/
Author: Джонсон У. Меллор П.Б.
Tags: технология обработки без снятия стружки в целом: процессы, инструмент, оборудование и приспособления отдельные машиностроительные и металлообрабатывающие процессы и производства монография механика деформируемых тел деформация издательство машиностроение теория пластичности
Year: 1979
Text
ТЕОРИЯ
ПЛАСТИЧНОСТИ
для инженеров
У ДЖОНСОН
П. МЕЛЛОР
Перевод с английского
А. Г. ОВЧИННИКОВА
б
Москва й Машиностроение й 1979
ББК 34.62
Д42
УДК 621.7.011 : 539.214-20-03.82
Редактор канд. техн, наук Э. Ф. БОГДАНОВ
Джонсон У., Меллор П. Б.
Д42 Теория пластичности для инженеров. Пер. с англ./Пер.
А. Г. Овчинников. — М.: Машиностроение, 1979. —
567 с., ил.
В пер. 4 р. 10 к.
В монографии рассмотрены вопросы прикладной теории пластичности
в условиях упруго пластических и конечных пластических деформаций, уде-
лено большое внимание напряженному и деформированному состояниям ме-
талла, условиям перехода в пластическое состояние; различным гипотезам
предельного состояния для изотропного и анизотропного материала, даны при-
меры решения технологических задач обработки давлением и резания металлов,
а также определения предельной нагрузки с учетом устойчивости при наличии
пластических деформаций.
Монография предназначена для научных работников. Она может быть
полезна инженерам-технологам машиностроительных предприятий и инсти-
тутов.
ББК 34.62
6П4.2
Copyright © 1973 W. Johnson and Р. В. Mellor
© Перевод на русский язык, «Машиностроение», 1979 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга «Теория пластичности для инженеров-механиков», вы-
шедшая в 1962 г., имеет устойчивый спрос на английском и на
японском языках. Настоящая книга основывается на предыдущем
издании, но значительно дополнена, включает новые результаты
теоретических и экспериментальных исследований. Первоначаль-
ное название «Теория пластичности для инженеров-механиков»
подверглось критике, особенно со стороны заокеанских читателей,
как слишком узкое и несколько дезориентирующее. После некото-
рых размышлений мы решили этот текст опубликовать под назва-
нием «Теория пластичности для инженеров».
Главное изменение заключается в добавлении двух новых
глав — 15 и 16, написанных одним из' авторов (У. Джонсоном).
Они касаются граничных условий при рассмотрении пластического
изгиба пластин и осесимметричного напряженного их состояния.
Некоторые главьПдополнены. Мы рассмотрели применение основ-
ных уравнений пластичности и течения анизотропных материалов
для некоторых процессов обработки листового металла, привели
результаты экспериментальных исследований потери устойчи-
вости трубок под действием осевого растяжения и внутреннего
давления жидкости, а также результаты исследований вращаю-
щихся дисков, больше внимания уделили упругому и пластиче-
скому изгибу, штамповке и ковке цилиндрических заготовок.
Чтобы включить этот новый материал, пришлось сделать и
некоторые сокращения. Мы решили опустить главу «Ползучесть» и
приложение к главе «Пластичность кристаллов», которые были
в первой книге.
Книга может быть полезна для студентов машиностроительных
и металлургических колледжей, для слушателей факультетов
повышения квалификации, аспирантов университетов и политех-
нических институтов.
Манчестерский Университет, колледж науки
и технологии У. ДЖОНСОН,
Бредфордский Университет П. Б. МЕЛЛОР
ЗАМЕЧАНИЯ ПО ВЫБОРУ СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ
В книге «Теория пластичности для инженеров-механиков»,
которая явилась основой настоящего издания, использовалась
система СИ. Поэтому возникает вопрос, стоит ли все результаты
приводить к этой системе? Изучение текста показало, что это при-
вело бы к многочисленным бессмыслицам. В тексте результаты
даны в той же системе, что и в первоисточнике, и поскольку мы
надеемся, что читатель заинтересуется использованной литерату-
рой, то вряд ли имеет смысл переводить числовые данные в систему
СИ. С другой стороны, кажется естественным в работе, в которой
говорится о листе металла толщиной 0,036 дюйма, использовать
именно эту размерность, а не говорить о толщине 0,8944 мм.
Во многих книгах первого издания применялась система СИ.
Эти книги выполняли агитационную роль. Однако читатели
пришли к выводу, что им необходимо знать все системы единиц и
свободно переходить от одной к другой. Чтобы облегчить этот
процесс, мы приводим несколько наиболее известных соотношений.
За более полной информацией можно обратиться к книге «Исполь-
зование системы СИ» издания Британского института стандартов,
1972.
Единицы длины
1 дюйм = 0,0254 м.
Единицы силы
1 тс = 9,81 х 10® Н;
1 фунте == 4,45 Н;
1 кгс = 9,81 Н.
Единицы давления и напряжения
1 атм= 101,325 кН/м2;
1 кгс/м2 = 9,81 Н/м2;
1 фунте */дюйм2 = 6,89 кН/м2;
1 тс/м2— 15,444 МН/м2.
Здесь и далее фунтс/дюйм2 — фунт-сила/дюйм2.
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
Испытание на разрыв легко и быстро осуществить,
но оно не дает всеобъемлющей информации, поскольку
остается неизвестным происходящий процесс. Ре-
зультаты испытаний являются следствием ряда очень
сложных физических процессов... Деформирование ме-
талла является более сложным процессом, чем ход
карманных часов, и надеяться получить информацию
о его механизме на основании двух или трех измере-
ний, проведенных в процессе испытаний, также опти-
мистично, как попытаться изучить ход карманных
часов, определяя их прочность на сжатие (Е. Орован,
151, с. 133, 1944).
1.1. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ
СУЩНОСТЬ ТЕОРИИ
ПЛАСТИЧНОСТИ
Теории упругости и пластичности описывают механику дефор-
мирования большинства твердых технических материалов. Обе
теории применимы к металлам и сплавам и основаны на экспери-
ментальном изучении зависимостей между напряжениями и дефор-
мациями в поликристалле в условиях простого растяжения. Такой
подход пригоден для изучения сплошной среды конечных размеров
и малополезен для изучения взаимодействия атомов в структуре
металла.
Однако для понимания пределов применения этих теорий
инженер, занимающийся конструированием и технологией, должен
иметь некоторые представления о строении металлов. В связи
с этим необходимы сведения из физики и металлургии для объясне-
ния механизма разрушения металла в сложных условиях нагру-
жения.
Другими словами, металлург должен иметь некоторые пред-
ставления о теории пластичности, чтобы получить металл, удовлет-
воряющий заданным техническим условиям. В этой вводной главе
рассмотрено поведение металлов как сплошной среды, главным
------—образом при изменении гидростатического давления, температуры
и скорости деформации.
7
i.2. диаграмма растяжения
Рис. 1.1. Диаграмма нагрузка—
удлинение для мягкой стали
Испытание на растяжение образца из мягкой отожженной
стали возможно является наиболее известным примером упругого
и пластического деформирования. Зависимость между нагрузкой
и удлинением устанавливают в процессе его растяжения при
комнатной температуре и скорости деформации 2- 1(Г3 1/с. Головки
образца должны быть тщательно установлены в захватах испыта-
тельной машины. Их поперечное сечение должно быть больше
сечения градуированной части. Это позволяет считать, что пре-
дельные напряжения равномерно распределены по градуированной
части образца. Типовая диаграмма
нагрузка — удлинение показана на
рис. 1.1. Вначале зависимость между
нагрузкой и удлинением является
линейной. Это отрезок ОА на кри-
вой; точка А определяет нагрузку,
соответствующую пределу пропор-
циональности. При дальнейшем уве-
личении нагрузки зависимость уже
нелинейная, но материал все еще
остается упругим; после снятия
нагрузки образец приобретает свою
первоначальную длину. Максималь-
ная нагрузка, не вызывающая пластической деформации, опре-
деляет предел упругости. Обычно разница между нагруз-
ками, соответствующими пределам пропорциональности (точка
А) и упругости (точка В), невелика. Величины пределов зави-
сят от чувствительности используемых измерительных прибо-
ров и условий испытания. Точка В определяет конец чнстоупругой
деформации и начало пластической. Она известна как верхний
предел текучести металла и определяется отношением нагрузки
в этой точке к первоначальной площади поперечного сечения об-
разца. Относительное удлинение образца в этой точке 10-3. Даль-
нейшее деформирование происходит при резком падении нагрузки
и с последующим удлинением при приблизительно постоянной
нагрузке. Относительное удлинение на отрезке CD соответствует
10"2, поэтому при длине градуированной части образца > 200 мм
оно может быть измерено, например, с помощью циркуля. Нижний
предел текучести определяют как отношение нагрузки на участке
CD к первоначальной площади поперечного сечения образца. Для
дальнейшего деформирования после точки D необходимо увеличить
нагрузку. Эту способность материала противостоять большим
нагрузкам, несмотря на постепенное уменьшение поперечного
сечения, называют деформационным упрочнением. Истинное (дей-
ствительное) напряжение в образце равно приложенной нагрузке,
деленной на текущую площадь поперечного сечения образца.
В точке Е скорость деформационного упрочнения становится
8
и
Рис. 1.2. Диаграмма нагруз-
ка—удлинение для металлов
(без площадки текучести)
меньше скорости уменьшения поперечного сечения образца, и при
максимальной нагрузке происходит развитие локальной деформа-
ции (образование шейки), приводящей к разрыву в точке F.
Предел прочности (временное сопротивление) на разрыв овр
определяют как отношение максимальной нагрузки к первоначаль-
ной площади поперечного сечения образца. Это та максимальная
нагрузка, которую выдерживает образец с единичной площадью
поперечного сечения. Напряжение овр не характеризует прочность
материала, а только определяет потерю устойчивости (конец
равномерного деформирования образца
шейки) при испытаниях на растяжение;
более подробно оно рассмотрено ниже.
Заметим, что пока в образце не
будет достигнуто овр, можно считать
деформирование под действием нагрузки
однородным, т. е. до точки Е деформа-
ция образца равномерна. После дости-
жения максимальной нагрузки образу-
ется шейка, в которой возникает трех-
осное напряженное состояние растя-
жения. В инженерной практике наи-
более важным является значение на-
пряжения, соответствующее максималь-
ной нагрузке, а не разрыву. После
потерн устойчивости (точка Е) вплоть до
разрыва (точка F) в шейке накаплива-
ются деформации в условиях сложного
непрерывного изменяющегося трехосного напряженного состояния
растяжения. Чем выше скорость упрочнения металла, тем больше
размеры образовавшейся шейки. Другие части образца разгружа-
ются, потому что на их поперечные сечения действует меньшая
нагрузка. В шейке среднее напряжение течения при уменьше-
нии нагрузки увеличивается, в то время как вне шейки оно
уменьшается.
Если растягиваемый образец нагружают до такой степени, что
его деформация характеризуется точкой А на рис. 1.2, и разгру-
жают, то он частично упруго сокращается (укорачивается). АВ
является линией разгрузки; после полного снятия нагрузки оста-
ется пластическое или остаточное удлинение ОВ. При разгрузке
упругое удлинение BN исчезает. При повторном нагружении этого
образца диаграммой нагрузка — удлинение является линия ВА
(упругое удлинение). После достижения точки А будут появляться
дальнейшие пластические деформации (остаточное удлинение).
Заметим, что в упрочненной области общее удлинение (сжатие)
имеет пластическую (остаточную) и упругую (исчезающую) состав-
ляющие.
---Большинство металлов и сплавов не обладает текучестью при
постоянной нагрузке подобно мягкой отожженой стали. Переход от
9
чистоупругой к упругопластической деформации постепенный;
другими словами, диаграмма растяжения имеет вид, показанный
на рис. 1.2. В таких случаях вместо физического предела текуче-
сти введено понятие условного предела текучести. Условным
пределом текучести называют напряжение (нагрузка, деленная на
первоначальную площадь поперечного сечения образца), которое
вызывает пластическую деформацию удлинения, соответствующую
отрезку ОВ и равную определенной части начальной градуирован-
ной длины образца. Условный предел текучести не находит приме-
нения в математической теории пластичности.
При изучении пластического растяжения Фареном и Тейлором
(1915 г.) было установлено, что только 85—90% теплового эквива-
лента затраченной работы выделяется в качестве теплоты. Осталь-
ная часть энергии запасается деформированной решеткой, что
упрочняет образец. Наличие запасенной энергии рассмотрено
Гордоном в 1955 г.
1.3. ДИАГРАММА ИСТИННОЕ НАПРЯЖЕНИЕ —
ДЕФОРМАЦИЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
Условное напряжение определяют как нагрузку, деленную на
первоначальную площадь поперечного сечения образца, а относи-
тельное удлинение, как удлинение, деленное на первоначальную
длину градуированной части образца. Поэтому диаграмма услов-
ное напряжение — деформация является попросту диаграммой
нагрузка — удлинение для образца, площадь поперечного сече-
ния и длина которого равны единице. Диаграмма истинных напря-
жений более полно характеризует пластические свойства мате-
риала. Истинное напряжение — это нагрузка, деленная на теку-
щую площадь поперечного сечения, она может быть определена
при одновременном измерении нагрузки и диаметра образца.
В дальнейшем мы будем пренебрегать очень малыми изменениями
объема, которые имеют место при испытании на растяжение. Сле-
довательно, предполагаем, что материал несжимаемый:
Х/ = Х0/0, (1.1)
где X — текущая площадь поперечного сечения образца; I —
текущая длина.
Величины в правой части уравнений относятся к первоначаль-
ным измерениям.
Если Р — текущая нагрузка ио — истинное напряжение, то
Р=-оХ (1.2)
или
о ==-4-4-=mi+*), П-3)
Л0 <0
Z —/„
где о0 — условное напряжение; е = —j—а — относительная
линейная деформация удлинения.
10
При максимальной нагрузке dP ~ 0, используя (1.2), получим
о dXX da = 0. (1.4)
По условию несжимаемости
ldX-\-Xdl = 0. (1.5)
Из (1.4) и (1.5) истинное напряжение после несложных преобра-
зований представляют как
de dl ,
— = — ~de.
с I
Из (1.6) определяют истинную или логарифмическую натураль-
ную деформацию
i
е = f ~Г = 1п 1п (1 +е^
Д
Для максимальной нагрузки
da с da а
— или -г- == -г—;— = о0.
de 1 de 1 -f- е °
(1-6)
(1-7)
(1.8)
Если на осях координат отложены истинное напряжение о
и логарифмическая деформация е, то истинное напряжение будет
Рис. 1.3. Кривые истинное напряжение—деформация при простом растяжении
(для определения точки, соответствующей моменту образования шейки):
а — логарифмическая деформация; б — относительная линейная деформация
определяться тангенсом угла наклона касательной к кривой
в рассматриваемой точке (рис. 1.3, а). Аналогичное построение
(рис. 1.3, б) и для относительной линейной деформации (диаграмма
о—е).
Понятие логарифмической деформации было введено Людвиком
(1909 г.). Для малых удлинений относительная деформация при-
близительно равна логарифмической, что впервые установил Коши.
Использование логарифмической деформации имеет два основных
преимущества.
1 Логарифмические деформации в отличие от относительных
линейных являются аддитивными, что следует из самого определе-
ния деформации. Это свойство можно иллюстрировать с помощью
11
образца с градуированной частью Zx, на который действует осевая
нагрузка. В результате деформации длина его стала /2. Деформа-
ция ег = In—. Если продолжить растяжение образца от /2
до 13, то последующая деформация е2 = 1п-~- и суммарная е =
*2
= In ф- In ~ — In -ф. В дальнейшем будет также пока-
Z1 /1
зано, что сравнение диаграмм истинных напряжений, полученных
при различных нагружениях, можно проводить только на основа-
нии логарифмических деформаций, а на основании относительных
линейных нельзя.
2. Можно показать экспериментально, что в случае больших
пластических деформаций, почти всегда после обработки давле-
нием, материал может рассматриваться как несжимаемый. Условие
постоянства объема, выраженное с использованием относительных
линейных деформаций, имеет вид
(1 фе1)(1ф-е2)(1ф-е3) = 1. (1.9)
Используя логарифмические деформации, его можно записать
более просто:
е1 + е2 + ез = 0. (1.10а)
Оба эти выражения справедливы для любых деформаций. Для
бесконечно малых деформаций, соответствующих упругим дефор-
мациям металла, можно пренебречь произведениями деформации,
и (1.9) упростится:
е1фе2ф-еа = 0. (1.106)
В цилиндрической системе координат (г, 0, г) вместо (1.10а)
имеем
ее ф- ег. ф- е2 = 0, (1.1 Ов)
где ее — логарифмическая тангенциальная деформация; ег —
логарифмическая радиальная деформация; е2 логарифмическая
осевая деформация.
В процессе ковки стали может происходить уменьшение объема
на 0,6 и меди на 1,3%, если гидростатическое давление увеличится
на ЮОкгс/мм2; объем металла цезия при увеличении давления на
150 кгс/мм2 уменьшается на 30% (Унксов, 1961 г.). При холодной
прокатке со степенью обжатия 80 % плотность может уменьшиться
от 8,95 до 8,89 гс/см3. Результаты и сведения об изменении плот-
ности можно найти в публикациях Шелтона (1961 г.). Надаи
(1963 г.) дает ряд данных о, сжимаемости камней и ссылается на
испытания Ходжа и Макквина, которые считают, что в центре
земли железо и никель находятся при высоких температурах и под
давлением —60- 10е фунтс/дюйм2, поэтому они упруго сжаты не
менее чем до 1/2 их нормального объема.
___Дерево и. чугун (волокнистые материалы) при разгрузке после
сжатия приобретают первоначальный объем.
12
1.4. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ УСЛОВИЯ ПОСТОЯНСТВА
ОБЪЕМА
Для иллюстрации использования уравнения постоянства объема
при пластическом деформировании (1.10а) можно рассмотреть
пластину постоянной толщины /г0, медленно без трения прошивае-
мую пуансоном диаметром 2&0 с коническим торцом. В процессе
прошивки пластина деформируется и принимает форму, показан-
ную на рис. 1.4. Высота борта прошитого цилиндрического отвер-
стия И, а его толщина на расстоянии z от кромки борта — h.
Предполагаем, что каждый элемент
борта деформировался преимуще-
ственно под действием растягива-
ющих напряжений. Для пластины,
у которой h0/b0 мало, это предполо-
жение наиболее соответствует дей-
ствительности.
Из условия постоянства объема
для каждого элемента
2ns dshv = 2nfefl dzht, (1.11)
ln-^+ ln~+ ln-J- = 0;
s' h0 ' as
Рис. 1.4. Низкоскоростная про-
шивка пластины:
Er + ee + 8z — 0-
(1.10b)
1 — прошивень; 2 — борт; 3 —
где 8Г, ее И 8г логарифмические пластана
деформации соответственно в ради-
альном, тангенциальном направлениях и вдоль борта. Если
элемент деформируется только в тангенциальном направлении, то
две другие деформации (радиальная и вдоль) будут равны.
Учитывая (1.11), получим
Иначе
__________________. ь» н
0 0
Следовательно,
Г JL16»
[452]0=/ш
Эксперименты и практика показывают, что такое представление
0 процессе является слишком упрощенным, так как:
1) кромка F не острая, а закругленная в результате изгиба и
сдвига;
2) материал на торце борта растрескивается, и число трещин
®есьма велико; если бы трещины отсутствовали, то тангенциальная
Деформация была бы равна бесконечности.
13
В задачах 11—16 рассмотрены другие варианты прошивки.
Приведенный выше подход был дан Тейлором (1948 г.) Он
з
получил Н = —Ъо, но это из-за случайной ошибки. Динамический
анализ, учитывающий инерцию пластины, был дан Томсоном
(1955 г.), Зайдом и Паулем (1957 г.), Брауном (1964 г.). Подробно
результаты экспериментальных исследований приведены в статьях
«Hole Flanging», J. Strain Anal., 1973 г.
Тройник изготовляют отбортовкой маленького отверстия на
боковой поверхности трубы прошивнем, перемещающимся от оси
трубы к ее боковой поверхности. Для выполнения этой операции
трубу нагревают.
1.5. НЕКОТОРЫЕ ОТКЛОНЕНИЯ ОТ ДИАГРАММЫ
НАПРЯЖЕНИЕ — ДЕФОРМАЦИЯ, РАССМОТРЕННОЙ ВЫШЕ
Выше мы рассматривали поведение металлического образца
под действием непрерывно и медленно возрастающей нагрузки.
Важно иметь в виду, что характер деформирования и разрушения
любого металла в данном металлургическом состоянии зависит
также от скорости деформации, температуры и вида напряженного
состояния. При упругом растяжении образца чувствительный
экстенсометр покажет, что после разгрузки остается деформация
независимо от величины приложенной нагрузки. После приложе-
ния нагрузки к образцу деформация возрастает экспоненциально,
приближаясь к окончательному значению (кривая ОА на
рис. 1.5, а). После разгрузки деформация экспоненциально стре-
мится к нулю (кривая CD).
При постоянном напряжении почти при любой температуре
остаточная деформация увеличивается с очень малыми скоростями.
Это явление называют ползучестью (крипом). При упругом дефор-
мировании у большинства технических материалов при комнатной
температуре ползучесть почти незаметна. При относительно
высоких температурах, например в паровых или газовых турбинах,
изучение этого явления становится задачей первостепенной важ-
ности. Рассмотрение ползучести выходит за рамки этой книги, и
дальнейшую информацию читатель может получить в трудах Финни
и Хеллера (1959 г.), Пенни и Мариотта (1971 г.). Следует подчерк-
нуть, что в математической теории пластичности и упругости не
учитывают эти небольшие остаточные деформации, считают, что
деформирование не зависит от времени.
Если при испытании на растяжение разгрузить образец за
пределом текучести, а затем нагрузить снова, то на диаграмме
образуется петля гистерезиса. Кривые разгрузки АВС (рис. 1.5, б)
и повторного нагружения CDE почти параллельны первоначаль-
ной кривой упругого нагружения О А. Петля гистерезиса значи-
тельно увеличена на диаграмме, и, не учитывая действия непрерыв-
ной циклической нагрузки, можно считать деформацию упругой,
14
причем модуль Юнга не зависит от величины пластической дефор-
мации. ОС — остаточная деформация образца после разгрузки от
точки А. При повторном нагружении образца от точки С линию
нового нагружения можно считать прямой до достижения предела
текучести Y' (напряжение текучести Y’ выше первоначального
предела текучести У), и кривая Y’E становится фактически про-
должением линии YA. Заметим, что каждая точка на кривой YA
характеризует напряжение текучести.
Рис. 1.5. Отклонение от диаграммы напряжение—деформация:
а — упругое последействие после разгрузки при испытании на простое растяжение;
б — гистерезис: в — эффект Баушингера
Следует упомянуть о двух других явлениях: анизотропии и
эффекте Баушингера. При пластическом деформировании металла
происходит постепенный поворот кристаллографических- осей
каждого зерна в направлении наибольшей деформации удлинения,
благодаря чему появляется преимущественная ориентировка.
Например, металл до деформирования имел произвольную ориен-
тировку зерен (был изотропным), после него стал анизотропным.
Это значит, что результаты измерения предела текучести и опре-
деления пластических свойств зависят от направления, в котором
они проведены. Кук (1934 г.) показал, что в латуни после холодной
прокатки со значительным обжатием предел текучести в направле-
нии, перпендикулярном направлению прокатки, на 10% выше, чем
в направлении прокатки. (Заметим, что материал, у которого пре-
делы текучести при растяжении и сжатии различны в одних и тех
и<е направлениях, может быть еще изотропным.)
После пластического деформирования и снятия нагрузки
в микроскопических объемах металла появляются остаточные
Напряжения. В основном это следствие неоднородного распределе-
ния напряжений в зернах, различно ориентированных до раз-
грузки. Когда металл подвергали однородному растяжению до
точки Л (рис. 1.5, в) и разгрузке до точки В, затем однородному
сжатию, то обнаружили, что из-за остаточных напряжений предел
текучести соответствует Y" < Y'. Это эффект Баушингера, и он
наблюдается во всех случаях изменения знака (реверса) напря-
жений. При пластической неоднородной деформации и реверсивном
приложении напряжений эффект Баушингера важен, и им не
следует пренебрегать. В других случаях, включая эксперимен-
тальное определение кривых напряжение — деформация, когда
не больше одного реверса напряжений, эффект Баушингера можно
без ущерба не учитывать. Анизотропией в практике также часто
пренебрегают, но, где возможно, желательно определять ее
первоначальное значение и после пластического деформирования.
В последние годы большое внимание уделяют анизотропии в про-
катаных листах, предназначенных для глубокой вытяжки.
Остаточные напряжения и эффект Баушингера можно исклю-
чить отжигом, а изменить появившуюся ориентировку зерен
термической обработкой можно лишь при температурах выше
температур рекристаллизации.
1.6. ОСАДКА БЕЗ ТРЕНИЯ. ОДНОРОДНОЕ СЖАТИЕ
Если цилиндрическую заготовку из изотропного материала
осадить так, чтобы все элементы в один и тот же момент времени
испытали одну и ту же деформацию, то можно сказать, что она
подверглась однородному сжатию (рис. 1.6, а). Такую деформацию
можно наблюдать при осадке цилиндрической заготовки, высота
которой меньше 1/5 ее диаметра, между параллельными жесткими
плитами или штампами. Считают, что при этом в любой момент
деформирования поперечные сечения заготовки остаются круг-
лыми и увеличиваются в диаметре с одинаковой скоростью, т. е.
заготовка остается цилиндрической. Никакого образования бочко-
образности не происходит, все вертикальные образующие остаются
прямыми и вертикальными. Круглые торцы заготовки увеличи-
ваются, все элементы подвергаются или будут подвергаться
одинаковой деформации сжатия и получают одинаковое удлинение
в тангенциальном и радиальном направлениях.
Как указывалось выше, при осадке происходит однородная
деформация, если отсутствует трение на контактной поверхности, но
следует иметь в виду, что осадка без трения может (при плоской
деформации) привести к неоднородному сжатию. Однако в рассуж-
дениях этой главы будем предполагать, что осадка без трения
вызывает только однородную деформацию. Напомним, что однород-
ная деформация наблюдается при растяжении вплоть до момента
образования шейки.
Если цилиндрический образец из неупрочняемого материала
имеет предел текучести Y, первоначальную высоту Но и площадь
16
поперечного сечения Ао, и его подвергают однородному сжатию,
то сила, необходимая для начала пластического сжатия, равна
Д0У. Если в процессе осадки высота уменьшится до Н, то попереч-
ное сечение станет АйН0!Н, а сила сжатия, необходимая для
продолжения деформирования, F = A0H0Y/H. В этом случае
деформирующая сжимающая сила увеличивается по гиперболе.
Если текущее значение высоты заготовки Н, то ее бесконечно малое
Рис. 1.6. Однородное деформирование (а) цилиндрической заготовки, (все ква-
драты на продольном сечении становятся идентичными прямоугольниками)
и неоднородное деформирование (б) заготовки выдавливанием из контейнера
(все квадраты на диаметральном сечении изменяют форму; см. правую часть)
приращение dH. Приращение деформации сжатия dec, как дефор-
мации растяжения,
dec = — ^~. (1.12)
Общая деформация сжатия заготовки от Но и до h
<>>3>
Н„
Работу, которую необходимо совершить, чтобы произвести пласти-
ческую однородную деформацию сжатия образца, т.- е. однородно
уменьшить его высоту от Но до h, определяют следующим образом.
Пусть текущая высота образца Н получит приращение dH, совер-
шенная при этом работа будет определяться
dW = F (—dH) = (—dH).
Тогда вся работа, совершаемая при сжатии заготовки от Н^ до h,
h
___J (1.14)
17
Удельная работа деформирования материала
V/ 1ZI #0 IZ /1 ,г-\
w = П.15)
где ес — натуральная (истинная) деформация сжатия.
Конечно, если заготовка из неупрочняемого материала с перво-
начальной длиной h была однородно растянута до длины Но, то
удельная работа деформирования Ytt = Yin-~.
Поскольку работа не расходуется на преодоление трения между
заготовкой и плитами, а все элементы деформируются идентично,
то, следовательно, изменение формы заготовки происходит с мак-
симальной эффективностью, поэтому однородная деформация явля-
ется наиболее эффективным способом деформирования и часто
принимается за критерий, с которым сравнивают все другие спо-
собы деформирования, приводящие к той же конечной форме заго-
товки. Однородную деформацию никогда не наблюдают в обычных
технологических процессах обработки металлов давлением. Наи-
более близка к ней деформация, которая возникает в длинном
образце при простом растяжении.. Технологические операции
обработки металла включают дополнительную (более чем необхо-
димую) деформацию, и поэтому их эффективность меньше 100%
по сравнению с осадкой без трения или растяжением. Полезные
приблизительные расчеты можно выполнить для многих техноло-
гических операций, предполагая, что наблюдаемое изменение
формы вызвано однородной деформацией. Если предположить, что
заготовка длиной /г0 без трения была вытянута или выпрессована
так, что ее конечная длина стала Но, то (гл. 12) это изменение
формы было получено в результате неоднородного деформирования.
Это можно наблюдать, если сделать продольный разрез заготовки
и на его плоскость нанести квадратную сетку, а затем сложить обе
половинки цилиндра и выпрессовать их. Каждый квадрат сетки
становится параллелограммом (рис. 1.6, б), степень деформации
любого элемента изменяется от центральной оси к периферии.
1.7. ОБЫЧНЫЕ УПРОЩЕНИЯ ПРИ АНАЛИЗЕ НАПРЯЖЕННОГО
СОСТОЯНИЯ в ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ
1.7.1. Теория упругости изотропных тел
Теория упругости изучает методы определения напряжений и
деформаций при деформировании идеальных упругих тел. Мате-
риал образца является идеально упругим, если одновременно
с приложенными к нему силами появляются результирующие
деформации, одновременно с прекращением действия сил восста-
навливается первоначальная форма образца. В теории упругости
всегда предполагают, что твердое тело .является однородным и
изотропным, существует линейная зависимость между напряже-
18
ниями и деформациями и деформации весьма малы. Эти условия
означают, что (исключая несколько случаев, когда малые пере-
мещения являются результатом действия внешних сил) метод
суперпозиции деформаций и напряжений является законным и
при расчетах можно использовать первоначальную форму и
размеры тела.
Чтобы решить задачу теории упругости, т. е. определить напря-
жения в деформируемом теле, необходимо иметь следующее:
1. Уравнения равновесия между внутренними и внешними
силами. Это означает, что условия на поверхности твердого тела
должны быть известны.
2. Уравнение перемещений, описывающее геометрию дефор-
маций.
3. Обобщенные зависимости между напряжениями и дефор-
мациями.
Первый пункт находят с помощью статики, второй — с помощью
геометрии деформации, третий основан на специальных наблюде-
ниях экспериментальных исследований упругой деформации дан-
ного материала.
Математически не всегда возможно получить точное решение
частной задачи теории упругости. В таких случаях для получения
решения принимают определенные допущения с учетом экспери-
ментальных данных. Это все задачи сопротивления материалов.
Например, при вычислении нормальных и касательных напряже-
ний в нагруженной балке предполагают, что поперечные сечения,
плоские до изгиба, остаются плоскими и после него. Нормальные и
касательные напряжения определяют в этом случае из условия
равновесия. Хотя расчеты физически или математически неточны
из-за пренебрежения искажением поперечного сечения, но сравне-
ние с экспериментом показывает, что их точность вполне доста-
точна для практического использования. Во всех этих случаях,
точность расчетов должна быть проверена экспериментально.
Упругие константы находят при проведении простых испыта-
ний. Обычно значения модуля Юнга Е и модуля сдвига 6 опреде-
ляют экспериментально, а затем вычисляют объемный модуль
Упругости К и коэффициент Пуассона у. В общем случае для
решения частной задачи необходимо знать две любые упругие
константы. Удобнее использовать Е и у. Однако G и К следует
считать более фундаментальными, поскольку при любой деформа-
ции происходит изменение формы и изменение объема.
1.7.2. Теория пластичности
Теория пластичности изучает методы определения напряжений
и Деформаций в полностью и частично пластически деформирован-
ном теле. Аналогично теории упругости необходимо составить
Уравнения равновесия и геометрические уравнения, а также экспе-
риментально определит^зависимости между напряжением и при-
РаЩениями деформации.
19
Самой трудной задачей, решаемой в теории пластичности,
является исследование нагружения, при котором в одной части
тела деформации пластические, а в другой — упругие. В этом
случае пластические деформации соизмеримы с упругими, и трудно
использовать геометрические уравнения и зависимости между
напряжениями и деформациями. Вот почему очень мало закончен-
ных решений таких задач. Если пластические деформации значи-
тельны по сравнению с упругими, то определение формоизменения
$
Рис. 1.7. Схематизированные
диаграммы напряжение — де-
формация для динамических мо-
делей:
а — идеальной упругой; б — иде-
альной жесткопластической; в —
жесткопластической с линейным
упрочнением; г — идеальной упру-
гопластической; д — упругопла-
стической с линейным упрочнением
является наиболее важной задачей. Возможность пренебречь
упругими деформациями существенно упрощает решение.
Основные соотношения между напряжениями и деформациями
должны включать:
1) соотношение между напряжением и упругой деформацией;
2) условие перехода в пластическое состояние, что указывает
на начало пластического течения;
3) соотношения между напряжением и пластической деформа-
цией или между напряжением и приращением пластической
деформации.
Соотношение между напряжением и деформацией в некоторых
случаях должно учитывать упрочнение, хотя обычно эффект упроч-
нения учесть не удается. Указанные выше соотношения базируются
на экспериментах, проведенных при однородных напряженных
состояниях. Возможность их использования для схем с неоднород-
ными напряжениями должна быть подтверждена экспериментально.
Необходимо иметь в виду, что действительные соотношения между
напряжением и деформацией зависят от скорости деформации и
20
температуры, поэтому очень важно получить экспериментальную
кривую напряжение — деформация для условий, подобных суще-
ствующим в рассматриваемой заготовке. Для получения решения
необходимо идеализировать зависимости между напряжением и
деформацией. В некоторых случаях возможно пренебречь упругой
деформацией и упрочнением. При любой идеализации диаграммы
напряжение — деформация необходимо всегда исследовать резуль-
таты и быть готовым ограничить область применения полученного
решения. На рис. 1.7 показаны такие идеализированные диаграммы
для одноосного напряженного состояния и их динамические модели.
Удлинение пружин пропорционально приложенной силе, что
характеризует упругий материал (рис. 1.7, а). Согласно
рис. 1.7, б образец подвергается сухому (твердому) трению; он
начинает двигаться, как только приложенная сила достигает
некоторого значения, и движется под действием постоянной силы.
Остальные диаграммы напряжение — деформация являются ком-
бинациями этих двух простейших моделей и не дают представления
об истинном поведении металла при разгрузке, т. е. когда Р
уменьшается от максимального значения до нуля.
1.8. ЭМПИРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КРИВЫХ
НАПРЯЖЕНИЕ — ДЕФОРМАЦИЯ
Для решения некоторых простых задач пластичности полезно
использовать эмпирические уравнения для кривых напряжение —
деформация. В следующих ниже уравнениях будет использовано
логарифмическое определение деформации. Необходимо помнить,
что если уравнения употребляются для определения упругопласти-
ческой деформации, когда пластическая деформация соизмерима
с упругой, то использование упрощенных решений является
предпочтительным.
1. Уравнение Людвика
о = УД-Де". (1.16)
А. Когда п = 1, уравнение характеризует материал, который
остается жестким вплоть до достижения предела текучести Y,
затем происходит деформация при постоянной скорости деформа-
ционного упрочнения Н. Оно может быть использовано для
исследования холодной пластической деформации и дает особенно
хорошие результаты для полутвердого алюминия. Этот случай
показан на рис. 1.7, в.
Б. Случай, когда 0 < п < 1, показан на рис. 1.8, а. Это выра-
жение применимо, если упругими деформациями при анализе
можно пренебречь. Кривые при Y = 0 даны на рис. 1.8, б'. Отме-
тим, что doldE для всех п 1 бесконечно при е = 0, поэтому
выражение нельзя применять при малых деформациях.
2- Другой расгфостраненный вариант построения кривой на-
нряжение — деформация — использование двух билинейных или
21
многих мультилинейных отношений между деформацией и на-
пряжением. Это показано на рис. 1.8, в, где а — Ее и изменяется
от 0 до У; о = Ръ — от У и далее; Е можно рассматривать как
модуль упругости, а Р — как модуль пластичности.
3. Вос (1948 г.) предложил выражение о = а + (Ь — о){1 —
— ехр (—ne)j, где а, Ь, п — константы. Оно описывает кривую
напряжение — деформация, но из-за своей сложности редко ис-
пользуется в теоретическом анализе.
Рис. 1.8. Схематизированные диаграммы для материала:
а — жесткопластического упрочняемого; б — с характеристикой О — Неп; в — упроч-
нение которого характеризуется двумя линейными участками G — Ее (от 0 до У); <г =*
= Ре (от У)
4. Формула Свифта в упрощенной форме
о = с (а ф- в)", 0<н<1, (1-17)
где с, а и п — константы для данного материала. Это более точное
уравнение для больших деформаций по сравнению с первым
случаем, но алгебраические выкладки, к которым приводит его
использование, могут быть очень сложными. Можно считать, что
оно определяет соотношение между напряжением и деформацией
для материалов, подвергшихся холодной обработке или упрочне-
нию при простом растяжении до деформации а, после отжига,
где е — величина последующей деформации.
5. Прагер предложил выражение
о = У tg’(Ее/У). (1.18)
В этом случае кривая упрочнения является функцией гиперболи-
ческого тангенса деформации. При возрастании Е е достаточно
быстро приближается к У.
1.9. ЭМПИРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И МАКСИМАЛЬНАЯ
НАГРУЗКА ПРИ ПРОСТОМ РАСТЯЖЕНИИ
При максимальной нагрузке в условиях простого растяжения
было установлено [см. уравнение (1.8)], что
—(Т а ----- (1.8)
— = — или -j- = -Г-;---•
22
Если эмпирическое уравнение кривой истинное напряжение —•
логарифмическая деформация есть о = A'sn, где А и п — кон-
станты, то dc/de, = А'пе"-1 и о = А'еп. Тогда используя (1.8),
найдем, что е = п. Логарифмическая деформация при максималь-
ной нагрузке равна показателю степени п. Если аналогично задано
эмпирическое уравнение о =Вет, то можно показать, что при
максимальной нагрузке е = т/(1 —т). Для пластических мате-
риалов кривая напряжение — относительная деформация зада-
ется уравнением о = 32с'-22, где о измеряют в тс/дюйм2. Легко
можно показать, что при максимальной нагрузке в условиях
Рис. 1.9. Двухстержне-
вая подвеска:
й — до нагружения; б —
при максимальной нагрузке
простого растяжения относительная деформация равна 0,282 и
напряжение 18,8 тс/дюйм2.
Постоянные значения коэффициентов в этих эмпирических
уравнениях не всегда позволяют получать удовлетворительные
результаты. Они могут быть таковы, что для некоторой области
деформации расчетная и экспериментальная кривые имеют хоро-
шую сходимость, но вне этой области могут быть весьма, большие
расхождения.
На рис. 1.9 изображена двухстержневая подвеска, стержни
которой в точке С соединены шарниром, а в фиксированных
точках А и В, находящихся на расстоянии 2h0 друг от друга по
горизонтали, подвешены шарнирно. Стержни одинаковые, и
кривая напряжение — относительная деформация для материала,
из которого они изготовлены, описывается уравнением о =Вет.
Найдем максимальную силу W, которую может выдержать подвеска.
Когда два стержня несут максимальную нагрузку Р, имеем
Р ~ Ас = АоОтД! -j- еТ), где До — начальная площадь попереч-
ного сечения стержня; оу и ет — истинное напряжение и относи-
тельная деформация, соответствующие временному сопротивле-
нию овр.
Выше было показано, что ет = ml(l —tri) и от = В Im/(1 —
>ri)]m, так что Р = АГ)В m’n (1 —т)1-"1. Теперь W — 2Р cos 6
И cos 6 = 1/ —-------hn / (—
Г (1— т)2
23
Таким образом
2А вВтт (1—т)1~т f / / /0 \2 Д*
=—U(r=^j— Г ~ /1° =
= 2А0Втт(1~т)1~т 1 — )* •
1.10. ОСАДКА УПРОЧНЯЕМОГО МАТЕРИАЛА.
АДИАБАТИЧЕСКОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
Работу, совершаемую при однородном сжатии цилиндрической
заготовки высотой //0 без трения до высоты h, когда кривая истин-
ное напряжение — логарифмическая деформация описана эмпи-
рическим уравнением [см. выражение (1.8)1 о = А'еп, определяем
по формуле
h h
W=^-AedH = \~ A0Hb (Aen) -d-±L,
H„ Ho
где Ao — первоначальное, A — текущее значение поперечного
сечения. Но —dHlH = de, где е — логарифмическая (натураль-
ная) деформация сжатия, и поэтому
W
А0Нд
'е«+11е д, (\nH/h)n+l
п т 1 ]о — я п + 1
(1.19)
= А'
Правая часть последнего выражения — площадь под соответству-
ющей кривой напряжение — деформация от 0 до е.
При пластическом сжатии выделяется теплота, поэтому повы-
шается температура материала. Можно определить возможное
повышение температуры, предполагая, что при адиабатном сжатии
работа пластической деформации полностью превращается в теп-
лоту и свойства материала образца не изменяются. Для идеального
пластического материала
АоЯорс AOJ = AgHgY In H/h\
АО = In Ж, (1.20)
где р — удельная сила тяжести; с — удельная теплоемкость;
J — механический эквивалент теплоты и АО — приращение тем-
пературы.
Например, при комнатной температуре у сверхчистого алюми-
ния р = 0,0975 фунтс/дюйм3, с = 0,21 ккал/(кгс- град); J =
= 1400 кгс-фут/ккал, Y = 18 000 фунтс/дюйм2. Если образец
сжать и его высота уменьшится в 2 раза, т. е. In H/h 0,7; тогда
др_ 18 0001ПЙ _ 12600 .
(1400-12) (0,0975-0,21) “ 345
24
Этот пример доказывает, что если металл подвергнуть холодной
обработке, в данном случае сжатию до определенной степени, то
повышение температуры, вызванное работой пластической дефор-
мации, будет не настолько велико, чтобы изменить его свойства.
1.11. ХРУПКИЕ И ПЛАСТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ.
РАЗРУШЕНИЕ ОТРЫВОМ И СРЕЗОМ.
КРИТИЧЕСКИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
Издавна сложилось, что мнение инженера о материале, хрупкий
он или пластический, основывалось на поведении данного мате-
риала при простом испытании на растяжение. Чугунный образец
считают хрупким, так как он разрушается при малейшем деформи-
ровании, и трещины располагаются перпендикулярно продольной
оси. Такое поведение чугуна объясняется тем, что содержащийся
в нем свободный графит делает его похожим на некоторые неметал-
лические хрупкие субстанции. С другой стороны, чашеобразная
трещина, возникающая в образце из мягкой стали при растяже-
нии, признак пластичности металла. Если же мягкую сталь нагру-
жать очень быстро, то она будет вести себя как хрупкий материал.
Видимо, при рассмотрении всех материалов, кроме чугуна, целесо-
образнее говорить о разрушении отрывом и сдвигом.
Как уже указывалось, после достижения максимальной на-
грузки при испытании на растяжение начинает образовываться
шейка, что свидетельствует о появлении трехосной схемы напря-
женного состояния. С этого момента и до появления трещины дефор-
мирование происходит под действием сложной и постепенно изме-
няющейся трехосной схемы напряжений растяжения, в основном
в шейке.
Бриджмен (1944 г.), Давиденков и Спиридонова (1946 г.)
показали, что максимум трехосных напряжений достигается на
продольной оси, а минимум вблизи боковой поверхности образца.
Трещина сначала появляется у оси и перпендикулярна ей; при
макроскопическом рассмотрении оказывается, что разрушение
происходит отрывом. Ближе к боковой поверхности форма тре-
щины изменяется, она развивается уже в результате сдвига, а не
отрыва. Заметим, что разрушение отрывом происходит после появ-
ления больших пластических деформаций; при нормальных
испытаниях на растяжение в условиях комнатной температуры
разрушение обычно происходит в результате отрыва и сдвига.
Понижение температуры увеличивает вероятность появления
трещин отрывом. Паркер, Дэвис и Фланиган (1946 г.) показали,
что при достаточно низкой температуре чашеобразная трещина
в образце из мягкой стали превращается в трещину отрыва,
похожую на трещину в образце из чугуна, испытывавшегося при
комнатной температуре. Особенно много исследований влияния
температуры на форму трещин проводилось в военные 1939—-------
1945 гг. после разрушений некоторых сварных конструкций.
25
Замечено, что для образцов из некоторых материалов и определен-
ных размеров при заданной схеме напряжений и методе испытаний
существует критическая температура, выше которой металл пла-
стический, а ниже — хрупкий. Эта низкотемпературная хрупкость
была отмечена Типпером (1957 г.). Большинство опытов проводили
с мягкой сталью, но это явление было замечено и в других метал-
лах: молибдене, хроме, олове. Поведение олова во время испыта-
ний на растяжение при различных температурах показано на
рис. 1.10 (Магнуссон, Балдвин, 1954 г.). Из графиков на рисунке
ясно, что существует небольшой интервал температур, ниже
Рис. 1.10. Влияние температуры и скорости деформации на пластичность при
растяжении образца из олова с объемно-центрированной тетрагональной решет-
кой (по данным Магнуссона и Балдвина):
® — 0,05 дюйм (дюйм/мин); Д — 10 дюйм (дюйм/мин); X — 100 дюйм (дюйм/мин);
О — 19 000 дюйм (дюйм/мин)
которого сужение площади поперечного сечения мало и почти
одинаково, а выше — довольно велико и почти одинаково.
Для алюминия, меди, никеля, золота, серебра, платины и
большинства их сплавов, а также аустенитных нержавеющих
сталей не существует критической температуры. Они являются
пластическими, а следовательно, пригодны для пластического
деформирования при любых температурах.
Большинство сталей и цинк становятся хрупкими при темпера-
туре значительно ниже комнатной и поэтому их нельзя пласти-
чески деформировать в этих температурных условиях. Магний и
его сплавы, вольфрам, молибден при комнатной температуре
недостаточно пластичны, чтобы их пластически деформировать.
Обрабатывать вольфрам, как правило, можно при температуре не
ниже 400° С.
1.12. ВЛИЯНИЕ ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ
Давно известно, что гидростатическое давление, или давление
жидкости, влияет на изменение физических свойств металлов.
Многие исследования, проведенные в этих условиях, имеют боль-
26
шое практическое значение, поэтому о них стоит сказать. Карман
в 1911 г., испытывая песчаник и мрамор на сжатие под давлением
жидкости, показал, что хрупкие при атмосферном давлении, они
разбухают и деформируются так же, как и пластические. Бокер
(1914 г.) исследовал способность мрамора и литого цинка деформи-
роваться под действием давления жидкости и одновременном
растяжении и кручении. При этом образцы были завернуты в ла-
тунную фольгу, чтобы вода не попадала в образовывающиеся
трещины. Результаты, полученные этими двумя исследователями,
показали, что пластичность увеличивается с повышением давле-
ния. Бриджмен (1947, 1952 гг.) провел испытания на растяжение
образцов из металлических и неметаллических материалов с покры-
тиями и без покрытий при очень высоких давлениях (25 000 атм).
Эти опыты показали, что некоторые материалы сжимаемы, хотя
после снятия нагрузки деформация почти исчезает. Однако при
давлениях, используемых в процессах металлообработки, сжи-
маемость очень мала. Бриджмен при испытании образцов из мяг-
кой стали обнаружил, что с ростом гидростатического давления
характер разрушения изменяется. Разрушение типа чашечки и
конуса переходит в разрушение со значительным сужением попе-
речного сечения, вызываемое касательными напряжениями. По
мнению Бриджмена, опубликовавшего около 200 статей о влиянии
высокого давления на поведение материалов, для того, чтобы
произошло разрушение, дыры и трещины должны увеличиваться,
а гидростатическое давление препятствует этому — закрывает их
или замедляет их развитие.
Следует отметить, что многие материалы после снятия давления
возвращаются в исходное состояние, но это не всегда так. Иногда
в них происходят аллотропные превращения. Успешное протека-
ние многих химических процессов зависит от воздействия высоких
давлений. Значительный интерес к изучению этого явления
проявляют геологи и геофизики. Бредхауэр (1956 г.) исследовал
поведение образцов из скальных пород, покрытых оболочками,
под действием среднего гидростатического давления (0—
15 000 фунтс/дюйм2) осевого сжатия, и переход из хрупкого состоя-
ния в пластическое. Это очень важно для нефтедобывающей про-
мышленности, поскольку давления, возникающие при бурении
глубоких скважин, соответствуют рассмотренным в работе.
Результаты исследований Роса и Эйхингера (1929 г.) при осадке
чугунных образцов, Кука (1934 г.) на кручение медных и стальных,
а также Кроссланда (1954 г.) на кручение образцов из других
материалов, включая медь и сталь, согласуются с данными Бридж-
мена: давление оказывает небольшое влияние на изменение пре-
дела текучести и на напряжение текучести пластических мате-
риалов. При испытаниях на кручение образца из серого чугуна,
покрытого резиной, под давлением до 35 тс/дюйм2 Кроссланд и
Дирден (1958 г.) выяснили, что диаграмма касательное напряже-
ние — деформация проходит выше диаграммы, полученной при
27
обычных испытаниях, хотя касательные напряжения увеличи-
ваются не строго пропорционально давлению. При высоких давле-
ниях материал становится близким к идеальному пластическому.
Кроссланд и Митра (1968 г., не опубликовано) установили,
что напряжение текучести, определяемое по кривой напряжение —
деформация для некоторых сталей при кручении, меняется незначи-
тельно, если одновременно действует гидростатическое давление
до 140 000 фунтс/дюйм2. Они подтвердили, что давление влияет
в основном на пластичность при кручении. Она увеличивается
приблизительно пропорционально повышающемуся давлению. При
воздействии высокого давления на металлы с гексагональной
кристаллической решеткой (магний) при кручении они наблюдали
некоторые необычные явления. Эти результаты очень полезны,
поскольку их можно использовать для разработки процессов,
которые не могут протекать удовлетворительно при комнатной
температуре. Так, при выдавливании с высоким противодавлением
жидкости были получены удовлетворительные результаты (Пух
и Грин, 1958 г.). Изделие выдавливалось не в воздух, как обычно,
а в контейнер, наполненный жидкостью под давлением (прессова-
ние с противодавлением). Прессование с противодавлением изде-
лий из таких материалов, как магний и висмут, которые при холод-
ном прессовании растрескиваются, позволяет получить гораздо
лучшие результаты. Гидростатическое давление, действуя на
материал, препятствует образованию трещин. Экспериментальные
данные показывают, что приложенное гидростатическое давление,
равное 2—3 тс/дюйм2, может быть достаточным для предотвраще-
ния растрескивания магния и висмута при небольших обжатиях.
Возможность холодного прессования больших металлических
фланцев под гидростатическим давлением во избежание трещин
исследовалась Александером и Ленгиелом (1964 г.). Алюминиевые
и медные фланцы выдавливали при давлениях жидкости 10, 20
и 25 тс/дюйм2. С увеличением давления образование трещин во
фланцах начиналось позднее.
Интересный обзор первых работ по изучению влияния высокого
давления на металлы и описание вклада в эту область русских
исследователей можно- найти вТкнигах Береснева, Верещагина,
Рябинина и Лифшица (1960 г.)
Промышленное применение гидростатического давления для
деформирования металлов обсуждалось на конференции по техни-
ческому применению высоких давлений (1967 г.) и Международной
конференции по технологии машиностроения (1967 г.). Современ-
ными публикациями являются две книги, изданные Пухом (1970,
1971 гг.). Таким образом условия пластического течения теперь
хорошо известны, что нельзя сказать о развитии разрушения. Мы
можем только описывать те факты, которые препятствуют появле-
нию трещин и способствуют течению. Создание гидростатического
давления при простом испытании на растяжение может исключать
появление напряжений растяжения и способствовать пластиче-
28
скому течению. С другой стороны, наличие флокенов, трещин,
зазубрин в образце под нагрузкой может привести к развитию
высоких трехосных напряжений, и при определенных условиях
может произойти хрупкое разрушение. Принято считать, что
пазрушение происходит под действием главных растягивающих
напряжений или деформаций, а течение, как будет показано
в гл. 4, — под действием разности главных напряжений.
1.13. СКОРОСТЬ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ПРОСТОМ одноосном
СЖАТИИ И РАСТЯЖЕНИИ
Представьте молот, жесткий боек или штамп. Его скорость —•
v в момент времени t при первом соприкосновении с круглым
торцом цилиндрической заготовки, первоначальная высота кото-
рой Но и текущая Н. Она установлена на жестком основании и
подвергается однородному сжатию. Тогда приращение логарифми-
ческой деформации при сжатии d!e за время dt равна dH/H. Ско-
рость этой деформации е или de/dt
• de dH/Н 1 dH v
e = ^- =---dT — ~H~di----H> (L21)
скорость относительной деформации
• dH/HB _ 1 dH v n
dt ~~ HB dt “ HB '
Заметим, что размерность скорости деформации — время-1.
Если баба молота опускается на заготовку со скоростью п0 и вся ее
кинетическая энергия расходуется на работу пластической дефор-
мации заготовки, то осадка заканчивается в момент времени Т,
когда деформация равна е0 или е0 и высота заготовки уменьшилась
от Нв до h.
1. Простая средняя скорость логарифмической деформации
* ео ео еоГо — In HB[h ,.
T~ (HB — h)/(vB/2) " 2(HB — h) - 2 (H0 — h)'
Из этого следует, что она прямо пропорциональна отношению
логарифмической деформации к осадке (Но — h).
2. Простая средняя скорость относительной линейной дефор-
мации
р _ ео __ _____^0______ _ (Но---h)/HB ___ VB /, ОДД
Т (HB-h)/(vB/2) - (H0-h)/(v0/2) 2НВ‘
Таким образом средняя скорость относительной линейной де-
формации равна половине начальной. Когда цилиндрическую
готовку осаживают на молоте, то практически ее средняя ско-
рость чуть больше % начальной.
29
Очевидно, что при испытании на растяжение скорость логариф-
мической деформации е =, где v — есть скорость увеличения
текущей калибровочной длины образца Н. Аналогично, е = е/Н0.
Заметим, что при растяжении образца из легированной мягкой
стали, калибровочная длина которого 8 дюймов, до относительной
линейной деформации 0,25 за 10 мин при скорости движения захва-
тов машины 0,2 дюйм/мин средняя относительная линейная ско-
рость деформации меньше 10~3 1/с.
1. 14. ХОЛОДНАЯ И ГОРЯЧАЯ ОБРАБОТКА. РЕКРИСТАЛЛИЗАЦИЯ ,!
И ЕЕ ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ТЕМПЕРАТУРА !
5
Холодная обработка. По определению, холодная 1
штамповка или холодная обработка — это деформирование при
комнатной температуре. Более точно, металлы подвергаются холод-
ной обработке, если они постепенно упрочняются во время этого >
процесса (например, обычное испытание на растяжение). Почти !
все металлы упрочняются при комнатной температуре. Чистый .
Рис. 1.11. Кривые напряжение—деформация в условиях квазистатического И
сжатия (ё ~ 10~s 1/с): ' |
а — для сверхчистого алюминия (по данным Барайя, Джонсона, Слатера); б —для
отожженной меди (по данным Махтаба, Джонсона, Слатера) '
: ?
В
свинец, олово и кадмий постепенно упрочняются только при темпе-
ратурах ниже комнатной, то же следует сказать и о цинке. Если
эти металлы деформировать, а затем оставить при комнатной д
температуре, они снова станут мягкими или разупрочненными
через некоторое время.
Г о р я ч а я о б р а б от к а. Во время пластической дефор- |
мации происходит образование, движение и зацепление дислока-
30
ций. Чем больше степень деформации, тем большее число Дислока-
ций образуется. Однако их взаимодействие и препятствие движе-
нию требуют больших напряжений для поддержания состояния
движения и, следовательно, для дальнейшего пластического тече-
ния. Так упрощенно можно объяснить упрочнение.
Выше некоторой температуры — температуры рекристаллиза-
ции Тг металл можно обрабатывать, и он не упрочняется как после
незначительной деформации, так и при последующей деформации,
как велика бы она не была: напряжение текучести в процессе,
например, сжатия остается постоянным (рис. 1.11). Устанавли-
вается равновесие между упрочне-
нием и разупрочнением. Это два
противоположных процесса. Одина-
ковый эффект при протекании про-
цессов упрочнения и разупрочнения
наблюдается в узком интервале
температур вблизи Т г. До этого ин-
тервала наблюдается интенсивное
упрочнение материала в процессе
деформирования, а после него —
напряжение текучести остается по-
стоянным, но при высоких скоростях
деформирования оно изменяется.
Процесс разупрочнения есть разуль-
тат рекристаллизации и роста зерен.
Интенсивность этих процессов зави-
сит от температуры.
На рис. 1.11, а и б, показаны
кривые для металлов, испытанных
Рис. 1.12. Кривые напряжение
сжатия—деформация (е=1014-
-V- 10г 1/с) для стали при 1000° С
(по данным Кука)
на сжатие при небольших скоростях деформации (—1СГ3 1/с).
Результаты испытаний, полученные с помощью пластометра при
высоких скоростях деформации [- (10—102) 1/с] и температурах
выше и ниже температуры кристаллизации, приведены на
рис. 1.12.
Рекристаллизация и относительная
темпер атура. Очень важным критерием при изучении термо-
механических режимов обработки металлов давлением, определяе-
мых напряжением, деформацией, скоростью деформации и темпе-
ратурой, является относительная температура.
у, температура испытания (К)
m температура плавления (К)
Приведение к относительной температуре упрощает сравнение
металлов с разными температурами плавления. Так, температура
рекристаллизации, найденная таким способом, обычно равна
>4—0,5. Однако температура рекристаллизации существенно
зависит от величины деформации и скорости деформирования, и
нриведенные выше цифры можно оценивать, как приблизительные.
31
В основу испытаний материалов на твердость положено соотно-
шение между напряжением и деформацией, благодаря чему можно
получить представление о поведении материала в целом. Твердость
есть среднее значение напряжения текучести для данной средней
деформации.
На рис. 1.13, а и б показано влияние температуры рекристал-
лизации на удельное усилие статического вдавливания конуса
с углом при вершине 90° при разных температурах и наличии
смазки. На рис. 1.13, а наблюдается изменение наклона, а на
рис. 1.13, б — скачок. Основная роль температуры рекристаллиза-
Рис. 1.13. Влияние температуры рекристаллизации отожженой меди (а) и отож-
женого алюминия (б) на удельное усилие вдавливания и влияние деформации
на температуру рекристаллизации (в) (по данным Махтаба, Джонсона, Слатера)
ции теперь очевидна. Влияние деформации при сжатии на темпе-
ратуру рекристаллизации показано на рис. 1.13, в. Область
температуры рекристаллизации четко выделена характерным
изменением наклона.
Холодную и горячую обработку различают по Тг. Холодная
деформация происходит при температурах ниже Тг, горячая —
выше Тг. Термин теплая деформация иногда применяют в описании
процессов обработки давлением при температурах выше комнатной,
но ниже температуры рекристаллизации.
Описание поведения металлов при температурах ниже комнат-
ной можно найти в работе Коффина и Конрада (1965 г.).
1.15. ЗАВИСИМОСТЬ СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИИ
ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ РЕКРИСТАЛЛИЗАЦИИ
На рис. 1.14 показано изменение логарифма напряжения сжа-
тия Y (40% сжатия) в зависимости от скорости логарифмической
деформации при различных температурах образца из алюминия
(Алдер и Филипс, 1954 г.). Если предположить, что
Y^Y^n, (1.25)
32
наклон прямых линий (рис. 1.14) определяет значение коэффи-
циента п. Другие исследователи тоже получили подобные резуль-
таты. Можно отметить, что уравнение
(1 25) хорошо удовлетворяет всем
экспериментальным данным, кроме
полученных при температуре рекри-
сталлизации. В табл. 1.1 приведены
значения п, соответствующие скоро-
стям деформации от 1 до 40 1/с.
Изучение изменения показателя
п в зависимости от скорости дефор-
мации при сжатии до 0,5 1/с и от-
носительной температуры с исполь-
зованием данных Алдера и Филипса
показывает, что для:
Рис. 1.14. Влияние скорости де-
формации на напряжение при
осадке образцов из алюминия
со степенью деформации 40%
(по данным Алдера, Филипса)
а) Тг<0,55; 0,055;
б) ^>0,55; п^0,43.
диаграммы
Эти значения, полученные для меди
и мягкой стали, могут быть исполь-
зованы при построении
для алюминия.
Если нижние три линии на
рис. 1.14 (температура выше Т г)
экстраполировать, то они пересе-
кутся.
Таблица 1.1
Металл Температура, °C Значение п для осадки
10% 30% 50%
Алюминий 18 0,013 0,018 0,020
350 0,055 0,073 0,088
550 0,130 0,141 0,155
Медь 18 0,001 0,002 0,010
450 0,001 0,008 0,031
900 0,134 0,154 0,190
Мягкая сталь 930 0,088 0,094 0,105
—.—. . 1200 0,116 0,141 0,196
2 У.
Джонсон
33
1.16. РАЗУПРОЧНЕНИЕ ПРИ СЖАТИИ
При температуре ниже температуры рекристаллизации скорость
разупрочнения мала, и металлы упрочняются, а выше скорости
упрочнения и разупрочнения становятся равными, напряжение
текучести — постоянным. Это рассуждение не учитывает, что
во время сжатия образца совершается работа и повышается темпе-
ратура самого образца. В широком интервале температур любое
незначительное ее увеличение существенно не влияет на процесс
деформирования, но при достижении критической точки это повы-
шение может сыграть решающую роль. Имея это в виду, нужно
ожидать, что существует область, где интегральная скорость
разупрочнения выше скорости упрочнения. Эксперименты с ис-
пользованием пластометра показывают, что при достаточно высо-
ких постоянных скоростях деформации и повышенной температуре
предел текучести в металле может действительно уменьшаться
с увеличением степени деформации (см. рис. 1.12). Это явление
известно в практике, поскольку сообщалось, что чем дольше
подвергают обработке некоторые материалы, тем легче их обраба-
тывать давлением.
1.17. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДИНАМИЧЕСКИМ
И СТАТИЧЕСКИМ ПРЕДЕЛАМИ ТЕКУЧЕСТИ
Изучать распределения статического и динамического напря-
жений в металле при температуре выше и ниже Тг можно, напри-
мер, при кручении, вдавливании, испытании на удар, растяже-
нии и сжатии. Однако некоторые исследования позволяют опре-
делить только изменение отношения динамического напряжения
текучести од к статическому os (т. е. напряжений текучести при
заданной деформации) для разных температур. Статическое на-
пряжение текучести есть напряжение при скорости деформации
?г>'10~а 1/с, которая типична для малоскоростных испытательных
прессов. Динамические напряжения текучести есть напряжения,
возникающие при ударных нагрузках, например при деформиро-
вании заготовки на молоте со скоростью 103 1/с. Таким образом,
gd/<5s соответствует отношению скоростей деформации, равному
10®. На рис. 1.15 показано изменение gd/gs стали и меди в зависи-
мости от температуры. Данные о статическом нагружении полу-
чены в результате проведения опытов на медленное сжатие, а о ди-
намическом — при стрельбе горячими и холодными пулями с пло-
ским торцом по неподвижной наковальне (Хаукьярд, Итон, Джон-
сон, 1968 г.). Результаты исследований, проведенных при больших
деформациях, показывают:
1) влияние скорости деформации при температуре ниже Т г
выражается не резко и приводит к тому, что 1 < gd/gs < 2;
2) если температура выше Т г, то cD/us очень чувствительно
к изменению скорости деформации; для многих металлов при
Тн = 0,6 4-0,7 эти отношения достигают 10.
34
Эти простые факты не очень широко известны. Пункт 2 очень
важен, так как из него следует, что во время обработки горячего
металла при температуре выше Тг и больших скоростях его сопро-
тивление деформированию резко возрастает. Как показано на
рис. 1.15, медь и сталь, обработанные при высоких скоростях и
температуре чуть выше Тн = 0,5, упрочнены почти так же, как
если бы их медленно обрабатывали при комнатной температуре.
Пункт 2 может быть подтвержден следующим. Если заготовку из
Рис. 1.15. Зависимость среднего динамического сгд> (0 и среднего статического
os (2) пределов текучести отожженной мягкой стали (а) й холоднотянутой меди (б)
от температуры (по данным Хокнерта, Итона, Джонса)
сверхчистого алюминия подвергнуть простому сжатию на испыта-
тельной машине при 490° С (Спикмен, 1966 г.), то предел текучести
будет равным 500 фунтс/дюйм2. При ударе бойка массой 15,7 фунта
по образцу длиной и высотой 1 дюйм со скоростью 31,1 фут/с
(с высоты 16 футов) получаем степень деформации 0,64 при лога-
рифмической скорости распространения средней деформации
263 1/с. Можно подсчитать, что среднее значение предела теку-
чести будет 6000 фунтс/дюйм2. Пользуясь (1.15) и приравнивая
потенциальную энергию работе пластического деформирования,
получим
у _ 4-15,7-16,12
У л-0,64
Отношение динамического напряжения текучести к статиче-
скому составляет «Л2. При стрельбе конусом с углом при вершине
90° (скорость 200 фут/с) по горячему алюминию (500° С) и меди
(600° С) отношение среднего напряжения текучести к напряжению
текучести, определенному при статическом нагружении, составляет
2* 35
32 для алюминия и 16 для меди (Махтаб, Джонсон, Слатер, 1965 г.).
Результаты, полученные Хоккетом в 1966 г., представлены на
рис. 1.16. Для более подробного изучения необходимо обратиться
к работам Сузуки и др. (1968 г.) и Саманта (1968 и 1969 гг.).
Замечательная работа по испытанию на растяжение при высо-
ких температурах и больших скоростях была выполнена Манджой-
ном и Надаи (1940 г.). В дальнейшем Манджойн (1944 г.) проводил
испытания при скоростях деформации 10-в 1/с—103 1/с и темпера-
30 +• Истинное
напряжение,
Фунтс/дюй.м%'1()3
25-~ 25
Истинная
деформация
Рис. 1.16. Зависимость истинного напряжения от логарифмической деформации
и температуры для алюминия (истинные деформации 6 = 0,3)
турах 25—600° С. Было обнаружено, что при комнатной темпера-
туре предел прочности на разрыв немного уменьшается с уменьше-
нием скорости деформации и увеличивается с ее ростом (на 40%
при самых высоких скоростях). С увеличением скорости деформа-
ции отмечалось повышение низшего предела текучести до 17%.
В области, в которой проводят обычные кратковременные испыта-
ния на растяжение, пределы прочности и текучести постоянны у
практически не зависят от скорости деформации.
1.18. НЕКОТОРЫЕ ИСПЫТАТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ
ДЛЯ ОДНООСНОГО СЖАТИЯ И РАСТЯЖЕНИЯ
СО СПЕЦИАЛЬНОЙ СПРАВКОЙ ПО СКОРОСТНОМУ ЭФФЕКТУ
I. Машины для испытаний на сжатие. Нет необходимости
подробно останавливаться на использовании этой машины для
получения кривых напряжение — деформация при комнатной и
повышенной температурах. Максимальная скорость деформации,
которая может быть достигнута на большинстве таких машин,
^10'2 1/с-
П. Гидравлический кузнечный пресс. Луэг, Мюллер, Краузе
/1957 г.) использовали его для испытаний на сжатие горячей стали
при скоростях КГ2—10 1/с.
III. Кулачковый пластометр. Это установка, в которой кулачок
приводит в действие нижний валок, и последний прижимает обра-
зен (возможно при высокой температуре) к закрепленной верхней
пластине. Профиль кулачка выбирают так, чтобы скорость дефор-
мации была постоянной. Пластометр, предложенный Орованом
(1950 г.) и сконструированный Лосом, предназначен специально
для получения результатов при постоянных скоростях деформа-
ции, что необходимо для расчета прокатных станов. Интервал
скоростей деформации 10—102 1/с.
IV. Падающий молот. Кинетическая энергия падающего молота
расходуется на осадку заготовки. Номинальная начальная энер-
гия всегда известна, и легко определить конечную номинальную
деформацию при сжатии (для призматических образцов). Полез-
ный интервал деформаций невелик, так как скорость массы падаю-
щих частей должна превышать 6 фут/с, чтобы пластически деформи-
ровать образец, а скорость в момент соударения ограничена высо-
той падения. Например, при высоте падения 49 футов она равна
56 фут/с. Таким образом, интервал скоростей деформации нахо-
дится только в пределах одного порядка (102 1/с). Для регистра-
ции динамического напряжения и перемещений при сжатии,
необходимых при построении кривых напряжение — деформация,
используют датчики. С научной точки зрения, испытания на
падающем молоте неэффективны, так как скорость деформации
изменяется в процессе осадки (Слатер, Аку, Джонсон, 1968 г.;
Хаукьярд, Поттер, 1971 г.)
V. Духовые и пороховые ружья. Более высокие скорости в мо-
мент соударения по сравнению с падающим молотом можно полу-
чить при выстреливании пули под действием сжатого воздуха или
пороховых газов или цилиндрических образцов в наковальню или
в прессованную болванку. Как правило, пользуясь сжатым возду-
хом, нельзя достичь скоростей выше нескольких сот фут/с. Запал
используют для получения скоростей 3000 или 5000 фут/с (Уиффин,
1948 г.). Можно получить скорости деформации до 104 1/с. Скорость
полета пули при стрельбе из легких газовых ружей в момент удара
достигает 10 000 фут/с. Влияние скорости деформации при 104 1/с
также можно изучать при соударениях одинаковых заготовок
в процессе их свободного полета. Белл (1968 г.) для обоснования
теории независимости распространения пластических волн от
скорости деформации использовал дифракционные решетки.
VI. Другие виды испытаний. 1. Часто для получения результа-
тов при высоких скоростях деформации проводят испытания на
Растяжение и сжатие с использованием прессованной заготовки
°пкинсона (Малверн, 1965 г.; Риппербергер, 1965 г.). Однако
37
величина дефор/иаций, как правило, в этих условиях слишком
мала, чтобы применить полученные результаты для ковки. Машины
с ударным маятником имеют те же самые области применения и
недостатки, которые из-за распространения волновых напряжений
проявляются сильнее.
2. Динамические испытания на кручение проводили для
сплошных образцов, когда были необходимы графические построе-
ния для установления зависимости между касательными напряже-
ниями и деформациями. Если образцы — тонкостенные трубки, то
большие деформации не могут быть получены из-за потери устой-
чивости или коробления трубки в результате появления сжимаю-
щих напряжений.
3. При резании /металлов скорости деформации очень высоки,
даже для умеренных скоростей резания, поскольку деформация
материала сосредоточивается в части заготовки, отделяющейся
в виде стружки. При этом могут быть достигнуты скорости дефор-
мации 104 и даже 10е 1/с. Трудности связаны в основном с опреде-
лением касательных напряжений, поскольку величина силы тре-
ния между стружкой и поверхностью инструмента неизвестна
(Оксли, 1968 г.).
4. Производя сильный взрыв у поверхности металлического
образца и измеряя амплитуду упругих волн, распространяющихся
в металле, можно определить напряжения при скорости деформа-
ции 10® 1/с. Давление, возникающее на поверхности металла со
стороны взрыва, равно нескольким миллионам фунтс/дюйм1 2, и
так велико, что вызывает значительное уменьшение объема металла
(Дювалл, 1962 г.).
Все виды испытаний, изложенные выше, проведены в условиях
одноосного или простого напряженного состояния. Эффекты,
зависящие от скоростей деформаций при плоском и объемном
напряженных состояниях, изучены мало. Динамические плоские
напряженные состояния рассматривались некоторыми авторами.
В этих опытах тонкий лист металла подвергался боковым ударным
нагрузкам (Жерар, Папирно, 1957 г.).
1.19. НЕКОТОРЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
ДЛЯ НАПРЯЖЕНИЯ, СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИИ
И ТЕМПЕРАТУРЫ
1. Людвик (1909 г.) предложил полулогарифмическую зависи-
мость предела прочности при растяжении от скорости деформации
о = ог о0 In е/е0, где о0, ог и е0 — константы.
Для построения с/е-кривых, когда е и т известны, проводили
испытания при постоянных скоростях деформаций. Написанное
выше уравнение в общем случае лредполагает, что а не растет
также быстро,' какД.
Манджойн и Надаи (1940 г.) обнаружили, что при повышенной
температуре предел прочности при растяжении изменяется почти
линейно, так же как и логарифм скорости деформации.
2. Алдер и Филипс (1954 г.) провели эксперименты с медью
(600° С), алюминием (500° С), сталью (930—1200° С) и установили,
что при скорости деформации 1—40 1/с существует степенная
зависимость о = о0еп, где о0 и п—6константы.
Она дает несколько лучшую* интерпретацию полученных ими
данных, чем уравнение Людвика. Соколов после первых опытов
на сжатие в области температур от 20° С до точки плавления
присоединился к мнению Алдера и Филипса.
3. Макгрегор и Фишер (1946 г.) ввели понятие температура
с поправкой на скорость Тт и предложили формулу
Тт = Т (1 — m In е/е0),
где Т — температура при испытании (абсолютная); m и е0 —
константы. Эта форма записи дает ожидаемые количественные
результаты, из которых видно, что скорость деформации увеличи-
вается с понижением температуры. Эту формулу можно использо-
вать для приближенной оценки Тт при температурах ниже темпе-
ратуры рекристаллизации.
4. Инуйе (1955 г.) использовал выражение о = o0e'1em exp (A/Tk),
где о0, п, т, А и k — константы.
5. Малверн (1965 г.) предложил уравнение в = о/£ F [о —
— о (е) ], если о > о (е). При о = о (е) имеем кривую статическое
напряжение — деформация. Другие формы записи уравнения
Малверна:
e = -f-4-O(—— 1Y;
Е 1 \ ег0 / ’
• о । л Г /о
е = 7Д+ л [ехр(^_ 1 J-1]’
где A, D, р и q — эмпирические константы; о0 — статический
предел текучести. Эти уравнения хороши тем, что из них видно
увеличение начального предела текучести при больших скоростях
Деформации, и они учитывают распространение приращения
пластической деформации со скоростью упругой волны по заготов-
кам, первоначально пластически деформированным. Обе эти
особенности подтверждены.
6. Риппербергер (1965 г.) показал, что результаты его опытов
По Распространению пластических волн лучше всего описываются
модифицированным уравнением Малверна
ё = _JL Г ст~~
т L О0 (е) J ’
где т — продолжительность релаксации материала; о0 (е) — стати-
еское напряжение при деформации е; о — о (е) — добавочное
39
напряжение, возникающее в материале при данной скорости
деформации.
7. Другие формулы приведены и обсуждены в книге Томсена,
Янга, Кобаяши (1965 г.).
1.20. ПРЕДЕЛ ТЕКУЧЕСТИ СТАЛИ ПРИ 15° С
1. Предел текучести при растяжении и сжатии.
Подробное обсуждение работ по этому вопросу можно найти
в книге Голдсмита (1960 г.). Эта работа заслуживает особого
упоминания, поскольку в ней содержатся сведения по конструиро-
ванию сооружений, подвергаемых ударным нагрузкам, с учетом
ежедневных колебаний температуры.
Из всех работ — от первой Хопкинсона (1905 г.) до последних
Тейлора, Кампбелла и др. (1950 г.), включая исследования рус-
ских ученых, следует вывод, что при испытаниях на квазистати-
ческое и импульсное растяжение мягкой стали скорость деформа-
ции равна 10-8—102 1/с, иногда 10s 1/с; отношение динамического
предела текучести к статическому равно 2—3. Оно уменьшается
с увеличением пластической деформации, поскольку для сравне-
ния используется напряжение текучести вместо начального пре-
дела текучести. Обычно для данной деформации напряжение теку-
чести тем больше, чем больше скорость приложения нагрузки.
Например, максимальное отношение для мягкой стали может
уменьшиться от 2,5 до 1,3, когда продолжительность нагружения
изменяется от 10-6 до 10-2 с. Оказывается, что это отношение тем
меньше, чем больше абсолютное значение статического предела
текучести.
2. Продолжительность задержки.
Наблюдается четко выраженная задержка между приложением
нагрузки и появлением пластического течения в низколегирован-
ных сталях. Задержка тем меньше, чем больше нагрузка; макси-
мальная ее продолжительность при 25° С «1 с, при продолжи-
тельности задержки всего лишь 10“® с предел текучести увеличится
в 2,5 раза. При—60°С, когда отношение неизменно, продолжитель-
ность задержки может увеличиваться до 10 с. Однако при 120° С
она уменьшается до 1(Г2—10'8 с. При высоких температурах
(1600° F) продолжительность задержки существенно не умень-
шается с увеличением растягивающего напряжения. Например,
при отношении 1,5 она изменяется от Ю-2 до КУ1 с. Следует реко-
мендовать работу Леблуа и Массоннета (1972 г.).
3. Повторное нагружение.
На образец из низколегированной стали действуют импульсные
нагрузки. Они достаточны для возбуждения пластических дефор-
маций. Из этого опыта можно получить две кривые. Для этого
нужно рассмотреть зависимость самого большого и последнего
импульса от общей постоянной деформации. (См. задачи 1—16).
40
ЛИТЕРАТУРА
Alder, 3. F-. Phillips. K. A. 1954
Alexander, J. M., Lengyel, B. 1964
Baraya, G. L., Johnson, W„ Slater, R. A. C. 1965
Bell, J. F. 1968
Beresnev, В. I., Vereshchagin, L. F., Ryabinin, Yu. N., Livshits, L. D. 1960
Boker, R. 1914
Bredthauer, R. D. 1956
Bridgman, P. W. 1944 1947
«The effect of Strain Rate and Temperature on
the Resistance of Aluminium, Copper and Steel
to Compression»
J. Inst. Metals 83, 80
«On the Cold Extrusionoof Flanges against High
Hydrostatic Pressure»
J. Inst. Metals S3, 137
«The Dynamic Compression of Circular Cylinders
of Super-—Pure Aluminium at Elevated Tem-
peratures»
Int. J. mech. Set 7, 621
«77ie Physics of Large Deformation of Crystalline
Solids»
Springer—Verlag, New—York Inc., 253 pp.
«Some Problems of Large Plastic Deformation
of Metals at High Pressure»
1952
Brown, A. 1964
Coffin, L. F., Conrad, H. 1965
Cook, G. 1934
Cook, P. M. 1957
Crossland, B. 1954
Crossland, B., Bearden, W. H. 1958
Crossland, В ™tra, А. к.’ 1968
3m *-dJenkov’ N- N-< sP>ridonova, N. I. ——1946
The Mechanics of Plastics Deformation in Cry-
stalline Bodies
Dissertation, Technische Hochschule, Aachen
«Strength Characteristics of Rock Samples under
Hydrostatic Pressure»
Trans A. S.M. E. 56—PET—23
Trans Am. Soc. Metals 32, 553
The Effect of Hydrostatic Pressure on the Fracture
of Brittle Substances
J. Appl. Phys. 18, 246
Studies in Large Plastic Flow and Fracture with
Special Emphasis on the Effects of Hydrostatic
Pressure
McGraw—Hill, New York
«А Quasi—Dynamic Theory of Containment»
Int. J. mech. Sci. 6, 257
The Cryogenic Properties of Metals in High
Strength Materials
Wiley, 436 pp.
The Effect of Fluid Pressure on the Permanent
Deformation of Metals by Shear
Instn Civ. Engrs, Selected Papers No. 170
«True stress—strain curves for steel in com-
pression at high temperatures and strain rates»
Proc. Conf. Properties of Materials at High Rates
of Strain, Instn Mech. Engrs, London, 86
The Effect of Fluid Pressure on the Shear Pro-
perties of Metals»
Proc. Instn mech. Engrs. 169, 935
«The Plastic Flow and Fracture of a «Brittle»
Material (Grey Cast Iron) with Particular Refe-
rence to the Effect of Fluid Pressure»
Proc. Instn mech. Engrs 172
«Effect of Hydrostatic Pressure on Metals in
Torsion»
Thesis A. K- Mitra for the M. Sc. degree,'Queen’s
University of Belfast И
«Analysis of Tensile «Stress the Neck of an
Elongated Test Specimen»
Pcor. A..S. T. M. 46, 1147
41
Duvall, G. E. 1962
Farren, W. S., Taylor, G. I. 1925
Finnie, I., Heller, W. R., 1959
Gensamer, Л4. 1940
Gerard, G., Papirno, R. 1957
Goldsmith, W., 1960
Gordon, P. 1955
Hawkyard, J. B., Eaton, D., Johnson, W. 1968
Hawkyard, J. B., Potter, T. B. 1971
Hockett, J. E. 1966
Inouye, K. 1955
Karman, TH. V. 1911
Leblois, C. R., Massonnet, Ch. 1972
Ludwic, P. 1909
Lueg, W., Mulier, H. G., 1957
Krause, U. McAdam, D. J., Geil, G. W., Jenkins, W. D. 1947
MacGregor, C. W. 1940
MacGregor, C. W., Fisher, J. C. 1946
«Some Properties and Applications of Shock
Waves»
Response of Metals to High Velocity Deformation
Interscience Publishers, 9, 165
The Heat Developed during Plastic Extension
of Metals
Proc. R. Soc., Load. Ser. A., 107, 422
Creep of Engineering Materials
McGraw—Hill, New York
«Strength of Metals under Combined Stresses»
Trans Am. Soc. Metals 28, 54
«Dynamic Biaxial Stress—Strain Characteristics
of Aluminium and Mild Steel»
Trans. A. S. M. 49, 132
Impact Edward Arnold, London, 379 pp.
«Micro—calorimetric Investigation of Recry-stalli-
sation of Copper»
Trans. A. I. M. E. 203, 1043
«Dynamic Yield Strength of Copper and Low
Carbon Steel at Elevated Temperatures»
Int. J. mech. Sci. 10, 929
«А Novel Form of Drop Hammer Pressure Bar»
Int. J. mech. Sci. 14, 95
«On Relating the FlowTStress of Aluminium
to Strain, Strain Rate and Temperature» Los
Alamos Scientific Laboratory of Univ, of Cali-
fornia, Report LA—3544
«Studies on the Hot—Working Strength of Steels»
Tetsu to Hagane 41, 593
«Festigkeitsversuche unter allseitigem Druck»
Z. Verb. dt. Ing. 55, 1749
«Influence of the Upper Yield Stress on the Be-
haviour of Mild Steel in Bending and Torsion»
Int. J. mech. Sci. 14, 95
Elemente der technologischen Mechanik
Springer, Berlin
Arch. Eisenhutt. Wes. 28, (8), 505
Magnusson, A. W., 1957
Baldwin, W. M.
Mahtab, F. U., 1965
Johnson, W.,
Slater, R. A. C.
Malvern, L. E. 1965
Manjoine, 1W. J., 1940
Nadai, A.
«Influence of Plastic Extension and Compression
on the Fracture Stress of Metals»
Proc. A. S.T.M. 47, 554
«The Tension Test»
Proc. A. S. T. M. 40, 508
«А Velocity—Modified Temperature for Plastic
Flow of Metals»
Trans A. S. M. E., J. Appl. Mech. A—12 :
• A—11
«Low Temperature Brittleness»
J. Mech. Phys. Solids 5, 172
«The Dynamic Indentation of Copper and an
Alluminium Alloy with a Conical Projectile
at Elevated Temperature»
Proc. Instil. Mech. Engrs. 180 , 255
«Experimental Studies of Strain Rate Effects
and Plastic Wave Propagation in Annealed
Aluminium»
Proc. A. S. M. E. Coil. onTBehaviour of Mate-
rials under Dynamic Loading, 81
«High Speed Tension Tests at Elevated Tempe-
ratures»
42
Proc, Am. Soc. Testing Materials 40, 822
Manjoine, M. J. 1944 «Influence of Rate of Strain and Temperature on Yield Stresses of Mild Steel» J. Appt. Meeh. 11, A—211
Morrison, J. L. M. 1934 «The Influence of Rate of Strain in Tension Tests» The Engineer 158, 183 1939 «The Yield of Mild Steel with Particular Re- ference to the Effect of Size of Specimen» Proc. Instn mech. Engrs 142, 193
Nadai, A. 1963 Theory of Flow and Fracture of Solids Vol. 2, McGraw—Hill, New York
Orowan, E. 1950 «The Cam Plastometer» В. I. S. R. A. Report MW/F/22/50
Oxley, P. L. B. 1963 «Rate of Strain Effect in Metal Cutting» Trans. A. S. M. E., 85, Series B, 335
Parker, E. R., Davis, H. E., Flanigan, A. E. Penny, R. K., Marriott, D. L. Pugh, H. LI. D., Green, D. 1946 «А Study of the Tension Test» Proc. A. S. T. M. 46, 1159 1971 Desigh for Creep McGraw-Hill, New York 1958 «The Behaviour of Metals under High Hydro- static Pressure» M. E. R. L. Plasticity Report No. 147
Pugh, H. Ll. D. (Ed.) 1970 Mechanical Behaviour of Materials under Pressure Elsevier, Amsterdam, 785 pp. 1971 Engineering Solids under Pressure Instn of Mech. Engrs, London, 191 pp.
Ripperberger, E. A. 1965 «Experimental Studies of Strain Rate Effects and Plastic Wave Propagation in Annealed Aluminium» Proc. A. S. M. E., Coll, on Behaviour of Ma- terials under Dynamic Loading, Chicago, p. 62
Ros, M., Eichinger, A. 1929 «Versuche zur Klarung der Frage der Bruch- gefahr III Metalle» Metalle Diskussionsbericht No. 34
Shelton, A. Eidg. Materialprilfungsanstalt, Zurich 1961 «On the Ratio of Transverse to Axial Strain and Other Tensile Properties of a Cold Rolled Steel Alloy»
Samanta, S. K. J. Mech. Eng. Sci. 3, 89 1968 «Resistance to Dynamic Compreesion of Low— Carbon Steel and Alloy Steels at Elevated Tem- peratures and at High Strain Rates» [nt. J. mech. Sci. 10, 613 1969 «On Relating the Flow Stress of Aluminium and Copper to Strain, Strain—rate and Tem- perature»
Slater, R. A. C., Aku, S. Y., Johnson, W. Speakman, T. N. I nt. J. mech. Sci. 11, 433 1968 «Experiments in the Fast Upsetting of Short Pure Lead Cylinders and a Tentative Analysis» Int. J. mech, Sci. 10, 143 1966 «Dynamic Compression of Pure Lead and Super— Pure Aluminium at Elevated Temperatures»
Suzuki, H. et al M. Sc. Thesis, University of Manchester 1968 «Studies on the Flow Stress of Metals and Alloys» Report of the Inst, of Industrial Science, Uni-
Taylor, G. I. versify of Tokyo, 18, 141 1948 «Formation and Enlargement of Circular Hole in Thin Plastic Sheet»
43
Thomson, W. T. Quart. JI mech. appl. Math. 1, 103 1955 «Approximate Theory of Armor Penetration»
Thomsen, E. G., Yang, С. T., Kobayashi, S. J. appl. Physics, 26, 80 1965 Plastic Deformation in Metal Processing Macmillan, New York, 486 pp.
Tipper, C. F. 1957 «The Brittle Fracture of Metals at Atmospheric and Sub—zero Temperatures» Metall. Rev. Inst, of Metals 2, 195 1948 Fracturing of Metals Amer. Soc. for Metals, Cleveland, Ohio
Unksov, E. P. 1961 An Engineering Theory of Plasticity Butterworths, London
Voce, E. 1948 «The Relation ship between Stress and Strain for Homogeneous Deformation» J. Inst. Metals 74, 537, Also correspondence in same volume, p. 760
Whiffin, A. C. 1948 «The Use of Flat—ended Projectiles for Deter- mining Dynamic Yield Stress. II Tests on Va- rious Metallic Materials» Proc. R. Soc. A. 194 , 300
Zaid, M., Paul, B. 1957 «Mechanics of High Speed Projectile Perforation» J. Franklin Inst. 264, 117
Глава 2
НАПРЯЖЕНИЯ
2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим точку Р в твердом теле, нагруженном внешними
силами, и выберем маленькую плоскую площадку 6Л, проходящую
через эту точку (рис. 2.1). На 6Л действует сила 8F, и предел
отношения fiF/бЛ при 6Л —> 0 стремится к конечному значению о.
о — сила, действующая на единицу площади, или напряжение
в точке Р в направлении силы 8F, если 6Л мало. Вместо о можно
ввести другие эквивалентные величины. Для этого разложим 6F
на параллельную и перпендикулярную к 6Л составляющие,
например 6N и 6S. Получим, что &NI8A — нормальное напряже-
ние в 6Л, 8S/8A — касательное напряжение (рис. 2.2). Далее,
предположим, что 6F разложили на три взаимно перпендикуляр-
ные оси Ох, Оу, Oz (рис. 2.3). Ох— ось, нормальная к 6Л; Оу
и Oz выбраны произвольно в плоскости 6Л. Предположим, что
составляющие силы 6F по этим осям есть 8FX, 8Fy и 6FZ. Теперь
можно определить три напряжения:
! • $FX .. 6Ди ,. 6FZ
llm ТТ == hm Тл = TT ==
M->0 0/1 CA-»0 0/1 CA-»0 0/1
Двойной индекс использован для обозначения напряжений в пло-
щадке, перпендикулярной к оси х в направлении оси у. Первый
индекс указывает, какой оси перпендикулярна плоскость, в кото-
рой приложено напряжение, а второй — направление напряже-
ния. Если установлено направление осей Ох, Оу, Oz в пространстве,
то нам следовало бы рассматривать элементарную силу 6F (состав-
ляющие 8FX, 8Fy, 8FZ), действующую на элементарную площадку
М, перпендикулярную к оси Ох. Затем можно было бы ввести
°’л^> слг- Если мы рассматриваем площадку 6А„, проходящую
через точку Р перпендикулярно Оу, на которую действует сила
&Р (составляющие 8РХ, 8Ру, 8Рг), то обозначения напряжений
в площадке 8Ау будут сух, оуу, оуг. Третья группа напряжений,
Действующих в площадке 6Аг,"обозначены—огх, огу, Gtz (рис. 2.4, о).
Если вместо декартовой системы координат использовать
Цилиндрическую (рис. 2.5, то можно рассматривать девять
аналогичных напряжений огг, ог0, Grz, овг, оее, овг, Gzr, огв,
45
вгг. Обе системы можно объединить и обозначить напряжения
просто оп-; вместо i и / можно подставить любое из трех опреде-
ленных взаимно перпендикулярных направлений. Если указано,
что i = /, то мы имеем схх, Gyy и o.z или Grr, оее и о2г, т. е. три
нормальных напряжения; остальные шесть — касательные. Од-
нако не всегда используются индексные обозначения. Нормальные
напряжения обозначают gx, Gy, gz, касательные — тху, туг, т2Л.
Рис. 2.4. Напряжения в декартовой системе координат
Рис. 2.5. Напряжения в цилиндрической системе координат
46
вИвалентность этих обозначений продемонстрирована на рис. 2.4
2 5 вц обычно называют тензором напряжений в точке. В этой
книге будем использовать для краткости матрицу из девяти компо-
нентов.
Индексные обозначения очень удобны при доказательстве
теорем, но не имеют преимуществ при решении конкретных задач.
2.2. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СИЛ
Выделим в напряженном теле вокруг точки Р правильный
параллелепипед со сторонами 6х, 8у и 6г с центром в точке Р.
Пользуясь первыми обозначе-
ниями, скорость изменения ‘ со-
ставляющих полного напряже-
ния, действующих в площадке
8Лл., при изменении х(рис. 2.6),
при постоянных у и z, можно
записать
д<УХх даху дОхг
дх ’ дх ’ дх '
Подобные выражения для на-
правлений у и z есть
двух доуу дбуг
ду ’ ду ’ ду ’
догх дагу д<тг2
дг ’ дг ’ дг ’
Таким образом, на шесть гра-
ней куба действуют восемнад-
Рис. 2.6. Силы, действующие на эле- -
мент в направлении оси ОХ
цать сил. Чтобы получить уравнения равновесия, все силы нужно
спроектировать на оси. Уравнение равновесия сил, действующих
в направлении оси,
(а- - 444 8z8y+(^-44г 8у) Ьх +
+ (ozx - 6z) Szby +
+ +4 +(°-+4 Sz) Ьх-
После упрощения
^4-^4-^ = 0. (2.1)
дх 1 ду 1 дг '
^РВДполагая, что в теле не действуют массовые (объемные) силы,
^ = 0
дх,.
(2.2)
47
Если выбрано и зафиксировано определенное направление, то
индекс / не изменяется, а индекс i принимает все возможные
значения и по нему происходит суммирование. Например, если
выбрано направление Ох, то везде / = х, в то время как i пробе-
гает значения х, у, z. Все напряжения складываем, и получаем
уравнение (2.1). Другие уравнения равновесия для направлений
Оу и Oz
даУу да2у =
дх ду ' дг ’
дохг даУ* _ а
дх ду 4” дг
Уравнение (2.2) содержит выражения (2.3) и (2.4). Таким обра-
зом, (2.2) содержит три условия равновесия, в каждом из которых
по три записанных в общем виде члена. Когда необходимо учесть
массовые (объемные) силы //, действующие на единицу массы
в направлении /, (2.2) принимает вид
dot i
4- pf, = О,
dxt 1 *11 ’
(2.3)
(2.4)
где р — плотность.
2.3. ПАРНОСТЬ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Условие равновесия для момента или пары сил определяют
следующим образом. На рис. 2.7 показаны напряжения, стремя-
щиеся вращать куб вокруг линии, проходящей через точку Р
параллельно оси Oz. Если они в равновесии, то
(м- +(’»•—
После упрощения
СуХ = <зху. (2.5)
Аналогично для двух других направлений
(Тгг/ = вуг, axz = о„. (2.6)
В общем виде эти выражения можно записать
<7,7 = 0/,-. (2.7)
Уравнения (2.5), (2.6), (2.7) выражают хорошо известную
теорему о парности касательных напряжений. Чтобы удовлетво-
4S
рить равновесию моментов или пары сил, ао- должно быть сим-
метричным.
Таким образом, напряженное состояние в точке известно, если
известны шесть независимых значений и направлений о/;-, т. е.
три нормальных напряжения и три касательных. Практически
равенства парных касательных напряжений достаточно, чтобы три
касательных напряжения определялись автоматически.
Рис. 2.7. Равновесие пары сил в пло-
скости XY
Рис. 2.8. Напряжения в произволь-
но наклоненной площадке
2.4. ТРЕХОСНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
Если шесть напряжений в точке заданы по величине и направ-
лению (рис. 2.8), то иногда желательно найти величины нормаль-
ного и касательного напряжений в произвольно наклоненной
площадке или главные напряжения и их направления в этой точке.
Главными называют напряжения, действующие в площадках,
в которых нет касательных напряжений. Пусть произвольно накло-
ненная площадка представлена треугольником АВС, нормаль
к которой имеет направляющие конусы (/, tn, п). Обозначим через s
полное напряжение в площадке АВС, которое имеет нормальную
составляющую s„ и касательную ss, sx, sy, sz — составляющие
полного напряжения s, параллельные Ох, Оу, Oz соответственно.
Площадь треугольника АВС обозначим А, а площади треугольни-
ков ОВС, АОС, ОАВ — &х, &г. Уравнения равновесия сил,
действующих на тетраэдр О А ВС в направлении Ох,
Asx = Axgx -}- АуТух 4- Л2т2Л;
SA- = 1ох + гтуХ 4- пх2Х, (2.8)
так как АХ-ОА = A-ON. Поэтому Av/A = ON/OA = cos а = I,
где а — угол между ON и Ох.
49
Аналогично,
Sy = Ку + тоу + пигу; (2.9)
sz = Кг + тк + пог. (2.10)
Теперь, пользуясь уравнениями (2.8)—(2.10), получим
— lsx 4- msy 4- nsz = Fox 4- m2Gy 4- n2az 4~
4- 2 (lrmXy 4- mml/Z 4- (2.11)
Далее,
S2 = S2 — s2 = s*+4 4-sl-4 (2.12)
Выражения (2.11) и (2.12) определяют нормальное и касательное
напряжения в любой наклонной площадке, когда известно напря-
женное состояние в точке.
Если sn — главное напряжение, т. е. ss = 0, и его направление
(/, т, п), то, проектируя на оси Ох, Оу и Oz, получим соответственно
I (s — о.) — тхху — /гтЛ2 = 0; (2.13)
—Ку + m(s—Gy) — туг = 0; (2.14)
—— тхуг 4- п (8 — Ог) •= о. (2.15)
Если (2.13) и (2.14) решить относительно mil и nil, а затем
подставить эти значения в (2.15), то получим соотношение между
коэффициентами I, т, п. Только при условии выполнения этого
соотношения (2.13)—(2.15) совместны, и можно получить, что
S3 — К 4- Gy 4- 02) S2-(гад 4- Туг 4- T?zx-GxGy-GyOz--GZOX) S--
’ (Ox^yC? 4- 2ТхуТу2Тгх GxXyz GyXzx ^z^xy} == 6. (2.16)
Это кубическое уравнение в реальной физической ситуации
имеет три действительных решения, которые являются главными
напряжениями 04, g2, gs, определяющим напряженное состояния
точки.
Предположим, что для этой же точки напряжения заданы
первоначально в другой отличной от Ох, Оу, Oz ортогональной
системе координат, например Ох', Оу', Oz', тогда напряжения ста-
нут gx-, Gy', gZ', хХ'У', ty'z', т:г'Х’. Теперь главные напряжения
в точке О будут заданы другим кубическим уравнением, которое
решается точно так же, как (2.16);
s3—(<V 4- ° у 4- М s2 —
(Ух’у’ 4- Т’У’г' 4- T’Z’x’ вх’бу’ Gtf Oz' S
(Рх'^у* &гг 4“ 2Тг'у'Ту'г'Тг'д' бх'^у'г' Оу'Хг'х' Gг’^х'у”) б.
(2.17)
Ясно, что главные напряжения остаются неизменными, независимо
от выбора осей, и, следовательно, коэффициенты неизвестного s
в (2.16) и (2.17) должны быть постоянными, чтобы получить те же
50
значения главных напряжений ох, о2, о3. Уравнения (2.16) и (2.17)
можно записать в виде
s3 - /xs2 — /2s -/3 = 0, (2.18)
где /1 = 0^4-0^4-02 = 0^ 4-0^-J-ог<; (2.19)
I2 — — (S>xS>u 4- 4- В'гОх) 4- т^ху 4“ 'Ъуг 4“ =
— — (Фс' Оу’ 4~ °V’ °z’ 4~ Ог>Ох’) 4- Хх’у’ 4~ ^y'z' 4- ^z’x'1 (2.20)
/3 = ОхОуОг 4“ 2тедТ„г Тгх О(/Тгх ОгХху —
= Gx'Oy-Gzr 4“ 2Tx'^'Ti/'2'T2'x' Пд/Т^'2' Cyf Т2'х' Oz'T'X'y' • (2.21)
Рис. 2.9. Напряжения в координат-
ных площадках
Очевидно /х, /2, I3 не зависят от направления выбранных осей;
они называются тремя инвариантами (неизменяющимися величи-
нами) напряжений в точке О. Первый и второй инварианты имеют
особое физическое значение для
теории пластичности (см. с. 66).
Выразим /х, /2, 13 через глав-
ные напряжения
Л == ох -j- 0*2 4~
/2 = — (охо2 4- о2о3 Из0!);
/3 = охо2о3. (2.22)
Корнями кубического fуравне-
ния (2.18) являются главные
напряжения ох, о2, о3. Это ура-
внение решают подбором или
используя гониометрический
метод. Предположим, что задана
система напряжений (рис. 2.9). Легко вычислить, что /х =
= 15, /2 = —60, /3 = 54. Формула (2.18) принимает вид
s3 - 15s2 4- 60s - 54 = 0. (2.23)
Подставим в нее s = (o' 4-5), чтобы уничтожить член s2:
о'3-15о'-4 = 0. (2.24)
Теперь воспользуемся тождеством cos 30 = 4 cos3 0 — 3 cos 0
в форме
cos3 0---f- cos 9-J- cos 39 = 0. (2.25)
4 4
Подставим в (2.24) о' — r cos 0:
зо 15 n 4 n (2.26)
cos3 0---S- cos 0-5- = 0.
51
Уравнения (2.25) и (2.26) тождественны, если
= т. е. /- = /20= 4,47,
4 cos 30 16 п ,
и —=- = —, или cos 36 = — 0,179.
г3 4 ’ 89,4 ’
Основные значения: 0Х = 26,6°; 62 = 93,4°; 03 = 146,6°. Таким
образом, cos 0Х = 4,00; r2 cos 62 = —0,27; r3 cos 03 = —3,73,
если к этим величинам прибавить 5, получим главные напряжения,
т. е. 9; 4,73; 1,27.
Уравнение (2.23) можно было решить иначе, если бы мы заме-
тили, что s = 9. Корень уравнения (s — 9)(s2 — 6s 4- 6) = 0
и оставшиеся два корня были бы (3 + У'З) и (3 — /3). В общем
виде главные напряжения из (2.18) равны s и s = г cos 6 + 4/3.
0 и, следовательно, cos 0 имеют три основных значения, полу-
24 + 9/^2 + 27/3
чаемых из уравнения cos 30 = —2 ^з/2—»
где г = 2 (4 + 3/2)1/2/3.
Если вместо s в (2.18) подставить о' + /х/3, то получим оконча-
тельное уравнение
,з Р? + 3/2\ , / 24 + 9/^2 + 27/3
° \ 3 / \ 27
о' или (s — //3) называют компонентами девиаторного тензора,
которые получают при вычитании из действительного напряжен-
ного состояния точки гидростатического давления /х/3. Выраже-
ние (2.27) можно также записать
а'3 __ J2g' — Js = Q, (2.28)
где Л == 0; J2 - (/* + 3/2)/3; J3 = (2/3 + 9/^ + 27/3)/27; Jlt
J2, J3 означают первый, второй и третий инварианты девиатора
напряжений; они имеют важное значение при изучении пластич-
ности металлов.
Кубическое уравнение, если известны его корни или компо-
ненты девиатора напряжений oj, о2, о3, есть о' — (oj + о2 +
+ Оз) о'2 - (ojo2 + О2П3 4- б' ------ °'1°'2Оз = 0 ИЛИ О'’ +
4- (L <+/) о' — п1о20з = о.
Выразим Jt, J2, J3 через компоненты девиатора напряжений:
«Л = Zj oi = 0;
Л = — X = ~2~ S °i ’>
= 0; (2.27)
Г Г > 1 у.. /3
J3 == О1С2о3 = 2_ °i •
(2.29)
52
2.5. КРУГИ МОРА ДЛЯ ТРЁХОСНОГО НАПРЯЖЁННОГО
состояния
Если заданы главные напряжения о2, о3, то нормальное
напряжение о', действующее в произвольно наклоненной площадке
с направляющими косинусами (/, т, п), определяется уравнением
g ~ 1^ 4- т2с<, 4- n2os. (2.30)
Полное касательное напряжение т, действующее в этой площадке,
определяется уравнением
2 ,2 2, 2 2. 2 2 / >2 , _2 , 2 \2 /о о > \
т = I oi 4- т о2 4- п о3 — (/ oi -j-m а2 4- и о3) . (2.31)
Также учитывается тождество
I2 4- т2 4- п2 = 1.
(2.32)
Определить о и т можно с помощью уравнений (2.30) и (2.31) или
графическим построением, впервые примененным Мором.
Во-первых, найдем т2 из (2.32) и подставим полученное значе-
ние вместо т2 в (2.30):
о = /2о, 4- (1 — Р — п2) о2 + h2o3; (2.33)
тогда
О + /2 (О2 — Oj) — о2
(о8 — О2)
(2.34)
Подставляя это же выражение вместо т2 в (2.31), получим
X2 ==/2 (о* - о2) 4-4-П2 (о| - о|)-
— U2 (<Л — о2) 4- р2 4- «2 (оз — Иг)]2- (2.35)
Подставляя (2.34) в (2.35) и упрощая последнее, найдем
/2 г2 4- (о2 — о) (оз — о)
(О2 — Ох) (О3 — Ох)
Аналогично,
т2 = Т2 4- (Оз — О) (01 — О) .
(О3 —о2) (01 —02) ’
п2 _ Т2 + (О1 — О) (02 — О)
(Ох — О3) (о2 — Оз)
Перепишем (2.36) в виде
(2.36)
(2.37)
(2.38)
(° — о2) (о — о8) 4- т2 = I2 (Ох — о2) (Ох — о3) или
Оа ~Ь Оз
2
о —
+ т2 = /2 (Ох — О2) (Ох — Од) 4- ( °2 2 Оз У .
53
Таким образом, если заданы /, т, п, то о и т лежат на окруж-
ности, определяемой уравнением (2.39), где о — абсцисса, ат —
ордината, с центром в точке (о'2 + о3)/2 и радиусом
К/2 (oi — о2) (ох — о3) + [(о2 — os)/2 ]2.
Отметим точки Plt Р2 и Р3 на оси о, где 0Pt = о^, 0Р2 — ст2, 0Р3 =
= о8. Начертим окружности диаметрами PlP2; P^Ps'i Р3Р1 с цен-
трами в точках С1( С2, С3 и координатами
(Л ( %Из , 0\ ( Рз + 01 , (Л.
Через точки Ръ Р2, Р3 проведем линии, параллельные оси т,
например Р^Т^ Р2Т2, Р3Т3 (рис. 2.10). Из точки Pt проведем линию
Рис. 2.10. Круги Мора для объемного напряженного состояния
под углом а к РгТ± (I — cos а), пересекающую окружности диамет-
рами РГР2 и P^Pg в точке Q;s и Q2 соответственно. Вычисляем длину
C2Q3. Координаты точки Q3 есть о2 + (Oi — ° 2) cos2 а, (ох —
— о2) cos a sin а. Следовательно,
(C2Q3)2 = [ -^~°з) +2 (аг —Z2 J2 + [((У1 _ а2)//1 - Л]2 =
= [ Р~ О (а1 - О] ’
т. е. радиус окружности, определяемой уравнением (2.39), — C2Q3,
аналогично C2Q2 = C2QS.
Таким образом, из выражений для т2 и п2 следует, что опт
лежат:
I. На окружности радиусом C3R2 или CSRS с центром С8,
где R2 и R3 — точки пересечения линии, проведенной из Р2 пол
54
углом Р (cos p=m) к Р2Т2, с окружностями диаметрами Р2Р3 и P2PL.
II. На окружности радиусом CpSg или CXS2 с центром С1г
где S2 и S3 — точки пересечения линии, проведенной через Р3
под углом у (cos у = п) к Р3Т3, с окружностями диаметрами Р3Р2
и РзР1- Таким образом, напряжения о и т являются координатами
точки пересечения Р (см. рис. 2.10). Построения для графического
определения нормального и касательного напряжений на пло-
щадке с направляющими косинусами (/, т, п) относительно глав-
ных напряжений ох, о2, о3 выполнено следующим образом.
1. На оси о лежат точки Plt
Р2, Ps, так что ОРг = о1( ОР2 =
= о2, ОР3 = о3.
Рис. 2.12. Для определения касатель-
ных напряжений в треугольнике АВС,
изображенном на рис. 2.11
Рис. 2.11. Касательные силы в на-
клонной площадке
2. На PrP2, Р2Р3, P3Pi, как на диаметрах, построены окруж-
ности с центрами в точках Сх, С2, С3 соответственно.
3. В точках Р1г Р2, Р3 восставлены перпендикуляры Р1Т1,
Р2Т2, Р3Т3 к оси о.
4. Проводим Q2Pi под углом a (cos а = /) к PlTl, a S2P3
под углом у (cos у = п) к Р3Т3. Отмечаем точки пересечения этих
линий с окружностями, проходящими через точки, из которых
выходят эти линии, и обозначаем их Q2, Q3, S2, S3 (см. рис. 2.10).
5. Чертим дугу S2S3 радиусом Сх32 с центром в точке Сх и
ДУГУ Q2Q3 радиусом C2Q2 с центром в точке С2.
6. Из точки Pl пересечения дуг S2S3 и <?2<?3 опускаем на ось о
перпендикуляр PN. Тогда нормальное напряжение в площадке
определяется величиной ON, а полное касательное — PN.
Предположим, надо найти нормальное напряжение в площадке
с направляющими косинусами (0,530; 0,695; 0,500). Главные
напряжения е>х — 5,4 (скажем, тс/дюйм2) действуют параллельно
оси Ох, о2 = 2,45 параллельно Оу и о3 = 10,65 параллельно Oz.
Построение для этого случая показано на рис. 2.10. Оказывается,
что о = 2,80 и т = 1,77.
55
Касательное напряжение т в наклонной площадке определено
построением кругов Мора только по величине, но не по напра-
влению (Свифт, 1946 г.). На рис. 2.11 сила Хг от главного напря-
жения Oj есть Si = <4 АОВС sin ROA, где R — основание перпен-
дикуляра, опущенного из точки О на плоскость АВС, оно является
ортоцентром треугольника АВС. Подобные выражения можно
написать для S2 и S3. На рис. 2.12 показан истинный вид наклон-
ного треугольника АВС; ВМ,1_СА. Разложим S2, S3 на со-
ставляющие, перпендикулярные и параллельные ВЛ1. Пусть на-
правление результирующей силы, а следовательно, и касатель-
ного напряжения определяет положение прямой BD, к которой
она перпендикулярна. После преобразований находим,
что положение точки D определяется условием CDICA =
= (о з — а2)/(а3 — 04).
Чтобы определить направление касательного напряжения,
надо выполнить следующее:
а) построить истинный треугольник АВС; отношение длин его
сторон определяется направляющими косинусами нормали I,
т, п, проведенной из точки О; б) на продолжении основания АС
отметить точку О так, чтобы длины ОС, 0D и ОА соответствовали
главным напряжениям а3, а2, ох в некоторых единицах; в) провести
BD перпендикулярно направлению касательного напряжения.
Стоит отметить, что линия, проведенная из ортоцентра R
параллельно BD, пересекает С А в точке N' и что ON’, в принятых
единицах, есть нормальное напряжение в площадке АВС.
2.6. КРУГИ МОРА ДЛЯ ТРЕХОСНОГО НАПРЯЖЕННОГО
СОСТОЯНИЯ, КОГДА ОДНО ИЗ НАПРЯЖЕНИЙ ГЛАВНОЕ
Если в двумерном напряженном состоянии (рис. 2.13) заданы
<тх, су, оху и о означает главное напряжение, которое надо найти,
то, разлагая силы, действующие в площадках, перпендикулярных
х и у, и определяемые напряжениями, получаем уравнения
(о — oj sin 6 = ovl, cos 6 и (о —• оу) cos 6 = oky sin 6. Изба-
вимся от 6:
(о — ох) (о—оу) =о2ху или о2 — о(ох ф- оу) охоу — оху = 0. (2.40)
Рис. 2.13. Плоское напряженное состояние
Рис. 2.14. Определение глав-
ных напряжений
Ото уравнение можно сразу получить из (2.16), считая ог и ауг,
G равными нулю. Значит, чтобы найти .главные напряжения,
надо найти корни уравнения. Это можно сделать, пользуясь ли-
нейкой и циркулем (рис. 2.14). На Ох точку С отметим так, чтобы
qC = (<тЛ 4- а„)/2, затем на ОС, как на диаметре, опишем окруж-
ность. Далее проводим окружность радиусом (о,;с>,, — о^)1/2 с цен-
тром в, точке О, пересекающую первую окружность в точках Р±
и р2. Чертим окружность радиусом СРг с центром в точке С,
точки пересечения с ОС — Sx и S2. Тогда главные напряжения
= 0Slt о2 = 0S2. Это простое графическое построение^для
определения корней квадратного уравнения.
Невозможно просто использовать этот метод для определения
трех главных напряжений, когда заданы все шесть напряжений
в точке (отличные от нуля). Как указывалось выше, чтобы найти
три главных напряжения, надо решить кубическое уравнение,
поскольку, пользуясь только линейкой и циркулем, сделать этого
нельзя (см. Деррингтон и Джонсон, 1960 г.).
ЛИТЕРАТУРА
Derrington, М. G., Johnson, W. 1960 «The Shortcoming of Mohr’s Circle for Three- dimensional Stress» Bull. mech. Engng Educ. No. 18 (July), 1960. (University of Manchester Institute of Science and Technology Publication)
Swift, Н. W. 1946 «Plastic Strain in an Isotropic Strain Hardening Material» Engineering, 162 , 381
Глава 3
ДЕФОРМАЦИИ
Изучение деформаций — это изучение перемещений точек тела
по отношению друг к другу в процессе его деформирования. При
этом не рассматривается переносное перемещение точек тела.
Сначала будут описаны бесконечно малые деформации, которые
рассматривают при изучении упругих деформаций технических
материалов, а также при изучении приращений деформаций в об-
щем случае конечного формоизменения. На последних стадиях
конечного формоизменения линии, которые вначале были пря-
мыми, изгибаются. Уравнения, описывающие эти деформации,
настолько сложны, что малопригодны для практического исполь-
зования. Будет рассмотрен простой случай конечного формо-
изменения. Это однородная деформация. Деформация называется
однородной, если все линии, прямые и параллельные до деформи-
рования, остаются прямыми и параллельными после него.
3.1 ДЕФОРМАЦИЯ КАК ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
На рис. 3.1 показаны две соседние точки тела А (х, у, z) и В
(х ф- бх, у ф- 8у, z 4- 6z), которые после деформации перешли
в положения А' (х 4- и, у 4- v, z 4- и>) и В' (х 4- бх 4- и 4- бп,
У + Sy 4- v + бп, z 4- 6z 4- w + Sw) соответственно; и, v, w —
проекции смещения точки А на оси; и 4- бп, v 4- Sv, w 4- бк/ —
точки В. Считаем и непрерывной функцией (х, у, г):
и = и(х, у, z). (3.1)
Если приращениями бх, 6z/, 6z выше первой степени можно пре-
небречь, то
6u = -^-6x4--^6w4--^6z. (3.2)
дх 1 ду и 1 дг ' '
В этом случае смещения малы (ди,/дх)&х— изменение первоначаль-
ной длины бх или АС; следовательно, ди/дх — относительная
линейная деформация в направлении Ох в точке А, которая обозна-
чается ехх. Это обозначение можно представить как скорость
движения в направлении Ох (первый индекс е) точки, находящейся
58
Рис. 3.1. Элементарный па-
раллелепипед
на прямой, параллельной Ох (второй индекс ё) и проходящей че-
рез А; ди/ду — угол поворота CD в плоскости уОх в результате
перемещения и, или, иначе, скорость скольжения или сдвига
поверхностей, перпендикулярных к Оу и параллельных Ох,
которую обозначим еху. Первый индекс обозначает скорость дви-
жения точки А в направлении Ох, а второй — положение точки А
на прямой параллельной оси Оу. Аналогично, duldz — угол пово-
рота или угловая деформация BD в плоскости, параллельной
zOx, которую обозначим ехг. Можно
привести аналогичные выражения и объ-
яснения для и 8w.
Необходимо на примере данной
точки условиться о положительном и
отрицательном значении углов пово-
рота (угловой деформации). Мы примем
правило правого винта. Если смотреть
из начала координат вдоль данных
осей, то направление угла поворота,
соответствующее правой резьбе винта,
считают положительным, например,
угол поворота в плоскости уОх против
часовой стрелки или от Ох и Оу,
если смотреть из начала координат
вдоль Ох.
Изменение прямого угла FAC (рис.
3.2, а) в плоскости, перпендикулярной Оу, называют угловой (сдви-
говой) деформацией и обозначают tpzx; два индекса указывают
на соответствующую плоскость.
__ ди . dw
qz ~Г qx
(3.3)
Ясно, что в это выражение входят два слагаемых, учитывающие
относительный сдвиг, параллельный осям х и г взаимно перпен-
дикулярных плоскостей. В наших обозначениях еуг + егх = tpzx.
Малая деформация куба (см. рис. 3.1) определяется тремя отно-
сительными линейными деформациями и тремя угловыми:
______ ди _ __ dv
е>:х ~~ дх ’ еУИ~"ду
dw
е,. = “з-»
дг
, go . __ ди , dw ___________ до , ди (3.4)
ду ‘ дг ’ ^гх дг ‘ дх ’ дх ' ду '
59
На рис. 3.2, а линия АЕ, причем С.ЕАС = 45°, повернулась
на угол и приняла положение А'Е'-, таким образом,
ig +>М‘ +»“(' +»(‘
1 — ау ( , , dw du\
, — I 1 + -5-=— ) или
1 + Од \ 1 дх дг )
1 / ди dw \ 1 . ,
\дг дг) 2“ (е™ ~
Величина ю,. в первом приближении — средний угол, на который
поворачивается весь объем в положительном направлении (против
Рис. 3.2. Главные и угловые деформации в плоскости хг
часовой стрелки) вокруг оси Оу. АС поворачивается против часо-
вой стрелки на угол С"А'С (—dw/dx) и AF — на угол F"A’F’
(ди/dz). Аналогичные выражения для ах и ю2
_ 1 / dw dv \ 1 , .
— “2“ ~fa] — ”2“ \егу — eyzb
1 f dv du\ 1 .
— “2“ k d* ~ dy)~ 2 —
(3.5)
60
Когда cox = ау = аг = 0, деформация происходит без пово-
рота, тогда егх = ехг и т. д. В этом случае ехг = (рхг/2.
Мы видим, что с помощью трех составляющих перемещения
определяют шесть компонентов тензора деформации в (3.4), и,
следовательно, последние не могут быть независимыми. Можно
доказать, что шесть деформаций связаны между собою тремя урав-
нениями типа
д2е*х I &еуу __ /3 gx
ду2 дх2 дхду ( I
и тремя — типа
2 __ & / dtfyz . d<hx______d<lxi/ \ /3 у,
дхду дг \ дх ду дг ) ' ' '''
Это есть условия неразрывности для деформации.
Если поворот отсутствует (рис. 3.2, о), то А’Е’ остается парал-
лельной АЕ. В этом случае в процессе деформации изменяется
только форма тела. Такую деформацию называют чистым сдвигом.
Если элемент в целом поворачивается по часовой стрелке на угол
е.х, то схема сдвига согласно сказанному выше представлена
на рис. 3.2, б. В этом случае угол сдвига <р или <ргх = е2Х ф- ехг =
= 2е,х. Таким образом, общая схема определения угловой де-
формации учитывает поворот твердого тела против часовой стрелки
на угол ф/2. Деформация сдвига является суммой угловых де-
формаций между двумя линиями, лежащими первоначально в на-
правлениях, параллельных главным деформациям (рис. 3.2, в).
Следующие соотношения могут быть получены читателем само-
стоятельно в качестве упражнения.
1. Второй порядок приближения
хх дх 2 1 \ дх / 1 \ дх / 1 \ дх / J
__ dv . ди , ди ди , dv dv . dw dw
дх ду ‘ дх ду ’ дх ду 1 дх ду
2. Объемная деформация (дилатация), изменение объема, де-
ленное на первоначальный объем,
Л ди t dv { dw
Л — 17 + 17 ‘ 17 ’
3. du = exxdx ф- eyxdy!2 -l- e!xdz!2 — (»xdy &edz, а также
Сражения для dv и aw.
3.2. ПОНЯТИЕ ТЕНЗОРА ДЕФОРМАЦИИ
В предыдущей главе была рассмотрена индексация тензора
Спряжений. Такая же индексация используется и для тензора
^формации.
61
Вводится символ и используется для определения девяти
компонентов тензора деформации (ехх, еуу, ezz, eyz, егх, еху), вве-
денных в подразделе 3.1. Например, ехх = ди/дх и еху == ди/ду,
в общем случае eit = duJdXj, где. щ — смещение в i-м направлении
(х, у или z); Xj — ось (Ох, Оу или Oz). Запишем
6// = &ij -ф (3.8)
где ег/= (ег/ + еЛ)/2 и шг/= (ег/— е/г)/2 [см. (3.4) и (3.5) 1.
В частности
^УХ ~ (&УХ "4“ “ф (^ух ^/2 --------
dv . ди \ I л . { dv ди\ I л . _ .
“3— “т—ч— I / Z ~т“ I ---— ) I 2 —J— С0//г хх —г~ (0_
, дх 1 ду / / 1 \ дх ду / | у 1 Ух 1 г
И
е.
&ХХ'
Для удобства, когда i =ф /, вместо ez/ можно писать уц. Очевидно,
что е,ц — часть еи в (3.8) и соответствует деформации в точке,
Рис. 3.3. В общем случае деформация (а) состоит из деформации сдвига (б) и
поворота (в)
а ац — ее повороту. Тензор деформации — ег/-, и, так как ег/ =
= е,ц, говорят, что он симметричен. С другой стороны, гог/- =
= —го£/-, и следовательно, он асимметричен. Таким образом,
можно выписать таблицу (массив) для тензора деформации в виде
&ХХ Уху Ух2
Уух Еуу Ууг
Угх Угу егг»
(3.9)
где у равно половине <р — угловой относительной деформации.
62
Интересно представить описанные в таблице (массиве) вели-
чины на диаграмме. Это сделано для двумерного пространства
на рис. 3.3. Важный вопрос, заслуживающий особого внимания,
относится к установлению различия между простым сдвигом
н чистым. Это станет ясно из рис. 3.4.
Рис. 3.4. Различие между
простым и чистым сдви-
гами
3.3. КОНЕЧНЫЕ И МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрим отрезок ОР, длина которого £0 (рис. 3.5), с напра-
вляющими косинусами I, т, п по отношению к трем взаимоорто-
гональным осям 01, 02, 03 в теле, к которому приложена система
сил, вызывающая линейные деформации еъ е2 и е3 в направлении
осей, так что точка Р перемещается в положение Р'. Первона-
чально этот отрезок имеет проекции
деформации проекции стано-
вятся равными I (1 + 01),
m(l +е2), п(1 4-о3); ег, е2, е3
соизмеримы с единицей; е —
относительная деформация от-
резка ОР. Длину отрезка после
деформации обозначим L и оп-
ределим из выражения
L2 = /2 (1 + о^2 + т2 (1 + й)2 +
-фп2(1 4~ ез) =
= /2/2-]_m2m2 + n2n?, (3.10)
где
на оси I, т, п. После
Рис. 3.5. Деформация элемента
h — (1 + Oi); Ц?1 — (1 4- Оз);
П1 — (1 4~ез)-
(3.11)
Проектируя отрезок ОР' на первоначальное направление ОР
и обозначая эту проекцию L'o, получим
Lo = /2/i 4- т2«1 4- п2щ. (3.12)
Из подраздела 2.5 известно, что если llt т^, п2 идентичны глав-
йЫм напряжениям Oj, а2, о3, т. е. проекции отрезка после де-
-формации остаются параллельными осям 01, 02 и 03, то полное
Напряжение S (S2 = о2 ф- т2) в наклонной площадке с направля-
63
ЮЩими косинусами I, т, п будет определяться длиной отрезка L
после деформации, а нормальное напряжение — длиной о от-
резка Ln.
Таким образом, из (3.11) и (3.12) следует, что круговые диаг-
раммы Мора можно использовать для сравнения длин отрезков
в деформированном теле. Это является доказательством примене-
ния кругов Мора для конечных деформаций.
Рис. 3.6. Деформируемый элемент Рис. 3.7. Круги Мора для малых де-
формаций
Линейная деформация отрезка единичной длины в первоначаль-
ном направлении определяется из (3.12):
е = Lo — 1 = <?i/2 + е^п2 е3п2. (3.13)
Если 0 мало, то поворот единицы длины (рис. 3.6) задается выра-
жением
е2 + е2 = (рру = ell2 + elm2 + e|n2. (3.14)
Выражения для е и 0 аналогичны уравнениям для нормаль-
ного о и касательного т напряжений. Из этого следует, что
по круговым диаграммам Мора можно определить деформации
отдельно от длин деформированных отрезков, предполагая, что
деформации малы. Если 0Plt 0Ре и 0Р3 соответствуют деформа-
циям е1г е2 и е3, то линейная деформация е отрезка единичной длины
с направляющими косинусами /, т, п до деформирования будет
представлена отрезком O'N, а его вращение 0 — отрезком NP
(рис. 3.7).
Продолжая аналогию (см. рис. 2.12) с касательным напряже-
нием в наклонной площадке, можно показать, что результиру-
ющий поворот или угловая деформация отрезка единичной длины
до деформации будет перпендикулярна BD, где CD/CA =
= (^ — е3)/(е1 — ej.
---Таким образом, мы получили' полную дпалег-ию между крут-—_
выми диаграммами напряжений и малых деформаций. Линейная
64
деформация соответствует нормальному напряжению, а угловая —
касательному. Можно показать, что достаточно одного набора кру-
гов для нетрудоемкого определения напряжения и деформации
в наклонной площадке. Из элементарной теории упругости Еег =
= crx v (<т2 <т3) —' ffj (1 4~ v) Зтсгт, где 3<тт = <т2 4~
,-р о3.. Следовательно,
р _ Щ __ г ____3/С — 2G 1 I „р
в1~~ 2G Е “ ЗК omJ|2G.
Выберем новое начало отсчета О' на расстоянии
(ЗК — 2G) <тет/ЗК от первоначально принятого для напряжений.
Оно будет началом отсчета для деформации. Тогда линейные де-
формации равны нормальным напряжениям, умноженным на 1/2G,
и так как ах — о2 = 2G (ех — е2), то угловые деформации, соот-
ветствующие т, также получаются умножением на 1/aG.
3 У. Джонсон
УСЛОВИЕ ПЛАСТИЧНОСТИ МЕТАЛЛОВ
4.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Условие пластичности предположительно (гипотетически) опре-
деляет достижение предела текучести под действием любой ком-
бинации напряжений. Приемлемость любого предложенного усло-
вия пластичности должна быть подтверждена экспериментально.
Рассмотрим напряженное состояние точки материала, в трех
взаимно перпендикулярных площадках которой действуют глав-
ные напряжения <тх, сг2, сг3, и представим их на диаграмме в виде
кругов Мора (см. рис. 2.10). Если главные напряжения равны
(о1 4<тт), (сг2 -р сгт) и (о3 4- crm), то система кругов Мора будет
состоять из кругов того же радиуса, что и в рассмотренном слу-
чае, но в целом будет сдвинута на величину ат вдоль оси а. При-
ращение напряжений увеличивает гидростатическое давление
(растяжения или сжатия). Установлено, что абсолютные размеры
кругов Мора определяют предел текучести при обычных исполь-
зуемых в технике давлениях и температурах, т. е. этот предел не
зависит от расположения кругов по оси о. Можно сказать, что
в обычных рабочих условиях условие пластического состояния
есть функция от (ох — сг2), (сг2 — ст3) и (сг3 — crj, или, что то же
самое, (cTj 4 ат — о2 — от) и т. д. Условие пластического состо-
яния не зависит от гидростатического давления (ох 4 4 4 °з)/3
или Zox/3. [Знак £ означает суммирование всех подобных чле-
нов, т. е. 2 ох = ох 4 о2 4 о3 и (ах — о2)а = (ох — о2)а 4
4 (°2 — °з) + (°3 °1)2 ]•
Состояние пластичности наступает, когда некоторая скалярная
функция разности главных напряжений достигает критического
значения. В общем виде, это можно записать так:
/(О1—оа, с>2 —Од, Оз — ох) = const. (4.1)
Поскольку рассматриваются только изотропные материалы, то
никаких дополнительных весовых множителей у аргументов
(ох — о2), (о2 — о3) или (о3 — ох) не используется. Под скалярной
величиной мы понимаем функцию, аргументы которой ставятся
в соответствие с некоторой величиной. Когда эта величина дости-
гает определенного значения, ги цаирямягия таковы, что насту-
пает состояние пластичности.
Возможны два подхода к интерпретации условия пластического
состояния: чисто математический (статистический) и требующий
физического обоснования.
Самую простую функцию, удовлетворяющую (4.1), можно
представить в следующем виде:
| о3 — Oj | = const. (4.2)
Состояние пластичности должно наступить, когда наибольший из
трех аргументов | егх — ст2(, | <та — сг31, | ст3 — | достигает крити-
ческого для данного материала постоянного значения. Другая
функция,
(01 — о2)2 4- (о2 ~ о3)2 4- (^3 — О1)2 = const, (4,3)
Использование (ог — о2) и других слагаемых, как квадратич-
ных членов, освобождает от необходимости заботиться о знаке
модуля. Как и при статистических исследованиях, с квадратом
проще работать, чем с алгебраическими величинами. В функциях
такого типа все главные напряжения влияют на переход в состо-
яние пластичности.
Математическое утверждение, что гидростатическое или объем-
ное равномерное сжатие (растяжение) не влияет на переход в пла-
стическое состояние, подобно утверждению, что Д не имеет физи-
ческого значения при переходе в состояние пластичности, в то
время как J2 может быть критерием пластичности, так как 4
Е(О1-о2)2 = ЗЕ(а1-Л/3)2 =
= 3 s (с4)2 = 3 [(IX)2 - 2 г оХ] = 6Л
[см. (2.22) и (2.29)].
Уравнение (4.2) — это условие пластичности, предложенное
Треска в 1864 г. Уравнение (4.3) было предложено Губером
(1904 г.), Мизесом (1913 г.) и Максвеллом в письме к Кельвину
в 1856 г. Условие Треска формулируют обычно так: пластическое
состояние наступает, если наибольшая абсолютная величина лю-
бого из трех максимальных касательных напряжений достигает
определенного значения. В интерпретации Генки условие пластич-
ности Губера — Мизеса звучит: состояние пластичности наступает,
если энергия деформации сдвига достигает определенной вели-
чины.
Возможны и другие условия пластичности. Два, описанных
выше, наиболее простые и часто используются.
Из требования к выполнению условий пластичности для все-
возможных схем напряженного состояния следует, что константы
в (4.2) и (4.3) можно определить, рассматривая схему одноосного
напряженного состояния. Обычно константы отождествляют
с пределом текучести при растяжении К или с пределом текучести
при чистом сдвиге k, В состоянии пластичности при простом растя-
>кении сгх = Y, сг2 = °3 = 0, и константы в (4.2) и (4.3) соответ-
3* 67
/
ственно равны Y и 2Y2. Для чистого сдвига ах = —о3 = k, про-
межуточное главное напряжение сг2 = 0, константы равны 2k
и 6k2. Уравнение (4.2) и (4.3) можно записать в виде
| cr3 — ch | = У = 2/г;
(4.4)
(Oj — сг2)2 + (°2 — °з)2 + (Оз — О1)2 = 2У2 = 6k2. (4.5а)
Из условия Мизеса [уравнение (4.5) ] следует, что
k = ~
Уз
Это позволяет предсказать, что при кручении предел текучести
чистого сдвига k больше, чем максимальное касательное напряже-
ние, соответствующее переходу в пластическое состояние при про-
стом растяжении YI2, в 1,155 раза, в то время как из условия Треска
(4.4) следует, что эти величины равны.
4.2. геометрическая интерпретация условия
ПЛАСТИЧНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ НАПРЯЖЕНИЙ
На рис. 4.1, с показаны три взаимно перпендикулярные оси
Ocrlt Оа2 и Осг3. Каждая ось соответствует одному определенному
главному напряжению. Если главные напряжения cTj, а2, сг3
в. точке тела равны, то это напряженное состояние или система
напряжений представлены точкой Р в пространстве напряжений,
координаты которой (сгл, сг2, сг3). Состояние можно описать, как
совокупность трех векторов ОРХ (=ох), РХЛ4 (=ст2), М.Р (=<т3).
Рис. 4.1. Условия пла-
стичности в пространстве
напряжений:
1 — цилиндр Мизеса; 2 —
шестигранная призма Треска
Рассмотрим линию ОД, одинаково наклоненную ко всем осям,
т. е. определяемую направляющими косинусами (1/]/3, 1/]/3,
l/J/^З). Проекции ОР на эту линию есть ON. Тогда
ON = сг, —~ о2
1 Уз 2
1 । I .
Уз 3 Уз
PN2 ^OPt-ON^Xti-^ oi)2/3 =
= S О1 — (Z О1 + е>1О2)/3 = — о2)’.
68
По условию Мизеса пластическое состояние наступает, если
(О] — <т2)2 достигает определенного значения 2У2. Тогда условие
пластичности может быть представлено окружностью радиуса
РМ = У J-7 2/3. Отсюда следует, что условие Мизеса в пространстве
главных напряжений может быть представлено цилиндром с ра-
диусом поперечного сечения У]У2/3 и осью, одинаково наклонен-
ной ко всем координатным осям (рис. 4.1, б). Напряженные состо-
яния, определяемые точками внутри цилиндра, есть совершенно
упругие состояния материала. Приближение к пластическому
состоянию определяется расстоянием от точки системы напряже-
ний до оси ОН, например PN. Состояние пластичности не зависит
от величины ON, которая представляет собой векторную сумму
среднего главного напряжения; NP — векторная сумма компонент
девиатора напряжений. Величина второго члена характеризует
отклонение полного напряжения от среднего главного.
Чтобы показать, что условие Мизеса, представленное в про-
странстве напряжений, — цилиндр с осью ОН, выберем новые
взаимно перпендикулярные оси 0о'(, 002, Ооз с направляющими
косинусами относительно старых осей (1/р З, 1/)УЗ, 1/]/3), (/х,
пг), (12, т2, п2). Тогда
Л/.
°1 = 4" °2Ч 4~ °ЗИ2>
О2 =
п
Уз
4“ С>2^1 4"
ОЗ =
°1
Уз
4- O2ni + ОзП2-
Подставляя эти значения в (4.5), т. е. 2У2 = (Oj — сга)2 ф-
4- (°а — °з)2 4- (°з — °i)a> имеем
2У2 = [с>2 (Л — mi) 4- оз (4 — т2)]2 4-
4- [<4г (тг — tii) 4- Оз {m2 — Иг)]2 4~ [°'2 («1 — М 4" °з («2— /г)]2 =
О I "2 , "2\
= 3 (с>2 4- Оз);
коэффициенты перед O2O3 после раскрытия скобок равны нулю.
Таким образом, при новых осях ясно видно, что условие Мизеса
есть цилиндр с постоянным поперечным сечением (радиус У ]У2/3) -
Условие Треска можно записать |о3 — oj = У; в пространстве
главных напряжений оно представляется правильной шестигран-
ной призмой, которая для удобства вписана в цилиндр Мизеса
(см. рис. 4.1, б). Это лучше всего видно из проекции напряженного
состояния, определяющегося точкой Р, на плоскость, проходя-
щую через начало координат и перпендикулярную ОН. Эту пло-
скость называют л-плоскостью, или синоптической плоскостью;
Д яроегранеше- гяавттых напряжений она определяется уравне-
Нием Gj ф-сг2 4~ сг3 = о. Значит, гидростатическим давлением
69
пренебрегают потому, что оно невелико и практически не влияет
на переход в пластическое состояние.
Положительно направленные главные оси 0olt Ои2, Оо3 рас-
положены на л-плоскости под углом 120° друг к другу (рис. 4.2, а).
Если пунктирными линиями нанести отрицательные направления
осей, то вся л-плоскость окажется разделенной на шесть равных
секторов. Координаты точки Р на рис. 4.1, а появляются на
рис. 4.2, а как проекции прямых ОР' = ]/2/3<т2; Р'2М' = }z2/3crs;
Рис. 4.2. Условия пластичности в л-плоскости:
1 — круг Мизеса; 2 — шестиугольник Треска; 3 — линия чистого сдвига
М'Р' = ]/"2/3Oj. Если декартовы координаты Р’ по отношению
к О В и OD — (х, у), то
х = (4.6)
К2 Кб
Когда координаты точки Р' полярные, то
Г = ]/х2 + К = -77=V(О1 — о2)2 + (оа - О3)2 + (О3—oj2;
". 9 М (4-7)
Радиус г в уравнении (4.7) отождествляется с условием пластич-
ности Мизеса. Как было ранее получено, г = К]/2/3. Напряжен-
ное состояние, представленное в секторе СОА (см. рис. 4.2, а),
таково, что 0-2 _> о3 > о* и условие Треска о2 — ох = Y. Таким
образом, условие Треска в секторе СОА представляется прямой
линией, параллельной оси Оо3, проходящей от нее на расстоянии
х = Y/y‘2. Геометрическое место точек, определяющих переход
в пластическое состояние, есть правильный шестиугольник
(рис. 4.2, б). Из рис. 4.2, б становится ясно, что согласно условию
Мизеса любая точка внутри—круга Мизеса определяет упругое
напряженное состояние, а точки на окружности — пластическое.
70
Если материал не упрочняется, то пластическому состоянию
всегда соответствует точка на окружности; точки действительных
напряжений не могут выходить за границу круга. Разгрузка
представляется следом точки напряженного состояния, движу-
щейся внутри круга от окружности. Подобная интерпретация
относится и к шестиугольнику Треска.
Заметим, что, определяя положение точек по двум условиям
пластичности, мы отождествляем их с пределом текучести при ра-
стяжении. Таким образом, окружность Мизеса проходит через
углы шестиугольника Треска. При деформации чистого сдвига
напряжение текучести по условию Мизеса в 2/J/3 раза больше,
чем по условию Треска.
Лоде (1926 г.) в своих экспери-
ментальных исследованиях ввел па-
раметр
р = 2g3-02-Pi (4.8)
для характеристики влияния промежу-
точного главного напряжения. Из (4.7)
можно увидеть, что на л-плоскости
p = -/3tg0. (4.9)
Рис. 4.3. Условия пластич-
ности для плоского напря-
Когда р = О, напряженное состояние женного состояния:
q. (j„ 1 — эллипс Мизеса; 2 — ше-
(Т1, О2, о3 = --2- МОЖНО представить стиугольник Треска
как чистый сдвиг, напряжения для кото-
рого (сТд — о2)/2; (сг2 — сгх)/2; 0 и гидростатическое давление (^ ф-
ф- сг2)/2 — на л-плоскости. Это напряженное состояние получают,
полагая 6 = 0 (рис. 4.2, б). Когда р = —1, напряжения сф,
ег2 = аз> что соответствует одноосному напряженному состоянию
((% — о2) с гидростатическим давлением сг2. На л-плоскости это
состояние соответствует 0 = 30°. При экспериментальном опре-
делении условия пластичности достаточно исследовать область
между р = 0 и р = —1, т. е. область для тридцатиградусного сек-
тора на л-плоскости. Параметр Лоде обсуждается дальше, в под-
разделе 5.8.
В случае плоского напряжения (а2 = 0) для графического
представления условия пластичности в качестве координатных
осей выбирают и <т3. Точки пластичности располагаются
(рис. 4.3) на кривых пересечения круга Мизеса и правильного
шестиугольника Треска с плоскостью сг2 = 0. Уравнение эллипса
Мизеса а2 -4- — с^сТз = У2 получается из (4.5) при о2 = 0.
Большая ось равна 2У]/2, малая 2У)/2/3. Эти оси являются
взаимно перпендикулярными биссектрисами углов между осями
С1 И о3.
71
Шестигранную призму Треска, сечение которой показано
на рис. 4.3, строим исходя из следующего:
а) |ст1 — о3| = Y (линии AF и CD);
б) |о2 — ст31 = Y; |о3| = Y (линии АВ и DE)-,
в) I °2 — 1 = Ш | сг1 | = Y (линии ВС и EF).
Условие Треска можно выразить как функцию инвариантов деви-
атора напряжений, но из-за сложности преобразования здесь его
не приводим.
Рис. 4.4. Условия пластичности в пространстве максимальных касательных
напряжений:
1 — сфера; 2 — площадка (т, + т2 + = С); 3 — нормаль к площадке
Интересно заметить, что в качестве прямоугольных декартовых
осей можно выбрать тх, т2, т3, где 2т3 = сг2 — сг3; 2т2 = о3 — ор,
2т3 = о1 — о2. Условие Мизеса в пространстве максимальных
касательных напряжений (рис. 4.4, а) определяет сферу радиусом
У7]/2. Имеем
т? + т1|т^-(У/]/2)2. (4.10)
Однако тг, т2, т3 не являются взаимно независимыми:
Ti + т2 + П = 0, (4.11)
так что геометрическое место точек пластичности ограничивает
круг, образующийся при пересечении сферы с плоскостью (4.11).
Эта плоскость нормальна к линии, которая одинаково наклонена
к положительным и отрицательным осям т1т т2 и т3. Назовем ее
т-плоскость. Если смотреть вдоль нормали к т-плоскости, то усло-
вие Мизеса есть круг радиусом 17J/2 (рис. 4.4, б). Условие Треска
в этом пространстве напряжений определяется точками на линии
пересечения т-плоскости с кубом, стороны которого параллельны
координатным осям, т. е. т( = ^Y/2, т2 == ;±У72, т3 = ;±У/2,
~и т=плоскости. Проекция этого куба па т-плоскость -т= правильный.
шестиугольник ABCDEF-, в сечении с т-плоскостью появляется
72
правильный шестиугольник GHIJKL. Общие точки круга Мизеса
и шестиугольника Треска определяют напряженные состояния,
для которых оба условия дают одинаковую оценку одноосного
напряженного состояния.
4.3. СДВИГ, УПРУГОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ОБЪЕМА
И УСЛОВИЕ МИЗЕСА
Пусть et (i = 1, 2, 3) означает главные упругие деформации
и 0Z — главные напряжения. Тогда работа W, совершенная при
деформировании единицы объема изотропного тела с увеличением
напряжения от 0 до определяется выражением
w=4- s °161=i sOi (Oi ~ v°2 ~ =
где Е — модуль Юнга; v — коэффициент Пуассона.
„ зк — 2G е 9KG „ .
Теперь , „„ и Е=-^--г-, где К — объемный
О/\ --f- Zu -j- и
модуль; G — модуль сдвига. Таким образом,
3K + G V..2 3/г —2G ЗА-4-G
18/TG 6KJ-2G 9KG 1 2
(тй~ 'W< ) Ol ~ (~6G ~ ~9K>) O1°2 =
Eo?-Eo1O2 Ео? + 2£о1О2
6G + 18Д
IX , (W _
3G ' 18Д ’ 3G 2/G ’
(4.12)
(o2 — o3)
где = -
Энергия объемной упругой деформации V = (2а1/3)2/2М, энер-
гия деформации сдвига S = 2t2/3G. К и G можно считать фунда-
ментальными упругими физическими константами, поскольку К
определяет сопротивление материала изменению объема без изме-
нения формы, a G — изменение формы без изменения объема.
Это исследование было сделано Стоксом в 1845 г. В более
общем виде, когда заданы шесть компонент тензора напряжений а/;-,
т. е. главные напряжения неизвестны, мы получаем 2 (оу — о2)2 =
—2(2Х ^4' Тнперъ И из (2.19)
и (2.2о) 2°i 2°^ и 2°!°? ~
73
Таким образом,
Е (Ci - о2)2 = 2 [(Е oj)2 - 3 Е О1О2] =
= 2 [( Е °хх) — 3 Е ^х.хРуу + 3 S <5ху\ =
= 2 [Е oL — Е вххвуу + з Е Оед] =
— Е (°хх — Gyy) Ч~ 6 Е аху-
Тогда (4.12) можно записать иначе:
W = Е(Охх-су/ + 6_Ее^ + = S + V. (4.13)
Согласно условию Мизеса замечаем, что гидростатическое давле-
ние в деформируемом теле только увеличивает V. Однако для
изотропного несжимаемого тела К бесконечно; тогда всегда W =
= S, т. е. переход в пластическое состояние всегда сопровождается
только изменением формы и энергии деформации сдвига. Более
общее выражение для условия пластичности Мизеса
(рхх — суу) Ч~ (суу — °zz) Ч~ (С)гг — Gxx) Ч~
+ 6 (вху + О2г + оЕ) = 2У2. (4.56)
Если рассматривается анизотропный материал, то напряжения
и деформации зависят от направления соответствующих осей
и благодаря этому он не обладает либо обладает ограниченной
симметрией. В противоположность полученному результату, ука-
зывающему, что только в состоянии гидростатического давления
вся работа W расходуется на изменение объема, в данном случае
гидростатическое давление будут создавать компоненты S и V.
4.4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА УСЛОВИЙ
ПЛАСТИЧНОСТИ ТРЕСКА И МИЗЕСА
Наиболее распространенный метод экспериментальной про-
верки условий пластичности — использование установок, которые
Рис. 4.5. Тонкостенная трубка под действием рас-
тягивающей силы и крутящего момента Т
Рис. 4.6. Диаграмма интенсивность напряжений—
интенсивность деформаций
создают в тонкостенных трубках сложное напряженное состояние.
Например, на рис. 4.5 показана трубка, нагруженная крутящим
моментом Ти затем растягивающей силой Р до предела текучести.
Значения угла скручивания и растяжения трубки замеряют при
росте растягивающей силы, состояние пластичности определяют
сразу после резкого увеличения деформации, когда становится
ясно, что материал больше не упругий (рис. 4.6). Интенсивность
напряжений и интенсивность деформаций — понятия, необходи-
мые при изучении сложных схем напряженных состояний в упруго-
пластической области; они рассмотрены в гл. 5.
Возьмем элемент В, вырезанный в стенке трубки. Пусть о —
приложенное растягивающее напряжение и т — касательное на-
пряжение, которое можно считать постоянным по всей толщине
Рис. 4.7. Напряжение в эле-
менте стенки трубы
Рис. 4.8. Сравнение условий Ми-
зеса (!) и Треска (2)
стенки трубки, поскольку она тонкая (рис. 4.7). Тогда главные
напряжения в точках стенки трубки
Таким образом, оу — о2 = 2 + т2) 2 и (°Т — о^)2 +
4-- (°2 — °з)2 + (°з — °i)2 = 2 (о2 4~ Зт2). Если Y предел теку-
чести для одноосного напряжения при растяжении, то:
1) по условию Треска получаем
2) по условию Мизеса
(4Л6)
Уравнения (4.14) и (4.15) описывают эллипсы с ортогональ-
ными осями o/Y и x/Y (рис. 4.8).
Для большинства металлов обычно оказывается, что экспери-
ментальные точки лежат между двумя эллипсами и вписываются
в эллипс Мизеса. Классическим исследованием, целью которого
________являлась проверка условий пластичности, стала работа Тейлора
и Квинни (1931 г.). Много экспериментов было выполнено и
75
Позднее. Еще раньше они были проведены Лоде (1925 г.) с труб-
ками, подвергавшимися растяжению и внутреннему давлению.
Зибель (1953 г.) рассматривал изгиб и кручение. Все результаты
подтверждают общее мнение, что наиболее простым условием пла-
стичности металлов является условие Мизеса (исключение соста-
вляет лишь верхний предел текучести отожженной мягкой стали,
который лучше описывается по условию Треска). Обширный обзор
экспериментальных и теоретических данных, полученных до
1948 г., был сделан Друккером. Проведение опытов с тонкостен-
ными трубками требует сложной аппаратуры, и в последние годы
Хиллом (1953 г.) были предложены новый метод испытаний
и теория локализованной шейки. Аппаратура проста, поскольку
Рис. 4.9. Образец для испытаний на рас-
тяжение
Рис. 4.10. Диаграмма нагрузка—деформация
проводится испытание на простое растяжение тонкой прямоуголь-
ной полосы, в которой вырезана канавка (рис. 4.9). Идея исполь-
зования полосы с канавкой прежде обсуждалась Бильярдом
(1940 г.); этот метод использовал Лианис и Форд (1957 г.), Паркер
и Бассетт (1964 г.).
После обработки, многих экспериментальных' данных, с7по-
мощью которых Фикри и Джонсон (1956 г.) пытались установить
форму поверхности, определяющей пределы текучести или условие
пластичности, они высказали свое мнение в книге «Пластичность
для инженеров-механиков» (1962 г.). Эти замечания относятся
и к следующему параграфу. Исследователям открывается очень
много возможностей экспериментального определения предельной
нагрузки или предела текучести в условиях сложного напряжен-
ного состояния. Эти опыты авторы пытались провести в течение
нескольких последних лет. Трудность состоит в эксперименталь-
ном определении предела текучести. Наиболее распространенный
способ основывается на предположении, что первоначально предел
текучести определяется пересечением упругой и упругопласти-
ческой линиями (рис. 4.10). Использование гладкой кривой напря-
жение — деформация или нагрузка — прогиб приводит к весьма
широкой области оценок или выбора предела текучести. Напряже-
ние, соответствующее определенной деформации (Ивий, 1961 г.),
по диаграмме напряжение — деформация можно также устанавли-
вать. Этими епоеобами нелучают результаты различной степени
точности для разных условий пластичности. Как отмечено выше,
76
у особенно успешно применяли для изучения формы поверхности
И частичности после достижения определенной сверхдеформации
Гдяйр, Пух, 1963 г. и Паркер, Бассетт, 1964 г.). Рассмотренное
доказывает, что не всегда теории, основанные на применении
сложных математических вычислений, позволяют получить досто-
верные результаты.
4.5. ИЗОТРОПНЫЕ УПРОЧНЯЕМЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Если рассматривают упрочняемый материал и считают, что
справедливо условие Мизеса, то некоторый круг на п-плоскости
определяет начальную пластичность. Дальнейшее пластическое
деформирование изменяет расположение точек пластичности. На-
пример, если Уо — начальный предел текучести, то радиус круга
Мизеса Уо]/2/3. Предположим, что деформация продолжается
от Уо ДО И15 затем материал полностью разгружается, а деформи-
рование не вызывает анизотропию его свойств. Теперь для этого
материала точки пластичности образуют круг радиусом YTj/2/З,
который на л-плоскости имеет общий центр с первоначальным
кругом радиусом К0]/2/3.
Дело в том, что рассматриваемый изотропный упрочняемый
материал представлен кругом пластичности, который увеличи-
вается с ростом деформации и напряжения, сохраняя ту же форму.
По условию Треска эти материалы будут характеризоваться экви-
валентными правильными шестиугольниками. Рассмотрим неко-
торый модифицированный материал, предполагая, по условию
Мизеса, что радиус круга пропорционален объемному напряже-
нию. Точки пластичности образуют конус, ось которого — линия
состояния гидростатического давления.
Появление понятия изотропный упрочняемый материал при-
вело к усложнению математических выражений; на практике
можно использовать лишь первое приближение их решений.
Удивительно, что эффект Баушингера проявляется как в умень-
шении, так и в увеличении координат точек пластичности в зави-
симости от знака действующего напряжения. Таким образом,
постепенно изменяется расположение точек пластичности. Этот
вопрос подробно рассмотрен в работе Нахди, Эссенбурга и Коффа
(1958 г.). Подобные исследования проводили в дальнейшем Тейлор
и Квинни. Полученные при опытах на растяжение-кручение
Результаты они представили в прямоугольной декартовой системе
ДОординат, отметив, что точки пластичности располагаются не так,
ак на л-плоскости. Опыты проводили с трубками из сплава алю-
иния с внутренним диаметром 3/4 дюйма и толщиной 0,075 дюйма.
ачале их подвергали только растяжению, затем кручению при
очти постоянном растяжении, когда материал трубки был еще
X ругим,.в» его состояние приближалось н—еостоянию пластич-
Сти- Затем и растяжение и скручивание увеличивали, пока
77
Рис. 4.11. Поверхности пластичности
(по данным Нахди, Ессенберга и
Коффа):
1 — первоначальная; 2 — последующая
первая; 3 — последующая вторая
не наступало четко выраженное состояние пластичности. Не-
сколько испытаний подобного рода с разным соотношением растя-
жения и кручения дали результаты для построения начальной
поверхности пластичности. После нагружения каждая трубка
полностью разгружалась, потом вновь следовали нагружение кру-
чением до предварительно установленного предела и затем полная
разгрузка. И так до тех пор,
пока пластичность не станови-
лась очевидной. Результаты
этой серии опытов позволили
построить первую последу-
ющую поверхность пластично-
сти. Вторая последующая по-
верхность была определена из
дальнейших опытов с трубками
после второй нагрузки до пред-
варительно установленного пре-
дела скручивания (последу-
ющая больше предыдущей).
Полученные поверхности
пластичности показаны на
рис. 4.11. Наиболее удивитель-
ным результатом, установлен-
ным при кручении, является
то, что даже чрезмерные де-
формации кручения никак не
повлияли на напряжение теку-
чести одноосного растяжения.
Изменение формы первоначаль-
ной кривой пластичности по
условию Мизеса при увеличе-
нии предварительного кручения
указывает, что теория изотроп-
ного упрочнения отличается от
действительности. Заметим, что эффект Баушингера проявляется
при реверсивном кручении и уменьшает напряжение текучести
(см. Ширатори и Икегами, 1968 г.).
4.6. УСЛОВИЕ ПЛАСТИЧНОСТИ АНИЗОТРОПНЫХ
МАТЕРИАЛОВ
Во время деформации при комнатной температуре все металлы
в большей или меньшей степени проявляют анизотропию (механи-
ческие свойства металла неодинаковы в разных направлениях).
Степень и тип анизотропии зависят от термомеханической обра-
ботки, которой металл подвергался прежде. За последние годы
возрос практический интерес к анизотропии Листового металла.
Это обсуждается дальше, в гл. 6 и 11. В листовом металле раз-
78
личают два типа анизотропии. Плоская анизотропия проявляется
при наличии различных механических свойств металла в плоскости
листа и характеризуется размерами «ушей» (фестонов), образу-
ющихся при вытяжке цилиндрического стакана из круглой пло-
ской заготовки. Нормальная анизотропия определяется отноше-
нием прочности металла по толщине листа к прочности в плоскости
листа. При производстве листового материала желательно до-
биться изотропности в плоскости и повышенной относительной
прочности по всей толщине.
Теории, описывающие анизотропное поведение металлов, пред-
ложены Джексоном, Смитом и Ланкфордом (1948 г.), Хиллом
(1948 г.) и Дорном (1949 г.). Большая часть этих работ была про-
ведена в 1939—1945 гг., но только позднее они могли быть опубли-
кованы. Мы будем пользоваться теорией Хилла (1948—1950 гг.)
для описания простой ортотропной анизотропии, когда существуют
три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии в каждой
точке. Линии пересечения этих плоскостей являются главными
осями анизотропии. Условие пластичности Хилла, отнесенное
к этим осям, имеет вид
2/ (оД = F (^ - о2)2 + G (ог - сД2 + Н ~ оД2 +
+ 2£т2г + 2Мт2х + 2У< = 1, (4.16)
где F, G, Н, L, М, N—параметры, характеризующие текущее
состояние анизотропии.
Предполагается, что эффект Баушингера отсутствует, и гидро-
статическое давление не влияет на пластичность. Поэтому линей-
ные члены не включаются в формулу, и в условии пластичности
появляются только разности составляющих нормального напря-
жения. Условия плоской изотропии (симметрия вращения вокруг
оси г) определяем, считая что уравнение (4.16) должно быть ин-
вариантно относительно взаимного расположения осей (х, у).
Тогда можно показать, что / Д
У = £Д2Д = О4-2Д;
£ = М.
(4-17)
Для полной изотропии
£ = м = У = 3F == 3G = ЗЯ.
(4.18)
79
Размерность параметров можно определить, рассматривая пла-
стические напряжения растяжения X, Y, Z по главным направле-
ниям анизотропии. Тогда
4-=G+^-
(4.19)
~zz~ = F G.
Когда анизотропия настолько мала, что ее можно не учитывать,
(4.16) сокращается и переходит в условие Мизеса. Подставляя
(4.18) в (4.16), получаем критерий пластичности в виде
(Щ/ о2) (ог — Gx) 4- (Gx — Оу) 4~
4_ бТрг 4~ 6тгл: 4~ 6тх,у — -р- — 6/г . (4.20)
Так как для чистого сдвига о,. = —о,. = k; G, = 0 и т„, = т,,. =
= тху =0, то имеем -у = 6/г2. (См. задачи 18—20).
ЛИТЕРАТУРА
Biljaard, Р. Р. 1940 Pubis int 4ss. Bridge struct. Etigng 6, 27
Dorn, J. Е. 1949 «Stress strain relations for anisotropic plastic flow» J. appl. Phys. 20, 15
Drucker, D. С. 1950 «Stress—strain Relations in the Plastic Range— a Survey of Theorv and Experiment» O. N. R. Report, NR—041—032
Fikri, К., Johnson, W. 1955 «The Effect of Tensile Pre—strain on the Plastic Distorsion of Metals» В. I. S. R. A. Report, MW/E/59/55
Hencky, Н. 1924 Z. angew. Math. Mech, 4, 323
Hill, R. 1950 The Mathematical Theory of Plasticity Chap. 12, O. U. P. 1953 «On Discontinuous Plastic States with Special Reference to Localized Necking in Thin Sheets» J. Mech. Phys. Solids 1, 19
Huber, M. T. 1904 Czasopismo techniczne 22, 81, Lemberg
Ivey, J. H. 1961 «Plastic Stress—Strain Relations and Yield Surfaces for Aluminium Alloys» J. mech. Etigng Sci. 3, 15
Jackson, L. R., Smith, K. F., Lankford, W. T. 1948 «Plastic flow in anisotropic sheet metal» Metals Technology Tech. Pub. No. 2440 and J. Metals 1, 323, (1949)
Lianis, G.. Ford, H. I лЛр w 1957 «An Experimental Investigation of the Yield Criterion and the Stress—Strain Law» J. Mech. Phys. Solids 5, 215
Mair, W. N., BO 1963 N. E, L. Report No. 90
Pugh, H. Li. D.
Mises, R. Von 1913 Gotti tiger Nachrichten, math.—phys. KI, 582
Naghdi, P. M., 1958 «An Experimental Study of Initial and Subse-
Essenburg, F., quent Yield Surfaces in Plasticity»
Koff, W. Trans. A. S. M. E. 80; J. appl. Mech. 201
Parker, J., Bassett, M. B. 1964 «Plastic Strain Relationships—Some Experiments
to Derive Subsequent Yield Surface» Trans. A. S. M. E. Series E, 31, 676
Shiratori, E., 1968 «Experimental Study of the Subsequent Yield
Ikegami, K. Surface by Using Cross—Shaped Specimens» J. Mech. Phys. Solids 16, 373
Siebel, M. P. L. 1953 «The Combined Bending and Twisting of Thin Cylinders in the Plastic Range» J. Mech. Phys. Solids 1, 189
Stokes, G. G. 1845 On the Theory of the Internal Friction of Fluids in Motion, and of the Equilibrium and Motion of Elastic Solids Cambridge Philosophical Society
Taylor, G. I., 1931 «The Plastic Distorsion of Metals»
Quinney, H. Phil. Trans. R. Soc. A., 230, 323 C. r. Acad. Sci., Paris 59, 754
Tresca, H, 1864
Глава 5
ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ
И ДЕФОРМАЦИЯМИ
Зависимости между напряжениями и деформациями описывают
упругие и пластические деформации твердого тела. В дальнейшем
влияние времени и температуры не учитываем, но принимаем во
внимание упрочнение. Также предполагаем, что твердый материал
обладает изотропией, а эффектом Баушингера можно пренебречь.
Следовало бы отметить, что угловые деформации уху, yyz, у2х —
компоненты тензора деформаций, и поэтому их значения равны
половине соответствующих значений относительных угловых де-
формаций.
5.1. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ
И ДЕФОРМАЦИЯМИ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Для изотропного твердого материала соотношение между
напряжениями и деформациями в теории упругости записываются
в виде
Eex = Gx-v(Gy-{-oz);
Ееу = су — v (щ ф- ох);
Eez = Gz-v(ox^.Gy)-,
= Ъ/.
= т.Л,
2Gyxy = Ъу,
(5.1)‘
где Е — модуль Юнга; v — коэффициент Пуассона; G — модуль
сдвига.
В данном изложении удобно различать деформации, связанные
с изменением формы и объема. Если ат — гидростатической ДЯвле-
ние и ет — соответствующая объемная деформация, то, пользуясь
82
соотношением между упругими константами, уравнения (5.1)
можно переписать в виде
1 , . , (1 —2v)
2Q Ч- £ ^т>
1 , ч , (1—2v)
Ру 2Q G,n' + Е G'n'
ez = -$G (°* - °т) +
Nyz — Тда/2С;
Угх = V2G'>
Ух,> = X«./2G,
где 3gт == gx + Gy + g, и
em = e- + ey + ez = —’ (5-2)
(g._ — Gm) и др. — уменьшенные напряжения или компоненты
девиатора напряжений обозначаем через g',:. Тогда, пользуясь
двойной индексацией, полные соотношения между напряжением
и деформацией для упругого деформирования можно записать
как
Символ Кронекера (дельта-символ) 6(7 = 1 при i = /, 6О- = О
при i 4= ]
5.2. УРАВНЕНИЯ ПРАНДТЛЯ—-РЁЙССА
Впервые соотношения напряжения — деформация для идеаль-
ных упругопластических твердых тел в случае плоской деформа-
ции были предложены Прандтлем (1924 г.). Рёйсс (1930 г.) записал
эти уравнения в общем виде. Уравнения Прандтля — обобщение
предложенных ранее уравнений Леви — Мизеса, которые при-
ведены ниже. Рёйсс предположил, что приращение пластической
деформации, обозначаемое в уравнениях верхним индексом р,
в любой момент времени пропорционально одновременно действу-
ющим девиаторному и касательному напряжениям:
dyPx dyPt/
—— = - / '• = —— =- ~—— '-== ил
ох Gy ог xyz TZA try
или
ds^j = Gij dK, (5.4)
где ИХ —- положптелБ'ная константа пропорциональности, которая
может изменяться с изменением деформации.
83
Из уравнений видно, что небольшое приращение деформации
зависит от текущего значения компонентов девиатора, а не от
приращения напряжения, которое его вызывает. Главные оси на-
пряжений и приращения пластической деформации совпадают.
Уравнение позволяет судить только о соотношении приращений
пластической деформации в направлениях х, у, г и не дает непо-
средственной информации об их абсолютной величине. Экспери-
Рис. 5.1. Круги Мора для напряжений’"и
приращений пластической деформации
ментальное доказательство
этих утверждений описано
в подразделе 5.7.
Приращение полной де-
формации есть сумма при-
ращений упругой дефор-
мации (которое теперь
вместо d& будем обозна-
чать dep) и пластической.
Таким образом, из (5.3)
и (5.4)
“Г Cl&ij ==@ij с-7- “Н
(5.5)
Поскольку пластиче-
ская деформация не вызывает изменений объема тела, то,
используя главные нормальные деформации, можно записать
условие несжимаемости
def -ф- def -ф- def — йе* -ф- def -ф- def — О
или de?i = 0. (5.6)
При рассмотрении главных напряжений из (5.4) получаем
de? — def def — def def — def
1 £4 £4 О 0 Л
°! —' - СГз СГз
(5.7)
Выражение (5.7) утверждает, что круги Мора для напряжений
и приращений пластической деформации подобны (рис. 5.1).
Формула (5.4), записанная с использованием обозначений нор-
мальных напряжений, приводит к уравнениям типа
def =-|-d7
[«Те—^(М-0;)]’
Уравнение (5.5) разбивается на три уравнения типа
de* = -|-d% [о*
2 4" °z) 1 + [do* — v (do,, -ф- do2)]/Е
и три типа
d7 -ф- diyj2G.
(5.8)
84
Наконец, исследуя (5.5), можно заметить, что в выражениях для
полного приращения деформации можно выделить приращения
объемной деформации и девиатора деформации. Учитывая условие
пластичности Мизеса, уравнения Прандтля—Рёйсса можно за-
писать в виде
de{j = o{j dk ф- dSijl2G\
de£t = doei;
(5.9)
r r 2
O’ijGij = 2k •
Часто оказывается, что эти уравнения для упругопластических
твердых тел трудно применить на практике, и, следовательно,
существует мало решений, использующих их.
При рассмотрении значительных конечных пластических де-
формаций упругими часто можно пренебречь. Материал в этом
случае рассматривают как идеальный жесткопластический. В этом
случае при напряжениях ниже предела текучести деформирование
не происходит, а приращения полной и пластической деформаций
совпадают. Зависимости между напряжениями и деформациями
для таких материалов были предложены Леви и Мизесом.
L5.3. УРАВНЕНИЯ ЛЕВИ—МИЗЕСА!
(Записывая соотношения между напряжениями и деформациями,
мы не следовали историческому развитию событий. Именно теперь
нам кажется наиболее логичным рассмотреть уравнения Леви—
Мизеса как частный случай уравнения Прандтля—Рёйсса. Хотя
первым, кто предположил, что главные оси приращений деформа-
ций совпадают с главными осями напряжений, был Сен-Венан
(1870 г.).
В общем виде соотношение между приращениями деформаций
и компонентами девиатора напряжений впервые было рассмотрено
Леви (1871 г.) и независимо от него Мизесом (1913 г.). Теперь эти
уравнения носят название Леви—Мизеса, и их можно записать
так:
_ dey ~ dt2 _ dyyz _ dy2JV _ dyxy
Gx Gy o'z TJ/z TZA- txy
Верхний индекс p из (5.4) может быть опущен, поскольку теперь
приращения полной и пластической деформации одинаковы.
Записанное с использованием обозначений полных напряжений
соотношение Леви — Мизеса содержит три уравнения типа
2 г 1 1
dex = -у dk [ — -g- (ой + о.) I
= (5.10)
и три типа
(5.11)
85
Поскольку упругие деформации не учитываются уравнениями
Леви—Мизеса, их нельзя использовать для получения информа-
ции об упругих остаточных напряжениях. В этих случаях необ-
ходимо пользоваться более сложными уравнениями Прандтля—
Рёйсса.
В этой книге мы будем широко пользоваться уравнениями
Леви—Мизеса при рассмотрении неограниченных пластических
деформаций.
5.4. УПРОЧНЕНИЕ
Когда реальный материал подвергают холодной обработке, то
он упрочняется, т.е. при деформировании увеличивается его сопро-
тивление дальнейшему формоизменению. При этом предполагают,
что степень упрочнения — функция только полной работы пласти-
ческой деформации и не зависит от пути деформации. Это назы-
вают эквивалентом работы пластической деформации. Другими
словами, сопротивление дальнейшему деформированию зависит
от работы пластической деформации, совершенной над телом,
находящимся вначале в упрочненном состоянии. Это изменение
сопротивления оценивается условием пластичности.
Тщательными опытами было установлено, что условие пластич-
ности Мизеса есть наиболее простое соотношение, которое доста-
точно хорошо удовлетворяет экспериментальным данным незави-
симо от степени предварительной деформации. По этому условию,
конечное геометрическое место точек пластичности не зависит от
гидростатического давления. Используя главные напряжения оу,
<з2, 0’s, это можно записать так:
(Ofj - О2)2 + (<*2 — О3)2 + (Оз — O1)2 = 6/г2,
где k — напряжение текучести при сдвиге, зависящее от вели-
чины первоначальной деформации.
Хилл (1950 г.) использовал правило изотропного упрочнения.
По этому правилу предполагается, что поверхность пластичности
расширяется в процессе пластического деформирования, но перво-
начальная форма и положение по отношению к линии, определя-
емой гидростатическим давлением, не изменяются (см. с. 68).
Прагер (1955 г.) предложил правило упрочнения: поверхность
пластичности сохраняет свои размеры, но движется в пространстве
напряжений в направлении приращения деформации. Это второе
правило учитывает эффект Баушингера в отличие от первого, но
оно гораздо сложнее в математическом описании. Для удобства
условие пластичности можно записать в виде
О = К01 ~ °з)2 + (<*3 — О1)2} =
=(5л2)
86
где о — интенсивность напряжений, или эквивалентное напря-
жение.
Числовой коэффициент выбран так, что для простого растяже-
ния о = Y. Интенсивность напряжения о по указанному выше
предположению — функция полной работы пластической де-
формации:
o = F(U7p).
(5.13)
справедливы только для
Будет показано, что эти уравнения
идеального металла, когда деформация изотропна и отсутствует
эффект Баушингера. Кроме того,
условие пластичности предполагает,
что гидростатическое давление не
совершает пластической деформации,
и поэтому нет постепенного измене-
ния объема. Это подтверждается экс-
периментальными данными. Прира-
щение работы, расходуемой на изме-
нение формы, в единице объема есть
dWp = Oidei + o2de2 + Osdeg. Она
может быть определена через геоме-
трические величины следующим об-
разом. Поскольку de? + de? +
+ deg = 0, то приращение остаточ-
ной деформации можно представить
Рис. 5.2. Приращение пласти-
ческой деформации (вектор RQ
параллелен вектору напряжений
ОР)
вектором на л-плоскости. Если для получения размерности
напряжения ввести фактор 2G, вектор приращения остаточной
деформации может быть изображен на той же диаграмме,
где и вектор девиатора напряжений. Далее, поскольку предпола-
гается, что главные оси приращения пластической деформации
совпадают с главными осями напряжения, на рис. 5.2 вектор на-
пряжения ОР параллелен вектору приращения пластической
деформации RQ и
W _ Op-RQ •
L- " р 2G ’
I OP I = l/(c42 + 02 + o-з2) = j/ -j-o ;
_________________ (5.14)
I RQ I = 2G у d.£P -)- d.£P -f- def = 2G у d£P.
Инвариантная функция составляющих приращения остаточной де-
формации dep, как и компонент девиатора напряжений о, может
быть записана
d£p = |/ A {(def - def)2 + (def - def)2 + (def - def)2). (5.15)
87
Таким образом,
dWp = O(tep. (5.16)
Теперь гипотезу упрочнения (5.13) можно записать как о =
= F Q or<tep). Отсюда следует, что о — функция только J de?,
где интервал берется в процессе деформирования. Поэтому
o=tfftfep. (5.17)
Обычно этим выражением более удобно пользоваться, чем (5.13).
Следует подчеркнуть, что, решая (5.13) и (5.17), можно получить
разные результаты из-за анизотропии и эффекта Баушингера.
Если мы имеем дело с материалом, который очень близок к жестко-
пластическому, то (5.15) можно записать в виде
de = j/^ -g- {(dej — de2)2 -1 - (ds2 — deg)2 -f- (de3 — d&t)2}, (5.18)
поскольку приращение пластической деформации совпадает с при-
ращением полной деформации. Если главные оси приращения
последующей деформации не поворачиваются относительно эле-
мента, подвергающегося деформации, то отношение приращений
, de2 de»
деформации постоянно: = х; ~~ — у.
Имеем dex -ф de2 -ф- des = 0, х -ф- у -ф-1 = 0 или у = — (1 -ф- х).
Таким образом, de2 — ~ de2 [ 1 -ф- х -ф- у2\ или de = deT [ 1 -ф
а у 3
+ x + x2 ]2. После интегрирования получим
i
Ё = -^(1+х + х2)2е1.
J о
Поэтому (5.17) записывают в виде
о = Н(Ё),
а уравнение несжимаемости е1 -ф е2 + е3 = 0.
(5.19)
(5.20)
5.5. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ
И ДЕФОРМАЦИЯМИ
Пользуясь (5.7), (5.9), (5.12) и (5.15), полные соотношения
между деформациями и напряжениями можно записать
, ' 3 dep dEf/ = -б- Gij — z G (1—-2-v) «Е/г = E do,, J LL- 20 ’ do,,-; (5.21)
o’ijGij = 2k 2
Выражение (5.21) содержит такие уравнения, как
, Г 1 , , dip ,
dex == [ол - (оу + ог) J +
+ -Jr — v (dGy 4- tfoz)J;
, 3 deP . fayz
dVyz ?r Xyz - + ~2(Г
(5.22)
В более общей форме (5.21) было рассмотрено Хиллом (1950 г.).
Если совсем пренебречь упрочнением и предположить, что
напряжение текучести для материала есть некоторая постоянная
величина Y, то выражение приращения остаточной деформации
dep
Y ’
, Р 3 '
j q G(у
(5.23)
так как о = Y из (5.12). Выражение (5.23) впервые было пред-
ложено Хиллом. Это просто уравнение Прандтля — Рёйсса,
записанное в более удобном виде.
Когда можно пренебречь упругими деформациями, зависи-
мости между напряжениями и деформациями для материала,
описываемого уравнением Леви—Мизеса, имеют вид
. 3 z dt су Л \
a&lj==-^-Gij — . (5.24)
сг
Уравнение (5.24) состоит из трех уравнений типа
< Г 1 , , , "I de
<fex= Gx —-5- (Gy + Gz)
L z J ст
и трех типа
dy,z=^TyZ-^. (5.25)
с
5.6. ОБЩАЯ ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ.
УРАВНЕНИЯ ГЕНКИ НАПРЯЖЕНИЕ—ДЕФОРМАЦИЯ
Оказалось, что только в последние 30 лет пришли к выводу,
что все проблемы теории пластичности имеют дифференциальный
характер. Уравнения Генки (1924 г.) являются попыткой расши-
рить общую теорию упругости до теории пластичности. В них
утверждается, что
npii ==(fGij, (5.26)
т. е. что составляющие полной пластической деформации, в от-
личие от уравнения Рёйсса, где рассматривались компоненты
тензора приращения пластической деформации, пропорциональны
89
компонентам девиатора напряжений. Уравнения Генки можно
записать в виде
е«7 = Gtj
(1 — 2v)
&гг = ~ G“’
(5.27)
где <р — скалярная величина, положительная при нагрузке и рав-
ная нулю при разгрузке. Из формулы (5.27) следует, что если
дана величина напряжения в точке, то сразу же можно определить
полную деформацию. Ясно, что это не так, за исключением особых
случаев, когда соотношение напряжение—деформация остается
постоянным. В этих условиях уравнения Генки вытекают из
проинтегрированных уравнений Рёйсса. Здесь очень справедливы
замечания Хилла (1950 г.), который описал, что «Очень легко
показать, что уравнения Генки неудобны для описания поведения
идеальных пластических металлов. Предположим, что после опре-
деленных пластических деформаций элемент частично или пол-
ностью разгружен, а затем снова нагружен до другого напряжен-
ного состояния на той же поверхности пластичности. Если точка,
характеризующая напряжение, входит в геометрическое место
точек пластичности, то может происходить только упругое де-
формирование, а полная пластическая деформация не изменяется.
Однако согласно уравнению (5.26) отношения остаточных де-
формаций совсем различны, поскольку изменилось напряженное
состояние. Это означает, что сама пластическая деформация изме-
нилась во время разгрузки и новой нагрузки, что есть абсурд».
5.7. ПЕРЕМЕННЫЕ ЛЕВИ—ЛОДЕ
Первые эксперименты по исследованию соотношений напря-
жение—деформация были выполнены Лоде (1926 г.). Он ввел
два параметра: = —оз)_ (5 28) 1 (>1 — щ ' v = . ,5 29) d&f — defy
Легко заметить, что если теоретически полученное уравнение (5.7)
верно, то р должно быть равно v. (Не стоит путать параметр Лодеу
с коэффициентом Пуассона).
Если р = —1, о2 = erg, то напряженное состояние соответ-
ствует одноосному растяжению (о\ — о2) с гидростатическим
давлением а2. Если р = 0; Од = (о, + а2)/2, то это соответствует
состоянию чистого сдвига 1(07 — g2)/2, (g2 — сгх)/2 ] с гидростати-
ческим давлением (о1 + о2)/2. Точки, определенные условиями
90
чистого сдвига и одноосного растяжения, в которых р, = v, обра-
зуют прямую линию ОА (рис. 5.3).
Методика исследований существенно упрощается, если в экспе-
рименте соотношения напряжений остаются постоянными во все
время деформирования. Это уменьшает упругую составляющую
деформации до минимума, и для материалов, предварительно
слабодеформированных, ею можно пренебречь. В этом случае v
можно выразить через полную деформацию
v = *Ез ~ ~~ fa ~~
е1 ~ е2
(5.30)
Все опыты по определению параметров Лоде выполнялись при
плоском деформировании. Лоде (1926 г.) в своих экспериментах
подвергал тонкостенные трубки из же-
леза, меди и никеля одновременно
растяжению и внутреннему давлению.
Во время каждого испытания отноше-
ние осевых напряжений к касательным
оставалось примерно постоянным.
Несмотря на значительный разброс
из-за анизотропии трубок, результаты
указывали на отклонение от линии ОА.
Систематическое отклонение было от-
мечено Тейлором и Квинни (1931 г.),
которые подвергали тонкостенные труб-
ки из алюминия, меди и мягкой стали
одновременному растяжению и скручи-
ванию. Они установили допустимый
предел анизотропии в трубках. В этих
ная (Г) и расчетная (2) кри-
вые изменения коэффициента
Леви—Лоде
последних испытаниях максимальная нагрузка оставалась посто-
янной, в то время как крутящий момент увеличивался. Следова-
тельно, отношение напряжений не было постоянным, и (5.30)
применить было нельзя.
Пух (1953 г.) показал, что невозможно быть абсолютно уверен-
ным в изотропности тонкостенной трубки. Чтобы преодолеть эту
трудность, Хилл (1953 г.) предложил экспериментально исследо-
вать зависимости между напряжением и деформацией с помощью
проградуированной полосы, которая дает возможность следить
за изменением анизотропии материала. На практике эта идея
была применена Ханди и Грином (1954 г.). Они получили резуль-
таты, которые подтвердили уравнения Леви—Мизеса.
В экспериментах, выполненных Хохенемзером (1931 г.) и Мор-
рисоном, Шепхердом (1950 г.), была использована тонкостенная
трубка, которая подвергалась различным комбинациям усилий
скручивания и растяжения. Эти опыты показали, что упругая
и пластическая деформации были одного порядка, т. е. доказали
справедливость уравнений Прандтля—Рёйсса, но это условие
не всегда справедливо при определении переменных Лоде.
91
5.8. ПЛАСТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ И УРАВНЕНИЯ
ТЕОРИИ ТЕЧЕНИЯ
До сих пор мы обсудили только условие пластичности Мизеса
и уравнения Леви — Мизеса для теории течения, поскольку они
подтверждаются экспериментальными данными. Теперь мы
рассмотрим предел текучести и пластическое течение в более
общем виде, пользуясь понятием пластического потенциала. Пред-
ложена гипотеза, что пластический потенциал — это такая ска-
лярная функция напряжений, скажем g (вц), частная производ-
ная которой по вц позволяет получить уравнения для компонентов
1
Рис. 5.4. Приращение
пластической деформа-
ции в трехмерном про-
странстве напряжений
тензора
мации:
или
приращений пластической дефор-
, р дв ,
' двц
d^! яг'
... = dK ,
(5.31)
dK'
бы
dg/dctj
— положительная константа
dK' было отрицательным, это
бы, что отрицательная деформа-
Таким образом,
= L (<Ц — °г)2; тогда
—2о-3 = 6 (o’! — от), где Gm — -g
Таким образом, из (5.31)
где
(если
означало
ция связана с положительным напряже-
нием, что есть абсурд).
Эти уравнения превращаются в уравне-
ния Леви—Мизеса, если вместо g подста-
вить функцию пластичности Мизеса f.
в главных напряжениях g (о;,) = f (о,7) =
= 2 (Oj. — or2) — 2 (о3 — ох) = 4Oj — 2о2 —
1 V’
<^2
de? = dK = dK ~ 6 (сц — om) dK = 6oj dK
dcij dor 4 '
и, следовательно,
de?
= • • • =dK, (5.32)
где dK — другая положительная константа пропорциональности.
Функцию g (SKj), которой можно заменить условие пластич-
ности и потенциал пластичности, всегда следует выбирать так,
чтобы она стала симметричной для всех трех инвариаторов напря-
жения, т. е. так, чтобы она не зависела от выбранной системы
координат или от главных напряжений. Функция считается сим-
метричной, если каждое из главных напряжений входит с одина-
ковым «весом».
Если по оси o’! в трехмерном пространстве напряжений
(рис. 5.4) главные приращения пластических деформаций обозна-
92
чить de? и рассмотреть относительно осей о, и <т3, ds% и du!’, которые
также являются компонентами вектора приращений пластической
деформации, вызванной действием напряжений (аг, <т2, сг3), то
нам удобно поместить этот вектор в точку на цилиндре пластич-
ности. Теперь направление вектора приращения деформации та-
кое же, как и у внешней нормали к поверхности g (и.,} в точке
(о1, о2, о3). Это объясняется тем, что соотношения направляющих
косинусов внешней нормали к поверхности цилиндра в точке (аь
о2, о3) определяются методами обычной декартовой геометрии:
Sg . dg ф dg
дох ’ до2 ’ дов
Это геометрический способ представления уравнений теории тече-
ния по результатам рассмотрения пластического потенциала;
таким образом,
d£%'.d£2 -des = -уЯ—: -%8 : (5.33)
Однако из предположения о несжимаемости следует, что g должна
быть такой, чтобы
de? + d&2 + deg = ф- = 0.
Условие пластичности Мизеса удовлетворяет этому требо-
ванию.
Теперь будет показано, что предположение о перпендикуляр-
ности (ортогональности) вектора приращения пластической де-
формации к поверхности пластичности ведет к другому соотноше-
нию напряжений и приращений деформации — к условию пластич-
ности Треска. Это означает, что имеется только шесть различно
направленных нормалей, соответствующих шести площадкам бо-
ковых граней призмы. Только максимальное касательное напря-
жение, которое имеет наибольшую абсолютную величину, исполь-
зуется для данного распределения (plt сг2, о3), например (ах — о3);
тогда g (вц) = (их — о3). Пользуясь (5.31), получаем
def :deg :deg = : : d = 1 :0 : — 1.
дох do.2 do3
(5.34)
Это единственное состояние, которое возможно для пластического
Деформирования только в плоскости о1 и о3; приращения пласти-
ческих деформаций равны по величине и противоположны по
направлению. Условие пластичности Треска и соответствующие
ему уравнения течения не используются в этой книге; их при-
менение рассматривается в книге Койтера (1953 г.), Прагера
(1955 г.) и Бленда (1956 г.).
93
5.9. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ЭНЕРГИИ ДИССИПАЦИИ
Приращение энергии, рассеянной в единице объема жестко-
пластического материала, когда главные напряжения а15 а2, <т3
или о,- равны,
= (7| d&1 + а2 de2 -|- о3 dt'g = oz de,-,
где delt de2, de3 — главные приращения пластических деформаций.
Иначе — скалярное произведение вектора девиатора напря-
Рис. 5.5. Приращение пластической
деформации (PQ — нормаль к поверх-
ности текучести в точке Р)
(см. рис. 5.5). Тогда 6w =
жения ОР на вектор прираще-
ния деформации (de1, de2, de3),
PQ. Этот последний вектор PQ
указан на рис. 5.5 и является
нормалью к поверхности пла-
стичности в точке Р.
Компоненты шарового тен-
зора напряжений не совершают
работы и при рассмотрении
диссипации работы пластиче-
ской деформации учитывают
только компоненты девиатора
напряжений. Все это можно
рассмотреть на л-плоскости
<fde,-. Теперь рассмотрим
$W* = of de! + of de2 ф- of de3 = of de(-,
где OP = (of , o2 , 03 ) и также удовлетворяет условию пластич-
ности, т. е. точка Р* находится на поверхности пластичности.
Тогда
бку-боГ = 0Р -PQ—OP* PQ = (o'i-ul')dE{. (5.35а)
В более общем виде для бесконечно малого объема dV, в пло-
щадках которого действуют напряжения ог/- и вызывают прира-
щения деформации def/- и напряжения of, соответствующие вы-
ражению (5.35а), мы можем записать разность приращений работ
(<т(/- — о*/) de(/- dV. (5.356)
Теперь рассмотрим деформирование всего объема V идеального
жесткопластического тела. Приращения деформации в каждой
точке этого тела равны dt-,^. В этом случае действительная работа
пластической деформации 8W, необходимая для получения при-
ращений пластической деформации de,,, больше, чем приращение
работы пластической деформации & W*, которая потребовалась бы
для получения этих же приращений пластической деформации
94
при любом другом распределении напряжений по объему V,
удовлетворяющему условию пластичности. Это следует из (5.356)’
6IE — Ж* = — Gii)de,ijdV. (5.35в)
v
Чтобы не использовать в расчетах приращений деформаций, их
заменяют скоростями деформации, а работу пластической дефор-
мации — мощностью. После введения соответствующих изменений
в обозначениях имеем
W — W* = | (G{. _ (5.35г)
v
точками обозначены скорость деформации и мощность.
Для вогнутой (в начале координат) поверхности пластичности
(5.35г) можно записать в виде
J (az/ — Of,) е,7 dV > 0. (5.36)
v
По (5.36) формоизменение или
деформирование идеального же-
сткопластического тела происхо-
дит С максимальным расходом Рис. 5.6. Иллюстрация прин-
энергии. Это и есть принцип мак- чипа максимума диссипации
симальной диссипации работы.
Он находит широкое применение не только при пластическом де-
формировании. Интересной является его связь с обыкновенным
механическим трением. На горизонтальной плоскости (рис. 5.6)
сила трения равна рР, где Р — сила тяжести тела, р — коэффи-
циент трения. Если тело движется из точки А в точку В по пути ds,
то работа, затраченная на преодоление силы трения, W = рР X
X ds = рР ds cos 6. IE — максимально, когда 6 = 0, т. е. сила
трения действует в направлении, противоположном направлению
движения. Сила Р направлена так, что увеличивает совершаемую
работу. Это можно рассматривать как пример принципа макси-
мальной работы. Однако эту аналогию не следует продолжать
1см. книгу Друккера (1953 г.)].
5.10. УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ
АНИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА
Как и для изотропных материалов, считаем, что f (оц) — есть
пластический потенциал. Если найти частную производную f (p{j)
по вц-, то получим приращения деформации
2/ (<Ч/) = F (бу — ог)2 -|- G (о2 — Ох) + Н (ох — оу)2 2£т^2 -|-
2Л4тгд; -|- 2Nixy",
= — аг) ф- Н (ск —• ог/) и, следовательно,
dej
G (ол - аг) + Н(ох~ оу) =
95
Аналогичные выражения получаются и для других приращений
деформации:
de^ = йХ [Д (о% Су) 4~ G (сЦ; — о2), &Ууг dkLtyz,
defy — dl [F (су — о2) ф- Н (ау — <тЛ.)]; dy%x = d/.Mт2Л:; (5.37)
d&pz = dk [G (o2 — щ.) 4- F (az — ; dy^v = dkNxxu.
Эти выражения удовлетворяют условию несжимаемости de? 4-
4- de? 4- de? = 0. Когда приращения упругой деформации малы
по сравнению с приращениями пластической деформации, верх-
ний индекс р в написанных выше выражениях можно опускать,
т. е. мы имеем дело с идеальным жесткопластическим телом Леви —
Мизеса. Если образец, вырезанный в плоскости (х, у), растягивать
в направлении оси х, являющейся осью анизотропии, то отноше-
ния приращений деформации
d&x: de?: dsp = G + H: - H: - G.
Отношение деформации по толщине к деформации по ширине
обозначают г; rx = didy/dt? — Н/G. Индекс х означает, что обра-
зец вырезан вдоль оси х. Для образца, вырезанного вдоль оси у,
d&d&dg = — Н: F + Н: — F
и
До сих пор мы рассматривали нагружение по оси анизотропии.
Для того чтобы получить требуемые параметры анизотропии
в плоскости листа, необходимо провести испытания на растяжение
образцов, вырезанных, по крайней мере, еще в одном направле-
нии. Если лист из анизотропного материала подвергнуть дей-
ствию сил, перпендикулярных плоскости листа (%, у), то и
будут равны нулю. Предположим, что образец, подвергаемый
растяжению, вырезан под углом к оси х\ тогда из условия равно-
весия ох = с cos2 a; си = с sin2 а; хху = о sin а cos а, где о —
напряжение текучести при растяжении. Подставляя это в (5.37),
получим
d&x = [(G + Н) cos2 а — Н sin2a] о dk\
dsy — [(F 4- Н) sin2 а—Н cos2 а] с dk\ (5.38)
de? = — [F sin2 а 4* G cos2 а] о dX;
dy?y = [A sin a cos а) о dk.
Рассматривая геометрию малых деформаций, при-
ходим к выводу, что приращение деформации по ши-
96
рине ^еа+(Л/2) определяется выражением ^е^+(я/2> = d&x sin2 а 4-
dug cos2 а — 2dyXy sin а cos а, поэтому
^еа+(л/2) sin2 а + teg cos2 а—2^ sin a cos а
Га = = ’
__ Н J- (2N— F—G — 4//) sin2 a cos2 а Ш
Га F sin2 a Geos2 а ' ( • )
В листовом металле направление прокатки является, как пра-
вило, осью анизотропии, и ось х выбирают в этом направлении.
Тогда написанные выше уравнения текучести принимают вид
Н
гх^г0 = -^,
(5.40)
2N — (F + G)
— 2 (f + G)
ИЛИ
Нг»+~9(,+4)’
где г0, г45, г80 — значения г в направлении прокатки и под углами
45 и 90° к нему.
При выводе этих выражений Предполагалось, что отношения
параметров анизотропии остаются неизменными на протяжении
всего исследования. На практике это надо проверять для каждого
материала отдельно. Параметры анизотропии остаются неизмен-
ными для алюминия (Клингер, Закс, 1948 г.), стали, предназна-
ченной для глубокой вытяжки, и титана (Брамли, Меллор, 1966,
1967 гг.), но Авери, Хосворд и Бэкофен (1965 г.) установили, что
для некоторых сплавов магния величина г существенно зависит
от степени деформации. Нельзя ожидать, что простая теория может
описать анизотропное поведение всех металлов и сплавов, и следует
установить точные пределы ее практического применения. Предел
текучести анизотропных материалов исследован Ли и Бэкофеном
(1966 г.), Механом '(1961 г.), Бабелем, Итманом и Макивером
(1966 г.). Величину г для металлических листов обычно опреде-
ляют при продольных деформациях >5%. Тогда есть основание
предполагать, что упругие деформации малы и поэтому объем
остается неизменным. Продольные и поперечные деформации
измеряют, а деформацию по толщине (которую трудно точно изме-
рить у тонкого металлического листа) вычисляют.
_ In (Wo/w) In (w0/w) Щ 4 n
In (tjt) In (wl/wolo) ’ '
где w, t и I — текущие значения ширины, толщины и длины.
Индекс 0 относится к начальным параметрам. Измерение г было
подробно рассмотрено Аткинсоном (1967 г.).
4 У. Джонсон 97
5.11. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ
И ДЕФОРМАЦИЯМИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОГО УПРОЧНЯЕМОГО
МАТЕРИАЛА
Когда материал деформируется пластически, состояние анизо-
тропии изменяется. Однако мы будем предполагать, что изменение
анизотропных свойств после начала испытаний мало. В этом
случае следует ожидать совпадения теоретических и эксперимен-
тальных данных для материалов с большой начальной анизотро-
пией. Это имелось в виду, когда предполагалось, что материал,
изотропный до опыта, остается изотропным и во время пласти-
ческой деформации. Известно, что это допущение не является
строго обоснованным, но, как показывает опыт, во многих случаях
такое приближение допустимо.
Если состояние анизотропии не изменяется, то напряжения
текучести при упрочнении металла должны увеличиваться строго
пропорционально; отсюда следует, что параметры анизотропии
должны уменьшаться в строгой пропорции. Тогда соотношение
параметров будет оставаться постоянным, а во время опыта изме-
ряют именно соотношения, а не абсолютные значения отдельных
параметров. Выше уже указывалось, что соотношение деформаций
для одних материалов может оставаться неизменным, а для дру-
гих — нет. Поэтому всегда следует осторожно применять теорию
анизотропии.
Хилл (1950 г.) предложил новую формулу для определения
эквивалентного напряжения:
1
F(Oy — Oj)2+G(Oz — Ох)2 + ^(Ох— o&)2+ I2
~__ 1/3 + 4" ^^zx +
. ~ Г 2 F±G±H
(5.42)
Из нее ясно, что рассматривают отношения параметров анизотро-
пии, а не их абсолютные значения. Если анизотропией можно
пренебречь, а нагружение идет вдоль главных осей, это выражение
превращается в (5.12).
Следуя Джексону, Смиту и Ланкфорду (1948 г.), Хилл (1950 г.)
предложил теорию, аналогичную изотропной, где и — функция
работы пластической деформации. Приращение работы пласти-
ческой деформации на единицу объема для жесткопластического
тела
dw = Оц d&u ~ оу.- d'/.. (5.43)
о ч ч doij
Пользуясь (4.16) и теоремой Эйлера об однородных функциях,
Сокольников (1941 г.) предложил
dw = и и-д? d'k - 2f dX — d'k. (5.44)
4 doij 1
98
Из (5.37) мы получим для жесткопластического тела следующие
уравнения:
G d&y — Н de.z = (FG -f- GH Д- HF) (gv — oz) dk,
H dsz - F dsx = (FG + GH + HF) (gz - gx) dk,
F dsx — G d&v = (FG Д- GH -f- HF) (cx — ov) dk
Интенсивность приращения деформации de тогда можно опре-
делить, учитывая dw = ode = dl как
* - -г=KI!F+°+[f +
Для листового материала в условиях плоского напряженного
состояния с симметрией вокруг оси г
Н И
r G ~ F ’
и уравнения (5.42) и (5.45) упрощаются:
1
de = {(deu — r dRz)2 + - г d£z)2 +
+ r(deA;-de/}] 2. (5.47)
Эти уравнения необходимы для определения влияния нормаль-
ной анизотропии при листовой штамповке. (См. задачу 21).
Atkinson, М.
Avery, D. Н.,
Hosford, W. F. Jr.,
Васко fen, W. А.
Babel, Н. W„
Eitman, D. A.,
McIver, R. W.
Bramley, A. N.,
Mellor, P. B.
Bland, D. R.
4*
ЛИТЕРАТУРА
1967 Assessing Normal Anisotropy of Sheet Metals
Sheet Metals Industries, March .
1965 «Plastic Anisotropy in Magnesium Alloy Sheets»
Trans, metall. Soc. A. I. M. E. 233, 71
1966 «The Biaxial Strengthening of Textured Ti-
tanium»
A. S. M. E. Paper 66—Met. 6
1966 «Plastic Flow in Stabilized Sheet Metal»
Int. J. mech. Sci. 8, 101
1967 «Plastic Anisotropy of Titanium and Zinc Sheet—
I. Macroscopic Approach»
Int. J. mech. Sci. 10, 211
1956 «Elastoplastic Thick—walled Tubes of Work-
hardening Material Subject to Internal and
External Pressures and to Temperature Gra-
dients
J. Mech. Phys. Solids 4, 209
1957 «The Associated Flow Rule of Plasticity»
J. Mech. Phys. Solids 6, 71
99
Drucker, D. C.
Hencky, H.
Hill, R.
Hill, R., Lee, E. H.,
Tupper, S. J.
Hohenemser, K.
Hundy, В. B.,
Green, A. P.
Jackson, L. R.,
Smith, K- F-,
Lankford, W. T.
Klinger, L. G.,
Sachs, G.
Koiter, W. T.,
Lee, D.,
Backofen, W. A.
Levy, M.
Lode, W.
Mehan, R. L.
Mises, R. Von
Morrison, J. L. M.,
Shepherd, W. M.
Prager, W.
Prandtl, L.
Pugh, H. LI. D.
Reuss, A.
Saint—Venant, B. De
Sokolnikoff, 1. S.
and E. S.
Taylor, G. I.
Taylor, G. I.,
Quinney, H.
100
1953 «Coulomb Friction, Plasticity and Limit Loads»
J. appl. mech. A. S. M. E. Paper No. 53—A—57
1924 «Zur Theorie plastischer Deformationen und
der hierdurch im Material hervorgerufenen Nach-
spannungen»
Z. angew Math. Mech. 4, 323
1950 The Mathematical Theory of Plasticity O. U. P.
1953 «А New Method for Determining the Yield Cri-
terion and Plastic Potential of Ductile Metals»
J. Mech. Phys. Solids 1, 271
1947 «The Theory of Combined Plastic and Elastic
Deformation»
Proc. P. Soc. A. 191, 278
1931 «Fliessversuche an Rohren aus Stahl bei kom-
binierter Zug— und Torsionsbeanspruchung»
Z. angew. Math. Mech. 11, 15
1954 «А Determination of Plastic Stress—Strain Re-
lations»
J. Mech. Phys. Solids 3, 16
1948 Plastic Flow in Anisotropic Sheet Metal
Metals Technology Tech. Pub. 2440
1948 «Dependence of the stress—strain curves of cold
worked metals upon the testing direction»
J. aeronaut. Sci. 15, 599
1953 Biezeno Anniversary Volume Stam, Haarlem, 232
1966 «An JExperimental {Determination of the Yield
Locus for Titanium and Titanium Alloy Sheet»
Trans, metall. Soc. A. 1. M. E. 236, 1077
1870 C. r. Acad. Sci., Paris 70, 1323
1926 «Versuche fiber den Einfluss der mittleren Haupt-
spannung auf das Fliessen der Metalle Eisen,
Kupfer und Nickel»
Zeitsch. Phys. 30, 913
1961 «Effect of Combined Stress on Yield and Frac-
ture Behaviour of Zircaloy—2»
Trans. A. S. M. E., J. Basic Eng. 83, 499
1913 Gottinger Nachrichten, math.—phys. KI., 582
1928 «Mechanik der plastischen Formanderung von
Kristallen»
Z. ang. Math. Mech. 8, 161
1950 «An Experimental Investigation of Plastic
Stress—Strain Relations»
Proc. Jnstn Mech. Engrs 163, 1
1955 «The Theory of Plasticity: A Survey of Recent
Achievements»
Proc. Instn Mech. Engrs 169, 41
1924 Proc. 1st Int. Congr. App. Mech., Delft, 43
1953 «А Note on a Test of the Plastic Isotropy of Me-
tals»
J. Mech. Phys. Solids 1, 284
1930 Z. ang. Math. Mech. 10, 266
1870 C. r. Acad. Sci., Paris 70 , 473
1941 Higher Mathematics for Engineers and Physicists
McGraw—Hill, New York
1947 «А Connexion between the Criteria of Yield and
the Strain Ratio Relationship in Plastic Solids»
Proc. R. Soc., A. 191, 441
1931 «The Plastic Distortion of Metals»
Phil. Trans. R. Soc. A. 230, 323
Глава 6
СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК
УПРОЧНЕНИЯ
6.1. ВВЕДЕНИЕ
При любом анализе состояния металла, деформированного
под действием данной системы нагрузок, необходимо эксперимен-
тально установить соотношение между напряжением и деформа-
цией. Желательно, хотя и не всегда возможно, определить соотно-
шения напряжение — деформация в условиях, близких к тем,
которые будут при анализе. Если это выполнить невозможно,
то следует пользоваться соотношением интенсивность напряже-
ний — интенсивность деформаций, хотя надо помнить, что это
соотношение не учитывает анизотропию и эффект Баушингера.
При определении экспериментальной кривой напряжение —
деформация надо помнить, что результаты будут также зависеть
от скорости испытания и температуры. Мы ограничимся обсужде-
нием лишь холодной обработки металлов, высокотемпературную
ползучесть рассматривать не будем. Предположим, что измерения
проводятся примерно при той же скорости деформации, которая
бывает при обычных кратковременных испытаниях на растяжение
(~2-1СГ3 1/с). Было показано (Манджойн, 1944 г.), что при этой
скорости деформации пределы прочности и текучести практически
не изменяются.
Во многих случаях пластические деформации настолько ве-
лики, что упругими по сравнению с ними можно пренебречь, на-
пример, при получении кривой напряжение — деформация. Иде-
альный материал — это такой, который остается совершенно
Жестким вплоть до достижения предела текучести, и его пласти-
ческая деформация является полной.
В предыдущей главе на основе постоянства работы пласти-
ческой деформации были получены выражения для определения
интенсивности напряжений и интенсивности приращения дефор-
маций [(5.12) и (5.18) ]. Они справедливы для твердых тел Леви —
Мизеса, т. е. для тех, у которых переменные Лоде равны (р = -v)
и упругие деформации равны нулю.
Эти уравнения имеют вид
и = V [(<*1 — <*2)2 + — <*з)2 + (<5-3 — <ь)21/2; (6.1)
da — [/ 2 [(с/ех — de2)2 4- (ds2 — de3)2 -J- (de3— de1)2[/3. (6.2)
101
Кривые напряжение — деформация построены по эксперимен-
тальным данным, полученным при постоянном отношении дефор-
мации и отсутствии поворота главных осей элемента при последу-
ющих приращениях деформации. Тогда можно пользоваться
и интегральной формой выражения (6.2):
Г = К2 [(Е1 - 82)2 + (82 - 83)2 + (Е3 - Ё1)2]/3. (6.3)
Его справедливость доказана в подразделе 5.5. При простом
скручивании главные оси будут поворачиваться относительно
элемента.
Уравнения (6.1) и (6.3) в такой форме были впервые предло-
жены Росом и Эйхингером (1929 г.). Константы l/j/^2 и J/2/3
в этих уравнениях выбраны такими потому, что при простом растя-
жении о = Y и 8 = 8. Подобные соотношения, отличающиеся
только значениями констант, были предложены Надаи (1937 г.)
и Свифтом (1946 г.).
Надаи ввел понятия «октаэдрическое касательное напряжение»
и «октаэдрическая угловая деформация», определяемые уравне-
ниями
^окт = V [(^1 — tf2)2 + (р2~- <*з)2 + (о3 — <Н)2]/3; (6.4)
Токт = 2 V[(Е1 — е2)2 + (82 — 83)2 + (83 — 81)2]/3. (6.5)
Октаэдрическое касательное напряжение — это касательное
напряжение в площадках, имеющих направляющие косинусы
1//3 по отношению к главным осям.
Свифт предложил пользоваться характерным касательным
напряжением q, которое определяют как корень из среднего
квадратичного максимальных касательных напряжений:
q = Kt(^i - tf2)2 + (^ — <М2 + (<ъ — <н)2]/2 ]/Лз; (6.6)
ф = V[(ei - е2)2 + (е2 - е3)2 + (е3 - ei)2j/2/3, (6.7)
где ф — характерная угловая деформация.
В книге будут использованы понятия «интенсивность напря-
жений», «интенсивность приращения деформации» и «интенсив-
ность деформации». Их значения можно определить по уравне-
ниям (6.1), (6.2), (6.3). Эти понятия необходимы для сравнения
кривых напряжение — деформация при простом растяжении,
простом сжатии и кручении тонкостенной трубки на основе экви-
валентной работы пластической деформации. В этих случаях
можно рассматривать упругие деформации и продемонстриро-
вать важность логарифмических деформаций.
Рассмотрим кривую напряжение — деформация, полученную
при испытании на растяжение цилиндрического образца. Если
текущая калибровочная длина равна I, а напряжение текучести Y,
то приращение удельной полной работы при увеличении длины
на dl есть Ydl/l. Приращение удельной работы упругой деформа-
102
ции YdY/E и приращение удельной деформации пластической
работы Y (dill — dYlE). Поэтому удельная полная работа пласти-
/ I V
ческой деформации Wp= j j Y dl/l | — Y2/2E, где /0 — начальная
Vo /
калиброванная длина образца. Таким образом,
Г2
2Е
(6.8)
Если построить график Y от [in (Z/Zo) — Y!E J, то аргументом F
будет площадь под кривой до ординаты Y.
Также можно показать, что для простого сжатия
(6.9)
где h0 и h — начальное и текущее значения высоты образца.
Видно, что о — функция от In h0/h, как Y от In Z/Zo- Поэтому
кривые напряжение — деформация при простом растяжении и
сжатии будут совпадать. Переменные In Z/Zo и In hjh есть натураль-
ные или логарифмические деформации. Следовательно, кривые
будут совпадать, если напряжения зависят от соотношений 1Нй
и h0!h, а не от относительных линейных деформаций (/ — Zo)/Zo
и (/г0 — /l)//l0.
Рассмотрим тонкостенную круглую трубку, подвергающуюся
только кручению. При скручивании образующая трубки, перво-
начально параллельная оси, становится винтообразной и соста-
вляет угол ф с первоначальным направлением; = —сг2 = т —
максимальное касательное напряжение; сг3 = 0; интенсивность
напряжений о = ]/Зт [см. (6.1)]. Удельная работа касательных
напряжений т при скручивании на dtp есть xd (tg ср); тогда
о = У Зт = F
xd (tg ф)
(6.10)
Если построен график зависимости ]ЛЗт OT^tgw-—gy/VS, то
аргументом F будет площадь под этой кривой до ординаты УЗт.
Другими словами, |л3т— такая же функция от ^tgw /1/3,
что и Г от (In 1Н0 — о/Е). Эти кривые совпадут.
Моррисон (1948 г.) и Шепхерд (1948 г.) определили предел
текучести при испытаниях на растяжение для хромомолибденовой
стали и показали, что кривая касательного напряжения, получен-
ная по данным этих испытаний, хорошо согласуется с экспери-
ментальными результатами, полученными при испытании на скру-
чивание образца из этого же материала. Для записи диаграммы
103
напряжение — деформация прй испьггании образца на кручениё
пользовались установкой Надаи. Она рассмотрена в подраз-
деле 6.7.
6.2. ПРОСТОЕ РАСТЯЖЕНИЕ
Испытание на простое растяжение — наиболее часто исполь-
зуемый метод определения механических свойств металлов. Вы-
точенный на станке круглый или плоский образец растягивают.
С ростом нагрузки увеличиваются напряжение растяжения, про-
дольная или осевая деформация и уменьшается поперечное сече-
ние образца. Продольное напряжение о = PIX, где Р — нагрузка,
X — текущее значение поперечного сечения. Продольная относи-
тельная деформация (/ — логарифмическая 1л И10, где 10 —
начальное, а I — текущее значения калиброванной длины образца.
Текущее значение поперечного сечения образца можно определить
с помощью замеров, а достаточно точно — из условия несжима-
емости, пренебрегая небольшими упругими изменениями объема,
XI — Xolo, где Хо — начальное значение поперечного сечения.
Тогда истинное (действительное) напряжение о = РИХ010. Основ-
ным недостатком испытания на растяжение, как способа получе-
ния характеристики деформационного упрочнения, является обра-
зование шейки, соответствующей приложению максимальной на-
грузки при сравнительно небольших деформациях. Напряженное
состояние в шейке — трехосное; оно не может быть определено
теоретически. Бриджмен (1944 г.), Давиденков и Спиридонова
(1946 г.) экспериментально определили примерное распределение
напряжений в ряде случаев.
6.3. ДВУХОСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ
Большие деформации достигаются при испытании круглой ди-
афрагмы на растяжение под действием равномерного давления.
Диафрагму закрепляют по контуру и прикладывают давление
жидкости с одной стороны (рис. 6.1). Отношение ее толщины к диа-
метру должно быть таким, чтобы можно было пренебречь напря-
жениями изгиба и касательными напряжениями. Приведенные
результаты получены при испытании образца толщиной 0,036
и 0,039 дюйма и диаметром 10 дюймов (Меллор, 1956 г.).
Зависимость между давлением жидкости и напряжением уста-
новлена из условия равновесия
p = 2oh//p, (6.11)
где р — давление жидкости; oh — напряжение в окружном сече-
нии; t — текущее значение толщины; р — радиус изогнутой диаф-
рагмы.
При написании этой формулы считали, что существует осевая
симметрия относительно полюса, а следовательно, деформация
104
установлено, что они различаются
Рис. 6.1. Деформация металлической диа-
фрагмы под действием давления жидкости
является изотропной. Деформацию и другие характеристики
измеряли по всему диаметру заготовки в направлениях, парал-
лельном и перпендикулярном направлению прокатки, и резуль-
таты усредняли. Таким образом, анизотропию исключили. Для
безопасности и уменьшения ползучести до минимума, прежде чем
проводить замеры в выпуклой части заготовки, была проведена
разгрузка, еще раз было приложено давление.
При сравнении результатов испытаний (диаграмма напряже-
ние — деформация) в условиях непрерывного и прерывистого
повышения давления было
незначительно.
Прогиб измеряли глу-
бинным микрометром. Бы-
ло установлено, что по-
верхность диафрагмы очень
близка к сферической с
максимальным прогибом 2
дюйма. Для оценки ра-
диуса кривизны выпукло-
сти в полюсе применяли
общий метод, предложен-
ный Брауном и Заксом
(1948 г.). Средний радиус
кривизны измеряли по
хордам различной длины, радиус в полюсе определяли экстраполя-
цией. Каждый из радиусов вычисляли по длине хорды и соответ-
ствующей ей стреле прогиба, считая кривизну дуги постоянной.
Если d — расстояние от полюса в вертикальной плоскости, аг —
расстояние от полюса до рассматриваемой точки в горизонтальной,
то радиус дуги, проходящей через полюс и эту точку с центром на
оси симметрии, р = (г2 + cP)/2cf.
Чтобы вычислить окружные деформации диафрагмы, на нее
до деформации нужно нанести чернилами концентрические окруж-
ности с интервалом 0,2 дюйма. Изменение радиусов этих окруж-
ностей при увеличении давления измеряли нониусом микроскопа.
Если г0 — начальный иг — текущий радиусы, то логарифмическая
деформация eft = In г/г0. Из условия симметрии окружная де-
формация в полюсе e,t равна радиальной деформации ег, а дефор-
мация по толщине e,t определяется из уравнения несжимаемости
4" Ч ег ~ О-
поэтому
Et = —2eft — —In tott, (6.12)
где t0 — начальная толщина листа. Следовательно, измерив ра-
диальную деформацию, ’можно вычислить деформацию по толщине
и толщину в полюсе в любой момент нагружения. Распределение
тангенциальных деформаций в частном случае показано
на рис. 6.2.
105
Теперь рассмотрим схему напряженного состояния в полюсе.
Для тонкой мембраны напряжение, нормальное к плоскости,
мало, и поэтому материал в полюсе подвергается только равно-
мерному двухосному растяжению о. Так как гидростатическое
давление не влияет на предел текучести, напряженное состояние
эквивалентно напряжению простого сжатия о, нормального к по-
Рис. 6.2. Распределение танген-
циальных деформаций в диа-
фрагме из полутвердой меди
при максимальной высоте вы-
пучивания, дюймы (по данным
Меллора):
1 — 1,05; 2 — 1,48; 3 — 1,99; 4 —
2,34; 5 — 2,70; 6 — 2,90; 7 — 3,11;
8 — 3,36
верхности, и построение зависимости
о от ez есть диаграмма интенсивность
напряжения — интенсивность дефор-
мации. Это можно также получить
из (6.1) и (6.3).
Рис. 6.3. Кривые интенсивность напряже-
ний— интенсивность деформаций (е = 0) элек-
тролитической меди, полученные Меллором
при одноосном (/) и двухосном (2) растя-
жении и прокатке (3, 4, 5)
Типичные кривые напряжение — деформация, полученные
таким образом, показаны на рис. 6.3 и 6.4. В подразделе 6.4 рас-
смотрена методика построения диаграмм напряжение — деформа-
ция для этих же материалов при прокатке и испытании на растя-
жение.
Ручные и автоматические экстенсометры для эксперименталь-
ного исследования двухосного растяжения описаны Дунканом,
Джонсоном (1965 г.) и Беллом, Дунканом, Джонсоном (1965 г.).
Диаграммы испытаний анизотропных материалов были впервые
получены Джексоном, Смитом, Ланкфордом (1948 г.). Рассматри-
вая деформирование в полюсе диафрагмы, они предполагали, что
нагружение происходит вдоль осей анизотропии металла. Они
указали, что это предположение не является строгим, но постро-
ение диаграмм напряжение — деформация для двухосного растя-
жения по результатам испытаний на простое растяжение удиви-
106
тельно хорошо согласуется с результатами испытаний при двух-
осном растяжении для стали, предназначенной для глубокой вы-
тяжки. В полюсе диафрагмы силы, приложенные в плоскости
листа, действуют в разных направлениях, а не только вдоль осей х
и у, поэтому Брамли и Меллор (1966 г., а) предложили усреднить
свойства в плоскости листа и получить таким образом симметрию
относительно оси z. Измерения диафрагм из стали, раскисленной
алюминием, показали, что изменение деформаций в зависимости
Рис. 6.4. Кривые интенсивность
напряжения—Деформация (е = 0)
для отожженной 70/30 латуни, по-
лученные Меллором при одноос-
ном (/) и двухосном (2) растяжении
и прокатке (3, 4, 5)
от угла в полярных координатах очень мало, поэтому, пред-
полагая осевую симметрию, мы допускаем малую ошибку.
Во время проведения вычислений необходимо определить значе-
ния г при растяжении образцов, вырезанных через каждые десять
градусов начиная от направления прокатки (рис. 6.5). Средняя
величина г (г) определяется как площадь под кривой. Кривую
напряжение — деформация, соответствующую г, также строят по
экспериментальным данным.
Отношения анизотропных параметров четырех исследованных
спокойных сталей даны в табл. 6.1. По теории течения для анизо-
тропных материалов при
К = К + 2Я= Сф-2Я
(4.17)
должна быть осевая симметрия.
Из этого уравнения видно, что сталь D обладает наибольшей
плоскостной анизотропией. Это следует из того, что кривые
напряжение — деформация растяжения для этих сталей имеют
наибольшие различия по сравнению с другими. При наличии осе-
вой симметрии напряжения в полюсе диафрагмы одинаковы, по-
107
Таблица 6.1
Сталь F G н N (F+2H) (С+2Н)
А 1 1,07 1,91 3,31 4,82 4,89
В 1 1,11 1,91 3,69 4,82 4,93
С 1 1,15 1,79 3 38 4,58 4,73
D 1 1,27 1,68 4,20 4,36 4,63
этому приложенное гидростатическое давление не влияет на теку-
честь, и деформирование эквивалентно простому сжатию с напря-
жением oz, нормальным к плоскости листа. Было показано (см.
рис. 6.3, 6.4), что для меди и латуни зависимость сгг от ег предста-
вляет собой кривую, почти идентичную кривой простого растя-
жения. Если мы повторим испытания образцов из спокойной
стали на простое и двух-
осное растяжение, то по-
лученные две кривые
не совпадут (рис. 6.6).
В этом случае вид кривой
напряжение — деформа-
ция, полученной при ис-
следовании диафрагмы,
может быть предсказан
по результатам простого
растяжения. Отношение
нормального напряжения
о2 к среднему напряжению
растяжения uav описыва-
ется уравнением (5.46):
Рис. 6.6. Диаграммы упрочнения стали Д,
полученные Брамли и Меллором экспе-
риментально при простом растяжении под
углом к направлению прокатки:
1 — 0°; 2 — 45°; 3 — 90° (4 — при испытании
диафрагмы) и теоретически с помощью: I —
среднего значения г, II — кривой 3 (нагружение
вдоль осей анизотропии); III — кривой 1 (нагру-
жение вдоль осей анизотропии)
или
= 2. (6.13)
Оно часто использо-
валось неправильно для
предсказания изменения
напряжения при переходе от одной схемы к другой без учета
деформации. Хотя для неупрочняемых металлов уровень напря-
жения определяется правильно, но с увеличением степени упроч-
нения погрешность возрастает.
108
Соответствующее изменение деформации можно получить из
(5.37) и (5.47). Поскольку во время деформирования отношения
деформации не изменяются, то полные деформации можно заме-
нить бесконечно малыми. Тогда из (5.37)
М : : Ег = [(г ф- 1) <>х - гоу - ог]: [(г ф- 1) <>у -
— гох — oj : [2oz - оА. — оу}.
Для простого растяжения ох = oaV; оу = ог = 0, поэтому
ех : еу : г, = (г ф- 1) : (—г) : (—1). В полюсе диафрагмы
ех : еу : Ег = 1 : 1 : (—2).
Следовательно, связывая среднюю продольную деформацию
ех = еи0, полученную экспериментально при растяжении, с де-
формацией по толщине в полюсе диафрагмы ег и используя (5.47),
имеем
1/Т Г 2 + г — ё- Г2 + г 1~е
F 3 L 2 J 3 [l+rj av
ИЛИ
I
ег = вйВ(т^7) 2 . (6.14)
Итак, чтобы перейти от средней кривой растяжения к кривой
напряжение — деформация для диафрагмы, воспользуемся выра-
жениями
- — 2 ~
Ог = Gav (-Ц2-) 2 ; Ez = (ТТГ) 2 ’ (6Л5)
где г — среднее экспериментально определенное значение г (для
стали D г = 1,42). Из рис. 6.6 видно, что экспериментальные
и расчетные кривые совпадают. Такое же совпадение было полу-
чено для сталей А, В и С.
Брамли и Меллор (1967 г.) повторили эти эксперименты для
титана и цинка. Для титана была получена удовлетворительная
сходимость результатов, для цинка — нет. Рогерс и Робертс
(1967 г.) провели кристаллографические исследования этих двух
металлов; в их работе читатель может найти подробное обсуждение
возникающих систем скольжения и двойникования. Пирс (1968 г.),
изучая поведение стальной и алюминиевой диафрагмы при г < 1,
установил, что данные, полученные по (6.15), не согласуются
с экспериментальными. Испытания диафрагмы проводились для
изучения влияния скорости деформации (Брамли, Меллор,
1966 г., Ь).
6.4. ПРОКАТКА И ПРОСТОЕ РАСТЯЖЕНИЕ
Результаты опытов на двухосное растяжение удобно использо-
вать при исследовании процессов формообразования, если возни-
кающие деформации • достаточно малы. Чтобы получить кривую
109
деформационного упрочнения для больших деформаций, необхо-
димо использовать испытания на сжатие.
Один метод, применяемый для испытания листов и лент, со-
стоит в упрочнении до различной степени образцов холодной про-
каткой и последующем испытании на растяжение. Этот метод
использовался Фордом (1948 г.) в его исследованиях.
Для получения данных, представленных на рис. 6.3 и 6.4, из
листов в направлении прокатки вырезали три полосы шириной
3 дюйма и прокатывали их без натяжения со степенью обжатия
10%, причем после каждого обжатия один образец не подлежал
последующей прокатке. Было установлено, что уширением полос
ввиду малости можно пренебречь. Затем из середины каждой
полосы вырезали образцы для обычных испытаний на растяжение.
Таким образом, испытывали не менее двух образцов каждой сте-
пени упрочнения. При прокатке без уширения продольная де-
формация равна деформации по толщине, но противоположна ей
по знаку. Поэтому перед испытаниями на растяжение интенсив-
ность деформации образцов по (6.3) составляет е = 2е/]/3. Сле-
дует заметить, что кривые напряжение — деформация, построен-
ные по результатам прокатки образцов с последующим растяже-
нием, лежат ниже, чем кривые, построенные по результатам
испытаний диафрагм (двухосное растяжение). Чрезмерный сдвиг,
наблюдаемый при прокатке, приводит к поднятию кривой напря-
жение — деформация. По-видимому, в рассматриваемом случае
отношение диаметра валков к толщине листа было так велико, что
влияние чрезмерного сдвига оказалось незначительным. Располо-
жение кривых, построенных по результатам прокатки и последу-
ющего растяжения, ниже кривых для двухосного растяжения
можно объяснить тем, что испытания на растяжение проводили
только в направлении прокатки. Для большинства практических
задач совпадение характеристики упрочнения, полученных раз-
ными методами, хорошее. Плоская деформация сжатия анизо-
тропных материалов рассмотрена в подразделе 6.6.
6.5. ПРОСТОЕ СЖАТИЕ
На первый взгляд кажется, что получить характеристики
деформационного упрочнения для одноосного сжатия при осадке
низкого цилиндрического образца довольно легко. Однако одно-
родное сжатие трудно создать из-за трения между торцами образца
и деформирующего инструмента. Это является причиной бочко-
образования при осадке (рис. 6.7). Экспериментально показано,
что в результате ограниченного течения вблизи торцов образца
образуются конусообразные зоны затрудненной деформации ме-
талла. На рис. 6.7 эти зоны заштрихованы. Зибель и Помп (1927 г.)
предположили, что однородного распределения напряжений
можно достичь, если образец сжимать между конусами. Однако
НО
это приводит к другим трудностям: выбору угла конуса и выта-
чиванию конических углублений на торцах образца. Почти одно-
родное сжатие можно создать при достаточно хорошей смазке
между плитами и торцами образца. В этом случае осадку заготовки
проводят по стадиям с малыми степенями увеличения нагрузки,
причем перед каждым увеличением нагрузки необходимо произ-
водить смазку. Как только бочкообразование становится очевид-
ным, необходимо перед последующим нагружением произвести
обточку боковой поверхности. Таким способом пользовались
Тейлор и Квинни (1934 г.) и Джонсон (1956 г.) до получения ло-
гарифмической деформации, приблизительно равной 4. Аналогич-
Рис. 6.7. Изменение формы образца
при простом сжатии (бочкообразо
вание)
Рис. 6.8. Экстраполяция до нуля d0/h0
для определения истинного осевого
напряжения постоянного сжатия
ный способ использовали Луазо и Симс (1953 г.) для определения
предела текучести свинца. В этом случае на торцах образца выта-
чивали концентрические канавки для задержания смазки, что
весьма существенно повышало ее эффективность и исключало
бочкообразование.
Метод экстраполяции Закса (1924 г.), Кука и Ларке (1945 г.)
успешно использовался для построения кривой напряжение —
деформация при одноосном сжатии. Он основан на том, что при
сжатии цилиндров одинакового диаметра, но разной высоты,
степень бочкообразования зависит от первоначальной высоты
цилиндра; она минимальна для самого высокого. Теоретически
для цилиндра бесконечной высоты краевые эффекты были бы очень
малы, поэтому бочкообразование должно отсутствовать. Среднее
давление сжатия можно считать истинным (действительным)
напряжением при одноосном сжатии.
Для построения кривой напряжение — деформация при одно-
осном сжатии образцов меди Кук и Ларке взяли четыре цилиндра
одинакового диаметра, но разной длины, причем отношения на-
чального диаметра и начальной высоты были следующие: 0,5; 1;
2; 3. Цилиндру бесконечной высоты соответствует d0/h0 = 0.
Каждый цилиндр подвергался сжатию; отмечалась нагрузка,
соответствующая разной степени уменьшения высоты (1 —/г//го)100,
Где й — текущее значение высоты. Напряжение вычислялось,
III
Рис. 6.9. Напряжения в цилиндри-
ческой системе координат
как в случае однородной деформаций, т. е. о = 4P/nd2, где Р —
нагрузка; d — текущий диаметр образца. Были построены гра-
фики зависимости напряжений от степени уменьшения высоты;
из них были получены условные напряжения при уменьшении
высоты на 5, 10, 20% (нижняя, средняя, верхняя кривые соответ-
ственно на рис. 6.8). Метод построения графика и экстраполяция
до нуля значению d0/hQ приведены на рис. 6.8. Экстраполяция
до нуля означает приближение к реальному осевому сжатию, при
котором не происходит бочкообразования. Наконец, были отме-
чены значения истинных напряжений, получаемые в зависимости
от степени уменьшения высоты.
Уоттс и Форд (1955 г.) ус-
пешно пользовались этим спо-
собом для исследования и
предложили ряд упрощений и
улучшений испытаний. Они
предложили нагружать образцы
по стадиям, а также наносить
смазку после каждого нагру-
жения и измерять высоту ци-
линдра в ненагруженном со-
стоянии и экстраполировать
на основе равных нагрузок,
а не на основе равной степени
осадки. Тогда экстраполяция
дает степень уменьшения вы-
соты для бесконечно длинного
цилиндра. Они также показали, что экстраполяция при большом
трении между инструментом и образцом ведет к получению
кривых напряжение — деформация, у которых напряжение
слишком быстро приближается к постоянному значению при
степени осадки >40%.
Возможно, наиболее точный и в наши дни самый простой спо-
соб получения истинных кривых напряжение — деформация при
простом сжатии. Листы из весьма пластического материала по-
мещают между торцами цилиндрического образца и сжимающими
плитами. Толщина этого листа должна быть 0,002—0,005 дюйма.
Он не только заменяет смазку между образцом и плитами,, но
и при увеличении нагрузки сжатия деформирует торцы образца,
образуя поднятое периферическое кольцо. Механизм этого явле-
ния обсуждался Хсу (1967 г.). В этом случае происходит не бочко-
образование, а рюмкообразование, поскольку диаметры образца
вблизи торцов становятся больше, чем в середине. Существует
некоторая оптимальная толщина листа, при которой бочкообразо-
вания не происходит, а рюмкообразование минимально. Нагруже-
ние лучше проводить очень медленно, заменяя листы после каж-
дого нагружения. Необходимо замерять нагрузку и диаметр
образца. Истинное (действительное) напряжение в этом случае
112
есть нагрузка, деленная на текущее значение площади попереч-
ного сечения образца в его середине, а действительная деформа-
ция — In (с?/с?0)2, где d0 — начальное, d — текущее значение
диаметра в середине образца. Когда действительная деформация
достигает 0,8, необходимо снова обработать образец, чтобы при-
дать ему правильную цилиндрическую форму, а затем продол-
жать деформирование.
Зибель (1923 г.) получил приближенное выражение для расчета
среднего давления при осадке цилиндра, предполагая, что трение
между сжимающими плитами и образцом определяется по закону
Кулона. Выражение верно только при небольшом трении и если
нет заметного бочкообразования в процессе осадки. Принято до-
пущение, что нормальное давление р изменяется с радиусом г,
но постоянно по всей высоте цилиндра h. Уравнение равновесия
проекций сил на радиус, действующих на малый элемент ци-
линдра, при пренебрежении касательными напряжениями
имеет вид (рис. 6.9)
о/йбб 4- 2ое/гбг -у- — 2р /?гбг60 4~ /г (°л г 6ог) (г 4~ 6г) 66,
где р — коэффициент трения. Напряжение сжатия считают поло-
жительным. Тогда уравнение равновесия для цилиндра
dr 1 г h ' \ /
Далее предполагается, что тангенциальное и радиальное напря-
, жения равны (ое = аг) и являются главными напряжениями.
| В частности, это можно проверить с помощью уравнений Леви —
“ Мизеса ег1с'г = ее/оё = Пользуясь условием постоянства
объема лг2/г = const, имеем 2§rlr 4- 6й//г = 0 или 2ее 4-' ег = 0.
Учитывая, что ее -фег 4~e2 = 0, ег = ее, получим oz = о0. Это пред-
положение означает, что р — or = Y, где Y — напряжение теку-
чести при одноосном сжатии без трения, поскольку гидростатиче-
ское давление на предел текучести не влияет. Подставив это
условие пластичности в (6.16), получим
(6.17)
dr h к '
После интегрирования с учетом граничных условий р = Y
при г = а, где а — внешний радиус, и аг = 0 имеем
р = Y ехр 2р, (а — r)/h. (6.18)
Максимальное давление —• на оси цилиндра (г = 0), среднее
Давление определяется выражением
а
J 2пгр dr
Например, если р = 0,1; a!h = 0,5, то р = 1,03К.
113
Позднее работы по этой теме были выполнены Шильдом (1955 г.)
и Бишопом (1958 г.). Шредер и Вебстер (1949 г.) рассмотрели
ковку тонких круглых дисков аналогичным образом. Хаукьярд
и Джонсон (1966 г.) анализировали сжатие низкого полого ци-
линдра.
Когда диск осаживают между плитами, касательные напряже-
ния, вызываемые трением, осесимметричны. Этого не наблюдается
при сжатии длинной узкой и тонкой прямоугольной заготовки
в тех же условиях. Такая тонкая пластина приобретает сигаро-
образную форму. Это указывает на то, что вдали от краев тонкой
пластины эффекты трения подавляют продольную деформацию.
Этот опыт использовался Уоттсом и Фордом для обеспечения усло-
вий плоской деформации на большей части образца. Этот вопрос
обсуждался Хиллом (1950 г., а), когда он доказывал, что испытание
можно использовать для определения коэффициента трения между
пластически деформируемым металлом и упругодеформируемым
инструментом.
Уоттс и Форд (1952 г.) подвергали сжатию медную пластину
толщиной 0,1 дюйма, шириной 0,25 дюйма и длиной 2,625 дюйма,
пользуясь нагружением по стадиям с малыми приращениями уси-
лий и графитовой мазью в качестве смазки. После небольшого
приращения сжатия они обнаружили, что ни в одной части образца
полностью не произошла плоская деформация. Их наблюдения
показали, что коэффициент трения р < 0,015. Эта последняя цифра
очень важна, поскольку описанные выше опыты проводились
в условиях такого же трения, как и опыты по определению предела
текучести полосы при плоской деформации сжатия (Уоттс, Форд,
1952, 1955 гг.).
6.6. ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ СЖАТИЯ
Использование данных, полученных при испытании на сжатие
в условиях плоской деформации, — один из самых точных мето-
дов построения кривой напряжение — деформация сжатия. Схема
испытания показана на рис. 6.10. Бойки перекрывают полосу по
всей ширине, а в продольном направлении на величину Ь, так что
части по обе стороны бойков остаются без нагрузки. Недеформи-
руемые части препятствуют деформированию по ширине полосы,
благодаря чему происходит плоская деформация, при которой
согласно условию постоянства объема деформация по толщине
равна продольной, но противоположна по знаку. Поверхности
торцов бойков отшлифованы. Нагружение по стадиям с периоди-
ческим смазыванием создает условия, близкие к осадке без трения.
Схема осадки была предложена Надаи (1931 г.), а Орован подчерк-
нул, что это наиболее удобный вид испытаний для определения
напряжения текучести при холодной прокатке полосы. Впервые
опыт был поставлен Фордом (1948 г.), потом изучался Уоттсом
и Фордом. Для своих исследований они использовали медь и тем
114
самым обеспечили высокую достоверностьг"результатов и повторя-
емость кривых напряжение^— деформация. Предполагалось, что
среднее давление на полосуУравно критическому напряжению
текучести при плоском сжатии. Но более ранние исследования
показали, что давление изменяется с изменением отношения тол-
щины полосы к ширине бойка (htb). Теоретически это было пред-
сказано Грином (1951 г.) для сжатия идеального пластического
материала гладкими плоскими плитами. Он предсказал, что
среднее давление будет равно 2k, где k — напряжение текучести
при чистом сдвиге для интегральных значений hlb (см. с. 383).
Экспериментальные значения для меди хорошо согласуются с тео-
ретическими, что подтвер- I
ждает приемлемость данного
испытания.
После дальнейших опы-
тов был сделан вывод, что
точные кривые напряжение— ь
деформация для плоской де-
формации сжатия можно
получить в случае больших S
деформаций, если руковод- Ь-
ствоваться следующими ре-
комендациями и ограниче- |
ниями: I
1. Приращения нагрузки Рис. 6.10. Бойки, используемые для пло-
одинаковы. Наносим смазку ского деформирования сжатием
и проводим измерение де-
формации после каждого приращения нагрузки. Приращения
должны быть (1/2—2)% или достаточными, чтобы все сечение
образца было в пластическом состоянии.
2. Отношение ширины бойка к толщине полосы должно быть
равно 2—4. При необходимости во время опыта проводить смену
бойков.
3. Для сокращения продолжительности эксперимента 10—
15%-ной деформации можно достичь при непрерывном нагруже-
нии, но напряжение и деформацию необходимо измерять для
выбранных интервалов приращения между каждым значительным
деформированием.
4. Ширина полосы должна быть по крайней мере в 6 раз больше
Ширины бойка.
Первый пункт можно объяснить, обратившись к рис. 6.11,
на котором приведена кривая плоской деформации сжатия ОА.
Ордината есть среднее давление под бойком р = Plwb, где Р —
нагрузка; абсцисса — уменьшение толщины полосы под бойком.
Рассмотрим частный случай, когда В — начальная деформация.
Для этого испытания точка С на кривой есть истинный предел
текучести. Точка D соответствует началу совпадения кривых
повторного и первоначального нагружений. Предел текучести
115
определяют экстраполяцией кривой ED к нулевой деформации
для данного случая. Это точка F на диаграмме. Часть кривой DE
соответствует малому приращению нагружения. Приращение на-
гружения в каждом случае достаточное, чтобы убедиться, что де-
формация больше, чем необходимая для достижения точки D.
При испытаниях на плоское сжатие горизонтальная деформа-
ция по ширине равна нулю. Предполагая постоянство объема,
считаем, что деформация по толщине количественно равна де-
формации в продольном направлении полосы. Для узких бойков
Деформация по толщине
Рис. 6.11. Определение предела текучести
Рис. 6.12. Диаграммы упрочнения стали С,
полученные Тахвапуром и Меллором экс-
периментально при:
1 — простом растяжении (образец вырезан по на-
правлению прокатки); 2 — плоской деформации
при сжатии и теоретически с помощью:
I — кривой 1 при использовании теории Хилла
для анизотропных материалов; // — кривой 1 для
изотропных материалов
напряжение в продольном направлении можно считать нулевым,
и из соотношения Леви — Мизеса следует, что нормальное напря-
жение р равно двум боковым. Учитывая это в (6.1) и (6.3), получим
интенсивность напряжений о = Y = р]/3/2 и интенсивность де-
формаций, равную 2ez/]/3. Уоттс и Форд (1955 г.) сравнили кри-
вые напряжение — деформация, полученные при одноосном сжа-
тии и плоской деформации сжатия, и рассмотрели зависимость Y
и р от интенсивности деформации. Согласно условию пластич-
ности p/Y должно быть равно 2/]/3. Отношение равно 2/]ЛЗ при
нулевом обжатии, но из-за развивающейся анизотропии оно ста-
новится <.'1,1,
Александер (1955 г.), пользуясь линиями скольжения, иссле-
довал применение отношения p/2k в зависимости от ЫН при испы-
таниях в условиях плоского сжатия при различных значениях
трения Кулона. Для р> = 0,015, которое обосновано в описанных
выше испытаниях, и bill = 3 он установил, что p!2k = 1,024.
Таким образом, при испытании в условиях плоского сжатия нор-
мальное давление может оказаться завышенным на 2,4% — по-
грешность, допустимая для большинства практических случаев.
116
В наши дни некоторые металлические листы изготовляют так
чтобы иметь определенную величину нормальной анизотропии.
Мы уже рассматривали спокойную сталь и титан как материалы,
ценные при глубокой вытяжке со средним значением r> 1. Испы-
тания в условиях плоской деформации сжатия позволяют пред-
сказывать сопротивление материалов, в дальнейшем предназначен-
ных для холодной прокатки. Оказалось, что рекомендации и огра-
ничения, предложенные Уотссом и Фордом для изотропных мате-
риалов, вполне справедливы и для анизотропных. Степень упроч-
нения специальной спокойной стали по толщине показана на
рис. 6.12. Кривая 1 — это кривая напряжение — деформация,
полученная при растяжении образца, вырезанного вдоль напра-
вления прокатки. Кривая II показывает теоретически предпола-
гаемое изменение нормального напряжения р в зависимости от
логарифмической деформации по толщине в условиях плоской де-
формации сжатия для изотропных материалов и является обобщен-
ной характеристикой напряжение — деформация, представлен-
ными кривой 1. Кривая 2 построена по данным эксперимента и
показывает изменение р в зависимости от логарифмической де-
формации по толщине в условиях плоской деформации при сжатии,
когда боек установлен в направлении прокатки. Сталь, исполь-
зованная в этом опыте — сталь С, анизотропные свойства которой
приведены в табл. 6.1; среднее значение г= 1,41. Теперь с по-
мощью этих значений и теории анизотропии Хилла можно пред-
сказать кривую плоской деформации при сжатии.
Если х — направление прокатки, то во время плоской де-
формации при сжатии sx = 0 и = —ег из условия несжима-
емости. Поскольку нагружение происходит параллельно оси х,
Уху = 0. Предполагаем, что между сжимающими плитами и листом
нет трения (ху2 = хгх = 0), а в направлении у нет деформации
= 0). По уравнению (5.37) имеем
или
_ G
°х ~ Н + G °z
Р(1+б»)Ох.
(6.20)
Из уравнения (5.40) г0 есть значение г, полученное для образца,
растягиваемого вдоль направления прокатки. Заметим, что при
увеличении г0 индуцированное напряжение щ. становится меньше
нормального напряжения р. Подставляя (6.20) в (5.42) и учиты-
вая , что
G _ г90 . Н _ „ .
F г0 ’ G '
р
Получаем обобщенное напряжение
1 + Го 4~ Г»о
(1 + го) ^1+г9о+ —
(6.21)
117
Подставляя условия деформации в (5.45), имеем
* - /4 [ WfStw if (°+Г <=*
или
(6.22)
Зависимость р от ег теперь может быть установлена при простом
растяжении в направлении прокатки с помощью (6.21) и (6.22).
Тогда для простого растяжения в направлении х
гр
г 90
(6.23)
Это представлено кривой / на рис. 6.12. Она предсказана из кри-
вой 1. Видно, что теоретические и экспериментальные данные
для этого материала хорошо согласуются.
Полезно обсудить эти соотношения в случае
Тогда (6.21) и (6.22) принимают вид
ГО = г»о = Г.
1/_3 Г 1+2г 14
У 2 L (1+-г)(2+г) J
е =
l/_2_ Г (1 -I- г) (2 + г) -]-2
У 3 L 1 + 2г J
(6.24)
а уравнения для простого растяжения
(6,25)
Используя эти выражения, полученные из рассмотрения про-
стого растяжения, для плоской деформации сжатия, получим сле-
дующие уравнения: р = -J1 +fL- X; (6.26) (1 + 2г)~ 1 _ (1+2г) 2
118
Видно, что при г = 0 кривая деформации при плоском сжатии
и кривая при простом растяжении совпадают. Для всех положи-
тельных г кривая плоской деформации при сжатии будет лежать
выше кривой простого растяжения. Если взять довольно боль-
шое г, скажем г = 5, то мы увидим, что р — 1,82Х и е2 = 0,55еЛ;
для изотропного материала р = \,55Х; ez = 0,866еЛ.
6.7. ПРОСТОЕ КРУЧЕНИЕ
Скручивание тонкостенной трубки применялось для ©пределе"
ния характеристики упрочнения (Тейлор, Квинни, 1931 г.; Зенер,
Холломан, 1946 г.; Свифт, 1947 г.). Для опыта требуется тща-
тельно обработанный на станке
момент и угол закручивания. Пре-
небрегая участком кривой, соответ-
ствующим упругим деформациям,
имеем интенсивность касатель-
ных напряжений УЗт, где т пред-
полагается постоянным по тол-
образец. Замеряем крутящий
щине стенки, и интенсивность
угловой деформации tgq.7]/ 3. Это Рис. 6.13. Кручение жесткого шпин-
испытание не удобно для изме-
рения большой деформации, по-
скольку трубка выгибается и теряет устойчивость. Гораздо удоб-
нее использовать для испытаний образец с круглым поперечным
сечением. Однако из-за неравномерного распределения напряже-
ний в его сечении необходимо делать ряд допущений, чтобы интер-
претировать измерения. Надаи предложил методику построения
кривой напряжение — деформация с использованием диаграммы
крутящий момент—угол скручивания. Эта методика основана
на предположении, что изотропный материал при деформировании
остается изотропным и поперечные сечения скручиваемого вала
остаются плоскими, а их радиусы прямыми. Эти предположения
аналогичны тем, которые делают при упругом кручении вала,
и должны быть проверены на опыте.
Рассмотрим цилиндр из изотропного материала, единичной
калибровочной длины и внешним радиусом ге, испытывающий
пластическую деформацию при скручивании. Изменения длины
и объема образца не происходит.
При любом радиусе г угловая деформация у = tg <р; для дан-
ного относительного угла закручивания 0 гб = tg <р (рис. 6.13)
или
0 = -^ = ^, (6.27)
г го
где у0 — угловая деформация волокон боковой поверхности об-
разца. Тогда крутящий момент
Го
Т — J т (2лгdr) г;
о
119
из (6.27)
Поэтому
е ’ и е '
*42dy.
О
(6.28)
Таким образом, если мы имеем кривую касательное напряже-
ние — угловая деформация т = f (у), то можем определить кри-
или
и
Рис. 6.14. Диаграмма кру-
тящий момент— угол по-
ворота на единицу длины
вую Т — 0, преобразовывая уравнение
(6.28) и дифференцируя по 0
d
= W dyo = TCro62rod0
! т&3 \ _ r3fl2 .
\ 2л / ~ Г°е т°’
-^-е3+тзе2 = 2лгоб2то
d
7ю
_ 1
Т° ” 2nrg
Если кривая Т — 0 построена, то мо-
жет быть получена кривая т/у. Заметим,
что те = 3772лг() является известным выражением для неупроч-
няемого материала при условии пластических деформаций во
всем сечении. Второе слагаемое учитывает влияние упрочнения.
Из рис. 6.14 касательная в точке В на кривой Т — 0 дает еле-
ДО )
(6.29)
дующие соотношения:
dT ВС n dT а
= илиВС = 0—J7-. если ОС = 0.
m DC dG
Следовательно, касательное напряжение в точке на боковой по-
верхности те, соответствующее относительному углу закручива-
ния 0,
Вычисляя тангенсы для точек диаграммы Т —- 0, можно по-
строить т — tg ф. Этот способ неточен для части кривой Т — 0,
где dT/dQ изменяется весьма резко. Точность улучшается при
использовании уравнения
(6.30)
Т/Q постоянно в упругой области, а затем постепенно умень-
шается. Поэтому в упругой области производная равна нулю
120
п мала но сравнению с другими членами, если степень упрочнений
велика. Для больших деформаций (6.19) дает более точные резуль-
таты.
Шепхерд (1948 г.) использовал методику Надаи для малых
деформаций, а Свифт (1947 г.), пользуясь методикой Надаи для
больших пластических деформаций, показал, что существует
хорошая корреляция кривых напряжение — деформация для
полых и сплошных образцов из мягкой стали. Свифт отметил
(см. также с. 186) постепенное увеличение длины образца из-за
анизотропии, развивающейся при деформировании (см. задачи
22—25).
ЛИТЕРАТУРА
Alexander, J. М.
Bell, R.,
Duncan, J. L.
Bishop, J. F. W.
Bramley, A. N.,
Mellor, P. B.
Bridgman, P. W.
Brown, W. F.,
Sachs, G.
Cook, M.,
Larke, E. C.
Davidenkov, N. N.,
Spiridonova, N. I.
Davis, E. A.
Duncan, J. L.,
Johnson, W.
Ford, H.
Green, A. P.
1955 «Plane Strain Compression of a Short Block»
J. Mech. Phys. Solids 3, 233
1965 The Evolution of a Prototype Machine for Auto-
matically Recording the True Stress—Strain
Curve for Sheet Metal Using the Hydrostatic
Bulge Test
Proc. 5 th Conf. M. T. D. R., Pergamon
1958 «On the Effect of Friction on Compression and
Indentation Between Flat Dies»
J. Mech. Phys. Solids 6, 132
1966a «Plastic Flow in Stabilized Sheet Steel»
Int. J. mech. Sci. 8, 101
1966b «The Effect of Strain Rate on the Plastic Flow
Characteristics of Steel and Aluminium Sheet»
J. Strain Analysis 1, 439
1968 «Plastic Anisotropy of Titanium and Zinc Sheet—I»
Macroscopic approach
Int. J. mech. Sci. 10, 211
1944 «The Stress Distribution at the Neck of a Ten-
sion Specimen»
Trans A. S. M. E. 32, 553
1948 «Strength and Failure Characteristics of Thin
Circular Membranes»
Trans. A. S.M. E. 70 , 241
1945 «Resistance of Copper and Copper Alloys to
Homogeneous Deformation in Compression»
J. Inst. Metals 71, 371
1946 «Analysis of Tensile Stress in the Neck of an
Elongated Test Specimen»
Proc. A. S.T. M. 46, 1146
1943 «Yielding and Fracture of Medium—carbon Steel
Under Combined Stress»
J. appl. Mech. 67, A—13
1965 «The Use of a Biaxial Test Extensometer»
Sheet Metal Industries, 271
1948 «Researches into the Deformation of Metals
by Cold Rolling»
Proc. Instn mech. Engrs 159, 115
1951 «А Theoretical Investigation of the Compression
of a Ductile Material Between Smooth Flat Dies»
Phil. Mag. 7 Ser. 42, 900
121
Hawkyard, J. В., Johnson, W. 1966 «An Analysis of the Changes in Geometry of a Short Hollow Cylinder During Axial Com-
Hill, R. 1950a pression» Int. J. mech. Sci. 9, 163 «On the Inhomogenious Deformation of a Plastic
1950b Lamina in a Compression Test» Phil. Mag. 41, 733 The Mathematical Theory of Plasticity 0. U. P.
Hsu, T. C. 1967 «А Study of the Compression Test for Ductile
Jackson, L. R., 1948 Materials» A. S. M. E. 67—W. A./Met. 11 «Plastic Flow in Anisotropic Sheet Steel»
Smith, K. F., Metals Technology Tech. Pub. 2440 and
Lankford, W. T. J. Metals 1, 323, 1949
Johnson, W. 1956 «Experiments in Plane Strain Extrusion»
Loizou, N., 1953 J. Mech. Phys. Solids 4, 269 «Yield Stress of Pure Lead in Compression»
Sims, R. B. J. Mech. Phys. Solids 1, 234
MacGregor, C. W. 1940 «The Tension Test»
Manjoine, M. 1944 Proc. A.S.T. M. 40, 508 «Influence of Rate of Strain and Temperature
Mellor, R. B. 1956 on Yield Stresses of Mild Steel» J. appt. mech. 11, 211 «Stretch—forming under Fluid Pressure»
Morrison, J. L. M. 1948 J. Mech. Phys. Solids 5, 41 «The Criterion of «Yield» of Gun Steel»
Nadai, A. 1931 Proc. Instn mech. Engrs 159, 81 Plasticity McGraw-Hill, New York
1937 «Plastic Behaviour of Metals in the Strainhar-
1947 dening Range» J. appt. Phys. 8, 205 «The Flow of Metals Under Various Stress Con-
1950 ditions» Proc. Instn mech. Engrs 157, 121 Theory of Flow and Fracture of Solids
Pearce, R. 1968 McGraw—Hill, New York «Some Aspects of Anisotropic Plasticity in Sheet
Rogers, D. H., 1968 Metals» Int. J. mech. Sci. 10, 995 «Plasticic Anisotrpy of Titanium and Zinc Sheet—
Roberts, W. T. 11. Crystallographic Approach
Ros, M., 1929 Int. J. mech. Sci., 10, 221 Metalle Diskussionsbericht No. 34 der Eidg.
Eichinger, A. Materialpriifungsanstalt, Ziirich
Sachs, G. 1924 Z. Metallk. 16, 55
Schroeder, W., 1949 «Press—forging Thin Sections»
Webster, D. A. J. appt. mech. 16, 289
Shield, R. T. 1955 «On the Plastic Flow of Metals Under Condi-
Shepherd, W. M. 1948 tions of Axial Symmetry» Proc. R. Soc. A., 233, 267 «Plastic Stress—strain Curves»
Siebel, E. 1923 Proc. Instn mech. Engrs 159, 95 Stahl und Eisen, Dusseldorf 43, 1295
Siebel, E., 1927 «Die Ermittlung der Formanderungsfestigkeit
Pomp, A. von Metallen durch den Stauchversuch»
Mitt. K.—Wilhelm—Inst. Eisenforsch. 9, 157
122
Swift, H. W. 1946
1947
Taghvaipour, M., Mellor, P. B. 1970
Taylor, G. I. 1931
Quinney, H. 1934
Watts, A. В. 1952
Ford, H.
1955
Zener, C., 1946
Holloman, J. H.
«Plastic Strain in an Isotropic Strainhardening
Material»
Engineering 162, 381
«Length Changes in Metals Under Torsional
Overstrain»
Engineering 163, 253
«Plane Strain Compression of Anisotropic Sheet
Metal»
Proc. Instn mech. Engrs. 185, 593
«The Plastic Distorsion of Metals»
Trans. R. Soc. A, 230, 323
«The Latent Energy Remaining in a Metal After
Cold—working»
Proc. R. Soc. A, 143, 307
«An Experimental Investigation of the Yielding
of Strip Between Smooth Dies»
Proc. Instn mech. Engrs. (B), IB, 448
«On the Basic Yield Stress Curve for a Metal»
Proc. Instn mech Engrs 169, 1141
«Problems in Non—elastic Deformation of Me-
tals»
J. Appl. Phys. 17, 69
Глава 7
ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ АНАЛИЗ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО
ИЗГИБА БАЛОК, КОЛЕЦ И ПЛИТ
7.1. ВВЕДЕНИЕ
С первого взгляда кажется, что пластический изгиб бруса
(балки) должен легко поддаваться математическому анализу.
В действительности, точное решение все еще неизвестно и все
существующие теории основываются на допущениях, которые
в разной степени уточняют результаты. Эти приближенные теории
очень полезны, если их применять в пределах сделанных допуще-
ний и для экспериментально проверенных частных случаев.
Трудности, возникающие при анализе пластического изгиба,
можно оценить рассматривая прямой брус прямоугольного попе-
речного сечения, у которого высота и ширина одного порядка.
Если такой брус испытывает чистый изгиб (рис. 7.1), т. е. изгиба-
ющий момент постоянный, то поперечные силы отсутствуют, и пре-
дел текучести ни в одной точке не достигнут, и поперечные сече-
ния, плоские до изгиба, остаются плоскими и после него. Если
— радиус кривизны нейтральной оси в плоскости изгиба, то
кривизна в перпендикулярной плоскости — v/R, где v — коэф-
фициент Пуассона. При продолжении изгиба сначала пластически
деформируются волокна, наиболее удаленные от оси симметрии
бруса, а затем пластические деформации постепенно распростра-
няются к его середине, но деформирование по-прежнему в большей
степени определяется центральным упругим ядром. Однако теперь
коэффициент Пуассона изменяется по поперечному сечению;
он становится приблизительно равным 0,3 для упругих деформа-
ций и 0,5 для пластических. Чтобы получить необходимую непре-
рывность деформации на границе между упругими и пластиче-
скими деформациями, надо сохранить некоторые поперечные на-
пряжения. Чтобы преодолеть эту трудность, некоторые авторы
предполагают, что исследуемый материал несжимаем, т. е. v =
= 0,5 при упругой и пластической деформации. Математически
верный анализ облегчается, но в приложении к реальному мате-
риалу это равносильно пренебрежению поперечными напряже-
ниями (обзор литературы по кривизне поперечного сечения при
пластическом изгибе дан в статье Хоррокса, Джонсона, 1967 г.).
124
При упругом поперечном изгибе брусьев опять предпола, ается
справедливой, как и при чистом изгибе, гипотеза плоских сече-
ний, т. е. сечения плоские до изгиба остаются плоскими и после
него при условии, что касательные напряжения малы по сравне-
нию с нормальными. Это так, если длина бруса велика по сравне-
нию с размерами поперечного сечения. Точно такое же предполо.
Рис. 7.1. Брус с прямо-
угольным поперечным се-
чением, испытывающий
чистый изгиб
жение делают при пластическом изгибе. Оно является дополни-
тельным к условию пренебрежения поперечными напряжениями,
отмеченному выше.
7.2. ТЕОРИЯ ^ПЛАСТИЧЕСКОГО ИЗГИБА
7.2.1. Брусья с прямоугольным поперечным сечением
По элементарной теории изгиба, распределение напряжений
при упругих деформациях, скажем в брусе с прямоугольным по-
перечным сечением (см. рис. 7.1) испытывающем чистый изгиб под
действием момента М, линейно (рис. 7.2, б). Максимальные напря-
жения оказываются на расстоянии ±h/2 от нейтральной оси и
определяются выражением
М /г
^гаах / 2 ’
где I — момент инерции площади поперечного сечения бруса
относительно нейтральной оси NN. Предположим, что брус сделан
из материала, кривые напряжение — деформация которого при
чистом сжатии и растяжении одинаковы (рис. 7.3). При увеличе-
нии М распределение напряжений остается линейным до тех пор,
пока максимальные напряжения не станут равными пределу теку-
чести omax = Y (рис. 7.2, в). При дальнейшем увеличении М
распределение напряжений в удаленных от оси волокнах стано-
вится нелинейным. Относительная деформация на расстоянии у
от нейтральной оси для малых деформаций равна у/R, где R —
радиус кривизны нейтрального волокна изогнутого бруса. При
данном MR — постоянно (будучи очень большим) для сечения,
следовательно, деформация прямо пропорциональна у, при усло-
вии, что сечения, первоначально плоские и остаются плоскими.
125
Если деформация самых удаленных от середины волокон, т. е.
, h
волокон, находящихся на расстоянии у = ± — ел, то соответ-
ствующее напряжение <тл может быть получено непосредственно
из диаграммы напряжение — деформация. В этом случае распре-
деление напряжений в поперечном сечении получается при пере-
рисовке диаграммы напряжение — деформация от осевой или
нулевой линии напряжения (рис. 7.2, г), причем одна часть
положительна (напряжения растяжения), другая отрицательна
(напряжения сжатия). Начало кривой cr/s находится на нейтраль.
Рис. 7.2. Распределение напряжения
в брусе с прямоугольным сечением
ной оси. Равенство положительных и отрицательных площадей
обеспечивает равенство нулю равнодействующей нормальных на-
пряжений, действующих в поперечном сечении, до тех пор, пока
сечение симметрично относительно NN. Внутренний изгибающий
момент
+Л/2
М — J oby dy.
-h/2
7.2.2. Выражения для М при нелинейной зависимости
между напряжениями и деформациями
Предполагая следующую зависимость напряжения от дефор-
мации
c = Ee-[-Fen (7.1)
и считая е — y/R, то, пользуясь обозначениями (рис. 7.4), имеем
+Л/2 ,
м- 1 <7-2>
-Л/2 ' /
ГД 6 + ft/2
J by2dy и In= j byn^dy\
-Л/2 ~hp
126
— момент инерции сечения; 1п — интеграл, возникающий при
нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями.
Выражение для /,, часто используют в сопротивлении материалов.
Полагая в зависимости между напряжением и деформацией
(7.1) Е = 0, получим
м
In
поперечным сечением, испытывающий
изгиб
(7.3)
Рис. 7.4. Брус с прямоугольным
чистый
Это более общий вид уравнения, обычно используемого инже-
нерами при расчете упругого изгиба, т. е. когда п =1. Значение 1п
при постоянном b следующее:
J bhn+2
" ~ 2'!+| (п + 2) ’
7.2.3. Определение прогиба
Очень интересный подход в элементарной нелинейной теории
изгиба для прямых брусьев из материала, имеющего различные
кривые напряжение — деформация при сжатии и растяжении,
был предложен Сен-Венаном и изложен в книге Тимошенко
(1953 г.).
Поскольку R велико, то/как и в элементарной теории изгиба,
dy/dx мало, и им можно пренебречь при расчете кривизны
1 __ dty/dx2
~ “{1 + (d^/dx)2}3/2 '
Уравнение доя определения прогиба бруса может быть полу-
чено после подстановки значения для 1/7? из уравнения (7.3).
Таким образом,
d2y __ / М \V«
dx* ~ \FIn ) •
Для защемленной консольной балки длиной L, несущей на
конце нагрузку W (рис. 7.5), М = W (L — х) и
dy _ -C(L-x)^1 R
dx (1-Н/л)
127
dytdx — 0 при х — 0, поэтому постоянная интегрирования В ~
= CLl/(n+1)/(l/n + 1), где С — (W/FIn)lin. Интегрируя еще раз,
получим
С(£ —х)1/п+2 । л
У ~ (1/п+ 1) (1М + 2) +Bx + D-
При х = О, у = О D = —CLPfn+‘^/(i/n + 1)(1/и + 2). Таким
образом,
CLi/nrf г / _х\ l/n+2 х / 1 „\ __ . ]
У ~ <1/п Н-1) (1/«4-2) L> L\n ' ]’
Максимальный прогиб dw под действием нагрузки W
6и7 “ (1/«+ 1) (1/« + 2) (1/R+ Wlfnf-
В случае упругого изгиба п = 1 6^ = . Этот пример иллю-
стрирует подход к проблемам подобного типа. Значения для у,
dy/dx, /п и 6 в различных
сложных случаях приведены
в книге Филлипса (1956 г.).
Если на конце защемленной
балки приложена нагрузка Wlt
отличная от W, то 6^, =
= W\lnf. Прогиб под действием
одновременно действующих на-
грузок W и Wi 6 = (IF +
4- Заметим, что 6 =£
lF1/n + IFi/n до тех пор, пока
Рис. 7.5. Консольная балка, нагру-
женная силой
=£6^ + б^т. е. (IF + ^i)1/n
п 4= 1, и, следовательно, принцип суперпозиции справедлив
только в случае п = 1.
7.2.4. Распределение касательных напряжений
Один из простых примеров использования зависимости напря-
жения от деформации — выявление распределения касательных
напряжений в прямоугольной балке при поперечном изгибе. Со-
гласно рис. 7.6, на котором показана часть балки дх, приведенной
на рис. 7.5, касательное напряжение т в плоскости ABCD по эле-
h/2
ментарным правилам сопромата xbdx= | b~^dxdy. Из (7.3)
v
М — <з!п/уп, поэтому
дМ lndo дМ дс ' —Wyn
bx yndx дх ’ дх 1п
128
Следовательно,
ft/2
r= J
V
In ° J ln(n-\- 1)
м+зм
Рис. 7.6. Равновесие элемента балки
при поперечном изгибе
Отношение максимального касательного напряжения на ней-
тральной оси данного материала к максимальному касательному
напряжению на нейтральной оси балки из линейно-упругого
материала равно
2(«4-2)/3(я+ 1).
7.2.5. Изгиб балки
из идеального материала
Схематизированные диаграм-
мы динамических моделей для
идеальных материалов пока-
заны на рис. 1.7. Момент МЕ,
необходимый для создания на-
пряжения текучести в самых
удаленных от середины во-
локнах прямоугольной балки
из идеального упругопласти-
ческого материала,
МЕ = bh2Y/6. (7.4)
Когда прикладываемый моментМ^>МЕ, распределение напряжений
в сечении такое, как на рис. 7.2, д. При уменьшении радиуса
кривизны балки толщина пластически деформированного слоя
увеличивается, и граница между областями упругих и пласти-
ческих деформаций приближается к нейтральной оси. Когда эта
граница находится на расстоянии у от нейтральной оси, изгиба-
ющий момент определяют по выражению
М = —4у2)/12. (7.5а)
Текучесть материала балок, ширина которых соизмерима с тол"
щиной — случай, близкий к плоской деформации, который сопро-
вождается появлением темных линий под углом 45° к поверх-,
кости. Эти линии определяют пластически деформируемую часть
балки. Между темными полосами видна светлая часть поверх-
иости, соответствующая упругому состоянию. Вершины полос
определяют положение границы между областями пластических
и упругих деформаций. При увеличении изгибающего момента
Эта граница приближается к нейтральной оси; упругая область
вблизи нейтральной оси быстро уменьшается (рис. 7.7, а и б).
Независимо от величины М всегда имеется некоторое упругое
яДро, из-за которого могут возникать очень большие градиенты
б У. Джонсон 129
напряжений. Чем меньше это упругое ядро, тем меньше будет
погрешность при предположении, что балка в конце изгиба имеет
пластические деформации по всему сечению, за исключением ра-
диуса кривизны балки, который будет значительно меньше дей-
ствительного. На рис. 7.2, е показано распределение напряжений
7 2
Рис. 7.7. Пластические деформации, воз-
никшие в пластине из мягкой стали в ре-
зультате приложения пары сил:
1 — линии скольжения под углом ±45° к по-
верхности; 2 — упругое ядро
для этого предельного случая нагружения. Чем ближе напря-
женное состояние к этому случаю, тем меньше становится радиус
кривизны балки, тем менее пригодны первоначальные допущения
для анализа. В этом крайнем случае всегда появляется внезапный
скачок от -f-F к —Y на нейтральной оси, т. е. разрыв напряжений.
Однако Мр — момент, необходимый для достижения пластических
деформаций во всем сечении, можно определить из (7.5 а), пола-
гая у = 0:
MP = bh2Yl4. (7.56)
Уравнение (7.56) также можно решить, считая балку изгото-
вленной из идеального жестко пластического материала. По-
скольку упругие деформации в жесткопластическом материале
130
равны нулю, то не может быть какой-либо деформации или проги-
бов балки до тех пор, пока момент не станет достаточно большим,
чтобы пластические деформации распространились по всему сече-
нию. Существование упругого'ядра в любое время предполагает
полную жесткость. Когда во всем сечении возникнут пластические
деформации, балка потеряет способность сопротивляться внешним
нагрузкам, т. е. будет изгибаться без увеличения момента. Изги-
бающий момент МР в полтора раза больше МЕ. Это свидетель-
ствует о том, что в упругих частях при изгибе существует значи-
тельный запас прочности благодаря возможности перевода их
в пластическое состояние. Этот вывод может быть использован при
выборе расчетных схем, так как он вызывает гораздо меньше
затруднений по сравнению с используемыми при упругом анализе.
В подразделе 7.3 этот метод будет применен для исследования
некоторых простых и распространенных случаев нагружения
балок, ферм и колец. В книге Ходжа (1959 г.) можно найти по-
дробное обсуждение этого и других вопросов, затронутых в данной
главе.
7.2.6. Влияние формы
Для балки прямоугольного сечения из идеального упруго-
пластического материала МР1МЕ = 1,5. Это отношение изгиба-
ющего момента, необходимого для появления пластических
деформаций во всем сечении к изгибающему моменту, существу-
ющему в том же сечении при упругих деформациях за исключением
крайних волокон, в которых только что достигнут предел теку-
чести, называют коэффициентом формы.
Легко показать, что для балки с круглым сечением радиуса а
МР = -4-«3У и МЕ = В этом случае коэффициент формы
16/Зл 1,7. Очевидно, что способность балки с круглым сечением
выдерживать предельную нагрузку, соответствующую пласти-
ческому деформированию всего сечения, недооценивается при-
мерно на 41 %, если предел текучести наступает только в волокнах,
наиболее удаленных от центра силы тяжести сечения.
Для балки с несимметричным поперечным сечением прежде
всего надо найти нейтральную’плоскость. При чистом линейном
упругом изгибе нейтральная плоскость проходит через центр
сечения, но при появлении пластических деформаций в попереч-
ном сечении она больше не совпадает с нейтральной плоскостью,
определенной для упругого деформирования. Положение ней-
тральной плоскости изменяется с увеличением глубины пласти-
ческого слоя в балке. Однако положение нейтральной плоскости
в сечении балки, уже полностью охваченной пластическими де-
формациями, легко определить, рассматривая, как и при упругом
изгибе, условие равновесия сил. Для балки, нагруженной только
изгибающим моментом, сумма сил растяжения с одной стороны
Неитральной плоскости должна быть равна сумме сил сжатия с дру-
5* 131
гой стороны. Поскольку нормальное напряжение изгиба постоянно
по сечению и равно Y, из условия равновесия вытекает, что ней-
тральная плоскость должна быть расположена так, чтобы пло-
щади сечения над и под ней были равны.
В качестве примера рассмотрим балку, в сечении которой
равнобедренный треугольник высотой Н и со стороной В. В этом
случае любая нейтральная плоскость при изгибе будет парал-
лельна основанию (рис. 7.8, а, б). При чистом упругом изгибе
нейтральная ось расположена на расстоянии Л/3 от основания.
Легко показать, когда в вершине треугольника напряжение изгиба
Рис. 7.8. Изгиб балки с асимметричным поперечным сечением:
1 — нейтральная линия; 2 — растяжение; 3 — сжатие
только достигло предела текучести, МЕ = YBH2I24. При пол-
ностью пластическом изгибе нейтральная ось лежит ниже вер-
шины на расстоянии Н/^2. Можно доказать, что равнодейству-
ющая напряжений от растяжения проходит через центр тяжести
треугольной части сечения, расположенной выше нейтральной
оси, т. е. через точку G1, а равнодействующая напряжений сжа-
тия — через точку 02 — центр силы тяжести трапеции, располо-
женной ниже нейтральной плоскости, МР — (2 — ]/2) YBf-p/b.
Коэффициент формы этого сечения 4 (2 — ]/2) 2,34.
Сечения балок с одной осью симметрии, как в только что рас-
смотренном случае, могут иметь контур, который можно описать
только численно, например сечение, представленное на рис. 7.8, в.
Для большинства практических задач изгибающий момент, вызы-
вающий пластические деформации во всем сечении, можно найти
с помощью простого эксперимента. Из тонкого металлического
или картонного листа вырезают поперечное сечение и планиметри-
рованием определяют его площадь. Положение нейтральной
плоскости NN при пластическом изгибе можно определить следу-
132
ютим образом. Лист разрезают по NN, площадь выше NN должна
быть равна площади ниже ее, и балансированием каждой части
,!а острие ножа находят их центры силы тяжести, т. е. G, и G2.
Тогда MplY равно половине произведения площади сечения на
расстояние между G, и G2.
Для балок из упрочняемого материала следует пользоваться
графическими и численными методами (см. Надаи, т. 1, гл. 22,
1950 г.).
7.2.7. Пластический косой (асимметричный) изгиб
Косой (асимметричный) изгиб происходит, когда плоскость
приложенного момента изгиба не параллельная и не перпендику-
лярна оси симметрии поперечного сечения. Пластический косой
изгиб рассматривался Йохансеном, Харрисоном, Барретом и
Брауном.
На рис. 7.8, г дан общий вид поперечного сечения балки пло-
щадью А с произвольно выбранной нейтральной линией. Если
сечение полностью охвачено пластическими деформациями, то из
равновесия сил, благодаря перпендикулярности напряжений из-
гиба сечению, часть его площади АТ, на которую действуют напря-
жения растяжения с одной стороны нейтральной оси, должна
быть равна площади остальной части Ас, на которую действуют
напряжения сжатия с другой стороны. Должно соблюдаться усло-
вие YAT — YAC = 0. Следовательно, Ат = Ас. Положение
нейтральной оси для каждого заданного направления можно
получить из семейства биссектрис данного сечения.
Равнодействующая растягивающих напряжений ArY про-
ходит через центр GT площади Аг, а равнодействующая сжима-
ющих напряжений ACY — через Gc площади Ас. Следовательно,
полный пластический момент сечения ЛД = rAY, направление
Л1р перпендикулярно GTGC. Отрезок GrGc = 2г, его середина
является, очевидно, центром сечения G.
Фокусы GT и Gc называются центроидальными фокусами
(Рис. 7.8, г, д). Если они известны, 7ИР легко найти относительно
любой оси, считая, что г — отрезок от G до фокуса — перпендику-
лярен направлению момента. Далее, касательная к кривой цен-
тральных фокусов в точке, задаваемой радиусом г, определяет
Управление нейтральной оси. Это следует из того, что заданный
0трезок между центроидальными фокусами перпендикулярен на-
правлению изгибающего момента. Отрезок смежного центро-
вального фокуса также перпендикулярен направлению смежного
изгибающего момента, и, таким образом, в пределе касательные
линии, соединяющей точки на концах двух диаметров, должны
!ть параллельны направлениям соответствующих изгибающих
pj Ментов и, следовательно, образовывать нейтральную линию.
°Дробно этот вопрос рассмотрен Брауном (1967 г.).
133
7.3. ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ С ПОСЛЕДУЮЩЕЙ УПРУГОЙ
РАЗГРУЗКОЙ
7.3.1. Распределение остаточных напряжений
Балка прямоугольного сечения из неупрочняемого материала
(см. рис. 7.1) нагружается так, что поперечное сечение является
упругопластическим (см. рис. 7.2, д'). Необходимый для этого
изгибающий момент равен bh2YK. Разгрузка балки равносильна
Рис. 7.9. Распределение остаточных напряжений и пружинения в балке из
идеального упругопластического материала
добавлению такого же отрицательного момента величиной ЫгУ!‘7
Балка быстро распрямляется или упруго пружинит. Предпо'
лагается, что распрямление каждого слоя балки является упрУ'
гим. Если это так, то упругие деформации при пружинении изме'
134
няются пропорционально расстоянию от нейтральной оси. Напря-
жения от упругого пружинения наиболее велики для удаленных
от нейтральной оси слоев, а вблизи нейтральной оси оно вызы-
вает сравнительно небольшие напряжения. Такая разгрузка
представлена на рис. 7.9, а прямой СС. Момент площади тре-
угольника ОАС относительно NN должен быть таким же, как
и момент площади прямоугольника OABD. Можно легко пока-
зать, что оразг = 3YI2. Распределение остаточных напряжений
показано штриховкой. Из этого следует, что в слоях балки между F
к В, F' и D' должны существовать остаточные напряжения сжа-
тия, а между F и D, F' и В' — остаточные напряжения растяже-
ния; BFIFD = 1/2 или BF и B'F' составляют г/в от всей толщины
балки.
7.3.2. Упругое пружинение
1. Плоское напряженное состояние.
Остаточные напряжения в балке из идеального упругопласти-
ческого материала при МЕ < М < МР определяют также, как
в только что рассмотренном случае при М = МР. На рис. 7.9, б
показана (ABDOD'B'A'A) эпюра распределения напряжений,
возникающих при действии М; АСОС'А'А-эпюра распределения
напряжений упругого пружинения при разгрузке момента М.
Если радиус кривизны нейтральной оси балки при упруго-
пластическом изгибе — R, то = Х-. Следовательно, подста-
R 1.
вляя у в уравнение (7.5а), получаем
M = b [3h2Y - 4YaR2/E2]/l2. (7.5в)
Теперь изменение радиуса кривизны в результате пружинения —
НЕ и
М = EI/R = Ebh2/12RE. (7.5г)
При разгрузке упругое пружинение есть А£,
прогиб А£ = А — А£.
L2, то
11 R . R
На рис. 7.9, в показана балка, которая в результате действия М
имеет прогиб А.
тогда остаточный
Так как A 2R
ИЛИ = 1 - , (7 .ОД)
гДе Rp — радиус остаточной кривизны.
Решая (7.5в) и (7.5г) и подставляя результаты решения в (7.5д),
Получим
(7.5е)
(7.5ж)
135
п
Когда = 0, это полное пружинение, т. е. изгиб полностью
упругий. Если R/RP =Л, то пружинение отсутствует. На
рис. 7.9, г показана зависимость R/RP от YRIEh.
2. Плоская деформация
В последних подразделах изгиб рассматривался в условиях
плоского напряженного состояния, размеры Ь и h были примерно
равны, и поэтому в плоскости, перпендикулярной плоскости из-
гиба, большие напряжения не возникали. Если Ь во много раз
больше h, то радиус кривизны поперечного сечения равен нулю,
если не считать двух небольших областей около боковых сторон
балки. Большая часть балки (рис. 7.9, б) плоская, поэтому
деформация ег в направлении Ь или г равна нулю. Для чистоупру-
гих деформаций
ez = 0 = ог — vox/E; (7.5з)
Gy везде считается равным нулю; v — коэффициент Пуассона.
ех = (°л — ^ог)/£ “ y!R, следовательно,
ах = Ey/R 4- хог. (7.5н)
Подставляя о, из (7.5д) в (7.5и) и преобразовывая, получим
g, = -7-,—- Поэтому
2 (1 —v2) R J
МЕ^ [ <yxydy = Ehs/12R(1 -v3) = E'h&l\2R. (7.5к)
-Л/2
Из (7.5к) видно, что при плоском деформировании мы должны
использовать £/(1 — v2) = Е' вместо Е при плоском напряжен-
ном состоянии. Тогда выражение для плоской деформации изгиба
эквивалентно (7.5ж):
-£- = 1 — v2)4~4 [-^-(1-v2)!3. (7.5л)
Это графически показано на рис. 7.9, г. Можно заметить, что на-
пряжение текучести при плоской деформации изгиба по условию
Мизеса равно (2/143) У, а по условию Треска — Y. Из экспери-
мента видно, что последний результат соответствует мягкой стали
при простом изгибе.
Остаточные напряжения в балке из реального материала можно
оценить таким же образом, пользуясь истинной кривой напряже-
ние — деформация, хотя вычисления, необходимые для постро-
ения эпюры остаточных напряжений, утомительны (рис. 7.9, е)-
Они обоснованы в том случае, если остаточные напряжения по-
всюду меньше, чем предел текучести материала при повторном
нагружении моментом другого знака. В этом случае первоначаль- ।
ный предел текучести будет меньше, поскольку не следует забы-
вать об эффекте Баушингера. В принципе также нет особых труД"
ностей и для случая изгиба балок с непрямоугольным сечение#-
136
7.4. ПРЕДЕЛЬНАЯ НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ПРОСТЫХ
КОНСТРУКЦИЙ. ПЛАСТИЧЕСКИЕ ШАРНИРЫ
7.4.1. Балка с защемленными концами
В середине балки из однородного материала с защемленными
концами приложена сосредоточенная нагрузка W (рис. 7.10).
На эпюре распределения моментов при упругом изгибе видно,
что наибольшие моменты возникают у двух защемленных концов
и в середине. Увеличение W приводит к появлению пластических
деформаций в каждом из этих сечений. Когда материал становится
пластическим по всей площади каждого из этих трех сечений, то
прогибы балки непрерывно уве-
личиваются даже при незначи-
тельном увеличении нагрузки.
Для жесткопластического мате-
риала никакие прогибы невоз-
можны до тех пор, пока пол-
ностью не сформируются эти
три пластических сечения. Ча-
сти балки между этими сече-
ниями будут жесткими. Пове-
дение балки в этом случае
можно представить, если сра-
внить ее с конструкцией, со-
w
Рис. 7.10. Определение предельной не-
сущей способности защемленной балки
стоящей из двух стержней, соединенных тремя пластическими
шарнирами (или четырьмя, поскольку под действием центральной
нагрузки образуются два смежных шарнира), т. е. если предста-
вить вращение двух жестких стержней относительно шарниров.
Это часто используется для определения несущей способности
балки по принципу виртуальной работы. В момент достижения
предельной несущей способности мощность, с которой внешняя
сила W совершает работу, если она движется вниз с единичной
скоростью, равна W X 1 (эта работа пластической деформации
в шарнирах выделяется в виде теплоты). Скорость вращения каж-
дой жесткой части балки 1/L. Если 7ИР — момент, необходимый,
чтобы во всем сечении появились пластические деформации (шар-
нир), то в точках А и В скорость рассеяния (диссипации) энергии
есть Mp!L, а в точке С в 2 раза больше. Таким образом,
W х 1 =4МР/Т.
(7.6)
Это выражение справедливо только при наступлении предельной
несущей способности. По достижении этого W перемещается из
т°Чки С, скажем до С'. Для чего необходимо увеличить длину
^ерЖНей АС и ВС. Эта конструкция не является механизмом
прямом смысле, в котором использует этот термин инженер-
1еХаник, поскольку связи остаются еще жесткими. Позднее будет
Мечено (гл. 12), что метод оценки предельной несущей способ-
137
ности пластических шарниров в действительности позволяет опрс-
делять верхнюю оценку усилия или оценку нагрузки, после при-,
ложения которой конструкция не способна сопротивляться внещ.
ним нагрузкам.
7.4.2 П-образные рамы
При расчете более сложных конструкций угадывают располо-
жение пластических шарниров, при наличии которых конструкции
становятся механизмами, и вычисляют нагрузку, вызывающую
Рис. 7.11. Определение предельных несущих способностей П-образных рам
ее разрушение. При этом используют принцип виртуальной
работы. Наиболее близкой к нагрузке разрушения будет
наименьшая.
Чтобы продемонстрировать эту методику, рассмотрим плоскую
П-образную раму, для появления пластического шарнира в гори-
зонтальной балке которой нужен в С раз больший момент, чем для
его появления в вертикальных стойках. Схема ее нагружения
и размеры даны на рис. 7.11, а. Некоторые варианты деформации
и возможные механизмы показаны на рис. 7.11, б—д, предельные
нагрузки для них определяют так:
а) для механизма на рис. 7.11, б, считая нагрузку Q, движу-
щейся горизонтально с единичной скоростью, составляют урав-
нение
Р • 1 = M/i I 1 Мс I Md —
а ' а ' а ' а а ‘
Ясно, что МА = Мв = Мс = MD = М. Заметим, что в точ-
ках В и С моменты в пластических шарнирах всегда равны М',
б) для механизма на рис. 7.11, е
Q.l+pjL = 2bL+ 2(С + 2)М
^'а а ^а'а'а а
где МЕ = СМ;
138
в) для механизма на рис. 7.11, г, считая, что Р движется вер-
тикально с единичной скоростью, составляют уравнение
р 1 _ Мв . 2Ме . МС _ 2 (1+С)Л4 .
1 “ b '' b ' h ~ b
г) для механизма на рис. 7.11, д
П.1 _ I 2Л4с I _ 4Л1
а ' а ' а а '
результаты этих четырех вычислений теперь можно сравнить
И) считая Q = пР, выбрать наименьшее значение Р. Механизм,
у которого Р минимальное, не обязательно должен соответство-
вать какой-либо реальной предельной несущей нагрузке. Наи-
меньшее значение Р может быть найдено методом предельной несу-
щей способности для механизма, который может быть менее оче-
виден, чем описанные.
Если Q = 2Р, С = 1,5 и b/a = 3, то Р в приведенном выше
примере будет равно: а) 2М1сг, б)1,4М1а‘, в) 1,67 А1/а; г) 2М/а.
Наиболее удовлетворительное значение Р = 1,4Л4/«; при такой
нагрузке обязательно произойдет разрушение. Методика оценки
несущей способности стальных рам была разработана еще Ка-
зинским в 1914 г. и Кистом в 1978 г. (см. Прагер, 1955 г.). Совсем
недавно методика оценки предельной несущей способности сталь-
ных конструкций была существенно усовершенствована Вакером,
Хейманом, Хорном, Родериком и др. (см. Вакер, 1956 г.).
7.4.3. Овальные и круглые кольца
На рис. 7.12, а показано овальное кольцо, симметричное отно-
сительно линии АВ. Чтобы найти нагрузку разрушения при чи-
стом изгибе, пренебрегаем поперечными силами. Предположим,
что пластические шарниры находятся в точках А, В, Сг и С2.
Когда начинается разрушение, считаем, что точка А неподвижна,
а В движется вдоль линии АВ с единичной скоростью. Части
кольца А Съ СгВ, ВС2 и С2А составляют четырехзвенную цепь с од-
ним мгновенным центром ВСГ. Звенья и С,В вращаются с угло-
вой скоростью Q и и соответственно. (Точки и С2 должны равно
отстоять от А и В). Тогда
1В(д =1 и со = Ц1В',
1С^ = АС^1 и Й = -^-со.
Если М — полный момент пластического изгиба, то
Р-1/2 = 2М (со-т-П);
jP/4Ai=_rcvh^__L = _L_
т АСг IB CiN
«Ким образом,
(7.7)
139
Шарнир С\ появляется в точке кольца, наиболее удаленной
от АВ.
Если кольцо было сварено в точках А и В и равнодействующая
напряжений растяжения, вызванных сваркой, F, то для опреде-
ления несущей способности Р, достаточной для разрушения,
в уравнении (7.7) Р следует заменить на (Р + F).
Для круглого кольца, несущего п нагрузок Р, действующих
по радиусу в направлении от центра и приложенных под углом
2п/п друг от друга (рис. 7.12, б), Р = 47И ctg (n/2ri)/R, если пред-
положить, что одновременно
ниров (Р — радиус кольца).
I?
p
б)
несущие способ-
а)
Рис. 7.12. Предельные
ности овального (а) и круглого (б) колец
образовалось 2п пластических шар-
Описанный подход был предложен
Г ринбергом и Прагером
(1951 г.).
Экспериментальные ра-
боты по проверке теории
были^выполнены Джонсоном
(1956 г.) и Совербаем, Джон-
соном, Самантой (1968 г.).
Последние авторы рассмо-
трели проблему и теорети-
чески, используя теорию ли-
ний скольжения и учитывая
влияние поперечных сил,
вызываемых приложенной
нагрузкой. Они нашли форму
Оказалось, что с помощью
четырех образующихся шарниров.
элемен тарной теории можно определять предельную нагрузку
даже очень толстого кольца. Результаты эксперименталь-
ных и теоретических исследований, основанных на элементарных
положениях сопротивления материалов для полуколец с трапе-
цеидальным поперечным сечением, нагруженных сосредоточен-
ной силой, приведены в работе Джонсона и Сеньора (1957 г.).
7.4.4. Овальные кольца с распорками
Этот случай аналогичен описанному выше. Распорка располо-
жена перпендикулярно линии действия нагрузки и является эле-
ментом конструкции (рис. 7.13, а). Предположим, что распорка
жесткая и прогиб ее невозможен. Для превращения в механизм
каждой половинки контура надо постулировать четыре дополни-
тельных шарнира между четырьмя точками, например один
в точке С между точками А и В (рис. 7.13, б). Тогда, как и раньше,
Р = 47И (Q + (P)IVA. Смысл Q, со, VA очевиден из рис. 7.13, б;
I — мгновенный центр АС. Теперь Й = Va/IA; со = VAJCIBC X
X 1А\ следовательно, Р/47И = IB/BC-IA, но уНА = ВС/ВР
Таким образом, Р/47И = Ну, где у = CQ. Р минимально, когда
определяющее положение шарнира С, максимально. Это точка
кольца, касательная к которой параллельна АВ.
140
Для эллиптического хомута, определяемого уравнением в де-
картовых координатах х21а2 + у21Ь2 = 1 (начало в точке О, ОВ =
= b; ОА — а), легко показать, что
CQ = b(pr2 — 1) и, следовательно, Р/4Л1 — (1-]-]/2)/Ь.
Если распорка недостаточно жесткая, она может испытывать
пластическое сжатие (прогиб отсутствует), в результате которого
появится поперечная сила A Y, где А — площадь поперечного
сечения. В этом случае пластические шарниры на концах распорки
не образуются, и контур ведет себя как шестизвенный. Можно
показать, что предельная несущая способность эллиптического
кольца РИМ = (1 + 2с/с)1/2/Ь, где с = 47ИЛ4 У; другие пласти-
ческие шарниры находятся на расстоянии а2/(а + с) от поперечной
распорки, чтобы Р было минимально.
7.5. ДИАГРАММА УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ
Выше, при оценке предельной несущей способности простых
конструкций, мы видели, что внутренняя диссипация энергии
зависит от скорости вращения шарнира между двумя жесткими
элементами. Теперь мы построим диаграмму векторов угловых
скоростей для простых схем нагружений, приведенных на рис. 7.10
и 7.12, а, б. Это делается по двум причинам. Некоторым читателям
легче так понять этот метод, но главное — это будет весьма по-
лезно при изучении пластического изгиба пластин, о которых
мы будем говорить в гл. 14.
На рис. 7.10 показана схема определения несущей способности
балки с защемленными концами. Пусть обе части балки вращаются
с угловыми скоростями со, но в противоположных направлениях
(рис. 7.14, а). Это можно представить на диаграмме (рис. 7.14, б).
Вектор оа соответствует скорости вращения АС вокруг точки А
и пропорционален со, аналогично вектор ob описывает скорость
вращения СВ вокруг точки В. Отсюда следует, что скорость вра-
щения в точке С между АС и ВС, т. е. ab, есть 2и. Тогда, как
и раньше, PaL = МРаАС + МРавс + МР2а или Р = 4MPIL-,
или оа — величина разрыва угловой скорости в точке А. За-
щемленная часть конструкции не вращается, а элемент А С вра-
щается вокруг точки А; 2а — скачок угловой скорости (от -|со
До —который происходит в точке С между вращающимися
141
Элементами АС и ВС, и ывс — скачок угловой скорости в точке В.
Диаграмма угловых скоростей для жестких элементов круглого
кольца, изображенного на рис. 7.12, б (рис. 7.14, в), для предель-
ной несущей способности в результате действия трех радиальных
сил, направленных от центра, приведена на рис. 7.14, г. Имеем
З/’т = ЗЛД (2(») ЗМр (2d)).
(Строчные буквы на рис. 7.14, г соответствуют жестким элементам
кольца на рис. 7.14, в.) Первое слагаемое определяет скорость
диссипации энергии в точках приложения нагрузок; 2d) — рас-
стояние между f и а. Разрывы или скачки угловых скоростей
одинаковы во всех шарнирах, образующихся на кольце точно
посередине между точками приложения нагрузок.
Рис. 7.14. Примеры построения диаграмм угловых скоростей
Применение диаграммы угловых скоростей для конструкций,
элементы которых вращаются только в одной плоскости и все
векторы расположены вдоль одной прямой, при расчете нагрузок,
не имеет преимуществ по сравнению с другими ранее описанными
методами. Однако мы повторяем, что использование диаг-
раммы угловых скоростей в отличие от других методов упрощает
анализ изгиба пластин.
142
7.6. ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРИ ИЗГИБЕ КРОНШТЕЙНОВ
ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛОЙ
На рис. 12.29 показан макрошлиф короткого широкого кронш-
тейна, на конце которого приложена сосредоточенная нагрузка,
вызвавшая появление пластических деформаций (пластический
шарнир). Ясно, что кроме областей вблизи верхних и нижних
волокон кронштейна существует область, ограниченная аркой,
внутри которой материал деформируется пластически. Как в са-
мом кронштейне, так и в его части, которая защемлена, пласти-
ческие деформации отсутствуют. Очевидно, пластические дефор-
мации только появляются, когда кронштейн начинает вращаться
относительно арки, как относительно шарнира (темная арка есть
тонкая пластическая область, в которой происходит смещение).
Учитывая это, мы можем сделать простой анализ пластического
изгиба широкой балки в условиях преобладающей плоской де-
формации изгиба, поскольку почти все частицы материала, рас-
положенные в рассматриваемой вертикальной плоскости, остаются
в этой плоскости при изгибе. В момент, когда начинается пласти-
ческий изгиб, предел текучести сдвига на дуге, которая, как мы
полагаем, охватывает всю высоту балки (рис. 7.14, д), есть k.
Пусть R — радиус дуги. Угол, который она стягивает, равен 2<р0.
Поперечную силу, вызывающую изгиб, обозначим Sh.
На рис. 7.14, е приведена диаграмма скоростей, указывающая
скорость во всех точках жесткой вращающейся балки.
Когда наступает пластическое течение в результате вращения
балки вокруг точки О, мощность на единицу ширины есть Sh (/ +
+ R cos <р0) ю, и она рассеивается при совершении пластической
работы в круглой арке при перемещении поперечной силы (7?2ф0) k
со скоростью Rco. Приравнивая эти две величины, получим
Sh (I -|- R cos фо) со = (А’2ф0/г) Rco.
Таким образом,
S =
k /г ( I -р Z? cos фр)
Подставляя R из h = 2R sin ф0 и упрощая, имеем
S =________________Фо_____________
k sin 2lp0 + V — cos 2'1о)
Важно выбрать то значение ф0, при котором Slk минимально.
Дифференцируя S/k по ф0 и приравнивая результаты к нулю,
Получим
2 I _____ sin 2ф0 — 2ф0 cos 2ф0
h 2ф0 sin 2ф0 ф- cos 2ф0 — 1 ’
143
Пользуясь двумя последними уравнениями, можно составить
следующую таблицу:
l/h 0,42 0,875 3,08 12,9 СЮ
S/k 0,965 0,571 0,208 0,052 0
<₽о 30 45 60 65,2 —67
S'/k 1,19 0,577 0,16 0,039 0
Когда 2<р0 = tg <р0, Uh —> <ю и S/k —> 0.
Если пользоваться ранее описанной элементарной теорией
и уравнением (7.56), то, заменяя Y на 2k, получим
т е A__L_L = _SL
4 дШ, т. е. k 2 l/h - k •
Четвертая строка в таблице, обозначенная S'/k, составлена
с использованием вышеприведенного уравнения. Арочная форма
только что описанного очага пластической деформации соответ-
ствует наименьшему значению S'/k при l/k < 1. Очевидно, такая
форма очага является наиболее реальной, ее и следует выбирать
при рассмотрении нагружения короткого кронштейна, например
зуба шестерни. Более точный анализ подтвердил этот вывод.
Соответствующие ссылки на первые работы Грина в этой области
можно найти у Джонсона, Совербая (1967 г.). В этой последней
работе только что рассмотренная методика использована для
исследования других схем деформаций (например, когда арка
появляется в защемленной части балки, см. ломаную кривую на
рис. 7, 14, в), для кривых и клиновых брусьев, для брусьев с вы-
резами и др. Интересно заметить, что большую часть исследо-
ваний, описанных в этом подразделе, формально можно использо-
вать при решении задач, относящихся к брусу с выемкой и рас-
смотренных в гл. 13.
7.7. ИЗГИБ ШИРОКОГО КОЛЬЦА
При рассмотрении кольца, показанного на рис. 7.14, ж, ока-
зывается, что пластические шарниры образуются при интересных
и неожиданных условиях. Круглое кольцо из идеального жест-
копластического материала шириной w в плоскости, перпендику-
лярной плоскости рисунка, и толщиной h куют или обжимают
между двумя жесткими бойками шириной Ь. Для простоты рас-
смотрим вместо бойков пластины. Если w/h велико, то схема де-
формирования при обжатии будет иметь две характерные особен-
ности. 1. Когда материал между бойками будет полностью в пла-
стическом состоянии, то в основном происходит течение его в сто-
роны (в плоскости рисунка) при сближении бойков. Можно наблю-
дать лишь небольшое течение в плоскости, перпендикулярной
рисунку. 2. Такой характер течения должен привести к размыка-
нию кольца, поэтому мы можем предположить образование пласти-
ческого шарнира на стороне кольца, диаметрально противоподож-
144
ной бойкам. Между бойками и шарниром материал остается жест-
ким и вращается как часть одного из двух жестких элементов
вокруг шарнира.
Подобные ситуации часто возникают при ковке, но на них не
всегда обращают внимание.
Если отношение толщины кольца h к его среднему радиусу R
мало, то есть основание полагать, что горизонтальные нормаль-
ные напряжения о однородны по всему поперечному сечению
кольца между бойками. Возникающая сила ahw должна быть
достаточно большой, чтобы внизу кольца создать момент, равный
полному моменту пластического изгиба, су/12У/4, где Y — соответ-
ствующее напряжение текучести. Таким образом, ohw2R =
= wh2Y/4, или о = hY/&R, т. е. когда о достигает этого значения,
то две жесткие половины кольца могут вращаться вокруг пласти-
ческого шарнира. Давление р при ковке или обжатии и о можно
связать, пользуясь условием пластичности Треска (—о) — (—р) =
= Y. Подставляя о из предыдущего уравнения, имеем p/Y =
= 1 + h/8R. Второе слагаемое h!8R в большинстве практических
случаев мало, п им можно пренебречь. Экспериментально подтвер-
ждено существование пластического шарнира в подобных ситуациях.
7.8. ИЗГИБ С РАСТЯЖЕНИЕМ. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
НЕРАВЕНСТВА ПЛАСТИЧНОСТИ
- Метод расчета пластических деформаций в конструкциях или
деталях машин, испытывающих изгиб с растяжением, можно
хорошо иллюстрировать при сокращенном изложении задачи,
впервые подробно рассмотренной Ходжем (1955 г.). Цель задачи —
найти критические угловые скорости вращения несимметричного
стержня. На рис. 7.15, б цилиндрический диск и плоский радиаль-
ный стержень показаны в профиль и сверху. Под действием цен-
тростремительной силы стержень будет стараться выпрямиться;
следовательно, на каждое сечение будет действовать как радиаль-
ная сила растяжения, так и момент изгиба. Благодаря действию
силы тяжести возникает также небольшая поперечная сила,
но ею можно пренебречь. Для упрощения анализа рассматриваем
стержень с плоским основанием (рис. 7.15, в).
7.8.1. Упругий анализ
Полная сила растяжения, или радиальная сила, действующая
на сечение высотой h2,
ь
N = J phtsb^ds = [bs — r2(3b — 2r)], (7.8)
Г
если учесть, что = (6 —s)/L. Среднее напряжение растяже-
ния по сечению
п/ = № - г2(ЗЬ - 2/)] = [Ь (Ь + г) - 2г2].
(7.8а)
Полный изгибающий момент, также действующий в сечении h2
относительно его центра,
b ь
М — | phtsio2 ds = J Pi2£2t>S (& ~~ s) (s ~' f) ds =
^^§-(b~r}2(b2~r2Y (7.86)
Максимальное напряжение изгиба возникает в самых крайних
волокнах стержня, и, следовательно,
От max = № - Г2) рС02'4. (7.9)
Наибольшее растягивающее напряжение от в сечении h2 создается
I в самых нижних слоях. Соединяя уравнения (7.8а) и (7.9), по-
лучим
= -^- [3 (Ь2 - г2) + 2Ь (Ъ 4- г) - 4г8] = [5b2 + 2Ъг - 1г2}.
(7.Ю)
В стержнях, диаметр диска которых а < ЬП, наибольшее напря-
жение возникает на расстоянии г = ЫТ, от = Зра>2Ь2/7. Если
а > Ы7, от возникает там, где стержень соединяется с диском,
и равно рн>2 (Ь — а) (5Ь + 7а)/12. Следовательно, при полностью
146
упругом нагружении и условии, что ат = Y, т. е. равно пределу
текучести при растяжении,
а)&/7>«;
(.Г7 2 12У
б) 0/7 < а; со2 < ,, , ,с. , _ ,
’ р (Ь—а) (56 Ц-7а) •
(7.11)
7.8.2. Пластический анализ
Когда скорость вращения превышает скорость, заданную
уравнением (7.11), в нижней части сечения стержня появляются
пластические деформации. Дальнейшее увеличение со вызывает
увеличение пластической области, и, в конце концов, пластические
деформации возникают в верхней части сечения стержня. Считаем,
что материал — идеальный пластический. Достигнутое напряже-
ние текучести больше увеличиваться не будет. Две зоны пластич-
ности разделены упругой. Мы не будем думать о росте этих зон
с увеличением со, а все свое внимание сосредоточим на определе-
нии сечения стержня, которое раньше других полностью охваты-
вается пластическими деформациями. Скорость, при которой это
произойдет, является предельной для стержня, поскольку сразу
становится возможным очень большой прогиб. При одновременном
растяжении и изгибе распределение напряжений в сечении,
полностью охваченном пластическими деформациями, показано
на рис. 7.15, г, где 1] определяет местоположение напряжений.
Равнодействующая растягивающих напряжений, действующих
в сечении, N = 21Y ---и изгибающий момент М =
= tYi] (h — г]). При ц = h распределение напряжений такое же,
как и в случае чистого растяжения, когда сила растяжения No =
= tYh, а при г] = /1/2, как в случае чистого изгиба, момент из-
гиба 7И0 = iYhHY Таким образом,
/ N \ 2 / 1] — /г/2 \ 2 М _ т) (h — 1])
“ V 6/2 ) 11 М7 “ #74 ’
Исключая г] из этих уравнений, получим (-ту—У + — 1.
Очевидно, что после пластического деформирования всего попереч-
ного сечения не должно быть напряжений больше Y. Мы можем
записать неравенство пластичности (-ту—) +-»т-<1-
В первое неравенство подставим М из (7.8) и (7.86); получим
шW=(-^) .
147
Полагая р®263/6У = Р и записывая х вместо (1 — г/b}, получим
Р2х2 (3 — 2%)2 + Рх (2 — %) — 1 < 0. Задавая значения х от 1
до 0,6, вычислим соответствующие положительные значения Р.
X............... 1,0 0,9 0,8 0,6
Р .............. 0,615 0,594 0,592 0,63
Очевидно, Р минимально и равно >=^0,59 при х 0,82. Это
означает, что неравенство справедливо для каждого сечения,
определяемого х, если Р, а следовательно, и (о, меньше вычислен-
ного значения. Максимальная допустимая угловая скорость
стержня соответствует наименьшему
максимальному значению Р. Следова-
тельно, 0,59 — р<в252/6У, или оз ~
= 1,88 |/У7р62. Это решение исполь-
зуют в том случае, если а < 0,186 или
6,5а < Ь. Таким образом, пользуясь
(7.11), получим
а) а < 0,186; = 1,88 ]/П/р62;
б) а < Ы7- со£ == 1,53 КИ/рб2,
Рис. 7.16. Влияние изгиба-
ющего момента и растяги-
вающей силы на переход в
пластическое состояние
где — угловая скорость, при ко-
торой появляются первые признаки
текучести.
Смысл полученных результатов
виден из рис. 7.16. Мы построим:
а) неравенство пластичности; б) соотношение между N и М,
которое таково, что когда они действуют вместе, то вызы-
вают напряжение текучести. Пусть для (б) о — однородное напря-
жение растяжения в сечении; тогда N/No = o/Y и, таким образом,
М _ Ыгг (Y — а) 4 _ 2 / а \ _ 2 / N X
Л1П “ 6 bhW ” 3 V Y ) ~ 3 V1 No )
Выражение описывает прямую линию на рис. 7.16. Все возмож-
ные комбинации М и ДГ, обеспечивающие появление пластических
деформаций, определены точками, расположенными между двумя
этими линиями. Заметим, что малые значения N почти не влияют
на величину момента, необходимого для достижения предела
текучести.
Прогиб балки в образовавшемся после появления пластических
шарниров механизме (см. рис. 7.10) вызовет удлинение его эле-
ментов и увеличение работы диссипации. Однако кривая на
рис. 7.16 показывает, что это уточнение чрезвычайно мало, и им
можно пренебречь.
148
7.9. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ ШИРОКИХ ПЛИТ,
ИМЕЮЩИХ ПЕРВОНАЧАЛЬНУЮ КРИВИЗНУ
Многие аспекты этой проблемы были подробно рассмотрены
Шаффером и другими авторами (1955 г., 1957 г.); здесь будет дано
только резюме их работы.
На рис. 7.17, а показано сечение
широкой плиты постоянной кри-
визны.
Изгибающий момент М на еди-
ницу длины, перпендикулярный
плоскости рисунка, будет создавать
одинаковое распределение напряже-
ний в каждом радиальном сечении,
кроме тех, к которым приложен
момент. На рис. 7.17, б показаны
напряжения в элементе плиты. Ура-
Рис. 7.17. Напряженное состоя-
ние широкой плиты при изгибе
внение равновесия в радиальном
dOr (70 — Of
dr г
направлении
имеет вид
(7.12)
7.9.1. Упругий чистый изгиб
Решение в этом случае хорошо известно — это гиперболиче-
ское распределение напряжений для о0 (рис. 7.18, в, б). Нейтраль-
ная ось не проходит через центры поперечных сечений.
Рис.' 7.18. Упругопластический изгиб пластины (1—упругая область; 2 —
пластическая область);
а —- первая стадия; б — распределение тангенциальных напряжений на первой ста-
дии; в — распределение тангенциальных напряжений на второй стадии
Вводя функцию напряжений Эри ср, имеем
Уравнение равновесия (7.12) удовлетворено. Уравнение нераз-
рывности (Тимошенко, Гудьер, 1951 г.) имеет вид
/ й2 . 1 д I д2 \ / й2ф . 1 dq> 1 52ф \___„
\1У + V ~дГ + ае2 / \~д^~ ' ~ ~дГ + ~ <эе2 / ~~
(7.14)
149
1
Но здесь с?2/с?62 = 0, и (7.14) принимает вид
а’4ф . 2 d3q> I d2<p , I dtp _„ .r,
dr4 ' r drs r2 dr2 rs dr ' (
Решение уравнения (7.15) есть <p = Л In г + Br2 In r 4~ Cr2 4~ D.
Для частного случая, когда поверхность при г = а и b сво-
бодна от напряжений,
— 4714 / a2b2 , b ,,91 г . 9 , а \ , г-\
о, --—у-.— (—j-In-------- 62In-7-4-a2 In (7.16)
r N \ г2 а 1 b 1 г / ' '
ge = "Д- (-=^1п4 + &21п4г + а21п~Г + b*~ g2)’
(7.17)
где N = (Ь2 — а2)2 — 4a2b2 (In b/a)2.
При г = а предел текучести наступает сначала на внутренней
поверхности плиты. Пользуясь условием Треска ое — ог = 2k,
имеем
м — k l(Z)2 ~ g2)2 ~ 4g2fc'2 (1п Ь/а^ П 1R1
М 2 (a2 — fe2 + 2fe2lnfe/c) ‘ ('-1Ь)
7.9.2. Пластический изгиб
Если использовать условие Треска
Og — cr=--2k (7.19)
в (7.12) и проинтегрировать последнее, получим
ог ^2k in г + С. (7.20)
Замечая, что ог = 0 при г = а н г = Ь, найдем
or~2kln r/а при асгсг. (7.21)
В этой области ое > ог;
or = 2k In b/r при b > г > с, (7.22)
поскольку > 0g. Радиус нейтральной оси — с. Из условия
непрерывности при г = с левые части уравнений (7.21) и (7.22)
равны; следовательно, с = ^ab. Отсюда при а < г < с ое —
= 2k [1 + In г/а], при с С г С b ое = —2k (1 — In b/r). Изги-
бающий момент, когда все сечение охвачено пластическими дефор-
мациями,
Мр = k(b — а)2/2.
7.9.3. Упругопластический изгиб
При М, большем значения, определяемого уравнением (7.18),
предел текучести наступает на внутренних волокнах на рас-
стоянии от центра г = а и распространяется от него по радиусу рх
(рис. 7.18, а, б). Для г > рг распределение деформаций остается
150
упругим. Наконец, достигается такое значение р1; при котором
наступает предел текучести при сжатии, внешних волокон, т. е.
при г- b (рис. 7.18, в). Дальнейшее увеличение М вызывает
быстрое расширение пластических зон, упругий слой между кото-
рыми становится все тоньше. Положение нейтральной оси при
нагружении'изменяется. На рис. 7.19 показаны диаграммы Шаф-
фера и Хауса (1955 г.) для пластины с отношением Ыа = 2. Предел
текучести наступает сначала при М = 0,5167ИР, где Мр —
изгибающий момент, необходимый для пластического деформиро-
вания всего сечения. На этом рисунке видно, как изменяются
Рис. 7.19. Распределение радиальных (а) и тангенциальных (б) напряжений
в пластине:
1 — максимальное Gr; 2 — нейтральная поверхность
Gr/k п cjk. по толщине плиты с увеличением М/МР от 0,516 до
1,0. Также показаны различные положения нейтральной оси.
Те же авторы исследовали деформацию и прогиб, возникающие
при изгибе. Они показали, что изменение радиуса кривизны
широкой изогнутой плиты невелико (<2?/о, если М/МР <0,95).
Таким образом, во всех случаях можно пренебрегать изменением
геометрии.
7.9.4. Остаточные напряжения
В разгруженной широкой плите, при изгибе которой появились
пластические деформации, возникают некоторые остаточные на-
пряжения. В общем случае, они вызваны наличием упругих
деформаций. При определенных условиях в результате разгруже-
ния пластические деформации могут появиться и внутри изогну-
той плиты, в волокнах, расположенных на наружной поверхности.
Шаффер и Хаус (1957 г.) рассмотрели различные случаи нагруже-
; ния длинных плит и нашли девять нетривиальных схем. Они также
у представили данные о величине возможного пружинения или
л прогиба.
J151
7.9.5. Дополнительные справки
Только что описанный анализ Шаффера и Хауса соответ-
ствует упругопластическому изгибу широкой кривой плиты из
несжимаемого материала в условиях плоской деформации; для
сжимаемого материала решение было предложено Исоном (1960 г.).
Указанная задача для условий плоского напряженного состояния
решена Шенхердом и Гайдоном. Упругопластический изгиб
кривого бруса в условиях плоского напряженного состояния
рассмотрен Исоном (1960 г.).
Ценным вкладом в теорию изгиба плит из упрочняемых ма-
териалов, явилась статья Прокса (1959 г.); она содержит полезный
обзор работ по теории изгиба, изданных в Германии.
7.10. ЛИСТЫ И ПЛИТЫ, ИЗГИБАЕМЫЕ В ПРОЦЕССЕ
ШТАМПОВКИ
Гибка листов и пластин — повседневная операция в листо-
штамповочных цехах. Существует много способов ее выполнения.
Чтобы делать вычисления, связанные, скажем, с определением
силы или изгибающего момента, которые надо приложить для
изгиба заготовки, или с расчетом допустимой степени изгиба
и ожидаемого пружинения, нужно изучать используемые машины
и методы. Степень изгиба, которая может потребоваться для
изготовления изделия, иногда невозможно осуществить из-за
недостаточного ресурса пластичности, сложности и ограничений,
накладываемых формой инструмента для штамповки. Трение
между материалом и инструментом ведет также к большим услож-
нениям.
7.10.1. Гибка на прессах
При изготовлении, например, частей автомобиля из листа
металла часто используют операцию гибки (рис. 7.20, а), чтобы
лист принял (часто допуская упругое пружинение) определенную
форму. При достижении малого радиуса изгиба максимальная
деформация растяжения в тангенциальном направлении может
превышать 1/4, и тогда появляется поперечное сужение растяну-
той и расширение сжатой частей сечения. В результате нейтраль-
ная ось листа смещается от первоначального положения в сторону
сжатой части сечения (почти на 5% от толщины листа). При этом
в середине возможно образование трещины.
Чтобы рассчитать минимальный допустимый радиус изгиба Г.
пластины толщиной Т при отношении ширины к толщине >10
и угле изгиба >75°, часто используют эмпирическое соотношение
Еизг = 4“ Ерает = U + \,8R!T)~l, где еизг — допустимая дефор-
мация изгиба, которую обычно принимают равной 3/4 от деформа-
ции разрыва при растяжении,. На рис. 7,20, б показаны размеры
152
н форма зоны пластической деформации, образовавшейся под
действием изгибающего инструмента. Она больше зоны соприкос-
новения с инструментом. Наибольшие Деформации и наибольшие
напряжения возникают во внешних волокнах. В задаче 61 рас-
сматривается эта ситуация.
Рассмотрение пружинения имеет первостепенное значение при
любой технологической операции гибки. Описанный выше метод
Рис. 7.20. Изгиб заготов-
ки в штампе (а) и обра-
зование пластической зо-
ны (б):
/ — пуансон; 2 — заготов-
ка; «V — штамп; 4 — пласти-
ческая зона
можно использовать для расчета пружинения, как это сделано
Ботросом (1967 г.).
Подробное обсуждение технологии гибки листов с очень полез-
ными рекомендациями и эмпирическими данными, как сообщает
Вогели, можно найти в книге Закса «Принципы и методы обработки
металлических листов». (См. также статью Перри, 1956 г. и деталь-
ный анализ^и эксперименты Уолтера, 1952 г.)
7.10.2. Изгиб плит на гибочных машинах
Существует два распространенных типа гибочных машин
(рис. 7.21), которые первоначально предназначались для гибки
цилиндрических плит для котлов. Изгиб осуществляется враща-
Рис. 7.21. Несимметрич-
ное (о) и симметричное (б)
расположение валков в
гибочной машине:
1 — прижимной валок; 2 —
изгибающий валок; 3 — ре-
гулирующий валок; 4 — ме-
таллическая пластина
ющимся валком. Анализ процесса усложняется еще из-за трения
вращения и других причин. Обсуждение, некоторый анализ и
много экспериментальных данных, а также ссылки на другие
работы в этой области можно найти в работах Бассетта и Джонсона
(1966 г.). Стоит также упомянуть статьи Александера (1957 г.),
Масуды и Тозава (1963 г.). Форрест показал, что умеренная сте-
пень прокатки материала в том же направлении, в котором дей-
ствуют остаточные напряжения, существенно уменьшает послед-
ние. Александер теоретически доказал, что поперечная прокатка
153
также достаточно эффективна. Масуда и Тозава теоретически рас-
смотрели возможность и предложили методы исключения пружи-
нения. Они показали экспериментально, что пружинение умень-
шается при увеличении силы сжатия, приложенной к изогнутой
части листа в горизонтальном направлении (в направлении г,
см. рис. 7.9, е), и когда эта сила достигает определенного значе-
ния, пружинение становится очень маленьким. (См. задачи
26—38, 58 и 78).
ЛИТЕРАТУРА
Alexander, J. М. 1957 «An Analysis of the Plastic Bending of Wide Plate, and the Effect of Stretching on Trans- verse Residual Stresses»
Proc. Instil mech. Engrs 173, 73
Baker, J. F., Horne, И. R., Heyman, J. 1956 The Steel Skeleton C. U. P.
Bassett, M. В., 1966 «The Bending of Plate Using a Three—Roll
Johnson, W. Pyramid Type Plate Bending Machine» «’ J. Strain Analysis 1, 398
Botros, В. M. 1967 «Springback in Sheet Metal Forging after Bending» A. S. M. E. 67—WA/PROD.—17
Brown, E. H. 1967 «Plastic Asymmetrical Bending of Beams» Int. J. mech. Sci., 9, 77
Eason, G. 1960a «The Elastic—Plastic Bending of a Compressible Curved Bar» * Appl. Sci. Res. Series A, 9, 53
Eason, G. 1960b «The Elastic—Plastic Bending of a Curved Bar
by End Couples in Plane Stress» Q. J. Mech. Appl. Math. XIII, 334
Greenberg, H. J., . 1951 «Limit Design of Beams and Frames»
Prager, W. Proc. Am. Soc. civ. Engrs 77, 1
Hodge, P, G. 1955 «Rotating Rays» J. appl. Mech. 24, Paper No. 54—A—96
Hodge, P. G. 1959 Plastic Analysis of Structures, McGraw—Hill, London
Horrocks, D., 1967 «On Anticlastic Curvature with Special Refe-
Johnson, W. rence to Plastic Bending: a Literature Survey and Some Experimental Results»
Int. J. mech. Sci. 9, 835
Johnson, W. 1956 «The Compression of Circular Rings» J. R. aeronaut. Soc. 60, 484
Johnson, W., 1957 «The Plastic Bending of Heavity Curved Beams»
Senior, B. W. J. R. aeronaut. Soc. 61, 824
Johnson, W., 1967 «On the Collapse Load of Some Simple Struc-
Sowerby, R. tures» Int. J. mech. Sci., 9, 433
Masuda, Л1., 1963 «Compression Bending»
Tozawa, Y. Bull. Jap. Soc. precision Engng 1, 33
Nadai, A. 1950 Theory of Flow and Fracture of Solids, Vol. I McGraw—Hill, London
Perry, T. G. 1956 «Bending and Allied Forming Operations» Institute of Metals Monograph and Report
Phillips, A. 1956 Series No. 20, p. 91 Introduction to Plasticity The Ronald—Press Co., New York
154
Prager, W. 1955 «The Theory of Plasticity: A Survey of Recent Achievements» Proc. Instn mech. Engrs 169, 41
Proksa, F. 1959 «Plastisches Biegen von Blechen» Der Stahlbau 2, 29
Sachs, G. 1966 Principles and Methods of Sheet Metal Fabri- cating Revised and enlarged by H. E. Voegeli, Rein- hold, New York
Shaffer, B. W., 1955 «The Elastic—Plastic Stress Distribution Within
House, R. N. a Wide Curved Bar Subjected to Pure Bending» J. appl. Mech. 24, 305
1957 «Displacements in a Wide Curved Bar Subject to Pure Elastic—Plastic Bending» J. appl. mech. 26, 447
Shaffer, B. W„ 1957 Residual Stresses and Displacements in Wide Curved
Ungar, E. E. Bars Subject to Pure Bending Office of Ordnance Research
Shepherd, W. M., 1957 «Plastic Bending of a Ring Sector by End Couples»
Gaydon, F. A. J. Mech. Phys. Solids 5, 296
Sowerby, R., 1968 «The Diametral Compression of Circular Rings
Johnson, W., by «Point» Loads»
Samanta, S. K. Int. J. mech. Sci. 10, 369
Timoshenko, S. 1953 History of Strength of Materials McGraw—Hill, London, 137pp.
Timoshenko, S. 1951 Theory of Elasticity McGraw—Hill, London
Wolter, К. H. 1952 Freies Biegen von Blechen V. D. I. — Forschungsheft 435, Deutsche Ingenieur Verlag, Dusseldorf
Глава 8
КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ БРУСЬЕВ
С КРУГЛЫМ И НЕКРУГЛЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЯМИ
8.1. УПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ
8.1.1. Введение
Анализ пластического состояния призматических брусьев при
кручении лучше всего начинать с рассмотрения результатов,
полученных стандартными методами при упругом деформиро-
вании. Состояние бруса из идеального упругопластического ма-
териала за пределом текучести при таком подходе анализируется
достаточно просто. Элементарную теорию обычно применяют
только для определения напряжений при кручении призматиче-
ских брусьев с круглым поперечным сечением. Она впервые
предложена Кулоном в 1784 г., который вывел уравнение
-L_=-b = Ge, (8.1)
где Т — приложенный крутящий момент; J — полярный момент
инерции сечения; т — касательное напряжение в поперечном
сечении на расстоянии г от оси бруса; G — модуль сдвига; 0 —
относительный угол закручивания. Уравнение (8.1) получено из
предположения, что сечение, плоское первоначально, остается
плоским и после закручивания. Отсюда следует, что величина
касательного напряжения в точке пропорциональна расстоянию
до оси бруса. Этот факт иногда приводит студентов к ошибочному
предположению, что это справедливо и для брусьев с поперечным
сечением другой формы. Действительно, Навье (1864 г.), основы-
ваясь на предположении, что плоское поперечное сечение остается
плоским и при кручении, пришел к неверному результату. Чита-
тель, интересующийся развитием теории кручения, может обра-
титься к работам Тодхантера, Пирсона (1886 г.) и Тимошенко
(1953 г.). Опыты по кручению призматических брусьев с некруг-
лыми поперечными сечениями показали, что первоначально пло-
ские поперечные сечения при кручении бруса начинают деформи-
роваться, или искривляются, превращаясь в трехмерные, которые,
как правило, симметричны относительно оси (рис, 8.1). Матема-
156
тический анализ с учетом однородного искривления впервые был
предложен Сен-Венаном (1855 г.), результатом которого является
вывод, что максимальное касательное напряжение возникает
в точке или точках поперечного
сечения, расположенных по сере-
динам больших сторон.
8.1.2. Анализ кручения по Сен-Венану
Анализ, приведенный ниже, со-
ответствует анализу, который впер-
вые был дан Сен-Венаном; обычно
его называют полуобратным реше- Рис. 8.1. Искажение поперечно-
нием задачи на кручение. Смысл го сечения прямоугольного
последнего термина станет более бруса при кручении
понятным после рассмотрения от-
дельных деталей анализа, а также рассмотрения некоторых
поясняющих примеров.
На рис. 8.2 показана часть призматического бруса, нагружен-
ного крутящим моментом Т. Ог — ось бруса, параллельная мо-
менту; Ох и Оу — взаимно перпендикулярные оси, лежащие
в плоскости поперечного сечения. Точка О принадлежит торцу.
Объемными силами, возникающими в результате гравитации,
Рис. 8.2. Призматический брус, на-
груженный крутящим моментом Т
Рис. 8.3. Координаты точки Р на се-
чении призматического бруса
и другими мы пренебрегаем, и в дальнейшем предполагаем, что
принцип Сен-Венана справедлив. В данном случае это означает,
что местное напряжение, возникающее в точке приложения Т,
быстро перераспределяется, в результате чего распределение
напряжений в каждом поперечном сечении не зависит от г. При
Деформировании бруса каждое поперечное сечение поворачивается
и искривляется.
На рис. 8.3 Р — точка с первоначальными координатами
(х, у, z) и Р' (при положительном кручении Р переходит в Р')
с координатами (х + и, у +'v, г -f- w), где и, v, w — небольшие
Смещения, Угол поворота поперечного сечения на расстоянии г
157
от торца есть z0, где 0 — относительный угол закручивания.
При упругой деформации 0 мал и постоянен по всей длине балки.
Тогда из рис. 8.3 следует, что х = г cos а и у = г sin а. Поэтому
6х= —г sin аба и by = г cos аба; следовательно, и = bx = —yba
и v = by = хба;
и = —yzQ и v = хгв. (8.2)
Считаем, что точка Р переходит в положение Р', перемещаясь
на величину w. Величина этого перемещения изменяется от точки
к точке, т. е. для разных точек рассматриваемого сечения она
пропорциональна 0:
w = ef(x, у). (8.3)
Функцию f (х, у) называют функцией искажения; w считают
независимым от г, так что свободное искажение происходит во
всех сечениях, в том числе и в торцовых.
Из (8.2), (8.3), (8.4) видно, что
(рад^’!г + ^Г==~ге + ге==0; (8.4)
1,2 дг' ду 1 ду
dw . ди п । Q df
(р,„ — —ч— Ч---ч— = —t/Q 4~ 0 —ч— •
2- дх дг 27 дх
Согласно закону Гука и (8.4)
Ох = оу = °г = Тад = 0;
Ъуг = G(fyz = G0 (х + ;
/ ап (8-5)
Try = Сфл-z = G0 (—у +
Дифференцируя и вычитая из второго уравнения (8.5) первое
для исключения функции искажения, получаем
= „2Ge. (8.6)
ду дх
Теперь условие равновесия касательных сил, действующих на
элемент вокруг точки Р в направлении z (рис. 8.4), запишется так:
^bxbybz-r^bybzbx=O
или
L д'схг _ Q (8.7)
ду 1 дх
158
Следующий шаг, менее знакомый инженерам, состоит в пред-
положении, что существует функция ф (х, у), с помощью которой
можно выразить касательные напряжения и удовлетворить урав-
нению равновесия (8.7), если
Тд:г ~ ~ду~ И ~~ дх~ ’
Уравнение (8.6) принимает вид
а21|: , й21|:
(8.8)
дх2 ~г ду2
или
(8-9)
= — 2G6.
Рис. 8.4. Напряжения в элементе вокруг
точки Р
Функцию гр называют функцией напряжений. Уравнение (8.9)
называют уравнением Пуассона, которое можно использовать
.для решения многих задач техники. Другое, более известное урав-
нение — уравнение Лапласа относится также к функции искаже-
ния. При дифференцирова-
нии (8.5) получим
= G6-f4-
дх ох1
и - •
ду ду2
Подставляя эти два урав-
нения в (8.7), имеем
Д- + -?^ = ^=0. (8.10)
дх2 1 ду2 1 v 7
Предположим, что граница
сечения' определяется точ-
ками (х, у) так, что х =
= х (s) и у = у (s), т. е. х
и у — различные функции
длины волокна поверхности
от некоторой определенной
точки. На рис. 8.5 пока-
зана часть сечения бруса, перпендикулярная оси: s увеличи-
вается с уменьшением х. Рассмотрим треугольный элемент
У поверхности, выделенный штриховкой. Касательные напря-
жения тгх и хгу действуют в элементарном треугольнике
площадью dA. Их сумма должна быть такой, чтобы не возникла
никакая результирующая сила, нормальная к ds, поскольку на .
искривленной поверхности бруса отсутствует нормальное напря-
жение. Таким образом, dAtzx sin 6 + dAxzy cos 6 = 0,
T e тзд _ dy/ds .
’ тгл dx/ds
(8.Н)
159
Подставим (8.8) в (8.11), -4^- -ф- — 0.
' ' - дх ds ' ду ds
Отсюда
или ф = const по границе поперечного сечения. Это справедливо
для любой свободной поверхности, например внешней и внутрен-
ней, полого цилиндра. Поскольку важны только первые произ-
водные, определяющие касательные напряжения, то гр обычно
считают равным нулю у поверхности.
Рис. 8.5. Граничные условия
Рис. 8.6. К вычислению крутящего
момента точки на сечении твердого
тела
Очевидно, крутящий момент на относительном угле закру-
чивания
Т - - (хтzy — цтгл) dA = — J j (х -j- у) dxdy —
== — $dy Jx dx — Jdx Jу ~-~-dy.
Если сечение сплошное, то, интегрируя уравнение по частям,
имеем
Т — — jdy £ х ф — jipdxp* — jdx — JipdyJ^4, (8.13)
где (хп у^, (х2, у£, (х3, у3), (х3, у4) —• точки на контуре сечения
(рис. 8.6).
Таким образом,
= 2 j j tydxdy,
А
поскольку на поверхности % = ф2 = ф3 = ф4 = 0, как перво-
начально предполагалось. Суммируя приведенные выше, резуль-
таты, отметим, что если можно определить функцию ф (х, у)>
160
которая равна нулю на поверхности и определяет форму вала,
подвергающегося кручению, и при вычислении Ф2ф оказывается
константой, то удовлетворяется уравнение \72ф + 2G0 = 0. Сле-
довательно, можно найти распределение касательных напряжений
по сечению, а также Т. Величина результирующего касательного
напряжения в точке равна \/ (-4^-) + (-уМ или grad ф.
8.1.3. Брус с эллиптическим поперечным
сечением
Для иллюстрации метода рассмотрим брус с эллиптическим
поперечным сечением, большая и малая оси которого равны 2п
и 2Ь соответственно. Для выбора функции ф, обращающейся
в нуль на контуре, воспользуемся уравнением эллипса в декарто-
/ Х^ 1р“ \
вых координатах т—2- -J- = 1. Выберем ф = т (— ---------1),
и и \ и и /
2т
где т — константа, подлежащая определению. Тогда
и ‘ Пользуясь (8.9), находим т = —
Крутящий момент определяем из формулы (8.14), в которую
подставлена функция ф:
Вычислим касательное напряжение в произвольной точке
сечения:
дф 2с2 „„
I, Их — Ge.v;
I T<" = + -a24-b2 GQx-,
Максимальные напряжения возникают у поверхности бруса,
11 Уравнение принимает вид
т = Уа2у2 (°2 -6‘2) +
±2G6a2i
ттах — т(/==6 + .
6
У. Джонсон
161
Пластические деформации появляются при достижении предела
текучести в точках, расположенных на пересечении боковой по-
верхности с малой полуосью эллипса. Заметим, что касательные
напряжения в любой точке прямой, проведенной из начала коор-
динат до точки на поверхности, действуют параллельно и совпа-
дают по направлению с касательной к поверхности в этой же
Рис. 8.7. Кручение бруса
с эллиптическим (а) по-
перечным сечением
(--------линии посто-
янного искажения при
сжатии части сечения,
--------при растяже-
нии), распределение ка-
сательных напряжений по
оси симметрии треуголь-
ного (б) поперечного се-
чения
точке, потому что т2Л./т<(/ = —у!х. Для круглого сечения (а — Ь)
получаем решение Кулона
"Gnax — Gfifl.
Для определения искривления сечения, возникающего при кру-
чении бруса, воспользуемся уравнением (8.5):
га! df \ 2а2
т,,. = ио (-----и I =------а" , G6w,
zv \ дх а
df 2as
откуда =
df а? — №
дх У"
й2__£2
После интегрирования f == —-2 ^2 - ху Д- С. При х = у == О
2__^2
f = 0 и, следовательно, С = 0. Таким образом, f =-------д2 ху.
Контурами искаженных сечений являются прямоугольные
гиперболы, асимптоты которых — оси эллипса (рис. 8.7, а).
В первом и третьем квадратах при положительном скручивании
против часовой стрелки элементы поперечного сечения сжаты,
а во втором и четвертом — растянуты.
8.1.4. Равносторонний треугольник
Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 2п
(рис. 8.7, б). Если функция напряжений выбрана в виде =
— т (]/Зх — а) (УЗх — Зу Д 2а) (УЗх Д Зу Д 2а), то в любой
точке периметра она будет обращаться в нуль (правая часть урав-
нения состоит из уравнений прямых линий, образующих треуголь-
162
ник в декартовых координатах). Можно утверждать, что =
= 18m(]/3 хф- а)', = 18m(а — ]/3 х). Следовательно, вы-
бранная функция ф удовлетворяет уравнению Пуассона, если
т = —G6/18a. Также
s» се» (хГз-_о);
zx ду а х '
Т дф __ КЗ G6 / 2 | 2д 2
2^”“ дх ~ 2а + /з J
п л л сеКз / . 2« \
при г/== О тгл==0 и Тг„ = —2^— (х + Ь-_
Распределение касательных напряжений относительно оси
симметрии балки указано на рис. 8.7, б. При х = ег]/3/3 тгг/
максимально, тг„ = aGQ J/3/2, при х = —2а ]/~3/3 тгг, = 0. Каса-
тельные напряжения в вершине треугольника равны нулю и
максимальны в середине каждой из трех сторон, т. е. в точках,
ближайших к оси балки. Легко показать, что в этом случае
Т = G6ai J/3/5.
8.1.5. Замечания к двум рассмотренным
выше примерам
Разбор последних двух примеров мог создать у читателя впе-
чатление, что подходящую функцию напряжений ф, удовлетворя-
ющую условию (8.9), всегда можно выбрать, используя уравнение
контура поперечного сечения. Например, для прямоугольного
поперечного сечения (рис. 8.8, а} мы должны бы считать, что
ф = т (х2 — п2) (у2 — Ь2)
(8.15)
есть подходящая функция напряжений. Однако при подстановке
ее в (8.9) невозможно определить константу т, и функция ф не
будет удовлетворять тождеству (8.9). Выбор ф для поперечных
сечений произвольной треугольной формы (рис. 8.8, б), произ-
водим так же, как для равностороннего треугольника. В этом
случае
ф — т(х — a) (сцх -|- Ьуу -|- сх) (а2х -|- Ь2у -|- с2).
(8.16)
163
6*
Используя это выражение, находим, что V2!)'1 постоянно и позво-
ляет определить отношения а1/Ь1 = —1/1^3 и а2/Ь2 = 1/1^3, кото-
рые, как мы видим, определяют ij\ описываемую выражением
(8.16), только для равностороннего треугольника.
24
y-a^y+Cf
Рис. 8.8. Кручение
брусьев с прямо-
угольным (а) и тре-
угольным (б) попе-
речными сечениями,
а также шпинделя с
круглой канавкой (в)
В)
8.1.6. Прямоугольное, и квадратное сечения
Для изучения поперечных сечений, отличных от приведенных
выше, используют, как правило, более сложные методы, чем те,
которые рассматривались рань-
ше. Некоторые из них описаны
в книге Ванга (1953 г.). Мы крат-
ко разберем важный; и интерес-
।
Рис. 8.9. Линии постоянного касатель-
ного напряжения в прямоугольном
сечении (4X3)
Рис. 8.10. Линии постоянного искаже-
ния квадратного поперечного сечения
(------сжатие, ------— растяжение)
164
ный пример из этой книги. На рис. 8.9 показаны линии постоянного
касательного напряжения в прямоугольном сечении 4x3.
На рис. 8.10 и 8.1 показаны положительные и отрицательные
искривления контура квадрата и прямоугольника 2 X 1. В первом
случае имеется четыре области положительного искривления,
во втором — две. Это различие в физическом поведении не такое,
как следовало бы ожидать.
Интересный теоретический результат получен Саусвеллом
(1954 г.) путем графического построения, согласно которому
возможно превращение четырех областей положительного искрив-
ления поперечного сечения в две. Показано, что это превращение
заканчивается для прямоугольника с соотношением сторон 1,42 X1.
Результаты получены Саусвеллом численным методом при реше-
нии (8.9).
8.1.7. Шпиндель с круглой канавкой
Этот случай представляет интерес для инженеров-конструкто-
ров. Рассмотрим функцию напряжений
ф = т (х2 -ф у2, — й2) [(х—а)2 -ф у2 — а2]/(х2-ф г/2), (8.17а)
где a, bum — постоянные.
Можно проверить, что ?2ф = 4т и, следовательно, (8.9)
удовлетворено при т = GQI2. Уравнение (8.17а) при ф = 0 опи-
сывает поверхность шпинделя с круглой шпоночной канавкой
(см. рис. 8.8, в). Наибольшее касательное напряжение возникает
в точке А (Ь, 0) на дне канавки, тА.г = dty/dy = 0; — —dty/dx =
= G6 (2ц — Ь). Заметим, что при Ыа -> 0, т. е. когда шпоночная
канавка становится бесконечно малой или даже просто осевой
царапиной, т = 2GQa. Напряжение в царапине на боковой по-
верхности шпинделя в 2 раза больше, чем на гладкой (без ца-
рапины).
Круглая выпуклость, показанная пунктирной линией на
рис. 8.8, в, должна бы в точке А' иметь касательное напряжение,
равное G (26а ф Ь).
Гораздо проще исследовать и показать что условие (8.17а)
удовлетворяет (8.9), если работа записана не в декартовых,
а в полярных координатах. В полярных координатах
2 h__ д2ф .1 <5ф . 1
V"5? — -^2“ ~Г — + ТГ ~d02~ •
(8.9а)
Заменяя в (8.17а) х на г cos 6; у на г sin 6 и упрощая, получим
ф == т (г2 — й2) (г — 2а cos 6)/г.
(8.176)
165
Таким образом,
dip ( 2гВ-\~А АВ \ .
дг ~ т\ г г2 ) ’
d2ip _ / 2В + 2г + 2г 2гВ +А 2АВ 2г.В А \ .
дг2 т \ г г2 г3 г2 г2 )’
1 dip __ / 2гВ +А АВ
г дг т \ г2 г3 ) ’
1 d2ip т Лп „
~ -~.г A2a cos 6;
г2 dQ2 г3
2 , d2ip . 1 dip . 1 d2ip .
V Ф = -=4 + —4- 4—г- ~^r — 4m.
v r Qrz 1 r dr 1 r2 d()2
8.1.8. Полуобратный метод решения задачи на кручение
по Сен-Венану
Теперь попробуем объяснить смысл названия полуобратного
метода решения задачи на кручение по Сен-Венану.
При проектировании и анализе инженерных конструкций
прямой подход используется в случае приложения нагрузки.
Зная ее для данной конструкции, мы рассчитываем напряжения,
перемещения и прогибы. Однако может случиться, что соблюдать
такой порядок работы станет невозможно из-за возникающих
трудностей при расчете. Иногда оказывается, что по той или иной
причине мы имеем (или легко можем получить) предварительное
решение задачи и затем, используя его, можем найти точное реше-
ние ее. В этом случае говорят об обратном методе решения.
Как уже указывалось, исследования процессов скручивания,
впервые описанные Сен-Венаном в классических мемуарах 1855 г.,
привели к развитию хорошо известного полуобратного метода.
Используем некоторые предположения о перемещениях в брусе
при кручении, описанные уравнениями (8.2) и (8.3). Например,
искривление (продольная деформация) поперечного сечения не
зависит от осевой координаты, внутренние силы в брусе отсут-
ствуют, сила, действующая на поверхности бруса, равна нулю.
Сен-Венан смог с помощью выражений для описания деформаций
в терминах перемещения, например, (8.4), (8.5), и уравнений рав-
новесия сформулировать определенное фундаментальное диффе-
ренциальное уравнение (8.9). Оно, при условии, что никакие
напряжения не действуют на поверхность, позволяет рассматри-
вать многочисленные случаи кручения призматических тел, име-
ющие практическое значение. Этот метод является полуобратным,
поскольку содержит элементы, обычно считающиеся искомыми
(например, перемещения), а введение ограничений на определен-
ные поверхностные напряжения (равенство их нулю) рассматри-
вается как первоначально сформулированное требование.
166
8.1.9. Способ подгонки
Мы уже отмечали, что решение задачи на упругое кручение
тел с различными поперечными сечениями требует применения
методов Рэлея—Ритца, Треффтца и Галеркина и многочисленных
числовых, например конечно-разностных (Тимошенко и Гудьера,
1951 г.). Достаточно простым и сравнительно новым методом яв-
ляется способ подгонки. Продемонстрируем его на двух примерах
Уравнение Пуассона (8.9), записанное в полярных коорди
натах гиб,
21 Р2Ф 1 дф
V — дг2 + г +
+4-SL==“2Ge<” <8-96)
где б0 — угол относитель-
ного скручивания бруса; его
не следует в данном случае
Рис. J8.ll. Кручение бруса с попереч-
ным сечением, образованным дугами,
проведенными из вершин равносторон-
него треугольника
путать с координатным уг-
лом 0. Общее решение урав-
нения (8.96)
ф =-------г2~Ь Ло Д (Zl„r"cosn0 ф- Btlr'4inn0). (8.18)
П=1, 2...
Этот ряд в конечной форме можно использовать для нахождения
распределения касательных напряжений в шпинделях с попереч-
ным сечением специальной формы. Рассмотрим сечение, которое
можно получить, если провести дуги радиусом 2а из вершины рав-
ностороннего треугольника (рис. 8.11, а).
При построении мы убедились в наличии трехосной симметрии
сечения, поэтому сохраняем в (8.18) член cos 30, т. е.
ф = г2 + /10 4- /13г3 cos 30. (8.19)
В том, что это выражение справедливо при кручении, легко убе-
диться с помощью дифференцирования и показав, что оно удо-
влетворяет (8.9). Поскольку ф должна обращаться в нуль на по-
верхности, начало координат выбираем в центре сечения. Убе-
димся, что контур поперечного сечения
_ Г2 Ло-4- Л3/-Зсо5 3е==0 (8.20)
пРоходит через точки 1 (середины сторон) и 2 (вершину сечения)
11а рис. 8.11, а. Определим Ао и А3. Предположим, что
167
конечное уравнение в полярных координатах достаточно точно
описывает контур рассмотренного сечения шпинделя. Для того
чтобы сечение проходило через точки с координатами (0,845а, 0)
и (1,155а, 60°), необходимо, чтобы До — O,444G6oa2 и As ==
= — O,144G0o/a.
Форма сечения, полученного при этих значениях Ао и Аа,
показана на рис. 8.11, б. Углы более закругленные, чем предпола-
галось. Наибольшее касательное напряжение в сечении возникает
в точке 1\
тгаах = —дф/5г = 1,15G0oa.
Этим же методом можно воспользоваться, чтобы найти удовлетво-
рительное решение для квадратного сечения, имеющего четырех-
осную симметрию. Предполагаем
+Л0 + Л4г4соз40 (8.21)
и делаем так, чтобы ф = 0 и контур проходил через середину
стороны квадрата при 0 = 0 и через диагональ при 6 = 45°.
Можно показать, что получаемая при этом форма контура опи-
сывается уравнением
ins 2 0,2г4 cos 40 п оо.
1,2a2 — г2------—-----= 0. (8.22)
Контур проходит через точки с координатами (а, 0) и (1,55а, 45°),
а не через точки (а, 0) и (1,51а, 45°). Способ подгонки имеет опре-
деленные ограничения, которые рассмотрены в работах Лейсса
и Бранна (1964 г.).
8.1.10. Скручивание полых цилиндров
Теперь кратко рассмотрим скручивание бруса с площадью
поперечного сечения А и площадью отверстия Аг (рис. 8.12, а).
По (8.13) можно записать
Т = — j dy [хф — j ф dx]*“ — j dy [хф — J ф dx]**, —
— f dx [f/ф — J ф dy]^ — J dx [г/ф — J ф dy]^, =
Xa
?= — J (хзфз — Хзфз) dy + j j Ф dx dy — j (х4ф4 — х^ф^) dy +
xi
xt Vt
+ J J tydxdy — j (^/1ф1 — y^)dx+ J J tydxdy —
l/t
— j (#гфг ~ y№) dx + j J Ф dx dy.
168
Но при этом надо помнить содержащееся в (8.12) условие if! ==
= ф2 = ф3 = ф4 = 0 и "фх + ф2 + Фз + Ф4 == Ф1- Таким образом,
4==ЧтМ6ь (8.23)
где 1а — площадь кольца, по которому берется интеграл
jjtydxdy; — площадь отверстия кольца; ф4— постоянное
значение функции напряжений на внутренней поверхности
т
(рис. 8.12, б). Уравнение (8.23) можно записать в виде -g- =
Рис. 8.12. К вычислению крутящего момента:
а — обозначение точек на контуре кольцеобразного сечения; б — площадь этого сечения
= и А + ФЛ + Л/) — Лт = Л) — hi, где 1й = j j ф dx dy; интеграл
берется по всему сечению, как если бы оно было сплошным;
IH — J j фdx dy; здесь интеграл берется по площади отверстия
с учетом ф = 0 на внутренней поверхности.
Используя (8.23) в случае скручивания бруса с эллиптическим
сечением и отверстием такой же формы, но вдвое меньшими осями,
получим
т
15я а3/?3
Тб~ "срАГр
8.1.11. Мембранная аналогия
На рис. 8.13 и 8.14 изображены виды сверху и сбоку мембраны,
испытывающей биаксиальное растяжение. Первоначально мем-
брана находится в плоскости (х, у). Предположим, что на нее
Действует небольшое давление р, которое заставляет мембрану
слегка прогибаться (z = 0) * так, что S — растяжение на еди-
ницу длины везде остается постоянным. Контур мембраны остается
в плоскости z = 0. Рассматривая равновесие такой мембраны
* В этом разделе г не стоит путать е осью шпинделя z.
160
и считая, что углы равны а и малы, получаем
+ —
ду
или
|-(S
дх \
p&xby =0. После упрощения
с d2z . с д2г . „
S-^r + S^r-r/^0
v22 = --|_.
(8.24)
Это уравнение Пуассона, оно идентично (8.9). В 1903 г. Прандтль
предложил использовать это сходство при решении задачи на кру-
Рис. 8.15. Объем под мембраной
чение по аналогии, когда if отождествляют с поперечным смеще-
нием точек мембраны 2, a 2GQ с p/S. Если контур мембраны та-
кой же, как сечения закручиваемого бруса, то ясно, что поверх-
ность мембраны, находящаяся в положении равновесия под дей-
ствием давления, определяет функцию напряжений для попереч-
ного сечения ьбруса. Объем V, ог-
раниченный мембраной и’ плоскостью
2=0, есть j j 2 dx dy (рис. 8.15),
что аналогично [ J ф dx dy, т. е. объ-
ем, заключенный между мембраной
и плоскостью 2 = 0, пропорциона-
лен крутящему моменту, который
вызывает относительный угол закру-
чивания бруса 0.
Познакомиться с приборами для
проведения экспериментальных ис-
следований с использованием мембрановой аналогии можно
в гл. 16 справочника по экспериментальным методам анализа
напряжений под редакцией М. Хетеньи.
Первые эксперименты по определению крутящего момента
с использованием мембранной аналогии были выполнены Антесом
в 1906 г. Он рассматривал мыльную пленку под давлением. Гриф-
170
фит и Тейлор разработали (1917 г.) аппаратуру, которая теперь
широко используется для опытов. Они устанавливали две мыльные
или резиновые пленки в крышке герметической коробки, в кото-
рой создавали такое давление, что одна пленка приобретала
шаровидную, а другая некоторую неизвестную форму, которую
надо было определить. Для этих пленок plS одинаково и соответ-
ствует 2G0, как и для двух скручиваемых брусьев. Отношение
необходимых крутящих моментов равно отношению объемов,
ограниченных мембранами и плоскостью г = 0. Пусть первона-
чальный объем под круглой мембраной является параболоидом
вращения и равен Уг. При увеличении давления объем под круглой
мембраной увеличится до V2 (параболический сегмент). Таким об-
разом, для того же значения 2G0
отношение крутящих моментов, при-
ложенных к рассматриваемым брусь-
ям, V1/(V2 - = /h/(h2 - hj,
где hr—первоначальный прогиб мем-
браны; /?2 — конечный.
Наклон мембраны к плоскости
г — 0 в любой точке связан с
|gradib|, и его можно определить,
пользуясь методом оптического от-
ражения.
Количественное определение на-
клона мембраны обычно достаточно
для нахождения точек сечения, в которых касательные напряжения
наибольшие. Используемые при этом методы можно проиллюстри-
ровать на примере кручения однородного шпинделя (рис. 8.16).
Согласно (8.24) плоская круглая мембрана, прикрепленная к круг-
лой рамке радиусом а и испытывающая поперечное давление р,
будет растягиваться, принимая форму сегмента параболоида. Сумма
проекций на вертикальную ось сил, действующих на мембрану,
рпг2 =—S-2nrdz/dr или дг/дг =—rp/2S, где S — сила на
единицу длины. Следовательно, z — —prN^S + С. Если г = 0
при г = а, то z = (а2 — г2) p/4S. Таким образом, -ф =
= (а2 — г2) G6/2.
Максимальное касательное напряжение в точке есть | grad чЬ |,
т. е. — dty/dr. Поэтому т = G0rrmax возникает при г — а; следо-
вательно, rmax = GOa.
Объем между плоскостью z — 0 и мембраной
Рис. 8.16. Кручение шпинделя
(мембранная аналогия)
j г dA = j (а2 — г2) 2лг dr =
А 0
Крутящий момент Т ( = 2V) = G0n«4/2 = GQJ, где J =—%-----
полярный момент инерции сечения относительно центральной
беи. Собирая эти результаты вместе, получаем хорошо известное
тройное соотношение
(8.1)
Далее метод иллюстрируется на примере кручения бруса
с прямоугольным сечением, ширина которого b значительно
больше толщины t (рис. 8.17).
Форма мембраны постоянна и не зависит от значений х везде,
кроме точек вблизи концов ВС и DA. Из условия равновесия
Рис. 8.17. Кручение тонкого бруса с прямоугольным сечением
элемента имеем 4х (—dzldy) S = р2х2у, поэтому dzldy = —yp!S\
z — —py2/2S + С. Поскольку z = 0 при у = t!2
и 4—се (4 “ •
Теперь т:гх = dty/dy = —2G()y; %уг = —dty'idx = 0; т2 = т2гх -ф,
поэтому | т | = -у- у = 2GQy. При у = ± t/2 т максимально и равно
GGi. Объем под мембраной
</2
А 0
Крутящий момент Т (~2V) = foCG9/3. Эти результаты можно
переписать в виде
Г _ <70____ "ttnax
М»/з — ыи — t
Обычно максимальное касательное напряжение действует в точке
на периметре, ближайшей к центральной оси бруса, но существуют
формы сечений, для которых это не так (Тимошенко, Гудьер,
1951 г.). При исследовании касательных напряжений тА.г и тш,
действующих на контур прямоугольника, определили, что одно
из них всегда равно нулю, поскольку нормальное напряжение
172
на каждой стороне или поверхности равно нулю; в каждом из
четырех углов они оба равны нулю. Таким образом, в каждом
углу прямоугольника, например в точке а (рис. 8.18, а), полное
касательное напряжение равно нулю. Это значит также, что
мембрана остается касательной к плоскости z — 0 в каждом из
углов. Этот вывод важен для аппроксимации вычислений, полу-
ченных при кручении тонкостенных открытых профилей (рис. 8.18).
Рис. 8.18. Т онкостенные открытые профили
Легко понять, что их можно рассматривать как составленные из
тонких прямоугольников. Фигура на рис. 8.18, б эквивалентна
двум прямоугольникам (&тх 4); (b.2x t.2). При скручивании этого
сечения Т = G0 (fr^/З + b2ly‘X). Искажением мембраны в месте
соединения двух частей сечения пренебрегаем. Было замечено,
что во внешних углах, обозначенных а, касательное напряжение
равно нулю, а во внутренних, обозначенных р, бесконечно велико,
Рис. 8.19. Линии постоянного касательного напряжения на сечениях J
т- е. в острых углах, подобных этим, появляется напряжение,
равное пределу текучести при любом крутящем моменте.
Возвращаясь к кручению бруса с эллиптическим поперечным
сечением, выражение для крутящего момента можно записать
с учетом обозначения площади поперечного сечения А (= лаЬ)
и полярного момента инерции сечения J — (г/2 + 62) яаЬА. Таким
образом, Т __ ~ А*
~G0"~~ 4n?J
173
Эта формула оказалась верной с точностью до 10% для сечений,
показанных на рис. ^.19. Их контуры есть линии постоянного
значения ф, касательная в любой точке на кривой указывает
направление касательного напряжения в этой точке. В углах,
обозначенных а, касательные напряжения равны нулю, а в середи-
Рнс. 8.20. Мембранная анало-
гия для кольца:
1 — оболочка; 2 — отверстие; 3 —-
мыльная пленка
нах сторон, обозначенных |3, макси-
мальны. В точке острого угла, ска-
жем в шпоночной канавке, материал
испытывает предел текучести.
Мембранная аналогия может
быть применена и для полых сече-
ний, изображенных на видах сверху
и сбоку (рис. 8.20).
Первый член правой части урав-
нения (8.23) определяет объем ци-
линдрической призмы под пластин
кой, площадь которой равна площади
отверстия, второй — весь объем под
пленкой. Таким образом, в процессе
эксперимента легкая жесткая пла-
стинка, имеющая форму отверстия, будет перемещаться вертикально
до тех пор, пока проекция свободно изогнутой поверхности мыльной
пленки под действием внутреннего давления не будет соответ-
ствовать поперечному сечению закручиваемого полого бруса.
Рис. 8.21. Механизм для перемеще-
ния пластинки:
1 — пластина; 2 —- противовес; 3 — мыль-
ная пленка
Рис. 8.22. Кручение квадратного тон-
костенного замкнутого профиля:
1 — профиль; 2 — пластина
Типичный механизм воздействия на перемещения пластинки
и превращения ее фактически в невесомую, т. е. для поддержания
которой не нужно воздушного давления, показан на рис. 8.21.
Этот метод может быть использован при определении крутя-
щего момента, необходимого для закручивания тонкостенной пря-
моугольной оболочки заданных размеров (рис. 8.22). Наклон
пленки считаем постоянным, поэтому касательное напряжение
постоянно по сечению. Если центральная пластинка поднимается
174
на d, to 2V = 2b1bsd. Ho x^ = d, x2t2 = d и рЬгЬ2 — 2S (bj^ +
4- b2/t2) d, поэтому T — 2b1b2x1t1 = 2bjb2x2t2 = 2t1t2blblGf)/(b1tz +
b^). Очевидно, теперь нам следует использовать приведенную
выше аналогию при рассмотрении коротких и толстых призм,
на сечениях которых симметрично расположены отверстия.
8.1.12. Другие, аналогии
Другие аналогии используются при исследовании упругого
кручения. Первая аналогия — гидродинамическая, которая осно-
вывается на том, что упругое кручение бруса с постоянным сече-
нием математически описывается теми же формулами, что и тече-
Рис. 8.23. Гидродинамическая
аналогическая (стрелкой пока-
зано вращение жидкости)
Рис. 8.24. Гидродинамическая
аналогия (небольшое эллипти-
ческое отверстие в шпинделе)
ние идеальной жидкости, имеющей постоянную угловую скорость
внутри трубы с таким же сечением. Скорость циркуляции жидкости
в точке соответствует касательному напряжению в точке закручен-
ного бруса.
Влияние отверстия на распределение напряжений при круче-
нии бруса соответствует возмущению, возникающему при поме-
щении в циркулирующую жидкость тела такой же формы. На
рис. 8.23 изображено маленькое отверстие в сечении шпинделя;
скорость в точках п равна нулю, в тючках т — двойная. Из-за
влияния этого отверстия обычное касательное напряжение в точ-
ках удваивается. В более общем случае, если отверстие в шпин-
деле эллиптической формы (рис. 8.24) и жидкость течет с единич-
ной скоростью слева направо, то в точке п скорость равна нулю,
а в точке т составляет (1 + alb). Таким образом, напряжение
в точке т увеличивается в (1 + alb) раз.
Вторая аналогия между цилиндрическим кручением и потен-
циалом плоского электрического поля. Она используется для
изучения концентрации напряжений на ребрах и в канавках.
Подробное рассмотрение различных экспериментальных ана-
логий, используемых для исследования кручения, а также цен-
ная библиография даны в работе Хиггинса^ (1944 г.).
175
8.2. ПЛАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
8.2.1. Пластические деформации в призматическом брусе
и песочная аналогия
Было показано, что | grad ф | обозначает полное касательное
напряжение в точке, а его физическая интерпретация — макси-
мальный наклон поверхности мембраны в точке. Если k — каса-
в)
Рис. 8.25. Поверхности постоянного наклона, указывающие па деформирова-
ние каждого сечения
тельное напряжение, соответствующее пределу текучести, то
при пластической деформации в точке | grad ф | = k, т. е. значе-
ние, которого может достичь градиент в точке, ограничено.
Как только градиент достигает этого предела, то при дальней-
шем увеличении крутящего момента происходит расширение
площади, на которой касательные напря-
жения достигают предела текучести. По-
стоянство градиента при мембранной
аналогии можно обеспечить установле-
нием поверхности постоянного наклона
над сечением бруса (рис. 8.25).
Легко представить, как мембрана, на-
ходящаяся под увеличивающимся давле-
нием, поднимается над плоскостью г = О,
сохраняя максимальный градиент на гра-
нице, и, достигнув критического угла на-
клона, при дальнейшем увеличении давле-
ния стремится увеличить контакт с вну-
тренней поверхностью крыши. При таком
подходе можно описать рост областей пла-
Рис. 8.26. Рост областей
пластичности (заштри-
хованы) при кручении
бруса с треугольным се-
чением
стического течения в результате увеличения угла закручивания
бруса. На рис. 8.26 около середин сторон равностороннего треуголь-
ника заштрихованы области, в которых началось пластическое те-
чение, т. е. области соприкосновения мембраны с установленной над
ней пирамидальной крышей. Развитие мембранной аналогии для
применения в задачах упругопластических деформаций было пред-
176
ложено Надаи (1923, 1950 гг.). Из нее становится ясно, что пласти-
ческие деформации обычно появляются вблизи поверхности и
распространяются внутрь, к центральной оси. Для области пла-
стических деформаций, расположенной вблизи внешней поверх-
ности бруса, касательные напряжения равны напряжению теку-
чести при сдвиге, чему соответствует постоянный наклон мем-
браны. Для области упругих деформаций, расположенной
в остальной части сечения бруса, касательные напряжения умень-
шаются от k (считаем материал идеальным пластическим) на
границе между этими областями до нуля на осн бруса; соответ-
ственно этому изменяется наклон мембраны. Заметим, что на
границе касательное напряжение непрерывно. Поэтому в области
пластических деформаций
в области упругих деформаций
(8.25)
Очевидно, что анализ упругопластического течения с помощью
мембранной аналогии требует большого труда. Если же кто-то
желает изучить идеальное пластическое течение во всем сечении,
то вычисления для определения необходимого в этом случае кру-
тящего момента значительно упрощаются, поскольку мембрана
соприкасается со всей крышей. Все сечение, вплоть до оси, охва-
чено пластическими деформациями (упругого ядра не остается).
Простой эффективный способ получения крыши постоянного
наклона — насыпать на пластину, имеющую форму сечения приз-
матического бруса, сухой песок (см. рис. 8.25). Таким образом,
сохраняется постоянный угол, образованный насыпанным песком.
Песочными аналогиями удобно пользоваться, когда сечение слиш-
ком сложное для математического описания. Этим методом мы
вычисляем крутящий момент, необходимый для пластического
деформирования всего сечения бруса формы: а) круга, б) рав-
ностороннего треугольника, в) прямоугольника.
Соответствующие песочные аналогии приведены на рис. 8.25;
кз них ясен смысл введенных обозначений:
а) круг радиусом п: наклон h/a = k, объем ~ na2h, крутящий
о
момент ( = 2Е) = -у na3k;
б) равносторонний треугольник со стороной 2а: наклон
= k, (8.26) крутящий момент 2ask/3;
В) прямоугольник а X Ь: наклон Л/(п/2) = k, объем
— a) ah/2 + 2 с2й/2^, крутящий момент a2k (3b — п)/6.
^Ри а — b крутящий момент равен a8k/3.
177
В отличие от вычислений объема с помощью песочной аналогии
крутящий момент вокруг центральной оси может быть найден
непосредственно измерением. Ребра на песочной аналогии указы-
вают на линии разрыва касательного напряжения, и, следова-
тельно, направление касательного напряжения, соответствующего
пределу текучести или напряжению текучести в каждой точке
сечения прямоугольного бруса (рис. 8.27). Таким образом,
^ = (8^00^(5^00^
Т {п а2 а . . а а . а? / b а\
где S; и Sл — площади соответствующих частей сечения. Поэтому
Т = аЧг (3b — а)/б.
Заметим, что при вычислении крутящего момента вытянутого
тонкого сечения (Ь > а) нельзя пренебрегать моментами касатель-
ных сил в боковых треугольниках,
заменяя их простым увеличением X!
на соответствующих половинах сече-
ния. Иначе крутящий момент, вызы-
вающий пластическое течение, умень-
шится более чем в 2 раза. Желание
не учитывать эти моменты может
появиться при использовании мем-
бранных и песочных аналогий, в ко-
торых объем над сечением вычисляют
по отношению к полной увеличен-
ной площади /. Вычисление объема
песочной горки над сложным сечением
можно заменить взвешиванием. Представим, что песок был насы-
пан на исследуемое сечение и его сила тяжести есть W. Сила тя-
жести песочной горки, покрывающей круг радиусом а, —WT.
Отношение крутящих моментов, вызывающих пластическое тече-
ние во всем сечении рассматриваемого шпинделя, равно отноше-
нию к W.
Если в сечении есть симметрично расположенные отверстия,
то песочную аналогию можно применить, засыпая песком цилиндр,
форма которого соответствует отверстию в пластинке. Легко
проверить, что для цилиндра с радиусом основания а, содержа-
щего концентрическое отверстие радиусом b (рис. 8.28),
у_________________ noth nb^h' _ п
— 3 3~ = ~3
поскольку & = -А- = А; т = - (о3 — Ь3). Эта формула по-
лучена с учетом высказанных ранее соображений. Следует отме-
тить, что в сечении скрученного бруса существуют физические
разрывы напряжений, соответствующие разрывам или ребрам на
поверхности песочной горки. Например, для равностороннего
178
ь
4 А
Рис. 8.27. Распределение каса-
тельных напряжений текучести
в прямоугольном сечении
k(a3 — b3).
треугольника (рис. 8.29, а) существует три области с одинаковым
направлением касательных напряжений и резким изменением их
направления вдоль линий GA, GB, GC. Для прямоугольника
существует пять таких линий АВ, АС и ВС, вдоль которых каса-
тельные напряжения резко изменяют свое направление (см.
рис. 8.27). У эллиптического поперечного сечения ребра или
Рис. 8.28. Песочная ана-
логия для круглого сече-
ния с концентрическим
отверстием
Рис. 8.29. Песочная аналогия для треугольного (а)
и эллиптического (б) сечений
разрывы имеют длину, меньшую, чем главные оси (рис. 8.29, б).
Ребро является отрезком нормали к эллипсу, длина которого
определена точками, расположенными на эллипсе и главной оси.
Три интересных примера приведены на рис; 8.30. Здесь пока-
заны брусья с трещинами. Их сечения полностью охвачены пла-
Рис. 8.30. Квадратный брус со щелью, расположенной посредине и перпенди-
кулярно к одной из сторон (а), круглый— с радиальной щелью (б) и прямо-
угольный— с большим прямоугольным (в) отверстием (половина сечения):
/ — щель; 2 — кратер; 3 — парабола
стическими деформациями при кручении. Ребра или линии раз-
рыва есть геометрическое место точек, равноудаленных от бли-
жайшей пары сторон; вокруг острых углов трещин образовались
Параболы, переходящие в прямые линии. Рассмотрим квадрат-
ный брус, имеющий щель или трещину, перпендикулярную к одной
Из сторон в ее середине. Ребра воронки состоят из:
179
й) прямой линии МВ, расположенной под углом 45° к щели MF;
б) параболы от точки В до точки С с фокусом F, вершиной
в середине MF и директрисой МА;
в) параболы от точки С до точки D с фокусом F, вершиной
в середине FG и директрисой AGH;
г) параболы от точки D до точки Е с фокусом F, вершиной
в середине FJ и директрисой КН.
Рис. 8.31. Кручение брусьев с различными поперечными сечениями и со ще-
лями (песочная аналогия):
а — на широкой стороне; б — на широких сторонах; в — вилкообразной на узкой сто-
роне; г — на круглом сечении (по данным Мак Клинтона)
Влияние щели на уменьшение способности бруса к кручению,
т. е. на создание воронки, вместо которой было бы возвышение,
сразу становится заметным.
На рис. 8.30, б дан вид сверху линий разрыва или ребер,
которые возникают при кручении круглого бруса, имеющего
радиальную щель длиной в половину радиуса, на рис. 8.30, в —
прямоугольный брус с прямоугольным отверстием.
На рис. 8.31 показаны модели песочных аналогий, соответ-
ствующие брусьям с прямоугольным и круглым поперечными
сечениями, которые содержат трещины и нагружены крутящими
моментами, вызывающими пластические деформации во всех сече-
ниях. Эти фотографии взяты из книги Мак Клинтона (1956 г.),
в которой он успешно применил песочную аналогию.для описания
180
роста трещин усталости в шпинделях из идеального пластического
материала, подвергающих крручению, и распределения дефор-
маций вокруг трещины.
Песочные аналогии имеют ограниченное применение, поскольку:
а) реальные металлы всегда немного упрочняются, поэтому
ни одно сечение не может быть полностью охвачено пластическими
деформациями;
б) поперечные сечения брусьев изменяют свою форму задолго
до того, как пластические деформации распространяться по всему
сечению, т. е. имеются как упругие, так и пластические, дефор-
мации; этими изменениями формы внешней границы поперечного
сечения нельзя пренебрегать;
в) из-за вторичных эффектов изменяется длина закрученного
шпинделя (Олшак, 1965 г., Кьяра, 1967 г. и Ронаи, 1968 г.).
Из-за отсутствия лучшего метода, несмотря на эти ограниче-
ния, песочные, аналогии используют. По крайней мере с их по-
мощью можно количественно оценить поведение металлов при
пл астическом кручении.
8.2.2. Разгрузка полых брусьев в условиях монотонного
упругопластического кручения
Кручение длинного полого бруса из идеального упругопласти-
ческого материала хорошо изучено, но аналитическое решение
является удовлетворительным только для кольцевого сечения.
Некоторые авторы предложили решения с помощью численных
методов для сечений, различных форм. В работе Хераковича
и Ходжа (1968 г.) был отмечен необычный и даже удивительный
результат. Они числовым методом показали, что в некоторых
полых цилиндрах развивается инородная пластическая область
вблизи внутреннего контура сечения при монотонно увеличива-
ющемся крутящем моменте, при этом для некоторых значений
угла закручивания происходит упругое разгружение с последу-
ющим увеличением угла закручивания. Последующее кручение
приводит вновь к пластическому течению. Для жестких сечений
этого не наблюдается.
8.2.3. Упругопластическое кручение с учетом упрочнения
Мендельсон (1968 г.) применил численный метод для анализа
Упругопластического кручения призматических брусьев с дефор-
мационным упрочнением. Он представил результаты вычислений
Для прямоугольного поперечного сечения с линейным упрочнением.
8.3. ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛАСТИЧЕСКИ
СКРУЧЕННЫХ БРУСЬЯХ
8.3.1. Шпиндели
Пусть +Д — крутящий момент, под действием которого
в° внешних слоях полого цилиндра с внутренним и внешним радиу-
сами b и а соответственно появились первые признаки пластиче-
181
ской деформаций т = k. Считая b/а = с, имеем Тг =
= -^~ ask (1 — с4), где k — напряжение текучести при сдвиге.
После приложения момента +Т2 во всем сечении шпинделя
появляются пластические деформации. Полагаем материал шпин-
2
деля не упрочняемым; тогда Т2 = -у (1—с3). Крутящий
момент +7, при котором напряжение текучести приближается
к области радиусом р (рис. 8.32, в),
Соответствующий относительный угол закручивания О = —.
Рис. 8.32. Распределение
касательных напряжений
в полом шпинделе (g) при
нагружении (а, б, в) и
разгружении (г)
Эти три случая показаны на рис. 8.32, а, б, в. Теперь рассмотрим
упругое закручивание моментом —Т, который действует на
шпиндель, компенсируя +Т, и полностью разгружает шпиндель.
Тогда------ = = GO.
Таким образом —Т вызывает распределение напряжений,
суммируя, которые с первоначальными, получим распределение
остаточных касательных напряжений (рис. 8.32, г).
Распределение остаточных касательных напряжений в полом
шпинделе, в котором пластические деформации распространились
на глубину (й — р), описывается выражением
при р С г с а
(8.27а)
182
Тг , ( k ik Г , 1 / p \3
T J~ + qi ~~ r fp ~ Зс (1 — r*) L 1 ~ T \~a / ~
(8.276)
При b < r < p qr — положительное значение первоначального
касательного напряжения при упругом деформировании, соответ-
ствующего первоначальному крутящему моменту +71.
Из (8.27) видно, что остаточные напряжения отрицательны
во внешней части сечения и положительны во внутренней.
Если 60 — относительный угол закручивания (=&/Gp) при
действительном моменте +71, то относительный угол при раз-
грузке 6'0 определяется из условия
тЦпсе^О-?);
Таким образом, остаточный относительный угол закручивания
8.3.2. Равносторонний треугольник
Рассмотрим жесткий брус, сечение которого — равносторонний
треугольник, нагруженный крутящим моментом -рТ2. Пластиче-
скими деформациями охвачено все сечение.
Тогда из (8.26) ~1-Т2 = 2ask/3. Если 6 — относительный угол
закручивания при разгрузке (упругой), то —Т2 = СОаУ'З/б.
Следовательно,
В — 2иЧ: 5 _ 10/з k
~ 3 a4K3G ~ 9Ga
Распределение напряжений после приложения момента —Т2
описывается выражениями
10 /3 k ( , r-p- \.
Trz ' дй2 У V ^/ ’
si 5k ( q , 2с 2\
В ( % “F —"г—“X ti j«
За2 у ‘ |/гз )
I 183
Но сечение находится полностью в пластическом состоянии при
= О И хгу = k. Следовательно, распределение остаточных
напряжений описывается уравнениями
ioK3fe / ,/-5- х.
Чг д^2 У г ° *-О *
= k[ 1 ~ i- (л" + х - Н) • (8-29)
Такое распределение симметрично относительно трех биссектрис
углов равностороннего треугольника при наличии разрывов
вдоль этих биссектрис (см. рис. 8.29, а).
Рис. 8.33. Пластическое
нагружение и раз груже-
ние шпинделя:
1 — песочная горка; 2 —•
мыль Ff а я пленка
Определение картин остаточных напря-
жений и относительных углов закручива-
ния шпинделя не следует ограничивать
только идеальными упругопластическими
материалами. Пользуясь методами, опи-
санными в гл. 6, можно проводить ана-
лиз кручения и для упрочняемых мате-
риалов.
8.3.3. Использование песочной
и мембранной аналогии
Чтобы определить распределение оста-
точных напряжений, можно одновременно
пользоваться песочной и мембранной ана-
логиями. Рассмотрим, например, шпиндель, в котором возникли
пластические деформации. Функция напряжений песочной ана-
логии — правильный круглый конус. Если разгрузка полностью
упругая, то ее можно представить, используя мембранную ана-
логию. Объем под мембраной равен объему конуса, поскольку
нагружающий и разгружающий моменты кручения равны. Это
изображено на рис. 8.33. Максимальный наклон песочной горки
в точке на расстоянии г от центра есть тр, а наклон мембраны
пропорционален напряжению при разгрузке, скажем те. Следо-
вательно, (тс — тр) есть мера остаточных напряжений на окруж-
ности радиусом г. Однако эта разность не должна превышать
градиента песочной горки, т. е. \те — тР\ < тр. Это ограниче-
ние означает, что остаточное напряжение не может превышать
напряжения текучести при сдвиге для данного материала. Из рас-
сматриваемого примера ясно, что:
а) поскольку мембрана параллельна осевой линии (нулевое
упругое напряжение), то на оси поперечного сечения остаточное
напряжение положительно и равно k\ остаточное напряжение,
хотя и положительно, уменьшается с увеличением г до точки Р>
б) в точке Р, где касательная к мембране совпадает с касатель-
ной к песочной горке, остаточное напряжение равно нулю; даль-
нейшее увеличение г приводит к появлению отрицательных оста-
184
точных напряжений, которые достигают максимума на боковой
поверхности;
в) до тех пор, пока градиент мембраны на поверхности, tg 0 <
< 2тр, разгрузка не будет полностью упругой; остаточные каса-
тельные напряжения во внешних слоях задаются уравнением
(8.27а):
tft/k = 1 —- 4г/3а;
при г — a xr/k =--------------;
О
(8.30)
Рис. 8734.. Нагружение,
разгружение и вторичное
нагружение шпинделя:
1 — первая песочная горка
высотой k; 2 — вторая пе-
сочная горка высотой 2k',
3 — мембрана, характери-
зующая напряжение при
пластическом деформиро-
вании
наклон мембраны на внешнем контуре меньше, чем соот-
ветствующий удвоенный градиент песочной горки;
г) эту аналогию можно продолжить;
если после разгрузки приложить отри-
цательный крутящий момент, то угол за-
кручивания будет увеличиваться до тех
пор, пока внешняя часть мембраны не до-
стигнет второй крыши, определяемой вто-
рой песочной горкой, наклон которой
вдвое больше, чем первой; когда это про-
изойдет снова наступит текучесть, но
напряжение будет противоположно тому,
которое было в первом случае. Объем, ог-
раниченный этой мембраной, есть сумма
двух объемов, один — от угла закручи-
вания при разгрузке, второй — от после-
дующего отрицательного угла закручи-
вания (рис. 8.34).
Легко понять, как эти две аналогии
используются при рассмотрении, скажем,
разгрузки и нагрузки шпинделя моментом
обратного знака. Поперечное сечение бруса — равносторонний
треугольник. Пластические деформации распространены по всему
сечению. Определение остаточных напряжений не столь просто,
как для шпинделя, так как в некоторых точках сечения распреде-
ление остаточных напряжений будет определяться вектором раз-
ности максимальных градиентов мембраны и песочной горки,
который расположен не в радиальной плоскости.
8.4. УПРУГОЕ УКОРОЧЕНИЕ БРУСЬЕВ ПРИ КРУЧЕНИИ
В этом разделе мы рассмотрим ожидаемое изменение длины
бруса при кручении. На примере анализа упругого кручения пока-
зан подход к решению этой задачи, высказаны связанные с ним
идеи; упругий анализ приведен для лучшего понимания методики.
Если брус с круглым поперечным сечением закручивается па-
Рой сил, приложенных к его концам, в плоскости, нормальной
к его оси, то классически, для небольших относительных углов
18Б
закручивания, образующие линии не растягиваются, и расстояние
между определенными сечениями остается без изменения. Чем
больше относительный угол закручивания, тем менее справедливо
сделанное предположение. На самом деле расстояние между
поперечными сечениями уменьшается с ростом относительного
угла закручивания. Наклон волокон данного слоя к оси бруса
прямо пропорционален расстоянию до этой оси (которая всегда
остается прямой), так что волокна внешних слоев будут умень-
шаться быстрее. Поскольку деформации волокон внешних и вну-
тренних слоев зависимы друг от друга, то волокна внешних
слоев будут растягиваться, а внутренние сжиматься.
Если расстояние между двумя сечениями I, и одно из них
повернуто по отношению к другому на угол 6 вокруг оси, то длина
волокна, находящегося на расстоянии г от оси, увеличится и
станет I 4-dl при условии, что осевое расстояние между краями
сечений не изменилось. Имеем -у~ = 1 + ^у-)2 — Ь Де"
, dl 1 z262
формация растяжения е = -у- =
Определяем напряжения растяжения:
с dl Е г^2
Поскольку длина бруса в целом уменьшилась, мы можем пред-
положить, что во всех слоях произошла одна и та же деформация
сжатия ес, так что результирующая осевая деформация каждого
слоя есть (е — се). Результирующая нормальная сила, действу-
ющая на любое сечение бруса, всегда равна нулю, поэтому
j Е[(е — ес) dA = 0 или есА = j edA;
e^-^-pdA. (8.31)
А
Таким образом, для бруса с круглым'поперечным сечением
радиусом 7?
Осевое напряжение ог, меняющееся от слоя к слою скручиваемого
бруса,
Е (е - ес) = ог = (г2 - . (8.33)
Положение нейтрального слоя, для которого ог = 0, описывается
выражением rn = R /]/2. При кручении жесткого бруса с круглым
поперечным сечением без изменения длины требуется приложить
186
дополнительный крутящий момент АТ и Т = JGQH\ при неболь-
ших углах закручивания
АТ = J (о dA) г sin <р = j ts2nrdr г =
н
£08л г в . л£6 р / 0 \з
= J гв dr = -g- £ • (8.34)
О
Заметим, что
_ (л7?е/6) Е (Q/iy _ 2_ ™ /_0Х2
Т — (л£4/2) G (0//) “ 3
Для металлических брусьев, в отличие от резиновых, АТ обычно
мала, поскольку 0// мало. В более общем виде растяжение, одно-
родно распределенное по всему поперечному сечению, влияет на
углы закручивания бруса и вызывает дополнительное сопротивле-
ние кручению. Для закручивания на угол 0 бруса с круглым
поперечным сечением, который не испытывает аксиальной на-
грузки, требуется дополнительный крутящий момент АТ'.
Используя (8.33), получим
О
Результат, установленный при
сечением, можно использовать
с сечением произвольной формы
с прямоугольным сечением
рассмотрении бруса с круглым
и для призматических брусьев
Легко показать, что для брусьев
_ 1 / 0 \2 _
вс “ 2 V I ) 12 ’
= [(&2+ /т2)/12]2;
(8.36)
(8.37)
(8.38)
АТ == -1 Е
(4ПгМЛ-3-±3У10/1363 £(4)3; <8-39)
А
А7'=4е(|)3Р(г’.
2 X I 1 J \ 12 / 360 \ I /
А
(8.40)
Отметим, что для этих брусьев максимальные вторичные нор-
мальные напряжения возникают в углах сечения и являются ква-
дратными функциями 0.
187
8.5. ПЛАСТИЧЕСКОЕ СТЕСНЕННОЕ КРУЧЕНИЕ
ТОНКОСТЕННЫХ ОТКРЫТЫХ ПРОФИЛЕЙ
Во всех рассмотренных выше случаях считали что поперечное
сечение не искажалось. Но в инженерных конструкциях концы
тонкостенного профиля, испытывающего кручение, могут быть
зажаты соседними элементами. Из опыта известно, что оценки,
полученные с помощью песочной аналогии для пластического
стесненного кручения тонкостенных профилей, слишком низкие.
Многие исследователи рассматривали этот вопрос, и было уста-
новлено, что все предложенные теории имеют тенденцию занижать
экспериментально определенные величины (Динно, Гилл, 1964 г).
Рис. 8.35. Кручение бруса с двутавровым сечением
Выражение для крутящего момента, вызывающего пластиче-
ские деформации во всем сечении при стесненных условиях,
Т = TN + Mph/l, (8.41)
где TN — крутящий момент, определенный с помощью песочной
аналогии; МР — полный изгибающий пластический момент одной
полки двутавра вокруг оси Ox- h —• расстояние между центрами
полок тонкостенного двутаврового профиля; I — длина бруса.
При этом предполагалось, что крутящий момент, приложенный
к свободному концу кронштейна тонкостенного профиля, есть
сумма:
а) крутящих моментов TN, определенных с помощью песочной
аналогии (рис. 8.35, в), и б) крутящего момента, возникающего
в результате изгиба. Соответствующее распределение касательных
напряжений показано на рис. 8.35, г. Предполагается, что резуль-
тирующая сила, действующая в каждой полке, вызывает появ-
ление пластического шарнира на закрепленном торце. Выражение
(8.41) было предложено Динно и Мерчантом (1965 г.) для опреде-
ления верхней границы Т, хотя о нем уже упоминал Боултон
(1962 г.).
Кронштейн, один конец которого жестко закреплен, а второй
свободен, показан на рис. 8.35 в недеформированном (а) и деформи-
рованном (б) состояниях. Если пренебречь влиянием стены, каж-
188
дая касательная сила, проходящая через полку, считается доста-
точной, чтобы во всем сечении при х = 0 полки двутавра дефор-
мации были пластическими. Следовательно, QI = МР, где МР —
= Yb2t/A. Таким образом, Т = TN -ф MPhll. Метод песочной
аналогии можно применять для определения крутящего момента
длинного шпинделя, один конец которого закреплен, поскольку
Т TN, при I оо.
Аугусти (1966 г.) доказал справедливость приведенного выше
выражения для идеального пластического материала. Упрочнение
материала существенно затрудняет анализ экспериментальных
результатов. Крутящий момент шпинделя также увеличивается
при проявлении спирального эффекта (этим эффектом изменения
геометрии в общепринятых теоретических исследованиях пре-
небрегают). Волокна бруса при кручении приобретают форму
спирали, что сопровождается появлением вдоль них нормальных
напряжений. Эти напряжения, нормальные к оси бруса, вызы-
вают кручение, которое по оценкам достигает 7% от определяе-
мого с помощью песчаной аналогии.
Более общие результаты по этому вопросу можно найти в ра-
боте Аугусти (1968 г.). Статья Динно и Гилла особенно ценна при
рассмотрении проблемы в целом. Об этом упоминалось в под-
разделе 8.4. Экспериментальное исследование пластической потери
устойчивости структурных элементов сечения при одновременном
изгибе и кручении рассматривается в работе Гилла и Бухера
(1964 г.). (См. задачи 31—35).
ЛИТЕРАТУРА
Augusti, G. 1966 «Full Plastic Torque of I—Beams» Int. J. mech. Sci. 8, 641
Boulton, N. S. 1968 «On the Limit Analysis of I—Beams with Warping Restraint» Engineering Plasticity C. U. P., p. 41 «Plastic Bending and Twisting of an I—Beam» Int. J. mech. Sci. 4, 491
1962
Dinno, К. S., Gill, S. S. 1964 «The Plastic Torsion of I—Sections with Warping Restraint» Int. J. mech. Sci. 6, 127
Dinno, K. S., Merchant, W. 196Б «А Procedure for Calculating the Plastic Collapse of I—Sections Under Bending and Torsion» Struct. Engtig 43, 219
Gill, S. S„ Boucher, J. K. G. 1964 «An Experimental Investigation of Plastic Col- lapse of Structural Members Under Combined Bending and Torsion» Struct. Engng. December
Griffith, A. A., Taylor, G. I. 1917 «The Use of Soap Films in Solving Torsion Pro- blems» Proc. Instn mech. Engrs. Oct.—Dec
Herakovich, С. T., H°dge, P. G. 1969 «Elastic—Plastic Torsion of Hollow Bars by Quadratic Programming» Int. J. mech. Sci. 11, 53
netenyi, M. (ed). 1950 Handbook of Experimental Stress Analysis Wiley, New York
189
Higgins, T. J. 1944 «Analogic Experimental Methods in Stress Ana-
Kjar, A. R. 1967 lysis as Exemplified by Saint—Venant’s Tor- sion Problem» Soc. for expl Stress Analysis 2, 17 «The Axis of Distorsion»
Leissa, A. W., 1964 Int. J. mech. Sci. 9, 873 «On the Torsion of Bare having Symmetry Axes»
Brann, J. H. Men del son, A. 1968 Int. J. mech. Sci. 6, 45 Plasticity: Theory and Applications (Chapter II)
McClintock, F. A. 1956 Macmillan, New York «The Growth of Fatigue Cracks Under Plastic
Nadai, A. 1923 Torsion» Conf, on Fatigue of Metals, Instn of mech. Engrs, Session 6, Paper 6 «Der Beginn des Fliessvorganges in einem tor-
Nadai, A. 1950 tierten Stab» Z. angew. Math. Mechanik 3, 442 Theory of Flow and Fracture of Solids
Navier, M. 1864 Vol. I, McGraw-Hill, New York ('Resume des lecons stir Г application de la meca-
Olszak, W. 1965 nique», 3rd edn, Paris, edited by Saint—Venant «On Anisotropic Twisted Bars»
Prager, W., 1951 Acta techn. hung. 50, 263 Theory of Perfectly Plastic Solids
Hodge, P. G. Prandtl, L. 1903 Wiley, New York «Zur Torsion von prismatischen Staeben»
Ronay, M. 1968 Phy si k Z 4, 758 «Second Order Elongation of Metal Tubes in Cycle
Saint—Venant, B. 1855 Torsion» Int. J. Solids Structures, 4, 509 «Memoire sur la torsion des prismes»
Southwell, R. 1954 Mem. pres, par div. sav. a 1’Ac. Sci., Sci. math, et phys. 14, 233 «Relaxation Methods: A Retrospect»
Timoshenko, S. 1953 Proc. Instn mech. Engrs 168, 7 A History of Strength of Materials
Timoshenko, S., 1951 McGraw-Hill, N. Y. Theory of Elasticity
Goodier, J. N. Todhunter, I., 1886 McGraw—Hill, London A History of the Elasticity and Strength of Ma-
Pearson, K- Wang, С. T. 1953 terials Applied Elasticity McGraw—Hill, New York
Глава 9
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ
СФЕРИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СОСУДОВ
9.1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе мы рассмотрим толстостенные сферические со-
суды и цилиндры под действием внутреннего давления и в усло-
виях стационарного термического состояния, а также вращаю-
щиеся диски и диски в условиях стационарного термического со-
стояния. Методика теоретических исследований является обще-
принятой.
Проектирование толстостенных сферических и цилиндрических
емкостей, предназначенных для хранения жидкостей под высоким
давлением или использования в качестве испытательных камер,
становится все более сложным, так как необходимо учитывать
воздействие высоких температур и температурных градиентов.
Использование очень высоких температур и давлений, например,
в химической промышленности привело к новым положениям при
проектировании контейнеров. Многие задачи промышленного про-
ектирования, связанные с температурой и давлением, легко ре-
шаются при условии, что все возникающие результирующие на-
пряжения в каждой точке вызывают упругие деформации. Это
упрощает решение, поскольку при упругом деформировании ре-
зультирующее напряжение есть алгебраическая сумма напряже-
нии, вызванных в результате действия температуры и давления.
Мы рассмотрим только симметричное нагружение. Сначала иссле-
дуем распределение напряжений при упругом деформировании,
затем несколько случаев распределения при упругопластическом
и, наконец, только при пластическом деформировании. Будет по-
казано, что появление пластических деформаций приводит к услож-
нению математических выкладок. Анализ становится все более
неточным также из-за проявления ползучести металла при повы-
шении температуры.
Более сложные задачи, в частности касающиеся определения
еформаций и перемещений, полностью здесь не рассматриваются,
о даны ссылки на оригинальные работы, в которых обсуждаются
и проблемы, если они, конечно, вообще обсуждались. Будет по-
ЧТ° сУЩествУет много все еще не решенных проблем.
Определение напряжений, возникающих в стенках сосуда, на-
одящегося под давлением, упрощено. За полным и более подроб-
191
Рис. 9.1. Зависимость а от
G, полученная эксперимен-
тально Росенфилдом и Авер-
бахом (стрелкой указывается
наступление предела теку -
чести)
ным обсуждением читателю стоит обратиться к ссылкам, приве-
денным в конце главы. Чтобы создать более законченную картину,
будет дан анализ упругого и пластического состояний.
Очень полезны книги Болея, Винера (1960 г.) и Новацкого
(1965 г.), так как в них главным образом рассмотрены термические
напряжения.
Прежде всего следует упомянуть о явлении переноса теплоты.
Будем предполагать, что коэффициент теплопроводимости k, коэф-
фициент линейного термического расширения а и другие физиче-
ские константы такие, как модуль
Юнга Е и отношение Пуассона v, не
зависят от температуры. Можно пока-
зать, что температура любого элемента
тела при упругом деформировании, со-
гласно первому и второму закону тер-
модинамики, описывается следующим
уравнением теплопереноса (Байот,
1958 г.):
а2о Р2е а2е _ рс эе гр де
дх2 ‘ ду2 ‘ dz2 k dt * k dt ’
(9-1)
где 0 — температура в точке тела
с координатами х, у, г; t — время;
k/pc — коэффициент термической диффузии; |3 — константа мате-
риала; 8 = е,хх -|- е,Уу -ф- 822 — относительное изменение объема (дила-
тация); Т' — абсолютная температура тела. Строго говоря, вто-
рой член в правой части (9.1) следовало бы учитывать во всех
задачах, связанных с переносом теплоты. Как правило, в инженер-
ных задачах эта величина достаточно мала, и ей можно пренебречь.
Во всех рассмотренных ниже случаях поток теплоты будет по-
стоянным, и, следовательно, правая часть уравнения (9.1) равна
нулю. Все градиенты температуры только радиальные. Росен-
филд и Авербах (1956 г.) показали, что а зависит от напряжения.
При нагружении растяжением до напряжения текучести а для
стали увеличивается на 10% по сравнению с ненагруженным со-
стоянием. Обычная форма зависимости а от напряжения растяже-
ния а показана на рис. 9.1. Легко показать, что da!da при дан-
ной Т в случае упругого деформирования равно (dE/dT) Е2.
9.2. ТОЛСТОСТЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
9.2.1. Распределение напряжений при упругом деформировании.
Влияние постоянного температурного градиента
Исследовать распределение упругих напряжений мы будем по
методу, предложенному Тимошенко и Гудьером (1951 г.).
Пусть в начальном ненагруженном состоянии внутренний ра-
диус сферы равен а, а внешний Ь. Напряжение действует на малый
192
элемент сферы, находящийся на расстоянии г от центра (рис. 9.2).
Уравнения равновесия сил в радиальном направлении в этом эле-
менте имеют вид
2oer dr dQdQ = d (err2 dQ dQ);
dor/dr = 2 (oe — or)/r. (9.2)
Полная упругая деформация в точке есть сумма деформаций, вы-
зываемых действием напряжения
радиальная ег и тангенциальная
формации
ge=£e-vgf.+ ae2+аГ>
где a — линейный коэффициент терми-
ческого расширения.
Следовательно,
Е г । »
°0 (1 + v) (1 — 2v) ^0 + V£r
— (l+v)aT];
Е гл т ।
°r (1 +v) (1 — 2v) К1 v)er +
4-2vee — (1 + v) аТ\.
и изменением Т. Таким образом,
ее де-
Рис. 9.2. Напряжение, дей-
ствующее на элемент сфери-
ческой оболочки, находя-
щейся на расстоянии г от
центра
Подставляя эти последние выражения в уравнение равновесия
(9.2) и замечая, что
er = du./dr; ев = и/г, (9.5)
где и — малое радиальное перемещение точки, находящейся на
расстоянии г от центра, после упрощения получим уравнение
й2и j 2 du 2ы / 1 + v \ dT
~d^~ + Т "dr г2 “ \T-=V / “ ~dT ’
которое после интегрирования принимает вид
«=(4=v) JTr*dr+Cir+ть
а
(9.6)
где Сх и С2 — постоянные интегрирования.
Подставляя выражение для и из (9.6) в (9.5), а полученные при
этом выражения для ег и ев в (9.4), находим, что
& г
— г3~а3— f Tfidr-----------------------— f Tr?dr •
(I—v) (b3 — a3)r3 J lr ur r3 J 1Г ur ’
a a -
b r
. .2a£__ ____2f3 + <Z3__ f y, 2 .___1_ Г у, 2 ____T_
(1 — v) 2 (b3 — a3) r3 J ' 2r3 J 2
L д a
7 У. Джонсон
(9-7)
193
Предполагая, что температура на внутренней поверхности
сферы г = а равна 1\, а не внешней, где г — Ь, равна нулю,
можно получить выражение, описывающее распределение тем-
пературы в стенке сферы, которое является постоянным:
Tja i Ь_
(Ь~а) \ г
(9-8)
После его подстановки в (9.7) получаем
aET; ab Г , , Ь2 а
(У = -------,---— I a -I- Ъ---!—
1 — v Ь3 — а3
aET i ab
^6 1 — v Ь3 — а3
г г-' J
b3 + ab + а2 а262 1
27 2Т*~ J •
(9-9)
9.2.2. Распределение напряжений при упругом
деформировании под действием внутреннего давления
Из приведенного выше анализа следует, что уравнения (9.2),
(9.3), (9.4), (9.5) справедливы, если Т = 0 при всех г; тогда и—
= Ср- ф- Сфг\ Следовательно, ег = Сх — 2С2/г3; ее = Сх ф-
ф- 2Са/г3. Поэтому
сг = А------
(9.10)
аг= 0, то легко пока-
где А и В — постоянные, определяемые из граничных условий
для напряжения или заданного давления.
Если при г = a Gr = —р и при г = b
зать, что
ра3 (Ь3 — г3)
°Г ~~ Г3(а3 — Ь:>) ’
_ pa3(2r3 + bs)
°° ~~ 2г3 (Ь3 — а3) '
(9.П)
под действием
9.2.3. Распределение напряжений
внутреннего давления и постоянного
градиента температуры
до появления пластических деформаций
Выражения для аг и <j0 в этом примере есть сумма напряжений,
возникающих под действием температуры и давления. Обозначим
аЕТ</(1 — v) через (3, b/a через т и r/а через R. Тогда
ог/[3 = [m3 (I — р/(3) — mR2 (т2 ф- т ф- 1) ф-
ф- R? (р/|3 ф- т2 ф- m)]/T'3 (m3 — 1);
се/р == [ms (р/|3 — 1) — тР2 (т2 ф- т ф- 1) ф-
ф- 2RS (p/р ф- т2 ф- т)]/2/Ф (m3 - 1).
194
Обозначим через хг максимальное касательное напряжение
в точке, находящейся на расстоянии г от центра.
т/Р = (ое — <Jr)/2p = [3m3 (p/р— 1) +
+ m₽a(m2 + tn + l)]/4/?3(ms — 1). (9.13)
В частности,
то/р = m[3m2(p/|3— 1) + m2 + m-[- l]/4(m3 — 1); (9.14)
wp = [3 (p/P — 1) + m2 4-m + l]/4(ms — 1). (9.15)
Напряжение текучести наступает в точке, где хг достигает
своего абсолютного максимального значения независимо от того,
выбрали критерий Треска или Мизеса, В зависимости от выбран-
Рис. 9.3. График для определения начала
пластического течения или максималь-
ного напряжения сдвига в сферической
оболочке в зависимости от т при раз-
личных р и Ti\ Р = аЕТ[1{1 — т); т —
= Ыа. Область I — пластическое течение
начинается на внутренней поверхности
(/? = 1; г — а). Область II— пластическое
течение начинается в стенке оболочки
при R — ЗтК(1 — p/P)/(m2 + tn + 1).
Область III — пластическое течение на-
чинается на внешней поверхности (R=
= т; г = Ь). Область IV—пластиче-
ское течение начинается на внутренней
поверхности (R = 1; г = а)
ной комбинации р и [3, точка, в которой наступает напряжение
текучести, может находиться где угодно в стенке сферы (рис. 9.3),
и ее положение определяется критическим радиусом (Деррингтон,
Джонсон, 1958 г. и Каупер, 1958, 1960 гг.). Для сравнения далее,
на рис. 9.7 показано распределение температурных напряжений
только под действием давления по толщине сферической оболочки
при упругом деформировании. Отношение внешнего диаметра
сферы к ее толщине равно 4 и 2,22 (или т = 2, т = 10 соответ-
ственно). Ординаты на этом графике показывают отношение на-
пряжения, возникающего в точке тела, к приложенному внутрен-
нему давлению, а термическое напряжение можно оценить, по-
лагая [3 = р. Из этих кривых сразу же следует вывод: внешний
поток теплоты влияет на появление касательных напряжений,
противоположных по знаку тем, которые возникают под дей-
ствием давления. Это приводит к идее о компенсации напряже-
ний. При выбранном определенным образом градиенте темпера-
туры в стенке оболочки можно уменьшить напряжения, возникаю-
щие под действием давления. Это становится очевидным, если,
определив критический радиус точек, в которых появляются пер-
вые пластические деформации, найти частные значения p/Y и
тК и построить график, показанный на рис. 9.4 (Джонсон, 1961 г.,
неопубликовано).
7* 195
Для частных значений т показаны кривые появления напря-
жений текучести. Каждая кривая состоит из трех частей, если
т = 2, и четырех, если 1 < т 2.
1. Точки на кривой выше ВС определяют появление напряже-
ний текучести на внутренней поверхности.
2. Точки на кривой внутри области CBAD определяют появле-
ние напряжений текучести внутри стенки.
3. Точки на кривой ниже прямой D1, на которой p/Y увели-
чивается с увеличением [3/Y, определяют появление напряжений
текучести на внутренней поверхности.
Рис. 9.4. Влияние P/У на p/Y в условиях
пластической деформации при Lm = 1,25; 1,5;
2,3 и оо
Рис. 9.5. Сравнение значений
p/Y, вызывающих:
1 — пластическую деформацию
всего сечения; 2 — первые при-
знаки пластической деформации во-
локон на внутренней поверхности
при оптимальных р и (3; 3 — пер-
вые признаки пластической дефор-
мации волокон на внутренней по-
верхности в результате действия р
4. Точки на кривой ниже ВАО, на которой p/Y увеличивается
с уменьшением [3/F, определяют напряжение текучести на внеш-
ней поверхности.
Заметим, что при т > 2 напряжение текучести на внешней
поверхности появиться не может. Любая точка на кривой для дан-
ного значения т определяет упругое состояние, которое можно
было бы достичь, идя из начала координат и оставаясь все время
на кривой. Эти кривые помогают в выборе разрешенных путей на-
гружения, чтобы требуемые значения (p/Y, р/V) вызывали появле-
ние первых пластических деформаций. В частности, оптималь-
ные значения p/Y, компенсирующие напряжения, сразу ста-
новятся очевидны — максимумы на каждой т-кривой.
Линия AOD на рис. 9.4 — это положение точек для данного tn,
которые определяют допустимую максимальную величину р/^
196
или температурные напряжения, необходимые для предупрежде-
ния появления напряжения текучести в результате оптимально вы-
бранного значения p/Y. Для т = 1,5 и т = 3 показаны значе-
ния p/Y, обозначенные Т, необходимые, чтобы сделать все сечение
оболочки пластическим. На рис. 9.5 значения, необходимые для
такого состояния пластичности, сравниваются: а) созначением p!Y,
необходимым для наступления напряжения текучести; б) с самым
большим значением p/Y, при оптимально выбранном p/F, необхо-
Рис. 9.7. Распределение температурных напряже-
ний в оболочке в зависимости от давления при:
первые признаки пласти-
ческой деформации воло-
кон на внутренней по-
а) т = 2; б) т = 10 (по данным Деррингтона,
Джонсона)
Рис. 9.6. Сравнение зна-
чений P/У, вызывающих
верхности при: димым для появления напряжения теку-
1 — оптимальном р; 2 — ___ „
р = о чести.
На рис. 9.6 приведено сравнение за-
висимостей p/F, определяющих появление
пластических деформаций при оптимально выбранном p/Y = 0.
На рис. 9.7 показано распределение температурных напряжений
в оболочке в зависимости от давления.
9.2.4. Упругопластические деформации в оболочке
под действием только внутреннего давления
Сначала предположим, что никакие термические напряжения
не возникают, т. е. р = 0. Напряжение текучести на внутренней
поверхности оболочки будет достигнуто при давлении р*, так что
У Зт3р* й 2У(от3—1)
тг = л, или п — ——-
2 4(m3—1) ' Зт3
(9.16)
Дальнейшее увеличение р приведет к расширению сферической
Зоны, в которой деформации будут пластическими. Допустим, что
197
(9.17)
радиус этой зоны с, т. е. в оболочке при г > с деформации все
еще упругие. Таким образом,
Y __ 3z3cc
~ 4(1—z3) ’
где z — Ыс; <тс — радиальное напряжение.
Теперь в каждой точке зоны пластической деформации, т. е.
при г <р с, условие пластичности можно записать в виде ст6 — аг =
= Y. Подставляя его в уравнение равновесия (9.2) и интегрируя,
получим в,. — 2Y In г 4 А. С учетом граничных условий иг =
= —р при г ~ а найдем
ог = 2Y In (г/а) — р; (9.18)
<те = Y [ 1 Ц- 2 In (г/а)] — р. (9.19)
Поскольку радиальное напряжение непрерывно на границе
между упругими и пластическими деформациями, то внутреннее
давление, вызывающее напряжение текучести на границе, т. е.
при г — с, из (9.17) и (9.18) равно
p/2Y = In (с/а) (1 - с343)/3. (9.20)
Заметим, что распределение напряжений в пластической зоне по-
лучено без использования каких-либо соотношений между дефор-
мацией и напряжением. Конечно, при выводе различных формул,
связанных с напряжением текучести, предполагалось, что а и b
изменяются лишь незначительно при распространении пласти-
ческих деформаций до г = с.
Напряжения в упругой зоне (г > с)
or/2Y = —с3 (Ь3 — 1
ое/2У = с3 (Ь3 4- 2r3)/6b3r3. J (9’21)
Пластические деформации охватывают всю оболочку, когда
р** = 2Y 1л т. (9.22)
Остаточные напряжения в сферической оболочке of и се после
разгрузки можно найти, если сложить напряжения, возникающие
в результате действия внутреннего давления р при нагружении,
и напряжения, возникающие в результате действия давления (—р)
и вызывающие только упругие деформации.
Одно из важных последствий пластического деформирования
оболочки состоит в том, что после разгрузки во внутренних слоях
появляются остаточные напряжения сжатия в тангенциальном на-
правлении. Их появление позволяет оболочке противостоять боль-
шему внутреннему давлению без проявления признаков пластиче-
ских деформаций при последующих нагружениях. Это рассмот-
рено в книге Хилла (1950 г.).
198
9.2.5. Упругопластические деформации оболочки,
появившиеся под действием только
градиента температуры
Из (9.9) можно получить выражение для определения радиуса
сферической поверхности, в точках которой появятся первые при-
знаки пластической деформации, если в оболочке распространяется
постоянный поток теплоты:
। ।_у____ aETi ab Г 3a2b2 Ь2 ab + а2 1
I ° Г — Ge 1 — г — 2(1—v) (Ь3 — a3) L ^r3 г J •
Легко показать, что сначала пластические деформации появятся
в точках, расположенных на внутренней поверхности сферы (г =
= а). Разность температур на внутренней и наружной поверх-
ностях, вызывающая появление напряжения текучести,
2У(1—v) m24-m+l
1 аЕ т (2т +1) ’
где т — Ыа.
Для мягкой стали значения констант таковы: Е — 3.107 фунте/
дюйм2; Y = 3-104 фунтс/дюйм2; v = 0,3; а — 7,5-10-617°F и, сле-
довательно, разность температур 7\ равна
т .......... ~1 2 сю
77°F ............. 187 130 93
Хотя большого различия между этими разностями температур Т\
нет, однако возникающие температурные градиенты изменяются
значительно.
Если Ti > Т*, то зона пластических деформаций расширяется,
оставаясь сферической, и ее радиус достигает некоторого нового
значения с; b > с > а. В зоне пластических деформаций, т. е.
при с > г > а, справедливо условие пластичности <т0 — ог =—Y,
ог = —2Y In г/а\ ]
ов = — Y (1 Д- 2 In r/a), J (9’23)
так как ог — 0 при г = а. Опять же заметим, что в этой зоне рас-
пределение напряжений не зависит от Tt. Для упругой зоны, рас-
положенной вблизи внешней поверхности b г > с, имеем:
1) при г = b ог = 0; 2) при г = с ог задается уравнением (9.23);
3) при г = с наступает пластическое состояние. Эту упругую
зону можно рассмотреть, используя результаты, полученные
в подразделе 9.2.3. Пусть при г = с температура равна Тс, радиаль-
ное напряжение задается выражением (9.23). Из (9.8)
Тс = Д- с/а -- = Tt , (9.24)
с ‘ (с/а) (т — 1) 1 т — 1 ’ ' '
где тх — Ыс\ т тх>- 1; Ti> Т*.
Обозначим аЕТс/(1 —v) через |3'; тогда
(7 = a£7\(m1—1)/(1 — v) (m — 1). (9.25^
199
Радиальное напряжение при г = с из (9.23)
р' = —2Y In mimi. (9.26)
Так как на внутренней поверхности появились пластические де-
формации, то из (9.14) получим
—Y __ 3ml (P'tfi'— l) + '>h (ml + tt^ + 1) ,Q9
Р' ~ 2(ms —D *
Подставляя р' из (9.26) в (9.27), получаем
Р'______ml (3 In т/т, + 1) — 1 _ Р'р' ,Q „„
2у mi(2ml — m.—l) ~ p'2Y ' (
Обозначая In т/тх через х, из (9.28) получим
р' _ тл — ,С1 ОГЛ
Р' ~ «3(3^1) — ] •
На рис. 9.8 показано изменение р'/f/ в зависимости от для т=
= 2; т = 4; т = 6, кривые АВ, CD, EF соответственно. Когда
т1 (при заданном т) достигает значений, соответствующих огра-
ничивающей кривой OBGDF, любое дальнейшее увеличение Т{
приведет к появлению второй зоны пластических деформаций,
Рис. 9.8. Развитие области пластиче-
ской деформации только при повыше-
нии температуры при т = 2; т = 4;
т = 6
Рис. 9.9. Зависимость тг от т, опре-
деляющего начало пластического те-
чения на внешней поверхности (т
< 2,791)
которая расположена во внешней упругой части оболочки. Перво-
начальный радиус этой второй зоны г составляет г/с = Зи^ X
X ]Л(1 — p7P')/(m'i + mi 4-1) . Но при
(9.30)
(9.31)
m 9 2(«1— I)2 Р' .
1 z 3 {ml — тл + 1) Р' ’
_ о 5 — 4/mj— 4/ml __ р’
2 ------9----~ У
Уравнения (9.30) и (9.31) описывают две следующие друг за другом
непрерывные кривые OBG и GDF, точки которых определяют по-
явление вторых зон пластической деформации в сферической обо-
200
дочке (см. рис. 9.8). Рассмотрим использование этих кривых дня
некоторых частных случаев.
1. т = 2. При Тt > Т* радиус границы между упругой и пла-
стической зонами — с. Выбирая ту и пользуясь (9.29), можно
найти соответствующие значения р'/£/. В данном случае при с =
= 1,2 с в точках на внешней поверхности оболочки появляются
пластические деформации. При дальнейшем возрастании Tt внутрен-
няя зона пластических деформаций, определяемая радиусом с,
увеличивается; одновременно пластические деформации второй зо-
ны распространяются внутрь от внешней поверхности. Таким обра-
зом, появившиеся две зоны пластических деформаций разделены
Рис. 9.10. Расположение чередующих-
ся пластических (1) и упругих (2) зон
Рис. 9.11. Зависимость критических
значений т1 от т при появлении вто-
рой пластической зоны (расположена
между кривыми)
частью оболочки, деформации в которой являются упругими. Для
всех значений т <2,79 вторая зона пластических деформаций
появляется на внешней поверхности оболочки. На рис. 9.9 пока-
зано изменение радиуса ту = b/с в зависимости от т при т <
< 2,79.
2. т = 4. Пользуясь (9.29), можно найти последовательность
значений рЧ$' в зависимости от т1 для заданного значения т.
Последовательность определяется кривой CD на рис. 9.8. Радиус
с = 1,69а соответствует точке D; это означает, что пластические
деформации появились в какой-то точке сферы, в данном случае
в точках, определяемых радиусом 3,34 а.
3. т = 6. Для оболочки, у которой т = 6 и радиус с = 2,03 а,
вторая зона пластических деформаций появляется в точках, опре-
деляемых радиусом 4,06 а; последовательность состояния описана
кривой EF на рис. 9.8.
4. т = 8. Если с = 2,29 а, то вторая зона пластических дефор-
маций появляется в точках, определяемых радиусом 4,59 а (на
Рис. 9.8 не показано).
Дальнейшее повышение Tt приведет к расширению второй зоны
пластических деформаций (рис. 9.10). В результате образуются
Две зоны пластических деформаций, разделенные упругой зоной.
рис. 9.11 показаны зависимости критического значения тг и
201
начального радиуса поверхности, в точках которой появляются
первые пластические деформации во второй зоне, от т.
Температура на внутренней поверхности оболочки из мягкой
стали, при которой образуются вторые зоны текучести для т = 4
и т = 6, равна —740 и 953° F, если Т = 0° F при г = b (при та-
ких температурах из-за ползучести вычисления, подобные приве-
денным выше, дают далекий от действительности результат); для
т = 2 7\- = 359° F; для т = 2,79 7\ = 430° F. Распределение
остаточных напряжений при разгрузке из состояния, соответству-
ющего появлению второй зоны пластических деформаций, рас-
смотрено Джонсоном и Меллором (1962 г.).
9.2.6. Упругопластическое состояние оболочки
при наличии постоянного градиента температуры
и внутреннего или внешнего давления
Этот частный случай подробно рассмотрен Драблом и Джон-
соном (1964 г.).
В 9.2.5 описан только частный случай указанной проблемы.
Однако анализ слишком длинный и утомительный, а результаты
громоздки, чтобы их здесь приводить.
9.2.7. Влияние смещений. Внутреннее давление
При получении предыдущих результатов предполагалось, что
смещения частиц (точек) сферической оболочки в процессе дефор-
мирования малы, и изменением их расположения можно прене-
бречь, т. е. при анализе пластического состояния считали, что
т = b/а остается постоянным и равно своему первоначальному
значению.
Теперь снова определим внутреннее давление, под действием
которого во всей сферической оболочке появляются пластические
деформации. При этом предполагается, что модуль упругости яв-
ляется постоянным, а материал — несжимаемым как при упругих,
так и при пластических деформациях (v = 1/2). Во внешних слоях
оболочки пластические деформации появляются в последнюю оче-
редь, и, поскольку сг = 0 при г = Ь*, ое = о|р = Y и деформации
в тангенциальных направлениях при появлении пластических де-
формаций на внешней поверхности равны. Если v = 1/2, то
где Ь* — внешний радиус оболочки при появлении пластических
деформаций на внешней поверхности.
b* — b Y
Следовательно, —— — ее, ь* =
b* _ Y (9.32)
Ь — 1 1 2Е ‘
202
После деформации внутренний радиус оболочки равен а* и
у л (Ь*3 — а*3) — у л (Ь3 — а3);
/ 5* \3 _ / ь* \з /j6_\s (_а_\3 (6*/fc)3m3 _
\ а* ) \b)\a)\a*) т3 [(b*/b)3— 1] -f- 1 ~
[1+(У/2Е)]3т3
~ m3 {[1+(Г/2Е)]3 — 1}+1 ’
Поскольку Y/E 10-3 и считая, что х = YI2E, имеем
/ Ь* \з_____тз (1 4-Зх)_______т3
\ а* ) т3 [(1 4- Зх) — 1] + 1 1 + Зт3х
Давление, вызывающее пластические деформации во всей обо-
лочке,
/1* 9 Г "1
Pi = 2У In yr = у Y In j (3т3у/2£) ] • (9-33)
В 9.2.4 мы получили
p** = -^ln(ms). (9.22)
Из табл. 9.1 ясно видно, насколько различаются Ь*!а* и т =
= Ыа сферической оболочки, если все ее сечение будет охвачено
пластическими деформациями, а также различие между истин-
ным р* и условным р** давлениями при Y/E = 10“3. Ошибка при
использовании р** вместо истинного значения р* увеличивается
с увеличением т. Наибольшее различие наблюдается при т -> сю,
~^г = -yin -|у- и p**/2Y -> сю. Для обычных металлов Y/Е =
= 1СГ3, p*!2Y s In 8,7 = 2,16 или р\ = 4,ЗУ.
Таблица 9.1
т — bla р **/2F 5*/а* PJ/2F 1,5 0,405 1,50 0,40 2 0,693 1,99 0,689 4 1,39 3,87 1,355 6 1,79 5,45 1,70 8 2,08 6,57 1,89 10 2,30 7,37 1,99
9.2.8. Расширение малых трещин под действием,
внутреннего давления р***
Очень малые трещины в очень большом теле могут непрерывно
Расширяться под действием постоянного внутреннего давления.
Предположим, что материал несжимаем и текущий радиус границы
Между упругими и пластическими деформациями равен с*. Для
внешних слоев упругой сферы, где <зг = 0 при Ь*, поскольку тело
бесконечно большое, Ь*!с -> сю и поэтому из сказанного выше
203
2
оу = -g- Y при г = с*. Однако мы мСжём рассматривать внутрен-
нюю часть оболочки, которая находится в пластическом состоянии,
считая, что первоначально она имела бесконечное отношение ра-
диусов da -> сю, и использовать ранее полученные результаты,
полагая, что внешнее напряжение сжатия составляет -jY. Тогда
р* будет увеличиваться из-за наличия гидростатического давле-
ния 2У/3. Таким образом,
*** 2F , { 2Е \ . 2Y р*** , , 1п(2£/ЗУ)
Р = ___ 1п 4- ___ или = ! _|------------------(9.34)
При Y/Е 1/1000 р*** 4,98У; при YIE = 1/300 р*** =
= 4,19У. Пользуясь (9.18), можно вычислить с* 1а*. Подставим
в (9.18) 2173 = 2Y In с*la* — р*** или с* 1а* = ехр (2 -f-
+ In 2£/ЗУ)/3.
При Y/E = 1(Г3 с*/а* = 6,25; при Y/Е = 1/300 с* 1а* = 4,19.
9.2.9. Упрочняемый металл
Выше мы рассматривали сферические оболочки из несжимае-
мого идеального у пру го пластического материала. Теперь обсудим,
как при анализе учесть упрочнение материала по диаграмме ин-
тенсивность напряжений — интенсивность деформации. Пусть за-
висимость интенсивности напряжений от интенсивности деформа-
ции описывается выражением
о = Y -|- Т’е",
где о и е — интенсивность напряжений и интенсивность дефор-
мации. соответственно.
Для элемента сферической оболочки, который уже находится
в_пластическом состоянии, имеем при любом текущем значении
2о2 = (сгб — (Jff)2 + (о^ — Gry + (<Jr — об)2 ИЛИ G = Ge — Gr И
de = 2de,e = 2dr/r. Поскольку перемещения частиц всегда ради-
альные, последнее уравнение можно проинтегрировать: е =
= 2 In у—, где г0 — начальный радиус. Уравнение равновесия
для элемента оболочки с учетом условия пластичности
dvr 2 (сте — дг) __ 2а __ 2[¥ 4-Ре”]
dr г г г
Следовательно,
j dcr = 2Y j 2Р J -^Er/r^nd.r _ (9 35)
-р а а
Для реальных материалов п <4 1, поэтому для данного случая
эффект упрочнения описан вторым членом выражения (9.35); для
204
упрощения примем п = 1. Верхний предел интеграла в левой
части (—ог) — напряжение в момент появления пластических де-
формаций на расстоянии с от центра сферы (часть сферы упругая
при г > с). Из (9.16) — ог = 2Y (1 — с3//)3). Выражение (9.35)
в этом случае .принимает вид
_Е_ — (1
2У V . Ь3
Теперь г® = г3 — а3 + а®;
2Р
^^dr.
(9.36)
In r/r0
г
dr
г3 — а3 - г а;; г
(9.37)
а
а* и интеграл может быть вычис-
а
Если а определено, то а0
лен до радиуса с.
Обозначим r/а через х и рассмотрим сферическую оболочку
с бесконечным отношением радиусов, полностью охваченную пла-
стическими деформациями. Величиной а0 по сравнению с величи-
ной а можно пренебречь; поэтому (9.37) принимает вид с учетом
разложения In —-
с/а
в ряд по степеням
т*
ГА_ ' f fin (1 —
1 х з J L \
т*
1
ях3'!+1
(9.38)
1
Подставляя пределы интегрирования и учитывая, что при под-
становке верхнего предела т* для х получаем очень малую вели-
П=со
1 V3 1 л2
чину, пренебрегая которой из (9.38) получаем -д- у 1 .
1
Возвращаясь к (9.36), получаем
j. 2Ряа •
2Y а* ' 9У6 ’
подставляя выражение для Ь*1а* из (9.33), найдем
* 2 2Е . 2л2 п
р *^ТУ1П_ + —р.
Внутреннее давление, необходимое для расширения
нечно малой трещины в большой сферической оболочке,
р* 1,1 2/? , л2 р
2У — 3 3 ЗУ 1 27 У ‘
При E/Y = 1/1000 и P/Y = 1/3 р* = 5,2У. Чадвик (1959
смотрел распределение остаточных напряжений в оболочке после
разгрузки и показал, что размеры трещины несколько умень-
шаются.
беско-
(9.39)
г.) рас-
205
9.2.10. Металлические сферические оболочки.
Другие справки
Хуанг (1960 г.) рассмотрел сферическую оболочку из упруго-
пластического упрочняемого материала, испытывающую перемен-
ное термическое нагружение. Альтернативный подход, представ-
ленный выше, учитывающий накопление пластических деформа-
ций оболочкой для удовлетворения определенным требованиям
конструирования, может быть использован в технике. Этот спо-
соб обсуждали Лекки, Пэйн и Пенни (1966 г.). Другие полезные
и интересные сведения приведены Хопкинсоном (1960 г.), Чадви-
ком (1963 г.), Краузе и Шаффером (1962 г.), Филлипсом и Илди-
зом (1962 г.).
Конструкции сферических и других сосудов, нагружаемых дав-
лением, рассмотрены достаточно подробно в книге Гилла и др.
(1970 г.).
9.2.11. Распределение напряжений в сферической оболочке
при наличии точечного источника тепла
В сферическом регуляторе или рефлекторе скорость выделения
теплоты определяется количеством теплоты на единицу объема Q.
Если температура на внешней поверхности сферы радиусом а
равна нулю, то температура Т на расстоянии г от центра опреде-
ляется по формуле
—4nr2k dT /dr == 4№Q/3.
Поэтому T = Q (а2 — r2)/6k, где k — коэффициент теплопровод-
ности. Подставляя это выражение в (9.7), получим вг = А (г2 —
— а2); с0 = А (2г2 — а2), где А = aEQ/l§k (1 — v). Следова-
тельно, об — Gr = Аг2, и критический радиус с в момент появле-
ния пластических деформаций на внешней поверхности равен
с2 = 15УА (1 — v)/EQ.
В объеме, ограниченном сферой радиусом «>с, существуют
зоны упругих и пластических деформаций. Граница между этими
зонами определяется радиусом с. Толщина зоны пластических
деформаций а — с. Таким образом, or = 2Y In r/а при г > с;
аГ = А (г2 — с2) + 2Y In da при г <; с; об = Y (1 -j- 2 In r/а) при
г > с; об = А (2г2 — с2) -j- 2Y In da при г < с.
Более подробное описание этого и подобных случаев можно
найти в книге Гласстона (1956 г.).
9.3. ТОЛСТОСТЕННЫЕ ЦИЛИНДРЫ. ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
9.3.1. Распределение напряжений при упругом деформировании.
Общие уравнения
Используемые обозначения становятся ясными после рассмотре-
ния рис. 9.12; например, z является осью цилиндра. Уравнение
РаВН°ВеСИЯ । (9.40)
206
Упругие деформации в точке цилиндрической
и ez определяются из выражений
£ (е, — аТ) = сг — v (ое -ф ог);
£ (еб - аТ) = об - v (о, -ф о2);
£ (ег — аТ) = oz — v (о, -ф оф). .
стенки ег, ев
(9.41)
Тиа имеют то же самое значение, что и прежде.
Рис. 9.12. Напряжения, дей-
ствующие в элементе стенки
цилиндра, находящемся на
расстоянии г от центра
Рассмотрим случай, когда осевые смещения каждого сечения
w = 0, т. е. ег = 0. Это есть плоская деформация. Тогда о, =
= v (о, + об) — аЕТ. Из (9.41)
= (1 + v) + (-Ц?-) - fZZV ае) ;
еб == (1 + v)aT + ( (°ф - Gr') >
а из (9.40)
п ГГ — Р (ет—ее) .
<Jr СУд —— tL . , j
т В 1 + V
5(1— v) Г/ . т \ l+v\l (9-42)
G' ~ (1 -2v) (1 +v) L \ r + 1—v ее) аТ \ 1— т )j *
Подставляя в уравнение равновесия (9.40) выражения для (ог —
— об) и а, из (9.42), получим
v Tjy '±Уа Ж} ..l±z1 = 0. (9.43)
(1—2v) L dr 1 1—v dr 1—v dr J 1 г ' ’
Замечая, что ет = du/dr и ев = u/r, из (9.43) имеем
<Pu . 1 du и 1 -J- v dT
dr2 г dr гй 1 — v K dr
ИЛИ
d Г 1 d (ru) I
dr ( r dr J
1 4~v
1 — v
dT
« —r—
dr
т-r 1 d (ru) u . du 1 v ” T . r>
1 юсле интегрирования ——~ — -ф al -ф Ст,
fit == K J Tfdf -ф J C^dr;
a
207
Таким образом,
= +
а
и । г | — y 1 л
Подставив это в (9.42), получим
о = - Г________01______^2_1_________f Tr dr
l+vL2(l— 2v) г2 j (1— v)r2 J 1ГШ’
a
Ev.T 2aE f ~ , 2C2E'
O — Ge = ----------s-Л-г Tr dr------g-rPj—r;
r ° 1 -V r2 (1 —v) J r2(14-v)
(9.44)
__ E Г Cj C2 1 _ aET . a£ Г
1-f-v [.2(1— 2v) "g r2 J (1 — v) ' г2 (1 — v) J
a
__ vECi aET
°г “(l+v)(l-2v) (1-v)'
9.3.2. Распределение напряжений при упругом
деформировании и произвольном распределении температуры
В этом случае константы Сг и С2 определяются из условия
с, = 0 на внутренней и внешней поверхностях, т. е. при г = а
и г = Ь.
Воспользовавшись (9.44), найдем
Г Ct
[2(1— 2v)
Г Q__________^2_1 / Д Ч~v \ к f 7
L 2(1—2v) 62 J \ 1 _ V 7 fea j
а
Таким образом,
Ci
2(1— 2т)
J-+L "
1 — v ьй — a" J ’
а.Е 1 г2 — п2
1 —v г2 Ь2 — а2
ь г
J Trdr — j Tr dr
a e
(9.45)
(9.46)
(9.47)
20§
а
or~ce
aE 1
1 — V "T2
1
°o = TZ77
7V2
b r
-^^Trdr-^ Trdr
a a
(9.48)
r2 + a2
b2 — a2
J Trdr + J Trdr + TT
a a
(9.49)
aE
Gz =-1----
z 1 — v
b
Trdr — T
b2— a2 J
a
(9.50)
9.3.3. Распределение напряжений при упругом
деформировании под действием только постоянного
перепада температуры между стенками цилиндра
Если при г = а температура Th а при г = b температура То
и существует постоянный тепловой поток, то при любом г Т =
у._____________________т
— % In Ъ! г, где X = ь/а °-. Подставляя это выражение для Т
в (9.47), (9.48), (9.49), (9.50) и учитывая, что
J г In b/r dr = In b/r —In — 4 а ,
а
находим
аЕ/. Г , b а2 /. b2 \. b 1 .
ог = тгл----; — 1п--------773----(1-------г ) ш — ; (9.51)
г 2(1 — v) | г (о2 — а2) \ г2 / a J v 7
а£7. Г. , b а2 /, , b2 \, b 1
°Д=-Т77------г1 — 1п--------77»---57- ( 1 -4- -5-) In— (9.52)
° 2(1 — v) L г (Ь2 — а2) \ 'г2 / a J v '
а.Е'/.
~ 2(1 —т)
— 21п
2va2
(Z>2 —й2У
(9.53)
аЕХ
2(l-v)
а2 , b 2h2 I
(fe2 _ a2) In а f2 J •
(9.54)
9.3.4. Распределение напряжений при упругом
деформировании под действием только давления
Если о,. = —pi при г = а, ог = —р0 при г = b и повсюду
== 0, то по (9.44) получим
г - 2(1+v)(1-2v) 2 _ ,а r _ (1+v) (pt--po)a^
-1 - р^2 — а2) \Pi ' ’’ Е{Ь2 — а2)
2С9
Следовательно,
= а2Ьа (Ро — pi) 1 Р,а2 —/>сД .
г № — а2 г2 * Ь2 — а2 '
__ a2b2(p0 — pi) 1 Pia2 — pnb" '
°6 z,2 ,2 Т А2____ „2 1
(9.55)
_ Pia2 — рф2
2 Ь2~а2
2т.
Эти выражения получим, предполагая, что деформация пло-
ская и осевые деформации всюду равны нулю. Заметим, что для
несжимаемого упругого тела ог = (<зг + сге)/2, т. е. т = 1/2; следо-
вательно, система главных напряжений в точке состоит из компо-
нентов шарового тензора или гидростатического давления
-^-(ое-)-ог) и компонентов девиатора напряжений или системы
напряжений чистого сдвига (сге — оЛ)/2, (о,. — об)/2. Это послед-
нее утверждение верно и при v === 0,5, но при условии, что плоские
сечения цилиндра остаются плоскими в процессе деформации.
9.3.5. Распределение напряжений при упругом
деформировании под действием постоянного градиента
температуры и внутреннего давления
Выражения для ое, о,, и о2 в этом случае можно получить, если
использовать принцип суперпозиции; например, об есть сумма
тангенциальных напряжений, вызываемых неравномерным рас-
пределением температуры и независимо от нее действием внутрен-
него давления. Мы просто складываем результаты, полученные
в 9.3.3. и 9.3.4.
9.3.6. Хрупкое разрушение
Самым простым, но, возможно, не самым точным критерием
хрупкого разрушения является равенство одного из главных
напряжений растяжения некоторому определенному критическому
значению. Это справедливо при любых об, <зг и ск. До сих пор не
проводилось каких-либо исследований для подтверждения этого
критерия, но в принципе для частного случая он подтвержден.
Тангенциальные напряжения в цилиндре, возникающие поД
действием только внутреннего давления, можно компенсировать
термическими напряжениями так же, как и в толстой сферической
оболочке, рассмотренной выше. Однако не всегда следует пола-
гаться на компенсирование напряжений, поскольку они не во
всех случаях действуют одновременно.
Можно показать, что для данного внутреннего давления и по-
стоянного потока теплоты существует такое значение Ыа, при ко-
тором обеспечивается минимум наибольшего главного напряже-
ния.
210
9.3.7. Упругопластическое деформирование трубы
под действием внутреннего давления
Теоретическое исследование упругопластического деформирова-
ния толстостенной трубы с различными граничными условиями
описано во многих статьях и книгах. Подробно этот вопрос об-
сужден в книгах Хилла (1950 г.), Прагера и Ходжа (1951 г.).
Мы проведем только неполное исследование.
Пользуясь (9.55) и полагая р0 = 0, получаем
о — cl = —2Pl (1 — 2v) —
Г т2- | ' '
(9.56)
* ° та — 1 v ’ т2 — 1 г2
Видно, что об — сг намного больше других разностей напря-
жений, и, следовательно, пользуясь условием "пластичности
Треска, можно показать, что пластические деформации появятся
в первую очередь на внутренней поверхности цилиндра. Таким
образом,
2m2 _ 2t>a
Y — Pi m2 _ । = P‘ b2 — a2 ’
Pi _ m2 — 1
Y ~ 2m2
Пользуясь (9.56), можно показать, что
(ое - ° г)2 + (° г - °?)2 + - °о)2 =
= (тДтУ[-?- + 2(1-2Чф
(9.57)
По условию пластичности Мизеса пластические деформации сна-
чала появляются при г = а, т. е. опять же на внутренней поверх-
ности цилиндра:
pi =______________т2 — 1__________
Y — [3m4+ (1 — 2v)2]‘/2
(9.58)
Развитие пластических деформаций в цилиндре можно просле-
дить, пользуясь уравнением равновесия (9.40): d.Grldr 4- (о,. —
— с0)/г == 0. Учитывая условие пластичности Треска и предпо-
лагая, что (об — Gr) есть самая большая разность главных напря-
жений (это верно не только в случае плоской деформации), имеем
dvr/dr — Y/г = 0.
Пусть внутреннее давление pt достаточно велико. Тогда по-
являются пластические деформации в слое, расположенном на
„ 211
расстоянии с от центра (рис. 9.13, «). После интегрирования Gr =
= Y In г + С, где С — постоянная интегрирования. При г = а
== — pt. Тогда
cr = Y In r/а — Pi, (9.59)
а в частности при г = с
Gc = Ylr\c/a — pi. ‘ (9.60)
Зона В остается упругой. Пользуясь (9.57), имеем
Рис. 9.13. Поперечные сечения цилиндров:
а — толстостенного (/ —• упругая зона В; 2 — пластическая зона Л); б — составного,
каждая часть которого имеет упругие и пластические области
Исключая gc из (9.60) и (9.61), учитывая, что радиальное напря-
жение должно быть непрерывным при г = с, получаем
+4 (9.62)
Отметим, что выражение, описывающее распространение пласти-
ческих деформаций в цилиндре, можно получить не пользуясь урав-
нениями деформации, т. е. задача пластичности в данном случае
является статически определимой.
9.3.8. Пластическое течение под действием
внутреннего давления и градиента температуры
Деррингтон (1962 г.) дал исчерпывающий анализ для разных
граничных условий, связанный с появлением пластических дефор-
маций в толстостенном цилиндре, нагруженном внутренним давле-
нием, при наличии градиента температуры по радиусу. В зависи-
мости от последовательности приложения давления и распределе-
ния температуры, как здесь показано, пластические деформации
могут появиться в любой точке стенки трубы.
Деррингтон указывает на одно замечательное условие при
Pi = аЕТ/Ч (1 — v), при котором касательные напряжения, соот-
212
йетствуюЩие Пределу текучести, бдИ&родны по Всему поперечному
сечению стенки трубы. В результате все сечение может мгновенно
переходить из упругого состояния в пластическое; Т — постоян-
ная разность температуры внутренней и внешней поверхностей
трубы.
9.3.9. Определение диаграммы давление —
расширение толстостенной трубы с днищами
На рис. 9.14 показана типичная кривая давление — расшире-
ние толстостенного цилиндра. На части кривой до А зависимость
между внутренним давлением и
расширением линейна (упругая
деформация). В точке А появля-
ется пластическая деформация, и
на части кривой от Л до В по мере
увеличения давления в стенках
трубы преобладающими становятся
пластические деформации, проис-
ходит упрочнение и расширение
трубы. Форма кривой зависит от
Ь
отношения т = — и диаграммы
напряжение — деформация мате-
риала трубы. В точке В кривой
происходит потеря устойчивости,
появляется локальное вспучива-
ние, соответствующее максималь-
ному давлению. От точки В до С
труба расширяется, и в точке С
наступает разрыв. Важно, чтобы
Рис. 9.14. Кривая давление —
расширение толстостенного ци-
Г кГ)
линдра расширение = —р~
приращение внешнего диаметра
первоначальный внешний
диаметр
инженеры могли вычислить
максимальное (предельное) давление ргаах. Один из способов полу-
чения формулы для определения максимального давления пред-
ложен Кроссландом, Боунсом (1958 г.):
Ртах —“ ®вр
2 (т— 1)
т -j- 1
(9.63а)
где ов — временное сопротивление материала трубки разрыву
при растяжении; т — средний относительный диаметр цилиндра.
Авторы назвали (9.63а) формулой среднего диаметра. Сравнение
расчетных и экспериментальных данных показывает, что эта фор-
мула дает заниженное значение максимального давления. Даже
Для т = 8,05 недооценка меньше 10%. Уравнение (9.63а) анало-
гично (10.31), которое используют для расчета тонкостенных тру-
бок. Ожидаемая ошибка в (9.63а) на основании (10.31) 14%.
Кроссланд и Боуне также сравнили экспериментально получен-
ное предельное давление с рассчитанным по способу Маннинга
(1945 г.), в котором используется кривая касательное напряже-
213
ние — угловая деформация для материала трубы. В этом случае
совпадение результатов хорошее.
В рассмотренном частном примере предполагали, что осевой
деформацией можно пренебречь и объем останется неизменным,
поэтому напряжение в точке стенки трубы складывается из каса-
тельного напряжения k = (ое — и гидростатического о =
= (ое ф- ог)/2. Осевое напряжение — это полусумма радиаль-
ного и тангенциального напряжений (рис. 9.15).
Из уравнения равновесия и условия пластичности Треска по-
лучаем г d<3r/dr = ое — аг = 2k, где k — напряжение текучести
Рис. 9.15. Напряженное состояние в точке толстостенной трубы с днищами
при сдвиге материала при плоской деформации на расстоянии г
является функцией угловой деформации. Следовательно,
о г
j dor = 2j-^C, (9.636)
—а
где k — некоторая функция г.
Полагая, что разность внутренних и внешних радиусов иа
и иь, радиальное смещение на расстояние г есть и и с учетом
условия постоянства объема получим г2 — д2 — (г ф и)2 — (о -ф
+ ыа_)2;
г-|-п = (г2-ф 2опа-|-н2)1^, (9.64а)
т. е. для заданного значения г можно вычислить и, если измерить
иа. Теперь dee = d (г и)/(г -ф и), ее = In (г -ф и)/г = —ег
Следовательно, относительная угловая деформация на расстоя-
нии г <р = 2 In (г -ф и)/г.
Предполагая, что результаты испытаний на кручение являются
известными и представлены зависимостью между касательными
напряжениями и деформациями (k и ф), мы приходим к убежде-
нию, что касательные напряжения в стенке цилиндра можно
теперь получить по данным изменения диаметра отверстия ЦИ"
линдра иа. Если для выбранного значения г известны иа и а, то,
пользуясь (9.64а), можно определить (г -ф и). Следовательно, Ф
можно вычислить, а соответствующее значение k найти по крив°и
214
касательное напряжение — угловая деформация для материала
трубы. Внутреннее давление р(, вызывающее перемещение иа,
теперь можно оценить численно или вычисляя площадь под кри-
вой k/r от г в области (Ь — а), как указано в (9.636). Для больших
перемещений, вместо (9.63) надо использовать выражение
ь+«ь
К = 2 J
a+tla
Маннинг (1945 г.) в своей оригинальной работе показал, как,
пользуясь этой теорией, можно получить для данной трубы от-
ношение предельного давления к диаметру. Также можно по-
смотреть работы Надаи (1931 г.), Франклина и Моррисона (1960 г.).
9.3.10. Упругий термический удар
Рассмотрим оболочку, не нагруженную давлением, при произ-
вольной равномерно распределенной температуре. Предположим,
что в момент / = 0 внезапно появляется температура Т на внешней
или внутренней поверхности. Мгновенно на этих поверхностях
индуцируются тангенциальные напряжения. Радиальные напря-
жения, очевидно, будут равны нулю. Строго говоря, возникаютсилы
инерции, которые приводят к появлению волн напряжений, но
ими пренебрегают (Кристеску, 1967 г.).
Пусть деформация сферы будет упругой. Рассмотрим очень
тонкий кольцевой элемент поверхности, температура которого
увеличилась на Т; температура оставшейся части цилиндра будет
равна первоначальной. Поэтому нагретый слой не может принять
размеры, соответствующие ненапряженному состоянию ни в ра-
диальном, ни в осевом направлениях. Пусть тангенциальные на-
пряжения на поверхности равны ое; тогда
ее=.°.е-^ = аТ. (9.646)
Можно записать аналогичное выражение для ег, из которого сле-
дует, что ое = ЕаТ/(\ — v) = gz.
Если существует некоторый начальный градиент температуры
или давление, то при вычислении ое необходимо учесть соответ-
ствующие вызванные добавочные напряжения. Для мягкой стали
ав/Т — 320 фунтс/дюйм2-°F.
Выражение (9.646) справедливо и для сферической оболочки.
Другие результаты по распределению термических напряже-
ний в цилиндре можно найти в статье Струба (1961 г.).
9.3.11. Специальные справки
За последние десять лет появилось много работ, относящихся
к проблеме, рассмотренной выше. Мы можем только упомянуть
0 них. Некоторые выводы, взятые из этих работ, позволяют
215
судить о цели и содержании. Особенно следует отметить работу
Бленда (1956 г.), в которой рассмотрено влияние давления и тем-
пературы. При использовании условия пластичности Треска и
соответствующих уравнений течения были получены решения для
Рис. 9.16. Линии Людерса на верхнем
торце цилиндра из мягкой стали (а),
на торцах (/) и внешней боковой поверх-
ности (2, развернутой) того же цилиндра
(б) при давлении (17,310 фунтс/дюйм2),
вызывающем пластическое деформирова-
ние всего сечения (по данным Стила,
Эйхбергера)
Б)
определения напряжений, упругих и пластических деформаций и
перемещений для толстостенной трубы из упрочняемого материала,
нагруженной внешним и внутренним давлением; температуры ее
поверхностей были различны. В общем случае решение возможно
получить только числовым интегрированием, но если закон упроч-
нения линейный, то решение более точно. После устранения дей-
216
ствия давлений и выравнивания температуры Пластическое тече-
ние может начаться, а может и не начаться. В обоих случаях
можно вычислить остаточные напряжения. Приведены частные
примеры.
В пяти статьях Валли и др. (1956, 1960 гг.) рассмотрено проек-
тирование сосудов, испытывающих давления, с учетом действия
термических напряжений.
Обзор и исторические ссылки, касающиеся проектирования
цилиндров высокого давления, можно найти в работе Вилсона,
Скелтона (1967 г.). В ней, кроме других вопросов рассмотрены
автофретаж цилиндров, проектирование бандажированных ци-
линдров, использование вольфрамокарбидных втулок, проволоки
и ленты для обмотки цилиндров, проектирование сосуда из секто-
ров и гелиоскопических цилиндров. Еще одна интересная работа
с экспериментальными данными — это работа Парсонса и Коула
(1967 г.) по оптимальному проектированию коротких составных
цилиндров. Два очень полезных источника ссылок можно найти
в Конференциях.
1) Термическое нагружение и ползучесть структур и компо-
нент, 1964 г.
2) Техника высоких давлений. Следует указать книги под ре-
дакцией Пуха (1970, 1971 гг.), статьи о цилиндрах высокого дав-
ления (контейнерах) для прямого выдавливания Ленгиеля, Бернса,
Прасада (1966 г.), Сумнера, Мередита (1966 г.), Фьерентино,
Вагине, Саброва, Боулгера (1966 г.). Также полезны работы
Пшеминески (1961 г.), Шмидта и Соннемана (1960 г.), Ричардса
(1965 г.), Швеберта (1965 г.), Маркала (1965 г.), Крауса (1962 г.),
Бхаргава и Шарма (1963 г.), Бермана (1960 г.), Каммаша, Мурша,
Нахди (1960 г.), Хорна (1965 г.).
Стил и Эйхбергер (1961 г.) в своей работе рассмотрели неодно-
родную пластическую деформацию в цилиндре из мягкой стали.
С помощью травления они показали, как появляются пластиче-
ские деформации на двух или трех линиях Людерса и распростра-
няются по толщине стенки по траектории максимальных касатель-
ных напряжений, которая является логарифмической спиралью
(рис. 9.16). Число этих линий увеличивается с повышением дав-
ления. Появление неоднородной пластической деформации теоре-
тически не рассмотрено (см. задачу 39).
9.4. СОСТАВНЫЕ ЦИЛИНДРЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
9.4.1. Составные цилиндры под действием
внутреннего давления
На рис. 9.13, б показан составной цилиндр, состоящий из ци-
линдров, которые сделаны из одного и того же материала и в ко-
торых возникают зоны упругих и пластических деформаций только
под действием внутреннего давления. Если предположить, что
217
в каждый момент времени деформация плоская, то для каждого
цилиндра можно записать
pr-p; = 2Pin-^- + p(i-^-V
(9.65а)
Рп — p'n = ^k-~ + k (1
ип \
с2
ПЧ
сп+1
где сг — радиус границы между зонами упругих и пластических
деформаций в r-м цилиндре; аг и аг+1 — его внутренний и внешний
радиусы; рг и р'г — внутреннее и внешнее давления соответ-
ственно.
Суммируя «-уравнений (9.65а) и учитывая, что рг ~ р'г-\, най-
дем
С с
Pi — Рл = 2/г1п-^--|--------|-2P In—-
“1 ап
+k(\ —4-W ••• +4i—г-Ь (9.656)
\ а2 / \ an+J
Предположим, что пластическая деформация распространилась
на одну и ту же глубину в стенках каждого цилиндра (сг —
—аг)/(аг+1 — аг~) = с и мы хотим найти радиус каждого ци-
линдра (или отношение радиусов) для заданных ръ р'п и ап+1,
чтобы (рх — р'п~) было максимальным. Тогда из (9.656)
п П
= ^2k In [c(mr - 1) + 1] + 2 k {1 - [-C (-^r!) + 1 ]2} •
i i r
(9.65b)
Следовательно,
13, _ с c
2k dmr c (mr — 1) + 1 c (mn — 1) + 1 *
dmn . c(mr— 1) 1 1 —c
dmr T mr
c(tnn— 1) + 1 1 —c dmn _ q (9.65r)
~f' mn m2n dmr
218
для определения максимального значения (рх — р'п). В каждой
сумме уравнений (9.65в) п членов являются зависимыми:
mx, т.2,.. •, тг,.. ,,тп = —— = const = Кп; (9.65д)
дтп/дтг •== — тп1тг.
Таким образом, (9.65г) принимает вид
стг , с (тг—1)4-1 1 — с _______________________
с(тг—1) + 1 ' тг тг
стп . с(тп—1) + 1 1—с
или ~ с(тп—1) + 1 1 ~тп т^~
стг с(тг- 1) + 1 1-с _« ,q
с{тг-1) 1 тг тг (У'ЬОе)
X — является одной и той же константой для всех знчений г. Из
(9.65д) Птг — ап+11ах — Кп; таким образом отношение радиусов
одно и то же, а для всех цилиндров (а„+х/ц1)1/« == К-
Если р'п (внешнее давление) равно нулю, то из (9.65в) можно
получить выражение для определения безразмерного максималь-
ного внутреннего давления
4 = п {2 In [с (/C1/n _ 1) +1] + 1 _ ГС(Л1/П -° + ! ]21.
(9.б5ж)
Эта формула уже несколько раз встречалась и прежде, когда
с = 0. Для чисто упругих напряжений в момент появления пла-
стических деформаций на внутренней поверхности каждого ци-
линдра
фф (9.65з)
При с = 1, когда каждый цилиндр полностью охвачен пластиче-
скими деформациями, получаем хорошо известный результат
-|- = 21пМ. (9.б5и)
Строго говоря, уравнение (9.65ж) справедливо только для относи-
тельных радиусов цилиндрических оболочек, испытывающих на-
пряжение, но практически большой разницы между этим выра-
жением и тем, которое используют, когда в цилиндре отсутствуют
напряжения, нет.
Мы получили интересный результат, рассматривая вложенные
Друг в друга цилиндры, первоначально не испытывающие напря-
жения, а затем подвергающиеся внутреннему давлению, которое
приводит их в состояние частичной пластичности. Если существует
геометрическое подобие цилиндров, внутренний и внешний ради-
усы цилиндров определены, скажем ах и ап, и оговорено, что в стен-
219
ках цилиндров пластические деформации распространяются на
одну и ту же глубину, то весь составной цилиндр будет испыты-
вать большее внутреннее давление
Or+ilar = (G„+i/ci)1/n.
9.4.2. Сферические оболочки
Легко видеть, что при исследовании составных сферических
оболочек, нагруженных внутренним давлением, мы получим по-
хожий результат. Далее ясно, что для составных цилиндров или
сфер из одинаково упрочняемых материалов применимы одни и
те же условия или концепции, касающиеся геометрического подо-
бия, и, таким образом, составные цилиндры будут выдерживать
максимальную нагрузку. Использованные результаты взяты из
работы Джонсона, Малхербе, Вентера (1970 г.).
9.5. КОЛЬЦА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОСТОЯННОГО
ГРАДИЕНТА ТЕМПЕРАТУРЫ
Использующиеся результаты взяты из работы Вилхоута
(1958 г.). Рассмотрим упругопластическое состояние, возникаю-
щее в кольце при постоянном распределении температуры вдоль
радиуса; разность температур на внешней и внутренней поверх-
ности равна |7|. Поскольку кольцо тонкое, то напряженное со-
стояние можно считать плоским, ог = 0.
Предположения относительно а, Т и другие, сделанные Вил-
хоутом при анализе, те же, что и выше. Эти результаты удиви-
тельно похожи на получаемые при исследовании толстых сфери-
ческих оболочек:
а) на внутренней поверхности тонкого кольца пластические
деформации появляются при определенной разности температур;
при возрастании 171 зона пластических деформаций увеличи-
вается;
б) при достаточно большом | Т | у внешней поверхности начи-
нает образовываться вторая зона пластических деформаций, ко-
торая при возрастании | Т| расширяется вглубь;
в) чем больше отношение внешнего и внутреннего радиусов,
тем меньшая | Т | требуется для появления пластических деформа-
ций у внутренней поверхности и большая — у внешней;
г) теоретически по всей толщине кольца пластические дефор-
мации возникнут при |7| -► со.
Ниже даны значения | Т|, необходимые для образования двух
зон пластических деформаций:
а£| Т |/У.........
b
а
Углеродистая сталь
18-8 Сг — Ni сталь
Инконель X . . .
2,25 3,5
1,50 4,0
285 440
225 350
750 1170
। 7|°F
220
9.6. ВРАЩАЮЩИЕСЯ ДИСКИ
Рис. 9.17. Напряже-
ния в элементе вра-
щающегося диска
В этом подразделе рассмотрен вопрос о распределении упругих
и упругопластических деформаций в однородном тонком круглом
диске, вращающемся с постоянной угловой скоростью вокруг оси,
проходящей через его центр. Симметричные
(круглые) диски переменной толщины рас-
смотрены в работе Хеймана (1958 г.), Ко-
баяши и Трумплера (1960 г.).
9.6.1. Упругое состояние
Запишем уравнение равновесия сил, дей-
ствующих на элемент вращающегося диска
(рис. 9.17).
=* “ рйЛЛ!’ (9-66)
где со — постоянная угловая скорость
диска; р — плотность. Главные упругие
деформации ев = и!г и er — du/dr. Согласно
закону Гука
Еев = ое — увг и Еег = <зг — у<т0. (9.67)
Осевое напряжение о2, которое считается постоянным по толщине
диска, равно нулю.
Из (9.67)
Е , х Е i и . du \
(е6 + ver) = -г ;
Подставляя (9.68) в (9.66) и упрощая, получаем
г2 + г-%- - и 4- ХР = 0, (9.69)
dr2 1 dr 1 ’ v ’
где X = рю2 (1 — v2)/E.
Уравнение (9.69) можно решить, вводя функцию напряжений
Ф = ror; dty/dr = ое — Хг2 или утверждая, что
н = Лг--^-г3 + -^- (9.70)
Удовлетворяет уравнению (9.69), а постоянные Л и С определяются
из граничных условий. Подставляя это выражение для и в выра-
жение для ог в (9.68), получим
(1 + V) - 4- г2 (3 + V) + (V - 1 )^- ]
(9-71)
221
Предположим, что на внутренней и внешней поверхностях диска (кольца) нет радиального напряжения, о; = 0 при г ~ а и г = Ь. Для этих условий получаем
г (3 + v) a2b2 Y С 8(1—v) А’ Для кольца (9.72)
(3 + v) pco2 (1 — v2)r 8£ .“а+62 ш:) г2- । / 1 -|- v \ a2b2 '1 \ 1-v ) г2 J’
гг — <3 + v) Рю2 ст0~ 8 г2- 4--^-]; (9.73)
(3 -j- v) pco8
a268
r2
Если рассматривается сплошной диск, то С в (9.70) должно быть
равно нулю, иначе при г = 0 и не обращается в нуль. Если ог =
= 0 при г — Ь, из (9.71) получаем 4— /3 + у\ А 8 \ 1 4-v / (9.74)
и, следовательно,
и=Р£2(1-_т!)г/.3 + У
U 8Е Ufy /’
ar = _P^_(3-|_v)(fc2-r2);
_ рсо8 (3 + у) Г Ь2 ra(l+3v) 1 °е 8 (3 + v) J (9.75)
Заметим, что сг и ое максимальны и при г = 0 Рсо2(3 + у)62 uzmax °0max g (9.76)
Для кольца с>г максимально при г = ab:
Crmax— Р®2(6 a)2. (9.77)
При наименьшем г (г = а) ое максимально: °etnax- | pw2(fc2+ 3 + v а2)- (9.78)
Для сплошного диска и кольца всегда ое > <зг, поэтому
ое > сг > ог = 0.
222
По условию пластичности Треска пластические деформации по-
являются, когда ое становится наибольшим, равным Y. Это про-
исходит на внутренней поверхности. Чтобы найти соответствую-
щее критическое значение ю, в левую часть уравнения (9.75) вместо
°ешах наД° подставить Y.
т-r 1 У / 562 + а2 \
Для кольца при v = •
Для сплошного диска критическая угловая скорость в момент
появления пластических деформаций
„ _ 1 I/ У 8 _
1 b V р З + т ~
При дальнейшем увеличении скорости вращения в части диска
появляются пластические деформации. Для упрощения анализа
принимаем v == 1/2 как для упругих, так и для пластических де-
формаций. В таком несжимаемом материале пластические дефор-
мации появляются, когда
1,51 1/ У
<0! = —J/ Т-
9.6.2. Упругопластическое состояние
При о > Oj в части диска до радиуса с появляются пластиче-
ские деформации. Теперь в диске существуют внутренняя зона
пластических деформаций и внешняя упругая зона. При рассмо-
трении зоны пластических деформаций подставляем в уравнение
равновесия вместо ое значение У; тогда (9.66) принимает вид
r~ ^Y -ог-роЛ2. (9.79)
Следовательно,
(гаг) = у — роА-2;
ror — Yr — + С. (9.80)
О
Для кольца С в уравнении (9.80) определяется из условия ог = 0
при г = а, поэтому
гог = -Р^(а«-^) + У(г-а). (9.81)
Предполагая, что наружный радиус зоны пластических деформа-
ций г = с, а о, = ос, имеем
223
Теперь щ должно быть также радиальным напряжением на
внутренней поверхности внешней упругой части диска. Эту внеш-
нюю часть можно рассматривать, как вращающийся диск с внеш-
ним радиусом b и внутренним с, в котором на внутренней поверх-
ности только что появились пластические деформации. В точке с
действует радиальное давление, величина которого определяется
из (9.82). Чтобы найти распределение напряжений во внешней
зоне, надо использовать результаты исследований упругого со-
стояния диска с учетом новых граничных условий. Постоянные А
и С из (9.70)
А . 2L 3+Д. I с2).
£ф2 —с2) + 8 Ц-у ' А
ос&2с2 (1 + v) . X 3 + v
Е — с2) t"-g- 1—v
(9.83)
При <зс = 0 А и С определены выражениями из (9.72). Теперь
подставим значения А и С в (9.70) и, используя (9.68), получим
С2 / 1 fc2 \
— °C _ с2 1 + г2/ +
+ ^(3 + V) (&2 + d - - Г2);
°t) “ °C /,2_с2 1 + r2 )
+ ^(3+V) + +^)
Подставляя в эти уравнения Y вместо о0 и ас из (9.82), можно
найти со, при котором наружный радиус зоны пластических дефор-
маций равен с. Если у — db п т = а/b, то
рсо2 ______________ 1 + [(1 +У2)/(1 —У2)1 [(У—т)/у]_________________
у//,2 [(3 + v)/4j [ 1 + у* (1 _ v)/(3 + V)] _|_ [(1 + ^/(l - £/2)] [(tf-m*)/3m]
Для сплошного диска из условия г = 0 следует, что с в (9.80)
должно быть равно нулю, поэтому в зоне пластических дефор-
маций вг = Y — р<о2г2/3, ое = Y. Когда наружный радиус зоны
пластических деформаций равен с, ое = Y — р<о2с2/3. Внешнюю
зону упругих деформаций можно рассматривать как кольцо в мо-
мент появления пластических деформаций на внутренней поверх-
ности радиусом с, где радиальное напряжение равно ос. Исходя
из этого, скорость, вызывающая пластические деформации на по-
верхности радиусом с,
где “ =
Л42 = 3 + О + 3v) (у2 — I)2 (9.84)
24 '
при у = db.
224 j
Найдя таким образом значение с для заданного значения ф,
нетрудно подставить его в приведенные выше уравнения и полу-
чить выражения для ог и сге в зоне упругих деформаций:
°° ~ -2Яр[4(1 + £> + 3’) + 3 (3+V) - 3(1 + 3v)-J]
«г- -дат [3 (3 + ’) - (1 + 3v)-i] (1 —•
(9.85)
Величина ф, например ф2, при которой диск полностью находится
в пластическом состоянии,
Следовательно,
coj/cog = 8/3 (3 -j- v)
и при v = , Фг/ф2 = 0,89.
О
(9.86)
Очень полезна работа Валдрена, Перси и Меллора (1965—
1966 гг.), в которой обсуждается прочность вращающихся дисков
и проводится сравнение экспериментальных данных с теоретиче-
скими.
9.7. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ ВРАЩАЮЩИХСЯ
— ЦИЛИНДРОВ
Этот вопрос подробно изложен в работе Ходжа, Балабана
(1962 г.). В ней можно найти и ссылки на ранние работы, в которых
рассматриваются эти вопросы (см. задачи 36—39).
ЛИТЕРАТУРА
Berman, I. 1960 «Expansion of Thick Walled Cylinders Fabri-
cated from Cold Bent Plates» J. appl. Mech. 47, 505
Bhargava, R. D., Sharma, С. B. 1964 «Elastic—Plastic Medium Containing a Cylin- drical Cavity Under Uniform Internal Pressure» J. Franklin Inst. 277, 422
Biot, M. A. 1958 «Linear Thermodynamics and the Mechanics of Solids» Proc. 3rd U. S. Cong. appl. Mech.
Bland, D. R. 1956 «Elastic—Plastic Thick—walled Tubes of Work- hardening Material Subject to Internal and External Pressures and to Temperature Gra- dients» J. Mech. Phys. Solids 4, 209
Boley, B. A., Weiner, J. H. 1960 Theory of Thermal Stresses Wiley, New York
Cowper, G. R. 1958 Tech. Report No. 9, 562 (20) Division of Engineering, Brown University
8
У. Джонсон
225
1960 «The Elastoplastic Thick—walled Sphere Sub- jected to a Radial Temperature Gradient» Trans. A. S. M. E., J. appl. Mech. 47, 496
Chadwick, P. 1959 «The Quasi—static Expansion of a Spherical Cavity in Metals and Ideal Soils» Q. J. Mech. and appl. Math XII, 52 1963 «Compression of a Spherical Shell of Workharden- ing Material» Int. J. mech. Sci. 5, 65
Cristescu, N. 1967 Dynamic Plasticity North—Holland Publishing Co., Amsterdam, 98 pp.
Crossland, B., Bones, J. A. 1958 «Behaviour of Thick—walled Steel Cylinders Subjected to Internal Pressure» Proc. Instn mech. Engrs 172, 777
Derrington, M. G., Johnson, W. 1958 «The Onset of Yield in a Thick Spherical Shell Subject to Internal Pressure and a Uniform Heat Flow» Appl. Sci. Research Series A, 7, 408
Derrington, M. G. 1962 «The Onset of Yield in a Thick—walled Cylinder Subject to a Uniform Internal or External Pres- sure and Steady Heat Flow» Int. J. mech. Sci. 4, 83
Drabble, F., Johnson, W. 1964 «The Development of the Zones of Yielding in Thick—walled Spherical Sheels of Non—work- hardening Material Subjected to a Steady State Radial Temperature Gradient and on Internal and External Pressure» Conf, on Thermal Loading and Creep, Paper 19, Instn. Mech. Engrs
Fiorentino, R. J., Vagins, M., Sabroff, A. M., Boulger, F. W. Franklin, G. J., Morrison, J. L. M. 1966 «An Extrusion Container for Hydrostatic Pres- sures up to 17 Kilobars» Annals of the С. I. P. R. Vol. XIII, 169 I960 «Autofrettage of Cylinders: Prediction of Pres- sure/External Expansion Curves and Calcula- tion of Residual Stresses» Proc. Instn mech. Engrs 176, 947
Gill, S. S. 1970 The Stress Analysis of Pressure Vessels and Pres- sure Vessel Components Pergamon Press, Oxford
Glasstone, S. 1956 Nuclear Reactor Engineering Macmillan, London
Heyman, J. 1958 «Plastic Design of Rotating Discs» Proc. Instn mech. Engrs 172, 531
Hill, R. Hodge, P. G., Balaban, M. 1950 The Mathematical Theory of Plasticity. O. U. P. 1962 «Elastic—Plastic Analysis of a Rotating Cy- linder» Int. J. mech. Sci. 4, 465
Hopkins, H. G. 1960 «The Dynamic Expansion of Cavities in Metals» Progress in Solid Mechanics, North—Holland, Groningen
Horne, M. R. 1955 «The Elastic—plastic Theory of Containers and Liners for Extrusion Presses» Proc. Instn mech. Engrs 169, 107
Hwang, C. 1960 «Thermal Stresses in an Elastic Work—harden- ing Sphere» J. appl. Mech. 47, 629
226
Johnson, W., Malherbe, de M. C., 1971 «On Geometrical Similarity in Compound Cir-
cular Cylinders and Spherical Shells Under
Venter, R. Internal Pressure»
Johnson, W., 1962 Annals of the С. I. R. P., 19, 653 «Elastic—plastic Behaviour of Thick—walled
Mellor, P. B. Spheres of Work—hardening Material Subject
to Steady State Radial Temperature Gradient» Int. J. mech. Sci. 4, 147
Kammash, T. B., 1960 «The Elastic—plastic Cylinder Subjected to
Murch, S. A., Radially Distributed Heat Source, Lateral Pres-
Naghdi, P. M. / sure and Axial Force with Applications to Nu-
clear Reactor Fuel Elements»
/ Kobayashj, A. S., J. Mech. Phys. Solids 8, 1
1960 «Elastic Stresses in a Rotating Disc of General
Trumpler, P. R. Profile»
Int. J. mech- Sci. 2, 13
Kraus, H. 1962 «Pressure Stresses in Multi—bore Bodies»
Krause, J., 1962 Int. J. mech. Sci. 4, 187 «Thermal Stresses in Spherical Case—bounded
Shaffer, B. W. Propellant Grains»
Leckie, F. A., 1967 J. Engng Ind. A. S. M- E., 144 «Elliptical Discontinuities in Spherical Shells»
Payne, D. J., J. Strain Analysis 2, 34
Penny, R. K. Lengyel, B., 1966 «Design of Containers for a Semi—continuius
Burns, D. J., Hydrostatic Extrusion Productine Machine»
Prasad, L. V. 7th Int. M- T. D. R. Conf., Pergamon Press, 319
Marcal, P. V. 1965 «А Note on the Elastic—plastic Thick Cylinder
Manning, W. R. D. 1945 with Internal Pressure in the Open and Closed— end Condition» Int. J. mech. Sci. 7, 841 «The Overstrain of Tubes by Internal Pressure*
Nadai, A. 1931 Engineering, 159, 101 and 183 Plasticity
Nowacki, W. 1965 McGraw—Hill, New York T hermo—elastici ty
Parsons, B., 1967 Pergamon Press, Oxford, 628 pp. «А Generalised Approach to the Optimum Design
Cole, B. N. of Short Composite Cylinders»
Phillips, A., 1962 Paper No. 20, p. 157, High Pressure Eng. Conf., Instn mech. Engrs «Thick—walled Hollow Sphere of Elastic—locking
Yildiz, A. Material»
Prager, W., 1951 Oesterreichisch.es Ingenieur—Archiv, 16, 313 The Theory, of Perfectly Plastic Solids
Hodge; P. G. Wiley, New York
Przemieniecki, J. S. 1960 «Design Charts for Transient Temperature and
Richards, T. H. 1965 Thermal Stress Distributions in Thermally Thick Plates» Aeronaut. Q. 11, 269 «Thermal Stresses in a Thick—waaled (Rectan-
Rosenfield, A. R., 1956 gular Section) Tube: An Experimental Study by Electrical Analogy» Int. J. mech. Sci. 7, 103 «Effect of Stress on the Expansion Coefficient»
Averbach, B. L. J appl. Physics (U. S.), 27, 154—6
Timoshenko, S., 1951 Theory of Elasticity
Goodier, J. N. McGraw—Hill, New York
Schmidt, J. E., 1960 «Transient Temperatures and Thermal Stresses
8* 227
Sonnemann, G.
Schwiebert, P. D.
Steele, M. C.,
Eichberger, L. C.
Strub, R. A.
Sumner, P. J. C.,
Meredith, К- E. G.
Waldren, N. E.,
Percy, M. J.,
Mellor, P. B.
Whalley, E.
in Hollow Cylinders due to Heat Generation»
J. Heat Transfer C 82, 273
1965 «Elastic, Plastic and Creep Deformations in
Long, Thick—walled Cylinders of Work Har-
dening Material Subjected to Transient Ther-
mal and Mechanical Loading»
Int. J. mech. Sci. 7, 115
1957 «Non—homogeneous Yielding of Steel Cylinders:
I—Mild Steel»
Trans. A. S. M. E. 79, 1608
1961 «Transient Temperature and Thermal Stress
Conditions in a Cylinder»
Sulzer Research, 46
1966 «Some Experiments on Containers for Metal
Forming Processes»
7th Int. M. T. D. R. Conf., Pergamon Press, 647
1965— «Burst Strength of Rotating Discs»
1966 Proc. Instn mech. Engrs 180, 111
Whalley, E.,
Mackinnon, R. F.
Whalley, E.,
Morris, S.
Wilhoit, J. C.
Wilson, W. R. D.,
Scelton, W. J.
1965a «General Theory for Monoblock Vessels»
Can. J. Technol. 34, 268
1956b «Steady State Temperature Distribution»
Can. J. Technol. 34, 291
1960c «The Design of Pressure Vessels Subjected to
Thermal Stress: A Review»
Int. J. mech. Sci. 1, 379
1960a «Thermal Shock»
Int. J. mech. Sci. 1, 301
1960b «Multi—layer Vessels»
Int. J. mech. Sci. 1, 369
1958 «Elastic—plastic Stresses in Ringes Under Steady
State Radial Temperature Variation»
Proc. 3rd U. S. Cong. App. Mech. 693
1967 «Design of High Pressure Cylinders»
Paper No. 5, p. 32. High Pressure Eng. Conf.,
Instn mech. Engrs
1964 «Conference on Thermal Loading and Creep
in Structures and Components»
Instn. mech. Engrs. London
Глава 10
ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ
ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
10.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИЗГИБЕ ИДЕАЛЬНОЙ КОЛОННЫ
Когда колонну нагружают сжимающей силой, то ее разрушение
происходит из-за изгиба при нагрузке, значительно меньшей,
чем требуется для раздавливания материала. Даже при самых
тщательных лабораторных испытаниях нельзя приложить на-
грузку точно в центре колонны, а последнюю изготовить из одно-
родного материала. Это приводит к появлению в колонне напря-
жений изгиба, первоначально небольших, которые, в конце концов
приводят к потере устойчивости. Практически первоначальная
кривизна колонны может явиться причиной эксцентричного при-
ложения нагрузки.
При изгибе напряжения в колонне могут быть меньше или
больше напряжения текучести в зависимости от геометрической
формы. Анализ первого случая впервые был дан Эйлером (1744 г.).
Решение задачи потери устойчивости при наличии упругих де-
формаций основано на предположении, что равновесие прямой
колонны становится неустойчивым, если существует положение
равновесия, бесконечно близкое к первоначальному положению
равновесия при той же нагрузке. При постановке задачи предпо-
лагается, что материал совершенно однородный, колонна прямая,
а нагрузка приложена в центре. При таких идеализированных ус-
ловиях изгиб не возникает до тех пор, пока не будет сообщено
бесконечно малое отклонение колонны от положения равновесия.
Тогда нагрузка Р будет той самой критической силой, которая вы-
зывает состояние равновесия изогнутой колонны после исчезнове-
ния возмущения.
Рассмотрим прямую колонну с заостренными или закруглен-
ными концами. Небольшое отклонение может быть вызвано по-
перечной силой, приложенной в середине колонны. После ее уда-
ления достигнутое положение изгиба остается. Поскольку откло-
нения предполагаются малыми, основное дифференциальное урав-
нение имеет вид (рис. 10.1) cPyldx2 -|- PylEI = 0, где Р — крити-
ческая нагрузка; Е — модуль упругости; I — наименьшее зна-
чение момента инерции поперечного сечения. Решение такого
229
уравнения у = A sin ]Ар/Е1 х -|- В cos УР/EI х. Для определе-
ния критической нагрузки служит хорошо известная формула
Эйлера 1р = л*ЕЦР, где I — эффективная длина колонны. Это
уравнение можно переписать в виде Р/А = n2E/(l/k)2, где А —
площадь поперечного сечения; k — наименьший радиус момента
инерции сечения; Ilk — стройность (гибкость). Это выражение
верно до тех пор, пока деформация определяется модулем упру-
гости. P/А должно быть меньше предела упругости. Поэтому выра-
жение справедливо только при стройности больше некоторого опре-
деленного критического значения, определяемого модулем упру-
Рис. 10.2. Для определе-
ния местного модуля (тан-
генс-модуля) и критиче-
ского напряжения:
р
Рис. 10.1. Иде-
альная колонна
с осевой на-
грузкой
гости. При небольших
значениях Uk в централь-
но-сжатой колонне могут
появиться пластические
деформации, прежде чем
начнется изгиб. В этом
случае изгибающую на-
грузку можно определить
как минимальную осевую,
при которой состояние
равновесия первоначально
прямой колонны в резуль-
тате небольшого попереч-
ного смещения становится
устойчивым. Решать за-
/—предел устойчивости; 2—
касательная к кривой Et
дачу можно, как и в слу-
чае упругого состояния
колонны, но деформиро-
вание является необратимым процессом. Если после достиже-
ния предела текучести происходит уменьшение напряжений в ка-
ком-либо поперечном сечении колонны, то линия разгрузки на
диаграмме будет параллельна линии упругого нагружения. По-
этому теоретически критическая нагрузка будет зависеть от спо-
соба приложения бесконечно малой поперечной силы, вызываю-
щей изгиб.
Первая попытка решить задачу пластического изгиба прямой
колонны была сделана Энгессером в 1889 г. Он предложил вос-
пользоваться диаграммой напряжение сжатия—деформация и за-
менить модуль упругости в формуле Эйлера местным (тангенциаль-
ным) модулем Et (рис. 10.2). Джазински критиковал это предло-
жение, показывая, что во время изгиба при постоянной осевой
нагрузке в части поперечного сечения на выпуклой стороне ко-
лонны происходит уменьшение напряжения. Следовательно, при
разгрузке необходимо учитывать модуль упругости, что не отра-
жено у Энгессера. Джазински указал, что это было предложено
Консидере (1891 г.). Энгессер признал ошибку в своей первона-
чальной теории и показал, как в общем виде можно вычислить при-
веденный модуль (дубль-модуль) в зависимости от Е и Et. Крити-
230
ческая нагрузка по этой теории Р = л*Е1/Р, где Е — приведен-
ный модуль (дубль-модуль). Карман в 1910 г. снова вернулся
к теории и вычислил значение приведенного модуля для прямо-
угольного поперечного сечения и идеального двутаврового сече-
ния. Он провел серию экспериментов, чтобы доказать справед-
ливость теории, в основу которой положен приведенный модуль.
Его называют модулем Кармана (прим, переводчика).
fej Основное допущение этой теории состоит в том, что равновесие
прямой колонны становится неустойчивым, если бесконечно близко
к этому состоянию равновесия на-
ходятся другие состояния равно-
весия при той же нагрузке. При
постановке задачи предполагается,
что небольшое смещение приво-
дит колонну в состояние изгиба
при постоянной изгибающей на-
грузке' Изгибающая нагрузка
удерживает колонну в изогнутом
состоянии равновесия после ус-
транения сил, вызвавших смеще-
ние. Это предположение точно со-
гласуется с гипотезой Эйлера для
определения критической силы
при упругих деформациях.
Теория с использованием при-
веденного модуля считалась един-
ственно правильной для опреде-
ления критической нагрузки при
наличии пластических деформа-
ций до 1946 г., пока Шанли не
предположил, что колонна может
Рис. 10.3. Сравнение данных, полу-
ченных для квадратной колонны
(сторона 5/8 дюйма) со сфериче-
скими торцами по формулам с уче-
том:
1 — местного модуля; 2 — приведен-
ного модуля (дубль-модуля); 3 — по
формуле Эйлера ( —точки,
определенные экспериментально Бро-
еком)
изгибаться при одновремен-
ном увеличении осевой нагрузки. Если это так, то изгиб может
происходить без какого-либо уменьшения деформации. При по-
становке задачи предполагается, что переход от прямого к беско-
нечно близкому состоянию равновесия изгиба сопровождается
увеличением осевой нагрузки. Переход происходит, если одновре-
менно с конечным приращением осевой нагрузки приложена не-
большая поперечная сила. Если бы считали, что изгиб колонны
происходит под действием приложенной нагрузки, то пришлось бы
предположить либо некоторую начальную эксцентричность на-
грузки, либо начальную кривизну колонны. Предложение Шанли
означает, что первоначальная формула с использованием мест-
ного модуля, предложенная Энгессером на основании неверного
предположения о постоянстве осевой нагрузки при переходе к со-
стоянию изгиба, определяет наименьшее значение критической
осевой нагрузки, при которой наступает второе устойчивое со-
стояние равновесия. Максимальную нагрузку при потере устой-
чивости определяют, используя приведенный модуль. Поэтому эти
231
две нагрузки дают теоретически нижнюю И верхнюю оценки устой-
чивости идеальной колонны, и результаты испытаний тщательно
изготовленных колонн должны находиться в этих пределах. Ре-
зультаты испытаний подтвердили расчеты критической нагрузки
по формуле с использованием местного модуля, за исключением
расчетов для коротких колонн (рис. 10.3). Объяснить этот факт
можно было бы тем, что короткие колонны менее чувствительны,
чем длинные, к небольшим смещениям, возникающим во время
испытаний, поэтому критические нагрузки приближаются к верх-
ней оценке.
Хилл и Севелл (1959 г.) показали, что критическая нагрузка
несколько выше, чем вычисленная с учетом предположения Шанли,
и совпадает с той, которая определена с использованием умень-
шенного значения модуля; тем самым допускается возможность
влияния угловых деформаций.
При проектировании всегда предпочитают формулу с исполь-
зованием местного модуля, поскольку упрощаются вычисления и
полученные значения критической нагрузки вполне удовлетвори-
тельны. Поскольку мы будем рассматривать небольшие смещения,
то предположим, что сечения, первоначально плоские, остаются
плоскими и после изгиба.
10.2. ФОРМУЛА С УЧЕТОМ ПРИВЕДЕННОГО МОДУЛЯ
(ДУБЛЬ-МОДУЛЯ)
Рассмотрим колонну с прямоугольным сечением h X b, нагру-
жаемую увеличивающейся силой Р. Отношение Uk считают доста-
точно малым, чтобы исключить упругий изгиб. Вплоть до на-
Рис. 10.4. Распределение
напряжений (а) и дефор-
маций (б) в сечении ко-
лонны для обоснования
применения приведенного
модуля
грузки, вызывающей изгиб, ’напряжение будет однородным и рав
ным Plbh. Если теперь под действием постоянной нагрузки про
исходит переход в состояние изгиба, то на вогнутой стороне ко-
лонны напряжение будет по-прежнему увеличиваться, а на вы-
пуклой — уменьшаться. Уменьшение напряжения зависит от мо-
дуля упругости, хотя смещения являются малыми, а увеличение
232
напряжения — от величины местного модуля, определяемого по
диаграмме.
Распределение напряжения по сечению колонны и соответству-
ющее распределение деформации представлены на рис. 10.4.
Доу — уменьшение напряжения сжатия на выпуклой поверх-
ности и Доа — увеличение напряжения на вогнутой. Из условия
равновесия сил при изгибе имеем 0,5 kOjhjb + 0,5 Ea2h2b = 0
или
Aoy/ii 4~ До2/12 — 0. (Ю-1)
Изгибающий момент в колонне равен Ру, где у — отклонение
оси колонны от первоначального положения. Из условия равно-
весия этот приложенный момент равен противодействующему мо-
менту внутренних сил
Ру = -| /?! Доу^б) — ~ й2 ( у Д сг2/г2&). (10.2)
Поскольку рассматриваются малые деформации, соотношения
между напряжениями и деформациями согласно закону Гука
определены выражениями
До1 = £Де1; До2—-£zAea. (10.3)
Предполагая, что сечения, первоначально плоские, остаются пло-
скими после изгиба, имеем
Де^^/Р; Де2 = —й2/£, (10.4)
где р — радиус кривизны изогнутой колонны. Поэтому
До1=£А-; Ao2 = -£zA. (10.5)
Из (10.1) и (10.5) Eh? = Eth^. Так как /гх + /г3 = h, легко пока-
зать, что
h у
1 Ve EVEt ' 2 V E EtfEt
Исключая Доу, Доа, h± и h2 из (10.2) имеем
= 1 (Ю.6)
а 127? [ (ИВ )3 J v
Член в скобках есть приведенный модуль (дубль-модуль) £; (10.6)
можно переписать в виде Ру = EIIR, где I — наименьшее значе-
ние момента инерции прямоугольного сечения. Для небольших
отклонений (1/£ = —d?yldx2) уравнение принимает вид dPyldx2+
+ PylEI = 0, т. е. получаем то же основное дифференциальное
Уравнение, что и при упругом изгибе. Поэтому критическая на-
грузка
233
Заметим, что Е и I зависят от формы поперечного сечения ко-
лонны. Здесь формулы для их определения приведены только для
прямоугольного сечения. Всегда £ > Et, поскольку всегда Et < Е.
10.3. ФОРМУЛА С УЧЕТОМ ТОЛЬКО МЕСТНОГО МОДУЛЯ
(ТАНГЕНС-МОДУЛЯ)
Предположим, что переход в состояние изгиба происходит под
действием увеличивающейся осевой нагрузки. При этом нет умень-
шения напряжений и деформаций по всему поперечному сечению,
Et имеет постоянное по величине значение. Поэтому исходное диф-
ференциальное уравнение d2yldxz + Py/EtI = 0, критическая на-
грузка
(Ю.8)
Значение критической нагрузки, вычисленной по (10.8), всегда
меньше предсказываемого по (10.7) с учетом Е и Et и не зависит
от формы сечения колонны.
10.4. СРАВНЕНИЕ ДВУХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО
ИЗГИБА КОЛОННЫ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ
СЕЧЕНИЕМ
На рис. 10.5 показана кривая
сплава алюминия и графически
местного модуля от напряжения.
напряжение — деформация для
построена кривая зависимости
Если теперь записать формулы
Рис. 10.5. Кривые напряжение—де- Рис. 10.6. Кривые критического ин-
формация (/) и тангенс-модуля (2) пряжения устойчивости, определен-
для алюминиевого сплава ные по формулам с учетом:
1 — местного модуля; 2 — приведенного
модуля; 3 — по формуле Эйлера
с учетом местного модуля l/k = л IE//"' и приведенного Uk —
= л у Е /о, то можно построить кривую зависимости критической
нагрузки изгиба от стройности (гибкости) для колонны с прямо;
угольным сечением из указанного выше материала. Значения Е
определяются из выражения в скобках (10.6). Эти значения при-
234
ведены на рис. 10.6, где также построена кривая Эйлера. Следует
заметить, что для всех представленных значений стройности пол-
ная деформация < 0,005, т. е. является одного порядка с упру-
гой.
Приведенный выше анализ сделан для упрочняемых материа-
лов. Если материал идеальный упругопластический, то начальное
напряжение изгиба равно пределу текучести. Чтобы иметь более
полное представление об устойчивости колонн, следует изучить
изгиб под действием эксцентрично приложенной нагрузки. Это
выходит за рамки нашей книги; читатель может обратиться к ра-
боте Блейха (1952 г.), где рассмотрен этот вопрос и дан ряд ссылок.
10.5. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ ЗА ПРЕДЕЛОМ ТЕКУЧЕСТИ
Неустойчивость при простом растяжении была описана в гл. 1.
Исследование этой проблемы можно теперь расширить, учитывая
влияние упругих деформаций. Если de1 — приращение полной де-
формации в продольном направлении, то соотношения между
напряжениями и деформациями в этом направлении
de? = de — .
1 1 Е
(10.9)
Для поперечных направлений
deP = ds2 + v ;
(10.10)
^P==de3-|--v-^-.
(10.11)
Для изотропного материала (10.10) и (10.11) будут идентичны.
Условие постоянства объема при пластическом деформировании
dsP + de,p + deP = 0. Поэтому de2 = de3 = —di-^ — (1 — 2v) j .
Поскольку главные оси не вращаются, можно записать
е2 -- е3 -- 2
ej_-|L(i_2v)].
(10.12)
В любой момент времени до потери устойчивости растягивающая
нагрузка
Р = X0Oiехр2е2 = Ховгexp{ — — -^(1 — 2v)] j, (10.13)
где Хо — первоначальное поперечное сечение. Если не проис-
ходит упругого изменения объема, т. е. v = 1/2, то условие по-
тери устойчивости, как и прежде, dsyjdj^ = оу.
235
Если учитывать упругие изменения объема, то из (10.13) для
неустойчивого состояния получим
dP п
U == --Ol
dej 1
I dai i (1—2v) „ d°i
"T~ d&t ‘ E 1 tfei
или
(10.14)
где cr1 — напряжение растяжения в неустойчивом состоянии.
Величина о^/З/С, как правило, намного меньше единицы, и ею
можно пренебречь.
Рис. 10.8. Диаграммы напряжение—
деформация, построенные по форму-
лам:
1) с = 22 200 (0,222 -f-e)0,25 _ для полу-
твердого алюминия; 2) о — 22 200е
для мягкого алюминия ( ---. полу-
ченные экспериментально)
Рис. 10.7. Диаграммы напряжение—
деформация, построенные по форму-
лам:
Г)Ъ= 106 000 (0,127 +ё)0-48 для полу-
твердой латуни 70/30; 2) о = 106 ОООе0'4®
для мягкой латуни 70/30 (-------полу-
ченные экспериментально)
При более сложных напряженных состояниях условия по-
хожи на те, что возникают в состоянии неустойчивости при про-
стом растяжении. Эти условия очень важны для обработки метал-
лических листов растяжением. В этой главе мы рассмотрим де-
формацию листового металла при двухосном растяжении, когда
третье напряжение (нормальное к листу) либо равно нулю, либо
очень мало по сравнению с двумя другими. Упругими деформа-
циями можно пренебречь и предположить, что справедливы урав-
нения Леви — Мизеса. Во всех рассматриваемых случаях глав-
ные оси не вращаются относительно деформируемого элемента,
и отношение главных напряжений постоянно во время дефор-
мации.
Для двухосного растяжения можно записать о2 = ха1г о3 = 0,
где х — отношение напряжений, правильная дробь. Тогда для
главных направлений уравнения Леви — Мизеса (5.10) имеют вид
dex _ de3 _ des /1(1 15)
2 —х 2х—1 1 _|_jc ’ Щ • '
236
Таблица 10.1
Металл О = А(В + 8)«, фунтс/дюйм2 Отношение толщин, полученное экспе- риментально Отношение толщин, по- лученное теорети- чески Хиллом, t/t0
Потеря устойчи- вости t/t0 Разруше- ние t/t0
Медь мягкая 62 200 (0,016 4- ё)0,3 0,555 0,50 0,563
Медь полутвердая 62 200 (0,114 4- е)0’3 0,59 0,58 0,581
Латунь мягкая 106 000 в °’48 Нет 0,50 0,498
Латунь полутвердая 106 000 (0,127 4- ё)°-48 » 0,51 0,518
Алюминий мягкий 22 200 в 0,25 0,565 0,48 0,580
Алюминий полутвер- 22 200 (0,222 4- в)0’25 Нет 0,65 0,613
дый
Спокойная сталь 91 000 е °'2 0,57 0,48 0,603
Нержавеющая сталь 22 2000 (0,016 4- е) °-5 0,52 0,50 0,487
Аналогично, уравнения для интенсивности напряжений и интен-
сивности приращений деформаций (6.1) и (6.2) можно записать
о — Oi(l — х-|-х2)2; (10.16)
d8^dei-^-^(l-x + xy. (10.17)
Уравнения (10.15) и (10.17) в интегральной форме
______5_______ _ 61 _ _________ 6g
1 2 — к 2х—1 1+х
2(1— х 4-х2) 2
(10.18)
Для общности результатов исследований в случае учета упроч-
нения полезно воспользоваться
= А (В + е)п, предложенным
Свифтом; А — некоторая по-
стоянная материала, не завися-
[Щая от начального состояния.
Начальное состояние материала
определяет В; п определяет де-
формационное упрочнение.
! На рис. 10.7 и 10.8 изобра-
жены эмпирические кривые для
Двух листовых материалов: ла-
туни 70/30 и технически чи-
стого алюминия. Формулы
[Для других материалов даны
эмпирическим уравнением о =
Рис. 10.9. Обобщенные деформации при
потере устойчивости
237
ё табл. 10.1. Для материалов, используемых в технике п == 0,2н-
-г- 0,5. Эти характеристики деформационного упрочнения полу-
чены при двухосном растяжении (см. подраздел 6.3).
Дифференцируя эмпирическое уравнение о = А (В + е)п,
получим
где z = (В 4- е)/л (рис. 10.9). Для простого растяжения 2=1,
как уже было показано в подразделе 1.3.
Значение А не влияет на величину предельной деформации,
соответствующей разрушению, а влияет на напряжение, вызыва-
ющее заданную деформацию.
10.6. УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ ТРУБ С ДНИЩАМИ
ИЛИ ЦИЛИНДРОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО
ДАВЛЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
Пусть р — внутреннее давление; тогда тангенциальное напря-
жение оу = prlt, продольное напряжение о2 = pr!2t, где г и t —
текущие значения радиуса цилиндра и толщины стенки соответ-
ственно. Отношение напряжений при потере устойчивости х = г/2
и dp = 0, поэтому
da± __ da2 _ dr dt
щ r t ’
(10.20)
где drlr — приращение деформации в тангенциальном направле-
нии de^, dtlt — приращение деформации по толщине de3. Из (10.16)
и (10.17) находим интенсивность напряжений и интенсивность
приращений деформаций:
o = (/3/2)ai; 1
de = 2^б1/|/3 = —2ds3/j/3 ', Z
de2 =-- 0. j
(10.21)
Это плоская деформация, поскольку деформация в продольном
направлении равна нулю. Кроме этого, предполагаем, что краевые
эффекты локальны, и ими можно пренебречь.
Из (10.21) da = 0/3 /2) dar и условие потери устойчивости
можно записать так: do = ]/3 o1(de1 — de3)/2. В терминах интен-
сивность напряжений и интенсивность приращений деформаций
это выражение принимает вид
da/de — ]/3 о; z = 1/]/3 .
(10.22)
238
Т а б л и ц а 10.2
Схема нагруже- ния е е1 е2 е3 = In t/t0
Простое растя- жение п — В п — В —L(n_B) ±-(п-В)
Цилиндрическая оболочка Уз о ии 0 Уз 2 п в 3J
Сферическая оболочка (£-*) 4(
Схема нагруже- ния о/А О1/А О2/А
Пр остое р астяже- ние пп пп 0
Цилиндрическая оболочка п п 2 [ п \« 1 / п ' п
Сферическая обо- лочка п ( 2л \« 3 ) п
Для материала с о = А (В + е)" интенсивность деформации
в момент потери устойчивости е = («/]/3 ) — В.
Значения главных напряжений и деформаций даны в
табл. 10.2, сравнение макси -----------------------------
мальных главных деформаций
с продольными деформациями
при одноосном растяжении по-
казано на рис. 10.10. Из этой
диаграммы видно, что макси-
мальная деформация цилиндра
в момент потери устойчивости
намного меньше соответству-
ющей продольной деформации
при простом растяжении. Если
разрыв стенок тонкостенного
сосуда под давлением происхо-
дит почти сразу после потери
устойчивости, то это свидетель-
ствует о недостаточной пластич-
ности материала,
Рис. 10.10. Деформации при потере
устойчивости тонкостенной-Трубки или
цилиндра
239
10.7. УСТОЙЧИВОСТЬ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ
ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
Для сферической оболочки, находящейся под действием вну-
треннего давления, оу = о2 = pr!2t, х = 1, dex ==de3=—de3/2.
Из условия потери устойчивости dp = 0
V = Т- - Т- = 0 0.23)
Из (10.16) и (10.17) при х = 1 о = оу; de = 2det = 2dea = —de3.
Поэтому в момент потери устойчивости
de!de = -g’O'j (10.24)
2 = 2/3 (см. табл. 10.2).
Максимальные главные деформации в момент потери устойчи-
вости больше, чем в случае тонкостенного цилиндра, но меньше,
Рис. 10.11. Деформации при потере Рис. 10.12. Зависимость 1/z от отно-
устойчивости сферической оболочки шения напряжений в тонкостенной
трубке
10.8. УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ ТРУБОК
ИЛИ ЦИЛИНДРОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО
ДАВЛЕНИЯ И НЕЗАВИСИМОЙ АКСИАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
ПРИ НАЛИЧИИ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
Теперь можно рассмотреть более общий случай состояния
потери устойчивости тонкостенного цилиндра. Из условия равно-
весия главные напряжения оу2лг/ = Р + лг2р; ое = pr/t, где р —
внутреннее давление; Р —- независимая осевая нагрузка; г —
текущее значение радиуса цилиндра; t — текущее значение тол-
щины стенки. Теперь предположим, что нагрузка прикладывается
таким образом, что отношение тангенциального напряжения к про-
дольному остается постоянным во время деформации. Потеря
240
(10.25)
устойчивости происходит, когда полная осевая нагрузка или
внутреннее давление становятся максимальными. Этот критерий
был предложен Ланкфордом и Сэйбелом (1947 г.) и обсуждался
Меллором (1962 г.). Существуют два вида потери устойчивости;
это либо шейка при растяжении в продольном направлении, либо
локальное радиальное выпучивание. Если полная осевая нагрузка
достигает максимума в момент потери устойчивости, то
1
, „ 2 [(Q'e/o'z)2 — (ае/аг) + 1]2
2—(ofc/oz)
а если действует максимальное внутреннее давление, то
I
Za = J - (°z/^e) + 1]2 • (10-26>
Изменение соответствующего z при изменении отношения на-
пряжений показано на рис. 10.12. В испытаниях, проведенных
Джонсоном и Меллором (1967 г.), очень тщательно исследована
Рис. 10.13. Формы потери устойчивости тонкостенных трубок (по данным
Джонса, Меллора)
деформация цилиндров из хромоникелевой стали при постоянном
отношении напряжений. Виды разрушения показаны на рис. 10.13.
Экспериментальные результаты подтвердили предполагаемые
формы потери устойчивости и соответствующие им деформации.
Свифт (1952 г.), Марчиньяк (1958 г.), Хиллер (1965 г.), Сто-
ракерс (1968 г.) предложили теорию для более общего нагруже-
ния, когда отношение напряжений не постоянно. Дэвис (1945 г.)
провел испытания с трубками из мягкой стали, у которых отноше-
241
ние приложенной осевой нагрузки к внутреннему давлению по-
стоянно. Однако в то время интересовались разрушением и по-
этому деформации после потери устойчивости не рассматривали.
10.9. УСТОЙЧИВОСТЬ КРУГЛЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ
ДИАФРАГМ
В рассматривавшихся выше процессах распределение напря-
жений было однородно до наступления состояния потери устой-
чивости. Если круглый лист металла (диафрагму) зажать по внеш-
ней окружности и с одной стороны создать давление жидкости,
напряжений в стальной диафрагме
при высоте полоса, дюймы:
1 — 2,25; 2 — 2,00; 3 — 1,75; 4 — 1,50
Рис. 10.15. Диафрагма
то его форма станет почти сфе-
рической, кроме области вблизи
зажатого контура. Отклонение
от правильной сферы отражается на распределении напря-
жений и их отношении, кроме части вблизи полюса, где
для изотропного материала х=1. На рис. 10.14 показано
изменение отношений напряжений в стальной диафрагме
радиусом 5 дюймов. Значения отношений напряжений можно
получить, измеряя деформацию по куполу и используя соотноше-
ния Леви — Мизеса для напряжений и приращения деформаций.
В большинстве случаев деформирования образуется сферический
купол радиусом 2 дюйма. При увеличении прогиба мембраны
сферическую форму принимает большая часть мембраны.
Теперь легко определить распределение напряжений и дефор-
маций в пластически деформируемой круглой диафрагме. Хилл
(1950 г.) предложил решение для материалов с линейным дефор-
мационным упрочнением. Результаты, полученные согласно этому
решению для полужесткого алюминия, подтверждены экспери-
ментальными данными (Меллор, 1956 г.). Вслед за Хиллом Томас
(1954 г.) рассмотрел частный случай для мягкой меди и методом
последовательных приближений получил решение, которое под-
тверждено опытом. Однако это решение очень длинное, и если
требуется определить только максимальное давление и деформа-
цию при потере устойчивости, то лучше пользоваться специаль-
ным решением Хилла (1950 г.). Из эксперимента известно, что для
отожженного металла существует максимум давления, а разруше-
242
ние происходит при последующем уменьшении давления в об-
ласти полюса. Соотношение между давлением и кривизной в по-
люсе мембраны р есть р = 2оу1/р, где = <т2 — напряжения в по-
люсе мембраны; t — текущее значение толщины листа. Нормаль-
ным напряжением <т3 пренебрегают.
При потере устойчивости dp = 0 и
dc1 dp dt ,
Щ — р t ’
1 dcj
<Ti des
. 1 dp
"Т" р de3 ’
(10.27)
где деформация по толщине е3 определяется как положительная
величина In (t0/t); t0 — первоначальная толщина листа.
Геометрические соотноше-
ния для сферы
h (2р — 71) = а2; р = (а2 ф- h2)/2h,
(10.28а)
где h — высота полюса (мак-
симальный прогиб мембраны);
а — радиус штампа или на-
чальный радиус заготовки
(рис. 10.15). Предполагая, что
частицы мембраны вблизи по-
люса описывают траектории,
ортогональные мгновенному
профилю, то = dh/p. Поль-
зуясь (10.28а) для р, после ин-
тегрирования получим ' °' °-1’ °'2 0,5 0,5 tnt0/t
ф~).
(10.286)
Соотношения (10.28) и (10.286)
не зависят от свойств металла,
Рис. 10.16. Зависимость деформации
по толщине от радиуса кривизны
полюса для:
X — мягкой меди; д — мягкого алюми-
ния; □ — полужесткой меди; V — по-
лужесткого алюминия; —----- — теорети-
ческая кривая
но результаты расчета наи-
более пригодны для более прочных материалов (рис. 10.16).
Из (10.27) и (10.28) видно, что потеря устойчивости проис-
ходит, когда dajojdeg = 3/2 — р/2/i. После разложения по сте-
пеням е3 получим
1 rfffi 11________________1_
щ des 8 2е3 ’
(10.29)
Если кривая напряжение — деформация определена выражением
о = А (В ф- е)ф то деформация по толщине в полюсе при макси-
мальном давлении задается квадратичным уравнением
11е32 ф- е3 (11В - 8п - 4) - 4В = 0. (10.30)
243
Для полностью отбжжейного материала Ё = О И
ез = -п~(2п+ 1)-
Более простой, хотя менее точный анализ предполагает пара-
болическую форму мембраны при выпучивании (Джонсон и др.,
1963 г.), для которой р = a2/2h при о = А (В + в)" и е3 = (п +
-------или при cr = Y + Ре,т1п и е3 = z = (Y/Р) [(1 +
2z)/(l + 2z + m/n)]~m/".
Независимо от того, насколько упрочнен материал первона-
чально, теоретически деформация при разрушении всегда больше
Vu. Это особенность гидростатиче-
ского выпучивания круглой метал-
лической мембраны. Поэтому испы-
тание на выпучивание очень удобно
для получения диаграммы напряже-
ние — деформация при двухосном
растяжении. Зависимость деформа-
ции в момент потери устойчивости
Рис. 10.17. Теоретическое опре- От В и « показана на рис. 10.17.
деление деформации металли- Б табл. 10.1 теоретические зна-
ческой диафрагмы при потере чения отношения ТОЛЩИНЫ в момент
устойчивости [е3 = in (t0/t) ] потери устойчивости, полученные из
уравнения Хилла, сравниваются
с экспериментальными данными (Меллор, 1956 г.) для многих мате-
риалов. Мягкая и полужесткая латуни и полужесткий алюминий
разрушаются при почти постоянном давлении. После сравнения экс-
периментальных и теоретических данных можно предположить,
что потеря устойчивости и разрушение наступают одновременно.
Теория дает хорошие предсказания величины деформации в момент
потери устойчивости.
Анализ гидростатического выпучивания существенно упро-
щается, поскольку отсутствует трение между средой, создающей
давление, и заготовкой. При формовке жестким пуансоном вели-
чина и локализация деформации значительно зависят от качества
смазки между пуансоном и материалом. Глубокая вытяжка круг-
лой заготовки еще более сложна, хотя потеря устойчивости в этом
случае всегда происходит выше торца пуансона, но определяется
силами трения и радиальными растягивающими напряжениями,
вызываемыми вытяжкой и изгибом на кромке матрицы.
Интересный общий подход к определению потери устойчивости
в металлическом листе, нагруженном двухосным растяжением,
был предложен Марчиньяком и Кучинским (1967 г.). Их гипотеза
основывается на наличии первоначальной неоднородности листа
металла. Она была развита Совербаем и Дунканом (1971 г.), а не-
которые экспериментальные результаты были получены Бенте-
ром, Джонсоном, Малхербе (1971 г.).
244
г
id.io. прочность Тонкостенных оболочек
И КРУГЛЫХ ДИАФРАГМ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
гидростатического давления
Предел прочности на растяжение или временное сопротивление
разрыву (<тБр) соответствует максимальной нагрузке, достигаемой
при простом растяжении, которая означает конец равномерного
деформирования. Аналогичные условия возникают в оболочках,
испытывающих медленно увеличивающееся внутреннее давление.
Для проектирования интересно знать, какие ошибки влечет за
собой вычисление максимального давления в результате исполь-
зования овр. Для этих целей условное напряжение при потере
устойчивости определяют как напряжение, вычисленное с исполь-
зованием первоначальных размеров оболочки, и затем сравни-
вают с ОБр.
Для определения упрочнения металлов пользуются уравне-
нием а = А (В + е)п. В этом случае из (10.13) и табл. 10.2 выра-
жение для <тБр имеет вид
оБ = = Апп ехр (В — п), (10.31)
ло
где Рт — максимальная нагрузка, Хо — площадь первоначального
поперечного сечения.
10.10. 1. Тонкостенная труба или цилиндр
Тангенциальное напряжение при потере устойчивости (см.
табл. 10.2) o’! = pr/t = А (п/У3 )"2/]/3 , где г и t — среднее зна-
чение радиуса цилиндра и толщины стенки при потере устойчи-
вости. Теперь необходимо найти зависимость между максималь-
ным внутренним давлением первоначальной толщиной t0 и перво-
начальным средним радиусом цилиндра г0. Деформации
ej = In r/r0 = (n/K3 — В) ]Дз /2;
- = In t0/t = (п/Уз - В) УЗ /2.
Отсюда текущее значение
г = г0 ехр 0,5 (и — Уз В\, t = t0 ехр 0,5 (У3 В — и).
Давление при потере устойчивости
-^^yexp(VTB-n). (10.32)
№' Член А (~Уу)П еХР 3 В — п) представляет условное
Напряжение при потере устойчивости, т. е. напряжение, определя-
емое первоначальными размерами цилиндра. Обозначим эту вели-
чину через Вр Какая ошибка возникает, если в (10.32) подставить
Овр вместо 5j?
245
Отношение Sj/o^ == 2/ (}z3 )"+1 exp В (j/Д — l) = Ki, и давле-
ние в момент потери устойчивости можно записать в виде
р = K^to/1». (10.33)
На рис. 10.18 показана зависимость 1(г от п и В. Условие
п = 0 относится к идеальному жесткопластическому материалу,
потеря устойчивости наступает в момент наступления предела
текучести (К1 = 1,155). В случаях, когда > 1, использование
овр для определения давления при потере устойчивости ведет
к недооценке прочности материала, при К < 1 — наоборот. Сле-
довательно, максимальное давление зависит от п. В зависимости от
величины п максимальное давление можно недооценить на 13%
или переоценить на 15%. Первоначальное упрочнение (увеличе-
ние В) приводит к увеличению /Съ но деформация при потере
устойчивости уменьшается.
В качестве примера рассмотрим тонкостенный цилиндр из алю-
миния (см. табл. 10.1). Для мягкого алюминия при В = 0 и п =
= 0,25 (рис. 10.8) получаем ?« ,1. Поэтому использование в этом
случае сгвр позволяет найти точно максимальное давление. Однако
у полужесткого алюминия (В = 0,222; п = 0,25) потеря устой-
чивости наступает раньше, чем общее удлинение достигнет опре-
деленного значения.
Рис. 10.18. К расчету на проч-
ность тонкостенных трубок или
цилиндров (Л'х = Sj/C7b],)
Рис. 10.19. К расчету на проч-
ность сферических оболочек
(^2 = Sg/^Bp)
10.10. 2. Сферическая оболочка
Последовательность анализа точно такая же, как и в случае
тонкостенного цилиндра. Главные напряжения при потере устой-
чивости Oj = cr2 = pr!2t = А (2п/3)п. Деформации elt е2 и е3
в зависимости от размеров оболочки ех = е2 = In r/r0 ==
= 0,5 (2п/3 — В); —е3 = In t0/t = (2п/3 — В), при этом г =
= г0 ехр 0,5 (2и/3 — В); t = t0 exp (В — 2п/3). Давление при
потере устойчивости
р = ^-=^>л(^)"ехр(4в^Я). (Ю.34)
Член А ехр В — п} есть условное напряжение при
потере устойчивости. Обозначим его через S2.
246
Отношение S2/oEP = (2/3)n exp B/2 = /С2 и давление при потере
устойчивости можно записать
р = 2K2aBpt0/r„. (10.35)
Зависимость /<2 от п и В показана на рис. 10.19. Всегда /\2 <
< 1. Это значит, если максимальное достигаемое давление вы-
числять, пользуясь только сгвр, оно будет всегда завышено. Для
материалов с п = 0,5 и В = 0 это приведет к переоценке макси-
мального давления примерно на 22%.
10.10. 3. Круглые диафрагмы
Для отожженных металлов можно наблюдать максимум давле-
ния; разрушение мембраны происходит вблизи полюса при умень-
шающемся давлении. Деформация при потере устойчивости е3 =
= In tjt задается уравнением (10.30). Отсюда следует, что напря-
жение в полюсе при потере устойчивости есть cTj = А (В + е3)п.
Зная е3 и о,, из (10.28) можно определить радиус сферы в полюсе
и максимальный прогиб мембраны. Определяется и максимальное
давление р = 2<зр11р.
В табл. 10.3 приведены теоретические и экспериментальные
результаты. Некоторые материалы разрушаются без достижения
ярко выраженного максимума давления жидкости. Эксперимен-
тальные результаты представлены и для этих случаев разрушения.
По этой таблице теоретически определенный максимальный прогиб
мембраны в момент потери устойчивости меньше, а радиус кри-
визны больше по сравнению с экспериментальными данными.
Максимум давления масла, определенный теоретически, для всех
материалов меньше по сравнению с экспериментальными; лучшее
совпадение результатов — для более прочных материалов. Для
отожженных материалов давление при потере устойчивости не-
дооценивается на 5—8%. Это следует из уравнения (10.28), которое
является недостаточно точным для отожженных материалов и
более точным для прочных. Все теоретические результаты зависят
от того, насколько хорошо выбрана эмпирическая зависимость
о = А (В + е)п для описания экспериментально построенных
кривых деформационного упрочнения.
10.11. ЭМПИРИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ОПИСАНИЯ
КРИВОЙ НАПРЯЖЕНИЕ—ДЕФОРМАЦИЯ
Для описания кривой напряжение — деформация наиболее
широко используют выражение о = Сет, где Сит — постоянные
для данного материала. Постоянная т зависит от степени перво-
начального упрочнения, малые значения свидетельствуют о нали-
чии предварительной-холодной деформации металла.
Вейл (1958 г.) и Свенсон (1958 г.) исследовали давление при
разрыве тонкостенных цилиндров и сферических оболочек, поль-
зуясь этим уравнением, и получили уравнения (10.32) и (10.34)
для случая В — 0, п = т. Кривые, построенные для случая
В = 0 (см. рис. 10.18 и 10.19), можно описать уравнением о =
— Се,т. При этом более прочные материалы с низким значением
т = п имеют большую величину К; К = —— .
Уравнение о = А (В + е)п имеет преимущество, поскольку
позволяет оценивать способность металлов к штамповке. Напри-
мер, различие между мягкой
Рис. 10.20. Диаграммы напряже-
ние—деформация для полутвердого
(/) и мягкого (II) алюминия, по-
строенные с помощью формул:
1) <Г= 21 400 ё°>1: 2) а — 22 200 X
X (0,222 а>0,2б ( ... _ ПОЛученные
экспериментально)
латунью и мягким алюминием яв-
ляется четко выраженным (см.
табл. 10.1 и 10.2). Выбрав наибо-
лее подходящий материал (с вы-
соким и), можно изучать влияние
упрочнения на способность к штам-
повке. Еще одно преимущество
этого уравнения состоит в том, что
оно дает лучшее описание кривых
напряжение — деформация для бо-
лее прочных материалов. Это по-
казано на рис. 10.20, на котором
приведены кривые напряжение —
деформация для двух марок алю-
миния. Экспериментальные ре-
зультаты при высоких степенях
деформации были получены при
пластическом деформировании
круглой диафрагмы. Кривая на-
пряжение — деформация для по-
лутвердого алюминия показана
на этом рисунке только до момента образования шейки в образце
при простом растяжении. Кривую для полутвердого алюминия
до больших деформаций можно описать уравнением о =
= 22 200 (0,222 + e)0>2S или сг = 21 40060-1. При использовании
последнего уравнения отношение толщин при потере устойчивости
круглой диафрагмы равно 0,646; это подтверждено экспериментом.
Однако последним уравнением нельзя пользоваться для пред-
сказания величины деформации растяжения при потере ус-
тойчивости, поскольку видно, какая большая разница между
теоретической и экспериментальной кривыми при малых дефор-
мациях.
Оказалось, что деформация растяжения при потере устойчи-
вости± определенная экспериментально, равна 0,03, а из выраже-
ния о = 22 200 (0,222 + е)0-25 (п — В) = 0,028. Теоретически
полученное значение деформации меньше, поскольку упругими
деформациями пренебрегаем. Если пользоваться выражением
о — Сет, то следует снова определить постоянные С и т, используя
другие^, (условия,
248
Таблица 10.3
Металл Потеря ус- Я о я я 0^. Давление . масла, фунтс-дюйм2 Максималь- ный прогиб, дюймы Радиус кри- визны в по- люсе, дюймы Напряжение в полюсе, фунтс/дюйм2.
Мягкая медь 0,555 408 3,30 5,25 53 000
0,563 378 2,88 5,78 53 000
Полутвердая медь 0,59 404 2,85 5,65 52 900
0,581 396 2,79 5,86 54 800
Мягкая латунь 0.50F 610F 4,18F 5,05F 84 900F
0,498 590 3,22 5,50 89 100
Полутвердая латунь 0.51F 650F 3,66F 5,10F 90 500F
0,518 633 3,12 5,57 94 300
Мягкий алюминий 0,565 148 3,20 5,35 19 200
0,580 138 2,80 5,86 19 100
Полутвердый алюминий 0,65F 150F 2,43F 6,35F 20 400F
0,613 148 2,63 6,06 20 400
Спокойная сталь 0,56 602 3,23 5,20 80 500
0,603 555 2,68 6,00 79 500
Нержавеющая сталь 0,52 1260 3,90 5,00 168 500
0,487 1240 3,28 5,45 190 300
Примечание. В числителе стоят данные, полученные экспериментально,
в знаменателе — теоретически. F означает, что материал разрушается при возрастании
давления. Радиус матрицы — 5 дюймов и первоначальная толщина металла —0,036 дюйма.
10.12. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
Если угловая скорость вращения тонкого круглого диска при
комнатной температуре постепенно увеличивается, то в диске
сначала появляются упругие деформации, затем при определенной
скорости достигается предел текучести и развиваются пластиче-
ские деформации при наличии упрочнения до тех пор, пока весь
диск не будет деформироваться пластически. Дальнейшее увели-
чение скорости вызывает неограниченное пластическое течение.
Диск не теряет устойчивости, пока увеличение скорости не при-
ведет к пластическому течению. Приведенный ниже анализ про-
водится при наличии больших пластических деформаций; это
означает, что упругими деформациями можно пренебречь. Мате-
риал однородный и изотропный.
Ю.12.1. Равнопрочный диск (Валдрен, Перси, Меллор, 1966 г.)
Равнопрочный диск —это такой диск, у которого радиальное ог
и тангенциальное сг0 напряжения равны и постоянны при всех
значениях радиуса. Аксиальное напряжение <зг = 0. Это значит,
249
Что диск должен быть жестким и достаточно тонким, чтобы пред-
положение сгг = 0 было верным. Предполагается, что на края
диска действует радиальная нагрузка, которая зависит от формы
лопатки. Равнопрочный диск, как правило, рассматривается при
упругом деформировании, но мы расширим это определение и рас-
смотрим его при больших пластических деформациях. Интенсив-
ность напряжений
а — ° г — °0
(10.36)
соответствующая интенсивность деформаций
е = 2ег = 2е0==—ez, (10.37)
где ег, е0 и ez — радиальная, тангенциальная и осевая (по тол-
щине) деформации соответственно.
На рис. 10.21 показана модель ротора, который спроектирован
так, что в плоскости диска действуют однородные напряжения.
При определенном значении скорости со текущее значение радиуса
у основания лопатки равно b и текущее значение радиуса до центра
силы тяжести лопатки равно г. Текущее значение толщины у осно-
вания лопатки Л Как показано, наименьшая толщина диска —
у основания лопатки. Влияние утолщения для крепления лопаток
рассмотрим позднее.
Предположим, что напряжение, возникающее в результате
равномерно по боковой по-
верхности диска. Можно за-
писать
ог (2nbt) == С^со2/-, (10.38)
где постоянная Сг — масса
всех лопаток. Геометриче-
ская форма лопаток, тре-
буемая для создания на-
грузки на вращающемся
диске, может быть различ-
— начальный радиус центра
силы'тяжести лопатки/,будет иметь определенное значение при
заданной частоте вращения, Сг и г0 можно изменять с условием,
что их произведение остается неизменным.
При увеличении частоты вращения радиус диска b увеличи-
вается, и центр силы тяжести лопаток перемещается в радиальном
направлении от центра вращения. Позднее будет показано, что
лопатки деформируются только упруго даже в момент разрыва
и поэтому относительным перемещением центра тяжести лопаток
и изменением радиуса г можно пренебречь. Тогда г = b + 4»
250
вращения лопаток, распределяется
Рис. 10.21. Идеальный равнопрочный
диск: 1 — лопатка
ной. [Хотя множитель ' Сл-р, где г0
где 10 — постоянное значение между основанием лопатки и ее
центром силы тяжести. Поэтому
ог (2лЫ) = С1(о2 (Ь 4- /())
или ort == С,®2 ф-г°
г 2 ь
где С2 — вторая постоянная.
При потере устойчивости угловая скорость максимальна. Из
(10.39) получим условие потери устойчивости
cfoy . dt db db .
b + l0 ~ ~b~‘ (10.40)
Теперь dt/t = de.z, db/b = dee, и, поскольку из (10.37) 2de0 —
= —dez и из (10.36) о = сг, условие потери устойчивости можно
записать в виде
de db
(10.39)
db
при потере устойчивости
Г-т-T-TW <1М1>
Это уравнение имеет простую интерпретацию при 10 = 0 и 10 = со.
Случай 10 = 0 означает, что теоретически центробежная нагрузка
концентрируется на радиусе Ь. Уравнение (10.41) поэтому при-
нимает вид da/a = 2db/b = 2dee или da/de = о. Таким образом,
для материалов со степенным упрочнением сг = /Се" интенсивность
деформации при потере устойчивости есть п. Деформация по тол-
щине при потере устойчивости имеет то же значение. Напряжения
в диске идентичны действительным напряжениям при потере
устойчивости для того же самого материала при простом растя-
жении, а тангенциальная деформация
равна п/2.
При 10 -> со член dbKb + /0) -> 0 и (10.41) принимает вид
da/de = о72. Деформация по толщине при потере устойчивости
равна 2п, а тангенциальная деформация п. Действительные напря-
жения в диске при потере устойчивости будут больше, чем при
потере устойчивости в испытаниях на простое растяжение. Пове-
дение диска при /0 -> со такое же, как поведение плоского листа
железа однородной толщины, испытывающего однородное ради-
альное напряжение растяжения на внешнем контуре.
Условие потери устойчивости равнопрочного диска зависит
от радиального смещения центра силы тяжести лопаток. По-
скольку лопатки можно считать жесткими, потеря устойчивости
будет зависеть от 10 и п. Значение тангенциальной деформации
при потере устойчивости в условиях практически используемой
частоты вращения находится в пределах между п/2 и п. Это изме-
нение деформации можно исследовать и дальше, рассматривая /(
как часть радиуса р до основания Ьт. Если предположить
= pbm, уравнение (10.41) принимает вид ~ f -у2-
Л - 1 (2-I-P)-
de 2 (1 + р)
•о
4 =
или
251
Интенсивность деформации при потере устойчивости е,п =
= 2п (1 + р)/(2 + р), а тангенциальная e0m — п (1 + р)/(2 + р).
Рассмотрение зависимости (e0m/n) от (Z0/fc0) позволяет получить
большую информацию. Для частного п отношение 10/Ь0 легко полу-
чить, поскольку e0m = In (bm/b0). Единственная неприятность —
это различная зависимость (е0т/и) от (/0Д0) для различных значе-
ний п. Этот метод был иллюстрирован при п = 0,105, результаты
даны на рис. 10.22. Такое значение п характеризует материал
равнопрочного диска, использованного при испытании в Nati-
Рис. 10.22. Зависимость дефор-
мации при потере устойчивости
от геометрии диска для п =
= 0,105 (по данным Уолдреиа,
Перси и Меллора)
onal Gas Turbine Establishment. Раз-
ница между двумя кривыми невелика,
поскольку п мало. На рисунке даны
значения (4/%) и (10/Ь0) до единицы,
но на практике эти отношения, как
правило, <0,5. При и = 0,105 и
ljbo = 0,244 тангенциальная дефор-
мация при потере устойчивости равна
0,058, что примерно на 10% больше
минимально возможного значения
0,0525. Выбранное значение lolbQ =
= 0,244 характеризует испытуемый
диск.
Пластическая деформация вра-
щающихся дисков при плоском на-
пряженном состоянии рассматрива-
лась уже много раз. Анализ осно-
вывается на условии пластичности
Треска и связанных с. ним уравне-
ниях пластического течения, либо на деформационной тео-
рии пластичности Генки. Решения Треска и Генки сравнивались
Перси и Меллором (1964 г.). Теория Генки оказалась более про-
дуктивной, и для решения был использован метод конечных раз-
ностей, предложенный Мансоном (1951 г.). Эта теория предпола-
гает соотношение между напряжением и деформацией 1 : 1 и дает
правильное решение, если впоследствии (апостериори) можно
показать, что отношения напряжений остаются постоянными в про-
цессе деформирования. Использование электронного цифрового
компьютера позволило получить результаты большей точности,
чем раньше.
Последовательность вычисления состоит в следующем: вы-
бирают деформацию в центре диска и угловую скорость и, начиная
от центра диска, вычисляют распределения напряжений и дефор-
маций методом конечных разностей с большим числом шагов по
диску. Точки распределены неравномерно, но достаточно близко
друг к другу, особенно в областях резкого изменения плотности
диска или резкого изменения напряжений и деформаций. Если
вычисленное радиальное напряжение на периметре верно, т. е.
равно нулю для простого диска или радиальному напряжению,
252
вычисленному из условия передачи нагрузки от лопаток на диск
турбины, то значения угловой скорости и деформации в центре
диска были выбраны правильно. Если радиальное напряжение на
периметре вычислено неверно, то выбирают другое значение
угловой скорости при той же деформации в центре диска и вы-
числения повторяют. Для получения точного результата доста-
точно выбрать три или четыре значения скорости. Затем выбирают
следующее значение деформации и подбирают соответствующую
скорость. Увеличение деформаций
происходит до тех пор, пока ско-
рость не достигнет своего максималь-
ного значения и не будет определена
деформация при потере устойчиво-
сти. Распределение напряжений и
деформаций по диску автоматически
записывается для каждого значения
центральной деформации. Таким об-
разом, можно изучать влияние гео-
метрии и упрочнения на распределе-
ние напряжений и деформаций по
диску, а также на условия потери
устойчивости.
Рассмотрим равнопрочный диск,
показанный на рис. 10.23 (Валдрен,
Перси и Меллор). Этот диск был спро-
ектирован и испытан до разрушения
в National Gas Turbine Establishment.
В следующем числовом анализе ис-
пользуют размеры диска и кривую
деформационного упрочнения его
материала, которую можно опи-
сать уравнением о = 70,5е0-105. Используемый материал имеет
начальный предел текучести 38,4 тс/дюйм2 и предел прочности при
растяжении 50 тс/дюйм2. Решая задачу численным методом, мы
нигде не предполагали, что диск равнопрочен. Если на самом деле
он равнопрочен, это отразится на результатах. Предполагается,
что при вращении лопаток происходит создание однородного ра-
диального растяжения на периметре с начальным радиусом
2,25 дюйма. Площадь боковой поверхности диска при вычислении
нагрузки считается постоянной. Можно доказать (апостериори),
что это предположение верно.
Зависимость скорости вращения диска от центральной дефор-
мации изображена на рисунке. Оказалось, что максимальное
значение скорости равно 54 307 об/мин. Соответствующая нату-
ральная тангенциальная деформация в центре ^==0,06. Теорети-
ческое распределение напряжений и деформаций в диске спра-
ведливо до точки, соответствующей потере устойчивости (рис. 10.24
и 10.25) при скорости 54 305 об/мин. Из рис, 10.24 видно, что тан-
253
0,125
Рис. 10.23. Равнопрочный диск
(50 лопаток, размеры — в дюй-
мах)
генциальное и радиальное напряжения почти одинаковы и одно-
родны от центра до самой удаленной части ротора. Разность
между двумя напряжениями возникает из-за прерывности про-
филя диска при радиусе 0,765 дюйма.
Деформации (рис. 10.25) имеют подобные различия. Наиболь-
шее различие между деформациями — при радиусе 0,765 дюйма.
Следует заметить, что тангенциальная деформация имеет большое
значение даже на боковой поверхности, а радиальная деформация
уменьшается до небольшого отрицательного значения на боковой
Меллора)
Распределение напряжений и деформаций в местах закрепле-
ния холостых лопаток и основного ротора очень сложное. Везде,
кроме узкой области вблизи боковой поверхности диска, лопатки
испытывают максимальное радиальное напряжение 24 тс/дюйм2,
которое гораздо меньше предела текучести (для материала
38 тс/дюйм2); это сопровождается тангенциальной деформацией
0,046. При рассмотрении одного диска можно видеть, что радиаль-
ные деформации на боковой поверхности практически равны нулю,
а радиальное напряжение при этом радиусе может базироваться,
как уже указывалось, на первоначальной площади.
Скорость, при которой происходит разрыв, определена экспе-
риментально и равна 54 900 об/мин. В этой работе получено хоро-
шее совпадение с теоретически определенной скоростью, соответ-
ствующей потере устойчивости 54 307 об/мин. Это так потому, что
скорость почти постоянна при быстром увеличении деформации.
Вычисления надо проводить с большой точностью, поскольку мы
имеем дело со скоростями, различающимися на 5, 10 или
200 об/мин.
Тенгенциальная деформация в центре диска, измеряемая после
разрыва, ^0,05, в то время как теоретическое ее значение —0,06.
254
Простая теорий предсказьшает деформацию потери устойчивости
0,058. Измерения диска после разрыва указывают, что деформации
распределяются равномернее, чем предсказывает теория.
10.12.2. Диск постоянной толщины
Теорию Генки также можно использовать при рассмотрении
полых дисков постоянной толщины и результаты сравнить с по-
дробными экспериментами Перси (1967 г.). Эксперименты пока-
Рис. 10.26. Последовательные операции шлифовки диска для определения
точки начала образования шейки при сверлении. Указана глубина шлифовки
(по данным Перси)
вали, что при потере устойчивости отверстие диска становится
эллиптическим и наибольшее утонение отверстия происходит
Вдоль малой оси эллипса. Это ясно видно на рис. 10.26, где одна
сторона деформируемого диска постепенно опускается.
255
Робинсон (1944 г.) предположил, что Диск разрушается, когда
номинальное’среднее значение тангенциального напряжения ста-
новится равным пределу прочности материала при растяжении.
Номинальное среднее значение тангенциального напряжения опре-
деляется как сила, возникающая при вращении диска и действу-
ющая на одну его половину, деленная на площадь первоначаль-
ного меридионального поперечного сечения. Для диска постоян-
„ 1 ч / й! — ай \
нои толщины оно равно pcoj ( ---, где а0 — внутренний
радиус; Ьо — внешний радиус диска; р — плотность материала;
(дь — угловая скорость при разрыве.
Сравнение предсказанных значений скоростей при разрыве
с экспериментальными дано в табл. 10.4. Видно, что теория Генки
дает более точные значения скоростей при разрыве, чем критерий
прочности на растяжение. Для данного материала последний
критерий дает удовлетворительные для практических целей
оценки. Однако, как объяснялось в подразделе 10.10, точность
критерия прочности при растяжении зависит от характеристик
деформация — упрочнение материала. Винн и Вундт (1958 г.)
экспериментально показали, что критерий может давать значения
скорости при разрыве, завышенные на 5,5% и заниженные на 4%
(см. задачи 40—42).
Таблица 10.4
Отношение радиусов Ь0/а0 Действительная ско- рость при разру- шении, об/мин Предсказанная скорость при разрушении, об/мин
По Генки Av = <твр
3,5 89 100 86 874 86 573
5,0 93 850 92 188 90 903
7,5 98 280 96 550 94 400
10,0 99 270 98 420 96 051
15,0 101 170 100 200 97 850
20,0 102 120 100 968 98 680
Примечание. 6С — первоначальный внешний радиус диска; ае — первона-
чальный внутренний радиус диска.
ЛИТЕРАТУРА
Пластический изгиб колонны
Bleich, F. 1952 Buckling Strength of Metal Structures McGraw—Hill, New York
Hill, R. 1957 «Stability of Rigid—plastic Solids» J. Mech. Phys. Solids 6, 1
Hill, R., Sewell, M. J. 1959 «А General Theory of Inelastic Column Failuf® I and II J. Mech. Phys. Solids 8, 105
256
Karman, Th. V.
Shanley, F. R.
Van den Broek, J. A.
Wang, Chi—Ten
Davis, E. A.
Hill, R.
Hillier, M. J.
Jones, В. H.,
Mellor, P. B.
Johnson, W.,
Duncan, T. L.,
Kormi, K.,
Sowerby, R.,
Travis, F. W.
Lankford, W. T.,
Saibel, E.
Manson, S. S.
Marciniak, Z.
Marciniak, Z.,
Kuczynski, K.
Mellor, P. B.
Percy, M. J.
Percy, M. J.,
Mellor, P. B.
1910 Untersuchungen uber Kjiickfestigkeit, Mitteil-
ungen uber Forschungsarbeiten, Verein deutscher
Ingenieure, Heft 81
Springer, Berlin
1947 «Inelastic Column Theory»
J. Aero Sci. 14, 251
1945 «Column Formula for Materials of Variable
Modulus»
Eng. J. (Canada) 28, 772
1948 «Inelastic Column Theories and an Analysis
of Experimental Observations»
J. Aero Sci. 15, 283
Потеря устойчивости при растяжении
1945 «Yielding and Fracture of Medium—carbon
Steel under Combined Stress»
J. appl. Medh. 12, A—13
1950 «А Theory of the Plastic Bulging of a Metal
Diaphragm by Lateral Pressure»
Phil. Mag. (Ser. 7), 41,1133
1965 «Tensile Plastic Instability of Thin Tubes»
Int. J. mech. Sci. 7, 531
1967 «Plastic Flow and Instability Behaviour of
Thin—walled Cylinders Subjectee to Constant-
ratio Tensile Stress»
J. Strain Analysis 2, 62
1963 «Some Contributions to High Rate Sheet Metal
Forming»
Proc. 4 th Conf. Mach. Tool Des. and Res.,
Pergamon Press, 257 pp.
1947 «Some Problems in Unstable Plastic Flow under
Biaxial Tension»
Metals Technol. tech. Publ. 2238
1951 «Analysis of Rotating Discs of Arbitrary
Contour and Radial Temperature Distribution
in the Region of Plastic Deformation»
Proc. 1st U. S. Nat. Cong, of appl. Mech. 595
1958 «Analysis of Plastic Instability of Thin—walled
Tubes under Biaxial Stress»
Rpzpr. inz. 110, 529
1967 «Limit strains in the processes of stretchforming
sheet metal»
Int. J. mech. Sci. 9, 609
1956 «Stretch—forming under Fluid Pressure»
J. Mech. Phys. Solids 5, 41
1960 «Plastic Instability in Tension»
The Engineer, London, March, 25
1960 «The Ultimate Strength of Thin—walled Shells
and Circular Diaphragms subjected to Hydro-
static Pressure»
Int. J. mech. Sci. 1, 216
1962 «Tensile Instability in Thin—walled Tubes»
J. mech. Engng Sci. 4, 251
1967 «Instability in Rotating Discs with Large Pla-
stic Strains»
Ph. D. Thesis, University of Liverpool
1964 «Theoretical Prediction of Tensile Instability
in Rotating Discs»
Int. J. mech. Sci. 6, 421
9 У. Джонсон
257
Robinson, E. L. 1944 «Bursting Test on Steam Turbine Disc Wheels» Trans. A. S. M. E. 66, 373
Sachs, G., 1946 «Failure of Ductile Metals in Tension»
Lubach, J. D. Trans. A.S.M.E. 68, 271
Sowerby, R„ 1971 «Failure in sheet metal in biaxial tension»
Duncan, J. L. Int. J. mech. Sci. 13, 217
Storakers, B. 1968 «Plastic and Visco—plastic Instability of a Thin Tube under Internal Pressure, Torsion and Axial Tension» Int. J. mech. Sci. 10, 519
Svensson, N. L. 1958 «The Bursting Pressure of Cylindrical and Sphe- rical Vessels» J. appl. Mech. 25, 89
Swift, H. W. 1952 «Plastic Instability under Plane Stress» J. Mech. Phys. Solids 1, 1
Thomas, D. G. B. 1954 «Calculations on the Plastic Bulging of an An- nealed Copper Diaphragm» В. I. S. R. A., Research Report, MW/B/4/54 «The limit strains in inhomogeneous sheet metal
Venter, R., 1971
Johnson, W., in biaxial tension»
De Malherbe, M. C. Int. J. mech. Sci. 13, 299
Waldren, N. E., 1966 «Burst Strength of Rotating Discs»
Percy, M. J., Mellor, P. B. Proc. Instn mech. Engrs 180, 111
Weil, N. A. 1958 «Bursting Pressures and Safety Factors for Thin—walled Vessels» J. Franklin Inst. 265, 97
1959 «Rupture Characteristics of Safety Diaphragms» J. appl. mech. 26, 621
Winne, D. W., 1958 «Application of the Griffith—Irwin Theory
Wundt, В. M. of Crack Propagation to the Bursting Beha- viour of Discs, Including Analytical and Expe- rimental Studies» Trans A. S. M. E. 80, 1643
Глава 11
МЕХАНИКА ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ МЕТАЛЛА I
11.1. ВВЕДЕНИЕ
Степень согласованности любой теории с реальным процессом,
который с помощью теории пытаются описать, зависит от того,
насколько выбранная математическая модель близка к реальному
процессу. С учетом этого проведены достаточно полные экспери-
ментальные исследования многих процессов формоизменения ме-
талла. Где возможно, точность теоретических решений была
проверена экспериментально.
В этой главе теоретические решения получены при условии,
что деформация однородная, а трение между инструментами
и деформируемым материалом отсутствует.
Рассмотрим заготовку из неупрочняемого материала, попереч-
ное сечение которой до деформации Ао, а после деформации А.
Удельная работа, израсходованная на деформирование, составляет
Y In Ао/А, где Y — напряжение текучести материала. Это выра-
жение часто используют для приблизительной оценки формо-
изменения, хотя Y иногда выбирают так, чтобы было наилучшее
совпадение с данными эксперимента. В действительности, удельная
работа деформирования больше, поскольку в данном выражении
не учтено упрочнение, трение между инструментами и материалом
и дополнительная работа искривления.
В последующем теоретическом анализе ряда процессов формо-
изменения упругими деформациями пренебрегают как малыми
по сравнению с пластическими, т. е. считают, что материал же-
сткопластический. В этом случае остаточные напряжения не могут
быть найдены теоретически, хотя их экспериментальное определе-
ние будет рассмотрено.
11.2. ВОЛОЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННОЙ ТРУБЫ.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Волочение трубы без оправки — это протягивание трубы через
матрицу, после которого ее внешний диаметр уменьшается
(рис. 11.1, а). При применении этой операции происходит изме-
нение механических свойств материала, уменьшение допуска на
9* 259
внешний диаметр и улучшение качества поверхности. При волоче-
нии с оправкой (рис. 11.1, б) в матрицу вводят оправку или сер-
дечник, что позволяет получать заданную окончательную толщину
стенки трубы (Блазинский, Коул, 1969 г., Моор, Валлас, 1967—
1968 гг. и Флинн, 1969 г.). При волочении труб без оправки полу-
Рис. И.1. Способы холодного волочения труб:
а — без оправки; б — с оправкой
Рис. 11.2. Волочение трубы без оправки через коническую матрицу (а), схема
напряженного состояния (б)
чают большее обжатие. Процесс волочения без оправки будет
рассмотрен ниже. Практически, максимальное уменьшение диа-
метра (степень обжатия) составляет «=^30%.
Оборудование для холодного волочения стальных труб по-
дробно описано Розовым (1968 г.).
Рассмотрим волочение трубы с одинаковой толщиной стенок
через прямую коническую матрицу (рис. 11.2, а). Предполагаем,
что стенка трубы настолько мала по сравнению с диаметром, что
пластическими изгибом и изменением напряжения по толщине
260
можно пренебречь. Когда труба протягивается через матрицу,
каждая ее часть подвергается одному и тому же формоизменению
и, если труба достаточно длинная, то наступает состояние стаци-
онарного течения.
Напряжения в трубе — это напряжение растяжения щ, дей-
ствующее параллельно образующим воронки матрицы; напряже-
ние сжатия сг2, возникающее на контактной поверхности между
инструментом и заготовкой, и напряжение сжатия в тангенциаль-
ном направлении сг3. Если стенка трубы очень тонкая, то g3 может
стать достаточно большим, чтобы вызвать изгиб с образованием
складки вдоль образующей трубы (Закс, Балдвин, 1946 г., а). Для
удобства все напряжения, возникающие в элементе трубы, изобра-
жены на рис. 11.2, б как напряжения растяжения, т. е. положи-
тельными. Действительное направление напряжений станет
ясным из решения.
Между поверхностью воронки матрицы и стенкой трубки су-
ществует сила трения, зависящая от смазки и давления сг2. Если
<т2 — напряжение сжатия, то касательное напряжение, вызыва-
емое трением, в указанном направлении — (—р<та), где р — коэф-
фициент трения. Поэтому <т2 не является главным напряжением.
Также cfj в перпендикулярной площадке также можно объединить
с неоднородным касательным напряжением, но для обычных
условий трения этим последним напряжением можно пренебречь.
Если достигнуто состояние стационарного течения, то мы
можем рассмотреть равновесие элемента трубки (рис. 11.2, б).
Проектируя силы на направление, перпендикулярное образу-
ющей воронки матрицы, имеем
Д— = о3 (f dr -ABcosa (11.1)
2 \ sm а / 3 \ sin а / '
I
или g„ = а» — cos а;
сг2 мало по сравнению с с^, если мало отношение t/r, что всегда
предполагается при анализе.
Проектируя силы на направление, параллельное образующей
воронки матрицы, получим (оу + dcj (г + dr) А6 (i + dt)
— Gjtr A 6 — gs (tdrlsin ct) A 6 sin ct — po2 (r A 6 Hr/sin ct) = 0.
Пренебрегаем величинами второго порядка малости
d(g1 tr) A6 — cr3(tdr) A6 — poy (r A6 — 0
или
-4-(<Mr)-<J3f-p-^—= 0. (11.2)
dr v 7 a r sm a
Подставляя значение cr2 из (11.1) в (11.2), получим
^(oy/r) — oyf(l + pctga) = O. (11.3)
Свифт (1949 г.) показал, что если считать t в приведенных выше
Уравнениях постоянным и, следовательно, пренебречь его изме-
261
нением в уравнении равновесия, то значения вычисляемых напря-
жений и деформация по толщине изменяются мало. Следовательно,
^-(a1r)-o3(l + nctga) = 0. (11.4)
Рис. 11.3. Графическое предста-
вление условия пластичности
Второе уравнение для напряжений получается из условия
пластичности металла. При предполагаемых и известных условиях
(jj > 0 > ст3 и с2~ 0 11 подстановке их в условие пластичности
Мизеса получаем of — о1о3 -f- of = Y2, где Y — напряжение теку-
чести при одноосном напряженном состоянии. При подстановке
напряжений в условие пластичности Треска получаем оу — оу =
= Y. Помним, что оу имеет поло-
жительное направление (см. рис.
11.2,6).
Условие пластичности Мизеса
лучше описывает цветные металлы,
условие пластичности Треска мате-
матически проще, если порядок и
величина напряжений известны.
Поэтому [условие пластичности бе-
рется в виде
оу —оу = тУ, (П-5)
где т — коэффициент Лодэ, полу-
чаемый по методу наименьших ква-
дратов, чтобы удовлетворить усло-
вию пластичности Мизеса. На рис.
11.3 графически представлено модифицированное условие пластич-
ности (ш=1,1). Соотношения между напряжениями и прираще-
ниями деформаций для предполагаемого жесткопластического ма-
териала получаются из теории течения Леви — Мизеса
At! t (Уо Пр; , । , . .л
= ~dr]7 = где °- = + °* + аз)/3 - гидростати-
ческое давление (компонент шарового тензора напряжений).
Пренебрегая малой по сравнению с оу и оу величиной о2, по-
лучаем
= л 161
I ' г ох — 2су v '
Упрочнением будем пренебрегать, а его влияние рассмотрим
позднее.
Последним соотношением, необходимым для решения, является
уравнение несжимаемости
dt . dr । dl
— + — -г —
(11.7)
где dill — приращение деформации в направлении оу.
262
11.3. ВОЛОЧЕНИЕ БЕЗ ТРЕНИЯ
Простейшее аналитическое решение можно получить, если
предположить, что между матрицей и трубой нет трения (р = 0).
Тогда уравнение равновесия (11.4) принимает вид
^(а1г)-о3 = 0. (11.8)
Решая это уравнение совместно с условием пластичности (11.5),
получим = —mYdr/r и после интегрирования ох = —mY In г +
+ С, где С — постоянная интегрирования, определяемая из гра-
ничных условий. При входе в матрицу, где г = г0, продольное
напряжение ох = 0, поэтому С = mY In г0 и тогда напряжения
при любом радиусе г
су = mY In -у-; о3 = mY — — 1). (П-9)
Напряжение волочения оу = mY In r0/rx, где rx — радиус ма-
трицы на выходе.
Деформацию по толщине можно сразу получить, подставляя
эти значения напряжений в соотношения Леви—Мизеса (11.6).
Тогда
dt __ 2 In (r0/r) — 1 dr
t 2 — In (го/г) ~T ’
После интегрирования и подстановки t = t0 толщина стенки
трубы до входа в воронку матрицы
In 4- == 2In — + 3 In Г1 _ .
to Г 1 L 2 J
Осевую деформацию в трубе для любого радиуса можно найти из
условия несжимаемости (11.7).
11.4. ВОЛОЧЕНИЕ С УЧЕТОМ ТРЕНИЯ НА БОКОВОЙ
ПОВЕРХНОСТИ
Напряжение о3 находим из предположения, что условие пла-
стичности имеет вид (11.5). Подставим его в уравнение равновесия
(11.4); тогда
_______doy_______dr
щр ctg a — mY (1 -f- p ctg a) ~~ r
После интегрирования
—J— In {oyp ctg a — mY (1 Д- p ctg a)} = In или
oyp, ctg a — mY (1 -f- p ctg a) = (r/<)r ctsa,
где /f — постоянная интегрирования, определяемая из условия
°i = 0, г = г0. Следовательно,
М+ГайЯМЯИ- <"Ю)
263
Записывая (r/r0)^cf®a=exp [р ctg a In (r/r0) 1 1 — p ctg a In (r0/r)
и считая p -> 0, получаем (11.10) в виде оу = mY In r0/r — напря-
жение волочения без трения.
Изменение напряжения волочения oJmY при уменьшении
отношения rLlr0 для различных значений р ctg а показано на
рис. 11.4. Нагрузка, необходимая для волочения трубы, равна
2nr1t1<y1/cos а, где — толщина
трицы. Деформация по толщине
Рис. 11.4. Зависимость напряжения
волочения от обжатия
стенки трубы у выхода из ма-
была уже найдена при р = 0;
ее определяем также с учетом
трения. Полагая а = р ctg а и
b = (1 + а)! а, тангенциальное
Рис. 11.5. Зависимость деформации по
толщине от обжатия
напряжение о3 получаем из условия пластичности =
= b f 1 — ( —У1 — 1. Подставив значения напряжения в урав-
I \ го / 1
нение Леви — Мизеса (11.6):
dt _ 2Ь {1 — (г/го) °) — 1 dr
~Г ~ 2-^{1--р7^УГ ~ ‘
Интегрируя и учитывая граничные условия t = t0 при г = г0,
получим
In -f- = —Ц- In
to а. — 1
2 (Г/Гв)а
2-b{l-(r/rB)a]
— 21п —. (11.11)
г0
Изменение tjto при уменьшении r-Jr0 для различных значений
р ctg а показано на рис. 11.5. Видно, что толщина стенки трубы
для рассматриваемых процессов обжатия при волочении и коэффи-
циентов трения увеличивается. Можно найти толщину стенки
трубы у выхода tY и вычислить нагрузку, необходимую для воло-
чения.
Уже было установлено, что если в уравнении равновесия при-
нять толщину стенки t постоянной, то это почти не скажется на
величине деформации по толщине. Свифт показал, что упрочнение
слабо влияет на деформацию, однако может сильно влиять на
усилие волочения. Для учета упрочнения при волочении трубы,
264
первоначально упрочненной, достаточно найти среднее напряже-
ние текучести, но для трубы, которая первоначально была отож-
жена, при решении задачи необходимо использовать соотношения
между напряжениями и деформациями (Свифт, 1949 г.; Чанг,
1951 г.; Хилл, 1950 г.).
11.5. СРАВНЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ВОЛОЧЕНИИ
ТРУБЫ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ ТЕОРЕТИЧЕСКИ
И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО
Для сравнения теоретических и экспериментальных значений
напряжений волочения на рис. 11.6 представлены эксперимен-
тальные результаты, опубликованные Заксом и Балдвином
(1946Z? г.). Отношение t0/r0 0,06; коэффициент трения р = 0,1;
а = 14°; среднее напряжение текучести mY = 60 000 фунтс/дюйм2.
Рис. 11.6. Теоретические и экспериментальные зна-
чения напряжения при волочении заготовки из
твердой меди:
/) напряжение текучести; 2) ц = 0; 3) ц ctg а = 0,4
(О — экспериментальные точки)
Рис. 11.7. Сравнение теоретических и эксперимен-
тальных значений деформации по толщине при
волочении труб из мягкой стали толщиной, дюймы:
а — 0,0635; б — 0,1052; в — 0,1305 (по данным Чанга,
Свифта)
При учете трения получают результаты, близкие к теоретическим;
когда же им пренебрегают, то различие может достигать 20%.
Приведенный выше анализ дает набор базисных уравнений для
описания волочения полых оболочек. Матрицы, применяемые
в промышленности, закруглены, а трубы не всегда можно рассма-
тривать как тонкостенные (см. рис. 11.1). Это означает, что надо
265
учитывать напряжение при изгибе и выпрямлении, а также рас-
пределение напряжений о2 по толщине. Чанг и Свифт (1952 г.)
предложили теорию, которая позволяет для волочения труб в про-
изводственных условиях достаточно точно определять нагрузку
волочения, изменение толщины стенки и длины. Когда элемент
трубы (точка А) входит в воронку матрицы и изгибается по ее
профилю, то начинается его деформирование. Поскольку в этой
части нет растяжения от волочения, то изгиб не вызывает замет-
ного изменения толщины стенки. От точки А до точки В, где кон-
чается вогнутый профиль образующей матрицы, напряжение рас-
тяжения в стенке трубы постепенно увеличивается из-за радиаль-
ного растяжения и трения с матрицей. Металл продолжает утол-
щаться под действием тангенциального напряжения сжатия.
После точки В стенка трубы огибает выпуклую часть профиля
воронки матрицы, при этом происходит утонение и очень быстрое
увеличение напряжения волочения. От точки В до точки С напря-
жение волочения и толщина стенки непрерывно увеличиваются.
В точке С происходит разгибание под действием значительного
напряжения растяжения, вызывающее некоторое уменьшение
толщины стенки трубы.
Эксперимент Чанга и Свифта состоял в уменьшении диаметров
3 1
хорошо смазанных труб из стали, латуни и меди от 1 до 1 -j
дюйма при волочении через коническую матрицу с углом при
вершине конуса 26°, радиусом профиля 1,226 дюйма и скоростью
1 дюйм/мин. Толщины стенок были различные. На рис. 11.7 пока-
заны экспериментально и теоретически полученные значения
деформации по толщине стенки при волочении труб из мягкой
стали. Скачки на теоретической кривой соответствуют внезапному
утонению из-за пластического изгиба при изменении кривизны
Таблица 11.1
Составная часть деформации Толщина стенки, дюймы Составная часть деформации Толщина стенки, дюймы
0,0635 0,1305 0,0635 0,1305
Радиальная де- формация, фунтс/дюйм2 % 24 800 75,6 27 320 62,2 Изменение толщи- ны, фунтс/дюйм2 % — 1400 —4,3 —1560 -3,9
Изгиб и разгиб, фунтс/дюйм2 % 3920 11,9 8280 20,7
Суммарное напря- жение, фунтс/дюйм2 % 32 850 100 39 990 100
Поверхностное трение, фунтс/дюйм2 % 5530 16,8 5970 15
266
в точке В. Напряжение по толщине о2 предполагается равным
половине давления со стороны матрицы. Типичный анализ вли-
яния различных факторов на напряжение волочения при-
веден в табл. 11.1.
11.6. ИССЛЕДОВАНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ ОСТАТОЧНЫХ
НАПРЯЖЕНИЙ В ХОЛОДНОТЯНУТЫХ ТРУБАХ
Термин остаточное или внутреннее напряжение относится
к напряжению или системе напряжений, которые возникают
в изделии во время его изготовления и не исчезают при естествен-
ном уменьшении напряжений (релаксации) или снятии внешней
нагрузки. Хотя этому вопросу уделялось много внимания, изме-
рение остаточных напряжений до недавнего времени было очень
приближенным. Задача исследователей заключалась в улучшении
техники измерения, особенно той, которая использовалась при
контроле холоднотянутых труб и других цилиндрических из-
делий.
Для определения и измерения внутренних деформаций в теле
с остаточными напряжениями было предложено много способов,
которые можно разделить на три основных: 1) механический,
2) химический, 3) рентгеновский.
Основные принципы механического и химического методов,
используемых для определения остаточных напряжений, состоят
в следующем. Для определения тангенциальных напряжений от-
резают кольцо от трубы и до испытаний тщательно измеряют все
его основные размеры. После этого разрезают кольцо вдоль обра-
зующей. Изменение внешнего диаметра кольца после разреза
свидетельствует о наличии остаточных напряжений. По изменению
размеров определяют величину остаточных напряжений. В ре-
зультате постепенного одностороннего уменьшения толщины
стенки кольца механической обработкой или химической (травле-
ние) и измерения диаметра на каждой стадии устанавливают
величину упругого пружинения, которая позволяет найти распре-
деление остаточных тангенциальных напряжений по толщине
стенки трубы. Для определения продольных остаточных напряже-
ний вырезают продольный образец из стенки трубы и определяют
величину отклонения от первоначальной прямой линии и кри-
визну. Затем травлением уменьшают толщину образца, опре-
деляют изменение размеров и вычисляют распределение продоль-
ных напряжений по толщине стенки.
Кроме приближенного анализа, для вычисления напряжений
существуют два способа, основанные на измерении прогиба при
изгибе, которые позволяют найти распределение напряжений
в цилиндрических элементах. Эти способы описаны в работах
Давиденкова (1932 г.) и Закса, Эспи (1941 г.). Анализ Закса
и Эспи более удобен для применения на практике, чем анализ
Давиденкова, но его можно использовать при исследовании срав-
267
Рис. 11.8. Распределение оста-
точных тангенциальных на-
пряжений (о3)ост в трубе диа-
метром 3,5 дюйма, полученной
из трубы диаметром 4,25 дюйма
(толщина стенки 0,499 дюйма)
волочением со скоростью
16 фут/мин; х— расстояние от
внешней поверхности стенки (по
толщине)
нительно тонкостенных труб. Вычисление остаточных напряжений
после снятия слоя металла в продольном направлении включает
и обратный процесс — создание деформаций в напряженном теле,
т. е. при удалении слоев можно наблюдать деформации в остав-
шейся части заготовки. Основная работа в этом направлении
проделана Бауером и Хейном, но они рассмотрели только одно-
осное напряженное состояние. В 1927 г. Закс опубликовал более
общий анализ для объемного напряженного состояния, который
теперь известен как утомительный метод Закса. Согласно этому
методу тонкие слои материала посте-
пенно удаляются от внутренней
либо наружной поверхности цилин-
дрического образца и на каждой
стадии определяют изменения длины,
диаметра и толщины стенки.
Мы рассмотрели оба способа опре-
деления прогиба при изгибе и непо-
средственного изменения длины.
В каждом случае для снятия слоя
металла необходима вспомогательная
операция травления. Измерение пе-
ремещений для определения прогиба
при изгибе после снятия слоя ме-
талла обычно выполняют микро-
метром, а измерение длины об-
разца — с помощью электрических
датчиков сопротивления.
В промышленных трубах оста-
точные напряжения в общем слу-
чае неодинаковы в точках, распо-
ложенных на окружности постоян-
ного радиуса. При определении
остаточных напряжений в иден-
тичных образцах, вырезанных из одной и той же трубы по
разным направлениям, были получены различные результиру-
ющие значения остаточных напряжений. В стальных трубах,
изготовленных волочением, имеются остаточные напряжения:
во внешней части сечения (кроме области, расположенной у самой
поверхности), составляющей 60% всего сечения трубы, — растя-
гивающие, в остальной части — сжимающие (рис. 11.8). Следует
отметить быстрое изменение напряжений сжатия на внешней
контактной поверхности и вблизи нее. Эта область остаточных
напряжений вблизи контактной поверхности вызвана трением
с матрицей; она уменьшается при использовании эффективной
смазки. Остаточные напряжения в стенке протянутой трубы
совсем необязательно должны увеличиваться с увеличением сте-
пени обжатия. Экспериментально показано, что может суШе"
ствовать и обратная зависимость.
268
Широкий обзор некоторых подобных способов анализа, а также
аналитическое определение распределения остаточных напря-
жений можно найти в работе Дентона, Александера (1963 г.).
11.7. ГЛУБОКАЯ ВЫТЯЖКА КРУГЛОЙ ЗАГОТОВКИ
11.7.1. Общие сведения
Вначале будем следовать методике, использованной Хессен-
бергом (1954 г.). Самая простая операция глубокой вытяжки —
получение цилиндрической чаши из круглой плоской заготовки.
Однако при сравнении с волочением, когда каждая частица полу-
чает одну и ту же деформацию, в данном случае условия деформи-
рования более сложные. Основные части штампа схематически
изображены на рис. 11.9, а, где заготовка показана разделенной
на три зоны X, Y и Z. Внешняя кольцевая зона X состоит из
Рис. 11.9. Первая операция вытяжки:
1 — прижим; 2 — матрица
материала, соприкасающегося с прижимом и матрицей, внутрен-
няя кольцевая зона Y первоначально не соприкасается ни с пуан-
соном, ни с матрицей, и круглая Z соприкасается с пуансоном.
На рис. 11.9, б показано развитие пластической деформации
в заготовке, вытягиваемой пуансоном с плоским торцом в началь-
ный период (несколько миллиметров). Черные области — это зоны
пластичного течения в заготовке из мягкой стали, выявленные
травлением. В начальный период вытяжки деформации сосредо-
269
точены в зоне Y, очевидно их распространение в зону X. При
дальнейшей вытяжке материал в зоне X перемещается внутрь в на-
правлении пуансона под действием приложенного радиального
напряжения растяжения, непрерывное уменьшение радиусов
окружностей в этой зоне вызывает тангенциальное напряжение
сжатия, что приводит к значительному увеличению толщины
материала. До тех пор, пока со стороны прижима к заготовке не
приложено достаточного давления, тангенциальные напряжения
сжатия будут вызывать образование складок или морщинить
фланец. Когда материал в зоне X проходит по закругленной
кромке матрицы, он утоняется в результате пластического изгиба
и под действием растягивающих напряжений. Внутренние части
воны X продолжают утоняться при увеличении зазора между
матрицей и пуансоном. Во внешних частях зоны X происходит
утолщение материала.
Рассмотрим зону Y. Из рис. 11.9 легко видеть, что часть за-
готовки испытывает изгиб и скользит по закругленной кромке
матрицы, часть вытягивается при растяжении в зазоре между
пуансоном и матрицей, часть изгибается и скользит по закруглен-
ной кромке пуансона.
Наконец, зона Z испытывает растяжение и скользит по торцу
пуансона. Величина деформации зависит от геометрии торца
пуансона и условий трения.
Суммируя все сказанное выше, выделим пять процессов:
1) чистая радиальная вытяжка заготовки между матрицей
и прижимом;. 2) изгиб и скольжение заготовки по кромке матрицы;
3) растяжение заготовки в зазоре между матрицей и пуансоном;
4) изгиб и скольжение заготовки по закруглению кромки
пуансона; 5) растяжение и скольжение заготовки по торцу
пуансона.
Различные части зоны X могут пройти через некоторые (1, 2, 3)
или все процессы, зоны Y — через процессы 2, 3 и 4 или все,
зоны Z — через 3, 4 и 5 или также все.
При первом процессе заготовка утолщается, при остальных —
утоняется.
Между частями заготовки, деформируемыми вытяжкой по
матрице и обтяжкой по пуансону, в зоне Y существует узкая
область, которая не испытывает пластического изгиба и подверг
гается преимущественно простому растяжению. Она растягивается
и утоняется при растяжении в меньшей степени, чем части заго-
товки по обе стороны этой области. Это приводит к появлению
утолщения между двумя очевидными шейками. Рис. 11.10 показы-
вает изменение толщины металла в цилиндрических чашах, вытя-
нутых пуансонами с плоским и сферическим торцами. Разрушение
металла начинается в одной из шеек, обычно в ближайшей к торцу
пуансона. By (1968 г.) предсказал деформацию в области растя-
жения при вытяжке пуансоном со сферическим торцом. Эффектом
изгиба на кромке матрицы пренебрегали. Более общий случаи
270
2
Рис. 11.10. Меридиональное сече-
ние вытянутых чашек (увеличено):
1 — пуансон с плоским торцом (пока-
зан условно); 2 — пуансон с полу-
сферическим торцом (показан условно);
3 —• первоначальная толщина стенки;
4 — окончательная толщина стенки;
5 — шейка А; 6 — шейка В
вытяжки пуансоном с плоским торцом с учетом изгиба на кромках
матрицы и пуансона еще до конца не проанализирован. Нагрузка
на пуансон в любой стадии процесса определяется режимом ра-
диальной вытяжки, которая, в свою очередь, управляет деформа-
циями в области растяжения. Если заготовка жестко закреплена
у матрицы, чтобы предотвратить радиальную вытяжку, то процесс
переходит в формовку.
Экспериментальные исследования вытяжки чаш были про-
ведены Чангом и Свифтом (1951 г.). Пользуясь штампами, поз-
воляющими получать цилиндрические чаши с внутренним диа-
метром 4 дюйма из заготовки толщиной 0,039 дюйма, они измеряли
нагрузку на пуансоне и деформа-
цию в зависимости от геометрии
рабочих элементов штампа, диа-
метра заготовки и материала.
Прежде чем приступить к анали-
тическому рассмотрению вытяжки
чаши, выделим основные вопросы,
возникающие при исследовании.
1. Прижим заготовки. Обычно
применяют прижимы двух типов:
с зазором (жесткий) и прижим
давления. Оба они предотвра-
щают складкообразование на
фланце заготовки при радиаль-
ной вытяжке, но вытяжка с при-
жимом мало отличается от вытяжки
без прижима. Ранние работы
(Свифт, 1939—1940 гг.) показали,
что для прижима с зазором перво-
начальный зазор, равный 5% от
толщины заготовки, был достаточным для этой цели, хотя заго-
товка могла утолщаться больше благодаря упругим деформациям
штампа. Для прижима давления минимальное усилие, необходи-
мое для предотвращения складкообразования, было определено.
Установлено, что увеличение усилия прижима мало влияет на
максимальную нагрузку на пуансоне или окончательную толщину
стенки в основании и профиль радиуса чаши, хотя стенки были
тоньше при более высоких нагрузках. При испытаниях заготовки
из мягкой стали давление прижима выбиралось 400 фунтс/дюйм2
на контактную площадь, или же зазор в 0,002 дюйма, когда ис-
пользовался прижим,'с зазором. Такое давление гораздо больше
критического, хотя и не чрезмерно; оно общепринято в производ-
ственных условиях.
2. Коэффициент вытяжки. Его определяют как отношение
диаметра заготовки к диаметру матрицы (диаметру пуансона).
Было установлено, что при любых условиях вытяжки нагрузка на
пуансоне увеличивается приблизительноЧпропорционально диа-
271
метру заготовки, но немного уменьшается при предельном коэф-
фициенте вытяжки.
На рис. 11.11 (Чанг и Свифт) показано изменение нагрузки
на пуансоне в зависимости от хода пуансона для различных коэф-
фициентов вытяжки заготовок из отожженной мягкой стали.
Диаметр пуансона 4 дюйма. Радиус скругления кромки 1 дюйм,
радиус скругления кромки матрицы 3/8 дюйма. Смазка, которая
накладывалась на обе стороны заготовки — графит с маслом
(1 : 3 по массе). ' ! ’!
Й! Результаты определения деформации "'по толщине"''вытянутой
чаши показаны на рис. 11.12. Возникают две,'различные зоны
Рис. 11.11. Изменение усилия пуан-
сона при наличии прижима и диаме-
тре заготовки, дюймы:
1 — 6,5; 2 — 7,5; 3 - 8,5
Рис. 11.12. Изменение деформации по
толщине при диаметре заготовки,
дюймы:
/ — 7,5; 2 — 8; 3—8,8 (радиус скругле-
ния кромки пуансона 1 дюйм, радиус
скругления кромки матрицы */4 дюйма)
шейкообразования: А — у нижнего края стенки чаши вблизи
соединения с радиусом кромки пуансона, В — у чуть меньшего
радиуса. Вблизи плоской части торца пуансона деформация за-
готовки очень мала, кроме случаев, соответствующих вытяжке
с высоким коэффициентом, когда отмечалось быстрое развитие
шейки В, ведущее к разрушению в этой области.
3. Радиус скругления кромки матрицы. Испытания трех за-
готовок различных диаметров при шести различных радиусах
скругления кромки матрицы (от 1/lfi до 5/8 дюйма) 'показали не-
большое различие максимальной нагрузки на пуансоне. Однако
радиус скругления кромки матрицы не должен быть меньше 3/8
дюйма (десятикратная толщина заготовки). Чем острее кромка
матрицы, тем больше максимальная нагрузка на пуансоне из-за
увеличения работы деформации в результате пластического изгиба
при растяжении. Следовательно, радиус скругления кромки
матрицы меньше десятикратной толщины заготовки уменьшает
предельный коэффициент вытяжки. Влияние скругления кромки
матрицы на получение годного изделия и разрушение при вытяжке
показано на рис. 11.13. Каждая точка вблизи критической области
требует не менее пяти проверок. Область, в которой возможно
272
разрушение изделия, определена радиусом скругления кромки
~0,1 дюйма, диаметром заготовки 8,5 дюйма и соответствует
пределу формоизменения, достигнутому при испытании на вы-
тяжку. Увеличение радиуса кромки матрицы до десятикратной
толщины заготовки вызывает незаметное улучшение способности
к вытяжке и в то же время увеличение способности к складко-
образованию. Это происходит из-за преждевременного прекраще-
ния управляющего влияния прижима заготовки, поэтому уста-
навливают практическую верхнюю границу радиуса скругления
кромки в зависимости от толщины заготовки.
Рис. 11.13. Влияние радиуса скру-
гления кромки матрицы на вытяжку:
О — успешная; х — неудачная; 9 —
с переменным успехом и разрушением
(по данным Чанга н Свифта)
\0 2 4 2К}дюймы
Рис. 11.14. Изменение деформации по
толщине стенки (1— шейка А; 2 —
шейка В) при радиусе скругления
кромки матрицы 1/4 дюйма и кромки
пуансона со сферической головкой,
дюймы:
------- 1/4; х—х—х — 1; О—О—О — 2
(по данным Чанга, Свифта)
4. Радиус скругления кромки пуансона. Геометрия кромки
пуансона очень важна, поскольку разрушение обычно происходит
в шейке В. Серия испытаний, при которых радиус скругления
кромки пуансона изменялся от 1/8 до 2 дюймов (сферический) при
постоянном диаметре заготовки 8 дюймов, показала, что чем
больше радиус скругления кромки пуансона, тем постояннее
рост нагрузки на нем и тем длиннее ход пуансона, но максималь-
ная нагрузка пуансона всегда неизменна. Распределение дефор-
мации по толщине показано на рис. 11.14. Положение и форма
шейки В систематически изменяются в зависимости от формы торца
пуансона. Наибольшее утонение возникает при |сферическом торце,
поскольку деформация, которую материал может выдержать без
потери устойчивости и разрушения, зависит во многом от дей-
ствующих напряжений, а также от начального состояния мате-
риала. Следует заметить, что окончательные деформации в стенке
чаши мало зависят от радиуса скругления кромки пуансона.
5. Радиальный зазор. Радиальный зазор между пуансоном
и матрицей может прямо влиять на процесс вытяжки, контролируя
273
возможность стенки утолщаться, сужаться или способствовать
складкообразованию. Было установлено, что наиболее приемле-
мыми являются радиальные зазоры, равные 30% от толщины за-
готовки при свободной вытяжке. С другой стороны, при вытяжке
с утолщением стенки зазор между пуансоном и матрицей может
быть на 10% меньше. Слишком большой зазор приводит к появле-
нию складок у торца чаши, которые будут особенно мешать, если
чаша должна пройти последующую операцию вытяжки.
6. Материал. Много опытов было проведено с отожженной
сталью, содержащей 0,08%
углерода, и совсем немного с алюми-
нием, медью, 70/30 латунью. Чтобы
установить влияние материала на на-
грузку на пуансоне и деформацию,
испытывали заготовки диаметром 8
дюймов при использовании прижи-
мов давления и матрицы с радиусом
скругления кромки 1/4 дюйма. Уси-
лие прижима заготовки выбирали
специально для каждого материала.
Испытания с различными радиусами
Рис. 11.15. Кривые распределе-
ния деформации по толщине
стенки (/—шейка А; 2 —
шейка В) для:
--------мягкого закаленного
алюминия; ------------ латуни;
---------- меди (радиусы скругле-
ния кромок матрицы и пуансона
*/4 дюйма, диаметр заготовки
8 дюймов)
скругления кромок пуансона устано-
вили, что для всех используемых
металлов максимальная нагрузка
на пуансоне и работа деформации
почти не зависят от радиуса скруг-
ления кромки. Распределение де-
формации по толщине при вытяжке
с радиусом кромки пуансона Ч4
дюйма показано на рис. 11.15 (по
данным Чанга и Свифта). Следует заметить, что у металлов, заго-
товки из которых не утоняются у основания (в принципе) мо-
дуль упрочнения маленький. Это показательно для пуансона
с радиусом кромки Ч4 дюйма, а для*других радиусов они могут
быть различны.
Образование «ушей» на свободных концах вытянутой цилинд-
рической чаши вызывается плоскостной анизотропией и в данных
условиях нежелательно, поскольку связано с расходом материала.
Следует заметить, что анизотропию можно успешно использова.ть
в некоторых асимметричных процессах вытяжки (Ланкфорд,
Снидер, Баушер, 1950 г.; Ллойд, 1962 г.). При вытяжке цилиндри-
ческой чаши можно ожидать появления «ушей» на ободе заготовки
в направлениях, в которых первоначальный предел прочности на
разрыв минимальный. Этот случай характерен для некоторых
сталей и алюминия, когда при вытяжке заготовок образуются
четыре «уха». Поведение некоторых латуней более сложно, по-
скольку при -вытяжке образуется шесть «ушей». Простая макро-
скопическая теория Хилла (1950 г.) может объяснить образование
четырех «ушей», но распространение ее для объяснения механи-
274
ческих свойств «шестиушечной» латуни не является успешным
(Бурне, Хилл, 1950 г.). Уиттели (1960 г.) экспериментально
показал, что предельный коэффициент вытяжки зависит от нор-
мальной анизотропии в листовом материале, которая характери-
зуется своим значением г. При г > 1 поле напряжений при двух-
осном растяжении растет, как и поле напряжений при растяже-
нии-сжатии. Таким образом, материал выше торца пуансона и на
фланцах упрочняется, поэтому можно достичь большого предель-
ного коэффициента вытяжки. При вытяжке материала с высоким г
изменение толщины фланца при прохождении через зазор между
пуансоном и матрицей меньше, чем у материалов с низким г,
и толщина получающейся в результате стенки чаши более одно-
родна. При данном диаметре заготовки более глубокая чаша полу-
чается из материалов с большим г. Вилсон (1966 г.) наблюдал
эффект анизотропии при глубокой вытяжке. Влияние п и г на
предельный коэффициент вытяжки рассматривалось Эл-Себаем
и Меллором (1972 г.).
7. Смазка. На контрольных испытаниях было показано, что
смазка оказывает большое влияние на максимальные размеры
заготовки, которая может быть успешно использована для вы-
тяжки. Это было сделано в работе Локсли и Фримана (1954 г.).
Оптимальные условия — те, при которых равнодействующая сил
трения в радиальном направлении будет наименьшей для заготовки
заданных размеров и деформирование стенки, расположенной
выше закругленной кромки пуансона ограничено. Это можно
обеспечить хорошей смазкой между заготовкой и лицевой стороной
матрицы и отсутствием смазки между заготовкой и пуансоном,
что не всегда достижимо в производственных условиях, хотя
-иногда принимаются меры для ограничения деформирования
заготовки выше торца пуансона.
В табл. 11.2 даны предельные диаметры заготовок из мягкой
стали, которые применяют для вытяжки при различных условиях
смазки. Во всех случаях рабочие элементы деталей штампа были
•смазаны трихлорэтиленом, а на заготовку накладывали смазку —
Таблица 11.2
Торец пуансона Толщина смазки, дюймы
На двух сто- ронах заго- товки Вообще без смазки Только на сто- роне к матри- це Только на стороне к пуансону
Плоский (радиус скруг- ления кромки 1/8 дюйма) 7,9 7,6 8,1 7,6
Сферический 8,5 8,3* 8,9 * 8,1
* Разрушение в шейке Л (см, рис. 11.10 или 11.12); во всех других случаях — раз-
рушение в шейке В. Диаметр пуансона 4 дюйма.
275
жир с графитом. Увеличение на 0,1 дюйма любого из диаметров
вызывало трещину. В заготовках увеличенных размеров трещина
появлялась в шейке В. При вытяжке пуансоном со сферическим
торцом и отсутствии смазки между ним и заготовкой пластическую
деформацию в стенке выше торца пуансона удавалось ограничить
до такой степени, что трещина появлялась в шейке А.
Валлас (1960 г.) увеличил трение между заготовкой и пуансо-
ном еще больше, сделав на пуансоне насечки. Ему удалось увели-
чить предельный коэффициент вытяжки для стали со стабильной
высокой способностью к вытяжке от 2,325 при гладком и смазан-
ном пуансоне до 2,550. Касуга и другие авторы (1961, 1965 гг.)
показали, что если для частично вытянутой чаши создать противо-
давление со стороны днища, использовав высокое давление жидко-
сти, то можно получить еще более высокие коэффициенты вытяжки.
Этот же принцип использовался для увеличения глубины вытя-
жки при гидравлической формовке.
Мы рассмотрели только основные факторы из большого множе-
ства, но всегда надо помнить, что все они взаимосвязаны, и их
нельзя рассматривать по отдельности. Еще одна важная характе-
ристика — скорость вытяжки. Она может влиять на предельное
напряжение материала и эффективность смазки. Систематические
испытания со скоростями вытяжки до 30 фут/мин сухих заготовок
и заготовок со смазкой жиром с графитом показали, что скорость
не влияет на предельное напряжение вытяжки. Но, с другой сто-
роны, смазка легким маслом позволяет успешно осуществлять
вытяжку заготовки диаметром 8,7 дюйма при высоких скоростях,
в то время как при низких скоростях предельное значение диа-
метра 8,3 дюйма.
Дальнейшие испытания (до 90 фут/мин) были проведены Куп-
ландом и Вилсоном (1957 г.). Они пришли к выводу, что при
больших скоростях появляется гидродинамическая смазывающая
пленка.
Все эти экспериментальные сведения подчеркивают сложность
процесса вытяжки чаш. При дальнейшем анализе мы будем рас-
сматривать только чисто радиальную вытяжку, основываясь на
работе Чанга и Свифта (1951 г.). Полный анализ радиальной
вытяжки, включающий изгиб, разгиб, трение по профилю мат-
рицы, выходит за рамки этой книги.
Интересна монография Виллиса (1954 г.); он попытался раци-
онализировать и упростить изложение Свифта, чтобы сделать его
доступным-читателю, не обладающему математическим аппаратом.
Очень полезные работы можно найти в собраниях С. Фукуи,
выпущенных Токийским университетом.
11.7.2. ЧИСТО РАДИАЛЬНАЯ ВЫТЯЖКА
Для изотропного материала главные напряжения при плоской
радиальной вытяжке есть радиальное напряжение вытяжки (Д,
напряжение а2, нормальное к заготовке, и тангенциальное напря-
276
жение о3. Будем считать эти напряжения положительными при
растяжении. На рис. 11.16 даны напряжения, действующие в эле-
менте фланца при текущем радиусе г. Можно показать, что урав-
нение равновесия сил, спроектированных на г, имеет вид
^(^) + ^(Oi-o3)-2po2 = °, (11.12)
где р — коэффициент трения (предполагается постоянным по
всему фланцу). Физические условия показывают, что о\ — напря-
жение растяжения, а сг2 и о3 — напряжения сжатия. Поскольку
заготовка утолщается у края, будем предполагать, что распреде-
ление усилия прижима происходит по наружному контуру фланца
Рис. 11.17. Элемент вытяну-
той чаши с фланцем
заготовки, а на остальной его части о2 = 0. Рассматривая влияние
трения отдельно, видим, что уравнение равновесия принимает вид
4(fo)^-^-(o3-o), (11.13)
где о — часть напряжения в радиальном направлении вытяжки,
возникающего при вытяжке без трения.
Условие пластичности можно записать в виде
or — о3 = та, (П-14)
где а — интенсивность напряжений. Для лучшего удовлетворения
условиям пластичности Мизеса и Треска т = 1,1 (см. рис. 11.12).
С учетом условия пластичности уравнение равновесия принимает
вид
da = —то^-- G • (11.15)
Поскольку установлено, что изменение толщины фланца в лю-
бой момент времени мало, в нашем исследовании мы можем пре-
небречь изменением толщины; тогда
277
Предполагая, что скорость деформации при вытяжке постоянна
и текущее значение интенсивности напряжений о =:
= (Oi — о2)2/]К2 зависит только от интенсивности деформации
е = К2 У' (&1 — е2)2/3, Хилл (1950 г.) показал, что е не отличается
более чем на 3% от деформации в тангенциальном направлении е3.
Для учета упрочнения удобно пользоваться эмпирическим
выражением Людвика
о=Б0 + ВЁ", (11.17)
где о0, В и п — постоянные. Это уравнение достаточно хорошо
описывает упрочнение металла и не затрудняет дальнейший ана-
лиз. В практических целях заменяем е на е3 и в дальнейшем будем
писать
° = °о + В (In R/r)n, (11.18)
где (In Rlr) — деформация в тангенциальном направлении;
R •— начальный иг — текущий радиусы частицы.
Если tm представляет текущее среднее значение толщины
металла между боковой поверхностью заготовки и рассматрива-
емым элементом, то из условия несжимаемости (рис. 11.17), при-
равнивая объемы металла до и во время вытяжки, полу-
чаем л (R% — R2) t0 = л (г2 — г2) tm, где t0 — первоначальная тол-
щина заготовки. Это можно записать в виде
(Rlr)2 (tG/tm) — 1 = (Rlkltm — Г(1)1 Г = C/r2.
Следовательно, деформация в тангенциальном направлении е3
<"|9>
Подставляя это выражение в (11.18), получаем
o = o0 + Bflln{-^(l (П-20)
Если последнее выражение подставить в (11.16), то
d^-тщ^-тВ [11п{^-(1 +
после интегрирования часть напряжения в радиальном напра-
влении, соответствующая только вытяжке при текущем радиусе г,
Го
где г0 — текущий внешний радиус фланца заготовки.
Если Н — полная сила прижима, то часть напряжения в ра-
диальном направлении при вытяжке о), вызываемая трением
между заготовкой и прижимом,
o'l = (11.22)
278
где p — коэффициент трения (предполагается постоянным и рав-
ным на обеих сторонах заготовки). Полное напряжение в радиаль-
ном направлении при вытяжке о, = о -ф оф Точные значения tm
и с в (11.24) и t в (11.22) можно аппроксимировать с помощью после-
довательного приближенного поочередного вычисления напряже-
ния и деформации. Объем вычислений сразу уменьшится, если для tm,
си t пользоваться значениями, полученными для неупрочняемого
металла (В = 0) при отсутствии напряжения, вызываемого тре-
Рис. 11.18. Распределение радиальных на-
пряжений по ширине фланца:
------— на различных стадиях вытяжки;
--------- при заданных соотношениях Ri/Ro
(по данным Чанга и Свифта)
Рис. 11.19. Накопление деформации по тол-
щине фланца при вытяжке:
------ — в его отдельном элементе; ----—
на различных стадиях вытяжки (по данным Чанга
и Свифта)
нием (о) = 0). В практических целях при вычислении оу доста-
точно только второе приближение. Определив су, из (11.14) и
(11.20) можно определить о3. На рис. 11.18 дано распределение
напряжений вытяжки по фланцу заготовки из отожженной мягкой
стали для коэффициента вытяжки, равного 2 (эмпирическая зави-
симость между напряжениями и деформациями о = 30 000 +
+ 46 500е°-49, условие пластичности о — сг3 = 1, lor, скорость де-
формации З Ю'4 1/с). Если бы не было трения между прижимом
и заготовкой, то основная линия кривых была бы нулевой. Так как
о) =ф 0, основная линия опускается на соответствующую величину.
Если известны напряжения, легко найти деформации, исполь-
зуя соотношения Леви — Мизеса и полагая о2 = 0:
dt / о + о-, \ dr
t \ 2о3 — о / г
Подставляя о3 = о — то, из условия пластичности получим
dt
I
Зто \ аг
а — 2та ) г
(11.23)
279
Если в (11.23) подставить значения ст и о, то возможно проследить
изменение толщины отдельного элемента с начальным радиусом R
путем численного интегрирования, считая, что соотношение между
г и г0 известно. Это соотношение можно получить из уравнений
несжимаемости (/о — г2) = (-R2 — ^2) = const и
г = (г%-с-^у/2, (11.24)
где tm — текущее среднее значение толщины металла между на-
ружным радиусом г0 и произвольным радиусом г. На рис. 11.19
Рис. 11.20. Усилие на торце пуансона диа-
метром 4 дюйма при вытяжке заготовки
толщиной 0,033 дюйма и диаметром 8 дюй-
мов из малоуглеродистой стали при радиусе
скругления кромки пуансона, дюймы:
1 — 2 — 1 (------- — теоретическая;
---------экспериментальная)
Рис. 11.21. Распределение (-------------
теоретическое,---------экспериментальное)
радиальных (1,2) деформаций и деформаций
по толщине (3,4) в процессе вытяжки заго-
товки диаметром 8 дюймов и толщи-
ной 0,039 дюймов из малоуглеродистой стали при радиусе скругления кромки
матрицы, дюймы:
1,4 — 1/а; 2, 3 — s/s диаметр пуансона 4 дюйма, радиус скругления кромки 1 дюйм
(по данным Чанга и Свифта)
показано развитие деформации по толщине фланца в условиях,
показанных на рис. 11.18.
Окончательная деформация по толщине стенки вытянутой чаши
будет меньше, чем деформация в результате изгиба и разгибания
вне штампа. Деформации и напряжения, возникающие при этом
процессе, были вычислены Чангом и Свифтом. Они смогли, поль-
зуясь этими результатами, построить график усилия по ходу пуан-
сона, который хорошо согласуется с данными эксперимента
(рис. 11.20). При исследовании цветных металлов было получено
хорошее совпадение расчетных и измеренных деформаций, а для
мягкой стали, обладающей хорошей способностью к образованию
«ушей», совпадение результатов было хорошее только для вну-
280
тренней половины кольца заготовки, соответствующей нижней
части вытягиваемой чаши (рис. 11.21). Они пришли к выводу, что
при использовании теории для общего случая необходимо учиты-
вать влияния многих факторов, что усложняет вычисления, и не
рекомендовали пользоваться теорией для общего случая.
Учитывая сложность только что приведенного анализа, Дункан
и Джонсон (1969 г.) сделали попытку дать простой анализ, кото-
рый позволяет определить нагрузку,
необходимую для вытяжки чаши. Это 6 тс/ед.толщины
может быть полезно инженерам на
заводах, а также и для обучения.
Подробное рассмотрение механиз-
ма глубокой вытяжки можно найти
в ссылках, данных на с. 336—338.
Рис. 11.22. Зависимость соста-
вляющих усилия от степени
утонения стенки заготовки из
мягкого алюминия:
/ — полное усилие; 2 — усилие на
торце пуансона; 3 — равнодей-
ствующая сил трения на боковой
поверхности пуансона (угол между
образующей матрицы и осью сим-
метрии 10°, смазка — графит с са-
лом. По данным Фримаиа и Ли-
ми нга)
11.8. ВЫТЯЖКА С УТОНЕНИЕМ СТЕНКИ
Вытяжка с утонением стенки (про-
тяжка) происходит при проталкива-
нии чаши через матрицу, если зазор
между пуансоном и матрицей меньше
первоначальной толщины стенки
чаши. В результате уменьшаются
толщина стенки и внутренний диаметр
на величину зазора, достаточного для
свободного входа только пуансона.
В первых исследованиях вытяжки
с утонением стенки, проведенных
в Шеффильдском Университете, при
различных углах матрицы и состоя-
ниях смазки были получены значе-
ния нагрузки в зависимости от сте-
пени утонения стенки.
В дальнейшем Фриман и Ле-
минг (1953 г.) измеряли две соста-
вляющие нагрузки при вытяжке с утонением: нагрузку на торце
пуансона и нагрузку от трения или волочения вдоль пуансона,
как вместе, так и по отдельности. Наиболее важной является на-
грузка на торце пуансона, поскольку она определяет растяжение
стенки чаши и, следовательно, максимально возможный коэффи-
циент вытяжки при данной нагрузке. Их экспериментальная
аппаратура состояла из специального. пуансона диаметром
4 дюйма, имеющего отдельную сферическую головку с наклеенными
тензодатчиками электросопротивления. Запись показаний элек-
тронная и фотографическая. Испытания проводились со сфери-
ческими чашами с толщиной стенок 0,039 дюйма, чтобы опре-
делить составляющие нагрузки при вытяжке с утонением для раз-
личных условий вытяжки, профиля матрицы и смазки.
281
Н|а рис. 11.22 показано типичное семейство кривых зависи-
мости нагрузки от степени утонения стенки (коэффициента вы-
тяжки). Теоретическое исследование процесса вытяжки с утоне-
нием выполнено Фукуи и Ханссоном (1970 г.).
11.9. ПОСЛЕДУЮЩАЯ ВЫТЯЖКА
При производстве чаш из обычных технических материалов
из плоских круглых заготовок коэффициент вытяжки на первой
операции редко превышает 2,2, что соответствует чаше, высота
Рис. 11.23. Схемы прямого (а, б, в, г) и реверсивного (д, е) способов последующей
вытяжки
которой равна примерно диаметру. Если конечные пропорции
чаши превышают это предельное значение, то необходимо при-
менить последующую операцию вытяжки.
Способы последующей вытяжки можно разделить на две боль-
шие группы: прямая и реверсивная. В первом случае внешняя
282
поверхность чаши, полученная на первой операции, остается
внешней и при последующей вытяжке, а во втором — чаша вы-
ворачивается наружу, и поверхность, внутренняя на первой опе-
рации, становится внешней у получающейся в результате вы-
тяжки чаши.
На рис. 11.23 представлены схемы различных способов прямой
последующей вытяжки. В случаях а и б стенка чаши на первой
стадии должна дважды изгибаться и разгибаться, поворачиваясь
при этом 2 раза в правую сторону. Способ б, вообще говоря, можно
рассматривать, как частный случай а, при котором профиль ма-
трицы соответствует форме прижима заготовки, предназначенного
Рис. 11.24. Схемы прямого (I, см. рис. 11.23, б) и реверсивного (II, см.
рис. 11.23, в) способов последующей вытяжки
для фиксирования чаши, полученной на первой операции вы-
тяжки. В случае в стенка должна сгибаться и разгибаться дважды,
но в каждом случае на угол <Д0°, поэтому вытяжка должна быть
более легкой, чем в случаях а и б, так как трение на кромках
матрицы и прижима меньше. В этом случае изготовленная на пер-
вой операции чаша имеет дно в форме усеченного конуса, поэтому
появляется опасность складкообразования. Если отношение диа-
метра чаши к толщине стенки не очень велико, прижим заготовки
можно исключить, как показано на рис. 11.23, г. Существенная
разность между двумя наиболее распространенными способами
реверсивной последующей вытяжки, изображенными на
рис. 11.23, дне, состоит в том, что профиль в случае д имеет два
правых угла и плоскую часть, что очень похоже на способ а,
в то время как в случае е профиль матрицы полукруглый и поэтому
нет одной операции изгиба и одной операции разгиба.
Наиболее часто используемый в производстве способ — в.
При применении способов б и е конструкцию прижима заготовки
обычно немного усовершенствуют, как показано на рис. 11.24.
Эти усовершенствования позволяют уменьшить возможность обра-
зования складок на стенке чаши, и, следовательно, допускают
большее формоизменение (см. сообщение Грейнгера Дж. А. Чангу
и Свифту, 1952 г.).
283
Чанг и Свифт (1952 г.) провели испытания с латунью, мягкой
сталью и алюминием на экспериментальном кривошипном прессе,
в основном для первой операции вытяжки чаши с плоским дном
диаметром 4 дюйма. Штамповая оснастка для последующей вы-
тяжки для проведения этих экспериментов состояла из трех ча-
стей, имеющих взаимозаменяемые детали, прижим заготовки обес-
печивался калиброванной пружиной. Диаметр пуансонов изме-
нялся от 2,67 до 3,17 дюйма, номинальная величина зазора —
Рис. 11.25. Изменение деформаций по
толщине стенки чаши, полученной
различными способами последующей
вытяжки (диаметр пуансона
3,166 дюйма):
1 — прямым (см. рис. 11.23, е); 2 — ре-
версивным (см. рис. 11.23, е)\ 3 — пря-
мым (см. рнс. 11.23,6);-------перво-
начальная толщина стенки чаши с пло-
ским торцом (по данным Чанга и Свифта)
50%, т. е. 0,04 дюйма для тол-
стых заготовок.
Экспериментальные резуль-
таты, полученные ими, представ-
лены на рис. 11.25 и 11.26.
Были сделаны следующие за-
ключения.
Рис. 11.26. Диаграммы изменения
усилия на торце пуансона для трех
способов последующей вытяжки (см.
рис. 11.22, б, е, г соответственно):
1 — прямого; 2 — реверсивного; 3 — пря-
мого
1. Существенное различие между прямым и реверсивным спо-
собами последующей вытяжки состоит в числе изгибов и в их
величине. Если величина изгиба для этих способов одна и та же,
то реверсивный способ дает лучшие результаты, поскольку в этом
случае исключено два изгиба. Однако в некоторых случаях, на-
пример при больших радиусах скругления профиля матрицы,
прямой способ может быть более предпочтительным. При благо-
приятных условиях предельное формоизменение при вытяжке
этим способом выше, чем реверсивным.
Выворачивание чаши наружу позволяет удобнее располагать
рабочие части штампа, но что касается распределения напряжений
и деформаций, то никаких значительных преимуществ не отме-
чено.
2. Чтобы получить на двух операциях максимальный коэффи-
циент вытяжки, на первой следует использовать заготовки макси-
мальных размеров, хотя эффективность последующей вытяжки
выше при меньших начальных диаметрах.
284
3. Промежуточный отжиг повышает эффективность последую-
щей вытяжки, однако из заготовки получается, как правило,
чаша меньшей глубины, потому что ее стенки и основание толще.
4. Совсем необязательно, чтобы металлы, имеющие хорошие
результаты при вытяжке плоских заготовок, были также пригод-
ными для последующей вытяжки. На первой стадии наиболее целе-
сообразно применять материалы с высокой степенью упрочнения,
особенно при использовании пуансонов со сферическими торцами,
а для последующей вытяжки удобнее использовать материалы,
менее подверженные упрочнению, если не производится проме-
жуточный отжиг.
Теоретический анализ последующей вытяжки чаши был сделан
Фоггом (1968 г.).
11.10. СКЛАДКООБРАЗОВАНИЕ НА ФЛАНЦЕ
ПРИ ГЛУБОКОЙ ВЫТЯЖКЕ
При глубокой вытяжке напряженное состояние фланца заго-
товки характеризуется растягивающими радиальными и сжимаю-
щими тангенциальными напряжениями. Если величина танген-
циальных напряжений превышает некоторое критическое значе-
ние, зависящее от текущих размеров фланца, то происходит обра-
зование поперечных волн или складок.
Если фланец в поперечном направлении свободен, т. е. заго-
товка не прижимается, то теоретически можно показать (Гекклер,
1928 г. и Сеньор, 1954 г.), что происходит потеря устойчивости:
и число образующих волн п
1,65(-J-) <п<2,08(-у), (11.26)
где ое — тангенциальное напряжение; t0 — начальная толщина
материала; Do — начальный диаметр заготовки; b— ширина
фланца; а — средний радиус фланца; Ео — приведенный модуль
пластического изгиба. Ео = ^ЕР/(У~Ё 4-]ЛР)2; здесь Е— модуль
упругости; Р — местный модуль, соответствует тангенсу угла
наклона касательной к кривой истинное напряжение — натураль-
ная деформация. При выводе этих уравнений предполагалось,
что на внутренней части фланца между пуансоном и матрицей
происходит сжатие в тангенциальном направлении, которое про-
порционально перемещению любой точки. Это можно оценить,
рассматривая геометрию фланца и механические характеристики
материала и пользуясь принятой теорией о перемещениях в пло-
ской круглой пластине (Сеньор, 1955 г.).
Уравнение (11.25) может быть использовано совместно с кри-
вой истинное напряжение — натуральная деформация для оценки
285
потери устойчивости. Полученные кривые критических напряже-
ний для полутвердого алюминия представлены на рис. 11.27, а\
для сравнения на рисунке нанесены экспериментальные резуль-
таты вытяжки чаш, имеющих номинальный диаметр 0,75 и
2,0 дюйма, скорость пуансона 0,1 дюйм/мин, смазка — графит
с салом. На рис. 11.27, б показаны обобщенные эксперименталь-
ные кривые для различных упрочняемых материалов. Практиче-
ски эти кривые мало отличаются друг от друга; сравнение кривых
устойчивости, полученных теоретически, позволяет сделать та-
кой же вывод.
Рис. 11.27. Верхняя (7) и нижняя {II) границы потери устойчивости фланца
заготовки из полутвердого алюминия (а) при вытяжке через матрицу с углами
0° и 30° (выше 7 происходит складкообразование, ниже II— нет), график по-
тери устойчивости (б) заготовок из полутвердого алюминия (----), спокойной
стали (------) и мягкой латуни 70/30 (• • •). Выше линии 1, построенной по
формуле = 8,7/?, происходит складкообразование, ниже линии 2, по-
строенной по формуле R = 63OtQ/Do, — нет (по данным Сеньора). [)г — диа-
метр пуансона (Д — 7Д = 0,75 дюйма; О — = 2 дюйма); Do — диаметр
матрицы
Если размеры заготовки меньше критических, то глубина
чаши, которую можно получить из тонкого листового материала,
значительно ограничена. На практике складкообразование на
фланце предотвращается при использовании прижима заготовки.
В этом случае при довольно умеренном давлении со стороны при-
жима не происходит развития волн с большой амплитудой, хотя
число волн увеличивается в результате обратного процесса изгиба
(рис. 11.28). Образующиеся более многочисленные волны неболь-
шой амплитуды легче разглаживаются, что приводит к получению
достаточно гладкой поверхности чаши без чрезмерно высоких на-
грузок вытяжки. Использующиеся в производстве прижимы заго-
товок делятся на два основных класса.
1. Усилие создается пружинами либо упругими элементами
(резиновыми), соединенными болтами с кольцевым прижимом за-
готовки, например так называемым буферным прижимом. В этом
случае усилие — линейная функция от перемещения прижима
заготовки и амплитуды волны. Можно показать, что в этом слу-
286
чае число образующихся волн не зависит от амплитуды й опреде-
ляется выражением
n = a(3,8S/Eobat3)1^, (П.27)
где S — поперечная жесткость прижима заготовки и t — теку-
щее среднее значение толщины фланца. Это выражение можно оце-
нить, рассматривая схематизированную линейную характеристику
упрочняемого материала. Экспериментальные результаты, полу-
Рис. 11.28. Увеличение числа складок в процессе
глубокой вытяжки
Рис. 11.29. Влияние первоначального диаметра
заготовки на число волн на ее фланце при диа-
метре кромки фланца, к которой приложено уси-
лие прижима, дюймы:
1 — 4,6; 2 — 4,35; 3 — 4,1 (----------теоретическая
кривая при Ео — 4,02» 10б фунтс/дюйм2; —-----------
экспериментальная кривая при Ео =
= 12- 10е фунтс/дюйм2. По данным Сеньора)
ченные при вытяжке чаши с номинальным диаметром 2';дюйма,
хорошо согласуются с уравнением (11.27).
На рис. 11.29 представлены теоретические кривые, определяю-
щие число образующихся на фланце волн согласно формуле
п/а = (3,88/Е0Ьа1эу/4 при вытяжке чаш ^диаметром 4 дюйма из
заготовки толщиной 0,036 дюйма. Материал — полутвердая ла-
тунь 70/30; Ео = 4,02-105 фунтс/дюйм2; S = 88-10® фунтс/дюйм
(максимальное число волн) и Ео = 12-10® фунтс/дюйм2 (мини-
мальное число волн), где 8 — жесткость системы прижима.
Испытания показали, что полученные теоретические данные
хорошо согласуются с начальным числом складок при упругих
деформациях на ранней стадии вытяжки и конечным числом скла-
док уже в вытянутой чаше. При испытаниях использовали матрицу
диаметром 4,1 дюйма с радиусом скругления кромки 1/4 дюйма и
пуансон с плоским торцом и радиусом скругления кромки 1/4
дюйма. Смазка — графит с салом, скорость пуансона — 6 фут/мин.
Поскольку число складок в конце процесса в 3 раза больше,
чем в начале, то механизм размножения волн, который мы уже
рассматривали, можно считать правдоподобным. Ясно, что теория,
I 287
хотя она и не является точной, позволяет получить вполне прием-
лемые результаты.
2. Усилие прижима заготовки создается пневматическими или
гидравлическими цилиндрами и остается постоянным. В этом
случае теория указывает, что на любой стадии вытяжки число
волн зависит от амплитуды и определяется выражением
( 1,34£рсД3 + 2,5c3fe3Q/y \‘/« /11
\ Е0ЬЧ3 ) ’ (11.28)
где у — амплитуда волны; Q — усилие прижима заготовки.
Сравнение теоретических и экспериментальных данных приведено
Рис. 11.30. Изменения максимальной
амплитуды волны в зависимости от
перемещения внешнего волокна флан-
ца при вытяжке:
1 — теоретическая кривая, построенная
по (11.28): 2 — увеличение толщины внеш-
него волокна фланца (по данным Сеньора)
Рис. 11.31. Минимальное усилие при-
жима, предотвращающее складкооб-
разование на фланце заготовок тол-
щиной 0,036 дюйма из твердого (/),
3/4 Н (2), 1/2 Н (3), 1/4 Н (4) и мягкого
(5) алюминия, а также из листовой
стали (6) и мягкой латуни 70/30 (7).
Диаметр матрицы 2,135 дюйма, ра-
диус скругления кромки 1/4 дюйма
(по данным Сеньора)
на рис. 11.30 (материал—сталь; толщина листа 0,036 дюйма;
усилие прижима 0,2 тс; диаметр матрицы 2,135 дюйма; радиус
скругления ее кромки 1/4 дюйма).
Первоначально предполагали, что усилие прижима должно
предотвращать чрезмерное складкообразование, но при сравнении
результаты оказались несколько противоречивыми. На рис. 11.31
показаны кривые минимальных усилий прижима заготовки для
ряда материалов. Можно добавить, что усилие прижима больше,
чем необходимое для ограничения амплитуды волн до допустимой.
Усилие прижима мало влияет на требующееся усилие пуансона.
Поэтому оказывается, что при глубокой вытяжке существуют
некоторые критические размеры заготовки. Если заготовка боль-
ших размеров, то в отсутствие прижима начинается складкообра-
зование фланца. Чтобы добиться хорошего качества поверхности
288
фланца чаши и исключить возможность его разрушения при раз-
глаживании складок, необходимо, чтобы амплитуда волн не пре-
вышала определенного предела. Это приводит к некоторым требо-
ваниям, предъявляемым к жесткости пружины или усилию при-
жима заготовки, в зависимости от используемого типа прижима.
В целях безопасности при выборе усилия прижима заготовки
лучше ошибаться в большую сторону, поскольку это мало влияет
на усилие, прикладываемое к торцу пуансона.
11.11. ВЫРУБКА
Термины, необходимые при изучении осесимметричного про-
цесса вырубки, определены на рис. 11.32, а. Если в штампе для
испытаний на сжатие, снабженном автографическим записываю-
щим устройством, выполнять операцию медленной вырубки, то
можно получить типичную диаграмму усилия вырубки
(рис. 11.32, б).
В значительной степени пропорциональное увеличение усилия
на пуансоне при перемещении от точки О к точке А характеризует
упругую фазу деформирования. Если бы в конце этой фазы на-
гружение пуансона прекратилось, то произошло бы упругое
восстановление, и даже при микроскопическом изучении заготовки
не было бы видно никакого заметного внедрения пуансона в заго-
товку. От точки А до точки В происходит пластическая деформация
сдвига, и усилие пуансона при его перемещении изменяется в зави-
симости от деформационного упрочнения рассматриваемого мате-
риала. Максимальное усилие вырубки наблюдается в точке В,
а от В до С, хотя и происходит дальнейшее упрочнение материала,
но усилие на торце пуансона уменьшается пропорционально умень-
шению вертикальной поверхности среза. Таким образом, напря-
жение сдвига увеличивается от точки А до В, а площадь сдвига
уменьшается.
Краземан установил, что после того, как усилие вырубки до-
стигает своего максимума в точке В, начинают образовываться
трещины. Возможно, они образуются при внедрении пуансона
на участке от С до D. После точки С никакая дальнейшая пласти-
ческая деформация не происходит, и нагрузка на пуансоне быстро
уменьшается. Таким образом, от точки О до £) усилие вырубки
определяется текущим средним значением напряжения сдвига
материала с учетом трения. После точки £) трение становится ре-
шающим фактором. От точки D до точки Е пуансон преодолевает
сопротивление трения между поверхностями заготовки и вырубае-
мого изделия, пуансона и пробиваемого отверстия, а также между
поверхностями заготовки и штампа. От точки Е до F вырубаемое
изделие входит глубже в матрицу; можно считать, что в точке F
оно полностью отделено от листа. Участок от F доб через Н к О
описывает возвращение пуансона в исходное положение, а отри-
цательная величина ординаты определяет силу, необходимую для
преодоления трения при снятии полосы с пуансона.
10 у. Джонсон 289
4
Рис. 11.32. Вырубка:
а — осесимметричной заготовки; б — диаграмма усилие—перемещение пуансона (/ —
упругая фаза; 2 — фаза пластическая с упрочнением; 3 — фаза последующая пласти-
ческая с появившейся трещиной; 4 — область разрушения; 5 — усилие обратного хода;
В — максимальное усилие вырубки; С — появление первой трещины; D — появление
второй трещины); в — зависимость максимального усилия квазистатической вырубки
заготовки диаметром 1 дюйм и толщиной */4 дюйма из алюминия (---—• — отожжен-
ного) от радиального зазора; г — поверхность среза заготовки после вырубки (6 — бле-
стящий поясок, поверхность отрыва шероховатая); д — поверхность среза листа после
вырубки; е — образование трещины при оптимальном радиальном зазоре; ж — образо-
вание трещины при малом радиальном зазоре (7 — лист; 8 — заготовка); a — обра-
зование трещин (9 — первых; 10 — второй; 11 — большой радиальной) при большом
радиальном зазоре; и — вырубка медиых образцов при скоростях пуансона, фут/с:
I — 0; II — 252; III — 438; IV — 793; V — 930; VI — 1500; VII — 2100; VIII —
2350 (на поз. VI и VII показан также деформированный пуансон (по данным Джон-
сона и Слатера)
290
Площадь замкнутой петли определяет энергию, расходуемую
на вырубку, а также на снятие листовой заготовки с пуансона.
Самые первые попытки получить записи зависимости усилия пуан-
сона от его внедрения были предприняты Антони и опубликованы
в 1911 г. Давно было известно, что максимальное усилие вырубки
будет больше, если нет зазора между пуансоном и матрицей, и
уменьшается, но не существенно, при увеличении зазора
(рис. 11.32, в).
Полезный фундаментальный теоретический анализ процесса
вырубки отсутствует, и поэтому большую надежность имеют чисто
экспериментальные исследования. Было установлено, что макси-
мальное значение квазистатического усилия вырубки Fmax для
пластических материалов определяется выражением Fme},
0,6Аовр при 4 < dlt < 10; А означает номинальную площадь
сдвига л dt, овр — прочность на растяжение вырубаемого мате-
риала или прочность на растяжение материала при деформации
0,5, если вырубку производят при повышенных температурах.
Для динамической вырубки обычно требуется больше энергии,
чем для квазистатической при любом радиальном зазоре. Это
можно объяснить в основном влиянием скорости деформации на
величину предела текучести материала. Величина пластической
деформации сдвига в заготовке — порядка единицы и время опера-
ции — это время проникновения пуансона в лист. Элементарные
вычисления показывают, что средняя скорость деформации сдвига
при малых скоростях перемещения пуансона при выполнении опе-
рации, примерно равных 0,01 дюйм/мин, составляет 10“4 1/с,
в то время как при динамическом нагружении, когда ско-
рость пуансона 100 дюйм/с, скорость деформации сдвига равна
103 1/с.
Вырубка круглых дисков из полосы или листа сложный не-
устойчивый процесс, при котором возникает трехосная схема на-
пряженного состояния заготовки; одни ее части подвергаются
сжатию, другие растяжению. Процесс вырубки зависит от харак-
тера деформационного упрочнения материала, геометрии пуан-
сона, скорости деформации, зазора между пуансоном и матрицей,
степени внедрения пуансона. В процессе вырубки происходит пла-
стическая деформация и разрушение, и хотя первое легко понять,
то о втором нельзя сказать того же. Мы не можем точно предска-
зать окончание вырубки изделия.
Выделяют обычно три поверхности вблизи контура вырубае-
мого изделия (рис. 11.32, а): 1) небольшое закругление на дне
вырубаемого изделия; 2) гладкая или полированная боковая
поверхность среза, которая может занимать значительную часть
толщины заготовки; 3) поверхность разрушения, которая обычно
сужена книзу. Гладкая боковая поверхность возникает в резуль-
тате пластического течения, и полировка происходит во время вы-
давливания через отверстие матрицы; поверхность разрушения,
как и следовало ожидать, неровная, поскольку происходит отрыв.
10* 291
Соответствующие поверхности можно выделить в листовом мате-
риале (рис. 11.32, д).
Разрушение из-за образования и развития трещины возникает
в частях заготовки с высокой концентрацией напряжений, распо-
ложенных на кромках между пуансоном и матрицей или на их
закруглениях. Появляются две трещины, которые начинают раз-
виваться в указанных частях, характеризуемых высоким гради-
ентом напряжений, навстречу друг другу. Последовательность
их развития частично зависит от геометрии рабочих элементов
штампа. Принято считать, что при оптимальном радиальном за-
зоре (рис. 11.32, е) края двух растущих трещин приближаются
друг к другу вдоль одной и той же прямой линии, и после соедине-
ния образуется одна трещина с довольно чистой поверхностью.
При малых зазорах (рис. 11.32, ж) две трещины охватывают очень
небольшую часть рабочей поверхности, а при больших они растут
более или менее параллельно, но не по одной линии (рис. 11.32, з).
Когда они проникают достаточно далеко, возникает вторичная
трещина, перпендикулярная к двум первичным, что приводит к об-
разованию зазубренного края. Последующее выталкивание пуан-
сона может частично сгладить его. Направление трещин и место
их образования часто зависят от включений (примесей) в листовой
заготовке.
При больших радиальных зазорах между пуансоном и ма-
трицей (>8%) условия деформирования листовой заготовки
при вырубке аналогичны условиям деформирования круг-
лой толстой плиты, равномерно нагруженной в центральной
части.
Листовая заготовка или плита теперь подвергнуты изгибу и
срезу; чем больше зазор, тем больше напряжения изгиба по от-
ношению к напряжениям среза, и наоборот. При вырубке см.
рис. 11.32, б также есть и элементы, подобные элементам вытяжки
в части заготовки, относящейся к поверхности (1), в которой боль-
шие растягивающие напряжения от изгиба создаются вблизи за-
круглений кромок пуансона и матрицы. Степень пластической
деформации в этих областях ограничена растяжением металла,
с механикой которого связывают начало разрушения.
В результате высокоскоростного движения пуансона возникают
некоторые эффекты. Например, увеличивается способность к ку-
пол ообразованию и выгибанию заготовки (см. рис. 11.32, а).
При скорости пуансона 30 фут/с поверхность среза заготовки
лучше, чем при малой скорости вырубки из мягкой стали.
При повышенных температурах энергия, необходимая для вы-
рубки, значительно зависит от скорости пуансона. Пуансон, вы-
стреленный с очень большими скоростями в пластину при нормаль-
ном соударении (600 фут/с), разбивает вдребезги заготовку и обра-
зует отверстие, по диаметру гораздо большее, чем он сам
(рис. 11.32, и). Это происходит потому, что пуансон движется
быстрее, чем волна пластичности в пластине, и, следовательно,
292
материал разрывается в направлении, перпендикулярном к дви-
жению пуансона.
Этот раздел есть краткое изложение обзорной работы Джон-
сона и Слатера (1967 г.); более подробное изложение можно найти
у Джонсона (1972 г.).
11.12. ВОЛОЧЕНИЕ ПРОВОЛОКИ
Рис. 11.33. Схема матрицы
для волочения проволоки
11.12.1. Теория и эксперимент
Волочение проволоки — одно из самых древних ремесел. Са-
мая первая продукция была, вероятно, из цветных металлов.
Изготовление железной проволоки началось всего несколько ве-
ков назад. До начала двадцатого века
использовались машины с одной матри-
цей; благодаря введению машин с боль-
шим числом матриц и возможности их
изговления из карбида вольфрама был
сделан большой шаг в этой отрасли
производства. В цветной индустрии ис-
пользуются матрицы из карбида воль-
фрама диаметром до 0,055 дюйма; для
меньших диаметров обычно использу-
ются алмазные матрицы (Клевер, Миллер, 1950—1951 гг.).
При волочении проволоку протягивают через конусообразную
матрицу (рис. 11.33), натяжение и обжатие в ней создают напря-
жения в металле и он пластически деформируется внутри матрич-
ной воронки. Основная задача волочения проволоки — получить
проволоку заданных размеров с хорошо обработанной поверх-
ностью. Производственная матрица имеет воронку в форме рас-
труба, но, поскольку кривизна вблизи ее рабочей поверхности
мала, то можно ее упростить, представив в виде конической, кото-
рая служит для деформирования проволоки, и цилиндрической,
предназначенной для сохранения размеров канала в результате
износа. Общий угол воронки матрицы может быть 5—25°, длина
цилиндрической части изменяется от нуля до двух диаметров про-
волоки. Возможная степень обжатия в каждой матрице составляет
10—45% и определяется как г = (1 — AJA-^ 100, где Аг —
начальная, А2 — конечная площади поперечного сечения про-
волоки.
При волочении труб достоверные результаты получаются при
пренебрежении изменением напряжения по толщине стенки трубы.
Однако предположение о равномерности распределения напряже-
ний по сечению проволоки при волочении позволяет получить до-
вольно точные значения усилия волочения только для определен-
ных ограниченных комбинаций углов воронки матрицы и степени
обжатия. В общем случае деформация неоднородная, плоские се-
чения не остаются плоскими при прохождении через воронку
293
матрицы, дополнительная работа тратится на искривления, кото-
рые не влияют на конечное уменьшение диаметра, т. е. это излиш-
няя деформация (Аткинс, Кадделл, 1968 г.).
Наиболее подробное исследование механики волочения про-
волоки было проведено Вистрейхом (1955 г.)- Исследование огра-
ничивалось медленным волочением круглой проволоки без натя-
жения через матрицы с каналами в форме усеченного конуса
(рис. 11.34). Щелевая матрица, предложенная Маклелланом
(1952—1953 гг.), использовалась для определения среднего да-
вления. Матрица состояла из двух половинок, и наряду с усилием
волочения измерялось распирающее усилие, стремящееся разъ-
Рис. 11.34. Усилия
при волочении про-
волоки
единить эти две половинки. Внешние силы, действующие на про-
волоку, показаны на рис. 11.34. Коэффициент трения р между
проволокой и матрицей предполагается постоянным.
Пусть а — полуугол конической воронки матрицы; тогда
площадь соприкосновения проволоки с матрицей есть (А, —
— A2)/sin а. Из условия равновесия сила волочения должна быть
равна силам, действующим на поверхность матрицы:
Р = (Д1-Д2)(1 +pctga)<7m. (11.29)
Если Dx — начальный, a D2 — конечный диаметры проволоки,
то длина ее соприкосновения с матрицей L = (Dr — D2)/2 sin а,
и распирающее усилие между двумя половинками штампа
S = qm P1 (cos а — р sin а).
Из уравнений (11.29) и (11.30)
__ 1 — л (S/P) tg а
И ~ tg а + л (S/P) ’
qm = nS/(Ax — А2) (ctg а — р).
(11.30)
(11.31)
(11.32)
В последнем выражении коэффициент трения рассматривается
как параметр, который можно выбрать так, чтобы получить наи-
лучшее согласие между теоретическими и экспериментальными
данными. Поэтому очень важно его определение из эксперимента.
Мэджорс (1955 г.) получил величины среднего давления на
матрицу, измеряя деформацию в тангенциальном направлении на
боковой поверхности цельного штампа.
294
В своих исследованиях Вистрейх использовал легко поддаю-
щуюся волочению проволоку из электролитической меди, поскольку
она хорошо смазывается и не вызывает быстрого износа стальных
матриц. Кроме того, материал в этих условиях назначительно
упрочняется. Если при расчетах учитывать упрочнение, то полу-
ченные результаты хорошо согласуются с экспериментальными.
В результате проведения других экспериментов был сделан вывод,
у'т, тс/дюшг Ру cpljurnc
Рис. 11.35. Влияние степени обжатия на
среднее давление. Угол между образующей
матрицы и осью а, градусы:
О — 2,29; @ — 8,02; Д — 15,47 (по данным
Вистрейха)
Рис. 11.36. Зависимость усилия волочения
ных а, градусы:
О — 2,29; @ — 8,02; Д — 15,47 (по данным Вистрейха)
что деформация не зависит от свойств металла, кроме отожженного,
протянутого с очень небольшим обжатием. Смазкой везде являлся
стеарат натрия. Особое внимание уделялось тому, чтобы наложить
ее ровно и тем самым уменьшить изменение условий трения. Зна-
чение коэффициента трения в этих условиях усреднялось (0,02—
0,03) и почти не менялось при изменении давления матрицы.
Мэджорс (1955 г.) в своих испытаниях определил коэффициент
трения прямым способом при волочении стальных прутков и по-
лучил более высокие значения (0,08—0,2).
Изменение давления на боковую поверхность матрицы в зави-
симости от степени обжатия показано на рис. 11.35 для трех раз-
личных углов воронки. Среднее напряжение текучести материала
при испытании изменяется в пределах 22—27 тс/дюйм2, поэтому
можно видеть, что для определенных комбинаций угла воронки
матрицы и обжатия давление на боковую стенку матрицы значи-
295
тельнб превышает величину напряжения текучести. В последую-
щих экспериментах было также установлено, что при прочих
равных условиях давление на боковую стенку матрицы тем ниже,
чем больше трение.
Зависимость усилия волочения от степени обжатия проволоки
при тех же трех углах воронки матрицы показана на рис. 11.36.
Следует заметить, что в результате экстраполяции кривые не
проходят через начало координат. Это можно объяснить тем,
что при очень малых обжатиях проволока начинает деформиро-
ваться до входа в воронку матрицы.
Если предположить, что деформация однородна и нет трения
между проволокой и матрицей, то работа, расходуемая в единице
объема при обжатии поперечного сечения проволоки от Лх до А2,
будет равна Ym In A-JA2, где Ym — среднее напряжение теку-
чести. Работа, совершаемая при получении единицы длины, равна
оЛ2, и работа, отнесенная к единице объема, есть просто напряже-
ние волочения о. Поэтому
о = Ym In Ai/A2. (11,33а)
Это наиболее эффективный, или идеальный способ уменьшения диа-
метра проволоки; он дает минимальное значение напряжения во-
лочения. Уравнение (11.33а) можно сравнить с точно таким же,
полученным для волочения тонкостенной трубы, когда напряже-
ние волочения о == Ym In г0/гг. Если учесть силу трения, то
о = Ут (1 + tg а/р) [ 1 - (Л2/Лх)^ ctg aj. (1 1 .336)
Уравнение, полученное Заксом (1927 г.), можно сравнить с ана-
логичным для волочения трубы.
Далее, мы не учитываем бесполезную работу на искажения.
Зибель (1947 г.) предложил теорию волочения проволоки, согласно
которой эффекты однородной деформации, трения и бесполезного
искривления аддитивны. Он считал, что область пластической де-
формации проволоки при волочении через матрицу ограничена
сферическими поверхностями с центрами в возможной вершине
конуса. Когда проволока входит в очко матрицы и выходит из
него, она одновременно сдвигается вдоль этих плоскостей, а ме-
талл в матрицу подается в направлении возможной вершины ко-
нуса. Формула для определения усилия волочения при таком пред-
положении имеет вид
Р = А2[ут1пА-+-^Ут1пА+|ута]. (11.34)
Первое слагаемое учитывает однородную деформацию, второе —
трение, третье — дополнительное усилие, необходимое для бес-
полезных искривлений. Среднее давление на боковую поверхность
матрицы в каждом случае можно найти из (11.29).
Виттон (1958 г.) сравнил значения усилий волочения, полу-
ченные из рассмотренных выше теорий, с экспериментальными зна-
290
чениями, полученными Вистрейхом. Коэффициент трения предпо-
лагался равным 0,025, соответствующие средние значения напря-
жений текучести брались из тех же источников. Это сравнение
проведено на рис. 11.37 и 11.38 для двух значительно различаю-
щихся углов воронки матрицы. В качестве среднего напряжения
текучести брали среднее между значениями до "и после волоче-
ния. Следует заметить, что уравнение Закса дает хорошее согла-
сие теоретических и экспериментальных данных для матриц с по-
лууглом 2,29°, а для матриц с полууглом 15,5° усилие волочения
Рис. 11.37. Зависимость усилия воло-
чения от степени обжатия при а =
= 2,29° экспериментальная (7, по дан-
ным Вистрейха) и определенная по
формулам Зибеля (2) и Закса (3)
Рис. 11.38. Зависимость усилия воло-
чения от степени обжатия при а =
= 15,47° экспериментальная (7, по
данным Вистрейха) и определенная по
формулам Зибеля (2)
меньше действительного, особенно при малых обжатиях. Это
происходит потому, что уравнение Закса не учитывает бесполез-
ное искривление (излишний сдвиг), влияние которого увеличи-
вается при увеличении угла воронки матрицы и ослабляется при
увеличении обжатия (см. рис. 11.38). С другой стороны, уравнение
Зибеля дает завышенное значение бесполезного искривления, а сле-
довательно, и усилие волочения, определенное теоретически, совпа-
дает с экспериментальным только при малых обжатиях.
Пытаясь получить лучшее согласие с экспериментом, Виттон
предложил следующую эмпирическую формулу:
Р = А^т (1 + ctg а/и) [1 - (4/А)» «1 ф-
4- 2А2Ута2(1 — г)/3г,
где г — относительное обжатие (/!х — А^!АХ. Последнее слагае-
мое учитывает дополнительное усилие волочения, расходуемое
на преодоление бесполезного искривления. Точность данных, по-
лученных по формуле, по отношению к экспериментальным —
порядка 10%. Другая эмпирическая формула была предложена
Вистрейхом (1965 г.).
297
Во всех до сих пор рассматриваемых теориях приняты раз-
личные допущения относительно деформации и размеров очага
пластической деформации. В законченном решении задачи напря-
жения и схемы деформации должны быть согласованы. Хотя до
сих пор задачи для осесимметричного деформирования все еще
не имеют решения, Хилл и Таппер (1948 г.), пользуясь методом
линий скольжения, получили решение для волочения широкого
листа, которое является двухмерным аналогом волочения прово-
локи. Хотя, согласно Вистрейху, вычисления усилия при волоче-
нии листа нельзя применять для волочения проволоки,теория
плоской деформации дает объяснения наиболее характерных черт
Рис. 11.39. Зона пластической деформации при волочении в условиях пло-
ской деформации (а, б), диаграмма о — е (в):
1 матрица; 2 — жесткая зона; 3 — зона деформации; 4 — свободный конец
этого процесса. Например, местоположение очага пластической
деформации при волочении листа, определенное теоретически
(рис. 11.39, а), подтверждается экспериментально травлением об-
разцов проволоки после волочения. Кроме того, теория предска-
зывает изгиб листа при небольших обжатиях. Однако при заданной
геометрии матрицы деформация при волочении проволоки менее
однородная, чем при волочении листа.
В экспериментальных работах, рассмотренных выше, скорость
волочения была ^6 фут/мин. В производстве скорости волочения
изменяются от 100 до 8000 фут/мин. Такие высокие скорости де-
формирования, а также трение приводят к увеличению темпера-
туры и появлению резких градиентов температуры на поверхности
проволоки. Повышение температуры может ухудшить смазку,
способствовать ускоренному старению железных и некоторых
других сплавов и тем самым снижать пластичность проволоки;
температурные градиенты могут быть причиной появления оста-
точных напряжений в протянутой проволоке. Остаточные напря-
жения могут появляться из-за неоднородного характера дефор-
мации. Читателю стоит ознакомиться с ценным обзором сведений
по механике и физике процесса деформации при волочении про-
волоки, сделанным Вистрейхом (1956 г.). В этом обзоре основное
внимание уделено достижениям, полученным после 1948 г., а в ра-
298
боте Маклеллана дан критический анализ теории волочения
проволоки, созданной до этого года. Наиболее современный обзор
и библиография по теории /волочения проволоки приведены Джон-
соном и Совербаем (1969 г.).
Описание смазок для волочения проволоки можно найти в ра-
ботах Кристоферсона и Нейлора (1955 г.), Томсона, Хоггарта и
Суитера (1967 г.).
11.12.2. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
И КОЭФФИЦИЕНТЫ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
ПРИ ВОЛОЧЕНИИ УПРОЧНЯЕМЫХ МАТЕРИАЛОВ
Расход дополнительной работы и создание дополнительной
деформации при волочении проволоки и заготовок уже рассма-
тривались в некоторых публикациях, поэтому полезно кратко
остановиться на этом (Кадделл, Аткинс, 1968 г.).
Рассмотрим волочение через матрицу без трения (рис. 11.39, б).
Если необходимое удельное усилие волочения tw, то работа в еди-
нице объема протянутой полосы где v — скорость вы-
хода полосы из матрицы, если скорость входа равна единице.
Однако hv = 1 Н — это объем материала, проходящий в единицу
времени. Следовательно, tw - работа в единице объема протяну-
того материала. Если f — средняя деформация волочения, то до-
полнительная работа для деформирования упрочняемого мате-
риала, для которого соотношение напряжение—деформация в =
= Be”1 возможно оценить через tw как произведение f на среднее
напряжение текучести Ym, соответствующее интервалу деформа-
ции от 0 до f на диаграмме о—е, рис. 11.39, в. (Заметим, что f
в некоторых случаях вычисляется теоретически, как в теории ли-
нии скольжения). Эта величина определяется площадью под кри-
вой напряжение—деформация от 0 до f; тогда работа пластической
деформации в единице протянутого объема
Для упрочняемых материалов, однородно деформированных
растяжением до степени tN, чтобы получить то же обжатие г,
что и при волочении, требуемая деформация In 1/(1 —г) = g,
а требуемая работа в единицу объема
^ = 4^-----. (11.356)
Коэффициент дополнительной работы <рю, определяемый отноше-
нием tJtN>
(11.35В)
lN ' & '
Коэффициент дополнительной деформации <ps как для упрочняе-
мого, так и для неупрочняемого материалов равен fig.
299
Коэффициент дополнительного напряжения для упрочняемых
материалов
ф7. = Bfmi'Bgm = (fig)1'1. (11,35г)
Для неупрочненных материалов т = 0. Мы получаем очевид-
ное соотношение = <ps = fig, в то время как = I. Для
упрочняемых материалов (pw/(ps — (f!g)m, так что во всех реаль-
ных случаях q>w > <ps.
При использовании метода линии скольжения для плоской
деформации волочения без трения через 15°-ную клиновую во-
ронку матрицы со степенью обжатия 0,343, tw!2k = 0,431. Однако
для однородного деформирования t!2k = In [1/(1 — 0,343)1 =
= 0,42.
Таким образом, = 0,431/0,42 = 1,025, а также <ps =
= 1,025.
11.12.3. МАКСИМАЛЬНОЕ ОБЖАТИЕ ПРИ ВОЛОЧЕНИИ.
ПРОСТОЙ АНАЛИЗ
Если деформация предполагается однородной, то twi2k =
— In [1/(1 —г)]; если материал неупрочняется, то наибольшее
допустимое значение tw!2k = 1, следовательно, наибольшая сте-
пень обжатия г = (е — 1)/е 0,638.
Если рассматривается упрочняемый материал, то максималь-
ное обжатие, которое можно получить за один проход, будет раз-
лично; tw/Y = е', где е' — средняя дополнительная деформация,
Y — среднее напряжение течения в интервале от 0 до е' на дей-
ствительной кривой напряжение—деформация. Но Y =
i\ I
= I j BemdE /е' =BE'm/(l -фот); следовательно, tw= 5Е'т+1/(1фт).
\о //
Пусть прочность материала на растяжение при простом рас-
тяжении 1и-, тогда tu = Втт. Если наибольшим допустимым нап-
ряжением волочения является предел прочности на растяжение,
то наибольшее возможное обжатие определяется выражением
Втт = Be'm+I/(1 + т) или
In е' == (т 1пт ф- In (1 ф m)]/(l -j- т). (11.36а)
При этом анализе предполагалось, что к свободному концу
заготовки при волочении приложено напряжение, равное пределу
прочности на растяжение, и площадь ее поперечного сечения равна
выходному отверстию матрицы. Можно составить следующую
таблицу значений степени обжатия при волочении:
т................. 0 0,05 0,1 0,4 0,5 0,6
г ................ 0,638 0,597 0,585 0,624 0,648 0,668
Различными способами было показано, что максимальное об-
жатие определяется способностью создавать в протянутой прово-
локе после прохождения через матрицу напряжение, равное на-
300
пряжению текучести. Это напряжение равно Ве'1П . Таким образом,
вместо (11.36а) имеем Ве’м = Ве'"!+1/(1 + т) и е' = 1 + т.
Ниже даны некоторые типичные значения т и г при е' = 1п 1/(1 —
— г).
т .......................... О 0,1 0,2 0,3 0,5
г........................... 0,638 0,667 0,70 0,738 0,777
Эти результаты очень похожи на те, которые привели Аткинс
и Кадделл (1969 г.).
11.13. ВЫДАВЛИВАНИЕ. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Выдавливание — один из самых новых процессов обработки
металлов давлением, который, вероятно, впервые был применен
в конце XVIII в. для изготовления свинцовых труб. Это один из
тех процессов, в которых кусок или заготовку металла протал-
Рис. 11.40. Прямое (а) и обратное (б) выдавливание:
1 — контейнер; 2 — пуансон; 3 — пресс-шайба; 4 — матрица; 5 — матрмцедержатель;
6 — выдавливаемый металл; 7 — плита
кивают под высоким давлением через матрицу определенной формы,
чтобы придать изделию поперечное сечение заданной формы. Уди-
вительное разнообразие сечений, включающих входящие углы,
может быть получено выдавливанием — быстрым и экономичным
способом. Высокая точность размеров позволила уменьшить число
отделочных и механических операций со снятием стружки до
минимума или же заменить их. Универсальность способа увели-
чивается при сочетании выдавливания со штамповкой. На рис. 11.40
изображены два наиболее распространенных способа обработки,
известных как прямое и обратное выдавливание. При прямом вы-
давливании пуансон и изделие движутся в одном направлении, при
обратном — в разных. Наиболее часто используется плоская ма-
трица (матрица с углом 90°).
До последнего времени выдавливание было исключительно
горячей обработкой, хотя составные трубы и другие изделия полу-
чали при холодной обработке из более мягких металлов ударным
выдавливанием. Приблизительный интервал температур горячего
выдавливания в начале процесса представлен ниже.
Магний ............. 280—320° С Медь ............... 800—880° С
Алюминий............ 450—490° С Никель ............. 1100—-1160° С
Латунь 68/32 .... 700—750° С Сталь................. 1050—1250° С
301
Выше верхнего предела температуры отмечалось стремление
металла к образованию трещин или рванин при выходе из матрицы—
горячие дефекты. Это явление зависит от скорости выдавливания.
Чем выше скорость выдавливания, тем быстрее происходит пере-
ход работы выдавливания в теплоту. Температура заготовки при
этом поднимается гораздо выше верхней границы температурного
интервала, что вызывает фазовое изменение. Ниже нижней гра-
ницы интервала сила, необходимая для деформации металла,
должна становиться чрезмерной, а заготовка — затычкой в кон-
тейнере.
Выдавливание более прочных материалов, например
стали, при температуре выше 1000° С означает, что инструмент
испытывает очень высокие термические и механические напряже-
ния, и в этих условиях становится заметным его износ. Поэтому
надо при необходимости нагревать или охлаждать инструмент,
а также как можно лучше нанести смазку между ним и заготовкой.
Нанесение стеклосмазки, известное, как процесс Уджин—Сежур-
нет, во многом упростило горячее выдавливание углеродистых и
легированных сталей, никеля и его сплавов и других жаропрочных
сплавов.
Такие явления, как неравномерное нагревание заготовки,
образование на ней окалины, износ инструмента и др., имеют важ-
ное значение в промышленности; но, не рассматривая влияние >
их на стоимость поковки, можно сказать, что эти факторы мешают
использовать заводам установленные систематизированные дан-
ные о механизме пластического течения. Эксперименты по горя-
чему выдавливанию были проведены Зибелем и Фангмейером
(1931 г.), Заксом и Эйсбейном (1931 г.), Пирсоном и Смитом
(1931 г.) и др.
Холодное выдавливание стали впервые было успешно исполь-
зовано в Германии во время второй мировой войны. Успех опера-
ции зависит от использования фосфатов как основы для смазоч-
ной пленки. Основные преимущества холодного выдавливания:
экономия материалов, во многих случаях улучшение физико-меха-
нических характеристик металла и уверенность, что материал
изделия является высокопрочным. Обзор развития холодного вы-
давливания стали дан Морганом (1959 г.) и в монографии Фельд-
мана «Холодное выдавливание стали» (1961 г.). Трение и смазка
при металлообработке подробно рассматриваются в книге под
редакцией Шея (1970 г.).
Для холодного выдавливания стали необходимы прессы очень
жесткой конструкции. Нужно обеспечить точное направление пол-
зуна и тщательное расположение рабочих инструментов. Заго-
товка должна быть без единой зазубрины, рекомендуется отжи-
гать ее перед каждым выдавливанием. В некоторых случаях, на-
пример при получении шестерен с зубьями, необходима термиче-
ская обработка изделий для придания им нужных физических
свойств.
302
Было выполнено много лабораторных испытаний для выясне-
ния механизма пластического течения в свинце, олове, алюминии
при комнатной температуре. Особое внимание следует обратить
на пять основных факторов: степень обжатия, условия трения, гео-
метрические граничные условия, характеристику деформацион-
ного упрочнения материала и скорость деформирования. Основы
процесса будет легче понять, если сначала рассмотреть холодное
выдавливание цилиндрического прутка из цилиндрической заго-
товки из неупрочняемого материала
смазкой при малых скоростях.
Индикаторная диаграмма, пока-
зывающая изменение нагрузки по
перемещению пуансона при прямом
и обратном выдавливании для ука-
занных выше условий, показана на
рис. 11.41. Диаграмма для неупроч-
няемого материала, выдавливаемого
через плоскую матрицу, состоит из
трех участков.
1. Предварительная осадка. Пред-
варительная осадка заготовки и одно-
временное небольшое выдавливание
почти недеформированного металла
происходят под действием быстро
возрастающего усилия. Выдавлива-
ние через конические матрицы с вы-
соким начальным давлением рассмо-
трено Даффилдом и Меллором
(1969 г.).
2. Стационарное течение. При
движении пуансона на этой стадии
через плоскую матрицу со
Рис. 11.41. Изменение усилия
прямого (/) и обратного (//)
выдавливания через плоскую
матрицу по этапам деформиро-
вания:
1 —- подчеканка заготовки; 2 —
стационарное течение; За — неста-
ционарное течение до образования
утяжины: 36 — нестационарное
течение после образования утя-
жины (окончание стационарного
течения)
происходит стабильное выдавливание, полное усилие в слу-
чае прямого выдавливания непрерывно уменьшается, поскольку
уменьшаются силы трения на контактной поверхности заготовки
и стенки контейнера. При обратном выдавливании не происходит
уменьшение усилия выдавливания из-за отсутствия относитель-
ного движения, и участок диаграммы характеризуется постоянным
усилием.
3. Нестационарное течение. Окончание стационарного тече-
ния отмечается более быстрой скоростью уменьшения деформи-
рующего усилия. Это фаза нестационарного деформирования.
Зона пластической деформации охватывает весь объем заготовки,
который уменьшается по мере движения пуансона. Этой стадии
соответствует участок За. Когда толщина заготовки становится
равной половине диаметра выдавливаемого прутка, начинает обра-
зовываться утяжина (полость) в центральной части заготовки, и
на последней стадии (36) возникает нестационарное состояние де-
формирования. Утяжина продолжает увеличиваться, что, пожалуй,
303
проще объяснить, проведя аналогию с изгибом диска, защемлен-
ного по контуру и прогибающегося в центре. Нагрузка выдавли-
вания больше уже не распределена по всей заготовке, и выражение
«давление выдавливания», понимаемое в обычном смысле, стано-
вится бессмысленным, поскольку уже не ясно, на какую площадь
действует сила выдавливания. Затем нагрузка опять быстро уве-
личивается. Механика этого процесса впервые была изложена
Джонсоном (1959 г.) для плоской деформации (см. за-
дачу 23), Авитцур (1967 г.) пользовался теми же идеями для осе-
симметричного процесса. Интересна также работа Хоффманнера
(1971 г.).
При выдавливании через плоскую матрицу часть металла за-
стревает между матрицей и стенкой контейнера и не выдавливается.
Эту часть заготовки называют мертвой (недеформируемой или
жесткой) зоной. Граница мертвой зоны отмечена узкой областью
интенсивного сдвига. Эта зона превращает матрицу из плоской
в закругленную коническую с шероховатой поверхностью. Нали-
чие мертвой зоны может привести к ухудшению качества поверх-
ности выдавливаемого прутка. На практике этого частично избе-
гают, укрепляя кольцо на плоской матрице, которое занимает
место мертвой зоны. Размеры и форма мертвой зоны зависят от
обжатия и условий трения между заготовкой, контейнером и
матрицей.
В последнее время проведено много экспериментальных иссле- '
дований, связанных с гидростатическим выдавливанием. В этом
процессе, который впервые был изучен Бриджменом (1952 г.),
заготовка окружена жидкостью, и выдавливание происходит через
коническую матрицу. При простом гидростатическом выдавлива-
нии давление окружающей жидкости увеличивается до тех пор,
пока не станет достаточным для выдавливания заготовки через
воронку матрицы. Основные преимущества этого способа состоят
в том, что нет трения между заготовкой и контейнером, поэтому
можно выдавливать длинные заготовки; смазка между заготовкой
и матрицей также улучшена. Более предпочтительными являются
меньшие углы воронки матрицы, обеспечивающие однородную де-
формацию. Недостаток простого гидростатического выдавливания
в том, что скорость выхода изделия из матрицы не контролируется.
В практических целях нужно управлять скоростью выхода про-
дукта. Это можно сделать, создавая в полости контейнера давле-
ние, которое лишь немного меньше требуемого для начала выдавли-
вания, а затем, увеличивая его, проводить выталкивание изделия.
Основные исследования этого процесса были проведены в Na-
tional Engineering Laboratory в Шотландии, в лаборатории физики
высоких давлений в Москве, и в Battelle Memorial Institute в США.
О проделанной работе сообщили Пух (1965 г.), Береснев и др.
(1963 г.), Фьерентино и др. (1963 г.). Более поздние исследования
провели Слатер и Грин (1967 г.), Ленгиел и Александер (1967 г.),
Пух (1970 г.).
304
11.14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ВЫДАВЛИВАНИЯ
Первое разумное соотношение между давлением выдавливания р
(отношение нагрузки на пресс-штемпеле к площади поперечного
сечения заготовки) и обжатием площади г было предложено Зибе-
лем и Фангмейером (1931 г.); деформация считалась однородной.
Предполагалось, что
р = А>'1п4 = £'1п (11.37)
где А — начальная, а — конечная площадь поперечного сечения
заготовки; kr — сопротивление деформации..., зависящее от тем-
пературы и ... скорости выдавливания. Это выражение не вклю-
чает длину заготовки, но при прямом выдавливании ее надо уточ-
нить и включить слагаемое, учитывающее трение между боковой
поверхностью заготовки и стенкой контейнера. Эти авторы также
предложили несколько выражений для случая обратного выдав-
ливания. Экспериментальные значения давления выдавливания
всегда выше теоретических, полученных на основе этих формул,
поскольку в них не учтена дополнительная работа на искривле-
ние. Соответствие между теоретическими и экспериментальными
значениями зависит от степени обжатия; чем оно сильнее, тем
лучше совпадают результаты.
Хилл (1948 г.), пользуясь теорией линии скольжения и счи-
тая, что мертвые зоны охватывают всю кольцевую поверхность
матрицы и трение между металлом и стенкой контейнера отсут-
ствует, вычислил давление для условий плоской деформации выда-
вливания неупрочняемого материала через плоские матрицы при
обжатиях 0,12—0,88. Он предполагал, что недеформируемая жест-
кая зона примыкает к матрице и трение на стенке контейнера от-
сутствует. Джонсоном (1955 г.) были проведены вычисления да-
вления выдавливания при наличии трения между заготовкой и
стенкой контейнера. Эти решения методом линий скольжения для
плоской деформации выдавливания подробно рассмотрены в гл. 12.
До сих пор нет ни одного полного решения даже простейших задач
осесимметричного выдавливания, хотя получены решения для
верхней оценки деформирующего усилия (Кудо, 1960 г.).
Джонсон (1957 г.) предложил полезный эмпирический подход
для оценки давления при осесимметричном выдавливании. Этот
подход основан на известном решении по методу линий скольже-
ния для плоской деформации выдавливания. Теоретические соот-
ношения между давлением выдавливания и обжатием при плоской
деформации выдавливания можно задать следующим эмпирическим
соотношением:
р/2^==п' + й'1п1/(1-г), ' (11.38а)
где k — напряжение текучести при сдвиге; а' и Ь' — константы.
Джонсон (1956 г.) представил результаты испытаний при пло-
ской деформации, в которых для сравнения с теорией линий сколь-
305
жения давление выдавливания считалось равным давлению в конце
стационарного течения. Поэтому при корреляции теоретических
и экспериментальных результатов не учитывалось изменение на-
грузки трения в зависимости от длины заготовки (степень трения
влияла на форму мертвой зоны). На рис. 11.42 представлены экспе-
риментальные результаты, полученные при выдавливании чистого
свинца и его сплава с 0,065% теллура через плоские матрицы.
Перед началом испытания инструмент для выдавливания был
дезинфицирован с помощью углеродистого тетрахлорида, для
смазки заготовки использовался графит с салом. Из рис. 11.42
Рис. 11.42. Выдавливание чистого свинца (а) и его сплава с теллуром (б) через
плоскую матрицу из контейнера с очень шероховатой поверхностью стенки (/)
и гладкой (2) с образованием зоны жесткого неподвижного металла на матрице
(О — выдавливание со смазкой, □ — без смазки. По данным Джонсона)
видно, что результаты расчета хорошо согласуются с данными
эксперимента, кроме области высоких обжатий, в которых давле-
ние, определенное расчетом, всегда меньше. Был сделан вывод
о том, что при выдавливании со смазкой коэффициент трения велик,
и расчетные кривые давления при выдавливании через плоские
матрицы при наличии жесткой недеформируемой мертвой зоны и
шероховатой поверхности стенки контейнера подтверждаются
данными эксперимента (с точностью до 15%).
Коэффициенты трения между стенкой контейнера и заготовкой
определили с помощью пластометра (Эл Бехери и др., 1963 г.).
Для осесимметричного выдавливания неупрочняемого мате-
риала Джонсон предположил, что экспериментальные значения
давления выдавливания в зависимости от обжатия можно пред-
ставить выражением
р/У = a-f-Мп 1/(1 — г), (11.386)
где Y — напряжение текучести при одноосном сжатии; а и b —-
постоянные, отличные от а' и Ь' в уравнении (11.38а). Y = k~\Y%
306
или У ~ 2k в зависимости от того, какое условие пластичности
используется: фон Мизеса или Треска. Правую часть уравнений
(11.38а) и (11.386) следует рассматривать как среднюю деформа-
цию, дополнительную к длине выдавленной части заготовки
(она дает завышенное значение средней деформации из-за учета
трения).
Значения а и b были определены при осесимметричном выда-
вливании заготовки из свинца, который считался неупрочняемым
материалом. Действительная кривая напряжение—сжатие, по-
казана на рис. 11.43, а, а значения р/У приведены в табл. 11.3.
Рис. 11.43. Кривые ис-
тинное напряжение—
логарифмическая де-
формация:
——----—- эксперимен-
тальная; -------— по-
лученная экстраполя-
цией для чистого свинца
(/) и сверхчистого алю-
миния (2)
Если нанести на диаграмму значения р/У в зависимости от In 1/(1 —
— г) и провести через эти точки оптимальную прямую линию, то
р/У = 0,8+1,51п 1/(1-г). (11.39)
Рассмотрим выдавливание сверхчистого алюминия. При выда-
вливании заготовки из упрочняемого материала ее части упрочня-
ются в разной степени, поскольку процесс связан с неоднородной
деформацией, и нельзя составить простое уравнение, учитываю-
щее это. Было предложено среднюю полную деформацию, возника-
ющую в заготовке, заменить той деформацией, которая возникает
в неупрочняемом материале при тех же условиях, и следовательно,
различие в упрочнении учитывается при использовании среднего
значения напряжения текучести У. У определяют как среднее зна-
чение действительного напряжения в области логарифмической
деформации от 0 до [0,8 + 1,5 In 1/(1 —г)1 согласно кривой 2
Таблица 11.3
Г Р, фунте р, тс/дюйм2 У. тс/дюйм2 р/У
Эксперимен- тальное Теоретиче- ское
0,50 3 600 2,05 1,12 1,85 1,85
0,667 5 000 2,85 1,13 2,5 2,45
0,80 6 250 3,55 1,14 3,1 3,2
0,88 8 350 4,75 1,14 4,15 4,0
0,94 10 000 5,70 1,15 4,95 5,0
307
Таблица 11.4
Г Р, фунте р, тс/дюйм У, тс/дюйм2 рГУ
Эксперимен- тальное Теоретиче- ское
0,50 19 500 11,1 6,1 1,8 1,85
0,667 30 100 17,1 6,5 2,6 2,45
0,80 38 500 21,9 6,9 3,15 3,2
0,88 51 000 29,0 7,1 4,05 4,0
0,94 67 500 38,4 7,5 5,1 5,0
на рис. 11.43, где г соответствует выполненному выдавливанию.
Этот способ применен для обработки экспериментальных данных,
полученных для сверхчистого алюминия; отношения p/Y пред-
ставлены в табл. 11.4. Видно, что полученные таким образом зна-
чения находятся в хорошем согласии с теми, которые предсказы-
ваются уравнением
p/Y = 0,8 + 1,5 In 1/(1 - г). (II .40)
Последующие эксперименты со сплавом свинца с 0,065% тел-
лура и с оловом подтвердили приемлемость написанного выше
уравнения и метода оценки p/Y.
Примененный метод есть общий индуктивный метод определе-
ния нагрузки при выдавливании, волочении, прокатке, если про-
цесс является стационарным. Этот метод можно применять при
любой форме сечения. Для заготовки из (почти) неупрочняемого
материала определяют требуемое давление (или нагрузку). Чтобы
определить среднюю возникающую деформацию, давление нужно
разделить на напряжение текучести. Если имеется кривая напря-
жение— деформация для испытуемого материала, то можно вы-
числить среднее напряжение текучести, соответствующее средней
деформации, и следовательно, требуемую рабочую нагрузку.
Вилкокс и Виттон (1958 и 1959 гг.) измерили давления выда-
вливания при различных степенях обжатия и углах матриц. Они
пользовались эмпирическим уравнением, имеющим такую же
форму, что и (11.38), но их определения р и Y были другие, менее
фундаментальные, чем рассмотренные выше.
В этом разделе мы не рассматривали геометрию деформации при
выдавливании. Некоторые аспекты этого вопроса рассмотрены
теоретически, особенно подробно для плоской деформации выдав-
ливания — в гл. 13. Детальное экспериментальное исследование
деформации при выдавливании свинца было сделано Янгом и
Томсеном (1953 г.). Другие интересные статьи, книги и обзоры
приведены в ссылках. В книге Джонсона и Кудо (1962 г.) содер-
жится подробный обзор механики выдавливания металла.
308
11.15. ПРОКАТКА
Некоторые полезные и большие подборы ссылок с подробным
описанием теории прокатки и станов прокатки можно найти в кни-
гах Андервуда (1950 г.), Ларке (1967 г.), Целикова (1967 г.),
Смирнова (1967 г.), Целикова и Смирнова (1965 г.), Тарковского
(1965 г.).
11.15.1. Холодная прокатка полосы
Цель теории прокатки — выяснить зависимость внешних при-
ложенных сил от механической прочности прокатываемого мате-
риала. Любая такая теория будет особенно ценна при определении
требуемой мощности прокатного стана для новых разработанных
металлов или сплавов. Теорию прокатки можно разделить на две
основные части, которые относятся к горячей и холодной про-
катке. При горячей прокатке напряжение текучести металла за-
висит от скорости деформации, а сила трения между валками и
полосой велика, в то время как при холодной прокатке напряже-
Рис. 11.44. Схемы прокатки (а) и напряженного состояния (б):
1 недеформируемый валок радиусом R; 2 — ось валка; 3 — нейтральная поверхность
ние текучести металла существенно не зависит от скорости дефор-
мации, а сила трения между валками и полосой мала.
Сейчас мы рассмотрим холодную прокатку полосы. Для этого
воспользуемся предположениями, сделанными фон Карманом
(1925 г.) и использованными Орованом (1943 г.). Бленд и Форд
(1948 г.), основываясь на теории Орована, сделали дополнительные
допущения. Приведенное ниже решение получено ими.
Рассмотрим, что происходит, когда полоса материала толщи-
ной входит в пространство между валками (рис. 11.44, а).
309
При прохождении между валками она сначала упруго сжимается
до наступления предела текучести, затем пластически деформи-
руется (упрочнение с увеличением деформации). При выходе из
валков она упруго восстанавливается до толщины й2.
В теории предполагается, что материал жесткопластический
(упрочняемый). Это значит, что влияние упругих прогибов в реаль-
ном материале на усилие прокатки и крутящий момент не учи-
тывается. Это влияние можно иногда учесть в теории, выбрав ко-
эффициент трения между валками и полосой. Однако этого нельзя
делать при очень легких обжатиях (небольшое уменьшение тол-
щины) или при прокатке очень жестких полос, когда упругие де-
формации соизмеримы с пластическими. Поэтому область приме-
нения теории ограничена.
При прокатке валки упруго искривляются по дуге контакта
с материалом, и это искривление надо учитывать при вычислении
силы прокатки и крутящего момента. Предположим, что дуга
контакта постоянной кривизны имеет радиус R', больший радиуса
R недеформированного валка. Опять же это предположение не-
верно при прокатке тонких полос из нержавеющих сталей и сталей
для бритвенных лезвий.
Теперь рассмотрим следующее ограничение, которое заклю-
чается в том, что отношение ширины полосы к толщине должно
быть достаточно большим, чтобы предотвратить поперечное уши-
рение жесткого непластического материала при выходе из про-
странства между валками. В этом случае деформация плоская.
На практике, если радиусы недеформированных валков примерно
в 100 раз меньше толщины полосы и отношение ширины полосы
к толщине >10, поперечное уширение редко бывает больше
1—2%.
Самое важное предположение состоит в том, что горизонтальное
напряжение и скорость частицы не изменяются по толщине листа.
Также предполагается, что существует скользящее трение по всей
дуге контакта и коэффициент трения постоянен по дуге контакта.
- При прохождении через валки толщина полосы постоянной
ширины b уменьшается от hA до й2, и, следовательно, деформация
является плоской в несжимаемом материале: bhiv1 = bhv =
= fc/i2o2, где и v2 — скорость полосы при входе и выходе из
валков; h и v характеризуют промежуточное состояние. Таким
образом, скорость полосы увеличивается постоянно при прохо-
ждении пространства между валками, скорость валков должна
быть промежуточной между v1 и ц2. При входе полосы валки дви-
жутся быстрее, чем полоса, и силы трения увлекают ее; при
выходе полоса движется быстрее валков, и силы трения препят-
ствуют ее выходу. В некоторой промежуточной (нейтральной)
плоскости полоса и валки движутся с одинаковой скоростью.
Положение нейтральной плоскости определяется из условия равно-
весия внешних сил и поэтому зависит от величины заднего и перед-
него натяжений рг и р2, приложенных к полосе.
310
Суммируем сделанные предположения: 1) материал жестко-
пластический упрочняемый; 2) дуга контакта постоянной кри-
визны; 3) деформация плоская; 4) коэффициент трения постоянен
по дуге контакта; 5) плоские сечения, перпендикулярные к на-
правлению прокатки, остаются плоскими.
Нормальное давление прокатки. Напря-
жения в части полосы, находящейся между валками, показаны
на рис. 11.44, а; силы, действующие при входе на элемент,—
на рис. 11.44,6 (увеличено). В данном случае целесообразно
считать, что напряжения растяжения отрицательные, а напряже-
ния сжатия положительные. Рассмотрим условие равновесия
продольных сил, действующих на элемент единичной ширины,
Gsh + 2sR'd<p sin ср ± 2iisR'd<p cos <р = o3h + d (<J3/i), где <т3 —
напряжение в продольном направлении; s — нормальное давление
прокатки; р — коэффициент трения. После преобразования
= 2sP'(sinq> ± ц cos ср). (11.41)
При рассмотрении плоскости выхода и нейтральной плоскости
ставим (+), нейтральной плоскости и плоскости входа — (—).
В дальнейшем будем считать, что верхний знак всегда соответствует
выходу, нижний — входу в нейтральную плоскость.
Из рассмотрения проекций сил на вертикальную ось полу-
чаем уравнение для в прокатываемом материале:
OiR' cfcpcosa = sR' dtp cos ср + pise?' c/cp sin cp;
<Ji = s(l + ptgcp). (11.42)
Соотношение напряжений можно определить из следующих
соображений. Если напряжение в направлении, перпендикуляр-
ном чертежу, скажем, о2 = о3, то из соображений симметрии уши-
рение в этом направлении должно быть равно удлинению в напра-
влении прокатки. Поскольку уширения не происходит, сц должно
быть больше <т3. Опять же, если <т3 = ох, то из-за симметрии полоса
будет испытывать боковое сжатие, равное вертикальному. По-
этому <т2 должно быть меньше ох. Используя уравнение Леви—
Мизеса (е2 = 0), получаем о2 — (сгх + <т3)/2, и условие пластич-
ности фон Мизеса принимает вид
о
ox-o3 = 2fe = -p~-F, (11.43)
где k — напряжение текучести чистого сдвига; Y — напряжение
текучести при одноосном сжатии. (По условию пластичности
Треска k = Y/2.)
При холодной прокатке угол контакта мал (редко превышает
6°), и, поскольку коэффициент трения мал, то можно допустить,
что нормальное давление примерно равно вертикальному напря-
жению. Тогда уравнение (11.42) можно записать в виде
ax^s. (11.44)
311
Ошибка при этом <1 %. Мы можем также допустить, что sin ср
ср, cos ф 1; тогда уравнение (11.41) принимает вид
= 2sR' (ф ± р). (11.45)
Подставляя давления прокатки из (11.44) в условие пластич-
ности (11.43), получаем
s-2A = ct3. (11.46)
Пользуясь тремя последними уравнениями, можно определить
давление прокатки по дуге контакта. Из (11.45) и (11.46)
d [h (s — 2k)]/4ф = 2sR' (ср ± p)
или [2kh 1)] = 2sR'(tp ± p),
которое можно переписать так;
(-i) + (4 -1) <2И!> “ <•₽ ± i*>-
Значение члена (s/2k — 1) d {2kh)/dip очень мало по сравнению
с 2khd (s/2k)/dw, поскольку напряжение текучести 2k увеличива-
ется с уменьшением h по мере перемещения полосы между валками
(произведение 2kh остается постоянным), и коэффициент (s/2k — 1)
мал для холодной прокатки.
Отбрасывая слагаемое, перепишем уравнение, сделав все воз-
можные величины безразмерными,
(Ф ± р). (‘ 1.47 )
s/2/г h 44 •' 4 '
Изменение толщины полосы h при перемещении полосы между
валками определяется выражением h = н2 + 27?'(1 — cos ф),
где й2 — толщина полосы на выходе. Записывая 1 — cos ср =
= Ф2/2, получим h = h2 + 7?'ср2. После подстановки в (11.47)
имеем
(d/dq>) (s/2/г) _ 2R' (<р ± р)
s/2k ~ Л2 + /?'ф3 ’
и после интегрирования
1пШ =ln ±J//4rarctg(/4rq,)+inC’
где С — постоянная интегрирования.
Поэтому давление прокатки
s==c(2£~e^H),. (11.48)
гдеЯ = 2 y 2Larctg(|/^p),
Н равно нулю на выходе при ф = 0. На выходе <т3 = —р, т. е.
равно переднему натяжению. Давление прокатки на выходе из
312
(11.46) s2 = 2^a — p2, где k — напряжение текучести при сдвиге
на выходе. Из (11.48)
и давление прокатки на выходе
“’--vl1 "Ое“" <"-49>
а со стороны входа
-O'1"'""’. <|L5°)
где Нг — значение Н на входе; kx — напряжение текучести сдвига.
Нейтральная плоскость. Нейтральную плоскость
можно определить до построения кривой зависимости давления
прокатки s от <р. Из (11.49) и (11.50) для нейтральной плоскости
Sn = $п, откуда получаем значение Нп. Затем можно найти угол
нейтральной плоскости
Рис. 11.45. Распределение
нормальных давлений, дей-
ствующих на валок при про-
катке:
1 — без натяжения; 2 —- с пе-
редним натяжением (р2 ~
— 5,2 тс/дюйм2); 3 — с задним
натяжением (р j ~ 3,3тс/р,юйм2);
4 — напряжение текучести
Нормальное давление прокатки уве-
личивается от входа к выходу, дости-
гая максимума в нейтральной пло-
скости. Поэтому его распределение по
дуге контакта будет описываться хол-
мообразной кривой, которую называют
«холмом» трения. Похожие кривые
соответствуют горизонтальному напря-
жению <j3.
Кривые нормального давления про-
катки, полученные с помощью этой
теории для прокатки высокопроводной
меди, даны на рис. 11.45 (Бленд, Форд,
1948 г.). Рассмотрены два случая:
нижняя кривая представляет распреде-
ление давления по контактной поверх-
ности в случае приложения переднего и заднего натяжений;
верхняя кривая — при отсутствии натяжений.
Усилие прокатки. При прохождении полосы между
валками напряжение текучести изменяется в зависимости от <р.
Напряжения текучести материалов при различных степенях обжа-
тия должны определяться экспериментально. Поскольку деформа-
ция при прокатке плоская, то лучше всего получить кривую на-
пряжения текучести, пользуясь такой же схемой деформации.
Этот эксперимент с использованием гладких параллельных штам-
пов для сжатия полосы был предложен Фордом (1948 г.) и поста-
влен Уоттсом и Фордом (1955 г.). Этот метод был уже рассмотрен
в подразделе 6.6 (Хилл, 1950 г.).
313
Если известны изменение напряжений текучести при прохо-
ждении полосы между валками и коэффициент трения, то, инте-
грируя нормальное давление прокатки по дуге контакта, можно
получить усилие прокатки. Эта сила на единицу ширины равна
<р 1
P = J sR'dtp. (11.51)
о
Крутящий момент при прокатке. Мощность
стана определяется приложенным к валкам крутящим моментом
и натяжением полосы. Средний крутящий момент на валке на еди-
ницу ширины есть интеграл относительно оси валка момента силы
трения, действующей вдоль дуги контакта. Влиянием нормальных
сил при определении крутящего момента можно пренебречь.
Плечо силы трения — расстояние от оси валка до его поверхности
примерно равно недеформированному радиусу валка R. Поэтому
<Р1
j pis~R' dtp — j p,s+7?' d(p
.vn <p2=o
G = pRR'
(11.52)
Предполагая, что коэффициент трения р постоянен по дуге кон-
такта, последнее уравнение представляет разность величин, имею-
щих один и тот же порядок, поэтому в такой форме оно не удобно
для использования. Бленд и Форд (1948 г.) показали, что для
вычислений более удобна другая форма записи:
G = RR'
<Р1 \
j scp dep | -ф
<Ра=О /
2R'
Определение коэффициента трения. За-
дача состоит в определении коэффициента трения между двумя
соприкасающимися поверхностями, когда одна из них деформи-
руется пластически. Если коэффициент трения предполагается
постоянным по дуге контакта, то его значение можно найти непо-
средственно измерением. Блендом был предложен, а затем Витто-
ном и Фордом (1955 г.) исследован следующий метод.
Полосу металла прокатывают при постоянной скорости и любой
удобной степени обжатия, усилие прокатки и крутящий момент
непрерывно измеряют. На полосу, пока она не выйдет из нейтраль-
ной плоскости, действует постепенно увеличивающееся заднее
натяжение. В этом случае силы трения действуют в одном напра-
влении, и уравнения (11.51) и (11.52) можно переписать в виде
<Р1 <Р1
P — R'] sd<p и G — ^RR' j sdtp. (11.53)
о о
314
Далее, из (11.53) следует, что
u = G/PR (11.54)
является безмерной величиной, независящей от теории прокатки.
Изменение кривизны валка. Было показано,
как можно оценить коэффициент трения и изменение напряжения
текучести при прохождении полосы между валками. Единственная
оставшаяся неизвестная величина — это радиус деформированной
части валка R'. Формула для его определения была предложена
Хитчкоком, и затем представлена Блендом и Фордом (1948 г.)
в следующем виде:
С'-56’
где с = 1,67-10-4 дюйм/тс при прокатке стали. Эту формулу
нельзя применять при прокатке тонкой жесткой полосы.
Обсуждение влияния упругих деформаций при прокатке ме-
таллов дано в работе Вайнштейна (1963 г.), уширение рассмотрено
в работе Закла (1958 г.).
Некоторые дополнительные замечания.
Экспериментальные данные, полученные при определении усилия
прокатки и крутящего момента, не противоречат теории с учетом
перечисленных выше ограничений. В некоторых экспериментах
было обнаружено, что кривая напряжения текучести, определенная
в испытаниях на плоское сжатие, расположена слишком низко по
отношению к теоретической. Считалось, что дополнительный сдвиг
при холодной прокатке упрочняет материал несколько быстрее,
чем при плоском сжатии, поскольку разница составляет примерно
5—7%. Другим отличием высокоскоростной прокатки является
увеличение напряжения текучести. Использование в теории зна-
чения напряжения текучести, определенного последним способом,
ведет в таких случаях к получению заниженного значения дефор-
мирующего усилия прокатки. Для сравнения теоретических и
экспериментальных данных читатель может воспользоваться ра-
ботами Хессенберга и Симса (1951 г.), Виттона и Форда (1955 г.).
Изложенную выше теорию используют достаточно широко на
практике. Для упрощения вычислений Лиянис и Форд (1956 г.)
построили номограмму для определения усилия прокатки и кру-
тящего момента. Однако, как уже указывалось, эту теорию нельзя
применять при рассмотрении прокатки тонких жестких полос или
прокатки с высоким задним натяжением.
Отметим, что имеются интересные и полезные работы по перио-
дической прокатке и дефектам в холодном прокате. Это работы
Моллера, Хоггарта (1967 г.) и Томсона и Хоггарта (1967 г.).
Усилие прокатки уменьшается и поэтому к. п. д. увеличивается,
если трение между валками и полосой уменьшается до минимума
или если в полосе приложено натяжение. Вилкокс и Виттон (1960 г.)
исследовали влияние различных смазок на величину деформиру-
315
ющего усилия при прокатке тонкой титановой полосы. Использо-
валось пять различных смазок и было показано, что для холодной
прокатки тонкой, жесткой титановой полосы возможно уменьше-
ние нагрузки до 60%. Авторы предложили использовать ту же тех-
нологию и для других высокопрочных материалов: сплавов нимо-
ника, высокопрочных сталей и циркония. Гидродинамическое
воздействие смазки между полосой и валками на усилие прокатки,
крутящий момент и давление изучали Веди и Хиллер (1967 г.);
представляет интерес также статья Александера (1972 г.), каса-
ющаяся вычисления крутящего момента.
11.15.2. ПРОКАТКА ТОНКОЙ ЖЕСТКОЙ ПОЛОСЫ
Обширная библиография по этому вопросу дана в книге Афоня
и Сансоме (1969 г.).
Как мы видели, существуют некоторые минимальные размеры
или толщины заготовок, из данного материала, которые можно по-
лучить. Они в значительной степени определяются упругим искри-
влением валков, возникающим под действием высоких удельных
усилий. Для массового производства более тонких заготовок ис-
пользуют планетарные станы типа сендзимир с небольшими рабо-
чими валками и значительными растягивающими усилиями, сендзи-
мир-стан или контактно-гибочно-растяжной стан. Однако, когда
требования не оправдывают капитальных расходов на такие спе-
циализированные станы, можно найти другие способы повышения
производительности существующих станов, как, например, «бу-
тербродная прокатка», когда жесткий металл, предназначенный
для прокатки, находится между двумя слоями более мягкого ма-
териала. При прокатке внешние слои будут стремиться к боль-
шему удлинению, чем средний. Благодаря различному удлинению
возникают силы трения между слоями, вызывая дополнительное
продольное напряжение сжатия в мягком материале. В резуль-
тате возникает дополнительное натяжение, как при прокатке
полосы с натяжением; соответственно усилие прокатки умень-
шается. Успех зависит от удачного выбора толщины мягкого и же-
сткого металлов. Важно также создать хорошее сцепление между
валками и слоями мягкого металла и иметь как можно более высо-
кий коэффициент трения между ними. Идея использования техно-
логии «бутербродной прокатки» для создания необходимого растя-
жения или сжатия, обеспечивающая обработку жестких металлов,
нуждается в дальнейшем совершенствовании (Арнольд и Виттон,
1959 г.).
11.15.3. РАСКАТКА КОЛЕЦ
На рис. 11.46 показан один из тех способов, которые применяют
для раскатки колец при изготовлении ободов колес и несущих
обойм подшипников. Начальное кольцо установлено между вал-
ками.
316
Рис. 11.46. Раскатка кольца:
1 — приводной валок с неподвиж-
ной осью; 2 — направляющий ва-
лок; з —- валок с подвижной осью;
4 — кольцо
Приводной валок фиксирован, но свободно вращается на своей
оси. Валок с подвижной осью, создающий давление на кольцо,
стремится приблизиться к приводному валку. Когда кольцо за-
жато между валками, валки начинают вращаться и в то же время
непрерывно сближаться. Если нет
поперечного уширения обода, то
кольцо постоянно увеличивается
в диаметре, пока не будет достигнут
заданный диаметр. Чтобы убедиться,
что кольцо раскатывается, следует
воспользоваться парой направля-
ющих валков, расположенных соот-
ветствующим образом. Механике
раскатки колец уделялось мало вни-
мания, но некоторые описания и не-
большое число ссылок можно найти
в работах Джонсона и Нидхама
(1968 г. а, б), Джонсона, Маклеода и
Нидхама (1968 г.), Кадделла, Нид-
хама и Джонсона (1968 г.). Одна
интересная черта — это появление
пластического шарнира в кольце,
предназначенного для раскатки. Если кольцо до раскатки было
зажато до определенной величины, то появившийся пластический
шарнир расположен в части кольца, диаметрально противопо-
ложной зажиму.
11.15.4. АСИММЕТРИЧНАЯ ПРОКАТКА
Если полосу прокатывают валками, например, разных диаме-
тров, с различной окружной скоростью вращения, с разной шеро-
Рис. 11.47. Зоны при асимме-
тричной прокатке:
1 — нормальная выхода; 2 — по-
перечного сдвига; 3 — нормальная
ховатостью поверхности, то полу-
ченная полоса будет изогнута; это и
есть асимметричная прокатка. В этих
случаях условия деформирования
полосы между валками гораздо
сложнее, чаи при симметричной про-
катке. На рис. .11.47 выделены три
зоны: нормальные зоны входа и вы-
хода и зона поперечного сдвига, в ко-
торой нормальное и касательное на-
пряжения в одном и том же верти-
входа калькой сечении действуют в про-
тивоположных направлениях. Такая
схема деформирования более сложна для анализа. С помощью
анализа типа Кармана, при применении которого рассма-
тривают только напряжения, можно определить конечную кри-
визну полосы. Зоровский и Шатт (1963 г.) попробовали сделать
подробный анализ напряжений в полосе при прокатке на стане
317
с одним приводным валком, т. е. с двумя валками одинакового ра-
диуса, один из которых ведущий, а другой свободный. Предполо-
жив, что поверхность полосы такая же, как и поверхности валков,
с которыми она соприкасается, они получили возможность пред-
сказать кривизну полосы на выходе. Интересное введение и соот-
ветствующее рассмотрение можно найти в книге Гоффмана и
Закса (1953 г.). Некоторые экспериментальные результаты были
получены Джонсоном и Нидхамом (1966 г.).
11.15.5. МАЯТНИКОВАЯ ПРОКАТКА
Схема маятникового стана, разработанная Заклом (1964—
1965 гг.), показана на
Рис. 11.48. Маятниковый
стан:
1 — приводной эксцентрик;
2 — шатун; 3 — полоса; 4 —
траектория ролика; 5 —
крайнее положение рабочего
ролика; 6 — ось вращения
ш ату и а
рис. 11.48. Два рабочих ролика качаются
с частотой до 2680 циклов в минуту, и не
вращаются, когда проходят мимо заго-
товки. Для обжатия холодной полосы
необходимы станы, дающие частичные об-
жатия до 0,95. При таких высоких обжа-
тиях металл будет сильно разогреваться,
и процесс уже не будет являться холод-
ной обработкой. Аналогия между маят-
никовым станом и планетарным очевидна.
11.15.6. ГОРЯЧАЯ ПРОКАТКА ПОЛОСЫ
При горячей прокатке коэффициент
трения между валками и полосой боль-
ше, чем при холодной, и может стать та-
ким,’ что вызывает сдвиг металла на кон-
тактной поверхности. Кроме того, напря-
жение текучести зависит от температуры
полосы и скорости деформации, которая
изменяется по мере прохождения между
валками. Решения методом линий сколь-
жения в случае горячей прокатки с уче-
том трения, действующего по дуге кон-
такта, можно посмотреть в подразделе
14.6. К сожалению, эти решения не учи-
тывают зависимости напряжения текуче-
сти от скорости деформации при прохож-
дении полосы между валками. Джонсон и
Кудо (1960 г.) использовали решение Александера (1955 г.) в каче-
стве верхней оценки деформирующего усилия и определили форму,
которую будет иметь первоначально квадратная сетка линий в пло-
скости прокатки после деформирования между валками. Липп-
манн и Джонсон (1960 г.) попытались использовать уравнение
состояния совместно с обычной теорией прокатки для предсказания
изменений температуры в части полосы, находящейся между
валками во время горячей прокатки.
318
Хорошо известна работа Симса (1954 г.), в которой дано опи-
сание вычислений усилий и крутящего момента при горячей
прокатке. В работе Смита, Скотта и Сильвестровича (1952 г.)
показано изменение распределения давлений между заготовкой
и валками при горячей и холодной плоской прокатке.
11.15. 7. ПРОКАТКА ПРОФИЛЕЙ. ВИНТОВАЯ ПРОКАТКА,
ПРОКАТКА В V-ОБРАЗНЫХ КАЛИБРАХ
В обзорах Стевартсона (1959 г.) и Паркинса (1968 г.) можно
найти сведения о направлениях развития технологии прокатки
и соответствующие вычисления, а также сведения об особенностях
оборудования для прокатки профилей. Кудо и Екай (1968 г.)
представили результаты исследований винтовой или косой про-
катки. В журнале «The Engineering» (1967 г.) рассматриваются
ударная и другие виды прокатки. Кудо и Тамура (1968 г.) провели
анализ и несколько экспериментов с прокаткой в V-образных ка-
либрах, Иохансон (1965 г.) изучил течение материала полосы
между валками. Собранные ссылки и некоторые эксперименталь-
ные данные относительно уширения при прокатке прямоуголь-
ных сечений можно найти в работе Читкара и Джонсона (1966 г.).
11.15. 8. ПРОИЗВОДСТВО БЕСШОВНЫХ ТРУБ
Описание прошивки труб при вращении можно найти в книге
Александера и Бревера (1963 г.), а также в работах Джаба и
Блазинского (1969 г.), Воровского и Холбрука (1968 г.).
11.16. обжатие цилиндрических СТЕРЖНЕЙ
Предположим, что цилиндрический стержень с текущим ра-
диусом а и длиной 2/0 обжимается по радиусу (рис. 11.49) так,
I Рис. 11.49. Протяжка цилиндрической заготовки
что металл течет в направлении оси. Мы хотим определить, как
изменяется радиальное напряжение о,, вдоль поверхности заго-
| товки.
Если mk означает постоянное контактное касательное напря-
I. жение, вызванное трением вдоль образующей штампа, то из урав-
нения равновесия для аксиальных сил легко найти изменение осе-
' вого напряжения. Предположим, что осевое напряжение сг не
Д 319
зависит от г; тогда для элемента длины na^ds? = 2namkdz. Та-
ким образом, о2 = 2mkz + const. Если о, = 0 при г = 10, то
аг = 2mk (10 —- z)/a; (11.56)
сг Jmax = 2mkl0/a. (11.57)
Пользуясь условием пластичности Треска аг — = 2k, где
сг и о; — главные напряжения, и подставляя его в (11.57),
получим
Gr = 2k (1 4- -(А- 4? ) . (11 58а)
Если предположить, что трение распределяется по закону Кулона,
то касательное напряжение, вызываемое трением, будет равно не
tnk, а рлг. В этом случае
<jr~Y exp f 2р (Zo — z)/g]. (11.586)
11.17. ПРОСТАЯ ОСАДКА ИЛИ СЖАТИЕ ЦИЛИНДРА
В подразделе 1.6 подробно рассматривалось простое однород-
ное сжатие без трения, а в 6.5 — влияние кулоновского трения
между цилиндром и бойками на характер деформирования. Этот
последний анализ в более общем виде приведен ниже.
Распределение нормального давления по торцу цилиндра при
сжатии можно приблизительно выразить через постоянное зна-
чение касательного напряжения трения т на контактной поверх-
ности заготовки и бойка. Обозначим его через tnk, где т — эмпи-
рический коэффициент, 0 < т < 1, k — напряжение текучести
сдвига материала. При т = 0 трения нет, при т = 1 происходит
полная деформация сдвига на поверхности. Как и в подразделе
6.5, уравнение равновесия элемента заготовки имеет вид
(11.59)
где mk заменено на рр. Как и раньше, напряжения не зависят
от г. Снова предположим, что: а) вг = ое; б) ог, ое и р являются
главными напряжениями (при т = 1). Это, конечно, может быть
и не так. Уравнение (11.59) принимает вид dsjdr = —2mk!h.
После интегрирования и учитывая, что ог = 0 при г = а, получим
аг — —2tnkrlh + const и,
+ const. Следовательно,
о,.==
таким образом, 0 = —2tnka!h +
=^-(а-г). (11.60)
Воспользуемся условием пластичности Треска, где 2k — напря-
жение текучести — (—р) + оЛ = 2k, и подставим его в (11.60);
тогда
-£ = 1 = (11.61а)
(мы можем воспользоваться условием пластичности Мизеса и за-
писать р + ое = Y).
320
На рис. 11.50, а и в показано распределение безразмерных ве-
личин: давления pl2k и касательного напряжения xlk, действую-
щего на торец заготовки. Полная нагрузка Р, вызывающая пласти-
ческое сжатие,
о 0
(11.616)
Пик или излом кривой распределения нормального давления и
изменение скачком направления касательных напряжений, вызы-
ваемых трением, на оси заготовки нельзя
получить при обычных испытаниях на
сжатие. Экспериментально установлено
гладкое (без переломов и скачков)
изменение напряжений (пунктирная
кривая на рис. 11.50, а). Чтобы полу-
чить эти условия аналитически, необ-
ходимо сделать дополнительные пред-
положения, например, о том, что ка-
сательное напряжение, вызываемое
трением, пропорционально скорости,
с которой слой металла движется по
пластине.
В большинстве практических слу-
чаев ни коэффициент кулоновского тре-
ния i-i, ни т неизвестны, и их надо
находить экспериментально. Пользуясь
набором сравнительно небольших то-
чечных месдоз (см. рис. 11.50, а), Бэ-
кофен и его студенты (Ван Ройен и
Бэкофен, 1960 г.) одновременно опреде-
лили распределение нормального да-
вления и коэффициент трения. Калибро-
ванные штырьки представляли собой
металлические или пластиковые ци-
линдры с наклеенными датчиками
деформаций, которые расположены
(номинально без трения) в цилиндри-
ческом отверстии малого диаметра
в штампе. Штырьки, расположенные
нормально к рабочей поверхности пла-
стины, используются для определения
нормального давления р = PNIA (рис.
11.50, г), радиальные наклонные, кото-
рые измеряют полную силу, для измерения р. Если наклон-
ные штырьки расположены под углом 0 к горизонтальной поверх-
ности, а Ро означает силу, измеренную в штырьке, то Ро =
Н У. Джонсон
Рис. 11.50. Осадка цилин-
дрической заготовки:
а — эпюра распределения нор-
мальных напряжений (1 — холм
трения); б — схема напряжен-
ного состояния; в — эпюра рас-
пределения касательных напря-
жений; г — схема измерения на-
пряжений на контактной по-
верхности осаживаемой заго-
товки (2 — штифт для замера
давления)
321
= Лор]/Г(1 4~ H2)/cos 6. Однако с помощью нормально располо-
женных штырьков нашли, что р = l(P0 cos 6/P1V)2 — 111/2.
При определении нагрузки в зависимости от осадки будем
считать h текущей высотой заготовки, начальная высота которой
Но и радиус а0. Предположим, что никакого значительного бочко-
образовання не происходит и коэффициент трения при сжатии
остается постоянным. Тогда из подраздела 6.5 Р = У’лп2(1 +
+ -д но ла2Я0 — так что
2р/3
//о/Яо
(11.62)
h } J
Если нижняя поверхность пластины неподвижна, то, обозна-
чая траекторию перемещения верхней поверхности г ~ Но — h,
получим
Б
(11.63)
В табл. 11.5 приведено изменение нагрузки и максимального
нормального давления на пластину р при движении пластины.
Альтернативно кривая зависимости нагрузки от текущей высоты
заготовки описывается уравнением
Р = Ynao
1 + (т/3) (а0/Н0)
У
(11.64)
где у = h!H0.
Таблица 11.5
ХОД 2 0 0,25 0,50 0,75
h H0~z н0 н0 1,00 0,75 0,50 0,25
а0/Н0 = -^- Р Ynafi 1,03 1,40 2,17 4,96
Ртах Y 1,09 1,17 1,29 2,05
«о/^о = -у Р 2,46 4,46 13,00 __
Ртах Y 1,30 1,99 3,71 —
322
Работа W, расходуемая при сжатии призматической заготовки
от Но до Н, если трение на контактной поверхности пластины и
заготовки равно mk,
и
W г
И,
Но
н
= лодЯо
Ио
— J kc^Hq
н
1 но т Vа?,Нв
ш Н г 3 (—3/2)
т а0 V Но
1 1
/ Нод .\
\ а0Н / '
Рис. 11.51. Осадка плитами
цилиндрической заготовки
с трением на контактной
поверхности:
1 — зона 1; 2 — зона 2; 3 —
зона 3; 4 — бочкообразная бо-
ковая поверхность; 5 — плита
IF , Яо , 2 а0
—5-77— = In-тт + 77 ГН ~
YnaftHp Н 1 9 Но
Уравнение (11.65) показывает, что высота заготовки, у которой
а()/Н1}--=~ и т = 1, должна быть уменьшена до 80% от началь-
ной, чтобы использовать столько же энергии на преодоление тре-
ния на контактных поверхностях, сколько расходуется при одно-
родной пластической деформации. Анализ, который приводит
к идее «холма трения» на торцах ци-
линдра при осадке, оказывается полез-
ным и достаточно обоснованным. Он
был основан на предположении, что,
несмотря на трение, сжатие происходит
однородно; это неверно и приводит
к чрезмерному упрощению. Материал,
контактирующий с пластиной, стре-
мится не перемещаться в поперечном
направлении, как предполагалось, а
остается неподвижным, словно явля-
ется частью пластины. Появляется
тенденция к образованию конусов мер-
твого металла или заторможенных зон.
При сближении плиты выдавливают
металл в поперечном направлении и
вызывают бочкообразование (рис. 11.51). Зона 1 представляет
собой конусы, неподвижные относительно плит, зона <3 пре-
имущественно смещается в поперечном направлении, а в зоне
2 возникают весьма значительные пластические деформации во
время поступления материала извне в зону 2, а затем в зону <3.
Читатель лучше поймет схему деформирования при осадке, если
изучит соответствующие плоские деформации и рассмотрит
рис. 12.13, на котором указаны только что описанные зоны.
Одно явление, которое немного смущает, но которое легко по-
нять в терминах этих зон, состоит в том, что частицы, первона-
чально расположенные на боковой поверхности, после сжатия
И* 323
(11.65)
могут оказаться на контактной плите, т. е. повернуться на угол
90°. Частица имеет поперечное движение (преимущественно)
только до тех пор, пока она не перешла на контактную поверх-
ность. Это явление наблюдается при динамическом сжатии с тре-
Рис. 11.52. Пластилиновые образцы в форме куба, прямоугольной и равно-
сторонней треугольной призм до деформации (а) и после динамической осадки
(б). R — степень осадки или средняя относительная линейная деформация (по
данным Аку, Слатера и Джонсона)
Рис. 11.53. Пластилиновый цилиндрический образец с отверстием до дефор-
мации (а) и после динамической осадки (6) с различными степенями деформации
(по данным Аку, Слатера и Джонсона)
пнем на контактной поверхности призматических заготовок и за-
готовок других форм под действием бойка молота (рис. 11.52).
При сжатии полого цилиндра между плитами без трения
(рис. 11.53, а) внутренний радиус увеличивается, а с трением
уменьшается (рис. 11.53, б). Более точная зависимость внутрен-
него диаметра цилиндра от коэффициента трения на контактной
поверхности и геометрических характеристик заготовки описана
у Хаукьярда и Джонсона (1967 г.).
324
11.18. СЖАТИЕ НЕКРУГЛЫХ ЗАГОТОВОК
Когда заготовки с некруглым сечением осаживаются на падаю-
щем молоте, то происходит изменение их геометрии. Изменение
формы и переход частиц на контактную поверхность при т =
= 1, показывающие, как материал, находящийся в одной плоско-
Рис. П.54. Пластилиновый образец с прямоугольным вырезом до деформации
(а) и после динамической осадки (б) с различными степенями деформации (по
данным Аку, Слатера и Джонсона)
Рис. 11.55. Динамическая осадка образцов, поперечное сечение которых —
равносторонний треугольник до различных степеней деформации (по данным
Аку, Слатера и Джонсона)
сти, может затем оказаться в ..другой, продемонстрированы на
образцах из пластилина (рис. 11.54 и 11.55), характер деформиро-
вания которых конечно такой же, как у образцов стали при горя-
чей обработке. Когда происходит чрезмерное бочкообразование
и, следовательно, появляются значительные деформации растя-
жения, то может начаться разрушение.
Однородное сжатие обсуждалось выше только в отношении сво-
бодного поперечного течения в цилиндрических заготовках. Од-
нако все эти понятия можно одинаково хорошо применять к приз-
матическим заготовкам с поперечным сечением любой формы.
Чтобы получить однородное сжатие, форма всех поперечных сече-
ний в процессе операции должна оставаться идентичной. Прямо-
угольная призматическая заготовка с первоначальным сечением
b0w0 (рис. 11.56) при однородном сжатии приобретает размеры
325
Рис. 11.56. Однородная осадка за-
готовки с прямоугольным попереч-
ным сечением
bw, причем bjwo = blw для сохранения геометрического подобия.
Рассмотрим вид сверху. Так как первоначальное ребро NQ для
сохранения геометрического по-
добия должно занять положение
N'Q', произвольная точка Р на
NQ движется к точке Р' на N'Q',
причем Р' является точкой пере-
сечения ОР и N'Q'.
На рис. 11.57 и 11.58 показаны
прямоугольные заготовки, кото-
рые были осажены в условиях
неоднородной деформации. В уг-
лах образовались «ушки», поэтому
предположение об однородной
плоской деформации оправдалось
только на значительном расстоя-
нии от малых сторон заготовки, в том случае, если длина почти
в 2 раза больше ширины. Призматические заготовки с другими
формами] поперечных сечений после осадки показаны на
Рис. 11.57. Прямоугольные образцы из свинца (а) и алюминия (б) размером
2Х1Х1/2 дюйма после 20%-нон степени деформации (по данным Джонсона,
Слатера и Ю)
рис. 11.59. Джонсон, Слатер и Ю (1966 г.) предложили способ,
пользуясь которым можно в таких случаях описать течение или
бочкообразование, используя понятие «холм трения», причем
326
Рис. 11.58. Вид сверху на
прямоугольные образцы
после осадки (по данным
Джонсона, Слатера и Ю)
Рис. 11.59. Осаженные
образцы с произвольной
формой поперечного се-
чения (слева); контурные
линии образцов (справа)
До и после осадки (по
данным Джонсона, Сла-
тера и Ю)
327
Рис. 11.60. Кузнечная вытяжка
заготовки'^)'под плоскими баб-
ками (2)
Рис. 11.61. Примеры деформа-
ции сеток по трем ортогональ-
ным направлениям после
20% -ной степени Деформации
в ^процессе кузнечной вытяжки:
а — срединное и контактное сече-
ния в плоскости хОу; б — средин-
ное и внешнее сечения в плоско-
сти xOz; в — срединное сеченне
в плоскости zOy (по данным Джон-
сона и Барая)
IWWKMW
328
форма «холма» идентична горке песка при использовании песоч-
ной аналогии для соответствующего сечения. Некоторые интерес-
ные исследования процесса ковки были описаны Балласом, Шеем
(1969 г.) и Джонсом, Дэвиесом, Сингхом (1969 г.), Надаи (1950 г.).
Стоит посмотреть также книгу Унксова (1961 г.) и статью Липп-
манна по динамике ковки (1966 г.). Течение металла в плоскостях
симметрии при ковке заготовки с прямоугольным поперечным се-
чением (рис. 11.60) показано на рис. 11.61. Уширение заготовки
в этом последнем случае рассмотрено Александером и Бревером
(1963 г.). Обзор работ по ковке в закрытых штампах дан в книге
Томсена, Янга, Кобаяши (1965 г.).
11.19. НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ
ЛИНЕЙНОЙ СКОРОСТЬЮ ДЕФОРМАЦИИ, УСИЛИЕМ,
ВРЕМЕНЕМ И ДЕФОРМАЦИЕЙ ПРИ ПРОСТОЙ ОСАДКЕ
ПАДАЮЩИМ МОЛОТОМ
Можно провести несколько полезных вычислений перечислен-
ных выше параметров для простой осадки падающим молотом
если предположить, что:
1. Происходит однородная осадка без трения.
2. Повышением температуры в осаживаемой заготовке можно
пренебречь.
3. Напряжение текучести У связано с текущей относительной
линейной скоростью деформации е выражением о = Yoen, где Уо
и п — постоянные. Это выражение не учитывает упрочнения и
может быть сопоставлено с тем, которым пользовались Алдер
и Филипс (1954 г.).
Схема деформирования изображена на рис. 11.62, на котором
жесткий боек молота массой М. осаживает цилиндрическую заго-
товку от первоначальной высоты Но до текущей II, при этом пер-
воначальная скорость бойка молота ц0 уменьшается до V. Запишем
уравнение движения бойка молота
- М= Ло = Уое”, (11.66)
где t — время; Ао и А —• начальное и текущее значения площади
поперечного сечения заготовки. Далее е = vlH0, поэтому -Ц- =
= . Подставляя dv/dt в (11.66), получим
“О
(11.67)
Поскольку Hlh() =1 —е и учитывая, что dele = dt, (11.67)
приобретает вид —adeletl~x = de!(l — е), где а = MHO/AUYO.
329
После интегрирования замечаем, что
= Г inL— Г, (11.68)
L2 — nje0 L I--е Jo’ v '
где е0 — относительная линейная скорость деформации в начале
осадки при е = 0. Уравнение (11.68) дает (e!e$2~n = 1 — р In (1 —
— е)-1, где р = (2 — п) AoYo/MH0el~n. При е = 0, т. е. в конце
Рис. 11.62. Осадка цилиндрической
заготовки на падающем молоте:
1 — боек молота; 2 — заготовка; 3 — на-
ковальня
Рис. 11.63. Изменение скорости де-
формации в зависимости от степени
деформации
осадки, обозначая конечную относительную линейную деформа-
цию через eF, получим
/ИЯое5’"
In -j—— — 1 =_________
}~eF ₽ (2—л)Л0Е0
Уравнение (11.69) можно переписать в виде
2“" _ 1 _ 1п П/d ~е)1
In [1/(1-^)] ’
(11.69)
(11.70)
е
ё0
На рис. 11.63 показана зависимость е/е0 от е для п = 0,3 и
eF = 0,5. Среднее значение е/е0 в области 0 с е < eF приблизи-
тельно равна 0,69.
Если рассматриваются не очень большие значения е, то (11.70)
можно записать в виде
р \ П о
-Д) =1-7-. (И-71)
Co / eF
На рис. 11.63 показаны также кривые, построенные по урав-
нению (11.71) при п = 0 и п — 1. При п0 = 0 (11.71) определяет
уравнение параболы; среднее значение е!е0 = 2/3. При п1
(11.71) — линейное уравнение и е/е0 = 1/2. Поскольку для реаль-
ных материалов оказывается, что 0 < п < 0,5, а п — 0,3 является
наиболее распространенным значением, то очевидно, что средняя
330
От’носит'ельйая линейная скорость деформации, выраженйая через
начальную скорость, т. е. е — (е0/2) = О,5па/77о, может быть зна-
чительно меньше действительной средней скорости деформации.
Видно, что значение 2FivBIFl0 лучше согласуется с действительной
средней скоростью деформации.
Этот подход можно использовать для получения кривой уси-
лие — осадка. Если через F обозначить силу, то, используя
(11.67), имеем
p = AY = A0H0^- = ^ien. (11.72)
Рис. 11.64. Диаграмма
усилие—деформация для:
а) п = 1; б) п = ’/8; в) п =
= */<; г) л = о
О
eF=Orff e/eF О
В)
Учитывая уравнение (11.70),
In 1/(1— е)
ч/С-п)
у 1 — е
In 1/(1 -eF)
или, пользуясь альтернативно уравнением (11.71),
Е [1-(е/ер)]п/(2~'г)
T 1 — е ’
eF=0,5 e/eF
(11.73)
(И-74)
где у = AoYoe'0‘ — постоянная. Полагая eF = 0,5 и пользуясь
(11.74) при п = 0; 1/4; 1/2 и 1, получаем форму зависимости
Ё/у от е (рис. 11.64); Fly максимально при
п — е„(2 — п)
(И-75)
Уравнение (11.75) справедливо только для eF</n/(2— п); из него
видно, что при малых п максимальное F будет в конце осадки.
331
Кривую зависимости относительной линейной деформации от
времени можно построить с помощью уравнения (11.71), из кото-
рого следует, что
Перегруппировывая члены уравнения (11.76) и интегрируя, по-
лучим
1 - (1 - V1 7(2-"} = _Ло_L (11.77)
\ у? j J7 ' ' *
Кривая, описываемая уравнением (11.77) при п = 1/4 и е0 —
= 200 1/с, изображена на рис. 11.65, т. е.
1 — (1 — 2е)3/’= 171/. (11.78)
Обобщая результаты, изображенные на рис. 11.64 и 11.65,
можно построить кривую (рис. 11.66), которая определяет Fit.
Эта кривая совпадает с кривой, построенной по эксперименталь-
ным данным усилие — время
времени.
за исключением малого отрезка
Рис. 11.65. Изменение деформации во
времени
Рис. 11.66. Изменение деформирую-
щего усилия во времени
Иногда полезно знать, как уменьшается скорость бойка в за-
висимости от его перемещения после соударения. Объединяя
уравнения (11.66) и (11.67), получим
(11.79)
но при v = —dHldt (11.79) принимает вид /Ии(1-п) dv —
— AoYoHo1-'1* dH/H, и если v = v0 при Л = /70, то после инте-
грирования
м f ‘П Яи I И. (11.80a)
Полагая n = 0,
1 М(п5-и2) = ЛоУоЯо1пЯо/Я. (11.806)
332
Это можно было бы записать сразу из рассмотрения расхода энер-
гии, предполагая, что вся накопившаяся кинетическая энергия
молота расходуется на работу пластической деформации. Если
вместо У — Уоеп пользоваться соотношением, содержащим ско-
рость логарифмической деформации У = Уоеп, то вместо (11.79)
получим
= (Ч-8»
вместо (11.80)
7,(2-п)_7,(2-п) 1 A HV / 1 1 \
М 12______-____ — (_L_ ____!_) {11 R9)
2-n J n [ Hn Hn )
в предположении, что n 0. Если n = 0, выражение (11.81)
превращается просто в (11.806).
Приведенный выше анализ также выполнен с использованием
уравнения вида oD — (os + Be11) kem, в котором oD — динамиче-
ское напряжение текучести, gs — статическое напряжение теку-
чести. Полученные результаты проверили экспериментально, было
получено хорошее согласие (Слатер, Джонсон, Аку, 1967 г.).
Следует обратить внимание на результаты Саманты (1966 г.).
11.20. СВЕРХПЛАСТИЧНОСТЬ
Сверхпластичностью обычно называют большие удлинения
со свободной шейкой, которые возникают при деформации образ-
цов из некоторых металлов и сплавов. Материалы, которые ведут
себя как сверх пластичные, характеризуются низкой прочностью
и большим удлинением перед разрушением, в некоторых случаях
1000%-ным. Это выгодно для процессов формообразования, осо-
бенно, если можно использовать другую известную для обработки
давлением оснастку, например ту, которая применяется в полимер-
ной и легкой промышленности. Алюминиево-цинковые стержни
можно превратить в нити, подобные стеклянным. Из сверхпластич-
ных материалов можно получить с помощью глубокой вытяжки
очень хорошие изделия (Джонсон, Ал-Наиб и Дункан, 1972 г.).
Сверхпластичность обусловливается появлением трансформа-
ционной и микрозеренной пластичности.
11.20.1. ТРАНСФОРМАЦИОННАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
Деформация происходит во время фазового превращения не-
зависимо от того, является ли оно мартенситным или же проис-
ходит в результате диффузии, и поскольку процессы превращений
в стали хорошо известны, часто при исследовании рассматривают
железные сплавы. Аллотропные превращения в железе, кобальте,
титане, цинке, различные эвтектики и реакции ускорения были
исследованы так же, как и мартенситное превращение. Установ-
333
лено, что для получения значительной деформации необходимо
определенное напряжение. Это объясняется необходимостью дви-
жения дислокаций от их источников и преодоления препятствий,
образовывающихся на границах зерен. В некоторых системах
скорость образования центров зерен увеличивается, а следова-
тельно, увеличивается и скорость превращения. Когерентность
при этом исчезает на границах зерен, дислокации свободны и
могут двигаться, таким образом развивается значительная де-
формация. По Вейссу и Коту (1967 г.) трансформационная пластич-
ность имеет следующие характерные особенности: а) большое
удлинение свободной шейки; б) линейное соотношение между при-
ложенным напряжением и деформацией; в) сравнительная нечув-
ствительность к размерам зерен; г) пластическое течение во время
фазового превращения, которое происходит даже при внешних
напряжениях гораздо меньших, чем требуются для нормальной
пластичности или течения в материале; д) чувствительность к на-
правлению превращения и к скорости нагревания и охлаждения.
Гринвуд и Джонсон (1965 г.) для объяснения проявления
сверхпластичности предложили модель трансформационной пла-
стичности, которая основывается на разности объемов, возника-
ющей при превращении и затем создающей высокие внутренние
напряжения, при наличии которых даже небольшие внешние
усилия могут вызвать огромные однородные удлинения.
11.20.2. МИКРОЗЕРЕННАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
Возможно, наиболее известный пример сверхпластичности —
это сверхпластичность эвтектоидного сплава, содержащего при-
мерно 80% алюминия и 20% цинка. Чрезмерно большие удлинения
в образце из этого сплава возникают при сравнительно низких
давлениях и температуре чуть ниже эвтектоидной. Сплав свинца
и олова с эвтектоидной структурой также ведет себя как сверх-
пластичный. Отличительная черта этих структур — в стабильности
и качестве микроструктуры.
Сверхпластичные сплавы очень чувствительны к изменению
скорости деформации. Это представлено на рис. 11.67, взятом из
работы Бэкофена, Турнера, Авери (1964 г.). Для многих металлов
показатель степени скорости деформации в выражении о = Вет
обычно равен 0,2, но для некоторых особых сплавов может дости-
гать 0,7. Влияние большого т легко продемонстрировать следу-
ющим образом. В испытаниях на растяжение, если I — постоянная
сила растяжения; А — текущее значение площади поперечного
сечения, о — Р/А = Ве,т или А ~ Регт/В, так что
dA _ Р Р1'т 1
dt в 1£ ~~~ в Аа-т)/т-
При т = I скорость уменьшения площади поперечного сече-
ния образца не зависит от площади поперечного сечения; на-
334
грузка, которую может выдержать образец, не зависит от теку-
щего значения площади поперечного сечения. При малых т,
скажем 0,2, скорость уменьшения площади будет пропорциональна
Д"4, и, таким образом, площадь будет уменьшаться с быстро
возрастающей скоростью. Учитывая этот довод, утверждают,
что большое т препятствует развитию шейки. Во время образова-
ния шейки скорость деформации возрастает, и, следовательно,
материал упрочняется так, что его способность выдерживать
нагрузку увеличивается. Характеристиками микрозеренной пла-
стичности являются:
Р ис. 11.67. Зависимость температуры от удлинения (а) образца из сплава (80% Zn!
20% Al) и от скорости деформации (б). Тс— критическая температура; V —
скорость захватов испытательной машины; е —• скорость деформации (по дан-
ным Баккофена, Турнера и Авери)
1) большие расширения благодаря квазивязкому поведению,
связанному с большим значением индекса скоростной чувстви-
тельности деформации (т 0,6), если температура испытания
выше, чем 0,5 от абсолютной температуры плавления сплава или
металла;
2) стабильность микроструктуры, небольшие размеры зерен
(<1 мкм); границы зерен позволяют совершать относительное
скольжение; эвтектика или эвтектоид влияют не существенно,
если размер зерна не изменяется;
3) наличие трех механизмов сверхпластической деформации:
вакансионной ползучести, диффузионной ползучести и скольже-
ния вдоль границ зерен.
Возможности использования сверхпластичности неясны, но ,
целесообразность ее применения при изготовлении изделий (на-
пример, крышек), не воспринимающих нагрузку, и декоративных
элементов очевидна. Естественно, вновь применяемый процесс об-
работки должен быть хорошо изучен. Накопление знаний по сверх-
пластичности происходит медленно, но, очевидно, настанет необ-
ходимость выбора оптимальных удельных усилий формообра-
зования, напряжений, скоростей деформации и процессов листовой
штамповки. В этом плане интересна статья Джована (1968 г,).
336
Интересные статьи, в которых рассмотрено сверхпластическое
формообразование, можно найти в The International Journal
of Mechanical Sciences за 1970 и 1971 гг. (см. задачи 43, 44).
Blazynski, Т. Z.,
Cole, I. М.
Chung, S. Y.
Chung, S. Y.,
Swift, H. W.
Davidenkov, N. N.
Denton, A. A.,
Alexander, J. M.
Flinn, J. E.
Hill, R.
Moore, G. G.,
Wallace, J. F.
Rozov, N. V.
Sachs, G.,
Baldwin, W. M.
Sachs, G.,
Espey, G.
Swift, H. W.
Alexander, J. M.
Bourne, L.
Chung, S. Y.,
Swift, H. W.
Coupland, H. T.
Wilson, D. V.
Duncan, J. L.,
Johnson, W.
ЛИТЕРАТУРА
Волочение труб
1960 «An Investigation of the Plug Drawing Process»
Proc. Instn mech. Engrs 2/60
1951 «Theory of Hollow Sinking of Thin—walled Tubes»
Metallurgic., 43, 215
1952 «А Theory of Tube—sinking»
J. Iron Steel Inst. i70, 29
1932 «Berechnung dar Restspunnungen in kaltge-
zogenen Rohren»
Z. Metallk., (Feb.)
1963 «On the Determination of the Residual Stresses
in Tubes»
J. mech. Engng Sci. 5, 75
1969 «Wall thickness changes — in hollow drawn
tub ing»
Trans. A. S. M. E. 792
1950 «Tube—sinking»
The Mathematical Theory of Plasticity O. U. P.
1967— «Theories and Experiments on Tube Sinking
1968 Through Conical Dies»
Proc. Instn mech. Engrs 182, 19
1968 «Cold Drawing of Steel Tube»
1946a «Folding in Tube—sinking»
Trans. A.S. M.E. 68, 647
1946b «Stress Analysis of Tube—sinking»
Trans. A. S. M. E. 68, 655
1941 «The Measurement of Residual Stresses in Metals»
Iron Age 148 (12), 63 and (13), 36
1949 «Stresses and Strains in Tube—drawing»
Phil. Mag. Ser. 7, 11, 883
Глубокая вытяжка
1960 «Ап Appraisal of the Theory of Deep Drawing»
Metall. Rev. 5, 349
1950 «On the Correlation of the Directional Proper-
ties of Rolled Steel in Tension and Cupping
T
Phil. Mag. 41, 671
1951 «Cup—drawing from a Flat Blanck», Part I,
Experimental Investigation Part 2, Analytical
Investigation
Proc Instn mech. Engrs 165, 199
1952 «An Experimental Investigation into the Re-
drawing of Cylindrical Shells»
Proc. Instn mech. Engrs. IB, 437
1957 «Speed Effects in Deep Drawing Conf. Pro-
perties of Materials at High Rates of Strain
Instn mech. Engrs., 98
1969 «Approximate Analyses of Loads in Axisymme-
tric Deep Drawing»
9th Int. M. T. D. R. Conf.,
Pergamon Press, Oxford, 303 p.
336
El Sebaie, M. G.,
Mellor, P. B.
Fogg, B.
Freeman, P.,
Leeming, H.
Fukui, S.,
Hansson, A.
Geckier, J. W.
Hessenberg, W. C. F.
Hill, R.
* J evens, J. D.
* Johnson, W.
Kasuga, Y.,
Tsutsumi, S.
Lankford, W. T.,
Snyder, S. 0.,
Bauscher, J. A.
Lloyd, D. H.
Loxley, E. M.,
Freeman, P.
Sachs, G.
Senior, B. W.
Swift, H. W.
Wallace, J. F.
Whiteley, R. L.
Wilson, D. V.
Willis, J.
1972 «Plastic Instability Conditions in the Deep-
drawing of a Circular Blank of Sheet Metal»
Int. J. mech. Sci. 14, 535
1968 «Theoretical Analysis for the Re—drawing of
Cylindrical Cups Through Conical Dies Without
Pressure Sleeves»
J. Mech. Engng Sci. 10, 141
1953 «Ironing of Thin—walled Metal Cups — the
Distribution of the Punch Load»
В. I. S. R. A. Report No. MWlElA&№>
1970 «Analytical Study of Wall Ironig, Considering
Work—hardening»
Annals of С. I. R. P., 18, 593
1928 «Plastic Folding of the Walls of Hollow Cylin-
ders and Some Other Folding Phenomena in
Bowls and Sheets»
Z. angew. Math. Mech. 8, 341
1954 «А Simple Account of some of Professor Swift’8
Work on Deep Drawing»
В. I. S. R. A. Report Л4 №71954
1950 a) «The Earing of Deep—drawn Cups»
b) «Deep—drawing»
The Mathematical Theory of Plasticity O. U. P.
1949 The Metallurgy of Deep—drawing and Pressing
2nd edn., Chapman and Hall, London
1956 «Research into Some Metal—forming and Shaping
Operations»
J. Inst. Metals 84, 165
1965 Pressure Lubricated Deep Drawing
Bull. J.S. M. E. 8, 120
1950 «New criteria for predicting the press perfor-
mance of deep drawing sheets»
Trans, A.S. M. 42, 1197
1962 «Metallurgical engineering in the pressed metal
industry»
Sheet Metal Industries 39, 82
1954 «Some Lubrication Effects in Deep—drawing
Operations»
J. Inst. Petrol. 40, 299
1934 «New Researches on the Drawing of Cylindrical
1935 Shells»
Proc. Inst. Aut. Eng. 29, 588
1956 «Flange Wrinkling in Deep—drawing Operations»
J. Mech. and Phys. Solids, 4, 235
1939 «Drawing Tests for Sheet Metal»
1940 Proc. Instn Auto. Engrs 4, 361
1954 «The Mechanism of a Simple Drawing Operation»
Engineering 178, 431
1960 «Improvements in Punches for Cylindrical Deep
Drawing»
Sheet Metal Industries 37, 901
1960 «The Importance of Directionality in Drawing
Quality Sheet Metal»
Trans. A. S. M. 52, 154
1966 «Plastic Anisotropy in Sheet Metals»
J. Inst. Metal 94, 84
1954 Deep—drawing. Butterworths, London
337
Woo, D. M.
Johnson, W.,
Slater, R. A. C.
Johnson. W.
Atkins, A. G.,
Caddell, R. M.
Caddell, R. M„
Atkins, A. G.
CHristopherson, D. G.,
Naylor, H.
Cleaver, F. T.,
Miller, H. G.
Hill, R.,
Tupper, S. J.
Johnson, W.,
Sowerby, R.
Lunt, R. W.,
MacLellan, G. D. S.
MacLellan, G. D. S.
Majors, H. J. R.
Sachs, G.
Siebel, E.
Thomson, P. F.,
Hoggart, J. S.,
Suiter, J.
Wistreich, J. G.
Avitzur, B.
Beresnev, В. I.,
Vereschagin, L. F.,
Ryabinin, Yu. N.,
Livshits, L. D.
*Bishop, J. F. W.
Bridgman, P. W.
1968 «On the Complete Solution of the Deep—drawing
Problem»
Int. J. mech. Sci. 10, 83
Вырубка
1967 «А Survey of the Slow and Fast Blanking of
Metals at Ambient and High Temperatures»
Int. Conf. Man. Tech., A. S. T. M. E. 825
1972 Impact Strength of Materials, Arnold, London
Волочение проволоки
1968 «The Incorporation of Work—hardening and
Redundant Work in Rod—drawing Analyses»
Int. J. mech. Sci. 10, 15
1968 «The influence of Redundant Work when Draw-
ing Rods Through Conical Dies»
A.S.M.E. Paper No. 67—WA/Prod.—11
1969 «Optimum Die Angles and Maximum Attainable
Reductions in Rod—drawing»
A.S.M.E. Paper No. 6S—WA/Prod.—ll
1955 «Promotion of Fluid Lubrication in Wire—
drawing»
1950 Proc. Instn mech. Engrs. 169, 643
«Wire—drawing Technique and Equipment»
J. Inst. Metals 78, 537
1948 «А New Theory of Plastic Deformation in Wire-
drawing»
J. Iron Steel Inst. 159, 353
1969 «Wire—drawing: A Survey of Theories»
The Wire Industry, pp. 137 and 249
1946 «An Extension of Wire—drawing Theory with
Special Reference to the Contributions of
К. B. Lewis
J. Inst. Metals 72, 65
1952 «Some Friction Effects in Wire—drawing»
1953 J. Inst. Metals 81, 1
1955 «Studies in Cold—drawung» Part 3
«Determination of Coefficient of Friction»
Trans. A. S. M. E. 78, 79
1927 «Zur Theiries der Ziehvorgangs»
Z. angew. Math. Mech. 7, 235
1947 «Der derzeitige Stand der Erkenntnisser fiber
die mechanischen Vorgange bein Drahtsiehen»
Stahl und Eisen 66—67, 171
1967 «Drawing Copper wire with a Lubricant under
Externally Generated Pressure»
J. Inst. Metals 95, 152
1965 «Investigation of the Mechanics of Wire—drawing»
Proc. Instn mech. Engrs 169, 123
1958 «The Fundamentals of Wire—drawing»
Met. Rev. 3, 97
Выдавливание
1967 «Steady and Unsteady State Extrusion»
J. Engng Ind., A.S. M. E. 89, 175
1963 Some Problems of Large Plastic Deformation
of Metals at High Pressures
Pergamon Press, London
1957 «The Theory of Extrusion»
Metall. rev. 2
1952 Studies in Large Plastic Flow and Fracture
McGraw—Hill, New York
336
Duffill, A. W., 1969 «А Comparison Between the Conventional and
Mellor, P. B. Hydrostatic Methods of Cold Extrusion through Conical Dies» Annals of С. I. R. P. Vol. XVII, 97
El—Behery, A. M., 1963 «The Measurement of Container Wall Pressure
Lamble, J. H., Johnson, W. and Friction Coefficient in Axisymmetric Extru- sion» 4th Int. M. T. D. R. Conf., Pergamon Press, p. 319
Feldman, H. D. 1961 Cold Forging of Steel Hutchinson, London
Fiorentino, R. J., Sabroff, A. M„ Boulger, F. W. 1963 Hydrostatic Extrusion at Battelle Machinery Lloyd (European Edition) 24th August
Hill, R. 1948 «А Theoretical Analysis of the Stresses and Strains and Extrusion and Piercing» J. Iron Steel Inst. 158, 177
Hoffmanner, A. L. (Ed.) 1971 Metal Forming-. Interrelation between Theory and Practice Plenum Press, New York, 503 pp.
Johnson, W. 19Б5 1956 1957 1959 «Extrusion Through Square Dies of Large Re- duction» J. Mech. Phys. Solids 4, 191 «Experiments in Plane—strain Extrusion» J. Mech. Phys. Solids 4, 269 «The Pressure for the Cold Extrusion of Lub- ricated Rod through Square Dies of Moderate Reduction at Slow Speeds» J. Inst. Metals 85, 403 «An Elementary Consideration of Some Ex- trusion Defects» Appl. Sci. Res., Series A 8, 52
Johnson, W., Kudo, H. 1962 The Mechanics of Metal Extrusion Manchester University Press
Kudo, H. 1961 «Axisymmetric Cold Forging and Extrusion» Int. J. mech, Sci. 2, 102
Lengyel, B., Alexander, J. M. 1967 «Desigh of a Production Machine for Semicon- tinuous Hydrostatic Extrusion» Proc. Instn mech. Engrs 182, 207
Morgan, R. A. P. 1959 «The Cold Extrusion of Steel» J. Iron Steel Inst. 193, 285
*Pearson, С. E. Parkins, R. N. .1960 The Extrusion of Metals Chapman and Hall, London
Pearson, С. E., Smythe, J. A. 1931 «The Influence of Pressure and Temperature on the Extrusion of Metals» J. Inst. Metals 45, 345
Pugh, H. LI. D. 1965 Recent Developments in Cold Forming Bulleid Memorial Lectures, University of Not- tingham, 111 В
Pugh, H. LI. D. (Ed.) 1970 Mechanical Behaviour of Metals under Pressure 785 pp., Elsevier, London «Power Consumption and Mechanism of Flow in the Extrusion Process» Mitt. Mater. S 16, 67
! Sachs, G., Eisbein, W. 1931
Schey, J. A. (Ed.) 1970 Metal Deformation Processes, 807 pp. Marcel Dekker, New York
*Sejournet, J. 1954 «The Hot Extrusion of Steel» Engineering 177, 463
Siebel, E., Fangmeier, E. 1931 «Researches on Power Consumption in Extrusion and Punching of Metal» Mitt. K.—Wilhelm—Inst. Eisenforsch 339
L
Slater, H. К.
Green, D.
Wilcox, R. J.,
Whitton, P. W.
Yang, С. T„
Thomsen, E. G.
Afonja, A. A.,
Sansome, D. H.
Alexander, J. M.
Alexander, J. M.,
Brewer, R. C.
Arnold, R. R,,
Whitton, P. W.
Bedi, D. S.,
Hillier, M. J.
Bland, D. R.
Bland, D. R.,
Ford, H.
Blazynski, T. Z.
Caddell, R. M„
Needham, G.,
Johnson, W.
Chitkara, N. R.,
Johnson, W.
The Engineer
Ford, H.
Ford, H„
Alexander, J. M.
1967 «Augmented Hydrostatic Extrusion of Con-
tinuous Bar»
Proc, Instn mech. Engrs 182
1958 «The Cold Extrusion of Metals using Lubri-
cation at Slow Speeds»
J. Inst. Metals 87, 289
1959 «Further Experiments on the Cold Extrusion
of Metals using Lubrication at Slow Speed»
J. Inst. Metals 88, 145
1953 «Plastic Flow in a Lead Extrusion»
Trans. A. S. M. E. 75, 575
Прокатка
1969 «Review of Strip Rolling with Particular Refe-
rence to Rolling Thin Hard Strip»
9 th Int. M. T. D. R. Conf., Pergamon Press
1955 «А Slip—line Field for the Hot—rolling Process»
Proc. Instn mech. Engrs. 169, 1021
1972 «On the Theory of Roiling»
Proc. R. Soc. Lend. A 326, 535
1963 Manufacturing Properties of Materials
D. van Nostrand, 489 pp.
1959 «Stress and Deformation Studies for Sandwich
Rolling Hard Metals»
Proc. Instn mech. Engrs. 173, 241
1967 «Hydrodynamic Model for Cold Strip Rolling»
Proc. Instn mech. Engrs. P 7/68
1950 «А Theoretical Investigation of Roll Flattering»
Proc. Instn mech. Engrs 163, 141
1948 «The Calculation of Roll Force and Torque
in Cold Strip Rolling with Tensions»
Proc. Instn mech. Engrs 159, 144
1969 «Design of Tools for the Combined Piercing
Elongating Tube Making Process»
9 th Int. M. T. D. R. conf., Pergamon Press,
Ms. No. 60
1968 «Yield Strength Variation in Ring Rolled Alu-
minium»
Int. J. mech. Sci. 10, 749
1966 «Some Experimental Results Concerning Spread
in the Rolling of Lead»
J. basic Engng., A. S. M. E., Paper
No. 65— ГА/Met. 11
1967 «Component Production by Transverse Rolling»
10 Nov. 1967, p. 611
1947 «The Effect of Speed of Rolling in the Cold-
rolling Process»
J. Iron Steel Inst. 156, 380
1948 «Researches into the Deformation of Metals
by Cold—rolling»
Proc. Instn mech. Engrs 159, 115
1957 «The Theory of Rolling»
Metall Rev. 2, No. 5, 1
1960 «Rolling Hard Materials in Thin Gauges: Basic
Considerations»
J. Inst Metals 88, 193
1963 —«Simplified Hot Rolling Calculations»
1964 J. Inst, metals 92, 397
340
Hessenberg, W. C. F., 1951 «The Effect of Tension on Torque and Roll
Sims, R. B. Force in Cold Strip Rolling» J. Iron. Steel Inst. 168, 155
*Hill, R. 1950 «Relations between Roll—Force, Torque and the Applied Tensions in Strip—Rolling» Proc. Inst. mech. Engrs 163, 135
Hoffman, 0., 1953 Introduction to the Theory of Plasticity for En-
Sachs, G. - gineers McGraw—Hill, New York, Chapter 20
Johnson, W., 1960 «The Use of Upper—Bound Solutions for the
Kudo, H. Determination of Temperature Distributions in Fast Hot Rolling Int. J. mech. Sci. 1, 175
Johnson, W., 1966 «Further Experiments in Asymmetrical Rolling»
Needham, G. Int. J. mech. Sci. 8, 443
1968г i «Experiments in Ring Rolling» Int. J. mech. Sci. 10, 95
1968 «Plastic Hinges in Ring Indentation in Rela- tion to Ring Rolling» Int. J. mech.Sci. 10, 487
Johnson, W., 1968 «An Experimental Investigation into the Process
Macleod, I., of Ring or Metal Tyre Rolling»
Needham, J. Int. J. mech. Sci, 10, 455
Johansson, R. 1965 «Flow of Material During Rolling Between Grooved Rolls» R. Inst. tech. Rep., Stockholm Development of the Asset Tube Elongating Pro-
Jubb, C., 1969
Blazynski, T. Z. cess into a Secondary Piercing Operation 9th M. T. D. R. Conf., Pergamon Press, MS. No. 28
Karman, T. von 1925 «Beitrag zur Theorie des Walzvorganges» Z. angew. Math. Mech. 5, 139
Kudo, H., Tamura, K. 1968 «Analysis and Experiment in V—Groove Forming»
Annals of the С. I. R. P.
Kudo, H„ 1968 «Investigations into the Helical Rolling Process
Yokai, M. 8th Int. M. T. D. R. Conf., Pergamon Press, 1021 The Rolling of Strip, Sheet and Plate Chapman and Hall, London
*Larke, E. C. 1957
Lianis, G., 1956 «Graphical Solution of the Cold—rolling Pro-
Ford, H. blem when Tensions are Applied to the Strip» J. Inst. Metals 84, 299
* Lippman, H., 1960 «Temperature Development Based on Techno-
Johnson, W. logical Analysis: Fast Rolling as an Example» Appl. Sci. Res. (A), 9, 345
Moller, R. H. 1967 Periodic Surface Finish and Torque Effects During
Hoggart, J. S. Cold Strip Rolling 20th Ann. Conf. Jnl. Australion Ins. Metals
*Nadai, A. 1939 «The Forces Required for Rolling Steel Strip Under Tension» J. Appl. Mech. 61, A—54
Orowan, E. 1943 «The Calculation of Roll Pressure in Hot and Cold Flat Rolling» Proc. Inst mech. Engrs 150, 140
Parkins, R. N. 1968 Mechanical Treatment of Metals Allen & Unwin, 352 pp.
Rudisill, C. S., 1967 A Three—Dimensional Theory of Hot Rolling
Zorowski, C. F. Int. Conf, on Manufacturing Technology, A. S. T. M. E., p. 1083
Saxl, K- 1964 «The Pendulum Mill — A New Method of Rolling Metals»
341
1965 Proc. Inst mech. Engrs 179, 4S3
1958 > «Transverse Gauge Variation in Strip and Sheet Rolling» Proc. Inst. mech. Engrs 172 , 727
*Sims, R. В. 1954 «Calculation of Roll Force and Torque in Hot Rolling Mills» Proc. Instn mech. Engrs 168, 191
Smirnov, W. C. 1967 Theory of Rolling In Russian, Moscow
Smith, C. L., 1952 «Pressure Distribution between Stock and Rolls
Scott, F. H., in Hot and Cold Flat Rolling»
Sylwestrowicz, W. J. Iron Steel Inst. 170, 347
Stewartson, R. 1959 «The Rolling of Rods, Bars and Light Sections» Meiall. Rev. 4, No. 16, Inst, of Metals
Tarnovskii, I. Ya., Pozdeiev, A. A., Lyashkov, V. B. 1965 Deformation of Metals During Rolling
Thomson, P. F., 1967 «The Origin of Some Surface Defects on Rolled
Hoggart, J. S. and Drawn Products» 20 th Ann. Conf., J. Australian Inst. Metals
Tselikov, A. I. 1967 Stress and Strain in Metal Rolling M. I. R. Publishers, Moscow (In English)
Tselikov, A. I., Smirnov, V. V. 1965 Rolling Mills
Underwood, L. R. 1950 The Rolling of Metals Chapman and Hall, Ltd., London
Watts, A. B., 1955 «On the Basic Yield Stress Curve for a Metal»
Ford, H. Proc. Instn mech. Engrs 169, 1141
Weinstein, A. S. 1963 «On Some Elastic Effects in Metal Rolling» Int. Res. Prod. Engng, A. S. M. E. 374
Whitton, P. W., 1955 «Surface Friction and Lubrication in Cold Strip
Ford, H. Rolling» Proc. Instn. mech, Engrs 169, 123
Wilcox, R. J., Whitton, P. W. 1960 «The Rolling of Thin Titanium Strip»
J. Inst. Metals 88, 200
1960 «Reseach on the Rolling of Strip: a Symposium of Selected Papers 1948—1958» B. 1. S. R. A.
Zorowski, C. F., 1963 «Analysis of Load and Torque Characteristics
Shutt, A. in Single Roll Drive Mills» Int. Res. Prod. Engng, A. S. M. E. 380
Zorowski, C. F., 1968 Influence of Mill Set—up on Hollow Geometry
Holbrook, R. L. Produced by Rotary Piercing 8th. M. T. D. R. Conf., Pergamon Press, 1041 Ковка
Aku, S. Y., 1967 The Use of Plasticene to Simulate the Dynamic
Slater, R. A. C., Compression of Prismatic Blocks of Hot Metal
Johnson, W. Int. J. mech. Sci. 9, 495
Alder, J. F., 1954 «The Effect of Strain—Rate and Temperature
Philips, K. A. on the Resistance of Aluminium, Copper and Steel to Compression» J. Inst. Metals 83, 80
Alexander, J. M., 1963 Manufacturing Properties of Materials
Brewer, R. C. D. Van Nostrand, 489 pp.
Hawkyard, J. B. 1967 «An Analysis of the Changes in Geometry of
Johnson, W. a Short Hollow Cylinger During Axial Com- pression» Int. J. mech. Sci. 9, 163
Johnson, W., 1965 Plat Bar Forging
Baraya, G. L. 342 5th Int. M. T. D. R. Conf., Pergamon Press
Johnson, W.,
Slater, R. A. C.,
Yu, A. S.
Jones, M. G.,
Davies, R.,
Singh, A.
Lippraann, H.
’Male, A. T„
Cockroft, M. G.
Nadai, A.
Van Rooyen, G. T.,
Backofen, W. A.
Samanta, S. K.
Slater, R. A. C.,
Johnson, W.,
Aku, S. Y.
Thomsen, E. G.,
Yang, С. T.
Kobayashi, S.
Unksov, E. P.
Wallace, P. W.,
Schey, J. A.
1966 The Quasi—Static Compression of Non—Cir-
cular Prismatic Blocks Between Very Rough
Platens using the «Friction—hill»
Concept, hit. J. mech. Sci. 8, 731
1969 Some High—Speed Cold Forging Operations
9th Int. M. T. D. R. Conf., Pergamon Press
1966 On the Dynamics of Forging
7th Int. M. T. D. R. Conf., Pergamon Press
1964 «The Ring Test»
J. Inst. Metals 93, 38
1950 Theory of Flow and Fracture of Solids
McGraw—Hill, New York
1960 «А Study of Interface Friction in Plastic Com-
pression»
Int. J. mech. Sci. 1, 1
1966 «Dynamic Compression of Steel»
/?. Inst. Tech., Stockholm
1967 «Experiments in the fast Upsetting of Short
Pure Lead Cylinders and a Tentative Analysis»
Int. J. mech. Sci. 10, 169
1965 Mechanics of Plastic Deformation in Metal Pro-
cessing
Macmillan, New York, 486 pp.
1961 An Engineering Theory of Plasticity
Butterworths, London
1968 Metal Flow in Forging-. A Practical Study
8th Int. M. T. D. R. Conf., Pergamon Press
С в ерхпласти чность
Johnson, W., Al--Nail?, 19/2
T. Y. M., Duncan, J. L.
Jovane, F. 1968
Weiss, V., Kot, R. 1967
Backofen, W. A., Turner, I., 1966
Avery, H.
Greenwood, G. W., Johnson, R. H. 1965
«Superplastic Forming Techniques and Strain
Distribution in a Zinc—Aluminium Alloy»
J. Inst. Metals 100, 45
«An Approximate Analysis of the Superplastic
Forming of a Thin Circular Diaphragm:
Theory and Experiments»
Int. J. mech. Sci. 10, 403
Superplasticity
Int. Conf, on Manufacturing Methods,
A. S. T. M. E., p. 1031
«Superplasticity in an Al—Zn Alloy»
Trans. A. S. M. 57, 981
«The Deformation of Metals Under Small Stresses
During Phase Transformations»
Proc. R. Soc., Series A 282, 403
Глава 12
ЛИНИИ СКОЛЬЖЕНИЯ- ТЕОРИЯ И ПРИМЕРЫ
ПЛОСКОЙ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
12.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Штамповая оснастка металлообрабатывающих процессов, рас-
смотренных в гл. 11, имеет простые геометрические формы, а ана-
лиз этих процессов выполнен эмпирически или весьма прибли-
женно. В этой главе рассмотрена общая теория, известная как
теория (метод) линий скольжения для анализа неоднородной пло-
ской деформации в идеальном жесткопластическом изотропном
твердом теле. Напомним, что в таком идеальном материале раз-
вивающиеся упругие деформации не учитываются, т. е. прини-
маются равными нулю, а возникающее пластическое течение про-
исходит без упрочнения. Такая идеализация не учитывает свой-
ства технических материалов, однако благодаря этому получают
хорошее первое приближение при определении нагрузки, необ-
ходимой для выполнения операции, и сведения о характере дефор-
мирования материала. Эта теория полезна для исследования про-
изводственных процессов, таких, как листовая вытяжка, выдавли-
вание, прокатка и ковка. Применение теории рассмотрено и
в гл. 14.
Основные допущения и упрощения теории линий скольжения
при рассмотрении поведения реальных материалов.
1. Рассматриваются только неупрочняемые материалы. Иссле-
дование распределения напряжений методом линий скольжения
с учетом упрочнения материала выполнено Палмером, Оксли
(1960 г.) с использованием ЭЦВМ. Хотя упрочнение можно при-
близительно учесть при вычислениях нагрузок, закон, по которому
происходит распределение деформаций, не всегда ясен.
2. Пользучесть и влияние скорости деформаций не учиты-
ваются. Скорости деформаций в каждой точке пространства и де-
формирующегося тела различны, и любое воздействие их на на-
пряжение текучести не учитывается. Кроме того, не учитываются
силы инерции, поэтому задачи рассматриваются как квази-
статические.
3. При формообразующих операциях со значительными дефор-
мациями большая часть энергии выделяется в виде теплоты.
344
Повышение температуры может влиять на изменение свойств ма-
териала или некоторых физических характеристик окружающей
среды, например смазки. В результате появления градиента
температуры возникают термические напряжения, которые также
учитываются.
Несмотря на эти допущения и упрощения, теория очень по-
лезна. Однако важно помнить пределы ее применимости и не
ожидать слишком хорошей согласованности между эксперимен-
тальными и теоретическими данными. Многие, может быть, сочтут
более целесообразным сначала ознакомиться с гл. 13.
Плоская пластическая деформация. Дефор-
мация, которая происходит в условиях плоского деформирова-
ния, обладает следующими особенностями.
1. Течение или деформация всегда параллельны определен-
ной плоскости, например плоскости (х, у) в системе с тремя вза-
имно перпендикулярными плоскостями.
2. Течение не зависит от координаты z. (Осесимметричные
задачи — двухмерные, но существенно отличны от задач плоской
деформации, поскольку течение зависит от координаты z.)
Поскольку упругие деформации не учитываются, приращения
пластических деформаций (или скоростей деформации) можно за-
писать через перемещения (или скорости) их (х, у), V,, (х, у),
wz = 0:
дил . •________1 / дил , dvff \
дх ' ^ху 2 \ ду ' дх / ’
• _ <*У . у ду ' Ууг =4< < дУу । ч дг dwz> ду ) ) = 0
• dw, • 1 , ! dw. । дих >
z dz Угх ~ 2 ' \дх Ь дг > [ =о
Из соотношений Леви—Мезиса [уравнение (5.10)1 следует,
что тлг и туг равны нулю и поэтому <зг есть главное напряжение.
Поскольку ez = 0, то <з'г = 0 и, следовательно, <зг = (<rx + ау)/2 =
= р. Опять же, поскольку материал несжимаем, то ел = —е„,
и каждое бесконечно малое изменение формы есть чистый сдвиг.
Напряженное состояние в деформируемом металле определяется
постоянным напряжением текучести сдвига k и гидростатическим
давлением р, которое меняется от точки к точке внутри металла.
В условиях плоской деформации k одновременно является усло-
вием пластичности
T^ + (Ox-oy)2/4 = ^2, (12.1
где k = YI2 для условия Треска и k = У/уЗ для условия Мизеса.
Напряженное состояние в точке деформируемого металла
можно представить на круговой диаграмме Мора (рис. 12.1).
Вспомним, что для изотропного материала направление макси-
мальной скорости деформации сдвига, представляемое точками А
345
И Ё, совпадает с направленном максимальных касательных на-
пряжений, которые по величине равны напряжению текучести
Рис. 12.1. Круги Мора для напря-
жений при плоской пластической де-
формации. Точки А и В определяют
напряжения (—р, в площадках,
касательных к линиям скольжения
в рассматриваемой точке
больших главных напряжений оу
сдвига, и что в этих направ-
лениях скорости растяжения
или сжатия равны нулю. На-
правления максимальных каса-
тельных напряжений и скоро-
стей деформации сдвига обра-
зуют ортогональные семейства
кривых, известные как линии
скольжения.
Напряжения в малом кри-
волинейном элементе, ограни-
ченном линиями скольжения,
показаны на рис. 12.2, а. Как
указано, линии скольжения
обозначены через а и р. Важно
различать два семейства линий
скольжения; обычно условлива-
ются, что когда аир обра-
[Зуют правую систему коорди-
нат, то линии алгебраически
проходят через первый и третий
квадранты. Поворот против часовой стрелки линии а на угол гр
от выбранного направления х считается положительным.
Рис. 12.2. Напряжение в малом криволинейном элементе (а), параллельные
плоскости М и N, в которых происходит искривление (б):
1 — траектория алгебраически наибольшего главного напряжения а,
Чтобы определить усилие для некоторой формообразующей
операции, мы должны прежде всего построить сетку линий сколь-
жения. Это значит, что нужно получить уравнение изменения р
вдоль линий аир. Кроме того, надо проверить, чтобы выполня-
346
лись условия для скоростей деформации вдоль линий а и Р
Вывод, приведенный ниже, не претендует на строгость. Уравне"
ния в частных производных для плоского течения жесткопласти-
ческого материала гиперболические, и поэтому их удобно отнести
к характеристикам (в данном случае к линиям скольжения).
Больше мы ничего не будем говорить о теории характеристик,
а читатели, которые интересуются более строгим рассмотрением
вопроса, могут обратиться к работе Хилла (1950 г.) или монографии
Джонсона, Совербая, Хаддоу (1970 г.).
12.2. УРАВНЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ (ИНТЕГРАЛ ГЕНКИ)
Запишем уравнения равновесия для плоской деформации,
пренебрегая массовыми силами:
двх । бхху _ п.
дх ' ду ’
б^ху . бву_р.
дх ду ~ '
(12.2)
Введенные выше ох, <зу, ixy, выраженные через переменные р
и k, имеют вид (см. рис. 12.1)
ох = —р — k sin 2<р;
оу = —р k sin 2(p;
%ху = k cos 2ф,
(12.3)
(12.4)
где р — нормальное среднее напряжение или гидростатическое
давление.
Дифференцируя и подставляя (12.3) в (12.2), получаем
— 4^- — 2k cos 2ф — 2k sin 2ф 42- = 0; ]
ох ох оу ।
—2k sin 2ф 42 Д- 2k cos 2ф ~ = 0. |
Если теперь предположить, что линии аир пересекают оси
Ох и Оу в точке О, т. е. ф = 0, уравнения (12.4) принимают вид
_^_2^ = 0;
дх ox
бу 1 бу
(12.5)
После интегрирования р + 2£q = /х (//) + Сх; р — 2Аф =
= fz (х) + С2. Однако А (*/) = 0 и Д, (х) = 0, так как при ср =
= 0 можно иметь одно и то же значение гидростатического дав-
ления, какое бы уравнение мы не рассматривали. Поэтому
р + 2Аф = постоянная вдоль линии а;
р — 2k(f = постоянная вдоль линии р.
(12.6)
347
Уравнения (12.6) называются интегралами Генки и эквива-
лентны уравнению равновесия полностью пластической массы, ис-
пытывающей напряжение при плоской деформации. Вообще
говоря, значения постоянных Сх и С2 меняются от одной линии
скольжения к другой.
Следует заметить, что Ох и Оу — произвольные декартовы
оси, и после того как правильно найдены линии а и р, их можно
выбирать в любом направлении. При использовании интеграла
Генки часто бывает удобно выбирать ось х вдоль касательной
к точке линии ос, ф считается положительным, если его отсчетсоот-
Рис. 12.3. Две пары линий а и Р для
иллюстрации теоремы Генки
ветствует вращению против
часовой стрелки при переходе
от одной точки к другой
вдоль линий а или р.
Уравнения равновесия
(12.2) и условие пластичности
(12.1) образуют систему трех
уравнений относительно трех
неизвестных <тА, ау, хху. В не-
которых задачах для реше-
ния необходимо задать гра-
ничные условия, включа-
ющие только напряжения,
и после этого можно вычи-
слять скорости. Такие задачи
называются статически опре-
делимыми. В других задачах
граничные условия вклю-
чают как напряжения, так и скорости, и решение можно получить
рассматривая напряжения и скорости только одновременно.
Такие задачи называются статически неопределимыми.
Основная особенность теории касается метода получения реше-
ния на основе опыта и интуиции. (Известны примеры, когда
ставились тщательные эксперименты с целью выяснить тип сетки
линий скольжения во время процесса). Обычный метод решения
задач использовать здесь нельзя, практика подсказывает решение,
а затем оказывается, что оно удовлетворяет всем граничным
условиям. Однако отсюда не следует, что решение, полученное
методом линий скольжения, единственное и действительное,
в некоторых случаях требуется критерий минимума работы,
чтобы выбрать наиболее возможную схему деформации.
На диаграмме (рис. 12.2, б) показано плоское пластическое
течение.
Пользуясь интегралами (12.6), можно доказать теорему Генки,
которую используют для построения сетки линий скольжения.
Эта теорема определяет важное свойство теории линий скольжения,
которое заключается в том, что угол между двумя кривыми, ска-
жем а-семейства, в точках пересечения с линиями скольжения
348
р-семейства постоянен по всей длине. Например, применяя это
к рис. 12.3, видим, что угол между касательными в точках А и D
равен углу между касательными в точках В и С. Эту теорему можно
доказать, применяя интеграл Генки для определения разности
гидростатических давлений в точках С и А и идя двумя различ-
ными путями. Если ось х проходит через точку А (как показано),
то, воспользовавшись интегралом Генки, найдем:
1. А —> В, линия а, рв 4- 2fepB = рА + 2&фл;
В—» С, линия р, рс — 2fepc == рв —- 2&фй.
Следовательно, разность гидростатических давлений в точ-
ках С и А рс — рА = 2k (фл + Фс — 2фв).
2. А —>D, линия р, pD — 2fop£) = рА — 2Лфл;
D —> С, линия ос, рс 4- 2Афс — Pd + 2£фд.
Следовательно, рс — рА = 2,k (2<рп — Фс — Фл)- Поэтому
Фс~Фв = Фо — Фл- (12.7)
12.3. УРАВНЕНИЕ СКОРОСТЕЙ
На рис. 12.4 а и v — составляющие скорости частицы
в точке О вдоль линий ос и р, причем угол наклона линии а к
оси Ох, проходящей через точку О, ра-
вен ф. Тогда составляющие скорости
частицы ах и vu, параллельные Ох и Оу,
соответственно, ux = u cos ф—v sin ф;
vy = и sin ф+ v cos ф. Выбирая направ-
ление оси х вдоль касательной к линии
а в точке О, т. е. ф = 0, найдем
(ди( \ __ ди dtp
дх 7т|>=о дх дх
Так как еА = дих!дх равно нулю вдоль
линии скольжения, вдоль
ди!дх — v ду/дх = 0, или
du — vdtp = 0.
линии ОС
Рис. 12.4. Компоненты ско-
рости частицы в пластиче-
(12.8) ски деформируемом теле
Аналогично можно показать, что вдоль линии р
dv 4- udtp = 0.
(12.9)
Физически можно представить себе это так: маленькие стержни
лежат в направлении линий скольжения и не испытывают растя-
жения или сжатия.
Уравнения (12.8) и (12.9) называются уравнениями скоростей,
они были получены Гейрингер (1930 г.). Они важны для анали-
тического вычисления схемы деформации металла и применимы
только в случае, когда сетка линий скольжения имеет наиболее
349
простой вид. Случаи, когда сетка линий скольжения представ-
ляет собой соединение простого треугольника и сектора круга,
рассмотрены у Прагера, Ходжа (1951 г.) и Джонсона, Совербая,
Хаддоу (1970 г.).
12.4. сетка ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ для выдавливания
БЕЗ ТРЕНИЯ ЧЕРЕЗ КЛИНОВУЮ МАТРИЦУ С УГЛОМ а
И ОБЖАТИЕМ г = 2sina/(l -j- 2 sin а)
Рассмотрим выдавливание, для которого сетка линий сколь-
жения имеет вид, как на рис. 12.5, а. Она состоит из равнобедрен-
Рис. 12.5. Построение сетки линий скольжения при выдавливании через аб-
солютно гладкую клиновую матрицу (п), напряженного состояния точки М (б)
и годограф (в)
ного треугольника ORN и сектора круга ORM. Матрица считается
совершенно гладкой и поэтому линии OR и NR расположены под
углом 45° к поверхности матрицы ON. Для приведенной сетки ли-
ний скольжения ОМ пересекает ось под углом 45°, 0MR — сектор
с углом ос. Для данного частного случая мы выбрали ОМ так,
что она составляет 45° с осью; тогда сетка линий скольжения сим-
метрична относительно оси, и полная сила, действующая на вы-
давливаемый материал слева от ОМ, равна нулю. Это значит, что
напряжения сжатия действуют нормально к оси в точке М и
равны 2k (рис. 12.5, б). Таким образом, в соответствии с введенным
выше условием, ОМ — линия а и MRN — линия р, так как на-
правление алгебраически наибольшего главного напряжения
(ноль по величине) параллельно оси.
Для этой возможной сетки линии скольжения поле скоростей
должно быть совместимо с течением материала. До входа в очаг
350
пластической деформации через NRM (см. рис. 12.5, а) материал
жесткий, недеформируемый, имеет единичную скорость, представ-
ленную на рис. 12.5, в линией Оа. Любая частица, пересекающая
NR, имеет свое направление, которое внезапно меняется и ста-
новится параллельным клиновой поверхности матрицы ON; такой
поворот вызывается тангенциальным разрывом скоростей Vnr
(природу такого разрыва легко понять, ознакомившись с подраз-
делом 13.5). От точки О линия, проходящая под углом а, представ-
ляет направление абсолютного движения в треугольнике ONR.
От точки а идет вектор ab, параллельный NR. Треугольник ОаЬ
замкнут и определяет величину векторов скоростей ab и ob. Разрыв
Рис. 12.6. ^вычислению напряжения на плоскости матрицы г(а,~б), схемаТнапря-
женного состояния (в) точки М (см. рис. 12.5, б). Стенка контейнера и пло-
скость матрицы абсолютно гладкие, г — 2/3
скоростей постоянен по величине вдоль RM. На рис. 12.5, в
он представлен как угол а, стягивающий дугу Ьс с вершиной а.
ас лежит под углом 45° к полученной линии Оа, так как линия
скольжения р также лежит под углом 45° к оси в точке М. Танген-
циальная скорость частицы на оси испытывает два последователь-
ных скачка: первый — ас, второй — такой же по величине в на-
правлении МО, т. е. также под углом 45° к Оа и получающийся
в нижней половине выдавливания он равен cd, do = 1 + 2 sin ос.
Материал после прохождения ОМ — жесткий. Построенная диа-
грамма определяет скорость любой частицы в физической пло-
скости и называется годографом.
Заметим, что площадь, занимаемая сеткой линий скольжения,
определяет область больших деформаций в воронке матрицы.
Если предполагается, что выдавленная часть металла длинная
и поле линий скольжения, после того как оно установилось,
остается неизменным в пространстве и во времени, то в этом случае
говорят о стационарном выдавливании.
Степень обжатия при выдавливании равна г, т. е. толщина
Уменьшается в г раз; г = 2 sin а/(1 + 2 sin а). Нормальное давле-
ние на матрицу (рис. 12.6, a) q = pop + k, где рОр — гидроста-
тическое давление, нормальное к плоскости OR. Пользуемся ин.
351
тегралом Генки для нахождения рор и замечаем, что ром = k
и при движении от М к 7? вдоль линии р (MRN) происходит
положительный поворот на угол а; тогда рор — 2/га = ром или
Pop — k (1 + 2а) Подставим это в верхнее выражение для
q: q/2k = 1 + а. Равномерное давление р, создаваемое пресс-
штемпелем р-1 = q-ON sin а, или
р№ = (q/2k) г = (1 -L- а) г = 2 j1 + к) si; а-. (12.10)
Заметим, что р/2& = 2 (1 + л/2)/3 = 1,71 при а = л/2. Это часто
используемый пример выдавливания через плоскую матрицу
с углом 90°. Поверхность матрицы и стенку контейнера при г = 2/3
считают совершенно гладкими (рис. 12.6, б).
Заметим, что разрыв тангенциальных скоростей в точке (см.
рис. 12.5, в) равен ]/2sina; он распространяется вдоль NRM
и заканчивается на другом конце клиновой поверхности, противо-
положном О. Поэтому теряемая внутренняя энергия между обеими
линиями разрыва скоростей
2& V*NmLnrmo == (2 ~т~ а)г•
Часть полной работы пресс-штемпеля, рассеваемая вдоль
двух линий разрыва скоростей, f = (2 + сь)/2 (1 + а). Ниже
приведены значения работы f, совершаемой при выдавливании
и рассеиваемой при разрывах, для некоторых значений углов
и степеней обжатия:
15 30 45 60 75 90
0,343 0,50 0,58 0,63 0,66 0,67,
0,89 0,83 0,78 0,745 0,72 0,695
Оставшаяся часть работы (1 — f) рассеивается при непрерыв-
ном процессе деформирования в секторе.
Предположим, что для волочения материала через матрицу
необходимо равномерное напряжение. В точке М (см. рис. 12.5, а)
схема напряжений такая же, как и на рис. 12.6, в, но гидроста-
тическое давление —(I — k) = —1 -j- k (1 -ф 2a). Таким образом,
Poti = —(t — k) + 2ka = —t + k (1 + 2a). Следовательно, дав-
ление на клиновую поверхность матрицы q = [—t + 2k (1 4- 2a) ].
Напряжение волочения t можно найти, приравнивая нагрузку
к полной горизонтальной компоненте силы, действующей на
матрицу—г {t— 2k (1 + a)] = (1 — г) t; следовательно, t/2k =
= r (1 + a). Единственное различие между этими двумя схемами
выдавливания и волочения состоит в разности гидростатического
давления р или t. Таким образом, для гладкой матрицы при вы-
давливании и волочении требуются одинаковые давления выдавли-
вания и волочения, если обжатие в обоих случаях одно и то же.
Однако ясно, что переднее натяжение при волочении ограничено
и <^2k. Давление на клиновую поверхность матрицы при волоче-
нии проволоки и, следовательно, износ зависят от приложения
352
обратного натяжения, скажем /0. Ё этом случае переднее натяже-
ние увеличится до (t + /0), а давление на клиновую поверхность
матрицы уменьшится от q до (q — t0).
12.5. СЖАТИЕ ЗАГОТОВКИ МЕЖДУ ШЕРОХОВАТЫМИ,
ЖЕСТКИМИ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛИТАМИ, ШИРИНА КОТОРЫХ
БОЛЬШЕ ТОЛЩИНЫ МАТЕРИАЛА
На рис. 12.7 показаны жесткие и шероховатые пластины АВ
и CD, приближающиеся друг к другу со скоростью, равной двум
Рис. 12.7. Осадка заготовки между
шероховатыми параллельными пли-
тами
Рис. 12.8. Идеальное изменение уси
лия при осадке заготовки
единицам. Сближения не происходит, если между АВ и CD упру-
гонапряженный материал всюду конечной толщины, так как на-
пряжения в упругом материале вызывают нулевые деформации
(напомним, что материал идеальный жесткопластический). Плиты
могут сблизиться только в том случае, если в значительной части
Рис. 12.9. Экспериментальный график за-
висимости усилия от степени осадки
Рис. 12.10. Кривая напряжение—дефор-
мация при сжатии
материала уже появились пластические деформации и металл
может выдавливаться в направлении горизонтальной оси.
Нагрузка Р, при которой плиты начинают сближаться, зависит
от напряжения текучести. Считаем зависимость идеальной на-
грузки от перемещения пластины примерно такой, как показано
рис. 12.8. Если перемещение пластины уже началось, то от-
12 У. Джонсон 353
кошение 2ш/2й будет непрерывно увелиЧиватьсй, а нагрузка,
необходимая для осуществления осадки, — возрастать. В дей-
ствительности (Нье, 1946 г.) экспериментально полученная зави-
симость нагрузки от степени осадки будет такой, как показано на
рис. 12.9 для материала с кривой напряжение сжатия — дефор-
мация, приведенной на рис. 12.10. Точка А (рис. 12.9) определяет
нагрузку, соответствующую пределу текучести; точка В—на-
пряжению текучести; точка С — нагрузку, зависящую от дефор-
мационного упрочнения и увеличения отношения 2w/2h.
Ясно, что при приложении нагрузок сжатия зоны пластиче-
ских деформаций будут образовываться сначала вблизи углов
пластин, а при увеличении нагрузки расширяться до тех пор,
пока не произойдет их слияние от А до D и от В до С. Дальней-
шее увеличение нагрузки приводит к распространению этих зон
в горизонтальном направлении к центру заготовки; как только
произойдет слияние в центре, пластины будут сближаться. Зоны
пластической деформации, образовавшиеся вблизи точек А, В,
С, D, не охватывают части заготовки вне пластины, которые
остаются жесткими.
Построение сетки линий скольжения.
На рис. 12.11 показана половина 15°-ной сетки линий скольже-
ния для осадки между шероховатыми параллельными плитами
при различных значениях 2w/2h. Веер линий скольжения выходит
из точек А, В, С, D (см. рис. 12.7), которые являются центрами
354
концентрических дуг; радиусы
на оси заготовки и являются
проводят с учетом симметрии и
зонтальная сила, действующая
веера пересекаются ортогонально
касательными к плитам. Первые
так, чтобы результирующая гори-
на материал слева от DGA, была
Рис. 12.11. Сетка линий сколь-
жения при осадке заготовки
между шероховатыми парал-
лельными плитами для различ-
ных 2w/2h:
1 — эпюра нормальных давлений
на контактной поверхности между
заготовкой и плитой; — сред-
нее нормальное давление на кон-
тактной поверхности; р — среднее
нормальное давление на контакт-
ной поверхности только жесткой
зоны
Рис. 12.12. Сетка линий сколь-
жения при осадке клиновой
заготовки
равна нулю. Вторые удовлетворяют условию абсолютной шеро-
ховатости, наличие которой предполагает сдвиг материала на
контактной поверхности (касательное
напряжение равно напряжению те-
кучести сдвига). Следовательно, дуги
GGa и GG's взаимно ортогональны
в точке G и ортогональны к двум
плитам в точках G3 и GC Следует
заметить, что если бы AD не было
перпендикулярно центральной линии
заготовки, т. е. плиты были бы неоди-
наковой длины, то, как и раньше, из
соображений равновесия, сетка
начиналась бы от равнобедренного
треугольника с основанием AD
(рис. 12.12, Джонсон, Кудо, 1960 г.).
Чтобы нарисовать равноугольную
угол GAGa на три угла по 15°, затем фиксируем точки Gr и G2
(см. рис. 12.11). Так как все линии скольжения пересекаются
ортогонально, образуя угол 45° с центральной линией сжимаемого
12* 355
15°-ную сетку, разделим
материала, то линия скольжения, выходя из точки Gr, должна
поворачиваться на 15° от G± до Н. Эта линия скольжения аппро-
ксимирована хордой G-J1, выходящей из точки Gx под углом 37,5°
[(45° 4- 30°)/2 ] и пересекающей ось в точке Я. Чтобы продолжить
сетку, нарисуем линию, выходящую из G2 под углом 22,5° к Ох
(AG2 — под углом 15° к Ох в точке G2 и 30° в точке Я1; в которой
пересекается с линией скольжения другого семейства). Из точки Я
проводим ЯЯ1 под углом 52,5° к Ох (эта хорда аппроксимирует
линию скольжения, касательная к которой поворачивается от 45°
к Ох в точке Я до 60° к Ох в точке Ях). Таким образом, хорды,
выходящие из Я под углом 52,5° к Ох и из G2 под углом 22,5°
Рис. 12.13. Сетка линий скольжения и эпюра нормальных напряжений при
осадке между шероховатыми параллельными плитами для 2w/2h = 5,6:
I — жесткая область; 2 — жесткая область, зависящая от h
к Ох, пересекаются в точке Нг. По построению хорды, аппрокси-
мирующие линии скольжения, неортогональны. Продолжение
сетки линий очевидно. Из G3 проводим GSH2 под углом 7,5° к Ох
[(0 4- 15°)/2], а из Ях проводим Я1Яа под углом 67,5° к Ох [(60° 4-
4-75°)/2], которые пересекаются в точке Я2. Из Я2 проводим
линию ЯаЯ3 под углом 82,5° к Ох [(75° 4- 90°)/2 ] до пересечения
с поверхностью плиты АВ в точке Я3. Затем из точки Ях проводим
HjJ под углом 37,5° к Ох и определяем J.
Сетку линий скольжения можно продолжить таким образом
до нужной величины и получить приближенную сетку. Если про-
вести ортогональные кривые через точки пересечения хорд, то
получим действительную сетку- линий скольжения с хорошей
степенью точности. При уменьшении ячеек равноугольной сетки
точность увеличивается. Такая сетка линий скольжения показана
на рис. 12.17, она расширяется довольно далеко, включая отно-
шение 2w/2h 6,6. Типовая сетка линий скольжения для 2w/2h ==
= 5,6 дана на рис. 12.13. Два семейства линий скольжения пере-
секаются под прямым углом в центре заготовки 7И. Две заштри-
хованные зоны, в которых сетка линий скольжения не построена,
356
ограниченные поверхностью пластин и линиями JSMJ3 и
являются жесткими и ведут себя так, словно они жестко соединены
с пластинами.
Вычисление нагрузки, необходимой для
пластического деформирования. Чтобы вычис-
лить нагрузку пластического деформирования, воспользуемся
интегралом Генки. Вернемся опять к рис. 12.11. Слева от AGD
полная сила равна нулю. Напряжения в материале выше AG
показаны на рис. 12.14. Разметка линий а и р происходит согласно
условию, что направление алгебраически наибольшего главного
напряжения происходит через первый и третий квадранты локаль-
ной системы. Нулевое главное напряжение, параллельное Ох,
Рис. 12.14. Напряжения вдоль
AG (см. рис. 12.13)
Рис. 12.15. Сетка линий скольжения при
осадке между шероховатыми параллельными
плитами, когда 2w/2h = 3,6:
1 — заторможенная область
алгебраически больше, чем напряжение параллельное Оу, которое
поэтому должно быть —2k, чтобы вызвать сдвиг вдоль AG и DG.
Семейство линий скольжения, выходящих из А, есть линии а,
из D — линии р.
1. Нормальное напряжение в точке G3— рСз. Движемся от
точки G к точке G3 вдоль линии |3GG3, на которой р — 26<р =
= const. Считаем в точке G(p = 0up = k, так что для этой линии
константа есть k. Таким образом, р —- 26<р = k или р = k (1 -J- 2<р)
вдоль GG3 (см. рис. 12.11). При движении от G к G3 происходит
положительный поворот на л/4; следовательно, в точке G3 р =
= k (1 л/4). Таким образом, рОз = k (1 ф- л/2) = 2,576.
2. Нормальное напряжение в точке Н3 — рИз. При движении
от точек G3 и Н2 вдоль линии а происходит поворот на 15°, или на
0,262 рад. Теперь р ф- 26<р = const, и в точке G3, полагая <р = 0,
константа ро3 = k (1 -j- л/2).
При движении от точек Н2 и Н3 вдоль линии р и повороте на
15° р — 26<р = const, если <р = 0 в точке Н2. Тогда рпг =
(3,09 ф- 2-0,262) = 3,626.
3. Нормальное напряжение в точке J3 — pjs. Аналогично,
Pj2 = 4,666, таким образом можно получить нормальное давление
в каждой точке. На рис. 12.11 они представлены линией abc....
Если ширина заготовки в 3,6 раза больше ее толщины, то схема
Деформации, которую можно предположить и которая позволяет
357
получить результаты, согласующиеся с данными эксперимента,
такая, как на рис. 12.13. Жесткие части заготовки, выдавливае-
мые по обе стороны плит, и две зоны пластической деформации,
расположенные между плитами, разделены двумя жесткими зо-
нами, которые имеют точечный контакт в центре заготовки. Эти
зоны примыкают к плитам, не скользят и не сдвигаются в стороны
относительно плит. Их форма определяется парой граничных
линий скольжения, которые пересекаются под прямым углом
в центре заготовки. Если 2w/2h < 3,61 (точка между К и G)
и центр заготовки расположен, как показано на рис. 12.11, то
можно видеть (рис. 12.15), что граничные линии скольжения
этих примыкающих жестких или заторможенных зон вытягиваются
вдоль углов плит, т. е. не-
деформируемый материал
располагается по всей
длине обеих плит.
Поскольку распределе-
ние напряжений в затор-
моженных зонах вычи-
слить нельзя, то можно
получить только полную
вертикальную силу или
Рис. 12.16. Напряжения на 6s среднее вертикальное на-
пряжение, действующее
на поверхности контакта. Считаем линию ЛЖ3 (см. рис. 12.11)
одной из границ заторможенной зоны; пусть 6s — элемент длины.
Напряжения на 6s показаны на рис. 12.16. Вертикальная сила,
действующая на 6s, 8F = (k sin ф ф- р3 cos ф)б5, и поэтому вдоль
линии а (Ж3)
F = k j sin ф ds -J- [ ps cos ф 6s = k j dy -J- j p3 dx.
Теперь ps = pKis -}-2/гф, где ф — угол поворота от К3 до S:
следовательно,
F = kh ф- 2k ф- ф) cos ф ds = kh -J- 2k f dx ф- f .ф dx.
у ЛК j Лк, -J j?
Поэтому F!2k = h/2 ф- (pKJ2k) X ф- j ф dx и
p/2k = (21 + h)!2X 4- pK3/2k, (12.11)
где I = 2Ф Для частного случая I можно получить из
рис. 12.11; р—-среднее вертикальное давление, действующее на
контактную поверхность плиты и заторможенной зоны.
Среднее давление ру, приложенное к плите, — это удельное
деформирующее усилие, одинаковое по всей контактной поверх-
358
ности заготовки. Ниже приведены три схемы вычислений, которые
читатель может проверить, сравнив с величинами на рис. 12.11
и получив их сумму.
На рис. 12.13 показано распределение напряжений на контакт-
ной поверхности плиты при 2w/2h > 5,6.
1. 2w/2h к 6,6 (заторможенная зона занимает меньше поло-
вины поверхности плиты). Длины проверяются по рис. 12.11.
Линия........ ................
Дх............................
ф, рад........................
ф Дх..........................
ТИДа
1,6 2,2 2,6 X 6,2
0,654 0,393 0,131 h 2,5
1,05 0,86 0,34 pKa/2fe2,86
£ ф Дх = 2,25
Пользуясь уравнением (12.10), получаем p/2k = (2,5 4- 2 х
X 2,25)/(2-6,2) +2,85 = 3,41.
Удельное деформирующее усилие (среднее нормальное давле-
ние на плиту) ру — это среднее между постоянным давлением по
0G8 (линия ab), постоянно увеличивающимся давлением от Gs до К3
(линия be) и средним давлением в заторможенной зоне (линия de).
Следовательно,
• 1,29• 3,54 + 6,78 (1,29 + 2,87)/2 + 3,41 • 6,2 __
PylZP-- jgg —
4,6+ 14,1 +21,1 39,8 9
“ 16,5 ~ 16,5 —
2. 2w/2h = 3,6 (заторможенная зона расположена на части
контактной поверхности плиты).
Линия
Дх .
Ф, Рад
ф Дх
£фДх = 2,2,
H.G3
1,9 1,85 1,75 X 5,5
0,654 0,393 0,131 h 2,5
1,24 0,72 0,24 Pgs /2fel,28
/о л 2,5+2*2,2 . . f.Q . .
p!2k = --2.5-5-----F 1,28 = 1,91;
Pyl2k ==
(1,29-3,54)+(1,91-5,5) . _
— 1,00.
9,04
3. 2w/2h = 1,6 (заторможенная зона расположена на всей
контактной поверхности плиты, см. рис. 12.15).
Этот пример показан на рис. 12.11, где точка Н — центр
заготовки.
Раскладывая напряжение на AGrH параллельно Оу или вер-
тикально, получим wpy = {рас, sin 60° + k cos 60°} +
359
+ Gjf/ \[(рн + PgJ/2] sin 52,5° + k cos 52,5°}. Теперь pAG1 =
= k (1 + 0,522) = 1,522ft; pH = ft (1 + 1,044) = 2,044ft. Поэтому
П ,, . 3,54 (1,32 + 0,5) + 1,2 (1,42 + 0,61)
Py'K~ 40 1,11.
Кривую на рис. 12.9 можно разделить на три участка: участок
ОА соответствует преимущественно упругой деформации; АВ —
появлению пластической деформации и ВС — пластическому тече-
нию с упрочнением. Нагрузка в точке В соответствует напряже-
Рис. 12.17. Точная сетка линий скольжения при осадке между шероховатыми
параллельными плитами для 2w/2h 6,6;
1 — жесткая область
Рис. 12.18. Годограф для приближенной сетки линий скольжения (см. рис. 12.11)
нию текучести. Однако во время многих экспериментов определить
нагрузку нелегко, поскольку многое зависит от используемого
оборудования и величины первоначальной деформации материала.
Эти замечания необходимо,сделать, чтобы не ввести в заблужде-
ние читателнекоторый может подумать, что математически точным
результатам, "полученным по описанному в этой главе методу,
соответствуют столь же точные экспериментальные данные для
идеальных моделей.
Г одограф. Годограф — это графическое представление
скорости деформирования или скорости смещения частиц в пло-
скости деформации. Чтобы признать правильной построенную
диаграмму, надо сделать проверку, показывающую, что все эле-
менты пластической деформации совместимы. Эта диаграмма также
очень полезна для точного определения кинематического и дефор-
мированного состояний материала. (Полезно сначала прочитать
первые подразделы гл. 13.)
360
На рис. 12.17 показана точная сетка линий скольжения,
а на рис. 12.18 представлен годограф для осадки между предельно
шероховатыми плитами при 2w/2h 6,6, соответствующий при-
ближенной сетке линий скольжения на рис. 12.11. Если пред-
положить, что плиты сближаются со скоростью, равной двум еди-
ницам, то в центре заготовки N наблюдается разрыв скоростей
сдвига под углом 45° к оси, равный по величине ]/2. Оа пред-
ставляет скорость верхней плиты относительно неподвижной
оси симметрии заготовки. Когда частицы жесткой зоны, примы-
кающей к верхней плите, пересекают KaN в точке N, они изменяют
направление движения и движутся параллельно оси Ох, их ско-
рость становится равной On. Остальную часть годографа скоростей
Рис. 12.19. Годограф для сетки линий скольжения (см. рис. 2.17)
можно построить так же, как и поле прерывных скоростей. Заме-
тим, что отрезок ап должен быть равен | вполне очевидно по-
строение годографа скоростей, ортогонального к сетке линий
скольжения, что следовало ожидать в соответствии со всеми
известными и предполагаемыми ее свойствами. Такое построение
было сделано, и точный годограф (рис. 12.19) соответствует точной
сетке линий скольжения (см. рис. 12.17).
Схему деформации материала легко получить, используя
любой из годографов. Если требуется установить смещение ча-
стицы Р (см. рис. 12.17) при подъеме нижней пластины на Ай,
необходимо найти соответствующую точку на годографе, т. е. р'
на рис. 12.18 или 12.19 и Ор'. Тогда величина смещения — Ай;
Ор' — скорость точки Р.
Отметим, что при сближении пластин сетка линий скольжения
и годограф постепенно изменяют свою форму. При значительном
смещении пластин точное конечное положение точки Р можно
определить только учитывая это изменение.
12.6. ЦЕНТРИРОВАННЫЙ ВЕЕР ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ
Сетку линий скольжения, построенную с помощью двух дуг
одинакового радиуса с центрами О и О', очень часто используют.
На рис. 12,20 показана такая сетка в масштабе. О и О' — един-
361
ственные точки, из которых выхо-
дит ортогональная сетка. Пусть
дуги одинакового радиуса пере-
секаются в точке А. Ясно, что
сетка, появляющаяся справа от
00', будет симметрична относи-
тельно линии 00’ перпендику-
лярной биссектрисе Ах. Следова-
тельно, нам достаточно постро-
ить половину сетки выше Ах.
Дуга AR делится так, чтобы дуги
АВ, ВС и т. д. стягивали оди-
Рис. 12.20. Центрированный веер
линий скольжения и их сетка, оп-
ределенная двумя равными дугами
окружности (я, б)
наковые углы, например 5°, с вер-
шиной в точке О. Линия сколь-
жения ОВ при продолжении пе-
ресекает Ах в точке В под углом
45°. Эту точку можно найти,
строя хорду ВВ1 под углом 42,5° к Ах. Пользуясь методом хорд,
как в описанном выше примере, можно построить сетку дальше.
На рис. 12.20, б показана такая сетка (для удобства вычисле-
ний с равными углами 5°).
12.7. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ВЕЕРА ЛИНИЙ
СКОЛЬЖЕНИЯ
В этом подразделе дано несколько примеров в сокращенной
форме. Восстановить пропущенные выкладки для читателя будет
нетрудно. Дальнейшие подробности, примеры и результаты вычи-
слений можно найти в работе Джонсона и др. Другие примеры,
описывающие различные процессы формообразования, можно
найти в гл. 14.
12.7.1. Выдавливание через плоскую матрицу из контейнера
с гладкими стенками при г > 0,5 (рис. 12.21, а)
Начальная линия скольжения АВ проходит под углом 45°
к оси симметрии; АВС —• сектор круга. Используя указанный
выше обычный способ построения, от дуги ВС строим всю сетку.
Линия скольжения АС должна в конце концов пересечь стенку
контейнера под углом 45°, так как на гладкой стенке не должно
быть касательных напряжений. Между ВиЕ все линии скольжения
должны пересекать ось под углом 45°. Можно также воспользо-
ваться методом построения сетки с помощью хорд (см. рис. 12.17).
В общем случае сетка, представленная на рис. 12.20, б, содержит
сетку этой формы. Область ACDGA является зоной жесткого
неподвижного (мертвого) металла. Многие эксперименты показы-
вают, что металл, находящийся между граничной линией сетки,
контейнером и матрицей, является жестким неподвижным (мертвая
362
г
Рис. 12.20.
зона). Учитывая, что сила, действующая на выдавливаемый
материал справа от АВ, равна нулю, направления напряжений
в точке В такие, как показано на рис. 12.21, б; линии а и (3 надо
выбирать по этому же рисунку.
Таким образом, применяя интеграл Генки к точкам В и С,
получим для линии арс -]r2k (—6) = k, поэтому pc=k (1+26).
С Р, линия Р, рР — 2k (6 — л/4 — ф) = рс, поэтому рР =
= k (1 +20 +26 — л/2 — 2ф). В частности, pD = k (1 +46 — л).
Элементарная горизонтальная сила, действующая на элемент
длины границы между зоной пластических деформаций и жесткой
Рис. 12.21. Выдавливание через плоскую матрицу (г + 0,5) из контейнера
с гладкими стенками (а), напряженное состояние точки (б), напряжение в точ-
ке Р (в):
/ — жесткая неподвижная зона металла
зоной — 6s (рис. 12.21, в) АГ = kbs cos ф + pPbs sin ф =
= kb s + k (1 +46 — л/2 — 2ф) by. Полная горизонтальная сила,
приложенная на линии AD,
F =J}AF = kj^bx-{-k^ (1 +46-л/2)6«/~2££ф6г/ ==
= kx + k (1 + 46 — л/2) у — 2k У ф by.
Если среднее давление, создающееся пресс-штемпелем, есть р,
то
Р х-Рр(1 +40 — л/2) — 2
P/2k ~ 2kH/2 — Н ’
При данном обжатии г = (Н — h)/H легко оценить p!2k,
учитывая приближенные значения х, у, 6 и Н. Задача услож-
няется только при вычислении 2ф by.
12.7.2. Выдавливание через гладкую клиновую матрицу
с полууглом а при г > 2 sin а/(1 +2 sin а) (рис. 12.22)
Начальная линия АВ проходит под углом 45° к оси металличе-
ской заготовки; АВС — сектор круга; АС составляет 45° с кли-
новой поверхностью матрицы; С1 составляет 45° с линией
364
А1234 ... п, т. е. с поверхностью матрицы в точке 1. Сетку линий
строят обычным способом, начиная от ВС1.
Читателю не составит труда убедиться, что давление выдавли-
вания р определяется вы-
ражением
рГ2к = (1 + a) .(/jj — /ги) +
+ у (<h-r2k + <72/2^) X
X (1ц hi) +
+ 4 (Qn-i/zk + qn/2k) х
X (hn — hn_i),
где q — локальное давление
матрицы, qj2k = 1 + а - р
+ 2 (п — 1) Дф, Дф — угол
ячейки используемой сетки
для 5°-ной ячейки
Дф =
линий скольжения, например
= 0,0873*. Также г = (hn — h)/hn.
12.7.3. Выдавливание через гладкую клиновую матрицу
с полууглом а при г < 2 sin а/(1 2 sin а) (рис. 12.23, а)
Чтобы построить сетку линий скольжения, начертим сначала
равнобедренный треугольник AED и дуги СЕ и EF. Эти дуги
состоят из небольших равных дуг, например НЕ и EG, стягива-
Рис. 12.23. Выдавливание через гладкую клиновую матрицу
[r<2 sina/(l Ц-2 sin а)]
365
ющих равные углы с вершинами в точках D и А соответственно.
Зная расположение точек Н и G, находим точку / и обычным
способом строим сетку линий дальше. Для данного обжатия вы-
берем точку В так, чтобы линии скольжения пересекались с осью
только в одной точке под углом 45° к оси.
Чтобы определить давление выдавливания, вычислим сначала
давление в произвольной точке. Пусть давление в точке В есть рв.
Тогда при движении от В к р, т. е. вдоль линии р, рР — 2k (ф —
— л/4) = рв.
Разложение напряжений, действующих на элемент длины 6s,
показано на рис. 12.23, б. Полное усилие выдавливания на вы-
ходе из матрицы равно нулю. Из рис. 12.23, в
!г I \ х
pp&ss'm^ — k j 6s cos ф = 0; j -f- ф — —jdh = j dx и
0 x 0
, h
VrJl r nh f
(12.12)
о
Воспользуемся опять интегралом Генки:
B—>F, линия р, pF = рв 4- 2ky,
F-^E, линия «, p£ = pF + 2fee = pB4-2A(e + y).
Напряжения в блоке AED показаны на рис. 12.23, г, давление
на стенку матрицы q = рЕ k. Поэтому с учетом (12.12) q!2k =
= pB/2k + (6 + у) + 1/2 = ( х/2— фdx ) h + л/4 ф- 6 ф- У + 1/2.
Для данной конфигурации х, h, 6 и у — известны, требуется оце-
х
нить У ф dx. Следовательно, давление выдавливания p!2k =
о
= г (q/2k), где г — (Н — h)IH. Если поверхность клиновой ма-
трицы частично шероховатая, то треугольник DAE перестает
быть равнобедренным. Хотя угол в точке Е остается равным 90°,
угол DAE станет <45°, скажем р. Тогда коэффициент трения
cos 26
между материалом и поверхностью клиновой матрицы р = -.
Можно найти, что
g 2 S я sin 2(3 .
2F =------~h----+ -Y+6 + y + —§—>
Р ( <7 . cos2p \
2k \2k r 2 tg a ) ’
Заметим, что аналогично можно учесть влияние трения и для
схемы, показанной на рис. 12.22. Угол 1АС становится равным
Р < 45°. Однако ортогональные линии скольжения от точки 1
366
вверх по клиновой поверхности матрицы пересекают ее под раз-
личными углами, так как нормальное давление на матрицу уве-
личивается, если [I остается постоянным.
12.7.4. Одновременное выдавливание через два отверстия
в плоской матрице
На рис. 12.24, а и в показаны сетки линий скольжения для
выдавливания через отверстия симметрично расположенные отно-
сительно центральной линии контейнера, но асимметричные
Рис. 12.24. Одновременное выдавливание через два от-
верстия в плоской матрице:
а, б — трение на стенках контейнера отсутствует; в, г — трение
на стенках контейнера предельно (£> — жесткая неподвижная
зона металла)
в своей половине матрицы. На рис. 12.24, а стенка контейнера
гладкая (р = 0), а на рис. 12.24, в — шероховатая; имеет место
сдвиговая деформация вдоль нее. В этом последнем случае линии
скольжения 'пересекают стенку под углами 0 и 90°. Отметим три
зоны жесткого неподвижного (мертвого) металла, примыкающие
к трем участкам плоской матрицы. Годографы для каждого из
этих двух случаев представлены на рис. 12.24, б и г. Результаты
вычислений приведены Додейя и Джонсоном (1957 г.).
12.7.5. Выдавливание из кривого контейнера
На рис. 12.25, а показана сетка линий скольжения для вы-
давливания заготовки через клиновую матрицу из контейнера
заданной кривизны, как пример с вращением. В этом случае
Построение годографа довольно сложное. Годограф отличается тем,
367
что скорости точек в физической плоскости деформации легко
идентифицируются с точками годографа. По существу задача
состоит в обобщении всего, что говорилось в подразделе 12.4.
Теперь легко видеть, что годограф на рис. 12.5, в есть предельный
случай годографа на рис. 12.25, б. Необходимое удельное усилие
для выдавливания (рис. 12.25, а) находим из выражения (12.10).
Рис. 12.25. Выдавливание с вращением (а) и годограф (б):
1 — пуансон
Заметим, что выдавливаемое изделие выходит изогнутым, и
скорость на входе и выходе из матрицы не представляется одной
точкой годографа, как было в случае, изображенном на рис. 12.5, в.
12.8. КОРОТКИЕ КРОНШТЕЙНЫ И БАЛКИ,
НАГРУЖЕННЫЕ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛОЙ
В гл. 7 был рассмотрен изгиб кронштейна под действием
сосредоточенной силы, приложенной на его конце. При этом
предполагалось, что в условиях плоской деформации сдвиг про-
исходит только по дуге окружности. В этом подразделе с помощью
сетки линий скольжения мы дадим более точное решение задачи,
справедливое для некоторого интервала отношений длины к тол-
щине. Одно решение лишь уточняет точность другого.
Этот подраздел написан потому, что каждый инженер стал-
кивается с кронштейнами, и пример построения нетипичной сетки
линий скольжения, обычно связанной с изгибом, представляет
интерес.
368
Короткий кронштейн жестко защемлен в стене (рис. 12.26, а),
когда отношение длины к высоте кронштейна мало, так что пла-
стическая деформация в точке закрепления возникает в резуль-
тате действия нормальных и касательных напряжений, вызывае-
мых поперечным изгибом. Анализ схемы нагружения, при кото-
Рис. 12.26. Толстый короткий кронштейн, нагруженный сосредоточенной силой:
а—сетка линий скольжения; б — равновесие отдельных элементов; в—годограф
рой кронштейн несет на конце сосредоточенную нагрузку St,
впервые был выполнен Грином (1951 г.).
Пластические деформации появляются в точках концентрации
напряжений А и В, а затем распространяются дальше. Выберем
точки Л и В, в которых соприкасаются равнобедренные треуголь-
ники АСЕ и BDF и секторы кругов ACG и BDH соответственно.
Треугольники таковы, что слои материала, параллельные поверх-
ностям кронштейна АЕ и BF, растягиваются и сжимаются соот-
369
ветственно. Точки G и Н соединены дугой окружности с центром
в точке J. Для определения углов <р и X применяют интеграл
Генки вдоль линий EG, GH и HF. При этом учитывают переход
напряжения растяжения 2k в напряжение сжатия 2k. Кронштейн
должен (первоначально) поворачиваться по поверхности GH
относительно центра J. Часть заготовки слева от GH неподвижна,
а справа поворачивается с угловой скоростью со так, что по GH
возникает разрыв скоростей. В том, что сетка действительно
имеет такой вид, можно убедиться, рассматривая рис. 12.27.
Рис. 12.27. Макрошлиф попереч-
ного сечения кронштейна, демон-
стрирующий пластическое течение
(по данным Ханди)
ф- 2Х), или pD = 2k (—1/2
треугольник BDF испытывав
В кронштейне из мягкой стали
после травления ясно выделилась
зона пластической деформации.
Пользуясь интегралом Генки
и уравнениями равновесия для
сил и моментов, можно найти па-
раметры сетки линий скольжения
<р, X, b и R.
Для области АСЕ схема
напряжений изображена на
рис. 12.26, б (рс = —k). Так
как ECG есть линия р, то
Pg — (—ф) 2k = рс = —k, или
pG = 2k (—1/2 — <р). AGH —
линия а, поэтому рн 2k X
х(—2Х)=цс = 2k (—1/2 — <р), или
рн = 2k (—1/2 — <р ф-2Х). HDF —
линия Р; следовательно, pD —
2k (—<р) = рн = 2k (—1/2 — <р ф
2<р -р 27). Но pD — k, так как
сжатие k = 2k (—1/2 — 2*р ф 27);
X — <р = -1-.
(12.13)
Но из геометрии л/4 ф- <р ф- 27 ф- ср ф- л/4 = л, или
^ + ф==^- (12.14)
Таким образом, из (12.13) и (12.14)
„ I (12-15)
X = -ф ~ = 36°50'.
Пользуясь интегралом Генки и уравнениями для гидростати-
ческого напряжения р и напряжения сдвига k от AGHB до St,
найдем, что
~ t — 26(1 — 27)cos ф- ф-27?(2<рcos<р — 2sin<p). (12.16)
370
Если внутренний момент на AGHB относительно J приравнять
моменту St относительно J, то
St [/—fccosf-^- + Х) 4-7?cos(p] =М2Я2<р + 62(1 - 2Л.)]. (12.17)
Далее находим высоту кронштейна
ftsin (~^~ + ф)-(-₽sin7.^=-^. (12.18)
Уравнения (12.16)—(12.18) теперь можно решить, получая
значения для b и R при данном отношении l/t и, следовательно,
Рис. 12.28. Защемленная балка, на-
груженная сосредоточенной силой
Рис. 12.29. Макрошлиф поперечного
сечения кронштейна после дальней-
шего нагружения (по данным Ханди)
St. Можно убедиться, что при bit = 0,4 и Rlt — 0,3 Ut = 2 и
S!k = 0,28. Соответствующий годограф показан на рис. 12.26, в.
Приведенная выше методика решения может быть использована
для определения несущей способности за-
щемленной с обеих сторон балки (рис. 12.28),
нагруженной в центре сосредоточенной
нагрузкой W. (Заметим, что сингулярностей
нет и, следовательно, нет дуг окружности
или веера, расположенных непосредственно
под нагрузкой W. Имеются только два тре-
угольника, с которыми соприкасаются дуги
окружности.)
На опыте (рис. 12.29) проявляется ин-
тересная физическая интерпретация этого
решения. Когда достигнута определенная
степень полной пластической деформации
кронштейна, материал (мягкая сталь) начи-
Рис. 12.30. Сетка ли-
ний скольжения для
клина, нагруженного
сосредоточенной силой
нает упрочняться. Это видно на рис. 12.29
(черные места). Нагрузка при дальнейшем деформировании
к том же направлении достигает такой большой величины, что
Различные схемы деформирования возникают в основном в виде
Дуг окружностей, расположенных поперек основания кронштейна
371
(рйС. 12.30). Подготовленный читатель легко может понять, как
использовать приведенный выше анализ для случая чистого
сдвига в асимметричной балке с прорезью (рис. 12.31). Преиму-
щества при использовании двух дуг окружности являются оче-
видными и будут использованы в следующей главе.
Рис. 12.31. Макрошлиф
сечения бруса с выемкой,
согнутого под Действием
пары сил (по данным
Грина) '
12.9. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ
В этой главе большое внимание уделено применению основ-
ных уравнений и построению сетки линий скольжения. Полное
и строгое рассмотрение теории линий скольжения еще не прове-
дено. Чтобы это сделать, необходимо, помимо всего прочего, вы-
полнить испытания, которые должны показать, что: 1) нигде
в области пластической деформации не совершается отрицатель-
ная работа; 2) нигде вне сетки линий скольжения для предпола-
гаемого жесткого материала условие пластичности не выпол-
няется.
Первое условие раскрыто в разделе 14.10, но там не приводятся
испытания, связанные со вторым условием. Читатель, интересу-
ющийся некоторыми подробностями, найдет их, а также ссылки
на работы, в которых они обсуждаются, в монографии Джонсона,
Совербая, Хаддоу (1970 г.) (см. задачи 45, 56, 61, 70, 63,
72 и 73).
372
ЛИТЕРАТУРА
Dodeja, L. С.,
Johnson, W.
Geiringer, H.
Green, A. P.
Hencky, H.
Hill, R.
Johnson, W.
Johnson, W.,
Mellor, P. B.,
Woo, D. M.
Johnson, W.
Kudo, H.
Johnson, W.,
Sowerby, R. S„
Haddow, J. B.,
Nye, J. F.
Palmer, W. B.,
Oxley, P. B.
Prager, W.,
Hodge, P. G.
1957 «On the Multipole Hole Extrusion of Sheets
of Equal 1 hickness»
J. Mech. Phys. Solids 5, 267
1937 «Fondements mathematiques de la theorie
des corps plastiques isotropes»
«Mem. Sci. math. No. 86
1954 A Theory of Plastic Yielding Due to the Bend-
ing of Cantilever and Fixed Ended Beams:
Pars I»
J. Mech. Phys. Solids 3, 1
1923 «Uber die einige statisch bestimmte Faile des
Gleichgewichts in plastischen Korpern»
Z. angew Math. Mech. 3, 241
1950 Mathematical Theory of Plasticity Chap. 6
O. U. P.
1955 «Extrusion Ihrough Wedge—shaped Dies»
Parts 1 and II
J. Mech. Phys. Solids 3, 218—23,224—30
1958 «Single—hole Staggered and Unequal Multi—
hole Extrusions»
J. Mech. Phys. Solids 1958
1960 «Compression Between Inclined Plates»
Appl. Sci. Res. 9, 206
1970 Plane Strain Slip line Fields: Theory and Bi-
bliography
Arnold, London, 176 pp.
1946 «Experiments on the Compression of a Body
Between Rough Plates»
Ministry of Supply, Armament Research, Dept.
Rep. 39/47
1959 «The Mechanics of Orthogonal Machining»
Proc. Instn mech. Engrs 173, 623
1951 Theory of Perfectly Plastic Solids
Wiley, New York, 264 pp.
Глава 13
ВЕРХНЯЯ ОЦЕНКА НАГРУЗКИ, ПРИМЕНЕНИЕ ЕЕ
К ЗАДАЧАМ ПЛОСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ
13.1. ВВЕДЕНИЕ
Для многих операций металлообработки нельзя точно опреде-
лить нагрузку (которая может быть силой или моментом), вызы-
вающую неограниченную пластическую деформацию, поэтому
приходится рассматривать способы ее приблизительного установ-
ления. С помощью разработанных методов получают два значения
нагрузки: явно завышенное (верхняя оценка) и явно заниженное
(нижняя оценка). Верхняя оценка особенно полезна для инжене-
ров-механиков и производственников, поскольку им обычно при-
ходится оценивать ту нагрузку, под действием которой идет
процесс и которую проще и надежнее установить, воспользовав-
шись верхней оценкой. Это упрощает вычисления максимальной
нагрузки, которую пресс или машина должны создать или выдер-
жать. Есть еще несколько причин, из-за которых мы обращаем
внимание инженеров на определение предельных нагрузок. Они
развивают и используют физическую интуицию конструкторов;
методы, однажды оправдавшие себя, могут быть использованы
с большей уверенностью, но с некоторой математической про-
веркой. Они особенно полезны для задач плоской деформации,
поскольку верхнюю оценку нагрузки можно установить гра-
фически. Результаты, полученные с помощью предельных оценок,
как правило, приблизительные, но все же дают инженеру некото-
рое представление о результате решаемой задачи.
Стоит предупредить, что использование верхней оценки при
простой плоской деформации, часто описываемой в этой главе
в качестве примера, не всегда является самым быстрым способом
получения наилучшего значения нагрузки. Если верхнюю оценку
обычно несложно получить, то вычисление нижней может потребо-
вать значительных алгебраических и тригонометрических мани-
пуляций. Это может свести на нет все остальные преимущества
метода перед методом линий скольжения, как часто бывает,
когда находят общее решение. Когда требуется найти частное реше-
ние, лучше всего использовать способ графического исследования,
который приводится ниже.
374
Друккер, Гринберг и Прагер (1956 г.) установили три теоремы
о предельных нагрузках, из которых можно получить формулы
для оценки удельного деформирующего усилия. Теоремы были
выведены из некоторых рабочих принципов, опубликованных
Хиллом (1950 г.). Первые авторы нашли эти теоремы для идеаль-
ных упругопластических материалов, Хилл и его сотрудники опи-
сали эти теоремы для идеального жесткопластического материала.
Идеализация материала исследователями первой группы более
реальна, рассмотрение последних более приблизительное. Первые
доказательства теорем для анализа предельных оценок принадле-
жат Гвоздеву. Интересующемуся студенту можно посоветовать
изучить перевод ранней работы Гвоздева 1936 г., сделанной Хай-
цорнцвейтом (1960 г.).
В следующих двух подразделах приведены приблизительные
доказательства предельных теорем. Более точное рассмотрение
не входит в намерение авторов, поэтому мы привели элементар-
ное доказательство предельных теорем для частного случая задач
плоской деформации.
13.1.1. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛЬНЫХ НАГРУЗКАХ
В подразделах 13.2 и 13.3 дано доказательство двух теорем,
использующихся для идеального жесткопластического материала.
Для последующего чтения полезно освежить в памяти подразделы
5.8 и 5.9. В приведенных ниже доказательствах используется du —
приращение смещения и de — бесконечно малое приращение пла-
стической деформации. Однако теоремы можно также просто
записывать в терминах скоростей пластической деформации и
в терминах скоростей, при которых совершается работа, как было
в подразделе 5.8.
13.2. ТЕОРЕМА О НИЖНЕЙ ОЦЕНКЕ
Пусть на часть поверхности ST тела с объемом V и полной
поверхностью S действуют поверхностное напряжение или сила
сцепления Ть а на части поверхности Su определены приращения
смещения du (рис. 13.1). Далее ст*/ означает любое статически
возможное поле напряжений в теле, удовлетворяющее уравнениям
равновесия, т. е. d^j/dxi = 0, граничным условиям на поверх-
ности ST и условию пластичности. Предположим, что оц означает
действительное поле напряжений, которое на поверхности ST
Удовлетворяет заданным граничным условиям 7\. Согласно прин-
ципу виртуальной работы получаем
J Ti dtii dS = J ст(-/ d&ij dV — j c'tj dsij dV, (13.1)
S V V
где a'ij — компонента девиатора тензора напряжений oi;.
Работа, совершаемая поверхностными или внешними силами,
375
равна работе пластической деформации, которая рассеивается,
вызывая приращение пластической деформации den. Мы можем
также записать
| Т* dtii dS = | deij dV = J 07?deqdV, . (13.2)
S V V
где T* —• статически возможные поверхностные напряжения,
вызывающие те же бесконечно малые приращения смещений точек
Рис. 13.1. Обозначения, ис-
пользуемые при доказатель-
стве теорем (du-i, Tt=T*
заданы)
на поверхности реального тела, совер-
шающие некоторую пластическую или
внутреннюю работу деформации, ко-
торая связана с распределением ста-
тически возможных напряжений. Теперь
$
f Т* dut dS = J 77 dS+ J 77 du{ dS=
SU ST
= J Ti dut dS 4- j Ti dut dS, (13.3)
Su ST
так как Tt = Т* на поверхности ST.
Уравнение (13.1) можно перепи-
сать в виде
J Ti dui dS -|- J Ti dui dS = J Cij dEij dV, (13.4)
st su v
a (13.2), пользуясь (13.3), в виде
J Ti dui dS\Ti dui dS = j a-/ de0- dV. (13.5)
Su ST V
Вычитая (13.5) из (13.6) и используя (5.36), получим
J (Ti - 77) dUi dS = J (ст-; - о?/) d£ij dV > 0. (13.6)
v
Таким образом,
J Ti dui dS J Т- d^ dS. (13.7)
Уравнение (13.7) и есть запись теоремы о нижней оценке.
Когда тело находится в состоянии пластичности и испытывает
небольшие смещения, приращение работы, совершаемой реаль-
ными силами или поверхностным сцеплением на поверхности Su,
больше или равно работе, совершаемой поверхностным сцепле-
нием любого другого статически допустимого поля напряжений.
376
1з.з. теорема о Верхней оценке
В последнем подразделе первым ограничением было условие
равновесия во всех точках тела. Ограничения, которые можно
наложить на приращение деформаций, исходя из полученных
приращений смещения, были несущественными. Чтобы доказать
вторую теорему, будем исходить из приращения деформаций,
которые могут не удовлетворять уравнениям равновесия, но не-
которым другим условиям в пластически деформируемом теле
должны удовлетворять полностью.
Предположим, что реальное поле при-
ращения смещений обозначено через du[t
любое другое кинематически возможное
поле — через du*, так что du* — dut на
Su, т. е. du{ задано на части поверхности
Su. Но кинематически возможное и дей-
ствительное поля приращения смещений
должны удовлетворять условию несжи-
маемости, т. е. dui/dx = 0 и dujdx = О,
иначе компоненты шарового тензора бу-
дут совершать работу. Это условие также
поможет нам доказать приемлемость ки-
нематически возможного поля, тогда
можно будет найти приращение смещений
в каждой точке тела. Кинематически воз-
Рис. 13.2. Обозначения,
используемые при Дока-
зательстве теорем:
1 — поверхность разрыва
(du^ — du't задано)
можное поле приращения смещений может иметь разрывы тан-
генциальных компонент вдоль определенных поверхностей SD,
но нормальные компоненты с каждой стороны такой поверхно-
сти должны быть одни и те же, чтобы не было изменения объема
при пластическом деформировании.
Обозначим через de*/ предполагаемое приращение пластиче-
ской деформации как производную от du*, взятую обычным
способом. Если воспользоваться принципом виртуальной работы
по отношению к кинематически возможному полю приращения
смещений и полю действительных напряжений ot7, то получим
\TiduidS = jcrl7de?/dV+J \q[du*\dS*D, (13.8)
s v sD
где du* — разрыв приращений смещений вдоль поверхности Sd
Для кинематически возможного поля приращений смещений;
7 — касательное напряжение оо- в направлении разрыва прира-
щений смещения (рис. 13.2). Поле напряжений вц необязательно
статически допустимое, полученное с помощью концепции пла-
стического потенциала из поля приращений деформаций de*/,
)(р*/-Щ7) de*-dI/>0,
377
что является просто уравнением (5.36). Подставляя его в (13.8),
получим
J TidUidS^ ja-idEt/dV+ £ J & | du* j (13.9)
s v sD
Так как k j> q,
\Tidu?dS== \TidaidSu+ $Tidu*dST-, (13.10)
s su sJr
j Ti dUi dSu < J de.*l} dV + 2 f k | du* | dS£ — j Tt du? dST. (13.11)
su V sD ST
Правая часть (13.11) дает верхнюю оценку для приращения работы
неизвестных поверхностных сил, действующих на Su.
Поскольку в этой главе рассматриваются только условия
плоской деформации, вместо J o*z- de*j dV мы можем использовать
v
J kdy*dV, где k — напряжение текучести сдвига при плоской
v
деформации; dy* — максимальное приращение относительной
угловой деформации. Далее мы будем рассматривать только
dy* — 0, т. е. схемы деформирования в виде жестких блоков ма-
териала, разделенных линиями разрыва касательных смещений.
Далее, в каждом рассматриваемом примере член
J Tidu*dST = O. (13.12)
ST
Таким образом, основное уравнение, которым мы будем пользо-
ваться, получается из (13.11) и имеет вид
\Tidu{dS< \ k\du*\dS*D. (13.13)
SU S*D
13.4. ТЕОРЕМА О ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКЕ ДЛЯ ПЛОСКОЙ
ДЕФОРМАЦИИ. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Выше кинематически возможные условия деформации отме-
чались звездочками. Различие между действительными и кине-
матически возможными условиями в дальнейшем несколько
уменьшается. Задачи, которые будут анализированы ниже, —
это задачи плоской деформации; в этом разделе будут получены
лишь частные значения в виде простейших формул.
Рассмотрим жесткий параллелепипед ABCD единичной высоты
и единичной толщины нормальный к плоскости рисунка
(рис. 13.3, а). Параллелепипед движется влево с единичной ско-
ростью. Так как рассматриваются условия плоской деформации,
то предполагается, что деформирование происходит равномерно
378
и только в плоскости, параллельной чертежу. Весь материал
справа от оси XX жесткий, но, пересекая XX, через некоторое
время параллелограмм ABCD превращается в новый А'В'CD',
двигаясь в новом фиксированном направлении под углом а к пер-
воначальному.
Предположим, что AD параллельно XX. Соответствующие
скорости представлены на годографе или плоскости скоростей
(рис. 13.3, б). Выбираем точку О за начало отсчета и проводим
Рис. 13.3. Схемы плоской деформации (а) и касательных напряжений (в), годо-
граф (б) для определения скорости рассеяния внутренней энергии в жестко-
пластическом материале
из нее вектор единичной скорости течения материала. Эту перво-
начальную единичную скорость можно разложить на составля-
ющие vp и va, перпендикулярную и параллельную XX. Затем
из точки О под углом а к единичному вектору проводим линию
до пересечения с va (или линией, проведенной из конца единичного
вектора параллельно XX) и получаем вектор v2. Теперь компо-
нентами v2 являются vp и vb. Для единичной скорости vP является
постоянным, a v2 определяется из условия несжимаемости или
постоянства объема материала.
Разность между vb и va есть скачок или разрыв скоростей,
тангенциальных XX, т. е. и или ихл. Скачок проявляется в изме-
нении формы параллелограмма (от ABCD к А'В'CD')-, он не яв-
ляется мгновенным, а происходит в бесконечно тонком слое
вдоль XX. Тем не менее изменение скоростей происходит в очень
Узкой области, которая в пределе является линией (здесь и и ихх
379
относятся к изменению скоростей, параллельных XX, а в под-
разделе 13.3 du означает приращение смещения).
Теперь рассмотрим работу, совершаемую при изменении
формы параллелограмма от ABCD к A'B’C'D'. Поскольку AD
первоначально параллельна XX, то эта и параллельные ей линии
не изменят своего направления после поворота XX. Теперь рас-
положим ABCD и A'B'C'D' так, чтобы они имели общую сторону
AD (рис. 13.3, в). Если k — напряжение текучести сдвига на про-
тивоположных сторонах блока, то совершаемая работа равна
k-BC’CC или, выраженная через скорость диссипации внутрен-
ней энергии (k-BC) СС'И, где t — время, необходимое чтобы DC
пересекла XX. Так как блок движется с единичной скоростью,
запишем (k-BC) СС/DC.
Сравнивая треугольники CCD и годограф, заметим, что они
подобны, так что CC/DC — ихх. Скорость диссипации энергии
теперь можно записать в виде dW/dt — k-BC-CC'/t =
— k-BC-CC'/DC = k’BC-uxx = k‘AD-uxx. Если линия, вдоль
которой происходит разрыв, кривая, то вместо AD запишем dS;
тогда
dW/dt = kuxxdS, (13.14)
где интегрирование проводится вдоль XX. Заметим, что в этом
случае ихх будет различно в каждой точке на XX. Разделив обе
части уравнения (13.13) на dt, получим <13.14). Если XX —
прямая, то (13.14) упрощается:
W = dW/dt = kuxxS, (13.15)
где S — длина линии XX; ихх—постоянно в каждой точке на ней.
При таком рассмотрении не возникает вопроса, выполняются ли
уравнения равновесия напряжений.
Во многих примерах мы будем постоянно пользоваться выра-
жением (13.15), линией или системой линий типа XX, чтобы вы-
числять скорость, при которой совершается работа при пересе-
чении частицами тела каждой линии системы, суммировать эти
работы и приравнивать результат к работе, совершаемой некото-
рым внешним телом, например пуансоном. Таким образом мы опре-
делим усилие на пуансоне, которое всегда превышает действи-
тельно требующееся (см. подраздел 13.3). Этот метод дает верхнюю
оценку, т. е. завышенную действительную нагрузку, необходи-
мую для выполнения заданного деформирования.
13.5. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТЕОРЕМЫ О ВЕРХНЕЙ
ОЦЕНКЕ
Прежде чем перейти к прямым приложениям теоремы, имеет
Смысл понять возможности этого метода по сравнению с методом
линий скольжения. Можно считать, что решения методом линий
скольжения неполны, поскольку нет возможности определять
380
поле напряжений в жесткой зоне. Иногда показывают, что равно-
весное распределение напряжений, удовлетворяющее граничным
условиям и не превышающее напряжения текучести, существует
в предполагаемых недеформируемых областях. Решение методом
линий скольжения обычно не отвергается условиями теоремы
о нижней оценке. Однако получаемое значение скорости или
смещения всегда соответствует условиям теоремы о верхней оценке,
поэтому эти неполные решения для плоских задач дают верхние
оценки.
13.5.1. Изгиб бруса с канавкой (Грин, 1953 г.)
Рассмотрим изгиб бруса с канавкой (рис. 13.4). К его концам
приложены равные и противоположные изгибающие моменты М.
Минимальная толщина бруса а; ширина, перпендикулярно пло-
скости рисунка, настолько велика, что он испытывает плоскую
деформацию.
Рис. 13.4. Изгиб бруса с канавкой:
I — области без напряжения; 2 — поворачивающаяся жесткая область; 3 — тонкие об
ласти, в которых происходит сдвиг; 4 — неподвижный жесткий шарнир
Чтобы определить верхнюю оценку (рис. 13.4, б), рассмотрим
схему деформации сдвига вдоль двух дуг АСВ и ADB длиной I
и радиусом г. Жесткие внешние части бруса вращаются вокруг
жесткого шарнира ADBC с угловой скоростью со так, что иАСВ =
= «лов = гы. Жесткие части I и П поворачиваются вокруг не-
подвижного жесткого шарнира, причем сдвиг практически про-
исходит вдоль общих поверхностей АСВ и ADB. Ясно, что любое
напряжение, нормальное к дугам АСВ и ADB, не будет совершать
работы. Таким образом, скорость диссипации внутренней энергии
из (13.15) 2kuACBs = 2kral; внешняя мощность приложенных
пар 2Л4со, поэтому верхняя оценка необходимой нагрузки М =
= klr, где произведение 1г выбрано так, чтобы верхняя оценка
была минимальна. Если центральный угол дуг 2а, то Z = 2га,
r ~ a cosec а/2 и 1г = (&2/2) а/sin2 а имеет минимальное значение
при 2a = tg а, или a 67°. Тогда верхняя оценка М =
= 0,69/га2. На с. 408 показано, что в этом случае нижняя оценка
Для момента равна 0,5&г2. Нижняя и верхняя оценки изгиба-
ющего момента 0,5 < Mika2 0,69, полученные при анализе,
могут быть достаточно приближены друг к другу для многих
Задач. Методом линий скольжения (Грин, 1953 г.) получено зна-
чение верхней оценки для этого случая 0,63Аа2.
381
Обратим внимание читателя на аналогию этого случая с рас-
смотренной ранее, в подразделе 7.6, задачей плоской деформации
изгиба.
13.5.2. Простое вдавливание
Решение методом линий скольжения для вдавливания полу-
бесконечного материала с помощью пуансона с плоским торцом
без трения рассмотрено в гл. 14. В условиях пластического де-
формирования материал под действием пуансона стремится дви-
гаться вниз и во вне, вызывая наплывы вблизи боковых кромок
пуансона. Приближенная схема деформации показана на рис. 13.5,
Рис. 13.5. Вдавливание пуансоном с плоским торцом (а) и построение годо-
графа (б)
где треугольники ABC, BCD и BDE — равносторонние. Ли-
нии АС, ВС, CD, BD и DE — прямые линии разрыва танген-
циальных скоростей. Материал ниже ACDE считается жестким.
Частицы треугольника АВС перемещаются вниз параллельно
АС. Достигая ВС, они изменяют направление и движутся парал-
лельно CD. Дальнейшее изменение направления происходит при
пересечении линии BD, после которой они движутся параллельно
DE. Весь материал ниже ACDE остается неподвижным и жестким.
Если считать, что пуансон движется вниз с единичной ско-
ростью, то годограф имеет вид, как на рис. 13.5, б, и верхняя
оценка для давления в условиях пластического течения получается
после сложения kuxxs для всех пяти линий:
р ’ 1 * а — (Л С * идс ВС' и^с -1- CD • Ucd —BD • u^d Du • и de) k,
где p — интенсивность распределений нагрузки; 2a — ширина
пуансона. Множитель иДС и другие означают разрыв скоростей
на АС. Таким образом,
р-а-1 = 10й:&/'|/'3, или р/2А = 2,89. (13.16)
382
Если выбрать равные равнобедренные треугольники с АСВ =
= CBD — BDE — л — 2а, то p/2k — 3 при а = л/4, и наилуч-
шее значение p/2k = 2 ]/2 получается при а = arctg ]/2.
13.5.3. Сжатие между гладкими плитами (Грин, 1951 г.).
Линии разогрева
Пусть прямоугольная заготовка толщиной 21г сжимается между
двумя жесткими параллельными гладкими плитами шириной
Рис. 13.6. Осадка заготовки без трения
между плоскими плитами (а) и годо-
граф (б)
Рис. 13.7. Изменение pEZk в зависимости
от w/h при осадке заготовки без треиия
между плоскими плитами. Кривая 1
получена по методу линий скольжения
(Грин)
2w, движущимися с единичной скоростью (рис. 13.6, а). Высту-
пающие из-под плит части металла с той и другой стороны счи-
таются жесткими. Перекрещивающиеся линии являются линиями
разрывов скоростей, при этом угол с плитами 6 один и тот же.
Рассмотрим одну четверть этой схемы; тогда из годографа
(рис. 13.6, б) скорость и = cosec 6 и длина АВ есть s = w sec 0/n,
где n — число перекрещивающихся линий разрывов на горизон-
тальной центральной оси заготовки. Сотношение между 2w и 2h
задается так: 2h = 2w tg Q/n. Из (13.15) среднее давление сжатия
, , VT Г , k k W
p/2k < 1/sin26 « ctg6 + tge <
(13.17)
где у = w/h.
Изменение p/2k в зависимости от w/h показано на рис. 13.7,
а также приведены результаты, полученные методом линий сколь-
жения. Давление изменяется, и результаты совпадают для наи-
меньших значений, которые соответствуют целым w/h. В этом
Последнем случае линии разрыва смещений составляют, как
383
и ожидалось, угол л/4 с гладкими параллельными плитами,
Очевидная нижняя оценка р = 2k.
Рассмотрим заготовку, для которой 2w = 21г; тогда из рис. 13.7
находим p!2k = 1. В этом случае линиями разрывов являются
также прямые пересекающиеся линии. Когда происходит сжатие,
вся работа, совершаемая плитами или штампами, рассеивается
в материале вдоль перекрещивающихся линий. Быстрое сжатие,
при котором время рассеивания теплоты из-за теплопроводности
или радиации материала мало, приведет к резкому повышению
температуры вдоль перекрещивающихся линий. Отметим, что
происходит выделение теплоты в ограниченной области вблизи
линий разрывов (креста), и которая не распределяется равно-
мерно. Если каждая из плит опускается с единичной скоростью,
то скорость смещения материала равна 2-2w-1-1 и также является
скоростью течения материала вдоль перекрещивающихся линий.
Если р означает плотность, J — механический эквивалент теп-
лоты, с — коэффициент теплоемкости, АТ — приращение тем-
пературы, то 2k-2w-2 = pc (2-2w-1 • 1) &TJ или Л71 = 2k/(Jpc).
При этом предполагается, что вся работа сжатия переходит
в теплоту, что достаточно близко к истине. Для стали при 680° С
ДЕ равна 50—100° С в зависимости от k, р и с. Таким образом,
при ковке стальной заготовки с параметрами, указанными выше,
происходит локальное повышение температуры в заготовке и появ-
ляется свечение боковой поверхности (в форме креста). Для про-
верки этого предсказания Джонсон, Барайя и Слатер (1964 г.)
выполнили эксперимент. Крест в плоских пластинах был оче-
видным, рост температуры, определенный с помощью оптического
пирометра, приблизительно равен 100° С.
Эти кресты, или перекрещивающиеся линии рассматриваются
как линии разогрева или линии разрыва температуры. Мы косну-
лись этого вопроса, чтобы показать существование линий раз-
рыва скоростей и подчеркнуть, что они являются не только аб-
страктными понятиями. Слатер (1965—1966 гг.) написал интерес-
ную статью о разогреве, в которой указал, что впервые на это
обратил внимание Массей (1921 г.).
13.5.4. Выдавливание через симметричные клиновые матрицы
Решение методом линий скольжения для определения давле-
ния при стационарном выдавливании через симметрично располо-
женные матрицы с одним отверстием (очком) в некоторых случаях
хорошо известно для всех степеней обжатий. Однако при выдавли-
вании через несимметричные или многоочковые матрицы решение
методом линий скольжения требует выполнения очень длинных
многочисленных вычислений и рассмотрения большого числа воз-
можных комбинаций переменных, чтобы получить таблицы ре-
зультатов для практического пользования. Поэтому имеет смысл
получать приближенные решения для определения усилия вы-
384
давливанйЯ, предполагая, что зона пластической деформации
состоит из жестких блоков, разделенных прямыми линиями раз-
рывов скоростей. Этот метод дает значения усилий выдавливания
несколько большие, чем полученные методом линий скольжений,
и известен как метод верхней оценки деформирующего усилия.
Существенными преимуществами метода верхней оценки является
возможность получить результат легко и быстро графическим
построением. Благодаря этому он полезен инженерам, которые
интересуются максимальными нагрузками для выполнения тех-
нологических операций и условиями деформирования; хотя кар-
тина деформированного состояния упрощается.
Рис. 13.8. Выдавливание через симметричные клиновые матрицы (а) и годо-
граф (б)
В этом разделе и в разделах 13.5.5—13.5.8 описано стационар-
ное выдавливание, в разделах 13.5.9 и 13.5.10 показано, что этот
метод может быть использован и при нестационарном течении.
Контейнер и матрица выдавливания показаны на рис. 13.8, а.
Матрица считается совершенно гладкой.
Рассмотрим распределение скоростей с разрывами вдоль
АС, А'С, ВС и В'С. Материал справа от ВСВ' движется влево
с единичной скоростью, как жесткий блок под действием равно-
мерного давления р, приложенного вдоль FG. При приближении
пуансона (пресс-штемпеля) расстояние WX сокращается, и когда
каждая частица на линии WX пересекает СВ, ее траектория мгно-
венно изменяется так, что дальше она движется параллельно
образующей воронки матрицы АВ. В точке Y скорость частицы
опять изменяется мгновенно, и она движется нормально к попереч-
ному сечению отверстия, т. е. вдоль YZ.
На рис. 13.8, б показан соответствующий годограф; отрезок ОР
принимается равным единице и является скоростью частицы
в жесткой области CBFGB', прилегающей к пресс-штемпелю.
Когда частицы из этой области достигают СВ, они внезапно изме-
няют скорости на величину ивс (так что из точки Р выходит
13 У. Джонсон 385
линия под углом ([> к ОР), которая заставляет частицы изменить
направление первоначального движения и двигаться параллельно
образующей воронки матрицы, т. е. под углом а. Таким образом,
линия 0Q, которая представляет в масштабе скорость иВА, завер’
шает построение треугольника OPQ. Скорость иВА постоянна д0
границы блока—линии СД, при пересечении которой вновь изме-
няется направление скорости, и частицы движутся параллельно
своему первоначальному направлению. Таким образом, из точки Q
линия QR (рис. 13.8, б) под углом 0 пересекает ОР в точке .
Отрезок Ор в масштабе представляет скорость выдавливаемой
заготовки, равную H/h. Построе-
ние годографа завершается по-
строением треугольника OQP от-
носительно Ор для А'СВ'. Верх-
няя оценка деформирующего уси-
лия выдавливания определяется
из (13.15):
2р • 1 • Н -= 2 (ВС ивс ф- С.4 • иСА) k.
(13.18)
Внутренняя диссипация работы
происходит только на линиях АС,
А'С, ВС и В'С и не происходит на
поверхности матрицы, поскольку
„ „ она совершенно гладкая (трение
Рис. 13.9. Зависимость pi2k от b . . \
при выдавливании через симме- отсутствует}.
тричные клиновые шероховатые (Г) Последнее уравнение дает опре-
и гладкие (2) матрицы деленные значения р, зависящие
от угла 0 (рис. 13.9). Наилучшей
оценкой p!2k является наименьшая оценка; подставляя различные
значения©, получим минимальное значение р.
На рис. 13.8, а представлена диаграмма, построенная в масшта-
бе для а = 40°; 0 = 45° и г = 0,57. На рис. 13.8, б изображен
годограф к этой диаграмме также в масштабе. Выбирая различные
положения точки С на рис. 13.8, а и б, можно легко найти относи-
тельное значение p/2k = 1,01 (по методу линий скольжения
p/2k = 0,95). Нижняя оценка для этого случая приводится на
с. 410.
При небольших обжатиях оценка деформирующего усилия
может быть улучшена, если картину разрыва скоростей выбрать
такой же, как на рис. 13.10. На нем показаны схема жестких
блоков и годограф скоростей в относительных единицах для глад-
кой матрицы с полууглом 15° и обжатием 0,1. Стороны треуголь-
ника пересекают поверхность матрицы под углом р = 45°; осталь-
ные линии и наклоны выбирают произвольно. Значение p/2k ^
= 0,244, по методу линий скольжения — 0,209. Можно найти
другие формы блоков, использование которых улучшит результат.
Теперь предположим, что матрица имеет шероховатую поверх"
386
ность. В этом случае ее поверхность будет одной из плоскостей,
вдоль которых происходит сдвиг материала. Диссипация работы
на поверхностях АВ и А'В', определяемая слагаемым AB-uABk,
должна быть добавлена в выражение для полной диссипации внут-
ренней энергии. Тогда найдем минимальное значение p/2k = 1,62
(см. рис. 13.9); по методу линий скольжения p/2k — 1,48.
Рис. 13.10. Выдавливание без трения через симметричную клиновую матрицу
с небольшой степенью обжатия (а) и годограф (б)
13.5.5. Выдавливание через несимметричные
клиновые матрицы
Схема выдавливания через несимметричные гладкие клиновые
матрицы с различными углами наклона образующих а и р пред-
ставлена на рис. 13.11, а. В рассматриваемом примере а = 40°
Рис. 13.11. Выдавливание через несимметричные клиновые матрицы (а) и го-
дограф (б)
и Р = 20°, степень обжатия (Я — ti)IH = 0,5 и эксцентриситет
е = (ММ — M'M)/(NM + N'M) = 0,161, где М — середина очка
матрицы АА'. Линии АС и А'С выбираются равной длины и
с одинаковым наклоном к направлению движения пуансона, но это
не обязательно. Из годографа (рис. 13.11, б) ясно, что предсказы-
ваемый угол между направлением выдавливания листа и направ-
13* 387
лением движения пуансона т] = 8°. На рис. 13.12 показана зави-
симость pl2k и т] от 0. Минимальное значение p!2k = 0,79 при
0 = 42,5°, по методу линий скольжения значение p!2k почти
такое же, а т] = 9°. Аналогичные вычисления были выполнены для
Рис. 13.12. Зависимость p/2k
и i] от 0 при выдавливании
через несимметричные кли-
новые матрицы с поверх-
ностями:
1 — двумя гладкими; 2 — глад-
кой верхней и шероховатой
нижней; 3 — шероховатой верх-
ней и гладкой нижней; 4 — дву-
мя шероховатыми
различных условий трения на клино-
вой поверхности матрицы. Минималь-
ное значение p/2k для всех случаев
дано ниже:
р/2/г г]0 6°
Поверхности образующих
гладкие..................... 0,79 8 42,5
Верхняя поверхность об-
разующей гладкая, ниж-
няя шероховатая . . .
1,10 7 39
Верхняя поверхность об-
разующей шероховатая,
нижняя гладкая . . .
Обе поверхности шерохо-
ватые .................
1,18 6 35
1,45 6 32
Следует заметить, что рассмотрен-
ное решение позволяет считать на-
клонные поверхности матрицы либо
абсолютно гладкими, либо абсолютно
шероховатыми, и в обоих случаях сила трения между мате-
риалом и стенкой контейнера отсутствует.
13.5.6. Выдавливание через плоские матрицы
Плоская матрица является частным случаем клиновой, когда
а = л/2. Будет рассмотрено два случая: а) матрица гладкая,
происходит свободное течение вдоль ее плоскости; б) зона жесткого
неподвижного (мертвого) металла распространяется вдоль всей ее
плоскости.
Для гладкой матрицы (рис. 13.13, а) годограф показан на
рис. 13.13, б. Если обозначим H/h через х, то 0 — единственный
независимый параметр; следовательно,
* • Р • 1 = (ВС • Ubc + АС иАС) k = (х + 1) k [
Значение 0, при котором р минимально, равно arctg (!/]/%)>
подставляя его в последнее уравнение, получим
p/2k = (х + 1)/]/х. (13.19)
388
На рис. 13.14 дана зависимость p/2k от х, а для сравнения
приведены соответствующие результаты, полученные по методу
линий скольжения. Этот простой треугольник разрыва скоростей
дает оценку удельного деформирующего усилия, которая превы-
шает оценку по методу линий скольжения на 30%.
Рис. 13.13. Выдавливание через плоскую
матрицу с проскальзыванием вдоль ее
поверхности (а) и годограф (б)
Рис. 13.14. Зависимость pUk от х —
= li/h при выдавливании через плоскую
матрицу с проскальзыванием вдоль ее по-
верхности. Кривая 1 получена методом
линий скольжения
Наиболее важным на практике является случай, когда на
плоскости матрицы появляется зона жесткого неподвижного (мерт-
вого) металла. При умеренных обжатиях экспериментально
установлено, что зона жесткого неподвижного металла занимает
всю плоскость матрицы и превращает плоскую матрицу в абсо-
Рис. 13.15. Примеры разрыва скоростей при выдавливании через плоскую
матрицу при наличии жесткой неподвижной зоны металла у ее поверхности
лютно шероховатую криволинейную. Сначала предположим, что
зона жесткого неподвижного металла является просто совершенно
шероховатой клиновой поверхностью с неопределенным углом.
Предположим, что обжатие задано; тогда, рассматривая различные
значения угла клина, можно выполнить решение, аналогично
описанному в подразделе 13.5.4, и определить минимальное
значение p!2k для каждого угла. Наименьшее из этих минимумов
является верхней оценкой удельного усилия выдавливания через
Плоскую матрицу при заданной степени обжатия.
389
Рис. 13.16. Зависимость р/2А от
6 при выдавливании через пло-
скую матрицу при наличии
жесткой неподвижной зоны ме-
талла у ее поверхности
Решение было выполнено при г = 0,75 (рис. 13.15, а) для а
45, 60 и 75° и угла пересечения линий разрыва скоростей оси
заготовки 15' ~< 0 < 60°. Зависи-
мость р/2/г от 0 для рассмотренных
случаев показана на рис. 13.16.
Минимальное значение p/2k «=< 2,55;
•по методу линий скольжения
p/2k 2,48.
Более точные оценки удель-
ного деформирующего усилия, в ча-
стности при очень больших степе-
нях обжатия, требуют модифициро-
ванных схем блоков для установле-
ния поля скоростей. Две схемы
показаны на рис. 13.15, бив. Послед-
нюю считают наиболее подходящей
для очень больших обжатий. Дру-
гими словами, предполагается, что
зона жесткого неподвижного металла
появляется в самом верхнем углу
соединения плоскости матрицы и стенки контейнера, металл
при этом движется вдоль нижней плоскости матрицы.
13.5.7. Выдавливание через матрицу с тремя отверстиями
(Джонсон, Меллор, By, 1958 г.)
Выдавливание через матрицу с тремя отверстиями (центральное
отверстие больше, чем два равных боковых) показано на
Рис. 13.17. Выдавливание через матрицу с тремя отверстиями (а) и годограф (б)
рис. 13.17, а. Зоны жесткого неподвижного металла D предполо-
жительно находятся в самом верхнем углу и на каждой промежу-
точной части плоскости матрицы. Симметричная зона жесткого
неподвижного металла расположена на плоскости матрицы между
390
ОА и O'А и имеет форму равнобедренного треугольника. При
желании можно рассматривать и несимметричный треугольник.
Для случая, изображенного на рис. 13.17, a, p/2k — 1,95,
а когда OAjLO'A и О А < О'A, p!2k — 2,08. Общая степень
обжатия в этом случае 0,575. Если было бы одно симметрично
расположенное отверстие, создающее такое обжатие, и стенки
контейнера были абсолютно шероховатыми, то p/2k = 1,83.
На рис. 13.17, б представлен соответствующий годограф.
13.5.8. Боковое выдавливание из гладкого контейнера
Схема жестких блоков с разрывом скоростей на границах и
годограф скоростей для этого случая показаны на рис. 13.18.
Рис. 13.18. Боковое выдавливание из гладкого контейнера (а) при наличии
жесткой неподвижной зоны металла (/) и годограф (б)
Линии разрыва скоростей на выходе расположены под углом 45°
к плоскости отверстия и пересекают стенку контейнера также под
углом 45°. Другие линии выбирают произвольно. Для этого част-
ного случая p/2k = 1,26, по методу линий скольжения — p/2k =
= 1,2.
13.5.9. Одновременное прямое и обратное выдавливание
заготовок одинаковой толщины
На рис. 13.19, а заготовка толщиной х сжимается под действием
пуансона и матрицы. Линия разрыва скоростей проходит в мате-
риале между пуансоном и плоскостью матрицы, и поскольку
величина х постепенно изменяется, то происходит изменение формы
жестких блоков и скоростей, течение нестационарное. Две выдав-
ливаемые части заготовки с одинаковым обжатием г движутся
с абсолютными скоростями vr и в противоположные стороны.
Предполагается, что небольшая зона жесткого неподвижного
металла D образуется в углах и происходит скольжение материала
без трения между плоскостями неподвижной матрицы и движу-
щегося пуансона.
391
На рис. 13.19, а и б показаны только один крест или схема
жестких блоков с разрывами скоростей на границах. Анализ
можно проводить и в случае, если имеется п одинаковых пересече-
ний. Если р означает интенсивность равномерного давления
на EF, то, поскольку прерывное поле должно быть симметричным,
p/2k = s,z/i ф- 2 (п 4- -1-) s,//2, где Sj = ОА и s2 = ОК (см.
Рис. 13.19. Комбинированное выдавливание (а) и годограф (б)
рис. 13.19, a); = HJ и и2~ OG (см. рис. 13.19, б).Тогда послед-
нее уравнение можно переписать в виде
¥=4[^+Фн] + ч [-(гЬг+<2"+1>]- (13-20>
если п = 0, т. е. зона жесткого неподвижного металла располага-
ется вдоль всей плоскости матрицы
p!2k = г/х + х/4 (1 — г). (13.21)
13.5.10. Двустороннее обратное выдавливание
На рис. 13.20 показано сечение заготовки, деформируемой
двумя одинаковыми по размерам прошивнями либо пуансонами,
Рис. 13.20. Двустороннее об-
ратное выдавливание пуансо-
нами (/)
движущимися с одинаковой ско-
ростью навстречу друг другу. (Тех-
нологическую операцию, в процессе
которой заготовку деформируют ука-
занным способом, обычно приме-
няют для получения цилиндриче-
ских полых деталей, например осей).
Если материал, находящийся между
торцами пуансонов, разделить ли-
ниями на некоторое число равных
блоков, то легко показать, как и
в подразделе 13.5.9, что удельное
усилие выдавливания пуансонами с гладкими поверхностями
определяется по формуле
2/Г = Т [ 7 (2zz + 1) ] +17 [“(1 —г) (2п ’ U3-22^
392
где р — среднее давление на торец пуансона. Чтобы получить
лучшие значения р при заданном г, надо выбирать п так, чтобы
n!2k было минимальным.
На рис. 13.21, а показана зависимость p!2k от х при г = 0,75
при различных значениях п. Наименьшее pl2k для каждого рас-
смотренного п указано ниже. На рис. 13.21, б нанесены наимень-
шие значения p!2k для некоторого значения п в зависимости от х.
Рис. 13.21. Зависимость p/2k от х и числа боковых полостей:
а) п = 1т-4, б) п — любое для наименьших p/2fe
Если поверхность пуансонов настолько шероховата, что
скольжение вдоль нее переходит в сдвиг, то в правую часть урав-
нения (13.22) надо добавить еще несколько слагаемых.
13.6. ТРЕНИЕ
Мы видим, что во всех рассмотренных примерах влияние
трения не учитывалось, кроме трения при сдвиге. Действительно,
влияние трения нельзя учесть непосредственно, поскольку исполь-
зуемые методы не позволяют вычислить распределение давления,
нормального к поверхности, вдоль которой движется материал.
Есть два способа, учитывающие трение. Во-первых, нагрузку
или давление можно вычислить, как в примере, приведенном на
Рис. 13.8, а, а затем уточнить давление q на поверхности матрицы
с учетом трения. Считая, что q не изменяется при учете трения
(с коэффициентом р), можно пересчитать удельное усилие выдавли-
вания. В этом случае удельное деформирующее усилие выдавлива-
ния с учетом трения будет в (1 ф- р ctg а) раз больше, чем удельное
Усилие без учета трения. (Это конечно не означает, что получена
верхняя оценка). Второй способ состоит в том, что необходимо
Ввести коэффициент с так, чтобы на контактной поверхности k
393
заменить на ck. Затем вычисления проводятся обычным путем.
Константу с можно рассматривать как аналог р. Недостаток метода
в некоторых случаях в том, что с изменяется вдоль контактной
поверхности, поскольку нормальное давление вдоль контактной
поверхности меняется при переходе от точки к точке. Однако во
многих операциях ц или k считают постоянными, хотя это не так
из-за изменения различных параметров в теле (например, темпе-
ратуры, скорости течения или скорости деформации).
13.7. ШТАМПОВКА В ОТКРЫТЫХ ШТАМПАХ
(ДЖОНСОН, 1958 г.)
На рис. 13.22, а изображена схема штамповки заготовки с пря-
моугольным сечением. Под действием приложенного вертикаль-
Рис. 13.22. Разрыв скоростей при штамповке прямоугольной заготовки (а)
и годограф (6). Зоны жесткого неподвижного металла заштрихованы
ного удельного деформирующего усилия металл выдавливается из
плоскости штампа. Показаны система жестких блоков с разрывами
тангенциальных скоростей на границах и соответствующий годо-
граф (рис. 13.22, б). Читатель легко может вычислить удельное
усилие штамповки.
13.8. ВЫДАВЛИВАНИЕ ЧЕРЕЗ МАТРИЦУ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ
ОБРАЗУЮЩЕЙ (ДЖОНСОН, 1958 г.)
Для выдавливания через матрицу с криволинейной образующей
известно всего несколько сеток линий скольжения, поэтому
определенный интерес представляет вычисление удельного дефор-
мирующего усилия выдавливания по методу верхней оценки.
Рассмотрим выдавливание через воронку матрицы с образую-
щими постоянной кривизны и углом между хордами 90°, т. е. от
ОА к ОВ (рис. 13.23, а). Степень обжатия 0,5, отверстие матрицы
перпендикулярно направлению течения материала. Предположим,
что распределение разрывов скоростей вдоль дуги ВС аналогично
394
распределению по дуге ВА и центр дуги АС в точке В. Годограф
показан на рис. 13.23, б. Материал под действием пресс-штемпеля
движется влево с единичной скоростью, пересекая линию АС,
Рис. 13.23. Схема прямого выдавливания
через симметричные матрицы с образу-
ющими постоянной (а) и переменной (в)
кривизны, через несимметричную матрицу
с разными образующими постоянной кри-
визны (д) и обратное выдавливание пуан-
соном с цилиндрическим торцом (ж);
годографы (б для а, г для в. е для д')
Б область АСВ, в которой поворачивается как часть жесткого
блока АСВ по дуге АВ до пересечения дуги ВС, после которой
вновь происходит изменение скорости от единицы до двух. В точке
395
А установленная разность Тангенциальных скоростей са заставляет
частицы двигаться под прямым углом к заготовке вдоль образую-
щей воронки матрицы с единичной скоростью, например оа.
Поскольку АВС — жесткий блок, скорость частицы должна оста-
ваться неизменной, хотя направление ее после точки В становится
параллельным оси. Разрыв тангенциальных скоростей в точке В
должен быть таков, чтобы конечная скорость была равна двум
единицам; следовательно, величина разрыва скоростей определя-
ется скачком, равным единице, а направление параллельно оси
заготовки, т. е. cd. В точке С величина разрыва первой танген-
циальной скорости опять должна быть J2, чтобы разрыв второй
тангенциальной скорости был перпендикулярен оси, а по величине
равен единице, т. е. bd. Каждой точке области АВС соответствует
некоторая точка годографа из области abc, угловые скорости во
всех точках равны двум радианам в единицу времени.
Из рис. 13.23, а и б получаем верхнюю оценку для удельного
усилия выдавливания р\
p/2k = [(^ С А) (сп) + СВ) (cb)]/2 = Зл/8 «=1,18.
Для матрицы с образующей постоянной кривизны углами вы-
хода и входа аг и а2 с0 степенью обжатия, отличной от 0,5, диаг-
рамму разрыва скоростей и годограф надо строить одновременно.
Произвольно выбирают угол <р (рис. 13.23, в, г) для определения
скорости скольжения вдоль образующей матрицы Ьа. Скорость
постоянна и меняется только по направлению а2 и представлена
отрезком od. Чтобы получить конечную переносную скорость на
выходе из матрицы H!h, необходимо знать разрыв тангенциальных
скоростей gd‘, он определяет направление в точке D. Точка Е
находится на пересечении дуги ас с центром в точке b и радиусом
ab и дуги de с центром в точке g и радиусом de. Теперь в точке Е
определены два направления — eb и ag, можно построить дуги
окружностей АЕ vlDE. После этого найдем удельное усилие выдав-
ливания, так как длины различных дуг легко вычислить, а абсо-
лютные разрывы скоростей ab и dg определяются по годографу.
Можно рассмотреть несколько значений <р и выбрать то, при кото-
ром р минимально.
Интересен случай, когда криволинейные образующие матрицы
имеют переменную кривизну. Обратим внимание на особенно
простые приложения описанного выше метода. На рис. 13.23, д
приведен пример использования решений с применением разрывов
скоростей для степени обжатия 0,456; радиус кривизны образую-
щей FA в 8/3 раз больше радиуса кривизны образующей СВ-
В этом случае двух дуг разрыва скоростей, пересекающихся
в точке D, достаточно для получения решения; С\ — центр дуги,
проходящей через точки А и С, С2 — центр дуги, проходящей
396
через точки F и В. Годограф показан на рис. 13.23, е. Последова-
тельность построения линий а2 и а2' аналогична описанной ранее,
g — вершина параллелограмма, противоположная а; 23 и 2’3
пересекают ось годографа в точках q и с2 соответственно. Дуги 83
П 63 имеют центры в точках q и с2 и радиусы СА3 и С23 соответ-
ственно. Таким образом, согласно решению выдавливаемая часть
заготовки поворачивается. Легко видеть, что среднее удельное
усилие выдавливания р определяется выражением
MN -p/k - ADC) (а4) + BDF) (al). (13.23)
В данном случае p!2k = 1,12. Если поверхность матрицы абсо-
лютно шероховатая, то p!2k = 1,39 после добавления в правую
часть уравнения (13.23) слагаемых, описывающих диссипацию
энергии на двух криволинейных образующих матрицы.
В результате взаимной замены стенки матрицы и центральной
части на рис. 13.23, а мы получим решение для обратного выдавли-
вания (закрытой прошивки) в условиях плоской деформации при
использовании пуансона со сферическим торцом (рис. 13.23, ж).
13.9. ПРОКАТКА
Имеется много общего между распределением разрывов танген-
циальных скоростей при определении верхних оценок удельного
усилия при выдавливании через матрицы с криволинейной обра-
зующей и при прокатке листа или пластины. Действительно
распределение разрывов скоростей можно считать идентичным.
Прокатку можно рассматривать как частный случай выдавливания,
когда выходящий угол воронки матрицы равен нулю.
На рис. 13.24 показаны простой пример линий разрыва тан-
генциальных скоростей при прокатке полосы, когда отсутствует
проскальзывание между валком и полосой. Зоны А и В на входе
и выходе из валков жесткие, в то время как зона между ними,
определенная вершинами 1, 2 и 3 криволинейного треугольника,
вращается как часть валка.
Переход от переносного поступательного к вращательному
движению и обратно к переносному поступательному происходит
по дугам 12 и 23 соответственно. Читатель может легко проверить
правильность годографа на рис. 13.24, б. Решение для этого случая
получено при рассмотрении дуги, касательной к поверхности
валка на выходе и пересекающей ось полосы под углом 45°; таким
образом получаются точка 2 и дуга 12 с центром С2. Эта граница
Разрыва скоростей построена в соответствии с решением по методу
линий скольжения. Крутящий момент Т определяется из формулы
Т<$ ~ k Ь—12-ctl + '—23-&2], где и — угловая скорость валка,
Равная 03/7? , а7? — радиус валка. По рисунку можно проверить,
Что 7726=1,4.
397
Следует заметить, что годограф похож по форме на схему
прокатки и поэтому полезно прямо нанести его на эту схему.
При прокатке квадратная сетка, начерченная на боковой поверх-
ности заготовки, деформируется (рис. 13.24, в). С помощью
рис. 13.24, в и б легко определить эту деформацию.
Рис. 13.24. Схема прокатки (об-
жатие 0,36) листа или пластины (а),
годограф (б) и искажение коорди-
натных линий при прокатке (в):
/ — валок; // — осевая линия; III —
пластина
Такой подход в некоторых исследованиях процесса прокатки
использовали Писпанен, Эрикссон и Писпанен (1967 г.). Авит-
цур (1963 г.) установил верхнюю оценку для холодной прокатки
полосы. Однако этот вывод очень громоздкий.
Еще одним интересным примером применения этого метода
является прокатка жестким металлическим цилиндром идеального
жесткопластического материала. Рассмотрим цилиндр S единич-
398
кого радиуса (рис. 13.25, а), который перпендикулярен плоскости
рисунка. Он показывает полубесконечную массу М с единичной
скоростью центра. Предположим, что цилиндр S предварительно
установлен в канавке глубиной d в полубесконечной массе М,
но в нем при этом нет пластической деформации. Чтобы упростить
ситуацию, рассмотрим единичную скорость, направленную влево
от S и Л4, центр цилиндра S при этом подвижен, мы считаем, что М
движется к S с единичной скоростью. Поскольку М бесконечна,
поверхность ее должна быть на том же уровне как при движении,
так и до движения цилиндра. Отсюда следует, что поверхность
Рис. 13.25. Вдавливание вращающегося жесткого цилиндра в полубесконеч-
ную массу (а) и годограф (б). Разрыв тангенциальной скорости происходит по
дуге DFD
массы М вблизи S должна двигаться со скоростью больше единич-
ной: возможность изменения плотности массы исключается.
Пусть DFD —дуга разрыва тангенциальных скоростей постоян-
ного радиуса г, стягивающая угол 2а с центром на перпендикуляре
к биссектрисе DD. Затем вся поверхность массы до глубины d
проходит заштрихованную область, вращаясь как часть твердого
блока вокруг центра S. Годограф приведен на рис. 13.25, б. Эта
модель объясняет некоторые хорошо известные явления, возникаю-
щие при прокатке; они обсуждаются подробнее для определенных
процессов обработки металла в работе Джонсона (1964 г.) и Кол-
линза (1972 г.).
13.10. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ ПРИ ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ
ОБРАБОТКЕ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ
(ТАННЕР, ДЖОНСОН, I960 г.)
Работа пластической деформации, совершаемая при обработке
металлов, почти полностью переходит в теплоту, и в некоторых
случаях желательно иметь возможность описать распределение
температуры в металле. Это сравнительно просто сделать в усло-
Иях адиабатического процесса при плоской деформации, по-
399
скольку можно пренебречь теплопроводностью. Простой критерий
высокоскоростной обработки при выдавливании можно определить
следующим образом.
Рассмотрим материал, движущийся с постоянной скоростью и
до линии XX; его температура 60 возрастает от нуля при х = оа.
В связи с существованием линии разрыва тангенциальных скоро-
стей XX ее можно себе представить как линейный источник
теплоты. Разность температур стремится выравняться в резуль-
тате появления потоков теплоты, направленных против движения,
но чем больше скорость движения металла, тем менее успешно это
происходит (рис. 13.26). Уравнение теплопроводности для участка
справа от хх имеет вид для
стационарного состояния
-?^ + -?Т£--?-==0, (13.24)
дх? k дх ’ ' ’
где 0 — температура на рас-
стоянии х от XX; р — плот-
ность материала; с — удельная
„ теплоемкость; k — коэффициент
РИС- Р)МаССЫ теплопроводности. Решение
(13.24) выглядит так: 0 =
— 0ое<-«Рс/Л)
Для уменьшения 0 до 2% от 0е, надо, чтобы х = k (In 5О)/рс.
При и = 1 дюйм/с требуемые значения х для различных металлов
таковы:
Материал fe/pc, футг/с X, . дюйм/с
Свинец 0,94 0,15
Медь 4,4 0,7
Мягкая сталь 0,48 0,07
Серебро 6,6 1,03
Алюминий 3,7 0,58
Видно, что уже при скорости 1 дюйм/с не создается потока
теплоты. Пользуясь этим, в следующем примере будем пренебре-
гать теплопроводностью. Определим распределение температуры
при выдавливании материала через очко матрицы при адиабати-
ческом процессе.
13.11. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ ПРИ ВЫДАВЛИВАНИИ
В УСЛОВИЯХ ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ ОБРАБОТКИ
(ТАННЕР И ДЖОНСОН, 1960 г.)
Для наглядности рассмотрим применение метода на простом
примере — выдавливание через гладкую плоскую матрицу
(рис. 13.27, а). Сначала дуги постоянного радиуса обычной,
хорошо известной сетки линий скольжения аппроксимируем
хордами, а секторы — треугольниками. Степень приближения при
4<?0
замене является допустимой. В этом примере три равнобедрен-
ных треугольника с углами 30° при вершине заменяют сектор
(рис. 13.27, б). Эта процедура позволяет найти для данной кон-
кретной задачи поле действительных скоростей, которое можно
использовать для оценки удельного усилия на прессе-штемпеле,
необходимого для выдавливания. Затем построим годограф
(рис. 13.27, г), соответствующий рис. 13.27, б. Его можно сравнить
с годографом на рис. 13.27, в, соответствующим рис. 13.27, а.
Рис. 13.27. Сетка (а) и упрощенная (б) сетка линий скольжения при выдавли-
вании через плоскую матрицу (ее поверхность и стенки абсолютно гладкие,
г = 2/s), годографы (в, г)
Согласно последней диаграмме скорость любой частицы в выдавлен-
ной части заготовки постоянна. Обозначим число трубок тока
(четыре в данном случае) горизонтальными линиями, пересекаю-
щими линию входа в точках разрыва А, В, С, D (рис. 13.28).
Линии тока частиц, проходящих через эти точки, легко построить
с помощью годографа. Все частицы, движущиеся внутри данной
трубки, испытывают деформации в одной и той же последователь-
ности. Продвижение четырех трубок через зону деформации пока-
зано ломаными линиями. (Если задача состоит только в определе-
нии распределения температур, все константы материала, напри-
мер напряжение текучести, в вычислениях можно опустить).
Рассмотрим трубку тока // толщиной t. Если частицы прибли-
жаются к АВ с единичной скоростью, то работа, совершаемая
Б единицу времени, равна kuAB, где иАВ — разрыв тангенциаль-
ной скорости на линии ДВ. Расход энергии на единицу проходя-
401
щего объема равен kuABABIt. Затем энергия выделяется в виде
теплоты и, следовательно, приводит к приращению температуры
на А7\ Предположим, что часть / рассеянной энергии вызывает
повышение температуры; тогда
fkuABAB/t = рс ВТ, (13.25)
где р — плотность; с — удельная теплоемкость материала. Сле-
довательно,
<13-26>
Пользуясь рис. 13.3, легко проверить, что t/AB = vp. Коэффи-
циент ulvAB для АВ находим из годографа, следовательно, можем
Рис. 13.28. Трубки тока и
распределение температур
(см. рис. 13.27, биг)
записать ВТ = 6 (u/vp)AB, гд,е 6 — кон-
станта.
Материал в области АЛХВ жесткий
и его температура остается постоянной
до пересечения с АгВ, где во второй
раз направление движения резко меня-
ется. Температура материала, движу-
щегося в области BAjA^B^ скачком
изменяется на 6 (u/vp)AB, для линии
AjB ulvp можно определить по годо-
графу. Следующий скачок темпера-
туры происходит на пересечении ли-
ний A2By и А3В2- Конечная темпе-
ратура материала складывается из
отдельных скачков. Например, темпе-
ратура в области будет равна б [(ulvp)AB + (ulvp)A1B ф-
ф- (ulvp)AtB1], а для выходящей трубки тока мы должны при-
бавить б (u/v)Aa>Bs.
Подобные вычисления проводятся и для оставшихся трех тру-
бок. Максимальную температуру примем за 100, значение в каж-
дой клеточке диаграммы увеличивается пропорционально. Прибли-
зительное распределение температуры теперь ясно, оно приведено
на рис. 13.28.
Следует заметить, что u/vp не что иное, как деформация сдвига
в элементе при пересечении линии АВ. При f = 0,9 Бишоп (1956 г.)
пользуясь методом релаксации, рассмотрел частный случай
обжатия с учетом теплопроводности.
13.12. ГОДОГРАФ СКОРОСТЕЙ
Вернемся к выдавливанию, представленному на рис. 13.8.
Обозначим большими буквами области физической плоскости,
разделенные линиями разрыва тангенциальных скоростей
(рис. 13.29, а). Тогда скорость каждой области определяется одной
точкой на годографе. Пользуясь этим, можно представить го-
402
дограф в виде, уже знакомом читателю, «веревочного многоуголь-
ника» (диаграмма Максвелла). Область О — является началом
отсчета в плоскости скоростей (годографа); ОА означает танген-
циальный разрыв скоростей на стенке контейнера при выдавлива-
нии металла Ру; на рис. 13.29, б это представлено вектором оа,
Рис. 13.29. Схемы выдавливания через симметричные клиновые матрицы (а,
в, д) и годографы (б, г, е)
где оа — и. Разрыв скоростей вдоль рб определяется АС, и,
следовательно, из точки а проводим линию, параллельную АС;
разрыв скоростей по поверхности матрицы, т. е. вдоль ар, опре-
деляется ОС, и, следовательно из точки о проводим ос параллельно
ОС до пересечения ас в точке с. Аналогично ВС определяет разрыв
вдоль аб, который представлен на годографе отрезком Ьс.
Далее представим, что линии тангенциального разрыва ско-
ростей представляют жесткие стержни или элементы в структуре.
Лучшая верхняя оценка удельного усилия выдавливания, чем
рассмотренная для простой модели с двумя линиями разрыва,
403
Представленная на рис. 13.29, а, может быть получена, если
выбрать схему, как на рис. 13.29, в, в которой использованы че-
тыре линии для разделения объема заготовки на области. При
применении этого метода необходимо выбрать точку о и провести
оа = и параллельно ОА; из точки о провести ос' параллельно ОС;
из точки а провести ас" параллельно АС (ос' и ас" пересекаются
в точке с). Провести ad параллельно AD и cd параллельно CD,
которые пересекутся в точке d. Дополним годограф, проведя db'
параллельно DA до пересечения с са в точке Ъ (рис. 13.29, а).
Можно видеть, что, выбирая более сложную схему на
рис. 13.29, в, вместо рис. 13.29, а мы использовали наши знания
о сетке линий скольжения. Если ссылаться на схему рис. 12.5, а,
которая приведена еще раз на рис. 13.29, д с дугой ОМР постоян-
ной кривизны, представленной двумя равнобедренными треуголь-
никами, то соответствующий этой сетке линий скольжения годо-
граф легко получить с помощью такого нового простого построения
(рис. 13.29, е).
Теперь ясно, что годограф на рис. 12.5, в является предельным
годографом, годографа изображенного на рис. 13.29, е. Принимая
это во внимание, мы можем вычислить удельное усилие выдавли-
вания р, не пользуясь интегралом Генки. С помощью рис. 13.29, в
и е получаем
(pH) и = k (АС • ас 4- AD ad -j- АЕ • ас ф-
+ ЁЁПеЬ \-CD-cd -fDEMe). (13.27, а)
В пределе, пользуясь обозначениями рис. 12.5, а и в и следуя
(13.27, а), имеем р- Г 1 = k (NRM-Vnr + ОМ-cd -f- OR -cb).
Таким образом, p/k = (1 — г) |2 (1 -|- a) ab -|- (1 — г) ]А2 cd +
+ (1 — г) У2 cd а = (1 — г) 2 sin а (1 -J- сс -}- 1 -|- а)/|/ 2.
Следовательно,
= ( 1 — Л 2 sin а (1 + а) = -у^- — (1 + а). (13.27 б)
2ft \ I sin к / ' 1 . 1 + 2sinа ' ' '
13.13. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О НИЖНЕЙ
ОЦЕНКЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОЛЯ РАЗРЫВА НАПРЯЖЕНИЙ
13.13.1. Круги Мора для плоской деформации.
Полюс круга Мора
На рис. 13.30, а показаны напряжения на плоскостях, проходя-
щих через точку А. Чтобы построить круг напряжений для этой
системы, предположим, что (о, т) заданы на АС и (o', т') на АС ;
нанесем на плоскости нормальное напряжение о — касательное т
две точки С и С' с координатами (о, т) и (o', т') соответственно.
Если восстановить перпендикуляр из середины СС до пересече-
ния с осью Оа в точке Со, то Со будет центром искомых кругов
404
Напряжений и С0С или С0С’ будут радиусами (рис. 13.30, б).
Легко показать, что угол между СС0 и С'С0 в 2 раза больше угла
между С А и С А.
Если первоначально задан круг напряжений, то точку С на
окружности можно легко отождествить с парой напряжений (о,
т). Если теперь требуется определить пару напряжений в любой
плоскости, проходящей через точку А, скажем АС, под углом ф
к заданной плоскости, то можно воспользоваться следующим
приемом. Из точки С проводим линию, параллельную плоскости,
на которой действует (о, т), т. е. СР, до пересечения с окружностью
Рис. 13.30. Напряжения в площадках, проходящих через точку А (а), и круг
Мора (б)
в точке Р. Из точки Р проводим РС" параллельно АС" до пересече-
ния с окружностью в точке С". Тогда координаты С" (а", т") дадут
искомую пару напряжений, действующих в плоскости АС".
Точку Р называют полюсом круга, он имеет большое значение для
вычисления нижней оценки с использованием метода разрыва
напряжений, описанного ниже.
13.13.2. Разрывы или скачки напряжений
при плоской деформации
Выше в этой главе мы с большим успехом пользовались поня-
тием тангенциального разрыва скоростей. Теперь воспользуемся
понятием разрыва напряжений. Мы уже сталкивались с примером,
гДе оно применялось. При пластическом изгибе бруса (см. рис. 7.2)
с одной стороны нейтральной оси будет нормальное тангенциальное
напряжение (4-У), с другой (—У), так что на линии разрыва на-
пряжений, которая совпадает с нейтральной осью бруса, сущест-
вУет скачок напряжений 2У (или 4/г). Заметим, что этот разрыв
нормальных напряжений параллелен линии разрыва, в то время
как нормальное напряжение, перпендикулярное нейтральной оси,
Равно нулю.
405
Линия XX на рис. 13.31, а является линией разрыва напряже-
ний, поскольку нормальное напряжение, параллельное XX
в точке, расположенной на этой линии, испытывает скачок от a't
до О/. Другие напряжения остаются без изменения. Например,
если сг^ = а2 = а„, то уравнение равновесия для элемента АВ
выполняется. Однако для сохранения равновесия нет необходи-
мости, чтобы o'i = ст/. Этим мы воспользуемся для вычисления
нижней оценки при пластической деформации.
Две области элемента, охватывающие линию XX, на рис. 13.31 а
показаны отдельно, как А и В. Если воспользоваться условием
Рис. 13.31. Схемы напряжений на линии разрыва х— х (д) и круги Мора для
них (б)
пластичности для напряжений в А и В и учесть, что выполняются
условия плоской деформации, то можно определить напряжение
текучести сдвига k:
\ 2 )
+ т2 =
т2 = /г2.
Эти уравнения или условия представлены параметрами кругов
Мора для пластической деформации, т. е. кругов радиуса k в пло-
скости (о, т) (рис. 13.31, б). Точки А0В0 и Со представляют состоя-
ние напряжений (о„, т), (о/, т), (щ, т) соответственно. Очевидно,
возможен только один скачок напряжений, поскольку только два
различных круга одинакового радиуса могут одновременно про-
ходить через точку Ло.
Если задано (щ, т), то скачок
aj - о/ = 4 ]А2 - т2. (13.28)
Примеры, в которых линии разрыва напряжений используются
с помощью кругов Мора, рассмотрены в 13.13.4, 13.13.5 и 13.13.6-
Метод состоит в угадывании линий, вдоль которых нормальное
406
напряжение может претерпевать скачок, но при этом в каждой
области, ограниченной такими линиями, должно выполняться
условие пластичности. Обычно в области, или в областях вблизи
границы напряжение близко к пределу текучести, так что мы
имеем право пользоваться теоремой о нижней оценке и можем
убедиться, что условия равновесия всюду выполняются и условия
пластичности нигде не нарушаются.
13.13.3. Изгиб балки с канавкой
Рассмотрим рис. 13.4, а. С помощью первой теоремы о пре-
дельных нагрузках найдем нижнюю оценку предельной нагрузки.
Материал слева и справа от канавки не испытывает напряжений,
рис. 13.32. Схема нагружения клинового кронштейна поперечной силой (6)
и круги Мора (а, в):
1 ~ круг для среднего слоя; II — круг для ннжнего слоя; III — растянутые волокна;
IV — сжатые волокна; V — нейтральные волокна
а под канавкой испытывает простой изгиб. Нейтральная ось
находится на середине между основанием канавки и нижней
Поверхностью балки. Тогда в критической точке напряжение
постоянно и равно 2k. Выше нейтральной оси оно сжимающее,
ниже — растягивающее, что приводит к появлению момента
407
сопротивления изгибу М. — 2k = 0,5/ге2. Это и есть нижняя
оценка изгибающего момента М.
Ломаные линии — это линии разрыва напряжений. Нормаль-
ное напряжение, перпендикулярное к линии, одинаково с обеих ее
сторон, так же, как касательное, направлено вдоль этих линий, так
что условие равновесия напряжений выполняется во всей части
балки от верхней поверхности до нижней. Нормальное напряжение
на линии разрыва изменяется скачком в верхней части балки от О
до —2k, в средних слоях при переходе к нижней части — от —2k
до +2k. Это наибольший возможный разрыв напряжения. Эти
скачки вполне допустимы, поскольку условие пластичности
всюду выполнено. При использовании кругов Мора (рис. 13.32, а)
ситуация совсем тривиальная, но мы включили ее, чтобы проще был
переход к следующему случаю.
13.13.4. Клиновой кронштейн под действием
срезающей нагрузки (рис. 13.32, б)
Рассмотрим кронштейн с прямыми боковыми сторонами, на
одном из концов которого приложены поперечная нагрузка S.
Стороны кронштейна расположены под углом 75° к линии действия
S. Этот случай имеет очевидное сходство с рассмотренным в 13.13.3,
но он более сложен, поскольку существуют четыре области по-
стоянного значения напряжений. По две области (±2k, 0) есть
в каждом случае. Области 1 и 3 похожи на соответствующие,
рассмотренные в 13.13.3. Круги 1 и 3 (рис. 13.32, а, в) представ-
ляют напряженное состояние. Полюс Р1 определяется для круга
напряжений 1\ напряженное состояние на плоскости BF находим,
проводя из точки Рг линию, параллельную плоскости BF, до
пересечения с кругом в точке BF. Еще один круг радиусом й,
проходящий через точку В, имеет центр в начале отсчета; это
круг 2. Полюс Р2 круга 2 получается, как продолжение Рг (BF).
Также Р2 можно получить, рассматривая нижний слой 3
(рис. 13.32, б) или круг 2 и проводя линию через полюс Р3 и точку
FC до пересечения с осью отсчета. Легко установить, что зона 4
полностью свободна от напряжений, а в зоне 2 существует напря-
женное состояние простого сдвига. Нормальное напряжение на
плоскости ВС равно нулю, касательное равно k. Таким образом,
оценка усилия для этого кронштейна равна увеличенной в k раз
площади его торца.
Особый случай — клиновой кронштейн, стороны которого рас-
положены под углом 75° к вертикали. На рис. 13.33, ан б показаны
два кронштейна. У первого угол наклона >75°, у второго <75 •
Два круга напряжений 'радиуса k для верхней и нижней зон,
в которых происходит чистое растяжение и чистое сжатие, соот-
ветственно обозначим опять 1 и 3. Как и в предыдущем случае,
определяются полюсы Р' и Р", а затем уже и точки напряжений
406
ддя плоскостей GF и Л соответственно. Эти линий Дадут точки
пересечения с осью От, обозначенные FL и IM. Круги, проведен-
ные через точки FL, GF и MI, Л, имеют радиусы меньше и больше
k. Касательное напряжение на каждом торце кронштейна
(FL) и С2 (IM) равно 2k sin 2<р' и 2k sin 2<p (рис. 13.33, в);
2k sin 2<p' •— допустимо, a 2k sin 2<p" — нет. Область J MI испыты-
вает перегрузку, т. e. напряжение вдоль IM превышает k, что,
ясно, недопустимо. Предельный случай — когда радиус круга
Рис. 13.33. Различные схемы клинового кронштейна (а, б) и круги Мора (в)
напряжений с центром в начале отсчета равен k, т. е. 2<р = 30°.
Предельный угол наклона сторон кронштейна равен 75р (Грин,
1954 г.).
Следует указать, что для многих процессов металлообработки
оценка минимальной нагрузки или давления, недостаточного для
начала процесса, может быть получена в предположении, что
процесс идет без лишней деформации, т. е. эффективность про-
цесса 100%. Тогда искомое изменение формы при выдавливании,
вызванное однородной деформацией, равно 2k In [1/(1 — г) 1. Эту
оценку минимальной нагрузки не стоит путать с нижней оценкой,
строго определенной в данной главе. Нижние оценки, как мы их
понимаем, получаются без всяких допущений относительно эффек-
тивности процесса и без предположения об идеальных или гипоте-
тических схемах деформации. Мы интересуемся только способ-
ностью материала выдерживать определенное распределение на-
пряжений без деформации так, чтобы граничные условия для
напряжений были всюду заданы и условие пластичности нигде
Не нарушалось.
409
13.13.5. ВОЛОЧЕНИЕ И ВЫДАВЛИВАНИЕ (ПРЕССОВАНИЕ)
БЕЗ ТРЕНИЯ ЧЕРЕЗ КЛИНОВЫЕ МАТРИЦЫ
На рис. 13.34 показано волочение без трения через клиновую
матрицу с полууглом при вершине а. Требуется найти нижнюю
оценку для напряжения волочения t. Выберем линии разрыва
напряжений ВА и ВС, разделяющие заготовку на три зоны I, II
и III. Для данного случая найдем значения 6 и ф, при которых t
Рис. 13.34. Волочение ли-
ста без трения через кли-
новую матрицу (а) и кру-
ги Мора (б)
максимально, т. е. найдем лучшую или наибольшую нижнюю
оценку деформирующего усилия. Заметим, что поскольку на
контактной поверхности трение отсутствует, то главные напряже-
ния в зоне пластических деформаций II должны быть парал-
лельны и перпендикулярны образующей воронки матрицы. По-
скольку нет обратного натяжения, область I должна быть упругой,
напряжения в ней <2/е или равны нулю; напряженное состояние
определяется кругом Мора I с центром Сх (рис. 13.34, б). Напря-
жение на плоскости, перпендикулярной оси, в зоне I равно нулю,
и точка напряжений на круге Мора, соответствующая плоскости,
находится в начале отсчета. Полюс этого круга также лежит
в точке О. Напряжения на плоскости АВ заданы координатами
точки а, которая является линией пересечения отрезка Рia>
параллельного ВА, и круга; следовательно, аР1С1 = 6.
410
Область II полностью охвачена пластическими деформациями,
и напряженное состояние ее точек должно быть представлено
кругом радиусом k. Если положение центра С2 определено отрезком
С я = т0 этот КРУГ описывает напряженное состояние зоны II.
При таком построении точка а — общая для кругов I и II, а нор-
мальные и тангенциальные напряжения с каждой стороны АВ
одинаковы по условию сохранения равновесия. Как указывалось
выше, нормальное напряжение в плоскости, перпендикулярной
АВ, испытывает конечный скачок при пересечении АВ. Р2 — полюс
круга II, а представляет напряжение на площадке АВ. Чтобы
найти полюс круга, проводим аР2 из точки а параллельно АВ до
пересечения с кругом II в точке Р2. Главное напряжение о2,
нормальное к поверхности матрицы, найдем, проведя Р2а2 парал-
лельно А С. Другое главное напряжение — ох определим, пррведя
линию из точки Р2 перпендикулярно АС: ОагР2 = л/2 — а.
Чтобы найти напряжение на плоскости ВС, проведем из точки Р2
линию, параллельную ВС, до пересечения с кругом II в точке Ъ.
Круг III для области III должен проходить через точку Ъ,
поскольку нормальные и касательные напряжения на плоскости
ВС должны быть теми же, что в областях II и III. Следовательно,
большее главное напряжение круга III должно быть t (искомое
напряжение волочения). Точка t есть полюс Ра круга III, и Psb
является продолжением Р2Ь, поскольку и Р3Ь и Р2Ь соответствуют
плоскости ВС со стороны областей III и II.
Как показано на рис. 13.34, б, радиус круга III < k: таким
образом, предполагается, что в области III нагрузка t вызывает
только упругие деформации. Если ф достаточно мало, то резуль-
тирующий круг будет иметь радиус В > k, что недопустимо,
поскольку в области III будет перенапряжение. Диаграмма
рис. 13.34, б позволяет нам найти нижнюю оценку для t:
t = P2N (ctg 6 + ctgxj?) = й sin 2a (ctg 6 -f-ctgip). (13.29)
Из геометрических соображений обжатие
r = (# cig 6 4-ft ctg ф) tg ex (13 30)
а также Н
r^X-h/H). (13.31)
Таким образом, г (ctg а + ctg ф) = ctg 0 + ctg ф. Подставляя
Зто выражение в (13.29) получим (14.32)
t = k sin 2а (ctg а -ф ctg ф) г.
Наибольшее допустимое значение t соответствует наибольшему
Допустимому ф, при котором радиус круга III с k. Если радиус
кРуга III равен k, то ЬС3 = ЪС2 и С2С3Ь = ЬС2С3, т. е. <зхР2Ь =
или я/2 — а — ф = ф,
ф = л/4 — а/2. (13.33)
Подставляя ф из (13.33) в (13.32), найдем, что
t = 2/г(1 -ф sin а) г. (13.34)
411
Выдавливание (прессование) заготовок идентично волочению,
особенно, если трение на контактной поверхности отсутствует.
Предельное гидростатическое напряжение t сводит к нулю напря-
жение растяжения при волочении, и создает давление — удельное
усилие выдавливания высотой Н\ давление матрицы при этом также
увеличивается на t.
Для длинных матриц с малым углом можно рассматривать
несколько разрывов вместо одного, как сделано выше. Это приво-
дит к улучшению нижней оценки. Процедура аналогична той,
которую используют при получении лучших верхних оценок выдав-
ливания с высокой степенью обжатия с помощью нескольких
блоков. Алгебраические преобразования длиннее, и поскольку
никакой принципиально
новой идеи в этой проце-
дуре нет, мы не будем
на ней останавливаться.
Дальнейшее обсуждение
вопроса можно найти в ра-
боте Грина (1952 г.). До-
бавим, что Ансов (1948 г.)
при получении прибли-
женного решения для во-
лочения через матрицу
с круглым контуром поль-
зовался полем разрыва
напряжений, а контур ма-
трицы аппроксимировал
многоугольником.
13.13.6. Вдавливание
На рис. 13.5, а мы рас-
сматривали вдавливание
жесткого пуансона в по-
лубесконечную массу и
получили ряд верхних
оценок для удельного уси-
лия выдавливания. Ниж-
няя оценка (5/г дляГртого
случая была получена
(Друккер, Чен, 1968 г.)
с помощью поля разрыва
13.35, б, для каждой об-
ласти изображен круг Мора. Полюсы кругов напряжений для
областей напряжений на диаграмме обозначены Р1У Р2 и т. Д-
Напряжения на каждой плоскости, например на АН, показаны
точкой на соответствующей круговой диаграмме. Обозначений
точки соответствуют обозначению плоскости. Если читатель хорош0
412
усвоил содержание предыдущих подразделов, ему легко будет
проверить справедливость рис. 13.35, б.
г В работе Друккера и Чена показано, как можно использовать
больше трех «поддерживающих опор напряжения», а также при-
ведено решение Прандтля.
13.13.7. Выдавливание через плоскую матрицу
с большой степенью обжатия
Нижняя оценка для выдавливания через плоскую матрицу,
первоначально исследованная Александером (1961 г.), определя-
ется при рассмотрении разрывов напряжений, обозначенных лома-
ными линиями (рис. 13.36, а), которые делят всю заготовку на
восемь областей.
Начиная с области 1 и выбирая АС и С1 под углом 30° и 60°
к оси заготовки, можно получить круги Мора для каждой области.
Рис. 13.36. Выдавливание через пло-
скую матрицу (а) и круги Мора (б):
1 — пуансон
ели треугольник АВС деформируется пластически с главными
сями — 2/г и 0 в плоскостях, параллельной и перпендикулярной
ОД заготовки, соответственно, то этому треугольнику соответ-
ствует круг Мора 1 на рис. 13.36, б. Напряжения в плоскости АС
Л^ко определяются; они обозначены АС. Поскольку область
3о Деформируется пластически, легко построить круг 3, восполь-
иавщись координатами напряжений АС. На рис. 13.36, б круги
413
Мора для каждой области показаны отдельно. Читатель легко
может построить круги, пересекая линии разрыва напряжений,
которые становятся известны после решения задачи.
Оказывается, что нормальное напряжение на АН равно 5/г,
так как удельное усилие выдавливания р задано выражением
pH = 5k (Н — h); следовательно,
p/2k = 5r/2. (13.35)
Эта нижняя оценка не очень отличается от результата, полу-
ченного методом линий скольжения при г = 0,67-4-0,8. При
увеличении обжатия она становится неудовлетворительной. Более
приемлемые схемы разрывов напряжений для больших степеней
обжатия можно найти в книге Эллиса (1967 г.).
13.13.8. Горячая прокатка
Нижняя оценка деформирующего усилия и крутящего момента
для горячей прокатки полосы рассматривается в книге Алексан-
дера и Форда (1963 г.); они используют решение с аппроксимацией
валка многоугольником, первоначально полученное Винзером
(1956 г.).
13.14. АНАЛОГИЯ. МИНИМАЛЬНЫЕ ВЕСОВЫЕ РАМКИ.
СТРУКТУРЫ МИШЕЛЯ
Рассмотрим плоскую деформацию при боковом выдавливании
пуансоном А из матрицы О с неподвижным днищем, которые
настолько шероховаты, что выдавливаемый материал частично
сдвигается по слоям, одинаково наклоненным к центральной
линии воронки XX и обозначенным АН, AM, 01 и ON (рис. 13.37,а)
Если требуется определить верхнюю оценку для среднего верти-
кального удельного усилия р, приложенного к торцу пуансона, то
это можно сделать, построив действительную систему разрывов
тангенциальных скоростей (следуем обозначениям, принятым
в подразделе 13.12).
В областях В и С находится жесткий неподвижный металл, R
соответствует выдавленному полуфабрикату. Напряжением теку-
чести сдвига для бокового выдавливания при плоской деформации
является k (соответствующий годограф приведен на рис. 13.37, б):
pH/k^%SHKvhk, (13.36)
где SNK — расстояние между областями Н и /С; vh!{ — разрыв
скорости на нем. Знак У означает суммирование всех подобных
произведений. Измерив SHK на диаграмме и vhk на годографе,
можно вычислить р. Затем можно попытаться улучшить значение
р, выбрав другую возможную схему разрывов, которая даеТ
увеличение нижней оценки р.
414
Теперь рассмотрим схему деформирования в виде рамы с точеч-
ным соединением, показанную на рис. 13.37, в, к которой прило-
жена вертикальная нагрузка Р на фиксированном расстоянии Н
от стены. Пусть рама прикреплена болтами к вертикальной стене
в точках X и Y без трения, при этом реакции равны S и XY даны
как 2а. В ячейках рамы стоят прописные буквы, обозначающие
Рис. 13.37. Схема бокового выдавливания из контейнера (а), годограф (б), пло-
ская рама, закрепленная в точках X и Y и нагруженная силой Р в точке Z (в),
и диаграмма сил (г для в)
пространство с каждой их стороны (например НК). Площадь
поперечного сечения каждого элемента обозначена через Ahk,
а его длина sHK. Если whk — удельная сила тяжести балки, то
общая сила тяжести
№ = S wh^HK^hk- (13.37)
Диаграмма сил для структуры, изображенной на рис. 13.37, в,
приведена на рис. 13.37, г. Если Fhk — сила в элементе НК и
^hk — рабочее напряжение в этом элементе, то (13.37) можно
переписать в виде
w = У whksHK^- = У ^<Fhk.
t-* hk hk
(13.38)
415
Предположив, чтб ti)hiJ<3hk одно й то же для всех балок и равно
k', (13.38) запишем так:
W/k' = (13.39)
Мы отметили, что структура на рис. 13.37, в по форме идентична
сетке разрыва скоростей на рис. 13.37, а, а годограф на
рис. 13.37, б — диаграмме сил на рис. 13.37, г. Выражения (13.36)
и (13.39) формально идентичны. Отсюда следует, что поскольку
pH!k из (13.36) дает верхнюю оценку для удельного усилия выдав-
ливания, то W/k' даст верхнюю оценку силы тяжести конструкции
с заданным значением k, ограниченной точками X, Y и Z, задан-
ным наклоном внешних стержней AM, АН, ON и 01.
Описанная аналогия позволяет лучше применять известные
решения по методу линий скольжения или сетки разрыва скоро-
стей, используемые при анализе плоской деформации в металло-
обработке, проектировании или выборе рамы с минимальной силой
тяжести, закрепленной в точках, для которой заданы точки
распределения нагрузки. Другие примеры можно найти в книге
Джонсона (1962 г.). Частным является случай, когда все элементы
рамы сделаны из одного и того же материала и испытывают одну
и ту же нагрузку. Легко получить решение задачи для различных
значений Н1а при заданном а (положительном, нулевом или
отрицательном). Библиографию и формальные доказательства,
касающиеся одного вопроса, можно найти в работе Хегемейера,
Прагера (1968 г.), в работе Джонсона и др. (1971 г.) обсуждается
построение диаграммы Биллиота для определения перемещений
в каждой точке рамы. Австралиец Митчелл в своей работе (1904 г.)
первый обсудил вопрос о минимальной массе рамы.
I
13.15. ВЕРХНИЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ
МАТЕРИАЛОВ
Метод определения верхней оценки для нагрузки при обработке
изотропных металлов в условиях плоской деформации, основанный
на идее разрыва тангенциальных скоростей, можно использовать
для материалов, обладающих анизотропным условием пластич-
ности [уравнение (4.16)1. Верхняя оценка нагрузки может быть
получена как и раньше суммированием произведений k, и, s для
каждого линейного элемента выбранной сетки разрыва скоростей.
Следует иметь в виду, что напряжение текучести сдвига k зависит
от направления. Для удобства можно при заданных анизотропных
параметрах построить полярную диаграмму зависимости k от
направления. В работе Джонсона, Малхербе и Вентера (1972 г.)
можно найти такую диаграмму и примеры ее использования
(см. задачи 46—55, 59, 60 и 62).
416
Ы!
ЛИТЕРАТУРА
Alexander, J. M.
Ansoff, H. I.
Avitzur, В.
Bishop, J. F. W.
Collins, I. F.
Drucker, D. C.,
Chen, W. F.
Drucker, D. C.,
Greenberg, W.,
Prager, W.
Ellis, F.
Ford, H„
Alexander, J. M.
Green, A. P.
Gvosdev, A. A.
Hegemeier, W.,
Prager, W.
Hill, R.
Johnson, W.
1961 «On Complete Solutions for. Frictionless Ex-
trusion in Plane Strain
Q. J. app. Math. 19, 31
1948 Brown University Technical Report No. 23
1963 «Ап Upper bound Approach to Cold—sirip Roll-
inb»
J. Engng Ind. A. S. M. E.
Paper No. 63—Prod. 8
1956 «An Approximate Method for Determining the
Temperatures Reached in Steady Motion Pro-
blems of Plane Plastic Strain»
Q. JL. Mech. appl. Math. 9, 236
1972 «А Simplified Analysis of the Rolling of a Cy-
linder on a Rigid—Perfectly Plastic Half—Space»
Int. J. mech. Sci. 14, 1
1968 Engineering Plasticity
C. U. P., p. 129
1951 «The Safety Factor of an Elastic Plastic Body
in Plane Strain»
Trans A. S. M. E. 73, J. appl. Mech. 371
1967 «Stress Discontinuities in Plane Plastic Flow»
J. Strain Analysis, 2, 52
1963 On the Limit Analysis of Hot Rolling
Prager Anniversary Volume, Macmillan, New
York
1951 «The Compression of a Ductile Material Bet-
ween Smooth Dies»
Phil. Mag. 42, 900
1952 «Calculations on the Theory of Sheet Drawing»
В. I. S. R. A. Report, MW/B/7/52
1953 «The Plastic Yielding of Notched Bars Due
to Bending»
Q. J. Mech. appl. Maths., 6, 223
1954 «А Theory of the Plastic Yielding Due to Bending
of Cantilevers and Fixed Ended Beams»
В. I. S. R. A. Report MW/B/9/54
1960 «The Determination of the Value of the Collapse
Load for Statically Indeterminate Systems
Undergoing Plastic Deformation»
Int. J. mech. Sci. 1, 322
1969 «On Michell Trusses»
Int. J. mech. Sci. 11, 209
1950 The Mathematical Theory of Plasticity
O. U. P.
1951 «On the State of Stress in a Plastic—rigid Body
at the Yield Point»
Phil. Mag. 42 , 868
1958a «Over—estimates of Load for Some Two-
dimensional Forging Operations»
Proc. 3rd U. S. Cong. appl. Mech. 571
1958b «Upper bound Loads for Extrusion Through
Circular Shaped Dies»
Appl. Sci. Res. Series A, 7, 437
1959 «Estimation of Upper Bound Loads for Ex-
trusion and Coining Operations»
Proc. Instn. mech. Engrs 173, 61
J4 у. Джонсон
417
Johnson, W.,
de Malherbe, M. C.,
Venter, R.
Johnson, W.,
Mellor, P. B.,
Woo, D. M.
Johnson, W.,
Baraya, J. L.,
Slater, R. A. C.
Johnson, W.,
Chitkara, N. R.,
Reid, S. R.,
Collins, I. F.
Massey, H. F.
Piispanen, R.,
Eriksson, R.,
Piispanen, O.
Slater, R. A. C.
Tanner, R. I.,
Johnson, W.
Winzer, A.
1962 «An Analogy Between Upper Bound Solutions
for Plane Strain Metal Working and Minimum
Weight Two—dimensional Frames»
Int. J. mech. Sci. 3, 239
1964 «An Approximate Treatment of Metal Deforma-
tion in Rolling, Rolling Contact and Rotary
Forming» Int. J. Prod. Res. 3, 51
1972 «Upper Bounds to the Load for the Plane Strain
Working of Anisotropic Metals»
J. M. E. S. 14, 280
1958 «Single—hole Staggered and Multi—hole Ex-
trusions»
J. Mech. Phys. Solids 6, 203
1964 «On Heat Lines or Lines of Thermal Discon-
tinuity»
Int, J. mech. Sci. 6, 409
1971 «The displacement field and its significance
for certain minimum weight two dimensional
frames using the analogy with perfectly pla-
stic flow in metal working»
Int. J. mech. Sci. 13, 547
1921 «The Flow of Metal During Forging»
Proc. Manchester Association of Engineers, Nov.
1921
1967 «Plastic Processes During Rolling, II»
Bander, Bleche und Rohre 8, 819
1965— «Velocity and Thermal Discontinuities Encoun-
1966 tered during the Forging of Steels»
Proc. Manchester Association of Engineers, No. 5
1960 «Temperature Distributions in Some Fast Me-
tal—Working Operations»
Int. J. mech. Sci. 1, 28
1951 «Solution to the Rolling Problem for a Strain-
hardening Material by the Method of Discon-
tinuities»
J. appl. Mech. 18, 90
Глава 14
МЕХАНИКА ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ МЕТАЛЛА II
14.1. ВВЕДЕНИЕ
В гл. 12 для анализа плоской деформации идеального жестко-
пластического тела был предложен метод линий скольжения.
Подчеркнута ограниченность его применения, рассмотрено формо-
изменение металлов при выдавливании с помощью метода линий
скольжения. В данной главе эта теория применяется при рассмот-
рении механической обработки, вдавливания, ковки, резания и
прокатки в условиях плоской пластической деформации. Широко
используется также метод, рассмотренный в гл. 13. Наша основная
цель — использовать эти методы анализа для предсказания схем
деформаций, облегчения вычисления параметров течения металлов,
а также нагрузок и давлений.
14.2. МЕХАНИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА
14.2.1. Общие сведения
Общая черта всех механических операций — это использование
клиновых инструментов для отделения тонкого слоя материала от
большой, толстой заготовки. Действие клина изображено на
рис. 14.1. Показано обычное косое и поперечное (ортогональное)
резание, при котором режущая плоскость параллельна рабочей
поверхности. В последнем случае предполагается, что происходит
плоская деформация или двухмерное течение. При этом важно, что
ширина инструмента намного больше толщины стружки.
Угол между наклонной плоскостью инструмента и вертикалью,
проходящей через точку резания а, известен как передний угол.
В зависимости от обрабатываемого материала, ковкий он или
хрупкий, срезаемая стружка (рис. 14.2) либо непрерывная (слив-
ная), либо состоит из слоев (стружка надлома). Поведение мате-
риала меняется в зависимости от скорости деформации и темпе-
ратуры.
По характеру стружкообразования при резании различают
следующие схемы деформирования.
1. На рис. 14.3, а изображен простой сдвиг в узкой плоскости,
которая начинается около острой кромки режущего инструмента
14* 419
и пересекает недеформированную поверхность. Угол между этой
плоскостью и направлением движения резца обозначают <р и назы-
вают углом плоскости сдвига.
2. На рис. 14.3, б показан нарост недеформируемого металла,
примыкающий к острой кромке резца: срезаемый слой (стружка)
проходит по нему и передней поверхности резца. Время от времени
нарост отламывается и образуется новый. Из-за нароста поверх-
ность детали при механической обработке шероховатая.
Рис. 14.1. Клиновой режущий инструмент при косом (а) и ортогональном ре-
зании (б):
/ — заготовка; 2 инструмент (стрелкой показано перемещение резца относительно
заготовки)
Рис. 14.2. Сливная стружка (а) и стружка надлома (б):
1 — резец; 2 — стружка
В случае образования стружки надлома при механической
обработке (рис. 14.3, в) резец в положении LOM начинает срезать
новый слой. Предыдущий слой уже отломился, освободив поверх-
ность МОВА. Линия АХ представляет собой границу несрезанной
поверхности. Когда кромка резца достигает точки F, она быстро
внедряется в неподвижную поверхность ОБА и смещает материал
вверх, образуя новую поверхность ВС. Перемещение резца d
расширяет зону деформации BCFED до тех пор, пока не произой-
дет отрыва стружки по границе очага деформации. Затем опять
начинается процесс образования нового слоя.
В обзоре по механике процессов резания Пух (1958 г.) отмечал,
что нет еще пока теории, дающей количественное согласие с экспе-
420
риментом, даже при ограничениях на условия резания когда
нет нароста на кромке резца и не происходит вибрации. Это и
неудивительно, поскольку ни одна из теорий не учитывает большие
скорости деформации, упрочнение, температуру, которые влияют
на свойства обрабатываемых материалов. Поэтому читатель
должен учесть, что приводимые ниже результаты не могут быть
•достаточно точными.
Рис. 14.3. Образование
стружки при деформиро-
вании с одной плоскостью
сдвига (а) и с образова-
нием нароста (б), сетка
линий скольжения (в) при
образовании стружки над-
лома; годографы (а, е) и
распределение напряже-
ний в случае в (5):
/ — плоскость сдвига; 2 —
резец; 3 — нарост
14.2.2. Теория Эрнста и Мерчанта (1941 г.)
Эти авторы попытались получить аналитическое решение задачи
о резании металлов с помощью модели, предложенной ранее
другими исследователями. Рассматриваемая модель основана на
предположении о существовании единственной плоскости сдвига.
Для простоты предположим, что резец неподвижен, а заготовка
перемещается слева направо (см. рис. 14.3, а). Каждый слой,
например заштрихованный, жесткий, пока не встречается с пло-
скостью сдвига ST, на которой он мгновенно сдвигается и далее
скользит, как твердое тело, параллельно передней поверхности
резца TR.
Рассмотрим равновесие сил, действующих на единицу ширины
стружки: F — сила трения; W — сила, нормальная к контактной
поверхности стружки и резца; FN и Fs — нормальная и танген-
циальная составляющие силы на плоскости сдвига ST. Таким
образом,
Fs = /Р -j- № cos (<р Д- X - а); (14.1)
Fs = k (ST) = ktjsin <p, (14.2)
421
если k — напряжение текучести материала при сдвиге в условиях
плоской деформации. Следовательно,
/Р + Д?2== ----------kti -----
- 1 sin ф cos (ф + Л — a) v '
Режущая сила Fc есть горизонтальная составляющая F2 + №,
т. е. полной силы, действующей со стороны резца. Таким образом,
Fc = ]/'F2-j-№cos (Л - а) = ktt -os ------------г. (14.4)
G г 1 ' ' 1 sin <р cos (<р + X — а) ' '
Теперь сделаем допущение о том, что плоскость сдвига образует
угол сдвига ф, который минимизирует Fc, т. е. можно сказать, что
движущийся режущий инструмент совершает минимальную ра-
боту. Чтобы Fc было минимальным, sin ф cos (ф + X •— а) должно
быть максимальным, а это происходит при
2ф — а— л/2. (14.5а)
Следовательно, подставляя это в (14.4), получим
Р _ 2/г/, cos (X — а) . / <»
- 1 _ sta"(X-a) ’ (1 q-b)
Fc = 2ktj, Ctg ф. (14.7)
Угол ф можно выразить через отношение толщин стружки гс:
__ ii _________________(ST) sin tp______ sin ф
Гс "~ “ (ST) sin (-5- -Ф + «) “ С05(ф-«) ’
Следовательно, tg ф = rc°S?n- (14.8)
Мерчант (1945 г.) исследовал поперечную (ортогональную)
механическую обработку синтетических пластиков и стали и
обнаружил, что приведенные выше выражения удовлетворительны
лишь для пластиков. Результаты для стали были приведены в соот-
ветствие с теоретическими соотношениями только после предполо-
жения, что напряжение текучести есть некоторая функция нор-
мального напряжения на плоскости сдвига — гипотеза, в общем
случае считающаяся неприемлемой для обычных металлообрабаты-
вающих процессов. Результатам Мерчанта хорошо соответствует
выражение
2ф° 4- - а° = 80°. (14.56)
14.2.3. Теория Ли и Шаффера (1951 г.)
Анализ Эрнста и Мерчанта связан только с силами, действую'
щими на стружку, а распределение напряжений не рассматри-
вается. Ли и Шаффер воспользовались методом линий скольжения
422
и показали, что напряжения, по крайней мере в части объема
стружки, ниже напряжений текучести.
Считаем, что материал движется слева направо с единичной
скоростью к неподвижному резцу, коэффициент трения между
ним и резцом р — tg X. После пересечения плоскости сдвига ST
материал движется параллельно передней поверхности резца,
причем направление движения меняется мгновенно. Считается,
что использование понятия идеального жестко пластического мате-
риала для описания этого процесса вполне допустимо, поскольку:
1) для большинства металлов скорость упрочнения при больших
деформациях очень мала, поэтому достигается постоянное напря-
жение текучести;
Рис. 14.4. Сетка линий
скольжения, предложен-
ная Ли и Шаффером, для
схемы деформирования с
одной плоскостью сдвига
(а) и распределение на-
пряжений в области
TSR (б)
2) считается, что высокие скорости деформации при механиче-
ской обработке увеличивают предел прочности материала, что дает
возможность считать его идеальным жестким.
Сетка линий скольжения, предложенная Ли и Шаффером,
состоит из простого треугольника ортогональных линий RST
(рис. 14.4), в котором весь материал находится в пластическом
состоянии. Легко показать, что р = tg = cos 2т)/(1 -ф sin 2tq),
поэтому
и = л/4 — К, (14.9)
но г] -ф а = <р; пользуясь уравнением (14.9), получим
<р — а -ф к = л/4. (14.10)
Составляя уравнение равновесия внешних и внутренних сил,
Действующих в плоскости сдвига, имеем
Fc = ST (cos <р -ф sin <р) k = k (1 -ф ctg <р) R =
Находим отношение толщин стружки:
rc — sin -ф a — kj] cos --------к^ .
(14.11)
(14.12)
423
Если <х отрицательно, скажем —10°, и А = 35°, jTo^ctg (л/4 +
+ а — А) равен бесконечности. Тогда легко получаются чрезмерно
высокие значения Fc. Таким образом, это решение является доста-
точно точным при определенных значениях параметров <х и А.
Решение, которое учитывает влияние нароста на кромке резца,
напротив, дает меньшее значение гс, а потому результаты решения
более приемлемы. Сетка линий скольжения, построенная с учетом
появления нароста при трении между инструментом и скользящим
материалом, показана на рис. 14.3, б, соответствующий годограф —
на рис. 14.3, г. Усилие резания складывается из горизонтальных
составляющих нормального и касательного напряжений, дей-
ствующих на ТС, — F'c, напряжений нормального и текучести
при сдвиге, приложенных к верхней поверхности нароста, — F"c
и напряжения трения на FE — Fc. Нормальное напряжение вдоль
плоскости ST равно k, поскольку результирующая сила на по-
верхности SC равна нулю. Первые две составляющие F'c и F'c
можно получить следующим образом.
Заметим, как и раньше, из (14.9), что т] = (л/4 — А) и из
простых геометрических соотношений % ~ ---------<х + А — 0.
Если F — горизонтальное усилие резания, действующее вдоль
плоскости SF, ар — нормальное давление, то, воспользовавшись
интегралом Генки, получим
F'c + F'c = F = SF (k sin % + р cos %) ==
= ^i(tgx + ^) = ^i(l+2e + tg%). (14.13)
Значение % определяется трением между основанием нароста
и поверхностью среза. Отсюда следует, что сила Fc действует
вдоль FE.
14.2.4. Обсуждение теоретических
и экспериментальных результатов
Из трех различных теоретических оценок усилия резания
обычно выбирают ту, которая является минимальной. Проверку
теории проводят сопоставлением результатов вычислений по фор-
мулам (14.5) и (14.10) с данными эксперимента [график <р от
(А — сх) ]. Достаточно заметное несоответствие между ними под-
черкивалось рядом авторов (см. обзор Пуха). Эти несоответствия
существенно зависят от: 1) степени идеализации схемы для теорети-
ческого анализа; 2) определенных фундаментальных трудностей
при применении уравнений механики.
Первая группа включает допущения: наличие только двух-
мерного течения, отсутствие упрочнения. Влиянием температуры и
смазки на свойства вещества пренебрегают. Трудности заключа-
ются в том, что решение методом линий скольжения дает только
424
Рис. 14.5. Сетка линий сколь-
жения (я), построенная Окс-
ли и Палмером с учетом уп-
рочнения, и соответству-
ющий годограф (б). Линии
тока:
1 — № 1; 2 — № 2; 3 — № 3;
4 — № 4; 5 — № 5; 6 — № 6
0,0025 дюймов