/
Author: Артемьев Е.Ю.
Tags: математика статистика математическая статистика издательство московского университета
Year: 1969
Text
Е. Ю. АРТЕМЬЕВА
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКЕ
ДЛЯ ПСИХОЛОГОВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
19 6 9
Е. Ю. АРТЕМЬЕВА
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКЕ
ДЛЯ ПСИХОЛОГОВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1969
34—69
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
ПРЕДИСЛОВИЕ
«Сборник задач по теории вероятностей и математической
статистике для псйхологов» предназначен для студентов
психологических факультетов университетов и соответствует
теоретико-вероятностной и статистической части курса «При-
менение математических методов в психологии», читаемого на
психологическом факультете МГУ. Задачи составлены по ма-
териалам журнальных статей, взяты из практики консульта-
ций, переформулированы или просто заимствованы из других
сборников. Задачи специально подбирались для студентов-
психологов, их условия зачастую неполностью формализованы,
допускают неоднозначность истолкования,'а следовательно и
решения. Эта «недоформализованность» возрастает по мере
перехода от начальных разделов курса к более сложным и
специальным. Последние задачи по существу являются просто
материалом для направленных самостоятельных заданий типа
практикума и требуют подробного обсуждения в аудитории.
Поэтому, естественно, ответы на такие задачи в сборнике не
даются.
Каждому разделу предшествует, краткое введение, содер-
жащее основные теоретические сведения и схемы стандартных
задач с решениями.
В сборнике содержатся 163 задачи, он, безусловно, не по-
лон: не содержит задач по важным, но совсем еще не отра-
ботанным разделам курса (теория .информации, планирование
эксперимента и т. п.).
В заключение я хочу поблагодарить коллектив факультета
психологии МГУ, члены которого принимали самое активное
участие в обсуждении методики преподавания и составления
задач. Я глубоко благодарна Л. Д. Мешалкину, неоднократно
обращавшему мое внимание на необходимость подбора таких
задач, которые, оставаясь учебными, были бы прямо связаны
с повседневной экспериментальной практикой психологов.
ГЛАВА I
ВЕРОЯТНОСТИ случайных событии, основные понятия. «
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИИ.
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БАЙЕСА
При решении задач этой главы требуется умение интер-
претировать комбинации событий, описывать с их помощью
исходы экспериментов. При этом следует помнить, что суммой
событий А я В называется событие Л+В, состоящее в осуще-
ствлении хотя бы одного из событий А и В; произведением
АВ—одновременное осуществление событий Л и В (если
АВ=0, где 0— пустое множество, то события Л и В назы-
Рис. 1
ваются несовместимыми); событием, противоположным А,—
событие А, состоящее в том, что А не происходит. На рисунке
1,а проиллюстрированы эти отношения в случае, когда собы-
тия А и В означают попадание в круги А и В наудачу бро-
саемой на плоскость точки: заштрихованные области соответ-
ствуют событиям А +В, АВ, А.
В задачах используются следующие свойства вероятно-
стей:
Г. Если Е — достоверное событие, то Р (Е) = 1
2. Если С=А+В и ЛВ = 0, то Р(С) =Р(Л) +Р(В)
4
В комбинаторных задачах часто оказывается полезным
классическое определение вероятности: если в результате опы-
та может осуществиться только один из п попарно несовме-
стимых и равновозможных исходов Ai (i=Jl, 2,...), а событие
А является суммой т таких исходов, то
р (Л) =
п
Кроме определения вероятности при решении задач пред-
полагаются известными определения условной вероятности,
независимости событий, формула полной вероятности и фор-
мула Байеса. Напомним их.
Условная вероятность: если Р(В)>0, то условная вероят-
ность события А при условии В обозначается Р(Л/В) и опре-
деляется равенством
Р(ДВ)
Р(В) '
Независимость: события А и В называются независимы-
ми, если
Р(ДВ) = Р(Л)-Р(В).
Формула полной вероятности: если события Bi (i= l, 2,...,
..., п) попарно несовместимы и их сумма является полным
событием, а событие A=ABi+AB2+ ... +АВ, то
Р(Л) = jPfBJPW
i=l
Формула Байеса в этих же условиях:
Р(ад=
£р(В;)Р(А/Ву)
/=>
Иногда при решении задач, где требуется строить сложные
пространства элементарных исходов последовательности экс-
периментов, удобно пользоваться специальным графом—де-
ревом возможных исходов. В этом случае каждой последова-
тельности исходов соответствует определенный путь на дереве.
Отрезки, составляющие каждый путь, называются ветвями.
Дерево начинается из начальной точки, и конец каждой из
ветвей первого ряда дерева отвечает одному из возможных
исходов первого в последовательности эксперимента. От каж-
дого из этих концов ответвляется новое множество ветвей,
концы которых в свою очередь отвечают возможным исходам
второго эксперимента, и т. д., пока не будет исчерпана вся
Jo
последовательность экспериментов. Каждой ветви в /-том ря-
ду приписывается вес, равный вероятности осуществления
соответствующего ей исхода /-того эксперимента при условии,
что исходы первых /—J экспериментов уже известны. Вес
пути определяется как произведение весов входящих в него
ветвей. Легко убедиться, что вес любого пути равен вероятно-
сти осуществления последовательности исходов, являющихся
концами ветвей рассматриваемого пути, а построение дерева
возможных исходов эквивалентно построению пространства л
элементарных исходов с последующим приписанием вероят-
ностей. Понятно также, что вероятность любого события, яв-
ляющегося концами нескольких путей, равна сумме весов
этих путей.
В некоторых задачах этого раздела возникает вопрос, ка-
кие события можно считать практически невозможными,
какие вероятности пренебрежимо малыми. Объявляя некото-
рое событие вероятности а практически невозможным, мы
рискуем допустить ошибку, естественной мерой которой яв-
ляется вероятность осуществления этого события а. Тогда
величина 1—а является мерой надежности нашего вывода и
называется доверительным уровнем. Доверительный уровень
выбирается произвольно в зависимости от особенностей зада-
чи. Чаще всего используются стандартные доверительные
уровни — 0,95; 0,99; 0,999. Таким образом, если мы решили
обсуждать возможность случайного осуществления некоторо-
го события, выбрали доверительный уровень 0,95 и выяснили,
что вероятность этого события меньше 0,05, то мы можем за-
явить, что с выбранным доверительным уровнем 0,95 данное
событие можно считать неосуществимым.
Рассмотрим схемы стандартных задач.
1. В ящике имеется а+b хорошо перемешанных шаров1
а синих и b красных. Найти вероятность того, что наугад вы-
нутый шар окажется синим.
Пусть А — событие, состоящее в том, что вынут синий
шар.
Рассмотрим пространство элементарных исходов, соответ-
ствующее нашему «эксперименту». 'Оно состоит из а+b собы- *-
тий, каждое из которых заключается в вынимании одного из
шаров. Событие А является суммой а событий, соответствую-
щих выниманию синих шаров. Значит Р (Л) = - . *
2. В ящике имеется некоторое количество шаров. Среди
них а шаров с рисунком и b шаров цветных с рисунком
(в числе шаров с рисунком входят и цветные и нецветные
шары с рисунком). Найти вероятность того, что наугад выну-
1 Везде в дальнейшем, не делая специальных ссылок, мы будем пред-
полагать, что шары хорошо перемешаны.
6
тый шар окажется с рисунком, если известно, что он цветной.
Пусть А — событие, состоящее в том, что наугад вынутый
шар -с рисунком.
В — событие, состоящее в том, что наугад вынутый шар
цветной.
По определению условной вероятности
Р(Л/В) = -^-; Р(ЛВ) = Л
п— неизвестное нам общее число шаров в ящике.
Р(В) = —;
п
Р(Л/В) = —.
а
3. В двух ящиках содержатся синие и красные шары:
в первом ящике ai синих и bi красных, во втором а2 синих и
красных шаров. Из ящиков одновременно вынимают на-
угад по одному шару. Найти вероятность того, что хотя бы
один из вынутых шаров окажется синим.
Пусть Л — событие, состоящее в том, что из первого ящика
вынут синий шар,
В — из 2-го ящика вынут синий шар,
Л +В —рассмартиваемое в задаче событие.
Известно, что
Р (Л 4- В) = Р (Л) + Р (В) — Р (ЛВ);
р (Л) = —; Р (В) = —; Р (ЛВ) =-----------------
Oj bi а2 ф Ь2 (^з^^з)
V 7 (аА^&1)(аа^6з) ’
4. Имеется два ящика с красными и синими шарами: в пер-
вом а\ синих и bi красных, во втором а2 синих и Ь2 красных.
Наугад выбирается ящик, наугад выбирается шар. Найти ве-
роятность того, что выбран синий шар.
Пусть Bj—событие, состоящее в том, что при выборе
ящиков выбран первый;
Вп — событие, состоящее в том, что при выборе ящиков
выбран второй;
Л — событие, состоящее в том, что в результате осуществ-
ления последовательности двух экспериментов выбора ящика
и выбора шара выбран синий шар.
События Bi и Вп — несовместимы и их сумма является
достоверным событием, событие А=АВ1+АВ11, следовательно,
мы можем воспользоваться формулой полной вероятности:
7
Р (Л) = P (Bl) Р (Л/Bl) + Р (Вп) Р (Л/Вп);
Р(в,)=-Ь P0/Bi) = —а—;
2 ф
Р(ВП) = 4-; Р(Л/ВП) = —;
2 а2 ф
Р (Д) = %aia& Ф fll^2 Ф
2 (аг ф bi) (а2 «4 ^г)
Эту же задачу можно решить, используя дерево возмож-
ных исходов. Рассмотрим дерево, соответствующее нашей по-
следовательности экспериментов (рис. 2).
Вероятность события А равна
А сумме весов путей, концом кото-
/ рых оно является:
а^/
/ Р (Л) = -----------h
Bj _ 2 , Ох-ф-hi
. 1 Й2 ________ Sgjgg "ф ^1^2 "Ф ^2^1
—~~— А 2 Й2 ф- Ь% 2 (ctj -ф bi) (Ог ф' ^2)
02tb2^^
~2 5. Имеется два ящика с крас-
ок ными и синими шарами: в первом
х. _ ах синих и bi красных шаров, во
х А втором а2 синих и Ь2 красных.
Рис 2 Наугад выбирается ящик, наугад
выбирается шар. Известно, что
вынутый шар синий.
Найти вероятность того, что был выбран первый ящик.
Обозначим события так же, как в задаче 4.
Ситуация такова, что мы можем .воспользоваться теоремой
Байеса:
P(BiM) =
Р^Р^/В,)_________
Р(В1)Р(Д/В1)^Р(ВП)Р(А/ВП) ’
1 ai
Р (Bi/Л) =-------------2 О1^Ь1-----------
1 f 01 «2
2 \ ф Ь\ 4*
Д1 (в2 4- Ь2)
^CliCl2 4“ ^1^2 4“ ^2^1
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I
1. В опыте испытуемый должен нажимать кнопку, если ни
на одном из двух экранов с одновременно высвечивающимися
однозначными цифрами не появилась цифра 5. Пусть А —со-
8
бытие, состоящее в том, что произведение цифр 'на обоих эк-
ранах меньше 10; В — событие, состоящее в том, что иа обоих
экранах появилась цифра 2; С — сумма цифр равна 4.
Пусть известно, что в пяти пробах осуществились события
АВ, АВС, АС, В + С, А+B и испытуемый все пять раз нажи-
мал кнопку. Достаточно ли этих сведений для того, чтобы
признать правильным все пять ответов испытуемого?
2. Раздражитель подается 10 раз. Пусть событие А,
(1=1, 2,..., п) заключается в том, что прй предъявлении г-того
раздражителя наблюдается определенная реакция. Записать
события, заключающиеся в том, что:
а) на первый раздражитель нужной реакции не было;
б) реакция наблюдалась только при предъявлении послед-
него р аз др ажителя;
в) только один раздражитель вызвал реакцию;
г) хотя бы один раздражитель вызвал реакцию;
д) не меньше трех раздражителей вызвали реакцию.
3. На прямоугольном 4Х'5 клеточном поле задаются изоб-
ражения, состоящие из заштрихованных клеток. Пусть A{j
(i, j—1, 2, 3, 4) —событие, заключающееся в том, что клетка
с номером ij заштрихована.
Записать события, заключающиеся в том,
что: ______
а) изображение имеет вид, представлен- ДВ, < Щ
ный на рис. 3; —|—
б) частью изображения является прямо-
угольник размером 3x2 клетки;
в) в первом верхнем углу изображен пря-
моугольник размером 3x2 клетки, больше ——Иг
ничего на поле не изображено; Ив _ ! Л
г) изображение не содержит квадрата раз-
мером 3x3 клетки.
4. Формальный нейрон (рис. 4), включен- Рис. 3
ный в некоторую дискретно работающую ней-
ронную сеть, имеет возбуждающие контакты Ki, Къ, Кз и тор-
мозной контакт /С4. Порог возбудимости равен 2. Пусть А{ —
событие, состоящее в проходе импульса по контакту К,.
Выписать условия возбудимости нейрона как функцию со-
бытий А{ и найти вероятность того, что в некоторый момент
времени to нейрон будет возбужден, если все комбинации со-
стояний контактов в этот момент равновозможны.
5. В одной из проб на сохранность конструктивной дея-
тельности, в пробе Коса, больному предлагают выложить
определенный узор из кубиков. Все кубики одинаковы и их
грани изображены на рис. 5, а.
' Предложен узор из 4 кубиков (см. рис. 5, б).
Больной выложил его правильно.
Имеет ли смысл думать, что он сделал это случайно?
9
6. Указать несколько наборов из четырех карточек с изоб-
ражением букв, для которых вероятность того, что случайно
сложенные из этих букв слова окажутся осмысленными, бы-
ла бы не меньше 0,1.
а
Л,
*3
Рис. 4
Рис. 5
Образец: О, Р, С, Т.
7. В одной из моделей зрительного поиска (Б. Берез-
кин, В. Зинченко. Исследование информационного поис-
ка. Сб. «Проблемы инженерной психологии». М., «Наука»,
1967) предполагается, что в экспериментальных задачах типа
«среди N случайно упорядоченных геометрических фигур
найти все прямоугольники» поиск производится поэлементным
сканированием с объемом фиксации в один элемент, причем
позиции просмотренных элементов запоминаются и глаз к
ним больше не возвращается. Указать вероятность того, что
испытуемый сможет обнаружить единственный прямоугольник
среди 10 фигур менее чем за четыре скачка глаза.
8. Допустим, что сейф открывается путем набора опреде-
ленной комбинации цифр, устанавливаемой в результате
вращения 10 дисков, на которых имеются числа от нуля до
девяти. Реально ли за час открыть сейф способом перебора,
если время набора одной цифры равно 0,1 сек? Изменится ли
эта возможность, если замок устроен таким образом, что при
установке каждого из десяти дисков на нужной цифре раз-
дается щелчок?
9. Предположим, что имеется некоторая совокупность из
т предметов, сравнивая которые наблюдатель может устано-
вить, какой из них лучше, какой хуже. Нужно выбрать наи-
лучший объект в условиях, когда объекты предъявляются по
одному и отвергнутые запоминаются наблюдателем. Нельзя
выбирать в качестве наилучшего объект, который хуже хотя
бы одного из просмотренных или который был уже отвергнут.
Пусть наблюдатель выбрал объект на k шаге, т. е. последний
из k просмотренных объектов. Какова вероятность того, что
10
это действительно лучший объект в совокупности просмотрен-
ных и непросмотренных объектов?
10. Как известно, в психиатрической клинике весьма часто
применяют тесты, выясняющие сохранность у больного спо-
собности к естественным классификациям объектов. Рассмот-
рим один из таких тестов: больному предъявляют четыре
изображения объектов, три из которых связаны в группу (на-
пример, являются изображениями животных), а четвертый к
этой группе не относится, и просят выбросить лишнее изобра-
жение. Сколько раз надо использовать такой тест для того,
чтобы с вероятностью 0,999 быть уверенным в неслучайности
правильного выполнения, если предъявления теста можно
считать независимыми? Что изменится, если в опыте приме-
нять провокационные подсказки, т. е. использовать в качест-
ве «лишнего» объект, связанный с двумя из оставшихся неко-
торым бросающимся в глаза внешним признаком?
11. Пятерым испытуемым в одном и том же порядке предъ-
являют десять одинаковых .зрительных стимулов Дь А2,..., Лю
и предлагают линейно упорядочить их по яркости. Одна из
гипотез о тактике испытуемых состоит в том, что упорядочи-
вание 'случайно.
Показать, что эта гипотеза представляется сомнительной,
если хотя бы у двух испытуемых упорядочивания совпадут.
Предложить другие гипотезы поведения испытуемых и для
них оценить вероятность совпадения упорядочиваний.
12. Имеется набор из трех тестов, проверяющих три неза-
висимых аспекта сохранности интеллектуальных процессов.
С какой надежностью нужно делать выводы о сохранности
отдельных сторон интеллектуальной деятельности, если вывод
о полной сохранности больного относительно данного набора
тестов желательно получить с доверительной вероятностью не
меньшей 0,95?
13. Два возбуждающих входа дискретного формального
нейрона в каждый момент времени возбуждаются независимо
друг от друга с постоянными вероятностями 0,8 и 0,7. Найти
вероятность возбуждения нейрона, если его порог равен 1.
14. Ранжируя образцы ткани согласно субъективному вос-
приятию интенсивности окраски эксперт счел образцы А, В и
С одинаковыми и приписал им ранги i—il, i, i + l наугад. За-
висимы ли события — «Д в данном упорядочивании предше-
ствует В» и «Д предшествует С»?
15. При изучении малых социальных групп иногда прихо-
дится проверять, не описываются ли взаимоотношения в труп?
пе случайной сетью. Случайной же сетью называют следую-
щую структуру: имеется N узлов, от каждого из которых от-
ходят г связей, наугад прикрепляющихся к другим узлам,
причем узел не может быть связан сам с собой и не имеет
ни с каким узлом более одной связи.
11
В одном из экспериментов каждому из 15 школьников,
учащихся в одном классе, предложили назвать имена двух
одноклассников, с которыми испытуемый больше всех хотел
бы дружить. В результате один из мальчиков был выбран в
13 анкетах. Есть ли смысл думать в такой ситуации, что от-
ношения предпочтения в изучаемой группе образуют случай-
ную сеть?
16. Два одинаково метких стрелка по очереди стреляют по
мишени. Каждый имеет право сделать не более двух выстре-
лов. Первый попавший в мишень получает приз. Если вероят-
ность попадания в мишень равна — , то что вероятнее, по-
лучат стрелки приз или нет?
17. Крыса помещается в лабиринт, в точку О (рис. 6):
ч 1) Крыса с одинаковой
роятностью может в узловых
ках поворачивать налево или
право.
2) В точке А находится подкреп-
ление и поэтому вероятность повер-
нуть в сторону точки А в каждом узле
' на в больше.
Рис б После попадания в тупиковую точ-
ку крыса переносится в О.
Какова вероятность попасть крысе в точку А хотя бы раз
за 5 проб, если пробой считать всю пробежку крысы от О до
тупиковой точки.
18. Имеется два набора букв: I — К, И, 3, Н; II —
3, Ч, Н.
Наугад выбирается набор и буква и предъявляются испы-
туемому в течение очень короткого промежутка времени.
Какова вероятность правильного ответа, если отвечать «Н»,
увидев в рисунке буквы вертикальную черточку, и «3», если
этой черточки нет?
19. В сказке об Иване-царевиче и сером волке Иван подъ-
ве-
точ-
на-
о
езжает к камню у развилки трех дорог, на котором написано:
«Налево пойдешь—сам жив будешь, конь падет; направо
пойдешь — конь жив будет, сам погибнешь; прямо пойдешь —
то ли сам умрешь, то ли конь падет, то ли оба живы будете».
Понятно, что человек без коня не менее чем в 40% случаев
все равно после погибнет. По какой дороге следует ехать
царевичу?
20. Обучающая машина-экзаменатор содержит два набора
вопросов: I состоит из 5 трудных и 25 легких вопросов, II —
20 трудных и 10 легких. Машина с заданной вероятностью
выбирает набор, затем случайно выбирает вопрос и предъяв-
ляет его экзаменующемуся. Как нужно задать вероятности
выбора I и II наборов, чтобы использовать в среднем едина-
12
ковое число трудных и легких вопросов, т. е. уравнять вероят-
ности предъявления трудных и легких вопросов.
21. Численность бактерий растет следующим образом:
в каждом поколении каждая бактерия производит с вероятно-
стью 0,25 — ни одной, с вероятностью 0,50—одну и с вероят-
ностью 0,25—две новых бактерии, а затем гибнет. При этом
плодовитость каждой бактерии нисколько не влияет на пло-
довитость остальных. Предположив, что в начале у нас име-
лась только одна бактерия, найти вероятность того, что в
третьем поколении не будет ни
22. Странник идет из неко-
торого пункта О и на каждом
разветвлении дорог выбирает
наугад один из путей. Какова
вероятность того, что странник
попадет в пункт А, если воз-
можные дороги и их разветв-
ления изображены на рис. 7.
23. Некто знает не все эк-
одной живой бактерии.
Рис. 7
заменационные билеты. В каком случае вероятность вытащить
неизвестный билет будет для него наименьшей, когда он тащит
билет первым или последним?
24. Вероятность соответствовать стандарту для изделий
некоторого производства равна 0,95. Предлагается упро-
щенная система контроля, дающая положительный результат
-с вероятностью 0,98 для изделий, соответствующих стандарту,
а для изделий, которые не соответствуют стандарту, с вероят-
ностью 0,05. Какова вероятность того, что изделие, выдержав-
шее испытание, действительно соответствует стандарту?
25. Независимо одна от другой подаются две вспышки
света околопороговой интенсивности. Вероятность воспринять
первую равна 0,8, вторую — 0,4. *
Воспринята одна. Найти вероятность того, что воспринята
первая.
26. Три оператора радиолокационной установки производят
соответственно 25%, 35 и 40% всех измерений, допуская 5%,
4 и 2% ошибок. Случайно проверенное измерение оказалось
ошибочным. Найти вероятность того, что оно принадлежа-
ло третьему оператору.
27. Известно, что в четырех областях мозга, содержащих
примерно одинаковое количество клеток, клетки внимания,
т. е. нейроны, реагирующие на изменение сигнала, имеют -Сле-
дующие удельные веса: I — 5%, II — 15%, III — 18%, IVх-
0,1%. , •
Какова вероятность, заведомо находясь в пределах этих
областей, попасть в клетку «внимания»?
28. Микроэлектродом регистрируется клеточная актив-
ность.
13
С вероятностью 0,6 мы предполагаем, что находимся в
одной из двух соседних структур мозга. Известно, что в ней
60% всех клеток, а в соседней 50% продуцируют некоторый
тип активности, регистрируемый .в данный момент микроэлек-
тродом. Как в связи -с этими наблюдениями изменится наше
Мнение о нахождении электрода в данной области?
29. Формальный нейрон имеет возбуждающие контакты А
и В и тормозной контакт С. Порог возбуждения равен 2.
Известно, что при подаче некоторого раздражителя А возбуж-
дается с вероятностью 0,6; В—0,5; С — 0,4, и все они воз-
буждаются независимо друг от друга. Кроме того, известно,
что в данный момент возбуждены два контакта. Найти веро-
ятность того, что возбудится сам нейрон.
Рис. 8
30. В условиях дефицита времени для опознания испытуе-
мому посредством таХистоскопа предъявляются изображения
из двух классов, представленных на рис. 8.
Классы выбираются для предъявления одинаково часто, а
изображения — случайно и независимо друг от друга. При
предъявлении первого изображения испытуемый успел уви-
деть, что центральное поле было закрашено, при предъявлении
второго — было закрашено больше, чем одно поле. К какому
классу он скорее отнесет предъявленные изображения, если
известно, что оба принадлежат к одному и тому же.
31. Допустим, что мы сдаем экзамен и можем выбрать
любого из трех экзаменаторов; при этом вероятность сдать
экзамен равна для нас 0,1. Пусть один приятель сообщил нам,
что один из этих экзаменаторов очень добр и вероятность
сдать ему экзамен равна 0,4. Мы выбираем наугад одного из
экзаменаторов и экзаменуемся. Какое влияние окажет наш
результат на интересующую следующего экзаменующегося
вероятность того, что мы выбрали доброго экзаменатора?
14
32. По каналу связи может быть передана одна из трек
последовательностей букв: АААА, ВВВВ, CGCC, причем апри-
орные вероятности каждой из последовательностей есть соот-
ветственно 0,3; 0,4; 0,3.
Известно, что действие шумов
на приемное устройство умень-
шает вероятность правильного
приема каждой из переданных
букв до 0,6, а вероятность приема
переданной буквы за каждую из
двух других станет равной соот-
ветственно 0,2 и 0,2. Предпола-
гается, что буквы искажаются не-
зависимо друг от друга. Найти
вероятность того, что была переда-
на последовательность АААА, ес-
ли на приемном устройстве полу-
чена последовательность АВСА.
33. На рис. 9 изображены две схемы с замыкающими ре-
лейными контактами хь х2, Хз, х4. Для каждого реле вероят-
ность сработать при возбужденной обмотке равна р, при
невозбужденной обмотке, спонтанно — q. Все реле срабатыва-
ют независимо друг от друга. При каких р и q вторая схема
оказывается надежнее первой?
Указание: схема абсолютно надежна, если при возбужде-
нии обмоток всех реле цепь замыкается, а при отсутствии
возбуждения всех остается разомкнутой.
34. При каких р и q первая схема из задачи 33 более на-
дежна, чем одно реле?
ГЛАВА II
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Для решения задач этого раздела необходимо уметь рабо-
тать с понятиями случайной величины, функции распред еле-
ния, плотности, уметь вычислять моменты распределения.
Напомним, что под случайной величиной мы понимаем
числовую функцию на пространстве элементарных исходов.
Пусть § — случайная величина, заданная на пространстве ’*
элементарных исходов Q={co}, тогда под вероятностью собы- ;
тия {£<%} понимают вероятность того, что осуществился хотя
бы один из элементарных исходов, для которых g(co)<%.
Функцией распределения случайной величины §, обозна-
чаемой обычно F%(x) или F(x), называется Р {§<%}.
Можно показать, что F(x) —неубывающая, непрерывная
слева функция и limF(x) = 1—limF(x) =0.
X — оо X -» оо
В задачах этого раздела рассматриваются случайные ве-
личины двух типов:
а) случайная величина может принимать конечное или
счетное число значений а\, ..., ап,... с вероятностями
Рь Р2, •••, Рп, а ее функция распределения имеет, соответ-
ственно, конечное или счетное число разрывов: такая случай-
ная величина называется дискретной;
б) случайная величина может принимать все значения из
некоторого интервала или всей прямой, ее функция распреде-
ления непрерывна и везде, кроме конечного множества точек,
дифференцируема: такие случайные величины называются
непрерывными.
В случае, когда существует производная от функции рас-
пределения f(x)=Fz(x), то f(x) называется плотностью слу-
чайной величины. Плотность является неотрицательной функ-
цией. Очевидно, что
х
J f(x)dx = F (х) и
—оо
оо
J f(x)dx= 1.
—оо
16
Для любых а и Ь
ь
P{a<l<b} = F(b)-F(a) = \f(x)dx.
а
.’Средним значением или математическим ожиданием слу-
чайной величины g, обычно обозначаемым Mg, называется ряд
00
Zciipi (для дискретных случайных величин) или интеграл
t = 1
00
fxf(x)dx (для непрерывных случайных величин), если только
они абсолютно сходятся. В противном случае говорят, что
случайная величина не имеет математического ожидания.
Основные свойства математического ожидания:
1) Мс = с; с — постоянная;
2) М(с|)==сМ|;
3) М (| + г)) = М| 4-Мт];
4) если | и т] — независимы, то
М(|г]) = М|-Мг].
называют начальным моментом ft-того порядка,
Л1(|—Af|)ft центральным моментом ft-того порядка.
Центральный момент 2-го порядка называется дисперсией
и обозначается D|. Очевидно, что D|=M(|—M|)2=iMg2—
-(М|)2.
'Основные свойства дисперсии:
1) Dc=O;
2) D(cg)=c2D|;
3) если | и т] —независимы, то D(g+r]) = D|+Dr].
Характеристикой связи двух случайных величин | и ц яв-
ляется их ковариация: Cov(|, ц)=М((|—М|) (н—Мт))].
Удобной мерой связи является нормированная ковариация,
так называемый коэффициент корреляции:
PG,n) = ^^.
Основные свойства р:
1) 1р1<И;
2) если | и т] независимы, тор=0.
Обратное же утверждение неверно.'Известно, что некорре-
лированные 'случайные величины могут быть зависимыми
1 -См. Б. В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. М., Физматгиз,
1961, стр. 177.
2г/а Е. Ю. Артемьев» 17
3) Ip (I. n)l = |p(ciB+&i> M+MI;
4) |p(g,ag+6) I = 1 и если |p| =1, tq T]=ag+6.
Перейдем к рассмотрению схем стандартных задач.
1. Бросается шестигранный кубик с гранями, пронумеро-
ванными от 0 до 6. Пусть со, — исход, состоящий в выпадении
i-той грани, и
1Ю=0;
g(®2) = g(®8) = g(®4) = 2;
1(®6) = £(<»«)= 1.
Найти F3(x), Mg, Dg, P(0,5^g<l,5}.
В нашем случае все возможные исходы эксперимента ис-
черпываются равновозможными событиями пуь w2,..., Юъ-
Тогда
Р {В < 0} — 0;
P{g<l} = P(W1) = 4-;
О
Р{|<2} = Р((й1 + £о6 + ®в) = 4-;
о
Р {£ <С 2 + е} — Р ((Oj + со2 + * • • + 03в) = 1 •
(е>0)
Функция распределения /^(x+l)
изображена на рис. 10.
0 при х<0
у — при 0 < х < 1
/ . ' Л(*) = 6
3 « Л
0 — при 1 < х < 2 6
1 2 3
1 при х > 2
Рис. do
Найдем Mg и Dg.
Рассмотрев попарные разности событий {g<0}, {g<l},
{g<2}, {g>2}, убедимся, что
? _ at 0 12
1 2 з“’
И 6 6 6
Тогда
Mg = 0 • — + 1 • — + 2 • — = 1 —;
6 6 6 3
18
D£ = M£2-(M£)2;
at О 1 4
2 __ __________
1 2 3
pi 6 6 6
M£2=-|-;
о
Найдем Р{0,5<£<1,5}:
P {0,5 < £ < 1,5} = Fg (1,5) - Fg (0,5) = A-
О
2. Известно, что некоторая случайная величина £ распреде-
лена с плотностью
Ш =
acosx при | х | < —-
2
А I 1 Л
О при I х I > —.
Найти константу a, Fg (x), Mg, Dg, Р{0<£< }.
Для определения а воспользуемся следующим свойством
плотности:
оо 2
J Д (х) dx — J a cos xdx = 2а = 1;
—QO _ ТС
2
1
а== —
2
Найдем Fc(x):
*Ч(*)= ]f(x)dx.
—оо
График функции распределения изображен на рис. И.
Л(^) =
0
-y(sinx+ 1)
1
2т/г Зак. 310
при -_<л<-
л
при
19
л
2
М£ =— l*cosxdx = 0;
2 J
Jt
2
л
Jt
2
М^а = -^- J x2cosxdx = 2;
— ZL
2
D| = — — 2 — 0 =
4 4
Л
р{°<^<т} = т? cos^=-v-‘
0
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II
35. В некоторый момент /0 на пульте может с равной ве-
роятностью загореться одна из пяти сигнальных лампочек,
требующих от оператора определенной системы действий
(реакций). Бели сложность реакции на сигнальную лампочку
№ 1 принять за 1, то сложности реакций на лампочки № 2,
3, 4, 5 следует считать соответственно равными 2, 3, 4, 5. По-
строить пространство элементарных исходов, задать случай-
ную величину, характеризующую сложность действий опера-
тора в момент t0, найти ее распределение.
36. Сохраняются условия задачи № 35, но предполагается,
что любая из пяти сигнальных лампочек может с равной ве-
роятностью загореться или не загореться. Если загорелось
несколько лампочек, оператор должен выполнить:
а) указание лампочки с наибольшим номером,
б) указание лампочки, случайно выбранной из числа заго-
ревшихся.
20
Сравнить распределения сложностей реакций в случаях
(а) и (б) с распределением, полученным в задаче 35.
37. Студент знает 20 из 25 вопросов. Экзаменатор задает
ему пять вопросов. Пятерка ставится за 5 правильных отве-
тов из 5, четверка—за 4 из бит. д.
Найти математическое ожидание оценки студента и наи-
более вероятную оценку.
Оговорить ограничения, необходимые для использования
выбранной вами вероятностной схемы.
38. Проводится социологический эксперимент, описанный
в задаче 15. Предполагая, что выборы наиболее авторитетно-
го товарища адекватно описываются случайной сетью, по-
строить для фиксированного лица распределение числа слу-
чаев, в которых он будет выбран. Найти также вероятность
того, что он будет выбран не менее чем половиной товари-
щей и наиболее вероятное число выборов.
39. Решить ту же задачу для случая, когда в группе есть
реальный лидер и все остальные обязательно выбирают его,
а выбор второго предпочитаемого лица делают случайно.
Сам лидер оба выбора делает случайно.
40. Решить ту же задачу для группы, распадающейся на
две равные подгруппы с общим лидером. Выборы внутри
подгруппы случайны.
41. В одном из распространенных тестов, проверяющих
степень обученности, испытуемому каждый раз предлагается
выбирать один, правильный, по его мнению, ответ из четырех
возможных. Пусть такой тест предъявлен 10 раз в случае,
когда ответ угадывается. Чем отличается друг от друга функ-
ция распределения: а) числа правильных ответов, б) разности
числа правильных ответов и числа неправильных, в) отноше-
ния числа правильных ответов к числу неправильных.
Одинаковое ли наименьшее число правильных ответов в
случаях (а), (б), (в) можно признать достаточным для того,
чтобы с вероятностью не меньшей 0,95 утверждать, что ответ
дается сознательно, а не угадывается?
42. Большое число N людей .подвергается исследованию
крови. Это исследование может быть организовано двумя
способами.
1. Кровь каждого человека исследуется отдельно. В этом
случае потребуется N анализов.
2. Кровь k людей смешивается и анализируется получен-
ная смесь. Если результат анализа отрицателен, то одного
этого анализа достаточно для k человек, если же он положи-
телен, то кровь каждого из этих людей приходится исследо-
вать отдельно, и в целом для k человек потребуется /г+1
анализ.
Предполагая, что вероятность положительного анализа
21/,* 21
одна и та же для всех людей (р) и что результаты анализов
независимы, найти:
а) (вероятность того, что анализ смешанной крови людей
положителен,
б) математическое ожидание числа анализов, необходи-
мых при втором способе организации обследования,
в) при каком k достигается минимум математического-
ожидания числа необходимых анализов.
43. В некоторых экспериментах по исследованию зритель-
ного поиска испытуемому предъявляют 10 изображений гео-
метрических фигур (3 треугольника и 7 прямоугольников),
расположенных в ряд в .случайном порядке, и предлагают
обнаружить треугольники. Найти распределение числа изоб-
ражений, которое придется просмотреть до обнаружения
первого треугольника. Предполагается, что испытуемый про-
сматривает изображения подряд и не возвращается к про-
смотренным.
44. Рассматривается одна из моделей зрительного поиска,
описанная в задаче 7. Испытуемому предлагается отыскать
М прямоугольников среди N случайно упорядоченных геомет-
рических фигур. Найти математическое ожидание числа скач-
ков глаза.
45. Известно, что оператор может одновременно активно
удерживать во внимании лишь небольшое число сигналов.
Поэтому при конструировании пультов важно заботиться о
том, чтобы оператор не был перегружен информацией, чтобы
не скапливалась длинная «очередь» требующих реакции сиг-
налов. Нужно также уметь рассчитывать длину этой очереди,
если известен закон появления сигналов.
Пусть сигналы появляются случайно и независимо друг от
друга, причем число сигналов, появляющихся в течение (вре-
мени т, необходимого для осуществления реакции, распреде-
лено по закону Пуассона со средним т, т. е. вероятность
того, что число сигналов (g) будет равно k, P{g=ife} =
= ^-е~к. Оператор одновременно выполняет действие (ре-
k\
акцию), обусловленное только одним сигналом. Найти мате-
матическое ожидание числа сигналов, скапливающихся у
оператора, и среднее время ожидания выполнения сигнала,
если порядок поступления сигналов запоминается. Для про-
стоты считать т единицей времени.
46. Дискретно работающий формальный нейрон, имеющий
порог возбуждения 1, один тормозной (Л) и один возбуждаю-
щий (В) контакт, находится под действием случайной импуль-
сации такой, что контакты А и В оказываются возбужден-
ными или невозбужденными с вероятностью 0,5 независимо
друг от друга и от момента времени. Найти распределение
числа тактов непрерывного возбуждения нейрона.
22
47. Обрабатывая результаты опыта, экспериментатор при-
близил полученное эмпирическое распределение изучаемой
случайной величины распределением с плотностью
f(*) =
при — 2 < х < О
3~~* при 0<х<3
3
О вне этих интервалов.
Доказать, что он ошибся.
48. Плотности распределения случайных величин g и т]
изображены на рис. 12.
Рис. 12
Что больше Dg или Dr)?
В каких ситуациях, связанных с субъективным оценива-
нием стимулов, могут возникнуть подобные распределения?
49. Функция распределения веса грузика, взвешенного на
точных весах с помощью неполного набора разновесков (име-
ются разновески весом не менее 1 г), изображена на рис. 13.
Нарисовать график плотности распределения, найти мате-
матическое ожидание и дисперсию веса грузика.
50. В каком случае вероятнее истратить более трех минут
на ожидание транспорта: если ехать автобусом (интервал
движения 4 мин) или дважды садиться в поезд метро (интер-
вал движения 2 мин).
Указание: учесть, что время ожидания можно считать рас-
пределенным равномерно в интервале (0, длина интервала
движения). Сумма двух независимых равномерно распреде-
ленных случайных величин в интервале [а, 6] распределена с
плотностью
х — 2а
2Ь — х
(6-а)‘
/0
при х < 2а, х>2Ь
при 2а<х<а-)- b
при а + 2Ь
23
При решении задачи воспользоваться графиками плотно-
стей времени ожидания.
51. Отклонения от среднего периода адаптации волокна
limulus распределены с плотностью
о
О
/(*) =
при х < — 40 мсек
при — 40 жек'< х < 40 мсек
при х > 40 мсек.
Найти параметр а, дисперсию этого распределения и наи-
меньший интервал, такой, что вероятность попасть в него
была бы равна 0,95. Нарисовать график плотности.
52. В одной из моделей обнаружения сигналов предпола-
гается, что субъективное представление о величине стимула
является нормально распределенной случайной величиной,
т. е. имеет плотность распределения вида
(*-а)г
/(*) = —'-—е .
а
Непосредственно найти параметры этой плотности для
частного стимула интенсивности А, если известно, что модель
является несмещенной (математическое ожидание субъектив-
ного представления о- величине стимула равно его истинной
интенсивности), а дисперсия распределения равна В2.
53. Имеется два датчика случай-
ных сигналов для звуковой стимуля-
ции. Плотности распределения ин-
тенсивностей звуков, выдаваемых
датчиками, представлены на рис. 14.
Какой из датчиков реже выдает
стимулы, интенсивность которых от-
личается от 60 дб более чем на
15 дб?
54. Напряжения сигнала и поме-
хи на входе приемного устройства
являются синусоидальными величинами одинаковой частоты
с равной постоянной амплитудой. Разность фаз сигнала и по-
мехи есть случайная величина, равномерно распределенная
в интервале (0,2 л). Найти вероятность того, что амплитуда
суммарного напряжения меньше половины амплитуды
•сигнала.
55. В некоторой модели субъективного оценивания стиму-
ла при помощи сравнения с набором равноотстоящих этало-
нов предполагается, что ошибка оценки распределена равно-
мерно на отрезке (0, Д), где Д — расстояние между соседни-
ми эталонами. Согласуется ли модель с действительностью,
если в результате 6 независимых предъявлений стимулов
f д Л \
ошибки их оценки лопали на отрезок (—, —J?
56. При практически абсолютно точной градуировке шка-
лы прибора, имеющей равное расстояние между делениями Д,
выяснилось, что измерения, признаваемые по старой шкале
« Л
равными на самом деле распределены равномерно
в интервале (k, &+Л) с дисперсией ОД. Найти Д.
57. Переменная ошибка радиолокатора (gi) распределена
с параметрами Mgi=O м, V Dgi=ilO м, ошибка оператора,
обслуживающего прибор (£2) —с параметрами Mg2=0 м,
KDg7=20 м.
Найти параметры распределения ошибки системы «опера-
тор— прибор» (ц).
58. Пусть плотность распределения ошибки системы, опи-
санной в задаче 57, имеет вид
/ (х) =---?--ехр /— ——МФЛ где
Е I 2Di) Г
Мт] и Dtj — математическое ожидание и дисперсия ошибки
системы «оператор — прибор».
Что опаснее, появление систематического смещения пока-
заний локатора на т метров или увеличение дисперсии ошиб-
ки оператора на эти же т метров?
59. Две формальные нерв-
ные ячейки Л и В (рис. 15) j _________________-Х \
(тормозной контакт обозначен Y 1 ) А
темным кружочком, возбуж-
дающий — светлым), обладаю- \
щие способностью суммировать ^0 Л
(вычитать) активность пропор- Л —-------------4» ' J В
ционально энергии импульсов.
пришедших через возбуждаю- Рис. 15
щий (тормозной) контакт, на-
ходятся под независимыми влияниями случайных импульсов,
идущих по проводящим путям I и II. Известно, что энергии
импульсов, пришедших по I каналу (g), имеют Mg=ab
Dg='6i, энергии импульсов, пришедших по II каналу (rj)—
—Мт|—«2, Dt] = &2 Зависимы ли активности на вхо-
дах ячеек Л и В?
60. Исследуя распределение длин латентных периодов
сложной двигательной реакции в специально организованных
условиях, экспериментатор заранее знает, что величина ла-
тентного периода не может быть менее h — латентного перио-
да простой моторной реакции и не бывает больше /2 — эмпи-
рически установленной в других опытах константы. Основы-
25
вйясь на этих сведениях, экспериментатор утверждает, что
дисперсия распределения латентного периода не превосходит
(4й)*
Показать, что действительно, даже не зная вида распреде-
ления, можно сделать такой вывод.
61. Известно, что амплитуда некоторого сигнала распре-
делена с плотностью
/(х) =
-4-е 2
/2л
Имеет ли смысл думать, что суммарная интенсивность
пяти таких сигналов превзойдет 2?
Указание: воспользоваться таблицами нормального рас-
пределения.
62. Плотность распределения ошибки измерения темпера-
туры в шкале Фаренгейта имеет вид
= -^ехр{-1,2(Л;-2,ЗН
(х измерено в градусах).
Найти вероятность получения ошибки большей г±0,2° при
измерении температуры в шкале Цельсия.
63. Стержень длины I разламывается в случайно выбран-
ной точке. Вероятность того, что точка разлома попадет на
какую-нибудь часть стержня пропорциональна длине этой ча-
сти. Найти функцию распределения площади прямоугольни-
ка, стороны которого равны получившимся кускам стержня.
64. Некоторое число совершенно сферических мячей, сде-
ланных из однородного материала, при группировке их по
диаметру дает симметрическое распределение. Показать, что
если эти же мячи будут сгруппированы по весу, распределе-
ние будет иметь положительную асимметрию.
ГЛАВА III
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИИ
С ПОСТОЯННЫМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ ИСХОДОВ:
БИНОМИНАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, ЛОКАЛЬНАЯ
И ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМЫ МУАВРА-ЛАПЛАСА, ЦЕНТРАЛЬНАЯ
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА, НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ,
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
Пусть осуществляется п независимых испытаний, каждое
из которых имеет два исхода А и А, причем вероятности этих
исходов не меняются от испытания к испытанию и равны со-
ответственно р и q—1—р. Рассмотрим распределение случай-
ней величины g числа осуществлений события А в п испыта-
ниях: для любого целого
Cnpmqn~m.
Описанное распределение называется биноминальным. Ма-
тематическое ожидание биноминально распределенной слу-
чайной величины равно пр, дисперсия — npq.
При решении задач, связанных с биноминальным распре-
делением, следует обращать специальное внимание на выпол-
нение условий независимости испытаний и сохранения посто-
янства вероятностей осуществления исходов, оговаривать свя-
занные с этим ограничения, накладываемые на реальную экс-
периментальную схему.
Если число испытаний велико, при решении задач следует
пользоваться локальной и интегральной теоремами Муавра-
Лапласа.
Локальная теорема Муавра — Лапласа
В условиях схемы независимых испытаний с постоянными
вероятностями двух исходов, при 0<р< 1, если п->оо и /п->оо
т — пр
так, что х =---—— остается ограниченным, то
Vnpq
27
х*
P{£ = m}------2_ е 2 = * <р(х).
У 2nnpq У npq
Интегральная теорема Муавра — Лапласа
В условиях 'Схемы независимых .испытаний с постоянными
вероятностями исходов, при 0<р<1 и п-^оо
ь *2
Р [а < -т — пр_ < ь\ —>—^7 Се 2 dx
I npq J Y 2л J
равномерно относительно а и Ь\
или, если через
( 1 с вероятностью р
№= { обозначить число
[ 0 с 1вероят,но€тью q
п
появлений события А в &-том испытании, то и теорема
6 = 1
Муавра-Лапласа запишется так:
при п->оо
равномерно относительно а и b (—оо^а, Ь^оо).
Обобщением теоремы Муавра—Лапласа служит централь-
ная предельная теорема.
Если последовательность независимых случайных величин
Иг, Иг,..., Нп при любом постоянном т>0 удовлетворяет усло-
вию Линдеберга:
' п
lim4rX f (х —=
п k=A \x—ak\>xBn
где =2Dm; ah='Mp,ft, то цри «->оо
равномерно 'относительно х.
Если все рд распределены одинаково и имеют конечную
дисперсию, то условие Линдеберга выполняется.
28
—
<p(x) =——e 2 —плотность распределения, к которой
У 2л
сходятся распределения суммы случайных величин, удовлет-
воряющих условию Линдеберга, является частным случаем
плотности нормального распределения: случайная величина £
распределена нормально, если ее плотность имеет вид
(х-а)»
/(х) =----1-=ге 2°' ,
а У 2л
где параметры а и а равны Mg и V Dg.
Эмпирически нормальное распределение следует ожидать
в тех случаях, когда изучаемая случайная величина является
выходом системы, находящейся под суммарным воздействием
большого числа независимых факторов, каждый из которых
оказывает малое влияние на сумму.
При решении задач следует помнить, что асимптотические
приближения, задаваемые теоремами Муавра—Лапласа, дей-
ствуют тем хуже, чем больше вероятность р отличается от 0,5.
В случае, когда р — мало, п->оо, а произведение пр огра-
ничено, имеет место пуассоновское приближение биноминаль-
ных вероятностей:
Р {g = щ] ~ ---
/и!
Рассмотрим теперь такие последовательности п независи-
мых испытаний с двумя исходами, в которых вероятность
исхода А(рп) при и-»-оо стремится к нулю, но так, что
прп—остается постоянным. Тогда для g— числа 'осуществ-
лений исхода А при любом mi
P{g = m} = -^-e-\
ml
Распределение таких случайных величин называется распре-
делением Пуассона. Математическое ожидание пуассоновской
случайной величины совпадает с дисперсий и равно к
Рассмотрим некоторые схемы задач:
1. В ящике имеется 5 синих и 5 красных шаров. Какова
вероятность того, что при 40 независимых выборах с возвра-
щением 7 раз будет выниматься синий щар?
Выборы независимы, вероятность вынуть синий шар посто-
янна, значит g — число появлений синего шара при 10 испы-
таниях распределено биноминальное 10
3 Зак. 310
29
2. В ящике имеется 5 синих и 5 красных шаров. Какова
вероятность того, что при 100 независимых выборах с возвра-
щением 70 раз будет выниматься синий шар?
Тогда, пусть g — число появлений синего шара при 100
испытаниях.
Непосредственно:
Р = 70} = Clo°o (4 V° (4 Y° < 0,0001.
По локальной теореме Муавра-Лапласа:
Р = 70} = 1 <р (А < 0,0001.
/ 100-0,5-0,5 \ 4 5 * /
3. В ящике имеется 5 синих и 5 красных шаров. Какова
вероятность того, что при 100 независимых выборах с возвра-
щением не менее 40 раз будет выниматься синий шар?
Непосредственно:
100
р15>40)=2й»Ш(4-Г‘.
f=40
По интегральной теореме Муавра-Лапласа:
—2 х2
Р {| > 40} = 1 — V -4—е 2 dx^0,98.
У2л
4. В ящике имеется 5 синих и 50 красных шаров. Какова
вероятность того, что при 10 независимых выборах с возвра-
щением 3 раза будет выниматься синий шар?
Непосредственно:
р =з}=с?о (4-)3 (4г)7 °’013-
Используя пуассоновское приближение,
Р {£== 3} 44 6-0,9 ~ 0>011 •
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III
65. В сказке о Василисе Премудрой Иван-царевич должен
был 3 раза подряд угадать Василису среди ее совершенно
одинаковых сестер (всего в семье 12 девушек). Как известно,
Василиса подавала царевичу условные знаки, и поэтому он
выдержал испытание. Слишком ли опасно ему было решиться
на честное угадывание?
30
66. На круге радиуса /? случайно и независимо друг от
друга поставлено п точек. Будем считать проекцию поля зре-
ния испытуемого на плоскость круга тоже кругом с тем же
центром и радиусом г (г<7?).
Найти вероятность того, что не меньше половины всех то-
чек попадут в поле зрения испытуемого?
67. По каналу связи передается сообщение, состоящее из
одного символа. Всего по каналу может передаваться два
типа символов—0 и 1. Вероятность искажения каждого симво-
ла равна 0,3. Для увеличения надежности символ дублируется
несколько раз и ответом признается выходной символ, встре-
чающийся в большинстве случаев. Сколько раз надо продуб-
лировать сообщение, чтобы надежность передачи была не
менее 0,99%? Оговорить условия, при которых применима та
математическая схема, которую вы будете использовать при
решении. Описать графически зависимость надежности пере-
дачи от числа дублирующих символов.
68. Опытный руководитель некоторого коллектива, со-
стоящего из 10 человек, принимает правильные решения в
среднем в 99% случаев, в то время как каждый из его моло-
дых коллег делает это примерно в 70% случаев. Разумно ли
в таком коллективе принимать решения большинством голо-
сов? Обратить внимание на ограничения, накладываемые на
реальную схему, которые будут использоваться при решении
задачи.
69. В одной из областей мозга 60% нейронов продуцируют
некий тип активности. Сколько надо сделать записей (нейро-
нограмм) для того, чтобы с вероятностью 0,9 быть уверенным,
что получена хотя бы одна с нужным типом активности.
70. Что вероятнее выиграть у равносильного противника:
а) 3 партии из 4 или 5 из 8;
б) не менее 3 партий из 4 или не менее 5 из 8;
в) не более п из 2п партий или более п из того же числа
партий;
г) не более п из 2п + 1 партий или более п из того же чис-
ла партий?
71. Трое студентов обсуждают шахматные способности
студентов-математиков. Один утверждает, что большинство
математиков (скажем 90% от общего числа) хорошо играют
в шахматы; второй утверждает, что лишь очень немногие
математики (скажем 10%) хорошо играют в шахматы, а тре-
тий студент думает, что математик с одинаковой вероятно-
стью может оказаться и плохим и хорошим шахматистом.
Студенты условились; что пари выиграет первый из них, если
из 10 студентов-математиков, анализ шахматных способностей
которых они произведут, хорошими шахматистами окажутся
8 или больше математиков: второй — если 2 или меньше, во
3*
31
всех остальных .случаях выигрывает третий. Для каждого сту-
дента найти вероятность того,-что он выиграет пари, если нрав.
72. При проведении телепатического опыта индуктор не-
зависимо ют предшествующих проб выбирает с вероятностью
— один из двух предметов и думает о нем, а реципиент уга-
дывает, о каком. Опыт был повторен 100 раз и было получено
60 правильных ответов. Можно ли приписать полученный
результат чисто .случайному совпадению или нет?
73. В эксперименте требуется определить, какая доля
предъявлений околопорогового раздражителя вызывает у
испытуемого реакцию (какова вероятность того, что предъяв-
ленный раздражитель будет воспринят). Желательно оценить
эту вероятность с ошибкой, не превосходящей 0,1. Каким
должно быть число предъявлений раздражителя, чтобы с ве-
роятностью 0,95 можно было ожидать достижения этого
результата?
Реально ли для таких экспериментов требовать оценки
восприятия раздражителя с ошибкой меньшей 0,005?
74. При планировании многих экспериментов, использую-
щих чередующиеся по определенным законам сигналы, важно
уметь оценивать допустимые пределы колебаний частоты сиг-
налов, генерируемых с постоянной вероятностью.
Пусть у нас имеется последовательность из 400 сигналов
двух типов, предназначенных для последования реакции вы-
бора и генерируемых с вероятностямй 0,3 и 0,7. Найти вероят-
ность того, что частота сигналов первого типа будет заклю-
чена между 0,2 и 0,4. Указать интервал колебаний частоты,
допустимых с вероятностью 0,9.
75. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных
входа. Около каждого из входов имеется свой гардероб.
Сколько мест должно быть в каждом из гардеробов, чтобы в
среднем в 99 случаях из 100 все зрители могли раздеться в
гардеробе того входа, через который они вошли? Предпола-
гается, что зрители приходят парами и каждая пара незави-
симо от других выбирает с вероятностью — любой из входов.
Насколько можно будет сократить число мест в гардеробе,
если зрители будут приходить поодиночке и также независи-
мо друг ют друга с равной вероятностью выбирать любой из
входов?
76. В одном очень большом городе выбрали 900 человек и
спросили их, поддерживают ли они некоторое мероприятие?
Из 900 опрошенных 550 высказались в пользу этого мероприя-
тия, а 350 высказались против.
Будет ли маловероятным, что такое убедительное большин-
ство получено в выборке из 900 человек, если население города
поровну разделяется на тех, кто поддерживает мероприятие
и тех, кто против него, а 900 опросов являются последователь-
ностью независимых испытаний, исходами которых являются
ответы <«да» или «нет», получаемые с постоянными вероятно-
стями. Указать способ выбора 900 человек, при котором вы-
полняется предположение о применимости схемы Бернулли.
В чем состоит неправильность приведенных ниже спосо-
бов:
а) выбираются первые 900 человек из списка празднично-
го торжественного заседания в городском театре;
б) выбираемся наугад 900 фамилий из телефонной книги;
в) выбирается наугад 900 домов и в каждом из них опра-
шивается один человек, причем дома посещаются в первой
половине дня;
г) выбор 900 человек осуществляется правильно, но жите-
ли опрашиваются группами в несколько человек?
77. Как известно, храбрый Портняжка из сказки братьев
Гримм, убив полотенцем семерых мух, сшил себе пояс с
надписью «Одним ударом семерых!» и страшно гордый бродил
по свету. Проверить, насколько заурядным событием является
такое успешное истребление мух, предположив, что стол у
Портняжки имеет размеры 2x2, площадь полотенца 0,25 м2,
на столе сидит 20 мух, они размещены независимо и для
каждой мухи вероятность попасть в заданную область зави-
сит только от площади этой области.
78. |В ядрах мозгового ствола человека глиальный индекс
(отношение числа клеток глии к числу нейронов) равен 29.
Оценить вероятность того, что из 100 исследованных клеток
не менее 6 окажутся нейронами.
79. В известных опытах по исследованию восприятия ста-
тистической структуры последовательностей сигналов
(Е. П. Кр инчик. «(Вопросы психологии», 1968, № 2 и др.)
изучаются реакции на «частые» (предъявляемые с вероятно-
стью порядка 0,9) и «редкие» (предъявляемые с вероятностью
порядка 0,1) сигналы. Пусть генерирование предъявляемых
сигналов можно рассматривать как последовательность неза-
висимых выборов с заданными вероятностями «частого» и
«редкого» сигналов. Поскольку экспериментатора интересуют
особенности реакций на «редкий» сигнал, желательно, чтобы
в каждом сеансе опыта было предъявлено не менее двух
«редких» сигналов. Сколь длинными должны быть последо-
вательности предъявляемых в каждом сеансе опыта сигналов
для того, чтобы это требование выполнялось с вероятностью
не меньшей 0,99? Решить тот же вопрос, когда вероятность
«редкого» сигнала равна 0,05.
80. Имеет место ситуация, описанная в предыдущей за-
даче. Сколько «редких» сигналов должно в среднем прихо-
диться на сеанс опыта, чтобы (вероятность предъявления по-
следовательности, не включающей редкий сигнал, была бы не
33
больше 0,05? Обсудить отличие постановки вопроса от зада-
чи 79. Можно ли использовать полученный в настоящей зада-
че результат для выбора вероятности «редкого» сигнала, если
задана длина последовательности сигналов, постоянная для
всех сеансов опыта.
81. Для того чтобы узнать, сколько рыб в озере, отлавли-
вают 1000 рыб, метят их и выпускают обратно в озеро. При
каком числе рыб в озере .вероятность встретить среди вновь
пойманных 150 рыб 10 меченых будет наибольшей?
82. На пульте управления имеется 10 приборов, которые
требуют внимания оператора в среднем в течение 10 минут в
час. Оговорить условия, при которых, использовав распреде-
ление Пуассона, можно найти вероятность того, что оператор
не сможет обслужить пульт из-за того, что больше чем один
прибор потребует его внимания. Найти эту вероятность. Обсу-
дить реальность выполнения введенных условий и привести
примеры конструкций пультов, для которых эти условия были
бы достаточно естественными.
о
о
о
о
о
Рис. 16
St . А
Рис. 18
83. В одной из схем простейшего перцептрона (Ф. Розен-
блатт. Принципы нейродинамики. М., «Мир», 1965, стр. 116),
изображенной на рис. 16, связь воспринимающих S-элементов
и ассоциативных Д-элементов организована таким образом,
что от каждого S-элемента идет 5 связей (1 возбуждающая
и 4 тормозных), каждая из которых прикрепляется к случай-
но выбранному Д-элементу. Всего имеется 10 Д-элементов и
100 S-элементов. Найти среднее число1 возбуждающих и тор-
мозных связей у произвольного Д-элемента.
84. На рис. 17 изображена схема перцептрона, принцип
устройства которого описан в задаче 83. Известно, что порог
возбуждения Д-элемента равен 3. Найти вероятность того,
что «изображение» SiS2S3 возбудит Д3*. Какова вероятность
того, что хотя бы одно из «изображений» SiSjSk (i, j, k=
= 1, 2, ..., 100; возбудит произвольный Д-элемент?
34
85. В перцептроне (рис. 18) каждый Д-элемент порога 2
связан с 5 наугад выбранными S-элементами, причем 4
из этих связей возбуждающие, 1 —тормозная. Всего имеется
10 Д-элементов и 100 S-элементов. Найти вероятность того,
что «изображение» SiS2S3 возбудит хотя бы один Д-элемент.
86. Рассмотрим уже обсуждавшийся в задаче 15 способ
описания взаимоотношений в малом коллективе, осложнен-
ный тем, что кроме положительных связей («симпатий»)
имеются еще отрицательные («отталкивания»). Назовем че-
ловека нетерпимым ,в коллективе, если число отталкиваний
превышает число симпатий. Будем говорить, что коллектив
хорошо укомплектован, если в нем нет нетерпимых членов, в
противном- случае будем называть его плохо укомплектован-
ным. Пусть ставится эксперимент, подобный описанному в
задаче 15, но каждого из 15 испытуемых просят указать двух
приятных и одного неприятного ему члена коллектива. Найти
вероятность того, что случайное распределение таких связей
создаст иллюзию плохо укомплектованного коллектива.
87. Один исследователь небрежно просматривает 50 слу-.
чайно разложенных записей результатов опыта. Часть записей
свидетельствует о наличии некоторого феномена, но исследо-
ватель об этом не знает. -Внутренняя его установка такова,
что, просмотрев подряд 10 «пустых» записей, он откажется от
дальнейшего просмотра, обнаружив 5 записей подряд с при-
сутствием феномена, он начнет систематический просмотр
протоколов и феномен будет обнаружен, промежуточное число
«успехов» неосознанно настораживает исследователя и он
просто продолжает просмотр. Какова вероятность не обнару-
жить феномен, если он имеется в 60% опытов, причем струк-
тура эксперимента такова, что каждый опыт можно считать
независимым испытанием для обнаружения феномена?
88. В одной из моделей формирования спонтанной актив-
ности мозга предполагается, что на каждом из т уровней
пути образования активности электрический потенциал под-
вержен случайным влияниям, ведущим в конечном счете к за-
тягиванию или укорачиванию длительностей фаз нарастания
(/1) и убывания (1$) амплитуды синусоидального исходного
потенциала. Предполагая, что на каждом уровне Ц и /2 неза-
висимо друг от друга и от номера уровня с -равной вероятно-
стью увеличиваются или уменьшаются на е, найти вероят-
ность того, что: а) асимметрия длительностей фаз (| Zi—/2|)
окажется больше Зе, б) коэффициент асимметрии ( ———
Zi^Zs J
окажется больше 0,1.
89. В конце длительного опыта у 10 из 15 испытуемых сни-
зилась скорость двигательной реакции. Есть ли основания
думать, что опыт утомителен или можно считать наблюдае-
мый факт случайным? У скольких испытуемых должна сни-
35
зиться -скорость реакции, чтобы с -вероятностью 0,95 можно
было настаивать на неслучайности этого события?
90. В некотором эксперименте (опыты Е. П. Кринчик)
испытуемый должен нажимать на кнопку правой рукой, если
зажигается правая лампочка, и левой — если зажигается ле-
вая. Сигнал подается случайным образом по одной из двух
программ: с вероятностью 0,5 — левый, с вероятностью 0,5—
правый; с вероятностью 0,3 — левый, с вероятностью 0,7 —
правый. На ЭМГ регистрируются тонические реакции ожида-
ния. Какую последовательность скорее ожидал испытуемый,
если среди 100 реакций ожидания было 38 правых и 62 — ле-
вых.
91. Алджер (J. Americ. stat, assoc, т. 36, 1941), изучая вы-
бракованные детали, выпускаемые на одном из предприятий,
установил, что почти весь брак (15% продукции) возникает
в результате нарушения верхней границы допуска (т. е. раз-
меры детали выше нормы). Подвергнув анализу целую пар-
тию деталей, он установил, что их средняя величина значи-
тельно отличается от предполагаемой средней, хотя и нахо-
дится в пределах допуска. Наладив станки, он сместил сред-
нее, не изменяя переменные ошибки, и добился сокращения
брака до 2,8%. Показать, что Алджер поступил оптимальным
способом, если известно, что переменные ошибки можно
уменьшить не более чем в 2 раза.
92. Система состоит из оператора и четырех плохо на-
строенных автоматов с распределением ошибки, описывае-
мым нормальным законом с параметрами (0,1; 1) для каждо-
го автомата; ошибка оператора распределена нормально с
параметрами (0,3). Указать 95% границы допустимой ошибки
всей системы, т. е. такой интервал, выход ошибки за границы
которого в данном распределении имеет вероятность не боль-
шую 0,05 (5%). Можно ли сузить эти границы вдвое только
настройкой автоматов снятием средней ошибки или только за-
меной оператора другим с распределением ошибки (0; 1)?
93. Во время дежурства двух операторов, делающих ошиб-
ки согласно нормальному распределению с параметрами
(0 м, .15 м) и (3 м, 10 м), была допущена ошибка в 23 м.
Какого оператора вероятнее подозревать в ее совершении?
94. Предположим, что представление испытуемого о ве-
личине предъявляемых ему линейно упорядоченных стиму-
лов некоторой модальности распределено нормально со сред-
ним равным истинной величине стимула и дисперсией постоян-
ной для всех стимулов. Как далеко надо раздвинуть стимулы
для того, чтобы с вероятностью 0,95 быть уверенным, что
испытуемый их не спутает?
95. Пусть некоторый нейрон разряжается почти ритмиче-
ски, во всяком случае длину межспайковых интервалов мож-
но считать нормально распределенной случайной величиной.
36
С какой вероятностью можно надеяться не встретить интер-
валы длиннее 300 мсек, если известно, что средняя длина меж-
спайковых интервалов равна 150 мсек, а 50% интервалов
имеет длину от 100 мсек до 200 мсек?
96. Оценить дисперсию распределения ошибки измери-
тельного прибора, если известно, что отклонения, полученные
с помощью его измерений, от истинных величин с вероятно-
стью 0,95 не превышают 2 условных единиц и есть основания
полагать, что ошибка распределена нормально.
97. Точность шкалы прибора такова, что при идеальном
считывании его показаний за счет дискретности шкалы возни-
кает ошибка, распределенная нормально с параметрами
(0, О1). Пусть ошибка оператора распределена тоже нормаль-
но с параметрами (0, о2), причем <т2>О1. Требуется повысить
точность работы всей системы. Как разумнее поступить: по-
пытаться сделать шкалу прибора более дробной, точной или
реконструировать шкалу, согласовав ее с характеристиками
воспринимающего аппарата человека и тем самым сократить
его ошибки. Провести необходимые расчеты для данных Ча-
паниса об ошибках радиолокационных установок (ошибки
указаны в выходных величинах — метрах (ог=10 м, <т2=20л«).
Систему надо улучшить так, чтобы 95% ошибок попадало в
интервал, имеющий в 1,5 раза меньшую ширину, чем при ука-
занных <Т1 и 02.
98. В методиках профессионального отбора, диагностики
состояний и т. п. часто пытаются классифицировать испытуе-
мых по группам по некоторому признаку, используя измере-
ния косвенных проявлений этого признака в доступных для
регистрации процессах. Например, известно, что люди с вы-
сокой динамичностью тормозных нервных процессов имеют
в ЭЭГ более высокий «-индекс, чем люди с низкой динамич-
ностью этих процессов (В. Небылицын. Основные свой-
ства нервной системы человека. М., «Просвещение», 1966).
Пусть экспериментатор заметил, что в группе с высокой
динамичностью (группа А) a-индекс редко бывает ниже 70,
а в группе с низкой динамичностью (группа Б) он почти ни-
когда не превышает 70. Поэтому 70 было .выбрано в каче-
стве критерия различения: если a-индекс оказывался боль-
ше 70, испытуемый зачислялся в группу А, если меньше —
в группу Б. Было выяснено, что для группы А «-индекс рас-
пределен нормально с параметрами (79; 10), для группы Б —
тоже нормально с параметрами (60; 8). Найти вероятности
ошибок, совершаемых экспериментатором при использовании
описанного выше критерия: ошибки отнесения испытуемого
к группе Б, когда он принадлежит к А, и отнесения испытуе-
мого к А, если он принадлежит к Б. Показать, что при увели-
чении дисперсии в два раза такая классификация теряет вся-
кий смысл.
37
ГЛАВА IV
ЦЕПИ МАРКОВА
В задачах этого раздела будут рассматриваться только
простые, однородные цепи Маркова — такие последовательно-
сти испытаний с совпадающими множествами возможных
исходов, что вероятность осуществления некоторого исхода в
любом испытании зависит только от того, какой исход осуще-
ствился в предыдущем испытании.
Пусть Ль Л2, Ап— полная система несовместимых
исходов каждого испытания (множество состояний цепи Мар-
кова) и Pij — вероятность осуществления события Ajf если в
предыдущем испытании осуществилось At. Напомним, что
тогда вероятности всех возможных изменений состояния
цепи за один шаг описываются матрицей
fPll Р12 • • • Pin
Р21 Р22 • • • Ръп
•ГС^ —
iPnl Рп2 • • • Рпп)
Рн^О, %Рц=-'1, i, /=1, 2, ... п, которая называется матрицей
перехода за один шаг.
При любом п, пп = л" .
Задание системы, поведение которой описывается простой,
однородной цепью Маркова, сводится к заданию начальных
вероятностей всех состояний системы (роьРог, — роп) и матри-
цы перехода за один шаг (щ).
Принятые в психологической литературе способы описа-
ния вероятностей переходов за один шаг диаграммами и де-
ревьями эквивалентны заданию матрицы переходов; напри-
мер, изображенные на рис. 19 диаграмма и дерево, и матрица
’0,3 0,5 0,2'
Л1 = 0,5 0 0,5
0,5
1
38
задают вероятности переходов за один
же цепи Маркова.
шаг для одной и той
Если для каждого состояния Ак (k=A, 2, ... п) существует
предел рк= limpik(m), (tn — число испытаний), не завися-
т -* оо
щий от i, то соответствующую цепь называют эргодической.
Напомним эргодическую теорему:
если существует такое натуральное число п, что все эле-
менты матрицы лп = л" отличаются от нуля, то для каждого
Ak существует
pk — limpzft(m), не зависящий от I.
т-+9о
Pk называются финальными вероятностями.
Вектор Р= {pi, р2, — рп} находится из уравнений
Рп! = Р
1
Пример:
’0,5 0,25 0,25“
Л = 0,5 0 0,5
0,25 0,25 0,5
- 0,437 0,187 0,375“
Л2 = 0,375 0,250 0,375
0,375 0,187 0,437 _
цепь эргодическая и значит существует вектор финальных
вероятностей P= (pi, р2, р3)
(Р1> Рз< Рз)
/,1+Р2 + Рз= 1-
0,5
.0,5
0,25
0,25
0
0,25
0,25
0,5
0,5
= (Pi, Р2. Рз)-
39
Для компонент вектора Р получаем систему уравнений:
Р1 + Ра + Рз = 1
0,5 pj + 0,5р2 + 0,25р3 = рх
0,5 рх + 0,25р3 =- р2
0,25pi + 0,5р2 + 0,5 pg = р3.
Система имеет единственное решение
Pi = 0,4; р2 = 0,2; р3 = 0,4,
т. е.
Р = (0,4; 0,2; 0,4).
Если из состояния Ai система может перейти в состоя-
ние Aj с положительной вероятностью за конечное число ша-
гов, то говорят, что Aj достижимо из Aj. Состояние Л,- назы-
вают существенным, если для каждого состояния Aj, дости-
жимого из Aj, А{ достижимо из Aj. Если же хотя бы для
одного / Aj достижимо из Aj, а А{ недостижимо из Aj, то
At — несущественное состояние. Состояние называют возврат-
ным, если, выйдя из него, система вернется в него с вероятно-
стью 1 за конечное число шагов. Если же вероятность вернуть-
ся меньше 1, то состояние —невозвратное. Состояние назы-
вают периодическим, если возвращение'В него возможно лишь
за число шагов кратное г>1. .Цепь Маркова называют непри-
водимой, если каждое состояние цепи достижимо из любого
другого состояния.
Полезным для приложений может оказаться обобщение
интегральной теоремы Муавра-Лапласа на случай зависимых
испытаний: пусть имеется последовательность п испытаний,
каждое из которых может иметь два исхода Л и Л, причем
появление успехов описывается цепью Маркова с матрицей с
вероятностью перехода за один шаг
/а 1 —а \
я = I
\₽ 1—Р/
а и Р#=0
и вероятность осуществления Л в начальном испытании рав-
на р,
тогда
Р |а<
т — пр
1+а-Р
ПРЯ 1-а^₽
Z2
2 dz “4“ сэл,
где ори м->оо, (оп->0 р-авномерно относительно а и Ь,
40
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV
Рис. 20
99. Крыса частично изучила лабиринт, изображенный на
рис. 20, а именно: попадая в клетки 4, 5, 7, 8, она движется
прямо по направлению к цели (цель — клетка G), попадая
же в клетки 1, 2, 3, 6, она переходит с равной вероятностью в
любую из доступных ей клеток.
Почему процесс таких переходов
разумно считать цепью Маркова?
Составить матрицу переходов за
1 шаг. Что о ней можно сказать? За
какое минимальное число шагов
можно попасть из состояния 1 в со-
стояние 5? Насколько вероятно за
3 шага прийти из состояния 2 к
цели? Верхний ряд — клетки 1, 2, 3;
второй — 4, 5, 6 и т. д.
100. Пусть каждый человек,
услышавший новость, может передать ее другому, при этом
вероятность изменения смысла на противоположный постоян-
на для всех людей и равна р.
Какова вероятность услышать новость в неискаженном
виде после того, как она «побывала» у большого числа людей?
101. Допустим, что в некотором городе каждый год 4%
жителей переселяются в пригороды, а 1 % жителей пригорода
переселяется в город. Найти окончательное распределение
жителей между пригородом и городом, если можно
считать, что общее число жителей в городе и пригороде
не меняется.
102. Рассмотрим модель перемешивания двух газов: в на-
чальный момент времени газы А и В в двух отделениях со-
суда не перемешаны, в каждом отделении содержится п
молекул одного газа или А, или В. В каждый из последующих
моментов времени из обоих отделений наугад выбирается
молекула и перемещается в другое отделение. Задать цепь'
Маркова, состояниями которой явилось бы число молекул
газа А в одном из отделений сосуда. Показать, что эта цепь
эргодическая и найти финальное распределение молекул.
103. Хорошо известно, что человек способен улавливать
статистические закономерности среды, структуру направлен-
ных на него воздействий. Одним из способов изучения меха-
низма этих способностей служат так называемые модели обу-
чения, которЧе описывают, как человек подстраивается к среде,
в частности, как изменяются реакции испытуемого, вынужден-
ного угадывать тактику экспериментатора.
Рассмотрим одну из простейших моделей обучения
(R. Atkinson, W. Estes, Stimulus sampling theory. Standford,
1962).
41
Пусть
{Ль Л2} — множество ответов;
{£ь £2} — множество подкреплений;
£1 — «ответ Л1 правилен»;
£2 — «ответ Л2 правилен»;
{Со, Ci, С2} — множество представлений о реагировании;
Ci — испытуемый полагает, что правильный ответ
Ль и дает его;
С2—испытуемый полагает, что правильный ответ
Л2, и дает его;
Со — испытуемый не знает, какой ответ правилен, и
с вероятностью-^- выбирает Аг и Л2.
Заданы деревья (возможностей перехода из состояний в
другие состояния за одну пробу (рис. 21)
с постоянниой вероятностью л и
д
причем Е[ дается
л, с, с', с"=/=0.
Найти конечные вероятности состояний Со, Сь С2. Приве-
сти пример ситуации, когда можно предположить возмож-
ность применимости такой модели.
104. Модели, подобные описанной в задаче 103, исполь-
зуются, в частности, при изучении воздействия на человека
социальных шумов. Экспериментально это можно представить
себе так: каждая проба состоит в том, что испытуемый выби-
рает один из пары постоянно предъявляемых ему объектов.
Выбор Л2 является объективно правильным выбором, а выбор
Л1 —нет. Однако с постоянной вероятностью л неправильный
42
ответ подкрепляется (это и является аналогом мешающих
воздействий). Деревья возможных исходов (Полностью совпа-
дают с приведенными «а рис. 21. Как часто будет даваться
правильный ответ Л2? Начертить график зависимости пра-
вильного ответа от л — вероятности мешающего воздействия.
105. Модель Фальманя (FalmaqueP. «Mathematical
Psychology», 1966, № 2) для описания времени реакции на
чередующиеся сигналы имеет вид.
Пусть Ki, п — готовность к i-стимулу в п пробе, а Е», п —
реальная подача ^стимула в п пробе, Ki, п и п могут быть
равны нулю или единице. Предполагается, что Р (Ki,n+i = l)
зависит только от п и Ki, п- Выписываются матрицы пере-
ходов ОТ Кг,п К К», п+1-
Если Е<, п=1 Если Ej,n=0
/1 0 \ /1 — с1 сП
\с 1—с/ . \ 0 1 /.
При условии, что Е{,п подается с постоянной вероятно-
стью л, найти общую матрицу переходов от Ki, п к Ki, n+i и
финальные вероятности Р (Ki—i).
106. Рассмотрим еще одну модель, описывающую «обуче-
ние» угадыванию неизвестной структуры последовательности
сигналов. Пусть эксперимент состоит в том, что испытуемый
должен как можно большее число раз угадать, какое из двух
чисел, 0 или 1, задумал экспериментатор. Такую ситуацию
можно описывать следующей моделью, сформулированной
Эсте (Дж. Кем ей и и др. Введение в конечную математику.
М., «Мир», 1963).
Предполагается, что существует конечное число так назы-
ваемых «раздражителей», мотивов, каждый из которых в лю-
бой фиксированный момент времени связан либо с реак-
цией Ro, либо с реакцией Ал испытуемого.
Существует определенная, не зависящая ни от экспери-
мента, ни от раздражителя вероятность 0 того, что в данном
эксперименте данный раздражитель подействует на испытуе-
мого или будет воспринят испытуемым. Имеется в виду, что
воспринятые субъектом раздражители, связанные с Ro, побуж-
дают субъекта реагировать посредством Ro, а воспринятые
им раздражители, связанные с Rit — реагировать посредст-
вом
Предполагается, что восприятия различных раздражите-
лей образуют процесс независимых испытаний. Предполагает-
ся также, что экспериментатор оказывает на испытуемого
одно из двух возможных «направляющих» воздействий До
или Аь причем испытуемый узнает о выборе экспериментато-
ра лишь после того, как сам выберет, как следует реагиро-
43
вать ему. На большинство экспериментов испытуемый хотел
бы .реагировать посредством Ro, если экспериментатор оказы-
вает воздействие Ло, и посредством Ri, если экспериментатор
оказывает воздействие Ль
Мы делаем два основных допущения.
Допущение 1. Вероятность того, что субъект прореагирует
посредством Ri, (равна доле воспринятых раздражителей, свя-
занных с Ri. Если не был воспринят никакой раздражитель, ,
то предполагается, что ответы Ro и Ri равновероятны.
’ Допущение 2. Если в данном эксперименте эксперимента-
тор выбрал Ло, то все связанные с Rt раздражители из числа
воспринятых становятся связанными с Ro. Если же экспери- <
ментатор выбрал Ль то связанные с Ro раздражители из чис-
ла воспринятых становятся связанными с /?ь
Будем считать, что у нас имеется два «раздражителя» —
s и г. Предположим, что первоначально г обусловливает Ro,
a s обусловливает Ri, т. е. за начальную точку мы принимаем
{r°, s1}.
Верхние индексы 0 и 1 означают, что раздражитель, к ко-
торому они относятся, связан соответственно с Ro или Rt.
С последовательностью таких экспериментов мы можем
следующим образом связать марковскую цепь. Примем за
состояние число раздражителей, связанных в данный момент
с Ri. Таким образом, мы имеем всего три состояния: 0, 1 и 2.
Ввиду того что .все наши вероятности зависят от числа вос-
принятых раздражителей, {г1, s°} и {г®, s1} можно мыслить
как одно и то же состояние. .Это оправдывает выбор нами в
качестве состояния числа раздражителей, обусловливаю-
щих Ri.
Интерпретировать s, г, Ro, Ri, Ло, At в (случае наших экспе-
риментов по угадыванию тактики экспериментатора. По-
строить матрицу переходов за один шаг, если вероятности
выбора «подкрепления» экспериментатором описываются
матрицей
Д> А
Яо/1 о\
ЯДО 1/
Указание: для образца приведен расчет вероятности Pi,i
(рис. 22).
107. Сохраняется ситуация, описанная в задаче 106. Найти
вероятность называния нуля, если в начале эксперимента оба
«раздражителя» были связаны с 0.
108. Известно, что для модели, описанной в задаче 106,
матрица вероятностей перехода за 1 шаг в общем виде запи-
сывается так:
44
((1 — 6)20+1— a 20(1—6)0
±62(1 _a) + _L 0(2 — 0) b (1 — 0)2 + O(l — 0)(l — a) +
02ft 20(1 — 6)6
02a \
+ 6(1-6)(1_b) ±02(l-6) +±0(2-0)a |,
(1 — 0)26+l — b /
где а и b — вероятности из матрицы подкреплений
Ло
/?0/ а 1—а\
RXU— b Ь )'
Вос при я- Выборы Выборы Вероятности _
" Начальные тия испы- испыту- экспери- Новые выборов связей
связи треного емого ментатрра связи
>,20г >
/ а,— [г, s' ] 1? е2
6 / {И -З—^-С-А,—{НУ} е(1-0)
p-ef X
связи не меняются ^ ^2
Рис. 22
Найти вероятность угадывания .в эксперименте, описанном в
этой же задаче, если экспериментатор использует последова-
тельность с равновероятным появлением нуля и единицы, а
подкрепление состоит в том, что испытуемому после его отве-
та сообщают, что было задумано на самом деле.
109. Сохраняются условия задачи 106. Предположим, что
испытуемый -всегда называет нуль. Показать, что если экспе-
риментатор использует последовательность, где вероятность
появления нуля больше 0,5, то испытуемый угадывает в сред-
нем большее число раз, чем действуя по схеме, предсказанной
моделью.
110. Есть основания полагать, что больной с патологиче-
ской инертностью нервных процессов довольно часто (с ве-
роятностью примерно равной 0,9) повторяет предыдущую
реакцию. Пусть исследование состоит в том, что больному
предлагают реагировать посредством (скажем, поднятием
левой руки) на стимул Si (скажем, один удар пальцем по
4S
столу) и посредством R2 (поднятием правой руки) на сти-
мул S2 (два удара пальцем по столу). Тогда матрицы перехода
реакций и стимулов будут иметь вид:
R:
/0,9
\0,1
о,1\
0,9/
S:
а
1-₽
1 —- а\
₽ /
Как 'следует выбирать матрицу переходов для стимулов, что- d
бы минимизировать вероятность появления случайных пра-
вильных реакций, суметь выявить описанную выше патоло-
гическую инертность, если она существует?
111. Допустим, что, (вернувшись после долгого отсутствия <
в родной город, вы решили позвонить по телефону всем своим
старым друзьям и сообщить им о своем приезде. Под руками
у (вас оказались две устаревшие телефонные книги, вас пре-
дупредили, что в одной из них неверно уже около трети всех
телефонных номеров, в другой — четверти, но, в какой имен-
но, неизвестно1. Пусть вы можете избрать две тактики пове-
дения.
1) Книги выбираются наугад. Если при этом указанный в
ней номер нужного вам телефона оказался правильным, вы
продолжаете ею пользоваться, если нет — переходите к дру-
гой книге.
2) При решении вопроса о том, какую книгу использо-
вать, принимаются во внимание результаты двух проб.
В случае «правильный — правильный», «(Правильный —
неправильный» и «неправильный — правильный» книга не ме-
няется. /В случае «неправильный — неправильный» нужно пе-
рейти к другой.
Показать, что использование второй, более сложной так-
тики довольно незначительно увеличивает долю правильных
телефонных попаданий в предпринятых пробах.
112. У больного имеется довольно слабо выраженный
симптом нарушения фонематического слуха: в начале опыта,
в первой пробе, он (симптом) одинаково часто встречается
или не встречается. Если он проявился в некоторой пробе, то
в следующей в 90% случаев уже не проявляется, если не про-
явился, то в трети случаев его следует ждать в следующей
пробе. Как часто в конечном счете будет проявляться этот
симптом? ’
113. Имеет ли смысл усомниться в правильности пред-
ставлений о проявлении симптомов нарушения фонематиче-
ского слуха, описанных в задаче 113, если известно, что в
100 независимых пробах мы обнаружили более 30 нарушений.
114. 'Состояние некоторого гомеостата, подвергающегося
воздействиям, описывается диаграммой (рис. 23).
Показать, что система довольно стабильна: быстро- дости-
гаются финальные вероятности и уже через несколько- отсче-
46
тов времени состояние системы перестает зависеть ют ее на-
чального -состояния.
М5. Формальный нейрон с порогом возбуждения 2 имеет
два независимо возбуждающихся контакта А и В, переходы
состояний которых описываются диаграммами, представлен-
ными на рис. 24.
Рис. 24
Рис. 23
Какова вероятность возбуждения нейрона в некоторый
момент времени, если известно, что в предыдущий момент он
был возбужден?
116. Перед испытуемым находится два табло с синими и
зелеными лампочками. Последовательности зажигания описы-
ваются 'следующими матрицами вероятностей перехода за
один шаг:
Испытуемый должен нажимать на кнопку, если на обоих
табло зажегся зеленый свет. С какой уверенностью он может
пропустить сигнал после двух правильных нажатий подряд
(т. е. с какой вероятностью он может в этом случае ожидать
ситуацию, когда не надо нажимать)?
117. Имеется формальный нейрон с порогом .возбужде-
ния 2. А и В — его возбуждающие контакты, причем известно,
что А в каждый момент времени находится в том состоянии,
в котором элемент В находится в предыдущий момент, а
для В переходы состояний невозбуждения и возбуждения опи-
сываются цепью Маркова
В Н
Найти вероятность того, что в момент t нейрон будет воз-
бужден, если известно, что в момент t—1 был возбужден эле-
мент В.
ГЛАВА V
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ:
СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ, ОШИБКИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО
РОДА, МОЩНОСТЬ КРИТЕРИЕВ
Напомним основные понятия теории проверки статистиче-
ских гипотез1. Пусть Е— {х}— множество исходов экспери-
мента, используемого для проверки гипотезы Но против гипо-
тезы Hi, где статистические гипотезы — некоторые предполо-
жения о распределении изучаемой случайной величины.
Например, имеется измерительный прибор, делающий ошиб-
ки, распределенные нормально с параметрами (0, о). Извест-
но, что подлежащие измерению одинаковые объекты могут
иметь истинную величину сц или «2- Нужно по результатам
измерений решить, какую именно. Проведено п измерений и
получены величины хь х2, ..., хп. Обозначим через g случай-
ную величину, являющуюся результатом измерения. Тогда
статистические гипотезы могут быть сформулированы так:
Но: g распределено нормально с параметрами (аь a); Hi: 2,
распределено нормально с параметрами (а2, о). При проверке
гипотез из множества Е согласно некоторому принципу выде-
ляется подмножество V, такое, что, если исход эксперимента
входит в V, гипотеза Но отвергается. Способ выделения под-
множества V называется критерием.
В нашем примере критерием могло бы быть следующее
условие: если х—ai>-^ф(1—₽), то гипотеза HQ отвергается.
V п
При выборе критической области мы можем допустить два
вида ошибок. Ошибка первого рода возникает тогда, когда
отвергается гипотеза Но, 'если она все-таки верна. Критерии
следует выбирать так, чтобы Р (V/Ho) —вероятность ошибки
первого рода не превышала заранее выбранный уровень.
Ошибка второго рода возникает тогда, когда Но не отвергает-
ся, будучи неправильной. Вероятность ошибки второго рода
зависит от альтернативной гипотезы Hi и равна 1—Р (V/Hi).
1 Немногочисленные задачи этого раздела соответствуют § 59, 60 кни-
ги. В. Л. В а н-д е р-В арден. Математическая статистика. М., ИЛ, 1960.
48
Вероятность Р (V/Hi) называется мощностью критерия
относительно гипотезы Hi.
В нашем примере вероятность ошибки первого рода рав-
на 0, а мощность критерия —
Ф
о
Критерий, имеющий наибольшую мощность среди всех кри-
териев, удовлетворяющих условию Р (У/Яо)^|0, называется
наиболее мощным относительно гипотезы Hi. В случае, когда
f (Х\, х2, ..., хп) и g (хь х2, .... хп) непрерывны (f и g — много-
мерные плотности распределения исходов эксперимента, соот-
ветствующие гипотезам Но и Hi), наиболее мощный критерий
строится следующим образом: гипотеза Но отвергается тогда,
когда отношение U— ~~ не меньше v. При этом критическое
значение v определяется таким образом, чтобы вероятность
ошибки первого рода равнялась 0, где 0 заранее задано.
Функции f (xi, х2, ..., хп) и g (xi, х2, ..., хп) называются
функциями правдоподобия. В случае независимых исходов
эксперимента f (xi, х2, ..., xn)=f(xi) f(x2), ... f(xn).
В нашем примере функции правдоподобия имеют вид
п
f (X) = (2л) 2 О-П ехр f _1_
a2 J
п
g (х) = (2л)" ехр {- ± • 2(*‘7°г)2
\ £ и
и наиболее мощным критерием является критерий вида: Но
отвергается, если х—ai>c, где с = ^-Т(1-0) , т. е. имен-
Vn
но тот критерий, который мы использовали.
ЗАДАЧИ к ГЛАВЕ V
118. Приводится отрывок из книги В. Д. Глезера^
И. И. Цуккермана «Информация и зрение».
«...Теория обнаружения сигналов в зрительной системе,,
упитывающая не только флуктуации квантового потока, но и
флуктуации в нервной системе, была разработана Таннером
и Светсом (Swets, Tanner, 1954). Основные положения этой
теории могут быть поняты с помощью рис. 25. На рисунке по-
казано распределение значений нервной активности.
Эта активность и является сообщением о поступающих
сигналах. Заданной интенсивности сигнала соответствует оп-
ределенное распределение возможных значений нервной
•активности. Возникновение разброса Zq обусловлено нали-
49»
чием шумов в нервном канале. Если бы их не было, то данной
интенсивности светового стимула соответствовало бы фикси-
рованное значение нервной активности.
г,
Рис. 25
Таким образом, кривая
распределения нервной актив-
ности в ответ на применение
стимула определенной интен-
сивности выражает смесь си-
гнала с шумом. Левая кривая
выражает распределение шу-
мов в отсутствии сигнала.
Предполагается для удобства,
что все эти распределения нор-
мальные и имеют одинако-
вые о. Хотя на самом деле это не так, но практически, как
указывают Теннер и Светс, различия не существенны.
Можно ввести понятие порогового критерия zq. Когда зна-
чение z>z0, активность z оценивается механизмом обнаруже-
ния сигнала в зрительной системе как сигнал.
Для фиксированного z0 найти вероятность ошибок первого
и второго 'рода.
Найти zo и мощность найденного критерия при 0 = 0,05.
ст=1 усл. ед.
тш=0 усл. ед.
тс+ш =2 усл. ед.
119. Имеется автомат для точной нарезки стали, который
может настраиваться на выдачу полос заданной ширины.
Известно, что автомат был настроен или на ширину 20 см,
или на ширину 20,2 см. Нарезанные им полосы имели ширину
19,9 см, 20,1 см, 20,2 см, 20,25 см, 20,25 см, 20,25 см, 20,45 см.
Противоречит ли это утверждение тому, что автомат был на-
строен на выдачу полосы шириной 20 см, если о=0,1 см?
Формализовать ситуацию, сформулировать статистическую
гипотезу, построить для ее проверки наиболее мощный кри-
терий.
120. Задача-шутка. Две подруги одного молодого челове-
ка обладают явным несходством характеров. Одна из них
весьма несобрана и момент ее прихода на свидание, назна-
ченное на время t0, равномерно распределен в интервале
(to —20 мин, t0 +20 мин). Вторая, напротив, очень точна
(ошибки ее случайны с дисперсией не больше 6 мин), но
всегда 'сознательно опазывает на 10 мин. Можно ли утверж-
дать, что ожидалась первая, а не вторая подруга, если про-
ждав 18 мин, молодой человек ушел, уверившись в безнадеж-
ности ожидания? Может ли измениться этот вывод при пере-
формулировке 'вопроса: следует ли утверждать, что ожида-
50
лась .вторая, а не первая, подруга, если обстоятельства совпа-
дали с описанными выше? Формализовать ситуацию, сформу-
лировать соответствующие статистические гипотезы, найти
наиболее мощный критерий для их проверки. Что можно ска-
зать о (возможности разделения подобных сильно перекрываю-
щихся распределений?
121. В некотором психологи-
ческом эксперименте исполь-
зуются два «якорных» звуко-
вых стимула. Среди предъяв-
ленных ему стимулов испытуе-
мый должен отметить те, кото-
рые, по его мнению, равны
«якорным». Понятно, что испы-
туемый иногда относит к та-
ковым стимулы с интенсивно-
стью весьма далекой от интен-
сивности «якорных». В нашем
случае можно считать, что
распределение интенсивностей
длина Волны (0 ни л и микронах)'
Рис. 26
стимулов, призываемых испытуемым
субъективно равными
«якорному», нормально со средним, равным интенсивности
«якорного» стимула и дисперсией 10 дб. Как далеко друг от
друга должны быть отставлены «якорные» стимулы для того,
чтобы каждый раз, когда стимул признается равным «якор-
ному» с вероятностью 0,95, было понято, какому именно. Ре-
шение должно быть осуществлено в терминах теории провер-
ки статистических гипотез.
122. Обсудить задачу 98 с точки зрения проверки стати-
стических гипотез. Найти наиболее мощный критерий класси-
фикации.
123. На рис. 26 приведены кривые фотопической (колбоч-
ковой) и скотопической (палочковой) спектральных чувстви-
тельностей. Сколько наблюдений должно быть в выборке,
чтобы критерий для проверки гипотезы ее принадлежности к
«палочковым» порогам, построенный с уровнем значимости
0,95, имел мощность не меньшую 0,75?
ГЛАВА VI
i
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ПАРАМЕТРАХ РАСПРЕДЕЛЕНИИ
Напомним некоторые статистические критерии, используе-
мые при проверке гипотез о параметрах распределений. При
построении каждого из этих критериев предполагается, что
мы имеем дело с выборками из нормальных совокупностей.
Правда, к этому ограничению не следует относиться догма-
тически: при некоторых условиях ряд критериев устойчив к
небольшим отклонениям от нормальности Ч
Проверка гипотезы о среднем значении: пусть Xi, Х2,..., Хп—
независимые результаты эксперимента с распределением,
близким к нормальному. Допустим, надо проверить гипотезу о
том, что Mxf—а. Для проверки этой гипотезы обычно исполь-
зуется t — распределение Стъюдента. Его применение осно-
вано на том, что в случае, когда Х{ распределены нормально,
распределение случайной величины
— п
. х — а — 1 VI
t ------—...- где х = — > xt
не зависит от а и Dxi. Про величину t говорят, что она имеет
распределение Стъюдента с п—>1 степенями свободы. Табли-
цы функции р (z)i=P{|f|>z} имеются в конце книги. Поль-
зуясь этими таблицами, находят такое значение z0, чтобы
р (zo) было меньше заранее выбранного уровня, скажем 5%.
Если окажется, что вычисленное на основании эмпирических
данных |£|^z0, то проверяемую гипотезу отвергают, если же
оказывается, что |f| <z, то считают, что эксперимент не про-
тиворечит (.проверяемой гипотезе, подтверждает ее. Из таб-
лицы видно также, что при п->оо распределение t лишь незна-
чительно отличается от нормального закона.
1 См. В а н-д е рнВ арден. Математическая статистика. М., ИЛ, 1960,
стр. 301.
52
!
Сравнение двух средних: пусть в ситуации двух выборок
Xi, Х2, ...» хп, и yi, у2, уПг требуется проверить гипотезу о
том, что Мх—Му. В том случае, когда дисперсии, выборок
приблизительно равны и распределение выборок близко нор-
мальному, можно опять воспользоваться .распределением
Стьюдента, так как в нормальном случае, когда дисперсии
выборок приблизительно равны, когда Мх=Му и Dx=Dy
_________х — у_________ Г лх ф п2 — 2
V 2(Xi-x)24>2(j//-#___1/
Г nx n2
nt n2
гда
1 1
имеет t распределение c rai+n2—2 степенями свободы и, сле-
довательно, если |/|^zo (t вычисляется так же, как и в слу-
чае проверки гипотезы о среднем значении), то Но отвергается.
В задачах 124—130 обсуждается ряд особенностей примене-
ния критерия Стъюдента в некоторых экспериментальных
ситуациях нЯи при отсутствии полной информации об экспе-
рименте.
При небольшом числе наблюдений имеет смысл пользо-
ваться модифицированным критерием Стьюдента: гипотеза
Но отвергается, если
|f| = 2 |х~у|-
wn^wln
>z0
(ITn, W7/ — размахи выборок),
где zo для заданного уровня значимости находится по
табл. 24.
Модифицированный критерий Стьюдента имеет несколько
меньшую мощность, чем соответствующий критерий Стъюден-
та, но при п< 15 снижение мощности несущественно.
Проверка гипотезы о дисперсиях.
Пусть результаты двух экспериментов Х2,..., хп и
yi, У2, ...Л ут — независимые нормально распределенные вели-
чины с параметрами (ту tri) и (т2, <т2).
Тогда, если 01 = 02, распределение
где Si
®2
-1/ drS**-5’’
53
известно под названием распределения Фишера с (и—1,
т.—1)—степенями свободы, и критерий для проверки Но:
01 = 02 можно сформулировать в виде: Но отвергается, если
и
где Fo обычным способом находится по таблице 23.
Проверка гипотез о вероятностях.
Пусть некоторое -событие наступило х раз в п независимых
опытах и проверяемая гипотеза состоит в том, что постоянная
вероятность осуществления этого события равна р.
Известно, что %2 = • имеет асимптотическое %2
npg
распределение с 1 степенью свободы и, следовательно, Но
отвергается, если х2>%0’ устанавливаемого для заданного
уровня значимости из табл. 22.
Для сравнения двух вероятностей при построении критерия
используют статистику
^2 _ (ХхП2 — Х2П1)2 (ftl -М 2 — 1)
(*1 + Х2) -^П2 — Х1 — Х2) ’
где Xi — число осуществлений исследуемого события в пг- опы-
тах, i — выборки (Но: pi= рг), Xi имеет асимптотическое х2
распределение -с одной степенью свободы.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI
124. При сравнении достоинств двух типов шрифтов для
каждого испытуемого регистрировалось время ti и t2, затра-
ченное на чтение текста заданной длины, напечатанного шриф-
тами 1 и 2. При статистической обработке выяснилось, что
критерий Стъюдента даже по очень большой группе испытуе-
мых не выявляет существенных различий между средними
и t2, в то время как было совершенно ясно, что один шрифт
читается намного лучше другого. Рассмотреть возможные
априорные статистические модели ситуации, объясняющие,
почему при проверке гипотезы о равенстве средних и t2
критерий Стьюдента не выявляет различий, а при проверке
гипотезы об отличии от нуля среднего попарных разностей
t\—12 эти различия тем же критерием выявляются.
125. Фотоэлектрическим способом регистрируются горизон-
тальные «самостоятельные» движения глаз, т. е. движения по
инструкции «максимально быстро переводите взор от одной
крайней отметки на периметре до другой». Записано 30 скач-
54
ков глаза. Среднее время движения слева направо равно
27 мм бумажной ленты, справа налево —32 мм.
Проверить гипотезу о равенстве скоростей движения глаза
оправа налево и слева направо, если первичные записи и
оценки выборочных дисперсий утеряны, но сохранились ре-
зультаты некоторой первич-
ной обработки, состоящей в
том, что начала всех скачков
совмещались, а местополо-
жение конца отмечалось вер-
тикальной чертой. Эти ре-
зультаты приведены на
рис. 27.
126. Группа экспертов
оценивала зернистость кино-
изображений, выполненных
на кинопленках двух сортов.
Материал, переданный для
статистической обработки,
имеющей целью выяснение
сравнительных достоинств
кинопленки, представлен в
табл. 1 и табл. 2.
Сделать искомые вы-
воды.
Указание: при оценке s2
воспольвов аться тождеством
слева - направо:
справа - налево:
10 мм
।-------------1
Рис. 27
2 (х-чМ)2=2 (х—х)2+2 (у—у)2+П1 (х—М)2+п2 (у—М)2, где
где Xi, Х2,..., хЯ1, уь y2i..., Уп2 —две выборки с выборочными
средними хи у и общей средней М.
Таблица 1
Кинопленка КП-567
№ образца Число экспери- ментов Средняя оценка Выбороч- ная дисперсия оценки
1 20 25 6
2 10 23 5
3 10 21 4
4 10 18 4
5 10 22 4
Таблица 2
Кинопленка КП-456
№ образца Число экспери- ментов Средняя оценка Выбороч- ная дисперсия оценки
1 10 21 6
2 10 18 25
3 10 17 5
4 9 17 5
127. Приводятся данные о латентных периодах различения
на слух двух групп пар фонем, приведенных в табл. 3.
Проверить различие в латентных периодах для разных
групп пар фонем.
55
Объяснить, почему применение критерия Стьюдента для
проверки гипотезы о .равенстве средних значений двух групп
не позволяет выявить заметных даже на глаз различий.
128. Регистрируются ско-
рости простых моторных ре-
Таблица 3
Испытуе- мые Латентные периоды для I группы пар фонем (в мсек) Латентные периоды для П группы пар фонем (в мсек)
акций (быстрота нажатия
кнопки в ответ на световой
сигнал) в стрессовых усло-
виях, приводящих к быстро
развивающемуся утомлению.
Задача ойыта состоит в срав-
нении быстроты действий ле-
вой и правой рукой. Сначала
регистрируются скорости на-
жатия правой (6), а затем
левой рукой (/2) • Результаты
А 330 332
Р 340 360
С 315 310
д 205 220
К 150 156
Ф 100 115
п 100 112
изображены на графике
(рис. 28). Крестики означают
время реакции на правой руке, точки—на левой. Почему в дан-
ном случае неразумно сравнивать t\ и /2, хотя критерий Стъю-
дента заведомо обнаружит их различия? Можно ли было по-
ставить эксперимент так, чтобы указанные выше сравнения
имели смысл? Как обработать имеющийся в нашем распоря-
жении материал?
129. Часть отчета о неко-
тором опыте, выясняющем
влияние длительного огра-
ничения мышечной деятель-
ности на поведение человека,
утеряна и сохранилась толь-
ко одна фраза: «Скорость
движения сразу после опыта
или на другой день у шест-
надцати испытуемых замед-
лилась на 10—25%, у трех
человек такое замедление в
первый и второй день после
опыта было особенно боль-
шим—около 50%. Показать,
что указанных данных уже
Номер пробы
Рис. 28
достаточно для утвержде-
ния: наблюдаемые различия неслучайны, так как применение
модифицированного критерия Стьюдента для проверки гипо-
тезы о равенстве средних скоростей движений до опыта и
после него к утерянному первичному материалу позволило бы
с уровнем значимости 0,95 отвергнуть гипотезу о равенстве
этих средних.
130. Пусть имеет место та же ситуация, что и в задаче,
56
Таблица 4
Время, затраченное учащимися на решение задач по конструированию
дополнительных частей куба
№ Класс Время, затраченное на решение задач Среднее время решения одной задачи
1 | 2 1 3 1 4 5
1 X «а» 18'15" 22'10" 15'12" 15'5" 9'30" 16'2"
2 11'10" 13'35" 8'12" 28'5" 17'50" 15'16"
3 16' 11'42" 15'21" не решил 14'21"
4 6' 9'45" 14'55" 16' 6'15" 10'35zz
5 4' 5' 5' 30' 12'35" 11'19"
6 4'6" 5'13" 4'46" 6'32" 5'52" 5'18"
7 22'12" 11'54" 13'30" 25'51" 15'54" 17'53"
8 12' 9' 15' не решила 12'
9 5' 5' 8' 11' 13' 8'24"
10 5' 5' 5'9" 20' 20' 11'
11 6' 4' 7' 8' 9' 6'48"
12 15' 20' 25' не решил 10'19"
13 9' 14' 11' 9' | 8'35" 10'11"
14 XI «б» 11' 9' 12' не решила 9'55"
15 5'7" 2'40" 7'42" 14'30" 19'39" 13'
16 5' 6' 12' 27' 15' 11'48"
17 9' 9' 6' 16' 19' 19'40"
18 17'32" 10'40" 17'51" не решила 16'22"
19 4' 10'00" 20' 33' I 14'50" 8' '
20 8' 11' 5' не решил 11'54
21 19'55" 7'30" 5'14" 14'22" 12'30" 11'10
22 12'16" 9'25" 5'44" 22'25" 6' 10'
23 6'40" 5'22" 12.14" 16'26" 9'02" 7'24"
.24 4' 7' 6' 13' 7' 9'48"
25 7' 6' 7' 14' 15' 17'
26 4' 6' 12' 15' 50' 9'48"
27 6'10" 6'46" 10'16" 14'30" 11'18" 11'48"
28 9'30" 8'20" 5'21" 20'45" 15'5" 6'
29 2' 1'36" 5'10" 15' 6'10" 6'32"
30 4'36" 3'15" 4'20" 13'15" 7'16" 9'30"
31 XI «а» 9' 4' 5' 7' 12'30" 13'6"
32 7'30" 9' 8' 22' 19' 8'12"
33 9'10" 9'8" 6'20" не решила 9'19"
34 6'20" 7'02" 5'40" 18'15" | 1не решила 6'16"
35 5'25" 4' 5'25" 10'30" 6' 12'6"
36 7'55" 7'10" 7'45" 23'40" 14' 8'
37 6' 10' не решил не решил 7'41"
38 3'30" 6'15" 5' 13'10" 10'30" 14'7"
39 8'45" 5'15" 10'20" 32'10" 9' 8'34"
40 4' 5'35" 5'25" 17' 10'50" 7'39"
41 3'40" 4'40" 6'20" 12'45" 10'50" 13'56"
42 11'10" 19'30" 11'20" не решил
43 3'30" 5'30" 4'40" 13' 18'05" 18'57"
44 61 6' 6' 12' 7' 7'24"
45 9' 12' 5' 19' 19' 12'48"
В среднем потрачено времени на решение каж- дой задачи 8'14" 8'14" 8'51" 17'28" 13'17" 11'12"
57
129, .но сообщается следующее: обследование функции внима-
ния до и после опыта с помощью методики «запутанные ли-
нии» показало увеличение времени прослеживания линий
(в среднем на 38% по группе из 5 испытуемых, участвовав-
ших в опытах длительностью 5—И суток). Указать ограниче-
ния, при которых содержащихся в ней сведений окажется до-
статочно для утверждения о неслучайности увеличения вре-
мени прослеживания.
131. В статье Милеряна «Психологические особенности ре- *
шения некоторых конструктивных задач в старших классах
средней школы» («Вопросы психологии», 1964, № 2, стр. 31)
приведены данные о времени, затраченном школьниками на ;
решение каждой задачи.
Можно ли, используя эту таблицу, сказать, что задача 2
сложнее задачи 1? (табл. 4).
132. В работе А. В. Филиппова «Обучение работе на кла-
виатуре наборных и пишущих устройств» (в сб. «Проблемы
инженерной психологии», вып. 4. Л., 1966) описываются два
способа обучения—стандартный, когда при обучении не по-
зволяют смотреть на клавиатуру, и экспериментальный, когда
навыки слепого метода закрепляются зрительным контролем.
С целью сравнения результатов с двумя группами по 18 испы-
туемых был поставлен эксперимент обучения двумя способа-
ми. Испытуемые I группы (старая методика) выполнили
упражнение в среднем за 27 час., с разницей между наилуч-
шим и наихудшим временем в 13,5 час., испытуемые II группы
(экспериментальная методика) за 17 час., с разницей между
наилучшим и наихудшим временем в 6 час. Сделать стати-
стические выводы о различии средних времен выполнения
упражнений для обеих .групп, если известно, что группы до-
статочно однородны и распределение времени выполнения
упражнения мало отличается от нормального.
133. Лингвисты провели несколько серий эксперментов с
целью выяснения влияния способа сообщения значения ино-
язычного слова на надежность его практического употреб-
ления.
I серия—однословный перевод при полном совпадении по-
нятий (слово, означающее часы, переводится как «часы»).
II серия—однословный перевод при несовпадении поня-
тий (слово, означающее хвойное дерево, переводится как
«сосна»).
III серия — многозначный перевод
IV серия — показ картинки
V серия — показ нескольких картинок
VI серия —истолкование выражаемых словом понятий
VII серия — включение слова в небольшой контекст
Результаты эксперимента представлены в табл. 5.
58
Таблица 5
Количество правильно употребляемых слов (в %)
Испы- туемый I II III IV V VI VII
1 97,9 50,0 52,1 60,4 52,1 100 62,5
2 100 52,1 45,8 64,6 60,4 96,9 62,5
3 97,6 50,0 64,3 61,9 83,3 97,6 57,1
4 89,6 52,1 66,7 62,5 60,4 93,7 58,3
5 91,7 58,3 65,3 66,7 55,6 100 68,0
6 92,6 57,4 51,9 66,7 63,0 100 63
7 90,0 53,3 63,3 76,7 78,3 100 61,7
8 92,6 57,4 72,2 68,5 81,5 100 64,8
9 98,6 51,5 54,2 63,9 68,1 98 ;6 65,3
Сделать выводы к э сравнительных достоинствах способов
эксперимента представлены в
Таблица 6
Испытуе- мые Среднее значе- ние числа повторений в опыте Среднее значе- ние числа повторений в опыте
1 3,6 2,6
2 4,8 4,3
3 7,0 3,9
4 4,3 4,0
5 6,4 3,0
6 4,3 3,9
7 5,0 4,7
8 5,2 3,9
9 4,1 4,6
10 6,1 4,4
11 4,2 3,5
12 3,8 3,4
13 3,2 3,1
14 3,8 3,1
15 3,9 3,1
134. В опытах по изучению объема памяти испытуемым
предлагали заучивать последовательности из восьми трех-
значных чисел. В одной серии числа с равной вероятностью
отбирались из 64 известных испытуемому чисел (опыт х), а в
другой серии — из 512 (опыт у). В опытах участвовало 15 ис-
пытуемых. С каждым из них в каждой серии было проведено
по 10 опытов. Результаты
табл. 6.
Значимы ли различия
между двумя рядами полу-
ченных значений числа по-
вторенных чисел или имею-
щиеся расхождения можно
считать случайными?
Можно ли на основании
описанных экспериментов
что-нибудь сказать о зави-
симости объема памяти от
разнообразия, неопределен-
ности, содержащейся в за-
поминаемых символах?
Формализовать ситуа-
цию, сформулировать прове-
ряемые гипотезы, обосновать
выбор статистического кри-
терия. Можно ли при таком
представлении материала
использовать критерий
Стьюдента?
135. Имеются три методики субъективных оценок качества
(например, оценка в баллах общего впечатления от образца,
взвешенная сумма субъективных оценоц заранее указанных
59
аспектов качества образца, невзвешенная сумма таких же
оценок). Пусть оценки нормированы так, что по всем методи-
кам окончательно качество оценивается в баллах от 0 до 10.
Группа, состоящая из 15 экспертов, оценила некоторый обра-
зец следующим образом:
по первой методике: 5, 3, 3, 4, 7, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 3, 3;
по второй методике: 9, 5, 2, 1, 2, 7, 2, 8, 5, 3, 3, 4, 6, 1, 10;
по третьей методике: 4, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 3* 3, 2, 4, 3, 3, 4, 6.
Таблица 7
Испытуе- мые Длины последействий в 1-й серии опытов (в мсек) Длины последействий во 2-й серии опытов (в мсек)
А 116 120
Б 117 119
В 145 118
Г 111 116
д 113 117
Е 106 118
Ж 115 123
Что можно сказать о
сравнительной эффективно-
сти методик, если мы хотим
применить полученные с их
помощью оценки для срав-
нения качества образцов.
Известно также, что оцени-
ваемые образцы достаточно
однородны в том смысле,
что разброс оценок экспер-
тов не может сильно коле-
баться от образца к об-
разцу.
136. С правой руки ис-
регистрируется электромиограмма. В 1-й серии
как
пытуемых
опытов испытуемый должен, услышав звуковой сигнал,
можно быстрее сжать резиновую грушу и опустить ее сразу
после того как звук прекратится. Во 2-й серии опытов испы-
туемый должен делать то же самое, но он слышит в наушни-
ках шум своей мышцы, что
Таблица 8
№
опыта
Время опозна-
ния одного
начертания
цифры 7
Время опозна-
ния другого
начертания
цифры 7
1
2
3
4
5
б
7
8
18
20
22
24
17
21
19
22
17
17
24
26
15
22
17
27
согласно гипотезе экспери-
ментатора служит дополни-
тельной коррекцией его дей-
ствий. Результаты опытов
представлены в табл. 7.
Есть ли различия во вре-
менах последействий в -обыч-
ных опытах и опытах со
звуковым контролем?
137. Используя табл. 8,
решить вопрос о существо-
вании реальных различий в
трудности опознания циф-
ры 7 при разных ее начер-
таниях.
138. При определении положения цели два оператора ра-
диолокационной установки допустили следующие ошибки
(в метрах}:
60
1-й оператор: —35; —28; —23;—17; — 11; —8; —8; —7; —6;
—5- —4; —3; —3; _3; —2; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 4;
5; 13; 15; 19; 33; 77.
2-й оператор: —11; —7; —5; —5; —4; —3,5; —3,5; —8; —2;
—2; —2; —1; —0,5; —0,5; —0,5; 0; 1; 1; 1; 1?
1;2;2;3;3;3;3;4;5;20. . ....
Какой оператор работал точнее?
139. Экспериментально проверяется одно из положений
модели Терстоуна, а именно, гипотеза о том, что ошибка при
опознании стимула имеет дисперсию, не зависящую от интен-
сивности или другой физической меры стимула. Стимул интен-
сивности 10 усл. ед. оценивается как 9, 9, 8, 10, 12, 13, 10, 10.
Стимул интенсивности 20 усл. ед. оценивается как 15, 16, 17,
23, 22, 20, 21, 24, 27.
В пользу проверяемой гипотезы или против нее свидетель-,
ствуют приведенные факты?
140. В табл. 9 приводятся данные о нарушении симуль-
танных и сукцессивных синтезов при поражении передних От-
делов мозга (А. Р. Лурия. Мозг человека и психические
процессы. М., Изд-во АПН РСФСР, 1963, стр. 107).
Даблиица 9
Сохранно
Нарушено
Симультанные Сукцессивные синтезы
пространственный гнозис понимание логи- ческих граммат. отношений нарушение раз- рядного строения числа выполнение ритмов серийные дейст- вия удержание серий ' ритмов
40 40 40 20 16 23
0 0 0 20 24 17
Статистически подтвердить .вывод о том, «что поражение
передних отделов головного мозга и в первую очередь его
лобно-височной области действительно сопровождается гру-
бым распадом синтезов элементов в последовательные ряды,
оставляя синтезы элементов в симультанные группы сущест-
венно незадетыми».
141. В связи с проверкой гипотезы о нарушении вероятно-
стного прогнозирования при разных формах шизофрении у
здоровых и у больных с различными формами шизофрении
проверялось наличие иллюзии Шарпантье (в оптическом ва-
рианте опытов). Результаты представлены в табл. 10.
4 Зак. 310
61
Таблица 10
Общее Иллюзия Иллюзии
количество испытуемых есть нет
Норма.........................
Ядерная форма шизофрении . . .
Параноидная форма.............
Периодическая форма...........
49 41 8
34 9 25
40 21 19
14 8 6
Установить различия в проявлении иллюзий:
а) между группой здоровых и больных; *
б) между группами больных с различными формами шизо-
френии.
142. В табл. 4 приведены времена решения конструктив-
ных задач группой школьников старших классов. При помощи
дисперсионного анализа высказать суждения о различиях в
трудностях предъявленных задач. Обсудить самую возмож-
ность применения дисперсионного анализа.
ГЛАВА VII
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН. ЗАДАЧА ДВУХ ВЫБОРОК
Проверка гипотез о характере распределения с помощью
критерия х2-
Пусть имеется п реализаций случайной величины |. Надо
проверить гипотезу о том, что функция распределения | есть
F% (х). Для проверки этой гипотезы область возможных зна-
чений g разобьем на 5 частей. Обозначим: рг (/=1, 2,... ,s)—
вероятность попасть в /-тую часть, а — число реализаций,
попавших в /-тую часть. Тогда величина
2= И» — «Р»)2
fipi
имеет при больших п приближенно х2‘Ра'спР'еДелвние с 5—1
степенями свободы. Так же как и в случае с /-распределе-
нием, пользуясь таблицами, помешенными в конце книги,
находят критическое значение х2 ЯР- Если окажется, что
гр, проверяемую гипотезу отвергают, а если окажется
Х2<х2 ГР — принимают. Иногда п-роверямая гипотеза состоит
в том, что распределение (х) принадлежит некоторому
классу распределений, зависящему от I параметров, причем
параметры оцениваются по выборке. В этом случае х2 имеет
приближенно х2-распределение с s—I—1 степенями свободы.
Если мы с помощью критерия х2 проверяем гипотезу о том,
что -случайная величина £ имеет нормальное распределение, и
при этом математическое ожидание и дисперсия £ оценивают-
ся по выборке, то надо использовать х2-раопределение-с s—3
степенями свободы.
Прикидка нормальности распределения.
В эмпирических задачах довольно часто возникает необхо-
димость ориентировочной прикидки характера распределений;
очень или немного отличается оно от нормального. При этом
чрезвычайно удобно пользоваться вероятностной бумагой
(см. рис. 29). На вероятностной бумаге нанесена неравномер-
ная шкала, полученная в результате преобразования обычной
4* 63
шкалы р по формуле y-'ty(p)—преобразования, «выпрям-
ляющего» функцию нормального распределения: на вероят-
ностной бумаге функция нормального распределения являет-
ся прямой.
Прикидка осуществляется так: по экспериментальным ре-
зультатам вычисляются накопленные частоты, строится кум-
мулята и если точки плохо
ложатся на прямую, то есть
основания сомневаться в нор-
мальности изучаемого распре-
деления. По полученной кум-
муляте легко обычными спо-
собами составить суждение о
примерных значениях т и о.
Более громоздким способом
является оценка асимметрии
и эксцесса и сравнение полу-
ченных значений с теоретиче-
скими оценками квадратиче-
ского отклонения
<4 =
c(n—1>
(пф1)(п-ф-3)
°Ek
24n(n —2)(п —3)
(л—1)2(пфЗ)(п4-5)’
где п—число наблюдений соответствующих оценок для нор-
мального распределения *.
s Задача двух выборок.
' Пусть результатами наблюдений являются g+h—n неза-
висимых 'случайных величин: xit х2,..., xg и уи у2,..., уь и
пусть все Xi наблюдаются в одинаковых экспериментальных
условиях, т. е. можно предположить, что все они имеют оди-
наковые функции распределения. Такое же предположение
мы будем делать и относительно у^ Допустим, что наблюдает-
ся некоторое различие эмпирических распределений х и г/;
например, все х могут оказаться больше, чем у, или область
рассеяния х может быть шире области рассеяния у. Спраши-
вается, является ли различие эмпирических распределений
следствием различия истинных распределений или же оно чи-
сто случайное?
Нулевая гипотеза Но, подлежащая проверке, утверждает,
что все х и у имеют одинаковые функции распределения и,
значит, наблюдаемое различие эмпирических распределений
является чисто случайным. Однако при этом мы не должны
1 См. Н. Смирнов, И. Дуни н-Б арковский. Краткий курс тео-
рии вероятностей и математической статистики. М., Физматгиз, 1965.
64
делать никаких специальных предположений о функции (рас-
пределения х и у.
Рассмотрим несколько непараметрических критериев.
Гипотеза о согласии эмпирической функции распределения
с теоретической может быть проверена с помощью критерия
Колмогорова. Пусть Dn = Sup|Fn(x)—Теорема Колмо-
горова утверждает, что при п->оо
' 0 при х < О
P{/nD„<x}^7<(x) =
(—l)^g-2Vxs При х^>0.
х=о
Задаваясь уровнем значимости 1—е, мы по таблицам функ-
ции К(х) находим значение хЕ так, чтобы
Р{]/nDn >х8} < е.
Вычислив теперь по имеющейся выборке ]/ nDn, сравниваем
его с х8 и в случае К nDn^xe отвергаем гипотезу Но-
Гипотеза о принадлежности двух выборок одной совокуп-
ности проверятся, в частности, с помощью критерия Смирно-
ва. Пусть имеются две выборки Xi, Х2,..., X; и_£/ь у2, уп с
эмпирическими функциями распределения-Гг(х)_ и Fn(y).
Но: все х, и у, распределены одинаково и Fi(x) —Fn(y). Ве-
личина
sup | Fi (x) — F„ (x) I
— O0<x<00
имеет асимптотическое распределение, совпадающее с распре-
делением критерия Колмогорова, К(х) и критерий использует-
ся так же, как и критерий Колмогорова.
Пусть наблюдаемые х, и у{ расположены в порядке воз-
растания их величины. Если отбросить индексы, то получи^
последовательность, состоящую из букв х и у, например,
уухухуухх
(1)
Если в этой последовательности х появляется позднее не-
которого у, то говорят, что имеется одна инверсия. Например,
последовательность (1) содержит 15 инверсий, так как пер-
вый х образует с двумя предшествующими у две инверсии,
второй х образует три инверсии и оба последних х—по пять
инверсий.
Согласно критерию Вилкокоона, нулевая гипотеза отвер-
гается, коль скоро количество' инверсий U превосходит грани-
цу U$. Граница t/р .выбирается таким образом, чтобы в слу-
чае, если нулевая гипотеза верна, количество перестановок с
числом инверсий U>U$ не превышало £н!
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VII
143. На рис. 30 приведена гистограмма одномерного' рас-
пределения амплитуд ЭЭГ. Известно, что для ее построения
25 354555657585 fiV
Рис. 30
было использовано 100 независимых замеров амплитуд. Сде-
лать выводы о возможности апроксимации гистограммы плот-
ностью нормального распределения.
Таблица 11 144. При измерении роста 359 школьников получены ре- зультаты, представленные в табл. 11. Можно ли предполагать, что распределение школьников
Рост, см Число школьников данного роста
173 1
172 171 170 3 11 по росту мало отличается от
11 14 нормального?
169 17 Указать примерные значе-
168 47 ния /Л И О'.
167 166 53 50 145. На рис. 31 приведена
165 44 гистограмма распределения
164 41 ошибок, допускаемых операто-
163 26 ром радиолокационной уста-
162 161 160 19 11 новки при оценке расстояния
11 13 до цели (А. С h а р a n i s.
159 4 «Journal of psychology», 1951,
158 2 № 30). Можно ли эту гисто-
157 156 2 1 грамму апроксимировать нор-
1 мальным распределением?
66
146. Приводятся длины интервалов между разрядами ней-
рона зрительной коры кролика в мсек: 200, 8, 14, 53, 256, 56,
74, 35, 23, 19, 39, 15, 11, 18, 63, 19, 30, 30, 15, 5, 13, 50, 25, 4,
42, 26, 16, 46, 36, 27, 50, 10, 130, 70, 43, 5, 45, 2, 8, 19, 44, 54,
49, 32, 55, 53, 47, 73, 11, 58, 121, 144, 53, 265, 9, 57, 75, 108,
65, 14, 11, 7, 98, 140.
Имеет ли смысл считать распределение этих длин близки-
ми к нормальному?
Привести пример ситуации, *в которой следует ожидать
нормального распределения изучаемого- параметра.
147. Можно ли считать пуассоновским распределением чи-
сла разрядов некоторого нейрона, -если результаты измерений
имеют вид, представленный в табл. 12?
Для построения таблицы было использовано 260 отрезков
записей нейронной активности длиной 500 мсек. Регистриро-
валось число спайков в каждом отрезке.
Таблица 12
Количество спай-
ков в одном
отрезке записи
Число отрезков
записи с данным
числом спайков
0,15.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
>10
6
20
38
53
53
41
27
14
5
2
1
20 00 60 80 100 120 100
Длины межспайковых интерва-
лов § мсек
Рис. 32
148. На рис. 32 приведена гистограмма межспайковых ин-
тервалов спонтанной активности одиночного спинального1 со-
единительного нейрона. Число наблюдений равно 391. Пока-
зать, что приведенные данные согласуются с апроксимацпей
гистограммы плотностью вида
/(х)==е-ах, (х>0).
Найти константу этого распределения. Показать, что число
разрядов описанного нейрона, попадающих в некоторый ин-
тервал, распределено по закону Пуассона, если межспайковые
интервалы действительно распределены с f(x) =
149. На рис. 33 представлено распределение времени про-
изнесения иноязычных лексем при разных методиках предъяв-
ления слова или объекта, которому надо сопоставлять лексе-
67
му. Вычертить гистограммы и сравнить распределения на
предмет выяснения их однородности.
Рис. 33
150. На рис. 34 приведены гистограммы уровня асимметрии
длительностей фаз ЭЭГ, усредняемого по пятисекундным ин-
тервалам (Дб сек ) при обычном бодрствовании и вовремя
Рис. 34. I — состояние бодрствования (225 сек=45 отрезков ЭЭГ);
II—состояние сонливости (225 сек=45 отрезков ЭЭГ)
развития сонливости (А. А. Генкин. Сб. «(Проблемы инже-
нерной психологии». Л., ст>р. 193). Сделать выводы о различии
распределений.
ГЛАВА VIII
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О СВЯЗИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Напомним некоторые способы установления статистиче-
ской связи случайных величин:
Пусть хь Х2,..., хп и i/i, у2,..., уп —две выборки из нор-
мальных совокупностей X и У (здесь требование нормально-
сти весьма существенно!) и
п
(xi — xy-^iyt — yy
L г=1
выборочная оценка коэффициента корреляции, тогда статисти-
чески значимое отличие г от нуля может пониматься как на-
личие связи X и У. Невозможность отвергнуть гипотезу г=0
трактуется как некоторое указание на независимость X и У.
(Следует помнить, что если распределение X и У отлично от
нормального, то из некоррелированности не следует незави-
симость.)
Проверка гипотезы об отличии от нуля коэффициента кор-
реляции: в том случае, когда нормально распределенные слу-
чайные величины X и У некоррелированы и г — выборочный
коэффициент корреляции, построенный по .парам наблюдений,
величина
t = — Г ~ • -Vn — 2,
V1—г2
где г — выборочная оценка коэффициента корреляции имеет t
распределение с п—2 степенями свободы. Если окажется,
что /|>£о, то гипотезу о том, что X и У некоррелированы,
отвергают.
Используя сведения о том, что преобразование Фишера
от г
69
2 1 —г
является нормально распределенной 1случайной величиной с
<Jz = —-— и М = — In —--р 4--------, где
п — 3 z 2 1 —р 2(n— 1)
р — истинный коэффициент корреляции,
г — выборочный коэффициент корреляции,
п — число наблюдений,
можно проверить гипотезу о соответствии выборочных коэф-
фициентов корреляции и и Гг одинаковым значением р.
При невозможности количественной оценки измерений
(см., например, задачу 155) для установления связи можно
пользоваться коэффициентом ранговой корреляции.
Если хотят проверить зависимость двух таких качествен-
ных признаков, то рассматривают выборку из « независимых
индивидуумов и каждому индивидууму приписывают два по-
рядковых номера, соответствующих двум данным признакам.
Из этих порядковых номеров можно построить коэффициент
ранговой корреляции.
Пусть п индивидуумам по двум сравниваемым признакам
приписаны порядковые номера 1, 2,... Сначала, для того чтобы
арифметическое среднее равнялось нулю, 'мы из этих номеров
пф 1 л
вычитаем —1—, а затем все результаты удвоим и обозначим
их В (для первого качественного признака) и г] (для второго
качественного признака); £ и г| выражаются целыми числа-
ми. Такой порядковый номер индивидуума (| или т]) равен
k—I, если по данному признаку этот индивидуум превосхо-
дит I других индивидуумов и при этом его самого превосхо-
дят k индивидуумов.
Коэффициент ранговой корреляции 7?, по Спирмену, опре-
деляется формулой R = —, где 0=2^2=2т]2.
Для вычисления R удобен следующий способ. Применим
обычную нумерацию от 1 до п и для каждого индивидуума
вычислим разность d порядковых номеров по обеим призна-
кам. Тогда
6Sd2
R = 1------------------.
п (п — 1) (п 4-1)
Если признаки независимы, R распределен нормально с
параметрами
1
n—1
яр(1-Р)
Отсюда, если |/?| = у------- , то гипотезу независи-
мости качественных признаков 'следует отвергнуть.
70
Пусть снова .имеется п индивидуумов, упорядоченных по
двум качественным признакам. Для каждой пары индивиду-
умов (i, /) мы определим 'функцию, принимающую значения
+ 1, если порядковые номера одного1 индивидуума превосхо-
дят соответствующие порядковые номера другого индивиду-
ума, и —1 в противном случае. Эта функция для пары инди-
видуумов (i, /) равна произведению (х<ц соответствует
одному признаку, Ун — другому).
Пусть 3=2хцуц; Хц=±\1, у^=±1; тогда Т => —
коэффициент Кендала.
Пусть Р — сумма совпадений знаков, тогда 3 представ-
ляет собой сумму Р величий, равных +1, и С*—Р величин,
равных—<1, т. е.
4Р
п (п — 1)
Если признаки независимы, то Т распределен нормально
/п , / 2(2п-Ь5) \
с параметрами I О, I/ —-—!—— I и критерии для проверки
\ у 9п(п— 1) J
гипотезы Т—0 строится так же, как и для коэффициента
Спирмена
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VIII
151. Требуется высказать суждение о сравнительной эф-
фективности методик (Профессионального отбора поступаю-
щих в летное училище. После исследования по Таблица 13
каждой из методик испытуе- Учебные
мый получал оценку, являю- Исп. I методика И методика полеты
щуюся суммой баллов за —
выполнение каждой пробы, А. 111 57 30
входящей в методику. Б. 98 60 27
Учебные полеты оценива- т. 96 62 28
лись по этому же принци- М. т. 94 80 13 38 23 20
пу. п. 76 45 19
Результаты представлены р. 76 48 24
в табл. 13. к. 75 47 22
152. В табл. 14 указы- л. А 74 7q ' 58 11 18 17
вается некоторым образом А. 1 О 11 11
нормированное число оши-
бок, сделанных при воспроизведении на слух некоторых типов
гласных звуков. Сделать статистические выводы о независимо-
1 Подробное изложение теории ранговой корреляции можно найти в
§ 70 71 в кн.: В а н-д е р-В а р д е н. Математическая статистика. М., ИЛ,
1960.
71
сти относительных трудностей воспроизведения от индивиду-
альных особенностей испытуемых.
Таблица 14
Тип ошибки I II Ш IV
Испыт.
1 2 2 2 5
2 4 19 34 24
3 0 2 3 3
4 0 4 3 5
5 1 2 6 3
6 0 5 5 7
7 2 2 6 6
8 0 0 1 2
9 3 12 14 4
10 2 18 25 8
153. При обработке кривых, регистрирующих движения
глаз, способом, описанным в журнале «Вопросы психологии»,
1964, № 5, кроме приведенных в статье параметров сначала
использовался еще один—средняя длина периода самостоя-
тельных движений. Оценки, полученные за степень стандарт-
Таблица 15
Оценки стандартности и средних
периодов произвольных движений
глаз у больных с премоторными
поражениями
Оценки в баллах нестандартности движений глаз (Xi) Оценки в баллах среднего периода произвольных движений (Х4)
3 4
5 2
3 3
2 5
4 3
4 2
3 3
3 3
5 2
4 3
3 2
2 4
3 2
4 3
ности произвольных движений
(Xi) и за указанный параметр
(Х4), представлены в табл. 15
и табл. 16.
Таблица 16
Оценки стандартности и средних
периодов произвольных движений
глаз у здоровых испытуемых
Оценки в баллах
нестандартности
движений глаз
(Xi)
Оценки в баллах
среднего периода
произвольных
движений (Х4)
1
1
1
2
2
1
1
2
1
1
3
2
2
2
1
3
3
3
5
4
Почему было разумно отказаться ют использования этого
параметра?
72
154. В медицинских задачах достаточно часто возникает
ситуация, когда степень выраженности того или иного симп-
тома весьма трудно оценить числом, но зато вполне возможно
цроранжировать исследуемую группу больных по этому при-
знаку. Рассмотрим одну из таких задач.
Можно ли думать, что апраксия одевания и затруднения
в выполнении пространственных рисунков, часто проявляю-
щиеся при правосторонних поражениях задних отделов голов-
ного мозга (у правшей), действительно входят в один синд-
ром, т. е. связаны между собой, если присвоенные больным
ранги представлены в табл. 17.
Таблица 17
Таблица 18
Больные
Ранг при упо-
рядочивании
по степени
проявления ап-
раксии оде-
вания
Ранг при упо-
рядочивании
по трудностям
в выполнении
рисунков
Сигналы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
10
7
8
3
2
11
4
5
6
9
1
9
6
10
3
1
11
4
5
7
8
2
Предмет в натуре
Цветной рисунок
Светотеневой рисунок
Контурный рисунок
Слово
0,4
0,9
1,2
2,5
2,8
100
76,5
55,1
27,5
16,3
Явилось бы отсутствие -статистически значимой связи до-
статочным аргументом в пользу того, что симптомы не входят
в общий синдром?
Предложить априорную модель ситуации для -случая, когда
таких суждений делать нельзя.
155. В табл. 18 приводятся данные о 'влиянии плотности
изображения на латентный период и величину условно реф-
лекторной реакции.
Непосредственно найти вероятность того, что такое совпа-
дение упорядочиваний латентных периодов и силы реакций
может появиться 'случайно, при отсутствии статистической
связи упорядочиваний.
156. Приводятся данные о продолжительности ознакомле-
ния (в сек) и 'времени воспроизведения (в сек) системы про-
странственных линий.
Ознакомление: 2,5 1,9 3,7 2,0 4,3 2,4 2,3 4,8 1,7 3,2 3,6 2,3 4,9
1,8 2,8 4,0 1,8 3,0 2,4 4,5 2,3 3,4 2,0 2,5.
Восприятие: 3,2 1,5 2,4 3,6 4,5 3,0 3,1 4,2 2,9 3,5 4,0 3,0 4,3 2,5
2,9 3,6 2,5 3,2 2,9 3,9 2,7 3,6 2,4 3,0.
73
Можно ли думать о существовании связи между этими
параметрами деятельности?
157. На рис. 35 представлены графики длительностей реак-
ции предвидения и латентных периодов истинной реакции ЭЭГ
при ритмическом предъявлении раздражителя. Установить,
существует ли между ними связь.
Рис. 35. 1 — латентный период, 2 — реакция предвидения
158. В статье Милеряна «Психологические особенности ре-
шения некоторых конструктивных задач >в старших классах
средней школы» («Вопросы психологии», 1964, № 2, стр. 31)
приведены данные о времени, затраченном школьниками на
решение каждой задачи.
Можно ли, используя эти данные (табл. 4), сказать, что
умение успешно решить 1 и 3 задачу относится к одному
классу способностей, т. е. можно ли утверждать существова-
ние связи между временем, затраченным на их решение.
159. На рис. 36 приведены данные А. А. Генкина («Био-
физика», т. 10, 1966, стр. 870) о связи скорости переработки
информации в зрительно-моторной системе с уровнем асим-
метрии длительностей восходящих и нисходящих фаз волн
74
ЭЭГ, зарегистрированной в нижне-теменнозатылочном отве-
дении. (
Используя коэффициенты ранговой корреляции, повторить
4 расчет автора и подтвердить его вывод о существенности та-
кой связи.
160. В практике оценки качества воспроизведения тонов
иногда пользуются следующим .способом: исходное изображе-
ние (объект) «и воспроизведенное (изображение) разбивают
на участки, в которых производят замеры яркости. Результа-
8 died!сек
I i i i________I__Ц-Ду f.
0,1. 0,2 0,3.0,0 0,5 0,6
Рис. 36
-0,2-0.1
—1I—I „-.1____I ... I___L
30 00 50 60 70 SO
Интенсивность шупа 6 Of
Рис. 37 .
ты представляются точками в системе координат In Во (ярко-
сти объекта) и 1пВи (яркости изображения). Через эти точки
проводят линию, и если она незначительно (р = 0,05) отличает-
ся от биссектрисы первого координатного угла, изображение
признается пригодным. Пригодно ли изображение, для кото-
рого описанные выше промеры привели к следующим резуль-
татам: В объекта (в асб) 800 800 750 340 675 890 450 765 567
500; В изображения (в асб) 405 390 325 180 340 450 225 335
285 245?
161. На рис. 37 представлены результаты эксперимента с
подравниванием интенсивностей разных модальностей: к паль-
цу испытуемого прикасается пластинка с заданной интенсив-
ностью вибрации и испытуемого просят подобрать слышный
ему в наушниках шум так, чтобы суъективное ощущение
шума было равно по силе ощущению вибрации. Методом наи-
меньших квадратов провести прямую зависимости интенсив-
ности вибрации от интенсивности шума в условиях субъектив-
ного равенства ощущений. Проверить гипотезу прямолинейно-
сти. Качественно истолковать полученные результаты.
ОТВЕТЫ
7.
1. Нет, недостаточно: осуществление события А+B может
приводить как к ситуациям, когда нужно нажимать на
кнопку, так и к ситуациям, когда это делать не следует.
4. —.
16
5. Нет, поскольку вероятность осуществления рассматривае-
мого события пренебрежимо мала.
1
3' 10 ’
8. Нереально; для этого потребуется .время больше, чем длина
жизни человека.
Изменится; время обучения <резко сократится.
9. — .
т
10. Не меньше 5 раз.
з___
12. Не меньше, чем ]/о,99.
13. 0,94.
14. Зависимы.
1$. Нет.
1/6. Получат.
1*7 Л\ 1 / 7 1 / 7 3 3 2 3\б
17. а) 1 — ( — I ; б) 1 —(-------8------в2—е3 ) .
7 \ 8/ \ 8 4 2 J
18.
7
12 ’
19. По первой.
20. — и —.
3 3
21. «0,483.
76
23. Безразлично, вероятности вынуть (неизвестный билет оди-
наковы.
24. «0,997.
25. «0,86.
27. «0,095.
28. «з0,64.
29. 0,47.
30. К первому.
31. В случае успешной сдачи экзамена вероятность того, что
мы экзаменовались у доброго экзаменатора, равна —,
1
если мы не сдали экзамен--------. Сдача экзамена до-
4
ставляет больше информации, чем.провал.
32. 0,56.
33. Для всех решений неравенства 2р2—р4>4<?2—4g3+<?4.
34. При любых р>0,6 и </<0,6.
41. Одинаковы.
42. а)(1—р)*; б) Л7 Г1 — (1 — р)* + -±-
.. АЧ-1
44. ——.
Af-f-l
т \
mV~Tl -
45. М/ = Т =
т
т
2(1 —т)*
50. Если ехать автобусом.
51. а^—; D^Zcex (—2,8; 2,8).
2
77
52. А и В.
53. Второй.
55. Не согласуется.
56. /Т2
57. (0; 10/5).
59. Зависимы.
61. Имеет смысл.
63. А (х) = 2 при 0<х<—,
// Р —4х« 2
fs (х) = 0, при х < О или х >
п
Г* f г / 7? — Г \2(п—i)
оо. у ( — ) ( —-— ) , при п — четном,
\ А У \ А ✓
i = —
2
V / r \2i S В — г \2<л-0
2, ^п\~д) (——) ПРИ п — нечетном.
г = Л±£
2
68. Имеет смысл.
69. 3.
71. 0,93; 0,93; 0,89.
72. Можно.
73. 100, нереально: потребуется слишком длинный экспери-
мент.
74. 0,999; 0,26sgp<0,34.
75. 980.
76. Маловероятно.
77. Вероятность такого события 3^0,1.
78. 0,09.
79. Л1«=80, «2=160.
80. Не менее 5.
81. Г50000.
84. 0,05 0,999.
85. 0,05.
86. 0,7.
78
89. n>12.
90. Первую.
93. Второго.
94. На 4о.
95. 0,98.
99. За 2; Р=0,43.
100. —.
2
112. С вероятностью 0,2?
ИЗ. Нет.
115. 0,1.
U6. f.
HZ. i
Нормальное распределение. Значения функции
х
2<"
О
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 19
X 0 i 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,00000 00399 00798 01197 01595 01994 02392 02790 03188 03586
0,1 03983 04380 04776 05172 05567 05962 06356 06749 07142 07535
0,2 07926 08317 08706 09095 09483 09871 10257 10642 11026 11409
0,3 11791 12172 12552 12930 13307 13683 14058 14431 14803 15173
0,4 15542 15910 16276 16640 17003 '17364 17724 18082 18439 18793
0,5 19146 19497 19847 20194 20540 20884 21226 21566 21904 22240
0,6 . 22575 22907 23237 23565 23891 24215 24537 24857 25175 25490
0,7 25804 26115 26424 26730 27035 27337 27637 27935 28230 28524
0,8 28814 29103 29389 29673 29955 30234 30511 30785 31057 31327
0,9 . 31594 31859 32121 32381 32639 32894 33147 33398 33646 33891
1,0 341Й * 34375 34614 34850 35083 35314 35543 35769 35993 36214
1,1 36433 36650 36864 37076 37286 37493 37698 37900 38100 38298
Продолжение табл. 19
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,2 38493 38686 38877 39065 39251 39435 39617 39796 39973 40147
1,3 40320 40490 40658 40824 40988 41149 41309 41466 41621 41774
1,4 41924 42073 42220 42364 42507 42647 42786 42922 43056 • 43189
1,5 43319 43448 4357-4 43699 43822 43943 44062 44179 44295 44408
1,6 44520 44630 44738 44845 44950 45053 45154 45254 45352 45449
1,7 45543 45637 45728 45818 45907 45994 46080 46164 46246 46327
1,8 46407 46485 46562 46638 46712 46784 46856 46926 46995 47062
1,9 47128 47193 47257 47320 47381 47441 47500 47558 47615 47670
2,0 47725 47778 47831 47882 47932 47982 48030 48077 48124 48169
2,1 48214 48257 • 48300 48341 48382 48422 48461 48500 48537 48574
2,2 48610 48645 48679 48713 48745 48778 48809 48840 48870 48899
2,3 48928 48956 48983 49010 49036 49061 49086 49111 49134 49158
2,4 49180 49202 49224 49245 49266 49286 49305 49324 49343 49361
2,5 49379 49396 49413 49430 49446 49461 49477 49492 49506 49520
2,6 49534 49547 49560 49573 49585 49598 49609 49621 49632 49643
2,7 49653 49664 49674 49683 49693 49702 49711 49720 49728 49736
2,8 49744 49752 49760 49767 49774 49781 49788 49795 49801 49807
2,9 49813 49819 49825 49831 49836 49841 49846 49851 49856 49861
Таблица 20
Распределение Пуассона. Функция
е~к
k=x
\ к X \ 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000
1 095162 181269 259182 392680 393469
2 004679 017523 036936 061552 090204
3 000155 001149 003600 007926 014388
4 000057 000266 000776 001752
5 000172
х %
х ^Х 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000
1 451188 503415 550671 593430 632121
2 121901 155805 191908 227518 264241
3 023155 034142 047423 062857 080301
4 003358 005753 009080 013459 018988
5 000394 000786 001411 002344 003660
6 000343 000343 000594
х к
х ^Х 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
0 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 *
1 698806 753403 798103 834701 864665
2 337373 408167 475069 537163 593094
3 120513 166502 216642 269379 323324
4 033769 053725 078813 108708 142877
5 007746 014253 023682 036407 052652
6 001500 003201 006040 010378 016564
7 000251 000622 001336 002569 004534
8 000260 000562 001097
9 000237
82
Продолжение табл. 20
\ х
X \ 2,2 2,4 2,6 2.8 3,0
0 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000
1 889197 909282 925726 939190 950213 981684
2 645430 691559 732615 768922 800852 908422
3 377286 430291 481570 530546 566810 ч 761897
4 180648 221227 263998 308063 352768 566530
5 072496 085869 122577 152324 184737 371163
6 024910 035673 049037 065110 083918 214870
7 007461 011594 017170 024411 033509 110674
8 001978 003339 005334 008131 011905 051134
9 000470 000862 001487 002433 003803 021363
10 000376 000660 001102 008132
И 000292 002840
12 000915
\ Х X \ 5,о 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
0 , 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000
1 993262 997521 999088 999665 999877 999955
2 959572 982649 922705 996981 998766 999501
3 875348 938031 970364 986246 993768 997231
4 734974 848796 918235 957620 978774 989664
5 559507 714943 827008 900368 945036 970747
6 384039 554320 299292 808764 884309 932914
7 237817 393697 550289 686626 793219 869859
8 133372 256020 401286 547039 676103 779779
9 068094 152763 270909 407453 544347 667180
10 031828 083924 169504 283376 412592 542070
11 013695 042621 098521 184114 294012 416960
12 005453 020092 053350 111924 196662 303224
13 002019 008827 027000 063797 124227 208444
14 000698 003628 012811 034181 073851 135536
15 001400 005717 017257 041466 083459
16 17 18 19 20 21 22 000509 002407 000958 008231 003718 001594 000650 022036 011106 005320' 002426 001056 000439 048740 027042 014278 007187 003454 001588 000700
83
Таблица 21
Критерий Стыодента. Доверительные границы
для t с f степенями свободы
f _____ Двусторонние границы
5% 2% 1% 0,1%
1 12,710 31,820 63,660 636,600
2 4,303 6,965 9,925 31,600
3 3,182 4,541 5,841 12,920
4 5 2,776 2,671 3,747 3,365 4,604 4,032 8,610 6,869
6 2,447 3,143 3,707 5,969
7 2,365 2,998 ' 3,499 5,408
8 2,306 2,896 3,355 5,041
9 2,262 2,821 3,250 4,781
10 2,228 2,764 3,169 4,587
11 2,201 2,718 3,106 4,437
12 2,179 2,681 3,055 4,318
13 2,160 2,650 3,012 4,221
14 2,145 2,624 2,977 4,140
15 2,131 2,602 2,947 4,073
16 2,120 2,583 2,921 4,015
17 2,110 2,567 2,898 3,965
18 2,101 2,552 2,878 3,922
19 2,093 2,539 2,861 3,883
20 2,086 2,528 2,845 3,850
21 2,080 2,518 2,831 3,819
22 2,074 2,508 . 2,819 3,792
23 2,069 2,500 2,807 3,767
24 2,064 2,492 2,797 3,745
25 2,060 2,485 2,787 3,725
26 2,056 2,479 2,779 3,707
27 2,052 2,473 2,771 3,690
28 2,048 2,467 2,763 3,674
29 2,045 2,462 2,756 3,659
30 2,042 2,457 2,750 3,646
40 2,021 2,423 2,704 3,551
50 2,009 2,403 2,678 3,495
60 2,000 2,390 2,660 3,460
80 1,990 2,374 2,639 3,415
100 1,984 2,365 2,626 3,389
200 1,972 2,345 2,601 3,339
500 1,965 2,334 2,586 3,310
оо 1,960 2,326 2,576 3,291
2,5% 1% 0,5% 0,05%
Односторонние границы
«4
Таблица 22
Доверительные границы для %2 с f степенями свободы
f 5% 1% 0,1%
1 3,841 6,635 10,83
2 5,991 9,210 13,82
3 7,815 11,34 16,27
4 9,488 13,28 18,47
5 11,07 15,09 . 20,51
6 12,59 ' 16,81 22,46
7 14,07 18,48 24,32
8 15,51 20,09 26,13
9 16,92 21,67 27,88
10 18,31 23,21 29,59
11 19,68 24,72 31,26
12 21,03 26,22 32,91
13 22,36 27,69 34,53
14 23,68 29,14 36,12
15 25,00 30,58 37,70
16 26,30 32,00 39,25
17 27,59 33,41 40,79
18 28,87 34,81 42,31
19 30,14 36,19 43,82
20 31,41 37,57 45,31
21 32,67 38,93 46,80
22 33,92 40,29 48,27
23 35,17 41,64 49,73
24 36,42 42,98 51,18
25 37,65 44,31 52,62
26 38,89 45,64 54,05
27 40,11 46,96 55,48
28 41,34 48,28 56,89
29 42,56 49,59 58,30
30 43,77 50,89 59,70
85
Доверительные границы для F -распределения с (>lt va) степенями свободы *Раничные значения F при Р=0,05 Таблица 23
м 1 2 3 4 5 6 8 12 16 24 № 00
1 2 3 4 161,4 18,51 10,13 7,71 199,5 19,00 9,55 6,94 215,7 19,16 9,28 6,59 224,6 19,25 9,12 6,39 230,2 19,30 9,01 6,26 5,05 4,39 3,97 3,69 3,48 3,33 3,20 3,11 3,02 2,96 2,90 2,85 2,81 2,77 2,74 2,71 2,68 2 66 234,0 19,33 8,94 6,16 4,95 4,28 3,87 3,58 3,37 3,22 3,09 3,00 2,92 2,85 2,79 2,74 2,70 2,66 2,63 2,60 2,57 2,55 2,53 2,51 2,49 2,47 2,46 238,9 19,37 8,84 243,9 19,41 8,74 246,5 19,43 8,69 249,0 19,45 8,64 251,8 19,47 8,58 254,3 19,50 8,53
5 6,61 5,79 5,41 5,19 6,04 5,91 5,84 5,77 5,70 5,63
6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,82 4,68 4,60 4,53 4,44 4,36
7 5,59 4,74 4,35 4,12 4,15 4,00 3,92 3,84 ’ 3,75 3,67
8 9 10 5,32 5,12 4,96 4,46 4,26 4,10 4',07 3,86 3,71 3,84 3,63 3,48 3,73 3,44 3,23 3,57 3,28 3,07 3,49 3,20 2,98 3,41 ' 3,12 2,90 3,32 3,03 2,80 3,23 3,93 2,71
11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,07 2,91 2,82 2,74 2,64 2,54
12 4,75 3,88 3,49 3,26 2,95 2,79 2,70 2,61 2,50 2,40
13 14 15 4,67 4,60 4,54 3,80 3,74 3,68 3,41 3,34 3,29 3,18 3,11 3,06 2,85 2,77 2,70 2,69 2,60 2,53 2,60 2,51 2,44 2,50 2,42 2,35 2,40 2,32 2,24 2,30 2,21 2,13
16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,64 2,48 2,39 2,29 2,18 2,07
17 18 4,45 4,41 3,59 3,55 3,20 3,16 2,96 2,93 2,59 2,55 2,42 2,38 2,33 2,29 2,24 2,19 2,13 2,08 2,01 1,96
19 20 21 4,38 4,35 4,32 3,52 3,49 3,47 3,13 3,10 3,07 2,90 2,87 2,84 2,51 2,48 2,45 2,34 2,31 2,28 2,25 2,21 2,18 2,15 2,11 2,08 2,04 2,00 1,96 1,92 1,88 1,84
22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,42 2,25 2,15 2,05 1,93 1,81
23 4,28 3,42 3,03 2,80 2*64 2,62 2,60 2 59 2,40 2,23 2,13 2,03 1,91 1,78
24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,38 2,20 2,11 2,00 1,88 1,76
25 4,24 3,38 2,99 2,76 2,36 2,18 2,09 1,98 1,86 1,73
26 4,22 3,37 2,98 2,74 2,34 2,16 2,07 1,96 1,84 1,71
27 4,21 3,35 2,96 2,73 2^57 2,32 2,30 2,15 2,13 2,05 2,03 1,95 1,93 1,82 1,80 1,69 1,67
28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,44 2,29 2,12 2,02 1,91 1,78 1,65
29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,54 2,43 2,28 2,10 2,00 1,90 1,77 1,64
30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,27 2,09 1,99 1,89 1,76 1,62
35 4,12 3,26 2,87 2,64 2,48 2,37 2,22 2,04 1,94 1,83 1,70 1,57
40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,18 2,00 1,90 1,79 1,66 1,51
45 4,06 3,21 2,81 2,58 2,42 2,31 2,15 1,97 1,87 1,76 1,63 1,48
50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,13 1,95 1,85 1,74 1,60 1,44
60 4,00 3,15 2,76 2,52 2,37 2,25 2,10 1,92 1,81 1,70 1,56 1,39
70 3,98 3,13 2,74 2,50 2,35 2,23 2,07 1,89 1,79 1,67 1,53 1,35
80 3,96 3,11 2,72 2,49 2,33 2,21 2,06 1,88 1,77 1,65 1,51 1,32
90 3,95 3,10 2,71 2,47 2,32 2,20 2,04 1,86 1,76 1,64 1,49 1,30
100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,30 2,19 2,03 1,85 1,75 1,63 1,48 1,28
125 3,92 3,07 2,68 2,44 2,29 2,17 2,01 1,83 1,72 1,60 1,45 1,25
150 3,90 3,06 2,66 2,43 2,27 2,16 2,00 1,82 1,71 1,59 1,44 1,22
200 3,89 3,04 2,65 2,42 2,26 2,14 1,98 1,80 1,69 1,57 1,42 1,19
300 3,87 3,03 2,64 2,41 2,25 2,13 1,97 1,79 1,68 1,55 1,39 1,15
400 3,86 3,02 2,63 2,40 2,24 2,12 1,96 1,78 1,67 1,54 1,38 1,13
500 3,86 3,01 2,62 2,39 2,23 2,11 1,96 1,77 1,66 1,54 1,38 1,11
1000 3,85 3,00 2,61 2,38 2,22 2,10 1,95 1,76 1,65 1,53 1,36 1,08
co 3,84 2,99 2,60 2,37 2,21 2,09 1,94 1,75 1,64 1,52 1,35 1,00
Граничные значения F при Р= =0,01
1 4052 4999 5403 5625 5764 5859 5981 6106 6169 6234 6302 6366
2 98,49 99,00 99,17 99,25 99,30 99,33 99,36 99,42 99,44 99,46 99,48 99,50
3 34,12 30,81 29,46 28,71 28,24 27,91 27,49 27,05 26,83 26,60 26,35 26,12
4 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,80 14,37 14,15 13,93 13,69 13,46
5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,29 9,89 9,68 9,47 9,24 9,02
6 13,74 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,10 7,72 7,52 7,31 7,09 6,88
7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,84 6,47 6,27 6,07 5,85 5,65
8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,03 5,67 5,48 5,28 5,06 4,86
9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,47 5,11 4,92 4,73 4,51 4,31
10 10,04 7,56 6,55 6,99 5,64 5,39 5,06 4,71 4,52 4,33 4,12 3,91
23 И 9,65 7,20 6,22 5,67 5,32 5,07 4,74 4,40 4,21 4,02 3,80 3,60
Продолжение таб. 23
Доверительные границы для F -распределения с (vb v2) степенями свободы
Граничные значения F при Р=0,01
\ V1 V, \ 1 2 3 4 5 6 8 12 16 24 50 00
12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,50 4,16 3,98 3,78 3,56 3,36
13 9,07 6,70 5,74 5,20 4,86 4,62 4,30 3,96 3,78 3,59 3,37 . 3,16
14 8,86 6,51 5,56 5,03 4,69 4,46 4,14 3,80 3,62 3,43 3,21 3,00
15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,00 3,67 3,48 3,29 3,07 2,87
16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 3,89 3,55 3,37 3,18 2,96 2,75
17 8,40 6,11 5,18 4,67 4,34 4,10 3,79 3,45 3,27 3,08 2,86 .2,65
18 8,28 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,71 3,37 3,20 3,00 2,79 2,57
19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,63 3,30 3,12 2,92 2,70 2,49
20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,56 3,23 3,05 2,86 2,63 2,42
21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,51 3,17 2,99 2,80 2,58 2,36
22 7,94 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,45 3,12 2,94 2,75 2,53 2,31
23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,41 3,07 2,89 2,70 2,48 2,26
24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,36 3,03 2,85 2,66 2,44 2,21
25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,86 3,63 3,32 2,99 2,81 2,62 2,40 2,17
26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,29 2,96 2,78 2,58 2,36 2,13
27 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,26 2,93 2,74 2,55 2,33 2,10
28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,23 2,90 2,71 2,52 2,30 2,06
29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,20 2,87 2,68 2,49 2,27 2,03
30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,17 2,84 2,66 2,47 2,24 2,01
35 7,42 5,27 4,40 3,91 3,59 4,37 3,07 2,74 2,56 2,37 2,13 1,90
40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 2,99 3,66 2,48 2,29 2,05 1,80
45 7,23 5,11 4,25 3,77 3,45 3,23 2,94 2,61 2,43 2,23 1,99 1,75
50 7,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 2,89 2,56 2,38 2,18 1,94 1,68
60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,82 2,50 2,32 2,12 1,87 1,60
70 7,01 4,92 4,07 3,60 3,29 3,07 2,78 2,45 2,28 2,07 1,82 1,53
80 6,96 4,88 4,04 3,56 3,26 3,04 2,74 2,42 2,24 2,03 1,78 1,49
90 6,92 4,85 4,01 3,53 3,23 3,01 2,72 2,39 2,21 2,00 1,75 1,45
100 125 150 200 300 400 500 ООО оо 6,90 6,84 6,81 6,76 6,72 6,70 6,69 6,66 6,64 4,82 4,78 4,75 4,71 4,68 4,66 4,65 4,63 4,60 3,98 3,94 3,91 3,88 3,85 3,83 3,82 3,80 3,78 3,51 3,47 3,45 3,41 3,38 3,37 3,36 3,34 3,32 3,21 3,17 3,14 3,11 3,08 3,06 3,05 3,04 3,02
Граничные значения F
\ V1 v>\ 1 2 3 4 5
3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 405284 998,5 167,5 74,14 47,04 35,51 29,22 25,42 22,86 21,04 19,69 18,64 17,81 17,14 16,59 16,12 15,72 15,38 15,08 14,82 500000 999,0 148,5 61,25 36,61 27,00 21,69 18,49 16,39 14,91 13,81 12,97 12,31 11,78 11,34 10,97 10,66 10,39 10,16 9,95 540379 999,2 141,1 56,18 33,20 23,70 18,77 15,83 13,90 12,55 11,56 10,80 10,21 9,73 9,34 9,00 8,73 8,49 8,28 8,10 562500 999,2 137,1 53,44 31,09 21,90 17,19 14,39 12,56 11,28 10,35 9,63 9,07 8,62 8,25 7,94 7,68 7,46 7,26 7,10 576405 999,3 134,6 51,71 29,75 20,81 16,21 13,49 11,71 10,48 9,58 8,89 8,35 7,92 7,57 7,27 7,02 6,81 6,61 6,46
,99 ,95 2,69 2,66 2,37 2,33 2,19 2,15 1,98 1,94 1,73 1,69 1,43 1,37
,92 2,63 2,31 2,13 1,92 1,66 1,33
,89 2,60 2,28 2,09 1,88 1,62 1,28
,86 ,85 2,57 2,24 2,06 1,85 1,59 1,22
2,56 2,23 2,04 1,84 1,57 1,19
,84 2,55 2,22 2,03 1,83 1,56 1,16
,82 ,80 2,53 2,20 2,01 1,81 1,54 1,Н
2,51 2,18 1,99 1,79 1,52 1,00
при P=0f001
6 8 12 24 00
585937 598144 610667 623497 636619
999,3 999,4 999,4 999,5 999,5
132,8 130,6 128,3 125,9 123,5
50,53 49,00 47,41 45,77 44,05
28,84 27,64 26,42 25,14 23,78
20,03 19,03 17,99 16,89 15,75
15,52 14,63 13,71 12,73 11,69
12,86 12,04 11,19 10,30 9,34
11,13 10,37 9,57 8,72 7,81
9,92 9,20 8,45 7,64 6,76
9,05 8,35 7,63 6,85 6,00
8,38 7,71 7,00 6,25 5,42
7,86 7,21 6,52 5,78 4,97
7,43 6,80 6,13 5,41 4,60
7,09 6,47 5,81 5,10 4,31
6,81 6,19 5,55 4,85 4,06
6,56 5,96 5,32 4,63 3,85
6,35 5,76 5,13 4,45 3,67
6,18 5,59 4,97 4,29 3,52
6,02 5,44 4,82 4,15 3,38
Продолжение табл. 23
Граничные значения F при Р=0,001
\yi v2 \ 1 2 3 4 5 6 8 12 24 оо
21 14,59 9,77 7,94 6,95 6,32 5,88 5,31 4,70 4,03 3,26
22 14,38 9,61 7,80 6,81 6,19 5,76 5,19 4,58 3,92 3,15
23 14,19 9,47 7,67 6,69 6,08 5,65 5,09 4,48 3,82 3,05
24 14,03 9,34 7,55 6,59 5,98 5,55 4,99 4,39 3,74 2,97
25 13,88 9,22 7,45 6,49 5,88 5,46 4,91 4,31 3,66 2,89
26 13,74 9,12 7,36 6,41 5,80 5,38 4,83 4,24 3,59 2,82
27 13,61 9,02 7,27 6,33 5,73 5,31 4,76 4,17 3,52 2,75
28 13,50 8,93 7,19 6,25 5,66 5,24 4,69 4,11 3,46 2,70
29 13,39 8,85 7,12 6,19 5,59 5,18 4,64 4,05 3,41 2,64
30 13,29 8,77 7,05 6,12 5,53 5,12 4,58 4,00 3,36 2,59
40 12,61 8,25 6,60 5,70 5,13 4,73 4,21 3,64 3,01 2,23
60 11,97 7,76 6,17 5,31 4,76 4,37 3,87 3,31 2,69 1,90
120 11,38 7,31 5,79 4,95 4,42 4,04 3,55 3,02 2,40 1,56
оо 10,83 6,91 5,42 4,62 4,10 3,74 4,27 2,74 2,13 1,00
Таблица 24
Доверительные границы для распределения модифицированного
критерия Стъюдента для сравнения выборок одинакового
объема п
п 0.06% 0.1% 0.5% 1% 2.5% 5%
2 25,23 17,81 7,916 5,553 3,427 2,322
3 4,18 3,27 3,093 1,715 1,272 0,974
4 1,99 1,74 1,237 1,047 0,813 0,644
5 1,35 1,21 0,896 0,772 0,613 0,493
6 1,03 0,94 0,714 0,621 0,499 0,405
7 0,85 77 600 525 426 347
8 73 67 521 459 373 306
9 64 59 464 409 334 275
10 58 53 419 371 304 250
11 0,52 0,48 0,384 0,340 0,280 0,233
12 48 44 355 315 260 214
13 45 41 331 294 243 201
14 42 39 311 276 228 189
15 39 36 293 261 216 179
16 0,37 0,34 0,278 0,247 0,205 0,170
17 35 33 264 236 195 162
18 34 31 252 225 187 155
19 32 30 242 216 179 149
20 31 29 232 207 172 143
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие.......................................................3
Глава I. Вероятности случайных событий. Основные понятия. Услов-
ная вероятность и независимость событий. Формула полной
вероятности и формула Байеса................................ 4
Задачи к главе I .... s 8
Глава II. Случайные величины и их характеристики . 16
Задачи к главе II.............................................. 20
Глава III. Последовательности независимых испытаний с постоян-
ными вероятностями исходов: биноминальное распределение,
локальная и интегральная теоремы Муавра—Лапласа, цент-
ральная предельная теорема, нормальное распределение, рас-
пределение Пуассона...............................................27
Задачи к главе III . . 30
Глава IV. Цепи Маркова........................4 38
Задачи к главе IV................................................41
Глава V. Общие принципы проверки статистических гипотез: стати-
стические критерии, ошибки первого и второго рода, мощность
критериев . ........................ . . 48
Задачи к главе V.................................................49
Глава VI. Проверка гипотез о параметрах распределений ... 52
Задачи к главе VI.............................................54
Глава VII. Проверка гипотез о распределениях случайных величин.
Задача двух выборок.........................................63
Задачи к главе VII...............................................66
Глава VIII. Проверка гипотез о связи случайных величин ... 69
Задачи к главе VIII...........................................71
Ответы........................................................76
Приложение...................\ »......................80
Артемьева Елена Юрьевна
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ ДЛЯ ПСИХОЛОГОВ
Тематический план 1969 г. № 31
Редактор Е. П. Поликанова Технический редактор М. С. Ермаков
Корректоры М. И. Элъмус, Т. М. Ильенко
Сдано в набор 18/Ш 1968 г. Подписано к печати 16/ХП 1969 г.
Л-34952 Формат 60 X 90716 Бумага офс. № 2 Физ. печ. л. 5,75
Уч.-изд. л. 5,41 Изд. № 747 Заказ 310 Тираж 9200 Цена 15 коп.
Издательство Московского университета.
Москва, Ленинские горы, Административный корпус.
Типография Изд-ва МГУ. Москва, Ленинские горы