А.П. Герасимов
Спутниковые геодезические сети
Москва
2012

УДК 528 (470)
ББК 26.1
Г 37
А.П. Герасимов
Спутниковые геодезические сети. - М: ООО «Издательство
«Проспект», 2012. - 176 с.
ISBN 978-5-98597-224-5
В монографии излагаются теоретические и практические вопросы
построения и уравнивания спутниковых геодезических сетей, к числу которых
относятся высокоточная геодезическая сеть, спутниковые геодезические сети
1 класса и геодезические сети специального назначения. В основу теории и
методик уравнивания спутниковых сетей положен постулат о том, что по
методу наименьших квадратов уравниваются результаты измерений с их
средними квадратическими ошибками, а также результаты предыдущих
уравниваний с их ковариационными матрицами. С учетом этого постулата
изложена теория и методики математической обработки геодезических
измерений.
При построении и использовании спутниковых сетей применяются
различные геодезические системы координат и проекция Гаусса. В связи с
этим в монографии для всех геодезических данных приведены формулы их
пересчета из одной системы в другую и формулы их вычисления в проекции
Гаусса, в том числе формулы плоских прямоугольных координат в местных
системах, создаваемых в государственной системе геодезических координат.
Книга предназначается для специалистов, занимающихся построением
государственной геодезической сети, специальных геодезических сетей,
государственными геодезическими системами координат, геодезическими и
картографическими работами при инженерных изысканиях, строительстве и
эксплуатации зданий и сооружений, межевании земель, ведении кадастров и
геодезического надзора. Она может быть использована студентами высших и
средних специальных учебных заведений при изучении таких дисциплин как
геодезия, высшая геодезия, картография, прикладная геодезия и кадастр.
ISBN 978-5-98597-224-5	© А.П. Герасимов
© ООО Информационное агентство «ГРОМ»

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Подготовленная Александром Петровичем Герасимовым монография
«Спутниковые геодезические сети» по содержанию далеко выходит за рамки
своего названия. Она является в определенной степени итоговой работой
Александра Петровича, включающей его труды, в том числе такие знаковые,
востребованные геодезическим сообществом работы, как «Пособие по
перевычислению координат из национальных проекций Гаусса и Ламберта в
систему координат 1942	г.»	(1992), «Уравнивание государственной
геодезической сети» (1996), «Местные системы координат» (2010). Кроме
того, что в монографии развиваются основные положения этих работ, в ней
проработана и представлена теория и методики математической обработки
геодезических измерений, изложены теоретические и практические вопросы
создания и уравнивания высокоточной геодезической сети, спутниковых
геодезических сетей 1 класса и геодезических сетей специального
назначения. Полученные и представленные в монографии положения
опираются на теоретические разработки, подтвержденные многолетней
практикой 29-го Научно-исследовательского института МО РФ.
Работу А.П. Герасимова открывает глава, характеризующая
современное состояние и основные направления совершенствования
государственной геодезической сети путем создания и развития спутниковых
построений - фундаментальной астрономо-геодезической сети,
высокоточной геодезической сети, спутниковых геодезических сетей 1 класса.
В следующей главе представлены определения, математические
зависимости, формулы определения и связи основных видов геодезических
данных - пространственных, эллипсоидальных, плоских координат, разностей
пространственных и эллипсоидальных координат, нормальных,
ортометрических и динамических высот, высот геоида и квазигеоида,
уклонений отвесных линий, углов и направлений, расстояний и азимутов
различных видов. В большинстве описаний данных приводятся формулы
частных производных и ошибок вычисления данных.
Третья и четвертая главы посвящены системам координат - условиям
их создания, современному состоянию практической реализации, дано
детальное описание процессов пересчета геодезических данных из одной
геодезической системы в другую. Существенное место в четвертой главе
занимает проекция Гаусса, ее теоретические основы. Особое внимание
уделено ее применению в СК-42, СК-95 и в местных системах плоских
прямоугольных координат, в том числе в СК-63 и в региональных МСК.
Даются формулы пересчета из одной местной системы в другую и методика
уточнения (восстановления) ключей местных систем координат. Приведенный
материал убедительно свидетельствует о стройности и качестве
теоретической основы используемых в настоящее время систем координат.
3

А.П. Герасимов
Весьма полезным и оправданным следует считать включение в
монографию материалов по математической обработке геодезических
измерений, содержащих теоретические основы метода наименьших
квадратов, сведения из матричной алгебры, полную математическую основу
и технологию обработки измерений. Следует отметить, что в этом материале
освещен и обоснован практический опыт автора и 29-го НИИ МО РФ по
обработке государственных и специальных сетей (например, идеи технологий
многогруппового, многоэтапного уравнивания).
Собственно обработке и уравниванию измерений в спутниковых сетях
посвящена шестая глава. В ней детально рассмотрен относительный метод
спутниковых определений, где исходными данными для обработки и
уравнивания являются разности пространственных прямоугольных координат
АХ, AY, AZ и их ковариационная матрица К'. Вопросы получения значений
приращений пространственных координат на основе фазовых или кодовых
измерений лежат вне рамок монографии. В данной главе также изложены
основные положения о построении сетей, детально проработаны и
представлены задачи определения и учета при производстве измерений и
обработке эксцентриситетов фазовых центров спутниковых приемников,
полевые и предварительные вычисления, вопросы уравнивания сетей с
разностями пространственных и эллипсоидальных координат, спутникового
нивелирования.
Монографию отличают свойственные работам А.П. Герасимова,
продолжающая традиции российских военных геодезистов четкость,
детальность, сочетание сжатости и полноты изложения, незагроможденность
второстепенной информацией, тщательный подход к представлению и
описанию формул и переменных. Эти обстоятельства характеризуют ее как
прекрасное рабочее и справочное пособие, материал для удобного
практического применения в реализации при создании программных
решений, приходящих на смену «черным ящикам» фирменных программ
производителей спутникового оборудования.
Можно с уверенностью сказать, что представленная монография -
книга, которую ждали. Полнота охвата теоретических и практических
вопросов, решаемых в процессе построения и уравнивания спутниковых
геодезических сетей, позволит ей стать настольной книгой самому широкому
кругу специалистов, студентам высших и средних специальных учебных
заведений.
А.П. Пигин,
кандидат технических наук

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
ОТ СПОНСОРОВ ИЗДАНИЯ
ЗАО «ГЕОСТРОЙИЗЫСКАНИЯ»
ЗАО «ГЕОСТРОЙИЗЫСКАНИЯ» не случайно выступило спонсором
издания данной монографии, так как темы, изложенные в книге, являются
чрезвычайно важными и полезными для практического использования.
За последнее десятилетие спутниковые методы определения
координат нашли широкое применение в различных геодезических
приложениях. ГНСС технологии используются при создании опорных
межевых сетей, необходимых для обеспечения кадастровых работ, для
развития сетей сгущения и сетей съемочного обоснования в изысканиях под
строительство объектов различного назначения, при развитии
государственной геодезической сети и геодезических сетей специального
назначения.
Учитывая, что в нашей стране для решения различных задач наряду с
государственной системой координат применяется большое количество
местных систем, вопросы уравнивания спутниковых измерений и перехода к
нужной системе координат приобретают особое значение. Важно, что все эти
вопросы освещены в одном издании.
Осуществляя поставки оборудования и программного обеспечения для
спутниковых определений, ЗАО «ГЕОСТРОЙИЗЫСКАНИЯ» проводит
подготовку специалистов заказчика. На занятиях освещаются все этапы
проведения работ: от их планирования до получения конечного результата.
Вопросы уравнивания сетей и переход к нужной системе координат
достаточно часто вызывают затруднения у слушателей. Поэтому монография
«Спутниковые геодезические сети» станет хорошим подспорьем для всех, кто
использует в своей работе ГНСС технологии, позволит лучше представить и
понять теорию процессов, а значит более грамотно и уверенно подходить к
решению стоящих задач.
Нужно заметить, что в последнее время выходит не так много книг
отечественных авторов, посвященных обработке ГНСС измерений, и это
только подчеркивает важность и своевременность выхода монографии
А.П. Герасимова.

А.П. Герасимов
АНО ЦДО «КРЕДО-образование»
Развитие техники и технологий, в том числе космических, привнесло в
инженерно-геодезическую деятельность новые эффективные методы работ и
современные точные и качественные средства измерений. Сегодня для
создания опорных геодезических сетей широко используются глобальные
навигационные спутниковые системы, а программные средства позволяют
обрабатывать как наземные, так и спутниковые геодезические данные.
Компания «Кредо-Диалог», разработчик инженерного программного
комплекса CREDO, внимательно отслеживает мировые тенденции в области
инженерной геодезии, учитывает развитие техники и технологий в своих
программах и предлагает специалистам современный профессиональный
инструмент с инновационными решениями.
Одним из них является система CREDO_DAT Professional, которая
наряду с другими программами формирует пакет геодезических программ,
входящих в комплекс CREDO. Система предназначена для камеральной
обработки наземных и спутниковых геодезических измерений в городских,
межевых и государственных опорных сетях и при съемке территорий в
выбранной системе координат, с учетом модели геоида, комплекса
редукционных поправок. Несомненными плюсами системы являются ее
точный математический аппарат, удобный понятный интерфейс и
возможность работы со всеми наиболее известными геодезическими
приборами.
Безусловно, новые технологии требуют от исполнителей и высокой
квалификации при выполнении геодезических измерений, и хорошего уровня
владения современными средствами их обработки. Обучение работе с новым
программным обеспечением, базирующимся на передовых методах
производства, ведется в Центре дополнительного образования «КРЕДО-
образование». Для повышения квалификации инженеров-геодезистов центр
предлагает специальные учебные курсы и удобные формы обучения, в том
числе дистанционное, а опытные преподаватели помогут освоить учебную
программу любой сложности.
Книга «Спутниковые геодезические сети» посвящена теоретическим и
практическим вопросам создания и уравнивания высокоточной геодезической
сети, спутниковых геодезических сетей 1 класса и геодезических сетей
специального назначения. А.П. Герасимов дает четкое теоретическое
обоснование используемых в настоящее время систем координат.
Следует отметить важную роль предыдущих работ автора:
«Уравнивание государственной геодезической сети» (1996 г.) и «Местные
системы координат» (2010 г.). Эти издания оказали положительное влияние
на развитие математического аппарата программ CREDO_DAT и ТРАНСКОР,
за что коллектив разработчиков выражает Александру Петровичу Герасимову
искреннюю благодарность.
6

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Несомненно, книга будет полезна специалистам научно-технической и
производственной сфер деятельности, студентам геодезических
специальностей, которые стремятся расширять свои профессиональные
знания. Для разработчиков программных средств, в том числе и при
дальнейшем развитии комплекса CREDO, работа А.П. Герасимова
представляет практический интерес, и будет служить основой при
реализации функционала предварительных и уравнительных вычислений в
программных решениях.
Надеемся, что данная книга найдет своих читателей среди инженеров-
геодезистов, пользователей CREDO.

А.П. Герасимов
ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ
АГС - астрономо-геодезическая сеть
ВГС - высокоточная геодезическая сеть
ГГС - государственная геодезическая сеть
ГНС - государственная нивелирная сеть
ГПЗ - гравитационное поле Земли
ГСС - геодезическая сеть сгущения
ГССН - геодезическая сеть специального назначения
ДГС - доплеровская геодезическая сеть
КГС - космическая геодезическая сеть
МСК - местная система координат
ОЗЭ - общеземной эллипсоид
ОМС - опорная межевая сеть
ПЗ-90	- государственная геоцентрическая система координат
«Параметры Земли 1990 года»
СГС - специальная геодезическая сеть
СГС-1 - спутниковая геодезическая сеть 1 класса
СК-42 - государственная система геодезических координат 1942 года
СК-95 - государственная система геодезических координат 1995 года
ФАГС - фундаментальная астрономо-геодезическая сеть
ICRS - международная небесная система координат
IGN - международная геодинамическая сеть
ITRS - международная земная система координат
ITRF - система ITRS конкретного года
WGS-84 - мировая геодезическая система координат 1984 года

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Координаты,эллипсоид
X, Y,Z- пространственные прямоугольные координаты
В, L, Н - эллипсоидальные координаты (широта, долгота, высота)
В, L- геодезические координаты
Нг - нормальная высота
АХ, AY, AZ - линейные параметры связи систем координат
(Ох, (Оу, (Ог - угловые параметры связи систем координат
т - масштабный параметр связи систем координат
а - большая полуось эллипсоида
b - малая полуось эллипсоида
Аа - разность больших полуосей двух эллипсоидов
а- сжатие эллипсоида
е - эксцентриситет эллипсоида
евторой эксцентриситет эллипсоида
Ае2 - разность квадратов эксцентриситетов двух эллипсоидов
М- радиус кривизны меридиана
N - радиус кривизны первого вертикала
R - средний радиус кривизны
г - радиус кривизны параллёли
/? ( - радиус кривизны нормального сечения
Проекция Гаусса
х', у' - истинные координаты в проекции Гаусса
дг0, у0 - координаты условного начала
х, у- координаты в проекции Гаусса-Крюгера
хК1, ум - координаты в проекции Гаусса с местной координатной сеткой
п - номер координатной зоны
-	долгота осевого меридиана первой зоны
AL - ширина координатной зоны
9

А.П. Герасимов
г°
L" - долгота осевого меридиана зоны с номером п
I - долгота, отсчитываемая от осевого меридиана
X - длина дуги меридиана
Геодезические данные
АХ, AY, AZ - разности координат, измеренные относительным
методом
х3, уэ, А, - составляющие эксцентриситета фазового центра
спутникового приемника
SB, SL, SH - элементы центрировки спутникового приемника
6АХЪ SA Y„ SAZj - поправки за эксцентриситет фазовых центров
S	- расстояние между точками в пространстве
s - длина геодезической линии (расстояние, редуцированное на
эллипсоид)
d- расстояние на плоскости проекции
т - приведенная длина геодезической линии
D - расстояние между светодальномером и отражателем, в котором
учтены поправки за центрировку и редукцию
AD - поправка в расстояние за высоту приборов над центрами пунктов
Nu - измеренное направление
N - направление геодезической линии
ДNt) - поправка в направление за уклонение отвесной линии
АЫн - поправка в направление за высоту наблюдаемого пуйкта
ANn - поправка в направление за переход от нормального сечения к
геодезической линии
д - поправка в направление за кривизну изображения геодезической
линии
Р - горизонтальный угол
а - вертикальный угол
А - геодезический азимут
а - астрономический азимут
а - дирекционный угол
Z - зенитное расстояние
и - уклонение отвесной линии
10

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
£ rj - составляющие уклонения отвесной линии в меридиане и в
первом вертикале
С - высота квазигеоида над эллипсоидом
Уравнения поправок, нормальные уравнения
I - уравниваемая величина (результат измерения или предыдущего
уравнивания)
v - поправка к уравниваемой величине
V	- матрица поправок к уравниваемым величинам
х - результат уравнивания (например, координата)
о
х - предварительное значение результата уравнивания
дх - поправка к значению дг° (неизвестное)
р - вес результата измерения (или уравнения поправок)
Р - весовая матрица уравниваемых величин
Q - корреляционная матрица
К - ковариационная матрица
К х - ковариационная матрица результатов уравнивания
KF - ковариационная матрица функций результатов уравнивания
т - средняя квадратическая ошибка
Цй - ошибка единицы веса, назначаемая до уравнивания
Ц - ошибка единицы веса, получаемая из уравнивания
/ - свободный член уравнения поправок
L - матрица свободных членов уравнений поправок
А - матрица коэффициентов уравнений поправок

А.П. Герасимов
ГЛАВА 1. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
1.1.	Государственная геодезическая сеть
В соответствии с Основными положениями 2004 г. [20] государственная
геодезическая сеть предназначена для решения следующих основных задач,
имеющих хозяйственное, научное и оборонное значение:
-	установление и распространение единой государственной системы
геодезических координат на всей территории страны;
-	геодезическое обеспечение картографирования территории России и
акваторий окружающих ее морей;
-	геодезическое обеспечение изучения земельных ресурсов и
землепользования, кадастра, строительства, разведки и освоения природных
ресурсов;
-	обеспечение исходными геодезическими данными средств наземной,
морской и аэрокосмической навигации, аэрокосмического мониторинга
природной и техногенной сред;
-	изучение поверхности и гравитационного поля Земли и их изменений
во времени;
-	изучение геодинамических явлений;
-	метрологическое обеспечение высокоточных технических средств
определения местоположения и ориентирования.
Для обеспечения возможностей решения указанных задач современная
ГГС включает следующие построения;
-	фундаментальную астрономо-геодезическую сеть;
-	высокоточную геодезическую сеть;
-	спутниковые геодезические сети 1 класса;
-	астрономо-геодезическую сеть пунктов триангуляции и
полигонометрии 1 и 2 классов;
-	геодезические сети сгущения 3 и 4 классов, построенные методами
триангуляции и полигонометрии.
Все пункты ГГС определяются в единой системе геодезических координат
СК-95 и единой Балтийской системе высот. В городах геодезические сети
создаются как составные части государственной геодезической сети в единой
системе координат, в единой системе высот и в единой проекции. Плоские
прямоугольные координаты х, v могут вычисляться в проекции Гаусса-Крюгера
или в проекции Гаусса с местной координатной сеткой.
Для решения задач, связанных с определением координат и высот, в
дополнение к ГГС создаются геодезические сети специального назначения.
Для системы СК-95, которая применяется в ГГС, определяются
параметры связи с другими системами координат. К таким системам, в
частности, относятся единая геоцентрическая система координат России ПЗ-90,
геоцентрическая система WGS-84, которая применяется при создании
12

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
спутниковых геодезических сетей, и геоцентрическая система ITRS, в которой
определяются координаты пунктов Международной геодинамической сети IGN.
Кроме государственной геодезической сети на территории страны
созданы государственная нивелирная сеть и государственная
гравиметрическая сеть.
Государственная нивелирная сеть распространяет на территорию
страны, в том числе и на пункты ITC, единую Балтийскую систему
нормальных высот. Современная ГНС создается в соответствии с
«Инструкцией по нивелированию I, II, III и IV классов» [15].
ГНС России подразделяется на нивелирные сети I, II, III и IV классов.
Сети I и II классов являются главной высотной основой страны. Сети III и IV
классов определяются от пунктов сетей I и II классов. Нормальные высоты
передаются на пункты ГНС от нуля Кронштадтского футштока. В настоящее
время нормальные высоты определяются в Балтийской системе 1977 года. В
этой системе определены нормальные высоты всех пунктов ГГС методами
геометрического или тригонометрического нивелирования.
Государственная гравиметрическая сеть служит для распространения
на территорию страны единой гравиметрической системы [17]. В состав
государственной фундаментальной гравиметрической сети входят пункты
ФАГС, создаваемой как составная часть ГГС.
Основным направлением совершенствования современной ГГС
является создание спутниковых сетей ФАГС, ВГС и СГС-1. По мере
построения и уравнивания спутниковых геодезических сетей 1 класса будут
переуравниваться результаты измерений в сетях триангуляции и
полигонометрии.
1.2.	Фундаментальная астрономо-геодезическая сеть
Фундаментальная астрономо-геодезическая сеть служит исходной
геодезической основой для дальнейшего повышения точности пунктов
государственной геодезической сети и является геодинамической сетью
России. В число основных задач построения ФАГС входит определение
изменений координат пунктов во времени [20]. Часть пунктов ФАГС являются
пунктами Международной геодинамической сети IGN.
ФАГС состоит из постоянно действующих и периодически
определяемых пунктов. На пунктах ФАГС выполняются определения
нормальных высот и абсолютных значений ускорения силы тяжести.
Нормальные высоты определяются по программе государственной
нивелирной сети не ниже II класса [15], а ускорения силы тяжести - по
программе государственной фундаментальной гравиметрической сети [17].
Расстояния между смежными пунктами ФАГС составляют 650-1000 км.
Между пунктами ФАГС и ВГС определены относительным методом разности
13

А. П. Герасимов
пространственных прямоугольных координат АХ, AY, AZ в геоцентрической
системе.
Международные пункты ФАГС уравниваются в системе координат ITRS.
Реализацией каждого уравнивания является каталог координат с их оценкой
точности в системе ITRS конкретного года. Например, точность координат 14
международных пунктов ФАГС в системе ITRF-2000 характеризуется средней
квадратической ошибкой 2-4 мм. Такая точность взаимного положения
пунктов ФАГС в системе ITRS позволяет значительно повысить точность
положений пунктов ГГС в системе СК-95.
По результатам уравнивания пунктов в системе ITRS вычисляются
скорости изменения координат пунктов. Так, для 14 международных пунктов
ФАГС на эпоху 1.01.2002 г. составляющие средней скорости изменения
ЭХ	дУ	az
координат () составили: 	 = -0,020, 	 = 0,004, 	 = -0,003.
,од	д/	Э/	д/
Изменение положений пунктов ФАГС необходимо учитывать при уравнивании
высокоточной геодезической сети в системе СК-95.
Результаты наблюдений на пунктах ФАГС используются при
модернизации геоцентрической системы ПЗ-90. Так, в модернизированной
системе координат ПЗ-90.02 долготная ориентировка и линейный масштаб
приближены к значениям, принятым в системе ITRF-2000.
Вопросы использования результатов наблюдений в ФАГС при
уравнивании ВГС рассмотрены в разделе 6.5.
1.3.	Высокоточная геодезическая сеть
Основной задачей построения высокоточной геодезической сети
является повышение точности государственной системы геодезических
координат СК-95. ВГС служит исходной основой для спутниковых
геодезических	сетей 1 класса. На основе	результатов	уравнивания ВГС
создается на	всю территорию	страны карта высот	квазигеоида над
эллипсоидом Красовского в системе СК-95. ВГС предназначена также для
распространения геоцентрической системы ITRS, в которой определяются
координаты пунктов геодинамической сети России.
Сети СГС-1 создаются постепенно, по отдельным регионам и городам.
Развитие СГС-1 в регионах не должно приводить к переуравниванию ранее
построенных спутниковых сетей в	соседних	регионах. В	связи с этим ВГС
создается и	уравнивается как	единое	построение,	обеспечивающее
стабильность государственной системы геодезических координат СК-95.
В соответствии с «Основными положениями» 2004 г. [20] пункты ВГС
определяются относительным методом космической геодезии, обеспечивающим
точность взаимного положения со средними квадратическими ошибками, не
превышающими 3 мм + 5-1 O'8/) (где D - расстояние между пунктами) по каждой
14

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
из плановых координат и 5 мм + 710“®D по геодезической высоте. Каждый
пункт ВГС связан измерениями со смежными пунктами ВГС и ближайшими
пунктами ФАГС.
На пунктах ВГС определены нормальные высоты и ускорения силы
тяжести. Для связи с главной высотной основой страны пункты ВГС привязаны к
пунктам государственной нивелирной сети I, II классов или совмещены с ними.
Нормальные высоты совместно с гравиметрическими данными используются
для создания карты (цифровой модели) высот квазигеоида над эллипсоидом
Красовского в системе СК-95 на территорию страны. На основе этой карты в
последующем, по мере построения спутниковых геодезических сетей 1 класса,
создаются более детальные региональные карты высот квазигеоида.
На основе спутниковых наблюдений в ВГС определены разности
пространственных прямоугольных координат сторон ДА', Л У, ЛZ в системе
WGS-84 и их ковариационные матрицы. В результате уравнивания
измеренных разностей координат вычисляются координаты пунктов в
референцной системе СК-95, поэтому исходным пунктом ВГС является
Пулково. Методика уравнивания ВГС изложена в разделе 6.5.
1.4.	Спутниковые геодезические сети 1 класса
Пункты спутниковых геодезических сетей 1 класса являются исходной
основой для сетей триангуляции и полигонометрии 1-4 классов, для
геодезических сетей специального назначения и для геодезических работ,
выполняемых с применением относительного метода космической геодезии.
В состав СГС-1 входят постоянно действующие дифференциальные станции
и геодезические пункты. В городах спутниковые геодезические сети 1 класса
создаются как составные части государственной геодезической сети с целью
повышения точности опорных городских геодезических сетей.
Построение спутниковых геодезических сетей 1 класса производится
относительным методом космической геодезии. Исходной основой для СГС-1
являются пункты высокоточной геодезической сети и фундаментальной
астрономо-геодезической сети, уравненные в государственной системе
геодезических координат СК-95. В отличие от единых построений ВГС и
ФАГС спутниковые сети 1 класса развиваются как региональные, в том числе
городские, построения.
В СГС-1 определяются относительным методом разности
пространственных прямоугольных координат АХ, AY, AZ в общеземной системе
WGS-84. Для определения разностей координат применяются двухчастотные
спутниковые геодезические приемники, обеспечивающие определение
взаимного положения смежных пунктов со средними квадратическими ошибками
3 мм +1 10~7£> по каждой из плановых координат и 5 мм + 2-10~7D по
геодезической высоте (где D - расстояние между пунктами).
15

А.П. Герасимов
Каждый пункт СГС-1 должен быть связан спутниковыми измерениями
(сторонами) не менее чем с тремя пунктами СГС-1, ВГС или ФАГС. Длины
сторон должны быть не более 50 км. Средняя длина стороны составляет
около 25-35 км. Минимальная длина стороны и величины углов между
сторонами СГС-1 не устанавливаются.
Часть пунктов СГС-1 должна быть совмещена с пунктами триангуляции
1-4 классов, полигонометрии 1-3 классов и с пунктами государственной
нивелирной сети I—IV классов. Количество совмещаемых пунктов
устанавливается при проектировании СГС-1 с учетом обеспечения ее связи с
сетями триангуляции и полигонометрии. Количество пунктов СГС-1,
совмещаемых с пунктами государственной нивелирной сети, проектируется с
учетом обеспечения точности модели высот квазигеоида над эллипсоидом
Красовского, создаваемой на регион СГС-1.
Методика уравнивания спутниковых геодезических сетей 1 класса
изложена в разделе 6.8.
1.5.	Сети триангуляции и полигонометрии
Первые геодезические сети в России, как и во всех странах,
создавались методом триангуляции [10], [3]. Позже, с появлением точных
светодальномеров, для развития государственной геодезической сети стал
применяться метод полигонометрии.
В государственных сетях триангуляции требовалось устанавливать
координаты исходного пункта сети. Во многих странах, а первоначально и в
России, в качестве геодезических координат исходного пункта были
назначены астрономические широта и долгота. Исходным пунктом
государственной геодезической сети России является Пулково. При
установлении системы координат 1942 года геодезические широта и долгота
Пулково были вычислены с астрономическими координатами при условии,
что среднее в ГГС значение уклонения отвесной линии должно быть близким
к нулю. Геодезическая высота Пулково соответствует условию о том, что
высота квазигеоида над эллипсоидом Красовского равна нулю.
Пространственные координаты исходного пункта Пулково, назначенные для
государственной геодезической сети триангуляции, остаются неизменными и
для спутниковых сетей.
Государственная геодезическая сеть, уравненная в системе координат
1995 года, подразделяется на астрономо-геодезическую сеть 1-2 классов и
геодезические сети сгущения 3, 4 классов.
В АГС определено более 164 тысяч пунктов. На каждом пункте
измерены горизонтальные углы. Измеренные углы редуцированы на
поверхность эллипсоида Красовского.
На астрономических пунктах АГС получены по наблюдениям звезд
астрономические азимуты, широты и долготы. Астрономические азимуты
16

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
пересчитаны в геодезические азимуты. В сетях триангуляции 1 и 2 классов
измерены также около 2,8 тысячи базисных сторон (расстояний),
расположенных через 170-200 км [12].
С использованием измеренных астрономических широт и долгот и
гравиметрических данных, полученных по гравиметрическим картам
масштаба 1:1 ООО ООО и крупнее, определены на астропунктах методом
астрономо-гравиметрического нивелирования высоты квазигеоида над
эллипсоидом Красовского.
На основе результатов астрономо-гравиметрического нивелирования
была составлена карта высот квазигеоида, которая использовалась для
редуцирования базисных сторон триангуляции и расстояний в сетях
полигонометрии на эллипсоид Красовского. После уравнивания АГС
составлена новая карта высот квазигеоида над эллипсоидом Красовского в
системе координат 1995 года.
Геодезические сети триангуляции 3, 4 классов созданы в соответствии
с «Инструкцией о построении государственной геодезической сети СССР»
[14]. По этой же Инструкции создавались сети полигонометрии 3 и 4 классов.
Однако основная часть сетей полигонометрии 4 класса соответствует
требованиям «Инструкции по полигонометрии и трилатерации» [16]. В таких
сетях могли быть очень короткие стороны, но не менее 250 м.
В сетях триангуляции 3 и 4 классов измерялись только горизонтальные
углы, а в сетях полигонометрии 3, 4 классов - углы и расстояния. Углы
редуцированы на поверхность эллипсоида Красовского.
Для измерения углов и расстояний в сетях триангуляции и
полигонометрии, как правило, нужны высокие наружные знаки - сигналы и
пирамиды. Постройка и восстановление наружных знаков требуют больших
денежных затрат. Кроме того точность взаимного положения пунктов
триангуляции и полигонометрии значительно ниже чем в спутниковых сетях.
В связи с этим триангуляция и полигонометрия больше не будут применяться
в ГГС, но результаты прежних измерений будут переуравниваться по мере
создания спутниковых геодезических сетей 1 класса.
Вопросы переуравнивания сетей триангуляции и полигонометрии
рассмотрены в разделе 6.9. При использовании прежних измерений следует
иметь в виду, что в инструкциях по полигонометрии не было формулы
приведения расстояний, измеренных светодальномерами, к центрам пунктов.
Вычислялись не пространственные расстояния между центрами пунктов,
например, по формуле (2.8.1), а проекции этих расстояний на эллипсоид, т. е.
длины геодезических линий. При вычислении длин геодезических линий
используются высоты квазигеоида над эллипсоидом. Современные карты
высот квазигеоида отличаются от тех. с которыми были вычислены
расстояния в полигонометрии. Это обстоятельство необходимо учитывать
при переуравнивании сетей полигонометрии.
На всех пунктах триангуляции и полигонометрии определены
нормальные высоты в Балтийской системе. На большинстве пунктов высоты
17

А.П. Герасимов
получены методом тригонометрического нивелирования, т. е. на основе
измерения вертикальных углов. На части пунктов высоты определены
геометрическим нивелированием IV класса.
1.6.	Геодезические сети специального назначения
Для выполнения ряда геодезических и картографических работ
специального назначения [20] в дополнение к государственной геодезической
сети создаются геодезические сети специального назначения. К таким сетям,
в частности, относятся опорные межевые сети, специальные геодезические
сети, городские геодезические сети, геодезические сети на геодинамических
полигонах и на аэродромах.
Геодезические сети специального назначения создаются в
государственной системе геодезических координат и государственной
системе нормальных высот. Плоские прямоугольные координаты пунктов
ГССН могут вычисляться в проекции Гаусса-Крюгера или в проекции Гаусса с
местной координатной сеткой, т. е. в местной системе плоских прямоугольных
координат. В некоторых видах специальных сетей могут применяться
государственная геоцентрическая система координат и международная
земная система координат ITRS.
Исходными для геодезических сетей специального назначения служат
пункты государственной геодезической сети. В настоящее время основным
методом создания ГССН является относительный метод космической
геодезии. Применяется также полигонометрия.
Пункты ГССН должны удовлетворять требованиям долговременной
сохранности и стабильности положения.
К наиболее распространенным геодезическим сетям специального
назначения относятся опорные межевые сети и специальные геодезические
сети.
Опорные межевые сети предназначены для геодезического
обеспечения работ по ведению государственного земельного кадастра,
государственного мониторинга земель и землеустройства [21]. Пункты ОМС, в
частности, являются исходными при определении координат межевых знаков.
Плотность пунктов ОМС в городах и поселениях значительно больше,
чем плотность пунктов ГГС. На пунктах ОМС определяются координаты в
государственной системе геодезических координат и высоты в Балтийской
системе. Плоские прямоугольные координаты пунктов ОМС вычисляются, как
правило, в местных системах координат субъектов Российской Федерации,
т. е. в проекции Гаусса с местными координатными сетками.
Специальные геодезические сети создаются для топогеодезического
обеспечения Вооруженных Сил. Плановые координаты и высоты пунктов СГС
определяются с точностью 1 м [24]. Плоские прямоугольные координаты
пунктов СГС вычисляются в проекции Гаусса-Крюгера.
18

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
ГЛАВА 2. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ
2.1.	Виды геодезических данных
Геодезическими данными принято называть величины, которые
определяются средствами и методами геодезии, навигации, геодезической
астрономии и геодезической гравиметрии. Геодезические данные получают
как результат измерений и последующего приведения к конкретной системе.
Для согласования различных видов геодезических данных выполняется
уравнивание результатов измерений.
К геодезическим данным относятся координаты, нормальные высоты,
расстояния, астрономические азимуты, широты и долготы, геодезические
азимуты и дирекционные углы, горизонтальные углы и направления,
вертикальные углы и зенитные расстояния, аномалии силы тяжести,
уклонения отвесной линии, высоты квазигеоида над эллипсоидом. Все
геодезические данные связаны с положениями конкретных точек в
пространстве, в том числе и на поверхности Земли.
Геодезические данные, относящиеся к точкам в пространстве, могут
проектироваться на поверхность эллипсоида, а затем на плоскость проекции.
В связи с этим в практической геодезии широко используются
математические системы пространственных прямоугольных координат X, Y,
Z. геодезических координат В, L и плоских прямоугольных координат х, у.
Геодезические данные определяются (измеряются или вычисляются) в
конкретных системах. К таким системам относятся системы геодезических
координат, геоцентрические системы координат, астрономические системы,
системы высот, гравиметрические системы. Для пересчета геодезических
данных из одной системы в другую используются либо параметры связи
систем координат либо другие геодезические данные. Так, пересчет
разностей координат из одной геодезической системы в другую
геодезическую систему выполняется с параметрами связи этих систем, а для
пересчета астрономических азимутов, измеренных в астрономической
системе, в геодезические азимуты, т. е. в геодезическую систему координат,
используются координаты и уклонения отвесной линии.
Одни и те же геодезические данные в разных системах выражаются
разными величинами. Например, высоты квазигеоида над эллипсоидом
Красовского в системах координат 1942 года и 1995 года различаются между
собой, потому что геодезические высоты в этих системах разные.
Формулы пересчета геодезических данных из одних систем в другие с
использованием параметров связи систем координат рассмотрены в
главе 3.
19

А.П. Герасимов
2.2.	Координаты
В практической геодезии наиболее широко используются следующие
виды координат:
-	пространственные прямоугольные координаты X, Y. Z;
-	астрономические координаты <р , Л ;
-	пространственные эллипсоидальные координаты В, L. Н.
-	геодезические координаты В, L на поверхности эллипсоида;
-	плоские прямоугольные координаты х, у в проекции Гаусса.
Пространственные прямоугольные координаты X, Y.Z и эллипсоидальные
координаты В, L, Н [8] определяют положение точки в пространстве. Положение
точки в пространстве задается также координатами х, у. Н.
В математике геодезическими называются координаты точек на
криволинейных поверхностях, к которым относится поверхность эллипсоида, на
которой геодезическая высота Н = 0. Формулы связи плоских прямоугольных
координат х. у и геодезических координат В, L приведены в главе 4.
Начало пространственных прямоугольных координат (точка О на рис. 1)
либо совмещено с центром масс Земли (в геоцентрических системах) либо
находится вблизи от него (в референцных системах). Положение точки М в
пространстве (рис. 1) задается тремя координатами - абсциссой X,
ординатой Y, аппликатой Z. Эллипсоидальные и геодезические координаты
задаются относительно земного эллипсоида. Центр земного эллипсоида
совмещен с началом пространственных прямоугольных координат (точка О
на рис. 1 и 2). Уравнение поверхности земного эллипсоида имеет вид:
2 2 2
X	у	Z
сГ	а"	о
где х, у, z - пространственные прямоугольные координаты проекций точек в
пространстве на поверхность эллипсоида; а, b - большая и малая полуоси
эллипсоида.
Большая и малая полуоси являются элементами эллипсоида и
определяют его размеры и форму. К элементам эллипсоида относятся также
следующие величины:
а - Ь
сжатие а=	; эксцентриситет е -
а
а
второй эксцентриситет е =
b
(2.2.2)
20

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Рис. 1
Пространственные прямоугольные координаты
Рис. 2
Земной эллипсоид
Большую полуось а и сжатие а принято называть параметрами
эллипсоида. Приведем некоторые соотношения между элементами
эллипсоида:
b = a( I — е2 )0-5 = а( I — а);
21

А.П. Герасимов
.	/1	2Ч	0.5
а = 1 - (1 — <? )	;
■) е	2
е =	г = 2а-а
1 + е
е2	2а-а2
е' =	7 =	г.	(2.2.3)
I-е'	(1 -а)~
Точки в пространстве, т. е. пространственные точки, в том числе
центры геодезических пунктов, проектируются на эллипсоид нормалями к его
поверхности. Плоскость, проходящая через нормаль точки А и другую точку В
на эллипсоиде, называется плоскостью нормального сечения. Линия
пересечения плоскости нормального сечения с эллипсоидом называется
нормальным сечением в точке А. Нормальные сечения в точках А и В, в
общем случае, разные.
К основным линиям эллипсоида относятся меридианы и параллели
(рис. 2).
Меридианом называется линия, по которой поверхность эллипсоида
пересекается плоскостью, проходящей через нормаль и малую полуось, т. е.
плоскостью меридиана данной точки. Плоскость начального (нулевого)
меридиана совпадает с плоскостью ZOX.
Параллелями на эллипсоиде являются линии, которые образуются в
результате сечения поверхности эллипсоида плоскостями,
перпендикулярными оси OZ. Линия пересечения эллипсоида с такой
плоскостью, проходящей через центр эллипсоида, называется экватором.
Плоскость экватора совпадает с координатной плоскостью XOY.
Плоскость, проходящая через нормаль и перпендикулярная плоскости
меридиана, называется плоскостью первого вертикала, а линия пересечения
поверхности эллипсоида с плоскостью первого вертикала называется первым
вертикалом.
Положение пространственной точки относительно эллипсоида задают
ее эллипсоидальные координаты - геодезические широта В, долгота L и
высота Н, а проекцию этой точки на эллипсоид - геодезические координаты,
т. е. геодезические широта и долгота.
Геодезическая широта В - это угол между нормалью и плоскостью
экватора или координатной плоскостью XOY. Геодезической долготой L
называется угол между плоскостью меридиана данной точки и плоскостью
начального меридиана. Геодезической высотой Н является отрезок нормали
от поверхности эллипсоида до точки.
22

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Взаимное положение двух точек на эллипсоиде задается значениями
прямого Аи и обратного А21 азимутов геодезической линии (в общем случае
Аг 1 * А12 ± 180°) и длиной геодезической линии (s,2 = ,у2, = 5 ).
При вычислениях на эллипсоиде используются радиусы кривизны. К
ним относятся:
а(\-е2)
-	радиус кривизны меридиана М =
/I 2-2 г»Л.5 '
(1-е sin В)
-	радиус кривизны первого вертикала N =
2.2 „ч0,5
(1 — е sin В)
		а(1-е2)0,5
- средний радиус кривизны R-\ MN  	 	 —;	(2.2.4)
1 - sin В
-	радиус кривизны параллели г = NcosB\
I?	N
- радиус кривизны нормального сечения КА  	—
1	+ е cos2 В cos2 А
Формулы пересчета эллипсоидальных координат В, L, Н в
пространственные прямоугольные координаты X, Y, Z имеют вид:
X = (Н + N)cosBcosL;
Y = (Н + N)cosBsinL;
Z = (H + N- e2N)s\nB,	(2.2.5)
где N- радиус кривизны первого вертикала (2.2.4);
е" - квадрат первого эксцентриситета эллипсоида.
Эллипсоидальные координаты В, L, Н вычисляются по следующему
алгоритму.
1.	Вычисляется геодезическая долгота L. Для этого вычисляется
величина D по формуле
D = (X2 + Y2)05.	(2.2.6)
KZ
Если D - 0, то В- ——-, L = 0,
2|Z|
И = ZsinS - а( 1 - е sin2 .	(2.2.7)
где а - большая полуось эллипсоида.
Если D > 0, то вычисляется величина L по формуле
23

А.П. Герасимов
L.=
У
arcsin —
D
(2.2.8)
Если Y <0 иХ> 0, ioL-2n- La.
Если ¥<0\лХ< 0, то L=7t + L .
а
Если Y > 0 vt X < 0, тоЬ = Л - L .
'	а
Если Y> 0 и X > 0, то L = La.
2.	Вычисляются геодезическая широта В и геодезическая высота Н.
Если Z = 0, то В = О, Н = D - а.
Если Z Ф 0, то вычисляются вспомогательные величины по формулам:
t V2 , V2 . •72\°-5	•	еа	/«««V
г - (л +/ + Z )	; с = arcsin —; р =		(2.2.9)
г	2 г
и вычисляются	координаты В,	Н итеративным	методом.	В	первой	итерации
принимают	.у,	=	0.	В каждой следующей итерации вычисляются	величины:
ps\n2b	, I	I
b = c+ 5,; s2 = arcsin				—|s2-s,|.	(2.2.10)
(1 -e sin b) '
Если величина d меньше установленного допуска, то
B = b,H = DcosB + ZsiitS - а(\ — е2 sin2 В)0'5.	(2.2.11)
Если величина d равна или больше установленного допуска, то
принимают 5, = s2 и выполняют очередную итерацию по формулам (2.2.10)-
(2.2.11).
В качестве установленного допуска обычно принимают d = 0,0001". В
этом случае ошибка вычисления геодезической высоты не превысит 0,003 м.
Приведем частные производные координат.
дХ
дВ
ЭУ
дВ
= -(А/ + H)sinBcosL,
= ~(М+ H)sinBs\nL\
az
— = (М + #)cos5;
дВ
дВ
sin В cos L
дх
(М + Н)
дВ
sin В sin L
ЭУ
(М + Н)
дВ
cos В
az
(Л/+Я)’
24

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
дХ
—	= -{N + H)cosBsu\L\
ЭХ	(N + H)cosB '
Э L	sin L
—	= (N + H)cosBcosL;
dL	cosL
dY (N + H)cosB
	= cosBcosL;
dH
dH
	= co&BcosL;
dX
d H
dY
	= cosfisinL;
dH
	= cosdsinL;
dY
dZ
	= sin#;
dH
BZ
(2.2.12)
Астрономические координаты (широта <p, долгота Я), астрономические
азимуты а, горизонтальные углы и направления, вертикальные углы (или
зенитные расстояния) измеряются в астрономической системе.
Астрономическую систему каждой точки задает отвесная линия. Направления
отвесных линий в двух разных точках не имеют прямой математической
связи, поэтому нет формул связи между астрономическими координатами
двух точек, между прямым ап и обратным а2х астрономическими азимутами.
Астрономические координаты и азимуты определены на
астрономических пунктах астрономо-геодезической сети, т. е. на части пунктов
триангуляции и полигонометрии. С использованием астрономических широт и
долгот и гравиметрических данных, методом астрономо-гравиметрического
нивелирования, получена карта высот квазигеоида над эллипсоидом
Красовского в геодезической системе 1995 года. По астрономическим азимутам
и координатам вычислены геодезические азимуты.
С результатами астрономо-гравиметрического нивелирования, с
геодезическими азимутами, с горизонтальными углами и измеренными
расстояниями уравнена АГС.
По мере создания спутниковых геодезических сетей геодезические
азимуты, горизонтальные углы и измеренные расстояния используются при
последующем переуравнивании сетей триангуляции и полигонометрии 1-4
классов. Астрономические координаты могут использоваться при создании
моделей гравитационного поля Земли после уравнивания высокоточной
геодезической сети и спутниковых геодезических сетей 1 класса.
25

А.П. Герасимов
2.3.	Разности координат
При уравнивании сетей триангуляции и полигонометрии не возникает
необходимости пересчитывать разности координат АЛ', А У, AZ в АВ, AL, АН
и наоборот. Спутниковые сети могут уравниваться как с разностями
пространственных прямоугольных координат АХ, AY, AZ, так и с разностями
эллипсоидальных координат АВ, AL, АН. В последнем случае необходимо
разности АХ, AY, AZ, полученные относительным методом, пересчитывать в
разности АВ, AL, ЛН.
Пересчет разностей координат двух точек АХп, Д^2, AZ,2 в
разности А5|2, AL,,, АНп может быть выполнен по следующему
алгоритму.
1.	С известными координатами начального пункта стороны Xv У,, Z,
вычисляются координаты Х2, У2, Z2 конечного пункта стороны по
формулам:
Х2 =Хх + Д*|2; У2 = К, + АУп-, Z2 = Z, + AZ12.	(2.3.1)
2.	Координаты Хх, У,, Z( и Х2,	Y2, Z2 пересчитываются
соответственно в координаты 5,, Lx, Н, и /?2, Z,2, Н2 по алгоритму,
который приведен в разделе 2.2, т. е. по формулам (2.2.6Н2.2.11).
3.	С вычисленными эллипсоидальными координатами вычисляются
разности координат по формулам:
Щг = В2 ~ В\: Д*12 = L2 ~ L\: ^12 = Н2 ~ Нг	(2 3.2)
Пересчет координат по этому алгоритму будет точным, ес/1и известны
точные координаты начального пункта стороны Л',, К,, Z,. Перед
уравниванием спутниковых сетей известны лишь приближенные
(предварительные) координаты начальных пунктов сторон Х^, У,°.	■
Ошибки приближенных координат начального пункта обозначим как dX,.
dYx, dZ{. Если не считать ошибок измерений, то с такими же ошибками
будут вычислены координаты конечного пункта, т. е. будут получены
координаты:
Х° = Х,+ dXt; у" = Г,* dY,; Z° = Z, * dZ,.
X° = X2 + dX, , Y? = Y, * dY, ; Z° = Z, ♦ dZ,.	(2.3.3)
26

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Приближенным координатам Х°, Y°, Z° соответствуют вычисленные
приближенные координаты В°, 1?х, Я,° и В2, 1?2, Н2.
Ошибки вычисленных эллипсоидальных координат можно представить
формулами:
ЭЯ.0	Э5.°	ЭА°
dB. = —х-	dX.	+	—dY,	+	—х- dZ.;
'	'	эу.°	1	3z° '
azr	эц	дг
dL =	+	_fl.	</Z	•
^	'	dY°	'	3Z,°	'
ЭЯ.°	,	эя.°	,	эя.°
dH, =	+ —l- dZ.;
' дх, 1 эг,° 1 az,° 1
ЭЯ?	ЭВ?	ЭВ?
dB2 = —dtf. + —j- dY. + —j- dZ.;
ar2°	dv2°	az2°
э4	ai°,	э^
dL2 = —<1Г. + —</Z.;
дХ2	dY2°	az2°
ЭЯ?	ЭЯ®	ЭЯ?
dH2 = —«УК + —dZ..	(2.3.4)
э*2°	эу2°	az2°
Ошибкам координат (2.3.4) соответствуют ошибки разностей
эллипсоидальных координат:
дв°2	ЭВ.° ,	ЭЯ?	дВ°	ЭЯ?
dAB„ =(—-—*-)<йГ. +(—2-	l-)dY. +(-^--
аг2°	эл",	э y2°	э^°	az2°
дв°
X)dZx-
dZ° '
Э/°,	3Z?	Э£°	dL°	Э4	dL?
<ML,, =(—--=*-)<£*. + (—-—l-)dY + (-^r-—l~)dZ.-
дХ°2	дх°	ЭГ2°	ЭУ,°	3Z2°	3Z,°
27

А.П. Герасимов
эя,° ая.° дн° ая.° эя?°
JAHi2=(—2г~—5--—2
а*2 эх? а к,0	а^°	az2°
^£7°
(2.3.5)
В формулах (2.3.5) частные производные вычисляются по формулам
(2.2.12). В формулах (2.2.12) приближенные координаты и радиусы кривизны
пункта 2 выразим через соответствующие величины пункта 1:
В° = Д,° + щ2; 4 = 1°+ Д£,2; я" = Я,0 + ДЯ12;
Л/2° = Л/,° + 63612sin2 Д,°ДД,2;
* N° + 21453sin2 Л,°АД12;
sin В\ = sin 5° + cos /?,°Д/?12; cos B\ = cos /?,° - sin B^AB]2;
sin/,” = sin + cos Z,°AL,2; cos/,2 =cos - sin Z,”aZ,12 .	(2.3.6)
Формулам (2.3.5), (2.2.12) и (2.3.6) соответствуют следующие формулы
ошибок пересчета координат:
г>0	*	г 0	j-j 0	гО
sm A sinL.	cos A. cosL.
</ЛВ,2 =(	J	p-Ai,, - —J-
M, + H |	м,	+	я,
Ж>0 гО	„0	.	гО	Г) 0
smS, cos Z/,	cos A sinL,	_	sin	A
-(	l	r^AZ.., +		-*-AB„)dY. - ——!— AA,«/Z.;
A/,° + Я,	Д/,	+	Я,	"	А/,	+	Я,
sin 5,° sin I?.AB.,	cos fibL.-,
<mz, =_(—L-—l—ii + —-—1~12 n )dx. +
12	»r<>	.	r/°	/	Hf°	.	rr°\	D°	1
W, + Я,	+ #,)cos5,
sin fi.°cosZ,?A5,,	sinZ^AZ,,,
+ /	!	!	LL — 	'	ь	\ JY •
»f0	,.0	, irO . rr04	„0	'	1	’
jV, + //,	(Nt +H])cosB[
dAH., =			[-(cos B? sin Z,? AZ-, + sin A0 cos L?AB., )iW. +
6367600
+ (cos cosZ,°AZ,|2 - sin 5,° sin Z.°A5,2 )jy+cos	|.	(2.3.7)
Из формул (2.3.7) следует, что, если расстояния между пунктами
составляют около 100 км, а ошибки предварительных координат - около
28

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
1	м, то ошибки пересчета разностей координат могут быть более 15 мм.
Чтобы избежать таких ошибок, целесообразно высокоточную геодезическую
сеть и спутниковые геодезические сети 1 класса уравнивать с разностями
координат АА', ДУ, AZ. В опорных межевых сетях расстояния обычно не
превышают 50 км, а предварительные координаты пунктов могут
вычисляться с ошибками не более 20-30 см, если исходными являются
уравненные координаты пунктов триангуляции и полигонометрии. В этом
случае ошибки пересчета разностей координат не превысят 2-3 мм.
Следовательно, опорные межевые сети можно уравнивать как с разностями
АХ, AY, AZ, так и с разностями АВ, AL, АН.
2.4.	Высоты
Для всех пунктов триангуляции и полигонометрии получены из
измерений нормальные высоты методом геометрического или
тригонометрического нивелирования. На пунктах спутниковых геодезических
сетей определяются геодезические и нормальные высоты. Геодезические
высоты получают относительным методом космической геодезии. При
решении отдельных задач инженерной геодезии применяются динамические
высоты. В зарубежных странах широко используются ортометрические
высоты.
Нормальные высоты отсчитываются от квазигеоида, ортометрические
от геоида. На акватории Мирового океана геоид и квазигеоид совпадают. По
оценкам авторов работ [8], [7]. [13], различие ортометрических и нормальных
высот в равнинных районах {Н до 200-500 м) не превышает 1-2 см. В горных
районах (Н до 4-5 км) это различие может достигать 1-2 м. Максимальное
расстояние между геоидом и квазигеоидом не превышает 3 м. На указанные
величины различаются высоты квазигеоида и геоида над одним и тем же
эллипсоидом. Это необходимо учитывать при работе с зарубежными
моделями высот геоида.
Сущность геометрического метода определения ортометрических
высот может быть выражена формулой [5]:
где Н* - ортометрическая высота точки A, gm - среднее ускорение силы
тяжести на отрезке от поверхности геоида до точки А\ dh - значения
превышений, измеренных нивелиром в точках хода от нуля футштока до
точки А (элементарные перемещения по высоте); g - ускорения силы тяжести
в точках хода.
(2.4.1)
29

А.П. Герасимов
Выполнить измерения, необходимые для получения точных значений
gm, нельзя, поэтому М.С. Молоденский разработал теорию нормальных
высот.
Формула нормальных высот имеет вид:
В формуле (2.4.2) среднее значение нормальной силы тяжести
вычисляется по формуле приведения в свободном воздухе [5|:
где у0 - значение нормальной силы тяжести в точке А\
HUJM - измеренное значение высоты точки А.
С учетом формулы (2.4.2) вычисляются нормальные высоты пунктов
государственной нивелирной сети I и II классов, а также сетей нивелирования
III класса в горных районах [15].
Нормальные и геодезические высоты связаны формулой
где у - фиксированное значение нормальной силы тяжести.
В качестве фиксированного значения нормальной силы тяжести обычно
принимают среднее для района работ.
В разных странах приняты разные системы ортометрических высот,
т. е. от разных уровней морей. В России применяется Балтийская система
высот, началом которой является нуль-пункт Кронштадтского футштока.
Балтийская система высот 1977 года распространена на всю
территорию бывшего СССР с помощью государственной нивелирной сети
I—IV классов. Точность Балтийской системы 1977 г., полученной в результате
уравнивания сетей I и II классов, характеризуется средней квадратической
ошибкой передачи высот от нуля Кронштадтского футштока в районы Чукотки
и Дальнего Востока, не превышающей дециметров.
В государственной геодезической сети определены нормальные
высоты всех пунктов. Значительная часть пунктов ГГС получена
(2.4.2)
(2.4.3)
(2.4.4)
(2.4.5)
30

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
геометрическим нивелированием. Точность высот этих пунктов не зависит от
остальных измерений в ГТС. В связи с этим уравнивание нормальных высот
геодезических пунктов, полученных из геометрического нивелирования,
выполняется независимо от уравнивания плановых координат.
При тригонометрическом нивелировании измеряются вертикальные
углы и расстояния. В ГГС собственно для этого расстояния не измеряли, их с
необходимой точностью вычисляли при предварительной обработке
измерений.
В тригонометрическом нивелировании точность высот зависит в
основном от точности измерения вертикальных углов, которая в свою
очередь, существенно зависит от расстояний между пунктами. При
уравнивании этих высот им назначают веса обратно пропорциональными
квадрату расстояния:
а передачу высот стремятся выполнить по коротким сторонам сети.
Вертикальные углы хоть и измерены, как правило, одновременно с
горизонтальными углами, но они практически не зависят друг от друга,
поэтому и в этом методе нормальные высоты уравниваются отдельно от
остальных геодезических измерений.
Геодезические высоты в спутниковых сетях определяются совместно с
плановыми координатами, поэтому и уравниваться они должны совместно.
2.5.	Высоты квазигеоида
Пункты государственной геодезической сети являются исходной
основой для определения пространственных положений и нормальных высот
объектов местности. Следовательно, на пунктах ГГС должны определяться
их пространственные прямоугольные координаты X, Y, Z или
эллипсоидальные координаты В, L, Н, а также нормальные высоты Нг.
В сетях триангуляции и полигонометрии определяются геодезические
координаты В, L и нормальные высоты. Геодезические высоты пунктов могут
вычисляться по формуле
где £ ~ высота квазигеоида над эллипсоидом.
В спутниковых геодезических сетях 1 класса определяются координаты
В, L, Н, а нормальные высоты вычисляются по формуле
(2.4.6)
Н= Нг + £,
(2.5.1)
Нг =Н- С-
(2.5.2)
31

А.П. Герасимов
Таким образом, как при построении сетей триангуляции и
полигонометрии, так и при построении спутниковых геодезических сетей
необходимо на основе дополнительных измерений получать высоты
квазигеоида над эллипсоидом. Высоты квазигеоида нужны также для
редуцирования измеренных (т. е. пространственных) расстояний на
поверхность эллипсоида по формуле (2.8.4).
Началом счета высот квазигеоида в референцных системах СК-42 и
СК-95 является начальный пункт сети Пулково. Для пункта Пулково высота
квазигеоида над эллипсоидом Красовского принята равной нулю (£ = 0). От
пункта Пулково высота квазигеоида передается на остальные пункты ГТС.
В сетях триангуляции и полигонометрии методом астрономо¬
гравиметрического нивелирования определены разности высот квазигеоида
АС\2 = Сг ~ С\ между соседними пунктами АГС. С разностями A£,2
вычислены от пункта Пулково высоты квазигеоида на астрономических
пунктах АГС. Принимая эти высоты за исходные, создана карта высот
квазигеоида над эллипсоидом Красовского в системе СК-95 на территорию
страны. По карте определяются высоты квазигеоида на пунктах ГГС и на
объектах местности и вычисляются геодезические высоты по формуле (2.5.1).
Методика вычисления высот квазигеоида астрономо-гравиметрическим
нивелированием приведена в |19|. Суть этой методики выражается формулой
где <р. Л - астрономические координаты соседних астрономических
пунктов;
В,	L- геодезические координаты астрономических пунктов;
D,2 - расстояние между астрономическими пунктами.
Первый член в правой части (2.5.3) является формулой
астрономического нивелирования. Второй член называется гравиметрической
поправкой к астрономическому нивелированию:
*Р
В (2.5.4) через и N2 обозначены высоты квазигеоида
вычисляемые, например, по формуле
(2.5.3)
(2.5.4)
32

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
2 я я
Т~ \\AgF(y)d4di/,	(2.5.5)
2*ri{
где R - радиус земного шара;
у - среднее значение нормальной силы тяжести;
у/ - сферическое расстояние от определяемой до текущей точки;
А - азимут направления на текущую точку;
-	функция сферического расстояния.
Через Л г?, и Дг?2 в формуле (2.5.4) обозначены уклонения отвесной
линии А г? = £cos A +77sin А, где £ и Т] вычисляются с гравиметрическими
данными по формулам (2.6.3). При вычислениях по формулам (2.5.5) и (2.6.3.)
учитываются гравиметрические данные не по всей Земле, а только в радиусе,
равном полутора-двум расстояниям между астропунктами [19].
На пункты спутниковой высокоточной геодезической сети от Пулково
передаются эллипсоидальные координаты В, L, Н. Нормальные высоты Н7
пунктов ВГС определяются с точностью пунктов государственной нивелирной
сети I-II классов. На пунктах ВГС высоты квазигеоида в референцной
системе вычисляются по формуле £ = Н — Нг. Принимая высоты
квазигеоида пунктов ВГС в качестве исходных и используя гравиметрические
данные, создается цифровая модель (карта) высот квазигеоида на
территорию страны в референцной геодезической системе. Высоты
квазигеоида на пунктах ВГС, вместе с гравиметрическими данными и
высотами квазигеоида на отдельных пунктах СГС-1, могут использоваться
для создания региональных моделей высот квазигеоида, например, на
территорию конкретной СГС-1.
Цифровые модели гравитационного поля Земли (ГПЗ), создаваемые в
геоцентрических системах, практически не используются для вычисления
нормальных или ортометрических высот по формуле (2.5.2).При отсутствии
моделей высот квазигеоида в государственной референцной системе их
можно использовать для определения нормальных высот относительным
методом космической геодезии.
Относительным методом нормальные высоты передаются на
определяемые пункты от исходных пунктов, нормальные высоты которых
известны. Исходными могут быть пункты ВГС, СГС-1 и пункты
государственной нивелирной сети I—IV классов.
Для высоты НУХ исходного пункта 1 и высоты Нгг определяемого
пункта 2 напишем следующее выражение;
33

А.П. Герасимов
И2=И\ + (н2 - И[)	(2-5.6)
На основании (2.5.2) и (2.5.6) получаем:
ИГ2=Н\ + АНп - Д£2.	(2.5.7)
где Д#|2 = Н2 - И[ - разность геодезических высот, определяемая
относительным методом;
А^*12 = ^2 — £\ - Разность высот квазигеоида.
Для определения разности высот квазигеоида Л^|2 в (2.5.7)
вычисляются по цифровой модели ГПЗ высоты ^ и ^ в геоцентрической
системе. Из геоцентрической системы они пересчитываются в референцную
систему по формуле (3.3.8) и получаются высоты квазигеоида и .
Образуется разность Д£,2	для вычислений по формуле (2.5.7).
Разница между вычисленными значениями	и	высотами
квазигеоида в референцной системе может превышать 1 м, а разница между
вычисленным значением Д£,2 и соответствующей разностью высот
квазигеоида в	референцной	системе при сравнительно небольших
расстояниях будет незначительной. Естественно, что точность определения
нормальных высот с моделями ГПЗ в геоцентрических системах будет
несколько ниже, чем с моделями высот квазигеоида в государственной
референцной системе.
2.6.	Уклонения отвесных линий
Уклонения отвесных линий широко используются в геодезической
практике, в частности, для пересчета астрономических азимутов,
определяемых	средствами	гироскопического ориентирования, в
геодезические азимуты. При уравнивании сетей триангуляции и
полигонометрии	они нужны	на всех пунктах для редуцирования
горизонтальных углов на поверхность эллипсоида.
Уклонением отвесной линии называют угол между отвесной линией и
нормалью к поверхности эллипсоида в данной точке. Проекции уклонения
отвесной линии на плоскости меридиана, первого вертикала или
произвольного вертикала с азимутом А называют составляющими уклонения
отвесной линии соответственно в меридиане, в первом вертикале, в
вертикале с азимутом А. Приведем сводку некоторых формул:
£= и cos а;
34

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
TJ = и sin а;
б	= ucos(A - а);
г? = £cos /4 +7sin А,
(2.6.1)
где w - уклонение отвесной линии; а - азимут вертикала уклонения отвесной
линии; £ - составляющая в меридиане; 7J - составляющая в первом
вертикале; г? - составляющая в вертикале с азимутом А.
Обычно определяют составляющие уклонения отвеса в меридиане и в
первом вертикале, а само уклонение отвесной линии и его составляющие в
других вертикалах вычисляют с помощью формул (2.6.1).
Положение нормали соответствует геодезическим координатам точки.
В одной и той же точке для разных эллипсоидов или разных систем
координат нормали разные. Формулы пересчета уклонений отвесных линий
из одной геодезической системы в другую приведены в разделе 3.3.
К числу ставших уже традиционными относятся следующие способы
определения уклонений отвесных линий:	астрономо-геодезический,
гравиметрический и астрономо-гравиметрический.
В астрономо-геодезическом методе определяются астрономические и
геодезические координаты точек. Составляющие уклонения отвесной линии
вычисляются по формулам:
где <р , Л - астрономические координаты; В, L- геодезические координаты.
По формулам (2.6.2) уклонения отвесной линии вычисляются в той
системе координат, в которой даны геодезические координаты.
В государственной геодезической сети астрономо-геодезический метод
применялся лишь на астрономических пунктах АГС. Составить на его основе
карты уклонений отвесных линий нельзя. На астрономических пунктах АГС
астрономические координаты определены астрономическими теодолитами.
Более высокую производительность труда и точность обеспечивают
современные зенитные камеры с ПЗС-матрицами. В настоящее время в
зарубежной геодезии используются единичные экземпляры полевых
зенитных камер с ПЗС-матрицами.
Гравиметрический метод основан на использовании данных о
гравитационном поле Земли. На практике применяется несколько вариантов
этого метода. Здесь приведем лишь формулы Венинг-Мейнеса [5]:
£=<р-в.
7	= (Я - L)cosB,
(2.6.2)
35

А.П. Герасимов
(2.6.3)
где Ag - аномалии в свободном воздухе в текущих точках; А - азимут
направления на текущую точку; у/ - сферическое расстояние от
определяемой до текущей точки; Q - функция Венинг-Мейнеса.
Функция Венинг-Мейнеса вычисляется по формуле
где у - значение нормальной силы тяжести.
Для вычисления по формулам (2.6.3) необходимо знать аномалии силы
тяжести по всей Земле. Наиболее полно они представлены моделями
гравитационного поля Земли в геоцентрических системах координат, в
частности, моделью ГПЗ-90.02. В этих моделях ГПЗ для акватории Мирового
океана успешно используются аномалии силы тяжести, вычисленные по
результатам спутниковой альтиметрии.
Для уравнивания ГТС уклонения отвесной линии были вычислены
астрономо-гравиметрическим методом. В этом методе по гравйметрическим
данным, в частности, по формулам (2.6.3), учитывается влияние зоны
сравнительно небольшого радиуса г0. Влияние остальной части Земли за
пределами этой зоны учитывается с помощью уклонений отвесных линий,
полученных на астрономических пунктах АГС астрономо-геодезическим
методом. В соответствии с [19] радиус интегрирования г0 в (2.6.3) должен
быть не менее чем 1,5-2 расстояния между астрономическими пунктами.
На ряд районов страны, в основном равнинных, с использованием
гравиметрических карт созданы карты уклонений отвесных линий с точностью
0,5-1,0". С несколько меньшей точностью уклонения отвеса были вычислены
по средним аномалиям на остальную часть страны. При этом в ряде горных
территорий ошибки достигают 5-7".
л р'^	„.2Г±
Q——cos —[cosec—i-12sin	32sm — +
2/ 2 2 2 2
1	+ sin —
2
3
, W	w	7W
-12sin —In sin—hsin — ],
2,2 2 ,
(2.6.4)
36

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
2.7.	Горизонтальные углы и направления
При математической обработке угловых измерений измеренные углы и
направления редуцируются на поверхность эллипсоида. Проекцией
измеренного направления Nu на эллипсоид является направление
геодезической линии N, которое принято называть горизонтальным
направлением. Горизонтальным направлениям на эллипсоиде соответствуют
горизонтальные углы.
Углы и направления измеряются между точками в пространстве.
Направление из пункта наблюдения на наблюдаемый пункт (на визирную
цель) является пространственным направлением. Проекцией
пространственного направления на плоскость астрономического горизонта
пункта наблюдения является измеренное направление Nu. Проекция
пространственного направления на плоскость геодезического горизонта
пункта наблюдения вычисляется как Nu + AN#, где AN0 - поправка за
уклонение отвесной линии или за редуцирование на геодезический горизонт.
Далее вычисляется проекция пространственного направления на нулевой
геодезический горизонт наблюдаемого пункта (Н - 0) как Nи + АNа + ANH,
где ANH - поправка за высоту наблюдаемого пункта. Эта проекция равна
направлению нормального сечения на поверхности эллипсоида. Для
перехода от направления нормального сечения к направлению геодезической
линии (т. е. к горизонтальному направлению) учитывается поправка ANn.
Таким образом, переход от измеренного направления Nu к направлению
геодезической линии (т. е. к горизонтальному направлению) выполняется по
формуле
где £|. Л\ ~ составляющие уклонения отвесной линии;
Аг - азимут направления с наблюдаемого пункта на пункт
наблюдения;
Z - зенитное расстояние пространственного направления.
Поправка за высоту наблюдаемого пункта вычисляется по формуле
N = N +AN„+AN+AN.
и	17	Н	П
(2.7.1)
Поправка за уклонение отвесной линии вычисляется по формуле
(2.7.2)
ANH = 0,108Н2 cos2 Я, sin 2 Ап,
(2.7.3)
37

А.П. Герасимов
где //, - высота наблюдаемого пункта (визирной цели) в километрах;
/?, - широта пункта, с которого ведутся измерения.
Поправка (2.7.3) не зависит от высоты пункта, с которого измеряются
направления. Требования к точности высоты //-, не высоки, поэтому можно
пользоваться как геодезическими, так и нормальными высотами.
Поправку за переход от нормального сечения к геодезической линии
при расстояниях до 100 км можно вычислять по формуле
АЛгп = -0,0000028 cos2 Я, sin 2Л12 ■ s2,	(2.7.4)
где s - расстояние между пунктами в километрах.
При расстояниях до 50 км поправка (2.7.4) не превосходит 0,007".
Выражения (2.7.1 )-(2.7.4) используются для вычисления
горизонтальных углов Р (на эллипсоиде), которые получают как разность
горизонтальных направлений (на эллипсоиде):
<275>
Обратный переход, т. е. переход от горизонтальных направлений N к
измеренным направлениям N между центрами пунктов, можно выполнить
по формуле
Nu = N - AN0 -ANH-ANn.	(2.7.6)
При вычислении по формуле (2.7.6) необходимо поправку AN
получать с теми же значениями составляющих уклонения отвесной линии, с
которыми было вычислено горизонтальное направление N .
Редуцирование горизонтальных углов и направлений с эллипсоида на
плоскость проекции Гаусса рассмотрено в главе 4.
2.8.	Расстояния
При уравнивании геодезических сетей применяется 3 вида расстояний:
-	расстояние (или пространственное расстояние);
-	длина геодезической линии (т. е. расстояние на эллипсоиде);
-	расстояние на плоскости проекции Гаусса.
Непосредственно из измерений, например, светодальномерами
определяются пространственные расстояния. Их принято называть
измеренными расстояниями. К измеренным расстояниям относятся
расстояния между центрами геодезических пунктов.
Расстояния, измеренные свето- и радиодальномерами, приводятся к
центрам геодезических пунктов по формуле
38

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
/ + V (v — /)2 (v —/)/ V У\
S=D	D--		ЦН*-Н[),	(2.8.1)
2	Ra	2D D
где S - расстояние между центрами пунктов (пространственное расстояние);
D - расстояние, измеренное дальномером, в котором учтена вся
совокупность физических и геометрических поправок, свойственных прибору,
и поправки за центрировку и редукцию;
/ - высота дальномера над центром пункта 1;
V	- высота отражателя над центром пункта 2;
Нгх - нормальная высота пункта 1, над которым установлен
дальномер;
Н* - нормальная высота пункта 2, над которым установлен
отражатель;
Ra - радиус кривизны нормального сечения на пункте 1.
Радиус кривизны нормального сечения на пункте 1 вычисляется по
формуле
*4=	;—г	;		<2-82)
л	*	.	/ 2	2	г-»	2 i
1 + е cos В] cos Л]2
Вывод и исследование формулы (2.8.1) даны в работе [1].
Связь между пространственным расстоянием S и пространственными
прямоугольными координатами X. Y, Z двух точек определяется формулой
s = [(*! - X, )г + (Y2 - Y, f + (Z2 - z,)!] °'5	(2.8.3)
Переход от пространственного расстояния S к длине геодезической
линии s выполняется с помощью редукционной формулы, которая приведена
в работе [6]:
JL,	(2.8.4)
2	Ял	4 (R4+H,)(RA + H2)
где //,, Н2 - геодезические высоты.
Радиус кривизны нормального сечения R4 на пункте 1 вычисляется по
формуле (2.8.2).
Вместо формулы (2.8.4) можно пользоваться формулой
39

А.П. Герасимов
s = S
1-
н,
1 + —11
R,
1 +
Н-,
R
А 7
0.5
24/г
(2.8.5)
Ошибка формулы (2.8.5) менее 1 мм при расстояниях до 100 км.
Для обратного перехода - от длины геодезической линии
пространственному расстоянию , применяется формула
S =
4(й, + Я, )(Я, + Н, )sin! -f- + (Я, - Я,)!
0.5
(2.8.6)
С геодезическими координатами В, L двух точек длина геодезической
линии вычисляется из решения обратной геодезической задачи. Строгие
алгоритмы решения прямой и обратной геодезических задач по методу
Бесселя приведены в работе [6]. Здесь приведем формулы частных
производных от длины геодезической линии по координатам В, L:
ds |
дВ,
— = — А/, cos /4,2;
ds
12
ds.
— = -М2 C0S/421;
dL,
ds
= -jY, cos 5, sin Л12;
az,
— = -N2 cos 52 sin A2t,
(2.8.7)
где	\л	M2, N2 - радиусы кривизны в точках 1 и 2 соответственно .
В (2.8.7) в соответствии с уравнением Клеро
N, cos 5, sin Ап =-N2 cos B2 sin A2l.	(2.8.8)
Связь длины геодезической линии с расстоянием на плоскости
проекции Гаусса рассмотрена в разделе 4.1.
2.9.	Азимуты
При построении геодезических сетей определяются астрономические и
геодезические азимуты .
Астрономические азимуты определяются по наблюдениям звезд и
методами гироскопического ориентирования. Геодезические азимуты
вычисляются на основе астрономических азимутов или с геодезическими
координатами пунктов. Небольшой процент геодезических азимутов в АГС
получен непосредственно по наблюдениям звезд.
40

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Астрономические азимуты пространственных направлений
соответствуют отвесной линии на пункте наблюдения, звездной системе
координат (т. е. фундаментальному каталогу) и положению среднего полюса
Земли. Редуцировать собственно астрономические азимуты на поверхность
эллипсоида, как правило, нет необходимости, редуцируются вычисленные по
ним геодезические азимуты пространственных направлений,
спроектированные на плоскость геодезического горизонта пункта
наблюдения.
Перед уравниванием АГС астрономические азимуты были приведены к
системе фундаментального каталога FK4. В настоящее время применяется
Международная звездная система координат ICRS (International Celestial
Reference System) и соответствующий ей фундаментальный каталог FK6.
Современное положение среднего полюса соответствует координатам звезд
в системе ICRS. В АГС астрономические азимуты пространственных
направлений (измеренные азимуты) приведены к среднему полюсу в Системе
Международного условного начала по формуле
аи =ац -(xsinA + _ycosA)sec^),	(2.9.1)
где аи - измеренный астрономический азимут, приведенный к среднему
полюсу;
ои - астрономический азимут, соответствующий мгновенному полюсу
эпохи наблюдений;
х, v - координаты мгновенного полюса относительно среднего
полюса;
(р , Я - координаты пункта наблюдения.
Астрономические азимуты, измеренные гиротеодолитами, не зависят от
координат звезд, а по формуле (2.9.1) приводятся к среднему полюсу,
положение которого согласовано с координатами звезд в системе ICRS.
С измеренными астрономическими азимутами аи вычисляются
азимуты геодезических линий А (т. е. геодезические азимуты на эллипсоиде)
по формуле
А-аи - (Я - L)s\n^—^— + AN0 + &NH + ANn,	(2.9.2)
где В, L- геодезические координаты пункта наблюдения;
<р , Я - астрономические координаты.
Формулы для вычисления поправок ДЛ^. ДNH. ANn в (2.9.2)
приведены в разделе 2.7.
Кроме формулы (2.9.2) при гироскопическом ориентировании
применяется формула
41

А.П. Герасимов
А = аи - TflgB + AN6 + ANH .	(2.9.3)
где JJ - составляющая уклонения отвесной линии в первом вертикале.
Геодезические азимуты, полученные непосредственно по наблюдениям
звезд, приводятся к среднему полюсу по формуле
Аи = Ач - (.tsinZ, + jvcosZ-)cosfi ,	(2.9.4)
где Аи - измеренный геодезический азимут, приведенный к среднему полюсу;
Ам - геодезический азимут, соответствующий мгновенному полюсу;
В,	L- геодезические координаты пункта наблюдения.
С измеренным геодезическим азимутом Аи вычисляется геодезический
азимут А на эллипсоиде:
А = Аи + AN# + ДNH + ANn.	(2.9.5)
С геодезическими координатами пунктов Вх, L,, В2, L2 азимуты
геодезических линий А вычисляются из решения обратной геодезической
задачи, например, по алгоритму Бесселя, который приведен в книге
В.П. Морозова [6]. Здесь приведем лишь частные производные азимута по
геодезическим координатам двух точек 1 и 2.
ЭЛ,2	Л/,
Э2?,	т
(дт)
ds
sin Al2;
3Atl /V, cos В,
—112-= —2	2-cos A,.;
dL,	m	21
dA]2 M2
	=	sin Aj,,
dB2 m
dA„ jV, cos B7
—,J- =	1	-cos A7..	(2.9.6)
dL2	m
В формулах (2.9.6):
M, N - главные радиусы кривизны в точках 1 и 2;
.V - длина геодезической линии;
т - приведенная длина геодезической линии.
3^1 ^	3^4» ч
Отметим, что в (2.9.6) ——  	.
bL2
Приведенная длина геодезической линии т вычисляется по формуле
42

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
2	\4
s ae	s
т - Rq sin — н	sin250cos,40 —
R0 6	а
(2.9.7)
где /?0 = V MN , В{), Ац - вычисляются в начальной точке геодезической линии.
При расстояниях до 600 км < 0,1а) приведенную длину
геодезической линии с точностью 1 мм можно вычислять по формулам
где - средний радиус кривизны в точке 1.
Производная приведенной длины геодезической линии вычисляется по
формуле
Геодезическим азимутам на эллипсоиде соответствуют дирекционные
углы на плоскости проекции Гаусса. Переход от геодезических азимутов к
дирекционным углам рассмотрен в разделе 4.1.
ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
3.1.	Геодезические системы координат
При решении задач геодезии применяются геоцентрические геодезические
и референцные геодезические системы координат. Кроме геодезических ■
систем используется звездная (инерциальная) система координат.
Геоцентрические геодезические системы и звездная система создаются
при соблюдении следующих условий:
-	начало математической системы пространственных прямоугольных
координат X, Y, Z совмещается с центром масс Земли;
-	ось OZ направлена к Условному земному полюсу, как определено
рекомендациями Международной службы вращения Земли (IERS);
-	плоскость XOZ параллельна плоскости начального астрономического
меридиана, установленного Международным Бюро Времени (BIH);
-	ось OY дополняет систему координат до правой.
К геоцентрическим геодезическим системам относятся:
-	ПЗ-90 (Параметры Земли 1990 года);
-	WGS-84 (World Geodetic System 1984 года);
-	ITRS (International Terrestrial Reference System).
s
m = R. sin —;
R,
(2.9.8)
s
= cos—
R,
(2.9.9)
43

А.П. Герасимов
Современной звездной системой является ICRS (International Celestial
Reference System).
Геоцентрические системы являются общеземными. Референцные
системы создаются на отдельные территории, например, на территорию
страны. В референцных системах начало математической системы координат
X, У. Z находится на некотором удалении от центра масс Земли, остальные
условия те же, что и для геоцентрических систем. Современная референцная
система России называется системой геодезических координат 1995 года. До
нее геодезические и картографические работы выполнялись в системе
геодезических координат 1942 года.
В геоцентрических системах координаты и модели гравитационного
поля Земли согласованы между собой. В системах ПЗ-90 и WGS-84 свои
модели ГПЗ.
В системах ПЗ-90 и WGS-84 параметры общеземных эллипсоидов
хотя и незначительно, но различаются между собой. Параметры эллипсоидов
в референцных системах координат могут существенно отличаться от
параметров общеземных эллипсоидов. Так. в референцной системе
координат Индии большая полуось эллипсоида Эвереста отличается от
большой полуоси общеземного эллипсоида WGS-84 примерно на 1000 м. В
системах СК-42 и СК-95 применяется эллипсоид Красовского.
Пересчет геодезических данных, в том числе и координат, из одной
геодезической системы в другую выполняется с параметрами связи этих
систем. При пересчетах учитывается разница параметров эллипсоидов.
Формулы пересчета приведены в разделе 3.3.
3.2.	Параметры связи геодезических систем
Для пересчета геодезических данных из одной геодезической системы
(из системы 1) в другую (в систему 2) применяются параметры связи этих
систем. К этим параметрам относятся:
АЛ”, ЛУ, AZ - линейные параметры связи;
(Ох , (Оу, со2 - угловые параметры связи;
т - масштабный параметр связи.
Для параметров связи назначаются формулы связи пространственных
прямоугольных координат, которые устанавливают системы отсчета
параметров. В настоящее время применяются следующие формулы пересчета
пространственных прямоугольных координат из системы 1 в систему 2:
X\ = Хх + АХ — (OyZx +	•
У2 =У} + AY + o)xZx - 0)zXx -l- mYx;
Z, = Z, + AZ - CDX Yx + £OyXx + mZx.	(3.2.1)
44

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
В соответствии с формулами (3.2.1) началом отсчета линейных и
угловых параметров является точка О, с координатами Хх = 0, У, = 0,
Z, = 0. В точке 02 с координатами Х2 = 0, У2 = 0, Z2 = 0 Хх — ДА',
Yx= AY, Z, = AZ. Угловые параметры	равны	углам	поворота в
точке Ох плоскостей ZOY и ZOX вокруг осей ОХ и OY по ходу часовой
стрелки, если смотреть на начало системы О, с положительного
направления каждой оси. Параметр й)2 равен углу поворота плоскости
XOY вокруг оси Z против хода часовой стрелки. Масштабный параметр т
соответствует формулам:
т = —	L; S2 =5.(l + m).	(3.2.2)
S,
где iSj, S2 - расстояния между точками в пространстве, соответствующие
координатам Хх, У,, Z, и Х2, Y2, Z2.
Параметры связи v в угловой мере равны координатам полюса
системы 2 относительно полюса системы 1. Параметр (02 равен углу между
плоскостями одноименных меридианов, в том числе начальных.
В современных геодезических системах угловые параметры связи не
превышают единиц секунд, а масштабный параметр меньше 10-6, поэтому
методические ошибки формул (3.2.1) не превышают 1-2 мм.
Рассмотрим 3 способа вычисления параметров связи:
-	первый способ - из совместного уравнивания координат в двух
системах;
-	второй способ - из уравнивания координат в одной системе с
координатами исходных пунктов в другой системе;
-	третий способ - из вычислений с разностями координат в двух
системах.
В первом способе уравниваемыми величинами считаются ранее
раздельно уравненные координаты X',	,	Z'	и	Х2, Y2 , Z, с их
ковариационными матрицами. Уравниваемыми параметрами являются
координаты Х}, У,, Z, в системе 1 и 7 параметров связи. Составляется 2
группы уравнений поправок по правилам параметрического способа
уравнивания. Если совместно уравниваются координаты п пунктов, то в
каждой фуппе будет 3п уравнений поправок.
Уравнения поправок второй группы имеют вид:
45

А.П. Герасимов
(3.2.3)
Весовая матрица уравнений поправок (3.2.3) размером ЗпхЗп
вычисляется с ковариационной матрицей координат, ранее уравненных в
системе 1.
Составляются уравнения поправок первой группы:
Весовая матрица уравнений поправок (3.2.4) вычисляется с
ковариационной матрицей координат, ранее уравненных в системе 2.
Уравнения поправок (3.2.3) и (3.2.4) решаются совместно по методу
наименьших квадратов. В общей системе уравнений поправок и,
соответственно, в системе нормальных уравнений будет (3п + 7)
неизвестных, 6п уравниваемых величин и, следовательно, (3п - 7)
избыточных уравниваемых величин.
В результате решения нормальных уравнений вычисляются уравненные
координаты Хг У,, Z, в системе 1, уравненные координаты Х2, У2, Z2 в
системе 2 и 7 параметров перехода от системы 1 к системе 2.
В соответствии с правилами первого способа были получены
параметры связи геодезических систем СК-95 и ПЗ-90 в результате
уравнивания 134 пунктов астрономо-геодезической сети совместно с
пунктами космической геодезической сети и доплеровской, геодезической
сети. Координаты уравненных 134 пунктов АГС задали геодезическую
систему СК-95. Уравненные координаты 25 пунктов КГС в дальнейшем не
использовались, так как ранее они были уравнены в составе всей КГС.
Основная идея второго способа состоит в том, что координаты пунктов
в системе 2 считаются исходными (твердыми) и поправок при уравнивании не
получают, т. е. в уравнениях (3.2.4) vX2 = vy2 = vZ2 =0. Уравниваемыми
параметрами являются координаты Xr У,, Z, и 7 параметров связи.
Детализация этой идеи применительно к методике уравнивания
высокоточной геодезической сети дана в разделе 6.5.
По третьему способу, т. е. из вычислений с разностями координат в
двух системах, были получены параметры связи геодезических систем ПЗ-90
и СК-42.
Х2 + vX2 = Х{ + АХ - 0)YZ] + 0)ZYX + тХх;
У2 + Vy2 = yj + AY + 0)xZi — Q)^X| + mYx;
Z2 + vz2 = Z\ + AZ - 0)XYX + 0)YXx + mZ{.
(3.2.4)
46

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Для координат Л',, У,, Z( в системе ПЗ-90 имелась ковариационная
матрица, а для координат Х2, У2, Z2 в СК-42 ее не было, поэтому
исключалась возможность получить параметры связи из совместного
уравнивания общих пунктов. Для общих пунктов в соответствии с формулами
(3.2.1) составлялись уравнения поправок с разностями координат:
(Х, — Хх) + Удд, = АХ - о)у Z, + сОуУх + тХх;
(У2 - Yx) + уду = ДУ + 0)XZX - 0)7Хх + mYx;
(Z2-Z,) + vaz =AZ-a>xYl+(q,Xl+mZl.	(3.2.5)
На основе уравнений поправок (3.2.5) составлялись и решались
нормальные уравнения по правилам параметрического способа уравнивания,
но при этом разности координат считались равноточными. В
действительности, ошибки координат пунктов КГС относительно центра масс
Земли были примерно одинаковыми на всей территории страны. Ошибки в
сетях триангуляции относительно начального пункта Пулково в восточной
части ГГС были во много раз больше ошибок в европейской части. Однако из-
за отсутствия ковариационной матрицы АГС нельзя было учесть это
обстоятельство и выполнить основное требование метода наименьших
квадратов. Третий метод вычисления параметров связи систем координат
является нестрогим.
3.3. Пересчет геодезических данных из одной геодезической
системы в другую
Пересчет геодезических данных из одной геодезической системы в
другую выполняется с параметрами связи этих систем (см. раздел 3.2). Для
геодезических данных, которые соответствуют эллипсоидальным или
геодезическим координатам, кроме параметров связи учитываются
параметры двух эллипсоидов.
Пересчет пространственных прямоугольных координат Хх, У,, Z,
системы 1 в координаты Хг , У2, Z2 системы 2 выполняется по формулам
(3.2.1). Формулам (3.2.1) соответствуют формулы пересчета всех других
геодезических данных. В приведенных ниже формулах параметры связи
являются параметрами перехода от системы 1 к системе 2.
3.3.1.	Разности пространственных прямоугольных координат
АХ2 = ДА', - a>rAZx + o)zAYx + тАХ{;
ДУ, = AYX + coxAZx - (OzAXx + mAYx;
47

А.П. Герасимов
AZ2 = AZ, - (OxAYl + 0)yAXx + mAZ{.	(3.3.1)
В формулах (3.3.1) разности координат АХГ А У,, AZ, и АХ2, А У,,
AZ2 двух пунктов в системах 1 и 2 соответствуют координатам двух пунктов I
и II в этих системах:
АХ2 = X" - Х\; АДГ, = X- Х{;
ау2 = у“ -у2': ау, = у;" - у;';
AZ2 = Z2 -z2; AZ, = Z," -Z,1.
(3.3.2)
3.3.2.	Эллипсоидальные и геодезические координаты
В2 = Вх + АВ; L2 = L, + AZ,; Н2 = Я, + АЯ .	(3.3.3)
Поправки AZ?, AL (в угловых секундах) и АН (в метрах) вычисляются
по формулам:
а=0,5(а, +а2), е2 = 0,5(<?2 + е\); Аа=а2 - а,; Ае = е2 - е2;
M=a(l - e2)(l - е sin2 я)'5 \N = a{\-e2 sin2 я)~°'5;
-	,	г	Л'2	4	*	2
АВ =  	г[—f sin В cos ВАа +
ЛГ )	Ае‘
+1 Nsin/fcosi?-
(М + Н) а
-(АХcosL + AYsinl)sin В + AZcosfi] - cdx sinL^l + e2 cos2Z?) +
+a)r cos L (l + e2 cos 2 В j - p"me2 sin В cos В;
AL =
(-AX sin L + AK cosZ,) +
(N + H)cosB
+tg£(l - e2^(ct)x cosL + 0)Y sinL) - (Oz;
AH -	Aa + Nsin25	+ (^008/, + AysinZ,)cosi? + AZsin#-
N	2
-Ne sin В cos В
0)v . r (Oy
(2 \
a
	sin L - —cos L
+
— +H
\P P J
(n )
m,
(3.3.4)
48

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
где а,, а2 - большие полуоси эллипсоидов в системах 1 и 2 соответственно;
2 2
et , е2 - квадраты эксцентриситетов эллипсоидов в системах 1 и 2
соответственно;
р" = 206264,8062.
Для вычисления поправок ДВ, AL, ДЯ выполняется две итерации. В
первой итерации принимают В = Вх, L = Lr Я = Я, и с полученными
поправками вычисляются предварительные значения В'г = Вх + ДВ,
L't = Li+ AL , Н'2= Н} + ДН . Во второй итерации поправки вычисляются
со средними значениями координат В = 0,5 (if, + Z, = (^(L, + L'),
Я = 0,5(Я, +Я').
3.3.3.	Расстояния
Пространственные расстояния, измеренные мерными лентами, свето- и
радиодальномерами, не зависят от геодезической системы координат.
Пространственные расстояния, получаемые по результатам
спутниковых измерений или вычисленные по координатам X, Y, Z двух точек,
в разных системах разные. Пространственные расстояния, в том числе мееду
центрами пунктов, не зависят от положения начала геодезической системы и
ориентировки координатных осей, поэтому при пересчетах учитывается
только масштабный параметр связи т:
S2 = S, (l+ /и).	(3.3.5)
Формуле (3.3.5) соответствует формула
5, = [ЬХ\ + ДК,2 + ДZ\ )°‘5,	(3.3.6)
в которой разности координат двух пунктов в системе 2 получаются путем
пересчета разностей ДЛГ,, ДУ,, ДZ, в системе 1 по формулам (3.3.1).
Длины геодезических линий, вычисленные по геодезическим
координатам В, L, на разных эллипсоидах разные. В этих случаях сначала
пересчитываются координаты В, L из системы 1 в систему 2 по формулам
(3.3.4), а затем с вычисленными координатами вычисляются длины
геодезических линий на эллипсоиде системы 2.
49

А.П. Герасимов
3.3.4.	Геодезические азимуты
А2 = Ах - (L, - L2 )sin —	-
(3.3.7)
Второй член в правой части этой формулы принято называть
сближением меридианов. В одной точке для всех направлений геодезической
линии он одинаковый.
Формула (3.3.7) является приближенной для двух систем координат с
угловыми параметрами связи. Для более точного вычисления геодезического
азимута А, необходимо пересчитать по формулам (3.3.3) во вторую систему
координаты В, L двух пунктов и по ним получить азимут из решения
обратной геодезической задачи.
3.3.5.	Высоты квазигеоида над эллипсоидом
Формулы и порядок вычисления поправки АН приведены в разделе
При использовании формулы (3.3.8) следует иметь в виду, что с
помощью зарубежных моделей ГПЗ вычисляются высоты не квазигеоида, а
геоида над эллипсоидом (см. разделы 2.4, 2.5).
3.3.6.	Составляющие уклонения отвесной линии
Формулы и порядок вычисления поправок АВ и AL приведены в
разделе 3.3.2.
3.3.7.	Горизонтальные направления
Измеренные горизонтальные направления Nu (см. раздел 2.7) связаны
с отвесной линией и являются проекциями пространственных направлений на
плоскость астрономического горизонта. Они не зависят от геодезической
системы координат.
Направления геодезических линий, т. е. горизонтальные направления
на поверхности эллипсоида, вычисляются по формуле
<г2=<г,+ан.
(3.3.8)
3.3.2.
(3.3.9)
N = Nu + (т/cos А - £sin A)ctgZ + ANH.
(3.3.10)
где Z - зенитное расстояние;
ANH - поправка за высоту наблюдаемого пункта.
50

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
В разных геодезических системах составляющие уклонения отвесной
линии £ 77 разные. Если требуется пересчитать горизонтальные
направления на эллипсоиде из одной геодезической системы в другую, то
используются формулы (3.3.10) и (3.3.9).
3.4.	Система координат 1942 года
Система координат 1942 года (СК-42) была введена постановлением
Совета Министров СССР от 7 апреля 1946 года № 760. Этим же
постановлением для системы СК-42 установлен эллипсоид Красовского.
Система СК-42 стала первой единой государственной геодезической
системой координат. До нее применялось несколько геодезических систем, в
том числе Пулковская, Ташкентская, Свободненская, Магаданская. В
качестве геодезических координат исходных пунктов в этих системах были
приняты астрономические координаты. Около Красноярска разность
плановых координат пунктов в Пулковской и Свободненской системах
составляла около 270 м по широте и 790 м по долготе [3]. В указанных
системах применялся эллипсоид Бесселя.
В системе СК-42 в качестве исходного пункта АГС принято Пулково
(центр круглого зала Пулковской астрономической обсерватории Академии
Наук СССР) [18]. Для Пулково на основе многолетних наблюдений Пулковской
обсерватории были получены астрономические координаты <р, Л. Для
территории тогдашней АГС 1 класса было вычислено среднее значение
составляющих уклонений отвесных линий Т] и с ними по формулам
В = <р- L = Л	—— получены следующие значения геодезических
cos В
координат [18]:
геодезическая широта Пулково В0 =59°46’18",55;
геодезическая долгота Пулково L0 =30°19'42",09.
Высота геоида над эллипсоидом Красовского в Пулково была принята
равной нулю (А0 = 0 м). Позже вместо высоты геоида была принята высота
квазигеоида над эллипсоидом Красовского в Пулково £”0 = 0 м.
Первоначально систему СК-42 задали уравненные координаты пунктов
блока «87 полигонов» триангуляции 1 класса. Уравнительные вычисления
были выполнены в соответствии с «Инструкцией по уравниванию астрономо¬
геодезической сети СССР» [18]. От пунктов 1 класса последовательно
уравнены пункты 2, 3. 4 классов.
51

А.П. Герасимов
Позже, по мере развития ГГС, были уравнены другие блоки, наиболее
крупными из которых являются блок «Север» и блок «Дальний Восток». При
уравнивании каждого нового блока за исходные принимались координаты
пунктов на границе с уже уравненными блоками.
С координатами пунктов всей ГГС создана карта высот квазигеоида над
эллипсоидом Красовского в системе СК-42 и получены параметры связи
систем координат СК-42 и ПЗ-90.
3.5.	Система координат 1995 года
Система координат 1995 года установлена постановлением
Правительства Российской Федерации от 28 июля 2000 года № 568 как
единая государственная система. Этим же постановлением кроме
референцной системы СК-95 установлена единая геоцентрическая система
координат «Параметры Земли 1990 года». Эти системы предназначены:
СК-95 - для использования при осуществлении геодезических и
картографических работ;
ПЗ-90 - для использования в целях геодезического обеспечения
орбитальных полетов и решения навигационных задач.
Плановые координаты и высота квазигеоида над эллипсоидом
Красовского в Пулково в системе СК-95 те же что в системе СК-42.
Система СК-95 получена в результате переуравнивания
государственной геодезической сети, которая включала следующие
построения:
-	астрономо-геодезические пункты космической геодезической сети
(АГП КГС);
-	доплеровскую геодезическую сеть, созданную по результатам
наблюдений ИСЗ системы Транзит;
-	астрономо-геодезическую сеть пунктов триангуляции и
полигонометрии 1, 2 классов;
-	геодезические сети сгущения 3 и 4 классов.
Первоначально были уравнены КГС, как глобальное геодезическое
построение, ДГС и АГС. На втором этапе выполнено совместное уравнивание
КГС, ДГС и АГС. В совместное уравнивание включены 26 АГП КГС,
расположенных в границах АГС, и 131 пункт ДГС. В результате совместного
уравнивания получены координаты 134 опорных пунктов ГГС и параметры
связи референцной системы с системой ПЗ-90. Точность пространственного
взаимного положения этих пунктов характеризуется средними
квадратическими ошибками 0,25-0,80 м при расстояниях от 500 до 9000 км
[20]. Опорные пункты задали новую референцную систему СК-95. Они
использовались как исходные при заключительном уравнивании всей АГС.
52

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
По результатам лереуравнивания ГГС составлены каталоги координат
пунктов триангуляции и полигонометрии 1-4 классов в государственной
системе СК-95.
На основе результатов астрономо-гравиметрического нивелирования с
учетом общего уравнивания АГС в ЦНИИГАиК составлена и в 1996 г. издана
«Карта высот квазигеоида над эллипсоидом Красовского» в системе СК-95.
Средние квадратические ошибки высот квазигеоида на большей части карты
не превосходят 1,0 м. Для наиболее удаленных от Пулково районов
(Камчатка, Чукотка) они возрастают до 1,5 м.
3.6.	Система координат ПЗ-90
Геоцентрическая система координат «Параметры Земли 1990 года»
(ПЗ-90) установлена постановлением Правительства Российской Федерации
от 28 июля 2000 года №568 для использования в целях геодезического
обеспечения орбитальных полетов и решения навигационных задач. В этой
системе выполняется геодезическое обеспечение глобальной навигационной
спутниковой системы ГЛОНАСС, поэтому вместе с системой WGS-84 она
широко используется при определении координат в системе СК-95, в том
числе и при создании спутниковых геодезических сетей.
Формирование в России геоцентрической системы координат по
наблюдениям спутников началось в 60-х годах прошлого столетия. В
середине 80-х годов была получена система параметров гравитационного
поля Земли по гравиметрическим, спутниковым и астрономо-геодезическим
данным. Решение координатной и гравитационной задач позволило
построить геоцентрическую систему координат с точностью положения
пунктов около 20 м, получить параметры ГТ13, обеспечивающие вычисление
высот квазигеоида над общеземным эллипсоидом с точностью 4 м, вывести
линейные параметры связи с системой СК-42 с точностью 3-5 м и впервые
получить угловые параметры связи с точностью 0.2".
В дальнейшем, по мере повышения точности измерительных систем и
совершенствования методов построения космической геодезической сети,
параметры Земли были уточнены. Координаты пунктов космической
геодезической сети были получены с точностью около 10 м. Было определено
значение большой полуоси общеземного эллипсоида, равное 6378136 м.
Параметры ОЗЭ, модели ГПЗ и параметры связи с системой СК-42
составили содержание «Параметров Земли 1985 года».
К концу 80-х годов была накоплена измерительная информация со
специального космического геодезического комплекса (КГК) Геоик. С
помощью этого комплекса выполнены доплеровские, дальномерные
траекторные наблюдения и альтиметрические измерения до морской
поверхности. С использованием этой информации выведена система
геодезических «Параметров Земли 1990 года».
53

А.П. Герасимов
Большой объем измерительной информации с КГК Геоик, полученной
после 1990 года, и высокоточные координатные определения на пунктах КГС
с использованием аппаратуры ГЛОНАСС/GPS позволили модернизировать
систему ПЗ-90 и получить версию 2002 г., которая называется ПЗ-90.02.
Уточненная версия государственной геоцентрической системы координат
«Параметры Земли 1990 года» принята распоряжением Правительства
Российской Федерации от 26.06.2007 г. №797-р.
Параметры Земли ПЗ-90 и их версия ПЗ-90.02 являются системой
взаимосогласованных параметров, в состав которых входят
фундаментальные геодезические постоянные, параметры общеземного
эллипсоида, параметры ГПЗ, геоцентрическая система координат и
параметры ее связи с другими системами координат. Параметры
общеземного эллипсоида в системе ПЗ-90.02 приведены в таблице .3.6.1.
Таблица 3.6.1
Параметры общеземного эллипсоида в ПЗ-90.02
Параметр
Обозначение
Единица
измерения
Значение
Большая полуось
a
м
6378136,0
Малая полуось
Ь
м
6356 751,36
Сжатие
a
-
1:298,25784
Квадрат
2
-
0,0066943678
эксцентриситета
€
Квадрат второго
/2
/7
-
0,0067394844
эксцентриситета
С
Кроме ПЗ-90 к геоцентрическим относятся Мировая геодезическая
система 1984 года (WGS-84) и Международная земная система координат
ITRS.
В системе ITRS определяются координаты пунктов международной
геодинамической сети. Пункты этой сети, расположенные на территории
России, показаны на рис.З. Из-за геодинамических процессов координаты
пунктов международной геодинамической сети меняются. Уравненные
координаты обычно характеризуют положения пунктов в конкретном году.
Систему ITRS конкретного каталога уравненных координат принято называть
ITRF с указанием года, например, ITRF-2000.
В модернизированной системе координат ПЗ-90.02 начало отсчета
долгот и линейный масштаб приближены к системе ITRS.
Параметры перехода в систему ПЗ-90.02 из других геодезических
систем представлены в таблице 3.6.2.
54

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Таблица 3.6.2
Параметры перехода в ПЗ-90.02
Из
системы
Д* м
Д Y. м
AZ, м
0)х,
сек
0)у,
сек
(о2,
сек
т • /О-6
СК-95
+24,83
-130,97
-81,74
0
0
-0,13
-0,22
ПЗ-90
-1.07
-0,03
+0,02
0
0
-0,13
-0,22
WGS-84
+0,03
+0,27
+0,92
0
0
+0,07
-0,10
ITRF-2000
+0,36
-0,08
-0,18
0
0
0
0
Формулы пересчета геодезических данных из систем, указанных в табл.
3.6.2,	в систему ПЗ-90.02 приведены в разделах 3.2 и 3.3.
Рис. 3
Пункты международной геодинамической сети
3.7.	Звездная система ICRS
С 1 января 1998 г. по решению Международного астрономического
союза применяется новая звездная система ICRS (International Celestial
Reference Sistem). Первой реализацией ICRS являлся каталог
внегалактических источников в ICRF (International Celestial Reference Frame).
55

А.П. Герасимов
Положения звезд, спутников и объектов местности в системе ICRS
задаются пространственными прямоугольными координатами X, Y, Z.
Считается, что координаты объектов местности X, Y, Z в системах ITRS и
ICRS одни и те же.
Положения звезд и спутников могут также задаваться экваториальными
координатами ОС (прямое восхождение), д (склонение). На моменты
наблюдений координаты звезд ОС, S в системе ICRS вычисляются от
стандартной эпохи J2000.0. Стандартной эпохой J2000.0 принято считать
гринвичскую дату 2000, январь 1,5, которая совпадает с юлианской датой
J02451545.0. Координаты звезд ОС, S на стандартную эпоху приводятся в
звездных каталогах, в том числе в фундаментальном каталоге FK6. Для
небесных тел координаты X, Y, Z могут вычисляться на моменты в разных
системах времени, включая барицентрическое динамическое время TDB и
земное динамическое время ТОТ. В геодезической астрономии при
вычислении координат звезд ОС, 8 обычно полагают ТОТ = TDB.
В системе ICRS положение точки весеннего равноденствия меняется.
Соответственно меняется и положение начального астрономического
меридиана. Чтобы согласовать системы ICRS и ITRS накладывается условие
о том, что плоскость начального геодезического меридиана параллельна
плоскости астрономического меридиана в стандартную эпоху J2000.0.
Благодаря этому условию не меняется положение начального геодезического
меридиана в системе ITRS и координатной плоскости XOZ в системах ITRS и
ICRS.
Положение среднего полюса в системе ICRS соответствует Условному
полюсу Земли в системе ITRS.
ГЛАВА 4. ПРОЕКЦИЯ ГАУССА
4.1.	Проекция Гаусса
При геодезических работах в Российской Федерации, в том числе при
построении геодезических сетей, используется проекция Гаусса с
элементами эллипсоида Красовского. Решение о применении проекции
Гаусса-Крюгера было принято в 1928 году на совещании Геодезического
комитета при Госплане СССР [3].
Проекция Гаусса является конформным изображением поверхности
эллипсоида Красовского на плоскости. Геодезическим координатам В, L на
эллипсоиде соответствуют плоские прямоугольные координаты х, у в
проекции Гаусса.
Плоские прямоугольные координаты х, у в проекции Гаусса зависят от
координатной сетки. К параметрам координатной сетки относятся:
56

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
,о
-	долгота осевого меридиана первой зоны L, ;
-	координаты условного начала х0, у0;
-	ширина координатной зоны ДL ;
-	масштаб на осевом меридиане т.
В зависимости от параметров координатной сетки применяются
различные названия проекции Гаусса:
-	проекция Гаусса-Крюгера с параметрами = 3°, *0 = 0. у0 =
500 км, AL = 6°, т=1;
-	проекция UTM с параметрами 1^ = 183°, х0 =0, у0 = 500 км,
AL = 6°, т =0,9996;
-	модифицированная проекция UTM в Египте и Сирии с параметрами
1±] = 25°30', х0 =0, у0 = 200 км, AL = 3° , т =0,99985;
-	трехфадусная проекция Гаусса в России с параметрами iff = 3°,
х0 =0, у() -0 км, AL = 3° , т=1;
-	проекция Гаусса с местными координатными сетками.
В российских проекциях Гаусса ось х направлена на север, ось у - на
восток. Координаты даются в последовательности х, у. В проекции UTM
координатные линии обозначаются как Е (easting) и N (northing). Ось Е
направлена на восток, ось N - на север, координаты даются в
последовательности Е, N.
При вычислениях в проекции Гаусса применяется два вида координат -
истинные координаты х', у' и условные координаты (или просто координаты)
х. у. Началом отсчета истинных координат, т. е. условным началом, где
х' = 0, у' = 0, является точка пересечения осевого меридиана с экватором.
Условные и истинные координаты связаны формулами:
х = х0 + х'\ у = у0+у'.	(4.1.1)
В российских проекциях Гаусса в значениях ординат обычно
указывается номер координатной зоны п. Тогда
х = х0 + х'; у = п ■ Ю6 + у0 + у'.	(4.1.2.)
Долгота осевого меридиана координатной зоны с номером п
вычисляется по формуле
57

А.П. Герасимов
(4.1.3)
Во всех российских проекциях Гаусса масштаб т в любой точке осевого
меридиана равен единице. В остальных точках он вычисляется по формулам:
где В , L - координаты точки.
С прямоугольными координатами точки масштаб вычисляется по
формуле
где у - истинная ордината точки;
R - средний радиус кривизны, вычисляемый по формуле (2.2.4).
В проекции Гаусса сближением меридианов называется угол между
изображением меридиана точки и ее координатной линией у . Сближение
меридианов у вычисляется по формуле
у - sin Bl + sin В cos2 в{\ + Ъе'2 cos' в)	v sin В cos* b[i - \.%в\—. (4.1.6)
V	/3	\	/,5
В проекции Гаусса геодезическая линия изображается в виде кривой, а
дирекционный угол вычисляется для отрезка прямой, соединяющей две
точки. Угол между изображением геодезической линии в точке и прямой,
соединяющей две точки, называется поправкой в направление геодезической
линии за кривизну ее изображения (редукцией направления). С учетом
редукции направления Sv вычисляется направление N‘2 на плоскости
проекции Гаусса по формуле
где N\2 - направление геодезической линии на эллипсоиде из точки 1 в точку 2.
В сетях триангуляции 3 класса редукция направления (в секундах дуги)
вычисляется по формулам:
(4.1.5)
*12 = ^12+^.2 •
(4.1.7)
в которых величины ут и Дг выражены в километрах.
58

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Редукция направления <?|2 и сближение меридианов J\ учитываются
при переходе от геодезического азимута А к дирекционному углу а по
формуле
Длины геодезических линий S пересчитываются в расстояния на
плоскости проекции Гаусса d с помощью следующих формул:
где у2 - ординаты точек (условные);
У\ ' У г ~ истинные ординаты;
у0 - ордината условного начала;
Вср - широта в средней точке геодезической линии (может
определяться по карте с ошибкой не более 10').
Обратный пересчет, т. е. вычисление длин геодезических линий,
выполняется по формулам:
В (4.1.11) величины ут, Ay, Rm вычисляются также, как в (4.1.10).
4.2.	Вычисление координат в проекции Гаусса по геодезическим
координатам
Формулы для вычисления координат в проекции Гаусса с масштабом,
равным единице, приведем для любого эллипсоида. При этом поставим
условие, что формулы должны обеспечивать вычисление координат с
ап = Ап-Г>+Яп-
(4.1.9)
Ут = °’5U + Уг) = У[ = У\ ~ Уо< У2 = Уг ~ Уо- Ьу = У2~Уг
R
(4.1.10)
s = d 1-
(4.1.11)
59

А.П. Герасимов
точностью 1 мм при удалении от осевого меридиана до 9°. т. е. в данной и
двух соседних шестиградусных зонах.
Вывод формул вычисления координат д:, у по геодезическим
координатам В, L приведен в работе [1]. Формулы в [1] получены на основе
методики, которая дана в работе [6]. В соответствии с этой методикой
истинные координаты х', у' представляют в виде рядов с долготой I:
х' = Х + а/ + а/ + а/ + а/ + ...;
у = V + Ь/ + Ь/ + Ь/ +...,	(4.2.1)
где X - длина дуги меридиана от экватора до параллели с широтой В
данной точки.
Слагаемые в (4.2.1) вычисляются по формулам:
b{l = /cos В (л, + п2 sin2 В + пу sin4 В + w4sin6 в);
а212 = Г sin 2в{кх + к2 sin2 В + къ sin4 В + к4 sin6 В);
63/3 = /3 cosB^5 - п6 sin2 В + п7 sin4 В - sin6 в);
аА14 = /4sin2B^Ar5 - Jt6sin2 В + к7 sin4 В - Jt„sin6 в);
А5/5 =/5cosB^w9 -/i10sin2B + wnsin4B-rt12sin6B);
а6/6 = /6 sin 2В^к9 - £10sin2 В + A,, sin4 В - кХ2 sin6 в);
67/7 = /7 cosb(h13 - nl4sin2 В + я,5 sin4 В - w16sin6 в);
а8/8 = /8 sin 2в{кп - ки sin2 В + кх5 sin4 В - кхь sin6 В).	(4.2.2)
Коэффициенты к, п в (4.2.2) вычисляются по формулам:
а
кх = —;
II
1 4
■
2
2
ае
ае
ОС
II
гм
">= 2 ;
Зав4
3 ае4
кз=	:
л, =
32
3 8
60

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
*4 =
*5 =
*6 =
=
к* =
к» =
'10
М2
‘IJ
Ъае
5 ае6
64
п* = :
16
о(5-е2)
а
48(l-e2)2
fl(l2 + 7e2+e4)
а( 4-е2)
96(l-e2)2
a(l6e2 + 5е4 )
4
ае
128(l-e2)2
”7"l6(l-e2)’
1ае
4
ае
192(l -е2)2
П% ~ 24(l -е2)'
а(б1 + 270е2)
а(б + 4е2 + 4е4 )
1440
”9_ 1 2\2 ’
120(l-е2)
a(360 + 2219e2)
а(56 + 83е2 +59е4)
2880
1 2 \2
240 (l — е}
а( 2 + 23<?2)
0(4+ 16е2 + 9е4 j
24
Я» 1 |
2o(l-e>f
Зае2
а(24е2 +11е4)
8
Wi ^ л I
48(l - е2)
211а
а(б1+ 231е2)
16128'
”'3 5040(l-e2) ’
(4.2.3)
61

А.П. Герасимов
*14 ~
*15 =
46
1211а
а^1324 + 5339е
13440’
П,А 10080(l-<?2)
91а
а(22 + 95е2)
672'
",5" 84(l-e2) ’
а
a(l2 + 55e2)
16 ’
"'‘ = 84(,-в=)
В формулу (4.2.1) входит X - длина дуги меридиана. Для любого
эллипсоида с ошибкой менее 1 мм ее можно вычислить по формуле [6]:
X = aQB - sin 25 (р, + p2sin2 В + /?3sin4ff).	(4.2.4)
В формуле (4.2.4)
Р\ =0.5(а° ~а°А + а°); а0 = o(l - е2)^;
°	8 О	О	/	2\	.
Рг=аА-~а(>> а2=а(1-е )А2]
8 о о /.	2\	.
Pi=^ab' а4=ау-е J4,:
a°6=a(l-e2)A6;
3	2	45 4	175 6	11025	,
А0 = 1 + -е2+—е +	е +	е\
4	64	256	16384
j	3 2	15 4	525 6	2205 8
/4, =— е +—е +	е н	е ;
4	16	512	2048
,	15 4	105	6	2205	8
А А — —е Н	с Н	6 ;
64	256	4096
35	6	315 8
А.	=	е +	е .	(4.2.5)
512	2048
62

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Для эллипсоида Красовского (а =6378245 м, е2 = 0,0066934216)
формулы для вычисления истинных координат х', у в проекции Гаусса
получим на основании (4.2.1 Н4.2.5):
г' = 6367558,49685 - sin 2tf(l 6002,89 + 66,9607 sin2 В + 0,3515sin4 s) +
+/2 sin 25^1594561,25 + 5336,535sin2 В + 26,790sin4 5+0,149sin6 fi) +
+/4 sin 2В (б72483,4 - 811219,9 sin2 Я + 5420,0sin4 В -10,6sin6 В) +
+/ft sin 2Д (278194 — 830174sin2 В + 572434sin4 В -1601 Osin6 tf) +
+/R sin 2fi(l09500 - 574700sin2 В + 863700sin4 В - 398600sin6 в);
у = /cosfi(6378245 + 21346,1415sin2 В + 107,159sin4 5+ 0,5977sin6 fi) +
+/3 cos В (l 070204,16-2136826,66sin ^2 В +17,98 sin4 В -11,99 sin6 fl) +
+/5 cos В (270806 - 1523417 sin2 В +1327645 sin4 В - 21701 sin6 в) +
+/7 cos В (79690 - 866190 sin2 В +1730360 sin4 В - 945460sin6 fl). (4.2.6)
В (4.2.6) долгота /, отсчитываемая от осевого меридиана, вычисляется
по формуле
l	= L-I?n.	(4.2.7)
г0
где Ln - долгота осевого меридиана координатной зоны с номером п.
Долгота осевого меридиана зоны, в которой должны быть получены
координаты х, у, вычисляется по формуле
1?п = ll\ + Д£,(л- l),	(4.2.8)
/°
где L, - долгота осевого меридиана первой зоны;
AL - ширина координатной зоны.
Номер зоны, в которой должны быть вычислены координаты х, у,
задается или вычисляется для ближайшего осевого меридиана по формуле
п = Е
L-L°.+ 1,5AL
ЛL
где Е[...] - целая часть числа в скобках.
63
(4.2.9)

А.П. Герасимов
Формулу (4.2.9) нельзя применять при долготе L = 360°, т. е. должно
выполняться условие 0° < Z.<360°. Если точка находится на раздельном
меридиане, то по формуле (4.2.9) вычисляется номер зоны, которая
расположена к востоку от раздельного меридиана. Если координаты х, у
такой точки надо вычислить в зоне, расположенной к западу от раздельного
меридиана, то номер п западной зоны следует указать в исходных данных.
Номер зоны необходимо указывать в исходных данных и тогда, когда
координаты х, у вычисляются не в зоне ближайшего осевого меридиана, а в
другой зоне.
С истинными координатами х', у' (4.2.6) координаты х, у в проекции
Гаусса вычисляются по формулам:
х = дг0 + х'; у = п ■ 106 + у() + у ,	(4.2.10)
где п - номер зоны проекции Гаусса;
х0, у0 - координаты условного начала счета истинных координат.
В формулах (4.2.6) координаты В и / выражены в радианах.
4.3.	Вычисление геодезических координат по координатам в
проекции Гаусса
Формулы для вычисления геодезических координат В, L на любом
эллипсоиде с точностью, соответствующей 1 мм в прямоугольных
координатах х, у проекции Гаусса, приведем для удалений от осевого
меридиана до 9°. Подробный вывод формул дан в работе [1] на основе
методики В.П. Морозова [6]. В соответствии с этой методикой широту В и
долготу /, которая отсчитывается от осевого меридиана, выражают в виде
рядов с истинной ординатой у':
В = В0 + А2у'2 + Л4у'4 + Л6 у'6 + А^у* +...;
/ = Вху’ + Въу,3 + В5у,$ + В1у'1 + В9у'9 + ....	(4.3.1)
Напишем выражения для слагаемых в (4.3.1):
А2у'2 = -Z\ sin 2В0 (л,' - к2 sin2 В0 + к'у sin4 В0 j;
ЛлуА = z\ sin 2В0	- к'ь sin2 В0 + к'ь sin4 В0 - к' sin6 В0 j;
4<УЬ = -Z„ sin 2В0 (/t' - к’ч sin2 В0 + к'0 sin4 В0 - к'и sin6 Вп);
64

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
А^у'* = Z* sin 2В0 - к'} sin2 В0 + к'н sin4 В0 - k'l5 sin6	В0 );
Bty' = Z0 (l - «'sin2 B0 - n'2 sin4 B0 - n\ sin6 B0j;
B3y'3 = -Z\ [n'A + n\ sin2 BQ - rib sin4 B0 - n'7 sin6 B0 j;
Bs y'5 = Z0 (n8 + n9 sin2 B0 + n'w sin4 B0 — л,'| sill6 B0);
я7/7 = -z07 [n[2 + n[з sin2 B0 + n'l4 sin4 B0 - n'5 sin6 fi0);
B4y'9 = Z\ (л,'6 + rixl sin2 B0 + л,'8 sin4 B0 + n']9 sin6 BQ j.	(4.3.2)
Выражения для коэффициентов к', n в (4.3.2) имеют следующий вид:
1	,_1 2
= 4(l - е2У	Я, = 2е:
2	,
/ /	^	/	■	4
4	I
L' _	^	 .	/	!_	6
ч —	/	■>	\	•	^	I
■	4(1 - е)	16
,	5	+	6е2	+	Зе4	1
*4=			;	<	=
48
1 + 14е + \ 5е	,	2-9е2
Ks 		:	"5	=
24	5
,	8е2+31е4	,	4е2-39е4
48(l-e2) '
Зе4
3 •	"7"^(гЬ):
г -2<?4 •	'	3<?4
*7 - —;	Пп =
65

А.П. Герасимов
61 + 107е2	,	5	+	6е2	+	Зе4
К =
к' =
к’ =
к' =
к' =
к' =
пв =
Я	*	'Я
1440	120
16	+ ЗЗЗе2	.	192	-	240е2	-	123е4
па =
9	*	9
720	1280
,	2	+	87е2	,	32-1376<?2 + 609е4
к\о	•	".о
180	3840
17е2	,	е2-69е4
11 * 11
90	240
п,, =	;
240
2
277 -1108е	.	61	+	46<?
16128	'	”'2	5040(l-e2)'
29 — 116е2	.	958 - 1361е2
4480	'	”'3	10080(l-e2)’
41 — 164е2	,	358	-	4395е2
14	3360	’	”'4	10080(l-e2)’
17	- 68е2	,	815е2	-	2
5040	'	”'5	10080(l-<?2)'
п'ь = 0,0038;
я'7 =0,0524;
18270-113789е2
Л!8 =
362880
,	1636	-	72123е2
п9=	.	(4.3.3)
362880
В формуле (4.3.1) В0 - это широта точки, у которой абсцисса равна
абсциссе х' данной точки, а ордината равна нулю. Широту В0 для любого
эллипсоида с ошибкой, соответствующей величине менее 1 мм, можно
вычислить по формуле
66

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
В0 = /3+ sin 2/?(р[ — р'2 sin2 f}+ р\ sin4 .	(4.3.4)
Величины, которые входят в (4.3.4), вычисляются по формулам:
/
«О
/	Л	3	2	45	4	175	6	11025	„
а0 = all — е~)А0; А. = 1 ч—е ч	е Н	е н	е ;
0	v	}	0	^	4	64	256	16384
1	А	1	Л,Л4	\	а1	3	,	15 4	525 6	2205	8
о, =		 +	Чг-	7; /4, = —е~ + —е +	е +	е ;
2	2 А0	8	А%	16	А]	‘	4	16	512	2048
2	,	15 4	105	6	2205	8
; А, =—е +	е +	е ;
64	256	4096
Ял
* ^Г°
1
II
+ \
4 А\
Аь
3 а2а4
Чь
6 А0
8 А02
3А\	л 35 6	315	8
+	Чг\ Аь =	е +	е ;
16Л03	512	2048
Р[ = Я2 +2?4+3<?6:
p'2=4qA + \6qb\
Р; = I6q6.	(4.3.5)
Величина Z0, которая входит в формулы (4.3.2), вычисляется по
формуле
/
ZQ = ——	.	(4.3.6)
a cos В0
Для эллипсоида Красовского формулы для вычисления геодезических
координат получим на основании формул (4.2.7)-(4.2.8) и (4.3.1 Н4.3.6).
х' = х - х0 , у' = у - п \0Ь - у0 ]
/
X
/? =	; ZQ =	:	;
6367558,4968	6378245	cos	В0
B(i = /? + sin 2/7^0,00252588685 - 0.00001491860 sin'/?+ 0,00000011904sinV);
67

А.П. Герасимов
В = В0- z\ sin 2Ва (о,251684631 - 0,003369263sin: Ва + 0,000011276sin' +
+Z„4 sin 2B0 (о,10500614 - 0.045599165^ В0 + 0,00228901 sin' Ва - 0,00002987sin* I
-Z* sin 2Bn (o,042858 - 0,025318sin2 B0 + 0,014346sin4 Ba - 0,00l264sin* Д0) +
+Z* sin 2B0 (o,01672 - 0,00630sin2	+ 0,01188sin" B0 - О.ООЗгввт*’ S„);
/ = Z0( 1 - 0,0033467108sin1 BQ - 0,0000056002sin4 B0 - 0,0000000187sin* fij -
-z\ (o, 16778975 + 0,16273586sin2 B0 - 0,00052490sin4 B0 - 0,00000846sin* £„) +
+Z\ (o,0420025 + 0,1487407sin2 Ba + 0,0059420sin4 B0 - 0,0000150sin* B0) -
-Z\ (o,01225 + 0,09477 sin2 B0 + 0,03282sin4 B0 - 0,00034sin*	+
+Zl (0,0038 + 0,0524sin2 Вл + 0,0482sin4 Bn + 0.0032sin* Вл) .
0 \	о	о	0	/
L = L°a+l.	(4.3.7)
Координаты В, L по формулам (4.3.7) вычисляются в радианах.
Долгота осевого меридиана 1?п зоны, в которой даны координаты х, у,
вычисляется по формуле (4.2.8), а номер зоны - по формуле
л = е[.у10"6],	(4.3.8)
где Е [...] - целая часть числа, стоящего в скобках.
4.4.	Проекция Гаусса-Крюгера
В проекции Гаусса-Крюгера решаются многие задачи геодезии и
картографии. В этой проекции составляются каталоги координат пунктов
государственной геодезической сети и топографические карты и планы
масштабов от 1:500 до 1:1 000 000. При создании крупномасштабных карт и
планов применяется также проекция Гаусса с местными координатными
сетками.
Проекция Гаусса-Крюгера применяется на всей территории Земли от
экватора до 84° северной и	южной	широты.	Вся	Земля	разделена на	60
шестиградусных координатных	зон	(Д/. =	6°)	с	номерами	от 1 до	60
68

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
(п = 1 - 60). Долгота осевого меридиана зоны с номером 1 (п = l) равна 3°
= 3° ) . Долготы остальных осевых меридианов вычисляются по формуле
/°п=30 + 6°(Л-1).	(4.4.1)
Истинные координаты х\у' в проекции Гаусса-Крюгера вычисляются
по формулам (4.2.6)-(4.2.9). Координаты х, у (условные координаты)
вычисляются по формулам:
х = х'; у = у' + (lOw + 5)l05.	(4.4.2)
Пересчет плоских прямоугольных координат дг. у в геодезические
координаты В, L выполняется по формулам (4.3.7), в которых Jo = О,
V» = 5 105 м.
Система разграфки и номенклатур листов топографических карт и
планов установлена «Основными положениями» [22] и [23]. Система
разграфки определяет размеры рамок листов и координаты углов рамок. При
географической разграфке размеры рамок листов задаются в угловой мере,
при прямоугольной - в километрах.
В соответствии с «Основными положениями» [22] размеры рамок
листов карты масштаба 1:1 ООО ООО составляют 4° по меридиану и 6° по
параллели. Координаты углов рамок кратны 4° по широте и 6° по долготе, что
соответствует границам координатных зон проекции Гаусса-Крюгера.
Номенклатура листа масштаба 1:1 ООО ООО состоит из номера пояса и
номера колонны (например, N-36). Пояса обозначаются буквами латинского
алфавита от А до U, начиная от экватора до параллели 84° северной и южной
широты. Номера колонн отсчитываются от меридиана с долготой 180° к востоку.
Лист карты масштаба 1:1 ООО ООО делится на 4 листа масштаба
1:500 000, на 36 листов масштаба 1:200 000 и на 144 листа масштаба
1:100 000.
К номенклатуре листа масштаба 1:1 000 000 добавляются буквы А, Б,
В, Г для получения номенклатуры листа 1:500 000 (например, N-36-A),
римские цифры от I до XXXVI для номенклатуры масштаба 1:200 000
(например, N-36-XXII) и арабские цифры от 1 до 144 для номенклатуры
листа масштаба 1:100 000 (например, N-36-12). Лист карты масштаба
1:100 000 положен в основу разграфки и номенклатур карт более крупного
масштаба. Лист масштаба 1:100 000 делится на 4 листа масштаба 1:50 000,
которые обозначаются буквами А, Б, В, Г (например, N-36-12~r). Лист
масштаба 1:50 000 содержит 4 листа масштаба 1:25 000, которые
обозначаются буквами а, б, в, г (например, N-36-12-P-B). Лист масштаба
1:25 000 делится на 4 листа масштаба 1:10 000. Эти листы обозначаются
цифрами от 1 до 4 (например, N-36-12-r-B-3).
69

А.П. Герасимов
На территории, ограниченные параллелями 60° и 76° широты, издаются
сдвоенные по долготе листы карт, а в пределах широт от 76° до 84° -
счетверенные, за исключением карт масштаба 1:200 ООО, листы которых
издаются строенными.
Компоновка сдвоенных листов карт производится в пределах размеров
по долготе одинарного листа карты более мелкого масштаба, а компоновка
счетверенных - в пределах размеров по долготе сдвоенного листа.
Строенные листы карты масштаба 1:200 000 компонуются в пределах листа
карты масштаба 1:500 000.
Номенклатуры сдвоенных, строенных и счетверенных листов содержат
обозначения всех отдельных листов. Например, номенклатуры листов
топографических карт для северного полушария будут иметь вид:
1:1 000 000	N-36	Р-^7,48	Т-45.46.47.48
1:500 000	N-36-A	Р-47-А.Б	Т-45-А.Б.46-А.Б
1:200 000	N-36-XXII	Р—47-l.ll	Т—47-l.ll.lll
1:100 000	N-36-12	Р-47-9,10	Т-47-133,134,135,136
1:50 000	N-36-12-Г	Р^17-9-А,Б	Т-47-1 ЗЗ-А.Б, 134-А.Б
1:25 000	N-36-12-P-B	Р^7-Э-А-а,б	Т-47-12-А-а,б,Б-а,б
1:10 000	N-36-12-Г-в-3	Р-47-9-А-а-1,2 Т-47-12-А-а-1,2,6-1,2
Для топографических планов масштабов 1:5000 и 1:2000 применяется
прямоугольная и географическая разграфки. Планы масштабов 1:1000 и
1:500 составляются в прямоугольной разграфке.
В соответствии с «Основными положениями» [23] за основу
географической разграфки планов масштаба 1:5000 принимаются листы
карты масштаба 1:100 000 (см. рис. 4). Лист масштаба 1:100 000 делится на
256 частей (16 поясов и 16 колонн). Размеры рамок составляют 1'15~ по
широте и 1'52,5" по долготе. На районы, ограниченные параллелями 60° и
76 , на 256 частей делится сдвоенный по долготе лист карты масштаба
1:100 000, а в пределах широт 76-84° счетверенный.
Для получения географической разграфки листов масштаба 1:2000
лист 1:5000 делится на 9 частей (см. рис. 4). В широтах до 60° размеры рамок
листа 1:2000 составляют 25" по широте и 37,5" по долготе.
При прямоугольной разграфке за основу принимается лист масштаба
1:5000 с размерами рамки 40x40 см. Рамками листов масштаба 1:5000
являются четные километровые линии координатной сетки проекции Гаусса-
Крюгера. Размеры рамок листов для остальных масштабов составляют
50x50 см. Каждый лист делится на 4 листа более крупного масштаба.
Номенклатура листа 1:5000 в географической разграфке состоит из
номенклатуры листа 1:100 000 (например, N-36-12) и арабской цифры в
скобках, например, N-36-12-{124) (рис. 4).
Номенклатура листа 1:2000 состоит из номенклатуры листа 1:5000 и
одной из девяти строчных букв русского алфавита от а до и (рис. 4).
70

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
4.5.	Местные системы координат
Местной системой координат принято называть систему плоских
прямоугольных координат в проекции Гаусса с местной координатной сеткой.
Местные системы создаются в государственной системе геодезических
координат в проекции Гаусса с элементами эллипсоида Красовского. Термин
«местные системы координат» не	относится к	пространственным
прямоугольным координатам X,	Y, Z и	к	геодезическим	координатам В, L.
Для точки с координатами В, L	плоские	прямоугольные	координаты х, у в
проекции Гаусса-Крюгера и	хи, уи	в проекции Гаусса с местной
координатной сеткой разные.
Планы масштаба 1:5000
17-39-18-(124)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
19
21
23
25
27
29
32
33
36
38
40
42
44
46
48
49
51
55
59
61
64
65
68
72
76
78
80
81
83
89
93
96
97
100
102
104
106
108
110
112
113
115
117
119
121
124
126
128
129
130
134
140
144
145
147
151
159
160
161
164
168
172
176
177
179
182
186
190
192
193
196
200
205
208
209
211
215
218
222
224
225
228
230
232
234
236
238
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
71

А.П. Герасимов
Планы масштаба 1:2000
17-39-18Ц124-в)
а
б
в
е
г
Д
ж
3
и
Рис. 4
Географи чес кая разграфка
На картах и планах, составленных в местных системах плоских
прямоугольных координат, применяется Балтийская система высот 1977 года.
В некоторых местных системах установлено свое (местное) начало отсчета
высот.
К параметрам местной координатной сетки проекции Гаусса относятся:
,о
-	долгота осевого меридиана первой координатной зоны L,;
-	координаты условного начала счета истинных координат х0, у0;
-	ширина координатной зоны AL.
С помощью этих параметров осуществляется переход от местных
координат хи, у%1 к геодезическим координатам В, L и координатам х, у в
проекции Гаусса-Крюгера. Параметры ,т0, >'0 называются ключами
местной системы координат.
Первые местные системы плоских прямоугольных координат появились
в городах. Именно в городах в первую очередь потребовалось составлять и
применять крупномасштабные карты и планы. При создании таких карт
имелось в виду, что, чем меньше масштаб отличается от единицы, тем легче
работать с ними. Из-за этого стали переходить от осевых меридианов
проекции Гаусса-Крюгера к местным осевым меридианам, которые проходят
через центральную часть города. В дальнейшем такие местные системы
будем называть местными системами с постоянными коэффициентами (см.
раздел 4.6). Формулы, которые применяются в таких системах, обеспечивают
необходимую точность пересчетов координат лишь при незначительных
удалениях от местного осевого меридиана. В городах применялись и другие
местные системы, например, система координат 1963 года.
Система координат 1963 года в виде отдельных блоков была
разработана на всю территорию бывшего СССР. Каждый блок является
самостоятельной местной системой плоских прямоугольных координат и
покрывает территорию нескольких субъектов РФ.
72

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
На основе системы 1963 года были разработаны местные системы
координат субъектов Российской Федерации. Эти системы и блоки системы
СК-63 созданы в государственной геодезической системе СК-42.
При геодезических и топографических работах применяется также
система плоских прямоугольных координат в трехградусной проекции Гаусса.
Параметры координатной сетки этой системы приведены в разделе 4.1.
Указанная система плоских прямоугольных координат не относится к
местным системам координат.
Для местных систем плоских прямоугольных координат
устанавливаются их названия. Для названий местных систем субъектов РФ
назначены номера (числа). Например, местная система координат
Московской области называется «Местная система координат-50» или
МСК-50. Блоки системы координат 1963 года обозначаются латинскими
буквами, например, «Система координат 1963 г. Блок V».
В местных системах координат долгота осевого меридиана зоны с
номером п вычисляется по формуле
AL - ширина координатной зоны.
Истинные координаты х', у' в проекции Гаусса с местной
координатной сеткой вычисляются по формулам (4.2.6)-(4.2.9). Координаты
х , v вычисляются по формулам:
Пересчет плоских прямоугольных координат	в геодезические
координаты В, L выполняется по формулам (4.3.7), в которых дг = лги,
Географическая разграфка карт в местных системах и в проекции
Гаусса-Крюгера разные, но размеры рамок по широте и долготе одинаковые.
За основу местной географической разграфки карты масштаба 1:100 ООО
принята разграфка карты того же масштаба в проекции Гаусса-Крюгера.
Координаты В, L углов рамок карт в проекции Гаусса с местной
координатной сеткой вычисляются по формулам:
где В, L - координаты углов рамки карты масштаба 1:100 ООО в проекции
Гаусса-Крюгера;
АВ. AL - ключи местной географической разграфки.
(4.5.1)
(4.5.2)
Вх> = В + АВ; Lu = L + AL,
(4.5.3)
73

А.П. Герасимов
Ключи местной географической разграфки назначаются для каждой
местной системы координат.
Местная географическая разграфка карт масштабов 1:10 ООО, 1:25 ООО,
1:50 ООО и планов масштабов 1:5000, 1:2000 соответствует местной
разграфке карты масштаба 1:100 000.
При прямоугольной разграфке, так же как в проекции Гаусса-Крюгера,
за основу принимается лист масштаба 1:5000 с размерами рамки 40x40 см.
Рамками листов масштаба 1:5000 являются четные километровые линии
местной координатной сетки.
Номенклатура листа масштаба 1:100 000 состоит из числа (номера) или
буквы, которые входят в название местной системы координат, номера пояса
и номера колонны. Например, 50-47-80 или V-47-80, где 47 - номер пояса,
80- номер колонны.
Номера поясов и колонн установлены для всех систем субъектов РФ и
блоков системы координат 1963 г. Номера поясов возрастают с юга на север,
номера колонн - с запада на восток. Для связи местных номеров поясов и
колонн с номерами трапеций в проекции Гаусса-Крюгера для каждой местной
системы координат назначены соответствующие номенклатуры, т. е.
номенклатура Гаусса-Крюгера листа масштаба 1:100 000 и местная
номенклатура. Например, N-36-68 и 50-42-76. Эти две номенклатуры
называются ключевыми. С помощью назначенных соответствующих
ключевых номенклатур могут вычисляться остальные соответствующие
номенклатуры. Методика вычислений приведена в разделе 4.8. Так в
соответствии с этой методикой ключевым номенклатурам N-36-68 и 50-42-76
соответствуют, например, номенклатуры N-36-12 и 50-47-80.
По аналогии со сборными таблицами проекции Гаусса-Крюгера могут
составляться сборные таблицы в местных системах (рис. 5).
Местной номенклатуре листа масштаба 1:100 000 соответствуют
местные номенклатуры листов 1:50 000- 1:10 000. Например, 50-47-80-Б,
50—47-80-Б-б и 50—47-80-Б-6-4.
Номенклатура листа 1:5000 в географической разграфке состоит из
номенклатуры листа 1:100 000 (например, 50-47-80) и арабской цифры в
скобках, например, 50—47-80-(124).
Номенклатура листа 1:2000, как и в проекции Гаусса-Крюгера, состоит
из номенклатуры листа 1:5000 и одной из девяти строчных букв русского
алфавита от а до и.
В прямоугольной разграфке номенклатуру листа 1:5000 составляют
номер (число) или буква, которые входят в название местной системы
координат, номер зоны, номер пояса и номер колонны. Например, 17-1-201-
198, где 17 - число из названия МСК-17, 1 - первая зона, 201 - номер пояса,
198 - номер колонны (рис. 6).
74

Сборная таблица карты масштаба 1:100000
Субъдгг РФ • Иосюкия Область. Местная система ■оовдииет
СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
У
* *
и.Л.
1
\
1
Шатура
О
V
1
\
* V
	N—
/'
\
/
|
г
&
J8
’ *4
1
. J
Л
У
1
О
Л
О
* -X.
/
/
2
У
D
1
/'
t
i
*'
г
•L.c
1
lo
£
*
¥
1.ч
1
/
в ^
•\
1
X
S
§
£
/
\
U
\
)
у
1о
\
г •
\
\
i
1
S
«О
О
ч
/
i
/
2
о
£
^-Эо
1
J
\

1.
N
•ч. _
'7'"'
У
50-41-79
8
3
9
<
S*
3
3
CM
4t
5
Рис. 5
Сборная таблица карты масштаба 1:100 ООО
75

А.П. Герасимов
Номера поясов и колонн листов 1:5000 нумеруются в пределах каждой
зоны. Номер пояса равен половине значения хц южной рамки листа в
километрах, а номер колонны - половине значения у западной рамки без
номера зоны. Номенклатура листа масштаба 1:5000, на котором находится
любая точка с координатами ,у„, определяется исходя из того, что номер
пояса равен целой части значения 0,5 xv в километрах, а номер колонны -
целой части значения 0,5 у (где у и - без номера зоны). Например, точка с
координатами хм = 402525 м, уи = 1397162 м находится на листе
17-1-201-198 (рис. 6).
Номенклатура листа масштаба 1:2000 получается добавлением к
номенклатуре листа 1:5000 одной из первых четырех прописных букв
русского алфавита - А, Б. В, Г, например, 17-1-201-198-Б (рис. 6).
Номенклатура листа масштаба 1:1000 складывается из номенклатуры
листа 1:2000 и римской (I, II, III, IV) цифры, например, 17-1-201-198-Б-11
(рис. 6).
Более подробная информация о местных системах координат дана в
книге [2].
4.6.	Местные системы координат с постоянными
коэффициентами
Местные системы координат с постоянными коэффициентами
создавались на сравнительно небольших территориях, в том числе и в
городах. В таких системах ключи связаны с координатами Вм, LM одного из
пунктов государственной геодезической сети. Этот пункт называется
начальным пунктом местной системы. Начальный пункт обычно
располагается в средней части территории.
Ключами местной системы с постоянными коэффициентами является
гауссово сближение меридианов у на начальном пункте и его плоские
прямоугольные координаты Х0, Y0 в государственной системе. Обычно
вместо у даются значения sin у и cos у.
76

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
17-1*201*198 (1:5000)
>
2 км
< V
203
2 км
202
Л
201
196
197
198
199
200
201
202
203
199
198
197
17*1 *201-198-Б (1:2000)	17-1-201-198-Б-11 (1:1000)
А
Б
В
Г
Рис. 6
Прямоугольная разграфка с размерами рамок 40x40 см для масштаба
1:5000 и 50x50 см для масштабов 1:2000 и 1:1000
Гауссово сближение меридианов с ошибкой менее 0,001" может
вычисляться по формулам (4.1.6):
1-1 - /0 -
у = sin BJ + sin cos2 В, (1 + Зе'2 cos2 £ )—Н
"	Н	Г1	\	3
+ sin Вн cos4 Вн ^2 - tg2Вн j—,	(4.6.1)
г о
где Ln - долгота осевого меридиана зоны п проекции Гаусса-Крюгера, в
которой находится начальный пункт местной системы;
77

А.П. Герасимов
В", LH - координаты начального пункта;
е~ = 0.0067385254.
Вычисление ключа у с высокой точностью не является обязательным
условием местных систем с постоянными коэффициентами. В некоторых из
них его вычисляли по формуле
Y	= lsmBH	(4.6.2)
или как разность дирекционных углов стороны АВ по формуле
У = {°^АВ ~ ^.АВ ) ~~{алв — ^ЛВ ) ’	(4.6.3)
где алв, Ылв - дирекционные углы стороны АВ соответственно в
государственной и местной системах координат;
SiB,	- поправки за кривизну изображения геодезической линии в
государственной и местной системах.
Ключи Xq,Y0, т. е. плоские прямоугольные координаты начального
пункта в государственной системе, вычисляются по его геодезическим
координатам BH,LH.
Для начального пункта обычно местные плоские прямоугольные
координаты принимаются равными нулю (хн = 0, ун - 0). В связи с этим
местные координаты xv, у могут быть положительными и отрицательными.
В местных системах, где широта больше 45° и применяется Балтийская
система высот [11], постоянные коэффициенты вычисляются по формулам:
Г0/=Г0-(10/7 + 5)105; a = b = \; c = f = ^j,	(4.6.4)
2	Rt	R:	2	R.
н
где RH - средний радиус кривизны в точке с координатами Вн, LH .
Пересчет координат из государственной системы в местную
выполняется по формулам:
Дг' = х-*0; Д/ = ^-К0;
Ах = Ах' - (bAy' + а) Ах'; Ау = Ду - (сА/ + а)Ау' + /Ах2;
Ау + х„ sin у
хи = Ах cosy- Ay sin/; уи =	:	.	(4.6.5)
cos у
Пересчет координат из местной системы в государственную
производится по формулам:
78

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
дг' = хм cos у + у и sin у; у = у м cos у - хм sin у,
х = Х0+ (•*„ COS У+Ум sin у) + (by + а)х ;
•У =	+ (Ум cos У ~ хм sin у) + (су' + а)у' ~ fc'2 ■	(4.6.6)
При переводе местных систем с постоянными коэффициентами в
новую государственную систему координат (см. раздел 4.9) вычисляются
новые ключи х0, у0 из решения нормальных уравнений. Для получения
предварительных значений ключей, необходимых для составления
нормальных уравнений, следует принять х% = Х0, у£ = У0. Долготы осевых
меридианов не меняются, они вычисляются по формулам:
У
у = arcs in у : Г =	;
sin5„
,,э	I*5
1 = 1'- cos2 Вн (l + Зе'2 cos2 Вм- cos4 Ви {l - 1%ВМ)—;
= L°n +1.	(4.6.7)
Как отмечалось, сближение меридианов у определяется приближенно,
поэтому вычисленный ключ будет лишь приближенно равен долготе
начального пункта LH. После приведения местных систем в новую
государственную систему координат в них не будет постоянных
коэффициентов, а будут применяться общие формулы (4.2.6), (4.2.7), (4.5.2) и
(4.3.7), по поводу которых сказано в разделе 4.5.
При вычислении осевого меридиана следует иметь в виду, что во
многих местных системах с постоянными коэффициентами вместо сближения
меридианов у используется «угол поворота осей», который также
обозначается буквой у. Они равны по абсолютной величине, но имеют
противоположные знаки.
4.7.	Пересчет координат в проекции Гаусса
При решении практических задач с использованием проекции Гаусса
приходится выполнять 4 вида пересчетов плоских прямоугольных координат:
-	пересчет координат из проекции Гаусса-Крюгера в проекцию Гаусса с
местной координатной сеткой;
79

А.П. Герасимов
-	пересчет координат из проекции Гаусса с местной координатной
сеткой в проекцию Гаусса-Крюгера;
-	пересчет координат из зоны в зону;
-	пересчет координат из одной местной системы в другую.
Плоские прямоугольные координаты х, у в проекции Г аусса-Крюгера и
*«' Ум в проекции Гаусса с местной координатной сеткой однозначно
соответствуют геодезическим координатам В, L в государственной
геодезической системе. Это соответствие устанавливается с помощью
ключей. На этом положении основаны все 4 вида пересчетов плоских
прямоугольных координат.
При пересчете координат из проекции Гаусса-Крюгера в проекцию
Гаусса с местной координатной сеткой исходными данными являются:
х, у - координаты точки в проекции Гаусса-Крюгера;
L,, jc0 , у0 - ключи местной системы;
AL - ширина координатной зоны в местной системе.
В составе исходных данных может указываться номер зоны п в
местной системе.
Пересчет выполняется в следующей последовательности:
-	с координатами х, у вычисляются координаты В, L по формулам
(4.3.7), (4.3.8), в которых х0 = 0, v0 = 5 • 105 м;
-	задается или вычисляется по формуле (4.2.9) номер местной
координатной зоны П\
-	по формуле (4.2.8) вычисляется долгота осевого меридиана 1?п зоны
с номером п ,
-	по формулам (4.2.6) и (4.2.7) вычисляются истинные координаты х',
/
У •
-	по формулам (4.5.2) вычисляются координаты хм, уц в проекции
Гаусса с местной координатной сеткой.
Для пересчета координат из проекции Гаусса с местной координатной
сеткой в проекцию Гаусса-Крюгера нужны следующие исходные данные:
jcw, уч - координаты точки в проекции Гаусса с местной координатной
сеткой;
дг0, у0 - ключи местной системы;
д/, - ширина координатной зоны в местной системе.
Может также задаваться номер п зоны проекции Гаусса-Крюгера.
Последовательность пересчета такая:
80

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
-	по формуле (4.3.8) вычисляется номер зоны п, в которой даны
исходные координаты хи, у ;
-	по формуле (4.2.8) вычисляется долгота осевого меридиана /,” зоны
с номером П\
-	по формулам (4.3.7), в которых принимают х = хм, у = уи,
пересчитываются координаты хи, у в геодезические координаты В, L;
г<>
-	вычисляется номер зоны п и долгота осевого меридиана Ln зоны
проекции Гаусса-Крюгера по формулам (4.2.9), (4.2.8), в которых следует
г О ^0 д »	,0
принять L, = 3 , AL — 6 ;
-	по формулам (4.2.6), (4.2.7) вычисляются истинные координаты х',
/
>’ ;
-	вычисляются координаты х, у в проекции Гаусса-Крюгера по
формулам (4.4.2).
Пересчет координат из зоны в зону производится как в проекции
Гаусса-Крюгера так и в проекции Гаусса с местной координатной сеткой.
В местных системах координат с постоянными коэффициентами нет
деления на зоны, а координаты хм, у и относятся к одному осевому
меридиану. В таких системах не возникает задача пересчета координат из
зоны в зону.
Исходными данными для пересчета из зоны в зону являются:
,о	_	,о
L|, Xq , у0 - ключи местной системы координат или значения L, = 3 ,
х0 = 0, у0 = 5 • 105 м для проекции Гаусса-Крюгера;
AL - ширина координатной зоны или AL =6° для проекции Гаусса-
Крюгера;
AV У1 - исходные координаты (в значении ул указан номер зоны);
пБ - номер зоны, в которую пересчитываются координаты.
Пересчет из зоны А в зону Б выполняется в следующей
последовательности:
-	по формуле (4.3.8), в которой надо принять у = уА, вычисляется
номер исходной зоны п i;
81

А.П. Герасимов
-	с номером зоны п4 и исходными данными 1?х, ЛL по формуле
(4.2.8)	вычисляется долгота осевого меридиана Z.° исходной зоны;
-	с	исходными данными х0, у0	пересчитываются исходные
координаты	хл, ул в истинные координаты	х\, ул по формулам:
хл = хл ~ *о = У л	= У л ~ пл ■1°6 “ У о ^
,0
-	с долготой осевого меридиана LA пересчитываются истинные
координаты х'л, у л в геодезические координаты В, L по формулам (4.3.7), в
,0	г0
которых Ln=LA \
-	с исходными данными пБ, , AL вычисляется долгота осевого
меридиана 1?Б заданной зоны по формуле (4.1.3), в которой 1?п = 1?Б, п = пБ\
,о
-	с долготой осевого меридиана LB пересчитываются геодезические
координаты	В, L в истинные координаты	х'Б,	уБ в заданной зоне по
формулам (4.2.6), (4.2.7), приняв 1?п= 1?Б \
-	с исходными данными х0 , у0, пБ вычисляются координаты хБ, уБ
в заданной зоне по формулам хБ =	+ х0 ; уБ = уБ + пБ ■ 106 + у0.
Пересчет координат из зоны в зону выполняется с ошибкой не более
1	мм, если абсолютное значение разности + 0,5AL) - 1?А не превышает
9°. Из этого условия следует, что в шестиградусных зонах можно пересчитать
с точностью до 1 мм любую точку в соседнюю зону. В трехградусных зонах
можно пересчитывать как в соседние зоны, так и через одну зону.
Пересчет координат из одной местной системы в другую выполняется
со следующими исходными данными:
х^, у4 - координаты в исходной системе А, которые пересчитываются
в систему Б;
г°	-л
L\a , хол, у0А - ключи местной системы А,
ALa - ширина координатной зоны в системе А\
/0 —
Чб< хоб • -voa- - ключи местной системы Б;
82

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
ALr - ширина координатной зоны в системе Б;
ПБ - номер зоны в системе Б.
Пересчет координат выполняется в следующей последовательности:
-	вычисляется номер зоны пл в системе А по формуле (4.3.8);
го
-	вычисляется долгота осевого меридиана L^ зоны с номером пл по
формуле (4.1.3);
-	вычисляются геодезические координаты В, L точки по формулам
(4.3.7);
-	с исходными данными 1?1Б, ДЬБ, ПБ и координатами В, L
вычисляются истинные координаты х'Б, у'Б в системе Б по формулам (4.2.6)-
(4.2.8);
-	вычисляются координаты хБ, уБ в местной системе Б по формулам
(4.1.2).
4.8.	Вычисление местных номенклатур
В каждой местной системе координат номенклатуры листов масштаба
1:100 000 соответствуют номенклатурам того же масштаба в проекции
Гаусса-Крюгера. Для вычисления местных номенклатур, соответствующих
номенклатурам Гаусса-Крюгера, используются две назначенные ключевые
соответствующие номенклатуры (см. раздел 4.5). Например, ключевой
номенклатуре Гаусса-Крюгера L-37-78 соответствует ключевая местная
номенклатура 23-45-17 в МСК-23.
Номенклатура Гаусса-Крюгера, для которой вычисляется
соответствующая ей местная номенклатура, называется исходной. Например,
К-37-9. Для вычислений необходимо буквы в ключевой и исходных
номенклатурах Гаусса-Крюгера заменить числами в соответствии с таблицей
4.8.1.	Например, 12-37-78 и 11-37-9.
Таблица 4.8.1
Соответствие букв в номенклатурах числам
Буква в
номенклатуре
К
L
М
N
О
Р
Q
R
S
Т
и
Число, соот¬
ветствующее
букве
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
83

А.П. Герасимов
При вычислении местных номенклатур используются следующие
обозначения:
Сж - первое число или буква в ключевой местной номенклатуре;
пш - второе число (номер пояса) в ключевой местной номенклатуре;
*.«*	~ третье число (номер колонны) в ключевой местной
номенклатуре;
Пк - первое число (заменяет букву в соответствии с табл. 4.8.1) в
ключевой номенклатуре Гаусса-Крюгера;
Кк - второе число в ключевой номенклатуре Гаусса-Крюгера;
Тк - третье число в ключевой номенклатуре Гаусса-Крюгера
(Тк = 1+144);
Пи - первое число (заменяет букву в соответствии с табл. 4.8.1) в
исходной номенклатуре Гаусса-Крюгера;
Ки - второе число в исходной номенклатуре Гаусса-Крюгера;
Ти - третье число в исходной номенклатуре Гаусса-Крюгера.
Для номенклатур Гаусса-Крюгера восточнее меридиана 180°, т. е. для
номенклатур масштаба 1:100 ООО, у которых вторые числа меньше 5, вместо
значений Кк и Ки записываются числа Кк + 60 и Ки + 60.
Для вычисления местной номенклатуры вычисляются вспомогательные
величины по формулам:
ЦК = Е
Т -1
1 к 1
12
где £[...] - целая часть выражения, стоящего в квадратных скобках;
Ци=Е
Lzl
12
где £[...] - целая часть выражения, стоящего в квадратных скобках;
1; Нь=Тв-\2Цш;
”„=nm+(NIH-Nm) + \2(Пи-Пк);
^=kMK+\2(Ku-KK)HNhl-NJ.
84

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
С вычисленными вспомогательными величинами формируется
вычисленная местная номенклатура в виде выражения Смк — nwt - кио.
Пример вычисления местной номенклатуры приведен в таблице 4.8.2.
При вычислении номенклатуры Гаусса-Крюгера исходной является
местная номенклатура. Для ключевых номенклатур используются те же
обозначения С МК, nUK, кмк. Пк, Кк, Тк. Если в ключевой номенклатуре
Гаусса-Крюгера второе число меньше 5, то вместо значения Кк
записывается число Кк + 60. Для исходной местной номенклатуры
используются следующие обозначения:
пми - второе число (номер пояса) в исходной местной номенклатуре;
кии - третье число (номер колонны) в исходной местной номенклатуре.
Вспомогательные величины вычисляются по формулам:
ЦК=Е
тк-\
12
где £[...] - целая часть выражения, стоящего в квадратных скобках;
^=//* + 1	-лMU;
,если(лг„я. +1„)>0,
Ц =Е
^ по
или Ц = Е
“ М/1
м„к + -1
пк	п
12
-1, если(Л^ +1п)<1;
Мкк=Тк-\2Цк-Ик=кми-кмк-.
, если
Ц =Е
^ ко
или Ц = Е
’ IVI
12
12
12
-	1, если (Ntf + Z.k)<1;
*«,,=(*«+Z,)-12 Ц„.П, = П„-Ц„.
^=^ + «ь:г; = 12(ЛГ«,-1)+ЛГь.
85

А.П. Герасимов
Таблица 4.8.2
Вычисление местной номенклатуры
Исходные данные
1. Ключевая номенклатура Гаусса-Крюгера
L-37-78
2. Ключевая местная номенклатура
23-45-17
3. Исходная номенклатура Гаусса-Крюгера
К-37-9
Обозначения
4. Пк- 1-ое число в ключевой номенклатуре Гаусса-Крюгера
12
5. Кк - 2-ое число в ключевой номенклатуре Гаусса-Крюгера
37
6. Тк — 3-е число в ключевой номенклатуре Гаусса-Крюгера
78
7. Смк - 1-ое число (буква) в ключевой местной номенклатуре
23 (или Т)
®- пм* ~ 2-ое число в ключевой местной номенклатуре
45
9. кмк - 3-е число в ключевой местной номенклатуре
17
10. Пи - 1-ое число в исходной номенклатуре Гаусса-Крюгера
11
11. Ки - 2-ое число в исходной номенклатуре Гаусса-Крюгера
37
12. Ти - 3-е число в исходной номенклатуре Гаусса-Крюгера
9
Вычисления
13. Цк =Е
pv-r
12
ТК-\
, т. е. целая часть числа —
12
6
14.ЛЬ=К,+1
7
15- ^кк~Тк—\2Цк
6
16. Ци=Е
Г ■ 1
1 CN
1 1
т„-1
, т. е. целая часть числа ——
12
0
^7.NnJ = Цu+^
1
9
п.»„=пМ'ЧК-*~)+ЩПв-П')
39
20.кш=кш+ЩКш-К') + №ь-Мт)
20
21. Вычисленная местная номенклатура Сш —пш> —кЛЮ
23-39-20
86

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
С вычисленными вспомогательными величинами формируется
вычисленная номенклатура Гаусса-Крюгера в виде выражения По - Ко-Тц.
Число П заменяется буквой по таблице 4.8.1. Если значение К0 больше 60
(Ко >60), то вместо него записывается число Ка - 60.
Пример вычисления номенклатуры Гаусса-Крюгера приведен в
табл. 4.8.3.
Таблица 4.8.3
Вычисление номенклатуры Гаусса-Крюгера
Исходные данные
1. Ключевая номенклатура Гаусса-Крюгера
L-37-78
2. Ключевая местная номенклатура
23-45-17
3. Исходная местная номенклатура
23-39-20
Обозначения
4. /7 - 1-ое число в ключевой номенклатуре Гаусса-Крюгера
12
5. Кк - 2-ое число в ключевой номенклатуре Гаусса-Крюгера
37
6. Тк - 3-е число в ключевой номенклатуре Гаусса-Крюгера
78
7. Сик - 1-ое число (буква) в ключевой местной номенклатуре
23 (или Т)
8. пик - 2-ое число в ключевой местной номенклатуре
45
9. кик - 3-е число в ключевой местной номенклатуре
17
10. пии - 2-ое число в исходной местной номенклатуре
39
11. кми - 3-е число в исходной местной номенклатуре
20
Вычисления
12 ЦК=Е
'7V —ll Тк-1
—	 , т. е. целая часть числа —
12 J 12
6
К.Мпк=ЦК+\
7
14‘ - "лш
6
15- Ц,Ю=Е
^nk ^ ^П ^ пгпи ( М 1 У КП
1
, если (1УЯК + 2-я) > и,
87

А.П. Герасимов
или Цпи = Е
Г"^'] 1,если<ЛГ„ + 1„)<|
W. Nm={Nm+Ze)-\mm
1
17. N№=TK-mK
6
18. I* = ^ -Кж
3
19- Цко = Е
или Цко = Е
^kk + 1 1 ornti ( N 1 Е Wfl
0
12 eGHH + iA/^
**12 *] 1 если(Л^*+1*)<1
20. NKO=(Nal+lk)-\mKa
9
21. Па = ПК-ЦК>
11, т. e. К
22.К,=Кк+Цю
37
23.T0 = \2(Nn0-\)+NK0
9
24. Вычисленная номенклатура Гаусса-Крюгера Пя — Ка — То
К-37-9
4.9.	Вычисление новых ключей местных систем координат
Новые ключи местных систем координат вычисляются, когда меняется
государственная система геодезических координат или меняются каталоги
координат пунктов, например, в результате переуравнивания воей или части
государственной геодезической сети.
Новыми ключами местных систем являются условные координаты х0,
у0 начала счета истинных координат х', у'. При вычислении новых ключей
долготы осевых меридианов не меняются.
Вычисление новых ключей х0, у0 выполняется под условием
минимальных изменений координат в местной системе:
; У ми = Уме + v,;	=	min,	(4.9.1)
гДе хмс, у мс - координаты в старой системе;
хмн • У»» ~ координаты в новой системе.
88

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Для выполнения этого условия составляются уравнения поправок,
которые решаются по методу наименьших квадратов. Исходными данными
для уравнений поправок являются:
В,	L - геодезические координаты пунктов ГТС в новой системе;
хн< ' Уме ~ координаты в старой местной системе;
,о
L, - долгота осевого меридиана первой зоны;
AL - ширина координатной зоны;
0 0 _
дг0, у0 - предварительные значения ключей местной системы.
_ 0 0 _
В качестве предварительных значении ключей х0, у0 могут быть
приняты старые ключи.
Уравнения поправок имеют следующий вид:
=	4к0	4 = vv •	(4'9'2)
где Дх0, Лу0 - поправки к предварительным значениям ключей.
Свободные члены уравнений поправок вычисляются по формулам:
Н-9.3)
Величины х°, у° вычисляются с новыми координатами В, L по
формулам:
» = Ф’«-НГ‘]-
где £*[...] - целая часть числа, стоящего в квадратных скобках;
/ = L-[lJ + AL(n-l)] ;
.г° = д-° + 6367558,4968# - sin 25^16002,89 + 66,9607sin2 В + 0,3515sin4 я) +
+/‘ sin 25^1594561,25 + 5336,535sin2 В + 26,790sin4 В + 0J49sinft 5^ +
+/4 sin 25^672483,4 - 811219,9sin‘ В + 5420,Osin4 В - 10,6sin6 5^ +
+/* sin 25^278194 - 830174sin‘ В + 572434sin4 В - 16010sin* 5^ +
+/Х sin 25^109500 - 574700sin‘ В + 863700sin4 В - 398600sin* 5^ ;
о	.	_ ft о
у = п-10 + у0 +
89

А.П. Герасимов
+/COS д(б378245 + 21346.1415sin3 В + 107,l590sin4 В + 0,5977 sin‘ В) +
+/' cos в(|070204,16 - 2136826,66sin2 В + 17,98sin4 В - 1 l,99sin6 я) +
+/’ cos В(270806 - 1523417 sin2 В + 1327645sin* В - 21701sin‘ в) +
+Л cos В(79690 - 866190sin2 В + I730360sin4 В - 945460sin<> bJ .	(4.9.4)
На основе уравнений поправок составляются нормальные уравнения.
При этом веса всех значений хис, уш, принимаются равными единице. В
результате решения нормальных уравнений вычисляются неизвестные Ах0,
Лу0 . Новые значения ключей вычисляются по формулам:
х0 = х° + Лх0; у0 =у° + Ду0.	(4.9.5)
Для вычисления ключей могут использоваться все пункты ГГС,
находящиеся на территории местной системы. Если используются не все
пункты, то около 50% выбранных пунктов должны располагаться равномерно
около границы территории и около 25% - в центре территории.
Кроме новых ключей местной системы координат должны вычисляться
новые ключи географической разграфки. Для их вычисления используются
старые координаты Вс, Lc и новые координаты Вц, LH пункта ГГС, для
которого местные координаты изменилсь не более 10 см.
Новые ключи географической разграфки АВц, ALu вычисляются по
формулам:
ЬВ,=ЫС+(В„-В'). bL.=bL'+(L,-L').	(4.9.6)
где ДВс, ALc - старые ключи географической разграфки;
Вс, Lc - старые координаты пункта ГГС;
Вн, LH - новые координаты пункта ГГС.

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
ГЛАВА 5. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
ИЗМЕРЕНИЙ
5.1.	Основы метода наименьших квадратов
Все измерения, в том числе и в геодезии, выполняются с ошибками. На
основе измерений и их математической обработки нельзя получить истинное
(т. е. абсолютно точное) значение измеренной величины. В геодезии точность
результата измерений обычно характеризуется его средней квадратической
ошибкой.
Между результатами измерений нет точных математических
зависимостей, поэтому они считаются независимыми величинами. Точная
математическая зависимость обеспечивается между уравненными
значениями результатов измерений. Для уравнивания геодезических
результатов измерений широко используется метод наименьших квадратов.
По методу наименьших квадратов могут уравниваться также
результаты измерений совместно с результатами ранее выполненного
уравнивания. Точность ранее уравненных величин характеризуется их
ковариационной матрицей (см. раздел 5.4).
Результаты измерений и результаты предыдущих уравниваний,
которые будут уравниваться совместно, будем называть уравниваемыми
величинами.
Уравнивание по методу наименьших квадратов выполняется с учетом
точности уравниваемых величин. Это условие выражается следующим
постулатом. По методу наименьших квадратов уравниваются результаты
измерений с их средними квадратическими ошибками и результаты
предыдущего уравнивания с их ковариационными матрицами.
В методе наименьших квадратов считается, что результаты измерений
являются независимыми величинами. В связи с этим поясним термины
«функция величин», «независимые результаты измерения» и «зависимые
величины».
Функциями в математике называются формулы, которые
устанавливают связь между математическими величинами, и величины,
вычисленные по этим формулам. Например, положение о том, что сумма
углов плоского треугольника равна 180°, выражается функцией
Д + Д, + Д, = 180 . Если углы Д , Д, Д3 являются не математическими
величинами, а результатами измерений, то Д + Д, + Д3 * 180°, и нет точной
функции, которая устанавливала бы точную связь между измеренными
углами. Если измерены углы Д, Д,, а третий угол вычислен по формуле
/3 - 180" - (Д + Д>). то между тремя углами существует точная функция
91

А.П. Герасимов
Д + /?2 + /?, = 180°, поэтому группа из трех величин Д , Д2, Д3, в которую
входят и результаты измерений Д, Д,, является группой зависимых
величин.
По методу наименьших квадратов уравниваются только независимые
результаты измерений. Уравнивать зависимые величины недопустимо.
Точные функциональные связи существуют между результатами
предыдущих уравниваний. Но совместно уравненные величины являются не
зависимыми, а коррелированными. Коррелированными называются такие
величины, для которых в результате их совместного уравнивания получена
корреляционная или ковариационная матрица. Если коррелированные
величины получены в результате не совместного их уравнивания, а из
уравнивания отдельных групп, то такие коррелированные величины могут
составить фуппу зависимых величин. Уравнивать такие группы зависимых
величин по методу наименьших квадратов так же недопустимо, как группы
зависимых величин с результатами измерений.
Уравнивание по методу наименьших квадратов выполняется под
условием
VTPV = min ,	(5.1.1)
где V - матрица поправок к уравниваемым величинам;
Р - весовая матрица уравниваемых величин.
Весовая матрица Р рассмотрена в разделе 5.4. Здесь лишь отметим,
что весовая матрица не характеризует точность уравниваемых величин, но
она вычисляется со средними квадратическими ошибками и
ковариационными матрицами.
Из формулы (5.1.1) следует, что в результате уравнивания могут быть
получены поправки V, а с ними уравненные значения уравниваемых величин.
Все уравненные величины согласованы между собой, т. е. между ними
существуют точные математические связи. Функции уравненных величин
также согласованы точными формулами как между собой, так и с
уравненными величинами.
При уравнивании геодезических сетей вычисляют, как правило, не
уравненные величины, а функции уравненных величин, т. е. не уравненные
углы, расстояния и азимуты, а уравненные координаты с их ковариационными
матрицами. Углы, расстояния и азимуты, вычисленные по уравненным
координатам, равны уравненным углам, расстояниям и азимутам. Функции
уравненных величин, получаемые в ходе уравнивания, будем называть
результатами уравнивания.

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
5.2.	Сведения из алгебры матриц
Прямоугольная таблица чисел
а,, ап ... atJ ... alt
А =
(5.2.1)
называется матрицей размера п х к (п строк, к столбцов). Если пФк, то
матрицу называют прямоугольной, а если п-к- квадратной.
Матрица размера п х 1 есть матрица-столбец, а размера 1 х к -
матрица-строка.
Квадратная матрица, в которой для всех недиагональных элементов
выполняется условие а~ =	, называется симметрической. Симметрической, в
частности, является матрица коэффициентов нормальных уравнений.
Матрица, в которой все недиагональные элементы равны нулю,
называется диагональной. Диагональную матрицу Е, элементы которой
равны единице, называют единичной.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой
матрицей и обозначается О.
Суммировать можно только матрицы одинаковых размеров. Суммой
матриц является матрица тех же размеров, элементы которой равны суммам
соответствующих элементов суммируемых матриц. Приведем две формулы.
Умножать матрицы А и В можно лишь в том случае, когда число
столбцов в левой матрице А равно числу строк в правой матрице В. Если
А имеет размер пхк, а В - размер к х г, то матрица С = АВ имеет
размер пхг. Каждый элемент Су матрицы С получают как сумму из к
произведений элементов /-ой строки матрицы А на соответствующие
А Л- В — В + А \
(а + в) + с= а + (в + с) = {а + с) + в.
(5.2.2)
(5.2.3)
93

А.П. Герасимов
элементы j -го столбца матрицы В, т. е. по-членно умножают строки
матрицы А на столбцы матрицы В .
Если А - матрица-строка размера 1 х к, а В - матрица-столбец
размера к X 1, то их произведение АВ есть число, т. е. матрица с одним
элементом, а произведение В А есть матрица размера к X к .
Приведем некоторые правила умножения.
{АВ)С=А(ВС).	(5.2.4)
(А + В)С = АС + ВС.	(5.2.5)
А(В + С) = АВ+ АС.	(5.2.6)
АВ = О, если А = 0 или В = О.	(5.2.7)
Из равенства АВ = АС при АфО , в общем случае не следует, что
В = С.	(5.2.8)
Матрица АТ называется транспонированной матрице А , если элементы
/ -ых строк матрицы АТ равны элементам / -ых столбцов матрицы А . Чтобы
получить транспонированную матрицу, надо в исходной матрице строки
заменить столбцами или, что одно и то же, столбцы заменить строками.
Если матрица А имеет размер п х к, то матрица АТ - размер к Хп.
■р
При умножении получаются симметрические матрицы С = АЛ размера
пХп или D = АТА размера к х к, называемые нормальными.
Приведем некоторые формулы для транспонированных матриц.
(5.2.9)
(А + В)Т = АТ + ВТ .	(5.2.10)
АТ = ВТ .если А = В.	(5.2.11)
СТ = АТ + ВТ, если С = А + В.	(5.2.12)
АГ = А,	(5.2.13)
если А - матрица симметрическая.
(АВ)Т = ВТАТ.	(5.2.14)
(АВ)Т = ВА.	(5.2.15)
если матрицы А и В симметрические.
94

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Если А - матрица-строка, В - симметрическая матрица, то элементы
т
аи матрицы-строки АВ равны элементам ап матрицы-столбца ВА , т. е.
АВ = (ВАТ)Т.	(5.2.16)
(АВ)Г = АВ = ВТАТ,	(5.2.17)
если А - матрица-строка размера 1 х к, а В - матрица-столбец размера
А' х 1, т. е. их произведение С = АВ есть число.
К симметрическим относятся весовые матрицы Р. Для них на
основании (5.2.13) получаем:
РТ = Р.	(5.2.18)
называется обратной матрице А , если она
(5.2.19)
Квадратная матрица А
удовлетворяет условию
А~[А = АА~'=Е.
Из этого условия следует, что произведение квадратной матрицы
размера к х к на обратную матрицу есть единичная матрица. Из этого
условия также следует, что обратная матрица имеет тот же размер, что и
прямая. Условие (5.2.19) применяется для проверки правильности
вычисления обратных матриц.
Приведем несколько правил для единичных матриц, которые,
напомним, являются диагональными, следовательно, квадратными
матрицами:
ЕТ = Е\	(5.2.20)
ЕА = А;	(5.2.21)
ВЕ = В,	(5.2.22)
ЕТРЕ = Р.	(5.2.23)
Для операций с матрицами иногда бывает удобно разделять их на
блоки, т. е. матрицы меньших размеров.
Матрица А
В С
А =
D Н
является блочной матрицей, состоящей из блок-матриц В, С, D, Н.
Матрицу А
А = \В С\
95

А.П. Герасимов
называют блочной матрицей-строкой, состоящей из блок-матриц В и С, а
матрицу А
В
А =
блочной матрицей-столбцом.
Напишем несколько формул для блочных матриц. В этих формулах
обозначим: Р - симметрическая матрица; D - прямоугольная матрица.
Вт
Если А = \В С|,то Ат =
Если А =
Если А =
СТ
, то А — \вт Ст
BD
CD
, то AD =
Если А — \В С|,то АтР =
ВТР
СТР
Если А — \В С|, то DA = \DB DC\.
Если ,/4 = |z? О,|, то DA = \DB 02\.
В
ВР
Если А =
. то
АР =
О,i
Ч
Если А = |
\в
4
Н
О
X
РА
ВТРВ ВТРС
СТРВ СТРС
ВТР
о!
ВТРВ о.
Если А — \В О. , то А РА =
о,г
О,
(5.2.24)
(5.2.25)
(5.2.26)
(5.2.27)
(5.2.28)
(5.2.29)
(5.2.30)
(5.2.31)
(5.2.32)
(5.2.33)
96

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Если А = \Е О. I, то АТРА =
Р О,
о! о
(5.2.34)
Для обращения блочных матриц может применяться формула
Фробениуса, которую для прямой матрицы
А» % А,.
А =
41	'ж\2
^21 ^22
напишем в следующем виде:
/4, | +АиАпМ A2iAu
- М А21Аи
В формуле Фробениуса (5.2.36)
М = А22 —	А12.
Лц /4,2 Л/
М
-I
(5.2.35)
(5.2.36)
(5.2.37)
5.3.	Преобразование линейных уравнений
При математической обработке геодезических измерений, как правило,
решают нормальные уравнения, но иногда приходится иметь дело и с
собственно линейными уравнениями. Целью преобразования линейных
уравнений является выделение из них таких систем, в которых количество
неизвестных меньще, чем в исходной системе, и которые, следовательно,
легче решить с получением обратной матрицы.
Напишем систему линейных уравнений в матричном виде:
BSY + С = 0.	(5.3.1)
Для преобразования исходной системы разделяют ее матрицы на
блоки. Покажем это на примере небольшой матрицы В.
В =
*11
^.2
*13
1 *,4
*,5
^21
Ь22
*23
1 *24
*25
*3.
bJ2
*33
1 *34
*35
*4.
*42
*43
1 ьм
*45
*5.
*52
*53
1 *54
*55
(5.3.2)
Запишем матрицы исходной системы (5.3.1) в виде блочных матриц:
97

А.П. Герасимов
В -
*п
ВП
: С =
с„
: SY =
SYU
*2.
В22
sy2X
(5.3.3)
Поясним принятые здесь обозначения на примере матриц (5.3.2).
Ви =
в* =
Ь\2 Ь\
Ь21 ь
'31
'41
22
32
42
13
23
^33
43
*12 =
*22 =
'14
15
^24	^25
^34	^35
^44	^45
Ь54	Ь55
(5.3.4)
51	52	53
В соответствии с правилами линейной алгебры две первые блочные
матрицы В и С (5.3.3) преобразуются к следующему виду:
=
В,
В
12
О В22	В2[Ви В12
• Сп —
^21 *21*11 с,
(5.3.5)
С этими матрицами получают преобразованную систему линейных
уравнений
Bn8Y + Cn=0.	(5.3.6)
Хотя в системах (5.3.1) и (5.3.6) матрицы В и Вп, С и Сп разные, но
решение этих систем приводит к одним и тем же результатам, т. е. к
получению одних и тех же значений SY.
Рассмотрим решение системы (5.3.6) в два этапа. Для этого ее
разделяют на две группы. Чтобы написать эти две группы, введем
обозначения:
-1*п ^1г|;
В7 = В77 — В7.В.| В.2;
1"11 12'
С2=С21~В21ВПС1Г	<537>
С этими обозначениями записывают систему из двух групп линейных
уравнений:
BX8Y + CU=0\	(5.3.8)
B2SY2i +С2=0.	(5.3.9)
Если решить эту систему, то получим те же значения SY, что и в
случае решения систем (5.3.1) или (5.3.6).

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
В первую группу уравнений, т. е. в (5.3.8), входят все неизвестные,
поэтому число их больше, чем число уравнений в этой группе. Из второй
группы исключены неизвестные SYU (5.3.3), поэтому число неизвестных в
ней равно числу уравнений, и, следовательно, ее можно решить независимо
от первой группы.
Итак, в результате одного преобразования исходная система (5.3.1) с
помощью формул (5.3.3) и (5.3.7) преобразуется в систему из двух групп -
(5.3.8)	и (5.3.9). При этом часть линейных уравнений системы (5.3.1), т. е.
группа (5.3.8), остаются неизменными.
Методы решения системы (5.3.9) могут быть разными. В частности, ее
можно решить методом обращения матриц, т. е. получить обратную матрицу
В21 и неизвестные
Затем отыскивают остальные неизвестные. Для этого выполняется
обратный ход. В обратном ходе необходимо значения <5У2,, полученные на
первом этапе, подставить в первую группу уравнений (5.3.8) и вычисленные
значения перенести в свободные члены, т. е. вычислить новые свободные
члены:
Из решения этой системы, т. е. из обратного хода, отыскиваются
остальные неизвестные.
Если система (5.3.1) большая, то можно применить процедуру
многократного преобразования, каждый раз получая все меньшие и меньшие
системы (5.3.9).
5.4.	Ковариационная и весовая матрицы
Каждый результат измерения или уравнивания должен
сопровождаться оценкой точности. Оценкой точности единичного
результата измерения является его средняя квадратическая ошибка. Для
оценки точности совокупности результатов уравнивания применяют
ковариационную матрицу [4]
(5.3.10)
(5.3.11)
С этими свободными членами система (5.3.8) преобразуется к виду
5|	+	С,	—	0.
(5.3.12)

А.П. Герасимов
2
т\
rnmxm2 ..
. rikmxmk
Kn .
.. *u
к =
Г2\т2тУ
2
m2
r2km2mk
=
rj
*
K22 .
.. K2k
Гк\ткт I
rk2mkm2
2
• • ™k
K*2 •
.. К»
. (5.4.1)
В ковариационной матрице диагональными элементами являются
квадраты средних квадратических ошибок (т? ); коэффициенты корреляции
г характеризуют линейную зависимость между результатами уравнивания.
Коэффициенты, симметричные относительно диагонали, равны, т. е. г = г..,
Ку = КJj. Если величины связаны произвольной вероятностной
зависимостью, то -1 < /v < I.
Результаты измерений являются независимыми величинами. Для них
r.j = 0, поэтому ковариационная матрица является диагональной матрицей
квадратов средних квадратических ошибок:
2
К =
т.
/и,
т.
(5.4.2)
Ковариационная матрица уравниваемых величин состоит из
ковариационных матриц результатов предыдущих уравниваний и матрицы
квадратов средних квадратических ошибок результатов измерений. Напишем
для примера ковариационную матрицу уравниваемых величин:
К =
*«2
*.3
0
0
*2.
K22
*23
0
0
*3,
*32
*33
0
0
0
0
0
2
m4
0
0
0
0
0
m]
(5.4.3)
100

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
При уравниваниях по методу наименьших квадратов составляются
уравнения поправок с весовой матрицей уравниваемых величин. Весовая
матрица Р (или матрица весов) вычисляется по формуле
(5.4.4)
где /у() - ошибка единицы веса, назначаемая для уравнивания;
К - ковариационная матрица уравниваемых величин.
Частным случаем формулы (5.4.4) является формула веса результата
измерений
Р, =
2
Ио_
2
т.
(5.4.5)
где /и - средняя квадратическая ошибка результата измерения.
В результате уравнивания получают корреляционную
результатов уравнивания:
матрицу
Q =
-I
Р\
-0.5	-0,5
гг\Рг Р\
-0,5	-0.5
Гк\Рк Р\
-0.5 -0.5
г\гР\ Рг
Рг
-0,5	-0.5
rkiPk Рг
-0.5	-0,5
Г\кР\ Рк
-0.5	-0.5
г2кРг Рк
Рк
(5.4.6)
В матрице (5.4.6) веса р результатов уравнивания соответствуют
ошибке единицы веса ц, получаемой из уравнивания. Ошибка /I в общем
случае не равна ошибке //о. назначаемой до уравнивания.
Ковариационная и корреляционная матрицы результатов уравнивания
связаны выражением
Q~' = /Г/Г1 или К =H2Q.	(5.4.7)
После уравнивания могут вычисляться одна функция (т. е. число) или
несколько функций результатов уравнивания. Ковариационная матрица
функций результатов уравнивания вычисляется по формуле
т
(5.4.8)
где
'dFI
I
'dF'
М)
I**
BF)
М.
уравнивания Х\
-	матрица производных от функций F по результатам
101

А.П. Герасимов
Кх- ковариационная матрица результатов уравнивания X.
Ковариационная матрица Кх является общей матрицей (5.4.1) или ее
частью. Элементы матрицы Кх относятся только к тем результатам
уравнивания X, которые являются аргументами функций F, т. е. теми
результатами уравнивания, с которыми вычисляется одна или несколько
функций F. В формуле (5.4.8) матрица производных имеет вид:
dFx
Эх,
Эх2
dxk
dF2
dF2
dF2
Эх,
Эх2
Эх*
Эх,
Эх2
dxk
(5.4.9)
В случае одной функции, т. е. числа, вычисляемой с к аргументами х по
формулам (5.4.8), (5.4.9), будет получена средняя квадратическая ошибка
функции F(xv х2, .. ., хк) , которая соответствует формуле
2
dF dF
+2	К
'dFN
2
(dF)
2
'dF'
Kw +
k22 +... +
Jx2;
dF dF
Эл:, дх2
Ik
+ 2-
dF dF
dx2 dx3
K23+...
Эх, dxk
На основании этого выражения напишем
квадратической ошибки функции двух результатов:
М} =
{dF_
Эх.
* „ +
dF)
Jx2i
Кп + 2
dF dF
Эх, Эх2
К
12'
(5.4.10)
формулу средней
(5.4.11)
ч /
При анализе результатов уравнивания иногда пользуются
нормированной корреляционной матрицей. В нормированной корреляционной
матрице диагональные элементы равны единице, а недиагональные элементы,
т. е. коэффициенты корреляции, вычисляются по формуле
102

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
(5.4.12)
если за основу взята ковариационная матрица (5.4.1), или по формуле
если за основу принята корреляционная матрица (5.4.6). Нормированная
корреляционная матрица имеет вид:
l
rl2 ..
• Г1к
Г21
I
r2k
rk2 ••
l
5.5.	Параметрический способ уравнивания
При развитии больших геодезических сетей измеряют миллионы
величин. Для уравнивания огромного числа измерений наиболее
предпочтительным во всех отношениях является параметрический способ.
Пожалуй, самым предпочтительным свойством этого способа является то, что
для каждой уравниваемой величины составляется свое уравнение поправок, и
ни в одно другое уравнение поправок эта величина не входит. Следовательно,
в параметрическом способе, в отличие от других способов, значительно легче
избежать лишних уравнений поправок и не пропустить требуемых, так как
число уравнений поправок равно числу уравниваемых величин.
Сущность параметрического способа отражается в принципах,
положенных в основу составления уравнений поправок. Когда же уравнения
поправок составлены, то дальнейшая задача сводится к их решению под
условием
где V - матрица поправок к уравниваемым величинам.
Выполнение условия (5.5.1) на практике обеспечивается тем, что от
уравнений поправок переходят к нормальным уравнениям. И хотя в
действительности решают нормальные уравнения, но это решение является
лишь этапом решения уравнений поправок.
Для составления уравнений поправок выбирают уравниваемые
параметры, т. е. величины, значения которых будут получены как результаты
уравнивания. Уравниваемые параметры должны быть независимыми.
(5.4.13)
VTPV = min ,
(5.5.1)
103

А.П. Герасимов
Независимость параметров означает, что производная от одного параметра
по любому другому параметру равна нулю. Кроме того, это означает, что
нельзя назначать параметры, которые можно вычислить по другим
параметрам. Например, при уравнивании треугольника нельзя назначать в
качестве уравниваемых параметров две стороны и два угла, так как один
параметр можно вычислить по трем остальным.
В качестве уравниваемых параметров выбирают такие величины,
которые связаны функциональными зависимостями с уравниваемыми
величинами. Уравниваемыми параметрами могут назначаться и такие
величины, значения которых получают непосредственно из измерений.
Для всех уравниваемых параметров назначаются их предварительные
о о	о	„	s
значения ху , х2, . . . , хк . К ним из уравнивания отыскиваются поправки ох.
При назначении уравниваемых параметров добиваются, чтобы уравнения
поправок были линейными, т. е. чтобы отброшенные члены рядов,
содержащие поправки 8х во второй и более высоких степенях, были
пренебрегаемо малыми.
Проблема линеаризации уравнений поправок может решаться по-
разному. Иногда выполняют предварительные уравнивания с ограниченным
числом уравниваемых величин. Иногда несколько раз решают всю систему
уравнений поправок, каждый раз уточняя предварительные параметры, и тем
самым добиваются, чтобы «ошибки предварительных параметров» были
достаточно малыми и не исказили результаты уравнивания.
Уравнения поправок составляются с уравниваемыми величинами,
которые будем обозначать	tn. Уравненные значения /
уравниваемых величин связаны с результатами уравнивания х
функциональными зависимостями
Выражение (5.5.2) называется уравнением связи. Разность между
значениями уравненной величины / и уравниваемой величины / равна
поправке v:
Результаты уравнивания дг связаны с предварительными параметрами
(5.5.2)
(5.5.3)
х° формулой
х = х° + 5х.
(5.5.4)
На основании выражений (5.5.2Н5.5.4) напишем:
(5.5.5)
104

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
где v	- поправка	к	уравниваемой величине;	Sx. - поправки к
предварительным параметрам.
Выражение в правой части (5.5.5) разложим в ряд и отбросим члены
ряда, содержащие поправки Sx во второй и более высоких степенях:
+ V,	= f, (*|° >Х2	4 ) + ^~^+Р~бХ2+	■■■ + TL{*X* (556)
UXj	OJfj	С/Х ^
Перепишем это выражение:
'' =	+ ^~8хг + • • •+ P~Sx* + fi(Л,°’ х°2’ ■ • •’ х° )~'г (5-5‘7)
ах,	дх2	ахк	4
Обозначим в выражении (5.5.7) свободный член:
7, = А (^1° ’ Х2» • • • * 4	(5.5.8)
Член f. (х,°, дг”, .. ., дг° j представляет собой значение уравниваемой
величины, но не измеренное или ранее уравненное, а вычисленное с
предварительными параметрами.
Подставим (5.5.8) в (5.5.7).
Э/ Э/. _	Э/.
V. =	Sx.	Н	Sx7	+ . .. + 	Sx.	+ / .	(5.5.9)
I	t	Z	к I	'	'
axt дх2	дхк
Выражение (5.5.9) является уравнением поправок в параметрическом
способе.
Для системы уравнений поправок, составляемых для всех
уравниваемых величин, необходимо получить весовую матрицу Р на основе
ковариационной матрицы К и единой ошибки единицы веса fJ0. Запишем
систему уравнений поправок (5.5.9) в матричной форме:
ASX + L = V с весовой матрицей Р,	(5.5.10)
Э/
где А - матрица коэффициентов — при неизвестных; 8Х - матрица
дх
неизвестных, т. е. поправок к предварительным параметрам; L - матрица
свободных членов уравнений поправок; V - матрица поправок к
уравниваемым величинам.
j
Подчиним уравнения поправок (5.5.10) условию V PV = min . Чтобы
выполнить это условие, необходимо, чтобы выполнялось другое условие, а
именно
105

А.П. Герасимов
АТPV - О,	(5.5.11)
где О - нулевая матрица.
Подставим матрицу V (5.5.10) в (5.5.11):
АТР{А8Х + L) = Ат PASX + ATPL =	О.	(5.5.12)
Таким образом, чтобы выполнить условие VTPV = min , необходимо
от уравнений поправок (5.5.10) перейти к нормальным уравнениям
АТPASX + АТPL - О,	(5.5.13)
7*	у
где А РА - матрица коэффициентов нормальных уравнений; A PL -
матрица свободных членов нормальных уравнений.
При п уравниваемых величинах (/,,	. . ., t ) и к уравниваемых
параметрах матрица А в (5.5.13) имеет размер пхк (п строк и к
столбцов). Размер матрицы 8Х равен к х 1, а матриц L и V - п х 1.
Весовая матрица Р имеет размер ихд. В нормальных уравнениях (5.5.13)
матрица Ат РА имеет размер кхк ,а матрица АтPL - размер к х 1.
Матрица весов Р в (5.5.13) вычисляется по формуле (5.4.4):
Р = М1^~\	(5.5.14)
где К - ковариационная матрица уравниваемых величин.
Для вычисления по формуле (5.5.14) назначается ошибка единицы веса
//о произвольной величины	и	размерности. Подробнее о величине и
размерности //о сказано в книге [1].
5.6.	Составление нормальных уравнений
При изложении параметрического способа уравнивания (раздел 5.5)
рассмотрена схема составления нормальных уравнений. По этой схеме,
назовем ее теоретической, сначала для всех уравниваемых величин
составляются уравнения поправок (5.5.10) и формируется весовая матрица
уравниваемых величин. Затем на основе умножения матриц получаются
нормальные уравнения (5.5.13).
При такой схеме необходимо хранить все уравнения поправок. В
больших геодезических сетях их миллионы, поэтому на практике стремятся
обойтись без составления собственно системы уравнений поправок.
Можно выделить два наиболее характерных случая составления
нормальных уравнений. Первый - это когда уравниваемыми величинами
являются результаты измерений с их весами. Второй - когда уравниваются
результаты предыдущих уравниваний с их весовыми матрицами.
106

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Если уравнивается п собственно результатов измерений
г (/ = 1,..., я), то уравнение поправок, соответствующее каждому /-му
результату, имеет следующий вид:
anSx\ + ai2Sx2 + ... + ajkSxk + /(. = v(. с весом pt.	(5.6.1)
Уравнение (5.6.1) написано для одного результата измерений. В него
входят все к неизвестных 8х. (у = 1,..., к) , один свободный член /(. и один
вес рг Большинство коэффициентов а в (5.6.1) равно нулю и,
соответственно, в него не входит большинство неизвестных 8Х нормальных
уравнений. Если в уравнении поправок число неизвестных 8х равно не к, а
Ь,	то коэффициенты а, свободный член / и вес р будут участвовать в
формировании компонентов b нормальных уравнений.
Компонентами коэффициентов и свободных членов нормальных
уравнений называются значения раа и pal, которые вычисляются по
каждому результату измерений. Коэффициенты и свободные члены
нормальных уравнений получаются в результате суммирования компонентов
раа и pal. Одновременно с вычислением коэффициентов и свободных
членов нормальных уравнений могут вычисляться п компонентов и их
сумма [р.1{1. ] = ilPL.
Таким образом, для составления нормальных уравнений вычисляют по
каждому результату измерений компоненты и прибавляют их к ранее
вычисленной сумме соответствующих компонентов.
Если в уравнении поправок имеется b неизвестных (b = 1,..., /), то с
одним результатом измерений формируется b уравнений с компонентами.
Будем считать, что в уравнение поправок входят Ь неизвестных Sxg и Ь
коэффициентов alg (g = gp Si	5а)' а уравнение поправок имеет вид:
+ °ig2SxR2 + "• + aighSxgb + li = Vi С ВвС0М Pi '	<5-6-2)
На основании одного уравнения поправок (5.6.2) будет сформировано
Ь уравнений с компонентами нормальных уравнений:
+ a^%2PiSxK2 + - + %х%ьР,5хФ + %\Pili = 0:
+ %г%гР>дх*2 + •••+ %2 a«bPiSxgb + а«2 PJi = 0:
107

А.П. Герасимов
%baig\PiSx^ + aigbaiS2Pfixg2 + - + a,gba,ghP,Sxgb + aighPili = 0 (5.6.3)
Компоненты нормальных уравнений можно вычислить следующим
образом. По результатам одного измерения вычисляется b коэффициентов
ajgf, один свободный член /(. и один вес pt (5.6.2). С ними вычисляется Ь
Ь компонентов pal и b компонентов pH. При этом учитывается, что
компоненты раа, симметричные относительно диагонали, равны между
собой, например, а^а^ = aig2a.glpr
Когда уравниваются результаты предыдущих уравниваний с их
весовыми матрицами, компонентами нормальных уравнений являются не
отдельные значения раа, pal, pH, а частные суммы этих значений в виде
частных матриц коэффициентов (лгРл) , свободных членов {^Ат PL^ и
частных матриц {^llPL) . Каждая частная матрица вычисляется для группы
уравниваемых величин, которые связаны одной ковариационной матрицей.
Подробнее методика вычисления компонентов нормальных уравнений,
составляемых при уравнивании спутниковых геодезических сетей с
результатами предыдущих уравниваний, рассмотрена в главе 6.
5.7.	Решение нормальных уравнений
Конечной целью решения нормальных уравнений является получение
результатов уравнивания с их ковариационной матрицей. С результатами
уравнивания могут вычисляться уравненные значения уравниваемых
величин.
Непосредственно из решения нормальных уравнений (5.5.13) находят
поправки к предварительным параметрам 8х и их корреляционную матрицу.
Решение системы (5.5.13) в общем виде можно представить формулой
5X = -[aTPaY(aTPl).	(5.7.1)
Результаты уравнивания, т. е. уравненные параметры, вычисляются по
формуле
X = Х° + 8Х .	(5.7.2)
108

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
В формуле (5.7.1) обратная матрица {/Г РА^ является
корреляционной матрицей результатов уравнивания:
@ = (/17>л) '.	(5.7.3)
С корреляционной матрицей Q можно получить ковариационную
матрицу результатов уравнивания по формуле
K=VlQ,	(5.7.4)
где (1 - ошибка единицы веса после уравнивания.
Из формул (5.7.3) и (5.7.4) следует, что, выбирая путь решения
нормальных уравнений, необходимо предусмотреть возможность получения
обратной матрицы ^А1 PA^j и ошибки единицы веса после уравнивания Ц.
При уравнивании геодезических сетей системы нормальных уравнений
могут быть настолько большими, что не представится возможности обратить
матрицу коэффициентов. В этом случае, чтобы получить ковариационную
матрицу части результатов уравнивания, может быть применен метод
преобразования нормальных уравнений, при котором получается
преобразованная система нормальных уравнений меньшего размера, чем
исходная:
(аТРа) SX0 + {aTPL\ =0,	(5.7.5)
'	' пр	'	'	пр
где SXQ - матрица неизвестных, являющаяся частью матрицы SX в
(5.5.13).
В результате решения системы преобразованных нормальных
уравнений (5.7.5) находят неизвестные дх0, которые составляют лишь часть
всех неизвестных, и соответствующую им корреляционную матрицу
Q^^PaY,	(5.7.6)
'	'	пр
которая является лишь частью матрицы (5.7.3).
Принимая полученные значения неизвестных SxQ в качестве
окончательно уравненных, решают остальную часть системы и получают
остальные неизвестные. Подробнее о преобразовании нормальных
уравнений сказано в разделе 5.8.
Нередко, при уравнивании больших сетей, по технологическим
соображениям выгодно уравниваемые величины разбивать на группы. Тогда
для каждой фуппы составляются свои уравнения поправок и нормальные
109

А.П. Герасимов
уравнения. При этом уравнения поправок могут составляться с разными
значениями уравниваемых параметров и разными ошибками единицы веса. В
этом случае перед объединением нормальных уравнений разных групп в
единую систему необходимо привести нормальные уравнения групп к единым
параметрам и ошибке единицы веса. Эти задачи решаются в рамках
многофуппового метода уравнивания, который рассмотрен в разделе 5.10.
Задача уравнивания не обязательно должна сводиться к получению
единой системы нормальных уравнений. До конца, т. е. до получения
неизвестных и их ковариационных матриц, могут решаться нормальные
уравнения отдельных групп на отдельных этапах уравнивания. С этими
результатами уравнивания составляются новые уравнения поправок и новые
нормальные уравнения. Метод многоэтапного уравнивания рассмотрен в
разделе 5.11.
Как уже отмечалось, при уравнивании больших геодезических сетей
одной из серьезных является проблема численного решения нормальных
уравнений. Так в АГС бывшего СССР насчитывалось более 160 тысяч
пунктов. Следовательно, требовалось решить систему нормальных
уравнений, содержащую более 300 тысяч неизвестных.
Задача решения нормальных уравнений, по сути дела, является
задачей решения линейных уравнений. Для линейных уравнений в
математике рассматриваются два основных вида методов их численного
решения - прямые (конечные) и итерационные (бесконечные).
Прямые методы позволяют в принципе получить точное решение, если
оно только существует, выполнив конечное число арифметических операций.
При уравнивании больших сетей получить совершенно точные результаты,
как правило, не удается из-за накопления ошибок округления.
В итерационных методах, в отличие от прямых, для получения точных
результатов необходимо выполнить бесконечное число арифметических
операций. Конечно, в реальной практике сделать это невозможно, поэтому
результаты уравнивания искажаются ошибками ограничения.
Таким образом, решения, полученные прямыми методами, искажены
ошибками округления, но свободны от ошибок ограничения, а в итерационных
методах, наоборот, искажения возникают из-за ошибок ограничения, но
решения свободны от ошибок округления. Заранее решить, какой метод
приведет к более точным результатам в конкретной задаче, нельзя. Это
зависит от многих факторов, но в любом случае плохой алгоритм не может
привести к хорошему решению нормальных уравнений.
Известно несколько прямых методов. В практике предпочтение обычно
отдают методу исключения Гаусса, так как считается, что по количеству
арифметических операций он пока является самым эффективным.
110

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
5.8.	Преобразование нормальных уравнений
Цель преобразования нормальных уравнений та же, что и для
линейных уравнений - выделить из большой системы такую, для которой
можно обратить матрицу коэффициентов при неизвестных, т. е. получить
корреляционную матрицу, требуемую для получения ковариационной
матрицы.
Нормальные уравнения
АТ PASX + Ar PL = О	(5.8.1)
являются частным случаем линейных уравнений (5.3.1), преобразование
которых рассмотрено в разделе 5.3.
Введем обозначения:
В = АтРА; С = АГPL .	(5.8.2)
С этими обозначениями перепишем нормальные уравнения (5.8.1).
BSX + С = 0.	(5.8.3)
По аналогии с (5.3.3) запишем матрицы системы (5.8.3) в виде блочных
матриц:
(5.8.4)
При разложении на блоки следует выполнить условие о том, что
матрица В22 должна быть квадратной. В этом случае
В2]=В[2,	(5.8.5)
что и отражено в первой матрице (5.8.4).
По формулам (5.3.5) и (5.3.7)-(5.3.9) получим преобразованную систему
в виде двух фупп уравнений:
Вх5Х + Си=Ох,	(5.8.6)
B2SX2i+C2=02,	(5.8.7)
в которых матрицы коэффициентов и свободных членов вычисляются по
формулам:
*,2
Си
SXn
В =
; С =
; SX =
Вп
*22
c2i
sx 2,
д
121
В2 - В22 Вх2ВпВп \
с, = с21 - в1в;!с,
12 11 ^11 '
(5.8.8)
111

А.П. Герасимов
В целом система из уравнений (5.8.6) и (5.8.7) не является нормальной;
нормальными являются только уравнения (5.8.7). Следовательно, если
обратить матрицу В2, то можно вычислить неизвестные
6Х2Х =-В~'С2	(5.8.9)
и их корреляционную матрицу
Q = B2.	(5.8.10)
В обратном ходе отыскиваются остальные неизвестные. Для этого
полученные неизвестные Sxv необходимо подставить в группу уравнений
(5.8.6), т. е. вычислить новые свободные члены
С, = С,, +BI2SX2I	(5.8.11)
и с ними преобразовать уравнения (5.8.6) к виду
BnSXn +С, =0.	(5.8.12)
Для нормальных уравнений возможна процедура многократных
преобразований. В этом случае вместо решения системы нормальных
уравнений (5.8.7) выполняется ее преобразование.
Для преобразования системы (5.8.7) ее матрицы делят на блоки по
формулам (5.8.4) и получают две новые группы уравнений - группу линейных
уравнений (5.8.6) и группу нормальных уравнений (5.8.7). Группу линейных
уравнений присоединяют к линейным уравнениям, полученным на
предыдущем шаге, а для группы нормальных уравнений вновь выполняют
преобразования. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет
получена система нормальных уравнений с матрицей коэффициентов
желаемого размера.
5.9.	Вычисление ошибки единицы веса после уравнивания
Ошибка единицы веса после уравнивания вычисляется по формуле
М2 =—— V1 PV,	(5.9.1)
п-к
где п - число всех уравниваемых величин;
к - число необходимых величин.
Разность (я - А:) есть число избыточных величин.
В число всех уравниваемых величин входят результаты измерений,
которые сопровождаются средними квадратическими ошибками, и
результаты предыдущих	уравниваний, которые сопровождаются
ковариационными матрицами.
112

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Число необходимых величин в параметрическом способе равно числу
неизвестных в системе нормальных уравнений.
j-
Рассмотрим две группы способов вычисления значения V PV,
которое представляет собой число. В первой группе способов вычисляются
поправки v ко всем уравниваемым величинам. Во второй группе
одновременно с нормальными уравнениями составляется дополнительное
уравнение, в которое в качестве неизвестного входит VTPV .
В первой группе способов решаются нормальные уравнения и
вычисляются результаты уравнивания. С результатами уравнивания с
помощью уравнений связи (5.5.2) вычисляются уравненные значения / всех
уравниваемых величин. Вычисляются поправки v ко всем уравниваемым
величинам по формуле
v = t>r-(.	(5.9.2)
где t - уравниваемая величина.
С вычисленными поправками v (5.9.2) формируется матрица поправок
V	и с весовой матрицей Р уравниваемых величин (см. раздел 5.5)
j
вычисляется значение V PV .
Такой способ вычисления ошибки единицы веса является
предпочтительным на стадии предварительного уравнивания. Вычисленные
поправки v дают возможность судить о наличии грубых ошибок в отдельных
уравниваемых величинах.
Теперь получим формулы для способов, в которых вместе с
нормальными уравнениями составляется дополнительное уравнение с
неизвестным VTРУ . Для этого на основании уравнений поправок (5.5.10)
напишем:
VrPV = {А8Х + L)T Р{А8Х + L).	(5.9.3)
Из (5.9.3) с учетом (5.2.10) и (5.2.14) следует, что
VTPV = 8ХТАТРА8Х + 8ХТАтPL +1!РА8Х +1!PL.	(5.9.4)
Преобразуем первые два члена в правой части (5.9.4), имея в виду
правило (5.2.6),
8ХТАТРА8Х + 8ХТАтPL = 8ХТ [атРА8Х + AtPl). (5.9.5)
Из (5.5.12) следует, что выражение в правой части (5.9.5) есть нулевая
матрица. Следовательно, на основании (5.9.4) получаем, что
VTPV = LT РА8Х + LT PL.	(5.9.6)
113

А.П. Герасимов
Выражение (5.9.6) можно рассматривать как уравнение, в которое
входят все неизвестные & в нормальных уравнениях
АТ PASX + АТ PL = О	(5.9.7)
и еще одно неизвестное VTPV :
i! PASX - VTPV + i!PL = 0.	(5.9.8)
Уравнение (5.9.8) называется дополнительным уравнением, а член
iJPL - свободным членом дополнительного уравнения. Чтобы получить
число VTPV, решают нормальные уравнения (5.9.7), вычисляют все
неизвестные Sx. с ними вычисляют свободный член С3 преобразованного
дополнительного уравнения по формуле
С3 = iJPL + ilPASX	(5.9.9)
и получают преобразованное дополнительное уравнение с одним
неизвестным VTPV :
-VTPV + C3=0.	(5.9.10)
Если при решении нормальных уравнений (5.9.7) выпопняются их
преобразования, то VTPV вычисляется следующим образом. При каждом
преобразовании системы нормальных уравнений получают преобразованную
систему в виде двух групп уравнений (5.8.6) и (5.8.7), т. е. в виде
Вх8Х + Си=Ох\	(5.9.11)
B2SX2] +С2 = 02.	(5.9.12)
Каждый раз решается система нормальных уравнений (5.9.12),
вычисляются неизвестные S:с2| и с ними каждый раз вычисляется
преобразованный свободный член дополнительного уравнения до тех пор, пока не
будет получено дополнительное уравнение с одним неизвестным типа (5.9.10).
5.10.	Многогрупповое уравнивание
Основные вопросы одногруппового уравнивания изложены в
предыдущих разделах этой главы. Отметим лишь, что при одногрупповом
уравнивании для всех уравниваемых величин веса и весовые матрицы
вычисляются с единой ошибкой единицы веса. Для всех уравнений поправок
назначаются единые уравниваемые параметры и их предварительные
значения. В этом разделе рассмотрим многогрупповое уравнивание.
114

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
При многогрупповом уравнивании уравниваемые величины
разбиваются на группы. Любой результат измерений может относиться
только к одной группе. К одной группе должны относиться и результаты
предыдущих уравниваний, связанные одной ковариационной матрицей.
Для каждой /-ой группы могут назначаться своя ошибка единицы веса
//(, свои уравниваемые параметры Xt и их предваритепьные значения Х°.
Уравнения поправок
A^SX.'+L, = Vj с весовой матрицей Pt (5.10.1)
и нормальные уравнения
составляются по группам. Нормальные уравнения отдельных групп
складывают и решают общую систему нормальных уравнений
Прежде чем складывать системы нормальных уравнений групп, их
необходимо привести к единой ошибке единицы веса, единым уравниваемым
параметрам и предварительным значениям этих параметров.
После приведения в каждой группе нормальных уравнений должны
быть неизвестные, входящие в другие группы. Будем называть их общими
неизвестными, а необщими те, что входят только в одну группу.
Складывать можно как исходные нормальные уравнения групп, так и
преобразованные, т. е. такие, в которых уже исключены часть или все
необщие неизвестные.
При сложении неизменными остаются те нормальные уравнения, в
которых квадратичный коэффициент стоит перед необщим неизвестным, т. е.
относится к необщему уравниваемому параметру. Суммируются нормальные
уравнения, в которых квадратичные коэффициенты стоят перед одними и
теми же общими неизвестными.
Рассмотрим приведение нормапьных уравнений. Сначала изложим
приведение к новой ошибке единицы веса.
Допустим, что в группе уравнения поправок
A]SXl + Lx = Vx с весовой матрицей Рх,	(5.10.4)
а следовательно, и нормальные уравнения
составлены с ошибкой единицы веса /10|, а привести необходимо к ошибке
(5.10.2)
Ат PASX + Ат PL = 0.
(5.10.3)
aIpxaxsxx + а1рхЬх= О
(5.10.5)
//0,. Для этого нормальные уравнения (5.10.5) надо разделить на //^и
умножить на . Будет получена новая система нормальных уравнений
115

А.П. Герасимов
2	2
А]РхА^Хх + A^PXLX = О.	(5.10.6)
Ао.	/'о.
Обозначив
P2=^fPr	(5.10.7)
запишем новые нормальные уравнения в таком виде:
а\Р2Ах8Хх + а( Р11л=0.	(5.10.8)
Им соответствуют уравнения поправок
Ах8Хх + Lx = Vx с весовой матрицей Р2 .	(5.10.9)
т
Отметим, что значение L, PfLx, необходимое для получения ошибки
единицы веса после уравнивания, вычисляется при составлении
первоначальной системы нормальных уравнений группы (5.10.5).
Еще одно замечание. Ошибки единицы веса считаются разными, если
они различаются абсолютными величинами, а не размерностями. Например,
если в группе /iQX = I", а назначено новое //02 =1 м, то приведения делать
не надо.
Сделаем следующий шаг - в нормальных уравнениях (5.10.8) заменим
V0
предварительные значения уравниваемых параметров л, новыми
предварительными значениями Х° так, чтобы из решения новой
(приведенной) системы нормальных уравнений
Л,Г Р2 A, SX2 + aJp2L2 = О	(5.10.10)
получить те же значения уравненных параметров, что и в случае (5.10.8), т. е.
выполнить условие
X = Х° + SX, = Х°2 + 8Хг.	(5.10.11)
Запишем это условие в ином виде:
8Хх = 8Хг + (*2° - ЛГ®) = SX2 + АХ.	(5.10.12)
Подставив (5.10.12) в (5.10.8), получаем:
ATXP2AX8X2 + \\P2LX + ATXP2AX{XI~XX) = 0.	(5.10.13)
Нормальным уравнениям (5.10.13) соответствуют уравнения поправок
А,8Х2 + L2 = Vt с весовой матрицей Р,.	(5.10.14)
116

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
в которых
L2 = I, + А,	- Xt°) = L, + А,АХ .	(5.10.15)
Теперь рассмотрим, как в нормальных уравнениях (5.10.13) заменить
параметры X другими параметрами У, сохранив, добавив или убавив
количество параметров, которые связаны между собой зависимостью вида
Х = /(У).	(5.10.16)
Для этого значения предварительных параметров в (5.10.13) и (5.10.15)
необходимо вычислять по формуле
(5.10.17)
а поправки 8Х2 в (5.10.13) и (5.10.14) следует заменить поправками 8У. по
формуле
5Х2 =
fax'
д.у,
л;,
(5.10.18)
где 8У\ - матрица поправок к предварительным значениям новых
параметров;
( Эх)
—	- матрица производных.
<ду)
Обозначим
(
F= —
{
и перепишем (5.10.18) в таком виде:
8Х2 = F8YX.
Поправки к новым параметрам соответствуют формуле
8YX =Y-Yl°,
V0
где У. - матрица предварительных значении новых параметров.
(5.10.19)
(5.10.20)
(5.10.21)
члены
В правой части выражения (5.10.18) по аналогии с (5.5.6) опущены
ах з
дУ^	Их влияние тем меньше, чем меньше
( \
О X
Эу2)
8У{2,
117

А.П. Герасимов
значения SYX. Следовательно, о проблеме линеаризации не следует
забывать при назначении как Л",0, так и Y°.
Уравнения поправок (5.10.14), соответствующие нормальным
уравнениям (5.10.13), преобразуем с учетом (5.10.20):
AlFSYl + L2=VJ с весовой матрицей Р2 .	(5.10.22)
На основании уравнений поправок (5.10.22) напишем нормальные
уравнения:
FTA[P2AiFSYi + FTA*P2L2 = О.	(5.10.23)
Подставим в (5.10.23) ранее введенные	обозначения	(5.10.7) и
(5.10.15):
2	2	2
^7-FT/(P]AtFSYl +^FTA{PILI + ^-FTA,TР^Ах (*“ -Х°)	= 0	(5.10.24)
Moi	№(Ц	Moi
Итак, по формуле (5.10.24) нормальные уравнения (5.10.5) приводятся
к новой ошибке единицы веса Ц02, к новым уравниваемым параметрам Yf и
их предварительным значениям У|°. Обе системы уравнений (5.10.5) и
(5.10.24) составлены с одними и теми же уравниваемыми величинами и их
ковариационными матрицами, но с разными уравниваемыми параметрами и
ошибками единицы веса. В них разное количество избыточных измерений г.
Им соответствуют разные ошибки единицы веса JU, разные значения VTPV ,
разные корреляционные и ковариационные матрицы Q и К.
При многогрупповом уравнивании суммарную систему нормальных
уравнений
А2 Р2А2^\ + А2 P2L2 = °	(5.10.25)
получают путем сложения частных систем (5.10.24). Из решения суммарной
системы находят уравненные значения уравниваемых параметров Y и
корреляционную матрицу Qv.
Ошибка единицы веса после уравнивания может быть вычислена по
формулам:
/4 = ~КТР2У2'	(5.10.26)
VIP2V2 = 4P2L2 +	•	(5.10.27)
118

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
где г, - число избыточных уравниваемых величин в системе (5.10.25).
Первый член в правой части (5.10.27) можно получить путем
суммирования соответствующих членов частных уравнений (5.10.24)
LT2P2L2 = l(4/»I2)	(5.10.28)
имея в виду, что при составлении уравнений (5.10.2) вычисляются не суммы
[L72P2L2 ) , а суммы fJZ.,) . Получим формулу для их приведения.
В соответствии с (5.10.15) и (5.10.22) для каждой частной системы
напишем:
(LT2P2L2) = (L, + А,ЬХ)Т Р2 (/,, + Л,АЛ').	(5.10.29)
Подставим в это выражение (5.10.7).
2
(l[p^) =^(LTlPiLi+LrlP]AxAX + AXTA;PtLl+AXTA,rPlAiAx). (5.10.30)
' Л»
Имея в виду, что
Lr]PiAibX = AXTAlPlLi,	(5.10.31)
получаем
2
(LT2P2L2) =	+2AXTA*PlL] + &ХТА*РуА{&х}. (5.10.32)
' ^01
По формуле (5.10.32) выполняется приведение сумм L^P^,
вычисленных при составлении нормальных уравнений групп (5.10.5).
Приведенные суммы частных систем складываются, получается сумма
l?2P>L, (5.10.28) и с ней по формулам (5.10.26) и (5.10.27) вычисляется
ошибка единицы веса после уравнивания fl2. С этой ошибкой единицы веса
получается ковариационная матрица
Ky=M22Qv.	(5.10.33)
Частным случаем рассмотренного здесь метода многогруппового
уравнивания является метод Пранис-Праневича [9]. В методе Пранис-
Праневича уравнения всех групп составляются с едиными ошибкой единицы
веса, уравниваемыми параметрами и их предварительными значениями. В
этом случае нет необходимости приводить нормальные уравнения. Матрицы
уравнений поправок и нормальных уравнений в методе Пранис-Праневича
показаны на рисунках 7 и 8.
119

А.П. Герасимов
J	L
Рис. 7
Матрицы уравнений поправок в методе Пранис-Праневича
Рис. 8
Сложение матриц нормальных уравнений
5.11. Многоэтапное уравнивание
В предыдущем параграфе изложена теория многогруппового
уравнивания. В основу теории многогруппового уравнивания пбложена идея
суммирования приведенных и преобразованных нормальных уравнений
отдельных групп.
Разовьем эту идею дальше. Положим, что нормальные уравнения
будут решены до конца в группах. Это означает, что будут получены
результаты уравнивания с их ковариационными матрицами. С этими
результатами уравнивания могут формироваться новые группы, в которых
решаются нормальные уравнения.
Формирование групп может выполняться в несколько этапов. Это
обеспечивает большой выбор путей решения задачи уравнивания.
Таким образом, все резупьтаты измерений разбиваются на группы. На
каждом этапе прямого хода решают нормальные уравнения отдельных групп,
попучают уравненные значения параметров в группах и их ковариационные
матрицы. С этими параметрами, т. е. с результатами уравнивания
предыдущего этапа, составляются новые группы. На следующем этапе для
120

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
новых групп составляют уравнения поправок, решают нормальные уравнения
и получают новые результаты уравнивания с их ковариационными
матрицами.
Так продолжается до тех пор, пока не будет получена одна (связующая)
группа. Из решения связующей системы уравнений поправок получают
окончательно уравненные значения части параметров и их ковариационную
матрицу. С этими параметрами поэтапно выполняется обратный ход.
На каждом этапе прямого хода для каждой группы уравниваемых
величин назначаются свои уравниваемые параметры. В пределах группы
параметры должны быть независимыми величинами. В разных группах могут
быть общие параметры, но это условие не является обязательным.
В прямом ходе для каждой группы можно назначать свою ошибку
единицы веса для получения весовой матрицы группы. Для вычисления
ковариационной матрицы результатов уравнивания группы должна быть
получена, как обычно, ошибка единицы веса после уравнивания группы.
В группах многоэтапного уравнивания уравнения поправок могут
решаться одногрупповым или многогрупповым методом.
В группах каждого этапа могут быть общие и необщие параметры. В
формировании группы последующего этапа участвуют только общие
параметры. Уравненные значения необщих параметров вычисляются в
обратном ходе группы.
Поясним многоэтапное уравнивание на примере. Положим, что все
уравниваемые величины разбиты на 6 групп:
^2г T3V Tsv ты.
Этим уравниваемым величинам соответствуют ковариационные
матрицы:
JT/-0 ггО глО ггО ггО Ш^гО
Л,,, Л2|, л31, л41, л51, Л6| .
Перед уравниванием назначаются предварительные значения
параметров групп:
уО угО уО уО уО уО
л п, л 21» л31' Д41' л51' Л6Г
Для примера будем считать, что уравниваемые величины шестой
группы 7^, предполагается использовать непосредственно при
формировании связующей системы, поэтому на промежуточных этапах для
нее нормальные уравнения не решают. Для остальных групп на первом этапе
составляются уравнения поправок:
+ = с
A2]8X2] + L2l=V2] с />,, Г21, Л’®;
+	T3r	Xj,;
121

А.П. Герасимов
d4l&X4] + L4X - V4I с/»,, T4I, X4i;
J,,SX,l + Li,=ys,cPs„ Т», X°„.
Составив и решив нормальные уравнения, получают уравненные
значения параметров в пяти группах:
и их ковариационные матрицы:
Уравненные значения и их ковариационные матрицы можно получать
не для всех, а только для общих параметров, которые будут использоваться
при составлении уравнений поправок на следующих этапах прямого хода.
Допустим, что результаты пятой группы не будут участвовать на втором
этапе, а будут использованы сразу для связующей системы, и что на втором
этапе будут сформированы две группы - седьмая из результатов Хх,, Х2] и
восьмая из Х}] и Х41. Уравниваемыми величинами в этих двух группах
будут результаты или выборки из результатов уравнивания:
Т12 из Хи и Х2]; Т92 из X3, и Х41
и ковариационные матрицы, которые будут получены путем выборки или
вычисления ковариационных матриц:
К°12 из Ки и Кгх \ К°2 из и К4Г
Для этих двух групп назначаются предварительные параметры Х^2 и Х^.
Далее составляются две системы уравнений поправок и нормальных
уравнений и получают уравненные параметры и их ковариационные матрицы:
У • У •
12' 82’
^72 ' ^82‘
На третьем этапе из двух групп второго этапа формируется одна группа
и получаются параметры и ковариационная матрица:
"^93 ’ ^93 •
На четвертом (в данном случае, последнем) этапе прямого хода
формируется десятая - связующая система уравнений поправок. В нее
входят все уравниваемые величины шестой группы ТЬ1, результаты Т5-,,
которые формируются из уравненных общих параметров Л^,, и результаты
122

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
7^(М из параметров X9J. В формировании ковариационной матрицы
связующей системы участвуют матрицы АГ”р /С51 и К93.
Связующая система уравнений поправок имеет вид:
А}0А6Хюа + Ll0A = У]0А с весовой матрицей Р10А.	(5.11.1)
Уравнениям поправок (5.11.1) соответствует система нормальных
уравнений
^10.4^10.4 ^10.4\0.4 + ^10.4^10.4^10.4 —О-	(*>■-11 -2)
Из решения системы (5.11.2) получают уравненные значения всех
параметров Х104 связующей системы и ковариационную матрицу всех или
только части этих параметров. С полученными параметрами начинается
обратный ход решения задачи.
Для шестой группы обратный ход не выполняется, так как все
параметры получаются из системы (5.11.2). Для пятой и девятой групп
вычисляются связующие параметры. Вычисленные таким образом
параметры принимаются за окончательные, и с ними выполняется обратный
ход в пятой и девятой группах. В результате будут получены уравненные
значения всех параметров пятой группы, а с параметрами девятой группы
вычисляются окончательные значения общих параметров в седьмой и
восьмой группах.
Выполняется обратный ход в седьмой и восьмой группах. По той же
процедуре выполняется обратный ход на всех остальных этапах, и в
результате получают уравненные значения всех уравниваемых параметров.
Схема прямого хода, соответствующего рассмотренному примеру,
показана на рис. 9.
При многоэтапном уравнивании могут применяться и правила
многогруппового уравнивания. Если на каком-то этапе составлены уравнения
поправок группы и соответствующие им нормальные уравнения, то эти
нормальные уравнения можно не решать, а складывать с нормальными
уравнениями других групп. В этом случае для данной группы не потребуется
заново составлять уравнения поправок с весовыми матрицами, что особенно
важно для больших систем уравнений. Естественно, что нормальные
уравнения разных групп необходимо привести к единым уравниваемым
параметрам и единой ошибке единицы веса.
В многоэтапном методе значительно проще, чем в многогрупповом
методе, решается проблема совместного уравнивания новых измерений и
координат ранее уравненных сетей.
123

А.П. Герасимов
Рис. 9
Схема прямого хода
5.12. Ковариационная матрица координат
Среди различных оценок точности уравненных геодезических сетей
особое место занимает ковариационная матрица координат, получаемая в
результате решения нормальных уравнений. С ковариационной матрицей
координат можно получить многие характеристики уравненной сети. К ним, в
частности, относятся следующие:
-	средние квадратические ошибки координат пунктов;
-	средние квадратические ошибки разностей координат пунктов;
-	средние квадратические ошибки расстояний между пунктами, в том
числе и расстояний между смежными пунктами;
-	средние квадратические ошибки азимутов направлений между
смежными пунктами и пунктами, расположенными далеко друг от друга;
-	средние квадратические ошибки взаимного положения в продольном
и поперечном направлениях.
Указанные средние квадратические ошибки опредепяются либо
непосредственно по ковариационной матрице координат, либо по формуле
(5.4.10).
Непосредственно по ковариационной матрице вычисляются средние
квадратические ошибки координат пунктов.
124

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Как отмечалось в разделе 5.4, диагональные элементы ковариационной
матрицы равны квадратам средних квадратических ошибок результатов
уравнивания. В матрицах координат корни квадратные из диагональных
элементов равны средним квадратическим ошибкам координат пунктов
относительно начала геодезической системы. В референцной системе - это
ошибки координат относительно начального пункта сети Пулково, в
геоцентрической системе - относительно центра масс Земли.
Если сеть уравнена на основе нескольких исходных (твердых) пунктов,
то средние квадратические ошибки характеризуют точность уравненных
координат относительно совокупности этих исходных пунктов, а не
относительно одного, например, начального пункта сети.
Современные сети уравниваются либо с пространственными
прямоугольными координатами X, У, Z, либо с эллипсоидальными
координатами В, L, Н. Если сеть уравнена с координатами X, Y, Z, то
получена ковариационная матрица К х. Координатам В, L, Н
соответствует ковариационная матрица Кв.
На основании ковариационной матрицы К х можно вычислить средние
квадратические ошибки координат X, Y, Z, пунктов по формулам:
М{Х) = ^К{ХХ1)-, М{у) = ффГу, M{Zi) = ^k{Z2) , (5.12.1)
где К - диагональные элементы матрицы К х , которые соответствуют
координатам Хп Y, Zi пункта/.
По ковариационной матрице Кд вычисляются средние квадратические
ошибки координат В, L, Н пунктов:
а/(в,) = >/^Фл); m(l) = Jk(ll); ау(я,) = >//:(яд). (5.12.2)
где К - диагональные элементы матрицы Кв, соответствующие
координатам Br L, Я пункта/.
Средние квадратические ошибки разностей пространственных
прямоугольных координат
АХ = Х2 - Л',;
AY = Y2-YX,	(5.12.3)
AZ = Z2 - Z,
получим на основании формулы (5.4.10), которая применительно к разности
АЛ' в (5.12.3) запишется в следующем виде:
125

А.П. Герасимов
М2{АХ) =
ЭАХ
ЭХ
к(х,х,)+
(эдл-!
I /
дх
к(х2хг)+
2 /
дАХ дАХ . ч
+2	К(Х.ХЛ.
элг, ar2 v '
Необходимые производные получим из (5.12.3):
дАХ	дАХ
= -1; 	= -1-1.
дХ,
ЭХ.
(5.12.4)
(5.12.5)
I	'"х2
Эти производные надо подставить в (5.12.4). Учитывая полную
аналогию формул (5.12.3) для АЛ", AY, AZ, напишем выражения для
средних квадратических ошибок трех разностей координат:
М{АХ) = yjK(XxX,) + K(X2X2)-2K(XxX2)-
M(AY) = yjK(YiY]) + K(Y2Y2)-2K(YiY2);
M(AZ) = у/к (Z,Z,) + К (Z2Z,) - 2К (z,z2).
Для разностей эллипсоидальных координат
АВ = В2-В];
AL = L2~ Z,|;
АН = Н2 - Я,
(5.12.6)
(5.12.7)
формулы средних квадратических ошибок напишем по аналогии с (5.12.6):
М(АВ) = jK(BiB{)+K(B2B2)-2K(BlB2y,
M(AL) = ylK(LlLl) + K(L2L2)-2K(L{L2)\	(5.12.8)
М{АН) = у/К (Я,Я,) + К (Н2Н2) - 2К (Я,Я2).
Выражение для средней квадратической ошибки расстояния (в данном
случае, для длины геодезической линии) напишем в соответствии с (5.4.10):

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
ds )
+2-
+2-
ds ds
dff, dL2
ds ds
z v ds ds ,	4	ds	ds	,	4
K(L2L2) + 2	K(B1L1)+2——K(B1B2) +
ЭЯ, dL,
/	\	^	ds	t	\
K{B,L2)+2——K{L,B2) + 2
ЭЯ, dB2
ds ds
dL, dB2
dL. dL,
(5.12.9)
dB2 dl2
Производные от длины геодезической линии по геодезическим
координатам вычисляются по формулам (2.8.7). Целесообразно иметь в виду,
Э.у ds
что
dL, dL2
На основании той же формулы (5.4.10) напишем выражение для
средней квадратической ошибки азимута геодезической линии с точки 1 на
точку 2:
Мг{А) =
dA 1
ЭЯ,
ВА 1
чЭв2/
ЭЛ'
Э/1 1
/ ч дА дА , ч дА дА , ч
K(L2L2) + 2——K(B,L1)+2	К(В,В2) +
ЭЯ, dL,
ЭЯ, ЭЯ,
dA dA , ч dA dA / ч
+2		—K(B,L2) + 2----;-	A~(L,g2)	+
ЭЯ, Э/,2
э/., эя2
ЭЛ ЭЛ , v dA dA , v
+2	*(/,*,)+2——*(«А)-
(5.12.10)
dL, dl2
Производные азимута по координатам вычисляются по формулам
(2.9.6).
Точность взаимного положения двух пунктов может характеризоваться
продольным и поперечным сдвигом. Средняя квадратическая ошибка
взаимного положения в продольном направлении равна ошибке длины
геодезической линии,
=	(5.12.11)
и. следовательно, вычисляется по формуле (5.12.9).
127

А.П. Герасимов
Чтобы получить среднюю квадратическую ошибку взаимного положения
в поперечном направлении, надо ошибку азимута, вычисленную по формуле
(5.12.10)	и выраженную в радианах, умножить на расстояние:
ГЛАВА 6. СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
6.1.	Основные положения о построении сетей относительным
методом
В сетях, создаваемых относительным методом, измеряются стороны.
Сторона сети может опираться на два определяемых пункта или на один
определяемый и один исходный пункт. Отдельные стороны сети могут
измеряться несколько раз. Результатами измерения стороны считаются
разности пространственных прямоугольных координат АХ, AY, AZ и их
ковариационная матрица К'.
Разности координат АХ, A Y, AZ измеряются в геодезической
системе WGS-84. Пересчет разностей координат в другую геодезическую
систему может выполняться по формулам (3.3.1).
Ковариационные матрицы К', полученные непосредственно из
наблюдений, соответствуют внутренней сходимости псевдодальностей.
Средние квадратические ошибки, вычисленные по диагональным элементам
матрицы К', в несколько раз меньше, чем ошибки, соответствующие
невязкам в замкнутых фигурах сети.
Для измерения разностей координат одной стороны сети выполняется
сеанс синхронных наблюдений двумя спутниковыми приемниками. Точность
результатов синхронных наблюдений зависит от геометрии спутников. В
общем случае, геометрия созвездия спутников тем лучше, чем больше
спутников и чем равномернее расположены они на небесной сфере.
Геометрию созвездия на отдельных интервалах синхронизации принято
характеризовать величиной геометрического фактора POOP. Геометрический
фактор является аналогом средней квадратической ошибки положения
пункта относительно спутников:
(5.12.12)
где Л/д., Му, М~ - диагональные элементы ковариационной матрицы
координат пункта.
Ковариационная матрица координат соответствует формуле
k=Sq,
(6.1.2)
128

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
где Q - корреляционная матрица координат пункта.
Корреляционная матрица вычисляется с координатами спутников и
предварительными координатами наблюдаемого пункта сети. При
вычислении PDOP вместо реальной ошибки единицы веса fJ. в (6.1.2)
используется фиктивная (назначенная) ошибка единицы веса.
Чем меньше PDOP, тем лучше геометрия созвездия. Геометрический
фактор PDOP характеризует геометрию созвездия спутников не за весь сеанс
наблюдений, а только на интервале синхронизации.
Величины геометрического фактора PDOP нужны для планирования и
организации синхронных наблюдений. При вычислении координат пунктов
сети фактор PDOP не используется.
Если в одном сеансе синхронных наблюдений измерения выполнялись
на п пунктах сети, то разности координат АХ, AY, AZ можно вычислить для
0.5п(п - 1) сторон. Однако, такие разности нельзя считать результатами
измерений, так как они являются зависимыми величинами. В спутниковых
сетях необходимо соблюдать правило о том, что если в одном сеансе
использовалось п приемников одновременно, то количество сторон, по
которым вычисляются разности координат АХ, Д Y, AZ должно быть не
более п - 1 и эти стороны не должны образовывать ни одной замкнутой
фигуры (треугольника, четырехугольника и т. п.).
Оценка точности измеренных разностей пространственных
прямоугольных координат АХ, ДУ, AZ выполняется в ходе полевых и
предварительных вычислений. Измеренные разности координат
исправляются поправками за центрировку антенн спутниковых приемников и
за эксцентриситет их фазовых центров.
Для оценки спутниковых геодезических сетей могут вычисляться
следующие характеристики точности:
-	средняя квадратическая ошибка измеренных разностей координат,
вычисляемая для сети по невязкам замкнутых фигур, которая является
основной характеристикой точности спутниковых измерений в данной сети;
-	средние квадратические ошибки разностей координат ДЛ\ Д Y, AZ,
вычисляемые по ковариационной матрице К', полученной по результатам
внутренней сходимости псевдодальностей;
-	невязки замкнутых фигур, вычисляемые по формулам Wy = 1ЛХ,
fVy = ЕДУ. Wz = ZAZ;
-	средние квадратические ошибки разностей координат по каждой
стороне сети, соответствующие невязкам в замкнутых фигурах;
-	разности разностей координат АХ, AY, AZ, измеренных 2 раза и
более.
129

А.П. Герасимов
Для указанных характеристик точности назначаются допустимые
величины. Допуски зависят от класса точности спутниковой сети.
С использованием измеренных разностей координат АХ, AY, AZ в
результате уравнивания вычисляются координаты и нормальные высоты
пунктов сети. Координаты вычисляются в государственной геодезической
системе СК-95, нормальные высоты в Балтийской системе 1977 года.
На основе результатов уравнивания спутниковой сети составляется
каталог координат и высот геодезических пунктов. В каталоге приводятся
координаты х, у, геодезическая высота Н и нормальная высота Н г.
6.2.	Эксцентриситет фазовых центров спутниковых приемников
В относительном методе разности координат АХ, А У, AZ
измеряются между электрическими (фазовыми) центрами антенн двух
спутниковых приемников. Антенны устанавливаются над центрами пунктов по
отвесу, но над центром пункта устанавливается не фазовый (ФЦ), а
геометрический центр антенны (ГЦ), которые показаны на рис. 10. Высота
антенны над центром пункта измеряется не от фазового центра, а от риски на
корпусе антенны. Несовпадение фазового и геометрического центров
принято называть эксцентриситетом фазового центра спутникового
приемника.
Щ
ФЦ
=>
h
Рис. 10
Элементы эксцентриситета
130

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Величины х^, показанные на рис. 10, являются горизонтальными
составляющими эксцентриситета, а величина Аэ - его вертикальной
составляющей.
Чтобы исключить влияние эксцентриситета, можно использовать
несколько процедур при спутниковых наблюдениях. К ним относятся
следующие:
-	поворот антенн пары приемников П, и П2 на 180*;
-	перестановка приемников на двух пунктах, при этом надо сохранить
неизменной ориентировку их антенн, например, на север;
-	определение элементов эксцентриситета с последующим
вычислением поправок в измеренные разности координат АХ, Л У, AZ.
Поворот антенн на 180° (см. рис. 11) позволяет исключить влияние
только горизонтальных составляющих. Влияние вертикальной составляющей
не исключается, поэтому эта процедура не применяется при построении
точных спутниковых сетей. Она может использоваться, в частности, при
определении азимутов относительным методом космической геодезии.
Рис. 11
Поворот антенн в полуприеыах
Идея процедуры перестановки приемников показана на рис. 12. По
результатам наблюдений в первом и втором полуприемах можно вычислить,
например, разности плоских прямоугольных координат Дх|2, которые
соответствуют формулам:
1-ый полуприем
пункт 1
пункт 2
2-ой полуприем
(6.2.1)
131

А.П. Герасимов
П1.1	[12.1	.	0
где дг, ,х2	-	координаты пунктов 1 и 2, которые соответствуют
результатам наблюдений приемниками ГЬ и П2 в первом полуприеме;
х7| хэ2 - горизонтальные составляющие эксцентриситета приемников
П1 и П2.
1-ый полуприем ГЬ	\_у Пг
пункт 1	пункт 2
С^)п1	(J)
2-ой полуприем \_у П1	Пг
Рис. 12
Перестановка антенн в полуприемах
Получим среднее значение из двух полуприемов:
Г12,1 , ni.ll ПМ , П2.И
Х, + X,	X.	+ X.
А^|2 = 	s	!	!	.	(6.2.2)
2 2
В этом выражении нет составляющих эксцентриситета дгэ|, хэ,.
Следовательно, их влияние на результаты наблюдений исключено. Это же
относится и к составляющим уз1, уэ2.
Формулы, аналогичные (6.2.2), напишем для разности геодезических
высот:
/Ш||2=(ягпг-,+*,2)-(я|1ш+*,,);
AH,i
где //,,//2 - высоты пунктов 1 и 2, вычисленные с учетом высот антенн
А,, И2 над центрами пунктов.
На основании (6.2.3) получаем:
я,п2л + н'"" н!"' + н!и"
АЯ,, = —	2	!	'■	.	(6.2.4)
132

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Из выражения (6.2.4) следует что на среднее значение АНп
вертикальные составляющие эксцентриситета hЛэ2 не влияют, но
рассмотренная процедура требует больших затрат времени, поэтому тоже не
применяется при создании спутниковых сетей.
При построении спутниковых сетей выполняются исследования
спутниковых приемников, в ходе которых определяют эксцентриситет
фазовых центров. Целью исследований является определение
горизонтальных составляющих эксцентриситета каждого рабочего приемника
и разностей вертикальных составляющих всех пар рабочих приемников. При
исследовании используется один контрольный спутниковый приемник того же
или более высокого класса точности.
Исследования приемников выполняют на открытой ровной площадке.
На площадке на расстоянии 15-20 м друг от друга закладывают центры
пунктов. В полевых условиях в качестве временных центров могут
использоваться забитые в грунт деревянные колья диаметром 8-10 см и
длиной не менее 0,5 м. В верхнюю часть кола забивается гвоздь, на шляпке
которого делается крестообразная насечка.
Эллипсоидальные координаты В, L, Н всех пунктов в общеземной
системе должны быть определены с ошибкой не более 1 м. Для
исследования эксцентриситета пункты на площадке могут располагаться
произвольно. Между всеми пунктами дважды измеряются нивелиром
разности высот. При однократном измерении разности высот выполняется
два приема наблюдений с изменением высоты нивелира и вычисляются
средние значения разностей высот.
Для определения эксцентриситета рабочие и контрольный приемники
устанавливаются над центрами пунктов. Всеми приемниками одновременно
выполняются две программы синхронных наблюдений спутников. Каждая
программа состоит из двух приемов. В приеме суммарная продолжительность
синхронных наблюдений при PDOP не более 5 должна быть не менее 4
часов. Между программами меняется высота антенн всех рабочих
приемников. Высоты антенн над центрами пунктов измеряются с ошибкой не
более 1 мм.
В каждой программе антенны всех приемников ориентируются на
север. Выполняется первый прием программы синхронных наблюдений.
Антенны рабочих приемников ориентируются на юг, ориентировка антенны
контрольного приемника не меняется. Выполняется второй прием программы.
По результатам одной программы вычисляются горизонтальные
составляющие эксцентриситета каждого рабочего приемника и 2 раза
разности вертикальных составляющих для каждой пары рабочих приемников.
По результатам каждого приема вычисляются разности
пространственных прямоугольных координат AXkj, AYkj, AZki фазовых
133

А.П. Герасимов
центров контрольного приемника к и всех рабочих приемников /. Разности
должны соответствовать формулам:
АХи-Х, - хк- ДГЬ. = Yti - Yk\ AZU = Z, -Zk,	(6.2.5)
где Xk, Yk, Zk - координаты фазового центра контрольного приемника;
Xjt Y., Z( - координаты фазового центра рабочего приемника.
При вычислении разностей координат	Д)*,,	AZkj с помощью
программ постобработки используются эллипсоидальные координаты
Вк, Lk, Нк фазового центра контрольного приемника, вычисляемые по
формулам:
Вк=В\ Lk=L\ Нк=Н + h,	(6.2.6)
где В, L, Н - координаты пункта, над которым установлен контрольный
приемник;
h - высота антенны контрольного приемника в данной программе
наблюдений.
По результатам двух приемов каждой программы вычисляются
разности разностей координат по формулам:
аиг„=д*"-д*'.; &Yh=AY;:-AY-- &Z,= AZ" -&Z'U, (6.2.7)
где AX", AYk', AZ'^ - разности координат, измеренные во втором приеме;
AX'U, AYki, AZ'kj - разности координат, измеренные в первом приеме.
По разностям разностей прямоугольных координат с использованием
частных производных вычисляются разности разностей эллипсоидальных
координат:
дВ	дВ	дВ
ЯАВи=—дАХь +—8AYb +—SAZ,-
эх ь ЭУ b BZ *'
и = дХ ii + dY	(62'8)
8АНи =—SAXki+—SAYkl +—6AZkr
эх	ar	az
Частные производные вычисляются по формулам:
дВ	р"	дВ	р"
	= --	-sinficosL; — = --	-sin 5 sin L;
дХ (м + н)	дК	(М + Н)
134

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
дВ р"
—	= -	-cos 5;
az	(М + Н)
dL	//'sin	L	dL	p"	cos	L
dX	(N + H)cosB’ ЭУ (N + H)cosB’
ЭЯ	ЭЯ	Э//
	= cosBcosL; 	=	cosfisinL;		= smfl;
av	ar	az
Л/ =	*	N =
(l-e2 sin^)1’5’	(l-,2sin25)0-5’
a = 6378136; e = 0,0066943678; />" = 206264,806.	(6.2.9)
Частные производные и радиусы кривизны М и N вычисляются со
средними значениями координат фазовых центров, получаемых по
формулам:
В = 0,5(Вк + В,); L = 0,5(Lk+Li); Н = 0,5(Нк +Н.), (6.2.10)
где Вк, Lk,Hк - координаты фазового центра контрольного приемника;
Bi,L.%Hi - координаты фазового центра рабочего приемника.
С полученными разностями разностей координат вычисляются в
каждой программе горизонтальные составляющие х ,уз эксцентриситета
рабочего приемника по формулам:
SB =0,5SABkj\ х = 30,95В ;
(6.2.11)
SL3 = 0,5SALh; уз = 30,9 cos B.SL3.
Расхождения значений х3.уэ, вычисленных в двух программах, не
должны превышать 2 мм. За окончательное значение принимается среднее
арифметическое.
Изменение ориентировки на 180° между приемами не должно
приводить к изменению высот фазовых центров рабочих приемников. Для
контроля этого условия в каждой программе для каждой пары «рабочий
приемник - контрольный приемник» вычисляется два значения величины
АHki по формуле
эя эя	ая

А.П. Герасимов
где AXir A Yh, ДZki - разности координат, вычисленные по формулам (6.2.5).
ЭЯ	ЭЯ	ЭЯ
Частные производные 	, 	, 	 вычисляются по формулам
дХ	ЭГ	az
(6.2.9)	со	средними значениями	координат	фазовых	центров.	Разность
значений величины АН h, вычисленной в каждой программе дважды, должна
быть не более 2 мм.
Для	определения	разности	вертикальных	составляющих	АИз	для
каждой пары рабочих приемников / и j вычисляются в каждом приеме
разности координат AAV, ДК, AZ^. фазовых центров, которые должны
соответствовать формулам:
AX^Xj-X- A Y^Yj-Y- AZy = Z.	- Zf.,	(6.2.13)
где X, У, Zf - координаты фазового центра приемника/;
X, К , Z. - координаты фазового центра приемника j.
По разностям пространственных прямоугольных координат с
использованием частных производных вычисляются разности геодезических
высот фазовых центров ДЯу по формуле
ЭЯ	ЭЯ	ЭЯ
ДЯу. =	АХ, +	A Ги +	AZ...	(6.2.14)
1	ъх 1	эу '	az '
Частные производные вычисляются по формулам (6.2.9) со средними
значениями координат фазовых центров:
В = 0,5(5, + Bj)\ L = 0,5(/,. + Lj).	(6.2.15)
Разность вертикальных составляющих	эксцентриситетов для пары
приемников в каждом приеме вычисляется по формуле
Ah., = АН* - АН у + hj - А„	(6.2.16)
где A, hj - высоты антенн над центрами пунктов;
АН? - разность нормальных высот центров пунктов, измеренная
нивелиром, которая соответствует формуле АН* = Н* - Hj.
Расхождения четырех значений Дh} должны быть не более 2 мм. За
окончательное принимается среднее арифметическое значение.
136

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Горизонтальные составляющие эксцентриситета фазового центра
каждого приемника и разности вертикальных составляющих всех пар
приемников должны приводиться в техническом отчете о построении
спутниковой геодезической сети.
6.3.	Приведение измерений к центрам пунктов
При построении спутниковых сетей в каждом сеансе наблюдений
определяются элементы центрировки. Элементами центрировки являются
разности эллипсоидальных координат SB, SL, 8Н центра пункта и
геометрического центра антенны приемника.
Если нельзя выполнить наблюдения с центра пункта, то на месте
установки антенны забивается деревянный кол с гвоздем. Центр насечки на
шляпке гвоздя является центром места установки антенны.
Антенны спутниковых приемников устанавливаются над центрами с
помощью оптических центриров с точностью 1 мм. Высота антенны ha над
центром пункта или над центром места ее установки измеряется с точностью
1 мм дважды - до начала сеанса наблюдений и по его окончании. Значение
Ии должно соответствовать формуле ha = На — Нц или ha = На - Я,, где
Ни - геодезическая высота антенны, Н - геодезическая высота центра
пункта, Я, - геодезическая высота центра места установки антенны.
Если антенна установлена над центром пункта, то горизонтальные
элементы центрировки SB, SL равны нулю, а вертикальный элемент SH
вычисляется по формуле SH = —ha.
В случае установки приемника вне центра пункта измеряется разность
высот А, центра места установки антенны и центра пункта, которая должна
соответствовать формуле А, = //, - Нц, в которой Я, - геодезическая
высота центра места установки антенны, Нц - геодезическая высота центра
пункта.
Разность высот измеряется нивелиром двумя приемами. Между
приемами меняется высота нивелира. Расхождение значений разности высот
между приемами не должно превышать 3 мм. По двум значениям разности
высот вычисляется среднее арифметическое значение А,. Вертикальный
элемент центрировки вычисляется по формуле SH - -ha - h{, где ha -
высота антенны над центром места ее установки.
137

А.П. Герасимов
Горизонтальные элементы центрировки SB, SL могут определяться
створным или нестворным методом.
В нестворном методе измеряются наклонное расстояние S и азимут А
направления с центра пункта на центр места установки антенны. Средняя
квадратическая ошибка измерения расстояния должна быть не более 5 мм.
Ошибка измерения азимута не должна превышать величины, вычисляемой по
формуле dA = 2000IS, в которой выражены ошибка азимута dA в
секундах, расстояние S в метрах.
Если расстояния измеряются светодальномером, то их значения,
приведенные к центрам (наклонные расстояния), вычисляются по формуле
S = D + AD,	(6.3.1)
где D - расстояние между светодальномером и отражателем;
AD - поправка за высоту приборов над центрами пункта и места
установки антенны.
Поправка AD вычисляется по формуле
AD =
[/ + V	(v-/)2	V	—/ 1
	D + -	— +	hi,	(6.3.2)
12735516 2D D J
где i - высота светодальномера над центром;
v - высота отражателя над другим центром;
И - разность высот центров.
Разность высот двух центров И должна соответствовать формуле
h = H2-Hv
где //, - высота центра, над которым установлен светодальномер;
-	высота центра, над которым установлен отражатель.
Азимут А направления с центра пункта на центр места установки
антенны определяется теодолитом от двух исходных сторон. Исходными
могут быть стороны геодезической сети и направления на ориентирные
пункты.
Азимуты исходных сторон могут также определяться с помощью
вспомогательного спутникового приемника. Схема определения показана на
рис. 13.
Для определения азимутов исходных сторон выполняются синхронные
наблюдения основным и вспомогательным приемниками. Продолжительность
сеанса наблюдений должна быть не менее 1 часа при геометрическом
факторе POOP не более 6. По результатам синхронных наблюдений
138

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
основным и вспомогательным приемниками вычисляются азимуты А'
исходных сторон.
N
Рис. 13
Схема определения азимута
Азимут направления с центра пункта на центр места установки антенны
вычиспяется по формуле
А = (л' + р± 180) - (о, 03234 - 0,00011 sin*’ e)stgflsin(/ + 0± 180 ) , (6.3.3)
где Р - горизонтальный угол, измеренный теодолитом;
В - широта центра места установки антенны.
Расхождение значений азимута, полученных от разных исходных
сторон, не должно превышать величины, вычисляемой в секундах по
„ 600
формуле с —	, в которой S - расстояние в метрах.
5
В нестворном методе горизонтальные элементы центрировки
вычисляются по формулам;
139

А.П. Герасимов
SB = - (о,03256 - 0,00033sin2 5)5 cos А;
/	\ S sin А	(6.3.4)
SL = -10,03234-0,0001 lsin2 Я)	.
v	' cos В
В этих	формулах	величины	SB	и SL выражены в секундах,	S - в
метрах. Элементы центрировки SB, SL соответствуют формулам:
B4=B + SB; Lq=L + SL,	(6.3.5)
где Вц, LH - координаты центра пункта;
В, L - координаты центра места установки антенны.
Створным методом горизонтальные элементы центрировки SB, SL
определяются с помощью вспомогательного приемника.
Для установки вспомогательного приемника закладываются два
временных центра (см. рис. 14) на расстоянии 2-5 м друг от друга и примерно
на таком же расстоянии от центра пункта, как и центр места установки
антенны, но по другую сторону.
Центр места	Центр
установки антенны	пункта
О—о
Временные
центры
Рис. 14
Схема центров в створном методе
Временные центры выставляются с помощью теодолита в створе
направления с центра места установки антенны на центр пункта с точностью
1	мм. От центра пункта измеряются расстояние 5, до центра места
установки антенны и 2 расстояния S-, до временных центров с ошибкой не
более 5 мм. Нивелиром измеряются разность высот Л, между центром
пункта и центром места установки антенны и 2 разности высот И2 между
центром пункта и временными центрами. Наклонные расстояния S, и S,
вычисляются по формуле (6.3.1).
140

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Из синхронных наблюдений основными приемниками определяются
координаты центра места установки антенны X, Y, Z и В, L, Н, а по
синхронным наблюдениям основного и дополнительного приемников -
координаты Х\ Y', Z' и В', L\ Н' двух временных центров.
Продолжительность сеанса наблюдений основным и вспомогательным
приемниками должна быть не менее 2 часа при PDOP не более 5.
С полученными координатами вычисляются разности координат
центров по формулам:
Вычисленная разность АН используется только для контроля
измерений. Горизонтальные элементы центрировки вычисляются дважды по
формулам:
Расхождение значений горизонтальных элементов центрировки SB и
SL, вычисленных по результатам наблюдений на двух временных центрах,
не должно превышать 3 мм.
6.4.	Полевые и предварительные вычисления
Математическая обработка результатов измерений в спутниковых сетях
включает 3 этапа: полевые вычисления, предварительные вычисления и
уравнивание сетей. Полевые вычисления выполняются после сеанса
синхронных наблюдений, а предварительные вычисления - до выезда из
района работ.
На основе наблюдений спутников по каждой измеренной стороне сети
формируется первичный файл с результатами измерения псевдодальностей.
Первичные файлы являются исходным материалом для полевых
вычислений. При полевых вычислениях получаются разности координат
АХ\ AY' , AZ и их ковариационная матрица К.'^. По ковариационной
матрице вычисляются средние квадратические ошибки	т'&у,
которые соответствуют внутренней сходимости псевдодальностей.
Вычисления выполняются по формулам:
АВ = В-В'- AL = L-L'; АН = Н - Н\
(6.3.6)
SB = КАВ; SL = KAL,
(6.3.7)
где К
(6.4.1)
где Ки - диагональные элементы матрицы К.'^х
141

А.П. Герасимов
В спутниковых сетях целью предварительных вычислений является
оценка качества результатов полевых измерений и подготовка их для
уравнивания. На основе оценки выполняется отбраковка результатов,
которые не соответствуют допускам.
Полученные при полевых вычислениях разности координат AX', AY*,
ДZ исправляются поправками за центрировку и за эксцентриситет фазовых
центров антенн спутниковых приемников. Для вычисления поправок
используются предварительные эллипсоидальные координаты пунктов сети
В, L, Я, вычисленные с разностями координат ДА^, AY, bZ’ от
исходных пунктов.
При вычислении поправок за центрировку и эксцентриситет
используются следующие величины:
*,=
(l -е2 sin2 Bt)
Л/, =
(l 2 ■ 2 в V '5 *
11	- е sin В2 I
N,=
(l-e2sin2 В,)
N2 =
(l -e2 sin2 B2)
0.5 ’
«„,=0,5(4+^); i„=0,5(A+ij);
dX
'dx}
-— | = cos Bx cos Lx;
dB
ЪХ_
ЭЯ
ЭЯ,
ar
ая
= — (Л/, + Я, )sin Я, cos/.,;
дХ
dL
= -(iV, +Я,) cos Д, sin Lx;
i
= -(Л/, + Я,)sin, В sinL{\
'ъг
Э/,
= (N, + Я, )cos£, cos
= cos B. sin L.;
A
Щ=(М1 + Я,)созв,;(Щ=5тв|;
dB
= ~{М2 + H2)sin B2 cosL2;
dx'
)2
dL
= -(N2 + H2)cosB2 sinZ,2;
J2
142

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
эх;
ЭН)2
эг'
дВ
ЭН )2
=(М2 + Н7) cos В2;
= cos В2 cos L2;
= ~{М2 + H2)sinBn sinl2;
= cosB2 sin L2;
ЭК I ,	4
—	=	(^2	+	H2)cosB2	cosi,;
dL J ?
*z>\
	 =sin/f,;
\ЬН)г
(6.4.2)
fdx'
f dY'
= cos В sin L ;
rdz'
= cos В cos L ;

кэя,
cp cp
<T
[эя]
cp tp
CP
dH)
= sin В ,
<p
rp
где a = 6 378 136 m; e = 0,006 694 3678;
Br L,, Ht - координаты начального пункта стороны;
В2, L2, Н2 - координаты конечного пункта стороны.
Поправки 5АХэ, , SbZ3 за эксцентриситет фазовых центров
антенн спутниковых приемников вычисляются по формулам;
8ВХ = -^!_; SL, =	^	;
30,9	30,9 cos В.
SB, =-^-; SL7 =
30,9
30,9	cos 5,

А.П. Герасимов
&r, = 6Y,,-Sr,,+( —
32	”	l	ЭЯ
ДЛЭ;
cp
SAZ3=SZj2-SZ}i +
dZ
1ЭЯ
да.
(6.4.3)
cp
Методика определения элементов эксцентриситета х}, уэ, АН3
приведена в разделе 6.2.
Поправки ЗЬХц, <5^1^, 8Ь1Ц за центрировку спутниковых приемников
вычиспяются по формупам:
'алЛ „ fdx} е
-		\SLX +
bl),
(эх
SX{ =
дВ у,
SBl +
-4	-	\SHV
эн)1
(ЭХ
SX 2 =—
2 I ЭЯ
/2
SB, + 	 SL, +
и^л
an с.
— SH2;
ЭЯ Л
sr2 =
sz, =
dr
дв
SBt +
/I
'dY}
\dB ;2
'dZ^
\ЪВ/|
SB2+\ —
Ui
arл e	с
— <^ +	 SHt;
Э/J, ^ \ЪН)Х
(BY
SL2 +
/2
с
— SH2\
ЭЯ )2
SB^ +
r bz^
\ЬНЛ
'2
SB2 +
( dz
эяЛ
SHr\
8\Хц = <Wf2 - SXx; <S\y4 = SY2 - Л;; <&Z„ = SZ2 - £Z,. (6.4.4)
Методика определения элементов центрировки SB, SL, <£Я
приведена в разделе 6.3.
Разности координат АХ, A Y, AZ, исправленные поправками за
центрировку и за эксцентриситет фазовых центров антенн спутниковых
приемников, вычиспяются по формулам:
AX = AXj + SAXi+S\Xh;
AY = AY' + S&Yj + &Yti;
144

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
AZ = AZ' + 5&Z) +	.
(6.4.5)
С разностями координат АХ, AY, AZ, исправленными поправками за
центрировку и за эксцентриситет фазовых центров антенн, вычисляются
невязки замкнутых фигур (треугольников, четырехугольников и т. п.) по
формулам:
где t - число сторон в замкнутой фигуре.
При вычислении невязок должны использоваться все измеренные
стороны сети.
На основании невязок в замкнутых фигурах вычисляется средняя
квадратическая ошибка измеренных разностей координат в спутниковой сети
по формуле
где п - число замкнутых фигур;
3/7 - число невязок в замкнутых фигурах;
к - количество всех сторон в этих фигурах.
При вычислении средней квадратической ошибки т выбор замкнутых
фигур производится при условии, что каждая сторона сети участвует не
более одного раза, поэтому участвуют не все стороны и не все замкнутые
фигуры.
Для каждой измеренной стороны сети вычисляется ковариационная
матрица , которая соответствует средней квадратической ошибке т.
Матрица К^ вычисляется следующим образом. На основе средних
квадратических ошибок т^, т'&у, т'и (6.4.1), полученных при полевых
вычислениях для каждой стороны сети, вычисляется средняя квадратическая
ошибка для всей сети по формуле:
(6.4.6)
(6.4.7)
(6.4.8)
где г - число измеренных сторон.
145

А.П. Герасимов
Допуск на величину не устанавливается.
На основе ковариационной матрицы К'хх, полученной при полевых
вычислениях, и ошибок т и вычисляется для каждой стороны сети
ковариационная матрица К^ по формуле
Средние квадратические ошибки разностей координат,
соответствующие невязкам в замкнутых фигурах, вычисляются по формулам:
где Kit - диагональные элементы матрицы Ккх.
6.5.	Уравнивание высокоточной геодезической сети
Высокоточная геодезическая сеть уравнивается в референцной
системе координат, поэтому исходными в уравнениях поправок являются
координаты Пулково. Координаты Пулково X, Y, Z передаются на пункты
ВГС и ФАГС с разностями координат АХ, AY, AZ, которые измерены в
системе WGS-84 и пересчитаны в систему СК-95.
Пункты ВГС связаны спутниковыми наблюдениями с международными
пунктами ФАГС. Точность взаимного положения этих пунктов ФАГС
значительно выше, чем точность взаимного положения пунктов ВГС при
расстояниях более 1000 км. Следовательно, при уравнивании ВГС
координаты международных пунктов ФАГС в системе ITRS не должны
получать поправок. Координаты остальных пунктов ФАГС получаются из
уравнивания ВГС. Эти пункты ФАГС и пункты ВГС будем называть
определяемыми.
Координаты международных пунктов ФАГС получены в системе ITRS и
относятся к системе конкретного года ITRF. Уравнивание ВГС выполняется
при условии, что угловые и масштабный параметры связи СК-95 с ITRF
равны нулю, т. е. (Ох = 0, й)у = 0, 0)2 = 0, т = 0. В связи с этим в
уравнения поправок входят в качестве уравниваемых параметров только 3
линейных параметра связи обновленной системы СК-95 с системой ITRF.
Одной из задач уравнивания ВГС является создание карты высот
квазигеоида над эллипсоидом Красовского в обновленной системе СК-95.
2
(6.4.9)
(6.4.10)
146

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Для решения этой задачи определены нормальные высоты пунктов ВГС и
ФАГС из геометрического нивелирования.
До уравнивания ВГС выполняются предварительные вычисления,
целью которых является оценка качества результатов полевых измерений и
подготовка их для уравнивания. На основе оценки выполняется отбраковка
результатов, которые не соответствуют допускам. Методика
предварительных вычислений приведена в разделе 6.4. В соответствии с
этой методикой на основе невязок в замкнутых фигурах вычисляется средняя
квадратическая ошибка т (6.4.7) измеренных разностей координат для всей
ВГС и ковариационные матрицы К^ (6.4.9) для каждой стороны сети,
которые соответствуют средней квадратической ошибке т. Ковариационные
матрицы Кдд. (6.4.9) вычисляются в системе WGS-84.
Уравниваемыми величинами в ВГС являются измеренные разности
координат АХ, AY, AZ с их ковариационными матрицами	.
Уравниваемыми параметрами служат координаты пунктов ВГС и пунктов
ФАГС, которые не являются международными, а также 3 линейных параметра
связи обновленной СК-95 с ITRF.
Разности координат АХ, AY, AZ для каждой стороны ВГС измерены в
системе WGS-84. Они пересчитываются в систему СК-95 по формулам
(3.3.1):
АХ = АХМ - G)yAZM + cd7AYm + тАХм;
АУ = А Ум + Q)XAZM — (oz АХМ + /пАУм;
AZ = AZ84 - (ОхАУы + соYАХм + mAZM,	(6.5.1)
где АХ, AY, AZ - разности координат в СК-95;
АХМ, АУМ, AZM - разности координат, измеренные в WGS-84.
Пересчет по формулам (6.5.1) выполняется со следующими
параметрами связи: й)х =0, 0)у =0, 0)z =0,20#, т = 0,12-10"*.
Параметры связи WGS-84 с СК-95 в формулах (6.5.1) выражаются
малыми величинами, поэтому ковариационные матрицы К^х (6.4.9), которые
получены в WGS-84, считаются матрицами в системе СК-95.
При уравнивании ВГС составляется 3 вида уравнений поправок:
-	для сторон, опирающихся на пункт Пулково;
-	для сторон, опирающихся на международные пункты ФАГС;
-	для сторон между двумя определяемыми пунктами.
Для каждой из указанных сторон составляется 3 уравнения поправок.
Во всех уравнениях поправок уравниваемыми величинами являются разности
147

А.П. Герасимов
координат АХ, AY, AZ в системе СК-95 с их ковариационными матрицами
Кдд.. Для уравнений поправок каждой стороны вычисляются весовые
матрицы по формуле
где fiQ - назначенная ошибка единицы веса произвольной величины и
размерности.
Весовые матрицы имеют размер 3x3:
От исходных координат пункта Пулково Xп, Y„, Zn с разностями
координат АХ, AY, AZ (6.5.1) вычисляются в системе СК-95
международных пунктов ФАГС.
Для упрощения процедуры составления нормальных уравнений
целесообразно в уравнениях поправок исходные пункты рассматривать как
определяемые, а перед решением преобразовать нормальные уравнения так,
чтобы исходные пункты не получали поправок. Это положение относится к
уравнениям поправок для сторон, опирающихся на пункт Пулково и на
международные пункты ФАГС.
Уравнения связи для стороны, опирающейся на пункт Пулково и
определяемый пункт /, имеют вид:
Р&х ~	К \х *
(6.5.2)
(6.5.3)
if 0 wO r~j о
предварительные координаты X , / , Z всех определяемых пунктов и
(6.5.5)
(6.5.4)
148

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
где dXr dYr dZ( - поправки к предварительным координатам Лг(°, I'0, Z(°
определяемого пункта /;
dXп, dYn, dZn - формальные поправки к координатам Пулково.
В уравнениях поправок (6.5.5) свободные члены вычисляются по
формулам:
'м = Х° - Х„ - ДАГШ;
/ду = Yj —Yn~ AYnj;	(6.5.6)
l*z=Z?~Zn-AZnr
Напишем уравнения связи для стороны, опирающейся на
международный пункт ФАГС и определяемый пункт /:
Х'=Хм+дХ + АХм-
Yi = YM+dY + AYMi;	(6.5.7)
Zi =	+ 3Z + AZMi,
где	ZM - координаты	международного пункта ФАГС в системе
ITRF;
ЭХ, BY, dZ - параметры перехода от системы ITRF к системе СК-95.
Уравнениям связи (6.5.7) соответствуют уравнения поправок:
dXj ~ dXM - dbX + /дд. =	;
dY.t -dYM-ddY + lAY = удк;	(6.5.8)
dZl - dZM - ddZ + /дг =	,
где ddX, ddY, ddZ - поправки к предварительным значениям
дХ°, дУ°, dZ° линейных параметров перехода от системы ITRF к системе
СК-95;
dXм, dYM, dZM - формальные поправки к координатам
международного пункта ФАГС.
Свободные члены в (6.5.8) вычисляются по формулам:
1Ы=Х°-ХМ-ЭХ°-АХНГ
= <659>
149

А.П. Герасимов
Теперь напишем уравнения связи для стороны, которая опирается на 2
определяемых пункта / и у:
Свободные члены в уравнениях поправок (6.5.11) вычисляются по
формулам:
где SX - неизвестные, т. е. поправки dX, dY, dZ к предварительным
При уравнивании сети собственно уравнения поправок могут не
составляться. В этом случае вычисляются коэффициенты, свободные члены
и весовая матрица Р^х для трех уравнений поправок. С вычисленными
коэффициентами, свободными членами и весовыми матрицами вычисляются
компоненты нормальных уравнений.
(6.5.10)
Уравнения поправок имеют вид:
(6.5.11)
(6.5.12)
При уравнивании ВГС составляются нормальные уравнения
ATPASX + ArPL = Q,
(6.5.13)
которые соответствуют уравнениям поправок
ASX + L = V с весовой матрицей Р,
(6.5.14)
координатам Х°, У°, Z° и поправки ddX, ddY, ddZ к предварительным
параметрам связи дХ°, ЭУ°, dZ°; L - свободные члены уравнений поправок.
150

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Чтобы одновременно с решением нормальных уравнений получить
число Е, которое равно произведению матриц VTPV (х = VT PV
необходимое для вычисления ошибки единицы веса после уравнивания //,
т	т
можно к системе нормальных уравнений A PASX + A PL = О добавить
т	т
дополнительное уравнение L РА8Х — Y.+ L PL = 0.
Компонентами нормальных и дополнительного уравнений являются
элементы частных матриц (^АТРА^ , ^АТPL^ , [iJРА^ = (^АТ PL^ и
[il PL^ , составляемых по каждой измеренной /-той стороне ВГС.
Частная матрица
(атра
1 имеет вид:
;
Ри
Р\2
Р - Р
43 11
-^2
-^з
**2.
Ргг
Р - Р
2Ъ 21
"^22
-^23
(атра) =
*3.
Р»
Р - Р
ГЪЪ Г1\
-^32
-^зз
' и
-Р>2
- Р Р
13 11
^3
-Ъх
~Р22
- р р
23 21
^22
Рц
-р»
~ Pyi
- Р Р
*зз *31
^32
^33
(6.5.15)
Частные матрицы ^АТ PL^ и РА^ вычисляются по формулам:
(лтп) =
-Ри
-Рп
~Рп
-p2t
-Рп
~Ргг
-р»
-Рп
~Ргг
Ри
Рп
Рп
Рц
Рп
Ргг
Руг
Ргг
Ргг
АХ
ЛГ
AZ
(6.5.16)
(ltpa)=(Spl)\
(6.5.17)
151

А.П. Герасимов
Число \lJPL] вычисляется по формуле
/
“ клА" Y ^Az|X ^2! ^22 ^23 Х Y *
(6.5.18)
Коэффициенты и свободные члены нормальных и дополнительного
уравнений получаются в результате последовательного суммирования
компонентов, вычисленных по всем результатам измерений в ВГС.
При составлении нормальных уравнений неизвестными считаются
координаты как определяемых, так и исходных пунктов. При этом
коэффициенты и свободные члены вычисляются с координатами исходных
пунктов и предварительными координатами определяемых пунктов. Перед
решением нормальных уравнений коэффициенты и свободные члены,
относящиеся к исходным пунктам, заменяются нулями, а квадратичные
коэффициенты единицами. Это означает, что нормальные уравнения,
относящиеся к исходным пунктам, заменяются уравнениями SXj = О,
поэтому координаты исходных пунктов поправок не получат.
В результате решения нормальных уравнений получаются поправки
dX, dY, dZ к предварительным координатам пунктов и поправки
ddX, dbY, ddZ к предварительным параметрам связи систем. После их
подстановки в дополнительное уравнение вычисляется число Z . На основе
решения нормальных уравнений определяется корреляционная матрица Q
координат X, Y, Z и параметров связи систем дХ, dY, dZ.
Уравненные координаты определяемых пунктов вычисляются по
формулам:
Уравненные параметры перехода от системы ITRF к системе СК-95
вычисляются по формулам:
дХ = дХ° +ddX; ЭГ = ЭУ°+^ЭУ; dZ = dZ°+ddZ. (6.5.20)
Координаты международных пунктов ФАГС в системе СК-95
вычисляются по формулам
X = X°+dX; Y = Y°+dY; Z = Z°+dZ.
(6.5.19)
Х = Хм+дХ; Y = YM+dY; Z = Z„+dZ.
(6.5.21)
Ошибка единицы веса вычисляется по формуле
, 2
(6.5.22)
152

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
где п - число всех измерений (измеренных разностей координат);
к - число необходимых измерений.
Число необходимых измерений вычисляется по формуле
к = За + 3,
(6.5.23)
где а - число определяемых пунктов ВГС.
Ковариационная матрица уравненных координат пунктов ВГС и
параметров связи систем вычисляется по формуле
На основе уравненных координат X, Y, Z вычисляются уравненные
эллипсоидальные координаты В, L, Н в геодезической системе СК-95.
С уравненными значениями геодезических высот Н вычисляются
высоты квазигеоида £ в системе СК-95. Вычисления выполняются по
формуле
где Нг - нормальные высоты, полученные из геометрического
нивелирования.
На основе вычисленных высот квазигеоида £ и гравиметрических
данных создается карта высот квазигеоида над эллипсоидом Красовского в
системе СК-95.
6.6.	Уравнивание сетей с разностями координат АЛ', Д Y, AZ
Уравнивать спутниковые сети с разностями координат АХ, AY, AZ
целесообразно тогда, когда для исходных пунктов получены координаты
X, Y, Z в государственной системе СК-95 и высоты Нг в Балтийской
системе 1977 года. При уравнивании результатами измерений считаются
разности координат АХ, AY, AZ в геодезической системе WGS-84 и их
ковариационная матрица Кхх (6.4.9), получаемые на этапе
предварительных вычислений.
Перед уравниванием координат пунктов спутниковой сети измеренные
разности координат АХ, AY, AZ пересчитываются из геодезической
системы WGS-84 в геодезическую систему СК-95 по формулам (3.3.1):
k = M'Q-
(6.5.24)
£ = Н-НГ,
(6.5.25)
153

А.П. Герасимов
Ах = АХ - a)YAZ + (ozAY + тАХ;
Ay = AY + (OxAZ - cozAX + mAY\	(6.6.1)
Az = AZ — (OxAY + (OyAX + mAZ,
где Ддг, Ay, Az - разности координат в системе СК-95;
(0Х, 0)у, (Ог - угловые параметры связи геодезических систем
WGS-84 и СК-95;
т - масштабный параметр связи геодезических систем.
С координатами X, Y, Z исходных пунктов и разностями координат
Ах, Ay, Az в геодезической системе СК-95 вычисляются предварительные
yrO W’O >~Ж О
координаты л , / , Z пунктов сети.
При уравнивании сети составляются нормальные уравнения
АТPASX + АтPL = О,	(6.6.2)
которые соответствуют уравнениям поправок
ASX + L = V с весовой матрицей Р,	(6.6.3)
где 8Х - неизвестные (поправки dX, dY, dZ к предварительным
уО уО гуО .
координатам л , / , Z );
L - свободные члены уравнений поправок.
Для вычисления весовых матриц назначается ошибка единицы веса //0
произвольной величины и размерности. Весовые матрицы вычисляются по
формуле
Ъ ~ Клх ’	(6.6.4)
где АГде - ковариационная матрица разностей координат АЛ', AY, AZ.
Для разностей координат Ах, Av, Az составляются три уравнения
поправок:
dX j — dXx + /ду =	,
</У2-^+/дг=удг;	(6.6.5)
dZj — dZx + /д^ =	.
Свободные члены уравнений поправок (6.6.5) вычисляются по
формулам:
154

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
= *2° - *,° -	;Л,	= У? -У?- AvI2: /л* = *2° - < - Д-’г (6.6.6)
Разности координат должны соответствовать формулам:
Ах12 = Х2-Х1; Ау12 = У2-Ъ Лz12=Z2-Z,.	(6.6.7)
При уравнивании спутниковых сетей вычисляются коэффициенты,
свободные члены и весовая матрица для трех уравнений поправок
(6.6.5). С вычисленными коэффициентами, свободными членами и весовыми
матрицами вычисляются компоненты нормальных и дополнительного
уравнений.
Каждая весовая матрица Рхх трех уравнений поправок (6.6.5) имеет
размер 3x3 и представлена формулой (6.5.3).
Компонентами нормальных и дополнительного уравнений являются
элементы частных матриц ^АтРА^ , {^АТPLj * [l?РА^=[АТPL^ и
{^lJ PL j ..составляемых по каждой измеренной /-той стороне сети. Частная
матрица ^АГРА^ вычисляется по формуле (6.5.15), а частные матрицы
[лтpl} и [£ра) - по формулам (6.5.16) и (6.5.17). Для вычисления
числа [llPL} применяется формула (6.5.18). Подробнее об этих матрицах
сказано в разделе 6.5.
Компоненты нормальных и дополнительного уравнений для одной
стороны спутниковой сети с пункта 1 на пункт 2 представлены в табл. 6.6.1.
Коэффициенты и свободные члены нормальных и дополнительного
уравнений получаются в результате последовательного суммирования
компонентов, вычисленных по всем результатам измерений в сети.
При составлении нормальных уравнений неизвестными считаются
координаты как определяемых пунктов так и исходных пунктов. Подробнее об
этой процедуре сказано в разделе 6.5.
В результате решения нормальных уравнений получаются поправки
dX, JY, dZ к предварительным координатам пунктов. После их
подстановки в дополнительное уравнение вычисляется число £. На основе
решения нормальных уравнений определяется корреляционная матрица Q
координат X, К, Z пунктов сети.
155

А.П. Герасимов
Таблица 6.6.1.
Компоненты нормальных и дополнительного уравнений
Неизвестные
Компоненты
свободных членов
dXx
dZx
dX,
dY2
dZ2
Компоненты коэффициентов
Ри
Р,2
Р»
-Рп
~Рп
~Рп
—Рц^ах — Р\2^у — Р^га
Рп
Рп
-р«
~Р>2
-^23
—Рг^&х Ри^г ~ PjJu
Рп
-р»
-Рп
~Рп
~P}Jax ~ Рц^лг — Vw
Ри
Рп
Рп
^М^АДГ + Р\2^ау "*■ Р\^лг
Ри
Рц
Рг^ьх + Pmfu
Рп
PjJ&x Р*2^м Ру}а
~Рц^АХ ~
Р\ t^AX +
Рг\1ьх +
+
Р\\1цх + Ри^&г +
-РгЛг-
~Р^м ~
~Рц^Г ~
+ Р\2^Г +
+/УдГ +
+ Р}2^&Г +
+Рц^&7 + +
~PiJ&.
~Р)}1&2
+Р\^лг
+Рг^л7.
+ Р>^&2
+^PiJ&x^&s + ^Рг^и^ы
Уравненные координаты вычисляются по формулам:
X = X° + dX\	Y = Y°+dY; Z = Z°+dZ.	(6.6.8)
Ошибка единицы веса вычисляется по формуле
2	2
М =	.	(6.6.9)
п-к
где п - число всех измерений (измеренных разностей координат);
к- число необходимых измерений.
Число необходимых измерений вычисляется по формуле
к=Ъа,	(6.6.10)
где а - число определяемых пунктов в сети.
Ковариационная матрица уравненных координат пунктов сети
вычисляется по формуле
A=M2Q-	(6.6.11)
На основе уравненных координат X, У, Z пунктов сети вычисляются
уравненные эллипсоидальные координаты В, L, Н и плоские
156

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
прямоугольные координаты х, у в геодезической системе СК-95 в проекции
Гаусса-Крюгера или в проекции Гаусса с местной координатной сеткой.
Нормальные высоты пунктов уравненной спутниковой сети
вычисляются по формуле
Нг = Н-£,	(6.6.12)
где £ - высота кваэигеоида над эллипсоидом Красовского.
Величины £ определяются с помощью цифровой модели (карты)
высот кваэигеоида над эллипсоидом Красовского в геодезической системе
СК-95.
6.7.	Уравнивание сетей с разностями координат АВ, AL, АН
Уравнивать спутниковые сети с разностями эллипсоидальных
координат ДВ, AL, АН целесообразно тогда, когда в регионе нет
спутниковой геодезической сети 1 класса, а исходными являются пункты
триангуляции и полигонометрии.
В современных каталогах для пунктов триангуляции и полигонометрии
приводятся плоские прямоугольные координаты х, у в проекции Гаусса-
Крюгера в системе СК-95 и высоты Нг в Балтийской системе. При создании
спутниковой сети целесообразно использовать в качестве исходных те
пункты, высоты которых определены из геометрического нивелирования.
Для исходных пунктов вычисляются эллипсоидальные координаты
В,	L, Н в системе СК-95. Координаты В, L получаются на основе
пересчета координат х, у по формулам (4.3.7). Геодезические высоты Н
вычисляются по формуле
Я = НГ + £,	(6.7.1)
где £ - высота квазигеоида над эллипсоидом Красовского в государственной
системе СК-95.
Величина £ определяется с помощью цифровой модели (карты) высот
квазигеоида, которая создается при уравнивании ВГС (см. раздел 6.5).
Разности координат ДА', ДY, AZ, измеренные в системе WGS-84,
пересчитываются в разности АВ, AL, АН в системе СК-95, например, по
следующей схеме:
-	координаты Я,, Z-j, Я, пункта 1 в СК-95 пересчитываются в
координаты Xr Yr Zt в СК-95 по формулам (2.2.5);
157

А.П. Герасимов
-	разности координат АЛ', AY, AZ, измеренные в системе WGS-84,
пересчитываются в разности Ах, Ау, Az в системе СК-95 по формулам
(6.6.1);
-	с координатами Xv Yy, Z, пункта 1 в СК-95 вычисляются
координаты Х2, У2, Z2 пункта 2 тоже в СК-95 по формулам:
Х2 = Х{ + Дг12; Y2 = Yl+ А_у|2; Z2=Z,+Az12;
-	с координатами Х2, К2, Z2 вычисляются координаты В2, L2, Н2 в
системе СК-95 по формулам (2.2.6Н2.2.11);
-	с координатами Bv Lv Я, и В2, L2, Н2 вычисляются разности
координат А5р = В2- В{; ALn = L2 - Lx\ ДЯ,2 = Н2 - Я,.
Ковариационные матрицы К' измеренных разностей координат
АХ, AY, AZ соответствуют внутренней сходимости псевдодальностей. С
этими матрицами вычисляются ковариационные матрицы К, которые
соответствуют невязкам замкнутых фигур. Методика вычисления приведена в
разделе 6.4.
Предварительные координаты В°, 1?, Н° определяемых пунктов сети
вычисляются от исходных пунктов с разностями координат
ДЯ|2, ALl2, АЯ|2.
Для получения ковариационной матрицы К^ разностей координат
АВх1, AL[2, АЯ|2 двух пунктов вычисляются с их предварительными
координатами следующие величины:
«(>-«*)	a
	, , V, • 	, , V,.S • <6-7'2>
(l-esin-в^)	(l-e-sin-Л^)
Матрицы Кдд вычисляются по формуле

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
где
ГдАВЛ
UaaJ
-	матрица производных от разностей координат
ЛЯ|2, ALn, A//j2 по разностям координат Дх12, Л>>12, Аz,,.
Матрицы производных вычисляются по формуле
ЭАВ
дАХ J
sin Вср cos Lcp
Мгп + Н
ср	ср
sinzv
sin вср sin Lcp
cos В.
•p
cos L
cp
(	+ Hm ) cos B,n	(N.n + Hrn ) cos В
V cp cp)	cp	v cp	cp)	cp
M +Hn
cp	cp
0
cos B(p cos Lcp
cos В „ sin L
cp	I p
sin B.
cp
(6.7.4)
При уравнивании спутниковых сетей с разностями координат
АВ, AL, АН составляются нормальные уравнения
АТ РАдX + АТ PL = О.	(6.7.5)
Нормальные уравнения соответствуют уравнениям поправок
ASX + L = V с весовой матрицей Р,
где 8Х - неизвестные (поправки dB, dL, dH
nO /0 tfO.
координатам a , L , H );
L - свободные члены уравнений поправок.
Весовые матрицы вычисляются по формуле
2 ,
(6.7.6)
к предварительным
Ъ =РоК1в
и имеют размер 3x3:
Ри
Р\2
6е
II
p2i
Р22
Рц
р»
РП
Р*
(6.7.7)
(6.7.8)
Для разностей эллипсоидальных координат двух пунктов составляются
три уравнения поправок:
(1В2 - dB{ +	;	dL2	-	dL{ + /^ =	;	dH2	-	dH]	+ lM = vu,. (6.7.9)
Свободные члены этих уравнений вычисляются по формулам:
159

А.П. Герасимов
l„ = В°2 - В° - Д512;	=	4	-	Z., - ДLn-	= н\ - Я,° - Д//,2. (6.7.10)
Методика составления нормальных уравнений такая же, как при
уравнивании сетей с разностями координат АХ, ДY, ДZ (см. раздел 6.6).
Частные матрицы {^АТ РА^ , (лTPbj, РА^ ,	вычисляются
по следующим формулам:
{лгрл\ =
И, ■
Ри
Р\2
Рп
- р - р
Г\\ Г\2
-Рп
^21
Рц
Рц
I
а®
I
и
— Рц
Р}2
Рп
- р - р
*3! ГУ2
-Рп
-Рп
-г»
Р Р
Ml Г\2
Рп
-^2,
~Р>2
— Рц
Р2
1 ^22
^23
~Рп
-Рп
, ^
^33
-Ри
-Рп
-Рп
~Рц
- ^22
-Рп
*6В
-р»
Ри
~РУ2
Р\2
-Рп
Рп
X
>
р»
Р22
р»
р»
Рп
^33
(irw)
Ри
Р\2
Рп
/д*
_ кдл ^д/. ^д//1х
Рц
Рп
Рц
X
'д,
Рп
Рп
Рп
'дя
(6.7.11)
(6.7.12)
(6.7.13)
(6.7.14)
Компоненты нормальных и дополнительного уравнений для одной
стороны сети представлены в таблице 6.7.1.
160

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Таблица 6.7.1.
Компоненты нормальных и дополнительного уравнений
Неизвестные
Компоненты
свободных членов
dBx
dL,
dHt
dB,
dL,
dH,
Компоненты коэффициентов
Рц
Р,2
Рп
-Pn
-Р,2
~Pn
-PI -PI -PI
r\ i'ab Г12'м ‘\УСЛ
Р22
Р»
-Р»
~Рг 2
-Рг>
-P 1 -PI -PI
21 ЛЙ 22 Д/. ' 2УЛ/1
Р»
~Р»
Р}2
-Pn
-PI -PI -PI
.и'дв ГУ2'м. 'srntl
Р»
Рп
Pn
PI + P / + P I
11ДД ^ 12 AZ. 1У AH
Рп
p*
pi + p J + p f
2\ AB 22lSL 2УАН
Р»
PI + P / + P I
*3VAB У2 AI ГУУАН
~Рц1&В ~
~ Pi Jab ~
~ Pi Jab ~
P\J&b +
^21^4» +
PyJtsJ! +
PI2 + P /2 + P I2
r\\lAB ^ U AL т Г)УАН
~Р^М ~
~Рг2^м ~
~Pdu. ~
+Р^ги. +
^Рц^А1.
^Pi2^M. ^
^^AB^AL +~P\Jab! AH
~P\Jah
~ P>J&ti
~P>Jah
+ Рц1&н
+ PJah
+PyJnH
*2P2JaiJah
В результате решения нормальных уравнений находятся поправки
dB, dL, dH к предварительным координатам пунктов сети. Уравненные
координаты вычисляются по формулам:
В = В° + dB; L = I?+dL\ H = H°+dH.	(6.7.15)
Ковариационная матрица уравненных координат В, L, Н вычисляется
так же, как матрица координат X, Y, Z (см. раздел 6.6). С уравненными
координатами В, L, Н вычисляются координаты х, у и нормальные высоты
Нг по формуле (6.6.12).
6.8.	Уравнивание спутниковых геодезических сетей 1 класса
При уравнивании спутниковых геодезических сетей 1 класса
результатами измерений считаются разности координат АЛ', ДY, AZ в
системе WGS-84 и их ковариационные матрицы , получаемые на этапе
предварительных вычислений (см. раздел 6.4).
161

А.П. Герасимов
Исходными (твердыми) при уравнивании СГС-1 являются координаты
X, Y ,Z пунктов ВГС и ФАГС в геодезической системе СК-95 (см. раздел
6.5).
На основе результатов измерений в СГС-1 уравнивается
геодезическая сеть региона. Уравнивание геодезической сети региона
включает следующие этапы работы:
-	уравнивание координат X, Y ,Z пунктов СГС-1 в системе СК-95 и
вычисление по ним эллипсоидальных координат В, L, Н ;
-	вычисление высот квазигеоида на пунктах СГС-1, нормальные
высоты которых получены из геометрического нивелирования;
-	уравнивание региональной модели высот квазигеоида;
-	вычисление высот квазигеоида на всех пунктах СГС-1;
-	уравнивание координат пунктов сетей триангуляции и
полигонометрии 1-4 классов, принимая пункты СГС-1 за исходные (см.
раздел 6.9);
-	уравнивание нормальных высот пунктов триангуляции и
полигонометрии;
-	составление каталога координат пунктов геодезической сети региона;
-	разработка технического отчета об уравнивании геодезической сети
региона.
Уравнивание координат X, У ,Z выполняется с разностями координат
АХ, AY, AZ по методике, которая приведена в разделе 6.6. На основе
уравненных координат X, Y ,Z пунктов СГС-1 вычисляются уравненные
эллипсоидальные координаты В, L, Н и плоские прямоугольные
координаты х, v в геодезической системе СК-95 в проекции Гаусса-
Крюгера.
С уравненными значениями геодезических высот Н вычисляются
высоты квазигеоида £ в системе СК-95 на тех пунктах СГС-1, нормальные
высоты Нг которых получены из геометрического нивелирования.
Вычисления выполняются по формуле
С = Н-НУ.	(6.8.1)
На основе вычисленных высот квазигеоида £ и высот квазигеоида на
пунктах ВГС и ФАГС региона, которые принимаются за исходные (твердые),
выполняется уравнивание региональной модели высот квазигеоида над
эллипсоидом Красовского в системе СК-95.
Исходной основой для получения уравненной региональной модели
является модель высот квазигеоида над эллипсоидом Красовского в СК-95,
162

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
созданная на территорию страны в результате уравнивания ВГС. При
уравнивании СГС-1 используется региональная часть этой общей модели.
С использованием уравненной региональной модели и уравненных
координат В, L вычисляются высоты квазигеоида на всех пунктах СГС-1. С
полученными высотами квазигеоида и уравненными геодезическими
высотами Н вычисляются нормальные высоты всех пунктов СГС-1 по
формуле Нг — Н —
Сети триангуляции 1-4 классов и полигонометрии 1-3 классов
уравниваются совместно с учетом весов измерений. Исходными для них
являются пункты СГС-1, ВГС и ФАГС.
При уравнивании высот пунктов триангуляции и полигонометрии,
полученных из тригонометрического нивелирования, исходными являются
все пункты СГС-1, ВГС и государственной геодезической сети, высоты
которых получены из геометрического нивелирования.
По результатам уравнивания составляется каталог координат пунктов
геодезической сети региона. В каталоге приводятся:
-	координаты дг, у, геодезическая высота Н и нормальная высота
Нг - для пунктов СГС-1 и ВГС;
-	координаты х, у, нормальная высота Нг - для пунктов
триангуляции и полигонометрии.
К каталогу придается региональная модель высот квазигеоида над
эллипсоидом Красовского в системе СК-95.
6.9.	Уравнивание сетей триангуляции и полигонометрии
Созданные ранее сети триангуляции и полигонометрии 1-4 классов
уравнены в государственной геодезической системе СК-95. Необходимость
переуравнивания пунктов этих сетей возникает тогда, когда в регионе
создана спутниковая сеть 1 класса. Исходными при переуравнивании сетей
триангуляции и полигонометрии в регионе являются пункты СГС-1.
Уравнивать сети триангуляции и полигонометрии целесообразно с
геодезическими координатами В, L, поэтому результатами измерений
считаются следующие геодезические данные на эллипсоиде Красовского:
-	направления геодезических линий;
-	средние из прямого и обратного азимутов геодезических линий;
-	односторонние азимуты геодезических линий;
-	длины геодезических линий между проекциями пунктов.
Средние квадратические ошибки результатов измерений соответствуют
классу сети. Среднестатистические значения средних квадратических ошибок
приведены в таблице 6.8.1.
163

А.П. Герасимов
Таблица 6.8.1
Среднестатистические значения средних квадратических ошибок
измерений
Вид измерения
Ср. кв. ошибка
Горизонтальные направления в триангуляции и
полигонометрии
1 класса
0,49*
2 класса
0,71"
3 класса
1,06"
4 класса
1,41"
Базис, измеренный прибором Едерина
		с
(инварными проволоками)
1 мм+ 2-10*8
Стороны в полигонометрии
1 класса
10 мм + 3
2 класса
10 мм + 3 10“®s
3 класса
10 мм + 4-10“®s
Базисные стороны в триангуляции
5 мм + гюЛ
Геодезический азимут (двухсторонний)
1,27"
Перед уравниванием все результаты измерений приводятся в
геодезическую систему СК-95. При редуцировании на эллипсоид Красовского
используются уклонения отвесной линии в системе СК-95 и региональная
модель высот квазигеоида. Формулы для вычисления направлений N,
азимутов А и длин геодезических линий s приведены в разделах 2.7-2.9.
_	ж>0 гО
В	качестве предварительных координат В , L	могут
использоваться ранее уравненные координаты. С предварительными
координатами В°, I? из решения обратной геодезической задачи
вычисляются предварительные значения азимутов А" и длин геодезических
о п
линии s . Для уравнивания вычисляются также предварительные значения
ориентирующих углов Z°, например, по формуле
п ,=I
где п - число направлений данного класса на пункте 1;
iV|f - направления данного класса с пункта 1;
164

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
Аи - значения азимутов, вычисленные с предварительными
D° f°
координатами d , L .
Уравнения поправок для направлений составляются для каждого
класса отдельно. Они имеют вид:
М. о М cos Д,° о М, . о ,
-dZl +—Lsin AudBx +— 	-cos AndLy +	sin AiXdB, -
5ii Л1»
N: cos B.
о
^-cos A°dL,+lN =vv .	(6.9.2)
e	*1»	"I/
Л||
Радиусы M и N в (6.9.2) вычисляются по формулам:
а
'	(l-e2 sin2 ^°)' 5 ’	'	(l-e2	sin2^,0)0 5'
<*(\~е2)	а
М; =	 	ЛГ. =■
(6.9.3)
'	(.	2-2	„0 \1,5	(.	2-2	г,0\0-5
(1-е sin 5, I	11-е sin Bj I
Свободный член уравнения поправок (6.9.2) вычисляется по формуле
l»u=<-Z?-Nu.	(6.9.4)
С расстояниями , вычисленными по результатам измерений,
составляются уравнения поправок длины геодезической линии:
Л/, л N, л п М- л
		-cos AudB{	-cos Я, sin AudLx	Lcos A xdB. -
P	P’	p’
N
	Lcos5°sin,4°</I,.+/, = v	.	(6.9.5)
p
Свободный член уравнения поправок (6.9.5) вычисляется по формупе
ls=s°-su,	(6.9.6)
о
где 5|(. - длина геодезической линии, вычисленная с предварительными
координатами В°, I? из решения обратной геодезической задачи.
165

А.П. Герасимов
При переуравнивании сетей триангуляции и полигонометрии
составляются следующие уравнения поправок для среднего из прямого и
обратного азимутов:
Если измерен только односторонний азимут Аи, то уравнение
поправок имеет вид:
При переуравнивании высот пунктов триангуляции и полигонометрии
нормальные высоты пунктов СГС-1 считаются исходными (твердыми).
6.10.	Определение высот относительным методом
Определение относительным методом нормальных высот пунктов
спутниковых сетей рассмотрено в разделах 6.5-6.8. Здесь рассмотрим
методику определения нормальных высот отдельных точек (пунктов).
При определении спутниковыми приемниками нормальных высот
отдельных точек исходными могут быть пункты ВГС, СГС-1 (в том числе
постоянно действующие референцные станции), пункты триангуляции и
со *A*xdLt+l. = v
(6.9.7)
В уравнении (6.9.7)
N. cos В?
(6.9.9)
а свободный член вычисляется по формуле
/	—	Л°	_ А
1А ~ Л\i Л|Г
(6.9.10)
166

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
полигонометрии. высоты которых определены из геометрического
нивелирования, а также пункты государственной нивелирной сети. Если
исходными являются нивелирные пункты, то необходимо определять их
плановые координаты.
Спутниковыми приемниками нормальные высоты определяются
совместно с координатами. Результатами измерений являются разности
координат ДА\ AY, AZ в системе WGS-84. Измеренные разности
ДЛ\ AY, AZ пересчитываются в разности АВ, AL, АН в системе СК-95,
например, по методике, которая приведена в разделе 6.7. Для вычисления
нормальных высот используется вычисленная разность геодезических высот
АН.
Нормальные высоты Нг и геодезические высоты Н связаны
формулой
Н = Нг + £,	(6.10.1)
где £ - высота квазигеоида над эллипсоидом Красовского в системе СК-95.
Индексом 1 обозначим высоту на исходном пункте, индексом 2 - на
определяемом:
Ht=H[ + Cv Н2=НГ2+С2.	(6.10.2)
Разность геодезических высот, вычисленная по результатам
спутниковых измерений, соответствует формуле
AHi2=H2-Hr	(6.10.3)
На основании формул (6.10.2) и (6.10.3) получим формулу для
вычисления нормальной высоты определяемого пункта:
Н\ = Н\ + AHl2-(C2-Ct),	(6.10.4)
где Н2 - нормальная высота определяемого пункта;
НJ - нормальная высота исходного пункта;
-	высота квазигеоида на определяемом пункте;
-	высота квазигеоида на исходном пункте.
Разности (£2 - С\) в системе СК-95 определяются с помощью модели
высот квазигеоида. Они определяются по модели значительно точнее, чем
сами высоты квазигеоида . £2.
Наиболее высокую точность разностей высот квазигеоида
обеспечивают региональные модели, создаваемые по результатам
уравнивания региональных спутниковых геодезических сетей 1 класса. При
167

А.П. Герасимов
необходимости, может использоваться модель, созданная на территорию
России по результатам уравнивания высокоточной геодезической сети.
Если необходимо получить разность высот квазигеоида (	-	С{) в
СК-95 на основе моделей, созданных в геоцентрических системах координат
ПЗ-90 или WGS-84, то сначала пересчитываются сами высоты квазигеоида
. Пересчет выполняется по формуле
а	2	Ае2	.	,
£,5 =		Да + N sin В	+ (cos LAX + sinZ,AK )cos2? + sin BAZ
N	2
-Ne“ sin В cos В
>in L —— - cos L —- \ + (n + H- Ne2 sin2 (6.10.5)
P	PJ
В формуле (6.10.5) AX, AY, AZ, (Ox, a>Y, (Oz, m - параметры
перехода от геоцентрической системы к системе СК-95. Величины а, е
равны средним значениям параметров общеземного эллипсоида и
эллипсоида Красовского. Величины Аа и Ае2 вычисляются по формулам
2 2	2
Аа — а — а , Ле = е" —	.
кр оч ’	кр	О!
В формуле (6.10.5) тригонометрические функции sin В, cos В, sin L,
cos L и радиус кривизны в первом вертикале N вычисляются со средними
значениями координат, которые получают по формулам:
В = 0,5(4,, + в„); L = 0,5(Л„ + О; Я = 0,5(Нк + tfJ,	(6.10.6)
где Д,5, £^5, Я95 - координаты пункта в системе СК-95;
В , L Н - координаты пункта в геоцентрической системе.

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Герасимов А.П. Уравнивание государственной геодезической сети. -
М.: Картгеоцентр-Геодезиздат, 1996. - 216 с.
2.	Герасимов А.П., Назаров В.Г. Местные системы координат (2-ое
издание). - М: ООО «Издательство «Проспект», 2010. - 64 с.
3.	Кашин Л.А. Построение классической астрономо-геодезической сети
России и СССР (1816-1991 гг.). - М.: Картгеоцентр-Геодезиздат, 1999. -
192 с.
4.	Мазмишвили А.И. Способ наименьших квадратов. - М.: Недра, 1968.
-440 с.
5.	Макаров Н.П. Геодезическая гравиметрия. - М.: Недра, 1968. - 408 с.
6.	Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии. Изд. 2. - М.: Недра,
1979.-296 с.
7.	Огородова J1.B. Высшая геодезия. Часть III. Теоретическая геодезия.
Учебник для вузов. - М.: Геодезкартиздат, 2006. - 384 с.
8.	Пеллинен J1.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия). М.:
Недра. 1978.-264 с.
9.	Пранис-Праневич И.Ю. Руководство по уравнительным вычислениям
заполняющей триангуляции II, III и IV классов. - М.: Геодезиздат, 1941. -
416 с.
10.	Судаков С.Г. Основные геодезические сети. М.: Недра, 1975. -
368 с.
11.	Тревого И.С., Шевчук П.М. Городская полигонометрия. - М.: Недра,
1986.-199 с.
12.	Шерман Д.С. Руководство по камеральной обработке базисов 1, 2 и
3	классов. - М.: Геодезиздат, 1961. - 179 с.
13.	Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли. - М.: Недра, 1975. -432 с.
14.	Инструкция о построении государственной геодезической сети
СССР. - М.: Недра, 1966. - 341 с.
15.	Инструкция по нивелированию I, II, III и IV классов. Федеральная
служба геодезии и картографии России. - М.: Картгеоцентр-Геодезиздат,
2004. - 244 с.
16.	Инструкция по полигонометрии и трилатерации. - М.: Недра, 1976. -
105 с.
17.	Инструкция по развитию высокоточной государственной
гравиметрической сети России. - М.: ЦНИИГАиК, 2001. - 66 с.
18.	Инструкция по уравниванию астрономо-геодезической сети СССР.
М.: Геодезиздат, 1944. - 40 с.
19.	Наставление по вычислению гравиметрических уклонений отвеса и
высот квазигеоида. - М.: изд. ЦНИИГАиК. 1974. - 42 с.
20.	Основные положения о государственной геодезической сети
Российской Федерации. - М., 2004. - 28 с.
169

А.П. Герасимов
21.	Основные положения об опорной межевой сети. Утверждены
приказом Росэемкадастра 15.04.2002 г. № П/261.
22.	Основные положения по созданию и обновлению топографических
карт масштабов 1:10 000, 1:25 000. 1:50 000, 1:100 000, 1:200 000, 1:500 000,
1:1 000 000. - М.: РИО ВТС, 1984. - 52 с.
23.	Основные положения по созданию топографических планов
масштабов 1:5000, 1:2000,1:1000 и 1:500. - М.: Главное управление геодезии
и картографии при Совете Министров СССР, 1970. - 15 с.
24.	Руководство по определению астрономо-геодезических и
гравиметрических данных при топогеодезическом обеспечении войск. - М.:
Редакционно-издательский отдел, 1994. - 194 с.
25.	Федеральный закон «О геодезии и картографии». Принят
Государственной Думой 22.11.1995 г.

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	3
От спонсоров издания
ЗАО «ГЕОСТРОЙИЗЫСКАНИЯ»	5
АНО ЦДО «КРЕДО-образование»	6
Перечень сокращений	8
Перечень условных обозначений	9
Глава 1. Геодезические сети
1.1.	Государственная геодезическая сеть	12
1.2.	Фундаментальная астрономо-геодезическая сеть	13
1.3.	Высокоточная геодезическая сеть	14
1.4.	Спутниковые геодезические сети 1 класса	15
1.5.	Сети триангуляции и полигонометрии	16
1.6.	Геодезические сети специального назначения	18
Глава 2. Геодезические данные
2.1.	Виды геодезических данных	19
2.2.	Координаты	20
2.3.	Разности координат	26
2.4.	Высоты	29
2.5.	Высоты квазигеоида	31
2.6.	Уклонения отвесных линий	34
2.7.	Горизонтальные углы и направления	37
2.8.	Расстояния	38
2.9.	Азимуты	40
Глава 3. Системы координат
3.1.	Геодезические системы координат	43
171

А.П. Герасимов
3.2.	Параметры связи геодезических систем	44
3.3.	Пересчет геодезических данных из одной геодезической
системы в другую	47
3.3.1.	Разности пространственных прямоугольных координат	47
3.3.2.	Эллипсоидальные и геодезические координаты	48
3.3.3.	Расстояния	49
3.3.4.	Геодезические азимуты	50
3.3.5.	Высоты квазигеоида над эллипсоидом	50
3.3.6.	Составляющие уклонения отвесной линии	50
3.3.7.	Горизонтальные направления	50
3.4.	Система координат 1942 года	51
3.5.	Система координат 1995 года	52
3.6.	Система координат ПЗ-90	53
3.7.	Звездная система ICRS	55
Глава 4. Проекция Гаусса
4.1.	Проекция Гаусса	56
4.2.	Вычисление координат в проекции Гаусса по
геодезическим координатам	59
4.3.	Вычисление геодезических координат по
координатам в проекции Гаусса	64
4.4.	Проекция Гаусса-Крюгера	68
4.5.	Местные системы координат	71
4.6.	Местные системы координат с постоянными коэффициентами . 76
4.7.	Пересчет координат в проекции Гаусса	79
4.8.	Вычисление местных номенклатур	83
4.9.	Вычисление новых ключей местных систем координат	88
Глава 5. Математическая обработка геодезических измерений
5.1.	Основы метода наименьших квадратов	91
5.2.	Сведения из алгебры матриц	93
5.3.	Преобразование линейных уравнений	97
5.4.	Ковариационная и весовая матрицы	99
172

СПУТНИКОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ
5.5.	Параметрический способ уравнивания	103
5.6.	Составление нормальных уравнений	106
5.7.	Решение нормальных уравнений	108
5.8.	Преобразование нормальных уравнений	111
5.9.	Вычисление ошибки единицы веса после уравнивания	112
5.10.	Многогрупповое уравнивание	114
5.11.	Многоэтапное уравнивание	120
5.12.	Ковариационная матрица координат	124
Глава 6. Спутниковые геодезические сети
6.1.	Основные положения о построении сетей
относительным методом	128
6.2.	Эксцентриситет фазовых центров спутниковых
приемников	130
6.3.	Приведение измерений к центрам пунктов	137
6.4.	Полевые и предварительные вычисления	141
6.5.	Уравнивание высокоточной геодезической сети	146
6.6.	Уравнивание сетей с разностями координат АХ, AY, AZ	153
6.7.	Уравнивание сетей с разностями координат АВ, AL, АН	157
6.8.	Уравнивание спутниковых геодезических сетей 1 класса	161
6.9.	Уравнивание сетей триангуляции и полигонометрии	163
6.10.	Определение высот относительным методом	166
Список литературы	169
173

Дизайн обложки И.А. Петрович
Предпечатная подготовка ООО Информационное агентство «ГРОМ»
Подписано к печати 31.01.2012 г. Бумага офсетная. Формат 70x100 1/16. Гарнитура Arial.
Печать офсетная. Уел. печ. л. 11. Тираж 1000 экз. Заказ Nfi 119П.
Отпечатано в типографии ООО «Издательство «Проспект»
119606, Москва, пр-т Вернадского, 84