Основы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления - Эйдерман В.Я.

Author: Эйдерман В.Я.
Tags: анализ математический анализ функциональный анализ математика издательство физматлит
ISBN: 5-9221-0283-4
Year: 2002
Similar
Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости
Функции комплексного переменного с Элементами операционного исчисления
Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах
Сборник задач по теории функций комплексного переменного
Text
                    УДК 517.5
Э11
ББК 22.161.5
Эйдерман В. Я. Основы теории функций комплексного
переменного и операционного исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2002. - 256 с. - ISBN 5-9221-0283-4.
В книге подробно излагаются основные понятия и факты теории функ-
функций комплексного переменного и операционного исчисления. Все теоремы
(за редким исключением) снабжены доказательствами. Приводится разбор
типовых задач, а также задачи для самостоятельного решения.
Для студентов инженерно-технических специальностей вузов как очной,
так и дистанционной формы обучения.
Табл. 1. Ил. 69. Библиогр. 15 назв.
ISBN 5-9221-0283-4	© ФИЗМАТЛИТ, 2002

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие		6
Введение		7
Гл ав а I
Комплексные числа и действия над ними
§ 1. Комплексные числа		9
§ 2. Действия над комплексными числами	 10
Глава II
Понятие функции комплексного переменного
§ 3. Плоскость комплексного переменного	 20
§ 4. Последовательности комплексных чисел и пределы после-
последовательностей 	 23
§ 5. Понятие функции комплексного переменного. Предел и
непрерывность	 25
Глава III
Дифференцирование функций комплексного переменного
§ 6. Производная и дифференциал. Условия Коши-Римана.
Аналитические функции 	 30
§ 7. Связь между аналитическими и гармоническими функци-
функциями 	 35
§ 8. Геометрический смысл производной функции комплекс-
комплексного переменного. Понятие конформного отображения . 37
Глава IV
Конформные отображения
§ 9. Линейная и дробно-линейная функции 	 42
§ 10. Степенная функция. Понятие римановой поверхности . . 52

Содержание
j 11. Показательная и логарифмическая функции	 57
j 12. Общая степенная и тригонометрические функции. Функ-
Функция Жуковского	 61
j 13. Общие свойства конформных отображений	 68
\ 14. Применение функций комплексного переменного в гидро-
гидродинамике 	 71
Глава V
Интегрирование функций комплексного переменного
j 15. Интеграл от функции комплексного переменного		76
j 16. Теорема Коши		80
\ 17. Неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница	84
j 18. Интегральная формула Коши и ее следствия 		89
Глава VI
Ряды
\ 19. Числовые ряды		96
\ 20. Функциональные ряды		101
J21. Степенные ряды		107
j 22. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора . .	115
\ 23. Свойство единственности		122
\ 24. Аналитическое продолжение. Полная аналитическая
функция	 126
j 25. Ряды Лорана	 130
Глава VII
Изолированные особые точки и теория вычетов
\ 26. Классификация изолированных особых точек		138
\ 27. Вычет функции в изолированной особой точке		148
\ 28. Вычисление интегралов с помощью вычетов		156
\ 29. Логарифмический вычет и принцип аргумента		165
Глава VIII
Основы операционного исчисления
\ 30. Преобразование Лапласа	 173
J31. Основные свойства преобразования Лапласа	 180

Содержание
§ 32. Применение операционного исчисления к решению обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений	 193
Глава IX
Практикум
§ 33. Разбор типовых задач	 204
§ 34. Задачи для самостоятельной работы	 244
Литература	 251
Предметный указатель	 252

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данный учебник предназначен студентам технических вузов. Ав-
Автор стремился при сравнительно небольшом объеме книги дать доста-
достаточно полное изложение основных фактов теории функций комплекс-
комплексного переменного и операционного исчисления, чтобы подготовить
читателя к изучению разнообразных применений. Поскольку в стан-
стандартной программе средней школы комплексные числа отсутствуют,
мы не предполагаем предварительного знакомства с этим понятием.
Чтобы уменьшить объем книги и при этом сделать ее полезной студен-
студентам различных специальностей, мы ограничиваемся лишь немногими
приложениями теории функций комплексного переменного к задачам
физики и техники, предполагая, что читатель сможет сам изучить
нужные ему приложения (например, по книге М.А. Лаврентьева и
Б.В. Шабата "Методы теории функций комплексного переменного",
М.: Наука, 1984, и другим учебникам, указанным в библиографии).
В то же время мы не экономим место на обстоятельности изложения;
все теоремы (за редким исключением) приводятся с доказательством.
Еще одной особенностью данной книги является большее, чем обычно,
количество подробно разобранных типовых задач. Мы надеемся, что
приводимые в конце книги варианты заданий для самостоятельной
работы сделают книгу полезной не только студентам, но и препода-
преподавателям.
Работа над учебником была начата по предложению профессора
Б.П. Осиленкера, которому автор признателен и за обсуждение струк-
структуры книги, и за ряд полезных советов. Приношу глубокую благодар-
благодарность также профессору С.Я. Хавинсону, внимательно прочитавшему
рукопись и сделавшему множество замечаний и предложений, спо-
способствовавших ее улучшению. За большую помощь при оформлении
рукописи хочу поблагодарить А.В. Невинского.

ВВЕДЕНИЕ
В процессе развития человечества, усложнения практической дея-
деятельности людей возникала необходимость во все более широких клас-
классах чисел. Так, потребность в счете предметов привела к возникнове-
возникновению понятия натурального (т.е. целого положительного) числа. (Не
надо думать, что это понятие возникло сразу; процесс его формиро-
формирования занял не одно столетие.) Для измерения величин понадобились
дробные числа. Развитие алгебры, необходимость решения линейных
и квадратных уравнений привели к введению отрицательных чисел
(с ними уже свободно оперировал Диофант в III в.н.э.). Тем самым
были введены рациональные числа — числа, представимые в виде от-
отношения двух целых чисел, т.е. целые, дробные числа (как положи-
положительные, так и отрицательные) и нуль. К необходимости расширения
класса дробных чисел подошли еще древние греки, обнаружившие,
что не всегда длина отрезка может быть выражена рациональным
числом, если за единицу принят другой отрезок. (Например, диаго-
диагональ квадрата не выражается рациональным числом, если за единицу
принята его сторона.) Числа, не являющиеся рациональными (т.е. не
представимые в виде отношения двух целых чисел), называются ир-
иррациональными. Совокупность рациональных и иррациональных чи-
чисел образует множество действительных (или вещественных) чисел.
Каждому действительному числу соответствует точка на числовой
прямой, и наоборот, каждой точке на числовой прямой соответствует
действительное число. Таким образом, действительные числа "запол-
"заполняют" всю числовую прямую.
Оперировать с "новыми" числами, квадрат которых меньше ну-
нуля, первыми начали, по-видимому, итальянские математики XVI в.
Кардано и Бомбелли. Они пришли к необходимости введения та-
таких необычных объектов, разрабатывая методы решения кубических
уравнений. Как известно, квадрат любого действительного числа
больше либо равен нулю. Поэтому к этим "новым" числам и к вклю-
включающему их более широкому классу объектов — комплексным чис-
числам — долгое время относились с большим недоверием (впрочем, еще
в XVI-XVII вв. многие европейские математики не признавали и от-
отрицательных чисел, называя их ложными, невозможными). Это недо-
недоверие к комплексным числам рассеялось лишь в конце XVIII в. после

Введение
знаменитых работ Эйлера и Гаусса и геометрического истолкования
комплексных чисел как точек на плоскости. Такая геометрическая
интерпретация показывает, что между действительными и комплекс-
комплексными числами нет принципиальной разницы: и те, и другие изобра-
изображаются точками на плоскости, только действительным числам соот-
соответствуют точки на оси, а комплексным — все точки на плоскости;
действия над действительными и комплексными числами обладают
одними и теми же основными свойствами и выполняются по единым
правилам. Таким образом, множество действительных чисел является
составной частью множества комплексных чисел.
Комплексные числа придают ясность и законченность многим раз-
разделам классического анализа. Они позволяют решать ряд задач, в ко-
которых, казалось бы, комплексные числа отсутствуют (одна из таких
задач — вычисление несобственных интегралов — будет рассмотрена
в дальнейшем). Отметим, что комплексные числа (в отличие от дей-
действительных) возникли не из нужд практики, а из потребности раз-
развития математической теории. Но впоследствии оказалось, что эти
числа находят важное применение для математического описания
многих процессов в физике и технике (в гидродинамике, аэромехани-
аэромеханике, электротехнике, теории упругости и т.д.). Развитая теория и раз-
разнообразные применения давно "уравняли в правах" действительные и
комплексные числа. О былом недоверии напоминают лишь некоторые
сохранившиеся термины.

Гл а в a I
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
§ 1. Комплексные числа
Комплексным числом z называется упорядоченная пара (ж, у) дей-
действительных чисел ж и у. Упорядоченность пары (ж, 2/) означает, что
при х ф у пара (ж, у) отлична от пары (у, ж), т.е. важны не только зна-
значения чисел х и у, составляющих пару, но и порядок, в котором эти
числа расположены.
Комплексные числа имеют простой геометрический смысл. Возь-
Возьмем на плоскости прямоугольную декартову систему координат XOY
(рис. 1). Тогда каждой паре z =
= (ж, у) действительных чисел со-
соответствует точка на плоскости с
координатами (ж,?/), и наоборот,
каждой точке на плоскости соответ-
соответствует пара действительных чисел,
т.е. комплексное число z = (х,у).
Первая компонента ж комплексно-
комплексного числа z = (х,у) называется дей-
действительной (или вещественной)
частью числа z и обозначается ж =
= Rez; вторая компонента у назы-
= (x,y)
Рис. 1
вается мнимой частью числа z и обозначается у = Im z. (Термины
"действительная" и "мнимая" часть напоминают о непростом раз-
развитии теории комплексных чисел; теперь нам очевидно, что пер-
первая координата точки z не более "вещественна", чем вторая.) Плос-
Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется
комплексной плоскостью и обозначается через С. Два комплексных
числа z\ = (xi,2/i) и Z2 = (#2,2/2) считаются равными, если х\ = Ж2,
2/1 — 2/2 (т.е. если соответствующие точки z\ и z^ на плоскости сов-
совпадают) .
Комплексные числа z — (ж,0) изображаются точками на оси ОХ,
как и действительные числа. Поэтому ось ОХ называется действи-
действительной осью, а числа z = (ж, 0) часто обозначают просто через ж:
z = (ж, 0) = ж. В частности, z = @, 0) = 0. Комплексные числа z =
= @,2/) изображаются точками на оси OY. Эта ось (в дань историче-
исторической традиции) называется мнимой осью, а числа z — @,2/) — чисто

10
Гл. I. Комплексные числа и действия над ними
мнимыми. Комплексное число @,1) называется мнимой единицей и
обозначается через г. г = @,1) (рис. 2).
Иногда удобно представлять комплексное число z = (ж, у) в виде
вектора Oz с координатами (х,у), исходящего из начала координат
(т.е. в виде радиус-вектора точки z). Длина этого
вектора называется модулем числа z и обозначает-
обозначается через \z\. Таким образом, \z\ равен расстоянию
= @1)	от точки z Д° начала координат. По теореме Пифа-
Пифагора (см. рис. 1)
У к
г =
A.1)
Рис. 2
Угол ер между положительным направлением оси
ОХ и вектором Oz, отсчитанный против часовой
стрелки, называется аргументом комплексного числа z и обознача-
обозначается через Argz. Для числа z = 0 значение Argz не определено. Оче-
Очевидно (см. рис. 1), что
A.2)
У1
х — т cos (р, у — sm if,
откуда
A.3)
Значение Argz определяется по
числу z неоднозначно, лишь с точ-
точностью до слагаемого 2тгп, где п —
целое число. Удобно ввести главное значение аргумента числа z —
значение аргумента, удовлетворяющее неравенству — тг < ср ^ тг. Глав-
Главное значение аргумента числа z обозначается через argz.
В дальнейшем вектор Oz мы часто будем обозначать просто z.
Рис. 3
§ 2. Действия над комплексными числами
1. Сумма, разность комплексных чисел и умножение комплексно-
комплексного числа на действительное число определяются точно так же, как
действия над соответствующими векторами. Пусть z\ = (xi,?/i), z^ =
= (#2,2/2) (Рис- 3)- Суммой комплексных чисел z\ и z^ называется ком-
комплексное ЧИСЛО Z — Z\ + Z2 — {Х\ + Х2ч У\ +2/2)-
Разностью комплексных чисел называется комплексное число z =
= Z!-Z2 = (X! -Х2,У1 -У2)-
Таким образом, при сложении и вычитании комплексных чисел
соответственно складываются или вычитаются их действительные и

§2. Действия над комплексными числами
11
мнимые части. Из рис. 3 видно, что модуль \zi — z^\ равен расстоянию
между точками z\ и^.
Произведением комплексного числа z = (ж, у) на действительное
число А называется комплексное число Xz = (Хх,Ху).
Так как (см. рис. 3) сторона Oz треугольника Ozz\ не больше сум-
суммы двух других его сторон, то справедливо так называемое неравен-
неравенство треугольника:
\zi+z2\ ^ Ы + Ы;
равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы z\ и z^
сонаправлены.
Теперь мы можем ввести другую форму записи комплексного чис-
числа z — (ж, у). Так как (ж, 0) = ж, @, у) = @,1) • у = iy, то
z = (ж, у) = (ж, 0) + @,у)=х + гу.
Выражение z = ж + iy называется алгебраической или декартовой
формой комплексного числа z. Сделав подстановку по формулам A.2),
придем к выражению
+ ir sincp = r(coscp + i simp),
r = \z\
B.1)
которое называется тригонометрической формой комплексного чис-
числа z.
Пример 2.1. Комплексное число z = —2 -\- 2^/Si представить
в тригонометрической форме.
Решение. Здесь ж = -2, у = 2л/3. По-
Поэтому точка, изображающая число z, лежит
во II четверти (рис. 4). По формуле A.1) г =
= л/(-2J + Bл/3J = л/4 + 12 = 4. По форму-
/3
= —-. Так
2	1
лам A.3) cos(p = — - = — -;
как
т.е.
= —-, то ср = ± arccosl — - ) + 2тг/с,
су Z	\ Z /
= dz— тг + 2тгЛ:, к Е Z, где Ъ — множество целых чисел @,=Ы,
о
±2,...). Поскольку ip принадлежит II четверти (см. рис. 4), то ip =
2	2
= Aigz = - тг + 2тг/с, а главное значение аргумента ср = - тг. Поэтому
о	о
число z в тригонометрической форме имеет вид
z = 4 (cos — + i sin — ).
Можно использовать и другие значения Argz:
(Ц- + 2тгк\ + г sin^Y + 2tt^V к = 0, ±1, ±2,...

12
Гл. I. Комплексные числа и действия над ними
2. Рассмотрим теперь операцию умножения комплексных чисел.
Вначале вводится произведение г • г = г2. По определению,
B.2)
г2 = -1.
Обратим внимание читателя на принципиальную важность этого
определения. Как известно, квадрат любого действительного числа
(изображенного точкой на оси ОХ) будет больше либо равен нулю.
Но среди более широкого класса объектов — комплексных чисел —
уже найдутся такие, квадрат которых отрицателен. Для таких чисел
соответствующие точки должны лежать вне оси ОХ.
При первом знакомстве с комплексными числами часто возникает во-
вопрос: почему г2 принимается равным — 1, а не какому-либо другому числу?
С формальной точки зрения равенство B.2) является определением и до-
доказательства не требует (нужно только, чтобы это равенство не противоре-
противоречило остальным утверждениям и фактам). Но этот довод нельзя признать
убедительным. Попытаемся объяснить причину, по которой г2 следует по-
положить равным именно — 1. Естественно ввести умножение комплексных
чисел таким образом, чтобы сохранялись привычные правила умножения
действительных чисел. В частности, хотелось бы сохранить обычное пра-
правило раскрытия скобок:
z\z2 =
iyi)(x2 + гу2) =
iy\x2 + ixiy2
а также свойство модулей
\ziz2\ = \zi
Покажем, что указанные свойства могут сохраняться только при выполне-
выполнении равенства B.2). Возьмем z\ = 1 + г, z2 = 1 — г. Если эти свойства имеют
место, то
lz2 = A + г)A - г) = 1 + г - г - г2 = 1 -
-1J = 2-
Обозначим w = —г и докажем, что w = 1. Действительно,
1 — г2 = 1 + (—г2) = 1 + w, откуда
1+гу| = |1 -г2| =2, \w\ = | - г| • |г| = 1.
Поэтому |1+гу|=2 = |1| + |гу|. Равенство |1 + гу| = |1| + |гу| означает, что
векторы, соответствующие числам Ihwj, сонаправлены. Поскольку \w\ = 1,
то эти векторы совпадают, т.е. w = 1. Таким образом, —г2 = 1, и мы прихо-
приходим к B.2).
Теперь произведение двух произвольных комплексных чисел z\ =
= х\ + гу\ и z^ — Х2 + г^/2, записанных в алгебраической форме, опре-
определяется следующим образом. Следует раскрыть скобки по обычным
алгебраическим правилам и упростить полученное выражение, поль-
пользуясь равенством г2 = — 1:

§2. Действия над комплексными числами
13
гу2) = хх
zxz2 =
Итак, zxz2 = (Ж1 + iyi)(x2 + ^2) = (^ix2 - у\у2) + «(ari2/2 + yix2). Но
лучше не запоминать эту формулу, а выполнять указанные выше дей-
действия непосредственно.
Пример 2.2. Найти произведение чисел
z\ — 2 — Зг и z2 — —4 + г.
Решение.
Zlz2 = B - Зг)(-4 + г) = -
= — 8 + 12г + 2г + 3 = —5 + 14г.
Из определения суммы и произведения комплексных чисел следу-
следует, что эти операции обладают теми же свойствами, что и соответ-
соответствующие операции над действительными числами:
Z\{Z2
Отсюда следует, в частности, что при действиях над комплексными
числами применимы все формулы сокращенного умножения. Напри-
Например:
Oi + z2f = z\ + 2zxz2 + z\, (z! + z2)(z1 - z2) = z\ - z\,
и т.д. В частности,
(x + iy)(x - iy) = x1 - [iyf = x1 + y1.	B.3)
Два комплексных числа, у которых действительные части равны,
а мнимые отличаются только знаком, назы-
ваются взаимно сопряженными. Если z = х +
+ iy, то сопряженное число обозначается
z = ж — iy.
Точки, изображающие числа z и г, симметрич-
симметричны относительно действительной оси (рис. 5).
Нетрудно видеть, что
= - argz
Рис. 5
(кроме чисел z = ж < 0; для них argz = aigz = тг). В силу B.3)
у х _ ^.2 , 2 _ | |2
z z — х -\- у — \z\ .
B.4)

14	Гл. I. Комплексные числа и действия над ними
3. Деление комплексных чисел, так же как и для действитель-
действительных чисел, определяется как действие, обратное умножению. Делить
можно только на комплексные числа, отличные от нуля. Чтобы найти
частное z\j z2 комплексных чисел, заданных в алгебраической форме,
следует домножить числитель и знаменатель дроби на z2 и восполь-
воспользоваться равенством B.4):
?i_ _ xi +гг/1 _ (xi +iyi)(x2 - гу2) _ (xi +iyi)(x2 - гу2)
\
(х2 +гу2)(х2 - гг/2)	х\ + у\
После этого нужно выполнить умножение в числителе и разделить
действительную и мнимую части получившегося числа на знамена-
знаменатель:
\Xi + iyi)(x2 — Щ2)
\X\X2 ~
I-2/12/2) "
x\
*г Н2/1
+ vt
a
x\
Х1У2)
+ 2/12/2
+ 2/2
. 2/1Ж2
2
-Ж12/2
+ 2/2
Как и в случае умножения, мы рекомендуем не запоминать эту фор-
формулу, а усвоить правило нахождения частного.
Пример 2.3. Найти частное чисел z\ — — 5 + 14г и z<± — —4 + г.
Решение.
?i_ _ -5 + 14г _
^ ~ -4 +г
_ (-5 + 14г)(-4-г) _ 20 - 56г + 5г + 14 _ 34 - 51г _
~ (-4 + г)(-4-г) ~ (-4J +12 ~ 17 ~ ~
(заметим, что мы выполнили действие, обратное умножению из при-
примера 2.2).
4. Рассмотрим теперь умножение и деление комплексных чисел,
заданных в тригонометрической форме. Пусть
z\ — Т\ (cos ifi + г sin cpi), z^ — r^(cos if 2 + г sin (/?2),
где n = |ziI, r2 = |2:2|. Тогда
2i 2:2 = r 1 r2 ((cos (^i cos if2 - sin (^i sin ip2) +
s((^i + y?2) + г sin((^i + ^2)).
B.5)
Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули пере-
перемножаются, а аргументы складываются:
\ziz2\ = \zi\-\z2\,
Aig(z1z2) = Argzi + Argz2.

§2. Действия над комплексными числами
15
Эти формулы означают, что вектор z\z2 получается из вектора z\ по-
поворотом на угол if2 и умножением его длины на \z2\. Например, умно-
умножение числа z на i дает вектор, который получается из вектора z пово-
поворотом на угол тг/2 против часовой стрелки, так как arg г = тг/2, |г| = 1.
Из формул B.6) следует, что аналогичными свойствами обладает
произведение любого конечного числа комплексных чисел. Например,
3\ =
\z2\
3\;
\z\z2z3\ = 1B:12:2) • 231
Aig(z1z2z3) = Aig((z1z2) • z3) = Aig(z1z2) + Arg 2:3 =
= Arg z\ + Arg z2 + Arg z3.
В частности,
z'l =
...• z\= z
_ rn
ArgB:n) = n Arg 2:.
n раз
Поэтому
zn = rn (cos nip + isinmp).	B.7)
Перейдем теперь к делению чисел z±,z2, заданных в тригоно-
тригонометрической форме. Заметим, что если z2 = r2(co8cp2 + г
z2 = r2(cos(-(p2) +isin(-(p2)). Поэтому
os((^i — Ф2) + ism(cpi — if2))
то
откуда
Z1Z2
Z2Z2
- <p2)
B.8)
Итак, модуль частного комплексных чисел равен частному их мо-
модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и
делителя:
Z\
= -g-j, Arg ^- = Arg2i - Arg2:2,
если
0.
— \ — \- (cosO + isinO), z2—zn — rn (cos mp +
4	г sin(-mp)).	B.9)
В частности, если
+ i sinn(^), то
z~n = 4r
Положим по определению z° = 1 при 2: ^ 0. Тогда, в силу формул B.7)
и B.9), для любого целого числа т (положительного, отрицательно-
отрицательного или равного нулю) справедливо равенство, называемое формулой
Муавра:
zm = rm (cos rmp + i sin тер).	B.10)
Пример 2.4. Найти (л/2-л/бгL.
Решение. 1) Изобразим число у/2 — y/6i (см. рис. 6) и запишем
его в тригонометрической форме:
г =
= л/8;
i,

16
Гл. I. Комплексные числа и действия над ними
откуда ср = ± — + 2тг&, k Е Z. Поскольку угол ср лежит в IV четверти
о
У1
у/2
Рис. 6
(см. рис. 6), то
Можно взять главное значение аргумента ср =	.
о
Итак,
* = VS(coe(-f)+tein(-§)).
2) По формуле Муавра B.10) найдем z4:
_4тг\ . . /_4тг\\ _ / 2тг	. 2тг\ _
I -+- ъ sm I	I I — D41 cos -\-1 sm I —
О/	\ О / /	\	О	О/
,	4тт	2тГч
(мы воспользовались тем, что —— + 2тг = —).
о	о
5. Корнем степени п (п — натуральное число) из комплексного
числа z называется такое комплексное число w, п-я степень которого
равна z, т.е. wn = z. Корень n-й степени из z обозначается yfz.
Пусть z = r(cos(p + г шар). Комплексное число w = yfz будем ис-
искать в виде w = p(cos6 + is'mO). Так как, по определению, wn = z,
то \w
= \z
, Argw71 = Argz. Отсюда
pn = r, пв =
B.11)
Поскольку г и /я — неотрицательные числа, то равенство рп = г ддь-
ет р = у/г, причем берется арифметическое (неотрицательное) значе-
значение корня. Второе равенство в B.11) дает
/с = 0,±1,±2,...
Таким образом,
w = v^ =
cos
г sin
)
B.12)
где /с = 0,=Ы,±2,... Подставляя в B.12) значения fc = 0,1,2,...
... ,п — 1, получим п различных значений корня n-й степени — чис-
числа w;o,^i,..., wn_i. Для каждого из них |^| = а/г; поэтому соот-
соответствующие им точки расположены на окружности радиуса у/т с
центром в начале координат (рис. 7). Аргументы
(р 2тг 7
п	п п
чисел к;^ возрастают на 2тг/п при увеличении к на единицу. При к = п
получим вп = — + 2тг = ^о + 2тг. Значит, точки гип и к;о совпадут. При
п

§2. Действия над комплексными числами
17
& = n + 1, n + 2,... мы снова будем получать точки
логично, при к = — 1, — 2,... со-
соответствующие точки будут сов-
совпадать с какими-то из точек
Wo, W\,..., wn-i. Мы приходим к
следующему выводу. Для каждого
комплексного числа z ф 0 имеет-
имеется ровно п различных корней п-й
степени из z. Все эти корни нахо-
находятся по формуле B.12) при к =
= 0,1, 2,..., п - 1. Соответству-
Соответствующие точки расположены в вер-
вершинах правильного п-угольника с
центром в начале координат.
Формула B.12) также называ-
называется формулой Муавра.
2 и т.д. Ана-
АнаWn-1
Пример 2.5. Найти все значения yfz при z = 32(—1 +
Решение. Найдем модуль и аргумент числа z:
= ^322((-1J
—
1
-;
= 32 • 2 = 64,
G Z.
лежит во II четверти. Поэто-
Поэто= =Ь— + 2тг/с
Так как Kez < 0, Imz > 0, то угол
му ip = —- + 2тгк. В B.12) можно взять любое значение аргумента ip,
в частности ip = —-. Подставляя найденные значения г и ip в форму-
лу B.12), получим
2тг	2тг
+2А
у 32(-1 + л/Зг) =
+ г sin
J =
(мы воспользовались равенством \^64 = \/8 = 2\/2). Подставляя зна-
значения к = 0,1,2,3, найдем четыре различные значения yfz:
w2 = 2л/2(со8 -— + i sin -— ) = -л/б - л/2 г;
V 6	о /
о /о/ 5тт , . . 5тт\	лт/1 . л/3\ лт /F •
w3 = 2V21 cos — + г sin — 1 = 2v 2 ( - - г — j = v 2 - v6 г.
2 В.Я.Эйдерман

18
Гл. I. Комплексные числа и действия над ними
Остальные значения к новых точек уже не дадут. Заметим, что, из-
извлекая корень 4-й степени из числа z = 32(—1 + л/3^), мы решали за-
задачу, обратную той, которая разбиралась в примере 2.4, и корень
ws = у/2 — у/Е г оказался равным тому числу, которое возводилось
в 4-ю степень. Но, кроме числа ws, будет еще 3 различных значе-
значения \/z\ соответствующие точки w$, w±, w^, ^з расположены в верши-
вершинах правильного четырехугольника (т.е. квадрата) с центром в начале
координат и удалены от начала координат на расстояние 2л/2.
Возможность извлекать корень из любого числа позволяет решать
квадратные уравнения az2 + bz + с = 0 с произвольными (вообще го-
говоря, комплексными) коэффициентами а, Ь, с. Корни уравнения на-
находятся по формуле
-Ъ ± у/Ъ2 - 4ас	( ,
*i,2 =	Та	,	B.13)
которая выводится так же, как и в случае действительных чисел а,
6, с, z (путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена
az2 + hz + с). В качестве у/b2 — 4ас можно взять любое из двух значе-
значений корня; эти значения связаны равенством w\ = — w^-
Пример 2.6. Решить уравнение z2 + 2z + 2 = 0.
Решение. D = Ь2 - 4ас = 4-4-1-2 = 4-8 = -4;
у/Ъ = у/^4 = у/^ЪЛ = 2Л/ГТ = ±2г.
По формуле B.13)
-2±2г
21,2 =
= — 1 ± г; z\ — — 1 + г;
— — 1 —
У1
В школьном курсе математики считается, что если дискрими-
дискриминант D < 0, то корней нет. Их и в самом деле нет, если искать только
действительные корни (т.е. точки, расположенные на оси ОХ). Но
среди более широкого множества ком-
комплексных чисел корни уже найдутся; соот-
соответствующие точки расположены вне дей-
действительной оси.
Таким образом, каждое квадратное
уравнение имеет ровно два корня (возмож-
(возможно, совпадающих). Позже мы докажем, что
для любого натурального п уравнение
aozn + aizn~1 + ... + ап = О
^ис- °	имеет ровно п корней (вообще говоря,
комплексных). Это означает, что для отыскания решений алгебра-
алгебраических уравнений более высокой степени не нужно дальнейшее
расширение множества чисел (например, рассмотрение точек в
пространстве и т.п.). Введенного множества комплексных чисел уже

§2. Действия над комплексными числами	19
достаточно для того, чтобы среди них нашлись решения любого ал-
алгебраического уравнения.
Задача. Докажите (исходя из формулы B.13)), что для квад-
квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрица-
отрицательным дискриминантом корни будут взаимно сопряженными.
6. В заключение гл. I введем еще одну форму записи комплексных
чисел. Определим показательную функцию от чисто мнимого аргу-
аргумента iip следующим равенством:
eiLp = cos (p + г sin (p.	B.14)
Поскольку число z можно записать в виде z = r(cos(p + г sin у?), где
г = |z|, то получаем более краткую, так называемую показательную
форму комплексного числа:
z = rei(f, r =
Пусть 2i = nei<Pl, z2 = r2ei<P2. Учитывая формулы B.5), B.7) и B.8),
получим:
nr2ei<Plei<P2 = zlZ2 = r1r2ei^1+^\ откуда eiipieiip2 = ei((/?1+(/?2);
{re^)n = zn = rneinv, откуда (е^)п = ein(^;
^— = — = — e^1'^, откуда — = e^1'^.
B.15)
Таким образом, функция ег(/?, определенная равенством B.14), обла-
обладает обычными свойствами показательной функции, что говорит о
естественности такого определения. Формула B.14) называется фор-
формулой Эйлера. Более глубокое рассуждение, объясняющее происхо-
происхождение формулы Эйлера, будет дано в гл. VI, § 22.
2*

Глава II
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 3. Плоскость комплексного переменного
Если х и у являются переменными величинами (т.е. могут при-
принимать различные значения), то z = х + iy называется комплексным
переменным. При изменении х и у соответствующая точка z = х + iy
пробегает некоторое множество точек комплексной плоскости С. Вся
комплексная плоскость С называется также плоскостью комплексно-
комплексного переменного z.
Расстояние p(zi,Z2) между двумя точками z\ — х\ + гу\ и ^ =
= Х2 + гу2 находится по формуле
Ук
-^ \
\
p{zuz2) = Vft- x2y + [yi - y2y = \zi - z2\.
Поэтому уравнение окружности радиуса R с центром в точке z^ име-
имеет вид \z — zo\ = R, а множество точек z, лежащих внутри круга ра-
радиуса R с центром zo, задается неравенством \z — zo\ <R (рис.9).
Для фиксированной точки zq
плоскости комплексного пере-
переменного и положительного чис-
числа 8 множество всех точек z,
удовлетворяющих неравенству
\z — zq\ < S, является внутрен-
внутренностью круга радиуса S с цен-
центром zo. Это множество называ-
^ ется S-окрестностью точки zq.
Множ:ество D точек назы-
называется открытым, если всякая
его точка имеет окрестность,
принадлежащую D (т.е. цели-
рис g	ком состоящую из точек дан-
данного множества D). Например,
множество D = {z : \z — zq\ < R} (см. рис. 9) является открытым.
Действительно, возьмем любую точку z\ G D. Тогда \z — zo\ < R, и
d = R — \zi — zo\ > 0 будет расстоянием от z\ до окружности \z — zo\ =
= R. Поэтому если 0 < S < d, то множество \z — zo\ < S лежит в D;
это и доказывает, что D открыто.
,0
D

3. Плоскость комплексного переменного
21
Множество D называется связным, если любые две точки из D
можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в D. От-
Открытое связное множество называется областью. Приведем приме-
примеры областей: круг \z - zo\ < R; кольцо г < \z - zo\ < R, 0 ^ г < R; вся
плоскость С; полуплоскость Hez > а, где а — действительное число. В
то же время круг \z — zo\ ^ R не является областью, так как это мно-
множество не является открытым: для точек z, для которых \z — Zo\ = R,
не существует окрестности, целиком лежащей в этом круге.
Точка z\ называется граничной точкой множества D, если в
любой окрестности точки z\ найдутся как точки, принадлежащие
множеству D, так и точки, ему не принадлежащие. Множество
граничных точек называется границей множества D. Множество,
состоящее из области D и всех граничных точек области D, на-
называется замкнутой областью и обозначается D. Например, круг
z — zq\ ^ R и кольцо г ^ \z — zq\ ^ R являются замкнутыми областя-
областями; но кольцо г < \z — zo\ ^ R не является замкнутой областью (так
как граничные точки, лежащие на окружности \z — zo\ = г, не принад-
принадлежат этому множеству), и не является областью (данное множество
содержит граничные точки на окружности \z — zo\ = R и, следова-
следовательно, не будет открытым).
Области на плоскости делятся на односвязные и многосвязные.
Область называется односвязной, если ее граница состоит из од-
одной непрерывной кривой без
самопересечений (возможно,
замкнутой). Например, круг
z — zo\ < R и полуплоскость
являются односвязными об-
областями. Область, не яв-
являющаяся односвязной, на-
называется многосвязной. В
частности, многосвязная об-
область называется п-связной,
если ее граница состоит
из п (п > 1) непересекаю-
непересекающихся непрерывных кривых;
некоторые из них могут вы-
Рис. 10
рождаться в точку. Например, на рис. 10 изображена 4-х связная об-
область D; ее граница состоит из четырех кривых 7ъ 72 ? 7з5 74-
Рассмотрим еще одну геометрическую интерпретацию комплекс-
комплексного числа. Пусть S — сфера радиуса 1/2, касающаяся комплексной
плоскости С в точке z = 0 (рис. 11), и Р — точка сферы, диаметраль-
диаметрально противоположная точке 0. Возьмем произвольную точку z G С и
проведем луч Pz. Этот луч имеет единственную точку пересечения
Z со сферой S; очевидно, что Z ф Р. Тем самым каждой точке z G С
поставлена в соответствие точка Z G 5, Z ф Р. Наоборот, если задана

22	Гл. П. Понятие функции комплексного переменного
Рис. 11
точка Z Е S, Z ф Р, то аналогичное построение дает соответствую-
соответствующую точку z Е С. Тем самым мы построили взаимно однозначное
соответствие между точками комплексной плоскости С и точками
сферы S, отличными от Р. Это соответствие называется стереогра-
стереографической проекцией. Нетрудно видеть, что если точки Zn сферы при-
приближаются кР, то соответствующие точки zn плоскости С неограни-
неограниченно удаляются от начала координат. Точке Р не соответствует ни
одна точка из С. Но мы введем в рассмотрение дополнительную (во-
(воображаемую) точку, которую назовем бесконечно удаленной и обозна-
обозначим z = оо. Эту точку z = оо мы и поставим в соответствие точке Р.
Комплексная плоскость С, дополненная бесконечно удаленной точ-
кой^ называется расширенной комплексной плоскостью и обозначает-
обозначается С. Каждой точке z Е С соответствует единственная точка Z Е 5, и
наоборот; сфера S называется комплексной сферой или сферой Рима-
на*. Сфера Римана показывает, что точка z — оо и остальные точки
из С, называемые конечными, в некотором смысле равноправны: и
те, и другие изображаются точками сферы S. Такое представление
часто бывает удобным при рассмотрениях, включающих бесконечно
удаленную точку.
Можно доказать, что при стереографической проекции прямые и
окружности на С переходят в окружности на 5, углы между пересе-
пересекающимися кривыми сохраняются.
Возьмем на сфере S некоторую окрестность точки Р, т.е. сфери-
сферическую шапочку с центром Р. Точкам Z ф Р этой окрестности будут
соответствовать точки z G С, лежащие вне некоторого круга с цен-
центром в начале координат. Это показывает естественность следующего
определения. Окрестностью бесконечно удаленной точки называет-
называется множество, состоящее из точек z G С, для которых \z\ > R, и самой
Г. Риман A826-1866) — выдающийся немецкий математик.

§4- Последовательности комплексных чисел	23
точки z = оо, т.е. внешность круга радиуса R с центром в начале ко-
координат с добавлением самой точки z = оо.
§ 4. Последовательности комплексных чисел
и пределы последовательностей
Пусть каждому натуральному числу п = 1,2,... поставлено в
соответствие комплексное число zn. Тогда говорят, что задана по-
последовательность {zn}. Так как zn = хп + iyn, то задание последо-
последовательности {zn} комплексных чисел равносильно заданию двух по-
последовательностей {хп} и {уп} действительных чисел.
Комплексное число А называется пределом последовательности
{zn}, если для любого положительного числа г найдется такой но-
номер N (зависящий от е), что при всех п > N выполнено неравенство
zn - А\ < г.
Выполнение этого условия означает, что для сколь угодно малой
^-окрестности точки А все точки zn с номерами п > N попадут в эту
окрестность, а вне ее останется лишь конечное число точек zn.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Наличие предела А у последовательности {zn} записывается в ви-
виде lim zn — А или zn —>¦ А при п —> оо. Данное определение сов-
п—>-оо
падает с определением предела последовательности действительных
чисел.
Теорема 4.1. Для того чтобы последовательность комплекс-
комплексных чисел zn = хп + гу-п имела предел А = а + гЬ, необходимо и доста-
достаточно, чтобы последовательности {хп} и {уп} имели предел, причем
lim хп = a, lim уп = Ъ.
П—У(Х>	П—У(Х>
Доказательство. 1. Необходимость. Пусть дано, что
lim zn = A.
п—>-оо
Надо доказать равенства lim xn = a, lim yn = Ъ. Заметим, что
\zn -A\ = л/(хп-аJ + (уп-ЬJ.	D.1)
Отсюда следует, что
\хп -а\^ \zn - А\, \уп -Ъ\^ \zn - A\.	D.2)
Возьмем любое г > 0. Так как lim zn — А, то найдется такой но-
п—>-оо
мер N, что при п > N выполнено неравенство \zn — А\ < г. Из D.2)
вытекает, что
\хп -а\ <е, \уп - Ь\ < г при п> N.

24	Гл. II. Понятие функции комплексного переменного
По определению предела последовательности действительных чисел
получаем lim хп = a, lim yn = 6, что и требовалось доказать.
п—юо	п—юо
2. Достаточность. Предположим теперь, что lim жп = a, lim ?/п =
п—юо	п—юо
= 6, и докажем, что lim zn = А = а + ib. Возьмем любое г > 0. Так
п—юо
как lim хп = а, то найдется такой номер JVi, что при п > iVi выпол-
п—>-оо
нено неравенство
жп - а| < ;4=	D.3)
(мы пользуемся определением предела последовательности действи-
действительных чисел). Аналогично, из условия lim уп = Ъ следует суще-
п—уоо
ствование такого номера 7V2, что при п > N2
\Уп~Ь\<^=.	D.4)
Возьмем N = max{iVi,iV2}. Тогда при п> N будут выполняться оба
неравенства D.3), D.4). Из равенства D.1) получим
при п > N.
Итак, для любого е > 0 найдется такой номер JV, что при п > N вы-
выполнено неравенство \zn — А\ < е. Это и означает, что lim zn — A.
Теорема 4.1 доказана.
Используя теорему 4.1 нетрудно показать, что сходящиеся после-
последовательности комплексных чисел имеют те же свойства, что и схо-
сходящиеся последовательности действительных чисел:
lim (zn + wn)= lim zn + lim wn;
n—>-oo	n—>-oo	n—>-oo
lim (zn^n) = lim zn • lim wn;
n—>-oo	n—>-oo	n—>-oo	/^ c:\
lim zn
lim —^- = n~*°°—? если lim wn 7^ 0.
l
Zn-A <\Г- + - =
lim =
n—>-oo wn lim
n—>-oo
Вывод формул D.5) из теоремы 4.1 и из соответствующих свойств
последовательностей действительных чисел предоставляем читателю.
Введенное выше понятие предела относилось к случаю, когда пре-
предел А ф оо. Рассмотрим теперь случай последовательности, стремя-
стремящиеся к бесконечности, т.е. А — оо.
Предел последовательности {zn} равен бесконечности (записы-
(записывается в виде lim zn = 00), если для любого сколь угодно большого
п—>-оо
числа R > 0 найдется такой номер N (зависящий от Л), что при всех
п > N выполняется неравенство \zn\ > R.

§5. Понятие функции комплексного переменного	25
Понятия бесконечно удаленной точки и ее окрестности, введенные
в конце §3, позволяют переформулировать это определение следую-
следующим образом:
lim zn = оо, если для любой окрестности точки А = оо все точ-
п—>-оо
ки zn с номерами п > N попадут в эту окрестность.
В таком виде определения конечного и бесконечного пределов ана-
аналогичны друг другу.
Упражнение. Докажите справедливость следующих утвер-
утверждений:
1.	Если lim zn = оо, то lim \zn\ = оо и lim — = 0.
п—>-оо	п—>-оо	п—>-оо 2^
2.	Efc/ш lim wn = 0 и wn ф 0, то Нт — = оо.
§ 5. Понятие функции комплексного переменного.
Предел и непрерывность
Пусть D — некоторое множество комплексных чисел. Однозначной
функцией комплексного переменного называется правило (закон), по
которому каждому комплексному числу z из множества D соответ-
соответствует единственное комплексное число w.
Такое соответствие обозначается w = f(z), или / : z —>¦ w. Множе-
Множество D называется множеством (областью) определения функции /.
Например, функция w = z2 ставит в соответствие каждому ком-
комплексному числу z = х + гу комплексное число w = z2 = (x + iyJ =
= х2 — у2 + 2ixy; эта функция определена на всей плоскости ком-
комплексного переменного z, а если положить /(оо) = оо, то она будет
определена и на всей расширенной комплексной плоскости.
Если обозначить z = х + iy, w = и + iv, то задание функции w =
= f{z) комплексного переменного равносильно заданию на том же
множестве двух функций действительных переменных ж, у, прини-
принимающих действительные значения: и = и(х,у), v = v(x,y). Например,
для функции w = z2 имеем и = х2 — у2, v = 2ху.
Наряду с плоскостью переменного z = х + iy, рассмотрим также
плоскость комплексного переменного w = и + iv. Функция w = f(z)
каждой точке z = х + iy множества D с координатами (ж, у) ста-
ставит в соответствие вполне определенную точку w = и + iv с коор-
координатами (u,v); когда точка z пробегает множество D на плоскос-
плоскости переменного z, соответствующая точка w пробегает на плоскости
переменного w другое множество Е. Таким образом, однозначная
функция w = f(z) отображает множество D на множество Е, т.е. каж-
каждой точке z G D ставит в соответствие точку w G Е. Точка w назы-
называется образом точки z, а точка z — прообразом точки w при отобра-

26
Гл. П. Понятие функции комплексного переменного
жении w = f(z). Точка w может иметь несколько (и даже бесконечно
много) прообразов. Например, при отображении w = zn каждая точка
w ф 0 имеет ровно п прообразов — корней n-й степени из w.
Отсюда следует, что поведение функции комплексного перемен-
переменного нельзя проиллюстрировать с помощью графика в декартовой
системе координат, плоской или трехмерной. Чтобы представить себе
геометрические свойства функции w = f(z), нужно исследовать, на
какие множества отображаются те или иные области и кривые.
Пример 5.1. Найти, на какую область отображается четверть
круга радиуса R с помощью функции w = z2.
Решение. Запишем переменные z и w в показательной форме:
z = гег(р, w = регв. Так как w = z2, то регв = (гег(рJ = г2ег2(р, откуда
следует, что
p = r2, 0 = 2ip.	E.1)
Выясним, в какую кривую переходит граница области D при отоб-
отображении w = z2. Предположим, что эта граница обходится начиная
от точки z = 0 в положительном направлении (т.е. так, что при об-
обходе область D остается слева — рис. 12, а). Из формул E.1) сле-
следует, что отрезок действительной оси О^г^Л, <? = 0, перейдет
©
R2
R
-R
Рис. 12
в отрезок 0 ^ р ^ R2, # = 0, действительной оси плоскости перемен-
переменного w; четверть окружности г = Л, 0 ^ ср ^ тг/2, перейдет в полу-
полуокружность р = R , 0 ^ в ^ тг (рис. 12, б) и, наконец, отрезок мнимой
оси 0 ^ г ^ R, ср = тг/2, перейдет в отрезок 0 ^ р ^ R2, в = тг, т.е. в
отрезок [-R, 0] действительной оси. Каждая внутренняя точка z чет-
четверти круга D перейдет во внутреннюю точку полукруга Е на плос-
плоскости w, и при этом весь полукруг Е будет заполнен образами точек z
полностью, без всяких "дырок".
Пример 5.2. Найти, на какую область отображается круг \z\ <
< R функцией w = -.
Решение. Как и в предыдущем примере, обозначим z = re1

§5. Понятие функции комплексного переменного
27
w = регв. Тогда w = - = - е г(/?. Поэтому
Возьмем окружность |г| = г, г ^ R (рис. 13, а). Она перейдет в ок-
окружность \w\ = - ^ — (рис. 13, 5). Поэтому круг \z\ < R отобра-
©
Рис. 13
1	ii1
жается на внешность круга радиуса —, т.е. на множество \w\ > —.
R	R
При этом, если обходить окружность \z\ = г против часовой стрел-
стрелки, то в силу равенства в = — ip направление обхода соответствующей
окружности \w\ = - будет противоположным.
Другие элементарные функции комплексного переменного будут
рассмотрены в гл. IV.
Введем важное понятие предела функции w = f(z) в точке. Пусть
задана точка z$ Е С и положительное число 8. Проколотой 5-окрест-
ностью точки z^ называется ^-окрестность этой точки, за исключе-
исключением самой точки zo (т.е. внутренность круга радиуса S с центром zo,
из которого удален центр zo). Это множество можно записать в виде
неравенств: 0 < \z — zo\ < S.
Пусть функция w = f(z) определена в некоторой проколотой
окрестности точки zq. Число А называется пределом функции w =
= f(z) в точке zo, если для любого е > 0 найдется такое S > 0 (зави-
(зависящее от г), что для всех точек проколотой ^-окрестности точки z^
выполняется неравенство \f(z) — А\ < г.
Наличие у функции f(z) предела А в точке zo записывается в
виде lim f(z) = A и означает следующее: для любой (сколь угодно
малой) окрестности JJа точки А найдется такая проколотая окрест-

28
Гл. П. Понятие функции комплексного переменного
ность точки 2о, что для всех точек z из этой проколотой окрестности
соответствующее значение w = f(z) лежит в JJа- В такой форме опре-
определение предела охватывает и случаи z — оо и (или) А — оо; под про-
проколотой окрестностью точки z = оо понимается множество \z\ > R.
Данное определение предела аналогично определению предела для
функций действительных переменных. Поэтому такие важные теоре-
теоремы, как теоремы о пределе суммы, произведения, частного и т.д.,
сохраняют силу и для функций комплексного переменного. Если
z = х + гу и f(z) = и(х,у) + iv(x,у), то равенство
lim f(z) = A — a + ib
эквивалентно двум равенствам
lim и(х,у) = a: lim v(x,y) = b,
в которых фигурируют пределы действительных функций и(х,у),
v(x,y) двух действительных переменных х и у.
Дадим теперь определение предела
функции в граничной точке области D
(рис. 14). Если функция f(z) опреде-
определена лишь в области D, то для гра-
граничной точки z\ не существует проко-
проколотой окрестности, в которой заданы
значения f(z); в этом состоит отличие
от предыдущего случая.
Число А называется пределом
функции w = f(z) в граничной точ-
точке zi, если для любого е > 0 найдется
такое S > 0, что для всех точек проколотой ^-окрестности точки zi,
принадлежащих области D, выполняется неравенство \f(z) — А\ < г.
На рис. 14 указанные точки из D отмечены штриховкой.
Перейдем к определению непрерывности функции комплексного
переменного.
Функция w = f(z), определенная в окрестности (не проколотой!)
точки 2о, называется непрерывной в точке zo, если
о
lim
= f(z0).
Непрерывность функции w = f(z) = и(х,у) + iv(x,y) в точке zo =
= хо + г2/о эквивалентна непрерывности двух действительных функ-
функций и(х,у) и v(x,y) переменных х и у в точке (жо,2/о)«
Функция гу = f(z), определенная в области D, называется непре-
непрерывной в этой области, если /(г) непрерывна в каждой точке об-
области D. Функция w = f(z) называется непрерывной в замкнутой
области D, если она определена в D и для каждой точки zq E D

§5. Понятие функции комплексного переменного	29
(включая граничные точки) выполнено равенство
lim f(z) = /(;го).
Зафиксируем точку zo и возьмем другую точку z Е D. Тем самым
аргумент изменится на величину Az = z — z$ = Ах + iAy, называе-
называемую приращением аргумента. Соответствующее изменение функции
Aw = f(z) - f(z0) = /(*„ + Az) - /(zo)
называется приращением функции.
Упражнение. Покажите, что данное выше определение не-
непрерывности функции в точке равносильно следующему: функция
w = f(z) называется непрерывной в точке zq, если lim Aw = 0.
Az—>0

Глава III
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 6. Производная и дифференциал.
Условия Коши—Римана. Аналитические функции
1. Производная и дифференциал. Определения производной
и дифференциала функции комплексного переменного дословно сов-
совпадают с соответствующими определениями для функций одного
действительного переменного.
Пусть функция w = f(z) = и + iv определена в некоторой окрест-
окрестности U точки zq. Дадим независимому переменному z = х + гу при-
приращение Az = Ах + гАу, не выводящее за пределы окрестности U.
Тогда функция w = f(z) получит соответствующее приращение Aw =
Производной функции w = f(z) в точке zo называется предел от-
отношения приращения функции Aw к приращению аргумента Az при
стремлении Az к нулю (произвольным образом).
Производная обозначается ff(z), w', — или -J-. Определение про-
производной можно записать в виде
/'(*)= Hm ^.	F.1)
Предел в F.1) может и не существовать; тогда говорят, что функ-
функция w = f(z) не имеет производной в точке zq.
Функция w = f(z) называется дифференцируемой в точке zo, если
она определена в некоторой окрестности U точки zo и ее прираще-
приращение Aw можно представить в виде
Aw = AAz + a(Az) • Az,	F.2)
где комплексное число А не зависит от Az, а функция a(Az) — бес-
бесконечно малая при Az —у 0, т.е. Hm a(Az) = 0.
/S.z—>-0
Так же как и для функций действительного переменного, доказы-
доказывается, что функция f(z) дифференцируема в точке zq тогда и только
тогда, когда она имеет производную в zo, причем А = f'(zo). Выраже-
Выражение f'(zo)Az называется дифференциалом функции f(z) в точке zo и
обозначается dw или df(zo). При этом приращение Az независимого
переменного z называется также дифференциалом переменного z и

§ 6. Производная и дифференциал. Условия Коши-Римана
31
обозначается dz. Таким образом,
dw = df(z0) = f'(zo)dz.
Дифференциал есть главная линейная часть приращения функции.
Пример 6.1. Исследовать, имеет ли функция w = f(z) = Re 2:
производную в произвольной точке zq.
Решение. По условию, w = Re z = х. В силу определения про-
производной, предел F.1) не должен зависеть от того, по какому пути
Ук
Az = Ах
zq + Az
. zq + Az
Az = iAy
zo
Рис. 15
точка z = zo + Az приближается к z$ при Az —> 0. Возьмем внача-
ле Az = Ax (рис. 15, а). Так как Aw = Аж, то -г— = -г— = 1. Если
же взять Az = iAy (рис. 15, б), то Ах = 0 и, следовательно, Aw = 0.
Д	А
Значит, и —— = 0. Поэтому предел отношения —— при Az
/\z	/\z
ф
0 не
/\z	/\z
существует и, следовательно, функция w = Re z = х не имеет произ-
производной ни в одной точке.
В то же время функция w = z = x + iy, очевидно, имеет производ-
производную в любой точке ^о, и /'(^о) = 1- Отсюда ясно, что действитель-
действительная и мнимая части дифференцируемой функции f(z) не могут быть
произвольными; они должны быть связанными некоторыми дополни-
дополнительными соотношениями. Эти соотношения возникают оттого, что
условие существования производной /'(^о) существенно более огра-
ограничительно, чем условие существования производной функций од-
одного действительного переменного или частных производных функ-
функций нескольких действительных переменных: требуется, чтобы пре-
предел в F.1) существовал и не зависел от пути, по которому точка z =
= zo + Az приближается к z^ при Az —у 0. Для вывода указанных
соотношений напомним определение дифференцируемости функции
двух переменных.
Действительная функция и = и(х,у) действительных перемен-
переменных х и у называется дифференцируемой в точке Ро(хо,уо), если она
определена в некоторой окрестности точки Pq и ее полное прираще-
приращение Аи = u(xq + Аж,уо + Ау) — и(хо,уо) представимо в виде
Аи = В Ах + САу + /3(Ах, Ау) • Ах + j(Ax, Ay) • Ay,
F.3)

32 Гл. III. Дифференцирование функций комплексного переменного
где В и С — действительные числа, не зависящие от Ах, Ау, а /3 и j —
действительные функции переменных Ах и Ау, стремящиеся к нулю
при Ах -у 0, Ау -у 0.
Если функция и дифференцируема в точке Ро ? то она имеет част-
„	„ ди(Ро) „ ди(Ро) „ ,
ные производные в Pq , причем В = —^—-, G = —^—-. Но (в отличие
от функций одного переменного) из существования частных производ-
производных функции и(х,у) еще не следует ее дифференцируемость.
2. Условия Коши—Римана.
Теорема 6.1. Пусть функция комплексного переменного w =
= f(z) = и(х,у) + iv(x,y) определена в окрестности точки zo =
= хо + гуо- Для того чтобы f(z) была дифференцируемой в точке zq,
необходимо и достаточно, чтобы функции и(х,у) и v(x,y) были диф-
дифференцируемыми в точке (жо,2/о) и чт°бы 6 этой точке выполнялись
условия
ди _ dv ди _ dv	, .,
!h; ~ ду' ~ду~ ~fa'	^ }
Равенства F.4) называются условиями Коши-Римана .
Доказательство. Необходимость. Пусть функция w = f{z)
дифференцируема в точке zo, т.е.
Aw = Аи + гДг; = f'(zo)Az + a(Az)Az.	F.5)
Обозначим f'(z0) = a + ib; a(Az) = j3(Ax, Ay) + i~f(Ax, Ay); Az =
= Ax + iAy, где /3 и 7 — действительные функции переменных Ах,
Ау, стремящиеся к нулю при Ах —> 0, Ау —у 0. Подставляя эти равен-
равенства в F.5) и выделяя действительные и мнимые части, получим
Аи + гДг; = (а + ib)(Ax + iAy) + (/? + ij)(Ax + гД?/) =
= (аАх - ЪАу + /3Ах - jAy) + ЦЪАх + аД^/ + jAx + ^Д^/). F.6)
Поскольку равенство комплексных чисел равносильно равенству их
действительных и мнимых частей, то F.6) равносильно системе ра-
равенств
Аи = аАх - ЪАу + (ЗАх - jAy,
Av = ЬАх + аАу + -/Ах + /?Дз/.	'
Равенства F.7) означают, что функции и{х,у) nv(x,y) удовлетворяют
условию F.3) и, следовательно, являются дифференцируемыми. Так
как коэффициенты при Ах и Ау равны частным производным по х
Условия F.4) изучались еще в XVIII в. Даламбером и Эйлером. По-
Поэтому их иногда называют также условиями Даламбера-Эйлера, что с ис-
исторической точки зрения более правильно.

§ 6. Производная и дифференциал. Условия Коши-Римана	33
и у соответственно, то из F.7) получаем
ди -. ди
1Х	я"	F-8)
, dv	dv	v J
о = —; a = —,
аж	a?/
откуда и следуют условия F.4).
Достаточность. Предположим теперь, что функции и(х,у) nv(x,y)
дифференцируемы в точке (жо, у о) w.v(x,y) и выполнены условия F.4).
Обозначая а = —, Ь=—— и применяя F.4), придем к равенст-
равенствам F.8). Из F.8) и условия дифференцируемости функций и(х,у),
v(x,y) имеем
Аи = а Ах - ЬАу + /?х Аж +
Аг; = &Аж + аАу + ^2 Аж +
где /3i, ji, fa, 92 — функции, стремящиеся к нулю при Ах —у О, А^/ —>¦
-У 0. Отсюда
Аи + гАг; = (а + г6)(Аж + гАу) + (Д + if32)Ax + G1 + г^2)Ау. F.9)
Определим функцию а(Д^) равенством
а/Д ч = (/31+г/32)Аж + G1+г
А^
и положим А = а + гЬ. Тогда F.9) перепишется в виде равенства
Aw = Au + iAv = AAz + a(Az) • Az,
которое совпадает с F.2). Для доказательства дифференцируемости
функции f(z) осталось показать, что lim a(Az) = 0. Из равенства
А^0
|Д*| =
следует, что |Дж| ^ \Az\, \Ay\ ^ \Az\. Поэтому
\a(Az)\ ^ *——	Z\Az~—	= l^1 + ^| + |7i + *Т21-
Если Az —>¦ 0, то Аж —у О, А?/ —>¦ 0, а значит, и функции Pi, /^2, 715 72
стремятся к нулю. Поэтому a(Az) —у 0 при Az —у 0, и доказательство
теоремы 6.1 закончено.
Пример 6.2. Выяснить, является ли функция w = z диффе-
дифференцируемой; если да, то в каких точках?
Решение, w = и + iv = (х + гуJ = х2 — у2 + 2ixy, откуда и =
= х2 — у2, v = 2ху. Следовательно,
ди _ ~ _ dv ди _ _ _ <9г>
дх	ду ду	дх
3 В.Я.Эйдерман

34 Гл. III. Дифференцирование функций комплексного переменного
Таким образом, условия F.4) Коши-Римана выполнены в каждой точ-
точке; значит, функция w = z2 будет дифференцируемой в С.
Пример 6.3. Исследовать дифференцируемость функции w =
= z = х — iy.
Решение, w = и + iv = x — iy, откуда и = ж, v = —у и
ди _ dv _
дх ' ду
Таким образом, условия Коши-Римана не выполнены ни в одной точ-
точке, и, следовательно, функция w = z нигде не дифференцируема.
Проверять дифференцируемость функции и находить производ-
производные можно непосредственно по формуле F.1).
Пример 6.4. Используя формулу F.1), исследовать дифферен-
дифференцируемость функции w = z2.
Решение. Aw = (z0 + AzJ — z% = 2z0Az + (Д2:J, откуда
hm -r— = hm 	t—^—— = hm Bzo + Az) = 2z0.
Az^O Az Az^O	Az	Az^0y	J
Следовательно, функция w = z2 дифференцируема в любой точке zo,
и ее производная f'(zo) = 2zo.
Так как основные теоремы о пределах сохраняются для функ-
функции комплексного переменного, а определение производной функции
комплексного переменного также не отличается от соответствующего
определения для функций действительного переменного, то извест-
известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения,
частного и сложной функции остаются справедливыми и для функ-
функций комплексного переменного. Аналогично доказывается также, что
если функция f(z) дифференцируема в точке ^о, то она непрерывна
в этой точке; обратное утверждение неверно.
3. Аналитические функции. Функция w = f(z), дифференци-
дифференцируемая не только в самой точке zq, но и в некоторой окрестности этой
точки, называется аналитической в точке zq. Если f(z) является ана-
аналитической в каждой точке области D, то она называется аналити-
аналитической (регулярной, голоморфной) в области D.
Из свойств производных сразу следует, что если f(z) и g(z) — ана-
аналитические функции в области D, то функции f(z) + g(z), f(z) — g(z),
f(z) • g(z) также аналитичны в области D, а частное f(z)/g(z) — ана-
аналитическая функция во всех точках области D, в которых g(z) ф 0.
Например, функция
является аналитической в плоскости С с выброшенными точками z =
= 1 и z = г.

§ 7. Связь между аналитическими и гармоническими функциями 35
Из теоремы о производной сложной функции вытекает следую-
следующее утверждение: если функция и = u(z) аналитична в области D и
отображает D в область D' переменного и, а функция w = f(u) анали-
аналитична в области D'', то сложная функция w = f(u(z)) переменного z
аналитична в D.
Введем понятие функции, аналитической в замкнутой области D.
Отличие от открытой области здесь в том, что добавляются точ-
точки границы, не имеющие окрестности, принадлежащей D; поэто-
поэтому производная в этих точках не определена. Функция f(z) на-
называется аналитической (регулярной, голоморфной) в замкнутой
области D, если эту функцию можно продолжить в некоторую бо-
более широкую область Di, содержащую D, до аналитической в D\
функции.
§ 7. Связь между аналитическими
и гармоническими функциями
Действительная функция и = и(х,у) двух переменных х и у назы-
называется гармонической в области D, если она определена в D, име-
имеет всюду в D непрерывные частные производные первого и вто-
второго порядков и удовлетворяет в каждой точке из D уравнению
Лапласа:
7ГТ + 7ГТ=0-	G.1)
дх2 ду2	v '
Уравнение Лапласа и гармонические функции играют важную роль
в физике и технике. Например, установившееся распределение темпе-
температуры в области D, потенциал электрического поля в областях, сво-
свободных от зарядов, являются гармоническими функциями. В гидро-
гидродинамике потенциал скоростей и функция тока безвихревых плоских
течений несжимаемой идеальной жидкости также являются гармо-
гармоническими функциями. Связь между аналитическими и гармониче-
гармоническими функциями, которая будет изучена в данном разделе, исполь-
используются в разнообразных приложениях аналитических функций.
Теорема 7.1. Действительная и мнимая части аналитиче-
аналитической функции являются гармоническими функциями.
Доказательство. Пусть функция f(z) = и(х,у) + iv(x,y)
аналитична в области D. Надо доказать, что функции и(х,у) nv(x,y)
являются гармоническими в D. Нам понадобится следующий факт,
доказательство которого (и даже более общего утверждения) будет
приведено в § 18 (см. теорему 18.2): действительная и мнимая части
аналитической функции имеют непрерывные частные производные
первого и второго порядков.
3*

36 Гл. III. Дифференцирование функций комплексного переменного
Так как f(z) аналитична в D, то в каждой точке области D вы-
выполнены условия Коши-Римана F.4). Дифференцируя первое из тож-
тождеств F.4) по ж, а второе по у, получим
д2и _ d2v д2и _ d2v	,^ ^
~дх~^ ~ дудх; ~д^ ~ ~дхду'	^ }
Из курса математического анализа известно (см., например, учеб-
учебник Н.С. Пискунова [7, т. 1. С. 255]), что если действительная функ-
функция v(x,y) имеет непрерывные частные производные первого и вто-
d2v d2v п	Мс..
рого порядков, то	=	. Складывая равенства G.2), придем
к уравнению G.1), что нам и требовалось.
Итак, если f(z) = и + iv — аналитическая функция, то и и v будут
гармоническими. Но обратное неверно: если и и v — произвольно вы-
выбранные гармонические функции, то функция f(z) = и + iv не обяза-
обязательно будет аналитической. Например, функция f(z) = Re 2: = х + гО
не аналитична (см. пример 6.1), хотя функции и = ж, v = 0 — гармо-
гармонические. Чтобы функция f(z) = и + iv была аналитической, функ-
функции и и v должны не только быть гармоническими, но и удовлетворять
условиям F.4). Гармоническая функция г?, связанная с гармонической
функцией и условиями Коши-Римана F.4), называется сопряженной
с и. Из теорем 6.1 и 7.1 вытекает следующее утверждение.
Теорема 7.2. Для того чтобы две гармонические функции и =
= и(х,у) и v = v(x,y) составляли аналитическую функцию f{z) =
= и + iv, необходимо и достаточно, чтобы v являлась сопряжен-
сопряженной с и.
Пусть в односвязной области D задана гармоническая функция
и = и{х, у), причем известно, что она является действительной частью
аналитической функции f(z) = и + iv. Тогда для мнимой части v =
= v(x,y) из условий F.4) находим
dv	ди dv ди
~дх ~ ~~ду' ~ду~ ~дх'
Таким образом, задав функцию и, мы можем найти частные произ-
производные функции v. Известно, что функция нескольких переменных в
односвязной области D восстанавливается по своим частным произ-
производным однозначно с точностью до постоянного слагаемого (один из
способов такого восстановления будет показан в примере 7.3). Итак,
задав гармоническую функцию и в односвязной области D, мы можем
однозначно с точностью до постоянного слагаемого найти сопряжен-
сопряженную с ней функцию v и тем самым восстановить аналитическую функ-
функцию f(z)=u + iv. Аналогично f{z) восстанавливается (с точностью
до постоянного слагаемого) и по своей мнимой части v.

§8. Геометрический смысл производной функции	37
Пример 7.3. Найти аналитическую функцию, если известна ее
мнимая часть
v = 4ху + у.
(Нетрудно видеть, что данная функция v будет гармонической, по-
скольку—+ — =0.)
Решение. Из условий Коши-Римана F.4) находим частные
производные неизвестной пока функции и:
*L = *L=4x + l,	G.3)
ох ду
ди	dv	Л	/* л\
еа = -ш = ~4у-	G-4)
Проинтегрируем уравнение — = 4ж + 1 по ж; возникающая при этом
ох
постоянная С = С (у) не должна зависеть от ж, но может зависеть от у:
и= / (Ах + 1) dx = 2х2 + х + С(у).
Для нахождения функции С (у) подставим и в уравнение G.4):
Отсюда С (у) = /(—42/) dy = — 2у2 + Ci, где С\ — произвольная пос-
постоянная. Итак,
f(z) =u + iv = Bх2 +х- 2у2) + iDxy + у)
Можно записать /(z) ив другой форме:
f(z) = 2(ж2 + 2гж?/ - у2) + ж + гу + Ci =
= 2(ж + ^J + (ж + г?/) + Ci
§ 8. Геометрический смысл производной функции
комплексного переменного. Понятие конформного
отображения
1. Геометрический смысл аргумента производной. Напом-
Напомним вначале некоторые сведения о кривых. Каждая кривая на плос-
плоскости может быть задана параметрическими уравнениями
x = x(t), y = y(t), a^t^fl,	(8.1)

38 Гл. III. Дифференцирование функций комплексного переменного
где x(t), y(t) — действительные функции действительного переменно-
переменного t. В дальнейшем предполагается, что эти функции имеют непре-
непрерывные производные на интервале (а,/?), причем xf(t) и y'(t) не об-
обращаются в нуль одновременно. Кривая, обладающая указанными
свойствами, называется гладкой.
Так как каждая точка (х,у) на плоскости задается комплексным
числом z = х + iy, то уравнения (8.1) можно записать в более ком-
пактной форме:
z(t) = x(t) + iy(t), a^t ^ j3.
Возьмем значения to и to + At из
интервала (а,/?). Им соответствуют
точки z(to) и z(to + At) на кривой.
Вектор
Az = z(t0 + At) - z(t0) = Ax + г Ay
	^ направлен по секущей, проходя-
x щей через эти точки (рис. 16).
р ..д	Если умнож:ить Az на действи-
действительное число I/At, то получим
вектор Az/At, коллинеарный вектору Az. Начнем уменьшать At.
Тогда точка z(to + At) будет приближаться к z(to) по кривой; век-
вектор Az/At будет поворачиваться, приближаясь к вектору
Предельное положение секущих, проходящих через точку z(to), на-
называется касательной к кривой в этой точке. Таким образом, век-
вектор z'(to) направлен по касательной к кривой в точке z(to).
Пусть теперь задана функция f(z), аналитическая в точке zo, при-
причем ff(zo) ф 0. Предположим далее, что через точку zo проходит кри-
кривая 7, заданная уравнением z(t) = x(t) + iy(t), и z(to) = zq. Кривая 7
отображ:ается функцией w = f(z) в кривую Г, лежащую в плоскости
переменного w; уравнение кривой Г будет иметь вид w(t) = f(z(t));
точка zo отобразится в точку wo = f(zo). По правилу дифференциро-
дифференцирования сложной функции
w'(to) = f(zo)-z'(to).	(8.2)
Отсюда следует (см. B.6)), что
Argw'(t0) = Arg/'Сгь) + Arg2;(*o).	(8.3)
Но 2:;(to) есть вектор, касательный к кривой 7 в точке z$ (рис. 17, а),
a w'(to) — вектор, касательный к кривой Г в точке wo (рис. 17, б).
Поэтому равенство (8.3) позволяет придать величине Argf'(zo) сле-
следующий геометрический смысл: аргумент производной равен углу,

S. Геометрический смысл производной функции
39
на который поворачивается касательная в точке z^ к любой кри-
кривой^ проходящей через эту точку, при отображении w = f(z). Заме-
Заметим, что этот угол не зависит от кривой 7, т«е. касательные ко всем
кривым, проходящим через точку zq, поворачиваются при отображе-
отображении w = f(z) на один и тот же угол, равный Argf'(zo).
Возьмем какие-либо две кривые 7 и 7ъ проходящие через точку zq,
и проведем касательные к этим кривым (рис. 17, а). При отображении
Рис. 17
w = f(z) кривые 7 и 7i перейдут в кривые Г и 1\, а каждая из каса-
касательных к 7 и 7i повернется на один и тот же угол. Поэтому угол О
между касательными к 7 и 71 будет равен (как по величине, так и по
направлению отсчета) углу между касательными к Г и IV Напомним,
что углом между кривыми в точке z$ называется угол между каса-
касательными к этим кривым в точке zq. Таким образом, если ff(zo) ф О,
то отображение w = f(z) сохраняет углы между кривыми.
2. Геометрический смысл модуля производной. Зафикси-
Зафиксируем точку zo и возьмем приращение аргумента Az; очевидно, что
модуль \Az\ равен расстоянию между точками zo и z = zo + Az
(рис. 18, а). Пусть w = f(z), Aw = w — w^. Тогда величина |Дги|/|Д;г:|
указывает, в каком отношении изменяется расстояние между точка-
точками zo и z в результате отображения w = f(z). Предел lim (I Aw\/\ Az\)
называется коэффициентом растяжения в точке z$ при отображении
w = f(z). Поскольку
то модуль |/;B:о)| равен коэффициенту растяжения в точке zo при
отображении w = f(z). Если \f'(zo)\ > 1, то в достаточно малой
окрестности точки zq расстояния между точками при отображении

40 Гл. III. Дифференцирование функций комплексного переменного
Рис. 18
увеличиваются и происходит растяжение; если |/'Bо)| < 1, то отобра-
отображение приводит к сжатию (хотя соответствующий коэффициент все
равно называют коэффициентом растяжения).
Так как производная f'(zo) не зависит от того, по какому пути точ-
точка zo + Az приближается к zo, то коэффициент растяжения одинаков
во всех направлениях. Это свойство можно проиллюстрировать сле-
следующим образом. Возьмем окружность I с центром zo и радиусом \Az\
(т.е. приращения Az имеют фиксированный модуль, но различные на-
направления — рис. 18, а). При отображении w = f(z) эта окружность
перейдет в кривую L (рис. 18, б); расстояние от точки w = f(zo + Az)
этой кривой до точки wo = f(zo) равно
\Aw\ = \w- wo\ = |/B:о + Az) - f(zo)\.
Поскольку
Aw = f'(Zo)Az + a(Az)Az,
где a(Az) -»> 0 при Az -»> 0, то \w - wo\ = \f'(zo)Az + a(Az)Az\. Это
равенство означает, что точки кривой L будут мало отличаться от
окружности \w — wo\ = \f'(zo)\ \Az\ с центром wq и радиусом
(точнее говоря, будут отличаться от этой окружности на величину
более высокого порядка малости, чем \Az\ — рис. 18, б).
3. Понятие конформного отображения. Отображение назы-
называется конформным в точке zo, если: 1) при этом отображении со-
сохраняются углы между любыми двумя кривыми, проходящими че-
через точку ^о; 2) растяжение в точке z$ не зависит от направления.
Если конформное отображение сохраняет и направление отсчета
углов, то оно называется конформным отображением первого рода;
если направление отсчета углов меняется на противоположное, то кон-
конформным отображением второго рода.

§8. Геометрический смысл производной функции	41
Полученные выше результаты сформулируем в виде теоремы.
Теорема 8.1. Если функция w = f(z) является аналитической
в точке zo и ff(zo) ф О, то f(z) осуществляет конформное отобра-
отображение первого рода в точке zq. При этом Argf'(zo) означает угол
поворота, a \f'(zo)\ — коэффициент растяжения при данном отоб-
отображении.
Пример конформного отображения второго рода дает функция (не
аналитическая!) w = z, которая каждую область D отображает на об-
область Е, симметричную D относительно оси ОХ.
Если f'(zo) = 0, то отображение, вообще говоря, уже не будет кон-
конформным в точке zo. Так, отображение w = z2 увеличивает вдвое
углы между лучами в начале координат — см. пример 5.1 и равен-
равенства E.1).

Глава IV
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Функция w = f(z) называется однолистной в области D, если в
разных точках области D эта функция принимает разные значения:
если Z! ф z2, то f{z1) ф f(z2).
Пусть функция f(z) отображает область D на область Е. Одно-
Однолистность означает, что каждая точка w Е Е имеет только один прооб-
прообраз в D. Поэтому отображение области D на область Е, осуществляе-
осуществляемое однолистной функцией w = f(z), является взаимно-однозначным:
каждой точке z Е D соответствует точка w Е Е, и наоборот, каж-
каждой точке w Е Е соответствует единственный прообраз z Е D. Напри-
Например, функция w = z2 не является однолистной во всей комплексной
плоскости С, так как (—IJ = I2. Но она является однолистной в по-
полуплоскости D = {z :Rez > 0} (докажите!).
Отображение области D на область Е называется конформным,
если оно непрерывно и конформно в каждой точке области D.
Из теоремы 8.1 следует, что если функция f(z) аналитична в об-
области D и ff(z) не обращается в нуль ни в одной точке из D, то эта
функция осуществляет конформное отображение области D.
Перейдем к изучению основных элементарных функций и свойств
соответствующих отображений.
§ 9. Линейная и дробно-линейная функции
1. Линейная функция. Функция
w = az + b,	(9.1)
где а и b — заданные комплексные числа иа/0, называется линей-
линейной функцией. Так как wf = а ф 0, то отображение (9.1) является кон-
конформным во всей плоскости С. Докажем, что оно также однолистно
в С. Если w\ = az\ + b, w2 = az2 + b, то w\ — w2 = a{z\ — z2). Поэтому
при z\ ф z2 получаем, что w\ ф w2j и однолистность установлена. По-
Положив по определению w(oo) = oo, получим однолистное отображение
всей расширенной комплексной плоскости С на С.
Для изучения геометрических свойств отображения (9.1) рассмот-
рассмотрим вначале случай 6 = 0, т.е. w = az. Пусть а =
Тогда
w = \a \z\e^a+(f>\

§9. Линейная и дробно-линейная функции
43
Поэтому для получения вектора w = az нужно выполнить следующие
два действия:
1)	умножить заданный вектор z на \а\. При этом направление век-
вектора z останется прежним, но длина увеличится в \а\ раз. Значит,
умножение на \а\ есть преобразование подобия (гомотетия) с центром
в начале координат и коэффициентом подобия \а\;
2)	повернуть полученный вектор \a\z на угол а.
Для рассмотрения общего случая (9.1) заметим, что при сложении
вектора az с вектором Ъ происходит параллельный перенос концевой
точки вектора az на вектор Ъ.
Итак, отображение (9.1) получается путем композиции (т.е. по-
последовательного выполнения) следующих трех операций: 1) преоб-
преобразования подобия с центром в начале координат и коэффициентом
подобия \а\; 2) поворота вокруг начала координат на угол а; 3) парал-
параллельного переноса на вектор Ъ.
Пример 9.1. Найти линейную функцию, отображающую квад-
квадрат D со стороной 2 на квадрат Е со стороной 4 (рис. 19) и точку А
в точку В.
©
А
о
2
В'
2
Е
6
В
Рис. 19
Решение. 1. Подберем преобразование подобия, переводящее D
в квадрат D\ со стороной 4. Так как коэффициент подобия равен 2,
то нужное преобразование есть w\ = 2z. Точка АBу/2, у/2) перейдет
в А1Dл/2,2л/2), А' в А[.
2.	Повернем получившийся квадрат D\ относительно начала ко-
координат так, чтобы сторона A[Ai стала параллельной стороне В'В.
Получившийся квадрат обозначим D^. Очевидно, что нужный пово-
поворот будет на угол 45° против часовой стрелки; это преобразование
запишется в виде w^ — г^1вг7Г//4. Точка А\ перейдет в
А2 = Dл/2 + г2л/2) (cos | + г sin |) = D + 2г)A + г) = 2 + 6г.
3.	Осталось сделать параллельный перенос квадрата D2 на век-

44	Гл. IV. Конформные отображения
тор A<iB. Учитывая, что В = б + 2г, имеем А^В = 4 — 4i и w = W2 +
+ 4 - 4г. Итак,
w = w2 + 4 - 4г = wiei7r/4 + 4 - 4г = 2zei7r/4 + 4 - 4г,
и искомое линейное отображение w = az + b получено:
а = 2ei7r/4 = л/2 + гл/2; 6 = 4 - 4г.
Вопрос. Сколько существует различных линейных функций,
отображающих квадрат D на квадрат Е? Найдите еще одну из них.
Заметим, что на каждом из трех этапов линейного отображения
(преобразование подобия, поворот, параллельный перенос) прямые пе-
переходят в прямые, а окружности — в окружности. Следовательно,
этими свойствами обладает и линейное отображение (9.1).
2. Дробно-линейная функция. Перейдем к изучению дробно-
линейной функции, определяемой равенством
w =	-,	(9.2)
cz + d'	v ;
и соответствующего дробно-линейного отображения. Так как
,. az + Ъ а	Л. az + h
lim	 = -, lim	 = оо,
z^oo cz + а с z-t—d/c cz + a
то естественно определить w(oo) = а/с, w(—d/c) = оо. Определенная
таким образом функция будет непрерывной во всей расширенной ком-
комплексной плоскости С.
Если с = 0, то w = - z + - и дробно-линейная функция сводится
к уже изученной линейной функции. Поэтому в дальнейшем предпо-
предполагается, что с ф 0.
Умножим числитель и знаменатель дроби (9.2) на с и добавим в
числителе +ad — ad. Тогда дробь (9.2) можно представить в виде
az + Ь a(cz + d) + (be — ad) a be — ad	,Q _>.
W = cz + d =	c(cz + d)	= с + ф^Т5)'	^ ^
Если 6c — ad = 0, то w = a/c и функция (9.2) сводится к постоянной.
В дальнейшем считаем выполненными условия
с ф 0, bc-adфO.	(9.4)
Покажем, что дробно-линейная функция (9.2) осуществляет взаим-
взаимно-однозначное отображение С на С С этой целью решим уравне-
уравнение (9.2) относительно z (это возможно при z ф —d/c, z ф оо, w ф а /с,
гу ^ оо):
—dw + b	d be — ad
Z = 	 =	h —,	r.
cw — а	с c(cw — a)
Поэтому каждое значение w ф а/с и w ф оо имеет только один про-
прообраз z ф —d/c и z ф оо. Но в силу определения значению w = а/с

§9. Линейная и дробно-линейная функции
45
соответствует z = оо, а значению w = оо — величина z = —d/c. Итак,
каждая точка w Е С имеет только один прообраз z Е С, что и требо-
требовалось доказать.
Установим теперь конформность отображения (9.2). Так как
, _ ad — be
W ~ (cz + dJ'
то при z ф —d/c и z ф оо производная w' существует и не равна нулю.
По теореме 8.1 дробно-линейное отображение является конформным
всюду, кроме этих двух точек.
Для выяснения конформности при z = —d/c и z = оо нам понадобится
следующее определение.
Под углом между двумя линиями в точке z = оо понимается угол между
образами этих линий при отображении w = — в начале координат.
Пример 9.2. Найти угол между ветвью параболы у = х2, ж^О, и
х
лучем у = —¦= в точке 2 = оо (рис. 20, а).
л/3
Рис. 20
Решение. Любую точку параболы можно записать в виде
z = гегср^г ,
причем (р(г) —»¦ тг/2 при г —»¦ оо. Любая точка луча имеет вид г = гег7Г^6. При
отображении ги = - точки параболы перейдут в
w=- = -e-iip{r)
При г —>- оо будет |гу| =	>- 0, argw = — у(г) —»¦ — —. Значит, ветвь пара-
параболы отобразится в кривую, касающуюся оси OY (рис. 20, 5). Для точек
луча

46	Гл. IV. Конформные отображения
Значит, луч отобразится в луч, симметричный исходному лучу относитель-
относительно оси ОХ. Угол между образами кривых в плоскости переменного w равен,
очевидно, тг/3; это и будет, по определению, угол между исходными кривы-
кривыми в точке z = оо.
Поясним, почему угол между линиями в бесконечно удаленной точке
вводится именно так, как указано в определении (почему, например, выби-
выбирается отображение w = 1/z, а не w = 1/z2). Пусть линии 71 и 72 пересека-
пересекаются в точке zq Е С, и пусть Fi и Г2 — образы этих кривых на сфере Римана
при стереографической проекции (см. рис. 11). Тогда угол между 71 и 72
будет равен углу между Fi и Г2 (доказательство этого факта мы не приво-
приводим). Пусть теперь линии 71 и 72 пересекаются в точке z = 00 (т.е. 71 и 72
уходят сколь угодно далеко от начала координат). Тогда их образы Fi и Г2
будут пересекаться в точке Р (рис. 11). Естественно под углом между 71
и 72 в точке z = оо понимать угол между Fi и Г2 в точке Р. Применим к 71
и 72 преобразование w = 1/z. Они перейдут в кривые 7i и 725 пересекаю-
пересекающиеся в начале координат; под тем же углом пересекаются и образы Г'1?
Г2 этих кривых на сфере Римана. Теперь приведем без доказательства сле-
следующее свойство преобразования w = 1/z: угол между Fi и Г2 равен углу
между Г[ и Г2. Более того, угол между любыми (гладкими) кривыми на
сфере Римана не меняется при отображении w = 1/z. Поэтому угол меж-
между Fi и Г2 в точке Р равен углу между 71 и 72 в точке z = 0, что и объясня-
объясняет разумность принятого определения угла в бесконечно удаленной точке.
Отображение называется конформным в точке z = 00, если оно со-
сохраняет углы между любыми двумя кривыми, проходящими через эту
точку.
Теперь мы готовы к рассмотрению конформности отображения (9.2) в
точках z = —d/c и z = 00.
Пусть 7i и 72 — Два пути, проходящие через точку z = —d/c и пере-
пересекающиеся в этой точке под углом а. Дробно-линейное отображение (9.2)
переведет их в кривые 7i и 72? пересекающиеся в точке w = 00. Чтобы найти
угол между ними, следует, по определению, отобразить j[ и 72 c помощью
функции W = 1/w в кривые ^i'? I2 и определить угол между 7^ и li B
точке W = 0. Отображение 71 и 72 в 7" и 72 имеет вид
l cz + d
w
w az + b
Производная
^ТУ be - ad
dz (az + bJ
в точке z = —d/c существует и отлична от нуля. Следовательно, угол между
7i* и 72 в точке VF = 0 равен а; значит, угол между 71 и 72 также равен а.
Таким образом, отображение (9.2) сохраняет угол между кривыми в точ-
точке z = —d/c. Растяжение в этой точке при отображении (9.2) равно оо по
любому направлению и, следовательно, не зависит от направления. Поэто-
Поэтому отображение (9.2) является конформным в точке z = —d/c.
Рассмотрим конформность в точке z = 00. Пусть кривые 71 и 72 пере-
пересекаются в точке z = оо под углом а. Это означает, что образы j[ и 72 этих
кривых при отображении W = - пересекаются под углом а в точке W = 0.

§9. Линейная и дробно-линейная функции	47
Обозначим через 7" и 72 кривые, в которые переходят 71 и 72 при отобра-
отображении (9.2). Надо доказать, что угол между 7" и 72 B точке w = а/с (образе
точки z = оо) равен а. С этой целью найдем отображение, переводящее j[
и 72 в 7i' и 72 • Выразим г из равенства VF = 1/г и подставим в (9.2):
z~ W w ~ _^+г1~ c + dW
w ^
Производная этого отображения по переменному W равна
, be — ad
в точке W = 0 она существует и отлична от нуля (см. (9.4)). Поэтому угол
между 7i и 72 в точке W = 0 равен углу между 7" и 72 B точке w = а/с. Это
и означает, по определению, что отображение (9.2) является конформным
в точке z = оо.
Полученные результаты сформулируем в виде следующей тео-
теоремы.
Теорема 9.3. Дробно-линейная функция
w =	-, ad — be ф 0, w(оо) = а/с, w(—d/c) = oo, (9.6)
осуществляет взаимно-однозначное и конформное отображение рас-
расширенной комплексной плоскости С на всю С.
Мы не исключаем случай с = 0 в теореме 9.3, так как в этом случае
дробно-линейная функция становится линейной, также обладающей
всеми свойствами, указанными в теореме 9.3.
Установим теперь круговое свойство дробно-линейного отобра-
отображения. Для единообразия дальнейших формулировок удобно рас-
рассматривать прямую как окружность бесконечно большого радиуса.
Теорема 9.4. При дробно-линейном отображении (9.6) окруж-
окружности всегда переходят в окружности.
(Заметим, что окружность конечного радиуса может переходить в
окружность бесконечного радиуса, т.е. в прямую, и наоборот.)
Доказательство. Рассмотрим уравнение
А{х2 +у2) + Вх + Су + В = 0,	(9.7)
где А, В, С, D — действительные коэффициенты. При А = 0 получа-
получаем Вх + Су + В = 0, т.е. уравнение прямой. Если А ф 0, то, разделив
на А и выделив полные квадраты, придем к равенству
(х-хоJ + (у-уоJ = =LR2,
которое определяет либо окружность, если справа +Л2, либо точку,
если R = 0, либо пустое множество, если справа —R2. С другой сто-

48	Гл. IV. Конформные отображения
роны, любую окружность (в частности, прямую) можно задать урав-
уравнением вида (9.7).
Докажем вначале круговое свойство для отображения w = 1/z.
Возьмем произвольную окружность на комплексной плоскости. Она
задается уравнением (9.7). Обозначим z = х + iy, w = и + iv. Равен-
Равенство w = 1/z дает z = 1/w, или
1	и — iv
х + гу = —— = -ь—¦—25
и + iv и2 + v2
откуда
и	v
v2'
Чтобы получить уравнение кривой, в которую перейдет окружность
при отображении w = 1/z, подставим в (9.7) найденные выражения
для х и у:
А | Ви9^+dq
9 i 9 ' 9 i 9	9 i 9 '	'
и2 + v2 и2 + v2 и2 + v2
или
A + Bu-Cv + D(u2 + v2) = 0.
Мы пришли к уравнению такого же вида, что и (9.7), но в плоско-
плоскости переменного w = и + iv. Как мы видели ранее, такое уравнение
определяет либо окружность (в частности, прямую при D = 0), ли-
либо точку, либо пустое множество. Но в силу взаимной однозначности
дробно-линейного отображения окружность не может перейти в точ-
точку или в пустое множество. Значит, она переходит в окружность и
круговое свойство отображения w = 1/z установлено.
Рассмотрим теперь общий случай дробно-линейного отображе-
отображения (9.6). Если с = 0, то получим линейное отображение w = a\z + &i,
которое сводится к растяжению с поворотом и сдвигу. Каждое из этих
преобразований, очевидно, обладает круговым свойством. Значит, и
для отображения w = a±z + Ъ\ данное свойство имеет место.
Пусть теперь с ф 0. Воспользовавшись равенством (9.3), предста-
представим дробно-линейное отображение в виде
az + Ъ a	be — ad	_, F	m o\
w =	— = - + ————- = Е -\	—,	(9.8)
cz + d с c2(z + d/c)	z + G	v '
г-, а _ be — ad „ d
где Е = -, F =	2—, G = -.
с	с2	с
Из равенства (9.8) следует, что дробно-линейное отображение
представлено в виде композиции следующих трех преобразований:
1) w\ = z + G; 2) w2 = 1/w; 3) w = E + Fw2. Как было установле-
установлено выше, каждое из этих преобразований окружность переводит в
окружность. Значит, их композиция также обладает этим свойством,
что и требовалось доказать.
Чтобы сформулировать еще одно свойство дробно-линейных отоб-
отображений, нам понадобиться следующее определение.

§9. Линейная и дробно-линейная функции
49
Точки А и А' называются симметричными относительно ок-
окружности радиуса R < оо, если они лежат на одном луче, выходящем
из центра О окружности, и
ОА-ОА' = В2.	(9.9)
Если точка А приближается к окружности (см. рис. 21), т.е. если
О А —У R, то О А' тоже стремится к R; всякая точка на окружности
симметрична самой себе; если О А —у
—У 0, то О А' —У оо. Поэтому для точ-
ки О симметричной будет бесконечно
удаленная точка. Под симметрией от-
относительно окружности радиуса R = оо
понимается обычная симметрия отно-
относительно прямой.
Лемма 9.5. Для того чтобы точ-
точки А и А' были симметричными от-
относительно окружности Г (возмож-	Рис- 21
но, бесконечного радиуса), необходимо и достаточно, чтобы любая
окружность, проходящая через А и А', была перпендикулярна Г
{рис. 22).
Доказательство. Необходимость. Пусть точки Ал А' симметрич-
симметричны относительно окружности Г. Про-
Проведем произвольную окружность Г' че-
через точки А и А , и пусть В — точ-
точка пересечения окружностей Г и Г7. По
известной теореме о секущей и каса-
касательной произведение секущей О А' на
ее внешнюю часть О А равно квадра-
квадрату касательной. В то же время, в силу
симметрии, О А • О А1 = R2. Значит, ра-
радиус ОВ является касательной к окруж-
окружности Г . Поскольку радиус ОВ перпен-
перпендикулярен касательной к Г, проходящей
через точку В, то окружности Г и Г7
перпендикулярны, что и требовалось доказать. Если Г' — прямая (это будет
в случае А = 0), то она проходит через точку О и, следовательно, также
перпендикулярна Г.
Достаточность. Пусть точки А и А' таковы, что любая окружность (в
частности, прямая), проходящая через них, пересекает Г под прямым углом
(см. рис. 22). Докажем, что А л А симметричны относительно Г. Так как
прямая А А' перпендикулярна Г, то она проходит через точку О. Значит,
точки О, А, А' лежат на одной прямой. Но они лежат и на одном луче,
выходящем из точки О. Действительно, если бы точки А и А' лежали по
разные стороны от точки О, то окружность с диаметром А А' не была бы
перпендикулярна Г.
Проведем произвольную окружность Г' через А и А' с радиусом R! < оо.
Пусть В — точка пересечения Г и Г7. По условию, Г и Г7 пересекаются под
Рис. 22
4 В.Я.Эйдерман

50	Гл. IV. Конформные отображения
прямым углом. Поэтому радиус О В будет касаться Г'. По той же теоре-
теореме о секущей и касательной О А • О А' = R2. Следовательно, точки А л А'
симметричны относительно Г.
Мы доказали лемму 9.5 в случае R < оо. Если R = оо, то рассуждение
существенно упрощается, и мы предлагаем провести его читателю самосто-
самостоятельно.
Теперь мы готовы установить следующее свойство дробно-линей-
дробно-линейных отображений (свойство сохранения симметрии):
Теорема 9.6. При дробно-линейном отображении (9.6) пара
точек, симметричных относительно окружности (в частности,
прямой), переходит в пару точек, симметричных относительно об-
образа этой окружности.
Доказательство. Пусть точки z\ и z<± симметричны отно-
относительно окружности Г. При дробно-линейном отображении (9.6) Г
перейдет в кривую j, которая по теореме 9.4 также является окружно-
окружностью; точки z\ и z^ перейдут в точки w\ и^. Надо доказать, что w\ и
W2 симметричны относительно 7- Возьмем любую окружность 7', про-
проходящую через w\ ииJ,и рассмотрим ее прообраз Г' при отображении
(9.6) (т.е. множество точек на плоскости переменного z, переходящих
в 7')- Для этого выразим z из уравнения (9.6):
-dw + b	, , ,
z = 	 при ad — ос Ф 0.
cw — а
Мы видим, что Г; получается из У также дробно-линейным отобра-
отображением. Поскольку 7; является окружностью, то по теореме 9.4 Г; —
тоже окружность. Так как Г; проходит через точки z\ и 2:2, симмет-
симметричные относительно Г, то по лемме 9.5 окружность Г; перпендику-
перпендикулярна Г. В силу конформности дробно-линейного отображения и У
перпендикулярна 7- По лемме 9.5 отсюда следует, что точки w\ и w^
симметричны относительно 7? и доказательство завершено.
Установленные свойства дробно-линейных отображений позволя-
позволяют находить отображения областей, ограниченных окружностями (в
частности, прямыми).
Пример 9.7. Найти дробно-линейную функцию, отображаю-
отображающую верхнюю полуплоскость Imz > 0 на внутренность единичного
круга \w\ < 1.
Решение. Пусть zo — точка верхней полуплоскости, перехо-
переходящая в центр единичного круга, т.е. w(zq) = 0. По теореме 9.6
точка го, симметричная точке z$ относительно действительной оси,
должна переходить в точку w = 00, симметричную точке w = 0 отно-
относительно окружности \w\ = 1. Дробно-линейная функция, удовлетво-
удовлетворяющая условиям w(zo) = 0, w(zo) = 00, имеет вид
w = А	—,

§9. Линейная и дробно-линейная функции
51
X
А
—
X
X
zo =
- zo
- zo
- x —
1 A\
zo ,
x-zo
x — zo
где А — комплексная постоянная. Но эта постоянная не вполне произ-
произвольна, так как при действительном значении z = x точка w должна
находиться на единичной окружности и, следовательно, \w\ = 1. Учи-
Учитывая, что при z = х
получим
~" = \А\.
Следовательно, А = ег(/?, и искомая функция имеет вид
w = ещ	-^- при Im^o > 0.
Мы видим, что существует бесконечное множество дробно-линейных
функций, осуществляющих нужное отображение. Каждая из этих
функций определяется значениями действительного числа ср и ком-
комплексного числа zo.
Пример 9.8. Найти дробно-линейную функцию, отображаю-
щую единичный круг \z\ < 1 на единичный круг
w
< 1.
Решение. Пусть zo — точка круга \z\ < 1, переходящая в точ-
точку w = 0. Тогда точка z'o, симметричная точке zo относительно окруж-
окружности \z\ = 1, должна перейти в точку w = oo, симметричную точ-
точке w = 0 относительно окружности \w\ = 1. Выразим zf0 через zq.
Так как zo и zf0 леж:ат на одном луче, исходящем из точки z = 0,
то zf0 = kzo, где к — положительное число. В силу (9.9) \zo\ \zf0\ = 1,
т.е. /c|?o|2 = 1, откуда к = 1/|?о|2 и (см. B.4))
z' _ fcz _ z /\z |2 _ // - \ _ -|/-
Дробно-линейная функция, удовлетворяющая условиям w(zq) = 0,
w(l/zo) = оо, имеет вид
w = A z Zo = -Az0Z *°'
z — 1/zo	1 — zoz
где А — комплексная постоянная. Константа А не произвольна,
так как точки окружности \z\ = 1 отображаются в точки окружно-
и искомое отоб-
(9.10)
сти w = 1. В частности,
1 \w\
так как 11 — zo = \1 — zo
ражение имеет вид
w
-
= 1 при z =
^ 1-^о
1 — zo
- 1. Поэтому
- Azo ,
. Следовательно, —Azo = e4
w-ei(p z~z
0
1 _
1 — Zo
Здесь также отображение определено не однозначно. На рис. 23 изоб-
изображен прообраз сетки полярных координат плоскости w. Прообра-
Прообразами диаметров (рис. 23, б) служат дуги окружностей, перпендику-
перпендикулярных окружности \z\ = 1 (рис. 23, а); прообразами окружностей
4*

52	Гл. IV. Конформные отображения
а	б
Рис. 23
\w\ = г, г < 1, являются также окружности (но не концентрические)
плоскости переменного z.
§ 10. Степенная функция.
Понятие римановой поверхности
Рассмотрим степенную функцию
w = zn,	A0.1)
где п — натуральное число. Производная w' = nzn~1 существует и
отлична от нуля во всех точках z ф 0, z ф оо. Поэтому отображение,
осуществляемое функцией A0.1), является конформным во всех точ-
точках, кроме z — 0 и z — оо. Если записать переменные z и w в пока-
показательной форме, z = гег(/?, ги = регв, то A0.1) приводит к равенствам
р = гп, 6 = пер
(мы уже рассматривали отображение A0.1) для случая п = 2 в при-
примере 5.1). Отсюда видно, что окружности \z\ = г переходят в окруж-
окружности \w\ = rn, угол 0 < у? < а, где а < 2тг/п, с вершиной в начале
координат, лежащий в плоскости переменного z, отображается на
угол 0 < О < па плоскости w. Следовательно, конформность отобра-
отображения нарушается в точке z = 0: углы в этой точке увеличиваются
при отображении в п раз. Нетрудно показать, что отображение A0.1)
не является конформным и в точке z = оо (попробуйте сделать это
самостоятельно).
Пусть точки z\ и z^ таковы, что z^ — z\el2l*ln', п ^ 2. Легко ви-
видеть, что z\ ф 22, и z^ — z]V27r = z™. Поэтому отображение A0.1) не
является однолистным во всей комплексной плоскости С, но являет-
является таковым внутри любого угла величиной а < 2тг/п с вершиной в
начале координат.
Чтобы ввести функцию, обратную степенной, нам нужны следую-
следующие определения.

§10. Степенная функция. Понятие римановоп поверхности 53
Многозначной функцией комплексного переменного называется
правило (закон), по которому комплексному числу z из множества D
соответствует несколько (возможно, бесконечно много) комплексных
чисел w.
Все функции, рассмотренные ранее (кроме функции Argz), были
однозначными. Функция Argz является многозначной:
Argz = argz + 2тг&,
где argz — главное значение аргумента и к — любое целое число. В
дальнейшем под термином функция, используемым без каких-либо по-
пояснений, подразумевается однозначная функция; многозначность изу-
изучаемых функций всегда будет оговариваться дополнительно.
Пусть функция w = f(z) отображает область D на область Е. Об-
Обратной к функции w = f(z) называется функция (вообще говоря, мно-
многозначная) z = g(w), определенная на области Е, которая каждому
комплексному числу w Е Е ставит в соответствие все комплексные
числа z Е D, такие что f(z) = w.
Другими словами, функция, обратная к w = /(z), — это прави-
правило, по которому каждой точке w Е Е соответствуют все ее прообра-
прообразы z Е D.
Если функция w = f(z) однолистна в D, то обратная функция од-
однозначна (и также однолистна) в Е\ если w = f(z) не однолистна, то
обратная функция будет многозначной. Например, обратной к функ-
функции w = zn является многозначная функция z = y/w: каждому зна-
значению w, отличному от 0 и оо, соответствует п различных корней
n-й степени, определяемых формулой B.12). Числа 0 и оо имеют по
одному корню: у/О = 0, а/оо = оо.
Теорема 10.1. Пусть функция w = f(z) однолистна и анали-
тична в области D, отображает D на область Е и f'(z) ф 0. Тогда
обратная функция z = g(w) таксисе аналитична в области Е и
5» = j^-y	(Ю-2)
Доказательство. Зафиксируем произвольную точку z G D
и возьмем приращение Az ф 0. Тогда, в силу однолистности функ-
функции w = f(z), соответствующее приращение Aw = f(z + Az) — f(z)
также не равно нулю. Поэтому
g(w + Aw) — g(w) _ Az _ 1
Aw	~ Aw ~ Aw_'
Az
Так как функция w = f(z) аналитична, то она непрерывна в точке z.
Следовательно, Aw —у 0 при Az —у 0, а в силу взаимной однознач-

54
Гл. IV. Конформные отображения
ности верно и обратное: Az —У 0 при Aw —У 0. Отсюда
Az	1	1
= lim
hm
Aw
——
Az
/'(*)'
что и требовалось доказать.
Аргументом функции z = g(w), обратной w = /B:), является пе-
переменная w. Поскольку аргумент функции часто обозначают че-
через z, то для единообразия переобозначают переменные z и w и пи-
пишут w = g(z). Например, обратная функция к w = zn запишется
как w = y/z.
Рассмотрим подробнее функцию w = y/z. Как было отмечено вы-
выше, она является многозначной. Тем не менее можно определить эту
функцию на множестве более сложного устройства, чем комплексная
плоскость, на котором функция w = y/z станет взаимно-однозначной
и непрерывной. Опишем соответствующее множество. Возьмем п эк-
экземпляров ("листов") Dq, Di,..., Dn-i комплексной плоскости, раз-
разрезанной вдоль положительной полуоси, и расположим их друг над
другом (на рис. 24, а показан случай п = 4). Затем тот край разре-
Рис. 24, а
за области Do, к которому мы подходим снизу от луча ОХ (т.е. по
полуплоскости у < 0), склеим с верхним краем разреза области D\\
нижний край разреза области D\ склеим с верхним краем разреза
области D2 и т.д., пока не склеим нижний край разреза Dn_2 с верх-
верхним краем разреза Dn-\. Теперь склеим оставшиеся свободными ниж-
нижний край разреза области Dn_i (на рис. 24, а это Ds) с верхним кра-
краем разреза области Dq. В трехмерном пространстве такую склейку
невозможно осуществить без пересечения с уже сделанными склей-
склейками промежуточных листов. Но мы условимся считать эту склейку
непересекающейся с предыдущими (т.е. точки этой склейки считают-
считаются отличными от точек остальных склеек). Полученная поверхность

§10. Степенная функция. Понятие римановоп поверхности 55
©
Рис. 24, б
показана на рис. 24, б. Она называется римановой поверхностью
функции w = yfz. Над каждой точкой комплексной плоскости, от-
отличной от 0 и оо, расположено ровно п точек римановой поверхности.
Точки х > 0 действительной полуоси не составляют исключения, так
как все склейки, расположенные над ней, считаются непересекающи-
непересекающимися. Лишь две точки не обладают этим свойством: z = 0 и z = оо.
Все листы римановой поверхности считаются склеенными в точках,
расположенных над точками z = 0 и z = оо.
Определим теперь функцию w = y/z на построенной римановой
поверхности. Напомним, что если z = тещ, то все корни п-й степени
из z определяются формулой B.12):
= л/? — vr cos
V
г sm
)
A0.3)
Угол <р в этой формуле можно выбирать из любого промежутка дли-
длины 2тг; нам удобно предполагать, что 0 ^ ср < 2тг.
Точкам z = гег(/?, лежащим на листе Do и склейке Do с Dn_i,
ставим в соответствие значение корня с к = 0; точкам, лежащим на
листе Di и склейке D\ с Do, — значение корня с fc = 1. Вообще, точ-
точкам, лежащим на D/, при 1 ^ к ^ п — 1, и склейке D/, с D^_i, соот-
соответствует значение корня с данным к. Построенное соответствие будет
однозначной функцией на римановой поверхности.
Нетрудно показать, что эта функция взаимно-однозначно отобража-
отображает риманову поверхность на всю комплексную плоскость. Действительно,
п *	*	27гк	Мк + 1)	„	.
лист L'/e будет отображаться в угол	 < ш < 	, а склейки отобра-
п	п
зятся в лучи, соединяющие эти углы; тем самым вся комплексная плоскость
будет покрыта образами точек римановой поверхности.
Покажем, что это отображение является и непрерывным. Если точ-
точка z лежит на листе Dk с разрезом, то непрерывность в этой точке пря-
прямо следует из формулы A0.3) с фиксированным к. Для демонстрации

56	Гл. IV. Конформные отображения
непрерывности в точках склеек рассмотрим контур на римановой поверх-
поверхности, состоящий из точек, расположенных над окружностью \z\ = 1 ком-
комплексной плоскости. Начнем обходить этот контур с точки z, располо-
расположенной на верхнем крае разреза листа Do- Так как г = 1, ср = О, А; = О,
то w = yfz = 1. При обходе первого витка контура на листе Do будет (р —»¦ 2тг
и yfz —»¦ cos	h г sin —. Перейдя по склейке на лист Di, мы получим, по
п	п
,-	(р + 2тг	(р + 2тг .	1 ч
определению, Vjz = cos	Ь г sin	 (так как к = 1). В частности,
п	п
при (р = 0 будет то же самое значение корня, к которому мы приближались,
подходя к нижнему берегу разреза по листу Do. Значит, в точках склейки
Do cDi функция yfz будет непрерывной. Аналогично показывается непре-
непрерывность корня и при переходе с Dk-\ на D& при 1 ^ к ^ п — 1. Наконец,
обходя контур по листу Dn-i и приближаясь к нижнему краю разреза,
получим к = п — 1, <?>—»¦ 2тг, и
^	2тг + 2тг(п-1) . . 2тг + 2тг(п-1)	о . . о
у/z —? cos	h г sin	 = cos 2тт + г sin 2тт = 1,
п	п
т.е. то самое значение, с которого мы начинали на верхнем крае разреза
листа Do. Таким образом, функция yfz будет непрерывной во всех точках
римановой поверхности. Как функция, обратная к аналитической, она яв-
является также однозначной аналитической функцией на этой поверхности
(кроме точек z = 0 и z = оо).
Возьмем любую окружность \z\ = г на комплексной плоскости,
охватывающую точку z = 0. Эта окружность будет охватывать также
и точку z = оо. Обходя контур на римановой поверхности, состоящий
из точек, расположенных над этой окружностью, мы будем перехо-
переходить с одного листа римановой поверхности на другой. Поэтому точки
z = 0 и z = оо называются точками ветвления. Ни одна другая точка
описанным свойством не обладает: если взять окружность с центром
в точке z ф 0, z ф оо, не содержащую внутри себя точку 0, то соответ-
соответствующие точки на римановой поверхности образуют п окружностей,
не связанных друг с другом. Обходя каждую из них, мы не выйдем
за пределы одного и того же листа.
Однозначная аналитическая в области D функция f(z) называется
регулярной ветвью многозначной функции F(z), определенной в этой
же области, если значение f(z) в каждой точке z области D совпадает
с одним из значений F(z) в этой точке.
Многозначная функция F(z) является однозначной и аналитиче-
аналитической на своей римановой поверхности (за исключением точек ветвле-
ветвления). Поэтому возможность выделить в области D регулярную ветвь
означает возможность расположить эту область на римановой поверх-
поверхности, не разрезая D и не задевая точек ветвления. Область D долж-
должна при этом целиком укладываться на одном листе или спускаться
по склейке с одного листа на другой (как ковер по лестнице). Напри-
Например, кольцо 1 < \z\ < 2 нельзя без разрывов расположить на римано-
римановой поверхности функции F(z) = yfz, n ^ 2, поскольку точки кольца,

§11. Показательная и логарифмическая функции	57
располагаемые над положительной полуосью, должны одновременно
попасть на разные листы, что невозможно. Но если разрезать кольцо
по любому радиусу, то такое расположение становится возможным.
При этом расположить D на римановой поверхности можно п спо-
способами (и, следовательно, выделить в D п различных ветвей функ-
функции yfz). Для выделения конкретной ветви достаточно указать значе-
значение функции в какой-либо точке области D. Тем самым указывается
лист римановой поверхности, на который попадает эта точка, а зна-
значит, фиксируется расположение и всей области D.
Пример 10.2. Выделить регулярную ветвь f(z) функции w =
= tfz, задаваемую условием /A) = г, в области D = lz = ещ : —— <
<ср< ||. Найти/(-1).
Решение. Область D является комплексной плоскостью с раз-
разрезом по мнимой полуоси у ^ 0. Значит, выделение регулярной ветви
в D возможно. По формуле A0.3)
F(z) = %z = yr(cos ^—A	+ г sin ^- ^
fc = 0,l,2,3, -^<^<|-
Чтобы выделить ветвь /(г), нужно найти подходящее значение к.
Так /A) = г, то подставляя у? = 0, г = 1, получим
г = cos ——Ь г sin ——,
откуда следует, что к = 1. Итак, нужная ветвь
ЗТГ	7Г
/ W = V^ (^cos —-— + г sin ——
В частности,
//_i\ _ 4/т/ -7Г + 27Г	. -тг + 2тг\ _ л/2 л/2
Л-1) - Videos - +zsm - j - — -\-г—.
Мы проводили построение римановой поверхности функции w =
= y/z, разрезая комплексную плоскость С вдоль положительной по-
полуоси. Отметим, что выбор линии разреза не является принципиаль-
принципиальным: аналогичную конструкцию можно было проделать, разрезая С,
например, вдоль любого луча, исходящего из начала координат.
§ 11. Показательная и логарифмическая функции
1. Показательная функция ez определяется следующими соотно-
соотношениями: для любого комплексного числа z = х + гу
+i	A1.1)

58	Гл. IV. Конформные отображения
Второе равенство в A1.1) получается, если принять по определе-
определению ех+гу = ехегу и применить к егу формулу Эйлера B.14). Из A1.1)
следует, что
\ez\ = |еж+гу| = еж, kigez = у + 2ттп.
Определение A1.1) и свойства функции ег(р позволяют легко дока-
доказать, что функция ez обладает обычными свойствами показательной
функции:
Докажем первое из этих свойств. Пусть z\—x\-\- iyi, z<± — х<± + гу2-
Применяя A1.1) и B.15), получим
Читатель без труда докажет остальные два свойства самостоятельно.
Докажем, что функция ez будет аналитической во всей комплекс-
комплексной плоскости С. Для этого надо проверить выполнимость усло-
условий Коши—Римана F.4). Если w = u-\-iv, то в силу A1.1) и + iv =
= ех cos у + гех sin у, откуда
и = ех cos у, v = ex sin?/;
ди dv r	ди	dv	T .
-- = — = ех cosy, ^- = -— = -exsmy.
ох ду	ду	ох
Таким образом, условия F.4) выполнены, и аналитичность функ-
функции ez доказана. Чтобы вычислить производную (ez)f, воспользуемся
независимостью производной от направления и вычислим производ-
производную в направлении оси ОХ:
(ez)' = — (ex(cosy + ism у)) = ex(cosy + i sin?/) = ez.
Следовательно, для производной функции ez имеет место обычная
формула
(Z \ I	Z
е ) =е .
Следующее свойство функции ez не имеет аналога в случае показа-
показательной функции действительного переменного: функция ez являет-
является периодической с чисто мнимым периодом 2т. В самом деле, для
любого целого п
ism(y + 2тгп)) = ex(cosy + ism у) = е2.
Из периодичности функции w = ez следует, в частности, что она не яв-
является однолистной во всей комплексной плоскости. Для выяснения,
в каких областях эта функция однолистна, положим z\—x\-\- iy\,
z2 = х2 +iy2- В силу A1.1), равенство eZl = eZ2 равносильно сле-
следующим условиям:
cos ?/1 =	i	i

§11. Показательная и логарифмическая функции
59
откуда следует х\ = Х2, У\ = 2/2 + 2тгп, где п — произвольное целое
число, или
Zl-Z2 = 2тгш.	A1.2)
Следовательно, для взаимной однозначности отображения w = ez в
области D необходимо и достаточно, чтобы D не содержала никакой
пары точек, для которой справедливо A1.2). В частности, этому усло-
условию удовлетворяет любая горизонтальная полоса шириной 2тг, напри-
например полосы
{z : -оо < х < оо, 2тгк < у < 2тг(к + 1)}, к = 0, ±1, ±2,...
Каждой такой полосе соответствует совокупность значений w = ez =
_ ежегу _ pei6^ для которых, в силу равенств р = ех, в = у, имеем
О < р < оо, 2тгк <в < 2тг(к + 1).
Эти значения ги заполняют всю комплексную плоскость переменно-
переменного w с разрезом по действительной положительной полуоси. При
этом прямые у = уо (показаны на рис. 25, а пунктиром) переходят в
У,
9тг.
Зтг
9
7Г
9
(
0
[ :
2

Рис. 25
лучи 0 = уо (рис. 25, 5), а интервалы ж = жо, 2тг& < у < 2тг(к + 1) (по-
(показаны сплошными линиями для /с = 0) — в окружности р = ех°
(с выколотыми точками на полуоси и > 0). Полосы 0 < Im 2 < h < 2тг
показательная функция ez отображает в углы 0 < в < h. В частности,
полоса 0 < Imz < тг переводится в верхнюю полуплоскость.
2. Логарифмической функцией называется функция, обратная по-
показательной.
Так как показательная функция ez не является однолистной в С,
то обратная к ней функция будет многозначной. Эта многозначная

60	Гл. IV. Конформные отображения
логарифмическая функция обозначается Lnz. Таким образом, если
w = Lnz, то z = ew. Положим
Тогда
w = u + iv, z = reiip = reiArgz.
reiArgz = z = ew =
Сравнивая числа, стоящие в начале и конце этой цепочки, заключаем,
что
r = ew, eiArgz=eiv.	A1.3)
Из первого равенства находим и = In г, где In r — обычный натураль-
натуральный логарифм положительного числа г. Второе равенство в A1.3)
дает v = Argz. Таким образом,
Lnz = In \z\ + i Argz.	A1-4)
Каждому комплексному числу z, отличному от 0 и оо, формула A1.4)
ставит в соответствие бесконечное множество значений Lnz, отлича-
отличающихся друг от друга на величину 2тг&г, где к — любое целое число.
Удобно представить Argz в виде
Argz = argz + 2тг&, — тг < argz ^ тг,
где argz — главное значение аргумента. Тогда формула A1.4) примет
вид
Lnz = ln|z| +i(argz + 2тгк).	(И-5)
Для каждого значения к функция Lnz является непрерывной од-
однозначной функцией в комплексной плоскости с разрезом по от-
отрицательной полуоси; она также и аналитична в этой области как
функция, обратная аналитической функции ez. Таким образом, для
каждого фиксированного к формула A1.5) определяет регулярную
ветвь многозначной функции Lnz. Эта ветвь взаимно-однозначно
отображает плоскость с разрезом по отрицательной полуоси в полосу
—тг + 2тгк < Im w < тг + 2тгк.
Ветвь, которая получается при к = 0, обозначается lnz и называется
главным значением многозначной функции Lnz:
lnz = In \z\ + i argz.
Например, In г = In 1 + гтт/2 = гтг/2; ln(—г) = In 1 — гтт/2 = —гтг/2. Ес-
Если приближаться к точке z = — 1 по верхней полуплоскости у > 0,
то lim ln(—1 + ъу) = In 1 + гтг = гтг; если по нижней, — то
lim ln(—1 + гу) = In 1 — гтг = —гтг.
Чтобы представить себе риманову поверхность функции Lnz,
возьмем бесконечное количество экземпляров ("листов") плоскости с

§12. Общая степенная и тригонометрические функции
61
разрезом по отрицательной полуоси и склеим их так, как показано на
рис. 26. Над каждой точкой плоскости, кроме точек z = 0 и z = оо,
располагается бесконечно много точек
римановой поверхности. В точках О
и оо функция Ln z не определена, и
точек поверхности над ними нет. Точ-
Точки z = 0 и z = оо называются точками
ветвления бесконечного порядка.
Рис. 26 наглядно демонстрирует
причину того, что lim ln(—l + iy) ф
Ф lim ln(—1 + iy): если предполо-
жить, что точки — 1 ± ft, ft > 0, нахо-
находятся на одном и том же листе рима-
У
О
-^ис-
новой поверхности и устремить ft, к нулю, то предельные положения
этих точек окажутся на разных листах римановой поверхности.
Выделить регулярную ветвь логарифма можно не только в обла-
области D, являющейся плоскостью с разрезом по отрицательной полу-
полуоси. Если сделать разрез плоскости по любому лучу, то полученная
область также допускает выделение в ней регулярной ветви. Пусть
разрез сделан по лучу, идущему под углом в к оси ОХ. Тогда ре-
регулярные ветви будут задаваться следующей формулой: при z = ег(р
Lnz = In г + г((р + 2тг&), в < (р < в + 2тг.
Формула A1.5) является частным случаем при в = —тг. В заключе-
заключение данного параграфа покажем, что производная каждой регуляр-
регулярной ветви f(z) логарифма находится по формуле
/'(*) = I
аналогичной формуле для производной логарифмической функции
действительного переменного. Этот факт выводится из равенства
(ezy = ez и формулы A0.2) производной обратной функции. Действи-
Действительно, обратной kw = f{z) будет функция z = ew. Отсюда и из A0.2)
получаем
f(z) = ^_ = J_ = J- = I
J y J g'(w) (ew)' ew z'
§ 12. Общая степенная и тригонометрические
функции. Функция Жуковского
1. Общая степенная функция w = za, где а = а + if5 — фиксиро-
фиксированное комплексное число, определяется соотношением

62	Гл. IV. Конформные отображения
Полагая z = гег(/?, получаем Lnz = In r + i(cp + 2тгк). Следовательно,
za _ e(a+iC)(\nr+i((p+2irk)) _ ea\nr-C((p+2irk) ei(a((p+2irk)+C\nr)
Отсюда видно, что при /3^0 модуль \za\ = еа^пг-Р((р+27гк) ПрИНИмает
бесконечное множество значений. Таким образом, при C^0 функция
za будет бесконечнозначной.
Пример 12.1. Найти все значения функции w = zl в точке z = ъ.
Решение. Поскольку Lni = lnl + if— + 2тг& J, то
^г _ eiLni _ ег2(тг/2+2тг^) _ е-7т/2-2ттк & = 0 ±1 ±2
В данном случае все искомые значения функции оказались действи-
действительными.
При /? = 0 получаем
Отсюда следует, что значения степенной функции отличаются лишь
аргументами Ok = ос(ф + 2ттк). Если а — рациональное число, т.е. оно
представимо несократимой дробью а = — (тип — целые числа), то
ТЬ
среди Ok имеется лишь п значений, определяющих различные значе-
значения za:
* _ m	2тгкт , _ _
При к = п, п + 1,... мы получим значения Ok, отличающиеся от уже
известных на числа, кратные 2тг. Значит, для таких значений к мы
не получим новых точек za. Итак, при а = т/п формула A2.1) да-
дает (мы пользуемся также равенством еа1пг = га для действительных
чисел г, а):
П
к = 0,1,2,...,п- 1.
Сравнивая эту формулу с B.12) мы видим, что
Итак, для рациональных показателей а функция za является конеч-
нозначной. При иррациональных (действительных) а = а среди зна-
значений аргумента Ok = а((р + 2тгк) нет чисел, отличающихся друг от
друга на величины, кратные 2тг. (Если бы нашлись такие натураль-
натуральные числа fci, &2, I, что 6k2 — 6кг = 2тг1, т.е. 2nk2Oi — 2ттк\а = 2тт1 и
к\фкъ^ то а =	^— и, следовательно, а — рациональное число,
что противоречит сделанному предположению.) Поэтому для ирраци-
иррациональных показателей а функция za бесконечнозначна. Ее риманова
поверхность такая же, как и риманова поверхность логарифма.

§12. Общая степенная и тригонометрические функции	63
Общая степенная функция w = za в силу своего определения до-
допускает выделение регулярных ветвей в тех же областях, что и лога-
логарифмическая; например в плоскости с разрезом по лучу. Ветвь
ea\nz _ еа(\п \z\+i&rgz)
выделенная в плоскости с разрезом вдоль отрицательной полуоси, на-
называется главной ветвью степенной функции. В силу теоремы о про-
производной сложной функции для каждой регулярной ветви степенной
функции справедливы равенства
= eaf^ • af(z) = zaa- = aza~\
z
где f(z) — регулярная ветвь логарифмической функции Lnz. Мы
получили обычную формулу для производной степенной функции:
(za)f = aza~1.
2. Перейдем к тригонометрическим функциям. Для действи-
действительных значений х из формулы Эйлера B.14) следует, что
егх = cos х + i sin ж, е~гх = cos x — i sin x.
eix _|_ e~ix	eix — e~ix
Отсюда cos ж =	, sin ж = 	—	. Эти формулы служат
2	2г
основой следующего определения.
Тригонометрические функции комплексного переменного z опре-
определяются равенствами
ei +
cosz=	, sin 2?=
2
,	sin 2?	,
2	2г	A2.2)
sin z	cos z
tgz=	,	ctgz=-—.
cos z	sin z
Определенные таким образом функции сохраняют многие свойства
тригонометрических функций действительного переменного. Из пери-
периодичности функции ez следует, что функции sin z и cos z периодичны
с периодом 2тг, a tgz и ctgz — с периодом тг. Функция s'mz нечетна,
a cos z — четна. Действительно,
Sm(") =	2i=2T = SmZ-
Аналогично доказывается четность функции cosz (докажите!). Для
функций, определенных равенствами A2.2), справедливы обычные
тригонометрические соотношения. Например,
sin2 z + cos2 z = 1, sm(zi + z2) = sin z\ cos z2 + cos z\ sin z2
и т.д. Все эти соотношения вытекают из A2.2). Докажем, например,

64	Гл. IV. Конформные отображения
последнюю формулу:
sin z\ cos z^ + cos z\ sin z^ =
2г	2	2	2г
=	^	 = sinB?i + 2:2).
Функции sin 2: и cos 2 аналитичны во всей плоскости С, причем имеют
место обычные формулы дифференцирования:
(sin z)' = cos z, (cos z)' = - sin z.
Докажем, например, формулу для производной sinz:
= \{eiz + e~iz) = cos
Используя формулы для производной частного, получим
sin z
Однако не все свойства тригонометрических функций действительно-
действительного переменного сохраняются при продолжении этих функций в ком-
комплексную плоскость. В частности, sinz и cosz могут принимать зна-
значения, по модулю превосходящие 1. Например,
cos г =	 = 	« 1,54: sin г =	 « —1,17г.
2	2	' '	2г	'
3. Функции, обратные A2.2), называются обратными тригоно-
тригонометрическими функциями. Так как тригонометрические функ-
функции A2.2) периодичны, то обратные к ним функции будут беско-
нечнозначными. В силу того что функции A2.2) достаточно просто
выражаются через показательные, обратные к ним функции удает-
удается выразить через логарифмы. Получим такое выражение, например,
для w = Arccosz. Из определения этой функции имеем
Z = COS W =
откуда e2lw — 2zelw + 1 = 0. Решая это квадратное уравнение отно-
относительно elw, находим elw = z + V'z2 — 1 (мы опускаем ± перед зна-
знаком квадратного корня, поскольку понимаем корень как двузначную
функцию, принимающую оба соответствующих значения). Из послед-
последнего равенства получаем
w = Arccos z = — г

§12. Общая степенная и тригонометрические функции	65
В силу соотношения (z + y/z2 — 1) (z — y/z2 — 1) = 1 изменение знака
перед корнем приводит к изменению знака перед логарифмом. Но ко-
корень принимает значения как с "+" так и с "—". Значит, и среди значе-
значений Arccosz будут значения как с "+", так и с " —" перед логарифмом.
Поэтому знак "—" можно не писать:
Arccosz = iLn(z + \Jz2 - 1).	A2.3)
Аналогичные формулы можно дать и для других обратных тригоно-
тригонометрических функций:
Arcsin z — — — Arccos z — — — iLn(z + у z2 — 1);
Arctg z —	Arcctg z — — Ln	.
2	2г г + z
Из элементарных функций комплексного переменного отметим
также гиперболические функции shz, chz, thz, и cthz, определяемые
равенствами
u ez-e~z , ez+e~z
shz =	, chz=	,
2_	2 A2.5)
, sh z e — e	, ch ^ e + e
tnz = —— = 	, cthz = —— = 	.
chz ez+e~z	shz ez — e~z
Они весьма просто выражаются через тригонометрические функции:
shz = — i siniz, chz = cosiz,
th z = — i tg iz, cth z = i ctg iz,
и поэтому несущественно отличаются от последних.
Пример 12.2. Найти Arcsin 2.
Решение. По формуле A2.4)
Arcsin 2 = | -гЬпB±л/3)
(мы поставили "±" перед корнем, поскольку л/3 обычно понимается
как арифметическое значение корня). Для вычисления логарифма ис-
используем формулу A1.5), в которой полагаем \z\ = 2 ± л/3, argz = 0.
Получаем
Arcsin 2 = — — г 1пB =Ь л/3) + 2тг& = — ± г 1пB + л/3) + 2тт/с,
где л/3 — арифметическое значение корня и к — любое целое число.
4. Функцией Жуковского называется функция
A2.6)
5 В.Я.Эйдерман

66	Гл. IV. Конформные отображения
Эта функция имеет важные применения в теории крыла самолета, а
также весьма полезна при построении ряда конформных отображе-
отображений. Она аналитична всюду в С, кроме точек z = 0 и z = оо. Произ-
Производная
существует всюду в С, за исключением точек z = 0 и z = оо, и обра-
обращается в нуль при z = ±1. Поэтому отображение A2.6) конформно
всюду, кроме точек О, =Ы и оо .
Выясним, при каком условии две различные точки переходят в
одну и ту же точку. Пусть z\ ф z<± и
1 \ 1 /	1
+ )	{ +
Отсюда следует, что
Так как z\ ф z^-, то это равенство равносильно условию
zlZ2 = 1.	A2.7)
Поэтому для однолистности функции Жуковского в некоторой облас-
области D необходимо и достаточно, чтобы эта область не содержала па-
пары различных точек, удовлетворяющих условию A2.7). Такими обла-
областями являются, например, внешность \z\ > 1 единичного круга (при
этом |^i2:21 > 1) и внутренность \z\ < 1 этого круга (\z\Zi\ < 1).
Чтобы наглядно представить себе отображение A2.6), выясним,
в какие кривые оно переводит окружности (показаны на рис. 27, а
сплошными линиями) и лучи (показаны пунктирами). Положим z =
_ гегц>т Тогда A2.6) перепишется в виде
1 / i,n . I -i,n\	1 / . 1\	. . 1 /	1
~е
пшу 	 пш _|_ ппу 	 	 I rppvV _|_ 	 р °Т | 	 	 (t^-I-
ш а -г tu 2 \	г	) 2\rJ	^ ' " 2
откуда
Рассмотрим образы окружностей г = г0. Из A2.8) следует
Используя определение угла в бесконечно удаленной точке можно по-
показать, что отображение A2.6) конформно и в точках 0 и оо. В точках ±1
оно конформным не является.

§12. Общая степенная и тригонометрические функции	67
Рис. 27
Возводя эти равенства в квадрат, складывая и полагая г = го, полу-
получим	9	9
= 1.	A2.9)
1 /	1 \2 ' 1 /	1x2
7 П) + —	т го
4 V го У 4 V го )
гоу 4 v го У
Уравнение A2.9) является уравнением эллипса с полуосями
1 /	1 \ .	1 /	1
Итак, образами окружностей \z\ = го в плоскости z будут эллипсы в
плоскости w (рис. 27, б). Если го —> 1, то аГо —>¦ 1, 6Го —>- 0. Поэтому
эллипсы будут стягиваться к отрезку [—1,1]. При больших го раз-
,	1
ность аГо — оГо = — мала, и эллипсы мало отличаются от окружно-
окружностей.
Чтобы получить образ лучей ср = сро, преобразуем равенства A2.8)
к виду
0
cos (р 2 V г / sin (р 2 V г у
Возводя эти равенства в квадрат, вычитая из первого второе и пола-
полагая ср = (^о, получим
—т	Ji— = L	A2Л°)
cosz (ро sin 9?o
Уравнение A2.10) является уравнением гиперболы с полуосями а^0 =
= cos<?o|j Ъ^о = | sin <^о | • Следовательно, лучи ср = ср0 отображаются
в части гипербол (рис. 27, б).
Таким образом, функция Жуковского взаимно-однозначно и кон-
конформно отображает внешность единичного круга на внешность отрез-
отрезка [-1,1].
5*

Гл. IV. Конформные отображения
Из A2.6) легко видеть, что w(z) = w(l/z). Функция w = 1/z взаим-
взаимно-однозначно и конформно отображает внутренность круга \z\ < 1 на
внешность этого же круга. Отсюда следует, что функция Жуковского
взаимно-однозначно и конформно отображает также и внутренность
единичного круга на внешность отрезка [—1,1].
§ 13. Общие свойства конформных отображений
В предыдущих параграфах мы рассматривали некоторые элемен-
элементарные функции и осуществляемые ими конформные отображения.
Возникает вопрос: можно ли взаимно-однозначно и конформно отоб-
отобразить произвольную область D на произвольную область D'l Ис-
Используя непрерывность конформного отображения нетрудно убедить-
убедиться, что ответ на этот вопрос, вообще говоря, отрицательный. Напри-
Например, многосвязную область нельзя взаимно-однозначно и непрерывно
отобразить на односвязную. Для односвязных областей имеет место
следующая теорема.
Теорема 13.1 (теорема Римана). Пусть D и D' — односвяз-
ные области на расширенных плоскостях переменных z и w соот-
соответственно, причем границы этих областей состоят более чем из
одной точки. Тогда существует аналитическая функция, взаимно-
взаимнооднозначно и конформно отображающая D на D'.
Из теоремы Римана следует, что односвязную область D нельзя
конформно отобразить на единичный круг \w\ < 1 только в двух слу-
случаях: а) если D есть вся расширенная плоскость С (граница — пустое
множество); б) если D есть расширенная плоскость, из которой уда-
удалена только одна точка (например, если D — конечная плоскость С,
когда из С удалена точка z = об).
Отображение w = f(z) области D на D', существующее по теореме
Римана, не является единственным. Для однозначного определения
конформного отображения нужно задать дополнительные условия,
называемые условиями нормировки, содержащие три действительных
параметра. Например, достаточно в какой-либо одной точке z$ обла-
области D задать значения
wo=f(zo), p = &rgf(z0).	A3.1)
Здесь в качестве параметров выступают две координаты точки w$
и действительное число /?. Условия A3.1) означают, что отображе-
отображение w = f(z) является единственным, если для какой-либо точки zo
области D задать ее образ wo в области D' и угол поворота /3 беско-
бесконечно малых векторов в точке zq.
Можно задавать и другие условия нормировки, отличные от A3.1).
Например, задают образы одной внутренней и одной граничной точек

§13. Общие свойства конформных отображений	69
области D:
f(z0) = wOj
где zo, wo — внутренние точки областей D, D', a zo, wo — граничные
точки этих областей. Здесь также присутствуют три действительных
параметра: две координаты точки wo и положение граничной точки
wi, которая определяется одним действительным числом (например,
расстоянием, отложенным по границе области D' от некоторой фикси-
фиксированной граничной точки). Укажем еще один вариант условий нор-
нормировки:
f(zk) = Wk, k = 1,2,3,
где Zk и Wk — граничные точки областей D и D'.
Например, для функции (9.10), конформно отображающей еди-
единичный круг \z\ < 1 на единичный круг \w\ < 1, тремя действитель-
действительными параметрами являются координаты точки zo и число if.
Сформулируем следующее важное свойство конформных отобра-
отображений.
Свойство 13.2 (принцип сохранения области). Если функ-
функция w = f(z) аналитична в области D и отлична от постоянной,
то множество D', на которое она отображает D, таксисе являет-
является областью (т.е. открытым связным множеством).
Перейдем к утверждениям, описывающим соответствие границ
при конформных отображениях.
Свойство 13.3 (принцип соответствия границ). Пусть D u
D' — односвязные области, ограниченные непрерывными замкнуты-
замкнутыми контурами Г и V, составленными из конечного числа гладких
кривых. Пусть, далее, функция w = f(z) конформно отображает D
на D'. Тогда эту функцию можно доопределить и в точках грани-
границы Г так, что она станет непрерывной в замкнутой области D и
отобразит Г взаимно-однозначно и непрерывно на Г'.
Указанное свойство означает, что при конформном отображении
друг на друга двух областей между их границами устанавливается
взаимно-однозначное и непрерывное соответствие.
Свойство 13.4. При взаимно-однозначном и конформном
отображении областей D и D' сохраняется направление обхода их
границ.
Другими словами, если при обходе границы область D остается
слева, то и при соответствующем обходе границы области D' эта об-
область остается слева.
Большое значение для построения конформных отображений име-
имеет следующее свойство.
Свойство 13.5 (обратный принцип соответствия границ).
Пусть односвязные области D и D' ограничены кривыми Г и V.

70
Гл. IV. Конформные отображения
Пусть, далее, функция w = f(z), аналитическая в D и непрерыв-
непрерывная в D, отображает Г взаимно-однозначно на Г', причем, когда
точка z обходит контур Г так, что область D остается сле-
слева, соответствующая точка w обходит контур Г' так, что об-
область D' таксисе остается слева. Тогда функция w = f(z) осуществ-
осуществляет взаимно-однозначное конформное отображение области D на
область D'.
Следовательно, для отыскания области, на которую функция w =
= f{z) отображает заданную область D, достаточно обойти грани-
границу области D и найти контур, на который эта граница отображается
функцией f(z).
Пример 13.6. Найти область, на которую функция
w = chz = - (ez + e~z)
отображает полуполосу {Rez > 0, 0 < Imz < тг} (рис. 28, а).
D
-1 0
Рис. 28
Решение. Данная функция является композицией следующих
двух функций: 1) показательной функции w± = ez и 2) функции Жу-
Жуковского w = -Iwi -\	). Чтобы изобразить искомую область, най-
2 V	w\)
дем образ границы данной полу полосы.
Рассмотрим первое отображение. Пусть w\ = ez = ехегу = регв.
р = е\ 6 = у.
При движении по участку 1 границы (рис. 28, а) значение в фик-
фиксировано: в = у = тг, а х изменяется от оо до 0. Значит, значение
р = ех изменяется от оо до 1. Поэтому участок 1 перейдет в луч V
(рис. 28, б). На участке 2 х = 0, а у изменяется от тг до 0. Следова-
Следовательно, р = е° = 1, а в изменяется от тг до 0. При этом точка w\ опишет
полуокружность 2' (рис. 28, б). Наконец, при движении z по лучу 3
точка w\ пробежит луч 3; (здесь 0^ж<оо, 0 = 0).
Теперь найдем линию, в которую перейдет полученная кривая в
плоскости переменного w\ при отображении, осуществляемом функ-
функцией Жуковского. Если положить в A2.8) ср = тг и изменять г от оо

§14- Применение функций комплексного переменного
71
до 1, то и будет изменяться от — оо до — 1, a v будет равно 0. Значит,
луч V перейдет в такой же луч плоскости переменного w = и + iv.
Аналогично, и луч 3' отобразится в такой же луч, как и 3', причем
сохранится и направление обхода. Чтобы получить образ полуокруж-
полуокружности 2', положим в A2.8) г = 1 и будем изменять ср от тг до 0. Тогда
и пробежит отрезок [—1,1], a v будет равно 0. Поэтому участок 2'
перейдет в отрезок [—1,1] плоскости переменного w.
Таким образом, функция w = chz отображает границу Г полупо-
полуполосы D в действительную ось. При обходе Г область D остается слева.
При движении в соответствующем направлении по оси и слева оста-
остается верхняя полуплоскость. Следовательно, функция w = chz кон-
конформно отображает D на верхнюю полуплоскость.
Упражнения. 1. Докажите, что функция w = cosz конформ-
конформно отображает полу полосу {0<Re2:<7r, 1т2:<0}на верхнюю полу-
полуплоскость.
2. Укажите хотя бы одну полуполосу, которую функция w = sinz
конформно отображает на верхнюю полуплоскость.
§ 14. Применение функций комплексного переменного
в гидродинамике
Рассмотрим установившееся течение жидкости, при котором все
частицы движутся параллельно одной и той же плоскости, причем
точки, расположенные на одном перпендикуляре к этой плоскости,
Рис. 29
имеют равные скорости и направления движения (т.е. векторы ско-
скоростей в этих точках равны) — см. рис. 29. Такое течение называет-
называется установившимся плоско-параллельным течением. Вектор скоро-
скорости V не зависит от времени, а зависит только от проекции (ж, у) этой
точки на плоскость. Обозначим координаты вектора V через X, Y.

72	Гл. IV. Конформные отображения
Тогда
V = X(x,y)+iY(x,y).
Будем предполагать, что функции X, Y имеют непрерывные частные
производные первого и второго порядков в некоторой односвязной
области D и что поле векторов V удовлетворяет следующим двум
условиям.
1)	Поле V потенциально, т.е.
?-?-¦>¦
Это условие означает, что в потоке жидкости отсутствуют вихри
(можно сформулировать это свойство и так: интеграл / X dx + Y dy
г
по любому замкнутому контуру Г, лежащему в D, равен нулю). Усло-
Условие A4.1) равносильно тому, что выражение Xdx-\-Ydy является
полным дифференциалом некоторой функции и = и(х, у), т.е. найдет-
найдется такая функция и = и(х,у), что
х=ди у=ди
дх	ду	v '
(доказательство этого факта имеется, например, в книге Н.С. Писку-
нова [7, т. 2. Гл. XIII, §9]).
2)	Поле V соленоидально, т.е.
ТГ + 1Г = 0-	A4.3)
дх ду	v '
Физический смысл этого условия состоит в том, что в области D от-
отсутствуют источники и стоки, т.е. траектории частиц — линии тока —
не возникают и не обрываются во внутренних точках области D. Ра-
Равенство A4.3) означает, что выражение —Ydx + X dy также является
полным дифференциалом: найдется функция v = v(x,y), такая что
_Y=dv x=dv
дх	ду	v '
Отметим без доказательства, что функция v(x,y) имеет следующий
физический смысл. Возьмем любые две точки (xi,yi) и (#2,2/2) в ^
и соединим их произвольной гладкой кривой Г С D. Из каждой точ-
точки этой кривой восстановим перпендикуляр высотой 1 к плоскости,
содержащей Г (т.е. построим "забор" высотой 1, опирающийся на Г).
Тогда разность г?(#2?2/2) ~v{xiiVi) равна объему жидкости, проте-
протекающей через построенную поверхность в единицу времени. Эта ве-
величина называется потоком жидкости через кривую Г; она зависит
лишь от начальной и конечной точек кривой, но не от ее формы.
Рассмотрим линию уровня функции г?, т.е. множество точек
(ж, у) G D, для которых v(x,y) = С, где С — некоторая постоянная.
Найдем касательный вектор к этой кривой в произвольной ее точ-
точке (х,у). Уравнение v(x,y) = С можно рассматривать как уравнение

§14- Применение функций комплексного переменного	73
кривой у = у(х), заданной неявно. Дифференцируя обе части по ж,
получим
dv dv dy _ n __ dy _ dv I dv _Y
^ + ^^=0, откуда ^L = -%L / %L = ±-.
dx dy dx	dx	dx I dy X
Таким образом, тангенс угла наклона касательной равен Y/X. Отсюда
следует, что вектор скорости V = {X, Y} направлен по касательной к
линии уровня в каждой точке этой линии. Значит, линии v(x,y) = С
являются линиями тока. Поэтому функция v называется функцией
тока.
Составим теперь функцию комплексного переменного f(z) = и +
+ iv, где z = х + гу. Эта функция называется комплексным потенци-
потенциалом поля V. Из равенств A4.2), A4.4) следует, что функция f(z)
удовлетворяет условиям F.4) Коши-Римана, а значит, является ана-
аналитической в D. Итак, комплексный потенциал установившего-
установившегося плоско-параллельного потенциального и соленоидального течения
жидкости является аналитической функцией.
Так как f(z) аналитична, то ее производная f'{z) не зависит от на-
направления. Дифференцируя равенство f{z) = и + iv no x и используя
условие Коши-Римана, получим
-,, ч ди .dv ди .ди	, .
4 J дх дх дх ду	v J
Таким образом, производная комплексного потенциала является век-
вектором, комплексно сопряженным вектору скорости течения.
Покажем, что любую аналитическую в D функцию f(z) = и + iv
можно рассматривать как комплексный потенциал векторного по-
поля V = ——\-i -=-, потенциального и соленоид ального. (В этом и со-
дх ду
стоит гидродинамическая интерпретация аналитической функции.)
Обозначим -^- = X, —— = Y. В силу условий Коши-Римана выпол-
дх	ду
нены равенства A4.4). Дифференцируя первое из этих равенств по
у, второе по ж, и вычитая из второго первое, получим A4.3). Проде-
Проделывая те же операции с равенствами A4.2), получим A4.1). Но усло-
условия A4.1), A4.3) и означают потенциальность и соленоидальность по-
поля V соответственно.
Интерпретация аналитической функции как комплексного потен-
потенциала векторного поля позволяет решать ряд важных задач гидро-
гидродинамики, электростатики и др. Покажем на примере, как решается
задача обтекания.
Рассмотрим бесконечно глубокое течение над плоским дном, об-
обтекающее препятствие высотой h — рис. 30, а. В качестве области D
здесь будет верхняя полуплоскость с вырезанным отрезком. Для изу-
изучения соответствующего векторного поля найдем его комплексный по-
потенциал. Воспользуемся тем, что линии тока удовлетворяют уравне-

74
Гл. IV. Конформные отображения
Рис. 30
ниям г? (ж, у) = С. В плоскости переменного w = и + iv уравнения v =
= С определяют горизонтальные прямые. Значит, функция w = f(z)
отображает линии тока в горизонтальные прямые, а область D — в
область D', образованную семейством горизонтальных прямых. Пока-
Покажем, что область D' является полуплоскостью \mw > vq (и не может
быть, например, полосой). Зафиксируем z\ = 2i/i, и пусть z^ = iy- При
у —> +оо поток жидкости через отрезок \z\,z?\ также неограничен-
неограниченно возрастает. Поэтому г?(О, у) — г?(О, 2/г) —у оо, а значит, и г?@,2/) —>¦ оо
при у —У оо. Отсюда и следует, что образом области D является по-
полуплоскость Imw > vo. Равенства A4.2), A4.4) показывают, что при-
прибавление к f(z) произвольной постоянной также дает комплексный
потенциал. Поэтому можно считать, что функция w = f(z) отобража-
отображает область D на верхнюю полуплоскость. Итак, для отыскания ком-
комплексного потенциала f{z) достаточно найти конформное отобра-
отображение области D на полуплоскость Imw > 0. Искомое отображение
проведем в три этапа.
1.	Функция w\ = z2 отобразит D на плоскость с вырезанным лучем
Rewi ^ — h2. Читатель может убедиться в этом, рассматривая обра-
образы каждого из четырех прямолинейных участков границы области D
(отрезок [0, г/г] проходится дважды).
2.	Функция W2 = w\ + h2 сдвигает полученную область на h2 еди-
единиц вправо, переводя ее в плоскость с вырезанной положительной
полуосью.
3.	В полученной области возьмем регулярную ветвь функции w =
' опРеДеляемУю следующим образом:
0 < ср < 2тт.
где W2 =
При отображении w = y/w~2 верхний край разреза О
перейдет в такой же луч плоскости w, а нижний край 0 ^ |г^2| < оо,
ip = 2тт — в отрицательную полуось 0 ^ \w\ < оо, argw; = тг. Поэтому
плоскость с разрезом по положительной полуоси перейдет в верхнюю
полуплоскость.
Композиция указанных трех функций и дает нужное отображение:
w =

§14- Применение функций комплексного переменного	75
Это отображение не единственное: функция ky/z2 + /i2, k > О, также
переводит D в верхнюю полуплоскость. Постоянную к можно найти,
если задать скорость Vqq потока на бесконечно большом удалении от
препятствия. Действительно, из равенства A4.5) следует, что l/'f^)! =
= |V|. Поэтому
|V| = \f'(z)\= _gl	A4.6)
Vz2 + h2
Устремляя z к оо, получим |/'(oo)| = к =
f(z) = Vooy/z* + h?,	A4.7)
и комплексный потенциал найден. С его помощью можно получить
важнейшие характеристики потока: величину и направление векто-
векторов скоростей частиц, уравнение линий тока, расход жидкости и т.д.
Например, из A4.6) следует, что у основания препятствия (z = 0) ско-
скорость равна нулю (застойная зона), а в точке z = ih — бесконечности
(эффект острия).
Найдем уравнения линий тока. Эти линии определяются ра-
равенствами v(x,y) = С. Поэтому нужно либо отделить мнимую часть
у функции f(z) =u + iv, определяемой формулой A4.7), либо рас-
рассмотреть A4.7) как систему уравнений с переменными и,х,у и ис-
исключить и. Рассмотрим второй способ. Из A4.7) получаем
(и + ivJ = V^((x + гуJ + /i2), т.е.
и2 -v2 + i2uv = V?(x2 -у2 + h2) + i2V^xy.
Приравнивая действительные и мнимые части, приходим к системе
уравнений
\uz-vz =V^(xz -у1 + /i2),
\uv = V^xy.
Исключим отсюда переменное и, выражая его из второго уравнения
и подставляя в первое. Обозначим для удобства с = v/Voq. Посколь-
Поскольку v = С — фиксированная величина, то с — тоже постоянная. После
элементарных преобразований придем к равенству
= с\1
(соответствующие линии тока изображены на рис. 30, а).
Комплексный потенциал можно строить и для векторных полей в
многосвязных областях. Функция f(z) оказывается при этом, вообще
говоря, многозначной. Мы не останавливаемся далее на этих задачах,
рекомендуя читателю книги [1], [5], [9], [13], в которых рассматривают-
рассматриваются многочисленные применения функций комплексного переменного
в гидродинамике, электростатике и др.
Упражнение. Рассмотрите задачу обтекания препятствия в
виде полукруга (рис. 28, б).

Гл а в а V
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 15. Интеграл от функции комплексного переменного
Рассмотрим гладкую кривую Г на комплексной плоскости, задан-
заданную параметрическими уравнениями
x = x(t), y = y(t), a^t^/3	A5.1)
(определение гладкой кривой дано в начале § 8). Как уже отмечалось
в § 8, эти уравнения можно записать в компактной форме:
z(t)=x(t)+iy(t), a^t^fi.	A5.2)
При изменении параметра t от а до /3 соответствующая точка z(t)
будет двигаться по кривой Г. Поэтому уравнения A5.1) и A5.2) не
только определяют точки кривой Г, но и задают направление обхода
этой кривой. Кривая Г с заданным направлением ее обхода называ-
называется ориентированной кривой.
Пусть в области D С С задана непрерывная функция f(z) =
= и(х,у) -\- iv(x,y), и пусть кривая Г лежит в D. Чтобы ввести по-
понятие интеграла J f(z)dz от функции f(z) по кривой Г, определим
г
дифференциал dz равенством dz = dx + idy. Подынтегральное выра-
выражение преобразуется к виду
f(z) dz = (и + iv)(dx + idy) = (udx — v dy) + %{v dx + udy).
Таким образом, интеграл от комплексной функции f(z) по кривой Г
естественно определить равенством
/ f(z) dz = udx — v dy + i v dx + и dy,	A5.3)
г	г	г
в правую часть которого входят два действительных криволинейных
интеграла второго рода от действительных функций и и v. Для вы-
вычисления этих интегралов следует вместо х и у подставить функ-
функции x(t) и y(t), а вместо dx и dy — дифференциалы этих функций
dx = х• (t) dt и dy = y'{t) dt. Тогда интегралы в правой части A5.3) све-
сведутся к двум интегралам от функций действительного переменного t

§15. Интеграл от функции комплексного переменного	77
по отрезку (а,/?):
/3	/3
J(u(z(t))x'(t) - v(z(t))y'(t)) dt + i J(v(z(t))x'(t) + u(z(t))y'(t)) dt.
a	a
A5.4)
Это выражение легко преобразуется к виду
/з	/з
J(u(z(t)) + iv(z(t)))(xf(t) + VW)* = I f(z(t))zf(t) dt.
a	a
Теперь мы готовы дать следующее определение.
Интегралом вдоль кривой Г от функции комплексного перемен-
переменного f(z) называется число, обозначаемое / f(z) dz и вычисляемое по
г
формуле
/з
Jf(z)dz = Jf(z(t))z'(t)dt,	A5.5)
Г	а
где z(t) = x(t) +iy(t), a ^t ^ /3, — уравнение кривой Г, a z'{t) =
= x'(t)+iy'(t).
Пример 15.1. Вычислить интеграл от функции f(z) = (z — а)п
по окружности радиуса г с центром а, направление обхода которой —
против часовой стрелки.
Решение. Уравнение окружности \z — а\ — г будет z — а = relt,
ИЛИ
z(t) = a + r(cost + isint), 0 ^ t ^ 2тг.
При изменении t от 0 до 2тг точка z(t) движется по окружности Г
против часовой стрелки. Тогда
f(z(t)) = (z(t) -a)n = rn(cost + isint)n;
z'(t) = r(— sint + г cost) = ir(cost + isint).
Применяя равенство A5.5) и формулу Муавра B.10), получаем
/(z - а)п dz= Г irn+1 (cos t + i sin t)
2тг
= irn+1 [ cos(n + l)t dt + i2rn+1 / si
2тг	2тг
sin(n
о	о
При п ф — 1 оба последних интеграла равны нулю. При п = — 1 имеем
2тг
/ —^ dz = i [ dt = г 2тг.	A5.6)
г	о

78	Гл. V. Интегрирование функций комплексного переменного
Мы получили результат, важный для дальнейшего изложения:
О	при п/ -1,
2тгг при п = — 1.
[
J
(z-a)ndz=
A5.7)
Заметим, что значение интеграла не зависит от радиуса г окружности.
Пример 15.2. Вычислить интеграл от функции f(z) = 1 по
гладкой кривой Г с началом в точке а и концом в точке Ъ.
Решение. Пусть кривая Г задается уравнением z(t) = x(t) +
+ iy(t), a ^ t ^ /?, причем а = 2(а), 6 = г(/3). Используя формулу
A5.5), а также формулу Ньютона-Лейбница для вычисления инте-
интегралов от действительных функций, получим
р	р	р
fldz= fz'(t)dt= f x'(t)dt + i f y'(t)dt = x(t)
= x(f3) - x(a)
- y(a)) = z(f3) - z(a) = b - a.
Мы видим, что интеграл /1 dz не зависит от вида пути Г, соединяю-
г
щего точки а и 6, а зависит только от концевых точек.
Изложим вкратце другой подход к определению интеграла от комплекс-
комплексной функции f(z) по кривой, аналогичный определению интеграла от дей-
действительной функции по отрезку.
Разобьем кривую Г произвольным образом на п участков точками
zq = a, 2i, ..., 2те-1, zn = b, занумерованными в направлении движе-
движения от начальной точки к конеч-
конечной (рис. 31). Обозначим 21 — zq =
= Azn. (Число Azk изображается векто-
вектором, идущим из точки 2fc_ 1 в Zk') На
каждом участке (zk-i,Zk) кривой выбе-
r D . /7,ъ 1	/	рем произвольную точку (& и составим
сумму
/(Ci)A^i + /(Сг)А^2 + • • • + /(Сп)А^п =
k=i
Рис. 31
Эта сумма называется интегральной
суммой. Обозначим через Л длину наибольшего из участков, на которые
разбита кривая Г. Рассмотрим последовательность разбиений, для кото-
которой Л —>- 0 (при этом п —>- оо).
Предел интегральных сумм, вычисленный при условии, что длина наи-
наибольшего из участков разбиения стремится к нулю, называется интегралом

§15. Интеграл от функции комплексного переменного	79
от функции f(z) по кривой Г и обозначается / f(z) dz:
J f(z) dz = lim J2 /@0A**-	A5.8)
Г	k = l
Можно показать, что это определение также приводит нас к формуле A5.3)
и, следовательно, эквивалентно определению A5.5), данному выше.
Установим основные свойства интеграла / f(z) dz.
г
1°. Линейность. Для любых комплексных постоянных а и b
J(af(z) + bg(z)) dz = ajf(z)dz + bj g(z) dz.
г	г	г
Это свойство следует из равенства A5.5) и соответствующих свойств
интеграла по отрезку.
2°. Аддитивность. Если кривая Г разбита на участки Fi и Г2,
то
Г1	Г2
Доказательство. Пусть кривая Г с концами а, Ъ разбита точкой с
на две части: кривую Т\ с концами а, с и кривую Г2 с концами с, Ь. Пусть Г
задается уравнением z = z(t), a ^ t ^ /3, причем а = z(a), b = z(/3), с = 2G)-
Тогда уравнения кривых Fi и Г2 будут г = z(t), где а ^ t ^ j для Fi и
j ^ t ^ /3 для Гг. Применяя определение A5.5) и соответствующие свойства
интеграла по отрезку, получим
d* = | f{z{t))z'{t) dt = J f{z{t))z\t) dt + f f{z{t))z\t) dt =
f(z)dz + J f(z)dz,
Г1	Г2
что и требовалось доказать.
Свойство 2° позволяет вычислять интегралы не только по гладким
кривым, но также и по кусочно гладким, т.е. кривым, которые можно
разбить на конечное число гладких участков.
3°. При изменении направления обхода кривой интеграл меняет
знак.
Доказательство. Пусть кривая Г с концами а и b задается урав-
уравнением z = z(t), a ^ t ^ /3. Кривую, состоящую из тех же точек, что и Г,
но отличающуюся от Г направлением обхода (ориентацией), обозначим че-
через Г~. Тогда Г~ задается уравнением z = zi(t), где z\(t) = z(a + /3 — t),
a ^t ^ /3. Действительно, введем новое переменное г = а + /3 — t. При из-
изменении t от а до /3 переменное т изменяется от /3 до а. Следовательно,
точка z(t) пробежит кривую Г~.

80
Гл. V. Интегрирование функций комплексного переменного
Легко видеть, что z[(t) = z'T(r)(a + /3 — t)'t = —z'T(r), dt = —dr. Исполь-
Используя определение A5.5) и переходя к переменному т, получим
C
J f(z)dz = J f(Zl(t))z[(t)dt = J f{z{r)){-z'T{r)) (-dr) =
г-	p	0
= - I f(z(r))zf(r) dr = -J f(z) dz.
Свойство 3° доказано. (Заметим, что из определения интеграла A5.8) это
свойство следует непосредственно: при изменении ориентации кривой все
приращения Azk меняют знак.)
4°. Модуль интеграла J f(z) dz не превосходит значения криволи-
г
нейного интеграла от модуля функции по длине кривой s (криволи-
(криволинейного интеграла от \f(z)\ первого рода):
f(z)dz
= J \f{z{i))W{x'{t)Y + {y'{i)f dt.
Доказательство. Воспользуемся тем, что для интеграла по от-
отрезку
fg(t)dt
(это неравенство сразу следует из определения интеграла по отрезку как
предела интегральных сумм). Отсюда и из A5.5) имеем
/з	/з
f(z)dz \
\ff{z)dz =\J}{z{t))z'{t)dt
§ 16. Теорема Коши
Рассмотрим теперь интегралы от (однозначных) аналитических
функций. Важную роль играет следующая теорема.
Теорема 16.1 (теорема Коши для односвязной области). Пусть
функция f(z) аналитична в односвязной области D. Тогда для любого
замкнутого контура Г, лежащего в D, / f(z) dz = 0.
г

§16. Теорема Коши	81
Доказательство. Для краткости мы проведем доказа-
доказательство при дополнительном предположении, что производная f'{z)
непрерывна в D. В силу равенства A5.3) для выполнения условия
/ f(z) dz = 0 необходимо и достаточно, чтобы
г
f	f
J	' J
г	г
Напомним, что если Р(х,у) и Q(x,y) — непрерывные действитель-
действительные функции в односвязной области D, имеющие в D непрерывные
частные производные первого порядка, то равенство
Pdx + Qdy =
г
равносильно следующему условию:
ду дх
(см., например, [7, т. 2. Гл. XV, §4]). Применительно к интегралам
из A6.1) условие A6.2) имеет вид
ди	dv dv ди	,л п оЧ
тг = -тг, тг = -х-	A5.3)
ду	ох ду ох
(непрерывность частных производных функций и и v вытекает из
непрерывности ff(z)). Но условия A6.3) совпадают с условиями
Коши-Римана F.4), которые выполнены в силу предположения о том,
что функция f(z) является аналитической в D. Таким образом, спра-
справедливы равенства A6.1), а значит, и равенство / f{z)dz = 0, что и
г
требовалось доказать.
В § 18 будет показано, что справедливо также утверждение, обрат-
обратное теореме 16.1 (теорема Морера).
Заметим, что если функция f(z) является аналитической в за-
замкнутой односвязной области D, то в качестве Г можно взять также
границу этой области.
Рассмотрим теперь обобщение теоремы Коши на многосвязные об-
области. Пусть D — n-связная область, граница которой состоит из
внешнего контура Fi и внутренних контуров Г2,..., Гп.
Теорема 16.2 (теорема Коши для n-связной области). Предпо-
Предположим, что функция f(z) аналитична в замкнутой п-связной об-
области D. Тогда интеграл от / по границе области D равен нулю;
при этом предполагается, что обход граничных кривых проводится
в таком направлении, чтобы область D оставалась слева.
Доказательство. Пусть, например, D — трехсвязная об-
область, ограниченная контурами Fi, Г2, Г3 (рис. 32). Разрежем
6 В.Я.Эйдерман

82
Гл. V. Интегрирование функций комплексного переменного
А
область D по дугам АВ и СЕ, т.е. удалим из D все точки этих дуг.
В результате получим односвязную область D*, граница Г* которой
состоит из контуров Fi, Г2, Г3 и дуг
АВ и СЕ. При обходе этой границы
контуры Fi, Г2, Г3 проходятся одно-
однократно, а дуги АВ и СЕ — дважды
в противоположных направлениях.
Поскольку область D* односвязна,
то в силу теоремы 16.1 интеграл по
ее границе Г* равен нулю, а в силу
свойства 2° интеграл по Г* распада-
распадается на сумму интегралов по участ-
участкам, составляющим Г*. Поэтому
р оо
О = J f{z) dz = Г f(z) dz + J f(z) dz + J f(z) dz
Г*	Г1	Г2	Г3
+
f(z) dz+ I f(z) dz+ I f(z) dz+ I f(z) dz.
АВ	ВА	CE	EC
Согласно свойству 3° интегралы по АВ и В А (и, аналогично, по СЕ
и ЕС) отличаются лишь знаками и поэтому сокращаются. Получаем
A6.4)
f f(z) dz + f f(z) dz + f f(z) dz = 0,
Г1	Г2	Г3
что и требовалось доказать.
Теорему 16.2 можно сформулировать в следующей форме.
Теорема 16.27. Если функция f(z) аналитична в замкнутой
п-связной области D и все граничные контуры 1\,..., Гп обходятся
в одном и том же направлении, то
f(z)dz = If(z)d
f(z)dz,
A6.5)
Гп
где Fi — внешний контур, охватывающий остальные.
Доказательство сразу получается из формулы A6.4), если
у контуров Г2,... ,ГП (или у контура 1\) изменить направление об-
обхода на противоположное и перенести соответствующие интегралы в
другую часть равенства A6.4).
Теорема 16.1 эквивалентна следующему важному свойству неза-
независимости интеграла J f{z)dz от пути интегрирования.
г
Следствие 16.3. Пусть функция f{z) аналитична в односвяз-
ной области D, и пусть а и Ъ — две любые точки из D. Тогда ин-

§16. Теорема Коши
83
тегралы по всем кривым, идущим из а в Ъ и лежащим внутри D,
равны между собой.
Другими словами, интеграл зависит не от пути, а лишь от его
начальной и конечной точек.
Доказательство. Пусть 1\ и Г2 — два пути, идущие из а в Ъ
(рис. 33). Обозначим через Г^~ кривую 1\, проходимую в противопо-
противоположном направлении, т.е. из Ъ в а. По теореме 16.1 интеграл / f(z) dz
г
по замкнутому контуру Г = Г2 U Г^~ равен нулю. Отсюда
0= f(z)dz = f{z)dz
J	J
Г	Г2
f(z)dz= f(z)dz- f(z)dz,
J	J
Г2	ГХ
и, следовательно,
Jf(z)dz = Jf(z)dz.
Г1	Г2
Г1
Следствие 16.3 доказано.
Точки z, в которых (однозначная) функция f(z) является анали-
аналитической, называются регулярными или правильными точками функ-
функции f(z). Точки, в которых f(z) не
является аналитической, в том числе
точки, в которых f(z) не определена,
называются особыми. Особая точка z$
называется изолированной, если най-
найдется такая окрестность с центром zo,
в каждой точке которой, за исключе-
исключением самой точки 2о, функция f(z) яв-
является аналитической.
Следствие 16.4 (неизменяе-
(неизменяемость интеграла при деформации пу-	^ис- 33
ти интегрирования). Интеграл от аналитической функции f(z) no
кривой Г (замкнутой или незамкнутой) не изменяет своей величины
при любой непрерывной деформации кривой Г, если только при этой
деформации кривая Г не пересекает особых точек функции f(z); в
случае незамкнутой кривой Г подразумевается, что при деформации
начало и конец Г остаются неподвижными.
Доказательство. Для незамкнутой кривой нужное утвер-
утверждение вытекает из следствия 16.3, поскольку при непрерывной
деформации кривой 1\ в Г2 функция f(z) будет аналитической
в односвязной области, заключенной между ними (см. рис. 33).
(Действительно, если между 1\ и Г2 есть хотя бы одна особая точка
функции f(z), то непрерывная деформация кривой 1\ в Г2 без пере-
пересечения этой точки невозможна.)

84	Гл. V. Интегрирование функций комплексного переменного
Для замкнутого контура равенство J f(z)dz = J f(z) dz сразу
r*i	Г2
следует из формулы A6.5) при п = 2, поскольку функция f(z) будет
аналитической в двусвязной области, ограниченной этими контурами.
Пример 16.5. Функция f(z) = 1/z аналитична во всей ком-
комплексной плоскости С, за исключением точки z = 0. Возьмем в ка-
качестве Г окружность \z\ = 1. В силу A5.6)
-dz = 2тгг ф 0.	A6.6)
II	-|
\Z\-V
Значит, требование односвязности в теореме 16.1 существенно. Из
формулы A6.6) следует, что если проинтегрировать функцию 1/z по
верхней и по нижней полуокружностям, ведущим из точки (—1,0)
в A,0), то результат будет различным (проделайте это вычисление,
руководствуясь примером 15.1). В то же время, деформируя окруж-
окружность \z\ = 1 так, чтобы она не пересекала точку z = 0 (в частности,
изменяя ее радиус), мы будем получать все то же значение интегра-
интеграла 2тгг. (В примере 15.1 уже отмечалось, что это значение не зависит
от радиуса окружности \z\ = г.) Если же проинтегрировать функцию
1/z по замкнутому контуру, не содержащему внутри себя точку z = 0,
то интеграл будет равен нулю.
§ 17. Неопределенный интеграл.
Формула Ньютона—Лейбница
Пусть f(z) — аналитическая функция в области D. Аналитическая
в области D функция F(z) называется первообразной функции f(z),
если F'(z) = f(z) для всех точек z из D. Ясно, что если к первообраз-
первообразной F(z) прибавить произвольную постоянную С, то снова получится
первообразная F(z) + С. Покажем, что никаких других первообраз-
первообразных функция f(z) не имеет, а именно: все первообразные функции f(z)
получаются из какой-либо одной первообразной F(z) прибавлением
произвольных постоянных С. Другими словами, любые две первооб-
первообразные Fi(z) и F2(z) одной и той же функции f{z) отличаются друг
от друга постоянным слагаемым.
Действительно, по определению первообразной, функции Fi(z),
F2(z), а следовательно, и их разность
<p(z) = Fx(z) - F2(z) = и(х,у) +iv(x,y),
аналитичны в области D, причем
<p'(z) = F[(z) - Fi(z) = f(z) - f(z) = g + zg = 0.

§17. Неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница 85
Отсюда получаем, что — = 0, — = 0 и, следовательно, функции и
\J JL	\JJL
ди
и v не зависят от ж. В силу условий Коши—Римана F.4) также — =
ди
= О, — = 0. Значит, функции и и v не зависят и от у. Таким образом,
функции u,v, а вместе с ними и функция ср являются постоянными,
nF1(z)=F2(z) + C.
Итак, множество всех первообразных функции f(z) записывается
в виде F(z) + С, где F(z) — одна из первообразных и С — произволь-
произвольная постоянная. Это множество называется неопределенным интегра-
интегралом от f(z) и обозначается J f(z) dz. Таким образом,
f(z) dz = F(z) + С.
A7.1)
Пусть f(z) — аналитическая функция в односвязной области D. Возь-
Возьмем две точки zq и z в D и рассмотрим интеграл
= //(О
A7.2)
вычисленный по какой-либо кривой, идущей от z$ к z и лежащей в D.
Поскольку область D односвязна, то интеграл не зависит от выбора
пути интегрирования (следствие 16.3). Если точка zo фиксирована, то
интеграл A7.2) зависит только от точки z и, следовательно, является
в D однозначной функцией переменного z.
аналитична в односвязной
Теорема 17.1. Пусть функция /(
области D и zo — некоторая
фиксированная точка из D. То-
Тогда функция Ф(^), определенная
равенством A7.2), таксисе ана-
аналитична в D и является перво-
первообразной функции f(z).
Доказательство. Возь-
Возьмем в D произвольную точку z
(рис. 34). Функция / является
аналитической, а следовательно,
и непрерывной в z. Поэтому для
любого г > 0 найдется такое 5 > 0, что окрестность точки
лежит в D и
1/@ -f(z)\<e при |С-*|<<*.
Рис. 34
радиуса 5
-z\<5.	A7.3)
Дадим переменному z некоторое приращение Az. Тогда функция Ф(г)

86	Гл. V. Интегрирование функций комплексного переменного
получит приращение
z+Az	z
АФ = Ф^ + Az) - Ф^) = J /(С) dC-/ДО <*С =
Zq
z	z
f(C)d(-Jf(C)d( =
Zo	Z	Zo
В примере 15.2 было показано, что
z+Az
z0
z+Az
z+Az
Г
Используя это равенство, прибавляя и вычитая выражение f(z)Az,
получим
z+Az
ЛФ= I f(()d(-f(z)Az + f(z)Az =
z+Az
z+Az
+
№dC-f(z) J' d( + f(z)Az =
z+Az
(f(C)-f(z))dC
Перенесем слагаемое f(z)Az влево и разделим обе части равенства
на Az:	,Л
z+Az
В качестве пути интегрирования от z до z + Az выберем прямолиней-
прямолинейный отрезок, соединяющий эти точки (рис. 34). Воспользуемся теперь
свойством 4° интеграла (§ 15) и неравенством A7.3):
АФ
АФ f(z)
z+Az
I
z+Az
z+Az
z+Az
Здесь / ds берется по длине кривой; он равен длине отрезка [z,z +
+ Az], т.е. \Az .

§17. Неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница 87
Итак, для любого г > 0 найдется такое S > 0, что при \Az\ < S
АФ ( .
Это и означает, что существует предел
т.е. Ф'(;г) = f(z). Теорема 17.1 доказана.
Следствие 17.2. Если f(z) — аналитическая функция в одно-
связной области D, то справедлива формула Ньютона—Лейбница
С = F(Zl) - F(z0),	A7.4)
где F(z) — любая первообразная функции f(z), z$ и z\ — любые точки
из D, и интегрирование ведется по произвольному пути, лежаще-
лежащему в D.
Доказательство. Пусть F(z) — какая-либо первообразная
функции f(z). Поскольку функция ФB:), определенная в A7.2), также
является первообразной для f(z), то F{z) = Ф(^) + С, т.е.
z
F(z)=jf(C)d(
где С — некоторая постоянная. Положив в этом равенстве z = zq, по-
получим F(zo) = С. Подставляя в ту же формулу z = z\ и найденное
значение С, имеем
F(Zl) =
откуда следует A7.4).
Таким образом, определение первообразной и формула Ньютона-
Лейбница для функций действительного переменного и для анали-
аналитических функций комплексного переменного полностью совпадают.
Благодаря этому интегралы от элементарных функций комплексного
переменного вычисляются с помощью тех же формул и методов, что
и в действительном анализе. В частности, остается в силе известная
таблица первообразных.
Зг
Пример 17.3. Найти интеграл / z2 dz.

Гл. V. Интегрирование функций комплексного переменного
о г
z2dz = —
Зг
(ЗгJ
-0 = -9г.
Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления ин-
интегралов. Однако следует помнить о границах применимости этой
формулы: область аналитичности D функции f(z) должна быть
односвязной. В противном случае интеграл A7.2) может зависеть от
пути интегрирования, и тогда определяемая им функция Ф(г) будет
многозначной.
Для иллюстрации рассмотрим функцию f(z) = 1/z, аналитичес-
аналитическую всюду, кроме изолированной особой точки z = 0. Пусть D — ком-
комплексная плоскость с выброшенными точками отрицательной полу-
полуоси. Это односвязная область, и главная ветвь логарифма
In 2 = In \z\ + г argz, —тг < argz < тг,
является в области D первообразной функции 1/z (см. конец §11).
В D применима формула Ньютона-Лейбница, которая дает
f=ln<
= In г = In \z\ + iargz,
где интегрирование ведется по любой кривой, лежащей в D.
Рассмотрим теперь интеграл
A7.5)
вдоль произвольного пути Г, соединяющего точку 1 с точкой z и не
проходящего через 0 (рис. 35). В
частности, Г может обходить точ-
точку z = 0 любое (конечное) число
раз. Пусть ер — угол между радиус-
вектором точки (gF и осью ОХ.
Если ( = 1, то ip = 0. При движении
точки ( по пути Г угол ip будет непре-
непрерывно изменяться и достигнет зна-
значения arg z + 2тгп в конечной точке
z\ здесь п равно числу обходов на-
начала координат. Проведем вспомога-
вспомогательный путь Fi из? = 1в? = 2:, ле-
лежащий в D (на рис. 35 Fi показан
пунктиром). Пусть Г^~ — путь, совпа-
совпадающий с Fi, но проходимый в обрат-
Рис. 35
ном направлении. При движении по Г1 от z до 1 угол ip изменяется
на — argz, а при движении по Г от 1 до z — на aigz + 2тгп. Поэтому

§18. Интегральная формула Коши и ее следствия	89
при движении от z до z по пути Г^~ U Г угол ср изменится на 2тгп.
Отсюда следует, что путь Г^~ U Г можно непрерывно деформировать
в n-кратно проходимую окружность, не задевая при деформировании
точку 0 (на рис. 35 эта окружность показана пунктиром, а п = 2). Со-
Согласно формуле A6.6), при каждом обходе окружности интеграл от
функции 1/? изменяется на 2тгг (со знаком "+" или "—" в зависимости
от направления обхода). Поэтому
^ = 2тгга.
Следовательно,
откуда получаем
-г- = In z + 2тгш = Ln z.
С
Таким образом, интеграл A7.5) дает многозначную функцию Lnz.
§ 18. Интегральная формула Коши и ее следствия
Формула, которую мы намерены сейчас получить, выражает
фундаментальное свойство аналитических функций. Оказывается,
аналитическая функция f(z) в замкнутой области D вполне опреде-
определяется своими значениями на границе области: по граничным значе-
значениям такой функции можно восстановить ее значения всюду внутри
области.
Теорема 18.1. Пусть f(z) — аналитическая функция в замк-
замкнутой области D (односвязной или п-связнои). Тогда значение функ-
функции f(z) в любой внутренней точке z Е D выражается через ее зна-
значения /(?) в точках границы Г по следующей интегральной формуле
Коши:
г
Доказательство. Зафиксируем произвольную внутреннюю
точку z G D (рис. 36). Пусть 1\,..., Гп — контуры, ограничивающие
область D, и
r = Ti и...игп.
Возьмем произвольное число г > 0. Так как функция f(z) непрерывна
в точке 2, то найдется окружность 7 с центром в этой точке, лежащая

90
Гл. V. Интегрирование функций комплексного переменного
в D и такая, что
1/@ - f(z)\ < ? Для всех точек ( е 7-
A8.2)
Обозначим через р радиус окружности 75 можно считать, что и весь
КРУГ 1С - А < Р лежит в D. Направ-
Направление обхода окружности 7 зададим
против часовой стрелки; через 7~
будем обозначать ту же окружность,
но с обходом в противоположном на-
направлении (при движении по 7~ об-
область D остается слева).
Рассмотрим функцию
комплексного переменного (. Она
аналитична всюду в D, за исклю-
Рис. 36	чением точки ? = z. В частности,
аналитична в замкнутой области D*, получаемой из D выбрасы-
выбрасыванием круга \( — z\ < р. Область D* является (п + 1)-связной, ее гра-
граница состоит из контуров Pi,..., Гп, 7~2_ПРИ обходе которых D* оста-
остается слева. К функции ср(() и области D* применим формулу A6.5),
которая дает
f(()d(
-тч
Г„	7-
С — z
= 0,
откуда
ffiQdc [ f(C)dC , , f f(C)d( /-/(С)
J C-z J C-z +--- + J C-z J C-
A8.3)
Воспользуемся теперь формулой A5.7), которая при п = — 1 даст
Домножая на постоянный множитель f(z), получим
f(z)d(
Разделим левую и правую части равенства A8.3) на 2тгг и выч-
вычтем
1 f№dt f(,_ 1 /"/(C)dC frr4_ i f
/(С) -

§18. Интегральная формула Коши и ее следствия	91
В силу свойства 4° интеграла (§ 15) и неравенства A8.2) получаем
1 /"/(С)-.
J_ [MdC_
27riJ C-z
2тгг У ?* ^
р	^ 2тт р
1
Так как г может быть выбрано сколь угодно малым, а левая часть
в приведенных соотношениях не зависит от г, то она равна нулю, и
формула Коши A8.1) доказана.
Примечание. Формула Коши оказывается справедливой и в том
случае, если функция f(z) аналитична лишь внутри области Z), но являет-
является непрерывной в замкнутой области D. Мы не будем останавливаться на
доказательстве этого обобщения.
Интегральная формула Коши имеет многочисленные важные при-
применения.
Теорема 18.2. Функция f(z), аналитическая в замкнутой об-
области D, имеет в каждой внутренней точке z G D производные всех
порядков, которые выражаются по следующим формулам Коши для
производных:
?l ll^	« = W,---	A8-4)
Таким образом, из существования в некоторой области D пер-
первой производной функции f(z) следует существование всех ее про-
производных! В частности, производная аналитической функции таксисе
является аналитической функцией (поскольку, в свою очередь, име-
имеет производную). Это свойство существенно отличает дифференци-
дифференцируемые функции комплексного переменного от дифференцируемых
функций действительного переменного.
Происхождение формул A8.4) можно объяснить следующим обра-
образом. Продифференцируем обе части равенства A8.1) по z\ при диф-
дифференцировании по z функции /(()/(( — z), стоящей под знаком ин-
интеграла, величину ? следует считать постоянной:
(/со у = /(о (f(Q\"= 2/(c) (f(oVn)= »'/(с)
\C-zJz (С-*J' \C-zJz (С-*K' "'"' \(-z)z (C-*)n+1*
Из формулы A8.1) и найденных производных получается A8.4). Но
законность дифференцирования под знаком интеграла не обоснована.
Поэтому для читателя, не удовлетворенного (и справедливо!) приве-
приведенным выше объяснением, мы даем полное доказательство.

92	Гл. V. Интегрирование функций комплексного переменного
Доказательство теоремы 18.2. Докажем формулу A8.4)
вначале для п = 1. Зафиксируем произвольную внутреннюю точку z G D.
Пусть расстояние от z до границы Г равно S > 0. Возьмем приращение Az,
такое что \Az\ < д. Тогда точка z + Az также находится внутри D и для
нее справедлива формула Коши:
Отсюда и из A8.1) получаем
Д/ f(z + Az)-f(z)	1 [(_№_ /(C)W
~ dA-zJ{c-z-Az-—z)d(: =
f(Qd(
Az	Az	2iriAz J \( - z - Az
г
2тгг
r
Чтобы доказать равенство A8.4) при п = 1, оценим разность между Af/Az
и правой частью A8.4):
Д/_^ г /(С) dC _ 1 /•/	11
Дг 2mJ(C-zJ 2m J \(С - z - A
r (С-^J 2тггУ \(t-z-Az)(i-z)
/(C)dC
2ттг J (С - zJ(C - z - Az)'
Функция /(С) является аналитической, а значит, непрерывной и ограничен-
ограниченной на Г. Поэтому найдется такое число М, что |/(С)| < М при ? Е Г. Так
как |С ~ ^| > ?, то
Поэтому
Д1 ~ 2^i У (С - ^J ^ ^Г ' ^2(^ - |Аг|) J S~
(С-гJ	( ||)
Г	Г
где L — длина границы Г. При Az —»¦ 0 правая часть стремится к нулю.
Значит, предел отношения Af/Az при Az —»¦ 0 существует, и
A8.5)
г У^~*Г
Итак, формула A8.4) при п = 1 доказана. Применяя формулу A8.5) к оцен-
оценке отношения	—	и проводя аналогичные выкладки, придем
к A8.4) при п = 2 и т.д. Теорема 18.2 доказана.
Примечание. Любую гармоническую функцию в односвязной об-
области D можно рассматривать как действительную часть аналитической
в D функции (см. §7). Поэтому, согласно теореме 18.2, гармоническая функ-
функция имеет частные производные всех порядков, и эти производные, в свою
очередь, являются гармоническими функциями.

§18. Интегральная формула Коши и ее следствия	93
Теорема 18.3 (теорема о среднем). Пусть функция f{z) анали-
тична в замкнутом круге \z — zo\ ^ R радиуса R с центром z$. Тогда
ее значение в центре круга zo равно среднему арифметическому ее
значений на окружности \z — zq\ = R, т.е.
2тг
(zo + Reindv.	A8.6)
о
Доказательство. Применим формулу Коши A8.1) в част-
частном случае, когда D — замкнутый круг \z — zo\ ^ R, а Г — его граница
z — zo\ = R. Для точек ( границы справедливы следующие соотноше-
соотношения: С = z0 + Rei(p при 0 ^ <р ^ 2тг, d( = iRe^dcp. Формула A8.1) дает
2тг	2тг
о	о
что и требовалось доказать.
Задача. Докажите, что свойство, аналогичное A8.6), справед-
справедливо и для гармонических функций.
Теорема 18.4 (неравенства Коши для производных). Если
f(z) — аналитическая функция в замкнутом круге \z — zo\ ^ R, то
все ее производные в точке zo удовлетворяют неравенству
п = 1,2,3,...	A8.7)
где М — максимум модуля функции /(?) на окружности \( — zo\ =
= R.
Доказательство. Применяя формулу A8.4), получим
„ п\ М Л „ Мп\
п\ Г
2тгг У
(С - *о)^
г
и нужные неравенства доказаны.
Теорема 18.5 (теорема Лиувилля). Если функция f(z) являет-
является аналитической и ограниченной во всей комплексной плоскости С,
то f(z) тождественно равна постоянной.
Доказательство. Так как f(z) ограничена в С, то найдется
такое число М > 0, что \f(z)\ ^ М для всех z G С. Возьмем произ-
произвольную точку zo G С, и пусть Г — окружность | ? — 2о | = R радиуса R
М
с центром z0. Из формулы A8.7) при п = 1 получаем \f'(zo)\ ^ ^7-
н
Заметим, что в качестве R здесь можно взять любое положитель-
положительное число. Устремляя R к бесконечности, получим l/'^o)! = 0. Зна-
Значит, f'(zo) =0 в любой точке zo плоскости С. Отсюда следует, что
f(z) = С, и теорема Лиувилля доказана.

94	Гл. V. Интегрирование функций комплексного переменного
Если f(z) аналитична в односвязной области D, то, согласно тео-
теореме 16.1 (Коши), интеграл от f(z) по любому замкнутому конту-
контуру, лежащему в D, равен нулю. Следующая теорема показывает, что
справедливо и обратное утверждение.
Теорема 18.6 (теорема Морера). Пусть однозначная функ-
функция f(z) непрерывна в односвязной области D и интеграл от f(z)
по любому замкнутому контуру, лежащему в D, равен нулю. Тогда
f(z) — аналитическая функция в D.
Доказательство. Зафиксируем некоторую точку zq Е D и
возьмем произвольную точку z Е D. Поскольку для любого замкну-
замкнутого контура Г, лежащего в D, / f(z) dz = 0, то интеграл
г
не зависит от пути, идущего от z$ к z и лежащего в D (этот факт дока-
доказывается точно так же, как и следствие 16.3). Поэтому интеграл A8.8)
определяет однозначную функцию Ф(г) переменного z Е D. Без изме-
изменения повторяя рассуждение из доказательства теоремы 17.1 полу-
получим, что Ф(г) является аналитической функцией в D и Ф'(^) = f(z).
Но производная аналитической функции есть также аналитическая
функция (см. теорему 18.2). Тем самым аналитичность функции f(z)
доказана.
Интегральная формула Коши A8.1) и формула A8.4) применяют-
применяются для вычисления интегралов по замкнутым контурам, охватываю-
охватывающим особые точки функции f(z).
Пример 18.7. Вычислить интеграл
sinz ,
г
где Г — окружность с центром г радиуса 2.
Решение. Поскольку
то подынтегральная функция имеет две особые точки =Ь2г, причем
точка 2г лежит внутри контура Г (сделайте чертеж:!). Представим
интеграл в виде
sinz
f	sinz	,	f z + 2i i
/ 7	Г7	rCLZ = / 	dZ.
J (z-2i)(z + 2i)	J z-2%

§18. Интегральная формула Коши и ее следствия	95
Функция f(z) = 	— является аналитической в замкнутом круге,
ограниченном контуром Г. Поэтому применима формула A8.1), в ко-
которой z = 2г, а переменное ( обозначено через z:
sinz
_o_.-sinB0_
¦2г
Пример 18.8. Вычислить интеграл
ezdz
(z - 2L
г
по окружности \z\ = 3.
Решение. Точка z = 2 находится внутри круга \z\ < 3, а функ-
функция f(z) = ez аналитична в замкнутом круге \z\ ^ 3 (она аналитична
даже во всей плоскости С). По формуле A8.4) при п = 3 имеем
[ e4z = f
J {z-2Y J
Г	Г
f(z)dz _ 2тгг w///9\ _ 27ri 2_^ 2
(z-2Y~ 3! J l j " 3! " 3

Глава VI
РЯДЫ
§ 19. Числовые ряды
Пусть задана последовательность комплексных чисел zn = хп +
+ iyn-> /1 = 1,2,... Числовым рядом называется выражение вида
ОО
Z! + Z2 + . . . + Zn + . . . = ^ Zn-	A9.1)
п=1
Числа zi,Z2,... называются членами ряда. Отметим, что выраже-
выражение A9.1), вообще говоря, нельзя рассматривать как сумму, посколь-
поскольку невозможно выполнить сложение бесконечного числа слагаемых.
Но если ограничиться конечным числом членов ряда (например,
взять первые п членов), то получится обычная сумма, которую мож-
можно реально вычислить (каково бы ни было п). Сумма Sn первых
п членов ряда называется п-й частичной {частной) суммой ряда:
п
Sn = 2i + Z2 + . . . + Zn = ^ Zk-
k=l
Ряд A9.1) называется сходящимся, если существует конечный пре-
предел n-х частичных сумм при п —У оо, т.е. существует
lim Sn = S.
п—>-оо
Число S называется суммой ряда. Если lim Sn не существует или
п—>-оо
равен оо, то ряд A9.1) называется расходящимся.
Тот факт, что ряд A9.1) сходится и его сумма равна 5, записыва-
записывается в виде	оо
с — V^
О — / ,*п-
71=1
Эта запись не означает, что были сложены все члены ряда (это сде-
сделать невозможно). В то же время, сложив достаточно много членов
ряда, можно получить частичные суммы, сколь угодно мало откло-
отклоняющиеся от S.
Следующая теорема устанавливает связь между сходимостью ряда
с комплексными членами zn = хп + гуп и рядов с действительными
членами хп и уп.

§19. Числовые ряды	97
Теорема 19.1. Для сходимости ряда A9.1) необходимо и до-
ОО	ОО
статочно, чтобы сходились два ряда J2 хп и J2 Уп с действитель-
оо
ними членами. При этом для равенства ^2 zn = а + ir необходимо
71=1
ОО	ОО
и достаточно, чтобы ^2 хп = а, ^2 уп = т.
п—1	п—1
Доказательство. Введем обозначения для частичных сумм
рядов:
Sn = zi + z2 + ... + zn\
(Уп = Xi + X2 + . . . + Xn; Tn = yx + ?/2 + • • • + Уп-
Тогда Sn = an + irn. Воспользуемся теперь теоремой 4.1 из §4: для
того чтобы последовательность Sn = оп + гтп имела предел S =
= а + гг, необходимо и достаточно, чтобы последовательности {ап}
и {тп} имели предел, причем lim оп = о, lim тп = г. Отсюда и сле-
п—>-оо	п—>-оо
дует нужное утверждение, поскольку существование пределов по-
последовательностей {Sn}, {o~n} и {тп} равносильно сходимости рядов
ОО	ОО	ОО
^2 zn, Е жп и ^2 Уп соответственно.
п=1	п=1	п=1
С помощью теоремы 19.1 многие важные свойства и утверждения,
справедливые для рядов с действительными членами, сразу перено-
переносятся на ряды с комплексными членами. Перечислим некоторые из
этих свойств.
ОО
1°. Необходимый признак сходимости. Если ряд ^2 zn сходится,
71=1
то lim zn = 0. (Обратное утверждение неверно: из того что lim zn =
п—>-оо	п—>-оо
ОО
= 0, не следует, что ряд ^2 zn сходится.)
71=1
ОО	ОО
2°. Пусть ряды ^2 zn и Е wn с комплексными членами сходятся
га=1	п=1
ОО
и их суммы равны S и сг соответственно. Тогда ряд J^ (zn + wn) тоже
71=1
сходится и его сумма равна S + а.
ОО
3°. Пусть ряд ^2 zn сходится и его сумма равна S. Тогда для
71=1
ОО
любого комплексного числа Л ряд ^2 (^zn) тоже сходится и его сумма
71=1
равна XS.
4°. Если отбросить или добавить к сходящемуся ряду конечное
число членов, то получится также сходящийся ряд.
ОО
5°. Критерий сходимости Коши. Для сходимости ряда ^2 zn
71=1
7 В.Я. Эйдерман

Гл. VI. Ряды
необходимо и достаточно, чтобы для любого числа г > 0 существо-
существовало такое число N (зависящее от е), что при всех п > N и при всех
п+р
р ^ 0 выполнено неравенство
zk
к=п+1
Так же как и для рядов с действительными членами, вводится
понятие абсолютной сходимости.
ОО
Ряд ^2 zn называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
п=1
п=1
ОО
составленный из модулей членов данного ряда ^ zn.
п=1
оо	оо
zn|, то ряд ^ zn также
п=1	п=1
Теорема 19.2. Если сходится ряд
сходится.
(Другими словами, если ряд сходится абсолютно, то он сходится.)
Доказательство. Поскольку критерий сходимости Коши
применим к рядам с произвольными комплексными членами, то он
применим, в частности, и к рядам с действительными членами. Возь-
(X)
мем произвольное е > 0. Так как ряд ^ \zn\ сходится, то в силу кри-
п=1
терия Коши, примененного к этому ряду, найдется такое число JV, что
при всех п > N и при всех р ^ 0
п-\-р
k=n+l
В § 1 было показано, что |2 + w| ^ \z\ + \w\ для любых комплексных
чисел z и w; это неравенство легко распространяется на любое конеч-
конечное число слагаемых. Поэтому
п+р
k=n+l
%п+1 + zn+2
n+p
Итак, для любого е > 0 найдется число TV, такое что при всех п >
> N и при всех р ^ 0 выполнено неравенство
п+р
Е
k=n+l
< г. Соглас-
Согласно критерию Коши, ряд ^ zn сходится, что и требовалось доказать.
п=1

§19. Числовые ряды	99
Из курса математического анализа известно (см., например, [7, т. 2.
Гл. XVI, §2]), что утверждение, обратное теореме 19.2, неверно даже
для рядов с действительными членами. А именно: из сходимости ряда
не следует его абсолютная сходимость.
оо
Ряд ^2 zn называется условно сходящимся, если этот ряд сходит-
71=1
ОО
ся, а ряд ^2 \zn\, составленный из модулей его членов, расходится.
71=1
ОО
Ряд ^2 \zn\ является рядом с действительными неотрицательны-
71=1
ми членами. Поэтому к этому ряду применимы признаки сходимости,
известные из курса математического анализа. Напомним без доказа-
доказательства некоторые из них.
Признаки сравнения. Пусть числа zn и wn начиная с
некоторого номера N удовлетворяют неравенствам \zn\ ^ \wn\, n =
= N, 7V + 1,... Тогда:
оо	оо
1)	если ряд ^2 \wn\ сходится, то и ряд ^2 \zn\ сходится;
п=1	п=1
оо	оо
2)	если ряд ^2 \zn\ расходится, то и ряд ^2 \wn\ расходится.
п=1	п=1
Признак Даламбера. Пусть существует предел
I I
lim n+ = I.
га-Юо \zn\
Тогда:
оо
если I < 1, то ряд ^2 zn сходится абсолютно;
п=1
оо
если I > 1, то ряд ^2 zn расходится.
п=1
При I = 1 признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
"Радикальный" признак Кош и. Пусть существует
предел lim \/\z~A = I. Тогда:
п—^оо
оо
если I < 1, то ряд Yl zn сходится абсолютно;
п=1
оо
если I > 1, то ряд ^2 zn расходится.
п=1
При I = 1 признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
Пример 19.3. Исследовать сходимость рядов
^	оо
coszn	^ч ^-^ cos(z + п)
7*
71=1	71=1

100	Гл. VI. Ряды
Решение, а) По определению косинуса (см. A2.2))
е~п + еп еп
cosin = _—>_.
Поэтому
cosm еп	1 (е
2™	2-2™ 2V2
ОО
оо ^ /е\п
Применим признак Даламбера к ряду ^2 о ( о ) :
п=1 2^2'
~ п^о 2 V2/ / 2 V2/ ~ 2
оо -^ /е\п
Значит, ряд ^2 о ( о ) расходится. (Расходимость этого ряда следует
п=1 2 V2/
такж:е из того, что его члены не стремятся к нулю и, следователь-
следовательно, необходимое условие сходимости не выполнено. Можно восполь-
воспользоваться и тем, что члены ряда образуют геометрическую прогрессию
оо
со знаменателем q = е/2 > 1.) По признаку сравнения ряд ^2 Оп
п=1 2?г
также расходится.
б) Покажем, что величины cos (г + п) ограничены одним и тем же
числом. Действительно,
| cos(i + п) | = | cos i cos n — sin i sin n\ ^
cos г11 cosn| + | sin г11 sinn| ^ | cos г| + | sin г
= М,
где М — положительная постоянная. Отсюда
cos(z + п)
Ряд ^2 ~^ сходится. Значит, по признаку сравнения, ряд
п=1 2?г
| cos(z + п)
п=1
гл	^ COS(Z + П)
такж:е сходится. Следовательно, исходный ряд 2^ 	~^— сходится
п=1 2П
абсолютно.
оо	оо
Ряд ^2 zk-> полученный из ряда ^2 zk отбрасыванием первых п
к=п+1	к=1
оо
членов, называется остатком (п-м остатком) ряда ^2 zk- В случае
k=l
сходимости так же называется и сумма
rn=
k=n+l

§20. Функциональные ряды	101
Легко видеть, что S = Sn + rn, где S — сумма, a Sn — частичная сумма
ОО
ряда ^2 zk- Отсюда сразу следует, что если ряд сходится, то его
k=l
п-й остаток стремится к пулю при п —> оо. Действительно, пусть
ОО
ряд Yl zk сходится, т.е. lim Sn = S. Тогда lim rn = lim (S — Sn) =
h—\	n—>-oo	n—>-oo	n—>-oo
= 5 - = 0.
§ 20. Функциональные ряды
Функциональным рядом называется выражение вида
(X)
h(z) + h(z) + ... + fn(z) + -.. =
п=1
где fi(z), /2B:),... — функции, определенные в некоторой области D
(одной и той же всех функций fn(z)).
Зафиксировав точку z G D, мы получим числовой ряд. Этот ряд
может в одних точках сходиться, в других расходиться. Если в точ-
точке z ряд сходится (расходится), то z называется точкой сходимости
(соответственно, точкой расходимости) ряда. Множество всех то-
(X)
чек z из области D, в которых ряд ^2 fn(z) сходится, называется
71=1
множеством сходимости функционального ряда. Для каждой точ-
точки z из множества сходимости определена сумма S(z) ряда B0.1).
Таким образом, сумма S(z) ряда B0.1) является функцией, опреде-
определенной на множестве сходимости этого ряда.
Пусть ряд B0.1) сходится во всех точках области D.
Ряд B0.1) называется равномерно сходящимся в области D к
функции S(z), если для любого числа г > 0 найдется такой номер N,
зависящий от г, что для всех п > N и всех точек z G D выполнено
п
неравенство \S(z) — Sn(z)\ < г, где Sn(z) = J^ fk(z) — частичная сум-
k=i
ма ряда B0.1).
Поясним смысл этого определения. Пусть задано сколь угодно ма-
малое число г > 0 — допустимое отклонение частичных сумм от сум-
суммы S(z), и пусть ряд B0.1) сходится равномерно. Тогда, сложив
достаточно большое число п членов ряда, мы получим частичную
сумму Sn(z), которая отклоняется от S(z) не более чем на е сра-
сразу во всех точках z из D. Это и означает, что приближение сум-
суммы S(z) частичными суммами Sn(z) происходит равномерно во всей
области D.
Если функциональный ряд сходится в области D, то вовсе не обя-
обязательно, что он сходится в D равномерно.

102
Гл. VI. Ряды
Пример 20.1. Рассмотрим ряд
B0.2)
k=o
члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменате-
знаменателем q — z. По формуле для суммы первых п членов геометрической
прогрессии имеем
п — 1
h l~zn
Если
к=0
< 1, то существует предел
S(z) = lim Sn(z) = lim
n>oo	n>oo
n—>-oo 1 —
Таким образом, ряд B0.2) сходится в круге \z\ < 1, и его сумма S(z) =
_ 1
~ 1-z'
Исследуем, будет ли этот ряд сходиться равномерно. Зафиксируем
некоторое е > 0. Если ряд сходится равномерно, то найдется такое JV,
что при п > N выполняется неравенство \S(z) — Sn(z)\ < s для всех z
из круга \z\ < 1. Так как
B0.3)
1-z
то должно выполняться неравенство
< е при |z| < 1. Но, ка-
каково бы ни было значение п, мы можем настолько приблизить точ-
1-z
zn
1-z
1 — z
ку z к 1, что величина
1 -
станет сколь угодно большой и, в
частности, превысит г. Таким образом, ни при каком п неравенст-
неравенство \S(z) — Sn(z)\ < г не будет выполняться для всех z из единич-
единичного круга и, следовательно, равномерной сходимости в этом кру-
круге нет.
В то же время в любом круге \z\ < г радиуса г < 1 ряд B0.2) будет
сходиться равномерно. Это следует из того, что в силу B0.3)
\S(z)-Sn(z)\ =
1-
Z < Г.
1-И ^ 1-г'
Проведите дальнейшее подробное рассуждение самостоятельно.
Теорема 20.2 (признак равномерной сходимости Вейерштрас-
(X)
са). Если прип > N члены ряда Yl fn(z) удовлетворяют неравенст-
п~	оо
вам \fn(z)\ ^ CLn во всех точках z из области D и ряд ^2 ап схо-
(X)	П~
дится, то ряд ^2 fn(z) сходится в D абсолютно и равномерно.
71=1

§20. Функциональные ряды	103
Доказательство. Абсолютная сходимость ряда B0.1) выте-
вытекает из первого признака сравнения (§ 19). Для доказательства рав-
ОО
номерной сходимости возьмем произвольное е > 0. Так как ряд ^2 ak
ОО
сходится, то его n-й остаток тп— ^2 ak стремится к нулю при п —у
k=n+l
—у оо (§ 19). Поэтому найдется такое К > N, что при п > К будет
гп < е. Используя неравенства |/а;(^)| ^ а/., верные при всех к > К,
получаем
\S(z) - Sn(z)\ = \fn+1(z) + fn+2(z) + ... | ^
^ \fn+i(z)\ + \fn+2(z)\ + ... ^ an+i + an+2 + ... = rn < e.
Итак, для любого г > 0 найдется такое число К, что для всех п > К
и всех точек z из D будет \S(z) — Sn(z)\ < г. Это и означает, что ряд
(X)
S /п(^) сходится в D равномерно. Теорема 20.2 доказана.
71=1
(X)
Ряд ^2 ап называется мажорирующим рядом для ряда
71=1
(X)
71=1
Перейдем к изложению основных свойств равномерно сходящихся
рядов.
Теорема 20.3. Если члены ряда B0.1) являются функциями,
непрерывными в области D, и ряд B0.1) сходится в этой области
равномерно, то его сумма S(z) также непрерывна в D.
Доказательство. Возьмем произвольное число е > 0 и точ-
точку zo из D. Так как ряд B0.1) сходится в D равномерно, то найдется
такое число N, что при всех п > N будет \S(z) — Sn(z)\ < е/3 для лю-
любой точки z G D. Зафиксируем одно из таких значений п. Частичная
сумма Sn(z) является суммой конечного числа непрерывных функ-
функций и, следовательно, непрерывна в D. Поэтому найдется такое число
S > 0, что при \z — zo\ < S выполнено неравенство \Sn(z) — Sn(zo)\ <
< г/3. Учитывая, что \Sn(z0) - S(zo)\ = \S(z0) - Sn(z0)\ < е/3, полу-
получаем
\S(z)-S(zo)\ =
= \(S(z) - Sn(z)) + (Sn(z) - Sn(z0)) + (Sn(z0) - S(zo))\ <
< \S(z) - Sn(z)\ + \Sn(z) - Sn(z0)\ + \Sn(z0) - S(zo)\ <
Итак, для любого г > 0 найдется такое S > 0, что для всех точек z,
удовлетворяющих условию \z — zq\ < 5, будет \S(z) — S(zq)\ < г. Это

104	Гл. VI. Ряды
и означает, что функция S(z) непрерывна в точке zo (см. §5). Так
как zo — любая точка из D, то S(z) непрерывна в D, что и требовалось
доказать.
Известно, что конечная сумма непрерывных функций является
непрерывной функцией. Теорема 20.3 показывает, что аналогичное
свойство сохраняется и для равномерно сходящихся рядов. Можно
показать, что если сходимость не равномерная, то это свойство, вооб-
вообще говоря, не имеет места.
Теперь перенесем на равномерно сходящиеся ряды следующее
свойство: интеграл от конечной суммы функций равен сумме инте-
интегралов от этих функций.
Теорема 20.4. Если члены ряда B0.1) непрерывны в области D
и ряд B0.1) равномерно сходится в этой области к функции S(z), то
его можно почленно интегрировать вдоль любой кривой Г, целиком
лежащей в области D, т.е.
J'S{z)dz = jh(z)dz + f h{z)dz + ... = Y, jUz)dz. B0.4)
Г	Г	Г	n=1 Г
Доказательство. По теореме 20.3 функция S(z) непрерыв-
непрерывна. Поэтому интеграл / S(z) dz существует. Докажем равенство
B0.4). Пусть
ап = ^2 fk(z)dz
k=iJr
— частичная сумма проинтегрированного ряда. Нужно доказать, что
lim ап = / S(z) dz.
п—>-оо	р
Так как интеграл от конечной суммы функций равен сумме инте-
интегралов от этих функций, то
an = ^ffk(z)dz = J(^fk(z))dz = Jsn(z)dz,
k=lr	г V/e=l	У	г
где Sn(z) — частичная сумма ряда B0.1). Пусть I — длина кривой Г.
Возьмем произвольное е > 0. В силу равномерной сходимости ря-
ряда B0.1) найдется такое число N, что \S(z) — Sn(z)\ < e/l при п > N
и всех z из D. Для таких п имеем
S(z)dz-an\ = |У S(z)dz- JSn(z)dz\ = \f(S(z)-Sn(z))d
г	г	г	г
^ J\S(z)-Sn(z)\\dz\ <jf\dz
г	г

§20. Функциональные ряды	105
(мы воспользовались свойством 4° интеграла из § 15). Итак, для лю-
любого г > 0 найдется такое N, что при п > N выполнено неравен-
/ S(z) dz - ап
ство
г
сти получаем, что
< г. По определению предела последовательно-
lim ап—\ S(z) dz,
п—>-оо	J
Г
а это и означает справедливость равенства B0.4).
Нам понадобится еще одно простое свойство.
Замечание 20.5. Если ряд B0.1) равномерно сходится в об-
области D к функции S(z), а функция g(z) ограничена в D, то ряд
ОО
Z) 9(z)fn(z) равномерно сходится в D к функции g(z)S(z).
га=1
Доказательство. Ограниченность функции g(z) означает
существование такого числа М > 0, что \g(z)\ < М для любого z G
п	п
е D. Пусть Sn(z) = Е fk(z), °n(z) = Е g(z)fk(z) — частичные сум-
мы изучаемых рядов. Очевидно, что
an(z)=g(z)J2fk(z)=g(z)Sn(z).
k=l
Возьмем любое г > 0. Так как ряд B0.1) сходится равномерно, то
найдется такое число N , что \S(z) — Sn(z)\ < г/М при п > N и всех
z G D. Отсюда
\g(z)S(z) - an(z)\ = \g(z)S(z) - g(z)Sn(z)\ = \g(z)(S(z) - Sn(z))\ =
= \g(z)\.\S(z)-Sn(z)\<M.^=e.
По определению равномерной сходимости получаем, что ряд
71=1
равномерно сходится к g(z)S(z), что нам и требовалось.
Теоремы 20.2-20.4 и замечание 20.5 справедливы не только для
рядов, сходящихся в области, но и для рядов, равномерно сходящихся
на кривой. Доказательства в этом случае остаются прежними.
В указанных утверждениях не требуется, чтобы функции fn(z), со-
составляющие ряд B0.1), являлись аналитическими в области D . Но ес-
если, помимо равномерной сходимости ряда B0.1), предположить еще и
аналитичность функций fn(z), то такой ряд будет обладать важными
дополнительными свойствами, не имеющими места для равномерно
сходящихся рядов из дифференцируемых функций действительного
переменного.

106	Гл. VI. Ряды
Теорема 20.6 (теорема Вейерштрасса о сумме равномерно схо-
сходящегося ряда). Пусть ряд ^
Е'»(*)>
71=1
составленный из аналитических в области D функций fn(z), равно-
равномерно сходится в D. Тогда его сумма S(z) таксисе аналитична в D,
причем для любого натурального к ряд
оо
71=1
полученный почленным к-кратным дифференцированием исходного
ряда, будет сходиться в D к функции S^k\z) (другими словами, ряд
оо
Z) fn(z) можно почленно дифференцировать любое число раз).
71=1
Доказательство. Пусть z$ — произвольная точка из D. Так
как область D является открытым множеством (см. §3), то найдется
окрестность U точки zo (т.е. некоторый круг с центром в точке zo),
целиком лежащая в D. Возьмем некоторый замкнутый контур Г, ле-
лежащий в U (рис. 37). Так как по усло-
гу ^^^	х	вию ряд B0.1) равномерно сходится в
D, то тем более он равномерно сходит-
сходится и в U. Поскольку функции fn(z) ана-
литичны, то они и непрерывны в D и
в U. Поэтому применима теорема 20.4,
согласно которой
n=l р
z- 37	Так как функции fn(z) аналитичны
в U, то по теореме 16.1 (Коши) все интегралы в правой части равны
нулю. Следовательно, равен нулю и интеграл / S(z)dz. Итак, функ-
г
ция S(z) по теореме 20.3 непрерывна в односвязной области U и ин-
интеграл от S(z) по любому замкнутому контуру, лежащему в U, равен
нулю. По теореме 18.6 Морера S(z) является аналитической функ-
функцией в U. В частности, S(z) аналитична в точке zq. Поскольку z$
выбиралось произвольно, то S(z) будет аналитической функцией во
всей области D.
оо
Покажем теперь, что ряд ^2 fn(z) можно почленно дифференци-
71=1
ровать. Обозначим через г радиус круга U, а через 7 ~~ ег0 границу,
т.е. окружность \z — zq\ —т. Рассмотрим функцию
гг (z - zo)k
k+1'

§21. Степенные ряды	107
При z G 7 будет
, , Ч| к\	1	к\
luy л 2тг |^-^o|fc+1 27rrfc+1'
оо
Поэтому ^(z) является ограниченной на 7- Так как ряд ^2 fn(z)
71=1
номерно сходится на 7 K функции 5(z), то в силу замечания 20.5 ряд
71=1
равномерно сходится на j к функции g(z)S(z), т.е.
fc! S(z) _ ^ fc! /„(*)
2тгг (г - zo)k+1 ^ 2ттг (г - zo)k+1'
П=1
В силу равномерной сходимости последнего ряда его можно почленно
интегрировать по окружности 75 т-е-
_fe!_ f S(z)dz _ v^ _fc|_ /" U(z)dz	, ,
2тгг 7 (г - го)^1 ^ 2ттг J (z - зд)^1'	У '
7	n=1	7
По формуле A8.4) Коши для производных
w	k\ f f(z)dz
f {Z°>	TJ
7
Применяя эту формулу к каждому из интегралов в B0.5) получим
71=1
ОО
Поскольку zo — произвольная точка области D, то ряд ^2 fn(z) мож-
п=1
но почленно дифференцировать любое число раз в каждой точке z
из D, что и требовалось доказать.
§21. Степенные ряды
Степенным рядом называется ряд вида
cn(z - zo)n = со + ci(* - z0) + c2(z - z0J + ... + cn(z - zo)n + ...,
n=0
B1.1)
где zo, Co, ci,... — заданные комплексные числа, a z — комплексное
переменное. Числа co,ci,... называются коэффициентами, a zo —
центром степенного ряда.

108
Гл. VI. Ряды
Степенные ряды являются, очевидно, частным случаем функци-
функциональных рядов; они играют исключительно важную роль в теории
функций. Представление о множестве сходимости степенного ряда да-
дает следующая теорема.
Теорема 21.1 (теорема Абеля). 1. Если степенной ряд B1.1)
сходится в некоторой точке z\ и z\ ф zo, то он абсолютно сходит-
сходится при любом z, удовлетворяющем неравенству \z — zo\ < \z\ —
{т.е. внутри окружности с центром
(рис. 38).
o, проходящей через точку z\
Ряд расходится
Рис. 38
2. Если ряд B1.1) расходится в некоторой точке Z2, то он расхо-
расходится при всех z, удовлетворяющих неравенству \z — zo\ > \z^ — z§\
(т.е. вне окружности с центром zo, проходящей через z^).
оо
Доказательство. 1. Пусть ряд ^2 cn(z\ — zo)n сходится. По
необходимому признаку сходимости lim cn(z\ — zo)n = 0. Посколь-
п—>-оо
ку всякая последовательность, имеющая предел, ограничена, то най-
найдется такое число М > 0, что \cn(z\ — zo)n\ ^ М, п = 0,1, 2,... Возь-
Возьмем любую точку z, для которой \z — zo\ < \z\ — Zo|, и положим q =
= \z — zq\/\zi — zq\. Очевидно, что 0^<1и
\cn(z-zo)n\ = \cn(z-zo)n
= \cn(Zl-zo)n\
Z\ — Zo
(мы воспользовались тем, что модуль произведения комплексных чи-
чисел равен произведению их модулей: l^ii^l = \w\\ • I^D-
оо
Итак, \cn(z - zo)n\ ^ Mqn. Поскольку \q\ < 1, то ряд Yl Mqn cxo-
дится (его члены образуют бесконечно убывающую геометрическую
оо
прогрессию). По признаку сравнения (см. §19) ряд ^2 \cn(z — zo)\n
тоже сходится, и первая часть теоремы доказана.

§21. Степенные ряды	109
2. Для доказательства второй части можно было бы провести
аналогичное рассуждение. Но мы поступим проще, выведя нужное
утверждение из уже доказанного предыдущего. Будем рассуждать от
противного. Предположим, что утверждение 2 теоремы неверно, т.е.
ряд B1.1) расходится в точке #2, и при этом найдется точка z1', удо-
удовлетворяющая неравенству \z' — zo\ > \z<± — ?о|, в которой ряд B1.1)
сходится. Но если ряд B1.1) сходится в точке z1', то в силу первой
части теоремы он должен сходиться и в любой точке z, удовлетво-
удовлетворяющей неравенству \z — zo\ < \z' — zq\. В частности, он должен схо-
сходиться в точке #2, что противоречит условию. Значит, наше пред-
пол ожение о том, что ряд B1.1) сходится в некоторой точке z'', для
которой \z' — zo\ > \z2 — zo\, является неверным, т.е. во всех точках,
удовлетворяющих указанному неравенству, ряд B1.1) расходится, что
и требовалось доказать.
Пользуясь теоремой Абеля, рассмотрим подробнее геометрические
свойства множества сходимости степенного ряда. Возьмем некоторый
луч, исходящий из точки zq. Прежде всего отметим, что в самой точ-
точке Zo ряд B1.1) всегда сходится. Действительно, подставляя в B1.1)
z = 2о, видим, что все члены ряда, начиная со второго, обращаются
в нуль. Рассмотрим сходимость ряда в точках луча, отличных от zq.
Возможны три случая.
1.	Ряд B1.1) сходится во всех точках луча. Тогда он сходится и во
всей плоскости. Действительно, так как ряд сходится в любой точке z\
луча, сколь угодно далеко отстоящей от zo, то по теореме Абеля он
сходится и внутри окружности сколь угодно большого радиуса с цен-
центром в zo (см. рис. 38). Поэтому ряд будет сходиться во всех точках
плоскости.
2.	Ряд B1.1) расходится во всех точках луча, отличных от zq. В
этом случае ряд расходится и во всех точках плоскости, кроме точ-
точки zo. Действительно, из расходимости ряда в любой точке z<± ф zo
луча, сколь угодно близкой к zo, следует расходимость ряда и вне
окружности сколь угодно малого радиуса с центром в zo (см. рис. 38).
Поэтому любая точка плоскости, кроме точки zo, будет точкой расхо-
расходимости ряда.
3.	На луче имеются как точки сходимости, отличные от zq, так
и точки расходимости. Из теоремы Абеля следует, что всякая точка
сходимости находится ближе к zo, чем всякая точка расходимости.
Поэтому все точки луча разделятся на две группы следующим обра-
образом: на промежутке от zo до некоторой точки z* расположатся точки
сходимости, а после точки z* (при движении по лучу от zq) — точки
расходимости. Сама точка z* может являться как точкой сходимо-
сходимости, так и точкой расходимости. По теореме Абеля ряд B1.1) абсо-
абсолютно сходится в каждой внутренней точке круга \z — zo\ < \z* — zo\,
ограниченного окружностью с центром zo, проходящей через точ-
точку z*, и ряд B1.1) расходится в каждой внешней точке этого круга.

по
Гл. VI. Ряды
Круг \z — zo\ < \z* — zo\ называется кругом сходимости степенного
ряда B1.1), а радиус этого круга — радиусом сходимости. На окруж-
окружности \z — zo\ = \z* — zo\ могут располагаться как точки сходимости,
так и точки расходимости.
Понятие круга и радиуса сходимости можно обобщить также и на
случаи 1, 2, рассмотренные выше. Если ряд сходится при всех z, то
полагают R = оо; тогда круг сходимости совпадает со всей (конечной)
комплексной плоскостью. Если ряд сходится только в точке zo, то
полагают R = 0; тогда круг сходимости вырождается в точку zq.
Таким образом, множеством сходимости степенного ряда B1.1)
всегда является внутренность круга с центром в точке z$ с воз-
возможным добавлением некоторых или всех точек на его границе.
Этот круг может заполнять всю плоскость или вырождаться в
точку zq.
Во многих случаях круг и радиус сходимости можно найти, ис-
используя признак Даламбера или радикальный признак Коши
(см. § 19). Применим вначале к ряду B1.1) признак Даламбера в пред-
предположении, что соответствующий предел существует:
cn+i(z - zo)n+1 _ .. cn+1(z-z0) _ „	, ,. |cn4
lim
П—YOO
= lim
П—YOO
n(z - Z0)n
Определим число R равенством
й=1
z- z0
lim
П—YOO
1 + 1 I
lim
n—>-oo
\cn
+ 1
\cn
= 1.
B1.2)
Тогда \z — zo\/R = l. По признаку Даламбера при I < 1 ряд B1.1) схо-
сходится, а при I > 1 расходится. Отсюда следует, что при \z — zo\ < R
ряд сходится, а при \z — zo\ > R расходится. Поэтому число R, опре-
определенное в B1.2), является радиусом сходимости ряда.
Аналогичное рассуждение и применение радикального признака
Коши дают формулу	.
R = 1 / lim ^/Щ.	B1.3)
Итак, радиус сходимости степенного ряда можно найти по фор-
формулам B1.2), B1.3) при условии, что фигурирующие в них пределы
существуют. Но можно и не запоминать эти формулы, а применять
указанные признаки непосредственно.
Пример 21.2. Найти круг сходимости ряда
! + * + ? + ... + ? + ... = ??:.	B1.4)
п=0
Решение. Применим признак Даламбера:
lim
(n + 1)!
= lim
(n+1)!;
= lim
n + 1
для любого z. Значит, I = 0 < 1 для каждого z G С Поэтому ряд B1.4)

§21. Степенные ряды
111
абсолютно сходится во всей комплексной плоскости С; в этом случае
радиус сходимости R = оо.
Пример 21.3. Найти круг сходимости ряда
z + 2\z2
п=0
lim
п—>-оо
Решение. Опять воспользуемся признаком Даламбера:
О, если
lim (га + 1) =
оо, если
B1.5)
= О,
ф 0.
Таким образом, если z = 0, то / = 0 < 1, и ряд B1.5) сходится; ес-
ли 2; / 0, то Z = оо > 1, и ряд B1.5) расходится. Следовательно, круг
сходимости вырождается в единственную точку z = 0, а радиус схо-
сходимости R = 0.
Пример 21.4. Найти множество сходимости ряда
B1.6)
71=1
Решение. По признаку Даламбера
lim
(z-2)n+1 m (z-2)n
(n+1J
= lim
(z - 2)n2
(n+1J
= \z-2
lim ( -
п—)-оо \7
Значит, при |z — 21 = / < 1 ряд B1.6) абсолютно сходится, а при
z — 21 = I > 1 расходится. Поэтому кругом сходимости является круг
z — 2| < 1 с центром zo = 2 и радиусом Д = 1.
Исследуем сходимость на его границе, т.е. на окружности \z — 2 =
= 1. В точках окружности имеем
Ряд ^2 ~ сходится (см. [7, т. 2. С. 260]). Значит, во всех точках грани-
границы круга сходимости ряд B1.6) также будет абсолютно сходящимся,
и множеством его сходимости является замкнутый круг \z — 2| ^ 1.
оо
Задача. Покажите, что кругом сходимости ряда ^2 (z — 2)п
71=1
также является круг \z — 2| < 1, но при этом в каждой точке окруж-
ности
z — 2| = 1 ряд будет расходящимся.
Примеры 21.2-21.4 показывают, что все три случая, разобранные
выше (а именно R = oo,R = 0n0<R< оо), могут иметь место.

112
Гл. VI. Ряды
Отметим основные свойства степенных рядов.
Свойство 21.5. Ряд B1.1) сходится абсолютно и равномерно
в любом круге \z — zo\ < r < R, лежащем внутри круга сходимости.
Доказательство. Если \z — zo\ < г < R, то существует точ-
точка 2i, такая что
- zo
R
Рис. 39
(рис. 39). Следовательно,
\cn(z - zo)n\ < \cn(Zl - zo)n\.
Так как точка z\ лежит внутри кру-
ОО
га сходимости, то ряд ^2 \сп(%1 — zo)n\
сходится. По теореме 20.2 (признаку
ОО
Вейерштрасса) ряд ^2 cn(z — %о)п аб-
солютно и равномерно сходится в кру-
круге \z — zo\ < г, что и требовалось дока-
доказать.
Свойство 21.6. Сумма S(z) ряда B1.1) является аналитиче-
аналитической функцией внутри круга сходимости.
Доказательство. Возьмем произвольную точку z' внутри
круга сходимости. Найдется такое число г, что \z' — zq\ < г < R. По
свойству 21.5 ряд B1.1) равномерно сходится в круге \z — zo\ < г; каж-
каждый член cn(z — zo)n ряда является аналитической функцией в этом
круге (и даже во всей комплексной плоскости С). По теореме 20.6
(Вейерштрасса) сумма S(z) будет аналитической функцией в кру-
круге \z — zo\ < г и, в частности, в точке z'. Тем самым аналитичность
функции S(z) в любой внутренней точке круга сходимости установ-
установлена.
Свойство 21.7. Степенной ряд
S(z) = с0 + ci(* - z0) + c2(z - z0J + ... + cn(z - zo)n + ... =
B1.7)
n=0
можно почленно интегрировать внутри круга сходимости, т.е.
S(z) dz = co(z' - z0) + !¦(*' -
Cf(z' - z0K
n=0

§21. Степенные ряды	113
где z' — произвольная точка внутри круга сходимости ряда B1.7).
Полученный при этом степенной ряд B1.8) имеет тот же круг схо-
сходимости, что и исходный ряд B1.7).
Доказательство. Как и при доказательстве свойства 21.6,
выберем число г, такое что \z' — zq\ < r < R. Ряд B1.7) равномер-
равномерно сходится в круге \z — zo\ < г, его члены являются непрерывными
(и даже аналитическими) функциями в этом круге. Поэтому возмож-
возможность почленного интегрирования и равенство B1.8) следуют из тео-
теоремы 20.4 и равенства B0.4); в качестве кривой Г в B0.4) можно
выбрать любую кривую, идущую из Zo в z' внутри круга \z — Zo\ < г,
например отрезок [zo, z1]. Так как степенной ряд B1.8) сходится в лю-
любой точке z1', лежащей внутри круга сходимости ряда B1.7), то радиус
сходимости R\ ряда B1.8) не может быть меньше радиуса сходимо-
сходимости R ряда B1.7), т.е. R± ^ R.
Покажем, что на самом деле R\ = R. Предположим противное,
т.е. R\ > R. Возьмем число R'', такое что R < R' < R\. По свой-
свойству 21.5 ряд B1.8) равномерно сходится в круге \z — zo\ < R'. Так
как этот ряд составлен из аналитических функций, то, согласно
теореме 20.6 (Вейерштрасса), его можно почленно дифференциро-
оо
вать в круге \z — Zo\ < R'. Значит, ряд J^ cn(z' — Zo)n, полученный
n=0
почленным дифференцированием ряда B1.8), будет сходиться в круге
z — zo | < R'. Поскольку R < R', то сходимость будет и в некоторых
точках z', лежащих вне круга \z — zo\ < R. Но это противоречит тому,
что \z — zo\ < R — круг сходимости ряда B1.7). Итак, R\ = R, что и
требовалось доказать.
Свойство 21.8. Степенной ряд B1.7) можно почленно диффе-
дифференцировать внутри круга сходимости любое число раз:
О \Zj ^ С\ ~г ^С2 \Z ^о) \ OC3yZ ^о) \ • • • \ TICfiyZ %0)	\ • • • ,
B1.9)
S"(z) = 2с2 + 3 ¦ 2 ¦ c3(z -zo) + ... + n(n- l)cn(z - zo)n~2 + ...,
B1.10)
SM(z)=n(n-l)(n-2)...lcn +
+ (n + l)n(n - 1)... 2cn+1(z - zo) + ... B1.11)
Полученные при дифференцировании ряды B1.9)—B1.11) имеют тот
же круг сходимости, что и исходный ряд B1.7).
Доказательство. Пусть z' — произвольная точка круга схо-
сходимости \z — zo\ < R. Опять возьмем число г, такое что \z' — zq\ < r <
< R. Поскольку ряд B1.7) составлен из аналитических функций и
равномерно сходится в круге \z — zo\ < г, то по теореме Вейерштрасса
8 В.Я.Эйдерман

114	Гл. VI. Ряды
его можно почленно дифференцировать в этом круге (а следователь-
следовательно, и в точке z') любое число раз. Таким образом, ряды B1.9)—B1.11)
будут сходиться в любой точке круга сходимости ряда B1.7) к соответ-
соответствующим производным функции S(z). Значит, радиусы сходимости
рядов B1.9)—B1.11) не меньше, чем R.
Докажем вначале, что радиус сходимости R\ ряда B1.9) равен R.
Пусть это неверно, т.е. R\ > R. Проинтегрировав этот ряд внутри
круга \z — zo\ < Ri, мы получим исходный ряд B1.7) (кроме первого
члена со, отбрасывание которого не влияет на сходимость ряда). По
свойству 21.7 проинтегрированный ряд имеет тот же круг сходимости
\z — zo\ < R\. Значит, ряд B1.7) имеет радиус сходимости R\ > R, что
противоречит условию. Итак, R\ = R, т.е. при однократном диффе-
дифференцировании радиус и круг сходимости сохраняются. Но ряд B1.10)
получается дифференцированием ряда B1.9). Значит, его радиус схо-
сходимости также равен R и т.д.
Замечание. Хотя круг и радиус сходимости степенного ряда
остаются неизменными при почленном интегрировании и дифферен-
дифференцировании ряда, сходимость (или расходимость) в граничных точках
круга при этих операциях может не сохраняться.
Свойства 21.7 и 21.8 позволяют иногда найти сумму ряда.
Пример 21.9. Найти сумму S(z) ряда
71=1
Решение. Воспользуемся равенством
ОО
(см. пример 20.1). Дифференцируя этот ряд почленно, получим
(X)
Осталось домножить левую и правую части равенства на z:
ОО
Y,nzn= A^zJ, т.е. S(z)= {llzJ, \z\<l.
П=1
Задача. Применяя почленное интегрирование, найдите сумму
ряда
Е-
71=1
и укажите круг сходимости этого ряда.

§22. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора 115
§ 22. Разложение функций в степенные ряды.
Ряд Тейлора
Будем говорить, что функция f(z) разлагается в области U в сте-
степенной ряд, если эту функцию можно представить в виде суммы
степенного ряда, сходящегося в каждой точке области U; другими
словами, можно подобрать числа zo, Co, ci, с2 ..., такие что
f(z) =co-\-c1(z - zo) + c2(z - zoJ + ... + cn(z - zo)n + ... =
oo
= ^2cn(z- zo)n. B2.1)
n=0
Следующая теорема позволяет находить коэффициенты разложе-
разложения B2.1) при условии, что такое разложение существует.
Теорема 22.1 (теорема единственности разложения функции в
степенной ряд). Пусть в некотором круге U = {z : \z — zo\ <
< R} функция f(z) разлагается в степенной ряд. Тогда f(z) явля-
является аналитической в U функцией, а коэффициенты со, ci, с2 ... раз-
разложения определяются однозначно по формулам
B2.2)
Доказательство. По условию теоремы ряд B2.1) сходится
в U и его сумма S(z) = f(z). Поэтому аналитичность функции f(z)
сразу следует из свойства 21.6. Чтобы получить первое равенство
в B2.2), положим в B2.1) z = zq. Тогда все слагаемые, начиная со вто-
второго, обратятся в нуль, и мы придем к равенству f(zo) = со, которое
нам и требовалось. Для вывода остальных формул в B2.2) восполь-
воспользуемся свойством 21.8 и формулами B1.9)—B1.11). Подставляя в эти
формулы S(z) = f(z) и z = 2o, получим
) = п(п - 1)(п - 2) • ... • \сп = п! сп
(остальные слагаемые в формулах B1.9)—B1.11) будут содержать мно-
множитель (zo — zo) и поэтому обратятся в нуль). Из полученных ра-
равенств сразу следуют формулы B2.2), и теорема 22.1 доказана.
Если положить f(°\zo) = f(zo) и 0! = 1, то все равенства B2.2)
можно записать единообразно:
с„ = ^^, п = 0,1,2,...	B2.3)
Формулы B2.2), B2.3) называются формулами Тейлора. Степенной
ряд B2.1), коэффициенты которого определяются по формулам Тей-

116
Гл. VI. Ряды
лора B2.3), называется рядом Тейлора функции f(z). Подставляя ра-
равенства B2.2), B2.3) в B2.1), получим
= /(so) + f(zo)(z - so)
2!
z - zoJ
OO
B2.4)
n=0
Теорема 22.1 показывает, что если функцию f{z) можно разложить
в степенной ряд в некоторой окрестности U точки zo, то это разло-
разложение будет рядом Тейлора B2.4) и никаким другим. При этом f(z)
должна быть аналитической в U. Следующая фундаментальная тео-
теорема утверждает, что для всякой аналитической функции f(z) такое
разложение возможно.
Теорема 22.2 (о существовании разложения аналитической
функции в степенной ряд). Пусть функция f(z) аналитична в об-
области D и zo — произвольная точка из D. Тогда в любом кру-
круге U = {z : \z — zo\ < R}, принадлежащем области D, эту функцию
можно представить в виде суммы сходящегося степенного ряда Тей-
Тейлора B2.4).
Доказательство. Возьмем
в круге U произвольную точку z
и выберем число г так, чтобы \z —
— zo\ < r < R (рис. 40). Обозначим
через Г окружность \( — zo\=r. По
интегральной формуле Коши A8.1)
имеем
Рис. 40
чале в ряд функцию
Чтобы получить разложение функции
f(z) в степенной ряд, разложим вна-
-. Напомним, что при \q\ < 1
оо
Еп _ 1
1 — q
п=0	Ч
B2.6)
Это равенство следует из формулы для суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, а также было получено в примере 20.1.
Имеем
1	1	11
t-z (t-zo)-(z-zo) С -
1-
- ZQ
Положим q =
	-
С - zo
Так как \z — zo\ < \( — zo\, то 1^1 < 1. Поэтому

§22. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора 117
применима формула B2.6), которая дает
Для фиксированных точек z и z$ и произвольной точки ? Е Г
+ 1
(С - *о)"
Заметим, что числа ап не зависят от ?. Так как	 = |д| < 1, то
числа ап образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрес-
ОО
сию и, следовательно, ряд J2 ап сходится. Поскольку равенства B2.8)
п=0
выполнены для всех точек ( G Г, то в силу признака равномерной схо-
сходимости Вейерштрасса (теорема 20.2) ряд B2.7) сходится на Г абсо-
абсолютно и равномерно по переменному ( (мы уже отмечали, что тео-
теоремы 20.2—20.4 и замечание 20.5 справедливы не только для рядов,
сходящихся в области, но и для рядов, сходящихся на кривой). Домно-
жим обе части равенства B2.7) на функцию -—:/(С)? ограниченную
на Г; согласно замечанию 20.5, равномерная сходимость ряда B2.7)
при этом не нарушится:
1 /(С) = у- 1 f(Q(z-zo)n
2тгг С - z 2-^ 2ттг (С - zo)n+1 '
Воспользуемся теперь теоремой 20.4, в силу которой получившийся
ряд можно почленно интегрировать на Г по переменному (. Интегри-
Интегрирование и формула B2.5) дают
^	№(z-zo)n
1 [
B2.9)
п=0	р	п=0
- * f
n ~ 2ni J
(мы воспользовались тем, что множители (z — zo)n не зависят от (
и их можно вынести за знаки интегралов). Таким образом, возмож-
возможность разложения функции f(z) в степенной ряд установлена. По тео-
теореме 22.1 это разложение единственно, т.е. степенной ряд является
рядом Тейлора функции f(z). Теорема 22.2 доказана.
Замечания. 1. Тот факт, что полученное разложение B2.9)
функции f(z) является рядом Тейлора, можно было обосновать и без
ссылки на теорему 22.1. Действительно, коэффициенты сп этого раз-

118	Гл. VI. Ряды
ложения определяются равенствами B2.10). По формулам A8.4) (Ко-
ши) для производных
~ 2тгг У (С-
(это равенство справедливо и при п = 0, поскольку обращается в
интегральную формулу Коши B2.5)). Отсюда и из B2.10) получа-
получаем сп = f(n\zo)/n\. Таким образом, ряд B2.9) является рядом Тейло-
Тейлора функции f(z).
2.	Из теоремы 22.2 следует, что радиус сходимости ряда Тейло-
Тейлора B2.4) равен расстоянию от центра zo до ближайшей к нему особой
точки функции f(z) (напомним, что особыми называются точки, в
которых f(z) не является аналитической). Действительно, пусть z* —
ближайшая к z$ особая точка и R = \z* — zo\. Тогда функция f(z) бу-
будет аналитической в круге U = {\z — zo\ < R} и, согласно теореме 22.2,
ее ряд Тейлора сходится в U. Поэтому радиус сходимости ряда B2.4)
не может быть меньше R. Но он не может быть и больше R: в про-
противном случае z* была бы внутренней точкой круга сходимости сте-
степенного ряда и, следовательно, сумма f(z) этого ряда являлась бы
аналитической функцией в/, что противоречит условию.
3.	Согласно теоремам 22.1 и 22.2, функция f(z) является ана-
аналитической в области D тогда и только тогда, когда в окрестности
каждой точки zo Е D ее можно представить в виде суммы степенного
ряда. Тем самым мы доказали эквивалентность определения анали-
аналитичности, данного в п. 3 § б, и следующего классического определе-
определения: однозначная функция f(z) называется аналитической в D, если
в окрестности каждой точки z$ Е D ее можно разложить в ряд по
степеням z — zq.
Формулы B2.3) Тейлора и формулы для производных (ez)' = ez,
(sin z)' = cos z, (cos z)' = — sin z, выведенные в §§ 11, 12, позволяют лег-
легко получить тейлоровские разложения функций е2, s'mz и cosz, ана-
аналогичные разложениям соответствующих функций действительного
переменного:
п=0
B2.12)
2п
^	()
(здесь zq = 0). Ряды B2.11)—B2.13) сходятся во всей комплексной

§22. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора 119
плоскости С. Этот факт можно проверить непосредственно по при-
признаку Даламбера (см. пример 21.2, в котором рассмотрен ряд B2.11)),
а можно вывести из теоремы 22.2. Действительно, поскольку функ-
функции е2, sinz, cos z аналитичны во всей комплексной плоскости (этот
факт был установлен в §§11, 12), то по теореме 22.2 указанные ря-
ряды будут сходиться в любом (сколь угодно большом) круге \z\ <
< R, а значит, и во всей плоскости С; радиус сходимости здесь ра-
равен 00.
Замечание. Формулы B2.11)—B2.13) можно принять в каче-
качестве определения функций е2, sinz, cosz. В этом случае формула
Эйлера егу = cosy + ism у и равенства s'mz = — (elz — e~tz), cosz =
2г
= - (etz + e~tz), ранее служившие определениями, теперь будут след-
следствиями формул B2.11)—B2.13). Покажем, например, как получается
формула Эйлера. Умножим ряд B2.12) на г и сложим с рядом B2.13),
располагая члены полученного при этом ряда в порядке возрастания
степеней:
COS Z
+
г sin 2
z2
2!
iz3
3!2
2!
1 3! ' ••
n z2n
• ' Bn)! ' (:
гг2п+1
JP1)!
oo
n=0
I
n!
что и требовалось доказать (мы воспользовались тем, что г2п =
= (г2Г = (-1)").
Отметим также разложение в ряд Тейлора функции f(z) =	,
zo = 0:
1	°°
^	z2
1
^—z = 1 - z + z2 - ... + (-l)nzn + ... = ^(-l)nzn. B2.14)
n=0
Получить его можно либо используя формулу B2.6) для суммы гео-
геометрической прогрессии (здесь q = —z), либо непосредственно по фор-
формулам B2.3). Данная функция имеет единственную особую точку
z* = — 1. Поскольку расстояние от точки zo = 0 до z* равно 1, то ради-
радиус сходимости R = 1 (см. выше замечание 2); доказать этот факт мож-
можно и по признаку Даламбера. Кругом сходимости будет круг \z\ < 1.
Формулы B2.11)-B2.14) позволяют получать разложения в ряд
Тейлора и многих других функций. Полезными при этом часто ока-
оказываются следующие приемы: а) метод подстановки; б) почленное ин-
интегрирование или дифференцирование рядов.

120	Гл. VI. Ряды
Пример 22.3. Найти разложение функции f(z) =	 в сте-
степенной ряд с центром zo = 0 и указать радиус сходимости.
Решение. Равенство B2.14) справедливо при любом z, для ко-
которого \z\ < 1. Поэтому мы можем подставить в него z2 вместо z при
условии, что \z2\ < 1:
оо
^-^ = l-z2 + z4-...+ (-1) nz2n + ... = ^(-1) Vn. B2.15)
n=0
Так как условие \z2\ < 1 равносильно тому, что \z\ < 1, то R = 1.
На примере ряда B2.15) покажем, насколько важно распростра-
распространение функций с действительной оси в комплексную плоскость для
анализа поведения степенных рядов действительного переменного.
Из B2.15) следует, что разложение функции f(x) =	 в ряд по
степеням х имеет вид
ОО
-i)Vn.
\ -\- X2	• • • , V	-у ~	, • • •
п=0
Этот ряд сходится в интервале (—1,1) и расходится при |ж| > 1. При-
Причину этого нельзя понять, рассматривая только точки оси ОХ: ведь
функция f(x) =	 "одинаково хороша" во всех точках действи-
действительной оси, и точки =Ы, разделяющие интервалы сходимости и расхо-
расходимости, ничем не примечательны для этой функции. Но выход в ком-
комплексную плоскость сразу разъясняет явление: функция f(z) =
имеет особые точки z* = ±г, расстояние от которых до точки z$ = О
равно 1. Поэтому и радиус сходимости R = 1.
Пример 22.4. Разложить функцию f{z) = ln(l + z) по степе-
степеням z и найти круг сходимости.
Решение. Напомним, что главная ветвь логарифма определя-
определяется формулой \nw = In \w\ + iargw, и (\nw)' = 1/w (см. § 11). Поэто-
Поэтому функция /(?) = ln(l + С) является первообразной функции	-,
причем /@) = In 1 = 0. Функция -—- имеет единственную особую
точку z* = —1 и, следовательно, аналитична в круге \(\ < 1. По фор-
формуле A7.4) (Ньютона-Лейбница)
^— d( = ln(l + С) "= ln(l + z) - In 1 = ln(l + z), \z\ < 1.
+ С	о
о

§22. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора 121
Так как ряд B2.14) сходится в круге \z\ < 1, то его можно проинте-
проинтегрировать в этом круге:
71+ 1
ОО
~ri+l
n + l
n=0
Удобно начинать суммирование с индекса к = 1, сделав замену & =
к
l)fe-1^.	B2.16)
Круг сходимости проинтегрированного ряда B2.16) будет тот же, что
и у исходного ряда B2.14), т.е. \z\ < 1.
Пример 22.5. Разложить функцию
в ряд Тейлора в окрестности точки zo = 1 и найти круг сходимости.
Решение. Сделаем замену переменного: z — zo = w, т.е. w — z —
— 1, z — w + 1. Тогда	 =	 =	. Чтобы воспользовать-
z — 3 w + 1 — 3 u> — 2
ся формулой B2.14), вынесем в знаменателе за скобки множитель
(—2):	 = ——	—г-. Подставляя в B2.14) —w/2 вместо z, полу-
чим
2 l-w/2
2
n=0	n=0
Так как ряд B2.14) сходится при \z\ < 1, то полученный ряд сходит-
сходится при | — w/2\ < 1 или при \w\ < 2. Возвращаясь к переменному z,
подставим w = z — 1:
	 о
и искомое разложение получено, причем ряд сходится при \z — 1| < 2.
Заметим, что круг сходимости можно было определить и из других со-
соображений: функция f(z) = 	 имеет единственную особую точку
z* = 3, расстояние от которой до центра zo = 1 ряда равно 2. Поэтому
радиус сходимости R = 2 и круг сходимости есть \z — 1| < 2.

122	Гл. VI. Ряды
§ 23. Свойство единственности
Точка zq называется нулем функции f(z), если f(zo) = 0. Пред-
пол ожим, что функция f(z) аналитична в некоторой окрестности U
точки 2о, f(zo) = 0 и f(z) не обращается в нуль тождественно в этой
окрестности. В U функция f(z) разлагается в ряд Тейлора. Так как
f(zo) = 0, то коэффициент со тейлоровского разложения B2.1) функ-
функции f(z) равен нулю (см. B2.2)). Поскольку f(z) не равна нулю тож-
тождественно в С/, то среди остальных коэффициентов найдется хотя бы
один ненулевой. Номер п первого отличного от нуля коэффициента сп
называется кратностью или порядком нуля zq. При этом разложение
функции f(z) в окрестности точки zo имеет вид
оо
f(z) = cn(z - zo)n + cn+1(z - zo)n+1 + ... = Y,ck(z- zo)\ B3.1)
где cn ф О и n ^ 1. Из B2.2) следует, что порядок нуля z$ равен по-
порядку младшей отличной от нуля производной f(n\zo). Если п = 1,
то нуль zo называется простым.
Разложение B3.1) можно переписать в виде
f(z) = (z- zo)n(cn + cn+1(z -Zo) + ...) = (z- zo)nv(z), B3.2)
где <p(z) = cn + cn+1(z - z0) + ..., причем ip(z0) = cn ф 0.
Пример 23.1. Найти нули функции f(z) = (z2 — 4Kez и указать
их порядок.
Решение. Уравнение f(z) = 0 равносильно тому, что z2 — 4 = 0,
или z = ±2. Представим f(z) в виде f{z) = (z — 2K(z + 2Kez. Пусть
zo = 2. Положим ip(z) = (z + 2Kez. Тогда f(z) = (z - 2K(p(z), причем
ipB) = 43e2 ф 0. Поэтому z0 = 2 — нуль порядка 3. Если же z0 = -2, то
возьмем ip(z) — [z — 2Kez. Из равенства f(z) = (z + 2Kcp(z), в котором
ip(—2) т^ 0, следует, что ^о = — 2 — также нуль порядка 3.
Теорема 23.2. Пусть функция f(z) аналитична в некоторой
окрестности U точки z0, f(zo) = 0 и f(z) не равна нулю тож-
тождественно в U. Тогда существует окрестность точки zo, в кото-
которой f(z) не имеет других нулей, кроме zq.
Доказательство. Пусть zo — нуль порядка п. Тогда спра-
справедливо равенство B3.2). Функция (f(z) является аналитической, а
значит, и непрерывной в U, причем ip(zo) ф 0. Поэтому найдется та-
такая окрестность (возможно, меньшая) точки zo, в которой ip(z) ф 0.
Так как множитель [z — zo)n обращается в нуль только в точке zo,
то в указанной окрестности функция f(z) = (z — zo)ntp(z) также об-
обращается в нуль лишь при z = zo, что и требовалось доказать.
Будем говорить, что точка zo является изолированным нулем
функции/(z), если найдется такая окрестность точки zq, в кото-

'. Свойство единственности
123
рой f(z) не имеет нулей, отличных от zq. Теорема 23.2 утверждает,
что аналитическая функция, не равная тождественно нулю, может
иметь только изолированные нули. Выведем отсюда следующую важ-
важную теорему.
Теорема 23.3 (теорема единственности). Если две аналитиче-
аналитические в области D функции fi(z) и /2B) совпадают на некоторой
бесконечной последовательности попарно различных точек z±, 22,...,
сходящихся к точке a G D, то fi(z) = /2B) всюду в области D.
Доказательство. Рассмотрим функцию f(z) = /1 (z) —
— /2B)- Она аналитична, а значит, и непрерывна в D, и f(zn) = О,
п = 1,2,... Поскольку lim zn = а и f(z) непрерывна в а, то /(а) =
п—>-оо
= lim f(zn) = 0. Поэтому а — тоже нуль функции f(z), причем нуль
п—>-оо
не изолированный, так как в любой окрестности точки а найдется
бесконечно много других нулей zn.
Возьмем произвольную окрестность U точки а, лежащую в D.
Тогда функция f(z) аналитична в U. Предполож:им, что в U функ-
функция f(z) не обращается в нуль тождественно. Тогда по теореме 23.2
точка а должна быть изолированным нулем, и мы придем к про-
противоречию. Следовательно, f{z) тождественно равна нулю в любой
окрестности точки а, лежащей в D. Докажем, что f(z) равна нулю
во всех точках области D. Пусть Ъ — произвольная точка области D.
Соединим точки а и Ъ непрерывной кривой Г, лежащей внутри D.
Пусть р — кратчайшее рас-
расстояние от точек кривой Г
до границы области D. Возь-
Возьмем некоторое положительное
число 5 < р (например, 5 =
= р/2). На кривой Г выбе-
выберем точки wo, wi,..., wn так,
чтобы wo = a, wn = b и рас-
расстояние между каждыми дву-
двумя соседними точками бы-
было меньше 5. Для каждой
точки Wk построим круг Uk
с центром Wk и радиусом 8	ис'
(рис. 41). Поскольку 8 < р, то все эти круги будут целиком лежать
в D. Так как Uo является окрестностью точки а = wo, то f(z)=0
(т.е. тождественно равна нулю) в Uo- По построению расстояние меж-
между точками wo и w\ меньше 8. Поэтому w\ лежит внутри круга Uo]
значит, и некоторая (малая) окрестность точки w\ лежит в [/q. В
этой окрестности f(z) = 0, и, следовательно, w\ не является изоли-
изолированным нулем функции f(z). Так как f(z) аналитична в окрест-
окрестности U\ точки wi, то f(z)=0 в U\ (в противном случае, соглас-
согласно теореме 23.2, нуль w\ был бы изолированным). Переходя теперь

124	Гл. VI. Ряды
от круга C/i к С/2 и проводя аналогичное рассуждение, мы получим,
что f{z) =0 в С/2. Двигаясь по цепочке кругов, мы доберемся до
Un и покажем, что f(z)=0 в С/П. В частности, f(b) = 0. Таким об-
образом, f(z) = fi(z) - /2B) = 0 во всех точках из D. Следовательно,
fi(z) = /2B) всюду в области D, что и требовалось доказать.
Теорема 23.3 показывает существенное отличие дифференцируе-
мости функций комплексного переменного от дифференцируемости
функций действительного переменного. В самом деле, две даже бес-
бесконечно дифференцируемые функции действительного переменного
могут совпадать на части области опреде-
определения, не совпадая тождественно. Напри-
Например, функции
Д(ж) = 1 при х е (-1,1),
г\	при х е (-1,0],
+ е~х1х при х е @,1)
~~	х (рис. 42) бесконечно дифференцируемы,
Рис 42	совпадают при ж е (-1,0], но/1B) ^ /2(з)
на (—1,1). В то же время, согласно дока-
доказанной теореме 23.3, если две аналитические в D (т.е. дифференци-
дифференцируемые всюду в D) функции совпадают на множестве, содержащем
последовательность точек, сходящихся к точке a Е D (например,
совпадают на маленьком кружке или на дуге, принадлежащей об-
области D), то эти функции совпадают во всей области D.
Выведем из теоремы 23.3 еще одно важное свойство аналитических
функций.
Теорема 23.4 (принцип максимума модуля). Пусть функ-
функция f(z) аналитична в ограниченной области D, непрерывна в замк-
замкнутой области D и не является постоянной. Тог да максимум моду-
модуля \f{z)\ функции f(z) в замкнутой области D достигается только
на границе области D.
Доказательство. Функция \f(z)| непрерывна в замкнутой
ограниченной области D и, следовательно, принимает свое наиболь-
наибольшее значение М в некоторой точке zo G D. Надо доказать, что zo не
может быть внутренней точкой области D. Пусть это неверно, т.е.
Zo G D и |/(#о)| = М. Докажем, что тогда и в любой окрестности С/
точки ^о, целиком лежащей в D, выполнено равенство |/(z)| = М.
Пусть \z — zo\ = R — окружность настолько малого радиуса R, что
замкнутый круг \z — zo\ ^ R целиком лежит в D. По теореме о сред-
среднем (теорема 18.3)
2тг

'. Свойство единственности	125
Отсюда следует, что	2^
^ j	ДО1 dp.	B3.3)
О
Если найдется такое <^о? что |/(^о + ^ег(/?)| < М, то в силу непрерыв-
непрерывности функции f(z) найдется также интервал (сро — 5,(ро + 5), на кото-
котором \f(zo + Retip)\ < М. Поскольку в остальных точках отрезка [0, 2тт]
выполнено неравенство \f(zo + Relip)\ ^ М (так как М — наиболь-
наибольшее значение \f(z)\ в D), то тогда правая часть B3.3) будет строго
меньше М, что противоречит равенству в B3.3) (получится М < М).
Значит, для всех <р е [0, 2тг] будет \f(z0 + Rei<p)\ = М. Так как R —
произвольное достаточно малое число, то |/(#)| =Миво всей окрест-
окрестности U ТОЧКИ Zq.
Покажем теперь, что не только |/(г)|, но и сама функция f(z)
является постоянной в U. Тем самым теорема будет доказана. Дей-
Действительно, если f(z) = c в U, то по теореме 23.3 f(z) = c во всей
области D, что противоречит условию о том, что f(z) не является по-
постоянной. Таким образом, предположив, что z$ — внутренняя точка
области D, мы придем к противоречию.
Если М = 0, то равенство \f(z)\ = 0 равносильно тому, что f{z) = О
в U, что нам и требовалось. Рассмотрим теперь случай М > 0. Так
как f(zo) ф 0, то в некоторой окрестности точки zo можно выделить
регулярную ветвь g(z) многозначной функции Ln/(z) (о регулярных
ветвях логарифма см. § 11). Для действительной части функции g(z)
имеем Reg(z) = In \f(z)\ = lnM. Поэтому функция u(z) = Reg(z) яв-
является постоянной в некоторой окрестности точки zo. Используя усло-
условия Коши-Римана ои_о^ ди__д1
дх ду' ду	дх^
получим, что мнимая часть v(z) функции g(z) также постоянна. По-
Поэтому g(z) = с\. Так как f(z) = e9^z\ то f(z) = eCl = с, т.е. f(z) тож-
тождественно равна постоянной в некоторой окрестности точки zq. Тео-
Теорема 23.4 доказана.
Замечания. 1. Теорему 23.4 легко вывести из теоремы 23.3 и
следующего принципа сохранения области (свойство 13.2): если функ-
функция f(z) аналитична в области D и отлична от постоянной, то
множество D1', на которое она отображает D, также является об-
областью {т.е. открытым связным множеством). Попробуйте дока-
доказать теорему 23.4 таким способом самостоятельно. Выше мы привели
более сложное рассуждение потому, что указанный принцип сохране-
сохранения области был сформулирован в § 13 без доказательства.
2. Теорему 23.4 можно сформулировать в следующем эквивалент-
эквивалентном виде: если функция f(z) аналитична в области D и ее мо-
модуль \f(z)\ достигает максимума (локального) в некоторой точке
zo G .D, то f(z) постоянна.

126	Гл. VI. Ряды
§ 24. Аналитическое продолжение.
Полная аналитическая функция
Рассмотрим области D\ и D2, имеющие общую часть G, которая
тоже является областью (рис. 43, а). Если пересечение D\ П D2 состо-
состоит из нескольких областей, как показано на рис. 43, ?, то в качестве G
Рис. 43
рассмотрим одну из них. Пусть в области D\ задана аналитическая
функция fi(z), и пусть /2B) — такая аналитическая функция в D2j
что для всех точек из G значения fi(z) и /2B) совпадают. Тогда /2B)
называется непосредственным аналитическим продолжением функ-
функции fi(z) в область D2 через область G. При фиксированных областях
Di, D2 и G аналитическое продолжение /2B) определено однознач-
однозначно. (Действительно, если f2(z) — еще одно аналитическое продолже-
продолжение функции fi(z) через область G, то f2(z) совпадает с /2B) в об-
области G, являющейся частью области D2. Следовательно, по теореме
единственности, f2(z) совпадает с /2B) всюду в области D2.) Но если
пересечение D\ П D2 состоит из нескольких областей (как, например,
на рис. 43, б), то продолжение функции fi(z) через область G не обя-
обязано совпадать с продолжением через область G' (мы убедимся в этом
ниже на примере 24.1).
Пусть теперь задана цепочка областей Г>ь D2,..., Dn (см. рис. 44),
причем каждая пара D^ и D&+1 соседних областей имеет общую
для них область Gu- Предположим, что в каждой области D^ зада-
задана аналитическая функция fk{z), причем функции fk(z) и fk+i(z)
совпадают на множестве Gk (другими словами, fk+i(z) является
непосредственным аналитическим продолжением функции fk(z) че-
через область Gk)- Тогда функция fn(z) называется аналитическим
продолжением функции fi(z) через цепочку областей Z>i, -D25 • • •
..., Dn. Здесь тоже при фиксированных областях Di, D2,..., Dn и
G\, G2,..., Gn_i аналитическое продолжение fn(z) в область Dn опре-
определено однозначно (почему?). Однако при изменении промежуточных

§24- Аналитическое продолжение
127
областей D2,..., Dn-i или при изменении общих частей Gk аналити-
аналитическое продолжение функции
fi(z) в область Dn может изме-
измениться, даже если первое и по-
последнее звенья цепочки остались
прежними.
Может случиться и так, что
последнее звено цепочки совпа-
совпадает с первым (например, цепоч-
цепочка Du D2, D3, Z>4, D'3, D'2, D1
на рис. 44), но функция, получа-
Риг 44
ющаяся аналитическим продол-
продолжением функции fi(z) через эту цепочку, не совпадает с первона-
первоначальной функцией fi(z). Проиллюстрируем сказанное на примере.
Пример 24.1. Пусть
— круги, изображенные на рис. 45. В D\ рассмотрим функцию
fi(z) = In2 = In \z\ + i argz — главную ветвь логарифмической функ-
функции. В § 11 было показано, что эта функция аналитична в плоско-
плоскости с разрезом по отрицательной полуоси, при этом —тг < aigz < тг.
В частности, fi(z) аналитич-
аналитична в D\. Продолжим ее в об-
область D% через область D^. При
движении из D\ в D% через
D2 аргумент ср точки z будет
увеличиваться. Поэтому в ре-
результате продолжения мы по-
получим функцию /з(^) = In \z\ +
+ iip, аналитическую в Ds, при-
причем ip > 0 в Ds-
Продолжая функцию fi(z)
в область D% через D2, мы
получим аналитическую в D%
функцию f*(z) =]n\z\+i<p*,y
(
Gi
Рис-
\\
которой ip* < 0 (легко видеть, что значения ip и ip* отличаются на 2тг).
В частности, /з(—1) = гтг, /| (—1) = — гтг. Таким образом, продолже-
продолжения через разные цепочки в одну и ту же область D% дают разные
функции.
Рассмотрим теперь продолжение все той же функции fi(z) из D\
в D\ по цепочке Di, D^-, D3, Df2, D\. В результате получим функцию
f*(z) = fi(z) + 2тгг, не совпадающую с исходной функцией fi(z).
Этот пример показывает также, что непосредственное аналити-
аналитическое продолжение функции fi(z) в область D^ может зависеть от
той части пересечения D\ П D2, через которую ведется продолжение.

128	Гл. VI. Ряды
Действительно, пусть D\ — круг, изображенный на рис. 45. В качестве
второй области возьмем объединение областей D2, D% и D'2 из рис. 45,
т.е. совокупность точек этих областей будем рассматривать как одну
область, которую обозначим D\. Пересечение этой области D% с D\
имеет две компоненты G\ и G[. Непосредственные аналитические про-
продолжения f(z) и f*(z) функции fi(z) в D% через G\ и G[ будут раз-
различными; например, /(—1) = гтг, /*(—1) = —гтг.
Пусть задана (однозначная) аналитическая функция fi(z) в об-
области Di, и пусть точка z' обладает следующим свойством: най-
найдется цепочка областей, через которую можно продолжить функ-
функцию /i (z) из D\ в какую-то область, содержащую z' (таких цепочек
может быть и несколько). Разумеется, этим свойством обладают все
точки из D\\ цепочкой, состоящей из одного звена, здесь будет сама
область D\. Но могут найтись точки с указанным свойством, лежащие
и вне D\. Множество всех точек z' с этим свойством обозначим че-
через D. Продолжая функцию fi(z) через некоторую цепочку в какую-
то область, содержащую z'', мы получим значение функции f(z').
Может получиться так, что цепочек будет несколько, и результаты
продолжения окажутся различными (их может быть даже бесконечно
много).
Каждой точке z' из D поставим в соответствие все значения f(zf),
получаемые в результате продолжения функции fi(z) через все воз-
возможные цепочки. Такое соответствие определяет функцию, называе-
называемую полной аналитической функцией.
Если продолжения через все возможные цепочки дают одно и то
же значение f(zf), то функция f(z) будет однозначной в D, если раз-
разные значения — то многозначной.
Однозначные аналитические функции, получаемые в результате
того или иного продолжения функции /1B:), являются регулярными
ветвями полной аналитической функции f(z) (с понятием регулярной
ветви мы уже встречались в § 10).
Примечание. Как уже говорилось, под аналитической функ-
функцией мы понимаем (и будем понимать в дальнейшем) однозначную
аналитическую функцию. В некоторых книгах под аналитической по-
понимается полная аналитическая функция, а однозначная аналити-
аналитическая функция называется регулярной или голоморфной.
Принципиальную возможность построения аналитического про-
продолжения дает следующая конструкция, предложенная Вейерштрас-
сом. Пусть задан степенной ряд
n=0
сходящийся в некотором круге D\ = {\z — а\\ < ri}, r\ > 0. По свой-
свойству 21.6 сумма fi(z) этого ряда будет аналитической функцией

§24- Аналитическое продолжение	129
в Di. В круге D\ возьмем другую точку а^ ф сц. Функция Д (z) ана-
литична в круге D[ с центром а2, касающемся "большой" окружности
z — а\\ — Т\ (так как D[ лежит в D\). Поэтому ее можно разложить в
оо
f(a )
ряд Тейлора Y1 —,— (z ~ а^)п с центром а2, заведомо сходящийся
п
п=о
в D[ к функции fi(z). Но может оказаться так, что этот ряд сходится
в большем круге D2, выходящем за пределы круга D\ (рис. 46). То-
Тогда указанное разложение дает непосредственное аналитическое про-
продолжение /2B) функции fi(z) в
область D2. Описанную процеду-
процедуру аналитического продолжения
можно повторять неограничен-
неограниченно, выбирая за центры тейло-
тейлоровских разложений все новые
точки аз, ^4,... В результате мы
придем к полной аналитической
функции f(z); разложения fk(z) в
каждом из кругов D^ будут яв-
являться ее регулярными ветвями.
Радиусы Tk кругов D^ можно
увеличивать до тех пор, пока на	Рис 46
границу круга не попадет хотя бы одна особая точка z* (см. рис. 46).
Поэтому граница Г области D сплошь состоит из ее особых точек (ес-
(если бы нашелся участок границы, свободный от особых точек, то мож-
можно было бы продолжить f(z) в большую область). Граница Г может
состоять из линий, отрезков или других совокупностей точек. В про-
простейших случаях Г состоит из отдельных особых точек. Для каждой
из них существует достаточно малая проколотая окрестность, в ко-
которой определена полная аналитическая функция f(z). Если f(z) од-
однозначна в некоторой проколотой окрестности особой точки z*, то z*
называется особой точкой однозначного характера; если же f(z) мно-
многозначна в сколь угодно малой проколотой окрестности этой точки,
то z* называется особой точкой многозначного характера или точкой
ветвления.
Например, для функции f(z) = 1/z точка z* = 0 является особой
точкой однозначного характера. Подробное исследование таких точек
будет проведено далее.
Примером особой точки многозначного характера служит точка
z* = 0 для функции f(z) = yfz (эта точка особая, так как f'{z) в этой
точке не существует). Многозначность характера этой точки видна из
того, что, продолжая функцию yfz — л/Щег(р/п из некоторой области
через цепочку, обходящую 0, в ту же область и двигаясь против часо-
часовой стрелки, мы придем к функции ^/fije^(/?+27r^)//n, не совпадающей
с исходной. Другим примером особой точки многозначного характера
9 В.Я.Эйдерман

130	Гл. VI. Ряды
служит точка z* = 0 для функции Lnz. Подробным исследованием
таких точек мы заниматься не будем.
В заключение заметим, что в процессе аналитического продолже-
продолжения из кругов сходимости Dk можно построить риманову поверхность
полной аналитической функции f(z), на которой f(z) будет однознач-
однозначной. Для этого нужно считать, что если вновь получившийся круг
некоторой цепочки заходит на старый (например, круг Dk на D\ на
рис. 46), и получающееся продолжение fk(z) не совпадает с fi(z), то
этот новый круг располагается на ином листе, нежели D\ — над или
под ним (о римановых поверхностях см. § 10).
Подобно крохотному ростку, несущему в себе информацию об
огромном дереве, значения любой регулярной ветви, заданные в лю-
любом сколь угодно малом кружке, заключают в себе всю информацию
о полной аналитической функции, позволяя восстановить ее значения
с помощью аналитического продолжения.
§ 25. Ряды Лорана
Здесь мы рассмотрим разложения в ряды более широкого клас-
класса функций, чем рассматривали прежде, а именно: будем изучать
такие (однозначные) функции, которые аналитичны не во всем кру-
круге \z — zo\ < R, а лишь в кольце г < \z — zo\ < R. В частности, очень
важным будет случай г = 0, т.е. разложение функции в проколотой
окрестности точки zq. Эти разложения позволяют изучать функции
в окрестности точек, где они теряют аналитичность (особых точек).
Заметим, что степенных рядов нам теперь будет недостаточно, по-
поскольку такими рядами представляются только функции, аналитиче-
аналитические во всем круге \z — zo\ < R (см. теорему 22.1). Но мы добавим к
членам cn(z — zo)n с неотрицательными значениями п соответствую-
соответствующие члены с п = —1,-2,... и рассмотрим сумму двух рядов
— ОО
n(z-z0)n и Y, cn(z-z0)n.
П=0	П=—1
Разложение функции f(z) в кольце будем искать в виде
(X)	(X)	—(X)
/(*)= Yl cn{z - zo)n = Y,cn(z - zo)n + Y, cn(z-zo)n, B5.1)
причем под сходимостью ряда J^ cn{z — zo)n понимается сходи-
n= —oo
мость обоих рядов в правой части B5.1). Как и в §22, мы докажем
теоремы о существовании и единственности такого разложения. Нач-
Начнем с теоремы существования.

§25. Ряды Лорана
131
Теорема 25.1 (теорема Лорана). Пусть функция f(z) анали-
тична в кольце V = {г < \z — zo\ < R}. Тогда в этом кольце ее мож-
можно представить в виде суммы сходящегося ряда:
№= Y, cn(z-z0)n,
a= —oo
(С - zo)n
+i '
B5.2)
коэффициенты которого определяются по формулам
i = 0,±l,±2,..., r<p<R B5.3)
(здесь р — произвольное число, заключенное между г и R).
Доказательство. Пусть z — какая-либо точка кольца V.
Построим кольцо V = {г' < |С - zo\ < R'}, лежащее внутри коль-
кольца У и содержащее точку z. Для этого
следует выбрать числа г' и R' так, что-
чтобы г < г' < \z - zo\ < R' < R (рис. 47).
Обозначим через 1\ и Г2 окружности
|С - zo\ = R' и |( - zo\ = г'; обход обеих
окружностей зададим против часовой
стрелки. Через Г^~ обозначим окруж-
окружность | С — zo | = г' с обходом по часо-
часовой стрелке. Функция f(z) аналитична
в замкнутой области V', граница Г; ко-
которой состоит из кривых Fi и Г^~ (на-
(напомним, что при обходе границы об-
область должна оставаться слева). По
интегральной формуле Коши (см. тео-
теорему 18.1)
Рис. 47
*( \ _ 1 f f(OdC 1 f f(OdC _ 1 f f(OdC 1 [ fit)
Ti	r-	ri	r2
B5.4)
Разлож:ение в ряд первого интеграла в правой части B5.4) прово-
проводится так же, как и в доказательстве теоремы 22.2. Функцию
представляем в виде
1	1
1
(C-Zo)-(Z-Zo)	С -
1 -
¦20
где q =	-. Для всех С G
С — ?о
имеем
z — zo\ < \( — zo\, т.е. \q\ < 1.

132
Гл. VI. Ряды
Поэтому применима формула B2.6), согласно которой
C-2
n=0
n=0
причем ряд B5.5) сходится абсолютно и равномерно по переменному
? на Г].. Умножая равенства B5.5) на функцию -—:/(С)? ограничен-
Z7T2
ную на Fi (согласно замечанию 20.5, равномерная сходимость рядов
в B5.5) при этом не нарушается), и почленно интегрируя вдоль Fi,
получаем
где
п=0
cn{z-z0) , B5.6)
п=0
Cn-2riJ (C-
Итак, первый интеграл в правой части B5.4) мы разложили в схо-
сходящийся ряд по степеням (z — zo). Второй интеграл в B5.4) придется
разлагать иначе, поскольку для ( G Г2 будет
довательно, ряды в B5.5) расходятся. Имеем
— zo\ > \( — zo\ и, сле-
сле1
1
-zo l-
где q\ — 	-. Для всех ( G Г2 имеем \( — zo\ < \z — zo\, т.е. \qi\ < 1.
z — zo
Снова применяя формулу B2.6), получаем
n=0	n=0
При всех ( G Г2 выполняются равенства
(С - zo)n
(z - zo)n
+1
1
z — zo
(C-zo)n
1
B5-8)
\z-zo\
сходится, то в силу признака равномерной
Поскольку ряд ^2 \qi
сходимости Вейерштрасса (теорема 20.2) ряд в правой части B5.8)
сходится на Г2 абсолютно и равномерно по переменному (. Нам удоб-
удобно переписать этот ряд в несколько иной форме, введя новый индекс
суммирования к равенством к = — п — 1, т.е. п = — к — 1. Когда п при-
принимает значения 0,1, 2,..., индекс к пробегает значения —1,-2,-3,...

§ 25. Ряды Лорана	133
Поэтому равенство B5.8) перепишется в виде
Умножим равенства B5.9) на -—: /(?) (что не нарушит равномерной
сходимости рядов в B5.9) на окружности Г2) и почленно проинтегри-
проинтегрируем вдоль Г2:
f(Q(z-zo)k dC= "^
B5.10)
где
к = -1,-2,...	B5.11)
г2
Индекс к в формулах B5.10), B5.11) можно заменить любой дру-
другой буквой; в частности, можно снова обозначить его через п, где
п = — 1, — 2,... Подставляя разложения B5.6) и B5.10) в B5.4), при-
придем к равенству B5.2). Функция	чп+1 является аналитической
в кольце г < \( — zo\ < R. В соответствии со свойством неизменяемо-
неизменяемости интеграла при деформации пути интегрирования (следствие 16.4),
интегралы в B5.7) и B5.11) не изменятся, если окружности 1\ и Г2
заменить любым другим замкнутым путем интегрирования, лежащим
в этом кольце. В частности, если выбрать произвольное р, такое что
г < р < R, то обе окружности 1\ и Г2 можно заменить окружностью
|С — 2:о| — Р- При этом равенства B5.7) и B5.11) запишутся единой
формулой B5.3). Теорема 25.3 доказана.
Ряд B5.2) по целым степеням (z — zq) (как положительным, так
и отрицательным), коэффициенты которого определяются по форму-
(X)
лам B5.3), называется рядом Лорана функции f(z). Ряд ^2 cn(z ~
п=0
— (X)
— zo)n называется правильной частью, а ряд ^2 cn(z — zo)n (пишут
га=-1
-1
также J2 cn(z — zo)n) ~ главной частью ряда Лорана (обоснован-
п= — оо
ность названий выяснится в дальнейшем).
Перейдем теперь к вопросу о единственности разложения B5.2).
Теорема 25.2 (теорема единственности разложения функции в
ряд Лорана). Пусть в некотором кольце V = {г < \z — zo\ <
< R} функция f(z) разлагается в ряд B5.2). Тогда f(z) является

134	Гл. VI. Ряды
аналитической в V функцией, а коэффициенты сп, п = О, =Ы, ±2,...
разложения определяются однозначно по формулам B5.3).
Доказательство. Так как по условию теоремы ряд B5.2)
сходится в У, то сходятся оба ряда в правой части B5.1), состав-
ОО
ляющие ряд B5.2). Первый из них — ряд ^2 cn(z — zo)n — является
n=0
обычным степенным рядом, сходящимся в некотором круге с цент-
центром zo и расходящимся вне этого круга. Поскольку этот ряд сходит-
сходится в У, то все кольцо У лежит в круге сходимости. Так как сумма
степенного ряда аналитична в круге сходимости (свойство 21.6), то
оо
сумма Si(z) ряда ^2 cn{z — zo)n аналитична в У. По свойству 21.5,
этот ряд равномерно сходится в любом круге \z — zo\ < Rf, где В! < R.
Рассмотрим теперь второй ряд в правой части B5.1), а имен-
— оо
но ряд ^2 cn(z — %о)п• Сделаем замену переменных, положив Z =
га= —1
= 	, к = —п. Тогда изучаемый ряд примет вид ^2 C-kZk. Этот
ряд является степенным рядом относительно переменного Z с цен-
центром Zq = 0; он сходится в некотором круге \Z\ < Ro, расходится
вне его, и его сумма является аналитической функцией в этом кру-
круге. В круге \Z\ < R'o с R'o < Ro этот ряд сходится равномерно (свой-
(свойство 21.5). Возвратимся теперь к переменному z. Тогда круг \Z\ <
1
перейдет в множество
, или \z — zq\ > 1/Rqj т.е. во
внешность круга с центром' Ъо радиуса 1/Ro- Таким образом, ряд
— оо
^2 cn{z — zo)n сходится при \z — zo\ > 1/Ro K аналитической функ-
п=-1
ции S2(z) и расходится при \z — zo\ < 1/Ro- Поскольку этот ряд схо-
сходится в У, то все кольцо У лежит в области сходимости \z — zo\ > 1/Ro
этого ряда. При этом в области \z — zo\ > 1/R'o c R'o < Ro сходи-
сходимость будет равномерной. В частности, ряд равномерно сходится при
\z — zo\ > г', если г' > г.
Итак, оба ряда в правой части B5.1) сходятся в кольце У и их
суммы Si(z) и S2^z) аналитичны в У. Значит, функция f(z) = Si(z) +
+ S2(z) аналитична в У.
Покажем, что коэффициенты сп разложения определяются одно-
однозначно по формулам B5.3). Возьмем окружность Г = {\z — zo\ = р},
где г < р < R. Подберем числа г' и R' так, чтобы г < г' < р < R' < R.
Оба ряда в правой части B5.1) равномерно сходятся в кольце V =
= {г' < \z — zo\ < Rf}. Значит, и ряд
оо
? ck(z-zo)k=f(z)
к= — оо

§ 25. Ряды Лорана	135
сходится в нем равномерно. Это свойство сохранится после умноже-
умножения обеих частей на произвольную степень (z — zo)~n~1, п = 0,=Ы,
±2,..., так как каждая из этих степеней является функцией, ограни-
ограниченной в V (см. замечание 20.5):
/ v
A;= —oo
(z-zo)k n l = f(z)(z- zq) n 1 =
В силу теоремы 20.4 полученный ряд можно почленно интегрировать
вдоль Г:
CkJ{z- z0)	dz = J ^ _ ^n+1.	B5.12)
A;= — oo p	p
Воспользуемся теперь равенством A5.7):
/"-
- .	\
2тгг при т = — 1,
согласно которому все интегралы в левой части B5.12) равны нулю,
кроме одного, для которого к — п — 1 = — 1 (т.е. к = п) и который ра-
равен 2тгг. Поэтому в сумме из B5.12) остается лишь одно слагаемое
при к = п, и мы получаем
2тсп=
\Z Zq)
Г
что равносильно равенствам B5.3). Теорема 25.2 доказана.
При доказательстве теоремы 25.2 мы установили, что ряд B5.2)
сводится к объединению двух степенных рядов, один из которых схо-
сходится внутри некоторого круга с центром zq, а другой — вне круга
меньшего радиуса с тем же центром (если бы радиус второго круга
был больше, то множество сходимости ряда B5.2) было бы пустым).
Обозначим радиусы этих кругов Rur соответственно (здесь не утвер-
утверждается, что эти числа совпадают с внешним и внутренним радиуса-
радиусами кольца V в теоремах 25.1, 25.2). Отсюда и из свойств степенных
рядов (см. §21) вытекают следующие свойства ряда B5.2).
Свойство 25.3. Множеством сходимости ряда B5.2) являет-
является кольцо V = {г < \z — zo\ < R} с возможным добавлением некото-
некоторых или всех точек на его границе. При этом возможны случаи г = 0
и R = оо.
Свойство 25.4. Сумма S(z) ряда B5.2) является аналитиче-
аналитической функцией внутри кольца V.
Свойство 25.5. Ряд B5.2) можно почленно интегрировать и
почленно дифференцировать внутри кольца V любое число раз. По-
Полученные при этом ряды имеют то же кольцо сходимости У, что

136	Гл. VI. Ряды
и исходный ряд B5.2); сходимость в граничных точках может не
сохраняться.
Свойство 25.6. Если V = {г < \z — zo\ < R} является кольцом
сходимости ряда Лорана функции f(z) и 0 < г < R < оо, то и на
внутренней, и на внешней границах кольца V лежат особые точ-
точки функции f(z).
Доказательство. Ряд Лорана функции f(z) есть объедине-
(X)	(X)
(X)	(X)	^
ние двух степенных рядов Y cn(z — zo)n и Y c-kZk, где Z = 	.
п=0	k=l	Z - Zq
Кругами сходимости этих рядов являются \z — Zq\ < R и \Z\ < 1/r.
Согласно замечанию 2 § 22, на границе круга сходимости степен-
степенного ряда лежат особые точки его суммы. Значит, на окружно-
окружностях \z — zq\ = R и \Z\ = 1/r (т.е. \z — zq\ = г) лежат особые точки
(X)	—(X)
функций Si(z) = Yl cn(z - zo)n и S2(z) = Yl cn(z - zo)n соответ-
n=0	n=—l
ственно. Следовательно, на этих окружностях лежат особые точки
функции f(z) = Si(z) + /§2B:), что и требовалось доказать.
Для нахождения разложений в ряд Лорана широко используются
те же приемы, что и для разложения в ряд Тейлора, а именно метод
подстановки, почленное интегрирование и дифференцирование рядов
и т.д.
Пример 25.7. Найти все лорановские разложения функции
z -\-1
f(z) = —-(	—¦ по степеням (z — 1).
z[z — 1)
Решение. Сделаем замену переменного: w = z — 1, т.е. z = w +
+ 1. Выполнив подстановку, получим функцию g(w) = 7	7^—• Раз-
(w + l)w
ложим полученную дробь в сумму простейших дробей (подробнее о
разложении в сумму простейших дробей см. §32). Разложение будем
искать в виде
w + 2 _ А В
(w + l)w w w + 1'
где А и В — числа, которые предстоит найти. С этой целью приведем
дроби, стоящие справа, к общему знаменателю:
w + 2 _ A(w + 1) + Bw
(w + l)w	w(w + 1)
Отсюда следует, что w + 2 = A(w + 1) + Bw, причем равенство вы-
выполнено при всех значениях w, включая w = 0 и w = — 1 (это следу-
следует из непрерывности левой и правой частей этого равенства). При
w = 0 получаем 2 = А, т.е. А = 2; подставляя w = — 1, имеем 1 = —В,
т.е. В = — 1. Таким образом,
w

§25. Ряды Лорана	137
Эта функция имеет особые точки w = О, w = — 1 и, следовательно,
аналитична в кольцах V\ = {0 < \w\ < 1} и V2 = {1 < |Н < оо}. Най-
Найдем лорановские разложения в каждом из этих колец.
При \w\ < 1 справедлива формула B2.14), которая дает
i	^ -1)п+1«л о < и < 1.
п=0	п=0
При \w\ > 1 полученный ряд перестает сходиться. Поэтому для раз-
разложения функции g(w) в кольце V<i следует преобразовать дробь:
1	^ 1
1 _|_ J_ '
При |w;| > 1 будет
< 1. Поэтому применима формула B2.14), если
вместо z подставить в	нее 1/w. Выполняя указанные подстановки,
получим
( ) - 2	1 - 2	l	l	- 2	1 VV -\\п 1 _
w w + 1 w w 1 + 1/w w w ^-^	wn
-. \n-l-1	—(п-\-Л ^21
W	W
п=0	га=1
=	h N ( — l)kWk. I < W < ОО
k=-2
(мы сделали замену к = — (п + 1) и воспользовались равенством
(—1)к = (—1)~к). Возвращаясь к переменному z = w + 1, получаем ис-
искомые разложения функции f(z):
-1 \П+1 /	-|\П	Г\ г^ \v Л\ ^ Л •	@^ Л*\\
— л-)	[Z — 1) , U \ \Z — 1 \ 1,	IZO.1O)
п=0
— оо
/(z) = —^- + J^ (-l)^(^ - 1)^, 1 < |z - 1| < оо.	B5.14)
При 0 < \z — 1| < 1 главная часть разложения состоит только из од-
одного члена 	 (все остальные коэффициенты главной части рав-
равны нулю), а ряд в B5.13) дает правильную часть разложения. При
1 < \z — 1| < оо разложение состоит только из главной части, а все ко-
коэффициенты правильной части обращаются в нуль. По теореме 25.2
полученные разложения единственны (хотя их можно находить и дру-
другим способом). Заметим, что каждая граница рассматриваемых колец
(т.е. окружности \z — 1| = 0 с радиусом 0 и \z — 1| = 1с радиусом 1)
содержат особые точки функции f(z).

Глава VII
ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
И ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
§ 26. Классификация изолированных особых точек
Пусть zo — особая точка функции f(z), т.е. f(z) не является анали-
аналитической в этой точке (в частности, может быть не определена в ней).
Если найдется такая проколотая окрестность точки z$ (т.е. множество
О < \z — zo\ < R), в которой f(z) аналитична, то z$ называется изоли-
изолированной особой точкой функции f{z). Данное определение сохра-
сохраняется и в случае zo = оо, если под проколотой окрестностью точки
zo = оо понимать множество \z\ > R — внешность некоторого круга с
центром в начале координат. Другими словами, особая точка z$ назы-
называется изолированной, если найдется такая окрестность этой точки, в
которой нет других особых точек, отличных от z$. Всюду в дальней-
дальнейшем мы рассматриваем только особые точки однозначного характера
(функция f(z) предполагается однозначной).
В зависимости от поведения функции f(z) при z —> z$ различают
три типа особых точек. Изолированная особая точка zo функции f(z)
называется:
1)	устранимой особой точкой, если существует конечный предел
Дт f(z) = A;
2)	полюсом, если существует предел
^lim f(z) = оо;
3)	существенно особой точкой, если f(z) не имеет ни конечного,
ни бесконечного предела при z —> zq.
Пример 26.1. Покажем, что все три типа особых точек реализу-
реализуются. Рассмотрим fi(z) = 	. Точка z$ = 0 является изолированной
особой точкой этой функции. Используя формулу B2.12), получим
разложение
sinz	z2 zA	°°	z2n
^^ ~ ~z~ ~ ~ ЗГ + "бГ ~ " ' ~ 2^^~ ^ Bп + 1)!'
п=0

§26. Классификация изолированных особых точек	139
из которого следует, что существует lim fAz) = 1. Поэтому zo = 0 яв-
ляется устранимой особой точкой функции fi(z).
Функция /2B) — 	 имеет полюс в точке zq = 1, поскольку
lim	 = оо.
z-H 2-1
Рассмотрим теперь функцию /з(^) — ^'z и покажем, что zq = О
является существенно особой точкой этой функции. При стремле-
стремлении z к нулю по действительной оси левый и правый пределы функ-
функции fs(z) различны: lim е1//ж = 0, lim е1//ж = оо. Отсюда следует,
х—»-0—О	х—^0+0
что /з(^) не имеет ни конечного, ни бесконечного предела при z —> О,
т.е. zo = 0 — существенно особая точка этой функции. (Заметим, что
при стремлении точки z = гу к нулю по мнимой оси функция
е1у/^ = е~г1у — cos	г sin -
вообще не имеет предела.)
Существуют, конечно, и неизолированные особые точки. Напри-
Например, функция -—;—ГТ имеет полюсы в точках zn = —, п = =Ы,±2,...
smGr/^)	n
Следовательно, ^о = 0 является неизолированной особой точкой этой
функции: в любой (сколь угодно малой) окрестности этой точки име-
имеются другие особые точки zn.
Пусть zo — конечная изолированная особая точка функции f(z).
Тогда f(z) аналитична в некоторой проколотой окрестности 0 <
< \z — zo\ < R точки zo; эту окрестность можно рассматривать как
кольцо с внутренним радиусом г = 0. По теореме 25.1 в рассматривае-
рассматриваемой окрестности функцию f(z) можно разложить в ряд Лорана B5.2).
Мы покажем, что поведение функции при z —> zq (т.е. тип особой точ-
точки zo) зависит от вида главной части разложения B5.2); этим обсто-
обстоятельством и объясняется происхождение термина "главная часть".
Теорема 26.2. Изолированная особая точка zo функции f(z)
является устранимой тогда и только тогда, когда лорановское раз-
разложение в проколотой окрестности этой точки имеет вид
(X)
Cn{z-zo)n,	B6.1)
п=0
т.е. состоит только из правильной части, а все коэффициенты
главной части равны нулю.
Доказательство. 1. Пусть zo — устранимая особая точка.
Докажем, что лорановское разложение функции f(z) имеет вид B6.1).
Так как особая точка zo устранимая, то существует конечный предел
lim f(z) = А. Следовательно, f(z) ограничена в некоторой проколо-

140	Гл. VII. Изолированные особые точки и теория вычетов
той окрестности 0 < \z — zo\ < R\ точки zo, т.е. \f(z)\ < М для всех z
из этой окрестности. Возьмем любое р, 0 < р < Ri, и воспользуемся
формулами B5.3) для коэффициентов ряда Лорана:
\Сп\ =
J_ f f(Qd( J_ f
2тгг У (C-*0)n+1 ^ 2тт У
|C-*o|=P
1/@1 MCI
|C"*o|=P
|С -
г^ТГ	, n = 0,±l,±2,...
|C-*o|=P
Для коэффициентов главной части разложения п = — 1, — 2,... Для
таких значений п имеем р~п —у 0 при ^ —у 0. Так как значение р может
быть выбрано сколь угодно малым, то и Мр~п может быть сколь
угодно малым. Поскольку \сп\ ^ Мр~п и сп не зависят от р, то сп = 0
при п — — 1,— 2,..., что и требовалось доказать.
2. Предположим теперь, что лорановское разложение имеет вид
B6.1). Ряд B6.1) является степенным рядом и, следовательно, схо-
сходится не только в проколотой, но и во всей окрестности \z — z§\ <
< i?, включая и точку ^о; его сумма S(z) аналитична при \z\ < R
и S(z) = f(z) при 0 < |z — zo\ < R. Поэтому существует конечный
предел lim f(z) = lim S(z) = S(zo). Следовательно, особая точка zo
устранимая. Теорема доказана.
Замечание. Из доказательства теоремы следует, что в проко-
проколотой окрестности 0 < \z — zq\ < R устранимой особой точки функ-
функция f(z) совпадает с функцией S(z), аналитической во всей окрест-
окрестности \z — zo\ < R. Поэтому, если мы положим f(zo) = S(zo), то, не
меняя значений функции f(z) ни в каких точках проколотой окрест-
окрестности, мы сделаем эту функцию аналитической в zo, т.е. "устраним"
особенность. Этим и объясняется термин "устранимая особенность".
Такие точки естественно считать правильными, а не особыми точка-
точками функции f(z).
Рассмотрим, например, функцию
В примере 26.1 было показано, что lim fi(z) = 1, т.е. особая точка
z0 = 0 устранимая. Полагая /i@) = 1, мы тем самым устраним осо-
особенность и получим функцию, аналитическую в точке zo = 0 (и во
всей плоскости С).
Дадим теперь характеристику полюсов в терминах лорановских
разложений.
Теорема 26.3. Изолированная особая точка zo функции f(z)
является полюсом тогда и только тогда, когда главная часть раз-
разложения Лорана с центром zq имеет лишь конечное число отличных

§26. Классификация изолированных особых точек	141
от нуля коэффициентов сп:
ОО
/(*)= 5Z cn(z-z0)n, N>0.	B6.2)
n=-N
Доказательство. 1. Пусть z0 — полюс, т.е. lim f(z) = оо.
Докажем, что лорановское разложение функции f(z) имеет вид B6.2).
Так как lim f(z) = оо, то существует проколотая окрестность точ-
Z—>Zq
ки 2о, в которой f(z) аналитична и не имеет нулей. Тогда функция
g{z) = 1/f(z) тоже будет аналитической в этой проколотой окрест-
окрестности, причем lim g(z) = 0. Следовательно, zq является устранимой
особой точкой функции g(z). Доопределим g(z) в точке zo, поло-
положив g(zo) = 0. Тогда g(z) станет аналитической во всей окрестности
(не проколотой) точки zo, причем z$ будет ее изолированным нулем.
Обозначим через N кратность (порядок) этого нуля. Как было пока-
показано в § 23, в окрестности точки zo функция g{z) представима в виде
(см. B3.2))
g(z) = (z-z0) <p{z),
причем ip(zo) ф 0 и ip(z) аналитична в некоторой окрестности точ-
точки zo. Так как ip(z) непрерывна в точке zo и cp(zo) ф 0, то ip(z) не
имеет нулей и в некоторой окрестности этой точки. Поэтому функция
l/ip(z) будет также аналитической в этой окрестности и, следователь-
следовательно, разлагается в ней в ряд Тейлора:
— = b0 + bi(z - Zq) + b2(z - ZqJ + . . . + bn(z - Z0)r
Отсюда получаем
i ( \ =	=
J[Z) g(z) (z-zo)Nv(z) (z-zo)N^(z)
= t	г—ш (bo + h(z - zo) + b2(z - zoJ + ...)•
Раскрывая скобки и меняя обозначения коэффициентов, запишем по-
последнее разложение в виде
'-z0)^ {z-zo)"-*	z-zo
B6.3)

142	Гл. VII. Изолированные особые точки и теория вычетов
где c-n — bo ф 0. Таким образом, главная часть лорановского раз-
разложения функции f(z) содержит лишь конечное число членов; мы
пришли к искомому равенству B6.2).
2. Пусть в проколотой окрестности точки z$ функция f(z) пред-
представляется лорановским разложением B6.2) (в более развернутом ви-
виде см. B6.3)), главная часть которого содержит лишь конечное число
членов, причем с_дг ф 0. Надо доказать, что zo — полюс функции f(z).
Умножая равенство B6.3) на (z — zo)N, получим функцию
h(z) = f(z)(z - zo)N = C-N + C-N+1(z - z0) + C-N+2(z - z0J + ...
B6.4)
Ряд в B6.4) является степенным рядом, сходящимся к аналитической
функции не только в проколотой, но и во всей окрестности точки zq.
Поэтому функция h(z) станет аналитической в этой окрестности, если
доопределить ее в zo, положив h(zo) = с_дг ф 0. Тогда
lim f(z) = lim -	^L = oo.
z^Zq	z^z0 (Z — ZoI"
Таким образом, точка zq является полюсом, и теорема 26.3 доказана.
Кратность (порядок) нуля zo функции g(z) = 1/f(z) называется
порядком полюса zo функции f(z). Если N — порядок полюса zo, то
g(z) — (z — zo)N(f(z), причем (p(zo) ф 0, и, как показано в первой части
доказательства теоремы 26.3, разложение функции f(z) имеет вид
B6.3), где c-n ф 0. Обратно, если f(z) раскладывается в ряд B6.3) и
C-N ф 0, ТО
f(z) - v~ ~uy h(z) - v~ ~uy ^v^' w ^v~uy - h(z0) "~ '
т.е. N — порядок полюса функции f(z). Таким образом, порядок полю-
полюса zo функции f(z) равен номеру старшего ненулевого коэффициента
главной части лорановского разложения в проколотой окрестности
точки zo (т.е. равен такому числу JV, что с_дг ф 0 и сп = 0 при п > N).
Докажем следующее утверждение, удобное для применений.
Следствие 26.4. Точка zo является полюсом порядка N функ-
функции f(z) тогда и только тогда, когда f(z) представима в виде
где h(z) — аналитическая функция в окрестности точки zq и
h(z0) ф 0.
Доказательство. Функция ip(z) = l/h(z) аналитична в
некоторой окрестности точки zq. Условие следствия 26.4 равносильно
следующему:
9(z) = jL. = (z- zo)N • Щ = (^ " *o)N<p(z), <РЫ ф 0.

§26. Классификация изолированных особых точек	143
Поэтому zo — нуль кратности N функции g(z), а значит, и полюс
кратности N функции f(z).
Пример 26.5. Найти изолированные особые точки функции
f(z) =	z~ 1
JK) (z2 + l)(z + 3J
и определить их тип.
Решение. Особыми будут точки, в которых (z2 + l)(z + ЗJ = 0.
Если z2 + 1 = 0, то z — ±г; если (z + ЗJ =0, то z — -3. Поэтому
функция имеет три особые точки z\ = i, z^ = —i, z<$ = —3. Рассмот-
Рассмотрим Z\.
2-1	_ 1	2-1	_ hi(z)
/(*) =
J- Так как Л1@ = 5г^Т^ ^ °' т° Zl = * "
()()	^^
полюс первого порядка (мы воспользовались следствием 26.4). Анало-
Аналогично доказывается, что z^ — — г тоже полюс первого порядка. Для z%
имеем
г/ ч _ 	z-1	 _ h3(z) 7 / ч _ z-1
J[Z>~ (z-i)(z + i)(z + 3y ~ (^ + 3J' Пз^>- (z-i)(z + i)'
—3 — 1
Так как hs(—S) = ——,—-—г- Ф 0, то 2:3 = — 3 — полюс второго по-
4^ о ~г 1)
рядка.
Перейдем к рассмотрению существенно особых точек.
Теорема 26.6. Изолированная особая точка zo функции f(z)
является существенно особой тогда и только тогда, когда главная
часть разложения Лорана с центром z$ имеет бесконечно много от-
отличных от нуля коэффициентов сп.
Доказательство. Теорема 26.6 непосредственно вытекает из
теорем 26.2 и 26.3. Действительно, если точка zo — существенно осо-
особая, то главная часть лорановского разложения не может отсутство-
отсутствовать либо содержать конечное число членов (в противном случае точ-
точка zo будет либо устранимой, либо полюсом). Поэтому число членов
в главной части должно быть бесконечным.
Обратно, если главная часть содержит бесконечно много членов,
то zo не может быть ни устранимой точкой, ни полюсом. Следова-
Следовательно, эта точка — существенно особая.
Согласно определению, существенно особая точка характеризуется
тем, что функция f(z) не имеет ни конечного, ни бесконечного преде-
предела при z —> zo. Полное представление о том, насколько нерегулярным
является поведение функции в окрестности существенно особой точ-
точки, дает следующая теорема.

144	Гл. VII. Изолированные особые точки и теория вычетов
Теорема 26.7 (теорема Сохоцкого). Если zo — существенно
особая точка функции f(z), то для любого комплексного числа А,
включая А = оо, найдется последовательность точек zn такая,
что zn -»> z0 и lim f(zn) = А.
п—>-оо
Доказательство. Рассмотрим вначале случай А = оо. В первой
части доказательства теоремы 26.2 мы установили, что если f(z) ограниче-
ограничена в некоторой проколотой окрестности точки zo, то все коэффициенты сп,
п = — 1, — 2,... главной части равны нулю (и, следовательно, особенность
в zo устранимая). Так как по условию zq существенно особая точка, то в
любой проколотой окрестности точки zq функция f(z) является неограни-
неограниченной. Возьмем некоторую проколотую окрестность 0 < \z — zo\ < Л, в ко-
которой f(z) является аналитической. В этой окрестности найдется точка zi,
такая что |/(^i)| > 1 (если бы \f(z)\ < 1 во всех точках, то f(z) была бы
ограниченной). Точно также в проколотой окрестности 0 < z — zo\ < R/2
найдется точка Z2, в которой 1/B2)| > 2, и т.д.: в проколотой окрестности
О < \z — zo\ < R/n найдется точка zn, в которой |/Bте)| > п. Очевидно, что
zn —>- zo и lim f(zn) = 00. Таким образом, в случае А = оо теорема 26.7
п—Уоо
доказана.
Пусть теперь А ф оо. Предположим вначале, что найдется проколотая
окрестность 0 < \z — zo\ < Ri, в которой f(z) / А. Тогда функция Ф(г) =
= . .	— будет аналитической в этой проколотой окрестности и, сле-
следовательно, zo является изолированной особой точкой функции Ф(з). По-
Покажем, что zo — существенно особая точка Ф(з). Пусть это неверно. То-
Тогда существует предел lim Ф(я), конечный либо бесконечный. Поскольку
f(z) = А+ т / \ ? т0 тогДа существует и lim f(z), что противоречит усло-
условию теоремы. Таким образом, zo — существенно особая точка функции Ф(з).
Согласно доказанному выше, найдется последовательность точек zn, такая
что zn —>- zo и lim *&(zn) = 00. Отсюда
п—^оо
lim f(zn) = Hm (A + ^—r) = А + lim -—- = А.
Мы доказали нужное утверждение в предположении, что f(z) ф А в неко-
некоторой проколотой окрестности точки zq. Предположим теперь, что это
неверно, т.е. в любой сколь угодно малой проколотой окрестности точки
zo найдется такая точка z', что f(zf) = А. Тогда для любого п в проко-
проколотой окрестности 0 < \z — zo\ < R/n можно выбрать такую точку zn. Мы
получим последовательность точек, для которых f(zn) = А и zn —>¦ zq. По-
Поэтому и lim f(zn) = А. Таким образом, нужное утверждение справедливо
п—^оо
во всех случаях, и теорема 26.7 доказана.
Согласно теореме 26.7 (Сохоцкого), в любой (сколь угодно малой)
проколотой окрестности существенно особой точки функция f(z) при-
принимает значения, сколь угодно близкие к любому числу из расширен-
расширенной комплексной плоскости С.

§26. Классификация изолированных особых точек	145
Для исследования изолированных особых точек часто бывают по-
полезными уже известные тейлоровские разложения основных элемен-
элементарных функций.
Пример 26.8. Определить тип особой точки z$ = 0 для функции
f( } -	eSZ ~1
I[Z) ~ (smz)-z + z3/6'
Решение. Разложим числитель и знаменатель в ряд Тейлора по
степеням z. Подставляя в B2.11) 3z вместо z и вычитая 1, получим
1 2! ' 3!
Используя B2.12), получим разложение знаменателя:
6 " 5! 7! ' '''
Ряды в этих разложениях сходятся во всей комплексной плоскости С.
Имеем
/ 9^ 27г2 \	9^ 27^2
5! ~ 7Г + '"
где
. Так как h(z) = ^, причем fi(
) =2. Так как h(z) = ^,
5! ~ 7T + '"
и /2B) аналитичны в окрестности точки ^о = 0 (и даже во всей плоско-
плоскости) и /2(^0) 7^ 0; т0 ^1B:) также аналитична в некоторой окрестности
точки zo = 0; при этом h@) = 3 • 5! ф 0. Согласно следствию 26.4, точ-
точка zq = 0 является полюсом порядка N = 4.
Пример 26.9. Найти особые точки функции f(z) = sin ¦
z-\
определить их тип.
Решение. Функция имеет единственную конечную особую точ-
точку zo = 1. В остальных точках из С функция w =	 аналитична;
следовательно, и функция sin w будет аналитической.
Подставляя в разложение синуса B2.12)	 вместо z, получим
1	1
1
3! (
1
>-d»
1
+ 5! (
1
^ Bn + l)! (^-lJri+1
п=0
10 В.Я.Эйдерман

146	Гл. VII. Изолированные особые точки и теория вычетов
Мы получили разложение функции sin	 в ряд Лорана в про-
проколотой окрестности точки zo = 1. Поскольку полученное разложе-
разложение содержит бесконечно много членов с отрицательными степеня-
степенями (z — 1), то zo = 1 — существенно особая точка (в данном случае
лорановское разложение состоит только из главной части, а правиль-
правильная часть отсутствует).
Заметим, что установить характер особенности в данном случае
можно было и непосредственно из определения, не прибегая к разло-
разложению в ряд. Действительно, существуют последовательности {z'n}
и {^}, сходящиеся к zo = 1, и такие, что f(z'n) = 1, f{z'^) = 0 (укажи-
(укажите такие последовательности самостоятельно). Значит, f(z) не имеет
предела при z —> 1 и, следовательно, точка zq = 1 является существен-
существенно особой.
Введем понятие лорановского разложения функции в окрестности
точки zo = оо и рассмотрим связь разложения с характером особен-
особенности в этой точке. Отметим, что определения изолированной особой
точки и ее типа (устранимая, полюс либо существенно особая) перено-
переносятся на случай zo = оо без изменений. Но теоремы 26.2, 26.3 и 26.6,
связанные с характером лорановских разложений, нуждаются в из-
изменении. Дело в том, что члены cn{z — zo)n, n = — 1, — 2,..., главной
части, определяющие "нерегулярность" функции вблизи конечной
точки zq, при стремлении z к оо будут вести себя "правильно" (стре-
(стремиться к 0). Напротив, члены правильной части с п = 1, 2,... будут
стремиться к оо; они и определяют характер особенности в z$ = оо.
Поэтому главную часть разложения в окрестности оо будут состав-
составлять члены с положительными степенями п, а правильную — с отри-
отрицательными.
Введем новое переменное w = 1/z. Функция w = 1/z, доопределен-
доопределенная так, что w(oo) = 0, взаимно однозначно и конформно отобража-
отображает окрестность \z\ > R точки z$ = оо в окрестность \w\ < 1/R точ-
точки wo = 0. Если функция f(z) аналитична в проколотой окрестности
R < \z\ < оо точки zo = оо, то функция G(w) = f(l/w) будет анали-
аналитической в проколотой окрестности 0 < \w\ < 1/R точки wo = 0. Так
как при z —У оо будет w —> 0, то
lim f(z) = lim G(w).
Поэтому G(w) имеет в точке wo = 0 особенность того же типа, что f(z)
в точке zo = оо. Разложим функцию G(w) в ряд Лорана в проколотой
окрестности точки wq = 0:
k=-oo	k=0	k= — l
Суммы в правой части B6.5) представляют правильную и главную

§26. Классификация изолированных особых точек	147
части разложения соответственно. Перейдем к переменному z, под-
подставив w = 1/z:
оо	—оо
k=0	k=-l
Обозначая п = -к, Ьи = Ь-п = сп и замечая, что G(l/z) = f(z), полу-
чим
f(z) = 5] cnzn + ? cnzn.	B6.6)
n=0	ra=l
Разложение B6.6) называется разложением Лорана функции f{z) в
проколотой окрестности точки 2:0 = 00. Первая сумма в B6.6) назы-
называется правильной частью, а вторая сумма — главной частью этого
разложения. Поскольку эти суммы соответствуют правильной и глав-
главной частям разложения B6.5), то для разложения B6.6) справедливы
аналоги теорем 26.2, 26.3 и 26.6. Так, аналогом теоремы 26.2 будет
следующая теорема.
Теорема 26.10. Изолированная особая точка z$ = 00 функции
f(z) является устранимой тогда и только тогда, когда лорановское
разложение в проколотой окрестности этой точки имеет вид
„*" = со + ^- + ^г + ...)	B6.7)
т.е. состоит только из правильной части.
Положим /(оо) = со- Функция, определенная рядом B6.7), сходя-
сходящимся в окрестности \z\ > R точки z$ = 00, называется аналитиче-
аналитической в точке zo = 00. (Заметим, что это определение равносильно
аналитичности функции G(w) в точке wo = 0.)
Пример 26.11. Исследовать особую точку z$ = 00 функции
J[Z>~ (^ + 1)(^ + 3J'
Решение. Найдем предел функции f(z) при z —У оо:
lim f(z) = lim	\	= 0.
z^oo	z^oo (z2 + l)(z + ЗJ
Так как предел конечен, то zo = 00 — устранимая особая точка функ-
функции f(z). Если положить /(оо) = lim f(z) = 0, то f(z) станет анали-
z—>-оо
тической в точке z$ = 00. Укажем, как найти соответствующее разло-
разложение B6.7). Перейдем к переменному w = 1/z. Подставляя z = 1/w,
получим
1
10*

148	Гл. VII. Изолированные особые точки и теория вычетов
(последнее равенство справедливо в проколотой окрестности точ-
точки wo = 0, но мы доопределим G@) = 0). Полученная функция имеет
особые точки ги = ±г, w = —1/3, ав точке wo = 0 является аналити-
аналитической. Раскладывая функцию G(w) по степеням w (как это делалось
в примере 25.7) и подставляя в полученный степенной ряд w = 1/z,
можно получить разложение B6.7) функции f(z).
Теорема 26.3 для случая zo = oo перепишется в следующем виде.
Теорема 26.12. Изолированная особая точка z$ = oo функции
f(z) является полюсом тогда и только тогда, когда главная часть
разложения Лорана B6.6) имеет лишь конечное число отличных от
нуля коэффициентов сп:
— оо
z2 + + cNzN)
f(z) = ^ cnzn + (Clz + c2z2 + ... + cNzN), N > 0.	B6.8)
n=0
Здесь ряд является правильной частью, а многочлен в скобках —
главной частью разложения. Кратность полюса в оо определяется как
кратность полюса w$ = 0 функции G(z). Легко видеть, что кратность
полюса совпадает с числом N в B6.8).
/2 _|_ -| \ / _|_ о\2
Задача. Покажите, что функция f(z) =	—	— имеет в
точке zo = оо полюс порядка 3.
Теорема 26.6 о существенно особой точке переписывается для слу-
случая zo = оо почти дословно, и мы не останавливаемся на этом под-
подробно.
§ 27. Вычет функции в изолированной особой точке
Согласно теореме 16.1 (Коши), интеграл от аналитической функ-
функции f(z) по замкнутому контуру Г равен нулю, если Г лежит в области
аналитичности функции f(z) и не содержит внутри себя особых то-
точек функции f(z). Если же внутри контура Г имеются особые точки,
то интеграл по Г от f(z) может быть отличным от нуля. Оказыва-
Оказывается, значение этого интеграла зависит от поведения функции лишь
в сколь угодно малых проколотых окрестностях особых точек внут-
внутри Г; точнее, зависят от интегралов по сколь угодно малым контурам,
охватывающим особые точки. Нам понадобится следующее важное
определение.
Пусть zo — (конечная) изолированная особая точка функции f(z).
Тогда f(z) аналитична в некоторой проколотой окрестности V = {0 <
< \z — zo\ < R} точки zo. Возьмем замкнутый контур 7? лежащий в
этой окрестности и охватывающий точку zq. Вычетом функции f(z)

§27. Вычет функции в изолированной особой точке
149
в точке
называется число
, равное — / f(z) dz; предполагает-
2тгг J
ся, что контур 7 обходится в положительном направлении (т.е. так,
что внутренность контура с точкой zo остается слева). Вычет обо-
обозначается res^0 / (от французского слова residu). Таким образом,
(z)dz.	B7.1)
Согласно свойству неизменяемости интеграла при деформации пути
интегрирования (следствие 16.4), интеграл в B7.1) принимает одно
и то же значение для всех контуров, охватывающих zo и лежащих
в У. В частности, в качестве 7 можно взять окружность \z — zo\ — р
с центром zo и достаточно малым радиусом р < R.
Теорема 27.1 (основная теорема о вычетах). Пусть Г — за-
замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции
f(z), и пусть f(z) аналитична во всех точках внутри Г, за исключе-
исключением п изолированных особых точек z\, 22,..., zn. Тогда интеграл от
f(z) no Г равен сумме вычетов в этих особых точках, умноженной
на 2тгг:	«	п
/ f (у\ г\у — 9тг7 \ грч f	f97 9"i
/ j\z)az — Z7r^/-^ Zk J'	\*i.*)
Доказательство. Пусть внутри Г расположены изолиро-
изолированные особые точки z\, 22,..., zn (рис.48). Окружим каждую из
этих точек Zk достаточно ма-
малой ОКРУЖНОСТЬЮ 7/е = {\z ~
— zk\ = Pk} так, чтобы каждая
окружность 7/е заключала
внутри себя только одну осо-
особую точку Zk, целиком лежа-
лежала внутри Г и не пересека-
пересекалась с другими окружностями.
Функция f(z) аналитична в
замкнутой (п + 1)-связной об-
области D, ограниченной внеш-
внешним контуром Г и внутренни-
внутренними контурами 7ъ725 • • • ->1п (эта область получается, если из множе-
множества точек, лежащих на контуре Г и внутри него, вырезать круги
z — zk\ < Pk)- По теореме Коши для многосвязной области (см. тео-
теорему 16.2 и формулу A6.5))
-^ис-
f(z)dz.
B7.3)
В силу B7.1) для каждого интеграла в правой части B7.3) спра-

150	Гл. VII. Изолированные особые точки и теория вычетов
ведливо равенство / f{z)dz = 27rires^fc /. Подставляя эти равенства
в B7.3), приходим к формуле B7.2), что нам и требовалось.
Согласно теореме 27.1, такая характеристика функции f(z), как
интеграл по границе замкнутой области D, зависит лишь от ее ло-
локальных свойств — поведения вблизи особых точек. Как мы сейчас
увидим, вычеты функции в ее особых точках полностью определяют-
определяются главными частями лорановских разложений в проколотых окрест-
окрестностях этих точек. Таким образом, теорема 27.1 дает нам один из
многих примеров, когда важные глобальные характеристики анали-
аналитической функции определяются главными частями ее лорановских
разложений. (Это обстоятельство допускает физическую интерпре-
интерпретацию. Если трактовать аналитическую функцию как комплексный
потенциал поля скоростей течения жидкости, то особые точки будут
интерпретироваться как источники, стоки, вихри и другие элементы,
определяющие это поле. Не останавливаясь здесь на этом подробно,
мы отсылаем читателя к книгам [5], [13].)
Установим теперь связь между вычетом функции и коэффициен-
коэффициентами ее лорановского разложения.
Теорема 27.2. Вычет функции f(z) в изолированной особой
точке zo равен коэффициенту c_i при (z — zo)~1 в лорановском раз-
разложении B5.2) функции f{z) в проколотой окрестности точки z§\
resZof = c_i.	B7.4)
Доказательство. Нужное равенство сразу следует из фор-
формулы B5.3) для коэффициентов сп лорановского разложения. Дей-
Действительно, полагая в B5.3) п = — 1 и обозначая 7 = {\( — ^о| = р}, по-
получим
7	7
(последнее равенство выполнено согласно B7.1)). Тем самым равен-
равенство B7.4) доказано.
Если zo — устранимая особая точка, то лорановское разложение
в проколотой окрестности этой точки состоит только из правильной
части, а все коэффициенты главной части равны нулю. Отсюда и из
теоремы 27.2 сразу следует, что в устранимой особой точке вычет
равен нулю.
Дадим теперь удобные формулы для вычисления вычета в полюсе.
Рассмотрим вначале полюсы первого порядка; такие полюсы называ-
называются простыми.
Теорема 27.3. 1. Пусть zo — полюс первого порядка функции
f(z). Тогда
reszof= lim(z-zo)f(z).	B7.5)

§27. Вычет функции в изолированной особой точке	151
2. Пусть в проколотой окрестности точки zo функция f(z) име-
имеет вид f(z) = ( . , где функции cp(z) и ip(z) аналитичны в ^о, при-
причем tp(zo) ф О, ip(zo) = 0 и ip'(zo) ф О (отсюда следует, что z0 — нуль
первого порядка функции ip(z) и, следовательно, полюс первого поряд-
порядка функции f(z)). Тогда
Доказательство. 1. Пусть zo — полюс первого порядка. Со-
Согласно теореме 26.3, лорановское разложение функции f(z) в проко-
проколотой окрестности точки zq имеет вид
f()
z~zo ^о
Умножим обе части равенства на (z — zo):
оо
(z - zo)f(z) = c_i + Y, °n(z - zo)n+1.
n=0
Переходя к пределу при z —> zo и применяя равенство B7.4), получим
lim (z - zo)f(z) = c_i = res^0 /,
Z—>Zq
что и требовалось.
2. Предположим теперь, что f(z) = (p(z)/^(z), причем функции
ip(z) и ijj(z) удовлетворяют указанным выше условиям теоремы. При-
Применяя B7.5), получим
- r (z - zo)(p(z) r (z - zo)(p(z)
TesZo f = lim	f \ y = lim -77-7—^гЧ-
°	z^zo	$(z)	z^z0 il)(z) - ФЫ
<p(zo)
Z — Zo	z^-zq	Z — Zo
и формула B7.6) доказана.
Теорема 27.4. Пусть zo — полюс порядка п > 1 функции f(z).
Тогда
res-o / = (^уу J™((* " ^o)n/W)(n-1}	B7.7)
(т.е. вычет функции f(z) в точке z$ равен пределу производной
(п — 1)-го порядка функции (z — zo)nf(z), деленному на (п — 1)!).
Доказательство. Так как zo — полюс порядка п, то лора-
лорановское разложение функции f(z) в проколотой окрестности точки zq

152	Гл. VII. Изолированные особые точки и теория вычетов
имеет вид
Умножим обе части равенства на (z — zo)n:
(z - zo)nf(z) = c_n + ... + c^(z - zo)^1 +
k=0
Полученное равенство продифференцируем (n — 1) раз по переменно-
переменному z. При этом (п — 1)-е производные всех слагаемых со степенями,
меньшими п — 1, обратятся в нуль. Отсюда
= (n - l)!c_i + ^2(k + n)(k + n - 1) • ... • (fe + 2)cfcB - 2:0)fe+1.
fc=o
Переходя к пределу при z —> z$ и применяя равенство B7.4), получим
lim ((z - ^0)n/W)(n~1} = (п - 1)! c_i = (n - 1)! res^0 /,
откуда сразу следует нужная формула B7.7).
Для вычисления вычетов в существенно особых точках аналогич-
аналогичных формул не существует, и надо находить главные части лоранов-
ского разложения.
Пример 27.5. Найти вычеты функции f(z) = -r—z——7	гт^ в
(zz + ±){z + 3y
ее особых точках.
Решение. В примере 26.5 мы установили, что данная функция
имеет три особые точки z\ — г, z^ — — г, z% = —3, причем z\ и z^ яв-
являются полюсами первого порядка, а^- полюсом второго порядка.
Вычеты в точках г и —г найдем по формуле B7.5):
reSi / = hm (;g2 + 1)(;g + 3J = 1™ (^_i)(^ + i)(^4_3J =
^-1	г-1	г-1
= lim
+ г)(^ + ЗJ 2г(г + ЗJ 2г(-1 + 6г + 9)
_ г-1 _ (г-1)(-3-4г)
4(-3 + 4г) ~ 4((-3J + 42 ~ Too"'
res.» / = hm.	= hm.
z^_t {Z - l)yz ^ %}KZ ^ 3J	z^-i (Z - i)(z + 3J
-г-1 _	г + 1	_ г + 1 _ (г +1)C - 4г) _ 7 - г
-2г(-г + 3J 2г(-1-6г + 9) 4C + 4г)	4(9 + 16)	100*
Можно было получить этот результат и по формуле B7.6).

§27. Вычет функции в изолированной особой точке	153
Для вычисления вычета в точке z% = —3 применим формулу B7.7)
с п = 2:
- 2z(z - 1) _ -z
2
, 1 r -z2 + 2z + l -9-6 + 1	14
res_3 / = ^ Ътз (^2 + 1J = (9 + 1J = "Ш•
Итак, resi / = 0,01G + г), res_; / = 0,01G - г), res_3 / = -0,14.
Пример 27.6. Найти вычет функции sin	 в точке zo = 1.
Решение. В примере 26.9 мы видели, что z$ = 1 является су-
существенно особой точкой данной функции, и получили лорановское
разложение этой функции в проколотой окрестности точки zo = 1:
. _J_ = _L	1111
Sm z - 1 ~ z - 1 3! (z - IK 5! (z - IM
Отсюда видно, что коэффициент c_i при (z — I) равен 1. Следова-
Следовательно, resi / = 1.
Теперь рассмотрим понятие вычета в бесконечно удаленной точ-
точке. Пусть zo = оо — изолированная особая точка функции f(z), т.е.
существует проколотая окрестность R < \z\ < оо этой точки, в кото-
которой f(z) является аналитической. Возьмем окружность \z\ = p до-
достаточно большого радиуса р > R. Множество \z\ > p тоже являет-
является окрестностью бесконечно удаленной точки. Направление обхода
окружности \z\ = p выберем так, чтобы при движении по ней эта
окрестность оставалась слева. Тогда обходить окружность следует по
часовой стрелке. (Именно такое направление обхода естественно счи-
считать положительным при движении по границе области расширенной
комплексной плоскости С, содержащей бесконечно удаленную точку.)
Окружность \z\ = p с обходом по часовой стрелке обозначим Г~. Вы-
Вычетом функции f(z) в точке zo = оо называется число
f(z)dz.	B7.8)
г-
Таким образом, определение вычета в оо аналогично B7.1). Но связь
между вычетом в бесконечности и коэффициентами лорановского раз-
разложения оказывается несколько иной, чем в случае вычетов в конеч-
конечных точках.
Теорема 27.7. Вычет функции f(z) в изолированной особой
точке zo = оо равен коэффициенту при z~x в лорановском разложе-
разложении B6.6) функции f(z) в проколотой окрестности точки zq = оо,

154	Гл. VII. Изолированные особые точки и теория вычетов
взятому со знаком минус.
reSoo/ = -c_i.	B7.9)
Доказательство. Ряды в B6.6) равномерно сходятся на
окружности Г~, поэтому их можно почленно интегрировать:
°°
f(z)dz= Е С
п= —оо
(мы объединили оба ряда из B6.6) в один). Согласно формуле A5.7),
все интегралы в правой части равны нулю, за исключением интеграла
с п = — 1, который равен
/ z~x dz = — / z~x dz = —2тгг,
г-	г
где Г — окружность \z\ = р с обходом против часовой стрелки. Отсюда
следует, что
/ f(z) dz = -2тггс_ь т.е. — / f(z) dz = -с_ь
г-	г-
Формула B7.8) немедленно дает B7.9), что нам и требовалось.
Отметим еще одно отличие вычета в оо от вычетов в конечных
точках. Коэффициент c_i относится к правильной части разложе-
разложения B6.6) в проколотой окрестности бесконечности, а не к главной
части, как в случае конечных точек. Поэтому даже если функция
f(z) аналитична в точке zo = оо, ее вычет в этой точке не обязан рав-
равняться нулю (напомним, что если f(z) аналитична в конечной точке
zOj то res^0 / = 0).
Пример 27.8. Найти вычет функции f(z) = 2 + S/z в точ-
точке Zo = 00.
Решение. Разложением в бесконечности функции f(z) как раз
и будет сумма 2 + S/z, состоящая всего из двух членов. Коэффициент
при z~1 равен 3. Поэтому reSoo / = —3. В то же время данная функ-
функция является аналитической в точке z$ = оо, поскольку главная часть
разложения (члены с положительными степенями z) отсутствует.
Теорема 27.9 (о сумме вычетов). Пусть f{z) — аналитическая
функция в расширенной комплексной плоскости С, за исключением
конечного числа особых точек. Тогда сумма вычетов функции f(z) во
всех конечных особых точках zi, 22,..., zn и вычета в бесконечности
равна нулю.
Доказательство. Пусть Г = {\z\ = р} — окружность нас-
настолько большого радиуса р, что все конечные особые точки zi, 22, • • •

§27. Вычет функции в изолированной особой точке	155
...,zn находятся внутри нее. Согласно теореме 27.1 о вычетах (см.
B7.2))
j
Г	k=l
причем Г обходится против часовой стрелки. В силу определения вы-
вычета в бесконечности (см. B7.8))
{z)dz = iriff{z)dz = TeSoGf' B7Л1)
г	г-
Складывая равенства B7.11) и B7.10), получим
п
reSoo/ + ^res,fc/ = 0,	B7.12)
k=i
что и требовалось доказать.
Теорема 27.9 бывает полезной при вычислении интегралов (по-
(подробнее об этом применении см. § 28), а также при отыскании вычета
в бесконечно удаленной точке.
z — 1
Пример 27.10. Найти вычет функции f(z) = -г—2—Т\1	ovF B
бесконечно удаленной точке.
Решение. 1-й способ — с помощью теоремы 27.9. Вычеты функ-
функции в ее конечных особых точках z\ — г, z<± — —2, ?3 = —3 были найде-
найдены в примере 27.5: res^ / = 0,01G + г), res_i / = 0,01G — г), res_3 / =
= —0,14. Применяя B7.2), получим
resoo / + 0,01G + г) + 0,01G - г) - 0,14 = 0,
откуда следует reSoo / = 0.
2-й способ — непосредственно с помощью лорановского разложе-
разложения функции в проколотой окрестности точки zq = 00. Как и в приме-
примере 26.11, перейдем к переменному w = 1/z. Подстановка z = 1/w дает
гч( \	j- / 1 \	W3(l — w)	Q7/ ч
G(w) = / ( — ) = 7	Vtt	—7 = w6h(w),
где h(w) = у-	^t-7-	—г. Функция h(w) аналитична в окрестности
yL ~r W jyi. ~r oWj
точки wo = 0 и, следовательно, раскладывается в ряд Тейлора в этой
окрестности:
h(w) = bo + b\w + b2W2 + ...
Поэтому G(w) = bow3 + b±w4 + b^w5 + ... Возвращаясь к переменно-
переменному z (т.е. подставляя w = 1/z), получаем вид разложения Лорана
функции f(z) в окрестности точки zq = 00:

156	Гл. VII. Изолированные особые точки и теория вычетов
Мы видим, что это разложение не содержит члена с z~x. Значит, ко-
коэффициент при z, а следовательно, и вычет в бесконечности равны
нулю.
§ 28. Вычисление интегралов с помощью вычетов
1. Вычисление интегралов по замкнутому контуру. Пусть
функция f(z) имеет внутри замкнутого контура Г только изолирован-
изолированные особые точки. Тогда интеграл от f(z) по контуру Г можно найти,
применяя теорему 27.1 о вычетах: вычисляя вычеты в особых точках,
находящихся внутри контура Г, складывая эти вычеты и умножая
сумму на 2тгг, мы и получим искомый интеграл.
f z - 1
Пример 28.1. Вычислить интеграл / -т-~ъ—тут	qyj ^z-
\z\=2
Решение. Внутри окружности \z\ = 2 находятся две особые
точки функции f(z) = y~2—ТТ?	QV2"' а именн0 zi — h Z2 — — Ц тре-
yz + l)(z + 6)
тья особая точка z% = — 3 лежит вне этой окружности. Вычеты в точ-
точках =Ьг были найдены в примере 27.5: res^/ = 0,01G + г), res_i / =
= 0,01G — г). Применяя формулу B7.2), имеем
2-1
N1=2	N1=2
= 2тгг • 0,01G + г + 7 - г) = 0,28ттг.
Если функция f(z) имеет в расширенной комплексной плоскости С
только изолированные особые точки, то вместо вычисления суммы
вычетов в конечных особых точках бывает проще найти вычет в бес-
бесконечно удаленной точке и воспользоваться теоремой 27.9 о сумме
вычетов.
/dz
Т	ТТТ-
(z8 + IJ
N1=2
Решение. Функция f(z) = -j—^—-r^ имеет восемь особых то-
точек — решений уравнения z8 + 1 = 0. Каждая из этих точек Zk являет-
является полюсом второго порядка, поскольку в окрестности точки Zk функ-
функция f(z) имеет вид f(z) = -(— . 2, где h(z) аналитична в окрестности
точки Zk. Все особые точки лежат внутри окружности \z\ = 2. Вычис-
Вычисление вычетов во всех этих точках весьма трудоемко. Но к данной

'. Вычисление интегралов с помощью вычетов	157
функции применима теорема 27.9, которая дает
8
ГРЧ f _l V^ ГРЧ f — 0	(Oft 1 ^
Поэтому достаточно найти вычет в точке 2:0 = 00. Перейдем к пере-
переменному w = 1/z. Подставляя z = 1/w, получим
/1 \	ni^^	1
G(w)=f(-) = ™ =w16h(w), где ^(u,) = _J-_.
\гу/ A + w8J	A + w8J
Функция h(w) аналитична в окрестности точки wo = 0. Поэтому
h(w) = bo + b\w + b2w2 + ..., откуда
G(w;) = b0w16 + 6i^;17 + 62w;18 + ...
Значит, разложение Лорана функции f(z) в окрестности точки zo =
= 00 имеет вид
р/\ bo b\ 62
Так как коэффициент при z~x равен нулю, то reSoo / = 0. Из B7.2)
и B8.1) получаем
я
dz
(г* + 1J
k|=2	^~1
2тт
2. Вычисление интегралов вида / R(cos (p, sin у?) d<?, где Л —
о
рациональная функция от cos (p, sin ср. Такие интегралы возника-
возникают в ряде приложений (например, при решении краевых задач). Они
сводятся к интегралам, рассмотренным в предыдущем пункте, с помо-
помощью замены переменного z = ег(/?. Тогда dz = elipid(p = zidtp, откуда
i _ dz _ idz	_ 1 ( i<p —icp\ _ 1
iz	z	2	2
(ee)
(мы воспользовались формулами A2.2)). При изменении у? от 0 до 2тг
точка 2 описывает окружность \z\ = 1. Поэтому после перехода к
переменному z мы получим интеграл по единичной окружности от
функции, представимой в виде отношения двух многочленов; та-
такие функции называются рациональными дробями или дробно-рацио-
дробно-рациональными функциями.
2тг
Пример 28.3. Вычислить интеграл / -—
2а cos cp + а2
< 1.

158	Гл. VII. Изолированные особые точки и теория вычетов
Решение. Выполняя указанные выше подстановки, получим,
что данный интеграл равен
idz
Разложим знаменатель на множители, для чего найдем корни урав-
уравнения az2 — (а2 + l)z + а = 0. Дискриминант
D = (а2 + IJ - 4а2 = а4 + 2а2 + 1 - 4а2 = а4 - 2а2 + 1 = (а2 - IJ,
откуда
_ а2 + 1 + (а2 - 1) _	_ а2 + 1 - (а2 - 1) _ 1
1	2а	' 2	2а	а'
Поэтому
f(z) = 	-	 = 	-
J v J az2 - (а2 + \)z + a a(z - a)(z - I/a)'
Следовательно, подынтегральная функция f(z) имеет две особые точ-
точки zi = а и ^2 = 1/fl, каждая из которых является полюсом первого
порядка. Так как по условию \а\ < 1, то z\ лежит внутри окружности
\z\ = 1, а^ — вне ее. По теореме 27.1
idz
az2 - (az + L)z + a
\z\ = l
Для вычисления вычета в точке z\ = а можно воспользоваться любой
из формул B7.5), B7.6). Применим, например, формулу B7.6). Здесь
ip(z) = г, ip(z) = az2 - (а2 + \)z + а, ф'(z) = 2az - (a2 + 1),
r6Sa ^ ~ 2aa - (a2 + 1) ~ a2 - 1'
Таким образом,
2тг
o . г	2тт
= 2тгг ¦
1 — 2a cos 9? + а2	а2 — ! 1 — а2 '
о
3. Вычисление несобственных интегралов. Пусть f(x) —
функция, заданная на всей оси ОХ. Рассмотрим вычисление несоб-
оо
ственных интегралов / f(x) dx, определяемых следующим образом:
— сю
оо	R
f f(x) dx = lim / f(x) dx.	B8.2)
J	Я-^оо J
— oo	—R

'. Вычисление интегралов с помощью вычетов	159
Интеграл, определенный равенством B8.2), называется несобствен-
несобственным интегралом в смысле главного значения. Если предел в B8.2)
оо
существует, то интеграл / f(x) dx называется сходящимся; если пре-
— оо
дел не существует, то расходящимся.
Если сходится каждый из интегралов
о	о	оо	я
/f(x) dx = lim / f(x) dx и f(x) dx = lim / f(x) dx
Я^оо J	J	Я^оо J
-оо	-Я	О	О
(т.е. существуют оба соответствующих предела), то несобственный
интеграл в B8.2) также сходится и равен сумме этих интегралов.
оо
Но обратное неверно: из сходимости интеграла / f(x) dx в смысле
— оо
главного значения (т.е. из существования предела в B8.2)) не сле-
0	оо
дует сходимость интегралов / f(x)dx л f f(x) dx. Например, инте-
— со	О
оо
х dx
1 + х2
— оо
поскольку
я
т rl т	1
1 /ч ' 9" =0 для любого Л>0.
грал / —;—- сходится в смысле главного значения и равен нулю,
/
-Я
1 +х
2
-R
и	оо
/х dx С х dx
	2 И / 1	2 РаСХ°ДИТСЯ-
-оо	О
Вычисление многих несобственных интегралов
оо
/
f(x) dx
— оо
(в смысле главного значения) основывается на следующей теореме.
Теорема 28.4. Пусть функция fix), x G (—оо, +оо), удовлетво-
удовлетворяет следующим двум условиям:
1)	функция f(z), получаемая заменой х комплексным перемен-
переменным z, имеет в комплексной плоскости С лишь изолированные осо-
особые точки, причем ни одна из них не лежит на оси ОХ;
2)	если j(R) — полуокружность радиуса R с центром в начале
координат, лежащая в верхней (либо в нижней) полуплоскости, то
lim
Я^о
7(Я)
J f(z)dz = 0.	B8.3)

160
Гл. VII. Изолированные особые точки и теория вычетов
Тогда интеграл J f(x) dx равен сумме вычетов функции f(z) в осо-
— оо
бых точках, лежащих в верхней полуплоскости, умноженной на 2тгг
(соответственно равен сумме вычетов в особых точках из нижней
полуплоскости, умноженной на —2тгг).
Доказательство. Рассмотрим вначале случай, когда полу-
полуокружность ^(R) лежит в верхней полуплоскости. Возьмем замкну-
замкнутый контур Г, состоящий из отрезка
[-R, R] и полуокружности ~f(R), с обхо-
обходом против часовой стрелки (рис. 49).
По теореме 27.1
R
J f{x)dx+ J f(z)dz =
-R	7(Д)
= J f(z)dz = 2m ^2 resZk /,
Рис. 49
где сумма распространяется на все осо-
особые точки Zk, лежащие внутри конту-
контура Г. Перейдем к пределу при R —у оо. Пользуясь соотношениями
B8.2) и B8.3), получим нужное равенство:
оо
/
f(x)dx = 2тгг
B8.4)
где сумма берется по всем особым точкам из верхней полуплоскости.
Если полуокружность j(R) лежит в нижней полуплоскости, то со-
соответствующий контур Г~ будет обходиться по часовой стрелке (та-
(такое направление возникает оттого, что отрезок [—R, R] в любом случае
должен проходиться слева направо, т.е. в направлении возрастания х).
Поэтому в правой части B8.4) добавится знак минус. Теорема 28.4 до-
доказана.
/х2 + '
Т^2	С
уХ ~г „
Решение. В данном случае f(z) =
ливость условия B8.3):
z2(l + -) , 1
(г2 + 9J
4
. Проверим справед-

'. Вычисление интегралов с помощью вычетов	161
1+4
где h(z) = 	1—тт. Так как lim h(z) = 1, то при достаточно боль-
(i+JO
ших значениях \z\ будет \h(z)\ < 2. Поэтому
|/^Л~ \z\*
Следовательно,
\f(z)\\dz\^ I ^\dz\ = ^-7rR=2-^
f(z)dz
(здесь / \dz\ = ttR — длина полуокружности j(R)). Переходя к пре-
делу при R —у оо, получим B8.3). Проведенные оценки справедливы
как для верхней, так и для нижней полуокружности. Поэтому в ка-
качестве 7(^0 можно выбрать любую из них. Пусть 7(^0 — верхняя
полуокружность. Так как
/(*) =
z2 + 4	z2 + 4
то /(z) имеет две особые точки z\ — Зг, Z2 = — Зг, являющиеся полю-
полюсами второго порядка. Из них в верхней полуплоскости находится
только z\ = Зг. Вычет в этой точке найдем по формуле B7.7) с п = 2:
гг - 4) ^
2Ciz - 4) _ 2Cг • Зг - 4) _ 2(-9 - 4) _ ^3_
; (? + ЗгK ~ (Зг + ЗгK ~ 63г3 ~ 108г'
По формуле B8.4) получаем
(X)
ж2+ 4 , о .	, о . 13 13тт
Заметим, что вычислить данный интеграл можно было и не прибе-
прибегая к методам комплексного анализа, а находя первообразную подын-
подынтегральной функции. Но приведенное вычисление значительно проще.
Рассуждение, проведенное нами в примере 28.5 для проверки усло-
условия B8.3), без изменения подходит к любой функции f(z), представи-
11 В.Я.Эйдерман

162
Гл. VII. Изолированные особые точки и теория вычетов
мой в виде отношения двух многочленов (т.е. рациональной дроби),
если степень многочлена в знаменателе на две и более единицы пре-
превосходит степень многочлена в числителе. (В примере 28.5 степень
многочлена в числителе равна 2, а в знаменателе — 4.) Следующая
теорема показывает, что условию B8.3) удовлетворяет и другой важ-
важный класс функций, интегралы от которых возникают, например, в
операционном исчислении (см. гл. VIII).
Теорема 28.6 (лемма Жордана). Пусть функция F(z) анали-
тична в полуплоскости Im z ^ —а, за исключением конечного чис-
числа изолированных особых точек, и lim F(z) = 0. Если ^(К) — дуга
z—>-оо
окружности \z\ = R, расположенная в полуплоскости 1т.z ^ — а, то
lim / eitzF{z) dz = 0 для всех t > 0.
B8.5)
Доказательство. Рассмотрим вначале случай а > 0. Обо-
Обозначим через M(R) максимум мо-
модуля \F(z)\ на дуге j(R). По-
Поскольку lim F(z) = 0, то
z—юо
lim М(Д) = 0.
z—юо
Разобьем 7(Д) на ТРИ части
7i (Д)? 72 (Д) и 7з (Д) (Рис. 50): ду-
дуги 7i (Д) и 72 (Д) заключены меж-
между прямой у = — а и осью ОХ,
а 7з(Д) является полуокружно-
полуокружностью, лежащей в полуплоскости
Imz ^ 0. Очевидно, что интеграл
Рис- 5®	по 7(Д) равен сумме интегралов
по этим трем дугам. Оценим каждый из них в отдельности.
В точках z = х + гу дуг ^i{R) и 72(Д) будет —у < а. Поэтому
/Г
72(Д)\
a L/
\ -а
Ч
_/7 \(й1
_ | it(x+iy)
= \eitxe-ty\ =e~ty <e
,ta
Обозначим через l(R) длины, а через (f(R) — центральные углы дуг
7i(R) и 72(R) (в радианах). Легко видеть (см. рис. 50), что simp = —,
н
откуда ip(R) = arcsin—. Поэтому l(R) = Rip(R) = i^arcsin—. Отсюда
получаем
eitzF(z)d
71 (Д)
*г| |^B)| |d2|^e'eM(ii) У |d«| =
71 С
= etaM(R)l(R) = eta
R'

'. Вычисление интегралов с помощью вычетов
163
Перейдем к пределу при R —У оо:
lim
I eitzF(z)
dz
е lim М(Д) • lim i^arcsin— =
Я—юо	Я—юо	л
• 0 • а = О
(мы воспользовались равенством lim iZarcsin— = а, которое можно
получить, например, заменяя arcsin — на эквивалентную бесконечно
R
малую — ). В точности те же оценки справедливы и для 72№)• Оста-
Оставь
лось рассмотреть
Для точек z Е 7з(^) имеем	z = R(cos(p + г sin у?), |cfo| =
О ^ (^ ^ 7Г, И
\ itz\ 	 | itR(cos (f-\-isin (/?) 	 i	itRcos <p — tRsimp 	 — tRsimp
= e
Отсюда
7Г
| eitzF(z)dz ^ I \eitz\\F(z)\\dz\^M(R)J<
73 (Я)
73 (Я)
т/2
Заметим, что / e tRsinip dip = J e tRsinip dtp; этот факт легко дока-
0	тг/2
зать, например, с помощью замены переменного а = тг — ср. Поэтому
тг/2
[ eitzF(
z)dz
73 (Я)
Г
e-tRs\nipd^
B8.6)
На участке [0, тг/2] график синуса лежит выше отрезка прямой у =
= — ж, соединяющей точки @,0) и ( —, 1) этого графика. Следователь-
7Г	2
но, sin(^ ^ — (р, (^ G [0, — ]. Отсюда получаем
тг/2
Г
тг/2
h
2tR
тг/2
О
Объединяя эту оценку с B8.6) и переходя к пределу при R —> оо, име-
имеем
lim
Г eitzF(z)dz
73 (Я)
lim у М(Д)A - е~ш) = ^-0-1 = 0.
Я-^оо t	t
11*

164	Гл. VII. Изолированные особые точки и теория вычетов
Таким образом, в случае а > 0 теорема доказана. Если а ^ О, то ду-
дуга j(R) лежит в полуплоскости Im z ^ 0 и является частью дуги 73 (R)',
части 7i (R) и 72 (R) в этом случае отсутствуют. Для ^(R) справедливы
рассуждения, проведенные выше для 7з(^M и теорема 28.6 полностью
доказана.
Смысл теоремы 28.6 состоит в том, что функция F(z) может стре-
стремиться к нулю сколь угодно медленно (заметим, что в примере 28.5
убывание функции \f(z)\ при z —У оо было достаточно быстрым —
как |z|~2). Но умножение на eltz обеспечивает стремление интегра-
интеграла по j(R) к нулю.
Замечание. Для случая t < 0 справедливо утверждение, ана-
аналогичное теореме 28.6, если в качестве j(R) взять дугу окружности
\z\ = R, лежащую в полуплоскости Imz ^ —а (на рис. 50 показана
пунктиром). Доказательство в этом случае аналогично приведенно-
приведенному выше для t > 0. В случае t = 0 теорема 28.6 неверна.
Пример 28.7. Вычислить интегралы
оо	оо
/х cos 2x 7	Г
—о	dx,	\
ж2+9	J
х sin 2x
Решение. Возьмем вспомогательную функцию f(z
При z — х имеем
Таким образом, действительная и мнимая части функции /(ж) и явля-
являются теми функциями, интегралы от которых нужно найти. Поэтому
оо
/?'2т
хе
——- dx и возьмем от него действи-
действиям + 9
— оо
тельную и мнимую части, то получим искомые величины.
Функция F{z) = ——- удовлетворяет условиям теоремы 28.6: она
имеет только две особые точки z± 2 = =ЬЗг и lim —	 = 0. Ес-
'	- i — zz + 9
ли j(R) — дуга окружности |z| = R, расположенная в полуплоско-
полуплоскости Imz ^ 0, то согласно теореме 28.6
Г ^
J Z2 +
Нт Г ^
J 2 + 9
(мы взяли в B8.5) t = 2). Значит, можно применить теорему 28.4,
оо
Г xei2x
которой интеграл / ——- dx равен сумме вычетов функ-
J х -\- У
согласно

'. Логарифмический вычет и принцип аргумента	165
ZC
ции f(z) = ——- в особых точках из верхней полуплоскости lm z > О,
Z —|— У
умноженной на 2тгг. В полуплоскости lm z > 0 лежит единственная
особая точка zi = Зг функции f(z). Так как f(z) = т	——,	-—, то
\Z — ol)\Z ~\- Ol)
z1 = Зг — полюс первого порядка. Вычет в этой точке можно найти
либо по формуле B7.5), либо по формуле B7.6). Применим B7.6).
Здесь i/j(z) = z2 + 9, ip'(z) = 2z, res3i / =	= - e~6. Поэтому
——- dx = 2тгг - e~6 = гтте~6.
— оо
Действительная и мнимая части полученного числа и будут искомыми
интегралами:
(X)	(X)
/xcos2x 7 _	/* xsin2x ,	_б
2 , п dx = 0, /	dx = тге .
ж2+ 9	J ж2+ 9
— оо	—оо
(Заметим, что равенство нулю первого из этих интегралов непос-
непосредственно следует из того, что он является интегралом от нечетной
функции по интервалу, симметричному относительно начала коор-
координат.)
§ 29. Логарифмический вычет и принцип аргумента
Рассмотрим многозначную функцию
= In \f(z)\ + i(aigf(z) + 2тг/с), fc = 0, ±1, ±2,...
Во всех точках z, в которых /(z) аналитична и не обращается в
нуль, Lnf(z) будет многозначной аналитической функцией. Каждая
ее ветвь, получаемая выбором конкретного значения &, является од-
однозначной аналитической функцией в некоторой окрестности точки z.
Эти ветви отличаются на постоянное слагаемое, и поэтому их произ-
производные совпадают. Производная функции Ln/(z), равная
(uin*)) - f{zyJW- f{zy
называется логарифмической производной функции f(z); она явля-
является однозначной аналитической функцией всюду, за исключением
особых точек и нулей функции f(z). Вычет функции f'(z)/f(z) (т.е.
вычет логарифмической производной функции f(z)) в точке zo назы-
называется логарифмическим вычетом функции f(z) в точке zq.

166	Гл. VII. Изолированные особые точки и теория вычетов
Теорема 29.1. Если zo — нуль кратности п аналитической
функции f(z), то логарифмический вычет функции f{z) в точке zo
равен щ если zo — полюс порядка р, то логарифмический вычет ра-
равен —р.
Доказательство. Пусть zo — нуль кратности п. Тогда f{z)
представима в виде (см. B3.2)) f(z) = (z — zo)n(p(z), где ip(z) — анали-
аналитическая функция в некоторой окрестности точки zo и (f(zo) ф 0. От-
Отсюда
f'(z) = ((z - zo)n<p{z))' = n(z - го)""V(*) + (^ - zo)n<p'(z),
f(z) =n(z-zor-1y(z) + (z-zorv'(z)	n	V\z)
f(z)	(z-zo)»<p(z)	z-zo ' <p(z)'
Так как ip(zo) ф О, то функция ip'(z)/(p(z) является аналитической в
некоторой окрестности точки z$ и, следовательно, раскладывается в
этой окрестности в ряд Тейлора:
Поэтому главная часть лорановского разложения функции f'(z)/f(z)
состоит из единственного члена 	, а коэффициент c_i при
(z — zo)~1 равен п. Следовательно, (см. B7.4))
res2o (/'//) = c_i =п.
Пусть теперь zo — полюс порядка р функции f(z). Тогда функ-
функция g(z) = l/f(z) имеет в точке zo нуль порядка р. Согласно доказан-
доказанному выше, iesZo(g'/g) = р. Так как Lng = Ln(l//) = - Ln/, то
Отсюда и из определения вычета B7.1) получаем
I g \	g
L'Vi*zo ~Т = res^o (	) = ~ res^o = ~Vi
j	\ д /	д
что и требовалось доказать.
В следующих далее теоремах будет установлена связь между ко-
количеством нулей и полюсов функции f(z) внутри области и поведени-
поведением f(z) на границе области. При подсчете количества нулей и полюсов
мы примем следующее соглашение: каждый нуль и полюс считается
столько раз, каков его порядок.
Теорема 29.2 (теорема о логарифмическом вычете). Пусть Г —
замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции
f(z). Пусть, далее, f(z) аналитична во всех точках внутри Г, за

'. Логарифмический вычет и принцип аргумента	167
исключением конечного числа полюсов, и не имеет на Г ни нулей, ни
полюсов. Тогда
— ( 4т4 dz = N - Р,	B9.1)
2тггУ /(*)	'	V }
Г
где N — число нулей, а Р — число полюсов функции f(z) внутри Г,
подсчитанных с учетом кратности; обход контура Г предполагает-
предполагается таким, что точки, лежащие внутри Г, остаются слева.
Доказательство. Обозначим G(z) = f'(z)/f(z). Поскольку
на Г функция f(z) не имеет ни нулей, ни полюсов, то функция G(z)
аналитична во всех точках контура Г. Внутри Г функция G(z) имеет
лишь конечное число особых точек, являющихся нулями и полюса-
полюсами функции f(z). Значит, к функции G(z) применима теорема 27.1 о
вычетах, согласно которой
Ef Ef	B9.2)
к=1	к=1
где а/., к = 1,2,... ,1 и &/,, к = 1, 2,..., т, — соответственно нули и
полюсы функции G(z). В силу теоремы 29.1
/'	/'
resafc — = пк, res6fc — = -рк,
где пк и рк — порядки нуля а/, и полюса bk соответственно. Подсчи-
Подсчитывая нули и полюсы с учетом кратности, получим
I	,,	I	mm
k=l	k=l	k=l	k=l
Подставляя эти равенства в B9.2), приходим к соотношению B9.1),
что нам и требовалось.
Величина в левой части B9.1) называется логарифмическим вы-
вычетом функции f(z) относительно контура Г; этим и объясняется
название теоремы 29.2. Мы покажем, что эта величина имеет геомет-
геометрический смысл и, следовательно, теорема 29.2 выражает определен-
определенное геометрическое свойство отображения, осуществляемого функци-
функцией w = f(z).
Зафиксируем на Г произвольную точку zo (рис. 51, а). Ей соот-
соответствует точка wo = f(zo) плоскости переменного w (рис. 51, б). Ес-
Если точка z движется по Г начиная от z$, то соответствующая точка
w = f(z) будет описывать некоторую траекторию С в плоскости w
начиная от точки w$. При возвращении точки z в z$ точка w при-
придет в wo. Поэтому путь С также является замкнутым (хотя, возмож-
возможно, будет иметь самопересечения). Возьмем \uwq = In \wq\ + i

168	Гл. VII. Изолированные особые точки и теория вычетов
Рис. 51
главное значение логарифма числа w$. Каждой точке w Е С соот-
соответствует бесконечно много значений аргумента Arg w = arg w + 2тгк,
& = 0,=Ы,±2,... Но мы выберем такое из них, чтобы при движении
по С аргумент числа w менялся непрерывно. Это значение аргумента
обозначим (f(w). При возвращении в wo после обхода пути С зна-
значение (f(w) будет приближаться к некоторому числу cp(wo), которое
не обязано совпадать с исходным значением argi^o- Таким образом,
при обходе С аргумент числа w = f(z) получит некоторое прираще-
приращение Аг arg/ = cp(wo) — arg wo- Это приращение, очевидно, равно чис-
числу оборотов вокруг точки w = 0, которое сделает вектор w при обходе
точкой w пути С, умноженному на 2тг (при каждом обороте аргумент
изменяется на 2тг). На рис. 51, б число оборотов равно 2.
Теорема 29.3 (принцип аргумента). Пусть Г — замкнутый
контур, лежащий в области аналитичности функции f(z). Пусть,
далее, f(z) аналитична во всех точках внутри Г, за исключением ко-
конечного числа полюсов, и не имеет на Г ни нулей, ни полюсов. Тогда
приращение аргумента числа w = f{z) при обходе точкой z конту-
контура Г равно 2tt{n - Р):
Ararg/ = 2tt(N - Р),	B9.3)
где N и Р — число нулей и полюсов функции f(z) внутри Г, взятых с
учетом кратности. Другими словами, число оборотов вектора f(z),
сделанных им при обходе точкой z контура Г, равно N — Р.
Доказательство. Пусть, как и выше, (p(w) — непрерыв-
непрерывно изменяющийся аргумент числа w. Рассмотрим функцию Ф(^) =
= \n\f(z)\+iip(f(z)). В окрестности каждой точки z G Г функция
Ф(г) совпадает с одной из ветвей многозначной аналитической функ-
функции Ln /(z) = In | /(z) | + i (arg f(z) + 2irk). Поэтому
лч'/~\ 	 /т ^ -f/~W 	 / \z)

'. Логарифмический вычет и принцип аргумента	169
Следовательно, непрерывная на Г функция Ф(г) является первооб-
первообразной функции f'(z)/f(z). По формуле Ньютона-Лейбница
J w л~ _ ллч/~\^	B9.4)
где ДФ(;г) — приращение функции Ф(г) = In \f(z)\ + iip(f(z)) при пол-
полном обходе точкой z контура Г. Поскольку In \f(z)\ является однознач-
однозначной непрерывной функцией на Г, то при возвращении точки z в zo
этот логарифм примет начальное значение In |/(^о)| и его приращение
будет равно нулю. Когда z проходит контур Г, соответствующая точ-
точка w = f(z) проходит путь С. Поэтому приращение функции ip(f(z))
равно Aip = ip(wo) — argi^o = Аг arg/. Таким образом,
=iArarg/.
Из этого равенства, а также из B9.4) и B9.1) получаем
Ararg/= -АФ(^) = - f Q^-dz = -2m(N - Р) = 2tt(N - Р),
г	г J j\z)	г
г
что и требовалось доказать.
Пусть, например, Г — достаточно малая окружность, охватываю-
охватывающая нуль кратности п функции f(z). Тогда N = n, P = 0. Согласно
теореме 29.3, при однократном обходе точкой z окружности Г век-
вектор f(z) совершит п оборотов вокруг начала координат против ча-
часовой стрелки. Если же Г охватывает полюс порядка р (т.е. N = 0,
Р = рM то вектор f(z) совершит р оборотов по часовой стрелке.
Полезным применением признака аргумента является следующая
теорема.
Теорема 29.4 (теорема Руше). Пусть функции f(z) и g(z) ана-
литичны во всех точках замкнутого контура Г и внутри него
и \f(z)\ > \g(z)\ на Г. Тогда их сумма F(z) = f(z) + g(z) имеет внут-
внутри Г столько же нулей с учетом их кратности, что и f(z).
Доказательство. Покажем вначале, что функции f(z) и
F(z) не имеют нулей на Г. Для любых комплексных чисел а и Ъ
справедливо неравенство |а + Ь| ^ \а\ — \Ь\. Оно следует из неравен-
неравенства треугольника:
\а\ = \а + Ь - Ь\ ^ \а + Ь\ + | - Ь\ = \а + Ь\ + |Ь|, откуда
\а + Ь\ ^ \а\ - \Ъ\.
Используя это неравенство и условие теоремы, получим
\f(z)\ > \g(z)\ 2 0, \F(z)\ = \f(z) + g(z)\ > \f(z)\ - \g(z)\ > 0
для всех z G Г. Значит, f(z) и F(z) не обращаются в нуль на Г, и к

170	Гл. VII. Изолированные особые точки и теория вычетов
ним можно применить принцип аргумента. Так как f(z) ф 0 на Г, то
При умножении комплексных чисел их аргументы складываются. От-
Отсюда следует, что
Аг arg(/ + д) = Дг arg/ + Дг arg(l + |
По условию теоремы,
»(*
/(*)
»(*)
< 1 для всех точек z Е Г. Поэтому если
обозначить w(z) = 1 + ^, то \w — 1| =
< 1. Это неравенство
означает, что при обходе точкой z контура Г точка w будет двигаться
по замкнутой траектории, лежащей
внутри круга \w — 1| < 1 (рис. 52).
Следовательно, вектор w не сделает
ни одного оборота вокруг точки w =
= 0; аргумент ip(w) числа w вер-
вернется к начальному значению, и
его приращение Аг arg(l + g/f) бу-
будет равно 0.
Итак, Аг arg(/ + д) = Аг arg /.
Применяя к каждой из функций / +
д и / равенство B9.3) с Р = 0 (функ-
(функции аналитичны, и полюсов нет),
0
Рис. 52
приходим к тому, что эти функции имеют внутри Г одинаковое число
нулей. Теорема Руше доказана.
Теорема 29.4 иногда позволяет определить число нулей функции
в заданной области.
Пример 29.5. Определить число корней уравнения z8 — 4z5 +
+ z2 - 1 = 0 в круге \z\ < 1.
Решение. Возьмем f(z) = — 4z5, g(z) = z8 + z2 — 1. В точках
окружности \z\ = 1 имеем
\f(z)\ = | - 4z5\ = 4, \g(z)\ = \z8 + z2 - 1| ^ \z8\ + \z2\ 4-| — l|=3-
Таким образом, \f(z)\ > \g(z)\ на окружности Г = {\z\ = 1}. По теоре-
теореме Руше функция f(z) + g(z) = z8 — 4z5 + z2 — 1 имеет в круге \z\ < 1
столько же нулей, сколько и функция f(z) = —4z5. Но f(z) обраща-
обращается в нуль только в точке z = 0, являющейся нулем функции f(z)
пятого порядка. Следовательно, и функция f(z) + g(z) имеет в кру-
круге \z\ < 1 пять нулей (с учетом кратности).
Важным применением теоремы Руше является простое доказа-
доказательство с ее помощью так называемой основной теоремы алгебры.

'. Логарифмический вычет и принцип аргумента	171
Теорема 29.6 (основная теорема алгебры). Любой многочлен
п-й степени Pn{z) = a^z71 + a\zn~1 + ... + an, по ф 0, имеет, в плос-
плоскости С комплексного переменного z в точности п нулей с учетом
их кратности.
Доказательство. Запишем Pn(z) в виде Pn(z) = f(z) + g(z),
где f(z) = aozn, g(z) = a\zn~1 + ... + an. Так как
r f(z) v	aozn	a0
lira ^-7—f = lira	 = lira 77-	77— = 00,
z^oo g(z) z^oo aiz71-1 +... + an z^oo 111 + _|_ 5?lL
то найдется такое число Rq > 0, что при \z\ ^ Rq будет
Hz)
Возьмем произвольное R> Ro. Тогда при \z\ = Л получим \f(z)\ ^
^ 2|^(z)| > \g(z)I. По теореме Руше Pn(z) имеет в круге \z\ < R столь-
столько же нулей, сколько и функция f(z) = aozn. Эта функция имеет нуль
кратности п в начале координат, т.е., с учетом кратности, п нулей. Та-
Таким образом, в любом круге \z\ < R сколь угодно большого радиуса
R > Ro многочлен Pn(z) имеет ровно п нулей. Значит, и во всей ком-
комплексной плоскости С их будет в точности п.

Глава VIII
ОСНОВЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Опишем вначале в общих чертах, в чем состоит операционное ис-
исчисление и на чем основаны его применения. Вводится правило, по
которому каждой функции /(?) действительного переменного ?, при-
принадлежащей достаточно широкому классу функций, ставится в соот-
соответствие функция F(p) комплексного переменного р. Это правило на-
называется преобразованием или оператором. Исходная функция /(?)
называется оригиналом, а соответствующая ей функция F(p) — ее
изображением. Каждому изменению оригинала соответствует то или
иное изменение изображения. Оказывается, что введенное преоб-
преобразование обладает следующим важным свойством, на котором и
основаны его применения: действия над изображениями получаются
значительно проще, чем действия, произведенные над оригиналами.
Например, дифференцированию оригинала соответствует умножение
изображения на переменное р, интегрированию — деление на р и т.д.
Пусть, например, требуется найти функцию y{t) из некоторого
уравнения, содержащего эту функцию под знаками производных и
интегралов. Операционный метод решения задачи сводится к следу-
следующим этапам:
1)	от искомой функции y(t) переходят к ее изображению Y(p);
2)	над изображениями производят операции, соответствующие за-
заданным операциям над y(t). При этом получается уравнение отно-
относительно функции Y(p) (так называемое операторное уравнение),
которое оказывается проще исходного уравнения относительно y(t).
Например, дифференциальному уравнению соответствует алгебраи-
алгебраическое уравнение и т.д.;
3)	полученное операторное уравнение решают относительно Y(p);
4)	от найденного изображения Y(p) переходят к оригиналу y(t),
который и является искомой функцией.
Еще в XIX в. начало развиваться так называемое символическое
исчисление, в котором n-я производная функции y(t) рассматрива-
рассматривалась как действие на у формального символа рп (в современном по-
понимании р — аргумент изображения Y(p)). Такой подход оказался
довольно удобным для решения ряда задач, связанных с линейны-
линейными дифференциальными уравнениями. Распространению и развитию
этого метода в большой мере способствовал английский инженер и
физик О. Хевисайд A850-1925), успешно использовавший символи-
символическое исчисление для решения задач электротехники. Но формаль-
формальные правила действий над символами не имели должного математи-

§30. Преобразование Лапласа	173
ческого обоснования. Соответствующая теория была построена лишь
в трудах ряда математиков XX в.
§ 30. Преобразование Лапласа
Пусть функция /(?) действительного переменного t определена
при всех t Е (—оо,+оо); значения функции f(t) могут быть как дей-
действительными, так и комплексными (в рассмотренных далее приложе-
приложениях они действительные). Функция /(?) называется кусочно диффе-
дифференцируемой, если она дифференцируема всюду, кроме, быть может,
точек разрыва первого рода (т.е. разрывов с конечным скачком), при-
причем на каждом конечном интервале оси t содержится лишь конечное
число таких точек.
Функция /(?), определенная при всех t Е (—оо,+оо), называется
функцией-оригиналом, если она удовлетворяет следующим трем усло-
условиям:
1)	/(?) = 0 при t < 0;
2)	функция /(?) кусочно дифференцируема;
3)	существуют такие действительные числа М > 0 и о', что для
всех t выполняется неравенство
|/(?)| ^Meat.	C0.1)
Условие 1) не ограничивает, как правило, возможностей приложений.
Например, если функция /(?) описывает некоторый физический про-
процесс и t интерпретируется как время, то существенным, как правило,
является ход процесса начиная с некоторого момента времени to (ко-
(который можно считать равным нулю); значения /(?) при t < to мож-
можно выбрать произвольно, в частности, положить /(?) = 0. Условие 3)
означает, что функция /(?) растет "не очень быстро" при t —у оо —
не быстрее показательной функции. Это условие также не является
очень ограничительным; ему удовлетворяет широкий класс функций.
Например, функции sint, cost, tn при любом n, eat при любом а и
а = а удовлетворяют условию C0.1) при t > 0. Пример функции, не
удовлетворяющей этому условию: /(?) = е1 .
Простейшей функцией-оригиналом является так называемая еди-
единичная функция, или функция Хевисайда
Очевидно, что h(t) удовлетворяет условию C0.1) с а = 0 (как и всякая
ограниченная функция-оригинал). Умножение произвольной функ-
функции cp{t) на h(t) оставляет cp{t) без изменений при t^0 и дает 0
при t < 0. Поэтому если функция cp(t) удовлетворяет условиям 2),

174	Гл. VIII. Основы операционного исчисления
3) и не удовлетворяет условию 1), то после умножения на /i(t) по-
получается функция fit) = hit)cpit), удовлетворяющая всем трем усло-
условиям, т.е. функция-оригинал. Например, /i(t)sincjt, /i(t)tn, hit)eat
будут функциями-оригиналами. Для простоты записи будем, как пра-
правило, опускать множитель /i(t), условившись, что все функции, кото-
которые мы будем рассматривать как функции-оригиналы, равны нулю
для отрицательных t. Например, вместо /i(t) будем писать 1, вме-
вместо hit) smut — просто smut и т.д.
Если функция-оригинал fit) удовлетворяет условию C0.1) при
некоторых М > 0 и g\, to она удовлетворяет этому условию с тем
же самым М и при всех g > G\. С другой стороны, если при неко-
некотором значении g^ условие C0.1) не выполнено ни при каком М > 0,
то это условие тем более не будет выполняться ни при каком М > 0
и g < G2- Таким образом, все точки g на числовой прямой разбива-
разбиваются на две группы, образующие два луча (—оо,сго) и (сго,+оо): для
любого g > Go условие C0.1) выполнено с некоторым М > 0 (зави-
(зависящим, вообще говоря, от g), и для любого g < Go условие C0.1) не
выполняется ни при каком М > 0. Число <7о, разделяющее эти два
множества, называется индексом или показателем роста функции
fit). При g = Go условие C0.1) для одних функций fit) выполняется,
для других — нет. Например, для функций 1, sincjt, cos out показатель
роста Go = 0, и при g = Go = 0 условие C0.1) выполнено с М = 1. Для
степенной функции ?п, п > 0, также Go = 0. Действительно, при лю-
tn
бом g > 0 имеем lim —^ = 0 (этот результат можно получить, напри-
например, пользуясь правилом Лопиталя), и, следовательно, C0.1) выпол-
выполнено с некоторым М > 0, зависящим от g и п. Но при g = 0 условие
|/(?)| ^ Ме° = М не выполнено ни при каком М, поскольку функция
|/(?)| = ?п, п > 0, не является ограниченной при t > 0.
Для определения преобразования над функциями-оригиналами, о
котором говорилось во введении, нам понадобятся еще некоторые по-
понятия. Функция (fit), определенная при t ^ 0, называется интегри-
интегрируемой на интервале [0, +оо), если существует предел
R	оо
lim Г ф) dt= [ ф) dt,	C0.3)
R—^+oo J	J
0	0
т.е. если несобственный интеграл в C0.3) сходится. Функция (fit) на-
называется абсолютно интегрируемой на множестве [0,+оо), если су-
существует предел
R	оо
lim [\<pit)\dt= [\<pit)\dt,	C0.4)
Я-^+оо J	J
О	О
т.е. сходится несобственный интеграл от

§30. Преобразование Лапласа	175
Справедливо следующее утверждение, аналогичное теореме 19.2
об абсолютной сходимости рядов: если функция cp(t) абсолютно ин-
интегрируема на множестве [0,+оо), то она интегрируема на этом
ОО
множестве (другими словами, из сходимости интеграла J \cp(t)\dt
о
ОО
следует сходимость интеграла / ip(t) dt).
о
Мы не приводим доказательство этого утверждения, так как не бу-
будем использовать его непосредственно; читатель может вывести его
из теоремы 19.2. Отметим, что обратное утверждение неверно: не
всякая интегрируемая функция является также абсолютно интегри-
интегрируемой.
Пусть теперь функция ср зависит от действительного переменно-
переменного t и комплексного параметра р, т.е. ср = cp(t,p). Если при некотором р
ОО
интеграл / ip(t,p)dt сходится, то значение этого интеграла обозначим
о
через F(p). Таким образом, F{p) оказывается функцией, определен-
оо
ной на множестве тех значений р, для которых интеграл / ip(t,p) dt
о
сходится.
Интеграл	^
\(t,p)dt
о
называется равномерно сходящимся в области D к функции F(p),
если для любого числа г > 0 найдется такое число i?o, зависящее
от г, что для всех R > Rq и всех точек р G D выполнено нера-
неравенство
R
1
<p(t,p)dt-F(p)
< г.
о
(X)
Очевидно, что из равномерной сходимости интеграла f (p(t,p) dt
о
в области D следует его сходимость в каждой точке р G D. Но об-
обратное неверно: интеграл, сходящийся в каждой точке области D,
не обязательно сходится в этой области равномерно. Существенным
дополнительным условием, отличающим поточечную сходимость от
равномерной, является то, что число R® в определении равномерной
сходимости не зависит от р; это число одно и то же для всех точек
р G D. (Читатель, возможно, уже провел аналогию между равномер-
равномерной сходимостью интегралов и равномерной сходимостью рядов —
см. §20.)
Теперь мы готовы ввести нужное нам преобразование функций-
оригиналов /(?).

176	Гл. VIII. Основы операционного исчисления
Преобразованием (оператором) Лапласа функции /(?) называется
правило, определяемое формулой
ОО
F(p) = Jf(t)e-ptdt,	C0.5)
О
по которому заданной функции /(?) действительного переменного t
ставится в соответствие функция F{p) комплексного переменного р.
Функция F(p) определена на множестве тех значений р, для ко-
которых интеграл в C0.5) сходится. Эта функция называется изобра-
изображением функции /(?). Тот факт, что функция F(p) является изобра-
изображением функции /(?), записывается следующим образом: /(?) = F(p)
или F(p) =/(?).
Отметим, что для построения операционного исчисления мож-
можно рассматривать и другие преобразования, отличные от преобразо-
преобразования Лапласа C0.5). Так, Хевисайд рассматривал преобразования
F(p) = pF(p); изучаются и другие преобразования — Меллина, Фурье
и т.д. — удобные в некоторых вопросах (подробнее см. [5]). Наибо-
Наиболее употребительным является преобразование Лапласа, которое мы
и рассмотрим.
Теорема 30.1 (о существовании и аналитичности изображения).
Если /(?) — функция-оригинал с индексом роста сто, то интеграл
в C0.5) абсолютно сходится для всех р в полуплоскости Rep > а0;
при этом в любой полуплоскости Rep > G\ с g\ > о~$ сходимость бу-
будет равномерной. Функция-изображение F(p), определяемая форму-
формулой C0.5) в полуплоскости Rep > сто, является аналитической функ-
функцией в этой полуплоскости.
Доказательство. Зафиксируем произвольное число G\ >
> сто- Положим
п
Fn(p)= I f(t)e~ptdt, n = l,2,...
n-1
Докажем, что для любого п функции Fn(p) являются аналитическими
во всей комплексной плоскости С переменного р. Возьмем произволь-
произвольный замкнутый контур Г, лежащий в С. Тогда
JFn(p)dp = j( j f(t)e-ptdt)dp= I (Jf(t)e-ptdp)dt. C0.6)
Г	Г n-l	n-1 Г
Поясним законность перемены порядка интегрирования в послед-
последнем равенстве. Зададим контур Г параметрическими уравнениями
р(т) = х(т) + iy(r), а ^ т ^ р. Интегрирование по переменному р све-
сведется к интегрированию по действительному переменному т (подроб-
(подробнее см. § 15) и двойные интегралы в C0.6) сведутся к интегрированию

§30. Преобразование Лапласа	177
по прямоугольнику а ^ т ^ f3,n — l^t^n. Из курса анализа извест-
известно, что расставлять пределы интегрирования в двойном интеграле
по прямоугольнику можно в любом порядке, чем и обосновывается
C0.6). Далее,
J f(t)e-pt dp = f(t) J e~pt dp = 0
г	г
(мы вынесли /(?) за знак интеграла как постоянный множитель, не
зависящий от переменного интегрирования р, и воспользовались тем,
что интеграл по замкнутому контуру Г от аналитической в С функ-
функции e~pt равен нулю по теореме 16.1 (Копти)). Из C0.6) получаем
Из кусочной непрерывности функции /(?) и непрерывности функ-
функции e~pt легко вывести, что все функции Fn(p) будут непрерывны
в С. Таким образом, функции Fn(p) удовлетворяют условиям теоре-
теоремы 18.6 (Морера) и, следовательно, являются аналитическими в С.
Так как их > сг0, то в силу C0.1) \f(t)\ ^ Meait. Пусть Rep =
= а > а\. Тогда
Fn(p)\ =
П—1
п-1
п
v-dt = M I e~^~ai)t dt = --
J	(
n-l
<ean.
(J — (J\
Числа ап образуют геометрическую прогрессию со знаменателем
оо
q < 1 (действительно, an+i/an = e~(a~ai") < 1). Поэтому ряд J2 ап
п=1
сходится. Так как |.Fn(p)| < ап во всех точках р из полуплоскости
Rep > cti, то по признаку равномерной сходимости Вейерштрасса
(X)
(теорема 20.2) ряд J2 Fn(p) сходится в этой полуплоскости абсо-
п=1
лютно и равномерно. Обозначим сумму этого ряда через S(p). Так
как все функции Fn(p) являются аналитическими, то в силу теоре-
теоремы 20.6 Вейерштрасса сумма S(p) также аналитична в полуплоскости
Rep > g\. Покажем, что S(p) = F(p), где значение F(p) определено
оо
равенством C0.5). Действительно, сходимость ряда ^2 Fn(p) к функ-
71=1
ции S(p) означает, что существует предел lira Sn(p) его частичных
п—>-оо
12 В.Я.Эйдерман

178
Гл. VIII. Основы операционного исчисления
сумм Sn{p) = J2 Fkip), равный S{p). Но
fc=i
/	Ptdt = ff(t)e-ptdt.
к=1к-1	О
Поэтому равенство lim Sn(p) = S(p) означает, что
п>оо
п
lim f f(t)e-ptdt =
п—>-оо J
Покажем, что и lim J f(t)e pt dt = S(p), причем сходимость равно-
мерная. Возьмем Л > 1 и подберем целое число п, такое что п ^ R <
< п + 1. Тогда
R
f(t)e-ptdt-S(p)
Я
f(t)e~ptdt
R
^|5n(p)-5(p)|+||/(i)e-^|di
oo
E
Числа гп, определенные последним равенством, не зависят от р и
(X)
стремятся к нулю при п —у оо. Следовательно, интеграл / f(t)e~pt dt
о
сходится к 5(р) равномерно в области Rep > <ti. Поскольку значе-
значение этого интеграла ранее обозначалось через F(p) (см. 30.5)), то
S(p) = F(p). Тем самым аналитичность функции F(p) в полуплос-
полуплоскости Rep > а\ доказана. Отсюда легко вытекает выполнимость это-
этого свойства и при Rep > а$. Действительно, пусть р' — любое чис-
число, для которого Re// > сто- Можно подобрать число <ti, такое что
сто < (J\ < Rep'. Согласно доказанному выше, интеграл в C0.5) схо-
сходится к аналитической функции F{p) в полуплоскости Rep > o\. В
частности, это свойство имеет место и в точке р'. Теорема доказана.
Найдем изображения некоторых часто встречающихся функций-
оригиналов. Напомним, что все эти функции предполагаются равны-
равными нулю при t < 0, т.е. умноженными на h(t) (см. C0.2)).
Пример 30.2. Найти изображение единичной функции h(t), оп-
определенной в C0.2).

§30. Преобразование Лапласа	179
Решение. Из определения C0.5) преобразования Лапласа по-
получаем
ОО	(X)
ОО	1
F{p) = f h{t)e~pt dt= f e~pt dt = - —
о	о
так как lim e~pR = 0. Таким образом,
о p'
h(t) = -, или 1 = -.	C0.7)
p	p
Пример 30.3. Найти изображение функции eat (т.е. функции
h(t)eat).
Решение. Обозначим Re а = сто и возьмем такое р, что Rep >
> o-q. Тогда
ОО	ОО
F(p) = Г eate-ptdt= ft
o-(p-a)t
р — а
о	о
поскольку lim \e~<yP~a^R\ = lim e~(ReP~(To)R — q Следовательно,
eat = -^—.	C0.8)
' p — a
Заметим, что функция-изображение F{p) = 	 оказывается
определенной и аналитической во всей комплексной плоскости, за ис-
исключением особой точки р = а, хотя задающий это изображение инте-
интеграл Лапласа сходится лишь при Rep > o~$. Как мы увидим в дальней-
дальнейшем, такая ситуация является типичной: как правило, функция F(p)
оказывается определенной и аналитической в значительно большей
части комплексной плоскости, чем полуплоскость Rep > o~$. Соглас-
Согласно теореме 30.1, функция F(p) не имеет особых точек в этой полу-
полуплоскости; все они лежат левее прямой Rep = сто или на самой этой
прямой.
Преобразование Лапласа C0.5) каждой функции-оригиналу /(?)
ставит в соответствие функцию-изображение F{p). Оказывается, у
разных функций-оригиналов изображения также должны быть раз-
разными. Более того, существует формула, называемая формулой обра-
обращения, которая позволяет по известному изображению F(p) восста-
восстановить оригинал /(?).
Теорема 30.3 (теорема обращения). Если f(t) — функция-
оригинал с индексом роста сто и F{p) — ее изображение, то во всякой
точке непрерывности функция f(t) выражается через F(p) no сле-
12*

180	Гл. VIII. Основы операционного исчисления
дующей формуле обращения:
сг+гоо
fit) = — / eptF(p)dp,	C0.9)
2ттг J
а — гоо
где интеграл берется по любой прямой Rep = а > сто и понимается
в смысле главного значения, т.е.
сг+гоо	a-\-iR
Г eptF(p)dp= lim Г eptF(p)dp.
а — гоо	a — iR
Мы не приводим доказательство этой теоремы, рекомендуя чи-
читателю учебники [1], [4], [5] (в [5] имеется и нестрогое рассуждение,
объясняющее происхождение формулы C0.9), и аккуратное доказа-
доказательство). В некоторых книгах (например, [9], [11]) формула C0.9)
выводится из аналогичной формулы для преобразования Фурье, ко-
которое мы не рассматриваем.
В примерах 30.2, 30.3 мы находили изображение непосредственно
по определению C0.5) преобразования Лапласа. Во многих случаях
для отыскания изображения заданной функции значительно удобнее
пользоваться общими свойствами преобразования Лапласа. К изуче-
изучению некоторых из них мы и переходим.
§ 31. Основные свойства преобразования Лапласа
В дальнейшем через /(?), g(t),... мы обозначаем функции-ориги-
функции-оригиналы, а через F(p), G(p),... — их изображения.
1°. Свойство линейности. Если f(t) = F(p), g(t) = G(p),
то для любых комплексных постоянных а и C
af(t) + pg(t) = aF(p) + /3G(p).	C1.1)
Доказательство немедленно следует из определения C0.5)
преобразования Лапласа и свойства линейности интеграла. Действи-
Действительно, изображение функции af(t) + /3g(t) равно
оо
J(af(t) + /3g(t))e-pt dt =
о
оо	оо
= а [ f(t)e~pt dt + Р Г g(t)e~pt dt = aF(p) + f3G(p).
о	о
oo	oo
Отметим, что интегралы / f(t)e pt dt и / g(t)e pt dt сходятся, вообще
о	о
говоря, в разных полуплоскостях Rep > о\ и Rep > о*}. Тогда инте-

§31. Основные свойства преобразования Лапласа	181
ОО
грал / (otf(t) + f3g(t))e~pt dt будет сходиться в пересечении этих полу-
о
плоскостей, т.е. в полуплоскости Rep > сто, где сто = maxfVi, 02).
Пример 31.1. Найти изображение функций s'moot, cosoot, shoot,
choot.
Решение. Заданные функции выражаются через показатель-
показательные функции по формулам A2.2), A2.5):
sinoot =	—	, cosoot =
2г ' 		2
shoot =	, choot =
ew4e-wi
В силу C0.8) eiujt = -—^—, e~iujt = -^—. Пользуясь свойством C1.1),
получаем
l	l	±^	1^- = -T^. C1.2)
p + iuj p2 + uj2
e	e
2г	2г	2г р — iuj
Аналогично выводятся соотношения
choot =—^-—«•	C1.3)
p2 и2
p2 + cj2	p2 — cj2	p2 — и
Читателю рекомендуется получить их самостоятельно.
2°. Поведение изображения при р—>¦ оо. Изображе-
Изображение F(p) любой функции-оригинала f(t) стремится к нулю, если
р —> оо так, что Rep —у +оо.
Доказательство. Пусть а о — индекс роста функции-ориги-
функции-оригинала /(?). Возьмем некоторое число а\ > о~о и обозначим Rep = а. В
силу C0.5) и C0.1) имеем \f(t)\ ^ Meffl<, и при а > ох
оо	оо	оо
|F(p)| = \f f(t)e~ptdt <: f \f(t)\\e-pt\dt ^ M f eaite-at dt =
0	0	О
оо
= М [ e-(a-ai)t dt = -
a — G\
a — G\
0
Отсюда следует, что F(p) —у 0 при а —> оо, что и требовалось доказать.
3°.Теорема подобия. Если f(t) = F(p); то для любого чис-
числа X > О

182	Гл. VIII. Основы операционного исчисления
Доказательство. Введем новое переменное т = Xt. Тогда
т	1
t — —, dt — —dr. Подставляя эти равенства в интеграл, получаем
Л	Л
оо	оо	оо
Г	Л	Л Г	1 / т)
0	0	0
(последнее равенство получается из определения C0.5), в котором
неважно, какой буквой обозначено переменное интегрирования: t
или г).
4°.Теорема запаздывания. Если f(t) = F(p), mo для лю-
любого т > 0
f(t-r)=e-pTF(p).	C1.5)
Название теоремы объясняется тем, что в приложениях т является
временем запаздывания сигнала.
Доказательство. Введем новое переменное ( = t — т. Тогда
t = ? + т, dt = d(. При изменении t от 0 до оо переменное ( изменяется
от —т до оо. Переходя в интеграле к переменному ?, получаем
оо	оо
/(* - T)e~pt dt= [ /(С)е"р(с+г) d( = е~рт f /(C)e"K d(.
J	J
О	-г	-г
Но функция-оригинал /(?) равна нулю на интервале (—г, 0), так
как /(?) = 0 при т < 0. Поэтому правая часть последнего равенства
равна
оо
О-РТ
е
о
что нам и требовалось.
Двойственной к теореме запаздывания является следующая тео-
теорема.
5°. Теорема смещения. Если f(t) = F(p), mo для любого
числа X
e-xtf(t) = F(p + X).	C1.6)
Доказательство. Непосредственно из определения C0.5)
получаем
оо	оо
e-xtf(t)= fe-xtf(t)e-ptdt= f f(t)e^x+p^ dt = F(p + Л).
о	о
Пример 31.2. Найти изображения функций eat sincjt, eat cosout.

§31. Основные свойства преобразования Лапласа	183
Решение. Возьмем /(?) = sinout. Согласно C1.2)
F(p) = -^-ч.
Р2 +CJ2
По теореме смещения, для отыскания изображения функции e~xtf(t)
следует в выражение для F(p) подставить р + Л вместо р. В нашем
случае Л = — а. Подставляя р — а вместо р, получаем
eat s'moot =	^	-. Аналогично, eat —'%+ — Р
C1.7)
6°. Теорема о дифференцировании оригинала.
Пусть f{t) непрерывна при t ^ 0; причем f{t) и f'{t) являются
функциями-оригиналами и f(t) = F(p). Тогда
f'(t)=PF(p)-f@).	C1.8)
Если, кроме того, производная (п — 1)-го порядка f<yTl~1\t) непрерыв-
непрерывна при t ^ 0 и f^n\t) — тоже функция-оригинал, то
/(")(«) =PnF(p) -р"-7@) -Рп~2Г@) - ... - /(""^(О), C1.9)
где под значениями /'к'@) понимается правый предел lim
t—^о+о
Доказательство. Пусть сто — индекс роста функции /(?) и
Rep = а > g\ > (To. Записывая преобразование Лапласа для произ-
производной f'(t) и интегрируя по частям, получаем
оо	оо
/ОО	Г
f'(t)e-pt dt = f{t)e~pt +p f{t)e~pt dt	C1.10)
о J
о	о
(мы воспользовались равенством de~pt = —pe~ptdt). Согласно C0.1)
\f(t)e~pt\ ^ Meait\e~pt\ = Me~^a~ai)t -> 0 при t -> оо.
Поэтому f(t)e~pt\oD =0-/@). Учитывая, что интеграл в правой ча-
части C1.10) равен F(p), приходим к C1.8).
Для получения изображения второй производной fff(t) применим
формулу C1.8) дважды. Пусть F\(p) — изображение функции f'(t).
Согласно C1.8) Fx(p) = pF(p) - /@) и
f"(t) = (f'(t))' =pFi(p) - f'@)=p(pF(p) - /@)) - /(О) =
= p2F(p) — pf(O) — f'@).
Аналогично,
/'"(*) = (/"(*))' =P(p2F(P)-pf@) - /'@)) - /"@) =
= P3F(P)-p2f@)-pf@)-f"@),
и т.д. Тем самым справедливость соотношения C1.9) установлена.

184	Гл. VIII. Основы операционного исчисления
В частности, если /@) = ДО) = ... = /(""^(О) = 0, то f^n\t) =
= j9nF(p), т.е. при нулевых начальных условиях п-кратное диффе-
дифференцирование оригинала приводит к умножению на рп его изобра-
изображения.
7°. Теорема об интегрировании оригинала. Ес-
Если /(?) является функцией-оригиналом и /(?) = F(p), то интеграл
t
//(г) dr также является оригиналом и
о
/.
Ci.il)
t
Доказательство. Положим cp(t) = / /(г) dr и покажем, что
о
(f(i) — функция-оригинал, т.е. удовлетворяет условиям 1)—3), данным
в начале § 30. Так как /(г) =0 при г < 0, то ip(t) = 0 при t ^ 0 (под-
(подчеркнем, что ip@) = 0, даже если /@) ф 0). Функция ip(t) непрерыв-
непрерывна и кусочно дифференцируема при t G (—оо, +оо). Поскольку /(?) —
функция-оригинал, то существуют постоянные М > 0 и сг, такие что
Ме°К Тогда
t	t
(r)|dr ^ MJe'TdT = ^{е°г - 1) < Мге^, My = Ц-.
О	О
Таким образом, (f(i) является функцией-оригиналом. Пусть Ф(р) —
изображение функции ip(t). Используя равенства (f'(t) = f(t) (это сле-
следует из теоремы о производной интеграла с переменным верхним пре-
пределом) и ц>@) = 0, из C1.8) получаем
/(?) = (p'(t) = РФ(р) - (р@) = РФ(р).
Итак, рФ(р) является изображением функции f(t). Но F(p) — также
изображение этой функции. Поэтому рФ(р) = F(p), т.е. Ф(р) = F(p)/p.
Следовательно, изображением функции ip(t) будет F(p)/p, что и тре-
требовалось доказать.
8°. Теорема о дифференцировании изображе-
изображения. Если f(t) = F(p), mo
-tf(t) = F'(p).	C1.12)
Доказательство основано на следующем свойстве интегра-
интегралов, обоснование которого мы не приводим: чтобы найти производ-
(X)
ную F'(p), т.е. производную по переменному р интеграла / f(t)e~pt dt,
о
нужно вычислить интеграл от производной по р подынтегральной

§31. Основные свойства преобразования Лапласа	185
функции; другими словами, продифференцировать по р под знаком
интеграла:
ОО	ОО
F'(p) = J(f(t)e-p% dt = I -tf{t)e-vb dt.
0	0
Последний интеграл является преобразованием Лапласа функции
—?/(?), что и доказывает соотношение C1.12).
Применяя C1.12) п раз, получим
F^(p).	C1.13)
Пример 31.3. Найти изображения функций ?n, tneat, tsinut,
tcosoot.
Решение. Так как 1 = 1/р (см. C0.7)), то в силу C1.12)
—t = I — I = -, т.е. t = —-.
Последовательно применяя формулу C1.12), получим
,2-2	,2-2	о • 2 • 3	,з.2-3
-t = --г, т.е. Г = —; -Г =	—, т.е. Г = —т-,
р3	р3	р4	р4
и вообще,
tn=. _гс! п = 1,2,...	C1.14)
ргг + 1
Для отыскания изображ:ения функции tneat воспользуемся тео-
теоремой смещения, как и в примере 31.2. Подставляя в правую часть
соотношения C1.14) р + Л = р — а вместо р, получаем
*"^.=- "'	п = 1,2,...	C1.15)
Изображения функций t sin ujt и t cos ujt также легко находятся по
формуле C1.12), если применить уже известные выражения для изоб-
изображений функций sin out и cos out. Так, из C1.12) и C1.2) следует
т.е.
гН =г, т.е.	tsmcjt=ri^.
p2+oj2j (p2+oj2J	(p2+oj2J
Аналогично, из C1.12) и C1.3) находится	изображение функции
t cos out (получите его самостоятельно). Итак,
tsincot= . 22_f 2,2, tcoscot= .р~Ш.	C1.16)
(р2 + и2J	(р2 + и2J
9°. Теорема об интегрировании изображения.
Если f(t) и f(t)/t являются функциями-оригиналами и f(t) = F(p),

186	Гл. VIII. Основы операционного исчисления
то
Ш = j F(s)ds.	C1.17)
р
Доказательство. Обозначим через Ф(р) изображение функ-
функции /(?)/?, т.е.
о
Найдем производную Ф'(р). Для этого (как и при доказательстве
предыдущей теоремы) продифференцируем по р выражение, стоящее
под знаком интеграла:
оо
Ф'(р) = /(^е-*) dt = J-tf
= - f f{t)e-vbdt=-F{p),
О
т.е. Ф'(р) = —F(p). По формуле Ньютона-Лейбница
Ф(р)-Ф(Д) = -(Ф(Д) -Ф(р)) = - f &{s)ds= [F{s)ds.
р	р
Так как Ф(р) — функция-изображение, то по свойству 2° lim Ф(Д) =
R—^оо
= 0. Переходя к пределу при R —у оо, получаем
Я	оо
Нт Ф(Д) = Hm /F(s)ds= f F(s)ds,
-^оо	Я-^оо У	У
р	р
оо
т.е. Ф(р) = / F(s) ds, что равносильно соотношению C1.17).
р
sin out
Пример 31.4. Найти изображение функции
t
-^	т	,. smut	smut
Решение. 1ак как lim 	= со — конечное число, то
t^o+o t
со конечное число, то
t	t
является функцией-оригиналом. Используя соотношение sin ojt =
и C1.17), имеем
р2 + и
оо
smut
= / —	 ds = со — arctg — = — — arctg —.	C1.18)
' J s2+u2	и	Up 2	и

§31. Основные свойства преобразования Лапласа
187
Полученные формулы позволяют вычислять некоторые интегра-
интегралы. Например, C1.18) означает, что
оо
Г
smut _p
i 6
Полагая p = 0, получаем
/si
-
sinout 7J тг
(Необходимо заметить, что прежде нам следовало бы убедиться в схо-
сходимости соответствующего интеграла. Мы не останавливаемся здесь
на доказательстве этого факта.)
Изложенные выше свойства преобразова-
преобразования Лапласа позволяют находить изображения
и ряда других функций.
Пример 31.5. Найти изображение пря-
прямоугольного импульса f(t) высотой 1 и шири-
шириной I, изображенного на рис. 53.
Т Т + 1
Рис. 53
t
Решение. Искомое изображение нетрудно найти, непосредст-
непосредственно вычисляя интеграл в C0.5):
F(p) =
1 • e~pt dt = --
(-?
—
р
A - е-*1).
Но можно поступить и по-другому. Пусть h(t) — единичная функ-
функция, определенная в C0.2). Функции h(t — Т) и h{t — T — l) полу-
получаются из нее смещением вправо на Т и Т + I единиц соответст-
соответственно. Поэтому заданный импульс /(?) можно представить в виде
разности: /(?) = h(t — Т) — h(t — T — l). Используя линейность пре-
преобразования Лапласа, формулу h(t) = 1/р и теорему запаздыва-
запаздывания C1.5), получаем
-
= е~рТ - - e-
—
C1.19)
Следующий пример показывает, как можно получить изображение
периодического сигнала, зная изображение отдельного импульса.
Пример 31.6. Найти изображение бесконечной серии прямо-
прямоугольных импульсов высотой 1 и шириной /, имеющих период Т
(рис. 54).

188
Гл. VIII. Основы операционного исчисления
Решение. Обозначим через fn(t) n-й импульс, который начина-
начинается в момент времени пТ и длится время I. Из предыдущего примера
следует, что
1
3-рпТ
Р
-а-
(мы подставили в C1.19) пТ вме-
вместо Т). Очевидно, что данный пе-
периодический сигнал /(?) можно
рассматривать как сумму отдель-
ОО
ных импульсов fn(t): f(t)= ^2 fn(t). В силу линейности преобразо-
вания Лапласа
Т Т + 1 2Т2Т + 1 ЗТ
Рис. 54
F(p) =
п=0
-рпТ
Р
- e
~pl) =
) = 1A- e~pl)
1-е"
Р
п=0
(в последнем равенстве мы воспользовались формулой B2.6) для
суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаме-
знаменателем q = е~рТ < 1). Заметим, что можно было получить изобра-
изображение Fo(t) лишь первого импульса /о(?); изображения остальных
импульсов сразу следуют из формулы C1.5):
Для изложения следующего свойства преобразования Лапласа нам
понадобится понятие свертки двух функций. Пусть функции /(?)
и g(t) определены и кусочно-непрерывны при t G (—оо,+оо). Тогда
t
для каждого значения t существует интеграл J f(r)g(t — т) dr. Этот
о
интеграл, очевидно, является функцией переменного t. Сверткой
функций f(t) и g(t) называется новая функция переменного ?, обо-
обозначаемая / * g(t) и определяемая равенством
J
C1.20)
= J f(r)g(t-r)dr.
о
Установим два свойства свертки.
Свойство 1. Справедливо равенство
f*g(t)=g*f(t).	C1.21)
Доказательство. Введем новое переменное ? = t — т. Тогда
т — t — С, dr = — d(. При изменении т от 0 до t переменное ( изменя-

§31. Основные свойства преобразования Лапласа
189
ется от t до 0. Отсюда
t
g(t) = I f(r)g(t -r)dr = -Jf(t- (МО d( =
0
Свойство 2. Если /(?) и g{t) — функции-оригиналы с ин-
индексами роста сто и so соответственно, то свертка / * g(t) —
тоже функция-оригинал, индекс роста которой не превосходит
max(cro,so).
Доказательство. Так как /(т) = 0 при г < 0, то и / * g(t) =
= 0 при t < 0. Из кусочной дифференцируемости функций /(?) и g(t)
следует, что аналогичным свойством обладает и свертка / * g(t) (по-
(подробного доказательства этого факта мы не приводим). Осталось
проверить условие роста C0.1). Возьмем любое а, такое что а > о~о
и а > so. Тогда найдется <ti, для которого а > g\ > so. Так как /(?)
и g(t) — функции-оригиналы, то существуют такие числа М\ > 0 и
М2 > 0, что
Из C1.20) следует
\f*9(t)\=
t
Jf(T)g(t-T)dT
t	t
2 feaTeai^-T^ dr = M1M2e(Tlt i е^~^т dr =
о	о
a — a\
М =
MlMl _
a — a\
Итак, свертка / * g(t) удовлетворяет условию C0.1) для любого а >
> max(cro, so). Отсюда и следует, что / * g(t) — функция-оригинал с
индексом роста, не превосходящим max(cro, so).
Теперь мы готовы доказать следующее свойство преобразования
Лапласа.
10°. Теорема умножения изображений. Если f(t) =
= F{p), g(t) = G{p) mo
t) = F(p)G(p),
C1.22)

190
Гл. VIII. Основы операционного исчисления
т.е. изображением свертки функций /(?) и g{t) является произведе-
произведение изображений этих функций.
Доказательство. Запишем преобразование Лапласа для
свертки:	^	t
dt I f{r)g{t - r) dr.
т,
f*g(t) =
О	О
Мы получили двойной интеграл по неограниченной области D, изоб-
изображенной на рис. 55. Изменим порядок
интегрирования, вычисляя внешний инте-
интеграл по переменному т, а внутренний —
по t. (Мы не останавливаемся подробно
на обосновании законности этой опера-
^ ции; отметим лишь, что возможность из-
t менить порядок интегрирования в несобст-
несобственном двойном интеграле следует из
абсолютной сходимости этого интеграла при
Rep > max(cro, so), которая имеет место в силу свойства 2 свертки.)
При фиксированном значении т переменное t изменяется от г до оо.
Поэтому
оо	t	оо оо
' dt J f(T)g(t -т)йт = Jdr f e-ptf(T)g(t -r)dt =
Рис. 55
= J f(T)drJe-ptg(t-T)
dt
(мы вынесли за знак внутреннего интеграла множитель /(т), не за-
зависящий от переменного интегрирования t). Во внутреннем интегра-
интеграле перейдем к новому переменному ( = t — т. Тогда t = ( + г, dt = d(.
При изменении t от т до оо переменное ? изменяется от 0 до оо. Поэто-
Поэтому
оо
T)g(O d( = e~^ J
-**g(t -r)dt = Je-*«+T)g(O d( = e~^ J e^(C) d( = e"^
т	О	О
Тем самым внутренний интеграл вычислен, и мы получаем
/ * g(t) = I f(r)e-prG(p) dr = G(p) I e-prf(r) dr = G(p)F(p),
о	о
что и требовалось доказать.
Формула C1.22) часто используется для определения оригинала
по заданному изображению, когда изображение раскладывается на
множители, оригиналы которых известны.

§31. Основные свойства преобразования Лапласа	191
2
Пример 31.7. Найти оригинал функции F(p) =
(р2+и2J'
Решение. Функция F(p) представляется в виде произведения
. Поскольку —	 = sincjt (формула C1.2)), то в си-
р2 + ио2 р2 + ио2	^ р2 + ио
лу свойства 10°
F(p) = / sincjr • sincj(t - r) dr = - / (coscjBt - t) — cos out) dr =
о	о
1
= — sincjBr - t)
1	1	1
? ?	i t
1	1	1
— - ? cos cj? = —- sin cot — -t cos cjt.
о 2	2cj	2
Полученный результат легко проверить, пользуясь линейностью
преобразования Лапласа и формулами C1.2) и C1.16). Действи-
Действительно,
1 . . 1.	. . 1 cj	I p2-cj2
-— sm out — -t t
-p2
Приведем следствие теоремы умножения изображений, полезное
для применения операционного исчисления к решению дифференци-
дифференциальных уравнений.
Теорема 31.8. Пусть f{t) и g{t) — функции-оригиналы, причем
производная gf(t) — таксисе функция-оригинал. Тогда имеет место
соответствие	t
PF(p)G{p) = g(O)f(t) + I f(T)g'(t - r) dr.	C1.23)
0
Доказательство. Интеграл в правой части C1.23) является
сверткой f*g'(t). По свойству 6° (формула C1.8)) изображением
функции gf(t) является pG(p) — g@). Пользуясь линейностью преоб-
преобразования Лапласа и теоремой умножения изображений, получаем
9@)№ + / * 9'(t) = 9(O)F(P) + F(p)(pG(p) - g@)) = pF(p)G(p),
и соотношение C1.23) доказано.
Формула C1.23) называется формулой или интегралом Дюамеля.
Ее можно записать в различных формах. Левая часть в C1.23) сим-
симметрична относительно F(p) и G(p), поэтому в правой части форму-
формулы функции /(?) и g(t) можно поменять местами. Кроме того, в силу
свойства / * g'(t) = g' * f(t) под интегралом можно поменять местами
/ и д'. Мы не выписываем соответствующие формулы. Применение
интеграла Дюамеля будет дано в § 32.
Для удобства дальнейших применений сведем изображения эле-

192
Гл. VIII. Основы операционного исчисления
ментарных функций и основные свойства преобразования Лапласа в
единую таблицу.
Таблица
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Оригинал
1
eat
sin ujt
cos out
shut
ch ujt
eat sin out
at .
e cos ujt
Г, n-1,2,...
tnea\ n-1,2,...
t sin out
t COS U)t
t shout
tchuot
sin out
t
af(t)+Pg(t)
/(At)
fit-r)
e~Xtf(t)
Изображение
1
P
1
p — a
uj
p2 +uj2
P
p2 +uu2
UJ
p2 — uj2
p
p2 -uj2
UJ
(p-aJ+uj2
p — a
(p-aJ+uj2
n\
pn + l
n\
(p - a)^1
2puj
(P2+UJ2J
P2-uj2
(P2+UJ2J
2puj
(P2-UJ2J
2 , 2
p + uj
(p2-W2J
7Г p
2 arCtgo,
aF(p)+/3G(p)
-f(e)
e-pTF(p)
F(p + \)

§32. Применение операционного исчисления
193
Таблица (продолжение)
20
21
22
23
24
25
26
Оригинал
/(n)w
ff(r)dr
0
t
g(O)f(t) + ff(r)g'(t-T)dT
0
Изображение
pF(p) - /@)
pnF(p)-pn@)-
-pB"Y(o)---/M(o)
F(p)
P
F'(p)
OO
Г F(s)ds
p
F(p)G(p)
PF(p)G(p)
В приведенной таблице формулы 1—15 являются изображения-
изображениями некоторых элементарных функций; соотношения 16-26 выража-
выражают основные свойства преобразования Лапласа. Укажем для каждой
строки таблицы, где была выведена соответствующая формула: 1 —
C0.7); 2 - C0.8); 3 - C1.2); 4-6 - C1.3); 7-8 - C1.7); 9 - C1.14); 10 -
C1.15); 11-12 — C1.16); формулы 13-14 ранее не приводились, но вы-
выводятся так же, как и две предыдущие — см. пример 31.3; 15 — C1.18);
16 — C1.1) (свойство линейности); 17 — C1.4) (теорема подобия); 18 —
C1.5) (теорема запаздывания); 19 — C1.6) (теорема смещения); 20 —
C1.8); 21 — C1.9) (теорема о дифференцировании оригинала); 22 —
C1.11) (теорема об интегрировании оригинала); 23 — C1.12) (теорема
о дифференцировании изображения); 24 — C1.17) (теорема об инте-
интегрировании изображения); 25 — C1.22) (теорема умножения изобра-
изображений); 26 — C1.23) (интеграл Дюамеля).
Более подробная таблица изображений имеется в [5], с. 502-504.
§ 32. Применение операционного исчисления
к решению обыкновенных дифференциальных
уравнений
1. Решение дифференциальных уравнений. Одним из важ-
важнейших применений операционного исчисления является решение ли-
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-
13 В.Я.Эйдерман

194	Гл. VIII. Основы операционного исчисления
тами, т.е. уравнений вида
аоу{п) + ац/*"-1* + ... + апу = f(t),	C2.1)
где ао, ai,..., ап — заданные числа (коэффициенты уравнения), /(?) —
заданная функция и у = y(t) — искомая (неизвестная) функция. Тре-
Требуется решить задачу Коши, т.е. найти решение этого уравнения, удо-
удовлетворяющее начальным условиям:
2/@) =2/о, у'@)=у'о,...,у^-1\0)=у^-1\	C2.2)
где уо, yf0,..., 2/q ~~ произвольно заданные числа.
Предположим, что правая часть /(?) есть функция-оригинал. В
теории дифференциальных уравнений доказывается, что при этом
условии решение y(t) задачи Коши существует, единственно и так-
также является функцией-оригиналом. Основные этапы решения задачи
операционным методом изложены во введении к данной главе.
1.	Перейдем от функций y(t) и /(?) к их изображениям Y(p) и F(p).
2.	Используя свойство линейности преобразования Лапласа (фор-
(формула 16 таблицы) и теорему о дифференцировании оригинала (фор-
(формула 21), перейдем от уравнения C2.1) относительно оригинала y(t)
к уравнению относительно изображения Y(p):
C2.3)
Уравнение C2.3) называется изображающим или операторным урав-
уравнением. Оно оказалось проще исходного уравнения C2.1), так как
является линейным алгебраическим уравнением относительно Y.
3. Решим уравнение C2.3) относительно Y. С этой целью члены
уравнения, содержащие У, оставим слева, а остальные перенесем в
правую часть:
Y(aopn + ахр71-1 + ... + ап) =
= F{p) + ооСр^уо +Рп~2у'о + • • • + ^П}) +
+ ai(pn-22/0 +рп~3Уо + • • • + У{Г2)) + • • • C2.4)
Обозначим множитель при Y через А(р):
А(р) = аорп + ахр71-1 + ... + ап.
Это характеристический многочлен линейного дифференциального
уравнения. Правую часть уравнения C2.4), за исключением слагае-
слагаемого F(p), обозначим через В(р). Очевидно, что В(р) является мно-
многочленом степени п — 1. Теперь уравнение C2.4) примет вид
= F(p)+B(p),

§32. Применение операционного исчисления	195
откуда
у v(n)
У -У(Р)- А{р)
Заметим, что если начальные условия нулевые, т.е. у о = у'о = ...
¦ ¦ ¦ = У^~1} = 0, то В(р) = 0.
4. Осталось выполнить последний этап — от найденного изобра-
изображения Y(p) перейти к оригиналу y(t), который и является решением
задачи Коши.
Пример 32.1. Найти решение уравнения у" — Зу' + 2у = sin2t,
удовлетворяющее начальным условиям у@) = 0, у'@) = 1.
2
Решение. Согласно формуле 3 таблицы, sin 2? = ——г- Пользу-
Пользуясь соотношениями 21 и 20 таблицы, перейдем к операторному урав-
уравнению	г,
(Р2Г _ р . 0 _ 1} _ црУ _ о) + 2У = -ГГа,
откуда
Y =
Полученное изображение является дробно-рациональной функцией, у
которой степень числителя строго меньше степени знаменателя. Оста-
Остановимся подробнее на методах отыскания оригиналов таких функций
(в частности, мы найдем оригинал и данного изображения Y(p)).
2. Нахождение оригиналов по известному изображению.
Мы изложим два способа нахождения оригинала. Первый способ со-
состоит в том, что дробь Y(p) разлагается в сумму простейших дробей
методом неопределенных коэффициентов. После этого изображение
каждого слагаемого легко находится по таблице. Предполагая, что
читатель знаком с методом неопределенных коэффициентов из курса
интегрального исчисления, мы лишь кратко напомним его суть.
Вначале знаменатель дроби Y(p) раскладывается на множители
вида (ар + Ъ)к и (ар2 + Ър + сI. Каждому множителю (ар + Ъ)к соот-
соответствует в разложении дроби Y(p) сумма
А	В	С
ар-\-Ъ (ар-\-ЪJ '" (ар + Ъ)к1
каждому множителю (ар2 + Ър + сI соответствует сумма
М2р + N2	М\р + Ni
+ (ар2 +Ър + сJ + '•• + (ар2 + Ър + сI'
Коэффициенты разложения А, В, С, М^ Nj определены однозначно;
они находятся путем сравнения левой и правой частей разложения.
13*

196	Гл. VIII. Основы операционного исчисления
Способы отыскания этих коэффициентов более подробно проиллю-
проиллюстрируем на примере.
Пример 32.2. Найти оригинал функции
Yip) = 7-Г
Решение. Разложим знаменатель на множители. Уравнение
р2 — Зр + 2 = 0 имеет корни р\ = 1, р<± = 2; уравнение р2 + 4 = 0 дей-
действительных корней не имеет. Таким образом,
р2 + 6	_	р2 + 6
(р2 + 4)(р2 - Зр + 2) (р - 1)(р - 2)(р2 + 4)'
Множители (р — 1) и (р — 2) являются множителями первого типа
/ 1	А
с к = 1; каждому из них соответствует одно слагаемое вида 	.
Р — Рт
Множитель (р2 + 4), являясь множителем второго типа с I = 1, дает
Mp + N
слагаемое вида —	—. 1аким образом, разложение данной дроби
р2 + 4
имеет вид
р2 + 6	_	р2 + 6	_ А	В Mp +
(р2-Зр + 2)(р2 + 4) (р-1)(р-2)(р2 + 4) р-1р-2 р2+4*
Приведем правую часть к общему знаменателю и отбросим знамена-
знаменатели, одинаковые у получившихся дробей:
р2 + б = А(р - 2)(р2 + 4) + В(р - 1)(р2 + 4) + (Мр + N)(p- l)(p - 2).
C2.6)
Из этого равенства и находятся неопределенные пока коэффициен-
коэффициенты А, В, М, N. Сделать это можно, либо подставляя в C2.6) кон-
конкретные значения р, либо раскрывая скобки в правой части C2.6),
группируя слагаемые с р3, р2, р1, р° и приравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях р в левой и правой частях получившегося
равенства. На практике наиболее удобным является сочетание этих
приемов. Начнем с подстановки таких значений р, при которых одна
из скобок в правой части C2.6) обращается в нуль, т.е. р = 1 и р = 2.
Как мы увидим, каждая такая подстановка позволяет сразу найти
один из коэффициентов.
При р = 1 имеем:
I2 + б = АA - 2)A2 + 4) + В • О + (М • 1 + N) • О,
т.е.
7 = -5А, откуда А = -7/5.
При р = 2 получаем: 22 + б = 0 + В • 1 • B2 + 4) + 0, т.е.
Ю = 8Б, В = 5/4.

§32. Применение операционного исчисления	197
После этого можно подставлять в C2.6) любые другие значения р
и получать уравнения относительно оставшихся неизвестных. На-
Например, при р = 0 получим: б = А(-2) • 4 + В(-1) • 4 + iV(—1)(—2),
т.е. 6 = -8А - 4В + 27V, откуда
х = -^ N = ~Т^-
о	о	1U
Для определения оставшегося неизвестного М можно подставить
в C2.6) любое другое значение р. Но удобнее приравнять коэффи-
коэффициенты при р3. Если мы раскроем скобки в C2.6), то слагаемыми
с р3 будут только Ар3 + Вр3 + Мр3 (остальные слагаемые содержат
р в меньшей степени). Поэтому коффициентом при р3 справа будет
А + В + М; слева слагаемое с р3 отсутствует, поэтому соответствую-
соответствующий коэффициент равен нулю. Имеем
А + В + М = 0, М = -А-В = \-\ = ^ М = ±.
Итак, все коэффициенты определены и разложение дроби Y(p) в сум-
сумму простейших получено:
р2 + 6	_ 7 1 5 1 _3_ р	11
2
+ 4)	5р-14р-220р2 + 4 Юр
Пользуясь линейностью и формулами 2, 4, 3 таблицы, легко находим
2	11
оригинал y(t) (по формуле 3 sin 2? = ——т, откуда - sin 2t = ——-):
y(t) = -|е* + \e2t + A cos2i - 1 s[n2t.	C2.7)
Тем самым задача Коши, поставленная в примере 32.1, решена.
Второй способ нахождения оригинала по известному изображеню
основан на использовании теории вычетов.
Теорема 32.3 (теорема о разложении). Если изображение Y(p)
является дробно-рациональной функцией, то ее оригинал y{t) нахо-
находится по формуле
2/(t) = J>esPfc(l»e^),	C2.8)
к
т.е. функция y(t) равна сумме вычетов функции Y(p)ept, вычислен-
вычисленных во всех полюсах pk функции Y(p).
Доказательство. Пусть а о — индекс роста функции-ориги-
функции-оригинала y(t). Возьмем любое число а > o~q. Функция-изображение Y(p)
аналитична при Rep > сто- Следовательно, все ее полюсы лежат в
полуплоскости Rep ^ ао < а. Так как этих полюсов конечное чис-
число, то для достаточно больших значений R все полюсы будут нахо-
находиться в области, ограниченной дугой окружности \р\ = R и отрез-

198
Гл. VIII. Основы операционного исчисления
ком Rep = а (рис. 56). Обозначим эту дугу через Г (Л), а отрезок —
через I(R); по теореме Пифагора I(R) =
= [а — iy/R2 — а2, а + iy/R2 — а2]. Согласно
основной теореме о вычетах (теорема 27.1,
формула B7.2)),
2/А
Г(Д)
.
/(Я)иГ(Я)
Г(Я)
причем это равенство выполнено при всех до-
достаточно больших значениях R, и левая часть
(сумма вычетов) не зависит от R. Переходя к пределу при R —У оо, по-
получаем
Рис. 56
sPfc (У (
Покаж:ем, что
= ^ Нт
^- lim / У
/(Я)
lim
Я^оо
>)е^ф.
C2.9)
C2.10)
С этой целью в интеграле из C2.10) сделаем замену переменного:
z = —ip, откуда р = iz, dp = idz. При умножеии на —г плоскость пе-
переменного р поворачивается на угол тг/2 по часовой стрелке. Прямая
Rep = а перейдет в горизонтальную прямую Imz =—а, полуплос-
полуплоскость Rep < сг — в верхнюю полуплоскость Im z > —а, а дуга Г(Д) —
в дугу "y(R), лежащую в этой полуплоскости (см. рис. 50). Мы полу-
получаем
[	[	iztdz.
[ Y(p)eptdp = i [ Y(iz)e
Г(Я)
У дробно-рациональной функции-изображения Y(p) степень много-
многочлена в числителе должна быть строго меньше степени многочлена в
знаменателе (иначе будет нарушаться свойство 2° о поведении изоб-
изображения при р —У оо). Значит, Y(p) —у 0, когда р —у оо произвольным
образом (необязательно с соблюдением условия Rep —у оо). Поэтому
lim Y(iz) = 0. Таким образом, выполнены все условия теоремы 28.6
(леммы Жордана), в силу которой (см. B8.5))
д1ш1 f Y(iz)eiztdz = O,
7(Д)

§32. Применение операционного исчисления	199
откуда и следует равенство C2.10). Из C2.10) и C2.9) имеем
сг+гоо
\	г	1С
^ Рк	2ттг я^оо J	2ттг J
к	I(R)	a-ioo
По формуле обращения C0.9) правая часть этой цепочки равна ори-
оригиналу y{t) функции-изображения Y(p). Тем самым формула C2.8)
доказана.
Найдем оригинал функции Y(p) из примера 32.2 вторым способом.
Пример 32.4. С помощью вычетов найти оригинал функции
2 , п
Y(P) = TIT
Решение. Функция Y(p)ept = -.	,,. „w „.w	;гт имеет
1	(pl)(p2)(p2i)(p + 2i)
четыре особые точки 1, 2, 2г, — 2г, каясдая из которых является по-
полюсом первого порядка. Поэтому вычеты в этих точках можно найти
либо по формуле B7.5), либо по формуле B7.6). Воспользуемся, на-
например, B7.5). Имеем
reSl (Y(p)ept) - lim
ге81(У (р)е ) - hm
_ {р _
= _1л.
56'
+ 4) 5
Yes2(Y(p)e ) = lim ——	—^-	=
р—>2 (р — 1)(р — 2)(р2 + 4)
т.	(р + 6)ер	D + 6)е	5 о/
— и™	—	= - е ;
4) 4
( (р) )	. ^ _
(BгJ + 6)е2«	_ (-4 + 6)е2и _ еш _ C + г)е2
(-2 - 6гLг 4C - г)	40
C - г)е"
((-2гJ + 6г + 2)(-2г-2г) (-2 + 6г)(-4г) 4C + г)	40
По теореме 32.3 оригинал y(t) равен сумме найденных вычетов:
v(t) - -let +5-e2t+ {3 + i)e2U + ?-^~Ш
V[t) e+4e+ 40 + 40

200	Гл. VIII. Основы операционного исчисления
Сумма двух последних вычетов равна
_3_ 2it , J_ p2it , A p-^t _ j_
40 ^ 40 "^ 40	40
Поэтому найденный оригинал совпадает с C2.7). В следующей главе
будут приведены другие примеры отыскания оригиналов.
Полученная функция-оригинал y(t) является решением диффе-
дифференциального уравнения лишь при t ^ 0, поскольку любая функция-
оригинал равна нулю при t < 0. Но по теореме о существовании и
единственности решения задачи Коши функция y(t) будет решени-
решением на всей числовой прямой, если ее определить по формуле C2.7) и
при t < 0.
Опишем применение интеграла Дюамеля C1.23) к решению диф-
дифференциальных уравнений. Пусть требуется решить линейное диф-
дифференциальное уравнение C2.1) с постоянными коэффициентами при
нулевых начальных условиях, т.е. у@) = у'@) = ... = у('п~1\0) = 0.
Мы покажем, что если известно решение y\{t) уравнения
аоу{п) + а1У(п-^ + ... + апу = 1	C2.11)
с той же левой частью, что и в C2.1), и также при нулевых началь-
начальных условиях, то интеграл Дюамеля позволяет выписать решение y(t)
уравнения C2.1). Для этого перейдем от уравнений C2.1), C2.11) к со-
соответствующим операторным уравнениям. Имеем y(t) = Y(p), yi{t) =
= Yi(p), и в силу формулы 1 таблицы 1 = 1/р. Поскольку начальные
условия нулевые, то функция В(р) в C2.5) равна нулю. Из C2.5) по-
получаем
откуда Y(p) = pF(p)Yi(p). Применим теперь формулу Дюамеля
C1.23), в которой положим G(p) = Y].(p), g(t) = yi(t), g@) = 2/1 @) = 0.
Тогда
t
Y(p) = PF(p)Y1 (p) = I f(T)y[ (t - t) dr.
0
Так как Y(p) = y(t), то
t
f(T)y'1{t-T)dT.	C2.12)
Метод решения дифференциальных уравнений, основанный на
формуле Дюамеля, применяют в тех случаях, когда возникают труд-

§32. Применение операционного исчисления	201
ности при нахождении изображения F(p) правой части /(?) уравне-
уравнения C2.1) (примеры приведены в следующей главе). Формула C2.12)
удобна также, когда требуется решить несколько дифференциальных
уравнений с нулевыми начальными условиями и одинаковыми левы-
левыми частями, но различными правыми частями /(?). Тогда достаточно
решить уравнение лишь при /(?) = 1; решения уравнений с други-
другими /(?) сразу находится по формуле C2.12). В радиофизике функ-
функция /(?) интерпретируется как входной сигнал, a y{t) — как реакция
системы. Таким образом, зная реакцию системы на единичный сиг-
сигнал, можно найти ее реакцию на любой другой сигнал /(?).
3. Решение систем дифференциальных уравнений опера-
операционным методом. Совершенно аналогично применяется операци-
операционное исчисление и к решению систем линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть, например, нужно
решить систему из двух дифференциальных уравнений с двумя неиз-
неизвестными функциями x{t) и y(t) и заданными начальными условия-
условиями. Тогда от оригиналов ж(?), y(t) переходят к их изображениям Х(р)
и Y(p). От каждого уравнения системы переходят к операторному
уравнению. Получается система операторных уравнений, являющая-
являющаяся системой линейных алгебраических уравнений относительно Х(р)
и Y{p). Решив эту систему и найдя Х(р), У(р), мы восстанавливаем
их оригиналы x{t) и y{t). Проиллюстрируем сказанное на примере.
Пример 32.5. Найти решение системы дифференциальных
уравнений
х' = -х + 3у + 1,
при начальных условиях ж@) = 1, у@) = 2.
У =х + у,
Решение. Пользуясь соотношениями 20 и 1 таблицы, перейдем
к операторным уравнениям:
рХ - 1 = -X + ЗУ + -,	( (р + 1)Х - ЗУ = - + 1,
Р или <	Р
{ - X + (р - 1)У = 2.
Получили систему линейных уравнений относительно X и У, решать
которую можно различными способами: 1) выразить X из второго
уравнения и подставить в первое; 2) домножить второе уравнение
на (р + 1) и сложить с первым (при этом слагаемые, содержащие X,
сократятся); 3) использовать формулы Крамера. Чтобы напомнить
читателю эти формулы, применим их к решению системы. Из коэф-
коэффициентов при X и У составим определитель А:
А =
-3
р- 1
= (р + 1)(р - 1) - (-1)(-3) = р2 - 1 - 3 = р2 - 4.

202
Гл. VIII. Основы операционного исчисления
Последовательно заменяя первый и второй столбцы этого определи-
определителя столбцом из правых частей уравнений, получим, соответственно,
определители Ах и Ау:
2р-1
Р
-12
= 2(р + 1) - (-1) A + l) =
Теперь X и У находятся по формулам Крамера:
р2
= Ау =
А
2р2 + Зр +
=	=	=
А	р(р2-4) '	А	р(р2-4) '
Осталось от полученных изображений перейти к оригиналам. Сде-
Сделать это можно двумя способами: методом неопределенных коэффи-
коэффициентов и с помощью вычетов. Чтобы еще раз продемонстрировать
оба эти приема, найдем x(t) первым способом, a y(t) — вторым.
Разложение X в сумму простейших дробей имеет вид
р2 + 6р - 1
Р Р-2
С
А(р - 2)(р + 2) + Бр(р + 2) + Ср(р - 2)
(каждый множитель знаменателя является множителем вида
(ар + Ъ)к с к = 1). Отсюда
р2 + бр - 1 = А(р - 2H + 2) + Вр(р + 2) + Ср(р - 2).
При р = 0 получаем: — 1 = —4А, откуда А = 1/4;
при р = 2 получаем: 4 + 12 — 1 = 5-2-4, откуда 5 = 15/8;
при р= -2 получаем: 4 - 12 - 1 = С(-2)(-4), откуда С = -9/8.
Таким образом,
1 1 15 __1	9 1
~4'р8*р-2 8' р + 2'
По формулам 1 и 2 таблицы и свойству линейности находим оригинал:
Оригинал
(
x(t) - I + l^e2* - V2*
4 ' ~ 4 + 8	8 •
найдем по формуле C2.8). Функция
pt Bр2 + Зр + 1) ept Bp2
р(р2-4)

§32. Применение операционного исчисления	203
имеет особые точки 0, 2 и —2, каждая из которых является полюсом
первого порядка. Вычеты в этих точках найдем по формуле B7.5)
(можно использовать и B7.6)):
) - lim И2р + Зр+1)е^ _ Bр2
j-lim p{p_2){p + 2) -lim
lim
lim p{p_2){p + 2) -lim (р_2)(р + 2) -
- lim Bр2 + Зр + 1)е^ _ (8 + 6 + 1)е" _ 15 м.
р™ р(р + 2)	2-4	8 '
р* (8-6 + l)e-2t 3 _2
^= -e
8
.. Bр2+3р+1)ер*
= lim ^^-—т-*-—г-1— =
B)
тг=	^=
p(p-2)	-2 -(-4)	8
Следовательно,

Глава IX
ПРАКТИКУМ
§ 33. Разбор типовых задач
1. Задачи к главе I. Комплексные числа и действия над
ними.
Задача 33.1. Число (л/3 — гO представить в алгебраической
форме.
Решение. Напомним, что алгебраической (декартовой) формой
комплексного числа называется выражение z = х + гу.
1) Представим число z = л/3 — г в тригонометрической форме. Для
этого найдем модуль г и аргумент ср этого числа:
г = д/(л/3J + (-1J = л/зТТ = 2;
_ х_ _ л/3 . _ у_ _ _1_
г 2	г	2
откуда следует, что ср лежит в 4-й четверти. Поэтому ср = — — + 2тг/с,
6
& G Z. Можно взять любое из этих значений ip. Итак,
2) По формуле Муавра B.10) найдем
z7:
Задача 33.2. Найти все значения корня у	.
1 /з
Решение. 1) Найдем модуль и аргумент числа z = — - — i —-,
стоящего под знаком корня:

§33. Разбор типовых задач	205
Следовательно, ср лежит в 3-й четверти, и ср = —— + 2тг&, к Е Z.
2) Применим формулу B.12); в качестве <р можно взять любое из
2тг „
наиденных значении, например ip =	. Получим
о
-^1 + 2пк	2П
4/ —1 — 1
= vllcos —Q-—	h г sin —Q-—	I =
(-^ + | fc) + ism(~ + Jfe), fc = 0,1,2,3.
Подставляя каждое из указанных значений к, найдем искомые значе-
значения корня:
л/3 .1
— -г-;
7Г , . . 7Г	1 , • л/3
i = cos - + г sin - = - + г —;
5тт . . 5тг	л/3 . 1
= cos—+ zsm— = —— +г-;
4тт . . 4тг	1 . л/3
= cos у + zsin	г
Другие значения /с новых чисел ги/. уже не дадут.
Задача 33.3. Выполнить действия над комплексными числа-
B - 2гL + 72 + 4г тт .
^. Изобразить наиденные числа на комплексной
(Д — 2ij -\- Ъъ
плоскости.
Решение. 1) Число B — 2г), которое возводится в степень 4,
представим в тригонометрической форме:
r = \z\ = л/22 + (-2J = л/8 = 2л/2;
следовательно, (^ лежит в 4-й четверти, и у? = —тг/4. Отсюда
2) Выполним действия возведения в степень. Степень B — 2гL най-
найдем по формуле Муавра B.10):
B - 2гL = Bл/2L(со8(-М +isin(_f![)) = 64(-1 + гО) = -64.
Для нахождения A — 2гJ удобнее применить алгебраическую форму-
формулу сокращенного умножения:
A - 2гJ = 1 - 4г + BгJ = 1 - 4г - 4 = -3 - 4г.

206
Гл. IX. Практикум
3)	Выполним сложение чисел в алгебраической форме:
B - 2гL + 72 + 4г = -64 + 72 + 4г = 8 + 4г,
A - 2гJ + 5г = -3 - 4г + 5г = -3 + г.
4)	Выполним деление чисел в алгебраической форме. Для этого
домножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное зна-
знаменателю:
8 + 4г _ (8 + 4г)(-3-г) _ -24 - 12г - 8г + 4 _ -20 - 20г
-3 + г
10
= -2-2г.
(-з + 0(-з-0	(-3J + i
5) Извлечем кубический корень, применив формулу Муавра B.12).
Вначале представим число (—2 — 2г) в тригонометрической форме:
г = л/(-2J + (-2J = л/8 = 2л/2;
следовательно, ср лежит в 3-й четверти, и ср = —Зтг/4 (можно взять
(^ = 5тг/4);
-2 - 2г =
По формуле B.12)
cos
h г sin
Так как V 2\/2 = л/2, то при А: = 0
/
13тт'
гиг ^^--^
1 5тт
fab .
wo
w0 =
при /с = 1
лг/ 5тт , . . 5тт\
гУ1 = V2 (^cos — + г sin — J;
при к = 2
гк( 13тт , . . 13тт\
w;2 = v2 cos —— + г sin —- ).
6) Изобразим найденные числа на
комплексной плоскости (рис. 57). Точ-
Точки wo, г^1, W2 расположены в вершинах
правильного треугольника с центром в начале координат.
Задача 33.4. Найти все решения уравнения z6 + 2Sz3 + 27 = 0.
Решение. По основной теореме алгебры (теорема 29.6) урав-
уравнение имеет шесть корней (возможно, среди них есть совпадаю-
совпадающие). Сделаем замену переменного t = z3: t2 + 2St + 27 = 0; дискри-
дискриминант D = 282 - 4 • 27 = 676 = 262; корни tx = -27, t2 = -1.
Рис. 57

§33. Разбор типовых задач	207
Найдем значения z. При t\ = — 27 имеем z3 = —27. Для аргумен-
аргумента ср числа —27 получаем cos(^ = —I, sin(^ = 0. Поэтому ср = тг, и
ti = -27 = 27(costt + isin7r). По формуле B.12)
/ тг + 2тг?; . . тг + 2тг?;\ 7
( cos	h г sin	), fe = 0,1, 2.
Отсюда
при k = Q z\ = 3(cos- + isin-J = - +i ^-^;
\	о	о /	z	z
при к = 1 z^ — 3(cos тг + i sin тг) = —3;
7 o	o/ 5тг . . 5тг\ 3 . Зл/3
при А: = 2 ?3 = 3 ( cos —- + г sm — 1 — - — г ——.
Для t2 — —\ будет г = 1, <р = тг. Аналогично получаем
1/о"	1	/о"
. л/3	1	1 .л/3
V	О	О /	2
Итак, все корни уравнения оказались различными.
Задача 33.5. Найти все решения уравнения z4 — 2z2 +4 = 0.
Решение. Уравнение имеет четыре корня. Сделав замену пере-
переменного t = z2, приходим к уравнению t2 — 2t + 4 = 0. Дискриминант
равен
?> = 4-16=-12; t1,2=2±^ = ^^ = l±i>/3.
Найдем z. Для t\ — 1 + гл/3 получим г = |ti| = л/1 + 3 = 2; cos(p =
= 1/2, simp = л/3/2. Следовательно, ^ = тг/3, и
^+2тгА; ^ + 2тг?;.
s^-—	hisin^-—	), к = 0,1.
Отсюда
при к = 0 z\ = v^fcos^ +isin^J = л/2(— +г-
\	О	О/	\^	^
/1	ат/^ 77Г , • • 77ГА fo(^> 1 ЛА
А: = 1 z^ = V21 cos — + zsin—) = — V2I — + г- ).
при А: =
Аналогично рассматривается случай t^ = 1 — гл/3. При этом 1^1 =
/^/ 5тт , . . 5тг\ лг/ л/3 , .1\
2:4 = V2 cos-— +zsin— 1 = V2(-—- +г- .

208
Гл. IX. Практикум
Задача 33.6. Представить в алгебраической форме число
6ein/s
Z " C - 2гJ '
Решение. По формуле Эйлера B.14)
бе^/3 = б (cos | + г sin |) = б (± + г ^) = 3A + гл/3);
C - 2гJ = 9 - 2 • 6г + BгJ =9-12г-4 = 5- 12г;
_ 3A + гл/3) _ A+гл/3)E + 12г) _ E- 12л/3) + гA2 + 5л/3) _
5 — 12г
E-12г)E + 12г)
25 + 144
_ 3E - 12л/3) . 3A2 + 5л/3)
169	169
2. Задачи к главе II. Понятие функции комплексного пе-
переменного.
Задача 33.7. Изобразить множество точек z комплексной плос-
плоскости, удовлетворяющих равенству
-5
Рис. 58
z-2-
¦г =
5-2г|.
I2
а
Решение. Значение \z — zo\ рав-
равно расстоянию между точками z и zq.
Поэтому данное равенство означает
следующее: требуется найти точки z,
равноудаленные от точек а = 2 — г и
Ъ = — 5 + 2г. Известно, что множество
точек, равноудаленных от а и 6, пред-
представляет собой прямую, перпендику-
перпендикулярную отрезку аб и проходящую
через середину с этого отрезка (т.е.
срединный перпендикуляр) — рис. 58.
Так как координаты середины отрез-
отрезка равны полусумме соответствующих координат его концевых то-
точек, то
2-5 . -1 + 2	3 .1
С=—+г^ = -2+г2'
Итак, искомым множеством является прямая, проходящая через точ-
3 ¦ • !	ь
кус=— - + г - перпендикулярно отрезку ао.
Задача 33.8. Изобразить на комплексной плоскости область, за-
заданную неравенствами \z — 2г| <2; 1 <Imz < 3.
Решение. Неравенство \z — 2г| < 2 означает, что расстояние от
точки z до точки zq = 2г меньше чем 2. Поэтому множество точек z,

§33. Разбор типовых задач
209
для которых \z — 2г| < 2, является внутренностью круга с центром 2 г
радиуса 2.
Условие 1 < lm z < 3 говорит о том, что координата у точки z
заключена между 1 и 3. Множество таких точек z образует поло-
полосу, лежащую между горизонтальными
прямыми у = 1 и у = 3. Искомое множе-
множество является пересечением круга и по-
полосы, изображенным на рис. 59; граница
не входит в заштрихованное множество.
Задача 33.9. Изобразить на ком-
комплексной плоскости область, заданную
системой неравенств:
z-Si\ < 2,
argz- -
< -, lmz<4.
Рис. 59
Решение. 1) Изобразим множество точек z, удовлетворяющих
неравенству \z — Зг| < 2, т.е. удаленных от точки zo = Зг на расстоя-
расстояние, меньшее 2. Эти точки заполняют внутренность круга с центром
1
1
I
-2
У>
Ш
'&
\i
0
1
I
2 х
Рис. 60, а
0
Рис. 60, б
zo = Зг и радиусом 2 — рис. 60, а; граница круга не принадлежит мно-
множеству.
2) Неравенство
argz- |
равносильно соотношениям
7Г	7Г	7Г	7Г	2ТГ
-- < argz-- < -, или -<argz<y.
Точки z, аргумент которых удовлетворяет данному условию, запол-
заполняют внутренность сектора, образованного лучами, идущими под уг-
углами тг/3 и 2тг/3 к оси ОХ — рис. 60, б.
14 В.Я.Эйдерман

210
Гл. IX. Практикум
4г
3) Изобразим множество Im z < 4. Оно является полуплоскостью,
лежащей под прямой у = 4 — рис. 60, в;
сама эта прямая не входит в множество.
4) Искомым множеством является
пересечение построенных множеств, т.е.
треугольник со "скругленными" угла-
углами — рис. 60, г. Граница не входит в мно-
множество.
У/////////Л
Рис. 60, е
Задача 33.10. Замкнутую область,
изображенную на рис. 61, задать системой неравенств.
Рис. 60, г
Рис. 61
Решение. Точки указанной области лежат в замкнутом кру-
круге с центром zo = — 2г радиуса 2. Поэтому они удовлетворяют нера-
неравенству \z + 2г| ^ 2. Кроме того, эти точки лежат внутри сектора с
вершиной в начале координат, что накладывает условие на их аргу-
аргументы. Удобно пользоваться главным значением аргумента, для ко-
которого —тг < argz ^ тг. Для точек данной области argz угол отсчи-
тывается от оси ОХ по часовой стрелке и, следовательно, является
отрицательным: —Зтг/4 ^ argz ^ —тг/6. Итак, нужными неравенства-
неравенствами являются \z + 2г| ^ 2, -Зтт/4 ^ argz ^ —тг/6.
3. Задачи к главе III. Дифференцирование функций ком-
комплексного переменного.
Задача 33.11. Найти точки, в которых функция
w = z(z — 3 • Imz)
является дифференцируемой, и вычислить производную в этих точ-
точках (если таковые существуют).
Решение. Представим данную функцию w = f(z) в виде f(z) =
= и(х,у) + iv(x,y). Для этого подставим z = х + iy и выделим дей-
действительную и мнимую части полученного выражения:
f(z) = (х + гу)(х -iy - Зу) = х2 + у2 - Зху - гЗу2

§33. Разбор типовых задач	211
(мы воспользовались равенствами z = х — iy, Imz = у). Таким обра-
и(х,у) = х2 +у2 -Зху, v(x,y) = -Зу2.
Согласно теореме 6.1, для дифференцируемости функции f(z) в
точке z = (х,у) необходимо и достаточно, чтобы в этой точке вы-
выполнялись условия Коши-Римана F.4). Найдем частные производ-
производные:
ди	dv	du	dv
— = 2х-3у, — = -6у, — = 2у -Зх, — = 0.
dx	dy	dy	dx
Условия F.4) приводят к системе уравнений
2х — Зу = —6у,	Г 2х + Зу = 0,
2у - Зх = 0,	И™ {Зх-2у = 0.
Эта система имеет единственное решение х = 0, у = 0. Итак, функ-
функция f(z) дифференцируема в единственной точке z = 0. Для отыс-
отыскания производной /'@) достаточно найти частную производную
либо по ж, либо по у в точке z = 0 (в силу дифференцируемости
функции /(г) значения этих производных должны быть равны друг
ДРУгу):
. dv
/¦@) = ?
+ г —
(о,о) дх
@,0)
= Bж - Зу)
@,0)
Задача 33.12. Восстановить аналитическую функцию f(z) по
ее действительной части и(х,у) = е~у sin ж + у и значению /@) = 1.
Решение. 1) Проверим, что данная функция в самом деле яв-
является действительной частью аналитической функции. С этой целью
подставим и в уравнение Лапласа тг^т + тг^т — 0:
дх2 ду2
ди _7/	д2и	_7/ .
_ = е vcosx, ^ = -e y
ди	-у • , -1 д и
— = -е ^smx + l, —— = е
Таким образом, функция и(х,у) удовлетворяет уравнению Лапласа
во всей плоскости.
2) Используя условия Коши-Римана, найдем ¦— = —— и ^-— =
ду дх дх
ди
dp'
dv ди _у	dv	ди
¦— = ¦—= е ycosx, — = -—=е
а^/ аж	аж	ду
14*

212	Гл. IX. Практикум
Ov
3) Интегрируя равенство — = е~у sin ж — 1 по переменному ж, най-
найдем v(x,y) (при этом у считается постоянной):
, у) = / (е~у sin ж — 1) dx =
= е~у / sin х dx — 1 • dx = —е~у cos ж — ж + С (у),
г?(ж,
где СB/) — неизвестная функция переменного у.
4)	Подставим найденную функцию v(x,y) в уравнение
dv _у
—- — е У COS Ж
и найдем С {у):
е~у cos ж + С" B/) = e~y cos ж, откуда С"(з/) = 0.
5)	Проинтегрировав С"(з/) по у, найдем С (у):
С(у)= Jc'(y)dy = Jody = Cu
где С\ — произвольная постоянная.
6)	Запишем f(z) в виде f(z) = и(х,у) + iv(x,y) и найдем С\ из
условия /@) = 1:
j[z) — e"ysina; + у + г(-е~усо8ж - ж + Ci);
1 = -i + id, Ci = A + i)/i = 1 - i.
Окончательно получаем
f(z) = e~y s'mx + у + г(-е~усо8ж - ж + 1 - г), или
f(z) = —ге~у(со8ж + г sin ж) — г(ж + iy) + 1 + г =
= - ie~yelx - i(x + iy) + 1 + i = —ieli^xJriy) - i(x + iy) + 1 + i =
= - ieiz -iz + l + i.
Восстановление аналитической функции по ее мнимой части про-
проводится аналогично — см. пример 7.3.
4. Задачи к главе IV. Конформные отображения.
Задача 33.13. Найти функцию, отображающую треугольник с
вершинами А(—1, 0), В(—4, —1), С(—4,1) на треугольник с вершинами
А'C,0), Б'E, -6), С"A, -6) (рис. 62).
Решение. Треугольник ABC можно отобразить на треуголь-
треугольник А'В'С последовательным выполнением растяжения, поворота и
параллельного переноса. Поэтому такое отображение реализуется ли-
линейной функцией w = az + Ъ.

§33. Разбор типовых задач
213
Рис. 62
1)	Подберем преобразование подобия. Так как коэффициент
подобия треугольников равен 2,
то нужное преобразование есть
w\ = 2z. Точка А(—1,0) перейдет
в Ai(-2,0).
2)	Повернем получившийся тре-
треугольник относительно начала ко-
координат на угол тг/2 против ча-
часовой стрелки. Это преобразо-
преобразование запишется в виде w^ —
= Wlein/2. Точка Ai(-2,0) перей-
перейдет в А2@,-2).
3)	Сделаем параллельный пере-
перенос получившегося треугольника на вектор А^А! = C, 2) = 3 + 2г.
Преобразование запишется в виде w = W2 + 3 + 2г.
Композиция указанных преобразований даст искомое отображе-
отображение:
w = W2 + 3 + 2г = ei7r/2W! + 3 + 2г = 2ein/2z + 3 + 2г,
т.е. w = 2ei7r/2z + 3 + 2г, или w = 2iz + 3 + 2г.
Задача 33.14. В какую область переходит круг \z + 2г| < 2 при
отображении w = 1/z?
Решение. Определим вначале, во что переходит граница кру-
круга, т.е. окружность \z + 2г| = 2. Согласно круговому свойству дробно-
линейных отображений (теорема 9.4), эта окружность переходит в
окружность (возможно, с радиусом R = оо, т.е. в прямую). Точка
z = 0 лежит на окружности \z + 2г| = 2; она переходит в w = 00. По-
Поэтому R = оо и, следовательно, окружность \z + 2г| = 2 переходит в
прямую. Чтобы ее изобразить, достаточно найти две точки на этой
прямой. При z\ — —4г получим w\ — —— = -. При z^ — 2 — 2г будем
1
1
иметь W2 = -—— = - + -. Итак, образом окружности \z + 2г| =2 яв-
ляется прямая, проходящая через точки w\ = г/4 и г^2 = 1/4 + г/4, т.е.
горизонтальная прямая у = 1/4. Поэтому образом круга \z + 2г| < 2
будет одна из полуплоскостей (верхняя либо нижняя), ограниченная
этой прямой.
Чтобы понять, какой из случаев имеет место, достаточно прове-
проверить, в какую полуплоскость отображается какая-либо внутренняя
точка круга, например центр zq = —2г. Имеем wq = 1/zq = — 1/Bг) =
= г/2. Поскольку центр отображается в точку wo, лежащую выше пря-
прямой у = 1/4, то приходим к выводу: круг \z + 2г| < 2 отображается на
полуплоскость Im z > 1/4.
Образ границы \z + 2г| = 2 можно было найти и другим способом,
показанным на следующем примере.

214	Гл. IX. Практикум
Задача 33.15. В какую область переходит круг \z + г\ < 3 при
отображении w = 1/z?
Решение. Найдем образ окружности \z + г\ = 3. Поскольку z =
= 0 не принадлежит этой окружности, то ни одна из ее точек не перей-
перейдет в w = оо. Значит, образом будет окружность конечного радиуса.
Для отыскания ее центра и радиуса положим z = x + iy,w = u + ivn
представим уравнение \z + г\ = 3 в виде
\х + г [у + 1)| = 3, или х + [у + 1) =9, х +у +2^ — 8 =
Равенство w = 1/z дает z = 1/w, или
1
ж + гу =	— =
16 + гг>
откуда
_ и	_
Подставим эти выраж:ения в уравнение окружности:
2 ] 2 - 22^ 2 -8 = 0, 8(и2 + г;2) + 2г; - 1 = О,
U ~т~ V	U ~т~ V
Дополним выражение v2 + г?/4 до полного квадрата:
и
и2
9,
— iv
+ V2
V
х2-
1
Ь2/2
Итак, окружность \z + г| = 3 переходит в окружность с центром wo =
= @, -1/8) и радиусом R = 3/8. Точка z = 0, лежащая внутри кру-
круга |# + г| < 3, переходит в точку w = оо. Значит, при отображении
w — 1/z круг |г + г| < 3 переходит во внешность круга с центром
wq = —г/8 и радиусом R = 3/8. Это множество можно задать нера-
неравенством \w + г/81 > 3/8.
Задача 33.16. Найти конформное отображение w = f(z) кру-
круга \z\ < 1 на круг \w\ < 1, удовлетворяющее условиям w(—i/2) = О,
&Ygw'(—i/2) = тг/4. Указать коэффициент растяжения в точке zo =
= -г/2.
Решение. В примере 9.8 было показано, что дробно-линейная
функция, отображающая круг \z\ < 1 на круг \w\ < 1, имеет вид (фор-
(формула (9.10)):
w = е1^ * ^ ,
1 — ZqZ
где zo — точка, переходящая в точку w = 0. В нашем случае zo =
= —г/2. Осталось определить значение ср, которое найдем из условия
8ngwf(-i/2) = тг/4:
// \ _ icp 1 ' A — Zpz) — ( — Zq)(z — Zp) _ ^ 1 — ZqZq
w[-z>-e	A-го*J	~6 {l-zozy

§33. Разбор типовых задач	215
Учитывая, что z$zq = |^о|2, при zo = —г/2 получаем
а
Отсюда следует,
'( ) i
i( t
W V 2
что
\w'(-i/2)\
= 4/3
Ы' _
zo 2J
р 1
1 -1/4
arg?//
С 1-ко|2'
зв
(-г/2) = (р.
Значит, коэффициент растяжения в точке —г/2 равен 4/3, и у? = тт/4.
Искомым отображением является функция
,,, - г»тг/4 г + '/2 _ гтт/4 ^ + г/2
1-г72^"	1 + ^/2
(мы использовали равенство г = —г).
Задача 33.17. Найти конформное отображение верхней полу-
полуплоскости \mz > 0 на круг \w\ < 1, удовлетворяющее условиям
wBi) = 0, argw;/Bi) = тг. Указать коэффициент растяжения в точке
z0 = 2г.
Решение. В примере 9.7 было показано, что конформное отоб-
отображение верхней полуплоскости на единичный круг имеет вид
w = е ^	—.
Определим параметры z$ и ср. Поскольку z$ — точка, переходящая в
точку w = 0, то zo = 2г. Для определения ip найдем w'(zo):
Zn — Zn
^^и/ ^ (зд-20J ~ го-.
Поэтому
wBi) Д ^ ^ eee \ e
y J 2i + 2i 4i	4 4	4
(мы использовали равенства -1 = ег7Г, г = ег7Г/2). Отсюда
|гуBг)| = -, argw; Bг) = — + у?, т.е. тг = — + у?, у? = --.
Итак, искомое отображ:ение дается функцией
_i7r/2 ^ - 2г	. z - 2г
Коэффициент растяжения в точке 2г равен |к;/Bг)| = 1/4.

216	Гл. IX. Практикум
Задача 33.18. Найти конформное отображение полосы, заклю-
заключенной между прямыми у=х+1иу=х+3 (рис. 63), на единичный
круг.
Решение. 1) С помощью линейной функции w = az + b отоб-
отобразим данную полосу на полосу — оо < ж < +оо, 0 < у < тт. Исходная
полоса имеет ширину у/2. Чтобы отобра-
отобразить ее на полосу шириной тг, сделаем пре-
преобразование подобия с коэффициентом тг/л/2.
Это преобразование задается функцией w\ =
= ttz/V2. Точка А(—1/2, г/2) перейдет в
Затем повернем полученную полосу на
Рис. 63	угол тг/4 по часовой стрелке, чтобы она стала
параллельной оси ОХ. Это преобразование запишется в виде
" л/2	'
Точка А1(-7г/B\/2),7г/B\/2)) перейдет в А2@,тг/2).
Наконец, сделаем параллельный перенос на вектор А^О\
2 л/2	2
Вместо точки А(—1/2, г/2) можно было взять любую другую точку
на прямой у = х + 1 (например, точку @,1)). Используя равенство
е-гтг/4 _ \jyf2 — г/л/2, можно записать полученное преобразование в
такой форме:
2)	Отобразим полученную полосу на верхнюю полуплоскость
Imz>0. В §11, п. 1 было показано, что показательная функция
w = ez отображает полосу 0 < Imz < тг на верхнюю полуплоскость.
Поэтому нужным преобразованием будет w^ = eW3.
3)	Отобразим верхнюю полуплоскость на единичный круг с по-
помощью дробно-линейного отображения w = ещ	—, Im^o > 0. По-
z — zo
скольку никаких дополнительных условий не задано, то параметры ip
и zo с Imzo > 0 можно выбрать произвольно. Например, возьмем
m = 0, Zo = г. Тогда получим w = —	.
wa + г
4)	Искомое отображение будет композицией указанных выше отоб-
отображений:
W4 — 1
W = 	:

§33. Разбор типовых задач	217
Задача 33.19. Найти все значения степени (—л/3 + г)~6\
Решение. Согласно определению общей степенной функции
(см. §12, п. 1)
Значения логарифма найдем по формуле A1.5):
Ьп(-л/3 + г) = In | - л/3 + г| + i(arg(-v/3 + г) + 2тт&);
| - л/3 + г| = ^/(-л/3J + 1 = 2; cos<p = ^, sin<p = i,
где <р = arg(—л/3 + г). Поэтому ip лежит во второй четверти. Следова-
Следовательно, ер = 5тт/б. Получаем
= exp (-6i (\п 2 + г (^- + 2ттА:^ ^ = ехрEтг + 12тг/с - гб In 2) =
= expE7r + 127r/c)(cosF1n2) - isinF1n2)), к G Z.
Мы получили, что данная степень (—л/3 + г)~6г имеет бесконечное мно-
множество значений. Все эти значения лежат на одном луче, идущем под уг-
углом в = — 6 In 2 к оси ОХ. Модули этих значений образуют две геометри-
геометрические прогрессии с первым членом Ъ\ = е57Г и знаменателями q = е127Г при
к = 1, 2, 3,..., и q = е~127Т при А; = -1, -2, -3,...
Задача 33.20. Найти все значения функции Arccos (—5г).
Решение. По формуле A2.3)
Arccos(-5i) = г Ьп(-5г + ^(-ЫJ - 1) = г Ьп(-5г + V-26) =
= г Ьп(-5г ± гл/26) = г Ьп(г(-5 ± л/26)).
Мы пишем =Ь перед л/26, поскольку под корнем из положительно-
положительного числа обычно понимается арифметическое значение корня, в то
время как под корнем в формуле A2.3) подразумевается двузначная
функция. Рассмотрим каждый из знаков перед корнем отдельно:
г(-5 + л/26)| = л/26- 5 = (л/26 + 5), arg(i(-5 + л/26)) = тт/2
(мы воспользовались равенством (л/26 - 5)(л/26 + 5) = 1). По форму-
формуле A1.5)
г Ьп(г(-5 + л/26)) = г In (л/26 - 5) - (тт/2 + 2тгА:) =
= -г 1п(л/26 + 5) - (тг/2 + 2тгА:), fe G Z.

218	Гл. IX. Практикум
Аналогично,
|г(-5-л/2б)| = л/26+ 5, агё(-г(л/26 + 5)) = -тг/2,
г Ьп(-г(л/26 + 5)) = г In (л/26 + 5) - (-тт/2 + 2тг/с) =
= г 1п(л/26 + 5) + (тг/2 + 2тг/с), fe G Z.
Мы пишем +2тг& вместо —2тг/с, поскольку & пробегает все множество
целых чисел. Окончательно получаем
Arccos(-5i) = ±(тг/2 + 2тг/с + г 1п(л/26 + 5)), к = О, ±1, ±2,...
Можно было рассмотреть только один случай и воспользоваться общим
замечанием, сделанным в § 12, согласно которому изменение знака перед
корнем приводит к изменению знака перед логарифмом Ln(z + \Jz1 + 1).
Задача 33.21. Найти все значения функции Arctg	.
о
Решение. По формуле из A2.4) при z = (—2л/3 + Зг)/3 имеем
л х 1 Т i-z 1 т	2л/3
Arctg г = — Ln	= — Ln
2г г + z 2г -2
2л/3	1	-1-гл/З
-2л/3 + 6г -1+гл/З
-1-гл/З 1 и , • /?| 1	-1-гл/З	2тт
=|1 + гл/3| = ; arg= ip =
л/
= -; arg	i	= ip = -у.
Равенство для ip следует из того, что simp = — л/3/2, cos(p = —1/2.
Отсюда получаем
л , -2л/3 + 3г
Arctg
= 0,=Ы,=Ь2,...
5. Задачи к главе V. Интегрирование функций комплекс-
комплексного переменного.
Задача 33.22. Вычислить интеграл от функции f(z) = z2 по
кривой Г, являющейся ломаной ABC, где А(-1,0), В@,1), GA,0).
Решение. 1) Зададим кривую уравнением вида
z = z(t) = x(t) + iy(t), a^t ^ j3.
Поскольку кривая состоит из двух участков — отрезков АВ и ВС,
задаваемых разными уравнениями, то рассмотрим каждый из них от-
отдельно.

§33. Разбор типовых задач	219
Участок АВ можно задать уравнением у = х + 1, — 1 ^ ж ^ О или,
в параметрической форме, x(t) = t, y{t) = t + 1, т.е. z(t) = t + %{t + 1),
-1 ^ t ^0.
Участок 5G задается уравнением ?/ = —x + 1,0^ж^1. Парамет-
Параметрическими уравнениями отрезка ВС являются x{t) = ?, y(t) = — t + 1,
или z(t) = t + i(-t + 1), 0 ^ t ^ 1.
2) Найдем интеграл по кривой Г по формуле
/з
Jf(z)dz = Jf(z(t))z'(t)dt.
Г	а
Для этого перейдем к сумме интегралов по участкам АВ и ВС и
вычислим каждый из них в отдельности.
Для участка АВ
z'(t) = 1 + г;
о
/z2 dz = (х — iyJ dz — (t — i(t + l)J;^^) (it =
о
= f(t2 - 2it(t + 1) - (t + 1J)A + i)dt =
-i
о
= /Bt2 - 1 + i(-2t2 - 4t - 1)) dt =
Для участка ВС
z'(t) = l-i;
z2 dz = (x — iyJ dz =
r2	г2
1	1
= f(t - i(-t + 1)J^'(*) dt = f(t2 - 2it(l - t) - A - tJ)(l -i)dt =
о	о
= JBt2 - 1 + iBt2 - 4t + 1)) dt = (^ - t + г(^ - 2t2 +[
_ _ 1 _ %_
~ ~ 3 ~ 3*
Интеграл по Г равен
r2

220	Гл. IX. Практикум
Задача 33.23. Проверить, является ли функция f(z) = zs'mbz
аналитической в С, и в случае положительного ответа найти пер-
первообразную F(z) этой функции в С, удовлетворяющую условию
F(tt/2) = 0.
Решение. Проверку аналитичности функции f(z) можно сде-
сделать двумя способами. Первый способ состоит в том, что f(z) пред-
представляется в виде f(z) = и(х,у) + iv(x,y), т.е. выделяются действи-
действительная и мнимая части функции f(z). После этого вычисляются
частные производные функций и(х,у) и v{x,y) и показывается, что
условия Коши-Римана F.4) выполняются для любых х и у. Второй
способ (более простой) основан на использовании свойств аналитиче-
аналитических функций (§6).
Функция ez является аналитической в С (это доказано в §11);
функции biz и — 5iz, очевидно, тоже аналитические. Поэтому и слож-
сложные функции егЪх и е~гЪх аналитичны в С. Отсюда следует, что и
функция
будет аналитической в С как разность и произведение аналитических
функций. Теперь заметим, что нужная первообразная F(z) дается
формулой
F(z)= J
тг/2
где интеграл берется по любому пути, идущему от тг/2 к z. Действи-
Действительно, согласно теореме 17.1, функция F(z) будет первообразной;
равенство F(ir/2) = 0 очевидно. Интеграл вычисляется по формуле
Ньютона—Лейбница A7.4). При этом, как отмечалось в § 17, можно
пользоваться обычными приемами и формулами интегрирования. В
данном случае воспользуемся формулой интегрирования по частям:
ъ	ъ
udv = uv — v du.
В нашем случае и = ?, du = d?, dv = sin5Cd?, г; = — - cos5?. Отсюда
о
= --z- cos5C
5 ^ тт/2
тг/2	тг/2
[ - / (-|) cos5(d( =
тг/2 25
= - - cos 5z + 0 + — sin 5z - —.
тг/2	5	25	25
Итак,

§33. Разбор типовых задач
221
Задача 33.24. Используя теорему Коши или формулы Коши
f cos2z ,
для производных, найти интеграл / —	 dz по замкнутому кон-
г
туру Г: \z + гтг| =2 (обход контура против часовой стрелки).
Решение. Уравнение z + тг = 0 имеет решения z = =Ьгтг. По-
Поэтому подынтегральная функция имеет две особые точки =Ьгтг, при-
причем точка —гтг лежит внутри контура Г —
окружности с центром —гтг и радиусом 2, а
точка гтг лежит вне Г (рис. 64). Разложим
знаменатель z2 + тг2 на множители: z2 + тг2 =
= (z + гтг) (z — гтг)
/
и представим интеграл в
/ cos 2z \
Z2+7V2
_	г/ ч cos2z
Функция j(z) =	— является аналитичес-
аналитичесРис. 64
кой в замкнутом круге, ограниченном контуром Г. Поэтому приме-
применима формула A8.1), в которой z = —гтг, а переменное ( обозначено
через z:
cos 2z
f(z)dz
z - (-гтг)
= 2тгг/(-гтг) = 2тгг
,cos(—2ттг)
—ттг — ттг
= - cos 2ттг = - \
+
2^ ) = - \ (е~2* + е2") .
Задача 33.25. Используя теорему Коши или формулы Коши
5 4
для производных, найти интеграл
Г
/
J
- 2z4 + 3
-(	—^—
yz — г)
dz по замкнутому
г
контуру Г: \z\ = 5 (обход контура против часовой стрелки).
Решение. Обозначим f(z) = zb — 2z4 + 3. Функция f(z) ана-
литична в замкнутом круге \z\ ^ 5 (она аналитична даже во всей
комплексной плоскости С). Точка лежит z = г внутри этого круга.
Поэтому применима формула Коши для производных A8.4), в кото-
которой z = г, п = 3:
г5 - 2г4 + 3
(z - О4
dz =
-1
z) dz
(z - гL
2ттг
3!
= ^ F0г2 - 48г) = 2ттг(-10 - 8г) = 4ттD - 5г)
(мы воспользовались тем, что f'{z) = 5z4 — 8z3, f"{z) = 20z3 — 24z2,
f"()	2)

222	Гл. IX. Практикум
6. Задачи к главе VI. Ряды.
Задача 33.26. Найти разложение функции
в ряд Тейлора в окрестности точки zo = 0 и указать круг сходимости
полученного ряда.
Решение. 1) Найдем вначале разложение функции
2
в ряд Тейлора в окрестности точки z$ = 0. Для этого воспользуемся
известным разложением функции ez (формула B2.11)):
C3.1)
ez = 1
Подставляя
z2
+ z + — -
z вместо
2
ez - 1 = ;
z и
z2 4
. Л	j- + .
п.
вычитая
" 2!~ + <"
1,
+
°° zn
= у^ —г,
имеем
z2n
±
< ОО.
z2n
п=1
Полученный ряд, как и исходный, будет сходиться при всех z G С.
Разделим обе части равенства на z:
е—^ = z + ^ + ... + ^^ + ... = У ^-.	C3.2)
z	2!	n!	^-^ n\	v y
п=1
Этот ряд сходится при всех z G С (включая точку ^о = 0) и, следо-
следовательно, определяет аналитическую в С функцию. Согласно свойст-
свойству 21.8, его можно почленно дифференцировать.
2) Продифференцируем обе части равенства C3.2) по переменно-
переменному z:
2!	п\
n=l
Таким образом,
™ Bn-l)z2n-2
№ = Е
п!
п=1
В силу свойства 21.8 полученный ряд имеет тот же круг сходимости,
что и ряд C3.2), т.е. \z\ < оо.
Задача 33.27. Разложить функцию
/(Z) = B + 2)B-5)

§33. Разбор типовых задач	223
в ряд Тейлора в окрестности точки zo = 3 и указать круг сходимости
полученного ряда.
Решение. 1) Сделаем замену переменного: w — z — zo = z — 3,
откуда z = w + 3. Тогда
z — 6 _ г^ — 3
(* + 2)(*-5) " (гуЧ-5)(гу-2)"
2) Разложим полученную дробь в сумму простейших дробей:
w-З _ А	В _ A(w- 2) + B(w + b)
О + 5)О - 2) ~ п7+~5 гу - 2 ~ (ги + 5)(ги - 2) '
Следовательно, w - 3 = A(w - 2) + i?(w + 5).
При w = 2 имеем 2 - 3 = БB + 5), т.е. В = -1/7.
При гу = -5 имеем -5 - 3 = А(-5 - 2), т.е. А = 8/7.
Таким образом,
w-З _ 8 1 _ 1 1
О + 5)О - 2) ~ 7 ' w; + 5 7 ' гу - 2'
3) Каждую из полученных дробей разложим в ряд по степеням
переменного w, используя равенство B2.14):
1	°°
^-z =l-z + z2-... + (-l)nzn + ... = J](-l)nzn,
n=0
C3.3)
Чтобы воспользоваться этой формулой, преобразуем дробь l/(w + 5),
вынеся в знаменателе за скобки множитель 5:
8 1 _ _8_ 1
7 w + 5 ~~ 7 • 5 1 + гу/5*
Подставляя в C3.3) ги/5 вместо z, получим
= (l +	+(i)+
7^ + 5 7-5V 5 ^ 52 '"^[ } bn^'J
Так как ряд C3.3) сходится при \z\ < 1, то полученный ряд будет
сходиться при \w/5\ < 1, т.е. при \w\ < 5.
Аналогично раскладываем дробь l/(w — 2). Для этого выносим за
скобки -2:
7 гу-2 ~ 7^ 1-гу/2'
и подставляем в C3.3) —w/2 вместо z:
,2
HL + \= V
оо
7 tu-2 7-2 V 2 ' 22 	 2» '  ?^7
Здесь кругом сходимости будет |гу/2| < 1, т.е. |ги| < 2.

224	Гл. IX. Практикум
Складывая полученные разложения, имеем
W -3
п=0	п=0
п=0
причем ряд сходится в наименьшем из кругов \w\ < 5 и \w\ < 2, т.е. в
круге \w\ < 2.
4) Возвращаясь к переменному z, подставляем w = z — 3 и полу-
получаем искомое разложение:
;-3)п, |*-3| <2.
Заметим, что круг сходимости ряда Тейлора можно было найти
сразу, пользуясь тем фактом, что радиус сходимости R равен рас-
расстоянию от zo до ближайшей к zo особой точки функции f(z). В на-
нашем случае f(z) имеет две особые точки z\ = —2 и z^ = 5; ближайшей
к zo = 3 является ^,ий = 5-3 = 2.
Задача 33.28. Найти все лорановские разложения функции
по степеням [z — 3).
Решение. 1) Сделаем замену переменного: w = z — 3, т.е. z =
= w + 3. Тогда
^-2	w+1	, ч
2) Разложим полученную дробь в сумму простейших дробей:
w + 1 _ А В _ A(w + 4) + Bw
(w + 4)w w w + 4	(гу + 4)w
откуда w + 1 = А(гу + 4) +
При w = 0 имеем 1 = 4А, т.е. А = 1/4.
При ги = —4 имеем —3 = —4В, т.е. В = 3/4.
Таким образом,
( ) w + 1 I 1 +
+ 4)гу ~ 4 -ш 4 -ш + 4'
3) Функция ^(гу) имеет особые точки «; = 0hwj = —4. Следователь-
Следовательно, она аналитична в кольцах V\ = {0 < \w\ < 4} и V2 = {4 < \w\ <
< 00}. Найдем лорановские разложения в каждом из этих колец. Для

§33. Разбор типовых задач	225
этого надо разложить дробь l/(w + 4) в ряд по степеням переменно-
переменного w, пользуясь формулой C3.3).
В случае 0 < \w\ < А выносим за скобки в знаменателе множи-
множитель 4:
3 1	3	1
4 w + A 4-4 1 + w/A
42 V 4 42 ''' v J An	) ^ An+2
(мы подставили в C3.3) w/A вместо z). Так как ряд C3.3) сходится
при \z\ < 1, то полученный ряд сходится при \w\ < А. Итак, для w Е V\
оо
g(W) = - •	h Y^ Т |9 Wn, 0 < \w\ < 4.
n=0
При |гу| > 4 полученный ряд расходится. Поэтому для разложе-
разложения функции g(w) в кольце V2 вынесем за скобки в знаменателе дро-
дроби l/(w + 4) множитель w:
3	1 _ _3_	1
4	' w + A ~ ~Aw ' 1 + A/w '
Если |w;| > 4, то |4/ги| < 1. Поэтому можно подставить в C3.3) A/w
вместо z:
A w + A Aw
3 °°
= А + ^(-1)пз • 4п-1^-п-1 = ^ + 5Z ()н
п=1	к=-2
(мы сделали замену к = —п — 1, откуда п = —fc — 1 и (—1)п =
= (—l)"^ = (—l)k+1). Таким образом, при w G V2
I
+ + V (i) ^ w = +
4w; Aw ^-^	Ak+2	w
к=-2	к=-2
4) Возвращаемся к переменному z, подставляя w = z — 3. Искомы-
Искомыми разложениями функции f(z) будут
(X)
3
к=-2
15 В.Я.Эйдерман

226	Гл. IX. Практикум
Если требуется найти лорановское разложение лишь в проколотой
окрестности особой точки (например, точки zo = 3), то указанные вы-
выше действия выполняются лишь для одного из колец (в данном случае
для кольца V\).
7. Задачи к главе VII. Изолированные особые точки и тео-
теория вычетов.
Задача 33.29. Найти разложение функции
в ряд Лорана в окрестности точки zo = —2. Указать кольцо сходимо-
сходимости, правильную и главную части разложения, а также тип особой
точки zo.
Решение. 1) Сделаем замену переменного w = z + 2. Тогда z =
= w-2,
f(z) = (z + 2) V/<*+2> = w2e(w-V'w = wV-2/™ = ew2e~2lw.
2) Воспользуемся известным разложением функции ez — форму-
формулой C3.1), в которую подставим —2/w вместо z:
2 -2/w	2 Л 2 1 22 1 23	(-1Г 2п	\
ew2e 2/w = ew2 A - - + - — - - — + ... + ^-f- — + ...=
V w 2! w2 3! w6	n\ wn	)
(в последнем равенстве мы сделали замену к = п — 2, т.е. п = & + 2).
Так как ряд C3.1) сходится при \z\ < oo, то полученный ряд схо-
сходится при | — 2/w\ < оо, т.е. \w\ > 0, или w ф 0.
3) Возвращаемся к переменному z, подставляя w = z + 2. Получа-
Получаем искомое разложение функции f(z):
= e{z + 2J - 2e(z + 2) + 2е + ? ( /Л
/Л 2)!
Правильной частью является сумма
e(z + 2J - 2e(z + 2) + 2е,
главной частью — ряд
Поскольку главная часть имеет бесконечно много отличных от нуля
коэффициентов, то zq = — 2 является существенно особой точкой.

§33. Разбор типовых задач	227
Задача 33.30. Определить тип особой точки zo = 0 функции
?( ч cosz — 1 + z2
Решение. Разложим числитель и знаменатель в ряд Тейлора
по степеням z. Для этого используем известное разложение функции
cosz (формула B2.13)):
п=0
C3.4)
Из C3.4) вытекает равенство
2	4
cos z — l + z2=z2 — — + — — ... = а
причем ряды сходятся во всей комплексной плоскости.
Для разложения знаменателя ez — 1 — z3 воспользуемся форму-
формулой C3.1), в которую подставим z3 вместо z и вычтем 1 + z3:
el, = 1 + z1z++	+ ... =
Полученный ряд (как и ряд C3.1)) сходится при всех z G С. Отсюда
z2
1
2
л
(г н
(гн
z2
h4!
я
)
4*-)
" у ' ez* -1-z3
где
Функция h(z) имеет вид h(z) = /1B)//2(я)? где функции /i(z) и /2B)
аналитичны в комплексной плоскости С и /2@) = 1/2 ф 0. Поэтому
функция h(z) такж:е аналитична в некоторой окрестности точки z$ =
= 0, причем /i@) = 1 ф 0. Так как /B) = h(z)/z4, то, согласно следст-
следствию 26.4, точка zo = 0 является полюсом порядка 7V = 4.
Задача 33.31. Найти все изолированные особые точки функции
и определить их тип.
Решение. Конечными особыми точками являются z\ — 0, а так-
также точки, в которых z2 + 9 = 0, т.е. z<± — Si и z% = —Зг. Поэтому особая
точка 2:4 = оо тоже является изолированной, так как найдется окрест-
окрестность \z\ > R, не содержащая других особых точек.
15*

228	Гл. IX. Практикум
Рассмотрим точку z\ — 0. Пусть точки z'n таковы, что — = тгп, т.е.
z'n = —, п = 1, 2,... Тогда f(z'n) = 0. Через z" обозначим точки, для
1 тг // 2	^	1
которых —- = — + 2тгп, т.е. z' =	—. В этих точках sm —- = 1,
zii 2	п тг + 4тгп	zii
п = 1,2,... Легко видеть, что z'n —У 0 и z" —>¦ 0 при п —>¦ оо. В то же
время пределы
lim f(z'n) = 0 и lim /«') = lim /Л2 , оч2 = ^
различны. Следовательно, функция f(z) не имеет предела при z —> 0.
Поэтому точка z\ = 0 является существенно особой.
Для рассмотрения точек Z2 и 2:3 разложим знаменатель на множи-
множители. Так как
2
то
?, ч	sin 1/2;	/1B;)
Поскольку функция h(z) аналитична в окрестности точки z<± — Si и
то в силу следствия 26.4 точка z^ = Зг является полюсом второго по-
порядка. Аналогично доказывается, что z<$ = — Зг — тоже полюс второго
порядка.
Осталось рассмотреть точку z^ = 00. Это можно сделать двумя
способами: либо перейти к переменному w = 1/z и исследовать осо-
особую точку wo = 0 функции G(w) = f(l/w) (см. пример 26.11), либо
непосредственно вычислить предел lim f(z) (или доказать, что этот
z—>-оо
предел не существует). В данном случае указанный предел легко вы-
вычисляется, поэтому второй способ проще. Действительно, 1/z —> 0 при
z —> оо. Поэтому и sin(l/;z) —> 0 при z —> 00. Очевидно, что (z2 + 9J —>¦
—у оо при z —у оо. Следовательно,
т ?( \ т sin 1/2; п
lim /B:) = lim	x = 0.
z^oo	z^oo (z2 + 9J
Так как функция /(z) имеет конечный предел при z —> 00, то 2:4 =
= оо — устранимая особая точка (здесь несущественно, что предел
равен нулю; важно, что он является конечным числом). Если поло-
положить /(оо) = 0, то f(z) станет аналитической в точке z^ = 00.
Задача 33.32. Вычислить интеграл
z4dz
Г
J
\z-i\=2

§33. Разбор типовых задач
229
Решение. 1) Изобразим контур интегрирования Г = {\z — г =
= 2} на комплексной плоскости. Он является
окружностью с центром zo = i и радиусом 2
(рис. 65).
2) Найдем все особые точки функции, по-
попавшие внутрь контура, и исследуем их ха-
характер. Функция
^-2i
Рис. 65
имеет три особые точки: z\ = — 1, z^ = 2 г и
zs = —2г. Из них zi и Z2 лежат внутри кон-
контура, а ^з — вне его (см. рис. 65). Из следствия 26.4 легко получаем,
что Z\ является полюсом второго порядка, а ^2 — полюсом первого
порядка.
3) В каждой из особых точек внутри контура найдем вычет функ-
функции f(z). Вычет в точке z^ = 2г найдем по формуле B7.5):
= lim (z — 2г) f(z) = lim -,
z^2i	J V J z^2i (z- :
BгL
16
_ 4 _ 4(-4 + Зг)
~ Bг + 2г)Bг + 1J ~ 4г(-3 + 4г) ~ -4 - Зг ~ 25 '
Для вычисления вычета в точке —1 применим формулу B7.7) с п = 2:
ге8го/ = Дт((^-^оJ/(^))';
\2^4
res_i / = lim
3/^2 | ,
,2 + 4) - ZA • 2z _ 2z3(z2-
-2-9
52
18
25*
4) Используя основную теорему о вычетах (теорема 27.1), найдем
искомый интеграл по формуле
f(z)dz = 2ттг2^]
Г	jfe=l
(формула B7.2)):
\z-i\=2
Задача 33.33. Вычислить вычет функции f(z) = (z + 2)е 1у/^ в
бесконечно удаленной точке.

230
Гл. IX. Практикум
Решение. 1) Проверим, является ли особая точка z^ = оо изо-
изолированной. Для этого установим, существует ли окрестность точки
zo = оо — внешность какой-либо окружности \z\ = Л, — в которой нет
других особых точек, кроме Zq = оо. Функция f(z) = (z + 2)e~1'z име-
имеет единственную конечную особую точку z\ — 0. Поэтому во внешно-
внешности любой окружности \z\ = Д (например, в \z\ > 1) нет особых точек,
кроме zo = оо.
2)	Сделаем замену переменного w = \jz и подставим z = 1/w
в /(*):
g(w) = f(l/w) = A/w + 2)e~w.
3)	Найдем коэффициент при w1 в лорановском разложении функ-
функции g(w) по степеням переменного w. Этот коэффициент будет ко-
коэффициентом c_i при z~x в разложении Лорана функции f(z) по
степеням z. Чтобы найти нужное разложение функции g(w), восполь-
воспользуемся формулой C3.1). Подставляя в эту формулу (—w) вместо z,
получаем
	 _l_o 1 9 j_ j_ ^		 J_ 1	2
— — - - w — w -..._— ~2^ ^ ~'"
(оставшиеся слагаемые содержат степени ги не ниже второй). Коэф-
Коэффициент при к;1 равен c_i = —3/2.
4) Искомый вычет равен reSoo / = — c_i = 3/2.
Задача 33.34. Вычислить несобст-
несобственный интеграл
+ ОО
(ж2 - 4) dx
I
-R
О
R
Рис. 66
Решение. Как и в теореме 28.4, рас-
рассмотрим замкнутый контур, состоящий из
отрезка [—Д, Д] действительной оси и полуокружности 7(^0 ради-
радиуса Д, лежащей в верхней полуплоскости (рис. 66). Возьмем функ-
функцию
z2 -4
которая получается, если переменное ж в подынтегральном выраж:е-
нии заменить на z. Покаж:ем, что
lim [ f(z)dz = O
R^oo J
C3.5)

§33. Разбор типовых задач	231
(т.е. что выполнено условие B8.3) теоремы 28.4). Действительно,
4 \	4
J \ /	/	п	|_-^\	/	I П \	/	Г»	1_"^\/	I П \	~Z
где
6
Так как /i(z) —у 1 при z —у оо, то для достаточно больших значений z
будет |/i(z)| < 2. Поэтому |/(г)| = |/iB:)|/|2:|2 < 2/\z\2. Следовательно,
при достаточно больших R
\f(z)\\dz\^ I ^\dz\ = ^7rR=2-^.
f(z)dz
Переходя к пределу при R —У оо, получаем C3.5). (Заметим, что мы
уже проводили аналогичные рассуждения в примере 28.5).
+ ОО
В силу теоремы 28.4 интеграл / /(ж) dx равен сумме вычетов
— (X)
функции f(z) в особых точках, лежащих в верхней полуплоскости,
умноженной на 2тгг. В нашем случае особыми будут точки, в ко-
которых знаменатель обращается в нуль, т.е. z2 + 6z + 13 = 0, откуда
Zi52 — —3 =Ь 2г, и z2 + 16 = 0, откуда ^з,4 — ±4г. Из этих точек в верх-
верхней полуплоскости лежат только z\ = — 3 + 2г и z<$ = 4г. Так как
JK J (z + 3 - 2г)(* + 3 + 2г)(^ - 4г)(^ + 4г)'
то в силу следствия 26.4 каждая особая точка является полюсом пер-
первого порядка. Вычеты в точках z\ и z% найдем по формуле
res,0 / = lim (z - zo)f(z)	C3.6)
(формула B7.5)). Имеем
res_3+2i / =
>-3+2i (z + 3 - 2i)(z + 3 + 2г)(^2 + 16)
r	z2-4	(-3 + 2гJ-4
= lim	—
*->-з+2г (^ + 3 + 2г)(^2 + 16) 4г((-3 + 2гJ + 16)
_ 1 — 12г _ 11 -16г
~ 12гG - 4г) ~ 12 • 13г '

232	Гл. IX. Практикум
res4i / = lim
6z + 13) (z - 4i)(z + 4г)
13H + 4г) (DгJ + 24г + 13)8г
-5
6г(-1 + 8г) 6-13г'
Следовательно,
°°	(ж2 - 4) dx
I
2 + ш) = 6 ¦
Задача 33.35. Вычислить интеграл
2тг
О
Решение. Сделаем замену переменного, положив z — e%t. Тогда
dz — elti dt = zidt, откуда
,, dz idz . . 1 / jf _jf, 1 / 1\
dt = — =	, smt= — (e —e ) = — [z	.
zi	z	2г v	J 2г V z)
При изменении t от 0 до 2тг точка z = е^ описывает окружность \z\ —
= 1. Переходя в данном интеграле к переменному z, получаем
2тг
/dt	f	idz
5 —
о
2dz
-V21z2
Полученный интеграл вычислим с помощью вычетов. Вначале найдем
особые точки функции
№ =
приравнивая знаменатель к нулю:
-V21z2 + 10iz + л/21 = 0.
По обычной формуле для корней квадратного уравнения получаем
D = A0гJ-4(-л/2Т)л/21 = -16, zx = -^L, z2-- 7г

§33. Разбор типовых задач	233
Из этих точек только Z\ лежит внутри окружности \z\ = 1, поскольку
\z21 = 7/л/2Т > 1. Так как функция f(z) представима в виде
,, , _ 	2
~ -y/21(z - 3i/y/21)(z - 7г/л/21)'
то обе особые точки z\ и z<± — полюсы первого порядка.
Найдем теперь вычет в точке z\ по формуле C3.6):
,	г	2(^-Зг/л/21)
res^ / = lim	v / у	_
'2i -VZi{z - 3i/V21)(z - 7г/л/2Т)
2	2	1
= hm 	—	 . ^ = у—^ = 2J•
Используя основную теорему о вычетах, получаем
f(z) dz = 2ттг • resZl / = 2тгг — = тг.
1^1=1
Таким образом, исходный интеграл равен тг.
8. Задачи к главе VIII. Основы операционного исчисле-
исчисления.
Задача 33.36. По данному на рис. 67 графику оригинала /(?)
найти изображение.	,
Решение. 1) Найдем изображение более ^
простых оригиналов, из которых затем соста-
составим заданный оригинал /(?). Обозначим
't 0<t<l	fl 0 < t < 1 ° 12 3*
\0, t > 1.	РИС. 67
Изображение функции /г(?) найдем непосредственно по формуле
F(p)= / f(t)e~ptdt,	C3.7)
о
определяющей преобразование Лапласа. Если
Fi(p)=fi(t), F2(p) = f2(t),
ТО
1
/»	-1
1 1 _,
о p p
F2(p) = f e-ptdt = --e-
Изображение F\(p) тоже можно найти по формуле C3.7), интегрируя
по частям. Но можно поступить иначе: заметить, что /i(t) = ?/2^), и

234	Гл. IX. Практикум
воспользоваться теоремой о дифференцировании изображения
-tf(t) = F'(p)
(формула 23 таблицы), согласно которой
1-» 1 -г
; е — е
Итак,
р2 р2	р
2)	Выразим заданный оригинал /(?) через h(t) и /2^). Очевидно,
что /(?) = /i(t) при 0 ^ ? ^ 1. На участке [1,2] /(?) совпадает с /2^),
сдвинутой на 1 вправо, т.е. /(?) = /2(? - 1), 1 ^ t ^ 2. При 2 ^ t ^ 3
функцию /(?) мож:но получить, если сдвинуть /i(t) на 2 единицы
вправо, отразить симметрично относительно оси t (т.е. умножить на
— 1) и поднять на 1 вверх. Таким образом, /(?) = — Д(? — 2) + /2(? — 2),
2 ^ ? ^ 3. Итак,
/(?) = h(t) + /2(t - 1) - /i(t - 2) + /2(t - 2), t ^ 0.
3)	Пользуясь линейностью преобразования Лапласа и теоремой за-
запаздывания (формула 18 таблицы), получаем
p2
К этому же результату можно прийти, непосредственно применяя
формулу C3.7). Для этого следует задать функцию /(?) аналити-
аналитически и проинтегрировать на каждом из трех участков в отдель-
отдельности. Такой путь приводит к существенно более громоздким вычис-
вычислениям.
Задача 33.37. Найти оригинал изображения
и сделать проверку, найдя изображение полученного оригинала.
Решение. 1) Разложим функцию F(p) на множители, оригина-
оригиналы которых известны:
11	11
F(p) =
2J+32*

§33. Разбор типовых задач	235
По формуле 7 таблицы са = -2иш = 3 получаем
о	11
e~2t sin 3t = -,	—-——, откуда -,	—-—— = - e~2t sin 3?.
Согласно теореме умножения изображений (формула 25 таблицы),
произведению изображений соответствует свертка оригиналов сомно-
сомножителей. Поэтому
\Р) — 77~Г~О\2~Г~<У2 (^ _l О\2 _l Q2 ""•
= / \ e~2r sin Зг • \ e~2(t~r) sin 3(t - г) dr =
/о	о
о
= i e~2t I sin 3r • sinCt - 3r) dr =
о
1 _9. [, ,
— — e	(cosFr - St) - cos St) dr.
18	J
0
Вначале мы вынесли постоянный множитель - e~2t за знак интеграла,
а затем воспользовались формулой
sin a sin /3 = - (cos(a — /3) — cos(a + /3)).
z
Вычисляя последний интеграл, получаем
1	/ \	I	\
F(p) = — e~2t / cosFr - 3t) dr - / cos3tdr =
18	W	J	J
о	о
18
-rcos3t
о
= -3- e~2t f i sin Ы + i sin 3t - t cos 3t) =
18 V6	6	/
= -3- e~2t (I sin 3t - t cos 3t).
18	\o	/
Итак,
F(p) = f(t) = ^ et (| sin 3i - t cos 3i).
2) Полученный результат легко проверить, найдя изображение
функции /(?). Действительно, по формулам 7 и 12 таблицы

236	Гл. IX. Практикум
Отсюда и из формулы 19 таблицы следует, что
Пользуясь линейностью преобразования Лапласа, имеем
-	e~2t sin 3t — — e~2tt cos 3t =
_. __1	3	_ l_ (p + 2J-9 _
~ 18 • 3 (p + 2J + 9 18 ((p + 2J + ЭJ ~
18	((р + 2J + ЭJ	18 ((р + 2J + ЭJ
1
что совпадает с исходным изображением.
Задача 33.38. Двумя способами (используя метод неопределен-
неопределенных коэффициентов и с помощью вычетов) найти оригинал дробно-
рациональной функции
Пр) = ?.
Решение. А. С использованием метода неопре-
неопределенных коэффициентов.
1) Разложим дробно-рациональную функцию F(p) в сумму про-
простейших дробей. Так как уравнение р2 + 4р + 5 = 0 действительных
корней не имеет, то разложение заданной функции в сумму простей-
простейших дробей имеет вид
2р + 1	_ А	Мр + N
, Л	¦Р-'Ч	, -i	'	О i	A	t Р* *
(Можно было разложить квадратный трехчлен р2 + 4р + 5 на множи-
множители (р — р\){р — Р2) с комплексными р\ и р2, но это менее удобно.)
Приводя правую часть к общему знаменателю, равному знаменате-
знаменателю левой части, и приравнивая числители дробей в левой и правой
частях, получим
2р + 1 = А(р2 + 4р + 5) + (Мр + N)(p + 1).
Подставляя р = -1, имеем -1 = АA -4 + 5), -1 = 2А, А = -1/2.
При р = 0 получаем 1 = ЪА + JV, откуда 7V = 1-5A = 1 + 5/2 =
= 7/2.
Приравнивая коэффициенты при р в левой и правой частях ра-
равенства, получаем 0 = А + М, М = —А = 1/2. Итак,
1 7
+

§33. Разбор типовых задач	237
2) Для каждой простейшей дроби найдем оригинал, используя таб-
таблицу соответствия оригиналов и изображений. Из формулы 2 таблицы
с а = — 1 следует
р + 1 ~
Так как
р2 + 4р + 5 = р2 + 4р + 4 + 1 = (р + 2J + 1,
то
(р + 2J + 1	(р + 2)
2
1 р+2	5	1
2 (р +2J + 1 ' 2 (р + 2J + 1*
По формулам 8 и 7 таблицы с а = —2 и со = 1 получаем
(р +2J + 1 '	' (р +2J + 1 '
3) Используя свойство линейности преобразования Лапласа, най-
найдем оригинал /(?) заданной функции-изображения F(p). Так как
2р+1 2 (р +2J + 1 2 (р +2J + 1'
то
fit) = -ie-* + ie-2*cost+|e-2*sint.
Б. С помощью вычетов.
1) Найдем нули знаменателя дроби F(p), являющиеся полюсами
этой функции. Решая уравнение р2 + 4р + 5 = 0, получаем
D = 16 - 4 • 5 = -4;
-4 + 2г о . -4-2г	о .
Pi =	y— = -2 + г, р2 =	5	 = -2 - г.
Для определения порядка полюсов функции разложим знаменатель
на линейные множители:
р2 + 4р + 5 = (р + 2 - г)(р + 2 + г);
О^ _l_ 1
F(P) = 7Г
Отсюда следует, что функция F(p) имеет три особые точки:
Pi = -2 + i, р2 = -2-г, р3 = -1.
Каждая из них является полюсом первого порядка.

238	Гл. IX. Практикум
2) Найдем вычеты функции F(p)ept в каждом из найденных полю-
полюсов pk по формуле C3.6) (можно воспользоваться и формулой B7.6)):
res AF(v)e^)- lim
res-ц* (Р)е ) - дт
=	= e
2-г)(р + 2 + г) A — г)A + г)	2
p ) = lim -—^-7-	 w—	r =
y	(+l)(p + 2-i)(p + 2 + i)
(-3 + 2i)e(-2+i)t _ (-3 + 2i)e(-2+i)t _
(-1 + гJг ~ -2A + г) ~
Qe(-2+<)t _ (l-5Qe(-2+<)t.
= lim
=
(-1 - г)(-2г) ~ 2(-1 + г)(-1-г) ~	4
3) Пользуясь теоремой 32.3, найдем искомый оригинал по формуле
2 +	4	+	4
Найденный оригинал совпадает с тем, который был получен первым
способом. Действительно,
fit) = -\е~ь + \ ei((l - 5г)ей + A + Ы)е~и) =
= -\е~* + \ e~2t(eU + е"й - 5г(ей - е"й)) =
= -~^e~f + ^e~2tBcost-5i-2ismt) =
Задача 33.39. Найти решение дифференциального уравнения
у" + у' -2у = е\
удовлетворяющее начальным условиям у@) = —1, у'@) = 0.
Решение. 1) Считая неизвестную функцию у = y(t) и правую
часть f(t) = ef уравнения оригиналами, перейдем от данного урав-
уравнения, связывающего оригиналы, к операторному уравнению, связы-
связывающему их изображения Y = Y(p) и F = F(p). Для этого восполь-

§33. Разбор типовых задач	239
зуемся теоремой о дифференцировании оригинала и таблицей соот-
соответствия. По формуле 21 таблицы с п = 2 получаем
у" = P2Y - ру@) - 2/@) = P2Y + р.
По формуле 20 имеем
y'=pY-y@)=pY + l.
Формула 2 дает е1 = 1/(р — 1). Поэтому операторным уравнением, со-
соответствующим данному, является уравнение
p2Y +p + pY + 1 - 2F = —^-, или (р2 +р - 2)У + р + 1 = —^-.
2) Полученное уравнение является линейным алгебраическим
уравнением первого порядка относительно неизвестного изображе-
изображения Y = Y(p). Чтобы найти это изображение, преобразуем уравнение
к виду
откуда
Y = —
3) Перейдем от найденного изображения Y(p) к оригиналу y(t).
Тем самым мы и получим искомое решение дифференциального урав-
уравнения.
Уравнение р2 + р — 2 = 0 имеет решения 1 и —2. Поэтому р2 + р —
— 2 = (р — 1){р + 2) и
Для отыскания оригинала ?/(?) можно применить любой из извест-
известных методов (см. задачу 33.38). Воспользуемся, например, методом
неопределенных коэффициентов. Имеем
"Р2 + 2 _ А	В	С
I /	-л \ о ~1~
(р-1J(р + 2) р-1 (р-1J р + 2
_ А(р - 1)(р + 2) + В(р + 2) + С(р - IJ
(р-1J(р + 2)	'
откуда
-р2 + 2 = А(р - 1)(р + 2) + В(р + 2) + С(р - IJ.
При р = 1 получаем 1 = 35, т.е. В = 1/3; при р = — 2 будет —2 =
9G, т.е. G = —2/9. Сравнивая коэффициенты при р2 в левой и пра-
правой частях равенства, получим —1 = А + G, т.е. А = — 1 — G = —7/9.

240	Гл. IX. Практикум
Итак,
Y= ~Р2 + 2	7 1	1 1	2 1
3(р-1J 9р + 2'
Пользуясь формулой 2 таблицы и формулой 10 с а — 1, п = 1, полу-
получаем
уA) = -1е*+1-1е*-2-е-2\ или j,(t) = -7-ef - | е* + |te*.
Задача 33.40. Используя интеграл Дюамеля, найти решение
дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальным условиям у@) = 0, у'@) = 0.
Решение. Применение интеграла Дюамеля в данном случае вы-
вызвано, в частности, тем, что таблица не содержит изображения правой
части уравнения. Решение состоит из следующих двух этапов.
1) Найдем решение yi@) уравнения
у" + 4г/' + 4г/ = 1
с той же левой частью, что у заданного уравнения, и также при нуле-
нулевых начальных условиях: yi@) = 0, у[@) = 0. С этой целью перейдем
к операторному уравнению, пользуясь тем, что по формулам 20, 21
и 1 таблицы у[ = pY1(p), у'{ = p2Y1(p), 1 = 1/р (здесь Y1(p) — изобра-
изображение функции yi(t)):
p2Yi + 4pYi + 4Yi = 1/р, или О2 + 4р + 4)УХ = 1/р.
Отсюда
Разложение полученной дроби в сумму простейших дробей имеет вид
1 _ А В	С
2J
Следовательно, 1 = А(р + 2J + Вр(р + 2) + Ср.
При р = 0 имеем 1 = 4А, т.е. А = 1/4; при р = -2 будет 1 = -2G,
т.е. С = —1/2. Сравнивая коэффициенты при р2 в левой и правой ча-
частях равенства, получим 0 = А + В, т.е. В = —А = —1/4. Итак,
_ 1 _ 1 1 _ 1 __1	1 1
1 ~ р(р + 2J р~ 4 р + 2 ~ 2 (р + 2J'
2 р 4 р + 2 2 (р + 2J
Пользуясь формулами 1, 2 и 10 таблицы с п = 1, имеем
/i\	1	1 —2/ 1 i —2/

§33. Разбор типовых задач	241
Заметим, что найти у\ можно также методом неопределенных коэф-
коэффициентов, изучаемым в курсе дифференциальных уравнений.
2) Найдем решение исходного уравнения по формуле
t
y(t)=Jf(r)y'1(t-T)dT
о
(формула C2.12)), где /(т) — правая часть исходного уравнения. Име-
Имеем
»!(*) = ~\ (-2)ei - \ (ei + t(-
y{t) = I 5тг{t ~ r)e(i"T) dT =
о
~2	(
Итак,
1 - \ + t) =
о
* - \\n(r2 + 1)|*) = e~2t (tarctgt - i ln(t2 + 1)).
- i ln(t2 + 1)).
Задача 33.41. Найти решение системы дифференциальных
уравнений
' = х + 32/ + 2,
при начальных условиях ж@) = —1, 2/@) = 2.
Решение. 1) Обозначим через X и У изображения неизвестных
функций х = x(t) и у = y(t). Пользуясь линейностью преобразования
Лапласа и формулами 20 и 1 таблицы, перейдем к операторным урав-
уравнениям
рХ - (-1) = X + ЗУ + -,	Г (р - 1)Х - ЗУ = - - 1,
Р или ^	Р
У-2 = Х-У + -,	|^ -Х + (р+1)У = - + 2.
2) Решим полученную систему линейных уравнений относитель-
относительно X и У. Для этого выразим X из второго уравнения и подставим в
первое:
X = (р + 1)Г - 1 - 2, (р - 1) ((р + 1)Г - 1 - 2) - ЗГ = 2- - 1.
16 В.Я.Эйдерман

242
Гл. IX. Практикум
После раскрытия скобок и приведения подобных членов приходим к
равенству
О2 - 4)У = - + 2р - 2, или О2 - 4)У =
р
2р2 - 2р
Р
Отсюда
Y =
2р2 - 2р
-4)	р
(р + 1)Bр2 - 2р
- 4)
=
Р(Р2 - 4)
Раскрывая в числителе скобки и приводя подобные члены, получим
Х =
-р2 + 7р + 5
р(р2-4) '
Для сравнения решим эту систему другим способом, с использо-
использованием формул Крамера (см. также пример 32.5). Из коэффициентов
при X и Y составим определитель А:
А =
р- 1 -3
-1 р+1
Последовательно заменяя первый и второй столбцы этого определи-
определителя столбцом из правых частей уравнений, получим, соответственно,
определители Ах и Ау:
AY =
р
р
р-
-1
1
2
1
Р
2
Р
1
Р
-3
+ 1
-1
+ 2
Формулы Крамера сразу приводят к тому же результату:
Х =
¦7р + 5
р(р2-4) '
А
2р2 - 2р + 1
р(р2-4) '
Читатель может убедиться, что второй способ требует несколько
меньшего объема вычислений.

§33. Разбор типовых задач	243
3) От полученных изображений X и Y перейдем к их оригиналам х
и у. Сделать это можно двумя способами: методом неопределенных
коэффициентов и с помощью вычетов; объем работы при использо-
использовании этих методов примерно одинаков. Чтобы еще раз напомнить
оба приема, мы (как и в примере 32.5) найдем x{t) первым способом,
a y(t) — вторым; читателю рекомендуется находить оба оригинала
каким-либо одним способом, что более удобно.
Разложение функции X в сумму простейших дробей имеет вид
-Р2 + 7р + 5 _ А В	С
р(р-2)(р + 2) р р-2 р + 2
= А(р - 2)(р + 2) + Вр(р + 2) + Ср(р - 2)
(каждый множитель знаменателя является множителем вида
(ар + Ъ)к с к = 1). Отсюда
-р2 + 7р + 5 = А(р - 2)(р + 2) + Бр(р + 2) + Ср(р - 2).
При р = 0 получаем 5 = —4А, откуда А = —5/4.
При р = 2 получаем -4 + 14 + 5 = В • 2 • 4, откуда Б = 15/8.
При р = — 2 получаем
-4-14 + 5 = С(-2)(-4),
откуда С = —13/8. Следовательно,
х__5 1,15 __1	13 1
~ 4 ' р 8р-2 8р + 2'
По формулам 1 и 2 таблицы и свойству линейности находим оригинал:
(f) - _Ё 1Ё 2t _ 13 -2t
^ ~~ 4 8	8
Оригинал y(t) найдем по формуле
(формула C2.8)). Функция
, ( Bp2
p(p2-4)	p(p-2)(p + 2)
имеет особые точки 0, 2 и —2, каждая из которых является полюсом
первого порядка. Вычеты в этих точках найдем по формуле
vesPk(Y(p)ept) = lim (p -pk)Y(p)ept
(см. формулу B7.5); можно использовать и B7.6)). Имеем
р(р-2)(р + 2) ?5о (р-2)(р + 2)	4'
16*

244
Гл. IX. Практикум
t\ г Bр2 - 2р + l)ept (8 - 4 + 1)е2* 5
= lim (*P
-2-(-
Следовательно,
§ 34. Задачи для самостоятельной работы
1.	Представить в алгебраической форме число:
а) (-1-гл/ЗN; б) е^ .
2.	Найти все значения корня:
а) У=1; б) ^Д±^.
3.	Выполнить действия над комплексными числами и изобразить
найденные числа на комплексной плоскости:
2/B-гJ-3,
V
48A +гI0
A-2гK + A +
44A+г)
- 60 + 2г
4 = 0.
B - гK - 6 + 9г '
4.	Найти все решения уравнения:
a) z6 - 9z3 + 8 = 0; б) z4 - 2z
5.	Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовле-
удовлетворяющих равенству \z — 1 — i\ = |z + 3 — Зг|.
6.	Изобразить на комплексной плоскости область, заданную систе-
системой неравенств:
а)	\z - i\ < 2, Imz > 2;
б)	|^-4|<4, |z-2|>2, |axg^|<7r/4;
в)	|z - 1 + i\ < 1, | argz + тт/4| < тг/б;
г)	|z - 3 - Зг| < 2, 2 < Rez < 4, Imz > 3;
д)
е)
\z-
< 2, |argz| < тт/3, Imz > -1;
- 2г| < 3, |z + 2г| < 3,
1/2.

§34- Задачи для самостоятельной работы
245
7. Замкнутую область, изображенную на рис. 68, задать системой
неравенств.
Рис. 68, а
Рис. 68, б
8.	Найти точки, в которых заданная функция w = f(z) является
дифференцируемой, и вычислить про-
производную в этих точках (если таковые
существуют):
a) w = zlmz; б)
в) w = z(z
г) w = (z + 1)г; д) w = (z + l)z.
9.	Восстановите аналитическую
функцию f(z) по ее действительной ча-
части и(х,у) и значению в точке z$ = 0:
а)	и(х,у) = х2 -у2 + ж, /@) = 0;
б)	и (ж, ^/) = х3 - Зху2 + 1, /@) = 1.	Рис. 68, в
10.	Восстановите аналитическую функцию f(z) по ее мнимой ча-
части v(x,y) и значению в точке z$ = 0:
a) v(x, у) = ех cos у, /@) = 1 + г; б) ф, г/) = 2жг/ + 2ж, /@) = 0;
в) t;(x,2/)=3x22/-2/3, /@) = l.
11.	Найти функцию, отображающую треугольник с вершинами
@,0), (—1,2), A,2) на треугольник с вершинами B,0), F,2), F,-2).
12.	В какую область переходит круг a) \z — г\ < 1; б) \z — г\ < 2
при отображении w = 1/z?
13.	Найти конформное отображение w = f(z) круга \z\ < 1 на
круг \w\ < 1, удовлетворяющее условиям w(l/2) = 0, argw;/(l/2) =
= тг/2. Указать коэффициент растяжения в точке zq = 1/2.

246	Гл. IX. Практикум
14.	Найти конформное отображение w = f{z) верхней полуплос-
полуплоскости 1т.z > 0 на круг \w\ < 1, удовлетворяющее условиям w(i) = О,
aigw'(i) = —тг/2. Указать коэффициент растяжения в точке zo = i.
15.	Найти конформное отображение полосы, заключенной между
прямыми: а) у = —х и у = —ж + тг, б) 2/ — л/3^ и 2/ = л/3^ + тг, на еди-
единичный круг |ги| < 1.
16.	Найти конформное отображение заданной полосы на единич-
единичный круг \w\ < 1:
а) -1<Ьп2<3; б) l<Rez<3; в) - тг < Rez < Зтг.
17.	Найти все значения A + г)г.
18.	Найти все значения функции:
2 — г
a) Arcsin2i;	б) Arctg ——;
о
в) Arccos(-5);	г) Arcctg
19.	Вычислить интеграл от функции f(z) = z2 по кривой Г, яв-
являющейся: а) ломаной АОВС, где А(-1,0), 0@,0), 5@,1), СA,0);
б) отрезком АС. Если результаты получились разными, то почему?
(Заметим, что все три ломаные — АОВС, АС и ломаная ABC, рас-
рассмотренная в примере 33.22, являются путями, ведущими из А в С.)
20.	Вычислить интеграл от функции f(z) = z2 по кривой Г, явля-
являющейся: а) ломаной ABC] б) ломаной АОВС; в) отрезком АС. Ко-
Координаты точек А, О, В, С даны в предыдущей задаче. Обязаны ли
интегралы по всем трем кривым совпадать? Ответ обосновать. Как
вычислить данный интеграл более простым способом?
21.	Вычислить интеграл от функции f(z) = z2 по верхней полу-
полуокружности Г : \z\ = I,lni2: ^ 0. Направление движения — по часовой
стрелке (таким образом, Г является еще одним путем, ведущим из А
в С — см. задачу 19).
Указание. Окружность \z — zo\ = г задается следующими парамет-
параметрическими уравнениями: x(t) = хо + г cost, y(t) = yo + rsint, где zq = xo +
+ iyo — центр окружности, t — угол между осью ОХ и вектором zoz, иду-
идущим из zo в точку z, движущуюся по окружности.
22.	Вычислить интеграл J z\z\ dz, где Г : \z\ = 1, Imz ^ 0. Направ-
г
ление движения по кривой — против часовой стрелки (см. указание в
предыдущей задаче).
23.	Вычислить интеграл /zRezdz, где кривая Г является: а) от-
г
резком АВ с А@,0), БB,4); б) дугой параболы у = ж2, 0 ^ х ^ 2.

§34- Задачи для самостоятельной работы
247
24.	Проверить, является ли функция f(z) аналитической в С, и в
случае положительного ответа найти первообразную F(z) этой функ-
функции в С, удовлетворяющую условию F(zo) = wo'.
a) f(z) = zez, F@) = 0; б) f(z) = zez"+\ F(iy/2) = 0;
в) /(^) = (z + 2)(z2+4z + 3K, F@)=0;
r) f(z) = zcos2z, F@)=0.
25.	Используя теорему Коши или формулы Коши для производ-
производных, найти интеграл по замкнутому контуру Г (обход контура против
часовой стрелки):
ч Г cos zdz -гл
а) J Z2_^'
f ez dz ^
у ^тт' Г:
sin zdz
ч
г)
ч f z si
д) У (^T
sin zdz
26. Разлож:ить функцию /(г) в ряд Тейлора в окрестности точки
и указать круг сходимости полученного ряда:
а) f{z) =
в) /W =
= 0;
б)
= -1;
^
j, z0 = 2;
Z
Д)
27. Найти все лорановские разложения функции f(z) по степеням
-z0):
) fW	1
В)
б)
Г)
28. Найти разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности
точки zo. Указать кольцо сходимости, правильную и главную части
разложения, а также тип особой точки zo'.
a) f(z) = ez'{z-2\ z0 = 2; б) f(z) = (z - 3) si
sin
= 3;
B) /W =-cos—, zo = 0; r)
Z	Z

248	Гл. IX. Практикум
29. Определить тип особой точки zo = 0 функции f(z):
30. Найти все изолированные особые точки функции f(z) и опре-
определить их тип:
1
1/C — 1)	COS
а) f(z) - 1	; б) f(z) =	z~ ;
в) /(*)=
31. Вычислить интеграл:
z4dz
\z+2i\=3	\z\=3
в"
.	Г	z4dz	[ zsdz
> J (z*-9)(z-i)'	Г> J (г2-IJ'
\z\
.	f	ezdz
Д) J ^—~y
|г-1|=3	\z\=2
N1=5
32.	Вычислить вычет функции f(z) в бесконечно удаленной точке:
а) /О) = 0 + 3) sin-;	б) /(я) = (я - 1) cos -;
в) f(z) = e~2/z + z3 + z- 2;	г) /O)=z3cos^;
д)
33.	Вычислить несобственный интеграл:
+оо	п	+оо
13J;
— (X)	—(X)
+ ОО
Г (т2 +\
+ ОО
в"
— оо
34. Вычислить интеграл:
2тг	2тг
...	^
а
/"	%	;	б) I —
J 3 + V5sint	J 3sint + 5
о	о

§34- Задачи для самостоятельной работы
249
35. По данному на рис. 69 графику оригинала /(?) найти изобра-
изображение.
Рис. 69, г
fit)
1 2 3 t
Рис. 69, д
36. Найти оригинал изображения:
a) F(P) = T-T
б) F(p) =
V
и сделать проверку, найдя изображение полученного оригинала.
37. Двумя способами (с помощью теоремы умножения и по фор-
формуле 11 таблицы) найти оригинал изображения
Р
F(p) =
2 +16J •
38. Двумя способами (используя метод неопределенных коэффи-
коэффициентов и с помощью вычетов) найти оригинал дробно-рациональной
функции F(p):
a) F(p) =
в) F(p) =
р + 4
р+ 10
рз _ 6р2 + 1Ор!
Д)
б)
г)

250	Гл. IX. Практикум
39.	Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяю-
удовлетворяющее заданным начальным условиям:
а)	у" + у'-2у = е-', у@) = -1, у'@) = 0;
б)	у" + у = бе"*, 2/@) =3, 2/'@) = 1;
в)	у" - Зу' + 2j/ = 12е3*, 2/@) = 2, j/'@) = 6;
г)	у" - 2у' -Зу = 2t, 2/@) = 1, j/'@) = 1;
д)	У" - 9у = sin t - cos t, i/@) = -3, t/'@) = 2.
40.	Используя интеграл Дюамеля, найти решение дифференциаль-
дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
а)	у" -2у' + у= ^, 2/@) = 0, у'@) = 0;
б)	у"-6у' + 9у=-^п, у@) = 0, у'@) = 0.
41. Найти решение системы дифференциальных уравнений, удо-
удовлетворяющее заданным начальным условиям:
х' = х + Ay, x@) = 1,	Г х' = х + 2у + 1, х@) = О,
у' = 2х-у + 9, 2/@) = 0; }	\у' = 4х-у, 2/@) = 1;
( гр1 	 Огр _|_ Кп,	гг(С\\ 	 1	( Т1 	 	Огр _|_ Кп, _|_ I	гг(С\\ 	 П
I гЛ> — LjJU \^ О и j	Ju \ U I — -L«	I гЛ> — ?jJb \^ Uу \^ -L ^ Jb I U I — U«
\у' = х-2у + 2, 2/@) = 1; Г)	Ху1 = х + 2у + \, 2/@) = 2;
Г ж' = Зх + у,	х@) = 2,
л> \ у' = -Ъх - 32/	+ 2, 2/@) =0.

ЛИТЕРАТУРА
1.	АрамановичИ.Г., ЛунцГ. Л., Эльсгольц Л.Э. Функ-
Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Тео-
Теория устойчивости.— М.: Наука, 1965.
2.	Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций ком-
комплексного переменного.— М.: Наука, 1984.
3.	Бугров Я. С, Никольский СМ. Дифференциальные
уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного
переменного.— М.: Наука, 1981.
4.	Е в г р а ф о в М. А. Аналитические функции.— М.: Наука, 1965.
5.	Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций
комплексного переменного.— М.: Наука, 1987.
6.	Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических
функций.- М.: ГИТТЛ, 1957.
7.	Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисле-
исчисления для втузов. Т. I, П.— М.: Наука, 1985.
8.	Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного
переменного.— М.: Наука, 1984.
9.	Свешников А. Г., Тихонов А.Н. Теория функций ком-
комплексной переменной.— М.: Наука, 1979.
10.	Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лек-
Лекции по теории аналитических функций.— М.: Наука, 1982.
11.	СоломенцевЕ.Д. Функции комплексного переменного и их
применения.— М.: Высшая школа, 1988.
12.	Фукс Б.А., Левин В.И. Функции комплексного переменного
и их приложения.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1951.
13.	Фукс Б.А., Шабат Б.В. Функции комплексного переменного
и некоторые их приложения.— М.: ГИФМЛ, 1959.
14.	Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам
высшей математики (типовые расчеты).— М.: Высшая школа,
1983.
15.	Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1.— М.: Нау-
Наука, 1985.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля теорема 108
Аддитивность интеграла 79
Алгебраическая форма ком-
комплексного числа 11
Аналитическая функция в замк-
замкнутой области 35
	в области 34, 118, 128
	в бесконечно удаленной точ-
точке 147
	 в точке 34
Аналитическое продолжение
функции через цепочку обла-
областей 126
Аргумент комплексного числа 10
Бесконечно удаленная точка 22
Вейерштрасса признак равно-
равномерной сходимости ряда 102
— теорема о сумме равномерно
сходящегося ряда 106
Вещественная часть комплексно-
комплексного числа 9
Взаимно-однозначное отображе-
отображение 42
Вычет функции 148
	в бесконечно удаленной точ-
точке 153
Гармоническая функция 35
Гиперболические функции 65
Главная ветвь степенной функ-
функции 63
Главная часть ряда Лорана 133
	в проколотой окрестно-
окрестности бесконечно удаленной точ-
точки 147
Главное значение аргумента 10
	логарифмической функции
60
Гладкая кривая 38
Голоморфная функция в замкну-
замкнутой области 35
	в области 34
Граница множества 21
Граничная точка множества 21
Даламбера-Эйлера условия 32
Действительная ось 9
— часть комплексного числа 9
Декартова форма комплексного
числа 11
Дифференцируемость функции
действительных переменных
31
	комплексного переменного
30
Дифференциал функции ком-
комплексного переменного 30
Дробно-линейное отображение
44
Дробно-рациональная функция
157
Дюамеля формула (интеграл)
191
Единичная функция 173

Предметный указатель
253
Жордана лемма 162
Жуковского функция
65
Изображение функции 176
Изолированная особая точка 83
Индекс роста функции 174
Интеграл вдоль кривой от функ-
функции комплексного переменного
77, 78
Интегральная сумма 78
Комплексная плоскость 9
—	сфера 22
Комплексное переменное 20
—	число 9
Комплексный потенциал вектор-
векторного поля 73
Конформное отображение 40, 46
	в точке z = оо 46
	второго рода 40
	первого рода 40
Корень из комплексного числа
16
Коши интегральная формула 89
—	критерий сходимости 97
—	неравенства для производных
93
—	теорема для многосвязной об-
области 81
	для односвязной области 80
—	признак сходимости ряда 99
—	формулы для производных 91
Коши-Римана условия 32
Коэффициент растяжения 39
Кратность нуля функции 122
Круг сходимости степенного ряда
ПО
Круговое свойство дробно-
линейного отображения 47
Кусочно гладкая кривая 79
—	дифференцируемая функция
173
Лапласа оператор 175
	 преобразование 175
Линейная функция 42
Линейность интеграла 79
—	преобразования Лапласа 180
Лиувилля теорема 93
Логарифмическая производная
165
—	функция 59
Логарифмический вычет 165
Лорана разложение в проколотой
окрестности бесконечно уда-
удаленной точки 147
—	теорема 131
—	ряд 133
Мажорирующий ряд 103
Мнимая единица 10
—	ось 9
—	часть комплексного числа 9
Многозначная функция ком-
комплексного переменного 52
Множество открытое 20
—	связное 21
—	сходимости функционального
ряда 101
Модуль комплексного числа 10
Морера теорема 94
Муавра формула 15, 17
Независимость интеграла от пу-
пути интегрирования 82
Необходимый признак сходимо-
сходимости ряда 97
Неопределенный интеграл 85
Непосредственное аналитическое
продолжение 126
Непрерывная функция в замкну-
замкнутой области 28
	в области 28
	 в точке 28
Неравенство треугольника 11
Несобственный интеграл 159
	расходящийся 159
	сходящийся 159

254
Предметный указатель
Нуль функции изолированный
122
	 простой 122
Ньютона-Лейбница формула 87
Обратная функция 53
Обратные тригонометрические
функции 64
Область 21
—	замкнутая 21
—	многосвязная 21
—	п-связная 21
—	односвязная 21
Образ точки при отображении 25
Однозначная функция комплекс-
комплексного переменного 25
Однолистная функция 42
Окрестность бесконечно удален-
удаленной точки 22
—	точки 20
Операторное уравнение 194
Ориентированная кривая 76
Основная теорема алгебры 171
Особая точка 83
	 изолированная 138
	многозначного характера
129
	однозначного характера 129
	устранимая 138
Остаток ряда 100
Первообразная функции 84
Плоскость комплексного пере-
переменного 20
Показатель роста функции 174
Показательная форма комплекс-
комплексного числа 19
—	функция 57
Полная аналитическая функция
128
Полюс 138
—	простой 150
Порядок нуля функции 122
—	полюса 142
Последовательность комплекс-
комплексных чисел 23
	сходящаяся 23
Правильная точка 83
—	часть ряда Лорана 133
	в проколотой окрестно-
окрестности бесконечно удаленной точ-
точки 147
Предел последовательности 23
—	функции в точке 27
Признаки сравнения 99
Принцип аргумента 168
—	максимума модуля 124
—	соответствия границ 69
—	сохранения области 69
Произведение комплексных чи-
чисел 12
	в тригонометрической
форме 14
Производная функции комплекс-
комплексного переменного 30
Проколотая окрестность точки
27
Прообраз точки при отображе-
отображении 25
Равномерно сходящийся инте-
интеграл 175
	функциональный ряд 101
Радиус сходимости степенного
ряда 110
Разность комплексных чисел 10
Расширенная комплексная плос-
плоскость 22
Рациональная дробь 157
Регулярная ветвь аналитической
функции 56
—	точка 83
—	функция 34
Римана сфера 22
—	теорема 68
Риманова поверхность 55
Руше теорема 169

Предметный указатель
255
Ряд абсолютно сходящийся 98
—	расходящийся 96
—	сходящийся 96
—	условно сходящийся 99
Свертка функций 188
Сопряженные гармонические
функции 13
—	комплексные числа 36
Сохоцкого теорема 144
Сохранение симметрии при дроб-
дробно-линейном отображении 50
Степенная функция 61
Степенной ряд 107
Стереографическая проекция 22
Сумма комплексных чисел 10
—	ряда 96
Существенно особая точка 138
Тейлора ряд 116
—	формулы 115
Теорема единственности 123
—	запаздывания 182
—	подобия 181
—	о вычетах 149
—	о дифференцировании изобра-
изображения 184
—	о дифференцировании ориги-
оригинала 183
—	о логарифмическом вычете
166
—	о разложении 197
—	о среднем 93
—	о сумме вычетов 154
—	об интегрировании изображе-
изображения 185
—	об интегрировании оригинала
184
—	смещения 182
Теорема умножения изображе-
изображений 189
Точка ветвления 56
	бесконечного порядка 61
—	особая 83
—	правильная 83
—	регулярная 83
—	расходимости функционально-
функционального ряда 101
—	сходимости функционального
ряда 101
Тригонометрическая форма ком-
комплексного числа 11
Тригонометрические функции
63
Угол в бесконечно удаленной
точке 45
Формула обращения 179
Функциональный ряд 101
Функция-изображение 176
Функция-оригинал 173
Функция тока 73
Характеристический многочлен
194
Хевисайда функция 173
Центр степенного ряда 107
Частное комплексных чисел 14
	в тригонометрической
форме 15
Частичная (частная) сумма ряда
96
Числовой ряд 96
Эйлера формула 19

Учебное издание
ЭЙ ДЕР МАИ Владимир Яковлевич
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
И ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Редактор Н. Б. Бартошевич-Жагель
Оригинал-макет: Д. В. Горбачев
Оформление переплета: А.А.Логунов
ЛР№ 071930 от 06.07.99
Подписано в печать 24.07.02. Формат 60x90/16
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная
Усл. печ. л. 16. Уч.-изд. л. 16. Тираж 3000 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с диапозитивов
з РГУП «Чебоксарская типография № 1»
428019 Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
БВМ 5 -9221 -0283 -4
9 785922 102834