e-ct с вещественным с > 0.
Однако необходимо отметить, что если произведение заданной
функции, подлежащей преобразованию, и искусственно вводимого
§ 5]	ОДНОСТОРОННЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	119
функционального множителя не стремится к О при /->•—оо, то
такой множитель вызывает расхождение интеграла, нижний предел
которого равен —оо. Это затруднение может быть преодолено путём
переноса нижнего предела интеграла в уравнении (3.9) из (—оо)
в 0. Допустимость подобного отсечения части интервала интегри-
рования без ущерба для результатов решаемых задач оправдывается
тем, что в задачах подобного рода интересны лишь те результаты,
которые должны получаться, начиная с некоторого определённого
момента времени, например лишь с момента замыкания электри-
ческой цепи. При выборе момента включения за начало отсчёта
времени исследованию, естественно, подлежат лишь явления, проис-
ходящие при неотрицательных значениях независимого переменного
(времени). Ниже, в главе V, будет показано, что отсечение части
интервала интегрирования становится необходимым, если преобра-
зование должно естественным образом учитывать и отображать
начальные условия.
Преобразование, получившееся из преобразования, записанного
уравнением (3.9), путём отсечения указанной части интервала ин-
тегрирования, т. е путём сохранения лишь части интервала,
заключающегося в пределах 0<3<4-°°, носит название одно-
стороннего преобразования Фурье.
Вышеприведённые рассуждения основывались на возможности
отсечения части интервала интегрирования, расположенного влево
от начала отсчёта. Однако можно стать и на иную точку зре-
ния, а именно: интервал интегрирования остаётся неизменным,
но все преобразуемые функции принимаются равными нулю влево
от начала отсчёта. Начальные условия вводятся в решение
задачи наиболее естественным путём, если стать на первую точку
зрения.
Уточняя это обстоятельство, можно доказать, что если функ-
ция f(t) однозначна почти везде при и если существует
такое вещественное число с, что
т
lim J | f (0 | • e~ct • dt<oo,	(3.10)
то для получения соответствующего изображения функции f(t)e~ct
при t^O допустимо применение одностороннего преобразования
Фурье. Если эти условия выполняются, прямое преобразование
может быть записано уравнением
[Г(0*-в*]	=	ш).	(3.11)
О
120	ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА . [ГЛ. III
Когда функция f (t) задана, абсцисса абсолютной сходимости
интеграла (3.11) определяется как наибольшее из всех значений,
соответствующих нижней границе совокупности чисел с, удовле-
творяющих уравнению (3.10). Она будет обозначаться символом аа.
Так как величина зависит от вида функции f ($), то удобно
пользоваться кратким выражениехМ «аа от f(t)». Здесь поставлено
требование абсолютной сходимости интеграла (3.11), а не просто
его условной сходимости, для того, чтобы в дальнейшем было
возможно менять порядок выполнения определённых предельных
операций, и, в частности, для того, чтобы иметь право пользо-
ваться теоремой умножения (в сильной форме) *).
Мы ограничимся рассмотрением лишь таких функций, для ко-
торых аа< + оо. По виду функции f(t\ нетрудно установить
конкретное значение аа. Соответствующие примеры приведены
в таблице X.
Таблица X
Абсциссы абсолютной сходимости
т	Неравенство (3.10) справедливо при	для интеграла (3.11)
1	c>0	0
1(0	c>0	0
sin pi	c>0	0
sin pf • 1 (t)	c>0	0
e~at при a > 0	c — a	— а
при a > 0	c^> d	- а
	c^> 0	0
1 (t—a) — l(t — b)	c > —co	— со
при b > a		
e*	Соответствующее зна-	Соответствующее значе-
	чение с отсутствует	ние отсутствует
Из таблицы X видно, что для приведённых 1з ней функций f (I)
остаётся прежним, если от соответствующей функции отсекается
часть, лежащая левее начала отсчёта. Это обстоятельство является
следствием односторонности преобразования, выраженного интегра-
лом (3.11), нижним пределом которого служит нуль.
*) См, § 2 главы VIII. (Прим, персе,)
§ 5]	ОДНОСТОРОННЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	121
До сих пор ещё ничего не было сказано относительно преобра-
зования, обратного по отношению к прямому одностороннему пре-
образованию. Обратное преобразование является двухсторонним
преобразованием. Действительно, оно будет тем же самым преоб-
разованием, записываемым уравнением (3.8), обратным по отно-
шению к двухстороннему прямому преобразованию, записанному
уравнением (3.9). Применение преобразования g-1 к односторон-
нему изображению F(c, <о) приводит к результату, выражающемуся
произведением f(£)e-c* для В соответствии с этим прямое
одностороннее преобразование записывается уравнением
оо
f [f(0 e"cf] e~№dt = F(c, (о) при с>аа, (3.12)
о
а соответствующее обратное преобразование — уравнением
оо
A I F (с, ш) eita> da>	e~ct при i>0.	(3.13)
лТС J
— ОО
Область применимости преобразования Фурье может’ быть не-
сколько расширена так, чтобы в неё вошли некоторые такие функ-
ции f(t), которые дают расходящиеся несобственные интегралы
(3.12) * при с = 0, вследствие того, что скорость убывания этих
функций при / —> оо недостаточно велика. Для этого необходимо
пользоваться обеими вышенаписанными формулами (3.12) и (3.13)
и дополнительным предельным процессом, заключающимся в том,
что в результатах, полученных с помощью этих формул, полагают
с->0. Этот метод отыскания изображения годен, например, для
такой функции, как 1 (I), но оказывается непригодным для такой
функции, как е** при а > 0. Причины этого явления будут выяс-
нены полностью после того, как будут рассмотрены соотношения
между видом заданной функции времени и расположением особых
точек её изображения на комплексной плоскости. Несмотря на то,
что преобразование Фурье с применением в подинтегральной
функции функционального множителя, обеспечивающего сходимость
интеграла, и с использованием дополнительного предельного пере-
хода, заключающегося в устремлении с к 0, во многих случаях
оказывается пригодным, всё же наиболее целесообразный метод
расширения области применимости преобразования Фурье заклю-
чается в переходе к методу контурных интегралов (см. ниже).
Небольшое видоизменение формул (3.12) и (3.13) приводит
к так называемой обобщённой (илгь комплексной) форме преобразо-
вания Фурье. Объединяя функциональный множитель е-с*, обеспечи-
вающий сходимость интеграла, с ядром преобразования
122	ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАМАОА [ГЛ. III
вместо того, чтобы объединять его с преобразуемой функцией f(t),
мы получаем вместо уравнения (3.12) другое уравнение
=	при С>ао. (3.14)
6
Соответствующее обобщение обратного преобразования дости-
гается в результате умножения обеих частей уравнения (3.13) на
функциональный множитель ect и последующей замены переменной <о,
по которой производится интегрирование, на c-j-j®* Таким путём
приходим к формуле
C-fJoO
A. J F (с +»	d (в -Нш) (=) f (/)	(3.15)
С—JOO
при О, в > <за.
Обобщение прямого и обратного преобразований Фурье, есте-
ственно, приводит к преобразованию Лапласа, если допустить, что
вещественная постоянная с заменена вещественной переменной а.
Таким образом, преобразование Лапласа является результатом
ещё одного дальнейшего шага в цепи обобщений преобразования
Фурье. В силу его большей общности область его применимости
шире области применимости комплексного преобразования" Фурье,
которое оно включает в себя как частный случай. Главное же его
преимущество заключается в том, что при пользовании им отпа-
дает необходимость в усложнении обычного преобразования Фурье,
заключающемся в дополнительном предельном процессе, обяза-
тельном во многих практических случаях.
§ 6. Преобразование Лапласа
Комплексная переменная, о фигурирующая в формуле
преобразования Лапласа, в дальнейшем обозначается одной буквой s.
Она заменяет комплексную переменную Н в уравнениях (3.14)
и (3.15). Ограничение, наложенное на величину с в уравнении
(3.10), переходит на величину а. Уравнение (3.14), служившее
для вычисления комплексных амплитудных коэффициентов, прини-
мает вид
f f(f)e-stdl = F(s), <3><sa.	(3.16)
О
Эта односторонняя форма преобразования Лапласа представляет
собой лищь одну из, его многих возможных форм. Другими фор-
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
123
§ 6]
нами, важными для некоторых специальных приложений, являются
двухсторонняя форма и форма в виде интеграла Стилтьеса. При-
менённая здесь форма является, повидимому, простейшей, пригод-
ной для решения большинства практических задач. Уравнение
(3.15) принимает вид
c-J-Joo
i J F (з)еи ds (==) f(t),	/>0, a>sa. (3.17)
C—J OO
Постоянная с сохранена в пределах интеграла, вошедшего
в уравнение (3.17), для указания на то, что этот интеграл берётся
вдоль бесконечной прямой, параллельной мнимой оси.
Преобразование, записанное уравнением (3.16), называется
прямым преобразованием Лапласа (сокращённо ^-преобразованием).
Можно установить, что для того, чтобы интеграл в уравнении
(3.16) допускал простое толкование, функция f (t) должна быть
однозначной почти везде для значений /;>О. При /->оо она не
должна возрастать настолько быстро, чтобы функциональный мно-
житель е~^, скрытый теперь в ядре преобразования е~8\ не мог
обеспечить сходимости интеграла. Это станет ещё более очевидным,
если вспомнить, что
e~8t = e~ate~^<3it = e~at (cos <&t — j sin co/),
л переписать левую часть уравнения (3.16) в виде
J f(t)e ~8tdt = J f (1)е~°* wsvtdt—j J f(/)e-^sinco/d/.	(3.18)
0	0	о
Следует отметить, что функция F(s) определяется преобразо-
ванием, записанным уравнением (3.16), только в области абсо-
лютной сходимости интеграла, т. е. только в той части комплекс-
ной плоскости (называемой обычно полуплоскостью), в которой
° >
В обратном преобразовании Лапласа (сокращённо 2 1-преоб-
разовании), записанном уравнением (3.17), число с может быть
любым вещественным числом, большим числа аа, определённого
для функции f(t) и её изображения F(s). В соответствии с этим
интеграл, фигурирующий в уравнении (3.17), должен браться,
вообще говоря, в комплексной плоскости s вдоль любой беско-
нечной прямой, проходящей параллельно мнимой оси через точку
а = с (фиг. 54). Метод вычисления этого интеграла, основанный
на интегрировании в комплексной плоскости, здесь не рассматри-
вается. Обратное преобразование Лапласа позволяет представить
исследуемую функцию f (t) в виде суммы бесконечно большого
124	ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. III
числа бесконечно малых членов, каждый из которых представляет
собой колебание с бесконечно малой амплитудой, затухающей по
экспоненциальному закону. Значения функции F(s) позволяют
оценить лишь относительные величины амплитуд и начальные фазы
этих составляющих колебаний.
Преобразования 2 и 2"1 являются (подобно преобразованиям
F и F"1) функциональными преобразованиями. Результат прямого
преобразования Лапласа называется изобраоюением, а результат
обратного преобразования Лапласа — оригиналом. Уравнения (3.16)
и (3.17) допускают запись в символической
форме, а именно:
Ш(0]=^(*)>

c+jw
1
S -плоскои/ло
комплексного
переменного
s =
. (3.16')
И
(3.17')
порядке
\F(s)\ (==) f(t), t^O.
таблице XI приведены в
В
последовательного обобщения все упоминав-
шиеся выше формы прямых и обратных
функциональных преобразований, начиная
с ряда Фурье (и интегрального выражения
для его коэффициентов) п кончая инте-
гралом Лапласа.
Из таблицы XI видно, что обратные
преобразования являются во всех случаях .
двухсторонними преобразованиями, т. е.
что переменные, по которым ведётся ин-
тегрирование, пробегают все значения,
заключающиеся в двойном бесконечном ин-
тервале (от —оо до Н~оо). Это спра-
ведливо и в тех случаях, когда соответствующие прямые преобра-
зования являются односторонними.
Далее можно установить, что если аа<0 и /(0 = 0 при
t < 0, то 2-преоОразование приводится к двухстороннему g-преоб-
разованию. Таким образом, при этих условиях 2 и 2"^преобра-
зования переходят соответственно в
о
с
К

Фиг. 54. Часть контура,
по которому берётся
интеграл, определяющий
обратное преобразова-
ние Лапласа.
оо	ОО
J /‘(0•	== Ро’ш); J F(js>)eimtda> (=) f(t).
—оо	—оо
Здесь в символе изображения F(j&) вещественный аргумент
заменён мнимым аргументом (такая замена не играет суще-
ственной роли).
В следующей главе излагаются некоторые основные теоремы,
касающиеся прямого и обратного преобразования Лапласа, и при-
водятся примеры их применения,
Таблицах!	.	w
Сводка формул для прямых и обратных функциональных преобразований
Название	Прямое преобразование	Обратное преобразование
Ряд Фурье	Z 2 J*	dt= #(ш); _ Т 2	2пп “-т	k 2	( = )f(t) (D==: — CO
Двухсторонний интеграл Фурье	Jf(t)e~i,otdt = F^)	1 f	d«, ( = )/(<) 4^ J
Односторонний интеграл Фурье	J* [f («) е-°г]	dt = F (c, co); 0	CO —oo > 0; c > oa
Комплексный интеграл Фурье	J f (f) e~ <«+»* dt = F (c + »; 0 c>°a	C+jOO -i j ^(с+»е^с+>)Х C—Joo Xd(c + »( = )/’(t); <>0; c>aa
Интеграл Лапласа	ff(t)e-^dt = F(s); о °>°a	e-Hoo A [ F(S)^(=)f(i) J C—Joo > 0; c >
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
126
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Задачи
[гл. lit
3.1.	а) Определить комплексный амплитудный коэффициент A (со) (т. е.
^-изображение) для периодической функции f(t), заданной графически
(фиг. 55), и построить графики зависимости модуля и начальной фазы
А (ш) от св. (Считайте модуль функции А (оз) всегда положительным, а её
Фиг. 55.
начальной фазе приписывайте как положительные, так и отрицательные
значения.)
б)	Повторить решение задачи а), положив период Т = 8. Построить
графики в том же масштабе, в котором они были построены в предыдущем
случае (когда Т = 4), и описать результаты удвоения частоты функции
НО-
3.2.	Определить комплексный амплитудный коэффициент F(&) (т. е.
S-изображение) для апериодической функции f(t), заданной графически
(фиг. 56) и построить графики зависимости модуля и начальной фазы
F (со) от (О.
3.3.	Определить комплексный амплитудный коэффициент F(s) (т. е.
2-изображение) для апериодической функции f(O=sinlOi, изобра-
жённой на фиг. 57, и построить графики зависимости модуля и начальной
фазы F(s) от $ в двух случаях:
а)	о>1;
б)	а = 5.
ГЛАВА IV
ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОСТЫМ ФУНКЦИЯМ
А. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Введение в теорию прямого и обратного преобразования Лапласа
было изложено в главе III. Там было показано, что в результате
применения преобразования Лапласа к какой-либо функции f ве-
щественной переменной t получается функция F комплексной пере-
менной s. В этой главе излагаются некоторые теоремы, касаю-
щиеся прямого преобразования Лапласа и получающихся с его
помощью изображений функций *). Для обоснования доказательств
этих теорем требуется предварительно изложить некоторые опреде-
ления и понятия, заимствованные из элементарной теории функций
комплексной переменной [22,29].
§ 1. Комплексная плоскость. Функции комплексной
переменной
Значения комплексной переменной s=a^j(o, состоящей из ве-
щественной и мнимой частей, где а и — вещественные перемен-
ные, могут быть геометрически представлены точками на плоскости.
Эта плоскость носит название комплексной плоскости или s-пло-
скости. Переменные а и принимаются за прямоугольные коорди-
наты, причём ось абсцисс принимается за вещественную ось или
ось о, а ось ординат — за мнимую ось или ось joj. Иногда ока-
зывается удобным считать, что пределу lim s соответствует одна
8->ОО
бесконечно удалённая точка независимо от пути, по которому
точка s удаляется в бесконечность. Для геометрического предста-
вления значений s в этих случаях удобнее пользоваться не пло-
скостью, а сферой и считать, что начало координат помещено
в одном, а бесконечно удалённая точка—в другом полюсе этой сферы.
*) Аналогичные теоремы, относящиеся к обратному преобразованию
Лапласа, в этой книге не изложены. См. [11, 14, 42]. (Прим, ред.)
128
П^ЙМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[гл. IV
Пусть G будет произвольной функцией s. В общем случае G
будет комплексной функцией, вследствие чего она может быть запи-
сана в виде суммы
£($)== ?7(a, (d)+jT(<5, со),	(4.1)
где U—её вещественная, a jV—её мнимая часть. Функция G(s)
может быть представлена геометрически на комплексной пло-
скости G точно так же, как независимая переменная 5 была пред-
ставлена на комплексной плоскости $. На плоскости G вели-
чина U отсчитывается вдоль вещественной, а V—вдоль мнимой оси.
Пример 1. Построить траекторию функции Gri (s) =
1
s + а
когда s из-
меняется вдоль мнимой оси от —Joo до + Joo. Здесь а = 0 и
= = "W+i,'W (42>
Траектории точек s и (т на соответствующих комплексных плоскостях
изображены на фиг. 58.
Плоскость
переменной О
б~
J ^Траектория
точки
Фиг. 58. График функции (в) == (s -f-a)-1 при измене-
нии s по мнимой оси.
Пример 2. Построить траекторию функции 6r2(s), заданной уравне-
нием
о -р (Л
когда s изменяется вдоль мнимой оси от —Joo до +Joo.
Здесь опять а = 0и
.ф(ц>)
а (s) = 4-	1	= -ь____________-_________= 4- е 2
2 W “ О + «)*/=	“ [(а2 +	(ш) J*/s ~ (а2 -{-ш2)*/*
Ф (со)	. Ф (со)
Г cos—g-2	—sin у ~|
L(g® <о*)‘А	* ($2 0,2^ A J
где
(4.3)
Ф (со) = arc tg —
Gr
§ 1]
КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ
129
Таким образом, каждому значению з соответствует пара значений (jr%(s).
Траектории точек з и <?2 (з) на соответствующих комплексных плоскостях
изображены на фиг. 59.
Фиг, 59. График функции [&2(s)]2 = (<$+а)”1 при изменении з
по мнимой оси.
Фиг. 60. Зависимость абсолютной вели-
чины и фазы функции (з) == (з + а)'1
от независимой переменной з, принимаю-
щей чисто мнимые значения от —j со до
+Joo.
В уравнении (4.1) функция Gr (з) представлена в декартовой форме
Gr (8) = и (a, cd) + jV (а, ш).
Однако она может быть представлена и в полярной форме
tf(i) = B(a,	Ч
где R означает модуль комплексного числа (?(s) или длину радйуса-век-
тора соответствующей точки на плоскости «Ст» и Ф — аргумент или фазу
комплексного числа Gr (s), т. е.
угол между полярной осью и
направлением радиуса-векто-	,
ра. Так как В считается поло-
жительным, то знак комплекс-
ного числа 6г (з) должен опре-
деляться значением функции
Ф (а, ш). Функции R и Ф широ-
ко применяются для графиче-
ского описания характеристик
электрических и механиче-
ских систем в установившемся
состоянии.
Пример 3. Построить
графики зависимости модуля
и фазы функции бгДз) —
ТТрТГ ’ когда 5 меняется
вдоль мнимой оси в преде-
лах —Joo до -|-Joo.
Как указывалось в при-
мере 1, а = 0 и
(?1(S) = __1—=
1 v ' уш + а
1	/аго‘«г(~Э==
(«2+ <!>’)% —
= B(w)^®(“>.	(4.2')
Графики функций J?(w) и Ф (<о) представлены на фиг. 60. Здесь JR(oj)
означает длину радиуса-вектора, а Ф (ш) — угол между ним и осью U для
точек траектории, изображённой на фиг. 59 (справа).
9 Зак. 1977. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
130
ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
[гл. IV
§ 2. Однозначные функции. Непрерывность. Производная
G(s) является однозначной функцией s, если каждому значе-
нию s соответствует лишь одно определённое значение G(s). Так,
например, функция Or, (s), приведённая выше, в примере 1, является
однозначной функцией, в то время как функция Cr2(s), при-
ведённая в примере 2, является двухзначной функцией.
Функция G(s) непрерывна в точке Sj, если
lim G(«1 + As) = G(8J)	(4.4)
Дз О
не зависит от совокупности комплексных значений, принимаемых
величиной Да, когда она приближается к нулю.
Если
Ит gfe + a‘>-g(»') = g-(s,)
ЛаО
не зависит от совокупности комплексных значений, принимаемых
величиной As, когда она приближается к нулю, то назы-
вается производной функции G (s) по s при $ = Другие обозначе-
ния этой производной таковы:
dG ($) 1
или
as J s =» 8Х
dG (s) |
ds |g s= *
(4.5)
§ 3. Аналитические функции
Если функция G (s) имеет единственную производную G' (sj
в точке комплексной плоскости, то про эту функцию говорят, что
она аналитическая в точке Необходимые и достаточные усло-
вия Коши-Римана аналитичности функций излагаются в курсах тео-
рии функций комплексной переменной [22, 29].
Про любую функцию, аналитическую в каждой точке некоторой
области комплексной плоскости «$», говорят, что она аналитическая
в этой области. Далее, можно доказать, что если функция ком-
плексной переменной имеет в некоторой точке первую производ-
ную, то она имеет в этой точке и все производные сколь угодно
высокого порядка, и что они являются также аналитическими функ-
циями.
Пример 1. Рассмотрим функцию 6r3(s) = s = а4~Л°- Здесь
1.	#3 (S 4-As) — 6rB($)	а 4- Аа+ + Дсп) — (a4-Jo))
lim ——------= пт--------------------т—.—гт-----------.
Да->0	As	Да ->о	Да4*^А<0
Дсо -> О
Если переход к пределу осуществляется в определённом порядке, а именно,
сначала Да->0, а затем Д<о->0, получаем:
Um °+J (<» + *“)-(*+>) = j.	(4.6)
Аа> -> 0	JAw
§ 4]	ЙУЛИ. ОСОБЫЕ тойкй	131
Если же переход к пределу будет осуществлён в обратном порядке,
а именно, сначала Аш -> 0, а затем Да -> 0, получим:
lim Jg + M+fo~(g+>) =1
. Да-» 0
Более того, можно показать, что предел равен 1 независимо от того, как As
стремится к нулю. Таким образом, удаётся доказать, что функция
(x(s) = s — аналитическая, функция в любой конечной области комплекс-
ной плоскости.
Пример 2. Покажем, что функция
6r4 ($) = G —— S
*
не является аналитической функцией. (Здесь символ s означает комплекс-
ное число, сопряжённое с числом з. Сопряжённая функция комплексной
переменной может быть получена из данной функции путём замены всех J,
встречающихся в ней, на —J.) Здесь
lim (s +	~	(*) — Um	(M + A(0) — (g~J"»)
Д8->0	Да -> о	Да 4-,'Дш
Дсо -> О
Если As приближается к нулю в таком порядке, что сначала Да->0, а за-
тем Ао> ->0, предел отношения разностей равен
Пт	=	(4.8)
Aw -> 0
Если же сначала Дю->0, а затем Да->0, предел отношения разностей ра-
вен
lim +	=1.	(4.9)
Да-»0
Так как предел этого отношения разностей зависит от пути, по кото-
рому As -> 0, то функция s не является аналитической функцией.
§ 4. Нули. Особые точки
Если функция G (s) может. быть выражена в виде
G(s) = (s — sl)’»G„(s),	(4.10)
где т— целое положительное число, a — конечное число,
отличное от нуля, то говорят, что функция G (s) имеет нуль по-
рядка m в точке
Точки комплексной плоскости $, в которых G(s)— неанали-
тическая функция (т. е. в которых она не имеет единственной
производной), называют особыми точками этой функции.
Простейшим видом • особой точки является полюс. Если функ-
ция G(s) может быть представлена в виде
G(s) = - Gb{SL,
k 7 (s — S\)m 3
(4.11)
9*
132	ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ	[гл. IV
где т— целое положительное число, а бгь (sj— конечное число,
отличное от нуля, то говорят, что функция Gr (s) имеет полюс по-
рядка т в точке
Соотношение (4.11) может быть переписано в виде
(s — Si)’" G (з) = Gb (s).	(4.12)
Оно может быть истолковано следующим образом: если функция G(s)
имеет полюс порядка т в точке з1} последний может быть исклю-
чён путём умножения функции G (з) на m-ю степень линейного
двучлена (з— sj.
Рассмотрим в качестве примера функции, имеющей нули и по-
люсы, рациональную дробь
О-13)
Эта функция имеет нуль второго порядка в точке (— 1), полюс тре-
тьего порядка в точке (—2) и полюс первого порядка в точке (0).
Однозначная функция Gr(s) имеет существенную особенность
в точке если она не может быть приведена к аналитической
функции Оъ (s) в этой точке так, как это сделано в уравнении (4.12),
т. е. путём её умножения на (s— sj™, где т — некоторое конеч-
ное целое положительное число. Примерами могут служить, функ-
ция Gr6 (s) = es с существенной особенностью в точке s = оо и
. 1
функция G7 (s) =es+ac существенной особенностью в точке s = — а,
§ 5. Расширение области определения функции
В дальнейшем часто придётся встречаться с функциями ком-
плексной переменной s, определёнными при помощи интегралов
лишь в ограниченных областях комплексной плоскости. Ограничен-
ность областей определения этих функций является следствием за-
труднений, возникающих в связи с вычислением определяющих их
интегралов. Следовательно, расширение областей определения таких
функций с помощью определяющих их интегралов невыполнимо.
Если же функция, определённая в некоторой области при помощи
интеграла, может быть выражена в замкнутом виде, например,
в виде рациональной дроби, то расширение её области определения
может быть выполнено путём сохранения формы этой функции.
Та кой метод, предусматривающий сохранение формы функции,
естественно, предпочитается всем иным методам, если только рас-
ширение области определения может быть произведено более или
менее произвольно. К тому же этот метод оказывается наиболее
удобным и с практической точки зрения. Кроме того, функция
с расширенной таким методом областью определения будет иден-
тична функции, полученной методом аналитического продолжения,
§ 6]	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА	133
в той области, в которой она допускает аналитическое продолже-
ние, т. е. повсюду, за исключением особых точек [22, 29].
Метод, основанный на принципе сохранения вида за пределами
области, в которой функция определена с помощью интеграла, был
применён к функции гамма и дал возможность распространить её
определение и на левую полуплоскость, в которой расположены
особые точки функции, совпадающие с отрицательными целыми
числами на оси абсцисс.
Пример. Пусть функция 1/s определяется с помощью интеграла
типа J* est dt в полуплоскости, где Re(s)>0 [Re означает «вещественная
часть»]. Это — аналитическая функция в каждой точке этой полуплоскости.
Область определения функции может быть расширена на всю пло-
скость, если предположить, что правая часть уравнения функции сохра-
няется во всей расширенной области. Это позволяет исследовать функ-
цию 1/$ и в тех точках, где не имеет места неравенство Re (.$) > 0.
Легко видеть, что 1/$— аналитическая функция во всей расширенной
области, за исключением начала координат, которое играет роль полюса
первого порядка. Таким образом, начало координат, которое в данном слу-
чае представляет собой наиболее интересную точку во всей плоскости,
оказывается расположенным внутри области определения функции.
Б. 8-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЫХ ФУНКЦИЙ
В этой книге 8-преобразование применяется для двух целей:
1) для преобразования функций вещественной переменной
в функции комплексной переменной и
2) для преобразования таких операций, как дифференцирова-
ние, интегрирование и вычисление конечных разностей в веще-
ственной области, в более простые операции, выполняемые в ком-
плексной области.
Второе применение преобразования Лапласа играет важную
роль при решении дифференциальных и разностных уравнений.
Большая часть содержания дальнейших глав посвящена этим при-
ложениям. В первую очередь мы займёмся, однако, первой из
указанных задач, т. е. преобразованием тех простых функций ве-
щественной переменной, которые особенно часто встречаются
в дальнейшем изложении. Результаты, полученные в ближайших
параграфах, будут использованы в последующих главах этого тома
и должны быть хорошо усвоены всеми применяющими преобразо-
вание Лапласа для решения уравнений.
§ 6. Некоторые свойства интеграла, входящего в формулу
преобразования Лапласа
Интеграл, входящий в формулу преобразования Лапласа, являет-
ся несобственным интегралом, так как его верхний предел ра-
вен бесконечности. Кроме того, этот интеграл может оказаться не-
собственным вследствие поведения подинтегральной функции в
134
ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
[ГЛ. IV
некоторых точках интервала интегрирования, в особенности в точке,
соответствующей его нижнему пределу. Следовательно, всюду, где
пользуются преобразованием Лапласа, предполагается, что этот
интеграл определяется с помощью предельной операции. Иначе
говоря,
т
e~~st dt = lim f f (t) e~st dt.
T->oo J
e->0 8
]7(0
о
(4.14)
Этот переход к пределу выполнен в явном виде в одном из при-
меров. Впоследствии он не будет упоминаться как самостоятельный
шаг на пути отыскания решения, за исключением случаев, когда
неупоминание о нём может повести к какой-либо двусмысленности.
Интеграл, фигурирующий в преобразовании Лапласа [уравне-
ние (4.14)], будет пониматься в смысле Лебега [1]. Это обеспе-
чит некоторую свободу его дальнейших применений, которой мы
были бы лишены в противном случае. Если бы этот интеграл рас-
сматривался в смысле Римана, то интеграл суммы конечного числа
функций был бы равен сумме интегралов отдельных функций, но
это было бы не всегда верно в отношении интеграла суммы беско-
нечно большого числа функций. Иными словами, замена суммы
бесконечно большого числа интегралов одним интегралом могла бы
оказаться недопустимой.
Всё же в некоторых случаях (например, в § 6 главы VIII)
существенной частью доказательства некоторых формул будет
являться предположение о коммутативности (допустимости взаимной
перестановки) двух операций: операции перехода к пределу в пре-
образовании Лапласа и операции суммирования бесконечно боль-
шого числа членов. Интеграл в выражении преобразования Лапласа
будет, бесспорно, обладать этим свойством коммутативности, если
он будет определён в смысле Лебега. Однако при исследовании
функций, встречающихся в большинстве физических задач,
результаты, получаемые с помощью несобственного интеграла
Лебега, не отличаются от получаемых с помощью несобственного
интеграла Римана.
§ 7. Единица. Единичный скачок
Единица может рассматриваться как такая функция f(t), кото-
рая равна постоянному числу 1 при всех конечных значениях t.
Изображение 8 [1], если оно существует, определяется как интеграл
оо	Т
I L-e~"stdi=; lim I e~sldt = lim — (c~'S£-—e“s2')e	(4.15)
•J	T->oo "	T-^co s
0	5	£>0
§ 7]	ЕДИНИЦА. ЕДИНИЧНЫЙ ОКАЧОК	135
Так как этот предел существует и равен s’*1, если только а>0,
то
8 [1] =-|- при а > 0.
Так как единичный скачок был определён (см. § 5 главы Ш)
как такая функция 1 (0. которая равна постоянному числу 1 при
всех значениях t > 0, и так как интеграл в преобразовании
Лапласа берётся от нуля до бесконечности, то изображением еди-
ничного скачка будет
S[1(O]=S[1]=7 при а > 0.
Таким образом, простая рациональная дробь s'1 =s будет
служить изображением обеих функций: единицы [1] и единичного
скачка 1 (t).
Несмотря на то, что интеграл, входящий в преобразование
Лапласа,, позволяет определить изображение, равное s-1, только
в полуплоскости о > 0, границы этой области могут быть расширены
так, чтобы в них вошла любая конечная часть всей комплексной
плоскости s. Для этого достаточно потребовать сохранения формы
функции 1/s во всей расширенной области определения. Функ-
ция з-1 — аналитическая функция во всей конечной плоскости s,
за исключением начала координат, которое играет роль полюса
первого порядка.
При введении функции 1 (£) (§ 5 главы Ш) она была оста-
влена неопределённой в точке /==0. В этой точке имеет место
скачкообразное изменение функции от 0 до 1. Даже если бы эта
функция и была определена так, чтобы в начале координат она
имела некоторое определённое значение, это значение не оказало
бы никакого влияния на величину её изображения 2 [!(/)]• Пусть,
например, даны пять различных функций, определённых так, как
указано в таблице XII.
Таблица XII]
Функция	*< о	1 = 0	*>0
КО	0				1
la(t)	0	V2	1
	0	3/4	1
Л(0	0	1	1
	0	2	1
Различие между этими функциями заключается исключительно
в их значениях при t = 0. В соответствии с понятием об «ограни-
136	ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ	[ГЛ. IV
ченном. равенстве», выражаемом символом (—), мы имеем право
писать, что
1а(!) ( = ) А(0 ( = ) АО) ( = ) АО) ( = ) 10), (4-16)
а изображение Лапласа каждой из них равно з-1 при условии <з>0.
Важность этого обстоятельства выявится позлее при рассмотрении
обратного преобразования Лапласа (в § 12).
§ 8. Показательная функция
Изображение функции е-^, где а — положительное вещественное
число, равно
оо	оо
g — J* e~vte-tit dt = j в-при о> —а. (4.17)
оо
Таким образом, изображением убывающей показательной
функции в-** является алгебраическая рациональная дробь l/(s -f- а).
Продолжением этой функции (см. § 5) при условии сохранения её
формы является функция l/(s —4- а), аналитическая в любой конечной
части всей комплексной плоскости s, за исключением точки s = —а,
играющей роль полюса первого порядка. Из формулы (4.17) не-
посредственно вытекает, что изображение возрастающей показатель-
ной функции eat, где а — положительное вещественное число,
равно
при °>а-	(4.17")
Полюс продолженной функции находится теперь в точке s — a,,
а область сходимости интеграла, входящего в формулу прямого
преобразования Лапласа, оказалась несколько суженной — до а>а.
§ 9. Синусоидальные и затухающие колебания
Если Р — положительное вещественное число, то изображение
функции sinp/ равно
оо	оо
2 [sin pi] = f sin pi • e-8t dt = i-. f —е-Ж) e~st dt —
J	^3 • '
о	о
00
= i f	=	-----iM =
J 1	J 2j\s— J? «4-J0/
==	ПРИ 6 > 0.	(4.18)
§ 9]	СИНУСОИДАЛЬНЫЕ И ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ	137
Продолжение функции (3/(s24~P2) представляет собой аналити-
ческую функцию в любой конечной части комплексной плоскости s,
за исключением двух точек играющих роль полюсов первого
порядка. Таким образом, изображение синусоидальной функции
с нулевой начальной фазой представляет собой рациональную алге-
браическую дробь с парой сопряжённых полюсов первого порядка,
расположенных на мнимой оси.
Применив те же операции, что и в уравнении (4.18), к функ-
ции cosptf, получим её изображение в виде
ао
8 [cos pt] = J cos pte~stdt =
о
при а > 0.
(4.19)
Рассмотрим теперь косинусоидальную функцию A cos (pt -f- <[>)
с амплитудой А и начальной фазой ф. Так как
A cos (pt ф) = A cos ф cos pt — A sin ф sin pt,
то изображение функции A cos (pi + ф) может быть найдено непо-
средственно с помощью результатов, записанных уравнениями (4.18)
и (4.19), а именно:
8 [A cos (Р« + ф)] = J А сов(Р<-|-ф) • e~st dt —
о
оо	со
= Лсозф j* cos р£ ей— A sin ф j* sinpfe-s#d£ =
о	о
___A cos ф • s A sin ф • р____________ ajs + яп
“ IQ-р2	j}2~ — 52_рр'
при а>0, (4.20)
где aQ = — J.p sin ф и ~ A cos ф.
Рассмотрим, наконец, функцию e-aZsin^, выражающую зату-
хающие колебания, где а и р— положительные вещественные числа:
8 [е~а* sin р/] =
со	оо
= e~»*sinpte“SIMf ==~. | (е+<^— e-JP*) . е-(«+«)* ей ==
о*	о
со
= А I	* — e-fe+«+J?) И dt = s-----------г-Ц-й) =
2.7 J 1	J 2Д«4-а— 7₽	s+«-|-7₽/
о
=(^4чт2 пРи°>-а-	<4-21)
188
ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
[ГЛ. IV
Продолжение рациональной функции, записанной в виде дроби
а)2	> представляет собой аналитическую функцию при
любом конечном значении комплексной переменной s, за исклю-
чением двух сопряжённых значений s =— соответствующих
двум полюсам первого порядка.
Резюмируя выводы этого параграфа, можно сказать, что резуль-
таты § 8, касавшиеся экспоненциальных функций с вещественным
показателем, здесь обобщены на случай комплексного показа-
теля.
§ 10. Положительные степени t
Изображение функции, равной t, даётся интегралом
8 И = Р te~st dt.
6
Положив u = t и dv = e~stdt и. интегрируя по частям, получим:
8 [£] = J udv=[uv]*^™— J vdu.
t=o	t-o
Так как
du = dt
и
= J e~stdt =—	}
TO
Sld=-^X + 7.f	=	W-22)
при a > 0.
Функция 1/s2 представляет собой алгебраическую рациональную
дробь. Её продолжение является аналитической функцией в любой
конечной части комплексной плоскости, за исключением начала
координат (s = o), где расположен её полюс второго порядка.
Изображение функции tn, где п — целое положительное число,
может быть найдено в результате n-кратного применения опе-
рации интегрирования по частям к интегралу
g р»] = Jtne~stdt.
О
§11]	ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ СТЕПЕНИ t	139
Обозначив и = 1п и dv = e~8tdt и заметив, что
e~stdt =------—,
получим:
ОО	ОО
2[<»] = j* t»e-sedt = —	A J t»-ie~8tdt =
О	о
оо
== 04-— f tn~x e-stdt прио>0. (4.23)
8
о
Применив снова метод интегрирования но частям для вычисления
интеграла, стоящего в правой части уравнения (4.-23), получим:
оо
g [#»] = ± . ItTLl f f»-2e-8tdt при о > О.
8	8 J
О
Повторяя этот приём, придём к окончательному результату:
оо
g [fn] e п(И-1) (П-2)...3-2.1 J t0 . e_st dt = Д1 (424)
'о
при а > О.
Таким образом, изображением целой положительной степени t
служит рациональная алгебраическая дробная функция комплексной
переменной s. Её продолжение — функция, аналитическая всюду,
кроме точки s = O, являющейся полюсом (п-|-1)-го порядка.
§ 11. Произведение положительной степени f
и показательной функции
Изображение функции te~at может быть найдено простым обоб-
щением результата, выраженного уравнением (4.22). Пусть а будет
положительным вещественным числом. Тогда
со	со
2	= J te~at e~stdt — J te~<s^ * dt —	(4.25)
0	0
при a > —a.
В результате введения множителя при t полюс второго
порядка изображения функции переместился из начала координат
в точку s — — а, лежащую на отрицательной части вещественной.
140
ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
[ГЛ. IV
оси, и в соответствии с этим граница области сходимости смести-
лась влево на величину а.
Точно так же изображение .функции tne~at получается путём
обобщения результата, выраженного уравнением (4.24), а именно:
tne-^te-st
о
J	=	(4-26)
О
при о > — ОС,
Полюс (?^4~1)'го порядка изображения этой функции оказался
смещённым по отношению к полюсу изображения функции 1п влево
на величину а. Абсцисса абсолютной сходимости изменилась на
такую же величину.
§ 12. Таблица некоторых простых функций и их изображений
Изображения функций, рассмотренных в предыдущих парагра-
фах и некоторых других функций перечислены ниже, в таблице XIII.
Таблица, помещённая в приложении I, содержит более полный
перечень изображений и оригиналов. (Доказательства приводятся
в следующих главах книги.) В этой таблице функции комплексной
переменной и соответствующие им функции вещественной перемен-
ной помещены в одних и тех же строках, причём опущены знаки
равенства и 'символы 2 и 2-1.
Несмотря на то, что функции [/^(s)], стоящие в левом столбце
таблицы, получены из функций [/(0L стоящих в правом столбце,
этой таблицей можно, очевидно, пользоваться и в обратном порядке.
На практике чаще всего приходится пользоваться этой таблицей
именно в таком порядке. Это обстоятельство предопределило поря-
док расположения функций и F(s).
Уравнение (3.17) даёт явное выражение обратного преобразова-
ния Лапласа в виде интеграла в комплексной плоскости. Можно
разработать систему правил для вычисления указанных интегралов
в комплексной плоскости. Однако обратные преобразования требуют
применения операций, менее знакомых по сравнению с операциями,
требующимися для прямых преобразований, и к тому же во многих
случаях более трудоёмких.
Различие в степени трудности обратного преобразования по
сравнению с прямым преобразованием Лапласа сходно с различием
в степени трудности вычисления интегралов и производных в исчи-
слении бесконечно малых. Определение, даваемое интегралу, состоит
§ 121
ТАБЛИЦА НЕКОТОРЫХ ПРОСТЫХ ФУНКЦИЙ
141
Таблица XIII
Изображения и оригиналы
№№	Р(а)	°а	Г(0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14	ео^ сз	ci	л QQ.	ОХ	ОХ	•	| а «.	fs,	+ e+ f+ (	(	1	7 со	о	со	7^	1	°*5 1	— ।	/о	«о г—| «о	. сс	со	е со	+	+	е -ь «о	со г-1 I «о	0 — а 0 0 0 — а — а — а 0 0 — а — а 0 —оо	1 или l(t) e~at •i sin 0* COS ^=1/«?+4 A cos (fit + Ф), где	r	p 4 = arctg(-^) -i- e-^sin^ ₽ e~a*cos₽/ _zle~a*cos (₽Н-ф), где 4 .	, а^а — an 'psarctg-1--- t 1	y»-i (n — 1)’. ie~at _A..	e-^ 1(1 — a) — 1 (t — b) при b > a
142	ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	[гЛ. IV
в том, что он рассматривается как предел суммы. Однако вычисле-
ние интеграла в соответствии с этим определением часто оказы-
вается весьма затруднительным. Поэтому операцию непосредствен-
ного интегрирования часто рассматривают как операцию, обратную
дифференцированию. Вместо того чтобы интегрировать какую-либо
функцию путём вычисления предела суммы надлежащим образом
выбранных слагаемых, ищут другую функцию, производная которой
равна заданной функции, подлежащей интегрированию. Для облег-
чения этой операции служат специально с этой целью составленные
таблицы интегралов функций. Обычно в этих таблицах указывается
явным образом, что в них предусматривается операция интегриро-
вания. Было бы вполне правильным, если бы в них указывалась
не операция интегрирования, а операция дифференцирования, так
как эти таблицы, по всей вероятности, составлялись именно путём
дифференцирования. Однако расположение материала в этих табли-
цах определяется их будущим назначением, поэтому в них указы-
вается операция интегрирования.
Прямое преобразование обычно выполняется значительно легче
обратного. Всё же может случиться, что прямое преобразование
некоторой функции, удовлетворяющей требованиям выполнимости
2-преобразования, может оказаться затруднительным, если резуль-
тат должен быть получен в замкнутом виде. Как и следует ожидать,
если преобразуемая функция представляет собой свободное решение
линейного интегро-дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами, её изображение может быть получено сравнительно
просто. Указанное преобразование может быть выполнено непосред-
ственным интегрированием, как' в вышеприведённых примерах,
или в более сложных случаях с помощью теорем, изложенных
в главе VIII. Другой возможный метод заключается в следующем:
1) заданную функцию рассматривают как решение дифферен-
циального уравнения, причём необходимое уравнение получают
хорошо известным методом исключения постоянных путём диффе-
ренцирования;
2) отыскивают изображение решения этого уравнения методами,
которые будут изложены в главе V.
Найденное таким путём изображение решения дифференциаль-
ного уравнения явится искомым изображением заданной функции.
Если функция, подлежащая преобразованию, является решением
линейного интегро-дифференциального уравнения с переменными
коэффициентами или, что ещё хуже, нелинейного интегро-диффе-
ренциального уравнения, на пути применения любого из указанных
методов определения прямого изображения такой функции могут
встретиться известные трудности.
В таблице XIII, помещённой в этом параграфе, не указывается,
для какой операции, прямой или обратной, она составлена, так
как она может быть применена для любой из них. Здесь имеется
§ 12]	ТАБЛИЦА НЕКОТОРЫХ ПРОСТЫХ Функций	143
в виду, что для каждой пары функций, стоящих в таблице рядом,
можно написать два уравнения:
1
8-1 [2?(«Л( = )/‘И вр»1>0. J	'	'
Из рассуждений, приведённых в § 7, можно установить с не-
сомненностью, что прямое преобразование является однозначной,
а обратное — многозначной операцией. Поэтому в уравнении пря-
мого преобразования всегда фигурирует знак равенства, а в урав-
нении обратного преобразования — знак ограниченного равенства,
заменяющий выражение «равно почти везде». Две функции (t)
и (/) могут совпадать там, где они обе непрерывны, и не сов-
падать в точках разрыва непрерывности. Изображения F(s) таких
двух функций будут равны между собой, но оригинал изображения,
т. е. 2-2[F(s)], может равняться как так и /^(О- Знак
(=) указывает на такую возможность.
В. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ,
ОТНОСЯЩИЕСЯ К ПРЯМОМУ ПРЕОБРАЗОВАНИЮ ЛАПЛАСА
После ознакомления с введением в теорию функций комплекс-
ного переменного и правилами применения преобразования Лапласа
к простым функциям легче понять некоторые теоремы, относя-
щиеся к преобразованию этого вида. Теоремы, излагаемые ниже,
позволят уточнить понятия, введённые в главе III.
Определение. Вещественная *) функция f(t), однозначно
определённая почти везде в области где I — вещественная
переменная, будет называться преобразуемой по Лапласу (£-пре-
образуемой), если для некоторого вещественного числа <з несоб-
ственный интеграл Лебега [1] ограничен, т. е. если
f	= f	< оо. (4.28)
у	Т->оо
0	е -> 0 3
Абсциссой абсолютной сходимости заданной функции назы-
вается наибольшая нижняя граница всех вещественных чисел, для
которых удовлетворяется неравенство (4.28).
*) Комплексная функция вещественной переменной может рассматри-
ваться как сумма вещественной части и мнимой части, равной произведе-
нию из мнимой единицы и вещественного множителя.
144
ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
[ГЛ. 1V
§ 13.	Теорема 1 о прямом преобразовании Лапласа
Если функция f(t) преобразуема по Лапласу, интеграл Ла-
пласа (рассматриваемый как несобственный интеграл Лебега),
оо	Т
f f (f) e~st dt	[ f(t)e~stdt,	(4.29)
J	T -* co J
0	e -> 0 0
где s — комплексное число, равное
s =
сходится абсолютно при всех к некоторой функции F(s),
аналитической в полуплоскости а > ав.
Как указывалось в § 6 главы III, функциональное преобразо-
вание (4.29) записывается- сокращённо формулой
W(0J =F(S) при о >аа.	(4.30)
§ 14.	Теорема 2 об обратном преобразовании Лапласа
Из понятия обратного функционального преобразования и из
теоремы 1 непосредственно вытекает следующее определение:
Определение. Обратное преобразование Лапласа й-1 неявно
определяется соотношением
8-1 [2[/-(0J1 (=)f(t) при «>0.	(4.31)
Оно может быть записано и так:
Если F (s) = Й {f (£)], то для t О
f(0(==)2-4*W
Обратное преобразование Лапласа может быть записано явным
выражением, содержащим известные математические операции,
что подтверждается следующей теоремой:
Если F(s) представляет прямое изображение функции f(t),
то справедливо ограниченное равенство
c+Jco
/ F(s) ets dt (=)f(t) при f>0,	(4.32)
C—j со
где с > аа.
Таким образом, явным выражением обратного преобразования
S-1 [ ] служит
С + j со
-i-	J [ ie^dt при с>аа.	(4.33)
с—j оо
§ 16] ТЕОРЕМА 4 О ЕДИНСТВЕННОСТИ В СМЫСЛЕ ЛЕБЕГА	145
«Явное выражение» понимается здесь в смысле непосредственно
выполнимого функционального преобразования. В противополож-
ность ему приведённая выше формула (4.31) даёт неявное опре-
деление обратного преобразования Лапласа.
Располагая только неявным определением (4.31), мы вынуждены
выполнять обратное преобразование следующими приёмами:
1) Составить таблицу функций и их изображений, применив
прямое преобразование Лапласа.
2) Воспользоваться какой-либо определённой строкой этой
таблицы, читая её в направлении, противоположном тому, в котором
она была составлена.
Явное выражение для обратного преобразования Лапласа, дан-
ное формулой (4.33) и упоминавшееся выше, в § 6 главы III, для
наших целей не требуется.
§ 15. Теорема 3 о единственности прямого изображения
Лапласа
Теорема 3 утверждает существование свойства, вытекающего из
определения интеграла, фигурирующего в формуле (4.29).
Если функция fit) преобразуема по Лапласу и 8 [/(f)] = F(s)
при а > са, то F ($) является единственным ^-изображением для
функции fit).
Пример. Рассмотрим функцию 1\Ц)=1Ц — Ь) при Ь>0, которая
преобразуема по Лапласу (абсцисса абсолютной сходимости аа = 0). Нейо?
средственное вычисление интеграла (4.29) даёт £ [1 (t — Ь)]=е~Ъх.$-1
при а >0. Здесь функция e~bss-1 является единственным 2-изображенйем
Лапласа для функции l(t — Ь).
§ 16. Теорема 4 о единственности в смысле Лебега
обратного преобразования Лапласа
Из того, что в условии преобразуемости функции /(f) по
Лапласу [формула • (4.28)] фигурирует интеграл Лебега, следует,
что всякая иная функция, почти везде равная функции f(t), также
преобразуема по Лапласу.
Кроме того, из того, что прямое преобразование Лапласа опре-
деляется через интеграл Лебега [формула (4.29)], следует, что изо-
бражения других функций, почти везде равных /(f), равны изобра-
жению функции f (f). Это приводит к четвёртой теореме:
Если /(f) является оргьгиналом ^изображением) функ^
ции F(s), то функция f(t) единственна в смысле Лебега, т. е.
все другие оригиналы функции F (з) почти везде равны функции
f(t) при t^O.
Эта теорема может быть кратко записана уравнением
S'* [F(s)]( = )f(0 при f>0
10 Зак. 1977. М. Ф. Гардпер я Дж. Л. Бэрнс.
146
ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
[ГЛ. IV
Пример. Рассмотрим две функции la(t) и 1С(О» определения ко-
торых приведены в таблице XII. Сославшись на пример § 15, можно на-
писать:
— b).
Однако не менее верным будет и
q-i [e-&8S-i] = /с (*_ъ).
Таким образом, la(t—b) является единственным в смысле Лебега
оригиналом функции e-^-s"3.
Задачи
4.1.	al Существуют ли на комплексной плоскости особые точки функ-
ции F\ ($) = (s2 + I)"1, т- в. точки, в которых она неаналитическая функ-
ция? Привести объяснение.
б)	Будет ли аналитической в каждой точке комплексно^ плоскости
функция F2 (s)> заданная уравнением [F2 (s)]2 = (s2 -|- 2s -|- I)2? Привести
объяснение.
4.2.	Показать, что изображение единичной ступенчатой функции, сме-
щённой вправо на величину л, равно s~3 е~а\
4.3.	а) Показать, что прямоугольный импульс с высотой, равной еди-
нице, расположенный между точками а и Ъ, где может быть запи-
сан одним из следующих выражений:
1)	— — —
2)	1(Ь — I) — 1(а — 1),
3)	l(t —	— t).
б) Показать, что S-изображение прямоугольного импульса, описанного
в пункте а), равно
(e“«s — e_&s).
4.4.	Дать ответ на вопрос а) относительно каждой из перечисленных
ниже функций. В случае положительного ответа на этот вопрос ответить
на вопросы б , в) и г). Эти вопросы таковы:
а)	Преобразуема ли функция по Лапласу?
б)	Чему равна абсцисса её абсолютной сходимости?
в)	Что представляет собой её S-изображение?
Г) В каких конечных точках комплексной плоскости расположены
полюса продолжения изображения данной функции и какова кратность
каждого полюс I?
Вопросы относятся к следующим функциям:
I) —Ц- (ав-«*-ре_₽');
а — р
2) sin +4);
3) ег’Мп(₽* + |);
4)
5) 5*, где b ф 0 и Ъ ф 1;
6) th
(О при t < О,
t]a при
1 при
ЗАДАЧИ
147
8)	одиночный равнобедренный треугольный импульс, у которого начало
совпадает с началом координат, высота равна единице» а основание равно
двум;
оо
9)	1	2 (—1)?£ 1 (/ — к), где к — целое положительное число;
й=1
ОО
Г») 1 — 2 G — &), где — целое положительное число.
к~1
Примечание. «, ?, ф, « и Ь — неотрицательные вещественные числа.
Рассматривая функции 9) и 10), привести ответ на вопрос в) к конечному
виду (т. е. просуммировать получившийся ряд) до перехода к ответу на
вопрос г).
4.5.	Показать, что следующие две функции являются оригиналом и
его £ изображением:
--	83
Vе*“ cerf (гту)’
У
где cerf (у) — 1 — erf (у) = 1-I dx *).
У тс J
О	’	-
*) функция
erf (у) =
е~х~ dx
называется интегралом вероятности ошибок Гаусса, а функция
cerf (у) = 1 — erf (у)
является её дополнением до единицы и может быть названа «интегралом
достоверности». {Прим. перле.)
10i:
ГЛАВА V
ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕГРО-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
В главе II было показано, как составляются линейные интегро-
дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и
с одной независимой переменной. В главах III и IV было рас-
смотрено преобразование Лапласа. Ниже излагается применение
этого преобразования к уравнениям указанного типа, сначала
к одному уравнению, а затем is системе уравнений. Первый шаг
в применении метода преобразования Лапласа к решению линейных
интегро-дифференциальных уравнений состоит в преобразовании
этих уравнений в алгебраические уравнения с учётом начальных
условий. Далее, выполняется алгебраическое решение получен-
ных уравнений, и в этом состоит второй шаг. В результате реше-
ния получаются функции комплексной перемеиной, обратное пре-
образование которых является третьим шагом в применении метода
преобразования Лапласа. (Обратное преобразование выполняется
в главах VI и VII.)
Интегро-дифференциальное уравнение с одной независимой пере-
менной содержит, как было показано в главе II, неизвестную
функцию, интегралы и обыкновенные производные этой функции,
постоянные коэффициенты и известную функцию. Кроме того,
должны быть сформулированы начальные или граничные условия.
Все функции, входящие в уравнение, являются функциями
вещественной переменной и обычно преобразуемы в смысле Лапласа
в функции комплексной переменной, поскольку они возникают
в связи с физическими задачами.
Так как мы рассматриваем! уравнения с постоянными коэффи-
циентами, то, как будет показано ниже, достаточно применить
одно прямое преобразование к обеим частям уравнения, чтобы
устранить все интегралы и производные и учесть все необходимые
начальные условия.
Прямое преобразование Лапласа приводит is следующим заме-
чательным результатам: 1) интегро-дифференциальное уравнение
заменяется алгебраическим уравнением, которое решается методами
ТЕОРЕМА О
149
алгебры, и 2) более простое алгебраическое уравнение содержит
все сведения, необходимые для полного решения поставленной
конкретной задачи.
Для выполнения прямого преобразования Лапласа обе части
интегро-дифференциального уравнения умножаются на показатель-
ную функцию e~st, после чего производится интегрирование по I
в пределах от О до оо. Начало отсчёта для переменной f
выбирается, как уже указывалось в главе III, таким образом,
чтобы приходилось иметь дело только с положительными значе-
ниями t,
В главе IV преобразование Лапласа применялось к функциям,
удовлетворяющим определённым условиям. Для преобразования
интегро-дифференциальных уравнений потребуются три нижеследую-
щие теоремы, относящиеся к преобразованию операций, а именно:
1) теорема о преобразовании суммы функций, 2) теорема о пре-
образовании производной от функции, 3) теорема о преобразовании
интеграла функции.
§ 1.	Теорема 5. Линейность преобразования Лапласа
Если функции f (/<),	(0 и f2 О) преобразуемы по Лапласу
и имеют своими изобраэюениями F(s), F1(s) и F2(s) соответ-
ственно и а представляет собой постоянную или переменную
величину, не зависящую от t или з, то имеют место равенства
£ [af (ty] — aF (s)
И
«[/’1(0±/,2(0]=F1(S)=tF2(S).
(5.1)
(5.2)
Если функции F(s}, Fx(s) и F2(s) являются изобраэюениями
функций f (/), f1 (t) и f2 (i) соответственно и а представляет
вобой постоянную или переменную величину, не зависящую от s
или t, то имеют место равенства
Й"1 [a*7(s)]( = W(0,	*>0,	(5.1х)
а
2-1	(«)](=) Л	t>0.	(5.2')
Эта теорема выражает свойства линейности прямого и обратного
преобразований Лапласа. Её доказательство вытекает непосредственно
из свойства линейности интеграла, определяющего прямое преобра-
зованье/ и из определения обратного преобразования.
150
ПРЯМОЕ ПРЕОЫ’ЛЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. V
§ 2.	Теорема 6. Дифференцирование в области вещественной
переменной
Лели функция f(t) и её производная преобразуемы по
Лапласу и если f(t) имеет своим изображением Fip). то
+)•	(5.3)
При доказательстве этой -теоремы и в дальнейшем условимся
называть область изменения вещественной переменной вещественной
областью, а область изменения комплексной переменной — комплекс-
ной областью.
Теорема 6 устанавливает, что дифференцирование по незави-
симой переменной в вещественной области переходит в комплексной
области в умножение на комплексную независимую переменную
с точностью до постоянной слагающей /*(0 + ).
В интересующих нас задачах встречаются функции с конечными
разрывами непрерывности. Поэтому необходимо различать две
производные: производную, представляющую собой предел отноше-
ния приращений функции и независимой переменной при стремлении
приращения независимой переменной к пулю справа (производная
справа), и производную, представляющую собой предел того же
отношения при стремлении приращения независимой переменной
к нулю слева (производная слева). Если обе производные существуют
и равны между собой, то их общее значение называется просто
производной. В точках разрыва непрерывности мы будем интересо-г
ваться только производными справа, если не оговорено противопо-
ложное. Для обозначения производных будут применяться обще-
принятые символы или f (0.
Йо	•
Математическая формулировка теоремы 6 предусматривает воз-
можность скачка функции в начале отсчёта. Слагающая /(0 4-)
представляет собой то значение, которое функция принимает в на-
чале отсчёта (t — О) при приближении к началу со стороны поло-
жительных значений независимой переменной (справа). Для удобства
записи мы часто будем опускать знак после нуля, т. е. будем
писать ДО) вместо /*(0-4-).
Доказательство теоремы 6 следует, из формулы, определяющей
прямое преобразование Лапласа:
J st dt = F (s).
, 0
§ 2)
ТЕОРЕМА 6
151
Применим интегрирование по частям. Пусть в формуле
J udv = uv—J vdu, u	и dv = e~atdl.
Тогда
оо	ОО
J /•(„.-.< И = | — Л т |”+ ±	л -
о	о
S s J L J
0
Появление (0-H становится понятным, если ^вспомнить опре-
деление прямого преобразования (см. главу IV, раздел В). Нижний
предел е в интеграле, определяющем преобразование Лапласа, при-
ближается к нулю справа. Умножая обе части 'равенства на s к
перенося Г(О-|-) в левую часть равенства, получим
со
J[-^]e-^ = sF(s) — f(O+)	(5.5)
О
пли
как и утверждалось в теореме 6.
Повторным применением операции, выраженной формулой (5.5),
можно распространить теорему о дифференцировании в области
вещественной переменной на производные высших порядков, если
только они допускают преобразование Лапласа. Таким образом,
«[Г (0]=8Г(з)-Г(0),
g [f" (<)] = s [sF(s) — f (0)] -f' (0) = s*F(s)- AO) s-f' (0),
(5.6)
« [fW (<)] = s»F(s) — 2 f (*"n (0) s(w“*>,
§
где
И f<W (t)s=zf(t).
152	ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. V
§ 3.	Теорема 7. Интегрирование в области вещественной
переменной
Если функция f(t) преобразуема по Лапласу и имеет своим
изображением F(s), то её интеграл
t
(0 = / /(«) Л== J /(«) Л+ Л-1) (0 +.)	(5-7)
О
также преобразуем по Лапласу, и имеет место равенство
g[J	(&.8)
Теорема 7 устанавливает, что интегрирование по независимой
переменной в вещественной области переходит в комплексной об-
ласти в деление на комплексную переменную с точностью до посто-
янной слагающей /X"1) (О-(~), поделённой на комплексную пере-
менную s.
Допустимость преобразования Лапласа для интеграла от какой-
нибудь функции при условии, что сама функция допускает то же
преобразование, следует из рассмотрения условий допустимости
преобразования Лапласа. Пусть функция f(t) определена и одно-
значна почти везде в области t^-O. Тогда интеграл от этой функции
в той же области будет также определим и однозначен.
Если можно найти такое вещественное число а, что интеграл
произведения	сходится абсолютно в области (^>0, то
можно также найти и другое вещественное число <з, такое, что
интеграл произведения е~J f (t) dt сходится абсолютно в обла-
сти £>-0. Таким образом, интеграл функции f(t), как удовлетво-
ряющий этим трём условиям, допускает преобразование Лапласа.
Так же как и в теореме 6, в теореме 7 предусматриваются
действия с функциями более сложного вида, чем обычные непре-
рывные функции. Если fC-1) (/) имеет скачок в начале, постоянная
интегрирования /Х-1> (0+) представляет собой значение при
приближении t к началу с положительной (правой) стороны. Для
сокращения записи знак Ц- будет в дальнейшем опускаться.
Доказательство теоремы следует из интегрального определения
прямого преобразования:
J f (() e~st dt — F (s).
о
Применим здесь подстановку, обратную той, которая была
сделана при доказательстве теоремы 6, т. е. положим в выражении
fudv — w— j vdu, u — e.~at и dv = f(t)dt.
§ 4]	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА	153
Получаем:
=	+ s J [J f(t)dt^e~stdt =
О	0 о
co
= _y(-i)(O4-) + s J[J /•(Осйр-^сИ. (5.9>
0
После деления на s и перестановки членов выражение (5.9)
принимает следующий вид:
или
оо
/[/га4-й=^+е2^+>
О
(5.10)
как и утверждалось в теореме 7.
Теорему об интегрировании в области вещественной переменной
можно распространить путём повторного применения на интегралы
высших порядков. Пусть /Ч-0) (t)=f (0 и (£) = j*... J f(t) (dt)K
Пользуясь этими обозначениями, получаем:
го,-» (0]=4+4м,
о [/<-«> (()1=qa+	+
(5.П>
п
Й=1
§ 4.	Дифференциальное уравнение второго порядка
Применим формулы преобразования Лапласа, известные нам для
некоторых функций и операций, к дифференциальному уравнению»
A^+B^+Cy^f(t), У^У^>	<5-12>
в котором А, В и С являются известными постоянными. Неизвест-
ной здесь является функция времени у (<), а известной (заданной) —
функция времени f(t). Начальные значения неизвестной функции:
а её первой производной соответственно равны у(0) и у'(0).
154	ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. V
Применяя метод преобразования впервые, мы проследим его
более детально, чем это необходимо делать в дальнейших приме-
нениях.
Применим прямое преобразование к обеим частям уравнения
(5.12):
« [ 4 g + В + Су] = 8 [/(/)].	(5.13)
Будем считать, что заданная функция f (£) преобразуема в смысле
Лапласа. Обозначим её изображение через F(s).
Так как искомая функция y(t) и её первая и вторая произ-
водные неизвестны, то может возникнуть вопрос: как узнать, до-
пустимо преобразование левой части уравнения (5.12) по Лапласу или
нет? На данной стадии решения задачи нельзя дать ответа на этот
вопрос, но решение можно продолжать, предположив, что уравне-
ние (5.12) имеет своим решением ?/(<). Примем, далее, что это
решение допускает преобразование Лапласа, и пусть
8[У(0]^Л®)-	(5-14)
Как и в большинстве других методов решения, доказательство
того, что у (0 действительно является решением уравнения (5.12),
состоит в том, что у (f) удовлетворяет не только исходному диф-
ференциальному уравнению, но и предписанным начальным усло-
виям. Y (з) условимся называть изображением неизвестной функ-
ции.
Производные у' (0 и у" (t) будем также считать преобразуемыми
в смысле Лапласа. Применяя к ним теорему 6, получаем:
g[y"(f)]=s2y(s)_y(0)s — /(0). J (	'
Выражения (5.15) показывают, каким образом в процессе пре-
образования натальные условия включаются в решение уравнения.
Вернёмся к уравнению (5.13). Пользуясь теоремой 5, распро-
страним операцию преобразования на три члена левой части урав-
нения
08 М == 8 ^(0].
Подставляя соответствующие выражения из (5.14) и (5.15),
получим:
А [зЗУ (з) - у (0) з- у' (0)] + В [sY(s) - у(0)] +
+ СУ(з) = Г(з),	(546)
•что может быть преобразовано в
(Лз» 4- Вз 4- С) У(з) = F (з) + у (0) (43 + В) + у' (0) А- (5.17)
§ 4] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА	.155
Алгебраическое уравнение, подобное (5.16) или (5.17), которое
получается в результате прямого преобразования дифференциаль-
ного, интегро-дифференциального пли разностного уравнений, мы
будем называть уравнением изображений.
Коэффициент при Y ($), обычно имеющий вид многочлена (в дан-
ном случае	будет в дальнейшем называться харак-
теристической функцией, так как он полностью характеризует
физическую систему, описанную дифференциальным уравнением.
Характеристическая функция отражает внутренние связи (геомет-
рию) системы. В неё входят также постоянные коэффициенты
уравнения. Уравнение, которое получается, если приравнять харак-
теристическую функцию нулю, носит название характеристического
уравнения системы.
Решаем уравнение (5.17) относительно У($):
У0)=	fp(s) + //(0)(^+^)+/ (О) А]. (5.18)
Форма алгебраического решения (5.18) типична для Выражения
изображения неизвестной функции Y(s), а именно:
изображение неизвестной функции = системная функция X
X возбуждающая функция,
В данном примере системная (функция является величиной,
обратной характеристической функции. В общем случае она имеет
вид дроби, в которой характеристическая функция служит знамена-
телем. В системной функции содержатся все существенные сведе-
ния, касающиеся физической системы.
Возбуждатцая (функция включает в себя изображение задан-
ной *) функции и начальные условия. Она содержит все сущест-
венные данные о возбуждении системы.
Функция У (s) является изображением функции у (t), и для
неё может быть найдено алгебраическое выражение, если задан
вид функции f(t).
Применим обратное преобразование Лапласа к обеим частям
уравнения (5.18):
[Y0] =8-1 [ F(S) ±+ У'(0) А ] • (5-19)
Выполняя над левой частью уравнения (5.19) операцию, пред-
писанную символом 8-1, получаем для <>-0:
=	(5.20)
*) В данном случае F (з) представляет собой изображение заданной
Функции. В общем случае, в возбуждающую функцию входит изображение
воздействующей на систему функции (силы), которая может быть и не-
известна. (Прим, перев.)
156
ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
[гл. V
Если бы Y(s) оказалось алгебраической функцией такого вида,
как какое-нибудь из изображений, приведённых в таблице XIII,
его оригинал можно было найти сразу, воспользовавшись этой таб-
лицей. Но, поскольку У ($) является более сложной функцией, чем
те, которые имеются в таблице XIII, такой прямой метод опре-
деления оригинала не может быть использован. Аналогичное затруд-
нение возникает при обычном интегрировании, когда в имеющейся
таблице интегралов не удаётся найти интеграл такого же вида, как
и подлежащий вычислению. Затруднение можно обойти, если разло-
жить подинтегральную функцию на сумму более простых функций,
интегралы которых имеются в таблице. Отказ от такого приёма
по необходимости приводит к составлению длинных и громоздких
таблиц интегралов. Наше затруднение можно преодолеть таким же
способом, а именно: разложить изображение Y(s) на сумму более
простых изображений, каждое из которых может быть преобразовано
с помощью таблицы XIII.
В уравнении (5.20) осталась невыполненной последняя операция:
обратное преобразование Лапласа. Выполнение этой операции от-
ложим до ознакомления с некоторыми общими правилами обратного
преобразования, применимыми ко всем рациональным алгебраическим
выражениям. Изложению этих правил посвящена следующая глава.
В этой главе мы рассмотрим ещё ряд примеров, решение которых
будем каждый раз обрывать на последней операции обратного пре-
образования.
§ 5. Интегро-дпфференциальное уравнение
первого порядка
В качестве второго примера применим прямое преобразование
Лапласа к интегро-дифференциальномууравнению первого порядка:
Л-g+By + cJ ydt = f(t), y = y(t).	(5.21)
Начальные значения неизвестной функции y(t) и еб первого
интеграла заданы соответственно величинами у (0) и г/(-1)(О).	'
Последовательность действий при решении обыкновенного диф-
ференциального уравнения методом преобразования Лапласа была
изложена во всех подробностях в предыдущем параграфе. Здесь
мы ограничимся указанием только важнейших этапов решения.
Положим, что у (f), f(t) преобразуемы в смысле Лапласа,
at
и пусть
й[у(#)]^Г(а) и
Тогда на основании теоремы 6
s 1У(01 = sY(s)— у (0)
§ 6] УРАВНЕНИЕ ОДНОКОНТУРНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕЯИ	157
и на основании теоремы 7
Применяя теорему 5, получаем уравнение изображений
А [«У (4-У(0)] + BY(s) +С[1 У(5) + ^^] = F(s), (5.22)
которое можно переписать в виде
(лл + в +	(S) = F (s) 4- у (О) А -	. (5.23)
Характеристическая функция имеет здесь вид многочлена Лз2-{-
4- Bs С. Решая уравнение (5.23) относительно Y(s), получаем:
F(s) + y(p)A-y<-V (0)0-1-
У(з)  ------------------------*-.	(5.24)
Уравнение (5.24) можно представить в следующей форме:
изображение неизвестной функции = системная функция X воз-
буждающая функция.
Оно содержит все сведения, существенные для данной задачи.
По определению функция Y (s) является изображением функции у (t).
Следовательно, неизвестная функция у (t) находится применением
обратного преобразования Лапласа к функции Y (з).
Таким образом, для t ~А- 0 можно написать:
г/(0( = )8’1
F (з) + У (0) А — г/"1) (0) С -у
S
(5.25)
Дальнейшее решение состоит в разложении функции Y(s) на
сумму более простых функций и в нахождении с номощыо таб-
лицы XIII для каждой из этих простых функций оригинала, пред-
ставляющего собой некоторую определённую функцию времени.
§ 6. Уравнение одноконтурной электрической цепи
При разомкнутом рубильнике К в цепи фиг. 61 имеет место
установившийся раб ший режим. Рубильник К внезапно замыкается
в момент времени, когда приложенное синусоидальное напряжение
лмеет нулевое значение п положительную производную. В момент
замыкания, который примем за начало отсчёта £ = 0, в индуктив-
ности и ёмкости имеется некоторый запас энергии. Найдём изо-
бражение тока i(t) в цепи после замыкания рубильника.
158	ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. V
Начальные энергетические условия могут быть учтены заданием
начального тока в индуктивной катушке и начального напряжения
на конденсаторе. Пусть начальный ток катушки L имеет величину р,
а начальное напряжение на конденсаторе С—величину у. Напра-
вление р и полярность у указаны на схеме.
Интегро-дифференциальное уравнение для цепи фиг. «61 имеет
вид
L Ui-|- ~jj Jidt = ит8й1о>^, i==i(t).	(5.26)
Введём в уравнение (5.26) начальное условие для ёмкости
t
L^- 4- Bi + тг f i dt = Um sin «4 -J- y. (5.27)
WC	U J
0
По таб.ице XIII (строки 1 и 3) находим:
й [Um sin ^t + у] =	-f- ±.	(5.28)
8 -f- Ю1 «
Применим прямое преобразование к уравнению (5.27), полагая
при этом 8 [г (/)] =1 (s):
iK(s)_^(O)]+J?l(s)~|-X	=	+	(5.29)
8 -f-	5
Заметим, что применение прямого преобразования к уравнению
(5.26) вместо (5.27) дало бы такой же результат. При преобразова-
нии неопределённого интеграла началь-
—Г(б—ное напряжение на конденсаторе вво-
J V*	Г J дится на основании теоремы об инте-
Л грировании в области вещественной
" Г__________J переменной. Поэтому нет надобности
вносить начальное напряжение кон-
Фиг. 61.	денсатора в интегро-дифференциальное
уравнение. На первое время, однако,
нам кажется более удобным вводить начальное напряжение конден-
сатора непосредственно в интегро-дифференциальное уравнение, по
крайней мере до тех пор, пока не появятся некоторые навыки
в чтении уравнений изображений.
После группировки членов уравнение (5.29) принимает следую*
щий вид:
[£<+B+4P« = l^ + i(C>£ + |- (Мв)
§ Ч]
УРАВНЕНИЯ ДВУХКОНТУРНОЙ ЦЕНИ
150?
Но i (О) =— р. Знак минус появляется, вследствие того, что-
начальный ток в катушке L направлен против направления обхода
контура.
Решаем уравнение (5.30) относительно I(s):
Т( 1 = г7том1/(^ + °ф —+	= итш18— (pbs —7)(g2 + <>?)
W	Ls + R + l/Cs	(4.2 + <o2)(jLs2_|__Bs_|_1/0 ' ' ' /
Применяя обратное -преобразование к уравнению (5.31), полу-
чаем для f^-0:
;(<)(-(6.32)
L (s +ш1)(Ь8	•#«+ l/О) J
Решение доведено до последней операции: до выполнения обрат-
ного преобразования.
§ 7. Уравнения двухконтурной цени
цепи были составлены в g 5-
Фиг. 62.
На фиг. 62 показана схема двухконтурной цепи. Интегро-диф-
ференциальные уравнения для этой
главы II. Эде, действующая в кон-
туре 1, равна и (t) = Um cos w
Начальное напряжение конденсатора
С2 имеет величину у и указанную
на схеме полярность. Начальный
ток в Д имеет величину р и
отмеченное на схеме направление.
Найдём изображения контурных
токов.
Интегро-дифференциальные уравнения этой цепи были даны
в главе II [уравнения (2.17J. Перепишем их ещё раз:
t	t
-4- ;V) [iidl — тг I i2dt — cos w/-J-T,
л W1 ’ V2/ J	J
0	0
i	t
- i J +J-. й+M + s .f *.«—
о	0
(5.33)
По таблиц».- ХШ (строки -1):.
« [Л',„ cos <«./] = i'm -r2— s U(S).
160
ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
[гл. V
Применим прямое, преобразование к уравнениям (5.33), причём
обозначим изображения г/f) и г2(0 через Ir (з) и J2(s) соответ-
ственно
ВД (») + (i + Ш - <r^2 Ы = ад + -Ь
(5.34)
Группируем члены в уравнениях (5.34), заменяя одновременно
з2(0) на —р:
+(-57 + iH]	= v (О +Ь j
1	/	1\ к	7	<5-3б>
--C^A(S) +(^15 + ^2+ Cj)^2(S)— РД	]
Теперь целесообразно ввести новые обозначения, упрощающие
запись. Они окажутся полезными при решении как этой задачи,
. так и других аналогичных задач.
Обозначим:
W	щ;’ ^12 (5) — ^21 ($) —	(5.36)
(s) == PA f" •	
В обозначениях (5.36) zlt (з) и #22 (а) являются собственными
функциями сопротивления контуров 1 и 2, соответственно,
г12(з) = ^21 (з) представляет собой взаимную функцию сопротивле-
ния контуров 1 и 2.
Нетрудно заметить, что эти импедансные функции могут быть
получены непосредственно из интегро-дифференциального урав-
нения, если заменить в нём оператор дифференцирования
е
на з, а, оператор интегрирования [ ]dt на з-1. Более того, они
о
могут быть написаны непосредственно на основании схемы соеди-
нения элементов цепи, без записи интегро-дифференциальных урав-
нений.
§ 7]
УРАВНЕНИЯ ДВУХКОНТУРНОЙ ЦЕПИ	161
Сокращённые обозначения (з) и ($) будем называть возбуж-
дающими функциями контуров 1 и 2, соответственно. Возбуждаю-
щая функция для каждого данного контура представляет собой
алгебраическую сумму изображений эдс, действующих в контуре,
произведений начальных токов на соответствующие индуктивности
и начальных напряжений конденсаторов на множитель s-1. Сумми-
рование производится при обходе данного контура в определённом
направлении. При этом изображениям эдс приписываются те же
знаки, какие нужно было бы приписать самим электродвижущим
силам (оригиналам) при составлении уравнений Кирхгофа для
напряжений в контуре.
Знак произведения начального тока на индуктивность опреде-
ляется направлением начального тока: если оно совпадает с на-
правлением обхода контура, то произведение входит в сумму со
знаком -J-.
Произведения, получающиеся при наличии взаимной индуктив-
ности, рассматриваются в § 8. Начальные напряжения конденса-
торов входят со знаком+ , если при переходе от одной пластины
конденсатора к другой имеет место повышение потенциала в напра-
влении обхода контура.
Используем обозначения (5.36) в уравнениях (5.35).
Получаем:
*T1 (з) Л (з) + *!2 (Ю1а (S) =	(®)> 1
*2! (*) А («) + h СО = ^2 (3)- /	(	’
Уравнения изображений (5.35) и (5.37) описывают эквивалент-
ную схему, одинаково пригодную для анализа как переходного,
так и установившегося состояний.
Вместо обычных источников и
пассивных элементов В, Ln S
элементы такой схемы изобра-
жают собой контурные возбуж-
дающие функции, и функции со-
противления. Неизвестными яв-
ляются изображения контурных Фиг. 63. Схема для изображений,
токов. Такие схемы мы будем соответствующая схеме фиг. 62.
называть схемами для изображе-
ний. Подобная схема приведена для примера на фиг. 63. Заметим,
что в контур 2 включена возбуждающая функция jE2(s), хотя в этом
контуре не было никаких эдс.
Очевидно, что схему для изображений можно составить прямо
по данным поставленной задачи и начинать с неё поиски решения
для установившегося и переходного состояний, не прибегая к соста-
влению интегро-дифференциальных уравнений и последующему их
преобразованию.
11 Зак. 1977. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
162
ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
[гл. V
Решая уравнения изображений (5.37) относительно Е (а) и
72(з) методом подстановки, получаем:
W =	(») + W
где
Д (s) =	(s) г22 (a) — 4a (s).
(5.38)
В целях дальнейшего упрощения записи введём ещё следующие
обозначения:
-Гц W — д(в) ,
22 (S) — Д1^)) »	|	(5.39)
у /(Л  у /»'! 	г21 (e)   г12 (S) I
121(S) —Г12(в)_ Д(в) — Д(в) , ]
Уп (s) [ ^ 22 (s)l представляет собой входную функцию проводимости
первого [второго] контура при коротком замыкании второго [пер-
вого] контура. У21 (а) представляет собой передаточную функцию
проводимости короткого замыкания для контуров 1 и 2*).
Вводим обозначения (5.39) в уравнения (5.38):
71(а) = Уп(а)^(а)+У12(а)^2(а), |
72(з) == У21 (S) Ех (а) + У22 (а) Е2 (a), f <5Л0>
Из уравнений (5.40) видно, что для полного определения изоб-
ражений Ij(a) и 72(а) двух неизвестных функций данной двухкон-
турной цепи требуются три системные функции Уп(а), Ум(а) и
У2!(а) и две возбуждающие функции ^(а) и Е2(з).
Обратное преобразование уравнений (5.40) даёт для О 0:
i1(0( = )2"1 [Ун (s)£i («)•+ Y12(s)E2 (а)], |
г2(0( = )ГЧГ81(в)Д(в)+Г22(«)^9(»)]- /	( °
Решение оставляем в форме двух подлежащих выполнению
обратных преобразований.
♦) Под передаточной функцией проводимости короткого замыкания здесь
понимается отношение изображения тока короткого замыкания одного из
контуров к изображению эдс. действующей в другом контуре (при нуле-
вых начальных условиях). (Прим. персе.)
§ 8] УРАВНЕНИЯ ДВУХКОНТУРНОЙ ЦЕПИ СО ВЗАИМОИНДУКЦИЕЙ 163
§ 8. Уравнения двухконтурной цепи со взаимоиндукцией
В двух предыдущих параграфах было показано, каким образом
в уравнения изображений для электрической цепи вводятся началь-
ные условия, определяемые начальным запасом энергии в индуктив-
ностях и ёмкостях. В этом параграфе рассматривается цепь, содер-
жащая взаимную индуктивность с начальным запасом энергии.
В. качестве примера воспользуемся цепью фиг. 64, интегро-диффе-
ренциальные уравнения ко-,
торой были составлены в § 7
главы II. К цепи приложено
напряжение Um cos (o^f-]-ф).
Начальный ток в 12 и 18,
имеет величину р и направ-
ление, отмеченное на схеме.
Найдём изображения кон-
турных токов.
Перепишем уравнения цепи фиг. 64 [см. (2.21)] с соответствую-
щими знаками перед членами, относящимися к взаимоиндукции:
(L. + Z8) -g- + (Д + Rs) Ч - (= О,
- (Z8+IH)	+ (Х2 + L3)	+ (Д, +2?3) ц =
= Um COS («!« + '!').
(5.42)
Начальные условия: г\ (0) = 0 и ?2 (0) = — р.
Согласно уравнению (4.20)
2 [Um cos («!< + ф)] =	U (s),
где
д == Um cos ф н h = — Um sin ф.
Обозначая изображения £,(0 и «2(0 через I. (s) и I2 (з), полу-
чаем после применения прямого преобразования к уравнениям (5.42):
(Zi Ч~ Z8) s/j ($) (Ri R%) It (5)
— (Z3 4- >) [$I2 (s) — i2 (0)] — Z8I2 (s) = o,
— (Z8+M) si. (s') — ВД (s) 4-
4-\Z2 + Ze) № (S) — ?2 (0)] + (R-2 + Rs) Ц (s) =U(S).
(5.43)
11*
164
ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. V
г1(О) = О и поэтому опущено в уравнениях (5.43). Подставляя
г2(0) = — р и группируя члены, получаем:
[(Д + Д>) 3 Н- 4- h (*) - [(i8 + М) S.+ Б8] 12 (а) =
= (Д + 31)р, '
—	ДЛ Л (5)~Ь[(^2Ч“ ^з) s 4~ Д (5)=
= V ($) — (Д+-L3) р.
(5.44)
Собственные и взаимные функции сопротивления для рассматри-
ваемой цепи представляются в виде
(5) = (ii + -L3)s4~ -^1 +
^22 (5) — (^2 + А) 5 + ^2 +
(S) = ^21 (3)	- К^З + » S + йз] .
Возбуждающие функции контуров равны:
Ui (§) = (z3 4~ м) р> 1
ЗД^НД + ^з) р. J
(5.45)
(5.46)
Правила составления выражений для возбуждающих функций,
изложенные в предыдущем параграфе, могут быть теперь дополнены
Фиг. 65. Схема для изображений,
соответствующая схеме фиг. 64.
указаниями о выборе знаков про-
изведений начальных токов на коэф-
фициенты взаимоиндукции. Про-
изведение г2 (О) М входит в выра-
жение для Д(Ю со знаком+>
если при уменьшении начального
тока г2(0) в контуре 2 в контуре 1
наводится эдс, действующая в на-
правлении обхода этого контура.
Аналогичным правилом опреде-
ляется знак произведения (0) М
в выражении для E2(s), Это пра-
вило действительно также для случая трёх и более индуктивно-
связанных контуров. Во всех случаях алгебраическая сумма произ-
ведений вида i(0)Z и г(О)Л£ в выражении E(s) для любого
контура представляет собой полное потокосцепление этого контура
при ^==о + .
Окончательно можно записать уравнения изображений в следую-
щем виде:
^11 (5) Il (S) "Т ^12 (5) ^2 (s) — Д (S)’ |
*^21 (5)	(5) 4“ ^22 (5) ^2 (5) = -®2 ($)• )
(5.47)
§ 9]	УРАВНЕНИЯ ЦЕПИ С ОДНОЙ ПАРОЙ узлов	165
Соответствующая схема для изображений показана на фиг. 65.
Уравнения (5.47) решаются относительно 1г (s) и I2(s) так же>
как были решены уравнения (5.37) в § 7.
§ 9. Уравнения цени с одной парой узлов
В трёх рассмотренных выше примерах уравнения электрической
цепи составлялись как контурные уравнения. В этом параграфе
преобразование Лапласа применено к уравнению цепи, составлен-
ному по методу узловых напряжений.
Цепь, изображённая на фиг. 66, идентична с цепью фиг. 13,
интегро-дифференциальное уравнение
главы II. Замыканием рубильника К
в момент времени t = 0 конденсатор
с начальным напряжением, отличным
от нуля, подсоединяется it параллель-
ной цепи, состоящей из источника
постоянного тока I, инверсной индук-
тивности, по которой протекает . на-
чальный ток, и проводимости. Пусть
начальное напряжение конденсатора С
имеет величину у, а начальный ток инверсной индуктивности Г —
величину р. Полярность у и направление р показаны на схеме.
Составим выражение для изображения узлового напряжения u(t).
Перепишем для удобства уравнение дайной цепи [см. уравне-
ние (2.26)]:
C''S + Gw + Pf udt = I.	(5.48)
которой было дано в § 11
и
Фиг. 66.
Вводим в уравнение начальный ток р:
t
Г ^udt = Г J и	(5.49)
о
Начальный ток в Г направлен от узла н поэтому входит
в выражение (5.49) со знаком 4“.
t
C^-YGu-^r j* udt = I—?.	(5.50)
О
Обозначим изображение u(t) через U(s). Применение прямого
преобразования к уравнению (5.50) даёт:
C[sI/(S)-«(0)]+G?7(S)+YlZ(S) = |-f.	(5.51)
166
ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
[гл. Y-
Но и (0) =^= + 7, поскольку начальный заряд конденсатора С
сообщает узлу положительный потенциал относительно узла отсчёта
потенциалов. Таким образом, уравнение (5.51) переписывается
в следующем виде:
(с'5 + &+т)^(«) = 7 + 7С-^-.
(5.52)
Заметим, что при пользовании методом узловых напряжений
начальный заряд конденсатора уС играет роль начального потоко-
сцепления в методе контурных токов, а начальный ток р соответ-
ствует начальному напряжению на конденсаторе.
Решим уравнение (5.52) относительно U(s):
U(4\—	s _ yCs+ (J—?)
u cs+G+r ~ ™+Gs + г•
1	' s
(5.53)
Применяя обратное преобразование к уравнению (5.53), полу-
чаем для £>О:
40(°)r'[g+g,y?.].	(6.64)
На этом прекращаем решение задачи.
§ 10. Уравнения механической системы с двумя степенями
свободы
Применение преобразования Лапласа к уравнениям механической
системы рассмотрим на примере системы с двумя степенями сво-
Фиг. 67. Переме-
щения рамы пред-
ставляют собой
вынужденные за-
тухающие колеба-
ния.
боды, изображённой на фиг. 67. Эта система бы-
ла описана в § 21 главы II. Там же были да-
ны её дифференциальные уравнения [уравне-
ния (2.60)]. Запишем ещё раз эти уравнения и
дополняющие их начальные условия:

~г	~dt' +	~~	’
+ (К 1 + К2) ж2 = В2	+1^3,
у(5.55)
и
ж1(0)=а1,	«1(0) = — &!,.)
«2(о) = — а3, «з(0) = &2. j (о«°в>
Заданное перемещенце «gssX^e-^sina»^.
§ Ю]
УРАВНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
167
Из таблицы XIII находим (строка 6):
2 sin а^] =	Ъ (4-
(« + 8) +<°1
Обозначим изображения х1 (/) и «2(<) через Xi(s) и X2(s) и
выполним прямое преобразование уравнений (5.55):
Л/, [s3Xj — »i(0) s — «1(0)] 4- Вг [sXj — «1 (0)] 4-XiXj—
— Х’]Х2 = Х1[зХ8 «3(0)],
(5.57)
— KtXt + M2 [s3X2 - «2 (0) s - 4 (0)] + X2 [sX2—«2 (0)] +
4~ (X, + X2) X2 = B2 [sX8 — «з (0)] 4- X2X3. .
Группируем члены
(M 1s®4- BiS 4- x,) x,—=
= 5,3X3 4-«! (0) (3^8 4- Xi) 4- x\ (0)	—«3 (0) X„
- KjXi 4- RM3 4-^4-	+^2)] x2 = (^4-^2) x84-
4- «2 (0) (>38 4- X2) 4- «2 (0) M2 — MO) #2-
(5.58)
Правые части уравнений (5.55) подвергнуты здесь прямому
преобразованию непосредственно в том виде, в каком они входят
в уравнения, без предварительной подстановки развёрнутого выра-
жения для «з и его первой производной как функций времени.
Таким образом, полнее используются преимущества метода преоб-
разования Лапласа, поскольку гораздо проще умножить на пере-
менную в комплексной области, чем выполнить дифференцирование
в вещественной области.
Подставим в уравнения (5.58) значения начальных условий из
выражений (5.56). Примем также во внимание очевидное равенство
«3(0) = 0; тогда уравнения (5.58) примут вид
Al (S) Х1 (8) 4-^12 GO Х2 (s) = Х1 (з), |
J>21 (4 GO 4-^22 (S) ^2 (4 = Е^> J
где
(s) = 21/132 4-As 4- x„
^22 (4 =	4-	+ (^1 4- г2),
Pl% (s) =/,21 (S) K-l>
El (s) s X1SX3 4- «1 (>rs 4- xt) — ftiJfi,
(5.60)
X2 (s) a (B^s 4- X2) X3	a2(J^s 4~ 52) -j- &2ЛГ2. j 
168	ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИИ	[ГЛ. V
Уравнения (5.59) можно решить алгебраически относительно
изображений Xi (з) и Х2 (s) и получить окончательный результат
с помощью обратного преобразования. Таким образом, получаем:
^(0( = )2-ЧА\(з)], |	.
Жо(0( = )2-1[Х2(8)]. J
Выражения (5.61) справедливы при t^O.
§ 11. Система из I интегро-дифференциальных уравнений
для Z-нонтурной электрической цени
До сих пор мы не решали одновременно более двух интегро-
дифференциальных уравнении. В этом параграфе будет рассмотрен
более общий случай системы из I интегро-дифференциальных урав-
нений. Эти уравнения будут содержать только первые производные
и однократные интегралы. Уравнения, содержащие производные
или интегралы более высокого порядка, встречаются редко и могут
быть сведены к системе уравнений рассматриваемого типа.
Пусть в /-контурной электрической цепи функции времени
г2, ..., обозначают I неизвестных контурных токов, а функ-
ции времени ut, и2, .. .,иг обозначают I известных эдс, действующих
в этих контурах. За положительное направление контурного тока
примем направление вращения часовой стрелки. Система интегро-
дифференциальных уравнений для этой цепи будет иметь вид
i	а
X	1, 2, . .. , 7, J (5.62)
к = 1	)
где
ft • • = JL/j	Паа 77— f dt,
Л Л dt I Л 1 j 3
ajk— Ljk ldj]£ J* dt, j
В выражении для ajk могут встретиться некоторые исключения
в отношении знаков (см. § 9 главы II).
Для общности примем, что каждому контуру j соответствуют
полное начальное потокосцепление и суммарное начальное на-
пряжение конденсаторов у,. Воспользуемся выработанной в § 7 и 8
последовательностью действий для учёта начальных потокосцепле-
нии и начальных напряжений конденсаторов в каком-либо из кон-
туров.
Пусть
и. Shj(O]^^.(s),	k,j=l,2, ..., L
§ 12] АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ИЗ I УРАВНЕНИЙ 16&
Прямое преобразование уравнений (5.62) даёт
= Ш J=1,2,...J,	(5.63)
Л —1
где
0s) s Ljjs ~Ь Rjj Ч~ >
(s) — Ljks — Rjk ~c^-s>	ЗФ^,
kj === полное потокосцепление в контуре j при t = О -р,	= сум-
марное напряжение конденсаторов в контуре j при t = О 4" •
Система уравнений изображений (5.63) содержит все существен-
ные сведения относительно цепи, электрическое состояние которой
описывается уравнениями (5.62); Она включает в себя все суще-
ственные параметры цепи, в ней отражены соединения элементов
цепи между собой, а также все возбуждающие действия, которые
в свою очередь включают в себя все эдс, действующие в цепи, и все
начальные условия. Другими словами, система уравнений (5.63)
представляет собой полную математическую формулировку физи-
ческой задачи в 2-изображениях. Первоначально эта задача форму-
лировалась с помощью интегро-дифференциальных уравнений, до-
полненных начальными условиями.
§ 12. Алгебраическое решение системы из I уравнений
изображений
Уравнения (5.63) представляют собой систему из I алгебраиче-
ских уравнений с I неизвестными функциями от s:Il9 12, ... ,
Решение такой системы уравнений относительно любого из
неизвестных, например относительно Ik (s), проще всего составляется
с помощью детерминантов.
Введём предварительно следующее обозначение:
Д (s) =
GO *12GO- • -*п СО
*2100 *22G0- • -*21 GO
(5.64)
*11 (s)	..zu(s)
A (s) == детерминант системы уравнений изображений. Порядок
его равен I. Величины % ($),	(s) и т. д. называются элемен-
тами детерминанта. Детерминант (5.64), в котором элементы &-го
столбца заменены возбуждающими функциями Ех, Е2, ..’. , Ег, где
Ег, ... , Ег — функции от s, обозначим через A7£(s). Тогда согласна
170
ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
[гл. v
известному правилу решение системы уравнений (5.63) представится
в следующем виде:
=	^== 1,2, .Г. ,	.	(5.65)
Детерминант может быть разложен в ряд по элементам любой
строки или столбца. Таким путём можно несколько продолжить
решение (5.65). Алгебраическое дополнение элемента детерми-
нанта Д (s) обозначим через Njk (s):
Njk(s)==( — 1)/+*
^11-••		А + 1 • • •	г11
1 • 	1 • Zj-19 Л-1	^-1> Л+1’ *	‘3j-V I
1 • ‘	’ ’ &j+19 Л-1	^’+1> Л+1* •	•у+1,1
^и...	Л-1‘ • «	к+1 • • •	sll
(5.66)
В выражении (5.66) для сокращения записи написано
вместо ($). Njk (s) образуется из Д ($) вычёркиванием строки
и столбца, содержащих элемент sJk, и умножением на (—1У<Л
Раскладывая в (5.65) детерминант Д& (s) по элементам fc-ro
столбца (элементами этого столбца являются возбуждающие функ-
ции Е), получаем:
Ь (*) =	(S) +^Г Д. (*) + •• • +^7?Г Е1 (*)• (5-67)
Коэффициентами уравнения (5.67) являются отношения алгебраи-
ческих дополнений к детерминанту системы. Введём для этих
отношений специальное обозначение, а именно:
Используя обозначение (5.68), можно записать:
г
1Д«)= S УЙД«)^(«),	£=1,2,... , Ji (5.69)
j=i
(з) представляет собой входную функцию проводимости
-закороченной цепи, рассматриваемой со стороны контура j.
Если в выражении (5.69) положить все возбуждающие функции,
кроме Ej(s), равными нулю, то можно написать для £ =j:
(5.70)
Уравнение (5.70) показывает, что Ку($) представляет собой
системную функцию, связывающую изображение тока в контуре j
с возбуждающей функцией этого же контура при равенстве нулю
ЗАДАЧИ
171
всех прочих возбуждающих функций. Функция Yjj(s) может Ныть
выражена через алгебраическое дополнение и детерминант со-
гласно (5.68). Однако, как показывает уравнение (5.70), она может
быть определена непосредственно по схеме для изображений,
составленной для данной цепи. В этом случае с функциями сопро-
тивления схемы обращаются так же, как с обыкновенными сопро-
тивлениями, встречающимися при расчётах установившихся процес-
сов: объединяют функции сопротивления, включённые параллельно
и последовательно, а также заменяют звезду эквивалентным тре-
угольником, и наоборот.
представляет собой передаточную функцию проводимости
короткого замыкания контуров j и к.
Из уравнения
Л 00=^ (я) Я, (я)	(5.71)
следует, что 1%-(S) представляет собой системную функцию, свя-
зывающую изображение тока в контуре к с возбуждающей функ-
цией в контуре j при равенстве нулю прочих возбуждающих
функций. Из (5.71) следует также, что функция Ykj(s) может быть
составлена путём: последовательно-параллельных комбинаций функ-
ций сопротивления непосредственно по схеме для изображений,
начерченной для данной'цепи.
Выбирая определённым образом обозначения и терминологию,
мы старались подчеркнуть тот факт, что соотношения между
изображениями являются не чем иным, как обобщением обычных
для цепей переменного тока соотношений установившегося режима.
Теория цепей хорошо известна для установившихся переменных
токов, но не для переходных процессов, когда приходится иметь
дело с символикой 2-изображений. Сходство уравнений, получаю-
щихся в обоих случаях, очевидно. Но метод изображений открывает
возможности таких обобщений в интерпретации как переходного,
так и установившегося режимов, которые далеко превосходят обыч-
ный анализ этих двух состояний электрической цепи. О другой
стороны, несомненно, что знакомство с теорией установившихся
переменных токов может оказать помощь в быстром составлении
системных функций, встречающихся в теории преобразования
Лапласа. Для того чтобы подчеркнуть тесную связь и обоюдную
пользу двух указанных подходов к анализу цепей, мы воспользо-
вались для метода преобразований Лапласа символикой и термино-
логией, аналогичными тем, которыми пользуются в теории перемен-
ных токов.
Задачи
5.1, Контакты реле К$- показаны на схеме (фиг. 68) для нерабочего
состояния. Реле Кг имеет две обмотки: обмотку 1 о малым числом вит-
ков Ni и низким сопротивлением и обмотку 2 о большим числом вит-
ков Nz и высоким сопротивлением. При замыкании рубильника Ki по
172
ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. V
обмотке 1 реле проходит значительный ток, обеспечивающий быстрое раз-
мыкание контактов Jf2, а затем устанавливается малый ток, достаточный
для удержания якоря реле во втя-
нутом состоянии. При размыкании
рубильника Iff имеет место за-
паздывание в замыкании контак-
тов 1Г2. Ампервитки срабатывания
Фиг. 69.
и отпускания равны соответственно
ние питания равно U вольт, ток постоянный.
а)	Составить выражение
в катушке 2
Ау и J.2, причём Л2<Л1. Напряже-
при замыкании
для изображения тока, возникающего
рубильника Ку. За начало отсчёта t = О
примите момент размыкания контактов К2.
б)	Рубильник Ку размыкается при
установившемся режиме цепи. Принимая
момент размыкания за начало отсчёта
t — 0, составить изображение для тока
в обмотке 2.
5.2.	Цепь, изображённая на фиг. 69,
находится в установившемся состоянии.
Рубильник К стоит в положении а.
В момент времени t = 0 рубильник пере-
ставляется в положение Ъ. Найти изобра-
жение напряжения w2 для
5.3.	Найти изображение напряжения
конденсатора иу в цепи, показанной на
фиг. 70. Начальные условия заданы на схеме
5.4.	Требуется заменить источник напряжения и последовательно
включённые с ним сопротивления (фиг. 71, а) источником тока с парал-
Фиг. 71.
и (t) ~ Um sin cdj/.
дельно включёнными проводимостями (фиг. 71, Ъ). Определить величину
этих проводимостей и найти соотношение между током и эдс источников,
оставляя неизменными ток на выходе iy и напряжение на клеммах иу.
Попытайтесь обобщить решение для случая произвольной пассивной
цепи с одним источником.
ЗАДАЧИ
173
5.5.	Если к двухполюснику с нулевыми начальными токами и заря-
дами приложено напряжение в форме единичного скачка
(г^ =!(/), т. е. и — 0 при и и = 1 при />0),
чо входной ток определяется выражением
i (t) = Кi + Rtf-** sin fit ампер,
где IQ и IQ—постоянные вещественные числа.
Фиг. 73.
21t+₽\
uyf
Радиана
Определить входную мощность в установившемся режиме, если к этому
двухполюснику приложено напряжение
и (t) = Ц\ sin wjZ 4~ 0,2Ui sin (Зсо^ + ф) вольт.
5.6.	На фиг. 72 показана экранированная лампа с колебательным
контуром в анодной цепи. Вследствие наличия постоянного смещения
переменное напряжение г/с, подведённое к сетке, вызывает в анодной
Фиг. 74.
цепи пульсирующий ток, изображённый на фиг. 73 жирной линией. Рас-
сматривая лампу как источник тока, составить изображение для анодного
напряжения.
5.7.	На фиг. 74, а показана схема генератора импульсных напря-
жений, применяемого для исследования защиты линий передач от пере-
напряжений. При разряде генератора в отсутствии нагрузки на клем-
мах тп напряжение и (0 на этих клеммах имеет вид w (t) = ит (e~at — e~bt),
где Um, а и Ъ являются положительными вещественными числами.
Функция сопротивления генератора со стороны клемм тп во время раз-
ряда имеет постоянное значение, которое обозначим через R.
На фиг. 74,5 изображена эквивалентная схема генератора, рассматри-
ваемого с клемм тип. Считая Сь С2, и 1>2 заданными, найти соотноше-
ния между Д L, С фиг. 74, а, при которых действительна схема замещения
фиг. 74, 5.
174
ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. V
Начальные запасы энергии всех элементов, кроме G^ равны нулю.
На конденсаторе Gi имеется начальное напряжение у,
5.8.	Рубильник К схеме фиг. 75 размыкает цепь при установившемся
режиме. Найти изображение напряжения, возникающего после размыкания
на среднем конденсаторе С.
Решение можно оставить в форме отношения детерминантов
Uq = 300 вольт, L = 2 • 10”3 генри,
В = 10 ом, G = 5 • 10-9 фарад.
5.9.	На фиг. 76 показан вал, на одном конце которого насажен диск
с моментом инерции J\, а на другом конце — демпфер, состоящий иэ
Фиг. 75.
Фиг. 76.
медного барабана с моментом инерции J2 и маховика с моментом инер-
ции J*3, расположенного внутри барабана. Внутренний маховик выполнен
из алюминий-никель-кобальтовой стали, отличающейся высоким остаточ-
ным магнетизмом. Перемещение маховика относительно барабана сопро-
вождается наведением в барабане токов Фуко,
тормозящий момент которых представим как
крутильное сопротивление Б. Крутильная
жёсткость вала равна К.
BpSMH
 дпуска пара * 
2а
а + b ;
/ а-с	(j+i
a-b	а
_________ Время
одного оборота
Фиг. 77.
К диску системы, находящейся в состоянии покоя, прикладывается’
в момент времени t = 0 крутящий момент г (t) = Тт cos
Найти изображение для угла закручивания вала на участке между
диском и демпфером.
Численные значения (в какой-нибудь определённой системе единиц)
следующие:
Ji = 100,, К == 50,
J2 = 8, В = 1, 2, а>х = 3,
J3 — 40, Т = 1,2.
5.10.	Основное уравнение движения турбинной лопатки, на которую
действует пульсирующая нагрузка (нагрузка пульсирует вследствие пре-
ЗАДАЧИ
175
рывистого впуска пара), имеет вид
at* at
Один период функции f (/) показан на фиг. 77.
а)	Найти изображение для х в интервале, соответствующем одному
обороту, считая известными начальные значения х и хг.
б)	Как можно было бы найти изображение для х при квазистационар -
ном режиме лопатки и неизвестных начальных значениях х и xf [под
квазистационарным режимом понимается такое движение лопатки, которое
будет иметь место при длительно повторяющемся воздействии на неё
силы /*(*)].
5.11.	На фиг. 78 показана схема инвертера с двумя анодами и с актив-
ной нагрузкой. Принимая за начало отсчёта t = 0 момент времени, когда
прекращается работа анода 2 и ток проходит только через анод 1, рас-
смотреть один полупериод действия инвертера. Начальные значения токов
в катушках и начальное напряжение на конденсаторе указаны на схеме.
Постоянное падение напряжения в дуге вычтено из напряжения источника.
Результирующая разность потенциалов обозначена через и0. Для упроще-
ния задачи цепи управления сетками на рисунке не показаны и рассмот-
рению не подлежат. Для рассматриваемого полупериода найти:
а)	Собственные и взаимные функции сопротивления контуров.
Ъ)	Входную и передаточную функции
проводимости короткого замыкания кон-
туров.
с)	Возбуждающие функции контуров.
d)	Изображения контурных токов.
5.12.	На фиг. 79 представлено симмет-
ричное мостовое звено корректирующей
цепи, ограниченное на входе и выходе u(t)
сопротивлениями 1?. Начальный запас
энергии звена равен нулю.
п С *
Фиг. 79.
а)	Найти: 1) изображение входного тока гь 2) изображение тока на
выходе ?2, 3) входную функцию проводимости при коротком замыкании на
выходе, 4) передаточную функцию проводимости короткого замыкания
на входе или выходе.
Ъ)	Повторить решение пункта а) для двух звеньев.
Это задание можно выполнить, исходя из физических соображений и
основываясь на результатах, полученных для одного звена.
• с) Выписать отношение изображений выходного и входного напряже-
ний для п звеньев. Исследовать это отношение, задаваясь изменением
мнимой части независимой переменной s в комплексной плоскости, т. е.
начертить графики изменения величины отношения и его фазового угла
в зависимости от «о. На основании полученных графиков сформулировать
словами электрические свойства рассматриваемой цепи.
ГЛАВА VI
ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
РАЦИОНАЛЬНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ
В главе V было показано, что прямое преобразование системы п
линейных интегро-дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами и одной независимой переменной приводит к си-
стеме из п линейных алгебраических уравнений.
Решение этой системы относительно изображения какой-либо
из неизвестных функций вообще имеет следующий вид:
' изображение 1	™	,
неизвестной = V [системная] v [возбуждающая] ,
функции Jfe I функция ]ъА[ функция	1,^, . .
Системные функции, входящие в вышеприведённую сумму,»
являются алгебраическими функциями от s. То же можно утвер-
ждать в отношении возбуждающих функций при условии, что
заданные функции (силы) являются постоянными, экспонентами,
синусоидами, целыми положительными степенями независимой
переменной, произведением либо суммой функций указанного вида,
короче, любыми функциями из числа приведённых в строках
1—12 таблицы XIII. Так как произведение двух рациональных
алгебраических функций также является рациональной алгебраиче-
ской функцией, то изображение неизвестной функции представляет
собой рациональную алгебраическую функцию.
При решении системы линейных интегро-дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами и заданными началь-
ными условиями методом преобразования Лапласа, последняя опе-
рация состоит в обратном преобразовании разнообразных изо-
бражений искомых функций. Если указанные выше ограничения
в отношении вида заданных функций (сил) соблюдаются, то
проблема получения окончательного решения сводится в основном к
обратному преобразованию рациональных алгебраических функ-
ций от s.
§ 1] связь между видом Функции И ПОЛОЖЕНИЕМ ПОЛЮСОВ 177
§ 1. Связь между видом функции f(t) и положением
полюсов её изображения F(s)
Изучению алгебраических дробей в общем виде целесообразно
предпослать обзор соответствий между изображениями и оригина-
лами, приведённых в таблице XIII. Такой обзор даст нам ряд сведе-
ний, особенно полезных для физической интерпретации изображений,
получающихся при решении линейных интегро-дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами и одной независимой
переменной. В нижеследующих пояснениях к таблице XIII положе-
ние полюса изображения указывается на комплексной плоскости,
а вид оригинала определяется для области t 0.
Соответствие 1 показывает, что простой полюс в начале ко-
ординат на комплексной плоскости соответствует постоянной
величине в вещественной области.
Из соответствия 2 следует, что простой полюс на отрицатель-
ной вещественной полуоси соответствует в вещественной области
убывающей экспоненте. По мере смещения полюса по отрицатель-
ной вещественной полуоси к началу координат и далее по поло-
жительной вещественной полуоси соответствующая функция вре-
мени (оригинал) меняет свой вид, превращаясь из убывающей
экспоненты в постоянную величину и затем в возрастающую экс-
поненту.
Соответствия 3, 4 и 5 показывают, что пара простых сопря-
жённых полюсов на мнимой оси соответствует синусоидальным
функциям. Если эти сопряжённые полюсы лежат вне оси, в левой
половине комплексной плоскости, как, например, в соответствиях
6, 7 и 8, то соответствующая функция времени (оригинал) пред-
ставляет собой колебания, затухающие по экспоненциальному
закону.
Если же полюсы лежат в правой полуплоскости, то соответ-
ствующий оригинал представляет собой колебания, нарастающие
по экспоненциальному закону.
Из соответствия 9 видно, что полюс второго порядка в начале
координат соответствует в вещественной области линейной зави-
симости. Если же полюс имеет более высокий порядок, то, как
видно из соответствия 10, оригинал представляет собой степенную
функцию такого же порядка.
Если полюс второго порядка лежит на отрицательной веще-
ственной полуоси, то, как следует из соответствия 11, оригинал
представляет собой произведение линейного множителя на убываю-
щую экспоненциальную функцию. Если полюс имеет более высокий
порядок, то, как показывает соответствие 12, произведение
в вещественной области (оригинал) должно быть составлено из
степенной функции и убывающей экспоненциальной функции. Оба
соответствия, 11 и 12, также показывают, что если полюс
12 Зак. 1977. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
178	обратной преобразовании ДРОБЕЙ	[гл. VI
высокого порядка находится на положительной вещественной по-
луоси, то экспоненциальный множитель в соответствующем ориги-
нале является нарастающим.
Характер изменения соответствующей функции времени (ори-
гинала) в связи с перемещением полюсов её изображения F(s) по
какому-нибудь заданному пути представляет несомненный интерес.
Умение находить связь между оригиналами и изображениями,
полюсы которых расположены определённым образом на ком-
плексной плоскости, окажется полезным при пользовании методом
преобразования Лапласа. В этом открывается новый, отличный от
обычного подход к изучению характеристик и к анализу поведе-
ния физических систем под действием заданных возбуждений.
§ 2. Общий случай рациональной алгебраической дроби
Общее выражение рациональной алгебраической дроби можно
представить в следующем виде:
А (s) __ арзР + ap-xsP-1 + • • • +	+ «о
F(S)-B(8)_- 8«+Ьд_185-1 + ...+Ь18 + Ь0 ’	( Л)
где а, Ъ — вещественные постоянные, р, q — положительные целые
числа, A (s), В (s) —полиномы относительно s, т. е. выражения, пред-
ставляющие собой целые функции s. Для удобства коэффициент при
высшей степени s в полиноме В (s) приведён к единице путём
деления всех коэффициентов в числителе и знаменателе на посто-
янную.
В зависимости от соотношения между числами р и q можно
различать два случая:
а)	Если p^q, то F(s} является неправильной дробью. Тогда
A (s) можно разделить на В {$) и продолжить деление до тех пор,
пока в остатке не получится правильная дробь.
Так, например, если jp = g-p 1, деление даёт
'	(«.2)
где Ко, К\— постоянные, а —правильная дробь.
Тогда
S-I[4$] = g’1[2ris] +2‘1Ио] + 2-1[4^)]«	(6.3)
Выражение (6.3) содержит два обратных преобразования, кото-
рые ещё не встречались: 1) обратное преобразование постоянной
величины 7Г0, 2) обратное преобразование положительной целой
8 3]	вбв полюды ПРОСТЫЕ	179
степени з. Рассмотренные в главе IV соответствия изображений
и оригиналов не охватывают этих случаев. Поэтому отложим обрат-
ное преобразование неправильных дробей F(s) до § 9 главы УШ.
Ъ)	Если р < q, то F (з) является правильной дробью.
Рассмотрим отдельно следующие случаи: 1) все полюсы F(s)
простые, 2) некоторые или все полюсы F(s) кратные.
§ 3. р < д. Все полюсы простые
Согласно (6.1) положение полюсов функции F(s) определяется
корнями уравнения В (з) = 0. Обозначим q корней уравнения
В (з) = 0 через sx, s2, ..., sq и будем считать, что среди них крат-
ных корней нет. Предположим, далее, что A (з;.) ф 0,7с = 1, 2, ..., q.
Предположение об отсутствии кратных корней достаточно для того,
чтобы функция F(s) имела только простые полюсы. Полагая
A (sk) ф 0, можно быть уверенным, что функция F (з) имеет
именно q полюсов. Тогда F(s) можно представить в виде
B(S) (S_SX)(S_S2)...(S_S(Z) •
Рациональная дробь A (s')/В (s') может быть представлена как
сумма простых дробей, каждая из которых имеет своим знаме-
нателем один из сомножителей B(s). Всего получается q простых
дробей. Обозначая пока ещё неизвестные числители этих дробей
через Ки Ks, ..., Kq, выпишем разложение на простые дроби:
, I	। I	76^
В (.$)	$ — «i * s — $2 ' ’ ’ ’ ’ 5 — sk * ’ * ’ * s — sz' ' * '
Для вычисления любого коэффициента умножим обе части
уравнения (6.5) на (s— sft). Получаем:
(s Sfc) А (&) _S Sfc I 8 — Sjc I
В (s)	1 S — Si 1"	2 S — «2 '
+ ...+ка-Ь..-.+^|Е?- (6-6)
6 sq
Множитель (s— sfc) входит в числитель и в знаменатель левой
части уравнения (6.6) и может быть сокращён.
Положим в уравнении (6.6) s = sk. В левой части получается-
некоторое определённое число, а в правой части обратятся в нуль
все члены, кроме Кк.
Таким образом,
г?-  Г(* gfc) 4 (8)~|	__
ft-L В(8) J8=8a“
—_____________________л	.	(6.7)
(sfc — sl) — ’’г)” -(®й — Sfc-l) (®ft sft + l)- • •(sft sq)
12*
180	ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБЕЙ	[ГЛ. VI
Но
<Ак ~ «1) (s4 — «з) • • • (sk — Sk-l) («к — sk+1) • • • (Sft — Sq) =
=[4М..гт (в-в)
и разложение (6.5) можно записать следующим образом:
з
А(*)_ У	1	zfi9)
B{s) Ll B'(sk) s-sk
fc=i
Теперь можно выполнить обратное преобразование дроби
A(s)/B(s), пользуясь разложением на простые дроби, записанным
в форме (6.9):
з
г1Г4тй]=8-1[	<6Л°)
L -° VJJ	L АЫ -О (Sjc) S — S&J
й=1
На основании теоремы о линейности преобразования Лапласа
(теорема 5 главы V) можно изменить очерёдность выполнения
операций преобразования и суммирования. Следовательно,
з	з
р-i Г у -М**) т А__1 — V g-i Г ^fa),..A. 1	/61П
1 \ZiB'(Sk) t-*kl	L *'(<%) «-**]•	'
Й=1	й=1
Выполнение обратного преобразования теперь не представляет
труда. Согласно таблице Х1П (строка 2)
= *>0-
L 5 sk J
Подстановка полученного решения в (6.11) даёт полезную фор-
мулу
,>0- <в-12>
Й=1
где A(s)IB(s)—рациональная дробь, имеющая только простые по-
люсы, и sk(lc — l, 2, ..., q) — корень уравнения -B(s) = O.
Пример. Найти 8-1 [ (s +(T-W’]’ ГДб “ь “2 И “3~Ве’
щественные числа, не равные между собой.
По формуле (6.12)
Я"1 Г г	, у] ( =	+
|_(а -f- aj) • (s -J- а2) • (s -р ад) J 4
+ Кйе~^> 0,	(6.13)
§ 4]	ОДИН ИЗ ПОЛЮСОВ ЛЕЖИТ В НАЧАЛЕ КООРДИНАТ	181
где
к Г	01$ -Ь	1	__	~~ aiai ~Ь ао
1	L ($ + аг) (5 + «з)	«1	(— а1 + аг) (— ®1 + аз) ’
__Г + а0	1	=	— а1а2 4~ 0Q
2	L (s + а1) (5 + аз) Js=— а2 (~" а2 + а1) (~“а2 + аз) ’
8	L («+«1)($+ q2)]Ss=_as (-«з+а1)(~«з + а2)‘
Если все а положительны, решение (6.13) состоит из трёх убывающих
экспоненциальных функций.
§ 4. Частный случай: один из полюсов лежит
в начале координат
Пусть в разложении (6.4) для A(s)/B(s) st=0. Тогда
Л ($)____________А ($)____________ A (s)
Я(з) ~ s(s-s2)(s — SS) ... (S — Sq)~sBi(s)’
где
./Jj (s) = —“ = (s 8%) (s S3) ... ($ Sq).
Выражение вида (6.14) для A(s)/B(s) встречается часто.
Например, оно появляется в том случае, когда возбуждающая функ-
ция постоянна, а системная функция не имеет полюса или нуля
при s = 0.
Опуская промежуточные выкладки, запишем окончательный
результат, являющийся модификацией формулы (6.12):
я
+ Ур!Д1 Л* =
I »в, wJ ' t в, W J,.,	«в; (.) J,_^
а
_ Л(0) .у л to) у	>0	{615)
~ В, (0) + 2j skB' to) ’
7г—2
Пример. Найти С { 5 [(s ayj paj }
числа.
Здесь
где а и р — вещественные
#1 («) = [(« + “)2 + 32]> -Bl (S) = 2 (S + а) и s2, S3 = — »±#.
По формуле (6.15)
fljS 4~ 0Q
s[(s+a)3 + H
}(=)
^ + r2e(_a+^* + Kse(“a_^<, «>0, (6.16)
р.	-	;	'
182
ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБЕЙ
[ГЛ. VI
где
о2 оЗ [
Ро в Р + “ >
к Г + «о 1	_ «р —«ta+J«iP _ К«о —а1а)г + а1?3]’/зе^‘
2_I 2s(«+ o)Jg__а+/р“ 2$(-“+Л) “	72₽(“2+₽2)'/2еЛ
= 2^1(“о-М2 + «^Г/г-^[Ф
<pi==arctg —<p2^arctg-^-, <p=<pi —
...................w
AjS -p ftp 1
25 (5 -|- ct) J
*
= 1Г2.
Коэффициенты K?3 и Выявляются сопряжёнными комплексными числами,
так как в ВГ3 входит —J, а в К% входит -]-Л Окончательный результат
может быть записан в следующем виде:
{«K.Trfl»-)} < - ’ I+В-1(“» -	<*“ + «
IS 1(8 + a) -j- р J ) р0
г>0. (6.17)
Если а и ₽ — положительны, решение состоит из постоянной слагаю-
щей и затухающего колебания.
§ 5. Частный случай: по крайней мере одна пара сопряжённых
полюсов лежит на мнимой осн
Пусть в разложении (6.4) для A(s)/B(s) s{=j<at и sa =—ja^.
Тогда
-4(s) ________________A (s)_______________ A(s) (618)
В (s) (s — (s + y®x) (s — 83) (s—s4) ... (s — sg) (sa + 0>a) Ba (s) ’
где
#8 (s) »	= (.S — s8) (s — S4) ... (s —Sq).
3 +“1
Разложение A(s)/B(s) вида (6.18) встречается в тех случаях,
когда функция (сила), воздействующая на систему, синусоидальна
и имеет угловую частоту a>t, а системная функция не имеет полюсов
или нулей при s = ±J®!. Так как изображение синусоидальной
функции с угловой частотой пропорционально (s2®!)-1, то
последнее выражение появляется в качестве множителя в изображе-
нии искомой функции. Окончательно можно зацисать следующую
§ 5] ПАРА СОПРЯЖЕННЫХ ПОЛЮООВ ЛЕЖИТ НА МНИМОЙ ОСИ 183
формулу, также представляющую собой одну из модификаций
формулы (6.12):
о-i Г
L(«a + ®i)-52(s)
-4 (<)	1
(e+>l)52(8)Jg=Jml
I Г	1	c->t. 1 у[ л(д) , 1 e8ft# =
L (s — ./X) в2 (s)Jg= _jWi	i^3^2 Ь “i) W -*s=efc
_____4’Qi) JwJ j A Ju>i)	!
2>i#2 Oi) ' — 2>1B2 ( - >1)	'
(Z A t \ sif
+ X -3—-«> 0. (6.19)
Два первых члена в формуле (6.19) являются сопряжёнными
комплексными функциями от t и <оР Вследствие этого сумма их
мнимых частей равна нулю, а сумма вещественных частей равна
удвоенному значению вещественной части каждой из этих функций
в отдельности. Следовательно, указанные два члена в сумме дают
синусоидальную функцию. Для вычисления удобнее, однако, оста-
вить эту функцию в комплексном виде и писать вместо первых
двух членов правой части формулы (6.19):
L j<oiB2Oe>i)J
При этом выражение (6.19) примет вид
g-1 Г	A (g)	1 г =) Re Г л О»)
L (s2 + «ф В2 (s) J 4	Ь‘“1®2 О1)
Заметим, что в выражении (6.20) в комплексную функцию,
вещественная часть которой нас интересует, из формулы (6.19)
вошёл член а не . Причины этого будут выяснены
в § 2 главы VII.
Так как Re [2# 1е,0>,#] = Im [2jK1e^",#l, где оператор Im означает
«мнимую часть», то формула (6.20) может быть представлена также
в виде
g-1Г____---------1 ( = ) Im Г еМ -4-
L (82 + <of)B2(8)J L <0^2 (J®!)	1^
«	. Z Ч
(6.20)
у ___£rv__ eSk*
(6.21)
184
ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБЕЙ
[гл. VI
Для получения решения в явном виде эта формула часто
оказывается более удобной, чем формула (6.20).
Пример. Найти 8-11—Цг——-------------I, где «о, и а—вещественные
1(? + <4)(« + а) 1
числа.
Здесь В2 ($) = (s а), В2 ($) = 1 и = — а.
Применим уравнение (6.21)
я -1 Г	ао 1 ( =) Im [ а° +>i«i eju>^l [ —а1а + ао е -
L(S2+“t) («+“)J L <t>i (а-f-7а>1) J а2 + <4
t>0,
«o+j4ai _b («о + <°^)1/ае^‘ _ 1 /ajj + to2a2\1/a
a>1 (a	(a2 +	(£>1 \ a2 «>2 /
где
,	, (DiGh	. COi	III
Ф1 = arc tg ,	'>2 = arc tg и ф = — ф2.
Окончательное решение выразим через одни только вещественные
функции:
«1» + %
(S2 + ®2) (8 4- а)
“1
sin (&11 -|- ф) 4~
/>0.
(6.22)
а0 — «1а
а2 + wi
Если а и — положительны, то полученное решение представляет
синусоидальные колебания, наложенные на убывающую экспоненциальную
кривую.
§ 6. р < q. Кратные полюсы
До сих пор мы ограничивались рассмотрением функций F(s) [см.
уравнение (6.1)], имеющих только простые полюсы.
Рассмотрим теперь функции F (s), имеющие кратные полюсы,
но сохраним пока ограничение, касающееся правильности дроби
(/?<q), выражающей функцию F(s).
Пусть уравнение B(s) =0 имеет п различных корней $j,. $2, ...
,.., sn и пусть
корень повторяется раз,
корень s2 повторяется т2 раз,
корень sn повторяется раз^
§6]
Р<</. КРАТНЫЕ ПОЛЮСЫ
185
причём ml -j- 4~ • • • 4“ тп — Ч- Предположим также, что A («/.) ф О,
7с = 1, 2,.. . ,п. Тогда можно быть уверенным, что 7с-й полюс (sft)
имеет кратность тк и не меньшую чем тк. При этом функция F (s)
может быть представлена в виде
A(g)___________________Л(а)_____________
jB (g)	, \mi l	z \m„ '
* ’ (s — «1) (s — «2) • • . (e—sn) n
(6.23)
Дробь A (s)iJj (s) может быть разложена на сумму простых
дробей. Для каждого полюса sk кратности тк получается тк простых
дробей вида
Kiel__	Fk«	K-temjf
(g- sk)mk ’	(g — Sb)™*-1 ’	s — sk>
где К — постоянные, подлежащие определению. Разложение (6.23)
запишется в следующем виде:
4(g)
B(g) —
_ 7Гц I_____________й'12	| I	^3_______ 1	1 Flint J.
(S—S1)’"1	—	(s _	g —gf
4- ?..............................................................+
j_____________1_____I □i_ 1 Jffcnta 1
(5 —SZr) (S— 8lf) К	(S—Sk) k	k
(e —Sft)
(6.24)
В уравнении (6.24) внутреннее суммирование с индексом j
производится по членам, относящимся к какому-нибудь одному
полюсу, т. е. по всем членам каждого из рядов в выражении (6.24).
Внешнее суммирование с индексом Ъ производится по всем п полюсам,
т. е. по рядам выражения (6.24).
Для вычисления коэффициентов Кк умножим обе части урав-
нения (6.24) на (s — sk)m^. Получаем:
(g — 8к)тЪ. a (g)
B(g)
—sk) 4_-®4з(5—s&)24“ • • • +

Fu
^-nmn
g sn
(6.25'»
186
ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБЕЙ
[ГЛ. VI
В квадратных скобках собраны все члены, кроме тех, которые
содержат коэффициенты Кк. В левой части выражения (6.25)
множитель числителя (s—sk) входит также в .В (s') и может быть
сокращён. Положим s = sk. Тогда в левой части (6.25) получится
некоторое определённое число, а в правой части обратятся в нуль
все члены, кроме Kkv Таким путём можно вычислить Kki, но для
нахождения других коэффициентов Кк этого недостаточно, поскольку
каждый из них умножается на положительную степень (s—sk).
Если устранить в правой части уравнения (6.25) член Кк1,
а также множитель ($ — sk) при Кк%, то можно найти Кк2, положив
повторно s = sk. Для этого необходимо продифференцировать один
раз по s уравнение (6.25):
_ тг I O7Z /о о \ I	।
Ts---щёГ—Кк2 +	—М ~г • • • +
+ (W — 1) Ккт]е (S — Sk)mk ~2
ds	(s
(6.26)
Полагая теперь s = sA., найдём Кк2. Нетрудно заметить, что здесь
используется такой ясе приём дифференцирования с последующей
подстановкой s = sk, какой применяется и для определения коэф-
фициентов степенных рядов. Таким же путём можно найти все
другие неизвестные постоянные Кк.
Повторяя описанные здесь действия для всех множителей B(s),
можно вычислить все неопределённые коэффициенты уравнения (6.24).
Общая формула для нахождения этих коэффициентов может быть
записана в виде
К —	1	<^-1 (* — *jt)(а) 1	(6.27)
kJ	в(«) Js=8fc‘
Теперь, используя разложение (6.24), можно записать обратное
преобразование дроби Л(з)/В(я):
л («) ] _ о 1 у у
(6.28)
На основании теоремы о линейности преобразования Лапласа
(теорема 5) порядок выполнения операций преобразования и двой-
ного суммирования может быть изменён без нарушения правильности
результата, поэтому
Й"1
п тк	Г 7Г
fc=lj=l	u 1	*'
(6.29)


кратный полюсы
187
Исходная функция (6.23) вследствие её общности может иметь
очень сложный вид. Несмотря на это, задача нахождения её ори-
гинала сведена к простым обратным преобразованиям, записанным
в уравнении (6.29).
В таблице XIII (строка 12) находим:

i,--------rj- e *
<>O.
Подстановка этого выражения в уравнение (6.29) даёт формулу
обратного преобразования Лапласа для дробной рациональной
функции общего вида, а именно:
f>0,
(6.30)
где
г/-	1 Г 1 G? —(s)
Л'У=(7 —1)! [d^-1 В(з)
Пример. Найдём 8-1	j • где “ — вещественное число.
Это изображение имеет полюс третьего порядка при $ == — а и полюс
второго порядка в начале координат. Всего здесь два различных корня,
так что п = 2. Если положить $i = — а и $2 = 0, то ^==3 и «г2==2.
Выпишем разложение функции от $ на простые дроби в развёрнутом виде
и преобразуем каждый член разложения в отдельности. При таком способе
вычислений ошибки менее вероятны, чем при непосредственном применении
формулы (6.80);
о-i Г 4~aig+ ар 1 _ 9-1 Г Кц ।	^12-	। ^ib । ^21 । ^22]
L	(* + «)3*2 J	|_(*+а)3 Ч* + а)2	*2 “Г «
(=)	*2 +	+ *1з) e~at + Knt + t > 0,	(6.81)
где
TZ- __Г 6&2S2 -р d^S -j- CbQ ”|	сь2а2 —
Кн=---------------------]3= -« =-------S3----------
__Г d a2s2 4~	4~ J __________ — сИ.а 4“
12 = [57	7 J 8--------а	’
-гг ___ 1 Г d2 a%s2 4~ djS 4”	1	____ — <На 4" Bely
13 = 2f | «Й2 S2	Js«-а	’
тг  Г a^s2 4- ai$ + а0 1	___Ор
21 ~L (« 4-а)3	J8=^o'"а3,
ТГ == Г — 0,282 + 0,18 + а° 1	— gl0C —
22 kds ($4-а)3 Js^Q
188
ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБЕЙ
[ГЛ. VI
§ 7.	Сводка формул для выполнения обратного преобразования
рациональной алгебраической дроби общего вида
Выведенные в этой главе формулы обратного преобразования
рациональной алгебраической дроби общего вида сведены в та-
блицу XIV в виде соответствий между изображениями и ориги-
налами.
Соответствие 1 даёт обратное преобразование дроби, имеющей
только простые полюсы. Дроби такого типа встречаются весьма .
часто при решении линейных интегро-дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами. Соответствия 1, а и 1,Ъ предста-
вляют собой частные случаи. Они включены в таблицу потому,
что изображения такого типа получаются при изучении систем,
на которые воздействуют особенно часто встречающиеся функции,
а именно: скачкообразная функция и отсечённая в начале коорди-
нат синусоида. Эти соответствия подходят также наиболее близко
к тем видам разложений на простые дроби по формуле Хевисайда,
которые можно встретить в работах по операторному исчислению
Конти-Хевисайда.
Соответствие 2 дано для дробей, имеющих кратные полюсы.
Обратное преобразование выполняется здесь для правильной дроби
наиболее общего вида, какой может встретиться при решении
линейных интегро-дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами. Сказанное выше справедливо при условии, что
воздействующие на систему функции являются такими функциями
времени, которые сами представляют собой свободные решения
питегро-дифференциальных уравнений исследуемого типа.
Таблица XIV
Сводка формул обратною преобразования рациональных алгебраических
дробей общею вида
1.	Только простые полюсы, общий случай.
В (в)
SA W
B'(8ft) ’
fc =1
0.
а)	Только простые полюсы; один полюс лежит вначале:
AW I AW-xV	i>Q.
бЩ*) | В1(0)
§ 8] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ И КРАТНОСТИ полюсов	180
Ъ)	Только простые полюсы; одна пара полюсов лежит па мнимой оси
. —. ре Г А (Уо>1)	I V____ л (*&) е8к\
(s2 + <4)B2(s) ЬЧ^гОЧ) J	+ 0?1) В2 Ы
*>0,
или
Im [ Л. ^й..	_1_ V Afhl-----------esfc , t > 0.
1»1B2 O1) J (4 + »?) B3 (s7i)
2. Кратные полюсы, общий случай.
4(e) B(s)	п тк
тс =_____1 Г (s-sk)m^A(s)
kj	(Д—1)! L^'-1 в («)
т	,	.m*	,	, .in
B(s) = (s — s1) 1(s— s2) 2...(s — sk) k...(s — sn) n,
mi 4* ш2 + ««з 4~ • • • 4~ mn ~
В этой таблице принято, что функция A (s)/B (s) дана в виде дроби
OpS	—. .41 • ‘4;а1$_+ aQ или может быть приведена к этому
‘ +	+М + ь0
виду, причём а,Ъ — вещественные постоянные,^, q — целые положительные
числа и _р<£. Один штрих вверху обозначает первую производную от
функции по аргументу s.
Так, например,
В'(^) = [^В(о1	.
\_as jssszSj
§ 8. Определение положения и кратности полюсов
Для разложения функции F(s) на простые дроби нужно знать
положения и кратности всех еб полюсов.
В проведённом выше рассмотрении предполагалось, что необходи-
мые сведения о полюсах имеются. Но для того чтобы при решении
физической задачи получить эти сведения, нужно найти корни
алгебраического уравнения, что требует значительной вычислитель-
ной работы. Не следует, однако, думать, что эта операция является
специфической для решения дифференциальных уравнений методом
преобразования Лапласа. Она неизбежна в любом аналитическом
методе решения линейных интегро-дифференциальных уравнений с
190	ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДРОБЕЙ	[гл. VI
постоянными коэффициентами. В этом смысле метод преобразования
Лапласа ничем не отличается от других аналитических методов
решения таких уравнений. Во всех аналитических методах, в отли-
чие от методов механизированных вычислений, необходимо знать
корни характеристического уравнения.
В этой главе для целей исследования изображение представля-
лось в общем виде как отношение двух полиномов. В физических
задачах изображение неизвестной функции представляет собой
произведение системной функции на возбуждающую функцию.
Очевидно, что для применения изложенной выше теории нет необхо-
димости приводить это произведение к виду явно выраженного
отношения двух полиномов. Такое приведение только осложнит
исследование полюсов изображения. Определение полюсов возбуждаю-
щей функции большей частью можно произвести по её виду.
Напротив, для определения полюсов системной функции для всех
систем, кроме самых простых, обычно требуется значительная
вычислительная работа.
Если затухание колебаний физической системы ничтожно мало,
то в характеристическом уравнении этой системы можно отбросить
все нечётные степени. В этом случае полюсы системной функции
лежат на мнимой оси и находятся из характеристического уравнения
значительно проще, чем это можно ожидать, исходя из степени
уравнения, так как последнее может быть сначала решено относи-
тельно квадратов корней.
Практически при исследовании любых физических, систем, за
исключением самых простых, не удаётся избежать решения алгебраи-
ческих уравнений четвёртой и более высокой степени с числовыми
коэффициентами.
В связи с этим читателям, не знакомым с методами численного
решения таких уравнений, рекомендуется познакомиться с ними,
например с методом Греффе *). Теория этого метода несложна,
а техника вычислений подробно разработана, так что её можно
освоить после сравнительно недолгой практики. Этот метод описан
в ряде математических и технических руководств [15, 32, 36] и
здесь рассматриваться.не будет. Мы будем, однако, предполагать,
что читатель знаком с этим методом, и соответственно построим
изложение ряда примеров и практических задач.
Для нахождения корней алгебраических уравнений могут быть
также использованы методы механизированных вычислений.
Для решения уравнений третьей степени не требуется такой
общий метод, как метод Греффе. Уравнение третьей степени имеет
по крайней мере один вещественный корень, который может быть
*) Этот метод является в действительности методом Лобачевского,
так как был предложен им за несколько лет до Греффе. Авторами книги
указанный метод называется методом Греффе. (Прим, ред.)
§ 9]	ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ	191
легко найден путём проб с помощью метода Горнера или какой-
нибудь его модификации. Найденный вещественный корень исклю-
чается из уравнения, а решение остающегося квадратного уравне-
ния не представляет затруднений.
§ 9. Частный случай: элементы главной диагонали
детерминанта системы равны между собой и все диагонали,
параллельные главной, также содержат равные между собой
элементы
Изображение неизвестной функции, получающееся в результате
алгебраического решения системы преобразованных по Лапласу
уравнений, вообще говоря, имеет вид отношения двух детерминан-
тов, как это было показано в § 12 главы V. Обычно детерминант
системы представляют в форме полинома от s, который разлагают
далее по его корням. Таким образом определяют положение и крат-
ность полюсов, принадлеажщих системе.
4 Если главная диагональ детерминанта системы содержит равные
между собой собственные элементы и все диагонали, параллельные
главной, также содержат равные между собой взаимные элементы,
то для нахождения полюсов можно воспользоваться более простым
приёмом.
Существует ещё более специальный случай, рассмотренный
ниже, когда все взаимные элементы детерминанта равны между
собой.
Такой детерминант можно разложить непосредственно по его
элементам, минуя промежуточное преобразование в полином от s.
Далее, при разложении изображения на простые дроби можно упро-
стить вычисления, приняв за переменную не $, а собственный эле-
мент, являющийся функцией от $.
Покажем применение этого способа на примере. Пусть в каж-
дом контуре трёхконтурной цепи включены собственные элементы L,
R и С и между всеми контурами попарно существует взаимная
индуктивность М. К контуру 1 прикладывается напряжение, имею-
щее вид единичного скачка 1(f). Начальный запас энергии равен
нулю.
Тогда
^11	^22 == ^33	Qs ==
^12 = ^13	^23 = ^8 —
и^(»)=адэо.
Все собственные элементы равны между собой. Все взаимные
элементы также-равны между собой.
Н)2	ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБЕЙ	['ГЛ. VI
Изображение тока в контуре 1:
A GO =	1 ъ b 0 a b 0 z b a	
	z Z. Z1 abb b a b Z, z b b a	(*a + 2^) (ga~^2 (Za + *b)	~
Разложение детерминанта системы на множители, показанное в выра-
жении (6.32), произведено следующим образом:
3a,	zb za	zb zb	%a	1 Zb	gb Za za	Zb Zb	z a	1 Zb	Zb 4	Zb zazb 2	=
4	zb	za		Zb	Zb	za		^b	zazb	^a	
—Za + Ч гЪ
= (^a — ^b)2(^a + ^b).	(6.33)
Вернёмся теперь к выражению для I1(s). Разложим его на
простые дроби, рассматривая функцию za как переменное:
г-И = (ття; +	я..	(в.34)
где
н,,[	-1,
1	L	—Я,	J	—	я
u а Ъ J а "Ь °
[гл +	1	о
а 1 Ъ	I	2
Za + 2Zb J sa=si> — "3 '
Здесь
1	(s -I- а.)2 4-
za + ^ь = ( L + 2>) $ + Б +	= (i + 2М) v--- 1!s	,
__ JR	рЗ	  1	2
ai ~	2(Ь 4-221/)’	ri —	O(L4-22H)	ai’
1	(S4“a2)2+3o
__ H>	n3___________	1	2
“2= 2(L —>)’	”2== O(L — M)~ a2.
§ 9]
ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ
193
Подставим полученные выражения, а также 1/s вместо
в уравнение (6.34):
1	“ L3 (L + 241) (в + ах)3 + р® 3(L — М) ’	J ’ 6‘35^
Выполняя обратное преобразование, полупим:
i (f}(—) e~^sin _i_ 2e-a°*sinh* i > 0 /л ш
«1 W(—13(1,_|_2М)₽1 ^3(Ь —M)fe ’	(6'db-)
Рассмотренная в этом примере цепь интересна также с другой
точки зрения. Она относится к группе цепей, обладающих тем
специальным свойством, что их входные функции проводимости
короткого замыкания одинаковы для всех контуров, а передаточ-
ные функции проводимости имеют одно и то же значение для всех
пар контуров. Анализ цепей такого типа упрощается, если пользо-
ваться симметричными составляющими, так как падение напряже-
ния для определённой последовательности создаётся только токами
этой последовательности [42].
G точки зрения метода симметричных составляющих za-\-2zb
представляет собой сопротивления нулевой последовательности, а
za— — сопротивления прямой и обратной последовательности. Рас-
чёт такой цепи можно было бы начать с составления трёх уравнений
изображений для каждой последовательности в отдельности, а затем
решить эти уравнения относительно трёх токов с помощью обрат-
ного преобразования Лапласа. Действительный ток получается как
сумма токов последовательностей. Суммирование выполняется, ко-
нечно, по известным правилам мето да’симметричных составляющих.
Результат решения будет такой же, как и по уравнению (6.36).
Такое применение метода симметричных составляющих, так же
как и применение способа, изложенного ранее, даёт возможность
избежать. обычной для задачи рассмотренного типа операции раз-
ложения многочлена от s на множители.
Задачи
6.L Найти оригиналы функций, выписанных ниже, а, р, и —
вещественные числа.
п \	^+«0	1)	s 4" ao
а)	s(s + “)(s + T) ’		(,3 4-X»)[(e + e)« + ^]
	$2 4“ Л,8 4“ Сф	0’1	4~
Ь)	(в + а)(в3 + Р)’		(s+1) («4-®)a ’
е)	8% 4” $1$ ClQ	h)	® 4* aQ
	(s + «)(s2 + ₽a)(s2+^)’		(«a4-₽2)(s4-«)a’
d)	8	i)	82 4-^4-^
	(«4-®)®+^’		8 («2 +	’
е)	8^ 4” <*1$ 4“ #0	j)	8a 4-	4-
	51(в + а)а + И’		(s-H)4(e+«)2 + ₽sl '
13 Зак. 1977. М. Ф- Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
194
ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБЕЙ
[гл. VI
6.2. Показать, что нижеприведённые выражения представляют собой
изображение и его оригинал:
......S (s Hr 1) (« + 2)...(8 + н) | “е~^п’
где п — неотрицательное целое число.
6.8. Четыре одинаковых контура связаны индуктивно, как показано
на фиг. 80. К контуру 1 приложено напряжение в виде единичного скачка.
Начальный запас энергии во всех контурах равен нулю. Считая все корни
характеристического уравнения комплексными, найти ток в контуре 1.
При желании в решении этой задачи можно отступить от обычных
приёмов и рассматривать её с помощью метода симметричных составляю-
щих. Предположим, что мы имеем дело с
четырёхфазной системой, и разложим её
фазные токи на симметричные соста-
вляющие» По виду схемы фиг. 80 составляем для всех четырёх после-
довательностей уравнения изображений: одно уравнение для составляю-
щих нулевой последовательности, одно для составляющих первой после-
довательности И т. Д;
Каждое ив этих уравнений решается по отдельности с помощью
обычного обратного преобразования Лапласа. Действительный ток в каж-
дой'фазе находится как сумма его четырёх составляющих.
Целесообразно ли такое применение метода симметричных составляю-
щих в качестве общего метода расчёта переходных процессов в сложных
цепях со многими контурами? Обоснуйте ответ на этот вопрос.
6.4. На фиг. 81 изображена эквивалентная схема трансформаторной
обмотки. Один конец схемы заземлён. К другому концу приложено напря-
жение в виде единичного скачка. Найти потенциалы узлов 1 и 2 относи-
тельно земли. При t = 0 запас энергии в обмотке равен нулю:
L = 0,5 генри, <71 = 340 • 10“12 фарад,
Mi •== 0,2 генри,	Сг = 1020 • 10-12 фарад.
М2 == 0,1 генри,
ГЛАВА VII
ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ,
КАСАЮЩИХСЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МЕХАНИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
Прежде чем рассматривать конкретные примеры решения мето-
дом преобразования Лапласа одномерных задач, относящихся к
электрическим и механическим системам, применим этот метод
для решения линейного дифференциального уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами в общем виде. Это
решение представляет интерес в связи с тем, что уравнения такого
типа часто встречаются в различных областях науки и техники.
Кроме того, это даст возможность ввести терминологию, полезную
для описания некоторых важных свойств, общих для решений
многих задач, связанных с переходными процессами.
§ 1.	Дифференциальное уравнение второго порядка
В § 4 главы V было выполнено прямое преобразование линей-
ного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами следующего вида:
A^+J3Tt+CV = f^>	У^У(О. (7.1)
Там же было найдено, что решение этого уравнения для t^-0
записывается с помощью обратного преобразования Лапласа сле-
дующим образом:
</(<)( °) 8-[УМ] -8-.>'(°М]. (7.2)
Здесь F(s) = 2 [/40], а У<$) п У'(9) представляют собой
соответственно начальные значения функции y(t) и её первой
пр'оизводной.
Основные правила, с помощью которых выполняется обратное
преобразование Лапласа, записанное уравнением (7.2), были изло-
жены в главе VI. Прежде всего должна быть задана воздействую-
щая на систему функция f (tj. Предположим, что она имеет вид
Fm cos (а)х/-)- >i), где Fm, и 6 — вещественные постоянные.
13*
196	ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ	[ГЛ. VII
Согласно формуле (4.20)
= % [Fm cos (<^4- 6)] = -g|±	,	(7.3)
s +<*>1
где
g = Fm cos ф и h = — Fm sin Ф.
Подстановка выражения (7.3) в выражение для F(s) даёт:
ч- [?/ (0)	+ ЬЭ -}-(0) ^4] (S2 4- U^)	/Г7
Y (з) =---------5---------5-----------------.	(7.4)
,	(s2 + <4) (Zs2 + Bs + С)	7
Заметим, что мы освободились в числителе от дроби. При ана-
лизе любого изображения, представляющего собой алгебраическое
выражение, нужно прежде всего освободиться от дробей в числи-
теле и знаменателе.
Множитель ($2+ш1), в знаменателе У($) присутствует благо-
даря функции, воздействующей на систему. Обозначим нули этого
множителя через s2 = z±zjoj1. Другой множитель знаменателя,
появившийся из левой части уравнения (7.1), зависит исключительно
от внутренних связей системы, описанной уравнением (7.1). Этот
множитель представляет собой характеристическую функцию, опре-
деление которой дано в § 4 главы V. Приравнивая характеристи-
ческую функцию нулю, получаем характеристическое уравнение
системы
As2 + Bs-\-C = 0.
Обозначим корни этого уравнения через == — a	,
где	_____
XL	_
Окончательный вид решения зависит от того, будет ли р2 поло-
жительным, отрицательным или равным нулю. В этом примере
положим а2 < Ро, что даёт положительное значение для р2 и соот-
ветствует в окончательном решении затухающим колебаниям,
а называется коэффициентом затухания, р—характеристической
угловой частотой, а ро — характеристической угловой частотой
системы без затухания, р0 представляет собой предельное значе-
ние р при приближении затухания к нулю.
Нули s2, знаменателя правой части выражения для
Y (з) являются полюсами функции Y (з). Положение полюсов на
комплексной плоскости определяется численными значениями
постоянных А, В и- (7. В нашем случае задача поставлена
в алгебраической форме, и положение полюсов неизвестно. Предпо-
ложим* что полюсы располагаются на комплексной плоскости, как
показано на фиг. 82.
§ 1]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДНА
197
Подставляя корни характеристического уравнения в выражение
для Y(s), получаем:
х gs+h^+[y(Q)(As + B) + y'(O)A]^ + ^)
Y(s) =

Y(s) является правильной дробью. Оно имеет одну пару сопря-
жённых мнимых полюсов, лежащих на мнимой оси, и одну пару
сопряжённых комплексных полюсов, лежащих в левой полу-
jzoo
SjxJ юс
Плоскость
переменной s
~го
]-/а о ю го ~
| • s,*-jioo
-J20D
Фиг. 82. Полюсы функции У($). При подсчёте
принято <«4 = 100 радиан в секунду; А — 1;
В = 20; С = 4,01 • 104 (в единой системе единиц).
плоскости. Выражение, полученное для Y (s'), принадлежит к классу
изображений, рассмотренных в § 5 главы VI. Так как s% и —
сопряжённые комплексные числа и им соответствуют сопряжённые
комплексные коэффициенты Zf3 и Zf4, то решение может быть
записано в виде
2"1 [1^(^)J ( = )Ке	_^ръе [27Г3е<—«(7.5)
где
К, [(s ->,) Yg ................................, =
2^4 1(^о — “р + ^2e<oi]
Fme^ =g—jk,
Osarctg-f^
PQ—“1
198	ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ	[гл. VII
И
[{s + ^} у (s)]8_+i? _
= J_ Г_______”* + ** Р ед
^)2 + 4aMJ ’
где	.	.	.	•>
. ™^[0 + у(О)2(ои — $) — у'(О)Б],
п 7«Oj да -J- у (0) a A (<*>i -}- j%) -J- у' (О) А (®~ -J- — Р2),
л == arc tg -=^-г — arc tg	... .
т	ОС —]— <£>J - р-
Окончательно получаем, используя введённые выше обозначения:
У(0( = ) Т[(^-о4 Д 4а2ш2]‘А С08(М + Ф-<» +
+i]''’е~" 003+М- <7-6>
В выражении для y(t) первый член изменяется во времени по
закону косинуса с угловой частотой о^, равной угловой частоте
функции f(t), воздействующей на систему. • Этот член, представляет
собой установившуюся часть решения и соответствует тем двум
членам разложения Y (s) на простые дроби, которые связаны с со-
пряжёнными мнимыми полюсами.
Второй член в выражении для у (0 представляет собой зату-
хающие колебания. Для больших значений t этот член становится
ничтожно малым по сравнению с установившейся частью решения.
Он представляет собой так называемую свободную часть решения
и получается из тех двух членов разложения Y (s) на простые
дроби, которые связаны с сопряжёнными комплексными полюсами
в левой полуплоскости.
Общая вещественная координата этих полюсов равна коэффи-
циенту затухания а. Величина, обратная ’ коэффициенту затухания,
называется постоянной времени.' Равные между собой по абсолют-
ной величине мнимые координаты этих двух полюсов представляют
собой характеристическую угловую частоту р. Величины а и р за-
висят только от постоянных параметров физической системы и от
связей между её элементами и не зависят от возбуждения системы.
Вид свободной части решения зависит от положения на ком-
плексной плоскости полюсов, соответствующих нулям характери-
стической функции. В настоящем примере произвольно предполо-
жено, что р2 положительно, так что два полюса, определённых
§ 1] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА	199
Нулями характеристической функции, попадают во второй и третий
квадранты, а свободная часть решения принимает форму колеба-
ний, затухающих по экспоненциальному закону. Если бы Р2 было
отрицательным числом, то эти два полюса попали бы в две разные
точки на вещественной отрицательной полуоси, и свободная часть
решения выражалась бы
разностью двух экспонен-
циальны! функций, убываю-
щих с различными скоро-
стями. Р2 может быть также
равно нулю. В этом кри-
тическом случае оба полюса
совпадают в одной точке
вещественной отрицатель -
ной полуоси, образуя полюс
второго порядка. Свобод-
ная часть решения пред-
ставляется тогда произве-
дением убывающей экспо-
ненциальной функции на
линейный множитель. Во
всех случаях а считалось
положительным, вследствие
чего затухание также было
положительным, а переход-
ный процесс—затухающим.
Скорость затухания опреде-
ляется непосредственно ве-
личиной а.	! I г !	1	.	!
В то время как харак- о ьо izo /во гоо гьо гзо
Тер ПереХОДНОГО Процесса	время 6 mbiCHWbix долях секундЬ/
определяется положением	ъ)
полюсов системной функ-
ции на комплексной плоско-
сти, его интенсивность, зави-
Фиг. 83. Графики функции з/=#(О и её
установившейся и свободной составляю-
щей. При расчёте принято:
Fm = 1,81 • 103; у (0) = — 0,02;
ф = 48,8°;	/(о) = — 10.
Уравнение кривой
у (t) = 6,00 • IO"2 cos (100* + 45°) +
+ 6,97 • 10~2 cos (200* +153°).
сит от начальных условий
и начальной фазы функции,
воздействующей на систему
(силы). Это видно из того,
что т и п являются функ-
циями этих параметров.
Очевидно, что при особенно
неблагоприятном сочетании начальных условий , и начальной фазы
свободная часть решения может иметь величину, значительную по
сравнению с величиной установившейся части. Переходный про-
цесс имеет место и при нулевых начальных условиях, так как
200	ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ .	[ГЛ. VII
в этом случае не существует значения ty, при котором т и п одно-
временно обращаются в нуль.
При определённом соотношении между величинами ф, у (0) и
у' (0), а именно таком, при котором т = п — 0, переходный про-
цесс не возникает. Условия отсутствия переходного процесса можно
предсказать из физических соображений. Для того чтобы переход-
ный процесс не возникал, начальные значения у (0) и у' (0) должны
быть соответственно равны установившейся части решения и её
первой производной при t = 0. В этом случае не происходит пере-
распределения запасов энергии, и система сразу входит в устано-
вившийся режим.
Уравнение (7.6) можно переписать в следующем виде:
?/(0 = 2/уот(0 + ?/ов(0.
где уУот(0 — установившаяся часть решения, усв(<)— свободная
часть решения.
На фиг. 83 показаны графики функций ууот(0» Уов(0 и их
суммы у (/) для числовых значений параметров, указанных на этой
фигуре, а также на фиг. 82.
§ 2. Графическое представление решения с помощью векторов,
вращающихся на плоскости
Используя комплексные функции, вещественная часть которых
входит в выражение (7.5), можно представить компоненты y(i)
с помощью векторов. Так, функция ууот (<) = Re	может
быть представлена вектором с постоянной амплитудой 21 Кг |, вра-
щающимся на плоскости против часовой стрелки с угловой ско-
ростью (фиг. 84). Фаза вектора при t = 0 равна (ф— 9).
Аналогично функция уов (<) = Re \2К^~~“+ZW#] может быть пред-
ставлена вектором с убывающей амплитудой 2|йГ8|е-',/, вращаю-
щимся на плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью р
(фиг. 84). Его начальная фаза равна А. Траекторией конца век-
тора установившегося режима является окружность с центром
в начале координат. Конец вектора свободного режима описывает
вокруг начала координат логарифмическую спираль.
Графическое представление функций рассмотренного примера
с помощью векторов можно дополнить изображением на фиг. 84
вращающегося вектора функции, воздействующей на систему
f («) == Fm cos (<«!< + Ф) = Re	.
Проекции вращающихся векторов 2K1eia‘t и 2К3е<~на ве-
щественную ось соответственно дают ординаты кривых ууот (/) и
уов(0, показанных на фиг. 83, а. Если совместить начало век-
тора уСв(О с концом вектора yy0T(f) и построить сумму этих двух
РАСЧЁТ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА
201
векторов, то проекции суммарного вектора на вещественную ось-
дают ординаты кривой y(t), показанной на фиг. 83,Ъ.
В § 5 главы VI при введении символа Re, обозначающего веще-
ственную часть комплекса, внимание читателя было обращено на
то обстоятельство, что из двух сопряженных комплексных функ-
ций выбирается та, которая имеет положительную экспоненту.
Мнимая ось
R.e[2/r,e7U,'Z ]
Фиг. 84. Векторная диаграмма для функции f (t)
и для установившейся и свободной составляю-
щих функции у (£). Диаграмма построена для мо-
мента времени t = 0. Уравнения этих функций:
/(«) = Re [1,81 • 10V'48’8V10Wl,
у (t) = Re [6,00 • 10~М45 • e^100i] +
-t- Re [6,97 - IO- V153’ e'_ 10+/200#> ].
Теперь, после представления комплексных функций вращающимися
векторами, можно разъяснить причину такого выбора. Она заклю-
чается в том, что из двух сопряжённых экспоненциальных функ-
ций именно функция с положительным показателем изображается
вектором, вращающимся в "положительном направлении.
§ 3. Расчёт установившегося режима
В § 1 было выяснено, что установившаяся часть решения за- -
висит от функции, воздействующей на систему. Покажем теперь бо-
лее общий подход к определению установившейся части решения.
Обозначим через F(s) изображение воздействующей на систему
функции f(t), через G(s)— системную функцию и через H(s) —
изображение неизвестной функции h(t). Общее уравнение изобра-
жений запишется в таком виде:
Н (a) = G (s)^(s).	(7.7)
Члены этого уравнения были определены в § 4 главы V.
Здесь начальные условия намеренно положены равными нулю,,
так что возбуждающая функция равна просто изображению функ-
ции, воздействующей на систему.
^202	ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ	[ГЛ. VII
Если f(t) представляет собой синусоиду, сумму синусоид или
постоянную величину, решение получается в виде
h (t) = h^Qrp (/) -р ^ов (0,	(7.8)
тде feyoi(0 и feOB(0 представляют установившуюся и свободную
составляющие.
Каждая из этих составляющих может быть вычислена самостоя-
тельно, без рассмотрения другой составляющей. Вследствие этого
метод преобразования Лапласа может быть с успехом применен
к расчёту установившегося режима.
Рассмотрим пример такого применения. Пусть f (f) sF^sinw^.
Изображение f(t) 'обозначим через F(s) ==	+ Устано-
вившаяся составляющая равна
/гуот (t) =« Re [2Кхе^] = Im [2jK^]9	(7.9)
где
.	[(§ ->!) ff(S)]g=JW1 =	.
Комплексная амплитуда 7&уот (0 равна
=	=Fm\G№j	(7.10)
или
2Xi = FmG =Fm\G(j\) |Л
. Выполняя какую-либо из двух операций, записанных уравне-
нием (7.9), получаем:
йуот (0 — Fm]G (>1)| sin (ш1« + ’!').-	..О-11)
Решение (7.11) получено без учёта переходного процесса, кото-
рый мог предшествовать этому установившемуся состоянию.
§ 4. Три основные задачи, формулируемые в общем виде
уравнением изображений
Приведённое в § 3 общее уравнение изображений (7.7)
H(s) = G(s)F(s)
встречается в трёх основных задачах, которые мы кратко охарак-
теризуем.
а)	Если G(s) и F(s) известны, то уравнение (7.7) даёт H(s)
в явном виде. Мы встречаемся здесь с задачей анализа: известны
характеристики системы и действующие на неё силы, а процесс,
протекающий в системе; находится прямым расчётом. К этому
типу относится большинство задач, рассматриваемых в настоящей
книге.
§ 5]	ГЕНЕРАТОР ИМПУЛЬСНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ	203
Ъ)	Известны и H(s), неизвестна системная функция 6f(s).
Решаем уравнение (7.7) относительно G(s)-.
G(s)-Jg.	(7.12)
Уравнение (7.12) является исходным в задачах синтеза, заклю-
чающихся в определении или построении физической системы по
заданной системной функции G(s). Задачи синтеза вообще значи-
тельно сложнее задач анализа. Рассмотрение их лежит вне плана
этой книги.
с)	Если Н (s) и G(s) известны, то неизвестной является возбу-
ждающая функция, относительно которой можно решить уравне-
ние (7.7):
<7.13)
Уравнение (7.13) возникает, например, в задачах, связанных
с коррекцией искажений в регистрирующих приборах. Эти задачи
состоят в определении воздействия на входе системы, через
посредство которой происходит регистрация, по известным характе-
ристикам системы и по виду функции на выходе.
В изложенных выше предварительных замечаниях были вве-
дены некоторые полезные термины, выяснена возможность предста-
вления составляющих решения с помощью векторов, показано, как
можно использовать метод преобразования Лапласа для расчёта
установившегося режима, а также охарактеризованы три общие
задачи: анализа, синтеза и коррекции искажений.
Перейдём теперь к рассмотрению ряда конкретных примеров из
различных областей техники.
§ 5. Генератор импульсных напряжений
Генератор импульсных напряжений состоит из ряда конденсато-
ров, которые заряжаются в параллельном соединении и разряжаются
в последовательном. При разряде конденсаторов во внешней цепи
получается импульс высокого напряжения. Полная схема генера-
тора с зарядными сопротивлениями и разрядными искровыми про-
межутками довольно .сложна. Но для приближённого определения
формы импульса напряжения при разряде можно отбросить эти
подробности, усложняющие схему, и заменить генератор цепью,
составленной из последовательно включённых ёмкости, индуктивно-
сти и сопротивления. Эта последовательная цепь замыкается через
внешнее разрядное сопротивление, параллельно которому подклю-
чается испытуемый аппарат. Нагрузка, подключаемая к генератору
импульсов, обычно влияет на форму импульса, так что расчёт
подобных генераторов требует значительной вычислительной работы.
204
ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
[гл. VII
Разрядный промежуток является нелинейным элементом цепи
генератора. Однако падением напряжения в нём можно пренебречь
по сравнению с падениями напряжения в других элементах цепи.
Поэтому разрядный промежуток можно рассматривать как простой
выключатель.
На фиг. 85 представлена эквивалентная схема генератора
импульсных напряжений, предназначенного для испытания изоля-
ции трансформаторов. Для процессов,
происходящих на протяжении первых
нескольких сот микросекунд, транс-
форматор приближённо заменяется
эквивалентной сосредоточенной ём-
костью на землю С2 (фиг. 85).
Начальное напряжение на эквива-
лентной ёмкости Ct генератора рав-
но Начальное напряжение на С2 и
начальный ток в равны нулю. Пока-
жем, как рассчитать форму импульса
напряжения, прикладываемого к транс-
форматору, для первых нескольких
сот микросекунд после замыкания
разрядного промежутка (?.
Пусть функции (s), 12 ($) и
U2 (s) соответственно представляют
собой изображения функций (t), i2(t) и u2(t), указанных на схеме.
Уравнения изображений могут быть записаны непосредственно
из рассмотрения схемы, а именно:
Фиг. 85. Эквивалентная схема
генератора импульсных на-
пряжений, включённого •• на
трансформатор.
<4 = 12,5 * 10"3 микрофарад,
= 0,25 • 10“ 3 генри,
7?1 = 2000 ом,
2^2 = 3000 ом,
С2 = 0,30 • 10“3 микрофарад,
71 == 300 киловольт.
(Lts +	+ A'j ц (s) _	(s) = К
— л211 (s) + (й2+Д («) = о.
Решим уравнения (7.14) относительно I2 (s):
т (s) _____________________________и-“2*___________;___________
W + (Й + лл)	. + gij’
(7.14)
Из (7.15), принимая во внимание отсутствие начального напря-
жения на С2» получаем:
77 (s\ — bJW_____________________________
2V < G2s	+	+
«о
(7.16)
§ 5]	ГЕНЕРАТОР ИМПУЛЬСНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ	205
где
а0= -11г = 4,0Х Ю15,
ь«=гаЬ;=ЗМХ10"
ь.“2я(т+1>22;вХ1(”'
h	+ -В а) = 9,1 X 10«.
Численные значения взяты из фиг. 85.
Корни характеристического уравнения
S8 + b2s2 + &1s + &0 = 0	(7.17)
оказываются равными
Si ==—1,59 X 101 и s2, s8==(—4,54±J1,29)X Ю®.
Обратное преобразование 17а(з) по методу § 3 главы VI даёт
^2(0	(=)^e^+Re[2/<Л <>0, (7.18)
где
= Г------21------1	= 181,-
К* — «2) (8 — ®з) Je= »-1
7<2 SS 7----П------ч == ЗЗО^’105-9’.
2	L(s — Si) (S — S3)Js = Ss
По существу в этом случае не следовало бы пользоваться
измерением угла в градусах. Но вследствие отсутствия в прошлом
•таблиц тригонометрических функций от аргумента, выраженного
в радианах, такая форма записи получила распространение в элек-
тротехнике.
Окончательно получим для и2(<):
«2(0== 181е-°’0159* + б60е-*’5«со8(1,29«-Ь 105,9’) киловольт, (7.19)
где t выражено в микросекундах. Вид кривой ti2 (i) показан на
фиг. 86.
Выражение (7.19) показывает, что w2(f) состоит из убываю-
щей экспоненты и затухающего колебания. Параметры составляю-
щих импульса таковы:.
постоянная времени экспоненты—,,=62,5 микросекунды;
постоянная времени затухающих колебаний = -Дт — 0,22 микро-
секунды;
период, колебания = ygg — 4,87 микросекунды.
206
ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. VII
Постоянная времени экспоненты столь велика по сравнению
Фиг. 86. Кривая импульса напря-
жения, приложенного к трансфор-
матору..
с постоянной времени затухающих колебаний, что сумма этих двух
функций во все моменты времени, за. исключением половины пер-
вой микросекунды, представляет собой в сущности просто мед-
ленно убывающую экспоненту. Быстрое нарастание от нуля
до значения, обусловленного
экспоненциальной составляющей,
обеспечивается наличием второй
составляющей u^t), имеющей
вид затухающих колебаний.
§6. Ламповый усилитель
Цепь лампового усилителя
представляет собой прекрасный
пример цепи, для анализа кото-
рой особенно подходит метод
узловых напряжений, так как
эквивалентные схемы усилителей
содержат большое число парал-
лельных ветвей. Электронная лампа, вообще говоря, представляет
собой нелинейный элемент. Однако при надлежащем выборе схемы
включения лампы .и режима её работы, она будет вести себя как
элемент, который можно считать линейным с точностью,, достаточной
для большинства практических целей.
Применение изложенных выше методов к расчёту ламповых
усилителей допустимо в той мере, в какой электронную лампу
можно считать линейным элементом.
Ламповые усилители широко применяются для усиления импуль-
сов напряжения. К сожалению, даже при надлежащем выборе ре-
жима ламп и подборе всех вспомогательных элементов цепи усили-
тель не воспроизводит переходные процессы с абсолютной точностью.
Искажения вносятся входными и выходными элементами цепи,
а также межэлектродными ёмкостями ламп. Для получения наилуч-
ших характеристик усилителя продолжительность собственных пере-
ходных цроцессов должна быть сделана малой в сравнении с про-
должительностью импульсов, подлежащих усилению. Один из спосо-
бов оценки конкретного усилителя в указанном отношении состоит
в экспериментальном или аналитическом определении выходного
напряжения при подаче на вход единичного скачка напряжения 1 (t).
На фиг. 87, а дано схематическое изображение триода (трёх-
электродной электронной лампы), а на фиг. 87,6 — его эквива-
лентная схема для низких частот.
Переменная слагающая напряжения на сетке равна входному
напряжению и0. Переменная слагающая анодного напряжения, т. е.
выходное напряжение или напряжение нагрузки, обозначена
§6]	ЛАМПОВЫЙ УСИЛИТЕЛЬ ;	207
В эквивалентной схеме фигурируют только эти переменные напря-
жения, так как здесь важны лишь отклонения сеточного и анодного
напряжений от их постоянных значений’ Сок—ёмкость сетка-катод^
Фиг. 87. Схематическое изображение триода и его экви-
валентная схема низкой частоты.
На схеме с) = Са^и0; 6га = 7?”1.
Оса—ёмкость сетка—анод, — ёмкость анод—катод. Ra—динами-
ческое внутреннее сопротивление лампы, а у. — коэффициент уси-
ления.
Если анализ эквивалентной схемы выполняется методом узловых
напряжений, то удобно предварительно заменить (см. § 14 главы II}
источник напряжения ри0 с последовательным сопротивлением
источником тока и
параллельной проводи-
мостью Ga (фиг. 87,с).
Для иллюстрации при-
менения преобразования
Лапласа к расчёту усили-
телей приведём два при-
мера.
В первом примере
рассматривается простой
однокаскадный усилитель
Фиг. 88. Однокаскадный ламповый уси-
литель на триоде, нагружённый сопроти-
влением:
Ci — 6 10“ 6 микрофарад, (та = 3,7• 10“б мог
на триоде, а ВО втором	Съ~ 12 • 10“6 микрофарад, Су = 4 • 10~6 лсо,
многокаскадный усилн-	Сз« 2 • 10-» микрофарад, и = 100.
тель на пентодах (пяти-
электродных лампах).
а) Эквивалентная схема однокаскадного усилителя на триоде,,
нагружённого на сопротивление, показана на фиг. 88. Пусть вход-
ное напряжение и0 (£) равно единичному скачку 1 (/). Требуется
найти выходное напряжение «НО-
208
ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. VII
В качестве зависимой переменной выбираем узловое напряже-
ние я составляем уравнение по методу узловых напряжений.
Уравнение имеет вид
G$Jt +	— м0) +.(&! + GJ	(р,
где (0 = Gapu0(f). Перегруппировав члены этого уравнения,
получим:
(02 + C3)^+ (&1 + Ga)u1 = Ca^-i1 (0.	(7.20)
Вводя 2 [«! (0] =s U\ (s) и 2 [«j (0] ssl) (s) и применяя к урав-
нению (7.20) преобразование Лапласа, получим:
[(Ca + C'e)S4-G1 + Ge]J71(s)= '
= CqsUq (s)	(e) -|- (C'2 4- C'8) u1 (0 -j-) —- Cau0 (0 -j-). (7.21)
В результате пренебрежения сопротивлениями в ветвях, содер-
жащих конденсаторы, получилась цепь с чистыми ёмкостями, под-
ключёнными к источнику на входе. При скачкообразном изменении
напряжения источника на единицу напряжения на ёмкостях в мо-
мент времени t — 0 также изменяются скачком. Следовательно,
начальные напряжения м0 (О-j-) й (Q4-) соответственно равны 1 и
С'з/(С'2С'з). Однако для решения уравнения (7.21) в действитель-
ности не требуется вычислять «о(044 и «1(044 • Из схемы фиг. 88
видно, что в момент времени (0-J-) заряды на конденсаторах С2
и Са равны между собой. Следовательно,
С3 [«1(04-) —«о (044] 4-CaMi(°44 — о,
или
(Са 4- С3) «! (0+) — С8«о (044 = 0,	(7.22)
Таким образом, в уравнении (7.21) члены, содержащие «0(°44 и
•«4(044,. дают в сумме нуль.
Решаем уравнение (7.21) относительно Ui (s):
где	а =	= 1,50X Ю6 и вместо U0(s) подстав-
vg	Оз -j-
лено l/s.
Обратное преобразование уравнения (7.23) даёт:
«1(9( = )^о + ^1е”“# ДМ «>0,	(7.24)
§ 6]	ЛАМПОВЫЙ УОИЛИТВЛЬ	209
где	•	'
^-[sCr1(s)1..0 = _|_. =Л__,	_30,9, 
^ = l(s + «)C1(S)l.= -.--3^5-4^ =
__	^3	I	_oi а
(h+G3__________________~ 81’°*
Для t, выраженного в микросекундах, получаем:
(t) ( =) — 80,9 + 81,0 • с"1*50* вольт,	/ > 0.	. (7.25)
Вид функции uY (/) показан на фиг. 89. Постоянная вре-
мени ^1(0 равна: 1/а = 0,67 микросекунды.
Ъ) Эквивалентная схема пентода показана на фиг. 90. Допол-
нительные электроды пентода экранируют анод, так что ёмкость
сетка—анод становится ни-
чтожно малой. Уменьшение
этой ёмкости упрощает рас-
чёт многокаскадных усили-
телей на пентодах, посколь-
ку напряжение на выходе
любого каскада можно счи-
тать зависящим лишь от
входного напряжения, пода-
ваемого с предыдущего ка-
скада, и не зависящим от
нагрузки, создаваемой по-
следующим каскадом.
Эквивалентная схема
первого и последнего каска-
дов n-каскадного апериоди-
Фиг. 89. Напряжение на выходе лампо-
вого усилителя на триоде, к сетке кото-
рого приложен единичный скачок напря-
жения.
ческого усилителя на пен-
тодах показана на фиг. 91. Первые п — 1 каскадов одинаковы.
К последнему каскаду присоединена активная проводимость (на-
грузка) GH. Проводимость цепи сетки обозначим <?2. Связь между
каскадами осуществляется через ёмкость С8 и проводимость
Вычислим выходное напряжение w2n-i(0> получающееся при
подаче на вход единичного скачка напряжения, т. е. wo(O=l (t).
Поскольку нас интересует только изменение напряжения u2(t)
относительно его установившегося рабочего значения, получающееся
при единичном скачке напряжения на входе, начальные напряжения
на конденсаторах можно положить равными нулю. Исключение
составляет конденсатор в первом каскаде; к зажимам которого
непосредственно прикладывается напряжение источника. Но этот
конденсатор не входит в расчёт.
14 Зак. 1977. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
210
ПОЛНОЕ-РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. VII
Обозначим изображения функций u2(t) ir i1(t) соответ-
ственно через Uv (s), U2(s) и 1\ (s). Уравнения изображений для
узлов 1 и 2 таковы:
[(^2 4“ Св)54~ ^14" ^*а\	(6>) —Сз5^2 ($) = — 11 (?')> 1 (
- G3sU} (s) + [(^ + Cs) s + G2] U2 (s) = 0. J (7-26)
Здесь
Л (s) = p.G0Do (s) = y.Ga% [wo(0].
Решение уравнений (7.26) относительно C72(s) даёт:
где
(s)
s- ~p b^s -p Ъо”
(7.27)



OjOj + С2О3 + С4С3	’	’
7, _ (?2 (C2+ C3) + (<?t 4- GJ (Ct + o3)  v 5
Ь --- (<?1 ~P Gg) _________ n oq \/ 1 f>7
&0 - G1c2 + с2с3 + С1Сз - »,88 X 10 •
Корни характеристического уравнения
равны:
s9 Ъх8 -j- b0 = О
Sj= —281 и s2= — 3,52 X Юб.
(7.28)
Для каждого из первых п—1 .каскадов существует зависимость
между выходным и входным напряжениями, аналогичная зависи-
мости, выраженной уравнением (7.27) для первого каскада.
a)	ь)
Фиг. 90. Эквивалентная схема пентода. На схеме Ь):
»1 =	<?о = Вд* 
Обратимся теперь к «-му каскаду. Уравнение изображений для
узла 2« — 1 имеет следующий вид: .
(С2 (л)+ GO 4-= -!„(«). •	(7.29)
Здесь
Л» (*’) “ Р^(,^2п-2 (s) —	[^гп-гО]-
§ 6]	ламповый усилитель	211
Решение для U2n-i (s) есть
Uon-ds^-^U^^s),	(7.30)
где
а2 = — ^ = —11,7Х Ю7 и s8s-6"±—- = — 39,2Х Ю4.
C'2	Оо
Соотношение между входным и выходным напряжениями послед-
него каскада и соответствующие соотношения для всех предшест-
Фиг. 91. Эквивалентная схема первого и последнего ка-
скадов реостатного лампового усилителя на пентодах:
— 7 • 10~6 микрофарад, Ga = 0,7 • 10“6 мо, GH~4* 10~6 но;
Со = 12 • 10“6 микрофарад, Gy — 4 • 10“6 мо,	у. = 2000;
С3 = о • 10“3 микрофарад, С2 = 2 • 10“6 мо,	4 — Ga^uk^
к = 1, 2, 3, ..., п.
вующих каскадов представляются системой уравнений
& — Sj
*
U2n 2 GO = ----------ГГ------r W2n - i (*) ,
2H-2V /	— gj (s — So)	44 7
u (s)	= _—----------------- и (*).
2 k 7	($ — Sj) (8 — s2)	0 v 7
(7.31)
Решая систему уравнении (7.31) относительно U2n_1(s), полу-
чаем:
и (s) = Г  -------------------- 1" -1 и0 (s).	(7.32)
2?а -1 \ /	tS —	(,s. — sj (8 — So) J u	x 7
Мы получили уравнение, связывающее изображение выходного
напряжения ^-каскадного апериодического усилителя с изображе-
нием его входного напряжения. Все каскады усилителя, за исклю-
чением н-го, приняты одинаковыми.
Если я=3 и ?го(О = 1 (0, то Щ (s) = 1/s, и уравнение (7.32)
принимает вид
14
212
ПОЛНОЙ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
[гл. VII
Обратное преобразование уравнения (7.33) даёт (см. §6 главы VI):
«б (0 ( = )	+ /Г13)	+ (Я21/ + К^) е* + Kse* t > О, (7.34)
где
Kn [(s-s^u. (S)]3=S1 = (S1_4^;_S3)-3,67 x 10®,
K12 = [-£ (s — §1)2Щ (s)l	= ala2 J*1+ -?#—= —1,30 X Ю7,
12	17	°47j8=S1	($1--S2;3 («1 — Sg)2
ка1 - [(s-S!mS)i.-.. -	- 4.50 x io'»,
*»- О - S»)S p. <’)]„„ = *'	= - 0.9’ X 10»,
2
Cl't (f/еъ Sn
s.. к»-»,)	-i.oi x Ю».
Для выходного напряжения получаем следующее окончательное
выражение:
мб (0 ( = ) [(3,67 X 10~3t — 13,0) е-2>81-10-"+(45,0<—997)е-°-832(+
+1,01 X Ю8 е "°>892{] . ю6 вольт,
где I выражается в микросекундах. Вид функции иб (0 показан на
фиг. 92.
Фиг. 92. Напряжение на выходе трёхкаскад-
ного апериодического усилителя на пенто-
дах, к входу которого приложен единичный
скачок напряжения.
§ 7. Звуковая головка'с механическим фильтром
Применение преобразования Лапласа к решению задач из
области механики рассмотрим на примере механического фильтра.
Для высококачественного, воспроизведения звука в звуковом
кино скорость движения ленты относительно развёртывающего пучка
§ 7]
ЗВУКОВАЯ ГОЛОВКА С МЕХАНИЧЕСКИМ ФИЛЬТРОМ
213
света должна быть возможно более постоянной. В противном слу-
чае возникает частотная модуляция воспроизводимого звука.
На фиг. 93 показана одна из разновидностей механического
фильтра, предназначенного для сглаживания колебаний скорости
киноленты, вызванных неточным исполнением ведущих зубчатых
колес и погрешностями зацепления между зубцами подтягивающей
ленту звёздки и перфорацией ленты. Транспортирующий барабан
представляет собой полый цилиндр с малым моментом инерции J\,
Внутри барабана, на одной оси с ним находится маховик с момен-
том инерции J2, большим по сравнению с Остальная часть
Фиг. 93. Механический фильтр, применяющийся
в кинопроекционных аппаратах.
дина • см • сек2
радиан
ъ)
= 1,84 • 104
Z2 = 8,43.10^
дина • см • сек2
радиан
В = 12,4-1(Яа“-й;С--С-
радиан
К = 2,89 • IO®
дина ♦см
радиан ’
диаметр звёздки
диаметр барабана
0,578.
полости барабана заполнена маслом: Внутренний маховик вращается
на прецизионных шариковых подшипниках, посаженных на вал
барабана. Связь между барабаном и маховиком осуществляется
только через трение о масло и весьма малое трение в шариковых
подшипниках. Примем, что момент сил жидкостного трения между
барабаном и маховиком пропорционален разности их угловых ско-
ростей. Тогда связь между массами барабана и маховика может
быть представлена в форме крутильного сопротивления В. Необхо-
димая восстанавливающая упругая сила обеспечивается в фильтре
упругостью петель киноленты, которые получаются на участках
между барабаном и направляющими роликами при быстром
214
ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
[гл. VII
прохождении ленты через проекционный аппарат. Пружинное дей-
ствие ленты учитывается крутильной жёсткостью К. Диаметр звёздки,
определяющий величину линейной скорости ленты у её натяну-
того конца, в г раз больше диаметра барабана.
Вращение звёздки, барабана и маховика с нормальными постоян-
ными угловыми скоростями возмущается со стороны звёздки. Это
возмущение выражается в увеличении угловой скорости звёздки
на одну единицу и длится 0,15 секунды, после чего восстанавли-
вается нормальная скорость звёздки. Предполагая, что лента не
скользит относительно поверхности барабана, найдём изменение
угловой скорости барабана, возникающее вследствие импульсного
изменения угловой скорости звёздки.
Фиг. 94. Схема механической
цепи, изображённой на фиг. 93.
Рассматриваемый фильтр представляет собой систему с двумя
степенями свободы. Зависимыми переменными здесь являются изме-
нения угловых скоростей барабана и маховика, возникающие в ре-
зультате изменения угловой скорости звёздки. Пусть увеличение
угловой скорости звёздки происходит в момент времени t — О?
Обозначим, далее:
(0 — отклонение угловой скорости звёздки от нормального
значения (это отклонение представляет собой прямоугольный импульс
скорости, величина которого равна единице и продолжительность
0,15 секунды),
(0 — отклонение угловой скорости барабана от нормального
значения,
о>2 (£) — отклонение- угловой скорости внутреннего маховика от
нормального значения.
Так как при £ = 0 звёздка, барабан и маховик вращаются
равномерно, каждый со своей нормальной угловой скоростью, началь-
ные условия будут условиями покоя, т. е.
(0) = О, J <о0 (0 dt — О,
<о2(О) = О,	=
На фиг. 94, а показана эквивалентная механическая схема
системы с источником скорости включённым последовательно
с крутильной жёсткостью К. Для удобства анализа заменяем источ-
§ 7]	ЗВУКОВАЯ ГОЛОВКА О МЕХАНИЧЕСКИМ фильтром	215
ник скорости с последовательно включённой жёсткостью К источ-
ником вращающего момента т0 (t) с параллельно включённой жёст-
костью К (фиг. 94,6). Из таблицы V находим:
о
Постоянная интегрирования равна нулю, так как
j* % (0 = о.
Интегро-дифференциальные уравнения системы могут быть со-
ставлены непосредственно по виду схемы фиг. 94,6:
t
Ва)г~\~ К u^dt—/?0).2 = т0(9,
о
---4“ jg "jT 4~	= О*
(Ли
(7.35)
Уравнения системы можно, конечно, составить, исходя из самой
механической системы (фиг. 93):
j (гш0-
о
2^-2=.£(<»!-«>,).
(7.36)
Наличие определённых интегралов в уравнениях (7.35) и (7.36)
показывает, что условия, касающиеся начальных углов звёздки и
барабана, уже приняты во внимание.
Обозначим изображения то(0,	(0 и «^(О через 7'0(s), 2i (•$)
и 23 ($) соответственно и применим к уравнениям (7.35) прямое
преобразование Лапласа:
(jiS + в + 4) S, О) - .Л‘22 (S) = 7 о СО, |
— .«Qi (s) 4-(У2з 4-Б) Й2 (s) = О.
Здесь
t
То (а) = 4 ао О) = гКЯ [ J Ф0 (О л].
6
Решение уравнения (7.37) относительно (s) имеет следующий
вид:
S (s) = 4 •	,	(7.38)
14 7 Ji S3 + 62*а-f- 61* + 60 ’	v '
216
ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. VII
где
^ = 90,8,	fcj = -^- = 1,57Х	10а,
«0^-^- = 1,47,	&0 = ^ = 2,31	X	102,
&	ВУх+^ = 820.
2	J1J2
Характеристическое уравнение
s3 + &2sa 4- bvs + &0 = О
имеет корни s( =—1,58 и s2, s3 = — 3,32 ±j 11,6.
Отклонение угловой скорости звёздки от нормального значения
имеет вид прямоугольного импульса, величина которого равна еди-
нице и продолжительность 0,15 секунды. Этот импульс может быть
представлен как разность двух скачкообразных функций, одна из
которых отрицательна и смещена на 0,15 секунды относительно
другой, а именно:
= l (t)—l (i —0,15).	|(7.39)
Изображение <oo(f) равно:
L Q(s) = A_±e-o.i5s.	(7.40)
Преобразование (7.40) выполнено по таблице XIII (строка 13).
Таким образом, уравнение (7.38) может быть представлено, в сле-
дующем виде:
2, (s) =	--------J.+ go -------- (! _ е-о.ш) =
1 4 ’ J1S (S—81) (в—Si) (8 — S3) V	7
= S1(s)(l — е°116’),
Q, (о) =	___________S +	__________
1 ' '	s(s —St)(s — S2)(s —S3)’
(7.41)
Правая часть уравнения (7.41) после обратного преобразования
обращается в разность двух функций одинаковой величины, но про-
тивоположных знаков, сдвинутых одна относительно другой на
0,15 секунды.
На основании изложенного в § 3 главы VI получаем:
(0 (=) Ко 4-	4- Re [2Кае*] —
— {Ко4-	4- Re [2К^]} 1 (0, t > 0,	(7.42)
§ 8]
АВТОМАТИЧЕСКОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ
217
где t =st — 0,15 и
=	0,678,
К' = KS~ 51 (»)],_„= — • S1 (,t	(g° _ = 0,046,
K, - [(—.)£, («)]„,.-	= 0,320^-.
Для />0 угловая скорость барабана, выраженная в радианах
в секунду, изменяется по закону
<о1 (/) = о,578 + 0,04бе~1’ш 4~ 0,652е“3’3^ cos (1 l,6f + 165°) —
- — [0,578 -J- ОДИбе-1’58* + 0,652e“8’32?cos (11,бГ+
4-165°)] 1(0,	(7.43>


7,2
7,7?
/7Л-
0,6 ~
0,4
0,2
О
-0,2
-о,4
§ -0.6
< -/ 2 ----1---1--1---!---1----!---1---1--L—
* о	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5 0,6 0,7 0,8	0,9
§	Время Ь секундах
Фиг. 95. Отклонение угловой скорости
основного барабана от её среднего* значе-
ния под действием прямоугольного им-
пульса угловой скорости звёздки.
где / = /— 0,15 секунды. График функции (0 показан на
фиг. 95. В главе УШ (задача 8.11) указан другой метод нахо-
ждения оригинала для изо-
бражения такого типа, как
данное уравнением (7.41).
§ 8. Автоматическое регу-
лирование. Обратная
связь
Автоматическое регули-
рование применяется для
управления непрерывными
процессами, когда необхо-
димо поддерживать опреде-
лённое, так называемое
нормальное, значение какой-
либо из переменных вели-
чин. Это нормальное значение может быть постоянным или изме-
няющимся по заданному закону. Если переменная величина откло-
няется от предписанного значения в результате постороннего воз-
действия, то возникает некоторый переходный режим, в течение
которого восстанавливается нормальное значение переменной.
Система, к которой применяется регулирование, называется
регулируемой системой. Устройство, непрерывно измеряющее откло-
-218
ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. VII
Фиг. 96. Принципиальная
^хема автоматически регу-
лируемой системы.
нение переменной и превращающее его в корректирующее воздей-
ствие на входе системы, называется автоматическим регулятором
или, коротко, регулятором. Хороший регулятор потребляет для
измерения отклонений ничтожное количество энергии с выхода
регулируемой системы, но энергия корректировки, которой он упра-
вляет на входе регулируемой системы, может быть велика. Автома-
тические регуляторы применяются весьма часто: для регулирования
температуры, уровня жидкости, давления, расхода жидкости или
газа, напряжения, частоты, скорости, углового перемещения, гром-
кости звука, а также для стабилизации движения кораблей, для
управления кораблями и самолётами.
К автоматическому регулированию близко
примыкают методы изменения с помощью
обратной связи коэффициента усиления
и формы кривой выходного напряже-
ния ламповых усилителей.
Существуют некоторые соотношения,
имеющие фундаментальное значение для
теории автоматического регулирования.
Эти соотношения могут быть выражены
в компактной и удобной форме с по-
мощью уравнений изображений благодаря тому, что последние
являются алгебраическими уравнениями.
Сформулируем эти соотношения, пользуясь скелетной схемой
фиг. ’ 96. На схеме фиг. 96 приняты следующие обозначения для
изображений рассматриваемых величин:
А(5)—изображение местного возмущения на входе регу-
лируемой системы.
C(s) — изображение корректирующего воздействия с(1) на входе
•системы.
I (s)—изображение корректированного возмущения i(t) на
входе системы.
О ($) — изображение результирующего возмущения о (0 на выходе
системы.
D2 (г>) — изображение местного возмущения d2(t), действующего
на систему А со стороны выхода.
Д (s) — изображение полного отклонения 8 (0 регулируемой вели-
чины на выходе системы.
Обозначим также:
G12 (s)—передаточную функцию регулируемой системы А,
обычно обозначаемую в теории усилителей через р.
(s)—передаточную функцию регулятора В, иногда обозна-
чаемую через р.
Если 1) lim 6г12(5)<оо и lim 6г34($)<оо; 2) система действо-
S-> ОО	8~>ОО
вала без возмущения в течение промежутка времени, достаточно
§ 8]	АВТОМАТИЧЕСКОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ	219
большого, чтобы исчезли все последствия предыдущих возмущений,
то можно написать следующие основные уравнения автоматического
регулирования:
C(5)==&34G)A0,	(7.44)
Л*)=А(^ + СЧ*),	(7.45)
O(s)==G12(s)I(s),	(7.4G)
Д(5) = О(.5)4-7)2(?9).	(7.47)
Указанные выше условия, касающиеся передаточных функций
и состояния системы, дают возможность составить уравнения
(7.44)—(7.47), не интересуясь начальными значениями возмущений
и их производных (предполагается только, что онп конечны), и
принять равными нулю начальные значения внутри системы.
Если встречается задача, в которой не выполняются оговорен-
ные условия, то вместо уравнений (7.44)—(7.47) появляется система
алгебраических уравнений, возникающая в результате лапласова пре-
образования интегро-дифференциальных уравнений регулируемой
системы и регулятора, выполненного с учётом необходимых началь-
ных условий. Мы не будем рассматривать здесь таких задач, так же
как и общей системы уравнений, охватывающей все возможные
случаи.
Достаточно заметить, что метод преобразования Лапласа пред-
ставляет собой математический аппарат, с помощью которого
всякая задача, поставленная конкретно, может быть выражена
в алгебраической форме.
Подставляя C(s) из уравнения (7.44) в (7.45), f (s) из уравне-
ния (7.45) в (7.46) и О (з) из (7.46) в (7.47) и решая (7.47)
относительно Д(з), получаем:
* м =	!>. (.,) +	(S)- <7 48)
Общий множитель [I —	(.$) G34 ($)]-1 можно назвать коэф-
фициентом регулирования всей системы в целом. Обозначим его
G(s). Тогда
Д (s) = G (s) [G12 (,)	(7.49)
При расчёте регулятора для данной системы передаточная функ-
ция G12(s), характеризующая систему, обычно не может быть
изменена без изменения самой системы. Если изменение регули-
руемой системы невозможно, то G34 является единственной вели-
чиной, которую можно изменять для получения наиболее подходя-
щего коэффициента регулирования G (s), Положение нулей и особых
точек функции G (s) на комплексной плоскости имеет большое
значение, так как ими определяется поведение возмущённой системы.
Очевидно, что система в целом не должна иметь полюсов в правой
полуплоскости и кратных полюсов на мнимой оси, так как в про-
220
ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
[гл. VII
тивном случае в решении появляются неограниченно возрастающие
члены [22, 27]. Далее, не должно быть простых сопряжённых
полюсов на мнимой оси, так как в противном случае в решении
появятся члены, соответствующие колебаниям с постоянной ампли-
тудой. Другими словами, для хорошего автоматического регулиро-
вания система должна иметь полюсы такого типа и так располо-
устойчивоп и не могли бы возникнуть
С другой стороны, обычно желательно,
чтобы G(s) имело в начале коорди-
нат нуль достаточно высокого порядка,
чтобы с ним можно было сократить
полюс некоторого порядка, который
может иметь в данной точке функция
[G12(s) D. (s)+D8(«)]-
Если полюс в начале координат
устранён, то постоянное отклонение
или отклонение, увеличивающееся про-
порционально степенной функции от
отсутствует. В дальнейшее рассмотре-
ние этих свойств G(s) мы здесь вда-
ваться не будем, так как расчёт ре-
гуляторов не входит в задачу этой
книги.
Уравнение (7.49) имеет весьма
общий характер и одинаково пригодно
для систем с распределёнными и сосре-
доточенными постоянными. Поскольку
в этой книге мы занимаемся именно последними системами, рас-
смотрим в качестве примера систему с сосредоточенными постоян-
ными.
На фиг. 97 схематически показана простая следящая си-
стема, представляющая собой систему автоматического управления,
в которой возмущения имеют место только у выхода. Момент
инерции двигателя и присоединённой к нему нагрузки обозначим
через J. Демпфирование представлено крутильным сопротивле-
нием В, По условиям работы системы требуется, чтобы угловое
перемещение (/) вала двигателя совпадало с угловым переме-
щением <р2(0 некоторого вала, показанного на фиг. 97 справа.
Разность угловых перемещений (t) — с?2 (£) является тем отклоне-
нием которое воздействует на регулятор, в свою очередь сооб-
щающий корректирующий момент (t) валу двигателя.
Предположим, что уравнение регулятора имеет следующий вид:
женные, чтобы
установившиеся
она была
колебания.
в
Ф2
Ф = Ф,'Ф2
Регулятор

Фиг. 97. Простая следящая
система, в которой осущест-
вляется пропорциональное ин-
тегральное регулирование:
1 = 60,	= 12 • 104
В = 4,5 • 104	= 11.105.
ч (0 = — (О — К / ? (О	(7 • 50)
где Z4 и к2 — положительные и вещественные постоянные.
§ 8]
АВТОМАТИЧЕСКОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ
221
Из уравнения (7.50) следует, что мгновенное значение коррек-
тирующего момента зависит как от мгновенного отклонения, так
и от интеграла отклонений, имевших место до рассматриваемого
момента времени. Знак минус в уравнении (7.50) показывает, что
положительным значениям отклонения и его интеграла по времени
соответствует тормозящий корректирующий момент.
Система, уравнение регулирования которой имеет вид уравне-
ния (7.50), называется системой с пропорциональным регулирова-
нием по отклонению и по интегралу отклонений регулируемой
величины.
Найдём результирующее отклонение <р (0 для случая, когда угол
поворота ведущего вала <р2 (0 внезапно ’ начинает увеличиваться
пропорционально времени. Значения постоянных следящей системы,
выраженные в некоторой единой системе единиц, указаны на
фиг. 97. При расчёте примем, что к началу движения ведущего
вала интеграл отклонения по времени равен нулю.
В качестве зависимых переменных выбираем отклонение <р(1)
и угол <?1 (<). Закон изменения угла <p2(i) ведущего вала выбран
в данном случае следующий: <?2 (0 = t • 1 (/).
Напишем дифференциальное й интегральное уравнения системы:
(7.51)
где
Tk(f)== —	— к2 Г vdt
(7.52)
(7.53)
? = (Dj — ср2 = —* I • 1 (t).
Начальные условия:
(0) = 0, <?1 (0) =0, j* <s(0 dt = 0.
t = 0
Исключая из уравнений (7.51) и (7.52) и подставляя зна-
t
чение J	получим:
о
t
Т I R  I' я I (
о
Обозначим изображения функций у (£) и (i) соответственно
через ф(з) и Ф1 (s) и применим прямое преобразование к урав-
нениям (7.53) и (7.54):
Ф(5) = Ф1(.5)--^,
 (JS2 + Bs) Ф, GO = -	ф ($).
(7.54)
(7.55)
222	ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ	[ГЛ. VII
Решение уравнения (7.55) относительно Ф($) даёт:
4>W— ^+w;;tv	<7-66’
где а0 = /J/J = 75, b2=== H/J =75, bi = kJJ = 2,0 X Ю8,
60 = 42/J=l,83X 104.
Уравнения (7.56) можно рассматривать как пример примене-
ния общего соотношения (7.49), если в последнем положить:
А ($) = Ф ($),
(S + «п) $2
+ bLs + bQ ’
D^s) = 0, J)2(s) = — S’"2.
Заметаем, что благодаря присутствию в уравнении корректирую-
щего момента члена с коэффициентом к2 G(s) имеет в начале
щего при возрастании угла поворота веду-
щего вала по линейному закону.
координат нуль второго порядка и, таким образом, устраняется
полюс, который был бы в начале координат вследствие вида функ-
ции D2(s). Сказанное следует из уравнения (7.56)., Если бы к%
было равно нулю, равнялось бы нулю и Ьо, а в начале координат
§ 9]
условия УСТОЙЧИВОСТИ
223
появился бы полюс, что соответствует постоянному отклонению
регулируемой величины от её нормального значения.
Характеристическое уравнение
№ + М2 + М + — 9
имеет корни	== — 21,6 и s.2, sa==— 26,7 ±j 11,5.
Обратное преобразование уравнения (7.56) дайт (см. § 3 главы VI)'
8 4~ а0
(s —S1)(S —s2) (« — s-з) J
= К,е^ + Im l2jK2e^J,	(7.57)
где

Таким образом, отклонение, происходящее вследствие линей-
ного увеличения ср2, равно:
?(0(=)~ O,338e~21’6f — 0,343е“26’7* sin (11,5£ —101°), *>0. (7.58)
На фиг. 98 даны графики отклонения и вызывающего его воз-
мущения. Начиная с £==0, отстаёт от ?.2, а затем догоняет его..
§ 9. Условия устойчивости. Условия незатухающих колебаний
Общей задачей теории регулирования является определение пре-
дельных соотношений между параметрами регулятора и регулируе-
мой системы, при которых в установившемся режиме вся система
в целом устойчива и не является колебательной. С другой стороны,,
если требуется получить установившиеся колебания, то возникает
необходимость в определении точных соотношений между параме-
трами, допускающих существование таких колебаний [2]. Система
в целом будет устойчивой и неколебательной в установившемся
режиме, если все ж>рни её характеристического уравнения имеют
отрицательные вещественные части.
Система будет обладать указанными свойствами и в том случае,
если один из корней уравнения равен нулю. Она будет устойчивой,
но колебательной, если имеются сопряжённые мнимые корни, не рав-
ные между собой. Она будет неустойчивой, если имеются корни
с положительными вещественными частями.
•224	ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ	[ГЛ. VII
Если характеристическое уравнение решено и его корни из-
вестны, то нетрудно видеть, устойчива система или нет. Но
уравнения третьего и более высоких порядков обычно решаются лишь
с большой затратой времени. Поэтому желательно иметь возмож-
ность выяснить вопрос об устойчивости, минуя решение характе-
ристического уравнения.
Метод определения числа корней с положительными веществен-
ными частями по коэффициентам уравнения, без нахождения самих
корней, был предложен Раусом [50]. Этот метод позволяет также
определить число корней с вещественными частями, равными нулю.
Ниже кратко излагается без доказательства сущность метода.
. Изложим метод в наших обозначениях. Пусть характеристиче-
ское уравнение, из которого исключены все нулевые корни, пред-
ставляется в следующем виде:
bnsnJt~bn-isn l 4“ • • • 4" ^is 4* ьо —	(?• 59)
где Ъ — вещественные коэффициенты, причём Ъп—положительное,
а п — вещественное положительное целое число. Расположим коэф-
фициенты в два ряда следующим образом:
§П Ъп ^п-2 ^п-4 • • •
1	^п-1	• • •
Коэффициенты третьей строки находятся перекрёстным умно-
жением:
I	&П-1	’	9
Коэффициенты в четвёртой строке находятся перекрёстным
умножением коэффициентов второй' и третьей строк.
Таким способом образуются всё новые строки, пока не будут
использованы цсе коэффициенты уравнения (7.59), включая &0.
При построении этой таблицы коэффициенты в любой строке
можно умножить или разделить на положительное число, и резуль-
тат от этого не изменится. Таким путём можно упростить вычисли-
тельную работу по определению коэффициента следующей строки.
Если все элементы первого столбца получаются одинакового знака,
то уравнение не имеет корней с положительными вещественными
частями. Если имеют место перемены знаков ^элементов, то число
корней с положительными вещественными частями равно числу
перемен.
Пусть, например, дано характеристическое уравнение
.(S 4- 4) (s — 2+J3) (s — 2—J3) (s + 1 + j2) (s + 1 —j2) =
= s5 4- 2s4	2s3 4- 46s3 4- 89s 4- 260 = 0. (7.60)
§ 9]	условия устойчивости	225
Составляем таблицу из коэффициентов, следуя указанному пра-
вилу:
«б	1	. 2	89
S4	2	46	260
S8	—1	—1,95	(после деления на 21)
S2	1	. 6,18	(после деления на 42,1)
S1	4,23		
	6,18		
“В первом столбце встречаются две перемены знака и, следова-
тельно, данное характеристическое уравнение имеет два корня
с положительными вещественными частями. Действительно, в урав-
нении (7.60) содержатся корни 2 -J—J3 и 2—j'3. Заметим, что таб-
лица Рауса не определяет корня, но только указывает на присут-
ствие корней с положительными вещественными частями и, если они
есть, устанавливает их число.
Существуют два исключительных случая, для которых требуются
специальные пояснения.
1. Исключительный случай имеет место, если первый элемент
какой-нибудь строки коэффициентов равен нулю, но другие эле-
менты этой строки не все равны нулю. Следующую строку выпи-
сать не удаётся, так как её элементы обращаются в бесконечность.
Это затруднение можно обойти тремя путями:
а)	Заменить нуль произвольным малым вещественным числом s
и действовать далее обычным способом.
Члены с е2 нужно сохранять только тогда, когда нет уверенности
в их малости по сравнению со значениями полученных коэффициен-
тов. Полное число перемен знаков в первом столбце не зависит
от выбора знака s.
Ъ)	Умножить исследуемое уравнение на множитель вида ($ 4" й),
где Ъ— положительное вещественное число. При этом повышается
степень уравнения и, следовательно, восстанавливается отсутствую-
щая степень
Величина (—1ъ) не должна быть корнем исходного уравнения,
так как иначе получится второй исключительный случай в приме-
нении метода Рауса, рассматриваемый ниже.
с)	Составить уравнение, корни которого будут обратными вели-
чинами корней исходного уравнения. Это можно сделать, под-
ставив м-1 вместо s и избавившись, далее, от отрицательных сте-
пеней и.
Новое уравнение с неизвестной и имеет коэффициенты исход-
ного уравнения, но взятые в обратном порядке. Мы пользуемся
15 Зак. 1977, М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
226	ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ	[ГЛ. VII
здесь следующими обстоятельствами: 1) обратная величина корня
является числом, которое имеет вещественную часть такого же
знака, как и вещественная часть корня; 2) обратная величина
мнимого корня также является мнимым числом.
2. Второй исключительный случай возникает тогда, когда все
коэффициенты второй строки или любой следующей строки равны
нулю. Если такое положение имеет место, это значит, что суще-
ствуют корни равной кратности, лежащие на .прямых, проходящих
через начало координат, на равных расстояниях и по обе стороны
от начала. Построение таблицы коэффициентов производится здесь
следующим образом: вместо нулей в соответствующую строку
записываются коэффициенты производной некоторого вспомогатель-
ного многочлена, коэффициентами которого служат элементы строки,
предшествующей строке нулей. В этом вспомогательном многочлене
встречаются только чётные степени s, причём высшей степенью
будет степень s, указанная слева в строке, предшествующей строке
нулей. Все корни уравнения, образованного приравниванием вспо-
могательного многочлена нулю, являются корнями исходного уравне-
ния. Они получаются, парными, причём корни каждой пары равны
по величине и противоположны по знаку. Как и выше, перемены
знака в первом столбце таблицы коэффициентов дают число кор-
ней с положительными вещественными частями. Остальные корни
будут иметь отрицательные или нулевые вещественные части.
Если корни с нулевыми вещественными частями существуют,
то они окажутся среди корней вспомогательного уравнения.
Для иллюстрации второго исключительного случая применения
метода Рауса рассмотрим следующее характеристическое уравнение:
(S + J2) (s — J2) (s + 1) (s — 1) (s 4-3) =
= s6 + 3s44-3s34-9s2 — 4s —12 = 0. (7.61)
. При составлении таблицы коэффициентов
s6 1 3 —4
s4 1 3 —4 (после деления на 3)
видно, что элементы третьей строки обращаются в нуль.
Наличие двух идентичных строк указывает на существование
корней, равных по абсолютной величине, но лежащих в диа-
метрально противоположных точках. Вспомогательный многочлен
s4 3s2 — 4 образуется из коэффициентов второй строки, как пред-
шествующей строке нулей. Третья строка образуется из коэф-
фициентов производной этого многочлена (делённых на 4), и далее
таблица строится в обычном порядке. Таким образом, получаем
§ 9]
УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
227
третью и последующие строки:
$3
S2
S1
$0
1	1,5
1,5 —4
4,17
—4
В первом столбце встречается одна перемена знака, что указы-
вает на наличие одного корня с положительной вещественной
частью. Остальные корни имеют либо отрицательные, либо нуле-
вые вещественные части. Если корни с нулевыми вещественными
частями существуют, то они окажутся в числе корней вспомога-
тельного уравнения
s4 + 3s2 —4 = 0.	(7.62)
Уравнение (7.62) имеет четыре корня: zh 1 и ±j • 2, которые все
являются вместе с тем корнями исходного уравнения.
Это и есть те пары корней, из-за которых получились две
идентичные строки.
Вернёмся теперь к общему вопросу устойчивости. Из приведён-
ного выше рассмотрения видно, что характеристическое уравнение
не имеет корней с положительными вещественными частями и система
будет устойчивой и неколебательной в установившемся состоянии,
если все коэффициенты характеристического уравнения (7.59)
M’l + ^_lS’l-1 + &n_2S"-2+ ... +М4-50 = 0
положительны, и справедливы неравенства
ЪпЬп—Ъп—1&п—4	Ъп—1Ъп—%Ъп—з-|-	5,
для всех вновь образованных коэффициентов, которые попадают
в первый столбец.
Если нужно получить установившиеся незатухающие колебания,
то коэффициенты должны , удовлетворять следующим условиям: 1)все
элементы одной из строк таблицы коэффициентов должны быть
равны нулю и 2) вспомогательный многочлен, коэффициенты кото-
рого заимствованы из строки, предшествующей строке нулей, дол-
жен иметь пару сопряжённых мнимых нулей.
Критерий незатухающих колебаний, как и критерий устойчи-
вости, изложенный выше, слишком сложен, чтобы его можно было
выразить явно через коэффициенты многочлена, взятого в общем
виде. Мы рассмотрим применение критерия на примере простой
следящей системы, анализ которой был произведён в предыдущем
параграфе. Постоянные следящей системы будем считать заданными
в буквенном виде.
15*
228
ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
[гл. VII
Характеристическое уравнение системы было получено в виде
s8+&2s24-61s-|-&0 = 0.	(7.63)
Таблица коэффициентов:
S3
S2
S1
1	h
(&2^1 ЪцУЬя
&О
Для того чтобы не было корней с положительной вещественной
частью Ь2, bt и Ьо должны быть положительными и &0 < b2bv Это
значит, в переводе на язык постоянных системы, что кх и 7^ должны
быть положительны и JfB < к11к2. Незатухающие колебания
могут существовать, если третья строка таблицы равна нулю, т. е.
если &0 == • Ь2.
При соблюдении этого условия вспомогательное уравнение имеет
следующий вид:
Ь2^4-Ьо = О,	(7.64)
и корни его равны: ±J]/fr0/fr2. Переходя к постоянным системы,
находим, что колебания возникают при k^k^^JjB и будут про-
исходить с угловой частотой ]/ к^В.
§ 10. Приращения в качестве зависимых переменных
При решении какой-либо задачи методом преобразования Ла-
пласа начальные значения зависимых переменных и их производных
вводятся в уравнения в процессе преобразования. Но само опре-
деление этих начальных значений иногда оказывается весьма уто-
мительным. Поэтому желательно, по возможности, устранить эту
операцию. Часто удаётся избежать определения начальных значе-
ний в результате удачного выбора переменных. Такой удачный
выбор возможен, если система изменяется внезапно, и мы интере-
суемся только последующими приращениями зависимых перемен-
ных. При составлении дифференциальных уравнений изменённой
системы нужно выбрать в качестве зависимых переменных прира-
щения переменных системы. Начальные значения этих приращений
все равны нулю.
Такой способ выбора переменных находит широкое применение
при решении задач из области автоматического регулирования,
в которых обычно интересуются только отклонениями или прираще-
ниями. Но здесь мы изложим его в более общем виде примени-
тельно к электрической цепи, в которой внезапно производится
§11]	ЗАМЫКАНИЕ РУБИЛЬНИКА	'	229
переключение. Под словом «переключение» здесь понимаются ком-
мутационные операции, аварийные короткие замыкания и отключе-
ния, а также всевозможные изменения в самой системе.
Для линейных цепей, которые мы рассматриваем, действителен
принцип наложения. Ток (напряжение) каждой ветви цепи после
переключения можно рассматривать как сумму двух слагающих:
1) тока (напряжения), который возникает в данной ветви, если в
цепь с нулевым начальным запасом энергии внезапно включается
единственный источник как раз в том месте, где выполняется пере-
ключение; этот единственный источник может быть* источником
напряжения, равного падению напряжения, которое обращается
в нуль при замыкании рубильника, либо источником тока, равного
току, который прерывается размыканием рубильника; 2) тока (на-
пряжения), который был бы в этой ветви, если бы не производилось
никакого переключения.
Первая слагающая является тем приращением, которое вызвано
переключением. В сумме со второй слагающей она даёт полный
ток (напряжение) ветви, существующий в ней после переключения.
Если искомой переменной является ток через только что зам-
кнутый рубильник или напряжение на зажимах только что разом-
кнутого рубильника, то вторая слагающая равна нулю. В таких
случаям полное решение даёт одна первая слагающая. Составление
необходимых уравнений изображений выполняется здесь особенно
просто, так как при вычислении первой слагающей начальные
значения равны нулю. В двух следующих параграфах мы рассмо-
трим указанные два случая более подробно.
§ 11. Замыкание рубильника
На фиг. 99, я прямоугольник А обозначает линейную цепь,
две точки которой, соединяются между собой замыканием рубиль-
ника К в. момент времени 1 — 0. В общем случае А содержит
источники двух видов: источники напряжения и источники тока.
Обозначим через ик($) напряжение между зажимами рубильника
до замыкания, а через ik(t) ток в рубильнике после замыкания.
Пусть Uk(s) и Iie(s) будут изображениями ик(1) и ik(t) соответ-
ственно и пусть Yk(s) обозначает входную функцию проводимости
цепи А со стороны зажимов рубильника К при замыкании всех
источников напряжения накоротко и размыкании всех источников
тока. Можно показать, что между Ik(s) и Uk(s) существует соот-
ношение
Ik(.«)== Yk (s) Uk (s)i	(7.65)
Далее, по Zfc(s) могут быть найдены с помощью соответствую-
щих передаточных функций системы изображения приращений
токов и напряжений внутри цепи А.
230 .	ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ	[ГЛ. VII
Справедливость уравнения (7.65) доказывается следующим рас-
суждением. Если заменить разомкнутый рубильник источником
напряжения полярность которого одинакова с полярностью
падения напряжения то состояние цепи останется без изме-
нения (фиг. 99, Ъ). Если теперь включить последовательно и
навстречу первому второй источник напряжения ад;д<) (фиг. 99, с),
то разность потенциалов между наружными зажимами источников
будет равна нулю, и состояние цепи будет такое же, как при
замкнутом рубильнике К. В ветви, соединяющей два наружных
зажима, будет протекать ток, а внутри цепи А возникнут прира-
щения токов и падений напряжений.
Фиг. 99. Замыкание рубильника может рассма-
триваться как результат включения источника
напряжения в ту же ветвь.
На основании принципа наложения эти явления можно рассма-
тривать как результат воздействия второго источника напряжения
на пассивную часть цепи А (фиг. 99, d) при нулевых начальных
условиях.
В уравнении изображений (7.65) сформулирована обобщённая
теорема Тевенена. Первоначально эта теорема относилась к цепям
постоянного тока в установившемся режиме, но была впоследствии
обобщена на цепь переменного тока и на переходные процессы.
В предельном случае внешним сопротивлением является сопроти-
вление замкнутого рубильника, т. е. нуль.
Полные токи и падения напряжений, получающиеся в цепи А
после замыкания рубильника К, можно найти, если к приращениям,
вычисленным, как указано выше, прибавить значения токов и
напряжений, которые существовали до замыкания рубильника К.
Для того чтобы метод наложения давал какие-нибудь преиму-
щества перед обычным способом расчёта, в котором запас энергии
в момент переключения учитывается в явном виде, необходимо
иметь возможность просто определять вторые слагающие тока и
напряжения.
§ 11]
ЗАМЫКАНИЕ РУБИЛЬНИКА
231
Нижеследующий пример намеренно выбран простым, чтобы
можно было быстро проверить по виду схемы результаты, найден-
ные с помощью уравнения (7.65).
Пример. В схеме фиг. 100 в момент времени f = 0 замыкается ру-
бильник Ку а на секунд позже замыкается рубильник К. Пусть tx
будет меньше, чем постоянная времени цепи Ll(Rt 4- J?2), так что замыка-
ние рубильника К нарушает течение переходного процесса, вызванного
замыканием рубильника Ку Найдём ток в рубильнике К.
Фиг. 100. Токи и падения напряжения в цепи Ъ)
равны приращениям соответствующих величин
в цепи а), возникающим в результате замыкания
рубильника К.
(7.66)
(7.67)
(7.68)
Положим — ty Для х;>0 напряжение, закорачиваемое рубиль*
ником К, равно:
(О =	[!-«-“(Л +х) ].	^4^
-f- Щ
Обозначим 2	4)] через {Д (5) и применим преобразование Лапласа
к уравнению (7.66):
№ /1 e~at> \ R.Ut (1—e~a^)s
+ s s + aj Rt+R2 (s + a)s
Для схемы, показанной на фиг. 100, Ъ,
у f \ _ 1 I	1	__ 1 s -|- а
Ls + Rx ~Я2 8+& 9 ° L '
Пусть Д (т) означает ток в рубильнике после его замыкания, а Д (s) —
изображение этого тока. На основании уравнения (7.65) получаем:
т / ч / х тг / ч Щ (1 —е~а#1)8 + а
Ik (s) - Ife (s) • Uk (s) -	+	• s(s_j_b) •
Обратное преобразование уравнения (7.69) даёт для т>0
K-o = Kft(s)ls=o = ^,
т/- г/ , г I м _______	Ri&~at‘+-Ra
#!—[(« +b)4(s)]s=-&— R1 ’ Ri + R-i
После подстановки этих коэффициентов уравнение (7.70)
вид
ftw	Д1е~^ + Н2 „,-	(1 1-е-пЦ
«й(т)(-)Л1	2?1 + д2 е jjj U1 kBj R1 + R4_)
(7.69)
(7.70)
где
принимает
232
ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. VII
Нетрудно видеть, что. методом суперпозиции получен правильный
ответ, так как коэффициент является разностью между конечным и
начальным токами (т = 0).
Заметим, что найдено как приращение тока, вызванное фиктив-
ным источником, эдс которого равна падению напряжения, уничтоженному
при замыкании рубильника. Заметим далее, что при вычислении прираще-
ния тока приняты нулевые начальные условия, хотя в момент времени
== 0 по цепи катушки L протекал ток.
§ 12« Размыкание рубильника
Пользуясь рассуждениями, аналогичными рассуждениям § 11,
можно составить уравнение изображений для напряжения, полу-
чающегося на зажимах рубильника, внезапно разрывающего цепь
тока. На фиг. 101, а прямоугольник А изображает линейную цепь,
в которой в момент времени t = Q размыкается рубильник К.
Фиг. 101. Размыкание рубильника может рас-
сматриваться как результат включения источника
тока в ту же ветвь.^
В общем случае цепь А содержит источники двух типов:
источники напряжения и источники тока. Пусть означает ток
во внешнем контуре цепи А, разрываемом при размыкании рубиль-
ника К, a —напряжение, получающееся на зажимах разом-
кнутого рубильника К. Пусть также Ik (s) s 2 [4 ft)] и Uk (s) ss
==2[ufc(f)] и пусть Zk(s) означает входную функцию сопротивле-
ния цепи А, рассматриваемой со стороны зажимов рубильника К
при коротком замыкании всех источников напряжения и отключе-
нии всех источников тока. Связь между Uk(s) и Ik(s) даётся
уравнением (7.72):
(7.72)
Изображения приращений токов и напряжений внутри цепи
можно найти, исходя из Uk(s). Уравнение изображений (7.72)
РАЗМЫКАНИЕ РУБИЛЬНИКА
233
§ 12]
отражает дуальность рассматриваемого случая по отношению к слу-
чаю замыкания рубильника, разобранному в § 11.
Уравнение (7.72) можно обосновать следующими рассужде-
ниями.
Если в схеме на фиг. 101, а заменить замкнутый рубильник
источником тока 4 (Q такой же величины и такого же направле-
ния, как величина и направление контурного тока 4(0» то состояние*
цепи останется без изменения (фиг> 101, &).Но если подключить вто-
рой источник тока 4(0 параллельно и навстречу первому (фиг. 101, с),,
то ток внешнего контура упадёт до нуля, и состояние цепи будет
такое же, как при размыкании рубильника К. Между внешними;
зажимами А появится разность потенциалов, а токи .и напряже-
ния внутри А получат приращения. Пользуясь принципом нало-
жения, всё это можно рассматривать как результат воздействия!
второго источника тока на пассивную часть цепи А (фиг. 101, d)
при нулевых начальных условиях.
Полные токи й напряжения в цепи А, существующие после-
выключения рубильника Л, можно найти как суммы, составленные
из определённых выше приращений и тех значений токов и на-
пряжений, которые были бы в цепи, если бы рубильник 7Г не
размыкался. Следует, однако, отметить, что определение полных,
токов и напряжений таким способом целесообразно только при
условии, что значения токов и напряжений, которые были бы
в цепи без размыкания рубильника К, могут быть легко вычис-
лены. В противном случае предпочтительнее определять полные
токи и напряжения непосредственно, с учётом начальных условий,
в явном виде.
Для иллюстрации применения уравнения (7.72) воспользуемся;
намеренно простым примером, чтобы можно было легко проверить,
правильность решения по виду схемы.
Пример. В схеме на фиг. 102, а в момент времени t = 0 замыкается^
рубильник К1Э а через 4 секунд после этого размыкается рубильник Ю,
Пусть будет меньше, чем постоянная времени цепи так что раз-
мыкание К происходит до завершения переходного процесса, вызванного
замыканием рубильника Найдём напряжение на зажимах рубильника К
после его размыкания.
Обозначим: = 2— 4 Для ток в ветви, выключаемой размыка-
нием К, выражается в следующем виде:
Обозначим через 4 (5) изображение 4 (т) и приманим преобразование
Лапласа к уравнению (7.73):
:234	полное решение одномерных задач	[гл. ти
Для схемы фиг. 102, Ь
7 (Л Д2(Д1 + '^) - Д1Д2 * + «	,	_ 1
Л	1 -frj +	5 Н~ & ’	(^1 “t~ -^2) с *
Os
Напряжение на зажимах рубильника К после его выключения обо-
значим через w&(f)> а изображение этого напряжения — через UA(s) ~
= 8 К COL
а)	6)
Фиг. 102. Токи и падения напряжения в цепи Ъ)
р^вны приращениям соответствующих величин
в цепи «), возникающим в результате размыкания
рубильника К.
Воспользуемся уравнением (7.72). Тогда
Обратное преобразование^ уравнения (7.75) даёт:
со (=)	е-(^+^) =	z > Q (7<76)
к	-*-Ч i -^2	-^1 I -“2
Поскольку 171(1 — е-^1) представляет собой напряжение конденсатора
?яри т = 05 правильность решения очевидна.
§ 13. Восстановление напряжения после отключения сети
В качестве практического применения принципа, изложенного
.в § 12, рассчитаем восстановление напряжения на зажимах масля-
ного выключателя, разрывающего ток короткого замыкания в сети
переменного тока. При расхождении контактов выключателя между
ними образуется дуга, и ток проходит ещё некоторое время после
того, как прекращается соприкосновение контактов. Эта дуга
гаснет через несколько периодов, в момент прохождения тока
через одно из нулевых значений. Скорость восстановления напря-
жения на зажимах выключателя после прекращения тока имеет
важное значение. Для успешного отключения тока короткого замы-
кания необходимо, чтобы скорость восстановления напряжения на
.нажимах масляного выключателя была меньше скорости нараста-
лия пробивной прочности масляного промежутка между быстро
§ 13] ВОССТАНОВЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПОСЛЕ ОТКЛЮЧЕНИЯ СЕТИ 235
расходящимися контактами. Вычислим напряжение, восстана-
вливающееся на контактах. Рассмотрим в качестве простого
примера однофазное короткое замыкание на землю в трёхфазной
линии передачи. Замыкание произошло на стороне линии, за токо-
ограничивающим реактором, но вблизи от него (фиг. 103, а). Со
стороны низкого напряжения трансформатор присоединён «к шинам
бесконечной мощности», т. е. к источнику, мощность которого
Шины
Ьесконечной
мощности
Масляный выключатель
Реактор
*	—......
Место короткого ^л..ипа
Замы канон одной J umj”
(разы на землю
Фиг. 103. а — однолинейная схема трёхфазной цепи; Ъ — по-
следовательное соединение цепей прямой, обратной и нулевой
последовательностей в случае однофазного короткого замыка-
ния на землю; с — расчётная схема, содержащая те элементы
повреждённой фазы, которые необходимы для вычисления вос-
станавливающегося напряжения между разомкнутыми контак-
тами масляного выключателя.
= 0,018 генри, С1 = 10“3 микрофарад, Um = 46,7 У*2 киловольт,
Z2 = 0,01 генри,	= 10-4 микрофарад, ю = 314 Радиан ,
велика по сравнению с мощностью подключённой к нему нагрузки
и внутреннее сопротивление которого мало- по сравнению с полными
сопротивлениями установленных в сети трансформаторов, реактора
и др. Масляный выключатель, помещённый в точке, указанной
на схеме фиг. 103, а, должен отключать повреждённую фазу. На
какую скорость восстановления напряжения на зажимах (после
прекращения тока) должен быть рассчитан выключатель?
Для расчёта токов короткого замыкания в линиях передачи
в общем случае несимметричного короткого замыкания: требуется
основательное знакомство с теорией симметричных составляющих
236	ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ	[ГЛ. VII
[42] и, в частности, необходимы навыки в обращении с сопроти-
влениями для токов прямой, обратной и нулевой последователь-
ностей, неподвижных и вращающихся электрических устройств и
самой линии передачи.
Вычисление величины тока короткого замыкания имеет побоч-
ное значение в стоящей перед нами основной задаче определения
восстанавливающегося напряжения. Мы будем считать, что читатель
знаком с методом симметричных составляющих.
В электрических системах активные сопротивления при рабочей
частоте малы по сравнению с реактивными, так что при вычисле-
нии тока короткого замыкания достаточно учитывать только эти
последние. Для расчёта тока короткого замыкания в масляном
выключателе фиг. 103, а применяется вспомогательная схема
(фиг. 103, 6). Вспомогательная схема, отображающая в данном
случае однофазное замыкание на землю, составлена из последо-
вательно соединённых схем для нулевой, положительной и отрица-
тельной последовательностей. Для трансформатора и реактора все
три сопротивления одинаковы и, следовательно, одинаковы схемы для
трёх последовательностей. Источник напряжения (напряжение шин
бесконечной мощности) имеется только в схеме положительной •
последовательности. Влияние линии передачи и нагрузки на её
отдалённом конце на. величину тока, протекающего через выклю-
чатель, считаем малым и пренебрегаем им.
Пусть (t) — Um cos означает фазное напряжение на шинах
бесконечной мощности, Lx — индуктивность рассеяния на фазу
трансформатора, Z2— индуктивность на фазу реактора. Тогда
Xt = <»Zi даёт реактивное сопротивление трансформатора на фазу,
а Хр = (о£2 — реактивное сопротивление реактора на фазу. Если
Jo, I*! и _Г2 означают величины составляющих токов нулевой, прямой
и обратной последовательностей, то величина тока короткого
замыкания в выключателе равна:
г _т I т I т_	__ 1/245,7-103 _
J-m ^о-Г^Х-Г^2 ЗСХрН-Хр) 2,8.10~2-314
= 7,3 • 103 ампер. (7.77)
Ток, прерываемый размыканием выключателя, равен:
. (<) = Im sin mt.	(7.78)
При вычислении восстанавливающегося напряжения наибольший
интерес представляют явления, разыгрывающиеся в течение пер-
вых пятидесяти микросекунд после прекращения тока. Для такого
короткого промежутка времени важную роль играют ёмкости эле-
ментов цепи относительно земли. Эти ёмкости должны быть при-
няты во внимание. В схеме для поражённой фазы (фиг. 103, с)
Ot изображает ёмкость на землю высоковольтной обмотки транс-
форматора и проходного изолятора выключателя, а (7а — ёмкость
§13] ВОССТАНОВЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПОСЛЕ ОТКЛЮЧЕНИЯ СЕТИ 23Т
реактора на землю. Ёмкость на землю самого выключателя не учиты-
вается, так как вычислению подлежит напряжение, восстанавливаемое
системой. Ёмкость на землю «шин бесконечной мощности» велика
по сравнению с С, и С%, и для возникающих здесь характеристи-
ческих угловых частот она в значительной степени закорачивает
малую индуктивность этого источника. Поэтому ёмкость и индук-
тивность «шин бесконечной мощности» в схеме опущены.
Согласно выражению (7.78) прерываемый ток синусоидален.
Однако, поскольку рассмотрению подлежит только интервал времени
порядка пятидесяти микросекунд, считая с момента времени t = O,
весьма малый'по сравнению с периодом 4(0> равным 2к/<о = 20000
микросекунд, то с достаточной точностью можно принять за вели-
чину ik(t) первый член его разложения в степенной ряд, т. е.
ПОЛОЖИТЬ 4 (0 «rf Тогда Ik (s) Srf 2	= Tm105-2-
Входная функция сопротивления короткого замыкания цепи, рас-
сматриваемой со стороны зажимов выключателя, определяется по
схеме на фиг. 103 в следующем виде:
zk (Ю = —? s + -7..........*- ту •
4s2+f^)
Пусть uk(t) будет напряжение на зажимах разомкнутого выклю-
чателя, a Uk(s) пусть обозначает изображение «^(0. На основании
уравнения (7.72) можно написать:
Uk (s) = Zk (s) Ik (s) = Imw Г-—г- -I-—=-] —,(7.79)
M	m [ Oi^ + Pf) C2(s3 + ^)J s’- V ’
где
(7.80)
₽>=/тй=°’236-10С и ' = VsrllA
Пользуясь указаниями § 5 главы VI, выполняем обратное пре-
образование уравнения (7.79) и получаем для
~ L * ®(«8 + ?1) Ъ s(s34-p|) ]
= К, + Re [2K2e^l -j-Къ + Ве[2К^М],
где
К. == Г —^-5-1	= 4^ =	= 41,5.103,
1	101(вг + ₽1)]8=о
, Г Т1	_	____
2~LC1s(s-|-Jp1)Js=A	-2(7$	2 ’
ТС _ Г ^Н01	1
4 “ L 02s (s -j-$2) Jg=aj?2

2
238	ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ. ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ	[ГЛ. VII
Выполняя операции, указанные в уравнении (7.80), получаем
для восстанавливающегося напряжения при условии 0 t 2тг/о>
следующее выражение:
(t) =	(1 — cos ^t) + Im<oL2 (1 — cos p2i) —
= 41,5(1— cos0,235t) +23(1—cost) киловольт, (7.81)
где t выражено в микросекундах.
График восстанавливающегося напряжения показан на фиг. 104.
Из графика легко определяется наибольшая скорость восстановле-
Время в микросекундах
Фиг. 104. Восстановление напряжения между кон-
тактами выключателя после отключения тока ко-
роткого замыкания.
ния напряжения на зажимах выключателя для условий задачи:
максимальная скорость восстановления определяется как наиболь-
шая крутизна подъёма касательной к графику, проходящей через
начало координат.
§ 14. Инвертор
Метод преобразования Лапласа наиболее удобен для задач
с начальными или граничными условиями, заданными в одной точке.
В таких задачах значения неизвестных функций и необходимого
числа их производных определены во времени или в пространстве
для некоторой точки, принимаемой за начало отсчёта. Если же
граничные условия заданы частью для начала и частью для более
поздних моментов времени или для других точек пространства, то
метод преобразования Лапласа не даёт решения, в котором былп
бы заранее вычислены все постоянные интегрирования. Напротив,
получается решение, содержащее некоторые произвольные постоян-
ные, которые представляют собой требуемые, но отсутствующие
в условиях задачи начальные значения. Эти произвольные постоян-
ные или их комбинации вычисляются классическим методом под-
становки заданных граничных условий и решения системы полу-
чающихся алгебраических уравнений.
§ 14]
ИНВЕРТОР
239»
В качестве примера задачи с граничными условиями, заданными
в двух точках, исследуем форму кривой то”ка на выходе инвертор*
ной схемы.
Упрощённая схема инвертора, работающего на индуктивную-
нагрузку, показана на фиг. 105. Изображённая на фиг. 105 инвер-
торная схема преобразует ток, постоянный по величине и по>
направлению, в переменный ток с по-
мощью двуханодного ртутного выпря-
мителя с управляемой сеткой и соот-
ветствующего колебательного контура.
Форма кривой переменного тока зави-
сит от настройки управляющего кон-
тура и от параметров цепи. Устано-
вившийся режим этой схемы можно,
в сущности, рассматривать как повто-
ряющиеся переходные процессы.
Цепи управления сетками на схеме
не показаны. Их функция состоит
в подаче на сетки переменных на-
пряжений определённой частоты. Сет-
ки играют роль синхронизирован-
ных выключателей, включаемых со
сдвигом фаз в 180° таким образом,
чтобы цепь источника постоянного тока
была всегда замкнута через один из
Фиг. 105. Инвертор с
индуктивной нагрузкой^
анодов.
Для простоты примем, что все
обмотки трёхобмоточного трансформа-
тора имеют одинаковые числа витков,
в = 10 ол,
L = 0,05 генри,
С = 100 микрофарад,
I= 30 ампер,
а потери, индуктивность рассеяния и	= 1/120 сек.
намагничивающий ток этого транс-
форматора ничтожно малы. Короче говоря, будем считать трансфор-
матор идеальным преобразователем напряжения.
Стрелки, указывающие направления контурных токов на фиг. 105,
изображены для того полупериода, когда проводящим является
анод 1, I—постоянный по величине и направлению входной ток,.
— переменный ток в контуре, образованном ёмкостью и двумя
первичными обмотками трансформатора, г2 — выходной переменный
ток нагрузки, и— падение напряжения на нагрузке.
Уравнения цепи с идеальным трансформатором, записанные для
её~ветвеп, таковы:
2^ + ^ —1 = 0,	(7.82)
»=ь-^+ж2,
(7.83)

(7.84>
240	ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ	[ГЛ. VII
Исключая и из уравнений (7.83) и (7.84),
^ = 2ЪС^-\-2ИС^, .	(7.85)
и подставляя результат в уравнение (7.82), получим:
(’.se>
Пусть напряжение, управляющее сетками, имеет период 21г секунд.
Тогда ток нагрузки и падение напряжения на конденсаторе
яз начале и в конце полупериода удовлетворяют соотношениям
^2 (У “	*2 (0)>
2м (fj) = — 2и (0).
Подстановка этих условий в уравнение (7.83) показывает, что
«аО1) = —«з(0).
Это граничное условие более удобно для решения, чем условие,
относящееся к «.
Обозначим изображение г2(0 через и применим преобра-
зование Лапласа к уравнению (7.86):
(is2 + J?s + _yj2(s) =
= ^ + Хг2(0)« + ^2(°) + ^(0)- (7-87)
Решая уравнение (7.87) относительно Z2(s), получаем
I2(s)=	(7.88)
л ' s (s2 + bjs 4- &о)	v 7
тде аа —ia(O), о, =-А;2(о)a„=jA, b1=-^-=200,
Корни характеристического уравнения
Ьо = О
равны:
slt s2 = —100±j200.
Обратное преобразование уравнения (7.88) даёт для
Ч («)( = )	(7.89)
где
Ko^[SZ2(S)]8==o = ^ = I,
ИНВЕРТОР
241
§ 14]
a Kt и Кг являются Сопряжёнными комплексными постоянными,
зависящими от значений i2(0) и (О). Решение сократится, если
*
принять за постоянные, подлежащие определению, Кх и вместо
Фиг. 106. Форма кривой переменного тока в цепи
нагрузки инвертора, схема которого представлена
на фиг. 105.
г2 (0) и i'z (0). Выражение для (f) находится дифференцированием
уравнения (7.89):
Ъ (t) =	(7.90)
Если теперь подставить в уравнения (7.89) и (7.90) граничные
условия и сгруппировать члены, то получится система алгебраиче-
ских уравнений
(1+еМ.)7^441	= _21, |
Исключаем из этой системы уравнений и решаем её отно-
сительно
К. =-----—	= — 31,8е* t89’1”- ®0’).	(7.92)
(si-*2) (l + ee‘*‘)
Объединяем сопряжённые комплексные функции в уравнении
(7.89):
i2(0(=)ffo+Be [2К^\.
Подставляем числа и получаем следующее выражение для г2(0 ,
для полупериода 0 <7 •<
г2 (0 (=) 30 + Be [- 63,бе-100fe> Cw+eM’-w’)] =
== 30 — 63,бе-10М sin (2004 + 39,1°).	(7.93)
16 'Зак. 1977. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
242	полное решение одномерных задач	[гл. vii
Для второго полупериода t	211 можно написать:
г2 (<) (=) — 30 + 63,бе-100	sin [200 (t — + 39,1°].
Форма кривой i2(0 показана на фиг. 106.
Задачи
7.1.	Пользуясь методом преобразования Лапласа, решить дифферен-
циальное уравнение
d*x , n dx , 02	/1
_+ 2а_.+ М = _(1_р0в-(>е>
где «2<
Начальные условия: х (0) = 0 и хг (0) = 1. При решении воспользо-
ваться сокращённым обозначением
^ = (р-а)* + ^-*2).
7.2.	Пользуясь методом преобразования Лапласа, решить дифферен-
циальное уравнение
«1 jy + «22/ = «з «- sin
Здесь а2> аз, а и ? — положительные вещественные числа. Началь-
ное значение у (0) = — Ъ,
7.8.	Дано интегро-дифференциальное уравнение некоторой цепи
L + Ri + £u J i dt = Ate~ <Л/2Ь>*,
где	+ #2 и В = 2 УL8u. При t = 0 начальный ток в L равен нулю,
начальное напряжение на равно + ? и начальное напряжение на
равно нулю = ~ и £2 = -у-, где С19 С2— ёмкости конденсаторов^.
Найти законы изменения во времени: а) для напряжения на конденса-
торе Ci, Ъ) для напряжения на конденсаторе С2.
7.4.	К выходу симметричного Т-образного фильтра низкой частоты
приложено напряжение «1 (t) в форме единичного скачка 1 (t). Какова будет
форма напряжения **2 (0 на выходе фильтра? (См. фиг. 107.)

Начальный запас энергии в конденсаторе и индуктивных катушках мо-
жно принять равным нулю. L = 10 миллигенри, С=1 микрофарада, В2=^..
7.5.	Три индуктивные катушки соединены в двухконтурную цепь,
показанную на фиг. 108. Между каждой парой катушек существует взаим-
§ U]
Задачй
243
ная индуктивность. Рубильник К замыкается при установившемся режиме.
Найти ток батареи после замыкания рубильника.
Li = 50 миллигенри
£2= 75 миллигенри
= 100 миллигенри
М12 = 30 миллигенри
М13 = 40 миллигенри
J/23 = 35 миллигенри
JR1 = 5 ом
= 15 ом
,R3 = 20 ом
U1 = 27,1 вольта
7.6.	На фиг. 109 изображена схема импульсного генератора низкого
напряжения. При расчёте разряда конденсатора через искровой проме-
жуток G- можно не учи-
тывать зарядный контур
одно-полупериодного вы-
прямителя.	Источник
а)	Принимая начальное переменного
напряжение на 01 за еди- напряжения
ницу, найти форму им-
пульса напряжения, попа-
дающего на Сз.
Ъ)	Вычислить, через
какое время напряжение
на С’3 достигает наибольшего значения и через какое время величина
напряжения в хвосте импульса спадает до половины наибольшего значения
(71 = 1,25 • 10“2 микрофарад 7?i = 160 ом
С2 = 2,0-10“3 микрофарад Л2 = 750 ом
С3 = 1,0 • 10"4 микрофарад.
7.7.	Для получения повторяющихся импульсов низкого напряжения
2,8 X 37 микросекунд в схеме фип 110, а в качестве синхронизированного
выключателя используется ртутная лампа, снабжённая управляющей сет-
Фиг. ПО.
кой (тиратрон). ьЭти импульсы применяются для визуальных осцилло-
графических испытаний сильноточных устройств, подключаемых к зажи-
мам тип.
Условное обозначение формы импульса 2,8X37 микросекунд имеет
следующий смысл: напряжение достигает максимума через 2,8 микро-
секунды от начала импульса и спадает до половины максимального значе-
ния через 37 микросекунд.
Предположим, что тиратрон начинает проводить ток при каждом поло-
жительном максимуме подводимого переменного напряжения, что падение
напряжения в дуге постоянно и что падение напряжения на сопротивле-
16*
244	ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ	[гл. VU
нии В остаётся неизменным в течение 100 микросекунд после того, как
тиратрон начинает действовать.
Предположим также, что R настолько мало, что к началу каждого
включения тиратрона заряд конденсатора Cj можно считать равным нулю.
а)	Найти форму импульса и (t) на зажимах тп (для одного периода)
при отсутствии нагрузки, если известно, что
С
= 5,16, J?2Cj = 8 • 10-6 ом • фарад и Л1С2 =* 4,03 • 10“6 ом • фарад.
Ъ)	Найти функцию сопротивления Z ($), которая должна быть включена
в эквивалентную схему изображений, составленную на основании тео-
ремы Тевенена (фиг. 110, Ь).
В схеме фиг. 110, Ъ U ($) =
7.8. На фиг. 111 пред-
ставлена эквивалентная схема
одного каскада телевизион-
ного усилителя. Найти напря-
жение w2 на выходе каскада,
Фиг. 111.
Наибольший интерес представляет
несколько микросекунд:
если на вход подаётся напря-
жение имеющее вид еди-
ничного скачка 1 (t),
выходное напряжение в первые
Ва = 9 • 105	ом
В\ = Ю4	ом
= Ю6	ом
L = 8 • 10“4	генри
01 = 8-10-6
С2 = 12-10“6
О3 = 0,2
Н = 2000
микрофарад
микрофарад
микрофарады
7.9.	Электронное реле, входящее в состав некоторой быстродействую-
щей селекторной системы, приводится в действие усиленным током фото-
элемента, управляемого световыми импульсами. Форма импульса света,
Фиг. 112.
падающего на фотоэлемент, показана на фигуре 112, а. На фиг. 112, Ъ при-
ведена эквивалентная схема фотоэлемента и первого каскада усилителя.
Найти входное напряжение м3 второго каскада.
С практической точки зрения представляет интерес выяснение сле-
дующих вопросов: 1) запаздывания, вносимого каскадом усиления, 2) изме-
нения Чз после того, как освещение фотоэлемента прекратится.
При решении задачи можно считать, что: 1) используется линейная
часть характеристики пентода, причём изменение напряжения на сетке на
один вольт вызывает изменение анодного тока на 10“3 ампер, 2) ток фото-
элемента г'1 пропорционален световому потоку, падающему на фотоэлемент,
§ И]
ЗАДАЧИ
245
причём поток в Fl единиц вызывает в фотоэлементе ток в 0,1 *10“6 ампер,
3) запаздывание фотоэлемента равно нулю.
Ci = 0,01
С2 = 0,6-10-б
С3 = 7.10-6
04 = 12-10-6
Bl = 0,25 • 106
В2 = 10*
ом
ом
ом
микрофарады
микрофарад
микрофарад
микрофарад
7.10. На фиг. 113 показана одна из разновидностей сейсмометра, приме-
няемая для геофизических исследований. К основанию прибора, стоящему
соединённая через усилитель
Фиг. 113.
создаётся звуковая волна. Эта
на земле, прикреплена круглая катушка,
с регистрирующим осциллографом. Ка-
тушка перемещается в радиальном посто-
янном магнитном поле, создаваемом маг-
нитным сердечником. Сердечник опирается
на пружины, закреплённые у основания,
и может перемещаться только в верти-
кальном направлении. Перемещение сер-
дечника демпфируется механическим демп-
фером. Суммарное активное сопротивле-
ние и индуктивность катушки вместе с её
внешней цепью равны соответственно R
и L. Электромеханический коэффициент
связи равен U. Взрывом динамитного
патрона, заложенного в землю, в грунте
волна отражается от поверхностей раздела слоёв земной коры, обладаю-
щих разными проводящими свойствами и расположенных на глубине мно-
гих тысяч метров. Предположим, что одна из этих отражённых волн
перемещает основание сейсмометра с вертикальной скоростью Ле-P^sin X/.
Найти форму тока, возникающего в катушке под действием этой волны.
Параметры сейсмометра (в некоторой единой системе единиц):
17 = 20, ЛГ = 0,5, К’= 4 • 104, В = 2,9 • 102, В = 370, Ь = 0,35,
А = 10-5, р = 1 и X = 280 (t — в секундах).
7.11.	На фиг. 114 показаны основные элементы цепи генератора для
дуговой сварки. Генератор имеет независимое возбуждение и дифферен-
циальное компаундирование.
Трвнсуорматор
Фиг. 114.
В хорошей сварочной машине не должно быть значительных переход-
ных процессов. Поэтому желательно уменьшить магнитную, связь между
цепью возбуждения. и цепью сварочного тока. С этой целью в схему
фиг. 114 введём трансформатор, с помощью которого частично нейтрали-
246	ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ	[ГЛ. VII
зуются явления взаимной индукции между основной и сериесной обмот-
ками возбуждения. Эдс вращения иг(£), генерированная в якоре, равна:
UT> ( 0 = ^0	^1 01-Л)) — ^222>
где Uq—эдс холостого хода, 10 —ток возбуждения основной обмотки,
соответствующий эдс холостого хода, 1сг — средняя крутизна кривой насы-
щения магнитной системы в рабочем диапазоне (для основной обмотки
возбуждения), 1с2 — то же для сериесной обмотки, — мгновенное значение
тока в основной обмотке возбуждения, г2— мгновенное значение тока
в якоре.
Напряжение постороннего возбуждения = 150 вольт, нормальный
ток возбуждения 10 = 1,3 ампера. Полная индуктивность и активное сопро-
тивление основной обмотки возбуждения ‘соответственно равны:
Li = 14 генри, = 115 ом.
Данные для цепи якоря:
Uq — 90 вольт, lei = 12 вольт на ампер,
Тс2 = 0,42 вольта на ампер,
L2 = 1,5 • 10“2генри, В% = 2,1 10~2 ом.
Взаимная индуктивность равна: 9,6 • 10”2 генри.
а)	Найти токи в якоре и основной обмотке возбуждения после внезап-
ного закорочения дуги (и2 (£) = 0). Непосредственно перед закорочением
дуги м2 (О — 25 вольт, а токи имели постоянное значение.
Ъ)	Определить напряжение, восстанавливающееся на сварочных элек-
тродах при внезапном прекращении короткого замыкания. Можно считать,
что ток короткого замыкания спадает до нуля по линейному закону со
скоростью 6,30 • 103 ампер в секунду.
7.12.	Радиоприёмники для ультравысоких частот снабжаются фильтрами
и ограничителями амплитуды, которые включаются между антенной и
приёмником для уменьшения помех как атмосферных, так и от нежела-
Фиг. 115.
тельных станций. Если амплитуда входных помех меньше некоторого
уровня, то на выходе фильтра получается напряжение, меньшее чем напря-
жение срабатывания ограничителя. Ограничитель в действие не придёт
и потому может быть оставлен без внимания.
Эквивалентная схема приёмника для указанных условий, т. е. без
ограничителя, но с фильтром, изображена на фиг. 115. Предположим, что
некоторое возмущение в контуре антенны создаёт напряжение на Ва
в форме единичного скачка 1 (t).
Требуется определить форму переходного напряжения получающегося
в приёмнике. Для расчёта примите, что Ва и Въ велики, что внутренние
ёмкости и анодные проводимости ламп малы, так что влиянием этих пара-
§ И]
ЗАДАЧИ
247
метров на явления в цепи можно пренебречь. Крутизна ламп соответственно
равна gi и д%. Сч итайте также, что В2 < и что постоянные затухания
весьма малы в сравнении с характеристическими угловыми частотами
системы без затухания.
7.13.	Не вычисляя корней, определить для всех уравнений: 1) число-
корней с положительными вещественными частями, 2) число корней
с отрицательными вещественными частями, 3) число корней с нулевыми
вещественными частями.
a)	s4-|-бе3 + 13s2 + 195 +10 = 0;	d) s4 + 2s3 + s + -2 = 0;
b)	s*4-2s3+4s2 — 2s — 5=*0;	e) s4-|-s3— s2-|-s— 2 = 0;
c)	s* + 4s4 + 7s3 + 8s*+ 6s-H = 0; f) s3 — 9s3 — 22s2 — 22s — 8 = 0.
7.14.	В фотоэлектрическом потенциометре, схема которого показана
на фиг. 116, неизвестное напряжение компенсируется падением напряжения,
создаваемым током, проходящим через нормальное сопротивление В. Раз-
ница в напряжениях вызывает ток, отклоняющий зеркальце гальванометра.
Отражённый от зеркала гальванометра луч света делится с помощью
системы зеркал на два луча, каждый из которых падает на свой фото-
элемент. При отклонении гальва-
нометра количество света, падаю-
щего на один из фотоэлементов,
увеличивается, а на другой —
уменьшается. Вследствие этого
меняется проводимость фотоэле-
ментов и, следовательно, напря-
жение на сетке электронной лам-
пы, что, в свою очередь, вызы-
вает изменение анодного тока.
Таким образом, выполняется не-
обходимая коррекция напряже-
ния на сопротивлении В.
При некоторых допущениях
в отношении характеристик фото-
элемента его можно рассматри-
вать как генератор с постоянным
внутренним сопротивлением и
эдс, пропорциональной отклонению гальванометра. При изменении изме-
ряемого напряжения на 1 вольт изменение анодного тока, необходимое
для баланса, достигается при токе гальванометра порядка 10 ~10. ампер,
ничтожно малом по сравнению с анодным током. Внутреннее сопротивле-
ние электронной лампы равно Ra, а коэффициент усиления — р. Сопро-
тивление катушки гальванометра равно By коэффициент самоиндукции—Li,
момент инерции катушки — J, крутильное сопротивление — .В, а крутиль-
ная жёсткость — К.
а)	При каких соотношениях между постоянными система будет
устойчива?
Ъ)	Система сбалансирована. Измеряемое напряжение внезапно изме-
няется на 1 вольт. Найти выражение для погрешности компенсации (через
корни, выраженные в алгебраическом виде), если известно, что система
устойчива и слегка колебательна в переходном состоянии.
7.15.	Напряжение и2 на якоре генератора постоянного тока е посто-
ронним возбуждением регулируется с помощью триодов, включённых
в цепь обмотки возбуждения.
248
ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. VII
Схема включения показана на фиг. 117. Как видно из схемы, напря-
жение на сетках триодов связано с напряжением на якоре через усили-
тель (на схеме показан только один из триодов, включённых параллельно).
При установившемся режиме генератора и номинальном напряжении п2
на его зажимах, часть нагрузочного сопротивления, обозначенная вне-
запно закорачивается.
Найти: а) критические значения произведения \мпк, при которых пре-
кращаются колебания системы в переходном режиме, Ъ) изменение во
времени прцращмия напряжения*на якоре при наиболее благоприятном
из всех найденных в пункте а) значений произведения ^тк.
Фиг. 117.
При решении задачи можно считать, что напряжение возбудителя и
скорость первичного двигателя остаются неизменными и что триоды рабо-
тают в линейной части своих характеристик. Кривая намагничивания маг-
нитной системы генератора может быть заменена на рабочем участке
прямой линией.
Усилитель можно рассматривать как идеальное устройство, без иска-
жения или запаздывания. Сопротивление делителя напряжения очень велико
сравнительно с другими сопротивлениями в цепи якоря.
Данные генератора: 3,5 киловатт, 850 вольт, 1700 оборотов в минуту.
Внутреннее динамическое сопротивление всех параллельно включённых
триодов равно 400 ол«, р. — коэффициент усиления триодов, т—коэффициент
усиления усилителя, к — дробный коэффициент, показывающий, какая
часть напряжения и2 подаётся на усилитель. Изменение тока возбуждения
Фиг. 118.
hi 0,01 ампера вызывает изменение эдс
генератора на 5 вольт.
Li = 5,2 генри = 500 ом,
L2 = 0,25 генри R2 = 2,3 ом,
Вз = 0,15 генри = 41 ом,
= 29 ом.
. 7.16. Автоматический, регулятор под-
держивает массу М на определённом уров-
не таким образом, чтобы указатель а, при-
креплённый к массе АГ, возможно ближе следовал за перемещением неко-
торого указателя Ъ (фиг. 118).
Масса ЛГ удерживается пружинами и К2, а её. движение сопрово-
ждается: трением жидкостного типа, представленным на фиг. 11s* символом В.
Движение массы Л/ ограничено и может.происходить только в вертикаль-
ном, направлении, .Пружина соединяет М с.выходом регулятора.
Регулятор изменяет уровень М путём перемещения верхнего конца
на расстояние, равное расхождению между # и Ъ, увеличенному в Cj раз
§ 14]
ЗАДАЧИ
249
плюс интеграл по времени от этого расхождения, увеличенный в с2 раз.
а) Каковы должны быть выраженные в общем виде предельные соотно-
шения между четырьмя механическими параметрами системы и двумя
коэффициентами пропорциональности регулятора, чтобы система в целом
была устойчивой при небольшом нарушении равновесия?
Ъ) Пользуясь указанными ниже относительными значениями парамет-
ров и коэффициентов пропорциональности, выраженных в одной системе
единиц, найти расхождение mi жду а и Ь в функции от времени, если
указатель Ь внезапно смещается вниз на единицу и далее удерживается-
в этом положении. До этого смещения система длительно находилась
в положении равновесия, т. е.
имело место совпадение ука-
зателей а и b\ М = 0,13, В ==
= 2,^J .К4 = 4,0,	~ 22^	=
= 2,1, с2 = 32.
7.17. На схеме фиг. 119
показана часть машины для
непрерывной выработки про-
резиненной ткани. Валы 1 и 2
снабжены индивидуальными
приводами (двигатели по-
стоянного тока), причём дви-
гатель 2 является главным.
Фиг. 119.
Если ткань затягивается валом 2 быстрее, чем подаётся валом 7, то регу-
лировочный валик подымается, отклоняясь на расстояние у от своего нор-
мального положения. Регулировочный валик приводит в действие авто-
матический регулятор, который корректирует момент, развиваемый дви-
гателем /.
Уравнение регулирования имеет следующий вид:
J Vdi>
где fci, к2 — вещественные постоянные.
Момент инерции двигателя 1 совместно с валом 1 равен J. Масса регу-
лировочного ролика, масса ткани и момент, передаваемой тканью от вала 2
к валу 7, малы, так что ими можно пренебречь. Нагрузочный момент
двигателя 1 в рабочем диапазоне линейно зависит от скорости, причём
всякое приращение скорости вызывает в В раз большее приращение мо-
мента. Все цифровые значения для рассматриваемой системы выражены
в единой системе единиц.
Принимая положение регулировочного ролика за регулируемую пере-
менную, ответить на следующие вопросы:
а)	Какой вид имеет характеристическое уравнение системы?
Ъ)	При каких соотношениях между её параметрами система будет
неколебательной в установившемся режиме?
с)	Каковы должны быть значения отношений J/B, kx/J и.ВД чтобы
при г = 0,15 полюса системы попали на комплексной плоскости в точки
—10h-20z±J5?
d)	После длительной, работы системы без каких-либо нарушений ско-
рость мотора 2 увеличивается, причём закон изменения скорости задан
функцией А (1 — cos bOO t).
Нарушение режима длится в течение одного периода заданной выше
функции, после чего восстанавливается прежнее значение скорости.
Определить вертикальное перемещение регулировочного ролика, поль-
зуясь числовыми значениями, найденными в пункте с).
7.18.	Для получения почти синусоидальных колебаний можно приме-
нить трёхкаскадный апериодический ламповый усилитель с обратной
250
ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ	[ГЛ. VII
связью, подобный изображённому на схеме фиг. 120. Построенный по такой
схеме ламповый генератор можетдавать колебания с периодом до 30 минут,
в то время как наиболее медленные колебания, которые можно практи-
чески создать с помощью обычного колебательного контура LC, имеют
период порядка 1 секунды. Будем считать, что система линейна, что С
несравненно больше, чем любая из межэлектродных ёмкостей ламп, и что
и	гДе обозначает проводимость анодной цепи одной
лампы.
Коэффициент усиления каждой лампы обозначим через р-.
а)	Составить характеристическое уравнение системы.
Ъ)	Найти соотношения между коэффициентами этого уравнения, при
которых будут иметь место незатухающие колебания.
с)	Определить угловую частоту этих колебаний, выразив её через
постоянные ёг2 и
7.19.	Схема, изображённая на фиг. 121, находится в состоянии уста-
новившегося режима в тот момент, когда замыкается рубильник К. Найти
ток, протекающий через рубильник К, двумя способами: 1) прямым спо-
Фиг. 121.
Фиг. 122.
собом, пользуясь начальными условиями для L и С; 2) с помощью вспо-
могательного источника, помещённого у рубильника К. Корни характери-
стического уравнения вещественны и различны.
7.20.	Схема, изображённая на фиг. 122, находится в состоянии уста-
новившегося режима в момент размыкания рубильника К.
Найти напряжение на зажимах рубильника К двумя способами:
1)	прямым способом, исходя из известных, в действительности суще-
ствующих в момент размыкания рубильника напряжений на конденсато-
рах; 2) с помощью вспомогательного источника, помещённого у рубиль-
ника.
7.21.	В трёхфазной 50-периодной линии передачи произошло однофаз-
ное короткое замыкание на землю на расстоянии 17 километров от гене-
рирующей станции. Между линией и станционной группой трансформато-
ров установлен масляный выключатель (М. В.). Трансформаторы (одно-
фазные) соединены по схеме А — Y с* заземлённой нейтралью.
ЗАДАЧИ
251
§ И]
Первичные обмотки трансформаторов подсоединены к «шинам беско-
нечной мощности». На фиг. 123 показана однопроводная схема задачи.
Пренебрегаем дугой в масляном выключателе и будем считать, что ток
короткого замыкания в поражённой фазе прерывается при прохождении
через нуль.
Найти величину напряжения, восстанавливающегося на зажимах
выключателя (для первых 100 микросекунд после прекращения тока).
Напряжение линии составляет 140 киловольт (между фазами), а реактанс
линии равен 0,45 ом на километр. Мощность трансформатора — 4^000 кеа
на фазу, а реактанс трансформатора равен 8%. Активными сопротивле-
ниями трансформатора, линии и переходным сопротивлением в месте
замыкания можно пренебречь. Реактивные сопротивления линии для токов
Шины веско*
пощноС
Место короткого
замыкания
-----;------X-------
17 км-----
Фиг. 123.
мощности»
прямой и обратной последовательностей равны между собой, а сопроти-
вление линии для токов нулевой последовательности в три раза больше
сопротивления прямой последовательности.
Заземлённый проводник линии учитывается через посредство его
.волнового сопротивления, равного 400 ом, которое вводится в расчёты
как простое активное сопротивление. Ёмкость на землю обмотки транс-
форматора (совместно с проходным изолятором) в заземлённой фазе
составляет 0,01 микрофарады. Ёмкость «шин бесконечной
можно принять равной бесконеч-
ности.
Замечание. Если ампли-
туда тока короткого замыкания,
разрываемого масляным выклю-
чателем, не может быть опреде-
лена вследствие недостаточного
знакомства читателя с методом
симметричных составляющих,
найдите выражение для восста-
навливающегося напряжения че-
рез рассматривая как
Масляный
выключатель
Ь)
Фиг. 124.
некоторую постоянную.
7.22. При вычислении восстанавливающегося напряжения обычно пре-
небрегают влиянием дуги в масляном выключателе на разрываемый ток.
Это явление можно учесть с помощью следующего рассуждения. Дуга
может быть представлена в схеме элементом, зависящим от времени.
Падение напряжения на этом элементе можно рассматривать как некий
источник напряжения, приложенного к цепи с неизменными элементами на-
ряду с напряжением действительно существующих источников. Наложение
токов, создаваемых этими источниками, даёт истинный выключаемый ток.
Вообще говоря, падение напряжения в дуге неизвестно, и выключаемый
ток должен быть выражен интегральным уравнением. Но при некотором
допущении относительно формы напряжения дуги ток может быть
вычислен обычным способом. Практически важно, при каком мгновенном
значении напряжения гаснет дуга и прекращается ток. Следующее за
этим нарастание напряжения на зажимах выключателя .рассчитывают,
252	ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ	[ГЛ. VII
исходя из запаса энергии, соответствующего этому мгновенному значе-
нию с учётом источников, действительно существующих в цепи.
В схеме, изображённой на фиг. 124, при размыкании выключателя
возникает дуга, падение напряжения в которой возрастает по линейному
закону со скоростью 1,2 • 106 вольт в секунду. Дуга загорается при про-
хождении тока через нулевое значение и продолжает существовать до
следующего нулевого значения. Повторные зажигания не возникают.
Сопротивление утечки через ионизированные газы, остающиеся после
погасания дуги, составляет 104 ом. На схеме фиг. 124, Ъ это сопротивле-
ние обозначено через В. Индуктивность рассеяния L трансформатора
равна 0,75 «10-3 генри. Ёмкость G трансформатора на землю равна 1,2* 10”9
фарад.
Найти напряжение, восстанавливающееся в цепи, принимая, что
напряжение на конденсаторе С в момент разрыва тока равно падению
напряжения в дуге, которое могло бы быть достигнуто к этому времени,
если бы продолжалось нарастание этого напряжения по линейному закону.
Для интересующего нас короткого интервала времени (менее 100 микро-
секунд) напряжение источника можно считать неизменным, полагая
его равным тому значению, которое оно имело в момент прекращения
тока, т. е.. для т = 0. Для фиг. 124, а
u(t) = 4000 уТ cos 314 t.
ГЛАВА VIII
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
В главах IV и V в семи теоремах были сформулированы некото-
рые важные свойства прямого и обратного преобразований Лапласа.
Теоремы 1—4 имеют общий характер. В них изложены основные
положения, на которых базируются прямое и обратное преобразо-
вания Лапласа. В теоремах 5—7 было установлено свойство линей-
ности этих преобразований и показано, каким образом преобра-
зуются производные и интегралы от функций вещественной пере-
менной. Эти теоремы имеют важное значение для преобразования
и решения линейных интегро-дифференциальных уравнений с по-
стоянными коэффициентами и одной независимой переменной.
Для исследования таких уравнений достаточно знать только
эти теоремы. Но для лучшего уяснения прямого и обратного пре-
образований Лапласа, а также для более эффективного использо-
вания этого метода математического исследования сложных физи-
ческих явлений полезно ознакомиться с некоторыми дополнитель-
ными свойствами преобразования Лапласа.
В этой главе излагаются некоторые новые свойства преобра-
зования Лапласа, сформулированные в виде теорем 8—20. Тео-
рема 8 применяется для упрощения обратного преобразования
некоторых изображений путём замены аргумента. Теорема 9 изла-
гает отличный от описанных ранее приём для выполнения обрат-
ного преобразования произведения. Теорема 10 касается смещения
функций вдоль оси в вещественной области. Она оказывается
весьма полезной при исследовании блуждающих волн. Теоремы
11 и 12 открывают дополнительные возможности для расширения
таблицы изображений и оригиналов и позволяют улучшить исполь-
зование этой таблицы без её удлинение' Теоремы 12 и 13 дают
основу для распространения метода преобразования Лапласа на
уравнения с двумя и более независимыми переменными. Теоремы
14 и 15 дают возможность определить поведение оригинала в бес-
конечности и в начале по его изображению, не прибегая к факти-
ческому выполнению обратного преобразования.
ЙЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. VIII
Области применения указанных теорем, конечно, взаимно пере-
крываются, так что краткие пояснения данные выше, не следует
считать исчерпывающими.
В теоремах 16—20 дополнительно излагаются некоторые свой-
ства преобразования Лапласа, не имеющие значения для его при-
менений в обычных случаях.
§ 1. Теорема 8. Изменение масштаба
Если функция f(t), преобразуемая по Лапласу, имеет своим
изображением функцию F(s) и а представляет собой положи-
тельную постоянную или некоторую положительную переменную,
не зависящую от t или з, то
s[f(|)] = «F(aS),	(8.1)
т. е. деление переменной на постоянную или некоторую иную
переменную в вещественной области соответствует в комплексной
области умножению как изображения, так и его переменной на
это постоянное число или некоторую иную переменную.
Теорема 8 следует из определения прямого 2-преобразования:
J f СО e”WT
о
где го — комплексная переменная.
Для доказательства умножаем и делим т на а и подставляем t
вместо ах и s вместо w/a. Здесь а — положительная постоянная
или некоторая положительная переменная, не зависящая от х и w.
Выполняя указанные действия, получаем
/,/’(^)e_(waT/o)d(^-) = F(w)	(8.2)
О
или
J е~°* dt = aF(as),	(8.3)
О
т. е.
й [/’(j-)] == aF(as),
что и утверждалось в теореме.
Если а > 1, то новая единица времени составляет 1/а часть от
исходной единицы. Функция f вещественной переменной растяги-
вается вдоль оси t в отношении а к 1, а функция F комплексной
переменной изменяется в двух направлениях: 1) её аргумент
§ 1)
ТЙ0РЁМА Й
266
в плоскости комплексной переменной s «сжимается» в отношении
1/а и 2) её новые ординаты «растягиваются» в отношении а к 1.
Если О < а < 1, то в изложенном выше нужно поменять местами
слова «растягивается» и «сжимается».
Пример 1. Дано соответствие
в +0,50
(8 + 0,50)2 +
е-0,50 Zeog
>0.
В этом соответствии единицей времени является секунда. Найдём
соответствие, для которого единицей времени будет половина секунды.
Jit
Плоскость 5
-0,50
।
।
L_.
сг
jO,5K
Ъ)
—I—
-0,25
।
-JO,5K
Плоскость s

Фиг. 125. Радиальное сокращение в комплексной области и соот-
ветствующее продольное растяжение в вещественной области.
Применяем теорему 8, полагая а = 2. Получаем новое соответствие:
8 + 0,25
(в + 0,25)« + (уУ
е—0,25 * cos
*>0.

На фиг. 125 показано продольное растяжение кривой в вещественной
области в отношении 2:1 и соответствующее сжатие в отношении 1:2
геометрической фигуры, образованной мнимой осью и координатами полю-
сов в комплексной области.
256	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. УШ
Теорема 8 может быть применена для сокращения вычисли-
тельной работы при выполнении обратного преобразования в тех
случаях, когда изображение содержит громоздкие множители. Этим
приёмом часто пользуются при решении дифференциальных урав -
нений в частных производных.
Покажем его применение .на следующем элементарном примере.
Пример 2. Найти
L (* +0,02-106) ($ + 0,8-106) J*
Степени десяти можно устранить с помощью теоремы 8. Полагая а = 106,
получаем для t > 0:
Л t \ _ о-i Г	1________1 / ч — е-о,8*
Ц106/ 8 [(« + 0.02) («4-0,8) ]	0,78	'	(8’4)
Мы изменили единицу времени в 1б~6 раз, т. е. в вещественной области
аргумент функции будет выражен не в секундах, а в микросекундах. Соот-
ветственно в аргументе функции f (tf/lO6) положено t = 1.
Если принять за единицу времени секунду, то получим:
е—0,02 .юм — e-o,8.io41
flf>=----------WS----------
§ 2. Теорема 9. Умножение в комплексной области
Еслгь функции f\ и f2 от t преобразуемы по Лапласу и имеют
своими изобраэюениями соответственно функции Fx и F2 от s>
то	г *
2 [ J fi е — О fz (О fa ] = Fi (s) +2 («)•	(8.5)
о
Действие, выражаемое интегралом равенства (8.5), будем называть
свёртыванием в вещественной области или вещественным свёрты-
ванием, а относительно функций f\ (t) и f2 (t) будем говорить, что
они свёртываются.
Эта интегральная операция сокращённо обозначается как
f\ (0*/а(0^ что читается следующим образом: fr(t) звёздочка f2(t)
[46].
Теорема 9 устанавливает, что прямое преобразование свёрты-
вающего интеграла двух функций вещественной переменной приво-
дит к произведению изображений этих двух функций. Таким обра-
зом, свёртывание в вещественной области соответствует умножению
в комплексной области.
С точки зрения прямого преобразования, теорема 9 даёт ещё
один пример перехода с помощью преобразования Лапласа от слож-
ной операции (свёртывание) в вещественной области к более про-
стой операции (умножение) в комплексной области. Другие при-
§ 2j	теорема 9	257
меры такого рода были даны в теореме 6 (дифференцирование
в вещественной области) и теореме 7 (интегрирование в веще-
ственной области).
С точки зрения обратного преобразования, теорема 9 предста-
вляет собой дополнительную возможность для выполнения обрат-
ного преобразования функции F (s) в тех случаях, когда эта функ-
ция может быть разложена на множители, оригиналы которых
могут быть легко определены.
При выполнении обратного преобразования таким методом
функция F (s) представляется как произведение сомножителей.
При этом она не обязательно должна быть алгебраической функ-
цией. В этом состоит отличие от метода, изложенного в главе VI,
где предполагалось, что функция F(s) является алгебраической
функцией, и производилось её разложение на простые дроби.
В общих чертах доказательство теоремы 9 таково. Пусть функ-
ции Д(0 и f2 (0 имеют изображения соответственно /^(spr F2(s).
В интеграле, определяющем прямое преобразование
оо
J di=*F(s),
О
положим:
t
f (t) s / fl (t — t) / 2 (5) dt.	(8.6)
0
Причины, по которым выбран именно интеграл (8.6) для подста-
новки вместо /*(/), не могут быть выяснены здесь. Можно лишь
сказать, что такой выбор оправдывается простотой окончательного
результата. Более подробно об этом интеграле будет сказано
в дальнейшем.
Подстановка интеграла (8.6) даёт двойной интеграл:
оо t
У У fl (t — x)f^(x)dx  e~at dt = F(s).	(8.7)
00
Здесь сначала выполняется интегрирование по т, а затем уже
интегрирование по t
Верхний предел внутреннего интеграла по т может быть заме-
нён на оо, если умножить подинтегральную функцию на единич-
ный скачок 1 (t—т), так как f\ (t — т) •	(т) • 1 (t — х) равно
нулю для значений т в добавленном интервале значений t, т. е.
для т > I. Уравнение (8.7) принимает теперь следующий вид:
со оо
у У fl (t — t) f2 (х) 1 (t — г) dx •	dt = F(s).	(8.8)
0 0
17 Зак. 1977. M. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
258
некоторые Свойства преобразования Далласа [гл. vtti
Поскольку функции A (i) и f% (t) преобразуемы по Лапласу, вну-
тренний интеграл в уравнении (8.8) также допускает преобразова-
ние по Лапласу.
Таким образом, оба интеграла являются абсолютно сходящимися,
и очерёдность выполнения двух предельных операций, выраженных
этими двумя интегралами, может быть изменена на обратную.
Изменяя порядок интегрирования, получаем:
J АСО J* АО—i)e-stdtdx = F(s),	(8.9)
о о
где сначала выполняется интегрирование по t.
Единичный скачок 1 (t — т) обращает новый внутренний инте-
грал в нуль для всех t, меньших т. Тот же результат получится,
если нижний предел этого интеграла заменить на т и опустить
функцию 1 (t—т). Произведём теперь замену переменной Х = £—т
во внутреннем интеграле:
/ АО—
dt = J A (X) е-« *+’> dk = J А О) е~8Х (8-10)
о	о
Поскольку задано, что £ [А (0] =	(О, правая часть уравне-
ния (8.10) может быть заменена выражением e-,nF1 (s)’. Подста-
вляя это выражение в уравнение (8.9), получим:
F^Jf^e-^dx^Fts).	(8.11)
о
Но £ [А0)1 = F2(s), так что уравнение (8.11) принимает вид
^i(e)F3O) = F(a).	(8.12)
Отсюда видно, что из уравнения (8.7) следует:
£ [ J A У - О А (О ] == (S)	(«).
что и утверждалось в теореме 9.
Очевидно, что аргументы функций fj и в уравнении (8.6)
можно поменять местами, и эта перемена не отразится на окон-
чательном результате. Следовательно,
[ J А («- г) а СО Лх ].=£[ J А (О А (*-’О	==
= Fi{s)F<i(s).
(8.13)
ТЁОРЁМА 9

Пример. Найти 8-1 Г-;—:—Д—г-методом вещественного свёр-
L (§ + «)(«+ p) 'J
тывания. Здесь изображение Fi(s) F%(s) равно	качестве
двух сомножителей будем рассматривать функциии . Из таб-
лицы XIII 8-i М— 1 (=) e~ai и 8-1 ЬттЬт] ( ==) <ДЛЯ
[S -j- a J	Lv» “Г PJ J
Применяя теорему 9, получим:
t	t
о	о
t
o—at I	|
О
_... e~at +[(а-рН-1]е~^
(а-р)*
(8.14)
Из этого примера может показаться, что вещественное свёртыва-
ние представляет собой целесообразный способ для выполнения
обратного преобразования во всех случаях, когда известны ори-
гиналы сомножителей. Однако обычно оно является трудоёмкой
операцией и применение вещественного свёртывания для изобра-
жений, имеющих вид рациональной алгебраической дроби, не реко-
мендуется. Для изображений такого вида предпочтительнее метод
разложения на простые дроби как более простой и непосредственно
дающий решение в таком виде, в котором легко могут быть выде-
лены его установившаяся и свободная части.
Метод свёртывания, как будет показано ниже, имеет важное
значение в общей теории преобразований. Он находит также при-
менение для обратного преобразования некоторых иррациональных
функций как в аналитических методах, так и в методах меха-
низированных вычислений.
В заключение изложения общих вопросов, связанных с теоре-
мой комплексного умножения, упомянем ещё два частных случая:
1.	Теорему 7 (интегрирование в вещественной области) можно
рассматривать как частный случай теоремы 9. Если й [f(Q] —F (s),
то по теореме 9
t	t
8-iLLF(s)l( = ) J l(t — z)f(T)dz= J f(t)dt, (8.15)
b	b
что и даёт теорему 7. В подинтегральном выражении можно
опустить единичный скачок 1 (t— т), так как эта функция равна 1
для т < t и нулю для т > t.
17*
260	ЙЕК0Т0РЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. Vltt
2.	Очевидно, что если изображение представляет собой про-
изведение более чем двух сомножителей, теорема 9 может быть
применена к попарно сгруппированным сомножителям. Так, если
F (s)s^i(s) ^(s) ^з (s) и А (О, /а (О и fs (0 соответственно
представляют собой оригиналы A(s)> F2(s) й 5?3(з), т0
g-1 [F (§)] (=) Л (0 * А (I) (I), t > 0.	(8.16)
Порядок, в котором производится свёртывание функций, не имеет
значения.
§	3. Графическая интерпретация интеграла свёртывания
в вещественной области
Интегралу свёртывания в вещественной области можно дать
графическую интерпретацию. Для того чтобы говорить о какой-
нибудь определённой функции, возьмём интеграл из примера § 2,
а именно:
t
(8.17)
О
Операция свёртывания здесь выполняется над двумя веществен-
ными функциями: e~at и te-W, в обоих случаях для t^O. Вместо
этих функций можно подставить усечённые функции е-** 1 (I)
и	которые ведут себя в интересующей нас области
точно так же, как и исходные функции е~^ и te-№. Такая замена
желательна потому, что усечённые функции . удобнее для графи-
ческого представления.
На фиг. 126, а показана функция e-utl(y), а на фиг. 126, Ъ —
функция	(—-т). Благодаря присутствию в последней мно-
жителя 1 (— т) отличные от нуля значения появляются только
для и в‘ результате функция	(—т) является зер-
кальным отражением функции е“ат 1 (т) относительно оси ординат.
На фиг. 126, с показана функция e-a^i-T) 1	—т), где — неко-
торое значение t. Присутствие постоянной влечёт за собой сме-
щение отражённой кривой вправо на величину Эта сдвинутая
кривая представляет собой первый множитель интеграла (8.17)
для некоторого момента времени /Р Таким образом, замена т на
— - вызывает, во-первых, отражение функции относительно оси
ординат и, во-вторых, смещение этой отражённой функции вправо
на величину
На фиг. 126, d изображён второй множитель интеграла (8.17):
1 (т). Подинтегральная функция (8.17) для	пред-
ставляет собой то же самое, что и произведение	1 (t—т) х
X 1 (т). Для момента времени это произведение показано
на фиг. 126, е. Интеграл (8.17) при некотором частном значении ^
§ 3]
ГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
261
верхнего предела представляет собой площадь, ограниченную гра-
фиком, изображённым на фиг. 126, е. Эта площадь даёт одну точку
кривой фиг. 126,/', изображающей зависимость интеграла (8.17)
от переменной t, т. е. она имеет значение ординаты, соответствую-
щей моменту времени
Из приведённого примера видно, что термином «свёртывание»
обозначается математическое действие, которое графически интер-
претируется совокупностью операций отражения, смещения, пере-
множения и интегрирования, выполняемых в определённой после-
довательности *).
Фиг. 126. Иллюстрация четырёх этапов графического способа вычисления
интеграла свёртывания (а = 1,1 и р = 0,1).
Графическое определение ординат интегральной кривой
(фиг. 126,/) представляет собой сложную процедуру, так как для
каждой новой ординаты требуется новое отражение и смещение
экспоненциальной функции, и только после этого может быть вы-
полнено перемножение ординат и интегрирование. В § 2 был рас-
смотрен пример, в котором интеграл свёртывания можно вычислить
аналитически. Аналитическое вычисление возможно во всех
*) Термин «свёртывание» (на английском языке «convolution») выра-
жает то же, что термин «Faltung» (46] на немецком и термин «composi-
tion» на французском языках. Иногда в русской литературе применяются
также термины «складка» и «композиция». (Прим, пврвв.)
262	НИКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. VIII
случаях, когда произведение изображений, оригиналы которых
ищутся, представляет собой рациональную алгебраическую функцию.
Оно возможно также и в некоторых случаях, когда произведение
составлено из иррациональных или даже трансцендентных изобра-
жений. Графическое интегрирование может быть выполнено и тогда,
когда аналитическое рассмотрение затруднительно или практически
невозможно. Поэтому свёртывание в вещественной области имеет
важное значение как один из приёмов выполнения обратного пре-
образования Лапласа. Значение этого приёма будет возрастать по
мере дальнейшего развития методов механического осуществления
процесса свёртывания.
§ 4. Вывод интеграла свёртывания в вещественной
области на основании физических соображений
Применяя принцип наложения, можно составить интеграл
свёртывания в вещественной области на основании физических
соображений. Мы покажем это, пользуясь терминологией теории
электрических цепей. Основные идеи имеют, однако, общее зна-
чение для всех линейных систем. На рис. 127, а А изобра-
жает пассивную линейную си-
стему, вход и выход которой
обозначены двумя парами за-
жимов.
Величину с (0 на выходе че-
тырёхполюсника А при подаче
на вход единичного скачка 1 (<)
будем называть реакцией систе-
мы на единичную функцию вре-
мени.
Величину на выходе четырёх-
полюсника А при подаче на вход
h (t) (фиг. 127, V). С помощью
c(t)
hit)
через
Фиг. 127.
функции f(t) обозначим
интеграла свёртывания можно выразить h(t) через f(t) и с(<),
не выходя при этом за границы области вещественной переменной.
На фиг. 128 показана аппроксимация функции f(f), осущест-
вляемая путём суммирования бесконечно малых скачков, начала
которых сдвинуты по оси времени на промежуток времени Дт.
Если промежуток Дт близок к нулю, приращение f (t) можно при-
ближённо положить равным произведению Дт на крутизну кри-
вой f (О в некоторой точке внутри этого промежутка. При стремле-
нии Дт к нулю величину h (£) на выходе четырёхполюсника в лю-
бой момент времени t можно рассматривать как предел суммы
всех величин, возникших под действием предшествующих беско-
нечно малых скачкообразных приращений функции f(t). Сумма
должна быть, конечно, определена для рассматриваемого момецта
§ 4] ВЫВОД ИНТЕГРАЛА СВЁРТЫВАНИЯ В ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОВЛАОТИ 263
времени I. До перехода к пределу составляющая, вызванная пер-
вым бесконечно малым приращением функции f(t), равна /“(0) • с (О,
вторым приращением — f (Дт) • Дт • с(<—Дт), третьим—/'/(2Дт) ДтХ
Xc(i— 2Дт) и т. д. Если предел существует, то он равен:
й (О = /’(0) • с (О + lim [f (Дт) • Дт . с (I — Дт) 4~f (2Дт) . Дт X
Д-с->0
X С (t—2Дт) 4- ... 4- f (йДт) • Дт ♦ с (t — пДт) 4“ • • •!• (8.18)
Пусть пЛя — ъ, т. е. одновременно с уменьшением Дт увели-
чивается п таким образом, чтобы произведение их оставалось
конечным и равным т. Тогда
t
h (t) =7'(0) • с (i)4~	5 f (х) • Д'5 • c(#—т) —
Дт -> 0 г=0
t
==/(0) • с(/)4~ J" —	t>0.	(8.19)
0
Соотношение, выражаемое уравнением (8.19), лежит в основе
теоремы наложения. Интеграл свёртывания в вещественной области
является одним из ос-
новных элементов этой
теоремы.
Если h (0 извест-
но, а неизвестным яв-
ляется /*'(0, то урав-
нение (8.19) превра-
щается в интегральное
уравнение.
В области веще-
ственной переменной
уравнение (8.19) вы-
ражает общее соотно-
шение между возму- Фиг. 128. Функция f(t)t аппроксимированная
щением и реакцией суммой смещённых друг относительно друга
на это возмущение.	скачкообразных функций.
Оно может иметь вид
обыкновенного уравнения или интегрального уравнения. Следует,
однако, заметить, что соотношения между величинами на входе
и выходе представляются в комплексной области значительно
проще, чем в вещественной области. Покажем это на примере рас-
сматриваемого четырёхполюсника. Обозначим изображения функ-
ций с (0, и f(t) через C(s), Н (s) и F (s) соответственно,
Тогда, согласно теореме 6,
§[f'(Oj-*r(s)—f(0),
264	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. VIII
Преобразуем уравнение (8Д9), пользуясь теоремой 9:
Н (s) = f (0) С (s) + [sF (s) — f (0)] C(s) = sC (s) F (s).	(8.20)
Здесь sC(s) представляет собой системную функцию и может быть
обозначено символом Gr(s), которым мы пользовались ранее в §§ 3
и 4 главы VII.
В качестве примера решим простую задачу из области органи-
зации производства. Эта задача приводит к интегральному уравне-
нию, решение которого значительно упрощается, если воспользо-
ваться преобразованием Лапласа.
Пример. Ожидаемый срок службы партии хрупких приборов опре-
деляется с помощью следующего испытания: партия приборов, состоящая
из А штук, запускается в эксплоатацию в начале месяца, и каждый день
подсчитывается число годных к употреблению приборов. В результате
подобных опытов выяснилось, что количество неразбитых приборов убы-
вает по экспоненте Ае~&, где t выражено в днях (предполагается
непрерывное изменение).
Первого января вводится в эксплоатацию приборов. Требуется,
чтобы в дальнейшем общее число приборов, находящихся в эксплоатацип,
непрерывно нарастало по закону В — (В —	и достигло бы в конце
концов В штук в ежедневном пользовании. В каком количестве следует
ежедневно, начиная с первого января, вводить в эксплоатацию новые
приборы, чтобы выполнить поставленное условие?
В этой задаче реакция системы на единичную функцию времени
равна Она представляет собой то количество приборов из пробной
партии в А штук, которое остаётся в действии по истечении t дней,
прошедших со дня запуска в эксплоатацию пробной партии. Величиной
на выходе является количество приборов В — (В — В{) e~bt9 необходимое
для ежедневного пользования. Начальное значение величины на входе
равно Bj. Неизвестной является f7 (t) — ежедневное пополнение парка
эксплоатируемых приборов. На основании уравнения (Я.19) соотношение
между этими функциями выражается следующим интегральным уравнением:
t
В —(В —Bl) e-W = B!e-^+dt, 4>0.	(8.21)
О
Положим, что функция f (t) преобразуема по Лапласу, и применим пря-
мое преобразование к интегральному уравнению (8.21):
— — Д~?х =	---1-8[f' (4)] —•	(8-22)
8	8-\-Ъ	8-\-а*икл8-+-а
Решаем уравнение (8.22) относительно S [f (£)]*•
8 [f («)] =	(й ~~	s + БаЪ..	(8.23)
S (8 -f- О)
Обратное преобразование уравнения (8.23) даёт
г (О(=)Ко+кгч t>o
§ 5]
СМЕЩЕНИЕ В ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОБЛАСТИ
265
где
к = I [дЫ-31(«~Ь)]з + В«& 1	= Ва
0 I	«Н-Ь	)з=о ’
К1 s | [ВЬ+В1(а-?11±± Ва& 1	= {В-В1)(Ь-а).
\	8	— — Ъ
Таким образом, ежедневное пополнение приборного парка определяется
следующим выражением:
Г (<) = Ва + (В — В1) (6 - а) е~ы, 0.	(8.24)
§ 5. Теорема 10. Смещение в вещественной области
Если функция f(t) преобразуема по Лапласу и имеет изо-
бражение F(s) и если а представляет собой неотрицательное
вещественное число, то
a)	%[f(t — а)] = e-as F (s'), если f(t— а) = 0,
Ъ)	2 [f (I+ «)] = &as F (s), если f (t -|- а) = О,
(8.25)
Теорема 10 утверждает, таким образом, что смещение по оси /
в вещественной области соответствует в комплексной области
умножению на экспоненциальную функцию.
Теорема 10 следует из определения прямого 2-преобразования
СО
J f (ъ) e~sx di — F(s'),
о
если заменить в нём т на t — а, где а—неотрицательное веще-
ственное число. Выполнив указанную замену, получим:
§ f(t—a)e-s^~a'>dt = F(s).	(8.26)
а
Умножив обе части уравнения на е-“«, получим:
ОО
J f(t~a)e-^dt = e~^F(s).	(8‘27'
а
Если f(t— а) = 0 для 0<t<a, то нижний предел интеграла
в уравнении (8.27) можно заменить нулём, т. е.
оо
У f(t—a)e-stdi=:e-aeF(s)	(8.28)
о
или
2 [f(t—a)] = e~aSF(s), если f(t — а) = 0, 0<#<«,
что и утверждалось в пункте а) теоремы 10,
266	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. VIII
Если т заменяется на<-(-а вместо I — а, то получим:
J f (t + а) в-»# dt = e®»F(s).	(8.29)
— а
В случае f(t~\-a) = О для —а<£<0 нижний предел интеграла
может быть заменён нулём, т. е.
J f(t-\-a)e~sidt — easF(s)
о
или
2 [/(* + «)] =e^F{s), если f(t-^a) = O, —a<t<0, (8.30)
что и утверждалось в пункте Ъ) теоремы 10.
Если функция fj (f) преобразуема по Лапласу, то функция f (t)
вида ft • 1 (t) удовлетворяет условиям пункта а) теоремы 10,
а -.функция вида f\ (() • l(t — а) удовлетворяет условиям пункта
Ъ) той же теоремы.
С точки зрения обратного преобразования теорема 10 показы-,
вает, что если
s-4F(s)](=)m	<>о,
то
(О,	0</<а
g-4e-F(S)]( = )(^_a)j	t>a	(8.31)
Но
2-i [e^F(s)] ( = )/(# +а),	«>О	(8.32)
только в том случае, если	= O для —а<7<0.
Пример 1. С помощью теоремы 10 найти 8 (G—— а)]. Здесь
f(t — а) = (t —	— а) и равна нулю для 0<^<а. Согласно урав-
нению (8.28),
9
8 [(* — а)2 • 1 (t — а)] = e-«s 8 [*2 • 1 (*)] = e-«s —, 0 > 0.	(8.33)
Этот результат можно легко проверить с помощью интеграла, определяю-
щего преобразование Лапласа, а именно:
со	со
(t — a)2-X(t — a)e~stdt== J (t — a)2e~stdi =	а>0.	(8.34)
о	а
Пример 2. С помощью теоремы 10 найти	— а)]. Здесь
f(t—	— а) и равна нулю для 0<£<а. Согласно уравнению
(8.28),
Sp3.1(<-e)J = e-«2[(i4-а)*.Д(0]=е-«(^-+^-+-^), а>0. (8.35)
§ 5]	СМЕЩЕНИЕ В ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОВЛАОТИ	267
Как и в предыдущем случае, результат может быть легко проверен:
оо	оо
J —a)e-s*dt = J	+	+	о>0. (8.36)
о	а
Пример 3. Применить правило смещения в вещественной области
для нахождения оригиналов следующих двух изображений, в которых а
является неотрицательным вещественным числом:
a)	а>0, Ь) (-£4-Х)в-<*.	а>0.
Для нахождения оригинала изображения а) воспользуемся уравне-
нием (8.31). Здесь F (s) = s-2 и S“1[s“2] ( = ) t, * >0.
( = )(#-<»)•!(* — а),	i>0.	(8.37)
Полученная функция показана на фиг. 129. Она представляет собой ли-
нейную функцию от t, смещённую вправо на величину а и усечённую
при t = а.
В случае b) F(s) = as"1 + s~2 и S-1 [as"1 4-s~2J ( =) a +	£>0.
По уравнению (8.31)
8-1 [(г + е-08] (=) l« + (* -«)] ’-* G - «) » *• Л* - «). (8-38)
t>0.
Эта функция показана на фиг. 129, Ъ. Она представляет собой линейную
функцию от t, усечённую в точке t = а, но не смещённую.
Фиг. 129. а—смещённая функция после отсечения, Ъ — не-
смещённая функция после отсечения.
В рассмотренных примерах нам встретилось усечение функции
в комбинации с её смещением (примеры 1 и За), а также одно
только усечение (примеры 2 и ЗЪ).
Если f (0 представляет собой начинающуюся с t = 0 усечённую
часть преобразуемой по Лапласу периодической функции с перио-
дом а секунд, то с помощью теоремы 10 можно показать, что
изображение этой функции F(s) —	, где Fj (s) предста-
268
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. VIII
вляет собой изображение функции /д(0, а Л (О —это заданная
функция на протяжении своего первого периода
Последовательным применением теоремы 10 можно составить
следующую таблицу:
изображение для первого периода —
изображение для второго периода — Fl(s)e~as
изображение для третьего периода — F1(s)e-2a8
изображение для n-го периода — Ft (s) e-(n-i)«s
Складывая изображения периодов, получаем изображение для всей
функции:
Последнее равенство написано по аналогии с разложением в ряд
1	я-Д-а;2-]-	... =(1—ж)-1, #<1.
Для иллюстрации применения изложенного правила найдём изобра-
г в Ь ' 5	6	7	8'3
Фиг. 130. Серия синусоидальных импульсов.
жение серии синусоидальных импульсов, показанных на фиг. 130.
Здесь

О,
2 sin 2rd,
О,
2 sin 2itt,
и период f(t) а = 4 сек. Для упрощения записи положим р==2~.
На протяжении первого периода эта функция представится в сле-
дующем виде:
/} (0 = 2 sin р (t — 1) • 1 (t — 1) — 2 sin р — 3) • 1 (t — 3),	(8.40)
§ 5]	Смещение в вещественной области	269
а её изображение на основании теоремы 10 равно:
(8-41)
Тогда, согласно уравнению (8.39), изображение функции f(t)
равно:
=	=>0.	(8.42)
Полученный результат можно проверить, пользуясь интегралом,
определяющим преобразование Лапласа:
оо	3	7
f (t) e~stdi=2 | sinp/- e~stdt-\-2 j* sin pi • e~st di-]- ... —
О	1	.5
=	К6"* — e"8s) + (e-6s — e-’s) + •	•	• 1 =
=	28	, e-	P .	2	_	p
S2 + P2 14-e~2s	s2+₽2 esJ^e-s ($2-|-р2) chs> lo.tto;
a > 0, p = 2k.
Рассмотрим теперь обратную задачу, в которой по данному изо-
бражению ищется оригинал, т. е. найдём Й-1	> гДе
р = 2я.
Существуют по меньшей мере два способа для выполнения этого
обратного преобразования. Первый способ основан на использова-
нии теоремы 10 и повторяет до некоторой степени вышеприведён-
ные выкладки (8.43). Изложим его здесь, чтобы показать ход рас-
суждений. Второй способ будет изложен в § 6.
Используя разложение в ряд по экспоненциальным функциям
[см. уравнение (8.43)], представим обратное преобразование в виде
8-1 [ / 2 । rl й •] = 8~1 I(e"s — e~3s + e~5s —	+ •••)]•
[ (s2 + £2) ch s J L^+P	J
Полученный бесконечный ряд сходится абсолютно для <з>0. Пред-
положим, исходя из формальных соображений, что теорема о линей-
ных свойствах преобразования Лапласа может быть обобщена на
бесконечный ряд, и выполним обратное преобразование почленно.
При этом изменяется порядок выполнения двух предельных опера-
ций (суммирования ряда и обратного преобразования Лапласа).
Обратное преобразование каждого члена выполняем на основании
уравнения (8.31) (теорема 10).
В. результате получаем бесконечный ряд
2[sinp(f— 1)-l(t— 1) — sin[3(£ — 3) •!(<—3) +
+ sin₽(i — 5) • 1 (t — 5) — sinp(i —	7)+ ...]. (8.44)
270	ЙЁКОТОРЙЕ бВОЙОТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [гл. Vtti
Так как p==2it, то графически ряд (8.44) представляется в виде
серии следующих друг за другом синусоидальных импульсов, т. е.
в виде исходной функции времени, изображённой на фиг. 130.
Таким образом, в рассмотренном случае оригинал суммы бесконеч-
ного числа изображений оказался равным сумме бесконечного
числа оригиналов этих изображений, взятых в отдельности. Закон-
ность такого изменения очерёдности выполнения двух предельных
операций (суммирования ряда и интегрирования) требует каждый
раз специального подтверждения.
§ 6. Обратное преобразование мероморфной функции
В предыдущем параграфе был дан метод обратного преобразо-
вания функции F(s) — $ [(s2-f-p2)chs]-1, основанный на разложе-
нии этой функции в бесконечный ряд, члены которого представляют
собой экспоненциальные функции от s.
Изложенный здесь метод заключается в разложении функции
от s на бесконечную сумму простых дробей. Для примера рассмо-
трим туже функцию F($) = 0 [(s2-|-р2) chs]-1, где p = 2ir.
Во-первых, представим ch s как бесконечное произведение линей-
ных сомножителей. Так как chs = O для з =	тс, где
Л = 0, 1, 2, ..., то можно написать:
Здесь символ ТТ обозначает произведение сомножителей. Пользуясь
равенством (8.45), получаем:
Р __________________Р
(s2	р2) ch s	“
(з2+Р2)Ц 1-
х=о L
(8.46)
Изображение (8.46) имеет на мнимой оси в точках и равно-
отстоящих точках ±jи т. д. бесконечное число сопря-
жённых полюсов первого порядка.
§ 6] ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЁРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ
271
Функция, не имеющая в конечной части плоскости других осо-
бых точек, кроме полюсов, называется мероморфной функцией
[23, 30]. Мероморфная функция может иметь бесконечное число
полюсов. Она является, следовательно, обобщением алгебраической
рациональной функции. Примером мероморфной функции может
служить функция (8.46).
Функция (8.46), как и рациональная функция, обобщением
которой она является, может быть разложена на простые дроби,
но число дробей в разложении будет неограниченным. Это следует
из теоремы Миттаг-Леффлера [29] о разложении на простые дроби,
охватывающей случай бесконечного числа полюсов. Коэффициенты
для разложения с бесконечным числом членов находятся таким же
путбм, как и для разложения с конечным числом членов (см. § 5
главы VI).
Применение обратного преобразования Лапласа к каждому члену
какого-нибудь бесконечного ряда в отдельности (например, к каж-
дой дроби в разложении с бесконечным числом дробей) допустимо
тогда, когда установлена возможность изменения очерёдности выпол-
нения двух предельных операций (суммирования и интегрирования).
Для установления такой возможности обычно требуется специальное
исследование данного конкретного ряда. При решении физической
задачи можно действовать, исходя из формальных соображений.
Полученный результат правилен, если он удовлетворяет исходным
уравнениям и начальным условиям.
Вернёмся теперь к функции (8.46). Обозначая её через F(s)
и выполняя разложение на простые дроби, получаем
Fo ^-й
где
— [(s j'P) F	. eh = 2j cos ₽ — 2j ’
(>+).=
д Г _____g______1	= .____________.
L(S2 + ₽2)	[₽2-(x + y)2«2]shj(*
212	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. Vlit
Но sh j (х -j- у) it = j sin (x 4-	л = j' (— 1 )x. Следовательно,
к =	C-1)^_____________(-1/
Подставляя эти коэффициенты и группируя плены, получаем
где Р s 2те.
Если теперь предположить, что порядок выполнения операций
обратного преобразования и суммирования может быть изменён, и
применить обратное преобразование к обеим частям уравне-
ния (8.48), то получим:
оо
/(«)(“) sin	---fe + i\2sin(A + y)4 #>О- (8-49)
х=о
Можно показать, что функция f (t) равна почти везде исходной
периодической функции, показанной на фиг. 130, и имеет своим
изображением функцию (8.46). Таким образом, изменение очерёд-
ности выполнения предельных операций в этом примере было допу-
стимо.
Отметим, между прочим, что разложение на простые дроби даёт
отличный от обычного способ нахождения ряда Фурье для перио-
дической функции. Последовательность действий в этом случае
должна быть следующей:
1)	Часть периодической функции, расположенная влево от
начала, отсекается путём умножения данной функции на единич-
ный скачок! (О- Далее, находится изображение для первого периода
справа от начала, из которого с помощью уравнения (8.39) опре-
деляется изображение усечённой периодической функции.
2)	Если изображение усечённой периодической функции пред-
ставляет собой мероморфную функцию, то оно может быть разло-
жено на простые дроби.
3)	Если возможно изменение порядка выполнения операций
обратного преобразования и суммирования, то обратное преобразо-
вание простых дробей приводит к сумме тригонометрических
функций, действительной для Для положительных значений t
эта сумма имеет такой же вид, как и ряд Фурье для исходной
периодической функции. Если опустить ограничение в отношении
знака t, то полученная сумма, очевидно, превратится в ряд Фурье
для исходной периодической функции.
§ 6] ОБРАТНОЕ ПРЕОВРАЗОВАНИЕ МЕРО морфной функции 273
В качестве другого примера применения изложенного метода
рассмотрим цепь с последовательно включёнными сопротивлением R
и индуктивностью L, к которой приложено напряжение, изменяю-
щееся во времени, как показано на фиг. 130. Найдём ток в этой
цепи.
Изображение приложенного напряжения равно
^(S)— (S2_|_p2)chs>
где р = 2тг.
Входная функция проводимости для последовательной цепи RL
равна:
тг/ \ _ 1	. R
Y (s) = 7 -; ;—г , a ==-7“.
4 7 L (s + а) ’ L
Изображение тока равно:
_L
1М-Г(^(<>-(, + .)ДИ|!1,..	(8.50)
Раскладывая I (s') на простые дроби, получаем
т(5) —,
,_|_а-Г e_jp-r e+jp-r
где
Ktt = [(S-\-a) I (s)]8=_я = (а2	р2) ch (_ а) = L (а2 + 4л2) ch а >
— J?) I (*)]8=^ — (а	eh^ — 2jL(a2 + 4ll2)i/a ’
O = arctg-^,
18 Зак. 1977. M. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
274	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. VIII
Предполагая, что очерёдность выполнения суммирования и обрат-
ного преобразования может быть изменена, и выполняя обратное
преобразование уравнения (8.51), получаем:
г (t) (=) Яве—#+Im №^]+21п1[ж^ +2) ”*], г> о, (8.52)
или после подстановки значений К:
щх /__\	2та?~а*_. sin — 6)
' И ~~'1,(<г! 4- 4^2) Ch a"1" Z, Н-4я*)>/в +
5П	( — 1)*з1пГ(\-|--|-')лг — фх 1
+^1^?114+а'-г	“
Первый член решения даёт свободный ток, а другие члены — ток
установившегося режима. Для значений t а-1 свободный ток
становится ничтожно малым и i(i) выражается бесконечным рядом
синусоидальных функций.
Правильность решения (8.53) для г (t) и допустимость измене-
ния в этом примере порядка выполнения предельных операций
можно подтвердить, показав, что i (t) удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению задачи
i| + 2?i = M(i)
и начальному условию г(0) = 0. При подстановке (8.53) в диф-
ференциальное уравнение для u(t) можно использовать уравне-
ние (8.49). При проверке соблюдения начального условия г(0) = 0
удобно воспользоваться функцией (8.46) и уравнением (8.48), заме-
нив в них s на а.
§ 7. Теорема 11. Смещение в комплексной области
Если функция f(t) преобразуема по Лапласу и имеет своим
изобраэюением функцию F(s) и если а представляет собой ком-
плексное число с неотрицательной вещественной частью, то
имеют место следующие уравнения:
ф %[e~&f(t)]-==F(s\
Ъ)	= F(s — a), f
Теорема 11 утверждает, что умножение на показательную функ-
цию от t в вещественной области соответствует в комплексной
области смещению функции от з, и, в частности, смещению её осо-
бых точек и нулей.
§ 7]
ТЕОРЕМА И
276
Доказательство теоремы следует из определейия преобразования
Лапласа:
J dt=F(w).
О
Здесь w— комплексная переменная. Заменяя w на получаем:
fit)e-^aFdt= j* [/(/)e~ai] e~stdt = F(s-\-a).	(8.55)
6	b
Уравнение (8.55) может быть переписано в виде
8 [f (t) e~at] = F(s-\- a),	(8.56)
что и утверждалось в пункте а) теоремы.
Аналогично доказывается утверждение пункта Ъ), если w заме-
нить не на s-j-a, а на s — а.
Для обратных преобразований теорему 11	удобно представить	
в следующем виде:		
Й-1 [F(s 4- а)] (=) е-^Й-i [F(s)],	<>(),	(8.57a)
Й-1 [F(s —•«)] (=) е^Й-1 [F (§)],	/>о,	(8.57b)
или		
Й-’ (F(s)] (==)е««Й-1 [F (« + «)],	«>о,	(8.58a)
Й-1 [F(s)] ( = ) е-^Й-1 [F(s —а)],	О о.	(8.58b)
Пример 1. Пользуясь теоремой 11, найти 8 [е	-rjf COS [М| по S [cos	
а — неотрицательное вещественное число.
Так как £ [cos pf| = $/($2+{з2), ст > 0, то применение теоремы 11 даёт:
8 [е- °* cos	,	с > - а,	(8.59)
что находится в согласии со строкой 7 таблицы XIII.
Заметим, что полюсы, нули и а сдвинулись влево на величину а.
Пример 2. Найти оригинал функции + ct)w+1, где п— неотри-
цательное целое число и а — неотрицательное вещественное число.
Изображение s^/(s +a)w+1 имеет в точке — а полюс порядка п + 1.
На основании анализа, проведённого в § 1 главы VI, можно ожидать, что
оригинал будет содержать множитель е~а*. На основании теоремы 11
множитель e~ot может быть написан сразу. Изображение, остающееся
после выделения этого множителя, находится непосредственно по задан-
ному изображению. Пользуясь уравнением (8.58Ъ), можно написать:
= (8-60)
18*
276
НЕКОТОРЫЕ ОВОЙОТЙА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [гл. VIII
Раскладывая (s— а)п по формуле бинома и деля каждый член разложения
на sn+1, получим:
(8 — «)” _ 1 , п(—д) п(и —1) ( —а)3	п!( — а)к	_
s^+i s' s3 '	21s3 "Г " i~(n—fc)!fc!sfc+1+’ ’ ’ ~
_yn!(-g)b	1
A(n — fc)!fc! S&+1'	1
ние обеих частей уравнения (8.61) с помощью
Выполним обратное преобразова
строки 10 таблицы XIII:
р-i Г(* —g)n] f = \ V «)ь
L «n+1 Г ’ («— fc)!fc! ’ W ’
А==0
*>0.
(8.62)
Окончательно получим:
Я-1
п
_____*1____1 (=) e-«# У »'(-«)*
(s + a)n+1 J 1	’ А (п —1с)! (7с!)3
fc==0
t >0.
(8.63)
t\
Простота решения рассмотренного примера с помощью теоремы 11
может навести на мысль о целесообразности частого её примене-
ния. В связи с этим следует заметить, что простота решения
связана со смещением особых точек в комплексной плоскости.
Для пользования теоремой 11 наиболее благоприятен тот случай,
когда все особые точки функции, к которой применяется обрат-
ное преобразование, имеют одинаковую вещественную координату
и с помощью одного смещения все приближаются к мнимой оси.
Однако такой случай встречается нечасто, и развитый в примере 2
метод нельзя считать общим.
Предположим, например, что этот метод применён для нахо-
ждения оригинала нижеследующего изображения, в котором а ф [J.
Пользуясь результатом, который даётся уравнением (8.61), по-
лучаем:
_____sn ] (= •) Г___________1 _
(8+ ₽)(«+“)n+1J	L(s+p—a)s»+l|
«Ш-1 Г 1 V н!(-а)\
U + ₽ — a Xj (n — 7с)! 7f!
7i = 0
,_L_]
S7: + 1 J’
t 0. (8.64)
Задача сведена к нахождению 8“1	^ 3 a)$fe+i]> гДе * = 0,1,..., w.
Как видно из (8.64), смещение полюсов и нуля вправо на вели-
чину а не упростило задачи, так как4 е-** не является множите-
лем при каждом члене функции от t. Для того чтобы применить
§ 8]	ОГИБАЮЩАЯ И ФАЗОВАЯ ФУНКЦИЯ	277
в этом примере теорему 11, нужно прежде устранить полюс исход-
ной функции в точке — ₽. Этот полюс можно устранить путём
вычитания из исходной функции F(s) члена /^/(s + ₽), где
JG = [(y+P)#(S)]8=_?.
§ 8. Описание поведения системы с помощью огибающей
и фазовой функции
Поведение системы под действием приложенной силы обычно
описывается суммой двух составляющих: установившейся или
вынужденной составляющей и свободной составляющей. В этом
параграфе будет показано, как можно описать поведение системы
с помощью огибающей и. фазовой функции. Такой способ описа-
ния поведения системы пригоден для случаев, когда преобладают
колебания, период которых мал по сравнению с постоянными вре-
мени системы. В частности, его удобно применить для рассмо-
трения поведения системы под действием синусоидальной силы,
модулированной известным образом по амплитуде. Модуляция
может быть осуществлена с помощью скачкообразной функции,
прямоугольного импульса или серии равноотстоящих прямоуголь-
ных импульсов. Поведение системы под действием такой выну-
ждающей силы может быть описано с помощью огибающей и фазо-
вой функции. Как показано ниже, для этой цели удобно восполь-
зоваться теоремой смещения в комплексной области.
Пусть сила, воздействующая на систему, задана в виде
/(/) —юг (f) sin о>о^	(8.65)
где юг (О представляет собой переменную амплитуду, ш0 — «несу-
щую» угловую частоту.
Если f(t) и m(t) преобразуемы по Лапласу и их изображения
соответственно равны F(s) и M(s), то преобразование уравне-
ния (8.65) на основании теоремы 11 даёт:
гт/ \ or /л •	/1 о Г	— т (<) е~ 1
F ($) = 2 [т (0 sm ш0 <] = 2 [——---------------J —
= м	~ м (8+>о)	zg ggl
Если сила, определяемая выражением (8.66), приложена к линей-
ной системе, передаточная функция которой равна G (s), то изо-
бражение искомой функции на выходе равно:
Н (s) —G(s) F (s).	(8.67)
Подставим вместо F(s) ёго выражение из (8.66). Тогда
Я (s) = g М ~~Jo)^ — g (s) М (8 + Jcop).	(8 68)
278	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. VIII
Оригинал функции H(s) обозначим через Л(0. Обратное преобра-
зование уравнения (8.68) даёт на основании теоремы 11:
h (fj (_) g-1(0	(*) Jf (s 4~ j __
= ± {g-4G(8+j4)W)]eW-S"4G(s->o)>(s)]^W} =
= Im{8-1 [G(s-f-Ja>0)jlf (s)]	i>0.	(8.69)
Коэффициент при показательной функции eimat является комплекс-
ной функцией вещественной переменной, т. е.
g-1 [G(s-]->0)> (s)] =p(l)-\-jq (0 = a(0e-”’w, />0. (8.70)
Здесь p (t) и g (0 представляют собой соответственно веществен-
ную и мнимую части «амплитуды»; a (I) = [у>2(0 -j-g2 (0]*/г пред-
ставляет собой огибающую и (0 = arc tg [д (t)/p (0] — фазовую .
функцию.
О помощью величин, входящих в уравнение (8.70), выраже-
ние (8.69) молото представить в виде
Л(0 (=) Im [а (0— a (0 sin[<ooi—р- <р(0],	<>0. (8.71)
В соответствии с выражением (8.71) явление на выходе системы
представляется проекцией на ось h вращающегося вектора, вели-
чина которого изменяется по закону а (0, а угол которого с осью
отсчёта изменяется по закону [<oot + ? (0]. Этот вектор можно
разложить на два составляющих вектора. Один из них имеет постоян-
ную величину и вращается равномерно с угловой скоростью ш0.
Второй вектор имеет изменяющуюся величину и вращается или
колеблется около конца первого вектора. Этот второй вектор,
угловая скорость вращения которого может быть переменной,
в свою очередь, можно разложить на несколько составляющих век-
торов, • но мы ограничимся здесь рассмотрением его как единого
вектора. <р (0 представляет собой фазовый угол результирующего
(суммарного) вектора относительно оси отсчёта, равномерно вра-
щающейся с угловой скоростью ш0. При t = 0 эта вращающаяся
ось отсчёта совпадает с неподвижной осью отсчёта.
Угловая скорость о>р (0 результирующего вектора находится
как производная по времени от угла [<Dof-}-<p(0], отсчитанного по
отношению к неподвижной оси. Получаем:
®р(0=^- [®о*+?(0] = %H~?'(O = ‘Bo + ^arctsf^y—
I 1 ЛГЖ]_Ш I - P2^ x
— ®o -Г i + [2 {t)/p (0]a dt lP (t) J -®o+ («) + дв (0 a
—	। p(0<z'(0 —	(0 n rs 791
X------~p40---------0-1	«40	~	'
§8]
ОГИБАЮЩАЯ И ФАЗОВАЯ ФУНКЦИЯ
279
Если модулирующая функция т (О имеет вид скачкообразной функ-
ции, то составляющий вектор, вращающийся с угловой скоростью ш0,
изображает собой установившуюся составляющую решения, а дру-
гой вектор — свободную составляющую. При £->оо угловая ско-
рость шр (0 результирующего вектора приближается к угловой
скорости ш0 вектора, изображающего установившееся состояние.
Если ш0 почти равно характеристической угловой частоте системы
и соответствующая этой угловой частоте
постоянная времени велика по сравнению ____________п1_
с периодом 2гс/а>0, то в решении можно . +Г	J |	’
проследить отчётливо выраженную огибаю- u,(t)(\	;:/?
щую а(0-	Sr Г Т
Следующий пример иллюстрирует ска- 1----------------->--
занное выше:
К цепи фиг. 131 приложено напряже-
ние W) (() —1 (<) sin<oot Требуется най-
ти напряжение w2(/), получающееся на
конденсаторе, представив его в форме
а (0 sin [ш0£ -j- <? (/)]. Начального запаса
Фиг. 131. «!«)=/О X
X sin (3,3й • 106г) вольт,
R = 10* ом. С = 3-10-з
микрофарад, L = 30 ми-
крогенри , = = 1,014.
Ро
энергии в цепи нет.
Для упрощения задачи модулирующая функция взята здесь
в форме единичного скачка, так что М (s') = 1/s. По уравнению (8.66)
изображение приложенного напряжения будет

1
s--j&O
1 \
S 4-Jo)0 /	S'1 + (Dq
т. е. равно просто изображению синусоиды. Для нахождения пере-
даточной функции системы заменяем источник напряжения источ-
ником тока и рассчитываем схему по методу узловых напряжений.
Изображение напряжения конденсатора обозначим через U2(s).
Передаточная функция равна

2а$
(«+“)2+р2’
(8.73)
где
а =-А-^1,67 - 104,	а2«р0,
/ LC
— 3,33 • 10е.
Амплитудная и фазовая функции могут быть определены непосред-
ственно из выражения (8.70). Однако в данном случае проще
сначала получить решение обычным порядком. Имеем:
U^^G&Uds)^ *	.	(8’74)
((« + “)+₽! (s+“5)
280	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. VIII
Обратное преобразование уравнения (8.74) дабт для t^Q
где	Г	2tf<ons	I «2 (0 («) 2-1 | [,s + a)2 + р2] (g3 + щ2) J = = Im [Aef (m«<+e)4- Ве—^еЗ +<t)] г	(8.75) A =—7	;"Г° : j v = 0,328, l(₽o~“о) +4“ <“oJA В^—		=	0,328, Р[(₽о-“о) +4«2®о]/!	? 9 = — — arc tg -2а--Р- = — 70,9°, 2	₽о-“о ф = arctg —	arc tg „ ~.;g^—j = 109,1°. — a	aJ —
Выносим за скобки функцию из обоих членов правой части
уравнения (8.75):
Мэ (<) (=)Im р | e# -j- & е~«М «₽-“») *+« }	=
= Im {[р (t)(<)]	= Im {a (#) & W+? (OJ) =
= a (t) sin [>»oi -f- ? (0] >	0,	(8.7 6)
где
p(t) = A | cos 6 -j-у e~lt cos [(P — <oo) 14-ф]
q ($) == ЛI sin 6 4~ у e~',t sin [(P—ш0) 14~ ф] | >
?(O^arctg|$.
Уравнение огибающей имеет вид
a(/)s|>2(04-ga(/)]V,=
= л{14-| e-^4-2^e-^cos[(p-<oo)/ + ’>-9]}2 =
= 0,328 [1 4-в-о.оззз«_2e-9,oi67f cos (o,O483t)]‘\	(8.77)
где t выражено в микросекундах.
§8]
ОГИБАЮЩАЯ И ФАЗОВАЯ ФУНКЦИЯ
281
время 6 микросекундах
Фиг. 132. Огибающая напряжения на конденсаторе в цепи,
изображённой на фиг. 131, и относительное отклонение
результирующей угловой частоты от о>0.
Фиг. 133. Векторная диаграмма для опреде-
ления мгновенных значений напряжения на
конденсаторе в цепи, изображённой на
фиг. 131. Диаграмма построена для момента
времени £1 = 50,3 микросекунды.
282	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. VIII
Относительное отклонение угловой скорости результирующего
вектора от ®0, согласно выражению (8.72), равно:
тР СО —  1 ^(0/(0 —а (ОХ (О
шо ио	«2 (О
л ' о oi67f 1 - соэ (°<04830 + °>345 Sin (0,04830 ,R .
= 0,0143в-~-1 + ^^^	(8.78)
Здесь t выражено в микросекундах.
Заметим, что при t —> оо, a (t) -> А. и (I) —> oj0, где А и
<w0 — амплитуда и угловая частота в установившемся режиме. На
фиг. 132 . показаны графики огибающей a (t) и относительного
отклонения (/) от <оо.
На фиг. 133 дана векторная интерпретация выражения (8.76).
Координатные оси ММ и NN предполагаем вращающимися по часо-
вой стрелке с угловой скоростью <оо. Благодаря такому предполо-
жению исключается постоянная слагающая угловой скорости. Оси Р
я Q-к вектор установившегося режима Ае^ считаем неподвижными.
Вектор переходного состояния вращается по часовой стрелке с угло-
вой скоростью (<% — Р) около конца вектора установившегося
режима. Конец его описывает логарифмическую спираль Be-**.
Результирующий вектор имеет изменяющуюся амплитуду a(t) и
изменяющуюся фазу отсчитанную относительно осей Р и Q.
Мгновенное значение и2 (t) определяется как проекция результи-
рующего вектора на мнимую ось NN вращающейся системы коор-
динат.
§ 9. Теорема 12. Вторая независимая переменная
Пусть а обозначает некоторую переменную, не зависящую от
t и s. Если функция f(t, а) преобразуема по Лапласу относи-
тельно переменной t и имеет своим изображением функцию F(s, а)
и существуют пределы lim f(t, а) и lim F(s, а), то
сь —(Zq	а -> д0
2f [ lim f{t, а)] = lim F(s, а).	(8.79)
а -> а„	а-ьа,.
Эта теорема утверждает, что переход к пределу для переменной а
инвариантен относительно преобразования из области t в область з.
Другими словами, преобразование Лапласа относительно t и пере-
ход к пределу для второй независимой переменной коммутативны.
Теорема 12 следует из определения преобразования Лапласа
J /’(£, «) e~st dl = F(s, a)
о
§ 9]
ТЕОРЕМА 12
283
и из условия независимости переменной а от переменных t и $.
Для доказательства перейдём к пределу в левой и правой частях
написанного уравнения, считая, что а стремится к а0. Существо-
вание этих пределов является условием теоремы. Тогда
	lim f f(t, a)e-stdt a	= lim F (s, a),	(8.80)
откуда	co		
	f lim f (t, a)e~stdt о a + a.	= lim F(s, a) a ->a0	(8.81)
или	SJlim f(t, a)] CL (Zq	= lim F(s, a), (J> —CLq	(8.82)
что и утверждалось в теореме.
С помощью теоремы 12 можно в некоторых частных случаях
получать соответствия изображений и оригиналов из соответствий,
относящихся к более общим случаям и называемых основными
соответствиями. Для этого нужно рассматривать параметры как
независимые переменные и стремить их к определённым пределам.
Пользуясь таким приёмом, можно сократить таблицу соответствий
изображений и оригиналов, сохранив в ней только некоторые
основные соответствия.
Пример. В нижеследующем соответствии, составленном в § 2
мер), параметры вир можно рассматривать как переменные, не
сящие от t и s.
1 I е-** + [(а~РН-1]е-р*
(5+a)(s+₽)2	|	(«—
(при-
зави-
(8.83)
Пользуясь теоремой 12, найти соответствие, получающееся из соответ-
ствия (8.83), если положить в нём:
а) а->0; Ъ) р -» 0; с) a->0, ₽->0; d) a->p.
а)	Если а->0, то соответствие (8.83) принимает вид
1	I 1-(^ + 1)е~^
s(s+₽)2 I ₽2	'	'
Ъ)	Если ₽->0, то соответствие (8.83) принимает вид
Д I
$2($ + a) I а2 ’
(8.84)
(8.85)
с)	Если в соответствии (8.85) а -> 0, то f (i) принимает вид 0/0. Полу-
чается неопределённость, которая должна быть раскрыта с помощью пра-
вила Лопиталя. Получаем
lim	= lim	= £
a-> О а2	а -> 0	2	2’
(8.86)
284
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. VUT
и искомое соответствие будет:
1 I t2
ЗГ I у.	(8.87)
d)	Если в соответствии (8.83) то функция f (t) также принимает
вид 0/0, но имеет своим значением:
ни	= 11ш t^=tw
«->₽	(« — ?)2	«->₽	2	2	1 °'
Искомое соответствие будет:
I — ’ t>0-	 (а89)
Теорема 12 может иметь и другое применение, а именно, для
нахождения изображения скачка по изображению импульса.
На фиг. 134 показан прямоугольный импульс продолжитель-
ности а и величины а-1. Этот импульс описывается функцией
О
_р l(t) — l(t — а)
f (0 — —-—, а его
а }
2-изображение равно: F (s) =
1 —e-as	.
—	— , что дает соответствие
as
1 —
Фиг. 134. Прямоугольный импульс,
переходящий в пределе при
в единичную импульсивную функ-
цию первого порядка.
as
W-^-9). (8.90)
При
оригинал
становятся 1 . _х ...
Раскрывая неопределённость, получаем для изображения:
а -> 0 изображение и
в соответствии (8.90)
неопределёнными.

а
а

а
1__р — as
lim --------= lim e~as — 1.	(8.91)
a->0 as a->0
Положим, что для оригинала существует предел (8.92):
lim Z(.9-2C*-g)	(8.92)
а->0	а
хотя, строго говоря, такого предела не существует. Физически этот
предел, конечно, нереализуем. Более строго было бы рассматривать
функцию 1' (I) как одну из аппроксимирующих функций, для кото-
рой а имеет очень малое значение. Для определения 1' (I) иногда
пользуются дифференцируемыми функциями вместо рассмотренных
выше прямоугольных (скачкообразных).
Назовём функцию 1' (0 единичной импульсивной функцией
первого порядка *), имея в виду сходство этой функции с класси-
*) Или просто единичной импульсивной функцией. (Прим, перге,)
§9]
ТЕОРЕМА 12
285
ческим интегралом от силы по времени, встречающимся в теоре-
тической механике (импульс силы) [19], а также то обстоятель-
ство, что интеграл от функции Т (4) по времени представляет собой
единичный скачок, т. е. J 1' (4) dt — 1 (t).. В дальнейшем мы
о
иногда будем пользоваться импульсивной функцией. При этом
всегда будет подразумеваться, что все сделанные здесь оговорки
сохраняют силу.
Мы получили, по край-
ней мере формально, новое
соответствие
1 |	(8.93)
При умножении единичной
импульсивной функции на
постоянную этот коэффи-
циент будет рассматри-
ваться как величина им-
пульсивной функции.
Изображение импуль-
сивной функции второго по-
Фиг. 135. Двойной прямоугольный им-
пульс, переходящий в пределе при а->0
в единичную импульсивную функцию вто-
рого порядка.
рядка можно найти по изображению двустороннего импульса, пока-
занного на фиг. 135, если устремить а к нулю.
Для такого двустороннего импульса получаем соответствие
l_2e-«s + e-2OS ।	—	—	—
a2s	I	а2	' ” '
При а -»0 получаются неопределённости. Предел изображения:
,.	1 —2e-<«s-|-e-2as
hm------------------= s.	(8.95)
a->0	as
Как и в случае импульсивной функции первого порядка, положим:
Иш
а-> О
l(t) — 2-1(1 — а) 1 (t — 2а) 
а2
(8.96)
Функцию 1" (4) будем называть сЭмчмчной импульсивной функ-
цией второго порядка. Интегралом этой функции является единич-
ная импульсивная функция первого порядка 1’ (4), т. е. J Г (4) <44=
о
= 1’ (4). Таким образом, формальным путём получено новое соот-
ветствие
s | 1" (4).	(8.97)
286	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [гл. Vlt
В §2, а главы VI было указано, что при выполнении обрат-
ного преобразования неправильной рациональной дроби возникают
затруднения с нахождением оригиналов функций 1, st sa и т. п.
Теперь, пользуясь соответствиями (8.93) и (8.97) для импульсив-
ных функций, можно было бы выполнить, по крайней мере фор-
мально, преобразования, не доведённые до конца в главе VI. Оче-
видно, что оригинал неправильной рациональной дроби должен
содержать импульсивные функции первого, второго или более
высоких порядков.
§ 10. Применение импульсивных функций для расчёта
деформации балок
При расчёте деформаций балок или колонн встречается мноуо
случаев, когда с успехом могут быть использованы импульсивные
функции. Определение деформаций, вызванных статической нагруз-
кой, не представляет собой, конечно, задачи из области переходных
процессов. Но на этом примере можно довольно просто продемон-
стрировать полезность понятия о пространственных импульсивных
функциях. Поэтому в эту книгу включены некоторые элементарные
задачи статики. Если нагрузка имеет динамический характер, т. с.
изменяется во времени, то возникают колебания и задача стано-
вится многомерной. Решение многомерных задач здесь не рассматри-
вается.
При расчёте деформации балок в уравнение статического рав-
новесия для какого-нибудь поперечного сечения обычно входит
изгибающий момент в этом, сечении. Для малых перемещений можно
пользоваться приближённым уравнением, представляющим собой
дифференциальное уравнение второго порядка вида
EI Й = т	<8-98)
где у— смещение оси балки в точке х, т (х) — изгибающий момент,
Е—модуль упругости, I — момент инерции поперечного сечения
балки.
Предполагается, что сечение балки и её упругие свойства
одинаковы по всей длине, так что Е и I являются постоянными.
Из элементарной теории сопротивления материалов известно,
что производная от изгибающего момента по х равна поперечной
силе v(x), а производная от поперечной силы по х равна нагрузке
на балку f(x). Дважды дифференцируя по х уравнение. (8.98),
получаем уравнение сил
(8.99)
Для нахождения уравнения изогнутой оси балки методом преобра-
зования Лапласа уравнение (8.99) более удобно, чем уравнение
§ 10]	ПРИМЕНЕНИЕ ИМПУЛЬОИВПЫХ ФУНКЦИЙ	287
(8.98), поскольку функция f(x) составляется чрезвычайно просто,
а выполнение преобразования над уравнением четвёртого порядка
не представляет никаких затруднений. Начало координаты х может
быть выбрано в любом сечении балки. Обычно удобно принимать
за начало координат х левый конец балки, а в случае консольной
балки—её заделанный конец.
За начало отсчёта для координаты у выбирается ось недефор-
мированной балки. Смещение вверх от этой линии считается поло-
жительным для любого значения х.
При составлении функции f(x) распределённые нагрузки могут
быть представлены как скачкообразные функции от пространствен-
ной координаты х, а сосредоточенные нагрузки и сосредоточенные
реакции опор могут быть представлены как импульсивные функции
той же координаты. Силы, направленные вверх, считаются положи-
тельными. Если длина балки равна I, то силовая функция f (х)
составляется для области 0 < х < I и в эту функцию включаются
сосредоточенные нагрузки или опорные реакции на концах ж = 0
и х = I. Впрочем, в дальнейшем выяснится, что нагрузки и реакции
на конце балки х — 1 можно и не включать в силовую функцию.
Они используются только для предварительного вычисления опор-
ных реакций и не влияют на решение для 0 я; <7.
Поперечная скалывающая сила v (х) в каком-нибудь сечении
положительна, если сумма всех нагрузок, действующих на часть
балки, расположенную слева от рассматриваемого сечения, положи-
тельна, т. е. представляет собой силу, направленную вверх. Изги-
бающий момент т (х), действующий в каком-нибудь сечении, поло-
жителен, если центр кривизны изогнутой оси балки в области этого
сечения лежит выше оси.
Обозначим изображения у (х) и f(x) через Y (s) и F (s) соот-
ветственно. Применяя прямое преобразование к уравнению (8.99),
получим:
El [s4 Y ($) — у (0) s3 — у' (0) s2 — if (0) s — у'" (0)] = F(s\ (8.100)
Решаем уравнение (8.100) относительно EIY (s):
ИГМ = ^+Я/[а>+еМ + «+Й>]. (8.101)
В этом уравнении Ely'" (0) = г? (0) — скалывающая сила при х — О,
Ely" (0) = т (0) — изгибающий момент при х = 0, у' (0) — наклон
изогнутой оси при х — 0, у (0) — смещение при х = 0.
Написанное уравнение изображений принимаем за исходное
при вычислении деформации балки.
Пример 1. а) Составить выражение силовой функции балки, подпёр-
той не по концам и нагружённой распределёнными и сосредоточенными
нагрузками (фиг. 136).
Ь) Сформулировать граничные условия.
288	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [гл. VIII
а)	Опорные реакции Ri и предварительно находятся обычным путём
с помощью уравнения статических моментов, составленного относительно
правой и левой опор.
Начало оси х полагаем на левом конце балки, а деформации будем
отсчитывать от линии, проходящей через опоры. Тогда для 0 < х а7 сило-
вая функция представится следующим выражением:
f (х) = — W1 [1 (ж) — 1 (х — aj] — w2l (х — а3) + (х — at) —
— W\ • Г (х — а2) — W\lr (х - а4) + Т?2Г (х — а6) — (ж — а6). (8.102)
Ъ)	Требуется сформулировать четыре граничных условия, причём же-
лательно, чтобы они относились к скалывающей силе, изгибающему моменту,
наклону и смещению балки в начале оси.
В рассматриваемом примере скалывающая сила и изгибающий момент
в начале координаты х определяются просто, но наклон и смещение в этой
г-' 1-T-I Г'1'Tl^r | ,
и>, на единицу длинЬ/ “ТП 7 1 1 д' 1 1 ' !j ' ' 11
I I I I I I I I I I I 11 '
L-- M	i j
-— ;
------a3---
*-------------
------------a5
Фиг. 137.
Фиг. 136. Балка с двумя консолями,
нагружённая распределёнными и сосре-
доточенными нагрузками.
точке не могут быть найдены, пока не известно уравнение изогнутой оси у (х).
Два недостающих граничных условия определяются по известным дефор-
мациям в точках опоры. Таким образом, граничные условия запишутся
в виде
v (0) = 0, у (»i) = О,
m (0) = 0, у (аь) = 0.
Вследствие выбора левого конца балки в качестве начала для оси х рас-
смотренный пример приводится к задаче с граничными условиями, задан-
ными в трёх различных точках.
Пример 2. Найти уравнение изогнутой однородной балки (рис. 137),
подпёртой по концам и нагружённой равномерно распределённой нагрузкой
и одной сосредоточенной силой.
Опорная реакция Rb определённая из уравнения моментов, составлен-
„	Wb , wl __
кого относительно правой опоры, равна —=-----И—. Начало выбираем
у левой опоры.
Граничные условия имеют вид
v (0) = 0, у (0) = О,
т (0) = 0, у (I) = 0.
Силовая функция для области 0<Х Z,
f (х) = Rtl' (х) — w • 1 (х) — W1' (х — а).	(8.103)
§ 10]
ПРИМЕНЕНИЕ ИМПУЛЬСИВНЫХ Функций	289
Изображение функции f (х) равно:
W
F (з) =	— — — We-™,
s
(8.104)
В выражении (8.104) третий член найден с помощью теоремы 10, применён-
ной к соответствию (8.93).
Изображение у (ж) обозначим через Y(s). Уравнение изображений для
балки составляется на основании уравнения (8.101) и имеет вид
EIY (з) =	+ El f
4 7	. &	1 S4 ‘	S*5	1	S2
w   We~as . Ely' (0)
S4 ** S5	S4	s2
У (0)1
s ]
(8.105)
EIyf (0) в уравнении (8.105) представляет собой неизвестный коэффициент,
подлежащий в дальнейшем определению.
Обратное преобразование уравнения (8.105) даёт:
и, W = ^ _ 221 _	.!(._„) + w (0)	(8.1М)
Используя граничное условие для ос == Z, подставляя вместо JRi его значе-
ние и решая уравнение (8.106) относительно Ely' (0), получаем:
W(O)__-1+«^=±L.	(8.io7>
Подставляя выражение (8.107) в уравнение (8.106), получаем решение
в окончательном виде
7Лу(®)(=)
газ* , / Wb , wl\ а?з г Fr&(b2 —Z2)	WZ3"|
4Г + (-Г + ‘2")’зГ + [----------зй---------1ГГ“
—	Д)3 1 (х—а),	0 < х < I. (8.108)
С помощью импульсивных функций пространственной переменной оказа-
лось возможным сформулировать задачу в одном дифференциальном урав-
нении. При обычном мето-
де аналитического реше-
ния потребовалось бы два
уравнения, так так сосре-
доточенная нагрузка делит
балку на две области, каж-
дой из которых соответ-
ствует своё дифферен-
циальное уравнение. Реше-
ния этих дифференциаль-
ных уравнений сопрягают-
ся затем на границе обеих
областей. Преимущества
метода преобразования Ла-
пласа тем значительнее, чем более сложный вид имеет силовая функ-
ция f(x).
ПримерЗ. Найти уравнение изогнутой оси неразрезной балки,
имеющей два неравных пролёта и нагружённой равномерно распределён-
ной нагрузкой (фиг. 138).	......... ~
19 Зак. 1977. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
290
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. VIII
Уравнение моментов относительно правой опоры связывает между
собой опорные реакции jR, и В* следующим выражением:
BJ + Вф =	(8.109)
а
За начало оси ж принимаем левую опору. Тогда граничные условия запи-
шутся в виде
v (0) =0, у (а) = 0,
т (0) = 0, у (0 = 0.
У(0) = 0,
Выражение для силовой функции в области	будет иметь вид
f (ж) = Bi 1'	—	(ж) 4- В^ !• (sb — а).	(8.110)
Изображение силовой функции равно:
F (з) = Bi —+ B*-™.	(8.111)
Изображение у (х) обозначим через У ($). Уравнение изображений для
данной балки на основании общего уравнения (8.101) будет:
EIY (з) = А- —,	(8.112)
где .Ki, .Й2 и 2?7ул(0) являются неизвестными постоянными.
Обратное преобразование уравнения (8.112) даёт:
W(®)(=)	+ -Ely'(0)SB +	1(х-а), 0<sb<1. (8.113)
01	41	01
Пользуясь граничными условиями при х == а и при х — I, получаем два
алгебраических уравнения
° = ^ —^ + W (0).	(8.114)
°=4r_'?+W(o)Z+¥'-	(8J15)
Решение алгебраических уравнений (8.109), (8.114) и (8.115) относительно
и (°) даёт:
^=^-аз+«з-2?«2),
(8.116)
Ely' (0) =	(— 13 + а3 + 21Ы+2с№}‘
Подстановка выражений (8.116) в уравнение (8.113) даёт искомое уравне-
ние для Ely (х), которое здесь не выписывается, поскольку нас интересует
не. сама форма изогнутой оси балки, а метод её нахождения.
Проверку решения можно произвести, предположив, что пролёты балки
имеют равную длину, т. е. что а.= b = 1/2. В этом случае R\ и в выра-
жении (8.116) соответственно равны 3wZ/16 и 5wZ/8. Правильность полу-
ченных выражений можно проверить, решая задачу другим способом.
§ 11 j	ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ВЕЩЕСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА СВЁРТЫВАНИЯ 291
§ 11. Интерпретация вещественного интеграла свёртывания
• с помощью импульсов
Общее решение для любой линейной физической системы с сосре-
доточенными постоянными представляется алгебраическим выраже-
нием вида
Н (s) = G (s)F(s),	(8.117)
где Н ($)—изображение искомой функции, G(s)— системная функ-
ция, F (з)—возбуждающая функция.
Обозначим оригиналы функций H(s), G(s) и F(s) через h(f),
g(t) и f(t) соответственно,
Применяя для обратного преобразования уравнения (8.117)
теорему 9, получаем:
t
h(t) = J —	i>0.	(8.118)
О
Положим, что в системе имеют место нулевые начальные условия
и что воздействующая на систему функция имеет вид единичной
импульсивной функции 1' (0. Соответствующую этим условиям
искомую функцию назовём реакцией на единичную импульсивную
функцию и обозначим через ^(0. При 8 [сг (0] =	($) уравнение
(8.117) приобретает вид (\ (s) = (?($)• 1, откуда следует равенство
Ci (0 = ^(0. Таким образом, оригинал системной функции предста-
вляет собой реакцию системы на единичную импульсивную функ-
цию.
Этот результат следует также из уравнения (8.118):
t	t
^1(0 = /^^ — т) 1' W	= 0(0 J* 1'	= g (0, f>0. (8.119)
о	о
Подинтегральная функция g(t— т)1'(т) равна нулю всюду, за
исключением точки т = 0, где она равна д (01' (т). Интегрирование
производится по т, и интеграл от единичной импульсивной функ-
ции равен единичному скачку.
Рассматривая д (0 как реакцию системы на единичную импуль-
сивную функцию, можно дать следующее физическое истолкование
интегралу свёртывания в уравнении (8.118). Представим функ-
цию, воздействующую на систему, как последовательность элемен-
тарных прямоугольных импульсов, прикладываемых к системе через
промежутки времени Дт (фиг. 139).
Эти импульсы при приложении их к системе вызывают элемен-
тарные реакции, которые накладываются одна на другую. Суммар-
ная реакция системы к моменту времени t приближённо равна сумме
19*
292
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [гл. VIII
Фиг. 139. Функция f (t), аппроксимирован-
ная последовательностью прямоугольных
импульсов.
всех элементарных реакций, возникших ранее рассматриваемого
момента времени. Если промежуток времени Дт близок к нулю, то
реакция системы на элементарный импульс может быть приближённо
заменена реакцией системы на импульсивную функцию, величина
которой равна площади этого элементарного импульса. В уравне-
нии (8.119) было показано, что реакция системы на единичную импуль-
сивную функцию равна
д (<)• Поэтому слагающая
от первого импульса рав-
на /‘(О)Дт^(<), от второ-
го импульса /’(Дт)ДтХ
X д (I—Д*), от (п -|- 1)-го
импульса f (пЛх) Дт X
Xg lt—nkz). Для упро-
щения записи положим
«Дт = т, т. е. будем счи-
тать, что по мере умень-
шения Дт растёт п таким
образом, что произведе-
ние п и Дт равно т. Если
промежуток Дт стремится
к нулю, то реакция h
системы в любой момент
времени / может быть
представлена как предел
суммы по I элементарных реакций, вызванных импульсами, прило-
женными до рассматриваемого момента времени. Таким образом,
t	t
h (f) = lim 2 f(T) (t—x)= f — x)dx. (8.120)
Дт->От = О
0
Уравнение (8.120) представляет собой одну из форм теоремы нало-
жения (см. § 4). Оно описывает поведение системы под действием
силы произвольного вида, причём описание дано через реакцию
этой системы на единичную импульсивную функцию. В § 4 тот ясе
результат был выражен через реакцию системы на единичный скачок.
Уравнение (8.120) несколько компактнее уравнения (8.19) и удобнее
для использования, в аналитических расчётах, поскольку оно не тре-
бует дифференцирования воздействующей на систему функции. С дру-
гой стороны, при экспериментальном исследовании системы удобнее
пользоваться скачкообразной функцией, чем импульсивной, осуще-
ствляемой практически как прямоугольный импульс, продолжитель-
ность действия которого на систему мала по сравнению с постоян-
ными времени системы.
ТЕОРЕМА 13
293
§ 12]
§ 12. Теорема 13. Дифференцирование по второй
независимой переменной
Пусть а будет второй переменной, не зависящей от t и s> Если
функция f (I, а) преобразуема по Лапласу относительно перемен-
ной t и имеет своим изображением функцию F (з, а) и если сугце-
ствует производная f(t, а), то
8,[4/Х<.	=	«)•	(8-121)
Теорема 13 утверждает, что дифференцирование по второй незави-
симой переменной инвариантно относительно преобразования из
одной области в другую. Другими словами, преобразование Лапласа
относительно переменной t и дифференцирование по второй неза-
висимой переменной коммутативны.
Поскольку дифференцирование представляет собой предельную
операцию, эта теорема следует из теоремы 12.
Преобразование Лапласа определяется интегралом
J f(t, a)e"st dt —F (s, а).
О
Дифференцируя обе части этого равенства по независимой пере-
менной а, получаем:
со
A J f(t, a)e~st dt=F(s, а).	(8.122)
О
Вследствие независимости а от t и s выражение (8.122) можно
переписать в виде
оо
a)e-^dt=-^F(s,a),	'	(8.123)
о
откуда
S, [4 /((.«) ] =	(8.124)
что и утверждалось в теореме 13.
Сформулированное в этой теореме свойство преобразования
Лапласа даёт возможность распространить метод преобразования
на решение дифференциальных уравнений с несколькими незави-
симыми переменными. Эта теорема находит также и другое при-
менение, которое мы здесь проиллюстрируем, а именно для расши-
рения таблиц соответствия функций,
294	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. VIII
Пример 1. Найти соответствие, получающееся в результате диффе-
ренцирования по ₽ следующего соответствия:
14т I *>0,
д 'В «2 —В2 д . „
др $2-{-р2 — (S2_|_p2)2> 8Ш ₽* “ * i COS
На основании теоремы 13 новое соответствие будет:
($2 _|_ р2)2 [ tfcosptf, f>-0.	(8.125)
Пример 2. Найти соответствие, которое получается в результате
дифференцирования по а следующего соответствия:
I e"’fcos^’ t>0>
д s + а	(s 4- а)2 — В2	д .	_	.
(«4-а)2+₽2	[(в+в)2+₽2]2 и 01е “ COSP< = —te~* cos^-
Ha основании теоремы 13 новое соответствие будет:
(5 -|- а)2 — В2 I .
I <e с08₽#’ *>°-	<8-120)
§ 13. Теорема 14. Предельное значение
Если функция f (t) и её первая производная преобразуемы по
Лапласу, а функция F(s) является изображением функции f (t)
и если функция sF(s) аналитическая на мнимой оси и в правой
полуплоскости, то имеет место равенство
limsF(s) = limf (i).	(8.127)
8->0
Эта теорема утверждает, что поведение функции sF (s) на ком-
плексной плоскости в окрестности начала координат аналогично
поведению функции f(t) при стремлении t к бесконечности.
Теорема 14 отличается от предшествующих ей теорем тем, что
в ней рассматривается не какое-нибудь новое свойство преобразо-
вания Лапласа, а устанавливается равенство- между двумя част-
ными значениями функций — значением функции f(t) при t — oo
и значением функции sF(s) при s = 0.
Доказательство теоремы основывается на определении преобразо-
вания Лапласа:
J f(t)e~atdt = F(s),
 о
?
§13] 	ТЕОРЕМА 14	296
Выполняя интегрирование по частям подобно тому, как это дела-
лось при доказательстве теоремы 6 (см. § 2 главы V), получаем:
f (t) е~st dt — sF (s') — f(0+).	(8.128)
о
Пусть s стремится к нулю. Тогда
lim f f (/) e~st dt — lim [sF(s) —f(O + )J.	(8.129)
8->0
Так как s не зависит от t, то порядок выполнения предельных
операций в левой части равенства (8.129) может быть изменён,
вследствие чего
f f' (t) dt = lim [sF (s) — /“(0 -f-)].	(8.130)
о .	8->o
Выражение (8.130) написано в предположении, что все его члены
имеют конечное значение. Этот вопрос специально рассматривается
несколько ниже.
Левая часть уравнения (8.130) может быть представлена в виде
t
lim ff'(т)dt = lim(t)—f(0-}-)].	(8.131)
£->OO
Подставляя (8.131) в уравнение (8.130), получаем: . .
lim f(t) = limsf(s).	(8.132)
£->oo	s->0
В § 1 главы VI при сопоставлении вида функции вещественной
переменной с положением особых точек её изображения на ком-
плексной плоскости было выяснено, что функция f (t) убывает по
показательному закону, если все особые точки её изображения
[sF(s)— /’(О-р)] лежат слева от мнимой оси. Условие, налагаемое
на функцию sF(s) в теореме 14, обеспечивает указанный вид
функции f (£)•
Это условие, совместно с требованием преобразуемое™ функ-
ции f' (t) по Лапласу, обеспечивает существование предела в урав-
нении (8.131). Ограничения, наложенные на функцию sF(s), Обес-
печивают существование предела в правой части уравнения (8.130).
Значение теоремы 14 состоит в том, что, основываясь на ней,
можно изучить поведение функции f(J) при больших t по виду
функции F(s), не выполняя обратного преобразования Лапласа
над функцией F(s),
296
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. VIII
Пример. Для иллюстрации теоремы 14 используем следующие уже
знакомые нам соответствия:
1	I	1-(1+₽0е-₽«
J	I F
M 1	I e-^+af —1
’ s5(s + a)	I	a2
| sin^>
d) I /e"‘#cos^
>0,
>0.
(8.84)
(8.85)
(8.126)
Здесь
а и р представляют собой положительные
а) Полюс функции sF (s) = - 4“ ft)2
вещественные числа.
находится в левой полуплоскости,
так что теорема 14 применима. Предел Иш -^-2- ==
Следовательно,
при f->oo функция f(t) стремится к ₽“2, Проверка может быть выпол-
нена путём непосредственного нахождения предела:
v	1 —(l + ₽Qe-^	1
lim-------x» -' '----= gx.
/->oo	P2	₽2
b)	Один полюс функции sF (з) =	лежит на мнимой оси п, сле-
довательно, теорема неприменима, в чём можно убедиться, найдя предел:
е-а£_|_а£— 1
lim
£->оо
а2
оо.
с)	Оба полюса функции sF (s) =
и теорема 14 неприменима. В этом нетрудно убедиться,
lim sin не имеет определённого значения.
£->©о
d)	Оба полюса функции sF (s) ==	лежат в левой полу-
плоскости и теорема 14 действительна. Предел lim	7~Л J = 0. Про*
з-»о [($ -f- a)2 + р2]3
веряем: lim cos = 0.
£->oo
расположены на мнимой оси
поскольку
§ 14. Теорема 15. Начальное значение
Если функция f (t) и её первая производная преобразуемы по
Лапласу, а функция f (f) имеет своим изображением функцию F (s)
и если существует предел lim^27T(s), то имеет место равенство
8->оо
lim sF(s)== lim/'(£),	(8.133)
S->00	1
1
Р •
§ 14]
ТЕОРЕМА 15
297
Эта теорема утверждает, что поведение функции sF(s) в комплекс-
ной области, в окрестности бесконечно удалённой точки, совпадает
с поведением функции f(t) в вещественной области, вблизи точки
О4*. В выражении (8.133) одна из стрелок имеет только одно
остриё, верхнее. Таким обозначением отмечается, что приближение
к пределу происходит сверху, т. е. с правой стороны оси t, так что
вещественная переменная t принимает только положительные зна-
чения.
Доказательство теоремы 15, так же как и теоремы 14, выте-
кает из уравнения (8.128):
ОО
j'f' (t) dt = sF (з) - f (О + ).
о
Устремим s в уравнении (8.128) it оо:
СО
lim f f' (0 e~st dt — lim [sF (s)—/'(O-j—)].	(8.134)
8-»CO£	S->0O
Существование левой части уравнения вытекает из условия, нало-
женного на производную. Изменяя порядок выполнения предельных
операций, находим, что левая часть выражения (8.134) равна нулю.
Существование правой части уравнения (8.134) следует из предпо-
ложения о существовании предела, сделанного в доказываемой тео-
реме. Таким образом,
0 = lim [$F($) — /*(0 -f-)]-	(8.135)
8->ОО
Принимая во внимание, что /’(0 4-) slim f(t), уравнение (8.135)
t-^o
можно переписать в виде
lim sF (s) = lim f(t),
8—^00
что и утверждалось в теореме 15.
Так же как в теореме 14, в этой теореме устанавливается
существование равенства между двумя частными значениями: между
значением, которое функция f(t) принимает в начале координат
при подходе справа, и значением функции sFfs) в бесконечно
удалённой точке. Эта теорема даёт возможность найти начальное
значение функции f(0 при 0 4- непосредственно из функции F (s),
без обратного её преобразования. Более того, если воспользоваться
теоремой 15 применительно к изображениям производных справа
различных порядков, определяя эти изображения на основании тео-
ремы 6, то можно найти начальные значения производных при 0 4~ •
298	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. VIII
В отличие от теоремы 14 это свойство преобразования Лапласа
распространяется на всю плоскость комплексной переменной, так
что применение теоремы 15 не ограничивается областями, в кото-
рых функция sF(s) является аналитической.
Пример 1. Для иллюстрации теоремы 15 воспользуемся следую-
щими соответствиями:
I		“>«•	<»->
ъ)	|	е-“#(со8₽4-Ь	«>0.	(8136)
Соответствие Ъ) получается путём прибавления и вычитания а в числи-
теле функции -F(s) соответствий 7 и 6 таблицы XIII:
a)	lim sF(s) = lim , ••rw & Следовательно, начальное значение
8->оо	8->оо Is “Г Р)
функции f(t) равно нулю. Это можно проверить, найдя предел
^0 Р
b)	lim sF (в) = lim ; S ~ha^vQ- = 1; Следовательно, начальное значение
' S->00	47	б’->оо(*+«)2 + £2
функции f(t) равно 1. Проверьте полученный результат:
lim
(cos {ft 4
e° sin [ft ^ == 1.
Р	/
Пример 2. Найти значение функции f(t) и её первых двух произ-
водных при t = 0	, если изображение f (i) имеет вид
(ai$ -J- а0) I s (з2 + ЪХ8 + Ъо).
В этом примере
81ЛО1
На основании теоремы 15	*
^0+)=^тетёты=0-	(8-138)
Для первой производной на основании теоремы 6 находим:
8 [f' (*)] = sF (з) - f (0 +) =	- °’	(8.189)
Применение теоремы 15 к уравнению (8.139) даёт:
f'{Q +}	5 + Ь^+°Ь"0 “	.	(8.140)
§15]	УМНОЖЕНИЕ ИЛИ ДЕЛЕНИЕ F (s) НА 8	299
Для второй производной на основании теоремы 6 получаем:
8 If" («)] == s^F (s) - f(0 +) s - f' (0 +) =
_ ajs2 -4- ans n _ (fln — n-M s — aibn
s2+bls + b0	1 S2 -|_ blg _|_ b0 •
Применение теоремы 15 к уравнению (8.141) даёт:
Г(0 + )= Иш
8-> оо 54 "Г И5 “Г °0
(8.141)
(8.142)
Правильность выражений, полученных для f(i), ff(t) и при # = 0 + > -
может быть легко проверена. Положим для удобства вычислений, что
&о < (bi/2)2. Тогда полюсы функции F (s) находятся в точках 0 и
Функция
f (i) = + -?a+_gs.	0.	(8,143)
Ь0 51 (51	s2)	$2 ($i	S2)
Две первые производные функции f(t) равны:
Л (г) = <М1+«» e^i  «1*2+50 еМ i>0	(8.144)
Si — «2	*1—*2
f" (<) = S1 (а^ + а.д ft- *2 (а^2 + ао) ft, *>о. (8.145)
При £ = 0+ уравнения (8.143), (8.144) и (8.145) приводятся к f(0 + )=0.
f' (0 4-) = «1 и Г(0 + ) = «о — аЛ- Эти результаты находятся в полном
согласии с начальными значениями, найденными выше с помощью тео-
ремы 15 и выраженными уравнениями (8.138), (8.140), (8.142).
§ 15. Умножение или деление F(s) на з
Теоремы о дифференцировании и интегрировании в веществен-
ной области, доказанные в §§ 2 и 3 главы V, были изложены
в форме, особенно удобной для преобразования от вещественной ,
области к комплексной области.
В некоторых случаях этими теоремами приходится пользоваться
для обратного преобразования. Для этих случаев удобно представить
их в несколько иной форме. Изложение теорем в форме, удобной
для обратного преобразования, было отложено до ознакомления
с импульсивными функциями и теоремой о начальном значении.
Теорема 6а. Если функция f (t) и её производная f' (i)
преобразуемы по Лапласу и f (0 +) = 0, а функция F (s) пред-
ставляет собой изображение функции f (t), то имеет место
уравнение
sF(s)=SL[f'(t)\.	(8.146)
Теорема 6а устанавливает, что умножению на s в комплексной
области соответствует дифференцирование в вещественной облает#.
300	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. VIII
Здесь, как и в теореме 6, производная, входящая в уравнение (8.146),
представляет собой производную справа.
Доказательство равенства (8.146) основывается на теореме 6
2[f (0]=sF(S)-/-(0 + )	(8.147)
и на условии
f(04-) = 0.	(8.148)
Из теоремы о начальном значении следует, что
lim sF (s) — f (0	) •	(8-149)
S-> co
Таким образом, если sF (s) является рациональной дробью,
числитель которой имеет более низкую степень, чем знаменатель,
то (0 —f- ) будет равно нулю. Если числитель и знаменатель имеют
одинаковые степени, то f (0 +) будет иметь конечное значение,
отличное от нуля.
Пример. Исходя из- нижеприведённых соответствий, найти новые
соответствия, получающиеся в результате умножения F ($) на s:
а)	t>Q' (8,1б0)
b)	92Ir2 eos₽t, />0.	(8.161)
представляет
а)	Функция sF (s) =
пальную дробь. Следовательно, f (0 +) = 0. Производная справа fr (t) =
— (1—at) е~~** и на основании теоремы 6а новым соответствием будет:
собой правильную рацио-
s
(S + «Я
(1 — at)
(8.152)
t^O.
b)	Функция sF (s) = -  представляет собой неправильную дробь.
5 г г
В2
Путём деления она приводится к виду 1-----------» Следовательно,
/'(04-)#0, и теорема 6а неприменима.
Формально S"1 [1] можно представить как
4 '	а->0	«
й новое соответствие будет:
_Г±.+1
— Р sin pi 4-1' (f),

Теорема 7a. Если функция f (t) преобразуема no Лапласу
и имеет своим изобраэюением функцию F (р), то действительно
следующее уравнение:
^ = g[ [но<4•	(8.153)
§ 16]
ТЕОРЕМА 16
801
Теорема утверждает, что делению на s в комплексной области
соответствует интегрирование в пределах от 0 до t в вещественной
области.
Доказательство уравнения (8.153) следует из теоремы 7.,
Поскольку
/Х-D (<) = J /(/.) dt = J f(t)	(0 + )
О
s[
очевидно, что
^=Ц.[f(t)dt\. .
L б
Пример. Исходя из нижеследующего соответствия, найти соответ-
ствие, получающееся после деления F (s) на s:
(4^ I ‘-“Н'+т-М' ,>о-(8лм)
F ($) s + «л • л
Здесь s	* Определенный интеграл равен
t
Г + /	«п—а \ e~at / Вл — aaQ	\ аи
( е в#(со8^Н----р—sin₽7 )di= —(------------sin £7—а0 cos р£ ]-|-—
\	н / PJ 4	₽	7 Ро
о
где ^ = а2 + ₽3.
На основании теоремы 7а новое соответствие будет:
«о
-]---2 ’
₽0
(8.154)
е “*/ Pg — аа0
Й==а2+Р2,
6 “Г ао
S [(« + «)2 + ₽3]
7>0.
§ 16. Теорема 16. Дифференцирование в комплексной области
Если функция f (<) преобразуема по Лапласу и имеет своим
изображением (функцию F(s), то действительна равенство
2 [#/•(/)]	(8.155)
Эта теорема утверждает, что умножение на вещественную перемен-
ную в вещественной области соответствует дифференцированию по
комплексной переменной в комплексной области с переменой
302 Некоторые свойства преобразования лаплаоа [гл. viii
знака на обратный. Заметим, что эта теорема аналогична теореме
о дифференцировании в вещественной области (теоремы 6 и 6а).
Доказательство теоремы 16 следует из определения прямого
преобравования Лапласа:
J f (t) e~8t dt — F {s').
О
Продифференцируем обе части написанного равенства. Дифферен-
цирование возможно, поскольку предполагается, что F (s) является
аналитической функцией:
со
(8.156)
о
Выполняя дифференцирование под знаком интеграла, получаем:
оо	оо
\ f®ie~Stdt= ~lfW)e-st<lt=^F(s), (8.157)
О	о
или 8 [tf (/)]=—F(s), что и утверждалось в теореме.
Пример. Применим теорему 16 к соответствию
| sM<> t>0.
Здесь
d р __ —2{te •
ds S2+p2 — (S2_|_p2)2>
и новое соответствие будет:
\ ру | sin ^0.	(8.158)
§ 17. Теорема 17. Интегрирование в комплексной области
Если функции f (t) и f (/)/< преобразуемы по Лапласу, а функ-
ция f(t) имеет своим изображением функцию F(s) и если инте-
с»
грал J* F (5) ds существует, то действительно равенство
а
оо
2	= J F(S) ds.	(8.159)
8
Деление на переменную в вещественной области соответствует
в комплексной области интегрированию по контуру в пределах
§ nj
'ГЁОРЕМА 1$
!ЮЗ
от s до бесконечно удалённой точки. Эта теорема аналогична
теореме об интегрировании в вещественной области (теоремы 7
и 7а). Для доказательства теоремы 17 интегрируем по s в преде-
лах от s до оо обе части выражения, определяющего прямое пре-
образование Лапласа:
f f d,t=>F (s).
«
Получаем:
J J f («) e-st dtds=f F (s) ds.	(8.160)
SO	8
Вследствие того, что функция f (t) преобразуема по Лапласу,
в левой части уравнения (8.160) можно изменить очерёдность
интегрирования. Следовательно,
ОО	ОО	ОО	00
J /(О J e~sidsdt = J £@-e-sidt=* J F(s)ds, (8.161)
0	8	0	8
00
или	[ F(s)ds, что и утверждалось в теореме 17.
8
Пример 1. Применим теорему 17 к соответствию (8.158):
I <>о-
Здесь
°°	оо
Г 2₽в	, I — ₽ I ₽ t sin fte . q ,
J (s2+₽2)2 S“l «2 + ?2 I ~ s2+₽2 И t -sin^
8	8
Новое соответствие будет:
-g-t- I sin i>0.
В правильности решения нетрудно убедиться, если сопоставить его
с соответствием, приведённым в примере предыдущего параграфа.
Пример 2. С помощью теоремы 17 найдём изображение функции
— е-&9/*» где « и Ь представляют собойг неотрицательные веществен-
ные числа и а <5.
В качестве исходного выпишем соответствие
—7--------e-ai — е-ы	t о.
8 4- а «-|-о I
904	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [гл. VItt
Заданная функция получится в результате деления оригинала выписанного
соответствия на переменную t. Искомое изображение находим на основа-
нии теоремы 17 в виде
со
/ (тЬ - 4т) “ -110 (*+“> -In (s + W - [’" ттт]” -
8	s
= 0 —— a<y. (8.162)
s-f- b s 4-a	'
Новое соответствие при a<b будет:
e _1_ ь I P~at— p,— bt
ln7+T ---------------Г—'	<8-163>
О U»	I	t
§ 18. Теорема 18. Интегрирование по второй независимой
переменной
Если а является второй переменной, не зависящей от t и s,
а функция f(t, а) преобразуема по Лапласу относительно I и
имеет своим изображением функцию F (s, а) и если выписанные
ниже интегралы существуют, то действительно равенство
= J F(s, a) da.	(8.164)
Gq	CIq
Эта теорема утверждает, что интегрирование по второй независи-
мой переменной инвариантно относительно преобразования от одной
области к другой. Другими словами, преобразование Лапласа отно-
сительно переменной t и интегрирование по переменной а комму-
тативны.
Поскольку интегрирование представляет собой предельную опе-
рацию, эту теорему можно рассматривать как следствие из теоремы 12.
Исходя из уравнения, определяющего прямое преобразование
Лапласа,
J /*(£, a) e~st dt =* F (s, a)
о
и интегрируя обе части написанного уравнения по а, получаем:
J J / G, a)e~8t dtda = J F(s, a) da. (8.165)
Переменная а независима от переменных t и s, так что порядок
ТЕОРЕМА 19
305
§ 19]
интегрирования может быть изменён, и при условии существования
интегралов получаем:
со о	а
j" f/(G a) da • e~*f dt = a)da, (8.166)
О aQ	а,л
ИЛИ
^[/ a)da'j = J7'7(s, a) da,
(lQ	(Ъц
что и утверждалось в теореме 18.
Пример. Исходя из нижевыписанного соответствия, найти с помощью
теоремы 18 изображение функции (sin pi)/i:
I cosfu’ t>Q-
Второй независимой переменной здесь является Интегрируем оригинал
по р в пределах от 0 до р и применяем теорему 18:
3
JOjL ло I sin Р Sill 0* Z л	.
cos pi	i =	t 0	(h'.167)
о	. ..
и
? •
J sT^-^=iarctg-7 l^aretgf, а>0.	”(8.168)
о	1
Таким образом, образуется новое" соответствие
arctg-j- j ^2-^, Z>0.	(8.169)
§ 19. Теорема 19. Перемножение двух функций
в вещественной области
Лели функции f\ (Z) и f2 (Z) преобразуемы по Лапласу и имеют
своими изображениями функции F,l ($) и /<'.2 (s) соответственно,
то
с2 4* Joo
J	7'\(з — го)Л3(го)бго,	(8.170)
С2—«/©О
ШаХ	®а?)	< °
где с.2 = вещественная постоянная, a = Re(s) и Qai и предста-
вляют собой абсциссы абсолютной сходимости функций f\ (/) и
f2(0 соответственно.
Операцию, выраженную интегралом (8.170), буде^м называть
свёртыванием в комплексной области или коротко комплексным
20 Зак. 1977. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
306	НЕКОТОРЫЕ ОВОЙОТВА ПРЕОВРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. VIII ;
свёртыванием и будем говорить, что функции F^s) и Z?2(s) свер-
тываются. Сокращённо интеграл (8.170) обозначается следующим
образом: F1(s)®F2(s).
Теорема 19 утверждает, что изображение произведения двух
функций вещественной переменной находится путём свёртывания
изображений этих двух функций. Таким образом, умножение	J
в вещественной области соответствует свёртыванию в комплексной
области.
Эта теорема аналогична теореме 9 об умножении в комплексной -А
области. Комплексное свёртывание имеет много общего с веществен-
ным свёртыванием, рассмотренным в § 2. Наиболее важные черты
сходства отмечены ниже.	(
Контурный интеграл	।
С2 + JCO
J — w)F2(w)dw	I
Со—JOO	_
предусматривает операции отражения, смещения, умножения и
интегрирования. В комплексной плоскости го функция Fr (го) и,	|
следовательно, картина расположения её особых точек п нулей	|
отражаются сначала от мнимой оси, а затем смещаются на ком- |
плексную переменную величину s.	•	j
Смещения ограничены условием аД2 < с2 < а — Поэтому путь
интегрирования в пределах от с2—Joo до c2-\-jco лежит целиком
в аналитической области, между особыми точками функций F2(w)
и Fj (s— w).
Если функция F (з) является изображением произведения (0
то теорема следует из интеграла, определяющего прямое преобразо-
вание Лапласа: х
со
z? (s) = J л (0 Л (0 &~st> игах (о01, аа„ Ц- а^) < а.
О
Для доказательства подставляем вместо функции /*2(0 её интеграль-
ное выражение через функцию F2(s), основанное на теореме 2
§ 14 главы IV.
Получаем:
оо	C2+Joo
^(S)=	J F2(w)etwdiv e~st dt,	(8.171)
0	Co—Joo
max	oai + aO2) < a, oas < C2.
В выражении (8.171) интегрирование производится сначала
по комплексной переменной го, а затем по вещественной перемен-
ТЕОРЕМА 19
307
§ 19]
ной t. Но вследствие того, что функции преобразуемы по Лапласу,
можно изменить порядок интегрирования, что даёт:
C2+J00	00
F(s) = i | F2(w) f f\(f)&-<*-«>» dtdw	(8.172)
J	V
Cz—jco	0
при тех же ограничениях, как и для уравнения (8.171).
Но
г° , \	f°ai<0 — Be [w],
f.(t)e-(s~w}tdt = FAs — w),	(8.173)
J /lk7	1	l или Re(w)<s — o0i. v '
0
Так как
Р(а) = «[/Ж(0],	(8.174)
TO
C2+Jco
. 2 ffi (0/2(01 = J Fi(s— w)F>(w)dw, (8.175)
<4—Joo
max(oai, aO2, ч + %Хс, °^<c2<o—ofli,
утверждалось в теореме.
этой книге мы старались держаться в рамках
простого изложения. Поэтому интегрирование в комплексной
возможно
•ЧТО II
В
более
области, указанное в уравнении (8.175), здесь не рассматривается.
Однако это не помешает нам воспользоваться теоремой 19 в некоторых
мастных, но очень употребительных формах, не требующих инте-
грирования в комплексной области.
Ниже рассматриваются две такие формы. Первая, теорема 19а,
относится к тому случаю, когда по крайней мере одно из пере-
множаемых изображении имеет только простые полюсы. Вторая
форма (теорема 19Ъ) имеет место, если по крайней мере одно из пере-
множаемых изображений имеет кратные полюсы.
Теорема 19а. Если функции Д(0 и f2(t) преобразуемы по
Лапласу и имеют своими изобраэюениями функции Ft (s) и F2 (s)
соответственно и если F1 (s) =s	представляет собой рациональ-
ную алгебраическую дробь, имеющую только q простых полюсов
п- не имеюгцую более никаких полюсов, то действительно равенство
о.
Й1А (0 h (<)] = 2 f2 (S - s,).
k=l 1 ™
(8.176)
Это простое соотношение получается из соответствия 1 таблицы XIV
<в.17П
20*
(8.179)
308	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. VIII
путём умножения левой части на f2(t) и преобразования получивше-
гося произведения. Таким образом,
а
8 [Д (t) Ъ (0J = 8 [ У	f. (о1 =
Ч" В1 J
« ([
= 2 F7V 2I Л* Ъ (01 =	7'2 (s _ **)• (8.П8)
Перемена порядка выполнения суммирования и преобразования
Лапласа допустима на основании теоремы о линейных свойствах
преобразования (теорема 5). Замена £ [е***/^ G)] naF2(s —sz.)
произведена на основании теоремы о смещении в комплексной
области (теорема 11).
Пример 1. Найдём изображение функции sin at • sin fte. Если Д (t) =
™sinaf и /2 (0 sin ьЧ то Fi (s) — H ^2 (s) = jrZjTp • Полюсы
функции Fl(s) находятся в точках ±Ja.
На основании уравнения (8.176)
2 [sin at • sin pt] = —- • ---"ГТ G9 + о / а \
2 0) (*--7а)2+^	2(— да)
__	2зр$
“ [з* + (« + ₽)2] Р + (^>1 *
Правильность выражения (8.179) может быть легко проверена, если
воспользоваться формулой тригонометрии sin at • sin fit = -i- [cos (a — p) t—
— cos (a 4~ ₽) d’ применив к ней преобразование Лапласа:
8 (sin at  Sin = %- 72_|_(a_p)2 — у S2 + (a _|_	==
___  _________2 <7. pg______ -	/ о 1 ол\
- |$2~(a __ {5)2]	(a + ?)2] ’
Пример 2. Найти F(s)®F(s), если F (s) является рациональной
алгебраической дробью, имеющей q полюсов, причём все полюсы простые.
Пусть F (s)~ A (s)/B (s). Тогда на основании уравнения (8.178) можно
написать:
q
/.=1
Заметим, что выражение (8.181) даёт изображение квадрата некоторой
функции времени, определённое непосредственно по изображению этой
функции.
Теорема 19b. Пусть функции f\ (/) и f2(t) преобразуемы
по Лапласу и имеют своими изображениями Fx (s) и F2 (г>)
соответственно и пусть Fx (s) будет рациональной алгебраической
assn
ТЕОРЕМА 19
309
дробью, имеющей п различных нолюеов -$л, s2, . .., sn кратности mlf
т,,..., тп, причём	... -f mn = q.
Тогда
”  W^' < nmk~iv ~ Л-^	1
V	. (8.182)
J-=1 J-1 v л	L as
где
к»—й=а№рг	»»w>
Эта частная форма теоремы 19 базируется на разложении рациональ-
ной алгебраической дроби, имеющей кратные полюсы, на простые
дроби (см. соответствие 2 таблицы XIV). Так как функция 1<\ ($)
имеет кратные полюсы, её оригиналом будет:
п
Ем1'1 ’	<8Л84>
/г = 1 j==l
где Кщ определено уравнением (8.183). Умножаем уравнение (8.184)
на f2(/) и преобразуем произведение но Лапласу:
п
«(Л(0/2ад=42	Аа(«)]==
л*=1 У = 1
н ™к
= Ё 2	^4(01-	(8-185)
*=1
Изменение порядка выполнения двойного суммирования и пре-
образования Лапласа произведено на основе теоремы о линейных
свойствах преобразования. На основании теоремы о дифференциро-
вании в комплексной области (теорема 16) можно написать:
« [Г* -j Л (/)] = ( - if* -j р2 (S).	(8.186)
ds *
На основании теоремы о смещении в комплексной области (теорема 11)
получаем:
. (8.187)
L ds К	J8=d —
Подставляя уравнение (8.187) в уравнение (8.185), получаем:
/ 1\тк~Э ts- г imk~3
ш(0М)1 = Х 1	ад] ’<8Л88)
1=1 J=1 А J> Lds 1
как и утверждалось в теореме 19b [см. (8.182)].
310	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАНЛАОА [ГЛ. VIII
Пример* Найти изображение функции /2 (i) методом комплексного
свёртывания, если дано изображение функции f (t), равное
_______s______
(*4-7)(* + а)2‘
Здесь п = 2. Пусть $] = — 7 и s2 = —’<*• Тогда = 1,	— 2 и
где
Q Г f It}] =___-_____—	!	К-22
1 * Л (* + 7) (s-W ~ * + т ^ ($ + «)-	,
(8.189)
Окончательно на основании уравнения (8.182) получаем:
9 Г f2 (7)1 — Г 4- ~^21_____U -А22—! &_______f_____—
М' s-1-т U$ + «)2	« + « J ($ + ?) (в+ «)2
_ К1 [ (в-]-т) (в-|-]8=8 +т—Kil [	(«4-т)(« + “)2 1=я-« '
, ТГ I______«______1	_	>
+ 22 L (8 + т) (« + “)2 Js = 8 +« (S + 2т) (S + а + 7)2
1	[2(s + g)2 + lg] _|__К22 (s + g)	/п 1 пт
(5 + а + 7)2(5 + 2а)3^(5 + а + 7)(5+2^‘
Из рассмотренного примера видно, что, вопреки первому впечатлению,^при-
менение уравнения (8.182) не представляет затруднений.
§ 20. Теорема 20. Свойство коммутативности преобразования
Лапласа и символических операции Re или Im
Если комплексная функция f (t) преобразуема по Лапласу
и имеет своим изображением функцию F(s), то действительны
равенства
a) 2{Re[/(0])=Re{8[f(0J} = Re[^(5)], ]
Ъ)। 2{1т[Г(0] }=Im[2[f(0]}=Imp7(^)]. /	(	}
Эта теорема утверждает, что преобразование Лапласа коммута-
тивно относительно символических ’ операций Re или Im.
Доказательство непосредственно вытекает из свойства линей-
ности интеграла, определяющего преобразование Лапласа. Пусть p(t)
и g(f) представляют собой вещественные функции, преобразуемые
ЗАДАЧИ
311
по Лапласу и имеющие своими изображениями функции P(s) и Q (s)
соответственно. В интеграле, определяющем прямое преобразование,
f f(l)e-stds = F(s)
о	'
положим f(t)==p (t)	(0- Тогда на основании теоремы о линей-
ных свойствах преобразования Лапласа можно написать
J [р(0+Л (0] c~stdt = Jp(t)e-sf dt-±,j $ q(t) e-sf dt ==
*=P(s)+jQ(s) = b’(S)	(8.192)
или, иначе,
2 {Ее [Г(0]}+J2 {Im [/•(<)]}= Re {2 [/(«)] }+Лт {8 [/(/)]}• (8.193)
Так как вещественные и мнимые части комплексного уравнения
должны быть равны по отдельности, то можно написать
а)	2 { Re [/(/)]}== Re {2 [/(/)]}, |
b)	2{Im[/(0] }=1т{2[Г(01 }, J	}
что и утверждалось в теореме.
Пример. Комплексная функция е№ — cos ₽£ + J sin pt Тогда
8 И*] = 8 (cos ₽*] + [sin pi] = +з = 7^.	(8.195)
Из (8.195) нетрудно убедиться, что
а)	2 { Re [^q } =	== Re[7^] = Re { 2 [<^] },
b)	« {Im [^] } =	= Im j 7^] = Im { 2 [^] }. (8.196}
Задачи
8.1.	К некоторой цепи приложено напряжение в форме единичного
скачка. При этом в цепи возникает ток, изображение которого имеет сле-
дующий вид:
"I” ао
Н(* + «)2 + ₽Т
Принимая за единицу времени постоянную времени цепи, найти с помощью .
теоремы 8 выражение для тока как функции времени. Воспользуйтесь
обозначением а = 2я (постоянная времени/период).
8.2.	Найти с помощью теоремы 9 оригинал изображения
1
[(§ + а)2+р2](5 + 7) •
312
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. VIII
8.3.	К системе, начальный запас энергии которой равен нулю, прило-
жена сила в форме единичного скачка. Реакция системы описывается
следующей функцией времени:
sin (Вг + ф)»	г>0.
Найти реакцию системы с такими же начальными условиями при воздей-
ствии на неё силы вида
8.4.	С помощью преобразования Лапласа решить следующее интеграль-
ное уравнение относительно неизвестной функции #(£):
t
х (t) -j- (г — х) х (х) cZ" = ], t ;> 0.
о
8.5.	С помощью преобразования Лапласа решить интегральное урав-
нение
[a (г) * f (0 * f (г)] - [b (/) - / (О] + с (г) = 0, t > 0,
где
«(/)^cos^, Ь(г)=8шрг и с(/) —i(i — cos fit).
4
8.(»	. Показать, что если 8 [/ (г)] ~ Г (.«), то
8(/’(t) l(t- «)] = F (в) - J /• (/) dt.
0
8.7.	Найти изображения следующих функций, если известно, что
8 [/ (/)] ~F(s) :
a)	Ъ)],	с) f(i)l (а -г),
b)	f(t) [1 (Ь—-Z) — I (а —г)],	d) f (t) 1 (t — а) 1 (b— t),
причём а и Ь представляют собой положительные вещественные числа и а<Ь.
8.8.	Найти с помощью теоремы 10 изображение участка косинусоиды,
заключённого между t = а и t ~ Ь, т. е. найти изображение функции
cos ££•[/(< — а) —-1 (г — Ъ)],	л <6.
8.9.	Начертить примерные графики оригиналов для следующих изобра-
жений:
\2	/1 — t
'J ’ С) (—
а)
1 — е~*
S
8.10. Найти оригинал для изображения
1 — е~*
s2 (Ц- е~«)
двумя способами:
а) разложением на простые дроби, Ъ) разложением в экспоненциальный
ряд. Начертить примерный график для найденной функции времени.
8.11. Показать с помощью теоремы 10, что если A (s)/B (s) предста-
вляет собой рациональную алгебраическую дробь, имеющую q полюсов,
причём все полюсы простые и ни один из них не лежит в начале, и если

ЗАДАЧИ
313
а является вещественным положительным числом, то имеет место равен-
ство
^(0)
ч
^(0) V А Л*
Г л Z4	л	Л(0) ' Л	’
g-i Г А (*) ц е-««) А] ( =- )
LB (s) '	' в л i \ и ~ska\
V А <**> (1 ~6	> л*
0 <3 <1 а >
t^a.
Примечание. Ив вида решения следует, что при нахождении ори-
гинала для а множитель (1 — е-as) в числителе изображения можно
рассматривать как алгебраический множитель.
8.12.	Изображение участка функции, заключённого между а и Ъ, равно
Ф ($). Найти изображение новой функции, полученной из данной функции
путём перемены мест начала и конца рассматриваемого участка на оси
времени, при сохранении пределов а и К
8.13.	С помощью теоремы 11 найти оригинал следующего изображе-
ния:
(j-j-a)2 -4- Х2
l(s + *)2+R (^+а) *
8.14.	С помощью теоремы 11 найти изображение синусоиды, модули-
рованной по амплитуде пилообразной кривой, т. е. найти изображение
функции
t —	1 (t — Z’)l sin \t.
Здесь & и а/2я являются положительными числами^
8.15*	Поведение некоторой системы, начальный запас энергии которой
равен нулю, при воздействии на неё единичного скачка описывается
следующей функцией:
•^е-^ sin (^4-0),	«>0,
где Osarctgp/b и b является вещественным постоянным числом. Найти
функцию, описывающую поведение этой системы при тех же начальных
условиях, под действием возмущения (1/X) sin Xt
8.16.	Показать, что реакция системы- на прямоугольный импульс,,
продолжительность которого мала по сравнению с наименьшей постоянной
времени системы, имеет примерно такой же вид как её реакция на им-
пульсивную функцию (толчок). Площадь импульса и величину импуль-
сивной функции считать одинаковыми.
8.17.	Дано следующее соответствие:
[(s 4- 0)2+p2j (s-f-o) | 4Ге“°А1—cos ₽о,	«>о,
Исходя из написанного соответствия, найти с помощью теоремы 12 ори-
гинал функции (« + а)“3-
8.18.	Применить теорему 13 к функции [($ 4* °0а+ и к её ориги-
налу и найти с помощью этой теоремы оригиналы следующих функций:
к	5 + а	П _______1_____
[(* + «)2+£2]2’ ' ^ + «)2+^]2'
314	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. VIII
8.19.	Основные трудности при пользовании методом преобразования
Лапласа возникают при выполнении обратного преобразования. Поэтому
важно уметь составить себе представление об оригинале и получить о нём
необходимые сведения по виду изображения/ Изображение напряжения
«2(0 на выходе некоторой цепной схемы, составленной из двух звеньев,
дано в следующем виде:
«2^	4" $0
s(s-H)2 [(* + *)2 + ?Т
где а3, а2, »i, »о,	₽ и V представляют собой положительные веществен-
ные числа и предполагаются известными.
Не выполняя обратного преобразования, определить:
а) вид установившейся и переходной части напряжения «2(0; W на-
чальное значение «2(0); с) начальное значение первой производной «2(0);
Л) величину, к которой стремится «2(0 при очень больших значениях Л
8.20.	Входная функция некоторой системы задана в виде рациональ-
ной алгебраической дроби со следующими полюсами и нулями: полюсы
первого порядка при — а:±Д полюсы второго порядка при —В, нули
первого порядка при — у/—р. Коэффициент при дроби = Л, а, р, В, р.
и А представляют собой положительные вещественные числа, не равные
между собой.
1.	К системе приложена сила в форме единичного скачка. Опреде-
лить для величины на входе: а) начальное значение, Ъ) начальную кру-
тизну, с) конечное значение, d) вид функции, описывающей эту величину.
2.	К системе приложена сила в форме синусоиды с амплитудой,
равной единице, и угловой частотой «ч р. Определить вид функции,
описывающей установившуюся часть решения для величины на входе.
8.21.	По известному значению изображения функции f(t), равного
+ a0)/(s3 + М2 + bi® -j- &о)> найти с помощью теорем 14 и 15: а) значе-
ние функции f(t) при оо, Ъ) значения функции f (t) и её первых трёх
производных при t = 0 -}-. Все полюсы изображения расположены слева
от мнимой оси.
8.22.	Исходя из соответствия, написанного в задаче 8.17, найти с по-
мощью теорем 6а и 7а оригиналы для следующих функций:
' l(s + O2 + P2J(s + *) ’
ы , 1
8.23.	Исходя из функции е“а#соз2Р< и её изображения, найти, поль-
зуясь теоремой 16, изображение функции cos2pt.
8.24.	Найти, пользуясь теоремой 17, изображение
9 Г sin2 р£ 1
* Г
а
f da
8.25.	Пользуясь теоремой 18, вычислить интеграл |	*
о
8.26.	а) Найти изображение произведения f2e~«*sin рг, пользуясь
а) теоремой 19а; Ъ) теоремой 19Ъ.
ЗАДАЧИ
315
8.27.	Определить изображение произведения функций (£ +
и sin путём свёртывания изображений, соответствующих этим
функциям.
8.28.	Изображение погрешности регулирования некоторой системы
ChS -4-	i-г
автоматического регулирования имеет вид	. По этому изобра-
жению найти изображение квадрата погрешности.
8.29.	а) Пользуясь теоремой 10, найти изображение анодного тока
электронной лампы, показанного на фиг. 73 в задаче 5.6.
Ъ) Найти постоянную составляющую и первую гармонику установив-
шегося падения напряжения, создаваемого этим током на зажимах коле-
бательного контура. Вычисления произвести, исходя из изображения
этого напряжения.
8.30. Предположим, что деформация сферы, прижатой к плоскости,
пропорциональна первой степени контактного давления (вероятно, что
точнее было бы считать деформацию пропорциональной степени 2/3). Исходя
из сделанного предположения, можно написать следующее интегральное
уравнение для силы f(t) удара шара с массой ж, движущегося со ско-
ростью Vq, о массу М, укреплённую на пружине с жёсткостью К (фиг. 140):
t	t
af (0 = vnt — f f (x) (/. — г) d-. — f f (t) sin 7 (i — t) dt, 0 < t <
Uv	9I
о	0
Здесь: а— деформация шара на единицу силы, 7 =	= полное
время соприкосновения. Первый член правой части интегрального уравне-
[ масса ж, двигаясь как

К

Фиг. 140.
массы M представляет
ния представляет собой путь, который прошла бы
свободное тело. Второй член даёт обратное пере-
мещение массы т, вызванное действием ударного
давления. Разность между этими двумя членами
представляет собой результирующее перемещение
центра массы т за время её соприкосновения
с массой М. Третий член уравнения даёт поступа-
тельное перемещение массы М, получающееся от
действия ударного давления за время соприкосно-
вения масс,ж и М, Разность между результирую-
щим перемещением центра массы ж и смещением
собой деформацию сферы.
а)	Вывести выражения для всех трёх членов правой части интеграль-
ного уравнения.
Ъ)	Найти с помощью преобразования Лапласа ударное давление в те-
чение времени соприкосновения.
8.31.	При электрогеоразведке требуется измерять напряжение между
двумя пробными электродами в переходном режиме, возникающем при
пропускании единичного толчка тока 1Г (/) через пару вкопанных
в землю стержней, расположенных по соседству с пробными электро-
дами. Практически толчок тока можно осуществить только приближённо.
В связи с этим возникает задача нахождения напряжения, соответ-
ствующего идеальному толчку lf (t) (импульсивной функции), по напряже-
нию, получающемуся при приближённом, практическом, толчке тока.
Предположим, что толчок тока осуществляется переносным импульс-
ным генератором, разрядный ток которого изменяется во времени по
закону г (£) «= Ае~а*, и что напряжение между пробными электродами
оказалось равным щ (/). Каким образом можно корректировать найденное
316	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. VIII
Экспериментально напряжение гц (/), чтобы определить вид функции (О,
соответствующей идеальному единичному толчку (единичной импульсив-
ной функции)? Для систем рассматриваемого типа ^i(O) =0.
8.32.	Найти уравнение изогнутой оси балки, показанной на фиг. 141,
для статического режима. Балка имеет консольные концы и нагружена
iv,=5
на единицу длины |
!	г
!	г*—го---------~
'^-S—i-------зо -
ZZZZj
Tb !
Фиг. 141.
на части своей длины равномерно распределённой нагрузкой, а по кон-
цам— двумя сосредоточенными нагрузками. Геометрические размеры и
веса указаны на фиг. 141 в некоторой единой системе единиц. Весом
балки можно пренебречь.
ГЛАВА IX
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИИ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В предыдущих главах было рассмотрено применение метода пре-
образования Лапласа к решению линейных интегро-дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами. В настоящей главе
будет показано применение этого метода к решению линейных раз-
ностных уравнений (уравнений в конечных разностях), а также
и комбинированных линейных разностно-интегро-дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами.
Глава IX логически связывает эту книгу, посвящённую реше-
нию одномерных задач, приводящих к обыкновенным интегро-диф-
ференциальным уравнениям, с другой книгой, которую предпола-
гается посвятить решению многомерных задач, приводящих к ин-
тегро-дифференциальным уравнениям в частных производных.
Разностные уравнения появляются при исследовании физических
систем, в которых некоторые переменные изменяются скачкооб-
разно, т. е. возрастают или убывают на конечные величины, на-
пример в статистических и интерполяционных задачах пли в зада-
чах атомной физики. Эти уравнения применяются также при
исследовании физических систем, имеющих периодическую струк-
туру, или систем, в которых происходят периодически повторяю-
щиеся процессы коммутации. Они применяются и для решения
таких финансовых задач, как исчисление сложных процентов, фон-
дов погашения, амортизации, ежегодной ренты, расчётов по заклад-
ным и займам. При исследовании электрических систем они встре-
чаются в связи с искусственными длинными линиями, фильтрами,
телефонными линиями с сосредоточенными нагрузками, эквивалент-
ными схемами обмоток трансформаторов и электрических машин,
многоступенными усилителями, импульсными генераторами, гир-
ляндами подвесных изоляторов, а также делителями напряжения.
Они применимы также при исследовании цепей, в которых проис-
ходят периодически повторяющиеся процессы коммутации, осущест-
вляемые, например, механическими или электронными коммутацион-
ными устройствами. Наконец, при изучении механических систем
318	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. IX
они применяются при исследовании струн, на которые действуют
периодические нагрузки, механических- фильтров, балок со многими
равноотстоящими точками опоры, решётчатых ферм и коленчатых
валов многоцилиндровых двигателей. Во всех этих примерах отме-
чается наличие регулярной повторяемости либо некоторых равных
промежутков времени (например, сроков начисления процентов на
капитал или периодов коммутации), либо тождественных структур-
ных элементов (например, ячеек искусственной длинной линии).
Признаком разностного уравнения является наличие конечных
приращений независимой переменной. Решениями разностных урав-
нений служат разрывные функции, ’ т. е. такие функции, значе-
ния которых претерпевают скачки, повторяющиеся через равные
промежутки изменения независимой переменной.
Вследствие того, что решениями разностных уравнений служат
функции с существенными точками разрыва, дальнейшему изложе-
нию необходимо предпослать некоторые основные положения, касаю-
щиеся применения метода преобразования Лапласа к функциям
с равномерно распределёнными точками разрыва. Эти положения
используются для отыскания изображений некоторых разрывных
функций, и таким путём образуется удобная для пользования та-
блица изображений и оригиналов *). В соответствии с этим обратное
преобразование Лапласа будет рассматриваться как операция, об-
ратная прямому преобразованию Лапласа. В заключение настоящей
главы приведены примеры, на которых показаны приёмы составле-
ния разностных уравнений для физических систем и их решения
методом преобразования Лапласа. Основное внимание обращено, на
задачи, некоторых рассматриваются переходные процессы.
Af OCHOBbl ТЕОРИИ
§ 1..Ступенчатые^ функции
Скачкообразная функция специального вида, значения которой
меняются только при целочисленных значениях х и остаются
постоянными в промежутках между ними, называется ступенчатой
функцией. Для её обозначения применяется символ J", поставлен-
ный . перед обычным символом функции, например перед у (ж).
Таким образом, ступенчатая функция у(х) обозначается /у(ж).
Скачки этой функции могут быть, конечно, как положительными,
так и отрицательными. Значение ступенчатой функции в точке
разрыва принимается равным пределу значения функции при при-
ближении аргумента к точке разрыва справа. Таким образом, если
1у(х) имеет разрыв непрерывности при х = а, значение Jt/(a)=
= ] У (« + >• Для краткости знак-f-обычно опускают.
*) См., также [19, 21, 40[. (Прим, ред.)
§ 2]	ОБЩИЙ ВИД ЛИНЕЙНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ	319
Различные ступенчатые' функции могут быть представлены
с помощью основной ступенчатой функции, так называемого еди-
ничного импульса:
2>(ж) == 1 (ж) — 1 (ж — 1) = 1 (ж) • 1 (1 — ж).
Если г—целое число, смещённый единичный импульс равен
р (ж — г) == 1 (ж — г) — 1 (ж — г — 1).
Ступенчатая функция
через, интервалы, равные единице,
жением
J У (®) = S ?/(’*).₽ («—О (91)
Г = О
Например, если для ж >- О
1У JX
ТО
J X = р (х--1) 4~ -Р (;7;--) ~г
+ . • • ^гу(х — г)4- ... =
= ^гр(х — г). (9.2)
Г = 1
J у (ж), ступени которой
расположены
может быть представлена выра-
Эта ступенчатая функция изображена на фиг. 142 в виде лома-
ной линии, подобной лестнице, ступени которой имеют длину и
высоту, равную единице. Эта ступенчатая функция изображает
бесконечный арифметический числовой ряд.
§ 2. Общий вид линейного разностного уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
Общий вид линейного разностного уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами [5, 21] таков:
«о1у(ж) + «11у (® + 1) + «2ГУ (® + 2) = //'(ж).	(9.3)
В этом уравнении J.y(#)— неизвестная функция, причём
J у — зависимая, а х— независимая переменная. Постоянные
коэффициенты аг и функция J f(x) известны. Уравнение устана-
вливает связь между тремя значениями функции J у (ж), соответ-
ствующими трём последовательным значениям аргумента х, кото-
рые отличаются друг от друга на единицу. Последнее условие не
влечёт за собой уменьшения общности уравнения (9.3), так как
любое уравнение, в котором приращения х равны h, может быть
приведено к соответствующему уравнению, в котором fe = l, путём
замены переменной х по уравнению х = hx.
Разностное уравнение в форме (9.3) особенно удобно в случае
его применения к физическим задачам. Однако оно может быть
320	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ	[1’Л. IX
представлено и в ином виде, из которого можно легче обнаружить
аналогию между ним и соответствующим дифференциальным урав-
нением.
Пусть первая разность (или разность первого порядка) ступен-
чатой функции равна
Д _Г?/(ж)= f;/(«+ 1)— !//(»).	(9.4)
Повторное применение этого определения приводит к разностям
высших порядков. Так, например, вторая и третья разности (или
разности второго и третьего порядков) равны соответственно:
Д2 f (/ (Ж) = Д [Д J у (ж)] = Д [ J- у (ж 4- 1) — J у (Ж)1 =
= [ J ?/ (* + 2) - J У (ж +1)] - [ f у (х + 1) — f у (ж)] =
= Г ?/(*+• 2)— 2J-?/(A-+l)+ Г//(ж);	(9.5х)
,дз f у (ж) = Д [Д2 f у (ж)] =
= Д [ J У (ж + 2) - 2 J у (х +1) + J у (ж)] =
= JW + 3) — 81г/(Ж-Ь2)4-31 Н® + 1)— !.'/(*)• (9.5")
Из уравнения (9.4) следует, что
JW + 1) = (1 + Д)Sy (*)•	(9.6)
Равным образом уравнения (9.6') и (9.5") дают:
J у (х + 2) = (1 + Д) J у (х 4-1) = (1 4- Д)а J у (ж)Ц
1//(^+з)=(14-Д)1.(/(л;4-2)=(14-д)3///(.-г).}	(9,7)
После подстановки результатов (9.6) и (9.7) в уравнение (9.3)
последнее принимает вид
М2 J У (х) 4- MI у (ж) 4- 60 f у (ж) = J f (ж),	(9.8)
где коэффициенты Ь,. равны соответственно:
= й0 4~ ai а-2> 1
bi = a1-}-2a2,	I	(9.9)
&2 == а2.	I
Аналогия между уравнением (9.8) и линейным дифференциаль-
ным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами
теперь вполне очевидна, причём операция Дг аналогична опера-
dr
ЦИИ у-т.
dx>
Основное различие между разностным уравнением и дифферен-
циальным уравнением заключается в величине приращения неза-
висимой переменной. В разностном уравнении общего вида эти
приращения равны конечной величине h, а в дифференциальном
уравнении они стремятся к предельному значению, равному нулю.
Таким образом, для получения дифференциального уравнения из
§ 3] ТЕОРЕМА 21 О СМЕЩЕНИИ СТУПЕНЧАТОЙ ФУНКЦИИ	321
разностного следует разделить каждый член последнего на одну и
ту же степень Л (показатель . степени равен порядку уравнения) и
после этого устремить h к нулю.
Здесь удобно ввести простой символ для изображения, полу-
чаемого в результате применения прямого преобразования Лапласа
к функции, названной выше единичным импульсом (см. § 1):
оо	1
2[р($)] = j* p(x)e~3Xdx —	e~sxdx = ^-—— = P(s). (9.10)
6	о
Изображение смещённого единичного импульса равно
г+1
—	= J	e~rs (! — e~.s), = e-rsp (s). (9Л1)
r
§ 3. Теорема 21 о смещении ступенчатой функции
Для решения разностных уравнений методом преобразования
Лапласа необходимо предварительно выразить изображения
2[Jj/(^H-l)] и 2[Д/у(^)] через изображение 2 [ J?/(x)].
В основание будет положена теорема, которая является видоизме-
нением теоремы 10 (§ 5 главы VIII).
Если jy(x)— ступенчатая функция, допускающая преобра-
зование Лапласа, изобрао/сение которой равно Y(s), то
2 [ Г У С» + О] = es [ Y (s) — у (0) Р (з)],	(9.12)
где Р (s) означает изобрао/сение единичного импульса р (ж) =
= 1 (ж) — 1(х — 1), т. е. Р(з)з2
Эта теорема устанавливает, что изображение ступенчатой функ-
ции, смещённой на единицу влево, может быть найдено двумя
последовательными действиями:
1) вычитанием из изображения первоначальной функции изобра-
жения её части, заключающейся в промежутке	и
2) умножением получившейся разности на es.
Функция, вычитаемая из изображения первоначальной функции,
называется частичным изобраэюепием функции. Легко видеть, что
для получения изображения смещённой ступенчатой функции необ-
ходимо знать функцию J у (х) в интервале 0 < х < 1. Так как
J у (х) — ступенчатая функция, её частичное изображение пред-
ставляет собой изображение прямоугольного импульса.
Эта теорема является следствием определения прямого преобра-
зования Лапласа:
оо
J JУ (#) • e~sxdx—Y(s).
о
21 'Зак. 1977. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
322	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. IX
Если разбить интервал интегрирования на два интервала, получим:
1	со
J /У(ж) e~sx dx-}- J* J" у (#) e~sx[dx = F(s).	(9.13)
о	i
Если во втором интеграле произвести замену переменной х
по формуле х = $4-1, то вместо (9.13) получим:
1	оо
J 1У 00 e~sxdx-\- e~s Ty(t +1)	= Y^s).	(9.14)
о	о
Так как $ играет роль переменной интегрирования, она может
быть заменена на х, и уравнение (9.14) примет вид
оо	1
f JW+i) в-8® dx = es	Jy (x)e~sx dxj. (9.15)
о	о
Но частичное изображение
i	i
fly (ж) e~sx dx = y (0) f e-Si® dx^y (0) P (a).
о	0
Таким образом, уравнение (9.15) примет вид
2 [JW+1)] =е8 [K(s)_y(o)P (а)],
как указывалось в формулировке теоремы.
Повторное применение этой теоремы даёт:
2 [ f у (х + 2)] = e*[Y(s) — у (0) Р (з) — у (1)	Р (з)];
2 [У (ж + 3)] = e3s [ У (а) — у (0) Р (з) —
— у (1) е~8Р (з) — у (2) e~2s Р (а)].
(9.16)
(9.17)
Подобным приёмом можно найти изображение ступенчатой функ-
ции, смещённой не на одну, а на несколько единиц.
§ 4. Изображения разностей
Изображения разностей ступенчатой функции можно написать,
воспользовавшись теоремой 21. Ступенчатая функция JT у (х) в силу
самой её природы [см. (9.1)] может быть записана в виде беско-
нечной суммы смещённых импульсов:
1у(а;) = ?/(0)^(ж)-|-1/(1)^(ж—1) + у(2)^(ж—2)4- ... (9.18)
§ 5] АНАЛОГИЯ МЕЖДУ ИЗОБРАЖЕНИЯМИ РАЗНОСТЕЙ И ПРОИЗВОДНЫХ 323
Если 2 [ J" у (ж)] = У ($), то изображение разности первого порядка
равно
2[Д/у(ж)] = 2[1у(ж+1)- /у(ж)] =
= es [У (з)—У (0) Р(з)] - У (з) =
= (е®—1) У(з) — у (0)е®Р(з).	(9.19)
Таким образом, изображение разности первого порядка ступен-
чатой функции может быть образовано путём:
1) умножения изображения функции на (es—1);
2) вычитания из этого произведения изображения первого из
числа всех импульсов, образующих ступенчатую функцию [см.
(9.18)], умноженного на е«.
Применяя уравнение (9.19), можно получить изображение раз-
ности второго порядка:
2[Д21у(ж)] = (е® — 1)2[Д/у(ж)] — Ду (0)е®Р(з) =
= (е®— 1) [(е®— 1) У (з)—у (0)е®Р(з)]—Ду (0)е®Р(з) =
= (е®—I)2 У(з)—у (0)(е®—1)е®Р(з)—Ду(0)е®Р(з), (9.20)
где Ду(О) = у (1) — у(0).
Аналогичным образом, применяя уравнение (9.20), можно полу-
чить изображение разности третьего порядка:
2 [Д8 J" у (ж)] = (е® —1)2 [Д2 J у (ж)] — Д2у (0) esP (s) =
= (es— I)8 Y (s) — у (0) (e®— l)2e®P(s) —
— Ду (0) (e8 — 1) esP (s) — Д2у (0) esP (s), (9.21)
где
&У (о) = У (2) — 2y (1) + У (0).
§ 5. Аналогия между изображениями разностей и производных
Сопоставление изображений разностей ступенчатой функции
$у(х) и изображений производных дифференцируемой функции
у (х) позволяет обнаружить глубокую аналогию, существующую
между ними. Применив символ ~ для обозначения аналогии, полу-
чаем:
es — 1—Sf
у(0) e®P(s)~yd(O),
Ду(0)е®Р(з)~уД0),	(9’22)
Д2у (0) esP (з) ~ уа(О). .
Основываясь на соответствиях, приведённых в этой таблице,
можно предвидеть, что множитель е® — 1 будет играть в решении.раз-
21*
324
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. IX
ностных уравнений такую же роль, какую играет множитель s в ре-
шении дифференциальных уравнений. Равным образом произведения
из es и изображений разностей, задаваемых в граничном интервале
между 0 и 1, будут играть ту же роль в разностных уравнениях,
которую играют начальные значения производных в дифференциаль-
ных уравнениях.
Так как разности в этом первом интервале равны соответственно:
д2/(0) = 2/(1) — 2/(0),
д2?/ (О) = 2/(2) — 2?/?/ (0),
дз2/ (0) = у (3) — 3?/ (2) + 31/ (1)- у (0),
(9.23)
то граничные условия для разностного уравнения 7v-ro порядка
могут быть заданы одним из двух способов:
1) как значения функции J у (х) в начале координат ив (к— 1)
следующих за ним точках, в которых х равно целому числу;
2) как значения функции и её разностей от первой до (к— 1)-й
включительно в интервале О х < 1.
Граничные условия для разностного уравнения &-го порядка
можно сопоставить с граничными условиями для дифференциаль-
ного уравнения й-го порядка, заключающимися в известных значе-
ниях первообразной функции yd {х} и её первых к — 1 производных
при # = 0.
§ 6. Общий метод решения разностных уравнений
с помощью преобразования Лапласа
Теперь можно сформулировать общий метод решения линейных
разностных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью
преобразования Лапласа.
1)	Производится преобразование уравнений, причём попутно вво-
дятся известные граничные условия в форме импульсов определён-
ной величины.
2)	Полученное уравнение решается алгебраическими методами,
относительно изображения искомой функции.
3)	Выполняется обратное преобразование Лапласа с целью полу-
чения искомого решения.
Так как разностное уравнение может быть написано в двух фор-
мах, при решении которых приходится иметь дело *с несколько отли-
чающимися друг от друга уравнениями, здесь приводится общий метод
решения для обоих случаев. В обоих случаях показано применение
метода для решения уравнения второго порядка. Его распростране-
ние на случай уравнения к-го порядка не представит трудностей.
а)	Исходя из разностного уравнения записанного в общем
виде (9.3),
% J?/(^)+«if 2/0+1) + a-f'/(ж+2)= f f(«) •
§ 6] ОБЩИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ	325
И ПОЛОЖИВ
y(5)^S[Jy(^)],
получим в результате прямого преобразования Лапласа уравнение
относительно изображения искомой функции:
а0 Y(з) 4- a уР [ Y (s) — у0 Р (s)] -f- а2е^ [Y(s) — у (О) Р (s) —
— у (1) e~sP (s)] =P(s). (9.24)
Группируя члены п решая относительно Y (з), получим:
V ГеЧ —	+ У (°) (а1 + esp (s) + V (1)	(s)	z 9 х
a2e2s + aje* J- a0	’
Искомое решение найдётся в результате применения обратного
преобразования Лапласа к уравнению (9.25):
ГУ (ж) (= ) 2-1 [У (з)] при ж> О.
б)	Исходя из уравнения, записанного в разностном виде,
М21У О) + М ГУ («О + &о ГУ ОО = Г f 09	(9.8)
и примени^ к нему прямое преобразование Лапласа, получим:
&2 [(е«— I)2 У(з)—у(0) (es— 1) е’Р(з) —Ду (о) esP 0)] +
+ &! [(^ — 1) У(з) — 2/(О)е«Р(з)] + ЬоУ(з)=Р(з). (9.26)
Собирая члены п решая относительно У (з), получим:
V _ Р (8) + У (0) [Ь1 + ь2 (8s - DI «sp («) + by (0) btfsp (s)	,
1{S)—	M^-ir + W-if+bo	 {	}
Отметим, что уравнение (9.27) приводится к уравнению (9.25),
если выразить коэффициенты Ь2 через а2 с помощью уравнений (9.9)
и если заменить согласно уравнению (9.23)
ду(о) = у О)—у(о). ,
Как и в случае уравнения (9.25), обратное преобразование Лапласа
даёт искомое решение
J у (я) ( = )Й"1 [У(5)] при л;>о.
Уравнение, заданное в форме а), решается легче; но зато в слу-
чае б) полнее выявляется аналогия между решениями разност-
ного и дифференциального уравнений. Понятно, что как в первом,
так н во втором случаях полученные решения удовлетворяют не
только заданным разностным уравнениям, но и поставленным гранич-
ным условиям. Здесь в отличие от классического метода решения
разностных уравнений нет ни произвольных постоянных, пи не-
определённых периодических’ функций.
326	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. ЬХ
Для решения разностного уравнения &-го порядка в случае а)
требуется выразить граничные условия как совокупность значений
функции у (х) в Тс равноотстоящих точках, заключающихся в интер-
вале О^х^Тс— 1. В случае б) граничные условия должны быть
заданы в виде значений искомой функции и её первых Тс — 1 раз-
ностей в интервале
При получении окончательных решений в случаях а) и б)
необходимо, как показано выше, определять изображение заданной
функции J f (х) и оригинал искомой ‘функции SY(x) по её изо-
бражению Y($). При пользовании методом преобразования Лапласа
для решения дифференциальных уравнений было удобно предвари-
тельно составить таблицу изображений и оригиналов некоторых
простых функций (см. главу IV), а затем пользоваться этой же
таблицей для отыскания оригиналов. Этот метод удобен и для
решения разностных уравнений. Следующие параграфы посвящены
составлению таблицы изображений и оригиналов некоторых простых
ступенчатых функций.
Б. ИЗОБРАЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ СТУПЕНЧАТЫХ ФУНКЦИЙ
Для получения изображений ступенчатых функций исходят из
определения разности первого порядка
Д J у (х) = J у (х • 4-1) — f у (х)	(9-4)
и её изображения
2 [A f у («)] = (es — 1) 2 [ f у (ж)] — у (0) е<Р (s).	(9.19)
Несмотря на то, что заданные функции в рассмотренных выше
разностных уравнениях, например, (9.3) и (9.8) представляют собой
ступенчатые функции вида//*(х), всё же не исключены случаи,
когда заданные функции не являются ступенчатыми. Можно полу-
чить известное упрощение формул, если придать изображениям
таких функций вид, сходный с изображениями ступенчатых функ-
ций. Поэтому в качестве предварительного примера даётся вывод
формулы для изображения постоянной величины.
Пример. Определить 8 [с], где с — вещественное число. Здесь
f (х) = с и Дс == с — с = 0. Следовательно,
откуда
£ [Дс] = О,
(cs — 1)8 [с] — cesP (s) = О,
при « > o.
(9.28)
§ 7]	ИЗОБРАЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ ФУНКЦИЙ	327
§ 7,^Изображения степенных функций вида / эсп
Пусть'*/у(х) == х. График этой функции приведён на фиг. 142.
Тогда
Д J я = J (х 4» 1) — J х = 1
и
£[Д/я]===2[1].
В соответствии с уравнением (9.19)
2[AJ^] = (е* —1)2 [ Jrr] — О,
а в соответствии с уравнением (9.28)
о m —
L J — 1*
Следовательно,
8 [ J = 7^1)2 при 0 > °-	(9-29)
Пусть теперь
I у (ж)=/ж2.
Тогда
AJж2 = f (.т+1)— J.r2 = f 2ж-{-1
и
8 [Д_Гж2] = 2 [ J2or-{-1] = 22 [J я]+2[1].
С другой стороны, согласно уравнениям (9.19):
2 [А/ж2] = (es — 1) 2 [f ж2] — О.
Обратившись к уравнениям (9.29) и (9.28) для определения 2 [/ж]
и 2 [1], получим:
' 8[_Гж21 = -^8[А/ж2] =	2 [-М 2[1]
и окончательно:
+	=	(9-30)
Повторяя этот приём, можно получить:
8 [ I-^3] = (Х(1)^ <е28 + 4eS +1) приа>0; (9.31)
о [/ж4] = ,е^(Й- (е»«4- 11е2®+ 11е«+1) при о >0. (9.32)
Г)
328
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. IX
§ 8. Изображения факториальных функций вида J
Факториальная функция, определяемая выражением
-(a;~1)(^-‘-(X~w + 1)>	(9.33)
имеет простое изображение, которое можно получить методом
индукции. Начнём со случая п = 2:
JWsJ-^уЛ
График этой функции приведён на фиг. 143. Тогда
У ‘	п
-----
а -	,
а -	"7—
4 -
2 -	____
° О 7	2	3	4	5
Фиг. 143.
х (х — 1)
2
= j fo + 1)*	—
й|_дг -%--]=£ [ m
(es — i)g[j	0 =
Отсюда получаем следующее равенство:
g
приа>0. (9.34)
Для случая w = 3 имеем:
Тогда
А гх(х— 1)(ж— 2)	- (а?1)х (а?— 1) _ х(х— 1)(х—’2) рж(а?—1),
A J si	J	a]	J	3!	= J	’
преобразование Лапласа даёт
(е8 — 1) 8 [ J *(*-l)(*-2)j = g j" j М*"1)] ,
откуда
о Г г 1	1 О Г г 1 esP (5)	п /п о - \
=	°РИ0>°- (9-М
Повторяя этот приём сколь угодно большое число раз, получавхМ
g [ J -^1 = -т-Ц-8 [ J /Ж[”~п|1 =—^^1+Г при а > 0, (9.36)
LJ п\ J es — 1 LJ (n — 1)!J (eb‘ — 1)и+1	r
где n — целое неотрицательное число.
§ 10] ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ФАКТОРИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
320
§ 9. Изображения экспоненциальных функций J сх
Пусть J"y(#)= J" сж, где с — вещественное число. Если с = 0,
J О определяется как единичный импульс р (х). График функ-
ции J сх приведён на фиг. 144:
Д J" сх = J" сх 1-1 — J" Сх — (с — 1) J" (Я.
Отметим, что разность этой ступенчатой функции имеет ту же
форму, что и сама функция. Здесь имеет место аналогия со свой-
ствами производной непрерывной экспоненциальной функции. Пере-
ходя к изображениям, получим:
g[Af = —l)2[J"c*],
0s — 1) 2 [ Jc®] — e*P(s) =
= (c—J0
группируя члены, получим Jg 0,8-
(es_ C)2[j-C®] = eep(s),
откуда	’
Фиг. 144.*
при a > In c. (9.37)
Полагая с = ea, получаем изображение ступенчатой экспоненциаль-
ной функции J еах в виде
2[Ге™] = **^1 при a>«.	(9.38) § *
§ 10. Изображения произведений факториальных функций
и экспоненциальных функций вида J---------—f—
Пусть J у (ж) == J же®. Тогда
Д J = J (ж +1) с®+1 — J же® = (с — 1) J" же® + й -Г с®,
2 [A J же®] = (с — 1) 2 [ J же®]	ей [ J с®],
(е8-1)й[1^]_0 = (е-1)2[1жс®] + с^§.
Группируя члены и решая относительно g[f хсх}9 получаем
2[/же®] = с (eS^e)2 p(s) при o>lnc (9.39)
330	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IX
ИЛИ
= (gg^e)2'P(s) при а >Дпс. (9.40)
Функция /же®-1 представляет собой ['произведение функций,
подобных изображённым на графиках фиг. 142 и 144, и постоян-
ного множителя с-1.
Пусть теперь J у (ж) ==/ ж2с®. Тогда
Д J" А® = (с—1)/ж2с®-|-2с_Г&с®4~ с I6®-
Изображение этой разности равно
' (е8 _ 1) g [ J Ж2СЖ] = (е _ i ) g [ J + 2С2	+ с 2^ .
Группируя члены и решая относительно	получаем:
g[Ja;2ca!] = 2C2_g^_ + c_jW) 0>1пс.	(9.41)
Подставив взамен последнего члена правой части равную ему
величину 2 [ J [см. формулу (9-39)] и перенеся её в левую
часть, получим окончательно:
о Г г х (х — 1) сж-2 1 п Г г х сх~2 "I esP (•<?)	, z \
2 [ I ~----2Г------J = 2 [1-----*---J = (е*-е)з ИРИ ° > 1П С- С9'42)
График функции J —------------------ представлен на фиг. 145.
§ 11]
ИЗОБРАЖЕНИЯ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
331
Повторив этот приём произвольное число раз, получим
О Г Г «)[п]сх^п 1 еаР (s)
2 Г-----:— =71—Мгй прис>1ис, (9.43)
L п\ J (е —с)"+
где п — целое неотрицательное число.
§ 11. Изображения синусоидальных функции J sin рж
Изображения синусоидальных ступенчатых функций могут быть
найдены с помощью двух разностных уравнений, а именно:
Д J sin рж = J sin Р (ж 4-1) — J sin р« —
= (cos р — 1) J sin р« —f— sin р J- cos р.ж;
Д J cos Рж = J cos р (ж •-]•• 1) — J cos рж ==
= (cosp-l)I cos Рж — sin р J sin р.ж.
Преобразование*) этих уравнений даёт:
(es — cos Р) • 8 [ J sin рж] = sin р • 2 [ J cos рж];
(es — cos p) • Й [ f cos рж] = esP (s) — sin p • 2 [ f sin рж].
Решив эту систему уравнений, найдём:
«[Г W=пр"’>о;	(»•«)
8 [ J cos М = £ Z	+ 1 лри ° > °-	<9  *0
График функции J sinP# приведён на фиг. 146. Заметим,, что при
*) Т. е. переход к изображениям. (Лри.я. ред.)
332	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IX
3 = 2к период функции равен единице, и уравнения (9.44) и (9.45)-
переходят соответственно в
2 [ J sin 2~ '] = 2 [0] — О,
2[ Jcos2M = 2[l]=-g^-.
В. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУНКЦИИ,
СОДЕРЖАЩИХ es
Нетрудно подметить, что изображения ступенчатых функций,
рассмотренных в предыдущих параграфах, являются функциями е8..
Это свойство характерно для изображений всех ступенчатых функ-
ций. При алгебраическом исследовании этих изображений удобнее
принимать за независимую переменную не s, a es. В тех случаях,,
когда оригиналы ступенчатых функций не могут быть найдены
непосредственно, рекомендуется разложить такие функции е8 на-
сумму более простых функций. Целесообразно пользоваться разло-
жениями двух видов:
1) разложением на простые дроби, содержащие es в качестве
переменной;
2) разложением в степенной ряд относительно е8.
§12. Разложение на простые дроби, содержащие е8 в качестве
переменной
В соответствии с рассуждениями, относящимися к разложению
на простые дроби, приведёнными в главе VI, здесь достаточно'
рассмотреть два примера применения этого метода к обратному
преобразованию функций переменной е8.
В первом примере корни знаменателя различны. Во втором
примере среди корней знаменателя имеются два равных.
Пример 1. Найти оригинал функции
esP (s)	,
—----г-7——зт- , где с и а —
(es — с) (е8— d)
вещественные числа.
Положив р~е8 и выполнив разложение на простые дроби, получим:
1 - _ 1 / 1_______________1\
(р — с) (р — d) с — d \ р — с р — d 7
Поэтому
esP (s)	_ е*Р (s) / 1______1 \
(е8 — с) (es — d) — с — d \ es — с	es — d )'
Следовательно,
С-1Г (s)	1
|_(es — c) (e« — d) J
c — d | es — c
esP (s) 1
e — d J
( = ) JTZTjjr (сШ — йж) приаз>0.
(9.46)
§ 12]
РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ ДРОБИ
333
График одной из ступенчатых функций, определяемых уравнением (9.46),
приведён на фиг. 147. Так как в данном случае оба выбранных значе-
ния end меньше единицы (с = 0,5; й = О,и), то этот график напоминает
разности двух непрерывных экс-
график затухающей функции, равной
поненциальных функций с отрица-
тельными показателями, возрастаю-
щими по абсолютной величине.
esP (s)
функции (е*-
где с — веще-
II р и м е р 2. Найти оригинал
ственное число.
Необходимо предварительно разложить заданную функцию на простые
дроби, воспользовавшись разложением вида
_____1		 Кц ।	^12	।	^2
(р- 1)3(р-с)__________________(р-1)2 ' р-1-1" р-е ’
где
!<„==[——1	=-j-^—;
L Р-С ]р=х 1	1 — с
^,2==[dp ( р — с)]р=1 — [(р—с)2]р=1 — (1 — с)2’
7f = Г —1—1	=
2~1(Р-1)Чр=с (с-1)2’
Поэтому
e»P(s) 1	р_, Г 1 esP(s) 1 esP (s) ,
(es_i)?(es_c)J ~	[1 —c ' (es — I)2	(1—c)2 ' e’ —1 ~t~
.	1	. e'<P (s)l	. a?
"’"(с — I)2 ’ e» — cp	' •* 1 — c
(1 — c)2 + J" (c — Ip
r сж —1	_ ж
J (c —I)2 J c —1
при
0.47)
График ступенчатой функции этого вида для случая с = 0,5
изображен на фиг. 148.
334
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. XI
§ 13. Разложение в ряд по степеням es
В связи с тем, что для облегчения обратного преобразования
применяется разложение изображения функции в ряд, возникают
вопросы, подобные тем, о которых говорилось в § 5 главы VIII.
В частности, необходимо обосновать допустимость изменения после-
довательности двух предельных операций. Метод и его обоснование
могут быть изложены наиболее наглядным образом на примере
обратного преобразования какой-либо конкретной функции, напри-
v	esP fe)
мер функции	(es АТ)~ > где 6 — вещественное число.
Так как
оо
_£_=l + e-s+e-2s + ...
г=0
то рассматриваемая функция , может быть записана в виде
е«Р(5)	... P(s).V rs==
(es _ с) (es _ 1)	eS — G
r=0
оо
= P(s) • (e-s-j-ce-2s-j-c2e~3s-j-...) J} e~rs.
r=0
Последнее. выражение может быть переписано в виде
Р (s) (e~s-f- ce~2s + с2е-33-j- ...
e-2s_|_
+ .е-з»+...
-}-•••)•
Здесь первая строка получена путём умножения всех
(9.48)
(9.49)
членов,,
стоящих внутри круглых скобок, на первый член суммы, соответ-
ствующий г = 0. Вторая строка получена путём умножения всех
членов, стоящих внутри круглых скобок, на второй член суммы,,
соответствующий г = 1, и т. д.
Собрав однородные члены по столбцам, получим выражение
. P(s)[e-’ + (l + c)e-2®+(l + c+c8)e-8«+...].	(9.50)
Следующим этапом является обратное преобразование беско-
нечного ряда (9.50). Полагая, что изменение последовательности
операций обратного преобразования и суммирования бесконечно
большого числа членов допустимо, можно представить обратное
изображение, т, е. оригинал ряда (9.50), в виде
у>(ж —1) + (14-с)у>(х —2)4-(14-с4-с2)у?(ж —3) + ...	(9.51),
Обозначим получившуюся ступенчатую функцию через J у(х).
Коэффициентам, стоящим при членах р(х— г), может быть при-
§ 13]	РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ПО СТЕПЕНЯМ 6s	335
дана форма
Г=1
14-e + c2+.-.+c’-1 = ScJ = ?=T’	(9.52>
у=о
так как каждый из них представляет собой сумму первых г
членов геометрической прогрессии. Следовательно, как и в уравне-
нии (9.2),
оо
Г 2/(®) ( = )	0= j при ж>0. (9.53);
Г=1
Наконец, необходимо обосновать допустимость изменения после-
довательности двух предельных операций, использованных при
получении последнего результата. Строгое доказательство этого по-
ложения основывается на том, что изображение полученного резуль-
тата представляет собой заданную функцию. Действительно,
о
* e“sa? ~ с3т [ I J"GX ‘ e~sx dx — f e~8X •<&*'•] =
о	b
1 Г esP (s) esp (s)-i	esp (g)
— с —1 [es — c es —1J (e* —c)(es—1)
при a > max (0, In c).
Здесь использованы результаты, выраженные уравнениями (9.37)
и (9.28). Так как получилось полное
совпадение, то справедли-
(9.55)
’s-
Фиг. 149.
(9.51) является решением задачи.
вость результата (9.53) до-
казана. Таким образом,
Р-i Г в°Р (б)___
L (eS—с) (eS—
(=HCS
при .<>0.
График ступенчатой
qX__________1
функции I £ изобра-
жён на фиг. 149.
Хотя уже бесконечный
всё же его сумма, данная конечным выражением (9.53), предста-
вляет собой более удобную форму решения. Однако необходима
ряд
сделать некоторые замечания относительно связующего звена между
этими двумя формами решения, выраженного уравнением (9.52).
В данном частном случае суммирование членов конечного ряда,
проделанное в уравнении (9.52) для получения выражения коэф-
336	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИИ [ГЛ. IX
фициента общего члена ряда (9.51), оказалось сравнительно про-
стой операцией. Чаще же эта задача сопряжена со значительными
трудностями. Задача суммирования членов конечного ряда эквива-
лентна задаче отыскания такой функции, первая разность которой
равна общему члену суммируемого ряда. Аналогичное утверждение
относительно дифференцируемых функций формулируется так: задача
интегрирования некоторой функции эквивалентна задаче отыскания
такой функции, первая производная которой равна интегрируемой
функции. Таким образом, задача суммирования членов конечного
ряда
г—1
1 -|-с + с2... +сг-1 = 2	(9.56)
у=о
решённая в частном случае уравнением (9.52), эквивалентна задаче
отыскания функции f (j), первая разность которой
=	(9.57)
равна общему члену суммируемого ряда, т. е. cj. Другими словами,
необходимо решить разностное уравнение
д/-(7-)=Л	(9.58)
Общее назначение этой главы заключается в решении разност-
ных уравнений. Поэтому искомая сумма, если она не известна
непосредственно, может быть найдена в результате решения вспо-
могательной задачи, т. е. решения эквивалентного разностного
уравнения. Замена задачи суммирования эквивалентной задачей,
заключающейся в решении разностного уравнения, вполне логична
и аналогична замене задачи интегрирования задачей определения
производной. Однако эта замена не даёт желаемого эффекта в такой
задаче, как та, которая возникла в связи с рассмотренным приме-
ром, ибо изображение функции f (/), определённой уравнением (9.58),
аналогично функции,, фигурирующей в самой формулировке рас-
смотренного примера при условии f (0) — О.
Следовательно, в данном случае необходим иной метод отыска-
ния суммы. К счастью, в рассмотренном конкретном примере можно
было воспользоваться особым методом, не зависящим от метода
разложения на простые дроби. Здесь выражение суммы могло
быть получено обычным приёмом суммирования членов конечного
геометрического ряда по его известным крайним членам и зна-
менателю.
§ 14. Эффект умножения или деления на е8 или на (е8—1)
При изучении изображений ступенчатых функций необходимо
помнить о принципах, упоминаемых в теореме 10, ибо они указы-
вают на границы применимости обратного преобразования Лапласа.
§ 14] ЭФФЕКТ УМНОЖЕНИЯ ИЛИ ДЕЛЕНИЯ НА е8 ИЛЯ НА (es—1)	337
Величина, на которую может быть смещена влево функ-
ция /у(а;) посредством умножения её изображения 2[Jy(^)] на
положительную степень es, ограничена, так как после умножения
степень в8 в числителе не должна превышать степени в8 в знаме-
нателе. Иными словами, функция J у (я) до смещения влево должна
быть равна нулю во всех точках интервала, расположенного вправо
от начала координат и длина которого, по крайней мере, равна
величине смещения.
Например, при условии, что а — неотрицательное целое число,
уравнение
eosS[-r?] = e08F^F==2[J^ir^]	(9’59) '
справедливо при значениях а <13, а уравнение
в»® £ [ J а?] = е“«	О28 + 4es +1) = £ [ J (а> -f- а)®] (9.60)
справедливо лишь при а = 1.
В противоположность этому величина смещения функции J у (х)
вправо посредством умножения её изображения 2[J"y(^)] на сте-
пень е~8 не ограничена никаким конечным пределом. Однако эта
функция после смещения должна быть равна нулю, во всех точках
интервала, расположенного вправо от начала координат, длина
которого равна величине смещения.
Например, при условии, что а—неотрицательное целое число,
оба уравнения
е-«*£[ _Г^1 = £[	+	—а)]	(9.61)
| О* J I	ox	J
И
e-asg[j"^"] = g[J (%—a)zl(x—а)]	(9.62)
справедливы при любых значениях а.
Присутствие множителя 1 (х — а), т. е. единичного скачка,
равного нулю при и равного единице при х^а, является
характерным свойством каждой смещённой функции.
В теории преобразования ступенчатых функций имеются прин-
ципы, аналогичные принципам, выраженным теоремами 6а и 7а.
Если J" у (х) — ступенчатая, a yd (х) — дифференцируемая функция,
то умножение изображения ступенчатой функции на (е8 — 1) соот-
ветствует операции перехода к первой разности (обозначаемой сим-
волом Д) оригинала, если только функция J у (х) равна нулю на
всём единичном интервале, начинающемся с х — 0, подобно тому
как умножение изображения дифференцируемой функции на s
соответствует дифференцированию оригинала, если только функ- •
ция yd(x) равна нулю при х = 0.
22 Зак. 1977. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
338
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. IX
Таким образом, для ступенчатых функций
(es—1)2 [f у (#)] =2 [Af у (х)], если у(0) = 0.	(9.63)
Для выполнения этого условия требуется, чтобы степень es—1
в числителе выражения (es — 1) 2 [ J у (#)] не превышала сте-
пени es—1 в его знаменателе.
Деление изображения 2 [jf?/(^)] на es — 1 соответствует конеч-
/	п \
ному суммированию (т. е. операции, обозначаемой символом 2 г
подобно тому как деление изображения £[yd(x)] на s соот-
ветствует интегрированию оригинала в пределах от 0 до х. Резуль-
тат суммирования неизменно равен нулю в единичном интервале^
начинающемся с # = 0, подобно тому как результат интегрирова-
ния равен нулю при # = 0.
§ 15. Уравнения первого порядка
(примеры)
Пример 1. Найти ступенчатую функцию, удовлетворяющую разност-
ному уравнению
J"2/(^ + l)— а!у (х) = с,	(9.64)
если у (0) — р. и а, с и (i — вещественные числа.
Предположим, что функция J У (я) допускает преобразование по Ла-
пласу и что её изображение
8 [Ь («,)]= Y(s).
Тогда, преобразовав уравнение (9.64), имеем:
2 [ IУ 0» +1) 1 - а 8 [ J у (ш)] = 8 [ с].
На основании уравнений (9.12) п (9.28)
es [ г («) - У (0) Р («)] - a Y (s) = е
или
(е« - a) Y (s) = с + ^Р (8).
Решив последнее уравнение относительно Y(s), получим:
л_ z ч esP (s)	. esP (s)
C(e*~ l)(es — es — a’
откуда
g-ifY(s)] = Q-i I c,...-----------L
§ 16]	УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА	339
а на основании уравнений (9.55) и (9.37)
1у («О ( = ) с Г + Р Т приа?>0.	(9.65)
Функция, представленная уравнением (9.65), действительно является
решением уравнения (9,64), так как
-Г У (я? + 1) — a J у (х) =
Р Cta*—1	г л,	г — 1	р
= cj —---------J &— ас J	—j-----Р^' J ах = с.
Кроме того, она удовлетворяет граничному условию, так как у (0) =
при х = 0.
Пример 2. Решить разностное уравнение
Д J" у (ж) == J х2	(9.66)
при условии: у (0) = где р. — вещественное число.
Обозначив
2 [ J У (®)J= Г(е)
п, преобразовав уравнение (9,66), получим:
8[д J г/И1 = й[Г
На основании уравнений (9.19) и (9.30) можно написать вместо послед-
него уравнения:
(es -1) У (е) - у (0) esp (в) =	(es + 1).
*	Iе • ч
Отсюда
ЛГ / \ С3 (eS 1) -п / ч I	7Э / \
(es-l)4	=
_ os еЗР & _L еЗР I .. &sp W _
(es —1)4 1 (es — 1)4 'r! es —!
Г х^7 Г ж®7
=e4J V|+4J 1г]+йм-
Последний результат получен на основании уравнений (9.35) и
Обратное преобразование даёт:
J У (.«>) ( = ) Г -----1- -Г %- + I1 при х>0.
Первый член уравнения (9.68) написан на основании (9.69).
§ 16. Уравнения второго порядка
(примеры)
Пример 1. Решить разностное уравнение второго порядка
Г у (х 4- 2) — 5 J у (х 4-1) 4- 6 J у (х) = J х
(9.67)
(9.28).
(9.68)
(9.69)
при условиях:
У (0) = И) и у (1) = к-
Предположим, что функция J" у (я?) допускает преобразование по Ла-
пласу и что её изображение
Sf J У («)1 = Y («).
22^-
340	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. IX
Преобразуем уравнение (9.69), применив при этом уравнения (9.12),
(9.17) и (9.29):
e2s [ Y (з) — у (0) Р (з) — у (1) е-s? (з)] — 5е* [ Y (з) — у (0) Р (з)] +
। «ум- esp(s) .
+ 6 О (es — l)2 ’
группируя члены, получаем:
(в2з _ 5ез + 6) Y (з) =	 + Иов* (е* — 5) Р (з) + р.)е<Р (з). (9.70)
Обозначим
es = р.
Корни характеристического уравнения
Р2 — 5Р4-6 = О
равны 2 и 3. Выражение для У($) через эти корни имеет вид
_________е°Р (8)	, а е«(е8-5)Р(з)	е*Р (з)
w - (е« — 2) (е« — 3) (е« —1)2	’ ° (е« — 2) (е» — 3)	_(е« — 2) (е« — 3) *
Так как	4	__	1	2
то	(Р-2) (Р-3) Р —5	_ (р—*2) (Р-3) 1 \ е«Р(з) е« —2j(e’ —1)2 1	р — 3 р — 2 ’ 3	2 р —2 р — 3 ’ №<»(.л2 л8)+	
+ мёР (з) ( —1_-----1—').
'	ч/\е8— 3	es' — 2/
Воспользовавшись уравнениями (9.47) и (9.37) и выполнив обратное пре-
образование последнего уравнения, народам оригинал J у (а?):
Г	J	-Г (2Ж — 1— ®) + 9о Г (->2^ —2-3^) +
+ 31[(3Ж —2Ж)1 = Z J Зж + Б f 2с4-у J х + |- при х > 0. (9.71)
Здесь
— 2 р.о + p-i; в = — 1 + 3|л0 —14-
§ 17. Генератор пилообразного напряжения
В § 14 главы VII было указано, что метод преобразования
Лапласа отчасти теряет свои преимущества по сравнению с клас-
сическим методом решения задач, если граничные или начальные
условия задаются не для одной, а для двух точек или не для
одного, а для двух различных моментов времени. В том же па-
раграфе было показано, как путём введения алгебраических бук-
•§ 17]
ГЕНЕРАТОР ПИЛООБРАЗНОГО НАПРЯЖЕНИЯ
341
венных обозначений для граничных значений искомой функции
можно решить задачу, когда граничные условия заданы для двух
точек. В этом параграфе излагается другой метод решения задач
этого рода. Этот метод заключается во введении в качестве вспо-
могательной переменной ступенчатой функции. Эта ступенчатая
функция появляется вследствие того, что’ время подразделяется
на ряд последовательных равных интервалов, а граничные значения
на границах интервалов могут быть интерполированы с помощью
ступенчатой функции. Ступенчатая функция отыскивается путём
решения разностного уравнения. Для решения вспомогательного
разностного уравнения применяется метод преобразования Лапласа,
излагаемый в этом параграфе. Метод решения задач с граничными
условиями, заданными для двух различ-
ных точек, требует применения преоб-
разований Лапласа по отношению как
к главной, так и вспомогательной незави-
симым переменным. Ниже излагается
простой пример применения этого ме-
тода.
Простой генератор напряжения пило-
образной формы состоит из параллельно
соединённых ёмкости Си проводимости С2,
периодически приключаемых к па-
раллельно соединённым генератору по-
стоянного тока 10 и проводимости Сг0
Фиг. 150. Периодически
повторяющееся замыкание
и размыкание рубильни-
ка К создаёт пилообразное
напряжение между обклад-
ками конденсатора С.
(смотри схему фиг. 150).
Электронное коммутирующее устройство, периодически осуще-
ствляющее включение и отключение, представлено на схеме ради
простоты в виде рубильника К, который замкнут в течение первой
части цикла коммутации длительностью в^ секунд и разомкнут
в течение второй части периода длительностью /2— i1 секунд.
Задача состоит в определении: 1) закона нарастания напряже-
ния между обкладками конденсатора С (принято, что вначале
конденсатор разряжен) и 2) приблизительного числа циклов,
необходимых для достижения устойчивого состояния, которое в дан-
ном случае представляет собой периодически повторяющийся пере-
ходный процесс.
Пусть для м-го цикла (£) и ft2(tf) означают соответственно
напряжение конденсатора при замкнутом и разомкнутом рубиль-
нике. Для простоты считаем, что время t отсчитывается от начала
ft-го цикла.
Дифференциальные уравнения имеют вид
+	для
342	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IX
где	Так как напряжение конденсатора может ме-
няться лишь непрерывно, то значение в момент равно началь-
ному значению и2. Вследствие того, что дифференциальные урав-
нения (9.72) очень просты, мы ограничимся приведением их реше-
ний в окончательном виде. Если бы эти уравнения были более
сложными, для получения их решений в общем виде пришлось бы
прибегнуть к прямому и обратному преобразованиям Лапласа.
Решения уравнений (9.72) имеют вид
Здесь
«1(0 =	(1 — е~“‘9 +100 для о < I < «р |
(О — и1 (0) е~а2для t t2.	J
(9.73)
_Gi _ (h
G 9	a2 — g
и 7 (n) равно напряжению на конденсаторе в начале м-го цикла.
Значение напряжения на конденсаторе в конце w-ro цикла
равно и2 (/2). Так как напряжение на конденсаторе — непрерывно
меняющаяся величина, то и,2 (£2) равно также 7 (n +1) — напря-
жению на конденсаторе в начале (п-|-1)-го цикла.
Таким образом,
7 (п -Ь 1) = и2 (Z2) =	(1 —	4- 7 (n)
Обозначив
а =е~а^ • Л)
и
Ъ =	(1 — е Wi^) е~“2
и«1 V	/	>
получим простое разностное уравнение
7(^ + 1) — ач(п) = Ъ.	(9.74)
Функция 7(м) была определена ранее лишь для целых значений.
Она может быть определена и для любых значении п в виде
ступенчатой функции, проходящей через те же точки, через
которые проходит первоначальная функция. Обозначим эту ступен-
чатую функцию символом J7 (п). Тогда уравнение (9.74) при-
нимает вид
J" 7 (м + 1) —«J7 (70 — Ъ.	(9.75)
При этом 7 (0) = 0, так как в начале процесса конденсатор был
разряжен. Решение уравнения (9.75) приведено в примере 1 § 15
этой главы.- Оно имеет вид
I Т («) (=) ’> Г при п > 0.	(9-^6)
§ П]
ГЕНЕРАТОР ПИЛООБРАЗНОГО НАПРЯЖЕНИЯ
343
Подстановка выражения для J 7 (п), данного уравнением (9.76),
в решения дифференциальных уравнений (9.73) даёт окончательные
выражения законов нарастания и убывания напряжения на кон-
денсаторе в течение первой и второй части n-го цикла. Необходимо
иметь в виду, что, как было условлено, время t равно нулю в на-
чале n-го периода. Таким образом,
«1 (О =	(1 — e~gl<) + 61’ e^ait Для
«2 (f) =	(1 _е-«л) _|_ i У? — *
' (9.77)
ДЛЯ <3	*2-
Так как п— вторая независимая переменная, то эти выражения
дают возможность определять законы изменения напряжения на
конденсаторе как во время его установления, так и после дости-
жения установившегося состояния. Кривая изменения напряжения
в процессе его установления может быть названа переходной пило-
образной кривой, а после достижения установившегося состояния —
установившейся пилообразной кривой.
Можно было бы решить задачу о законах нарастания и убы-
вания напряжения в процессе его установления и не прибегая
к помощи разностного уравнения. Но тогда пришлось бы восполь-
зоваться трудоёмким методом последовательных решений. Введе-
ние разностного уравнения значительно сокращает вычислитель-
ную работу и не усложняет задачи, так как метод преобразования
Лапласа позволяет решать разностные уравнения с помощью той
же последовательности операций, которая уже знакома по решению
интегро-дифференциальных уравнений.
Когда п велико, ап->Ои уравнения (9.77) переходят в пре-
деле в уравнения для установившегося состояния:

Для
----А е-«2 (#-#,)
а —1	J
ДЛЯ t j
(9.78)
Заметим, что теперь, как и следовало ожидать,
^2 (^ = (О)*
Приблизительное число циклов, по истечении которых процессы
нарастания и убывания напряжения могут считаться установивши-
мися, может быть найдено из условия: п должно быть доста-
точно велико для того, чтобы ап 1.
344	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IX
§ 18. Уравнение изображений для цепной схемы
В задаче, разобранной в предыдущем параграфе, разностное
уравнение появилось вследствие того, что время было подраз-
делено процессами коммутации на ряд последовательных равных
интервалов. В настоящем параграфе разбирается задача, в которой
требуется решить систему разностных уравнений, появляющихся
вследствие того, что рассматриваемая физическая система состоит
из цепочки последовательно включённых тождественных звеньев,
т. е. представляет собой так называемую цепную схему.
Рассмотрим цепную схему, состоящую из ряда последовательно
включённых тождественных Т-образных четырёхполюсников, один
из которых изображён на
Фиг. 151. (п-|-1)-е звено цепной схемы,
состоящей из тождественных Т-образных
четырёхполюсников,
фиг. 151. Такой четырёх-
полюсник может, напри-
мер, играть роль элемен-
та искусственной линии
или звена электрического
фильтра.
Принятые в дальнейшем
обозначения напряжений
между зажимами и контур-
ных токов в данном звене
показаны на схеме. Заме-
тим, что здесь фигурирует вторая независимая переменная — по-
рядковый номер пары зажимов, который входит вместе с первой
независимой переменной — временем t в аргументы функций. Пусть
ал означает интегро-дифференциальный оператор для двухполюс-
ной последовательной ветви звена (на схеме — ветвь 1), а а2—
такой же оператор для его параллельной ветви (на схеме —
ветвь 2).
Интегро-дифференциальные уравнения для Т-образного звена
имеют вид
(«! 4- а2) i (Z, п) —	=	п),
—	^) + (^! + a2)i(^ п-\- 1) = — и (t,	1).
(9.79)
Примем, что начальное количество энергии в схеме равно нулю.
Так как функции г и и являются функциями двух независимых
переменных: t и п, то потребуется выполнить два прямых пре-
образования Лапласа: преобразование 2* по отношению к t и
преобразование 2П по отношению к п. Порядок выполнения этих
преобразований не существенен, так как обе переменные t и п не
зависят друг от друга. При выполнении преобразования 2* в урав-
нения вводятся начальные условия, а при выполнении преобразо-
вания 2П— граничные условия.
§ 18]	УРАВНЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ДЛЯ ЦЕПНОЙ СХЕМЫ	345-
(9.80>
Если обозначить
8# [«(/,И)1	I (s, п)
И
& п)]	^(^, и),
то прямое преобразование уравнений (9.79) по времени даёт:
(^i + ^2) I (5> *0 —	(s>п + D = U (s, п);
— я21 (s, п) + (^ + ^2) I ($, w + 1) = — U(s, п + 1).
Здесь ?! — импедансная функция для каждой последовательной
ветви 1, а — импедансная функция для каждой параллельной
ветви 5.
Уравнения (9.80) являются разностными- уравнениями относи-
тельно переменной п и алгебраическими — относительно перемен-
ной s. Для того чтобы к ним можно было применить прямое пре-
образование Лапласа по отношению к переменной п (преобразова-
ние £п), необходимо предварительно обобщить определение функций
1(з,п) и U (з,п)/ Данное пока для целых положительных зна-
чений п, на все. его вещественные неотрицательные значения.
Это обобщение осуществляется с помощью интерполяционных
ступенчатых функций, проходящих через те же точки, в которых
определены соответствующие функции I (s, п) и U(s,n), начиная
с п = 0. Эти новые функции обозначены соответственно J I (s, п)
и J U (s, ri). Таким образом, взамен уравнений (9.80) будем
решать уравнения
(«1 + ^2) J I (s> — % J I(s,» + 1)= J и (s,n);	1
- *2 Г I(s, п) +	J I(s, п+1) = - J U(s, п +1). / (9>81>
Эти уравнения будут подвергнуты прямому преобразованию-
Лапласа по отношению к перемённой п. Пусть
fl I (s,
gJJ U(s, n)]=U(s,w).
Готические буквы означают изображения относительно пере-
менной ж
Комплексная переменная w соответствует п точно так, как ком-
плексная переменная $ соответствует t.
^-преобразование уравнений (9.81) даёт:
(*i 4~ ^2) 3 (s>	[3 (s,w) — I (s> 0) P (гс) ] — U (s, w);
— f23 (s, tv) 4-	4- £T2) ew [3 (s, tv) — I (s, 0) P (w)] =
•=— et0[U(s, w)—U(s,0)P(w)].
(9.82>
346	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. IX
В эти уравнения включены все сведения о функциях г (/, п) и
и (t, п), содержавшиеся в исходных интегро-дифференциальных урав-
нениях и в формулировке начальных условий. Кроме того, в даль-
нейшем в них могут быть включены конкретные граничные усло-
вия. Эти уравнения могут быть решены алгебраически относительно
U (5, w) и 3 (5, w), а последние могут быть дважды подвергнуты
обратному преобразованию Лапласа: сначала по отношению к пере-
менной w, а затем — переменной s (т. е. подвергнуты преобразо-
ваниям йг?1 и 8Г1)-
Этими двумя операциями будет не только достигнуто возвра-
щение от изображений к оригиналам uft.n) и i(t, п), но и полу-
чено исчерпывающее решение поставленной задачи с конкретными
.начальными и граничными условиями.
Группируя члены уравнений (9.82), получаем:
(^1 -|-^2 — z2ew) 3 ($, w) — U (s, w) = — I (s, 0) P (tv);
(£rew 4- z2ew — £2) 3 (s,w) + eW (X~
= I($, 0) X (£4 + £2) eW P (^) + U(5> 0) ew P (w).
(9.83)
Решив эту систему относительно 3 и U, получим:
и (s, w) = -3-	Л 1 ' ------I
о-/	4	/(s,o) (e®—)<) —Z7(3,0)^-! b . . I (9>84)
Здесь
X == iiifi
4 ~	*2
Обозначим
и решим характеристическое уравнение
р2 —2Хр4-1 = 0.
Его корни равны:
И
P2Sx-/FZTi=i.. .
Дроби, встречающиеся в правых частях уравнений (9.84), могут
быть разложены на простые дроби согласно "тождествам:
р — А_____1 /pi — X_______рз —	__ 1 /	1 I 1	\ .
(Р —Pi) (Р —Pa) — Р1 —Р2М> —Pi р —Рз/ “ 2 \р —Pi ' р — р2/’
1	= 1	/ 1 1 X ==	1	/ 1 1
<Р—Р1)(Р —Рз) Pi —рз\° — Р1 р — W 2	1 Vp — ?1	р— р2.
§18]	УРАВНЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ДЛЯ ЦЕПНОЙ СХЕМЫ	347
Уравнения (9.84), преобразованные с помощью этих тождеств,
принимают вид
It (S, ») = 1 и (», О) + __L_) е„Р (,„) _
- i T(S, 0)	(.0;
з (*. ») = у I <? 0)	-
(9.85)
Теперь можно приступить к обратному преобразованию функ-
ций U и X в первую о.чередь, например, по отношению к пере-
менной to. В соответствии с уравнением (9.37) можем написать:
(£ = 1,2).
Поэтому, выполнив преобразование 1 уравнений (9.85) но
отношению к переменной го, получим для вещественных значе-
ний п ;> 0:
ПП »	ПП ПП
J U(s,n) ( = ) U(s,O) 1^- ZI(s,O)
П I	Qn   Qn
J IM ( = ) I(s,0) J ^X-Ft/(s,0)fIi-A
di	di
(9.86)
Здесь
z . KOi + ^)3-^
y = Z-!.
Z называется итерационной функцией сопротивления, a Y —
итерационной функцией проводимости.
Вспомнив, что о = е™, можно написать
Pi=eW1,
а так как р2= 1/рп то
р2 = е~^.
Следовательно,
р?+р?	enwl+-nwt
-----—=------------------- сц nw :
J	di-'
р« — р?
---= ----------5----= Sh W’j.
348	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IX
Если заменить wr обычно применяющимся в этом случае симво-
лом р, легко найти на основании тождеств
е?’= е«>, == Р1 == д _j_ ]Лх2—1
И
= е-«, == JL == р2 = х _]/k2—1,
что
-1 л _ в? -|- в	.
ch р = —------= X;
§11 р = 1--* = |/а‘~ — 1.
А
Внеся функции гиперболического косинуса и гиперболического
синуса в уравнения (9.86) и ограничившись лишь целочисленными
значениями п, можно будет опустить «в них символ ступенчатой
функции J и записать эти уравнения в виде
U (s, п) = U (s, 0) ch пр — ZI(s, O)shnp;	(9.87)
I (s, ri)=I (s, 0) ch np— YU (s,|0) sh	(9.88)
Уравнения (9.87) и (9.88) представляют собой общие уравнения
изображений напряжений и токов в цепной схеме, состоящей из
последовательно включённых Т-образных четырёхполюсников, для ’
того случая, когда начальные значения напряжений и токов во
всех четырёхполюсниках равны нулю. Эти уравнения мы можем
рассматривать как исходные, если желаем решать задачу указан-
ного типа при каких-либо конкретных условиях на концах. Попутно
можно заметить, что, если начальное значение энергии цепи не
равно нулю, в правые части уравнений (9.87) и (9.88) войдут по
два добавочных члена, соответствующих начальному напряжению
и начальному току, вследствие чего несколько усложнится процесс
последующего решения уравнений.
Наконец, обратное преобразование функций
определённых уравнениями (9.87) и (9.88), по
для
г (;,-»)(=) 2Г1	™)1- J
Таковы решения интегро-дифференциальных
написанных в общем виде и полученных в предположении нуле-
вых начальных значений напряжений и токов.
Явные выражения для функций u (I, та) и г (I, п) могут быть
получены лишь после того, как будут определены конкретные зна-
чения .?i и и' будут заданы оба конкретных граничных условия.
U (з, та) и I (s, та),
переменной $ даёт
(9.89)
уравнений (9.79),
§19] УРАВНЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ ДЛЯ КОРОТКОЗАМКНУТОЙ СХЕМЫ 349
§ 19.	Уравнения изображений для короткозамкнутой
цепной схемы
Предположим, что в рассмотренной в предыдущем параграфе
цепной схеме пара зажимов с порядковым, номером N замкнута на
нулевое сопротивление. Покажем на этом простом примере, как
условия на конце могут быть включены в общие уравнения изобра-
жений напряжений и токов.
Для этого случая условие на конце: и (7, У) = о и, следова-
тельно, U (s, п) = 0. Из уравнения (9.87), принимающего вид)
О = Ufa 0) ch тУ,3 — ZI(s, 0) sh 1V,3,
следует, что
I(s, 0)=^-^-.|^-.	(9.90)
Подстановка из (9.90) в (9.87) и (9.88) даёт Окончательный
результат:
U (s, п) = U (s, 0) ей ир — U (s, 0)	• sh яЗ =
= 17(8, о) S-(^~W)P;	(9.91)
Oil -tv Р
I (S, п) = U^- • ^2- ch и;3 — YU(s, 0) sh ир =
-Y^s.	(9.92)
Уравнения (9.91) и (9.92) получены в виде, допускающем их
обратное преобразование по отношению к переменной з. Прежде
чем выполнять преобразование, используем эти уравнения для того,
чтобы показать, как происходит установление напряжений и токов
в звеньях цепной схемы под действием постоянного напряжения,
внезапно приложенного к зажимам с порядковым номером п — 0,
если начальные значения напряжений и токов повсюду равны нулю.
Для этой цели можно рассмотреть цепочку неограниченной длины,
простирающуюся от начала в одну какую-либо сторону до беско-
нечности. Такая цепочка представляет собой, конечно, математиче-
скую абстракцию, но её изучение полезно вследствие того, что
в ней устранены осложнения, связанные с отражениями напряже-
ний и токов от её дальнего конца.
350	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IX
§ 20.	Единичное напряжение, внезапно приложенное
к бесконечной цепной схеме
Внесём в уравнение (9.91) взамен гиперболических синуса и
косинуса экспоненциальные функции и положим, что N -> оо. Пере-
ходя к пределу, получим новое уравнение
СТ (s, п) == lim
ОО
П(8, 0)
e(N—n)9_e^(N-n)$ '
eW _ в~Х?
Г	и—«₽ р—(2N—п) ₽ 
= lim U(s, 0)' е
= U(s, 0) <?-»?, (9.93)
1-8-^
где Re (Р) > 0.
Таким же путём и при том же условии из уравнения (9.92)
получим*:
I(s, п) = YI (s, 0) е~<	(9.94)
'Уравнения (9.93) и (9.94) являются уравнениями изображении*
напряжений и токов в бесконечной цепной схеме. Мы пришли бы
к тем же результатам, если бы стали рассматривать бесконечную
линию, разомкнутую на конце.
Из уравнений (9.93) и (9.94) следует, что
и (s, п +1) __ 1 (S, п +1) = g
U (s, п) — I(s, п)	*
Из этих отношений вытекает, что новая переменная В, введён-
ная в уравнения (9.87) и (9.88), не
Фиг. 152. (п + 1)-е звено искусственной
длинной линии без потерь.
зависящая от порядкового но-
мера п, является в общем
случае функцией переменной s
и что от неё зависит распре-
деление возмущения вдоль це-
пи. Поэтому она называется
функцией распространения.
Продолжение анализа тре-
бует уточнения структуры це-
пи и формы кривой напряже-
ния или тока, приложенных к зажимам с порядковым номером п = 0.
Пример. Пренебрегая потерями, предположим, что каждый Т-образ-
ный четырёхполюсник —звено искусственной линии передачи — состоит
из элементов, показанных на. схеме фиг. 152, и что к зажимам в начале?
линии (п = 0) внезапно прикладывается единичное напряжение.
Тогда
u(t,
Ls .
2 ’
*1 =
*2 =
1
Gs ’
Поэтому
§ 20]
ЕДИНИЧНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
351
где
_L(.! + £)2i = |y,J + rt
Pi = х+	[(«2 + 4) + s V^T?j =	(К^+У-М)2;
e-«? _ pn - J_ =	1	=	t2"_____
P? . (*+ -р.г-1)»	(/g2 + Ta + s)2re-
Так как
tT(S, 0) = l,
то из уравнений (9.93) и (9.94) следует, что
*,2и
и (S, п) =----—4=-----------;
£(У$2-1~ т2 + $)2?г'
I («, и) = --- —...	2^L=:--------=-- .
Ls /в3 _|_ -,2 ( ys1 _j_ 72	8)2»
(9.95>
(9.96>
Обратное преобразование уравнений (9.95) и (9.96) ставит перед нами
новую, до сих пор ещё не рассматривавшуюся задачу, а именно, задачу
обратного преобразования иррациональных функций. Несмотря на то, что-
каждое звено схемы составлено из элементов с сосредоточенными по-
стоянными, для изучения в целом всей схемы, состоящей из бесконечно*
большого числа последовательно включённых одинаковых звеньев, необхо-
димо рассмотреть систему бесконечно большого числа однотипных интегро-
дифференциальных уравнений, которая приводится к двум разностным
интегро-дифференциальным уравнениям (9.79). Рассмотрение этих уравне-
ний приводит к изображениям тока и напряжения, являющимся иррацио-
нальными функциями.
Оригиналы, соответствующие изображениям, представляемым иррацио-
нальными функциями, о которых будет говориться в следующем параграфе,,
содержат функции Бесселя, Мы воспользуемся результатами следующего
параграфа для того, чтобы завершить решение этого примера. С их помощью*
могут быть получены следующие результаты: мгновенные напряжения и
токи в звеньях выражаются формулами
t .
и (t, n) (= ) 2-1 Г-4-4----------1 (= ) 2и f At (9.97);
К	Ls(]/s2+.p + 8)2» J	J f >	\ •*' f
0
где / > 0; n ^5 0;
t
i (i, H) (= ) 8-1 [---- . . 2— 2(7-— -----]( =) — f J2ll M) dt, (9.98>
LZs yy-f-s2 (/t2 + s’- + s)2^Jv	’LJ 2«u' f
0
где t 0.
3J52	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. IX
§ 21.	Изображения функций Бесселя целого порядка]
Иррациональные функции 2[w(f, та)] и 8 [г (t, та)], полученные
в предыдущем параграфе, слишком сложны для непосредственного
исследования. Поэтому в первую очередь необходимо найти ори-
.гинал, соответствующий простой иррациональной функции от s.
Эта простая функция составит вместе с её оригиналом такую пару
взаимно соответствующих функций, из которых затем можно будет
нолучить пары более сложных функций, включая. и те, которые
необходимы для решения ранее поставленной задачи.
Найдём оригинал, соответствующий простой иррациональной
•функции (sa-f-a9)-’/» при вещественном а, предварительно разложив
её в ряд по убывающим степеням s:
(9.99)
Допуская законность изменения порядка бесконечного сумми-
рования и обратного преобразования Лапласа, на основании фор-
мулы 10 таблицы XIII можно написать:
^-1Г 1—1 f=3)! _	+_ g -М*
[у*52_|_а2]^ 7	2-2! 1 22 - 2!4!	22.316!
х=з1	(*02 i (а04	(«О6	I
1	3 22 ’ 22 • 42	22 • 42 • 62 *
(9.100)
Получившийся ряд представляет собой функцию Бесселя пер-
вого-рода нулевого порядка, обозначаемую jQ (a, t) [17]. Можно
доказать, что О действительно является оригинален, соответ-
ствующим функции	т. е. показать, что изображение
функции J0(af) Равн0 ($2+а2)“1/э- Последнее легко видеть из
известного соотношения [17]:
f J’(at) e-s* dt = . L-=
.1 0Л ’	/s2_|_a»
при о > О,
(9.101)
Метод разложения функции от s в ряд и последующего преобра-
зования его членов в соответствующие функции от t достаточно
эффективен в тех случаях, когда другие более простые методы
обратного преобразования оказываются несостоятельными. Метод
§ 21] ИЗОБРАЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ БЕООЕЛЯ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА	353
разложения в ряд особенно полезен, если получившийся в резуль-
тате ряд с членами, зависящими от t, может быть отождествлён
с одним из рядов, свойства которого известны и значения которого
заранее сведены в таблицы или представлены графиками. Если же
получившийся ряд не может быть отождествлён ни с одним из
известных рядов, но можно обнаружить его сходимость или другие
асимптотические свойства, то он может быть использован для
численных подсчётов, хотя они часто весьма трудоёмки. К счастью,
при исследовании конечных систем с сосредоточенными постоян-
ными обычно не приходится прибегать к методу разложения в ряд.
Он может оказаться необходимым лишь для преобразования задан-
ной функции, а также при выполнении обратных преобразований,
дающих вынужденные решения.
Из полученного соответствия
8 Ро («<)] =	2	(9.102)
у s* -f- а2	4	7
можно получить аналогичные соответствия для других пар функ-
ций, если применить к уравнению (9.102) : 1) теоремы о функциях,
допускающих преобразование Лапласа, и 2) рекуррентные формулы,
связывающие простую функцию Бесселя нулевого порядка с функ-
циями Бесселя высших порядков.
Применив теорему 6 (о дифференцировании по вещественной
переменной) (см. § 2 главы V) к уравнению (9.102), получим:
8 [4 («О ] = s8 Ро («0] - (0)-
Воспользовавшись известным соотношением между производной
функцип Бесселя нулевого порядка и функцией Бесселя первого
порядка и заметив, что
Jo(O) = l,
получим:
S S — У S2 ]- а2
p.S2+«2

Избавляясь от иррациональности в числителе, приходим к оконча-
тельной формуле
g р ред =	при а > 0,	(9.103)
у S2 -f- а2 У 4- а-)-
дающей изображение функции Бесселя первого порядка.
Функция Бесселя м-го порядка при целом неотрицательном зна-
чении п удовлетворяет, как известно, дифференциально-разностному
уравнению
23 Зак. 1977. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
354	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. IX
Здесь применено условное обозначение порядка функции с по-
мощью подстрочного индекса взамен обычного для разностных
уравнений написания независимой переменной в скобках рядом
с символом функции; таким образом, следует считать, что
Jn(at) ==J(at, п).
Это дифференциально-разностное уравнение второго порядка
может быть решено относительно	с помощью изложен-
ного выше метода преобразования разностных уравнений. Однако
в данном случае проще использовать это уравнение в качестве
рекуррентной формулы.
Понижая порядок функций Бесселя на единицу, получаем урав-
нение
Jn («О = Jn-2 («О - 2	•	(9 .1 04)
Полагая здесь п — 2 и выполняя прямое преобразование Ла-
пласа по отношению к переменной t, пишем:
Применяя к последнему члену теорему о дифференцировании
по вещественной переменной и замечая, что J1(0) = 0, получаем:
ег № («0] =	~ Ш («0]+о =
__	1_______________2 s___________
~‘ У-s2-[-a2 Vs2 4-a2(s+ Уs2 + a2) —
a2
—	<, /--: „ч при о > 0.	(9.-105)
У>2 + a2 (s-J-	4-a2)
Повторяя этот приём, можно получить общую формулу
'ЛЛг(аО]— yg2_|_a2^+ yg2_|_a2)n
при 5 > 0 и п—1, 2, 3,...	(9.106)
Для того чтобы найти соответствие между оригиналом и изо-
бражением относительно переменной t, использованное в формуле
(9.98), определяющей закон нарастания тока в ячейках цепной
схемы, следует применить теорему 7 об интегрировании по веще-
ственной переменной [см. формулу (5.8)].
На основании этой теоремы из уравнения (9.106) получаем:
« Г f Jn (al)dt\ =--—=——=—
U " j S V«2+aa(«4- /s2+«2)'!
ври o>0 и w = 0, 1, 2, 3,...	(9.107)
§ 22] ПЕРЕХОДНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ОБМОТКЕ ТРАНСФОРМАТОРА 355
Другое разностное уравнение, связывающее функции Бесселя
делого порядка, таково:
-^- = 2^Ня-1(«0 + ^+1 («0].	(9.108)
Используем его в качестве рекуррентной формулы так же, как
было использовано уравнение (9.104). Применяя к нему прямое
преобразование Лапласа при значении «=1, получаем:
2 [*^] = Т I2 [ОО] + 2 R2 («0]} =
а Г 1	.	а2	”| _
21У*524-а2	У$2 -f- а2 ($+ Vs2 -{-а 2)2J
=-------Д. при о > 0.	(9.109)
Повторяя этот приём, приходим к общей формуле
8	-1 = -----при о > 0 и п = 1, 2, 3,...	(9.110)
L t J ($+ /$2+а2)п 1	'
Для того чтобы найти соответствие между оригиналом и его
изображением относительно переменной t, использованное в фор-
муле (9.97), которая определяет закон нарастания напряжения
в ячейках цепной схемы, необходимо опять применить теорему 7а
об интегрировании по вещественной переменной [см. формулу (5.8)].
На основании этой теоремы из уравнения (9.110) получаем:
t
q[	=________«w
У	J $($+ Vs2 + a2)n
при o>0 и w=l, 2, 3,...	(9.111)
Этим путём могут быть получены некоторые дополнительные
соответствия между выражениями, содержащими бесселевы функ-
ции, и их изображениями.
§ 22. Переходные напряжения в эквивалентной схеме обмотки
трансформатора
Рассмотрим в качестве последнего примера применения раз-
ностных уравнений задачу о распределении переходных напряже-
ний в цепной схеме, являющейся приближённой эквивалентной
схемой обмотки трансформатора. Этот пример позволит выяснить,
какие затруднения, могут возникать в связи с применением метода
разложения на простые дроби, применяющегося для облегчения
обратного преобразования Лапласа.
В действительности обмотка трансформатора или электрической
машины представляет собой систему с распределёнными постоян-
23*
356	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИИ	[ГЛ. IX
нымн. Однако для приближённого анализа процессов, происходящих
в обмотке в результате внезапного изменения напряжения на её
зажимах, удобно заменять эту систему с распределёнными постоян-
ными приближённой эквивалентной схемой с сосредоточенными
постоянными, состоящей из конечного числа ячеек. Анализ такой
эквивалентной цепи обычными приёмами становится чрезвычайно
громоздким, если число ячеек велико, даже при пользовании изло-
женным в § 9 главы VI методом определения корней характеристи-
ческого уравнения с помощью определителей. Когда число ячеек
равно или больше десяти, решение задачи становится практически
невыполнимым. С другой стороны, та же задача решается сравни-
тельно легко с помощью разностных уравнений. При этом удаётся
легко подсчитать величину каждой пространственной гармоники,
а также определить закон пространственного распределения мгно-
венного напряжения и закон изменения во времени напряжения
какой-либо точки обмотки относительно земли.
На фиг. 153 изображена эквивалентная схема обмотки. L озна-
чает индуктивность катушки, CY— ёмкость между соседними ка-
тушками, а С2— ёмкость катушки по отношению к земле.-Все
катушки, играющие роль элементов обмотки, считаются тождест-
венными.
Цепная схема, рассмотренная в § 18, была изучена с помощью
уравнений, составленных по методу контурных токов. Уравнения
же для эквивалентной схемы обмотки будут составлены по методу
узловых напряжений. Искомыми функциями времени и порядко-
вого номера будут служить узловые напряжения u(t, п).
Пусть
2^ [и (/, ?0] == U (s, п), п = 0, 1, 2,. .., 2V.
Собственная функция проводимости для узла с порядковым но-
мером п равна
*Уо = (2Ct 4* С2) $ 4- Jhr *
Взаимная функция проводимости для двух соседних узлов равна
У1 Cis + уу •
§ 22] ПЕРЕХОДНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ОБМОТКЕ ТРАНСФОРМАТОРА 357
Уравнение изображений напряжений, написанное для (7^-j-1)-ro
узла, пмеет вид
— ViU (s> п-\-2) -^' Уои (s,	—UiU(s, п) = 0. (9.112)
Оно может быть упрощено:
U(s, п-]-2)—2W(s,	(s, >0 = 0,	(9.113)
где
) = Jk =	. 51+I2 •
2?/i	* s2 + °2 ’
O =	2	.	2 = 1
L (2C\ бу ’ 1jC\
Уравнение (9.113) является разностным уравнением второго
порядка, получившимся в результате прямого преобразования Ла-
пласа (преобразования £0, применённого к разностно-интегро-диф-
ференциальному уравнению, составленному для токов, сходящихся
в узле цепи с порядковым номером *& + !, ври условии, что на-
чальные значения напряжений и токов равны нулю.
Для того чтобы уравнение (9.113) могло быть вторично подвер-
гнуто прямому преобразованию Лапласа по отношению к перемен-
ной п (преобразованию £м), необходимо предварительно расширить
определение функции U(а, п) так, чтобы переменная п могла при-
нимать не только целые, но и произвольные неотрицательные зна-
чения. Это расширение может быть осуществлено при помощи
интерполяционной ступенчатой функции f U (s, п), проходящей че-
рез те же точки, через которые проходит и функция J7(s, п), начи-
ная с ^ = 0. Тогда уравнение (9.113) принимает вид
J U(s, 7^ + 2) — 2XJ U(s, ^+1)4- J £7(s, *0 = 0. (9.114)
Обозначим
%nlIU(s,	w):
Преобразование уравнения (9.114) приводит к новому уравнению
w) — U(s, O)P(w) — U(s, l}e~wP(w)] —
— 2X^[U(s, w)—U(s, O)P(w)] 4~U(s, w) = 0. (9.115)
Решив его относительно U(s, w), получим:
11 (s, = U{s'	И- (9л 16)
Если обозначить ? = ew, то корни характеристического уравнения
р2 —2лр + 1 ^О
будут равны:
р2'=	== k — J/X2 — 1 = e~w‘ = -К.
358	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IX
Заменив гиг более употребительным символом р и отметив, что
л = ch Р,
]А2—1 =sh₽,
перейдём к разложению правой части уравнения (9.116) на про-
стые дроби. При этом воспользуемся тождествами:
_______1_____=	1 ..- Г-!________1_V
(р — Pi) (р — ?з)	2 У)Л —1 \р —Р —р2'
_______р-2Х ___________1___р2___________pl
(р —Pi) (р-р2) “	2 Ухг = 1 \ р - Р1	р - рJ ’
Тогда уравнение (9.116) может быть переписано в виде
U (s, w) =	(— -----------—) ewp _
2 У Х2 —1 \ е™ — Р1	еи> — р2 )	7
------------------------^1—) вюР (го).	(9.117)
2 У?.2 — 1 \e'o— Р1	e«> —р2/
Так как
о~1 Г ewP(iv) 1 ,	. и
( = )J Pfc
при рк = const., то обратное преобразование уравнения (9.117) даёт:
Z7(s, 0)	рТ-1-р”-1
2
г тт,	Г^-Рп2
J и(s, ri) (==) ----- -  J —---- , -
v	1	2	УI2 — 1
при
Вспомнив, что pj =е?, р2=е-₽, получим:
Р» _ р« е»з _ е-»з
. = sb :
.	Li	Li
0«—1 рП—1	е(«—1)3 е—(п—1)р
----о—s-----------------------= sh {п — 1) р.
Zr
(9.118)
2
Подставив эти выражения в уравнение (9.118), ограничившись
целыми значениями' п и опустив поэтому символ J, приходим
к уравнению, определяющему изображение напряжения относительно
земли узла с порядковым номером и:
U{s п)	U(g’ sh ~ r (s’ °) sh (го—1) р (9.Ц9)
sh
Для того чтобы получить эквивалентную схему обмотки, зазем-
лённой на одном конце, предположим, что узел с порядковым
номером У заземлён. Тогда го (t, N) == 0. Отсюда следует, что
U(s, N) — о. Применив это условие к уравнению (9.119), получим
О = U (з, 1) sh Лф — U(s, 0) sh (N — 1) р,
§ 22] ПЕРЕХОДНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ОБМОТКЕ ТРЯНОФОРМАТОРА 359
откуда
и(а, 1) = и (3, 0)	•	(9.120)
Подставив найденное значение U (s, 1) в уравнение (9.119),
получим *):
U (s, п) = U (з, 0) • -sh-l2y- Ц 'sh^ ~ S11J^ •sh (w ~1} P. =
v	\	sh^-shY^
= U(s,	(9-121)
Если напряжение, приложенное к узлу с порядковым номе-
ром п = о, равно единичному скачку u(t, 0) = l(f) и V(s, 0) =
= 8 [1 (*)] = 1/з, то уравнение (9.121) принимает вид
• и(з, п) =	i(-\ •	(9.122)
4 9 J s • sh Yp sBj (s)	7
Для применения обратного преобразования Лапласа к функции
U ($, п) необходимо разложить ее на простые дроби. Характеристи-
ческое уравнение
shjVp.= O
удовлетворяется при
N$k = ±jkn; к —О, 1, 2, 3, ...
Значения s, соответствующие этим значениям $к, могут быть найдены
из уравнения для £
X — сЬр = О,
02 s2 Y2 * 4 , /  • 7vX \
.f>‘si + c2	Ch( — NJ °’
(-J —cos^)s24-c2(l—COS^-) = O. (9.123)
Отсюда
/1 co„ кг.
~2------jr s	(9.124)
"^2 COS дг
где к = 0, 1, 2, ..2V.
*) Так как
«11 (7V—1) £ . sh — shy8-sh(n—1) р ==
== sh fi • [ — ch TVp • sh -{- sh N? chn£] -j-
4- ch g • [sh * sh n3 — sh Лф • sh n?] = sh ? • sh (1Y — n) p. {Прим, nepee.)
360	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. IX
Необходимо сделать несколько замечаний по поводу этого вывода:
1.	Знаки ± перед аргументом под знаком cos были опущены,,
так как косинус — чётная функция.
2.	Наибольшее значение к равно N, ибо при к, большем чем iV,
иных корней, кроме первых У, нет.
3.	Так как при so = O функция ^.(s) в уравнении (9.122) также
обращается в нуль, то дробная функция A (s)/sB1 (s) имеет в начале
координат полюс первого порядка.
Уравнение (9.120), правая часть которого разложена на простые
дроби, может быть записано в виде
N	.	N	*
U(s л<°) 4 V । У -gfc _
s=i	s=i
N .	*	.	»
Л(О) , у № +
(9.125)
где
Здесь *)
4(0) _ N — n _
Bl (0) “ У
(S ~ >*) A (0
sB1 (s)

sh (У — ») P
sAchAp-^
CLS
Так как

q2	, | ч2
P — Ar ell X И A = -2 • „Т 2' >
TO
dp _ dp dX _	1 л J2 . (s2 + c2) 2s —2g (s2 + 72)
ds — d\ ’ C?S —	—1 * 72 ’	(S2 + S2)2
°2 - °2
—5- — A	_	“5- — ch 3
__ 2s t2 _____________________ 2s 'p
УZ3 — 1	s2 -f- a2 s2 4“ °2 sh 3
dA	dA d}
X(0) "dT d$ ds
J Bt(0)	™0 dBj	d?
ds	dp ds
dA
lim
?->o P-Pl
dB
(Прим, nepee.)
§ 22] ПЕРЕХОДНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ОБ НОТКЕ ТРАНСФОРМАТОРА 361
Если л’ принимает значение sk, р принимает значение Сле-
довательно,	♦
г <1	_ — 2ш1 _	=
[s <fej8=~	' sh±>L
a2 k~ / kn\ a2 А’тс
—— COS— 2 1 —COS-ту —COS^y
__	72 N_________ \ N J	N
““ a>?—a2 * • • ±k~ ~	. ±^'“
k ^sin-y- i —p
Затем
Г sk ft 1	__sh Nfik • ch nfik — ch N$k - sh n$k_
L ch Лф	chNfo;
Следовательно, коэффициент Kk равен
Д з2\/. . 4- 7ctz\ /	. . 4- нктЛ
Л*~ ov Л ^V«*	~
2xV (1 - cos	cos у)
Д с2 \ . кк . пкт:
1---о sm Т? • sin
__	\	у2/ N______Лг
ОЛ-Д kn\fa2 Ь:\*
2Л^_С08_д__С08_^
Двойной знак ± повсюду опущен, ибо синус — нечётная функ-
ция, а произведение двух нечётных функций—чётная функция.
Так как коэффициент Кк оказался вещественным числом, коэффи-
циент lik, сопряжённый Кк, ему равен, т. е.
К = Кк = Кк.
Поэтому уравнение (9.125) упрощается и принимает вид
Наконец, обратное преобразование функции U (s, п) по отно-
шению к переменной s (т. е. преобразование 8"1) даёт для t^Q
и О С п N закон распределения мгновенного напряжения не
узлам эквивалентной схемы обмотки в виде
к
U(t, »)( = )(1 — ^) + ^2^cosa)fcf, (9.127)
к = 1
362
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. IX
где
1 ——
./2
27ГЙ =----—
п
кп . пкт.
sin^’sm7F
/ЬтсХ/а2 кк\‘
1-eos^^-cos^j
(9.128)
Здесь нет необходимости решать вопрос о законности изменения
порядка выполнения обратного преобразования и суммирования,
так как число суммируемых членов конечно.
Характеристические угловые частоты определяются на основании
формулы (9.124):
/1 — cos ~
7г = 0, 1, 2, ..., N. (9.129)
-р — COS—
Т2 Л
Значению к = 0 в уравнениях (9.125), (9.126), (9.127) соот-
ветствует постоянный член 1—(n/N), не зависящий от времени.
Уравнение (9.127) даёт закон изменения во времени мгновен-
ного напряжения относительно земли любого узла эквивалентной
<5хемы обмотки трансформатора, один конец которой заземлён,
когда к другому jtomy приложено единичное напряжение, цри
условии, что вначале токи и заряды равнялись нулю.
Хотя это решение справедливо при любом конечном числе
узлов, его преимущества по сравнению с любыми другими реше-
ниями для подобной эквивалентной цепной схемы, содержащей сосре-
доточенные постоянные, особенно значительны, когда число узлов N
велико.
ЗАДАЧИ
9.1.	Если заём в 300 рублей погашается 20 ежемесячными равными
взносами по 19 рублей 65 копеек, то какова процентная ставка на неопла-
ченную часть суммы займа? Дать ответ, решив сначала составленное для
-этой задачи разностное уравнение * *).
9.2.	Первого числа каждого месяца (исчисляемого в 30 дней каждый)
в годовой фонд отчисляется сумма в с рублей. На фонд ежедневно начи-
сляются сложные проценты из расчёта г рублей на рубль (г — десятичная
дробь). Выразить этот расчёт разностным уравнением. Исходя из решения
этого уравнения, найти величину фонда к концу шестого месяца, если
на 1 января он составлял (включая взнос на 1 января) г- рублей.
9.3.	а) Ссуда погашается равными ежемесячными взносами, состоящими
из сумм погашения и сумм по процентам на неоплаченную часть ссуды.
Найти неоплаченную часть ссуды после первого числа каждого месяца,
^если первоначальная сумма равна месячная процентная ставка равна г
(г — десятичная дробь), а ежемесячный взнос равен с.
б)	Если эта ссуда выдана на 20 лет из расчёта 5% годовых, то каков
неизменный ежемесячный взнос на каждые 1000 рублей первоначальной
-суммы ссуды?
*) Решение, составленное П. И. Зубковым, смотри в конце книги,
*стр. 513. (Прим, ред.) ,
ЗАДАЧИ
363
9.4.	Предприятие получает на протяжении 20 лет ежегодный доход от
продажи своей продукции, выражающийся формулой А (сх — dx), где А —
постоянная величина, с и d— также постоянные величины, обе меньше
единицы, а х— порядковый номер года, исчисляемый от начала 20-летнего
периода. 1 января каждого года предприятие перечисляет в свой запасный
капитал часть дохода от продажи продукции за истекший год, выражаю-
щуюся правильной дробью Запасный капитал приносит прибыль из рас-
чёта г (г — десятичная дробь). Чему будет равен запасный капитал
к концу 20-летнего периода, если его первоначальная величина равна р.?
9.5.	Завод продаёт машины с трёхмесячным гарантийным сроком ра-
боты и берёт на себя обязательство немедленно заменять новой машиной
каждую ранее проданную машину, оказавшуюся неисправной до истечения
гарантийного срока. При этом на каждую машину, отпускаемую взамен
дефектной, также даётся трёхмесячная гарантия. Предполагается, что из
всего количества машин, проданных за текущий месяц, в течение первого
следующего месяца будет возвращено 6%, второго — 3% и третьего —1°/0.
Если предполагается продавать ежемесячно а машин, то каково будет отно-
шение числа продаваемых ко всему числу отпускаемых заводом машин?
9.6.	Если количество ежемесячно продаваемых машин будет возрастать
по закону а [1 — (0,9)ж], где а — постоянное число, а х— число месяцев,
протекших с первого дня их продажи, то как должна быть запланирована
программа производства для того, чтобы покрыть программу отпуска
(т. е. продажи и возмещения дефектных машин)? Остальные условия, как
в задаче 9.5.
9.7. Показать, что
а) 8 [ J" sin fh] =
с • sin 8 • es • Р (s)
(<?s — c cos Э)2 + (c sin Ю2 ’
(es — c cos p) esP (s)
(es — c cos ₽)2 + (c sin £)2 ‘
6) 8 [ J cx cos
9.8.	Решить следующие разностные уравнения:
a) J У (® +1) — 2 Г У (®) = 5 J sin ~
если 2/ (0) = 3;
б) А Г 2/(«) = 10 J»-(0,8)*,
если у (0) = — 2;
В) J?/(« + 2)-3j2/(® + l) + 2J?/(«) = 10r (0,5)*
Фиг. 154.
если 1/ (0) = —4 и у (1) ~ —2.
9.9.	На фиг. 154 изображена схема лампового генератора с положи-
тельно заряженной сеткой, рассчитанного на генерирование колебаний
с частотой 1000 мегагерц (при
низком коэффициенте полез-
ного действия). Как известно,
в генераторах столь высокой
частоты время, в течение ко-
торого электроны пролетают
межэлектродное пространство,
играет роль управляющего фак-
тора. Внешняя цепь генера-
тора, представляющая собой
трёхпроводный фидер с парал-
лельно расположенными про-
водами, настроена в резонанс
с колебаниями электронов.
Рассмотрим группу электронов, покинувших катод за некоторый крат-
кий промежуток времени. Все электроны этой группы получают ускорения.
364	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. IX
направленные к сетке лампы, под действием её положительного потенциала.
Некоторые из них попадают на сетку и образуют так называемый сеточный
ток. Остальные, обладающие достаточно большим количеством движения.
проникают сквозь сетку и движутся по направлению к аноду. Однако это
движение происходит с замедлением под действием поля, направленного
в обратную сторону. Некоторые из этих электронов попадают на анод и
образуют постоянную составляющую анодного тока. Остальные электроны
из числа прошедших сквозь сетку останавливаются, не дойдя до анода,
меняют направление движения на обратное и движутся с ускорением по
направлению к положительно заряженной сетке. Некоторая часть этих
электронов также задерживается, попадая на сетку. Те же из них, кото-
рые проходят сквозь сетку, замедляются при подходе к катоду. Этот цикл
Фиг. 155.
может повторяться многократно до тех пор, пока все электроны этой
группы не будут перехвачены сеткой или анодом.
В то время, когда описанные явления происходят с этой группой элек-
тронов, другие группы электронов продолжают покидать катод. По резонанс-
ному контуру (внешней цепи и внутренней цепи
лампы) протекают индуцированные токи, а ко-
лебания падения напряжения между сеткой и
анодом синхронизируют колебания электронов.
' Электроны, покидающие катод в течение небла-
гоприятной части периода колебания синхрони-
зирующего напряжения, не в состоянии уча-
ствовать в описанных колебаниях. В резуль-
тате можно считать, что «полезные» электроны,
испускаемые катодом, образуют своего рода
импульсы, состоящие из а электронов каждый,
причём в течение каждого периода возникает по одному импульсу.
По какому закону происходит изменение числа электронов, колеблю-
щихся в пространстве между сеткой и анодом, от одного периода к дру-
гому во время установления этих колебаний?
Можно считать, что при каждом прохождении группы электронов сквозь
сетку последняя захватывает 50% их количества. Количеством электронов,
захватываемых анодом, можно пренебречь. Число электронов в пространстве
между сеткой и анодом до синхронизации колебаний примите равным Ъ.
9.10.	На схеме фиг. 155 изображена цепь, замыкаемая и размыкаемая
рубильником К. Рубильник остаётся замкнутым в течение секунд и
разомкнутым в течение t2 —секунд, причём эти операции повторяются
периодически в той же последовательности. К началу w-го периода на-
пряжение между обкладками конденсатора С равно у (п), а ток в катушке L
равен р (а). Требуется:
а)	Показать, что эти начальные значения у (п) и р (и) связаны между
собой системой разностных уравнений первого порядка:
Г 7 ('> +1) — «1 Г1 («) + h J Р О) = ci>
-Г 7 (n + 1) «2 -Гр (п) 4“ Ь2 J" 7 (,г) = с2>
где а3 Ъ и с — постоянные коэффициенты, определяемые при решении диф-
ференциальных уравнений для n-го периода. Предполагается, что изобра-
жённая на схеме цепь—колебательная цепь как при разомкнутом, так и
при замкнутом рубильнике.
6)	Определить у (п) и р (п), предположив, что
7 (0) — 0 и р (0) = 0.
9.11.	В устройствах, предназначенных для автоматической регистрации
перенапряжений с помощью катодного осциллографа, часто применяются
ЗАДАЧИ
365
делители напряжения на сопротивлениях. Делитель напряжения состоит"
из высокоомного сопротивления, присоединённого одним концом к источ-
нику высокого напряжения, а другим — к короткому кабелю, противо-
положный конец которого заземлён через соответствующее сопротивление.
Если кабель и заземляющее сопротивление отрегулированы надлежащим
образом так, что не происходит отражения волны перенапряжения от
места стыка кабеля и заземляющего сопротивления, то они совместно
могут рассматриваться как некоторое активное сопротивление Л2, вклю-
чённое между землёй и зажимом низкого напряжения делителя напряже-
ния. Осциллограф записывает падение напряжения в сопротивлении
с некоторым запаздыванием, обусловливаемым
кабелем.
Когда приложенное перенапряжение меняется
с большой скоростью, тогда падение напряжения
распределяется вдоль делителя напряжения
не строго пропорционально сопротивлениям его
элементов, так как существуют распределённые
ёмкости как между элементами делителя, так и
между ними и землёй. Если заменить распреде-
лённые постоянные сосредоточенными, то можно
использовать эквивалентную схему, состоящую
из N звеньев, образованных из элементов R и С,
так, как показано на фиг. 156.
Найти напряжение, появляющееся на сопроти-
влении В2 после того, как к делителю напряжения
было приложено постоянное напряжение 17. Огра-
ничиться рассмотрением напряжений в течение
только первых 5 секунд. Можно получить прибли-
жённый результат, если при вычислении тока
утечки в землю через зажим низкого напряжения фиг. 156.
делителя сначала пренебречь величиной сопро-
тивления .Й2, а затем умножить полученный
результат на Волее точный, но вместе с тем труднее получаемый ре-
зультат требует учёта сопротивления Н2 при вычислении тока утечки.
Постоянные эквивалентной схемы таковы:
~ R = 103	Т?2 = 40 ом;
л
Ci = 40-10-6 микрофарад,
С2 = 10 • 10~6 микрофарад,
N = 10.
9.12.	При сопоставлении экспериментальных результатов с результа-
тами расчёта, относящимися к исследованию перенапряжений в установ-
ках высокого напряжения, необходимо исследовать влияние выбора экви-
валентной схемы делителя напряжения на результаты расчёта. На фиг. 157
показаны три различные эквивалентные схемы одного и того же делителя
напряжения. Вычислить мгновенное напряжение узла с порядковым но-
мером п = Лг—1, т. е.	в каждой из трёх изображённых схем,
когда к узлу с порядковым номером п = 0 приложено постоянное напря-
жение U, Ограничиться рассмотрением только первых пяти секунд. По-
стоянные, показанные на схемах, равны
R == 103 ол;	L = 4 • 10“3 миллигенри,
Q = 8 • 10“6 микрофарад, Лг = 10.
Сх =* 30 • 10“6 микрофарад,
366	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИИ [гл. IX
9.1*3. Для получения характеристического уравнения системы доста-
точно приравнять нулю определитель, составленный из коэффициентов,
входящих в уравнения изображений искомых функций этой"системы.
Рассмотреть систему, состоящую из У последовательно соединённых то-
ждественных звеньев. Её определитель JV-ro порядка имеет вид
^10	о... о	о	О
2*1	0 ... О	О	О
О г0 гх . . . О О О
(s, п).
ООО 0 ... г0
ООО 0 . . . О zY г0
Здесь г0 = г0(Д означает собственную функцию сопротивления каждой:
ячейки системы, a —	— взаимную функцию сопротивления, общую-
для двух расположенных рядом, примыкающих друг к другу ячеек.
Разлагая этот определитель по элементам первого столбца или первой;
строки, легко найти, что
I) (s, п 4~ 2) = z$D (s, п + 1) — -ft (s, н)»
причём
7) ($, 0) = 1 и I)(s, ,1) = г{
ЗАДАЧИ
367
а) Решить это разностное уравнение относительно D ($, п) и показать г
что характеристическое уравнение системы удовлетворяется, если
— = 2 cos • при к = 1, 2, ...,
JV +1	1
Характеристические значения могут быть найдены из этой системы урав-
нений.
б) Найти этим методом характеристические значения для систем,,
изображённых на фиг. 158, а и 158, 5. На фиг. 158, Ъ изображена упругая
невесомая нить. На ней укрепле-
ны N равных масс М, располо-
женных на равных расстояниях а
друг от друга и от её концов.
Массы могут совершать попереч-
ные колебания в горизонтальной
плоскости. 'Натяжение нити Т
можно считать постоянным, если
перемещения масс малы.
9.14. На фиг. 159 изображена
схематически динамическая си-
стема, представляющая собой
шестицилиндровый двигатель
Дизеля с маховиком, вращаю-
щий электрический генератор.
Роторы с моментами инерции J
служат эквивалентами принад-
а)
Ь)
Фиг. 158.
лежащих системе вращающихся
масс и масс, совершающих возвратно-поступательное движение. Маховое-
колесо и генератор объединены в один общий ротор с моментом инер-
ции
а) На ротор 1 действует внешний вращающий момент т;, меняющийся
по синусоидальному закону с угловой частотой (oj. Найти отношение мо-
мента, скручивающего отрезок вала между роторами 4 и 5 к амплитуде
внешнего момента т.
Фиг. 159.
б) Составить характеристическое
уравнение системы.
в) Найти характеристические зна-
чения.
Постоянные (в единой системе еди-
ниц) равны:
J = 5 • 103; К = Ю9;	= 70.
J2 = 105;	If2 = 5 • 108.
Для облегчения решения задачи следует предварительно начертить,
схему механической цепи системы, от неё перейти к аналогичной элек-
трической схеме, воспользовавшись системой аналогий, основанной на
принципе:	и, наконец, подразделить эту схему' на три части:
1)	цепную схему, состоящую из тождественных Т-образных звеньев,.
2)	источник напряжения с последовательно включённым элементом на
её входе,
3)	нагрузку, представленную элементом, включённым на выходе цеп-
ной схемы.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
СВОДКА ТЕОРЕМ; ТАБЛИЦЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ
И ОРИГИНАЛОВ ФУНКЦИИ
А. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ
К ПРЕОБРАЗОВАНИЮ ЛАПЛАСА
Определение. Будем говорить, что вещественная функ-
ция f(t), однозначно определённая почти для всех вещественных
значений преобразуема по Лапласу, если при некотором
зегцественном числе а несобственный интеграл Лебега существует
и конечен, т. е. если
со	Т
f I f (о ।е  f । f (о ic я* dt <
/	Т->оо
О	л 8
(1)
Абсциссой абсолютной сходимости аа интеграла Лебега для
данной функции f(t) называется наибольшее значение нижней
границы совокупности вещественных чисел о, при которых удо-
влетворяется условие (1).
Теорема 1 о прямом преобразовании. Если функ-
ция f(t) преобразуема по Лапласу, то интеграл Лапласа (рас-
сматриваемый как несобственный интеграл Лебега)
т
f (0 е~* dt = lim f f (0 e~ sidt = F (s),
T->oo
(2)
где комплексная переменная s — сходится абсолютно для
значений Функция F(s) — аналитическая функция во всех
точках полуплоскости, для которых а > оа.
ПРИЛОЖЕНИЙ 1
369
Это функциональное преобразование кратко записывается сим-
волическим уравнением
й[/'(г)] = ^(«) при о>са.
Определение. Обратное преобразование Лапласа, обозна-
чаемое символом 2""1, определяется неявно с помощью уравнения
s-1[8[f(0]](=)/’(0.	(3)
Оно может быть также определено следующим образом: если
F(s) = 8 [/•(«)],
гго для значений /^>0
Обратное преобразование Лапласа может быть выражено в яв-
ном виде с помощью известных математических операций, как это
показано в следующих теоремах.
Теорема 2 об обратном преобразовании. Если
функция F(s) представляет собой изображение функции f (t),
то при с><за
C-f-Joo
j F(s)etsds( = для />0.	(4)
С—Joo
Теорема 3 о единственности изображения. Если
функция f(t) преобразуема по Лапласу и 2 [/*(/)] —F(s) при
□ > то её изображение F (s)— единственно.
Теорема 4 о единственности (в смысле Лебега)
оригинала. Если функция f(t) представляет собой оригинал,
соответствующий из^б/ азюе гию F(s), то функция f (t) един-
ственна в смысле Лебега, т. е. все другие оригиналы, соответствую-
щие F(s), равны функции f(t) почти для всех значений t^O.
Эта теорема кратко записывается символическим уравнением
2-4F(s)](==)/• (0 при
Остальные теоремы от 5-й до 21-й приведены ниже в таблице Б.
24 Зак. 1977. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
Б. ТАБЛИЦА СООТВЕТСТВИЯ ОПЕРАЦИЙ	со
№	Содержание теоремы	f (0 при t > 0	J’(s)	Стра- ница
5	Линейность	of (0 а — постоянная или перек	aF(s) генная величина, не зависящая от t и s Р!(в)±Рг(«)	149
6	Дифференцирование в вещественной об- ласти		sF(s)-f(0+)	150
6а	Умножение на s	если f (0 + ) — 0	sF (s)	299
7	Интегрирование в ве- щественной области		F(s) ^(ОЦ-) s 1	s	152
7а	Деление на s	t J f(t) di=f(-1)(i)-/'(~1)(O+) 0	s	300
8	Изменение масштаба	a — положительная постоя от t и s	aF (as) иная или переменная величина, не зависящая	254
	1			
ПРИЛОЖЕНИЕ i
				
9	Умножение в комплекс- ной области	t J* Л(*~'с) ЛОО	* ft(t) 0		256
10	Смещение в веще- ственной области	f (t — а), если при 0 < t < a — = с), если при — a<7<0 f(* + a) = O a — неотрицательное веще	e-esF(s) еаз F (s) 1ственное число	265
11	Смещение в комплекс- ной области	a — комплексное число с	^(s + a) F(s — a) неотрицательной вещественной частью	274
12	Вторая независимая - переменная	lim f(t, a) a — вторая переменная, не	lim F (s, a) Ct CLq > зависящая от t и s	282
13	Дифференцирование по второй независи- мой переменной	a — вторая переменная, не	i зависящая от t и s	293
Приложение i
Продолжение
№	Содержание теоремы	f(t) при £>0	^(s)	Стра- ница
14	Предельное значение	lim f(t) = lim sF (s), t -> oo	s -» 0 если sF(s)— аналитическая функция на мнимой оси и в правой полу- плоскости		294
15	Начальное значение	lim f (t) — lim sF (s) t -> 0	8 -> oo '		296
16	Дифференцирование в комплексной области		-j-Л») ds v '	301
17	Интегрирование в ком- плексной области	4f(i)	oo j" F(s)ds a	302
18	Интегрирование по второй независимой переменной	a J" f (*, fl) a— вторая nef	a J F (s, a) da a0 семенная, не зависящая от t и s	304
19	Умножение в веще- ственной области		C2+j0O f	(s — w) (w) dw = F± (s)® F2 (s) Z7V J C2—Joo при max (aol, aa2, -f- aa2) < a; aa2 c2 a — aa2	305
				
372	ПРИЛОЖЕНИЕ i
19а
Умножение в веще-
ственной области
у 4LMF9(5_Sft),
/j B'(S\	kh
;-=1	1 v Jr
.	A^(s)	j
если F± (s) = --p ; ;—рациональная алгеораи-
Х>1 (S)	I
ческая дробь с полюсами первого порядка ।
307
196 Умножение в веще-
ственной области
ft (О-МО
где
если Ift (s) — рациональная алгебраическая
дробь с полюсами высших порядков
308
20	Коммутативность опе- раций Re и Im	Re [f(i)] f (<) — комплексная функция
21	Смещение ступенча- тых функций	J f(i + l)
Re ТО]
Im ТО]
е*ТО~Н0)Р(*)Ь
где	Р (s) — S [р (t)],
р (t) = 1 (t) — l(t — 1) — единичный импульс
(0 при t < 0 1
1 (t) = <	} — единичная функция
I 1 при i>0 )
310
ПРИЛОЖЕНИЕ I	373
В. ТАБЛИЦА ФУНКЦИЙ И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ-)
№	Ffa	f(t) при *>0
0.11	л (0 В (5) Рациональная правильная дробь с полюсами первого порядка	 у л fa) V В'Ы й —1
0.21	A(s) В (з) Рациональная правильная дробь с полюсами высших порядков	v V	л-J sk*	1	1	1 2u (wft—у)!	6 ; ™i + ™2+ ••• + ™n = K k==l j—1 к • =	1	^~1 (s — sk)mk^ (s) k} (j-1)! L^-1 #fa J®=8fc' В fa = (8 - S1)OT1 (8 - 82)”\ .. (8 -8S)”X .. (8 - Snfn .
1.01	1	. 1 (t) = lim ——	*—— , импульсивная функция первого порядка а->о	л при t == 0
1.02	S	1" (t) = hm — 		—!——, импульсивная функция а-» 0	а второго порядка при 2 = 0
1.101	1 S	1 пли 1 (2), единичный скачок при t = 0
		
374	ПРИЛОЖЕНИЕ I
ПРИЛОЖЕНИЕ I
375
вещественные числа.
Продолжение
№	^(«)	f(t) при tf>0
1.118	<Z|8 4- q,q (s + <«)(« + т) (s + 8)	а2_-Я1д+д	Т2_д17 + ап	t (	68_at8+a0 (‘Г — a) (8 — а)	(a — t) (8 — T)	' (“ — 8) (T — 8) '
1.201	1 «2 + 02	у Sin 0/
1.2011	1 §2 — ^2	ish0«
1.202	S s2 _[_ p2	COS fit
1.2021	S 8? — p	cli fit
1.203	* + «0 «2+02	у V ay + 02 sin (0/ +Ф), 8 где Ф arc tg -L- a0
1.204	1 *(«2+02)	,	-i-(l — cos §0
		
ПРИЛОЖЕНИЕ I

со
—л
о
	/	1
1.205	« + «0	V °0 + ₽2 cos + 4), где 6 = arctg — " a°
1.207	s2 4- ats 4- do s(«2-H2)	~"pF V(% — P2)2 + o2?2 cos (₽/ + Ф), где <p==aretg- w «0— p*
1.210	« + «0 G’+«)(^ + ₽2)	— a	+ 1т / ®л "4“ ;+₽2 *-"+ p у	sm^+4), .	g	0 где <p = arc tg —	are tg — a0	a
1.214	s2 -|- ^is Ч- (s + a)(S2 + ₽2)	а2 —«г° + а0 _of 1 1/ (% — ₽2)2+«$2 . ,0. , n a24-pa °	। p |/	a« + ₽2	Sin(₽* + f), 1	x	«!₽	X P где <p = arc tg --_	— arc tg -^-
1.216	S ~T #0	 S (s + a) (,«2 4- 02)	an	a — (in	.	1 . / ai 4- g2 a₽2 । a (a2 -|_ pS) 6	^2 |/ a2 4. 02 C0S	'W’ Й	R где Ф = аге tg	arc tg — a
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Продолжение
! № !	4 ; F(s)	f(t) при
1.218	s2 + ajS + «о s(e+a)(s2+^)	«о о2-«!<* + % _ог 1 -J / (a0— f>3)3 + <$3	/(U , .. a?2	a (ofl 4- р») C	₽2 |/	a2 _]_ £2	cos (₽* + Ф)’ 1	,	x P где <Ь = агеtg	— arctg
1.225	-f- &18 CIq (s+a)(s + 7)(S2+p2)	a2—-«ta-j-ap	<,t , 7a —«it4-<?u	t (7_a)(a2+p2)	1 (a_7)(72 + p2)e 1- , 1 1/ («o-P2)2 + ^a . (R . ₽ У (a2 + g2) (72 + p2) Sin си в	e	в где <!> = are tg _r^2 arc tg £ arc tg j
1.229 ,	§3 Ц- ~|- ajS 4- (s + a)(s + f)(s2 + R	— as + oaa2—aia+a0 -«< . — T3 + «af2 — «if + »o „-ft i (T-«)P + ^)	1	(“-7)(72 + ^) -k 1 лГ(«o-«2P2)2 + E2(ai->)8 (at , .4 + ₽ V (a2 + P) (T2 + P2)”"' Sm (P + где «pzzaretg rv	. arctg— arctg — a0 —	a	T
	1	
378	ПРИЛОЖЕНИЕ I
1	1	1		
1.253	(s2+₽2)(«2 + A2)	cos fit — cos \t \2—£2
1.253а	[s2+(? + X)2j[S2+(₽-X)2]	sin U • sin fit JAp
1.258 j		s2 4- q-is -1- gp («2 -j- p) («2 -j- X2)	V («0 — P2)2 + «1₽2. .	V (a0 —x2)2+	. ? (X2_ Ю	S-n	+ W 4	x(82-TX2j	sin <k# + W’ ' где = are tg _ ₽2 ; ф2 = are tg __ x2
i । 1.262 •	ss _j_ a2$2 4-	4 aQ (s2-|-p2)(S2+X2)	V(ao-«2bT+^(ai+^)8 qin fs. , . . , V(a0-<^2)2+X2(a	X2)2 P (X2'_ p2)	Sin W I" W i	x (p2—'X2)	' ' Sin ,	x ?(«! — ₽2)	<	x X(ai—X2) где = are tg  ao _ 4 -; ф2 = arc tg ;o_
1.301	1 (s+a)2+₽2	*	е~^ sin pi
1.303	s + a0 (s + e)2+?2	-1 y^-ep-l- p2 e-rfsin (₽i + 1), Q где Ф — arct^—. ' T	&a0 — a
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Продолжение
№	F(s)	f(t) при
1.3031	s -f~ а (s + a)2+p2	e-a^ cos fif
1.304	1 в[(8-|_а)2+^	• H	— e~at sin — <!>), ft ₽0₽- в где . Ф ~ аге tg	J ₽o = a?‘ + ₽2
1.305	s + «о s[(s + «)2+H	-Э- +	<(«0-«)2 +?e-*t Sin (pt + Ф), Ho Pro где ф = arc tg ——- — arc tg -Ц-;	PjJ == a2 + ft
1.307	-f- ci^s -|- a0 4(S + a)2 + ₽2]	J+1/г(а2_ф2 - +au)2+₽2 (al"2a)2 e~at sin (₽*+ где <p = arctg	arctg Д: ₽o = ^ + “’
1.308	1 (S + I) [(5-«)2+И				1	- -	—	в““* Sin (₽t — Ф), (T-«)2+₽2	PV(T-a)2+62 в где <Ь = arc tg —-— '	° 7 — a
		. ....... ...	. .		
380	ПРИЛОЖЕНИЕ I
ПРИЛОЖЕНИЕ I
381
№	*(«)	1 f(t) при ё>0
1.357		1	 • («г + Х2)[(5 4-а)2+Р2]		 • sin (Kt ФО + т a# sin (fit — ф2) ], /(P2-xV+4A2 Iх	₽	™J’ где ^rzarctg	; ^zzarctg a	;	;	$=aa + ^ Po — л	“ — P + X
1.359	S + tt() (sa+X2)[(s + a)2 + p]	x ]/+ 4aVsin (U + w + .	, X	2aX	.	.	8	,	— 2a8 где ^!=arctg	arctg—	^2=arctg—	arctg -	 a0	—A-	a0-a	a2-fi3+X- ^ = aa + £2
1.363	(s2 + X2)[(s4-a)2 4.^]	X V (₽<-ХУ + 4сА2 + 1 . / ~	+ у +. № - M\-., sln №, + ы, ‘j V	(Po — X2)’ + 4aaX2	V ,2; где <!>! = arc tg	— arc tg —7”^	; a0	Po I	4.	P (®i—	4.	—2оф	q2	2 . 02 <p2=arctg a2-_^.-_aia—ao	arefg-—-^; fi0 = <z +₽
ПРИЛОЖЕНИЕ) i
ПРИЛОЖЕНИЕ i
азё
		*0 от + ото СЗ - Ч* |л О	(^ + 72)[(а-7)Ч?3]	'	^1(^)4^] —	а *с *и 1 с S1- + от "в4 о е >«✓ *-< j	я ' Г L 2 D ОТ ОТ + от от^ от о аа. от^ 4- от 'в' i-_j |ах 1-	G4 е 4 С ? с ( г с 1 < г	от^ 1 ото £ W э 3 1 1 1 М3 !Э II D =с	<§- CQ 1 - £ с с QQ. - £ с ? с г с с II	от + от ааи от « в « |_ ю э ч 5 a о е мз о 3 II от	от + от III ото	ч»	. у—-пт^21"1, где и — целое положительное число (п — 1)!	г-4 J. о + чл 0 1 <Х>	от a	о б 1 a -] "и 1 ч a в	от в Iе h э от в
	о + «0					от QQ. + ОТ 'в' + 42г 4- +					-н|%	гЧ|?>	1-4	от ч> 'о4 4~ Л2/	о + <0	от CQ /«Ч 4~ 42г
	ео со										о гН ci	OQ О т—< cd	СО ' о т-Н cd		О г-4 cd	
Продолжение
'№	^(S).	f (t) при />0
2.106	s2 + a\S + а0 (« + «)«2	a2 — «1» 4- a0 at a0 , axa— a0 	a2"	 6	H a * 1	a2
2.118	1 (s + “)2	ie~at
2.120	s Н~ an («+“)2	[(a0-a)#4-l]e-ei
2.121	1 (s 4“ «)'*	-—- 	tn^1e'“at, где n — целое положительное число (n — 1)!
2.1362	sn (s + a)w+1	n -at	( — a)& 4fc e > . 7— 74t znrs- £ > где n — целое положительное число (n — fc)! (fc!)2 ’ 7r = 0
2.137	1 $ (s + a)2	1 — (1 4- at) e~at a2
2.138	s 4~ S (« + “)2	1 /q	a0 £	^n\ e-at a2 ‘ \ a	a2 J
		
ПРИЛОЖЕНИЯ 1

>. Гарднер и Дж. Л. Бэр нс.
		
2.140	+ a^s + «о s °02	«0 , /«p — «0— a2 f , a2 — «p\ c-gf a2 ' \	а	Г a2 /
2.152	1 (« + 7) (« + а)2	—2	e-7«+(lZ2ZllzLle-«/ (7-“)2	'	(7- a)2
2.154	s4- ар (« + 7) (8 + а)2	^=J_e-7^[^^_i + JLZ^0 1e-a/	1 (a —7)2	[ 7 — a	(7 — a)2 ]
2.158	4~а ig Ч~ ао (s 4- 7) (8 + а)2	72 — op 4- a0 п_.л , fa2 —«р-4-«п о2 — 2o7 4-«i7 — «о! .-«# (0-7)2	। L 7-o	।	(7-0)2	J*
2.161	s + «0 (8 4- 7) (s + а)3	«0 — 7	, Г «n—a f, , 7 —«0 , , «0—71 ,-o.t (a —7)0	। [2(7 —a) (7 —“)2	(7— a)3J
2.187	8+Op S (S 4" 7) (s + a)2	«0 .	7—«0	.-7/! [ «0 — g f j_ 2«ua —g2 —tt„7 1	t 7 (a —7)2	1 [a(a —7)	‘ О2 (a — 7P J
2.189	s2 4“	_i~ $0 8 (s+ 7) («4-°)2	«0	72 — «17 + «0 .-7i , ( «2 — «Р -< «0 . , (7 —«1) a24-(2a —7) Яр] at 7a2	7 (a-7)2	1 L “(о	7)	'	a2(a-7)2	J
2.199	s4-«u (s + 7)(s-f-S)(«+a)2	ao~e—7^ 	а0~~5	₽-M4- (g — 7)(o — 7)2	(7 —8)(a —o)2	+ , Г	«о — °	л , 2«oa — a2 —^,(7 4-8)4-7^1 t 1 1(7 —a)0 —a)	(7 — 0)2 (8 —a)2	J '					 ,	; 4.7			 		
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Продолжение
№	F(«)	f (t) при £ > 0
2.247		s 4~ 	 (S + «)(« + 7) «2	«0 —«	_-a< ,	«0 — 7 .-yt 1 «0 t 1 g7 — «0 (° + 7) a2 (7 — a)	78 («— 7)	' aT	a<?72
2.249	s2 4~	-f- ftp (S +:«) (s + 7) s2	a2 —ap + ao	t уг — axy + aa	, «•> , , «1»7 ~«b (» + 7) ’ a2 (7-a)	6	+	' Г	a272 " ’
2.276	s2 4“	4~ (•S+«)2S2	[ a2 — а,а 4- a0 f , 2flo —<tja 1 r«4 1 «0 f ! ala ~ 2fflo La2	a3 J	a2	a3
2.292	s 4- ар (S + a)2 (8 + t)2	Г a0— g	, a 4- 7 — 2o0 ] <a , Г «р —7 . . g + 7 — 2aol .-yt l(7-»)2 ' (7-g)3 J ' L(>-7)2 * ' (а-П3 J
2.296	s2 4-	4- ар (s + a)2 (S + v)2	Г a2 — аха + «о	«1 (g 4- т) — 2 (ay 4- «0)]	. L (7-«)2	1	(7-«)3	J + , f 72 — «17 + Др «1 (a 4- 7) — 2(a7 + a0)1	..t + L (7-a)2 #	(7-a)3	J6
2.342	s2 4"	4“r (s -j- a)8 §2	fa2— a^a 4~ ffp .2 , — ap 4~	. । —	+ 3a0\	. 00	. ai« — 3gp к	2a2	1	a»	1	ai	)C ' «3 * 1 ’" <№ " '
2.401	1 (s2 4- ₽2) s2	1 .	l-c. у	pTsin
		
386	ПРИЛОЖЕНИЕ I

2.4011	1	
2.402	s 4~ (s2 + 82) s2	у * + “ |F	•sln (₽* + Ф)’ где <p = are tg — «0
. 2.404	s2 + CbiS 4- «0 (s* + p2) s2	+	V(ao— ₽3)2 + <$3 Sin (Pf+ <!»), p	p	p 1	i	“1? где <p=aretg
2.406	1 (S«+₽8)S3	•p- (cos — 1) + 2^2 i2
2.4061	1 (g2_ pj)s8	
2.418 1	1 (S2+fi2) (s + a)2	^(a2+g2) Sln <₽* V) + [a2+02 Z+ (a2_|_p2)2]e	’ .	3 где ф ~ 2 arc tg
ЙРИЛОЖЕЙИЕ i
СЛ-
00
-Q
Продолжение
№	Л1 («)	f (t) при t > 0
2.420	s 4- ftp (s’+ P) (s4-a)2	]/ a? 4“ ₽3	’	«Л — a	2aoa + ₽2 — a21 р(а2+р2)	।	1 L“2 + P2 t 1	(a’+P2)’ J ’ 0	Q где Ф = arc tg —	2 arc tg —
2.424	8^ —1”	+ ^0	]/ (a0 — p2)2 4- «i₽2 ₽(j-H2) 1PSin(P'+*) + Гa2 — aja 4- ou	a, (p2 —а2)+2а («p—p2) 1 t
	(s2+{J2)(5+a)2	"* [ a2 -|- P2	1	(a2 -up2)2	J .	, «iP	n , P где 6 = arctg-^—-^2—2arctg —
2.446	s 4- aa S(S2 + ?2j(s + a)2	«о V«o+₽2	/й4 , n , Г “ —«о	2a8— 3a0a2 — aop2l ₽v f(.-+n”E(i“-‘ « 1 [.(>+?> ‘ 1 - -VW J Q,	Q . где Ф = arc tg -r	2 arc tg — #0	a
2.457	S" 4- G4S 4~ ^0 (s + T)(s2+ms+a)2	y2 — «iY'ba0	.	У(a0 — ₽2)24~ a?₽2 	e ^4	7===		 sin + Ф) 4- (72+p2)(a_7)2 а2—ярЧ-ар	f	(7—«)(«?+Р2)(№1—2а)—(«2—ар+«л)(312+Рг—2°7)	at + (T-a) (a«+P2)	1	(7-a)2(«2+ P2)2 где Ф ~ arc tg ^33^2 — arc	— 2 arc tg
j аидажооед

1		
2.501	1 (S2 4- (j2)2	
2.502	. ,(«2+₽2)2	
2.504	. («2 + R2	
2.5061	«2—32 (s’-t-p2)2	
2.512	•i 1 s (s2 + ₽2)2	-
2.515	8% —{— d\S	(Hq s (s2 4- ₽2)2	%	~K(«Q—P2)2H- c (34	2£3 где 4i= arctg -r „ a0 — p-
2.601	1 [(s + “)2 + 02]«2	fl где ф = 2 arc tg —L;
-jij- (sin ₽t — cos pi)
1	4	•
-^-isinci
•i- (sin Pi 4- Pi cos Pi)
i COS Pi
p- (1 — cos Pi) — -i- i sin Pi . . ,
— t sin (pi + <h) - У	C0S (₽* + W,
[* — тг+т e~ei sin	~ -
L ₽o P	J
p2 = a2 + p2
приложении i	389
Продолжение
№	П*)	f(t) при tf>0
2.618	1 (« + 7)Ч(* + “)г + ₽21	(«—T)2 + ?2[<e	+(a — т)24-р2е	+ p 6 Sin(^ <p)j, Q где Ф = 2 arc tg —— ° 7 — a
2.624	8% -|- CtjS -f- CIq (s + T)8[(s + a)2+^]	7a—<h7+«o	। [(« — 7)a + ft2 J («1 — 2y)—2 (a — 7) (72 — «П + «о) .--(t , (a-7)2+₽a	1	[(a - 7)2 + ^2	+ y<tt2_p2_aiCt+au)2+p2(ai_2a)a t ,g , .. + 	p [(Y _ a)2 4- psj	e sin (P*+ 40, i	x	3 («1 — 2a)	« x ₽ где Ф ~ arc tg- —;r-r-L	4	2 arc tg  - ° a2 — p2 — «ха -|- a0	° 7 — a
2.701	1 [(« + «)2+₽2]2	e~(sin fit — fit cos ₽£) 2p°
2.7031	((e + a)2+₽2]2	sin 'pt
2.706	S2 + «(r [(5 + a)2+₽2]2	$) + «o	.	V («2— p2 + a0)2 + 4a2₽2 2p3 e-««sinpi 		-<е-«2еов(₽< + ф), где -b^aretg-a2_?2_|_ao;	% = g’ + ^
ч\		rfi-.
390	ПРИЛОЖЕНИЕ I
i
2.7071	(S.+ a)2_p2 ((s + a)2 + ₽2]2	te~at cosfta
3.01	' Й аге tg	sin fit t
3.02	1пф S-|“ a	g-^_g-i* t
3.05	6s2/4a cerj —L_ 2 Уa	2«->. У где cerf?/~l— erfv = l	dx 1/ TC J r 0
5.01	1 У««4-а2	J Jo (af) <
5.02		1	 y*S2 4~ a2 (s ]/ s2 + a2)	
5.021		1	 ’ Vs2 4-a« (s-b ys2 + a2)"	— Jn (otf), где n — целое неотрицательное число а?г
ПРИЛОЖЕНИЕ I	391
Продолжение
№	^(8)	— 1	7 ,""1  "		 ,	-----	1		 	—г f(t) при <>0	j
5.031	——	1 5 У8* -f- а3 ($ + У S2 4~ а2)п	t — Р Jn («0 dt, где и — целое неотрицательное число 0
5.04	1 5 4“ У S24~ а2	1~J\ (at) at
5.041		1	 («+ |/Г52Ч-а2)п	И Jn(ai) — -п->— где п — целое положительное число ап t	,
5.051 '	1 5($’ 4- У$2 + а2)п	t	1 П С Jn (а^) —•	— dt, где п — целое положительное число an J t 0
6.01 :	— е - аз 8	1 it — а)
6.02		(•£ — а) 1 (t — а)
6.03	f«+ne-as \S	S2/	11 (t — а)
	1	
392	7ПРИЛОЖЕНИЕ I

			
6.04	f 2 2a a2\ -as	t21 (t — a)	
6.05	s при a<b	1 — a)—1 (t— Ъ)	
6.07	/1 —e~*\8 \ S )	. • Л •	при 0 < t < 1  2 — t	при 1 <2 < 2 0	при 2 <Z t	
6.08 ;	^1^-g-sy	-	0,522	при	0 < i < 1 0,75 — (t — 1,5)2 при	1 < t < 2 0,5(2 —3)2	при	2<2 <3 0	при	3<C t
6.09		f t при 0<£<l ( 1 при1 1<3	
6.10			0,5 22	при 0 t <Z 1 1 — 0,5 (2 — 2)2 при 1 < t < 2 1	при 2 < t
11РИЛ0ЖЕЙИЕ I	393
Продолжение
№	J’(s)	f(t) при
6.21	1 8(l + e-s)	2(-i)*i(*-*) k=Q
6.22	1 S’ sh 8	2 2 l(t — 2k — 1) й==О
6.23	1 s • ch s	2 2 (-l)fci(«—27c —1) й==О
6.24	— ths s	i(i).+ 2 2 (-Dkl(t — 27c) fc=l или 2 ( —	— 2k)l(2k + 2 — t) fc = O
6.25	es — s —1 s-(es —1)	7—2 l<t-k) пли 2	— fc) 1 (k + 1 — t) k=Q
		
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Изображения и оригиналы, встречающиеся в теории преобразования ступенчатых функций
№	#(S)	f(x) при x<>0
8.01	£—^ = P(S) О	1 или 1 (x) I (1 — x)	J
8.02	e-?sP(s)	p(X — 4)
8.03	е8Р (s) es — 1	1
Изображения и оригиналы ступенчатых функций
№	P(s)	f(x) при я?>0
. 8.11	esP (s) (e« —1)2	Jas
8.12	egP (a) , s , n (es — 1)3 (e +1)	J" X?
	gS^	'£<> •	JL 1 \ (es—1)4	I x^ 1
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Продолжение
№ ,		f (x) при ж > 0
8.14 ।	esP (s) (^Z^(e3s'+lle&+lle*+l)	J" X4
8.22	e8P (s) (es —1)8	г x	— г J	2!	J 2!
8.23	esP (s) (e* —1)4	r x(x — 1) (a? — 2)		1 J	a»	—J 3»
8.24	esP (s) (es — ljra+l	j- x (x — 1)... (a? — n 4-1)  p x M n\	nl 9 где n — целое неотрицательное число
8.30	esP (s) e8— c	J" cX> где с — вещественное число
8.31	esP (g) (е« —cP	где с — вещественное число
8.32	esP (s) (es — c)3	г х (х—1)сж~2	г J 	ж	— J 	m	♦ гДе с ~~ вещественное число 2!	2!
1	1	
396	j ПРИЛОЖЕНИЕ I
8.34	es‘P (s) (es — c)n+1	J	n! где c — вещественное число, a n — целое неотрицательное число
8.40	csP (s) (es — c) (es— d)	г с® — d® J 	-=- , где с и d — вещественные числа € “““ w
8.51		esP (s)	 e2s — 2es cos ₽ +1	Г 8*п $х sin р
8.52	(es — cos P) esP (s) e2s — 2es cos P +1	J" cos ря?
8.61	esP (s) (es — 1)2 (es _ c)	Р Сх — 1	р X J (с	|)2— J с ITf * где с — вещественное число
8.74	eas esP(O (es — l)n+i	г + ... J 	, где а и п—целые неотрицательные числа, причем а^п
8/741	esP(s) g - as	L-Z— (^_l)n + l	г ( а? — а) М	. J ' - — ;		1 (х —а), где а и п — целые неотрицательные числа
; 8.752	esP (s) - g—as	— (es — c)n+1	где с — вещественное число, а а и п — целые неотрицательные числа
Приложение i
ПРИЛОЖЕНИЕ II
СОПОСТАВЛЕНИЕ МЕТОДОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛАПЛАСА И ФУРЬЕ
Метод преобразования Фурье включён в краткую сравнитель-
ную таблицу методов решения линейных- интегро-дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами, приведённую
в § 10 главы I, а формальная связь между преобразованиями Фурье
и Лапласа изложена более подробно в главе III. Целью настоя-
щего приложения является сравнение этих двух методов преобра-
зования.
В первую очередь необходимо подчеркнуть, что обыкновенный
интеграл Фурье в односторонней ‘ форме является не чем иным, как
частным случаем применяемой здесь формы интеграла Лапласа,
к которому последний приводится при а = 0. Поэтому интеграл
Лапласа называют также «обобщённым» или «комплексным» инте-
гралом Фурье [35].
Однако этот интеграл был назван интегралом Лапласа задолго
до того, как было дано обобщение интеграла Фурье путём замены
мнимого показателя в его ядре комплексным показателем.
Односторонняя форма интеграла Фурье может применяться, ко-
нечно, так же, как и интеграл Лапласа для решения задач с учё-
том начальных условий. Тем не менее эта возможность нигде не
использовалась, за одним исключением [35], и она не излагается
в наиболее важных работах, посвящённых техническим приложе-
ниям интеграла Фурье. Современный метод учёта начальных или
граничных условий с помощью интеграла Фурье был введён Коши
еще в 1823 г.
Как было показано в главе III, интеграл Лапласа является есте-
ственным и удобным обобщением обыкновенного интеграла Фурье,
позволяющим выполнять преобразование таких вазрастающих экспо-
ненциальных функций, которые не поддаются преобразованию с по-
мощью обыкновенного интеграла Фурье. В тех случаях, когда для
таких функций требуется двухстороннее преобразование, оно может
быть составлено из двух односторонних преобразований Лапласа,
множители сходимости которых выбираются в соответствии со зна-
ПРИЛОЖЕНИЕ II
399
пением предела, к которому стремится переменная интегрирования
( — оо или -|- оо).
Ознакомление с обратными преобразованиями Лапласа и Фурье
приводит к заключению (если пользоваться принятой здесь термино-
логией), что оба обратных преобразования являются, по существу,
преобразованиями типа Лапласа, кроме случаев, когда контур инте-
грирования лежит целиком на мнимой оси. Широко применяющиеся
контурные интегралы являются, по существу, также интегралами
Лапласа или интегралами Лапласа с видоизменёнными контурами
интегрирования.
В заключение отметим, что следует пользоваться преобразова-
нием того вида, который оказывается наиболее удобным примени-
тельно к рассматриваемым функциям и действительно упрощает ре-
шение задачи. В различных случаях могут оказаться наиболее це-
лесообразными преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля, Ватсона
и даже преобразования более общего вида. Для задач, разбираемых
в настоящей книге, и для встречающихся в ней классов функций
одностороннее преобразование Лапласа оказалось более пригодным,
чем одностороннее или двухстороннее преобразование Фурье. В тех
случаях, когда преобразование Лапласа приводится к преобразова-
нию Фурье, это приведение часто оказывается весьма ценным. Таков,
например, случай, встречающийся во многих задачах из области
синтеза электрических цепей.
ПРИЛОЖЕНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА .
ПРИЛОЖЕНИЕ И)
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
§ 1. Механические и электрические четырёхполюсники
Более общий подход к вопросам теории электромеханических
аналогий может заключаться в следующем.
Вся заданная механическая система рассматривается как неко-
торый механизм, состоящий из отдельных дискретных звеньев, слу-
жащих для передачи силы и скорости от источников механической
энергии к приёмникам.
Аналогичная ей электрическая система рассматривается при
этом как соответствующая электрическая цепь, состоящая также
из дискретных звеньев, служащих для передачи напряжения и тока
от источников электрической энергии к приёмникам.
Звенья механизма моделируются при этом аналогичными звеньями
электрической цепи, т. е. электрическими четырёхполюсниками,
аналогичными соответствующим механическим четырёхполюсникам.
Отличительной особенностью каждого такого механического че-
тырёхполюсника является то, что два его полюса (один на входе
и другой на выходе) принадлежат системе отсчёта. В качестве
последней целесообразно выбирать систему, неподвижную относи-
тельно земли.
Как известно, электрический четырёхполюсник, обладающий
двумя входными и двумя выходными полюсами, содержащий лишь
линейные элементы, может быть описан двумя линейными уравне-
ниями вида
= Ац^2 —А 12^2*
й	=== -4-21^2	^22^2,
где Ап, А12, А21, А22— постоянные параметры четырёхполюсника—
представляют собой некоторые интегро-дифференциальные опера-
торы, a и2, it и i2—напряжения и токи соответственно на
входе и выходе четырёхполюсника (фиг. 1).
*) Приложение составил П. И. Зубков. (Прим, ред.)
(1)
ПРИЛОЖЕНИЕ t
401
Если внутри четырёхполюсника содержатся только пассивные
элементы типа L, R и 8, параметры А^ подчинены так называе-
мому условию взаимности, выражающемуся уравнением*)
•А11-^22	-^12^21 ~ 1'	(2)
В случае симметричности четырёхполюсника по отношению ко
входу и выходу
J-H = ^22*	ОО
Аналогичный механический четырёхполюсник (фиг* 2) может
быть описан сходными линейными уравнениями, если воспользо-
Фиг. 1.	Фиг. 2.
ваться одним из двух принципов, упоминающихся в главе II. Если
применить соответствия: f~i, получим механический четы-
рёхполюсник, описывающийся уравнениями
= auv2 ^12/2» 1	,
fl = ^21^2 + «22/2* J	’
Если же применить соответствия: f ~ и, получим иной
механический четырёхполюсник, описывающийся уравнениями
fl ~ ^1/2+ &12V2, I	,
V1 = ^21 f2 + ^22V2* J
Параметры механических четырёхполюсников связаны с пара-
метрами электрического четырёхполюсника соответствиями вида
(U=l, 2),	(6)
которые означают их равенство с точностью до постоянного мно-
жителя (масштабного множителя модели). Масштабные множители
параметров aik и bik различны, но в пассивных механических че-
тырёхполюсниках также выполняются условия взаимности
^11^22 ^12^21 === I*	(7)
&Ц&22 ^12^21= 1 •	(8)
*) Условие необходимое, но недостаточное.
26 Зак. 1977. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Варне.
402
ПРИЛОЖЕНИЕ i
Будем записывать уравнения вида (1), (4) и (5) сокращённо в виде
и< \	/ иЛ i )в(л)-С > Л /	V2 /	(Iх)
	(4')
	(5')
понимая под символами (-4), («) и (Ь) матрицы *), элемен-
тами которых являются параметры соответствующего четырёх-
полюсника, т. е.
(Л) = (	л А )>	(9> V^21 -“22/
(«) = {	^11 ^ю\ „ „ ),	(10) ^U2i й22/
(Ь) = |	? ъ ), (11) \иЪ1
а под символами вида
также матрицы вида
(12)
Таким образом, условия, при которых два четырёхполюсника
(А) и (а), или (А) и (6), или (а) и (Ъ) являются взаимными ана-
логами, могут быть даны либо как условия соответствия элементов
их матриц (6), либо сокращённо в виде
(Л)~(а)~(Ь).	(13)
В дальнейшем для сокращения речи будем говорить об электри-
ческом аналоге (а) и электрическом аналоге (&) механического
*) Необходимые сведения о матрицах и о действиях над матрицами
можно получить, например, из книги: В. И. Смирнов, Курс высшей ма»
тематики, т. 8. См также [2].
Приложение i
.	403
четырёхполюсника, помня, что первый аналог получен в результате
применения основного соответствия f	а второй — основного со-
ответствия f~u.
В простейшем электрическом четырёхполюснике (фиг. 3), со-
держащем единственный «поперечный» элемент с операторной про-
водимостью У, напряжения и токи связаны уравнениями
XT । •	(14)
~ У^д —^2* J
В другом простейшем электрическом четырёхполюснике (фиг. 4),
содержащем единственный «продольный» элемент с операторным
сопротивлением Z, напряжения и токи связаны уравнениями
Ы1 = и2~}~^> ]	. .
Ь=Л- J	( }
Следовательно, их матрицы (J) соответственно равны:
/1 О\
1у)’	<16)
W"> = (o !)•	(17>
Этих основных сведений и обозначений достаточно для получе-
ния электрических аналогов (а) и (6) серии простейших механи-
ческих четырёхполюсников, приведённых в таблице 1.
Фиг. 3.
Фиг. 4.
Методика получения электрических аналогов для механических
четырёхполюсников, помещённых в левом столбце таблицы, очень
проста и заключается в следующем:
Записываем уравнения механического четырёхполюсника в’виде
(4) или (5) и составляем матрицы параметров (а) или (Ь). Затем
подбираем электрический четырёхполюсник с матрицей (Л), струк-
тура и элементы которой подобны структуре и элементам матрицы
(а) или (6).
Так, например, простейший механический четырёхполюсник,
содержащий свободное весомое звено с инертной массой М (первая
26*

ПРИЛОЖЕНИЕ I
405
лица 1
пассивных четырёхполюсников (звеньев)
	Электрический аналог (а)			Электрический аналог (&)	
	Матрица (А)	(4) ~ (а)		Матрица (4)	(4)г-(&)
	Wj	4jj%2	<412^2 Il	4-21^2 "4” 4.22^2	Схема		Wj==4ji ^2*4“ 4 j2^ 2 ^l==42i W2 “4“422^2	Схема
	/1	°\ \С_0	1/	4, =j=f иг -о 111 -.о- с~м		/1 LD\ \0	1/	k	k. +0—ОО’О	о ♦ к,	иг -J	1_-
i 1 1	/1	0\ \LD-i 1/ 1			/1 6®-1\ \0	1/		II		
			| г			*с	II S
					S-K
	м	о	1г‘ ~ G-B		/1	я\ \0	1/	+°—плгь—°* /?
	1 • -	I /1	0\ \оо	1/			/1	оо\ \0	1/	
					
406
ПРИЛОЖЕНИЕ I
	. Механический четырёхполюсник		
	Схема	Матрица (а)	Матрица (6)
		^1=а11«2 + а^Л fl ~ ^21^2 4* Qwfl	fi — Ьц А 4" “У1 == &21/2 4" &22^2
	L	ж А		
					9	
6	X.	jl 0	-о V			/1	K- 4)\ \o	1/	/1.	0\ \K-iD	1/	
7	г,	1 иГ	! "7Я77/77.	W1 W77777///^	1 sllb	/i	B-1\ \0	1/	/1	0\ VB-1	1/	
8				/1	oo\ \0	1/	/1	0\ *\co	1/	
9	1 «	,z,z -zzzZzz /			/4	0\ \0	1/ ।	/i	0\ \0	1/ i	
ПРИЛОЖЕНИЕ I
407
Продолжение
	Электрический аналог (а)		Элект! ичеокий аналог (Ъ)		
	Матрица (А)	(А)-(а)	Матрица (А)	(A)~(b)	
	Wi« Аци2 412^2 «» АцЛц -^22^2	Схема	:== A hUq 4“ -^-12^2 s= -4.21^2 “I” At^i^	Схема	
	/1	£D-1\ \0	1/		Z1 °\ \ra-i 1/	•	
		S -°""  	—"-7——°“ г <7-4//		г-ьм'1	
	/i	LD\ \0	1/		I1 \GD 1/		
		♦ о—--ww—-о. 4 *			Z2C
		-О—  	 	1 	0-W Д—/Г		С~к' *	
	/1	я\ \0	1/	°“ПД1А^	/i	o\ W	1/		
					
				G~B'’	
	/1	ООХ \0	1/		/1	0\ \oo	1/		
					
					
	/1	°\ \0	1/	4. '	/1	0\ \0	1/		
					
408
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Механический четырёхполюсник
Схема	Матрица (а)	Матрица (&)
	Vi=4" fi—o21v2 4~ ®2sA	fi biifu 4" binVti Vi — bzifг 4~ {fava
12
<22
<12
А(М)п
. <12
D-1
<12
<11
<12
А (О
<11
<22
<12
л3 4- il	12
Л£п “ М Gi + ЧУ ’^га —Мп — MVi —	+ ъ

— ......л3+?Г	.......
- AI tfi+yr afse “	~~M12 ~ M Z1-H2 ’
<i2 = < У iXl •> <12 > °* если
A (M) =	— Л/13; 2ir13< 0, если h < VyJJ.
ПРИЛОЖЕНИЕ4 I
409
Продолжение
	Электрический аналог (а)				Электрический аналог (6)	
	Матрица (А)	(A)^(a)			Матрица. (А)	(4)~(6)
	Wj =s	"f" А^З 7 j =s A.21%2 -J- .Aja^a	Схема			к J ® Аищ 4- А12^2 A21W2 4" А22^2	Схема
					/п-1	0\ \0	п/	L4 рGTOWn—|Э1^ + 1
, [п	0\		+ о in		^~н>4 з аА		
						
: \о	п-1/						
						
		Uh# ? ' I				
						
	/ -n	0\ \0	— n-1/	w, :	^3	'	А /,и0* /А2	/—и”1 0\ \0	—п)	W, §Г § ^-n} wz
	c8~Mls	Cis =	Си rlh	= C?s	Lis М^8	! ^ZS (_
	012	^12	! Нереал толькс эдеме к12~(	~Ci2>0 изуем одними > пассивными нтами, когда /12 <0 и п>0		1<28	М28 Li2^ -^12	^/2 ^/2 >0 п < С
410
ПРИЛОЖЕНИЕ I
строка первого столбца таблицы 1), описывается двумя уравне- ниями *) вида	
vi —	1 j	(18)
или двумя уравнениями вида (5): «1 = V2.	J	(19)
Поэтому его матрица (а) равна /1	0\ 1/’	(20)
а матрица (6) равна /1 MD\ (Ь)=(о	1/	(21)
Следовательно, его электрическим аналогом (а) явится	также
простейший электрический четырёхполюсник, содержащий	один
«поперечный» элемент с операторной проводимостью Y вида	
Y = MD.	(22)
Рассмотрев полученное выражение для Y, приходим к заключе-
нию, что этим 'поперечным элементом должен быть .конденсатор
с ёмкостью
С~М.	(23)
Аналогичными рассуждениями найдём, что электрическим ана-
логом (Ь) того же механического четырёхполюсника окажется
четырёхполюсник с единственным «продольным» элементом, содер-
жащим индуктивную катушку с индуктивностью
L — M.	(24)
Некоторые строки таблицы 1 нуждаются в пояснениях:
В строке 4 приведены аналоги заторможенного механического
звена, т. е. звена, трение которого о направляющую бесконечно
велико. Скорости обоих концов равны нулю, а сила /у, приложен-
ная ко входу звена, не связана с силой с которой это звено
действует на следующее звено, присоединённое к его выходу.
*) Здесь D означает оператор дифференцирования, a D-1—оператор
интегрирования по времени, т. е.
D-1= f At...
dt	J
ПРИЛОЖЕНИЕ I
411
В строке 8 приводятся аналоги «отсутствующего» звена, т. е.
упругого звена, обладающего бесконечно малой жёсткостью К.
В этом случае обе силы и fa равны нулю, а скорости и »2
не связаны между собой и могут иметь произвольные значения.
Аналоги (а) и (&) таких двух звеньев представляют собой либо
замкнутые накоротко, либо разомкнутые четырёхполюсники.
В строке 10 приведены аналоги идеального (т. е. абсолютно
твёрдого и невесомого) рычага *) второго рода. Его аналогами (а)
и (Ь) являются идеальные трансформаторы, причём коэффициент
трансформации в первом случае равен прямому, а во втором —
обратному отношению плеч рычага. Идеальному рычагу первого
рода (строка 11) соответствуют такие же идеальные трансформа-
торы с отрицательными коэффициентами трансформации, т. е. идеаль-
ные трансформаторы, обмотки которых намотаны не согласно,
а навстречу друг другу, или, иначе говоря, идеальные трансфор-
маторы, входы или выходы которых перекрещены.
Заметим, что идеальный рычаг представляет собой чисто кине-
матическое звено механизма, собственные потенциальная и кине-
тическая энергия которого равны нулю. Таким же кинематическим
элементом электрической цепи является его аналог — идеальный
трансформатор, так как его собственные электромагнитная и электро-
статическая энергии также равны нулю. Реальный трансформатор
тем ближе к идеальному, чем больше магнитная проницаемость его
сердечника и чем меньше омическое сопротивление его обмоток.
В строке 12 приведены аналоги так называемого свободного
рычага **) с массой М > 0, с' центром тяжести в точке О и цен-
тральным радиусом инерции h > 0. Остановимся несколько подроб-
нее на содержании этой строки.
Уравнения движения свободного весомого рычага ***)
где

(25)
0 h + h ’’
могут быть преобразованы к виду
М12 + Ml, ^=f\ (Z14- z2) - r2 (h+у,
w § -M’ = fA (h 4- z2) +	& 4- /2),
*) Во вращательных механизмах ему соответствует пара идеальных
фрикционных колёс или шестерён.
*♦) Во вращательных механизмах ему соответствует дифференциал,
моменты инерции колёс которого отличны от нуля.
***) (—/2) — сила, приложенная к рычагу в полюсе 2,
412
ПРИЛОЖЕНИЕ I
откуда
&2 + z| й®!	Л2—	dvj 
м (h + w'dt м (!1 + г,)2- dt ~т'>
№ — Z, Za dvi h2 + Z?	d®2
— & 7z~X 74 * 77 + <77-£Л • -st• = — Л-
Vl “Г "2/	Vl ~H *2)"
Введя обозначения
л3-Н2	л24-г2	л2—z,z2
-^11 = -^ (Zt4-Z2)« ’ -^Я2=-^ (Zj -Н Z2)2 ’ -^12 = ^ (Z1-|-Z2)2-	(28)
и назвав Mu и if22 приведёнными массами полюсов 1 и 2, а Л/12—
взаимной массой полюсов 1 и 2, получим те же уравнения в виде
Ми1)г>1 — Л/12Р®2 = ft,	|
М12®^1 4“ -^22®^2 —	/а» /
или
>18®^ 4“	12® (®,-®2) = /р
^12® («2 — ®1) + M2SDV2 = — f2, J
где
М1а = Ми-М^М^,
М2а = ТИ22 — Ж12 = М .
fcl “Г fc2
(29)
(30)
(31)
Параметры Afls и М2я могут быть названы соответственно «мас-
сами рассеяния» рычага относительно первого и второго полюсов.
Решая уравнения движения свободного весомого рычага (29)
относительно vz и flt получаем:
1	)	(32)
fl = (	^12) ®®2 4"	fz = a21v2 4“ а22/г> J
или
A=S;724-(^^-^i2)®^=W24-^2. |
1 L	(33>
®1 — Jf12‘D"1^24~^®2-W24~b22v2-	J
Следовательно, параметры такого механического четырёхполюс-
ника равны
а --£±£
аи— № — 1^ >
а21 = MD,
__ Gi + ht n 1
«12— (А2_	’
_ ^2+z2
«22—	—	’
(34)
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
413
или
_ T>2_f-Z2	_
&п — Д2 —ZtZ2 ’	&12 = W—lfa D’
(b-Ha)2 i л2-н?
21 — (Д2 — V2) M ’ °22	7г2 —•
(35)
Эти матрицы помещены во втором и третьем столбцах строки 12.
Аналоги (а) и (6) такого рычага проще всего получаются, однако,
не с помощью уравнений (32) и (33), а непосредственно из урав-
нений (30). Для .получения аналога (я) применяем принцип f—i,
v — и и далее, согласно таблице Ш главы П, принимаем МС.
Получаем уравнения электрического аналога (я) в виде
4- CiaD («! — w2) == ii,	|
C12D («2 — wx) + С<аРп2 — — *2> J
где
Qis ~-^ls> C2s—(31)
Но эти уравнения описывают П-образный четырёхполюсник,
составленный из трёх конденсаторов с ёмкостями Cls, Саа (в попе-
речных ветвях) и (712 (в продольной ветви), показанный в пятом
столбце той же строки.
Для получения аналога (Ь) применяем принцип f—и, v~i
и далее, согласно таблице Ш главы II, принимаем М~£. Полу-
чаем уравнения электрического ана-
лога (Ь) в виде
+ L12D («1 — г2) = Mi> | ,ддч
(*2--h) Н“ ~	М2> I
где
JSig AfLaa ~ Маг, -E'i2'^'Afi2. (39)
Эти уравнения описывают Т-образ-
ный четырёхполюсник, показанный
на фиг. 5, составленный из трёх кату-
шек Lla и L2e (в продольных ветвях)
о-p
L1S
Фиг. 5.
и Z12 (в поперечной ветви).
Но такой четырёхполюсник является, как известно, схемой заме-
щения (эквивалентной схемой) трансформатора (рассматриваемого
со стороны только входных и выходных зажимов) с индуктивно-
стями рассеяния Li8 и L2s и взаимной индуктивностью его обмо-
ток Z12. Его обмотки обладают полными индуктивностями, равными
соответственно:
z| + &2 _
-^11 = -L1S 4" -^12 ~ М (?1 + ^)2' =
^>22 ~ -^28 4" ^12 ~
— Jf
(*1+уа — а2‘
(40)
414
ПРИЛОЖЕНИЕ i
Его коэффициент трансформации равен
а коэффициент магнитной связи
(41)
Lj2 _____ ____— ^2________
У Lnb22	У (% + ла) (za 4- л'2)
Такой трансформатор, являющийся аналогом (6) свободного
весомого рычага, и приведён в седьмом столбце 12-й строки.
В частном случае, когда ЛГ=оо и fe = O, получаем уже рас-
смотренный выше невесомый рычаг первого рода с неподвижным
шарниром в точке О (строка 11 таблицы 1), для которого

п = —
0.
В другом частном случае, когда h — yi^, взаимная масса
полюсов рычага 2lfJ9 = O и уравнения (30) вырождаются в

(42)
Этот случай известен как случай совпадения одного из полю-
сов рычага с его центром удара относительно другого полюса.
Электрическими аналогами (а) и (Ь) в этом случае являются
две схемы, изображённые на фиг. 6 и 7. Они приобретают такой
вид, так как в этом случае С19 = 0 в аналоге (а) и Х19 = 0
в аналоге (Ь).
Следует заметить, что схема аналога (я) становится нереали-
зуемой с помощью одних только пассивных элементов, когда
CJ9<0 (отрицательная ёмкость!), т. е. когда /»<‘|//1/9.
ПРИЛОЖЕНИЕ i
416
Несмотря на то, что за последнее время предложены раз-
личные искусственные ламповые схемы, содержащие непассивные
элементы, работающие в режиме падающей вольтамперной харак-
теристики (так называемые динатронные схемы) и тем самым
пригодные для реализации отрицательных сопротивлений, ёмкостей
и индуктивностей, пользование ими сопряжено с рядом осложнений
при моделировании механических объектов *). Однако схема с от-
рицательной емкостью может применяться независимо от возмож-
ности её физической реализации как удобное расчётное средство.
Интересными свойствами обладает так называемый двойной рычаг,
изображённый в первом столбце 5-й строки таблицы 1. Он состоит
из весомого рычага с массой М в его центре и равноплечего
невесомого рычага первого рода. Матрица этого двойного рычага
может быть получена следующим образом:
Матрица (а') левого весомого рычага (2И>0, /г = 0, ^ = 1^ = 1)
[легко получаемая из матрицы (а) строки 12] имеет вид
(a/)==f—1 — 42И-1£-1 \	(43)
\ 0	—1	J
Матрица (а") правого невесомого рычага (211= оо, h — 0,
11 — —[легко получаемая из матрицы (а) строки 11] имеет
вид
(й//) = (~о -1)’	(44)
Для получения матрицы (а) системы, состоящей из двух
звеньев, сочленённых указанным на чертеже способом, необходимо
перемножить их матрицы в том же порядке, в котором они сочле-
нены, т. е. определить (а) по формуле **)
(а)	= («')•(«")
или
— 1 — 42И-ф-1\/ —1	0\	/1 ОГ-1!)’1
О —1 До — 1/ \0	1
Аналогично находится матрица (&) как произведение:
(b)	= (b') -(Ь")==( 1 °Д	(46)
'	\42lf-iD-i 1/
*) Кроме того, для этой цели может быть применён обычный лампо-
вый усилитель с положительной обратной связью и с достаточно боль-
шим коэффициентом усиления.
**) Доказательство элементарно и не приводится здесь. О правилах
перемножения матриц см. в указанной выше книге Смирнова.
• (45)
416
ПРИЛОЖЕНИИ I
По этим матрицам нетрудно сделать заключение о том, что ана-
логами (а) и (b) служат два электрических четырёхполюсника,
показанные в пятом и седьмом столбцах той же строки.
Таким образом, введение равноплечего идеального рычага первого
рода, присоединённого последовательно к такому рычагу, который мо-
делируется лишь нереализуемым аналогом (а), позволило получитьвпол-
Фиг. 8.
возможна и без сложных ламповых
не реализуемый четырёхпо-
люсник, состоящий из конден-
сатора с ёмкостью С—М,
включённого в продольную
ветвь.
Легко показать, что реа-
лизация аналога (а) свобод-
ного весомого рычага I (фиг. 8)
с if > 0, /» = О и у-= и, где
п—произвольное число, вполне
схем.
Для этого достаточно мысленно присоединить к нему два равно-
плечих идеальных рычага II и III так, как показано на фиг. 8.
Присоединение таких двух рычагов, повидимому, не изменит ни
скорости »2, ни силы f2 на выходе этого трёхзвенного механизма по
сравнению с однозвенным механизмом, состоящим только из одного
рычага I.
Матрица рычага I при условии М > 0, 1ъ = 0,	= п может
"2
быть получена из уравнения (34) в виде
Матрица рычага II равна (см. таблицу 1) матрице рычага III
, .	, ч / —1 О\
(«л) — (ajn) — ( о _(48)
Матрица двухзвенного механизма, состоящая из рычагов I и II,
равна произведению матриц
/ п
(а1, 11) ~ (ат) (ап) == |
\0
1_
п
(49)
ПРИЛОЖЕНИЕ I
417
Она может быть представлена, в свою очередь, в виде произ-
ведения двух матриц
Кл)= п 1 •	'	•	(50)
Т 7 \0	1	/
Матрица всего трёхзвенного механизма равна
(а) = (а2) (fljrj) (Я///) = (ад //) •	(51)
После подстановки (ат), замены (аЛ1Г) по (50) получаем:
(52)
Полученный результат позволяет перейти к электрическому ана-
Фиг. 9.
логу, состоящему из трёх реализуемых электрических четырёхпо-
люсников, соединённых в цепочку, а именно (см. таблицу 1):
1) идеального трансформа-
тора с коэффициентом транс- _£
формации — =
2) четырёхполюсника, со-
держащего в продольной ветви
конденсатор с ёмкостью (по-
ложительной)
Фиг. 10.
3) идеального трансформа-
тора с коэффициентом транс-
формации =— 1 (с обмотками, намотанными навстречу друг
другу или с перекрещёнными входными или выходными зажимами).
Схема этого трёхзвенного аналога приведена на фиг. 9.
27 Зак. 1977. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
418
ПРИЛОЖЕНИЕ t
В частном случае при 1{/12 = п=1 (равноплечий свободный
весомый рычаг I) ёмкость
(54)
а идеальный трансформатор, включённый перед ней, получает
коэффициент трансформации ^ = w==l и может быть изъят из‘
схемы. Последняя в этом случае упрощается и принимает вид,
показанный на фиг. 10.
§ 3. Механические фильтры
Метод электромеханических аналогий может быть использован
и для целей, обратных электромоделированию. Зная свойства какой-
либо электрической цепи, можно построить механизм (механическую
Фиг. 11.	Фиг. 12.
цепь) с аналогичными свойствами. Ограничимся тремя примерами
из области так называемых частотных фильтров. По схемам элек-
трических фильтров нижних и верхних частот и полосового
L С1

Фиг. 13.
Фиг. 14.
фильтра, приведённым на фиг. 11, 12 и 13 соответственно, можно
построить схемы таких же механических фильтров, если разложить
каждый из показанных фильтров на простейшие четырёхполюсники
и воспользоваться для каждого простейшего четырёхполюсника
какой-либо из двух систем аналогий.
Приложение i
419
Такие механические фильтры нижних и верхних частот и полосовой
фильтр для силы (аналога тока), полученные на основе соответствий
Механические фильтры нижних и верхних частот и полосовой
фильтр для скорости (аналога тока), полученные на основе соответ-
ствий (6) : f — и, v— г, показаны на фиг. 17, 18 и 19 соответственно.
Фиг. 17.	•	Фиг. 18.
Известно, что электрический фильтр нижних частот (фиг. 11),
ко входу которого присоединён источник переменного напряжения,
пропускает через себя соответствующий ток, если его частота <в
фильтры
лежит в полосе пропускания
п ,	2
<65>
Механические
нижних частот для силы и для
скорости, изображённые на
фиг. 14 и 17, «пропускают»,
Фиг. 19.
т. е. передают силу, или ско-
рость, если приложенные к их входам соответственно скорость или
сила меняются с частотой, лежащей в диапазоне
2
(56)
(так как	L~K~' или С L~M).
О ю
27*
42о
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Как известно, полоса пропускания электрического фильтра верх-
них частот (фиг. 12) определяется неравенствами
FFSs<e><“-	<6’>
Следовательно, полоса пропускания обоих механических фильтров
верхних частот (фиг. 15 и 18) определится неравенствами
К
1/
v
(58)
(так как здесь С—L— К'1 или С^К"1, L —
Наконец, так как полоса пропускания электрического полосового
фильтра (фиг. 13) определяется неравенствами
1 1
-7=-	®
/id!
4О1+<?2
ЪС& ’
(59)
то полосы пропускания механических полосовых фильтров опреде-
ляются неравенствами:
1) для фильтра силы
2 1/Т < ш < 21/~WS	(60)
(так как Сх — Мх, С2— Ж2, L — К~^ ;
2) для фильтра скорости
<61>
(так как ~К?,	\ L~M).
§ 4. Пассивные электромеханические четырёхполюсники
(преобразователи)
Выбор той или иной системы аналогий при электромоделиро-
вании пассивной механической системы, как было показано выше,
не стеснён никакими ограничениями принципиального характера.
Единственным исключением, пожалуй, является случай электро-
моделирования свободного рычага с малым (но отличным от нуля)
радиусом инерции, о котором говорилось выше (§ 2), когда во
избежание сложных ламповых схем рекомендуется пользоваться
аналогиями, основанными на соответствиях (b):f— и, v^i.
Однако при моделировании пассивных электромеханических
систем возникают особые обстоятельства, налагающие некоторые
ПРИЛОЖЕНИЕ I
421
принципиальные ограничения на выбор системы электромеханиче-
ских аналогий.
Для выяснения сущности этих ограничений рассмотрим такую
электромеханическую систему, в которой имеется один электро-
механический преобразователь, играющий роль связующего звена
между электрической и механической частями системы.
У этого преобразователя (фиг. 20), являющегося своего рода
электромеханическим четырёхполюсником, имеются два электриче-
ских и два механических полюса. Одним из двух механических
полюсов является неподвижная часть преобразователя — земля. Если
этот преобразователь — линейный пассивный элемент рассматривае-
мой системы, его электрическим аналогом *) может служить пас-
Фиг. 20.	Фиг. 21.
сивный линейный электрический четырёхполюсник (фиг. 21), на
входе которого сохраняются те же электрические величины, т. е.
ил	i,
а величины и i2 на выходе являются аналогами соответствующих
механических величин f и ъ (или наоборот).
Если при моделировании всей системы мы сохраняем её элек-
трическую часть в неизменном виде и лишь преобразуем её меха-
ническую часть в электрическую, то на преобразователь, находя-
щийся на стыке обеих частей системы, накладываются дополнительно
условия эквивалентности (по напряжению, току и мощности на
электрическом входе и по мощности на преобразуемом механиче-
ском выходе).
Это означает, что коэффициенты пропорциональности между
механическими величинами (силой и скоростью) и соответствующими
электрическими величинами (током и напряжением или наоборот)
должны быть выбраны так, чтобы не только мощность на входе,
но и мощность на выходе была инвариантна по отношению к пре-
образованию механической части в электрическую.
*) При выполнении некоторых условий, о которых будет сказано
в §§ 5 и 6.
422
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Уравнения пассивного линейного электрического четырёхполюс-
ника (фиг. 21) записывались нами в виде
И1 в	-412^2’ )	.
= -4S1W2 -|- ^22^2’ I
где в силу условия взаимности
-4ц-422--412421 = 1.	(63)
Если, как было сказано выше, этот электрический четырёхпо-
люсник является эквивалентом электромеханического четырёхполюс-
ника (фиг. 20), то
Ur — V,
4 = V	(64)
Если теперь вернуться к электромеханическому четырёхполюс-
нику, воспользовавшись соответствиями (а):/~;, v~u, и поло-
жить для этого в уравнениях (62)
г2 = ф'/*, и2 = v4',	(65)
где ©' и '/ — коэффициенты пропорциональности, подчиняющиеся
условию (64), т. е.
<а'ч' = 1,
то получим:
m =	Л)2®7',
г =Л21'/г> + Atff'f-
(66)
Решив, эти уравнения относительно и и f, найдём, что
/ =

(67)
где
’
а-п=-т^>	«12=7-,
-а. 22	-^22
_^21/2
^22
«21 — ~Т~ >	«22
A-Z2
(68)
Если же воспользоваться для той же цели и в том же порядке
соответствиями (Ъ): f— w, v— i и положить в тех же уравнениях (62)
?‘а = v"«; ад2 =	(69)
где ч" и ®" — другие коэффициенты пропорциональности, но так-
же подчиняющиеся условию (64), т. е.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
423
то получим:
W = An<?"f +	|
г = Л21?7 + Л22/'г,. J
(70)
Решив эти
получим:
уравнения относительно тех же величин и и f,
и = а"г 4- а"г>,
(71)
где
(72)
Сравнивая матрицы (а') и (а"), отмечаем одно принципиальное
различие между ними. Оно заключается в том, что (а') — симме-
тричная матрица, а (а") — кососимметричная матрица, так как
(73)
(74)
Следовательно, когда будут рассматриваться конкретные электро-
механические преобразователи и, в частности, электромагнитный
и электростатический преобразователи, как наиболее часто приме-
няющиеся, нужно будет не только решить вопрос о принципиальной
возможности их электромоделирования, но и выбрать ту или иную
систему аналогий в зависимости от характера матрицы (а), т. е.
матрицы коэффициентов уравнений вида (67) или (70).
§ 5. Электромагнитный иреобразователь
Основные уравнения электромагнитного преобразователя могут
быть выведены следующим образом.
Напряжение, приложенное к электрическим (входным) зажимам
преобразователя, равно
^ = ^'4- — ,	(75)
dW
где -----составляющая напряжения, уравновешивающая электро-
движущую силу, индуцируемую изменяющимся магнитным потоком
в катушке — рабочем элементе преобразователя, а и' — сумма
падений напряжения во всех остальных элементах его электриче-
ской цени.	’ ’
424
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Потокосцепление рабочей катушки ЧГ зависит от тока i и гео-
метрической координаты х, т. е.
¥ = Ф О', х\. (76)
Так как
dW __	. di . d'F . dx _ d^ . di , dW
dt	di * dt ' дх * dt di dt' dx 9	'
где — так называемая динамическая индуктивность катушки,
—скорость перемещения подвижной части электромаг-
нитного преобразователя относительно его неподвижной части (на-
пример, якоря электромагнита относительно его сердечника или
ротора машины относительно её статора), то формула (75) может
быть записана в виде
, . ат di . ат Г7 . ат	Z_Q4
и=и +-didi+	• <78>
Здесь Ze (В) i представляет собой сумму падений напряжения
во всех элементах электрической цепи преобразователя (в том
числе и в его рабочей катушке), когда относительная скорость
перемещения его подвижной части равна нулю (т. е. когда коорди-
ната х = const.). Таким образом, Ze(D) является операторным
сопротивлением электрической цепи преобразователя.
Второе слагаемое в правой части (78) представляет собой ту
составляющую приложенного напряжения, которая уравновешивает -
противодействующую кинетическую электродвижущую силу (эдс
резания).
Уравнение (78) является первым уравнением электромагнитного
преобразователя. Для получения второго уравнения обратимся
к закону сохранения энергии, в силу которого мощность на входе
равна сумме мощности на выходе и потерь внутри преобразователя.
Электрическая мощность на входе равна
р. = ш = и гА-г-гт • -тт + г з— v,	(79)
-ri	1 дг dt 1 дх 9	4 7
а механическая мощность на выходе равна
.Ра = fv‘	(80)
Потери внутри преобразователя происходят как в его электри-
ческой, так и в его механической цепи. Их мощности равны
соответственно
Ре =u’i,.	(81)
Pm = vZm(I))v,	(82)
где ZW(D) — операторное сопротивление механической части пре-
образователя.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
425
Кроме того, к внутренним потерям преобразователя следует
отнести и ту часть электрической энергии, которая расходуется
на изменение запаса магнитной энергии его рабочей катушки. Как
известно, её запас магнитной энергии может быть выражен инте-
гралом
чг •	<
ТГф= Jid’r-sflr — рГйг,	(83)
О	о
вычисляемым в предположении, что намагничивание происходит
по некоторому определённому закону (магнитной характеристике
электромагнита или машины) Ф = Ф (г), т. е. при х — const. Как
верхние пределы интегралов, так и вид подинтегральных функций
зависят не только от тока, но и от координаты. Поэтому при
изменении координаты происходит изменение запаса магнитной
энергии со скоростью
йЖф	di дЖц dx
di di. ' dt ‘ дх 9 dt
д / f \ di дРГф dx . dW di dW&
= _(гф_ фйП _J_	—. — 4-—±.0. (84)
дг \ J J dt • dx dt di dt 1 dx v z
о
Уравнение баланса мощностей _
(85)
после подстановки из (79) — (82) и (84) принимает вид
di ,ЙЧГ	, .W di . ЗЖФ , гг
иг +г•v=и щ • Tt +—v+vZ*fv-
из которого следует, что
.	dWb
f =	<86)
Таким образом, электромагнитный преобразователь описывается
двумя уравнениями (78) и (86) следующего вида:
. д^
и = Ze (D) г + V = апг + а1а®,
,	/3W	1 ЗЖд .	.	(87)
t = I to ~ ~ ~д^)г — V = “2? + «32^
где	а11 — С^)> 34"	1 ЭЖф Л  ——— - -- -- —>	*	dW а12~7Г’	(88)
	21 дх i дх ’		
426
ПРИЛОЖЕНИЕ I
В частном случае, когда скорость изменения запаса магнитной
энергии рабочей катушки, вызываемого относительным перемещением
механических частей преобразователя, равна нулю или достаточно
мала (например, в магнитоэлектрических и электродинамических
системах, в двигателях и генераторах постоянного тока и в электро-
магнитах при малых перемещениях якоря относительно сердечника),
т. е. когда можно считать, что
а12 —	,
(89)
электромагнитный преобразователь может быть моделирован соответ-
ствующим чисто электрическим линейным пассивным четырёхполюс-
ником. Этот четырёхполюсник должен быть построен на основе
соответствий (а) : f ~ i, v~u, так как матрица (а) электромагнит-
ного преобразователя оказалась симметричной.
Коэффициент а12 = называется коэффициентом электро-
механической связи такого электромагнитного преобразователя.
§ 6. Электростатический преобразователь
Напряжение, приложенное к электрическим (входным) зажимам
электростатического преобразователя, равно
и — и' + Sq,	(90)
где и' означает падение напряжения во всех элементах его электри-
ческой цепи, кроме рабочего элемента — конденсатора, а $ и
q — соответственно инверсную ёмкость и заряд конденсатора.
Будем исходить из естественного предположения, что ёмкость
конденсатора зависит исключительно от геометрической коорди-
наты х (например, от расстояния между обкладками) и. что соответ-
ствующая функция 8 — 8{х} может быть разложена в сходящийся
ряд Тейлора, т. е. что
я (*)=4	+{ж 2Го)' я; -г... =
= ^0+(« —a;0)^(i+$),	(91)
где		
w 	х хо % , |	J;o)2	|		(92)
	2! , в'о 1	8!	"	
Так как	ж =	2 = </о4~ Р"1),	(93)
ПРИЛОЖЕНИИ I
427
то уравнение (90) может быть записано в виде
и = ад'4- [Д + (« — ж0) 5ц(1+^)] • [g0+(q— g0)] =
= и' -f- 6'0д0 + #0 (q — q0) -f- qS'o (1 + $) (ж — ж0) =
= % + Ze(D) i + qS'o(1 + ?) D~1 v,	(94)
где
w0 = 's'o2o	(95)
— начальное напряжение (напряжение покоя) между обкладками
конденсатора,* а
t	Ze(P) = ^ + S0P-i	(90)
।	—операторное сопротивление электрической цепи преобразователя
I	при условии, что напряжение покоя и0 и скорость v равны нулю.
<	Уравнение (94) является первым уравнением электростатического
преобразователя. Для получения второго уравнения обратимся
к .закону сохранения энергии, для чего воспользуемся рассуждениями,
аналогичными приведённым в § 5. Для этого подставим в уравнение
баланса мощностей
А =Ре + Рв +Рт+Ръ	’ (97)
выражения для перечисленных в нём слагаемых, а именно:
= иг = uJi 4- 8 (х) qi,	(98)
>2 = /Ч	(99)
ре = u'i,	(100)
Рт =	(D) v.	(101)
К внутренним потерям электростатического преобразователя следует
отнести и ту часть электрической энергии, которая расходуется
на изменение запаса электростатической энергии конденсатора Ws.
В данном случае, учитывая сделанное выше предположение относи-
тельно независимости ёмкости конденсатора от заряда на его
обкладках, имеем
\ ' <1
\Va= \ S(x)qdq = -^ 8(х^	(102)
’ о
и вследствие этого
= = + <103>
Подставив в (97) значения слагаемых из (98)—(101) и (103),
получаем
u'i	8 (ж) qi = u'i -f- 8 (ж) qi -j- S' (x) q^v vZm (Z>) v -|- fv,
428
ПРИЛОЖЕНИЕ I
откуда
- f——-i-/S"(«)32—.	(104)
Нетрудно видеть, что. сила покоя (при q = Зо, х — х0 и г> = 0)
равна
У0 = -±ед,.	(105)
Поэтому.
{D)v.	(loo)
Выражение в квадратных скобках может	быть	преобразовано.
Заметим, что на основании (91)
^(^ = ^(1+^),	(107)
где
Поэтому
8’ W <г2 - ед = едх -Н) а2 -	-
=	+«о (а + 2о) (а—а0) =—(а + а0) D~4
и, следовательно,
f=fo [i+ti(^)2]-^4^-4-4„(£>.	(109)
В частном случае, когда инверсная ёмкость может рассматри-
ваться как линейная функция координаты в области х^ах0
(например, когда расстояние между обкладками плоского конденса-
тора достаточно мало по сравнению с-их линейными размерами),
т. е. когда 8" == 8" — ... = О, величины 5 и тд, определённые
формулами (92) и (108), равны нулю. В этом случае уравнения
(94) и (109) принимают упрощённый вид
w — ип = Z (D) i + qS'nD 1 v — a„i -4- a v,
U	g 4	'	'	•* V	11	1	14	'
f— f0 = — Mp 8'J)-1 i—Zm (D) V = «21^4-022 V,
где
°-u = zeW =
^ = ~^8'qD-\ aS2 = -'Zm(D).
(HO)
(111)
ПРИЛОЖЕНИЕ i
429
В ещё более частном случае, когда можно пренебречь относи-
тельным изменением заряда на обкладках конденсатора, т. е. когда
Я. —	2 Зо>
можно считать, что
a2i ~ ai2 ~ 3(A) & 1 •
(И2)
(ИЗ)
Операторный коэффициент а12 может быть назван коэффициентом
электромеханической связи электростатического преобразователя.
Таким образом, такой электростатический преобразователь,
удовлетворяющий указанным выше условиям относительно линейной
зависимости его инверсной ёмкости от координаты и малых изме-
нений заряда (а следовательно, и напряжения) на его обкладках,
может быть моделирован соответствующим чисто электрическим
линейным пассивным четырёхполюсником. Этот четырёхполюсник
должен быть построен на основе соответствий (Ъ): f ~и, v~i,
так как матрица а оказалось кососимметричной.
§ 7. Переход от аналога (а) к аналогу (6)
(Дуализация схем)
Электромеханическая система, содержащая электростатический
преобразователь, моделируется так, что её механическая часть
заменяется аналогом, построенным на основе соответствий (Ь)
v— г. При этом скелетная схема механической цепи не сохра-
няется в электрическом аналоге, а переходит в дуальную схему.
Это преобразование заданной скелетной схемы в дуальную ей
может быть выполнено графическим приёмом, описанным в § 15
главы II.
Каждая пара электрических элементов, содержащихся в четырёх-
полюсниках, помещённых в пятом и седьмом столбцах и в одной
и той же строке таблицы 1, дуальны друг по отношению к другу.
Сами четырёхполюсники также взаимно дуальны. Можно было
бы сохранить в таблице 1 лишь аналоги (а) и пользоваться только
ими. В случае необходимости переход к аналогу (&) мог бы выпол-
няться путём последующей дуализации аналога (а), при помощи
указанного графического приёма.
Исключением из этого общего правила явилась бы задача дуа-
лизации идеального трансформатора — электрического аналога идеаль-
ного рычага. Индуктивности его обмоток и их взаимная индуктив-
ность в пределе равны бесконечности. Его дуальной схемой должна
быть схема II-образного четырёхполюсника, все три ёмкости кото-
рого также равны в пределе бесконечности. Поэтому мы предпо-
430
приложение i
читаем пользоваться в аналогах (Ь) таким же идеальным трансфор-
матором, но с обратным коэффициентом трансформации.
Графический приём дуализации в указанном выше виде неприме-
ним, если исходная схема непланарна, т. е. не может быть начер-
чена на плоскости (или поверхности шара) так, чтобы какие-либо
две или большее число ветвей этой схемы не перекрещивались
между собой.
Действительно, в этом случае, как видно на примере фиг. 22,
имеются области, налегающие друг на друга, и ветви, принад-
лежащие одновременно трём областям. Это означает, что в дуаль-
ной схеме должны иметься три раз-
личных узла (соответствующие таким
трём областям исходной схемы), со-
единённые одной общей ветвью (соот-
ветствующей общей ветви этих трёх
областей), что представляет собой
геометрический абсурд.
Однако, воспользовавшись приё-
мом, предложенным Э. А. Меерови-
чем*), и развивая его в необходимом
в данном случае направлении, можно
фиг. 24	получить дуальную схему и для исход-
ной непланарной схемы. Этот приём
и его развитие будут показаны на примере схемы фиг. 22.
В одну из двух перекрещивающихся ветвей, например Т)Е, вво-
дятся два источника напряжения, соединённые последовательно и
обладающие равными и противоположными электродвижущими си-
лами zt u0.
Величины z±zw0 подбираются так (фиг. 23), чтобы точка F, рас-
положенная между D и Е, получила потенциал, равный потенциалу
*) Сообщение Э. А. Мееровича’ на семинаре по теории цепей в Энер-
гетическом институте АН СССР в октябре 1946 г.
ПРИЛОЖЕНИЕ I.
431
точки О, являющейся одним из узлов другой перекрещивающейся
ветви АО. При этом, естественно, тркораспределение во всей схеме
не нарушается. Две эквипотенциальные точки F и О могут быть
соединены накоротко без
нарушения токораспре-
деления, благодаря чему
получается новая планар-
ная схема (фиг. 24),
эквивалентная исходной
схеме (фиг. 22), но со-
держащая два новых эле-
мента — два источника
напряжения ± и0. Эта
схема затем подвергается
дуализации с помощью
указанного выше графи-
ческого приёма, в резуль-
тате чего получается схема фиг. 25, в которой содержится два
идеальных источника тока ±iQ, являющихся аналогами идеальных
источников напряжения в схеме, представленной на фиг. 24.
Фиг. 26.
Эти источники тока могут
быть представлены *) дву-
мя обмотками идеального
трансформатора с равными
числами витков, как пока-
зано на фиг. 26. Число
витков каждой из этих об-
моток зависит только от со-
отношения между элемен-
тами исходной схемы и не
зависит от действующих в
этой схеме или приложен-
ных к ней извне электро-
движущих сил.
Таким образом, дуальные схемы, вопреки утверждению на
стр. 66, могут быть построены и для непланарных схем, но
со включением добавочного элемента — идеального трансформатора
(тока).
§ 8. Эквивалентные электрические цепи
электромеханических преобразователей
Для получения уравнений электрического аналога — эквивалента
электромагнитного преобразователя необходимо заменить механи-
ческие величины в уравнениях (87) соответствующими электриче-
*) В схеме переменного тока.
432
ПРИЛОЖЕНИЕ I
скими величинами по формулам (64) и (65), т. е. положить
f •	1
f=v?2, t> = - w2.
Из .полученных таким образом уравнений легко находим:
,,	( ~	а12а21 \ ;	। аИ „•
U* = I 0С«<-------------) Ъ-» —V в— Zq>
1	\ 11	«22 / 1	«22 -
и2 = — V — ij “ i*
3	«22	‘	«22 *
(114)
(П5)
Эти уравнения приобретут бблыпую наглядность, если произвести
в них замену коэффициентов аг7с их выражениями по формулам
(88) и (89):
а19 —а21 —ос — дх,
а22=-	Ym(D) ’
(И6)
а11 ~~ %е (-®)>
где а — коэффициент электромеханической связи, v — масштабный
коэффициент, о целесообразном выборе которого будет сказано ниже,
Ym— операторная податливость механической цепи преобразова-
теля, a Ze — операторное сопротивление его электрической цепи.
После подстановки получаем:
ui = \%в + а (а — v) Ym] ii	av Ym	— ia),
w2 = av Ym (i1 — ?2) — ,v (v — a) Ymi2-
Нетрудно видеть, что этим уравнениям соответствует Т-образ-
ный четырёхполюсник, изображённый на фиг. 27, ветви которого
(П7)
ПРИЛОЖЕНИИ I
438
обладают операторными сопротивлениями, равными соответственно
Zi =Ze4-a(a — v) Ym,
Z2 = v (v — a) Ym,
^12 == Ym.
(118)
Если выбрать масштабный коэффициент равным коэффициенту
электромеханической связи, т. е. положить
v = a,	(119)
то эквивалентная схема преобразователя упрощается и принимает
вид, показанный на фиг. 28, так как в этом случае
= Z2 = 0; Z12 = a2Km.	(120)
Для получения уравнений электрического аналога — эквивалента
электростатического преобразователя необходимо заменить меха-
нические величины в уравнениях (ПО) соответствующими электри-
ческими величинами по формулам (64) и (69), т. е. положить
.	1	л	1	.	(121)
fo — ^"М20! f— ^«2» V ?*2'
Из полученных таким образом уравнений легко находим:
«1 WjQ — «11^1 ~Ь ?а12^2»
«2— «20 = ?а21*1 + ??«22«2-
(122)
Эти уравнения также могут быть преобразованы к более на-
глядному виду, если произвести в них замену коэффициентов аПс
по формулам <111), (112) и (113):
aJ2----®21 —	'— Qo^oD ,
a22 ~ Zm (-D),
an = Ze(D),
(123)
28 Зак. 1977. M. Ф. Гарднер в Дж. Л. Бэрнс.
434
ПРИЛОЖЕНИЕ i
где pD-1—операторный коэффициент электромеханической связи,
ф — некоторый масштабный коэффициент, Zm — полное механиче-
ское сопротивление механической цепи преобразователя, a Ze — пол-
ное сопротивление его электрической цепи. После подстановки
получаем:
«1—I /124)
W2 —зд20= —(ij — г2) —	+	/
Нетрудно видеть, что этим уравнениям также соответствует
Фиг. 29.
Т-образный четырёхполюсник, изо-
бражённый на фиг. 29, ветви кото-
рого обладают операторными сопро-
тивлениями, равными соответственно
=Ze(D) + <ppD-i, 1
Z2 =®[PD-1 + <PZm(D)], (125)
и в плечи Zi и Z2 которого включены, кроме того, источники по-
стоянного напряжения «10 = м0 и
М2О = ^/о=	2^^0 =	(126)
ПРИЛОЖЕНИЕ 11
РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ*)
К главе II
2.1. На фигуре 1а изображена схема мостового Т-образного филь-
тра с равными сопротивлениями R на входе и выходе, причём В2 = L/C.
а) Определить число независимых геометрических контуров и число
независимых пар узлов.
б) Составить для этой цепи интегро-дифференциальные уравнения по
методу контурных токов.
в) Составить такие же уравнения по методу узловых напряжений.
Решение:
а)	число ветвей b = 7, число элементов
е = 8, число узлов п — 5, число отдельных
частей s = l.
Следовательно, число независимых кон-
туров равно	•
I ~е — п + 5 = 4,
а число независимых пар узлов равно
также
пр = п—s = 4.
Однако узел IV (см. схему) является
уетранимым узлом, так как в этом узле
сходятся только две ветви. Поэтому число неустранимых узлов равно
только четырём (I, II, III и 0). Узел 0 принимаем за узел отсчёта. Сле-
довательно, число независимых пар неустранимых узлов равно трём.
Для определения токов в ветвях и напряжений узлов достаточно соста-
вить либо четыре уравнения — по методу контурных токов, либо три
уравнения — по методу узловых напряжений.
б)	Четыре уравнения, составленные по методу контурных токов,
имеют вид:
«2 dt — 2R г’з = и (t)
— S j dt ~|— 3-R ^2 И- $ j dt — 2-R г’з == О,
— 2R ч—2R i2 4- L + 4В i3 —	= О,
dt	dt
(1)
*) Решения задач составлены П. И. Зубковым.
2Ь*

ПРИЛОЖЕНИЕ it
т. е.
а11 г1 + «12 Ч 4“ а13 Ч 4“ а14 Ч	= м (0> ]
«21 h + «22 Ч + а23 k + «24 Ч	= О»
«31 Ч 4“ «32 Ч 4“ «33 г3 4* «34 Ч	— О,	I
«41 Ч 4" «42 Ч + «43 Ч 4“ «44 Ч	= О,	J
где
о>ц = Зй —$ Рdt*9 «22 == 3 Д 4“ $ «зз 4~ 4R;
<l44 = z'i + TJ?;
ctj2 == «21 == — $ J* dt, «1в == «31 ==: — 2Й;	«]^ = «ц = О*,
_ й
«2з = «32 “ — 2 R; «24 = «42 = 0;	«34 = «43 == — jj
rfb] co
в)	Три уравнения, составленные по методу узловых напряжений,
имеют вид:
^(М1 ----WIl) + j ОЧ ------t4H) i G («j ------Мщ) +
+ G (и J — ^iv) = О,
3	f	i	(4)
—Wi)4“-Zj (мп —ui) + "2" (мп—^ni) + ^wn = o,
1	1	ЙМтгт
“ 6r (wni	) + у 6r (Wju —- un ) + C = 0.
Здесь
(? = 4, и C = 4-	(5)
л	L	о
Если учесть, что
Ujy = IZjy —*- Uq = и (f),
TO
Gu14 = Gu (Z) = i (t)	(6)
может рассматриваться как заданный ток источника тока с параллельно
включённой проводимостью G, эквивалентного источнику напряжения и (t)
с последовательно включённым сопротивлением R.
Эти уравнения могут быть переписаны в следующем виде:
GuT + Г J «j dt — Guu — rj un Guin = i G),
—4 Gui—r f uidt+4	+r J мпdt—4&w ш=°,
—2 Gui-^ ^Ii + 0-sr + ^ui = 0.
ПРИЛОЖЕНИИ II
437
Ьц г< J + ь I п МП + Ш ИШ = г СО>
6НI и1 + ЬПII ИП + &И III м III — °’
hn I Mi + ьш п г'п + ьш ш мш = °>
где
bII=|tf + rJdi; 6ln=bnl=-ltf-rjd«;
bji Щ = -J- (г + г J* dt; bj nl = bal J =	-g- <?;
bIII III = 0 4? +	6II III = bIII II = —’ у
Если теперь воспользоваться условием
(8)
(9)
или
Я’ = -^- = L8,
О
(22 = ГС,
(10)
из которого следует, что
L=—; aS = ^<d0; О = —; r=G^,
®о	w0
где
то операторы и bj^ могут быть записаны в виде
= -R ^3 -J- wq J dt j 3
йзз=2г(^’^+4);
d\2 == ®21 == — J* dt\
a23 — tt32 = — 2B;
$22 —
$13 — $3i = — 22?; $14 — $4i = 0;
«24 = «42 = 0;	«34 — «43 = — “ * 3T >
(Dq $r
(11)
(12)
(13)

438
ПРИЛОЖЕНИЕ II
2.2.	Для цепи, изображённой на фиг. 2а, определить:
а)	число независимых геометрических контуров;
б)	число независимых геометрических пар узлов;
в)	составить интегро-дифференциальные уравнения по методу кон-
турных токов.
Решение:
а) Число ветвей b «= 10, число элементов е == 13, число отдельных частей
5 = 1, число неустранимых узлов п = 5, число всех узлов nf = 8, число
независимых контуров
2 = 6 — n + s = е — п' -J— s = 6.
Обозначения контурных токов показаны на схеме фиг. 2а, или на схеме
Фиг. 2а.
фиг. 2Ъ, являющейся лишь иным начертанием той же схемы. Уравнения
контурных токов имеют вид
6
~ (О» <7 = 1, 2, . •., 6,
где
и3 (О = и (f) при j = 1 и Uj (/) = 0 при j = 2, 3, ..., 6.
Здесь операторы равны:
а11 = #4 + -йб;	«22 — ^5 +	4~ J* &t;
азз=Ьз4+-йз+(^
«44 = #4 +	+ -qJ j dt; «бб — (Lj + £3)	+ Д?;
«66 = (^2 + ^з) "77 “F ^2 4”	+ yr f dt;
«12 — «21 ~ — ^5>
«14 = «41 = — Ди
«23 — «32 —
«1з = «31 == 0;
«15 — «51 — 0;
«16 — «61= 0;
«24 = «42 == 0;
«25 — «52 — О-
«26 — «62 — —
«34 = «43 — — 7Т"
G2
«45	* «54 — fi
й	d
«53 ~ — ^з — Д; «зб — «бз ~	— ^3’
«46 — «64 “ 0; «б6 == «gg — L3 4" Д?
ПРИЛОЖЕНИЕ II
439
2.3.	В цепи, изображённой на фиг. За, имеется рубильник К, который
замыкается в момент времени t = 0. Начальные значения запаса энергии
в катушках и конденсаторах равны нулю.
а)	Определить число независимых геометрических контуров и незави-
симых пар геометрических узлов.
б)	Определить необходимое число зависимых переменных, если инте-
гро-дифференциальные уравнения составлены по методу контурных токов.
Каково будет необходимое число зависимых переменных, если уравнения
будут составлены по методу узловых напряжений?
Фиг. За.
Фиг. ЗЪ.	Фиг. Зс.
в)	Если указанный на схеме источник напряжения заменить источни-
ком, тока, то какова будет связь между ними?
г)	Составить интегро-дифференциальные уравнения для этой цепи по
методу узловых напряжений.
Решение:
а)	Число ветвей Ъ = 3 + 3 = 6; число неустранимых узлов п = 4; число
элементов е = 4 -|- 3 = 7; число всех узлов п7 = 5; число отдельных частей
s = 2; число независимых контуров Z = b — n-|-s = e — п7 — s = 4; число
независимых пар неустранимых узлов Пу = п— s = 2; число всех незави-
симых пар узлов пр = п — s = 3.
б)	Число неизвестных переменных, вошедших в уравнения, составлен-
ные по методу контурных токов, равно числу независимых контуров,
т. е. 4. Число неизвестных переменных, вошедших в уравнения, составлен-
ные по методу узловых напряжений, будет равно двум, ибо напряжение
между теми узлами, между которыми включён генератор напряжения,
известно.
в)	Источник (генератор) напряжения, включённый по схеме фиг. ЗЪ,
может быть заменён источником (генератором) тока с nai аллельно вклю-
чёнными Bi и как показано на схеме фиг. Зс, если соблюсти условия
равенства токов и напряжений на выходе источников.
При этом следует отметить, что рубильник К, включённый последова-
тельно с источником напряжения, заменяется рубильником К7, включённым:
440
ПРИЛОЖЕНИЕ II
параллельно источнику тока. Рубильник К' замкнут, когда рубильник К
разомкнут, и наоборот.
В схеме, изображённой на фиг. ЗЪ,
• z.x 1 z ч d(u — ui) 1	, _ du /1	. „ du\
В схеме, изображённой на фиг. Зс,
Следовательно, потребуется
• z и, Ли
t(i)==^+C1dr
Схема За принимает удобный для расчёта вид, представленный на фиг. 3d.
г) Уравнения, составленные по методу узловых напряжений, таковы:
Здесь
4- Cl
u2 dt = i (i);
U2 dt 4- G2W2 -|- C2 = 0.
Cut

M
Г1	L1Lss — M^ri~L1L2 — Jdi’rM~LiL2 — ^’
2.4. Рубильник К на схеме фиг. 4а размыкается в момент времени
t ~ 0. К этому моменту
шиеся токи. и означает
/г/ Л7/	, Lz R9
Фиг. 4a.
времени по всем ветвям цепи текут установив-
постоянное (не изменяющееся во времени) напря-
жение. Определить начальные значения токов
в ветвях, указанных на схеме, и их производ-
ных по времени, получающиеся тотчас после
размыкания рубильника (для момента времени
t = о -f-), т. е. определить значения
ч . .г .//
а) г1» Ч’
6) г2» г2» ?2 ‘
Решение: Установившиеся токи после
размыкания рубильника К равны соответственно
Ч = г'з = ъ jTp ; Ч = 0.
Установившиеся токи до размыкания рубильника К равны соответственно:
h = «2 = 0; гз = -^--
-Q2
После размыкания рубильника начинается переходный процесс, в течение
которого токи г’1, и ?з связаны уравнениями
Ч 4~ г2 = Ч;
t
+ ^14 = -g- f Ч dt (ибо ueQ — 0);
b
ц + в* +	+ -я? (4+9 = v.
(55	wtf	•
(1)
(2)
ПРИЛОЖЕНИЕ II
441
В начальный момент (при t = 0 + )
7 ю = 0, <зо —	,
U
?20 = г30 — 110 —	•
212
Из уравнения (2) следует, что при / = 0 +
Ll + = °’
а из уравнения (3) следует, что при t = 0 +
•М	+ -^1<10 + ^2 [	+ -^2 (<10 + <20) = U>
\ ии /Q	ill J q
откуда
(^)0 И (&)„ Дифференцируем
Для определения
и (3) по t:

оба уравнения (2)
+ -Й2
О
'dii\ т Г<Р(г'| -Н2)
^;о+ ч—w—
Г d (<i -|- г2)	_
L dt Jo-U’
откуда
/^<i\ U . (d*i2\ Lj + L^d^X Lx + L2
\dt2)Q L^R^O* \ dt2 )Q L2 \dt*}Q LXL2GR2
2.5.	По цепи, изображённой на фиг. 5а, текут установившиеся токи,
когда рубильник К разомкнут. Этот рубильник замыкается в момент вре-
мени t — 0.
а)	Указать начальные значения и направления (полярности) величин:
«Л> Md2 И «3 (= й).
б)	Составить интегро-дифференциальные уравнения для этой цепи при
замкнутом рубильнике.
в)	Указать начальные значения (для £ = 0 + ) величин <Р <2, <3 и ив2.
Решение:
а)	Когда рубильник К разомкнут, постоянный ток установившегося
режима протекает по контуру R^R2R3L. Он равен начальному значению
тока в катушке L после замыкания рубильника К: <0 = <30 = -^—7—55—г—тг-
Напряжения конденсаторов до замыкания равны соответственно началь-
ным значениям этих’ напряжений после замыкания рубильника К,
#1 .
— <q (^2 4~ -®з)
= г0 (^2 “Ь ^в)
^2
+ ^ ’
442
ПРИЛОЖЕНИЕ II
б)	После замыкания рубильника К начинается перераспределение
токов и напряжений, причём токи подчиняются интегро-дифферен-
«5; Л/
к
4
Ji* р
——^Г-
Фиг. 5Ъ.
L
U
циальным уравнениям переходного режима (см. схему на фиг. 5Ь):
t
г2 ,== J* (г4 — i2) dt + wsi0;
о
t
£ 4“ Дрз = f	W®20
6
L l[t “Ь -^3 + -^2 ^2 + -^4 Ч =
в) В начальный момент (* = 0 +)
•^2 Йо = ДвЮ*,
L )о *3° = ^20 +	— 23°);
L (*"3|)о ^3130	120	140
(1)
(2)
(3)
—^0?
Следовательно,
• _ ^sio _ ; № 4- Дз) .
2о“ J?2	+
+ R.) + ^-№+Sb) £^2
,40 = 1(l	^ + «4	~
Йо = г40 — г30 — 0.
Из уравнения (3) следует, что
/^‘з\  И'—	йо—1^2 йо — -^4 4о
\^/о	L
~ "Г" • [ (^2 + -^3 4*	— ^3 — (-®2 + -®з) о" I1сг 1 = Й • JT Л I о Л •
// I,	°l"fz?2	4	ь^1тс2;
ПРИЛОЖЕНИЕ II
443
Напряжение 2-го конденсатора равно
t
US% = ^2 j* (?4 гз) 4~ WS20 ~ ^2
О
t
J *1 dt + мй0,
о
а его производная по времени равна
&us2
dt
В начальный момент времени (при t = 0	)
Токи и напряжения установившегося режима после замыкания рубильника
(т. е. при t = + со) соответственно равны
4 00 - ?3ео - г4оо “ д2	- «о;
г1оо ^4 со ^Зоо О*
со “ ^2со ’-^2 ~ 10^2>
US2 оо ~ г 3 оо * ^3 ~ ^3-
Таким образом, полные изменения токов и напряжений равны
Д?! = Дй = Дг3 = Д4 — 0;
л “	• ад—ад
Дrgl = UsX оо — WS1O —	52--’
А	. -Вз$1 — R^2 а
Д^§2 = ws2 оо — ug20 — ?0	= — д ^81-
2.6. В цепи, схема которой изображена на фиг. 6, рубильник К остаётся
замкнутым до тех пор, пока в ней не будет достигнуто установившееся
состояние, после чего он размыкается.
а)	Каково начальное значение на-
пряжения на рубильнике после его раз-
мыкания?
б)	Каково начальное значение первой
производной этого напряжения?
Решение. Когда рубильник К зам-
кнут, постоянный ток установившегося
режима протекает по контуру	и
равен
• __
’°	л1 + в24-б8 •
В то же время токи в конденсаторах
01 и С2, катушке L и сопротивлении R
равны нулю. Напряжения конденсаторов Сх
Фиг. 6.
и С2 равны соответственно:
^(710 ~	— № + *з) ?о> •
=0 — (.#1 -Вг) = ~Вз2о»
(Обратите внимание на полярность этих напряжений!) Для проверки вычис-
лим алгебраическую сумму этих напряжений, равную их арифметическое
444
ПРИЛОЖЕНИЕ II
разности
^(710	^020 — -^2г*0«
После размыкания рубильника К наступает переходный процесс, причём
в начальный момент времени напряжения конденсаторов равны соответ-
ственно и (так как напряжения конденсаторов, как и их заряды,
не могут меняться скачком).
Интегро-дифференциальные уравнения переходного процесса, насту-
пающего после размыкания рубильника (см. схему), принимают вид:
^2 Ч + (^1 + ^2) J*1*! dt —-	J* 23 dt = О,’
Z/ 4- 2'2— ч=0;
Cut
— J 4 dt — ^4 22 + (>®14“ ^4) 4 4- Ф J 4 dt = IT.
Так как
t
J* (г1 — гз) dt =	(2*1 — 23) dt Uqiq
6
и
t
^2 J* 4 dt — 62 f i*i dt 4- uG2Q t
0
то те же интегро-дифференциальные уравнения принимают вид:
t	t
ВъЧ4“ № 4“ ^2) J*г1 dt — a$i J* 23dt = гъ G1Q — UC2O го;
00
i^ + B4^-J?44 = 0;.
иь
t, t
— Ф J*h dt — 2’2 4~ (^14* ^4) гз 4" J* 4 dt = U—и GlQ =	20.
о	0
В начальный момент (при t = 0 4- )
,Й2 Чо = ^2
L (df )о	120 — гз° =
— -^4 г20 + (^1 4” ^4) 230 =	г0*
Так как
2*20 =	~ О
(ибо ток в катушке не может меняться скачком), то
ho =
22О = 0;
. _____
\ rf Jo Л dt л h ( 30 2о)	л (Д, 4- т?4) п'
йрйложёниё it
445
Напряжение между контактами разомкнутого рубильника К
ик (0 — иа>	= U — R,ii% — И^ъ
а в начальный момент (при t = 0 +)
w /п -1-1 - м I Т — R i !	^1-^4 ; _ ^S4 + -Й4К3 4- -КзА •
«но +) - «С1О + L R3 «о +	*0 ---------------------»,
Производная этого напряжения
<*«*(*) _ р йг’з р dil_( о I SlSi	^4	(о; 1_ р di3\
~dT - -Rl dt -®2dt - r2+R^rJ 11 ~W+RiV18 + Rldt)•
Её начальное значение
= I (Si + Si) Rt + StRi -	( St
ut L	*“1 "T" **4 \
__-Ri-RiX I 4
L JX + ^4*
Фиг. 7.
2.7.	В цепи, схема которой изображена на фиг. 7, достигнуто уста-
новившееся состояние к тому моменту времени (t = 0), когда происходит
замыкание рубильника К. Составить ин-
тегро-дифференциальные уравнения для
этой цепи и сформулировать начальные
условия.
Решение. До замыкания рубиль-
ника К постоянный ток установивше-
гося режима протекает по контуру
и равен ^о = jg -|-а ПОСТОЯННЫ0 на' U
пряжения конденсаторов и С% рав-
UR% .
ны иР = 75—Переходный про-
1^1 4~ ^2
цесс наступает после замыкания. ру-
бильника К, Уравнения для контурных токов имеют вид (см. схему):
Ll^. + -Rih + -?! '( iidt-(Li — M)^-Si f iidt-M^ = U-,	(1)
ObL	J	СьЪ	J	иъ
-(Li-M)^-Si J iidt + (Li + Li-2M)^ +
~|- Ri ii -|- $1	«2 di — (Li — M)	— R%is — 0;	(2)
- M —(Li -M)^2-Biii+ (Li 4- L3)	+
Uv	Ц L
-|~ -Ra 4*3 4" I 4*3 dt — Si I i^dt = 0;	(3)
-Si
J" di 4~ -Rs *4 4- Rz J* {4 dt — o>
(4)
446
ПРИЛОЖЕНИЕ ti
или, учитывая начальные значения напряжений конденсаторов!
UC 10 5=5 W(720 ~ иО о = ^2 ?о>
«11Ч + «12 г2 + «13 г3 + «14 Ч — U — ис 10 = -^1 2о’>	(1)
«21 Ч + «22 г*2 + «23 Ч + «24 ?4 = иС10 ~ ^2 45	(2)
«31 Ч + «32 Ч + «33 ?3 + «34 Ч ~ иС 20 ~ — ^2 Ч',	(3)
«41 Ч + «42 Ч + «43 Ч + «44 Ч = UC 20 ~ Ч*	(4)
Здесь
«И = М Н- ±4 ~Г «1 J
О
«22 = (^1 + ^2 — 2М)
О
«33 = (-^2 + -^з)	+ ®2 J dt\
о
t
«44 =	+ х92 |* dt',
О
d
«12 = «21 = — (bi — М) ~
«13 =«31=	’
«14 ~ «41 =
«23 = «32 = — (^2 — Щ
«24 — «42 = 0;
t
«34 = «43 = —$2 dt.
О

о
В начальный момент (t = 0 + )
^зо = О’» Чо — ^о = 0; 4о — гзо — ’’о»
откуда
г*ю — ?20 = 4i Ча = О*
Подставив эти значения в основные уравнения при £ = 0-[-, получаем:
<т')гЯ1,л	(1'>
+ ^2 Ч — (-^2 = ^2 ?0;
- ж (г—и> ®“ я’ +(£-+“ 81(3,)
•^3 ?40 = -^2 Ч-	(4Z)
Складывая уравнения (27) и (В7)» находим:
-я' ®.+№-“) ®++") (». -Oi
ЙЁНЛОЖВДИЕ It
44?
.складывая с полученным уравнением уравнение (1'), находим:
О) -»
/о
Сравнивая же уравнения (lz) и (3Z), в которых =0, имеем:
откуда
(112„- Л»)	_ (L А — №) (g)o - 0.
Если между катушками L± и L2 взаимная индуктивная связь неполная,
т. е. если	— №*>(), то
/diA = /diA
\dtJQ \dt)Q и‘
Таким образом, начальные условия в этой задаче таковы: в момент
времени t = 0 +
т> •	•	’
иС 10 —	20 ~ ч;	г40 —	Ч!
ho = *2o = »o;
гзо Ф	ч ~ р । тГ •
Для определения дифференцируем уравнение (4):
— ^2 4 +	j]~ + ^2 Ч = О,
откуда при t = 0 +
/&Ч\	$2 / •	• ч ^2^2 •
2.8.	На фиг. 8а и 8Ъ изображена схема трёхфазного выпрямителя с ин-
дуктивной нагрузкой J?2-^2 и «сглаживающими» индуктивностями
в трёхфазном дросселе. Между каждыми двумя индуктивностями
имеется взаимная индуктивность И. Порядок чередования уравнове-
шенных синусоидальных напряжений между зажимами выпрямителя
а, Ь, с даётся последовательностью: иаЬ, иЬс, иса. Падением напряжения
в дуге можно пренебречь. Кроме того, можно пренебречь временем пере-
крытия^ в течение которого дуга переходит от одного анода к следую-
щему, т. е. можно считать, что каждый анод проводит ток в течение од-
ной трети периода.
а)	Составить дифференциальные уравнения для той трети периода,
в течение которой ток проводится первым анодом, применяя указанные
на схеме обозначения для токов в ветвях.
448
ПРИЛОЖЕНИЙ II
б)	С целью дать формулировку граничных условий, найти выраже-
ния, связывающие значения токов в ветвях в начале и в конце каждого
такого интервала времени.
Фиг. 8Ъ.
Решение. Если обозначить uQ — мгновенное значение потенциала
нулевой точки 0 обмоток дрёхфазного дросселя, то в любой момент вре-
мени (см. схему 8Ъ)
..	..   т ffil । р ‘ | туг&	4” ^*з)
+%1г1 + М----------,
wo— «ь = Lx	+	3	1	0-)
Cvv	ЦиЪ	I
д. _ Т ^3 I р • I туг & 0*1 “1“ ^*2) I
u0 — We = Lx + -^1*3 4“ м --Ji---• I
Здесь по условию задачи
(2тс\	f 4ic\
; uc~U sin ((at — -у 1.	(2)
Если через i обозначить мгновенное значение выпрямленного тока на*
грузки (протекающего по ветви ^2^2), то
Так как
г = ix 4~ h + г’з-
(3)
иа + иЪ + we = О,
то, складывая уравнения (1), получаем:
3^0 = Lx -jt + 2М~ 4" R^i
СЬЪ	(Ао
или
Lx 4” 2Д4Г di . Их •
dt + T-
(4)
Переключение тока нагрузки i с анода 3 на анод 1 происходит в тот
момент, когда wc = wa>0, с анода 1 на анод 2— в тот момент, когда
uo =	0, и с анода 2 на анод 3— в тот момент, когда иь == мс>0, т. е.
Г те
в моменты времени t2 и Ц, соответственно равные: s=	;
ПРИЛОЖЕНИЕ II
449
_ 5Т __ 5т:
~ 12 ~ без
друга на
t?,
9Т' 9те
12 “ 6<о
В эти моменты времени, отстоящие друг от
Т _ 4д __ 2к
3	6«	3<О
(5)
(т. е. ровно на х/з периода), напряжения анодов соответственно равны
(О Т
«с (*1) = ыа 01) = иа (М = иъ Ог) = «ь (<з) = «с Оз) = О sin Jg- —
= и sin	= 0,5 и. (6)
О
С другой стороны, в промежуток времени
«a-«0 = £2|j+7?^-,	(Т)
в промежуток времени t2^t^t^
di
— w0 = Л2 + ^2 г	С?")
и в промежуток времени < t < + %
+	(Г')
Исключая hq из уравнений (4) и (7), получаем систему уравнений, опреде-
ляющих неизвестный ток нагрузки в различные промежутки времени
длительностью в 3/в периода каждый:
ь^4-2г«=«(0,
dt
где
и (t) =z иа (t) = U sin at
и {t) = иъ (i) = ТТ sin
при t •< i2,
при
при tf3< t <
(8)
Здесь введены обозначения
о
(9)
о
Так как функция u(t), входящая в уравнения (8), непрерывна на протя-
жении всего периода (в том числе и в моменты ti, t2 и £3) и так как
ток i, протекающий по индуктивной цепи (содержащей катушку L2 и три
катушки Lx), физически также представляет собой непрерывную функцию,
di	у
то и производная тока по времени — также непрерывная функция
29 Зак. 1977. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
450
ПРИЛОЖЕНИЕ II
времени. Иначе говоря, производные (^) и (-=- ] справа и слева
равны друг другу в любой момент времени, т. е. и в моменты t2 и
В силу полной физической симметрии трёхфазной системы, представленной
на схеме, и симметричности приложенных фазных напряжений искомый
ток i должен быть периодическим пульсирующим током е периодом,,
равным —.
Следовательно, подобно тому как
и (^) = U (f2) = и (/3) = 0,5 17,
так и
7^1) = г(^) = г-(<3)	(10)
и
/(?г\ (di\ (ШУ
~ \dt)ts -		(11)
Поэтому достаточно рассмотреть один из трёх промежутков времени,
например	когда ток нагрузки проходит по цепи анод 1 — катод
и когда он может быть определён из дифференциального уравнения (пер-
вого из уравнений 8):
L^+Ri^Usintot.	(12)
При решении этого уравнения появится одна постоянная интегрирования^
которую находим из условия
г (У = г (<2).	(13)
Как известно из общего курса интегрирования дифференциальных
уравнений, решением уравнения (12) служит функция i (t) вида
i (£) = I sin (tat — cp) -|- Ae L ,
U	U	, toL
— = —.............— ; tg ? = —
Z V R2 + <o2b2	R
а постоянная интегрирования А найдётся из условия (13). Применяя это
условие, получаем:
sin (-тгтс — <р
X 6
_ I? т;	Н 5гс
. (лЪ 6	_ ыЪ 6
С	о
где
(14)
(15)
А=1-
• Сп
-Кб
о •	/ 73
2 sm ~ cos ( — — с
о \ 2
• 2	3 — е
= 1---
л
или
е7ГГ Т
Уз т .
(16)
Следовательно,
УЗ -г .	*
i = I sin (<oi — ср) Н—5— I sm ср • —
(17)
ПРИЛОЖЕНИЕ II
451
Производная тока i по времени равна
<?г	Уз т . В eu>bV-2 }
= «I cos И - <f)-----—I sm ? • т • д
= <aI COS ((At — Ср)------col COS Ф--------------
/ 7< 7t \
sh[—
(18)
Вместо формул (17) н (18) удобнее писать:
i = I Sin («# — ?) + Xf- I 
£
sin у
sh — • ct;
(1Г)
= col cos (at — ?)
Уз
2
r cos ч>
CO/ . ----------L.
• (18z)
• е
• е
к
к
времени (^ •< t t2) потенциал нулевой
В течение этого же промежутка
точки обмоток дросселя равен [см. уравнение (7')]
Т	ТЪ * ТТ • -L Г dl Т) ‘
ио ~ иа — ^2 37 — JR2i~U Sin — L2 -j- — h2 г
dt.	" dt
или на основании (15J, (17z) и (18'):
= 1 (Z sin wi — wL2 cos (<а1—©)
Уз
T COS (p
озЬ2-----—--------
2	, / тс
sli I — • Ct
— T?2 sin ((At — cp) — 1^- ll2
sin у
sli
2
• e
JR,
= U sin (At------------~ sin (аЛ — <p)
cos (&t— c?) —
• e
У 3 J?2 sin ? + cos ? . e°tg T ’ ('
~2~e	' 'e
co;
. (19)
Z sli
Для определения токов ii, и i3 обращаемся к уравнениям (1), из
которых находим с помощью соотношений (2) и (7):
(М _ Jf) g + Л1 ,-х = „0 _ м„ - М g = - (Л, + ЛГ) ^-В. i,
(£<1 — -itf)	~Ь -Rj l2 == wo—w&	^dt =	у 1~i~ua
(Ь1 - Л)	+ вг ц = щ-ие -	= -(L2f2l/)^ -В2 i+t<a—ue.
(IT	И V	Ct t
(20)
29*
452
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Подставив в правые части этих уравнений выражения для г = i (t)
[по (17')[ и I [по (18')], а также
сь*
— ыъ= U sin at — U sin (tot —	= у*з LT sin -j-
иа— ио = sin — UBin (tot —	— ]/3 V sin (tot ——
(21)
получим три дифференциальных уравнения, из которых определим токи
гь i2 и i8 в трёхфазных обмотках дросселя для промежутка времени
t t2.
2.9.	Двухступенный ламповый усилитель (фиг. 9) с реостатно-ёмкостной
связью между ступенями и активной нагрузкой G± представлен
эквивалентной схемой (фиг. 9а). Усилительными лампами служат триоды
с коэффициентом усиления р, внутренней проводимостью бг3, проводи-
мостью в цепи сетки G± и междуэлектродными ёмкостями С2 и С3.
а)	Составить интегро-дифференциальные уравнения для эквивалент-
ной схемы усилителя, воспользовавшись методом, наиболее целесообраз-
ным в данном случае.
б)	Предположив, что ко входу усилителя приложено напряжение
uQ = 1 (t) и что приращения зарядов всех конденсаторов в момент
£ = 0— равны нулю, найти приращение выходного напряжения w3 в мо-
мент t — 0 + •
ПРИЛОЖЕНИЕ II
453
Решение *).
а)	Так как в рассматриваемой цепи число узлов меньше числа кон-
туров, целесообразно воспользоваться методом узловых напряжений,
предварительно заменив источники напряжения	и «5 = |м2 экви-
валентными источниками тока, присоединёнными соответственно к узлам
1 и 3. Токи, отдаваемые этими источниками, равны
И = —	4-	== — 6^ — Suq,	(1)
7*3 = бг3 (и3	р<2) = — ^3wb —	(2)
где
8=^	(3)
— крутизна сеточной характеристики каждого триода.
Приращения напряжений 11$, и «3 узлов О, 1, 2 и 3 связаны
с приращениями токов Zo, и и ?3 (?2 = 0), притекающих к этим узлам от
источников, уравнениями:
О.	+ Oj (^0 — ui) = '’о»	(4)
О ^(wl — wo) + ^2	+ ^2W1	(«1 ~ w2) = И,	(5)
@4	0*2 — «1) + @1	+ ^lw2 + ^3	(М2 — ws) = 0,	(6)
О (w3 — W2) + Оз	= ?3-	СО
Введём обозначения для собственных и взаимных ёмкостей и проводи-
мостей узлов:
G)0 — 01 + О3, С'и = С2 4“ ^3 + ^4, Ой — О. 4" Oi + ^4> )
О$3 — О ~Ь О> 0)1 = О3, 012= @4г	^23	}	(8)
^00=^1»	^11 =^2+^8*	<Т22=^1>	^33=^з+^4 J
(^01=^12=^23 = 0).
Воспользовавшись этими обозначениями, а также соотношениями (1) и (2),
перепишем уравнения (4) — (7) в виде:
^оо“^ + ^oowo — #01	~ ?о,	(9)
— ^01 ~jS +	4~ Cll “ЗТ + £llwl — 012 "ЗТ = 0,	(10)
Cub	Cub	tub
— ^12 + ^22	^22М2 ^23 "dt ~ О’
£( и	W U	CU v
— 0>з	+ ^м2 + Сзз + ^зз«з = 0.	(12)
♦) Рекомендуется предварительно ознакомиться с содержанием § 6
главы VII, а также с элементами теории эквивалентных схем для лам-
повых усилителей.
454
ПРИЛОЖЕНИЕ} II
Уравнения (10), (11) и (12) позволяют определить искомые прираще-
ния напряжений iq, м2 п по заданному приращению напряжения и0,
а уравнение (9) может быть использовано затем для определения вход-
ного тока усилителя.
Отметим, кстати, что уравнения (9) — (12) несимметричны, так как
они составлены для цепи, содержащей активные элементы — усилитель-
ные лампы.
б)	Так как все четыре узла О, 7, 2 и 3 рассматриваемой цепи связаны
между собой ветвями, содержащими междуэлектродные ёмкости (7Ь С2, С3
или конденсатор связи (74, то скачкообразное изменение напряжения вход-
ного узла (узла 0) вызывает также скачкообразные изменения напря-
жений остальных узлов 7, 2 и 3, сопровождаемые протеканием бесконечно
больших зарядных токов по ветвям, не содержащим активных сопроти-
влений, п конечных токов по ветвям, содержащим активные сопротивле-
ния. Для определения приращений напряжений	w2(Z) и w3(f) в
Фиг* 9Ь.
момент t — 0 -р , то-есть тотчас после включения источника с напряжением
uQ (t) = 1 (t)*) на вход усилителя, можно воспользоваться упрощённой
схемой фиг. 9Ь. Эта схема получена из схемы фиг. 9а путём размыкания
тех её ветвей, которые содержат активные сопротивления, не равные
нулю (т. е. активные проводимости которых — конечные величины).
Так как согласно условию задачи в момент t = 0 (до включения
источника на вход усилителя) uq — ш = 0, то и в момент t = 04-
(тотчас после включения) суммы приращений зарядов обкладок конден-
саторов, присоединённых к узлам 1, 2 и 3, также будут равны нулю,
а сумма приращений зарядов обкладок конденсаторов Ci и С3, присоеди-
нённых к узлу О, в момент t = 0 4" будет равна
J	(13)
t = о—
На основании этих простых соображений могут быть составлены
следующие уравнения:
4- С3 («о — «1) = д0,	(14)
С3 — по) 4“	4“ ^4 Он ~ 0,	(15)
(г12 — «1) 4~	4"	(W2 — ?/з) — 3,	(16)
+	=0,	(17)
*) Для того чтобы ziQ (t) — 1 (t), необходимо допустить, что на вход
усилителя включается источник бесконечно большой мощности (внутрен-
нее сопротивление которого равно нулю).
ПРИЛОЖВДИЦ II
455
или [см. (8)]:
^оо^о — ^oi^i	= <Zc-	(IS)
— Cq1Uq 4~ Оц111	— ^12w2 — 0,	(19)
---^12^1---^22W2 — ^23w3	= 9,	(20)
—• ^23W2 4“ C33M3	== 0*	(21)
Решив уравнения (19), (20) и (21), найдём, что в момент t — 0 +,
когда uq = 1, приращения напряжений остальных узлов равны:
		<?01 (^22^33	^2з) {'ll (@22@33	^23^	^12^33	(22)
и __ 		#01 • {?12 * #33	 2 сп^овз-а^-с^.3в9в ’	(23)
и _ 	^01^12^23 ’	 (7И (С2.2 {'ЗЗ	^12 ®33	(24)
Уравнение (18) позволяет теперь найти суммарный заряд qQ в мо-
мент tf = 0-H который оказывается равным
_ ^00^11^22^33 — С(Ю^11^23 — ^00^12^33 — ^01^22^83 — Oq1 С^З
^11^22^23 — ^11^23	^12^33
Нетрудно видеть, что уравнения (18) —(21), составленные по схеме
фиг. 9Ь, могут быть получены также из уравнений (9) — (12), составлен-
ных по схеме фиг. 9а. Для этого достаточно проинтегрировать.каждое из
них в пределах от t = 0 — до t == 0 + и учесть, что согласно условию за-
дачи в момент t = 0 — приращения напряжений ?(0 =	= О,
а также, что,
#=04-	#=о4-
J* Uq dt= Р Hi dt =
t =	t==Q—
#=04-
J* u2 dt =
#=o—
# = O-P
J w3 dt = 0
#=o—
(26)
*(так как в течение бесконечно малого промежутка времени, на который
распространяются эти интегралы, все интегрируемые приращения напря-
жений — конечные величины).
2.10.	Система зажигания, изображённая на фиг. 10а, находится в'уста-
новившемся состоянии при замкнутых контактах К, которые размыкаются
в момент времени t = 0.
а)	Составить интегро-дифференциальные уравнения для интервала
времени, заключающегося между моментами размыкания контактов и про-
скакивания искры между электродами.
б)	Сформулировать необходимые начальные условия.
Решение. В течение промежутка времени от момента размыкания
контактов К и до момента пробоя искрового промежутка между электро-
дом и корпусом свечи схема имеет вид, изображённый на фиг. 10b.
456
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Составляем интегро-дифференциальные уравнения по методу контур-
ных токов:
(Lt + £2 - 2Щ)	4- (7?! + ад 4 -	(L2 - ад - Rz ii = и-,	(1)
— (i<2	M-j) — T?21'14- Lt 4- i?2 ’2+	J* 4 At — J* ?3 dt = 0;	(2)
— J* ’2 At 4- L3+ ^3 ’3 + •£> J* ?3<i< = 0;	(3)
±Дз7=и<- (<)
VbU
В уравнениях (3) и (4) сделано допущение, что ёмкость: электрод
свечи — корпус свечи ничтожно мала, а потому ток
 4=ои^=о.
Так как до наступления момента I = 0 конденсатор С и катушки L2 и L&
Фиг. 10а.
Фиг! ЮЬ.
были закорочены ветвью, содержащей контакты К, то
<1(О)-Ч(О) = О;	(5)
4(0) = 0;	(6)
«О(0) = 0.	(7)
С другой стороны, для установившегося режима при замкнутых контакт
тах К
4<.0) = S-t-	(8)
Следовательно,
Ч(0) = 4(0)=Д,	(9)
и начальный ток в ветви с конденсатором О равен
^(0) = ’2(0)-«з(0)=	(10>
ПРИЛОЖЕНИЕ II
45Т
Так как
t	t
VO (О = г1с (О) + J* СО & = ис (0) + £г (?2 — 4) ^9
о	о
то в силу условия (7)
i	t
& J i2dt — j i3dt = uG(t) = J t2di —i J isdt. (11)
0	0
Решение системы уравнений (1), (2), (3) выполняем в следующем порядке:
из уравнения (3) получаем:
i^CL^+O^ + i,
di2 „т d3ia d2ia dia
dT GL3dfi+GB:id^+~t'
и подставляем в уравнение (2), из которого находим:
(ь2-mo	+в2 k = ol2l3 U + G (ед + ед gs+
+ (^2 + Ъа -(- CRvRs)	+ (Л2 4- -Вз) ’з-	(18).
Подставляя же в уравнение (1) из (12), находим:
(Lj + — 23Г1)	-|~ (-R1 + Z?2) h = (^2 — -3£1)	4~
4- [(L2 - М2) ORz 4- l3(ZR2]	4- (L2 - Mj 4- оед) 4- ч 4- и. (и)
Последнее уравнение можно упростить, если из него вычесть почленно
уравнение (13). Тогда получим:
4- -Вл = - CMiL^-B3is+U. (15)>
Таким образом, на этом этапе задача приводится к совместному реше-
нию системы двух дифференциальных уравнений:
(ii—м-1)^4--В1<1 = -Л(04-^;	(16)
+	=	(17).
458
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Функции (/) и /2 (О в правых частях этих уравнений равны соот-
ветственно:
+	+	+	+	(18)
Cvt,	Cl Г	(I с
ft. (О = CL^L* + С (Л^-Егз + ^3^2) ^2 "Ь (^2 “1“ “Ь	"Т"
+ № + ^)^. (19)
Если исключить из (16) и (17) сначала а затем получим:
Cut
[В2 (Zx - Mj) - Bi (L2 - Mi)] §7 = -R2IT - B2fi (t) - Bif2 (Z);
Cub
(Bi (Li -Mi)-Bi (Li - Mi)] 11 = (Li - Mi) U-(Li- Mt) fi (t) -
-(Lt-Mi)fi(t),
а после дифференцирования (21):
(20)
(21)
[Bi (Li - Мх) - В2 (Li - Mi)] = - (Li - Mi) f'i (t) - (Li-Mi) fz (t). (22)
Сложив уравнения (20) и (22), получаем одно уравнение
(Z2 - Mj) f[ (t) +	(0 + (Zx - Mi) f'2 (*) + -R/2 (0 =	(23)
в котором функции /*1(0, /а (0, CO и /2 CO содержат только постоян-
ные цепи (Zi, L* L3, Мь Rb В2, _R3 и С) и один неизвестный ток г3 (t)
и его производные: (2), (t), i'% (<) и г1У (/) (до четвертой включи-
тельно), т. е.
fi (t) = GMiLi	+ GMiBi	+ (Mi + Ls) + B3Z3;
f'i (t) = GMlLs	+ GMiBi	+ (Mi 4- L^ -^ + B3	;
fi (t) = GLiLi + C (BiLa + Bi Ъ2)	+
+ (-^2 + Li + OB2B3) -]- (B2 + Bi) i3;
f'i (t) = GL2Ls ^ + C (BJ4 + B3L2)	+
+ (Li + Li + CBiBi) + (Bi + Bi) .
(24)
ПРИЛОЖЕНИЕ II
459
Подстановка из (24) в (23) даёт:
CLa (L^ - Лф С [Bs (LtL2 - МЦ + (В^ + B.MJ L& J	+
~b [ ^1^2 + -^2^3 4~ № — Mi (Si's Mi) 4“ 0	4" ^зЬ2) Jti 4-
+ GB.B^\+ [(P2 + 2?3) Lv 4- Uh + A) i2 + (Ri + -R,) L3- 2B3Mi +
+ садя3] + [ВД + Я2Т?3 + ад} h = B2U (25)
(IV
ИЛИ
. d4i?) , . dK> . . d2i$ , . di?, ...	„ TT
A* dt* + As dis й/2 dt +^огз — fyU-	U&)
Коэффициенты этого уравнения могут быть записаны в следующем виде:
Г wj
И о — CJS1L2L3 I 2^ ^
Ах — GLiL^Ls
2 1	2	2 ।	2
W2 + W3 . W3 + <°1
Ti + T2
— Ski»} 03^'
A2 = GL1L2L3 + jFJF + TjF/jT -Г °4 +	2Ых<02 4- (1 —&2) <4
(27)
A^ = GLiL2L2(1— 7^),
где
ф _ T —L* T = — or — _1_ o?___________L. w2 — -j— 1
S-^i’	В2’ R>f ^LiGf ^~L.Gt 3	b30'
?._ M.		p28>
VLiL. „	j
— коэффициент магнитной связи между катушками Li и L2,
Заметим, что при полной магнитной связи между этими катушками
коэффициент 1с = 1 и, следовательно, А± = 0. Порядок дифференциального
уравнения (26) при этом понижается на единицу.
В результате интегрирования этого уравнения находим функцию
73 = 23(i) в виде
h^-^-U + Pie^+ Р2е^+Pse^t + Р4еЧ *	(29)
ло
где «1, «2, аз> °Ч — корни характеристического уравнения
А^^ 4- А%аи 4- А2&~ 4~ Aid 4~ И о = 0.
460
ПРИЛОЖЦНВД II
Напряжение между остриями равно [см. формулу (4)]
«4 = ± М2 ±	(цР^* + а2р2е^ + asPs^ + а4Р4е^).	(30)
Скорость нарастания напряжения между остриями равна
-^ = ± М2 tfP^ + а*Р^ + afP^ + а|р4в»**).	(31)
Её величина в начальный момент равна
(»„==(»,=± w.+“?2+“.ч+<зз>
Она может быть использована для приблизительного определения момента
пробоя искрового промежутка:
^лробоя ^пробоя
/Й9-
(33)
2ГЛ1. На фиг. 11а изображена схема цепи, применяющейся в установках
для экспериментального изучения переходных процессов. Когда медленно
нарастающее напряжение между электродами воздушного промежутка G
достигает определённого значения в ? вольт, происходит пробой этого
промежутка и как бы его короткое замыкание. Напряжение между кон-
цами сопротивления используется для включения осциллографа,
выпрямительная
Фиг. 11а.
Фиг. 11b.
а напряжение между обкладками конденсатора С±— для возбуждения
переходного процесса в исследуемой цепи.
а) Сформулировать начальные условия для изображённой здесь цепи,
б) Составить для неё дифференциальные уравнения.
Решение. Если напряжение между электродами разрядника Gr нара-
стает медленно (см. условие задачи), то токами, протекающими в это
время по ветвям схемы, можно пренебречь. В момент времени t = 0,
когда напряжение между электродами достигает 7 вольт, такое же напря-
жение создаётся между пластинами конденсаторов Ci и С3, включённых
параллельно разряднику. Напряжения же между пластинами конденсато-
ров С2 и включённых параллельно почти обесточенной ветви jRi2?2,
можно принять в этот момент равными нулю. В этот момент происходит
пробой разрядника и, следовательно, сопротивление его ветви практи-
чески становится равным нулю. Часть схемы цепи, расположенная вправо
ПРИЛОЖЕНИЕ II
461
от разрядника, может быть изображена так, как показано на фиг. 11b.
Интегро-дифференциальные уравнения могут быть составлены как по
методу контурных токов, так и по методу узловых напряжений. В обоих
случаях число уравнений в системе будет равно четырём. Система урав-
нений первого вида такова:
t	t
+ В2) Jdt - (2?! + RJ ;2 - J »8 dt = - UO1 (0) = к;
О	о
t	t
- (Bj + в2) + (В, + В2 + В3) i2 + В2 J ?2 dt-R^-8^ J<В=-{<оД0)=0;
О	о
t	t
— J *2 (В® 4“ ^4 Ч~ Bq) 2з ~Ь (Ч~ *з) J* 7з dt	й =
о	о
= и01 (0) — исз (0) = 7 — 7 = 0;
t	t
- J dt -	+ (^ + J dt = u0, (0) +	(0) = 0.
о	о
Для определения начальных значений контурных токов достаточно
положить в вышенаписанных уравнениях t = 0. Тогда получим систему
уравнений
(^1 + (ч — ч)Г»
+	— н) + Яз (4 — ч) = °;
Оз — ч) + ^4 (гз — й) + ^з — 0;
^4(4 —?Ь) == о.
Решив эти уравнения, получим:
’<»>=-«n^+i+i. '='«=4.
• '1<°>=4+4-	'‘‘»>=4-
Система уравнений второго вида такова:
01 + (ё”+к + ®=)_ °"”= “ 0;
- ffS»l + («, + в.) «! + С, - в<»4 = 0;
сг^+в...,-0.^ = 0;
-вл-с.> + т + ед^»о.
(Здесь потенциал точки 0 принят равным мо = О.) Начальные условия
для напряжений таковы:
«1 (0) = т,	«3 (0) = «4 (0) — 7 = — 7,
t(2(0) = 0,	w4(0)=0.
462
ПРИЛОЖЕНИЕ} II
Примечание. Здесь были приняты обозначения
й*-тЬ
л" = ~5'	д--
2.12. а) Написать систему интегро-дифференциальных уравнений для
общего случая цепи, обладающей п независимыми парами узлов.
б) Переписать эту систему уравнений, применив индексное обозначе-
ние для-общего члена типового уравнения системы [см. уравнение (2.24)].
Решение. Эти уравнения имеют вид
п
^jkuj (О == ^к (fy» == 1, 2,  •., п,
3=1
где
Ъкк = Скк + Gkk + ^кк J М, bjk ~ — Cjk ~ &jk — Цк J
2.13. На фиг. 13а представлена простая непланарная цепь. Сопротивле-
ния её ветвей равны:
.7?! = 1 ом,	В4~ 4	ом,	— !	ом,
-Z?2 = 2 ом,	Т?5	= 5	ом,	= 8	ом,
= 3 ом,	= 6	ом,	Л9 = 9	ом.
Доказать, что для цепи с такой	геометрической	конфигурацией невоз-
можно построить физически осуществимую дуальную цепь.
Решение. В заданной цепи имеются Ъ = е = 9 элементов (ветвей),.
п — 6 узлов, а число её отдельных частей s = 1. Поэтому число незави-
симых контуров 1 — е— пs = 4. Выберем в качестве независимых
четыре контура, показанные на схеме (фиг. 18Ь), и направим все контурные
токи по часовой стрелке.
Примечание. Четвёртым контуром выбираем контур 48054.
Алгебраические уравнения относительно контурных токов таковы:
(1?-£	-^5 “1“ -^6 Ч- Вц) 4 —	?2 — -®6 "F -^б) ч =
— ВьЧ + (^2 +	+ Д? +	— (^7 + ^в) ?з =
— ^671-~(^7 + Л8)ч + (Л7 + Я8 + Л3 + ад^ + (^б + ^7)Ч = 0;
— (В4 4- ??6) ?! —	?2 4- (#6 4- ^?) ?з 4- (^4 4- ^6 4- ^7 4- -^э) ч = о.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
463
Если подставить численные значения R]n то согласно условию задачи
получим:
16 — 5 г2 — 6 г» —10 ц == 0; 1
— 5’i + 22’2 — 1б’з— 7’4 = 0;
— в«! — 154 + 24’з + 13’4 = 0;
— 10—* 7 ^2 ~F 13 ?з “I- 26 = 0.
Уравнения (1) или (2) имеют вид
п
==	— 6, н — 4; 7с — 1, 2, 3, 4,	(3)
J=i
где коэффициенты
#11 = 16, «22 = 22, «33 = 24» «44 — 26
представляют собой собственные- сопротивления контуров 1, 2, 3 и 4, а>
— «12 ——#21 = 5; —#1з——#31 — 6; —#14 = —#41 = 10;
— #23 — — #32 “ 15; — #24 = — «42 “ 7;	— «34 — — «43 = —13
представляют собой их так называемые «взаимные» сопротивления (сопро-
тивления общих ветвей каких-либо двух контуров).
Примечание. Так как ветвь 305 принадлежит не двум (как
в планарных схемах), а трём контурам, причём контуры 3 и 4 наложены
друг на друга, то их взаимное сопротивление оказалось отрицательным.
Кроме того, здесь U’i =	= U3 =	= 0 (напряжения источников, вклю-
чённых в эти контуры).
Так как определитель системы уравнений (2)
A (akj) =
16 — 5 — 6 —10
— 5	22 —15 — 7
— 6 —15	24	13
— 10 — 7 13	26
+ о,
то единственными её решениями являются ц = = г’3 = 4 = 0. Уравнения
цепи, дуальной по отношению к заданной, получатся из уравнений (2),.
если в них повсюду заменить контурные токи ij соответствующими узло-
выми напряжениями Uj, а источники напряжения заменить источниками
тока Полученная таким образом система уравнений
16 #i— 5 #2— 6	—10«4 = 0;
— 5 #i + 22	—-15 ^з — 7 V4 = 0;
(4)
— 6 Wi —15 w2 -j- 24 W3 13 W'4 = 0;
— 10 #1 — 7 м2 + 13 «3 4" 26 V4 — О
имеет вид
п
2	= — w = 4 fc — 1, 2, 3, 4,	(5)
где Ьц = 16, ^22 — 22, &зз = 24, &44 = 26, 612 = &2i = — 5, ^13 = &зх = — 6Г
5)4 = &41 — — 10, &23 = &32 — 15, Ь24 = &42 = — 7, &34 = &43 = 4“ 13.
464
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Эти последние уравнения могут быть переписаны для большей на-
глядности в виде
п	п
2 (-^)(«й-Ъ-) = 4 = 0, n = 4; fc = 1, 2, 3» 4 (6)
или после подстановки числовых значений коэффициентов:
— 5«i 4- 5 (г<1 — «2) + в («1 — м3) +10 («1 —== 0; ]
5 (w2 — wi) —	+15 («2 — «з) + 7 (и2 —	=	0;	I
6 (tig — -р 15 (^g — М2) 4“ 16Wg — 13 (Wg----------------К4) = Oj |
10 (^4 — W1) 4“ 7 (г<4 —	—13 (г<4 — из) + 22гг4 = 0. j
(7)
Уравнения (5), (6) или (7) представляют собой уравнения цепи, со-
держащей 5 узлов, напряжения между которыми равны соответственно
— w6 — ui; «2 — г/5 = w2‘,	— г/Б = ^з; w4 — w6 = «4; Щ — 0.
Каждое из этих уравнений представляет собой математическое выра-
жение первого закона Кирхгофа, гласящего, что сумма токов, вытекающих
из соответствующего узла, равна току,
притекающему к этому узлу (току источ-
ника тока). Коэффициенты при разностях
напряжений в уравнениях вида (6) или (7)
означают проводимости соответствующих
ветвей, соединяющих узлы j и А', т. е. G^j.
Таким образом,
<715 = ~ 5;
<735 = 16;
^ = ^21 = 5;
бгц = #41 = Ю;
G24 = ^ = 7;
<7£Б = -5;
<745 = 22;
<71з = <7зх = 0;
<723 = <7з2 = 15;
<^34 ~ <743 = —13.
Цепь, описываемая этими уравнениями, изображена на фиг. 13с. Однако она
физически нереализуема, так как в ней должны присутствовать ветви
с отрицательными проводимостями (такоры ветви <7i6, <725 и 6^34). Кроме
того, в этой цепи содержится 10 различных элементов (проводимостей),
в то время как в заданной цепи их имелось только 9. Поэтому формаль-
ным методом полученные уравнения (4) не только не соответствуют цепи,
дуальной по отношению к заданной, но и вообще не соответствуют
никакой физически реализуемой цепи*).
2.14.	Масса подвешена (фиг. 14а) к опоре при помощи пружины, жёст-
кость которой равна Кр К массе присоединён демпфер, состоящий из
катаракта, пружины и массы. Шток, на нижний конец которого насажен
поршень катаракта, жёстко соединён с массой Mi. Камера катаракта,
масса которой равна М2, опирается на пружину К?2. Её противоположный
*) То-есть реализуемой с помощью только так называемых пассивных
(импедансных) элементов: 1?(<7),£(Г)> #(0- См. также прил. переводчика!.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
465
конец прикреплён к поршню катаракта. Вязкое трение в катаракте может
быть задано сопротивлением поступательному движению В. Предпола-
гается, что верхнему концу пружины К± сообщается возвратно-поступа-
тельное движение по синусоидальному закону.
а)	Составить дифференциальные уравнения
движения этой системы.
б)	Составить для неё схему механической цепи.
в)	Написать дифференциальные уравнения для
аналогичной электрической цепи, применив си-
стему аналогий u~f, и начертить схему этой
цепи.
г)	Проделать указанное в пункте (б), применив
другую систему аналогий: i~f. .
Решение. Уравнения движения масс и М2
соответственно таковы:
= Kt (х0 - xt) + К2 (<r2 - а-,) +
СЬь
Фиг. 14а.
+ B(r2 — V,) —
М^=К2	- а-2) + В (»!- v2) - К23-
Скорости и v2 и перемещения и отсчитываются снизу вверх. При
этом перемещения и отсчитываются от соответствующих положений
масс и М2, занимаемых ими в состоянии по-
коя при отсутствии внешних сил (в том числе и
силы тяжести). В случае покоя при наличии силы
dvA
тяжести, т. е. когда vi = v2 —	=»
(It
^ = 0,
dt
(а»о — a>i) + К2 (ж2 —	= Miff,
' B:2(xi —x2) = M2g,
откуда
Ki (a;0 — Xi) = (Mj. 4- M2) ff.
Следовательно,
(Ж0~Жр8 =
и
(«4—
(2)
Фиг. 14b.	.	Y	-
представляют собой статические деформации
(удлинения) пружин К\ и 2Г2 под действием сил
тяжести, приложенных к массам и М2. Схема механической цепи
приведена на фиг. 14b	.'
Уравнения аналогичной электрической цепи, полученной на основании
принципа: и ~f, v, таковы:
bl	(gx_ 3o) _|_ 6’2 (ffi - g2) + В (й - 4) = Щ;
Li	(32 - 31) + В (u - h) = U2. ‘
Uv
30 Зак. 1977. M. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
46ft
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Здесь
х
R~B-,
82~К2\
U'i ~ — jVi<7); Z72 ~ (— M2g); iQ (t) ~ (t) = Vo cos at;
5o(0 ~ ^o(0 = I vo (0	~ sin + xo (0)*
Уравнения аналогичной электрической цепи, полученной на основании
соответствия i f; и ~ v, таковы:
0.	+ Г, (’1’1 - ^о) + Ъ (¥! - ф2) + G (И1 - «.) = А;
,	(О
с2 + Г2 № - Г1) + G («2 - «1) = 12.
Здесь
Ci^xVi;	G~B\
С2 Мъ А ~	dt~x = fv dt;
— ЪЦд); /2 ~ (—• M2g); 2/0 (t) ~ (t) = Уо cos
Wo (t) Xq (t) = I v0 (t) dt — ~ sin at + o;0 (0).
Схемы электрических цепей, представленных уравнениями (3) и (4), изо-
бражены на фигурах 14с и 14d соответственно.
Фиг. 14с.
2.15.	Массе Мь принадлежащей механической системе, изображённой на
фиг. 15а, сообщается поступательное движение в горизонтальном направле-
нии с помощью пружины Klf один конец которой движется с заданной
скоростью vQ(t). К массе Jfi присоединён демпфер колебаний, состоящий
из катаракта, пружины К^.и массы Вязкое трение внутри катаракта,,
между катарактом и опорной поверхностью и между массой и опорной
поверхностью характеризуется коэффициентами сопротивления поступа-
тельному движению соответственно равными: В2, В3 и Blt Предположить,
что в момент t = 0 массы находятся в положении равновесия.
а)	Составить схему механической цепи и написать интегро-дифферен-
цнальные уравнения системы.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
467
6)	Составить схему аналогичной электрической цепи, применив систему
аналогий i~f, и написать интегро-дифференциальные уравнения для
этой цепи.
в)	Составить схему аналогичной электрической цепи, применив систему
аналогий w ~ Л и написать интегро-дифференциальные уравнения для
этой цепи.
Решение. Механическая схема заданной системы изображена на
фиг. 15b.
Примем, что положительные скорости и перемещения направлены
налево. Тогда интегро-дифференциальные уравнения для скоростей и пере-
мещений узлов 1 и 2 таковы (на основании принципа Даламбера):
ЗА	+ /А to - з-о) +	- ^) = 0;
, (1)
-^2 ~дЛ 2	“ О’
t
Здесь 5г0(О —	(/) dl =	так как по условию эадачи »0(О) = О.
о
Кроме того,
rq (0) = а?2 (0) = 0.
Схема электрического аналога, построенного по принципу i~f9 изобра-
жена на фиг. 15с.
30*
468
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Соответствующие уравнения таковы:
•	Cj + G-iiii -f- rt (4\ — 4’0) -|- Cr2 (г^ — u2) = 0; j d	*	(2) . ^2 “ЗГ + &2 (w2 — «1) +	= 0. I
Здесь	Uv	f t 'ro (0 = У «о (t) dt = y«0 (t) dt,
так как	0 4o(O)~ «•□(()) = 0.
Кроме того,	ЧГ!(0)~МО)=О И <Га(0)~ш2(0)=0.
Схема электрического аналога, построенного по принципу и изобра-
жена на фиг. 15d.
Соответствующие уравнения таковы:
4~	(?1 ““	+ Въ (г1 ~ гг) = 0;
di	(3)
^2 1+ “Ь (^2 — 71) + -^3?2 + ^2<?2 == о.
(ль	j
Здесь
t
Зо (0 = У ’о (0 = J ’о (i) dt,
о
так как
Зо(0)~я-О(0) = 0.
Кроме того,
(0)	(0) = 0 и £2(0)~я?2(0) = 0.
1
'г
Фиг. 16а.
2.16. Электродвигатель (фигура 16а) смонтирован на тележке, опираю-
щейся по концам на спиральные рессоры. На тележку наложены связи,
выражающиеся в том, что опа может совершать колебания лишь в вертикаль-
ной плоскости. Ротор двигателя слег-
ка разбалансирован вследствие на-
личия небольшой неуравновешенной
массы Мъ укреплённой на нём на
расстоянии г от геометрической оси
его вала. Ротор вращается с постоян-
ной угловой скоростью, превосходя-
щей критическую угловую скорость
системы, а вся система в целом со-
вершает установившиеся колебания.
В тот момент, когда тележка про-
ходит через самое низкое положение,
происходит отключение двигателя
от питающей сети.

г
Рассматривая данную механическую систему как линейную, написать
дифференциальное уравнение, выражающее условия её мгновенного равно-
весия во время убывания угловой скорости вращения ротора, и указать
начальные условия. Масса тележки и двигателя до разбалансирования
равна Сопротивление поступательному движению, испытываемое ко-
леблющейся тележкой, равно В, Предположите, что угловая скорость
ПРИЛОЖЕНИЕ II
469
ротора убывает по закону ю = <о0е-<^ где/ — время, отсчитываемое от
момента отключения двигателя.
Решение. Расположим начало координат в точке, совпадающей
с положением центра тяжести тележки, которое он занимает, когда на
неё не действуют внешние силы (в том числе и сила тяжести), и направим
ось х вертикально вниз. Далее обозначим хх и х2 координаты центров
тяжести тележки (с массой М±) и грузика (с массой М2). Тогда
#2 == rn -f- X! -f- г cos 6,	(1)
где ш — расстояние от центра тяжести тележки до геометрического центра
ротора, 6—угол, образуемый радиусом-вектором, соединяющим.геометри-
ческий центр ротора двигателя с центром тяжести ЛА, с осью х. Коорди-
ната центра тяжести системы хе равна
с~ + “ЛГ1 + Л£2+ 1+jKi4-JW2COS •	* ’
На центр тяжести системы действуют внешние силы, проекции которых
на ось х равны соответственно:
вес системы:	(<7 —ускорение силы тяжести),
ТС	ТС
реакция пружин:	—-хг----—	— —	ТСхь
•	и	с»
сопротивление трения в катаракте: —
Поэтому уравнение движения центра тяжести системы относительно
оси х таково:
d^x	dxi
(>1 + М2)	= (Mi + М2) д - ТСх, - В	.	(3)
Так как [см. уравнение (2)] ш — const., то
dxc dxi М2г б70
ИГ = ~dt ~~ Ml + М2 *	‘sni 61
d?Xi М2г r/d6\2	. I
"dt? ~ ~d№ ~~ Mi + M2 |_W C0S 6 Sin J’
Уравнение (3) принимает вид
z г , тг \ d^Xi . dXi . -r:r.
(j/i -j- ^A) ^2' "И ~
= (Ml + M2) g + М2т I (gYcos 0 + ~ sin 61.	(4)
I \Obu/	ilZ	J
Легко заметить, что два последних члена в правой части уравне-
ния (4) представляют собой проекции на ось х нормальной и тангенциаль-
ной силы инерции относительного движения (вращения) центра тяжести
массы ЛГ2 вокруг геометрического центра ротора с переменной угловой
скоростью . Когда ротор двигателя,, установленного на тележке,
вращается равномерно с угловой скоростью
и = <о0 = const,
470
ПРИЛОЖЕНИЕ JI
уравнение (4) принимает вид
+	+	+^х = (М\ + M^g + M^laos^t, (5)
Q/V	(AiV
если время t отсчитывается от момента прохождения радиуса-вектора
через положение, соответствующее 0 = 0. Уравнение (5) может быть при-
ведено к виду
d4. dl
d,t^adt
С COS
(6)
Здесь введены новая неизвестная функция 5 = 5 (t), связанная с функцией
(£) соотношением
iLT} —|— il/o	(j
; — ------—----- п =	(7b
и обозначения
В
а== Мг+Мг ’
К а х Ъ ’
К
ъ = Mt + M2 ’ с = Мг + М2 •
Значению ; = 0 соответствует
(®1)е=0 =
М! 4- 21/» _ д
К 9~ Ъ ’
т. е. координата центра тяжести тележки, когда система находится
в состоянии статического равновесия под действием силы тяжести (т. е.
когда ротор остановлен и колебания тележки на пружинах прекратились).
Решение уравнения (6) состоит из двух частей и может быть предста-
влено в виде
s =	4- А^~а^) + As cos (<eQt 4- 9).	(9)
Первая часть представляет собой свободную часть решения. Значения
(—«1) и ( — а2) должны быть определены путём решения характеристиче-
ского уравнения
а2 + Ь == О
и потому равны
а -> Г а2 _	а . а2 , . _
— «1 = — -3 — У -J---Ь < о И — а2 = — —4-J/ — — & < 0.
Коэффициенты Ai и А2 определяются из начальных условий.
Вторая часть представляет собой вынужденную часть решения. Она
соответствует установившемуся режиму колебаний тележки. Амплитуда
этих колебаний А3 и начальная фаза ср определятся, если подставить
в уравнение (6)
5 = А3 cos (wof 4- ср);
— cd0А3 sin (со0/ 4- ?);
^2 = — «5 А 3 COS (<о0£ 4- ср).
ПРИЛОЖЕНИЙ II
471
Получаем:
— оф cos у — awosin <?] cos <*>0£ +
4- A3 [(coq — b) sin <? — cos <?] sin ~ c cos
откуда
tg? = -2—
“о — ъ
шо” Ъ
COS ? =	_	---:.	• •	;
T	1Л 2 2 . / 2	ъ\2
аа>о
sin <Р   .	-------:	—:= ;
I/ аао>0-j" (“о-~
(Ю)
J-з — вещественное число, т. е. движение тележки представляет собой
периодические колебания, если
<»0>1<Ь=|/	+	= <0кр	(11)
-(<%р называется критической или резонансной угловой скоростью *)).
Итак, в установившемся режиме (когда t достаточно велико и чле-
нами	+ А2е~*2* можно пренебречь)
£ = А3 cos (<»Qt 4- с?) =
COS (woz 4- <? 4- к),
откуда
«!1 = у-+
cos (о>0£ 4- ? + к);
== 	,zr= Sin 4- ср);
dt /аЧ + (^-Ь)3
с'<во
(12)
d2a?i
“ST2"
cos 4~ ч) — —wo (^1
£
Ъ
с
С - ^0
с
шо + (шо — ЪУ
с
*) При ш0 = а>кр амплитуда колебаний максимальна и равна
1л t с Л/2г«,ар	1 Л12г ДГгг,/~ к
|ЛЗтах1 ~а«кр~ Мх+ ' В ‘ ®вр В “КР “ В '	+
В случае
I ^Зтах ।	°°*
472
ПРИЛОЖЕНИЕ II
В момент прохождения грузика через самое низкое положение, т. е.
когда 0 =	= 2пк (к = 0, 1, 2, 3, ...)
W,=O = f +	cos (2Ь + <f + A =
У а в>0 + (“о — ь)
д	с cos<? _д	— Ь)
“Т~ УА>0а4-(^-ьГ2~ Т~*Ч+(“о~ь>2 ’
с<0о	ч Сйс°о
I “тГ )	=	. • SIH (2къ + ф) = —--------3---5 ;
V /6=0 рЛЛа*(а>2 — Ъ)2	«Х + (<0o“b)J
d2a? А	С0)ф («о — Ъ )
. <^2 /о=0	«<°0 + (“о — ь)2
(13)
В этот момент времени (который мы теперь примем за начальный) происходит
отключение двигателя, после чего угловая скорость его ротора начинает
уменьшаться по закону ад = <o0e~af. Дифференциальное уравнение движе-
ния тележки по вертикальному направлению уже дано выше [уравне-
ние (4)]. В этом уравнении следует положить:
dt
_ о, _ шое
— at,
f
d<o	__ut
аг*=-йг=-а“ве =~0<й;
t	t
6 = J a, di 4- 60 = J	+ 0 = ^(1-
о	0
Таким образом, получим:
(Kt 4- Mt) 4- В 4- Kxt = (Ml 4- M2) g 4- M2r (^ COS 6 - am sin 6)
или
(Mi 4-M2)	4- Bd$4- Kxi = (Mi + M2)g +
4-M2ro>Q |e—2a# cos ^2 (1 — e—at) j —e—“*-^--sin £~(1 — f~
или, пользуясь обозначениями (8):
d^ . dxr .
dd+aw+b^=
= g-\- о |e—2it cos (1 — e~a^] —	e~a<s*n	(1— e~
ИЛИ
У+ ^37+ bl == c/e~2a#cos[— (1 — e~a^)l — — . e—• sinf —(1 —e“a01L
dt2 1 dt ‘	1	[ a	J J <o0	La	JI
Начальные условия даны в уравнениях (13), где указаны (#1)9—0 и
\ dt /q—о
ПРИЛОЖЕНИЕ II
47а
Они, как непрерывные функции времени, не претерпевают скачка в момент
отключения двигателя.
Механическая схема системы вертикальных сил, действующих на центр
тяжести тележки, представлена на фиг. 16b.
2.17,	Три коротких вращающихся валика соединены между собой
дифференциалом так, что угловая скорость валика 3 в г раз больше раз-
ности угловых скоростей валиков 1 и 2. Валики с насаженными на них
шестернями и маховиками обладают моментами инерции, соответственно
равными J2 и У3. Валики 1 и 2 подвергаются демпфирующему действию
вязкого трения, причём демпфирую-
щий момент, действующий на каждый
из этих валиков, пропорционален его
угловой скорости относительно непо-
движного кожуха дифференциала. Ва-
лик 3 сцеплен с ведущим валом с
помощью гидравлической муфты. Вра-
щающий момент, передаваемый с по-
мощью гидравлической муфты, равен
помноженной на В3 разности угловых
скоростей ведущего и ведомого	фиг-
элементов муфты. Вся система, вклю-
чая и ведущий вал, находится в покое в момент времени t — 0, после
чего угловая скорость ведущего вала начинает возрастать по закону
(/) == а (1 — е- &*),
а)	Написать дифференциальные уравнения и составить схему меха-
нической цепи этой системы.
б)	Дать схемы аналогичных электрических цепей, применив системы
аналогий i' т и м ~ т.
Решение. Уравнения движения трёх валиков дифференциала таковы:,
т	т?
^2^ =—+
J3 == —	(<о3 — <о4)	.
(1)
Эти уравнения получены из уравнений (2.68), (2.69) и (2.70) после подста-
новки
ч = —	[т2 = — В2ш2, т;3 = — В3 (со3 — (О4),
означает эквивалентный момент нагрузки, передаваемый дифференциа-
лом на валик 1, т. е. (— тй) означает вращающий момент, с которым ва-
лик 1 действует через дифференциал на валики 2 и 3.
К уравнениям (1) следует присовокупить кинематическое уравнение,,
связывающее угловые скорости трёх валиков,
ш3 = г(ш1 — о)2)	(2>
и заданный в условии задачи закон нарастания угловой скорости ведущей
половины гидравлической муфты:
(3)
= а (1 — е~^)-
474
ПРИЛОЖЕНИЕ II
+	= r B3w4;
Исключая из уравнений (1), получаем два уравнения
т I	I т ^3
Ji Ил + Ь1“! + rJa ~dt
Т f?Q)2 . т>	л,т
J;! 1л ~
а после подстановки выражения для о>3 по (2):
(Ji + »'4i) § + (Bt + r«B3) «1 - rV3	- r=K.«2 = rWs	,	]
at	at	r |
— -rWl + (J2 + »V3)	+ (2?2 + Г2В3)Ш2 = - Г2В3 . |
ГВ3Ш3 =• -
Фиг. 17a.
Фиг. 17b.
^7	Lz + LfZ -Lzz
Rj ~^^12	+^12 ~^Z2
Фиг. 17c.
Введём для сокращения записи обозначения
*71 -|- rV3 = /ц; #14- ?’2Ь’з = Ь'н;
J2 +	= ^22*, -^2 4" »’2^3 ~ -^2?; Г^В3 •	= Т (^).
г2«7з = Ji2; г2Ъ3 =
Тогда уравнения (5) превращаются в следующие:
11 йГ — ^12 “^7 — ^12ш2 = х (0;	|
— J12 -jT—^»12w + ^22 “ЗТ + ^22w2 == — x CO- |
U U	Cvv	J
Схема механической iienn этой системы дана на фиг. 17а.
(6)
(7)
ПРИЛОЖЕНИЕ II
475
Уравнения электрической цепи, аналогичной заданной по принципу
^11	+ ^11^1 — #12	— #12^2 = ДО»
— ^327z/ — ^12^1 "I" ^22	^22н2 — — I (0»
а аналогичной заданной по принципу и ~ ъ
—^12	— В&2 — U(t),
— ^12	— #12*1 + Ь22	+ #22*2 — — U (/).
Схемы обеих электрических цепей даны на фиг. 17Ь и 17с. На первой
из них
@гк iki ^ik	I (t) T (<),
а на второй
Bik В>4к В$к\ U (t) т (£). -
2.18. Автомобиль может быть представлен сильно упрощённой меха-
на фиг. 18а. Центральный радиус
2g
4?
^bz
нической системой, изображённой
инерции его массы равен h. Прене-
брегая боковой качкой автомобиля,
учитывая лишь возможные малые
перемещения (поступательные вверх
и вниз и качания вокруг попереч-
ной горизонтальной оси — кабри-
рование) и считая его шасси жёст-
ким,
а)	написать дифференциальные
уравнения движения системы. Про-
филь дороги имеет форму, указан-
ную на чертеже. Автомобиль дви-
жется влево со скоростью v;
б)	написать дифференциальные
ческой цепи, применив систему аналогий i
в)	повторить пункт б) для аналогичной электрической цепи, применив
систему аналогий u^f.
Решение. Направим ось у вверх по вертикали и обозначим:
Фиг. 18а.
уравнения для аналогичной электри-
-----и составить её схему;
уА — перемещение передней точки опоры шасси (точки Z),
У в —		задней	»	»	» (	»	В),
Ус ~	»	центра тяжести »	» (	»	С).
У1~	2>	массы Mi,		
У2 —	»	» Af2,		
Уз —	»	точки касания переднего	колеса	с дорогой,
У4 —	»	»	»	заднего	»	» »
Перемещения всех точек отсчитываются относительно положений,
занимаемых ими при отсутствии действующих на систему внешних сил
н толчков (в том числе и силы тяжести).
Согласно условию задачи перемещения и 2/4 заданы законами:
2/3 = a-l(i); Vi = a-1	—	(О
476
ПРИЛОЖЕНИЕ II
где а — высота уступа на дороге, а 1(f)— единичная функция времени,
равная 0 при £<0 и равная 1 при	---) — смещённая единич*
ная функция, равная нулю при и равная 1 при . Деформации
пружин и равны соответственно у±— у% и у2— у^ а развиваемые
ими силы реакции, действующие на массы М± и Jf2, равны
^3 (.У1 — Уз) И 1<4 (1/2 — 1/4).
Они направлены вниз, если У1>у$ или £/2>?/4- Силы инерции, приложен-
ные к массам и М2, равны
иг и лг &'•>*
d2Vi	v
причем они направлены вниз, когда ^Т>0 или	Деформации
пружин -Ki и К2 равны соответственно
Уа~У1 и	У в — Уъ>
а развиваемые ими силы реакции равны
К^УА — У,) и К2(ув — yj.
Эти силы, приложенные к точкам 1 и 2, направлены вверх, а приложен-
ные к точкам А и В—вниз, когда Уа>У^ или Ув>У%- Силы трения,
развиваемые в катарактах, равны
^i^A-У^ И	(УВ-У2).
Эти силы, приложенные к точкам 1 и 2, направлены вверх, когда
*Ул*У1 ^Ув.^Уй о	„
~ и	^ти же силы» приложенные к точкам А и В,
при этих условиях направлены вниз. Кроме того, к точкам А и В прило-
жены силы fA и fB, представляющие собой силы взаимодействия между
шасси автомобиля и его передними и задними колёсами. При этом силы,
действующие на пружину Ki и катаракт BL или на пружину К2 и ката-
ракт В2, направлены вниз, а силы, действующие на шасси в точках
А и В — вверх. Уравнения динамического равновесия сил, приложенных
к точкам 7 и 2, А и В, напишутся следующим образом:
- Кз (У1 ~ Уз) - ЛА § +	(.У а - ур + (у А - у г) = 0.	(2)
- К, (у2 - 14) - М2 § + -ЙГ2 (Ув - У2) + Ь’2 ± (ув - у2) = 0.	(3)
=	(4)
- Ъ (Ув - J/2)	{Ув ~	~ = °’	(5)
ПРИЛОЖЕНИЕ II
477
Если сложить почленно уравнения (2) с (4) и (3) с (5), получим два дру-
гих уравнения:	- К3 (у -12/3) - ^-fA = 0,	(6) - К4 (у2 - у4)fB=Q,	(7)
отражающих условия динамического равновесия сил в точках 5 и 4.
Действительно, они могут быть переписаны в виде
- Кз (Уз - 2/1) + Ml +	= 0.	(6х)
-А'1 (2/4 -2/2) + >2 Jr + fB = О-	(П
Здесь fA и f в означают реакции (давления) дороги на шины передних и
задних колёс, направленные вверх, К*(у%— у±) и IQG/4— 2/2) — реакции
сжатых пружин, действующие вниз, и Мг-~~ и — силы, приложен-
ные к массам Mi и М2 со стороны сжатых пружин 1С3 и сообщающие.
№у\	d?y<>	~
им ускорения и	Эти силы
направлены вверх. Силы fA и fB опреде-
ляются из условий динамического рав-
новесия шасси. В точках А и В шасси
приложены реакции опор fA> и fB, на-
правленные вверх. Кроме того, в центре
тяжести (точка С) приложена сила веса Мд,
направленная вниз. Если предположить,
что шасси в рассматриваемый момент
времени занимает положение,' показанное
сил fA и fB относительно точки G равны
Фиг. 18b.
на фиг. 18b, то плечи моментов
соответственно:
cos 0 и Z2 cos
а перемещения точек А. и В связаны с перемещением точки С и углом
поворота 0 уравненями
отсюда
?М =
У A = Ус + Z1 sin 0> 1
у в = у с — sin j
/аУл+^в  Ц/а+^Ув
У А— у в	Уа—Ув.
Для динамического равновесия шасси, рассматриваемого в данном случае
как жёсткий стержень, должны соблюдаться следующие условия:
Условие равновесия сил, перенесённых в точку G (центр тяжести):
fA +fB-M-s£- Mff = 0.	(10)
478
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Условие равновесия моментов относительно центра тяжести
f, I. cos в — fj, I cos 6 — МА2 = О,
(Н)
. откуда
u' l	1в1ч— cos в d«2-
(117
Решая совместно уравнения (10) и (11'), находим:
М/	d*y0	A2	d20\
^*1 I V 2	^2 Ctt2 COS в ’ t/Z2/ ’
Jfz	d*yc	А2	й2в\
= ~\gl1	5osl ' rfZ2/’
(12)
(13)
Если угол наклона шасси мал, то можно считать, что
Уд “ У в	.	»
= Sin 6	6; COS 6^1.
(14)
Тогда уравнения (12) и (13)
fA=Mg^ + M-
принимают вид
72 + А2
-----------------------72
dt£	I2
Л'Ув . „ гч
dt* '1U Z2
Z2
Z? -I* Tt~*
—А2 а'Ув
~d^~ ’
-A? ay4
‘ dfl ‘
(15)
(16)
I
инерции
шасси относительно
Здесь A— радиус инерции, a JIA2 — момент инерции шасси относительно
его центра тяжести, М-|~ h2) — момент
точки В, a JI (Z2-|-А2)— относительно точки А.
Z2-f-A2
Поэтому Л —— представляет собой ту массу, которую следовало бы.
поместить в точке Л, находящейся на расстоянии I от точки В, для того
чтобы она обладала тем же моментом инерции. Для краткости она обо-
значается
z24-A2
jfA=K-A__
(17)
и называется приведённой к точке А массой или собственной массой
точки А (при неподвижной точке В). Аналогично,
(18)
называется приведённой к точке В массой (или собственной массой
точки В при неподвижной точке Л). Величина
Л1АВ ~ М р
(19)
называется взаимной массой точек Л и В.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
479
Таким образом, выражения для сил fA и fB могут быть записаны такг
?2	^2Уа	&2Ув
+	(20)
h	dty д	&2ут>
fB=Mg--MAB-^+MB^.	(21)
После подстановки этих выражений для fA и fB в уравнения равновесия
сил в точках А, В, 3 и 4 [т. е. в уравнения (4), (5), (6) и (7)] получаем
четыре уравнения, которые после перестановки входящих в них слагае-
мых принимают следующий окончательный вид:
Н2ул dyA	d2yB dy±	l2
+ К1Ул - MAB	К1Й = - Mg J, (22)
,r	„ л2Ув,в ЛУв ,
~Л/АВ fi# + KB dt2 +B2 dt +
+ K2gB-B^-Kiy2 = -Mg^, (23)
d2yA d?yB d2yr	Z2
MA	- MAB -S- + Mt-^.+ Kayi = - Mg T + Kaal (4),	(24)
d2y л $yn d2y2
-	+Ms-^ + M^ + Kiy2 =
= - Mg	(t -1).	(25)
Схема механической цепи, описываемой в задаче, представлена на.
фиг. 18с.
Фиг. 18с.
Аналогичная электрическая цепь, построенная по принципу i~f, опи-
сывается уравнениями:
Qa +	+ ri J uAdt— САВ-~ — G^-- I\ J = — 1А,
duA dur,	С	С
-~САВ~-$- + ^В"^-+	+ Г2 J UBdt — Г2 J =
du a	dun du. С
<>л	Члв -в- + о, + г, J «, Л = -л + r,v. I от,
duA dun dun f	f i \
-сАв-^-+ев^-+с^+г4]	=
480
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Схема этой цепи дана на фиг. 18d. На этой схеме
IA ~ Мд Jj , I'A =	K3al (0,
1в ~мд lj. i'B = W • i b - 4-V K*al Ь - 4) •
b	\	”0 /	\	/
Аналогичная электрическая цепь, построенная по принципу
описывается уравнениями:
diA	С	din	f
La	J <А - Lab - Vi - J \ <Н = - UA;
&в . Г	. Г .
—Lab	+ LB	+ Rtfв4-&2 J iBdt — R^2— J *2<?< = — Uв;
di л	din di, Г
La £ - LAB + Lt + J it dt = -UA+SsQ.l (t);
di, dir, di„ f	/ I \
Схема этой цепи дана на фиг. 18е. На этой схеме
VA ~ Мд	U'A = 83Q1 (0 ~ Кйа1 (0,
; tri =«1в1(< _±)~Хл,(,_.£).
Фиг. 18d.
Фиг. 18е.
2.19. Длинный ротор с общей массой М (фиг. 19а) вращается с постоян-
ной угловой скоростью и и поддерживается по концам двумя подшипни-
ками на стойках, допускающих колебательное движение его вала в гори-
зонтальной плоскости. Эффективная жёсткость и эффективное сопротивление
при поступательном перемещении его вала в этой плоскости указаны на
чертеже.
Предполагается, что ротор уравновешен статически, но не динамически.
Динамическая неуравновешенность может быть представлена двумя рав-
ными малыми массами т, лежащими в общей плоскости, проходящей через
ось вращения ротора, но по разные стороны от неё. Обе массы находятся
на равных расстояниях а от оси вращения; их плоскости вращения нахо-
дятся на равных расстояниях Ъ от центра тяжести ротора. Предполагается,
ПРИЛОЖЕНИЕ II
481
что угловая амплитуда колебаний вала в горизонтальной плоскости
остаётся малой. Радиус инерции ротора относительно вертикальной оси,
проходящей через его центр тяжести, равен h.
а)	Написать дифференциальные уравнения движения системы и
составить схему механической цепи системы.
б)	Составить схему аналогичной электрической цепи в предположении,
что i ~ f.
в)	Составить схему аналогичной электрической цепи в предположении,
что f.
Решение. Изучение движения ротора ведёмся одновременно в двух
системах координат: подвижной (S, т), С) и неподвижной (х, у 2). Направим
ось 5 по оси ротора, ось — перпендикулярно к ней в плоскости её коле-
баний, т. е; в горизонтальной плоскости, а ось С — вертикально вверх. За
начало подвижных осей примем
точку С—центр тяжести ротора,
совпадающий с центром тяжести
добавочных грузов. За начало не-
подвижных осей (точка О) и за их
направления х, у, 2 примем положе-
ние точки С и направления осей 6,
С, которые они занимают в слу-
чае статического равновесия оси ро-
тора (т. е. когда ротор не вращается
или когда с вращающегося ротора
удалены добавочные грузы, нару-
шающие его динамическое равнове-
сие). Движение ротора относительно
осей (£, т), С) рассматривается в даль-
нейшем как относительное движение ротора, а движение осей (£, Q
относительно осей (ж, у, г) — как его переносное движение. Первое дви-
жение представляет собой равномерное вращение с постоянной угловой
скоростью w вокруг оси В, а потому относительные координаты любой
точки ротора равны
£ — const.,
Фиг. 19а.
Y) — г cos ср,
С — г sin ч,
(1)
где г— расстояние этой точки до оси I, а ср — угол, образованный напра-
влением г с плоскостью (£?}). Так как по условию задачи
Й	х
О) = -— = const.,
dt
то проекции относительной скорости на подвижные оси равны
€ = 0,
7] — — г sin Ср • ср = — шС ,
С = Г COS Ср • ср = со 7].
(2)
(3)
Положение подвижной системы, совершающей плоско-параллельное дви-
жение относительно неподвижной системы координат, определяется двумя
координатами хс и ус (ибо по условию задачи третья координата
zG = о — const) и углом 6 между плоскостями (хг) и (К). Поэтому абсо-
лютные и относительные координаты любой точки ротора связаны соот-
31 Зак. 1977. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
482
ПРИЛОЖЕНИЕ П
ношениями
х = xG 4- 5 cos в — т] sin Q,
У = Ус + % s*n ® cos в’
* = с.
Проекции абсолютной скорости на неподвижные оси равны:
(4)
= х = Xq— (5 sin 0 + т] cos 6) • 0 4* % cos 0 — iq sin 0,. j
= y = yG + (Seos 6 —v) sin 0)- 6 4-£ sin 0 4-cos 6,	|	(5)
v — z = £,	I
Z	J
а в силу (4) и (3)
vx==	4-<«>£sin 0,
V =y G + (x — XG) 0 — (i>C cos 0,
Vg'= 0)7].
Проекции абсолютной скорости на подвижные оси вычисляются по фор-
мулам:
щ = vx cos (а?, I) 4“ Vy COS (у, 9 4- COS (z, 5),
= Vx COS («?, 7]) 4- Vy COS (yt 7]) 4- vz cos (Z, 7]), ’
w = vx cos (x, C) 4“ Vy cos (y, C) 4“ Vz cos (z, £).
Так как ось 5 составляет с осями х, у и z углы, соответственно равные О,
• тс а к
2--е И -рто
(7)
Ось y] составляет с
Наконец, ось С
осям. Поэтому
= vx cos 0 4- vy sin 0.
теми же осями углы, равные ~ 4~ в и . Поэтому
= — vx sin 0 4"^ cos 6*
параллельна оси z и перпендикулярна двум другим
ч =
Подставив в эти формулы выражения для vx, vy и vz, из (6) находим:
v = xG cos 6 +у g sin 0 — т)б,
v,r = — х G sin 0 4- У c cos 0 4" £9 — <°C,
vz = <07].
Здесь члены, содержащие xG, yG и 6, означают проекции переносной ско-.
рости, а содержащие <о — проекции относительной скорости на подвижные
оси координат.
В дальнейшем нам потребуются выражения для проекций момента
количества движения ротора на подвижные оси координат. Проекции
(8)
ПРИЛОЖЕНИЕ It
483
Помента вектора абсолютной скорости какой-либо одной точки ротора
относительно его центра тяжести на подвижные оси равны:
mom^ (v) = • т) — • С = о (т)2 + С2) — •/sin 6 — yG^ cos 6 — ё£0,
mom^ (у) =	4- cos 9 4* yGt> sin 0 — r^O,
momc (y) =	= yG (a? — xG) — xG(y — yG) 4- ($2 + t)2) 0 —
Проекции вектора количества движения ротора на неподвижные и
подвижные оси координат и вектора момента количества движения ротора
на подвижные оси координат равны:
(9)
2 хс 2 ш + §Ус 2 ш “ 0 2 (w2/) 4~ w sin 0 2 (ш^)>
2(^г/) = ^2 ш~0жс2ш+0 2шcos02(f
2 (ш^) =w 2
2 (W5) — J с cos 0 2 ш 4“ Ус sin 0 2 w — 0 2
2 (mvj ~—хс sin 0 2 ш Усcos-0 2 ш+0 2 (w*)—ш 2 (^)»
2 w 2
2 топц (шг) =
= — зсс sin 0 2 (w^) — У a cos в 2 № — ’0 S+“ 2 <ww’2)>
2 mom4 (от®) =
=^я-(> cos 6 2 (ОТО + Ус sin ® 2 (ш^) — ® 2 V”7)?) — “2 (,й7)0>
2 momt; (от®) =
= 'ус^ т (ж - «’о)—хс 2 т (у ~~ уд+& 2 т +7i8)—ш 2
(10)
(11)
(12)
Суммы, входящие в эти выражения, имеют следующий смысл и значения:
Если собственную массу ротора (без добавочных грузов) обозначить
М, а массу каждого из грузов (они равны по условию) — ?», то
^т~	(13)
Так как а?^, yG, zG означают координаты центра тяжести ротора, то
2 шж — {М 4- 2?») xG>
2 ту = (М 4- 2т) yGi
2	= (ЛГ 4- 2т) zG,
(14)
Так как центр тяжести служит началом подвижной системы координат, то
2^=2ш/1 = 2^ = °*	(15)
Момент инерции ротора относительно оси 5 равен
2 (С2 4~ *12) — 2 тг2 = 4* 2та\	(16)
31*
484
ПРИЛОЖЕНИЕ it
где означает момент инерции собственно ротора, а о2— момент инер-
ции каждого из грузов. Момент инерции ротора относительно оси С равен
2 ™ (ё2 + Y]2) =	™ (£2 + cos2 ?) = h + 2ш (*>2 + <?" cos2 ср), (17)
где означает момент инерции собственно ротора, а т (b2 + a2 cos2 ср) —
момент инерции каждого из грузов. Произведения инерции относительно
плоскостей (£q), (y)C) и (Сё) равны:
m&i = 2 тёг cos ? — 2mab cos ср,
2 m-rfi =^mr c6s ср • r sin ср — ma2 sin 2ср,
2	= 2 тг 8*п “ 2ша'? si*1 <?•
(18)
[Произведения инерции собственно ротора как тела, симметричного отно-
сительно плоскостей (ё^) и (ёС), равны нулю.]
Подстановка результатов (13) — (18) в формулы (10) — (12) даёт:
2 mvx = № + 2ш)
2 mvy = (М+ 2т) ус, >
2 mv^ = 0;
2 ти^ — (М+ 2m) (xG cos 6 + yG sin 6),	1
2	= (M-|- 2m) (— xG sin 0 + yG cos 0), >
2	= 0;	j
2 mom^ (mv) — — 0 • 2mab sin cp + w -|- 2v;a°),
2 mom^ (mv) = — 0 • ma2 sin 2p — & • 2mab cos cp,
2 mom^ (mv) =0 [J^ 4“ 2m (b2 -f- a2 cos2 cp)] — co 2mab sin cp.
(19)
(20)
(21)
Проекции вектора момента количества движения на неподвижные
координатные оси равны:
2 niom^ (mv) = 2 тот£ (wv) * cos ® — 2 гаотт) s*n °’	j
2 тот^ (mv) = 2 шот^ (mv) • sin 0 + 2 mom (mv) • cos	1	(22)
2 m0in2 (mO) = 2 monip (mv) 4* (M4- 2m) • moms (yG).	]
Подставив сюда выражения для проекций вектора момента	количества
движения на подвижные оси из (21), получаем:
2 тошж (mv) = — 0 [2таЬ sin ср cos 0 — та2 sin 2у sin 0] 4-
4“ w [(«^ё + 2та2) cos 0 4~ 2таЬ cos ср sin 0],
У тот- (mv) = — 0 [2mab sin ср sin 0 4~ та2 sin 2ср cos 0] 4-
(23)
4- <о [(J's 4- 2^га2) sin 0 — 2mab cos ср cos 0],
2 niom^ (mv) = б [e/^ 4" 2m (^2 4 a2 cos2 ?)] — ш 2mab sin cp 4~
+ (3f4-2m)(^6, — xGyG).
ПРИЛОЖЕНИИ II
485
Продифференцировав выражения (19) и (23) и изменив их знаки на
обратные, находим проекции результирующего вектора сил инерции и
результирующего момента сил инерции ротора на неподвижные коорди-
натные оси:
_ 2 т = . (М 2т) х0,
~~ Ulf
ж-i
-^т-^ = -(М+2т)у0, 
(24)
—2 тотя	^=*0 &таЪ s*u ? cos в — ша2 s^n 2? sin Ч +
+ б2 [— 2mab sin ср sin 6 — та2 sin 2<р cos 0] -|-
w6 [(J\ + 2ша2) sin 6 — 2ша2 cos 2р sin 0] +
4- со2 • 2wz& sin ср sin 0,
—Ш01%	l2ma& sin ? sin 0 4- та2 sin 2ср cos 0] 4-
4- б2 [2mab sin ср cos 0 — та2 sin 2ср sin 0] +
4- оз0 [— (^ 4" 2та2) cos 0 4~ 2ша2 cos 2<р cos 0] —
— оз2 • 2таЪ sin ср cos О,
—2 inom« (w |^)=— (M4-2m) (yQxG—iC3/a)—6[c7j.4-2w (&24-а2 cos2 ср)]4~
4- <об 2wa2 sin 2f 4~ 0)2 • 2mab cos cp.
(25)
Проекции результирующего момента сил инерции на подвижные оси
равны:
(26)
486	приложение ii
Подставив в эти формулы из (25), получаем:
— топЧ — 0 • 2ига& sin ср — 02wz2 sin 2ср,
— 2 mom^ (т = б •sin 2 ср	62 • 2mdb sin ср -|-
-|_ о Q (J$ + 4wa2 sin2 cp) — оз2 • 2mab sin cp,
— 2	= — 0 («7^4- 2w (b2 + a2cos2cp)] 4-
4-	<*>0 • 2ша2 sin 2cp 4~ 0)2 • 2таЪ cos ?.
Члены, содержащие 0, выражают проекции момента касательных,
а содержащие б2 — нормальных сил инерции переносного движения.
Члены, содержащие «2, выражают проекции момента нормальных сил
инерции относительного движения. Наконец, члены, содержащие <о6, выра-
жают проекции момента дополнительных (или так называемых кориолисо-
вых) сил инерции ротора. (Члены, выражающие проекции момента каса-
тельных сил инерции относительного движения отсутствуют, так как
относительное движение происходит со скоростью w = const.) На ротор
действуют следующие внешние силы:
1.	Вес ротора и добавочных грузов, равный (М-\-2мь)д, приложенный
к точке G, с проекциями на неподвижные оси:
Хе = 0,
Уе = 0,
2.	Реакция первой опоры с проекциями
Xi = (a?i Zj)
У1 = — ^12/1 — В1У1,
Zi.
3.	Реакция второй опоры с проекциями
Х2 = — ^2 (ж2 “Ь ^2) — -^2^2’
^2 “ — -^2 ^2 — -^22/2*
(28)
(29)
(30)
(так как начальные координаты точек 1 и 2 равны соответственно:
(Zh 0, 0) и (— Z2, 0, 0).
Пользуясь принципом Даламбера, составим шесть уравнений движе-
ния ротора, выражающих условия равновесия приложенных сил и сил
инерции ротора, а также моментов приложенных сил и сил инерции.
При этом целесообразно составить условия равновесия сит в виде
уравнений их проекций на неподвижные оси, а условия равновесия момен-
тов— в виде уравнений их проекций на подвижные оси. Для составления
этих уравнений следует предварительно определить проекции результи-
%
ПРИЛОЖЕНИЕ II
487
рующего вектора и результирующего момента приложенных сил на соот-
ветствующие оси координат. Эти проекции равны:
X = Хд 4 ^4 4 ^2 = —	(Ж1 — ^1) —	(я?2 4- h) — ^2Х2»
Y — Yq 4	4“ KlVl —	^22/2	-®2^2>
z = Zq 4 zr 4- z2 ==— (^4 2?w) <7 4“	4 ^2>
— о,
+ ^2?2,
^ = ^ = 2(^-Х1/)-ага2 +	=
== — (^12/14* ^1У1) (Ж1 — хс) — (^22/2 4* ^22/2) (ж2 — хс) 4
4" [-^1 (xi—h) 4“ ^1^1] (2/1 — 2/с) + [^2 (ж2 4* ^2) 4~ ^2Г21 (2/2 — Ус)-
Уравнения движения ротора/ таким образом, сводятся к следующим:
(Л£4~ 2т) Xq 4~ Kixi4"	4- ^2Х2 4- В%х2 = Kih 4“ й^2,
(№ 4~ 2т) yG 4- К\У1 4- #1?/1 4* -^22/2 4" ^22/2 — О,
#14 Z2 = (М + 2т) д\
б • 2таЪ sin ср — б8 • ма2 sin 2 ср == О,
б . та2 sin 2 ср 4 б2 • 2mab sin ср 4	С 4 4~	sin2 Ч>) —
— ш2 • 2таЪ sin ср = ZJi — Zzh*
— 8 Г4 4	(Ь2 4 я2 cos2 ср)] 4	•2яш2 * sin 2? 4 ^2таЪ cos ср —
— [#12/1 4 #12/1] (Х1 — хс> — (-^22/2 4 В2у2] (хг — xG) 4
4 [-йл (Ж1—У 4 В1Х1 ] (2/1—Ус) 4 [-ЙГ2 (х2 4 h) 4 ^2^2] (2/2—у с)	j
(32)
(33)
В написанных шести уравнениях содержатся пять неизвестных величин:
ХС>	и %2‘ Величины я?1, г/i и я?2, 2/2 связаны уравнениями,
вытекающими из (4). Если в них положить
$1 =	~ — hi ^1“ ^2 ~	~ ^2 — О,
то получим:
Xt = Хд 4 h COS 0,	2/1 = Уд 4 h Sin °, ]
о?2 == Хд 4 h cos 6, 2/2 Ус — h sin б, J
откуда следует, что
cos 6 =	, sin 0 =	,	(35)
где
Z = Z14 h
hxi 4 ^2 ..	^22/1 4 ?12/2
iB!7=--------j----’ yC--------------j-------
(36)
488
ПРИЛОЖЕНИЕ II
В первую очередь займёмся уравнениями, не содержащими и Z2 (не-
известных вертикальных составляющих реакций опор). По ним мы опре-
делим переносное движение, т. е. величины
;»с=Я!с(0, Уа = Ус^ и в = 0(<).
После этого можно будет определить Zr и Z2 по уравнениям (32z,/) и (33").
Решение уравнений значительно упрощается, если предположить, что
повороты оси ротора в плоскости (ху) вокруг оси С происходят в преде-
лах малого угла (например, вследствие того, что жёсткости стоек Ку и К2
велики), т. е. что
'	^шах 6юах,
где
®шах
^0.
Тогда из (34) и (35) следует, что
~ хс 4" ^1»	~
У1 ~ У с 4“	Уъ~Ус
Ху	@ ~ l-l.--.ll ,
'В этом случае
У1 ~ У с 4“ Д Уъ^Ус —	~
Уравнение (32) в этом случае принимает вид
(37)
(38)
(М -f- 2/mz xG 4~ (^i 4" ^2)хс 4- (-®14- -^2) хс — о,
откуда следует, что
ХС — GicPlt + G2^‘> ха =PiGiePit +piO'SeP:‘i *).
В силу того, что в начале процесса центр тяжести ротора находился
в начале координат и был в абсолютном покое, С\ = О2 и
= 0 = const., xG = 0 = const., xG — О = const.	(39)
Подставив в^ уравнения (32z/) и (33zz/) найденные по (37), (38) и (39)
значения 6, 6, в хо и хс, получим два уравнения относительно уу и у2 и
их производных:
(М 4» 2ш) (Z22/x 4-	4~	4~	+ ^2^'2 4~ К^Уъ = 0,	(40)
4- 2иг (&2 4- a2 cos2 ср)] (у у — г/2) — «>2жа2 sin 2'f (ух — у2) 4-
4" (^1У14“ ^12/1) 4- (#22/2 4~ ^22/2)	~ ш2 * ^таЪ cos ср.	(41)
Pi и Р2—корни характеристического уравнения
- {М + 2т)р^+(В1 + В2)р + Кг + К2 = 0.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
489
Эти уравнения могут быть приведены к симметричному виду, если
первое из них умножить на Z2 (или ?i) и прибавить к нему (или вычесть
из него) второе:
[J^ + Ml2 + 2m (Zg + 62 ~|- a3 cos2<p)j + [^i I2 — ы2та? sin 2ср] Уг +
+ ВДй - [<h — Ж + 2m (— 1& + & +a? cos2 с?)] у2 +
+ со * 2та2 sin 2ср * у% = 0)2 • 2таЫ cos ср;
[ J? + MZ2 + 2m (Z3 + Ъ2 + a2 cos2cp)] у2 + [В212 — w2ma3 sin 2ср] у2 +
4~ КъРУъ— Рс — MZjZ2 4" 2m (— V2 Ч~ 4“ а2 cos2 ср)] у± 4"
4- <о • 2mas sin 2<р • yi = — о>2 * 2таЫ * cos ср. ,
(42)
Введём ряд обозначений для сокращения записи этих двух уравнений:
h~ ^.— радиус инерции собственно ротора (без добавочных
4-	М Ъ? 4-
	-==М —---------------масса ротора,
к опоре 7,
Jr 4- MZ3 К2 + Z3
М2 ~	—- — М---------р------масса ротора,
к опоре 2,
яг Jy W2 г №— ZjZ<>	.	„
М12 —	_—LA — м —— взаимная масса опор 1 и 2.
I,
грузов),
приведённая
приведённая
 (43)
Но этому же принципу обозначим:
+ ь3 + a3 COS3?	^2 + ъ2 4- у а2
2т---------------------- 2т-----р-------1- т cos 2? = пц + wu cos 2?;
zj 4~ ~F cosJ<p	4" + 77 а2
2т---------------------- 2m------—-—h т	cos 2<р = и 2 4~ cos 2ср;
- у2 + ь2 + а2 cos2 ср -Z1z2+b2+l_
2т----------р----;-----= 2т —-----р----- + m cos 2<р =	4- m0 cos 2ср.
Величины
^ + Ь2 + у
= 2 m ------,
/у 2
-v2+^+^-
'«J8 = 2'» -72-
490
ПРИЛОЖЕНИЕ II
могут быть названы соответственно эффективными массами добавочных
грузов, приведёнными к опорам 1 и 2, и эффективной взаимной массой
опор 1 и 2 для этих грузов.
Действительно, среднее квадратичное расстояние каждого из грузов
т до оси С равно Т/ Ь2 + тг , так как оно колеблется от У'Ь2 4~ а2 (ПРИ
'	а
при ср = -~,	Переменное слагаемое
_ а2 п
cos 2ср = т cos 2ср
ср = О, л, 2л, .
(45)
учитывает отклонение мгновенного значения радиуса инерции добавочных
масс от его эффективного значения, в чём легко убедиться из следующего
расчёта:
лдоб = &2 + а3 COSV
ср Р&б] = ь2 + т>
^об-ер[^3об] =
= Ъ2 4- a2 cos2 ср — f Ъ2 + ~2 ) “
а2	. а2 о
= —(2 cos2 ср — 1)— — • cos 2ср.
4	и
Наконец, обозначим вели-
чину
— о) • 2ma2 sin 2ср —
= со • 2ma2 sin 2 (ср 4-	—
= 50sin2^ + -|)	(46)
и назовём её гироскопическим коэффициентом. Таким образом, для опре-
деления положения оси ротора через координаты его опор в случае малых
поворотов оси в плоскости её колебаний имеем два обыкновенных линейных
дифференциальных уравнения второго порядка с переменными периоди-
ческими коэффициентами, частота которых вдвое больше частоты вынуж-
дающей силы
со2 • 2mab cos ср == F cos ср.	(47)
Эти уравнения таковы:
(>1 -|- wij 4-	cos 2ср) yi 4" [Bi 4~ Во sin (2? 4~ к)] • У1 + &1У1 —
— (М12 4~ ш12 4- mQ cos 2ср) у2 — Bq sin (2ср 4- к) • у2 = F cos ср,
— (М12 4-^12 + ^0 cos 2ср) 2/1 — Во sin (2<р 4-л) • 4-
4*(>2 4~ ^4-^0 cos 2ср) у2 +[В2 4“ Bq sin (2ср4~тс)]-• у гЧ-	— F cos ср,
<cos ср

4
В05'т[2(р+л}
^~\mocosZ(p \У2
-Q- .
IM
Feos (р
Vs/f/7////S///W
М;г=М,г^т,г,
М^Мг*тг-М,г-т,2>
Фиг. 19b.
или в более наглядном виде:
(>1+^1 — ^12 — ^12) 2/1+В1у14-В?1У1 4“ (>124-^124-^0 cos 2<р) (Уг— Г2) +
4-B0Sin (2ср +тс) G/i —y2) = ^coscp;
(>2 + w2 — >12—ш12) 3/2“|- В2У24-ВГ2У2+ (>124-^124-^0 COS 2ср) (1/2—7/1)	|
4- Bysin (2ср 4~ к) {$2 — ^1) = — В7 cos ср.	J
ПРИЛОЖЕНИЕ II
491
Уравнения электрического аналога, построенного по принципу i^f,
имеют вид:
Ф. "зт +	+ Л f dt + (012 + Cq cos 2<?)	—jA +
(Jbb	J	\ UuL (лЧ /
+ G-q sin (2c? + к) (Щ — г12) =* I cos <?;
„	(50)
^2	+ #2W2 + A J w2 dt + (012 + C?0 COS 2'f)	----4“
+ Oosin (2? 4-k) (i/2— ui) = —I cose?.
Уравнения электрического аналога, построенного по принципу u~f,
имеют следующий вид:
+ &1Ч + J* й dt 4- (Z/J2 + i'o cos 2?)	+
4- Во sin (2? + к) (гх ~ г2) = U cos <?; /с. ч
•	‘ I
^2	4* В&ъ + ^2 J 4 dt 4- (Ь12 -|- Ьо cos 2ср)	4-
4- Ro sin (2? 4“ к) 0*2 — h) — ~ U cos ср.
Параметры этих двух взаимно дуальных цепей связаны с параметрами
йойпМф+л}
Фиг. 19d.
Фиг. 19с.
механической системы следующими соответствиями:
2>1	01 Ml 4" W1 — ^12 — w12*>	М2 4“	— -^12 — *w12;
L12	012	^12 4- ш12‘,
Lq cos 2cp/^ Oo cos 2? ~ m0 cos 2«p;
Bi (?i	2?i; B2 G2 #2; 24 У1 Ki', Г2 82	K2; U ~ IF\
Be sin (2<p 4- к) Gq sin (2c? 4- к) Bo sin (2c? 4- к).
(52)
Схемы механической цепи, описанной уравнениями (48) или (49), и
электрических цепей, описанных уравнениями (50) и (51), представлены
на фиг. 19Ъ, 19с и 19d.
Если массы т достаточно малы (см. условие задачи), то уравнения
(48), (49), (50) и <51) упрощаются, превращаясь в уравнения с постоянными
коэффициентами. Читателю предлагается найти самостоятельно более про-
стое решение задачи в этом случае и соответственно упростить с^емы цеце#.
492
ПРИЛОЖЕНИЕ II
2.20. а) Жёсткий стержень с распределённой массой М рассматривается
математически как эквивалентный жёсткий невесомый стержень с тремя
сосредоточенными массами:	и М2 (^о — в его центре тяжести,
и — на расстояниях Zj и Z2 по обе стороны от центра тяжести). Дока-
зать, что эти массы должны быть равны:
= М
ZjZ2 —Л*
ZjZ2
А2
71^ =21/—!----
Zj* 4- М2
Мъ = М
7*2
^2 "Ь ^2
где h— радиус инерции весомого стержня относительно оси, проходящей
через его центр тяжести.
б) Показать, что такой стержень аналогичен трансформатору с индук-
тивностями рассеяния.
Решение. Движение'свободного твёрдого тела в пространстве описы-
вается шестью дифференциальными уравнениями Эйлера
MxG — X, Д^ 4- (Др — Д^)
Му <7 ~	+ (Д$ — Д(Э
(П
где xG, Ус и — координаты его центра тяжести С относительно непо-
движных осей координат (Oxyz), а и — проекции мгновенной
угловой скорости о) на подвижные координатные оси (С£т£), являющиеся
главными центральными осями инерции тела; X, Y и Z — проекции равно-
действующей всех внешних приложенных сил на оси х, у и z\ и -
проекции равнодействующего момента всех внешних приложенных сил;
М—масса .тела;.Д$, и — моменты инерции тела относительно главных
центральных осей инерции.
Два твёрдых тела динамически эквивалентны, если при равных силах
(X, Y и Z) и моментах (т^, и движения их центров тяжести и вра-
щения вокруг центров тяжести происходят с геометрически равными
скоростями (при одинаковых начальных условиях). Для этого, как легко
судить из уравнений (1), требуется равенство масс и моментов инерции
относительно главных центральных осей инерции обоих тел.
Для твёрдого прямолинейного стержня, главными центральными осями
инерции которого являются ось £, совпадающая с его осью, и оси ч и С,
перпендикулярные к оси £ и между собой и проходящие через его центр
тяжести С,
JTi =	= М№,	(2)
где h — радиус инерции стержня относительно любой оси, лежащей
в плоскости
Если стержень тонок, момент инерции относительно его оси £ можно
считать равным нулю:
Д|^0<	(3)
Приложение it

Система, состоящая из трёх сосредоточенных масс Мо, Мг и Мп, распо-
ложенных на неизменяемом стержне согласно фиг. 20а, обладает массой
2-W = lfo+^i + .Ms
(4)
и моментами инерции относительно осей 5, i) и Z, равными соответственно:
Л=0,	|
J^J^M^ + M^+M^. J	(5)
Если масса расположена (согласно условию задачи) в центре тяжести
этой системы, то
е0 - 0,	— + ?i, ?2 — — h
+ J/252 =	— M2Z2 = 0,
и
(6)
откуда
\ =	= М, I] + М2 Z2 = Мх lx (I, + Z2) = К2 Z2 (Zt + Z2).	(7)
В силу условий эквивалентности, приведённых выше, твёрдый стержень
эквивалентен неизменяемой системе, состоящей из трёх сосредоточенных
масс, расположенных на расстояниях Zx и Z2 друг от друга, если
откуда
М№ = >iZt (Zx + Z2),
M№ = ^Gt + Zo),
-MZ2(Z1 + Z2)’
Мй = M—M1 — M2 = M	.
W2
(8)
П p и м e ч а ни e) Эти две системы не вполне эквивалентны друг другу
так как у материального стержня J$>0 (хотя и мало по сравнению
с и J\)> а у трёх сосредоточенных масс, расположенных на оси 5,
точно равно нулю. Однако это различие не играет роли, если и стержень и
три массы не совершают вращательного движения вокруг оси 5, т. е. если
Ш£ = 0. В этом случае уравнения (1) упро-
щаются и принимают вид
Их 0 = X, 0 =
Му G = Y, Mh?v> ч = t,),
Mzq~Z, МД2	==	.
Фиг. 20а.
Каждая из двух систем совершает пять независимых движений: три посту-
пательных движения параллельно осям х, у и z и два вращательных —
вокруг осей т] и С. Рассмотрим, в частности, движение системы из трёх масс
на невесомом стержне в плоскости ху, причём предположим, что в рас-
сматриваемый момент времени стержень лежит на оси а? и на массы
действуют лишь силы X и У, лежащие в этой плоскости, и момент т =
404
Прйложёйиё it
параллельный оси я. Тогда уравнения (9). принимают вид:
М’о = X,
_М7г2<1> = т.
Wo=y.
(10)
Вследствие неизменяемости стержня
	«0 = «1 = ж2, У1 = Уо + г1“> Уэ = ?/о — h<°,	(11)
откуда		
	" 	 ^У1 ~Ь hVt	
	" Zl + *2~’	(12)
	_У1 —Уг	
	h + h	
Уравнения		
	MxQ = Mi; =	= X	(13)
позволяют определить ускорение и скорость движения системы парал-
лельно оси х. Движение же, параллельное .оси у, определяется при задан-
ном положении стержня двумя уравнениями вида:
м—4- М_______*L_	= р
h+h dt	dt .
_Л2_Л1_	_A2_d^_
Zi + Z2 dt li^-h dt ~ ’
Систему приложенных сил, представленную результирующей силой F и
результирующим моментом т, всегда можно заменить двумя силами F±
и Р2, приложенными по концам стержня, т. е. к точкам и М2- Эти
силы определяются из условий:
^1+р2==#,
% 171 — -^2^2 " Ъ
откуда 7? = 1	+ Z2 ’ p —	— t 2~ h + h ' На основании уравнений (14) получаем:	(15)
ll + h2 dv,	1,1, —h2 dv, (Z14-Z2)2 dt 1 Gi-Ma)’ dt l,l9—h2 dv,	Zp-4-Л2 dv, (*1 + A»)2 dt 1	(Zj+'Za)2 dt	J Уравнения аналогичной электрической системы имеют вид:	(16)
r du	г du	) L11 dt	Lii dt	=	1 ।	r di%	I ~ L^~dt+Li!i~di=~u2- J	(17)
ЙЙЙЛОЖЕНИЕ It
ш
Здесь применены следующие соответствия:
z2 + a2
Ь11~м(г14-г2)2’
z^ + л3
L22~M(W
L12 MftW ,
(18)
Схема цепи, описанной уравнениями (17), представлена на фиг. 20b.
Как известно, схема, показанная
на фиг. 20b, представляет собой экви-
валентную схему трансформатора без
активных сопротивлений в обмотках, но
с индуктивностями рассеяния (приведён-
ными к первичной обмотке), равными
L>is * ^tz ^zs ~^гг ^<г
Фиг. 20b.
£is-А1 —> I
7 2 } (19)
Ij2S==L^—	?7z2’ J
т. е. с приведёнными коэффициентами рассеяния,’ равными:
_LU_ h* + %
81
1 'L™	+ %
S*~ Lli
Коэффициент магнитной связи между обмотками равен
1.	__ h2 —
У -^н^22	(^2 + 4) (Л2	Z2)
Коэффициент трансформации равен
(20)
(21)
Н ~ V2,
-^~РЪ
Аналогия между параметрами трансформатора и тремя массами
MQt Mi и М% выражается на основании уравнений (8) следующими
496
ПРИЛОЖЕНИЕ И
соответствиями:
Lll L12 + L1S ~ M0	-j- 72)2 + M1 ’
Z1 
^22	-^12 4” -^28	| Zz/1 ”^2’
i,12
(23)
Электрическая цепь, дуальная по отношению к цепи, изображённой на
схеме фиг. 20b, представляет собой U-образный четырёхполюсник с ёмко-
стями, изображённый на схеме фиг. 20с. Его эле-
Фиг. 20с.
OSS~L1S~M
GiS^LiS^M^,
ментами служат:
hh
.Gi + '2F
(2+)
2.21. Массы Mj и Л£2, принадлежащие механи-
ческой системе, изображённой на фиг. 21а, свя-
заны между собой системой тросов и блоков так,
что перемещения обеих масс относительно рамы всегда равны и напра-
влены в противоположные стороны. Между массами и с одной
стороны, и между массой и рч-
мой, — с другой, действует вязкое тре-
ние. Пружина К, прикреплённая одним
концом к массе М2, а другим — к ра-
ме, стремится удержать обе массы
в среднем положении. Массами тросов
и блоков можно пренебречь. Рама
укреплена на вибрирующем теле, со-
общающем ей поступательное движе-
ние, характеризуемое координатой а%,
отсчитываемой относительно неподвиж-
Фиг. 21а.
ной системы координат.
а)	Написать дифференциальные уравнения движения системы.
б)	Составить схему механической цепи.
в)	Составить схему аналогичной электрической цепи, применяя систему
аналогий i~f.
Решение. Направим ось х параллельно траекториям центров тя-
жести тел Mi и М2 и обозначим координаты этих точек соответственно
и а?2, а координату центра тяжести рамы — а?з. Отсчёт этих координат
будем вести от соответствующих положений, занимаемых этими точками
при статическом равновесии системы.
ПРИЛОЖЕНИЕ it
497
Силы, действующие на массу Мъ равны:
1)	сила трения тела	о раму:	—(жг—i3),
2)	сила трения тела	о тело М2: —B2(#i—^2),
3)	результирующая сила натяжения тросов: flt
Силы, действующие па массу М2, равны:
1)	сила трения тела J/2 о тело Му —В2(х2—а^),
2)	сила деформированной пружины —К (а?2 — а?3),
3)	результирующая сида натяжения тросов: /*2.
Так как трением на осях блоков можно пренебречь, реакции тросов
Л и Л равны по величине и знаку, т. е.
А = А = Л
Следовательно, уравнения движения тел Мх и Л/2 могут быть запи-
саны в виде: .
= — Bi G»i — Ч) — в2(«1—«2) + f>	(1)
= — В2 (х2 — X,) — К (ж2 — а?3) + f,	(2)
«Ч — жз = — («2 — а'з)-	"	(8)
Последнее уравнение представляет собой уравнение связи и выражает
постоянство длины как правого, так и левого троса. В трёх уравнениях
содержится одна известная (заданная) функция времени а?3г=^3(^) и три
неизвестные функции
•г2 = .т2 (4),
Эти уравнения могут быть переписаны в виде
ЛА^ + (В1+В2)гч-ВЛ-ВЛ = Л	(4)
f	t
-Б^ + М^ + В^ + К J v2dt — K j =	(5)
О	о
«1 —®3 = —(«2 —’’з)-	(8)
Здесь введены обозначения:	
/ 1 ^V1	1	Л4. =	ХЬ J V1 =	
0 t dv2	f v2 — я?2,	= х2,	1 v2 at = ос2>	(7)
0 t •	^3	••	f лд ^ = ^3, 'dt^^	1 vzdtz=.rz 6	
и, кроме того, выполнено дифференцирование уравнения (3). В таком виде
оно выражает, что скорости тел М^ и 3/2 относительно рамы равны по
величине, но противоположны по направлению. Механическим эквива-
лентом устройства, состоящего из двух блоков, перекинутых через них
32 Зак. 1977. М. ф. Гарднер и Дж. JL Бэрнс.
498
Приложение п
тросов и привязанных к ним масс, является свободный равноплечий
рычаг, концы которого движутся со скоростями t’i и v2, а центр со ско-
ростью г», равной
_ 11+1?
•ь 2	,
что следует из уравнения (6).
Решение уравнений (4), (5) и (6) может быть выполнено в следующем
порядке: в первую очередь исключаем неизвестные реакции тросов, для
чего вычитаем уравнение (5) из (4).
Заменив в этом уравнении сначала по формуле
г2 = 2г3—-
а затем г-j по формуле
Vi = 2г3 — ъ\9
получим два уравнения:
t
(* C	V
о
t
=• 2Л/2	+ (Ь*1 + 4 В,) + К [	<?/,	(8)
О
t
(ЛГ1Ч-ЛА)^“-|-(В1+4В2)®2 + к | v2dt =
б
t
= 2ЛГ1^ + (В14-4В2)®3+г[ r2dt. (9)
6
Каждое из них содержит только по одной неизвестной функции vx или г2
и может быть решено одно независимо от другого.-
Схема механической цепи, соответствующей разбираемой задаче, мо-
жёт быть представлена с помощью свободного рычага так, как показано
на фиг. 2]Ъ.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
499
Схема электрической цепи, аналогичной этой механической цепик
в предположении, что
Г^К,
и ~ и, В^ JB,
показана на фиг. 21с.
Схема дуальной электрической цепи, в которой
u~f, L~M, S~K,
’	i~v, B~B,
показана на фиг. 21d. Цепь, изображённая на фиг. 21с, описывается тремя
уравнениями:
t	*
_ ^2„1 + c2^4-<?2«24-r j" u,dt — г |	= (ii)
6	6
«1 — «3 = — («2 — «з) = И3 — «2.	(12
а цепь, изображённая на фиг. 21d, описывается тремя уравнениями:
L\	~Ь В%) — ^*2*2 —	=	(^-4)
t	t
— В.>ч + Т>2	Z?1(2+<S' j i^dt—S f i3dt = u,	(14)
о	о
’i —	— ('2 — «з) = г’з — ’2-	(15)
Фиг. 21c.
Фиг. 21d.
2.22. Основной частью сейсмографа является маятник, совершающий
качания наподобие створки двери. Маятник состоит из горизонтальной
балочки, на одном конце которой имеется цапфа, опирающаяся на кониче-
ский подпятник. Другой конец балочки поддерживается наклонно располо-
женной струной, укреплённой в точке, находящейся значительно выше
цапфы. Вблизи свободного конца балочки на ней укреплена большая масса.
Подпятник с цапфой покоятся на земле и перемещаются вместе с земной
корой, когда в последней происходят какие-лиоо возмущения. Масса же,
находящаяся на противоположном свободном конце маятника, стремится
сохранить своё первоначальное положение в пространстве. Вязкое трение,
создающее демпфирующий момент, пропорционально угловой скорости
32*
500
ПРИЛОЖЕНИЕ II
маятника. Относительное перемещение между землёй и центром тяжести
маятника регистрируется и воспроизводится графически при помощи
электрической системы, состоящей пз электромагнита, соединительных
проводов и гальванометра.
Вся система была вначале в покое, после чего в момент времени
I = 0 в земной коре произошло внезапное возмущение, сообщившее земной
поверхности горизонтальную скорость
у' (О =	• sin (Opf (t 0),
•
направленную нормально к плоскости покоившегося маятника. Смещение
точки земной коры у (I) отсчитывается от её певозмущённого положения.
Все смещения малы, и вея система может считаться линейной.
а)	Написать дифференциальные уравнения для этой электромехани-
ческой системы и сформулировать начальные условия.
б)	Найти чисто электрический аналог рассматриваемого сейсмографа.
Постоянные выражены в единой системе единиц: М—общая масса
маятника, К—крутильная жёсткость, В — крутильное сопротивление,
I — расстояние между точкой опоры (цапфой) и центром тяжести, h — ра-
диус инерции балки относительно вертикальной оси, проходящей через её
центр тяжести, В— общее со-
противление электрической цепи,
L — её общая индуктивность,
Ji—• момент инерции рамки галь-
ванометра, Кг --крутильная жёст-
кость, Вг — крутильное сопро-
тивление её подвеса. Коэффици-
енты электромеханической связи
между маятником и электриче-
ской цепью и между электриче-
ской цепью и гальванометром
равны, соответственно, Ui и Ц>.
Реше и и е. Горизонтально
расположенная балочка сейсмо-
графа совершает плоскопарал-
лельное движение в горизонталь-
ной плоскости, которое можно
рассматривать как комбинированное движение, составленное из поступа-
тельного движения со скоростью, равной скорости её центра тяжести vG,
и вращательного движения с угловой скоростью 6 вокруг вертикальной
оси. проходящей через центр тяжести.
Рассмотрим это движение в системе подвижных координат, выбранных
следующим образом (фиг. 22а). Началом координат служит точка С—центр
тяжести балочки, ось х совпадает с её продольной осью,'ось у лежит
в плоскости движения и перпендикулярна к оси ж, ось направлена
вертикально вверх.
Если xG и yG (.^=0) — проекции абсолютной скорости центра тяжести,
то проекции абсолютной скорости точки опоры балочки (острия цапфы)
равны:
«’о =»Д-НоО— ?/оО=^С’	|
?/о = Ус + ’о®—гсР = Ус~1о^> }	(1)
-’о = 'гс 4- ?/оО.—яцО == О,	J
так как
— и . «/о = г0 = О,
Приложение ii
501
а Вектор мгновенной скорости параллелен оси z> и его проекции на другие
оси равны нулю.
На балочку действуют следующие внешние силы: сила веса, приложен-
ная к точке С, с проекциями
Хс=0, Уа = 0,	Мд
(где д — ускорение силы тяжести); реакция опоры FQ с проекциями Хо,
Го п ^о; реакция струны Т<\ с проекциями
Х1~~ Fr cos у, Ft = 0, Zr = Fi sin у,
где у — острый угол между струной и балочкой. Кроме того, свободному
вращению цапфы в подпятнике противодействуют пары сил, моменты кото-
рых параллельны оси z и проекции которых поэтому равны:
Т.С = О-	^ = 0,
тг == —	— JQ6 — Ui • i.
Первое слагаемое обусловлено трением в подпятнике, второе — жёст-
костью пружин (или пружины), насаженных на ось вращения балочки и
служащих для возвращения её в исходное положение. Наконец, третье
слагаемое обусловливается взаимодействием магнитного поля постоянного
магнита и тока i в катушке рамки магнитоэлектрического датчика и пред-
ставляет собой результирующий момент сил, тормозящих свободное вра-
щение рамки в поле магнита. Коэффициент Щ — коэффициент электро-
механической связи между электрической и механической частями си-
стемы датчика.
Таким образом, можно составить шесть уравнений движения балочки
сейсмографа (как твёрдого тела):
2 Х=ХО + Х1+ХС=ХО —-FiCOST,
Мув= 2 Г= ro + yi+ Yo,
MzG —	— Zo~\- Zi-[-Zq-== Zo-{-	sinf — Mg,
(2)
o=2^=°- °=1Ж=-зд.
M’S = 2^ = -	- Uti.
Согласно условию задачи подпятник движется вместе с земной ко-
рой по направлению, перпендикулярному к оси балочки, т. е. проекции
скорости точки О равны:
а?0 = О,
Уо =	Sin <0^ = vQf
А) = 0-
(3)
Сравнивая с уравнениями (1), получаем:
xG = 0, хс~
Уа=®о + г<Л 2/с = «о + го'е'>
«о=0,
602
Приложение ti
Подставив эти значения хс, у0 и z'G в уравнения (2), приходим к следую-
щей системе уравнений:
Хо = Ft cos т,	|
Zo = — FiBini + Mff,	I
I	I	(4)
r0 = M(i0 + Z6),	|
..	.	>	.	(o)
+ +	+	==—¥•(/. J
Три уравнения (4) служат для определения трёх неизвестных Хо, Zq
и F^, Из них находим:
cosee Т,	(6)
хо =
Два уравнения (5) служат для определения Го и 0 как функций вре-
мени. Исключая из них, Уо, получаем дифференциальное уравнение второго
порядка относительно 0:
М (№ + ф 0 4-	4- KJ +Uti = —	(7) •
где v0 — заданная функция времени. После того как это уравнение будет
решено совместно с другими уравнениями (они будут составлены ниже)
относительно 6, можно будет найти и Уо в функции времени с помощью
уравнения (5').
Уравнение (7), в частности, можно было бы составить и сразу, минуя
предварительные вычисления, на основании принципа Даламбера, приме-
нённого к движущейся балочке.. В таком случае следовало бы написать,
что сумма моментов приложенных сил и сил инерции относительно верти-
кальной оси, проходящей через точку О, равна нулю. Если h означает
радиус инерции балочки относительно вертикальной оси, проходящей через
центр тяжести балочки, то её радиус инерции относительно любой другой
оси, параллельной этой, равен	где I — расстояние между осями.
Поэтому — М{h? Zg) 6 означает момент сил инерции вращательного дви-
жения. Момент сил инерции поступательного движения равен — так
как при этом предполагается, что вся масса балочки М сосредоточена в её
центре тяжести, т. е. в точке С, находящейся на расстоянии Iq от оси,
проходящей через точку О, и движется с ускорением, равным Уо = — ^о-
Это равенство справедливо до тех пор, пока можно считать, что движение
точки О происходит перпендикулярно к оси балочки, т. е. при условии,
что её углы поворота б сравнительно малы. В противном случае в фор-
мулах (3) пришлось бы писать:
£₽о =	sin
2/0 s	cos О,
^о = О,
(8)
ПРИЛОЖЕНИЙ it
503
еде
sin
и т. д.
Второе уравнение составляем для электрической цепи, содержащей
катушки рамок датчика и индикатора сейсмографа и соединительные про-
вода. В этой цепи имеются омическое сопротивление В и индуктивность Z.
В ней действуют две электродвижущие силы, наводящиеся в катушках
обеих рамок и равные соответственно
-J- и —•
где 6 и а — угловые скорости вращения рамок относительно соответствую-
щих магнитов (датчика и индикатора), a Ui и Щ— соответствующие коэф-
фициенты электромеханической связи. Следовательно, для этой цепи
справедливо уравнение
L + Ri =	— U2i.	(9)
Наконец, третьим явится уравнение, которому подчиняется относитель-
ное ' механическое движение рамки и магнита индикатора. Оно имеет вид
«Г2а “Ь" -®2а “Ь ^-2а =	(Ю)
Здесь U%i— момент сил, вызывающих вращение рамки индикатора в поле
его магнита.
Таким образом, для анализа работы сложной электромеханической
системы, состоящей из сейсмографа, датчика, соединительных проводов и
индикатора (гальванометра), располагаем тремя уравнениями:
. -у Hit . т» • I ТТ	Л
-uid^LTt+R'+u*ai = 0’	;
--^Ч-Л^4-в2^ + г!!а = о,	I
где обозначено:
т (0 = —MIqVq = —	(cdicos	— p sin o>i0«
Знаки + и — перед членами
Vti, U2i, иЛ и U2g-
Vbb	Cvu
(11)
(12)
расставлены, исходя из двух предположений: во-первых, положительному
вращению рамки датчика соответствует положительный индуцированный
ток г, вызывающий, в свою очередь, отрицательный (тормозящий) момент
на его оси; во-вторых, положительный ток г, протекающий по катушке
рамки индикатора, создаёт положительный (вращающий) момент на его
оси, а положительное вращение этой рамки (а>0) индуктирует, в свою
очередь, отрицательную (противодействующую) электродвижущую силу
в электрической цепи.
604
ПРИЛОЖЕНИЕ it
Уравнения (11) могут быть переписаны следующим образом:
-S<W+lj>+>).0.	
- + 4^№)+§^№) + ^№«>=.O-
С/g Q/u	U g
В пих может быть произведена замена переменных по формулам:
’ja_rwl
Ща = u2, и1	)
и постоянных по формулам:
Л = й,
__с2,	__г2.
Тогда система уравнений (13) примет вид
01+ О1Щ + I\ J Uidt + i = I(<),
— 4- L -{- Bi + w2 ~ o,
— t 4“ ^2 “77 4“ ^2W2 + A I w2 ~ 0.
(13)
(14)
(15)
(16)
Эти уравнения можно рассматривать как уравнения электрической
системы, эквивалентной электромеханической системе, описанной уравне-
ниями (11). Схема этой системы изображена на фиг. 22Ъ. Уравнения (11)
можно было бы переписать в виде
Tt + ^8 + Uli = z (<)>
I L d i .« г -R /тт I ^2	п
~ IY ffl<+j!S + -B"s+x’“=0
(17)
и произвести в них замену переменных и постоянных по формулам:
ПРИЛОЖЕНИЕ II
505
Тогда мы получили бы:
- 6 4- г0-^ 4- Б0-Чо+па = О,
— ?гт0 4“ ^2 “77 “I” ^2а “F -®-2 I а dt ===
ас	J
(19)
Эти уравнения можно рассматривать как уравнения механической цепи,
эквивалентной электромеханической системе, описанной уравнениями (11),
Схема этой системы изображена на фиг. 22с. В этой системе содержится
редуктор *), изменяющий угловую скорость и момент в отношениях, рав-
ных соответственно:
Zi
V*
U1
и
П-1 =
п
Начальные условия формулируются следующим образом:
*>о(О) = О,
а (0) = О,
6 (0) = о,
а (0) = О,
О (0) = О,
г(0) =0,
'йг\ _
Ж=о~°-
Эти условия вытекают из того, что рамки датчика и индикатора обладают
моментами инерции, отличными от нуля, а электрическая цепь обладает
отличной от нуля индуктивно-
стью.
2.23. На фиг. 23а изображена
принципиальная схема электро-
динамического датчика, приме-
няющегося для исследования
механических вибраций. Переме-
щение якоря, обладающего мас-
сой М, относительно сердечника
электромагнита сопровождается
изменением длины воздушного
зазора в средней ветви магнито-
провода и вызывает изменение
Фиг. 23а.
его магнитного сопротивления.
Вначале система была в покое, после чего сердечнику была сооб-
щена вертикальная скорость по закону Л.в“Р* sin
*) На схеме изображен в виде рыцага второго рода.
506	ПРИЛОЖЕНИЕ II
Написать дифференциальные уравнения для этой системы, выразив все
величины в единой системе единиц. Длина воздушного зазора равна а?0— х,
ток в катушке равен + % а электродинамическое усилие, приложенное
к якорю, равно fo'4-А Здесь х0, ?0 и fQ — начальные значения, соответ-
ствующие положению равновесия якоря относительно сердечника, а х, г
и f — их соответствующие приращения. Для малых значений х полагаем
L(x)~L§-\- ах. Падение напряжения, обусловленное индуктивностью, рав-
d гт / ч • 1	/» . л 1 «я dL (х)
но [L (х) г0], а усилие, приложенное к якорю, равно fQ -f- f = у	.
Квадратом г и производной произведения хг можно пренебрегать, когда х
мало. Влиянием вибраций на соединительные провода можно также пре-
небрегать.
Решение. Ток, протекающий по электрической цепи, составленной
из последовательно соединённых омического сопротивления В, индуктив-
ности L и источника (батареи) с электродвижущей силой U, определяется
из дифференциального уравнения
^[Ь-(*о+О] + йОо + О = ^.	(1)
В данном случае индуктивность L является функцией величины зазора
между сердечником и якорем электродинамического датчика. Поэтому
s4-0'.+01-^«.+ 0 + bs5-	®
Если принять согласно указанию в условии задачи, что приращение
индуктивности пропорционально уменьшению зазора, т.е. что Ь = Ьо +	то
dL __dL dx __
dt dx dt a'V
и
^[Ь(г’о + О] = М*о + О+(Д) + И	(3)
где v	i (xq—о?) — скорость сближения якоря с сердечником.
at at
Поэтому уравнение (1) принимает следующий окончательный вид:
(Lq + аа?)	+ (-R + av) Go + 0 ~	(4)
Для определения силы взаимного притяжения между якорем и сердеч-
ником датчика (как и всякого электромагнита) обращаемся к уравнению
баланса -энергии, которое составляем следующим образом: исходя из
уравнения (1), пишем выражение для электрической мощности источника
(батареи). Она равна:
- Р’Оо + о = (’0 + 0 Ji[L (г»++ R (г° +	®
Энергия магнитного поля электромагнита равна —• Б + О’ а ско-
рость её изменения
= ji (.7	= 7 (г°+г)2 % + L (г°
ПРИЛОЖЕНИЕ II
507
Механическая мощность, развивающаяся при движении якоря относи-
тельно сердечника, равна:
^мех=(/о + Л»'	СО
Наконец, мощность джоулевых потерь (тепловая мощность) в обмотке
и присоединённой к ней электрической цепи равна:
Лгепл = (г0 + О*	(8)
Между этими четырьмя мощностями имеет место очевидное соотношение
^эл =-^магн 4“ ^мех 4“ -^тепл’	(8)
откуда
^мех = ^эл ^магн -Ртепл= 2"	4" "fa	(18)
И
д + /=^=^==_(г-о+0з_.	(11)
В нашем случае, когда принято, что L = Zo 4~
л»+г=4^+ог.	(12)
а
Механическое движение якоря относительно сердечника подчиняется
дифференциальному уравнению
+	= +	(13)
где —масса якоря, a vt— скорость его переносного движения, т. е. ско-
рость движения сердечника датчика относительно неподвижной системы
координат. Здесь — представляет собой силу инерции переносного
движения, которую необходимо учитывать при составлении уравнения
относительного движения. По условию задачи
= Ae-tf sin <^1,	(14)
Согласно результату (12)
ifg+K® = |(44-0’—(К)
Заменив х по формуле
- х = dt,
о
получаем систему из двух уравнений:
#	V
[Zo + aP^]^ + (B+av)(«o + *) = ir;
<16>
£	J	иь
О	i
508
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Для случая малых колебаний якоря относительно сердечника эти
уравнения могут быть значительно упрощены. Во-первых, заметим, что
t
di »	• di , dx . d z .. _ л
v dt * 33 4 avi = ax-j- 4- €637-1 = a-v: (#0 ~0,
dt 1	dt ‘	dt dt' '
0
а, во-вторых,
(’о + *)a e «о + 2V + «2	’0 + 2v = i0 (»0 + 21).
При этих предположениях уравнения (16) приобретают вид
Lq г— 4 (JR 4 av) Ч 4 Ш
СиЪ
t
а .2	... ^dv , f 7 ,	n^dvi
-2 г0-ау +МТ(+Е J Vdt = -M-^.
Так как i0 означает ток покоя, то он равен г0 = ~. Поэтому
тельно имеем:
Lq fa. 4 ddi 4	= О,
t
— да»4-Л£^ + 1С =	— М^, .
(ЛЬ	rJ	а	(лЬ
О
где
—-1 = Де-pt((otcos	— р sin <0^) .
оконча-
(18)
Здесь произведение aiQ играет роль коэффициента электромеханической
связи.
Если воспользоваться заменой переменных и постоянных по формулам
М п К
a^v = и, а,^ = М1) ш = а, ш = г,
г0 Jf d,.	iQ	„ dut
2	(aQ2 ’ dt (аЛй'°^ ~ 2~ ° dt ~T^’
(19)
§
можно получить уравнения электрического аналога в виде:
^о^4 4 и ~ О,
о
(20)
 где
dur . dvi
7i = ^-dt =
aigAe-ft (Ш1 cog — p sin ш^).
ПРИЛОЖЕНИЕ II
509
Схема этого аналога представлена на фиг. 23b.
С другой стороны, если воспользоваться заменой переменных и постоян-
ных по формулам [см. для сравнения уравнение (12)]
•^0   тг—1	__ т>— 1
>	(Шор-'0»	’
то можно получить уравнения механического аналога в виде:
K^Tt + W+«=°,
t
Cvv	J	Ufb
0
где
—A = Ae~?f (ojt cos — p sin
(21)
(22)
Схема механического аналога представлена на фиг. 23с.
Фиг. 23b.
Фиг. 23с.
2.24. На фиг. 24а изображена электромеханическая система, в которой
элементом связи служит переменная ёмкость. Вначале система была
в покое, после чего, начиная с момента
времени t — 0, на её подвижную пласти-
ну начала действовать внешняя сила
Fm sin wif. Написать дифференциальные
уравнения системы, пользуясь единой си-
стемой единиц.
Площадь подвижной пластины равна
Л, а диэлектрическая постоянная воздуха
равна е. Расстояние между пластинами
равно xQ — х, заряд на каждой из них ра-
вен qo+q, а усилие, приложенное к по-
движной пластине и обусловленное заря-
дами, равно /о + Л Здесь xQ, q$ и f0—на-
чальные значения, соответствующие со-
стоянию равновесия системы, а х, q и f—их
соответствующие приращения. Падение
напряжения между пластинами конденсатора переменной ёмкости равно
uG =	» а усилие, приложенное к подвижной пластине, равно
. . .	1 2 ЙС (ж)
— uG—. Квадратом q и произведением qx можно пренебрегать
для малых значений
610
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Решение. По электрической цепи, состоящей из омического сопро-
тивления В, индуктивности L, ёмкости G (переменной) и источника (бата-
реи) с эдс соединённых между собой последовательно, протекает ток
г’ = 4йо+з) = 8>
определяемый дифференциальным уравнением
ьО-+вВ+^(зо+з)=1Г-	(1)
Для определения силы взаимного притяжения между пластинами конден-
сатора воспользуемся уравнением баланса мощностей
Рэл Рёмк ”Ь Рмагн 4" Ртепл +Рмех»
в которое подставим:
^8ик =	^"2 8 (<Й> + 2)®j >
п _ d Г 1 т d Г 1 т /ЖАЛ
. ^магн- dt [2 Ьг _|-‘л|_2 L\dl) ]’
Тогда на основании (1) получим:
>»,- [	1	|-4 <»+	-
--jto+ji’-jg-
Так как, с другой стороны, д,ех = (fQ + f) v = (fQ + f) , to
2>мвхй< 1	dS
W-T------------:-2^ + ”’Е-	(3>
Сила /o + f+ Fm sin приложенная к подвижной пластине конден-
сатора, приводит её в поступательное движение, которому препятствуют
сила инерции—М	сила трения — Bv и упругая сила пружины
— (Kx-\-Kq), где KQ — сила начальной затяжки пружины.
Таким образом, уравнение динамического равновесия сил или, иначе
говоря, уравнение движения подвижной пластины имеет вид
И d~. + Bv + Кх + К9 = f + + Fm sin
ПРИЛОЖЕНИЕ II
611
Для состояния покоя (статического равновесия), когда
х = v = f = О,
имеем:
^о = /о.
Следовательно, уравнение движения может быть представлено в виде
М	+ Кх = f +	sin
dt
(3)
Инверсная ёмкость £ плоского конденсатора, равна
а 	— X   Xq
sA - sA
X
~Q.
(4)
n	dS
Следовательно, -т— =---y и
uX	Xq
/o + f=—у (во + 9)2^ = ^(во+з)а,^-~-^- ?o +“M-	(5)
л	ax	«гр £Xq	o/q
Очевидно,
/• — л2 __ ^ogo
0	2а?0 2я?о
^p-g = ЦрУ.
Xq
Произведение, стоящее в левой части уравнения (1), равно
8 (до+д) = Ц — (до+д) — ^одо-
\ /
\ лр /
Xq	Xq
(6)
(6')
так как qx— малая величина второго порядка малости. Подставив выра-
жения (5) и (6) в уравнения (3) и (1), получим два уравнения электро-
механической системы в виде
+ В®+ Кх = -^ q + Fm sin o>i«,
(7)
Здесь коэффициент Uq/xq играет роль коэффициента электромеханической
(электростатической) связи между двумя частями системы. Этот коэффи-
циент равен градиенту электрического поля конденсатора при заряде
покоя и при расстоянии между обкладками, соответствующем статическому
равновесию системы,
И
512
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Уравнения эквивалентной чисто электрической системы могут быть
получены путём замены переменных и постоянных по формулам
»0	Wo	ffo
(8)
Тогда эти уравнения принимают вид
+ ‘Kpi +	= $о<1 + Um sin о>1^;
-ду + Fi +
Схема этой эквивалентной системы представлена на фиг. 24b.
u(t)=Um smart
Фиг. 24b.
Уравнения чисто механического аналога рассматриваемой системы
имеют вид:
М + Bv + Кх =	4- Fm sin
dt	«
, (10)
Ml 4? 4- Bft -I- Ktf»! =	—Fo.
Cub
Здесь выполнена замена переменных и постоянных по формулам
(П)
Схема этой цепи дана на фиг. 24с. Обратите внимание на то, что скелетная
схема фиг. 24b дуальна по отношению к скелетной схеме фиг. 24с. Это объ-
ясняется тем, что переход от системы уравнений (9) к (10) выполняется пр
принципам аналогии

ПРИЛОЖЕНИЕ II
513
К главе IX
9.1. Если заём в 300 рублей погашается 20 ежемесячными равными
взносами по 19 рублей 65 копеек, то какова процентная ставка на неопла-
ченную часть суммы займа? Дать ответ, решив сначала составленное
для этой задачи, разностное уравнение.
Решение. Обозначим J у(х) часть займа, находившуюся в поль-
зовании должника на протяжении ж-го месяца. В последний день этого
месяца (или в первый день следующего) должник возвращает заимодавцу
некоторую сумму (сумму погашения), равную
J У (ж) _. j у (Ж 1) = — д j у (х) рублей,	(1)
и уплачивает проценты за истекший месяц из расчёта г рублей на рубль,
вычисляемые по правилу простых процентов на J у (х), т. е.
г J у (х) рублей.	(2)
Таким образом, ежемесячный взнос, согласно условию задачи, равен
— Д J у (a?) -j- г J у (х) = 19,65 рубля.	(3)
Счёт месяцев ведётся со дня получения займа, причём первому месяцу
соответствует х == 0, а последнему, двадцатому, х = 19. В конце двадцатого
месяца (или в начале двадцать первого) вся сумма займа оказывается
погашенной. Таким образом, можем записать два условия:
2/(0) = 300,1
у(20) = 0. f
Переходим к изображениям, для чего преобразуем уравнение (3):
-8 [Д J у (ш)] + rS [ Jу (аг)] = 8 [19,65].	(5)
Если обозначить
2[Jj/(®)]=K(«).
то [по формуле (9.19)]
8 [Д J У (а?)] = (в* -1) Y (з) - у (0) в® Р (в),
а [по формуле (9.28)]
8 [19,65] = 19,65	.
Уравнение относительно изображений принимает вид
— (es— I) у (S) + 300 е*Р (е) 4-гТ(е) = 19,65	,
откуда
Y______________ъ 6,8(6)
' es — с	(es — с) (es — d) ’	' '
где а = J у (0) = 300; b = 19,65; с = 14- г; d = 1.
Применяя к уравнению (6) обратное преобразование, переходим к ориги-
налам (см. формулы (8.30) и (8.40) из таблицы оригиналов и изображений
ступенчатых функций, приложение I, стр. 396):
J У (X) ( = ) a J с-- b J= 300 J (1 + г)«-19,65 J
С —“ CL	X I — X
33 Зак. 1977. М. Ф. Гарднер и Дж. Л. Бэрнс.
514
ПРИЛОЖЕНИЕ It
ИЛИ
Jy(a) = (300~^)j(l + r)® + ^.	(7)
Условия (4) дают:
jy(0)=(300-1-^)j (t + r)0 4-19^5 = 300	(8')
и
Jy(20) = (300-M] J (1 + г)20 + ^5 = 0.	(8")
Равенство (8х) представляет собой тождество, подтверждающее правиль-
ность решения,. а равенство (8") — уравнение, из которого можно найти
процентную ставку г. Для этого переписываем его в виде
(3007- —19,65) • (1 + г)20 + 19,65 = 0,
откуда
(300г —19,65) (1 +20г-(-—х—” г2 + - -	'1 - • г3 + •  ") +19,65 = 0,
\	А	3 • о	/
ИЛИ
300г + 6000г2 + 57 000г3 + ... — (19,65 + 393г + 3733,5г2 + ...) +19,65 = 0.
Ограничившись ввиду малости г лишь его первыми и вторыми степенями,
получаем расчётное уравнение
— 93г 4-2266,5г2 == 0,
[ П = 0 (этот корень отбрасываем!),
откуда {
I г2 = 0,041.
Таким образом, функция J у (х) может быть записана в виде
или
J у («) = 479 —179 • J 1,041®.	(9)
По формуле (9) м'ожно составить таблицу взносов и погашений в виде
Месяц а	Задолженность 1у(х)	Процентные деньги 0,041 J у (ж)	Погашение — Д J у{х)	Взнос
0	300,00	12,30	7,35	19,65
1	292,65	12,00	7,65	19,65
СО	285,00	11,68	7,97	19,65
19	18,87	0,78	18,87	19,65
20	0	0	0	0
ЛИТЕРАТУРА
1.	Александров П. С. и Колмогоров А. Н., Введение в теорию
функций действительного переменного, ГОНТИ, 1938.
2.	А с е е в Б. П., Основы, радиотехники, Связьиздат, 1947.
3.	Булгаков Б. В., Об операционных решениях систем линейных диф-
Йенциальных уравнений с постоянными коэффициентами, Доклады
СССР, Новая серия, т. XLI, 6, 1943.
4.	Булгаков Б. В.. Колебания, т. I, Гостехиздат, 1949.
5.	Г е л ь ф о н д А. О., Исчисление конечных разностей, ОНТИ, 1935.
6.	Дит к ин В. А., Операционное исчисление, Успехи Математических
наук, т. II, вып. 6 (22).
7.	Д и т к и н В. А., Кузнецов П. И., Справочник по операционному
исчислению.
8.	Е в т я н о в С. И., Переходные процессы в приёмно-усилительных схе-
мах, Связьиздат, 1948.
9.	И г н а т о в с к и й В. С., По поводу лапласовской трансформации. До-
клады АН СССР, 2(11) (1935), 5—11, 2(11) (1936), 4 (13) (1936), 14 (1937)
15 (1937).
L0.	Карман Т., Био М., Математические методы в инженерном деле,
Гостехиздат, 1946.
11.	К а р с л о у X., Е г е р Д., Операционные методы в прикладной матема-
тике, Государственное издательство иностранной литературы, 1948.
12.	Карсон Д. Р., Электрические нестационарные процессы и опера-
ционное исчисление, ДНТВУ, 1934.
13.	Канторович М. И., Операционное исчисление и нестационарные
явления в электрических цепях, Гостехиздат, 1949.
14.	Круг К. А., Переходные процессы в линейных электрических цепях,
Госэнергоиздат, 1948.
15.	К р ы л о в Н. Н., Анализ нестационарных явлений помощью двойного
интеграла Фурье, Научно-техн, сборник НКП и Т № 2—3, 1929.
16.	КрыловА. Н., Лекции о приближённых вычислениях, издание вто-
рое, АН СССР, 1933.
17.	Кузьмин Р. О., Бесселевы функции, ОНТИ, 1935.
18.	Кур ош А. Г., Курс высшей алгебры, Гостехиздат, 1946.
19.	Лурье Л. И., Операционное исчисление в приложениях к задачам
механики, Гостехиздат, 1950.
20.	ЛыковА. В., Теплопроводность нестационарных процессов, глава УШ,
Госэнергоиздат, 1948.
21.	Марков А. А., Исчисление конечных разностей, Матезис, 1930.
22.	М а р к у ш е в и ч А. И., Элементы теории аналитических функций,
Гостехиздат, 1950.
23.	М а ш к и л л е й с о н Л. Е., Переходные процессы и перенапряжения,
в электрических цепях, ОНТИ, 1938.
24.	Меерович Э. А., Операторный метод решения краевых задач
электротехники, Электричество, 1939, № 9, стр. 53, № 10—11, стр. -63,
1940, № 12, стр. 32, 1945, № 1—2, стр. 19.
№
516	ЛИТЕРАТУРА
25.	Мих а й л о в А. В., Теория устойчивости линейных систем с сосредо-
точенными постоянными, Журнал технической физики, т. IX/вып. I,
26.	П а н о в к о Я. Г., К построению общего решения задачи о вынужден-
ных колебаниях системы с несколькими степенями свободы, Приклад-
ная математика и механика, т. V, вып. I, 1941.
27.	П л е с н е р А. О., О включении операторного исчисления Хевисайда
в спектральную теорию максимальных операторов, Доклады АН СССР,
новая серия, 26 (1940), 10—12.
28.	Поливанов К. М., Яхин сон Б. И.» К расчёту неустановившегося
режима в цепных схемах, Электричество, 1948, № 4, стр. 57.
29.	Привалов И. П., Введение в теорию функций комплексного перемен-
ного, ГОНТИ, 1938.
30.	Романовский В. Б., Некоторые вопросы переходных процессов
в электрических цепях, Сборник трудов Ленинградского электротехни-
ческого института связи, вып. V, 1949.
31.	Р о м а н о в с к и й В. Б., Переходные процессы в электрических цепях.
Сборник трудов Ленинградского электротехнического института связи,
вып. V, 1949.
32.	Скарборо Д. Б., Численные методы математического анализа, ГТТИ,
1934.
33.	С т е п а н о в В. В., Курс дифференциальных уравнений, ГОНТИ, 1938.
34.	Тимошенко С. П., Теория колебаний в инженерном деле, ГНТИ,
1932.
35.	ТитчмаршЕ., Введение в теорию интегралов Фурье, Гостехиздат,
1948.
36.	Уиттекер Э., Робинсон Г., Математическая обработка результа-
тов наблюдений, ОНТИ, 1935.
37.	Ф у р д у е в В. В., Электроакустика, Гостехиздат, 1948.
38.	Харкевич А. А., Теория электроакустических аппаратов. Связь-
издат, 1940.
39.	X а р к е в и ч А. А., Теория преобразователей, Госэнергоиздат, 1948.
40.	Цыпкин Я. 3., Теория прерывистого регулирования, I. Автоматика
и телемеханика, 1949, т. IX, № 3.
41.	Щедрин Н. Н., Токи короткого замыкания высоковольтных систем,
ОНТИ, 1935.
42.	Эфрос А. М., Д а н и л е в с к и й А. М., Операционное исчисление и кон-
турные интегралы, ДНТВУ, 1937.
43.	Эфрос А. М., Трение в электромеханических системах, Электриче-
ство, 1940, Кз 2, стр. 57.
44.	Ю р ь е в В. И., У станавл ивающийся режим в четырёхполюснике на основе
операторного исчисления, ОНТИ, 1936.
45.	D о е t s с h, Theorie und Anwendung der Laplace Transformation, Ber-
lin, Springer, 1937.
46.	D о e t s c h, Tafeln Laplacischen Transformation, 1947.
47.	Heaviside 0., Electromagnetic Theory, London, Benn Brothers, 1922.
48.	McLachlan N. W., Humbert P., Formulaire pour le calcul symbo-
lique, Mem. Sci. Math., № 100, 1941, Paris, Gauthier — Villars.
49.	Routh E. J., Dynamics of a system, of rigid bodies, London, Macmillan,
1877.
50.	W a g n e r K. AV., Operatorenrechnung nebst Anwendungen in Physik und
Technik, Leipzig, Barth, 1940.
предметный указатель
Абсцисса абсолютной сходимости 120, 143, 368
Амплитуда комплексная 112
—	модулированная 278
Аналог электромеханической системы механи-
ческий 106
------- электрический 106
Аналоги 19, 81, 102
—	дифференциала 93
— жесткого стержня на упругих onoj ах 98
Аналогия между изображениями разностей и
производных 323
---логарифмированием и преобразованием
Лапласа 109
---разностным и дифференциальным уравне-
ниями 320
-г- электромеханическая 79, 93, 102, 400 и д.,
431
Бесселя функция 352
Ветвь 361
Включение начальных условий в изображение
переходного процесса 155
-------в преобразование Фурье 388
Восстановление напряжения 234
Выбор метода анализа цепи 44
Выключатель масляный 235
Генератор импульсных напряжений 203
—	пилообразного напряжения 340
Гибкость 70, 72
Головка звуковая 212
Граничные условия, заданные в одной точке
238
---, — в двух точках 340
Даламбера принцип 73
Движение вращательное 67 и д.
Движение поступательное 67
Деление в комплексной области 300
—	f (х) на t 302
—	F (х) на es> или (es—1) 337
—	F (х) на 300
Дифференциал в качестве элемента связи 91
—	(механизм) 90
Дпфферепцпх ование в вещественной области
150, 370
—	в комплексной области 301, 372
—	по второй независимой переменной 293
—	по ь- 302
Дополнение алгебраическое 170
Дробь алгебраическая рациональная 178 и д.
Дуализация геометрической конфигурации
в аналоге 82
Дуальность аналогов 83
Единственность изоб] ажения Лапласа 145
—	производной 130
Емкость 36
— инверсная 35
---суммарная 49
Жесткость крутильная 72
—	пружины 70
Задача анализа 202
—	двухмерная 32
—	коррекции искажений 203
—	многомерная 32
—	одномерная 33
—	поля 33
— синтеза 203
Закон Ньютона второй 73
Законы Кирхгофа 39
Замыкание короткое однофазное 235
— рубильника 229 и д.
Звено искусственной линии 344
Значения предельные 294
Измерение масштаба пе[ еменной 254
Изображение единичной функции 134
•— интеграла 152
— произведения степенной и экспоненциаль-
ной функции 139
— производной 26, 150
—	разностей 322 и д.
—	синусоидальной функции 136, 331
— степенной функции 138, 327
— ступенчатой функции 321, 326, 395
— факториальной функции 328
—	функций 24, 109, 115, 124, 134, 137, 139, 141,
145, 374 и д.
---Бесселя 352
—	экспоненциальной функции 136
Инвертор 238
Индуктивность 36
—	инверсная 36, 55
---взаимная 49, 56
---собственная 49, 56
—	контура суммарная 49
Интеграл контурный 399
—	Лапласа 122 и д., J34, 398
—	Лебега 15, 368
Интеграл несобственный 118, 121, 133
—	свертывания 260, 262, 291
Интегрирование в вещественной области 152,
259, 370
—	в комплексной области 302 и д., 372
—	по второй независимой переменной 304
Интегро-дифференциальные операторы 49
—	уравнения обыкновенные 30
---с постоянными коэффициентами 27
Инте[ полирование с помощью ступенчатых
функций 342, 345, 356
— функций 342, 345, 356
Источник 14, 34, 59
момента 71
518
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Источник напряжения 34
—	силы 68
—	скорости 68
—	тока 34
—	угловой скорости 71
Источников замена 58, 79, 80
Кирхгофа законы 39
Колебание синусоидальное 136
—	затухающее 137
Коммутативность операций 310, 371
—	преобразования Лапласа 310
Коммутация (общая задача) 228
Контур 37
Координаты механической системы 67
Корни характеристического уравнения 196
Коррекция с помощью обратной связи 218
Коши-Хевисайда операто! ный метод 20
Коэффициент затухания 196, 198
—	комплексных амплитуд 114
—	комплексный амплитудный 117
—	регулирования 219
—	' ряда Фурье 213
— связи между двумя контурами 92
---механической 92
---стержня 92
---электромеханический 95, 426, 429
Коэффициенты комплексные амплитудные 114
Кривая пилообразная 343
Лампа электронная 206
Лапласа интеграл 128 и д., 134, 39S
— преобразование 20, 23 и д., 148 и д., 253
и д., 370 и д.
---обратное 24, 144, 186
---прямое 24, 144
Лебега интеграл 144, 362
Линия бесконечная 350
искусственная 344, 349
Лобачевского метод решения yj авнений выс-
ших степеней 190
Лопиталя правило 283
Лаоса взаимная 101
—	инверсная 69
—	как пассивный элемент 69
—	рассеянная 412
— собственная 100
Матрицы 412
Маятник крутильный 88
Метод аналитического продолжения 132
— классический 18, 20
— контурных токов 43
— контуров 94
—	Коши-Хевисайда операторный 20
—	логарифмирования 109
—	определения полярности катушки 46
—	преобразования Лапласа 20
---Фурье 20
— расчета балок с помощью импульсных
функций 286
—	Рауса 224 и д.
—	составления уравнений 43
— узлов 94
— узловых напряжений 43, 51
Множитель сходимости 119, 121, 399
Момент демпфирующий 72
— инерции взаимный 92
---инверсный 72
—	инещии полярный 71
—	силы инерции 71
Напряжение единичное 350
—	начальное суммарное 169
—	пе{ входное ‘355
Нуль кратный 131
Ньютона закон btoi ой 73
Область изменения вещественной цорецеп-
ной 150
---комплексной переменной 150
Однозначность функций 15
Оператор интегро-дифференциальный взаим-
ный 49
—	Im 183
—	Re 25
Определитель системы уравнений относитель-
но изображений 170
— с равными диагональными элементами 170
Оригинал функции 24, 25, 109, 124, 141
Особенность существенная 132
Отыскание изображений с помощью дифферен-
циальных уравнений 142
Переменная комплексная 127
Перемножение двух функций в вещественной
области 305
Плоскость комплексная 127
Податливость 71, 73
Полуплоскость комплексная 123
Получение ряда Фурье с помощью преобразо-
вания Лапласа 272
Полюсы комплексной функции 131, 177, 197
—	кратные 134
—	элемента массы 69
Полярность источника напряжения 61
Постоянная времени 198
Потокосцепление контура 164, 169
Правило определителей 170
Преобразование интеграла 26, 152, 263
— иррациональной функции 351
— Лапласа 23 и д.» 122 и д., 133 и д., 166 ид.
--- двухстороннее 433
---как обобщенное преобразование Фурье
399	•
---обратное 110, 122, 144, 186 и д.
--- одностороннее 123
---прямое 110, 122, 144, 156 и д.
— рациональной дроби 178, 18s
— функции обратное 332
— функциональное 112, 115, 117 ид. 125
— Фурье 115
Преобразование Фурье двухстороннее 121
---обобщенное 118, 121
---обратное 117
---одностороннее 117
---прямое 117
Преобразователь 420
—	электромагнитный 423
—	электростатический 436
Применепие импульсных функций для сверты-
вания в вещественной области 291
—	метода преобразования Лапласа 22
Принцип Даламбера 74
—	наложения 14
— суперпозиции линейных цепей 229
Принципы электромеханических аналогий 82
Проводимость активная 35
Щ оизводная слева 150
— справа 150
Промежуток не].сходный 9
Процесс вредный 10
— переходный 9, 199
—	полезный 11
Равно «по определению» 113
—	«почти везде» 113
Различие задач цепи и поля 32
Разложение на простые дроби 179, 185, 191,332
Размыкание рубильника 232
Разности различных порядков 320
Расчет установившегося режима 201
Расчет деформации балок 286 и д.
Расширение области определения функции 132
Рауса метод 224
ПРЁДхЧИТЙЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
519
Реакция системы иа единичную функцию вре-
мени 262
Регулятор автоматический. 218
Решение разностных уравнений 324, 338, 339
Рычаг 411
Ряд Фурье 113, 115
Самостоятельная часть цепи 37
Свертывание вещественное 256, 260
— комплексное 305
Свойства аддитивные линейной системы 13
— геометрических цепей 37
— преобразования Лапласа 148 и д., 253 и д.
Связь между интенсивностью переходного про-
цесса и начальными условиями 199
---оригиналом и положением полюсов изо-
бражения 177
---устойчивостью системы и корнями ха-
рактеристического уравнения 223
Сейсмометр 96
Сервомеханизм (следящая система) 220
Сила демпфирующая 70
—	инерции 69
Система вращающаяся 75 и д., 94
---с двумя степенями свободы 89 и д.
„--о одной степенью свободы 88
—	идеализированная 17
—	линейная 12
—	механическая с сосредоточенными посто-
янными 67 ид., 220
— поступательно-движущаяся 75, Ь6
-------с двумя степенями свободы 77
---— о одной степенью свободы 75, 81
Система поступательно-вращающаяся о двумя
степенями свободы 98
-------с одной степенью свободы 96
—	] сгулируемая 217
—	с пропорциональным регулированием 221
—	электромеханическая одноконтурная 94
---с сосредоточенными постоянными 94 и д.
—	следящая 220
Системы аналогичные 63, 79
—	дуальные 63, 429
—	нелинейные 11
Смещение в вещественной области 265, 371
—	в комплексной области 274, 371
—	ступенчатой функции 321, 373
Сопротивление 35
—	контура суммарное 49
—	крутильное 72
--- инверсное 73
— поступательному движению 70, 75
------- инверсное 71
Составляющие симметричные 193, 235
Состояние переходное 10
— установившееся 10
Сохранение геометрической конфигурации
в аналоге 81
Сравнение методов анализа механических
цепей 84, 86
------- электрических цепей 52 *
---контурных токов и узловых напряже-
ний 52
— четырех методов ] ешения интегро-диффе-
ренциальных уравнений 18
Стержень в качестве элемента связи 101
Схема для изображений 161
— замещения обмотки трансформатора 356
— линейная 38
—	пентода эквивалентная 209
—	символическая 75
—	триода эквивалентная 207
—	цепная 354
---короткозамкнутая 349
Тевенена теорема 230
Теорема Митаг-Леффлера 271
Теорема наложения 263
— о моментах инерции относительно парал-
лельных осей 98, 100
Теоремы о преобразовании Лапласа 148 и д.,
253 и д., 368 и д.
Ток контурный 41
Точка особая, комплексной функции 131
Тр ансформатор как аналог механической
связи 102
Угловая скорость результирующего вектора
модулированных колебаний 278
Узел отсчета 61
Узлы 37, 38
Умножение в вещественной области 256 и д„
299, 371
—	в комплексной области 373
—	матриц 413
—	f(t) на е~at 275
—	f(t) на t 301
—	F (с) на s 299
—	F (d) на e as или eas 265
—	F (s) на e3 или (es— 1) 336
Упрощение операций 26
—	функций 24
Уравнение дифференциальное второго порядка
линейное 195
—	изображений 155, 201, 204
—	интегральное 263
—	одноконтурной цеди 157
—	разностное линейное 317 и д.
— тр ехконтурной цепи 48
— характеристическое 155, 196
— электрической цепи с двумя парами
узлов 54
-------с одной парой узлов 54
Уравнения движения 74 и д.
---вращающейся системы 90 и д.
---поступательно-вращающейся системы 96
и д.
---поступательно-движущейся системы 76
И д.
— двухконтурной цепи 159
-------со взаимоиндукцией 163
—	дифференциальные второго порядка 1.3
—	линейные 13 и д.
—	механической системы с двумя степенями
свободы 166, 215
—	напряжений 43, 61 и д., 82, 209
—	токов 43, 45 и д.
—	трансформатора 102
Усечение функции 267
Усилитель ламповый 206
—	многокаскадный 209
—	однокаскадный 207
Условия устойчивости системы 223 и д.
—	незатухающих колебаний 223 и д.
Устранение полюса 277
Фаза начальная 112
Фильтр механический 212, 418
—	полосовой 418
—	частотный 418
Функция аналитическая 130
—	апериодическая 111
—	Бесселя 252
— возбуждающая 155, 160, 164, 176
—	воздействующая 279
—	гармоническая 112
— единичная 118, 134, 284, 318
—	измеримая по Лебегу 16
—	импульсивная 284
—	комплексная 112, 128, 131
—	коэффициентная 117
—	линейная 13
—	мероморфная 271
520
предметный указатель
Функция модулирующая 279
—	непрерывная 130
—	огибающая 277
—	от е 332
—	периодическая 111
—	преобразуемая по Лапласу 143
— распространения 350
— проводимости 162, 164, 170
--- итерационная 347
— системная 155, 176
—	сопротивления собственная 160
---взаимная 160
---итерационная 347
—	с ограниченной вариацией 16
—	степенная 138
—	ступенчатая 318
—	фазовая 277
—	факториальная 328
—	физическая 16
—	характеристическая 155
—	экспоненциальная 136
Фурье интеграл 116, 398
— преобразование 20, 115
--- обратное 117
---одностороннее 117.
---прямое 117
—	ряд 113
Цепь двухконтурная о емкостной связью 41, 44
—	механическая 68
—	многоконтурная 49
Цепь непланарная 63
—	одноконтурная 39
—	планарная 66
—	содержащая одну пару узлов 53
		две пары узлов 54
—	трехконтурпая 48
—	электрическая 37
---с сосредоточенными постоянпгдми 33 и д.
Цепи автодуальные 65
— дуальные 63 и д., 81
Частота угловая характеристическая 196
Часть решения установившаяся 198
--- свободная 198
Четырёхполюсник механический 400
—	Т-образный 413
—	электрический 400
—	электромеханический пассивный 420
Числа характеристические 196
Число независимых переменных необходи-
мое 43
Шины бесконечной мощности 237
Эйлера формулы 112
Элемент линейный 12
— механической цепи активный 68
-------пассивный 68
— электрической цепи активный 14,- 31
-------пассивный 15, 31
Ядро преобразования 122