И. И. ПРИВАЛОВ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
ИЗДАНИЕ ТРИДЦАТОЕ,
СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебника для высших технических
учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 19G6

517.3
П75
УДК 516. Vi @75.8)
Иван Иванович Привала».
Аналитическая геометрия.
М., 1966 г., 272 стр. с илл.
Редактор Н. А. Угарова.
редактор К- Ф. Брудно. Корректор Т. С. Страхова.
Печать с матриц. Подписано к печати 22/XI 1965 г. Бумага 60х90'/ц. Физ. печ. л. 17.
Условн. печ. л. 17. Уч.-изд. л. 16,12. Тираж 250 000 экз. Цена книги 58 кон.
Заказ № 3164.
Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Главполиграфврама
Государственного комитета Совета Министров СССР по печати*
Москва, Ж-54, Валовая, 28.
г-2-3
Ti-66

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие автора к тринадцатому изданию 7
От издательства • • 8
Введение . . • 9
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Глава I. Метод координат II
§ 1. Направленные отрезки 11
§ 2. Координаты на прямой линии 14
§ 3. Расстояние между двумя точками на прямой линии 15
§ 4. Прямоугольные координаты на плоскости 15
§ 5. Расстояние между двумя точками на плоскости 18
§ 6. Деление отрезка в данном отношении 19
§ 7. Угол между двумя осями 22
§ 8. Основные положения теории проекций 24
§ 9. Проекции направленного отрезка на оси координат 27
§ 10. Площадь треугольника 29
§ 11. Полярные координаты 31
Упражнения 33
Глава II. Линии и их уравнения 36
§ 1. Составление уравнений заданных линий 36
§ 2. Геометрический смысл уравнений 37
§ 3. Две основные задачи 40
§ 4. Пересечение двух линий 40
§ 5. Параметрические уравнения линий 41
§ 6. Уравнения линий в полярных координатах 41
Упражнения • 44
Глава III. Прямая линия 46
§ 1. Угловой коэффициент прямой 46
§ 2. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом 47
§ 3. Геометрический смысл уравнения первой степени между двумя
переменными 48
§ 4. Исследование общего уравнения первой степени Ах~\- Ву-\-
¦fC = 0 50
§ 5. Уравнение прямой линии в отрезках 51
\*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ б. Построение прямой линии по ее уравнению 53
§ 7. Угол между двумя прямыми , 53
§ 8. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых 55
§ 9. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном
направлении , 56
§ 10. Взаимное расположение двух прямых на плоскости 58
§ 11. Уравнение пучка прямых 60
§ 12. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки ... 62
§ 13. Условие, прн котором три данные точки лежат на одной пря-
прямой 64
§ 14. Нормальное уравнение прямой линии 64
§ 15. Приведение общего уравнения первой степени к нормальному
виду 65
§ 16. Расстояние от данной точки до данной прямой 66
§ 17. Уравнение прямой в полярной системе координат 68
Упражнения , 68
Глава IV. Элементарная теория конических сечений 73
§ 1. Предварительные замечания 73
§ 2. Окружность 73
§ 3. Эллипс 75
§ 4. Гипербола и ее асимптоты 77
§ 5. Парабола 81
§ 6. Построение точек эллипса, гиперболы и параболы посредством
циркуля и линейкн 82
§ 7. Эллипс, гипербола н парабола как конические сечения ... 83
§ 8. Эксцентриситет и директрисы эллипса 84
§ 9. Эксцентриситет и директрисы гиперболы 86
§ 10. Эксцентриситет и директриса параболы 87
§11. Уравнение конического сечения в полярных координатах . . 88
§ 12. Диаметры эллипса. Сопряженные диаметры 90
§ 13. Диаметры гиперболы. Сопряженные диаметры 93
§ 14. Диаметры параболы 94
§ 15. Касательная 95
§ 16. Эллипс как проекция окружности 98
§ 17. Параметрические уравнения эллипса 99
Упражнения 99
Глапа V. Преобразование координат. Классификация линий .... 106
§ 1. Задача преобразования координат 106
§ 2. Перенос начала координат 106
§ 3. Поворот осей координат 107
§ 4. Общий случай 108
§ 5. Некоторые приложения формул преобразования координат . . 109
§ 6. Преобразованнеобщегоуравнениявторойстепени, несодержащего
произведения переменных 113
§ 7. Преобразование общего уравнения второй степени 120
§ 8. Классификация линий 123
Упражнения 125
Глава VI. Определители 2-го и 3-го порядка 128
§ 1. Определители 2-го порядка 128
§ 2. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными . . 131

ОГЛАВЛЕНИЕ О
§ 3. Определители 3-го порядка 133
§ 4. Основные свойства определителей 3-го порядка 135
§ 5. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными 139
§ 6. Однородная система Ml
§ 7. Общее исследование системы трех уравнений первой степени
с тремя неизвестными 144
§ 8. Некоторые приложения определителей к аналитической геомет-
геометрии !48
Упражнения 15"
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Глава I. Метод координат в пространстве 152
§ 1. Прямоугольные координаты 152
§ 2. Основные задачи 155
§ 3. Основные положения теории проекций в пространстве .... 158
§ 4. Вычисление угла между двумя осями в пространстве 160
Упражнения 162
Глава П. Элементы векторной алгебры 164
§ 1. Векторы и скаляры 164
§ 2. Сложение векторов 165
§ 3. Вычитание векторов 168
§ 4. Умножение вектора на число 169
§ 5. Проекции вектора 170
§ 6. Действия над векторами, заданными своими проекциями . . .173
§ 7. Скалярное произведение векторов 174
§ 8. Основные свойства скалярного произведения 175
§ 9. Скалярное произведение векторов, заданных проекциями . . . 176
§ 10. Направление вектора 178
§ 11. Векторное произведение 180
§ 12. Основные свойства векторного произведения 182
§ 13. Векторное произведение векторов, заданных проекциями . . . 184
§ 14. Векторно-скалярное произведение 187
§ 15. Векторно-скалярное произведение в проекциях 189
§ 16. Двойное векторное произведение 191
Упражнения 193
Глава III. Геометрическое значение уравнений 195
§ 1. Уравнение поверхности 195
§ 2. Геометрический смысл уравнений 196
§ 3. Две основные задачи 197
§ 4. Сфера 197
§ 5. Цилиндрические поверхности 198
§ 6. Уравнения линии в пространстве 199
§ 7. Пересечение трех поверхностей 200
Упражнения 200
Глава IV. Плоскость 201
§ 1. Нормальное уравнение плоскости 201
§ 2. Геометрический смысл уравнения первой степени между тремя
переменными. Приведение общего уравнения первой степени
к нормальному виду 203

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Исследование общего уравнения плоскости 206
§ 4. Уравнение плоскости в отрезках 207
§ 5. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку .... 209
§ 6. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки . . 210
§ 7. Угол между двумя плоскостями 212
§ 8. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей 213
§ 9. Точка пересечения трех плоскостей 216
§ 10. Расстояние от точки до плоскости 217
Упражнения 219
Глава V. Прямая линия 222
§ 1. Уравнения прямой линии 222
§ 2. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Общие урав-
уравнения прямой 225
§ 3. Угол между двумя прямыми линиями 229
§ 4. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых . . 229
§ 5. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки .... 230
§ 6. Угол между прямой и плоскостью 231
§ 7. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и пло-
плоскости 231
§ 8. Уравнение пучка плоскостей 232
§ 9. Пересечение прямой с плоскостью 233
§ 10. Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости . . 234
Упражнения 236
Глава VI. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности
вращения. Поверхности 2-го порядка 241
§ 1. Классификация поверхностей 241
§ 2. Цилиндрические поверхности (общий случай) 241
§ 3. Конические поверхности 242
§ 4. Поверхности вращения 243
§ 5. Эллипсоид 245
§ 6. Однополостный гиперболоид 246
§ 7. Двуполостный гиперболоид 248
§ 8. Эллиптический параболоид 249
§ 9. Гиперболический параболоид 250
§ 10. Конус 2-го порядка 251
§ 11. Цилиндры 2-го порядка 252
§ 12. Прямолинейные образующие поверхностей 2-го порядка. Kohci-
рукции В. Г. Шухова 252
Упражнения 255
Ответы 256

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ТРИНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящем издании моей книги «Аналитическая геометрия»
подвергнут переработке материал предыдущего издания. Выполняя
эту методическую работу, я стремился устранить трудности в пони-
понимании учащимися некоторых вопросов курса, замеченные в процессе
преподавания рядом преподавателей втузов. Приношу глубокую бла-
благодарность всем приславшим свои замечания. Особо ценные указания
я получил от доцента В. П. Минорского, которому выражаю сердеч-
сердечную благодарность.
И. Привалов

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
При редактировании 18-го издания этой книги были учтены заме-
замечания, сделанные при обсуждении предыдущих изданий на заседании
втузовской секции Московского математического общества. В резуль-
результате переработки книга приняла тот вид, который она сохраняла до
настоящего издания.
В 27-м издании произведены некоторые сокращения. В связи с тем,
что общая теория линий второго порядка не входит в программы
втузов, полностью исключена глава VII части первой; исключены
также § 5 и § 7 из главы V части первой. Элементарные вопросы
преобразования линий второго порядка, содержащиеся ранее частично
в §§ 1—4 главы VII, составили теперь § 6 и § 7 главы V; бывший
§ 6 этой же главы стал теперь § 5. Задача № 9 бывшей главы
VII перенесена в задачи к главе V и имеет теперь № 19.
Весь материал, не содержащийся в программах втузов, набран
мелким шрифтом; мелким шрифтом набраны также выводы уравнений
прямой и плоскости в главах IV—V второй части, не использующие
векторной алгебры.
Вся работа по подготовке книги, как к 18-му, так и к 27-му
«зданию проведена Е. Е. Бреневым, Н. А. Олисовым и Н. Я. Сысоевой.
Работа над 18-м изданием проходила под наблюдением П. К. Рашев-
ского. В подготовке 27-го издания участвовал И. Г. Араманович.

ВВЕДЕНИЕ
Предмет аналитической геометрии заключается в исследовании
геометрических форм с помощью алгебраического анализа. В различ-
различных отделах элементарной математики алгебра прилагается к реше-
решению многих геометрических вопросов. Так, например, в геометрии
с помощью чисел приходится определять длины отрезков и дуг,
площади фигур, объемы тел; в тригонометрии пользуются числовыми
соотношениями для установления зависимостей между углами и от-
отношениями отрезков. Но, в то время как в этих отделах математики
с помощью анализа решается вопрос о размерах геометрических форм,
в аналитической геометрии с помощью чисел характеризуется самая
существенная их особенность — их положение.
Числа, определяющие положение геометрической формы, назы-
называются ее координатами. Способ же, с помощью которого опреде-
определяется положение геометрической формы, носит название способа
или метода координат. Геометрические формы весьма разнообразны,
и при построении аналитической геометрии, естественно, мы должны
принять одну какую-нибудь из форм за первичную, с помощью
которой мы будем образовывать все остальные. Проще всего за такую
начальную форму принять геометрическую точку. Тогда всякую другую
геометрическую форму, например линию или поверхность, можно рас-
рассматривать как геометрическое место точек.
Приняв за начальный элемент точку, мы должны прежде всего
показать, каким образом определяется положение точки в простран-
пространстве с помощью чисел. Эта первая идея метода координат была
положена в основу решения различных геометрических задач. Вторая
идея этого метода заключается в установлении того, каким образом
геометрические свойства линии отражаются на координатах точек,
принадлежащих этой линии. Плодотворные идеи метода координат
нашли себе применение во всех отраслях математики и механики;
благодаря развитию дифференциального и интегрального исчисле-
исчисления они сделались весьма мощным орудием математического иссле-
исследования.
Приступая к изложению аналитической геометрии, мы, ради удоб-
удобства, делим весь курс на две части. В первой части будем за-
заниматься исследованием плоских геометрических форм средствами

10 ВВЕДЕНИЕ
алгебры, основанными на применении координат. Во второй части
мы будем аналогично поступать с пространственными геометрическими
формами.
Служебную роль в курсе имеет глава, посвященная изложению
теории определителей 2-го и 3-го порядка. Эта глава, равно как
и дальнейшие ее приложения, может быть опущена.
В целях большей геометрической наглядности исходные уравнения
плоскости и прямой в пространстве даны в векторной форме. Соот-
иетственно с этим включена глава, в которой изложены необходимые
сведения из векторной алгебры. Однако, учитывая потребности тех
втузов, в которых при изучении аналнтической геометрии не проходят
векторной алгебры, мы даем параллельно векторному изложению
теории плоскости и прямой также и координатное.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
ГЛАВА I
МЕТОД КООРДИНАТ
§ 1. Направленные отрезки. Понятия отрезка и его длины
известны из элементарной геометрии. Отрезок есть часть прямой,
ограниченная двумя точками. Длина отрезка есть положительное число,
получаемое измерением этого отрезка с помощью некоторого заранее
выбранного отрезка — единицы масштаба. Отрезок, ограниченный
точками А и В, а также его длину, обозначают АВ илн ВА.
Во многих вопросах математики и физики имеет значение напра*
вление отрезка: например, если отрезок рассматривается как путь,
который проходит движущаяся точка.
Чтобы охарактеризовать направление отрезка, одну из двух огра-
ограничивающих его точек принимают за начало отрезка, а другую —
за его конец; направлением отрезка считают направление от начат
к концу. Отрезок, на котором указано направление (т. е. сказано,
какая из двух граничных точек считается началом и какая — концом),
называется направленным отрезком.
Условимся обозначать направленный отрезок двумя буквами с чер-
чертой над ними, помещая на первом месте букву, указывающую начало
отрезка. Так, например, направленный отрезок, для которого точка А
является начальной, а В— конечной, будем обозначать АВ. Заметим,
что направленные отрезки А~В и ВА А д с
различны, так как направления их про- ° ° ° *
тивоположны.
Мели рассматривать направленные Рис. 1.
отрезки, расположенные на одной пря-
прямой, то их направления можно характеризовать знаками -\- и —.
Для этого одно из двух противоположных направлений этой прямой
(безразлично какое) назовем положительным, а другое — отрицатель-
отрицательным. На чертеже положительное направление условимся отмечать
стрелкой (на рис. 1 направление слева направо принято за положи-
положительное). Прямая, на которой выбрано положительное направление,
называется осью.

12 МЕТОД КООРДИНАТ [ГЛ. I
Длина направленного отрезка, расположенного на оси, взятая
с определенным знаком, называется величиной направленного отрезка
оси; при этом знак выбирается положительный, если направление
отрезка совпадает с положительным направлением оси, и отрицатель-
отрицательный,— если направление отрезка противоположно положительному
направлению оси1). Так, например, величина направленного отрезка
АС, изображенного на рис. 1, положительна, а величина отрезка
СВ—отрицательна. Очевидно, длина направленного отрезка равна
модулю8) его величины. Условимся длину направленного отрезка АВ
обозначать через АВ, а его величину символом вел АВ.
Из определения величины направленного отрезка оси следует,
что величины отрезков АВ и ВА отличаются знаком:
вел АВ= — вел ВА.
Замечание. В дальнейшем нам придется ввести в рассмотрение
и такой направленный «отрезок», начало и конец которого совпадают.
Направление этого отрезка можно выбирать произвольно. Длина,
а следовательно, и величина его равна нулю. Такие отрезки мы будем
называть нулевыми.
Возьмем на некоторой оси три точки А, В, С и выясним, чему
будет равна сумма величин направленных отрезков АВ и ВС. Мы
сейчас покажем, что при любом расположении точек А, В а С на
оси сумма величин направленных отрезков АВ и ВС будет равна
величине направленного отрезка АС:
вел АВ +вел ?С=вел АС, A)
т. е. сумма величин направленных отрезков АВ и ВС, расположенных
на оси так, что конец первого из них
А 8 С является началом второго, равна величи-
величине направленного отрезка АС, началом
рис 2 которого является начало первого, а кон-
концом—конецвторого направленногоотрезка.
Для доказательства равенства A), предположим сначала, что
точка В располагается между точками А и С (рис. 2).
Рассматривая направленный отрезок как путь, проходимый дви-
движущейся точкой, мы можем сказать, что в этом случае подвижная
') Термин «величина направленного отрезка оси» имеет смысл употреблять
только в том случае, когда рассматривается направленный отрезок, лежащий
на оси. Но в дальнейшем для краткости мы будем говорить о величине направ-
направленного отрезка, опуская слово «оси». Точно так же для краткости мы будем
иногда говорить «отрезок А В» вместо «направленный отрезок AS».
г) Абсолютная величина числа называется также его модулем; модуль
числа а будем обозначать через \а\.

§ 1] НАПРАВЛЕННЫЕ ОТРЕЗКИ 13
точка, пройдя путь АВ, продолжает_^движение по пути ?С в том же
направление Тогда длина отрезка АС, очевидно, равна сумме длин
отрезков АВ и ВС, а величины всех трех направленных отрезков
имеют одинаковые знаки, так как все три отрезка одинаково направ-
направлены. Следовательно,
вел АВ+веп ВС=веп АС~.
Таким образом, если точка В лежит на отрезке АС, то равен-
равенство A) справедливо.
Допустим теперь, что точка В располагается вне отрезка АС,
либо на продолжении отрезка за точку С (рис. 3), либо иа продол-
продолжении его за точку А (рис. 4).
А С В ВАС
Рис. 3. Рис. 4.
В каждом из этих случаев подвижная точка, пройдя путь АВ,
продолжает движение по пути ВС в противоположном направлении.
Ясно, что теперь длина отрезка АС будет равна разности длин двух
других отрезков (АС=АВ—ВС—рис. 3, либо АС—ВС—АВ—•
рис. 4).
Очевидно, что направление отрезка АС будет совпадать с напра-
направлением того из отрезков АВ и ВС, который имеет большую длину
(с направлением отрезка АВ на рис. 3 или с направлением отрезка
ВС на рис. 4). Поэтому величина отрезка АС будет иметь тот же
знак, что и величина более длинного отрезка.
Следовательно, величина направленного отрезка АС может быть
найдена по правилу сложения относительных чисел вел АВ и вел ВС.
Таким образом, и при любом расположении точки В вне отрезка
АС будем иметь:
вел АВ-\-вйл ВС=вел АС.
Остается заметить, что равенство A) будет справедливо и в той
случае, когда некоторые точки будут совпадать. Читатель легко
проверит это сам. Например, если будут совпадать точки А и С, то
вел ЛВ + вел ВС = вен ЛБ + вел BA — Q,
но и вел АС=0. Следовательно, равенство A) будет справедливо.
Замечание. Если бы в равенстве A) стояли не величины,
а длины направленных отрезков, то оно было бы справедливо только
в том случае, когда точка В лежит на отрезке АС, и теряло бы
силу при любом другом расположении точки В.

14 МЕТОД КООРДИНАТ [ГЛ. 1
Пользуясь равенством A), легко показать, что при любом числе
точек А, Би Bt, ..., Вп, С и произвольном их расположении на оси
мы будем иметь:
вел Й5, + велВД4- ••• +вел В^С=вел АС, (Г)
т. е. сумма величин направленных отрезков, для которых начало
каждого следующего отрезка совпадает с концом предыдущего, равна
величине направленного отрезка, начало которого совпадает с началом
первого, а конец — с концом последнего из направленных отрезков.
§ 2. Координаты на прямой линии. Посмотрим, как можно
определить положение точки на прямой линии.
Возьмем на этой прямой некоторую произвольную точку О (от
латинского origo — начало), относительно которой будем определять
положения всех точек прямой. Ясно, что положение любой точки Р
прямой линии будет вполне определяться направленным отрезком ОР:
каждой точке прямой соответствует определенный направленный
отрезок с началом в точке О и концом в рассматриваемой точке Р
т и, обратно, каждому направленному
„ ' ' отрезку с началом в точке О соот-
1 о—>- ветствует одна точка Р прямой ли-
линии— конец этого отрезка.
Рис- 5# Установим теперь на прямой по-
положительное направление и выбе-
выберем единицу масштаба т (на рис. 5 положительное направление
выбрано слева направо). Тогда положение любой точки Р прямой
линии можно будет определить числом — величиной направленного
отрезка ОР. Это число, определяющее положение точки, называется
ее координатой. Итак, величина направленного отрезка ОР яв-
является координатой точки Р прямой линии. Обозначая координату
точки Р буквой х, имеем:
лг = вел ОР.
Зная точку Р, легко найти ее координату: она равна величине
направленного отрезка ОР. Обратно, по заданной координате х можно
построить единственную точку: она будет концом направленного
отрезка ОР, величина которого равна х.
Если на прямой линии отмечена некоторая точка О, указано
положительное направление и, кроме того, выбрана единица масштаба,
то мы будем говорить, что на прямой установлена система коорди-
координат. Точка О, являющаяся началом рассматриваемых направленных
отрезков, называется началом координат, а данная прямая — осью
координат. Начало координат делит ось координат на две части;
полупрямая, идущая от точки О в положительном направлении,
называется положительной полуосью, полупрямая, идущая от О в отри-

§4]
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ
15
цательном направлении,—отрицательной полуосью. Очевидно, точки
положительной полуоси имеют положительные координаты (на рис. 5
точки, лежащие вправо от О), точки отрицательной полуоси — отри-
отрицательные координаты; точка О имеет координату, равную нулю.
В тексте условимся координату точки писать в скобках рядом
с буквой, обозначающей эту точку: Р(х).
§ 3. Расстояние между двумя точками на прямой линии. Пусть
нам даны в некоторой системе координат две точки: А (х^ и В(х„).
Посмотрим, как выразится расстояние АВ между этими точками через
их координаты.
На основании равенства A) мы можем написать, что
вел
=вел ОВ,
откуда
вел АВ= вел ОВ—вел ОА;
то
так как вел ОА = хх, вел ОВ~х2,
вел АВ=х2—хх. B)
Таким образом, чтобы получить величину направленного отрезка
оси, нужно из координаты его конца вычесть координату его
начала.
Расстояние между точками А и В равно длине направленного
отрезка АВ. Следовательно,
АВ=\х2—х1\, B')
т. е. расстояние между двумя точками равно абсолютной вели'
чине разности координат этих точек.
Например, если даны точки А E) н 5(—3), то вел АВ =•—3—5 = —8,
а расстояние Лй = 8.
§ 4. Прямоугольные координаты иа плоскости. Дадим теперь
понятие о методе координат на плоскости, т. е.
укажем способ, позволяющий определять поло-
положение точек плоскости с помощью чисел.
Возьмем две взаимно перпендикулярные пря-
прямые и на каждой из них установим положитель-
положительное направление. Эти прямые, относительно
которых мы будем определять положение точек
плоскости, называются осями координат. Оси
координат обычно располагают так, как это ука-
указано на рис. 6: одну—горизонтально и положи-
положительное направление на ней выбирают слева
направо, а другую—вертикально и положи-
положительное направление на ней—снизу вверх. Одна из осей (обычно
горизонтальная) называется осью абсцисс (ось Ох), а другая —

16 МЕТОД КООРДИНАТ [ГЛ. I
осью ординат (ось Оу). Точка пересечения осей координат назы-
называется началом координат (на рис. 6 начало координат обозна-
обозначено буквой О). Наконец, выберем единицу масштаба (мы всегда
будем предполагать, что на обеих осях координат выбрана одна
и та же единица масштаба).
Теперь положение любой точки плоскости можно будет опре-
определить числами — координатами этой точки. Действительно, всякой
точке М плоскости соответствуют на осях координат две точки
Р и Q, являющиеся ее проекциями х) на эти оси (рис. 6) и, обратно,
зная точки Яи<3наосях координат, можно построить единствен-
единственную точку М на плоскости, для которой Р и Q являются проек-
проекциями на эти оси. Таким образом, определение положения точки М
плоскости сводится к определению положений ее проекций Р и Q
на координатные оси.
Но мы уже знаем, что положение точки на оси вполне опре-
определяется се координатой. Пусть х — координата точки Р на оси
абсцисс (лг = вел ОР) и у— координата точки Q на оси ординат
(у = вел OQ). Числа х и у вполне определяют положение точки М
на плоскости и называются координатами точки; при этом х назы-
называется абсциссой точки М, ay — ее ординатой.
Таким образом, абсциссой точки называется величина направ-
направленного отрезка оси Ох, началом которого является начало
координат, а концом—проекция точки на эту ось; ординатой
точки называется величина направленного отрезка оси Оу,
началом которого является начало координат, а концом —
проекция точки на ось ординат.
Итак, положение любой точки плоскости вполне определяется
заданием пары чисел х и у, первое из которых является абсциссой
точки, а второе — ее ординатой.
Координаты точки условимся писать в скобках, рядом с буквой,
обозначающей эту точку, ставя на первом месте абсциссу, а на
втором — ординату и разделяя их запятой: М(х, у). При указанном
на рис. 6 расположении координатных осей для всех точек пло-
плоскости, лежащих вправо от оси Оу (оси ординат), абсцисса х по-
положительна, а для точек, лежащих влево от оси Оу, — отрицательна.
Точки самой осн Оу имеют абсциссу, равную нулю. Совершенно
так же точки плоскости, лежащие выше оси Ох (оси абсцисс),
имеют положительную ординату у, а точки, лежащие ниже оси Ох,—
отрицательную. Точки самой оси Ох имеют ординату, равную нулю.
Начало координат имеет координаты @, 0).
Оси координат делят плоскость на четыре части, называемые
четвертями или квадрантами (иногда их также называют коорди-
]) Проекцией точки М на ось называется основание перпендикуляра,
опущенного из М иа эту ось.

m-
IIK-
,+)
0
+)
-)
§ 4] ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ 17
иатными углами). Часть плоскости, заключенная между положитель-
положительными полуосями Ох и Оу, называется первым квадрантом. Дальше
нумерация квадрантов идет против часовой стрелки (рис. 7). Для
всех точек 1 квадранта х~^>0, у>0; для точек И квадранта л:<0,
_У/>0; в III квадранте л:<0, _у<0 и в IV и
квадранте х^>0, y<iO.
Координаты, которые принимаются здесь
для определения положения точки плоскости,
называются прямоугольными координатами,
так как точка М плоскости получается пере-
пересечением двух прямых РМ и QM (рис. 6),
встречающихся под прямым углом, а так-
же декартовыми по имени математика и фи-
лософа Декарта, который в 1637 году опуб-
опубликовал первый труд по аналитической гео-
геометрии.
Декартова прямоугольная система коор- Рис. 7.
динат не является единственной коорди-
координатной системой, позволяющей определять положения точек пло-
плоскости (см. § 11 этой главы), но она является наиболее простой и
мы в дальнейшем будем пользоваться преимущественно ею. Из опи-
описанного метода координат вытекает решение двух основных задач.
Задача I. По данной точке М найти ее координаты.
Из данной точки М опускаем перпендикуляры на оси Ох и Оу.
Основания этих перпендикуляров — точки Р и Q — определят обе
искомые координаты. Первая координата точки М, ее абсцисса,
равна величине направленного отрезка ОР оси Ох. Вторая же
координата точки М, ее ордината, равна величине направленного
отрезка OQ оси Оу.
Задача И. Зная координаты хиу точки М, построить эту
точку.
Отложим по оси Ох от точки О отрезок длиною | х | единиц вправо,
если л:^>0, и влево, если л:<^0. Конец этого отрезка — точка Р —
будет проекцией искомой точки М на ось Ох; откладывая по оси
Оу от точки О отрезок длиною \у\ единиц вверх, если у^>0, и
вниз, если у<С.О, получим точку Q—проекцию искомой точки на
ось Оу. Зная же Р и Q, легко по этим точкам, как проекциям,
построить искомую точку М. Для этого нужно провести через Р
и Q прямые, параллельные осям координат; в пересечении этих
прямых получится искомая точка /И.
Замечание. Если мы условимся рассматривать направленные
отрезки РМ и QM (рис. 6) как отрезки осей, направления которых
совпадают с направлениями параллельных им координатных осей, то
абсцисса точки М будет выражаться не только величиной отрезка ОР,
' И. И. Привалов

18 МЕТОД КООРДИНАТ [ГЛ. 1
но и равной ей величиной отрезка QM. Ордината той же точки
будет одинаково выражаться как величиной отрезка OQ, так и
равной ей величиной отрезка РМ. Направленные отрезки OP, QM,
OQ и РМ будем называть координатными отрезками точки М. Тогда
при решении рассмотренных двух основных задач нет необходи-
необходимости определять обе проекции точки М, достаточно определить
только одну, например проекцию на ось абсцисс. Так, в задаче I
опускаем из данной точки М перпендикуляр на ось абсцисс. Его
основание Р определяет проекцию точки М на эту ось. Величина
направленного отрезка ОР даст абсциссу х данной точки, а вели-
величина отрезка РМ — ординату у.
Пример. Построить точку по координатам х = 2, у—— 3. Отклады-
Откладываем вправо от О по оси абсцисс отрезок длиною в 2 единицы; через конец
Р этого отрезка проводим прямую, параллельную оси ординат, и на ней
откладываем вниз от Р отрезок длиною в 3 единицы; конец этого отрезка и
есть искомая точка М.
Таким образом, в выбранной системе координат каждой точке
плоскости соответствует вполне определенная пара координат хну
и, обратно, всякая пара действительных чисел х, у определяет на
плоскости единственную точку, абсцисса которой равна х, а орди-
ордината у. Поэтому задать точку, это значит задать ее координаты;
найти точку, значит найти се координаты.
§ 5. Расстояние между двумя точками на плоскости. В §§ 5,
6 и 10 этой главы мы рассмотрим некоторые простейшие задачи
аналитической геометрии, к которым часто при-
приводятся многие более сложные задачи. Одной из
таких задач является задача о расстоянии между
двумя точками.
Пусть в выбранной на плоскости прямо-
прямоугольной системе координат заданы две точки
А(хх, ул) и В(х2, угI). Выразим расстояние d
между этими двумя точками через их коор-
координаты.
Найдем проекции точек А и В на координатные оси (рис. 8).
Будем иметь:
вел О/^=лг,, вел OQ1=y1,
вел ОРг = хг, вел OQt=yt.
Через одну из данных точек, например А, проведем прямую
параллельно оси абсцисс до пересечения в точке С с прямой РгВ.
') Ясно, что говорить о координатах точек можно лишь в том случае,
когда выбрана система координат. В дальнейшем мы не будем каждый раз
оговаривать введение координатной системы.

§ 6] ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ 19
Из прямоугольного треугольника АСВ получим:
(здесь АС и СВ — длины сторон треугольника АСВ). Но так как
АС=Р1Р2 = \хг — х1\
CB=Q,Qt = \yt—yi\
(гл. I, § 3), то
или
откуда
-y1)\ C)
Ясно, что здесь нужно брать арифметическое значение корня.
Таким образом, расстояние между двумя данными точками
равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одно-
одноименных координат этих точек.
Замечание. Если данные точки А и В будут располагаться
на прямой, параллельной координатной оси, то треугольника ABC
мы не получим, однако формула C) и в эгом случае будет спра-
справедлива. Действительно, если, например, точки А к В будут лежать
на прямой, параллельной оси Ох, то, очевидно, АВ=Р1Рг = \ хг — лг,|
(гл. I, § 3). Это же получится и из формулы C), так как в этом случае
У \ У г'
Расстояние точки М{х, у) от начала координат О@, 0) со-
согласно формуле C) будет
C')
Пример. Найти расстояние между точками (— 1, 4) и B, 0).
Искомое расстояние вычисляется по формуле C). Здесь хг =— 1, (/i=4,
г = 2, (/2 = 0. Следовательно,
§ 6. Деление отрезка в данном отношении. Пусть заданы две
точки А л В. Проведем через них прямую и установим на ней
произвольно положительное направление. Пусть М—некоторая
точка этой оси. Где бы ни располагалась точка /И — внутри отрезка
АВ или на его продолжении в ту или другую сторону — условимся
говорить, что она делит направленный отрезок АВ. При этом если
точка /И лежит между А и В, будем говорить, что она делит
отрезок АВ внутренним образом; если же точка М будет лежать
на продолжении отрезка, то будем говорить, что она делит отрезок
внешним образом.
2*

20 МЕТОД КООРДИНАТ [ГЛ. I
Назовем отношением, в котором точка М делит направленный
отрезок ЛВ, чи^ло
» вел АМ ,,-.
А = rr= yi)
вел MB '
Если точка М делит отрезок АВ внутренним образом, то отрезки
AM и MB имеют одно и то же направление, а величины их —
один знак и, следовательно, отношение Я положительно. Если точка М
совпадет с началом А отрезка, то Я = 0; по мере приближения
делящей точки М к концу В отрезка отношение Я неограниченно
возрастает, так как знаменатель (вел MB) стремится к нулю. Случай
совпадения делящей точки Ж с концом В отрезка следует исключить,
так как отношение в этом случае теряет смысл (знаменатель дроби
обращается в нуль).
Если точка М делит отрезок внешним образом, то при любом
се расположении отрезки AM и MB противоположно направлены,
а величины их имеют противоположные знаки и, следовательно,
отношение Я, в котором точка М делит направленный отрезок АВ,
отрицательно. При этом ясно, что если делящая точка М лежит
вне отрезка АВ за его началом, то абсолютная величина отношения Я
меньше единицы; если же М лежит на продолжении отрезка за
его концом, то |Я|^>1 (заметим, что ни при каком положении де-
делящей точки М отношение Я не может
ff? Й м в ч< быть равным —1).
1~°~+~° ° ' ° "~°~*" Таким образом, каждому положе-
рис .) нию точки /И на прямой (кроме
случая, когда М совпадает с концом
рассматриваемого отре.жа) соответствует определенное значение
отношения Я.
Так, например, на рис 9 точка М делит отрезок АВ в отношении
g 2
X — — . Та же точка делиг отрезок В А в отношении 'К = ~ . Точка Л1, делит
о
отрезок АВ внешним образом в отношении >» — ^-, точ-
о
2
на М2 делит тот же отрезок АВ в отношении \ — —=•
Задачу о делении отрезка в данном отношении
следует понимать так: даны две точки A {xlt yt)
и В(х2, у2) и дано отношение Я, в котором ?"
некоторая точка М (х, у) делит направленный
отрезок АВ; требуется найтн координаты х, у Рис 10.
точки М.
Пусть Я,, S, Я2 суть проекции точек А, М, В на ось Ох
(рис. 10). Прямые ЛРХ, MS и ВРг параллельны и, следоватольно,

§ 6] ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ 21
рассекают прямую АВ и ось Ох на пропорциональные части, так что
AM T\S_
МВ~~8Рг'
Аналогичным равенством связаны и величины направленных отрезков
AM, Ш, f\S и Щ:
вел AM вел P,S ».
вел Ж8 вел SP~l
Действительно, модули обеих частей равенства E), как только что
показано, одинаковы; знаки же их тоже совпадают, так как при лю-
любом расположении точки М относительно отрезка АВ (внутри или
вне его с той или другой стороны) точка 5 всегда будет иметь
аналогичное расположение относительно отрезка Р,Я2. Так как
вел P1S = x — хх, вел 5Р2 = л:2 — х
(гл. I, § 3) и по условию
вел AM «
вел MB
то пропорция E) заменится равенством
хг-х
откуда
х — хг = Х(х2— х), или х—x1 — Xxi — Хх,
т. е.
Вынося в левой части х за скобку, получим:
и, наконец,
х—
Чтобы получить ординату у точки /И, нужно проектировать точки
А, М, В на ось ординат; аналогично предыдущему получим:
Формулы F) и G) решают поставленную задачу. Из этих формул
следует, что каждому значению Л соответствует некоторая точка М
прямой АВ. Исключение представляет значение Я = —1, при кото-
котором формулы теряют смысл.
Полагая в формулах F) и G) X = 1, найдем координаты середины
отрезка:

22 МЕТОД КООРДИНАТ [ГЛ. 1
т. е. координаты середины отрезка равны полусуммам одноимен-
одноименных координат его начала и конца.
Замечание. При выводе формул F) и G) мы предполагали,
что прямая АВ не параллельна ни одной из координатных осей.
Однако формулы будут справедливы и в этом случае. Действительно,
если прямая АВ параллельна оси Оу, то хЛ = хг = х и формула F)
останется в силе. Точно так же и формула G) останется справед-
справедливой, если прямая АВ будет параллельна оси Ох.
Пример. Найти координаты точки М, делящей отрезок А В между
точками ЛA, 2) н В(— 1, 4) в отношении 1:2. Здесь *, = 1, </, = 2, *2 = — 1,
j/j = 4 и К = —, Следовательно,
К —
1+1 3 i+i 3
§ 7. Угол между двумя осями. Пусть на плоскости даны две
оси /, и /2, пересекающиеся в точке S (рис. 11). Условимся по-
понимать угол между двумя осями /, и lt, з а-
данными в у к а з а н иом п о р я дк е, как
угол, на который надо повернуть ось /,, вокруг
точки 5, чтобы ее положительное направле-
ние совпало с положительным направлением
•ч
оси 1г. Этот угол будем обозначать (/It /2).
•ч
Заметим, что угол (^,/2) можно также рас-
рассматривать как угол между двумя лучами,
Рис. II. выходящими из точки 5 в положительных
направлениях осей /, и 1г. Измеряя угол,
как обычно, градусами или радианами'), как и в тригонометрии, по-
полученное число будем брать со знаком -\- или — в зависимости от
направления поворота: знак -\-, если угол получен поворотом оси /,
против часовой стрелки, и знак —, если поворот этой оси совершает-
совершается по часовой стрелке *), Ось /, не единственным образом можно по-
повернуть так, чтобы ее положительное направление совпало с поло-
•) Напомним, что между обоими способами измерения нет принципиаль-
принципиального отличня; разница лишь в выборе единицы измерения, за которую
в одном случае принимается центральный угол, опирающийся на ^^тг часть
оби
окружности (градус), а в другом — центральный угол, опирающийся на дугу
окружности, равную по длине радиусу (радиан) При измерении углов ра-
радианами наименование единицы измерения «радиан» обычно опускают. Го-
Говорят, например, «прямой угол равен -=• » вместо «прямой угол равен -^- ра-
диана»; «угол равен 2,3» вместо «угол равен 2,3 радиана».
г) См. замечание в конце этого параграфа.

§ 7]
угол между двумя осями
23
жительным направлением оси/,. Действительно, если мы уже поверну-
повернули ось /, на такой угол, то после этого можно еще дополнительно
повернуть ее на любое число полных оборотов по или против ча-
часовой стрелки так, что положительное направление ее по-прежнему
будет совпадать с положительным направлением оси /2.
/\
Таким образом, для угла (/,,/,) между осями можно указать не
одно, а бесчисленное множество значений. Если одно из этих зна-
значений обозначить через со, то любое значение угла может быть
получено по формуле
О
Рис. 12.
где п — любое целое число (положительное, отрицательное или нуль).
В дальнейшем, говоря об угле между двумя осями, мы обычно
будем иметь в виду какое-нибудь одно из всевозможных его зна-
значений; чаще всего — наименьшее по модулю значение.
В наших рассуждениях мы предполагали, что оси /, и 1г пере-
пересекаются. В случае параллельности осей угол между ними будем
считать равным нулю (или вообще 2/гл), если
они имеют одинаковые положительные направле-
направления, и л (или вообще л-|-2ял), если их поло-
положительные направления противоположны.
По аналогии с изложенным условимся пони-
понимать угол между осью и направленным отрезком
как угол, на который надо повернуть ось, что-
чтобы ее положительное направление совпало с на-
направлением отрезка (в случае надобности условии-
ся продолжать отрезок до пересечения с осью).
Замечание. Мы условились считать положительными углы,
отсчитываемые против часовой стрелки. Однако иногда удобнее
производить отсчет положительных углов но
часовой стрелке. Выбор положительного направ-
направления отсчета углов связан с выбором коор-
координатной системы. Возможны два типа вза-
взаимного расположения осей прямоугольной де-
декартовой системы координат на плоскости.
Если смотреть вдоль положительного направ-
направления оси Оу, то ось Ох может быть па-
правлена вправо (рис. 12) или влево (рис. 13).
В первом случае система координат называет-
называется правой, а во втором — левой. Можно пользо-
пользоваться любой из этих систем координат. Как
в правой, так и в левой системах положительными считают углы,
отсчитываемые в ту же сторону, в какую нужно повернуть ось Ох па
прямой угол, чтобы ее положительное направление совпало с поло-
положительным направлением оси Оу. Очевидно (см. рис. 12 и \'6),
' г
У
0
Рис. 13.

24 МЕТОД КООРДИНАТ [ГЛ. I
этот поворот в случае правой системы производится против часовой
стрелки, а в случае левой — по часовой стрелке. В дальнейшем мы
будем, как правило, пользоваться правой системой координат и
в соответствии с этим положительные углы отсчитывать против
часовой стрелки.
§ 8. Основные положения теории проекций. Ранее уже отме-
отмечалось, что проекцией точки М на ось называется основание т
перпендикуляра, опущенного из точки М на данную ось (рис. 14).
Пусть на плоскости дан направленный отрезок АВ и некоторая
ось / (ось проекций) (рис. 15). Будем рассматривать этот отрезок
? В
м
т а л> ь
Рис. 14. Рис. 15.
как путь, проходимый движущейся точкой М. При движении точки М
по отрезку АВ ее проекция т на ось опишет некоторый на-
направленный отрезок ab, называемый геометрической проекцией
направленного отрезка АВ на ось.
Однако в дальнейшем основную роль будет играть не геоме-
геометрическая проекция отрезка, а ее величина, называемая проекцией
отрезка на ось.
Итак, проекцией направленного отрезка на ось называется ве-
величина направленного отрезка оси, началом которого является
проекция начальной точки проектируемого отрезка, а концом —
проекция конечной точки этого отрезка.
Заметим, что проекция направленного отрезка является числом
(положительным, отрицательным или равным нулю). Условимся
проекцию направленного отрезка АВ на ось / обозначать прг АВ
или, короче, пр АВ.
Установим основные положения теории проекций.
Проекция направленного отрезка АВ на ось I равна произве-
произведению длины АВ этого отрезка на косинус угла а между осью
проекций, и данным отрезком:
n^tAB=:AB-zo%a, (9)
Справедливость формулы (9) достаточно доказать в предполо-
предположении, что ось проекций проходит через начало проектируемого
отрезка. Действительно, проекция отрезка АВ не изменится, если
ось проекций перенести параллельно самой себе. При этом угол

§ 8]
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПРОЕКЦИЙ
25
между осью проекций
прежнее значение.
Пусть ось проекций / проходит
отрезка АВ (рис. 16).
Для доказательства равенства (9)
окружность с центром в точке А
резка АВ, и будем считать, что ее начальный
по оси / (рис. 16). По определению коси-
косинуса имеем:
вел АЬ
и направленным отрезком также сохранит
через начало проектируемого
построим тригонометрическую
радиусом, равным длине от-
диаметр направлен
Так как
то
cos сх-
вел Л6 =
cos a =:
АВ
Рис. 16.
откуда
пр; АВ— АВ cos a.
Равенство (9) доказано.
Предположим теперь, что направленный отрезок АВ лежит на
некоторой оси и; пусть ф — угол между осью проекций t и осью и.
Проекция направленного отрезка АВ на ось I равна произве-
произведению величины этого отрезка на косинус угла ф между осью
проекций I и осью и, на которой дан
отрезок:
пр, Л# = вел АВ cos ф. A0)
Заметим, что в этой формуле проекция
выражена через величину направленного
». отрезка, расположенного на некоторой оси,
I тогда как в формуле (9) используется длина
отрезка. Докажем равенство A0). В том
случае, когда направление отрезка АВ совпа-
совпадает с положительным направлением оси и (рис. 17), равенство A0)
непосредственно следует из уже доказанного ракенства (9). Дей-
Действительно, в рассматриваемом случае угол ф является в то же
время углом а между осью проекции и отрезком; следовательно,
пр, ЛВ = АВ cos а== /Шсоэф.
Учитывая, кроме того, что в данном случае
вел АВ=АВ,
получим:
npj Л?=вел
а Ь
Рис. 17.

26
МЕТОД КООРДИНАТ
[ГЛ. I
й
Если же направление отрезка АВ противоположно направлению
оси и (рис. 18), то угол а между осью проекций и отрезком АВ
равен ср-^-я (действительно, если повер-
повернуть ось / сначала на угол ф, а затем
дополнительно на угол я, то ее положи-
положительное направление совпадет с отрица-
отрицательным направлением оси ц, т. е. с на-
направлением отрезка АВ). Следовательно,
npLAB = АВ cos a =
= АВ cos (ф ~\- л) = — АВ cos ф.
В = — АВ, получим:
Учитывая,
что в рассматриваемом случае вел
прг /1.8 = вел АВ cos ф.
Таким образом, равенство A0) доказано полностью.
Возьмем теперь произвольную ломаную линию ABCDEF (рис. 19),
Будем рассматривать эту ломаную как траекторию точки М, описы-
описывающей последовательно все звенья
ломаной от начальной ее точки А
до конечной F. При этом на лома-
ломаной установится направление об-
обхода, а звенья ее можно будет рас-
рассматривать как направленные от-
отрезки. Такую ломаную будем назы-
называть направленной ломаной1). На-
Направленную ломаную, соединяющую
последовательно точки А, В, С, D,
Е и F, обозначим через ABCDEF.
При перемещении точки М по направленной ломаной ABCDEF
проекция т этой точки на ось переместится по оси из точки а—
проекции точки А — в точку /—проекцию точки F. Направленный
отрезок а/ оси проекций называется геометрической проекцией на-
направленной ломаной ABCDEF на ось.
Величину геометрической проекции направленной ломаной назо-
назовем проекцией направленной ломаной. Таким образом, проекцией
направленной ломаной на ось называется величина направленного
отрезка оси, началом которого является проекция начальной
точки проектируемой ломаной, а концом — проекция конечной
точки этой ломаной.
Заметим, что проекция направленной ломаной на ось является
числом.
') Направленную ломаную в дальнейшем мы будем иногда называть
просто ломаной, опуская слово «направленная», если это не может повести
к недоразумению.

§ 9]
ПРОЕКЦИИ НАПРАВЛЕННОГО ОТРЕЗКА НА ОСИ КООРДИНАТ
27
Легко показать, что проекция направленной ломакой равна
сумме проекций ее звеньев. Действительно, проектируя на ось
каждое звено ломаной ABCDEF (рис. 19), мы получим:
вел af= вел ab -\- вел be -\- вел cd -j- вел de -\- вел ef
(гл. I, § 1) или, если обозначить проекцию ломаной через
пр ABCDEF, _
пр ABCDEF = пр АВ-\-пр ВС-\-пр CD-{- npDE-{-npEF. A1)
Далее ясно, что проекция направленной ломаной не зависит
от ее формы, а зависит лишь от положения ее начальной и ко*
нечной точек; поэтому проекции двух направленных ломаных
с общими началом и концом равны между собой (рис. 20).
В
Рис. 20.
Рис. 21.
Назовем замыкающим отрезком ломаной линии направленный
отрезок, началом которого является начальная точка рассматривае-
рассматриваемой ломаной, а концом — конечная ее точка. Очевидно, проекция
направленной ломаной равна проекции ее замыкающего отрезка
(рис. 21).
Если ломаная линия замкнута, т. е. ее начало и конец совпа-
совпадают, то ее проекция равна нулю.
W
в
§ 9. Проекции направленного отрезка на оси координат.
В этом параграфе прежде всего мы дадим формулы, выражающие
проекции направленного отрезка на коор-
координатные оси.
Пусть известны длина d направлен-
направленного отрезка АВ и угол а между осью
Ох и этим отрезквм (рис. 22).
Проекцию отрезка АВ на ось Ох
получим непосредственно по формуле (9)
§ 8: npxAB — d cos а. Чтобы выразить
проекцию отрезка АВ на ось Оу, заме-
заметим, что угол между осью Оу и от-
отрезком АВ равен а к- (действительно, если повернуть ось Оу

28 МЕТОД КООРДИНАТ [ГЛ. I
сначала на угол ^", а затем еще на угол а, то ее положитель-
положительное направление совпадет с направлением отрезка АВ). Тогда
up AB=d cos f a 5.J—tfsina. Таким образом,
пр AB=dsma.
Предположим теперь, что направленный отрезок АВ расположен
на некоторой оси и. В таком случае проекции этого отрезка на
оси координат можно выразить также через его величину н угол ф
между осью Ох и осью и. По формуле A0) будем иметь:
,45= вел AS cos ф, \
так как угол между осью Оу и осью и равен ф s- и, следова-
L.(,-«-,)•
Если же направленный отрезок АВ задан координатами его на-
начала А{х1Ууг) и конца В(хг, уг), то проекции отрезка на оси ко-
координат можно выразить через координаты ограничивающих его точек.
Проекция отрезка АВ на ось Ох равна величине направленного
отрезка РгРг оси Ох (рис. 22). Так как вел Р1Рг = хг— х1 (гл. 1.
§ 3), то nvxAB= х2 — хг. Совершенно так же пр АВ=у%—_у,.
Таким образом,
-——¦ \
пруАВ = у2— уг. /
Заметим, что, проектируя на координатные оси направленный
отрезок, идущий из начала координат в произвольную точку
М(х, у) плоскости, по формулам A4) получим:
пру~ОМ—у. )
Таким образом, координаты х, у точки М можно рассматривать как
проекции направленного отрезка ОМ на оси координат
В дальнейшем нам понадобится формула, выражающая тангенс
угла между осью Ох и направленным отрезком АВ через коорди-
координаты его начала и конца. Эту формулу легко получить, используя
приведенные выше выражения проекций отрезка АВ на оси координат.

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Сравнивая между собой формулы A2) и A4), получим:
откуда
d cos a = х2 — х1,
dsma—y1—yJ,
хг — х\
A5)
A6)
Формула A6) определяет тангенс угла между осью Ох и на-
направленным отрезком АВ.
Если изменить направление отрезка на прямо противоположное,
то угол между осью Ох и отрезком изменится на я, по тангенс
угла, очевидно, сохранит прежнее значение
и будет, следовательно, определяться той же
формулой A6)
§ 10. Площадь треугольника. Даны
вершины треугольника. A(xlt _y,), B(xs,y2)
и С(х3, у3) (рис 23). Выразим площадь
треугольника через координаты его вершин
Пусть CA = dj, CB:=d2 и ф—угол
между направленными отрезками СА и СВ
(т. е угол, на который нужно повернуть
отрезок СА вокруг точки С, чтобы его на-
направление совпало с направлением отрезка СВ; как и обычно, угол
будем рассматривать со знаком).
Как известно, площадь треугольника
Рис 23.
с
2 d,d2 sin ф
Так как Ф = а2 — аг, где а, и а2 — углы между осью Ох и на-
направленными отрезками СА и СВ, то
1 1
= у (d, cos a,d2 sin a2 — d2 cos a2d, sin a,).
Используя формулы A5) предыдущего параграфа, получим:
= х1 — х„ dlsmal=y1—y,,
= х2 — х„ d2smai=yi—y,.
Тогда для площади треугольника будем иметь следующее выра-
выражение:
s=4l(*.-*,MJ.-j'.) —(*, —*,H\—.у,)!- A7)

30 МЕТОД КООРДИНАТ [ГЛ. 1
Пользуясь понятием определи1еля (гл. VI, § 1), можно получен-
полученную формулу представить в виде
2 —*з Уш—Уш
В формуле A7') нужно взять знак -\- или —, смотря по тому,
будет ли определитель положительным или отрицательным.
В частности, если вершина С лежит в начале координат, то
ха=_у4 = 0 и мы получим:
Пример. Определить площадь треугольника ABC, вершины которого
суть ЛA, 2), В (-2, 3), С @, 5).
Здесь лг,.= 1, </! = 2, х2 = — 2, г/2 = 3, х, = 0, </, =5. Следовательно, по
формуле A7) площадь треугольника ABC равна:
S =-5-1 A — 0)C — 5) — (— 2 — 0) B — 5) | = 4 кв. единицам.
Если три точки Л, В, С лежат на одной прямой, то треуголь-
треугольник ABC вырождается в отрезок и имеет площадь, равную нулю,
т. е. S = 0. В этом случае формула A7) для 5 обратится в равен-
равенство
]
или
что можно записать в виде пропорции:
Последнее равенство связывает координаты трех точек А, В, С
тогда и только тогда, когда эти точки лежат на одной прямой.
Следовательно, написанная пропорция выражает условие, при кото-
котором три точки лежат на одной прямой.
Пример 1. Узнать, лежат ли точки А{\, 2), ВB, 3), СC, 4) на одной
прямой.
Здесь xl=\, у, = 2, хг = 2, уг = 3, х, = 3, у, —4. Условие A8') обра-
обращается в 5 5 = 5 й- т- е- 2 = 2, и, следовательно, удовлетворяется. Таким
образом, три данные точки лежат на одной прямой.
Пример 2. При каком условии точки А (х„ г/,), В (хг, уг) н начало
координат лежат на одной прямой?
Здесь координаты третьей точки хг, уг равны нулю, и условие A8') пере-
переходит в равенство:
т. е. две точки лежат на одной прямой с началом координат тогда, когда их
координаты пропорциональны.

§ 11] ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 31
Замечание. Переход от A8) к A8') можно сделать лишь при
условии, что ни одно из чисел xs — хг и _у2—у3 не равно нулю.
Однако, так как равенство A8') более удобно для запоминания, то
условимся записывать его и в случае обращения знаменателей
в нуль. Только тогда, конечно, эту запись нужно будет понимать не
буквально, так как на нуль делить нельзя, а условно. Будем счи-
считать, что равенство A8') всегда означает то же, что A8), т. е. что
произведение крайних членов (л:, — л:,) (уг—_уа) равно произведе-
произведению средних членов (х2 — л:,) (_у,—ys). Например, ?±=^ значит,
что #„• 1 =_у,-0, т. е. лг,=О.
§ 11. Полярные координаты. Для определения положения точки
на плоскости, кроме рассмотренной выше декартовой прямоуголь-
прямоугольной системы координат, довольно часто применяется полярная си-
система координат.
Пусть на плоскости даны некоторая точка О (назовем ее полю-
полюсом) и проходящая через нее ось ОР (назовем ее полярной осью),
а также указана единица масштаба. Будем
определять положение произвольной точки М
плоскости по отношению к полюсу и поляр-
полярной оси. Назовем полярным радиусом точки ,
М ее расстояние г=ОМ от полюса и по-
полярным углом точки М угол <р между ис'
полярной осью и направленным отрезком ОМ (рис. 24); условимся,
кроме того, угол ф брать в границах — ж^ф^я. Тогда, очевидно,
каждой точке М плоскости соответствует единственная пара чисел г,
ф (исключением является полюс, для которого r=Q, а ф произ-
произвольно). Обратно, каждой паре чисел г, ф(г^0, —ж^ф^я)
соответствует единственная точка плоскости, для которой г является
полярным радиусом, а ф — полярным углом. Полярный радиус
и полярный угол точки будем называть ее полярными координатами.
Полярные координаты условимся записы-
записывать в скобках после буквы, обозначаю-
обозначающей точку,указывая сначала г, а потом ф:
3 М(г, ф).
/' 3 \
Пример. Построить точку А I 2, -j Я 1
Р в полярной системе координат.
Q
р Проведем через полюс ось под углом-^-л к по-
полярной оси (другими словами, повернем поляр-
3
ную ось на угол—я) и отложим от полюса в положительном направлении
построенной осн отрезок О А, равный по длине двум единицам. Конец А этого
отрезка и будет искомой точкой (рис. 25).

<->* МЕТОД КООРДИНАТ [ГЛ. I
Можно установить связь между декартовыми и полярными
координатами одной и той же точки. Пусть даны декартова си-
система координат и полярная с полюсом в начале
координат и полярной осью, совпадающей с осью
абсиисс (рис. 26). Обозначим через х и у де-
декартовы координаты произвольной точки М, через
г и ф — ее полярные координаты.
Мы знаем, что
Рис.26. х = прх0М, у = пру0М
(гл. I, § 9, формулы A4')) и, с другой стороны,
прх ОМ= г cos ф, пр ОМ—г smq>
(гл. 1, § 9, формулы A2)).
Поэтому
J. A9)
y = rs\n<p. J
Формулы A9) выражают декартовы координаты точки М через
ее полярные координаты. Чтобы найти полярные координаты точки,
зная ее декартовы координаты, возведем обе части каждого из
равенств A9) в квадрат и затем сложим их почленно. Получим:
хг-\-уг = гг (cos^-j-sin2 ф),
т. е.
откуда
K B0)
Далее, из равенств A9) получим:
tg<P=-f-. B1)
По формуле B1) определяется тангенс полярного угла ф; при
этом получаются два значения ф (напомним, что —я<^ф^л), ле-
лежащие в разных четвертях. Так как y = rsinq>, то из этих двух
значений угла ф нужно выбрать то, для которого синус имеет тот
же знак, что и у.
Пример. Даны декартовы координаты точки М: х = 1, </ = — 1. Найти
полярные координаты. По формулам B0) и B1) имеем'
Из двух значений q) = -j-jt и ф== j- нужно взять <р = -^ , так как
sin q> в данном случае должен иметь отрицательный знак.

УПРАЖНЕНИЯ 33
Итак, полярные координаты данной ючки
г=У? „ = -•?.
Замечание. Для введенных нами полярных координат г^О,
— ж^ф^я. Однако такое ограничение иногда оказывается стесни-
стеснительным; в дальнейшем мы будем считать, что гиф могут прини-
принимать любые значения от —со до 4~°°- В таком случае построение
точки но ее полярным координатам г и <р условимся производить
следующим образом.
Проведем через полюс О ось под углом q> к полярной оси (т. е.,
другими словами, повернем полярную ось на угол ф, делая, в слу-
случае надобности, несколько полных оборотов) и отложим от полюса
отрезок ОМ длиною | г | в положительном направлении построенной
оси, если г^>0, и в отрицательном при г<^0. Конец М этого от-
отрезка будет искомой точкой. Очевидно, при таком построении поляр-
полярный радиус точки М равен величине направленного отрезка ОМ,
лежащего на оси, проведенной под углом ф к полярной оси. Суще-
Существенно, что паре любых действительных чисел г и q> соответствует
единственная точка М. Именно поэтому эти числа и считаются коор-
координатами точки.
Заметим еще, что формулы A9) остаются справедливыми не
только при г^О, —ж^фг^л, но и в общем случае. Для дока-
доказательства этого нужно воспользоваться выражениями проекций
направленного отрезка ОМ на оси координат через его вели-
величину г и угол ф между осью Ох и осью, на которой лежит этот
направленный отрезок (гл. 1, § 9, формулы A3)). В этом случае при
нахождении г из формулы гг = хг'-\-у2' радикал можно брать с лю-
любым знаком
W B0')
после этого угол ф можег быть найден по формуле B1), причем ф
выбирается так, чтобы sin ф имел тот же знак, что и — (так как
у— г эшф).
Упражнения ')
1. Построить точки, определяемые в данном масштабе координатами:
х = 2, y — Ь, Х — — 3, у = 0, x = Z, у — -4;
2. Дана точка, определяемая координатами х = 5, у — — 2. Найти коор-
координаты точки, симметричной с данной относительно оси абсцисс
3. Найти точку В, симметричную точке А B, — 4) относительно биссек-
биссектрисы I и III координатных углов.
') Ответы к упражнениям помещены в конце книги, к упражнениям, но-
номера которых помечены звездочкой, даны решения.

34 МЕТОД КООРДИНАТ [ГЛ. [
4. Найти координаты точки, симметричной А (а,Ь) относительно оси абс-
абсцисс.
5. Найти координаты точки, симметричной А (а,Ь) относительно оси
ординат.
6. Найти координаты точки, симметричной А (а, Ь) относительно начала
координат.
7. Показать, что точка Аг, симметричная Л, (a, h) относительно биссек-
биссектрисы I и III координатных углов, будет иметь координаты (Ь, а).
8. Дан квадрат со стороной, равной 2 единицам. Чему будут равняться
координаты вершин этого квадрата, если оси координат направить по каким-
нибудь двум из его непараллельных сторон?
9. Дан квадрат, сторона которого равна 2 единицам. Чему будут рав-
пяться координаты его вершин, если оси координат направить по диагоналям
этого квадрата?
10. Дан ромб, сторона которого равна 5 единицам, а одна из диагоналей
6 единицам. Чему будут равняться координаты его вершин, если оси коор-
координат направить по диагоналям этого ромба?
11. Найти координаты вершин правильного шестиугольника, сторона ко-
которого равна а, при условии, что начало координат помещено в центре ше-
шестиугольника, а ось абсцисс проходит через две противоположные его вер-
вершины.
12. Точка, двигаясь прямолинейно, переместилась из точки А (— 3, — 2)
в точку В D, 5). Определить пройденный путь и угол а между осью Ох и
направлением движения.
13. Есть ли среди внутренних углов треугольника с вершинами в точках
А(\, 1), В(— 1, 2) и СC, 3) тупой угол?
14. Доказать, что треугольник, вершинами которого служат точки А C, 2),
В F, 5), СA, 10),— прямоугольный.
15. Найти периметр треугольника с вершинами А B, 3), В(—3, 3),
С @,-1).
16. Найги длины медиан треугольника с вершинами А B, 1), В (—2, 3),
С@, 3).
17. Проиеден отрезок от точки A, — 1) до точки (—4, 5). До какой точки
нужно продолжить его в том же направлении, чтобы его длина утроилась?
18. Найти на оси абсцисс точку, которая отстоит на одинаковом расстоя-
расстоянии от начала координат и от точки (— 5, 3).
19. Найти точку, находящуюся на равных расстояниях от осей координат
и от точки C, 6).
20. Найти точку, находящуюся на расстоянии 10 единиц от оси абсцисс
и от точки (— 5, 2).
21. Прямая линия проходит через точки А B, 4) и В E, 1). Найти иа ней
точку, абсцисса которой равна — 3.
22. Расстояние между точками (х, 5) и (—2, у) делится в точке A, 1)
пополам. Найти эти точки.
23. Разделить отрезок между точками @, 2) и (8, 0) в таком же отно-
отношении, в каком находятся расстояния этих точек от начала координат.
24. Две вершины треугольника даны координатами *,=:3, уг = 7 и
Х2=:—2, i/8 = 5. Найти третью вершину при условии, чтобы середины про-
проходящих через нес сторон лежали на осях координат
25. Основание треугольника равно а, высота равна h и одна из двух
других сторон равна Ъ. Принимая основание и высоту за оси координат,
найти координаты середины третьей стороны
26*. Определить точку пересечения медиан треугольника, вершины кото-
которого суть А(\, 2), 5@, 5), С(—2, 3).
27. Вершины треугольника суть E, 0), C, —8), A, —4). Найти точки,
в которых медианы его делятся на три равные части.

УПРАЖНЕНИЯ
35
28. Выразить координаты центра тяжести треугольника через координаты
его вершин.
29. Показать, чю если система состоит из п материальных точек А1(х1, </]),
Аг(хг, у2) Ап (хп, уп), в которых сосредоточены соответственно массы
тх, т2, та, ...,тп, то координаты центра тяжести этой системы определя!ся
формулами
х _ ХуЩ + Чтг + ¦¦¦+хптп _
у
30. Определить площадь треугольника с вершинами в точках Л (О, I),
6C, 4), С(—1, —1).
31. Вычислить площадь четырехугольника с вершинами в точках А (—2, —3),
б(—1, 4), СC, 3) и D F, — 1).
32. Узнать, лежат ли точки B, 3), E, 7), (И, 15) на одной прямой.
33. Определить величину и направление силы Р, зная, что ее проекции
на оси координат равны Рх=5, Р„=12.
34. Найти центр тяжести проволочного треугольника, вершины которого
лежат в точках О @, 0), А D, 0) и В C, 4).
35. Однородная доска имеет вид прямоугольной трапеции, большее осно-
основание которой равно а, меньшее Ь и высота Н. Найти положение ее центра
тяжести (толщиной пренебречь).
36. Найти декартовы координаты точек, полярные координаты которых
следующие:
37. Найти полярные координаты точек, декартовы координаты которых
следующие:
А C, —2), б(—1, -1), СC, 0), D@, -4).

ГЛАВА II
ЛИНИИ И ИХ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Составление уравнений заданных линий. В предыдущей
главе было показано, что в декартовой системе координат каждой точ-
точке плоскости соответствует пара действительных чисел и, наоборот,
каждой такой паре чисел соответствует определенная точка плоскости.
Теперь установим, что линиям на плоскости соответствуют урав-
уравнения с двумя переменными. Эта связь между линиями и уравне-
уравнениями позволит свести изучение геометрических свойств линий к ис-
исследованию аналитических свойств соответствующих им уравнений.
В аналитической геометрии всякую линию рассматривают как
геометрическое место точек. В определении линии как геометриче-
геометрического места точек содержится свойство, общее всем ее точкам.
Так, например, окружность с центром в точке С и радиусом R
можно рассматривать как геометрическое место точек плоскости,
отстоящих от С на расстоянии R. Это значит, что для всякой
точки М, лежащей на окружности, MC=R, если же точка М не
лежит па окружности, то MC=?R.
Возьмем на плоскости какую-нибудь линию, выберем в этой
плоскости декартову систему координат и рассмотрим произвольную
точку указанной линии. Если эта точка будет перемещаться по дан-
данной линии, то ее координаты х и у будут меняться, оставаясь, од-
однако, связанными некоторым условием, характеризующим точки ли-
линии. Таким образом, мы получаем некоторое соотношение между
х и у, которое будет выполняться только при движении точки по
линии и нарушится, если точка сойдет с линии.
Следовательно, линии на плоскости соответствует некоторое
уравнение с двумя переменными х и у. Такое уравнение между
переменными х и у, которому удовлетворяют координаты любой
точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни
одной точки, не лежащей на ней, называется уравнением данной
линии. Входящие в это уравнение координаты х и у произвольной
точки линии называются текущими координатами.
Рассмотрим несколько простейших примеров составления уравне-
уравнений данных линий.

? 2] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ УРАВНЕНИЙ 37
Пример 1. Найти уравнение прямой, делящей пополам отрезок между
точками А(\, 2), В (— 3, 4) и перпендикулярной к нему.
Будем рассматривать эту прямую как геометрическое место точек, рав-
равноудаленных от точек А и В. Пусть М (х, «^ — произвольная точка >казан-
ной прямой. Равенство
АМ = ВМ A)
выражает общее свойство всех.точек этой прямой (если же М не будет лежать
иа данной прямой, то AM Ф ВМ). Для составления уравнения прямой остается
выразить расстояния AM и ВМ через координаты точки М и полученные вы-
выражения подставить в равенство A). Тогда
Это уравнение и является уравнением данной прямой Возводя обе части
его в квадрат, после упрощений получим:
2х — у 4- 5 = 0.
Пример 2. Составить уравнение окружности радиуса R.
Выберем произвольно оси координат. Тогда центр С окружности будет
иметь некоторые координаты а к Ъ.
Обозначая через хну координаты произвольной ;
точки М окружности, выразим аналитически свойство,
общее всем точкам М. Из определения окружности
следует, что расстояние точки М от центра С окруж-
окружности (рис. 27) есть величина постоянная, равная ради-
радиусу R, т. е.
СМ = R. B)
Определяя СМ как расстояние между двумя точ- j
ками С и М (гл. I, § 5), мы выразим равенство B) с по- L'
мощью текущих координат точки М: Рис. 27.
br = R. B')
Возвышая обе части последнего уравнения в квадрат, получим уравнение ок-
окружности в окончательном виде:
(x-af + (y-b)* = R*. C)
В этом уравнении постоянные a, b, R суть соответственно координаты
центра и радиус окружности; переменные хну являются координатами про-
произвольной точки окружности. В частности, если начало координат выбрано
в центре окружности, то а = 6=0, и уравнение C) принимает более про-
простой вид:
Я«. C')
§ 2. Геометрический смысл уравнений. Мы видели, что всякая
линия, рассматриваемая как геометрическое место точек, опреде-
определяется уравнением между координатами ее точек. Обратно, всякое
уравнение между двумя переменными х и у, вообще говоря, опре-
определяет линию как геометрическое место точек, координаты которых
хну ему удовлетворяют.
В самом деле, рассмотрим какое-нибудь уравнение между пере-
переменными х и у. Перенося все его члены в левую часть, придадим
уравнению вид:
F{x,y) = 0, D)
где F означает символ функции двук переменных. Пусть при любом
фиксированном числовом значении х уравнение D), рассматриваемое

38
ЛИНИИ И ИХ УРАВНЕНИЯ
[гл. и
о
р I
Рис. 28.
р'
-х
как уравнение относительно неизвестного у, имеет, например, два
действительных корня.
Дадим переменному х произвольное числовое значение х = а и
найдем из уравнения D) соответствующие значения у. Для опреде-
определения у получаем уравнение с одним неизвестным:
F(a, y) = 0. E)
Пусть это уравнение имеет корни, например, y = blt у = Ъг.
Отметим на рис. 28 две точки /И, и Мг, координаты которых
v (a, bt) и (a, bs) удовлетворяют данному
уравнению D).
Дадим теперь переменному х другое
числовое значение х = а' и определим
соответствующие значения^ из уравнения
F{a', y) = 0. E')-
Пусть корни этого уравнения будут _у = ?>,,
y = b2. Отметим на рис. 28 две точки
/И, и /Иг, координаты которых, (а', #,) и
(а', Ьг) удовлетворяют данному уравне-
уравнению. Если переменное х мы будем не-
непрерывно изменять от значения а до значения а', то прямая LN будет
перемещаться параллельно самой себе, отправляясь от положения
PQ и приходя в положение P'Q', причем в любом ее положении на
ней будут две точки, координаты которых удовлетворяют данному
уравнению D). Таким образом, точки /И и М описывают линию.
Эта линия получается в результате двух движений: с одной стороны,
движения прямой LN параллельно самой себе (изменение л:), а с дру-
другой— движения точек М и М по этой прямой (изменение у).
Итак, уравнение D) между координатами х и у определяет
линию как геометрическое место тех точек плоскости, коорди-
координаты которых удовлетворяют данному
уравнению.
Рассмотрим несколько примеров па по-
построение линий, заданных уравнениями.
Пример 1. Построить линию, определяемую
уравнением х—у = 0.
Уравнение можно переписать в виде:
у = х
Очевидно, геометгжческое место точек, для
которых абсцисса равна ординате, представляет
собой биссектрису А В I и III координатных углов
(рис.29). Уравнение х—у = 0 определяет, следо-
следовательно, эту биссектрису.
Пример 2. Построить линию, определяемую уравнением х -\- у = 0.
Легко видеть, что геометрическим местом точек, для которых у — — х,
будет биссектриса CD II и IV координатных углов. Следовательно, уравне-
уравнение х-\-у = 0 являетгя уравнением этой биссектрисы (рис. 29).
л
У
\
/
В
\ X
С
Рис. 29.

§ 2]
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ УРАВНЕНИЙ
39
Пример 3. Построить линию, определяемую уравнением Xs— (/ = 0.
Выразим из этого уравнения одну из координат через другую (например,
у через к): у = х*.
Будем давать х различные произвольные значения, например —4, —3,
—2, —1, 0, 1, 2, 3, 4, и находить соответствующие значения у. Таким
образом, мы получим ряд точек, нанесем нх на плоскость и соединим плавной
линией (рис. 30). Это и будет искомая
кривая.
Рассмотрим еще некоторые осо-
особые виды уравнений.
1) Уравнение может содержать
только одну из текущих координат
и гем не менее определять некото-
некоторую линию.
Пусть, например, дано уравне-
уравнение у— 2 = 0 или у = 2. Геоме-
Геометрическим местом точек, ординаты
которых равны 2, будет, очевидно,
прямая, параллельная оси Ох и от-
отстоящая от нее на расстоянии двух
единиц. Аналогично уравнение х-\~
+ 1 = 0 определяет прямую, парал-
параллельную оси Оу.
2) Если левая часть уравнения F(x, _у) = 0 разлагается на мно-
множители, то, приравнивая нулю каждый множитель в отдельности,
получим несколько новых уравнений, каждое из которых может оп-
определять некоторую линию. Например, уравнение хг—_уг=;0 или
(х-\-у)(х — у) = 0 определяет пару прямых х-\-у = 0 и х—_у =
= 0 — биссектрис координатных углов.
3) В частности, может случиться, что уравнение F(x, у) = 0
между координатами х и у определяет геометрическое место, состо-
состоящее из одной или нескольких отдельных точек. Так, например,
уравнение л:г+_у2 = 0 определяет точку О@, 0); уравнению
— 4J = 0
X
—4
з
—2
|
0
1
2
3
4
У
16
9
4
1
0
1
4
9
16
Рис. 30.
(хг— 1
соответствует геометрическое место, состоящее из четырех точек:
A, 2); A, -2); (-1, 2); (-1, -2).
4) Может, наконец, случиться, что уравнение F(x, y) = 0 не
определяет никакого геометрического места точек. Так, например,
уравнение
л:2+/+1=0
не удовлетворяется ни одной парой действительных значений коор-
координат х и у.
Если уравнение удовлетворяется, как в только что приведенном при-
примере, лишь в том случае, когда хотя бы одно из переменных лг, у

40 ЛИНИИ И ИХ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
имеет мнимое значение, то говорят, что уравнению соответствует
мнимое место точек.
§ 3. Две основные задачи. Из изложенного в §§ 1 и 2 выте-
вытекает постановка двух основных задач.
I. Дана линия как геометрическое место точек. Составить
уравнение этой линии.
II. Дано уравнение между координатами х и у. Построить
линию, определяемую этим уравнением.
В следующей главе мы рассмотрим общее решение той и дру-
другой задач в отношении прямой линии.
§ 4. Пересечение двук линий. Среди различных геометрических
задач одно из важных мест занимает задача нахождения точек пере-
пересечения двух данных линий.
Пусть эти линии определяются соответственно уравнениями
f(x, у) = 0 и <f(x, y) = 0.
Если существует точка их пересечения, то, очевидно, она лежит и
па той и на другой линии. Поэтому координаты ее должны удо-
удовлетворять каждому из данных уравнений, и, наоборот, всякая точка,
координаты которой удовлетворяют этим двум уравнениям, лежит
на обеих линиях. Следовательно, чтобы найти точки пересечения
двух данных линий, нужн» совместно решить их уравнения. Каждое
действительное решение этой системы уравнений даст точку пересе-
пересечения. Если же окажется, что эта система несовместна или во всех
ее решениях хотя бы одно из чисел х или у имеет мнимое значение,
то это будет означать, что данные линии не пересекаются.
Пример. В § 1 настоящей главы было выведено уравнение окружности
с центром в начале координат и радиусом R в виде
Возьмем радиус, равный 5 единицам. Тогда уравнение такой окружности
примет вид: х2-J-уг = 25. В примере 1 того же параграфа было выведено урав-
уравнение некоторой прямой 2х — у -(- 5 = 0.
Пусть требуется найти точки пересечения Э1ИХ линий. Для этого нужно
решить систему уравнений
2 + г 25
Из последнего уравнения имеем:
у
Подставляя это выражение у в первое уравнение, получим:
*2 + A>* + 5)г = 25.
После упрощений будем иметь:
х2 -f Ax = 0,
откуда
х1==0 и ^= — 4.

61
УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
41
Подставляя эш значения х в ранее найденное выражение у, получим:
(/,=5 и </„ = —3.
Следовательно, данные линии имеют две точки пересечения @, 5) и (—4, —3).
§ 5. Параметрические уравнения линий. В некоторых случаях
при составлении уравнения линии текущие координаты не связывают
одним уравнением, а каждую координату в отдельности выражают
в виде функции нового переменного, например t. Получают уравне-
уравнения вида
"=т'А F,
Эти уравнения составляются так, что значения х и у, соответ-
соответствующие одному и тому же значению t, являются координатами
У
к
точки, лежащей на данной линии.
С изменением t меняются и коорди-
координаты х и у, а следовательно, соответ-
соответствующая им точка перемещается по ли-
линии. Уравнения F) называются параметри-
параметрическими уравнениями линии, a t — нере-
неременным параметром.
Если из уравнений F) исключить па-
параметр tf, то получим уравнение между
х и у вида F(x, _у) = 0.
Пример. Составим параметрические урав-
уравнения окружпосги радиуса R, центр кото-
которой лежит в начале координат (рис. 31). Лег-
Легко усмотреть, что текущие координаты точки на
окружности являются функциями угла ф, образо-
образованного осью Ох и радиусом окружности, проведенным в данную точку. По-
Поэтому примем угол ф за переменный параметр и выразим через него текущие
координаты хну. При любом положении точки М на окружности будут иметь
место равенства
Рис. 31.
f
y
(гл. 1, § 9).
Это и есть параметрические уравнения окружности. При желании из них
можно получить уравнение окружности в форме, изчестной из предыдущего.
Для этого нужно исключить параметр ф. Возводя обе части каждого из урав-
уравнений в квадрат и складывая, получим:
§ 6. Уравнения линий в полярных координатах. Ранее мы рас-
рассматривали уравнения линий в декартовых координатах, но аналогично
можно говорить и об уравнениях линий в полярных координатах.
Уравнением линии в полярной системе координат мы будем называть
такое уравнение между переменными г и ср, которому удовлетворяют
координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют

42 ЛИНИИ И ИХ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. [[
координаты точек, не принадлежащих ей. Рассмотрим пример на на-
нахождение уравнении данной линии в полярных координатах.
Пусть требуется найти уравнение окружности, прохддящей через
полюс, центр которой С лежит на полярной оси, а радиус равен а.
Соединим отрезками прямой произвольную точку М окружности с'
полюсом и с конечной точкой D диаметра, проходящего через полюс
(рис. 32). Координатами точки М будут угол ф и длина г отрезка ОМ.
Припомним, что окружность есть геометрическое место вершин пря-
прямых углов, опирающихся на ее диа-
диаметр. Следовательно, треугольник
OMD — прямоугольный.
Отсюда получаем:
r=1a cos ф.
Это и есть искомое уравнение
окружности ').
Заметим, что вид уравнения дан-
Рис. 32. ной линии зависит от выбора по-
полюса и полярной оси. Так, если мы
выберем полюс в центре окружности радиуса а, то для всех точек
окружности (и только для этих точек) полярный радиус будет иметь
одно и то же значение г^а; это равенство будет, следовательно,
уравнением окружности радиуса а с центром в полюсе. Полярный
угол ф в это уравнение не входит, оставаясь произвольным.
При исследовании формы линии на основании ее уравнения при-
приходится часто пользоваться полярными координатами. Это удобно
делать всякий раз, когда уравнение линии в полярных координатах
проще, чем в декартовых. В качестве примеров мы рассмотрим две
линии, часто встречающиеся в приложениях.
Пример 1. Линия, называемая спиралью Архимеда, определяется в по-
полярных координатах уравнением
Г = <3ф,
где а есть положительная постоянная. Чтобы начертить эту линию, будем да-
давать ф произвольные значения и определять соответствующие значения г. При-
Приводимая таблица значений (г, ф), удовлетворяющих данному уравнению, пока-
показывает, что при возрастании угла ф в арифметической прогрессии с разностью
-н- полярный радиус г возрастает тоже в арифметической прогрессии с раз-
разностью л~. Кроме того, заметим, что всякой точке этой линии с положи^
тельными координатами (г, ф) соответствует на этой же линин точка (— г, — ф),
') При выводе этого уравнения г считалось положительным. Однако при
некоторых значениях ф из уравнения будут получаться отрицательные значе-
значения г. Тем не менее легко проверить, то и в этом случае получаелые точки
лежат на той же окружности.

§ 61
УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
43
г. е. спираль Архимеда расположена симметрично относительно прямой, прохо-
проходящей через полюс перпендикулярно к полярной оси. На рис. 33 сплошной
линией изображена в".твь, соответствующая положительным значениям ф, а пунк-
пунктирной — отрицательным.
0
л
Т
я
Зя
2
2л
г
0
л
Та
по
З.-т
та
Риг. 33.
Пример 2. Линия, определяемая б полярных координатах уравнением
где а и * суть положительные постоянные, называется логарифмической
спиралью.
Чтобы начертить эту линию, будем давать ф произвольные значения и
определять соответствующие значения г. Приводимая здесь таблица значений
(г, ф), удовлетворяющих данному уравнению, показывает,
что при возрастании угла ф в арифметической прогрес-
прогрессии с разностью -jj- полярный радиус г возрастает в геомет-
геометрической прогрессии со знаменателем е '*. Когда угол ф
неограниченно возрастает, то г тоже не-
неограниченно растет; когда угол Ф стре-
стремится к отрицательной бесконечности, то
полярный радиус стремится к нулю и
кривая неограниченно приближается к
полюсу О, закручиваясь около него.
Поэтому точка О называется асимптоти-
асимптотической точкой логарифмической спирали
(рис. 34).
Иногда встречается надобность Рис 34
в переходе от уравнения линии в де-
декартовых коврдннатах к уравнению той же линии в полярных коорди-
координатах или обратно. В таком случае следует применять формулы,свя-
формулы,связывающие полярные я декартовы координаты (гл. I, § 11).
Пример. Уравнение окружности в полярных координатах
г = 2а cos ф
записать в декартовых координатах.
V
— Л
Л
т
0
я
я
т
а

44
ЛИНИИ И ИХ УРАВНЕНИЯ
[гл. и
Выражаем т и cos ф через хну
cos ф = — = -
±Ух* + у>
Подставляя эти выражения б данное уравнение, после упрощений получим:
хг -\- уг — lax = 0.
Упражнения
1*. Построить кривую, заданную уравнением хгу = 4а2 Bа — у). (Эта кри-
кривая носит название локона Аньези.)
2*. Построить кривую, заданную уравнением г=10з1п2ф. (Эта кривая
называв] ся четырехлепестковой розой.)
3. Построить кривые, заданные уравнениями:
а) у —Xs; б) у — хь; в)у = х*; г) у = х>-\-2; д) у = — х* — 5; е) уг = хг.
которым в полярных координатах соответствуют
4. Построить кривые,
уравнения:
а)/- = а8т3ф; б)г = асозЗф; в)л=:асо52ф; г) г = а A — cos ф).
5. Построить кривые, заданные в полярных координатах уравнениями:
а) г = 2 — cos ф; б) г = 3 — 2 sin 2ф; в) г = 2 — sin Зф.
6. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных
от начала координат и от точки А (—5, 3).
7. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удален-
удаленных от оси Ох и от точки F @, 4). Построить кривую.
8. Определить траекторию точки М, которая движется так, что ее расстоя-
расстояние от точки А C, 0) остается вдвое меньше расстояния от точки В (—6, 0).
9. Определить траекторию точки М, кото-
которая движется так, что ее расстояние от точки
F (—1, 0) остается вдвое меньше расстояния от
прямой х = — 4.
10*. Найти уравнение геометрического ме-
сга точек, произведение расстояний которых до
двух данных точек Р и Q есть величина постоян-
постоянная, оавиая т2. Расстояние между Р и Q равно
2гг. (Это геометрическое место точек называется
овалом Кассини.) Построить эту линию.
11*. Овал Кассини (см. упражнение 10) для
Рис. 33. случая, когда т — п, называется лемнискатой
Бернулли. Найти уравнение лемнискаты: а) в
декартовых координатах и б) в полярных координатах. Построй ib эту кривую.
12*. Дамы прямая Ох и на расстоянии а от нее точка А (рис. 35). Если
прямая АВ будет вращаться около точки А, то
точки Мх и Л12, лежащие на этой прямой и отсто-
отстоящие от точки В пересечения прямой АВ с основ-
основной прямой Ох на данное расстояние Ь, опишут
некоторую линию. Она называется конхоидой
Никомеда. Найти уравнение конхоиды и постро-
построить ее для случаев а > 6, а=Ь иа<Ь.
13*. Даны прямая Оу и точка А на расстоянии
а от нее (рис. 36). Вокруг точки А вращается луч
А В и на нем в обе стороны от точки В (точки пересе-
пересечения луча с осью Оу) отложены переменные отрезки ВМ1 и ВМг, равные по
длине ОВ. При вращении луча АВ точки Mt и М2 описывают кривую, назы-
называемую строфоидой. Составить уравнение этой кривой ъ. построить ее.

УПРАЖНЕНИЯ
45
касательная к ней DE
0
\ 2a
1
D
Рис.
14*. Даны окружность диаметра 0D = 2a и
(рис. 37). Через точку О, диаметрально противоположную точки D, проведен
луч ОЕ и на нем отложен отрезок ОР, равный отрезку BE, заключающемуся
между окружностью и касательной.
Если луч ОЕ будет вращаться око- У
ло точки О, то точка Р опишет кри-
кривую, называемую циссоидой Диокле-
са. Найти уравнение этой кривой и
построить ее.
15*. Даны окружность радиуса а и
на ней точка О (рис. 38). Если прямая
О В будет вращаться около ючки О, то
точки /W, и Мг, находящиеся па дан-
данной прямой и отстоящие на данное рас-
расстояние т отточки В пересечения пря- р .,-,
мой с окружностью, опишут кривую,
называемую у литкой П аскаля1). Найти
уравнение этой кривой в полярных координатах и построить ее. (Кривые пы-
чершть для случаев ту-2а, т = 2а и т<2а.)
16. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от
двух данных точек.
17. Дие прямые вращаются вокруг двух неподвижных точек, оставаясь все
время перпендикулярными друг к Другу. Найги уравнение линии, описываемой
точкой их пересечения.
18. Из точки М проведены к двум окружностям радиусов R ч г две рав-
равные касательные. Найти уравнение геометрического места точек М при усло-
условии, что расстояние между центрами окружностей равно 2rf.
19. Отрезок постоянной длины 2а скользит своими концами по сторонам
прямого угла. Из вершины прямого угла на этот отрезок опущен перпенли-
куляр ОМ. Найти уравнение геометрического места оснований этих перпенди-
перпендикуляров в полярных координатах и построить эту линию.
20. Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний кото-
которых от сторон квадрата равьа постоянной величине.
21. Написать уравнение циссоиды х*=угBа — х) в полярных координатах.
22. Написать уравнения кривых:
а) г = т -j- 2a cos <p (улитка Паскаля);
б) г = a sin 2ф (четырехлепестковая роза)
п декартовых координатах.
23*. Круг радиуса а катится без скольжения по оси абсцисс. Найти пара-
параметрические уравнения линии, описываемой при указанном движении той точ-
точкой окружности, которая при начальном положении окружности находилась
в начале координат.
24. Тело брошено вверх со скоростью v под углом а к горизонту. Найти,
пренебрегая сопротивлением воздуха, параметрические уравнения траектории
тела (за параметр принять время).
') Для частного случая, когда т — 2а, эта линия называйся кардиоидой.

ГЛАВА III
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
§ 1. Угловой коэффициент прямой. В предыдущей главе было
показано, что, выбрав определенную систему координат на плоскости,
мы можем геометрическое свойство, характеризующее точки рас-
рассматриваемой линии, выразить аналитически уравнением между теку-
текущими координатами. Таким образом, мы получим уравнение линии.
В этой главе будут рассматриваться уравнения прямых линий.
Чтобы составить уравнение прямой в декартовых координатах,
нужно каким-то образом задать условия, определяющие положение
ее относительно координатных осей.
Предварительно мы введем понятие об угловом коэффициенте
прямой, который является одной из величин, характеризующих поло-
положение прямой на плоскости.
Назовем углом наклона прямой к оси Ох тот угол, на который
нужно повернуть ось Ох, чтобы она совпала с данной прямой (или
оказалась параллельной ей). Как обычно, угол будем рассматривать
с учетом знака (знак определяется направлением поворота: против
или по часовой стрелке). Так как добавочный поворот оси Ох на
угол в 180° снова совместит ее с прямой, то угол наклона прямой
Рис. 39.
Рис. 40.
к оси Ох может быть выбран не однозначно (с точностью до сла-
слагаемого, кратного я). Тангенс этого угла определяется однозначно
(так как изменение угла на я не меняет его тангенса).
Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым
коэффициентом прямой.

§ 2]
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ
47
Угловой коэффициент характеризует направление прямой (мы
здесь не различаем двух взаимно противоположных направлений
прямой). Если угловой коэффициент прямой равен нулю, то прямая
параллельна оси абсцисс. При положительном угловом коэффициенте
угол наклона прямой к оси Ох будет острым (мы рассматриваем
здесь наименьшее положительное значение угла наклона) (рис. 39);
при этом чем больше угловой коэффициент, тем больше угол ее
наклона к оси Ох. Если угловой коэффициент отрицателен, то угол
наклона прямой к оси Ох будет тупым (рис. 40). Заметим, что
прямая, перпендикулярная к оси Ох, не имеет углового коэффициента
(тангенс угла не существует).
§ 2. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом. Рас-
Рассмотрим прямую линию, ие параллельную оси ординат. Положение
ее на плоскости будет вполне определено,
если задать угол наклона прямой к оси
абсцисс и величину отрезка, отсекаемого
ею на оси ординат, т. е. величину направ-
направленного отрезка оси ординат, началом ко-
которого является начало координат, а кон-
концом— точка пересечения прямой с осью Оу.
Обозначим угол наклона прямой к оси
Ох через <р, а величину отрезка ОВ, от-
отсекаемого прямой на оси Оу, через Ь.
Пусть М(х, у) — произвольная точка пря-
прямой (рис. 41). Когда точка /И движется
по прямой, то ее координаты хну, изме-
изменяясь, остаются все время связанными между
условием. Посмотрим, каково это условие.
Рассмотрим направленный отрезок ВМ. Зная координаты его
начала и конца
5@, Ь), М(х, у),
выразим проекции его на оси координат (гл. I, § 9)
Рис. 41.
собой некоторым
p^—у — Ь.
Тогда по формуле A6) гл. I, § 9 получим:
Отсюда
и окончательно
где k= tgq>.
у —
или у = х tg ф -\- b
kx-{-b,
0)

48 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ [ГЛ. Ш
Этому уравнению удовлетворяют лишь координаты точки рас-
рассматриваемой прямой; оно нарушается, если точка не лежит на
прямой. Таким образом, полученное уравнение A) является уравне-
уравнением заданной прямой линии.
Уравнение прямой вида A) называется уравнением прямой
с угловым коэффициентом.
Уравнение A) мы получили, считая, что прямая не параллельна
оси Оу. Посмотрим теперь, какое уравнение будет иметь прямая,
параллельная оси Оу.
Пусть а — абсцисса точки пересечения этой прямой с осью Ох
(рис. 42). Очевидно, любая точка прямой имеет абсциссу, равную а;
если же точка не лежит на прямой, то абс-
цисса ее будет отлична от а. Следовательно,
эта прямая имеет уравнение
х = а. B)
Итак, если прямая не параллельна оси Оу,
*¦ то ее уравнение может быть записано в
форме A), если же прямая параллельна оси
Оу, то ее уравнение может быть записано
Рис. 42. в фОрме B). Так как уравнения A) и B) яв-
являются уравнениями первой степени относи-
относительно переменных лг и у, то тем самым мы доказали, что в
декартовой системе координат всякая прямая может быть пред-
представлена уравнением первой степени.
В частности, если прямая проходит через начало координат, то
Ь = 0 и уравнение такой прямой будет иметь вид:
y = kx. C)
Если прямая параллельна оси Ох, то угловой коэффициент ее
/г = 0, и уравнение прямой будет
у=Ь. D)
Пример. Составить уравнение прямой линии, отсекающей на оси орди-
ординат отрезок, величина которого равна — 2, и наклоненной к оси абсцисс под
углом в 45°.
Здесь 6= — 2 и ft = tg45° = l. Следовательно, искомое уравнение
у = х — 2.
§ 3. Геометрический смысл уравнения первой степени между
двумя переменными. В предыдущем параграфе было показано, что
в декартовой системе координат всякая прямая может быть пред-
представлена уравнением первой степени. Естественно теперь поставить
обратный вопрос: всякое ли уравнение первой степени относительно
переменных хну определяет прямую? Чтобы ответить на этот

§ 3] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 49
вопрос, рассмотрим уравнение первой степени общего вида и выясаим,
каково геометрическое место тех точек плоскости, координаты (х, у)
которых удовлетворяют этому уравнению. Мы покажем, что иско-
искомым геометрическим местом точек является прямая линии.
Общее уравнение первой степени относительно х и у имеет вид:
Ак + % + С=0. E)
Здесь А, В и С—произвольные числа; при этом, конечно, коэффи-
коэффициенты А и В при переменных не могут быть одновременно равны
пулю (иначе уравнение E) не содержало бы переменных х и у и
не было бы уравнением).
Разрешим уравнение E) относительно у (предполагая, что В=/=0).
Получим:
А С
У х
А , С .
или, вводя обозначения [f zz= и —7Г== '
y = kxJrb. A)
Но мы видели в предыдущем параграфе, что уравнение A)
является уравнением прямой линии, имеющей угловой коэффициент к
и отсекающей на оси ординат отрезок величиной Ь.
Наши рассуждения мы проводили в предположении, что коэффи-
коэффициент В в уравнении E) отличен от нуля. Если же В —0, то
уравнение E) имеет вид:
Ах-\-С — 0.
В таком случае, решая это уравнение относительно х, получим:
_ С_
Х— А '
или, вводя обозначение ~ = а,
х = а. B)
Но мы уже видели ранее (§ 2), что уравнение B) является
уравнением прямой линии, параллельной оси Оу.
Таким образом, вопрос, поставленный в начале этого параграфа,
решен: мы показали, что всякое уравнение первой степени отно-
относительно текущих координат определяет прямую линию. В соот-
соответствии с этим уравнение E) называв ген общим уравнением прямой.
Подводя итог изложенному в §§ 1 и 2 этой главы, мы можем
сказать, что прямая линия, и только она, можег быть представлена
в декартовой системе координат уравнением neptuii степени отно-
относительно текущих координат х и у,
3 И. И. Привалов

50 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ [ГЛ. III
Замечание. Для приведения уравнения первой степени к виду A)
нужно решить его относительно у. Тогда коэффициент при х
в таком уравнении будет угловым коэффициентом прямой, а сво-
свободный член будет давать величину отрезка, отсекаемого прямой
на оси ординат. Этот вид уравнения прямой особенно важен. Из
изложенного следует, что графиком линейной функции от х, т. е.
многочлена первой степени относительно х, является прямая линия,
и обратно, если графиком некоторой функции от х является прямая
линия, то эта функция может быть записана в виде многочлена
первой степени от х. Отсюда происходит название: линейная функ-
функция («прямолинейная»).
Пример. Написать уравнение с угловым коэффициентом для прямой
линии, заданной уравнением 2х-\- 3#-f- 7 = 0.
Разрешив данное уравнение относительно у, получим:
2 7
2
Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой fe = 5", а величина
о
. 7
отрезка, отсекаемого ею на оси ординат, о — —у.
о
§ 4. Исследование общего уравнения первой степени Ах +
+ Ду + С = 0. Как мы видели, общее уравнение первой степени
Ах + Ву + С=0 E)
определяет прямую линию. Посмотрим, какое положение занимает
эта прямая линия по отношению к координатным осям, когда один
или два коэффициента уравнения E) обращаются в нуль.
1. С=0. В этом случае уравнение E) имеет вид:
Ах -{- By = 0
и определяет прямую, проходящую через начало координат, так как
это уравнение удовлетворяется при х=у = 0.
2. Л = 0. Уравнение E) имеет вид:
Ву + С=0,
или
где обозначено
Для всех точек такой прямой линии ордината у имеет постоянное
значение, т. е. прямая линия расположена параллельно оси Ох на
расстоянии от нее, равном \Ь\ (выше оси Ох, если b — число поло-
положительное, и ниже оси, если b—число отрицательное).

§ 5] УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ В ОТРЕЗКАХ
3. В=0. В этом случае уравнение E) принимает
51
или (обозначая Т=:а
и определяет прямую, параллельную оси Оу.
4. С = 0, Zi—0. Уравнение E) принимает вид:
Ах = 0
или
= 0.
Прямая совпадает с осью Оу.
5. С—0, Л = 0. Уравнение E) приводится к виду у =0. Пря-
Прямая совпадает с осью Ох.
§ 5. Уравнение прямой линии в отрезках. Мы уже говорили
о том, что положение прямой линии по отношению к координатным
осям можно определять различными спосо- у
бами. В зависимости от способа задания
прямой мы будем получать различные фор-
формы ее уравнения.
Рассмотрим прямую линию, пересекаю-
пересекающую обе координатные оси и не прохо-
проходящую через начало координат. Положение
прямой можно определить, указав величины
а и b отрезков, отсекаемых прямой соот-
соответственно на осях Ох и Оу (на рис. 43
а = вел ОМ, Ь = вел ON).
Найдем уравнение этой прямой. Уравнение такой прямой можно
записать в виде
Ах + Ву + С=0, E)
где ни один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Остается
найти коэффициенты уравнения (выразить их через параметры а и Ь).
Так как точка М (а, 0) лежит на данной прямой, то ее коорди-
координаты удовлетворяют уравнению E):
х
Рис. 43.
откуда
Аа-\-С=0,
Л —
F)
3*

52 Ш'НМАЯ ЛИНИЯ [ГЛ. Ill
Аналогично и координаты точки N@, Ь) должны удовлетворять
уравнению E), что дает
или
Подставляя значения А и В из равенств F) и G) в уравнение E)
прямой, получим:
—с- — с4-+с=о.
Деля обе части равенства на С (по условию С=^0), найдем:
или
Уравнение прямой, записанное в форме (8), носит название
уравнения в отрезках.
Пример. Уравнение прямой 2х— 3(/ + 2 = 0 написать в отрезках.
Так как точка (а, 0) лежит на данной прямой, то ее координаты удовле-
удовлетворяют уравнению прямой. Следовательно,
1а -\- 2 = 0, откуда а = — 1.
Аналогично, подставляя координаты точки @, Ь) в уравнение прямой, найдем:
— 36 + 2 = ° или b — т •
О
Отсюда следует, что уравнение прямой в отрезках будет
Уравнение (8') можно получить и путем формальных преобразований
данного уравнения. Действительно, перенося свободный член данного уравнения
в правую часть равенства, получим:
2х — Ъу — — 2.
Деля обе части равенства на — 2, будем иметь:
Переписывая это уравнение в форме (8), получим окончательно:

§ 7]
УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ
53
§ 6. Построение прямой линии по ее уравнению. Чтобы по-
построить прямую линию, достаточно нанести на чертеж две какие-
нибудь ее точки. Для отыскания координат какой-либо точки, лежащей
па прямой, выбираем произвольно значение одной из координат и по
уравнению прямой находим соответствующее значение второй коор-
координаты.
Пример 1. Построить прямую, заданную уравнением
2х — у — 3 = 0.
Положим, например, лг=1; тогда 2 — у—3 = 0, или ;/ — —1. Следова-
Следовательно, точка КA, — 1) лежит па прямой. Аналогично, полагал, например,
х = —1, найдем точку М (—1, —5), также лежащую на прямой. Двумя най-
найденными точками определяется прямая (рис. 44).
Пример 2. Построить прямую 2л; ~|— 3// = 0.
Так как в уравнении 2х-\-Зу^=О отсутствует свободный член, то, прямая,
определяемая этим уравнением, проходит через начало координат. Чтобы
найти точку прямой, отличную от начала, положим
1 2f3 0
равным,
2
р, у ,
например, 1; тогда 2-f-3j/ = 0, или
У\
Рис 44.
Следовательно, точка [1, —5" j лежит на пря-
прямой. Остается провести прямую через эту точку и
начало координат.
Замечание. Практически при построе-
построении прямой удобно использовать уравнение
в отрезках, или найти точки пересечения
прямой с осями координат.
§ 7. Угол между двумя прямыми. Пусть
даны две прямые (I) и A1). Углом между
прямыми (I) и (II), рассматриваемыми в указанном по-
порядке, будем называть тот угол, на который нужно повернуть
прямую A), чтобы она совпала с (И) (или стала ей параллельна).
Знак угла устанавливается по обычному правилу. Так как при до-
добавочном повороте на угол л прямая снова займет начальное
положение, то ясно, что угол между прямыми A) и (II) опре-
определяется не однозначно (с точностью до слагаемого, кратного я).
Одно из значений угла можно всегда выбрать так, чтобы оно было
неотрицательным и меньшим я. Практически это значение угла обычно
и рассматривается.
Пусть прямые (I) и (II) заданы уравнениями

54
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
[ГЛ. Hi
Обозначим через ф, угол наклона прямой (I) к оси Ох и чераз Э
угол, на который нужно повернуть прчмую (I) до совпадения с (II)
(рис. 45). Тогда
будет, очевидно, углом наклона прямой (II) к оси Ох. Отсюд?
и если прямые (I) и (II) не являются перпендикулярными, то (по
известной формуле тригонометрии)
О)
Заметив, что
= &2, получим:
= &1 и
\„ п ^
* I
Рис. 45.
Замечание 1. Формула (9)
определяет тангенс угла, образован-
образованного вращением вокруг точки М пря-
прямой с угловым коэффициентом kl до
совмещения ее с прямой, имеющей угловой коэффициент кг. Это
можно запомнить, записывая формулу так:
Замечание 2. Если речь идет об угле между двумя прямыми
и не указан порядок, в котором они рассматриваются, то можно
устанавливать этот порядок произвольно. Очевидно, изменение по-
порядка повлечет за собой изменение знака для тангенса угла.
Замечание 3. Если хотя бы одна из данных прямых парал-
параллельна оси Оу, то формула (9) не имеет смысла. В этом случае,
считая, например, что параллельна оси Оу вторая прямая, угол между
прямыми вычислим по формуле
Пример 1. Найтн угол между прямыми </ = 2х — 3 и Ъх + у—2 = 0.
Если перенумеровать прямые в том порядке, как они заданы, то угловой
коэффициент прямой (I) будет kl = 2, а для прямой (II) будет k, = — 3.
. 2 2
Тогда по формуле (9) получим tg в = ——^i, откуда 6 = 45°.
я ~— 2, • о

§ 8] УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ 55
Пример 2. Найти угол между прямыми х — 2у -j— 3 = 0 и х-3 = 0.
Здесь <р2 = —. Угловой коэффициент первой прямой равен -у, а угол ее
наклона к оси Ох равен ф, = arctg -у. Согласно замечанию 3
§ 8. Условия параллельности и перпендикулярности двух пря-
мык. Прямые параллельны в том и только в том случае, если равны
тангенсы углов наклона их к оси Ох, т. е.
или
*, = *,. (Ю)
Итак, условие (необходимое и достаточное) параллельности прямых
заключается в равенстве их угловых коэффициентное.
Условие параллельности двух прямых можно получить и непо-
непосредственно из формулы (9).
В случае перпендикулярности прямых (и только в этом случае)
можно считать, что
Ф.-Ф,=Т-
Отсюда следует, что
. я
или
^*=tg ^ф, -Г" 2~J = — С^Фн
откуда
tg Ф, tg фг ^ — 1,
или окончательно
Таким образом, условие (необходимое и достаточное) перпенди-
перпендикулярности прямых заключается в том, что произведение их
угловых коэффициентов равно — 1.
Пример 1. Прямые 2х — 3(/ —)— 1 ^= 0 и 4х — 6(/ — 5 = 0 параллельны.
2
В самом деле, угловые коэффициенты этих прямых суть /г. = —, к, =л
о
4 2
= -jr- = -тг , т. е. условие параллельности выполнено,
о о

56 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ [ГЛ. П1
Пример 2. При каком значении k уравнение у = kx -f-1 определяет
прямую, перпендикулярную к прямой у=?2х— Р
Угловой коэффициент второй прямой &2 = 2. Условие перпендикулярности
дает 2ft = — 1, откуда fe — ^ .
§ 9. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в
данном направлении. Пусть даны точка A(xt, уг) и угловой коэф-
коэффициент к, определяющий направление прямой линии, проходящей
через точку А. Уравнение этой прямой будем искать в виде
y = kx-\-b, A2)
|де неизвестное Ъ должно быть определено из условия прохождения
прямой через точку А(хг, _у,). Так как точка А (л:,, у,) лежит на
данной прямой, то координаты ее должны удовлетворять уравне-
уравнению A2). Подставляя в уравнение A2) вместо текущих координат
координаты хх, ylt получим:
A3)
Из условия A3) нужно определить Ъ и подставить найденное
значение в уравнение A2). Другими словами, нужно исключить b из
уравнения A2) и равенства A3), что мы сделаем, вычитая A3) из
A2); таким образом, получим уравнение прямой линии, проходящей
через точку (#,, _у„) и имеющей направление, определяемое угловым
коэффициентом k:
x1). A4)
Ясно, что в форме A4) может быть записано уравнение всякой
прямой, не параллельной оси Оу. Уравнение прямой, проходящей
через данную точку А(хг, _у,) параллельно оси Оу, будет иметь вид
(гл. III, § 2):
Замечание. Совокупность всех прямых, проходящих через
некоторую точку плоскости, называется пучком прямых, а общая
их точка — центром пучка.
Если в уравнении A4) под k будем понимать величину, прини-
принимающую всевозможные числовые значения, то это уравнение будет
определять совокупность прямых, проходящих через точку А(х1,у1),
т. е. пучок прямых с центром в точке A{xt, уг) [в форме A4)
можно записать уравнение любой из прямых пучка, кроме одной —
параллельной оси Оу].
Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
(—3, 4) и наклоненной к оси Ох под углом в 135°.
Уравнение прямой можно записать в форме A4). Здесь х, =—3, </|=4,
fttl35° 1

§ 9] УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ 57
Следовательно, искомое уравнение будет
-\=0.
Пример 2 Составить уравнение прямой линии, проходящей через
точку A, 2) параллельно прямой 2х — 3(/-f-l=0.
Угловой коэффициент k прямой линии, для которой нужно составить
2
уравнение, равен угловому коэффициенту fe,=— данной прямой в силу усло-
о
вия параллельности этих прямых. Таким образом, полагая в уравнении A4)
2
fc = -s-, х, = 1, (/,=2, получим искомое уравнение:
о
пли, умножая на 3,
3</ — 6 = 2 {х — 1), или Зу — 6 = 2х — 2,
откуда окончательно находим:
2х —3j/-f-4 = O.
Пример 3. Составить уравнение прямой линии, проходящей через
точку (—1, 1) перпендикулярно к прямой Ъх — у -+- 2 = 0.
Искомый угловой коэффициент обозначим через ?,, угловой коэффициент
данной прямой k2, как видно из ее уравнения, равен 3. Условие перпенди-
перпендикулярности kjty=— 1 нам дает
3fe, = —1, откуда fe, — тг •
О
Таким образом, искомое уравнение
у— 1= —4"(* + 1). или Ъу — Ъ = —х— 1,
о
и окончательно
х 4- Зу — 2 = 0.
Пример 4. Написать уразнение прямой, проходящей через точку
B, — 1) и составляющей угол в 45° с прямой 5* — 2у -\- 3 = 0.
Угловой коэффициент прямой, для которой требуется составить уравне-
уравнение, будем искать по формуле (9) (§ 7)
Так как в условии задачи не сказано, от какой из прямых следует вести
отсчет угла, то поставленная задача имеет два решения.
5
Для получения одного из них в формуле {9) будем считать ft, — —
(у1ловой коэффициент данной прямой), 6=45°, Аг — искомый угловой коэф-
коэффициент. Тогда будем иметь.
о
7
откуда «г = г и искомое урапненис
о

58 прямая линия [гл. ш
или (после упрощений)
1х-\-Ъу — 11=0.
Другое решение мы получим, положив в формуле (9) ft2 = —, 6 = 45° и
находя ft,. Будем иметь ft1= —; искомое уравнение
пли
Ъх — 7у— 13 = 0.
Заметим, что поскольку каждая из найденных прямых составляет с данной
прямой угол 45°, то между собой они должны быть перпендикулярны; дейст-
7 3
вителыю, угловые коэффициенты этих прямых равны о" и — .
о 7
§ 10. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
Если две прямые лежат на плоскости, то возможны три различных
случая взаимного расположения их: 1) прямые пересекаются (т. е.
имеют одну общую точку), 2) прямые параллельны и не совпадают,
3) прямые совпадают.
Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если
прямые заданы своими уравнениями
Если прямые пересекаются, т. е. имеют одну общую точку, то
координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям A5).
Следовательно, для нахождения координат точки пересечения прямых
нужно решить совместно их уравнения. С этой целью исключим
сначала неизвестное х, для чего умножим первое уравнение на Агг
а второе на Л, и вычтем первое из второго. Будем иметь:
(AlB2 — AtB1)y^rCtA1-ClAi = 0. A5')
Чтобы исключить из уравнений A5) неизвестное у, умножим
первое из них на В2, а второе на Вг и вычтем второе из первого.
Получим:
г-СгВ1 = 0. A5")
Если А1Вг — А2В1^=0, то из уравнений A5') и A5") получим ре-
решение системы A5):

§ 10] ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ 59
Формулы A6) дают координаты х, у точки пересечения двух
прямых.
Таким образом, если АгВг— Лг5,^0, то прямые пересекаются.
Если АуВг— АгВх = 0, то формулы A6) не имеют смысла. Как
в этом случае располагаются прямые? Легко видеть, что в этом
случае прямые параллельны. Действительно, из условия А В.—
А А
— А В —0 следует, что—-5! = — ~ , т. е. kl = kt (если же
B1 = Bi = 0, то прямые параллельны оси Оу и, следовательно, па-
параллельны между собой).
Итак, если АгВг— Л2В,=0, то прямые параллельны. Рассматри-
А1 В, ~
ваемое условие можно записать в виде -г-=-&-. 1огда можно ска-
зать, что если в уравнениях прямых соответствующие коэффи-
коэффициенты при текущих координатах пропорциональны, то прямые
параллельны.
В частности, параллельные прямые могут совпадать. Выясним,
каков аналитический признак совпадения прямых. Для этого рас-
рассмотрим уравнения A5') и A5"). Если свободные члены этих урав-
уравнений будут оба равны нулю, т. е. СгАг — С,Л2 = 0 и С,?2 —
— CiB1 = 0, то
Аг — Вг С,'
т. е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравне-
уравнений A5) пропорциональны. В таком случае одно из уравнений си-
системы получается из другого умножением всех его членов на неко-
некоторый общий множитель, т. е. уравнения A5) равносильны. Следо-
Следовательно, рассматриваемые параллельные прямые совпадают.
Если же хотя бы один из свободных членов уравнений A5') и
A5") будет отличен от нуля (или СгАг—С^А2=^0, или С^Я,—
— С.5,^0), т. е.
л,__.в, , с,
Аг Вг^С2>
то уравнения A5') и A5"), а значит и уравнения A5), не будут
иметь решений (по крайней мере одно из равенств A5') или A5)
будет невозможным). В этом случае параллельные прямые не будут
совпадать.
Итак, условием (необходимым и достаточным) совпадения двух
прямых является пропорциональность соответствующих коэффи-
коэффициентов их уравнений:
At Вг С2•
Пример 1. Найти точку пересечения прямых линий
2х — Зу— 1=0 и Зх — у — 2 = 0.

60 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ [ГЛ. Ill
Решая уравнения совместно, умножим второе на 3:
2Х — Зу — 1 = 0, 9х — Ъу — 6 = 0.
Вычитая, получим: 7х — 5 = 0, откуда х=—. Умножая первое урав-
уравнение на 3, второе на 2 и вычитая первое ш второго, получим: Ту — 1=0,
откуда {/ = -=-. Итак, координаты точки пересечения двух данных прямых суть:
5 1
х— 7 , у— 7 .
Пример 2. Прямые линии
2х — I/ -f- 2 = 0 и Ах — 2у — 1=0
параллельны (они не имеют общей точки), так как
?_—\ _2_
4 ——2^—Г
Прямые
Зх-fy — 2 = 0 и 6*-f-2^ — 4 = 0
совпадают, так как
3 _ 1 _—2
6 ~ 2 ~~— 4'
§11. Уравнение пучка прямых. В § 9 (см. замечание) рассма-
рассматривалось уравнение пучка прямых с центром в заданной точке
А(хх,ух). Иногда центр пучка прямых не задается непосредственно,
а определяется парой прямых, принадлежащих пучку. Тогда коорди-
координаты центра пучка можно найти, решая совместно уравнения данных
прямых. Однако можно и не вычислять координат центра пучка,
а воспользоваться в этом случае другой формой уравнения пучка
прямых. Пусть прямые
,=0 и Агх-\-В2у-\-Сг = 0
пересекаются в некоторой точке (.*:,,>>,). Составим уравнение
*** + BJ + С, + К (Агх + Вгу + С,) = 0, A7)
где А. — произвольный параметр.
При любом значении А. уравнение A7) определяет прямую линию,
так как оно является уравнением первой степени относительно
переменных х и у. Легко показать, что эга прямая проходит через
точку (xl,y1). Действительно, так как точка (хг, уг) принадлежит
каждой из заданных прямых, то
откуда

§11] УРАВНЕНИЕ ПУЧКА. ПРЯМЫХ 61
Следовательно, координаты точки пересечения двух данных прямых
удовлетворяют уравнению A7).
Таким образом, уравнение A7) при различных значениях Я опре-
определяет прямые, принадлежащие пучку с центром в точке (xJt уг).
Остается выяснить, можно ли из A7) при надлежащем выборе А.
получить уравнение любой из прямых пучка.
Пусть (а, Р) — произвольная точка плоскости, отличная от (хг, yj.
Прямая, определяемая уравнением A7), пройдет через эту точку,
если координаты ее будут удовлетворять уравнению A7), т. е. если
Отсюда следует, что при
мы получим из A7) уравнение прямой, проходящей через произвольно
выбранную точку плоскости.
Параметр X нельзя подобрать только в том случае, если точка
(а, Р) будет лежать на прямой Агх-\-Вгу -\-Сг = 0 (тогда формула,
определяющая К, не будет иметь смысла). Следовательно, уравне-
уравнение A7) при различных значениях К будет определять все прямые
пучка, кроме одной (второй из двух данных). Уравнение этой послед-
последней прямой, очевидно, может быть получено из уравнения
при |л = 0.
Уравнение вида A7) называют уравнением пучка прямых.
Пример. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку
пересечения прямых
2х— Ъу~ 1=0 и Зх — у— 2 = 0
перпендикулярно к прямой 1/ = х.
Первый способ. Решая уравнения 2л; — 3(/ — 1 = 0 и Зх — у — 2 = 0
совместно, находим координаты точки пересечения прямых:
_ 5 _ 1
x — f y~J
(см. пример 1, § 10)
Из условия перпендикулярности прямых угловой коэффициент нужной
нам прямой k = —1. Следовательно, искомое уравнение будет
у — у = — 1 (*— f\ или V — у = — x + j< или 7у — 1 = —
откуда
или
Второй способ. Искомое уравнение можно записать в виде:
-у-2) = 0 A7')

62 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ [ГЛ. III
Угловой коэффициент прямой линии, определяемой последним уравнением,
Судет
Чтобы прямая, уравнение которой нужно найти, была перпендикулярна
к прямой у = х> нужно положить k — — 1.
Тогда будем иметь:
откуда
2 + ЗЬ = — 3—Ь,
или
4Х = -5 и Х = —-|-.
Подставляя найденное значение X в уравнение A7'), получим после упрощений
искомое ураинение:
7а;-f 7v — 6 = 0.
§ 12. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Пусть даны точки A(xl,yl) и B(xt,y2). Составим уравнение пря-
прямой, проходящей через эти точки.
Уравнение пучка прямых линий, проходящих через точку
A (xt, уг), имеет вид:
y — yi==k(x — x1), A8)
где к есть произвольный параметр. Чтобы выделить из этого пучка
прямую линию, проходящую через точку В(х2, у2), потребуем,
чтобы координаты этой точки удовлетворяли уравнению A8):
У.—.У, = *<*. — *,)• A9>
Из равенства A9) нужно определить значение параметра k и
внести это значение в уравнение A8). Иначе говоря, нужно исклю-
исключить k из уравнения A8) и равенства A9), что мы сделаем, деля
A8) на A9).
Таким образом получим уравнение прямой, проходящей через
точки Л (*„>;,) и ^(д;,,^):
У-4i— *-*»
Если данные точки А и В лежат на прямой, параллельной оси
Ох(уг—_у, = 0) или оси Oy(xt — д;1 = 0), то уравнение прямой
будет соответственно иметь вид у=^у^ или x = xt.
Замечание. Из соотношения A9) мы находим формулу
* = i^f. A9')
X, — х,
выражающую угловой коэффициент прямой линии через координаты
двух ее точек.

§ 12] УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ТОЧКИ
Пример 1. Составить уравнение прямой линии, проходящей ч
точки ЛA, 2) и S (—1, 1).
Подставляя в уравнение B0) ж, = 1. </, = 2, х2 =—1, уг=1, полу
</ —2 х—\ у—2х—\
^ _ „ = . _ . , откуда —— = —-—, или 2</— 4 = х— 1, или оке
телыю
х — 2у + 3 = 0.
Пример 2. Составить уравнение прямой линии, проходящей через т
пересечения прямых х-\-у — \ =0, х— г/-(-2 = 0 и через точку B, 1).
Первый способ. Находим координаш точки пересечения двух да;
прямых линий. Для этого решаем данные уравнения совместно. Складь
находим:
2х -f- 1 = 0, откуда х = —=-.
Вычитая нз первого уравнения второе, получаем:
g
2у — 3 = 0, откуда у = -^ .
Далее, остается составить уравнение прямой линии по двум тс
(—=-, -^ \ и B, 1). Искомое уравнение будет
3.1 3.1 3,1
-, ИЛИ : = р , ИЛИ : = = -,
1 о — 1 о
~"? Т
откуда
^-]1 — —х—1, или х + 5у — 7 = 0.
Второй способ. Составим уравнение пучка прямых липни с цен
в точке пересечения двух данных прямых:
Чтобы выделить из этого пучка прямую линию, проходящую через точку (!
потребуем, чтобы координаты этой точки удовлетворяли уравнению A7"):
2 4- I — 1 + X B — 1 -Ь 2) = 0;
отсюда иайцем параметр к:
2-\-ЗХ = 0, или Х = — -§-.
О
2
Подставляя X — s" в уравнение A7*), найдем:
о
l(x
или
Zx + Зу -3-2х + 2{/- 4 = 0,
откуда

64 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ [ГЛ. Ш
§ 13. Условие, при котором три данные точки лежат на одной
примой. Пусть даны три точки: А(х1,у1), В(хг, уг) и С(х3, у,).
Уравнение прямой линии, проходящей через точки А к В, запи-
запишем в форме B0). Точка С лежит на этой прямой в том и только
в том случае, когда ее координаты xs, y3 удовлетворяют уравнению
этой прямой. Таким образом, искомым условием будет:
У Ч х» xi BП
* — V К '
Уг —Ух хг — хх
§ 14. Нормальное уравнение прямой линии. Пусть на плоскости
дана какая-нибудь прямая линия. Проведем через начало координат
прямую / перпендикулярно к дайной; выберем на ней положительное
направление от начала координат в сторону данной прямой (если
данная прямая проходит через начало
\у <• координат, то положительное направ-
/ ление на прямой/ можно выбрать произ-
произвольно). Положение данной прямой
относительно осей координат можно
охарактеризовать, указав ее расстоя-
_ ние р от начала координат и угол а
ft ^^чГ *х между осью Ох и осью / (рис. 46).
, >ч Составим уравнение этой прямой.
Рис. 46. Пусть М (х, у) — произвольная
точка прямой. Построим координатные
отрезки точки М, рассмотрим направленную ломаную ORMP и возь-
возьмем ее проекцию на ось /. Так как проекция ломаной линии на ось
равна проекции ее замыкающего отрезка (гл. I, § 8), то
np ORMP— и р ОР. B2)
С другой стороны, проекция ломаной линии равна сумме проек-
проекций ее звеньев (гл. 1, § 8), т. е.
npORMP=npOR-j-npRM-\rnpMP. B2')
Сравнивая B2) и B2'), получим:
прО^-|-прЩ-{-11р/ЙР=пр О/3. B2")
Так как проекция направленного отрезка на ось равна его вели-
величине, умноженной на косинус угла между осью проекций и осью,
на которой расположен отрезок (гл. 1, § 8), то
пр OR = x cos (— а) = х cos а,
я
\
пр RM=y cos I -g a )=y sin а,
np ~6P=p.

§ 15] ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 65
Учитывая, кроме того, что
прЛ7Р=0,
и подставляя найденные значения в равенство B2"), получим:
х cosa-|-,y sina=p,
или
х cos a -\-у sin a — ;; = 0. B3)
Этому уравнению удовлетворяют координаты х, у любой точки
рассматриваемой прямой линии. Вели же точка не лежит на данной
примой, то ее координаты этому уравнению удовлетворять не будут,
так как в этом случае проекция соответствующей ломаной на ось /
не будет равна р. Следовательно, уравнение B3) является уравне-
уравнением данной прямой.
Уравнение вида B3) называется нормальным уравнением прямой.
Заметим, что нормальное уравнение прямой характеризуется
двумя особенностями:
1) свободный член его
2) сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах
равна единице
cos8 a -{- sin8 a = I.
Как бы ни располагалась прямая относительно координатных
осей, ее уравнение всегда можно записать в нормальном виде.
§15. Приведение общего уравнения первой степени к нор-
нормальному виду. Пусть дано общее уравнение первой степени:
Q. B4)
Покажем, что такое уравнение можно привести к нормальному виду.
С этой целью помножим обе части уравнения на постоянный мно-
множитель М, подобрав его так, чтобы получилось уравнение вида B3).
Уравнение B4) преобразуется к виду:
МАх-\-МВу-\-МС = О. B4')
Чтобы уравнение B4') было вида, одинакового с уравнением B3)
нужно положить:
МЛ = cos a, MB= sin а, ЖС= — р. B5)
Из равенств B5) легко найдем неизвестные /И, а и р выра-
выраженными через известные коэффициенты Л, В, С. В самом деле,
возводя первые два из равенств B5) в квадрат и складывая, получим;
МгАг -\- АР В* — cos2 a -\- sin2 u = 1,

66 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ [ГЛ. III
или
откуда
М=. ,1_. B6)
В формуле B6) нужно брать знак, противоположный знаку сво-
свободного члена С, как это видно из последнего равенства B5).
При С==0 знак можно выбрать произвольно.
Подставляя найденное значение М в равенства B5), получим
формулы для cos a, sin а и р:
cosa=: r_ , sin
Итак, уравнение B4) приводится к нормальному виду путем
умножения его на множитель /И, определяемый по формуле B6).
Этот множитель М носит название нормирующего множителя.
Пример. Уравнение прямой линии Зх — 4у — 5 = 0 привести к нор-
нормальному виду.
Нормирующий множитель равен: М — -\— =—-- Умножая
на него данное уравнение, получим:
3 4
Для данной прямой, следовательно, имеем: р=1, cosa^-—, sina =—=-.
§ 16. Расстояние от дайной точки до данной прямой. Усло-
Условимся называть отклонением данной точки от данной прямой число d,
равное длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую,
взятой со знаком плюс, если точка и начало координат лежат по
разные стороны от данной прямой, и со знаком минус, если они
лежат по одну сторону от прямой.
Для точек, лежащих на прямой, откло-
отклонение равно нулю.
Пусть даны прямая линия уравне-
уравнением в нормальном виде
х cos a -|-у sin a—p = Q B7)
-—¦"—i ; :n. „ и точка А(хг, уг). Найдем отклонение
/ ° ^ d точки А от данной прямой.
р ._ Рассмотрим ломаную линию ORARP
(рис. 47) и возьмем ее проекцию на
ось /. Так как проекция ломаной линии равна проекции замы-
замыкающего отрезка (гл. I, § 8), то
пр ORAKP= прбР=р. B8)

§ 16] РАССТОЯНИЕ ОТ ДАННОЙ ТОЧКИ ДО ДАННОЙ ПРЯМОЙ 67
С другой стороны, проекция ломаной линии равна сумме проекций
ее звеньев (гл. I, § 8), т. е.
пр ORAKP= пр OR-\-npRA-\- пр АК-\- пр КР.
Следовательно, равенство B8) перепишется в виде:
пр OR + пр R~A-{-up AK+iipKP^р. B8')
Так как проекция направленного отрезка равна его величине,
умноженной на косинус угла между осью проекций и осью, на
которой лежит отрезок (гл. I, § 8), го
пр OR = хг cos (— а) = хл cos а,
пр RA =_)», cos ( тт a)=yJ sin а.
Учитывая, кроме того, что
npA~K = — d, пр№=0, пр~ОР=р
и подставляя найденные значения в равенство B8'), будем иметь:
xt cos а-)-_)», sin а — d — p,
откуда
d = xx cos a.-\-yt sin a—p. B9)
Следовательно, чтобы получить отклонение точки A(xt, _y,) от
данной прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой
прямой подставить вместо текущих координат координаты оап-
ной точки х1 и уг.
Очевидно, расстояние точки от прямой есть абсолютная
величина отклонения и вычисляется по формуле
— Р\- B9'>
Пример. Найти расстояние от точки (—1, 1) до прямой Зх — 4у -4-
+ 10=0.
Приводим дан ног уравнение к нормальному виду, умножая его на нор-
нормирующий множитель М = = =-. Получим нормальное урав-
уравнение прямой:
Отклонение равно:
d = _l.(_ i,4-i.l-2 = --2 = -A
5 '~*~ 5' f> 5
Отрицательный знак для d указываег на то, что данная точка лежит от
прямой с гой же стороны, что и начало координат. Искомое расстояние

68 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ [ГЛ. I»
§ 17. Уравнение прямой в полярной системе координат. Поло-
Положение прямой линии на плоскости будет вполне определено, если
задать ее расстояние р от полюса О и угол а между полярной осью
и осью /, проходящей через полюс пер-
перпендикулярно к прямой (рис. 48). Поло-
Положительным направлением оси / будем счи-
считать направление от полюса к данной
прямой (если прямая проходит через по-
полюс, то положительное направление оси
/ может быть выбрано произвольно).
Q ^Ч^ Р Очевидно, все точки данной прямой
линии, и только они, обладают следую-
щим свойством: проекция иа ось / отрез-
Рис. 48. ка ОМ, проведенного из полюса О в точ-
точку М прямой линии, равна р. Обозначая
через гиф координаты произвольной точки прямой линии, указан-
указанное свойство мы можем записать в виде
г cos (ф — а)=р.
Это и есть уравнение прямой линии в полярных координатах.
Упражнения
1. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси Оу отрезок, величина
которого равна 5, и наклоненной к оси Ох под углом: а) 45°; б) 60"; в) 135°;
г) 180°.
2. Написать уравнение прямой, наклоненной к оси Ох под углом в 30°
и отсекающей иа оси Оу отрезок, величина которого равна —3.
3. Найти уравнение прямой, проходящей через начало координат и на-
наклоненной к оси Ох под углом: а) 45°; б) 135°; в) 180°.
4. Привести к виду уравнений с угловым коэффициентом уравнения
прямых:
а)х — у— 1=0; б) 4л —2i/4-3 = 0; в) Зх + 2у — 5 = 0;
г) 2х + 5</ = 0; дK</ —7 = 0.
5. Написать уравнение прямой, отсекающей на осях Ох и Оу отрезки,
величины которых соответственно равны 3 и — 4.
6. Написать уравнения прямых
а) Зх + 2(/ — 6 = 0; б) у = 6х — 3; в) у = х — 1; г) 2х — Зу-{-7 — 0
в форме уравнений в отрезках.
7. Найти угол наклона прямой х—у—5 = 0 к оси Ох.
8. Построить прямые, определяемые уравнениями
Зх — 5</-т-15 = 0, 5х-\-Зу = 0, 2х + 3 = 0, Зу —7 = 0.
9. Какое расположение относительно осей координат имеют прямые, вы-
выражаемые уравнениями
х\У—л х У—\ х lI-i х L — р

УПРАЖНЕНИЯ 69
10. Диагонали ромба, равные 8 и 6 единицам длины, приняты за оси
координат. Найтн уравнения сторон этого ромба.
11. Определить площадь треугольника, заключенного между осями коор-
координат и прямой 2х -\- Ьу — 20 = 0.
12. Найти площадь треугольника, ограниченного прямыми
у— 2 = 0, Зх— 2у + 4 = 0, х— 2у— 7 = 0.
13. Какая зависимость должна быть между коэффициентами а и ft,
чтобы прямая 1--^-=1 была наклонена к оси Ох под углом: а) 45°;
б) 60°; в) 135°?
14. Исследовать, как расположены относительно осей координат сле-
следующие прямые: а) х — 2</ = 0; б) х~ 1=0; в) y-\-l=-0; r) * — (/;= 0;
д) jc-|— <7 = 0; е) 5л; = 0; ж) 3// = 0; з) Зх-\-2у — 6 = 0. Построить эги
прямые.
15. Найти уравнение прямой, проходящей через точку B, 3) и наклонек-
ной к оси абсцисс под углом в 45°.
16. Найти уравнение прямой, проходящей через точку B, — 3) парал-
параллельно прямой, Соединяющей точки A, 2) и (— 1, —5).
17. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A, 2) и перпен-
перпендикулярной к прямой, соединяющей точки D, 3) и (—2, 1).
18. Даны вершины четырехугольника ABCD'- АB, 2), В E, 1), СC, 6/,
D @, 3). Найтн точку пересечения его диагоналей.
19. Вычислить угол между прямыми;
а) у = ~х+2, у = Ъх — 7; б)у = 3х — 4, у =
в) 0 = 3*-1, t, = —-Lx + 4\ г) 2*4-3«/-1=0; Ах + 6</ -f 2 = 0;
д) V3x-y- 1=0, V5x-3y + 6 = 0; e)
ж) 2л —(/ + 5 = 0, X-4-3.V— 2 = 0; з) 4.r -f 3//— 1=0, х+2у — 0:
и)
20. Найти угол между прямыми: Ъх — Чу -\- 7 = 0, 2х -f- 3i/ — 5 = 0.
21. Провести через точку C, 3) прямые, составляющие углы в 45° г пря-
прямой 5х — Ау — 1 = 0.
22. Найти внутренние углы треугольника, стороны которого выражены
уравнениями
х
— # — 3 = 0, х — 3tf— 4 = 0, 4*4-2;/4-3 = 0.
23. Найти длины сторон и внутренние углы треугольника с вершинами
Л B, 1), ВC, 1), СA, 2).
24. Даны две вершины треугольника А B, 2), В C, 0) и точка пересечения
его медиан D C, 1). Найти третью вершину С.
25. Найти уравнение прямой, которая проходит через нгча.чо координат
и а) параллельна прямой у = 2х -{- 3; б) перпендикулярна к прямой у = — х— 1;
в) образуег угол в 45е с прямой г/ = З^5

70 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ [ГЛ. Ill
26. Найти уравнение прямой, которая проходит через точку (—2, 3) и
а) параллельна оси Ох; б) параллельна биссектрисе I координатного угла;
в) параллельна прямой у = Ах — 7; г) образует угол в 60° с прямой у — 2х — 1;
д) перпендикулярна к прямой у = -^-х
27. Найти уравнения двух перпендикуляров к прямой у = 5л; -\- 1, вос-
восставленных в точках пересечения ее с осями координат.
28. Провести через точку пересечения прямых х — у — 3 = 0, 2х-\-
-рЗу—11=0 прямую, параллельную прямой 5х — 4у — 17 = 0.
29. Провести через точку пересечения прямых Зх — у — 3 = 0, 4х-\-
-\-Зу — 4 = 0 прямую, перпендикулярную к первой из них.
30. Провести прямую, соединяющую точку пересечения прямых
Пх—17у — 9—0, \2х-\-\Ъу— 5 = 0
с началом координат.
31. Через точку пересечения прямых х4-у — 6 = 0, 2х — у— 3 = 0 про-
провести прямую под углом в 45° к прямой 3* — 5 = 0.
32. Найти прямую, проходящую через точку B, —3) и образующую
с осью Ох угол, вдвое больший угла, образуемого с той же осью прямою
1
33. Через точку пересечения прямых х — 2у — 5 = 0 и 2х — Зу — 8 = 0
провести прямую, параллельную прямой Зл; — 2у + 2 = 0.
34. Через точку пересечения прямых 2х — 3(/ + 5 = 0 их — 4у-\-5 = 0
провести прямую под углом в 45° к прямой 2х — 3 = 0 (угол отсчитывается
от прямой 2х — 3 = 0).
35. Стороны треугольника выражаются уравнениями
х + Ъу — 2 = 0, 2х4-у-\-5 = 0, Зх — 4 = 0.
Найти уравнения иысот этого треугольника.
36. Вершины треугольника суть @, 5), A, —2), (—6, 5). Найти уравнения
перпендикуляров, восставленных в серединах его сторон, а также точку пересе-
пересечения этих перпендикуляров.
37. Вершины треугольника суть @, 1), A, 0), A, 1). Найти уравнения
медиан.
38. Вершины треугольника суть B, 1), @, 7), (—4, —1). Найти уравнения
медиан и точку их пересечения.
ЗЯ*. Найти уравнение прямой, проходящей через начало координат и через
точку пересечения медиан треугольника, стороны которого выражаются урав-
уравнениями </ = 4х-|-4, у = — лг -J- 4, 4(/ = х-(-1.
40. Найти уравнение прямой, проходящей через начало координат и через
точку пересечения медиан треугольника, стороны которого выражаются уравне-
уравнениями х — у— 4 = 0, 2х— Ну+ 37 = 0, 2х + 7у— 17 = 0.
41*. На прямой 4л;4-3(/— 12 = 0 найти точку, равноудаленную от точек
(-1, -2) и A, 4).
42. На прямой Зя-|-2г/ — 5 = 0 иайти точку, равноудаленную от точек
(-1, -1) и C, 3).
43. Найти точку, равноудаленную от точек B, 3), D, 2), (—1, 0).
44. Даны уравнения двух сторон параллелограмма:
И точка пересечения его диагоналей C, 3). Найти уравнения двух других
сторон.

УПРАЖНЕНИЯ 71
45. Даны две вершины равностороннего треугольника ABC: А B, 1) и
В B, 5). Найти третью вершину С.
3 2
46. Даиы уравнения прямых: а) 4* — Ту -(- 9 = 0; б) — *—=- у — 3 = 0;
в)~х-~ у-1 = 0; г)^х + у-5 = 0; д) ^ * _ I? у _|_ 5 = 0. Какие из
этих уравнений являются уравнениями в нормальном виде?
47. Найти уравнение прямой по следующим условиям: ее расстояние от
начала координат равно 7 единицам длины и угол между осью Ох и перпенди-
перпендикуляром к искомой прямой, проведенным из начала координат, равен 120°.
48. Написать уравнение прямой, если известно, что ее расстояние от начала
координат равно 5 и что перпендикуляр, опущенный на нее нз начала коорди-
координат, составляет с осью Ох угол в 60°.
49. Привести к нормальному виду уравнения следующих прямых:
а) 3*4- 4(/ + 15 = °; б) 6* — 8у — 9 = 0;
d) 2*4-2 VSy— 7 = 0; г) х + у + 5 = 0.
50*. Найти длины перпендикуляров, опущенных из начала координат на
прямые 15*—%—51=0 и 4* 4-3</+ 35 = 0. Найти также координаты осно-
оснований этих перпендикуляров.
51. Вершиной ipeyi-ольника служит точка E, —3), а основанием —
огрезок, соединяющий точки @, —1) н C, 3). Найти длину высоты тре-
треугольника.
52. На прямой х-\-Зу — 0 найти точку, равноудаленную от начала коор-
координат и от прямой * 4- 3^ — 2 = 0.
53*. Дана прямая Зх — 4у — 10 = 0. Найги уравнение прямой, параллель-
параллельной данной и отстоящей от нее на расстоянии 3 единиц.
54. Дана "прямая 5х-\-12у-\-2 = 0. Найти уравнение прямой, параллель-
параллельной данной и отстоящей от нее на расстоянии 3 единиц.
55*. Найги расстояние между параллельными прямыми
3*4-4i/—15 = 0 и 3* 4- 4{/ 40 = °-
56. Найти расстояние между параллельными прямыми
5*—12(/4-28 = 0 и &х
57. Даны уравнения оснований трапеции: 2* 4- У — 5 = 0, 4* 4- 2у — 7 = 0.
Найти ее высоту.
58*. Написать уравнение прямой, проходящей через точку Л E, 2) на рас-
расстоянии 4 единиц от точки (—3, 1).
59. Из точки A, —2) провести касательные к окружности радиуса
о
¦g-1^85, центр которой лежит в точке C, 6).
О
60*. Найти биссектрисы углов, образуемых прямыми 3*4-4?/ — 9 = 0 и
12х-\-9у—8 = 0. Проверить, что эти биссектрисы перпендикулярны друг
к Другу.
61. Найти биссектрисы углов, образуемых прямыми
jc 4-8у — 26 = 0 и Ах 4- 7</ 4- 29 = 0.
62. Найти уравнение биссектрисы внешнего угла А треугольника с верши-
вершинами А @, 0), В C, 0), С @, 7).
63. Найти точку, равноудаленную от точек М D, —3) и N B, —1; и
отстоящую от прямой 4* 4- 3# — 2 = 0 на расстоянии, равном 2.

72 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ [ГЛ. ИГ
64. Даны центр квадрата С(—1, 0) и уравнение стороны
х + 3i/ — 5 = 0.
Составить уравнения остальных трех сторон.
65. В прямоугольном равнобедренном треугольнике даны уравнение катета
у — 2х и середина гипотенузы К D, 2). Найти уравнения двух других его
сторон.
66. Найгн геометрическое место точек, разносчь квадратов расстояний
которых от двух данных точек равна постоянной величине.
67. Основание треугольника Неподвижно, а вершина движется по данной
прямой. Найти уравнение линии, описываемой центром тяжести этого тре-
треугольника.

ГЛАВА IV
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ
§ 1. Предварительные замечания. Общее уравнение второй
степени относительно переменных х и у может содержать члены
второй степени (хг, ху и уг), первой степени (х и у) и нулевой
степени (свободный член). В соответствии с этим общее уравнение
второй степени можно записать в виде:
Ахг + Вху + Су' + Dx + Еу -\- F=0.
Здесь по крайней мере один из коэффициентов Л, В, С должен
быть отличен от нуля.
Вопрос о том, какие линии будет определять это уравнение при
различных значениях его коэффициентов А, В, С, D, E, F, будет
решаться в главе V. В настоящей главе будут рассмотрены неко-
некоторые специальные виды уравнения второй степени.
§ 2. Окружность. Мы видели (гл. II, § 1), что окружность
с центром в точке С(а, Ь) и радиусом R имеет уравнение
(х — а)» + (у — bJ = R\ A)
Раскрывая скобки, придадим уравнению A) вид:
xi-Ary* — 2ax—2by-\r(a*Arb* — R1) = Q, (Г)
или
*8-j-/-f-D* + ?y+ /•'=(), A")
где положено
D = — 2a, E = — 2b, F'= а2 + Ьг — R*.
Уравнение A") является уравнением второй степени. Итак,
окружность имеет уравнение второй степени относительно те-
текущих координат. Но, очевидно, не всякое уравнение второй сте-
степени определяет окружность. Действительно, из уравнения A")
усматриваем, что в уравнении окружности коэффициенты при
квадратах координат равны, а член с произведением координат
(ху) отсутствует. Обратно, если эти два условия (равенство
коэффициентов при хг и у2 и отсутствие члена ху) осуществлены,

74 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ [ГЛ. VI
то уравнение, вообще говоря, определяет окружность, так как оно
приводится к виду A") путем деления на коэффициент при хгг).
Итак, по виду данного уравнения второй степени мы можем
решить, является ли оно уравнением окружности или нет. Например,
уравнение
хг-\-уг — 2х-\- 4^ — 4 = 0
определяет окружность, так как в нем коэффициенты при квадратах
координат равны между собой, а член с произведением координат
отсутствует. Желая построить эту окружность, мы должны предва-
предварительно определить координаты ее центра и радиус. С этой целью
данное уравнение мы приведем к виду A). Такое преобразование
есть не что иное, как представление уравнения A") в виде A).
Возьмем в данном уравнении члены, содержащие х, i. е. хг— 2л:,
и представим этот двучлен в виде:
л:2 — 2лг = (лг — IJ— 1,
т. е. выделим из членов, содержащих х, полный квадрат линейного
двучлена (л:— 1).
Далее возьмем члены, содержащие у, т. е. уг-\-^у, и, преобра-
преобразуя этот двучлен таким же образом, получим:
После этого данное уравнение запишется так:
(д;_1)*_1_1_(_у_|-2J — 4 — 4 = 0.
Перенося свободные члены вправо, будем иметь:
Сравнивая это уравнение с уравнением окружности A), усматриваем,
что а=1, 6 =—2, /? —3. Таким образом, центром окружности
является точка A, —2) и радиус окружности равен 3. По этим
данным мы можем построить окружность.
Пример. Найти координаты центра и радиус окружносги хг -\- у2 — 2х = 0.
Придавая уравнению вид
« = 0, или (х — 1
заключаем, что радиус окружности равен 1, центром же служит точка (I, 0).
') Так как а = --^-, Ь= — ~- и R*=a* + b'-F= P*+ ^ ~ 4F ,
то при D*-{-E* — AF > 0 уравнение A") определяег окружность радиуса
Ц = -^ , при D8 + ?2 ~~ 4F = 0 уравнение A") определяет окруж-
окружность нулевого радиуса (точку), при D* + Е2 — 4F < 0 уравнение A") не опре-
определяет никакого геометрического образа; в этом случае говорят, что оно опре-
определяет мнимую окружное!ь.

§ 3]
эллипс
75
§ 3. Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место
точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, назы-
называемых фокусами, есть величина постоянная (эта постоянная
должна быть больше расстояния между
фокусамиI)»
Чтобы составить уравнение эллипса,
примем за ось абсцисс прямую, соединя-
соединяющую две данные точки /*, и Ft, выб-
выбрав на ней положительное направление от
Fs к F,; начало координат возьмем в се-
середине отрезка, соединяющего две дан-
данные точки (рис. 49). Обозначим через 2с
расстояние FjFt между фокусами. Тогда
координаты точек Fl и F2 будут соответственно (с, 0) и (—с, 0).
Обозначая через х и у координаты произвольной точки /И эллипса,
выразим длины отрезков FtM и FtM по формуле расстояния между
двумя точками (гл. I, § 5):
По определению эллипса сумма F^M-\- FtM есть величина постоян-
постоянная. Обозначая ее через 2а, имеем:
или
Это есть уравнение эллипса в выбранной системе координат.
Чтобы найденное уравнение эллипса приняло простейший вил,
нужно в этом уравнении освободиться от радикалов. Перенося один
радикал направо, получим:
У = 2а — 1Л* + с
Вааводя в квадрат обе части, найдем:
х»_ 2с*+ <:•-{-/ =
или
т. е.
• 4сл: = 4а2 — 4а
сх-\-аг = а У{
') Ясно, что эта постоянная не может быть меньше расстояния между
фокусами; если же она будет равна расстоянию между фокусами, то рассматри-
рассматриваемым геометрическим местом точек будет отрезок прямой, ограниченный дан-
данными точками.

76 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
Возводя снова в квадрат, получим:
с V + 2а2сх + а4 = аг {хг -\- 2сх + с* +/),
пли
с V -\- д4 = а V + <?<? + а2у\
т. е.
(а» _ сг) хг + дг/ = а2 (а2 — с2).
Разделив обе части на дг(а2— с2), получим:
v-2 .,2
Так как но условию с<^а, то а2— с2 есть положительная вели-
величина; ее принято обозначать через Ьг. Тогда уравнение эллипса
будет:
где положено
Ьг = аг — с\ D)
Уравнение C) называется каноническим уравнением эллипса ').
Займемся исследованием формы эллипса. Это легко сделать,
отправляясь от составленного уравнения C).
1) Симметрия эллипса. Так как уравнение C) содержит
только квадраты текущих координат, то если точка (л:, у) нахо-
находится на эллипсе, то и точки (+#, гЬ.У) находятся на эллипсе
нри произвольном выборе знаков у координат; следовательно, оси
координат являются осями симметрии эллипса. Ось симметрии эллип-
эллипса, на которой располагаются фокусы, называется фокальной осью.
Точка пересечения осей симметрии — центр симметрии—назы-
симметрии—называется центром эллипса. Для эллипса, заданного уравнением C),
фокальная ось совпадает с осью Ох, а центром является начало
координат.
2) Точки пересечения с осями симметрии. Точки
пересечения эллипса с осями симметрии называются его вершинами.
Эллипс, заданный уравнением C), имеет вершины в точках пере-
пересечения его с осями координат, так как последние являются осями
симметрии. Полагая в уравнении C) у —0, найдем абсциссы точек
пересечения эллипса с осью Ох:
х2
— =1, откуда хг = аг и х = -\-а.
Полагай х = 0, найдем ординаты точек пересечения эллипса
') Очевидно, уравнению C) удовлетворяют координаты любой точки,
лежащей на эллипсе. Можно показать, что уравнение C) ие дает «лишних»
точек, не принадлежащих эллипсу, несмотря на то что для получения урав-
уравнения C) нам пришлось два раза пользоваться воэведс.нием в квадрат обеих
частей равенства.

§ 4] ГИПЕРВОЛА И ЕЕ АСИМПТОТЫ 77
с осью Оу:
л
Yi = 1, откуда уг = Ьг и у = -+- Ь.
Следовательно, вершинами эллипса будут точки:
Л, (а, 0), Аг{-а, 0), Д, @, 6), Я,@, — ft)
(рис. 50).
Отрезки АгА2 и B^Bt, соединяющие противоположные вершины
эллипса, а также их длины 2а и 2Ь, называют соответственно
большой и малой осями эллипса. Длины а и b называют соответ-
соответственно большой и малой полуосями, эллипса.
3) Форма эллипса. Чтобы исследовать форму эллипса, до-
достаточно считать в уравнении C)х^0 и у^О, потому что, как
было выше замечено, эллипс симметрично расположен относительно
хг
осей координат. Из уравнения C) следует, что -^===^1, или х^а,
т. е. х может изменяться от 0 до а.
С увеличением х от 0 до а ордината у
уменьшается от Ь до 0. Таким обра-
образом, эллипс имеет форму, указанную
на рис. 50.
Механическое построение
эллипса. Зная фокусы Fl и Ft и
длину 2а большой оси, легко механи-
механически построить эллипс. Нужно взять
нить длиной 2а, укрепить два ее конца
в точках Z7, и F2 и, придав ей форму FXMF2, описать точкой М
эллипс (в точке /И поместить острие карандаша).
При а = Ь (с = 0) уравнение C) принимает вид хг-\-уг = аг
и определяет окружность. Поэтому окружность можно рассматри-
рассматривать как эллипс с равными полуосями.
§ 4. Гипербола и ее асимптоты. Гиперболой называется гео-
геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух
данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная
(эта постоянная должна быть положительной и меньше расстояния
между фокусами)').
Обозначим эту постоянную через 2а, расстояние между фоку-
фокусами через 2с и выберем оси координат так же, как и в § 3.
Пусть М(х, у) — произвольная точка гиперболы.
') Ясно, что эта постоянная не может быть больше расстояния между
фокусами F, и F2; если она равна расстоянию между фокусами, то рас-
рассматриваемое геометрическое место состоит из совокупности тех точек
прямой, проходящей через фокусы, которые лежат вне отрезка F,F2.
Геометрическим местом точек, разность расстояний которых до двух
данных точек равна нулю, является перпендикуляр, проведенный к отрезку
FtFz в его середине.

73 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
По определению гиперболы
В правой части равенства нужно выбрать знак плюс, если
¦ Fj/И, и знак минус, если
Так как FtM = V(х + с)'-{-у' и F.M^Vix—cf-\-у\ то
последнее равенство можно записать в виде:
К /=± 2а.
Это и есть уравнение гиперболы в выбранной системе координат.
Освобождаясь в этом уравнении от радикалов (как и в § 3),
можно привести уравнение к простейшему виду.
Перенося первый радикал в правую часть равенства и возводя
обе части в квадрат, после очевидных преобразований получим:
4- а У(х-\-с)г-\-у" = a2 -f- ex.
Возведя еще раз обе части равенства в квадрат, сделав при-
приведение подобных членов и разделив на свободный член, получим:
Так как с^>д, то величина с8 — аг положительна. Обозначая ее
через Ь*, т. е. полагая
Ь* = сг — а\ D')
получим каноническое уравнение гиперболы:
Исследуем форму гиперболы.
1) Симметрия гиперболы. Так как уравнение C') со-
содержит только квадраты текущих координат, то оси координат
являются осями симметрии гиперболы (см. аналогичное утвержде-
утверждение для эллипса). Ось симметрии гиперболы, на которой распола-
располагаются фокусы, называется фокальной осью. Точка пересечения
осей симметрии — центр симметрии—называется центром гипер-
гиперболы. Для гиперболы, заданной уравнением C'), фокальная ось
совпадает с осью Ох, а центром является начало координат.
2) Точки пересечения с осями симметрии. Найдем
точки пересечения гиперболы с осями симметрии—вершины ги-
гиперболы. Полагая в ураннении C')_у = 0, найдем абсциссы точек
пересечения гиперболы с осью Ох:
-^-=1, откуда хг=аг и х =-{-а.
') Очевидно, уравнению C') удовлетворяют координаты любой точки,
принадлежащей гиперболе. Можно показать, что ему не будут удовленю-
рять координаты точек, не лежащих на гиперболе.

§ 4]
ГИПЕРБОЛА И ЕЕ АСИМПТОТЫ
79
Следовательно, точки Аг(а, 0) и Аг(—а, 0) являются верши-
вершинами гиперболы (рис. 51); расстояние между ними равно 2а. Чтобы
иайти точки пересечения с осью Оу, положим в уравнении C')
д; = 0. Получим для определения
ординат этих точек уравнение
_y--l
или у = — /
откуда
т. е. для у мы получили мнимые
значения; это означает, что ось
Оу не пересекает гиперболы. В
соответствии с этим ось симмет-
симметрии, пересекающая гиперболу, на-
зывается действительной осью сим-
симметрии (фокальной осью); ось симметрии
секает гиперболы, называется мнимой осью р Д
перболы, заданной уравнением C'), действительной осью симметрии
является ось Ох, мнимой осью симметрии — ось Оу. Отрезок АгАг,
соединяющий вершины гиперболы, а также его длина 2а назы-
называются действительной осью гиперболы. Если на мнимой оси сим-
симметрии гиперболы отложить в обе стороны от ее центра О от-
отО
рис
которая не пере-
пересимметрии. Для ги-
гир р
резки ОВ1 и ОВг длиною Ь, то отрезок ВхВг, а также его длина
2Ъ называются мнимой осью гиперболы. Величины а и Ъ называются
соответственно действительной и мнимой, полуосями гиперболы.
3) Форма гиперболы. При исследовании формы гиперболы
достаточно рассматривать положительные значения х и у, потому
что кривая симметрично расположена относительно осей координат.
Так как из уравнения C') следует, что %- ^ 1, то х может изме-
изменяться от а до -J-oo. Когда х увеличивается от а до -|-оо, то _у
тоже увеличивается от 0 до -|~°°- Кривая имеет форму, изобра-
изображенную на рис. 51. Она располагается вне полосы, ограниченной
прямыми х = + а, и состоит из двух отдельных ветвей. Для любой
точки М одной из этих ветвей FtM~^> FtM и FtM— FiM — 2a
(правая ветвь), для любой точки М другой ветви FtM~^>FtM и
FtM—F2M = 2a (левая ветвь).
4) Асимптоты гиперболы. Чтобы более ясно представить
себе вид гиперболы, рассмотрим две прямые линии, тесно с нею
связанные — так называемые асимптоты.
Предполагая хну положительными, разрешим уравнение C')
гиперболы относительно ординаты у:

80 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
откуда J^ |/ г —г .о»»
Сопоставим уравнение C") с уравнением прямой линии у = — х,
называя соответствующими две точки N(x, У) и М(х, у),
расположенные соответственно на этой прямой и на гиперболе и
имеющие одну и ту же абсциссу х (рис. 51). Очевидно, У~^>у и
разность Y — у ординат соответствующих точек выражает расстоя-
расстояние между ними, т. е. ЖА/= У—у.
Покажем, что при неограниченном возрастании х расстояние MN,
убывая, стремится к нулю. В самом деле,
ь ь
=-j х—"- У xz — a*
откуда
После упрощения получим:
.... ab
MN= —
Из последней формулы мы усматриваем, что при неограничен-
неограниченном возрастании абсциссы х расстояние MN убывает и стремится
к нулю. Отсюда следует, что когда точка М, двигаясь по гипер-
гиперболе в первом квадранте, удаляется в бесконечность, то ее рас-
расстояние до прямой у = —х уменьшается и стремится к нулю. То
же обстоятельство будет иметь место при движении точки М по
гиперболе в третьем квадранте (вследствие симметрии относи-
относительно начала координат О).
Наконец, вследствие симметрии гиперболы относительно оси Оу мы
получим вторую прямую у = х, симметрично расположенную
с прямой у = — х, к которой также будет неограниченно прибли-
приближаться точка М при движении по гиперболе и удалении в беско-
бесконечность (во втором и четвертом квадрантах).
Эти две прямые линии носят название асимптот гиперболы;
они, как мы видели, имеют уравнения:
Ь Ь ...
У = -х и у= — —х. E)
Очевидно, асимптоты гиперболы располагаются по диагона-
диагоналям прямоугольника, одна сторона которого параллельна оси Ох
и равна 2а, другая — параллельна оси Оу и равна 1Ь, а центр
лежит в начале координат (см. рис. 51).
При вычерчивании гиперболы по ее уравнению рекомендуется
предварительно построить ее асимптоты.

§ 5]
ПАРАБОЛА
81
Равносторонняя гипербола. В случае Ь = а гипербол!
называется равносторонней; ее уравнение получается из C') и имеет вид:
Рис. 52.
у
Очевидно, угловые коэффициенты асимптот (fe = dr —) Для равно-
равносторонней гиперболы будут -+- 1. Следовательно, асимптоты равно-
равносторонней гиперболы перпендикулярны между
собой и делят пополам углы между ее осями
симметрии.
§ 5. Парабола. Парабола есть геометричес-
геометрическое место точек, равноотстоящих от данной
точка, называемой фокусом, а данной прямой,
называемой директрисой (предполагается, что
данная точка не лежит на прямой).
Чтобы составить уравнение параболы, примем
за ось Ох прямую, проходящую через фокус
F перпендикулярно к директрисе, и будем счи-
считать ее направленной от директрисы к фокусу; за начало коор-
координат возьмем середину О отрезка от точки F до данной прямой,
длину которого обозначим через р (рис. 52). Величину р называют
параметром параболы. Координаты фокуса F будут (у,0). Обо-
Обозначим через х и у координаты произвольной точки М параболы.
Тогда координаты точки К—основания перпендикуляра, опущенного
из М па директрису, будут (—"f"'-0" ^ак как п0 опРеДеленик>
/vVf — MK, то, применяя формулу расстояния между двумя точками
(гл. I, § 5), получим уравнение параболы в выбранной системе ко-
координат: Г-, Г Г-. Г^
Чтобы придать ему простейший вид, возведем обе части в квадрат.
Будем иметь:
или
откуда
У = 2рх. (Q)
Полученное уравнение называется каноническим уравнением
параболы ').
') Ясно, что уравнению F) удовлетворяют координаты любой точки,
лежащей на параболе. Легко показать, что оно удовлетворяется только коор-
координатами точек, лежащих на параболе.

S2
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕИИЙ
[ГЛ. IV
Чтобы исследовать форму параболы по ее уравнению F), за-
заметим, что х не может принимать отрицательных значений, т. е.
все точки параболы лежат справа от оси Оу. Каждому значению х
соответствуют два значения у, равные по абсолютной величине, но
противоположные по знаку, т. е. кривая симметрично расположена
относительно оси Ох. С увеличением х абсолютная величина орди-
ординаты у увеличивается, причем когда х неограниченно растет, то
\у\ тоже неограниченно растет. Кривая имеет вид, данный на (рис. 52).
Парабола имеет одну ось симметрии; ось симметрии параболы
называют ее осью. Точка пересечения параболы с осью симметрии
называется ее вершиной. Для параболы, заданной уравнением F),
вершиной является начало координат.
Заметим, что все три рассмотренные линии — эллипс, гипербола,
у парабола — в декартовой системе коор-
дииат могут быть представлены уравне-
уравнениями второй степени.
§ 6. Построение точек эллипса,
гиперболы и параболы посредством
циркуля и линейки. Из уравнения эл-
эллипса (§ 3) определяем а н Ь, изображая
их отрезками ОА1п ОВг на осях коорди-
координат (рис. 53). Из точки В,, как из
Рис.53. центра, радиусом, равным а, описываем
окружность, которая в пересечении с
осью Ох даст фокусы эллипса Fy и F2, так как при таком построении
соблюдается зависимость с2 = а2 — Ьг. Найдя фокусы эллипса, делим от-
отрезок 2а на две части: г, иг2 = 2а —г,,
и радиусами, равными г, и г2, описываем
две окружности, принимая за их цент-
центры соответственно фокусы F, и Ft.
Точки пересечения этих окружностей
лежат на эллипсе, так как сумма рас-
расстояний каждой из этих точек до фо-
W,
кусов будет равна 2а. Меняя г,, бу-
будем получать новые точки эллипса.
Аналогично проводится построение
точек гиперболы. Определяя из уравие- Рис. 54.
ния гиперболы (§ 4) а и Ь, изображаем их
отрезками ОЛ, и OBt на осях координат (рис. 54). Из точки О, как из
центра, радиусом, равным с = А1В1, описываем окружность, кото-
которая в пересечении с осью Ох даст фокусы гиперболы Ft и F2
(так как при этом построении соблюдается равенство с* — а"-\-Ь2).
Найдя фокусы гиперболы, описываем из них, как из центров,
две окружности радиусов г, и гг = 2а-{-г,. Точки Ж, и Мг пере-

§ 7] ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА КАК КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 83
сечения окружностей лежат на правой ветви гиперболы, так как раз-
разность расстояний каждой из этих точек до фокусов будет равна
г2 — г, = 2а. Меняя г,, будем получать новые
точки правой ветви гиперболы. Изменяя роль
фокусов, получим точки левой ветви гиперболы.
Перейдем, наконец, к построению точек пара-
параболы. Прежде всего строим фокус и директрису
параболы, откладывая на оси Ох вправо от О от-
отрезок OF, равный ~, такой же отрезок ОК—
влево от О и проводя через точку К прямую,
перпендикулярную к оси параболы (рис. 55). Пара-
Параметр р определяется из уравнения параболы. Про-
Проводим прямую линию, перпендикулярную к оси па-
параболы, на произвольном расстоянии d ( d^-^-j
от директрисы и из фокуса F, как из центра, описываем окруж-
окружность радиуса d. Точки пересечения
Мг и Мг проведенной прямой линии с
окружностью принадлежат параболе,
так как для каждой из этих точек
расстояния до фокуса и директрисы
равны между собой.
§ 7. Эллипс, гипербола и пара-
парабола как конические сечения. Эллипс,
гипербола и парабола могут быть полу-
получены сечением прямого кругового ко-
конуса плоскостями1). Поэтому кривые
эти называют коническими сечениями.
Рассмотрим сечения прямого кру-
кругового конуса плоскостями, не прохо-
проходящими через его вершину (рис. 56).
Можно доказать, что если плоскость
пересекает лишь одну полость конуса,
не будучи параллельна ни одной из
образующих его, то кривая сечения
будет эллипсом; если же секущая
плоскость будет параллельна одной из
образующих конуса, то кривая сечения будет параболой. В том случае,
Рис. 56.
') Под прямым круговым конусом мы понимаем здесь коническую по-
поверхность, которая получится, если каждую образующую обыкновенного
прямого кругового конуса, рассматриваемого в элементарной геометрии,
продолжить неограниченно в обе стороны. Поверхность эта может быть по-
получена вращением прямой вокруг некоторой оси, пересекающей эту прямую.

84 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ [гЛ. IV
когда плоскость пересекает обе полости конуса, кривая сечения
будет гиперболой.
Итак, в зависимости от положения секущей плоскости сечением
прямого кругового конуса будет эллипс, гипербола или парабола.
§ 8. Эксцентриситет и директрисы эллипса. Как известно из
§ 3, эллипсом называется геометрическое место точек, сумма рас-
расстояний которых до двух данных точек, называемых его фокусами,
есть величина постоянная. Обозначая через r1 = FlM и rt = FtM
расстояния любой точки /И эллипса соответственно до его правого
и левого фокусов Ft и F2 (рис. 50), мы имеем согласно выше-
вышеупомянутому определению эллипса:
/-,+/•, = 2а. G)
С другой стороны, применяя формулы расстояния между двумя
точками, мы получим (гл. IV, § 3):
гг = F,M =
где х, у обозначают координаты точки /И эллипса, а с — половину
фокусного расстояния FlF1. Возводя два последних равенства в
квадрат и вычитая, находим:
r\ — r1I = (* + c)i+/— (х — сJ— /.
Раскрывая скобки и делая приведение подобных членов, получаем:
г\—г, = 4сх. (8)
Из уравнений G) и (8), считая в них искомыми величинами
г1 и г,, мы определяем последние. С этой целью, переписав
уравнение (8) в виде
воспользуемся уравнением G), что нам даст:
2 ' а
Решая полученное уравнение совместно с уравнением G), найдем
Величина — , входящая в последние формулы, называется экс-
эксцентриситетом эллипса; мы будем обозначать ее через е. Очевидно,
к —— есть отношение фокусного расстояния 2с к длине большой

§ 8]
ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА
85
оси 2а, причем 0^е<[1, так как 0^с<^а (для окружности
с = 0 и 8 = 0). Таким образом, мы имеем следующие формулы для
фокальных радиусов г, и /у.
rt = a — ex, r2 = a-\-?x. (9)
Рассмотрим прямую л: = /(/^>д), параллельную оси Оу, и найдем,
во-первых, расстояние г, произвольной точки М(х, у) эллипса от
его правого фокуса и, во-вторых, — расстояние rf, этой точки М
от прямой х = 1 (рис. 57). Вычис-
Вычислим отношение этих расстояний.
Так как dJ = l — х, то
,
rfl
1-х
1-х '
Если / = —.
Ё
то написанное от-
отношение r-j будет сохранять по-
1 Рис. 57.
стоянное значение, равное е.
В силу симметрии то же заключение можно сделать относительно
левого фокуса F2 и прямой с уравнением
х = — —
8 "
Эти две прямые, перпендикулярные к фокальной оси эллипса и
(X
отстоящие на расстояние— от его центра, называются директри-
директрисами эллипса *). Как мы выяснили, они обладают следующим свой-
свойством: отношение расстояний любой точки эллипса до фокуса и
соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная е.
Пример. Найти эксцентриситет и директрисы эллипса х2 -\- It? = 2.
Написав уравнение эллипса в виде:
2 ~1~ 1
заключаем, что <з2 = 2, 62=1. Следовательно, сг = аг — 6г = 2—1 = 1,
откуда
1 1/Т
e = -=77=F
¦ут
2
Директрисы проходят на расстоянии — от центра эллипса (начала коор-
2
динат), т. е. на расстоянии, равном — = 2. Уравнения директрис
') Окружность не имеет директрис.

86 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
§ 9. Эксцентриситет и директрисы гиперболы. Сохраняя обо-
обозначения предыдущего параграфа, в силу определения гиперболы
(гл. IV, § 4) имеем:
гг — г1=±2а, A0)
где знак плюс относится к правой ветви гиперболы, а знак минус
к левой. С другой стороны, как и в предыдущем параграфе, найдем:
г\ — г\ — *сх. (8)
Из уравнений A0) и (8) находим искомые величины г, и гг. Для
этого, переписав уравнение (8) в виде
воспользуемся уравнением A0), что нам даст:
Наконец, решая последнее уравнение совместно с уравнением A0),
получим выражения для г, и г2:
/\ = —а-] х; га=а-| х (правая ветвь);
с с . .
г,==а х; гг==—а х (левая ветвь).
Величина —, входящая в "последние формулы, называется эксцен-
эксцентриситетом гиперболы; условимся обозначать ее через е. Очевидно,
е =— есть отношение фокусного расстояния 1с к длине действи-
действительной оси 2а, причем теперь е^>1, так как с~^>а. Итак, мы
имеем следующие формулы для фокальных радиусов г, и гг
гиперболы:
г, = — а-\-гх, гг = а-\-гх (правая ветвь); )
rt=a — ex, r2 = — а — ех (левая ветвь). /
а
Назовем прямые х==-] , перпендикулярные к фокальной оси
гиперболы и расположенные на расстоянии — от ее центра, дирек-
директрисами гиперболы, соответствующими правому и левому фокусам.
Так как для гиперболы е^> \,то-^-<Са и, следовательно, дирек-
директрисы располагаются между вершинами.

§ 10]
ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ПАРАБОЛЫ
87
Легко показать, что отношение расстояний любой точки ги-
гиперболы до фокуса и соответствующей директрисы есть величина
постоянная, равная е. Вследствие симметрии это свойство доста-
достаточно обнаружить относительно правого фокуса и соответствующей
ему директрисы.
Обозначая через d, расстояние точки М (х, у) гиперболы
до правой директрисы, из рис. 58 усматриваем, что dt = x
в случае, если М находится на правой ветви гиперболы, и rf,=
= — —х, если М лежит на левой ветви. Составим теперь отиоше-
6
ние ¦—, пользуясь формулами (И):
Гл —
d,
X —
а — t
а
—— —
е
а
—
е
X
(правая ветвь);
В обоих случаях отношение — бу-
будет одинаково и равно:
а — гх
N.
\
/
и
d.
d,
У,
Л
\
М
что и требовалось показать.
Рис. 58.
§ 10. Эксцентриситет и директриса параболы. В § 5 настоящей
главы мы определили параболу как геометрическое место точек,
равноотстоящих от данной точки — фокуса и данной прямой —
директрисы. Таким образом, обозначая через г расстояние любой
точки М параболы до фокуса, а через d ее расстояние до дирек-
директрисы, мы имеем r — d, или -j==:1 (рис> ^2)- Поэтому эксцентри-
эксцентриситет параболы принимают равным единице. Уравнение дирек-
директрисы параболы будет:
х~ — ?-
если оси координат выбраны так, как это было сделано в § 5.
Объединяя результаты трех параграфов, мы получаем следующее
общее определение конического сечения (эллипса, гиперболы и пара-
параболы): коническое сечение есть геометрическое место точек,

88
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОИИЧЕСКИК СЕЧЕНИЙ
[ГЛ. IV
отношение расстояний которых до данной точки (фокуса) и до
данной прямой (директрисы) есть величина постоянная (е). При
этом (рис. 59)
FM ^ ,
• = s <^ I,
w „¦¦•
для эллипса
для параболы
, FM, ^ <,.
для гиперболы ¦ 3 = е 3> I ).
§ 11. Уравнение конического сечения в полярных координатах. Задача на-
настоящего параграфа — вывести уравнение конического сечения в полярных ко-
координатах, принимая за полюс один из фокусов и за полярную ось — фокальную
ось этого конического сечения.
N
Рис. 59.
Рис. 60.
Пусть ABC (рис. 60) —дуга конического сечения (эллипса, гиперболы или
параболы), В — вершина, F — фокус и DE — соответствующая директриса.
Примем точку F за полюс, а прямую BFP — за полярную ось, выбрав на
ней направление от фокуса F в сторону, противоположную директрисе; обозна-
обозначим эксцентриситет кривой через е. Пусть Мо — точка дуги ВС конического
сечения, лежащая на перпендикуляре к полярной оси, проходящем через полюс F.
Обозначим длину FM0 через р и будем называть ее фокальным параметром
конического сечения.
Пусть М (г, ф) — произвольная точка кривой. Составим уравнение, выра-
выражающее зависимость между ее полярными координатами г, фи данными числа-
числами е, р. По общему свойству всех точек конического сечения имеем:
FM
A2)
') В §§ 7 и 8 было показано, что эллипс и гипербола обладают указан-
указанным свойством. Можно доказать и обратное: геометрическое место точек,
отношение расстояний которых до данной точки и до данной прямой есть
величина постоянная, представляет собой эллипс, если эта постоянная < 1,
и гиперболу, если она > 1. Отсюда следует, что это свойство можно принять
за определение конического сечения.

§ 11] УРАВНЕНИЕ КОНИЧЕСКОГО СЕЧЕПИЯ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 89
При любом расположении точки М на коническом сечении
FM=r и NM =:/V0M0-)-rcos(p.
_ FMa _,, .... v
Так как "¦¦ = е, a FM0 = p, то Л^о/И0 = -^. Следовательно,
A3)
с.
Тогда равенство A2) можно переписать в виде
— -(-/* cos
- = 8,
откуда
г = -. 2- •- A4)
1 — е cosqp
Уравнение A4) будет определять эллипс, если е< 1, параболу— при е = 1,
гиперболу, когда е > 1.
В уравнении A4) величина р для параболы имеет, очевидно, прежнее зна-
значение, т. е. то же, что и в уравнении </г = 2р*. В самом деле, для параболы
р = FMa = M0N<,, т. е. р есть расстояние фокуса до директрисы (параметр
параболы).
Для эллипса и гиперболы можно поставить вопрос: как выразить фокаль-
фокальный параметр р через полуоси а и 6?
В случае эллипса -,--}- р = 1 мы подставим в его уравнение координаты
одной из точек эллипса, а именно Мо{ — с, р); после этого получим:
или
рг аг-сгЬг
откуда
" =? И "^Т
В случае гиперболы —^ — р^^1^^ координаты ее точки Л10(<г, р) подставим
в уравнение, после чего получим:
с2 рг _ р2__с2 — аг_Ь*
7ё~"^~ ' ИЛ" Ьг~ а2 ~~а2'

90 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
откуда снова имеем:
Итак, уравнения эллипса, гипербола, а параболы, в полярных координатах
(при указанном выборе полюса а поляоной оси) имеют одинаковый вид:
A4)
1 — е cos ф'
причем для эллипса и гиперболы фокальный параметр р связан с параметрами
a a b формулой
В случае гиперболы уравнение A4) выведено для одной ее ветви, ио легко
убедиться в том, что ему также удовлетворяют координаты любой точки, рас-
расположенной на другой ветви гиперболы.
§ 12. Диаметры эллипса. Сопряженные ди-
диаметры. Рассмотрим эллипс, отнесенный к его
осям симметрии'):
"Г "Г" Тг == 1» 0^)
и систему параллельных между собой хорд с угловым
Рис. 61. коэффициентом fe, (рис. 61).Посмотрим, как распола-
располагаются середины этих хорд.Иными словами,выясним,
каким условием связаны координаты середин параллельных между собой хорд
эллипса. Возьмем любую из хорд и обозначим ее концы через Мг (*„ </,),
М2 (хе, yt), а середину — через М (X, Y). Так как точки М, и М2 лежат на
эллипсе, то их координаты должны удовлетворять его уравнению A6), т. е.
4"T-iJ~=1' A7>
Л-4-—— 1 A8)
аг -т- Ьг — 1. 1'°'
Выражая угловой коэффициент fe, прямой линии M,Mj через координаты двух
ее точек (гл. III, § 12), будем иметь:
k* = ~T' A9)
Наконец, заметив, что точка М является серединой отрезка MtMit получим:
B0)
' = Ц^2. B1)
у _ X, + Х2
') Оси симметрии эллипса приняты за координатные оси.

§ 12J ДИАМЕТРЫ ЭЛЛИПСА. СОПРЯЖЕННЫЕ ДИАМЕТРЫ 91
Исключим из пяти соотношений A7)—B1) четыре вспомогательные вели-
величины хх, х2, ylt f/2. С этой целью, вычитая равенство A7) из равенства A8),
найдем:
=0,
аг ~ Ьг
или
(х, — у.) (х, -f *2) . (у, — у,) (у, 4- 49) __0
Внося в последнее равенство согласно B0) вместо суммы я, + *г ее значение
2Х, а вследствие B1) вместо суммы г/, 4- Уг ее значение 2У и согласно A9)
вместо разности у, — у, ее выражение ft, (x2 — х,), мы придадим ему вид:
б2 ~
сокращая на 2(х2 — -*,I), мы получим окончательно;
X , k,Y л
откуда (при ft, y? 0)
К = ~Х.
а%
Таким образом, координаты середин параллельных между собой хорд эллипса
связаны линейной зависимостью. И, значит, середины параллельных хорд рас-
располагаются на прямой
В наших рассуждениях мы предполагали, что рассматриваемые хорды имеют
угловой коэффициент ft, и, следовательно, не параллельны оси Оу. Середины
хорд, параллельных оси Оу, тоже лежат на прямой — на оси Ох (в силу сим-
симметрии эллипса относительно оси Ох).
Итак, середины параллельных хорд эллипса лежат на прямой.
Прямая, проходящая через середины параллельных хорд эллипса, называется
его диаметром. Все диаметры эллипса проходят через центр. Обозначая угло-
угловой коэффициент диаметра эллипса через kv имеем:
*¦=-;&• B3)
или
*А = —¦?-. <23'>
Условимся называть диаметр эллипса сопряженным хордам, через середины
которых он проходит. Условие B3) или B3') связывает между собой угловые
коэффициенты параллельных хорд и сопряженного им диаметра. Так как это
') хг — х, Ф 0, так как по условию рассматриваемые хорды имеют угловой
коэффициент ft, и, следовательно, не параллельны оси Оу.

92 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
условие B3 ) симметрично относительно kx и кг, т. с. не меняется после пере-
перестановки /г, и к2, то отсюда заключаем: если диаметр с угловым коэффициентом
кг сопряжен хордам с угловым коэффициентом ?,, то и диамегр с угловым
коэффициентом кх сопряжен хордам с угловым коэффициентом k2.
Таким образом, мы получаем пару диаметров, из которых каждый делит
пополам хорды, параллельные другому диаметру (рис. 61). Такие два диаметра
эллипса называются сопряженными между собой. Их угловые коэффициенты
kl и k? связаны условием B3) или B3').
Итак, у эллипса имеется бесчисленное множество пар сопряженных между
собой диаметров: каждому диаметру соответствует свой сопряженный диаметр.
В частности, оси координат (оси симметрии эллипса) представляют собой пару
сопряженных диаметров. Эти два сопряженных между собой диаметра эллипса
являются взаимно перпендикулярными. Такие диаметры называют главными
диаметрами эллипса.
Из условия B3') следует, что угол между любой другой парой сопряжен-
сопряженных между собой диаметров эллипса (Ь Ф а) отличен от прямого. Если же Ь — а,
т. е. эллипс обращается в окружность, то условие B3') обращается в условие
перпендикулярности: k1-k2 =—1. Таким образом, любые два сопряженных
диаметра окружности перпендикулярны между собой, т. е. всякий диаметр
окружности есть главный диаметр (ось симметрии).
Из условия B3) видно, что угловые коэффициенты fe, и k2 двух сопряжен-
сопряженных диаметров эллипса имеют разные знаки, т. е. диаметры проходят в смежных
четвертях.
При увеличении k, (к, > 0) угловой коэффициент ks по абсолютной величине
уменьшается, т. е. алгебраически также увеличивается. Эго показывает, что при
вращении диаметра эллипса против часовой стрелки сопряженный с ним диаметр
вращается в ту же сторону.
Пример. Определить длину диаметра эллипса х2 -\- 2уе — 1, сопряженного
диаметру, делящему пополам первый координатный угол (длиной диаметра
считают расстояние между точками пересечения его с кривой).
Угловой коэффициент данного диаметра есть 1. Из условия B3) находим
угловой коэффициент к2 диаметра, ему сопряженного:
Здесь &, = 1, аг=1, Ь2 = -^. Следовательно, &2 = —^-. Уравнение этого
диаметра будет:
Чтобы найти его длину, нужно определить точки его пересечения с эллипсом,
для чего решим совместно уравнения эллипса и диаметра:
=\ и {, = —1х.
Подставляя в первое уравнение выражение у из второго, найдем:
13 2 / 2~
*2 + ~2 **=!. -2**=1. X'=J> откуда х = ± у ^ .
Зная абсциссы точек пересечения, найдем их ординаты:
-
3 •

§ 131
ДИАМЕТРЫ ГИПЕРВОЛЫ. СОПРЯЖЕННЫЕ ДИАМЕТРЫ
По формуле расстояния между двумя точками находим длину d искомого
диаметра:
откуда
§ 13. Диаметры гиперболы. Сопряженные диаметры. Рассмотрим теперь ги-
гиперболу, отнесенную к ее осям симметрии:
S—И = 1. B4)
и систему параллельных между собой хорд с угловым коэффициентом ft, (рис. 62).
Производя вычисления, аналогичные проделанным для эллипса, найдем, что
середины этих хорд лежат на прямой, имеющей уравнение
Ь*
B5)
которое может быть получено из уравнения B2) заменой Ьг на — 62> так как
уравнение гиперболы отличается от уравнения эллипса лишь знаком при Ьг.
Точно так же середины хорд, параллельных оси Оу, лежат на оси Ох. Следова-
Следовательно, середины параллельных между собой хорд гиперболы лежат на прямой.
Эта прямая называется диаметром гиперболы.
Итак, все диаметры гиперболы суть прямые, проходящие через центр.
Обозначая угловой коэффициент
диаметра гиперболы через kt, 2J,
имеем:
*¦=;?,• B6)
или
J s
B6')
Условимся называть диаметр
гиперболы сопряженным хордам,
через середины которых он про-
проходит. Условие B6) или B6') Рис. 62.
связывает между собой угловые
коэффициенты параллельных хорд и сопряженного им диаметра. Так как усло-
условие B6') симметрично относительно fe, и kt, то отсюда заключаем: если диаметр
с угловым коэффициентом кг сопряжен хордам с угловым коэффициентом klt
то диаметр с угловым коэффициентом fe, сопряжен хордам с угловым коэффи-
коэффициентом k,. Таким образом, мы получаем пару диаметров, из которых каждый
делит пополам хорды, параллельные другому диаметру (рис. 62). Такие два
диаметра гиперболы называются сопряженными между собой. Их угловые коэф-
коэффициенты kl и k2 связаны условием B6) или B6').
Итак, у гиперболы имеется бесчисленное множество пар сопряженных диа-
диаметров: каждому диаметру соответствует свой сопряженный диаметр.
Оси координат (оси симметрии гиперболы) представляют собой пару
сопряженных и перпендикулярных диаметров. Такие два диаметра называют
главными диаметрами гиперболы.

94
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ
[ГЛ. IV
то
Из условия B6) видно, что угловые коэффициенты &, и k2 двух сопряжеи-
пых диаметров гиперболы имеют одинаковые знаки, т. е. диаметры проходят
в одинаковых четвертях и лежат по разные стороны асимптоты (если | kx К— ,
— )' один из них пересекает гиперболу в двух точках, а другой
гипеоболы не пересекает (рис. 63).
С увеличением ?, (?, > 0), как следует из условия B6), k2, оставаясь поло-
положительным, уменьшается. Это показывает, что прн вращении диаметра гипер-
гиперболы против часовой стрелки сопряжен-
сопряженный с ним диаметр вращается в обратную
сторону, т. е. по часовой стрелке.
При этом, если угловой коэффици-
коэффициент &, одного из диаметров стремится
к —, то угловой коэффициент к2 сопря-
Ь
женного диаметра тоже стремится к —.
§ 14. Диаметры параболы. Рассмот-
Рассмотрим, наконец, параболу, заданную кано-
каноническим уравнением
у* = 2рх, B7)
Рис. 63. и возьмем систему параллельных между
собой хорд с угловым коэффициентом k.
Выясним, как располагаются середины этих хорд. Обозначим концы любой из
этих хорд через М, (х„ </,), М2 (хг, уе), а середину — через М (X, Y). Так как
точки Мг и Мг лежат на параболе, то их координаты должны удовлетворять
ее уравнению B7), т. е.
y\ = 2pxv B8)
угг = 2рхг. B9)
С другой стороны, прямая линия МгМ2 имеет угловой коэффициент к, что дает
нам соотношение (гл. III, § 12)
Ь = Ь~7. C0)
Наконец, заметив, что точка М является серединой отрезка
получим:
C1)
C2)
Исключим из пяти соотношений B8) — C2) четыре вспомогательные величи-
величины хи х2, </„ {/а. С этой целью, вычитая равенство B8) из равенства B9),
найдем:
иля
(Уг ~ Ух) (Уг + Уг) =
Внося в последнее равенство согласно C2) вместо суммы ух -\- у2 ее значение 2Y,

§ 15]
КАСАТЕЛЬНАЯ
а вследствие C0) вместо разнести уг — у, ее выражение
дим ему вид
k(xt- xJ2Y = 2р{х1 — хг);
сокращая на 2 (хг — я,)'), получим окончательно
— xi), мы прида-
придаоткуда (так как к ф 0)
у-2.
к •
C3)
Таким образом, середины параллельных хорд параболы лежат на прямой
Hf- C4)
Мы предполагали, что рассматриваемые хор-
хорды не параллельны оси Оу. Середины хорд, па-
параллельных оси Оу, тоже лежат на прямой — на
оси Ох (так как ось Ох является осью симметрии
параболы).
Итак, середины параллельных хорд параболы
лежат на прямой. Эта прямая называется диамет-
диаметром параболы. Диаметр, проходящий через сере-
середины параллельных хорд данного направления,
условимся называть сопряженным хордам этого
направления. Как видно из уравнения C4), все
Рис. 64
У
диаметры параболы параллельны оси Ох (оси симметрии параболы) (рис. 64).
Ось Ох (ось симметрии параболы), в отличие от остальных диаметров пара-
параболы, является диаметром, перпендикулярным к сопряженным ему хордам.
Такой диаметр называют главным диаметром па-
параболы.
§ 15. Касательная. Рассмотрим точку/И (дг0, (/J
па ко пическом сечении (эллипсе, гиперболе или
параболе) и проведем через нее секущую ММ,
(рис. 65). Эта секущая пересекает коническое се-
сечение в двух точках: М и Mt. Оставляя точку М
неподвижной, заставим вторую точку пересечения
М, неограниченно приближаться к точке М, сле-
следуя по коническому сечению. При этом секущая
ЛШ, будет вращаться около точки М,и то предельное
положение, которое займет секущая, когда точка
М, сольется с М, называется касательной к ко-
коническому сечению в точке М. Точка М называется точкой прикосновения.
Уравнение касательной как прямой, проходящей через точку М (л;0, у„), будет
(гл. III, § 9)
У — уа — к(х—х0), C5)
где k есть угловой коэффициент касательной в точке М, подлежащий опреде-
определению. Чтобы определить k, обозначим координаты точки Мг через хо-{-п.
</0-f-/; тогда угловой коэффициент секущей ЛШ, как прямой, проходящей
через две точки М (ха, у0) и Mt (x0 -\- h, у„ -f- /), будет-г- (гл. III, § 12).
Рис. 65
') х2 — х, ф 0, так как рассматриваемые хорды имеют угловой коэффи-
коэффициент k и, следовательно, не параллельны оси Оу.

C6 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИК СЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
Угловой же коэффициент k касательной будет пределом -г , когда h стремится
к нулю (точка Mt стремится к точке М), т. е.
k = lim —
1г-±й h
Так как hи /суть приращения соответственно абсциссы и ординаты точки М
коническою сечения, то k является пределом отношения приращения ординаты
(функции) к приращению абсциссы (независимого переменного), когда это по-
последнее стремится к нулю. Из дифференциального исчисления известно, что
такой предел есть производная от ординаты у по абсциссе х, взятая для точки
м(*о> Уо), т. е.
ил-
где значок 0 указывает, что значение производной нужно брать для точки
(ха, у0). Зависимость же функции у от независимого переменного х задается
уравнением конического сечения.
Пример 1. Составить уравнение касательной к эллипсу —j"~l~Ti = l
в точке (xQ, ya).
Дифференцируя уравнение эллипса, получим:
2х J , 2у , . dy Ьгх
-dx+-?dy = 0, откуда ? = -^.
Следовательно, k = ( ¦—¦ ) = г-2. Уравнение касательной будет
\axjo а у0
Умножая на Щ, получим:
УУо & _ хха
'Л
Так как точка (ха, уа) лежит на эллипсе, то правая часть последнего
уравнения равна 1, и уравнение касательной примет вид:
Пример 2. Составить уравнение касательной к гиперболе ——ьГ = '
в точке (х0, «/„).
Аналогично примеру 1 получим уравнение касательной к гиперболе в виде:
YY. IJIJ.
Посмотрим, во что обратится уравнение касательной к гиперболе, если точка
(*о> Уо) удалится в бесконечность. Перепишем уравнение касательной в виде;
Ь2ха Ь*

§ 15] КАСАТЕЛЬНАЯ 97
и заметим, что (х0, у0) удовлетворяет условию
Х1 У1 . *о о2 . а2
^г_^=,> откуда - = - + -.
Заставляя теперь точку {ха, ya) удаляться в бесконечность, следуя по гипер-
гиперболе, получим, переходя к пределу в последнем равенстве'
^Y = ?. „ли [ит^Г~, откуда lim^ = Ht-?-.
Уравнение касательной в пределе примет вид:
Ьг ( а\ Ь
[)' или У = -Тх-
Это суть уравнения двух асимптот гиперболы. Таким образом, когда точка
касания удаляется в бесконечность, касательная стремится к положению
асимптоты гиперболы.
Пример 3. Составить уравнение касательной к параболе </2 —2рл:
в точке (х0> «/„).
Дифференцируя уравнение параболы, найдем:
Следовательно, fc = —, и уравнение касательной будет
У — #о=~ (* — хо)>
"о
или, умножая на (/„,
Так как точка (х0, у0) лежит на параболе, то ее координаты удовлетворяют
уравнению параболы у* = 2рх0. Заменяя в уравнении касательной у* его зна-
значением, найдем:
УУо=Рх+Рхо> или УУо = Р(х+х0).
Углоюй коэффициент касательной в точке М0(ха, у0) конического сечения
(эллипса, гиперболы, параболы) возможно определить, не применяя дифферен-
дифференциального исчисления. С этой целью заметим, что направление касательной
к коническому сечению в точке Ма совпадает с направлением хорд, сопряжен-
сопряженных диаметру, проходящему через точку Ма. Следовательно, из условия сопря-
сопряженности B3') в случае эллипса получим угловой коэффициент fe, касательной
в точке Мо, если заменим в нем кг угловым коэффициентом диаметра, прохо-
проходящего через точку Мо; заметив, что ?2 = —, получим:
XD
Аналогично для гиперболы из условия B6') найдем угловой коэффициент каса-
касательной к ней в точке М„ (х0, у0):

98
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ
[ГЛ. IV
Наконец, в случае параболы угловой коэффициент k касательной в точке ЛТ0
определится из условия прохождения ее диаметра, имеющего уравнение C4)
Р ,- Р
У=~ь> чеРез точку Мо, т. е. </„ = -?-, откуда
Уо'
§ 16. Эллипс как проекция окружности. Пусть дан эллипс
своим каноническим уравнением
Рассмотрим уравнение окружности
—-г-—=1
описанной около эллипса (рис. 66).
Назовем две точки Мл и М2, лежащие соответственно на эллипсе и
окружности, соответствующими точками, если они имеют одну и ту же
абсциссу и лежат по одну и ту же сторо-
сторону от оси Ох. Обозначая их общую аб-
абсциссу велОЯ^лги ординаты — вепРМ1=у
и вел РМг = У, имеем:
х% „г Х2 уг
Сравнив два последних уравнения, заклю-
заключаем, что
Рис. 66.
или, разрешив это уравнение относительно уг, получаем:
откуда окончательно
Так как — <^ 1, то мы вправе положить
и зависимость между ординатами соответствующих точек предста-
представится в виде:
у= Fcoscp.

УПРАЖНЕНИЯ
99
Последняя формула показывает, что величина у направленного от-
отрезка РМг может быть рассматриваема как проекция направленного
отрезка РМ2(рнс. 67), если угол между
РМг и РМг принять равным <р.
Отсюда следует, что если поме-
поместить окружность в плоскости, накло-
наклоненной к плоскости эллипса под уг-
углом ф, то эллипс будет являться
ортогональной проекцией этой окруж-
окружности (рис. 67).
§ 17. Параметрические уравне- Рис. 67.
иия эллипса. Сохраняя обозначения
рис. 66 предыдущего параграфа, напомним, что координаты соот-
соответствующих точек Mt(x, у) и М2(Х, Y) эллипса и окружности свя-
связаны соотношениями:
<36>
Так как параметрические уравнения окружности имеют вид
(гл. II, § 5):
Х=,
Y--
С=а cos t, \
r=asmt, j
то, заменяя в C6) К и К их выражениями через параметр ^получим
х = а cost.
или окончательно
: a cos г, \
¦ -asmt, )
х —a cost, 1
y = bsint. |
Это и есть параметрические уравнения эллипса.
Упражнения
Окружность
1. Написать уравнение окружности, зная, что:
а) центр окружности лежит в точке (•—^2,-3) и радиус ее равен 3 еди-
единицам длины;
б) центр лежит в точке B, — 3) и окружность проходит через точку E, 1);
в) концы одного из диаметров имеют координаты C, 9) и G, 3).
2*. Найти уравнение окружности, проходящей через точки (9, 3), (— 3, 3),
(U1)

100 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ KOHH4F.CI<HX СЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
3*. Какие значения должны иметь коэффициенты уравнения
Ахг + Вху -f- Суг + Dx + Еу + F = 0,
чтобы оно определяло окружность радиуса 5 с центром в точке C, 2)?
4*. Определить координаты центра и радиус окружности, выражаемой
уравнением:
а) хг + уг — 4х + 2</+1=0; б) 2хг + 2f-\-5x — Зу — 2 = 0;
в) хг + уг — 6х— 7 = 0; г) хг-\-уг + Зу — 0.
5. Найти уравнение окружности, касающейся осей координат на расстоя-
расстояниях а единиц от начала координат.
6. Найти уравнение окружности, касающейся оси Оу в начале координат
н пересекающей ось Ох в точке F, 0).
7. Найти уравнение окружности, касающейся оси Ох в начале координат
и пересекающей ось Оу в точке @, — 8).
8. Найти уравнение окружности, касающейся оси Ох в точке (—5, 0) и
имеющей радиус, равный 3 единицам длины.
9*. Найти уравнение окружности, центр которой лежит в точке D, 7) и
которая касается прямой Зх—4у —[- 1 == 0.
10*. Вывести уравнение касательной к окружности (х — а)г-\-(у — Ь)*~г*
в точке (х0, </„).
11. Составить уравнение касательной к окружности хг -\- у* = г* в точке
(*о. %)•
12. Написать уравнение касательной к окружности (x-f-1J-(- (У — 3)г = 25
в точке C, 6).
13*. Найти уравнения касательных к окружности хг -f-i/2 = 10, прохо-
проходящих через точку (—5,— 5).
14. Найти уравнения касательных к окружности х*-\-уг = 5, проходящих
через точку (— 7, 1).
15*. а) Найти касательные к окружности лг2-|-{/2= 13, параллельные
прямой Ах -\- ву — 5 = 0. б) Найти касательные к окружности х*-\-уг -{-5* —0,
перпендикулярные к прямой 4х — 3{/ -{- 7 = 0.
16*. Найти длину (d) касательной, проведенной нз точки М G, 8) к окруж-
окружности (х — 2J + («/ — 3)г = 14.
17. а) Даны точки А (—6, 0) и В B, 0). Найти геометрическое место точек,
из которых отрезки ОА и ОВ видны под равными углами, б) Все хорды ON
окружности хг -f- r/2 = 2a*, проведенные из начала координат, продолжены за
точку N иа расстояние NM = 0N. Найти геометрическое место точек М.
Эллипс
18. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что:
а) полуоси его равны соответственно 5 и 4;
б) расстояние между фокусами равно 8 и большая ось равна 10;
в) малая полуось равна 2 и расстояние между фокусами равно 6;
г) большая полуось равна 10 и эксцентриситет равен 0,6;
д) малая полуось равна 6 н эксцентриситет равен 0,8;
е) эксцентриситет равен 0,8 и расстояние между фокусами равно 8;
ж) сумма полуосей равна 10 и расстояние между фокусами равно ^
19. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса,
заданного уравнением:
a) 16x2-f25r/2 = 400, б) 9xJ + у2 = 36.
20. Определить эксцентриситет эллипса, если:
а) отрезок, соединяющий его фокусы, виден из конца малой оси под
прямым углом;

УПРАЖНЕНИЯ 101
б) расстояние между фокусами равно расстоянию между концами большой
и малой осей;
в) его большая ось втрое больше малой;
г) ею оси относятся, как 5:3.
21. Дан эксцентриситет эллипса е. Найти отношение его полуосей.
Как величина эксцентриситета характеризует форму эллипса?
22. Эллипс касается оси ординат в начале координат, а центр его нахо-
находится в точке E, 0). Составить уравнение эллипса, зная, что эксцентриситет
его ранен 0, 6.
23. Эллипс касается оси абсцисс в точке (8, 0) и оси ординат в точке
@, — 5). Написать уравнение эллипса, если известно, что оси его параллельны
осям координат.
24. Эллипс касается оси ординат в точке @, 5) и пересекает ось абсцисс
в точках E, 0) и A1, 0). Составить уравнение эллипса, если известно, что оси
его параллельны осям координат.
х2 у2
25. Сколько касательных к эллипсу — -f- — =1 можно провести из точки
A, 1), сколько из точки C, 1) и сколько из точки @, 2)?
хг уг
26. Написать уравнение касательной к эллипсу '-^б-\- Тп = ' в точке (—3,3).
X2 U2
27. Известно, что прямая 2х — 5у — 30 = 0 касается эллипса ==-{-%гг=:1.
to IA
Найти точку касания.
28*. Найти уравнения касательных, проведенных из точки D, — 1) к эллипсу
6 + 3
29. Найти касательные к эллипсу -jj--|- —= 1, проходящие через точку
(-3, 1).
х2 и'
30*. Найти касательные к эллипсу -?--f-т~ = ' • параллельные прямой
6х - 2у - 5 = 0.
х2 у2
31. Найти касательные к эллипсу -^--f-~T= 1, перпендикулярные к пря-
прямой х — У + 5 = 0.
хг цг
32. Написать уравнения директрис эллипса — -\-~l = 1.
33. Написать уравнение эллипса, малая полуось которого равна 2 |^б"
и директрисами которого служат прямые х — ц 10.
34. Найти уравнение эллипса, расстояние между фокусами которого рав-
равняется 2 и расстояние между директрисами 10.
35. Найти эксцентриситет эллипса, если расстояние между его директрисами
в три раза больше расстояния между фокусами.
36. Расстояние между директрисами эллипса равняется 36. Найти уравнение
этого эллипса, зная, что фокальные радиусы некоторой его точки равны 9 и 15.
37. Расстояние между фокусами эллипса равно 8, расстояние между его
директрисами равно 12,5. Найти простейшее уравнение этого эллипса.
х2 у2
38*. Дан эллипс -7r-\--?- = l. Через точку A, 1) провести хорду, деля-
делящуюся в этой точке пополам.
х2 и2
39. Дан эллипс —-(-^-= 1. Через точку B,— 1) провести хорду, деля-
о О
щуюся в этой точке пополам.

102 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
х2 цг
40. Найти длину диаметра эллипса F7~f~fB = b направленного по биссек-
биссектрисе второго координатного угла.
41*. Доказать, что касательные к эллипсу —-\-j^= 1, проведенные в кон-
концах одною и того же диаметра, параллельны.
42. Найти уравнения диаметров эллипса х2 -f- ~^- = 1, длины которых равны
2/5.
43. Найти угол между двумя сопряженными диаметрами эллипса
X2 (/2
"g"J^"=: Ь из которых один наклонен к большой оси под углом в 30°.
44. Найти для эллипса -^- -f- ^- = 1 направления и длины двух сопряжен-
сопряженных диаметров, из которых один проходит через точку D, 2).
х2 у2
45. Определить длины сопряженных диаметров эллипса -д- -|—о" = 1> ко"
торые образуют между собой угол в 60°.
Xs у2
46*. Найти уравнения равных сопряженных диаметров эллипса — + гг = '•
47. Написать уравнения двух равных сопряженных диаметров эллипса
х1л.у1-\
1 + 9 -
48. Найти угол между двумя равными сопряженными диаметрами эллипса
6 + 2
49*. Отрезок постоянной длины скользит своими концами по сторонам
прямого угла. Определить кривую, описываемую любой точкой М, лежащей
на этом отрезке.
х8 и2
50. Найти простейшее полярное уравнение эллипса -ц--(-^-=1.
Гипербола
51. Составить простейшее уравнение гиперболы, зная, что:
а) полуоси ее равны соответственно 5 и 4 единицам длины;
б) расстояние между фокусами равно 14, а расстояние между вершинами 12;
в) действительная полуось равна 5 и эксцентриситет равен 1,4;
4
I) расстояние между фокусами равно 16 и эксцентриситет равен -„-;
д) действительная полуось равна /15 и гипербола проходит через точку
E.-2);
е) гипербола проходит через точки B У 7, — 3) и (— 7, — 6 у 2).
52. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы,
заданной уравнением:
а) 25х* - 144</2 = 3600, б) 16</2 - 9х2 = 144.
53. а) Найти зависимость между эксцентриситетом гиперболы и углом
между ее асимптотами; б) выразить отношение полуосей гиперболы через
эксцентриситет. Как влияет величина эксцентриситета на форму гиперболы?

УПРАЖНЕНИЯ 103
хг у2
54*. Дана гипербола р—(Г~'ф ^'а"ти уравнение диаметра, длина кото-
которого равна
55. На гиперболе -тц—q ==' взята точка, абсцисса которой равна 8 я
ордината положительна. Вычислить фокальные радиусы этой точкиг
хг иг
56. Дан эллипс -5-4--V= 1. Найти уравнение гиперболы, вершины кото
о О
рой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах данного эллипса.
х2 и2
57. Найти касательные к гиперболе -г^ б" = * в точках пересечения ее
с прямой Зх — 5у = 0.
х2 У2
58. Найти касательные к гиперболе -ц я""!» пР0Х°Дяш.ие через точку
B' 1)- , ,
х и
59. Найти касательные к гиперболе — — ^-=1, параллельные прямой
Зх — 2у = 0.
х2 ф
60. Доказать, что для гиперболы — —1?==1 произведение расстояний
от фокусов до касательной равно Ь2.
61. Доказать, что асимптоты равнобочной гиперболы делят пополам углы
между ее сопряженными диаметрами.
х2 у*
62*. 1) Найти отклонение фокуса гиперболы — — U2 = l от асимптоты.
2) Доказать, что произведение расстояний любой точки гиперболы до
асимптот есть величина постоянная,
63. Даны фокальный параметр р и эксцентриситет е гиперболы. Найти
полуоси.
64. Гипербола касается прямой *—(/ —3 = 0 в точке E, 2). Составить
уравнение этой гиперболы.
Xs U*
65. Найти касательные к гиперболе ——^=-= 1, перпендикулярные к пря-
прямой х-{-2у— 3 = 0.
66. Найти уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее директри-
директрисами равно 6, а расстояние между фокусами 10.
67. Найти эксцентриситет гиперболы, если известно, что расстояние между
ее директрисами в три раза меньше расстояния между фокусами.
68. Найти уравнения двух сопряженных диаметров гиперболы -g—^г= 1,
угол между которыми равен 45е,
69. Найти уравнения диаметров гиперболы х2 — ^- = 1, длина которых
равна
70. Дана гипербола -ц—^г=1. Написать уравнения асимптот.
71. Найти уравнение гиперболы, если известно, что:
а) а — Ь и директрисы даны уравнениями x = z?.2;
б) асимптоты даны уравнениями у = ±.-»х и расстояние между фокусами
равно 10;

104 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV
3
в) асимптоты даны уравнениями </ = ;+;-=-* и гипербола проходит через
точку A0, — 3 УЩ
72. Даны точки А (—1,0) и В B, 0). Точка М движется так, что в тре-
треугольнике АМВ угол В остается вдвое больше угла А. Определить траекторию
движения.
73. Две прямые вращаются около двух неподвижных точек в противо-
противоположных направлениях и с одинаковой угловой скоростью. При начале дви-
движения одна из этих прямых совпадает с прямой, соединяющей данные точки,
а другая перпендикулярна к этой прямой. Найти геометрическое место точек
пересечения этих прямых.
74. Составить уравнение касательной к гиперболе ху = т в точке (ха, у0).
Парабола
75. Составить уравнение параболы, зная, что:
а) осью симметрии параболы служит ось Ох, вершина лежит в начале
координат и расстояние от фокуса до вершины равно 4 единицам длины;
б) парабола симметрична относительно оси Ох, проходит через точку
B, — 4) и вершина ее лежит в начале координат;
в) парабола симметрична относительно оси Ох, проходит через точку
(— 2, 4) и вершина ее лежит в начале координат;
г) парабола симметрична относительно оси Оу, фокус лежит в точке @, 3)
и вершина совпадает с началом координат;
д) парабола симметрична относительно оси Оу, проходит через точку D, 2)
и вершина ее лежит в начале координат;
е) парабола симметрична относительно оси Оу, проходит через точку
(— 4, — 2) и вершина совпадает с началом координат;
ж) фокус имеет координаты C,0), директриса служит осью ординат н ось
симметрии — осью абсцисс;
з) фокус имеет координаты @, 3), директриса служит осью абсцисс и ось
симметрии — осью ординат.
76. Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее лежит в точке
(й, Ь), параметр равен р и направление оси симметрии совпадает:
а) с положительным направлением оси Ох;
б) с отрицательным направлением оси Ох;
в) с положительным направлением оси Оу;
г) с отрицательным направлением оси Оу.
77. Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее лежит в начале
коордииаг, направление оси симметрии совпадает с отрицательным направлением
оси Ох, а параметр р равен расстоянию от фокусов гиперболы 4хг—<3у2—
•—36 = 0 до асимптот.
78. Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее лежит в точке
(—2, 1), направление оси симметрии совпадает с отрицательным направлением
оси Оу, а параметр р равен расстоянию между директрисами эллипса Зхг -|-
+ 4^ — 48 = 0.
79. Найти длину хорды, проходящей через фокус параболы уг=^2рх и
перпендикулярной к ее оси симметрии.
80*. Дана парабола уг = 6аг Через точку D, 1) провести такую хорду,
которая делилась бы в этой точке пополам.
81. Дана парабола уг = —8х. Через точку (— 1, 1) провести такую хорду,
которая в этой точке делилась бы пополам.
82. Найти уравнения диаметров параболы у* = &х, сопряженных с хордами,
наклоненными к иим под углом в 45°.

УПРАЖНЕНИЯ 105
83. Дана парабола уг=10к. Найти к этой параболе касательпые в точках,
в которых она пересекается с прямой у = 4х—5.
84. Найти такую точку на параболе у*=12х, чтобы касательная в ней
образовывала с осью симметрии параболы угол в 30°.
85. Найтн касательные к параболе у2 = 4х, проходящие через точку C, —4).
86. Найтн уравнение касательной к параболе г/8=16х, которая была бы:
а) параллельна прямой 2х — у -(- 5 = 0; б) перпендикулярна к прямой
X — У — 7 = 0.
87. Найти геометрическое место центров кругов, проходящих через данную
точку и касающихся данной прямой.

ГЛАВА V
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ
§ 1. Задача преобразования координат. Положение точки на
плоскости определяется двумя координатами относительно некоторой
системы координат. Координаты точки изменятся, если мы выберем
другую систему координат. Задача преобразования координат состоит
в том, чтобы, зная координаты точки в одной системе координат,
найти ее координаты в другой системе.
Эта задача будет разрешена, если мы ус-
установим формулы, связывающие координаты
произвольной точки по двум системам, при-
причем в коэффициенты этих формул войдут
постоянные величины, определяющие взаи-
взаимное положение систем.
Ж" Р ~~ Пусть даны две декартовы системы
координат хОу и ХОгУ (рис. 68). Положе-
Положение новой системы XOtY относительно старой
системы хОу будет определено, если известны координаты а и b
нового начала О, по старой системе и угол а между осями Ох и О1Х.
Обозначим через х и у координаты произвольной точки М
относительно старой системы, через X и У—координаты той же
точки относительно новой системы. Наша задача заключается в том,
чтобы старые координаты х и у выразить через новые X и Y.
3 полученные формулы преобразования должны, очевидно, входить
постоянные а, Ь и а. Решение этой общей задачи мы получим из
рассмотрения двух частных случаев.
1. Меняется начало координат, направления же осей остаются
неизменными (а=0).
2. Меняются направления осей, начало же координат остается
неизменным (а = 6 = 0).
§ 2. Перенос начала координат. Пусть даны две системы декар-
декартовых координат с разными началами О и Ot и одинаковыми направ-
направлениями осей (рис. 69). Обозначим через а и b координаты нового
начала Ог в старой системе и через х, у и X, Y— координаты про-

§ 3]
ПОВОРОТ ОСЕЙ КООРДИНАТ
107
A)
ст-
0
!
о,
А
М
f
И -г
i ж л
i
извольной точки М соответственно в старой и новой системах. Про-
Проектируя точку М на оси. О, А" и Ох, а также точку О, на ось Ох,
получим на оси Ох три точки О, И и Р. Как известно (гл. I, § 1),
величины отрезков О А, АР и ОР связаны у
следующим соотношением:
вел О А -\- вел АР= вел ОР.
Заметив, что вел ОА — а, вел ОР=х,
вел->4Р=: вел О,Р, = ЛГ, перепишем равенст-
равенство A) в виде:
а-{-Х—х, или х=Х-\-а. B) Рис.69.
Аналогично, проектируя М и Ot на ось ординат, получим:
_y=F+&. C)
Итак, старая координата равна новой плюс координата нового
начала по старой системе.
Из формул B) и C) новые координаты можно выразить через
старые:
Х=х — а, B#)
Y=y — b. C')
§ 3. Поворот осей координат. Пусть даны две декартовы системы
координат с одинаковым началом О н разными направлениями осей
(рис. 70). Пусть а есть угол между осями Ох и ОХ. Обозначим
через х, у и X, У координаты произ-
произвольной точки М соответственно в
старой и новой системах:
х = вел ОР, у = вел РМ,
Х=ъгпбР~1, У= вел Р,/И.
Рассмотрим ломаную линию ОР,/ИР
и возьмем ее проекцию на ось Ох.
Замечая, что проекция ломаной линии
равна проекции замыкающего отрезка
(гл, I, § 8) имеем:
пр ОР,уИР= вел ~ОР. D)
С другой стороны, проекция ломаной линии равна сумме проекций
ее звеньев (гл. I, § 8); следовательно, равенство D) запишется так:
Р
Рис. 70.
пр ОР, + пр
МР= вел ОР.
D')
Так как проекция направленного отрезка равна его величине, умно-
умноженной на косинус угла между осью проекций и осью, на которой

108 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ [ГЛ. V
лежит отрезок (гл. I, § 8), то
пр OPl = Xcos ее, прЯ^И = Г cos (90° -\- а) = — К sin ее,
npAf7J=0.
Отсюда равенство D') нам дает:
я = Л"cos a—Ksina. E)
Аналогично, проектируя ту же ломаную на ось Оу, получим
выражение для у. В самом деле, имеем:
пр ОР1 -\- пр PtM-\- пр МР= пр ОР— 0.
Заметив, что
пр ОР1 = Л"cos (ее — 90°) = Л"sin a, up ~P~M = Ycos a,
np MP= — y,
будем иметь:
A" sin a-L/cosa —у = 0,
или
y = Xsina-\- Y cos a. F)
Из формул E) и F) мы получим новые координаты X и Y
выраженными через старые х и _у, если разрешим уравнения E)
и F) относительно X и К.
Замечание. Формулы E) и F)
могут быть получены иначе. Из рис. 71
имеем:
х = ОР= О/И cos (a + ф) =
= О/И cos a cos ф — ОМ sin a sin ф,
у = Р/И = ОМ sin (a + ф) =
= ОМ sin a cos ф -\- ОМ cos a sin ф.
Так как (гл. I, § 11) ОМ cos
ОМ sin ф=
лг = Л" cos a — К sin a,
у = Xsin a-\-Y cos a.
E)
F)
§ 4. Общий случай. Пусть даны две декартовы системы коор-
координат с разными началами и разными направлениями осей (рис. 72).
Обозначим через а и Ь координаты нового начала О, по старой
системе, через и—угол поворота координатных осей и, наконец,
через х, у и X, Y—координаты произвольной точки М соответ-
соответственно по старой и новой системам.

§ 5] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ФОРМУЛ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ 109
Чтобы выразить х и у через X и Y, введем вспомогательную
систему координат xi0lyl, начало которой поместим в ионом
начале О,, а направления осей возьмем совпадающими с направле-
направлениями старых осей. Пусть хг и _у, обо-
обозначают координаты точки М относительно
этой вспомогательной системы. Пере-
Переходя от старой системы координат к
вспомогательной, имеем (§ 2):
Переходя, далее, от вспомогательной си-
системы координат к новой, найдем (§ 3):
хл = X cos a — К sin а,
y1=Xsina-\- К cos а.
Заменяя х1 и _у, в предыдущих формулах их выражениями из
последних формул, найдем окончательно:
х = X cos а — У sin а -\- а,
у = X sin а 4- Y cos а -{- Ь.
Формулы (I) содержат как частный случай формулы
Так, при а = 0 формулы (I) обращаются в
(I)
2 и 3.
а при а = Ь = 0 имеем:
х = X cos а—К sin а, y = Xs\na-\- У cos а.
Из формул (I) мы получим новые координаты X к У выражен-
выраженными через старые хну, если уравнения (I) разрешим относи-
относительно X и У.
Отметим весьма важное свойство формул (I): они линейны отно-
относительно X и У, т. е. вида:
x = AX-\-BY-\-C, y = AlX-\-BlY-\-C1.
Легко проверить, что новые координаты X к У выразятся через
старые х и у тоже формулами первой степени относительно хиу.
§ 5. Некоторые приложения формул преобразования координат.
1. Уравнение равносторонней гиперболы относи-
относительно асимптот.
Рассмотрим равностороннюю гиперболу, отнесенную к ее осям
симметрии:
хг— у2=а\

по
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ
[гл. v
Асимптоты ее взаимно перпендикулярны (угловые коэффициенты
асимптот равны 1 и •— 1; см. гл. IV, § 4).
Принимая их за новые оси координат, мы должны повернуть
старые оси координат на угол +45°. Формулы преобразования:
x = Arcosa—Ksina, у = X sin a -\- Y cos a
при a = — 45° (поворот по часовой стрелке) примут вид:
Подставляя эти значения х и у в уравнение гиперболы я*—уг =
y=a2t получим:
I (Х-\- У)г —i (У — Xf = a\
Раскрывая скобки и делая приведение
подобных членов, получим:
2ХУ=а\ или ХУ=^.
G)
Это и есть уравнение равносторонней
гиперболы, когда осями координат слу-
жат ее асимптоты (рис. 73). Чита-
Рис. 73. телю рекомендуется проверить, что, вы-
выбирая угол поворота a = -|~45°,мы полу-
получим уравнение равносторонней гиперболы в виде:
2. Геометрический смысл дробно-линейной функ-
функции. Дано уравнение
„ ax
Требуется исследовать кривую, определяемую этим уравнением.
Будем считать с=^=0, так как в случае с = 0 наше уравнение
будет, очевидно, уравнением прямой линии. Разделив числитель и
знаменатель на с, придадим уравнению вид:
') Предположим, что ad— be Ф 0, так как в противном случае уравнение
не содержало бы переменного х.

§ 5] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ФОРМУЛ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ
где положено:
111
а
с
Ь_
с
Предварительно упростим уравнение кривой, перенеся начало
координат в новую точку плоскости. Пусть координаты нового
начала д;0) уа пока произвольны. Формулы преобразования суть:
х=Х-\-х0, y—Y+y,.
Подставляя в данное уравнение вместо х и у их выражения через
X тя. Y, найдем:
Раскрываем скобки и делаем приведение подобных членов.
XV + (У* — «
Так как ха и у0 произвольны, то выберем их так, чтобы исчезли
члены с X н У. Для этого у
нужно положить уа — а = 0,
хо-\-Ь = О, откуда У
Внося эти значения в преоб-
преобразованное уравнение, полу-
получим:
=Р—-afi.
Очевидно, полученное уравне-
уравнение является уравнением рав-
равносторонней гиперболы, для
которой новые оси координат
являются асимптотами (см. пре-
предыдущий пример). Следова-
Следовательно, данное уравнение on- Рис. 74.
ределяет равностороннюю ги-
гиперболу с центром в точке (л:0, уа), асимптоты которой параллель-
параллельны осям координат (рис. 74 соответствует случаю Р — аб^>0).
3. Геометрический смысл квадратной функции.
Дано уравнение
у = ахг -\-bx-\-c.
Требуется исследовать кривую, определяемую этим уравнением.
Предварительно упростим уравнение кривой, перенеся начало
координат в новую точку плоскости. Пусть координаты нового

112 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ [ГЛ. V
начала ха, уа пока произвольны. Формулы преобразования суть:
* = *+*., У=У+У:
Подставляя в данное уравнение вместо х и у их выражения
через X и Y, найдем:
Раскрываем скобки и делаем приведение подобных членов:
Подберем х0 и уа так, чтобы исчезли член с X в первой степени
и свободный член. Для этого нужно положить
откуда
6
'2а
Лас — .
Внося эти значения в преобразованное уравнение, получим:
Y=aX*.
Оченидно, что полученное уравнение определяет параболу, для ко-
которой новое начало координат является вершиной, а новая ось орди-
ординат служит осью симметрии. Сле-
Следовательно, данное уравнение опреде-
определяет параболу с вершиной в точке
(х0, Уа) и осью симметрии, располо-
расположенной параллельно оси Оу (рис. 75).
Для нахождения ее вершины важ-
важно только обратить внимание на то,
чтохв = —^, ордината же уо=/(хо)
находится подстановкой значения х0 в
уравнение кривой.
Для построения кривой у = ах2-\-
-\-bx-\-c удобно найти ее точки пе-
пересечения с осью Ох (полагая _у^0), если только эти точки
существуют, т. е. если корни квадратного уравнения ахг -\- Ъх -\- с = О
действительны. Заметим еще, что при а~^>0 ветви параболы направ-
направлены вверх, а при а<^0—вниз.
Рнс. 75.

§ 6] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ > ' 3
В приведенном исследовании мы считали а^ЬО; в случае а—О
наше уравнение будет иметь вид:
у = Ьх -\- с
и, значит, ему будет соответствовать прямая линия.
Пример. Принести уравнение параболы у = Ъхг — 6х — 1 к простейшему
виду и найти координаты вершины.
Перенесем начало координат в точку (ха, у0). Формулы преобразования
будут:
0, y = Y-\-yv
Заменяя в данном уравнении х и у их выражениями через X и Y, получим:
Y + 0,= 3(Х + хо)г- 6{Х + х„)- 1,
Y = ЗХ2 + F^0 - 6) X + 3x1 ~ 6*. - % - !•
Полагая
найдем:
Внося эти'значения в уравнение, будем иметь:
Y = ЭХ\
откуда получим простейшее уравнение параболы
Ось симметрии данной параболы параллельна оси Оу; вершина находится
в точке A, — 4).
§ 6. Преобразование общего уравнения второй степени,
не содержащего произведения переменных. Общее уравнение 2-ой
степени между двумя переменными, не содержащее их произведения,
имеет вид:
Лж1 + Су1 + Ож + ?у + /г=0, (8)
где коэффициенты А и С одновременно не равны нулю, так как
в противном случае уравнение превратилось бы в уравнение 1-ой
степени.
Посмотрим, какие кривые определяются этим уравнением- при раз>
личных значениях его коэффициентов.
Случай I. Коэффициенты при*2 а у* одного знака.
Можно считать, что они положительны, так как если бы они были
отрицательными, то, умножив обе части уравнения на {—1), мы
5 И. И. Привалов

114 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ [ГЛ. V
сделали бы их положительными. Перепишем уравнение (8) следую-
следующим образом:
Дополним выражения в скобках до полных квадратов. Для этого
ГJ ?8
к левой и правой частям уравнения прибавим т~а~\~~п> уравнение
примет вид:
ИЛИ
Перенесем начало координат в точку О, I — ^ , ——=). Тогда по
формулам B') и C') (§ 2)
где X и Y—координаты в новых осях. Обозначим правую часть
уравнения (9) через U
r!_ CD* + AE'-4ACF
и— ш •
В результате уравнение (9) примет вид:
AX*-\-CY* = U. A0)
Пусть U^>0; разделив обе части уравнения A0) на U, получим:
Л У2 _1- — У2 — 1
А 1 С 1
Введя обозначения — = -j и 77==л1> что возможно> так как
Cut/ положительны, будем иметь
Это есть уравнение эллипса. Следовательно, в данном случае
уравнение A0), а значит и уравнение (8), определяет эллипс
(в частности, при а = Ъ — окружность). Центр этого эллипса имеет
координаты — к-т и —^g (в системе координат дгОд;), а его оси парал-
параллельны осям координат.
Если U=0, то уравнение A0) будет иметь внд AX*-\-BY* = 0.
Оно определяет только одну точку Х=0, К~0, так как при любых

§ 6]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
115
других значениях переменных левая часть уравнения положительна.
Возвращаясь к уравнению (8), видим, что ему удовлетворяют коорди-
координаты только одной точки О, (— ^, —~2с) '
Наконец, если d/<^0, то правая часть уравнения A0) отрицатель-
отрицательна, в то время как оба члена левой части при любых значениях X
и Y неотрицательны. Следовательно, нет ни одной точки, координаты
которой удовлетворяли бы уравнению A0), а значит и уравнению^8).
В этом случае уравнение не определяет никакой линии.
Пример. Упростить уравнение кривой
Ах1 + $Уг + 32х — 54(/ 4-1 °9 — 0
и установить ее вид.
Перепишем уравнение так:
4 (** + 8х) + 9 (t? — 6у) — — 109.
Дополняя выражения в скобках до полных квадратов, получим
- 109
или, после преобразований,
Перенесем начало координат в точку О, (—4. 3); полагая Х = >
' = (/— 3, будем иметь
9.,
Это есть уравнение эллипса.
Центр его лежит в точке (— 4, 3),
а полуоси равны 3 и 2
(рис. 76).
Заметим, что обычно нет надоб-
надобности писать уравнение эллипса в
системе координат X0Y. Лучше
(* +4J ,
оставить его в виде ¦—g—- -f-
=1- В эгой форме за-
цен-
ценРис. 76.
4-^ 43)=
писи сразу видны координаты
тра эллипса.
Случай П. Коэффициенты А и С уравнения
имеют разные знаки. Для определенности положим, что
а С<^0. Как и в случае 1, приведем уравнение (8) к виду:
(8)
4АС
Перенесем начало координат в точку О,
чим правую часть уравнения A1) через ?/. После этого в системе
2д , — т^ I и обозна-

1 16 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЙ ЛИНИЙ [ГЛ. V
координат XOY уравнение A1) примет вид
АХш-\-СУ = и, A2)
Пусть U отлично от нули. Разделив обе части уравнения A2)
на с/, получим:
Рели ?/^>0, то можно ввести обозначения (напомним, что по условию
Л>0, С<0):
А—1 ?. — —L
U а2' U ~ Ьг *
После этого уравнение примет вид:
а2 Ьг '
Это уравнение гиперболы, действительная ось которой лежит
на оси ОгХ, а мнимая на оси OtY.
Если же ?/<^0, то, обозначая
_Д__ 1^ ?_ __1
С/ а2' С/ "^ Ь*'
придем к уравнению
X2 . К2 , F2 X2 ,
а2 ' б2 ' й- а2
Это тоже уравнение гиперболы. Только действительная ось ее лежнч
на оси OtY, а мнимая — на оси ОХХ.
Итак, в рассматриваемом случае уравнение (8) определяет гипер-
гиперболу с центром в точке f—5-т , —ос)- Действительная ось ее
будет параллельна оси Ох или оси Оу в зависимости от знака U.
Пусть ?/=0. В этом случае уравнение A2) представится так:
Полагая Л = /»г и С= — л2, перепишем его в таком виде:
или
л К) («А"— л К) = 0.
По это уравнение распадается на два уравнения первой степени:
tnX-\-nY=Q и mX—nY—0.

§ 6]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
117
Каждое из них есть уравнение прямой, проходящей через точку Х=0,
К==0, т. е. через точку О,.
Таким образом, при ?/=0 уравнение A2), а значит и уравне-
уравнение (8), определяет пару пересекающихся прямых. Как говорят,
кривая выродилась в пару прямых.
Пример 1. Упростить уравнение кривой
4х2 — 25(/2 — 24х -f 50</ — 89 — 0
и установить ее вид.
Перепишем уравнение так:
4 (х> — 6х) — 25 (</• — 2у) = 89
и каждую из скобок дополним до полного квадрата:
4 (хг — 6х + 9) — 25 (г/2 — 2«/ + 1) = 89 + 36 - 25.
После преобразований получим
(дс-ЗГ (у-!)'_,
25 4 -
Это уравнение гиперболы с центром в точке C, 1). (Как мы уже отмечали, пет
У
Рис. 77.
надобности переходить к системе координат X0Y.) Действительная полуось ее
равна 5, а мнимая равна 2. Расположение эгой гиперболы показано на рис. 77.
Пример 2. Упростить уравнение кривой
Ах1 - уг + 4«/ = 0
и установить ее вид.
Преобразуем уравнение к виду
-((/-2)г = — 4,
или
Эго уравнение гиперболы с центром в точке @,2). Действительная полуось

118
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ
[ГЛ. V
равна 2, а мнимая равна 1. Расположение гиперболы показано на рис. 78.
Так как в уравнении отсутствует свободный член, то гипербола проходит через
начало координат.
Пример 3. Упростить уравнение кривой
9хг —16уг — Збх -f- 32(/ + 20 = 0
и установить ее вид.
Рис, 78.
Перепишем уравнение так:
9 {х* — Ах) — 16 (i/ — 2у) — — 20.
После преобразований получим
9(х—2)г—16(</ —1)г = 0.
Представив левую часть в виде произведения
[3(дг —2) + 4(</-1)] [3(дг —2)-4({/-1)]=0,
замечаем, что уравнение распадается на два:
Ъх+Ау— 10 = 0 и Зх —4(/ —2 = 0.
Мы получили две прямые, пересекающиеся в точке B, 1) (см. рис. 79).
Случай III. Коэффициент С уравнения (8) равен
нулю (Л^=0). В этом случае уравнение (8) принимает вид:
i4xf + D* + ?y + F=0. A3)
Предполагая, что ?^0, разрешим его относительно у
D
-i-

§ 6]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
119
Введем обозначения:
A D . F
-т = а, —Ш = Ь и -т = с.
Наше уравнение запишется так:
у = ахг-\-Ьх-\-с.
Преобразуем его к виду
A4)
или
Перенесем начало координат в точку О,( — ^; с г~)'
Х=х-{-^> Y=y — (с — ^J , получим уравнение
Это есть уравнение параболы. Вершина ее находится в точке О1( а ось
У
Рис. 79.
симметрии лежит на оси О, К и, следовательно, параллельна первона-
первоначальной оси Оу.
Заметим, что уравнение A4) было рассмотрено в § 5, где приве-
приведение его к простейшему виду производилось иным способом.
Если в уравнении A3) ?=0, то оно примет вид:
= 0, A5)
т. е. будет содержать только одно переменное х.

120
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ [ГЛ. V
Пусть а, и а3—корни этого уравнения. Тогда уравнение A5)
принимает вид
А (х — а,) (л: — а,) =0.
Приравнивая к нулю каждую из скобок, получим два уравнения пер-
первой степени:
х — 0^ = 0 и х — а2 = 0.
Если кврни а, и аг действительные, то каждое из них есть уравне-
уравнение прямой, параллельной оси
Оу. (При а, = и2 обе прямые
сливаются.) В этом случае го-
говорят, что кривая выроди-
_ лась в пару параллельных
х прямых.
Если же корни и, и а2 мни-
мнимые,то трехчлен Ах2 -\-Dx-\- F
ни при каких действительных
значениях х не обращается в
рис go. нуль и, следовательно, нет
пи одной точки, координаты
которой удовлетворяли бы уравнению A5).
Разумеется, ход нашего исследования не изменится в случае
А
О
Пример. Упростить уравнение кривой
И установить ее вид.
Разрешим уравнение относительно х
И преобразуем его к виду:
или
Эго уравнение параболы, вершина которой находится в точке f—^-, — 1
Ось симметрии параболы параллельна оси Ох; ветви параболы направлены вправо
(см. рис. 80).
§ 7. Преобразование общего уравнения второй степени. Рас-
Рассмотрим теперь общее уравнение 2-ой степени между переменными
х и у
Ax2-\-Bxy-\-Cyi-[-Dx-{-Ey^rF—0, A6)

§ 7] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 121
Покажем прежде всего, что при помощи поворота координатных
осей его всегда можно привести к виду, не содержащему члена
с произведением переменных.
Повернем координатные оси на некоторый угол а, который выбе-
выберем впоследствии.
Как известно, формулы преобразования координат имеют вид:
х = X cos a — К sin а,
у = A'sin а -\- К cos а.
Заменяя в данном уравнении х и у их выражениями по формулам
преобразования, получим:
— К sin а) (ЛГ sin a + rcosaL-
Kcosa)s-|-?'(Arcosa— К sin a)+
na+ Kcosa)-]-/? = 0.
Раскрыв в этом уравнении скобки и сделав приведение подобных
членов, будем иметь уравнение данной линии в новых координаыл.
в таком виде:
где для краткости положено:
At = A cos8 a -\- В sin a cos a -\- Csin'a,
Bt = 2(C— A) sin a cos a -|-?(cos2 a — sin2 a),
C, = A sin2 a — В sin acosa-j-t-'cos^a,
D1—D cos a -\- E sin a,
f, = — D sin a -\- П cos «.
Выберем угол a так, чтобы коэффициент /?, обратился в нуль,
т. е. чтобы
2(С—А) sin a cos a -f В (cos2 a — sin2 u) — 0. {I i)
Припомнив, что sin a cos a = — sin 2a и
cos2 a — sin2 a = cos 2a,
перепишем уравнение A7), определяющее угол поворота а, в таком
виде:
(С — A) sin 2a -\-B cos 2a = 0. A8)
Заметим, что sin 2a^=0, так как в противном случае, как видно из
уравнения A8), равнялось бы нулю и В, что противоречит условию.
Поэтому уравнение A8) можно разделить па sin 2a, после чего
получим
(С — A)-\-Bci%2a — 0,

122 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ [ГЛ. V
откуда
ctg2a = ^=?; A9)
Таким образом, всегда можно выбрать угол а так, что после
поворота координатных осей на этот угол в уравнении линии 2-го
порядка исчезнет член с произведением переменных. Угол а мы бу-
будем выбирать так, чтобы 0<а<-~-.
Получив ctg2a по формуле A9), мы воспользуемся известной из
тригонометрии формулой (в силу выбора а знаки cos 2a и ctg2a
одинаковы)
2 ctg 2cc
и далее по формулам
/1 — cos 2a .. / 1 _)_ cos 2a
2 и cos a = 1/ r^
найдем sin a и cos a, а это позволит вычислить новые коэффици-
коэффициенты А1, С,, D, и Я,.
В результате преобразованное уравнение линии примет вид:
где все коэффициенты известны.
Дальнейшее упрощение полученного уравнения B0) производится
методами, описанными в § 6.
Пример. Упростить уравнение
и установить вид кривой.
Повернем оси координат на угол а, найдя ctg2a по формуле A9). Вдаииом
случае Л=:1, С = 1 и В = 1. Следовательно, ctg2a = —^— = О и 2а = 90°.
V2 1
Отсюда а = 45°, Так как sin 45° = cos 45° = ^~- = —=, то формулы преобра-
V 2
зования координат примуг вид
X—Y X4-Y
Уг ' У~~ V2 '
Подставляя эти выражения х и у в данное уравнение, получим
Произведя упрои1ения, будем иметь
ЗА2 ¦+- Уг- 9 /2Х - 3 V~2 Y + 6^:0.

§ 8]
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ
123
Как и следовало ожидать, полученное уравнение не содержит члена с произве-
произведением переменных. Производя дальнейшее упрощение, как это показано в § 6,
придем к уравнению
или
- +
V~Vf)
12
= 1.
Таким образом, исходное уравнение представляет эллипс с полуосями 2 и _г _
(рис. 81). Чтобы найти координаты центра этого эллипса в системе коорди-
координат хОу, подставим координаты ..
v 3 v 3 г, *
X——— и Y =—гг= точки О, в
формулы преобразования. Получим
_3 3_
Рис. 81.
Таким образом, центр эллипса имеет
координаты @, 3).
§ 8. Классификация линий.
Так как в аналитической гео-
геометрии линии определяются
уравнениями, то в основу их классификации естественно положить
свойства уравнений этик линий. В основу классификации линий мы
положим свойства их уравнений в декартовых координатах. Пере-
Перенося все члены уравнения в левую часть, мы придадим ему вид:
F(x, y) =
B0)
где F есть символ функции от двук переменных л;, у. Если урав'
некие B0) [т. е. функция F(x, у)} — трансцендентное, то и ли-
кия, им определяемая, называется трансцендентной; если же
уравнение B0) — алгебраическое> то и линия, им определяемая,
называется алгебраической. Например, линия, которой соогвеютвует
уравнение
трансцендентная; уравнение же

124 ПРГ.0БРА30ВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ [ГЛ V
определяет алгебраическую линию. Так как одна и та же линия
может быть представлена бесчисленным множеством различных
уравнений, смотря по тому, к какой системе координат мы отно-
относим ее уравнение, то, чтобы оправдать возможность указанной
классификации линий на алгебраические и трансцендентные, необхо-
необходимо показать, что алгебраический или трансцендентный характер
линии не зависит от положения осей координат. Но действи-
действительно, так как формулы преобразования координат суть алгебраи-
алгебраические, то всякое алгебраическое уравнение при любом преобразо-
преобразовании координат переходит в алгебраическое; отсюда уже следует,
что трансцендентное уравнение при любом преобразовании коорди-
координат переходит в трансцендентное же, так как если бы трансцен-
трансцендентное уравнение перешло в алгебраическое, то путем обратного
преобразования алгебраическое уравнение переходило бы в транс-
трансцендентное, что невозможно
Итак, алгебраический или трансцендентный характер линии
(уравнения) не зависит от выбора осей координат, а зависит лишь от
свойств са'мой линии.
Далее, всякое алгебраическое уравнение можно освободить от
радикалов и дробей, если таковые в нем имеются. Таким образом,
уравнение алгебраической линии можно привести к виду:
т е. левая часть такого уравнения есть сумма членов вида Ах*у*,
где А — постоянное число, s и t — целые положительные числа
(или пули) Говоря кратко, левая часть уравнении алгебраической
линии есть целый многочлен Каждый член Axsyt многочлена имеет
определенное измерение, равное сумме показателей при х и у,
т е $-{-*. Наивысшее из измерений всех членов уравнения назы-
называется степенью этого уравнения Если алгебраическая линия
определяется в декартовых координатах уравнением п-й степени,
то она называется линией п-го порядка
Так, в предыдущем примере мы имели линию 3-го порядка;
всякой прямой линии в декартовых координатах соответствует
уравнение первой степени, и следовательно, прямая линия есть ли-
линия 1-го порядка; наконец, окружность, эллине, гипербола и пара-
парабола суть линии 2-го порядка, потому что им в декартовых коорди-
координатах соответствуют уравнения второй степени Чтобы это деление
ал1ебраических линий по их порядкам было законным, необходимо
показать, что оно не зависит от выбора осей координат, т. е.
что порядок линии остается неизменным при любом преобразо-
преобразовании координат. В самом деле, формулы преобразования декар-
декартовых координат в декартовы же, как мы в свое время отметили,
ЯВ1ЯЮТСЯ линейными, т е первой степени Следовательно, заменяя
в djii ебранческом уравнении п-ю порядка х и у их выражениями

упражнения 125
первой степени через X и У, мы не можем повысить порядок урав-
уравнения, т е., обозначая через п' степень преобразованною уравне-
уравнения, мы имеем:
я'<«. B1)
С другой стороны, путем обратного преобразования мы пере-
переходим от нового уравнения степени п' к старому степени я, и, сле-
следовательно, так как степень уравнения не может повыситься, то
должно быть:
Ж/г'. B2)
Из сопоставления этих неравенств заключаем: /г = я', т. е. по-
ряоок уравнения не изменяется при преобразовании декартовых
координат. Итак, порядок алгебраической линии не зависит от
выбора осей координат, а зависит лишь от свойств самой линии.
В указанной классификации линий весьма существенным является
то обстоятельство, что в основу положена декартова система коор-
координат Эта классификация теряет всякий смысл, если пользоваться
попарными координатами В самом деле, как мы видели, окруж-
окружность в полярных координатах может быть определена различными
уравнениями:
г = 2а cos cp,
смотря по выбору полюса и полярной оси Первое из написанных
уравнений относительно текущих координат г и <р есть алгебраи-
алгебраическое и первой степени, второе же — трансцендентное. Таким об-
образом, в полярных координатах одна и та же линия может опре-
определяться как алгебраическим, так и трансцендентным уравнением,
смотря по выбору полюса и полярной оси. Вследствие этою
нельзя классифицировать линии на основе их уравнений в поляр-
полярных координатах.
Упражнения
1. Координаты точки относительно некоторой системы координат суть
х=2, (/ = — 1 Чему будут равны координаты этой точки, если, сохраняя
направление осей, перенести начало координат в точку
а) D. 5), б) D, -5), в) (-4, 5), г) (-4, -5)?
2. Оносительно двух систем координат, имеющих одно и то же напра-
направление осей, координаты некоторой точки суть A2, — 7) и (О, 15) Чему
равны координаты начала каждой из этих сие i ем относительно другой'
3. При замене осей координат новыми, имеющими те же направления,
что и оси прежней системы, координаты точки E, 2) обращаются в B, 5).
Найти координаты начала каждой из этих систем относительно другой.

126 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ [ГЛ. V
4. Две системы координат имеют одинаковые направления осей. Коор-
гинаты начала первой системы относительно второй суть G, — 5). Чему
равны координаты начала второй системы относительно первой?
5. Как изменятся координаты любой точки М (х, у), если: а) изменить
на противоположное направление на оси ординат; б) изменить иа противо-
противоположные направления на обеих осях?
6. Как изменятся координаты любой точки М (х, у), если за ось абсцисс
принять ось ординат и за ось ординат ось абсцисс?
7. Чему будут равны координаты точки М(\, 1^3), если повернуть оси
координат на угол в 60°?
8. На какой угол надо повернуть оси координат, чтобы координаты
точки М B, 0) стали равны между co6oiP
9. Какой вид примет уравнение окружности хг -\-уе = а2, если оси коор-
координат повернуть на произвольный угол а?
10. Какой вид примет уравнение гиперболы я2 — уг — аг, если оси коор-
координат повернуть на угол в 45е?
11. Какой вид примет уравнение 1иперболы ху=1, если оси координат
повернуть на угол в 45е?
12. Дано уравнение у = 4х? — Ъх -\- 5. Преобразовать его так, чтобы оно
не содержало члена с первой степенью л и свободного члена; начертить
кривую.
13. То же для уравнения у = — Зх* -f- 5x.
2х -4- 3
14. Дано уравнение у = —Ч~г • Преобразовать его так, чтобы оио не
х-\-4
содержало членов первого измерения; начертить кривую.
15. Упростить уравнения кривых:
а) Зх + 2уг + &у — 1 = 0; б) уг — Ах — By — 0.
16. Упростить уравнение параболы х = Му*-{-Ny-\-Р. Найти также коорди-
координаты вершины параболы и направления осей симметрии.
17. Построить параболы:
а) 1/ = 2хг-4* + 8; б) *2+ 6* + i/ +7 = 0;
а) уг + 8г/ —2х+ 12 = 0; г) 2у*
упростив предварительно их уравнения.
18. Построить кривые:
а) х2 -\- 4х + 4у* = 0;
б) 2хг-8х + уг -бу+1—0;
в) х2 — 8х — 4</г = 0;
г) уг-&у-хг-{-2х = 0,
упростив предварительно их уравнения.
19. Составить простейшие уравнения, а также построить кривые, выражаемые
уравнениями:
а) Чху — Ах — 2# +3 = 0;
б) Ьх*+\2ху — 22х— \2у— 19 = 0;
в) х* + 2ху + у* + Зх + у = 0;
г) бг' -4- 6«/ -f- 5i/s — 16х— Щ— 16=0;
д) 5хг + 8ху + 5уг~ \8х- Щ + 9 — 0;
е) Ах2 — \2ху 4- 9/ — Збх \- 100 = 0.

УПРАЖНЕНИЯ
127
20. Какого порядка алгебраическая кривая, выражаемая уравненном
Y~x + y -f- Vx^y = 1?
21. Какие из ниженаписанных уравнений выражают алгебраические кри-
кривые и какие трансцендентные.
a) xa + yh + l=0, б) ах + ЬУ+ 1=0,
в) х cos а 4- у cos р — р = 0; г) а cos х -(- Р cos у — р — О
(а, Ь, а, Р — постоянные)?
22. Даны уравнения кривых в полярных координатах:
а) г = a cos q>; б) г = а -|—— ; в) г = а A -\- cos ер).
Показать, что они выражают алгебраические кривые.

ГЛАВА VI
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го и 3-го ПОРЯДКА
§ 1. Определители 2-го порядка. Рассмотрим систему двух
уравнений первой степени с двумя неизвестными
V '
Чтобы найти решение системы A), исключим сначала неизвестное у.
Для этого умножим первое уравнение на Ьг и второе на Ьи а затем,
вычитая второе уравнение из первого, получим:
(atb2 — atbl)x = clbi — сгЬг. B)
Аналогично исключим неизвестное х из системы A) и найдем:
[.albt — atbl)y = alct — atcl. C)
Если
то из уравнений B) и C) получим определенное решение системы A).
Ci&2 — сгЪ1 atc2 — Яге,
Числитель и знаменатель полученных выражений называются
определителями 2-го порядка. Вообще, если имеются четыре числа,
расположенных в виде квадратной таблицы
то определителем 2-го порядка, соответствующим этой таблице,
называется разность
Для обозначения определителя принимают символ
А. В.
E)

§ II
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО ПОРЯДКА
129
Числа Ах, Д2, BJt Вг называют элементами определителя E);
значок указывает номер строки, а алфавитный порядок буквы —
номер столбца, на пересечении которых находится рассматриваем! гй
элемент. Элементы Аг, Вг образуют главную диагональ определи-
определителя, а элементы Вг и Аг— побочную.
Из формулы E) явствует, что
в, в,
=
и
В1 А1
= —
т. е. при замене строк столбцами величина определителя 2-го по-
порядка не изменяется, а при перестановке столбцов меняет знак па
обратный. Очевидно, решение D) системы A) может быть выражено
через определители таким образом:
х-
а\ ъ\
D')
Определитель, стоящий в знаменателе, составлен из коэффициентоп
при неизвестных системы A) и носит название определителя этой
системы. Определители, стоящие в числителях формул D'), полу-
получаются из определителя системы путем замены соответственно пер-
первого и второго столбцов свободными членами этой системы.
Итак, если определитель системы A) не равен нулю, то фор-
формулы D') дают единственное решение этой системы, причем значе-
значение неизвестного равно дроби, в знаменателе которой стоит опре-
определитель системы, в числителе же определитель, получающийся из
определителя системы заменой коэффициентов при определяемом
неизвестном свободными членами системы (стоящими в правой
части).
Вели определитель системы равен нулю, но по крайней мере
один из определителей, стоящих в числителях выражений D') для
х и у, отличен от нуля, то система A) несовместна, т. е. не имеет
никакого решения, как это следует из уравнений B), C).
В этом случае из равенства нулю определителя системы выте-
1 Ь
каст, что а^Ьг = агЬ откуда -! = -2) т. е. коэффициенты при не-
известных пропорциональны. Очевидно, справедливо и обратное —
если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, то опреде-
определитель системы равен нулю. Наконец, если
= 0.
а Ь
2 2
С2 Ьг
=
аг с.
а2 Ct
то система A) неопределенна, т. е. имеет бесконечное множестве*

130
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКА
[ГЛ. VI
решений. В этом случае одно из уравнений A) есть следствие дру-
другого. В самом деле, мы имеем:
или
ст, ft, __ с,
а2 Ьг ' сг
откуда вытекает, что одно из уравнений системы A) есть следствие
другого.
Таким образом, мы приходим к выводу:
1) если коэффициенты при неизвестных в уравнениях системы A)
непропорциональны, то система совместна и определенна;
2) если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, а сво-
свободные члены им не пропорциональны, то система несовместна;
3) если пропорциональны коэффициенты при неизвестных и сво-
свободные члены, то система неопределенна.
Все эти случаи могут быть истолкованы геометрически, если
рассматривать уравнения A) как уравнения двух прямых линий.
В первом случае две прямые пересекаются в определенной точке,
координаты которой представляют решение системы A); во втором
случае прямые параллельны и не совпадают; наконец, в третьем
случае они сливаются друг с другом.
Пример 1. Решить систему
2*4-30-8 = 0,
х— 2i/-f-3 = 0.
Определитель этой системы
= — 7 отличен от нуля, и, следова-
следовательно, система имеет единственное решение. Чтобы найти его, перенесем
свободные члены направо и воспользуемся формулами D'):
*=-
8
— 3
2
1
3
2
3
— 2
=-?
2
1
2
1
8
g
3
о
_7
Пример 2, Решить систему
Зх + у=\.
Определитель этой системы
13 1
|6 5,
убедимся непосредственно, если умножим первое уравнение на 2.
= 6 — 6 = 0, причем определитель
= 9 отличен от нуля; следовательно, данная система несовместна, в чем
ся непосредственно, если умн
Пример 3. Решить систему
Опрсдрлитель отой системы
х — 2у = 3,
2х— 4(/ — 6 = 0.
1 —2
II 3
2 6
2 —4
= 0, причем оба определителя
3 —21
б -4
тоже равны нулю; следовательно, данная система неопределенна. Дей-

§ 2] ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА. ДВУХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 131
где у может принимать произвольные значения.
В частности, однородная система
ствительно, сокращая второе уравнение на 2, видим, что система приводится
к одному уравнению
х — 2у — 3
н, следовательно, имеет бесконечное множество решений:
F)
либо имеет определенное решение, либо неопределенна, так как
для нее случай несовместимости невозможен. Другими словами,
система F) имеет одно решение х=у = 0 (назовем его нулевым
решением), если ее определитель отличен от нуля. Если же
«А
а.Ь.
= 0.
а, 6,
т е -—- = —
• • а2 Ьг '
то одно из уравнений F) есть следствие другого; система F) при-
приводится к одному уравнению, например
и имеет бесконечное множество решений, определяемых с точностью
до произвольного множителя k; x = kbiy у^— kat, и отличных
от нулевого решения при k^=0. Геометрически уравнениям F)
соответствуют две прямые линии, проходящие через начало коорди-
координат, которые либо различны и имеют единственную общую точку
в начале координат, либо совпадают.
§ 2. Однородная система двух уравнений с тремя неизвест-
неизвестными. Рассмотрим систему двух однородных уравнений с тремя
неизвестными х, у, г:
Предположим, что из трех определителей
аг
К
аг
С,
сг
Ь1 с,
по крайней мере один, например первый, отличен от нуля. Тогда,
перенося члены с z в правую часть и решая уравнения относи-
относительно х и у, получим на основании D'):
с, а,|
х —
z, у =
я, ft,
где z произвольно.

132
ОПРРДРЛИТЕЛИ 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКА
[гл. vi
Введем обозначение
Тогда
а, 6,
а2 Ьг
— k.
(8)
(9)
где & есть произвольный множитель пропорциональности. Если взять
k =?0, то получим решение системы, отличное от очевидного нуле-
нулевого решения x=y = z = 0, получающегося при & = О. Заметим,
что определители формул (9), которым пропорциональны неизвест-
неизвестные системы G), получаются из таблицы коэффициентов этой си-
системы
в„ К, с,
путем вычеркивания соответствующего столбца, при этом для сред-
среднего неизвестного необходимо еще нерест «шить столбцы в получен-
полученном определителе.
Если все три определителя, стоящие в формулах (9), равны
нулю, то соответствующие коэффициенты уравнений G) будут про-
пропорциональны, и, следовательно, система G) приведется к одному
уравнению
откуда, считая, например, «,=/=0, получим:
где у и z могут принимать любые значения.
Пример 1. Решить систему х -\- 2у — Зг = 0, Чх -f- Ъу -\- г = 0.
Составляем таблицу из коэффициентов данной системы:
1, 2, -3
2, 3, 1
и, вычеркивая поочередно столбцы, образуем определители:
t
(в среднем определителе меняем порядок столбцов). Согласно формулам (9)
решение системы будет.
х = Ш, </=: — 7k, z = — k,
где k произвольно.
Пример 2. Решить систему
2х — у — 5г = 0, 4х — 2у—10г = 0.
2—3
3 1
= 11,
-3 1
1 2
= -7,
1 2
2 3

§ 3]
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 3-ГО ПОРЯДКА
133
Составляя таблицу из коэффициентов
2. -1, - 5
4, — 2, — 10
и вычеркивая поочередно столбцы, получим
— 1—5
-2-10
= 0,
— 52
= 0,
2 — I
= 0.
— 10 4
Следовательно, данная система приводится к одному уравнению:
1х — у — Ьг = 0,
в чем убеждаемся непосредственно, если сократим на 2 второе уравнение.
Решение системы будет
у = 2х — Ьг,
где х и г могут принимать произвольные значения.
§ 3. Определители 3-го порядка. Рассмотрим систему трех
уравнений первой степени с тремя неизвестными:
A0)
Чтобы решить эту систему, исключим из уравнений A0) два
неизвестных, например у и z, следующим образом. Умножим данные
уравнении почленно на /, /и, п и, сложив, определим введенные
множители так, чтобы коэффициенты при у и z были равны нулю.
Таким образом, сперва получим:
(а„/ + агт + агп) х + (bj + hjn + ban) у +
-\-(c1l-\-c1mJrctn)z = d1l-\- d2m
Положив
получим уравнение
Из уравнений A1) определим /, /я, п с точностью до общего мно-
множителя; мы можем принять (§ 2):
by с,
Внося эти значения в уравнение A2), получим в результате уравне-
уравнение, содержащее одно неизвестное х:
•).
Ьг сг
Ь, с,
*, с,
Ьг С,
+ <*,
bx Ci
Ь* C2
b2 c2
bz c,
i
-\-d,
b* c3
by c,
Ьг С,
b2 c2
') Полностью проведенное решение системы A0) см. в § 5 этой главы.

134 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКА
Коэффициент при х
[гл. vi
A4)
назовем определителем 3-го порядка, соответствующим квадратной
таблице из девяти элементов:
я,
1
Ь2 с2
Ь> са
—!— &
2
К ^
Ьх с,
Ь, с,
A5)
и обозначим его символически так:
Если заменить определители 2-го порядка их выражениями, то
получим окончательно для определителя 3-го порядка следующее
выражение:
аг Ъг сг
a, (V, —
Можно указать простое правило составления последнего выра-
выражения. Для этого напишем таблицу A5), приписывая к ней справа
еще -раз первый и второй столбцы.
М
A7)
Возьмем со знаком плюс произведение элементов, стоящих на
главной диагонали определителя, а также произведения элементов,
стоящих на двух параллелях к ней, содержащих по три элемента
(на схеме A7) перечеркнуты сплошной линией). Произведения же эле-
элементов, стоящих на побочной диагонали и на двух параллелах к ией,
содержащих по три элемента, возьмем се знаком минус (на схеме
A7) перечеркнуты пунктиром). Алгебраическая сумма этих ше-
шести произведений дает, как это усматриваем из выражения A6),
определитель 3-го порядка, совтветствующий квадратной таблице A5).
П р ч м е р. Вычислить определитель
1 2 3
-13 4.
2 5 2

§ 4]
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 3-ГО ПОРЯДКА
135
Согласно определению A4) имеем:
1 2 3
— 13 4
2 5 2
= 1-
3 4
5 2
+ (-!)¦
5 2
2 3
+ 2.
2 3
3 4
= _ 14-Н-2 = — 27.
§ 4. Основные свойства определителей 3-го порядка. I. При
замене строк столбцами величина определителя не меняется
(равноправность строк и столбцов).
Это свойство может быть выражено так:
. Ь, с
Справедливость этого свойства легко проверить, вычисляя опреде-
определители, стоящие в левой и правой частях равенства, согласно
схеме A7):
4
S:
В самом деле, мы усматриваем, что в обоик случаях элементы,
перечеркнутые сплошной чертой, как и элементы, перечеркнутые
пунктиром, будут давать одни и те же произведения. Следовательно,
в определителе строки вполне равноправны со столбцами, и все
остальные свойства будут иметь место как по отношению к строкам,
так и по отношению к столбцам.
II. При перестановке двух столбцов (или строк) определитель
лишь меняет знак.
Так, например, переставляя первый и второй столбцы, получим:
аг Ьг
а, с3
Это свойство легко проверить, пользуясь схемой A7). Действи-
Действительно, при перестановке двух столбцов элементы, перечеркнутые
сплошной чертой, займут место элементов, перечеркнутых пункти-
пунктиром, и обратно, что равносильно изменению знака определителя.
III. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (или стро-
строками) равен нулю.
В самом деле, с одной стороны, при перестановке одинаковых
столбцов определитель не изменяется; с другой же стороны, в силу
свойства II он должен переменить знак, т. е. если через Д обозна-
обозначим величину определителя, то Д = —Д, откуда Д —О,

136
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКА
[гл. vi
Чтобы установить дальнейшие свойства определителей, введем
предварительно некоторые новые понятия. Если из определителя
вычеркнуть одну строку и один столбец, на пересечении кото-
которых стоит некоторый элемент, то получится определитель 2-го по-
порядка, который называется минором определителя Д, соответ-
соответствующим этому элементу. Так, например, минором определителя А,
соответствующим элементу &,, будет определитель 2-го порядка
1 ' . Условимся называть алгебраическим дополнением А неко-
аг сг
торого элемента а соответствующий ему минор, взятый со знаком -J-
илн —, смотря по тому, будет ли сумма номеров строки и столбца,
которым принадлежит данный элемент, четным или нечетным числом.
Так, например, алгебраическое дополнение элемента Ь, будет
о
Располагая сумму, стоящую в правой части формулы A6), но
элементам, например первого столбца, получим:
пли
где А; есть алгебраическое дополнение элемента а;.
Легко проверить, что аналогичная формула имеет место и по
отношению к любому столбцу, а значит, и к любой строке. Итак,
получаем разложение определителя по элементам некоторого
ряда (строки или столбца):
A8)
где большими буквами обозначены алгебраические дополнения эле-
элементов, обозначенных малыми буквами.
Если в определителе А заменим, например, элементы первого
столбца а,, а2, д, элементами второго столбца ЬЛ, Ьг, ba, то при
•этой замене алгебраические дополнения Alt Аг, А„ не содержащие
элементов первого столбца, не изменятся, а потому, если в правой
части первой формулы A8) вместо а\, аг, аг подставить элементы
''п *2> ^ai го сумма будет равна определителю, у которого первый

§ 4] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 3-ГО ПОРЯДКА 137
и второй столбцы одинаковы, т. е. будет равна нулю:
Поступая аналогично, получим из первых трех формул A8) сле-
следующую группу формул:
a1B1-[-a1Bt^.atBt = 0, ciBi -\-сгВг +с,В, = 0, I A9)
fllC1+aiCi+a1C1 = 0, VH-A.C, + Ь,С, = 0, J
а из последних трех:
^=0, аИ, + ft.fi,+ с,С, = 0. I A9')
J
Написанные формулы A8), A9) и A9') выражают следующее
свойство определители:
IV. Сумма произведений элементов некоторого ряда (столбца
или строки) на алгебраические дополнения этих элементов равна
определителю, а сумма произведений элементов некоторого ряда
(столбца или строки) на алгебраические дополнения соответ-
соответствующих элементов параллельного ряда (столбца или строки)
равна нулю.
V. Множитель, общий элементам некоторого ряда (столбца
или строки), можно выносить за знак определителя.
VI. Определитель равен нулю, если все элементы некоторого
его ряда (столбца или строки) равны нулю.
Последние два свойства непосредственно вытекают из формул A8),
определяющих разложение определителя по элементам одного из
его рядов. Столь же просто доказывается и следующее свойство.
VII. Если элементы некоторого ряда (столбца или строки)
представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель
может быть представлен в виде суммы двух определителей,
у которых элементы рассматриваемого ряда равны соответ-
соответственным слагаемым.
Это свойство, очевидно, распространяется на любо<; число сла-
слагаемых. Чтобы доказать это свойство, предположим, например, -по
<*.=<+<. *,=*ш-\-а1 *.=*;+<•
Подставляя эти выражения в первую из формул A8), получим:
А = (аИ, + а'гАг + а'Аг) + (аМ, + а\Ах + а" А,) = А' + Д".
Очевидно, А' представляет определитель, получающийся из опреде-
определителя А, если в нем элементы первого столбца заменить через
a't, a's, а'г; определитель же А" получится из определители Д после
замены элементов первого столбца на а"^ а, a"t.

138
ОПРПДРЛИТЕЛИ 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКА
[гл. vi
VIII. Величина определителя не изменится, если к элементам
некоторого ряда (столбца или строки) прибавить (или от них
вычесть) элементы параллельного ряда (столбца или строки),
предварительно умножив эти последние на один и. тот же про-
произвольном множитель I.
В самом деле, заменим элементы, например первой строки, со-
соответственно через ах-^-1аг, Ъ1 -\-11>г, с^-\-1сг. Вследствие послед-
последнего свойства полученный определитель может быть представлен
в виде суммы двух определителей. Первый из них будет иметь
первую строку я,, Ь1Л с,, т. е. будет равен исходному определи-
определителю А Первая же строка второго определителя будет 1аг, 1Ьг, /с2,
и, вынося / за знак определителя (V), получим определитель с двумя
одинаковыми строками; следовательно, второй определитель равен
пулю (VI); вся же сумма равна исходному определителю А.
Пользуясь свойством VIII, можно все элементы некоторого ряда,
кроме одного, сделать равными нулю, не изменяя при этом величины
определителя. Разлагая затем определитель по элементам этого ряда,
приведем данный определитель 3-го порядка к одному определителю
2-го порядка. Действительно, пусть в определителе
д=
элемент а, отличен от нуля. Вычтем из элементов второго столбца
элементы первого столбца, умножив та предварительно на —— ,
и из элементов третьего столбца — элементы первого столбца,
умноженные на ——. При таких преобразованиях в силу свойства VIII
величина определителя не изменится, и мы получим;
Д =
Пример. Вычислить определитель
2 3 4
1 2 5
4 7 6
Вычитая из элементов второго столбца элементы первого, умноженные
на 2, а из элементов третьего столбца — элементы первого столбца, умно-
умноженные на 5, получим:
а,
«2
0
тг
0
«2
я,
— аг
2
1
4
3
2
7
4
5
6
=
о
4 —
1 —
0
1 —
6
0
14
— 1 — 6
— 1 — 14
— —Я.

§ 5]
СИСТЕМА ТРЕХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
139
Непосредственное вычисление данного определителя путем разложения его но
элементам некоторого ряда потребовало бы несколько больших выкладок и сно-
дилось бы к следующему. Применяя, нагрьмер, первую из формул A8), получаем:
2 3 4
1 2 5
4 7 6
= 2
2 5
7 б
3 4
7 6
3 4
2 5
= 2 (— 23) — (— 10) + 4 7 = —i
§ 5. Система трех уравнений первой степени с тремя неиз-
неизвестными. К понятию определители 3-го порядка мы пришли, поста-
поставив задачу о решении системы трех уравнений с тремя неизвестными.
Возвращаясь к этой задаче, рассмотрим систему трех уравнений
первой степени с тремя неизвестными:
B0)
и предположим, что определитель этой системы
"•г
отличен от нуля. Умножим уравнения B0) почленно на Л,, Аг, А,
и сложим. В силу формул A8) коэффициент при х будет равен Д,
а в силу формул A9) коэффициенты при у и z будут равны нулю.
Поступая аналогично, исключим л: и г, а также хну. Таким обра-
образом, из системы B0) вытекает следующая система:
B1)
JIciko показать и обратное, что система B0) есть следствие си-
системы B1). В самом деле, умножая уравнения B1) почленно на alt
Ьг1 с1 и складывая, получим вследствие формул A8) и A9):
Сокращая на множитель Д, отличный от нуля, получим первое
из уравнений B0). Аналогично можно получить и остальные два
уравнения.
Итак, мы показали, что системы B0) и B1) равносильны, если
определитель Д отличен от нуля. Из уравнении системы B1) находим:
B2)
д

140
опррдглители 2-го и 3-го порядка
[ГЛ. VI
Сумма d1A1-\-dsA!-\-daAa получается из суммы a1Al-\-atAt-{~
-\-atA,, равной определителю Д, заменой а,, а2, а3 на dt, d2, d,. т. с.
эта сумма равна определителю, который получится из А, если в нем
элементы nepnoio столбца заменить на d,, d2, d,. Аналогичное заклю-
заключение имеет место относительно числителей в выражениях у и г.
Таким образом, формулы B2) в более подробном виде запишутся
гак:
«1 d, с,
с,
J
d]
а,
«3
ь,
ъ\
ь,
ь
с,
с,
с,
с,
у -.—-
а, Ь, dx
а2 b2 d2
d. bo d*
l*3 **3 **3
a, 6, c,
B2')
и мы приходим к следующему предложению: если определитель
сис1емы B0) отличен от нуля, то эта система имеет одно опреде-
определенное решение, получаемое по формулам B2'). В знаменателе дро-
дробей, выражающих х, у, z, находится определитель Д данной системы,
а в числителях — определители 3-го порядка, которые получаются
из Д заменой коэффициентов при соответствующем неизвестном сво-
свободными членами (стоящими в правых частях).
Пример. Решить систему
2x — Ъу + z + 1 = О,
Определитель системы
2—3 1
Д =
1 1
1 -2
— 6, Зх + у - Чг =— 1.
= — 23
1 -
1
5
-4
1
3
0
1
0
1
5
—4
3
отличен от нуля; следовательно, система имеет единственное решение. Согласно
формулам B2') будем иметь:
- ^_—23
—23 ~—23— '
~46
—1
6
1
—3
1
1
1
1
—2
— 1
7
—3
. з
4
—5
1
0
0
—23
—23
2
1
3
— 1
6
— 1
1
1
—2
0
1
7
0
7
—3
1
1
—2
— 1
7
7
—3
—23
2 -3 —1
1 1 6
3 1 —1
—23
—23
0 —5 —13
1 1 6
О —2 — И)
=23 ~
—23 ~
-5 —13
-2 —19
_23

§ 6]
ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА
141
§ 6. Однородная система. Перейдем теперь к исследованию
системы однородных уравнений:
Х1 — ах
с,г = О,
BС)
причем для сокращения письма ми через Xlt Аг2, X, обозначаем
левые части уравнений. Исследование разобьем на три случая.
I. Если определитель А системы B3) отличен or нуля, то эта
система будет иметь одно определенное решение согласно § 5. В нашем
случае это будет очевидное решение х = y = z = 0, которое назы-
влот нулевым решением.
II. Предположим, что определитель А системы B3) равен нулю,
но но крайней мере один из его миноров отличен от пуля. Уста-
Устанавливая надлежащим образом порядок уравнений и неизвестных
в системе B3), можно всегда лостшнуть того, чтобы минор, отлич-
отличный от пуля, стоял в левом верхнем уг-iy определителя А. Итак,
не уменьшая общности, мы можем считать
••' о.
Рассмотрим определитель
Хг
Заменяя Хг, Х2, Х3 их выражениями, мы можем вследствие свойств
V и VII (§ 4) представить определитель D в виде суммы трех опре-
определителей:
г.
Определители, стоящие при х и _у, равны нулю, так как имеют
по два одинаковых столбца, а определитель, стоящий при г, есть
определитель А, равный нулю но условию, т. е. имеет место тож-
тождество относительно х, у, z:
al
«2
a,
b2 at
b, a3
x-\-
д, b
fl2 /
a3 b
i b,
г Ьг
«2
ft3
сг
Хг
B4)

142
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО II 3-ГО ПОРЯДКА
[гл. vi
Разлагая последний определитель по элементам последнего столбца,
видим, что это тождество выражает линейную зависимость между
*Хг, Хг, Хг, причем коэффициент при Xs, очевидно, равен б и заве-
заведомо отличен от нуля:
а,*,+ «,*. + «*, = О, B4')
где а, и а2 суть алгебраические дополнения элементов Х1У Хг.
Это тождество показывает, что третье из уравнений B3) есть
следствие первых двух. В самом деле, если при некоторых значе-
значениях х, у, z мы будем иметь Xt — Хг = 0, то из тождества B4')
и условия 6^=0 вытекает, что и А"а = 0 для этих значений х, _у, z.
Таким образом, в рассматриваемом случае остается решить сов-
совместно первые два уравнения системы B3). Согласно формулам (9)
решение будет:
т. е.
ft, с,
у —к
С,
С2
аг
ft,
*2
где & есть произвольный множитель. Если k^?=Q, то г^О и полу-
получаемое решение отлично от нулевого.
III. Предположим, наконец, что определитель Д и все его ми-
поры равны нулю. Не уменьшая общности, можем считать, что коэф-
коэффициент а, отличен от нуля. Рассмотрим два определителя 2-го по-
порядка:
а, X,
Каждый из этик определителей можно представить в виде суммы
трех, определителей (§ 4):
«, fl3
х +
а
1
а2
К
*1
К
уЛ-
у-г
а,
1
«2
С,
сг
с,
с,
Непосредственно видно, что определители, стоящие при х, равны
нулю. Кроме того, равны нулю также и определители, стоящие при
у н z, так как по условию все миноры определителя Д равны нулю.
Следовательно,

§ 6]
ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА
143
Итак, в рассматриваемом случае будут иметь место два тождеств
относительно х, у, z:
а, X,
= 0,
в, Хш
«з *s
= 0,
или
B5)
B5')
Эти тождества показывают, что последние два из уравнений B3)
суть следствия первого. В самом деле, из тождеств B5') и условия
а,=?0 вытекает, что если ^", = 0, то и Хг = Ха = 0. Итак, в рас-
рассматриваемом случае достаточно решить одно первое уравнение, и
мы получим решение системы B3) в виде:
а значения у vl z остаются произвольными.
Резюмируя исследования этого параграфа, приходим к следую-
следующему предложению.
Для того чтобы однородная система B3) имела решения,
отличные от нулевого, необходимо и достаточно, чтобы определи-
определитель этой, системы был равен нулю. Если этот определитель
равен нулю, но по крайней мере один из его миноров отличен от
нуля, то одно из уравнений, системы есть следствие двух других.
Если же не только определитель системы B3), но и все его ми-
миноры равны нулю, то система приводится к одному уравнению.
Пример 1. Решить систему
2х — 3(/-И = 0, x+y + z=0, Зх + у— 2г=0.
Определитель системы
2 —3 1
1 1 1
1 —2
= — 23
отличен от нуля. Следовательно, данная система имеет единственное нулевое
решение.
Пример 2. Решить систему
= 0, Зх — y-{-2z = 0, х— Ъу — О.
Определитель системы
Минор определителя Д, например
1 1
3 —1
1
3
1
1
—1
—3
1
2
0
—
1
1
1
1
—3
—3
1
0
0

144
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКА
[гл. vi
отличен от нуля. Следовательно, третье уравнение данной системы есть
следствие двух первых, и достаточно решить совместно два первых уравнения.
Решая их, найдем (§ 2):
х —/'-
1 1
— 1 2
= 3/г, у-—к
! 1 1
2 3
где & произвольно.
Пример 3. Решить систему
х — у-\-г = О, 2х —
Определитель системы
Д —
г = к
Зх—
1 1
3 —1
= —4k,
-- 0.
1
2
3
— 1
—2
з
1
2
3
3
1
1
1
—1
—1
—1
1
1
1
= 0.
Все миноры определителя Д тоже равны нулю. Следовательно, система при-
приводится к одному уравнению, что непосредственно становится ясным, если
сократить второе уравнение на 2 и третье на 3. Чтобы найти решения системы,
достаточно разрешить лишь первое уравнение, и получаем:
у — х + г,
где х к г остаются произвольными.
§ 7. Общее исследование системы трех уравнений первой
степени с тремя неизвестными. Обращаясь теперь к исследованию
неоднородной системы
рассмотрим отдельно ряд случаев.
I. Если определитель А этой системы отличен от нуля, то си-
система эта имеет единственное решение, выражаемое формулами
B2') (§ 5).
П. Предположим, что определитель А равен нулю, но по крайней
мере один из его миноров, за который мы можем принять, не умень-
уменьшая общности,
а, Ьх
Ь,
6 =
отличен от нуля. В этом случае, как мы видели в § 6, левые часiи
уравнений B6) связаны линейной зависимостью B4). Отсюда вытекает,
что если система B6) допускает решение, то и прапые части dlt d2t ds
уравнений этой системы должны удовлетворять той же линейной
зависимости, т. е. должно быть:
= 0.
Итак, случай II подразделяется на два;

§ 7] ОБЩЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ТРЕХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 145
IIj. Если
аг *, d,
а, Ь, d.
то система B6) несовместна, т. е. не имеет никакого решения.
аг Ьг di
П2. Если "же
at Ьг
= 0,
то будут иметь место два равенства:
«A
=0,
из которых первое выполняется тождественно относительно х, у, г,
как это было установлено в § 6, а второе получается из данного
условия разложением по элементам последнего столбца.
Вычитая из первого равенства второе, получаем тождество
а, {Хл - dt) + а2 (Хг - d2) + 6 (А; - dt) = 0,
откуда усматриваем, что третье из уравнений B6), а именно Xt — d3 =
= 0, есть следствие первых двух: Хг — d,==:0, Хг — dt = 0. Чтобы
найти решение системы B6), остается решить совместно первые ее
два уравнения, которые можно переписать в виде:
Таким образом, решение этой системы, а следовательно, и системы
B6), будет вида:
d, -с,2 6,
У —
a, d2 — c.zz
где z остается произвольным.
111. Пусть, наконец, определитель А и все его миноры равны
нулю. Не уменьшая общности, можно считать а,=^0. В этом случае,
как было показано в § 6, будут иметь место две линейные зависи-
зависимости B5) между левыми частями уравнений B6). Если данная
система допускает решение, то н правые части rf,, d2, dt должны
удовлетворять те.«д же зависимостям, а именно:
a, d1
a, fiL
= 0,
а, dl
= 0,
и случай III подразделяется на дна;
\Л \Л ГТИ, Г, ., Т.-.Т*

146
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКА
[гл. VI
Ш,. Если хотя бы один из определителей
аг d,
аг ds
a, d,
a, d,
отличен от нуля, то система B6) несовместна, т. е. не имеет ре-
решений.
Ш2. Если же одновременно
a, dt
d =0 и
то будут иметь место равенства:
= 0,
1гг1 , 13 ,л,
axdt ~a2d1=^0, axdt — aidl = 0,
из которых первые два выполняются тождественно относительно
х, у, z, как это было установлено в § 6, а вторые два выражают
условия разбираемого случая III,.
Из последних равенств попарным вычитанием получаем:
откуда мы усматриваем, что последние два из уравнений B6) суть
следствия первого уравнения.
Таким образом, система B6) приводится к одному первому урав-
уравнению; решая его относительно х, получим решение системы B6):
„ <*| — Ь,у — v
Х— а, >
где у и г остаются произвольными.
Резюмируя исследования настоящего параграфа, приходим к сле-
следующим предложениям:
Если определитель А неоднородной системы B6) отличен от
нуля, то система имеет единственное решение, определяемое
по формулам B2').
Если определитель А равен нулю, но по крайней мере один
из его миноров отличен от нуля, то система B6) либо несов-
несовместна, либо неопределенна. В первом случае среди определителей
3-го порядка, принадлежащих таблице
с„ d2,
B7)
есть по крайней мере один, отличный от нуля, во втором случае
все эти определители равны нулю, и система B6) приводится
к двум уравнениям.

§ 7]
ОБЩЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ТРЕХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 14-7
Если, наконец, вместе с определителем системы B6) все его
миноры равны нулю, то система B6) либо несовместна, либо не-
неопределенна. В первом случае среди определителей 2-го порядка,
принадлежащих таблице B7), есть хоть один, отличный от нуля,
во втором же случае все определители 1-го порядка этой таблицы
равны нулю, и система B6) приводится к одному уравнению.
Пример 1. Решить систему
х-\-у + г = 5, х — # + г = 1,
Определитель системы
Д =
1 1 1
1-11
1 0 1
= 0,
но среди его миноров есть отличный от нуля, например!
Среди определителей 3-го порядка таблицы
1. 1. К 5,
1,-1. 1, 1.
1, 0, 1, 2
имеется определитель, отличный от нуля, например!
1 1 5
1 1
1 -1
-Ill
О 1 2
= —2.
Следовательно, данная система не имеет решения, что непосредственно оче-
очевидно, если сложить первые два уравнения и сравнить результат с трещим
уравнением.
Пример 2. Решить систему
= 5, х —
Определитель системы — тот же, что и в предыдущем примере, следова-
следовательно, Д=:0, но среди его миноров есть отличный от нуля. Определители
3-го порядка таблицы
1, 1, 1, 5,
1,-1, 1. 1,
1, 0, 1, 3
все равны нулю. Следовательно, данная система приводится к двум уравне-
уравнениям, что непосредственно становится ясным, если сложим первые два урав-
уравнения.
Решая совместно первые два уравнения, получим!
х + г = 3, у = 2, или х = 3 — г, у = 2,
где г произвольно.
Пример 3. Решить систему
= 5, 6х + Ъу + Зг = 10.
А*

148
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКА
[ГЛ. VI
Определитель системы
Д =
2
4
6
1
2
3
I
2
3
= 6
2
2
2
1
1
1
1
I
1
= 0.
Все его миноры тоже равны нулю. Среди определителей 2-го порядка таб-
таблицы
2, 1, 1, 4
4, 2, 2, 5
6, 3, 3, 10
есть отличный от нуля, например
1 41
0 г =— 3. Следовательно, данная си-
1 О
стема несовместна, в чем убеждаемся непосредственно, умножив первое уравне-
уравнение iid 2 или на 3.
Пример 4. Решить систему
г = 12.
Определитель системы — тот же, что и в предыдущем примере' значит,
Л = 0 и все его миноры тоже равны нулю. Определители 2-го порядка таб-
таблицы
2, 1, I, 4,
4, 2, 2, 8,
6, 3, 3, 12
все равны пулю. Следовательно, данная система приводится к одному урав-
уравнению, в чем непосредственно убеждаемся, если сократим второе уравнение
на 2, а третье на 3 Остается решить первое уравнение, чтобы получить решение
данной системы. Таким образом, находим:
где хну произвольны.
г = 4— 2х — у,
§ 8. Некоторые приложения определителей к аналитической
геометрии.
1. Площадь треугольника.
В гл. I, § 10 мы вычислили площадь 5 треугольника по коорди-
координатам его вершин и получили формулу
—-4- 1
¦X, У*—Уг
которую можно переписать таким образом:
х
1
г~х* У,— У,
Х-.— Х> У,—У г
У*

§ 8] ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ К АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 149
Прибавляя к элементам первых двух строк элементы третьей
строки, найдем окончательно:
*, Ух
X. Уг 1
У* 1
2. Условие, при котором три точки лежат на одной
прямой.
Если три данные точки находятся на одной прямой линии, то
S = 0, и обратно. Следовательно, условием того, чтобы три данные
точки (х1г ул), (х2, уг), (х3, у,) лежали на одной прямой, будет
= 0.
3. Уравнение прямой, проходящей через две дан-
данные точки.
Заменив в последнем условии (хг, у3) текущими координатами
(х, у), получим уравнение первой степени:
хг
хг
X
Уг
Уг
У
1
1
1
= 0 или
х,
У 1
Ух 1
Уг 1
= 0.
которое определяет прямую линию, проходящую через две данные
точки: (дг„ з\) и (*г1 Уг)-
Эту задачу возможно также решить с помощью определителей,
не прибегая к формуле для площади треугольника. Пусть уравнение
искомой прямой линии будет Ах-\-Ву-\-С=0. Так как эта прямая
согласно условию должна проходить через точки (л:,, уг), (х2, у2), то
"координаты последних должны удовлетворять уравнению прямой, т. е.
Итак, имеем три уравнения:
Ах-\-Ву-[-С = 0, i4j:1
где х, у суть координаты, любой точки нашей прямой. Эти уравнения
являются однородными относительно неизвестных А, В, С. Эта си-
система должна иметь решение, отличное от нулевого. Как мы знаем,
необходимым и достаточным условием для этого являемся равенство
нулю определителя системы, т. е.
= 0.
X
хг
хг
У
Ух
Уг
1
1
1

150
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКА
[гл. vi
Полученное уравнение первой степени относительно х, у изображает,
очевидно, искомую прямую. Легко проверить, что координаты двух
данных точек удовлетворяют составленному уравнению. Действи-
Действительно, подставляя вместо х, у координаты данной точки, получим
в левой части определитель с двумя одинаковыми строками, кото-
который, очевидно, равен нулю. Полученное уравнение можно рассма-
рассматривать также, как условие того, что три точки (х, у), (*,, yt),
(х2, у,,) лежат на одной прямой.
4. Условие, при котором три прямые пересекаются
в одной точке.
Пусть три данные прямые липни
пересекаются в одной точке (л:0, у0). Координаты этой точки должны
удовлетворять уравнениям данных прямых:
Эти равенства показывают, что однородная система
имеет ненулевое решение х = ха, у—уа, 2=1. Следовательно, опре-
определитель этой системы должен быть равен нулю, что и дает нам
искомое условие:
\c*
= 0.
Упражнения
1. Вычислить определители
2 0 1
1-4-1
— 1 8 3
10
1
х
У х
х + У
4—2 4
2 12
2 2
У х
У
х
-у
X
У
3 4
7 5
3 2
J
2
1
4
1
X
Xs
J
1
</
У2
1
1
1
1
г
гг
1
+ а
1 1
2. Решить системы:
а) 2а — 2 = 1, 2ж-т-4«/—2=1, х — 8{/— Зг = — 2.
б) х + у + г = а, х -(- A + а) у + г = 2а, х + у + A + а) г = 0.
в) х-\-у + 2 = 0, 2х — 3(/ -f 4г = 0, 4х— 11</+ 10г = 0.
г)ж + (/+г = 0, 2х — 3(/ -}- 4г = 0, 5л; — 7у + 8г = 0.
Д) х + у + г = 2, 2х — Зу + 4г = 3, 4х— 1\у + Юг -=5.
е)х — {/4-2==1. * + У— г = 2, 5д:+ {/—? = 7.

УПРАЖНЕНИЯ
151
3. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках A, — 2),
B, 3), D, 5).
4. Лежат ли три точки A, 1), C, 3), @, 0) на одной прямой?
5. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки C, 2) п
(-1, 3).
6. Найти высоту треугольника с вершинами А (х,, у,), Б (х2, ;/2), С (ха, у3).
7. Пользуясь решением предыдущего упражнения, найти площадь треуголь-
треугольника с вершинами А (х„ г/,), В (хг, уг), С (х3, уь).
8. Показать, что площадь выпуклого четырехугольника ABCD с вершинами
Л(х„ Уг), В(хг, уг), С(х„ ys), D{xv yt) равна
Ч Уг
При каком порядке обхода вершин выражение в скобках будет иметь знак -{-"?
9. Упростить выражения:
Хг Уг
х3 Уг
х, У,
Хл Ул
•
х* У,
*i У1
а)
cos a
sin а
0
sin p
cosf!
0
1
1
; б)
sin а
— cos а
0
sin E
cosf$
0
1
1
1
*
в)
1
cos а
cosf}
cos
cos а
1
(а + Р)
cos р
10. Вычислить определитель
11. Найти х
а)
хг
X
I
12. Доказать
из
1 9
23
1 1
уравнений:
= 0; б)
. тождество:
ах
at)
аг
аг-\- х*
а1 -\-уг
а* + г2
1
1
1
А ВТ)
ВСЕ
D E F
х - 1 3
4 * 5
6—37
= 0;
в)
X
3
1
2х
5
3
9
10
8
= 0.
= а (х — у) (у — г) (г — х).

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
АНАЛИТИЧРХКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ГЛАПА I
МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Прямоугольные координаты. Укажем теперь способ, позво-
позволяющий определять положение любой точки пространства числами.
Через некоторую точку О пространства проведем три взаимно
перпендикулярные оси Ох, Оу, Oz— оси координат, относительно
которых мы будем определять положение точек пространства. Оси
координат обычно располагают так, как это указано на рис. 82;
оси Ох и Оу — горизонтально, а ось Oz —
вертикально; при этом ось Ох направляют
вперед (в сторону читателя), ось Оу — слева
направо, ось Oz — снизу вверх1). Ось Ох
называется осью абсцисс, Оу — осью орди-
ординат, Oz—осью аппликат. Точка пересече-
пересечения координатных осей называется нача-
началом координат. Наконец, выберем едини-
единицу масштаба.
Теперь положение всякой точки прост-
пространства можно определить тремя действитель-
действительными числами — координатами этой точки.
В самом деле, всякой точке М соот-
соответствует три точки Р, Q, R на осях ко-
координат, являющиеся ее проекциями на эти оси2). Обратно, зная
точки Р, Q и R на осях, можно построить единственную точку
М в пространстве, для которой Я, Q и R являются проекциями на
координатные оси. Таким образом, определение положения точки
М сводится к определению положений ее проекций Ру Q и R, лежа-
лежащих соответственно на осях Ох, Оу и Oz. Мы уже знаем, что
положение точки Р оси Ох вполне определяется числом х, пред-
представляющим собой величину направленного отрезка ОР. Это число х,
координата точки Р—проекции точки М на ось Ох, — принимается
Рис. 82
') См. замечание 2 в конце этого параграфа.
2) Проекция точки М пространства па ось — это точка пересечения оси
с перпендикулярной к ней плоскостью, проходящей через М.

§ II
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
153
за первую координату точки /И и называется ее абсциссой. Совер-
Совершенно так же положение точек Q и R вполне определяется числами
у и z, представляющими собой величины направленных отрезкой
OQ и OR. Числа у и z, координаты точек Q и R,— проекций точки
М на оси Оу и Oz,— принимаются со-
соответственно за вторую и третью коор-
координаты точки Л'1. Вторая координата
у называется ординатой и третья
z — аппликатой.
Таким образом, положение любой
точки N пространства вполне опреде-
определяется тройной чисел х, у, z, первое
из которых является абсциссой точки,
второе — оодинатой и третье — аппли-
аппликатой.
Координаты точки условимся запи-
записывать в скобках рядом с буквой, обо-
обозначающей ее, ставя на первом месте
абсциссу, на втором — ординату и на
третьем — аппликату М (х, у, г).
Оси координат Ох, Оу и Oz,
взятые попарно, определяют три вза-
взаимно перпендикулярные плоскости хОу, yOz и zOx, называемые
плоскостями координат. Эти три плоскости делят все пространство
на восемь частей, называемых октантами, причем точкам каждого
октанта соответствует определенная комбинация знаков координат
(рис. 83):
октанте
октанте
октанте
октанте
октанте
октанте
2 i
Ж '
/
s
f
w
/--
/
/
SI
l\
—A-
у i
/ i
0 i/
i
/v
7,
у
VI
Рис. 83.
в
п
ill
IV
V
VI
VII
VIII
*<0,
<
J»>0,
У>0,
<0
октанте
октанте
д;>0,
Если точка М лежит в плоскости координат хОу, то 2 = 0;
аналогично для точек плоскости yOz координата х = 0; для точек
плоскости zOx координата у = 0. Если точка М лежит на оси Ох,
то _у = г = 0; аналогично для точек оси Оу координаты z и х
равны нулю, для точек оси Oz координаты х и у равны нулю.
Наконец, и начале координат д; = _у = г = 0.
Координаты, которые принимаются в описанном способе для опре-
определения положения точки, называются прямоугольными, так как точ-
точка М определяется пересечением трех плоскостей, пересекающихся

154 МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
под прямыми углами (см. задачу II), и по имени Декарта — также
декартовыми. Из описанного метода координат вытекает решение
двух основных задач.
Задача I. По данной точке М определить ее координаты.
Через данную точку М проводим три плоскости параллельно
плоскостям координат; три точки Р, Q и R, получающиеся в пере-
пересечении этих плоскостей с осями координат Ох, Оу и Oz и являю-
являющиеся проекциями точки М на эти оси, определяют три координаты:
х = вгпОР, у — вел OQ, z = вел OR.
Проведенные через точку /И три плоскости вместе с тремя коор-
координатными плоскостями образуют прямоугольный параллелепипед,
ребра которого OP, OQ и OR называются координатными отрезками
точки М.
Задача II. Зная координаты xt у и z точки М, построить
эту точку.
По трем данным числам х, у и z строим три точки Р, Q и R
на осях координат, откладывая соответственно по осям отрезки
OP, OQ и OR, величины которых равны соответственно х, у и z.
Проводя через точки Pt Q и R три плоскости, параллельные пло-
плоскостям координат, в пересечении их получим единственную точку М,
для которой х, у, z будут координатами.
Замечание 1. Если мы условимся рассматривать направлен-
направленные отрезки PS и SM (рис. 82) как отрезки осей, направления ко-
которых совпадают с направлениями параллельных им координатных
осей, то ордината точки /И будет выражаться не только величиной
отрезка OQ, но и равной ей величиной отрезка PS.
Аналогично аппликата точки /И выразится как величиной отрез-
отрезка OR, так и величиной отрезка SM.
Тогда при решении этих основных задач не является необходи-
необходимым проводить плоскости, параллельные плоскостям координат. Так,
в задаче I опускаем из данной точки /И перпендикуляр на плоскость
координат хОу. Его основание 5 (рис. 82) определит проекцию
точки /И на плоскость хОу. Из точки 5 опускаем перпендикуляр
на ось Ох; его основание Р определит проекцию точки /И на ось Ох.
Следовательно, три звена направленной ломаной линии OPSM
определяют три координаты точки М:
вел ОР=х, вел/^ = з», BenSM=z.
Так же при решении задачи II откладываем по оси Ох от точки О
отрезок длиною |л:| единиц (вперед или назад — смотря по знаку л:);
через конец Р этого отрезка проводим в плоскости хОу прямую па-
параллельно оси Оу и откладываем на ней от точки Р отрезок длиною \у\

§ 2] ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ 155
(вправо или влево — смотря ио знаку у); получим точку S, через
которую проводим прямую параллельно оси Oz и откладываем на
ней от точки 5 отрезок длиною \г\ (вверх или вниз — смотря по
знаку z). Конец этого отрезка и является искомой точкой /И.
Направленные отрезки PS и SM (так же как и отрезки ОР,
OQ и OR) мы будем называть координатными отрезками точки /И.
Направленную ломаную линию OPSM, на-
чалом которой является начало координат, а
концом — точка Л1, и три звена которой яв-
являются координатными отрезками точки /И,
будем называть координатной ломаной линией
точки М.
Из всего изложенного следует, что каж-
каждой точке пространства в выбранной системе
координат соответствует тройка чисел х,у,г— х
координат точки — и, обратно, всякая тройка Рис. 84.
действительных чисел х, у, z определяет в
пространстве единственную точку, для которой указанные три числа
являются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой. По-
Поэтому задать точку — это значит задать ее ко-
координаты; найти точку — значит найти ее ко-
координаты.
Замечание 2. Возможны два тина взаимного
расположения осей прямоугольной декартовой систе-
0
*т мы координат в пространстве.Если мы будем смот-
смотреть из какой-либо точки положительной полуоси Oz
на положительную полуось Оу, то ось Ох может
я быть направлена вправо или влево. В первом слу-
Рис. 85. чае система координат называется правой сис-
системой (рис. 84), а во втором—-левой (рис. 85).
Для правой системы поворот от оси Ох к оси Оу на прямой угол
будет нам казаться происходящим против часовой стрелки (если
смотреть на плоскость хОу из какой-либо точки положительной
полуоси Oz), а для левой — по часовой. Можно пользоваться как
правой, так и левой системами. В дальнейшем мы будем применять
только правую систему координат.
§ 2. Основные задачи. Изложенный в § 1 метод координат
приложим к решению многих задач. Рассмотрим сначала одну задачу
вспомогательного характера, а затем (так же как и в первой части
книги) разберем задачу о расстоянии между двумя точками и задачу
о делении отрезка в данном отношении.
Задача I. Зная координаты точки относительно некоторой
системы, найти координаты той же точки относительно новой
системы, оси которой параллельны прежним осям.

156
МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
[ГЛ. I
Пусть координаты точки М относительно системы координат
Oxyz суть х, у и z. Возьмем другую систему координат O^XYZ,
оси которой О^Х, О, К и OtZ соответственно параллельны осям
Ох, Оу и Oz и направлены в те же стороны (рис, 86). Координаты
г,,
Рис. 86.
точки О,— нового начала—в старой системе пусть будут а, Ъ и с.
Обозначим через X, Y и Z координаты точки М в новой системе.
Спрашивается, как связаны между собой координаты точки М в ста-
старой и новой системах? Пусть А—проекция точки О, на ось Оу,
a Q и Q, — проекции точки М соответственно на оси Оу и ОгУ1).
Тогда (ч. 1, гл. I, § 1)
вел OQ = вел О А -\- вел A Q — вел О А -\- вел 0,B,,
или
0)
Совершенно так же, проектируя точки О, и /И на оси Ох и Oz,
найдем:
B)
C)
Полученные формулы позволяют, зная Ху Y и Z, найти я, у ти z.
ЧтосЗы, обратно, зная х, у и z, найти новые координаты X, Y и Z,
нужно разрешить уравнения B), A) и C) относительно A", Y и Z.
Будем иметь:
Х—х — а, Y — y — b, Z — z—c. D)
Задача II. Найти расстояние между двумя данными точ-
точками.
Пели точка М имеет координаты х, у и z, то ее расстояние
от начала координат представляет длину диагонали прямоугольного
') Вывод формулы проведен для ъоордииаш у, так кал в ьтом случае^
черк-ж наиболее нагляден.

§ 21
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
157
параллелепипеда, три измерения которого суть \х\, \у\ и |г] (рис. 82).
Следовательно, обозначая через d искомое расстояние, имеем:
откуда
т. е. расстояние точки ЛМх, у, г) от начала координат равна
квадратному корню из су:-;мы квадратов координат этой точки.
Пусть теперь даны дпе точки МЛ(х1, уг, г,) и Мг{хг, _у2, z2);
чтобы найти расстояние между ними, перенесем начало координат
и точку М1(х,, _у,, гЛ), сохраняя направлении осей. Относительно
новых осей коорлннаты точки А11 будут @, 0, 0), а координаты
точки Mt опрелел'1'.<с« формулами DV. Мг (хг—х,, yx-~—yt, ~г — zt).
Следовптелыч). по формуле E) получим:
—zf, (G)
т. е. расстояние между двумя точками М, (лг,,_у,,2:,) и М2 {хг,уг, г2)
равно квадратному корню из суммы квадратов разностей одно-
одноименных координат этих точек.
между
Пример. Найти рассюяние
Л1,(-1, 2, -2).
Искомое расстояние по
Задача Ш. Найти
формуле F) будет
координаты точки М
точкой М,A. 2, 3) и точкой
— Vz2 + 0-f-5а =/2Э.
делящей данный
отрезок АВ в данном отношении.
Пусть заданы две точки
отношение X, в
точка Л1(х, у
ленный отрезок
л вел л /и ")
и да"°
котором некоторая
г) делит направ-
направАИ:
.h A M
ьел MB
Рис
Найдем координаты точки Л1,
Пусть Q,, 5, Q2 суть проек-
проекции точек А, Л1, В на ось Оу
(см. рис. R7). Тогда AAi-.MB=QlS:SQt, так как отрезки двух
прямых, заключенные между параллельными плоскостями, пропор-
пропорциональны.
Легко заметить, что величины направленных отрезков AM, AU3,
Q,S п iSCa удовлетворяют гпмло'-ичпому равенству
!-:¦.¦ -1/li _ 1'СЛ OjS
пол,МП uc.tSQ2 '
') Пол/юб;!') постановку за'т.чи см. ч. 1, гл. I, § 6

158 МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
Так как
яслО?=у—ул, вслЩ=уг—у
(ч. 1, гл. 1, § 3) и, по условию,
вел Л М а
—— = А,
вел MB
то равенство (8) примет вид:
откуда
У—У1 = Ь(У» — У)< или у — yl=zkyt — l.y, т.
Вынося в левой части у за скобку, получим:
и, наконец,
У—т+тг-
Чтобы найти координаты х и z искомой точки М, проектируем
точки At M, В на оси Ох и Oz и аналогично получаем:
Полагая в полученных формулах Л=1, найдем координаты сере-
середины отрезка
-« — —2 . У— г2 , * 2~' U '
т. е. координаты середины отрезка равны полусуммам координат
его начала и конца.
Пример. Найти координаты точки М, делящей отрезок АВ между
точками А(\, 2, 3) и Б (— 1, 2, 3) п отношении 1:2.
Здесь х,= 1, (/i = 2, г,=:3, .«, = —1, </2 = 2, г2 = 3 и ^ = ^.
Следовательно,
I + J '+2" '^2"
§ 3. Основные положения теории проекций в пространстве.
Предварительно мы уточним понятие угла между двумя осями
в пространстве.
Рассмотрим две оси /, и /г, пересекающиеся в точке S. Угол
между ними условимся понимать как угол, на который нужно по-
повернуть одну из них вокруг точки S, чтобы ее положительное
направление совпало с положительным направлением другой оси
(поворот производится в плоскости, определяемой осями).

§ 3]
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПРОЕКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
159
Угол условимся брать лишь в границах от 0 до я, не различая
порядка, в котором указаны оси (если нет особых указаний). Поэтому
угол между осями /, и /2 будем обозначать или (/,,/2) или Aг, 1Х).
Заметим, что угол между двумя осями на плоскости мы брали со знаком
(знак выбирался в зависимости от направления поворота: по или против
движения стрелки часов). Однако в пространстве направление попорота от
одной из осей до другой зависит от того, с какой стороны мы будем
смотреть па плоскость, определяемую данными пересекающимися прямыми.
Поэтому в пространстве мы условились не различать порядок, в котором
заданы оси, и угол брать в границах от 0 до Л.
Мы предполагали, что данные оси имеют общую точку.
Рассмофим теперь две непересекающиеся оси /, и /2 (рис. 88);
выберем произвольную точку 5 пространства и проведем через нее
две оси [[ и 4, соответственно на- ,
раллельные осям /, и /2 и одина- . ' ^
ково с ними направленные; углом
между непересекающимися осями 1Х
и /2 мы будем считать угол между
осями /i и /2.
Угол между осью и направлен-
направленным отрезком в пространстве усло-
условимся понимать как утл между Рис. 88.
этой осью и осью, положительное
направление которой совпадает с направлением данного отрезка.
Аналогично углом между двумя направленными отрезками будем
считать угол между осями, положительные направления которых
совпадают соответственно с направлениями данных отрезков.
С
Рис. 89.
Рис. 90.
Основные положения теории проекций (ч. 1, гл. I, § 8) легко
переносятся на пространство. Как уже было сказано, проекцией
точки /И пространства на ось называется точка т, получаемая и
пересечении оси с перпендикулярной к ней плоскостью, проходяще»
через точку М(рис. 89). Определение проекции направленного oTpejKj
на ось остается тем же, что и на плоскости: пр, AS — вел ab (рис. 90),

160
МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
[ГЛ. 1
Рис. 9!.
Как и в случае плоскости, проекция направленного отрезка АВ
на ось / равна произведению длины АВ проектируемого отрезка на
косинус угла а между осью про-
проекций и данным отрезком:
nptJB — AB-cosa. A3)
Для доказательства этой фор-
формулы в случае пространства прове-
проведем через начало А отрезка АВ
вспомогательную ось /' (рис. 90),
параллельную осп / и имеющую
то >[»е положительное направление.
Очевидно, up, АВ=г- прг. АВ, а угол
а между осью / н отрезком АВ
равен углу между осью /' и этим отрезком. Теперь можно восполь-
воспользоваться смраведливостью доказываемой формулы при расположении
направленного отрезка и оси /' в одной плоское г». Остается еще
заметить, что хотя угол а между осью и отрезком на плоскости
ми брали со знаком -\- или —, а также допускали значения угла,
большие по абсолютной величине, чем л, но всегда можно выбрать
этот угол по абсолютной величине не превосходящим я; кроме того,
можно заменить угол в формуле A3) его абсолютной величиной,
что не влияет на значение косинуса. Таким образом, угол в
этой формуле достаточно брать в границах от 0 до гс, чго нахо-
находится в соответствии с определением угла для пространственного
случая.
Так же легко проверить, что если рассматриваемый направлен-
направленный отрезок АВ расположен на некоторой оси и, то его проекция
на ось /ив случае пространства будет равна произведению вели-
величины отрезка на косинус угла ср между осями I а и:
ир1АВ=лел АВ-cos ср.
A4)
Определение направленной ломапоП и ее проекции на ось остается
таким же, как и для плоскости. На рис. 91 прABCDEF—вспа/.
Как и раньше, проекция ломаной равна сумме проекций ее звеньев.
Проекция ломаной не зависит от ее формы, а зависит лишь от по-
положения начальной и конечной точек. Проекция ломаной равна про-
проекции се замыкающего отрезка. Проыщпн замкнутой ломаной равна
нулю.
§ 4. Вычисление угла между двумя осями в пространстве.
Рассмотрим некоторую ось / в пространстве, и пусть а, C, у суть
углы, которые она образует с осями координат (рис. 92).

§ 4}
ВЫЧИСЛЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ ДВУМЯ ОСЯМИ В ПРОСТРАНСТВЕ
161
Числа cos a, cosp, cosy назовем направляющими косинусами
этой оси. Направляющие косинусы не независимы между собой, они
связаны одним соотношением. Чтобы получить это соотношение,
проведем через начало координат отрезок ОМ, длина которого равна
единице, а направление совпадает с положительным направлением
оси /. Проекции этого отрезка на оси координат (они, очевидно,
яклиются координатами точки М) будут cos a, cos р и cos \. По фор-
формуле E) расстояния точки М от начала координат имеем:
cos2 a -\- cos2 p -\- cos2 у = 1, A5)
т. е. сумма квадратов направляющих косинусов любой оси равна 1.
Найдем выражение для косинуса угла между двумя осями. Рас-
Рассмотрим две оси /, и /2, проходящие через начало координат (рис. 93);
Рис. 92.
Рис 93.
пусть а,, р„, Yi — углы, которые образует ось /, с координатными
осями, и а2, р2, у2 — углы оси /2 с координатными осями. Возьмем
па оси /, точку М на расстоянии ОМ, равном 1, от начала коор-
координат (координаты точки М суть cos a,, cos 6,, cosy,) и спроекти-
спроектируем координатную ломаную OPSM точки М па ось /,. Так как
проекция ломаной равна проекции замыкающего отрезка, то up OPSM=
— нр О/И = 1 -cos9 = cos (p. С другой стороны, проекция ломаной
равна сумме проекций ее звеньев, т. е.
up (JPSM = пр Щ
или, что то же самое:
пр

162 МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
Так как
пр"ОР=вел OP- cos аг = cos a, • cos а„
пр AS = Be.iPS-cosP2 = cospi-cosP2,
npS/И—вел .Ь'/И-cos у2 = cosv,-cos у2)
то
cos ф = cos a, cosa2-{-cosP, cos P* + C0SYi cosy2. A6)
В частности, если оси /, и /2 перпендикулярны, cosq> = 0, и фор-
формула A6) дает условие перпендикулярности двух осей:
cos a, cos a2 + cos C, cos p8-|-cos Yj cosy2 = 0. A7)
Замечание. Мы говорили о направляющих косинусах оси.
В случае, когда речь будет идти о направляющих косинусах прямой,
мы будем понимать под ними направляющие косинусы той оси, кото-
которая получится, если па данной прямой выбрать за положительное то
ii.ii-i иное из двух возможных направлений. Очевидно, при замене
пибраннош положительного направления прямой противоположный
ему знаки направляющих косинусов изменятся.
Упражнения
1. Построить точки по координатам: а) D, 3, 5); б) A, 2,-1); в) D, 4, 4);
г) (— 4, — 4, — 4).
2. Указать особенности положения точек: а) D, 0, 0): б) @, — 7, 0):
в) @,-7, 2); г) (-5, 0, 3).
3. Даны точки B, — 3,-1) и (а, Ь, с). Найти координаты точек, симмет-
симметричных с данными относительно: а) координатных плоскостей; б) осей коорди-
координат; в) начала координат.
4. Правильная четырехугольная пирамида SPt Рг Рг Р4, каждое ребро кото-
которой имеет длину а, расположена следующим образом: вершина S лежит на оси
Oz, основание — на плоскости хОу, причем ребро PiP2 перпендикулярно
к оси Оу, а ребро Р,Р4 перпендикулярно к оси Ох. Найти координаты точек
5, Ри Р„ Р„ Р4.
5. Определит ь расстояние точки А D, — 3, 5) от начала координат и от
осей координат.
6. Найти расстояние между точками A, 2, 2) и (—1, 0, 1).
7. Показать, что треугольник с вершинами в точках А A,-2, 1),
ВC, — 3, — 1), С D, 0, 3) прямоугольный.
8*. Даны четыре точки: @, 0, 0), B, 0, 0), @, 3, 0), @, 0, 6). Найти радиус
сферы, проходящей через эти точки.
9. Найти координаты точки, делящей отрезок АВ между точками А A, 1, 1)
и 6A, 2, 0) в отношении 2:1.
10. Определить длины сторон и координаты центра тяжести треугольника,
вершины которого лежат в точках А B, 5, 0), В A1, 3, 8), С E, 1, 12).
11. Отрезок АВ делится точкой С в отношении 5:2. Точки А и С имеют
соответственно координаты C, 7, 4) и (8, 2, 3). Найти координаты точки В.
12. Две системы координат имеют одинаковые направления осей, но разные
начала. Зная, что одна и та же точка определяется относительно этих систем

упРАЖнтия 163
координатами A, 1, 1), G, 3,-5), найти координаты середины отрезка между
началами этих систем.
13. Существует ли луч, образующий с осями координат углы D5е, 45°, 60е)?
14. Луч ОМ образует с осями координат равные острые углы. Найти
направляющие косинусы этого луча.
15. Луч ОМ образует с отрицательной полуосью Ох и с положительными
полуосями Оу и Ог равные острые углы. Найти направляющие косинусы этого
луча.
16. Найти направляющие косинусы прямой, проходящей через начало
координат и через точку B, — 2,-1).
17. Найти направляющие косинусы прямой, проходящей через начало
координат и через точку (а, а, а).
18. Найти величину и направление силы, проекции которой на оси коорди-
координат соответственно равны: Х = — 6, Y = —2, Z = 9.
19. Аппликата г некоторой точки А положительна; отрезок О А имеет длину
г = 6 и образует с осью Ох угол в 60е и с осью Оу угол в 45°. Найти угол
этого отрезка с осью Ог и координаты точки А.
20. Точка А имеет координаты я =15, у = Ь и 2 < 0; отрезок О А образует
с осью Ох угол в 30е. Найти длину этого отрезка, его направляющие косинусы
и координату г точки А.
21. Дана точка А F, 3, 2). Найти косинусы углов, образуемых лучом О А
с плоскостями координат.
22*. Найти расстояние между точками А B, 5, — 1) и В E, 1, 11) и направ-
направляющие косинусы прямой, их соединяющей.
23. Найти расстояние между точками А (—2, 2, 5) и В B, — 1, 5) и направ-
направляющие косинусы прямой, их соединяющей.
24. Найти угол между биссектрисами углов хОу и уОг.
25. Найти угол между прямыми, из которых одна проходит через точки
@, 0, 0) и A0, 5, 10), а другая-через точки (-2, 1, 3) и @,-1, 2).

ГЛАВА II
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Векторы и скаляры. Величины, с которыми приходится
встречаться в .механике, финике и др\ч их прикладных дисциплинах,
бывают двоякого рода. С одной стороны, такие величин!,', как тем-
температура, время, масса, плотность, длина отрезка, площадь, объем
'л т. д., вполне хараюеризуются одним числовым значением. С дру-
. ой стороны, таьнс величины, как сила, скорость, ускорение и т. д.,
становятся определенными только тогда, когда известно, каковы их
числовые значения и направления в пространстве. Величины первого
рода называются скалярными, или, короче, скалярами. Величины
второго рода называются векторными.
Всякую векторную неличину геометрически мы можем изобразить
с помощью отрезка определенной длины и определенною направления,
если длину отрезка при выбранной единице масштаба примем равной
ччеловому значению векторной величины, а направление отрезка
будем считать совпадающим с се направлением.
Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направ-
направление в пространстве (т. е. направленный отрезок), будем называть
вектором. Таким образом, вектор служит для геометрического изо
сражении физической векторной величины1).
Два вектора считаются равными, если выполнены следующие
три условия: 1) длины векторов равны, 2) векторы параллельны,
т. е. расположены на одной прямой или на параллельных прямых,
3) векторы направлены в одну сторону.
Следует различать начало и конец вектора. Поменяв их местами,
мы получим уже лрутй вектор (направленный противоположно
первому). Из определения равенства векторов следует, что при парал-
параллельном переносе вектора получается вектор, равный исходному.
Поэтому начало rei.гора можно помета ib в любой точке простран-
пространства2). Выбрав некоторое начало — точку О,— удобно счшать все
') Мчогда векторную величину также называют лектором.
2) Для направленного отрезка вводится новый термин — вектор, так vn'-
тст.ерь, \ciai'OBi в понятие равенства направленных отре-жов-векторои, мы будем
производить с Ш!мн действия по определен']ы\[ правилам, рассматриваемым
в векторной алгебре.

§ 2] СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ 165
векторы исходящими из этой точки. В таком случае ми будем говорить,
что векторы приведены к общему началу О.
На чертеже направление вектора условимся отмечать стрелкой.
В тексте мы будем обозначать векторы ;шбо одной напечатанной
жирно буквой, либо двумя буквами со стрелкой над ними, при этом
первая буква указывает начало вектора, а вторая — его конец. Так,
вектор, идущий из точки О в точку М, мы будем обозначать
букнами ОМ или просто одной буквой, которая cioni в конце век-
гора; следова!ельно, мы считаем:
а = Оа и т. д,
Если начало вектора не сонпадает с выбранным началом О, то
во избежание недоразумений мы будем обыкновенно употреблять две
буквы АВ. Длина вектора, называемая также модулем или скаляром
век гора, обозначается теми же буквами, что и вектор, по без стрелки
(или же если вектор обозначен одной буквой, то той же буквой, но
напечатанной нежирно). Иногда длину вектора записывают при аомоши
обычного в алгебре знака модуля: |^4?|. Таким образом, Л/?=
есть длина вектора АВ, /И=|М| — длина вектора М.
§ 2. Сложение векторов. Известные из механики законы сложения
векторных величин (сил, ускорений, скоростей) служат основанием
следующего определения сложения векторов. Суммой двух векторов
А и В называют такой третий вектор С, выходящий из их об-
общего начала, который служит диаго-
диагональю параллелограмма, сторонами кото-
которого являются слагаемые векторы (рис.94),
и обозначают:
. A)
Если два вектора А и В после приведения
их к общему началу лежат па одной прямой, Рис- 94-
то сумма их С есть но определению вектор,
длина которого равна сумме длин слагаемых векторов и направление
совпадает с направлением этих векторов, если последние одинаково
направлены; если же слагаемые векторы направлены в разные стороны,
то сумма их С есть векюр, длина которого равна разности длин
слагаемых векторов и направление совпадает с направлением вектора,
имеющего большую длину. В случае равенства длин противоио-кглно
направленных векторов их сумма есть особый «вектор», длина кою-
рою равна пулю. Такой вектор называют нулевым век юром и ооозна-
чают символом 0.

166 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 11
Посмотрим теперь, будет ли сложение векторов удовлетворять
основным законам, которым подчиняется сложение чисел. Для сло-
сложения чисел мы имеем два основных закона.
1. Закон переместительности:
т. е. сумма не зависит от порядка слагаемых.
2. Закон сочетательности:
т. е. чтобы прибавить сумму, можно прибавить последовательно
каждое слагаемое.
Первый закон, очевидно, удовлетворяется, что непосредственно
вытекает из определения сложения векторов:
А + В = В + А. B)
Чтобы перейти ко второму закону (сочетательности), следует
предварительно выяснить понятие суммы нескольких слагаемых.
С этой целью упростим сначала са-
самое построение суммы двух векто-
векторов. Мы условились считать равны-
равными векторы, имеющие одинаковую
длину, параллельные и одинаково
направленные. В силу этого векторы
ОВп АС (рис. 94) равны между собой.
Отсюда вытекает такое правило
сложения двух векторов: в кон-
конце первого слагаемого строим вто-
второе слагаемое. Вектор, замыкающий
рис 95. эту ломаную, есть сумма. Начало
его совпадает с началом первого сла-
слагаемого, а конец — с концом второго.
Это правило треугольника нетрудно теперь распространить па
любое число слагаемых. Пусть, например, требуется найти сумму
трех векторов А, В и С:
причем под их суммой мы будем подразумевать результат последова-
последовательного прибавления к А сначала В и затем С. Другими словами,
если
А + В = Е,
то согласно определению будет:
D = E + C.
По предыдущему правилу треугольника строим сначала сумму
Д_|_В (рис. 95), т. е. в точке Л строим вектор АЕ=В и соединяем

§ 2]
СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
167
точку О с точкой Е: О?=Е = А + В. Затем к полученной сумме
прибавляем вектор С, т. е. в конце ОЕ строим вектор ED — C
и соединяем точку О с точкой D.
Тогда
OD == D = ОЁ+?D =: А + В + С.
О
Рнс. 96.
Отсюда вытекает такое правило сложения векторов:
чтобы построить сумму любого числа векторов, нужно в конце
первого слагаемого вектора построить
второй, в конце второго построить тре-
тип и т. д. Вектор, замыкающий по-
полученную ломаную линию, представляет
искомую сумму. Начало его совпадает
с началом первого слагаемого, а ко-
конец— с концом последнего.
В случае сложения трех векторов, не
параллельных одной плоскости, сумму их
можно получить и другим способом. Пусть
векторы А, В, С приведены к общему
началу О: ~ОА = А, ОЙ=В, 7ХГ=С.
Построим на этих векторах параллелепипед (рис. 96). По предыду-
предыдущему правилу
А 4- В 4- С = ОА 4- А~Е-{- Ш= OD,
1 ^ но отрезок OD является диагональю парал-
параллелепипеда, таким образом сумма данных век-
векторов равна вектору-диагонали параллеле-
параллелепипеда, ребрами которого являются слагае-
слагаемые векторы.
Заметим, что если бы слагаемые векто-
векторы были параллельны одной плоскости (такие
векторы называются компланарными), то мы не могли бы постро-
построить на них параллелепипед.
Теперь перейдем к доказательству закона сочетательности:
А-|-(В-|-С) = (А-|-В)-|-С. C)
По правилу сложения векторов (рис. 97)
(А 4- В) 4" С = ОЕ-\- ED— OD,
но тому же вектору OD равна и сумма А-}-(В-{-С), так как
А 4- (В 4" С) = ОА + AD = дб.
Итак, равенство C) доказано.
Рис. 97.

168 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ [ГЛ. II
Из переместителыюго и сочетательного законов вытекает, что при
нахождении суммы любого числа векторов можно складывать данные
векторы в произвольном порядке.
Заметим, что по отношению к обычной сумме чисел существуют
еще различные законы монотонности — о сравнительной величине
слагаемых и суммы, как, например, сумма положительных слагаемых
. больше каждого из слагаемых. Все эти
законы не имеют смысла для суммы век-
векторов, потому что понятия «больше» и
«меньше» неприложимы к векторам.
§ 3. Вычитание векторов. Обычно вы-
Рнс. 98. читапие определяется как действие, обрат-
обратное сложению: но сумме и одному из слагае-
слагаемых отыскивается другое слагаемое. Соответственно с этим разностью
двух векторов А и В называется такой третий вектор С, что
сумме В и С равна А:
А —В = С, если
Изобразим на чертеже (рис. 98) данные векторы А и В направ-
направленными отрезками ОА и ОВ. Проведем из точки В в точку А вектор
и обозначим его через С, тогда, очевидно, В -\-С = А, следовательно,
А— В = С.
Таким образом, чтобы из одного вектора вычесть другой, нужно
отнести их к общему началу и провести вектор из конечной
точки вектора-вычитаемого в конечную точку вектора-умень-
вектора-уменьшаемого.
То же действие можно произвести и иначе.
Построим вектор ОВг, длина которого равна длине вектора ОВ,
а направление противоположно; кроме того, дополним треугольник
ОАВ до параллелограмма ОВАС. Очевидно, АС—ВО, следовательно,
АС= ОВ1. Заметив, что искомая разность
мы получаем следующее равенство:
ОС— ОА + АС= ОА-\- О~В\= А + В,.
Отсюда вытекает правило: чтобы из вектора ОА вычесть вектор
ОД надо прибавить к ОА вектор ОВ,, равный по длине вектору
ОВ, но противоположно направленный.
Два вектора OR и ОВХ, имеющие равные длины, но противо-
противоположные направления, будем называть противоположными векторами.

§ 4] УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО 169
Сумма их равна нулевому вектору:
Вектор ОВи противоположный вектору ОВ, условимся обозначать
через — ОВ. Так как СШ^В и ОВ1 = — В, то указанное выше
правило вычитания векторов можно сформулировать следующим
образом: чтобы вычесть вектор В, нужно прибавить противопо-
противоположный ему вектор (— В):
А —В = А-Н—В).
§ 4. Умножение вектора на число. Складывая несколько ранных
пекторов, т. е. повторяя вектор слагаемым несколько раз, мы при-
приходим к умножению его на положительное целое число. Согласно
определению
где п есть число слагаемых векторов, равных А. Очевидно, произ-
произведение Ал будет вектором того же направления, что и множимое А,
только длина нгктора Ал будет больше длины вектора А в л раз.
Введем теперь понятие деления вектора на целое положительное
число. Согласно определению
если А = Вя. Отсюда вытекает, что оба вектора А и В имеют одно
направление, по длина А вектора А в л раз больше длины В вектора В.
Таким образом, при делении вектора на целое положительное число л
направление его не меняется, а длина уменьшается в л раз.
После этого можно определить умножение вектора на положи-
положительную дробь \ = — ? что значит умножить на р и разделить на q,
а также умножение вектора на иррациональное положительное число К.
Во всех случаях направление вектора остается без изменения, длина
же умножаек'я на Л. Наконец, если множитель К—число отрицатель-
отрицательное, то условимся считать, что длина вектора умножается иа |Я|,
а направление меняется па противоположное.
В частности, при умножении вектора А иа — 1 мы получаем
вектор А*(— 1), имеющий ту же длину, но направленный в противо-
противоположную сторону, т. е. вектор, противоположный вектору А.
Такой вектор по условию предыдущего параграфа обозначается
через — А. Следовательно, А-(—1) = — А, причем А-}-А-(—l)i^
= А — А = 0.
Итак, установлено умножение вектора па любое действительное
число: при умножении вектора А на число Я длина вектора
умножается на \К\, а направление сохраняется прежним при

170 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ [гЛ. II
и заменяется противоположным при Я<^0 (при Я = 0 про-
произведение А на Я является нулевым вектором). Произведение А на
Я мы будем обычно записывать в форме ЯА. По отношению к этому
умножению имеет место распределительный закон, который символи-
символически можно записать так:
Я(А + В) = ЯА-|-ЯВ. D)
В справедливости этого равенства мы убедимся, если заметим,
что от умножения на число Я меняются только размеры векторов,
т. е. масштаб чертежа; фигуры остаются подобными. Поэтому, так
как векторы А, В и А -|- В =;С образуют стороны и диагональ парал-
параллелограмма, то, умножив все члены на Я, т. е. изменив лишь раз-
размеры векторов одинаковым образом, мы получим снова параллелограмм,
а значит, сохранится равенство
ЯА-f ЯВ = ЯС.
Последнее же равенство и выражает собой распределительный закон
умножения, если заменить в нем С через А-|"В. Отметим еще, что
из определения умножения вектора на число вытекает справедлив
вость равенств
(Я1 + Я2)А = Я1А + Я2А E)
Я2(Я1А) = Я,(Я2А) = (ЯЛ)А, F)
где Я, и Я2 — числа.
Будем обозначать одноименной буквой с ноликом вверху вектор
длины, равной 1, и того же направления, как и данный вектор
(вектор, длина которого равна 1, называется единичным). Тогда из
определения умножения вектора на число следует:
А = ЛА°. G)
В самом деле, при умножении вектора А" на число А направление
вектора не изменится, а длина сделается равной А, т. е. мы получим
как раз вектор А.
§ 5. Проекции вектора. Проекцией вектора АВ на ось назы-
называется длина отрезка ab этой оси, заключенного между проекци-
проекциями а и Ъ его начальной точки А и конечной точки В, взятая,
со знаком -\-, если направление отрезка ab совпадает с направ-
направлением оси проекций, и со знаком —, если эти направления про-
противоположны. Таким образом, проекцией вектора АВ на ось является
величина направленного отрезка ab оси.
Основные положения теории проекций (ч. 2, гл. I, § 3) можно
высказать следующим образом:
1. Проекция вектора на какую-либо ось равна произведению
длины вектора на косинус угла между осью и вектором, т. е,
пр АВ = АВ cos а.

§ 5]
ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА
171
3
Отсюда, в частности, следует, что равные векторы имеют равные
проекции на ту же ось.
2. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме
проекций слагаемых векторов на ту же
ось, т. е., например:
пр (А -\- В -\- С) = пр А + пр В + пр С,
где все проекции отнесены к одной и той м
же оси.
Действительно, сумма векторов есть
замыкающий вектор ломаной, у которой
составляющими звеньями служат слагаемые
векторы (см. § 2).
Рассмотрим прямоугольную систему ко-
координат и произвольный вектор ОМ
(рис. 99). Из точки М — конца вектора
ОМ—проведем прямую параллельно оси
Oz до пересечения в точке Pz плоскостью
хОу и из точки Р в плоскости хОу проведем прямую параллельно
оси Оу до пересечения в точке Мг с осью Ох. Очевидно, будем иметь:
ОМ— оЖг-\- M~J>-\- РМ.
Откладывая векторы МгР и РМ от точки О, заменим их равными
им векторами
Рис. 99.
и, значит, будем иметь:
дм= щ + ?+ ?
или иначе:
М = М, + М, + М1. (I)
Равенство (I) показывает, что всякий вектор можно разложить
на три слагаемых, лежащих на осях координат. Слагаемые век-
векторы М,, М2, М3 назовем компонентами или составляющими данного
вектора М относительно системы координат Oxyz.
От точки О в положительном направлении каждой оси координат
отложим но вектору длины, равной 1. Обозначим три введенных
попарно взаимно перпендикулярных единичных вектора соответственно
через i, j, k и назовем их основными векторами. Возвращаясь к
равенству (I), заметим, что вектор М,, как и вектор i, расположен
на оси абсцисс, а потому имеем:
М, = Х\,
где X есть длина вектора М,, взятая со знаком -J-, если направления
векторов М, и i совпадают, и взятая со знаком —, если направление

172 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ [ГЛ. II
вектора М, противоположно направлению основного вектора i. Другими
словами, X есть число, являющееся проекцией вектора М на ось
абсцисс. Аналогично получим:
где У и Z—проекции вектора М соответственно на оси ординат и
аппликат. Таким образом, рассматривая три проекции X, Y, Z век-
вектора М на оси координат, перепишем равенство (I) в виде
Это равенство дает разложение вектора по основным векторам i, j, k.
Есть существенная разница между компонентами вектора и его
проекциями. Проекции вектора — это три числа X, Y, Z, которые
являются декартовыми координатами конца вектора—точки М, если
начало вектора находится в начале координат. Называя радиусом-
вектором точки /И вектор, идущий от начала координат в точку /И,
мы можем сказать, что декартовы координаты X, Y, Z точки М
суть проекции ее радиуса-вектора О/И. Компоненты же вектора
представляют собой векторы М,, М2, М3> сумма которых равна данному
вектору М. Между компонентами и проекциями существует следующая
простая зависимость:
М, — Хл, Мг=У], Ms=Zk, (8)
т. е. компонента получается умножением основного единичного
вектора на проекцию.
Значение равенства (Г) в теории векторов исключительно велико.
При помощи этого равенства устанавливается связь между двумя
частями теории векторов — геометрической и алгебраической, Ведь
зекторпая алгебра состоит из соединения этих двух моментов: геоме-
геометрического и алгебраического. Взаимно дополняя друг друга, они
и создают то, чем так выгодно отличается векторная алгебра: гео-
геометрическая теория дает возможность широко использовать геометри-
геометрические представления, алгебраическая же часть позволяет проводить
псе выкладки.
Вместо полной записи
часто пользуются сокращенной:
Здесь X, Y, Z обозначают, как выше было указано, проекции1)
вектора М, или, что то же, координаты точки /И, являющейся кон-
концом радиуса-вектора М. Например:
М{2, 3,— 1> = 2i-\-3j — k.
') В дальнейшем, говоря о проекциях вектора на оси координат, мы иногда
будем коротко называть их просто проекциями, опуская слова «па осп координат».

§ 6] ДЕЙСТВИЯ НАЛ ВЕКТОРАМИ, ЗАДАННЫМИ СВОИМИ ПРОЕКЦИЯМИ 173
§ 6. Действия над векторами, заданными своими проекциями.
В § 5 мы заметили, что проекция суммы векторов па любую ось
равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Применяя
это предложение относительно каждой оси координат, мы заключаем:
При сложении векторов одноименные проекции их склады-
складываются. Запишем это так: если
то
Из правила сложения векторов непосредственно вытекает пра-
правило вычитания векторов: чтобы вычесть вектор, нужно вычесть
его проекции, т. с.
А —В-=(*,— Х2M + (Г,— Г2)] + (^— Z2)k.
Правило умножении вектора на число получим умножением обеих
частей равенства A = Xti-\-YJ-^Z^ на Я (при этом мы пользуемся
свойствами умножения, отмеченными формулами D) и F) § 4):
Таким образом, чтобы умножить вектор на число, нужно умно-
умножить все его проекции на это число.
Пример. Найги радиус-вектор точки, делящей в отношении X отрезок АВ
между точками Л (г,) и В (г2)'). Найдем радиус-вектор г точки М, делящей
oiрезок АВ в данном отношении X (см. ч. 2, гл. I, § 2). Очевидно, что
~АМ=кШ.
Заметив, что
AM = г — г„ MB = гг — г,
перепишем наше условие в виде:
г — г, = X (г2 — г),
от куда
г-г, = Хг2-Хг и A+Х)г = г, + ^г-
Следовательно,
Обозначая через .*,, //,, г, координаты данной точки А, через х2, уг, гг
координаты другой данной точки В и через х, у, г координаты искомой
1очки М, перепишем формулу (9) в проекциях:
a-,4-Xxs , У| + Х.!/2 . _ г, + ^гз
14-Х #
Последние фо-л-у.чл были выведены в гл. I, § 2.
') Радиус-век юр точки условимся записывать в скобках рядом с буквой,
обозначающей эту точку.

174 ЭЛСМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ [ГЛ. II
§ 7. Скалярное произведение векторов. В механике и физике
часто приходится иметь дело со следующей задачей: найти работу
силы F, если точка, на которую действует сила, совершила пере-
перемещение ОА = А. Если точка движется по направлению силы, то,
по определению, работа силы равна произведению величины силы
на длину перемещения, т. е. AF. Если же точка движется под
углом ф к направлению силы, то работает только та слагающая
—-¦>-
силы OF, которая направлена по линии ОА, а перпендикулярная
слагающая уравновешивается сопротивлени-
сопротивлением. Проектируя силу на направление пути,
получим (рис. 100):
npF = Fcos ф.
Следовательно, работа силы будет равна:
x\p?-A = AFzos ф.
Рчс 100. Таким образом, по двум данным векто-
векторам F и А мы определяем скаляр Л/^соэф.
Последний называют скалярным произведением векторов А и F.
Итак, по определению, скалярным произведением двух векторов
называется число, равное произведению их длин, умноженному
на косинус угла между ними.
Скалярное произведение принято обозначать одним из трех, спо-
способов:
Согласно определению имеем:
AB = ^Scos(a7"B), A0)
/^.
где под (А, В) подразумевается угол между векторами А и В. За-
метив, что /?cos(A, В) есть проекция вектора В на направление
вектора А, мы можем написать:
АВ = Л иРАВ; (Ю')
аналогично:
АВ = ?првА, A0")
или словами: скалярное произведение двух векторов равно длине
одного из них, помноженной на проекцию другого вектора на
направление первого.
В частности, если В = В° есть единичный вектор, то
АВ° = 1 -npBo А = прВч А,
т. е. при скалярном умножении вектора А на единичный вектор
получаем проекцию этого вектора А на направление единичного
вектора.

§ 8] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 175
§ 8. Основные свойства скалярного произведения.
I. Скалярное произведение обращается в нуль в том и только
в том случае, когда по крайней мере один из векторов является
нулевым или если векторы перпендикулярны. В самом деле, если
А —0, или /i=0, или cos(A?B) = 0, то /Шсоэ(;Ов) —0.
Обратно, если АВ = 0 и перемножаемые векторы не являются
нулевыми, то А_]_В, потому что из условии
при А=^=0 и В=^=0 вытекает:
cos(aTb) = 0, т. е. А_[_В.
Так как направление нулевого вектора неопределенно, то нуле-
нулевой вектор можно считать перпендикулярным к любому вектору.
Поэтому указанное свойство скалярного произведения может быть
сформулировано короче: скалярное произведение обращается в нуль
в том и только том случае, когда векторы перпендикулярны.
II. Скалярное произведение обладает свойством- перемести-
переместительности:
АВ = ВА. (И)
Это свойство непосредственно вытекает из определения:
потому что (А, В) и (В, А) различные обозначения одного и того
же угла.
Ш. Исключительно важное значение имеет распределительный
закон. Его применение столь же велико, как и в обычной арифме-
арифметике или алгебре, где он формулируется так: чтобы умножить
сумму, нужно умножить каждое слагаемое и сложить получен-
полученные произведения, т. е.
(а -\- Ь) с = ас -\- be.
Очевидно, что умножение многозначных чисел в арифметике или
многочленов в алгебре основано на этом свойстве умножения.
Такое же основное значение имеет этот закон и в векторной
алгебре, так как на основании его мы можем применять к векторам
обычное правило умножения многочленов.
Докажем, что для любых трех векторов А, В, С справедлива
равенство
C. A2)

176 ЭЛКМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ [ГЛ. H
По второму определению скалярного произведения, выражаемому
формулой A0"), получим:
Применив теперь свойство 2 проекций из § 5, найдем:
+ прс В) = Спрс +
что и требовалось доказать.
IV. Скалярное произведение обладает свойством сочетатель-
сочетательности относительно числового множителя; это свойство выра-
выражается следующей формулой:
Я(АВ) = А(ХВ), A3)
т. е. чтобы умножить скалярное произведение векторов на число,
достаточно умножить на это число один из сомножителей.
Для доказательства мы вычислим отдельно левую и правую части
последнего равенства (предполагай А^зО)
К {АВ) = АВ cos (А^В)^,
А (АВ) = А {КВВ°) = kAB cos (АТв11)
и заметим, что углы АВ и АВ равны, потому что векторы В и В
одного направления. Легко проверить формулу A3) и при Я<^0.
Как частный случай доказанного свойства отметим следующее
предложение: чтобы перемножить скалярно два вектора, можно
один из них умножить скалярно на единичный вектор, направлен-
направленный по второму, и полученное произведение умножить на длину
второго, г. е.
DC = (DC0) С.
§ 9. Скалярное произведение векторов, заданных проекциями.
Обозначая через ХЛ, К,, Z, проекции вектора А, а через Х2, Yt, Z%
проекции вектора В, выразим скалярное произведение А и В:
По свойству распределительности суммы векторов умножаются как
многочлены. Следовательно, получаем:
АВ = ХЛХги + YXX? + Z^2ki + A', Y-ц + К, KJj + Z, K2kj +
+ ВДк+ K.Z.jk + Z.Z.kk. (Н)
Так как i, j, k представляют три взаимно перпендикулярных еди-
единичных вектора, то
ij = 0, jk = O, ki =0,
ii=l, jj=i, kk=i,

§ 9] СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ, ЗАДАННЫК ПРОЕКЦИЯМИ 177
следовательно, в полученном выражении A4) для АВ пропадут шесть
слагаемых, и окончательная формула будет:
АВ = ВД+К, К,+ Z.Z,, A5)
или словами: скалярное произведение векторов равно сумме про-
произведений одноименных проекций.
Прилагая обычное определение степени, естественно называть
скалярное произведение вектора самого на себя его скалярным
квадратом. Применяя полученную формулу A5) при В = А, найдем:
С другой стороны, согласно определению скалярного произведения
(§ 7) получаем:
Следовательно, мы имеем следующую формулу для определения
длины вектора:
A2 = Xl+Yl+Zl A6)
откуда
V A6')
т. е. длина вектора равна корню квадратному из суммы квадра-
квадратов его проекций.
Заметив, что проекции единичного вектора А=А° будут его
направляющими косинусами (§ 4 гл. 1), мы из формулы A6) полу-
получаем:
1 = cos2 a -\- cos2 P -\- cos2 у,
что совпадает с формулой A5) § 4 гл. I.
Пусть теперь даны две точки Ml(x1, ylt zj и Mt (xit уг1 гг).
Найдем расстояние между ними. Заметим, что вектор
есть разность векторов
0Мг = ;
Следовательно, мы имеем:
У = Уг-У„
7 И. И. Привалов

178 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ [ГЛ. II
т. е. проекции вектора на оси координат равны разностям одно-
одноименных координат конца и начала вектора. Применяя формулу A6'),
получим:
А = МгМг = >/(*,_ *,)«-}-(.У.-*,)*+(*,—*,77
т. е. расстояние между двумя точками равно квадратному корню
из суммы квадратов разностей одноименных координат этих
точек, что совпадает с формулой F) § 2 гл. I.
§10. Направление вектора. Согласно определению скалярного
произведения векторов имеем:
где ф есть угол между векторами А и В. Из этой формулы полу-
получаем:
cos ф = ^ , A7)
т. е. косинус угла между векторами равен их скалярному про-
произведению, деленному на произведение длин.
Выражая числитель и знаменатель последней дроби посредством
проекций векторов (§ 9, формулы A5) и A6')), находим:
COS ф = ~f ЫЛ±??!±2& , A7')
Vxl + r\ + Z\ -V X\ + Y\ + Zl
В частности, полагая в формулах A7) и A7') B = i и замечал,
что в этом случае В=\, Xt=1, Уг=^0> Z8 = 0, находим:
cos a =¦?, A8)
или
cos a = -=iL-=- , /18')
VK + Y\ + Z\
где а есть угол оси Ох с вектором А. Аналогично, взяв B=j
и B = k, получим:
cos|i = 4!, cosy=t: A9)
пли в координатной форме:
cosp=—'
mni-v *+'*,+* (I9'>
Последние формулы дают возможность определить направляющие
косинусы вектора (т. е. косинусы углов между осями координат

§ 10]
НАПРАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА
179
и вектором) по его проекциям. Далее,
cos<p —А°В\ или cos ф = cos a, cos а, -\-
-|-cos р*, cos P2 + cosy, cos y2i B0)
где а,, р,, у, СУТЬ Углы осей координат с вектором А", а сс2, р2)
у2 — углы тех же осей с вектором В0. Последняя формула B0) сов-
совпадает с формулой A6) § 4 гл. 1.
Для иллюстрации изложенных результатов рассмотрим ряд при-
примеров.
Пример 1. Какому условию должны удовлетворять три вектора а, Ь, с,
чтобы из них можно было образовать треугольник, совмещая начало каждого
вектора с концом одного из двух других
векторов?
Очевидно, необходимым и достаточ-
достаточным условием для этого является то,
чтобы сумма векторов a, b и с равнялась
нулю:
a-f b-fc = 0.
Пример 2. Доказать, что возмож-
возможно построить треугольник, стороны кото-
рого равны и параллельны медианам дан-
ного треугольника ABC.
Обозначая середины сторон треу-
гольника ABC (рис. 101) через Л,, В,
и С„ выразим векторы, представляющие медианы треугольника, т. е. ААи
В~Вг и ССг> через векторы а, Ь, с. Легко видеть из черт. 109, чго
"ис. 101.
так как
Аналогично найдем:
±.
Остается проверить условие примера 1, достаточное для того, чтобы из век-
векторов ААи ~ВВ1, ССЛ можно было образовать треугольник:
= с+-5- + в + -|
Так как условие примера 1 выполняется, то из векторов ААи Вв[
и CCt действительно можно составить треугольник.
Пример 3. На точку действуют три силы, проекции которых на пря-
прямоугольные оси равны
Х, = 1, У, = 2, Z, = 3; X,= -2, Кг=3, Z2 = -4;
Найти величину н направление равнодействующей.
7*

180 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ [ГЛ. II
Обозначая через X, Y, Z проекции равнодействующей, имеем:
Х = Х, + Хг + Хг = 2, K = K1 + Vi + V, = lf Z =
Следовательно, величина R равнодействующей R будет:
R = VX*-{-Y* + Z2 = /2Г,
а ее направление определяется по формулам
^ X 2 л у 1
cos(R, г) = -=-=: ч
Пример 4. Найти угол между векторами А{1, 2, 3J, В{2, —1, 4j.
По формуле A7') получим:
_1 =
Пример 5. Дан треугольник О АН. Тогда AS = Л^-{- OS. Вычисляя
скалярный квадрат вектора АВ, получим:
^ ^ • 05 + OS*.
или
А Вг = О A* -f- О В14- 20 Л • OS cos (ЛО, OB).
Обозначая через ф внутреничй угол треугольника ОАВ при вершине О, по-
последней формуле придадим обычный вид:
АВг = 0Аг + 03* — 20А ¦ OB cos <p,
так как
(АО, ЪЁ) = л — ф.
\ §11. Векторное произведение. Вектор-
\ ным произведением двух векторов А и В
\ называется новый вектор С, длина которого
численно равна площади параллелограмма,
построенного на векторах А и В, перпен-
перпендикулярный к плоскости этих векторов и
направленный в такую сторону, чтобы кратчайший поворот от
А к В вокруг полученного вектора С представлялся происходя-
происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора
С (рис. 102).
Если векторы А и В параллельны, то их векторное произведение
считается равным пулевому вектору.
Из этого определения следует, что длина вектора С равна:
С=АВ sin (AJB), B1)
т. е. произведению длин перемножаемых векторов, умноженному
на синус угла между ними.

§ 11] ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 181
Векторное произведение А иа В обозначается символом С = АХ В
или С = [АВ]. Векторное произведение равно нулевому вектору
в том и только том случае, когда по крайней мере один из
перемножаемых векторов является нулевым или если эти векторы
параллельны (коллинеарны) '). В самом деле: если Л = 0, или 5 = 0,
или sin (А, В) = 0, то АВ sin (к, В) = 0, а потому АХВ = 0.
Обратно, если АХВ=0 и перемножаемые векторы не являются
нулевыми, то A j| В, потому что из условия ABsin(A, B) = 0 при
Л^О и В^фО вытекает sin (А, В)=0, т. е. A j| В. Так как нуле-
нулевой вектор можно считать коллинеарным любому вектору, то мы
можем сказать, что векторное произведение равно нулевому век-
вектору в том и только том случае, когда перемножаемые векторы
коллинеарны. Таким образом, условие коллинеарности векторов
будет:
АХВ=0. B2)
В частности, всегда
АХА = 0, B2')
вследствие чего является излишним вводить понятие о векторном
квадрате вектора, в то время как мы рассматривали скалярный
квадрат в связи со скалярным умножением.
Замечание. Условие B2) коллинеарности двух векторов
А и В возможно заменить следующим:
где Я — некоторое число (§ 4) (считая ф)
Если векторы А и В взаимно перпендикулярны, то sin (А, В) = 1,
и, значит, длина вектора-произведения равна произведению длин
векторов сомножителей:
|АХВ| = ЛВ, если AJ_B. B3)
Пример 1. Проверить справедливость равенств i X j = k, k X ] = — •',
где i, j, k суть основные координатные векторы.
Так как векторы i и j направлены по осям координат Ох и Оу, то век-
вектор i X j будет направлен по оси Ог. С другой стороны, длина этого векгора
равна площади прямоугольника, построенного на i и j, т. е. 1. Следовательно,
iXJ —k* Также очевидно, что kXJ имеет длину, равную единице, и на-
направлен в отрицательную сторону оси Ох, следовательно, kXJ = —i.
Пример 2. Показать, что (А X ВJ -f- (АВ)г = А'В2.
Действительно,
(А X В)г = АгВг sin2 (А"Гв), (АВ)г = АгВг cos2 (A^B);
складывая, находим:
А г
') Параллельные векторы называются также коллинеарньши.

182 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ [ГЛ. И
В механике важное значение имеет понятие момента силы отно-
относительно данной точки. Если сила F приложена к точке А (рис. 103),
А f то моментом силы F относительно точки О
~* называется вектор М, определяемый фор-
формулой
где г = ОА есть радиус-вектор точки при-
приложения. Из определения векторного про-
произведения следует,что величина момента равна
величине силы, умноженной на расстояние ОР точки О от прямой,
вдоль которой действует сила.
§ 12. Основные свойства векторного произведения.
1. При перестановке сомножителей векторное произведение
умножается на (—1), т. е.
ВХА=—(АХВ). B4)
В самом деле, площадь параллелограмма, построенного иа век-
торак А и В, а также и его плоскость не меняются при переста-
перестановке А и В. Поэтому векторы А X В и В X А имеют одинаковые
длины и коллинеарны.
Направления же этих векторов противоположны; действительно,
если смотреть на плоскость векторов А и В с конца вектора АХВ,
то кратчайший поворот от В к А будет казаться происходящим по
часовой стрелке. Следовательно, вектор ВХА должен быть на-
направлен в противоположную сторону.
Заметим еще, что в случае коллинеарности векторов А и В ра-
равенство B4) очевидно, так как тогда АХВ и ВХА — нулевые
векторы.
2. Векторное произведение обладает свойством сочетатель-
сочетательности относительно числового множителя; эго свойство выра-
выражается следующими формулами:
Я(АХВ) = ЯАХВ и Я(АХВ) = АХЯВ, B5)
т. е. чтобы умножить векторное произведение векторов на число,
достаточно умножить на это число один из сомножителей.
Обе формулы B5) доказываются аналогично. Докажем, например,
первую из них. Ограничимся случаем Х^>0.
Для доказательства равенства векторов Я (АХ В) и ХАХ^ за-
заметим прежде всего, что длины этих векторов одинаковы:
| ХА X В | = | ХА 1 flsiu (ХА"Гв) = КАВ sin (A/B).

§ 12]
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
183
Направления же векторов Я (АХ В) и ^АХВ совпадают, так как-
при умножении вектора на положительное число его направление
не меняется.
3. Векторное произведение подчиняется распределительному
закону, т. е.
+ ХС + ХС. B6)
Для доказательства заметим сначала, что произведение Х
где С° — единичный вектор, можно построить так (рис. 104). Спроекти-
Спроектируем вектор А^ОА на плоскость, перпендикулярную к С0, и
Рис. 104.
Рис. 105.
полученную вектор-проекиию OAt повернем в этой плоскости вокруг
точки О по часовой стрелке на 90° (если смотреть на плоскость
с конца вектора С").
Полученный вектор ОАг и равен АХ С0. В самом деле,
а) ОАг = ОАЛ = A cos (90° — ф) = A sin ф,
где ф—угол между векторами А и С";
б) вектор ОА2 перпендикулярен к векторам А и С" и направлен
в ту сторону, из которой кратчайшее вращение от А к С0 пред-
представляется совершающимся против часовой стрелки.
Итак, О42 = АХС°.
Пусть теперь даны единичный вектор С", перпендикулярная
к нему плоскость р и треугольник OA1BJ (рис. 105), в котором
Спроектируем Д OAiBJ на плоскость р и повернем проекцию
гВг в плоскости р по часовой стрелке на 90°.

184 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ [ГЛ. II
Получим Д ОА%Вг, в котором по предыдущему
Так как
то
B7)
Заметив, что С = СС°, умножим теперь обе части равенства
B7) на скаляр С. Применив свойство 2 векторного произведения,
получим:
или
что и требовалось доказать.
Пример 1. Показать, что (А - В) X (А -[- В) = 2 (А X В), и выяснить
геометрический смысл этого равенства, изображая векторы А— В и А + В
диагоналями параллелограмма.
В самом деле:
Геометрически это значит, что удвоенная площадь параллелограмма равна
площади параллелограмма, построенного на его диагоналях.
Пример 2. Пусть вершины треугольника ABC заданы своими радиу-
радиусами-векторами Л (г,), В(г2), С (г,). Найти вектор S, представляющий тре-
треугольную площадку ABC, на которой задано направление обхода контура
от А к В и от В к С, т. е. найти вектор, длина которого численйо равна
площади данного треугольника, а направление перпендикулярно к его пло-
плоскости (причем вектор должен быть направлен в ту сторону, откуда задан-
заданный обход контура треугольника кажется происходящим против движения
часовой стрелки). Так как АВ = г, — г„ ВС = г, — г2, то искомый вектор S
будек
= -g- <г* X г») - у О". X г,) - -g- ('• X г2) + ~ (г, X г,) =
= 4(ГгХг» +г» X г, 4-г. X гг).
§ 13. Векторное произведение векторов, заданных проек-
проекциями. Обозначая через Х1, К,, Z, проекции вектора А, а через
Хг, К2, Zj проекции вектора В, выразим через них векторное про-
произведение А на В:
А X В = (Xtl + XJ -\- Ztk) X (*,I + Yj + Z,k).

§ 13] ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ, ЗАДАННЫХ ПРОЕКЦИЯМИ 185
По свойству распределительности суммы векторов умножаются
как многочлены. Следовательно, получаем:
(IX j)+ УгУг (i X !) + <?, г. (к X
B8)
Так как i, |, k представляют три взаимно перпендикулярных еди-
единичных вектора и вращение от j к к представляется с конца век-
вектора i совершающимся против часовой стрелки (см. рис. 106), то
B9)
следовательно, в полученном выражении B8) для А X В пропадут
три слагаемых, остальные же соединятся попарно, и окончательная
формула будет:
А X В = (K,Z2 — ед I + (Z, *, — ZtXJ j + (*, К2 — Хг К,) к. C0)
Формулу C0) можно записать также в символической, легко
запоминаемой фэрме, если воспользоваться понятием определителя
3-го порядка1):
I j k
АХВ=
X, Y, Z,
C1)
Для практических вычислений можно
рядок:
1) составляем таблицу из двух строк
и трех столбцов, подписывая проекции
множителя под проекциями множимого;
т у р
¦1 *1 Л|
рекомендовать такой по-
z
К,
2) для получения первой проекции
произведения закрываем в этой таблице
первый столбец и вычисляем оставшийся
определитель 2-го порядка; чтобы по-
лучить вторую проекцию произведения,
закрываем второй столбец и оставшийся
ратным знаком; наконец, для получения
Рнс. 106.
определитель берем с об-
обтретьей проекции произве-
произведения закрываем в нашей таблице третий столбец и берем остав-
оставшийся определитель 2-го порядка со своим знаком.
') Понятие определителя дано в ч. 1, гл. VI.

186 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ [ГЛ. II
Например, если сомножители суть А{3, 4, 8}, В {5, 1, 7}, то,
пользуясь таблицей
13 4 811
|5 1 7||'
находим проекции АХ В: 20, 19, —17.
Заметим, что в силу C0) условие B2) АХВ = 0 параллель-
параллельности векторов А{Х,, К,, Z,} и В{АГ2, К,, Z2} может быть выра-
выражено равенствами
YlZ, — Z1Yt = Q, Z1X, — X,Zt = 0, XlYt—YlXt = 0, C2)
или
* ?* C2')
т. е. если векторы коллинеарны, то их проекции пропорциональны,
и обратно.
Заметим, что переход от C2) к C2') мы могли сделать, лишь
если ни одно из чисел Хг, Yt, Zt не обращалось в 0. Однако
в силу того, что равенства C2') имеют значительно более простой
вид и постоянно применяются в дальнейшем, мы будем писать их
даже и в тех случаях, когда некоторые из знаменателей равны 0.
Такую запись нужно понимать, конечно, не буквально (так как
на 0 делить нельзя), а условно, просто как удобную сокращенную
форму записи равенств C2). Таким образом, C2') будет в дальней-
дальнейшем означать то же самое, что и C2).
Так, например, равенства
О 0 2
показывают, что 2Yl = 0-ZJ, 0-Z1 = 2Ar1, 0-X1 = 0-Y1, т. е. что
Х, = 0 и К, = 0.
Пример 1. Найти площадь треугольника ABC с вершинами в точках
Л(хи yv г,), В(хг, у^гг), С(х„ уг, г3). ^
Так как вектор АВ имеет проекции %г— xlt y2— yv г2— 2,, а вектор ЛС
имеет проекции х, — xv </,— (/„ г,— г,, ю
пл ,
г, - г,
г3 2Х xt
— *1 Уг —
Пример 2. Определить cmiyc угла А треугольника ABC с вершинами
ЛA, 2, 3), ВC, 4, 5), С&, 4, 7).

§ 14]
ВЕКТОРНО-СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
187
Так как векюры АВ и АС имеют соответственно проекции 2, 2, 2 ч
1, 2, 4, то
sm A -.
2 4
2
2 2
4 1
а
2 2
1 2
/2Ы2
ЛВ-ЛС |^2242 4-2s |^12-}-224-42
угол следует взять острым, если ВСг < ЛВ2 4- ЛС2, и тупым, если ВС2 >
> ЛВ2 4- АС. В данном случае угол Л острый.
§ 14. Векторио-скалярное произведение. Выясним, что можно
сказать о произведении трех векторов. Если мы умножим скалярно
два вектора А и В, то их произведение будет скаляром. При умно-
умножении третьего вектора С на этот скаляр мы получим вектор, кол-
линеарный вектору С.
Совсем иное дело будет, если мы перемножим два вектора вск-
торно; в результате мы получим снова вектор А X В. Предста-
Представляется интересным исследовать дальнейшие произведения, как
скалярное, так и векторное, этого вектора
на новый вектор С. В первом случае мы будем
иметь векторно-скалярное произнедение (АХВ)С,
а во втором случае двойное векторное произ-
произведение (АХВ)ХС-
Векторно-скалярное произведение (АХ В)С
называется также смешанным произведением и
обозначается (ABC) или ABC.
Для приложения векторно-скалярного произ-
произведения весьма важным является уяснить себе Рис. 107.
его геометрический смысл. Пусть рассматри-
рассматриваемые векторы А, В и С некомпланарпы. Векторное произведение
Е = АХВ есть вектор Е, по длине численно равный площади па-
параллелограмма OADB, построенного на векторах А и В, и направ-
направленный перпендикулярно к плоскости параллелограмма (рис. 107).
Скалярное произведение (АХ^)С = ЕС есть произведение дли-
длины Е первого множителя на проекцию второго вектора С на первый.
Эта проекция С, как проекция вектора С на перпендикуляр к пло-
плоскости равна расстоянию точки С (конца вектора С) от плоскости
параллелограмма OADB, взятому со знаком -J- или —.
Построим параллелепипед па векторах А, В, С как на ребрах.
Высота этого параллелепипеда есть абсолютная величина нашей
проекции С,, а площадь основания — параллелограмма OADB —
численно равна длине вектора Е.
Итак, произведение ЕС^ГС\ но абсолютной величине равно
произведению площади основания параллелепипеда на его высоту,
т. е. измеряет объем параллелепипеда.
При этом важно отметить, что наше скалярное произведение
дает объем параллелепипеда иногда с положительным, а иногда

188 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ [ГЛ. II
с отрицательным знаком. Положительный знак получается, если
угол между векторами Е и С острый; отрицательный — если он
тупой. При остром угле между Е и С вектор С расположен по ту
же сторону плоскости OADB, что и вектор Е, и, следовательно,
из его конца С вращение от А к В будет видно так же, как и из
точки Е, т.е. в положительном направлении (против часовой стрелки).
При тупом угле между Е и С вектор С расположен по другую
сторону плоскости OADB, чем вектор Е, и, следовательно, из его
конца С вращение от А к В будет видно в отрицательном напра-
направлении (по часовой стрелке). Иными словами, произведение (ABC)
положительно, если векторы А, В и С образуют систему, одноимен-
одноименную с основной (взаимно расположены так же, как оси х, у, z),
н оно отрицательно, если векторы А, В и С образуют систему,
разноименную с основной.
Итак, мы получили следующую теорему:
Векторно-скалярное произведение (ABC) = (АХ В^С трех не-
некомпланарных векторов есть число, абсолютная величина кото-
которого выражает объем параллелепипеда, по-
построенного на векторах А, В, С, как на
ребрах. Знак произведения положителен,
если векторы А, В, С образуют систему,
одноименную с основной, и отрицателен в
противном случае.
Из этой теоремы следует, что абсолют-
абсолютная величина произведения (ABC) = (А X В) С
останется та же, в каком бы порядке мы ни
брали сомножители А, В, С. Что касается
знака, то он будет в одних случаях положи-
положительным, в других — отрицательным; это зави-
зависит от того, образуют ли наши три вектора, взятые в определенном
порядке, систему, одноименную с основной, или нет. Заметим, что
у нас оси координат расположены так, что они следуют одна за
другой против часовой стрелки, если смотреть во внутреннюю часть
трехгранного угла (рис. 108).
Порядок следования не нарушится, если мы начнем обход со
второй оси или с третьей, лишь бы он совершался в том же на-
направлении, т. е. против часовой стрелки. При этом наши множители
переставляются в круговом порядке. Таким образом, получаем георему:
Круговая перестановка трех сомножителей векторно- скаляр-
скалярного произведения не меняет его величины. Перестановка двух
соседних сомножителей меняет знак произведения:
(АВС) = (ВСА) = (САВ) = — (ВАС)=^ — (СВА) = —D.СВ). C3)
Прп каких условиях векторно-сколярмое произведение может
обрашгься в нуль? Очевидно: а) если среди сомножшелей ecib

§ 15] ВЕКТОРНО-СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В ПРОЕКЦИЯХ 189
хотя бы один нулевой вектор; б) если по крайней мере два из
перемножаемых векторов коллинеарны (и, следовательно, их вектор-
векторное произведение равно нулевому вектору), в частности:
(ААВ) = (АВА) = (ВАА) = О; C4)
в) если три вектора А, В, С компланарны (параллельны одной и
той же плоскости), потому что тогда А X В J_ С и, следовательно:
(АХВ)С = 0.
Объединяя все три случая, можем сказать, что (АВС) = О, если
векторы А, В, С компланарны. Обратно, пусть (АВС) = 0. Тогда,
если никакой из векторов не является нулевым и никакие два из
векторов не коллинеарны, АХ В и С должны быть перпендику-
перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно нулю, а так как,
кроме того, А X В перпендикулярен к А и В, то векторы А, В, С
компланарны. Следовательно, можно утверждать, что равенство
(АВС) = 0 C5)
есть необходимое и достаточное условие компланарности векто-
векторов А, В, С.
Отсюда, в частности, следует, что формулы C3), доказанные
для нскомпланарных векторов, остаются справедливыми и в случае
их компланарности.
Пример 1. Показать, что объем треугольной пирамиды равен — абсо-
6
лютной величины векторно-скаляриого произведения, составленного из трех
векторов-ребер, выходящих из одной вершины.
В самом деле, объем треугольной пирамиды ABCD можно рассматрива-п.
как — объема параллелепипеда, построенного на векторах АВ, AC, AD, как
на ребрах:
объем ABCD = ^\(АВ AC AD) |.
Пример 2. Раскрыть скобки в выражении
((А + В)(В+С)(С+А)).
Это ьыражение представляет ((A -f- В) X (В -f- С)] (С + А). Векторное
произведение будет равно:
Умножая его скалярно на (С -(- А), получим:
= (А X В) С + (В X С) А = (ABC) -f- (ВСА) = (ABC) + (ABC) = 2 (ABC).
§ 15. Векторно-скалярное произведение в проекциях. Обозна-
Обозначая через X,, Yl, Z, проекции вектора А, через Xt, Уг, Z2 проекции
в-ктора В и через Xs, Yt, Z, проекции вектора С, найдем сначала

190
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. 1Г
проекции векторного произведения А X В. Согласно формуле C0)
эти проекции будут:
Y 7
У 7
Z, X,
xt к,
У V
Зная теперь проекции первого сомножителя А X В и проекции Ха,
К„ Z, второго сомножителя С, найдем по формуле A5) их скалярное
произведение:
у, zx
У г Z*
л-у,
Z, Хх
z2 хг
хх к,
х* у,
Но правая часть этого равенства есть не что иное, как разложение
определителя третьего порядка
хх у, z,
xt у, z,
по элементам последней горизонтали. Итак, окончательно мы будем
иметь:
X, К, Z,
(АВС) =
C6)
т. е. векторно-скалярное произведение трех векторов, заданных
своими проекциями, равно определителю 3-го порядка, составлен-
составленному из этих проекций. При этом следует помнить, что в 1-й,
2-й и 3-й строках определителя пишутся в обычном порядке про-
проекции 1-го, 2-го и 3-го из перемножаемых векторов. Пользуясь
формулой C6), мы видим, что условие C5), необходимое и доста-
достаточное для компланарности векторов А {Хх, Yx, Z,}, В {Хг> УгУ ZJ,
C{Xt, Уг, ZJ, запишется в виде:
X, Yx Z,
х,
C7)
Пример 1. Вычислить (ABC), если AJ3, 4, 2}, В {3, 5, — 1}, С {2, 3, 5}.
Пользуясь формулой C6), находим:
3 4 2
(АВС) =
3 5—1
= 14.
2 3 5
Пример 2. Вывести условие того, чтобы четыре точки А (х1з </„ г,),
В (xs, уг, г2), С (х„ «/„ г,), D (x4> yt, zt), лежали в одной плоскости.
Искомое условие равносильно условию компланарности вектооов Atf,
AC, AD и, следовательно, согласно формуле C7) может быть записано в виде:
х> — х, у, — у, г, — г,
— 0.

§ 16]
ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
191
Пример 3. При тех же обозначениях, что и в примере 2, объем V
треугольной пирамиды A BCD выражается формулой
хг — *. у2 — (/, гг — г,
у у it _^_ ji у _ *f
В самом деле, согласно примеру 1 из § 14 мы имеем:
Так как векторы АВ, AC, AD имеют соответственно проекции хг — х„
Уи г» —г,; х, — xlt уа — у„ г, — г^ xt— дг„ «/4— t/1( z4 —г„ то находим:
— *1 Уг — Уг гз ~
где знак берется одинаковый со знаком определителя.
§ 16. Двойное векторное произведение. Мы рассмотрели век-
торно-скалярпое произведение; теперь перейдем к векторно-вектор-
ному произведению
(А X В) X С.
В первом случае мы получили прекрасное геометрическое истолко-
истолкование произведения; здесь же мм дадим формулу, значительно облег-
облегчающую вычисление. Эта формула имеет вид:
: = В (АС) — А (ВС). C8)
Обозна'шг искомый результат через D, найдем его проекции
Dx, Dy, Dz. С этой целью сначала определяем проекции вектора
А)(В и получаем по формуле C0):
(А X В), = АуВг - AzBy, (А X В), = AZBX - AXBZ,
Далее, применял ту же формулу C0), находим:
Dx = {А X В), С2 - (А X В), Су =
= (АгВх - AXBZ) Cz - (АхВу - АуВх) Су =
= Вх (АуСу + АгСг) - Ах (ВуС
АуСу
уСу
CZ).
Прибавив и вычтя по АХВХСХ, получим:
Dx = Вх (АХСХ + АуСу + AZCZ) - Ах (ВХСХ
Более кратко последнее выражение запишется так:
— AX(BC).
уСу
ВгСг).

192 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ [ГЛ. И
Аналогичные формулы получаютс я и для двух других проекций:
Dy = Ву (АС) — Ау (ВС), Dz = Bz (AC) — Аг (ВС).
Зная проекции вектора D, пишем самый вектор D:
Внося вместо Dx, D , Dz только что полученные значения, имеем:
D = (Вх\ + Ву\ + Bzk) (AC) - (AJ + Ау\ + Агк) (ВС),
или
D = В (АС) —А (ВС).
Заменяя, наконец, D его значением, найдем требуемую формулу C8).
Заметим, что в двойном векторном произведении весьма важно раз-
различать порядок перемножения. Так, например, вычисляя А X (В X С)>
мы получим совершенно другой вектор, а именно:
Итак, получается формула
AX(BXQ = B(AC) —С(АВ). C9)
Из сопоставления формул C8) и C9) можно вывести следующее
правило для запоминания разложения двойного векторного произве-
произведения:
Двойное векторное произведение равно произведению среднего
вектора на скалярное произведение двух других, минус крайний
вектор скобки, умноженный на скалярное произведение двух других.
При круговой перестановке векторов А, В, С формула C8) при-
приводит к трем разным векторам:
—А(ВС),
—В(СА),
) —С(АВ).
Складывая вместе ати три равенства, получим тождество
(АХВ)ХС + (ВХС)ХА + (СХА)ХВ = О. D0)
Одно из применений формулы C9) состоит в выводе разложе-
разложения данного вектора В на две компоненты, из которых одна па-
параллельна, а другая перпендикулярна к заданному вектору А.
В самом деле, положив в формуле C9) С = А, найдем:
А X (В X А) = В (АА) — А (АВ) = В (А2) — А (АВ).
Решая эю уравнение относительно В, получим:
D1)

УПРАЖНЕНИЯ
193
Первый нз слагаемых векторов правой части, очевидно, парал-
параллелен вектору А, а второй перпендикулярен к нему.
Формула D1) для разложения упрощается, если А есть единич-
единичный вектор. Тогда Л=1 и формула D1) примет вид:
). D2)
Мы разобрали два случая произведений трех векторов; они играют
большую роль в векторной алгебре. Произведения четырех и боль-
большего числа векторов могут быть сведены к низшим произведениям.
Пример 1. Показать, что если a_]_b, то
aX|aXlaX(aXb)H=a4b.
В самом деле:
а X (а X Ь) = a (ab) — b (аа) = — Ъа\
Умножая векторно слева на а, получим:
а X [а X (а X Ь)] = - а2 (а X Ь) = аг (Ь X а).
Повторяя ту же операцию, найдем:
а X iaX [аХ (а X Ь)]| =а2 |а X (Ь X а)] = а'Ь (aa) - a2a (аЬ) = «Л>
что и нужно. Читателю рекомендуется проверить этот результат геометрически.
Пример 2. Вычислить (а X Ь) (с X d).
Обозначая временно (с X d) = е. произведем в векторно-скалярном произ-
произведении (а X Ь) е перестановку; тогда получим:
= а [с (bd) — d (be)] = (ас) (bd) — (ad) (be),
или
В частности, при d = a найдем: (аХ Ь) (& X, с) = аг (be) — (ab) (ас).
Упражнения
1. Даиы две прямоугольные декартовы системы координат с одинаковыми
направлениями осей. Радиус-вектор нового начала координат г„{а, b, cj.
Найти зависимость между радиусами-векторами г\х, у, г\ и r,Jx,, y1: г,}
произвольной точки относительно старой и новой систем.
2*. Даны две прямоугольные декартовы системы координат с общим
началом. Найги выражения координат х, у, г произвольной точки етноси-
тельно старой системы через координаты х„ yv z, той же течки в новой
системе.
3. Найти формулы преобразования прямоугольных декартовых координат
в общем случае.
4. Доказать, что если диагонали четырехугольника делят друг друга по-
пополам, то четырехугольник «сп, параллелограмм.
5. Найти :)адиу--век:ор точки пересечения медиан треугольника, вершины
которого заданы векторами г1; г2, г3. Выразить также ответ в ксордшшах.

194 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 11
6. Найти радиус-вектор, а также координаты центра тяжести системы
трех материальных точрк Л1,, Л42, М„ в которых сосредоточены массы т„
7. Доказать перпендикулярность векторов А {3, 2, 1} н В |2, —3, 0}.
8. Найти длину и направление вектора А|1, 1, lj,
9. Найти проекцию вектора А {4, —3, 4| на направление вектора
В B, 2, lj. _^ _^ __ _^
10*. Дан параллелограмм ОАСВ: оТ=ВС*=А, ~ОВ = АС=Ъ. Дать
геометрическое истолкование формул:
(А4-ВJ + (А-В)г = 2(Л2 + В2), (А + ВJ-(А-ВJ = 4АВ,
(А + В) (А — В) = А2 — В2.
Какое значение имеет последнее из этих равенств для ромба?
П. Доказать, что вектор х — b (ас) — a (be) перпендикулярен к вектору с.
12. Доказать, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке.
13. Какой угол составляют между собой два вектора:
A = i-f-j —4k, B = i — 2j-j-2k?
14. Определить угол между векторами аи Ь, если вектор a-f-ЗЬ пер-
перпендикулярен к вектору 7а — 5Ь, а вектор а — 4Ь перпендикулярен к вектору
7а - 2Ь.
15*. Вывести формулу для косинуса суммы двух углов.
16. Дано, что аХс = ЬХс> с?=0; можно ли отсюда заключить, что
а = Ь?
17*. Вывести формулу для sin (а — Р).
18. Найти величину площади параллелограмма, сторонами которого
являются векторы a = i — 3j -f- k, b = 2i — j + 3k.
19. Вычислить площадь треугольника, вершины которого находятся
в точках А C, 4, — 1), В B, 0, 3), С (— 3, 5, 4).
20. Найти площадь треугольника ABC, если известны проекции его сторон
СА\Хг, У„ Z,{ и CS)X2) Yt, 2г\.
21. При обозначениях задачи 20 найти синус угла С.
22. Вычислить векторно-скалярное произведение ij (i
23. Показать, что abc = ab (с -)- Xa. -f-цЬ).
24. Показать, чго векторы {3, 4, 5j, jl, 2, 2J, {9, 14, 16} компланарны.
25. Проверить, что четыре точки ЛA, 0, 1), В D, 4, 6), СB, 2, 3) и
D (Ш, 14, 17) лежат в одной плоскости.
26. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках: А @, 0, 0),
ВC, 4, — 1), С B, 3, 5), DF, 0, —3). Вычислить ее объем,
27. При данных задачи 26 найти длину высоты, опущенной из вершины Л,
28. Даны векторы а|3, 0, — 1}, b {2, 4, 3j, cj— 1, 3, 2[, d {2, 0, 1}. Вы-
Вычислить (а X b) X с и (а X с) (Ь X d).
29*. Найти кратчайшее расстояние между двумя прямыми, если одна
проходит через точку Л C, С, — 1) параллельно вектору В {2, 4, 3}, а другая
проходит через точку С (— 1, 3, 2) параллельно вектору DJ, 0, 1}.
30*. Найти расстояние от точки А C, 4, 2) до прямой, проходящей через
точку ВA, 2, 3) параллельно вектору С|6, 6, 7}.

ГЛАВА III
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Уравнение поверхности. В аналитической геометрии всякую
поверхность рассматривают как геометрическое место точек. В таком
определении поверхности содержится свойство, общее всем ее точкам.
Обозначая через х, у, z координаты произвольной точки данной
поверхности относительно некоторой прямоугольной системы коор-
координат, мы выражаем посредством уравнения между х, у н z свойство,
общее всем точкам поверхности и только им. Таким образом со-
составляется уравнение между переменными х, у и z, которому удо-
удовлетворяют координаты произвольной точки данной поверхности и
только они одни. Это уравнение называют уравнением поверхности,
входящие в него координаты х, у и z — текущими координатами.
Получается возможность свести изучение геометрических свойств
поверхности к изучению аналитических свойств соответствующего
ей уравнения.
Рассмотрим несколько простейших примеров составления урав-
уравнений заданных поверхностей.
Пример 1. Найти уравнение плоскости, делящей пополам отрезок между
точками А (I, 2, 3) и В B, — 1, 4) и перпендикулярной к нему.
Очевидно, эта плоскость есть геометрическое место точек, равноудаленных
от Л и В.
Возьмем на ней произвольную точку М (х, у, z). Тогда по формуле рас-
расстояния между двумя точками будем иметь:
AM=V(x- If
ВМ = V(x - 2f + (у 4- 1)г + (г - 4)а.
Приравнивая эти расстояния, получим:
У(х - 1J + (У - 2)г + (г - 3J= У (х - 2J + (.'У + 1J+ (г - 4f.
Отсюда после возведения обеих частей равенства в квадрат и упрощений
окончательно:
2х — 6(/ + 2г — 7 = 0.
Это и есть уравнение данной плоскости.
Пример 2. Найти уравнение плоскости, делящей пополам двугранный
угол между координатными плоскостями XOZ и YOZ и проходящей через
первый октант.

196 ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 111
Ясно, что данная плоскость является геометрическим местом точек,
равноудаленных от координатных плоскостей XOZ и YOZ. Следовательно,
для каждой точки этой плоское!и имеет место равенство |х| = |^|.
Кроме того, легко усмотреть, чю обе зти координаты любой точки дан-
данной плоскости имеют одинаковые знаки (р первом и пятом октантах поло-
положительные, а в третьем и седьмом — отрицательные). Поэтому у каждой ее
точки абсцисса равна ординате
х=у или х— у = 0.
Это и есть уравнение данной плоскости.
Совершенно аналогично выводится и уравнение плоскости, делящей по-
пополам другой двугранный угол между теми же координатными плоскостями
XOZ и YOZ и проходящей через нторой октант. Разница лишь в том, чю
абсцисса и ордината любой точки этой плоскости, будучи равными по абсолют-
абсолютной величине, противоположны по знаку. Поэтому уравнение ее имеет вид:
х— — у или x-f-</ = 0.
Пример 3. Найти уравнение координатной плоскости YOZ. Очевидно,
эта плоскость есть геометрическое место точек, абсциссы которых равны
нулю. Поэтому уравнением ее будет x = 0. Аналогично уравнение плоскости
XOZ имеет вид и=0.
Пример 4. Найти уравнение плоскости, параллельной координатной
плоскости XOY и отстоящей от нее на расстоянии с в сторону положитель-
положительных значений г.
Данная плоскость есть геометрическое место точек, аппликаты которых
равны с. Поэтому уравнение ее имеет вид г —с.
Пример 5. Найти уравнение сферы1), центр которой лежит в точке
С (а, Ь, с), а радиус равен R.
Обозначая через х, у и г координаты произвольной точки М сферы,
выразим аналитически свойство, общее всем точкам М. Из определения
сферы следует, что расстояние точки М до центра С есть величина постоян-
постоянная, равная радиусу R, т. е.
CM = R. A)
Определим СМ как расстояние между двумя точками С и М (ч. 2, гл. I, § 2),
мы выразим равенство A) с помощью текущих координат точки М:
Y(x - af + (у - 6)г + (z - с)* = R.
Возвышая обе части последнего уравнения в квадрат, освободимся от ради-
радикала и получим уравнение сферы в окончательном виде:
(x-a)* + (y-b)* + (z-cr = R*. B)
В этом уравнении постоянные а, Ь, с и R суть соответственно коорди-
координаты центра и радиус сферы, переменные х, у и г являются координатами
произвольной точки сферы. В частности, если центр сферы находится в на-
начале координат, то а = 6 = с = 0, и уравнение B) принимает более простой вид:
x* + y* + z* = R*. C)
§ 2. Геометрический смысл уравнений. Мы видели, что всякая
поверхность, рассматриваемая как геометрическое место точек, может
быть представлена уравнением между координатами ее точек. Обратно,
всякое уравнение между переменными х, у и z, вообще говоря,
определяет поверхность как геометрическое место точек, координаты
которых х, у и z удовлетворяют этому уравнению.
*) Сферой назыааегся шаровая поверхность.

§ 4] сфера 197
§ 3. Две основные задачи. Из изложенного в §§ 1 и 2 вытекает
постановка двух основных задач:
1. Дана поверхность как геометрическое место точек. Соста-
Составить уравнение этой поверхности.
2. Дано уравнение между координатами х, у и z. Исследовать
форму поверхности, определяемой этим уравнением.
§ 4. Сфера. Мы видели, что сфера радиуса R с центром в точке
С(а, Ь, с) имеет уравнение
(х — а)*-\-(у — ЬУ-{-(г — с)* = 1?. B)
Раскрывая скобки, придадим уравнению B) вид:
Х* +У* + 2* — 2ах — 2ЬУ — 2с2 + (а' + Ь* + С* — Я") = °- <2')
Уравнение B') содержит члены второго измерения, первого изме-
измерения и свободный член (нулевого измерения) относительно х, у и z.
Такое уравнение называют уравнением второй степени. Итак, сфере
соответствует уравнение второй степени относительно текущих ко-
координат. Но, очевидно, не всякое уравнение второй степени опре-
определяет сферу. Действительно, из уравнения B') усматриваем, что
в уравнении сферы коэффициенты при квадратах координат равны,
а члены с произведениями координат (ху, yz, zx) отсутствуют.
Обратно, если осуществлены два условия: 1) равенство коэффи-
коэффициентов при х*, уг и z', 2) отсутствие членов ху, yz, zx, то урав-
уравнение определяет сферу, так как оно приводится к виду B') путем
деления на коэффициент при хг').
Итак, по виду данного уравнения второй степени мы можем
решить, определяет оно сферу или нет. Например, уравнение
определяет сферу, так как в нем коэффициенты при квадратах ко-
координат равны между собой, а члены с произведениями координат
отсутствуют. Желая узнать размер сферы и положение ее в про-
пространстве относительно данной системы координат, мы должны опре-
определить величину радиуса и координаты ее центра. С этой целью
данное уравнение мы приведем к виду B). Такое преобразование есть
не что иное, как представление уравнения B') в виде B). Возьмем
в данном примере члены, содержащие х, т. е. л:2 — '2х, и дополним
этот двучлен до полного квадрата разности х—1. Получим:
хг — 2х = (х— IJ — 1.
Аналогично поступая с членами, содержащими у п 2, получим:
уг — 4у = (у — 2J — 4; z* — (z — 0)г
') В частном случае уравнение может определять сферу нулевого радиуса
(т. е. точку) или мнимое место точек.

198 ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
После этого данное уравнение запишется так:
[ГЛ. III
Сравнивая это уравнение с уравнением B), усматриваем, что
а=1, Ь = 2, с —О, R = 3.
§ 5. Цилиндрические поверхности. Положим, что данное урав-
уравнение не содержит переменной z:
F{x, y) = 0.
На плоскости координат хОу это уравнение определяет некоторую
линию L — геометрическое место точек, координаты которых удо-
? влетворяют данному уравнению. Этому урав-
уравнению удовлетворяют также координаты всех
тех точек пространства, у которых две
первые координаты совпадают с координа-
координатами любой точки линии L, т. е. тех точек
пространства, которые проектируются на плос-
плоскость хОу в точки линии L. Совокупность
таких точек есть поверхность, описанная пря-
прямой, параллельной оси Oz и пересекающей ли-
линию L (рис. 109). Вообще поверхность, образо-
образованная прямыми, параллельными некоторой дан-
данной прямой и пересекающими данную линию L,
цилиндрической. Линия L называется ее направляющей,
образующие цилиндрическую поверхность, — образую-
109.
называется
а прямые,
щими. Итак, уравнение F{x, y) = 0 определяет цилиндрическую
поверхность, образующие которой параллельны оси Oz.
Обратно, всякая цилиндрическая поверхность с образующими,
параллельными оси Oz, может быть представлена уравнением вида
^(л:, _у) = 0. Действительно, направляющая линия L может быть
в этом случае взята в плоскости координат хОу и ее уравнение,
рассматриваемое в пространстве, будет определять данную цилиндри-
цилиндрическую поверхность.
Точно так же, если уравнение не содержит переменного х (или у),
то оно определяет цилиндрическую поверхность с образующими,
параллельными оси Ох (или Оу).
Пример 1. Уравнение
определяет цилиндрическую поверхность, у которой направляющая есть эллипс,
лежащий в плоскости хОу, а образующие параллельны оси Ог {эллиптический
цилиндр).
Пример 2. Уравнение
а»'
E)

§ 6] УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 199
определяет цилиндрическую поверхность, у которой направляющая есть
гипербола, лежащая в плоскости хОу, а образующие параллельны оси Ог
{гиперболический цилиндр).
Пример 3. Уравнение
Уг = 2рх F)
определяет цилиндрическую поверхность, у которой направляющая есть
парабола, лежащая в плоскости хОу, а образующие параллельны оси Ог
(параболический цилиндр).
§ 6. Уравнения линии в пространстве. Всякую линию в про-
пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей.
Пусть
f(x, у, z) = Q и/Д*. у, z) = 0 G)
суть уравнения тех поверхностей, пересечение которых дает линию L.
Координаты любой точки линии L удовлетворяют обоим уравне-
уравнениям G), так как эта точка лежит одновременно на обеих поверх-
поверхностях. Итак, линия в пространстве рассматривается как геометри-
геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют системе
двух уравнений G). Обратно, система двух уравнений G) определяет
линию в пространстве как геометрическое место точек, координаты
которых удовлетворяют этой системе уравнений. Уравнения G) на-
называют уравнениями линии L в пространстве.
Очевидно, можно различным образом выбирать те поверхности,
пересечением которых является данная линия L, и это обстоятельство
соответствует тому факту, что вместо системы G) можно взять
любую другую систему двух уравнений, ей равносильную. Так, на-
например, уравнения оси Oz будут:
дг = О, у = 0.
Уравнения
х-\-у = 0 и х—у = 0
также определяют ось Oz.
Проведем через линию L две цилиндрические поверхности с обра-
образующими, параллельными осям Оу и Oz. Уравнения этих цилиндри-
цилиндрических поверхностей будут иметь вид (§ 5):
F(x, z) = 0, F1(x,y) = 0.
Так как линию L можно рассматривать как пересечение этих ци-
цилиндрических поверхностей, то система уравнений
F(x, z) = 0, Ft(x, y) = 0 (8)
определяет линию L. Каждое из уравнений (8), рассматриваемое
в соответствующей плоскости координат, представляет, следова-
следовательно, проекцию данной линии L на плоскости xOz и хОу. Анали-
Аналитически уравнения (8) получаются нз уравнений G) путем исключе-
исключения неременных у и г.

200
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. Ш
Пример. Написать уравнения окружности, получающейся в пересече-
пересечении сферы хг -f- У* + е* = 1 с плоскостью г = -к-.
Искомое уравнения окружности будут:
1
, г = ~2 или
Одно первое уравнение последней системы на плоскости координат хОу
изображает окружность, являющуюся проекцией искомой окружности иа эту
плоскость. Эта проекция совпадает по размерам с искомой окружностью,
так как последняя лежит в плоскости, параллельной плоскости проекций.
§ 7. Пересечение трех поверхиостей. Если три поверхности, выражаемые
соответственно уравнениями
F (х, у, г) = 0,
Ftix.y, z) = 0,
Рг(х, у, г) = 0,
имеют общую точку, то координаты ее удовлетворяют каждому из этих урав-
уравнений.
Очевидно, справедливо и обратное предложение—если координаты какой-
нибудь точки удовлетворяют этим трем уравнениям, то эта точка принадлежит
всем трем поверхностям. Поэтому, чтобы найти точки пересечения трех поверх-
поверхностей, нужно совместно решить соответствующие им уравнения. Каждое дейст-
действительное решение этой системы трех уравнений даст точку пересечения
поверхностей.
Если же система уравнений несовместна или все решения ее мнимые, то
точек, общих для всех трех данных поверхностей, нет.
Упражнения
1. Составить уравнение сферы радиуса 4 с центром в точке (— 1, 2, 3).
2. Найти центр и радиус сферы
** + ** + г1 — 2* 4- 4</ — 4г — 7 = 0.
3. Найти центр н радиус сферы х* -\- у* -\- гг — 2х = 0.
4. Найти центр и радиус сферы
2 Y2 4- 2уг + 2гг — Ьу — 8 = 0.
5. Составить уравнение сферы с центром в точке A, 3, — 2), проходящей
через начало координат.
6. Составить уравнение сферы, проходящей через начало координат и
точки B, 0, 0), A, 1, 0), A, 0, — 1).
7. Составить уравнение проекции линии
— г = 0, г = х— 1
на плоскость координат хОу.
8. Какую линию определяет система уравнений
9. Какую поверхность определяет уравнение хг -\-уг — 2х = О?

ГЛАВА IV
ПЛОСКОСТЬ
§ 1. Нормальное уравнение плоскости. Положение плоскости в
пространстве будет вполне определено, если зададим ее расстоя-
расстояние р от начала О, т. е. длину перпендикуляра ОТ, опущенного из
точки О на плоскость, и единичный вектор п°, перпендикулярный
к плоскости и направленный от начала
О к плоскости (рис. 110).
Когда точка М движется по плоско-
плоскости, то ее радиус-вектор г меняется так,
что все время связан некоторым услови-
условием. Посмотрим, каково это условие.Оче-
условие.Очевидно, для любой точки Ж (г), лежащей
на плоскости, имеем:
прп« ОМ—ОТ=р. A)
Это условие имеет место лишь для Рис ПО.
точек плоскости; оно нарушается, если
точка М лежит вне плоскости. Таким образом, равенство A) выра-
выражает свойство, общее всем точкам плоскости и только им. Согласно
§ 7 гл. II имеем:
прпо ОМ z=rn°,
и, значит, уравнение A) может быть переписано в виде:
гив — р = 0. (Г)
Уравнение (Г) выражает собой условие, при котором точка М(г)
лежит на данной плоскости, и называется нормальным уравнением
этой плоскости. Радиус-вектор г произвольной точки М плоскости
называется текущим радиусом-вектором.
Уравнение A') плоскости записано в векторной форме. Переходя
к координатам и помещая начало координат в начале векторов —
точке О, заметим, что проекциями единичного вектора п" на оси
координат Ox, Oy, Oz служат косинусы углов а, р", у, составлен-
составленных осями с ;»гим вектором, а проекциями радиуса-вектора г точки М

202
плоскость
[ГЛ. IV
служат координаты х, у, z точки /И, т. е. имеем:
n"{cosa, cos P, cosy} и г (*> У, z)'
Уравнение A') переходит в координатное:
х cos a -\-y cos P -\- z cos у—р = 0. B)
При переводе векторного уравнения (Г) плоскости в координат-
координатное уравнение B) мы воспользовались формулой A5) § 9 гл. 11,
выражающей скалярное произведение через проекции векторов.
Уравнение B) выражает собой условие, при котором точка М(х, у, z)
лежит на данной плоскости, и называется нормальным уравнением
этой плоскости в координатной форме. Полученное уравне-
уравнение B) — первой степени относительно х, у, г, т. е. всякая пло-
плоскость может быть представлена уравнением первой степени
относительно текущих координат.
Заметим, что выведенные уравнения (Г) и B) остаются в силе
и тогда, когда р=0, т. е. данная плоскость проходит через начало
координат. В этом случае за п" мож-
можно принять любой из двух единичных
векторов, перпендикулярных к плоско-
плоскости и отличающихся один от другого
направлением.
Замечание. Нормальное уравнение
плоскости B) можно вывести, не пользуясь
векторным методом.
Возьмем произвольную плоскость и про-
проведем через начало координат перпендику-
перпендикулярно к ней прямую /. Установим на этой
прямой положительное направление от на-
начала координат к плоскости (если бы вы-
выбранная плоскость проходила через начало
координат, то направление на прямой мож-
можно было бы взять любое).
Положение этой плоскости в пространстве вполне определяется расстоя-
расстоянием ее р от начала координат, т. е. длиной отрезка оси / от начала коорди-
координат до точки пересечения ее с плоскостью (на рис. 111 —отрезок ОТ) и углами
a, P, у между осью / и координатными осями. Когда точка М'с координатами
х, у, г движется по плоскости, то ее координаты меняются так, что все время
связаны некоторым условием. Посмотрим, каково это условие.
Построим на рис. 111 координатную ломаную линию OPSM произвольной
точки М плоскости. Возьмем проекцию этой ломаной на ось I. Заметив, что
проекция ломаной равна проекции ее замыкающею отрезка (гл. I, § 3), будем
иметь:
пр OPSM = пр (Ж' = р. C)
С другой стороны, известно, что проекция ломаной равна сумме проекций
ее звеньев (гл. I, § 3); следовательно, равенство C) перепишется так;
пр ОР-\- пр PS -f- npSAf— p. 0)
Рис. 111.

§ 2] ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ К НОРМАЛЬНОМУ ВИДУ 203
Так как проекция отрезка равна его величине, умноженной на косинус
угла между осью проекций и осью, на которой лежит отрезок (гл. I, § 3), то
пр ОР = х cos а, пр PS= у cos р, пр SM = z cos у.
Подставляя эти значения в равенство D), получим:
х cos а -)- у cos Р + 2 cos У = Р>
или
л; cos а-(-I/ cos P + z cosy — р = 0. B)
Как уже указывалось, уравнение B) выражает собой условие, при котором
точка М (х, у, г) лежит на данной плоскости, и называется нормальным урав-
уравнением этой плоскости. Полученное уравнение B) — первой степени относи-
относительно х, у, z, т. е. всякая плоскость может быть представлена уравнением
первой степени относительно текущих координат.
§ 2. Геометрический смысл уравнения первой степени между
тремя переменными. Приведение общего уравнения первой степени
к нормальному виду. В предыдущем параграфе было доказано, что
всякая плоскость может быть представлена уравнением первой сте-
степени. Теперь докажем обратную теорему: всякое уравнение первой
степени между тремя переменными определяет плоскость.
Возьмем уравнение первой степени общего вида:
Ax-\rBy-\-CzArD = Q. E)
Будем рассматривать А, В к С как проекции на оси координат Ох,
Оу и Oz некоторого постоянного вектора п, а х, у и z как про-
проекции радиуса-вектора г точки М. Тогда уравнение E) может быть
переписано в векторной форме следующим образом (гл. I, § 9):
0. E')
Покажем, что уравнение E') может быть приведено к нормаль-
нормальному виду (Г).
Рассмотрим следующие случаи:
1) Пусть D<0.
Тогда разделим уравнение E') на модуль вектора п, т. е. на п.
Получим:
так как —=я°. Обозначив отрицательное число — через — р, где
р положительно, будем иметь нормальное уравнение rnu — р = 0.
2) Если D^> 0, то разделим уравнение E') на (—п), после чего
оно примет вид г (—п°) = 0.
Обозначив же положительное число — через р, получим нор-
нормальное уравнение.

204 плоскость {гл. иг
3) Если D = 0, то уравнение E') можно разделить как на л,
так и на (—п). В первом случае мы получим гп° = 0, а во втором
г(—п°) = 0. Каждое из них является нормальным уравнением
вида (Г).
Таким образом, уравнение E') всегда может быть приведено к
нормальному виду (Г). Но нормальное уравнение определяет пло-
плоскость. Следовательно, уравнение E'), а значит, и исходное уран-
пение E), определяет плоскость. Таким образом, теорема доказана.
Уравнение E) называется общим уравнением плоскости.
Условимся всякий вектор, отличный от нулевого, перпендикуляр-
перпендикулярный к плоскости, называть нормальным вектором плоскости. Тогда,
очевидно, вектор п {А, В, С} будет одним из нормальных векторов
плоскости. Таким образом, коэффициенты А, В, С при текущих
координатах в уравнении E) имеют простой геометрический смысл:
они являются проекциями нормального вектора на координатные
оси. Свободный член D непосредственного геометрического смысла
не имеет, но его абсолютная величина, разделенная па длину л нор-
нормального вектора п, равна расстоянию плоскости от начала координат.
Легко усмотреть, что нормальное уравнение плоскости в коор-
координатной форме B) есть частный случай общего уравнения E). Это —
тот случай, когда за нормальный к плоскости вектор выбран еди-
единичный вектор, направленный из начала координат перпендикулярно
к данной плоскости.
Из предыдущего мы усматриваем способ приведения уравне-
уравнения E) или E') к нормальному виду B) или (Г).
Чтобы привести общее уравнение плоскости к нормальному
виду, надо его разделить на длину вектора и {А, В, С), взяв ее со
знаком -\~ или —, смотря по тому, будет ли свободный член D
отрицательным или положительным. Иными словами, для при-
приведения общего уравнения E) первой степени к нормальному виду
нужно умножить его на множитель
1 F)
— у А' + Вг + С* *
причем знак множителя следует взять противоположным знаку
свободного члена D в уравнении E) (при D = 0 знак множителя
выбирается произвольно). Этот множитель М носит название норми-
нормирующего множителя.
После умножения на М уравнение E) принимает вид:
М Ах + МВу + MCz -\- MD = 0
в совпадает с нормальным уравнением B). Следовательно, имеем:
= cosa, MB—o.osp, MC=cosy, MD =—p. A)

§ 2] ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ К НОРМАЛЬНОМУ ВИДУ 205
Подставив найденное по формуле F) значение М в последние
равенства, получим формулы для cos a, cos p, cos у ир:
cos а = -+- —— , cos 6=4-
С — D I (8)
cos v = —\ ¦ в = —t
В этих формулах (8) надо брать верхние знаки, если
и нижние в противном случае.
Замечание 1. Установить геометрический смысл уравнения первой
степени, а также найти правило приведения общего уравнения к нормальному
виду, можно не прибегая к векторному методу. Отправляясь от уравнения
первой степени общего вида E), спросим себя, каково геометрическое место
тех точек пространства, координаты которых х, у, г удовлетворяют нашему
уравнению? Мы покажем, что искомое геометрическое место точек будет
плоскость. С этой целью умножим наше уравнение на постоянный множи-
множитель М, подобрав его так, чтобы получилось нормальное уравнение, т. е.
уравнение вида B). Уравнение E) преобразуется к виду
O. (9)
Чтобы уравнение (9) было вида, одинакового с уравнением B), нужно положить
MA=cosa, MB = cos$, MC = cosy, MD=—p. A0)
Из равенств A0) легко найдем неизвестные М, а, Р, у и р выраженными через
известные коэффициенты А, В, С, D, если воспользуемся вспомогательным
равенством
cossa-f cos8P-j-cos2Y=1 (И)
(ч. 2, гл. I, § 4). Действительно, возводя в квадрат первые три из равенств A0)
II складывая, найдем:
МгА2 -И МгВг + М2С* = cos2 a + cos2 P -f- cos2 у = 1,
или
откуда
В формуле F) нужно брать знак, противоположный знаку свободного члена,
как это видно из последнего равенства A0). Подставив найденное значение М
в равенства A0), получим формулы (8) для cosa, cosP, cosy и p.
Итак, уравнение E) приводится к нормальному виду путем умножения его
на множитель М, определяемый по формуле F). Этот множитель М носит
название нормирующего множителя. Так как нормальное уравнение определяет,
как мы видели в предыдущем параграфе, плоскость, то отсюда следует, что и
общее уравнение E) определяет плоскость. Итак всякое уравнение первой
степени между х, у, г определяет плоскость как геометрическое место точек
пространства, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
Замечание 2. Если два уравнения определяют одну и ту же
плоскость, то соответствующие коэффициенты их пропорциональны.

206 плоскость [гл, iv
Действительно, будучи приведены к нормальному виду, оба эти
уравнения перейдут в одно и то же нормальное уравнение.
Коэффициенты каждого из них пропорциональны соответствующим
коэффициентам этого нормального уравнения, а потому пропорцио-
пропорциональны и между собой.
Пример. Уравнение плоскости х — 2y-\-2z— 3 = 0 привести к нормаль-
нормальному виду.
Нормирующий множитель будет:
умножая на него данное уравнение, получим:
1 2 2
Для данной плоскости, следовательно, имеем:
1 о 2 2
cosa = -g-, cosp = —j, cosy = -q-. p = l.
§ 3. Исследование общего уравнения плоскости. Посмотрим,
какое положение относительно осей координат занимает плоскость,
заданная уравнением
Л* + ?Гу + Сг + ?> = 0, A2)
если некоторые коэффициенты этого уравнения обращаются в нуль.
Если D = 0, то уравнению A2) удовлетворяют x—y — z = 0,
т. е. координаты начала; таким образом, плоскость проходит через
начало координат. Если С=0, то уравнение A2) будет:
Ax-{-By-\-D = 0. A2')
Рассматривая это уравнение на плоскости хОу, мы будем иметь
прямую линию. Рассматривая же уравнение A2') в пространстве, мы
будем иметь геометрическое место тех точек, которые проекти-
проектируются на плоскость хОу в точки указанной прямой. Таким образом,
уравнение A2') определяет плоскость, параллельную оси Oz1). Ана-
Аналогично, если fi = 0, то уравнение
Ax-\-Cz-{-D = 0
определяет плоскость, параллельную оси Оу, и, наконец, если
Л = 0, то уравнение
определяет плоскость, параллельную оси Ох. Вообще, если в урав-
') Тот же вывод мы получим сразу, если припомним, что А, В л С
являются проекциями нормального к данной плоскости вектора. Если С — 0,
то этот вектор перпендикулярен к оси Oz, а это значит, что сама плоскость
параллельна оси Ог.

§ 4] УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ОТРЕЗКАХ 207
пении плоскости отсутствует координата г, у или х, то плоскость
параллельна соответственно оси Oz, Оу или Ох.
Допустим теперь, что два коэффициента равны нулю, например
Уравнение
Ах -\- By = 0
определяет плоскость, проходящую через начало координат парал-
параллельно оси Oz, т. е. это будет плоскость, проходящая через ось Oz.
Аналогично уравнение вида
Ax-\-Cz = 0
определяет плоскость, проходящую через ось Оу, а уравнение
ByArCz = О
определяет плоскость, проходящую через ось Ох.
Если раины нулю два коэффициента при текущих координатах,
например А = В=0, то уравнение Cz-\-D = b определяет пло-
плоскость, параллельную оси Ох и оси Оу, т. е. плоскость, параллель-
параллельную плоскости координат хОу. Также уравнения By-\-D = Q и
Ax-\-D = 0 определяют плоскости, парал-
параллельные соответственно плоскостям коор-
координат xOz и yOz.
Если, наконец, три коэффициента рав-
равны нулю, например B—C=D = 0, то
уравнение Ах = 0 или х^О определяет
плоскость координат yOz.
Также уравнения Ву = 0 и Cz = 0
определяют соответственно плоскости ко-
координат xOz и хОу.
§ 4. Уравнение плоскости в отрез- Рис. 112.
ках. Рассмотрим плоскость, пересекаю-
пересекающую нее три координатные оси и не проходящую через начало
координат. Уравнение этой плоскости можно записать в виде
Ax-\-By-}-Cz-{-D = 0, A3)
где ни один из коэффициентов А, В, С, D не равен нулю. Обозна-
Обозначим через а, Ь, с величины отрезков, отсекаемых плоскостью иа
осях координат (рис. 112).
Так как точка Р(а, 0, 0) лежит на плоскости, то се коорди-
координаты удовлетворяют уравнению A3):
Aa-\-D=0,

208
или
Аналогично
уравнению
или
координаты
A3), что дает:
ПЛОСКОСТЬ
D
точки Q@, b, 0) должны
Bb-{-D=0,
В— D
b "
{гл. iv
A4)
удовлетворять
A4')
Наконец, координаты точки /?@, 0, с) удовлетворяют уравнениюA3):
или
C=--f. (И")
Подставляя значения Л, В и С из равенств A4), A4'), A4") в урав-
уравнение A3) плоскости, получим:
Сокращая на D, которое в силу предположения не равно нулю,
найдем:
или
Это и есть искомое уравнение плоскости в отрезках.
Пример. Уравнение плоскости Зх — 4</ -f- г — 5 = 0 написать в отрезках.
Полагая в данном уравнении у = г = 0, найдем величину а:
Зх — 5 = 0, откуда х = -^, т. е. в=-о-.
Аналогично, полагая x=z = 0, найдем величину 6j
— 4(/— 5 = 0, откуда (/=—j-.т. е. 6 = — -^-.
Наконец, полагая * = 1/ = 0, найдем величину el
3 — 5 = 0, откуда г = 5, т. е. с = 5.
Следовательно, ураьнение плоскости в отрезках будет:

§ 5] УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ 209
§ 5. Уравнение плоскости, прокодящей через канпую топку.
Пусть требуется найти уравнение плоскости, проходящей через
точку Ж,, заданную радиусом-вектором г, {л,, _у,, гх). Возьмем л:о-
бой вектор и \А, В, С}=^0 и найдем
уравнение плоскости, проходящей че-
через точку Му перпендикулярно к не-
нему. Обозначим эту плоскость через Р
(рис. 113).
Проведем радиус-вектор г {л:, у, z)
в любую точку М плоскости. Тогда
вектор МгМ или г — г,, как лежащий
в плоскости Р, будет перпендикуля-
перпендикулярен к вектору п. Поэтому их скаляр-
скалярное произведение равно нулю
п(г — г,) = 0. A6)
Это равенство есть условие того, ¦ "
что точка М лежит в плоскости Р,
Оно справедливо для всех точек этой плоскости и нарушается,
как только точка М окажется вне плоскости Р.
Равенство A6) есть векторное уравнение плоскости Р.
Выражая скалярное произведение векторов через их проекции,
получим уравнение той же плоскости в координатной форме
— 2-0 = 0. A7)
Как видно из вывода, вектор п, а потому и его проекции А, В
и С совершенно произвольны (но, конечно, мы исключаем случай
А=В = С=0, так как п=^0).
Изменяя значения А, В и С, мы будем получать различные пло-
плоскости, проходящие через данную точку /И,. Таким образом, урав-
уравнение A7) при любых значениях коэффициентов А, В и С выражает
плоскость, проходящую через данную точку.
Замечание. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку,
можно вывести, не пользуясь векторным методом. Пусть нужно найти уравне-
уравнение плоскости, проходящей через точку /И, (ли,, </,, г,). Возьмем искомое урав-
уравнение в виде
Так как по условию искомая плоскость проходит через точку Мх (я,, ух, г,},
то координаты этой точки должны удовлетворять этому уравнению. Отсюда
получаем условие:
А хг + Вуг + Сг, + D = 0.
Вычитая зго тождество из первоначального уравнения, получаем искомое урав-
уравнение:
Л(*-х1)-г-5(г/-</1)-т-С(г-г1,|—-0, A7)
О И. И TTnnRn.nnn

210 плоскость [гл. iv
где Л, В и С произвольны. Изменяя любым способом их значения, мы будем
получать разные плоскости. Но все они будут проходить через точку Мх (хг, </,, г,),
в чем легко убедиться также непосредственно подстановкой координат этой
точки в уравнение A7). Оно будет обращаться в тождество независимо от зна-
значений коэффициентов.
Таким образом, уравнение A7) при любых значениях коэффициентов А, В
и С (кроме случая А=В = С = 0) выражает плоскость, проходящую через
данную точку Ml(xl, yx, zj.
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точ-
точку М(\, 2, 3).
Уравнение искомой плоскости будет:
А (х — 1) + В (у — 2) -f С (г — 3) = 0.
§ 6. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
Пусть нужно найти уравнение плоскости, проходящей через три
данные точки, не лежащие на одной прямой. Обозначая их радиусы-
векторы через г,, гг и г,, а текущий радиус-вектор через г, мы
легко получим искомое уравнение в векторной форме. В самом
деле, векторы г — rlt г2 — г, и г, — г, должны быть компланарны
(они все лежат в искомой плоскости). Следовательно, векторно-ска-
лярное произведение этих векторов должно быть равно нулю:
(г —г.Кг, —г.Нг, —г,) = 0. A8)
Это и есть уравнение плоскости, проходящей через три данные
точки г,, г2, г, в векторной форме.
Переходя к координатам, получим уравнение в координатах:
х —х, у — ух г
= 0, A8')
где г{х, у, *•}, г, {л:,, у„ *,}, гг\х2, у„ zs}, rt{x,, у„ z,}.
Если бы три данные точки лежали на одной прямой, то векторы
г2 — г, и г,—г, были бы коллинеарны. Поэтому соответствующие
элементы двух последних строк определителя, стоящего в уравне-
уравнении A8'), были бы пропорциональны и определитель тождественно
равен нулю. Следовательно, уравнение A8') обращалось бы в тож-
тождество при любых значениях х, у и z. Геометрически это значит,
что через каждую точку пространства проходит плоскость, в кото-
которой лежат и три данные точки.
Замечание 1. Эту же задачу можно решить, не пользуясь векторами.
Обозначая координаты трех данных точек соответственно ч^рез xlt j/,, г,;
хг, уг, гг и х3, у}, га, напишем уравнение любой плоскости, проходящей через
первую точку:
-z1) = 0. A7)

§ 6] УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТРИ ДАННЫЕ ТОЧКИ 211
Чтобы получить уравнение искомой плоскости, нужно потребовать, чтобы урав-
уравнение A7) удовлетворялось координатами двух других точек:
A(xt-xl) + B(yt-yl)+C(zt-zl)=O, \ (т
-4 (х, - х.) + S (.</»-</,) +С <z,-г,) = 0. f v >
Из уравнений A9) нужно определить отношения двух коэффициентов к третьему
и внести найденные значения в уравнение A7).
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
A, 2, 3), (—1, 0, 0) и C, 0, 1).
Уравнение плоскости, проходящей через первую из данных точек, будет:
Л(*-1L-б(г/-2)-т-СB-3) = о. A7')
Условия прохождения плоскости A7') через две другие точки и первую
точку суть:
2А + 2В + ЗС = 0 н 1А — 2В — 2С = 0, A9')
или
Складывая второе уравнение с первым, найдем:
4-^- + 1:=0> откуда
Подставляя во второе уравнение, получим:
:=0> откуда -?- = ——.
__ —_А
С ~~ 4 "
Итак, А:В:С—1:5:(— 4).
Подставляя в уравнение A7') вместо А, В, С соотиетственно 1, 5, —4
(числа, им пропорциональные), получим:
И„'1И
х 4- 5# — 42 + 1 = 0.
Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
@, 0, 0), A, 1, 1), B, 2, 2).
Уравнение любой плоскости, проходящей через точку @, 0, 0), будет]
Условия прохождения этой плоскости, через точки A, 1, 1) и B, 2, 2) суть:
= 0 и 2Л + 2В + 2С = 0.
Сокращая второе уравнение на 2, видим, что для определения двух неизве-
„ А В
стных отношении — и тг имеет одно уравнение
Отсюда получим -?- = —^ 1. Подставляя теперь в уравнение плоскости
— х4--^гУ-{-г = 0 вместо -рг его значение, найдем:
(_•_,),+«,+,„
8*

212 плоскость [гл. iv
или
Эго и есть уравнение искомой плоскости; оно зависит от произвольных
(о \
а именно, от отношения -уг ) > т, е. имеется бесчисленное
множество плоскостей, проходящих через три данные точки (три данные
точки лежат на одной прямой линии).
Замечание 2. Задача о проведении плоскости через три данные точки,
не лежащие па одной прямой, легко решается в общем виде, если носполь-
ловаться определителями. Действительно, так как в уравнениях A7) и A9)
коэффициенты А, В, С не могут быть одновременно равны нулю, то, рассмат-
рассматривая эти уравнения как однородную систему с тремя неизвестными А, В, С,
пишем необходимое и достаточное условие существования решения этой
системы, отличного от нулевого (ч. 1, гл. VI, § 6):
х —хху —у^г —гх
у Ц 11 'S У
3 Л1 Уз УI *~3 *1
Разложив этот определитель по элементам первой строки, получим урав-
уравнение первой степени относительно текущих координат х, у, г, которому
будут удовлетворять, в частности, координаты трех данных точек.
В этом последнем можно также убедиться и непосредственно, если под-
подставить в уравнение, записанное с помощью определителя, координаты любой
пз данных точек вместо х, у, г. В левой часги получается определитель,
у которого либо элементы первой строки нули, либо имеются две одинаковые
строки. Таким образом, составленное уравнение представляет плоскость, про-
проходящую через три данные точки.
§ 7. Угол между двумя плоскостями. Пусть уравнения данных
плоскостей будут:
, = 0 и Atx-{-Bty-\-Ctz-\-Dt = 0. B0)
Углом между двумя плоскостями будем называть любой из двух
смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями
(в случае параллельности плоскостей угол между ними можно счи-
считать равным 0 или я по желанию). Один из этих двугранных
у1лов равен углу <р между векторами {Л,, Вх, С,} и {Л2, В2, Сг],
перпендикулярными к данным плоскостям. Угол tp определяется
согласно формуле A7') из § 10, гл. П, а именно:
+ c*
Замечание. Вывод формулы B1) можно выполнить, не прибегая к век-
векторам. Чтобы вычислить уюл <р между пло:костями, заданными уравнениями B0),
заметим, что один из двух смежных двугранных углов, образованных плоскостями,
равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям из начала координат.
Написав нормальные уравнения плоскостей B0) в виде
* cos а, + (/cos р\-f г cos Y, — Pi=0, )
х cos аг -f- у cos ps + г cos Y2 — Рг = 0. f

§ 8] ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ 213
имеем (гл. I, § 4):
cos ф = cos a, cos а2 -г cos Pi cos Рг 4- cos Yi cos \i- (--)
Так как (c.\r. формулы 8)
Л, Аг
cos a, = ± — , cos a, = =t —-^гз--=-1=
р2
2
c, c,
cos Yi = :? —rz== , cos Ys = — ¦—=-.-.—" -
Va + b\ + ( Уа\\в^гц,
то, подставляя эти значения в равенство B2), найдем:
. BГ)
В этой формуле B1') можно брать любой знак (-f- или —), что соответ-
соответствует выбору одного из двух смежных двугранных углов.
§ 8. Условия параллельности и перпендикулярности двух
плоскостей. В случае перпендикулярности двух плоскостей
Л1х + Вьу + С,г+О1 = 0 и iVf + S.jr + C.z + D^O B0)
угол между ними равен 90°, т. е. cos<p = 0. Поэтому из формулы B1)
имеем условие перпендикулярности плоскостей B0):
1=о. B3)
Замечание. Это условие B3) получится сразу, если заметим,
что скалярное произведение нормальных векторов \Alt Bu С,} »
\Аг, Вг, Сг) должно быть равно нулю.
Условие параллельности плоскостей в векторной форме может
быть записано так: п,=Яп2, где п, и пг обозначают векторы, пер-
перпендикулярные к данным плоскостям. Переходя к проекциям, пере-
перепишем это условие таким образом:
что равносильно условию
Замечание. Условие B4) без векторов можно установить так:в случае
параллельности плоскостей B0) имеем:
cos <*! = :?: cos a2> -j
cosf51 = rtcosf52, S B4')
cos Yi = =t cos Y2- '

214 плоскость [гл. iv
Заменяя здесь косинусы их выражениями через коэффициенты уравиений B0),
получим:
А Л
с,_ _ ^ с, >
Уа\ + Ъ\ + с\ Уа1-\-в\ + с\
откуда находим:
-Т- = -Вв- = 7Г- B4>
Л2 о2 <-2
Обратно, если выполнено условие B4), то плоскости параллельны. В самом
деле, уравнения этих плоскостей будут:
ХЛ2х -f ЬВгУ -г ?-c2z Ч- -D. = 0,
гле Я обозначает величину каждого отношения равенств B4). Деля первое
уравнение на К, получим:
А,х + Bty + Czz + -^-=0.
Следовательно, выполняются соотношения B4'), и плоскости параллельны.
Пример 1. Показать, что плоскости х-\-у — г —1=0 и 2х-{-2у —
— 2z-f-3 = 0 параллельны между собой.
Условие параллельности B4) здесь выполняется!
1 1 _—1
2 ~ 2 ~ — 2"
Пример 2. Показать, что плоскости
перпендикулярны между собой.
Условие перпендикулярности B3) здесь выполняется!
1-1 + 1.1 + Н- 2) = 0.
Задача I. Составить уравнение плоскости, проходящей через
данную точку параллельно данной плоскости.
Пусть даны точка M(xlt ylt zt) и плоскость своим уравнением
Напишем уравнение произвольной плоскости, проходящей через
данную точку M(xt, ylt г,):
А(х — Xl)-\-B{y— Л) + С(г — zt)==Q. A7)
Чтобы эта плоскость была параллельна данной плоскости, нужна
выполнить условие

§ 8] ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ 215
следовательно, можем взять:
Подставляя эти значения А7 В и С в уравнение плоскости,
найдем:
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало коор-
координат параллельно плоскости х-{-у-\-г=1.
Здесь лг, = у, = г, = 0 и Л,=51 = С,= 1. Следовательно, уравнение
искомой плоскости будет:
Задача II. Составить уравнение плоскости, проходящей через
две данные точки перпендикулярно к данной плоскости.
Пусть даны две точки М1 (xt, _y,, z,), Mi{xs, уг, zt) и плоскость
своим уравнением
Напишем уравнение любой плоскости, проходящей через точку
^М*,, ylt *,):
— zl) = 0. A7)
Теперь напишем условия прохождения этой плоскости через точку
М2,(х2, у2, z2) и перпендикулярности с данной плоскостью:
+ CC 0 / ^°»
Определяя из B5) отношения двух коэффициентов А, В и С
к третьему и подставляя их в уравнение плоскости, получим иско-
искомое уравнение.
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
A, 1, I) и @, 1, — 1) перпендикулярно к плоскости х-{-у-\-г = 0.
Уравнение плоскости, проходящей через первую из данных точек, будет:
Условия прохождения этой плоскости через точку @, 1, — 1) и перпендику-
перпендикулярности к данной плоскости суть соответственно:
А+2С = 0 и А + В-\-С = 0.
Д
Из первого условия получаем —= — 2. Деля второе на С, найдем:
Деля уравнение плоскости на С и подставляя вместо — и тг найденные
С С

216
ПЛОСКОСТЬ
[гл. iv
значения, получим:
или
2.V— у — г = 0.
Замечание. Задача 11 может быть решена в общем виде,
если воспользоваться определителями. Действительно, из уравнений
A7) и B5), представляющих однородную систему с неизвестными
А, В и С, получаем (ч. 1, гл. VI, § 6):
х —лг, у —У1 z —гх
г — х1 уг-~у1 z2 — z, =0.
К Вх С,
§ 9. Точка пересечения трех плоскостей. Чтобы найти коорди-
координаты точки пересечения трех плоскостей, данных своими уравне-
уравнениями
Агх -\-
A
нужно решить эти уравнения совместно относительно х, у и z,
так как координаты точки пересечения должны одновременно удо-
удовлетворять уравнениям всех трех плоскостей.
Пример. Найти точку пересечения плоскостей.
х — у -f-г = 0, х-\-1у — 1=0, х-\- у — г -{- 2 = 0.
Решая эти уравнения совместно, получим координаты искомой точки:
Полное решение этой задачи в общем виде может быть дачо
при помощи определителей. Согласно результатам исследования,
произведенного в § 7 гл. VI ч. 1, имеем: если определитель
Аг Вг Сг
Аг Bs Сг
Аа В* Сг
отличен от нуля, то три плоскости пересекаются в единственной
точке; если определитель Д равен пулю, но по крайней мере один
из его миноров отличен от нуля, то три плоскости либо не имеют
общей точки, либо пересекаются в бесконечном множестве точек.
В первом случае среди определителей 3-го порядка, принадлежащих
таблице
Лг В, С, D,
Лг Вг Сг D,
А, Вг С3 Dt

§ 10] РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ 217
есть по крайней мере один, отличный от нуля, и тогда одна из
плоскостей параллельна линии пересечения двух других. Во втором
случае все определители 3-го порядка этой таблицы равны нулю и
все три плоскости проходят через одну прямую.
Если, наконец, вместе с определителем А все его миноры равны
нулю, то три плоскости либо не имеют общей точки, либо пересе-
пересекаются в бесконечном множестве точек. В первом случае среди
определителей 2-го порядка, принадле-
принадлежащих выписанной таблице, есть хоть
один, отличный от нуля, и тогда все
три плоскости параллельны между собой;
во втором же случае все определители
2-го порядка этой таблицы равны нулю
и три плоскости совпадают.
§ 10. Расстояние от точки до пло-
плоскости. Условимся называть отклонением
данной точки от данной плоскости чи-
число d, равное длине перпендикуляра, опу- "НС-
щенного из этой точки на плоскость,
взятой со знаком плюс, если точка и начало координат лежат по
разные стороны от данной плоскости, и со знаком минус, если они
лежат по одну сторону от плоскости; для точек, лежащих на пло-
плоскости, отклонение равно нулю. Ясно, что расстояние от точки до
плоскости равно абсолютной величине отклонения.
Пусть требуется найти расстояние от данной точки Л1, (гг) до
плоскости, заданной нормальным векторным уравнением
гп»— р = 0.
Задача состоит в том, чтобы найти длину перпендикуляра МгК,
опущенного из точки /И, на плоскость (рис. 114). Замечая, что вектор
А'Ж, параллелен единичному вектору п°, мы можем его предста-
представить так:
Числовой множитель d, взятый но абсолютной величине, оче-
очевидно, дает нам искомое расстояние; знак же d будет положитель-
положительным, если векторы Д7И, и и0 имеют одинаковое направление (т. е.
если точки Л7, и О лежат по разные стороны плоскости, к-:ж
на рис. 114), и отрицательным, если эти векторы имеют противопо-
противоположные направления (т. е. точки /И, и О лежат по одну сторону
плоскости). Таким образом, d является отклонением М1 от плоскости.
Заметив это, из рис. 114 усматриваем:
ОК= ОМХ -j- MJ<,

218
плоскость
(ГЛ. IV
или
Так К2к, с другой стороны, точка К лежит на плоскости
гп0 — р = 0,
то радиус-вектор т^ этой точки должен удовлетворять уравнению
плоскости, т. е. имеем:
(г, — dn°)n° — р = 0, или г,п° — d—р = 0,
откуда
d = ry-p. B6)
Рассматривая выражение, полученное для d, замечаем, что оно
есть результат подстановки г, вместо г в левую часть нормального
уравнения плоскости.
Выражая скалярное произведение r,n° через проекции сомножи-
сомножителей, получим в координатах
d = x, cosa + j', cos Р + 2„ cos у— р, B6')
т. е. чтобы найти отклонение точки от плоскости, нужно в ле-
левую часть нормального уравнения плоскости подставить вместо
М,
текущих координат координаты
данной точки.
Для вычисления расстояния от
точки до плоскости следует взять
абсолютную величину полученного
отклонения.
Замечание. Задача о расстоянии
от точки до плоскости может быть ре-
решена и без применения векторного метода.
Пусть даны уравнение плоскости в
нормальном виде
х cos a + у cos р -(- г cos у — Р = 0
и точка Мх(хи yv г,) (рис. 115). Най-
Дем отклонение d точки /И, от данной
плоскости, т. е. взятую с надлежащим знаком длину перпендикуляра М%К,
опущенного из точки /И, на плоскость.
Проведем через^ начало координат прямую / перпендикулярно к плоскости
и установил на этой прямой положительное направление от начала координат
в сторону данной плоскости. Рассмотрим ломаную 0Р,5,/И,К и найдем ее
проекцию на ось /. Так как проекция ломаной равна проекции замыкающего
отрезка (гл. I, § 3), то
B7)
Рис. 115.
С другой стороны, проекция ломаной равна сумме проекций ее звеньев
(гл. I, § 3), т. е.
пр 0Р,5,/И,К = пр ОР1 -[- пр Р.5, 4- ПР S1M14- пр М,К.

УПРАЖНЕНИЯ 219
Следовательно, равенство B7) запишется так:
пр ОР, + пр Р,5, 4-пр5,Л11 4-прЛ1,/С = р. B7')
Так как (гл. I, § 3) имеем:
пр OPl = ж, cos а, пр"Р^5", — (/, cosp,
пр S,M1 = z1 cos у, пр М,К = — d,
то равенство B7') запишется таким образом:
хх cos a -f- yl cos p -f" z, cos у — d = P.
откуда
d = х, cos a -(- (/! cos p4 -f- г, cos у — p. BG')
Пример. Найти расстояние от точки A, 2, 3) до плоскости
2х — 2(/ -(- г — 3 = 0.
Напишем нормальное уравнение данной плоскости, умножив данное урав-
уравнение на нормирующий множитель:
У 4 -f- 4 -|- 1
получим:
1
г
2 2 1
Отклонение точки от плоскости будет: d = -o" * 1 —g- • 2 -f- -g" • 3 — I =
2
= ;j-. Знак минус означает, что данная точка и начало координат лежат
о
по одну сторону данной плоскости. Искомое расстояние равно
Упражнения
1. Проверить, проходит ли плоскость
3* — 5(/ + 2г— 17 = 0
через одну из следующих точек: а) D, 1, 2); б) B, <— 1, 3); в) G, 1, 2)
г) C, 0. 4); д) @, -4, 2).
2. Найти длину и направление перпендикуляра, опущенного из начала
координат на плоскость:
а) 2х-\-Зу+&г — 35 = 0; б) 21x + 3(ty — 70г — 84 = 0;
в) х — 2{/ -f- 2г + 21 = 0.
3. Найти на плоскости 4х — 7у -\- 5г — 20 = 0 такую точку Р, чтобы пря-
прямая ОР составляла с осями координат равные углы.
4. Найти на плоскости у-\-г — 2:=0 такую точку Р, чтобы прямая ОР
составляла с осями Оу и Ог углы в 60°.
5. Найти уравнение плоскости, если известно, что точка B, 9, —6) слу-
служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту
плоскость.
6*. Даны две точки: А B, — 1, — 2) и В (8, — 7, 5). Найти уравнение
плоскости, проходящей через точку В и перпендикулярной к отрезку АВ.

220 пло( К')сть [гл. rv
7. Дат/ .ччо точки: Л (— 7, 2, — I) и В C, 4, 10). Найти уравнение пло-
плоскости, проходящей через точку В и перпендикулярной к отрезху АВ.
8. Определить величины отрезков, отсекаемых плоскостью 2х — </ + 8г—
— 4 = 0 на осях координат.
9. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку E, — 7, 4) и
отсекающем на осях координат отрезки равном величины.
10. Укчзать особенности в расположении следующих плоскостей:
а) 2х — 3(/ -f 2 = 0; б) Зх - 2 = 0; в) 4у — 7г — 0.
11. Найти уравнении плоскости:
а) параллельной оси Оу и проходяц;с-й через точки A, —о, 1) и
C, 2, -2),
б) проходящей через ось Ох и через точку D, —3, — 1).
в) параллельной плоскости хОг п проходящей через точку C, 2, —7).
12. Найти ураонешю плоскости, проходящей черы три точки: а) G, 6, 7),
E, 10, Б), (— 1,"8, 9); б) B, 4, 8), (—3, 1, 5), F, —2, 7).
13. Найти угол между плоскостями:
а) х + У— 11=0, Зх + 8 = 0, б) t/ —Ух —7--0, у = 0;
в) 2х —3(/-f 6г —12 = 0, лг _|- ^^ Ч- 2г — 7 = 0.
14. Дана плоскость
Злг—7у+5г— 12 = 0.
Найти уравнение плоскости, параллельной данной и проходящей через точку
а) @, 0, 0); б) D, —7, 1); в) (8, 0, 3); г) C, 0, 0).
15. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки E, —4, 3) и
(—2, 1, 8) и перпендикулярной к плоскости: а) хОу; б) уОг; в) хОг.
16. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки (8, —3, 1),
D, 7, 2) и перпендикулярной к плоскости Зл;-(- Ъу — 7г — 21 =0.
17. Найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат и
перпендикулярной к плоскостям
х — у + г — 7 = 0, Зх-\-2у — 12г + 5 = 0.
18. Найти точку пересечения плоскостей:
7—Зг + 37 = 0, I 5х + 3у— 112 + 72 = 0,
а) I 6х— 7у-\-2г — 95 = 0, б) < 4х — Ъу + 7г + 26 = 0,
" ' - • - - ( 6л:+11(/ —3z+66 = 0;
Тх— 5у — 31=0,
в)
19. Определить расстояние от точки A, 2, 1) до плоскости
— 10 = 0.
20. Найти на оси Оу точку, равноудаленную от плоскостен
2х + Зг/ + 6г — 6 = 0, 8х + 9«/ — 72г + 73 = 0.
21. Найти уравнения плоскостей, проходящих через ось Ох и отстоящих
па расстоянии 8 единиц длины от точки (о, 4, 13).
22. Найти уравнения плоскостей, параллельных плоскости
20% — 4(/ — 5г + 7 = 0
и отстоящих от iree на расстоянии 6 единиц длины.

УПРАЖНЕНИЯ 221
23. Haiti н расстояние между параллельными плоскостями
а) Зх-{-2(/— 6z —35 = 0, Зх-\-2у — 6г — 56 = 0,
б) Зх — 4у + 12г -f 26 = 0, Зх — 4tj + 12г — 39 = 0.
24*. Найти уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные угли
между плоскостями
?,х + 2ij -f 6г - 35 = 0, 21а: - 30</ — 70г — 237 = 0.
25. Найти уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы
между плоскостями
х — 2у -f22 + 21= 0, 7х~}-24г — 50 = 0.
26. Даны две точки А (а, Ь, с) и Я (а,, 6,, с,). Найти уравнение плоскости,
проходящей через точку Л и перпендикулярной к отрезку АВ.
27. Найти уравнение плоскости, параллельной оси Оу и проходящей терез
точки (хи уи г,) и (хг, уг, гг).
28. Найти ураннение плоскости, проходящей через ось Ох и через точку
(«1 Уи г,).
29. Найти уравнение плоскости, параллельной плоскости хОг и прохо-
проходящей через точку (ж,, j/j, г,).
30. Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки: A, 1, 1)
B, 2, 2) и C, 3, 3).
31. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки (х„ у„ г,),
(*2> Уе, 2г) и перпендикулярной к плоскости *Oi/.
32. Найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат и
перпендикулярной к плоскостям
Агх + Вху + ClZ 4- D,.= 0, Лгх 4- B2i/ 4- С22 4- D2 = 0.
33. Найти точку пересечения плоскостей
x-\-y-^-z = 0, 2х — Зу 4- 4г = 0, 4х — П{/+ I0z = 0.
34. Найти точку пересечения плоскостей
х + у + 2 — 2 = 0; 2л — 3(/-f-4z — 3 = 0; 4х— 111/ 4- Юг — 5 = 0.
35. Найти точку пересечения плоскостей
х— у + г— 1 =0, х + у — г— 2=0, 5х-|-У — г— 7 = 0.
36. Составить векторное уравнение плоскости по точке Мл (г,) и двум
векторам а и Ь, которым плоскость параллельна. Перейти к декартовым
координатам.
37. Составить векторное уравнение плоскости по двум точкам М, (г,),
Л?2(гг) и параллельному вектору а. Перейти к декартовым координатам.

ГЛABA V
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
§ 1. Уравнения прямой линии. Положение прямой линии в про-
пространстве будет вполне определено, если зададим на прямой опре-'
деленную точку Л10 при помощи ее радиуса-вектора г0 и вектор s
(отличный от нулевого), которому прямая
Апараллельна (рис. 116), Этот вектор s па-
зовем направляющим вектором прямой. Пе-
ременной точке М прямой линии соответ-
ствует ее радиус-вектор ОМ = г, и из
рис. 116 мы получаем:
_^ _> __
ОМ=ОМ0-\-М0М. A)
Заметив, что вектор МаМ параллелен вектору s, мы его выразим
таким образом:
где числовой множитель t может принимать любые значения в зави-
зависимости от положения точки М на прямой. Следовательно, равен-
равенство A) можно переписать так:
r = ro-Hs, B)
причем t играет роль переменного параметра. Уравнение B) назо-
назовем векторным уравнением прямой линии.
Желая заменить уравнение B) равносильными ему координатными
уравнениями, обозначим декартовы координаты точки Ма относи-
относительно системы с началом координат в точке О через а, Ь, с (это
будут проекции радиуса-вектора г0), текущие координаты точки М —
через х, у, z (проекции радиуса-вектора г) и, наконец, проекции
вектора s — через т, л, р. Тогда, написав уравнение B) в проек-
проекциях, получим:
x = a-\-mt, y = b-{-nt, z = c-{-pt. C)

§ 1] УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ
Когда параметр / изменяется, точка с координатами х, у, z, опре-
определяемыми из уравнений C), движется по данной прямой. Уравне-
Уравнения C) называют параметрическими уравнениями прямой линии.
Так как т, п, р — проекции направляющего вектора s, которому
прямая параллельна, то числа т, п, р характеризуют направление
прямой линии в пространстве и их принято называть направляющими
коэффициентами этой прямой. Заметим, что при единичном векторе
s=s° коэффициенты т, n, p становятся косинусами углов а, р, у,
образованных данной прямой (направлением вектора s") с осями
координат Ox, Oy, Oz. I3 этом случае уравнения B) и C) при-
примут вид:
r = ro-Hs\ B')
x = a-\-t cos a, y = b-\-t cos p, г = с-J-1 cosy, C')
причем в этом случае параметр t имеет простое геометрическое
значение: t обозначает расстояние переменной точки /И от точки
^o(fli ^i с)> взятое со знаком -\- или — в зависимости от того,
будет ли направление вектора МаМ одинаково или противоположно
направлению вектора s° (MoyW=te°). Другими словами, в уравнениях
B') и C') t есть величина направленного отрезка МаМ рассматри-
рассматриваемой прямой, считая, что положительное направление прямой сов-
совпадает с направлением вектора s°.
Посмотрим, возможно ли определить cos a, cos p, cos у, зная т,
п, р. Очевидно, имеем:
s = ss°,
где s обозначает длину вектора s. Переписав последнее равенство
в проекциях, получим:
от = s cos a, n — s cos p, p — s cosy, D)
т. е. m, ft, p пропорциональны направляющим косинусам прямой
линии, причем множителем пропорциональности служит длина
s = У тг -\- л2 -\-р2 вектора s{m, n, р}.
Таким образом, из равенств D) находим:
m m
cos a = — = .
s Vmz -\- n2
D')
cosY = -^ = ^=^
S "I/ 2. I
Следовательно, направление прямой в пространстве определяется
отношениями т:п:р ее направляющих коэффициентов, что дает
возможность считать длину вектора s {m, л, р) произвольной.

224 прямая линия [гл. v
Вместо параметрических уравнений C) и C') обычно определяют
прямую линию посредством системы двух уравнений первой степени
между текущими координатами. Эти уравнения получаются из урав-
уравнений C) или C') путем исключения параметра t. Так, из уравне-
уравнений B) находим:
х-а . у—Ъ s_iZ.l—i
р
ИЛИ
()
т а р *
Уравнения E) назовем каноническими уравнениями прямой линии.
В частности, при от = соьа, л = акр, /> = со.-. у уравнения E)
примут вид:
х — а и — Ь г — с
cos a cos fj cos у '
Система двух уравнений E) представляет нашу прямую линяю
как пересечение двух плоскостей, определяемых уравнениями
х— а г — с у—Ь_ г —с
т р ' n jo '
Заметим, что в канонических уравнениях все коэффициенты
и, л, р одновременно не могут обратиться в нуль, так как s^=0.
Но некоторые из них могут быть равны нулю. В этом случае за-
запись E) понимают условно, в том смысле, как это разъяснялось
в § 13 гл. II.
Пусть, например, т = 0, а л^О. Тогда в соответствии со ска-
сказанным в § 13 гл. II
п(х — а) = 0-(у — Ь),
т. е.
х — а = 0.
Тот же результат мы, конечно, получим и из уравнений C). Заме-
Заметим, что равенства
х — а = 0
означают геометрически одно и то же: первое из них показывает,
что прямая перпендикулярна к оси Qx, а второе, что прямая лежит
в плоскости, перпендикулярной к оси Ох.
Замечание. Можно вывести уравнения прямой линии, не прибегая
к векторам. Возьмем на прямой линии определенную точку Ма(а, Ь, с) и пере-
переменную точку М (х, у, г). Обозначим через а, р\ у углы данной прямой
(определенным образом выбранного направления этой прямой) с осями коорди-
координат Ох, Оу, Ог, а через р — расстояние МПМ, взятое со знаком-(-или — в за-
зависимости от того, будет ли направление отрезка Л10/И одинаково или противо-
противоположно выбранному направлению па прямой.

§ 2] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ 225
Проекции отрезка МаМ на оси координат Ох, Оу н Ог (pi'c. 117) суть
соответственно: х — а, у—Ь, г — с. По фсрмуле, выражающей проекцию
отрезка (гл. I, § 3), имеем:
х—a=Qcnsa, у—b = Qcnsp\
г — с= q cos у.
Исключая q из трех последних уравнений, за-
запишем уравнения прямой липни в виде
х— а у — Ь г_—- с _,
ccs a cos p cos у Qy.
Умножая знаменатели отношении E') на одно
и та же произвольное число, представим урав-
уравнения прямой линии s виде
х — а_У— b _ г — с
_
m п ' р ' \ > Рис 117.
где гг, п и р суть количестоа, пропорциональные косинусам углов примой линчи
с г.сями координат, т. е.
Эти уравнения E) называют каноническими уравнениями прямой линии.
§ 2. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Общие
уравнения прямой. Пусть в канонических уравнениях прямой
х— а у—Ь г —с .-
т - п ~ р \ '
коэффициент р отличен от нуля, т. е. прямая не параллельна пло-
плоскости хОу. Запишем эти уравнения раздельно в таком виде:
х — а г — с у — 6 г — с
Р ' п р
F)
При нашем условии уравнения F) вполне определяют прямую.
Каждое из них в отдельности выражает плоскость, причем первая
из них параллельна оси Оу, а вторая — оси Ох.
Таким образом, представляя прямую линию уравнениями вида F),
мы рассматриваем ее как пересечение двух плоскостей, проекти-
проектирующих эту прямую на плоскости координат xOz и yOz. Первое
из уравнений F), рассматриваемое в плоскости xOz, определяет
проекцию данной прямой линии на эту плоскость; точно так же
второе из уравнений F), рассматриваемое в плоскости yOz, опре-
определяет проекцию данной прямой линии на плоскости yOz. Итак,
можно сказать, что дать уравнения прямой линии в виде F) — это
значит дать ее проекции на плоскости координат xOz и yOz.
Если бы направляющий коэффициент р был ранен нулю, то
обязательно хотя бы один из двух других коэффициентов, напри-
например т, был бы отличен от нуля, т. с, прямая не была бы парал-
параллельна плоскости yOz. В этом случае мы могли бы выразить прямую

228 прямая линия [гл. v
уравнениями плоскостей, проектирующих ее на координатные пло-
плоскости хОу и xOz, записав уравнения E) в виде
х — а у — Ь х — а г — с
т п ' т р
Таким образом, любая прямая может быть выражена уравнениями
двух плоскостей, проходящих через нее и проектирующих ее
па координатные плоскости. Но определять прямую совсем не обяза-
обязательно именно такой парой плоскостей.
Через каждую прямую проходит бесчисленное множество пло-
плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в про-
пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей,
рассматриваемые совместно, представляют собой уравнения этой
прямой.
Вообще всякие две не параллельные между собой плоскости
с общими уравнениями
определяют прямую их пересечения.
Уравнения G), рассматриваемые совместно, называются общими
уравнениями прямой.
От общих уравнений прямой G) можно перейти к ее канони-
каноническим уравнениям. Для этой цели мы должны знать какую-нибудь
точку прямой и направляющий вектор.
Координаты точки легко найдем из данной системы уравнений,
выбирая одну из координат произвольно и решая после этого систему
двух уравнений ©тносителыю оставшихся двух координат.
Для отыскания направляющего вектора прямой заметим, что этот
вектор, направленный по линии пересечения данных плоскостей,
должен быть перпендикулярным к обоим нормальным векторам
п,!^,, Вл, Сг\, и п2{/42, Д,, С,} этих плоскостей. Обратно, всякий
вектор, перпендикулярный к п, и пг, параллелен обеим плоскостям,
а следовательно, и данной прямой.
Но векторное произведение п,X пг также обладает этим свой-
свойством. Поэтому за направляющий вектор прямой можно принять
векторное произведение нормальных векторов данных плоскостей.
Пример 1. Привести к каноническому виду уравнения прямой
2х — 3</ -+-г — 5 = 0, Зх + У — 2г — 4 = 0.
Выберем произвольно одну из координат. Пусть, например, е=1.
Тогда
2х — 3(/ = 4,
откуда х = 2, t/ = 0. Итак, мы нашли точку B, 0, 1), лежащую на прямой,

§ 2] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ 227
Находя теперь векторное произведение векторов {2, —3, 1} и {3, 1, —2},
получаем направляющий вектор прямой M, 7, 11}. Поэтому канонические
уравнения будут:
х — 2 _ у _ г — 1
~~Г~~ 7 II
Замечание. От общих уравнений прямой вида G) можно перейти
к каноническим, и не прибегая к векторному методу.
ГЬедварительно остановимся несколько подробнее на уравнениях FI
х — а г — с у — Ь z — с ,g,
т р ' п р
Выразим из них хну через г. Тогда получим:
где положено
т cos a
р cos у '
п cos В
д
р cos у '
тс . пс
х»=а-у> у° = ь-т-
Уравнения F') называются уравнениями прямой в проекциях на плоскости
хОг и уОг.
Установим геометрический смысл постоянных М и N: М представляет
собой угловой коэффициент проекции- данной прямой на плоскость коорди-
координат хОг (тангенс угла этой проекции с осью Oz), a N есть угловой коэффи-
коэффициент проекции данной прямой на плоскость координат уОг (тангенс угла этой
проекции с осью Oz). Таким образом, числа М и N определяют направления
проекций данной прямой линии на две плоскости координат, а значит, они
характеризуют и направление самой данной прямой. Поэтому числа М и N
называют угловыми коэффициентами данной прямой.
Чтобы выяснить геометрический смысл постоянных х0 и д0, положим
в уравнениях F') прямой линии г = 0; тогда получим: х = дг„, у = уа, т. е.
точка (xit у„, 0) лежит на данной прямой. Очевидно, эта точка есть точка
пересечения дайной прямой с плоскостью хОу. Итак, х0 и уа суть координаты
следа дайной прямой линии на плоскости координат хОу,
Теперь легко сделать переход от уравнений в проекциях к каноническим.
Пусть, например, даны уравнения F'). Решая эти уравнения относительно г,
найдем:
. _ х — х„ у — иа
г-~М~' Z — ~N~'
откуда непосредственно получаем канонические уравнения в виде
х — х0 _у— уо_ г
М ~ N ~ 1 *
Пример 2. Привести канонические уравнения прямой
х— 1 у_ г
к уравнениям в проекциях на плоскости хОг и уОг.
Данные уравнения переписываем в виде
х— 1 _г_ у_ _г_
2 ~—Г 3 "~— Г

228 прямая линия [гл. v
Решая первое из этих уравнений относительно х, а второе относительно у,
найдем искомые уравнения в проекциях:
х = —2г+1, {/ = —Зг.
Пример 3. Привести уравнения в ппоекциях
* = Зг-2, у = 2г + 1
к каноническому виду.
Решая данные уравнения относительно г, получим:
Отсюда
+ 2у—1 z
3 2 I "
Пример 4. Принести уравнения в проекциях
у = — 2, г = Зл: — 1
к каноническому виду.
Переписав систему уравнений в виде
у = 0-х — 2, г = 3х— 1,
найдем:
+ 21
1 — 0 ~~ 3 '
Уравнения в проекциях можно получить и из общих уравнений прямой G),
решая общие уравнения относительно каких-нибудь двух координат, например
х и у; если прямая параллельна плоскости хОу, то привести уравнения G)
к уравнениям F) не удастся, но тогда можно привести уравнения G) к урав-
уравнениям в проекциях па другую пару координатных плоскостей.
Если требуется общие уравнения прямой привести к каноническим,
то можно предварительно перейти к уравнениям в проекциях.
FLp и м е р 5. Привести уравнения прямой
— г-\-1=0, Зх — у+2г — 3 = 0
к каноническому виду.
Решая данные уравнения относительно х и у, найдем уравнения в проек-
проекциях
1,2 79
Выражаем из этих уравнений г:
5 5
и получаем канонические уравнения
1_ ~~ _7
5 5

§ 4] УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ 229
Умножив каждым из направляющих коэффициентов на — 5, получим более
простой вид канонических уравнений:
2 . 9
л- у-*- —
о ;) г
§ 3. Угол между двумя прямыми линиями. Углом между пря-
прямыми в пространстве будем называть любой из углов, образованных
двумя прямыми, проведенными через произвольную точку параллельно
данным. При этом мы условимся брать угол в границах от 0 до гт,
если не сделано дополнительных указаний. Пусть уравнения двук
прямых линии суть:
х — в, у — ft, z — с, х — а. _ у — Ъг г — с,
т, п, р, ' тг п1 р.
Очевидно, за угол <р между ними можно принять угол между
их направляющими векторами {тх, /г,, рг) и {тг, /г., рг) или угол,
допо.1няю1ЦиЛ его до я. Поэтому по формуле A7') § 10 гл. 'I
имеем:
cos ф =
В формуле (8) можно ставить любой знак, что соответствует вы-
выбору одного из двух различных углов между данными прямыми.
Пример. Найти угол между прямыми
х—1 у г4-3 х у4 г
Для первой прямой направляющие коэффициенты будут: т,= 1, я, = — 4
р, — 1, а для второй: т2 = 2, /г2 = —2, рг — —1. Следовательно:
_ н Ь2 4-(— 4)(—2L-Н—1) _ ^ 1
откуда
л Зл
ф=-д- ИЛИ ф=-д-.
§ 4. Условия параллельности и перпендикулярности двух
прямых. В случае перпендикулярности прямых coscp^^O, и из фор-
формулы (8) получаем искомое условие
т\тг~\~ nini~~{~PiP2==Q {условие перпендикулярности). (9)
Замечание. Это условие получится сразу, если заметим, чт.¦
скалярное произведение векторов {/я,, л,,/?,} и {/я2,/?,, л>2} должно
быть равно нулю.

230 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ [ГЛ. V
Так как направление прямой определяется отношениями т:п:р,
то условие параллельности двух прямых будет:
— = — = ^- (условие параллельности). A0)
тг пг рг
Замечание. Это условие можно получить, заметив, что век-
векторы {т1, я,, pt\ и {tn2, nit рг\ коллинеариы.
Задача. Составить уравнения прямой линии, проходящей
через данную точку (а, Ь, с) параллельно прямой
х — а, у— Ь, г — с,
т п р
Пусть уравнения искомой прямой будут:
х— а у—Ь г — с ,,..
~Ж~ й ~~р~- @)
Так как эта прямая параллельна данной прямой, то должно вы-
выполняться условие их параллельности:
М__ N _Р
т ~~~ п р '
откуда можно взять М = т, N=n, P=p. Следовательно, уравнения
искомой прямой суть:
х — а у—Ь г — с
т п р
§ 5. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки.
Пусть нужно найти уравнения прямой, проходящей через точки
M1?x1,yJ, zt) и М2(х2, у2, гг). Будем искать эти уравнения в кано-
канонической форме.
Для решения задачи достаточно знать координаты одной из
точек, лежащих на этой прямой, и направляющий вектор. За такую
точку можно принять любую из двух данных. Возьмем, например,
М1(х1, .у,, ?,). За направляющий же вектор прямой примем вектор
Af,Af2. Проекциями его на координатные оси будут:
Уравнения искомой прямой примут вид:
У-lh— г~г
> (И)
—г, *
Замечание. Можно вывести A1) и без применения векторного метода.
Уравнения прямой, проходящей через М, (xlt «/„ г,), будут
Так как точка Mt(xv уг, гг) лежит на прямой, то — т '— -L-^—1 =zJ~^~

§ 7] УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ 231
Сопоставляя эти равенства, получич A1).
Пример. Составить уравнения прямой линии, проходящей через начало
координат и точку A, 1, 1).
Чдесь х, = .у, = г, = 0; х2 = 1/8 = г2= 1. Следовательно, пользуясь уравне-
уравнениями A1), получим искомые уравнения
х = г/ = г.
§ 6. Угол между прямой и плоскостью. Пусть уравнения пря-
прямой линии суть:
х — а и — b г — с
а уравнение плоскости:
Ax-\-By-\-Cz-\-D = 0.
Углом ср между прямой и плоскостью будем называть любой из
двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на пло-
плоскость. Найдем синус угла ср; при этом в
дальнейшем можно считать,что Ф=ё-гр,
потому что синусы смежных углов равны.
Угол -г ф будет, как видно из рис. 118,
углом между прямой и перпендикуляром к j
плоскости. Его косинус легко найдем, по на- /
правляющим коэффициентам А, 5,Сперпен- /
дикулярак плоскости и направляющим коэф- Рис. 118.
фициентам /и, п, р данной прямой; заметив, что cos (-^ <р }=sin<p,
получим окончательно:
я[пгр= ' —-и—~ и ' —. A2)
у**+*'
Числитель здесь взят vo абсолютной величине, так как s'mcpS^O.
§ 7. Условия параллельности и перпендикулярности прямой
и плоскости. В случае параллельности прямой линии
х — а у — 6 г — в
т п р
и плоскости
Ax-\-By-{-Cz-\-D = 0
угол между ними равен нулю, следовательно, sincp^O и формула
A2) дает искомое условие
Am-\-Вп-\-Ср = 0 (условие параллельности). A3)
Замечание. Это условие получится сразу, если заметим, что
векторы {А, В, С} и {т, п, р) перпендикулярны, н, значит, их ска-
скалярное произведение равно нулю.

232 прямая линия [гл. v
Условие перпендикулярности прямой и плоскости совпадает с
условием параллельности этой прямой и перпендикуляра к плоскости,
т. е. будет:
ABC
— =— = — (условие перпендикулярности). A4)
Задача. Составить уравнение геометрического места всех
прямых, проходящих через точку (а, Ь, с) параллельно плоскости
Уравнение любой прямой, проходящей через точку (а, Ь, с), будет:
где г, — радиус-вектор данной точки, a s есть тот вектор, которому
прямая параллельна. Так как искомая прямая должна быть перпенди-
перпендикулярна к вектору п{Л, В, С}, то должно иметь место
ns —0.
Умножая уравнение прямой на вектор п, получим:
П1 :^ ГХП -\- #ST1, ИЛИ (Г Г,) П =^ 0,
так как ns = 0. Уравнение (г — г,)п = 0 определяет плоскость,
проходящую через точку с радиусом-вектором г, перпендикулярно
к вектору п. Переводя его в координатную форму, будем иметь:
А(х — а)-\-В(у — b)-\-C(z — c) = 0.
Замечание. Эту же задачу можно решить, не прибегая к векторному
методу. Уравнения любой прямой, проходящей через точку (а, Ь, с), суть:
х —а у — b г —с
т я р
Условие параллельности искомых прямых и данной плоскости выразится
равенством
Заменяя в последнем условии т, п и р величинами х — а, у — b и г — с, им
пропорциональными, получаем:
А (х - а) -г- В (у - 6) -f С (г - с) = 0.
§ 8. Уравнение пучка плоскостей. Пусть уравнения данной
прямой суть:
Составим уравнение первой степени:
Ax-\-By + Cz^-D-\-K(A1x-\-B1y-\-C,z-{-Dl) = O, A5)
которое при любом значении постоянного А. определяет плоскость.

§ 9] ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ 233
Если точка лежит на данной прямой линии, то ее координаты одно-
одновременно удовлетворяют обоим уравнениям этой прямой н, следова-
следовательно, уравнению A5) при любом значении К. Таким образом,
уравнение A5) определяет плоскости, проходящие через данную
прямую. Обратно, всякая такая плоскость определяется одной точкой
M(xit _y,, zy), лежащей вне данной прямой линии; значение постоян-
постоянного Ji, соответствующее этой плоскости, найдется из условия
если только AlxJ-\-BJyJ-\~CJzJ-\-D^ 0. Таким образом, уравнение
A5) при соответствующем выборе К определяет любую плоскость,
проходящую через данную прямую, за исключением лишь одной из
данных плоскостей, именно плоскости Alx-\-Bly-\-Clz-\-Dl = 0.
Называя пучком плоскостей совокупность всех плоскостей, про-
проходящих через данную прямую, мы можем сказать, что уравнение
A5) является уравнением пучка плоскостей, так как оно определие1
все плоскости пучка (кроме второй из данных плоскостей).
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
х + у— z = 0, х — y + z— 1=0
и точку A, 1, — 1).
Уравнение любой плоскости, проходящей через данную прямую, имеет вид:
х + у — z + k(x — y + z— 1) = 0.
Условие прохождения этой плоскости через точку A, 1, — 1) дает:
3 -f X ( — 2) = 0, огкуда X = у .
Подставляя это значение к в уравнение пучка плоскостей, получим;
х + у — z+^(x — y + z — \) — 0,
или
'-3 = 0.
§ 9. Пересечение прямой с плоскостью. Пусть даны уравнения
прямой линии:
У.-а_у-Ъ _г-с
т п р *¦ '
и уравнение плоскости:
0. A7)
Координаты точки пересечения прямой линии A6) с плоскостью A7)
должны одновременно удовлетворять уравнениям A6) и A7), а по-
потому для их определения нужно совместно решить эти уравнения,
считая х, у, z за неизвестные.

234 прямая линия [гл. v
Приравнивая каждое из равных отношений уравнений A6) вспо-
вспомогательному неизвестному t, получаем четыре уравнения первой
степени с четырьмя неизвестными х, у, z и t:
Из первых трек уравнений находим соответственно:
x = a-\-mt, y = b-{-nt, z=c-\-pt. A8)
Подставляя эти значения х, у и z в четвертое уравнение, полу-
получаем:
A{a-\-mt)-\rB(b-\-nt)-\-C(c-\-pt)-\-D=Q>
или
Aa-\-Bb-\-Cc-\-D-\-t(Am-\-Bn-\-Cp) = O,
откуда находим:
+ Вп+Ср '
Внося найденное значение t в формулы A8), получим координаты
искомой точки пересечения прямой линии A6) плоскостью A7). Если
Ат-\-Вп-\-СрфО,
то t, вычисленное по формуле A9), имеет определенное конечное
значение; следовательно, в этом случае прямая пересекает плоскость
в одной точке. В случае
Ат-\-Вп-{-Ср = 0, Aa-\-Bb-\-Cc-\-D=j>=Q
прямая параллельна плоскости (в силу первого равенства), а точка
(а, Ь, с), через которую прямая проходит, лежит вне плоскости,
следовательно, прямая не имеет ни одной общей точки с плоскостью.
Наконец, если
Ат-\-Вп-\-Ср = 0, Aa-\-Bb-\-Cc-\-D = O,
то прямая параллельна данной плоскости (в силу первого равенства)
и проходит через точку (а, Ь, с), лежащую в этой плоскости
{в силу второго равенства); следовательно, прямая вся лежит в пло-
плоскости.
§ 10. Условие, при котором две прямые лежат в одной пло-
плоскости. Две прямые в пространстве, вообще говоря, не лежат в
одной плоскости. Посмотрим, при каком условии две прямые
х — а, у— Ь, г— с, х — аг у — Ьг г — с2
тл л, р, ' тг «г рг
лежат в одной плоскости.

§ 10] УСЛОВИЕ, ПРИ КОТОРОМ ДВЕ ПРЯМЫЕ ЛЕЖАТ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ 235
Обозначим направляющий вектор первой из них через s,, а вто-
второй— через s1#
Как видно из данных уравнений, первая прямая проходит через
точку (а,, &,, с,), радиус-вектор которой мы обозначим через г,.
Вторая же прямая проходит через точку (а2, Ьг, с2). Радиус-вектор
этой точки обозначим через г2. Проведем вектор из точки (а,, Ьг, с,)
в точку (а2, Ьг, с2). Он выразится так: гг — гх, а проекциями его
будут а2 —а,, Ьг — Ь1 и с2 — с1.
Из геометрических соображений ясно, что данные прямые лежат
в одной плоскости в том и только в том случае, если эти три вектора
s,, s2 и г2— г, компланарны. Следовательно, искомое условие заклю-
заключается в равепстпе нулю смешанного произведения этих трех векто-
векторов (гл. Ц, § 14), т. е.
((r2 — r^s.S^O.
Переписав это услоние в проекциях, получим:
а2 — я, Ъг
т.
п,
А С2 —
р.
Рг
= 0.
Пример 1. Составить уравнения прямой, проходящей через точку A, 1, 1)
и пересекающей две данные прямые:
х^ j/_ z х— 1 __у—2 г — 3
1 ~Т~~~$' 2 1 4 '
Уравнения искомой прямой, проходящей через точку A, 1, 1), суть:
.J/-1 г-1
х— 1
т
п
Условие нахождения этой прямой с первой из данных прямых в одной плоскости
имеет вид:
1 1 1
1 2 3
= 0 или т. — 2га -f- р = 0.
0
2
т
1
1
п
2
4
Р
т п р
Условие нахождения искомой прямой со второй из данных прямых в одной
плоскости запишется в пиде:
= 0 или 2т + 4га — 2р = 0,
что по сокращении на 2 даст:
tn 1 Пи „ __ Л
Остается определить отношение т:п:р из двух уравнений: т —!
= 0 и т-\-2п — р = 0. Разделив каждое из этих уравнений на р, находим
неизвестные:
— — 0. — = тг| т. е. m:n:p = 0:l:2.

236 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ [ГЛ. V
Подставляя в уравнения искомой прямой вместо т, п, р, соответственно 0, 1, 2,
получим окончательные уравнения прямой, проходящей через точку A, 1, 1) и
лежащей в одной плоскости с первой прямой и в одной плоскости со второй прямо»:
* — 1 _;/ — 1 _ г — 1
О "~~Т~~~" 2 '
Легко проверить, что эта прямая действительно пересекается с каждой из двух
заданных прямых ').
Пр и м е р 2. Составить уравнения прямой, проходящей через точку A, 1, 1),
пересекающей прямую — = -^- = -- и перпендикулярной к прямой
х—\_ у — 2 ___ z —3
~2~~~~~~Г~~~ 4 '
Уравнения искомой прямой будут:
х— !_// — 1 г- — 1
т п р '
где отношение т:п:р определяется из условий:
т — 2fz-fp = 0, 2т + п + 4р — О,
из которых первое есть условие нахождения искомой прямой в о.шой плоскости
с первой из данных прямых (см. пример 1), а второе выражает перпендикуляр-
перпендикулярность искомой прямой со второй из данных прямых. Из этих условий находим:
т:п:р = 9:2:(— 5).
Уравнения искомой прямой будут:
х—1_у—1 z— I
9 ~~ 2 ~~ — 5 * -
Упражнения
Прямая
1. Указать особенности в расположении следующих прямых:
. jAx +Ву Л-Сг =0, ,, {Ах 4-D =0,
г> \A + B4C G °> \BiD 0
iAx + By + Cz + D=0, . I By 4-Сг +D =0,
\ B + D0 Г> \B + C + D0
в) ^"*V;+n =? г)
¦ ' ~ =0; e) \5x-l =0;
i — 7z — 5 = 0,
f — Iz — 5 = 0.
2*. При каком значении свободного члена D прямая
Зх — у + 2г — 6 = 0,
пересекает ось Ог?
') Вообще гоноря, при других числовых данных могло бы случиться, что
прчмая, найденная указанным образом, параллельна одной или даже обеим из
заданных прямых. В этом случае мы заключили бы, что не существует прямой,
проходящей через данную точку и пересекающейся с обеими прямыми.

УПРАЖНЕНИЯ 237
3*. При каких значениях коэффициентов В и D прямая
лежит в плоскости хОу?
4*. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты в уравнениях
прямой
для того чтобы прямая: а) проходила через начало координат; б) была парал-
параллельна оси Ох; в) пересекала ось Оу; г) совпадала с осью Ог?
5. Определить, лежат ли точки А E, — 2, — 3) и В (8, 3, 1) иа прямой
5х — Зу — 31 = 0, 3x + 4y + 7z+\4 = 0.
6. Проверить, что, исключив из двух уравнений предыдущей задачи: а) ко-
координату у, б) координату х, получим в обоих случаях уравнение плоскости,
проходящей через точку А и не проходящей через точку В.
7*. Дана прямая
2х — 3(/ 4- 4г — 12 = 0, х + 4у — 2г — 10 = 0.
Найти уравнения плоскостей, проектирующих эту прямую на координатные
плоскости.
8. Дана прямая
Зх 4- 2«/ — 4г — 5 = 0 6х — (/ — 2г 4- 4 = 0.
Найти уравнения проекций этой прямой на координатные плоскости.
9*. Найти проекцию прямой
х + у— г— 1=0, х — у + г + \ = 0
на плоскость х-\-у-\-г~0.
10. Найти проекцию прямой
2a.-4-3(/4-4z4-5__0, д. _ 6у _|_ 32 — 7 = 0
на плоскость 2х-\-2у-\-г — 15 = 0.
11. Определить направляющие косинусы прямых:
„, х-2_у-3_г- 1. * __у-3_г-8
^ 4 ~ — 12~ 3 ' ; 2 ' — 1 ' — 2 '
12. Привести уравнения прямых
. /л: = Зг-5, ^ /je = 2z-5, . /</ = 4,
а) \{/ = 2г-8; б) \</ = 6z4-7; в) \Z = 3^
к каноническому виду.
13. Найти углы между прямыми:
7 \ ^\& 1У
14. Определить направо!яющне косинусы прямой
х + 2у — z — 2 = 0, х-\-у — 32— 7 = 0.
15. Найти направляющие косинусы прямой
х4-# — z = 0, х— (/4-2 = 0.
16. Найти угол между прямыми
/ 2х — 2(/ — г 4-8 = 0, / 4^4- У + 32 —21 =°.
\ж4-2«/— 2г-{-1=0; \ 2х\-2у - 2,z-\-15 = 0.

233 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ [ГЛ. V
17. Через точку B, —3, — 8) провеаи прямую, параллельную: а) оси Ог;
, . х — 2 у —4 г4-3
б) прямой —— = 2—- =—L—.
и — Z i)
18. Составить уравнения прямой, проходящей через точки C, — 2, — 1)
и E, 4, 5).
19. Найти уравнения прямой, проходящей через начало координат и через
точку (а, Ь, с).
20. Проверить, лежат ли прямые
= 7г-17, Г х = 4г-11,
= Зг-1; \у = — 10z + 25;
Ых + у + Зг = 0, (Зх-2д + г + 5 = 0,
0> \2х-\-Зу + 2г — 9 = 0; \ х—Зг/— 2z — 3 = 0;
( х + 2у — г—2 = 0, <
в> \ х _j- 3^ + 2-1 = 0; \
-—г—3=0
в одной плоскости.
21. Найти ураписния прямой, проходящей через точку (— 3, 5, —9) и
пересекающей прямые:
( у = Зл: + 5, / у = Ах — 7,
\г = 2л;— 3; \z = 5x4-10.
22. Составить уравнения прямой, проходящей через точку A, 2, 3), пере-
пересекающей ось Ог и перпендикулярной к прямой х = у = г.
23. Найтн уравнения прямой, пересекающейся с прямыми
; = 3г— 1, 1у = 2х—5,
у = 2г — 3; \ г = 7х -f 2
и перпендикулярной к ним обеим.
24. Провести через точку G, 3, 5) прямую, направляющие косинусы ко-
1 2 2
торой суть -я- , —, —. Найти уравнения прямой, пересекающей первую пря-
о о о
мую, проходящей через точку B, — 3, — 1) и образующей с осью Ох угол
в 60°.
25. Найти уравнения прямой, проходящей через точку (а, Ь, с) и пересе-
пересекающей прямые
х — а, у — Ь1 г — с, х — аг у — Ъг г — се
Шу пх Pi m2 ^г Pz
26. Найти уравнения прямой, проходящей через точку (а, 6, с), пересека-
пересекающей ось Ог и перпендикулярной к прямой
— -JL — 1.,
27. Найти уравнения прямой, пересекающейся с прямыми
х = тг 4- а, I x = m1z-{-al,
а перпендикулярной к ним обеим.
Плоскость и прямая
28. Найти координаты точки пересечения прямой
х+2_у-2_г+\
3 ~~ — 1 2
и плоскости 2х -\- Ъу + Зг — 8 = 0.

УПРАЖНЕНИЯ 239
29. Найти координаты точки пересечения прямой
Г у = -2х + 9,
\ 2 = 9*-43
и плоскости Ъх — 4у •+• 7г — 33 = 0.
30. Найти угол между прямой
Ъх — 2«/ = 24, Зх —z = —4
и плоскостью Ъх -f-15// — Юг + 31 = 0.
31. Найти уравнения перпендикуляра, опущенного из точки (I, 2, 3) на
плоскость:
а) 4х — 5у — 8г + 21 = 0; б) 3x+Uy = 0; в) г = 8.
32. Через точку C, —2, —1) провести плоскость, перпендикулярную
к прямой
х — 1 у г-\-\
~4~ —"±Т —~~3~"
33. Найти кратчайшее расстояние от точки А{\, 2, 3) до прямой
х-\-у — г = \, 2x + z = 3.
34*. Найти кратчайшее расстояние между двумя прямыми
х-\-у — z=l, 2jt-f-z = 3 и х = у = г — \.
35. Каково должно быть значение коэффициента р, чтобы прямая
х—\_у-\-3_г—.2
1 ~~ — 8 ~~ р
была параллельна плоскости Зх — 4у -f- 7г — 33 = О?
36. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку ( — 1, —2, 3)
и параллельной прямым
x — 2 у z — Ъ х у-\-2 г —3
~3~~ ~~ ^4 ~~ ~~Ь~ ' Т~~2~~ — 8'
37. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку B, — 3, 1)
и через прямую
х — 1 у-\- 3 г
38. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
параллельно прямой х = у = г.
39. Провести через прямую
х у г — 1
~2~~^Л~ 2
плоскость, параллельную прямой
х—\ у г
40. Найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямыз
jc_-J. _ у_+± __ г-^2 х _у— 1 г -f- 2
1 ~~ — 2 ~"~Т~' L~— 2 ~" 3 '

240 прямая линия [гл. v
41. Через точку (— 1, 0, 4) провести прямую, параллельную плоскости
Зх-4у + г- 10 = 0,
так, чтобы она пересекла прямую
3 ~ 1 ~ 2 '
42. Составить уравнение геометрическою места всех прямых, проходящих
через начало координат перпендикулярно к прямой х — у = г.
:!'Л. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку (а, Ь, с) и парал-
параллельной прямым с направляющими коэффициентами (п\. .;,, о,}, (/я„ п2, рг)-
44- Составить уравнение плоскости, проходящей через т.>«ку ("а, Ь, с) и
через прямую
х — а, у — 6, г — с1
т, л. Pi '
45. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
Ax + By + Cz+D = 0, А,х + В1у + С1г + О1 = 0
параллельно прямой
х // _ г
т а р
46. Провести через прямую
х — а у — Ь г — с
т п р
плоскость, параллельную прямой
х — а,_ </— Ь,_г —с,
т\ ni Pi
47. Найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые
х — а, у— Ьг г — с1 х— дг у — Ьг г — с,
т п р т п р
48. Через точку (а, Ь, с) провести прямую, параллельную плоскости
так, чтобы она пересекала прямую
х — а, у— Ь, г— с,
Щ ~ «, ~ Р,
49. Составить уравнение геометрического места всех прямых, проходящих
через точку (а, 6, с) перпендикулярно к прямой
Х_ у 2
т п р

ГЛАВА VI
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ.
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ. ПОВЕРХНОСТИ 2-го ПОРЯДКА
§ 1. Классификация поверхностей. Так же как и линии на пло-
плоскости, поверхности разделяются по их уравнениям в декартовой
системе координат на алгебраические и трансцендентные:. Уравнение
алгебраической поверхности после преобразований может быть при-
приведено к виду
F(x, у, z) = 0,
где левая часть уравнения есть целый многочлен относительно
х, у, z. Степень этого многочлена относительно х, у, z дает порядок
алгебраической поверхности. Можно показать, что порядок поверх-
поверхности не зависит от выбора координатных осей. Мы знаем, что
поверхности 1-го порядка суть плоскости. Me касаясь исследовании
общего уравнения поверхностей 2-го порядка, мы в §§ 5 — 11 этой
главы разберем все возможные типы таких поверхностей, отправляясь
о г их простейших уравнений.
§§ 2—4 будут посвящены разбору уравнений некоторых часто
встречающихся поверхностей, которые могут быть как алгебраиче-
алгебраическими, так и трансцендентными.
§ 2. Цилиндрические поверхности (общий случай). Мы рас-
рассмотрели (гл. Ill, § 5) уравнение цилиндрической поверхности is
том частном случае, когда образующие параллельны одной из осей
координат. Рассмотрим теперь общий случай.
Как уже было отмечено (гл. Ш, § 5), цилиндрической поверх-
поверхностью называется поверхность, образованная прямыми,— образую-
образующими,— параллельными некоторой данной прямой и пересекающими
данную линию L — направляющую. Пусть направляющая цилиндри-
цилиндрической поверхности определяется уравнениями
t\x, у, г) = 0, f-\{x, у, г) = 0. A)
9 П. И. Лршмлов

242 поверхности 2-го порядка [гл. vi
Положим, что т, п и р суть направляющие коэффициенты образую-
образующих цилиндрической поверхности. Канонические уравнения обра-
образующих будут:
X — х Y —у Z — г о
где (х, у, z) есть точка, принадлежащая направляющей, а X, Y, Z —
текущие координаты. Исключая х, у и z из четырех уравнений
A) и B), получим искомое уравнение цилиндрической поверхности.
Пример. Составить уравнение цилиндрической поверхности, образую-
образующие которой параллельны прямой
х = у — г,
а направляющей служит прямая
— г— 1=0, х —
Каиовическне уравнения образующих будут:
X— х_ Y — y__Z — г
1 1 1
Исключим х, у и z из последних четырех уравнений. Обозначая через Q
величину каждого из последних отношений, найдем:
ХТ=Х — Q, y=zY — Q, Z = Z—Q.
Подставляя эти значения х, у и г в данные уравнения направляющей, получим:
х + к-z-e-1 = 0, x-y+z-Q — o.
Исключая, наконец, q, найдем:
2Y — 2Z — 1 = 0.
Это, очевидно, есть уравнение плоскости, проходящей через данную напра-
направляющую и параллельной прямой x = y=z.
§ 3. Конические поверхности. Конической поверхностью назы-
называется поверхность, образованная прямыми — образующими ко-
конуса,— проходящими через данную точку — вершину конуса — и
пересекающими данную линию—направляющую конуса.
Пусть направляющая конуса имеет уравнения
F(x, у, г) = 0, F^x, у, г) = 0, C)
а вершина конуса имеет координаты ха, _у0> z0. Канонические урав-
уравнения образующих конуса как прямых, проходящих через точку
{xvt Уы zo) и через точку (х, у, z) направляющей, будут;
X — x.,_Y — у„_ Z — г„
х— хЛ у - Уь z — г„" *

§ 4] ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ 243
Исключая х, у и z из четырех уравнений C) и D), получим
искомое уравнение конической поверхности. Это уравнение обладает
весьма простым свойством: оно однородно (т. е. все его члены
одного измерения) относительно разностей X—х0, Y— _у0, z — z .
В самом деле, допустим сперва, что вершина конуса находится в
начале координат (л:0 = ^0 = ^0 = 0). Пусть X, Y и Z — координаты
любой точки конуса; они удовлетворяют, следовательно, уравнению
конуса. После замены в уравнении конуса X, Y и Z соответственно
через XX, XV, XZ, где А,— произвольный множитель, уравнение
должно удовлетворяться, так как XX, XY и XZ суть координаты
точки прямой, проходящей через начало координат в точку (Xt Y, Z),
г. е. образующей конуса. Следовательно, уравнение конуса не изме-
изменится, если все текущие координаты умножим на одно и то жа
число X. Отсюда следует, что это уравнение должно быть одно-
однородным относительно текущих координат.
В случае, если вершина конуса лежит в точке (л:0, _у0, za), мы
перенесем начало координат в вершину, и по доказанному преобра-
преобразованное уравнение конуса будет однородно относительно ноны*
координат, т. е. относительно X—х0, Y — уа, Z — z0.
Пример. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат
и направляющей
Канонические уравнения образующих, проходящих через вершину (О, О, С)
конуса и точку (х, у, г) направляющей, будут:
х ~~ у ~ г
Исключим х, (/иг из четырех данных уравнений. Заменяя г через с, определим v
и у из последних двух уравнений:
X Y
Подставляя эти значения х и у в пертое уравнение направляющей, будем
иметь:
il — л. — XL —
a2 Z2 + b2 ~W~~ '
или
+ 0 <5>
При <з = 6 направляющей конической поверхности будет окружность, и мы
получим круговой конус.
§ 4. Поверхности вращения. Положим, что в плоскости yOz
нам дана линия L, имеющая уравнение
F{Y, Z) = 0.
9*

244 поверхности 2-го порядка [гл. vi
Найдем уравнение поверхности, полученной от вращения этой линии
вокруг оси Оу (рас. 119).
Возьмем произвольную точку М(х, у, z) нашей поверхности
и проведем через нее плоскость перпендикулярно к оси вращения Оу,
Очевидно, в пересечении этой плоскости и нашей поверхности
получится окружность с центром N на оси вращения. Координаты
точки Л' будут 0, у, 0. Радиус окружности MN как расстояние
между точками N и М равен } хг-\-г\ С другой стороны, ясно,
что этот радиус является абсолютной величиной аппликаты той
точки Л7, данной лишш L, ордината к >-
тороГг есть у. Следовательно, полагая и
данном уравнении
(координаты точки Ж,), мы получим иско-
искомое уравнение поверхности вращения:
F(y, -±Vx* + z2) = 0.
Рис. 119. Таким образом, мы приходим к следую-
следующему правилу:
Чтобы получить уравнение поверхности, образованной враще-
вращением линии L, лежащей, в плоскости yOz, вокруг оси Оу, нужно
в уравнении этой линии заменить z на -+-]/~х2 -|-г'.
Аналогичные правила будут иметь место и по отношению к по-
поверхностям, полученным вращением плоских линий вокруг других
координатных осей.
Пример 1. Уравнение поверхности, образованной вращением эллипса
д2 -Г" С» —
вокруг оси Ох, будет:
Если тот же эллипс вращается вокруг оси Ог, то уравнение полученной
таким образом поверхности вращения будет иметь вид:
Если а~>с, то в первом случае имеем удлиненный, а во втором случае
сжатый эллипсоид вращения. При а = с получаем сферу.
Пример 2. Уравнение поверхности, образованной вращением гиперболы
вокруг оси Ох, будет:
^!_ __ t — 1
а2 с2' ~
а2 с2
Зто — так называемый йоуполостшй гиперболоид вращения.

§ 5] эллипсоид 245
Если ту же гиперболу будем вращать вокруг оси Ог, то полученная
таким образом поверхность будет иметь уравнение
xz + i/ г*
-$^-1Г=1- G')
Это — так называемый однополостный гиперболоид вращения.
Пример 3. Уравнение поверхности, образованной вращением параболы
уг = 2рг
вокруг оси Ог, будет:
х* + у* = 2рг. (8)
Это — так называемый параболоид врашрпия.
§ 5. Эллипсоид. Мы видели (гл. VI, § 4), что уравнение поверх-
поверхности, полученной вращением эллипса
вокруг оси Oz, будет:
Это уравнение определяет поверхность, называемую эллипсоидом
вращения. Пересекая этот эллипсоид плоскостью z = /i (]/ijs^c),
параллельной плоскости хОу, получим в сечении окружность, урас-
nennsr которой будут:
хг 4- у2 hz
—ST~—l—-?> z==h (У)
и радиус которой равен
Следовательно, при изменении h от значения —с до значения -4-е
окружность (9) описывает эллипсоид вращения.
Возьмем теперь вместо окружности (9) эллипс
х* . цг . К1 ,
лежащий в плоскости z = h, параллельной плоскости хОу, полуоси
которого суть:
При изменении й от —с до -{-с этот эллипс описывает поверхность,
уравнение которой получим, исключив h из двух уравнений A0)-

246
ПОВЕРХНОСТИ 2-ГО ПОРЯДКА
[ГЛ. VI
Поверхность 2-го порядка, определяемая уравнением (I), называется
эллипсоидом, а величины а, Ь, с — полуосями эллипсоида.
Пересекая эллипсоид плоскостями координат z = 0, .у = 0, л: = 0,
получим в сечении эллипсы:
^ + fF=l>z = O; jjr + 4r=I, У = 0; -fr+-J-=l, * = 0. A2)
Как мы уже видели, в сечении эллипсоида плоскостью z = h,
параллельной плоскости хОу, получается эллипс A0) с полуосями A1).
При изменении h от —с до -(-с эти полуоси изменяются, оставаясь
пропорциональными полуосям а и b эллипса, лежащего в пло-
плоскости хОу (рис. 120). Два эл-
эллипса с пропорциональными полу-
полуосями называются подобными. Та-
Таким образом, эллипсоид можно рас-
рассматривать как поверхность, обра-
образованную движущимся эллипсом
(плоскость которого остается парал-
лельной плоскости хОу), который
при движении остается себе подоб-
подобным и концы осей которого скользят
по эллипсам A2) в плоскостях xOz
и yOz.
Не уменьшая общности, мы
можем считать а^Ь^с. Если
7* !
¦¦¦."/*'-
*' 1
^ 1
¦•¦---
Рис. 120.
а = Ь = с, то уравнение A) определяет сферу; если а~^>Ь = с, то
уравнение (I) определяет удлиненный эллипсоид вращения с осью
вращения Ох; если а = Ь~^>с, то уравнение (I) определяет сжатый
эллипсоид вращения с осью вращения Oz. Если среди чисел а, Ь и с
нет равных, то эллипсоид называется трехосным.
Уравнение (I) содержит только квадраты координат, откуда
следует, что эллипсоид симметричен относительно начала координат,
а плоскости координат суть его плоскости симметрии, так как если
некоторая точка М(х, у, z) находится па эллипсоиде, то и точки
(—я, 4-j>, zbz) находятся на эллипсоиде при произвольном выборе
знаков у координат.
§ 6. Однополостный гиперболоид,
полученной от вращения гиперболы
Уравнение поверхности,
около оси Ozt будет:
—_^~ — 1

§ 6] ОДИОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД 247
(гл. VI, § 4). Это уравнение определяет поверхность, называемую
однополо стным гиперболоидом вращения. Пересекая его плоскостью
z = h, параллельной плоскости хОу, получим в сечении окружность,
уравнения которой будут
= 1-1-5-, z=h оз)
а~
п радиус которой равен
Следовательно, при изменении h от —со до --оо окружность A3)
описывает одпополостный гиперболоид вращения.
Возьмем теперь вместо окружности A3) эллипс
лежащий в плоскости z = h, параллельной плоскости хОу, полуоси
которого суть:
Г + -?. A5)
При изменении h от —оо до -роо этот эллипс описывает поверх-
поверхность, уравнение которой получим, исключив h из двух уравнений A4):
,2 „г „г ,2
Z Ait/ Z
+
_
с2 '
И.1Н
с"
Понерхность 2-го порядка, определяемая уравнением (II), называется
однополо стным гиперболоидом, а величины а, Ь, с — его полуосями.
Пересекая поверхность (II) плоскостями координат z = 0,
_у = 0, дг = О, получим в сечении соответственно эллипс и две
гиперболы:
-^—-J = l, * = 0. A6)
Как следует из предыдущего, в сечении однополостного гипер-
гиперболоида плоскостью z = h, параллельной плоскости хОу, получается
эллипс A4) с полуосями A5). При изменении h от —оо до -\- оо
эти полуоси изменяются, оставаясь пропорциональными полуосям а
и Ь эллипса, лежащего в плоскости хОу, и мы можем однополост-
ный гиперболоид рассматривать как поверхность, образованную дви-
движущимся эллипсом (плоскость которого остается параллельной

248
ПОВЕРХНОСТИ 2-ГО ПОРЯДКА
[гл. vi
плоскости хОу), который при движении остается себе подобным и концы
осей которого скользят по гиперболам A6) в плоскостях xOz, уОг
(рис, 121). Тгсли а = Ь, то уравнение (И) определяет одпополостиый
гиперболоид вращения с осью вращения Oz.
Уравнение (II) содержит только квад-
квадраты координат, откуда следует, что одно-
полостпый гиперболоид симметричен отно-
относительно начала координат, а плоскости ко-
координат являются его плоскостями симметрии.
§ 7. Двуполостный гиперболоид. Дву-
Двуполостный гиперболоид вращения мы полу-
получим, если гиперболу
будем вращать вокруг оси Oz. Его уравне-
уравнение будет (гл. VI, § 4):
_г2 л*-}-у»_
Рис. 121.
Пересекая его плоскостью z = h(\ h\ Э= с),
перпендикулярной к оси вращения Oz, получим в сечении окруж-
окружность, уравнения которой будут
*+?-_.?_ 1, z-=h
аг с2 '
и радиус которой равен
, / п-
1 .
A7)
A8)
При изменении h от с до -р со окружность A7) описывает одну
полость гиперболоида, а при изменении h от —с до —оо окруж-
окружность A7) описывает другую его полость.
Возьмем вместо окружности A7) эллипс
лежащий в плоскости
которого суть:
;/г, параллельной плоскости хОу, полуоси
Г-1. B0)
1
~\ и
При изменении Л от —оо до —с и от -}-с до -р оо этот эллипс
описывает двуполостную поверхность, уравнение которой получим,
исключив h из двух уравнений A9):
У"
г2 . х2 _|_ if ?2_ _._
—- '¦>' *. ИЛИ "п~ '. I ч' Г?"
(III)

§ 8]
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД
249
Повер.чн1К1ь 2-го порядка, определяемая уравнением A11), назы-
называется двуполостным гиперболоидом, а величины а, Ь, с — его
полуосями. Пересекая эту поверхность плоскостями координат
Z — 0, у~0, х = 0, мы получим в сечении соот-
соответственно мнимое место и две гиперболы".
Как было выше сказано, в сечении двуполост-
двуполостного гиперболоида плоскостью г^=А, параллельной
плоскости хОу, получается эллипс A9) с полу-
полуосями B0), когда \h\^iC. Отсюда вытекает, что
даунолостпый гиперболоид мы можем рассматривать
как поверхность, образованную движущимся эллин-
сом (плоскость его остается параллельной плоско-
плоскости хОу), который при движении остается себе по-
подобным и концы осей которого скользит но гипербо-
гиперболам B1) и плоскостях xOz и yOz (рис. 122). По- Рис. 122.
нерхность симметрична относительно начала ко-
координат, а плоскости координат суть ее плоскости симметрии.
При а^=Ь уравнение (III) определяет двуиолостлый гиперболоид
вращения с осью вращения Oz.
§ 8. Эллиптический параболоид. Параболоид вращения полу-
получается вращением параболы
/ = Ipz
вокруг оси Oz. Его уравнение будет (гл. VI, § 4):
В сечении его плоскостью z = h (й^зО), перпендикулярной к оси
вращении Oz, получается окружность, уравнения которой будут:
х2-\-у* = '2ph, z — h B2)
и радиус которой равен
V^ph. B3)
Следовательно, при изменении h от 0 до -\- со окружность B2)
описывает параболоид вращения.
Возьмем вместо окружности B2) эллипс
* _1_ У _ _
B4)
(р, q и h — положительные числа), лежащий в плоскости z = h,
параллельной плоскости хОу, полуоси которого суть;
\'r2ph,
B5)

250
ПОВЕРХНОСТИ 2-ГО ПОРЯДКА
[гл. vi
При изменении й от 0 до -)-оо этот эллипс описывает поверхность
2-го порядка, называемую эллиптическим параболоидом, уравнение
которой получим, исключив h из двух уравне-
ний B4):
— + #-==1, или ~—LJL—2«. (IV)
Пересекая эту поверхность плоскостями коорди-
координат г = 0, _у=0, лг = О, получим в сечении со-
соответственно точку и две параболы:
у = 0; f = 2qz, х = 0. B6)
В Из предыдущего усматриваем, что эллипти-
эллиптический параболоид можно рассматривать как по-
поверхность, образованную движущимся эллипсом,
Рис. 123. который остается себе подобным и концы осей
которого скользит по параболам B6) (рис. 123);
плоскость эллипса при движении остается параллельной плоскости хОу.
Уравнение (IV) содержит только квадраты координат хну,
а потому плоскости xOz и yOz являются плоскостями симметрии
поверхности. При p — q уравнение (IV) определяет параболоид
вращения с осью вращения Oz.
§ 9. Гиперболический параболоид. Простейшее уравнение
гиперболического параболоида имеет вид:
jL_.lL^2z (p>0, ?>0), (V)
Р it ^
т. е. отличается от уравнения (IV) только знаком при у2. Плоскость
координат xOz пересекает эту поверхность по параболе
x' = 2pz, B7)
для которой ось Oz является осью симметрии и которая расположена
в положительном направлении оси Oz. Плоскость x = h, параллель-
параллельная плоскости yOz, пересекает поверхность (V) но параболе, урав-
уравнения которой будут:
x — h, \
или
B8)
Из уравнения B8) усматриваем, что эти параболы, расположен-
расположенные в плоскостях x = h, имеют один и тот же параметр, их оси
симметрии находятся в плоскости xOz и параллельны оси Oz, ветви
парабол направлены вниз (в отрицательном направлении оси Oz),

§
КОНУС 2-ГО ПОРЯДКА
251
а их вершины имеют координату г~~. Так как уравнение пара-
параболы B7), расположенной в плоскости xOz, при x = h дает то же
значение для z, то отсюда заключаем, что вершины парабол B8)
расположены на параболе B7) (рис. 124).
Таким образом, гиперболический параболоид (V) можно рас-
рассматривать как поверхность, образованную движущейся параболой,
ось симметрии которой ос-
остается в плоскости xOzt
а вершина движется по па-
параболе B7). Плоскость па-
параболы остается параллель-
параллельной плоскости yOz. Пересе-
Пересекая гиперболический парабо-
параболоид (V) плоскостью z = h,
получим в сечении гипер-
гиперболу, уравнения которой бу-
будут:
х2 уг
р q '
При й^>0 действительная
ось симметрии гиперболы
будет параллельна оси Ох, при й<^0 действительная ось сим-
симметрии гиперболы будет параллельна оси Оу.
Плоскость хОу дает в сечении с поверхностью (V) линию
~Р <Г ' Z '
уравнения которой распадаются на две пары уравнений:
X j И г\ г\
У1> '"1" ' z==
и х ц
Рис-
У р У ч" ' " '
и, следовательно, это сечение есть совокупность двух пересекаю-
пересекающихся прямых. Прямые сечения плоскостью 2 = 0 служат как бы
переходом от одного семейства гипербол (получающихся в сечении
плоскостью z = h при й>0) к другому семейству.
Так как уравнение (V) содержит только квадраты координат х
и _у, то плоскости xOz н yOz являются плоскостями симметрии для
поверхности.
§ 10. Конус 2-го порядка. В примере § 3, гл. VI мы составили
уравнение конуса с вершиной в начале координат и направляющей
линией

252
ПОВЕРХНОСТИ 2-ГО ПОРЯДКА
[гл. vi
Полученное уравнение
„2 „2 ,2
а2 ~Гйа с2
(VI)
определяет конус 2-го порядка. Поверхность симметрична относи-
относительно начала координат, а плоскости координат суть ее плоскости
г. симметрии (рис. 125).
§ 11. Цилиндры 2-го по-
порядка. В примерах § 5 гл. III
z\ мы рассмотрели уравнения ци-
цилиндров 2-го порядка:
--
а2
¦&=i. (VH)
11 4L— 1 (VIII)
у' = 2рх. (IX)
Направляющие линии этих
цилиндров, лежащие в плоско-
плоскости хОу, суть соответственно
эллипс, гипербола и парабола.
Образующие этих цилиндров
параллельны осп Ог.
Цилиндры, которые определяются уравнениями (VII), (VIII), (IX),
носят названия эллиптического цилиндра (рис. 126), гиперболического
Рис. 125.
г-
Z,
ГУ
Рис.
\
1
127.
Рнс. 128.
цилиндра (рис. 127) и параболического цилиндра (рис. 128). При
а = Ь эллиптический цилиндр становится поверхностью вращения
с осью вращения Oz.

§ 12] ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗУЮЩИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ 2-ГО ПОРЯДКА 253
§ 12. Прямолинейные образующие поверхностей 2-го порядка.
Конструкции В. Г. Шухова. Поверхность, образованная движе-
движением прямой, называется линейчатой, а лежащие на пей прямые —
прямолинейными образующими.
Примерами таких поверхностей могут служить цилиндрическая
и коническая. Среди поверхностей 2-го порядка прямолинейными
образующими обладают (кроме конусов и цилиндров) одиополостпый
гиперболоид и гиперболический параболоид.
Рассмотрим одпополостпый гиперболоид
a- ' о* c-
Его уравнение можно записать в виде
или
B9)
Составим систему уравнений первой степени:
C0)
где k — произвольное число.
При определенном значении k эти уравнения определяют прямую
линию. Меняя параметр k, мы получим совокупность прямых (семей-
(семейство прямых). Уравнения C0) составлены так, что почленное пере-
перемножение их дает уравнение поверхности B9). Следовательно, всякая
точка (л:, у, z), координаты которой удовлетворяют системе C0),
лежит на поверхности B9). Таким образом, каждая из прямых
семейства целиком располагается на поверхности однонолостного
гиперболоида.
Можно показать, что на поверхности одиополостного гипербо-
гиперболоида располагается еще одно семейство прямолинейных образующих,
отличное от уже рассмотренного. Оно определяется уравнениями
где /—произвольный параметр.

254
ПОВЕРХНОСТИ 2-ГО ПОРЯДКА
[гл. vi
Кроме того, можно доказать, что через каждую точку одиопо-
одиополостного гиперболоида нрокодит по одной прямой из каждого из
этих семейств (рис. 129 и 130).
Рис. 129.
Рис. 130.
При помощи аналогичных рассуждений можно убедиться, ¦
поверхности гиперболического параболоида
что
также располагаются два семейства прямолинейных образующих
(одно из них изображено на рис. 131).
Их уравнения
Vp ^~VT
X f/_
VT VT'
vt
Рис. 131.
где k и / — произвольные параметры.
Через каждую точку поверхности проходит по одной прямой
каждого семейства.
Наличие прямолинейных образующих у одиополостного гипербо-
гиперболоида используется в строительной технике. Идея такого использо-
использования и практическое осуществление ее принадлежат известному

УПРАЖНЕНИЯ 255
русскому инженеру, почетному члену АН СССР Владимиру Гри-
Григорьевичу Шухову A853—1939).
В. Г. Шухов осуществил конструкции мачт, башен и опор,
составленные из металлических балок, располагающихся по прямо-
прямолинейным образующим однополостного гиперболоида вращения. Пер-
Первая такая конструкция была осуществлена В. Г. Шуховым при
сооружении опоры высотою в 26 м для водонапорного резервуара
A896). Высокая прочность такик конструкций в соединении
с легкостью определила их большое распространение в нашей
стране и за рубежом.
Упражнения
1. Составить уравнение поверхности, полученной от вращения прямой
линии у = х вокруг оси Ох.
х2 иг гг
2. Составить уравнение линии пересечения конуса — -f- г —О
с плоскостью г = с.
3. Составить уравнение конической поверхности с вершиной в начале
координат и с направляющей
Ах24-2Вху4-Суг+ 2Dx + 2Ey + F = 0, г — h.
4. Какую поверхность определяет уравнение x2 = y2-\-zz?
5. Какую поверхность определяет уравнение
Ахг 4- 2Вху + Су2 + 2Dxz -\- 2Еуг + Fz* = О?
6. Какую поверхность определяет уравнение х2 -(- Уг -(- 4г2— 1=0?
7. Какую поверхность представляет уравнение я2 -(- У1 — г2 — 1 =г^ 0?
8. Какую поверхность определяет уравнение хг — у2 — z2 — 4 = 0?
9. Какая поверхность определяется уравнением г = Xs -\- (/2?
10. Составить уравнение цилиндрической поверхности, образующие кото-
которой параллельны прямой х = у = г, а направляющей служит линия г\*\
+ г«=1, х+у + г — 0.

ОТВЕТЫ
К стр. 33 — 35 (гл. I, ч. 1)
2. E, 2). 3. ( — 4,2). 4. (а, — Ь). 5. (— а, Ь). 6. ( — о, — Ь). 8. (О, 0),
B, 0), B, 2), @, 2) или @, 0), @, 2), (-2, 2), (-2, 0), и.-щ @. 0), ( - 2, _0),
( - 2, - 2), @, - 2), или @, 0), @, - 2), B, - 2), B, 0).9. С|/2\ 0), (О, У 2 ),
(— У, 0), @, — УТ). 10. C, 0), @, 4), (— 3, 0), @, — 4) или D, 0),
(-т. -
IS. /Л —тупой. 15. 10 + 2/5. 16. ТТЗ, Лг№, 1. 17. %=—14, //=17.
18. ( — 3,4; 0). 19.A5, 15), или C, 3). 20.A, 10), или (—11, 10). 21.( — 3,9).
22.D, 5); (—2, — 3). 23. (в,'5, 8/3). 24. (— 3, —5) или B, —7).
25. х= =^— ., — , у-— --. 2S*. Обозначая координаты середины
стороны ВС через а и Ь, получаем а = — 1, Ь = 4. Так как медианы тре-
треугольника пересекаются в точке, и котором каждая из них делится в отно-
отношении 2:1 (считая от вершины, из которой проводится медиана), то коордн-
! | 2A)
наты (х, у) искомой точки по формулам F) и G) будут: х=
28. x = ' J ', y = J '/s . 30. •/, кн. ед. 31. 33,5 кв. ед
3 3 '
32. Лежат. 33. Р=13, Ф = агс tg 12,'5. 34. Г1E + УТ7); 1G +У17)
35. Расстояние центра тяжести от большего основания равно , , ' ,
д(а-{-Ь)
„ °2 + ой -'- й2 __ , ,, .
а от стороны, перпендикулярной к основаниям, —ТЛ—гтт~ • "¦ ЛA> 1),
Z? B, 2 УЗУ, С(-4, 4), D(Y% -1), Л^у. —^
37. А(V13, arctg^— I)), /?(УГ-|^, СC, 0), D^4,_

ОТПЕТЫ
257
Рис. 132.
К стр. 44 — 45 (гл. II, ч. 1)
I*. Из уравнения кривой непосредственно видно, что кривая симме-
симметрична относительно оси О у: перемена знака при х не изменяет значения у.
так как х содержится в уравнении во второй степени. Так как значение
(/ = 0 не удовлетворяет уравнению кривой, то кривая не пересекает оси Ох.
Решим теперь уравнение кривой относительно у: у= —. г . г- • Считая
постоянное а > 0, замечаем, что при всех значениях х ордината i/>0
это означает, что кривая целиком расположена в верхней полуплоскости.
Из этого же выражения видно
также, что с возрастанием аб-
абсолютной величины х ордината
у уменьшается. При х = 0 ор-
ордината </ = 2а. Произведя такое
исследование уравнения кривой
и построив некоторое количе-
количество точек кривой, координаты
которых определим непосредст-
непосредственным вычислением одной из
текущих координат по данным
произвольным значениям другой,
убедимся, чю кривая имеет такой вид, как изображено на рис. 132.
При построении кривой следует постоянному а дать некоторое произвольное
значение. 2*. Полярный радиус г достигает наибольшего значения, когда
sin 2ф имеет наибольшее значение, что наступает, когда sin2(p —1. т. е.
когда ф = 45°, 225° и т. д.; тогда г =10. Полярный радиус г принимает наи-
наименьшее значение, когда sin 2ф получает наименьшее значение, что имеет
место, когда 5ш2ф ——1, т. е. когда ф=135°, 315° и т. Д. Эю наименьшее
значение/" есть —10. Когда ф = 0\ 90D, 180° и т. д., тогда г •--0. Теперь
следует погтроить ряд точек кривой, координаты которых можно определить
непосредственным нахождением одной из них но данным произвольным
значениям другой. Кривая состоит и.ч четырех пегсль, как показывает при-
прилагаемый рис. 133, и по этой причине и называется четырехлепестковой
розой. 6. Ъх — Зу-\- 17 = 0. 7. //=^--|-2. 8. Ок-
х2 У8
ружность х" -{- у^ =]2х. 9. "Г~г""о"~-1 (эта кривая
называется эллипсом). 10*. Прежде чем состав-
составлять уравнение кривой, нужно выбрать систему
координат. От выбора системы координат зависит
большая или меньшая сложность искомого уравне-
уравнения. Так, ранее мы видели, что если начало координат
поместить в центре окружности, то уравнение ее бу-
будет иметь более простой вид, чем при другом выборе
Рис.
д р д, р дру выре
системы координат. Правил, которыми можно было бы руководствоваться при
ьыборе системы координат, не существует, и уменье делать наиболее удобный
шбор дается только опытом. Для составления искомого уравнения в данном
случае оказывается удобным за ось Ох принять прямую, проходящую через
топки Р и Q (тогда будут весьма просты координаты точек Р и Q), за ось Оу
принять прямую, делящую пополам отрезок PQ (равноправность точек Р и Q
позволяет предполагать симметрию крнной). Пусть х и у будут координа-
т:л!И произвольной точки М, лежащей на искомой кривой "(рис. 134). Это
значит, что х и у будут текущими координатами. Составить уравнение кри-
Boii (геометрического места)—это значит выразить при помощи формулы
(сравнении) геометрическое свойство кривой. Это достигается при помощи

258
ОТВЕТЫ
установления соотношения между текущими координатами и постоянными
величинами, характеризующими данную кривую. В данном случае, следова-
следовательно, нам нужно установить соотношение между х, у и постоянными т2
и п. Из определения геометрического места следует (рис. 134): PM-QM=m*.
Выражая длины отрезкоп РМ и QM по формуле расстояния между двумя
точками [координаты точек Р и Q по отношению к выбранной нами системе
координат будут Я( — п, 0), Q(-}-n, 0)], получаем:
V(x + n)* + y* • V(x-nf-\-y2 = т'.
Это и есть уравнение данного геометрического места; но, очевидно, его
следует упростить: освободить от радикалов, произвести возможные сокра-
сокращения и т. п. Произведя с этой целью элементарные преобразования, полу-
получаем: (хг-\-у*-{-п2-}-2пх) (х*-\-уг + пг — 2пх) = т\ или (х2 -f уг + я2J —
— 4nV~m\ или (х*-\-у*)*-{-2пг {х*-\-у1) — 4п*х2 = т'1 — га4 и окончательно:
Рис. 134.
Рис, 135.
(f/)—2пг(х2— уе) = т*—га1. Для построения кривой исследуем найден-
найденное уравнение. Так как замена произвольного значения х в уравнении кривой
значением, противоположным по знаку, но равным по абсолютной величине,
ие изменяет значения у и. аналогично, замена произвольного значения у
значением, равным по абсолютной величине, но противоположным по знаку,
не изменяет значения х, то кривая симметрична относительно осей коорди-
координат. Далее, из геометрического определения рассматриваемого геометриче-
геометрического места непосредственно очевидно, что эта кривая есть замкнутая кри-
кривая. Положив у = 0, а затем х = 0, найдем точки пересечения кривой
с осями Ох и Оу. Построив ряд точек кривой, координаты которых можно
найти, вычисляя из найденного уравнения одну из координат по данным
произвольным значениям другой, н соединив их плавной линией, полупим
(при т > п) кривую, изображенную па рис. 135. II*. а) При выборе осей
координат, как в упражнении 10*, уравнение лемнискаты принимает вид:
(х2 -{- у*J = 2т2 (х1 — у2), б) Если полюс
совместить с началом прямоугольной
системы координат, а полярную ось сов-
совместить с осью Ох, то уравнение лем-
лемнискаты будет иметь нид: г2 = 2гагсо5 2<р
Указание. Для вывода уравнения в поляр-
полярных координатах устанавливаем прежде
всего положение системы координат:
полюс совмещаем с началом координат выбранной нами прямоугольной си-
системы, а полярную ось совмещаем с осью Ох. Тогда будем иметь (рис. 136):
S.VI¦ QM ==.тг. Выражая офезки SM и QM по известной формуле тригоно-
тригонометрии, приходим к уравнению
f ''-'С, V;
0
Pi ic. 13G.
- m2 -f- Ъпг cos ц> • Yr* + гпг — 2mr cos ф = /л*.
Производя элементарные преобрач'т-ания получаем: (г2 -f- m2J — 4m2r2 cos2 ф =
==/»*, г4 = itnV2 cos1' у — 2mV2, или rJ -=2mV2B cos" q> — 1), и окончательно:

ОТВЕТЫ
259
r* = 2m*cos2(p. Эта кривая изображена на рис. 137. 12*. хгуг =
— (у _|_ дJ (б2 — г/8). Указание. Из подобия треугольников BMlN1 и ВЛО
(рис. 138) имеем: jry- = g]f . TaK KaK OB — x-BN,. и ВХг = УЬ*-у\
У а
то получаем следующее уравнение —,- . - = , . , или
У б' — У8 х—уЬ' — у*
ху — (а + у) Уьг — у2, и окончательно: х?у* = (в + у)г Fг — </2). Способ
построения кривой (рис. 139) ясен из ее геометрического определения. На
<> 9
Ряс. 137.
Рис. 138.
чертеже изображен вид кркной для случая а < Ь. Кривые для случаев
о> Ъ и а = Ь вычертите самостоятельно. Весьма полезно убедиться в
У
Рис. 139.
справедливости полученных графиков путем исследования уравнения конхоиды
13*. у* =
U А
" ¦ — OSJ, откуда
х 4- Ф
= —т>-• Подставляя найденные значения в
а — х
АО —а, С
x*±jf
2у
составленную выше пропорцию, после элементар-
элементарных преобразований приходим к уравнению уг =
= .xs^—t—. Вид строфоиды указан на рис. 141,
из которого виден и способ построения кривой.
14*. х* = уг Bа — х). Указание. Из рис. 142 имеем:
ОР = Ух2 4- У*. ЕГР — ОЕ-ВЕ,
D
м,.
N, х
Рис. 140.
ОЕ '
cosq>

260
ОТВЕТЫ
Так как OP —BE, то
4 а2;/2
п окончательно'. л''=//2Bа— х). Кривая изображена на рис. 143. Из этого
чертика !cx:i и способ построения кривой. 15*. г = т -(- 2а cos ф. Укажите.
Примем гичку О за полюс, а полярную ось совместим с диаметром OU.
Из прямом jibuoro треугольника OBD (рис. 144) имеем: /• = 0.1:1,=
= fi,V/,-;-0?> — m-|-2a cos Ф Следовательно, искомое уравнение есть: /¦ — /?/-{-
4-2ясо.чф. Кривая дана на рис. 145, из которого ясен
и способ вычерчивании ьтон кривой. На чертеже изо-
изображен случай т<.2а. Кривые для случаен ;и = 2а и
т "> 2я построить самостоятельно. 18. 4dx -j- ,R2 — г2 _-. 0,
если ia ось Cbc принять линию центров, а ось Оу пронести че|:ез
середину отрезка, соединяющего центры окружностей. 19. Если
за полюс принять вершину прямого угла, а за полярную ось од-
/ г
Рис Ml.
Pi:c. 142.
Рис. 143.
Рис. 144.
пу из его сторон,тоуравнениегеометрическогоместабудетиметь видг=а sin 2ф (см.
задачу 2*). 20. Окружность. 21. г = —— SH1? . 22. а) 1хг + У2 — 2ах)а =
'J cos ф sm*q>
=m2 (д:2 + ,'/2); б) (дг2 + уУ= 4агхгу*. 23*. х = в(<—slnO. У—
= <зA—cos ^). Указание. Из рис. 146: х = ОР=
= OQ— PQ — MQ — MN = at — asint,y = PM=
Рис. 146.
— QN — QC — NC = а — а <"os t, где ^ — угол поворота окружности (считая
<>0 при повороте по часовой стрелке). 24. ^=yfcosa, ^ = v^sina д-.

ОТВЕТЫ 261
К стр. 68 — 72 (гл. III, ч. 1)
I. а) у = х + 5; б) у = Уз х + 5; в) у = — х + 5; г) у — 3. 2. У3х—
— Зу —9 = 0. 3. а) 1/ = *; б) у = — х;в) у = 0. 5. Ах — Зу — 12 = 0. 7.45°.
~ + -|-=1, i + A = _i, *__.| = i. II. 20 кв. ед. 12. 453/8 кв. ед.
13. а)а = — Ъ; б) а = — ^-~-; в) а—Ь. 15. х — </+1 =0. 16. 7х—2{/—
О
-20 = 0. 17. Зх +0-5 = 0. 18. («/22, »/п). 19. a) ?Ь б) 0; в) —; г) 0;
д) -?- ; е) —; ж) tg 9 = —7; з) tg9 = — ; н) tg fl =-j- (если рассматривать
каждую пару прямых в порядке их задания). 20. 90°. 21. 9х-\-у— 30 = 0,
х— 9г/ + 24 = 0. 22. 26°30'; 71°30'; 82°. S3. 1, УТ, У2, 135°, arc tg1/»
arctg1/,. 24. D, 1). 25. а) у = 2х; б) </ + Зх = 0; в) 2(/ = * и г/ = —2х.
26. а) </=_3; б) у = х + 5; в) </ = 4*+11; г) B — Уз ) а: — A+2У 3)
+ 1^3 = 0, или B + УЗ)*-A-2УЗ)«/ + 7 —4УЗ-=О; д) у + +
1=0. 27. 5а; + 25(/+ 1 = 0; л" + 5г/ — 5 = 0. 28. 5л: — \у — 16 = 0.
9. .« + 3^— 1=0. 30. 53.г + 202// — 0. 31. л+^ —6 = 0;
а;—(/ = 0. 32. Ах — Ъу— 17 = 0. 33. Зх — 2у — 7 = 0. 34. а; + «/ = 0.
35. 5// —9 = 0; 9л—18i/—8 = 0; 9л; — 3;у - 35 = 0. 36. л; — 7(/+10 = 0;
ж + 3 = 0; л: —г/+ 4 = 0; (—3, 1). 37. (/ + 2х — 2 = 0; х + 2у = 2; </ = л:.
38. л.- —// + 3 = 0; л + 2г/ — 4 = 0: 7л;—(/ + 7 = 0; ( —2/3> 7/3). 39*. Из
уравнений сторон треугольника находим координаты его вершин А C, 1),
В @, 4), С( — 1, 0). Определяем, далее, середину стороны ЛВ; координаты
этой точки равны (s/2, 5/2). Так как медианы треугольника пересекаются
и одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1 (считая от
вершины), то длн нахождения точки пересечения медиан пользуемся форму-
формулами деления отрезка в данном отношении; таким образом найдем точку
пересечения медиан B/3, 5/3). Теперь остается провести прямую через @, 0)
и B/2, 5/з). Для че1'° следует применить уравнение прямой, проходящей через
дне данные точки. Следовательно, окончательно имеем: -^—= -^—¦, или Ъх —
/з ^з
— 2г/ = 0. 40. Зх — 4i/ = 0. 41*. B, 0). Указание. Искомая точка является
точкой пересечения с данной прямой перпендикуляра, восстановленного к от-
отрезку, соединяющему данные точки, в его середине. 42. A, 1). 43. ("/„ '/а)-
44. х+у— 11=0;__Зл- — у— 16 = 0. 45. B^z2V\ 3). 47. х — У 3~«/+
+ 14 = 0.48.л + УЗ//-10= 0.50*.3, B»/„,-I'/»); 7. (-б'/.. _4«/§).
Указание. Приведя уравнение данных прямых к нормальному виду, полу-
получаем: 1s/17a;—*/,,(/—3 = 0 и — 4/5л; — •/,«/ — 7 = 0, откуда видим, что искомые
длины перпендикуляров равны соответственно 3 и 7. Так как cosa = — н
sina=—, где х и у суть координаты основания перпендикуляра р, опущен-
опущенного пз начала координат па прямую, и а—утл, образуемый перпенди-
перпендикуляром с осью Ох, то искомые координаты будут найдены из формул
к — рсоая,, y — psina. Значит, в нашем случаи коордшюты оснований бу-
дут: л- = 3.'5/„ = 21'/17; </=3-(-ь/17) = -1'/17; * = 7.(-*/,) = -5«/1;
^^7.(-»/3) = -4'/5. 51. 5, 2. 52. f 4, --г) и ( —i-, -I) 53*. Ъх-
— 4(/ — 25 = 0 и Зл — Ау + 5 = 0. Указание. Прежде всего очевидно, что

262
ОТВЕТЫ
задача имеет дм ответа, так как прямую параллельную данной прямой и
отстоящую от нее на расстоянии 3 единиц, можно провести как по одну,
так и по другую сторону от данной прямой.
В одном случае отклонение любой точки искомой прямой от данной
прямой будет равно —3, а в другом случае -(-3. Следовательно, подставляя
и формулу B9) (гл. III, § 15) координаты произвольной точки (х, у) искомой
прямой получим:
Зл: — Лу — 10
У у -f 4s
¦=±3.
Это и будут уравнения искомых прямых, так как хну являются текущими
координатами точки, лежащей на искомой прямой. Простые преобразования
приводят нас к ответу, данному выше. 54. Ъх-\- 12у — 37 = 0 и Ъх-{-\2у-\-
-{-41=0. 55*. |d|=7. Указание. Для определения искомого расстояния
следует на одной из прямых выбрать фиксированную точку и определить
расстояние от этой точки до другой прямой. В данной задаче удобно, на-
например, из уравнения первой прямой, положив у = 0, определить точку
E, 0). Тогда отклонение этой точки от второй прямой выразится числом
3+^° + 2р 0,3/5.
^ р__ 7
5х-]~12у— 49 = 0,
|=i. 57.
58*. 3*-4</-7 =
Указание. Уравнение искомой прямой берем в фор-
форме уравнения прямой, проходящей через данную точку E, 2) по направ-
направлению k: у — 2 = k(x—5). Таким образом, задача сводится к нахождению
углового коэффициента k. Так как искомая прямая должна проходить
на расстоянии 4 единиц от точки (—3, 1), то для определения k можно
воспользоваться формулой, выражающей отклонение данной точки от пря-
прямой. Для этого надо уравнение прямой привести к нормальному виду
и вместо текущих координат подставить координаты (—3, 1). Таким обра-
образом будем иметь: — =-+-4, откуда и найдем значения углового ко-
5/12. Подставляя эти значения в уравнение иско-
искомой прямой, мы найдем уравнения двух
прямых: Зл:— Ау — 7 = 0: Ьх-\-\2у —
— 49 = 0. 59. 7х — 6у— 19 = 0 и 9*4-
4-2(/ —5 = 0. 60*. 3*—З.у4-19 = О;
'Зх 4- 3(/ — 5 = 0. Указание. Биссектриса
есть геометрическое место точек, равно-
равноудаленных от сторон угла. Следова-
Следовательно, отклонения dl и dz любой точки
биссектрисы от сторон угла будут равны
но абсолютной величине. Для всех точек
биссектрисы углов, в которых лежат Ai
и Л2 (рис. 147), эти отклонения оди-
пакоиы и но величине, и по знаку, т. е.
координаты точек биссектрисы AtAt
удовлетворяют уравнению d,— ds = 0.
Для биссектрисы же смежных углов уравнение будет иметь вид d, -{- d2 = 0,
так как отклонения d, и d2 будут равны по абсолютной величине, но про-
противоположны по знаку. Следовательно, в нашем случае для искомых бис-
биссектрис получим уравнения:
3* 4- 4(/ — 9
эффициепта;
У
ч /
ч
Г'
\
Рис. И 7.
-'/.«¦
.--
—¦—
—9 , 12*4-9'/-
и,
или
Зх — ду -\- i9 = U ii Зл' 4" % — 13 = 0.

ОТВЕТЫ 263
Угловые коэффициенты 1 и —1 найденных прямых удовлетворяют условию
перпендикулярности. 61. Зл; — у -\- 55 = 0; Ъх -(- 1 5</ + 3 = 0. 62. х-\-у = 0.
63. A, —4) и Зу, —1у]. 64. х-{-Зу-\-7 = 0; Зх — у-\-9 = 0 и Зх —
— «/ — 3 = 0. 65. Зх 4-У—Н = 0 и х + 2у — 2 = °; * — 3</4-2 = 0 и х+
4-2«/— 14 = 0. 66. Прямая, перпендикулярная к прямой, соединяющей задан-
заданные ючки. 67. Прямая.
К стр. 99—105 (гл. IV, ч. 1)
I. а) (*4-2)г4-(# + 3J = 9; б) (х - 2J 4- (У + ЗJ = 25; в) (*_5)«4-
-\-(у — бK = 13. 2*. (х — 3J4" (У 4" 5J= 100. Указание. Уравнению окруж-
окружности (^ — а)г-\-(у—ЬJ = гг должны удовлетворять координаты данных
точек. Подставляя последовательно вмесю текущих координат координаты
этих точек, получим три уравнения относительно неизвестных величин а, Ь
и г2; решив эту систему, найдем искомое уравнение. 3*. В = 0, С=А,
D = — 6Л, Е==— АА, F — —\2А. Указание. Уравнение окружности радиуса 5
с центром в точке C, 2) может быть написано в виде (х — 3)а 4" (// — 2J =
-—=25, или, раскрывая скобки и перенося псе члены в левую часть уравне-
уравнения: х2-+-у — 6л; — 4«/— 12 = 0. Так как уравнение Ах*-\- Вху-(-Су*-{-
4- D* -\- Еу -\- F = 0 должно выражать эту же окружность, то коэффициенты
этго уравнения должны быть пропорциональны коэффициентам написанного
Вошс уравнения. 4*. а) B, —1), г = 2; б) (—5/4, »/4), г=5^ 2 ; в) C, 0),
C \ 3
0, r-J, f=T' Указание, а) Приведя данное уравнение к виду
(х — 2J 4- (У 4* 1 J == 4. заключаем, что координаты центра B, —1) н радиус
равен 2. б) Предварительно разделить уравнение па 2, а затем поступить
подобно тому, как это сделано в п. «а». 5. хг ¦}-уг — 2ах — 2ау-\-а* = 0.
6. х2 4" У2 — 6х = 0. 7. л8 4" У2 ~t* &У = 0- в. (х -{- 5)' 4" (У — ЗJ = 9 н
(л;4-5J4-(?/4-3J = 9- 9*- (*— 4J + (</ — 7)г = 9. Указание. Длина радиуса
равна расстоянию центра окружности о\ данной прямой. 10*. (х — я) (лг„ — а)-\~
-{-(у—Ь) («/„—й) = л2. Указание. Возьмем искомое уравнение касательной
в форме: у — yo = k(x—х0). Для того чтобы определить угловой коэффи-
коэффициент k касательной, дифференцируем уравнение окружности: 2{х — a)dx-\-
4- 2 (у — b) dy = 0, откуда -р = г, следовательно: fe=f-^J =
= -г ¦ Подставляя найденное значение коэффициента k в уравнение
касательной, приводя все члены уравнения к общему знаменателю и прибав-
прибавляя к левой части сумму (ха — а)г -{- (у0 — bf, а к правой — равную этой сумме
величину г2 (точка (х0, (/0) лежит на окружности, а потому координаты ее
удовлетворяют уравнению окружности), после элементарных преобразований
получим уравнение касательной: (х — а) (х0 — а)-\-(у — Ь) (</„ — Ь) = г2.
II. х(,х + у„у = гг. 12. Ах + 3«/ — 30 = 0. 13*. х — Зу — 10 = 0 и Ъх — у +
4-10 = 0. Указание. Уравнение касательной возьмем в форме хьх-{-уау= 10,
где (х0, у„) суть координаты точки касания. Значения этих координат найдем
из двух условий: 1) координаты (х0> у0) должны удовлетворять уравнению
окружности (точка касания лежит на окружности) и 2) точка (—5, —5) лежит
иа касательной, а потому ее координаты должны удовлетворять уравнению
касательной. Таким образом, получаем систему двух уравнений относительно
х0, у0: л;24-{/2=Ю. 5x0 4-5«/0 = — 10. Решив эту систему, найдем две пары
значений: хо=1, уо = —3 и хо = — 3, i/0=l. Подставляя эти значения

264
отвкты
в уравнение касательном, получим касательные: х—Зу—10 = 0 и Зл: — у-\-
+ 10 = 0. 14. x-\-2tj + 5=Q и 2х — llt/-f-25 = 0. 15*. а) 2х -f Зу ^ 13 = 0.
Указание. Координаты точки касания найдутся из двух условий: 1) эта точка
лежит на окружности и 2) угловые коэффициенты касательной и данной прямой
равны; б) 3,v — Лц + 20 = 0 и Зх-4-4г/ — 5— 0. 16*. d = 6. Указание. Длина (d)
касательной есть кате1 прямоугольного треугольника, вершины которого лежат:
1) в центре; окружности, 2) в данной точке А! и 3) в
точке касашм. Поэтому величина d~ определится как раз-
разность между квадратом гипотенузы (расстоянии между
центром окружности и данной точкой М) н кнадратом
радиуса окружности. Таким образом, будем иметь: d3 — -
==|G—2K + (8 —3)SJ— J4, откуда d = 6. 87. а) Окруж-
0..
ность (л: — ЗJ ¦ |- у2 = 9.б)Окружпость (х — 2аJ ¦
¦У
-4+;-=1; б) ?.-
2э 16 2о
У
9=1; В) 13
:4а".
;—¦ 1;
X
X2
г
Рис. 143.
ж) ^ ~l~is — ' • 19. а) Большая ось эллипса равна 10, а ма-
малая ось 8; F, C, 0); Fz (—3, 0); е = 0,6. б) Боль-
Большая ось эллипса равна 12, а малая ось 4;
F, @, 4У~2); F, @, — 4 ]/) (рис. 148), в = 2 Т' 2 .
О
20. а)
¦; г) 0,8. 21. — = у 1 — е2. 22.
-f- jz = 1. или
10
Ад ( а;4
малая или большая ось эллипса. 23.
3
= 1 в зависимости от того, лежит ли на оси Оу
(*-8);
64
Q\2 /у I ^\2
-4-
-4-(';~5) =1. 25. Ни одной; две; одну. 26. л: — 3(/+ 12 = 0. 27. E, —4).
28*. дс + (/—3 = 0 и х—5(/ — 9 = 0. Указание. Обозначим координаты
точки касания через хи (/,. Тогда уравнение касательной будет нмегь вид:
--L-^-M~i ^= 1. Таким образом, задача сводится к нахождению координат
6 о
точки касания. Так как касательнаи проходит через точку D, —1), то коор-
4*, У, . г,
дипаты л',, I/, должны удовлетворять уравнению -~—^—= 1. С другой сто-
А
роны, координаты хи (/, должны удовлетворять уравнению эллипса: -^- -f-
-U—1=1. Решая полученную систему уравнений относительно х„ у,, пахо-
О
дцм координаты точек касании B, 1) и B/3,— 5/з)- Подставляя найденные
значения коорчинат *,, (/, в уравнение касательной, получаем касательные
х -f у — 3 — 0 и х — Ъу — 9 = 0. 29. х -4- 3 = 0 и х — 6(/ -f 9 — 0. 30*. Зх —
— (/=t7 —0. Указание. Координаты точки касания можно определить из
условий: 1) они должны удовлетворять уравнению эллипса и 2) угловые
коэффициенты искомых касательных должны бьпь равны угловому коэффи-
даиной прямой. 31. х -J- у i 3 = 0. 32. х — = 12. 33. gQ + j^"- '»

ответы 2G5
,,2
или ТО г<Ул • ~ + V= ~3~" ' Ш"^80 '
v- ;j2
37. ' i—¦'•- — = 1. 38*. ox -|- 6(/—11=0. Указание. Если обозначим через ft,
угловой коэффициент искомой хор;ы, а через k, — угловой коэффициент
диаметра, соп'ря/кпмого хордам, имеющим направление ft,, то, как извесию,
5
угловые коэ.Тфипнедпы k, н к. Суду! связаны соотношением ftv = —-ру- .
Так как всякий дпамслр проходит через начало координат, то урлг>не::иг
р-1а.мет|>.ч, iiMiwmcio напран.тешк: к„, .можно предстлгтть о виде, у ~кх.
Вследсншг того, ччо диаметр должен проходить у
через ючку A, 1) (он сопряжен хордам, имею-
имеющим направление/г,, и следовательно, долж; и прохо-
проходить через середину искомой хорды), координаты
A, 1) должны удовлетворять урашк nr:io y = kjc,
откуда получаем: k,= 1 и k,—:. — 5/с. Следовательно,
уравнение искомом хорды будет: у — 1 = — 5;в (х—1),
или 5х -\- %у — ! 1 =^j 0. 39. 5л: — Ау — 14 = 0.
40.—\—¦ . 4f*. Концы диаметра симметричны от-
о
иосителыи) начала координат, т. е. координаты концов одинаковы по абсолют-
абсолютной величине, но противоположны по знаку. Поэтому, если коордипа1Ы
одного из концов диаметра обозначим через л-,, </,, то координаты другого
конца будут —х,, —(/,. Следовательно, уравнения касательных, проведенных
хх, . цу, , хх. уу. ,
в концах диаметра, будут иметь вид — г— -{--^-j-— 1 и —г" +^vr~~—1. от-
СО Ct и"
куда видим, что угловые коэффициенты_этих прямых равны. 42. у — rt Ъх.
43. 60=. 44. *, = '/«; А2 = -1; 4 \'\; -4= ¦ 45. 2У, 4 уТ. 46*. у—
= r!r. — х. Указание. Пусть y = k,x и г/ = /ггд: будут уравнения искомых
диаметров. Оба чиаметра располагаются симметрично относительно координатных
осей. Следовательно, k2 — — kv Поэтому &,&,, = — k\— j, откуда
ft,rr--| и /г2=: . 47. </ = i3x. 48. -^j-. 49*. Эллипс. Указание.
Стороны прямого угла принимаем за оси координат. Полагаем AM —а н
х /\ и
ВМ = Ь. Из рис. И9 мы имеем: — — sin MAN, -j- = cos MAN, откуда
x2 Ф
¦ \--~-j—.\, т. е. точка /И описывает эллипс. Если точка М совпадает с се-
я2 ' о
рединой отрезка АВ, то а = й, и мы имеем окружность: хг -\- у^ — а".
50. г = ~ . 51. aL---TF^l; б) 5-Й=1;вM-|! = 1;
г) -ye — "fg =1i Д) 75 ^l"^11 e) 5 ^"^=1' 52"
ось гиперболы равна 24, а мнимая ось 10; t\ A3, 0); F2 (— 13, 0); е^-гу .
б) Действительная ось гиперболы равна 6, а мнимая ось 8; /•', @, Б); t\ @, — и)
(ряс. 150); е = -)?-• 53. a) ecos^- = l; б) - = }-"е2- Г 54*. 5i/i:2x^0.

266
ОТВЕТЫ
Указание. Координаты точек пересечения диаметра с гиперболой найдутся из двух
условий: 1) эти точки лежат на гиперболе и 2) расстояния этих точек от центра
гиперболы равны У"§9. 55. г, = 6; гг= 14. 56. — — 4-=1. 57. х —у—2 = 0;
х — (/ + 2 = 0. 58. х — у—1—0; 9х + 5у — 23 = 0. 59. Ъх — 2«/±4 = 0.
62*. 1) Ъ. 2) Обозначая через (х, у) координаты произвольной точки гипер-
Рис. 150.
болы и через dl и dz отклонения этой точки от асимптот, будем иметь:
. __ Ьх — ау _ __ _. , л ., , I Ьгх2
_ bx + ai/
63а Л = ¦
а2 4-б3
с2
еа-1 '
86- ч-ть=и
= 0 и
- 1
fn—тг=1. 65. 2а;-»±1=0.
67.
Б8.
* — У — U И X — I
а также
= 0. 69, «/= i-о-х. 70.
ij^. 71. а) л2— 1/3 = 8;
U
Правая ветвь гиперболы хг — ^-=1.
б) „п — ¦^•==^; в) оН — 7Г—1-
20 D *bt> У о
73» х*—</2:^а2, если координаты заданных точек (а, 0) и (—а, 0).
74. тх + х*у = 2тх0. 75. а) г/2 = 16ж; б) уг = 8х; в)уг = —8х; т)х2=12у;
д) х* = 8</; е) л? = —8у; ж) г/2 = 6л: — 9; з)л2 = 6(/—9. 76. a) {y—bf =
= 2р(х-а); б) (»/-6J = -2р(л:-а); в) (л; - аJ = 2р (t/ - Ь); г) (х-аJ=:
= _2.о({/-Ь). 77. уг = —4^. 78. (jc + 2J = — 32 (у — 1). 79. 2р.
80*. Здг—у—11=0. Указание. Уравнение хорды напишем в виде: у—1 =
= k (х — 4). Уравнение диаметра, сопряженного хордам, имеющим направле-
ние k, есть $/ = —. Так как этот диаметр должен пройти через точку
3
D, 1), то будем иметь: 1 = — , откуда определяем k = 3. Таким образом,
получаем искомое уравнение хорды: у— 1 = 3(лг— 4) или Зх — у— 11=0.
81. 4*4-4 + 3 = 0. »2. у = ±4. 83. 2х—2^4-5 = 0 и 8*4-4^4-5=0.

отпеты 267
84.(9, бУУ) 85. х + у + 1=0 и Х~3(/ + 9=-,0. 8S. а) 2х - // + 2 --- 0;
б) х + </ + 4 = 1" 87. Парабола, фокус которой лежит в данной точке и
директрисой которой служит данная прямая.
К стр. 125—127 (гл. V, ч. 1)
I. а) (- 2, — 6); б) (- 2, 4); в) F, — 6); г) F, А) 2. A2, ~ 22); (- 12, 22).
3.C, -3); (-3, 3). 4. (-7, 5). 5. а) х = Х; у = ~ У; б) х------ х- у — — У.
В. х — Y; у=Х. 7. Х--= + 2, У = 0. 8. На угол в 135° или в 315й, Тогда
координаты точки М будут соответственно: Х = — У" 2, К = — ]/; х—
= -)-У~2, К = -(-V 2. 9. Уравнение не изменит своего вида. (О. ХК = — .
II. JK2 —У2 = 2. 12. Г = 4ЛЛ Вершина О, A, 1). Новые оси координат
имеют направления старых осей. 13. У =—ЗХ2. Вершина О, (•?-, -rS
Новые оси координат имеют направления старых осей. 14. XY =—'б.
Центр (—4, 2). Новые оси координат имеют направления старых осей.
15. а) К2 = —5"-^> "овое начало О, (-g-, —-н'); б) К2 = 4Х, новое начало
N \* 1 / AMP УУ \
О, (—4, 4). 16. и + 2л7) =Ш* 4Ж Г К0°РДинаты вершины.
4Ж
/ 4МР W2 )\f \ '
( 4УМ ' — 2УЙ ) ' ось симметРии параллельна оси Ох. 17. а) (х — IJ —
= 1(»-6); б) (х + 3J = -(</- 2); в) (у + 4)« = 2 (х + 2); г) ((/+1J=-
^ у(х-{-4). 18. а) 'Г ¦ -[- у2 = 1; эллипс с центром (—2, 0) и нолу-
осями 2 и 1; б) J—^—- -|- ,fi = 1; эллипс с центром B, 3) и, гюлу-
/ <: _ 4J у2
осями 2 у 2 и 4; в) =—-^—! ^- = 1; гипербола с центром D, 0), действи-
действительная полуось равна 4, мнимая 2; г) (у — ЗJ — (х — 1J = 8; равносторонняя
гипербола с центром A, 3), полуоси равны 2 У 2, действительная ось парал-
лельна оси ординат. 19. а) Xs — уг=\; б) — — ^-=1; в) уг=——}—х\
х2 и2 х2 цг 108
г) уд -f-^- — 1; д) -Q- + Ч-= 1; е) 13г/г ^тХ = 0. (Всюду а- и </ означаю!
1о 4 9 1 у 13
координаты в окончательных осях.) SO. Второго.
К стр. 150—151 (гл. VI, ч. 1)
I. —4; 8; —48; аЬ, — 2(х3 + !/3); (*—</) ((/— z)( z — А"). 2. а) х=1;
г/ = 0; 2^1; б) х = а; (/ = 1; z = — 1; н) х = 7/г, (/ = — 2fe; г = — 5^, где fe
произвольно; г) х = у~г = 0; д) jt = 1/5 (9 — 7г) // = '/» A+2г), г произ-
произвольно; е) Система несовместна. 3. 4 кв. ед. 4. Да, лежат. 5. х -f- 4(/ — 11 =. 0.
6. /г = •+- —- —— —
7. -1
Уг
3. Против часовой
стрелки. 9. a) cos (а + р); б) sip (а +-'Р); в) 0. SO. ACF°+2BDE — /1L:2 — CD2— FB\
II. a) A", —2, х,^=3; б) x1==2, ,v2 = -y; в) л^2.

268 ответы
К стр. 162—163 (гл. I, ч. 2)
2. Точка лежит: а) на оси Ох; б) на оси Оу; в) на плоскости уОг;
г) на плоскости хОг. 3. а) Относ, плоскости хОу: B, —3, 1)*, (а, Ь, —с);
относ, плоскости уОг: (—2, —3, —1); (—а, Ь, с); относ, плоскости хОг:
B 3, —1); (а, —Ь, с); б) относ, оси Ох: B, 3, 1); (а, —Ь, —с); отиос. оси
Оу: (_2, —3, 1); (—а, Ь, —с); относ, оси Ог: (—2, 3, —1); (—а, —о, с);
е) относ, начала координат: (—2, 3, 1); (—а, —6, —с). 4. 5 ( 0, 0, -у~) >
(| ) (f):(>()
5. 0-4 = V~50; йЛГ = 1/'34; dv=l/1; йг = 5. 6. d=3. 8*.г = 7/2. Указание.
Определяем сперва координаты центра_ сферы_как точки, равноудаленной от
данных точек. 9. A, 5/3, '/.)• '°- У^ 2 VU' 13= F. 3.2°U)- «¦ 5 A0, 0, "/,).
12. Относительно одной системы (—3, — 1, 3); относительно другой системы
C, 1, —3). 13. Не существует. 14. cosa = cos [3 = cos y=——. 15. cosa =
— L,; cos p = cos у =-гтц ¦ |6- cos a = =t 2/„ cos p — ^ 2;3, cos у = ч='/»-
17. cosa = cosp = cosY = ±1/3l/. «3- Л = П, cosa==-»,'„; cos_P = —2/n,
= -1?_11, cosp =
li5/_ y / — 47VlS, cos<ps —
^2/ V 10.22*. d= 13, cosa = =t'/is, i-cs р = ^4/„, cos y= = 12;'y. Указание.
Для определения направляющих косипусои прямой, проходящей через эти
точкн, переносим начало координат в точку Л, сохраняя неизменными на-
направления осей. Определяем координаты точки В относительно новой системы:
Х = 5 — 2 = 3 У = 1 — 5 = —4, Z = 11 + 1 = 12. Теперь легко нидеть, что
cosa = ±3/13> cosp = ^4/13, cosY^i12/,,. 23. d = b, cosu^-1^, coSp =
— + %, cosy = 0. 24. 60°. 25. 90°.
К стр. 193—194 (гл. II, ч. 2)
I. г = г, + г„, или х = х,+а, y = yl-\-b, г = г,+с. 2*. * =
= Xlc.os(x, Xl) +tJl cos (х. У,) + г, cos (х, г,), ^ = x,cos((/, лг,) +
-i-o! cos («Л (/,) + г, cos ((/, z,), 2 = at1cos(?, xOTbJ/iCostz, ;/,)-,'-г, cos (z, гг).
Указание. Ix + VJ+ kz = i,x, -f-i,(/, + к,г„ где i, j, к-три основных еди-
единичных вектора старой системы, a i,, j,, k, — единичные векторы новой
системы. 3. х — хг cos (x, xj + i/icosixt, у,) + г, cos (х, г,)-fa, y =
— x,cos(y, x,) + y,cos(y, {/,) + «, cos (у, г,) + Ь, ? = .<,cos(z, x,) +
... _ . __ r, + гг + г3 -<1+-»а + *» ¦
z,cos(z, г,) + с 5. г — g , х_—^ ,
тт
- 9" 2> Ю*. Указанке. Диагонали парал-
теюгоамма СС^ А + В и АВ — В - А. 13. 135°. 14.60°. 15*. У/жетние. Взять
в плоскости хОу дна единичных вектора а и Ь, составляющих с осью абсцисс
соответственн:> углы « и —Р, и составить ab. 16. Нельзя. 67*. Указание.
Рассмотрев векторное произведение двух единичных векторов, лежащих

ОТВЕТЫ
269
в плоскости хОу и составляющих с осью * соответственно углы а и
18. 3 Т/ТО. 19. '/2 /Т562. 20. -
Z, X,
У г Z, |
V 7 I
21. sinC=:—-L242'
, Г,:«
У
i Z, X,,
X, К„
22. 1.
26.
¦Y'i-
.20,.rk:_80. 29*.1(A--BC)(BDyD>J
27. 43/,0Э ~\ 109. 28. —58; — ^.} -*. —- v.,. ^ . — ¦- . „-у ^- — /c
Указание. Искомое расстояние будет представлять высоту параллеле-
параллелепипеда, основание которого есть параллелограмм, определяемый некта-
нектарами— сторона:!;: В и D, а третье ребро изображается вектором А — С.
| {ц А) * ^ С ' (<>0 Г 2
30*. — ' J ' —"—р:—. Указание. Искомое расстояние будет пред-
представлять высот;, параллелограмма, основание которого есть вектор С, а другая
сторона изображается вектором А — В.
К стр. 200 (гл. Ill, Ч. 2)
I. Xs + «/* + 2s + 2.v — 4у — 6?-2 = 0. 2. A, —2, 2), R = 4. 3. A, 0, 0)
/5 \ 1/-— a i a
\ ' 4 ' J ' 4 '
В. x*+(/2 + z2 —2х=0. 7. хг + (/2 —* + 1=0. 8. Эллипс. 9. Цилиндр
с образующими, параллельными оси Ог, и направляющей хг-\-уг—2х = 0,2 = 0.
К стр. 219—221 (гл. IV, ч. 2)
I. а) Нет; б) проходит; в) нет; г) проходит; д) нет. 2. a) cosa = 2',,
cosP = 3/,, cosy = 6/7, p = 5; б) cosa^21/,,, cosp" = 30/79, cosy^^—'",'791
P==-alln> B) cos a ^^—'/з, cos [3 = 2/3, cosyi=:—2/j, p = 7. 3. * = ^/ = г=10.
4. (±У, 1, 1). 5. 2* + 9(/ —6г —121=0. 6*. Указание. Уравнение ис-
искомой плоскости будет: Аг (х — 8) + В, ((/+ 7) +С, (г — 5) = 0, причем век-
вектор п]^!, В1} С,\ можно принять равным вектору АВ J6, —G, 7j, т. е.
Л, = 6, В, = — 6, 6\=7. Подставляя последние числа в уравнение пло-
плоскости, получим: 6.-е —6</ + 7г—125 = 0. 7. 10х +2(/+Иг — 148 = 0.
8. 2, —4, '/2. 9. х-\-у-\-г — 2 = 0. 10. а) Плоскость параллельна оси Ог;
б) плоскость параллельна плоскости уОг; в) плоскость проходит через ось Ох-
II. а) 3< + 2г —5 = 0; б) у— Зг = 0; в) у — 2 = 0. 12. а) Зх+5(у +
+ 7z-100 = 0; б) 15х +17^ — 422+ 238 = 0. 13. а) 45°; б) 60°; в) со5ф="а/2,-
14. а) 3* — 7//+ 5г = 0; б) Зх—7«/ + 5г—66 = 0; в) 3* — 7(/ + 5? — 39 = 0;
г) Зх — 7(/ + 5г — 9 = 0. 15. а) 5х + 7(/+ 3 = 0; б) </— г+7 = 0; в) 5х +
+ 7г — 46 = 0. 16. Зх + у + 2г — 23 = С. 17. 2х + Зу + г = 0. 18. а) E, —7, Ь);
б) (-10, 0, 2); в) C, -2, -5). 19. |d[=l. 20. @, -"/232, 0) и @, '5/12, 0).
21. 35(/+12г--^0 и Зг/— 4г = 0. 22. 20* — 4у — 5г+ 133 = 0 и 20* — 4/у—
— 5г —119=0. 23. а) 3; б) 5. 24*. 45х+ 184//-f-482г - 553 = 0 и
96*— \3у — 4г— 1106 = 0. Указание. Искомые плоскости являются гео-
геометрическими местами точек, равноудаленных от двух данных плоскостей.
Для точек одной из искомых плоскостей отклонения от данных плоскостей
одинаковы по абсолютной величине и по знаку, а для точек другой —
отклонения ранны по абсолютной величине, но имеют противоположные
За- + 2у -[- 6г — 35
~ -j/"9 + 4+~36 ~
21* —30.1/ —70г —237 3*+2//+6г—35 21лг—30(/—7()г—237
=— , а другой ---J-—¦--— . - = ,
У 441+900-;-4900 )/"9 + 4 + 36 1 ~~44!+900-j~490U
знаки. Поэтому уравнение одной плоскости будет:

270
ОТВЕТЫ
После элементарных преобразований получим уравнения, данные в ответе.
25.4х — 50у — 222 -f- 675 = 0 и 46х + 50</ + 122г + 375 = 0. 26. {ах—а) (х—а) -j-
х г 1
Cj -~" С) \2 — Cf ^^i О, ?#¦
х, г, 1
= 0. 28. г,</ — t)iZ = 0.
29. y—yl = 0. 30. Лл; -(- B</ — (А + В) г — 0, где А и В произвольны (но
не равны одновременно нулю). 31.
X
*1
Ч
У
Уг
1
]
1
= 0. 32.
в, сг
= 0.
33. x = 7k, y = — 2k, г = — 5k, где k произвольно. 34. х = -, у =
•, a z произвольно. 35. Нет точки пересечения. ЗБ. (г —r,)ab = 0;
— хг У — </, z — z,
m n p
/к, я, р,
= 0. 37. (г— г,)(гж— г,)а = 0;
' — xi У — У\ 2 — zi
¦« — xi уг — уу 22 — г,
т п р
= 0.
К стр. 236—240 (гл. V, ч. 2)
I. а) Прямая проходит через начало координат; б) прямая параллельна
оси Ог; в) прямая параллельна плоскости хОг; г) прямая параллельна оси Ох;
д) прямая совпадает с осью Оу; е) прямая перпендикулярна к оси Ох и
пересекает ее; ж) прямая лежит в плоскости уОг. 2*. ?> —3. Указание.
Координаты точки, в которой прямая пересекает ось Ог, будут @, 0, г,),
где г, — неизвестная координата. Эти координаты должны удовлетворять
обоим данным уравнениям, так как обе плоскости должны пересекать ось Ог
в одной и той же точке. Подставив значения @, 0, г,) вместо текущих коор-
координат в данные уравнения, получим два уравнения относительно г, и D:
2г, — 6 = 0, —2,4-0 = 0, откуда найдем: D=3. 3*. В — — 6;?>=— 27.
Указание. Так как прямая должна лежать в плоскости хОу, то она пере-
пересекает оси Ох и Оу. Координаты точек, в которых прямая пересекает эти
оси, соответственно будут: (лг,, 0, 0), @, у„ 0). Подставляя эти значения
в данные уравнения, получаем четыре уравнения относительно неизвестных
хи «/„ В и D: х, — 9 = 0, 3x,-f-D = 0, — 2(/, — 9 = 0, By1 + D = 0, откуда
находим: В = — 6, D = — 27. 4*. a) D=0, ?>,=0; б) А = 0, А. — О;
в)-?- = — ; f) C = D = 0, С,=О, = 0. Указание, в) Для того чтобы пря-
мая пересекла ось Оу, нужно, чтобы обе плоскости пересекали ось Оу
в одной и той же точке, т. е. чтобы координаты @, (/,, 0), где у,—неиз-
у,—неизвестная координата) удовлетворяли обоим уравнениям. Подставляя эти зна-
значения в уравнения прямой, получаем: By, -f- D =0, В1у1 -f- D, = 0, откуда
(/.= rj-, i/, = —~, и следовательно: -ц-= тг• *• Точка А лежит, а
точка В не лежит на дайной прямой. 7*. 4х -f- 5у — 32 = 0, 11дг -)- Юг — 78 = 0,
Ну —8з — 8 = 0. Указание. Плоскость, проектирующая прямую на коорди-
координатную плоскость хОу, должна удовлетворять двум условиям: 1) она
должна проходить через данную прямую и 2) она должна быть перпенди-
перпендикулярна к плоскости хОу, или, что то же, параллельна оси Ог. Исключим
из двух данных уравнений координату г, для чего умножим второе уравне-

отвьты
271
ние на 2 и сложим с первым. Таким образом, получим уравнение 4лс-J—
-j-5(/ — 32 = 0. Полученное уравнение является уравнением проектирующей
плоскости, так как: 1) оно является следствием двух данных уравнений,
а потому значения координат (х, у, г), удовлетворяющие двум данным
уравнениям, удовлетворяют и полученному уравнению, что свидетельствует
о том, что эта плоскость проходит через данную прямую, и 2) полученная
плоскость параллельна оси Ог (в уравнении отсутствует координата г). Уравне-
Уравнения плоскостей, проектирующих прямую на другие координатные плоскости,
найдутся аналогичным образом.
=06г~и~°' 9**
0,у — г—1 = 0. Указание. Уравнение
всякой плоскости, проходящей через данную прямую, можно написать
в виде х-\-у — z— \-\-Х(х — y-\-z-\-l) = 0, или (\-\-X) х-{-(I — X) у-\-
-\- (— 1 -\- X) z — (I — X) = 0. Из этих плоскостей нам нужно выбрать ту, кото-
которая проектирует нашу прямую на плоскость х-\-у -f-z = 0. Так как проекти-
проектирующая плоскость должна быть перпендикулярна к плоскости проекции, то X
должно удовлетворять условию (I -\-Х)-\ -\-A — Х)-1-}-(—1-\-Х)-1 =0, от-
откуда находим значение Х = —1. Следовательно, уравнение проектирующей
плоскости будет: г/ — гг — I = 0. Так как проекция прямой должна лежать на
плоскости, на которую прямая проектируется, т. е. на плоскости x-\-y-f-
4-2 = 0, то, присоединяя это уравнение к найденному уравнению проектирую-
проектирующий плоскости, получим уравнения проекции: х-\-у-\-z = Q, у — г—1=т0.
10. 2x-\-1y-\-z— 15 = 0, Ах — 9i/4- Юг — 9 = 0. II. a) cos<z = */u, cos Pz=
= — "/„, cos у = 3/13; б) cos a = 2/a, cos Р = — '/». cos у = — */,. 12. а) * ~*~ °
-5 __ у — 7 _ г ^ х_
1
_
_ у-4_г-12
0 ~ 3 '
3
13. cos (L,, L2) = г0;21, cos (Lv Lt) = I06/119> cos A3>
) — »s/51.
14. cos a =
о 2_
— ~~Узо"
96. cos ф = */21
18.
1
15. cosa=
1
cosp = -
.
cos y:
/зо:
2
J7. а) х — 2 = 0, у 4- 3 = 0;
— 2 _ ff-i-3 _ г-|-8
в)
23.
25.
1 ~ 3
не лежат. 1
II. у =22x4-71,
</ = —5г-"/4.
; = 2х — 3.
20.
22.
3 —2 5
а) лежит: б) лежат;
х_1 у_2 г~3
:_?±3 _
2
-3
х — а у ~ b г — с
ml rt, p,
а, — а Ь, — b с, — с
= 0,
2 it V"& =
л; — а у — Ь г — с
т, пг рг
a, — a b, — b с,— с
=0.
26. *.-"_..'/-»¦_
27.
up, — .аяг,
у — пг — Ь — (х — тг — а)
/т? п
т,
ге.
— nlz — bl _(x—/п,г —
(х — п) п —(у—Ь)т
1
1
— ах)пх — (у — bj nil
= 0,
= 0.

272
ОТВЕТЫ
L? = ?|
?L_? = ?_
28. (I, I, 1). 29. E, -I, 2). 30. sin ф == 3/133. 31. a) fL_
. л: — 1 _ tf—2 _ г — 3 x— 1 _ у— 2 _ г — 3
} 3 11 fT~; B) 0 ~ 0 ~~~Tj
32. 4* — y + 3z — 11 =0. 33. '/,/6. 34*. '/i, >A26. Указание. Следует про-
провести прямую III через точку, лежащую на прямой II, параллельно пря-
прямой I, затем составить уравнение плоскости, проходящей через прямые
II и 111, наконец, найти расстояние от точки прямой I до этой плоскости.
S5. р = — 5. 36. 2*-(-3i/-{-г + 5 = 0. 37. х — Зу — г — 10 = 0.
38. х — 3</ + 2г — 4 = 0. 39. х — 2у — 2г + 2 = 0. 40. х + у — 1=0.
+'4
41. *+'—У —
48 ~37~~
43.
45.
46.
х — а у — Ь г — с
/я,
т.
42.
= 0. 44.
х — а у — 6 г — с
а, — а Ь, — 6 с, — с
яг,
= 0.
3,л + С,р) (Лх + Sy 4- Сг + О) -
— (Лт 4- бя 4- Ср) (Л,х 4- Bty -|- С,г + ?>,) = 0.
а у — Ь г — с
п
я,
Р
Pi
= 0. 47.
х — а у — Ь г — с
= - =
,„ х — а у — Ь
48. = - =
Ъ — Ь, с — с, а ¦
Р
-о.
Q ^ ^
Р =
а2-
жено
с —
Pi
0
-а,
У
-а, Ь2
т
т =
с, а — <
—S
-ь,
-ь,
а — а
т,
0
ii 6-
«1
Л
г
; Ь
-Ь
-с,
— г
Р
-6,
«1
—С
= 0.
с— с
Pi
В
49. т(х-а) + п(у-Ь) + рB-с)~0.
К стр. 253 (гл. VI, ч. 2)
\ 2. f!+?=l. г==с.
3.
-J-20/хл;г + 2С/гуг-(- Fz2 = 0. 4. Конус, образованный вращением прямой
линии У — х вокруг оси Ох. 5. Конус с вершиной в начале координат и на-
направляющей Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Ох + 2Еу + Р = 0, 2=1. 6. Эллипсоид,
г"
полученный от вращения вокруг оси Ог эллипса хг -\- Т- = 1, у = 0. 7. Одпо-
полостный гиперболоид, полученный от вращения вокруг оси Ог гиперболы
х2 — 22=1, у = 0. 8. Двуполостный гиперболоид, полученный от вращения
вокруг оси Ох гиперболы х2 — у2 = 4, г = 0. 9. Параболоид, получен-
полученный вращением вокруг оси Ог параболы г = х2, у = 0. 10. 2г +
2
-f г" — ху — уг — гх — — = 0.