H. Мак< оычек Н. Г. Минлкэк	
S™8™5	
№iLSB"
*ИДЛЫ
Ю.Н. Макарычев Н.Г. Миндюк
ДИДАКТИЧЕСКИЕ
МАТЕРИАЛЫ
ПО АЛГЕБРЕ
ДЛЯ 9 КЛАССА
с углубленным изучением
математики
З-е издание, доработанное
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 2004
УДК 372.8:512
ББК 74.262.21
М15
Рецензент: учитель математики лицея «Москвич»
Т. Я. Додзина
Макарычев Ю. Н.
Ml5 Дидактические материалы по алгебре для 9 класса
с углубленным изучением математики / Ю. Н. Макарычев,
Н. Г. Миндюк.— 3-е изд., дораб.— М. : Просвещение, 2004.—
125 с. : ил,— ISBN 5-013328-Х.
Пособие содержит самостоятельные (в двух вариантах) и контрольные
работы (в четырех вариантах), а также примерное планирование учебного
материала.
Оно ориентировано в основном на учебный комплект, состоящий из
учебника «Алгебра, 9» любого авторского коллектива и учебного пособия
«Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса» авто-
ров Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк.
Дидактические материалы могут быть использованы также в девятых
классах, работающих по учебникам, предназначенным для классов с углуб-
ленным изучением математики.
УДК 372.8:512
ББК 74.262.21
ISBN 5-09-013328-Х	© Издательство «Просвещение», 1999
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 1999
Все права защищены
ПРЕДИСЛОВИЕ
Дидактические материалы предназначены для организации
самостоятельной работы учащихся девятых классов с углублен-
ным изучением математики. Они могут быть использованы в том
случае, когда обучение ведется по учебному комплекту, состоя-
щему из учебника для общеобразовательных учреждений «Ал-
гебра, 9» авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Пе-
шкова, С. Б. Суворовой, под редакцией С. А. Теляковского и
учебного пособия «Алгебра. Дополнительные главы к школьно-
му учебнику 9 класса» авторов Ю. Н. Макарычева и Н. Г. Мин-
дюк, под редакцией Г. В. Дорофеева.
Включенные в данную книгу работы делятся на самостоя-
тельные (в двух вариантах) и контрольные (в четырех вариан-
тах). Самостоятельные работы отмечены индексами С—1, С—2
и т. д., а контрольные работы — индексами К—1, К—2 и т. д. Для
каждой работы указаны номера соответствующих параграфов
или пунктов из учебника для общеобразовательных учреждений
или из «Дополнительных глав». При этом номера пунктов или
параграфов из «Дополнительных глав» отмечены буквой Д. На-
пример, запись К—6 (§ 7; п. 31Д) означает, что контрольную
работу № 6 рекомендуется предложить учащимся после того,
как изучены § 7 из учебника для общеобразовательных учреж-
дений и п. 31 из «Дополнительных глав».
Самостоятельные работы по своему содержанию достаточно
объемны и по усмотрению учителя могут быть использованы как
на одном, так и на нескольких уроках. Контрольные работы рас-
считаны на один урок,за исключением последней работы К—13,
которая рассчитана на два урока.
В книгу включено «Примерное планирование учебного мате-
риала», в котором указано место каждой из контрольных работ.
Планирование составлено для случая, когда на изучение алгеб-
ры отводится 5 ч в неделю. При этом некоторые темы из «Допол-
нительных глав», а значит, и соответствующие им самостоятель-
ные работы опускаются. В случае, когда на изучение алгебры
отводится больше недельных часов или когда подготовка класса
позволяет интенсифицировать учебный процесс, самостоятель-
ные работы могут быть использованы в полном объеме.
Предлагаемые дидактические материалы могут найти примене-
ние при преподавании алгебры в девятых классах с углубленным
изучением математики по различным учебным пособиям. Многие
из включенных в данную книгу работ могут быть использованы
при преподавании алгебры в девятых классах общеобразова-
тельных учреждений.
ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
(5 ч в неделю на алгебру, всего 170 ч)
1.	Функции, их свойства и графики	25 ч
Область определения и область значений функции.
Четные и нечетные функции. Монотонные функции
(пп. 1, 2, 1Д, 2Д)	4 ч
Исследование функций элементарными способами (п. 4Д) 2 ч
Квадратный трехчлен (пп. 3, 4)	4 ч
Контрольная работа № 1	1ч
Квадратичная функция и ее график (пп. 5—7)	6 ч
Построение графиков функций (п. 5Д)	3 ч
Графики функций у=— /(х), y = f{— х), у=— f( — х)
(п. 7Д)	2	ч
Графики функций у=|/(х)|	и	y = f(\x\) (п. 8Д)	2	ч
Контрольная работа № 2	1ч
2.	Равносильность уравнений и	неравенств	8	ч
Высказывания и предложения с переменными. Понятие
о следовании и равносильности (пп. 9Д, 10Д)	3 ч
Условия равносильности уравнений, неравенств и их си-
стем (пп. 11Д, 12Д, 13Д)	5 ч
3.	Уравнения и неравенства с одной переменной	24 ч
Целое уравнение и его корни (п. 10)	2 ч
Способы решения целых уравнений (п. 14Д)	4 ч
Решение дробно-рациональных уравнений (п. 15Д)	3 ч
Контрольная работа № 3	1ч
Решение неравенств второй степени (п. 8)	3 ч
Метод интервалов. Решение рациональных неравенств
(пп. 9, 16Д)	4 ч
Решение уравнений, содержащих переменную под зна-
ком модуля (пп. 17Д, 18Д)	3 ч
Решение иррациональных уравнений (п. 20Д)	3 ч
Контрольная работа № 4	1ч
4.	Уравнения с двумя переменными и их системы	16 ч
Уравнение с двумя переменными, его степень. График
уравнения с двумя переменными (пп. 22Д, 23Д)	3 ч
Графическая интерпретация решения систем уравнений
(пп. 12, 24Д)	2 ч
Способы решения систем уравнений (п. 25Д)	5 ч
4
Решение задач с помощью систем уравнений (п. 14)	5 ч
Контрольная работа № 5	1ч
5.	Неравенства с двумя переменными и их системы 10 ч
Линейные неравенства с двумя переменными и их сис-
темы (пп. 26Д, 27Д)	5 ч
Неравенства и системы неравенств высших степеней с
двумя переменными (п. 28Д)	2 ч
Неравенства и системы неравенств с переменными под
знаком модуля (п. 29Д)	2 ч
Контрольная работа № 6	1ч
6.	Последовательности	27 ч
Последовательности. Способы задания последователь-
ностей (пп. 15, ЗОД)	3 ч
Арифметическая прогрессия. Формулы л-го члена и сум-
мы первых п членов (пп. 16, 17)	5 ч
Свойства арифметической прогрессии (пп. 16, 17, 31Д) 2 ч
Контрольная работа № 7	1ч
Геометрическая прогрессия. Формулы n-го члена и сум-
мы первых п членов (пп. 18, 19)	5 ч
Свойства геометрической прогрессии (пп. 18, 19, 31Д) 2 ч
Сумма бесконечной геометрической прогрессии при
|<?| < 1 (п. 20)	2 ч
Метод математической индукции и его применение в за-
дачах на последовательности (п. 32Д)	2 ч
Возрастающие и убывающие последовательности (п. ЗЗД) 2 ч
Ограниченные и неограниченные последовательности
(п. 34Д)	2 ч
Контрольная работа № 8	1ч
7.	Степень с рациональным показателем	14 ч
Функция у = х" (п. 22)	2 ч
Определение и свойства корня н-й степени (пп. 23, 24) 4 ч
Контрольная работа № 9	1ч
Определение и свойства степени с дробным показателем
(пп. 25, 26)	3 ч
Преобразование выражений, содержащих степени с
дробными показателями (п. 27)	3 ч
Контрольная работа № 10	1ч
8.	Тригонометрические выражения и их преобразования 25 ч
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса и
их свойства (пп. 28, 29)	5 ч
Радианная мера угла (п. 30)	2 ч
Соотношения между тригонометрическими функциями
угла и их применение в преобразованиях (пп. 31, 32)	5 ч
Контрольная работа № 11	1ч
Формулы приведения (п. 33)	3 ч
Формулы сложения и следствия из них (пп. 34—36)	8 ч
Контрольная работа № 12	1ч
Повторение. Контрольная работа № 13	21 ч
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ВАРИАНТ I
С—1. Четные и нечетные функции (пп. 1Д, 2Д)
1.	Докажите, что / — четная функция, a g— нечетная функ-
ция, если:
а)	/ (*) = 6х4 — 5;	в) / (х) = Iх—21 4-| х4-21;
б)	g(x) = 7x5 — х;	г) g (х) = |х+ 11 — |х— 1|.
2.	Является ли четной или нечетной функция ср, если:
а) <р(х) = -|-; б) ф(х) = х3 — 5; в) <р(х) = х4 — 2Х2—1?
3.	Постройте график функции /, зная, что при х!>0 ее значе-
ния могут быть найдены по формуле:
a)	f(x) = x— 3 и f — четная функция;
б)	f(x) = x2 и / — нечетная функция.
4.	Известно, что функция g четная и она обращается в нуль
при х=—4 и х = 3. Укажите другие значения аргумента, при
которых g(x) = 0.
5.	Известно, что уравнение f (х) = 0, где / — нечетная функ-
ция с областью определения D(f) = K, имеет положительные
корни 2 и 3. Найдите неположительные корни уравнения.
6.	Линейная функция г/ = 8х + Ь является нечетной функцией.
Найдите значение Ь.
С—2. Монотонные функции (пп. 2, 2Д)
1.	Функция /, область определения которой промежуток
[ — 4; 4], задана графиком на рисунке 1. Укажите промежутки,
на которых функция f:
а) убывает; б) возрастает.
2.	Какая из линейных функций у = 25х— 48 и у= — 14х+ 19
является возрастающей, убывающей и почему?
3.	Докажите, что функция g(x) = x2—1 является убываю-
щей на промежутке (—сю; 0] и возрастающей на промежутке
[0; + оо).
4.	Укажите промежутки возрастания и промежутки убыва-
4Х______________з
ния функции У=~—2" •
5.	Определите характер монотонности функций г/ = х-}-2 и
z/ = x3. Докажите, что функция у = хл-\-х-\-2 возрастающая.
6
6.	Известно, что функция y = g(x) является монотонной и что
уравнение g(x) = 5 имеет корень, равный 8. Имеет ли это урав-
нение другие корни?
С—3. Ограниченные и неограниченные
функции (п. ЗД)
1. Приведите пример ограниченной функции, построив ее
график.
2. Докажите, что функция у
является ограниченной,
и найдите область значений функции.
3? Функция у= |х—5| — 1 является ограниченной снизу. По-
кажите это, построив график функции. Укажите наименьшее
значение функции.
4.	Докажите, что функция У=^, где D(y) = (— оо; 0), не
имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения.
5.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а) у = х2-\-9, где D(y) = [—10; 10];
б) у = х3 + 1, где D (//) = [—10; 10].
6.	Укажите значение аргумента, при котором функция
у = 6 — д/х— 4 принимает наибольшее значение. Существует ли
наименьшее значение этой функции?
С—4. Исследование функций
элементарными способами (п. 4Д)
1. Найдите область
X	19
а) и = —------- б)
у Д-10х + 21	’
2. Найдите область
определения функции:
_ д/(х-2)(х + 9)
У~ ДДз ’ В)
значений функции:
1
х—2
\ 8
а)
б) у =	—9.
7
3.	Найдите нули функции и области положительных и отри-
цательных значений, если:
а) z/ = x3 —0,25х;	б) у = Д/х2 —4х —5 .
4.	Найдите горизонтальные и вертикальные асимптоты гра-
фика функции, если они существуют:
а>у=—;	•
5.	Изобразите схематически график функции /, зная резуль-
таты исследования этой функции:
1)	О(/) = [-4; 4];
2)	/ — непрерывная нечетная функция;
3)	£(/) = [ —3; 3];
4)	/(х)>0 при х£(0; 4);
5)	функция возрастает на промежутке [0; 4];
6)	для любых Xj и х2, таких, что 0^Х]<х2^4, выполняется не-
/Х,-|-Х2\	/(Х1) + /(х2)
равенство Ц 2 J>------------.
Замечание. Если хг и х2 принадлежат промежутку [а; Ь]
/х1 + х2\ / (Xj) + f (х2)
и для них выполняется неравенство /(—-—’
то график функции будет выпуклым вверх; если же выполняется
t/Xi4-x2\ f (xi) + / (х2)	,	,
неравенство /(—-—)<-----------, то график будет выпуклым
вниз (т. е. вогнутым).
С—5. Квадратный трехчлен и его корни (п. 3)
1.	Найдите корни квадратного трехчлена:
а) х2 — 8x4-23; б) 6х2-|-13х — 5.
2.	Составьте какой-нибудь квадратный трехчлен, корнями
которого являются числа:
а) -3 и 9; б) 5-д/З и 5 + д/З.
3.	Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена:
а) х2 —8х-|-23; б) 4Х2-)- 12х-2.
4.	Докажите, что при любом с квадратный трехчлен:
а)	с2—16с-|-65 принимает положительное значение;
б)	—с2-|-10с—18 принимает отрицательное значение.
с „	4а2 —4а 4-5
5.	Найдите наименьшее значение выражения ------—----.
6.	Найдите наибольшее значение функции у=—x2-f-9x на
промежутке [3; 5].
8
С—6. Разложение квадратного трехчлена
на множители (п. 4)
1.	Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) 2х2-15х+28; б) - у2 - 1 Оу + 11; в) 0,lp2 + 0,3p-1.
2.	Докажите тождество
(a2 + 3ab — 462) (а —56) _
(a2— ab — 20b2) (a — b)
3.	Сократите дробь:
,	а2 —49 . gx 362 — 346 — 24 . ч 2(х +Д2-5(х + //)-3
a> а2 + 4а_21’ ' 662-146-12 ’ В'	4х + 4у-12
4.	Упростите выражение
0,5j/2 —63 у+ 6
0,25г/2 —4,5г/ —36	У-24 ’
5.	Найдите значение дроби
6.	Постройте график функции у =--j.
С—7. Функции у=ах2, у=ах2+п, у=а(х—т)2
и их графики (пп. 5, 6)
1.	Функция f задана графиком (рис. 2). Постройте график
функции:
а) г/ = 2/(х);	б) z/ = y/(x).
2.	Заполните таблицу:
X	0	1	2	3
z/ = x2				
о				
Учитывая свойства графика четной функции у = х1', постройте
график функции у = -^х2.
3.	Принадлежит ли графику функции у=15х2 точка:
а) А (2; 60); б) В (-4; 240); в) С(-3; -135); г) D (0,2; 0,6)?
4.	Постройте график функции:
а) г/ = |х2 + 2; б) z/ = lx2—1; в) у = ±(х — I)2; г) z/ = -|(х + 2)2.
Z	Z
9
Рис. 2
5.	Изобразите схематически график функции:
а) У = |(*-3)2+1;	б) // = 1(х + 2)2-3.
6.	Постройте график функции:
а) у = 3у[х\	б) у=—2 |х|.
С—8. Построение графика
квадратичной функции (п. 7)
I.	Постройте график функции:
а) /(х) = (х-3)2 + 2;	б) g (х) = (х + 2)2-3.
2.	Найдите ось симметрии и координаты вершины параболы.
a) z/ = x2 + 6x— 3;	б) у=—4Х2ф-8х — 3.
3.	Используя график функции f (задание 1а), найдите:
а) нули функции и промежутки, в которых /(х)<0 и /(х)>0;
б) промежутки, на которых функция возрастает, убывает;
в) область значений функции и ее наименьшее значение.
4.	Найдите область значений функции:
a) z/ = x2 — 5x4-4;	б) у= — х2 — 6x4-1-
10
5.	Изобразите схематически график функции:
а) у = ^х — 3\	б) у=\х\ — 2.
6.	Найдите значение параметра q, при котором наименьшее
значение функции z/ = x2 + 16х4-<? равно —59.
С—9. Построение графиков
различных функций (п. 5Д)
1.	Постройте график функции

х + 6, если х< —6,
х2, если —2^х^2,
— х+6, если х>6.
2.	Проведите исследование и постройте график функции
i/=V4—
3.	Постройте график функции у=\х — 2| + |% + 2|.
4.	Найдите область определения функции
1 1
х —2 х + 2
11 =---------
и постройте ее график.
5.	Постройте график какой-нибудь возрастающей непрерыв-
ной функции /, у которой £>(/) = [— 5; 5], £(/) = [ —3; 3], число
— 3 — наименьшее значение функции, а число 3 — наибольшее
ее значение.
С—10. Графики функций у = — f(x),
Y=f(~x), y	(п. 7Д)
1.	Постройте на координатной плоскости отрезок АВ, зная
координаты его вершин: Л ( — 2; 3) и В (6; —2). Постройте в этой
же системе координат отрезок:
a)	ТЦД, симметричный отрезку АВ относительно оси х;
б)	А2В2, симметричный отрезку АВ относительно оси у.
2.	Графиком функции g служит ломаная MKL, где М (—2; 4),
К (4; —2), £(8; 2). Постройте график функции:
а) №—£(*);	б) y = g( — х).
3.	Постройте график функции:
а) У= — |х4-3|;	б) у = у/ — х —4.
4__7Х
4.	Докажите, что график функции у = —-— симметричен:
а) графику функции z/ = 3,5x— 2 относительно оси х;
<	-1	7х+4
о) графику функции у =—-— относительно оси у.
,	2х + 5	2х— 5
5.	Докажите, что графики функции у—2х—5 и 2% + 5 СИМ
метричны относительно оси у.
6.	Найдите области определения функций /(х) = Д/9 —х,
g (х)= — Д/9 —х и <р (х) = Д/х + 9.
7.	Известно, что область определения функции y = g(x) —
промежуток [ — 6; 15]. Какова область определения функции:
а) //=—£(*); б) z/ = g( —х);	в)у=— g( — х)?
С—11. Графики функций y=|f(x)|
и у= Г(|х|) (п. 8Д)
I.	Графиком функции y = f{x) служит ломаная АВС, где
Л ( — 2; 2), В (0; 3), С (2; —2). Постройте график функции
2.	Ломаная K,LM, где К ( — 2; 3), L (2; — 1), М (5; 2),— график
функции y = g(x). Постройте график функции y = g( |х|).
3.	Постройте график функции:
a)z/=|x4-2|;	6)z/=|x1 2 * — 5|; в)г/ = |у — 2 |.
4.	Постройте график функции:
а)г/=|х|— 2; б) у=Л-— 2; в) у= | |х—2| — 2|.
I •* I
5.	Сколько корней имеют уравнения:
а)	2х—1=0 и 2 |х| — 1=0; в) х2 —5х+6 = 0 и х2 —5 |х| -|-6 = 0;
б)	х2 — х = 0 и х2—|х|=0; г) Л/х— 5 = 1 и “\/|х| —5=1?
6.	Решите уравнение:
а) ||х—2|—3| = 1;	б) х2-? |х| + 12 = 0.
С—12. Высказывания и предложения
с переменными (п. 9Д)
1. Из данных
а) j>0,23;
б)
высказываний выберите истинные:
в) 7д/2<5д/3
г) УГГ-3>Vs.
2. Используя прикидку результата, поставьте вместо много-
точия знак < или > так, чтобы получилось истинное высказы-
вание:
а) ( —7,16)4-( — 1,3)5 ... 0; в) 7,35 ... 7,37;
б) ( — 0,9)7 ... -1;	г) 0,256 ... 0,258.
12
3.	Замените звездочку цифрой так, чтобы получилось истин-
ное высказывание:
а)	число 624* кратно 18;
б)	число 15 является делителем числа 571*.
4.	Укажите три пары натуральных чисел т и п, обращающих
в истинное высказывание предложение:
а)	сумма чисел т и п не превосходит 7;
б)	разность чисел тип равна 2;
в)	произведение чисел тип равно 6;
г)	частное чисел т2 и п2 является натуральным числом.
5.	Укажите множество натуральных значений п, при которых
обращается в истинное высказывание предложение:
а)	число п является делителем числа 12;
б)	двузначное число п кратно 32;
в)	п является наименьшим четырехзначным числом;
, а я 4- 2
г)	дробь —-— правильная.
6.	Существует ли целое значение k, при котором обращается
в ложное высказывание предложение:
а)	число 5/г + 75 кратно 5;
б)	сумма (k— 1)2 + (& — 2)2 равна 0;
,	2А-р 3
в)	дробь меньше 2?
7.	Укажите наименьший и наибольший элемент множества
натуральных чисел т, если известно, что:
а)	т — двузначное число, кратное 8 или оканчивающееся циф-
рой 8;
б)	т является делителем 45 и меньше 16;
в)	т является квадратом натурального числа и не пре-
восходит 40;
г)	т является делителем числа 12 или числа 18.
С—13. Понятие о следовании
и равносильности (п. 10Д)
1.	Является ли второе предложение следствием первого (при
положительном ответе сделайте запись, используя знак =;>):
a) Z_A и Z.B — углы при основании равнобедренного треуголь-
ника; Z-A = zLB\
б) в равнобедренном ДЛВС один из углов равен 75°; ДЛВС
остроугольный;
в) АС и BD — диагонали ромба; ЛС_1_В£)?
2.	Следует ли второе предложение из первого, равносильны
ли эти предложения (при положительном ответе сделайте за-
пись, используя знаки => или <ф-):
.	7 tz —|— 2	-
а)	а — натуральное число; —-----дробное число;
13
б)	р — отрицательное число; —7р — положительное число;
в)	число а кратно 11; число 5а кратно 11?
3.	Равносильны ли предложения (при положительном ответе
сделайте запись, используя знак <=>-):
а)	модуль числа а меньше 11; число а меньше 11;
б)	модуль числа а больше 10; квадрат числа а больше 100;
в)	числа а и b равны; квадраты чисел а и b равны?
4.	Закончите запись так, чтобы предложения были равно-
сильны:
а)	а+15 — целое число о 21—а ...;
б)	запись натурального числа а оканчивается цифрой Оо нату-
ральное число а кратно ... .
5.	Вставьте пропущенную связку «и» или «или» так, чтобы
полученное сложное предложение было равносильно данному:
а) (а — 2)(6— 3)<=>а = 2 ... 6 = 3;
б)	|х—1| = 47ох = 48 ... х= — 47;
в)	(a — 4)2 + 62 = 0оа = 4 ... 6 = 0.
6. Замените многоточие словами «достаточно», «необходимо»,
«необходимо и достаточно» так, чтобы получилось истинное вы-
сказывание:
а)	для того чтобы число а, где a^N, делилось на 5, ..., чтобы его
запись оканчивалась цифрой 0;
б)	для того чтобы сумма а-р34, где a£N, делилась на 17, ..., что-
бы число а делилось на 17;
в)	для того чтобы квадрат числа а был больше 4, ..., чтобы чис-
ло а было больше 2.
С—14. Равносильные уравнения
и уравнения-следствия (п. 11Д)
1.	Является ли второе уравнение следствием первого, равно-
сильны ли эти уравнения:
. х — 1	Зх —4	.	„	.
а)	——= п и х—1=3х —4;
б)	-^ = ^4 и 5 = х+1?
2.	Дайте обоснование равносильности уравнений:
а)	J^_Z±4-X = 3 и 5х-8 + 4х=12;
б)	(15х — 1)(х2+ 18) = 4 (х2 + 18) и 15х — 1 =4.
3.	Из данных уравнений выберите те, которые равносильны
уравнению х2— 5х-]-6 = 0:
0,lx2 — 0,5х + 0,6 = 0; х2 —4х = х —6; (х — 2) (х— 3) = 0;
х2 — 5х 6	X2  5х — 6
(х + 2)(х —7) = 0;	х_2 — 7772 ;	х+3 — х+3 '
14
4.	Найдите множество корней уравнения, заменив его равно-
сильной системой или совокупностью уравнений:
а)	(х + 4)(х2 — Зх —28) = 0;
б)	(х-|-4)2 + (х2 —Зх —28)2 = 0;
в)	Д/х2 —х + "\/4х —х2 = 0.
5.	При каких значениях а равносильны уравнения
5х + « = 23 и Зах— 20х—12 = 0?
6.	При каких значениях т уравнение
12Х2 — (5m2 — 6m) x-|-25m2 — 36 = 0
равносильно уравнению х2 = 0?
С—15. Равносильные системы уравнений (п. 12Д)
1.	Запишите систему уравнений, которая получится, если в
системе J x + z/ = 7, первое уравнение заменить уравнением, по-
( Зх— у = 9
лученным в результате почленного сложения уравнений систе-
мы. Равносильны ли полученная система уравнений и данная?
Проиллюстрируйте свой ответ с помощью графиков.
2.	Запишите систему уравнений, которая получится, если в
системе Г х = у-\-2, заменить во втором уравнении перемен-
| x + z/ = 6
ную х выражением у-\-2. Равносильны ли полученная система
уравнений и данная? Проиллюстрируйте свой ответ с помощью
графиков.
3.	При каких значениях а и b равносильны системы урав-
нений
Г (а — 2)x4-3z/ = 9,	1 Зх + 2у = 16,
(5х + (6 — 3) у = 6	|х — 6z/=12?
4.	При каких значениях а система уравнений
' Зх + 7г/ = 26,
 2x4-9z/=13,
ах-\-2у = 9
равносильна системе
1 Зх + Ту = 26,
[ 2х4-9у = 13?
5.	При каких значениях а имеет решение система уравнений
3x4~2z/ = a — 5,
• х4-3// = а4~2,
6x4~5z/ = a — 2?
15
6.	Равносильны ли системы уравнений; является ли одна из
них следствием другой (ответ обоснуйте):
|/(х, г/) = 5, и f/2(х, г/) = 25,
( h (х, z/)=12	( h (х, у)= 12?
С—16. Равносильные неравенства
и неравенства-следствия (п. 13Д)
1.	Дайте обоснование равносильности неравенств:
а)	18х— 1>6х-|-4 и 18х —6х>4+1;
б)	15х~1 —х>0 и 15х — 1— 6х>0;
в)	(х+75) (хН 17)> 16х (х2+ 17) и х + 75>16х.
2.	Докажите, что множеством решений неравенства является
пустое множество:
а)	5х(х — 3) — (2х+1)(х — 8)<х2—11;
б)	(3^6х-. <3х_2
3.	Из данных неравенств выберите такое, из которого следу-
ют остальные:
а)	хСД/7~, х<2,6, х<2-|-, x<2‘\/F;
б)	х>\'ТГ, х>3,3, х>2\/3x>3j.
4.	Следует ли из первого неравенства второе (при положи-
тельном ответе сделайте запись, используя знак =>):
а)	|х| <5, |х|<8;	в) х2>9, х>3;
б)	|х| <4, х<4;	г) х<7, х2<49?
5.	Составьте неравенство вида х2 + рх-\- q <0, равносильное
двойному неравенству —1<х<8.
6.	Докажите неравенство:
a) x2 + z/2> 12x~|-6z/ — 50;	б) а + ° + 6 2>аЬ — 2.
С—17. Целое уравнение и его корни (п. 10)
1.	Определите степень уравнения и число его корней:
а)	х2 —8х —9 = 0;	в) х2 —4х-|-4 = 0;	д) х4=16;
б)	2Х2 —х + 7 = 0;	г) х3 —х = 0;	е) х5 + х4 = х2 + х.
2.	Составьте какое-нибудь целое уравнение:
а)	второй степени, имеющее корни —3 и 6;
б)	третьей степени, имеющее корни 1, 3 и 7;
в)	четвертой степени, имеющее корни —1, 2 и 5.
16
3.	Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициента-
ми, зная лишь один из его корней:
а) Х| = 5 —д/2"; б) х^З+д/т”; в) х,=^==—
4.	Решите уравнение, разложив левую его часть на множи-
а)	х3 — 4х = 0;	в) 2у3 — 8у2 + 3у — 12 = 0;
б)	5х4—125 = 0;	г) у* — бу3 + 9у2 = 4у2 — 24у4-36.
5.	Решите уравнение, введя новую переменную:
а)	2(х2+1)2-5(х2+1) + 3 = 0; в) ^=1 + -±т = 2,5;
б)	х4-Юх2 + 9 = 0;	г) ^^ + ^^ = 4,25.
6.	Решите уравнение:
а) у*-9у2 + 18 = 0;	б) /- 17z/2+ 16 = 0.
7.	При каких значениях параметра с уравнение х4 — 6х24~с = 0:
а) не имеет корней; б) имеет два корня; в) имеет четыре корня?
С—18. Способы решения
целых уравнений (п. 14Д)
1.	Объясните, почему уравнение:
а)	2х5-|-4х34-16х — 35 = 0 не имеет отрицательных корней;
б)	х6 + 7х4 + 3х2+17 = 0 не имеет корней.
2.	Почему уравнение х3 — 6х2 + 5х — 2 = 0 не имеет целых
корней?
3.	Найдите целые корни уравнения:
а)	х3 — 5х2-|-7х — 2 = 0;	в) х4 — х3 — 7х2Ц-х-|-6 = 0;
б)	х3 + Зх2 — 6х + 2 = 0;	г) х44-х3 —х24-х —2 = 0.
4.	Решите уравнение:
а) х^-гх2-29x4-30 = 0;	б) х3-8х24-9х-2 = 0.
5.	Решите симметрическое уравнение:
а)	х4 —6х3 —5х2 —6х 4~ 1 =0; б) х4 — 8х3 4~ 14х2 — 8х + 1 =0.
6. Решите уравнение, используя свойства монотонности функ-
ций:
а) х54-7х4-8 = 0;	в) х44-2Х2-24 = 0;
б)	х34-х —30 = 0;	г) 6х64-4х2—10 = 0.
7. Найдите координаты точек пересечения графика функции
у = х2— 2 |х| — 1 с прямой у = 2.
8. Решите уравнение относительно х:
а) ах2 — 5х = 0;	б) х2 —2х-|-Ь = 0.
17
С^19. Дробно-рациональные уравнения (п. 15Д)
। Решите уравнение:
;	б) ---------4—+^2=0.
х х 3 х 2	i/2—зу Z/2-J-31/ у2—9
2 Сумма двух взаимно обратных обыкновенных дробей рав-
на 1® . У первой дроби числитель на 4 меньше знаменателя.
3
Найдите эти дроби.
3	Решите уравнение методом замены переменной:
(ДД+2ЛТД-12-
4	Найдите рациональные корни уравнения:
х4 — 4х2 +1_______________ 5х
х2 8 (х2 + 1)
5	Решите уравнение
_J_ _i_	!_
х—2'х—4	х—б'х—8
g Решите уравнение, предварительно выделив из дроби це-
лую часть:
. ^^-Зх-f-l . х2 + Зх + 7	.
а)£^з- + -Т+з = 10’
^З-Чх + Э , х2-4х + 9_ 10
б	) “7+2 Г" х-2	1 ’
С—20. Решение неравенств второй степени
с одной переменной (п. 8)
1 Решите неравенство:
а) х?А~х— 6<0;	в) бх2—13x-j-6=£^0;
б) — 6^0;	г) — 4х2 + 23х — 15>0.
2. Найдите множество решений неравенства:
а) у’<9; б) 0,5х2^8; в) 5х>х2; г) -^-х2^!.
3 Решите неравенство:
а) б/-8х + 5<5х2-Зх-Г, б) 4х-7<2х2-9х + 8.
4 Найдите область определения функции:
a.^W-Юл;	6)9 = ^_1=.
5 Найдите множество целых решений неравенства:
а) г—х—12^0;	б) х2 — 2х— 15<0.
6 Докажите, что при любом значении х верно неравенство
4х2-^20х + 26>0.
18
С—21. Решение неравенств методом интервалов (п. 9)
1.	Укажите промежутки (рис. 3), в которых функция / прини-
мает:
а) положительные значения; б) отрицательные значения.
2.	Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки,
в которых функция у = (х-}-3)(х— 1)(х — 4) обращается в нуль.
Отметьте знаком «-|-» промежутки, в которых функция при-
нимает положительные значения, и знаком « —» промежутки, в
которых функция принимает отрицательные значения.
3.	Решите методом интервалов неравенство:
а)	(х + 3)(х —5)<0;	в) (х+1)(х—1)(х —3)>0;
б)	(х —4) (х-(-6)>0;	г) (х + 3)(х+1)(х —4)<0.
4.	Решите неравенство:
а)	(х —3) (х —8) (х—10)>0; в) х (х+ 1) (х — 2) (х — 8)^0;
б)	(х+ 12)(х + 4)(х-5)^0; г) (х+6)(х+3)(х-6)(х-9)>0.
5.	Найдите область определения функции:
у = д/х (х + 7) (х —7) (х — 10).
6.	Докажите, что неравенства
и (х-5)(х + 3)<0
равносильны.
7.	Решите неравенство:
\ х— 1 л	x — S „	. 6x4-7,2 Л . 9х—198 .
а) —гт<°;	б) ---Г7?>°; в) —±-^-<0;	г) ———>0.
' х4-6	' х—16	’ х—10	’	29х
С—22. Решение рациональных неравенств (п. 16Д)
1. Решите неравенство:
19
2.	Докажите, что равносильны неравенства:
а) (х— 8)3<0 и х— 8<0;
3.	Решите неравенство:
. х4 — 8л2 — 9 , Л
0) ^>0 и 2Л + 5>О.
Л^ + бх+в
4.	Составьте неравенство, решения которого образуют мно-
жество:
а) (-5; 1)U(9; +«>); б) (-оо; — l)j(l; 5)U(7; -фоо).
5.	Докажите, что множество решений неравенства:
а)	х4—12х34~54х2—108x4-81 ^0 состоит из одного числа;
б)	х6 — 6х54_ 15х4 — 20х’+ 15Х2 —6хД-1 ^0 есть множество дейст-
вительных чисел.
6.	Найдите область определения функции
г/ = Д/(х2 — 7хД18)(х—1).
7.	Найдите целые решения неравенства
х(х-6)(х2-9)<0.
С—23. Расстояние между точками
координатной прямой (п. 17Д)
1.	Найдите расстояние d между точками:
а) Д(-3) и В (5); б) С(- 15) и 0(0); в) ^( — 100) и £(300).
2.	Начертите координатную прямую, отметьте на ней точку
С — середину отрезка, концами которого служат точки А и В, и
найдите ее координаты, если:
а)	А (0) и В (6);	в) А (-3) и В (5);
б)	А (- 14) и В(0);	г) А (-7) и В (5).
3.	Запишите в виде равенства или неравенства, используя
знак модуля, утверждение, что расстояние между точками
Р (х) и К (8) координатной прямой:
а)	равно 1;	в) больше 1;	д) меньше 3;
б)	меньше 1;	г) равно 3;	е) больше 3.
4.	Запишите неравенство вида а<.х<_Ь, равносильное нера-
венству:
а) |х—3|<2; б) |хД-2[ < 1; в) |х- 1,51 <0,02.
5.	Запишите неравенство вида |х — а\^.k, равносильное не-
равенству:
а) —1гСх<3; б) 0,2^х^0,3; в)
6.	Покажите, используя координатную прямую, что если чис-
ло а является решением неравенства |х — b| > 1, то а является
решением неравенства x<b—1 или неравенства х>6-|-1.
7.	Решите уравнение и неравенства:
а)	|х-5| =2, |х —5| <2, |х—5| >2;
б)	|х + 4| = 1, |х4-4| <1, |х4-4| >1.
20
С—24. Решение уравнений,
содержащих переменную под знаком модуля (п. 18Д)
1.	Решите уравнение:
а) |х|=5; б) |х —3|=2; в) |3х —7| = 1; г) |11-2х|=3
2.	Найдите корни уравнения:
a) lx2 — 9| =7;	б) lx2 —Зх|=2.
3.	Решите уравнение:
а) |х2 — 5х-|-21 = х + 9;	б) |2х2-|-7х — 5| =4х-|-4.
4.	Найдите точки пересечения графика функции ^=|х4*3| +
|х— 2| с прямой:
а) г/ = 6; б) у = 5\	в) z/ = 3.
5.	Решите уравнение:
а)	| х — 21 -|- | х -ф- 21 = 6*,
б)	|х-2| + |х + 2|=4;
в)	|х— 2|4-1* + 2| = 1;
6.	Решите уравнение:
а) Зх2 —2 |х — 11 - 10 = 0;
г) | х| I х —31 —f— | х—3|—8;
д) |х| + |х4-3| + |х — 3| =6;
е) | х| -|- | х-|-31 -j- |х — 31 == 3.
б) х2-^|1 = 15.
’	|х—5|
7.	Постройте график функции у= | |х|—4| и решите урав-
нение:
а) ||х|-4|=5; б) | |х| - 4| =4; в) | |х| - 4| =2; г) | |х| - 4| =0.
С—25. Решение неравенств, содержащих переменную
под знаком модуля (п. 19Д)
1.	Решите неравенство:
а)	|х|^3;	в) |х—5| <2;	д) |5х-}-4| ^7;
б)	|х| >3;	г) |х— 5|^2;	е) |9 — 5х| >1.
2.	Найдите множество решений неравенства:
a) lx2 —3| <2; б) |х2 + 7х|^8; в) |х2-7х+ 13| > 1.
3.	Постройте график функции у= |х-|-3| + |х — 3| и, исполь-
зуя график, решите неравенство:
а) |х + 3| +|х-3| >8;	б) |х-{-3| + |х-3|< 10.
4.	Решите неравенство:
а) 11,5х —2| + 11,5x4-21 <6; б) 11,5х-2| + 11,5х + 2| >8.
5.	Решите неравенство:
а) 5х2 — 4 |х -21 < 22;	б) |х2-2х-151 >х2-135.
6.	Найдите целые решения неравенства
|х(х — 2)(х — 4)| < 15.
7.	Найдите множество решений неравенства
1
х+ 1
|х-|- 11
21
С—26. Решение иррациональных уравнений (п. 20Д)
1.	Решите уравнение:
а)	Д/х —3 = х —5;	в) д/5х—6 = 3х — 4;
б)	Д/х —3 =5 —х;	г) д/Зхф- 1 =9 —х.
2.	Докажите, что уравнение не имеет корней:
а) у/х-б =4 —х;	б) д/2х—7 4-2х = Д/56 — 16х .
3.	Найдите корни уравнения:
а) Д/х2 — 16 =8 —х;	б) Д/З —2х —х2 =3 —х.
4.	Используя свойства монотонных функций, решите урав-
нение^		_____ ________
а)	д/х+1 + Д/хД-б + Д/хД 13 = 9;
б)	Д/2х- 1 ДД/ЗхД 1 Д Д/10х-1 = 14.
5.	Используя свойства монотонных и четных функций, реши-
те уравнение:
a)	Д^-Э ДД/х2—16 ДД/х2 —21 =9;
б)	Д/х4ДЗх2 —3 Д Д/х2Д5 = 8.
6.	Решите уравнение:
а) д/ЗхД4 —д/х—3 =3;	б) д/бхД2 -Д/5х-2 =2.
7.	Найдите корни уравнения
Д/х-4 Д д/ЗхД 1 = Д/19-Зх Д Д/14-х.
Указание. Воспользуйтесь свойством, что если / — возра-
стающая функция, a g — убывающая функция, то уравнение
/(x) = g(x) имеет не более одного корня.
8.	Решите уравнение, введя новую переменную:
а) Д/х2 —х—12 Д Д^-х-гО = 4;
б)
х + 4 _
Vx-2 “
х + 9 .
3 ’
9.	Решите уравнение:
а)	(х-5)Л/ЦГ = 0;
б)	(х2 —4) Д/б Д х —х2 =0.
С—27. Решение иррациональных неравенств (п. 21Д)
1.	Решите неравенство:
а) д/х”<5; б)д/х”>5; в) Д/Зх —4 < 1; г) \/Зх— 4 > 1.
2.	Найдите множество решений неравенства:
а) Д/х2 —5х —6 <2Д/2;	б) Д/4Х-Х2 >1.^
3.	Используя свойства монотонных функций (см. С—10,
№ 7), решите неравенства
Л/х —2 < 8 — х и Д/х —2 > 8 — х.
22
4.	Решите неравенство:
а)	Л/2%+ 1 <*'<	в) + б < 2х — 1;
б)	Д/2*+ 1 > *:	г) Д/б^ + 6 >2х— 1.
5.	Докажите, что множество решений неравенства V/ (х) > а
при а<0 совпадает с областью определения функции /.
6.	Решите неравенство:
а) Л/24 — 5х— х1 2 > — 1;	б) "\/х3— бх2^- 11х—6 > — 5.
7.	Решите неравенство, введя новую переменную:
а) "Vх — 2—12	1;	б) х2 — х — Л/х2 — х—6>0.
8.	Найдите множество решений неравенства:
а) (х —3)Д/5 —2х <0;	б) (х2-!)^-*2 >0.
С—28. Уравнение с двумя переменными
и его степень (п. 22Д)
1.	Определите степень уравнения:
а) 7х4 — 2x2z/3 — у4 + 5 = 0; б) (х + у — 1 )2 —(х—z/)2 = 4xz/+1.
2.	Является ли пара чисел ( — 2; 3) решением уравнения:
а) х4 — Зх2г/2 + 4у2 = 76:	б) 8Х2 — 5у2 = 32?
3.	Найдите множество решений уравнения
x4-4x2-6z/2 + /+ 13 = 0.
4.	Найдите множество целых решений уравнения x-|-3z/ = ху.
5.	Найдите наименьшее натуральное число, которое при де-
лении на 3 дает в остатке 1, а при делении на 4 дает в остатке 2.
6.	Из двузначного числа вычли число, записанное теми же
цифрами, но в обратном порядке, и получили 36. Найдите данное
двузначное число.
С—29. График уравнения с двумя
переменными (п. 23Д)
1. Какой кривой (гиперболой, окружностью, параболой) яв-
ляется множество точек, если уравнение этой кривой имеет вид:
а) (х — 2)2 + (// — 5)2 = 36; б) х2 —у2=18; в) х = у2 — 3?
2. Что представляет собой множество точек, координаты
которых удовлетворяют уравнению у2 = 4х2? Постройте график
этого уравнения.
3. Докажите, что графиком уравнения х2 — 2х-|- у2 — 4у = 20
является окружность. Укажите координаты центра окружности
и длину ее радиуса.
4. Как следует на координатной плоскости переместить ги-
перболу у=—, чтобы ее уравнение приняло вид х2 — г/2 = 24?
23
5.	Как следует на координатной плоскости переместить парЗ'
болу z/ = x2, чтобы ее уравнение приняло вид x = z/2?
6.	Докажите, что графиком уравнения:
а)	х2— z/2 = 6 является гипербола;
б)	х — у2— 5у является парабола.
7.	Постройте график уравнения:
a)	(x-3)2 + (i/-l)2 = 4;	в)х2-у2=10;
б)	х = (у — 2)2;	г) х2 — 9z/2 = 0.
С—30. Графический способ решения
систем уравнений (пп. 12, 24Д)
1.	Является ли пара чисел (6; 7) решением системы
уравнений:
a) f х2 + ху = 78,	б) | x2 + z/2 = 85,
\у2 — ху = 7‘,	( 6х — Зг/ = 15?
2.	Решите графически систему уравнений:
а) Г z/ = x2,	б) Г х2 — у2 = 9,
\у-х=2;	| х2 + (^-3)2 = 25.
3.	Изобразите схематически графики уравнений и определи-
те, сколько решений имеет система:
а) ( у = х2—1,	б) J х2-J- z/2 = 9,
\х = у2— 1;	| (х — 6)2 + у2 = 9.
4.	Докажите, что система уравнений не имеет решений:
а) ( х2 + у2= 1,	б) |x2 + z/2+l=2x-l,
—2х = 2;	(х2 — у2 = Ь.
5.	Решите графически с помощью системы уравнений
(используя подстановку z/ = x2) кубическое уравнение
х3-4х + 3 = 0.
С—31. Способы решения систем уравнений
с двумя переменными (пп. 13, 25Д)
1.	Решите систему уравнений способом подстановки:
а) (х2-^-у2 = 40,	б) Г 2х2— xz/ + 8z/2 = 32,
(x = 3z/;	I х — 2z/=— 3.
2.	Решите систему уравнений:
а) ( х-фz/= 17, б) Г х2 + у2 = 25,	в) ( х2 + х// + г/2 = 75,
( ху = 72;	(xz/=15;	( х2 —xz/ + z/2 = 25.
24
3.	Найдите множество решений системы уравнений:
а) ( 2xz/ + 6x— 5z/=15,	б) ( х2— 5ху + 6z/2 = О,
l4x2-2xz/ + z/2 = 49;	| 2х2 + 6ху-9у2 = 11.
4.	Решите систему уравнений:
а) ( бх2— 6ху-\-5у2 = 29,	б) f(x + 2z/)(3x—z/) = 49,
| 7x2-8xt/ + 7i/2 = 43;	I (% + 2i/) (4х + г/) = 98.
5.	Решите иррациональное уравнение с помощью системы
уравнений, введя вспомогательную переменную:
а) “\/х + 18 — Vх — 3 =3; б) “\/45 — х + У/х — 5 = 8.
6.	Решите систему уравнений:
a) f x2 + xi/ + t/2= 133,
( х + У[ху +у= 19;
^ + ^=15,
х + у	Х—у
-^ + — = 5.
х + у Х—у
С—32. Решение задач с помощью
систем уравнений (п. 14)
1.	Сумма двух чисел равна 29, а их произведение равно 204.
Найдите эти числа.
2.	Периметр прямоугольника равен 116 см, а его площадь
равна 825 см2. Найдите длины сторон прямоугольника.
3.	Из города А в город В автомобиль ехал 2 ч. На об-
ратном пути он ехал со скоростью на 15 км/ч большей, чем из
Л в В, и затратил на этот путь на 20 мин меньше, чем перво-
начально. Найдите расстояние между городами и скорость авто-
мобиля на пути из Л в В и на обратном пути.
4.	Лодка проплыла от одной пристани до другой по течению
реки за 18 мин. На обратный путь она затратила 25 мин. Найди-
те собственную скорость лодки и расстояние между пристанями,
если скорость течения реки равна 1 км/ч.
5.	Два комбайна, работая совместно, могут убрать урожай
с участка за 20 ч. Если бы каждый комбайн работал отдельно,
то первому потребовалось бы на 3 ч больше, чтобы убрать уро-
жай с половины участка, чем второму с одной трети участка. За
сколько часов смог бы убрать каждый комбайн весь участок, ра-
ботая отдельно?
6.	Два поезда отправляются одновременно из С и D навстре-
чу друг другу. Скорость первого поезда на 10 км/ч больше ско-
рости второго. Оба поезда встречаются на расстоянии 28 км от
середины CD. Если бы первый поезд отправился из С на 45 мин
позже второго, то оба поезда встретились бы на середине CD.
Найдите расстояние CD и скорость каждого поезда.
25
С—33. Линейные неравенства
с двумя переменными (п. 26Д)
1.	Известно, что F — множество точек плоскости, координаты
которых удовлетворяют неравенству 6х — 5г/< 11. Принадлежит
ли множеству F точка:
а) Л (0,5; 0); б) В (2; 0); в) С (5; 5); г) 0(17; 10)?
2.	Постройте прямую у = 0,5x4-1- Покажите штриховкой мно-
жество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют не-
равенству у^0,5х+1.
3.	Изобразите на координатной плоскости множество Р, если:
а) Р = {(х~, у)\х— любое число, у>—5};
б) Р = {(х; z/)|x^3, у — любое число}.
4.	Постройте прямую, проходящую через начало координат
и точку А (2; 1). Задайте неравенством открытую полуплоскость,
расположенную выше этой прямой.
5.	Постройте прямую х—2у4~4 = 0 и определите знак выра-
жения х — 2z/-|-4 в каждой из образовавшихся открытых полу-
плоскостей.
6.	Задайте неравенством открытую полуплоскость, которая
выше прямой АВ, проходящей через точки Л(1; 0) и В (2; 1).
7.	При каких значениях а множество решений неравенства
2х-}-ш/-|-4>0 изображается открытой полуплоскостью, распо-
ложенной выше прямой 2х + ш/-|-4 = 0?
С—34. Система линейных неравенств
с двумя переменными (п. 27Д)
1.	Пусть Р — множество точек плоскости, задаваемое систе-
мой неравенств
Г 0,ЗхН-0,5г/— 1 >0,
| 2х — Зг/< 14.
Принадлежит ли множеству Р точка: а) А (10; 8); б) В (2; — 1)?
2.	Изобразите на координатной плоскости множество
С = А QB, если А = {(х; у)\у^0,5х}, В = {(х; у) | у «С х + 2}.
3.	Покажите штриховкой на координатной плоскости множе-
ство точек, координаты которых удовлетворяют системе не-
равенств:
а)	х-4-2,	б) Г у — х — 3^0,
t у<2х + 2;	{г/ —х + 5>0.
4.	Укажите какую-нибудь пару значений k и Ь, при которых
система неравенств
| г/<Зх + 4,
( y^kx-Fb
задает на координатной плоскости: а) полосу; б) угол.
26
5.	Изобразите на координатной плоскости множество
М = К(]Р, если /( = {(%; //)|0<х<5, // — любое число},
/’ = {(%; у)\х — любое число, —З^г/^6).
6.	Постройте треугольник, задаваемый системой неравенств
у— 2x^0,
 у ^0,5хф- 4,5,
у + 2,5х + 4,5 0,
и найдите координаты его вершин.
7.	Задайте системой неравенств фигуру, показанную на ри-
сунке 4 штриховкой.
С—35. Вычисление площадей
многоугольников (п. 27Д)
1.	Изобразите на координатной плоскости треугольник, кото-
рый задает система неравенств
х^О,

2x + z/ — 4^0,
и определите его площадь.
2.	Постройте треугольник, задаваемый системой неравенств
х^5,
• «/>3,
. х + //< 12,
и определите его площадь.
3.	Задайте системой неравенств треугольник АВС, изобра-
женный на рисунке 5, и определите его площадь.
Рис. 5
27
4.	Постройте прямоугольник, задаваемый на координатной
плоскости системой
Г — 4,5^х<: 1,5,
I -2sCz/<4,
и определите его площадь.
5.	Постройте четырехугольник, вершинами которого являют-
ся точки Л (—4; 0), В (0; 5), С (4; 0), D (0; —5). Задайте этот че-
тырехугольник системой неравенств и определите его площадь.
6.	Постройте четырехугольник, который задает на координат-
ной плоскости система неравенств
х^О,
i/>0,
х— 5^0,
и определите его площадь.
С—36. Неравенства высших степеней
с двумя переменными (п. 28Д)
1.	Известно, что F — множество точек координатной плоско-
сти, заданное неравенством 2х34~3//— 6>0. Принадлежит ли
множеству F точка:
а) Л (6; —40); б) В (0,1; —0,2); в)С( — 2; 8); г) D (д/2; д/2 )?
2.	Постройте график функции у = х2— 2. Задайте неравенст-
вом область, расположенную выше графика.
3.	Выделите на координатной плоскости множество точек, ко-
торое задает неравенство z/^(x— 4)2.
4.	Постройте график функции у = (х—1)(х — 4). Определите
знак произведения (х—1)(х — 4) в каждой из образовавшихся
областей.
5.	Задайте неравенством:
а)	круг с центром в точке Л (2; 1) и радиусом, равным 5;
б)	множество точек плоскости, расположенных вне круга с цент-
ром в начале координат и радиусом, равным 8.
6.	Покажите штриховкой на координатной плоскости множе-
ство точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:
а) (х-6)2 + (у+1)2^49;
б) х*-\-у2 — 6х — 8(/— 11 <0.
7.	Изобразите множество точек, координаты которых удов-
летворяют неравенству ху—1^11.
28
С—37. Системы неравенств высших степеней
с двумя переменными (п. 28Д)
1.	Зная, что Р — множество точек координатной плоскости,
заданное системой неравенств
ху + 4>0,
#3 + х<6,
определите, принадлежит ли множеству Р точка:
а)Д( — 1; 2); б)В(-1;3); в) С (— 1,5; — 2); г) D (д/2; у/2).
2.	Изобразите множество решений системы неравенств
х2 + у2<81,
^>х2—9.
3.	Изобразите фигуру, заданную системой неравенств:
а) Г х2 у2^ 16,	б) ( х2-^у2^.25,
(х2 + «/2>4;	(xi/>0.
Найдите ее площадь (с точностью до 0,1).
д п	/ х2 + у2<64,
4.	При каком условии система { „	,	„ задает:
[х2 + /^62
а) кольцо; б) окружность; в) пустое множество?
5.	Изобразите множество Р = А Г|В, если
,4={(х; у)1х2 + у2<25}, В = {(х; z/)|(x-3)2 + (f/-4)2< 16}.
6.	Среди точек плоскости, координаты которых удовлетворя-
ют системе неравенств
у^ х2 А~3х — 4,
у — х— 1 <0,
найдите точку с наибольшей
ординатой и точку с наимень-
шей ординатой.
7.	Задайте системой нера-
венств множество точек, пока-
занное на рисунке 6 штри-
ховкой.
Задайте системой нера-
венств оставшуюся часть
круга.
29
С—38. Неравенства с переменными
под знаком модуля (п. 29Д)
1.	Покажите штриховкой множество точек координатной пло-
скости, которое задает неравенство:
а) У>\х— 1|;	б)
2.	Выделите на координатной плоскости множество точек, ко-
торое задает неравенство:
а) г/> lx2 —4х4-3|;	б) у>х2-|-5 |х|.
3.	Изобразите на координатной плоскости множество Р, если:
а)	Р = {(х; у)\ 1	|х| ^2, у — любое число};
б)	Р = {(х; у)\х — любое число, 3^\у\^4}.
4.	Изобразите фигуру, которую задает на координатной
плоскости неравенство |х| 4~ I£/1 ^2, и определите ее площадь.
5.	Покажите штриховкой множество точек координатной плос-
кости, которое задает неравенство
|//| <х2 + 4.
6.	Выделите на координатной плоскости множество точек, ко-
торое задает неравенство
х2 4-у2— 6 |х| — 4г/12.
Укажите три какие-либо точки, принадлежащие этому мно-
жеству.
С—39. Системы неравенств с переменными
под знаком модуля (п. 29Д)
1.	Постройте фигуру, которую задает система неравенств
Г у>\х\,
Ь<12,
и найдите ее площадь.
2.	Покажите на координатной плоскости фигуру, которую за-
дает система неравенств
( У>\х\,
| у ^0,6х-|- 1,6,
и определите ее площадь.
3.	Выделите на координатной плоскости множество точек, ко-
торое задает система неравенств
| г/> | х2 — 31,
I #<2х.
Укажите координаты точки с наименьшей ординатой и точки
с наибольшей ординатой.
30
4.	Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств:
1 2< |х| <4,
| l^lz/1^5.
5.	Изобразите на координатной плоскости фигуру, которую
задает система неравенств
Г з?+у^2Ъ,
и определите ее площадь (с точностью до 0,1).
6.	Покажите на координатной плоскости множество точек, ко-
торое задает система неравенств
f z/> |х—21,
|(x_2)2 + ^4.
7.	Постройте фигуру, которую задает система неравенств
Г |х — у\ < 1,
| \x-\-y\С 1,
и определите ее площадь.
С—40. Последовательности (пп. 15, ЗОД)
1.	Последовательность (с„) задана формулой n-го члена:
а) c„ = n2-2n;	б)ся=-^1.
Найдите с7, с10, с100, с„+1.
2.	Вычислите первые пять членов последовательности (а„) и
изобразите их точками на координатной прямой, если:
а) а„=—п; б) а„=1,5п; в) ап = п2 — 10.
3.	Последовательность (Ьп) задана формулой:
а) 6„ = 2п —3; б)Ьп = ±п2; в) Ьп=( - 1Г-5.
Найдите первые пять членов этой последовательности и изоб-
разите их точками на координатной плоскости. Где расположены
эти точки?
4.	Выпишите первые пять членов последовательности (Ьп),
a) 6,=4, Z>„+1 = Z>„4-3; б) й1 = 1, />2 = 3, bn+l = bn + bn_t (и>2).
5.	Выпишите первые пять членов последовательности (и„)
натуральных чисел, дающих при делении на 5 остаток 2, взятых
в порядке возрастания. Задайте эту последовательность форму-
лой n-го члена.
6.	Последовательность (а„) задана формулой
а„ = п2 — 24/г + 126.
31
Является ли членом последовательности указанное число и
если да, то каков номер этого члена:
а) 5; б) 7; в) 101; г) 126?
7.	Укажите номера отрицательных членов последовательно-
сти (6„), если
Ьп = п^ — Тп-^-Ъ,
и вычислите эти члены.
С—41. Формула п-го члена арифметической
прогрессии (п. 16)
1.	В арифметической прогрессии а5=—2, а8=10. Найдите
а, и d.
2.	Найдите обозначенные буквами члены арифметической
прогрессии
alt а2, 15, а4, а5, 33, а7, ... .
3.	Артель изготовила в январе 118 изделий, а в каждый сле-
дующий месяц она изготавливала на 8 изделий больше, чем в
предыдущий. Сколько изделий изготовила артель в марте; в де-
кабре?
4.	Встретится ли среди членов арифметической прогрессии
9,2, 8,7, 8,2, ...
число:
а) 7,2; б) 0; в) —0,8?
5.	Между числами 8 и 26 вставьте пять чисел, которые вме-
сте с данными числами составят арифметическую прогрессию.
6.	Найдите номер первого положительного члена арифмети-
ческой прогрессии
— 4,5, —4,1, —3,7, ....
7.	В арифметической прогрессии a5 = 4at. Докажите, что
С—42. Формула суммы первых п членов
арифметической прогрессии (п. 17)
1.	Найдите сумму первых десяти членов арифметической
прогрессии
15,4, 13,8, 12,2, ... .
2.	Найдите сумму:
а)	всех двузначных чисел, больших 50;
б)	всех натуральных чисел, кратных 6 и не превышающих 70.
3.	Найдите сумму первых двенадцати членов арифметиче-
ской прогрессии (а„), если:
а) а, = 3, а15 = 31;	б) а5 = 6, а12 = 27.
32
4.	Найдите сумму всех положительных членов арифметиче-
ской прогрессии
6,5, 5, 3,5 ... .
5.	Найдите первый член и разность арифметической прогрес-
сии, в которой S3 = 42, S7=140.
6.	Из пункта А выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч.
Спустя 3 ч вслед ему отправился мотоциклист, который в пер-
вый час проехал 20 км, а в каждый следующий час проезжал на
1 км больше, чем в предыдущий. Сколько часов потребовалось
мотоциклисту, чтобы догнать велосипедиста?
7.	Решите уравнение, в котором слагаемые в сумме, записан-
ной в левой части, составляют арифметическую прогрессию:
а) 2 + 5 + 8 + ... + %= 155; б) 56+ 50+ 44+ .„ + %=280.
Указание. Найдите сначала номер последнего члена про-
грессии.
С—43. Свойства арифметической
прогрессии (пп. 16, 17, 31Д)
1.	Является ли арифметической прогрессией последователь-
ность (ап), заданная формулой:
а) ал=1,3« + 2; б) ап = п(п— 1); в) ая=^±1?
При положительном ответе укажите первый член и разность
прогрессии.
2.	Четыре числа составляют арифметическую прогрессию.
Найдите эти числа, если известно, что сумма первых трех из них
равна 6, а сумма трех последних равна 12.
3.	Найдите натуральное число, которое в 6 раз меньше сум-
мы предшествующих ему натуральных чисел.
4.	Является ли арифметической прогрессией последователь-
ность (с„), сумма первых п членов которой вычисляется по фор-
муле:
a) S„ = 4«2 + 2n;	б) S„ = 2n2 + 3?
При положительном ответе укажите первый член и разность
прогрессии.
5.	Изобразите на координатной прямой первые пять членов
арифметической прогрессии 0, 2, 4, ... . Напишите уравнение пря-
мой, на которой лежат построенные точки.
6.	Пусть (сл) — некоторая последовательность, a (SJ — по-
следовательность сумм первых п ее членов. Докажите, что если
члены последовательности (с„) изображаются на координатной
плоскости точками, принадлежащими прямой z/ = 2% + 3, то чле-
ны последовательности (5„) изображаются точками, принадле-
жащими параболе у = л? + 4%.
2 — 12523
33
С—44. Формула п-го члена геометрической
прогрессии (п. 18)
1.	Последовательность (Z?„) — геометрическая прогрессия.
Найдите:
а) Ь5, если £>, = 72, <7=|; б) Ь1г если £6=—±, <?=—|-
2.	Найдите знаменатель геометрической прогрессии (Ьп), в
которой:
а) 68= 172, *п = 2-}|;	б) Z>12= — 1458, &15 = 54.
3.	Определите первый член и знаменатель геометрической
прогрессии, если известно, что разность между ее пятым и треть-
им членами равна 360, а разность между четвертым и вторым
членами равна 180.
3
4.	Между числами 75 и вставьте три числа так, чтобы они
вместе с данными числами составили геометрическую про-
грессию.
5.	Второй и пятый члены геометрической прогрессии соответ-
ственно равны 24,5 и 196. Найдите члены прогрессии, заключен-
ные между ними.
6.	Геометрическая прогрессия состоит из девяти членов. Сум-
ма первых трех членов равна 21, а сумма последующих трех чле-
нов равна 168. Найдите сумму последних трех членов.
7.	Четыре числа образуют геометрическую прогрессию, в ко-
торой сумма крайних членов равна 140, а сумма средних членов
равна 60. Найдите эти числа.
С—45. Формула суммы первых п членов
геометрической прогрессии (п. 19)
1.	Найдите сумму первых шести членов геометрической про-
грессии:
а) 18, -6, 2,...;	б)Л/з", 3, Зд/З, ....
2.	Последовательность (а„) — геометрическая прогрессия.
Найдите:
a) S6, если а, = 256, 4=-^ б) S4, если <2, = 5, q=—2.
3.	Найдите сумму первых пяти членов геометрической про-
грессии (Ьп), в которой:
а) />4 = 9, 65 = 27;	б) Ь3=|, £>5 = 2, </>0.
4.	Найдите сумму первых шести членов геометрической про-
грессии, если известно, что —-— = 3 и сумма первых трех чле-
а2 + аз
нов прогрессии равна 26.
34
5.	Найдите первый член геометрической прогрессии, в кото-
рой: а) 34 = 350;	б) 7 = 2, S6 = 441.
6.	В геометрической прогрессии (а„):
а)	найдите q и п, если а{ — 7, ал = 567, Sn = 847;
б)	найдите п и ап, если а, = 64, q=—у, S„ = 43.
7.	Разность между пятым и третьим членами геометрической
прогрессии равна 240, а между четвертым и вторым членами
равна 60. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
С—46. Свойства геометрической прогрессии
(пп. 18, 19, 31Д)
1.	Найдите первые пять членов геометрической прогрессии
(Ь„) и изобразите их на координатной плоскости, если извест-
но, что Ь6 = 4, />8=16 и 7<0, где q — знаменатель прогрессии.
2.	Является ли геометрической прогрессией последователь-
ность (а„), заданная формулой:
а) а„ = Зл+5; б) а„= — 2• 5"; в) ап = 2п — 3?
3.	В геометрической прогрессии с положительными членами
S2 = 8, S3 = 26. Найдите S5.
4.	Сумма трех чисел, составляющих геометрическую прогрес-
сию, равна 49. Если из первого числа вычесть 1, второе оставить
без изменения, а из третьего вычесть 6, то полученные числа бу-
дут составлять арифметическую прогрессию. Найдите исходные
числа.
5.	Найдите четыре целых числа, из которых первые три со-
ставляют арифметическую прогрессию, а последние три состав-
ляют геометрическую прогрессию, причем сумма средних чисел
равна 20, а сумма крайних чисел равна 22.
6.	Сумма первых трех членов геометрической прогрессии
равна 13, а сумма их квадратов равна 91. Найдите первый член
и знаменатель прогрессии.
С—47. Сумма бесконечной геометрической
прогрессии при |q|<1 (п. 20)
1.	Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии,
проверив предварительно, что ее знаменатель удовлетворяет
условию | /у | < 1:
а) |,	1, ...;	б) 0,7, -0,07, 0,007, ....
2.	Найдите первые два члена бесконечной геометрической
прогрессии по известным знаменателю q и сумме S:
а) <?= —у , 5= 14;	б) q =	, 3 = ^2 ф- 1.
35
3.	Представьте в виде обыкновенной дроби число-
а) 0, (4); б) 0, (12); в) 0,2 (6); г) 0,14 (3).
4.	Второй член бесконечной геометрической прогрессии со
знаменателем q, где |</| < 1, равен 21, а сумма прогрессии рав-
на 112. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
5.	Известно, что сумма бесконечной геометрической прогрес-
сии со знаменателем q, где |</| < 1, равна 81, а сумма первых
трех членов этой прогрессии равна 78. Найдите первый член и
знаменатель прогрессии.
6.	Сторона квадрата равна 16 см. Середины его сторон явля-
ются вершинами второго квадрата, середины сторон второго
квадрата являются вершинами третьего и т. д. Найдите сумму
площадей всех таких квадратов.
С—48. Применение метода математической индукции
в задачах на последовательности (п. 32Д)
1.	Последовательность (а„) задана формулой
1
ап=------------.
(2/1—1) (2п+1)
Докажите, что сумма первых п членов этой последовательности
может быть вычислена по формуле Sn = t .
2.	Последовательность задана рекуррентным способом:
fej = 2, &л+1 = />„+ 10п + 5.
Докажите, что эта последовательность может быть задана
формулой Ьп = 5п1 2 — 3.
3.	Докажите, что если Ь} = 5, bn+l — 2b„— 3, то последователь-
ность (Ьп) может быть задана формулой 6„ = 2л-|-3.
4.	Докажите, что любой член последовательности (ап) делит-
ся на 6, если: а) ап — п3-]-35п; б) ап — п3-\-23п.
5.	Последовательность (сп) задана формулой (сп) = 5л—1.
Докажите, что все члены последовательности кратны 4.
6.	Докажите, что при делении на 6 любого члена последова-
тельности
13, 132, 133, ..., 13", ...
в остатке получается 1.
С—49. Возрастающие и убывающие
последовательности (п. ЗЗД)
1. Является ли возрастающей или убывающей последова-
тельность (х„), в которой член хп равен:
а) остатку от деления п на 8;
б) числу, противоположному л?
36
2.	Найдите первые пять членов последовательности («„), за-
2п______________________1
данной формулой дп= ( . Докажите, что последователь-
ность (и„) возрастающая.
3.	Найдите первые пять членов последовательности (Ьп), где
, Зл + 5
Ьп=—. Выскажите предположение о характере изменения
членов последовательности. Проведите доказательство.
4.	Выясните, является ли возрастающей или убывающей по-
следовательность (а„), если:
а) ап= — 6/? + 4; б) а„ = 7п; в) ап = ( — 1)п-п.
5.	Укажите наименьший и наибольший члены, если они суще-
ствуют, последовательности (с„), заданной формулой:
а) сп= 12/г—Г, б) с„ = |; в) с„ = п2 + 2.
6.	При каких значениях а последовательность (д„), где
4п-\-а
и=——- , является:
я +1
а) возрастающей; б) убывающей?
7.	При каких значениях а последовательность (Ьп), где
Ьп = (3п — а)2, является возрастающей?
С—50. Ограниченные и неограниченные
последовательности (п. 34Д)
1.	Является ли ограниченной сверху или снизу последова-
тельность:
а)	двузначных чисел, взятых в порядке возрастания;
б)	натуральных степеней числа 2, взятых в порядке воз-
растания;
в)	остатков, полученных от деления номера члена последова-
тельности на 4?
2.	Докажите, что последовательность (с„), где с„ =	,
п + 5
является возрастающей и ограниченной сверху.
3.	Докажите, что последовательность (х„), где	$ ,
zz-|-3
является убывающей и ограниченной снизу.
4.	Является ли ограниченной последовательность (сп), если:
а) + = б) = в) сп = 2п — 3?
5.	Докажите, что последовательность (дл), где и„ = п2 — 8« +
+ 17, ограничена снизу и не ограничена сверху.
6.	Укажите, если возможно, какой-либо промежуток (а; с), где
а и с — некоторые числа, которому принадлежат все члены после-
довательности (Ьп), если:
37
с—51. Сходящиеся последовательности (п. 35Д)
1. Является ли сходящейся последовательность:
а) 3, 6,
6)4,
4
2. К
9, Зп,
_1_
’ 6 ’ "
какому
а) «„=12+1;
гг
(сп), если:
1
2п ’

Проведите доказательство.
предела, докажите, что:
,, ..	п 1
б) im ----.
' 5п +1	5
получается путем отбрасывания
1 _1
4 ’	9 ’ ’
числу сходится последовательность
б)с„=15—1; в) с„ = 1-?
3.	Последовательность (х„) задана формулой хп =	 Ука-
жите наименьший из номеров членов последовательности, для
которых выполняется неравенство \х„— 2|<0,1.
4.	Вычислите первые шесть членов последовательности (а„),
., ,		3zz -|-1	~
заданной формулой ап = —-—, и изобразите их точками на коор-
динатной прямой. Какое предположение о пределе последова-
тельности (а„) можно сделать? ”
5.	Пользуясь определением
a) lim-----= 4;
п
6. Последовательность (а„)
в бесконечной периодической десятичной дроби 0,666... всех деся-
тичных знаков после запятой, кроме одного, кроме двух, кроме
трех и т. д., т. е.
а, = 0,6, а2 = 0,66, «3 = 0,666, ..., а„ = 0, 66 ... 6, ....
гт	1-	2
Докажите, что lim«„ = -g.
п раз
С—52. Функция у = х" (п. 22)
1.	Постройте график функции:
а) У =	б) г/=1(х—2)4.
2.	Зная, что /(х) = х80, сравните:
а) /(2) и /(5);	в) f ( - 58) и f (58);
«/©-/(I) и/(Ч)-/(-».
3.	Пусть g(x) = x73. Сравните:
а)	(12) и g (15);	и ё (?);
б)	g(-2) и g(-5);	r)g(4)
4.	Сколько корней имеет уравнение:
а) х100 = 2; б) х" = 2; в) х48=-2?
38
5.	Изобразите схематически график функции:
а) у= | х3|;	б) у=± |х4 — 11.
6.	Решите уравнение: а) х3 = 4х; б) х4 = 4х.
7.	Принадлежит ли графику функции у = х'° точка:
а) А (2; 1024); б) в(-|; -±-\ в) С (-6; 6046674)?
С—53. Определение корня n-й степени (п. 23)
1. Найдите значение выражения:
а) д/0,36; б) Д/729; в) д/ —216; г) ^0,0016.
2. Вычислите:
3. Укажите два последовательных целых числа, между кото-
рыми заключено число:
4. Сравните числа:
а)	"\/0,5 и Д/0,5 ;	в) д/1,2 и Д/1,2 ;
б)	"\/0,5 и ;	г) Д/1,2 и “\/1,2.
5.	Постройте график функции:
4	3 --- 4 ------------ 4 -----------
а) У=\х< б) у= у|х| ; в) у=\х— 1; г) у=\1— х.
6.	Найдите корни уравнения Vl%l —2 = 1.
7.	Найдите область определения функции:
a) z/ = Vx + 3; б) у = у]х-\-3\	в) y=\jx — x2-, г) у = ^]х2 — х.
8.	Решите уравнение:
а) х3 = 7; б) х6 = 4; в) х8-х4-20 = 0.
.___________________________________________	3__	3 —
9.	Постройте график уравнения: a) x=yz/; б) \х = \у.
С—54. Свойства арифметического корня (п. 24)
1. Докажите тождество:
2. Представьте выражение в виде одночлена:
а) ~\/16а4£>2, если Ь^0;	в) Д/81а4Ь12, если а^0, 6<0;
б) Д/9а268, если а^.0;	г) Д/32а12/>15.
39
3. Вычислите:
а) Д/625-0,0016;
5
3
310-55
45	’
4. Представьте выражение в
под знака корня множитель:
а) Д/ЗЙ7; б) Л/W; в) д/8077;
5. Представьте выражение в
4 I-
о Vo-W)2 -Vn-W-
виде произведения, вынеся из-
г) V — 49Х5, где х<0.
виде дроби:
а
0.
п , д / as610
где г/<0; г) \/-----
V 243с15
6.	Докажите, что верно равенство:
a) yja2b =a"\[b, если а^О; б) у/а2Ь = — ал/F, если «С
7.	Вынесите множитель из-под знака корня:
а) "\]4х3, если х<0; б) "\/5а4612, если а<0, Ь<0.
8.	Упростите выражение:
a) Wб) 7 * б) VW; в) Vv?, где а 0; г )	, где
&<0.
9.	Решите уравнение:
_	4 _	_	4
а) ух— ух=0; б) ух—Д
4
10. Представьте выражение
в виде дроби и найдите
значение выражения при:
а) а = 4; б) а = — 4.
С—55. Определение степени
с дробным показателем (п. 25)
1.	Представьте степень с дробным показателем в виде корня:
1 1 _1
а) 212; 53; 18~4;
б) х3; у 5; р\	г) (х —2)7; (х + 3) 4; (у — 5)1,5.
2. Замените арифметический корень степенью с дробным по-
казателем:
в) Зх3; — 5i/0-5; (6с/)0'25;
з
40
3.	Найдите значение выражения:
а) 162; б) 1253; в) 3-16^; г)4-(1^)2
4.	Найдите область определения функции:
а) у = (х — З)4;	б) z/ = (x + 5)3.
5.	Постройте график функции:
a) г/ = (х + 2)2;	б) у=(х- 2)3.
6.	Расположите в порядке возрастания числа:
а> (+ (+ (+ G+ б) ‘'5”; Ь5’
1
7.	Оцените значение выражения х4, если:
а) 0<х<16; б) 1<х<81; в) 0,0001 <1х< 1.
С—56. Свойства степени
с рациональным показателем (п. 26)
1. Представьте в виде степени:
2
— —	( 1\з	1 2
х2х3; б) \х / ; в) *2 ' х3',
2. Упростите выражение:
1 2
а2а3а15
4	’
3. Найдите значение выражения:
г) (Я
б)
( 1\0'75
й2,86-3,2
а) О,5^о’5-4°'25 — 32°-4-16-°’75;
. 1253-6254-2 —0,75
} 0,5 ~ 0,25 • 0,25 ~ 0,5 '
4.	Представьте выражение в виде квадрата и в виде куба, ес-
ли /?>0:
в) + ; г) Ь5.
уравнение:
б) Ь;
ь5-,
5.	Решите
2	1	__
х3-5х3 +6 = 0;	б) £/ —21г/3 — 20 = 0.
6.	Постройте график функции:
у = \ (х+ I)2 - 1 |;	б) л/ = (|х| —2)+
7.	Представьте в виде суммы квадратов выражение
2	111
а3 + 4а2+6а3+4а6 + 1.
41
8.	Постройте график уравнения:
1 11
а) х = у3’,	б) х2 — у2,
С—57. Преобразование выражений, содержащих
степени с дробными показателями (п. 27)
1.	Разложите на множители:
1	_2	_2	3	3
а) х-2х2 ; б) r/°’5 * + 3z/0’25; в)а3-4*3; г) c4 + 8dT.
2.	Представьте выражение в виде степени с натуральным по-
казателем:
1	।
а)	а2 + 4а4 +4;
1	2	11	2	1
б)	x2-5xV + Юх0,3//5 — Юх^ + бх0’^5-/.
3.	Сократите дробь:
,	а — 9х	. Ь — у к х — Зх0,8
а) а0,5Зх0,5 ’ В)	1 Л> 5х0,5—15а0,3 ’
Ь3—у3
х‘’5 + 27	, а — Ь ,	Зх2+6
б> х_37.5+9; г>-—г; е)—— •
а4 —Ь4	х —х2 —6
4.	Представьте выражение в виде степени с основанием Ь:
5. Докажите, что значение выражения
11 1
22-(4 + д/8)3-(3-21/2 )6
является целым числом.
6. Упростите выражение:
1 / 1
г>2_4	/ ь2	*4-16
_1_	’ I	J_	26 — 32
b-2b2 — 8	\262 —8
6 4-462
12 12
а7 +а7 -|-а7 4-а7
°	2 2 1
а7 -|-а7 +а7 + 1
7. Постройте график функции:
_i_
а) у= |х|3;	б) у = IVl-^l —3 I •
42
С—58. Определение синуса, косинуса, тангенса
и котангенса (п. 28)
1. Найдите значение выражения:
а) 7 sin 0° 4-4 cos 90° — tg 45°;
б) 3 cos 180°4-2 sin 180o4~tg 0°;
в) 5 tg 360° 4-2 sin 90°-3 cos 270°.
2. Верно ли неравенство:
a)	sin 60°4-sin 45°> 1;
6)	cos 60° — cos 45° <0;
в)	sin 45° + sin 60°>2;
r) sin 90° — sin 30°<4 ?
’	4
3. Может ли синус угла
принимать значение, равное:
\ л/т 1	\	1	\ 1 н-л/з” ->
а)^; 6) Л/3-1; в) ; г) ^-?
4.	Известно, что а = 30°. Найдите:
a) sin а; б) sin 2а; в) 2 sin а; г) sin2 3 4 а.
5.	Найдите значение выражения:
a)	sin2 а4~2 cos а4~3 sin (а4~30°) при а = 60°;
б)	tg2 а4~ cos2 а4-sin2 2а при а = 45°;
в)	sin 2а4-2 sin а — sin(a-|-30°) при а = 30°.
6.	Укажите наименьшее и наибольшее значения выражения:
а) 54-sin х; б) 4cosx4-l; в) 24-cos2 х.
7.	Укажите три каких-либо значения а, при которых:
a) sina = 0; б) cosa=l; в) sin a= — 1.
С—59. Свойства синуса, косинуса, тангенса
и котангенса (п. 29)
1. Определите знак выражения:
а) sin 115°• cos 205°;	в) sin 206°4~cos 110°;
б) cos91°-ctg 105°;	г) cos 127° — sin 127°.
2. Углом какой четверти является угол а, если:
а) sina>0 и cosa<0; б) sin a>0 и tga>0?
3. Найдите значение выражения:
а) 2 sin ( — 30°)4-cos ( — 60°) —4 tg ( —45°);
б) УЗ sin (-60°)-4 cos (-60°)4-6 УЗ ctg (-30°).
4. Вычислите:
а) 4 sin 390° 4- 2 cos 420° — tg 765°;
б) 5 sin 450° — 3 cos 720° + 6 tg 405°.
43
5.	Известно, что у<а<л. Сравните с нулем значение выра-
жения:
a) sin a cos2 а; б) sin а cos а tg а; в) sin а —cos а.
6.	Зная, что sina = a, найдите:
a) l + sin( — а); б) sin (а + 720°); в) sin (360° —а).
7.	Какой координатной четверти принадлежит угол а, если
sin а + cos а= 1,01?
Ответ обоснуйте.
С—60. Радианная мера угла (п. 30)
1.	Найдите радианную меру угла, равного:
а) 60°; б) 72°; в) 75°; г) 150°; д) 210°.
2.	Найдите градусную меру угла, радианная мера которого
равна:
а) б) в) ^-л; г) 1 -|л; д) Зл.
3.	Углы треугольника пропорциональны числам 1, 2, 7. Най-
дите их радианную меру.
4.	Имеет ли смысл выражение:
а)	^\/sin а -|-V — cos а , если у < а < л;
. ycos а	Зл	о -.
б)	т--— = , если —<а<2л?
у—2 sin а
5.	Определите знак выражения:
a)	6л	Л sin — * cos 3-; /	о	, . 7л ,	л r) sin-g-H-cos-g ;
6)	7л . 2л sm-.tg-;	, . 7л	5л д) sin -g—cos — ;
в)	sin 1 • cos 2;	e) sin 2 + cos-|-.
	6. Верно ли, что:	
a)	sin y + sin -^-<1,5; 6	4	6) cos y-sin 4< 0,75? 4	о
7. Найдите значение выражения:
. / л\ , Л	л
sin ( —- ) + cos — — 2 tg —
\-7 а „ , л . о • л .	,	\ 4 /	4	4
а) 7 cos тс — 2 tg — + 3 sin — — 4 cos л; в)-
2	4	6	„ . л
3 sin -g- —cos (— л)
_ . 9 Л	9 Л	. . Л	/ Л\	Д
5 sin2 — — cos2—	4 sin — — cos ( — — U-ctg —•
3	6..л.л	x о \ о/ 4
ir>----------------6---------
3 sin — cos — cos —
4	4	3
44
С—61. Выражение тригонометрических функций угла
через одну из них (п. 31)
1.	Найдите значения тригонометрических функций угла а,
если известно, что:
a)	sin а= ——, л<а<—;	в) tg а= —— , у<а< л;
б)	cosa = -^-, -^<а<2л;	г) ctga = 2,4, 0<а<у.
2.	Используя калькулятор, вычислите (с точностью до 0,1)
значения тригонометрических функций угла 0, если извест-
но, что:
a)	sin 0 = 0,7, у<р<л;	в) tg 0 = 2,1, О<0<^;
б)	cos р =—0,9, лсрс-^-;	г) ctg0 =—7,3, у<р<л.
3.	Могут ли:
а)	синус и косинус некоторого угла равняться соответственно
а ~\li 4-2а	1	,
Т+7 и -Т+^-’ где а>“2 и а^-1;
б)	тангенс и котангенс некоторого угла равняться соответст-
венно —=--- и —== , где Ь=£0?
V17-1	&V17+&
4.	Зная, что sin а= 1 —а2 и 90°<а< 180°, найдите cos а, tg а
и ctg а. Укажите область допустимых значений а.
5.	Известно, что ctg a = b. Выразите sin a, cos а и tg а через Ь.
5
6.	Зная, что tga = —, найдите значение выражения
6 sin а + 5 cos а
3 cos а — 2 sin а
С—62. Применение основных тригонометрических
формул в преобразованиях (пп. 31, 32)
1.	Упростите выражение:
a) tg a ctg аф-tg2 0;
б)	ctga ;
tg а + ctg а
в) sin a tg a + cos а;
г) ctg2 p + cos2 0----
2.	Найдите значение выражения:
a)	tg a (ctg a + cos а), если sin a=—0,3;
sin a — cos a	,	„ _
6)		, если tga = 0,5;
sin a-|-cos a
. 5 sin a cos a — 3 cos2 a	,	, _
в)		------------— , если tg a= 1,2.
2 sin a cos a + sin2 a
45
3.	Укажите наименьшее и наибольшее значения выражения:
а) 3 sin2 a + cos2 а; б) 3 — sin2 а+2 cos2 а.
4.	Докажите, что при всех допустимых значениях а верно ра-
венство:
tg »	cos а 1 + sin а
5.	Зная, что sina=y, найдите значение выражения:
a) tg a ctg a cos4 a;	б) — a + ctg a
tg a —ctg a
6.	Докажите тождество:
. sin4 a — cos4 a	2	cos a cos a	o ,
a) —;——2------= — cos a;	6)-----------------= — 2 tg a.
1—tg a ,	1-j-sina 1—sin a
7.	Верно ли, что tg a + ctg a + 2, если 0<a<-2-?
C—63. Преобразование тригонометрических
выражений (п. 32)
1.	Упростите выражение:
, cos4 a—sin4 a + sin2 a
a) ------------------;
ctg2 a
2.	Известно, что sin a = b.
a) cos2 a; 6) cos4 a; в) cos6 7 a.
3.	Докажите тождество:
. 2 cos4 a-|-6 sin2 a _
a)	. 4 , . 2 , , =2;
sin a + stn a-j-1
gx (1 + ctg2 a) (1 — sin2 a)
ctg2 a
Выразите через b:
6)	' ~ts‘n a + COS a)2 _ 2 tg2 a
sin a cos a —ctg a
4. Зная, что sin a + cos a = 1,2, найдите:
a) sin a cos a;	6) sin3 a + cos3 a.
5. Зная, что tg a — ctg a = 0,3, найдите:
a) tg2 a + ctg2 a;	6) tg3 a — ctg3 a.
6. Докажите, что
1 — cos a
1 + cos a
1 -I- cos a n	,	_3л
—!----=2 ctg a при n<a<— .
1 —cos a
7. Найдите наибольшее значение выражения:
4	~ д	,, 0,5 —0,5 cos4 a
а) 3 cos a — 3 sin a;	6) ——------2--•
’	l+cos2a
46
С—64. Формулы приведения (п. 33)
1. Вычислите:
a) sin 420°;	,	. 7л д) sin — ; О	и) sin ( — 210°);
б) cos 150°;	х	5л е) cos —; О	к) cos(-^-);
в) tg 135°;	Ж) tg^;	л) tg( —225°);
г) ctg 405°;	з) ctgу-;	м)
2. Замените тригонометрической функцией угла а:
а)	sin(-r+a);	г) sin(a-0
б)	cos (л — а);	д) cos (а — 2л);
в)	tg(n-l-a);	е) ctg (а — л).
3.	Найдите значение выражения:
a)	cos 420°+ 2 sin 750° — 3 tg 225°;
б)	sin-—cos——1-6 tg-;
в)	3tg(—^) + 4cos(-^)-8tg(-^).
4.	Упростите выражение:
a) 1—|—sin (л-|-a) cos Q- — а);
cos (а-|-л) sin	— cos2 ^у—
tg (а —п) sin (у + а)
5. Докажите тождество:
a) sin (л —a) tg (л 4-а)-i----=— cos а;
cos (2л — а)
sin (л — а) cos (а — 2л) sin (а —2л)	„
6 2 —77—\-------------7з4—\ = s 1 п а•
sin ( — — а) ctg (л —а) ctg t-у-Да)
12
6. Зная, что sin а=^, найдите тригонометрические функции
смежного угла, если:
а) а — острый угол; б) а — тупой угол.
7. Известно, что А, В и С — углы треугольника. Верно
ли, что:
a) sin (Л 4-В)== sin С; б) sin ^у 5 =cos у ?
47
С—65. Формулы сложения (п. 34)
1.	Вычислите с помощью формул сложения:
a) sin 105°; б) cos ; в) sin (—15°).
2.	Найдите значение выражения:
a)	sin 11° cos 19° + sin 19° cos 11 °;
6)	cos 41° 30' cos 18° 30' — sin 41° 30z sin 18° 30';
, . 13л	6 л	13л . 6л
в)	Sin -у- cos ——cos—— sin — .
3.	Найдите:
x / л \	8	3л
a)	cos (——а), если cos a———, л<а<С—;
\3	/	17	2
/ л \	9 л
6)	sin(a + —к если sin a = —, — Са<л..
24	4 л	л
4.	Зная, что sin a = —, sin fj = — , — <a<n, 0<p<—, найдите:
zt)	о 2.	z
a) sin(a + 3); 6) cos(a — 0).
5.	Пользуясь формулами сложения, проверьте, что:
a) sin (л: — a) = sina;	б) cos —а) =—sin а.
1	2
6.	Зная, что tga=-g, tg0=—, найдите:
a) tg(a + p);	б) tg(a —0).
9	4
7.	Известно, что cos(a4-0) =——, cosa = -^, 0<a
Г7 41	5
О<0<у. Найдите cos 0.
С—66. Применение формул сложения
в преобразованиях (п. 34)
1.	Упростите выражение:
а)	cos 7a cos 2a — sin 7a sin 2a;
6)	cos 0^-—a) cos 0?-+a) —sin 0Д- —a) sin 0^+a);
в)	sin(a + 0) —sin(y—a)cos(y—p).
2.	Косинусы двух углов треугольника равны соответственно
12 з
-уз и —. Найдите косинус третьего угла.
3.	Докажите тождество:
а)	2 sin	-ф а) — д/JTsin a = cos а;
48
6)	sin (а + Р) sin (a—P) + sin2 0 = sin2 а;
sin (а + р) —2 sina cos p
в)		= t g (8 — a).
2 cos a cos p— cos (a-f- P)
4.	Докажите, что:
a)	cos 10° cos 20°4-cos 70° cos 80° = cos 10°;
6)	sin 25° sin 72° — sin 18° sin 65° = sin 7°.
5.	Зная, что tg 67 + а>) = т - найдите:
a) tg a; 6) ctg a.
6.	Известно, что tga=l-^-, tgP=9, 0<a<y, 0<p<y.
Определите величину угла a + p.
С—67. Формулы двойного угла (п. 35)
1. Вычислите:
а) 2 sin 15° cos 15°;
б) 4sin-^cos-^;
в) 6 sin 75° cos 75°;
г) cos2 165° — sin2 165°;
д) Д/F cos2^-^ sin2 ;
е) (sin 195° —cos 195°)2.
2.	Найдите sin 2a и cos 2a, если sina = -|-, ^-<а<л.
24	л
3.	Известно, что cosa=—, 0<а<—. Найдите cos 2а и
tg 2а.
4.	Сократите дробь:
sin 80°	cos 116°	. sin 110°
-----; б)--------------; в)--------.
sin 40° sin 58°cos 58° cos 35°
5.	Упростите выражение:
а) 2cos2j—1;	в) 4 cos4 a + sin2 2a;
l + cos2a	r) 1~tg,a — cos 2a.
°) --1’	l+ta2a
6.	Докажите тождество:
а)	(1 + cos 2a) tg a = sin 2a;
6)	cos 2a —(cos a + sin a)2 Д-2 sin2 a = sin2 a;
1 — tg a
1
1 +tg a
tg 2a.
7.	Существует ли угол a, для которого:
а) sin a cos a = -|-;	6) 2 cos2 a —2 sin2 a = 2,06?
49
С—68. Применение формул двойного угла
в преобразованиях (п. 35)
1.	Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
а) 6 cos4 а —6 sin4 а; б) 1—8 sin а cos а.
2.	В равнобедренном треугольнике синус угла при основании
равен —. Определите синус и косинус угла при вершине.
3.	Упростите выражение:
ч \2	/	12	,	\2 J
а) ------------ ; б) ------ ; в) ------------------
sin a	1—tP1 2—	cos а + sin а
ё 12
4.	Найдите:
2
a)	sin 2а, если sina + cosa = y;
.	.a al
б)	sin а, если sin— — cos y = —.
5.	Зная, что sin a = а, выразите sin 3a через a.
6.	Докажите тождество:
, ,	,	cos3 4 a — cos 3a .
a) tg 15 + ctg 15 =4;	6)———— = tga.
sin a-f-sin 3a
7.	Докажите, что:
а) 8 cos 20° cos 40° cos 80°= 1;	6) cos cos	cos ^- = -3-.
5	5	5	8
C—69. Формулы суммы и разности
тригонометрических функций (п. 36)
1. Представьте в виде произведения:
а) sin 46° —sin 14°;	в) cos (60° Д a) —cos а;
б) cos •£+cos	г) sin ^ + a^ + sin —а
2. Найдите значение выражения:
. cos 78°-cos 12°	sin 126° + sin 114°
а) ------------;	б) -------------- .
sin 78° — sin 12°	cos 126° +cos 114°
3. Преобразуйте в произведение:
а) sin 18° + cos64°;	в) sin 104°-cos24°;
б) cos 6° + sin 86°;	г) cos 48° — sin 16°.
4. Упростите выражение:
. cos 53° — cos 17°
а) -------------;
sin 53°+sin 17°
50
. sin a + sin 5a + sin 9a + sin 13a
B)		 .
cos a + cos 5a + cos 9a + cos 13a
5.	Верно ли, что:
a)	cos 135° + cos 87°-|-cos 15° + cos 93° = cos 75°.
6)	sin 23° + sin 91°4-sin 37° — sin 89° = cos 7°?
6.	Докажите, что:
a)	sin 26° + sin 34° — cos4° = 0;
6)	cos 87° + cos 33° — cos 27° = 0.
7.	Докажите тождество:
a)	sin a + sin p + sin (a— P) = 4 sin cos cos a 2
cos (a + P) + cos (a —P)
6)		= ctg a.
sin (a + P) + sin (a—₽)
ВАРИАНТ II
С—1. Четные и нечетные функции (пп. 1Д, 2Д)
1.	Докажите, что g— четная, а / — нечетная функция, если:
a)	g(x) = 9x6 + 5;	в) g (х)= |х + 8| Д- \х— 8|;
б)	f(x) = 8x7 — х3;	г) /(х)= |хД-7| — |х—7|.
2.	Является ли четной или нечетной функция <р, если:
а) ср (x) = x5-f-1; б) ср(х) = -^; в) ср (х) = х4-|-5х2 —3?
3.	Постройте график функции g, зная, что при х^О ее значе-
ния могут быть найдены по формуле:
а)	g(x) = Jc + 0,5 и g — четная функция;
б)	g(x) = y/T и g — нечетная функция.
4.	Известно, что функция f четная и она принимает значения,
равные нулю, при х= —8 и х= 11. Укажите другие значения ар-
гумента, при которых / (х) = 0.
5.	Известно, что уравнение g(x) = 0, где g — нечетная функ-
ция с областью определения R, имеет положительные корни 5 и
7. Найдите неположительные корни уравнения.
6.	Функция у = х2-\-Ьх— 6, где b — некоторое число, является
четной функцией. Найдите значение Ь.
С—2. Монотонные функции (пп. 2, 2Д)
1.	Функция g, область определения которой промежуток
[ —3; 3], задана графиком на рисунке 7. Укажите промежутки, на
которых функция g\
а) убывает; б) возрастает.
2.	Какая из линейных функций z/ = 37 —х и z/ = 43x + 9 явля-
ется возрастающей, убывающей и почему?
3.	Докажите, что функция f (х) = 6 — х2 является возрастаю-
щей на промежутке [—оо; 0] и убывающей на промежутке
[0; 4-оо].
4.	Укажите промежутки возрастания и убывания функции
5. Определите характер монотонности функций у = —х + 8 и
у=—х3. Докажите, что функция у = 8— х — хл убывающая.
52
Рис. 7
6. Известно, что уравнение /(х)=13, где / — монотонная
функция, имеет корень, равный —2. Имеет ли это уравнение
другие корни?
С—3. Ограниченные и неограниченные
функции (п. ЗД)
1.	Приведите пример ограниченной функции, построив ее
график.
2.	Докажите, что функция у = —^х является ограниченной,
л -р 1
Найдите область значений функции.
3.	Функция у = 2 — |х—31 является ограниченной сверху. По-
кажите это, построив график функции. Укажите наибольшее
значение функции.
4.	Докажите, что функция у = —~у, где £)(у) = (1; 4-оо), не
имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения.
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а) г/ = х2 —4, где £)(#) = [ —5; 5];
б) z/ = x3 —6, где О (//) = [ — 5; 5].
6. Укажите значение аргумента, при котором функция
у = У[х-\-2 —4 принимает наименьшее значение. Существует ли
наибольшее значение функции?
С—4. Исследование функций
элементарными способами (п. 4Д)
1.	Найдите область определения и область значений функ-
ции:
3) =	б) У== х-7 ’ ъ)у = У/х + 2+-.
2.	Найдите нули функции и области положительных и отри-
цательных значений, если:
а) у = Х‘ — 36х;	б) у = '\/х24-5х — 14 .
53
3.	Найдите горизонтальные и вертикальные асимптоты гра-
фика функции:
. 4х	—	№ + 36
а)^ = т^з;	б^У = ^2Г-
4.	Изобразите схематически график функции g, зная резуль-
таты исследования этой функции:
1)	£>(£) = [ —5; 5];
2)	g—непрерывная четная функция;
3)	£(g) = [-2; 2];
4)	g (4) = 0; g(x)<0 при х£[0; 4); g(x)>0 при х£(4; 5];
5)	функция возрастает на промежутке [0; 5];
6)	для любых х, и х2, таких, что 0^Х|<х2^5, выполняется не-
/Х|+%2\ g(X\) + g(x2)
равенство g	.
Замечание. Если х, и х2 принадлежат промежутку [а; Ь]
и для них выполняется неравенство
g (x,)+g (х2)
2
g
то график функции будет выпуклым вверх; если же выполняется
неравенство
/х,+х2\ Р- (xj + g (х2)
S \ 2	2
то график будет выпуклым вниз (т. е. вогнутым).
С—5. Квадратный трехчлен и его корни (п. 3)
1.	Найдите корни квадратного трехчлена:
а) х2 — 5х — 24; б) 12х2 + х — 35.
2.	Составьте какой-нибудь квадратный трехчлен, корнями
которого являются числа:
а) —8 и 7; б) 4 — д/б” и 4+^/5”.
3.	Выделите квадрат двучлена из трехчлена:
а) х2—10х + 8; б) Эх2-)-12х-|-29.
4.	Докажите, что при любом а квадратный трехчлен:
а)	а2—14а-|-51 принимает положительное значение;
б)	—а2 + 8а — 21 принимает отрицательное значение.
г тт «	й	108 + 366-Й2
5.	Найдите наибольшее значение выражения ---------—----.
144
6.	Найдите наименьшее значение функции z/ = x2-|-5x на про-
межутке [ — 3; 0].
54
С—6. Разложение квадратного трехчлена
на множители (п. 4)
1.	Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) За2 + 20а-63; б) -b2 + 2b + 15; в) с2-с-28.
2.	Докажите тождество
(х2 —6xi/ —16i/2)(x —ЗД _
(х2— llxi/ + 24i/2) (х-f-2у)
3.	Сократите дробь:
ч х2—144	4i/2—19г/ —30
-4	-------• б 1 —----------; т
......	’ 12г/2—13г/ —35
Упростите выражение
х2 + Зх — 30
0,5х2-4,5х-18 —
Найдите значение дроби
71/ —105
------------------------- при
у2- 55у + 600 г
Постройте график функции у-
х2 — х — 156 ’
4.
5.
6.
3(а —&)2 —17(а—fe)—6
5а — 5Ь — 30
х+8
х—12 ‘
У =89.
_ х3 — х2 — 4х + 4
'	4^7
С—7. Функции у = ах2, у = ах2Д-п, у = а(х— т)2
и их графики (пп. 5, 6)
1.	Функция g задана графиком (рис. 8). Постройте график
функции:
a) y = 2g(x\
2.	Заполните таблицу:
б) У = ^ё(х).
X	0	1	2	3	4
У = х2					
y=ix2					
Учитывая свойства графика четной функции г/ = х2, построй-
те график функции z/ = jx2.
3.	Принадлежит ли графику функции у=— 20Х2 точка:
а) А (2; -80); б) В(-3; 180); в) С ( — 4; -320); г) D (0,4; -0,32)?
4.	Постройте график функции:
а) у=У-^ — 2; б) г/ = ^-№Н-1; в) у =
К г) г/ = 1(х-2)2.
55
5.	Изобразите схематически график функции:
а) </ = 1(х-2)2+1:	б) </ = 1(х+2)2~2.
6.	Постройте график функции:
а) у= — 2д/х;	б) г/ = 3|х|.
С—8. Построение графика
квадратичной функции (п. 7)
1.	Постройте график функции:
a) g(O = (* + 2)2—1;	б) /(х) = (х—4)2-|-1.
2.	Найдите ось симметрии и координаты вершины параболы:
a) z/ = x2 —4х-|-5;	б) у = — 6х2-|-4х — 5.
3.	Используя график функции g (задание 1а), найдите:
а) нули функции и промежутки, в которых g(x)<0 и g(x)>0;
б) промежутки возрастания и убывания функции;
в) область значений функции и ее наименьшее значение.
4.	Найдите область значений функции:
а)у = х2 —7x4-3;	б) у=— х2-|-8х — 5.
56
5.	Изобразите схематически график функции:
а) у = \/х — 4-,	6)z/=|x|-j-2.
6.	Найдите значение параметра q, при котором наименьшее
значение функции y = x?-\-\2x-\-q равно —21.
С—9. Построение графиков
различных функций (п. 5Д)
1.	Постройте график функции:
— х — 3, если х< —2,
— х2 + 3, если — 2<Д<Д,
х— 3, если х>2.
2.	Проведите исследование и постройте график функции
=	—4-
3.	Постройте график функции у = |х-|-3| + |х— 3|.
4.	Найдите область определения функции
1 1
х—3	*4-3
- 1
х2 — 9
и постройте ее график.
5.	Постройте график какой-нибудь убывающей непрерывной
функции g, у которой Д(£) = [— 4; 4], £(§) = [— 5; 5], число 5 —
наибольшее значение функции, а число —5 — наименьшее ее
значение.
С—10. Графики функций у = — f(х), у = Ц—х),
у = — f(—х) (п. 7Д)
1.	Постройте в системе координат отрезок ^Л, если известно,
что /((— 2; 2) и L (6; 2). Постройте в этой же системе координат
отрезок:
a)	симметричный отрезку KL относительно оси х;
б)	К.2С.2, симметричный отрезку АД относительно оси у.
2.	Графиком функции / служит ломаная АВС, где
т4( —4; —1), й(1; 5), С (4; 5). Постройте график функции:
а) £/=—/(х);	б) y = f(-х).
3.	Постройте график функции:
а) у= — |х — 2|;	б) z/ = V~ х —3.
__з
4.	Докажите, что график функции у = —-— симметричен:
а)	графику функции z/=l,5 —2,5х относительно оси х;
5x4-3
б)	графику функции у=------=— относительно оси у.
57
5.	Докажите, что графики функций у= и у = сим-
метричны относительно оси у.
6.	Найдите области определения функций / (х) = \х —10,
g(x) =—У/х— 10 и <р (х) = Д/— х— 10 .
7.	Известно, что область определения функции y = f(x) —
промежуток [ —10; 5]. Какова область определения функции:
а) //=—/(%); б) y = f(-х); в) у=— f(-х)?
С—11. Графики функций у= | f (х) |
и у = f(lx|) (п. 8Д)
1.	Графиком функции y = g(x) является ломаная KLM, где
К( — 3; 4), Л(0; —2), М (3; 4). Постройте график функции
У= 1g (*)1 
2.	Ломаная АВС, где А ( — 6; 2), В ( —2; —2), С (2; 2),— гра-
фик функции y = f(x). Постройте график функции y = f(\x\).
3.	Постройте график функции:
а) у = |х + 3|; б) г/=|х2 —7|; в) z/ = |-^ — 4 |.
4.	Постройте график функции:
а) у=\х\ — 4; б) — 4; в) у = | |х — 11 — 11.
5.	Сколько корней имеют уравнения:
а)	5х — 2 = 0 и 51 х | — 2 = 0;
б)	х2 — 6х = 0 и х2 — 6|х| =0;
в)	х2- 10х + 21 =0 и х2- 10|х| +21 =0;
г)	yJx-7 =2 и д/1лг| — 7 =2?
6.	Решите уравнение:
а) | |х—3| —2| = 1; б) х2-6|х|+5 = 0.
С—12. Высказывания и предложения
с переменными (п. 9Д)
1.	Из данных высказываний выберите истинные:
а)	|>0,21;	в) ЗЛ/5“<5Л/3;
б)	-|<-0,43;	г)УГ0>л/б-2.
2.	Используя прикидку результата, поставьте вместо много-
точия знак < или > так, чтобы получилось истинное высказы-
вание:
а)	( - 11,8)9-( - 1,1)6 ... 0; в) 6,2" ... 6,29;
б)	(— 1,3)7... — 1;	г) 0,143... 0,145.
58
3.	Замените звездочку цифрой так, чтобы получилось истин-
ное высказывание:
а)	число 512* кратно 12;
б)	число 45 является делителем числа 571*.
4.	Укажите три пары натуральных чисел т и п, обращающих
в истинное высказывание предложение:
а)	сумма чисел тип меньше 8;
б)	разность чисел т и п равна 7;
в)	произведение чисел т и п равно 18;
г)	частное чисел т1 2 и 2п является натуральным числом.
5.	Укажите множество натуральных значений п, при которых
обращается в истинное высказывание предложение:
а)	число п является делителем числа 15;
б)	двузначное число п кратно 19;
в)	п является наибольшим трехзначным числом;
г)	дробь 3 + п правильная.
6.	Существует ли целое значение k, при котором является
ложным высказывание:
a)	121fe-j-77 кратно 11;
б)	сумма (k—1)2-|-(&2—I)2 равна 0;
,	, 6£-}-13
в)	дробь fe_^_2 меньше о?
7.	Укажите наименьший и наибольший элементы множества
натуральных чисел т, если известно, что:
а)	т — двузначное число, кратное 9 или оканчивающееся циф-
рой 9;
б)	т является делителем 54 и меньше 15;
в)	т является квадратом натурального числа и не пре-
восходит 70;
г)	т является делителем числа 10 или числа 15.
С—13. Понятие о следовании
и равносильности (п. 10Д)
1. Является ли второе предложение следствием первого (при
положительном ответе сделайте запись, используя знак =>):
a) Z4 и /LD — углы при нижнем основании равнобедренной
трапеции; zC71 = Z.£);
б) в равнобедренном ДЛВС один из углов равен 80°; ДДВС
остроугольный;
в) АС и BD— диагонали прямоугольника; AC = BD?
2. Следует ли второе предложение из первого, равносильны
ли эти предложения (при положительном ответе сделайте за-
пись, используя знаки => или -фф- ):
. ,	15*4-3	,
а) о — натуральное число; —=-----дробное число;
59
6)	tn — положительное число; —5m — отрицательное число;
в)	число х кратно 7; число Эх кратно 7?
3.	Равносильны ли предложения (при положительном ответе
сделайте запись, используя знак о):
а)	модуль числа а больше 3; число а больше 3;
б)	модуль числа b меньше 0,5; квадрат числа b меньше 0,25;
в)	квадраты чисел х и у равны; числа х и у равны?
4.	Закончите запись так, чтобы предложения были равно-
сильны:
а)	17 — а—целое число о п-|-13...;
б)	сумма цифр натурального числа а кратна 3 -<=> натуральное
число а ... .
5.	Вставьте пропущенную связку «и» или «или» так, чтобы
полученное сложное предложение было равносильно данному:
а) (т + 5)(« — 2) = 0от =—5...п = 2;
б) |х+2| = 28ох = 26 ... х= -30;
в) (х— 6)* 2 3 + (г/ — 4)2 = 0-^х = 6 ... у = 4.
6. Замените многоточие словами «достаточно», «необходимо»,
«необходимо и достаточно» так, чтобы получилось истинное вы-
сказывание:
а)	для того чтобы число а, где a.£N, делилось на 4, ..., чтобы его
запись оканчивалась четной цифрой;
б)	для того чтобы сумма b-|-57, где b£N, делилась на 19, ..., что-
бы число b делилось на 19;
в)	для того чтобы квадрат числа а был меньше 1, .... чтобы чис-
ло а было меньше 1.
С—14. Равносильные уравнения
уравнения-следствия (п. 11Д)
И
ли второе уравнение следствием первого, равно-
уравнения:
и 4х— 1 =х4-6;
1. Является
сильны ли эти
, 4х—1	х + 6
б) ^4 = -^ И 5 —х = 3?
’ х —2	х —2
2. Дайте обоснование равносильности уравнений:
а) (12х+ 1 )2-24х = 145 и х2=1;
б) (2х2 + 3)(5х-1)=11 (2^ + 3) и 5х — 1 = 11.
3. Из данных уравнений выберите
уравнению х2— 7х + 6 = 0:
х2 — х = 6х —6;	у х2 — х4~у = 0;
(х—1) (х—6) = 0;	=
X—1 X—1
те, которые равносильны
(х—1)(х—7) = 0;
%2  7х— 6
х-|-6	x-f-6
60
4.	Найдите множество корней уравнения, заменив его равно-
сильной системой или совокупностью уравнений:
а)	(х— 5)(х2-|-х— 30) = 0;
б)	(х— 5)2 + (х2 + х—30)2 = 0;
в)	У]2х?— х + y/ix2-^ х = 0.
5.	При каких значениях а равносильны уравнения
4х — а = 4 и 2ах— Зх—10 = 0?
6.	При каких значениях т уравнение
12x24-(5m2 —6m) x-)-25m2— 36 = 0
равносильно уравнению ^ = 0?
С—15. Равносильные системы уравнений (п. 12Д)
1.	Запишите систему уравнений, которая получится, если в
{х — у = 2,
первое уравнение заменить уравнением, по-
I У= ‘
лученным в результате почленного сложения уравнений систе-
мы. Равносильны ли полученная система уравнений и данная?
Проиллюстрируйте свой ответ с помощью графиков.
2.	Запишите систему уравнений, которая получится, если в
{у = х — 2,
। заменить во втором уравнении переменную
у выражением х — 2. Равносильны ли полученная система уравне-
ний и данная? Проиллюстрируйте свой ответ с помощью гра-
фиков.
3.	При каких значениях а и b равносильны системы урав-
нений
Г (2а—1) x+5z/= 11,	(4x + 5z/=14,
( 6x + (ft — 8) у= — 2 И (2х — у=— 7?
4.	При каких значениях а система уравнений
5x4- 18у = 9,
• 3x4-8;/ = И,
15x + az/ = 5
равносильна системе
( 5x4- 18z/ = 9,
1 3x4-8z/= 11?
5.	При каких значениях а имеет решение система уравнений
2х — у = а-{-10,
 х — 2у — а-\-5,
Зх — 2у = 2а 4- 16?
61
6.	Равносильны ли системы уравнений; является ли одна из
них следствием другой (ответ обоснуйте):
|7(х, у)-/г(х, у) = 0, и f/(x, у) = 0,
1я(*. У)=7 И \h(x, у)=7?
С—16. Равносильные неравенства
и неравенства-следствия (п. 13Д)
1.	Дайте обоснование равносильности неравенств:
а)	27х —24<7х + 6 и 27х —7х<6Д-24;
б)	и 1—8х —2х>0;
в)	(Зх—1) (х2Д-8)< 6х (x2-j-8) и Зх—1<6х.
2.	Докажите, что множеством решений неравенства является
пустое множество:
а) 8х(х— 1)-(5хД-2)(х-2)<х2- 11;
(2% + 3)2 3x4-1	„
’	6	3
3. Из данных неравенств выберите такое, из которого следу-
ют все остальные:
а) х>У10, *>3,2, х>2д/2~- *>3^-;
б) хСД/Тт", х<4,1, x<3"\Z2", х<4у.
4. Следует ли из первого неравенства второе (при положи-
тельном ответе сделайте запись, используя знак =>):
а) |х| >8, х>8;	в) х2<16, х<4;
б) |х|<9, |х| <7;	г) х> 11, х2> 121?
5. Составьте неравенство вида х2 + рх + <7<0, равносильное
двойному неравенству —2<х<5.
6. Докажите неравенство:
а) а2 +b2>4a-|-18b —86; б)	+^ + 4j/ Ху _ 1.
С—17. Целое уравнение и его корни (п. 10)
1. Определите степень уравнения и число его корней:
а) х2—10х—11=0;	в) Зх2 — 5х-|-6 = 0; д) х4 = 36;
б) х2-|-6х + 9 = 0;	г) х3—16х = 0;	е) х5 6 + х4 = х+1.
2. Составьте какое-нибудь целое уравнение:
а) второй степени, имеющее корни —4 и 7;
б) третьей степени, имеющее корни —1, 2 и 9;
в) четвертой степени, имеющее корни 2, 4 и 6.
62
3.	Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициента-
ми, зная лишь один из его корней:
а) х, = 3 — у/Ь- б) х1 = 2+УГГ;	в) х, = 6 .
4.	Решите уравнение, разложив левую его часть на множи-
тели:
а)	х3 —25х = 0;	в) 5у3 — 25у2 — 4z/-|-20 = 0;
б)	Зх4 —243 = 0;	г) z/4-8z/3 + 16z/2 = 9z/2-72z/ + 144.
5.	Решите уравнение, введя новую переменную:
a)	2 (3x2 + 4)2-34 (3x2 + 4)+ 140 = 0; в) ±=2+--2_ = з|;
б)	х4-17х2+16 = 0;	г) ^±4+6-(-1Ч-2- =7.
’	’ 7х —2	х + 4
6.	Решите уравнение:
a) z/4-20z/2 + 64 = 0;	б) z/4 — 1 Oz/2Н-21 = 0.
7.	При каких значениях параметра q уравнение
х4 — 8х2 + <? = 0:
а) не имеет корней; б) имеет два корня; в) имеет четыре
корня?
С—18. Способы решения
целых уравнений (п. 14Д)
1.	Объясните, почему уравнение:
а)	х6 + Зх4 + бх2 + 29 = 0 не имеет корней;
б)	Зх5 + х3 + 7х — 47 = 0 не имеет отрицательных корней.
2.	Почему уравнение х3 — 2х2 + 3х — 3 = 0 не имеет целых
корней?
3.	Найдите целые корни уравнения:
а)	2х34-6х2 — 7х—1=0;	в) х4 — Зх34~х2 + 3х — 2 = 0;
б)	х3 — 2л2 — 5х-|-6 = 0;	г) х4 — х34-х2— Зх — 6 = 0.
4.	Решите уравнение:
а) х3 —х2—19х—17 = 0;	б) х34-Зх2 —Зх—14 = 0.
5.	Решите симметрическое уравнение:
а) х4-7х3 —6х2 — 7х +1 =0; б) х4 + Юх3 + 13х2 + 10х + 1=0.
6.	Решите уравнение, используя свойства монотонности функ-
ций:
а)	х5 + 9х-|-10 = 0;	в) х4 + 2x2 — 99 = 0;
б)	х3 + 2х-33 = 0;	г) 4х6 + 8х4—12 = 0.
7.	Найдите координаты точек пересечения графика функции
г/ = х2 — 4|х| — 2 с прямой z/ = 3.
8.	Решите уравнение относительно у.
a) by2 — 8у = 0;	б) у2 — 4y + c = Q.
63
С—19. Решение дробно-рациональных
уравнений (п. 15Д)
1.	Решите уравнение:
. 6	21	16	Э 1	4х+1
у + z/4-l — у-2 ’	' х1 2 + 2 + х2-3”х4 5 6-х2-6 '
17
2.	Сумма двух взаимно обратных дробей равна . Числи-
тель первой дроби на 6 меньше знаменателя. Найдите эти дроби.
3.	Решите уравнение, введя новую переменную:
4.	Найдите корни уравнения
X3 — X __
(х? — 2х— 1 )2
5.	Решите уравнение
1	3 _ 2	5
х + х + 1 x-f-2~T~x-|-3'
6.	Решите уравнение, воспользовавшись выделением из дро-
би ее целой части:
, х2 + 2х-|-5 . х2 — 2х—1 г.
а>	х + 2 +- х—2 =6;
,, х2-|-2х + 11	х2-|-4х — 2 о
б> —ЙД---------7+^ = 2-
С—20. Решение неравенств второй степени
с одной переменной (п. 8)
1. Решите неравенство:
а) х2— х— 20^0;	в) 8х24~10х— 3>0;
б) х2 — х — 20<0;	г) —х2 —2х + 48>0.
2. Найдите множество решений неравенства:
а) х2<16; б) Сбх2^ 18; в) —7х>х2; г) уХ2^!.
3. Решите неравенство:
а) 4х2 + 5х-]-9<6х2 —2х; б) 9х — 5<3х2 —8x4-20.
4. Найдите область определения функции:
a) z/ = V36x2 —9х;	б) У =	1
ух —8х —9
5. Найдите множество целых решений неравенства:
а) х2 — 10х-|-24^0;	б) х2 —6х—16<0.
6. Докажите, что при любом значении х верно неравенство
4Х2 —20х4-26>0.
64
С—21. Решение неравенств методом
интервалов (п. 9)
1.	Укажите промежутки (рис. 9), в которых функция g прини-
мает:
а) отрицательные значения; б) положительные значения.
2.	Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки,
в которых функция у = (х-$-4)(х—2)(х—5) обращается в нуль.
Отметьте знаком «+» промежутки, в которых функция принима-
ет положительные значения, и знаком «—» промежутки, в кото-
рых функция принимает отрицательные значения.
3.	Решите методом интервалов неравенство:
а)	(х-(-2)(х— 6)<0;	в) (х-|-2)(х—2)(х — 4)>0;
б)	(х — 3) (х + 5)>0;	г) (х-(-5) (х + 2) (х —3)<0.
4.	Решите неравенство:
а)	(х — 5)(х — 9)(х—12)>0; в) х(х+2)(х— 3)(х —7)^0;
б)	(х+ 10)(х + 6)(х-7)<0; г) (х + 7)(х + 4)(х-2)(х-5)>0.
5.	Найдите область определения функции
у =	—36) (х—8) .
6.	Докажите, что неравенства
^|>0 и (х-6)(х + 4)>0
равносильны.
7.	Решите неравенство:
\ х —3	„	х + 8 п	ч	5х-|-14	,	Их —297	„
а) —г^<0;	б)	—~>0;	в)	—^-<0;	г)	—----->0.
’ х-|-7	’	х—11	’	х —8	’	31х
С—22. Решение рациональных неравенств (п. 16Д)
1. Решите неравенство:
3—12523
65
2.	Докажите, что равносильны неравенства:
а) (х —21)5<0 и х-21<0; б) Зх-6>0 и (3х~^>0.
3.	Решите неравенство:
а) -2).3—	0;	б) Л3~3%2-х+3 о
х4—17х2+16	х2-)-12х+11
4.	Составьте неравенство, решения которого образуют мно-
жество: а) ( — оо; —7)U(2; 10); б) ( — оо; —4) J(3; 6)U(12; + оо).
5.	Докажите, что множество решений неравенства:
а)	х4 — 8х34-24х2 — 32х+16^0 есть множество действительных
чисел;
б)	х6 + 6х5+ 15x4-f-20x3+ 15х2 + 6х+ 1 <0 состоит из одного числа.
6.	Найдите область определения функции
у=У](х — 2) (2Х2 — Зх Ч 1) •
7.	Найдите целые решения неравенства х(х —5)(х2 — 4)^0.
С—23. Расстояние между точками
координатной прямой (п. 17Д)
1.	Найдите расстояние d между точками:
а) Р(-5) и Q (7); б) А (0) и в (-17); в) С( —150) и £>(350).
2.	Начертите координатную прямую, отметьте на ней точку
С — середину отрезка, концами которого служат точки А и В, и
найдите координаты точки С, если:
а)	А (0) и В (8);	в) А (-3) и В (7);
б)	А (-6) и В(0);	г) А (-5) и В(3).
3.	Запишите в виде равенства или неравенства, используя
знак модуля, утверждение, что расстояние между точками
К(х) и L (6) координатной прямой:
а)	равно 2;	в) больше 2;	д) меньше 5;
б)	меньше 2;	г) равно 5;	е) больше 5.
4.	Запишите неравенство вида а<х<6, равносильное нера-
венству: а) |х — 21 <3; б) |х-)-3|<1; в) |х — 2,31 <0,05.
5.	Запишите неравенство вида |х—a\^Zk, равносильное не-
равенству:
а) — 34x45; б) 0,1 ^х^0,2; в)-^^х^^-.
6.	Покажите, используя координатную прямую, что если чис-
ло а является решением неравенства |х—b| >2, то а является
решением неравенства x<Zb— 2 или неравенства х>Ь-\-2.
7.	Решите уравнение и неравенства:
а)	|х —3| = 1, |х—31 < 1, |х — 3|>1;
б)	|х+1|=3, |х+1|<3, |х+1|>3.
66
С—24. Решение уравнений,
содержащих переменную под знаком модуля (п. 18Д)
1.	Решите уравнение:
а)	|х| = 6;	в) |4х — 9] = 3;
б)	|х-4| = 3;	г) |13-3х| = 4.
2.	Найдите корни уравнения:
a) lx2-7| = 18;	б) ^-бх^б.
3.	Решите уравнение:
a) lx2 — Зх-р2|=2х— 4;	б) |Зх2-|-9х — 5|=х — 2.
4.	Найдите точки пересечения графика функции у= |х-|-2| -Р
+ |х—1| с прямой: a) z/ = 5; б) z/ = 3; в) у=\.
5.	Решите уравнение:
а)	I х + 31 + | х—3| =5;	г)	|х! + |х + 2| + | х — 21 =9
б)	| х —31 -р | х — 3| = 6;	д)	|х| + | ХЧ- 21 + | х — 21 =5
в)	| х-Р 31 ~Р |х — 3| =8;	е)	1 х | ~Р 1 х ~р 21 -р | X — 2 | — 4
	6. Решите уравнение:		
а)	бх2 —4 |х-2| -14 = 0;	б)	x2-j--^~=26. х—7
7. Постройте график функции у= | |х|—5| и решите урав-
нение:
а)	||х| —5| = 6;
б)	| |х| - 5| = 5;
в)	]|х| — 5| = 2;
г)	||х| —5| = 0.
С—25. Решение неравенств, содержащих переменную
под знаком модуля (п. 19Д)
1.	Решите неравенство:
а)	|х| <5;	в) |х-7|<3;	д) |8х + 5|<3;
б)	|х|>5;	г) |х — 7| >3;	е) |10 —2х|^4.
2.	Найдите множество решений неравенства:
a) lx2 —4| <3; б) ^Н-бх! ^6; в) ^-бх-р 12| >7.
3.	Изобразите схематически график функции г/=|х + 2|-Р
—р ] х— 2| и, используя график, решите неравенство:
а) |х + 2| + |х-2| <6;	б) |х + 21 + |х—2| >8.
4.	Решите неравенство:
а) |0,5х + 4| + |0,5х —4|	10; б) |0,5х + 4| + |0,5х —4| > 12.
5.	Решите неравенство:
а) Зх2 —2 | х—11 > 10;	б) |х2-7х+12|<х2-9.
6.	Найдите целые решения неравенства
|(х— 1)(х — 3)(х —5)| < 11.
7.	Найдите множество решений неравенства
67
С—26. Решение иррациональных уравнений (п. 20Д)
1.	Решите уравнение:
а)	у/х — 5 =1 — х;	в) ~\/4х— 7 = 2х — 5;
б)	~\]х — 5 = х —7;	г) ~\]7х-\-4 = 8 —х.
2.	Докажите, что уравнение не имеет корней:
a) yjx — 8 = 5 —х;	б) Д/4х—10 + 6х = ^25—10х.
3.	Найдите корни уравнения:
а) Д/^2-9 =4 — х;	б) Д/4 — Зх — х2 = 2— х.
4.	Используя свойства монотонных функций, решите урав-
нение:
а)	у/х + 2 +^х + 7 +д/*+14 =9;
б)	^Зх + 4 + д/2х —4 + д/бх+1 =11.
5.	Используя свойства монотонных и четных функций, реши-
те уравнение:
а)	Л/^-5	+ 7 +У/х2-8 =7-
б)	”\/х4 + 4х2— 1 +Д/х2+ 15=6.
6.	Решите уравнение:
а) Д/4-х +Л/5 + х =3;	б) д/4х-|-2 + Д/4х-2 =4.
7.	Решите уравнение: ~\j х— 2 -ф^бх — 2 == д/25 — Зх +Д/4 —х.
Указание. При решении воспользуйтесь свойством, что ес-
ли / — возрастающая функция, a g — убывающая функция, то
уравнение имеет не более одного корня.
8.	Решите уравнение, введя новую переменную:
а)	Д/х2— Зх— 10 — Д/х2 — Зх— 18 = 2;
\ х4“6	х-1- 12	/2х4~ is” ।	/ х — 4	10
б)	V73T=“T_ 	в) + У^+Т5 =т 
9.	Решите уравнение:
а) (х — 4)	= 0;	б) (х2 — 9)"\/12 — х — х2 =0.
С—27. Решение иррациональных неравенств (п. 21Д)
1.	Решите неравенство:
а) у[х <7\ б) л[х>7\ в) "\/5х — 2 <3; г) У[Ъх — 2 >3.
2.	Найдите множество решений неравенства:
a) V^-Jt-20 <У1У;	б) Д/б*-*2 >2.
3.	Используя свойства монотонных функций (см. С—10,
№ 7), решите неравенства У/х— 4 < 10 — х и \'х —4 > 10 — х.
68
4.	Решите неравенство:
а)	Д/Зх— 1 <х;	в) У/4х+ 1 <х—1;
б)	“\/Зх— 1 > х;	г) "\/4х4- 1 >х— 1.
5.	Докажите, что множество решений неравенства Д// (х) >а
при а<0 совпадает с областью определения функции /.
6.	Решите неравенство:
а) ”\/35 —2х —х2 > - 1;	б) Д/^3-7х2+ 14х-8 > -3.
7.	Решите неравенство, введя новую переменную:
а) Д/х + 3--, 4 sg7 3;	б) х2 —2х —7 Л/х2 —2х + 12 > 0.
д/х+з
8.	Найдите множество решений неравенства:
а) (х—8)Д/12 —Зх <0;	б) (х2-9) Д/Тб-х2 >0.
С—28. Уравнение с двумя переменными
и его степень (п. 22Д)
1.	Определите степень уравнения:
a) 3x4 + 8xV — 5z/4 + 7xt/ + 5 = 0; б) (х — у)2 — (х+у + 2)2 = 4ху + 5.
2.	Является ли пара чисел (2; —5) решением уравнения:
а) 5х3 —4xy2-|-4z/2 = 60;	б) 2Х2 —7z/2 = 22?
3.	Найдите множество решений уравнения
х4 - 2xV + х2 + 4х + г/4 + 4 = 0.
4.	Найдите множество целых решений уравнения х — 2у = ху.
5.	Найдите наименьшее натуральное число, которое при де-
лении на 3 дает в остатке 2, а при делении на 5 дает в остатке 1.
6.	Из двузначного числа вычли число, записанное теми же
цифрами, но в обратном порядке, и получили число 45. Найдите
данное двузначное число.
С—29. График уравнения
с двумя переменными (п. 23Д)
1.	Какой кривой (окружностью, параболой, гиперболой) яв-
ляется множество точек, если уравнение этой кривой имеет вид:
а) (х + 3)2 + (у —7)2 = 49; б) х2 —z/2 = 24; в) x=z/2 + 6?
2.	Что представляет собой множество точек, координаты ко-
торых удовлетворяют уравнению z/2 = -^-x2? Постройте график.
3.	Докажите, что графиком уравнения х2-)-у2 — бхф- 10z/ = 2
является окружность. Укажите координаты центра окружности
и длину ее радиуса.
4.	Как следует переместить на координатной плоскости ги-
перболу z/ = -|, чтобы ее уравнение приняло вид х2 —1/2=12?
69
5.	Как следует переместить на координатной плоскости пара-
болу у — х2, чтобы ее уравнение приняло вид х=г/2 + 6?
6.	Докажите, что графиком уравнения:
а)	х2 — у2=10 является гипербола;
б)	х = у2-\-3 является парабола.
7.	Постройте график уравнения:
а)	(х— l)2 + (z/ — 8)2 = 9;	в) х2 — г/2 = 6;
б)	х = (у + 2)2;	г) 4Х2 — t/2 = 0.
С—30. Графический способ решения
систем уравнений (пп. 12, 24Д)
1.	Является ли пара чисел (8; 5) решением системы
уравнений:
а) ( х2 —z/2 = 39,	б) Г х2 — xz/ = 24,
|xz/4~6x = 88;	| Зх — 4r/ = 4?
2.	Решите графически систему уравнений:
а) Г г/ = х2,	б) f х2 — z/2= 16,
I х + у = 2;	| (x—1)2 + z/2 = 25.
3.	Изобразите схематически графики уравнений и определи-
те, сколько решений имеет система:
а) ( у=1—х2,	б) | х2Д-у2 = 16,
(х=1—у2\	( x2 + (z/ —8)2= 16.
4.	Докажите, что система уравнений не имеет решений:
a) (x2-j-y2— 4z/ + 5 = 0,	б) ( x2-t~y2 = 4,
(х2 —1/2 = 7;	(у — х = 5.
5.	Решите графически с помощью системы уравнений
(используя подстановку у = х2) кубическое уравнение
х3 —6хЦ-5 = 0.
С—31. Способы решения систем уравнений
с двумя переменными (пп. 13, 25Д)
1.	Решите систему уравнений способом подстановки:
а) ( х2 + //2 = 68,	б) ( Зх2 — 2ху — 6у2 = 27,
| у = 4х\	(4х — у=— 7.
2.	Решите систему уравнений:
а) Г х 4- у = 16,	б) | х2 + у2 = 16, в) f х2 + ху у2 = 37,
(х£/ = 63;	|xz/ = 5;	| х2 — ху-\-у2= 13.
70
3.	Найдите множество решений системы уравнений:
а) ( Зху — х — 12^4-4 = 0, б) Г х2 — 7ху + 12z/2 = 0,
[x2-3xz/ + 9z/2=13;	( xz/ + 3x2-28^2 = 24.
4.	Решите систему уравнений:
а) Г х2 — ху + у2 = 30,	б) ((х + у)(3х — у) = 32,
[ 2г2 — 3ху + 2у2 = 43;	((*+у) (х— 2у) = 4.
5.	Решите иррациональное уравнение с помощью системы
уравнений, введя новую переменную:
а) у/х + 8 —yjx — 4 =2;	б) xj74~x +Д/х —6 = 10.
6.	Решите систему уравнений:
а) ( х2 + ху + у2 = 21\,
( х + л[ху +у = 7\
'16	16
х+у ' х —у
8	12
.х+у ' х —у
С—32. Решение задач с помощью
систем уравнений (п. 14)
1.	Произведение двух чисел равно 644, а их сумма равна 51.
Найдите эти числа.
2.	Площадь прямоугольника равна 408 см2, а его периметр —
82 см. Найдите длины сторон прямоугольника.
3.	От станции до поселка мотоциклист доехал за полчаса. На
обратный путь он затратил на 10 мин больше, так как ехал со
скоростью на 15 км/ч меньшей, чем первоначально. Каково рас-
стояние от станции до поселка и какова скорость мотоциклиста
на пути от станции до поселка и на обратном пути?
4.	Катер проплыл от одной пристани до другой против тече-
ния реки за 36 мин. На обратный путь он затратил на 6 мин
меньше. Найдите собственную скорость катера и расстояние
между пристанями, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
5.	В бак проведены две трубы. Если открыть обе трубы, то
бак наполнится через 18 мин. Если открыть только вторую тру-
бу, то бак наполнится на 15 мин быстрее, чем через первую
трубу. За сколько минут может наполнить бак каждая труба,
работая отдельно?
6.	Два автомобиля выехали одновременно из А и В навстречу
друг другу. Скорость первого на 20 км/ч меньше скорости второ-
го. Через полтора часа пути (еще до встречи) расстояние между
ними стало 30 км. Если бы первый автомобиль выехал из А на
полчаса раньше второго, то их встреча произошла бы в середине
АВ. Найдите расстояние АВ и скорость каждого автомобиля.
71
С—33. Линейные неравенства
с двумя переменными (п. 26Д)
1.	Известно, что Р — множество точек плоскости, координаты
которых удовлетворяют неравенству Зх — 4у>7. Принадлежит
ли множеству Р точка:
а) Л (1; -1); б) В (0; -2); в) С(5; -1); г) D (0; -3)?
2.	Постройте прямую у = 0,5х— 1. Покажите штриховкой
множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют
неравенству z/^0,5x—1.
3.	Изобразите на координатной плоскости множество F, если:
а) /7 = {(х; у)\х— любое число, z/^4);
б)	/7 = {(х; у)\х>—2, у — любое число}.
4.	Постройте прямую, проходящую через начало координат
и точку В (1; 3). Задайте неравенством открытую полуплоскость,
расположенную ниже этой прямой.
5.	Постройте прямую 2х— у-|-6 = 0 и определите знак выра-
жения 2х—z/4-б в каждой из образовавшихся открытых полу-
плоскостей.
6.	Задайте неравенством открытую полуплоскость, которая
выше прямой АВ, проходящей через точки Л (0; —1) и В(2; 0).
7.	При каких значениях а множество решений неравенства
Зх — ш/+1>0 изображается полуплоскостью, расположенной
выше прямой Зх — ау-\- 1 =0?
С—34. Система линейных неравенств
с двумя переменными (п. 27Д)
1.	Пусть Р — множество точек плоскости, задаваемое систе-
мой неравенств
Г 0,4х —0,3z/ + 2<0,
[ Зх — у>8.
Принадлежит ли множеству Р точка: а) А (8;	10);
б) В (2; -3)?
2.	Изобразите на координатной плоскости множество С = А QB,
если Л={(х; у)\у^х}, В = {(х; у)|у0,5х + 2}.
3.	Покажите штриховкой на координатной плоскости
множество точек, координаты которых удовлетворяют системе
неравенств:
a)|i/<x+l,	б) у — х + 4>0,
[у^— 0,5х+1;	—х —2^0.
4.	Укажите какую-нибудь пару значений k и Ь, при которых
система неравенств
( у ^5x-J-6,
( y^kx-\-b
задает на координатной плоскости: а) полосу; б) угол.
72
5.	Изобразите на координатной плоскости множество
Л4 = КП Р, если
^ = {(x; z/)|—2^х^4, у — любое число},
Р = {(х; z/)|x — любое число, 0^г/^5}.
6.	Постройте треугольник, задаваемый системой неравенств
3z/^x-}-5,
 У'^ —0,5х,
у С 2х — 5,
и найдите координаты его вершин.
7.	Задайте системой неравенств фигуру, показанную на ри-
сунке 10 штриховкой.
С—35. Вычисление площадей
многоугольников (п. 27Д)
1.	Изобразите на координатной плоскости треугольник, кото-
рый задает система неравенств
х^О,
• //>0,
% + // — 5^0,
и определите его площадь.
2.	Постройте треугольник, задаваемый системой неравенств
' х>2,
 !/>1,
. * + У С 8,
и определите его площадь.
3.	Задайте системой неравенств треугольник АВС, изобра-
женный на рисунке 11, и определите его площадь.
73
4.	Постройте прямоугольник, задаваемый на координатной
плоскости системой
( —3^х^5,
1 — 2,5<г/«СЗ,5,
и определите его площадь.
5.	Постройте четырехугольник, вершинами которого являют-
ся точки Д (— 3; 0), В (0; 4), С(3; 0), D (0; 4). Задайте этот четы-
рехугольник системой неравенств и определите его площадь.
6.	Постройте четырехугольник, который задает на координат-
ной плоскости система неравенств
' х>0,
У>0,
хД-2//^8,
х-2^0,
и определите его площадь.
С—36. Неравенства высших степеней
с двумя переменными (п. 28Д)
1.	Известно, что F— множество точек координатной плоско-
сти, заданное неравенством х3 + 4у—1>0. Принадлежит ли
множеству F точка:
а) А (4; -4); б) В (0,2; 0,8); в) С (3; -6); г) £)(-Д/3; Д/З)?
2.	Постройте график функции у=— х^Д-З. Задайте неравен-
ством область, расположенную ниже графика.
3.	Выделите на координатной плоскости множество точек, ко-
торое задает неравенство //^(хД-2)2.
4.	Постройте график функции у — (х — 2)(х—5). Определите
знак произведения (х — 2)(х— 5) в каждой из образовавшихся
областей.
5.	Задайте неравенством:
а)	круг с центром в точке В (2; 4) и радиусом, равным 6;
б)	множество точек плоскости, расположенных вне круга с цент-
ром в начале координат и радиусом, равным 9.
6.	Покажите штриховкой на координатной плоскости множе-
ство точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:
а) (х + 4)2 + (//-5)2<36;
б) х2^-у2 — 8x+4t/ — 5^0.
7. Изобразите множество точек, координаты которых удов-
летворяют неравенству хг/Д-2^8.
74
С—37. Системы неравенств высших степеней
с двумя переменными (п. 28Д)
1.	Зная, что Р — множество точек координатной плоскости,
заданное системой неравенств
f r’ + 3z/<4,
( х// + 6>0,
определите, принадлежит ли множеству Р точка:
а) 4(0; 1); б)В(- 1; 6); в)С( — 0,5; 4); г) D (Д/З; — д/3 ).
2.	Изобразите множество решений системы неравенств
Г Z + z/2^ 100,
[у^ -х2Н-10.
3.	Изобразите фигуру, заданную системой неравенств:
а) | х2 + у2^25,	б) | х2 + у2<^16,
| x2+z/2>9;	|xz/>0.
Найдите ее площадь (с точностью до 0,1).
[ >?-\-у2^.а2
4.	При каком условии система ( „	задает:
( х^ + у ^25
а) кольцо; б) окружность; в) пустое множество?
5.	Изобразите множество Р = А[]В, если
А ={(х; z/)|x2 + z/2<36}, В = {(х; z/)|(x-4)2 + z/2<25}.
6.	Среди точек плоскости, координаты которых удовлетворя-
ют системе неравенств
( t/^x2 — 8х+ 15,
( у — 2x^0,
найдите точку с наибольшей ор-
динатой и точку с наименьшей
ординатой.
7.	Задайте системой нера-
венств множество точек, пока-
занное на рисунке 12 штри-
ховкой.
Задайте системой нера-
венств оставшуюся часть
круга.
Рис. 12
75
С—38. Неравенства с переменными
под знаком модуля (п. 29Д)
1.	Покажите штриховкой множество точек координатной
плоскости, которое задает неравенство:
а) У>\х-3|;	V б) У>~^ 
2.	Выделите на координатной плоскости множество точек, ко-
торое задает неравенство:
а) г/lx2—-5x4-41;	б) ух24-3 |х|.
3.	Изобразите на координатной плоскости множество Р, если:
а) Р = {(х; у)\х— любое число, 2^ |у| <|4};
б)	Р = {(х; у)| 1	|х| ^5, у — любое число}.
4.	Изобразите фигуру, которую задает на координатной
плоскости неравенство |x|4-lyl^=|4, и определите ее площадь.
5.	Покажите штриховкой множество точек координатной
плоскости, которое задает неравенство
| у | < х2 + 2.
6.	Выделите на координатной плоскости множество точек, ко-
торое задает неравенство
x24-z/2 —2 |х|—бу^6.
Укажите три какие-либо точки, принадлежащие этому мно-
жеству.
С—39. Системы неравенств с переменными
под знаком модуля (п. 29Д)
1.	Постройте фигуру, которую задает система неравенств
( У> 1*1,
Ь<12,
и найдите ее площадь.
2.	Покажите на координатной плоскости фигуру, которую за-
дает система неравенств
( У> 1*1,
( у -0,5x4- 1,5,
и определите ее площадь.
3.	Выделите на координатной плоскости множество точек, ко-
торое задает система неравенств
f у> lx2 — 4|,
I у<3х.
Укажите координаты точки с наименьшей ординатой и точки
с наибольшей ординатой.
76
4.	Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств:
г |х| с; 6,
5.	Изобразите на координатной плоскости фигуру, которую
задает система неравенств
( № +	81,
\у> I-*1,
и определите ее площадь (с точностью до 0,1).
6.	Покажите на координатной плоскости множество точек,
которое задает система неравенств
Г У> Iх — 3|,
1(х-3)2 + /<9.
7.	Постройте фигуру, которую задает система неравенств
1 \х— у\ <3,
| |х + у| <3,
и определите ее площадь.
С—40. Последовательности (пп. 30Дг 15)
1.	Последовательность (х„) задана формулой /г-го члена:
а) х„ = п + «;	б) =	.
Найдите х5, х8, х|00, хя+1.
2.	Вычислите первые пять членов последовательности (Ьп) и
изобразите их точками на координатной прямой, если:
а) йл = п+1; б) Ь„ = 0,8п; в) Ь„ — п2—11.
3.	Последовательность (с„) задана формулой:
а) с„ = 2« + 2; б) с„ = 0,5п2; в) с„ = ( —1)"-3.
Найдите первые пять членов этой последовательности и изоб-
разите их точками на координатной плоскости. Где расположены
эти точки?
4.	Выпишите первые пять членов последовательности (а„), если:
a) 6Zj = 6, an + l = an-2-, б) at = \, а2 = 2, ап+1 = ап+1 + ал_,
(л>2).
5.	Выпишите первые пять членов последовательности (и„)
натуральных чисел, дающих при делении на 7 остаток 1, взятых
в порядке возрастания. Задайте эту последовательность форму-
лой n-го члена.
6.	Последовательность (Ь„) задана формулой
Ь„ = п2— 14«4-50.
77
Является ли членом последовательности указанное число и если
да, то каков номер этого члена:
а) 5; б) 7; в) 40; г) 50?
7.	Укажите номера отрицательных членов последовательно-
сти (с„), если
cn = ri1 2 3 — 10«+ 16,
и вычислите эти члены.
С—41. Формула л-го члена арифметической
прогрессии (п. 16)
1.	В арифметической прогрессии а7=11, а12=—4. Найдите
а, и d.
2.	Найдите обозначенные буквами члены арифметической
прогрессии
U।, 0-2’ «3> 1 7, ^5’ ^6’ 32, ... .
3.	Переплетная мастерская переплела в январе 216 книг, а в
каждый следующий месяц она переплетала на 4 книги больше,
чем в предыдущий. Сколько книг переплела мастерская в авгу-
сте; в декабре?
4.	Встретится ли среди членов арифметической прогрессии
5,6, 5,3, 5, ...
число:
а) 4,1; б) 1,2; в) -2,4?
5.	Между членами 5 и 29 вставьте пять чисел, которые вме-
сте с данными числами составят арифметическую прогрессию.
6.	Найдите номер первого отрицательного члена арифметиче-
ской прогрессии
9,2, 8,4, 7,6, ... .
7.	В арифметической прогрессии a5 = 4aj. Докажите, что
^ = 4
а2
С—42. Формула суммы первых п членов
арифметической прогрессии (п. 17)
1. Найдите сумму первых восьми членов арифметической
прогрессии:
12,6, 11,1, 9,6, ... .
2. Найдите сумму:
а) всех двузначных чисел, больших 45;
б) всех натуральных чисел, кратных 8 и не превышающих 100.
3. Найдите сумму первых десяти членов арифметической
прогрессии (а„), если:
а) й|=—4, а9 = 60;	б) а6=—3, а|5=— 21.
78
4.	Найдите сумму всех отрицательных членов арифметиче-
ской прогрессии
— 4,5, — 4, —3,5, ... .
5.	Найдите первый член и разность арифметической прогрес-
сии, в которой S3=135, S9 = 351.
6.	Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно
180 км, выехали одновременно навстречу друг другу мотоцик-
лист и велосипедист. Мотоциклист ехал со скоростью 20 км/ч,
а велосипедист в первый час проехал 18 км, а в каждый следую-
щий проезжал на 1 км меньше, чем в предыдущий. Через сколь-
ко часов мотоциклист и велосипедист встретятся?
7.	Решите уравнение, в котором слагаемые в сумме, записан-
ной в левой части, составляют арифметическую прогрессию:
а) 3 + 5 + 7 +... + х = 63; б) 37 + 33 + 29 + ... + % = 190.
Указание. Найдите сначала номер последнего члена про-
грессии.
С—43. Свойства арифметической
прогрессии (пп. 16, 17, 31Д)
1.	Является ли арифметической прогрессией последователь-
ность (а„), заданная формулой:
а) ал = 0,8п+1; б) а„ = п (п + 4); в)а„=-^-?
При положительном ответе укажите первый член и разность
прогрессии.
2.	Четыре числа составляют арифметическую прогрессию.
Найдите эти числа, если известно, что сумма первых трех из них
равна 6, а сумма трех последних равна 9.
3.	Найдите натуральное число, которое в 8 раз меньше сум-
мы предшествующих ему натуральных чисел.
4.	Является ли арифметической прогрессией последователь-
ность (с„), сумма первых п членов которой вычисляется по фор-
муле:
a) S„ = 4n2 — га;	б) S„ = 5ra2+1?
При положительном ответе укажите первый член и разность
прогрессии.
5.	Изобразите на координатной плоскости первые пять чле-
нов арифметической прогрессии 1, 4, 7, ... . Напишите уравнение
прямой, на которой лежат построенные точки.
6.	Пусть (сл) — некоторая последовательность, a (S„) — по-
следовательность сумм первых п ее членов. Докажите, что если
члены последовательности (с„) изображаются на координатной
плоскости точками, принадлежащими прямой z/ = 4x+l, то чле-
ны последовательности (SJ изображаются точками, принадле-
жащими параболе у = 2х2 + 3х.
79
С—44. Формула п-го члена геометрической
прогрессии (п. 18)
1.	Последовательность (Ьп) — геометрическая прогрессия.
Найдите:
1	2	1
а) Ь7, если bt = 144, q=-^', б) b{, если ft5= — 13-, q = ^-
2.	Найдите знаменатель геометрической прогрессии (ft„), в
которой:
а) Ь7= 1251, &|0 = 4б|;	б) ft10 = 3680, ft,3=-57,5.
3.	Определите первый член и знаменатель геометрической
прогрессии, если известно, что разность между ее шестым и чет-
вертым членами равна 1700, а разность между пятым и третьим
членами равна 340.
4.	Между числами 24 и вставьте три числа так, чтобы они
вместе с данными числами составили геометрическую про-
грессию.
5.	Второй и седьмой члены геометрической прогрессии соот-
ветственно равны и 81. Найдите члены прогрессии, заключен-
ные между ними.
6.	Геометрическая прогрессия состоит из девяти членов. Сум-
ма первых трех членов равна 26, а сумма последующих трех чле-
нов равна 702. Найдите сумму последних трех членов.
7.	Четыре числа образуют геометрическую прогрессию, в ко-
торой сумма крайних членов равна 252, а сумма средних членов
равна 60. Найдите эти числа.
С—45. Формула суммы первых п членов
геометрической прогрессии (п. 19)
1.	Найдите сумму первых шести членов геометрической про-
грессии:
а) 12, —6, 3, ...;	б) у/5, 5, 5 лДГ, ....
2.	Последовательность (ft„)—геометрическая прогрессия.
Найдите:
a) S6, если а, = 625, q=-^', б) S4, если а, = 2, q=—3.
3.	Найдите сумму первых пяти членов геометрической про-
грессии (ft„), в которой:
a) ft4 = ±, ft5=-b	б) ft3 = 20, ft5 = 80, q>Q.
1 zo
4.	Найдите сумму первых шести членов геометрической про-
а, + а2 .
грессии, если известно, что ——— = 4 и сумма первых трех чле-
а2 1 а3
нов прогрессии равна 63.
80
5.	Найдите первый член геометрической прогрессии, в
которой:
а) ^ = |, £4 = 272;	б) <? = 2, £6 = 378.
6.	В геометрической прогрессии (а„):
а)	найдите q и п, если а} = 3, а„ = 768, £„=1023;
б)	найдите п и а„, если а, = 243, q=—у, £„=182.
7.	Разность между пятым и третьим членами геометрической
прогрессии равна 18, а между четвертым и вторым равна 9. Най-
дите сумму первых шести членов этой прогрессии.
С—46. Свойства геометрической прогрессии
(пп. 18, 19, 31Д)
1.	Найдите первые пять членов геометрической прогрессии
(Ьп) и изобразите их на координатной плоскости, если известно,
что й5 = 9, Ь7 = 81 и q<0, где q — знаменатель прогрессии.
2.	Является ли геометрической прогрессией последователь-
ность (а„), заданная формулой:
а) а„ = 2"+‘; б) а„ = 3" + 4; в)а„=-2-3'!?
3.	В геометрической прогрессии с положительными членами
£2 = 5, £3 = 21. Найдите £5.
4.	Сумма трех чисел, составляющих геометрическую прогрес-
сию, равна 52. Если первые два числа оставить без изменения,
а из третьего вычесть 16, то полученные числа будут составлять
арифметическую прогрессию. Найдите исходные числа.
5.	Найдите четыре целых числа, из которых первые три со-
ставляют арифметическую прогрессию, а последние три состав-
ляют геометрическую прогрессию, причем сумма средних чисел
равна 16, а сумма крайних чисел равна 32.
6.	Сумма первых трех членов геометрической прогрессии
равна 14, а сумма их квадратов равна 84. Найдите первый член
и знаменатель прогрессии.
С—47. Сумма бесконечной геометрической
прогрессии при |q| < 1 (п. 20)
1.	Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии,
проверив предварительно, что ее знаменатель удовлетворяет
условию | q | < 1 :
а)	...;	б) 0,3, -0,06, 0,012, ... .
2.	Найдите первые два члена бесконечной геометрической
прогрессии по известным знаменателю q и сумме £:
Ч	I	I—
a) q = -1, £= 18;	б) q=^ , £ = 5 + V5 .
81
3.	Представьте в виде обыкновенной дроби число:
а) 0,(3); б) 0,(23); в) 0,7(5); г) 0,16(3).
4.	Второй член бесконечной геометрической прогрессии со
знаменателем <?, где |q| < 1, равен 21, а сумма прогрессии рав-
на 112. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
5.	Известно, что сумма бесконечной геометрической прогрес-
сии со знаменателем q, где |</|<1, равна 192, а сумма первых
трех членов этой прогрессии равна 189. Найдите первый член и
знаменатель прогрессии.
6.	В правильный треугольник со стороной 64 см вписан вто-
рой треугольник, вершинами которого являются середины сто-
рон первого. Во второй треугольник таким же способом вписан
третий и т. д. Найдите сумму периметров всех таких треуголь-
ников.
С—48. Применение метода математической индукции
в задачах на последовательности (п. 32Д)
1.	Последовательность (а„) задана формулой ап = п (2п-\-]).
Докажите, что сумма первых п членов этой последовательности
п (л+1) (4„ + 5)
может быть вычислена по формуле 5„ =--------g-----.
2.	Последовательность задана рекуррентным способом:
6, = 5, />я+1 = &п-ф8/г-|-4. Докажите, что эта последовательность
может быть задана формулой Ь„ = 4л2 + 1.
3.	Докажите, что если bt = 5, bn+l=4bn — 3, то последователь-
ность (Ь„) может быть задана формулой = 4"-|-1.
4.	Докажите, что любой член последовательности (ап) делит-
ся на 7, если: а) а„ = л3-|-20п; б) а„ = п3-|-48п.
5.	Последовательность (с„) задана формулой с„ = 9п—1. До-
кажите, что все члены последовательности кратны 8.
6.	Докажите, что при делении на 7 любого члена последова-
тельности
15, 152, 153, ..., 15", ...
в остатке получается 1.
С—49. Возрастающие и убывающие
последовательности (п. ЗЗД)
1.	Является ли возрастающей или убывающей последова-
тельность (z/„), в которой член у„ равен:
а)	квадрату числа га;
б)	остатку от деления п на 7?
2.	Найдите первые пять членов последовательности (и„), за-
Зя___________________2
данной формулой ип= . Докажите, что последовательность
(и„) возрастающая.
82
3.	Найдите первые пять членов последовательности (Ьп), где
<	7« 4~ 9 D
Ьп = —-—. Выскажите предположение о характере изменения
членов последовательности. Проведите доказательство.
4.	Выясните, является ли возрастающей или убывающей по-
следовательность (ал), если:
а) = — 2,5/г + 2; б) ал = 5"; в) а„=( — I)"•(« + 1).
5.	Укажите наименьший и наибольший члены, если они суще-
ствуют, последовательности (сл), заданной формулой:
а)с„=14/г — 3; б)с„=-^; в) сп = п2 — 4.
6.	При каких значениях а последовательность (и„), где
Зл — а
и„ — ——- , является:
«4-1
а) возрастающей; б) убывающей?
7.	При каких значениях а последовательность (Ьп), где
Ь„ = (4/г— а)2, является возрастающей?
С—50. Ограниченные и неограниченные
последовательности (п. 34Д)
1.	Является ли ограниченной сверху или снизу последова-
тельность:
а)	трехзначных чисел, взятых в порядке возрастания;
б)	натуральных степеней числа 3, взятых в порядке воз-
растания;
в)	остатков, полученных от деления номера члена последователь-
ности на 5?
2.	Докажите, что последовательность («„), где u„ =	4 , яв-
ляется возрастающей и ограниченной сверху.
3.	Докажите, что последовательность (//„), где уп —	, яв-
ляется убывающей и ограниченной снизу.
4.	Является ли ограниченной последовательность (хл), если:
а) х„ = -^2; б) хп= — /г + 4; в) хп = ^у?
5.	Докажите, что последовательность (Ь„), где Ьп = п2 + 12/г + 42,
ограничена снизу и не ограничена сверху.
6.	Укажите, если возможно, какой-либо промежуток (а; Ь), где
а и b — некоторые числа, которому принадлежат все члены
последовательности (ил), если:
\	п	л \	5«2	,	1
а) и. = —-z-; б) и = —----; в) и = — .
’ п «4-6	' п «2-|-1	7’
83
С—51. Сходящиеся последовательности (п. 35Д)
1.	Является ли сходящейся последовательность:
а) 7, 14, 21, ..., 7п,	, _1 J_ (-1)”+1	:
ft 1 1 1	J_ 	’ 8 ’ 27 ’	"3 ’ "
°' 2 ’ 4 ’ 6 ’ 2п ’
2.	К какому числу сходится последовательность (сп), если:
а) с„ = 4 + -Ь б) с„=16—у; в) с„ = -^?
п	tl	и
3.	Последовательность (х„) задана формулой х„ =	. Ука-
жите наименьший из номеров членов последовательности, для
которых выполняется неравенство |х„— 31 <0,1.
4.	Вычислите первые шесть членов последовательности (пл),
о ,	о 2л -р1
заданной формулой ап = —-— , и изобразите их точками на коор-
динатной прямой. Какое предположение о пределе последова-
тельности (ап) можно сделать? Проведите доказательство.
5.	Пользуясь определением предела, докажите, что:
, .. 6л — 1 „	- ч .. п 1
a) lim-----= 6;	б) lim-——
’ п	' 7л 4-1	7
6.	Последовательность (а„) получается путем отбрасывания
в бесконечной периодической десятичной дроби 0,222... всех деся-
тичных знаков после запятой, кроме одного, кроме двух, кроме
трех и т. д., т. е.
^ = 0,2, п2 = 0,22, а3 = 0,222, ..., п„ = 0,22...2, ....
п раз
2	г
Докажите, что lima„ = —.
С—52. Функция ух" (п. 22)
1.	Постройте график функции:
a)z/=|x3; б) (/ = 1(х — 2)3.
2.	Известно, что g(x) = x45. Сравните:
а) £(1) и g (4);	в) g{— 4) и g(7);
6)g(|) и g(|);	г) g( —28) и g(28).
3.	Пусть /(х) = х62. Сравните:
а)	/ (25) и / (30);	в) / (-|) и /(0,25);
б)	/(-3) и /(-8);	. г) /(17) и /(-4).
4.	Сколько корней имеет уравнение:
а) х40 = 3; б) Xм = 5;	в)х37=-1?
84
5.	Изобразите схематически график функции:
а) д/= I х51;	б) у = ^ |х4-2|.
6.	Решите уравнение: а) х5=16х; б) х4=16х.
7.	Принадлежит ли графику функции у — х6 точка:
а) Л (2; 64); б)В(-1;-У); в) С (-4; 4094)?
у о Izy /
С—53. Определение корня n-й степени (п. 23)
1. Найдите значение выражения:
-----	3 -- 3 --------- 4 --------
a) УдУ; б) д/343; в) У —512; г) У0,0256.
2. Вычислите:
3. Укажите два последовательных целых числа, между кото-
рыми заключено число:
4. Сравните числа:
а)	УбУ и ^/6У;	в) УТУ и
б)	л/бУ и Д/ОУ;	г) д/ТУ и
5.	Постройте график функции:
3	3 --- 4 ----------- 4 -----------
а) у=\х; б) у=\х-\-2; в) у=\ — х; г) у=\х — 2.
з____________________________________
6.	Найдите корни уравнения У|х| — 1 =1.
7.	Найдите область определения функции:
6 ________ 3 ___________ 4 ,------------ 3 .----------
а) г/ = Ух + 2 ; б) г/ = Ух + 2; в) у=\2х — х2; г) у=\х? — 2х .
8.	Решите уравнение:
а) х® = 9; б) х8= 16; в) х10 —х5 —30 = 0.	3
9.	Постройте график уравнения: а) х = л/у; б) Ух”=УУ
С—54. Свойства арифметического корня (п. 24)
1. Докажите тождество:
2. Представьте выражение в виде одночлена:
а)	У25хУ, если х^О;	в) Д/125хУ;
4 _______
б)	У81хУ, если х^О;	г) У256х12г/20, где х>0, у<0.
85
3. Вычислите:
а) Д/256 • 0,0025;
в)	д/э+д/ТГ• Д/Э-Д/ГГ;
г)	^(1—д/10")2 .д/i+Vio".
4.	Представьте выражение в виде произведения, вынеся из-
под знака корня множитель:
а) , где Ь>0\ б) Д/8а4; в) \jb4c7; г) \/ — 16z/7, где у<0.
5.	Представьте выражение в виде дроби:
, -у /7х л/64г/3	, -у /162а5	, п ,	/ х10у''
а> б,Д/^: »)Д/—.г«»<0; ОД/^
6. Докажите, что верно равенство:
а)	= хУ[у, если х^О; б) У^у =—x\fy, если х^О.
7.	Вынесите множитель из-под знака корня:
а) У]9ЬЛ, если 6<0; б) Д/7х4г/8 , если х<0, z/<0.
8.	Упростите выражение:
a) VW; б) VW; в) уД/х8", где 0; г) у Д/25г/6, где
У<0-
9.	Решите уравнение:
а) д/х"— 9дЛ/ = 0; б) д/х"— Д/х"—12 = 0; в) д/х" + 7Д/х" + 12 = 0.
те
а)
10.	Представьте выражение
его значение при:
&= 12; б) Ь= — 12.
Л /1 . 13	А
в виде дроби и наиди-
С—55. Определение степени
с дробным показателем (п. 25)
1.	Представьте степень с дробным показателем в виде корня:
а) 372 ; 7Д 19~4;	в) 6х4; -8z/'-5; (5/>)0’2;
б)	х5; у 2; р'\	г) (у — З)2; (z/ + 5) 3; (у - 4)1'5.
2.	Замените арифметический корень степенью с дробным по-
казателем:
а)
б)
86
3.	Найдите значение выражения:
а ) 9?; б) 643; в)5-16~2; г)8-(з|}3
4.	Найдите область определения функции:
_i_
a) z/ = (x —5)4;	б) г/ = (8-х)3.
5.	Постройте график функции:
a) г/ = (х-3)2;	б) z/ = (x + 3)3
6.	Расположите в порядке возрастания числа:
” (1У' (4Х: (тГ; (4)^ б>
1
7.	Оцените значение выражения г/4, если:
а) 0<г/<81; б) 1 «С у С 16; в) 0,0001 <//^2.
С—56. Свойства степени
с рациональным показателем (п. 26)
1.	Представьте в виде степени:
1 3	/ 1\7	12	( 2\°
а) оЛг4; б) уо3/ ; в) а^:а4; г) \а8/.
2.	Упростите выражение:
2 7	/ 2 \ 0,25
3.	Найдите значение выражения:
а) ”3-81® +4903-7°'4; б) ---------------32°'6^----
0,5“''2-125^-5
4.	Представьте выражение, где а>0, в виде квадрата и в
виде куба:	,	।
а) а3; б) а; в) а3; г) а2.
5.	Решите уравнение:
2	1	1
а) х3 — 7х3 + 12 = 0;	б) у — 91г/3 —90 = 0.
6.	Постройте график функции:
а) г/=|(х + 2)2-2|;	б) г/ = ( |х| - 1)?
7.	Представьте в виде суммы квадратов выражение
63+4feT + 6&® + 4^+ 1.
87
8.	Постройте график уравнения:
- 11
а) х = //2;	б) х3 = 1/3.
С—57. Преобразование выражений, содержащих
степени с дробными показателями (п. 27)
1.	Разложите на множители:
а)	у — Зу2;	в) с3—9d5 *;^
б)	х°'5-2хадб;	г) а«-27*«.
2.	Представьте выражение в виде степени с натуральным по-
казателем:
_i_	1
а) />2-6/>7 * * + 9;
2	1	1
б) а~4а4+6а2—4а7+\.
3.	Сократите дробь:
В) 1 I1	Д) 5й0,5—1О&0,2 5
а3—Ь3	,
Dfr	е) /;14	.
х4+у4	у2+Зу4-10
выражение в виде степени с основанием а:
Ь°'5 + 2^-5 ’
j/1’5-8	.
z/ + 2/'5 + 4 ’
4. Представьте
5. Докажите, что значение выражения
2	11
53-(7-2\/б)Ч1 +V6)3
является целым числом.
6. Упростите выражение:
а + и0.«+о0.6+а0.4
’ а0Л + а0.4 + ц0,2+1 •
7. Постройте график функции:
।
a)z/=|x|2;	б) у=^\х\ — 2.
88
С—58. Определение синуса, косинуса,
тангенса и котангенса (п. 28).
1.	Найдите значение выражения:
а)	3 sin 90° — 4 cos 90° + 11 tg 45°;
б)	8 tg 360°+12 cos 90° — 3 sin 90°;
в)	4 sin 90° — 5 cos 90° + 15 tg 45°.
2.	Верно ли неравенство:
a)	cos 30° + cos 45° > 1;	в) cos 90° +cos 45° >4
6)	sin 60° +sin 45° ;> 1,5;	r) sin 90° — sin60o<0?
3.	Может ли косинус угла принимать значение, равное:
\ Vt" \/гГ 1	\	2	\ V5- —2 Л
а)^; 6) Л/2—1; в)^-; г) ^4—?
4.	Известно, что а = 60°. Найдите:
a) cos а; б) cos 2а; в) 4 cos а; г) cos2 а.
5.	Найдите значение выражения:
a)	cos2 а + 3 sin а + sin (а + 60°) при а = 30°;
б)	tg2 а + cos2 a + sin 2а при а = 45°;
в)	cos 2а+ л/з” cos a —sin (а+ 60°) при а = 30°.
6.	Укажите наименьшее и наибольшее значения выражения:
а) cosx + 5; б) 3 sin х—1; в) l + sin2x.
7.	Укажите три каких-либо значения а, при которых:
а) cosa = 0; б) sin а= — 1; в) cos а= — 1.
С—59. Свойства синуса, косинуса,
тангенса и котангенса (п. 29)
1.	Определите знак выражения:
а)	sin 215° • cos 87°;	в) sin 140° + cos 310°;
б)	sin 106°-tg 135°;	г) cos 196° —sin 117°.
2.	Углом какой четверти является угол а, если:
а) sina<0 и cosa>0;	б) sina>0 и tga<0?
3.	Найдите значение выражения:
а)	у/27~ sin ( —60°) + 4 cos ( —60°) —tg ( —45°);
б)	6sin(-30°)-8cos(-60°) + 3V3 ctg (-60°).
4.	Вычислите:
а)	5 sin 750°-cos 360° +4 tg 405°;
б)	2 sin 390° — 5 cos 420° — 10 tg 720°.
89
5.	Известно, что л<а<—. Сравните с нулем значение вы-
ражения: a) sin2 a cos а; б) sin а cos а tg а; в) sin а + cos а.
6.	Зная, что cos а = 6, найдите:
а) 1 + cos ( — a); б) cos(a + 360°); в) cos (720° —a).
7.	Какой координатной четверти принадлежит угол а, если
sin a + cos а =— 1,02? Ответ обоснуйте.
С—60. Радианная мера угла (п. 30)
1.	Найдите радианную меру угла, равного:
а) 45°; б) 36°; в) 15°; г) 160°; д) 300°.
2.	Найдите градусную меру угла, радианная мера которого
равна:
а) у!	в) |-л; г) 2^-л; д) 4л.
+	и	О	О
3.	Углы треугольника пропорциональны числам 2, 3, 5. Най-
дите их радианную меру.
4.	Имеет ли смысл выражение;
а)	Д/ — 3 sin a + "\/cos a , если л < a <~ ;
. ysin а	л _
6)	—.—	, если у<а<л?
"у—4 cos а
5.	Определите знак выражения:
.	. 5л 2л	.	. _	,	.	. 2л	2л
а)	sin—-cos —; в) sin2-cosl;	д) sin——cos — ;
О	/	3	О
,,	. 7л , л	... 7л . л	,	.	, । 5л
б)	sin— -tg — ; г) sin— + cos — ; е) sinl+cos —.
□	/	VO	v
6.	Верно ли, что:
\	Л	। Л	, 1	\	• Л	л	- 3
а) cos—+ cos — <. I,о; o) sin—-cos—С—?
7	3	4	7	4	6	4
7.	Найдите значение выражения:
а) 6 sin j —4 cos j + 5 ctg-^ —3 sin л;
3 sin2 — 2 cos2
\	4	6  i л i л
6)-----л----л—T + tg + ctg +
3 sin — cos — tg —
4	4 s 4
4 C°S +) —2 S'n tg(— 2л)
4tg(-i) + 3sin^-
90
С—61. Выражение тригонометрических функций угла
через одну из них (п. 31)
1.	Найдите значения тригонометрических функций угла а, ес-
ли известно, что:
a)	sin а = — , —<а<л;	в) tg а = т, 0<а<— ,
1 / Л	о	Z
б)	cosa = ^j-, -^<а<2я; г) ctga =—2,4,
2.	Используя калькулятор, вычислите (с точностью до 0,1)
значения тригонометрических функций угла 0, если известно,
что:
a)	sin р = 0,2, -^-срсл;	в) tg 3 =—3,7, -^-<р<2л;
б)	cos р =—0,8, ^-срсл;	г) ctg р = 4,8, 0<р<у.
3.	Могут ли:
а)	синус и косинус некоторого угла равняться соответственно
а	2
—, - И .	;
Va2 + 4 W + 4
б)	тангенс и котангенс некоторого угла равняться соответст-
венно —= и —=----------=, где 6У=О?
Д/б-уЗ ЬУ/5+ЬуЗ
4.	Зная, что cos ц=1—а2 и 0<а<-^-, найдите sin a, tg а и
ctg а. Укажите область допустимых значений а.
5.	Известно, что tg а = а и 0<а<у. Выразите sin a, cos а и
ctg а через а.
2
6.	Зная, что tgo, = —, найдите значение выражения
1 э
3	sin а — 2 cos а
6	cos а + 5 sin а
С—62. Применение основных тригонометрических
формул в преобразованиях (пп. 31, 32)
1.	Упростите выражение:
a)	tg р ctg З + ctg2 а;	в) cos а ctg а + sin а;
б)	7—;	г) tg2a + sin2a-----т
tga + ctga	cos2
2.	Найдите значение выражения:
a)	(tg asin a) ctg а, если cosa=—0, 2;
sin а-|-2 cos а	,	, _
б)	---------, если tg а= 1,5;
sin а — 2 cos а
91
6 sin2 a + 2 sin a cos a
3 cos2 a + sin a cos a
если tg a = 3.
3.	Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
а) sin2 a — 2 cos2 a;	б) 2 — cos2 a + 3 sin2 a.
4.	Докажите, что при всех допустимых значениях а верно ра-
венство:
, cos a 4- ctg a .	.	sin a l-|-cosa _
а)--------------sin a = 1;	6)--------------------= 0.
ctg a	1 —cos a sin a
2
5.	Зная, что cosa = -g, найдите значение выражения:
, . 4 ,	,	,, tg a — ctg a
a) sin a tg a ctg a;	6) —---------— .
tg a + ctg a
6.	Докажите тождество:
.	1— ctg2 a	1	sin a sin a _ ,
а) -------------=------;	6)--------------------= 2 ctg a.
sin4 a — cos4 a sin2 a	1—cos a l-f-cosa
7.	Верно ли, что tg (3-}-ctg |3 — 2i>0, если
C—63. Преобразование тригонометрических
выражений (п. 32)
1.	Упростите выражение:
, cos2 a + sin4 a— cos4 a	(1 + tg2 a) (1—cos2 a)
а ’------s?;--------:	6)----------------
2.	Известно, что cos a = а. Выразите через a:
a) sin2 a; 6) sin4 a; в) sin6 a.
3.	Докажите тождество:
, 6 cos2 a-|-2 sin4 a _
a) y;—5—;—~ = 2;
1 4-cos a + cos a
6) 1-(s'rla + COSa)2=2ctg2a.
sin a cos a — tg a
4. Зная, что sin a — cos a = 0,3, найдите:
a) sin a. cos a;	6) sin3 a — cos3 a.
5. Зная, что tg a — ctga = 0,7, найдите:
a) tg2 a + ctg2 a;	6) tg3 a — ctg3 a.
6. Докажите, что
/1-b-sin a /1— sin a	л _
\/----;----\/——— =— 2 tg a при -<а<л.
у 1 — sin а у 1+sina	2
7. Найдите наибольшее значение выражения:
\ло*4 ло 4	\ 3 —3 cos a
а) 0,2 sin a — 0,2 cos a;	6)----------•
2 +2 cos2 a
92
С—64. Формулы приведения (п. 33)
1. Вычислите:
а)	sin	150°;	,	. 2л д) Sin — ;	и) sin (-	7 л \ ”6"/’
б) cos 570°; в) tg 315°;			,	7л е) cos — ; ж) tg^;	к) cos ( — л) tg(-	-240° 5л \ т/
г)	ctg	225°;	з) ctg ;	м) ctg(-	2 л \ "Т?
а) б)	2. : sin cos	Замените (W	тригонометрической г) sin (а —л); д) cos (а — —	функцией угла	а:
в) ctg		(л + а);	е) tg (а-		
3.	Найдите значение выражения:
a)	3sin 390° —4 cos 780° —tg 135°;
б)	sin -у-—cos Ю tg Зл;
в)	Д/З tg(-— 2cos( — ^) + 5tg( —
4.	Упростите выражение:
a) sin (л — a) cos — а)+1;
sin (а~^-)sin (f-a)+cos2 (т+а)
,	.	.	/ Л\
ctg (л —а) cos ( а~~2 I
5.	Докажите тождество:
a)	cos (а + л) ctg (л — а)Н-!--=—sin а;
sin (2л — а)
cos fa —	sin (л + а) tg	— а^
б)		= - Ctg2 а.
cos (т+а)cos (а+~т)tg (л
6.	Зная, что косинус одного из углов параллелограмма ра-
вен 0,8, найдите тригонометрические функции прилежащего угла.
7.	Известно, что А, В и С — углы треугольника. Верно
ли, что:
a) cos (Л+ В)= — cos С;	б) sin ~= sin Гу + у)?
93
С—65. Формулы сложения (п. 34)
1.	Вычислите с помощью формул сложения:
a) cos 135°; б) sin^-; в) sin ( — 75°).
2.	Найдите значение выражения:
a)	cos 47° cos 13° — sin 47° sin 13°;
6)	sin 12°20z cos 47°40' + cos 12°20z sin 47°40z;
. - Зл	5л । Зл . 5л
в)	sin — cos — + cos — sin — .
о	о	о	о
3.	Найдите:
,	/ л	\	8	_ Зл
a)	cos 1 ——а), если cosa =—— , л<а<-л-;
\ О	/	11	2
б)	sinfa4--^-\ если sina = -^-,
!	\	6 /	412
,	.	3	. о 15 л _____	_л л q
4.	Зная, что sina = —, sin р = —, l)<a<p —<р<л,
найдите: а) sin (о.|3); б) cos (а — Р).
5.	Пользуясь формулами сложения, проверьте, что:
а) sin^-^+a^=—cos a; б) cos(n + a) =—cos a.
1	5
6.	Зная, что tga = —, tgP=—, найдите:
a) tg(a + p); 6) tg(a — ₽).
5	3	jt
7.	Известно, что cos(a + p) =——-, cosp = —, 0<a< — ,
1 о	о	2
Oc^Cy. Найдите cos a.
С—66. Применение формул сложения
в преобразованиях (п. 34)
1.	Упростите выражение:
а)	sin 3a cos 5a — sin 5a cos За;
6)	cos +	cos 0^ + a) — sin (j^ + a) sin 0r + a);
в)	sin(a-|-P) — sin ^y—a^ cos (y—a).
2.	Косинусы двух углов треугольника равны соответственно
9	4
— и у . Найдите синус третьего угла.
3.	Докажите тождество:
а)	sin (y + a)— sin a = cos ai
94
6)	cos (а + р) cos (а — p) + sin2 p = cos2 а;
. 2 cos а cos 0— cos (а — В) ,	,
в)		—й; . \—т; = ctg (а + р).
2 cos а sin 0-|-sin (а —0)
4.	Докажите, что:
a)	sin 46° sin 72° + sin 18° sin 44° = sin 64°;
6)	cos 84° cos 36° 4-cos 6°cos 64° = cos 48°.
5.	Зная, что tg0--|-a) = y, найдите:
a) tg a; 6) ctg a.
6.	Известно, что tga=—, tgP = 3, y<a<n;, OcpCy.
Определите величину угла a-|-p.
С—67. Формулы двойного угла (п< 35)
1. Вычислите:
а)	2 sin 22°30/ cos 22°3(У;
б)	2 д/2" sin у cos ;
в)	8 sin 165° cos 165°;
2.	Найдите sin 2a и cos 2a,
г)	cos2 195°-sin2 195°;
д)	2 cos2 -^-2 sin2 2L;
e)	(cos 75° — sin 75°)2.
2	Зя
если sin a=—, n<a< —
О	£
3.	Известно, что cosa=—у, у<а<;л. Найдите cos 2a
и tg 2a.
4.	Сократите дробь:
, sin 106°	,, cos 84°	. sin 76°
a) -----; 6) -------------; в) ------.
cos 53° sin 42° — cos 42° cos 62°
5.	Упростите выражение:
a)	1—2 sin2 у;	в) 4sin4 a + sin2 2a;
1—	cos 2a	. 1— ctg2 a	o
6)	—-------;	r) -7—n—ь cos 2a.
sin a	1 4-ctg a
6.	Докажите тождество:
а)	(1—cos 2a) ctg a = sin 2a;
6)	(sin a — cos a)2 + sin 2a — cos2 a = cos2 a — cos 2a;
в)		!------!---= 2tg2a.
1 4-ctg a 1 —ctg a
7.	Существует ли угол a, для которого:
а) sin a cos а = -^-;	б) 3 cos2 a — 3sin2a = 3,12?
95
С—68. Применение формул двойного угла
в преобразованиях (п. 35)
1.	Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
а) 5 cos'* а — 5 sin4 а; б) 1—4 sin а cos а.
2.	В равнобедренном треугольнике синус угла при основании
24
равен — . Определите синус и косинус угла при вершине.
3.	Упростите выражение:
l-cosf-^-2(Л	2 tg £
а) ; б) ------------------8- ; в) ________cosa~sina_______ .
(sin а— cos а)2	. ±„2 я	. /я о \	 о , о  2
v	'	1—tg —	sin ( — — 2а) — sin 2а+ 2 sin а
4.	Найдите:
.	. _	.	2
a)	sin 2а, если sin а — cosa=—— ;
,,	. а . а 1
б)	sin а, если sin y + cos —=— .
5.	Зная, что cos а = Ь, выразите cos За через Ь.
6.	Докажите тождество:
a) tg 195° + ctg 195° = 4;	б) sin 3° + sin3 a = _ ctg a
cos За — cos3 а
7.	Докажите, что:
. .	ту г, о ,	\	л	2 л	4 л	1
а) 4cos36 cos72 =1;	б) cos — cos — cos — = — -g .
C—69. Формулы суммы и разности
тригонометрических функций (п. 36)
1.	Представьте в виде произведения:
а)	cos 72° — cos 18°;	в) sin a + sin (60° — a);
6)	cos-^ + cos-^-;	r) cos (^— a') — cos f-^ + a
4	о	\ о /	\ b
2.	Найдите значение выражения:
. sin 86° + sin 4°	cos 204° — cos 64°
a) ------1;	6)----------------.
cos86° + cos4°	sin 204° — sin 64°
3.	Преобразуйте в произведение:
a)	cos ll° + sin 19°;	в) sin 110° —cos 40°;
6)	sin 26° + cos 16°;	r) cos 86° — sin 20°.
4.	Упростите выражение:
 770 1 • IO"	COS	— Cos (~T~ O'4)
. sin77° + sinl9	\4	/	\4	/
a) ------------;	6) ---7-----------;
'	__-7-70	_1 ПО	'	/ ТГ	\	/ tt	\	’
96
. cos a + cos За + cos 5а + cos 7а
в) ------------------------- •
sin а + sin За + sin 5a + sin 7a
5.	Верно ли, что:
a)	cos 108° + cos 106°-|-cos 72°-|-cos 54° = cos 76°;
6)	sin 98° — sin 82° + sin 42° + sin 18° = cos 13°?
6.	Докажите, что:
a)	sin 37° +sin 23° —cos 7° = 0;
6)	cos 84° + cos 36° — cos 24° = 0.
7.	Докажите тождество:
a) sin a-f-sin p + sin (a + P) = 4 cos j cos у sin a +
cos (a + fi) —cos (a —8)	.
o) -------------------= — tg a.
sin (a + P) — sin (a —P)
4—12523
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 1	К—1 (пп. 1—4; пп. 1—ЗД)
1.	Найдите область определения функции
Д/2х-6
У = ~^-
2.	Является ли четной или нечетной функция
/(х) = (2х + 3)3 + (2х —З)3?
3.	Докажите, что функция g (х) = "\/8— х является убыва-
ющей.
4.	Найдите область значений функции
5.	Сократите дробь	—- — .
6.	При каком значении а квадратный трехчлен а2 — 6аД- 11
принимает наименьшее значение?
Вариант 2	К—1 (пп. 1—4; пп. 1—ЗД)
1.	Найдите область определения функции
2.	Является ли четной или нечетной функция
g(x) = (x + 5)3-(x —5)3?
3.	Докажите, что функция /(х)=ух—15 является возраста-
ющей.
4.	Найдите область значений функции
Д + 4
у=~г •
- „	,	10а2 + 9а — 9
5.	Сократите дробь —--------.
1	1	2а2 —5а—12
6.	При каком значении b квадратный трехчлен 25 + 86 — Ь2
принимает наибольшее значение?
98
Вариант 3
К—1 (nn. 1—4; пп. 1—ЗД)
1.	Найдите область определения функции
А/16 —4х
У~~ 9х—18 '
2.	Является ли четной или нечетной функция
/ (х) = (3х- 1 )2 + (Зх+ 1 )2?
3.	Докажите, что функция g (х) = "\/9 — 2х является убыва-
ющей.
4.
5.
6х
Найдите область значений функции У = —,-----.
г + 1
„	х 1262 —176-5
Сократите дробь —;---------.
6Ь— 136-|-5
При каком значении с квадратный трехчлен с2ф-14с—1
6-
принимает наибольшее значение?
Вариант 4
К—1 (пп. 1—4; пп. 1—ЗД)
1.	Найдите область определения функции
_ Д/5х- 15
У~ 2х—12 '
2.	Является ли четной или нечетной функция
g(x) = (3x-7)2-(3x+7)2?
3.	Докажите, что функция / (х) = ^3х— 5 является возраста-
ющей.
I 9
4.	Найдите область значений функции у= .
_	8с2 — 2с —3
5.	Сократите дробь —-------.
2с — 9с — 5
6.	При каком значении у квадратный трехчлен 7—12у— у2
принимает наибольшее значение?
Вариант 1
К—2 (пп. 5—7; пп. 4, 5, 7, 8Д)
1.	Проведите исследование функции у = х2-\-2х— 3 и по-
стройте ее график.
2.	Изобразите схематически график функции у = х2 + 2|х|—3.
Зх__5
3.	Найдите асимптоты графика функции У = ——•
4.	Изобразите схематически график функции g=|x2 —9|.
5.	Известно, что функция y = f(x) возрастает на промежутке
[0; 5] и убывает на промежутке [5; 10]. Как ведет себя функция
y = f(\x\) на промежутках [ — 10; —5] и [ — 5; 0]?
99
Вариант 2	К—2 (пп. 5—7; пп. 4, 5, 7, 8Д)
1.	Проведите исследование функции y = 5~t~4x— х2 и по-
стройте ее график.
2.	Изобразите схематически график функции
у = 5 + 41 х| —х2.
3.	Найдите асимптоты графика функции
4.	Постройте график функции z/=|x2 — 2х|.
5.	Известно, что функция y = f(x) возрастает на промежутке
|0; 7] и убывает на промежутке [7; 12]. Как ведет себя функция
г/ = /(|х|) на промежутках [—12; —7] и [ — 7; 0]?
Вариант 3
К—2 (пп. 5—7; пп. 4, 5, 7, 8Д)
1.	Проведите исследование функции z/ = x2— 8х+13 и по-
стройте ее график.
2.	Изобразите схематически график функции
y = xi — 8|х| 4-13.
3.	Найдите асимптоты графика функции
4.	Постройте график функции y=\4 — xt\.
5.	Известно, что функция £/ = g(x) убывает на промежутке
[0; 6] и возрастает на промежутке [6; 8]. Как ведет себя функция
z/ = g(|x|) на промежутках [ — 8; —6] и [— 6; 0]?
Вариант 4
К—2 (пп. 5—7; пп. 4, 5, 7, 8Д)
1.	Проведите исследование функции д/ = 84-2х — х2 и по-
стройте ее график.
2.	Изобразите схематически график функции
д/ = 84-2|х| — х2.
3.	Найдите асимптоты графика функции
4.	Постройте график функции у= |4х — х2!.
5.	Известно, что функция y = f(x) убывает на промежутке
[0; 7] и возрастает на промежутке [7; 11]. Как ведет себя функция
y = f(\x\) на промежутках [—11; —7] и [ — 7; 0]?
100
Вариант 1	К—3 (§ 5; § 6Д, пп. 14, 15)
1.	Решите уравнение:
а) х3— 16х = 0; б) х4 —7^+12 = 0.
2.	Используя свойство монотонности функций, решите урав-
нение х5 + 2х3 + Зх = 54.
3.	Докажите, что уравнение х34~3х 4-2 = 0 не имеет целых
корней.
4.	Найдите корни уравнения х34-2х2 — 5х — 6 = 0.
2	3	1
5.	Решите уравнение ——-|- =-----=  •
х + 2	х2-1-х-2 i? — х
Вариант 2	К—3 (§ 5; § 6Д, пп. 14, 15)
1.	Решите уравнение:
а) х3 —9х = 0; б) х4— 1 lx2-)- 18 = 0.
2.	Используя свойство монотонности функций, решите урав-
нение х74-Зх54-5х3 = 9.
3.	Докажите, что уравнение х34-бх—1=0 не имеет целых
корней.
4.	Найдите корни уравнения х3-|-6х24-5х—12 = 0.
CD	2	.	10	3
5.	Решите уравнение —пгт-;------= =-----
Н-3 т хДх-б Р-2х
Вариант 3	К—3 (§ 5; § 6Д, пп. 14, 15)
1.	Решите уравнение:
а) х3 — 36х = 0; б) х4 — Эх2-)-20 = 0.
2.	Используя свойство монотонности функций, решите урав-
нение
х5 4-х3 4-2х = 44.
3.	Докажите, что уравнение х34~5х — 2 = 0 не имеет целых
корней.
4.	Найдите корни уравнения
х3 — 2х2 — 5х 4-6 = 0.
5.	Решите уравнение
1__________________________6	_ 2
№-|-2x	х2-|-7 х-f-10 х+5
101
Вариант 4	К—3 (§ 5; § 6Д, пп. 14, 15)
1.	Решите уравнение:
а) х3 — 25х = 0; б) х4 —21х2-ф80 = 0.
2.	Используя свойство монотонности функций, решите урав-
нение х34-9х = 26.
3.	Докажите, что уравнение х3 — х — 3 = 0 не имеет целых
корней.
4.	Найдите корни уравнения х3 — 7х2 + 7х+15 = 0.
_ „	4	7	1
5.	Решите уравнение --------5
Р + 4х Р + х-12 х —3
Вариант 1	К—4 (§ 4; § 6Д, п. 16; § 7Д,
пп. 18, 19; § 8Д, п. 20)
1.	Решите неравенство:
а) Юх2 —7х—12<0; б) (х+8)(х— 1)(х2 — 4)>0.
2.	Найдите область определения функции
Л / 2х —5
Р-7х-8 '
3.	Решите неравенство:
а) |4х — 5| >7; б) |х + 3| + |х —4| <9.
4.	Решите уравнение:
а) А/бх + З = 4 —х; б) (2х2-х-1)	=0.
5.	Найдите корни уравнения, воспользовавшись свойством
монотонности функций:
|х5 + Д/Зх-2 = 10.
Вариант 2
К—4 (§ 4; § 6Д, п. 16; § 7Д,
пп. 18, 19; § 8Д, п. 20)
1.	Решите неравенство:
а) 20Х2 — 7х —6>0; б) (х-ф3) (х2— 16) (х — 5)<0.
2.	Найдите область определения функции
/ х2 — х— 12
У= V Зх+6 
3.	Решите неравенство:
а) |5х—31 < 8; б) |хД-2| -ф |х- 11 >5.
102
4.	Решите уравнение:
a) Д7х-5 = х+ 1; б) (Зх2 + 4х-4) д/^±|' = 0.
5.	Найдите корни уравнения, воспользовавшись свойством
монотонности функций:
|x3 + W+l =7.
Вариант 3	К—4 (§ 4; § 6—8Д, пп. 16, 18, 19, 20)
1.	Решите неравенство:
а) 6х2 + 21х-12<0; б) (хф-7)(х-4)(х2-36)>0.
2.	Найдите область определения функции
__д / 4х —8
У~' V х2 + 2х-15 ‘
3.	Решите неравенство:
а) |8х — 3| >5; б) |х-|-3| + |х-5|< 10.
4.	Решите уравнение:
a) V8x+1 = 11 — 2х; б) (2х2 + х-15)Д^-^±^ =0.
5.	Найдите корни уравнения, воспользовавшись свойством
монотонности функций:
Д/7х + 2 + Д5х — 1 + х = 9.
Вариант 4	К—4 (§ 4; § 6—8Д, пп. 16, 18, 19, 20)
1.	Решите неравенство:
а) 4Х2 — 5х — 6>0; б) (х-|-8)(х — 6)(х2 — 49)<0.
2.	Найдите область определения функции
__д / х2 — х — 20
У~ У 7x4-14 '
3.	Решите неравенство:
а) |2х—7| <4; б) |хД-3| + |х—5| > 12.
4.	Решите уравнение:
a) Д8х-ф4 =х + 2; б) (6х2-7х + 2) д/-^±£ = 0.
5.	Найдите корни уравнения, воспользовавшись свойством
монотонности функций:
Д/8х+ 12 + V3x+12 + х = 4.
103
Вариант 1
К—5 (§ 6; § 10Д)
1.	Решите систему уравнений:
а) Г x2 + 2xt/ = 16, б) ( х2 + //2 = 29,
( 4х— у = 5;	( хг/=10.
2.	Найдите множество решений системы уравнений
| (х-2г/)(5х + 2г/) = 0,
( х2 —xz/ + z/2= 12.
3.	Определите, используя графики уравнений, сколько реше-
ний имеет система
Г х2 — у2 = 16,
[ x2 + z/2 = 25.
4.	Дорога от станции до озера идет сначала в гору, затем под
гору. Рыболов на подъеме шел со скоростью на 2 км/ч меньшей,
чем на спуске. Расстояние до озера рыболов прошел за 1 ч, а на
обратный путь он затратил на 6 мин больше, чем на путь до озе-
ра. Найдите скорость пешехода на подъеме и на спуске, зная,
что расстояние от станции до озера равно 5 км.
Вариант 2	К—5 (§ 6; § 10Д)
1.	Решите систему уравнений:
а) Г 3xz/ + у2= — 8, б) Г х2 + ^2 = 58,
( х + Зу — 10;	( ху = 21.
2.	Найдите множество решений системы уравнений
((Зх — 2у) (4у— х) = 0,
| х2 — Зху + 2у~ = 6.
3.	Используя графики уравнений, выясните, сколько решений
имеет система
( x=z/2 —6,
I ху + 1 = 0.
4.	По течению реки расположены пристани А, В и С. Рассто-
яние /16=12 км, ВС = 8 км. Катер, отправившись из А, дошел до
С и, повернув обратно, прибыл в В, затратив на весь путь полтора
часа. Затем катер отправился в А и тут же вернулся в В, затра-
тив на этот путь 1 ч 21 мин. Каковы собственная скорость катера
и скорость течения реки?
104
Вариант 3
К—5 (§ 6; § 10Д)
1.	Решите систему уравнений:
а) Г х2-\-4ху = 2\, б) Г х2 + г/2 = 52,
| Зх — у = 8;	| ху = 24.
2.	Найдите множество решений системы уравнений
Г (х—4i/)(2x + 5y) = 0,
| х2 + ху — 2у2 = 28.
3.	Используя графики уравнений, выясните, сколько решений
имеет система
Г х2 + у2 — 4у = 5,
I — У= 1-
4.	Расстояние между двумя городами, равное 480 км, пасса-
жирский поезд по расписанию должен проходить на 2 ч быстрее,
чем товарный. Из-за ремонта путей пассажирский поезд вынуж-
ден был уменьшить свою скорость на 8 км/ч, а товарный — на
12 км/ч. В результате на путь между городами товарный поезд
затратил на 3 ч 20 мин больше, чем пассажирский поезд. Како-
вы скорости товарного и пассажирского поездов по расписанию?
Вариант 4	К—5 (§ 6; § 10Д)
1.	Решите систему уравнений:
a) f 2ху + у2 = 28, б) Г x2 + z/2 = 50,
| x-4-2z/=10; (ху = 7.
2.	Найдите множество решений системы уравнений
| (x+4z/)(5x — 2z/) = 0,
| 2Х2 — Зху + у2 = 27.
3.	Используя графики уравнений, выясните, сколько решений
имеет система
| х2 — 4х = у— 1,
| г/2 = х + 3.
4.	Моторная лодка на 21 км по течению реки и обратный
путь затратила 2 ч 40 мин. В другой раз та же моторная лодка
прошла по течению реки 18 км и 14 км против течения реки, за-
тратив на весь путь 2 ч. Каковы собственная скорость моторной
лодки и скорость течения реки?
105
Вариант 1
К—6 (§ ИД, 12Д)
1.	Постройте прямую х—z/4-2 = 0. Выделите штриховкой по-
луплоскость, в которой выражение х— у-\-2 принимает положи-
тельные значения.
2.	Покажите штриховкой на координатной плоскости множе-
ство точек, координаты которых удовлетворяют системе не-
равенств
| у + 0,5х + 1 ^0,
| у — х — 0,5 0.
3.	Постройте треугольник, вершинами которого являются
точки Д( — 3; 0), В (0; 2), С (6; 0). Задайте этот треугольник си-
стемой неравенств и определите его площадь.
4.	Изобразите фигуру, заданную системой неравенств
Г х2 + г/2 25,
I № + z/2>9,
и найдите ее площадь (с точностью до 0,1).
5.	Задайте неравенством круг с центром в точке А (1; 2) и ра-
диусом, равным 5.
6.	Среди точек, координаты которых удовлетворяют системе
неравенств
Г i/^x2 —4x4-3,
[ У — х—3^0,
найдите точку с наименьшей ординатой и точку с наибольшей
ординатой, используя для этого схематически построенные гра-
фики функций.
Вариант 2
К—6 (§ ИД, 12Д)
1.	Постройте прямую х — у — 2 = 0. Выделите штриховкой по-
луплоскость, в которой выражение х — у — 2 принимает отрица-
тельные значения.
2.	Покажите штриховкой на координатной плоскости множе-
ство точек, координаты которых удовлетворяют системе не-
равенств
| у — 0,5х — 2^0,
| у — 0,5х-|-4^0.
3.	Постройте треугольник, вершинами которого яляются точ-
ки Л( — 2; 0), В (0; 4), С (5; 0). Задайте этот треугольник систе-
мой неравенств и определите его площадь.
106
4.	Изобразите фигуру, заданную системой неравенств
Г ^Ч-^Зб,
I +	16,
и найдите ее площадь (с точностью до 0,1).
5.	Задайте неравенством круг с центром в точке Л (3; 1) и ра-
диусом, равным 7.
6.	Среди точек, координаты которых удовлетворяют системе
неравенств
{у х2 — 4х,
у — х — 6^0,
найдите точку с наименьшей ординатой и точку с наибольшей
ординатой, используя для этого схематически построенные гра-
фики функций.
Вариант 3
К—6 (§ 11Д, 12Д)
1.	Постройте прямую х — // + 4 = 0. Выделите штриховкой по-
луплоскость, в которой выражение х — у-\-4 принимает положи-
тельные значения.
2.	Покажите штриховкой на координатной плоскости множе-
ство точек, координаты которых удовлетворяют системе не-
равенств
у + х+ 1,5>0,
у — 0,5% + 2^0.
3.	Постройте треугольник, вершинами которого являются
точки А(— 4; 0), В (0; 2), С (3; 0). Задайте этот треугольник си-
стемой неравенств и определите его площадь.
4.	Изобразите фигуру, заданную системой неравенств
x2 + z/2^ 16,
x2 + .V2Ss4,
и найдите ее площадь (с точностью до 0,1).
5.	Задайте неравенством круг с центром в точке А (4; 3) и ра-
дусом, равным 4.
6.	Среди точек, координаты которых удовлетворяют системе
неравенств
у + %2 — 2х,
у — х — 4^0,
найдите точку с наименьшей ординатой и точку с наибольшей
ординатой, используя для этого схематически построенные гра-
фики функций.
107
Вариант 4
К—6 (§ 11Д, 12Д)
1.	Постройте прямую х — у — 4 = 0. Выделите штриховкой по-
луплоскось, в которой выражение х — у — 4 принимает отрица-
тельные значения.
2.	Покажите штриховкой на координатной плоскости множе-
ство точек, координаты которых удовлетворяют системе не-
равенств
| у — 0,5х — 3^0,
| у — 0,5х-ф 1 >0.
3.	Постройте треугольник, вершинами которого являются
точки Д( —3; 0), В (0; 4), С (7; 0). Задайте этот треугольник си-
стемой неравенств и определите его площадь.
4.	Изобразите фигуру, заданную системой неравенств
( х24-//2^36,
I x24-z/2>9,
и найдите ее площадь (с точностью до 0,1).
5.	Задайте неравенством круг с центром в точке А (4; 3) и ра-
диусом, равным 6.
6.	Среди точек, координаты которых удовлетворяют системе
неравенств
Г z/^x2— бхД-8,
I у — х — 8^0,
найдите точку с наименьшей ординатой и точку с наибольшей
ординатой, используя для этого схематически построенные гра-
фики функций.
Вариант 1	К—7 (§ 7, п. 31 Д)
1.	Между числами 16 и —2 вставьте пять чисел, которые
вместе с данными числами образуют арифметическую про-
грессию.
2.	Является ли число 16,6 членом арифметической прогрес-
сии (й„), в которой Ь} = 18,2, Ь5 = 17,4, и если да, то каков его
номер?
3.	Укажите номер первого положительного члена арифмети-
ческой прогрессии —17, —16,6, —16,2, ....
4.	Найдите сумму первых двадцати членов арифметической
прогрессии (ап), в которой а7=—6, а,2 = 24.
5.	Найдите сумму первых шестнадцати членов последова-
тельности (а„), заданной формулой а„ = 5п—1.
6.	Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 6 и не
превосходящих 100.
108
Вариант 2	К—7 (§ 7, п. 31Д)
1.	Между числами 13 и —1 вставьте шесть чисел, которые
вместе с этими числами образуют арифметическую прогрессию.
2.	Является ли число 23,8 членом арифметической прогрес-
сии (6Л), в которой ^ = 28,8, 66 = 26,3, и если да, то каков его
номер?
3.	Укажите номер первого отрицательного члена арифмети-
ческой прогрессии 19,2, 19, 18,8, ... .
4.	Найдите сумму первых тридцати членов 'арифметической
прогрессии (а„), в которой а5= — 12, а15=18.
5.	Найдите сумму первых восемнадцати членов последова-
тельности (а„), заданной формулой ал = 3п + 6.
6.	Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не
превосходящих 100.
Вариант 3	К—7 (§ 7, п. 31Д)
1.	Между числами 24 и —4 вставьте шесть чисел, которые
вместе с этими числами образуют арифметическую прогрессию.
2.	Является ли число —29,6 членом арифметической про-
грессии (/>„), в которой Ь}=—31,4, Ь4 =—30,5, если да, то каков
его номер?
3.	Укажите номер первого положительного члена арифмети-
ческой прогрессии
— 18,4, —17,9, -17,4, ... .
4.	Найдите сумму первых тридцати членов арифметической
прогрессии (а„), в которой а9 =— 11, а19=19.
5.	Найдите сумму первых двенадцати членов последователь-
ности (а„), заданной формулой а„ = 4п— 5.
6.	Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 5 и не
превосходящих 100.
Вариант 4	К—7 (§ 7, п. 31 Д)
1.	Между числами 17 и —3 вставьте три числа, которые вме-
сте с данными числами образуют арифметическую прогрессию.
2.	Является ли число — 1 членом арифметической прогрессии
(&„), в которой = 3,8, Ь7= 1,4, и если да, то каков его номер?
3.	Укажите номер первого отрицательного члена арифмети-
ческой прогрессии 16,8, 16,5, 16,2, ... .
4.	Найдите сумму первых пятидесяти членов арифметической
прогрессии (а„), в которой ап =—3, а1Э = 21.
5.	Найдите сумму первых четырнадцати членов последова-
тельности (ап), заданной формулой а„ = 6«+1.
6.	Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 8 и не
превосходящих 100.
109
Вариант 1	К—8 (§ 8, п. 31Д)
1.	Найдите восьмой член геометрической прогрессии
— 32, 16, —8, ... .
2.	Определите первый член и знаменатель геометрической
прогрессии, если известно, что разность между пятым и третьим
членами равна 504, а разность между четвертым и вторым чле-
нами равна 168.
3.	Второй и пятый члены геометрической прогрессии соответ-
ственно равны 25,5 и 688,5. Найдите члены прогрессии, заклю-
ченные между ними.
4.	Найдите сумму первых шести членов геометрической про-
грессии (Ьп) с положительными членами, если известно, что
£>2 = 48 и £>4=12.
5.	Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную де-
сятичную дробь:
а) 0,(7); б) 0, 2 (3).
6.	Сумма трех чисел, составляющих геометрическую прогрес-
сию, равна 26. Если первое число оставить без изменения, второе
увеличить на 3, а третье уменьшить на 2, то полученные числа
будут составлять арифметическую прогрессию. Найдите исход-
ные числа.
Вариант 2	К—8 (§ 8, п. 31Д)
1.	Найдите девятый член геометрической прогрессии
81, 27, 9, ... .
2.	Определите первый член и знаменатель геометрической
прогрессии, если известно, что разность между шестым и четвер-
тым членами равна 648, а разность между пятым и третьим чле-
нами равна —216.
3.	Второй и пятый члены геометрической прогрессии соответ-
ственно равны 36 и 4,5. Найдите члены прогрессии, заключенные
между ними.
4.	Найдите сумму первых восьми членов геометрической про-
грессии (£>„) с положительными членами, если известно, что
£)2 = 64 и £>6 = 4.
5.	Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную де-
сятичную дробь:
а) 0,(4); б) 0,5(1).
6.	Сумма трех чисел, составляющих геометрическую прогрес-
сию, равна 39. Если первое число уменьшить на 17, второе оста-
вить без изменения, а третье увеличить на 5, то полученные чис-
ла будут составлять арифметическую прогрессию. Найдите ис-
ходные числа.
НО
Вариант 3
К—8 (§ 8, п. 31Д)
1.	Найдите седьмой член геометрической прогрессии
64, —16, 4, ... .
2.	Определите первый член и знаменатель геометрической
прогрессии, если известно, что разность между пятым и третьим
членами равна —84, а разность между четвертым и вторым чле-
нами равна 42.
3.	Второй и пятый члены геометрической прогрессии соответ-
ственно равны 9и|. Найдите члены прогрессии, заключенные
между ними.
4.	Найдите сумму первых шести членов геометрической про-
грессии (/?„) с положительными членами, если известно, что
b2 — 1 и 64 = 9.
5.	Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную де-
сятичную дробь: а) 0,(2); б) 0,06(3).
6.	Сумма трех чисел, составляющих геометрическую прогрес-
сию, равна 21. Если первое число оставить без изменения, второе
увеличить на 6, а третье увеличить на 3, то полученные числа бу-
дут составлять арифметическую прогрессию. Найдите исходные
числа.
Вариант 4	К—8 (§ 8, п. 31Д)
1.	Найдите восьмой член геометрической прогрессии
27, -9, 3, ... .
2.	Определите первый член и знаменатель геометрической
прогрессии, если известно, что разность между шестым и четвер-
тым членами равна —36, а разность между пятым и третьим
членами равна 18.
3.	Второй и пятый члены геометрической прогрессии соответ-
ственно равны 7 и . Найдите члены прогрессии, заключенные
между ними.
4.	Найдите сумму первых шести членов геометрической про-
грессии (Ь„) с положительными членами, если известно, что
Ь2 = ~^ и &4=1-
5.	Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную де-
сятичную дробь: а) 0,(6); б) 0,3(4).
6.	Сумма трех чисел, составляющих геометрическую прогрес-
сию, равна 35. Если первое число увеличить на 2, второе оста-
вить без изменения, а третье уменьшить на 7, то полученные чис-
ла будут составлять арифметическую прогрессию. Найдите ис-
ходные числа.
Ill
Вариант 1
К—9 (§ 10)
1.	Вычислите:
а) 8^/б25' + Л/-18-12: б) + 4^/3 -Л]2 + у/3 -^27.
2.	Решите уравнение:
а) х4 = 256; б) х6— 7х3— 8 = 0.
3.	Найдите значение выражения
— 6а+ 9 -р/а2-р6а-р9	о7с	л *7
-------!——•-------!— При а = 276 и а =—47.
4.	Представьте выражение —	в виде рациональной
дроби, зная, что а<0.
5.	Решите уравнение
з,_________
<? __
6.	Постройте график функции у = 2у\х\ —2, где D(y) =
= [-8; 8].
Вариант 2
К—9 (§ 10)
1.	Вычислите:
a) д/18-72 —5 V —343; б) Д/11 ф-6 Д/2 • Л/11 + 6^2 — д/4 .
2.	Решите уравнение:
а) / = 729; б) х4 + 2х2 — 24 = 0.
3.	Найдите значение выражения
/б2 — 46 -р 4 -р/б2 -р 46 -р”^"	, о~	~
—------!—1— при Ь = 276 и b =—47.
л п	Л /б4х12
4.	Представьте выражение —	—— в виде рациональной
дроби, зная, что z/<0.
5.	Решите уравнение
Vl-v-31 -2=1.
6.	Постройте график функции у = 2л[\х\—2, где О(г/) =
= [ —9; 9].
112
Вариант 3
К—9 (§ 10)
1.	Вычислите:
а) А/-32 +V48-27; б) V1 +2 д/З • V1 + W -
2.	Решите уравнение:
а) х4 = 625; б) х6 —26х3 —27 = 0.
3.	Найдите значение выражения
Д/с2+Юс + 25 -Д/с2—10с 4-25
2с
при с= — 10 и с = 3.
8 Г~;~
4.	Представьте выражение — у 729 12 в виДе рациональной
дроби, если известно, что х<0.
5.	Решите уравнение
Ух-3| -4 =1.
6.	Постройте график функции у = 2}/\х\—1, где D(y) =
= [-8; 8].
Вариант 4
К—9 (§ 10)
1.	Вычислите:
а) \'729‘ + Л/ —45-75 ; б) \/б + ^2  Д/27+ЮУГ - ’V128 .
2.	Решите уравнение:
а) х5 = 243; б) х8-17х4+16 = 0.
3.	Найдите значение выражения
Д/х2 + 12x4-36 + Л/х2 — 12x4-36	„	„ .о
——!!------2—*-----!-- при х = 3 и х = 348.
2х	г
. гт	-\ / 256//
4.	Представьте выражение — \/—2— в виде рациональной
дроби, зная, что р<0.
5.	Решите уравнение
Л/|х —8|—3 = 1.
6.	Постройте график функции у = 4 д/|х| — 2, где D{y) =
= [-6; 6].
113
Вариант 1
к—10 (§ 11)
1.	Вычислите:
1 _1 1 __1
а) 164-(0,01) 2; б) 1252-(0,008) ®
2.	Упростите выражение:
3	1	I
X
3.	Докажите, что значение выражения
((4 + 15°'5)°'5 + (4- 150'5)0'5)2
является натуральным числом.
4.	Упростите выражение
ill	1
2а2— а*Ь4	264
1	I	1	1 
a2—0,25b2	2а4+&4
5.	Решите уравнение
x0,5_7x0.25+ 12 = 0
Вариант 2
к—10 (§ 11)
1.	Вычислите:
_i_	__i_	_i_	_ 1	1
а) 273-(0,001) 3; б) 2162-(ОДг?)”3-364
2.	Упростите выражение:
5 I	1
3.	Докажите, что значение выражения
(G + 2- Ю2)2 + (?-2-102)2)
является натуральным числом.
4.	Упростите выражение
1 j_
ЗОай2—5а2b . За
а —0,96	1	1	1 '
5a2-f-l,562
5.	Решите уравнение
/-7/+ 10 = 0.
114
Вариант 3
к—10 (§ 11)
1. Вычислите:
1_1 1 _1
а) 325-(0,004) 2; б) 0,06254-(0,000064) ®
2.	Упростите выражение:
5 I	1
3.	Докажите, что значение выражения
/
V + 5-2273 +V — 5-22;3
является натуральным числом.
4.	Упростите выражение
aft0,5 + 4а0,5&__________________4й
0,25а — 4Ь 0,25а°'5-4й°'5 '
5.	Решите уравнение
х2 + 5х4 —14 = 0.
Вариант 4
К—10 (§ 11)
1. Вычислите:
I	___i_	__i_ _i_
а) 492-(0,001)”3; б) 81Т• (0,00064) 6-1253.
2. Упростите выражение:
2____i_
г 4 l 6	/ Д,25\5
\ Ь Ь	А)
_А ’	%-3.95 ,*0.3,4 •
b 12
3. Докажите, что значение выражения
((14 + 5д/3)°’5 + (14-5л/3)0’5)2
является натуральным числом.
4. Упростите выражение
15ху°'&— Зх°’5у Зу
0,5х-2у	+0,5x0’5 + j/0'5 '
5. Решите уравнение
/.5_6х°'25 + 5 = 0.
115
Вариант 1	К—11 (§ 13)
15 л
1.	Известно, что sin а = —, у<а<л. Найдите cos a, tg а и
ctg а.
2.	Упростите выражение
/ sin а sin а \	1
\14-cosa	1—cos а J l+ctg2a
3.	Укажите наименьшее и наибольшее значения выражения:
а)	3 cos2 a —sin2 a;
б)	4 sin4 a — 4 cos4 a.
4.	Зная, что sina =—0,3, найдите значение выражения:
а)	1 Д-ctg2 a.;
б)	sin4 a — cos4 a.
5.	Докажите тождество
/.	, cos a \ / .	, sin a \	1
I tg a -|-----) I ctg a -------) =---------.
\	l + sina/y	l-f-cosa/ sin a cos a
6.	Зная, что sin a + cos a= 1,2, найдите значение выражения:
a) sin a cos a;
6)	sin3 a + cos3 a.
Вариант 2
К—11 (§ 12, 13)
1.	Известно, что cos a= — 4т , -^<a<n. Найдите sin a, tg a
41	2	°
и ctg a.
2.	Упростите выражение
/ sin a sin a \ 1 .	.	.
(—----------------)'2 tg (— a).
\l-f-cosa 1— cos a / 2
3.	Укажите наименьшее и наибольшее значения выражения:
а) sin2 a — 2 cos2 a;
б) 2 sin4 a — 2 cos4 a.
4.	Зная, что cosa = 0,l, найдите значение выражения:
а)	1 +tg2 a;
б)	cos4 a — sin4 a.
5.	Докажите тождество
ctg a — sin a cos a	1 . 2
—------------— =- ctg a.
(sin a4-cos a)2— 1	2
6.	Зная, что sin a —cos a = 0,2, найдите значение выражения:
a) sin a cos a;
6)	sin3 a — cos3 a.
116
Вариант 3	К—11 (§ 12, 13)
1.	Известно, что sina=—Найдите cos а,
tg а и ctg а.
2.	Упростите выражение
(cos а । cos а \	1
1—sin a 1 + sina/ 1 + tg2 а
3.	Укажите наименьшее и наибольшее значения выражения:
а) 3 sin2 a + cos2 a;
б)	5 sin4 a — 5 cos4 a.
4.	Зная, что sina = 0,2, найдите значение выражения:
а)	l+ctg2a;
б)	sin4 a — cos4 a.
5.	Докажите тождество
/ sin a .	,	\ / cos a , ,	\	1
(------F ctg a I (----F tg a ) =---.
\l+cosa	/\l+sina	/ sin a cos a
6.	Зная, что sin a + cos a = 1,3, найдите значение выражения:
a) sin a cos a;
6) sin3 a + cos3 a.
Вариант 4
К—11 (§ 12, 13)
5 Зл
1.	Известно, что cos a=—. -^-<а<2л. Найдите sin a, tg а и
ctg a.
2.	Упростите выражение
/ cos a cos a \ 1	.	,	.
(t—------------:—)-T ctg(-a).
\l-|-sina	1— sin a/
a)
6)
a)
6)
3.	Укажите наименьшее и наибольшее значения выражения:
4. 2	2
sin a —cos а;
3 sin4 а — cos4 а.
4.	Зная, что cosa=—0,4,
1+Ха; 4
cos а — sin а.
найдите значение выражения:
5.	Докажите тождество
(sin a + cos a)2— 1	2
6.	Зная, что sin a —cos a = 0,8, найдите значение выражения:
а)	sin a cos a;
6)	sin3 a —cos3 a.
117
Вариант 1
К—12 (§ 13, 14)
1.	Найдите значение выражения:
а) 8 sin 210°+ 3 tg 225°; б) sin + cos-^* 1.
О	V
5
2.	Зная, что sina=— и угол а острый, найдите тригономет-
рические функции смежного угла.
3.	Упростите выражение:
cos 4a -|- cos 2a
sin 4a — sin 2a
6) (1 -)-cos 2a) tg (л — a).
4. Докажите тождество
(sin a + cos a)2 3 4 5 — sin 2a = 2 cos2 a —cos 2a.
5. Докажите, что tg 15° + ctg 15° = 4.
Вариант 2	К—12 (§ 13, 14)
1. Найдите значение выражения:
а) 2 cos 150°— 3 tg 405°; б) sin —cos.
2. Зная, что sina = -^ и a — острый угол параллелограмма,
найдите тригонометрические функции угла параллелограмма,
прилежащего к той же стороне.
3. Упростите выражение:
cos 4a —cos 2a	_ .	.
а) ---------—; б) (1—cos 2a) ctg (л — a).
sin 4a + sin 2a	I	।
4. Докажите тождество----------------=tg2a.
1—tga 1 H-tg «
5. Докажите, что cos 36°-cos 72°=-^-.
Вариант 3
К—12 (§ 13, 14)
1. Найдите значение выражения:
а) 2 cos 240°+ 2 sin 390°; 6)tg^-sin^.
2. Зная, что sin a = -^- и угол а острый, найдите тригономет-
рические функции смежного угла.
3. Упростите выражение:
, cos 6a — cos 4a
а) ----------;
sin 6a + sin 4a
4. Докажите, что (sin a —cos a)2 — 2 sin2 a = cos 2a — sin 2a.
5. Докажите, что ctg-^--|-tg^- = 4.
6) (1—cos2a)tgfy+a\
118
Вариант 4
К—12 (§ 13, 14)
1.	Найдите значение выражения:
а) 4 cos 240° —3 tg 135°; б) sin -у-Ьcos ЛД .
12
2.	Зная, что sina = — и а — острый угол
найдите тригонометрические функции угла
прилежащего к той же стороне.
3.	Упростите выражение:
а) ----------; б) (1 + cos 2а) tg (2л — а).
sin 5а — sin а
4.	Докажите тождество
1	1	х о
----------------= tg 2а.
1 + ctg а	1 —ctg а
сп	л 2л *
5. Докажите, что cos— -cos—=— .
5	5	4
параллелограмма,
параллелограмма,
Вариант 1
К—13 (итоговая)
1.	Упростите выражение
/ Ь__________&+1	\ . (2& —2)2
\Ь2 —2*4-1	*2-|-2* —3/ ЗЯ-1
2.	Решите уравнение:
а) х3-|-2х2-|-2х-|-1 =0; б) Л/х— 2 = 2х—10.
3.	Найдите первый положительный член арифметической
прогрессии: —10,8, —10,2, —9,6, ... .
4.	Постройте график функции t/=-^x2-|-x— 4 и укажите про-
межутки ее возрастания и убывания.
’г- 1
к п	Л/а2-а2
5.	Представьте выражение —-----1— в виде степени с основа-
а“3
нием а.
6.	В равнобедренном треугольнике синус угла при основании
8 тт «
равен — . Найдите синус угла при вершине.
7.	Из пункта А в пункт В, удаленный от А на 52 км, выехал
велосипедист. Спустя 40 мин навстречу ему из пункта В отпра-
вился второй велосипедист, который встретил первого на рассто-
янии 24 км от В. Определите, с какой скоростью ехал каждый
велосипедист, если известно, что скорость второго была на
4 км/ч больше скорости первого.
119
Вариант 2
К—13 (итоговая)
1.	Упростите выражение
а________а — 3 \ . (2а+ 6)2
а2 + 6а + 9 а2 + 2а —3/ а — 9
2.	Решите уравнение:
а) х3Д- 11№+ 11х-|- 1 =0; б) yjx — 5 = х—11.
3.	Найдите первый отрицательный член арифметической про-
грессии: 9,8, 9,4, 9, ... .
4.	Постройте график функции t/ = y№ — Зх-|-4 и укажите
промежутки ее возрастания и убывания.
1
Д/д3 . Д 6
5.	Представьте выражение —----j— в виде степени с основа-
а~®
нием а.
6.	В равнобедренном треугольнике синус угла при основании
12
равен — . Найдите синус угла при вершине.
7.	Две машинистки должны были перепечатать некоторую
рукопись. Сначала 5 дней работала только первая машинистка,
а затем к ней присоединилась вторая, и они закончили перепе-
чатку через 3 дня совместной работы. Известно, что первой ма-
шинистке на перепечатку рукописи потребовалось бы на 5 дней
меньше, чем второй. За какое время могла бы перепечатать эту
рукопись каждая машинистка, работая отдельно?
Вариант 3
К—13 (итоговая)
1.	Упростите выражение
/ Ь__________6-1 \ _ (36+ 3)2
\62 + 26+ 1 62 — 6 — 2/' 1 —26
2.	Решите уравнение:
а) х3 — 7х2-\-7х — 1 =0; б) 14 = х — 6.
3.	Найдите первый положительный член арифметической
прогрессии: —12,3, —11,9, —11,5, ....
4.	Постройте график функции у = — х2Д-0,5х2 и укажите
промежутки ее возрастания и убывания.
5__ 1
5.	Представьте выражение ——в виде степени с основа-
а“У
нием а.
120
6.	В равнобедренном треугольнике синус угла при основании
15
равен — . Найдите синус угла при вершине.
7.	Из пункта А в пункт В вышла группа туристов. Одновре-
менно из пункта В навстречу ей вышла вторая группа. При встре-
че оказалось, что первая группа прошла на 6 км меньше вто-
рой. Продолжая движение, первая группа пришла в пункт В
через 5 ч 20 мин после встречи, а вторая группа пришла в пункт А
через 3 ч после встречи. На каком расстоянии от пункта А прои-
зошла встреча?
Вариант 4
К—13 (итоговая)
1.	Упростите выражение
а	а-|-2 \ (За — 6)2
а2 —4а+ 4	а2 + а —6/ За+ 4
2.	Решите уравнение:
а) х3 — 9х2 + 9х—1=0; б) д/х— 6 = х—12.
3.	Найдите первый отрицательный член арифметической про-
грессии: 10,1, 9,9, 9,7, ... .
4.	Постройте график функции z/ = —х2—1,5х + 2 и укажите
промежутки ее возрастания и убывания.
।
5.	Представьте выражение “ - в виде степени с основа-
а“3
нием а.
6.	В равнобедренном треугольнике синус угла при основании
5
равен —. Найдите синус угла при вершине.
7.	Два трактора, работая совместно, могут вспахать поле за
12 ч. Если бы сначала половину поля вспахал первый трактор,
а затем второй трактор вспахал оставшуюся часть, то на вспаш-
ку поля было бы затрачено 25 ч. За какое время может вспахать
это поле каждый трактор, работая отдельно?
ОТВЕТЫ
К—1
2х — 1
В—1. I. [3; 5)0(5; + оо ). 2. Является нечетной. 4. £(у) = [ — 4; 4]. 5. —.
6. При а = 3. В—2. 1. (— оо; —5)U( — 5; 8]. 2. Является четной. 4. £(//) =
г...____________________________ч
= ( —оо; — 4]U[4; + оо). 5. “ 4 . 6. При 6 = 4. В—3. 1. (-оо; 2)0(2; 4].
2.	Является четной. 4. Е (г/) = [ — 3; 3]. 5.	+ * . 6. При с= —7. В—4. 1. [3; 6)0
4С__з
0(6; -|- оо ). 2. Является нечетной. 4. Е(у) = (—оо; —3]0[3; 4-оо ). 5. -— .
с — 5
6. При у= —6.
К—2
В—1. 3. х = 2, у = 3. 5. На промежутке [ — 10; — 5] функция y = f (I х|) возра-
стает, на промежутке [ — 5; 0] убывает. В—2. 3. х= —3, у = 4. 5. На промежут-
ке [—12; —7] функция y = f (|х|) возрастает, на промежутке [— 7; 0] убывает.
В—3. 3. х = 0,5, у= —3. 5. На промежутке [ — 8; —6] функция убывает, на проме-
жутке [ — 6; 0] возрастает. В—4. 3. х = 4, у=—5. 5. На промежутке [—11; —7]
функция убывает, на промежутке [ — 7; 0] возрастает.
К—3
В—1. 1. а) -4; 0; 4; б) -2; -У/3; д/iT; 2. 2. 2. 4. -3; -1; 2. 5. -1.
В—2. 1. а) —3; 0; 3; б) —3; — Д/2~; УГ; 3. 2. 1. 4. -4; —3; 1. 5. 1,5.
В—3. 1. а) —6; 0; 6; б) — Д/ЁГ; —2; 2; у/З. 2. 2. 4. —2; 1; 3. 5. 1. В—4. 1. а) —5;
0; 5; б) —4; -Д/ЁГ; д/б”; 4. 2. 2. 4. -1; 3; 5. 5. -3.
К—4
В—/. 1.а)( —0,8; 1,5);б)(-оо; - 8)0(-2; 1)0(2; + оо). 2. (-1; 2,5]0(8; 4~°о).
3.	а) ( — оо; —0,5)0(3; + оо); б) [-4; 5]. 4. а) 1; б) —0,5. 5. 2. В—2. 1. а) (— оо;
-0,4)0(0,75; 4-оо); б) (-4; -3)0(4; 5). 2. [-3; —2)014; + оо ). 3. а) ( - 1; 2,2);
б) (—оо; —3)0(2; 4-0°). 4. а) 2; 3; б) —2. 5. 3. В—3. 1. а) ( — 4; 0,5);
б)( —оо; — 7)0( —6; 4)0(6; -ф оо). 2. (-5; 2]0(3; -фоо). 3. а) ( - оо; 0,25)0( 1; 4-°°);
б) [-4; 6]. 4. а) 3; б) 2,5. 5. 2. В—4. 1. а) (-оо; -0,75)0(2; -Ь°°);
б) (-8; -7)0(6; 7). 2. [-4; —2)0(5; -фоо). 3, а) (1,5; 5,5); б) (-оо; -5)0
9
0(7; 4-ос). 4. а) 4; б) - . 5. -1.
122
К—5
В—1. 1. а) (--1; -80, (2; 3); б) (2; 5), (5; 2), (-2; -5), (-5; -2).
2. (4; 2), (-4; -2), (-ОДД/Г; Д/Т), (0,4Д/Г; -Д/Т). 3. Четыре решения.
4. 4 км/ч и 6 км/ч. В—2. 1. а) (10,75; -0,25), (-2; 4); б) (3; 7), (7; 3), (-3; -7),
(—7; -3). 2. (4; 1), (-4; -1), (Д/Т; 1,5 Д/б ), (-Д/б ; -ЕбД/Т). 3. Три решения.
4.	18 км/ч и 2 км/ч. В—3. 1.
а) (—п-;”9тг\<3; 1); 6) (4; 6),(-4;-6),(6;4).
\ 10	10 /
(-6; -4). 2. (-10; 4), (10; -4),	; -ЗфЛ 3. Тр
\ О	О /	\ О	О _/
решения. 4. 60 км/ч и 80 км/ч. В—4. I, а) (6; 2),
(I Ц) <1; 7'-
(7; 1), (-1; —7), (-7; -1). 2. (6; 15), (-6; -15). (- 0,6 д/1Г; 0,2 Д/Тб”),
(0,6Д/Т5~; — ОД’дТб"), 3. Четыре решения. 4. 16 км/ч и 2 км/ч.
К—6
В—1. 3. 9. 4. 50,2. В—2. 3. 14. 4. 62,8. В—3. 3. 7. 4. 37,7. В—4. 3, 20. 4. 84,8.
К—7
В—1. 2. Да, /1 = 9. 3. /1 = 44. 4. 300. 5. 664. 6. 816. В—2. 2. Да, /1=11. 3. /1 = 98.
4. 585. 5. 621. 6. 1200. В—3. 2. Да, /1 = 7. 3. /1 = 38. 4. 255. 5. 252. 6.jfiS50.
В—4. 2. Да, м= 13. 3. /1 = 58. 4. 2025. 5. 644. 6. 624.
К—8
В—1. 1. 1. 2. а, = 7, /? = 3. 4. 189. 5. а) у; б) . 6. 2, 6, 18 и 18, 6, 2.
1	4	2*3
В—2. I. -5-. 2. а,= —3, q = -3. 4. 255. 5. а) -; б) — . 6. 3, 9, 27 или 27, 9, 3.
81	9	45
1	1	2	19
В-3. 1. 7/7.2. а,= -7, /? = —2. 4. 121 4.5. а) -; б) . 6. 1, 4, 16 или 16, 4, 1.
64	3	9	30
В—4. I. —0 2. а, = 1,5, q= —2. 4. 21 -0 5. а) ; б) 0 6. 5, 10, 20 или 20,
10, 5.
К—9
В—1. 1. а) 34; б) 2. 2. а) -4; 4; б) — 1; 2. 3. 1 и — 1. 4.	. 5. -1; 5.
2 %2
В—2. 1. а) 41; б) 3. 2. а) -3; 3; б) -2; 2. 3. 1 и -1. 4. —. 5. 0; 6.
В—3. 1. а) 4; 6) 1. 2. а) -5; 5; б) -1; 3. 3. | и 1. 4. уу. 5. 2; 8.
В—4. 1. а) -12; б) 5. 2. а) 3; б) —1; 1; -4; 4. 3. 2 и 1. 4.	5. 4; 12.
Ч
123
К—10
B—l. 1. а) 20; б) 25. 2. а) х; б) у2. 4. 2. 5. 81; 256. В—2. 1. а) 30; б) 20. 2. a) V7;
I	1
б) с2. 4. 2а2. 5. 16; 625. В—3. 1. а) 10; б) 2,5. 2. а) а3; б) Ь3. 4. 4у. 5. 16.
В—4. 1. а) 70; б) 3. 2. а) Ь; б) х3. 4. Зу0’5. 5. 1; 625.
К—11
В—1. 2. 2 sin а. 4. а) 11 1; б) —0,82. 6. а) 0,22; б) 0,936. В—2. 2. 1. 4. а) 100;
б) —0,98. 6. а) 0,48; б) 0,296. В—3. 2. 2 cos а. 4. а) 25; б) —0,92. 6. а) 0,345;
б) 0,8515. В—4. 2. 1. 4. а) 6^-; б) -0,68. 6. а) 0,18; б) 0,944.
К—12
В—1. 3. a) ctg а; б) —sin 2а. В—2. 3. а) —tg а; б) —sin 2а. В—3. 3. a) —tg а;
б) —sin 2а. В—4. 3. а) —tg За; б) —sin 2а.
К—13
4	240
В—1'	л । о • 2. a) —1; б) 6. 3. а2о = О,6. 6. —— . 7. 14 км/ч, 18 км/ч.
о-р □	289
В—2. 1.	2- а) -1>	-5 + V24"; б) 14. 3. а26=—0,2. 6.	.
7.
10 дней, 15 дней. В—3.
6.
6.
7. 18 км. В-4. 1.
120
—— . 7. 30 ч и 20 ч или 20 ч и 30 ч.
1Ь9
1. -^2' 2' а) *’ 3“3 + Vs"’ б> и- 3- а32 = °’1-
—5—. 2. а) 1, 4 —Д/Тб", 4 + УПГ; б) 15. 3. а.9= -0,1.
а + 3	32
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие............................................ 3
Примерное планирование учебного материала.............. 4
Самостоятельные работы ................................ 6
Вариант 1...............................................—
Вариант И .............................................52
Контрольные работы ....................................98
Ответы................................................122
Учебное издание
Макарычев Юрий Николаевич
Миндюк Нора Григорьевна
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО АЛГЕБРЕ
ДЛЯ 9 КЛАССА
С углубленным изучением математики
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Н. Б. Грызлова
Младший редактор Н. В. Сидельковская
Художники Н. В. Беляева, В. В. Костин
Художественный редактор Е. Р. Дашук
Технический редактор Т. Е. Хотюн
Корректоры О. Н. Леонова, А. В. Рудакова
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93 —
953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с диапози-
тивов 01.09.03. Формат 60х90'/|6. Бумага офсетная. Гарнитура Литератур-
ная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 8. Усл. кр.-отт. 8,5. Уч.-изд. л. 6,54.
Тираж 10 000 экз. Заказ № 12523.
Федеральное государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Зна-
мени «Издательство «Просвещение» Министерства Российской Федерации по делам
печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций. 127521, Москва,
3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Знамени
полиграфический комбинат Министерства Российской Федерации по делам
печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций. 410004, Саратов,
ул. Чернышевского, 59.