/
Text
1,
тв
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
МС
J
В.М.ЗОЛОТАРЕВ
ОДНОМЕРНЫЕ
УСТОЙЧИВЫЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
lЩJ
МОСНВА «НАУНА))
rЛАВНАЯ РЕДАRЦИЯ
ФИЗИНО-МА TEMA'l ИЧЕсноf1 J1ИТЕР А ТУРЫ
1983
22.17
3 81
УДК 519.2
. . . ,..
...... "'.. ......... J
3 о л о т а р е в В. М. Одномерные устойчивые распреде.rе
НИЯ. М.: Науна, rлавная редакция Физико математической лите
ратуры, 1983. 304 с.
Класс устойчивых распределений, в состав KOTOPOI'O входят
нормальное распределение и распределение Коши, является одним
из важнейших в теории вероятностей. В последние rоды начал ин
тенсивно расширяться Kpyr практических задач, в которых стали
естественным образом появляться устойчивые распределения (Ta
кие математические модели можно найти в технике" физике, aCTpo
номии и экономике).
Книrа является первой не .:олько в нашей стране, но и за рубе
жом, специально посвященнои систематическому изложению из
вестных к настоящему времени наиболее существенных сведений
о свойства и методах статистической обработки устойчивых pac
пределении. В нее включены также некоторые из практически ис
пользуемых :моделей, связанных с устойчивыми распределениями.
.ч.ля специалистов в области теории вероятностей и ее прило
жении, инженеров и студентов старших курсов вузов.
Илл. 6. Библ. 244 назв.
Владимир Михайлович Золотарев
ОДНОМЕРНЫЕ УСТОЙЧИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
(С е р и я «Теория вероятностей и математичесиая статистина))
Редаиторы В. В. Сенатов, М. М. rоря'Чая
Техничесиий редантор В. Н. Нондапова
I\орреиторы С. Н. Мапарова, А. л. Ипатова
ИВ М 12116
Сдано в набор 13.01.83. Подписано R печатИ 05.05.83. Формат 84X1081/8 .
БУМ[trа тип. М 1. Обыиновенная новая rарнитура. Высоиая печать.
Условн. печ. л. 15,96. УЧ. изд. л. 17,78. Тираж 5400 эиз. 3аиаз NII 2399.
Цена 2 р. 40 и.
Издательство «}Iауиа»
rлавная редаRllИЯ физиио математичесиой литературы
117071, Моснва, B 71, Ленинсиий проспеит, 15
2 я типоrрафия издательства «Наунз»
121099, Моснва, r 99, ШуБИНСRИЙ пер., 10
I \C ' И
':::') здательство «HaYKa)
r.лавная: редаf\ Иff
физино математичеСf\ОЙ
литературы, 1983
3 1702060000 086
0[,3 (02) 3 43 83
r лава 3. Специальные свойства законов класса . . 2()8
3.1. Понятие срезки случайной величины . . . . 211
3.2. Случайные величины У (а, 8) и Z (а, р). Теоремы
эквивалентности . . . . . . . . . . . .. 215
:!( 3.3. Случайные величины У (а, 8) и Z (а, р). Теоремы
умножения и деления . . . . . . . . . . . . .. 223
3.4. Свойства крайних cTporo устойчивых распределений 230
3.5. М безrраничная делимость распределений величин
у (а, 8) и Z (а, р) . . . . . . . . . . . . . .. 236
3.6. Лоrарифмические моменты случайных величин
у (а, 8) и Z (а, р) . . . . . . . . . . . . . .. 242
оrЛАВЛЕНИЕ J
Предисловие .
Введение
..... ...
r лава 1. Примеры появления устойчивых законов в при-
ложениях . . . . .. ..........
1.1. М одель точечных источников влияния · · · · · ·
1.2. Устойчивые законы в задачах радиотехники и элек
тропики . . . . . . . . . · · · · · · · · · · ·
f
r лава 2. Аналитические свойства распределений семейства 6
2.1. Элементарные свойства устойчивых законов · . .
2.2. Представление устойчивых законов интеrралами
2.3. 3анон двойственности в классе cTporo устойчивых
распределений. . . . . . . . · · · . . . · . .
2.4. Аналитическая структура устойчивых распределе
ний и их представление сходящимися рядами . .
2.5. Асимптотические разложения устойчивых распре
делениЙ . . . . . . . . . · . . . . . · .
2.6. Интеrральные преобразования устойчивых рас..
пределений . . . . . . . . . . . . · · . .
2.7. Одuовершинность устоiiчивых распределений. Вид
ПЛО'l1Iостей . . . . . . . . . . . . . · . .
2.8. Устойчивые распределения как реПIения интеrраль..
ных, интеrро дифференциальных и дифференциаль..
ных уравнений . . . . . . . . . . . · . . . . .
2.9. УстоЙчивые законы как функции параметров . .
2.1 о. Плотности устойчивых распределений как класс
специальных функций. . . . . . . . . . .
J
5
9
37
44
62
70
70
77
99
106
113
130
147
177
192
200
1
,
4
r дава
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
(jrJIАВЛ НИ
4. ОцеННII параметров устойчивых распределений
Сведения ВСПОМОI'ательноrо характера . . . .
Оценки параметров распределениЙ класса .
Оценки па ра:метров распределениЙ ср:меЙства ;
па раметры (х, , л . . . . . . . . .
Оценки параметра l' . . . . . . . .
Обсуждение оценок . . . .
Примечания .
Литература .
\.
........... .
..... ....
246
248
254
I ,
[.
.'.,
"
25Н
271
275
ПРЕДИСЛОВИЕ
\=
t
282
291
Свою первую книrу я начну словами блаrодарности и
rлубокоrо уважения моему отцу, Михаилу Ивановичу 30ЛО
тареву, нся жизнь KOToporo связана с Советской Арм:ией
с м:омента ее образования. Ему посвящается эта MOHorpa
фил.
С MO feHTa появления в книrе Подя Леви «Саlспl des
рl'оЬаЬiliLеs», изданной в 1925 r., понятия устойчивоrо
распределения прошло более пятидесяти лет. С тех пор
наIIIИ знания о свойствах этих за:м:ечательных вероятност
ных законов настолько обоrатились, что смоrли бы COCTa
вить содерiнание нескольких моноrрафий. Однако ни oд
ной из них, специально посвященной устойчивым законам,
пока не появилось. Мноrочисленные и разнообразные свя
занные с ни:ми результаты рассеяны по журнальным CTaTЬ
Я I или, в лучшем случае, входят в качестве вспомоrатель
ных параrрафов или rлав в состав книr, посвященных
друrим разделам теории вероятностей. Так, например,
сведения о предельных теоремах для сумм независимых
случайных величин, коrда предельными распределениями
являются устойчивые законы, можно найти в известных
моноrрафиях Б. В. rнеденко и А. Н. Rолмоrорова [21],
В. Феллера [89], И. А. Ибраrимова и Ю. В. Линника [39]
и В. В. Петрова [72]. Основная часть результатов, касаю
щихся характеризации устойчивых законов, вошла в co
став книrиА. М.Каrана,Ю.В. ЛинникаиС. Р. Рао[43].
Ряд фактов, отрал ающих аналитические свойства yc
тойчивых законов, содержится в упоминавшихся :MOHO
rрафиях В. Феллера, И. А. Ибраrимова и Ю. В. Линника,
в книrе Е. Лукача [61], а также в хорошей обзорной статье
Д. Холта и Е. Нроу [95]. Некоторые свойства однородных
устойчивых процессов снезависимыми приращениями
ВКЛlочены в книrу А. В. Скорохода [80].
3а всем тем эти сведения об устойчивых законах носят
несистеl\'lатизированный отрывочный характер и не поз
воляют составить достаточно полноrо представления о co
временном уровне знаний в том или ином направлении.
6
wrf
'. , '"
" ;
ПРЕДИСЛОВИЕ
7
ПРЕДИСЛОВИЕ
По видимому, это объясняется и до известной степени оп..
равдывается тем, что устойчивые заRОНЫ долrое время,
за реДRИМИ исключеНИЯ:l\1И, не находили себе применения.
Ситуация, однако, изменилась в llIестидесятых rодах пос
ле появления серии работ Б. Мандельброта и ero после
дователей, наметивших использование устойчивых за
ROHOB в HeRoTopbIX экономических моделях. И сейчас 'сть
основания думать, что в дальнейшем роль этих законов
в тех разделах экономики, социолоrии и биолоrии, rде
появились распределения I ипфа Парето, будет возрас
тать. Что, понятно, потребует систематизаI ИИ и более
детальноrо изло)нения известныIx фактов.
В порядке предварительной классификат ии эти факты
MOiHHO, на наПI взrляд, разнести по слеДУIОЩИМ четырем
rруппам:
1. Предельные теоремы для сумм независимых (или
специальным образом зависимых) случайных величин и
различные их уточнения, такие, как оценки скорости cxo
димости К предельным устойчивым распределениям в раз...
личных метриках, асимптотичеСRие разложения, большие
уклонения и т. Д., а также свойства устойчивых процес
сов снезависимыми приращениями.
2. Характеризация устойчивых распределений.
3. Аналитические свойства устойчивых распределений.
4. Статистические проблемы, связанные с устойчивыми
распределениями (оценки параметров, задающих ЭТII рас..
пределения, задачи проверки !'ипотез и Т. п.).
R настояще:му времени по тематике первых трех rрупп
наRОПИЛОСЬ уже довольно большое число рвзультатов,
позволяющих rоворить о необходимости их систематиче...
cKoro изложения.
Но реализация такой проrраммы потребовала бы объе...
ма, в три четыре раза превышающеrо объем настоящей
книrи, что HaMHoro превышает мои возможности. Это об
стоятельство побудило меня поставить перед собой более
СRрОМНУЮ задачу выделить для систематическоrо из
ложения лишь одну из rрупп результатов.
Выбор, в качестве первоочередной, третьей rруппы
связан с дву я соображениями. Во первых, материал, сю
да относящиися, уже достаточно устоялся, и приток новых
фактов в настоящее время невелик, чеrо никак, например,
нельзя сказать о первой rруппе. BO BTOpЫX, я надеюсь,
что систематичеСRое изложение аналитических свойств
одномерных устойчивых законов стимулирует аналоrич
u '1
вые исследования в отношении мноrомерных устоичивых
законов, о свойствах ROTOpblX нам известно очень мало.
Помимо введения и второй и третьей rлав, содержащих
основную массу сведений об аналитичеСRИХ свойствах yc
тойчивых законов, в книrу Вl\лючены также примеры по
явления устойчивых распределений в ПрИRладных задачах
(rл. 1) и rлава, связанная с проблемой статистической
оценки параметров, определяющих устойчивые законы.
Однако включение этой rлавы диктовалось не столько же
ланием отразить в KaKOM TO объеме материал четвертой
rруппы, СКОЛЬRО продемонстрировать возможность ис
пользования аналитических свойств устойчивых распре
делений при решении статистических проблем.
CTPYRTypa Rниrи такова, что связанными между собой
являются лишь введение и вторая и третья rлавы. Первая
rлава не является необходимой для понимания содерл а
ния остальноrо :материала, а четвертая rлава использует
сведения rл. 2 и 3 лишь в минимальной степени.
Хотя при подrотовке материала основных rлав КНИI'И
ставилась задача возмо)нно полнее учесть известные pe
зультаты, не исключено, что какие то из них случайно
выпали из поля зрения автора.
То же самое можно сказать о первых трех разделах соб
ранной в Rонце книrи литературы. Четвертый раздел ли
тературы, посвященный предельным теоремам, связан
ным с устойчивыми заRонами, собирался лишь для перво
начальной ориентации читателя и поэтому на достаточную
полноту не претендует.
Сведения историческоrо и приоритетноrо характера
в основном тексте сведены к минимуму и отнесены в раз
дел «П римечания» .
Материал введения и второй и третьей rлав является
в Rниrе основным. Часть ero содерi-КИТ новые результаты,
друrая же часть собранноrо материала подверrлась в
процессе подrотовки существенной переработке как в OT
НОIпении формулировок теорем, так и их ДОRазательств.
Характерной особенностью изложения является то,
что для описания свойств устойчивых законов использо...
вался не один, а HeCKOJIbKO формаJIЬНО различных видов
записи соответствующих этим заRонам характеристиче
ских функций. Дело в том, что единой формы записи, COOT
ветствующей наиболее простым формулировкам излаrае
мых свойств устойчивых заКОIIОВ, просто не существует.
Использование различных ц)орм записи характеристиче
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
(
ских функций позволяет все непринципиальные сло,нности
формулировок сосредоточить в формулах перехода от oд
ной формы R друrоi1.
В моей работе я пользовался советами и разносторон
ней помощью моих друзей и коллеr, среди которых в пер
вую очередь, следует назвать В. В. Сенатов а и И. С. Ши
raHoBa. Познакомился с книrой и высказал ряд резон
ных соображений, способствовавших ее улучшению,
И. А. Ибраrимов. Ценные советы по некоторым чаСТЯ1\f
rлавы 1 я получил от Ю. Б. Синдлера и Л. А. Халфина,
а по отдельным вопросам rлавы 2 от 11. В. OCTpoBcKoro.
Материал 4 rлавы с большой пользой для ее содерlI ания
обсуждался с Э. В. Хмаладзе и д. М. Чибисовым. Н. I\a
линускайте помоrла пополнить список цитируемой лите
ратуры.
Неоценимо внимание профессора Мак НаЛJlоха из l"o
сударственноrо университета Охайо, снабдившеrо меня
копиями нескольких работ из малодоступных у нас aMe
ринанских изданий.
Подrотовке рукописи по своему способствовали
r. д. Смычникова и Л. Л. Петрова.
Всем ИМ я приношу здесь свою искреннюю блаrодар
ность.
ВВЕДЕНИЕ
Москва, 1981 r.
В. М. Золотарев
В.1. В теории вероятностей семейство устойчивых pac
пределений, несмотря на ближайшие родственные связи
с нормальным законом, никоrда не пользовалось большим
интересом математиков. Ро,кденные талантом Поля Леви
и получившие от Hero свое имя, законы этоrо семейства
привлекали: к себе умеренное внимание ведущих специали
стов, хотя были и энтузиасты, среди которых в первую
очередь, надо назвать нашеrо замечательноrо математика
Александра Яковлевича Хинчина. Сдержанность в OTHO
шении устойчивых законов, по видимому, объясняется
тем, что долrое время они не находили себе никакоrо при
менения в приложениях. Впрочем, одно исключение
здесь все ,не было. В 1919 rоду, за несколько лет до появле
ния моноrрафии Леви, rде он ввел понятие устойчивоrо
закона, датский астроном Хольцмарк опубликовал рабо
ту (139], в которой была найдена вероятностная законо
мерность, которой подчиняются случайные фJlуктуации
rравитационноrо поля звезд в пространстве при некоторых
естественных преДПОЛОiкениях относительно их расположе
ния и :м:асс. Оказалось, что трехмерное преобразование
Фурье плотности р (х) этоrо закона распределения вероят--
ностей имеет очень простой вид:
ехр {i (t, х)} Р (х) dx === ехр ( л I t 13/2), t Е R3,
НЗ
rде л некоторая ПОЛОil ительная постоянная, величина
которой обуславливается физическими характеристиками
рассматриваемоrо объекта.
Нак вьrяснилось MHoro позже (вначале работа не при
ВJ1екла к себе внимания математиков), распределение,
найденное Хольцмарком и носящее теперь ero имя, OTHO
сится К числу сферически СИМlVIетричпых устойчивых за
конов с параl\1:етром а == 3/2.
Наlпе время отмечено резким повышением интереса
к устойчивым законам в связи с их появлением в некоторых
социаЛЬНО ЭRономических моделях.
10
ВВЕДЕНИЕ
\
:.
ВВЕДЕНИЕ
11
Возвращаясь к предистории появления устойчивых за
конов, надо сказать, что их создание Леви не происходило
на пустом месте. Еще за сто лет до Hero сначала Пуассон
а потом Коши обратили внимание на распределение
ПЛОТНОСтью
Рл (х) ==:: А lPl (ХА 1) ==:: л: (х 2 л 2 ) ' А> О, Х Е R\
Чurорое обладает тем свойством, что
РЛ1 * Р'Л z == р'Л, (*)
тде л однозначно определяетсн значениями Лl и Л 2 . I\оши,
интересуясь в рамках своих статистических исследований,
КОI'да ошибка отдельноrо паБЛlодения мол ет оказаться
сравнимой со средней ошибкой в серии большоrо числа He
зависимых наблюдений, обнаРУiI ИЛ, что такая ситуация
будет иметь место, если ошибки наблюдений подчинены
распределению вероятностей с плотностью р'Л. Плотность
р'Л входит В состав множества функций {Аа)} (со значе
ние а == 1), преобразования Фурье которых имеют про
стои вид:
\ I Понятие устойчивых распределений полностью сложи
лось к 1937 rоду с появлением моноrрафии Леви [58] и
моноrрафии Хинчина [92]. Тотда же стало понятно, что,
за несколькими исключениями, устойчивые законы не
имеют явных выражений плотности или функции распре
деления. Поэтому встал вопрос о косвенном исследовании
аналитических свойств устойчивых распределений. За
прошедшие rоды этой проблеме были посвящены в общей
t;ЛОЖНОСТИ десятки исследований. В ходе накопления зна..
пий об аналитических свойствах устойчивых распределе--
ний, образующих четырехпараметрическое семейство
функций, выяснилось, что сложность исследования той
или иной rруппы свойств в большой степени зависит от
тото, насколько удачно выбрана система параметров.
Запись аналитических соотношений между устойчивыми
распределениями и их доказательство :MorYT быть, таким
образом, проще или сложнее в зависимости от тото, какую
систему параметризации мы используем. Это обстоятель
ство делает не только допустимым, НО 11 желательным упо
требление на равных правах нескольких систем параметри--
зации с тем, чтобы выбирать в каждой конкретной
ситуации ту из них, которая обеспечивает наименьшую
сложность в формулировках и доказательствах. При таком
подходе мы освобождаемся от тех дополнительных услож--
нений, которые при разумно выбранной системе парамет--
ров останутся в стороне и будут сконцентрированы в фор--
мулах перехода от одной системы параметров к друrой.
В.2. Без преувеличения можно сказать, что COBpeMeH
ная теория вероятностей обрела свою самостоятельность,
авторитет важной для приложений математической дис--
циплины И большую часть арсенала своих методов в ходе
решения проблемы аппроксимации распределений сумм
незаВИСIIМЫХ случайных величин. Относящиеся сюда ре--
зультаты, rруппирующиеся вокрут центральной предель
ной теоремы, сложились в наше время в большую и раз...
ветвленную теорию. С созданием этой теории, которая
была завершена в общих чертах лишь в тридцатые тоды
Hamero века И потребовала, в общей сложности, более
полутора столетий усилий нескольких поколений мате--
матиков, связаны такие яркие имена, как Лаплас, raycc,
Пуассон, Чебышев, Ляпунов, Марков, Леви, Хинчин,
Rолмоrоров, rнеденко. Ставшая в наше время уже клас--
сической теория предельных теорем для сумм независимых
случацных величин продолжает питать своими идеями
ехр( л Itl a ), а>О, л>О. (**)
:Коши [50] было известно, что каrl\дая из функций f a) об--
ладает свойством (*), но выделить из их числа неотрица
тельные функции (каждая из таких фУНRЦИЙ является,
очевидно, плотностью некоторото распределения вероят
) (1)
ностеи за исключением f'Л == Р'Л он не смот. Д оказать
(а) ,
что f'Л / О в случае О < а < 1, удалось только в начале
нашеrо столетия известному BeHrepcKoMY :м:атематику
Пойа в.1. Им: же было доказано, что среди функций f a)
имеется только одна, которая представляет собой плот
ность распределения с конечной дисперсией. fI COOTBeT
ствует ей значение а == 2, т. е. такой функцией является
плотность несмещенноrо нормальноrо закона. То, что ФУIIК
j (a)
ци! 'л являются плотностями вероятностных распределе
нии ЛИIПЬ при О < а -< 2, было установлено в полном
объе е Леви в ето первой моноrрафии [57]. Долrое вре IЯ
устоичивые распределения с характеристическими функ
I ИЯМИ вида (**) называли законами :КОНIИ. Потом, к co
жалению, эта традиция уrасла и распределения такото ти
па, за исключением Р'Л, стали называть ПРОGТО симмет
ричными.
12
ВВЕДЕНИЕ
мноrие новые разделы теории вероятностей, среди которых
MOrHHO назвать теорию цепей Маркова, теорию стационар
HЫ процессов, теорию мартинrалов, теорию распределе
нии на rруппах и т. Д.
Фундаментальный результат теории суммирования He
зависимых случайных величин, RОТОРЫЙ подвеJI черту ПОД
первым этапом исследований, был получен Хинчиным
[92]. Состоял он в следующем.
Рассмотрим последовательность серий независимых
(в сериях) случайных величин {X nj , j === 1, 2, . . ., k n },
п === 1, 2, . . ., и образуем суммы
Zn === Х n1 + · · · + X nkn Аn, (В.1)
центрированные некоторыми числами Аn. Предполаrается,
что слаrаемые в суммах равномерно бесконечно малы, т. е.
для каждоrо 8 > О
lim шах {Р (1 Х n ; I > 8): j === 1, . · . , k 11 } === о. (В.2)
n x>
Обозначим через F n, F n} функции распределения COOTBeT
ственно случайных величин Zn, X nj И через @J множе
ство всех функций распределения G, которые MorYT быть
слабыми пределами функций F n при п 00.
TeopeAt,a А. Фун,пция распределения G принадлежит
7'it Ш mozaa и толь7'itо mozaa, 7'itozaa соответствующая ей
хара7'itтеристичеС1'i,ая фун,7'itция g может быть заnисан,а
в следующей форме:
В (t) ==- ехр {иа bt 2 + (e itx 1 it sin х) dH (х)} , (В.З)
х*о
аде а, Ь :> о в..,ещ,ествеН/IIJЬLе числа и фУ1--tкция Н (х), oпpe
деленная н,а всеи оси х, за исплючение.м точпи х == о, ие
убывает на полуосях х < О, х > О, стремится 1'i, пулю
при I х I 00 и удовлетворяет уС,ловию
x 2 dH (х) < ОС. (В .4)
O<l x l<l
Представление (В.З) называют канонической формой
записи характеристической функции g, а функцию Н
спеRтральной функцией безrранично делимоrо распреде
ленияlGв.2.
ВТОРЫА1 важным достижением теории стал следующий
результат, полученный rнеденко [20].
\
\
ВВВДВIDПI
{3
\ 080ввачим
"
.\
k n
а n (у) === h Е (Хn;I (1 Х n) I < у)),
;==1
rде 1 (А) индикатор события А, у фиксированное
положительное число такое, что y, у являются точками
непрерывности функции Н, и
k n
a == h D (XnjI:(IX nj 1<8)), 8 > О.
'==1
Teope:fta Б. Пусть G фун,пция распределения из
ласса @}, характеристичеспая фунпция поторой в 1'i,aHO
J-IJuчеспой форме (В.З) задается тройпой а, Ь и Н. Выберем
в суммах (В.1) цен,трирующие nостоян,н,ыle
А п === а п (у) а и dH (и) + и ldH (и).
lиl<y 1 1L i>Y
д ЛЯ тozo чтобы фуппции расnреде.1ен,ия F n слабо схо..
дились п G при n ----+ 00, необходимо и достаточно, что6ь1,
1. В паждой точ7'itе н,еnрерывиости х фун,7'itции Н
k n
lim L (Fnj (х) + + sign х) === Н (х). (В.5)
n x> ..r
,,::=:1
2. lim lim sup a === lim lim inf a === 2Ь.
e o n oo е--+о n :)o
Доказательства теорем А и Б (возможно сфОРМУЛИРОJ
ванных иначе) можно найти в любом солидном курсе
теории вероятностей. Например, в [89] или же в xo
рото известной моноrрафии [21], специально посвящен
ной проблематике предельных аппроксимаций распреде
лений сумм независимых случайных величин.
Наиболее простой вариант схемы (В.1) последова
тельность линейно нормированных сумм независимых и
ОДЦНЦJ{ОВО распределенных случайных величин
Zn == (Х 1 +. . . +Xn)B l Аn, n == 1,2,. . ., (В.6)
rде 8 п > О и А п вещественные постоянные.
Для 'foro чтобы в схеме (В.б) ВЫПQДIfЯ.ц:ось условие
(:,3.2)1 до r rОЧIJО, чтобы /
в п ----+ 00 при п ----+ ")О'
(13. 7)
14
ВВЕДЕНИЕ
ОRазывается, что это свойство имеет место Rаждый раз
Rоrда фУНRЦИИ распределения F n (х) == Р (Zn < х) сла
бо схо...дятся R невырожденному распределению G.
Деиствительно, пусть свойство (В.7) не имеет места
Тоrда, очевидно, найдется такая подпоследовательност
пk --+ 00, дЛЯ RОТОРОЙ Bnk == О (1). Из сходимости рn --+ G
следует, что для Rаждоrо t из любоrо оrраниченноrо интер
вала
I f (t/B nk ) Ink == [!} (е) 1(1 + о (1)) при k --+ 00,
rде f, 9 хараRтеристичеСRие ФУНRЦИИ распределений
F (х) == Р (Х 1 < х) и G (х). Следовательно, для Rаждоrо
Достаточно малоrо значения t
If (е) I == I 9 (fB nk ) , 1 / nk (1 + о (1)).
" )
Но это соотношение возможно лишь в том случае, Rоrда
!! (t) I == 1. Это в свою очередь, означает, что r g (t) I ==
=== 1, т. е. распределение G вырожденное вопреки пред
положению.
Анализ предельноrо поведения распределений F
в схеме (В.6), проводившийся (при сильных оrраничения
на распределении слаrаемых) в работах Лапласа, raycca
на рубеже восемнадцатоrо и девятнадцатоrо столетий, при
вел R появлению первоrо и, как оказалось впоследствии
наиболее важноrо в теории вероятностей и ее приложе
ниях распределения нормальноrо распределения (ero
иноrда называют заRОНОМ raycca):
х
Фа. G (х) == (2na2) 1/2 ехр ( 2 2 (t а)2) dt.
oo
После Toro RaR сто лет спустя усилиями Ляпунова и
MapRoBa (использовавших совершенно различные методы)
была ДОRазана в очень широкой TpaRToBRe центральная
предельная теорема, внимание специалистов моrло пере
RЛЮЧИТЬСЯ... на анализ Toro мноrообразия предельных pac
пределении, RO...Topoe связано со схемой (В.6) и ее обобще
ниями. Первыи принципиально новый шаr в этом направ
лении был сделан Леви. 3HaRoMcTBO с этим результатом
и ero последующ м развитием мы начнем с формальнрrо
определения устоичивых законов, изучению Свойств ното--
рых будет отдано далее все наше внимание.
\
ВВЕДЕНИЕ
15
о п р е Д е л е н И е. Устойчивой называется каждая
функция распределения G, которая может появиться в
схеме (Б.б) в качестве слабоrо предела функций распреде
ления F n при п ---+ 00.
Множество всех таких функций G называется ceMeй
ством устойчuвыlx за1i,оиов распределения и обозначается
через е.
ПОСRОЛЬКУ схема (B.G) частный случай схемы (В.1),
семейство устойчивых законов является частью множест
ва безrранично делимых законов распределений.
Существует MHoro различных критериев принадлеж
ности фУНRЦИИ распределения R семейству е, и Rаждый
из них при желании можно брать в Rачестве исходноrо оп
ределения устойчивых заRОНОВ. IIиже будут рассмотрены
некоторые из них. Мы начнем со следующеrо, RОТОрЫЙ,
в силу сложившейся традиции, особенно часто использует
ся в Rачестве определения. ТаRая традиция берет свое
начало с работ Леви [58] и Хинчина [92].
Еритерuи 1. Фуп1i,ЦUЯ распределения G принадлежит
1i, семейству е mozaa и только mozaa, Kozaa она обладает
следующим свойством.
Д ля любых положительных чисел Ь 1 и Ь 2 найдутся пo
ложuтелъное Ь и вещественное а ma1i,ue, что
G ( :1 ) * G ( :2 ) == G ( х а )
(В .8)
(ДОRазательство см. в разделе В.4).
В первой моноrрафии Леви [57] в Rачестве определе
ния устойчивых законов использовалось не равенство
(Б .8), а более оrраничительное соотношение
G ( :J *G( :J == G(+),
(В.9 )
соответствовавшее лишь неRОТОрОЙ части Bcero семей..
ства . Несколькими rодами позже во второй своей MOHO
rрафии [58] Леви исходил уже из определения (В.8),
но называл при этом законы дополнительной части е; '" ,
Rвазиустойчивыми. R сожалению, этот термин не прижил
ся в литературе, возможно по той причине, что естествен.:.
ности выделения Rласса из е подавляющая часть
специалистов не чувствовала в плане рассматривавшихся
ими задач. XapaRTepHblM исключением здесь ОRазался
Феллер. Следуя терминолоrии ero Rниrи [89], мы будем
16
/
ВВЕДЕНИЕ
в дальнейшем называть распределения, входящие в состав
, строео устойчивь ми за:конами распределения. I
Если в схеме (В.6) очертить ситуацию, которая при
водит к предельным распределениям из класса , то
окажется, что она соответствует тому случаю, коrда ли
нейная нормировка не требует центрирования, т. е. тоrда,
коrда мы можем выбирать постоянные Аn == о.
В.З. Прежде чем перейти к доказательству критерия 1
и обсуждению друrих критериев, нам будет удобно, по
чисто методическим соображениям, сначала получить
описание семейства устойчивых законов (5 и ero части
iВ, аналоrичное приводившемуся выше описанию класса
@J безrранично делимых распределений.
т eoperJta В .1. Д ля каждоzо устойчивоzо распределе
пия G соответствующая ежу спептралыlяя фуппция Н
имеет вид
{ ---- С 1 r-rJ., если х> о,
н (х) === С 2 ( x)--a., если х < О,
(в..l0)
еде С 1 , С 2 и а nеотрицательnые числа, причем О <
< а < 2.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, мы можем OTpa
ничиться случаем невырожденноrо распределения G.
Обозначим через I H множество точек непрерывности спект
ральной функции Н. Из условия G Е (5 вытекает суще
ствование последовательности независимых случайных
величин Х 1 , Х 2 , . . . с общей функцией распределения F
и последовательности пар нормирующих постоянных Аn,
ВN (Вn 00), таких, что F n (х) === Р (Zn < х) слабо cxo
дится к G (х) при п 00. Отсюда, соrласно необходимому
условию сходимости (В.5), имеем при п 00
n(P(Bnx) singx)---+Н(х),ХЕХНо
(В .11)
Рассмотрим случай х > о. Если Н (х) =1= о *) на полуоси
х > О, то найдется точка хо Е XIl, для которой q ==
н (хо) > О. Определим далее для каждоrо t > О
целое положительное число
п == п (t) == min (k: Bkx o < t < B k + 1 x O )'
*) в противном случае выбираем С 1 == о.
\
ВВЕДЕНИЕ
17
ФУНКJJ ИЯ и (х) == 1 F (х) не возрастает на ПОЛОjI\И
теЩ:>ной полуоси, и потому
и (В n + 1 хох) и (tx) и (Вnхох)
(В.12)
u (вnхо) и (t) и (Вn+l Х О)
каким бы ни было х > О. Так как п (t) 00 при t 00,
то, блаrодаря свойству (В.11), левая и правая части Hepa
венств (В.12) стремятся при t 00 к общему пределу
L (х) === + н (хох) ,
если хох Е хн. Следовательно, с одной стороны, для
любых положительных х, у, таких, что ХоХ, хоу Е Хн,
имеем при t 00
U (txy)
И (t) '. L (ху).
С друrой стороны, тот же предел мы можем вычислить
иначе:
и (txy) и (txy) и (ty)
u (t) и (ty) · и (t) L (х) L(y).
В итоrе получаем уравнение
L (ху) == L (x)L (у),
(В .13)
справедливое при всех ПОЛО}I\ительных х, у, за исключс
нием, быть MOj1\eT, HeRoTopol'O счетноrо l\IHOjHeCTBa точек.
Функция L (х) определена во всех точках полол\итель
ной полуоси, rде она к тому же неОТРИI ательна, не возра
стает с ростом х и имеет значения L (1) == 1, L (00) == о.
в этих условиях решение уравнения (В .13) непременно
имеет вид L (х) === x a, rде а положительная постоян
ная (подробнее о решении уравнения вида (В.13) или к He
му сводящихся см. В моноrрафии [91 ]).
Таким образом, функция Н (х) долл{на иметь следую
щий вид при х> о:
Н (х) === qL (х/хо) == x H (xo)x a === Clx a.
Дополнительное условие (В .4), которое накладывается
на любую спектральную функцию безrранично делимоrо,
а потому и устойчивоrо распределения, оrраничивает
значения параметра а интервалом О < а < 2. Постоян
ная С 1 > О не оrраничивается: какими либо дополнитель
ными условиями. В этом нетрудно убедиться, если вместе
18
ВВЕДЕНИЕ
J
/
ВВЕ ДIS.а.и.1;
19
с последовательностью нормированных сумм Zn paCCMaT
ривать друrую последовательность нормированных сумм
CZ n , С > О. Обе последовательности имеют предельные
устойчивые распределения со спектральными функциями,
соответственно равными Н (х) == C 1 :rcx' и Н с (х) ==
== C 1 Ca;r-сх'.
Случай х < О разбирается аналоrично и приводит
к выводу О том, что Н (х) == С 2 ( х) б, rде С 2 ;;. О И
О < б < 2. Покажем, что а == б.
По ходу разбора случая х > О было установлено, что
U (tx) 1 F (tx) a
== 1 F () х при t 00.
и (t) t
Это означает (см. [89]), что 1 F (х) == X ahl (х), тде
h 1 (х) медленно меняющаяся функция. Следовательно,
соrласно (В.11), дЛЯ любых х> О при п----+ 00
п (1 F (Впх)) == пB a h 1 (Впх) x a ----+ Clx a.
Отсюда, используя свойства медленно меняющихся функ
ций, находим, что
пВ-;"сх' h 1 (В п ) С 1 . (В.14)
Совершенно аналоrично мы получим представление F (х) ==
== ( х) бh2 ( x) для х < О, откуда получим COOTHO
mение
пв;,б h 2 (В п ) С 2 . (В.15)
Если мы считаем, что спектральная функция Н (х) не
обращается в нуль на обеих полуосях х > О и х < О, т. е.
что С 1 > О И С 2 > О, то соотношения (В.14) и (В.15) воз
можны только В том случае, коrда а == б.
3 а м е ч а н и е. Отметим, что последняя часть pac
суждений теоремы дает нам возможность судить о поведе
нии нормирующих коэффициентов В п при п ----+ 00 В том
случае, коrда F n в схеме (В.6) сходится к невырожден:
ному распределению G с отличной от нуля спектральнои
функцией Н (т. е. С 1 + С 2 > О). Действительно, пусть
С 1 > О. Тоrда, соrласно (В .14), п,........ С lB h l (l!n), rде
О < а < 2. Основной порядок изменения правои части,
а u
очевидно, связан с В п . Поэтому основнои порядок изме
пения В п степенной, и величина h 1 (В п ) как функция
п меняется медленнее любой степени, она является Meд
ленно меняющейся функцией h* (п). Следовательно, при
n 00
\ В п п 1 / а (C 1 1 h* (п))l/а == п 1 / а h (п), (В.16)
тде h (п) медленно меняющаяся функция. В теории пра
вильно меняющихся функций соотношение (В.16) было бы
простым следствием Toro факта, что функция, обратная
к правильно меняющейся (но не медленно меняющейся)
функции, вновь является правильно меняющейся функ
цией.
Описание семейства , которым мы сейчас займемся,
является, очевидно, и критерием принадлежности K .
Теорежа В.2. Невырожденное распределение G пpи
надлежит 1'i се.мейству е; тОсда и толъ1'iО тОсда, к.Осда ло
сариф.м есо хара1'iтеристичес1'iОЙ фУН1'iции g Jonyc1'iaeт
представлеuие вида
log g (t) == л (ity I t ,а + itWA (t, а, В)), (А)
аде веществен,nы,е пара.метры .меняются в пределах О < а -<
-< 2, 1 -< В -< 1, 00 < у < 00, л> о и
! I t 'a 1 tg ( ; а), если а =1= 1,
ФА (t, а, ) == 2
....... log I t 1, если а == 1.
n
3 а м е ч а н и е. Индекс А ставится для отличия дaH
ной формы записи характеристических функций устой
чивых законов от друrих форм записи, с которыми мы бу
дем далее иметь дело.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как есть подмноже
СТВО @J, то для уточнения вида функции g мы подстави:м
выражение (В.10) ее спектральной функции Н в общую
форму (В.З) и вычислим получившиеся интеrралы. Имеем
для О < а < 2
со
log g (t) == ita bt 2 С 1 (ei'X 1 it sin х) d:r a
о
00
С 2 (e иx 1 + it sin х) d:r a == ita bt 2 + C 1 Qa + C 2 Q a'
о
(В .17)
Рассмотрим в области Re s > О, Re р > о функцию
.. , .
f "
00
'..
"
fPa (8, р) == р (e-- sx e PX) :r a dx, О < а < 2.
Q
20
ВВЕДЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
21
Нетрудно заметить, что <Ра (8, р) является непрерывной
по а В интервале (0,2) при Фиксированнь[х 8, р И непрерыв
на наrраницеобласти(т. е. на прямых Re8 === О, Rep == О)
при фиксированном значении а. Сравнение интеrрала Qa
с функцией <Ра показывает, что если положить 8 == i и
выделить из <Ра (i, р) вещественную часть, считая при
этом р положительным, а затем перейти к комплексным р
и заменить р на it, то мы получим интеrрал Qa, т. е.
Qa == Re <Ра (i, р) Ip== it.
Вычислить явное выражение <Ра (8, р) неСЛОiI\НО. Считая
сначала а =1= 1, найдем, интеrрирул по частям, что
тел НоСТЬ нормирующих постоянных Аn, Вn (Вn --+ 00),
что '
fn ( ;n ) e itAn В (t) при п 00.
Следовательно, I f (tB l) I n 1 g (t) 1. Предположим, что
d> О. В этом случае, в соответствии с (В.16), В п ==
== n 1 / a h (п). Поэтому для любоrо целоrо k > 1 при п 00
вп/в nк k l/a. Далее, используя этот факт, находим, что
I f (tВ;; ) jnk === f (t : . 13;1) nk I в (tk *.) I k .
00
ера (8, р) === 1!.... а (sr SX pe PX) .x1 a ах ==:;;
о
с друrой стороны, тот iRe предел, очевидно, должен
равняться 1 g (t) 1. Таким образом,
ехр ( bt2kl 2la d 1 t la) == ехр ( bt 2 d 1 t la),
r (2 а) ( 8a 1.......... P a l ) .
==р 1 a
Затем переходим к пределу при а ---+ 1 и получаем paBeH
СТВО
ер1 (s,p) === Р log (+) .
каково бы ни было целое k > 1. Но это ВОЗМОiКНО лишь
В том случае, коrда Ь == О.
Положим В.4.
{ d, если С 1 + С 2 > О,
л==
Ь, если С 1 + С 2 === О,
{ Сl С 2 С с ........ О
=== С 1 + С 2 ' если 1 + 2 ;> ,
О, если С 1 + С 2 === О,
'v === + (а + а),
Эта процедура приводит нас к следующему выражению
для Qa:
n
I t l a r(1 a)cos2a
Qa== it(1 ltla. 1)r(1 a)sin а, если а =1= 1,
ltfT""'" itlogltf, если а==1,
rде
((C2 Cl)r(1 a)sin 2 а,
а===\
О,
если а =1= 1,
если а == 1.
ПОЛОiRИМ
. n
sin 2 (1 а)
d == (С 1 + С 2 ) r (2....... а) 1 а
Теперь правую часть (В .17) можно записать в нул\ном
нам виде (А).
:Каноническое представление (А) характеристических
функций устойчивых законов имеет одну неприятную oco
бенность. Функции g, а следовательно, и связанные с ни
ми распределения G, не являются непрерывными Функ
циям:и определяющих их параметров, поскольку, как это
видно из определения функции ША (t, а, ), они имеют
разрывы во всех точках вида а == 1, =1= О. Предельный
переход а* 1 (а* =1= 1), * ---+ * О, л* ----+ Л И 1'* l'
не только не приводит нас R устойчивому закону с пара
(в случае а == 1 значение d понимается в CМ:цICД црецед&
при а ----+ 1), тоrда .
I g (t) I === ехр ( bt 2 d I t la).
Покажем, что числа Ь и d не MorYT быть одновременно
отличными от нуля. Поскольку G Е <5, существует Ta
кая характеристическая Функ] ия f (t) и такая послеДОllа
22
ВВЕДЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
23
метрами а === 1, , у, Л, но и вообще не дает в пределе соб
cTBeHHoro распределения. Вся мера уходит В бесконеч
ность. Причем мы сами создали эту ситуацию, упрятав
компенсирующий СДвиr ii в параметр у. В исходной запи
си функций g интеrралы Qa, как это специально под
черкивалось, являются непрерывными функциями пере
MeHHoro а. Таким образом, устранить разрыв мы можем,
выделив сдвиr ал 1== tg С'Х . Модификация формулы (А)
В этом случае выrлядит следующим образом:
log g (t) == л (ity I t la itюм (t, а, », (М)
соотношения (основной параметр сх в обеих формах одина
ков): если а === 1, то
A === B'
2
УА === n \'в,
n
л'А==Тл'в,
(В.18)
rде
если а =1= 1, то
A===ctg(Ta) .tg( BK(a»),
У А === УВ ( cos ( BK (а») ) \
АА === Ав cos ( BK (а»).
в форме (В), как и в форме (А), устойчивые законы не
являются непрерывными в точках вида а === 1. Однако,
в отличие от формы (А), здесь при а* 1, * , "1*
У и л* Л предельное распределение существует, если
а* остается все время больше или меньше единицы. При
этом в качестве предела появляется устойчивый закон
с характеристической функцией g вида
, log 9 (t) === А (и ( У + sin т ) I t I cos ),
(В. t 9)
I (/ t ,a 1 1) tg а, если а =1= 1,
О)М (t, а, . ) === 2
log 't " если а === 1 ,
:rt
ЛеrRО видеть, что функция Юм непрерывна по совокупно...
сти своих переменных. Область изменения параметров
в форме (М) та }не, что и в форме (А). Параметры форм
(А) и (М) связаны следующими соотношениями (под
строчные литеры указывают на принадлежность парамет
ров к соответствующей форме):
:rt
аА==ам, A=== M, \'A==VM tg2a, ЛА:=:::ЛМ.
Имеется еще MHoro различных форм записи характери
стических функций устойчивых законов. Одна из них, ис
пользование которой оправдывается рядом соображений
аналитическоrо характера, следующая.
Теорежа В.З. х apa1i,mep ист ичес1i, ие фун,1i,ции g
1{,евь рожден,н,ь х распределений G из .мосут бь ть записа
1{,ы в следующей фор.ме:
1 о g g (t) === л (ity I t I а ro в (t, а, », (В)
еде
rде «+» выбирается, если а* > 1, а « » выбирается, если
а* < 1.
В.4. В дальнейшем характеристические функции g
будут сопровождаться значениями параметров, т. е.
9 (t) == g (t, а, , у, л). в частном случае более KO
ротко: g (t, а, ) === g (t, а, , О, 1). Если нам потребует
ся подчеркнуть, что для записи функций используется та
или иная форма (А), (В) и т. д., то функции g (и друrие
связанные с нею величины и функции) будут сопровождать
ся соответствующей подстрочной буквой. Например, за
пишем с учетом этоrо соrлашения следующее леrко про
веряемое свойство:
I gA (t, а, , у, л) I == ехр ( л I t la). (В.20)
. I exp( i K(a)signt), если а =1= 1,
о)в (t, а, ) ==
+ i log r t I sign t, если а == 1,
К (а) == а 1 + sign (1 а), и пар а.метр bL имеют т,у
же область измен,ения, что и в фор.ме (А).
Связь параметров, которую нетрудно установить,
nриравнивая п:равые части (А) и (В), дает следующие
Из этоrо свойства функции gA следует, что COOTBeT
ствующее ей распределение G имеет плотность gA, KOTO
рая существует и равномерно оrраничена на всей оси,
как и любая ее производная. Действительно, используя
формулу обращения
g А (х) == ;л e HXBA (t) dt
ВВЕДЕНИЕ
25
24
ВВЕДЕНИЕ
G (х, а, ) == G (х, а, , О, 1),
g (х, а, ) == g (х, а, , О, 1).
Обратимся к доказательству критерия 1 в форме (В.21).
Индуктивные рассуждения, начиная с соотношения
d
Х 1 + Х 2 === Ь 2 Х 1 + а2, позволяют утверiI\дать, что
d
Х 1 + . . . + Х п === Ь 1 1,Х 1 + а n , п?- 2.
Следовательно, для ЛIобых п :> 2
Х 1 + · · . + Х N а n ,d Х 1 .
Ь п Ь п
Предельное распределение левой части при п 00, оче
видно, существует и совпадает с распределением Х 1 , KO
торое должно принадлежать семейству б. Этим доказана
достаточность критерия. Покажем ero необходимость.
d d
Пусть Х 1 === Х 2 === У (а, , "(, л). Выберем какие либо
положительные числа Ь 1 и Ь 2 . Равенство (В.21) в терминах
ха рактеристических функций g случайных величин У
зквивалентно равенству
и свойство (В.20), без труда убеждаемся в справедливости
следующей оценки:
( n+1 )
I g ) (х) 1<;; 2 I t ,N I gA (t) I dt === r n л. (n+1)/а.
Функцию распределения и плотность устойчивоrо за
кона с характеристической функцией g (t, а, , "(, л)
обозначаем соответственно через G (х, а, , "(, л) и
g (х, а, , "(, л) и в сокращенных вариантах
Для случайных величин, подчиненных устойчивыIII
распределениям G (х, а, , у, л) или G (х, а, ), везде в
дальнейшем используются соответственно обозначения
у (а, , "(, л) и У (а, ). И вообще символ У отводится
только для обозначения случайных величин с распределе
ниями из .
Следует оrоворить еще одно правило, которому мы бу
дем следовать на протяжении всей книrи.
Во всех равенствах, связывающих функции от случай
ных величин в смысле равенства их распределений (для
таких равенств будет использоваться символ d ), случай
ные величины, находящиеся в одной части равенства (дa
iHe написанные одинаково), понимаются как независимые.
Например, критерий 1 с использованием этоrо праRИ
ла MOiRHO сформулировать следующим образом:.
Д ля тОеО чтобы распределение случаЙНЪLХ величиl
d d
Х 1 == Х 2 =1= const принадлежало , необходимо и дo
статочно, чтобъt для люБЪLХ положитеЛЬНЪLХ чисел Ь 1 , Ь 2
нашлись полож;ительное Ь и веществеl ное а, тапие, что
g (b 1 t) g (b 2 t) == 9 (bt) e ila .
(В .22)
Используя форму (А), леrко проnерить ero справедливость,
если выбрать Ь == (Ь + Ь )lla и
{ 'Ау (Ь 1 + Ь 2 ....... Ь), если а =F 1,
а === 2 ( ы1 Ь 2 ) (В · 23)
л n b 1 logT + b 2 logT ' если а== 1.
d
Нl)итерий 2. РаспределенuеслучаЙНЪLХ величин, Х 1 ====
d d d d d
=== Х 2 === . . . === Х п === . . . =1=- const принадлежит тОсда
и тольпо lпОеда, пОеда для люБОеО п 2 найдутся положи--
тельное число Ь п и веществеl ное а п , тапие, что
d
Х 1 + Х 2 + · · · + Х N === Ь п Х 1 + а n .
(В.24)
d
Ь 1 Х 1 + Ь 2 Х 2 === ЬХ 1 + а.
(В. 21)
Этот критерий внешне выrлядит как ослабление усло
вия (В.21). Ero доказательство осуществляется тем же
путем, что и доказательство критерия 1. Оказывается, что
критерий 2 можно, В свою очередь, внешне ослабить В . 5 .
Rpumep1lu 3. Распределение случаЙНЪLХ величин.
d d d
Х 1 === Х 2 === Х 3 =1= const принадлежит \5 тОеда и тольпо
тОеда, пОеда соотношеnие (В.24) вЪLполпеnо для п == 2 и
")
п == и.
(Здесь независимость Х 1 , Х 2 в левой части (В.21) специаль
но не оrоваривается.) Такая форма записи соотношений
между распределениями оказывается довольно часто
предпочтительнее записи с использованием самих распре
делений, которая и более rромоздка и менее наrлядна.
В дальнейшем м:ы не раз будеl\f иметь ВОЗМОiRНОСТЬ убе
диться в справедливости этоrо.
26
ВВЕДЕНИЕ
ВВВДВИИВ
27
Доказательство необходимости проводится аналоrично
доказательству необходимости критерия 1 и сложности не
представляет.
Докажем достаточность критерия, т. е. если
d d
Х 1 + Х 2 === Ь 2 Х 1 + а 2 , Х 1 + Х 2 + Х З === Ь З Х 1 + аз,
rде Ь 1 , Ь 2 некоторые вещественные числа, 'То X j имеют
устойчивое распределение. Обозначим через f (t) xapaKTe
ристическую функцию случайной величины Х 1 . Нашей
целью будет доказательство Toro, что f (t) удовлетворяет
при каждом целом п 2 уравнению
fn (t) == f (Ь n t) е х р (i а n t) , t Е R 1 ,
эквивалентному условию (В.24).
Из ero справедливости при п == 2, очевидно, следует,
что оно справедливо таКiI\е при любых значениях п == 2т
с константами Ь п и а n вида Ь n == ь l" а n == а2 (1 + Ь 2 +
+ . . . + ь l). Отсюда уже вытекает (см., например,
[61]), что распределение Х 1 является безrранично дели"
мым И, значит, f (t) =1= О при любых t.
Определим функцию
'х (t) == log f (t), t Е R1.
Следовательно, для любых j, k == о, + 1, + 2,.
2jЗkх (t) == Х (b b t) + iajk,
В',действительных t
. r т R е 'х (t) == R е 'х (Ь n (т) t).
Если бы последовательность Ь n (т) была неоrраниченной,
то мы смоrли бы выделить из нее подпоследовательность
Ь n (т'), такую, что I Ь n (т') I 00 при т' 00. Про
изведем в последнем уравнении замену переменноrо,
положив t' == tb n (т'). Тоrда, принимая во внимание,
,
что r т' п при т 00, имеем
Re Х (t') == r т , Re 'Х (t' /Ьn(т'» о.
Следовательно, \ f (t) \ = 1. Но это противоречит усло..
вию невырожденности распределения случайной величи..
вы Х 1.
Поскольку последовательность Ь N (т) оrраничена, мы
можем выделить из нее подпоследовательность Ь N (т'),
сходящуюся к некоторому числу Ь n при т' 00. Отсюда
,
получаем при т 00, что
ajm,k m , == it l ['Х (Ь п (т') t) r т' Х (t)]
it l [х (bnt) п'Х (t)] == а n .
Следовательно, при любых п и любых вещественных t
пх (t) == Х (bnt) + ita n .
Но это уравнение эквивалентно (В.24), т. е. мы свели до..
статочность критерия 3 к достаточности критерия 2.
В.5. Перейдем к описанию класса cTporo устой
чивых законов. Определение (В.9) перефраэируется в Tep
минах случайных величин следующим образом.
d d
Распределение случайных величин Х 1 == Х 2 =1= const
принадлежит к тоrда и только тоrда, коrда для любых
положительных чисел Ь 1 и Ь 2 MOiHHO найти положительное
число Ь, такое, что
d
Ib 1 X 1 Ь 2 Х 2 === ЬХ l' (В .25)
Условие критерия в терминах функции 'Х запишется сле..
дующим образом:
2х (t) ;::= Х (b 2 t) + ia 2 t, 3'Х (t) == Х (Ьзt) + iазt.
rде ajk некоторые веще твенные числа.
Множество чисел {2 ' З 'IО : j, k == о, + 1 , ::1:: 2, . . .}
плотно в множестве всех положительных чисел. Это следует
из Toro хорошо известноrо факта, что множество чисел
вида j + rok, j, k == о, ::1=1, ::1:2,. .., тде u) иррацио
нальное число, является плотным на действительной пря
мой. Таким образом, для любоrо п существует последова
. k
тельность чисел r m == 2 Эт 3 т, такая, что r m п при
j k
т 00. Обозначим Ь N (т) == Ь 2 т Ь З т и покажем, что эта
последовательность чисел оrраничена. Из фУНRциональ
поrо уравнения для функции Х (t) для Jlюбых целых т
d d
Начнем с необходимых условий. Пусть Х 1 === Х 2 ===
d
===у (а, , 1', л). Соотношение (В.25) в этом случае экви
валентно равенству
g (b 1 t) g (b 2 t) == g (bt),
представляющему собой частный случай (В.22). Из запи
си величины а в равенстве (В.23) видно, что она равна
28
ВВЕДЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
29
"( о (если а =1= 1) или == о (если а == 1). (В.26)
ним множеством распределений (блаrодаря (В.26»). Это
явно неудобно с аналитической точки зрения. Мы можем
перейти к системе из трех параметров за счет изменения
первоначальной системы (а, , "(, л), причем переход удоб
нее Bcero связывать с формой (В).
Teope a В.4. Харак,терисrпическ,ие фуuк,ции g pac
пределеuий ив к,ласса допус-пают следующее представле
пие:
нулю только в том: случае, коrда
Хотя этот вывод относится к форме (А), он не изменит
ся, как это видно из формул перехода (В.18) и (В.19),
и в том случае, коrда мы используем форму (В).
Приведем критериЙ. принадлежности невырожденноrо
распределения к классу .
I(pиmepиu 4. Пусть Cj == ехр ( dj), j == 1,. . .
., k, k > 2 lle-пОтОрЬLе числа, подчиllеUllЬLе условия.м:
а) C с; + . . . + C < 1,
б) среди чисел d 1 , d 2 , . . ., d k имеется два так,их, oт/
1l0шеlluе KOmOPbLX иррациоuаЛЬ1l0.
d d d
Распределеuие случаЙllЫХ величин Х 1 === Х 2 === . . . ===
d d
=== X k =1= const приllадлеJ/сит mOt1rJa и тольк,о тоада,
к,оада
d
С 1 Х 1 + С 2 Х 2 + · · · r CkXk === Х 1 .
(В.27)
lоgg(t)== лltlаехр( i еа signt), (С)
аде пapaMempbL а, е, А ;меняются в пределах
О < а <;; 2, I е 1<;; е а == min (1, 1), л> о.
в системе параметризации случай а == 1 занимает oco
бое положение. В частности потому, что значения парамет
рОВ а == 1, 8, А при I 8 I === 1 соответствуют вырожден
ному распределению в точке ел. Если исключить этот слу
чай, то параметры а, , "(, л той же характеристической
функции g в форме (В) связаны с парам:етрами a , е, лс
следующими равенствами:
ас == ав,
Необходимость критерия проверяется без труда 11 тем
же путем, каким проверялась необходимость предыдущих
критериев (с помощью характеристических функций,
в ноторых принадлежность к учитывается в виде yc
ловия (В.26». При этом, по ходу доказательства CTaHO
вится видно, что
а) параметр а случайных величин X 1 d Х 2 d ...
d d
. . . === Х К === У (а, , "(, А), удовлетворяющих условию
(В.27), определяется как единственное положительное ре...
тение уравнения
C + с: + . . . + C . == 1;
б) параметры , "(, л (из числа не связанных условием
(В.26» MorYT варьироваться в пределах своей области из
менения.
Доказательство достаточности критерия 4 получается
путем довольно сложных аналитических рассуждений,
и мы ero здесь приводить не будем. Желающие все же озна
комиться с ним найдут ero в моноrрафии [43], rде теорема
5.4.2 содержит утверждение достаточности критерия 4
в качестве частноrо случая В.6 .
Rласс формально описывается четырьмя парамет
рами, хотя на самом деле он является трехпараметричес
к (а)
е === B , Ас === Ав,
а
е ==== arc Lg ( у в) ,
если а =1= 1,
( п2 2 ) 1/2
Ас === Ав Т + УВ ,
если
а===1.
(В .28)
Для законов класса вместе с системой параметри
зации а, 8, ЛС мо}нно использовать еще одну близкую
к ней систему параметризации а, р, Лс, в RОТОРОЙ Р ==
=== 1/2 (1 + 8).
Имеет смысл не выделять ее в самостоятельную форму
и именовать также формой (С), поскольку это Bcero лишь
модификация формы (С). Путаницы можно не опасаться,
если за формой (С) закрепить обозначения параметров а,
8, А, а за ее модификацией обозначения параметров а,
р, л. В модифицированном варианте характеристическая
фУНКI ИЯ g имеет вид
g (t) == ехр { л (it)a ехр ( inap sign t)}.
Описание различных форм записи характеристических
функций устойчивых законов мы завершим еще одной MO
ЗО
ВВЕДЕНИЕ
дификацией формы (С) (более значительной, чем предыду...
щая), которая понадобится при решении проблемы ста...
тистической оценки параметров этих законов. Лоrарифм
характеристической функции 9 кал\доrо распределения
из может быть записан в следующей форме:
log В (t) == ехр {V 1/2 (log I t I + .. i Т е sign t) +
+ lC (v 1/2 1)} , (Е)
rде С == 0,577 . . . постоянная Эйлера, параметры ме.-
няются в пределах 'V > 1/4, I 8 1< min (1,2 11; 1),
I 't I < 00 и связаны с параметрами а, 8, л равенствами
v == a 2. еЕ == ее. .. == + log л.е + lC (+ 1). (В.29)
Естественно, может возникнуть недоуменный вопрос
зачем такое обилие различных форм записи характеристи
ческих функций устойчивых законов? Изучая аналитичес..
кие свойства распределений устойчивых законов, мы
встречаемся с различными по своим особенностям rруп
пами свойств. Запись аналитических соотношений свя
u '
занных с устоичивыми распределениями, может быть про...
ще или сложнее в зависимости от Toro, насколько удачным
оказался для нашей задачи выбор определяющих распре...
деления параметров. Сопоставляя с рассматриваемой rруп
пой свойств наиболее естественную для нее форму пара
метризации, мы сводим тем самым сложность записи этих
свойств к минимуму. При таком подходе излишняя слож...
ность как бы выделяется из задачи и относится за счет
формул перехода от одной формы записи характеристи
ческих функций g к друrой в.з.
Сделаем еще одно важное замечание в отношении при
ВОДившихся выше форм записи функции g. В форме (А)
структура параметра A' т. е. В.4
A == (С 1 С 2 )/(С 1 + С 2 )
позволяет связать крайние значения A == 1, A == 1,
с двумя характерными случаями в схеме (В.6). Действи
тельно, пусть суммы Zn В этой схеме образуются положи...
тельными случайными величинами Х 1 , Х 2 ,. .., такими,
что предельное распределение G не является нормальным.
Тоrда в предельном выражении (В.11) спектральной функ
цИИ Н, соответствующей распределению G, левая часть
.
. . .
ВВЕДЕНИЕ
31
будет тождественно равна нулю для х < о. Поэтому
функция Н также будет равна нулю на полуоси х < о,
т. е. С 2 == о. Следовательно, распределение G имеет пара...
метр A == 1.
Точно так же мы обнаружим, что в случае отрицатель...
ных слаrаемых X j предельное распределение G для нор...
мированных сумм Zn имеет параметр A == 1. Такая
связь свойств слаrаемых Х j с крайними значениями па...
раметра A хотя и не обратима (т. е. из Toro, например,
что предельному закону соответствует значение A == 1
не следует положительность X j ), но все же служит про...
стым ориентиром при описании свойств устойчивых рас...
пределений. Это rоворит в пользу Toro, что и в друrих фор...
мах записи характеристических функций желательно
иметь то же правило.
В формах (А) , (М) и (В) оно имеет место, т. е. A == 1
соответствует M == 1 и B == 1. Однако в формах (С) и
(Е) A == 1 соответствует значению 8 == 8 а , если а < 1
и значению 8 == 8 а , если а > 1. Конечно, переопреде...
лить запись (С) и (Е) нетрудно с тем, чтобы 8 == 8а также
и в случае а > 1. Но здесь мы должны выбирать между
двумя несовместимыми свойствами формы (В):
1) A == 1 8 == 8 а ,
2) распределения класса непрерывны по совокупно...
СТИ определяю:цих параметров во всей области их допус...
тимых значений.
И в такой ситуации предпочтение, безусловно следует
отдать второму свойству В.7. В свете сказанноrо тоит об...
ратить внимание на форму (М), которая обладает обоими
указанными свойствами.
В.6. Приведенное выше определение семейств OДHO
мерных устойчивых законов может быть естественно рас...
пространено на случай конечномерных и даже бесконечно
мерных пространств. Рассмотрим последовательность He
зависимых и одинаково распределенных случайных вели
ЧИII Х 1, Х 2,' . . со значениями из k"'MepHoro евклидова
пространства R k и образуем последовательность сумм
Х п == О'п (Х 1 + . · · + Х п ) а n , п === 1, 2,. . .,
нормированных некоторыми последовательностями по...
ложительных чисел 0'1} и неслучайных элементов а п из R'
Множество k всевозможных слабых пределов распреде
лений таких последовательностей Х п при п 00 назы...
вается семейством устойчивых распределений в R'i или
32
ВВЕДЕНИЕ
распределениями Леви Фельдrейма. Это не единствен
вый вариант обобщения распределений семейства . Если
нормировку сумм Х 1 + . . . + Х п производить невырож
денными матрицами ОП, а не положительными числами,
то понятие устойчивых законов существенно расmиряет
ся. В настоящее время о свойствах MHoroMepHblx устой
чивых законов (в частности, об их аналитических свой
ствах) известно очень мало. И объем, и разнообразие этих
сведений не MorYT идти ни в какое сравнение с тем, что нам
известно о распределениях из . По этой причине сумми
рование фактов о свойствах мноrомерных устойчивых за
конов сейчас явилось бы задачей явно преждевременной.
Мы оrраничимся здесь тем, что приведем и прокомменти
руем каноническое представление характеристических
функций g (t), t Е R k , конечномерных законов Леви
Фельдrейма.
Оказывается, что распределения из k образуют уi-ие
непараметрическое множество. Соответствующие им xa
рактеристические функции имеют вид
g (t) == ехр {i (t, а) 'l'et (t)},
о < а < 2, (В.ЗО)
rде а Е R k и функции 'Фа (t), определяемые параметром а
и некоторой конечной мерой М (ds) на сфере S ==
== {;: I ; I == 1}, выrлядят следующим образом:
если а == 2, то 'Фа. (t) == (at, t), rде а так называе
мая ковариационная матрица,
если О < а < 2, то
"'а (t) == I (t, ) la Ю а (t, ) М (d ),
s
(В.З1)
rде
1 1 i tg ;; а sign (t, ), если а =1= 1,
(Uet (t, ) === 2
1 + i n log I (t, ) I sign (t, ), если а == 1.
Представление (В.ЗО) (В.З1) является аналоrом фор
мы (А) записи характеристических функций одномерных
устойчивых законов.
Этот аналоr не единственный. Если использовать сфе..
рическую систему координат в R k и записывать вен1'Ор t
в видо t == '.Т, I'де {' == 1 t 1 =1= О и т == t/ I t 1, то представ
JJеНИIО (В.30) (В.31) нетрудно придать слеДУЮЩУIО
ВВЕДЕНИЕ
33
форму:
1 л [irl' та (1 i tg ;; а) l '
log 9 (r't') == 2
л [irl' т (1 + i n log r ) J '
еСАи а =1= 1,
еСАи а:::=1,
(В.З2)
rде О < а < 2 и , у, л вещественные функции, за
данные на единичной сфере S и определяемые paBeHCT
вами
л == л (т) == I (Т, 6) la м (a ), Т Е S,
s
л == л (Т) == I (Т, ) la sign (Т, ) м (d6),
s
('t', а), если а =1= 1.
лу == 1.1' (Т) == (Т, а) + (Т, g) log I (Т, 6) I м (d ),
s
если а == 1 .
Отметим несколько свойств функций , У, л.
1. Функции , у, л непрерывны на S и при заданном
значении а однозначно определяют сдвиr а и меру М (d;)
в представлении (В.ЗО) (В.З1).
2. Областью изменения значений функции у является
вся действительная ось.
З. ДЛЯ любых т Е S имеют место следующие COOTHO
шения:
( T) == (т), л ( 1') == Л ('t'),
1 (1') 1<1, О<л(1')<М о ,
l"де М о значение полной меры М (ds) на S. При этом
все неравенства являются строrими, если мера М ( )
не сосредоточена целиком в каком либо подпространстве
h'
пространства R . Отсюда, в частности, можно извлечь,
что
л о == inf {л (1'): 't Е S} > О, 1 9 (t) 1 < ехр ( ло I t la)
и, значит, соответствующее устойчивое распределение
имеет плотность р (х, а, а, М), оrраниченную величиной
r (1 + k/a) ( 2 .t= л lla ) K
r (1 + k/2) v л о .
2 в, М. Золотарев
34
ВВЕДЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
35
Формы (М) и (В) так/не имеют по два аналоrа, получае
мые преобразование:м соответствующих аналоrов формы
(А ). Именно, если а =1= 1, то
log 9 (t) == i (t, а)
{I' и, ) la i (t, ) tg T а (1 (t, ) ICH 1)} М (d ),
S
log В (r't) == л [iry r CL + i r (ra l 1) tg Т а]. (В.33)
в тех случаях, котда мера М (d ) оказывается cocpe
доточенной В пределах какой либо половины S* сферы S,
первый аналоr формы (В) позволяет за счет покомпонент
ното аналитическоrо продол/нения функции 9 (замена
t === is) записать преобразование Лапласа COOTBeTCTBY
ющеrо устойчивоrо распределения р (х, а, а, М). Именно,
в случае а == 1 функции log 9 (t) и log 9 (r't) определя
ются так же, как и в (В.ЗО) (В.З1) и (В.З2). В резуль
тате эти представления оказываются непрерывными
функциями параметра а во всей области ето измен ния
О < а -< 2.
r Первым аналоrоl\tI формы (В) является представление
(В.ЗО) (В.31), в котором функция Ша (t, ) заменяется
функцией
( exp( K(a)sign(t, )),
Ша (t, ) ==
+ + i log I (t, ) I sign (t, ),
ехр { (8, х)} Р (х, а, а, М) dx ==
R k
ехр { (8, а) ,,(a) . (8, )a М (d )}, если a=;i= 1,
ехр { (8, а) + (8, )log (8, ) М (d5), если а === 1, .
. В*
если
а =1= 1,
тде 8 (а) == sign (1 а), и вектор s принимает значения
из Toro полупространства, в котором содержится S*. .
Приведенные представления характеристических функ
ций устойчивых распределений :MorYT служить отправной
точкой разнообразных аналитических исследований, aHa
лоrичных исследованиям свойств одномерных устойчивых
законов. В настоящее время наиболее употребимой в ли
тературе является форма (В.30) (В.31), что объяс
няется, по видимому, проявлением своеобразной «инер
ЦИИ», созданной первыми исследованиями.
Аналоrи форм (В) и (М) пока не использовались BO
обще, хотя они имеют, бесспорно, ряд достоинств, способ..
ных сделать их со временем не менее популярными. Эти
представления, например, дают ВОЗМО/RНОСТЬ связать
плотности р (х, а, а, kf) с плотностями g (и, а, , "(, л)
одномерных устойчивых законов. Наиболее простой вид
эта Связь имеет в случае, коrда размерность пространства
k == 2т + 1 нечетное число. Именно, для всех х Е
Е:: R k справедливо равенство
\L> р(х,а,а,М)== ( 1}2: . g(2т)«-r,х),а, ,у,л)d't,
2 (231)
если а === 1,
а мера М (d ) мерой
""'"-" ( I cos а I 1 М (d ),
М (d ) == 2 '
--л--М(d;), .
если а =1= 1,
ее ли а 1.
Второй аналоr формы (В) получается из (В.32) теми
же преобразованиями, которые использовались в OДHO
мерном случае для получения формы (В) из формы (А).
Это представление имеет вид
( лlirу rаехр( iTK(a)f})l, если a=;i=1,
log 9 (r,;) == I
Л l iry r ( + i Р log r ) l ' если а == 1.
(В.34)
Определяющие устойчивые распределения эле:менты
сх, , "(, л в равенствах (В.З4) связаны с набором аналоr:й:ч
ных определяющи.х эле.ментов в (В.З2) соотношениями
(В .18) , (В .19).
в котором , у, л функции, фиrурирующие в представ
лении ха рактеристичесной функции распределения
р (х,а, а, М) и rде плотность g (и, a, , "(, л) отвечает форме
(А) или (В) в зависимости от Toro, какое из представ
лений (В.З2) или (В.34) нами пспользуется.
2*
з6
:ВВЕДЕНИЕ
Функции , 'У, л (вне зависимости от TOrO, с каким
представлением они связаны) являются соответственно
обобщенными характеристиками асимметрии, сдвиrа и
масштаба распределения, подобно их интерпретации
в одномерном случае. При этом, однако, следует иметь
в виду, что перенесение тех или иных IIОНЯТИЙ, связанных
с одномерными распределениями, на мноrомерный случай
неизбежно сталкивается с множественностью возможных
обобщений. Так аналоrом симметричных законов из ,
имеющих характеристические функции вида
9 (t) == ехр ( л I t ,а),
можно считать сферически симметричные распределения
в R k , имеющие ту же форму характеристических функций
(с л == const), но можно считать (это более естественно)
аналоrами симметричных законов устойчивые распреде
ления с функциями (-r) == 'v (т) === О при всех т Е S,
что равносильно равенству
log й (t) == л (,;) r a == I (t, 6) la м (d6),
s
rде М (ds) центральносимметрическая мера.
Миоrомерные устойчивые законы пока еще редко
встречаются в прикладных вопросах (с двумя примерами
их появления мы познакомимся в разделе 1.1), однако есть
основания ожидать, что в недалеком будущем положение
изменится (прежде Bcero за счет приложений в экономике).
(В .35)
I!
:"
rЛАВАl
П Ы ПОЯВЛЕНИЯ УСТОЙЧИВЫХ дKOЦOB
В ПРИЛОЖЕНИЯХ 1.5
r лавным и самым крупным потребителем устойчивых
законов является пока сама теория вероятностей. В COB
ременной математической литературе устойчивые pac
пределения можно встретить в самых различных разде
лах. Прежде Bcero это предельные теоремы для сумм
независимых и слабо зависимых случайных величин и
разнообразные их уточнения. Далее можно назвать теорию
случайных процессов, в частности, тео рию ветвящихся
процессов, теорию случайных детерминантов и ряд дpy
rих разделов, rде в том или ином количестве встречаются
задачи, связанные с устойчивыми законами.
Относящийся сюда материал настолько обширен, что
попытка собра ть ero в доста точно полном объеме здесь
не предпринималась. Однако мы сочли все же полезным
включить какую то ero часть, связанную rлавным обра
зом с предельными теоремами, в список литературы (чет
вертый раздел).
В качестве иллюстрации к сказанному мы приведем
два примера появления в задачах устойчивых законов.
При м е р 1. Рассмотрим ветвящийся случайный
процесс с дискретным временем с одним типом частиц,
каждая из которых в конце единицы времени преобразует
ся одним из трех возможных способов: исчезает с вероят
ностью р > О, превращается в такую же частицу с Bepo
ятностью 1 2р или же превращается в две частицы
с вероятностью р. Производящая функция F (8) вероят
ностей преобразований одной частицы, задающая ветвя
щийся процесс, имеет вид
F (8) == Р + (1 2р) 8 + рв2.
Обозначим через V o (t) число частиц в (t 1) M поколе
нии, не давших потомства (т. е. исчезнувших к моменту
со
появления t ro поколения) и через v == Vo (k) CYM
kc:::::l
M pHoe число таких частиц, появлявmихся в процессе да
38
rЛ. 1. ПРИМЕРЫ ПОЯВЛЕНИЯ устойчивых 3АI\ОНОВ
rЛ. 1. ПРИМЕРЫ ПОЯВЛЕНИЯ УСТОЙЧИВЫХ ЗАRОНОВ
39
00
ственно, если det 8 п =1= О, причем
( (n» ) 1",жт
Х и Xj "'-"n ", n.
все время О < t < 00 ero эволюции (поскольку в начале
процесса рассматривается ровно одна частица, то v o (О) ==
== О). Производящая функция <р (а) == Qnun распреде
n==:)О
ления qn == Р {v == п} связана с функцией F (s) ypaBHe
нием ер (и) === F (ер (и)) + р (и 1), откуда для ер (и)
нетрудно получить следующее явное выражение:
00
fJJ (ll) === 1 -У1 u, === 2 n r (п 1/2) U n /I1!. .
nc:::::l
в случае, коrда det 8n === О, решение (1.0.1) может не су..
ществовать и в этой ситуации условимся приписывать Х п
значение Х N :=:::: О. При больших значениях п, коrда pe
тение линейных уравнений становится очень трудоемкой
вычислительной задачей, известную информацию MOfI eT
доставить следующая предельная аппроксимация.
Предположим, что для Rаждоrо значения п случайные
Х (n) W (n).. · 1 I
величины ij, j, , J ,..., п взаимно независимы,
что EX j) === EW)n) == О, DXij) === DW)n) == 1 и величина
sup Е (1 Xlj) I б + ( W n) (5) конечны. Тоrда для любых
n, i, j
1 -< i, j < п, i =F j имеют место следующие предельные
соотношения:
lim Р (Xl n ) < ) == lim Р (x n) jx}n) < ) ===
n..........х>
1 1
=== 2: + л--- arctg S == G A (S, 1, О). (1.0.2)
ОТСlода следует, что
qn=== 2 n r(п 1/2)jl,(п+1) 2 п п 3/2 при п oo.
Эта асимптотика указывает на то, что распределение слу.:.
чайной величины v принадлеi-RИТ области нормальноrо
притяжения устойчивоrо закона с параметрами (в форме
(В))
а === 1/2, === 1, "? === О, "л === 1.
Таким образом, если в начальный момент была не одна,
а п частиц, то суммарное число частиц, не даВПIИХ потом:ства,
выразится суммой "1 t . . . + V n независимых случай
ных величин с тем i-Re распределением, что и величина v.
После нормировки сумма (v 1 . . . + v n ) п 2 будет
иметь распределение, приближающееся с ростом п к yc
тойчивому распределеНИIО G (х, 1/2, 1).
Стоит заметить, что среди подобноrо рода задач, свя
занных с ветвящимися процессами, можно найти примеры
появления устойчивых законов с различными значениями
OCHoBHoro параметра а. Например, в работе [79] есть
упоминание о ситуациях, коrда в качестве предельных
законов появляются устойчивые законы с а === 2 T,
r ;:::=. 1, 2, . . ..
При м е р 2. Он взят из теории случайных матриц
(см. по этому поводу [19]). Рассмотрим системы линейных
алrебраических уравнений вида
Епх n === W n, п === 1, 2, ..., (1.0.1)
rде 8n == (X Y») квадратная матрица порядка п со слу
чайными элементам:и X j) и W n === (wi n )) случайный
вектор. Как известно, решение (1.0.1) существует и един
ОкаЗЫВается, что аналоrичное предельное распреде
ление возникает, если рассматривать совместные распре
деления любоrо конечноrо числа компонент решения Х n .
Именно, при тех же предположениях для:любоrо фикси
pOBaHHoro k
lim Р (x ) < St, · . · , x ) < k) ==
n.........оо
== л: (k+1)/21' ( k t 1 ) (1 + I и 12) (k+1)/2 dи,
Uj<Sj
Т. е. предельным законом здесь оказывается k MepHoe
распределение Коши.
Надо сказать, что распределение Коши (как OДHOMep
ное, так и MHoroMepHoe) появляется в различных задачах
чаще друrих устойчивых законов, уступая в этом только
нормальному закону. Особое положение закона Коши,
как и нормальноrо закона 1.1, прослеживается также и
в аналитическом плане.
-К этим законам можно было бы добавить еще и распре
деление Лапласа, приписав ему условно значение а === О
(чему есть известные основания, СМ., напри:мер, COOTHO
теиие (2.9.1)). Тем саМЬП I, СИl\lметричные законы с целы
rл. 1. ПРИ МЕРЫ ПОЯВЛЕНИЯ УСТОйЧИВЫХ 3АНОНОВ /.1
40 rл. 1. ПРИМЕРЫ ПОЯВЛЕIПIЯ УСТОЙЧИВЫХ 3АНОНОВ
стрелки. Все лучи, которые MorYT попасть на экран,
заключены, очевидно, внутри уrла, paBHoro по величине
n. Кроме Toro, нетрудно сообразить, что уrол ер, COOTBeT
ствующий случайной точке (и, О), имеет в пределах от О
до л равномерное распределение. Следовательно,
1 1
F (х) == 2 + n arctgx ===G A (х, 1, О),
т. е. компонента и (так же как и V) подчинена распреде
лению Коши.
Поскольку распределение вектора (и, V) KpyroBoe,
то оно совпадает с двумерНЫlVI распределением Ноши.
Распределения семейства I\оши, имеющие плотности
вида
gA (х, 1, О, л l, у, л) == [л 2 + (х y)] l, (1.0.3)
иrрают важную роль в совре1\lенной физике. В молеку
лярной атомной, ядерной физике, физике элементарных
частиц распределения типа (1.0.3) известны под собствен
ными названиями.
Так, распределение энерrии нестабильных состояний
в реакциях продуктов распада называется законом Лорен
ца, а распределение масс частиц, участвующих в тех же
реакциях, называется распределением Брейт Виrнера.
Механизм появления распределения Коши в KBaH
товой механике при описании нестабильных систем весьма
специфичен и не связан видимым образом с теми привыч
ными для нас механизмами, которые приводят к устой
ЧИВЫlVI законам. Специалистам по теории вероятностей,
на наш взrляд, полезно иметь представление о действии
ЭТОI"О мехаНИЗlVIа. Мы приведем вкратце соображения,
приводящие к появлению распределения Лоренца.
В квантовой механике состояние нестабильных физи
ческих систем описывается так называемой волновой функ
цией I'Ф (t), имеющей векторные значения и являющейся
решением нестационарной задачи Коши уравнения Шре
динrера
Н J 1\1 (t) > == i :t 11\1 (ф , 11\1 (О) > == 11\10>, ( 1. О .4)
l"де Н оператор I-'амильтона (эрмитовский оператор),
соответствующий рассматриваемой системе и I 'Фо>
заданное начаJI ьное значение волновой ФУНКI ИИ *).
*) Мы прпдерживае:мся здесь обозначений, принятых в COBpe
:менной теоретической физике. Скалярное произведение векторов
, а> и I Ь> обозначается символом < а I ь >.
u
ми значениями (Х по своеи значимости выделяются среди
прочих устойчивых законов.
Довольно часто можно встретить в задачах и закон
Леви с (Х == 1/2, == 1, у == о. Как закон Коши, так и
закон Леви тесно связаны с нормальным законом. Это
видно, из Toro факта, что отношение N 11 N 2 независимых
случайных величин, подчиненных стандартному нормаль
ному закону, имеет распределение Коши, а случайная
величина N 1 2 имеет распределение Леви *) (именно первым
обстоятельством объясняется, в конечном счете, появле
ние предельноrо соотношения (1.0.2)).
Есть немало примеров, в которых механизм появле
ния закона Коши мало че1\1 напоминает привычный нам
механизм суммирования случайных величин. Проиллю
стрируем это еще одним примером, взятым из книrи
[89] .
При 1\1 е р 3. fla плоской фольrе, расположенной
параллельно экрану и отстоящей от Hero на расстоянии,
равном единице, имеется точечный источник радиации.
Радиоактивное излучение вызывает на экране световые
точечные вспышки. Вычисление распределения этих
вспышек на экране составляет нашу задачу. Прея\де
Bcero выберем в пространстве такую декартовую систему
координат (х, у, z), что плоскость (х, у) совпадает с пло
скостью экрана, а источник радиации имеет в этой системе
координаты (О, О, 1).
Точки, в которых МЫ увидим вспышки, имеют случай
ное положение на плоскости. Обозначим координаты oд
ной из таких вспышек (и, V, О). Понятно, что в силу reo..
метрической симметрии в самой постановке задачи, слу
чайный вектор (и, V) имеет KpyroBoe распределение, для
определения KOToporo достаточно найти распределение
одной из ero координат, скажем, и. С этой l елью спро
ектируем весь процесс на плоскость (х, z). В плоской
модели источник радиации имеет координаты (0,1), а слу
чайные положения вспышек и на оси х координату и.
Обозначим через F (х) функцию распределения слу
чайной величины и, представляющую собой вероятность
падения луча на ось левее точки с координатой (х, О).
Все лучи, удовлетворяющие этому условию, заключены
внутри уrла, величина KOToporo равна л/2 + arctg х,
если ero отсчитывать от прямой z == 1 против часовой
*) Эти факты следуют из соотношений rл. 3.
42
rл. 1. ПРИМЕРЫ ПОЯВЛЕНИЯ устойчивых 3AROHO}j
rл. 1. ПРИМЕРЫ ПОЯВЛЕНИЯ УGТОЙЧИВЫХ ЗАRОИОВ
43
Пусть {, СРЕ), 1 CPk)} полная система собственных
векторов оператора Н (/ СРЕ) соответствует абсолютно He.
прерывной составляющей ero спектра, а I CPk) дискрет
ной составляющей), т. е. .
случае
rде Ck и С (Е) коэффициеlIТЫ Фурье в разло,нении BeK
тора 1 'Ч'о) по полной системе собственных векторов
{lcpE),lcpk)}:
I Фо) === Ck I ({Jk) + С (Е) I ({JE) dE.
k о
00
00
j (t) === (J) (Е) ехр ( iEt) dE,
u
rде (i) (Е) 1 С (Е) 12 имеет смысл плотности распреде..
лени я энерrии распадающейся физической системы, опи..
сываемой уравнением (1.0.4).
Оказывается, что для очень широкоrо класса неста..
бильных физических систем плотности ffi (Е) являются
мероморфными функциями (см. [113]). Случай функции
ffi (Е), имеющей лишь два простых полюса (в силу усло
вия ffi (Е) :> о они комплексно сопряжены), по ряду co
ображений представляет наибольший интерес. В этом
случае, очевидно,
(i) (Е) :::::: А [(Е Ео)2 + r2] 1, Е > О,
rде А нормирующая постоянная, а Ео и r наиболее
вероятное значение и мера рассеяния (относительно Ео)
энерrии системы. Для реальных нестабильных систем *)
отношение rlEo, как правило очень мало (10 15 или еще
меньше). Поэтому без заметноrо ущерба для расчетов
вероятности Р (t) можно заменить нижний предел О в ин
теrрале (1.0.6) на oo, после чеrо функция плотности
ro (Е) и связанная с нею вероятность Р (t) получают
следующие приближенные выражения
ffi (Е) I(Е Ео)2 + r2] 1,
n
Р (t) == I f (t) 12 ехр ( 2rt).
Из первоrо соотношения (распределение Лоренца энер
rии нестабильной системы) видно, что мы имеем дело
с распределением Коши, а из BToporo, что время жизни
нестабильных систем рассматриваемоrо типа подчинено
экспоненциальному закону.
Таким образом, закон Коши появляется здесь лишь
как более или менее хорошее приближение реальноrо
распределения энерrии нестабильных систем. И можно
указать ситуации, коrда замена О на oo в (1.0.6) оказы
вается недопустимым .оrрублением, поскольку COOTBeTCT
вующий закон распада системы Р (t) существенно отли
чается от экспоненциальноrо (см.lпоlэтому поводу [138]).
( 1.0.6)
н I СРЕ) ;:= Е 1 СРЕ), <СРЕ/ 1 СРЕ> == б (Е' Е),
Н I CPk) == Ek I CPk)' <CPk I cpz> == б kz ,
rде б (Е' Е) дельта функции Дирака и б 1fl сим
вол Кронекера.
Нас будет интересовать вероятность Р (t) Toro, что си
стема в IoMeHT t ::> о находится в начаJIЬНОМ состоянии
1 'Фо>. Соrласно правилам квантовой механики [108],
Р (t) == 1<'Фо 111' (t» 12.
Реша я задачу Ноmи ( 1. 0.4) для уравнения Ш рединrера
мы можем считать, что <'Фо r 11'0> == 1. В этом слу
чае по теореме Фока Крылова [113] имеем
f (t) === <'Ч'о 1'" (t) == I Ck 12 ехр ( iE 1ft) +
k
00
+ Ic(E)12exp( iEt)dE, (1.0.5)
о
Таким образом, f (t) можно интерпретировать как xapaK
теристическую функцию HeKoToporo распределения, име
ющеrо дискретную составляющую (вероятности отдеJIЬНЫХ
значений) I Ck 12 И абсолютно непрерывную составляющую
(т. е. плотность) 1 С (Е) 12. Нестабильность системы озна
чает, что вероятность Р (t) == 1 f (t) 12 возвращения систе
мы в первоначальное состояние в момент t стремится к HY
лю при t 00.
Поскольку f (t) характеристическая функция, то
1 f (t) I -----7 О только тоrда, коrда отсутствует дискретная
составляющая спектра оператора Н, Т. е. Ck == о. в ЭТОМ
*) Примером такой системы ожет служить нейтрон, живущий
в cpeДHe { 18,6 мин и распадающиисл в конце CBoero существования
на протон, электрон и нейтрино (п р + е t- v).
1.1. Модель точечных источников влияния
1.1. МОДЕЛЬ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИRОВ ВЛИЯIШЯ
случайно расположенных в и точек называют пуассонов
ским ансамблем (по поводу этоrо понятия см. [89]), если
она обладает следующими свойствами:
1 О. Числа точек N 1, N 2, попавших соответс:венно
в области и 1 и и 2, являются независимыми случаиными
величинами.
20. Вероятность р (N 1 == k) при любом k ;? О зависит
от k и объема области и 1 , но не зависит от ее формы.
30. При малых значениях объема и 1
р (N 1 == 1) == ри 1 + о (и 1 ),
р (N 2 2) == о (и 1 ),
45
44
rл. 1. ПРИМЕРЫ ПОЯВЛЕНИЯ УСТОЙЧИВЫХ 3АНОНОВ
Математическая модель, с которой мы познакомимся
в этом разделе, носит довольно общий характер И с нею
оказываются связанными некоторые типы задач из обла
сти астрономии, физики, биолоrии и т. д. Поцятно, что
В рамках общей математической модели решения практи
ческих задач скорее Bcero не MorYT претендовать на боль--
шую точность передачи свойств изучаемых явлений.
Однако как первое приближение они все же MorYT OKa
заться полезными для понимания особенностей этих яв
лений и для ориентировки дальнейших усилий исследо
вателей 1.2.
Рассмотрим некоторую область и конечноrо или бес
конечноrо объема в п MepHOM евклидовом пространстве
R n , которая в конкретных задачах может быть областью
физическоrо пространства, пространства времени, фазо
Boro пространства и т. п. В области и рассеяна счетная
система точечных объектов , которые мы условно будем
называть «частицами». Частицы характеризуются значе
нием параметра 8, принимающеrо значения из HeKoToporo
множества в.
Каждая из частиц системы способна создавать в и
некое «поле воздействия» (для кра тности просто ....... «поле»),
которое описывается с помощью «функции влияния»
V (х, У, z). Функция v (х, У, z) принимает значения из He
KOToporo множества V т MepHoro евклидова пространства
R ffi и показывает величину поля, создаваемоrо в точке
у Е и частицей, расположенной в точке х Е и и xapaK
теризуемой значением 8 == z. :Конечный набор частиц
А == {Х i} из , в котором частица с номером i располо
жена в точке Х i и имеет значение Zi характеризующеrо
ее параметра 8, по определению создает поле с функцией
влияния, равной
{v (X i , у, Zi): X i Е А},
(1.1.1)
rде р > о постоянная величина, имеющая смысл cpeд
ней плотности концентрации точек системы в области u.
Используя выписанные свойства, нетрудно показать,
что распределение величины N 1 подчинено закону Пуас
сона с параметром л == ри 1 , т. е.
р (N 1 == k) == л k ехр ( л); k == О, 1, . . . (1.1.2)
Отметим еще два свойства пуассоновских ансамблей
точек, которые нам в дальнейшем понадобятся.
4°. Пусть Х 1 ,. . ., X N1 положен я точек ансамбля,
попавших в область и 1 . Тоrда случаи!ые величины Х 1 ,
Х и N независимы между собои.
2, · · · 1 мб
5°. Условное распределение положения точки анса
ля в и 1 при условии, что она попала в эту область, рав--
номерное, т. е. имеет плотность распределения, равную
1/и в отношении системы частиц мы сделаем следующие
три предложения: б
а) система является пу:ссоновск м о а.псам леи
(и следовательно, обладает своиствами 1 5 ),
, Ь ) дЛЯ любой области U 1 конечноrо объема число час--
U ия Х Х этих час--
тиц N попавших в 1, положен 1, 2,...
1, Z Z ха р актеризующеrо их парамет--
тиц и значения 1, 2,". U .
ра 8 являются независимыми случаиными величинами,
с) случайные величины Z1, Z2, . . . подчинены одному
и тому же закону распределения Ре.
Для каждой области U 1 конечноrо объема поле" соз-
даваемое частицами, попавшими в U 1, является понятно,
случайным, и в соответствии с праВИЛО 1 (1.1.1) ero вели
чина в точке у Е: и равна
. Vl===Vl(y)== {v(Xj,y,Z.1): Xj U1}. (1.1.3)
т. е. поле, равное векторной сумме полей, создаваемых
отдельными частицами из множества А.
:Как положения частиц Х i из , так и соответствую
щие им значения Zi мы будем считать случайными вели--
чинами, подчиненными ряду условий.
Пусть и 1, и 2 какие либо непересекающиеся об
ласти из U .конечных объемов и 1 , и2' Счетную систему
6
rл 1. ПРИМЕРЫ ПОЯВЛЕНИЯ УСТОЙЧИВЫХ 3АНОНОВ
1.1. МОДЕЛЬ ТОЧЕЧНЫХ истОЧНИRОВ ВЛИЯШIЯ
47
Поле, порождаемое всей системой щ, мы будем пони...
мать как некоторый предел. С этой це.ЛЬЮ рассмотрим
в R n множество сфер ST === ST (у) С общим фиксированным
Ц HTpOM в точке у Е и и меняющимися радиусами Т > о.
Затем образуем множества U Т == U Т (у) == и n ST (у),
Т > О и обозначим через ит их объемы, а через N т
число частиц системы , попавших ВИт. Эти частицы
порождают поле, которое в соответствии с (1.1.3) имеет
в точке у значение
ТаКИl\1 образом, ДJIЯ функции log fT (t) I пол чаем ы
- ражение
logfT(l)==P , [exp{i(t,v)} 1]dxP6(dz), ,1.1.5)
итхе
которое мы мол ем преобразовать далее, приняв за HOB
переменнуlO функцию v === v (х, у, z) и сформировав в R
меру
'VT=='VT(y) == {v(Xj,y,Zj): XjE и т }.
(1.1.4)
,. i
!-I. (В) == Р dJ'Pe (dz),
B:t-
(1.1.6)
I ' .\
. 00 (ри ) k t . ) "f .
. . ехр ( рит) kf (j) (t) ==:
. k o
rде В бор левское множество в множестве V с: R т
и В* ;::= {(х, z): v (х, у, z) Е В}. Понятно, TO введение
такой меры предполаrает измеримость функции v по паре
.(х, z) при каждом у Е U.
Как следствие (1.1.5) и (1.1.6) имеем, что
log fT(t) == [ехр {i (t, и)} 1)!-I. (dv),
Ут
; ' V T == {(х, z): v (х, у, z) Е U Т Х 8}.
ТаRИМ образом, функция fT (t) получает каноническо
представление Леви ДJIЯ характеристических фУНКЦИ}21
безrранично делимых распределений в R rп . Вопрос о cxo
димости интеrрала (1.1.7) не возникает, поскольку
!-I. (У т) === рит, rде ит объем области и т' Посколь
ку множество V т' очевидно, не убывает с ростом Т, то BO
прос о существовании предела функции fT (t) при 1.' qo
сводится к вопросу о существовании предела интеrрала
\, \; , J т == [ехр {i (t, и)} ,1] !-I. (dv): (1.1.8)
VT
: . .( 1.1. 7)
По определению полаrаем значение V (у) поля, по..
рождаемоrо в точке у всеми частицами из щ, равным
слабому пределу VT (у) при Т 00. Для выяснения
УСЛОВЦЙ- существования TaRoro предела и ero аналитиче
cltoro описания нам достаточно рассмотреть вопрос о пре
дельном значении при Т 00 хараl{теристической функ...
ции величины VT (у)
tT (t) == tT (t, у) === Е ехр {i (t, VT)}' t Е R m .
j .
с этой целью вычислим функцию fT (t), опираясь на
сделанные предположения а) с}. Из записи (1.1.4)
видно,т что 'VT (у) представляет собой сумму случайноrо
числа N т одинаково распределенных случайных величин
W j == v (X j , у, Zj), независимых от N T и между собой.
Следовательно, обозначая CPT(t) характеристическую функ
цию случайной величины W 1 , мы мо/:Кем записать, что
00
tT (t) ==: L Р (N T ==: k) Е ехр {i (t, W 1 + · · · + W k)} ==
k:=::.o
. 1
. .i,"
== ехр {pur (СРТ (t) ........ 1 )}.
и здесь может возникнуть нескольКО существенно разли
чающихся ситуаций. Обозначим чер з 1 (А) индикатор
события А и через L T интеrрал (вектор)
\о , 1\-
vI (1 v f < 1)!-I. (dv) ,
VT '
I ( . t :-- ::::- . / \j:.J J.
кот рый', очевидно, существует при всех i' > О. 3апиm м
интеrрал J т в виде 'j,o.1-
J Т == i (t, L T ) + (ei(t. v) ---: 1 i (t, v) 1 (1 v I < 1)) !-I. (dv).
VT '.:
. ':,>' '. \ , ....;. < ' . / t G li
Преобразуем выра}кение, стоящее в экспоненте послед..
нет'о равенства:
рит «(j)T (t) 1) ==: pи . '(ei(t. (х.у!ф 1) ;х Р в (dz) . ,
, '. . .::' . . - ,:. . , .и тхв ' . _ '" _ .. __.: .: ::......
· С'.'.. . . 'р "S . (ехр' { \t't 'J (x;y, :t))} ...:.;. 1}'ilzfe 4i)i
, ;. ;", . и.т хе - " --'"
. . . . /
. \.
48
r:т. 1. ПРИМЕРЫ ПОЯВЛЕНИЯ УСТОйЧИВЫХ 3АНОНОВ
1.1. МОДЕЛЬ ТОЧЕЧНЫХ источнинов ВЛИЯIIИЯ
49
Во втором слаrаемом интеrрирование по }lножеству V т
можно заменить интеrрированием по V, если OДHOBpeMeH
но заменить меру I-t на меру I-tт, совпадающую с I-t на мно"
жестве V т и равную нулю вне ero. При этом в силу Toro,
что множества V т неубывают с ростом Т, мера I-tт , I-t
при Т 00.
Поскольку log fT (t) == J т, то для сходимости fT (t)
К некоторой характеристической функции f (t) при
Т 00 необходимо и достаточно (этот факт вытекает из
общей теории безrранично делимых законов в Rm), чтобы
1) L T L при Т 00, rде L вектор из Rm,
2) D == min (1, I v /2) (dv) < 00.
v
При выполнении этих условий характеристическая функ..
ция f (t) предельноrо распределения имеет вид
log f (t) == i (t, L) + (ei(t,V) 1 i (t, v) 1 (/ v 1< 1)) (dv).
v
(1.1.9)
Укажем два случая, коrда выраi-нение (1.1.9) приоб
ретает более простой вид.
1 *. Если
Предельное значение L в рассматриваемом нами случае
не обязано иметь интеrральную форму записи, без чеrо М
нельзя интерпретировать как среднее значение предель
Horo распределения. Если все ,ке такое представление L
существует, то запись (1.1.11) леrко преобразуется.
НаРУПIение условия 2) ПО сути дела исключает воз
MOi-I\НОСТЬ существования предельноrо распределения
VT (у) даже после дополнительной центровки этой вели
чины. Поэтому рассмотрим ситуацию, коrда условие 2)
выполняется, а условие 1) нет. В этом случае имеет
смысл изучать не саму случйную величину VT, а ее сдвиr
VT === VT L T . Соответствующий слабый предел v этой
величины при Т 00 существует тоrда и только тоrда,
коrда выполняется условие 2), а характеристическая функ
ция f случайной величины v при выполнении условия 2)
имеет вид
log f (t) == (ei(t, v) 1 i (t, v) 1 (1 v I < 1)) (dv). (1.1. В)
v
п 1 == min(1,lvl) (dv) < 00,
v
Если дополнительно выполнено условие D 2 < 00, то
сдвиr величины VT можно производить математическим
ожиданием М т == EVT, которое в рассматриваемой ситу
ации конечно. При TaKOl\{ сдвиrе случайная величина
VT == VT EVT слабо сходится к случайной величине v
с характеристической функцией J вида
log J (t) == (ei(t,V) 1 i (t, v)) (dv). (1.1.14)
то условия 1) и 2) выполняются и
log f (t) == (ехр (i (t, v)) 1) (dv).
v
2 *. Если выполнено условие 1) и условие
п 2 == min (1, I v 1) I v I (dv) < 00,
v
(1.1.10)
Рассмотренные варианты сдвиrов случайной величины
VT производились в тех случаях, коrда сама величина
VT не имеет слабоrо предела, т. е. в тех случаях, коrда
поля, создаваемоrо всей системой частиц , просто не
существует. Тем не менее, приведенной выше конструкции
предельных аппроксимаций распределений случайных
величин VT и 'VT можно придать практический смысл.
Дело в том, что появление в модели области И бесконеч
Horo объема является математической идеализацией.
В действительности же область И имеет хотя и большой,
но конечный объем. В этом случае мы изучаем случайные
флуктуации поля, порождаемоrо частицами в И, из KOTO
poro выделена некоторая постоянная составляющая.
После выделения постоянной составляющей можно ради
упрощения вычислений расширить соответствующим
из которото, очевидно, следует Свойство 2), то
log f (t) == i (t, М) + (ei(t,V) 1 i (t, v))!! (dv), (1.1.11)
v
I'де
М ==L + v (dv).
I vl l
( 1.1.12)
50
rл. 1. ПРИ МЕРЫ ПОЯВЛЕНИЯ УСТОйЧИВЫХ ::JAHOHOB
. 1.1. МОДЕЛЬ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИRОВ влияния
51
образом область и, если это, конечно, не вносит сущест
венных искажений в наши расчеты. ,
Предельные распределения, рассмотренные выше..........
(1.1.9) (1.1.11) и (1.1.13) (1.1.14), являются безrра
нично делимыми. Естественно ожидать, что в каких то
случаях мы столкнемся и с т мерными устойчивыми за
конами, что целиком определяется видом меры, определя
емой равенством (1.1.6), которая в свою очередь зависит
от свойств функции влияния v (х, У, z) и в меньшей CTe
пени от свойств распределения Ре.
Ниже мы выделим один класс функций влияния, по
рождающих устойчивые распределения. Он связан
с преобразование:м формулы (1.1.10), сопровождаемой
условиемD} < 0о,иформул(1.1.11), (1.1.14), полученных
под условием D 2 < 00.
В отношении области и и множества точек у, дЛЯ KO
торых будут вычисляться распределения величин v (у),
v (у) и v (у), мы сделаем следующие предположения:
(i) Если х Е и, то х + У Е. и.
(ii) U == U 1 Х U 2 , rде U j область из подпрост
ранства Rnj, при этом пj > О и п 1 t п2 === п. COOTBeTCT
венно с этим разложением мы обозначим х == (х 1 , Х2) и
У == (У1, У2)' rде Х 1 , У1 Е и 1 И Х2, У2 Е и 2 .
Предположим далее, что функция влияния v (х, У, z)
имеет следующую структуру
I Х 1 У 1 ' p D (1 х 2 У 2 111 Х 1 у 11 q , . ), ( 1.1 · 15)
rде символ «.» указывает на зависимость D от у, s j ==
== (х. У.1)/I Xj Yjl, rде j == 1, 2, и z или же от части
этих J переменных. В дальнейшем числа р > о и q о
будут связаны с размерностями подпространств п 1 , п2
дополнительными условиями.
Рассмотрим равенство (1.1.10) с условием D 1 < 00,
вернувшись в их записи к исходным переменным х, z:
rде Sj точка на поверхности сферы еДиничноrо радиуса
Sj с центром в начале координат. Имеем
(()1 === (ei(t. v) 1) ах === (()2 ds s ds 1 ,
U 81 8,
rде
00
002 === [ехр {i (t, rl P D (T2/T , .))} 1] T 2 1T ' 1 dr" drl;
о
Сделаем замену nepeMeHHoro, заменив r 2 на r2r , и полу..
чим после изменения порядка интеrрирования
00 00
r n2 1 d r [ ( .1: p ) 1 nl+n2q 1 d
{О2 === j r 2 r2 j ехр l r1 ] r1 r1,
о о
rде == (t, D (r 2 , · )).
;!i После замены переменноrо r1 P на r 1 находим
. t I
00 00 1
1 r \ (nl+qn2) 1
002 === Р J T 2 1 dr2 J (ei,r, 1) Т 1 Р аТl.
о о
, '
Если число
1
а -=== (пl + qп2) < 1,
р
( 1.1.16)
то внутренний интеrрал в выражении {О2 сходится и
00
(е*' 1) Тl':Н drl === r ( сх) I I<x ехр ( i а sign s ) ,
о
откуда получаем, что
00
Ш2 === r (; а) I (t, s) '<Х ехр ( i п; sign (t, s») I D I<x T 2 1 dr2,
о
log j (t) === Р (ei(t, v) 1) аХРе (dz),
Ихе
.D 1 === Р min (1, I v 1) dxPfJ (dz) < 00.
Ихе
, Перейдем в интеrрале (1.1.10*) к полярной системе
координат n подпространствах Rnj, полаrая (j == 1, 2)
r j == I Х j У j " Х j у j == r jS j,
(1.1.10*)
rдеs==DIIDI.
Введем меру Х на единичной сфере S в R n , полаrая
для любоrо борелевскоrо множества В на S
(В) pr (1 а) \ I D f n2 1
Х === ар J (r2, .) а r2 dr2 dS 1 ds 2 P е (dr).
SEB
(1.1.17)
. с ' y eTOM тех выражений, которые мы получили для
Юl И 002, правую часть (1.1.10*) мы може:м преобразовать
52
rл. 1. пРИDРЫ пойвriEitия УСтойЧИВblX ЭАИОНОВ
1.1. МОДЕЛЬ точЕчных ИСТОЧНИНОВ ВЛИЯВИЯ
53
R виду
log f (t) == I (t, s) la е хр { i 4- а s ign (t, s) } Х (ds), ( 1.1.18)
8
что соответствует канонической форме записи характери
стической функции п MepHoro устойчивоrо закона со зна
чением OCHOBHoro параметра О < а < 1.Дополнительным
условием, которое присутствует при описании п epHЫX
устойчивых законов, является конечность полнои меры
Х (8). Нетрудно проверить на основе (1.1.17), что усло...
вие Х (8) < 00 эквивалентно условию D 1 < 00.
Второй случай связан с преобразованием интеrрала
(о == (ei(t,V) 1 i (t, v»!..I. (dv)
v
в формулах (1.1.11) и (1.1.14) при условии выполнения
условия D 2 < 00. Имеем, повторяя те же рассуждения,
которые использовались выше,
(о == р Рв (dr) (e i (t.1') 1 i (t, v» dx ==
е и
== р Р в (dr) (02 Ш 2 ds 1 ,
е 81 8а
ro == log f (t):
(0)== l(t,s)la exp{ i4-аsign(t,s)}Х(d8). (1.1.19)
8
00
Конечность полной меры Х (8) эквивалентна условию
D 2 < 00.
Разобранные случаи относятся к числу наиболее про
стых. Устойчивые законы получаются и на основе формул
(1.1.9), (1.1.13), поскольку вопрос о том, будет ли пре..
дельное распределение устойчивым или нет, решается
в конечном счете лишь видом спектральной меры (dv),
который напрямую связан с видом функции v (х, у, z).
В этих усложненных случаях появляются также и законы
1
со значением а., == (пl + qп2) === 1.
р
3 а м е ч а н и е 1. Отметим тот факт, что поле, соз
даваемое множеством частиц, не обязано быть однородным
и изотропным. Иаким будет это поле зависит от CTPYK
турных особенностей функции влияния. Поэтому в общей
ситуации вычислявшиеся устойчивые распределения вели--
чины поля 'v (у) В точке у или величины предварительно
центрированноrо поля v (у) зависят от у, хотя основной
параметр а этих распределений при изменении у не Me
няется.
Распределения 'V (у) И v (у) не будут зависеть от у
в TO I случае, коrда функция влияния v обладает свойством
однородности в пределах множества И:
rде
r r . P п) 1 . ( p D )] 1 2 1 n1 1 d d
(02 == j [е х р {l (t, r 1 } 1, t, r 1 r 2 r 1 r 2 r 1.
о
После замены переменноrо r 2 на r2r величина D становит..
p
ся независимой от r 1 , а после замены rl на r 1 интеrрал (О,
преобразуется к виду
v (х, у, z) === v (х у, О, z),
( 1 . 1. 20 )
00 00
1 С n 1 С ( .t: 1 .t ) a l d
(02 === Р J r2 2 dr2 J e 'oT1 1, rl rl rl,
о о
что равносильно тому, что функция D в выражении
(1.1.15) не зависит от у.
Отметим еще одну деталь. Вместо функции влияния
вида (1.1.15) можно было бы выбрать функцию
1
rде S == (t, D (r 2 , .)) и а == р (пl + qп2), Если 1 <а < 2,
то внутренний интеrрал сходится и может быть вычислен.
Он оказывается равным r ( а) I \а ехр ( i а sign ) .
Следовательно, вводя меру Х так же, как это делалосъ
н (1.1.17), но с ПРОТИВОПОЛОЖНЫ I знаком, мы придем
к следующе:му ВI)IРUiнению для w == log f (t) i (t, lVl) и
v (х, у, z) === 1 Х 1 ' P D (1 Х 2 1/1 Х 1 I Q , .),
(1.1.21)
rде символ «.» означает зависимость от х 1 /1 Х 1 1, х 2 /1 Х 2 1,
у и Z. В этом случае условие (i) не нужно. Все рассуждения
и выводы, проводившиеся на основе предположения
(1.1.15) , останутся без ИЗ lенения.
54
rл. 1. ПРИ МЕРЫ ПОЯВЛЕНИЯ 'УСТОЙЧИВЫХ 3АНОНОВ
1.1. МОДЕЛЬ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИНОВ влияния
55
З а м е ч а н и е 2. Предположим, что функция D
в равенстве (1.1.15) имеет следующую структуру:
D (1 Х2 У2 1/1 Хl Уl I Q , .)
== ер (1 Х2 У2 111 Х 1 Уl I Q , у, z) 'ф (81, 82, у), (1.1.22)
Р (ах, dz) == dx1Q (ах 2 , dz).
( 1 . 1. 24 )
Оказывается, что в том слуqае, коrда действуют усло
вия (1.1.23), (1.1.24), распределение v (у) и v (у) является
устойчивым с параметро:м: а == п 1 /р. Вычисление функций
log f (t) в (1.1.10) и log J (t) в (1.1.14) осуществляется по
той же схеме, которая ИСПОЛЬЗ0валась выше. Параметр
а === п 1 /р варьируется в интервале (О, 1), если ИСПОЛhзует
ся условие D 1 < 00, и в интервале (1,2), если использует
сл условие D 2 < 00.
Если, по аналоrии с (1.1.22),
v (х, у, z) ==
=== I Х1 У1 I Pep (1 Х2 У2 1, у, z) 1р (Sl, S2, у), (1.1.25)
rде ер вещественная, а 1р такова, что 1р ( 81' 82, у) ;::=
=== 1p (81, 82" у) или же 1р (Sl, 82, у) == 'Ф (S1, 82, у) И
Q (аХ2' dz) == Ql (dr 2 , dz) d82, то порождаемое функцией v
распределение является сферически симметричным устой
чивым с параметром а, меняющимся в пределах от О до 2.
Приведем несколько примеров конкретных приклад
ных задач.
При м е р 1. r р а в и т а Ц и о н н о е п о л е
з в езд. Задача о распределении rравитационноrо воз
действия звезд различной массы, равномерно рассеянных
в пространстве с плотностыо р, на единичную массу в
выбранной точке рассматривалась Хольцм:арком [139]
(об этой задаче rоворилось во введении). Система предпо
ложений, использовавшихся Хольц:марко:м, вполне OTBe
чает условиям рассматривавшейся нами модели. Выбереl\;I
и == v === R3, <9 === R+ === (О, 00) и
v (х, у, z) === Gz (х у) / 1 х у 13. ( 1.1 .26)
Функция v выражает известный закон притяжения Нью
тона, показывая, с какой силой тело, расположенное
в точке х и имеющее массу z, притяrивает к себе единичную
массу, помещенную в точку У, G rравитационная по
стоянная.
Вид функции v соответствует случаIО (1.1.22). Условие
D 2 < 00 будет выполнено, если предполол-\ить, что h ===
== Е8 З / 2 < 00. Поскольку вид (1.1.22) функции v обеспе
чивает равенство Лf == О в (1.1.11) за счет нечетности по
переменному 81, то В соответствии с (1.1.19) мы получим
после вычислений, что rравитационное поле однородно и
log f (t) == л I t J3/, == 8 2 phG3/2 I t 13/2 ,
rде ер вещественная функция, 8j == (Хз yj)/il Xj yj 1
и 'ф ( 81, 82, у) == 'Ф (81, 82, у) или же 11' (81, 82, у) ==
=== 'Ф (81, 82, у). В этом: случае величины v (у) и v (у)
при выполнении соответствующих условий (т. е. условия
D 1 < 00 для v и условия D 2 < 00 для " ) имеют сфериче
ски симметричные распределения с характеристическими
функциями вида
ехр ( л I t la), о < а < 2,
1
rде а == (п] + qп2) и л постоянная, зависящая от v
р
и Ре.
З а м е ч а н и е 3. Вопрос о том, какие функции вли
яния приводят К устойчивым распределениям в модели
точечных источников влияния, по видимому, не исчерпы
вается функциями типа (1.1.15) и (1.1.21). Поэтому пред
ставляет интерес поиск друrих типов функций и, порож
дающих устойчивые законы. Друrое интересное направ
ление исследований связано с желание I ослабить исходные
предположения а) с) общей модели. То, что поиск
в этом направлении перспективен, показывает следующий
частный случай.
Пусть
v (Х, у, z) ::::::: I Хl Уl I p D (Х2 У2, .), р> О, (1.1.23)
rде символ «. » означает зависиыость от 81, 82, У и z, и
пусть вместо условий Ь) и с) имеются условия:
Ь*) дЛЯ любой области U 1 конечноrо объема число час
тиц N 1 , попавших в U 1 , не зависит ни от положений
Х 1 , Х 2 , . . . этих частиц, ни от значений Zl, Z2, . .. xa
рактеризующеrо их параметра 8;
с*) пары случайных величин (Х 1 , Zl)' (Х 2 , Z2)' . . . He
зависимы и одинаково распределены.
В плане новых условий мы предположим, что COBMeCT
oe распределение Р (ах, dz) имеет следующую структуру
56 :rл. 1. ПРИ МЕРЫ ПОНВЛЕНIIЯ устойчивых 3АНОНОВ
1.1. МОДЕЛЬ ТОЧЕЧНЫХ источнинов влияния 57
т. е. CY lapHoe воздействие" всех звезд в любой фикси
рованнои точке имеет сферически симметричное распре-
деление с Q', == 3/2 1.3.
Вместе с величиной силы " rравитаl ионноrо воздей
СТВИЯ системы звезд на единичную массу в нуле можно
рассматривать и скорость изменения " во В р емени KOTO
б , ,
рую мы о означим v . Поскольку из равенства
v === v (X i , о, Zi) === G ZiXi I X i ' 3
i
следует, что
v' ===G Zi {Yil Х ? ' 3 3X i (X i , Y'i) I X i ' 5},
I
При м е р 2. Р а с п р е Д е л е н и е т е м II е р a
т у рыв я Д е р н о м р е а к т о р е. Задача, которой
мы будем заниматься, выrлядит следующим образом.
В теле D с rраницей r под воздействием облучения в слу
чайные моменты времени L1, L2, . . . и в случайных местах
У1, У2, · . . возникают кратковременные, но весьма ин
тенсивные температурные вспышки, связанные с актами
ядерных преобразований. Каждая вспышка, возникшая
в момент т i в точке У i приводит за счет распространения
тепла в теле к повышению температуры к моменту r > Li
В выбранной точке а Е D на величину L (r 't i, У i, а),
rде функцин L (х 1 , Х 2 , а) является решением уравнения
теплопроводности
a a lJ == L + б (а Х2) б (Xl) (1.1.27)
Хl
I'де Y i CKOpOCTI} ИЗ fенения X i , то сделав естественные
преДПОЛОiI\ения, что тройки величин (Х i, Y i , Zi) незави
симы меiRДУ собой, как и то, что Х i не зависит от паРJ}!
Y i , Zi, мы подучаем ситуацию, описанную в замечании 3
в виде условий а), Ь*) И с*).
Пусть U == R6, и 1 == R3, и 2 == R3, V == R3, в == R+.
Выберем здесь фУНКЦИIО влияния
V (х, У, z) == 'Х 1 У1 ' 3ep (IX 2 У2 1, z) Iф (Sl, 82)'
l'де ер (r, z) == Grz и 'ф (SI, S2) == 82 3S 1 (81, S2)' COB leCT
ное распределение У1 и Z1 обозначим через Р (dx 2 , dz).
Вид функции v показывает, что она является частным
случае 1 (1.1.23).
Из физических сообраi'кений следует, что это распре
деление является сферически симметричным по первому
aprYMeHTY, т. е. Р (ах 2 , dz) == Q (dr 2 , dz) ds 2 .
Описанная ситуация является, как леrко видеть, част
ным случае I ситуации, обсуждавшейся в замечании 3.
fы имеем р == 3 и п 1 == 3, откуда а == 1. Следовательно
скорость измене ия силы ,,' в любой точке пространств
по дчинена устоичивому распределению с ха рактеристи
ческой функцией вида ехр ( лl tl), т. е. ,,' имеет TpeX lep
ное распределение КОПIИ. НеСЛОII-\ные расчеты показы
вают, что
('х 00
л == Gkh, rде h == rzQ (dr, dz)
о о
aL I
с rраничным условием L + Ь ---дп-- r == О, I'де оператор
JIапласа по пере lеННО IУ а и б (х) так называемая
б функция Дирака (как обобщенная функция б слу,нит
плотностью вырожденноrо распределения, сосредоточен
Horo в точке х, по поводу реIпения этоrо уравнения см.
i 87]).
Температура Т (r, а) в точке а в момент r складывается
из тех взносов, которые дали вспышки, происшедшие
до этоrо момента, т. е.
т (r, а) == {L (r 'ti, Y i , а): 'ti < r}.
Нетрудно заметить, что задача полностью отвечает
Te I условиям, которые были поло,нены в основу модели
точечных источников влияния, если относительно пар
Х i === (Ti, Y i ) сделать естественные предположения а}
с), полаrая при этом и 1 == R+, и 2 == D, U == и 1 х и 2 ,
V == R+. Если мы считаем, что вспышки происходят за
счет распада атомов одноrо типа, то множество (3 можно
считать пустым, т. е. считать функцию L не зависящей от
характеризующеrо атомы параметра 8. В противном слу
чае функцию L следует считать зависящей от этоrо пара
метра. Мы разберем наиболее простой первый случай.
То, что в решение L уравнения (1.1.27) не входят фи..
зические характеристики материала облучаемоrо тела
такие, как коэффициент температуропроводности, энер-
rия, выделяемая в процесс е одной вспышки, теплоем:..
кость вещества и т. д., объясняется специаЛЬНЫl\1 выбором
и
k == I (е, , (81, 82») I dS 1 d82, е === (1, О, О).
8182
58
t'л. 1. ПРИМЕРЫ ПОЯВЛЕНИЯ УСТОЙЧИВЫХ ЗАRОНОВ
1.1. МОДЕЛЬ ТОЧЕЧНЫХ nсточIiИI{ОВ йJtИЯНИЯ
59
единиц измерения длины, температуры и времени,
блаrодаря чему задачу MOiHHO рассматривать в безразмер--
ной трактовке (подробнее см. [114], rде впервые рассмат-:-
ривалась эта задача).
Поскольку мы предполаrаем: набор пар Х i == (ti, Y i )
пуассоновским ансамблем, подчиненным условиям Ь)
и с), то ответ a опрос о том, каким является распре--
деление случаинои величины Т (r, а), связанной с телом
D конечноrо объема, решается просто. Соrласно (1.1.5)
ее характеристическая функция tD (t) имеет вид
решением (1.1.27) будет функция
L (Х1, Х2, а) ==:: (4Л:Х1) 3/2 ехр { 2 1 I Х2 а 12} ·
Положим Х == (Х1, Х 2 ) и v (х) === L (х 1 , Х 2 , О) И вычислим
характеристическую функцию f (t), соответствующую
D == R3. Имеем
log 1 (t) ==:: р (e itv 1 ии) d X 1 d X 2'
Ra R+
(1.1.29)
r
log tn (t) == itM n + Р (e itL 1 itL) (1Х1 dX2, (1.1.28)
Do
lIетрудно заметить, что мы имеем ситуацию, соответ--
ствующую (1.1.14) с функцией влияния вида (1.1.21).
При этом р == 3/2, q == 1/2, п1 === 1, п2 == 3. Следователь--
но, распределение является устойчивым с параметром
CJ., == 5/3.
Проведем более детальное вычисление (1.1.29). С этой
целью вычислим меру f.1 (dv) == dx 1 dX 2, приняв за новую
переменную (1) == v (и). Имеем
р (ro) ==:: dXl dX2 ==:: 4л: r: dX1 dr2.
v>ro v>ro
тде р средняя плотность пар Х i в пространственно--
временном множестве D х R+, L == L (х 1 , Х2, а) и
r
М п ==:: Р L (Xl. Х2, а) dX1 аХ2.
Do
Изучая стохастические закономерности изменения TeM
J;Iературы Т в различных пространственно временных
точках (а, r), естественно исключить из Т постоянную
составляющую M D и рассматривать величину "D ==
== т М п .
Изменим в точке (а, r) начало отсчета времени, заменив
r на r + (J) и устремим (J) 00, что означает, очевидно,
переход к стационарному режиму. Пусть величина 'VD обо--
значает слабый предел величин "D при таком предельном
переходе. Cor ласно (1.1.28), величина 'v 1) имеет ха ракте--
ристическую функцию
log llJ (t) ==:: р (e itL 1 и1-) d X 1 dX2.
DxR+
Понятно, что распределение 'VD не зависит уже ни от а,
ни от r.
Дальнейший успех в вычислении J D (t) целиком зави--
сит от Toro, сумеем ли мы найти явный вид функции вли--
яния L.
Рассмотрим случай столь большоrо тела D что ero
без:большоrо ущерба можно заменить в вычисле иях всем
пространством R3. Здесь в качестве rраничноrо условия
уравнения (1.1.27) естественно взять L (х 1 , х 2 , а) О
при I а I 00. llетрудно проuерп:ть, что .8 этом случае
, '!
После соответетвующей замены переменных находим, Ч1'Р
. 'I.! , Р (ro) ==:: ro 5/3 4л:r: dr2 dX1 == k(JJ 5/3.
ft:(. v>1
Постоянная k вычисляется блаrода ря тому, что И,нтеrри '
рование по области ((r 2 , х 1 ): v > 1) сводится к оследо"
вательному интеrрированию. И:менно'
'у.
2 1 ( 3 ) 3/2
k == 4л. J dX1 J r2 dr2 === '10п 5 '
о о
тде А == (4n) 1 и В ( 6X1 log (4nXl» 1/2.
Таким образом,
!.I. (dro) ==:: + kro ) /3 dro.
Дальнейшее вычисление (1.1.29) труда не составляет.
В итоrе получаем, что v имеет одномерное устойчивое
распределение с характеристической функцией
log J (t) ==:: -+ r (+) pk ( it)5/3,
60
rл. {. ПРИМЕРЪ1 ПОЯВЛЕНИЯ устойчИвЫх 3АНОВ:ОВ
что cooTBeTcTByerr в форме (В) значениям
t 3 ( З ) 3/2 ( 1 )
а === 5/3, == 1, l' == О, л === 20п 5 r 3 р.
11 р и 1\1 е р 3. Р а с п р е Д е л е н и е н а п р я
ж е н и й в к р и с т а л л и ч е с к и х реш е т к а х.
Кристаллические структуры, как известно, отличаются
строrим rеометрическим расположением входящих в них
атомов. Однако это идеализированное представление
о кристаллах оказывается справедливым ЛИIIIЬ в очень
небольших их частях. Реальные кристаллы всеrда имеют
те или иные на РУПIения в своей структуре то ли за счет
Toro, что на ПОЛОiкенном месте иноrда оказываются по
сторонние аТОl\IЫ, то ли за счет Toro, что в этих местах
вообще нет никаких атомов.
кие аномалии в I\ристаллических решетках назы
вают дислокациями. Они MorYT быть рассеяны в теле кри
сталла, но MorYT собираться, образуя линии и даil\е
поверхности сложных конфиrураций. Мы будем рассматри
вать случай точечных дислокаций, равномерно рассеян
ных в теле кристалла со средней плотностью р. Каждая
из точечных дислокаций создает некоторое дополнитель
ное напряжение в узлах кристаллической решетки, опи
сываемое тензором напряжений V == (Vkl; k, l == 1, 2, 3;
k =1= l), зависящим вообще rоворя, от точки у, rде при
сутствует дислокация, от той точки х, в которой напря
жение рассматривается, и от типа дислокации, задавае1\IО
ro значением HeKoToporo параметра 8. Во мноrих KOHKpeT
ных случаях тензор V (х, у, 8), который без ущерба для
сути разбираемоrо вопроса мы можем считать просто
6"мерным вектором, имеет следующий вид (по крайней
мере, для точек х, у, удаленных от rраниц кристалла):
V (х, у, z) === 1 х у 1 3D (8, z), 8 === (х y)/Ix у 1,
( 1 . 1 . 30 )
rде вектор D (8, z) обладает следующим свойством
D (8, z) == D ( 8, z).
(1.1.31)
Суммарное напряжение в точке у, создаваемое точеч
ными дислокациями, раСПОЛОil енными в точках Х i и
Иl\lеющими соответствующие типы Zi, равно векторной
сумме и (X i , у, Zд.
i
{.1. МОДЕЛЬ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИI\ОВ вЛИЯНИЯ
61
Совершенно очевидно, что здесь имеется основа для
использования модели точечных источников влияния.
Действительно, и тело кристалла В R3, точечные дис
локации X j в и образуют систему частип; щ, которую мож:
но считать удовлетворяющей условиям а) с) общеи
модели, возможность этоrо подтверждает знаком тво со
специальной литературой, см. [103], [141]. «Деи твие»
отдельных дислокаций описывается одной и тои iI\е
функцией влияния v (х, у, z) со значениями из HeKoToporo
множества V Е R6. Вид функции v совпадает с (1.1.15)
(р === 3, п 1 == 3, п2 == о), а ее свойство J ентральной сим
метрии дает ВОЗ 10iI\ПОСТЬ использовать для расчета CYM
ма pHoro действия v системы Щ равенство (1.1.1 о) со зна че
нием М == О.
В итоrе мы получаем, что v подчинено уст йчивому
центрально симметричному распределеНИJО в R со зна
чением а === 1:
log f (t) === I (t, v) I х (dv), (1.1.32)
rде
(:
х (В) === р I D (s, z) I dsPe (dz), В Е R6.
DIIDIEB
ЭТО распределение является несферическим аналоrом
шестимерноrо распределения Коши. Ero проекции на KO
ординатные оси представляют собой обычные распределе
ния Коши (с различными, вообще rоворя, масшт бными
параметрами л). Отметим, что решение приведеннои зада
чи на уровне расчета распределений координат суммарных
напряжений содержалось в [112].
При м е р 4. Р а с п р е Д е л е н и е м а r н и T
Н О r о п о л я пор о iI Д а е м о r о с е т ь ю э л e
м е н т а р н ы м а r н и т о в *). В одной из задач фи
зики встречается следующая схема. u
В пространстве и === R3 рассеяны со среднеи плот
ностью р элементарные маrниты, расположенные в точках
Х i Е и, с которыми связаны соответствующие им Mar
нитные моменты Zi. Маrнитный момент векторная xa
рактеристика, принимающая значения из е == R3. Каж
дый такой маrнит создает в и маrнитное поле, причем
величина и нап равление напряженности маrнитпоrо поля в
.) с этой задачей автора познакомил Д. Вандев (Институт ма-
тематики Болrарской Академии наук, София).
62
rл. 1. примЕры ПОЯВЛЕНИЯ УСТОЙЧИВЫХ 3АИОНОВ
1.2. ПРИМЕРЫ ИЗ РАДИОТЕХНИНИ И ЭЛЕНТРОНИНИ
63
1.2. Устойчивые законы в задачах радиотехники
и электроники
Мы познако:мимся ниже с двумя при:мерами появле
ния устойчивых законов в практически используемых
моделях. Модели эти совершенно различны и объединены
здесь по чисто формальным соображениям.
- Первый пример связан с расчетами работы сиете:м
ретрансляционных радиостанций (в ИНiненерной праJ\ТИ
ке их называют радиорелейными линиями связи). В Ma
тематическом плане та часть общей проблеl\IЫ, которой
будет отдано наше внимание, берет свое начало в работе
[133], а ее решение с привлечением устойчивых законов
составило содержание ряда работ, из которых основной
следует считать [132]. Передача высококачественных pa
диосообщений на дальние расстояния (например, телепе
редач) ставит перед инженерами не только задачу peT
рансляции высокочастотных радиосиrналоп, ВОЗМОiННЫХ
к приему лишь в пределах прямой видимости, но и задачу
борьбы с их шумовыми искажениями. Одна из простей
тих моделей, на которой можно проследить как сами воз
никающие при этом эффекты, так и пути их количествен
Horo анализа, выrлядит следующим образом.
Рассмотрим вектор а Е R2, вращающийся с большой
ут'ловой скоростью ю. Проекция вектора а на ось х в MO
мент времени t при условии, что ero движение началось
с положения, определяемоrо уrлом ер, является периоди
ческой функцией у (t) == I а 1 cos (юt + ер). Колеба тель
ный процесс на выходе радиоп реда тчика описывается
функцией у (t), в которой величина 1 а 1 называется ампли
тудой радиосиrнала (ero мощность пропорциональна
1 а 12), ffi ero частотой и (ot + ер ero фазой (в l\IOMeHT t).
На выходе передатчика величины I а I и ю поддержива
ются постоянными, а передача полезноrо сиrнала осуще
ствляется м:одуляцией сиrнала по фазе, т. е. изменениеl\f
величины ер.
Если бы радиосиrнал достиrал приемника без измене
ния, то восстановление ero информативной части сдви
ra по фазе ер происходило бы без затруднений. Однако
в реальной обстановке радиосиrнал достиrает приемника
в искаiненном и ослабленном виде. Происходит это за
счет Toro, что после выхода из передатчика имеется мно"
rолучевое рассеяние сиrнала (даже если ему и стараIОТСЯ
придать остролучевую направленность). В результате
часть излучения не попадает на приемную антенну, ввиду
оrраниченности ее размеров, что приводит к падению мощ
ности сиrнала, тем, понятно, большей, чем дальше от
приемника отстоит передатчик. Та же часть излучения,
которая достиrает антенны, проходит расстояние не по
единой траектории, а по пучку траекторий. Различие Tpa
екторий, в свою очередь, приводит к тому, что составляю
щие пучок лучи достиrают приемника с измененными фа
зами. Так как изменения саl\1И по себе малы, то в сочета
точке у, создаваемые элементарным маrнитом, находящем--
ся в точке х и обладающим моментом z, дается функцией
влияния (V == R3):
v (х, у, z) == С 1 х у ' 21 z 1(8, е)2(2 (8, е) 8 е), (1.1.33)
rде 8 == (х у)/I х у 1, е === z/I z I и с маrнитная
постоянная.
Физические соображения показывают, что систему
рассеянных в и элементарных маrнитов со средней плот
ностью р можно считать пуассоновским ансамблем, удо"
влетворяющим условиям Ь) и с). Распределение Ре (dz)
маrнитных моментов может быть различным.
Поле маrнитной напряженности" создаваемое систе
v '
мои маrнитов f, как это видно из (1.1.33), одно родно.
Вид функции влияния частный случай (1.1.15) со 3Ha
чениями р == 2, n 1 == 3 и 'n 2 == О. Центральная симметрия
этой функции и выполнение условия D 2 < 00 приводит
нас к распределению", задаваемому (1.1.11) со значением
М == О.
в итоrе мы получаем для " трехмерное устойчивое
распределение с сх == 3/2 и характеристической функцией
log f (t) === I (t, s) 13/2 ехр { i + л: sign (t, S)}!1 (ds),
8
rде
2 а/ \
J1 (В) ===:3 V jt с 2 J I (8, z) /31 z ' 8/2 d8P e (dz).
В*
Интеrрирование здесь проводится по множеству В* тех
(8, z), для которых (2 (8, z) S z)/ I z I Е В.
В частности, если Ре (dz) является сферически симмет
ричным распределением, то " подчинено распредеJlению
Хольцмарка (см. пример 1)1..з.
64
rл. 1. ПРИМЕРЫ ПОЯВЛRНИЯ УСТОЙЧИВЫХ ЗАRОНОВ
вии С большой частотой w и с тем, что их MHoro, мы имеем
близкое к равномерному распределение по фазе связанных
с ними векторов. В итоrе суммарный двумерный вектор Х
имеет характер случайноrо вектора, подчиненноrо Kpyro
вому нормальному распределению. Отсюда следует, что
длина I Х I вектора х подчинена распределению Релея
с плотностью
р (х) == D 2x ехр ( x2/2D2), х > О, (1.2.1)
rде D2 дисперсия компонент вектора Х. Ослабление
мощности сиrнала и преобразование детерминированной
по величине амплитуды радиосиrнала в случайную еще
не создает серьезных трудностей для выделения полезноrо
сиrнала сдвиrа фазы ер. Сложности начинаются после
вторжения шумовых эффектов, создаваемых самой прием
ной аппаратурой.
Влияние шума MOiHHO представить себе как добавку
к Х случайноrо двумерноrо вектора У, им:еющеrо Kpyro
u
вое нормальное распределение с дисперсиеи компонент а--.
Вектор Х + у имеет фазу, отличающуюся от фазы BeK
тора Х на уrол 11', который определяется равенством
'Утl
t,g'/J== IX+Ypl (Yт), л:<",<л:, (1.2.2)
rде У У т радиальная и танrенциальная состаВЛЯIО
щие B Topa У по отношению к вектору Y., а (У т)
случайная веJIичина, определяемая направлением У т
и принимающая значения +1 и 1 с вероятностями 1/2.
Поскольку вся картина развертывается во времени, BeK
торы Y, у и определяемый и:ми уrол 11' зависят от t, т. е.
представляют собой случайные процессы. Процессы Х (t),
У (t) (и, следовательно, 11' (t», связанные с различными
участками ретрансляции, мо/нно считать независимыми
и стационарными.
Суммарное иска/пение 'Ф информационной фазы <р
в мом:ент времени t после про хождения N участков pe
трансляции (если пренебречь запаздыванием при переходе
от участка к участку) определяется равенством
tg 'Ф (t) == tg ('Фl (t) + . . . + фN (t», n < '1' < л.
(1.2.3)
Распределение фj (t) СИМ lетричпо при каЖДО 1 t, Как
это видно из (1.2.2). ПОЭТО 1У Ефj (t) == О. Тем же СВОЙСт
I
,
1.2. ПРИМЕРЫ ИЗ РАДИОТЕХНИRИ И ЭЛЕRТРОНИRИ
65
вом, очевидно, обладает и величина 'Ф (t). С учетом этоrо
свойства в качестве меры, характеризующей уровень
шума в передаче, обычно выбирается величина квадратиче
cKoro отклонения 'Ф (t) от нуля на каком либо интервале
времени фиксированной длины. Например, на интервале
длиной в 1 сек
1
'У 2 == '/J 2 (t) dt.
о
Оценка величины 'У 2 представляет собой довольно сложную
в аналитическом плане задачу. Упростить ее можно за
счет HeKoToporo оrрубления. Именно, во первых, в СОО1--
ветствии с (1.2.3),
1
'Y2< Nl(t) +... + 'i1'N (t))2dt==
о
1 1
== S '/J' (t) dt + '/Ji (t) '/Jj \t) dt.
j о ij О
(1.2.4)
BO BTOpЫX, принимая во внимание независимость стацио"
нарных процессов фj (t) и свойство Е'Фi (t) == О, из кото..
poro следует, что
1
'/Ji (t) '/Jj (t) dt E'/Ji (t) '/Jj (t) === О, i j,
о.
вторым слаrаемым в (1.2.4) можно пренебречь, приняв
в качестве оценки величины '1'2 сумму
. ':
. . I :
1
)j )j (t) dt.
j о
(1.2.5)
Слаrаемые этой СУМl\<IЫ, в свою очередь, допускают упро
щенное приближенное выражение, если считать малыми
величины Bj == aj/D j, rде aj, Dj дисперсии компонент
векторов У j и Х j, связанных с j M участком ретрансляции.
Действительно, соrласно (1.2.2),
1 1
\ '1'7 (t) dt == \ arctJg 2 ( Ej 'l!j 1, ) dt..
J J I у . + f' .и. I
() о }} J
1
3
В. М. Золотарев
66 rЛ. 1. ПРИМЕРЫ ПОЯВЛЕНИЯ устойЧИВЫХ 3АНОНОВ
Следующий шаr в упрощении оценки Чf 2 связан с тем
обстоятельством, что векторы V j (t) и и j (t) меняютСя с
резко различающейся интенсивностьЮ. Так, V j (t) на ин
тервале времени рассматриваемой длины практически не
меняется в то время как вектор и j (t) на том же интерва..
ле COBep aeT orpoMHoe число поворотов (порядка 106).
По этой причине
1 I и j (t) 12 Е2 С
81 I у. (t) \2 dt I /. р J I Uj (t) 12 dt
о J J О
2
р. 2 1 2
J Е I и . ( 1 ) 1 2 === В. у. , -- ·
IVjl 1 J J
Следовательно, упрощенная оценка величинЫ '1'2 пред"
стает в виде суммы
\f 2 === в;, V j , 2 ,
j
. ,
1.2. ПРИМЕРЫ ИЗ РАДИОТЕХIШRИ И ЭЛЕRТРОНИRИ 67
Х > О. Такая спектральная функция соответствует, co
rласно теореме В.1, устойчивому распределению с па pa
метрами а == 1; == 1 (см. по этому поводу примечание
В.4). Приведем более аккуратный расчет аппроксимации
2
ра пределения ч' N, облекая этот расчет в форму предель
нои теоремы.
Рассмотрим последовательность серий чисел В;I, . . .
· · ., B n, п == 1, 2, . . ., таких, что j === 1 и б n ==
2 j
;::= т.ах вn; О при п 00, и последовательность центри
J
рованных сумм
Zn == Х n1 + · · · + Х nт Аn
независимых случайных величин X nj С функциями рас..
пределения Fnj (х) == ехр ( B;j/X), х > О. Выбором цeHT
рирующих постоянных Аn мы распорядимся позднее.
Преобразования Лапласа Стилтьеса распределений
Fnj выражается с помощью функции Макдональда К 1 (z)
следующим образом (см. [22],3.471 (9)):
Eexp( 8Xnj)===2V 88;j Kl(2V 88;j ), 8>0. 'i;
Следова тельно,
)
rде и у . / 0'. и == у ./0" И V J . == X } ./D j . Следователь..
j тз}' 1 РЗ}
но,
1 1 p I и . ' С 2 I и j Р
(' 'Ф; (t) dt < (' J ] и' j2 dt J 8j I У .12 dt.
t tlYj+fjj о ]
rде В) малые по величине постоянные и V j незави
симые случайные векторы, подчиненные ормальномuу
распределению с единичной ков иационнои матрицеи.
Таким образом, в качестве оценки '1'2 случай ой величины
'1'2 мы получаем сумму N независимых случаиных величин
Bj I V j 1 2, функции распределения которых имеют вид,
как это следует из (1.2.1),
F j (х) === ехр ( ; ), х> О.
Так как слаrаемые в} I V j ' 2 малы, а число достаточно
велико, то распределение Чr2 достаточно хорошо аппрок
симируется безrранично делимым законом, спектральную
функцию KOToporo нетрудно вычислить с помощью тео..
ремы Б, приводивmейся во введении. Именно, Н (х) ;:::= О,
если х < О и Н (х) ::;:;: (Fj (х) 1) 81.r\ если
j J
log Е ехр ( sZn) === sAn + log Е ехр ( sX nj ) ===
J
=== sAn + log {2 V SB j К 1 (2 V S j) }.
J
(1.2.6)
Если принять во внимание тот факт, что при s О
2ХКl (2х) == 1 + х 2 log х 2 + (2С 1)х 2 + о (x 4 1og х 2 ),
(см. [22], 8.446; С постоянная Эйлера), а также oroBo
ренные выше требования в отношении величин в 2 . то
nз,
правую часть равенства (1.2.6) можно преобразовать к виду
sAn + s log s + (2С -1 + € j log B j) S + о (б n log (1jб n )) .
J
Выберем Аn === B j log B j + 1 ....... 2С. Тотда из (1.2.6)
J
следует, что
log Е ехр ( sZп) == s log s + о (б n log (1/б n )).
">*
68
rл. 1. ПРИМЕРЫ ПОЯВЛЕНИЯ УСТОЙЧИВЫХ 3АНОНОВ
1.2. ПРИМЕРЫ ИЗ РАДИОТЕХНИНИ И ЭЛЕНТРОНИНИ
С функцией f (00, л) связаны величины
а ((О, л) == R е log f (ы, л) == ла ((О, 1),
Ь (00, л) == 1т log f ((О, л) == лЬ ((О, 1),
называемые соответственно затуханием и фазой частотной
ха рактеристики.
Оказывается, что нередки случаи, коrда временная
функция линии оказывается неубывающей на оси времени
о. Если к тому же затухание на нулевой частоте ((о ==
О) оказывается равным нулю, то временную функцию
F (t, л) мы можем расс:матривать как функцию распреде
ления, сосредоточенную на полуоси t > о. Из равенства
(1.2.7) в этом случае следует, что F (t, л) является безrра
нично елимым распределением с ха рактеристической
функциеи f (00, л) вида
69
Поскольку функция ехр (s log s) является преобразоваии..
ем Лапласа Стилтьеса распределения G (х, 1, 1) (C .,
например, теорему 2.6.1), то
P(Zn<X) G(x,1,1), п oo.
I\
Отсюда, положив в исходной задаче J?N == 81 и об
j l
разовав величины B7vj == 8JIBN, мы MO/l e:M утверждать что
в том случае, коrда Б N мало,
р ('1'2 < х) р (Чf 2 < х) G (хВ N + А N, 1, 1).
Второй пример связан с расчетом модели однородной
электрической линии, какой может быть, например, элеRТ
рический кабель или цепочка последовательно соединен
ных четырехполюсников 1. . Ряд свойств такой линии
описывается с помощью так называемой временной функ
ции F (t, л), t ;;?- о, показывающей реакцию линии длины
'А > О на возмущение типа «единичноrо толчка» в началь
,
ный момент времени. Функция Ft (t, л) называется им
пульсной реакцией линии, а ее преобразование Фурье
f (00, л) частотной характеристикой однородной линии
длины л *).
Из теории электрических цепей известно, что при раз
биении однородной линии длины л == Л 1 + Л 2 на последо
вательно составленные части длины Л 1 и л 2 ее временная
функция F (t, л) формируется по временным функциям
отдельных частей F (t, л 1 ) и F (t, л 2 ) посредство:м их сво'"
рачивания, т. е.
F (t, Л 1 + л 2 ) == F (t, л 1 ) * F (t, л 2 ),
со
log f (0), л) == л (СО)У + (e'ioou 1) dH (и)), у > О.
о
Для частотных характеристик TaKoro вида фаза Ь (00, л)
восстанавливается по затуханию а (00, л) с точностью до
слаrаемоrо (Оул.
Так, если а (00, л) ==лс I 00 ,а, rде 0<а<2 и c
положительная постоянная, то соответствующая этому
за туханию фаза имеет вид
Ь (0), л) === лс (0)1' + tg ; а 10) 1« sign 0)), у;> О,
а связанная с такой частотной характеристикой BpeMeH
ная функция F (t, л) является устойчивым распределе
нием, т. е.
F (t, л) == G A (t, а, 1, 1', ел). (1.2.8)
В теории", электрических цепей известны некоторые
виды кабелеи, которые имеют степенной характер затуха
ния. Например, для так называемых безиндукционных
и коаксиальных кабелей а (00, л) == лс 1 00 11/2. Следова
тельно в соответствии с (1.2.8), временная функция таких
кабелеи имеет вид
F (t, л) == G А (t, 1 /2, 1, у, с л) == 2 [1 Ф (ел (t су л ) 1 /2) ] ,
rде Ф функция распределения стандартноrо нормаль
Horo закона. Импульсная реакция F; (t, л) в этом случае
имеет простое явное выражение:
, сл { "'л')
Ft(t,Л)=== y2it (х сул) 3/2ехр С"2" (х сул) l}.
что равносильно перемножению соответствующих частот
ных характеристик:
f (00, Л 1 + л 2 ) == t «(О, л 1 ) t (00, л 2 ).
Отсюда следует, что для любых л > О
f (00, л) == fЛ (00, 1). ( 1 · 2 . 7)
*) Соизмеряя интерес, который представляет собой приводи
мый пример с объемом изложения, мы не вдаемся здесь в детальное
объяснение 'физическоrо содержания функций F (t, л) и f (<О, л).
Желающие ознакомиться более подробно с этими понятиями ..MOI'YT
обратиться к работе [128], откуда был заимствован приводи:мыи при
мер (обозначения нами изменены) и rде имеется список относЯщеися
к рассматриваемой задаче литературы.
rЛАНА2
АНАJIИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА Р АСПРЕДЕtJlJЕНИЙ
СЕМЕЙСТВА
В отличие от слеДУЮlцей rлавы, l'де рассматриваются
специфические свойства cTporo устойчивых законов, в Hac
тоящей rлаве собран материал, относящийся ко всем yc
тойчивым законам. Аналитической основой ero изложе
нил является явное ВЫР(lj-кение характеристических фуни
ций распределений семейства в одной из двух форм (А)
или (8). Принадлежность формулировки Toro или иноrо
свойства !{ опредеJIенной форме параметризации специаль
но оrовариваетсн или отмечается соотвеТСТВУlоп ей под
строчной буквой. Отсутствие такой ОI'ОВОрКИ означает,
что формулировка связана с формой (В).
Условимся называть стапдартпыми те устойчивые
законы и подчиненные им случайные величины, которые
в форме (В) имеют значения параметров "( === о и л ::=: 1.
Множество стандартных устойчивых законов обозначается
через o'
Связь понятия стандартных законов с определенной
формой (мы выбрали форму (В) как наиболее подходящую
для этой цели с аналитической точки зрения) объясняется
тем, что множества устойчивых законов, имеющих значе
ния параметров "( == О, л ::=: 1 в различных формах, не со...
впадают между собой. Какие значения параметров имеют
стандартные законы в формах (А), (М), без затруднений
устанавливается с помощью формул перехода от формы
(В) к формам (А) и (.NI).
В каждой из форм параметризации семейства 6 или ero
частей и 60 указывается область изменения COOTBeT
ствующих этой форме, параметров, которую мы будем Ha
зывать областыо допустимых апачений параметров.
2.1. Элементарные свойства устойчивых законов
Весьма простое выражение характеристических функ
ций устойчивых законов позволяет сразу же подметить
целый рядАм взаимосвязей мея\ду ними. Основываясь на
таких связях, мы получим, в частности, возможность CBO
2.1. 3ЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОйСТВА
71
дить изучение аналитических свойств распределений из
к изучению свойств распределений из различных час
тей этоrо семейства.
Во введении у,ке упоминалось о том, что в ряде слу
чаев... удобно ..и наrлядно придавать соотношениям ме,нду
устоичиными; распределениями форму соотношений между
подчиненными им случайными величинами *). Такая фор
ма используется для формулировки приводимых ниже
свойств (за исключением ПОСJlеднеrо). Обратный переход
от соотношений между случайными величинами к COOT
ношениям между соответствующими им распределениями
достаточно прост и дополнительных пояснений не требует.
Свойство 2.1. Для люБЬLХ двух допустиЖЬLХ паборов
пара.метров (а, , "(, л) и (а, , "(', л') существуют тa иe
одноаначно определяемые ими вещественпые числа а > О
и Ь, что ..s
d
У (а, , у, л) === аУ (а, , у', л') + лЬ.
в форме (А) аависимость а и Ь от параметров выалядит
следующим обрааом:
а === (л/л')l/а,
{ "( у' (л/л')l/а,
Ь== 2
"( "(' + n log (л/л'),
(2.1.1)
если
а =1= 1,
если а === 1.
Выделим из (2.1.1) один важный частный случай Пусть
у' == о и л' == 1. Тоrда ·
d
У (а, , "(, л) === л 1 / а у (а, ) + л ("( + Ь о ), (2.1.2)
rде Ь О == О, если а =1= 1 и Ь о === ; log л, если а == 1.
Равенство (2.1.2) показывает, что л имеет смысл пара
метра масштаба, а у параметра сдвиrа (точнее, чистый
сдвиr распределения является линейной функцией "().
Свойство 2.2. Для любосо допустимосо набора пapa
метров (а, , у, л)
d
У (а, , "(, л) ==== y (а, , "(, л).
олезное содержание этоrо свойства состоит, в част
ности, в том, чт о оно, не уменьшая общности, позволяет
*) В пределах настоящеrо раздела отсутствие индекса означает
).соотпопrение справеДЛИRО IШК для формы (В), так п для форм
(2.1.3)
,r
Ь\
72
рассматривать фун:кции распределения G (х, а, ,y, л) при
одном (по нашему выбору) дополнительном условии co
хранения зна:ка aprYMeHToM х, параметром или }не па
раметром у. б
СвоиС'l.nво 2..1. Для любых допустимых на оров пapa
.метров (а, h" Yk, лk) и любых вещественных чисел , Ck,
k == 1, . . ., п, существует однозначно определяемыи ими
набор параметров (а, , У, А) такой, что
У (a, , у, А) == Ck Y (а, 'P "110 А к ) + h.
k
В фОр tе (А) зависимость набора (а, У, л оп1 выбранных
параметров и чисел имеет следующии вид.
А === Лkl ckl a ,
k
A == Лk k I Ck la sign Ск,
k
Ау === AT/\'h'Ck ho,
k
еде ho == h, если а =1= 1, и ho === h L л"f3Ii С h' log I с" 1,
k
если а == 1. u 2 3
Отметим нес:коль:ко частных случаев своиства . , пред"
ставляющих самостоятельный интерес.
Свойство 2.3.а. Для произвольноzо допустимосо набо
'1 б А ' А" ак,их что
ра параметров (а, , У, /\,) и лю ых t-', t-' , т ,
1 /' А' А < А" 1 найдутся однозначно определяе
t-' t-' t-' , ,,, ое число
мые ими положительные числа С , С и вещественн
l, так,ие, что
у (а, , У, л) d с'у (а, ') + с"У (а, ") + l. (2.1.5)
Зависимость параметров и чисел в форме (А) вь ража
ется следующими равенствами:
, " l/а " ( ' ) l/а
С === (л " , ) , с === л " ' ,
{ Л у, е (',лu а =1= 1,
l === л у ( ' с' log с' + "c" log с"), если, а === 1.
rл. 2. СВОйСТВА УСТОйЧИВЫХ 3АНОНОВ
(2.1.4)
В б А' 1 А" == 1 и воспользовавшись paBeHCT
ы рав t-' , t-' u u
БОМ У (а, 1) == Y (а, 1), мы полу;им, что линеинои
:комбинацией двух независимых случаиных величин вида
I
I \
2.1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОйСТВА
73
d
У (а, 1) Можно выразить (в смысле равенства «===))) лю
бую случайную величину у (а, , у, л).
Свойство 2.3.Ь. ДЛЯ любоео допустимоео набора
параметров (а, , У, л)
d
У (а, , у, л) у (а, 13, у, л) === у (а, О, О, 2л).
(2.1.6)
Свойство 2..'J.c.Для любоео допустимоео nабора пapa
метров q == (а, , у, А) имеется однозначно определяемь й
им допустимый nабор параметров q* === (а, *, у*, л*)
такой, что
1 1 d
У (r.t, (3, у, А) 2 У (а, 13, у, л) 2 У (а, 13, у, л) ==
d у (а, 13*, у*,л*). (2.1.7)
в форме (А) пара.метры nабора q* выражаются через
параметры набора q следующим образом:
1 21 a ( * 11 21 a 1
13* === 1 + 2H (3 I 13 I < 1 + 2H
1
"1* == О, если а =1= 1 и v* === ]og 2 ,
Jt
Л*===(1 +21 a)A.
<-}),
/
если а == 1,
Нетрудно заметить, что случайные величины в правых
частях равенств (2.1.6) (2.1.7) имеют строrоустойчивые
распределения. Эта особенность преобразований незави
симых случайных величин (подчиненных произвольному
УСтойчивому распределению), стоящих в левых частях
равенств (2.1.6) (2.1.7), о:кажется очень полезной в за
даче статистичес:кой оцен:ки параметров устойчивых за
:конов (rл. 4).
Доказательство всех Приведенных выше свойств Про
изводится ПО одной схеме. Мы рассматриваем xapa:КTe
ристические функции левых и правых частей соотноше
ний (2.1.1) (2.1.7) (например, в форме (А)) и, выписав
их лоrарифмы, сравниваем :коэффициенты при линейно
независимых функциях переменноrо t. Для примера мы
проведеАI доказательство свойства (2.1.4) в случае а =F 1.
2.1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА
7!.>
74
rЛ. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ ЗАRОНОВ
мы имеем при всех s ;? О
Имеем
')., (ity I t la + it I t la 1 tg та) ==
== ith + ').,К (ИУКСК c I t la + it I t la lc k tg а) ·
k
s
Е I у mед У 18 == + 21 "2 (2').,)s/21' (1 +) r (s) х
х sin s < 4 (2').,)S/2r (1 +) r (s) sin s.
Сравнение коэффициентов при фун:кциях it, I t !а. и
it I t ,a 1 дает соотношения, определяющие значения па
раметров , у, л. То, что у и л имеют допустимые значе
ння, очевидно. Если llыIисатьь параметр в окончатель
НО М виде:
Следствием s неравенства (2.1.8), очевидно, является
то, что Е I у I < 00 для любых О < s < а.
Доказательство (2.1.8) основывается на следующем
выра ен и абсолютноrо момента Е , Х " произвольной
случаинои величины Х, в котором используется ее xapaK
теристичеСRая функция f (t):
Л k I C k la h. sign c k
p==
Л k I c k ,а
k
00
EIXI'==:21'(1 +s)sin s (1 Ref(t»t Hdt.
о
(2.1.9)
то выполнение условия 1 I -< 1, блаrодаря тому, что
I k I -< 1, также становитСя понятным.
Свойство 2.4. Для люБО20 допустиЖО20 llабора 31lаче
ний параметров q == (а, , у, л) и любых допустимых
наборов q' == (а', ', "(', л'), тa иx, что q' q (т. е. cxo
дятся соответствующие параметры),
у м (а,', ', "(', л') у м (а, , у, л).
.Jlучается оно подстановкой Х вместо х в равенство
, ,
,
00
I х " ==: 2r (1 + s) sini s (1 cos tx) rHdt (2.1.10)
о
d
Сходимость понимается как слабая сходимость расп
ределений. Однако, приняв во внимание, что устойчивые
распределения имеют плотности, мы сразу же можем cдe
d
лать вывод о том, что сходимость MOiHHO заменить cxo
димостью в смысле сближения соотвеТС1ВУЮЩИХ фун:кций
распределения в равномерной метри:ке.
Свойство 2.5. Пусть (а, , у, л) допусп имь й пa
бор параметров и med У медиапа случайпой величиllЬ
у == у (а, , у, л). ТО2да для любь х О -< s < а cпpaвeд
ливо следующее пераве1lство:
Е I у med У 18 -< 4 (2').,) sfa r (1 +) r (s) sin + s.
(2.1.8)
и переходом :к математичес:ким ожиданиям обеих частей.
Ca o равенство устанавливается тем же приемом, :КOTO
рыи использовался для вычисления таких же интеrралов
в теореме В.2. Именно, сначала для вещественных р > О
вычисляется интеrрал
00
(1 e pt) rS ldt == p'r (1 s) s t,
о
(2.1.11 )
3 а м е ч а 11 и е. Случай а === 2, соответствующий HOp
мальному за:кону, мы можем исключить из рассмотрения,
пос:кольку, ка:к по:казывают элементарные расчеты, здесь
затем он аналитичес:ки продолжается в полуплоскость
Re р > О и затем используется непрерывность этоrо про..
должения на мнимой оси. Вещественная часть (2.1.10)
после подстанов:ки значения р == it совпадает с инте
ресующим нас интеrралом в (2.1.1 О).
Рассмотрим независимые случайные величины У' У"
, ,
одинаково распределенные с У. Случайная величина У'
У" в соответствии с (2.1.6) имеет хара:ктеристичес:кую
фуц:кцию ехр ( 2л 1 t la). ОТСlода на основании (2.1.9)
76
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ ЗАRОНОВ
2.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНТЕrРАЛАМИ
77
Е I У' ----- }7"" 18 ===
00
== 2r (1 + s) sin т s (1 ехр ( 2лt Ct )) t 8 ldt ===
о
Лежжа 2.1.1. Пусть h == h (а) пе отораяфуn ция,
оnределеnnая и измеримая па мпожестве Л С R ffi и пpи
nимающая зnачеnия из R n , и пусть Х (а), Х' (h) a иe
либо случайnые величипы, распределепия oтopыx зависят
соответствеnnо от nаборов параметров а и h, связаnnые
при аждом а Е Л соотnошеnием
имеем
== 2 (2л)s/аr (1 8ja) r (8) sin 8.
(2.1.12)
Х (а) d Х' (h (а».
Правая часть (2.1.12), а, следовательно, и левая, конечны
при О < 8 < а. Далее, из леrко проверяемоrо неравенства
р (1 У' У" 1;> х);> + р (1 У' med У' 1;;- х)
получаем неравенство
EIY medYI8<2E IY' Y" 18,
которое вместе с равенством (2.1.12) приводит нас к oцeH
ке (2.1.10).
ы закончим этот раздел одним замечанием, которое
имеет отношение как к соотношениям между случайными
величинами У (а, , "(, л), приводившимся выше, так и к
соотношениям между случайными величинами У (а, 8),
Z (а, р), с которыми познакомимся 2.1 в rл. 3.
В работе [65], обобщавшей один из результатов зам:ет
ки [29], приводится следующая теорема.
d d
Пусть У 1 === У 2 === У (а, О, О, л) независимые слу
чайные величины и L === (Ll' L 2 ) произвольный ДBYMep
ный вектор с Р (L 1 + L 2 == О) === О, независимый от У 1
И У 2' Тоrда
( Ll ) 1/а. У 1 ( L2 ) 1/а. у 2 d У l'
Ll+L2 Ll+L!
d ,
ТО2да для любых случайnых величип V === V СО зnачеnия;м,и
из Л и тa иx, что V пе зависит от Х, а V' nе зависит от
Х', справедливо соотпошепие
d
Х (V) === Х' (h (V')).
'Д о к а з а т е л ь с т в о элементарно. Имеем
Е ехр (itX (V)) == Е ехр (itX (а)) Pv (da) ==
== Е ехр (itX' (h (а))) Pv' (da) == Е ехр (itX' (h (V'))).
Откуда, очевидно, следует утверждение леммы.
Проиллюстрируем сказанное одним примером. Пусть
d, , А' "1,' ,
V === (а, , л, С 1 , . . ., Сп) === V == (а , t-' , I'v , Сl, . . ., Сп)
случайные величины, такие, что с вероятностью 1 а =F
'* 1, , л меняются в области допустимых значений и
lckra==1, v не зависит от У 1 ,..., У n ' а V' отУ. Тоrда,
k I
В соответствии с (2.1.4) и леммой 2.1.1,
d n
у (а', ', О, л') === Ch'Y k (а, , О, л).
1ft=:::1
. Нетрудно заметить, что это соотношение распростра
няет один из вариантов равенства (2.1.4) на случай, коrда
коэффициенты Ck предполаrаются случайными величинами.
В связи с этим, естественно, возникает вопрос Ha
сколько общей является та ситуация, коrда в соотноше
ниях между случайными величинами те или иные парамет
ры можно при желании также считать случайными.. не
нарушая этим справедливости соотношений. Оказывается,
что такой переход от неслучайных параметров к случай
ным возможен при сравнительно небольших оrраничениях,
и опирается он на следующий общий факт,
2.2. Представление устойчивых законов интеrралами
Теоремой В.2 был установлен явный вид характерис
тических функций g устойчивых законов. В этом разделе
мы обратимся к вопросу о выражении самих устойчивых
распределений, взяв за основу запись функций g в форме
(В). Отметим, что блаrодаря свойству 2.1 можно, не YMeHЬ
шая общности. рассматривать лишь стандартные устой
чивые распределения. Более Toro, при рассмотрении плот
ности g (х, а, ) или функции распределения G (х, сх, ),
достаточно вопрос о представлении этих функций решить
» DQJJee оrраниченной сптуации, :({оrда х О, или же
78
rл. 2. СВОйСТВА УСТОйЧИВЫХ 3АНОНОВ
\
\
2.2'\п,ЕДСТАВЛЕIШЕ ИНТЕrРАЛАМИ
79
? о, поскольку, соrласно свойству 2.3,
g ( x, а, ) == g (х, а, ), G ( x, а, ) == 1
G (х, а, ),
00
== + Ве eitXg (t, а, ) dt.
о
(2.2.1)
1. Распределение Леви
1 ( 1 х...з/ 2 ехр ( ) если х> О,
g (х, '2 ' 1) === 2 11 л 4х '
О, если х < о.
2. Распределение Коши *)
g(x,1,O) +( 2 +x 2 T 1 .
3. Распределеlluе Faycca (с дисперсией 0'2 ;:::: 2)
1 'X
g (х, 2, Р) === 2 у.n ехр ( """"4) ·
g ( t, а, ) == g (t, а, B).
Как уже отмечалось во введении, функция I g (t) I
интеrрируема на всей вещественной оси t и, значит, плот
ность g может быть выражена с помощью функции 9 по
формуле обращения
g (х, а, ) === 2 e itxB (t, а, р) dt ===
Поиск различных вариантов представлений устойчи
вых законов естественно начать с анализа формулы обра--
щения (2.2.1), дающей первый вариант записи плотностей
g (х, а, ) стандартных распределений.
Подставляя в (2.2.1) выражение функции g (t, а, ),
приводивmееся во введении, форма (В), получаем
В случае а =1= 1
4. Этот случай получается из nepBoro симметричным
отражением
00
g (х, а, ) == + Ве ехр { их t a ехр ( i Т K (а) )} dt,
о .
(2.2.1а)
в случае а == 1
g (х, 1/2, 1) == g ( x, 1/2,1).
Для преобразований интеrрала (2.2.1), имеющих целью
получение друrих выраа\ений плотности, желательно
иметь аналитическое продолжение функции g (t, а, ) в
комплексной плоскости z с полуоси Re z === t > о. Рас--
сматривая аналитические продолжения функций g, слу
чай а === 2, соответствующий нормальному закону, MOiHHO
исключить как очевидный. Для Hero функция g (z, 2, ) ==
== ехр ( Z2) является целой функцией.
Если а < 2, то аналитическое продолжение функции
g (t, а, ) с полупрямой t > О (или с полупрямой t < О)
также осуществимо, но при этом оно имеет точки ветвле
ния z === О и z === 00. Поэтому для выделения ero rлавной
вет и надо сделать разрез по какому либо контуру, KOTO
рыи соединяет точки О и 00, не пересекая при этом вещест",
венной оси t. В дальнейшем нам понадобится аналитиче
ское продолжение g в полуплоскости Re z ;;: О, в связи
с чем мы сделаем разрез в нижней полуплоскости по лучу
{z: arg z == 3/4Л}. Аналитические продолжения функ...
ции g (t, а, ) с полуосей t > О и t < о, которая задается
на них различными формулами, обозначим COOTBeTCTBeH
но через g+ (z)=== g+ (z, а, ) и g (z) == B (z, а, ). Они имеют
следующий вид, что нетрудно проверить, используя за
00 (
1 {' { .\ '--
g (х, 1, Р) === n Ве J ехр itx T t tpt log t} dt.
. о
. ' (2.2.1.Ь)
Хотя функции В, как мы видим, записываются в прос
той форме *), выражения соответствующих им плотнос...
тей в элементарных функциях имеются только в четырех
случаях. Проверить то, что эти устойчивые законы дейст
вительно имеют приводимые ниже плотности, можно пря
мым вычислением соответствующих интеrралов (2.2.1 а) и
(2.2.1Ь) 2.2. I
*) Надо сказать, что в этом разделе не будут собраны все ИН7"
теrральные представления устойчивых распределений, кот<?рые'
мы решили включить в настоящую книrу. По методичесiПJМ сообра
жениям часть таких представлений разнесена по дрyrим раздеJIам"
( o ЭТО fУ поводу C f. 2.3, 2.5, 3.4), ." .,.-
, I
"
.1.
*) Запись плотности в форме (В) отличается от традиционной
формы записи, соответствующей форме (С): gc (х, 1, О) == (1 +
+ x2) 1.
80
r.:r:r. 2. СВОйСТВА устойчивых 3AJ<OHOB
пись в форме (В) функции g (t, а, ):
( za ехр ( i + K (а») I
log в+ (z) ===
z (+ + ф log z) ,
если а =1= 1,
если а=== 1,
(2.2.2)
rде под za И log z понимаются rлавиые ветви этих функций,
и
( ( z)aexp (i K(a»),
log g (z) ===
z (+ ф log ( z») ,
если а =1= 1 ,
если а === 1.
(2.2.3)
Элементарное преобразование функций (2.2.2) и (2.2.3)
позволяет придать им нужную нам форму (в (а)
== sign (1 а):
log g+ (z) ==
== ( B(a)( iz)aexp ( i + к (a)( 1») I
( iZ)(i( 1) + log( iZ»),
logg (z) ===
=== ( в (а)( iz)a ехр (i + к (а)ф 1») ,
( iz)(i (1 )++ log( iz»),
если а=#=1,
если а==1,
(2.2.4)
если а:;Ь1,
если а===1.
(2.2.5)
Сравнение (2.2.4) и (2.2.5) показывает, что аналитиче
ские продолжения g+ и g не совпадают, за исключением
уже упоминавшеrося простоrо случая а === 2 и случая
а < 2, == 1. Если принять во внимание равенство
g (t, а, ) === g ( t, а, ), то к уназанному случаю при
бавится еще и случай а < 2, === 1. Мы суммируем
сказанное в форме следующеrо утверждения.
Л еж а 2.2.1. А палитичес ое продолжепие фуп цuи
g (t, а, ) со всей вещественпой оси t в омпле спую плос
ocть z возможпо лишь в случае а === 2, а в омпле сную
плос ость с разрезом по лучу arg z == З/4Л то.ль о в слу
,
.'
\
\
\
2.2. ЕДСТАВЛЕНИЕ ИНТЕrРАЛАМИ 81
чаях а < 2, == 1 \ц, а < 2, === 1, отвечающих paй
пим устойчивьtМ распределениям. При этом
{ ........ в (а)( iz)a, если а =1= 1 ,
lo g ",+ ( Z а А ) == (2.2.6)
"tJ ( iz} log ( iz), если а == 1.
3 а м е ч а н и е. Функция 'l'a (z) == log g+ (z, а, 1) в
полуплоскости 1т z О имеет следующее интеrральное
представление (см. доказательство теоремы В.2, rде уже
встречались подобные формулы):
'l'a (z) ===
ос.
а (а 1) . (eizи 1 izи) и (a+l)dи, если а> 1,
r (2 а) J
о
00
а (а 1) (eiZи 1) и (a l)du,
r (2 а) J
()
если а < 1,
00
(e izи . 1 iz sin и) u 2du,
о
если а == 1.
Перейдем к построению интересующих нас интеrральных
представлений плотности g. Преобразование интеrрала
00
== ехр (izx) g+ (z, а, ) dz,
о
входящеrо в состав формулы (2.2.1), мы будем осуществ
лять за счет из:м:енения контура интеrрирования, причем
TaKoro изменения, при котором значение интеrрала 3
или, по крайней мере, ero вещественной части не меняет
ся. Для обоснования изменений контура нам понадобит
ея следующая лемма.
,/.! еж а 2.2.2. Пусть О < в < л/4 фи сированн,ое
число. ТОсда при r 00 или r О
Q (С Т ) === ехр (izx) g+ (z, а, ) dz О
С 1 '
для любой последовательности OHтypoв следующеzо вида:
1. Если х > О, а < 1 и В любое допустимое, или
же х любое веzцественн,ое, а === 1 и > О, то
С r == {z: I z I == r, О < arg z -< л в}.
82
rл. 2. СВОйСТВА УСТОйчивых 3АНОНОВ
\
2.2. ЕДСТАВЛЕНИЕ ИНТЕrРАЛАМИ
Случай а > 1, > о разбирается точно так же.
3 а м е ч а н и е. ' Утверждение леммы сохраняется,
если за:мепять контуры С т их частяМи.
..1[ е tжа 2.2.3. Рассмотрим в омпле С1-tой плос ости Z с
разрезо.м вдоль луча arg z == З/ 4зt семейство oитypoв
{r}, удовлетворяющих следующи.м условиям:
1. К аждЬLй oптyp r н,ачин,ается в точ е Z == О.
2. Ни один, oн,тyp r н,е пepece aeт лин,ии разреза.
3. Д виzаясь от точ и z == О вдоль по oн,тypy r, мы
уходим в бес он,ечн,ость, приче.м тa иM образом, что н,a
чиная с Ne omopozo .места все точ и Z Е r имеют значен,ия
арzу.ме1-tтов в пределах
О < arg z -< n 8,
.. 8 (1 K(a))<argz< 2:- (1 + K(a)),
83
2. Если х > О, (1; > 1 и любое допусти.мое, то
С т === { Z: I Z I === Т, ............... 2 тс + в -< arg z к (а) <: }
а 2 а ·
д о к а з а т е л ь с т В о. Во всех рассматриваемых
случаях длина контура С т не превышает величины nr.
Поэтому
1 Q (С т ) 1-< nr тах (1 eiZXg+(z, а, ) I : z Е С т ) ==
== nr ехр {тах (И: z Е С т )},
rде U == x 1т z + Re log g+ (z, а, ).
В случае а < 1, х > О, полаrая z == re irp , имеем
U === xr sin ер r a cos а ( ер + в)
откуда
шах (И: ZEC r ) === тах (И: О -< ер -< n 8) <
<шах(U:О<ер< (1 a))+
+ шах (И: (1 а) < ер < Jt 8) <
-< r a (1 cos ; а (2 а)) xr шin (8, (1 а)) .
При больших значениях r последнее выражение, очевид
но, оценивается сверху величиной 2 log r, откуда сле
дует, что I Q (С т ) 1-< n/r О при r 00.
в случае а == 1, > О
U === ( log r + х) r sin ер r ( + Вер) cos ер.
Отсюда находим, как и в предыдущем случае, что
шах (И: ZEC r ) === шах (И: О -< ер -< зt в) -<
< шах (И: О < ер < ) + шах (И: < ер < Jt 8 ) <
< 2 (4 + I х /) r Br log r шin (8, +) .
Следовательно, при больших' значениях r
шах (И: Z Е С т ) -< 2 log r
и, значит, I Q (С т ) 1-< n/r О при r х). Из приведен
ных оценок видно также, что I Q (С т ) I == о (r) при r
О.
zae О < а < 2, I I -< 1 и 8 > О с олъ yzoaHo .ма.л,ое
число.
Tozaa для любоzо oн,тypa у азан,1-tоzо вида и любой па..
ры допустимых пара.метров (а =F 1, ), (а == 1, > О)
00
eiZXg+ (z, а, В) dz === eizxg+ (z, а, ) dz. (2.2.7)
\у, О r
д о к а з а т е л ь с т в о. Определим для выбранноrо
контура r и каждоrо r > О такие вспомоrательные кон..
туры:
т r часть r, которую МЫ получим, двиrаясь от на--
чальной точки Z == О ДО точки Zr первоrо пересечения кон..
туром r окружности I Z I == r;
Lr часть окружности I Z I == r (не пересекающая раз
реза) мел{ду точками Z == r и Zr, проходимая в направле--
нии- от Z r к Zr'
Образуем замкнутый контур Dr, R == [r, RJUL R U
( Т Н '" Т т) [) 'Ет (черта означает, что мы проходим кон--
тур В обратном направлении). .
Поскольку функция w (Z) == e ZXg+ (Z, (1;, ) анали'"
тична в той области, тде лежит контур Dr, н, то по теореме
Коши
:;. . _ R .
. wdz . 11'dz + wdz wd.i +- wdz wdz === О.
Dr, R r LR Тн Т r Lr .
\
84
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ 3АНОНОВ
2.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНТЕrРАЛАМИ
85
Привлекая лемму 2.2.2 (см. замечание к ней), мы най
дем, что
шdz + wdz 11Jdz ---4 О при R ---4 Х), r ---4 О.
L R Т L
r r
Следовательно, равенство (2.2.7) справедливо.
Теорежа 2.2.1. Пусть х произвольпое веUfествеnnое
число и а, В допустиМЬLе значения параметров cтaп
aapmпozo устойчивоzо распределения.
1. Если а< 1, х> О, то
g(x,a, )==
00
==== + 1т ехр { xu и а ехр ( i Т а (1 + »)} du ===
о
в случаях 1 и 2 в качестве контура r берется положи
тельная ча .ть мнимой оси. Применение леммы 2.2.3 здесь
не требует НИRаких дополнительных объяснений. Замена
переменноrо для TaKoro «онтура z === iu, и > Оприводит
к соответствующему выражению плотности.
В случае 3 на роль контура r выбирается луч r
=== {z: arg z === в} с последующей заменой nepeMeHHoro
z === и ехр (i в) .
Преобразования интеrралов очень просты во всех
рассматриваемых случаях. Например, если а < 1 их>
> О, то используя (2.2.4) находим:
00
==== 1т ехр { хи и а ехр ( i:spa.)} du.
о
2. Если а == 1, В > О, то
g (х, 1, В) ===
00
1 (1
g (х, а, ) ==== n Re J ехр (izx) в+ (z, а, ) dz
о
(2.2.8)
00
==== Im exP{ xu uaexp(i (1+ ))}dn====
о
00
==== + 1т ехр { xи и log u + l т (1 + ) и} du. (2.2.9)
о
3. Если а > 1, то
g(x,a, )
00
== lю ехр{ хи иаехр( i (1+ ))}dn.
о
00
=== Re exp{ ua i.xuexp(i e)+i ; e}dи==:
о
Следсmвu-з 1. Если (J.. < 1, то для любыхдопусти.м..ых
l.l любых х > О
1 r i 0+11> dи
G (х, a, ) == 1 n J e xи 1т ехр ( иae ) ·
о
00
==== 1т exp{ ua xuexp(iпp)+iпp}du.
о
(2.2.10)
Д о к а з а т е л ь с т в о I\аждой из формул (2.2.8)
(2.2.10) сводится к следующим действиям:
а) выбору контура r, нужноrо для преобразованил
интеrрала (2.2.7);
б) обоснованию замены «онтура интеrрирования в ИН
теrрале (2.2.7) с ПО}fОЩЬЮ леммы 2.2.3;
в) замене переменной цнтеrрирования в правой частц
(2.2.7). .
F;сли а == 1, то для любых дoпycти.мь x В > о и лю
бъ х веществен,uых х
G (х, 1, ) ==
1 ( · I :rt 1 dи
=== 1 n J ехр ( хи и logcи) Sln """2 (1 + р) и ---и.
.,
Если а > 1, то для любь х допусти.мых р и любых
х>О
00
1 1 \' а 1 . ) dи
G (х, а, ) ==="""2 (1 ........ 8) n J e и m ехр ( хиеtЩJ ц.
Q
86
rл. 2. СВОйСТВА УСТОйЧИВЫХ ЗАRОНОВ
в случае а -< 1 приведенные равенства получаются
интеrрированием соответствующих выражений плотности.
В случае а > 1, помимо интеrрирования плотности в
пределах от О до х, следует использовать выражение
G (О, а, ), которое дается равенством (2.2.30).
Следствие 2. Если а =F 1, то для люБыlx допустимых
31tачеп ий
g (О, a, ) == + r (1 + ) cos (+ к a) ). (2.2.11)
в случае а > 1 это равенство получается подстановкой
в (2.2.10) значения х == О и вычисление r получившеrося
интеrрала.
В случае а < 1 сначала рассматриваем выражение
(2.2.8) для плотности g (х, а, 1 1 ), х > О, и перехо...
дим В нем к пределу при х О. Получающийся в пределе
интеrрал вычисляется. Затем используется тот факт, что
2.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНТЕrРАЛАМИ
87
2. Если а === 1, то для
Jl,юб blX =1= О
gA(X + + loglxl, 1, )==
любых вещественных Х =1= О и
, '
00
л: 1\ 1 1т ехр {
о
xи l .!..1 Ilog и ----
I X I I х I n
i (1 + I 1) l} du. (2.2.13)
д о к а з а т е л ь с т в о. В первом из рассматривае
:: мых случаев имеем в соответствии с (2.2.1а)
tl' :
,( gA (х + 11. \ Х \ l a , а , А ) ===
. " r t"
r
r:.: r
\ rr
\"
(.' t
,
g (О, а, ) == g (О, а, ) == g (О, а, 1 1).
в случае а == 1, > О значение плотности в нуле
00
1 ('
g(O, 1, ) == n J exp( u logu) sin l т(1 + ) u 1 d:
о '
элементарноrо выраjкения не имеет 2.3.
Следующие интеrральные представления устойчивых
законов связаны с параметризацией в форме (А). Обо
эва чим
=== tg Т а, у === х + 1 х jl a .
Теорежа 2.2.2.
1. Если а < 1, то для любых допустимых р и х =1= О,
тапих, что у > О,
1
gA (х + (.L [ Х 11 a, а, ) == л: I х I Х
00
Х 1Пl ехр { /х:, I х 1 Cl- [(uji)a J.l.u (uji)a l 1)]} du.
Q , . \""
(2.2.12)
00
== Re ехр ( izy za + i(.Lza) dz ==
о
... \. l (
00
1 Ве \ ехр { ........ i 'Х , a [и а i и (иa l 1)] } dи.
n\ж\ J Ixl
о
(2.2.14)
Поскольку а < 1 и у > О, то в интеrралах (2.2. 4) мож
но повернуть контур, не меняя их вещественнои части,
на уrол л/2. В результате получим (2.2.12).
Второй случай разбирается аналоrично. Взяв за oc
нову равенство (2.2.1Ь), мы получим после соответствую
щих преобразований, что
gA(X + loglxl,1, ) ==
00
1 R (' { . X
===- n I х I е J ехр L I x I
о
z 2..... ( 1 + i I Ilog Z )} dz.
I х I л
(2.2.15)
ПОБОрОТ контура интеrрирования в (2.2.15) на уrол л/2
приводит нас к равенству (2.2.13)2.4. Основание правомер
ности поворота контура в обоих случаях производится
стандартными рассуждениями, уже не раз проводившими
ся выше с использованием леммы 2.2.2.
Интересно отметить тот факт, что равенство (2.2.13)
может быть получено из (2.2.12) предельным переходом
при а 1. Ero доказательство основывается на сле
дующих соображениях. Прежде Bcero, на основании
88
rл. 2. СВОйСТВА УСТОйЧИВЫХ 3АНОНОВ
свойства 2.2 мы можем заключить, что в случае =1= О
gA (у, а, ) == gA (у*, а, I I ),
rде величина
* . А X n
у ==: у slgn fJ === т + I , tg та 1 х Jl a
становится, очевидно, Положительной для значений сх
достаточно близких к 1. Поэтому, не оrраничивая общно
сти, можно В (2.2.12) рассматривать только случай > о.
Нетрудно убедиться, что в этой ситуации интеrрал (2.2.12)
преобразуется при а )- 1 в интеrрал (2.2.13). Остается
установить, что левые части этих равенств также сбли
ка тся. Связь параметров форм (А) и (М) и специфичное
своиство непрерывности устойчивых распределений в фор
Ie (М) по совокупности всех параметров, отмечавшиеся
во введении, показывают, что
аА == ам, A == M,
gA (х, а, ) == gM (х fl, а, ),
gA (х, 1, ) == gM (Х, 1, ),
gM (Х, а, ) > gM (Х, 1, )
(2.2.16)
при а 1.
Кроме Toro, как нетрудно проверить,
f1(lxll a 1) + loglxl при а--41. (2.2.17)
Из (2.2.16) и (2.2.17) следует, что
gA (х + f х 'l a, а, ) ==
gM (х + f1 (/ х Il a 1), а, ) gM (х + + log I х 1, 1, ) ==
gA(X + + log I Х 1, 1, ).
3 а м е ч а н и е 1. Выключенный из второй части
теоремы случай CG == 1, ;::::= о соответствует хорошо из
вестному закону Коши, и потому ero устранение ущерба
формулировке не наносит.
3 а м е ч а н и е 2. В теореме 2.2.2 случай а > 1 не
рассматривался. Похоже, что прямоrо аналоrа формулы
(2.2.12) здесь не существует. Однако имеется формула,
кот рая может служить в KaKOM TO смысле дополнением
этои теоремы. По методическим соображениям она OTHe
сена в следующий раздел (см. (2.3.6)).
' . :
.
../
i, ::
: f
;
I
-.'
2.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНТЕrРАЛАМИ
89
3 а I е ч а н и е 3. Для функций распределения пред
ставлений, аналоrичных (2.2.12) и (2.2.13), не имеется.
Точнее, они есть, но не столь простые, поскольку в подын
теrральные выражения входят уже не только элементар
ные функции, но и такие, как неполная rамма функция
и интеrральная показательная функ ия, которые, к тому
He, должны рассматриваться в какои то части комплекс
ной плоскости.
Все приведенные выше интеrральные представления
устойчивых распределений имеют одну особенность, KOTO
рая иноrда сильно осложняет их использование, например
при построении оценок, при табулировании значении
плотности, функций распределения и т. д. Она состоит
в том, что функции, стоящие под знаком интеrрала в co
ответствующих представлениях, осциллируют, т. е. Me
няют знак бесконечное число раз. Естественно задаться
вопросом о существовании представлений устойчивых
распределений, свободных от указанноrо недостатка. OT
вет оказывается положительным.
Ниже используются следующие обозначения (HeKOTO
рые из них уже употреблялись ранее): -
в (а) == sign (1 ....... а), 8 == K (а)/а, 8* === 8 sign х,
С(а,8)== 1 +(1 + 8)(1 + 1\ (а)),
n ) a/(l a) n
( sin т а (ер + 8) cos т ((а 1) <р + (8)
и а, (ер, 8) == n n'
cos т <р cos т <р
u 1 (ер, ) == (1 + !'Р) ехр ( (ер + 1 / ) tg Т ер) ·
cos т q>
v
Теорежа 2. .3. Плотности стандартных устоичивых
распределений .Jtozym БЬLтъ aanucaHbL в следующем виде:
1. Если а =1= 1, х =1= О, то для люБЪLХ I I -< 1
g (х, СХ 1 ) ==
а I х 11/(a 1)
== 211 al
1
e.
и а (ер, 8*) ехр { I х 1a,/(a l)U (х (ер, 8*)} dep.
(2.2.18)
90
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ 3АRQПОВ
2. Если а ::::::: 1, =1= О, то для любых х
g (х, 1 , )
1
1 (1
=== 21 1 e x/f3 J и 1 (ер, ) ехр { e x/f3LT 1 (ер, )} dcp. (2.2.19)
1
2.2. llJ:> ДСТАнЛЕIШ ИНТЕrРАЛАМИ
91
, "3
ЦИИ 'ф :
xr cos ер r cx sin ( ер + е) == О,
xr cos ер + r log r cos ер ( +
если а =1= 1,
Отметим, что ИСключение в формулировке теоремы
случаев а =1= 1, х == О и а == 1, === о не мешает общности
ее утверждения, поскольку первый из них рассматривался
в (2.2.11), а второй соответствует известному закону Ко..
ши 2.5.
Д О К а з а т е л ь с т в о здесь, как и в предыдущих
теоремах об интеrральных представлениях, имеет отправ"
ным пунктом формулу обращения (2.2.1):
g( x,a, )==
(2.2.22)
ep ) r sin ер == О,
если а == 1.
Решение r === r (ер) находится в явном виде
( sin а (Ip + е) } l СХ
r (ер) ==" Х СОБ ljJ .
ехр ( + (ер + ; ) tg ер) ,
,
а =1= 1,
(2.2.23)
а === 1.
сх)
1 \"
== n Не J ехр (izx + 'i' (z, а, )) dz.
о
(2.2.20)
( 2 2 23 ) различаются
Контуры, описываемые функциями .., б ру па
по своему виду в зависимости от тоrй: :о; о В;а делить
раметров (а, ) они соответствуют.
на четыре rруппы (см. рис. 1). r ]+
.' 1. (а < 1, == ), :дe ь r :1 o\ < 1). Контуры
2. (а < 1, =F + ) в у ле и ' у ходят в бесконечность,
этой rpYnnbl начинаются
Функцию 11' (z, а, ) == log в+ (z, а, ) берем в форме (В),
т. е.
- ( ZCX ехр ( i еа), если а =1= 1,
'i' (z, а, ) == (2.2.21)
z i z ]og z, если а === 1.
If
о
r*
Не уменьшая общности, мы можем считать, что х > О
в случае а =1= 1 и > о в случае а === 1. В комплексной
Плоскости z определим контур
r === {z: I m (izx + 'IJ (z, а, Р)) === о, k < arg z < },
rде k == e, если а =1== 1 и k == 1, если а == 1. Для а <
< 1 и == 1 имеем k == 1. Соrласно (2.2.6), 'i' (z, а, 1) ==
== ( iz)3. И, значит, сумма izx + 'Ф принимает вещест
венные значения на положительной части мнимой оси 1+,
т. е. r == 1+, что объясняет смысл условия л/2 -< arg z -<
-< л/2, возникающеrо в этом случае.
В остальных случаях контур r является некоторой кри
вой, уравнение которой в полярных координатах (z === re icp ,
k < (Р < ) получаем, используя вид (2.2.21) функ
Р 1 Ви д КОНТУРОВ! интеrрирования rk (в ПОЛЯРНОЙ системе ко..
ис. . ординат).
/2 !{ точке z === О они подходят
коrда ер приближается к л и имости от величины k, имея
под разными уrлами в зав О < k / 1 или же r 3, если
вид r 1, если k == 1, r 2, если '---- ,
1 < k <: О. r в Н у ле к ко..
3 ( ""- 1 ) Здесь контуры начинаются ,
· а/" У rлом л/2 и уходят в бесконеч
торому они подходят под
n 8 т е они имеют вид
ность, коrда ер приближается к 2 ' · .
r R '" О или r если <: о. и
4, если t' /' , == 1) (а == 1, == 1). Контуры r 6 этои
4. (а < 1, б Н е чность коrда ер приБЛИiкается
rруппы уходят веско ,
92
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ 3АНОНОВ
к л/2, и начинаются в точке i't, rде
{ 1
Т == (a/x) ,
ехр ( х....... 1),
если
а =1= 1,
а==1.
если
с помощью контура r 6 образуем новый контур S, сле
дуя правилу: S == r 6, если =1= 1 и S == r 6 lJ r*, если
== 1, rде r* == {z: Re z == О, T < 1т z < О}. Особен...
ностью контура r* является то, что
1т (izx + 'Р (z, а, 1)) == О для z Е r*,
откуда, очевидно, вытекает равенство
1
Re
л:
r*
ехр (izx + ф (z, а, 1)) dz == О.
Поэтому в случае == 1
-+ Не ехр (izx + чJ) dz ==: Не ехр (i x + 'р) dz.
S ri
Лемма 2.2.3 дает Возможность (с учетом последнеrо равен...
ства) произвести замену контура интеrрирования в (2.2.20)
на контур r и мы видим, что
1 \8
g ( х, а, ) === n Re J ехр (izx + 'Р) dz ==
r
==: + ехр {Не (izx + чJ)} d (Не z) ==
r
1 8
== n J ехр (........ w (ер)) d (r cos ер),
r
(2.2.24)
rде
xr sin <р + rCl. cos а ( ер + е), а =F 1,
xr sin <р + r log r sin <р + ( ; + ep) r cos ер,
а==: 1.
(2.2.25)
Окончательный вид W (ер) мы получим, подставив в (2.2.25)
выражение r (ер), найденное R (2.2.23).
W(<p)===
..,
2.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНТЕrРАЛАМИ
Пусть а =f= 1. Так как, в соответствии с (2.2.23),
sin а ( qJ + т EI )
xr === r a cos q>
93
то для функции W (ер) имеем
. s i n а ( <р + + EI ) cl. ( ...:r..... ) .........
w (<р) ===- rCl. SID ер cos <р + r СОБа <р + 2 е
r n l
cos l (а 1) qJ +""2 аEl cl. cl. l и ( е )
== r a х а n ер,
cos q>
Если а === 1, то из уравнения (2.2.22) вытекает равенст'"
во log r == x + ( ep + п/2) tg ер, используя которое
в (2.2.25), мы найдем в итоrе, что
W (<р) === xr sin <р + ( х + ( <p + т) tg<p) r sin ер +
( n ) ( sin2 q> ) ( А л )
+ ep +""2 r cos ер === r cos ер + cos <р ep +""2 ==
=== ехр ( +) и 1 ( ер, ).
Для завершения доказательства нужно выясuнить вид диф
ференциала d (r cos ер). Рассмотрим случаи а =1= 1. Co
rласно (2.2.22), xr cos <р === rCl. sin а ( ер + е).
Следова тельно,
xd (r cos ер) ==
=== arCl. cos а ( <р + е) dep + arCl. l sin а ( <р + ; е) dr ===
=== arCl. cos а (ер + е) аер + axr cos epr l dr ==
=== aJ.'d (r cos ер) + а [xr sin <р + rCl. cos а ( ер + е) J аер.
Второе слаrаемое в последней сумме равняется, как это
видно из (2.2.25), величине W (ep)dep.
Таким образом, мы располаrаем уравнением
...3!:..... ( 2 )
x(l (r cos ер) == ах d (r cos ер) + axa l и а n ер, е drp,
94
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ 3АНОНОВ
из KOTOpOrO и следует искомый вид дифференциала
d (r cos ер):
d (r cos ер) === 1 а х а 11и а ( ер, е) аер. (2.2.26)
Случай (1, == 1 разбирается аналоrично. Там в итоrе BЫ
числений Появляется равенство
d (r cos ер) === + w (ер) dep === + ехр( +) и 1 (+ ер, е) аер.
Для заверmения доказательства нам остается подставить
найденные выражения W (ер) и d (r cos ер) в равенство
(2.2.24) и принять во внимание, что при движении по KOH
туру r в направлении увеличения r уrол ер меняется от
k До л/2 в случае а < 1 и от л/2 ДО е в случае а > 1.
Следовательно, равенство (2.2.24) в случае (1, =1= 1 мы
можем записа ть в виде
1[/2 1
g ( х, а, fl) === п 7; ) а) хН и а ( ер, е) х
8
2
а 2 }
Х ехр {- xa=:J. и 0.( п ер, е) dep,
а в случае а == 1 в виде
g ( x, 1, )===
=== пl e ; т и 1 ( +ep,fl)exp{ e ; и 1 (+ep,fl)}dep.
Л/2
Доказательство Проводилось для плотностей g ( x, а, fl)
при дополнительных условиях х > О в случае (1, =1= 1
и < о при (1, == 1. Общий случай леrко СВОДится к слу
чаям, oroBopeHHblM этими условиями. Действительно,
g (х, (1" )==g ( I х 1, (1" *),
g (х, 1, )==g ( x*, 1, I 1),
rде * == sign х, х* == х sign . Если подставить вели..
чины 1 х 1, * (в случае (1, =1= 1) и величины х*, 1 1 (в слу
чае (1, == 1) в найденные нами выражения плотности, то
:rт
мы получим, после замены переменноrо ер на т ер, соот.
ветственно равенства (2.2.18) и (2.2.19). В последнем слу
2.2. ПРЕДСТАВЛЕIШЕ ИНТЕrРАЛАМИ
еще У честь то обстоятельство, что
чае надо
95
х* х И Ul(cp, )==Ul( CP' ).
------ m == ------
с елаем несколько замечаний к доказанной теореме.
З Д е 1 Ф у нкции распределения G (х, (1" )
а м е ч а н и · u быть за
стандартных устойчивых распределении MorYT
писаны в следующей форме
1. Если а =1= 1, х > О, то
1 а .
G (х, а, fl) === с (а, е) + е ) ехр { xa=i и а (ер, е)} dep.
....8 ( 2 . 2 .27)
2. Если (1, == 1, > О, ТО
1 х
G (х, 1, fl) === + ехр ( е lIи 1 (ер, fl» аер. (2.2.28)
1
1 < О 1 < о сводятся к соот"
Случаи а =1= , х и а , о и а === 1 fl > о за
ветствующим случ :н 1 ы ющеrо И3 с ойства 2.2
счет следующеrо р Ф ' ( В ) ( А ) : дЛЯ любых вещест
и справедливоrо для орм и R
венных х и любых допустимых параметров а, 1'-'
G ( x, (1" ) + G (х, (1" ) == 1. (2.2.29)
(2 2 27 ) ( 2 2 28 ) сводится к интеrрц..
Доказательство ., , ., (2 2 18) и (2. 2.19). Pac
рованию соответствующих p BeHCТB1 · . > о Тоrда
Сl\<10ТрИМ, к примеру, случаи а =1= , Х. r
ос
1 G (х, а, fl) == g (и, а, fl) du ==
х
а
f ) dep ( а 1 п а \ 1 и а) ехр ( пни а) dи
e х
ф
1 00 а
е ) dep d ехр ( ua=i и а) ==
8 х
1 -1
=== е a) l + (1 + в (а» ехр ( xa 1 и а) , аер ===
8 1 а
-==+(1 +e)(1. B(a» e ) exp( xa 1 иa) dep.
i 8 _. . -:.
96
r.Л. 2. СВОЙСТВА устойчивых 3АНОНОВ
Случай а === 1 разбирается аналоrично.
3 а м е ч а н и е 2. Хотя (2.2.27) доказывалось для
значений х > О, нам ничто не мешает устроить предель
ный переход при х О и вычислить значение G (О, а, ).
Предельный переход под знаком интеrрала не требует дo
полнительноrо обоснования. В итоrе получаем, что в слу
чае а =1= 1
G (О, а, {3) == + (1 к a.) ) .
(2.2.30)
в случае а === 1, > О, к сожалению, не известно ни
одното значения а, при котором G (а, 1, ) выражалась бы
комбинацией элементарных функций от . Однако выраже
ни е G (о, 1, ):
1
G(O, 1, )== 211 I U 1 (qJ, )exp( Ul(qJ, ))dq>, (2.2.31)
1
получающееся из (2.2.28), также оказывается полезным
в задаче статистической оценки параметра .
3 а м е ч а н и е 3. Если а < 1, == 1, то при всех
х<О
G (х, а, 1) == О.
(2.2.32)
Поскольку G (х, а, 1) неубывающая функция, CTpe
мящаяся к нулю при х oo, то (2.2.32) является след
ствием равенства G (О, а, 1) === О (см. (2.2.30)) 2.6. В свою
очередь из (2.2.29) и (2.2.32) вытекает, что в случае а < 1
и == 1 при всех х > О
G (х, а, 1) == 1.
(2.2.33)
3 а м е ч а н и е 4. Вид плотностей стандартных расп
ределений (2.2.18), (2.2.19) вместе со свойствами (2.2.32)
и (2.2.33) позволяют сделать следующий вывод.
Интервалами сосредоточения вероятностной меры CTaH
дартных устойчивых законов являются:
а) положительная полуось, если а < 1, == 1,
б) отрицательная полуось, если а < 1, == 1 ,
в) вся вещественная ось в остальных случаях. При
этом в каждой внутренней точке х интервала сосредоточе
ния меры плотность g (х, а, ) положительна.
3 а :м е ч а н и е 5. Необычную ФОР1vIУ записи НОрl\Iаль
Horo распределения fЫ по.лучаеl\1 в случае а == 2 из
.
I
(
'
2.2. ПРЕДСТАВЛЕlШЕ ИНТЕrРАЛАМИ
97
(2.2.18) и (2.2.27). (IIапомним, что стандартное устойчи
вое распределение с а == 2 соответствует несмещенному
нормальному закону с дисперсией 0'2 == 2 (см. начало раз
дела 2.2)). Именно,
1(/2
1 ех р ( ) == \ ехр ( ____ х2 ) d<p
У2п 2 n J 2sin 2 <p sjn 2 <p'
о
х t2 1(/2
1 . (' e 2 dt== 1 ...... (' ехр ( 2 .х 2 2 ) dcp, х>о.
У2п J п J Sln <р
oo О
Равенства (2.2.18) и (2.2.19) дают, очевидно, возмож"
ность представлять в аналоrичной форме производные
g(n) (х, а, ) любоrо порядка n. Эти представления, так
iKe как и представления самих плотностей, далеко не един
ственны. ,I(ело в том, что использованный в доказательст
ве теоремы 2.2.3 прием можно применять к производным,
полученным из (2.2.20):
00
g(n) (х, а, ) === Re (iz)n ехр (izx + 'Ф (z, а, ») dz,
о
т. е. заменять интеrрирование по полуоси z::> о на ин..
теrрирование по контуру r, и т. д. В результате получим
g(n) (х, а, ) ==
'Л./2
=== exp( W(q»)rn(r'sin(n+1)(q>+ ) +
'j(/2
+ r cos (п + 1) ( q> + )) dq>. (2.2.34)
Оказывается, это представление обладает pe KO Bыpa
женной индивидуальностью и существенно отличается от
тото, что мы можем получить n KpaTHЫM дифференцирова
иием равенств (2.2.18) и (2.2.19). Проиллюстрируем CKa
занное одним примером.
Рассмотрим случай n === 1, О < а < 2, I I ;::= 1, х >
> о и обозначим
1
k (х) == { xa=i, если а =1= 1,
exp( x/ ), если а==1,
g8
rл. 2. свойсrrВА устОйЧИВЫХ 3АНОНОВ
а (ер) ==
1
sin аер 1 1=ёi I sin (1 а) ер 1 , если а =1= 1,
s 1 n ер s n аер
ер ехр (ер ctg ер), если а === 1;
Sln <р
Ь(ср) ===
2
В I s ; n аер I t а ( а s i n (2 а) ер 1 ) ,
1 а s 1 n ер s j n а(р
если а =1= 1,
ехр ( 2ep ctlg ер) (2ер ctg ер 1), если а === 1,
{ л, если а > 1, === 1,
и
О в ОСтаftbl-/;ЬLХ случаях,
( О, если а < 1, === 1
л /а, если а> 1,
v === :n: в остальн,ых случаях.
с помощью (2.2.23) равенство (2.2.34) преобразуется
в равенство
v
1 \8
g' (х, а, ) === n k 2 (х) J ь (ер) ехр { k a (х) а (ер)} dep. (2.2.35)
и
Вместе с тем, дифференцирование равенств (2.2.18),
(2.2.19) дает в тех же обозначениях
v
g' (х, а, ) === ck' (1 akaa) а ехр ( kaa) dep,
и
rде с === а/{л \1 а \}, если а =1= 1, с == 1/л, если CG == 1.
"Уже беrлый взrляд показыIает,, насколько различны
эти представления g' (х, а, ). Представление (2.2.35)
в случае а =1= 1 впервые рассма тривалось в работе [40],
rде с ero помощью изучался вопрос об одновершинности
устойчивых законов. Основной результат этой:работы из
лаrается ниже (теорема 2.7.5).
Равенство (2.2.35), в свою очередь может служить OT
правным пунктом для получения новых выражений,ФУнк
ЦИИ g (х, а, ). Однако получающиеся при этом формулы,
как правило оказываются существенно сложнее тех, KO
торые приво;ились в теоре:м:е 2.2.3. Наиболее простой вид
они имеют в том случае, коrда а == 1/п, п == 1,2, · · · ·
i
:.
2.3. ЗАRОИ ДВОЙСТВЕННОСТИ
99
Например,
11:
g (х, 1, 1) == ba 2 (1 + ka) ехр ( ka) dep,
о
g (.1',1/:-3,1)===
11:
=== ba 4 (a 3 ;r3/2 + 3a2x l + 6ax ]/2 + 6) ехр ( ;rl/2a) dq>.
()
Насколько MorYT оказаться полезными такие представ..
ления при изучении свойств устойчивых распределений
пока не ясно.
2.3. Закон двойственности в классе
cTporo устойчивых распределений
Так называется соотношение, связывающее в пределах
класса распределе ия с параметром а ;;: 1 и распреде
ления с параметром а == 1/а.
Надо сказать, что это соотношение свойственно не
только устойчивым распределениям. В множестве безrра
нично делимых законов имеется аналоr этоrо Соотноше
ния точнее, ero части, связывающей мел\ду собой крайние
устоичивые распределения). Закон двойственности оказы
Вается ценным дополнением: к эле:монтарным свойСтвам
устойчивых распределений. Блаrодаря ему мы можем луч
ше сос:авить себе представление о строении этих распре
делении.
Изло)нению специфических свойств cTporo устойчи
вых распределений (к ЧИСЛУ таких Свойств относится и за
кон двойственности) отводится следующая rлава. Однако,
исходя из сообраrI\ений методическоrо характера, мы ocy
ществим знакомство с законом двойственности у)не в этой
rлаве. Поскольку на всем протял\ении настоящеrо разде
ла нам не придется выходить за пределы класса ec
тественно параметризовать устойчивые законы в форме' (С).
В тех случаях, коrда нам придется использовать друrие
формы, это будет специально оrовариваться или OTMe
чаться.
Не уменьшая общности, мо)нно рассматривать ЛИIПЬ
часть распределений из , фиксируя значение масштаб
Horo параметра. Мы условимся счита ть Ас == 1, что COOT
ветствует плотностям gc (х, а, 8) и функциям распределе
100
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОйЧИВЫХ 3А}{ОНОВ
ния G C (х, а, 8) с характеристическими функциями вида
ВС (t, а, е) == ехр ( .I t la ехр ( i ае)) ,
rде О < а < 2 и I 8 I < min (1, 2/а 1).
Т еорежа 2.3.1. Д ля люБЬLХ пар допустимых пapaMeт
ров а 1,8 и любых х > О справедливо следующее равеnст...
во:
а (1 G c (х, а, е)) == G c (x a, а', е') + (1 е') ==
=== G c (r a , а', 8') G c (О, а', 8'), (2.3.1)
zде nара.метры а', 8' свяааиы с а, 8 равеиства.ми
а' === 1/а, 1 + 8' == а (1 + 8). (2.3.2)
в тер.мииах плотnостей (2.3.1) равиосилъnо paвencт
ву 2.7
gc (х, а, 8) == rl agc (:r a , а', 8').
(2.3.3)
д о к а а а т е л ь с т в о теоремы основывается на
равенстве (2.2.27), которое в форме (С) имеет тот же вид,
что и в форме (В), так как G B (х, а, ) == G c (х, а, 8).
Рассмотрим случай а > 1, тоrда
1 а
а(1 Gc(x,a,e)).== exp{ Xa=iUa(ep,e)}d<p. (2.3.4)
о
Правой части (2.3.1) мы MOrHeM придать аналоrичную фор..
му:
G c (:r a , а', 8') а с (О, а', 8') ===
а'
1
== + ехр { (.ra)a' l и а' (ер, е')} dep. (2.з.5)
6'
Для Toro чтобы установить справедливость (2.3.1), доста..
точно пр образовать правую часть (2.3.4) таким образом,
чтобы она приняла вид правой части (2.3.5). Поскольку
а' == 1/а, то
а а'
ха=1 === (x a ух.' 1.
'
i
'
!i:
I)'
, .
"
' . .: . . . ..
.. ;
:<I:d.
,
i
2.3. ЗАI\ОН ДВОйСТВЕННОСТИ
101
Далее,
( sin а (ср + 8)
и а (ср, 8)===
:rt
cos 2 ер
\
а
) l a n
cos 2 [(а. 1) q> + а.8]
. cos ер
1
=== ( sin т а. q> + 6) ) 1=Ci cos Т [ a. 1) q> + а.6] .
cos q> sin а (ср + е)
Произведем замену переменноrо, положив
а (ер + е) == 1 Х, т. е. <р;::=:: a'x + а' 8.
При такой замене пределами интеrрирования станут 1 и
1 а (1 + 8) == 8'. Кроме Toro, мы получим, что
(а 1)ер + а8 ;=: (а 1) ер + 1 х аер == 1 х
ер == 1 х + а' х а' + 8 == (а' 1)х + а' 8' ,
ер == a'x + 1 а'е' == 1 а' (х + 8').
Подставив эти выражения в (2.3.4) и приняв во внимание,
1 а'
что 1 a == 1 a' , мы получим равенство
и а (ер, 8) == иа.' (х, 8').
В итоrе (2.3.4) преобразуется в (2.3.5).
Случай а == 1 отдельно рассматривать не надо, по
скольку справедливость (2.3.1) следует из факта непре...
рывности распределений класса по совокупности а, 8
во всей области допустимых значений этих параметров
(свойство, отмечавmееся во введении). Таким образом, нам
достаточно в (2.3.1) перейти к пределу при а 1.
В случае а == 1, 8 имеем а' == 1 и 8' == 8. Этот случай
отвечает распределению Ноши с линейно преобразованным
aprYMeHToM. Именно,
1 :rt ( .п ) 1
gc(x, 1,8) ===ncos 8 1 2х Sln 8 + х 2 ,
( П )
1 1 х sin 2 е
G c (х, 1, 8) === 2 + n arctg :rt . (2.3.5а)
cos 2 е
Мы продемонстрируем сейчас возможности использо
вания закона двойственности в задаче построения инте
2.:3. :JAHOH ДВОЙСТВЕННОСТИ
103
lO
rл. 2. СВОйСТВА УСТОйЧИВЫХ ЭАИОНОВ
rральных представлений плотностей от сложных aprYMeH"
тов. То представление, которое будет доказываться ниже,
относится к устойчивым законам с параметрами а > 1
и служит дополнением к представлениям (2.2.12) и (2.2.13)
теоремы 2.2.2.
Teop:: a .,З.2. Пусть а > 1, В не оторая пара дo
пусти.мых пара.метров, соответствующих фор.ме (А), и
х веществеииое число. Обозначи.м
J HJIee, блаrодаря евойству 2.1,
gH (у, а', , О, л ) == (Л ) llаgв ((Лв) l/ау, а', ) ===
, ,
== (лв) аgс ((лв) ау, а', 8*),
. === ctg ;а · ctg l ;: Q (а, ) 1 , а' === l/а,
Q (а, ) 1 + arctg ( tg та) ,
1
D === l1 + ( tg Т а )21 2a (sin ;а Q (а, )) 1.
rде 8* === .
Последняя функция по зак н'" (2 3 3
Ф о у двоиственности ..)
равна ункции
(л ) С( (л у l/а)l+аgс (л у l/а, а, 8),
rде параметр 8 связан с параметром 8* равенством
1 + 8* == а (1 + 8). (2.3.10)
Следующий Inar в (2.3.9) переход к форме (В) вида
функции не меняет, поскольку
gc (л , y l/a, а, 8) == gB (л у llа, а, B),
rде e=== K(a) B===(1 ; ) B'
После чеrо нам остается перейти к форме (А). Имеем
л у l llа gB CA y lla, а, B) ===
, ,
лву l l/аgА (лву llа, а, B' О, ЛА) ===
=== (Л ЛАllа) y l lla gA ((Л ЛА1) y lla, а, A).
В этих равенствах параметры связаны соотношениями
( A == ):
(2.3.9)
Если у === х t- I х 11 a/ * tg а', то
Dy l llagA (Dy l/a,a, ) == gA (у, а', В*). (2.3.6)
д о к а з а т е л ь с т в о. Справедливость равенства
(2.3.6) проверяется путем последовательноrо преобразо
вания ero левой (или правой) части по схеме
gA (" а, .) gB ( ., а, .) < gc ( ., а, .) gc ( ., а', .)
gB (', а', .) gA (', а', .). (2.3.7)
Здесь параметры ;, л связаны с параметрами а', *
равенствами (см. (В.19))
tg ( a' ) === * tg а', л, cos ( ; a' ) == 1. (2.3.8)
Jt , Jt 1
tg T а == I,g 12 (а 2) B " л'А === COS [ (а 2) B 1 .
(2.3.11)
Таким, O Pt:30M, мы пришли к равенству (2.3.6), в котором
D === ЛвЛл . 110 остается выяснить, как величины * и D
зависят от исходных параметров а > 1, . Сделать это
нетрудно, используя формулы связи параметров (2 3 8)
(2.3.10), (2.3.11). Из (2.3.11) . · ,
л'А=== (1 tg 2 ( (a 2) B)(/2 == (1 +( tg TaY) 1/2.
(2.3.12)
Средняя часть этой цепочки преобразований есть за
кон двойственности, а остальные звенья суть переход от
одной формы к друrой. ПОЭТОl\lУ равенство (2.3.6) по CBoe
му содерiканию (если отвлечься от епециальноrо вида у
и рассматривать ero как самостоятельное переменное)
Bcero лишь запись закона двойственности в форме (А).
Нам будет удобнее проходит!> цепочку преобразований
(2.3.7) от конца к началу.
flервый шаr переход от формы (А) к форме (В):
gA (у, а', *) === gB (у, а', , О, Л ).
Так как, соrласно (2.3.10),
B ==a 1 +(a 2)BB==a 1+ ю.сtg( tg ; а),
104
rл. 2. СВОйСТВА УСТОйЧИВЫХ ЗАRОНОВ
ТО
a,' B == 1 a'Q (а, ),'
tg ( a' ) == ctg l 2: Q (а, )"] . (2.з.13)
,
Из (2.3.13) и (2.3.8) находим выражения параметров Ав
и *
л == (1 + tg ( a' ) У / 2
[1 + ctg ( Z: Q (a, ») 11/2 == [sin ( Z: Q (a, ») l l,
* == ctg Z: ctg ( Z: Q (а, ») ·
3 а м е ч а н и е 1. Обозначим fJ.*== *tg а',
у ;=:: х + I х 11 a'f.1*, l;::= sign у. Из равенств (2.3.6) и
(2.2.12) вытекает интеrральное выражение плотности о;
сложной функции в случае а > 1 в том случае, которыи
не рассматривался в теореме 2.2.2:
Dy l llagA (пy 11a, a, ) ==
00 1 1
1 1т \ ехр { l .=!!..... I х I a:[( iu)a
nlxl J Ixf
о
1 .
l *u « iu)r;; l 1)]} du.
3 а м е ч а н и е 2. Обратим внимание на одну особеlI
ность закона двойственности, которая связана с присут
ствием в ero формулировке условия х > О. На первы
взrляд это условие не существенно, поскольку случаи
х < О сводится к случаю х > О за счет изменения знака ,
т. е. за счет свойства g (х, а, ) === g ( x, а, ). И деи
Ствительно, соотношение
g (х, а, ) == x l ag (х-- а , а,', '), а > 1, х > О,
дополняется аналоrичным соотношением при х < о:
g (х, а, ) == g (1 х " а, ) == I х 1 1 a g (1 х I a, а', ") ===
== I х l-- 1 -- а g ( I х I a, а', "), Р" == ' 2 (1 а,).
Так как ' =1= ", если а > 1, ТО в этом случае «KOHTpa
rенты» частей распределения g (" а', .) не являются co
ставными чаСТЯ IИ l\аI\ОI О ЛIIбо ОДНОI'О распределения
f
I
2.3. 3АНОН ДВОйСТВЕННОСТИ
105
g (., а', .). Поэтому соотношения, аналоrичноrо закону
двойственности, между функциями g (х, а, , ,,?, л) и
g (x a, а', ', ,,?', л') в случае х> О, а> 1 и "? =1= О не
существует, т. е. класс представляет собой ту eCTeCT
венную часть семейства б, rде может действовать закон
двойственности. При этом, в качестве самостоятельных
аналитических объектов выступаIОТ «половинки» плотно
стей устойчивых законов g (х, а, ), х > О, а не плотно
сти в целом. Точнее не сами «половинки)} плотностей,
а функции
c (х, а, р) == xgc (х, а, 8) == xg (х, а, ),
если раССl\fаrrривать их на полуоси х > О. Ибо именно
они являются естественными аналитическими единицами
при изучеНИII rруппы свойств cTporo устойчивых законов,
к числу которых принадлежит и закон двойственности.
Взrляните, насколько симметричнее выrлядит этот за
кон, если ero записать в терминах функций c.
Д ля любых х > О и любь х дoпycти.мь x значений пара..
.метров а, р и а', р', связаннь х .между собой соотношения..
.ми
аа' == 1, V а р == -v а' р' ,
справедливо равенство
c (x J / a , а, р) == c(x Y a' , а', р').
rруппа свойств, связанная с «половинками» плотностей
или с функциями c, оказывается настолько обширной,
что мы уделим ей основную часть следующей rлавы.
3 а м е ч а н и е 3. Свойство двойственности оказы
вается очень удобным: инструментом при решении ряда
задач, таких, например, как представление плотНоСтей
или функций распределения класса интеrралами,
сходящимися или асимптотическими рядами и т. п.
Н примеру, мы уже знаем, что естественными интерва
лами распределения вероятностей для станда ртных yc
тойчивых законов являются полупрямая (О, 00) в случае
а < 1, == 1, полупрямая ( oo, О) в случае а < 1,
== 1 и вся вещественная ось в остальных случаях.
Один из вопросов, который будет далее обсуждаться
асимптотическое поведение плотностей g (х, а, ) и функ
ций распределения G (х, а, ) на rраницах этих интерва
лов. Блаrодаря соотношениям (2.3.1) и (2.3.2) объем
106
rл. 2. СВОйСТВА УСТОйЧИВЫХ 3АНОНОВ
работы по изучению асиl'tlптотическоrо поведения COH.pa
щается почти наполовину, поскольку можно оrраничи
ваться разбором случаев а -< 1. В случае же а > 1 ответ
получается путем несложноrо пересчета результатов,
евязанных со случаем а .< 1.
2.4. Аналитическая структура
устойчивых распределениЙ и их представление
сходяп имися рядами
Устойчивые законы имеют плотности с равномерно
оrраниченныI\Iии производными любоrо поря ка. Этот фак
БЬJЛ установлен во введении. Причем для п и производнои
плотности стандартноrо распределения имеется оценка
T +1
I g(n) (х, а, ) I < n r ( n 1 ) (cos l + к (а) I ) а:- ·
Настоящий раздел мы посвятим выяснению более тонкой
аналитической структуры устойчивых распределений.
Такой анализ удобно проводить, не выходя за пределы
класса бо. Рассмотрим множество fl) всевозможных пар
допустимых значений параметров (а, ), за исключением
пары а == 1, В === О. ДЛЯ каJНДОЙ пары (а, В) F gj опре
делим на полуоси х > О функции
{ xg' (х, а, ), если а:> 1,
q (.т, а, ) === x l/ag (;r-l/ a , а, ), если а < 1,
{ G (х, а, fi), если а:> 1,
Q (х, a, ) === aG (x l/a, а, ), если а < 1,
связанные между собой равенством
xQ' (х, а, В) == q (х, а, В). (2.4.1)
Теорежа 2.4.1. Для каждойnарь значений (а, В) Е fj)
функция Q (х, а, ) аналитически продолжается с полуоси
х > О во всю 1'i-о.мпле1'i-СНУЮ пЛОС1'i-ость, т. е. является целой
аналитической функцией.
Производная целой функции сама является целой
функцией. Поэтому и произведение двух целых функций
q (х, а, В) === xQ' (х, а, ) также является целой функцией,
имеющей к тому же в точке z == О ноль первоrо поряд
ка 2. .
\ ,, .
;
,;,,(
.
2.4. АНАЛИТИЧЕСНАЯ СТРУНТУРА
107
д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим случай а == 1,
> О. Соrласно следствию 1 теоремы 2.2.1 для любых
вещественных х функция 1 Q может быть представлена
следующим абсолютно сходящимся интеrралом:
1 Q (х, а, ) == 1 G (х, а, ) ===
0::'
1 (' . I I п 1 dи
===л-- J ехр ( xи и log и) Slll 2(1 + ) U I и.
О
Если подставить в целую функцию ехр ( .xи), входя
щую в состав подынтеrральноrо выражения, вместо х
любое комплексное число z, то интеrрал останется абсо
лютно сходящимся. Это означает, что интеrрал сходится
равномерно в Kpyre I z I < r сноль уrодно большоrо pa
диуса r. Следовательно, интеrрал, а вместе с ним и функ
ция Q, аналитически продолжимы во всю плоскость z.
Случай а < 1 рассматривается по той же схеме. Бла
rодаря следствию 1 теоремы 2.2.1, имеем для любых
х>О
Q (х, а, ) == aG (x lla, а, ) ==
00
=== а + .!!:.... (' e U 1т ехр ( ..... хиfXе--- iпра ) .
п J и
о
Интеrрал сходится абсолютно и таковым остается, если
вместо х подставить в подынтеrральное выражение лю..
бое комплексное число z. Следовательно, он сходится paB
номерно в Kpyre I z I < r любоrо радиуса, т. е. функция
Q целая.
Случай а > 1 сводится к сдучаю а < 1, если иеполь--
зовать соотношение (2.3.1):
Q (.х, а, ) == G (х, а, ) ===
=== 1 + + а' (1 ') a'G (;r-l/a', а', ') ===
=== 1 + +а' (1 ') + Q (х, а', '), (2.4.2)
rде а' == 1/а и ' === 1 а (1 + K (a)ja).
Сделаем два замечания по поводу доказанной теоремы.
3 а м е ч а н и е 1. Случай а === 1, === О, COOTBeTCT
вующий распределению Коши, занимает особое Положе
вне среди стандартных устойчивых распределений. Функ
108
rл. 2. СВОйСТВА устойчивых 3АНОНОВ
ция распределения в этом случае имеет вид
1 1 ( 2 \
G (х, 1, О) === 2 + п- arctg n х) ===
зt
1 1 x iT
=== 2 .+ 2:n;i log n
X+iT
который показывает, что хотя функция G и продолжается
аналитически с полуоси х > О, но только в полуплоскость
С каким либо разрезом (например, по отрезку [ in/2,
in/2]), соединяющим точки ветвления in/2, in/2.
3 а м е ч а н и е 2. В конце предыдущеrо параrрафа
отмечалась одна особенность устойчивых распределений,
состоящая в том, что «половинки» стандартных плотностей
g (х, (1" ), х > О, и g (х, (1" ), х < О, в случае а =1= 1 про
являют себя как самостоятельные аналитические образо
вания. Теорема 2.4.1 дает тому еще одно наrлядное под
тверждение. Особенно хорошо это видно в случае а < 1.
Действительно, рассмотрим плотность g (х, а, ) с Ka
кой либо парой значений параметров а < 1, . «Поло
винку» g (х, (1" ), х < О, в симметрично отображенном
виде мы мол{ем найти среди «половинок» g (х, (1" (3), х > О,
при == . Поэтому функции q (х, а, ) и q (х, а, )
образуются двумя частями одной плотности. Однако ана...
литические продолжения этих функций совершенно раз
личны и не сводятся одно к друrому с помощью KaKoro
либо простоrо преобразования, вроде симметричноrо
отражения. Например, если а < 1, то q (х, а, 1) имеет He
которое ненулевое продолжение в комплексную плос...
кость, в то время как q (х, а, 1) === О, х > О, имеет в Ka
честве продолжения функцию, тождественно равную нулю
во всей плоскости.
Аналоrичная ка ртина наблюдается и в отношении
функции Q.
т eope a 2.4.2. Д ля любой пapbL зuачеuий параметров
(а, ) Е целая фуппция Q (х, !Х, ) .:может БЬLтъ npeд
ставлена cmeneUUbLM рядом следующеео вида:
Если (1, < 1, то
Q (х, а, ) === a.G (x lla, (1" ) ==
00
=- ( 1)n 1 r (п + 1) sin (nnра) х n . (2.4.3)
а + п l...J nr (п + 1)
n===1
i
2.4. АНАЛИТИЧЕСRАЯ СТРУНТУРА
109
б ' А' ,
Если (х, > 1, то в тех же о означепиях а , t' -поторые
испОЛЪ80валисъ в (2.4.2), имеем
Q (х, а, ) == G (х, а, ) === 1 + 4-- а' (1 + ') +
00
+ (......... 1 )n 1 r (па' + 1) sin (nпр) х n . (2.4.4)
л: l...J nr (п + 1)
n==1
в случае (1, == 1, > о
00
Q (х, a, ) ===G (х, a, ) === 1 + ь о + + ( 1)n 1 ьnх n ,
n==1
(2.4.5)
еде
00
Ь n === r(п 1) exp( иlogи)иn lsin [ (1 + )u J dи.
о
Случай (1, === 1, < о сводится к случаю (Х, === 1, > О,
блаrодаря равенству (2.2.29).
Д о к а з а т е л ь с т в о (2.4.4) (2.4.5) OCHOBЫBaeT
ся на разложении В степенной ряд по х подынтеrральных
выражений и последующему почленному интеrриро
ванию тех представлений функции Q, которые использо
вались в теореме 2.4.1 в случае а > 1. Разложение (2.4.3)
получается из (2.4.4) блаrодаря связи (2.4.2).
3 а м е ч а н и е. Равенства (2.4.1) и (2.4.3) (2.4.5)
позволяют получить (путем дифференцирования рядо
для плотностей g (х, а, ) следующие представления cxo
дящимися рядами 2.9.
Если а > 1, то для любых допустимых и любых ве.-
щественных х
00
g (х, a, ) ==+ L ( 1)n 1 rr( : +1:) sin (л:пр) x l. (2.4.6)
n===1
Если (1, == 1, > О, то для любых вещественных :t
ос
А 1 ( 1 ) n 1 Ь n 1
g (х, 1, tJ) ==1t" l...J п 11: Х . ·
n==1
(2.4.7)
110 rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ ЗАКОНОВ
Если а < 1, то для любых допустимых и ЛIобых х > О
00
g (х, а, ) == ( 1 )n 1 r (па + 1) sin ( nr p a ) x n(X l
Л L.J r (п + 1) ·
n==1
(2.4.8)
Равенства (2.4.3) и (2.4.4) имеют, в отличие от (2.4.5),
ту особенность, что стоящие в их правой части степенные
ряды содер,кат явные выражения коэффициентов. Это
позволяет вычислить порядок и тип целой функции
Q (х, а, ), используя следующие ХОрОIПО известные свя
се
зн порядка а и типа б целой функции Х (z) === anz n с
n O
ее коэффициентами (см., например, [86]):
} . n log п
а === 1т sup 1 1 I 11
n-------+оо og а п
б == }im sup п I а n la/n.
ае n.......оо
(2.4.9)
(2.4.10)
Положим а == сх, если сх < 1 и а === 1/а, если а > 1.
Теорежа 2.4.3. В случае а =1= 1 целая фу Н1li-Ц ия
Q (z, а, ) имеет порядо1'i,
а == (1 a) l
и тип
б == (1 a)a a/(1 a).
в случае а == 1, =1= О целая фуп1li-ция Q (z, 1, ) ==
== G (z, 1, ) имеет беС1li-опеЧl--lЬLй порядО1li- 2.10.
Д О К а з а т е л ь с т в о. Пусть а =1= 1, с помощью
формулы Стирлинrа находим, что
l (па + 1)jr (п + 1) ==
== exp{(a 1) п log п+ п (а log а а + 1) + loga +о(1)}.
опираясь на разложения (2.4.3), (2.4.4), находим по фор
мулам (2.4.9), (2.4.10) значения а и б.
Доказывать бесконечность порядка функции G (z, 1,1)
можно непосредственно, опираясь на асимптотическое
поведение функции G (х, 1, 1) на отрицательной полуоси.
Соrласно теореме 2.4.3 при х 00
C(.T,1,1) vk exp{ (1+x) exp( (1+x))}.
, ',
:,,;, A, .:..
2.4. АНАЛИТИЧЕСНАЯ СТРУНТУРА
111
Из теории аналитических функций известно (см.,
например, хорошо известную книrу [86]), что если целая
функция w (z) имеет конечный порядок а, то для Лlобоrо
фиксированноrо в > О существуют окружности I z I == r
сколь уrодно большоrо радиуса r, на которых
m iIl {I w (z) I : I z I == r} '> ехр ( ra+e).
JlerKo видеть, что асимптотическое поведение функции
G (х, 1, 1) при х 00 несовмеСТИl\:IО с предположением:
конечности ее порядка.
Для доказательства бесконечности порядка целой
функции G (z, 1, ), =1= О мы.изберем иной путь. Прел де
всето заметим, что не уменьшая общности, можно считать
:'> О. Соrласно следствию 1 теоремы 2.2.1, для любых
вещественных х
00
G(:r, 1, )== 1 + exp( xи a logu) х
о
. I Л ] dи
YSlnL2(1+ )u и---'
Нетрудно заметить, что интеrрал остается абсолютно cxo
дящимся, если х заlVlенить каким либо ком:плексным чис
лом. Это означает, что интеrрал дает представление функ
ции G (z, 1, ) во всей комплексной плоскости z. PaCCMOT
рим последовательность комплексных чисел
Z/i === X/i i Т (1 + ) == (1 + log U/i) i (1 + ),
r Д е и k == (1 + 4k) / ( 1 + ), k == 1, 2, . .
Обозначим w == (2 (1 + )) 1. Элеl\Iентарные подсчеты
показывают, что
1т G (z}f' 1, ) ===
00
== ехр (xk U a log и) (sin (1 + ) а)2 а: ;>
u
? eXP(xku ulogu)(sin (1+ )a)2 а: ;>
tи иh I < (J)
;;- 2 log ( ) ехр {Xk (u k <о) (uk + <о) log (U/i + <о)}.
112
rл. 2. СВОйСТВА УСТОйЧИВЫХ 3АНОНОВ
Эта величина при k 00 имеет асимптотическое Выра....
жение
1
8nk ехр { иk (1 + ) ro log Uk 2 ro + о (1)} ===
== lexp { exp ( k 1 ) + о (Xk)} .
ПОЛОiКИМ теперь
М (r) == тах {I G (z, 1, ) 1: I z I == r}
и заметим, что
м (1 Zk 1) > ImG (Zk' 1, )
> ехр { ехр ( + Re Zk 1 ) + о (Re Zk)} .
Блаrодаря тому, что 1 zkl Re Zk (1 + о (1)), из послед..
HPro неравеиства следует неравенство
Нт sup log log М (r) >- 1/ > О,
r oo r
из KOToporo, в свою очередь, вытекает бесконечность по...
рядка целой функции G (z, 1, ).
3 а м е ч а н и е. Производная любоrо порядка целой
функции имеет, как известно из теории аналитических
функций, тот ,не порядок и тип, что и сама функция. OT
сюда, в частности, следует, что утверждение теореJ\IЫ
2.4.3 справедливо taKj-Rе и в отношении функции q (z, (1" ).
в заключение настоящеrо раздела приведем без ДOKa
зательства один :интересный факт. Читателей, желающих
ознакомиться с доказательством, мы отсылаем к работе
[8], откуда он был заимствован 2.11.
Рассмотрим стандартное устойчивое распределение с
па раметрам:и (1, < 1, == 1 и обозначим
L ) (х) ===
n li
( r (п + 1) ) 1/2 k r (1 + 8 + п) х
1,(п+1+s) L.J( 1) r(k+1)r(п k+1)r(1+s+lt)
k==O
полиномы Лаrерра, s > 1, n== 0,1, . .., образующие
полную ортонормированную систему в rильбертовом про
странстве вещественных функций на [О, (0) с интеrрируе
мым квадратом по мере f.t (dx) == х 8 ехр ( x) dx.
"";
r.:i',.
f:'" '1
f.: .
t:
.
L\»
ta
2.5. АСИМПТОТИЧЕСНИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
113
Peope."Jla 2.4.4. Д ля люБО20 0<(1, < 1 их:> о фУ1t ция
q (х, (1" 1) .может БЬLть представдепа сходящи.мся рядо.м
со
q (х, а, 1) == х ехр ( x) k ) (а) L ) (х), (2.4.11)
n==о
еде s любое фи сирова1t1tое число, большее 1, и
k (f;) I )
n a ===
n
( r (п + 1) ) 1J l ( 1)тr (1 + 8 + п)
== а l' (п + 1 + s) L.J r (т + 1) r (п " + 1) r (1 + а (8 + т).
т==О
в случае (1, > 1, х > О разложение в сходящийсл
ряд функции
00
q (х, а, 1) === ехр (........Х) k ) (1 /а) JJ S) (х)
n==о
получается из (2.4.11) блаrодаря свойству (2.3.3).
2.5. Асимптотические разложения
устойчивых распределений
Нак уже отмечалось в замечании 4 к теореме 2.2.3,
носителем :меры распределений G (х, (1" ) является полу..
ось (О, (0), если (1, < 1, == 1, полуось ( oo, О), если
а < 1, === 1 и вся вещественная ось в остальных слу
чаях. Материал предыдущеrо раздела не позволяет cy
дить о поведении целых функций G (х, (х, ) и g (х, (1" Р)
в точке х == О при (Х < 1 и в точке х == 00 при 1 -< (Х < 2
(это не касается случая (Х == 1, О), поскольку в KOM:
плексной плоскости указанные точки являются для них
особыми. Именно, ТОЧНОЙ ветвления в первом случае
и существенно особой во втором. Ниже мы исправим этот
дефект информации, построив асимптотические разло
жения функций G и g в окрестности соответствующих им
особых точек. Оказывается, что виды асимптотических
разложений значительно различаются в зависимости от
Toro, имеем мы дело с крайним распределением (т. е. ;::=
;::= + 1) или нет, и от Toro, будет ли (Х < 1, (Х == 1 или
(Х > 1.
В связи с этим различаются следующие шесть воз
можиых ситуаций (блаrодаря свойству 2.2, асимптоти
2.5. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
11 !)
114 r.л. 2. СВОйСТВА УСТОйЧИВЫХ ЗАНОНОВ
чески е разложения достаточно рассматривать лишь для
х > О):
1. (1, < 1, =1= 1, х О,
11. (1, < 1, == 1, х О,
111. (1, == 1, =1= 1, =1= О, х 00,
IV. (1, == 1, == 1 , х 00,
У. (1,>1, =I= 1, X OO,
VI. (1, > 1, == 1, х 00.
Расположение и rруппировка ма териала настоящеrо
раздела не следуют четко указанному делению на шесть
случаев, поэтому возникает необходимость HeKoToporo
пояснения. Приводимые ниже асимптотические разло
жения (понятие асимптотическоrо ряда традиционно
принято е в математическом анализе) делятся на две rруп
пы. Первая (теоремы 2.5.1 2.5.4) содержит асимптоти
чески е формулы для плотностей g (х, а, ) и функций pac
пределения в окрестностях соответствующих особых TO
чек. Вторая rруппа (теоремы 2.5.5 2.5. 7) объединяет
асимптотические раЗJlожения g (1 (х), а, ) и G (r (х), а, ),
rде r (х) функции СIIециальноrо вида. При этом в тех
случаях, коrда разложения функций распределения по
лучаются в качестве следствий асимптотических разло
жений соответствующих им плотностей, они не выделяются
в самостоятельные утверждения. Тот же принцип coxpa
няется и тоrда, коrда удается один из отмеченных выше
еJlучаев свести к друrому за счет использования COoTHoIIle
ний двойственности (случай V сводится к случаю 1, случай
VI к случаю 11). Случаи 11, lV и УI удается объединить
в одной аналитической форме записи, в результате чеrо
они рассматриваlОТСЯ в двух объединяющих их теоремах
2.5.2 2.5.3, одна из которых связана с разложением
функций распределения.
Случай а == 1, == О, дЛЯ KOToporo имеются простые
явные выражения плотности и функции распределения,
вообще не рассматривается.
Теор?жа 2.5.1. Если а < 1 и В =1= 1, то при х О
имеет .место следующее аси.мптотическое представление:
д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся интеrраль
ным выражением плотности в виде (2.2.1) и запишем
00
g (х, а, ) === Re ехр (их t a ехр (i (1 )) dt ===
о
n l k 00
=== ! Re (щ!- ехр ( t a ехр (i a )) dt + Rn.
k=:=lO О
rде
ос п 1
1 . [ ,
Rn === n Rc J e itx L..J
О k::::::lO
Имеем
k
(i ) ] охр ( t a ехр (i a )) dt.
00
1 (8 1 ( п )
I R, п 1-< n J пт- (tx)n ехр t a cos2""a dt ==
О
( п+l )
1 r а п l ап
=== щх. r (п + 1) l cos 2"" a х. (2.5.2)
в основной сумме во всех интеrралах произведем замену
nepeMeHHoro w === t ехр (i ) и последующий поворот KOH
тура интеrрирования с тем, чтобы интеrрирование вновь
осуществлялось по полуоси (О, (0). В результате получим
раЗЛОJl ение (2.5.1).
G ледсmвие 1. Если (1, < 1, =1= 1, то при х ) О
1
G (х, <1, ) G (О, a, ) === G (х, a, )....... 2"" (1 )
1 r ( ) . n k ( 1 А h.
ла L..J l' (k + 1) Sln 2: 1-1) х ·
kc:::l
(2.5.3)
Справедливость (2.5.3) проверяется с помощью (2.5.1)
и правила Лопиталя.
C./teacmoue 2. Если (1, > 1, В =1= 1, то при х 00
00 l' ( k: 1 )
g(x,a, ) n L r(k+1) sin (k+1)(1 )xr.'.
k ==:10
(2.5.1)
00
g (х, a, ) X l 11 ,( ) sin k (2 а) (1 + ) x ka.
k==
(2.5.4)
116
rЛ. 2. СВОйСТВА устойчивых ЗАRОНОВ
Действительно, соrласно (2.3.3) для а > 1 их> О
g (х, а, ) == x l a g (x a, 1/а, '), (2.5.5)
rде ' == 1 + а (1 + «(1, 2)/а) == 1 (2 (1,)(1 + ).
Для правой части (2.5.5) мы имеем асимптотическое
разложение (2.5.1). Отсюда и получается (2.5.4).
В свою очередь, из (2.5.4) находим, что в случае а > 1,
=1= 1 и при х 00
00
1 G (х, a, ) + L, r )1) sin k (2 а) (1 + ) x kCt.
1;-==1
(Это устанавливается с помощью Toro iRe правила Лопи-
таля. )
Анализ асимптотическоrо поведения устойчивоrо рас..
пределения при х О в случае а < 1, == 1 и при х 00
в случае а == 1, == 1 опирается на хорошо известный
метод Лапласа асимптотическоrо представления интеr
ралов. То утверждение, которое мы возьмем за 1 основу
анализа, представляет собой один из наиболее простых
вариантов теорем подобноrо рода. Познакомиться с ними
можно, например, по обстоятельной моноrрафии [30].
Рассмотрим четные, аналитические на интервале
( л,л) функции s (t) и w (t), в отношении которых допол
нительно предполаrается, что
1) w (t) cTporo монотонна на интервале (О, л),
2) == s (о) > О, 't == W (о) > о, 0'2 == ш" (о) > о,
3) s (t) == О (ш (t)) при t л.
С помощью этих функций образуем интеrрал
1t
1 ('
1 N == 2n J s (t) ехр { Nw (t)} dt,
..n;
(2.5.6)
существующий, очевидно, при каiНДОМ N > о.
Лежжа2.5.1. ПриN 00 справедливо следующее пред..
ставлепие иптеарала 1 N аси.мптотичес-пи.м рядо.м:
1 00
N 2 ехр( -rN)(1 + QnN n), (2.5.7)
"':::::11
r . ;
(j 27;
аде
00
Qп rk
qn (t) ехр ( t" /2) dt
(2,!1.8)
""'".:'ou
...
,:' ':' {.,"
2.5. АСИМПТОТИЧЕСRИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
117
и функции qn (t), представляющие собой полино.мъ , явля т
ся 1'i,оэффициепта.ми равложепия в ряд по степепя.м h .
== (O'2N) 1 четпой фуп1'i,ции
( h) 1 (t h ) { 1 [ W ( th ) 't a 2 t 2 h 2 J 2 ]} ===
ro t, === Т s ехр (j2h2
00
== 1 + qn (t) h 2n . (2.5.9)
n=:;:)1
д о к а з а т е л ь с т в о. Интеrрал 1 N разбиваем на
две части, обозначая Е === N l/з,
IN== 2 + 2
Itl e Е< Itl <Л;
, "
===IN+IN.
Второе слаrаемое оцениваем, используя oroBopeHHble
выше свойства 1) 3) функций s (t) и w (t) и тот факт, что
функция х ехр ( x) монотонно убывает a "полуоси
х 1. Для достаточно больших N имеем (с, с , с пос..
тоянные)
1t
1;' -< с w (t) ехр ( Nw t)) dt <
Е
< ncw (8) ехр ( Nw (8)) < с' ехр ( Nw (8)).
1
Поскольку w (8) === 't + т а 2 е,2 + о (84), то
1 '
[;' < с" ехр ( -rN T 02 : N 1/3) ·
Следовательно, эта часть интеrрала 1 N составляет беско
нечнО малую величину при N 00 по сравнению с лю..
бым слаrаемым асимптотическоrо разложения (2.5.7).
В первом слаrаемом, после Toro, как мы преобразуем
ero к виду
1
E/h
I "=" N 2 ехр ( -rN) (' e t2/2(j) (t, h) dt,
2П(j J
elh
прои:;.нодится разложение функции ro (t, h) в асимптоти
чес кий ряд (2.5.9) по степеням h 2 и последующее почлен
ное интеrрирование. После чеrо донолнительно прове
ряется; что увеличение области интеrрирования в интеr..
118
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ ЗАRОНОВ
2.5. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
119
ралах
1
V ( ) G a (x a, ) x (1+a) == V (а) G a (х, а).
(.'
Аналоrично с помощью равенств (2.2.27), (2.2.28)
и СООТНОlпения двойственности (2.3.1) записываются в
единообразной форме функции распределения в случаях
а < 1, В === 1 и а ? 1, В === 1. Именно,
n
1 \ ( t ) d { G (х, а, 1), если а < 1,
2n J ехр Ш <р == G 1
n 1 (х, а, 1), если а ·
(2.5.11)
В целях удобства изложения дальнейшеrо материала
введем величину а*, полаrая
e/h
qn (t) ехр ( ) dt
elh
до интеrрирования по всей вещественной прямой дает в
каждом из них изменение, не превосходящее величины
О (ехр ( NI/4)).
!ассмотрим случ.ай а < 1, === 1, х О и а;:.> 1,
1, х 00. Оказывается, что теорема 2.2.3 и за Iе
чание 1 к ней дают возможность записать функции
g (х, а, ) и G (х, а, ) в виде интеrрала (2.5.6). Обозначим
===s(x,a)== { 11 al(x/a) a l , если a=F 1 ,
exp(x 1), если сх== 1,
:rt
V \.
g (х, а, ) == 2л l/a J w ехр ( sw) dep.
п
(2.5.10)
J а,
сх* == 1
t а' если а;?: 1.
Функция (х, а) 00, если а < 1, В === 1 и х О или
же а ;::' 1, === 1 и х 00, а функция w (ер, а), что He
посредственно видно из ее определения, является четной
аналитической функцией на интервале ( п, п), дЛЯ KOTO
рой
L == W (О, а) === 1, а 2 === ш"(О, а) == а* > О.
Поскольку функция w (ер, а) только множителем отлича
ется от функции а (<р), использовавшейся в равенстве
(2.2.35), то из леммы 2.7.5 следует строrая монотонность
w на интервале (О, п).
Это означает, что функция w удовлетворяет условиям
1),2), используемым в лемме 2.5.1. То, что условие 3) TaK
же ВЫПОJlненз очевидно, поскольку в (2.5.10) и (2.5.11
на роль функции s (t) выбирается или w (t, а) или же фУНI(
J ИЯ S (t) 1 -< w (t, а). Таким образом, мы вправе при
менить к интеrралам (2.5.10) и (2.5.11) лемму 2.5.1. Для
окончательноrо оформления :интересующих нас асимпто
тических разложений детализируем разложение (2.5.9),
от KOToporo зависит вид коэффициентов Qn в (2.5.7).
Выпишем предварительно разложение в степенной ряд
функции log w (ер, а) в случае а -< 1, воспользоваВIIIИСЬ
известными разложениями функций log (sin х/х) и х ctg х
(см. по этому поводу [22], 1.411, 1.518). Имеем
если а < 1 ,
(2.5.12)
а
( sin. cx.q> ) a l sin (1 а) q>
W == 11) (q>, а) == а Sln q> (1 сх.) sin <р
ер
sin q> ехр (1 ер ctg ер),
если а < 1,
если а === 1
(в случае а > 1 функция w === w (ер, а) определяется с
помощью функции ш, определенной для а ../ 1, путем за
мены а на 1/а), "
v == v (а) === ( 11 а I , если а =F 1,
1, если а==1.
Нетрудно убедиться, что с помощью этих обозначений
ра ве нства (2.2.18) и (2.2.19) в случаях а <:: 1, == 1 и
а 1, == 1 можно свести в одно
То, что эта формула остается верной и в случае а > 1
довольно прос о проверяется, если воспользоваться COOT
ношением двоиственности (2.3.3) и следующими свойст
вами функции :
если а > 1, то для любых х '-;.- О
-
G (x a, +) == (.)'. (1),
00
log w (ер, а) === а n (а) ер2 n ,
n<:::1
(2.5.13 )
120
rл. 2. СВОйСТВА УСТОйЧИВЫХ ЗАRОНОВ
I'де
2 2n I в
а (а) 2n I [ а (1 а. 2 n ) ]
п 2п (2п)! 1 а. + 1 ......... (1 а)2 n
полиномы степени (2п 1) СО свободным членом P aB
ным нулю ( В ч Б '
Ф n исла ернулли). Отсюда с помощью
ормулы Бруно получаем, что в случае сх -< 1
00
w (<р, а) === 1 + а 2 + I: Ь n (а) <р2 n ,
n==2
(2.5.14)
rде Ь n (а) == ! СП (1! аl, 2/ а2, . . . , п/ а n ) и Сп (Yt, · . . , Yп) ==
=== { п! ( Уl ) h'1 ( Уn ) Кп
L.J k 1 !... k n ! -тr · " -пт--- : k 1 -1 2k21 :. · · + пk n ===
=== п, k j> о} так называемые полиномы Белла (см. [77]).
f erKo 1 видеть, что Ь N (а) являются полиномами степени
п со свободными членами равными нулю
Из (2.5.14) следует, что в с учае а > 1 ·
00
( ср2 \.,
W ер, а) == 1 + а* ---r + L.J Ь n (а*) ср2 n ,
n==2
rде Ь n (а*) рациональная функция а.
Таким образом, если s (ер) == w (ер) === w (ер сх) то раз..
ЛОiнение (2.5.9) имеет вид , ,
(J) (ер, t) ==
=== ехр {log w (:t, а) a t2 l w (<pt, а) 1 а 2 * <p2[21} ===
00
=== ехр (I: d n (<р, а) t 2n ) === 1 + I: qn (<р, а) t 2n , (2.5.15)
п l n==1
rде
d n (<р, а) === (а n (а*) :: Ь n +1 (а*») <р2 1l
и
1
qn (ер, а) === Сп (1! d 1 , 2! d 2 ,. . . , п! d n )
являются полиномами степени 2 (п + 1) по перемеино"
му ер И полиномами степени 2п по переменному сх*.
.,;
\
.
2.5. АСИМПТОТИЧЕСНИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
121
Если же s (ер) == 1 и w (ер) == w (ер, а), то
о)(<р, t) == ехр { a:t 2 [w(<pt, а) 1 a*<p2 t 2j2]} ==
'х)
== 1 + 1: l[n (<р, а) t 2n , (2.5.16)
n::=::::1
rде qn (ер, а) получается из qn (ер, а), если в (2.5.15) поло
жить аl === а2 === .., === о. Тем самым, f/n (ер, а) являются
полиномами степени 2п по переменному а*.
Teope a 2.5.2. Пусть а < 1, == 1 и х О или же
а :> 1, == 1 и х 00. ТОсда
g(x,a, ),....,
00
Y )1a G(2 a.)/2a. ехр ( G) (1 + Qn (а*)( a*G) n)' (2.5.17)
nс:::l
Коэффициентьt Qn задаются равенством (2.5.8) с ФУllYi
циями qn ив разложения (2.5.15) и представляют собой
полиномьt степени 2п относительно пере.менносо а*.
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы сводится к ПрИ lе
нению леммы 2.5.1 к интеrральному выражению плотно
сти (2.5.10). При этом, понятно, надо учитывать ииформа
цию, содержащуюся в разложении (2.5.15).
3 а м е ч а н и е. В формулировке теоремы величина
(х, а) использовалась как для получения компактной
записи, так и для демонстрации единой формы асимпто
тическоrо разложения в довольно сильно различающихся
ситуацияХ. Для удобства использования (2.5.17) выпишем
ero rлавный член 2.12:
в случае а =F 1
2 a,
'v (ж/а) (a. 1)'2
6(2 (l,)/2ae 6 ==
-V2na -V2лаI1 аl
а
ехр { 11 а I ( ) си } ,
(2.5.18)
н случае а == 1
y (2 a.)/2a.e '== -vk ехр( х;l eX l). (2.5.19)
Если теперь за отправной пункт взять представление
(2.5.11) функций распределения рассматриваемых устой...
чивых законов, то лемма 2.5.1 вместе с разложением (2.5.16)
приведет нас к следующему утверждению.
122
rл. 2. СВОйСТВА устойчивых 3АНОНОВ
Teopr:.Ha .5.,З. lI y cmb а < 1 А 1 О
а., ............., 1 А ' fJ и х
, fJ === 1 и х > 00 ТО2да или же
жение функции G ( Х а., . А ) асимптотическое разло
1 G ( , , р в случае а < 1 Ф
х, а, Р) в случае а., ::;::-: 1 име ет С д z: унпции
ле УЮli/иu вид:
1 <х)
у 2л:а.!; e (1 + Qn (а*) (a* (n) ,
п::::)l
(2.5.20)
zae полиномы Q Сlпеп 2
в котором Ф п ии !!пи п задаются равепством (2.5.8),
(2.5.16). у Ц qn (ер, а) определяются разложением
rлавный член (2 5 20)
подставить ее Bыp eH e если вм б есто функции s (х, а.,)
образом: ' прео разуется следующим
если а =1= 1, то
а
1 e 6 === (ж/а) 2(a 1) а
у 2па.!; У2л:а.11 а.1 ехр ( 11 а I (xja) СН ),
(2.5.21)
если а., == 1, то
y e == 1 ехр ( Ж 1 )
У 2л: -;- eX l · (2.5.22)
Замечание 1 А
(2.5.20) можно диффере симптотическое разложение
лучим сначала ( 2 r; 17) цИровать по х. При этом мы по
.и. , а затем и ас
fI\ения Производных пл имптотические разло
ением знака ) Д отпости (с соответствующим изме
. оПустимость так u Ф
цедуры следует из вида пред ои ормальной Про
дифференцировании продо тавления (2.5.11), которое при
типа 1 N из леммы 2 5 1 П тает оставаться Интеrралом
цируя (2.5.20), что' .. олезно иметь в виду, дифферен
д
7iX === Е (а) 'V (а) 6.
Таким путем нет руд
Q но установить связь ме жду П
мами и Q П олино
п n. оскольку ВИД
каково бы ни было О < а 2 " полиномов не меняется,
, ]0, не уменьшая общности
,
,
2.5. АСИМПТОТИЧЕСRИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 123
можно считать а., <:: 1. Имеем, дифференцируя (2.5.20),
1
G' (х, а, 1) y с 2" e { l Qn п (as) n +
п l
+ (1 + +S l)( 1 + Qn(a (n)} ==
n 1
y (Ht)/2 e {1 + (Qn + (2п + 1) Qn l) (aS(n}.
п l
Отсюда следует, что
а ,...., """"'
Qn (а) === 2 (2п + 1) Qn l (а) + Qn (<1).
Непосредственное вычисление полиномов в Qn осуществ
ляется несколько леrче, чем Qn и поэтому рекуррентная
связь между ними оказывается полезноЙ. Например, под
1
счет показывает, что Ql (а) == 24 (2 + 7а + 2( 2 ). Отсюда,
принимая во внимание, что Qo == 1, имеем Ql (а) ==
== 14 (2 29a + 2( 2 ).
З а м е ч а н и е 2. Явное выражение полиномов а п
показывает, что они и:меют рациональные коэффициенты.
Механизм образования полиномов Ь n , Qn и Qn сохраняет
для них это свойство. Интересно отметить, что полиномы
а щ Ь n , Qn и Qn имеют симметричные коэффициенты. Дей
ствительно, простые преобразования показывают, что в
достаточно малой окрестности нуля
И) (ер, 1/а.,) === w (ср/а." а), о < а., < 2.
Разлаrая обе части этоrо равенства в ряд по степеням ер,
получим, что
Ь п (1/а) === a., 2n Ь п (а.,),
а раЗJlаrая в ряд лоrарифмы обеих частей, получим
а п (1 / а.,) === а., 2n а n (а).
Следовательно, тем же свойством обладают' и образуемые
с их помощью полиномы Qn'''"""'Qn. Но это означает, что все
эти полиномы имеют симметричные коэффициенты.
Последний из рассматриваемых случаев, а == 1, =1=-
=1= 1, весьма своеобразен.
124
rл. 2. СВОйСТВА УСТОйчивых ЗАКОНОВ
T(30pe a .5.4. Если rz == 1, О < -< 1, то при х 0004
00 справедлuвь следующие асимптотические ра8доже
пия:
00
1 ) I 1
g(x, 1, ) ,Рn (Jogx)x n l,
Л n.
n==1
(2.5.23)
n
еде Р п (у) === I rlnyl u
1==-0
'n
r, n === (:) (7) ( 1)m 1 r(m l) (1 + п) х
т=:::J l
( Л ) n т Л
x т2(1+ ) sjn2(п m);
00
1 G (х,1, fl) "" Р: (log х) x n, 2.5.24)
п L.J ...n.
n-==1
n
еде p (у) === 2} rrny' и коэффициепты rrn отличаются от
[с:=о
rl n только тем, что входящие в пих проиаводnьИ! Фуnк
ции r в точке 1 + п аамеnяются па те же пpoиaвoдnь e
в точке п.
Д о к а з а т е л ь с т в о. С помощью равенства
(2.2.9) плотность g (х, 1, ) В случае > О, х > О можно
записать в виде
g (х, 1, ) ===
00
=== Im exp{ и+ +lplog( )+iT(1+P)J}dи===
о
N l 00
=== xn n 1т e и lp log (7) +
n.=:::lo О
л l n
+ i T (1 + ) иndи + RN.
Принимая во внимание, что для любых комплексных z
справедливо неравенство
N l
I e Z L : I <
n-:::::оо
I zlN
N! тах (1, ехр (Re z)),
Wf'
2.5. АСИМПТОТИЧЕСRИЕ РА3ЛОЖЕliИЯ
125
нетрудно проверить, что при х 00
I Rn I == о (x (N+l) (log X)N).
Поэтому доказательство (2.5.24) сводится к преобразова...
нию слаrае {ыХ конечной суммы В записи плотности.
Имеем
1т e и L log( : ) + i (1 + )lп иndи===
,о
=== t( ) (р log (7)У (+(1 + »)n l sin+(n l)e 1lиndи.
lc;::o о
Дальнейшее несложное преобразование этой суммы с
учетом Toro, что
00
e ииn (log и)т dи 0:= r(т) (1 + п)
о
ит нас к выводу, что она представляет собой поли
привод 1 х) казанноrо в формулировке теоремы вида.
ном Р n ( og у (2 5 2 4 ) П р оводится дословно так же.
Доказательство ..
п и ЭТОМ исходным является интеrральное представле
р 1 G ( 1 ) из следствия 1 теоремы 2.2.1.
ние т а х, 2 , 5 5 Если а == 1 и 1 < -< 1, то при
еореж ...
х 00 справедливъ следующие асимптотические раало
жения 2.13:
00
1 d :.rn l
g(x + logx, 1, ) n L.J n ,
n==l
(2.5.25)
еде
l n 1 ]
( Л ) 2т+l
d n === :! ( 1)n+т 1 (2т n + 1) 2 (1 + р) >(
mt:=O Х n 2m lr(n 2m 1) (п + 1);
00
1 " 1 а ) n ( 2 5 26)
1 G(x+ logx,1,P) n L.Jп(dn+P n 1 х, ..
n==1
при этом предnола2ается, что d o == ф О. м ле обращения
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. По ор У
(2.2.1Ь) дЛЯ плотности g (х, 1, ), в которой переменная х
126 rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ ЗАRОВ:ОВ
заменяется на х + ]og х, имеем
g (х + log х, 1, ) == Не / ===
лх
00
== п Re ехр (и + (т ф log t)) dt. (2.5.27)
о
Заменим интеrрирование по полуоси t > О в этом интеr...
рале интеrрированием по контуру L === L 1 U L 2 В комп",
лексной плоскости z === а + i , rде
L 1 === {z: а === О, О <: < х}, L 2 === {z: а О, === х}.
Обоснование Допусти:мости такой замены элемента р_
но, и мы ето приводить не будем. Интеrрал 1, стоящий в
(2.5.27) под знаком вещественной части, запишем в виде
суммы Интеrралов 11 + /2' из которых первый берется
по контуру L], а второй ПО контуру L 2 . После за:мены
переменноrо t == i в интеl'рале [1 ПОJIучаеl\1
х
1]==i exp{ s +li (1 +P)+Plog l}d ===
о
х N l
n
===i exp( s +-Q)d ==i ( ) e 6Q7Ids+RN.
о n o О
Поскольку при любых > о
/ Q / -< (л + Ilog /), I Re Q I < /log 1,
то для любых N > 1 и О < < х справедлива оценка
N l
I ехр ( +- Q) :, ( +)" Q" 1<
n =::::1 [}
< ;, ( ';' )Nexp(+IReQ1)< C;I ( max(s,1/s)
и вытекающая из нее оценка
х
I RN 1< e 6 ( ';' )N max(s, 1/s)dS< ';X N,
о
-
'
2.5. АСИ l\iПТОТИЧЕСНИЕ Р А3ЛОЖЕНIIЛ
127
rде с числовая постоянная. Далее, положим
00
171 === i e 6 Q7I a ===
о
n 00
=== i ( ) (i (1 + р))" е 6ф logs)n k nds===
K [} о
n ) k
=== L ( ) i"+1 (т (1 + р) pn kr(7I ") (п + 1).
k [}
Элементарный подсчет показывает, что при х 00
х
i e 6 Qn ds === 171 + о (х " logn х ехр ( х)).
о
Следовательно, при х 00 имеем
N l 1 ) n
Re [1 === :i Re 171 ( X + о (r N ).
n==а
(2.5.28)
Оценим второй интеrрал. Поскольку
1 2 === ехр (iz : ( ip log z ) ) dz ===
L..
{ + . б + ix ( i A log (а + ix) )} da ==
=== J ехр х Н} 2 2 t-'
о
=== xe X ехр {ixa (о -+ i) ( iB log [(о + i) х])} da,
о
то
1121 < xH3e X ехр { а р (log о + о arg (а + т} da.
о (2.5.29)
Собирая оценки (2.5.28) и (2.5.29), мы получаем, что
при х 00 справедливо слеДУЮll ее представление, KaKO
128
rл. 2. СВОЙС1'ВА устойчивых 3АНОНОВ
во бы ни было фиксированное целое N )2: 1:
g (х + log х, 1, Р) ==
N l
1 }2 1 ( 1 ) n
== .............. , Re [n .............. + о (.r N ), (2.5.30)
лх n. х
n o
после чеrо остается только проверить, что ( 1)n Re [n ==d n .
Асимптотическое разложение (2.5.26) получается как
следствие (2.5.25). Действительно, поскольку
00
1 G (х + log х, 1, ) === (1 + + ) g (и + log и, 1, ) du,
х
(2.5.31)
то, подставляя в (2.5.31) выражение плотности (2.5.30),
мы получим после соответствующеrо преобразования раз
ложение (2.5.26).
3 а м е ч а н и е. Случай == 1 формально MOiI\HO
было бы включить в формулировку теоремы, поскольку
все рассуждения остаются в силе. Однако в этом случае
все d n == О, и содеРiкательный смысл утверждения теореМJэI
сводится к тому, что функции g (х log х, 1, 1) и
1 G (х log х, 1, 1) убывают БыIтрееe любой степен...
ной функции.
Еще один тип асимптотических раЗЛОiI ений устойчи
вых распределений, родственных разложениям (2.5.25).
(2.5.26), получается с помощью теорем 2.2.2 и 2.3.2.
Tpope a .2.5.6. IJpu х 00 справедливь следующuе
асимптотические разложепия (!! 19 а):
1. Еслu а < 1, то для любых допустимых
00
gA (х + f.1x H :t, a, ) .J..... ., Аn (а, ) rа.п--l, (2.5.32)
n........!
n 1
еде
А п (а, ) ==
n .31: k .31:
=== 1т l' (ak + п k + 1) ( 'f.1)n lr e '"2 (! . (f.1e'"2 1)/r;
LJ r (k+ 1) r (, k+ 1)
k==l
";
(
с
2.5. АСИМПТОТИЧЕСRИЕ РАЗnОЖЕВИЯ
129
1 ---- G A (х + xl--a, a, )
00
.;..... + :п [Аn (а, ) + (1 a)J.LA'H(a, )]ran, (2.5.зз)
n==1
аде Ао == О и Аn, п ;- : 1, те же, что и в (2.5.32).
2. Если ct == 1 и =1= О, то
00
gA (х ++Blogx,1,' )"'" + Dnx---'H, (2.5.34)
nс:::l
еде
Dn ===
n
}2
k-=:ll
r(n---k) (1 + п) (1 + I I)k ( 1 Р 1 ) n"'-ksin k;
r(k+1)r(n k+1) n 2
00
1 G A (х + + logx, 1, ) -} + (Dn ++ Dn"'l) x n,
n==1
(2.5.35)
еде Do == О и Dn, n > 1, те же, что и в (2.5.34).
Д о к а з а т е л ь с т в о (2.5.32) и (2.5.34) проводится
разложением в асимптотический ряд ПОДЫ!fтеrральных
выражений соответствующих представлении плотности
(2.2.12) и (2.2.13). Асимптотические разложения (2.5.33)
и (2.5.35) получаются из последних умно ением первоrо
на (1 + (1 а) f.1x a.), BToporo на (1 + 7 x 1) и интеr
рированием в пределах от х до 00. Вычисление вида коэф"
фициентов Аn (а, ) И Dn, участвующих в этих разложе
ниях, носят элементарный характер и мы их приводить
не будем.
Еще одно разложение, однако уже не на бесконечно
сти а в окрестности нуля, получается с помощью paBeH
CTB (2.3.6) и (2.5.32). Условимся ИСПОЛЬЗ0вать обозн че
, 1 / + ' l--а' , А' t g '
пия теоремы 2.3.2 (а == а, У х J.1 х , JA. tJ 2
и т. д.). б д
Троре""а 2.5.i.Еслиа>1,тодлялю ых опустимых
имеют жесто следующие асижптоп ичеСfi,uе разложепия
5 В. М. Золотарев
130
rл. 2. СВОЙСТВА устойчивых ЗАКОНОВ
2.6. ИНТЕrРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
131
при х 00:
00
Ky H/a.gA (Ky l/a., а, ) + А п (а', ') ;rl nla. t (2.5.36)
1l-=:ll
G A (О, a, ) G A (Ky lla, a, )
00
n [Аn (а', р') + (1 а') !1'An 1 (а', ')] x nla.,
п==l
Обозначим через D некоторое подмножество веществен
ной оси R, через 1 подмножество комплексной плоско
сти С И через / (х), h (8, х) функции с областью опреде
ления D и 1 х D соответственно. Рассмотрим интеrрал
аде А п (а, ) те же величиJ-tЬ , что и в (2.5.33).
Доказательство этих соотношений носит характер
непосредственноrо сравнения (2.3.6) и разложений (2.5.33),
(2.5.35).
2.6. Интеrральные преобразования
устойчивых распределений
Сведениями о свойствах распределений семейства (S,
которые были собраны в предшествующих разделах Ha
стоящей rлавы, мы прежде Bcero обязаны тому, что xapaK
тер стические функции этих распределений имеют про
стои вид. Так что явная форма записи преобразований
Фурье плотностей устойчивых законов в какой то степени
смоrла компенсировать нам отсутствие явных выражений
самих плотностей. Вместе с тем, преобразование Фурье
Bcero лишь одно из мноrочисленных интеrральных преоб...
разований, известных в теории функций. И естественно
ожидать, что Ka Hдoe интеrральное преобразование плот..
ностей устойчивых распределений (или каких либо свя
занных с ними функций), которое удастся получить в до..
статочно простой форме, может стать источником содержа
тельной информации об их свойствах (см. rл. 3).
Материал настоящеrо раздела делится на две части.
Одна часть содержит несколько доказываемых утвержде
ний. Ей предшествует друrая часть, несущая основную
идею алrоритма, упрощающеrо в ряде случаев аналити"
ческие вычисления. елание выделить этот алrоритм в
чистом виде послужило причиной Toro, почему связанные
с ним рассуждения носят формальный характер и в каж
дом конкретном случае требует дополнительноrо уточне
ния и обоснования. (Например, в каком смысле сходится
интеrрал, определяющий интеrральное': преоб разование,
или каковы условия, допускающие изменение порядка
интеrрирования и т. п.)
(ЖЛ (8) h (8, х) t (х) dx, 8 Е 1,
D
В котором множества п, 1 и функция h, называемая яд
ром интеrральноrо преобразования 3t, фиксированы, а /,
выбираемая из HeKoToporo множества ty, представляет
собой функциональную переменную. На роль ядра h
выбирается такая функция, которая позволяет BOCCTa
навливать функции / Е в области их определения D
по соответствующим трансформациям (3С/)(8), paCCMaT
риваемым в области 1 *).
Приведем несколько примеров из числа хорошо извест
ных интеrральных преобразований, с которыми мы имели
или будем иметь дело.
(а) Преобразование Фурье (3t == fJ) соответствует в
записи (2.6.1) ядру h (8, х) == ехр (i8X) и множествам
D == 1 == R.
(Ь) Двустороннее преобразование Лапласа (3t == eJtr)
связано с ядром вида h (8, х) == ехр ( 8X) и С MHOiI-\еСтва
ми D === R, 1 == {z: Cl -< Re z < С2}, rде С 1 , С 2 HeKOTO
рые неотрицательные числа. Можно сказать, что это пре
образование является родственным преобразованием fJ,
как это видно из связывающеl'О их соотношения
(2.6.1)
(eJtrj) ( i8) == (fJ 1)(8), 8 Е R.
(с) Одностороннее преобразование Лапласа (:Jt == :t).
Ему соответствует ядро h (8, х) == ехр ( 8X) и множества
D == R+ == [О, 00),1 :== {Z: Cl -< Re z -< С2}, rде С 1 , С2
некоторые неотрицательные числа. Очевидно, что (J1r/) (8) ==
;::::= (2/)(8) на множестве функций /, равных нулю на по
луоси х < О.
(d) Преобразование Меллина (3t == ,}'). Множества D и
1 здесь Toro iRe вида, что и в одностороннем преобразова
нии Лапласа, а ядро имеет вид h (8, х) == х з .
В отличие от принятоrо для преобразования Меллина
ядра xS l (см. [85]) мы используем ядро х 8 . Это несущест
*) Имеется хорошо разработанная теория интеrральныx IIре
образований с различными типами ядер, для ознакомления с которой
можно рекомендовать весьма обстоятельную моноrрафию [85].
5*
132
rл. 2. СВОЙСТВА Устойчивых 3А1\ОИОВ
2.6. ИНТЕrРАЛЬНЪIЕ ПРЕОБРА30ВАНИЯ
133
венное изменение продиктовано желанием упростить
запись аналитических выражений преобразований (Jffg) (s)
плотностей устойчивых законов. Можно было бы оставить
традиционный выбор ядра, но рассматривать при эт() [
преобразования функций xg.
К этим известным преобразованиям мы добавим еще
одно, которое пока что находило себе применение лишь
в теории вероятностей и вероятностной теории чисел.
(е) Характеристическое преобразование (:1С == 61JJ)
имеет в качестве ядра функцию h(s, х), принимающую 3Ha
чения из множества диаrональных матриц BToporo порядка
Пусть D == R и 1 == R. Используя формулы обраще-.
ния (2.2.1а) и (2.2.1Ь) дЛЯ записи плотности g (х, а, ),
находим для функций вида f (х) == 19 === l (х) g (х, а, ),
что
00
(.'1tlg)(8) == + Re S (t, а, )(f"lh)( t) dt.
о
(2.6.3)
( ho (S, х) О )
h (s, х) === О h 1 (8, х) ,
rде h k (s, х) ;:::= I х I. i (sign x)lt, k == О, 1 и osi == О при
любых комплексных s, а множества D == R, 1 == {z: Cl -<
"' Re z < С2}, rде Сl, С2 неотрицательные числа.
Если функция f в равенстве (2.6.1) записывается в виде
интеrрала
Представления (2.2.8), (2.2.10) плотностей g (х, а, )
таRже MorYT быть использованы, однано при некоторых
значениях они ОRазываются неудобными для наших
l елей (заведомо возникают сложности при обосновании
изменения порядка иптеrрирования) и поэтому требуют
преднарительноrо изменения. Модификации равенств
получаются поворотом контура интеrрирования в (2.2.8)
на уrол лр/2 и в (2.2.10) на 'Лр/2. Во всех случаях
а =1= 1 новый вариант записи плотности g (х, а, ) выrля
дит одинаково (однано в случае а < 1 все же предпола
rается, что х > о):
НХ)== h*(X,и)f*(и)dи, ХЕп,
D.
(2.6.2)
g (х, а, ) ===
то преобразование (ЗС/) (s) получает выра}кение в форме
двойноrо интеrрала. С подобной ситуацией приходится
сталкиваться, рассматривая интеrральные преобразова..
ния функций вида
f (х) == l (х) g (r (х), а, , у, л).
00
1 \
== п 1т J ехр ( хие iЩJ / 2 иае
о
iпpa
2
+ i P ) du.' (2.6.4)
(
i
Отсюда при D == R+ получаем следующую формулу
для преобразования 3t функции f (х) == l (x)g (х; а, ),
a=l=1:
Отдельные случаи представлений TaKoro типа функций
интеrралами мы наблюдали в равенствах (2.2.8) (2.2.10),
(2.2.12), (2.2.13), (2.2.17) и (2.3.14).
В тех случаях, коrда интеrрал h (8, х) h* (х, и) dx
D
удается вычислить в явном виде, рассматривая ero как
интеrральное преобразование с ядром h или ядром h*, ис
ходное преобразование (:1Cf)(s) получает упрощенное пред
ставление однократными интеrралами.
Приведем несколько формальных равенств, которые
MorYT служить отправной точкой в указанном направле..
нии для поиска явных или упрощенных выра}l{ений пре..
образований функций вида
f (х) == l (х) g (r (х), а, , у, л).
(:1f 19)(s) ===
00
=== + 1т ехр ( иае iЩJа/2 + iлрj2)(!tlh)(ие iЩJ / 2 ) du. (2.6.5)
о
Если же а == 1 и > О, то для получения аналоrич
ной формулы следует воспользоваться представлением
(2.2.9) плотности g (х, 1, ), и мы получаем
(3Clg)(s) ===
'х)
=== + ехр ( и log и) sin [ т (1 + /1) и J (!tlh)(u) dи. (2.6.6)
! о
134
rл. 2. СВОЙСТВА VСТОЙЧИВЫХ 3А}{ОНОВ
2.6. ИНТЕrРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРА30ВАНИЯ
135
в случае D === R, а == 1, > О то же представление
плотности приводит к формуле
(:1Clg)(s) ===
се
== + ехр ( и log и) sin l+ (1 + ) и 1 (.Ai'lh)(и) dи.
о
(2.6.7)
Рассмотрим случай D == R+ И функции / (х) ==
=== l (..c)g(x, а, ) с плотностпми g И3 J\ласса . Т1споль...
зуя выражение (2.2.18) плотности и обозначая
w (8, х) = :: l (Xl l/a) I't (s, xl l/a),
1
(::JClg)(,r;) == + u а «(р, 8)(2ш)(и а «(р, 8)) dtp. (2.().8)
е
направлении сделано еще очень мало, и тематика интеr
ральных преобразований устойчивых распределений еще
iидет своих энтузиастов.
Хотя в формулах (2.6.5) (2.6.9) переменная s, в ко..
нечном счете, выбирается из тото или друrото МНОiиества
комплексной плоскости, первоначальные вычисления
следует проводить в преДПОJIожении, что s веществен
ное, и лишь по нахождении явноrо вида преобразования
или ero упрощенноrо выражения переходить к комплекс
ным значениям s.
Форма записи преобразования :1с функций f == 19 MO
,нет существенно зависеть от Toro, какое представление
плотности используется. Не iнелая чрезмерно увеличивать
объем настоящеrо раздела, мы не будем рассматривать
все возможные варианты ФОРМУJI интеrральных преобра
зований (Ь) (d), которые получаются, если использо
вать представления плотности, ПРИВОДИВllIиеся в разделе
2.2, а отдадим предпочтение только тем из них, КО1.'орые
приводят к наиболее простым:, на наш взrляд, Bblpail\e
ниям. Вид преобразований Фурье устойчивых законов
(т. е. характеристических функций) известен, поэтому
мы начнем с двустороннеrо преобразования Лапласа.
(Ь) ДЛЯ плотности g == g (х, а, , у, л) (с системой
параметров в форме (В)) обозначим
получим
в случае СЛОjI\ноrо а prYMeHTa , (х) специальноrо
вида
1 x l/a + xl l/a tg а, если а< 1,
r (х) === 2
x l п-- log х, если а === 1,
представления (2.2.12), (2.2.13) дЛЯ 19A ==l (х) gA (r (х), а, )
приводят в случае преобразования Jt с множеством
D == R+ к следующей формуле (а < 1, > О):
л (s, а, , у, л) (cЛrg) (s).
00
1 \8
(JtlgA)(s) -== n 1m J e и (:Lx 1 / a lh)(T) dи,
о
(2.6.9)
Из асимптотических фОрl'flУЛ (2.4.8) и (2.5.4) видно, что в
случае 13 =1= + 1 плотность g (х, а, , у, л) имеет CT
пенной характер убывания при х 00 и при х oo.
Следовательно, двустороннее преобразование Лапласа
плотности g существует лишь при s === it, t Е R, т. е.
только тоrда, коrда оно совпадает с характеристической
функцией, соответствующей этой плотности. По той же
причине оно не СУIцествует в полуплоскости Re s > О
при == 1. Преобразование А в полуплоскости Re s < О
можно не рассматривать, ничеrо при этом не теряя, по..
СRОЛЬКУ в соответствии со свойством 2.2
тде
1 ----- ОиУХ U tg а [( iu)a l 1],
т (u)== , 2
и I n log и Ц1 + ) 1 '
если а < 1,
ее ли а === 1.
в случае а > 1 аналоrичная формула получается с
помощью представления (2.3.14). Из за ее rромоздкости
мы ее приводить не будем. Однако воспроизвести ее после
Bcero ВЫlllесказапноrо труда не представляет.
Формулы (2.6.5) (2.6.9) служат источником мноrих
интересных аналитических соотношений. Однако в этом
А (s, а, , у, л) == л ( s, а, , y, /\,),
Т. е. достаточно оrраничиться разбором случая
Re s > О, == 1.
136
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ ЗАКОНОВ
2.6. ИНТЕrРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРА30ВАНИЯ
137
Теоре.на 2.6.1. В nолуплоспости] Re S О справедливо
следующее paBeпCfпeo 2.1':
{ Л ( 81' 8 (а) s(1,), если
IоgЛ(s,сх,1,у,л)== 'l ( + 1 )
I\i 81' 8 og 8 , если
сх*1,
а==1.
(2.6.10)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Плотность g (х, а, 1, у, л),
как это видно из асимптотических формул (2.5.17) и заме
чания 3 к теореме 2.2.3, убывает при х 00 быстрее
ехр (сх) для любоrо с > о. Поэтому преобразование А
существует для любых значений 8 из полуплоскости
Re s О и представляет в открытой ее части аналитиче..
скую функцию, непрерывную на оси Re s == о.
в рассматриваемом случае характеристической функ
ции 9 (t, сх, 1) в разделе 2.2 была придана особая форма
(2.2.6), позволяющая без труда осуществить ее аналити
чеСRое продолжение с вещественной оси t в полуплоскость
1т z о. Если в этом продолжении сделать замену
переменноrо z == i8, Re s > о, то получим ФУНКЦИIО
А (8, сх, 1, у, л). Откуда и следует равенство (2.6.10).
(с) Одностороннее преобразование Лапласа плотности
g == g (х, сх, , у, А), которое мы обозначим через
L (s, сх, , у, л) == (2g) (8), L (8, а, ) == L (s, а, , О, 1),
существует в полуплоскости Re s > О при любых допусти
мых значениях параметров. Достаточно рассматривать
только случай Re s > о, поскольку, в соответствии со
свойством 2.2,
Упрощению доступны оба слаrаемых, причем путь упро
щения у них общий. Поэтому, избеrая повторения, мы or
раничимся разбором случая l == о. Однако, по заверше
нии этих рассуждений, все же приведем выражение пре..
образования L (s, сх, , у, л) в случае сх 1.
Реорежа 2.6.2. Для любы,x s из полуnлоспости Rе s О
справедливы, следующие вы,ажеnияя одnостороnnих nрео6..
разовапий Лапласа L (8, сх, ) стаnдартnы,x устойчивых
распределепий 2.15:
Если сх =F 1, то при любо.м доnусти.мо.м
00
1 \ S j n пр d
L(s,a, )==n Jexp( (suyX) и +2uсоsлr+1 и. (2.6.11)
о
Если сх == 1 и > о, то
00 . п
1 \1 Sln 2 (1 + ) и
L(s,1' )==nJexp( u]ogu) в+и du.
о
(2.6.12)
Если сх == 1, то при любо.м допусти.мо.м
L(s,1, )==
1 OO ехр ( и)
=== [sсоs( u]оgu) usinфulоgu)] -v . du.
:rt 82 + иЗ
о
(2.6.13)
L (8, сх, , у, А) == L ( s, сх, , y, л).
Как уже rоворилось выше, все формулы для функции
L (8, сх, , у, А) достаточно получать в предположении, что
8 > о. Их распространение на случай комплексных 8
осуществляется аналитическим продолжением. Посколь--
ку, соrласно свойству
g (х, сх, , у, А) == "л 1/2g ("л 1/2 (х l), сх, ),
rде l == УА, если сх =1= 1 и l ;::= ул + л log л, если а == 1,
то преобраsование L можно записать в виде
L (8, сх, , у, А) == L (А 1 / а 8, сх, ) +
д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сх =1= 1, подставим в
преобразование (2g)(s) модифицированное выражение
плотности (2.6.4) и произведем изменение порядка инте
rрирования, что можно делать, поскольку двойной инте
rрал сходится абсолютно. Имеем
L (s, а, ) == + 1т ехр ( иае i a + iл:р/2) du х
о
00 i
Х ехр ( sx хие 2) dx ==
о
00
+ ехр ( s').)/ax) g (х: а, р) dx.
lл J/а
,
: \
I
1 [ i31.P i:rtp ]
== n 1т J ехр (ие 2)а +"2"""" (8 + ие 2 ) l dи.
о
138
rл. 2. СВОйСТВА УСТОйЧИВЫХ 3АНОНОВ
2.6. ИНТЕrРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
139
00
Lc (8, а, 8) == ехр ( (и8)а) gc (и, 1,8) dи. (2.6.14)
о
3 а м е ч а н и е 2. Единственный случай, коrда
L (8, а, , у, л), Re s ;; О, выражается в элементарных
функциях, соответствует значениям а < 1, === 1 и
у :=:: О. ДЛЯ таких значений параметров плотность
g (х, а, 1,1', л) == О на полуоси х < О, т. е.
L (s, а, 1, 1', л) == л (s, а, 1, 1', л) == ехр ( л (1'8 + sa».
3 а м е ч а н и е 3. Преобразование L (8, а, 1) в слу
чае а > 1 может быть выражено с помощью так называе
мых функций Миттаr Леффлера (подробнее см. раздел
2.1 О).
3 а м е ч а н и е 4. Преобразования L (8, СХ, , 1', л)
с любыми допустимыми значениями параметров имеют
интеrральные выражения, аналоrичные тем, которые бы-
ли приведены в теореме 2.6.2. Например, в случае а > 1
L (s, а, , )', л) ===
1 С е iлр
=== n 1т J ехр { 'А [(sи)a 8)' (ие iЩJ + 1))} 1 + иe ilЦJ dи,
о
в случае сх === 1, > о
L (8, 1, , 1', л) ===
Произведем поворот контура интеrрирования на уrол
'Лр/2 и получим после замены nepeMeHHoro, что
1 OO еiЛР + и
L (s, а, ) == ............. 1111 ехр ( и а ) inp р dи.
п I s + uе
о
Еще одна замена переменноrо и на sи приводит нас к pa
венству (2.6.11).
В случае а == 1 раССУiкдения в основном остаются Ta
кими же. Различие сводится лишь к тому, какими Bыpa
жениями плотности g (х, 1, ) мы пользуемся. Для получе
иия (2.6.12) надо использовать равенство (2.2.9), а для
получения (2.6.13) плотность берется в виде (2.2.1Ь).
По поводу теоремы 2.6.2 сделаем несколько замеча
ний.
3 а м е ч а н и е 1. Рациональная функция под зна
ком интеrрала (2.6.11), как показывает сравнение с
(2.3.5а), равна ngc (х, 1, 8). Поскольку L (s, а, ) ==
=== Lc (8, а, 8), то равенству (2.6.11) мы можем придать
следующую форму:
Если а < 1, то, соrласно (2.2.6), (2.2.32),
ехр ( 8a) == (Xg (х, а, 1»)(8) == L (s, а, 1).
Подстановка этоrо выражения в (2.6.14) дает
00 \
=== + ехр { л [ и log и у (8 + и) 8 log 'А]} х
о
00 00
\ \' V ) dи
== Jexp( sv)dv J gc (и,a,1 gc(и,1,8) .
о о
п
sin 2 л (1 + ) и
Х + dи.
s и
Выражение L (8, СХ, , у, л) в случае сх < 1 оказывается
точно таким же, как и в случае сх > 1, если только
l' cos пр < О. При l' cos пр > О вид выражения
L (s, а, , 1', л) меняется, однако различие со случаем
а > 1сводится лить к повороту контура интеrриро..
вания на уrол 00, такой, что l' cos (пр 00) < О.
Анализ преобразования (2/) (s) функций / (х) ===
== l (х) gA (r (х), а, ) осуществим по указанной методике
с привлечением интеrралъных выражений (2.2.12)
(2.2.15) функций gA (r (х), а, ). Общеrо разбора таких
преобразований мы приводить не будем, оrраничившись
двумя примерами, которые интересны сами по себе и яв
ляются хорошей иллюстрацией потенциальных возмож
ностей метода в целом. Оба примера связаны с плотностя
МИ g (х, 1, ), > О.
00 со
Lc (8, а, 8) == ехр ( 8иV) gc (v, а, 1) gc (и, 1,8) dиdv ==
о о
Сравнение левых и правых частей полученноrо равенства
(как односторонних преобразований Лапласа) приводит к
следующему соотношению между плотностями устойчи
вых законов для значений а < 1, х > О 2.i6:
00
gc (х, а, 8) == gc (+, а, 1) gc (и, 1, е) d: . (2.6.15)
о
140
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ ЗАRОНОВ
2.6. ИНТЕrРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
141
Рассмотрим на полуоси х > О фУНI\ЦИЮ
f (х) == x 1 gA (r (х), 1, ),
которая, соrласно (2.2.13), имеет интеrральное выраже-
ние
Используя равенство (2.6.9), получаем (изменение поряд..
ка интеrрирования в рассматриваемом случае очевидно
законно, поскольку все функции, стоящие под знаком
двойноrо интеrрала, неотрицательны)
00
/ (х) === -+ 1т ехр ( и хТ (и)) du,
о
00
(2/)(8) == e 8X:rlg ( log х, 1, ) dx ===
о
(функции r и Т те же, что и в общей формуле (2.6.9».
Имеем
1 00
=== ; U 1 (q>, ) dq> ехр { (8 + U 1 (q>, р»)х) dx==
1 О
<х' 00
(2/)(8) === -+ 1т ехр ( 8Х и хТ (и)) dudx.
о о
1
1 \'
== 2jf J [1 + 8/и 1 (q>, )J l dq>.
1 I
(2.6.17)
Поскольку Не Т (и) > 2 + и Ilog и 1 , то двойной
:n:е n
интеrрал сходится абсолютно, и мы вправе менять поря
док интеrрирования. Следовательно,
,'Х)
1 1 . и dи
n m J е s+ т (и)
о
Равенство (2.6.17) имеет одно интересное аналитиче-
ское следствие. Рассмотрим случай === 1. Соrласно
(2.5.17), функция g ( log х, 1, 1) при х 00 убывает
быстрее, чем ехр ( x/e). Это означает, что преобразование
( п ( каl\ функция s допускает аналитическое продол
жение в полуплоскость Re s > 1/е, т. е. оно является
аналитической функцией в I\pyre I s I < 1/е.
Разложим обе части (2.6.17) в ряды по степеням s
и приравняем I\оэффициенты при одинаl\ОВЫХ степенях s.
Это дает систему равенств (k == О, 1, 2, ...)
С 1 С k
Jxk lg( logx,1,1)dx==="'"2 J U1 (q>,1)dq>,
о 1
(2.6.18)
00
e 8X:rlgA (ж-- 1 log х, 1, ) dx === .
о
00 00
=== -*- 1т e--1Ldu ехр { (8 + т) х} du ==
о о
00
==+ (1 + ) в-- и [(8 + и log и)2 +- (1 + )2 и 2 J l иdи.
о
которые при k > 1 носят нетривиальный характер:, После
замены переменноrо в интеrрале, стоящем в левои части
равенства, имеем
00 1
e kxg (х, 1, 1) dx === + ut (q>, 1) dq>, k === 1,2, .. ..
....1
...... (х)
Во втором примере рассмотрим фУНКl ИЮ
f (х) == x 1g ( log х, 1, ), > О,
которая, соrласно (2.2.19), записывается в виде
1
/ (х) === 2 U 1 (q>, ) ехр { ха 1 (q>, )} dq>, (2:6.16)
1
Левая часть этоrо равенства совпадает с А (k, 1, 1) и,
в соответствии с (2.6.10), равна ехр (k log k) === k h '. Следо--
вательно, для любых целых значений k 1
rде
Ul(q>, )=== П(1+ п fЩ» ехр [+(Чt ++)tg q> 1.
2 cos "'"2 <р
( n ) h'
1 COS <Р n :rt л \ h'
+ 1;СР / eXP{ Tk(1+q»tg"'"2(p}dq>==;(Tk).
I
142
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОйчивЫх ЗАI<ОНОВ
2.6. ИНТЕrРАЛЪНhIE ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
143
(d) Рассмотрим преобразование Меллина ПЛОТностИ
g === g (х, сх, , 1', л). Обозначим
т (8, а, , l' , л) == (.11 g) (8).
Пусть О < s < 1, рассмотрим фуннцию
3) Если а =1= 1, то
те (s, а, р) == т (s, а, , О, 1) == т (s, а, ),
00 ,
т ( s, а, , ,\" л) == x 8g (х, а, f}, ,\" л) dx.
о
(см. связь систем параметризации (В) и (С)).
4) ФУНКЦИЯ те (s, а, р) непрерывна по совонупности
параметров а, р В области их допустимых значений (этот
фант отмечался во введении).
TeopeJfta 2.6..З. ДЛЯ лю6ЬLХ стРО20 устойчивЬLХ aaK01-l0в
в полосе 1 < Re s < а справедливо следующее раве1-l
ство 2 . 17 :
Используя формулу обращения для плотности, находим,
что
00 00
т ( B. а, , '\'. л) == + Re x t:X:g (t, а, , ,\" л) dt ==
о о
sin nps
те (s, а, р) === sin ns
r (1 7)
r (1 s)
(2.6.20)
со 00
== + Re 9 (t, а, , '\', л) dt x e it:X:dx == · ·
о о
д о K а з а т е л ь с т в о. Пусть а *= 1 и имеет лю
бое допустимое значение. Подставим в интеrральное вы--
ражение фУННЦИИ т (8, а, ) выражение плотности (2.6.4).
Имеем для значений 1 < 8 < О
00
=== + r (1 s) Re (it)S lg (t, а, , '\', л) dt. (2.6.19)
о
00
т (s, а, ) == x 8 g (х, а, ) dx ==
о
00 00 i1W i1Wa
1 \' \' ( 2 + in 2 P ) dи .
== п--- 1т J x 8 dx J ехр хие2"" иа.е
о о
Эти формальные преобразования интеrралов требуют, но--
нечно, uобоснования, но мы их здесь приводить не будем.
С ОДНОИ стороны, они очень rромоздки, а с друrой, фор
мула (2.6.19) далее не будет ИСПОЛЬЗ0ваться в столь общем
виде. Значительно интересней оназывается решение той
же задачи для устойчивых распределений из нласса ,
поснольну в этом случае удается найти явное выражение
фуннции т (s, а, , 1', л).
Отметим неснольно леrно проверяемых фантов, HO
торые понадобятся нам в ходе дальнейших рассуждений.
1) Преобразование т (s, а, , 1', л) конечно для лю
бых s из полосы 1 < Re s < а (следствие конечности
плотности g иl существования моментов порядна меньше..
ro сх).
2) В пределах класса
т (s, а, , 1', л) == Л S /а т (8, а, , 1', 1) ==
== л з / а тс (8, а, 8) ;:::= лs/ате (8, а, р),
(сл дс ( твие свойства 2.2 и определения нласса, $; р ::;
== 7 1 + 8) модификация параметра 8).
Нетрудно проверить, что условия изменения порядна
интеrрирования здесь выполняются. Имеем
00 iпpa .
т (s, а, ) === 1т ехр ( иае 2 + !i ) du х
о
00 iпp
Х з! exp( хие---'2-) dx ==
о
. '. i
1 r iпp
==r(1 + в)п--- lт J (иe2....) exp( иае
. о
i1Wa d
2 )......!!:.... .
и
Поворачиваем нонтур интеrрирования в последнем ин--
теrрале на уrол лр/2,. в результате чеrо после соответ-
144
rл. 2. СВОЙСТВА устойчивых 3АНОИОВ
ствующей замены nepeMeHHoro получаем
00
т (s, а, (3) === + r (1 + s) sin п.рs и B l ехр ( иа.) dи ===
о
=== :а r (1 + s) r ( : ) sin п.рs === S ::: r i 1 )
Как в левой, таl\ и в правой части последнеrо равенства,
стоят фУНI\ЦИИ, аналитичеСl\ие в полосе 1 < Re s < а.
Поэтому равенство, ДОl\азаНное для 1 < s < О, сохра-
няется для значений s из всей полосы. ТаRИМ образом,
(2.6.20) ДОl\азано в случае а =F1. То, что это равенство
сохраняется при а == 1, следует из отмеченноrо ВЬПlIе
СВОЙС!fва непрерывности фУНRЦИИ те (s, а, р) в ТОЧI{С
а ;::=: 1.
(е) Характеристическое преобразование будет послед
ним из рассматриваемых нами интеrральных преобразо
ваний. ПОСI\ОЛЬКУ это преобразование нельзя отнести
к числу хорошо известных, мы уделим ему несколько
больше внимания, чем остальным. Прежде Bcero позна
I\ОМИМСЯ с основными свойствами ха раl\теристичеСI\ИХ
преобразований плотностей Рх (х) произвольных случай--
ных величин Х:
( wo(t)x О )
W х (t) === О Шl (t) Х === Uff px)(t).
Хотя это определение предполаrает существование плот..
НОСТИ распределения случайной величины Х, однаl\О ero
леrl\О освободить от TaKoro оrраничения, если положить
W k (t) х === Е f Х I i t (s i gn Х) ft , t Е R, k === О, 1. (2.6. 21 )
Преобразования W х (t) были впервые введены в [37]
и впоследствии нашли себе применение в МУЛЬТИПЛИl\атив
ных проблемах теории чисел. Хараl\теристичеСl\ие пре
образования случайных величин иrрают ту же роль в схеме
перемножения случайных величин, RаRУЮ иrрают в схеме
суммирования хараl\теристичеСl\ие фУНКЦИИ. Эту aHa
лоrию нетрудно увидеть, ознаl\омивmись со следующими
свойствами хараl\теристичеСI\ИХ преобразований.
- 1) Хараl\теристическое преобразование существует
для любой случайной величины Х, что ВИДНО из caMoro
определения (2.6.21) фУНКЦИЙ Wk(t)X'
2) Распределение F х однозначно определяется xapaK
теристическим преобразованием vv x .
2.6. ИНТЕrРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
145
.
, . Действительно, положим
с+ == Р (Х > О), с Р (Х < О),
c+f+ (t) == Е I х lil[ (Х > О),
c f (t) ;== Е , Х ,Н[ (Х < О),
rде f+, f-- неl\оторые характеристичеСl\ие фУНI\ЦИИ,
однозначно связанные с частями распределения F х (х)
на полуосях х > О и х < О, если соответствующие I\ОЭф"
фициенты с+ и c отличны от нуля. Имеем: с+ + c === 1
р (Х == О),
W/r (t)x == с+ f+ (t) + ( 1)К c f (t), k == О, 1,
c+f+ (t) === + (wo (t)x + Wl (t)x), (2.6.22)
c f (t) === + (wo (t)x Шl (t)x).
Следовательно, распределение Fx действительно BOC
станавливается, если мы знаем функции ш о , Ш 1 .
3) Если и, v независимые случайные величины, то
для их произведения Х == uv
W х (t) === W u (t) W v (t), t Е R.
(2.6.23)
Имеем
Wk (t)x == Е 1 UV lit (sign UV)k === Wk (t)u w k (t)"V, k == 0,1,
01'I\"уда и вытекает равенство (2.6.23).
4) Для любой последовательности случайных величин
Х, х 1 , х 2 , ... соотношение
L (РХ , РХ) + I Р (Х п === О) Р (Х === О) I О при
п
n 00.
(rде L обозначает меТРИI\У Леви) имеет место тоrда и ТОЛЬ
1\0 тоrда, I\оrда
W x (t) W x (t) при п 00
n
в любом I\онечном интервале значений t.
Это утверждение является простым следствием COOT
ношений (2.6.22) и известных фактов о слабой сходимости
распределений и соответствующих им характеристиче
ских фУНI\ЦИЙ.
146
rл. 2. СВОйСТВА УСТОйЧИВЫХ ЗАRОНОВ
2.7. ОДНОВЕРШИННОСТЬ УСТОйчивЫХ ЗАRОВОВ
"7
Пусть g == g (х, а, , 'У, л) и 8 комплексное число
из полосы 1 < Re s < а. Обозначим
Совершенно аналоrично находим, что
Wl (8, (Х, 8)е === те (8, СХ, 8) п1е (8, СХ, 8) ==
w (s, СХ, , у, л) === (GЮ' g)( is) ::::::
( WO (s, а, , '\', л) )
о Шl (s, а , '\', А) ·
n
sin 2 Os r (1 sja)
. n r (1 s)
Sln 2 s
W 1 (8, а,
, 'У, л) == т (8, а, , у, л) + т (8, а, , y, л),
(2.6.24)
, у, л) == т (s, (Х, , у, л) т (8, (Х, , 'Y, л).
(2.6.25)
3 а м е ч а н и е. В общем случае ни преобразования
Меллина т (s, а, , у, л), ни характеристические пр е...
образования W (s, СХ, , у, л) не имеют явноrо выраже...
ния. Объясняется это тем, что случаи простых выражений
преобразований т и W орrанически связаны с eCTeCTBeH
ным делением плотностей устойчивых распределений на
две части. Например, в классе такое деление (если мы
используем систему параметризации (С)) производится
точной х == о.
Эта функция существует для любых знач.ени 8 из указан..
ной полосы и любых допустимых значении парамеТРОБ
и тесно связана с преобразованием Меллина. Именно,
W o (8, (Х,
Поэтому то, что rоворилось в отношении преобразований
т, остается справедливым и ДJIЯ элементов Wk преобразо
вания w. Теорема 2.6.3 позволяет леrко ПОJIУЧИТЬ явное
выражение функций Wk (s, а, , у, л), соответствующих
распределениям из класса (в той же форме (С)).
Тсорежа 2.6.4. В полосе 1 < e s < а xapa,:тepи
стичеспие преобрааовапия плотпостеи стРО20 устоuчивЬLХ
д v д и v в ид 2.18.
распре елепии имеют сле ующ и ·
cos (k 8s) r (1 : )
Wk(s,сх,е,л)с===лS/а. n r(1 s) , k===O,1.
, cos 2 (11: s)
(2.6.26)
2.7. Одновершинность устойчивых распределений.
Вид плотностей
Среди разнообразных свойств вероятностных мер,
признанных достойными внимания теории вероятностей,
есть одно, называемое одновершинностью. Встреча с ним
в ходе решения тех или иных задач обычно радует стати
стиков и не оставляет равнодушными вероятностников.
Этим свойством обладают мноrие известные распределе
ния, в том числе, как будет показано ниже, все устой
чивые распределения.
Термин «одновершинность» сравнительно недавнеrо
происхождения. Он появился в отечественной литературе
как синоним бытовавшеrо в математической статистике
термина «унимодальность», вошедшеrо туда, по види
мому, с леrкой руки Пирсона. В статистике «модой» абсо
лютно непрерывноrо распределения называют точку Be
щественной оси, в которой плотность достиrает, rрубо
rоворя, максимальноrо значения. Понятно, что распре
деление может иметь не одну, а множество мод. I{оrда
же статистики rоворят, что распределение унимодально,
то это означает, что оно имеет ровно одну моду (см. [52]).
Нетрудно заметить, что так понимаемая унимодальностъ
распределения неудобна для ее формальноrо определения.
Общепринятое в настоящее время определение унимодаль
ности (одновершинности) распределения было п:редложеНQ
в 1938 r, Хинчипым (92].
д о к а з а т е л ь с т в о. На основании равенств
(2.6.20) (2.6.22) мы можем записать, что
Wk (8, а, , у, л) == лs/аWk (8, (Х, , у, 1),
Wo (1, СХ., 8)е === те (8, (Х, 8) + те (8, (Х, 8) ===
=== s in т (1 + 8) s r 1 +) + s i n т (1 8) s l' (1 ) ==
Sln ns 1 (1 s) Sln ns r (1 s)
cos т 8s r (1 + )
n I'(1 s).
cos т s
k==O 1.
, ,
148
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ ЗАRОНОВ
о п р е Д е л е н и е. Функция распределения F (х)
называется од1l0вершunnой, если существует по меньшей
мере одно значение х == а, такое, что ""'"при х < а функция
F (х) выпукла, а при х > а BorHYTa. При этом rоворят,
что вершина распределения F (х) находится в точке
х == а (или, короче, что х == а является вершиной F (х)).
При этом выпуклость и воrнутость функции F понимается
в:mироком смысле, т. e. например, F выпукла на полуоси
х < а, если для любых точек Х 1 < а, Х2 < а справедливо
неравенство
2F «хl + Х2)/2) < F (х 1 ) + F (Х2).
Из теории выпуклых функций (см., например, [91])
следует, что одновершинная функция распределения
F (х) с вершиной в точке х == а обладает такими свой
ствами:
1) В каждой точке х =f= а функция F (х) имеет левосто
ронttюю и правостороннюю производные, причем всюду,
кроме точек, образующих не более чем счетное множе
ство, односторонние производные совпадают.
2)!Производная р' (х) (rде F' выбирается в каждой точке
как одна из односторонних производных) не убывает на
полуоси х < а и не возрастает на полуоси х > а.
Таким образом, распределение F (х) является абсо
лютно непрерывным. Как будет видно далее, среди Bce
возможных вариантов определения плотности F' (х) паи
более удобен тот, который представляет собой (за исклю
чением, быть может, одной точки) непрерывную слева
функцию. Условимся класс функций распределения с та..
кими плотностями обозначать !f о. Он понадобится нам
при формулировке общих критериев одновершинности
распределений.
Приведенное определение одновершинности обобщает
первоначальное представление о свойстве унимодально
сти, поскольку распределение, одновершинное в смысле
этоrо определения, может иметь не одну, а множество мод.
Это показывает простой пример paBHoMepHoro распре
деления на интервале (0,1), для KOToporo, очевидно, MO
дой является каждая точка отрезка [0,1].
Из определения одноверmинности видно, что в том
случае, коrда точки а 1 < а2 MorYT быть выбраны в каче
стве вершин распределения F (х), каil\дая из точек отрез..
1\а [а1-' a ] TaKiI\f является вершиной 1/ (х),
2.7. ОДНОВЕРПIИННОСТЬ устойчивых 3АНОНОВ
149
Проблема одновершинности устойчивых законов бе
рет свое начало в работе Виптнера 1936 r. [12], в которой
было доказано, что все симметричные устойчивые законы
одновершинны. Следует отметить, что, рассматривая с:им
метричные распределения, он определял одновершин
ность так же, как Хинчин, с помощью свойства выпукло
сти функции распределения на отрицательной полуоси.
Вместо термина «унимодальность» он использовал термин
«выпуклость» .
Работа Винтнера моrла служить хорошим основанием
как для поиска eCTecTBeHHoro определения одновершин
ности распределений, так и для постановки общей проб
лемы одновершинности устойчивых законов. Известно,
что в 1939 r. эта проблема обсуждалась на одном из семи
наров, работавших в Московском университете под py
ководством rнеденко. Однако, она оказалась весьма
сложной, и ее полное решение растянулось на мноrие
rоды, обрастая по пути таким количеством траrикоми
ческих ситуаций, каким, пожалуй, не может похвастаться
какая либо друrая проблема теории вероятностей. Ca
мостоятельноrо аналитическоrо доказательства OДHOBep
шинности устойчивых законов пет до сих пор. Это свой
ство было доказано в 1978 r. Ямазато [101] как следствие
более общеrо факта одновершинности законов клас
са L2.19.
Изложение теоремы Ямазато в несколько упрощенном
варианте, связанном с подклассом класса L, составит
основное содержание настоящеrо параrрафа. Но вместе
с этим будут приведены доказательства частных резуль
татов, полученных ранее результата Ямазато и друrими
методами. С одной стороны, такая информация будет по
лезна тем, кто захочет все же найти самостоятельное aHa
литическое доказательство одновершинности устойчивых
распределений. С друrой, такое знакомство с использо
вавшимися методами сможет сослужить хорошую службу
при решении заведомо более сложной проблемы одновер--
шинности мноrомерных устойчивых законов.
Мы начнем с Toro, что приведем несколько общих кри
териев одновершинности распределений. Прежде Bcero
обратим внимание на то, что свойства 1), 2), вытекающие
из определения одновершинности, можно рассматривать
как необходимые условия одновершинности. И обратно,
отправляясь от свойств 1) и 2) нетрудно убедиться, что
обладающая ими функция распределения F (х) является
150
rл. 2. СВОйСТВА УСТОЙЧИВЫХ 3АНОНОВ
2.7. ОДНОВЕРШИННОСТЬ устойчивых 3АНОНОВ
151
одноверmинной с вершиной в точке х == а. 1'е:м самым, мы
получаем следующий критерий.
Teope a 2.7 .1.Для тО20 чтобы ФУftКЦUЯ распределения
F (х) бь ла одновеРШUftной с вершиной в точке х == а, He
обходuмо и достаточно, чтобы ol-ta обладала свойстваА1и 1)
и 2).
Для каждой функции распределения F Е о опре
делим на вещественной оси х непрерывную слева (за
исключением, быть может, одной точки) функцию
V (х) == F (х) хР'(х).
r Вместе с установленным выше свойством dV (х) > О,
;х =/=; О, эти равенства убеждают нас в том, что V (х) яв
ляется функцией распределения.
Достаточность условия теоремы. Пусть F Е о и свя
занная с нею функция V (х) являются функциями pac
пределения. Тоrда, очевидно, имеет место свойство (2.7.2),
частным случаем KOToporo является соотношение р' (х)
о при I х I ) 00. Используя это свойство и интеrри
руя преобразованное равенство (2.7.1)
аР' (х) === + аУ (х), х =1= О,
Теорежа 2.7' .2. Для тОеО чтобь функция распределения
F Е о бь ла одновершиН1-tОЙ с вершиftОЙ в точке х == О,
необходимо и достаточно, чтобы соответствующая ей
функция V бь ла функцией распределенuя 2.20.
Д О К а з а т е л ь с т в о. Необходимость условия.
Рассмотрим дифференциал функции V (х), понимая ero как
величину скачка в точках разрыва. Тоrда во всех точках
х =1= О имеем
dV (:с) == dF (х) р' (х) dx xdF' (:с) ;::::: xdF' (х).
(2.7.1)
в пределах от х до +00 sign х находим, что
+00 sign х
Р' (х) == + ау (V), х =1= О.
х
х
О < ;LP' (х) < 2 Р' (и) dи === 2 [Р (х) F (х/2)] <
Х/2
<: 2 min {1 F (xj2), F (х) F (+ О)},
Откуда видно, что р' (х) не убывает на полуоси х < О и не
возрастает на полуоси х > О, т. е. F (х) одновершин..
ная с вершиной в точке х == О.
Следующий общий критерий одновершинности рас..
цределений формулируется в терминах случайных вели
d
чин (напомним, что символ «===» означает равенство pac
пределений) 2.21.
Teope a 2.7' .'3. Для тО20 чтобы распределение F х,
случайной величинь Х было одftовершин1tО с вершиftОЙ в точ
ке х == О, ftеобходимо и достаточно, чтобь Х можно бьМ,о
представить в виде
Поскольку F одновершинна с вершиной в точке х === О, то
правая часть (2. 7 .1) неотрица тельна. Следова тельно,
функция V (х) не убывает на полуосях х < О, х > О.
Если х > О, то
d
Х === Х oZ ,
(2.7.3)
т. е. хр' (х) О при x ). О или ,не х > 00. Аналоrичные
рассуждения в случае х < О приводят нас к выводу, KO
торому, объединяя ето с разобранным случаем х > О,
можно придать следующий вид:
хр' (х) О, если I х I О, х =1= О, или I х 1 00. (2.7.2)
Используя выражение функции V (х) и свойство (2.7.2),
находим, что
еде Х о, Z независимь е случайные величинь , причем Х о
подчиftеftО равномерному распределению на интервале
(0,1) .
3 а м е ч а н и е. Условие, состоящее в том, что слу
чайная величина Х может быть представлена произве
дением независимых случаЙНJэIХ величин
Х d X'Z', (2.7.4)
V (+0) == F (+ О) F ( O) == V ( O),
1 V (00) == 1 F (00) == v ( oo) == F ( oo) == О.
одна из которых (скажем, Х') имеет одновершинное pac
пределение с вершиной в нуле, также является критерием
одновершинности F х.
Действительно, то, что (2.7.4) является необходимым
условием, вытекает из необходимости условия (2.7.3).
152
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ 3АНОНОВ
Провери:м достаточность (2.7.4). Если Х' и:м:еет OДHO
вершинное распределение, то, в соответствии с (2.7.3),
Х' d Х oZ". Следовательно,
Х d X'Z' d Х О (Z'Z") === Х oZ.
Отсюда и из достаточности условия (2.7.3) вытекает OДHO
вершинность с вершиной в нуле распределения F х. По
сравнению с критерием (2.7.3) критерий (2.7.4) ПрИВJIе
кательнее лишь как достаточное условие одновершин
ности.
Д о К а з а т е л ь с т в о теоремы. Соrласно УСJIОВИIО
теоремы 2.7.2, функция распределения F х случайной Be
личины Х будет одно вершинной с вершиной в нуле ТОI'да
и только тоrда, коrда найдется такая случайная величина
I
Z, что Fz (х) === Fx (х) xFx (х).
Пусть F х (х) одновершинная с вершиной в точке
х ;:::::: о. Вычислим характеристическое преобразование
W z (t). Принимая во внимание (2.7.1), имеем
Wk (t)z == Е I z lit (sign Z)k ===
=== I х lit Х (sign X)k dF:.r (х), k === О, 1.
x o
Интеrрируем по частям, и, привлекая свойство (2.7.2),
находим, что
Wk (t)z === I х 11+Н (sign X)H k dF'x (х) ===
х:#о
=== (1 + it) I х lil (sign X)k Р'х (х) dx ===
х#о
=== (1 + it) Wk (t)x, k === о, 1.
Следовательно, при всех t Е R
W z (t) == (1 + it) W х (t). (2.7.5)
Поскольку для равномерно распределенной в интервале
(0,1) случайной величины Хо характеристическое преобра
зование, как показывают несложные вычисления, имеет
вид
( (1 + it) l О )
W Хо (t) == О (1 + it) l ,
то из (2.7.5) и (2.7.6) вытекает, что
W х (t) === W х., (t) W z (t).
(2.7.П)
(2.7.7)
2.7. ОДНОDЕРШИННОСТЬ УСТойЧИВЫХ 3АИОНОВ
153
Теперь предстаВJIение (2. 7.1) получается как следствие
(2.7.7) и свойства 2 характеристических преобразований,
приведенноrо в конце предыдущеrо раздела.
ПреДПОЛОiНИМ обратное, т. е. что Х MOjl\eT быть пред...
ставлено в виде (2.7.1). 1'оrда
1 00
РХ (х) === Fz (xjи) dи === Fz (хи) d + ===
о 1
. \ 1.
=== F z (х) + х ос S II Х + dF z (и).
х
Если понимать dF z (х) как величину скачка функции
F z (х) в точках ее разрыва, то из последнеrо равенства
мы получим дифференцированием, что
+00 Sigll Х
dFx(X)=== +dFz(и)dx.
\ ;
Х
Это означает, что F'x (х) не возрастает на полуоси х > О
и не убывает на полуоси х < о, т. е. Fx одновершинная
с веРIПИНОЙ в нуле.
е ледсmвие 1. Распределение F х одновершинно с верши
пой в точпе х == О mozaa и тольпо тоеда, поzда nроиаведение
(1 + it) W х (t) является хараптеристичеспи;и, nреобраао
ваиием.
Сд,едС1nвие . Пусть р (х) плотность папоео либо
одновершиuuоzо распределения F с вершиной в точпе х ;::::: о.
Tozaa расnределеuие Fx с хараптеристичеспой фунпцией
f х (t) будет одновершиппь .м с вершuпой в нуле тоеда u
тольпо тО2да, поеда
fx (t) === Р (и) fz (tи) dи,
(2.7.8)
еде f z (t) непоторая хараптеристичеспая Фунпция.
В частности, если F равномерное распределение на
интервале (0,1), то условие (2.7.8) имеет вид
t
fx (t) === + S fz (и) du.
о
(Этот критерий был найден Хинчиным [21].)
Лежжа 2.7.1. Пусть Ft, F 2 , ... последовательность
одноверlииff.,fl,Ь Х фУltпций распределения с вершинами в точ..
154
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ 3АНОНОВ
пах а 1 , а 2 , ... соответствеиио. Если F n слабо сходится
п фунпции распределеuия F при п 00, то F oдиoвep
шиuuая с вершиной в точпе а === lim sup а n .
n oo
Д О К а з а т е л ь с т в о. Одновершинность функ
ции Fn в точке а n означает, что для любых точек х 1 , Х2,
лежащих левее а n , имеют место неравенство
2F n «Х 1 + х 2 )/2) -< рn (х 1 ) + Fn (х 2 )
и обратное неравенство для точек, лежащих прав ее а n .
Выберем последовательность натуральных чисел пk, Ta
кую, что a nk > а при k > 00. Тоrда о любых двух точ
ках х 1 , Х2, лежащих левее а, мол но сказать, что они будут
находиться левее точек аnк для всех достаточно больших
k. Переход к пределу F n1( F при k 00 показывает,
что предельная функция F обладает аналоrичными свой
ствами выпуклости и воrнутости, т. е. удовлетворяет
неравенству
2Р ((Х 1 + Х2)/2) < 1/ (х 1 ) F (х 2 )
для точек, лежащих левее а, и неравенству в друrую CTO
рону для точек, лежащих правее а. Но это означает, что
F одновершинная с вершиной в точке а.
Л еJftжа 2.7.2. Если F 1, F 2 сu.м.метричuые oдиoвep
шиuuые фуuпции распределеuия, то их свертпа F ===
== F'] * F 2 тап же си.м.метрична и одuовершиuuа 2.22.
Д О К а з а т е л ь с т в о. Поскольку функции Fj сим
:метричны, т. е. 1 Fj (х) == Fj ( x) во всех точках He
прерывности, то одновершинность равносильна выполне
нию неравенства
2Fj «(Х 1 + Х2)/2) > Fj (х 1 ) + Fj (х 2 )
для любых точек Х 1 :> Х2 > о. Образуем функцию
G h (у) === F 1 (у) + tF 1 (у + h) F 1 (у h)].
r,:
"
ь' !;
i;l!
(r
. t:
,i
f : >
:".
t? [,.
","'
If.....,.
r:
:p
,.},
, f
if r
J:
,'r
Нетрудно проверить, что
G h (у) == ........G h ( y), G h (у) sign у > о,
и что величина дифференциала d [F 2 (у х) F 2 (у +
+ х)] > о на полуоси у > о при любых значениях х > О.
2.7. ОДНОВЕРШИННОСТЬ устОйЧИВЫХ 3АНОНОВ
155
Положим x 1 == Х + h, Х2 ;::::: Х h, х > h > о. Тоrда
00
G h (у) d [F 2 (у х) F 2 (у + х)] > О.
о
Используя определение функции G h (у), мы можем пре--
образовать это неравенство к виду
F ((хl + 'Т2)/2) === F 1 ((Хl + Х2)/2 у) dF 2 (у) >
(1 1 1
J т [F 1 (Хl у) + Fl (Х2 у)] dF 2 (у) == 2 [F(Xl) + F(X2)].
С учетом Toro, что свертка симметричных распределений
симметрична, это неравенство означает, как отмечалось
выше, что F одновершинная.
3 а м е ч а н и е. Без условия симметричности рас...
пределений Fj утверждение леммы, как показывают при
меры, неверно (первый такой пример был указан Чжуном
[97]). Вот один из наиболее простых подобных примеров:
Пусть Ра (х) плотность paBHoMepHoro распреде
ления в интервале (о, а). Положим для а < ь
q (х) == еРа (х) + (1 8) Рь (х).
Леrко видеть, что это плотность одновершинноrо рас..
пределения с вершиной в нуле (вершиной q является каж..
дая из точек отрезка [о, а]). Рассмотрим плотность
ffi (х) == (q * q) (х) == 82p * (х) + 28 (1 8) (Ра * Рь) (х) +
+ (1 8)2p * (х).
Плотность P * (х) имеет вид равнобедренноrо треуrоль..
ника с основанием (о, 2а) и высотой 1/а. Следовательно,
Е 2 (1 в)2
ffi (а) > а ' (J) (Ь) > ь '
2а
(' ( 1 В ) 2
J ffi (х) dx > ·
ь
ПреДПОЛОrRИМ, что (J) (х) > ffi (а) в интервале а <х < Ь.
Тоrда
ь
(' в 2 Ь
J ffi (х) dx> (Ь а)О) (а) > в 2 ,
fL
156
"
. ,;t}"
.;
' '
,:
' ,
;I
i;; :'
::r
rл. 2. СВОйСТВА устойчивых 3АНОНОВ
откуда получаем:, что
2Ь
\ 8 2 Ь (1 8)2
J ffi (х) dx > 82 + 2
а
Если выбрать теперь 8 1/4, а == 1/16, Ь == 1, то мы об
наружим, что нижняя оценка больше 1. Это означает, что
преДПОЛОrнение ffi (х) > ffi (а) при таком выборе парамет
ров не оправдывается, т. е. между точками а и Ь плот
ность ffi (х) принимает значения меньшие, чем ffi (а) и
ffi (Ь). Тем самым, распределение ffi (х) не является OДHO
веРПIИННЫМ.
T oJ)p ta 2.7.4. Сим.метjJuчпьtе УСlпойчuвые pacпj)eae
лепил одnовершинны.
J о к а з а т е л ь с т в 'о. Случай а === 2, еоответствую
щий нормальному распределению, очевиден, и мы, ни
чеrо не теряя, може:м оrраничиться разбором случая
О < а < 2.
В соответствии с теоремой В.1 каноническая форма за
писи (В.17) характеристической фуннции g (t, а, О, О, л) ===
== ехр ( "л 1 t la) симмеТРИЧНОl"О устойчивоrо закона
имеет вид
]og 9 (t, а, О, О, ,,) == (cos tx 1) Н' (х) dx,
X;FO
"rде
Н (X)==Clxl l a== r(1 + a)sin а Ixl;-l a.
Рассмотрим последовательность серий взаимно неза
висимых в каждой серии случайных величин X nk , 1 -<
-< k -< п, п == 1,2, . . ., имеющих следующие симметрич
ные функции распределения
F n7t' (.х) === 1 F nk ( х) ===
I H(x),
== + l Н ( + ) + Н' ( + )( х + + ) l '
1
x<
п'
')
,
1 ,
1
<:X<O.
п .... "
Поскольну для пе > 1
р (1 X nk 1::::> 8) ==- : Н ( 8) ). О при п 00
2.7. ОДНОВЕРШИННОСТЬ устойчивых ЗАRОНОВ 157
'равномерно по k, т. е. случайные величины Х NК удовлет...
воряют условию предельной равномерной :малости (В.2).
то предельное распределение суммы
Х п == Х n1 + ... + Х пn
мы можем определить, опираясь на теорему Б. ДЛЯ х < О
пF nk (х) == п [1 Fn"k ( x)] Н (х) при п 00.
к роме Toro,
o == nD (XnjI (1 X nj 1 < 8)) ===
1/n е
== 2 х 2 Н' (+) dx + 2 х 2 Н' (х) dx ===
о 1/n
е
== H' ( ) -+ 2с \. xl ad:r=== 3 2 cпa 2
3 п п J
1/n
2с
+ (81 a ...:... na I).
2 cx.
Следова тельно,
1 jm lim sup a :=::: О.
е......О n....оо
;:'
Поэтому, на основании теоремы Б, при n 00
F n (х) == Р (Х n < х) G (х, <1, О, О, л).
Распределения F llk симметричные и одновершинные
по построению. Следовательно, соrласно лемме 2.7.2,
их свертка F n (х) TaKjHe симметрична и одноверmинна. Для
получения утверждения теперь остается применить к по...
следовательности распределений {Fn} лемму 2.7.1.
Теперь мы докажем одноверmинность нрайних устой
чивых законов (т. е. отвечающих значениям == + 1) чисто
аналитическим методом. Блаrодаря свойствам 2.1 и 2.2
доназа тельство одновершинности фуннций распределения
G (х, а, , ,,?, л) сводится н разбору крайних стандартных
распределений G (х, а, 1). При этом случай а == 2, кан
очевидный, мы можем не рассматривать и считать, что
О < а < 2.
Teope a 2.7.52.23. Крайние устойчивые распределения
одповершинпы и имеют ровно одну вершину. При это-м
в случае стандартНОЗ0 распределения G (х, а, 1) cooтвeт
ствующая е.му .мода положительпа, если а < 1, и oтpи
цательиа, если 1 < а < 2.
.
158
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОйЧИВЫХ ЗАКОНОВ
Доказательство теоремы основывается на представле.-
нии (2.2.35) функции g' (х, а, ), О < а < 2, == + 1,
х > о. В ходе доказательства будет использовано не..
сколько фактов, которые мы выделим в форме отдельных
лемм, используя обозначения из (2.2.35).
Л е,м,,м,а 2.7.,'1. Если 1 < а < 2, то g' (х, а, 1) < О
д//'я любьzх х > о.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Соrласно (2.2.35),
'Л.lа
1
g' (х, а, 1) ==== k 2 Ь ехр ( kaa) dqJ,
1(.
'Л.
(2.7.9)
rде функция
2
Ь ( ) ==== (а 1) 1 I s.i n ер \ a 1 ( а s i n (2 а) <р 1 )
qJ s I n аер s] n а<р
на интервале ( л, л/а), как леrко видеть, отрицатель
на. Поэтому отрицательным будет и интеrрал (2.7.9).
Лс,м, а 2.7.4. Если 1 < а < 2, то
g' (О, а, 1) === g' (О, а, 1) === 2 1 n r (1 + 2/а) sin (2л/а) < о.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользовавшись пред
ставлением (2.2.10) плотности g (х, а, ), находим, что
се
g' (х, а, ) === + 1т у ехр ( уа xye i1tP + 2'!tip) dy.
о
(Отсюда следует, что для значений == + 1
се
g' (О, а, ) === sin 2лр u ехр ( и а ) du ===
о
=== sin л8r (2ja) === 2 r (1 + 2ja) sin < о.
ал n а
в состав функции Ь (ЧJ), I\аl\ это видно из ее определе...
ния, входят в качестве сомножителей фУНI\ЦИЯ, заведомо
положительная внутри соответствующеrо интервала (и, и),
и фУНI\ЦИЯ
{ si n ( 1 a )( а sin. (2 а) ер 1 ) если а =1= 1,
w (ер) === g ВIll а!р ,
2ЧJ ctg qJ 1, если а === 1,
поведение которой не очевидно.
2.7. ОДНОВЕРШИННОСТЬ устойчивых 3АНОНОВ
Ле м,а 2.7.5. На соответствующем интервале (и, и)
1) фуft"Кция а (ЧJ) положитеЛЬftа и мопотонпо возрастает,
2) фУft"Кция W (ЧJ) монотоппо убьzвает, если а -< 1,
и .мопотоппо возрастает, если а > 1.
Д о 1\ а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим фУНI\ЦИЮ
h (а, ЧJ) == а ctg аЧJ ctg qJ в области О < qJ .<
< min (л, л/а), о < а < 2. посI\олы\y В этой оБJIасти
=== (2 sin 2 аер(1 (sin 2аер 2аер) < О,
то фУНI\ЦИЯ h (а, ЧJ) при фИl\сированном qJ убывает с po
стом а. Таl\ наl\ h, (1, ЧJ) == о, то
h (а, ЧJ) > о, если О < а < 1,
'
,-
;'\;
\,
,
; ..
159
(2. 7.1 о)
h (а, ер) < о, если 1 < (х, < 2.
Случай а < 1, == 1, ДJIЯ I\ОТО poro и == и, COOTBeT
ствует тривиальной ситуации (g (х, а, ) == О на полуоси
х > о) и поэтому не входит в противоречие с утверjнде
нием леммы.
В случае а < 1, == 1 имеем и == о, v == л,
1
а ( ) === ( Б' n аер ) 1 a s: n (.1 а) ер W ( ) === а s i n (2 а) ер _ 1.
ер sln <р Sln аср , qJ Sln а<р
Используя свойство (2.7.10), находим, что
а' (ЧJ) / а (ЧJ) == [ah (а, ер) + (1 а) h (1 а, ЧJ)] / (1 а) :: о.
поснолы\y положительность а (ер) в интервале (о, л) оче..
видна, то а' (ер) > о.
Далее, с учетом (2.7 .1U),
ш' (ер) == а [h (2 а, ЧJ) h (а, ер)] < О.
Если а> 1, == 1, то и== о, v == л/а и на этом
интервале, в соответствии с (2. 7.1 О),
а' (qJ)ja (ЧJ) === а 1 h (а, ЧJ) + h (а 1, ЧJ) > О.
!-
, >
r: .
,
.
1
;
)
\
.
!
(
ФУНI\ЦИЯ W (ЧJ) == 1 + а sin (2 а) epjsin аЧJ на ин
тервале (о, л/а) имеет производную, знаl\ I\ОТОрОЙ совпа
да ет со знаl\ОМ фУНI\ЦИИ
а [ h (а, ер) + h (2 а, (р)] > О.
{50
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОйЧИВЫХ 3АНОНОВ
Пусть теперь а :> 1 и == 1. В этом случае и ;=: л,
v == л/а,
1
а ( ) === ( jn ер ) a=I sj n ( а) ер
ер 81 n аср 81 n а<р
И; ( ) === а sin 2 а) <р + 1.
ер Sln а<р
Функция а (ер) четная. Поэтому нам достаточно
доказать ее убывание на интервале (л/а, л). Имеем
а' «(р)/а (q» == q (<р)/(а 1), rде
q (ер) === а 2 ctg аер ctg ер ........ (а 1)2 ctg (а 1) <р ===
а 2 sin 2 <р + 2а С08 (а 1) <р sin <р sin ( a<p) + sin 2 аер
sin (а 1) <р sin <р 8in ( aqJ)
Знаменатель дроби на интервале (л/а, л) положителен,
а числитель оценивается снизу величиной
а 2 sin 2 <р 2а sin ер sin ( aep) + sin 2 аер ==
=== (а sin ер + sin а<р)2.
Откуда и следует убывание а (<р) на (л/а, п). Функция
w (ср) также четная. Поскольку в интервале (л/а, л)
ш' (ср) == а [ h (2 а, ер) + h (а, <р)] < О,
то на интервале ( л, 'Лjа) мы получим ш' (ср) > О, что
и требовалось доказать.
Если а == 1 (и == О, v == л), то знак на величину
функций а (ср) и Ь (ср) не влияет. Имеем
а' (ср)/а (ср) == 1 jcp 2 ctg ср + cpjsin 2 ер ===
=== ( ср s i n 2 ср) 1. (s i пер....... ср cos ср) 2 + ср > о ,
ш' (ер) === 2 ctg ср...... .2;> === (sin 2ср 2cp)jsin 2 <р < о.
Sln ер
3 а м е ч а н и е. Непосредственно подстановкой и
последующим несложным подсчетом можно проверить тот
факт, что во всех случаях из числа рассматриваемых (Kpo
ме тривиальноrо а < 1, == 1 и случая а > 1, == 1)
8 (а) w (и) > О и 8 (а) w (v) < о. Это означает, что функция
8 (а) w (ср), а вместе с нею и 8 (а) Ь (ср), ровно один раз
меняет знак с плюса на минус в некоторой точке и < а <
< и.
Перейдем: теперь к доказательству самой теоремы.
Еели а < 1, == 1 или а > 1, == 1, ТО функция
g (х, а, ) не MOiKeT иметь ?tfаКСИ1\IУМU на полуоси х О.
.'
I
2.7. ОДНОВЕРШИННОСТЬ устойчивых 3АНОНОВ
161
в первом случае это очевидно, а во втором этот факт сле
дует из лемм 2.7.3 и 2.7.4. Рассмотрим случаи а < 1,
== 1 и а > 1, == 1. На полуоси х > О плотность
g (х, а, ) может иметь лишь нечетное число экстремаль
ных точек и при этом число минимумов будет на единицу
меньше, нежели число максимумов. Сказанное следует из
Toro, что в первом случае g (О, а, 1) .== О, а во втором (co
rласно лемме 2.7.4) g' (О, а, 1) > О.
Пусть хо > О одна из экстремальных точек плотно
сти g (х, а, ), т. е. g' (хо, а, ) == о. Покажем, что в этой
точке величина g" (хо, a, ) обязательно будет отрица
тельной. С помощью равенства (2.2.35) имеем для х > О
v
g" (х, а, ) === + kk' Ь ехр ( kaa) d<p
и
v
k a +1k' аЬ ехр ( kaa) d<p === 2 (k'Jk) g' (х, a, ) +
и
v
+ k a +1 ( 8 (а) k') а (8 (а) Ь) ехр ( kaa) d<p.
u
в точке х == хо первое слаrаемое обращается в нуль,
а второе слаrаемое, в котором E (а) k' (х) > О, при
а =1= 1, х > О мы можем оценить следующим образом.
Соrласно лем:ме 2.7.5 в рассматриваемых нами случаях
функция а (ер) > о монотонно возрастает на интервале
(и, v), а функция 8 (а) Ь (ср) монотонно убывает, изменяя
знак в точке и < а < и. Следовательно,
G V
а (8Ь) ехр ( kaa) d<p + а (8Ь) ехр ( kaa) d<p <
и G
а v
< а (о) ВЬ ехр ( kaa) d<p + а (о) 8Ь ехр ( kaa) d<p ==
и G
v
== а (о) вЬ ехр ( kaa) d!p.
и
Отсюда следует, что в точке х === хо
v
'" (хо, а, ) < k a +1 ( 8 (а) k') 8 (а) Ь ехр ( kaa) d<p ==
и
== ......... aka lk' g' (хо, а, ) === О,
. 'lTO II требовалось.
6 В. М. 30потареп
{62
rл. 2. СВОЙСТВА устойчивых 3АНОНОВ
2.7. ОДНОВЕРШИННОСТЬ устойчивых 3АНОНОВ
163
Таким образом, функция g (х, а, ) не может иметь ло
кальных минимумов на полуоси х > О, но имеет один
максимум.
Объединяя установленные факты, мы можем сделать
вывод, что плотность g (х, а, ) в случае а =1= 1, == + 1
имеет ровно один максимум в точке х == т (а, ) ==
=== т (а, ), причем т (а, 1) > О, если а < 1 и
т (а, 1) < О, если а > 1.
Случай а == 1 допускает аналоrичный анализ. Однако
этоrо делать не требуется. Дело в том, что свойство OДHO
вершинности G (х, сх, ) не нарушится при любом линей
ном преобразовании aprYMeHTa распределения G и, зна
чит, при переходе от одной формы параметризации к
друrой. Например, при переходе от G B к G M И обратно.
Поэтому G M (х, а, M, 'Ум, лм) == G (х, а, M, 'Ув, Лв)
одноверmинное распределение при любых наборах па
раметров. Фиксируем M, 'Ум, л]и И устремим а к 1.
Тоrда, соrласно свойству 2.4,
G M (х, а, м, 'У М, л 1\1) G м (х, 1, м, 'У м, л м) .
Распределение G M (х, 1, 1\1, 'Ум, л'м) как предельное
для одноверmинных само одновершинно для любых
M, 'Ум, лм. Отсюда, очевидно, следует одновершинность
распределений G (х, 1, ), == + 1.
Это интересное по замыслу чисто аналитическое ДOKa
зательство пока не удалось распространить на все семей
ство устойчивых законов. Доказательство теоремы Яма
зато, к изложению KOToporo мы сейчас приступим, oc
новывается на совершенно иных соображениях, оказав
шихся настолько общими, что позволили, в конечном
счете, установить одновершинность всех законов в клас
се L. Это доказательство дает возможность видеть, что
движущей пружиной механизма формирования свойства
одновершинности безrранично делимых законов СЛУЛf\ИТ
одно свойство распределений, обнаруженное еще в 1956 ro
ду Ибраrимовым [38] и названное им сильной OДHOBep
mинностью.
Функция распределения F (х) называется сильно oa
nовершиnnой, если ее композиция с любым одновершин
ным распределением является одноверmинным распре
делением. В работе [38] было установлено, что F является
сильно одно ершинной тоrда и TOJIbKO тоrда, коrда функ
ция log F (х) является выпуклой, а также то, что MHO
жество всех сильно ОДIIОllершинных распределений зам
ннуто по отношению к полной сходимости. Примером
сильно одновершинноrо распределения является HOp
мальное распределение.
Теоре.ва 2.7' .6. Каждое устойчивое распределеnие oano
вершunnо.
Доказательству теоремы мы предпошлем несколько
лемм. Рассмотрим безrранично делимое распределение
Fn (х) с характеристической функцией
00
fn (t) === ехр { (e itx 1)"n (х) d: },
о
(2.7.11)
rде "п (х) ступенчатая
, ! 1 + · · · + n'
У" (х) == k + · · · + n'
. О
,
функция вида
если 0< х < cп l,
есди с (k 1) п l < х < ckn"' l ,
если с < х,
определяемая набором поло,нительных чисел 1' ., n
С == 1 + ... + п > 4 положительным числом с. По
скольку при t 00
n t
I fn (t) I === ехр [ K (COS С: х 1) d: } <
k==l О
n t
<exP{L k COS( c: х) d: logt}< t 4.,
k==l 1
то распределение F n абсолютно непрерывно, и ero плот
ность Рп имеет на всей оси непрерывную и равномерн()'
оrраниченную производную. Rа,кдая функция F n яв
ляется, как леrко видеть, слабым пределом при в О
обобщенных пуассоновских распределений F с ха paKTe
ристическими функциями
00
f; (t) === ехр { (e itx 1) "n (х) d: } , в> о.
Е
и так как каждое из распределений F (х) сосредоточено
на полуоси х :> о, то же самое можно сказать и о их пре
дельном: распределении F n.
Л е ,м(L 2.7' .6. Для люБО20 беЗ2раnuчnо делим,О20 pac
пределенuя с Jli,он,ечн,ым м,атJ м,атичеСJ:им, ожидаnием и
6*
164
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ 3АНОНОВ
2.7. ОДНОВЕРШИННОСТЬ УСТОйЧИВЫХ 3АНОНОВ
165
хараптерuстичес ой ФУНJ1,цией вида
f(t)==exp{ (eitX 1)dH(x)},
x o
хр (х) == Р (х у) уН' (у) dy.
y;i-O
Д О К а з а т е л ь с т в о. То, что распределение сука..
занными свойствами функции Н имеет плотность, следует
из результатов работы [36]. Существование математиче
CKoro ожидания этоrо распределения, как видно из pa
боты [54], равносильно сходимости интеrрала S Ixl dH (х).
Рассмотрим преобразование Фурье функции ХР (х).
Имеем
(2.7.12)
Иl\lеет на полуоси х > с/n по крайней мере один относи
тельный Iаксимум. Обозначим через ХО нижнюю rpaHb
множества А всех относительных максимумов на полу
ОСИ х > с/n. При этом возможны две ситуации.
С л у чай 1. Точка ХО является изолированной точ"
кой в мно,нестве А или же хо сама является относительным
максимумом. Предположим, что Рп (х) не является He
возрастающей функцией на полуоси х :> хо. Тоrда на этой
полуоси существует по крайней мере один относительный
минимум Рп (х). Обозначим через Х 1 ни,кнюю I'рань всех
таких относительных 1\IИНИМУМОВ. Очевидно, что Х 1 > хо>
> с/n и p (х 1 ) == p (хо) === О.
Следовательно, мы можем утверждать, что
1 О Рп (х) cTporo возрастает на интервале (О, х о ),
n
20 (s 1) Рn (хо) L 6кРn (хо с: ) === о,
k==l
30 Рп (х) cTporo убывает на интервале (х о , х 1 ),
n
40 (S 1) Рп (хl) L SkPn (хl с: ) === о.
k l
Если Х 1 С :> хо, то Х 1 ck/n > хо при всех значе-
ниях k -< n. Отсюда и из свойств 30, 40 получаем
еде сnе1'i,тральnая фуn1'i,ЦUЯ J{ nеосра'нuчена и абсолютпо
неnрерывnа, существует nлотnость Р, явЛЯЮlцаяся реше
иием иnтеераЛЬnОеО уравnеnuя
еНХхр (х) dx === t У' (t) === i f (t) t (e itx 1) Н' dx ===
X ()
=== f (t) ei1xxH' (х) dx === e itx dx Р (х у) уН' (у) dy.
x o y o
Сравнение преобразований Фурье, стоящих в начале
и в конце цепоч:ки равенств, дает соотношение (2.7.12).
3 а м е ч а н и е. Распределение F п очевидно YДOB
летворяет условиям леммы, и поэтому соответствующая
ему плотность Рп является решением уравнения (2.7.12)
с функцией Н' (х) == "п (х)/х. Продифференцировав это
равенство, получим после простоrо преобразования, что
п
О == ( ...... 1) Рп (Хl) ;kPn (Хl ckjп) ==
k l
n
== k (Рn (Хl) Рп (Хl ckjn)) ......... Рп (хl) < О,
k l
п
xpn(x)==(s 1)pn(x) LSkPn(x с: ). (2.7.13)
k==l
что невозможно.
Пусть теперь Х 1 с < хо. Это означает, что найдется
j < n, для KOToporo Х 1 ck/n :> хо если k < j и Х 1
ck/n ';XO' если j < k -< п. В этом случае свойства 30 и
40 привод'нт К неравенству
л е,м,;ма 2.7.7. Распределеиие F п одnовершииnо с вep
шиnой в mочпе т п > с/п.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Так как Рп (х) == О для
х -< О, то на интервале О < х < с/n (2.7.13) имеет вид
,
ХРп (х) == ( 1) Рп (х), откуда
Рп (х) == Clx l, О .< х -< с/п. (2.7.14)
И3 (2.7.13) вытекает, что Рп (х) О при х 00. Вместе
со свойством (2.7.14) это 0значает, что плотность Рп (х)
j+lPn (Х 1 ...... С (j + 1 )/п) + ... + пPп (Х 1 с) <
< ( j+l + ... + Sn 1) Рп (х 1 ).
Так как Хо ck/n <хl ck/п < Хо для j < k < n, то
из свойства 1 о имеем Рп (Хо ck/ п) < Рn (Х 1 ck/ п),
j < k <: n. Вместе снеравенством Рп (хо ck/n) -<
-< Рп (хо), 1 -< k < j (также следующим из 1 О) два
,
166
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ ЭАRОИОВ
2.7. ОДIIОВЕРШИНIIОСТЬ УСТОЙЧИВЫХ 3AROHOB
167
предыдущие неравенств.а дают
\
1 *. Для некоторото k, 1 < k < n,
== Рn (х*) p (х* ck/n) р;" (х*) Рn (х* cl /n) < о.
2 *. Для любоrо k, 1 -< k -< n, величина Ll :> О. в пер..
ВОМ случае ck/n < х* и Рn (х* ck/n) > о.
Следовательно,
n
( 1) Рп (Хо) > kPn (Хо ckjn),
k:::::sl
что противоречит свойству 20.
С JI У чай 2. Пусть хо является предельной точкой
множества А, но ему не принадлежит. В этом случае мож
но выбрать точку относительноrо максимума x > хо
и следующую за нею точку относительноrо минимума
Х 1 > xt таким образом, чтобы Х] с/n < Хо. Поско.ль
КУ Рn (х) строто возрастает на интервале (О, хо),
Рn (хо* ck/n) <Рn (Х 1 ck/n) для 1 <:: k < n. Кроме тото,
P (х;) == P (х 1 ) == О и Рn (x ) > Рn (х 1 ). Имеем
( ...... 1) Рn ('Х1) < (6 1) Рп (xci) ===
, ,
Р п (х* ckjп) Р п (ж.)
Р п (х* ck/п) < Р п (х*) ·
Это означает, что мел\ду точками х* ck/n и х* найдется
точка .х', в которой (P /Pn)' (х') > О, что равносильно
неравенству В (х') < О. Одна1\О оно противоречит усло
вию выбора х*.
, Во втором случае, как это видно из (2.7.15), при всех k
Рп (х*) р' (х* ck/п) P (х*) Рп (х* ck/п) == о.
Так как с/n < х*, то Рn (х* с/n) > О и, значит,
, ,
Рn (х. с/n) Рn (х.)
Рn (х. с/n) Рn (ж*) ·
n n
=== kPn (X ckjn) < kPn (XL ckjп),
k l k l
что противоречит свойству 40. Следовательно, распред
ление F n имеет единственную вершину в точке т'п ===
== хо > с/п.
Л е;м,;м,а .r .8. П-лотпость Рп (х) -лойариф.мичеспи вой..
nута па интерва-ле (О, т,n).
Д о к а з а т е л ь с т в о. IIапомним, что в опреде
ление распределения F n входило условие > 4. Из неп
рерывности P (х) на всей оси и уравнения (2.7.13) сле
дует, что P (х) непрерывна на полуоси х > О. Дифферен"
цируя обе части (2.7.13), получаем, что
n
Xp (х) == ( 2) p (х) 6kP (х ckjn).
h' == 1
Отсюда и (2.7.13)
хВ (х) === х [(p (х))2 Рп (х) p (х)] === Рn (х) P (х) +
n
+ k [Рn (х) P (х ckjп) ....... P (х) Рn (.Х ckjn)]. (2.7.15)
n==l
,
Откуда вытекает, что существует точка х в интервале
(х* с/n, х*), в которой (p /pп) (х') == О, т. е. В (х') == О,
что вновь противоречит выбору точки х*. Доказанный на..
ми факт В (х) > О в интервале О < х < т n , очевидно,
равносилен утверждению леммы.
Л е,м,,м,а 2. r .9. Пусть абсо-лютnо неnреры,впы,е pacnpe
де-леuия с' n-лотпостя,м,и Р (х) и q (х) об-ладают с-ледующи),f,и
свойстважи:
а) р' (х) и q' (х) существуют и иenpepblBиbl па всей оси,
б) Р (х) === О при х > О и q (х) == О при х < О,
в) р (х) и q (х) одиовершиииы с вершииа),f,и соответ..
ствеп1l0 в точпах a < О и Ь > О,
т) р (х) и q (х) -лоаарифжичеспu воапуть], соответствеипо
па иитерва.лах ( a, О) и (О, Ь).
Тоада свертпа этих распределепий одповершиппа.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возможны два случая:
а < Ь и а :> ь. Симметричный характер условий l'ОВОрИТ
за то, что мы можем оrраItичиться разбором одното из
них, например, первоrо. Рассмотрим плотность свертки
Нетрудно заметить, что функция В (х) непрерывна на
полуоси х > О и поло}кительна в интервале О < х -< с/п.
Покажем, что В (х) > О и в интервале с/п < х -< т n .
Действительно, допустим, что это не так и обозначим
х* == min {х: В (х) === О, х:''> с/п}. Тотда В (х) > О для
О < х < Х*, P (х*) > О и с/п < х* < т n . Рассмотрим
следующие два возможных случая
,
00 х
S (х) == р (х у) q (у) dy === q (х у) р (у) dy.
х
oo
168
rл. 2. СВОйСТВА 'УСТОЙЧИВЫХ ЗАПОНОВ
2.7. ОДНОВЕРШИННОСТЬ устойчивых 3АНОНОВ
169
Плотность s (х) также имеет непрерывную и к тому же
оrраниченную производную
рала, находим:
00 х
s' (х) === р (х у) q' (у) dy === q (х у) р' (у) dy. (2.7.16)
х
а
{/ (хо + в) === Ае (Хо + 1'}1) р' (у) q (Хо у) dy +
о
+ Ае (хо + 1'}2) р' (у) q (хо у) dy,
a
(2.7.18)
Очевидно, что на полуосях ( oo, а) и (Ь, 00) производная
сохраняет знак, поэтому доказательство единственности
максимума функции 8 (х) достаточно провести для
a < х < Ь. Можно утверждать следующее:
10. Если 8' (х) < О для иекотороrо х Е (О Ь а)
то 8' (у) -< О для всех у F (х, а Ь). ' ,
20. Если s' (х) > О для HeKOToporo х из ( a Ь а)
то 8' (у) > О для всех у Е ( a, х). "
Действительно, пусть 0<8 < а. Поло)ким
I q(X+B)
Ав (х) === q (х) ,
О,
если q (х) > О,
ec. и q (х) === О.
rде хо -< хо + 112 < хо + а < Ь и хо + а -< ХО + 'У)].
Если выбрать 8 > О так, чтобы Ь а хо > О, то хо +
+ 112 < Ь 8 и, следовательно, Ав (хо + 112) ;> 1. Если
хо + 111 < а, то, в сиду невозрастания функции Ае (х) на
интервале (О, Ь),
Ав (хо + 'У]2) > А. (хо 11]).
Если iHe хо t- 'У]1 :> а, то
Ав (хо + 112) ;> 1 > Ав (хо + 111).
Ив соотношений (2.7.16) и (2.7.18) следует, что S'(Xo+8)
< О для О < Е < Ь а хо, т. е. утверждение 10 сира--
ведливо.
Далее, пусть хо Е ( a, Ь а) такова, что 8' (хо) > О.
Из равенства (2.7.16) для всех 8 < хо + а
Функция Ае (х) непрерывна, поскольку непрерывна
функция q (х). Так как q (х) лоrарифмически BorHYTa на
(О, Ь), то функция Ав (х) не возрастает в интервале
(О, Ь Е). Далее, так как q (х) не убывает на (О, Ь) и не B03
растает на (Ь, 00), то Ав (х) также не возрастает на ин
тервале (Ь Е, а). Поэтому Ав (х) < 1 при х > Ь и
Ав (х) :> 1 при х < Ь Е.
Пусть точка хо Е (О, Ь а) такова, что s' (Хо) -< О.
Из (2.7.16)
a
s' (хо в) == [Ае (х{) в + 1]1)] 1 р' (у) q (хо у) dy +
oo
Xo E
+ [Ае (.:хо в + 1]2)1 1 р' (у) q (хо у) dy,
a
о
+ р' (у) Ае (хо у) q (хо у) dy.
a
(2.7.17)
rде · О < хо 'Yl2 Е < хо + а Е < хо + 111 8 И
Хо + а Е < Ь 8. Отсюда, в силу тех же соображений,
что и В",ыше, получаем неравенство 8' (хо Е) :> О для
О < Е <.. хо а, а вместе с этим подтверждение справед
ливости 2° .
Заметим, что условие Ь а > О по ходу доказатель
ства не использовалось. Значит, опираясь на симметрию
условия в утвеРiIiдении 2°, мы можем получить из Hero как
следствие следующее утверждение:
3°. Если для какоrо либо х Е (Ь а, Ь) выполняется
условие 8' (х) -< О, то s' (у) -< О для любоrо у Е (х, Ь).
Условие одновершинности 8 (х) получается теперь как
простое следствие свойств 1 о 3° (в предположении, что
Ь а > О).
a
s' (хо + в) == р' (у) Ае (хо у) q (хо у) dy +
oo
, Поскольку Ав непрерывна и неотрицательна, функция
р (х) не меняет знака н? каждом из интервалов ( oo, а),
( a, О) и функция р (у) q (хо у) интеrрируема, то,
ИСllОJIЬ3УЛ (2.7.17) 11 Teope IY о среднем: значении интеr
1 70 rл. 2. СВОЙСТВА устойчивых 3АНОНОВ
Перейдем теперь к доказательству самой теоремы
2.7.6. Понятно, что, не оrраничивая общности, мы MO
тем рассматривать только стандартные распределения
G (х, а, ). В соответствии с (2.2.5) характеристические
функции этих распределений В случае а =1= 2 имеют вид
2.7. ОДНОВЕРШИННОСТЬ УСТОЙЧИВЫХ ЗАRОНОВ 171
о
+ аС 2 (е НХ 1 itsinx) I х ' a .
oo
Из соотношения (2.1.2), применяя формулы перехода
(В.18), (В.19) от формы (А) к форме (В), леrко вывести
связь моды т (а, , 1', л) распределения G (х, а, , 1', л)
и моды т (а, ) соответствующеrо стандартноrо распре--
деления. Так в случае а =1= 1 имеем
т (а, Р, 1', л) === (л cos ( рк (а)) У/а т (а, Р) + I'л.
Это равенство вместе со свойством (2.7.20) позволяет
сделать следующий вывод о положении моды т (а, , 1', л)
на вещественной оси в случае а =1= 1, > о. Именно,
т (а, ,1', л) > ул, если а < 1,
т (1', , у, л) < ул, если а > 1. (2.7.21)
В частности, мода несмещенноrо распределения (т. е.
имеющеrо параметр (1' == О) в случае а =1= 1 всеrда на--
ходится на той же полуоси, на которой находится мода
соответствующеrо стандартноrо закона. Этот вывод, как
инеравенства (2. 7.21) остаются справедливыми и для
формы (А).
Случай а == 1, =1= О, к сожалению, так же просто
не разъясняется по той причине, что отсутствует ДOCTa
точно простое выражение g' (а, 1, ), которое позволило
бы установить знак производной хотя бы для одной точки
а вещественной оси. Вместе с тем, численные подсчеты
значений g' (О, 1, ) для О < < 1, проводивmиеся
на ЭВМ (см. таблицу на стр. 172), показывают что
g' (О, 1, ) < о и, следовательно, т (1, ) < О при > о.
Отсюда, блаrодаря тому, что
" т(1,р,I',Л)=== лт(1,Р)+I'л+Рлlоg(+л)
(см. (2.1.2), (В.19» и, в соответствии с (2.1.3), при всех
допустимых значениях параметров
т (а, , y, л) == т (а, , у, л),
получаем оценки
00
log g (t, а, Р) == ita + аС! (e itx 1 it sinx) x a d: +
о
Функции x a, Х > О, и I xl a, х < О, очевидно можно ап
проксимировать функциями типа V N таким образом, что
связанные с ними последовательности распределений
p (х) на полуоси х > О и F (х) на полуоси х < О при
соответствующем подборе постоянных а n для любоrо
t обладали бы следующим свойством:
00 о
. t + \ ( itx 1 ) + ( ) dx + \ ( itx 1) ( dx
l а n J е ....... "1L Х 7 J е "n х)
о oo
logg(t,a, ) при n oo. (2.7.19)
Если n достаточно велико, то распределение F (х) и
распределение 1 F ( x) подпадают под действие лемм
2.7.7, 2.7.8 и, следовательно, F , F удовлетворяют УС 04
ловиям леммы 2.7.9. Поэтому распределениеF *F oд
новершинно при всех достаточно больших n. Отсюда и из
соотношения (2.7.19) вытекает, что предельное распре
деление G (х, а, ) также одновершинно.
3 а м е ч а н и е. Метод доказательства не дает воз
можности проследить положение моды распределения
G (х, а, ). Восполнить этот дефект теоремы 2.7.6 (по
сравнению с теоремой 2.7.5) помоrает в случае а =1= 1
то же соображение, которое использовалось в доказатель
стве теоремы 2.7.5. Именно, что при любых допустимых
значениях сх =1= 1,
g' (О, а, Р) === i:rt r (1+ ) sin [rфК(а)jаj.
Поскольку мода т (a, ) распределения G (х, а, )
единственна, то отсюда следует, что в случае а =1= 1
sign т (а, ) === sign (1 сх) sign . (2.7.20)
т(1,р, 1', л) <I'л + Рлlоg ( л),
т (1, , 1', л) > I'л + л log ( л),
если > О,
если < о.
<'
· ) Некоторые дополнительные сведения о локализации
М6ДIэI т-(а, Р) удается извлечь из результатов раБотыl [78]
172
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ 3АНОНОВ
Таблица значений функции и' (О, 1, ).
2.7. ОДНОВЕРПIИННОСТЬ УСТОЙЧИВЫХ 3АНОНОВ
173
Заметим еще, что случаи а =1= 2, === о и а === 2, co
ответствующие устойчивым распределениям, симметрич
ным относительно прямой х === ул, являются пока
единственными, коrда известно точное значение моды:
т (а, О, у, л) === ул.
Суммируя накопленные выше факты, можно составить
следующее общее представление о поведении плотностей
устойчивых законов.
1. rрафИRИ плотностей
g (х, а, , у, л) и g (х, а, , у, л)
симметричны относительно прямой х == ул, а rрафи
ки плотностей g (х, а, , у, л) и g (х, (Х, , у, л)
симметричны относительно оси ординат. В частно
сти, если === О, то rрафик плотности g (х, а, О, у, л) сим
метричен относительно прямой х === ул. с учетом Toro, что
поведение плотности в случае а === 2 ясно без специаЛЬНОI'О
исследования, эти свойства позволяют при анализе пове..
дени я rрафиков плотностей оrраничиваться разбором слу
чая О < а < 2, > О, У > О.
2. Если О < а < 1, === 1, то плотность g (х, а, 1, у, л)
отлична от нуля лишь в точках полупрямой х > ул.
Во всех остальных случаях плотность g (х, а, , у, л)
отлична от нуля в каждой точке вещественной оси.
3. rрафики плотностей g (х, а, , у, А) одновершинны
и имеют единственную моду, которая находится правее
ТОЧRИ уА, если О < а < 1, > о и левее ТОЧRи УА, если
1 < а < 2.
4. Если 1 < -< 1, то плотность g (х, а, , У, л) при
х .......=)- 00 убывает как const x 1 a. Если же == 1, то
в случае (Х < 1 при x УА О и в случае а:> 1 при
х 00 g (х, а, , У, л) имеет экспоненциальныЙ харак--
тер убывания. Точнее log g (х, а, , у, л) const (х, а)
(функция определялась в разделе 2.5).
В дополнение к доказанным выше фаRтам мы добавим
u ""
еще несколько своиств плотностеи устоичивых законов,
доказанных в работе [45].
5. Если а < 1, то для любых положительныХ лl, Л 2
rрафики плотностей g(x, (Х, , у, л) и g (х, (х, 1, о, л 2 )
пересекаются только один раз на полоуоси их cocpeДOTO
чения х > О.
6. Для любоrо О < а -< 2 и любых положитеJlЬНЫХ
А]) А, rрафики плотностей g (х, а, О, О, Л1) и й (х, (Х, О, о, Л2)
13 g' (О, 1, 13) 13 g' (О, 1, 13)
0,05 o ,004 0,55 0,022
0,10 o ,007 0,60 o ,022
0,15 o , 011 0,65 0,021
О,20 0,O14 0,70 o , 021
0,25 0,O16 0,75 0,020
0,30 0,018 0,80 o, 019
0,35 o , 020 0,85 0,018
0,40 o ,021 0,90 0,017
0,45 0,021 0,95 o, 016
0,50 o ,022 1,00 0,O15
При 1\1 е ч а н и е. ОmиБRа в приведенных зна че-
ниях ФУНRЦИИ g' (О, 1, 13) не превыmает по абсо
лютной величине 0,0005. Вычисления Проводились
на основе следующеrо представления этой функ
ции:
1
1 ('
g'(O, 1, 13)== 213 2 J u(и 1)ехр ( и) dчУ,
1
rде
и == (1 + ф) exp { (ЧУ + !.) tg Ф }
2 1t 2 13 2 .
cos 2" ф .
(см. теоремы 4.1 и 6.1). Так, в случае О < а < 1 кож-
но утверждать, что
(+r (1 а) cos a) 1/a < т (а, 1) <
< ( + r (2 а) cos а ) 1/a ,
т (а, 1) < т (а, ) < т (а, 1),
причем неравенства являются строrими, если I 1=1= 1.
Если же 1 < cfw < 2, то
т(a,i»L((+ar(1+a)Sin ; ау/а),
rде
L (х) === х +
+ ( r (1 а) cos а ) 1 [5 :2 a: и :d Xl a ] .
О х
.011, \.
174
2.7. ОДНОВЕРШИННОСТЬ устойчивых ЗАНОНОВ
175
rл. 2. свойсtrВА устойчивых ЗАКОНОВ
пересекаются только в двух точках (естественно СИМ"
метрично расположенных относительно ТОЧRИ х == О).
в
в упомянутой работе [45] сделано еще одно интересное
для нас наблюдение, опирающееся на следующий доказан
ВЫЙ там же факт.
0,4
8
rz=O,25
0,3
а =0,7.5
0,2
'" jJ=O
0,25
0,1 {},5
2 '.:>' ",
; , !
О
6 ...+ ....2 о 2 4 б Х
J ..
О 4
0,06 o, 02 О О, 08 :с
0,8 «==1
&;2
0,6
о
а= О. 5
,
0,4
;8=0
", : 0,2
1],1
,} \'
IJ
( ' ) 2 1 О 1 2 х
х
Рис. 2. rрафики плотностей gA (х, а, ), соответствующие значениям
а == 0,25 и а == 0,5.
2
1
1
2
Рис. з. rрафики плотностей gA (х, а, ), соответствующие значениям
: \ . а == 0,75 и а == 1.
Приводимые на РИС. 2 4 "rрафИRИ ПЛотностей устой
чивыx заRОllОБ иллюстрируют перечцсленные свойства.
Пусть Х положительная случайная величипа, подчи
неU1lая некоторо.му абсолютно neпpepbtBHOoМY распреде",е...
нию.
176
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ 3АНОНОВ
2.8. УСТОйЧИВЫЕ ЗАКОНЫ КАК РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 177
Тоада э виваJl,е1i"t1iЫ следУЮ'Иiuе утверждения:
а. Распреде.ление случайной величины log Х oдHoвep
шинно.
б. Существует по крайней м.,ере одна версия плотности
р (х) случайной вел ич UHbL Х (версия от версии отличается
не более че-м на -множестве нулевой м.,еры Лебеzа), такая,
0,4
(t= 1,25
: . 2.8. Устойчивые распределения БаБ решения
;:и интеrральных, интеr]IO-дифференциальных
и дифферен цизльных уравнений
Во введении ПрИБодилась каноничесная форма записи
характеристической функции g (t, a, ) (справедливая
:как для формы (А), ТаК и для формы (В)), которую мы He
сколько преобразуем:
g (t) === g (t, а, ) == ехр { (e itx 1 it sin х) ан (х) } ==
х*о
== ехр { (e iLX 1 it sin .х) R (.х) d: } , (2.8.1)
X O
3
0,2
0,1
Ч 3 2 I
о
1
2
3
" :с
rде R (х) === xH' (х), х =1= O, функция, неубывающая
на полуосях х < О их> О. Наиболее простой вид она
имеет, если параметризация берется в форме (А):
о
0,4
0,3
0,2
0,1
О
(х = 1,5
fJ == 0,5
0,75
f
( r(1+a)Sin( a)(1+ )x a,
R(x)=== 1 n
n r (1 + a)sin (2"" а) (1 ) I х I a,
х>О,
х<о.
(2.8.2)
4 3 2 1 О
1
2
3
4- ох
Функция R (х), соответствующая форме (В), получает
ся заменой в (2.8.2) параметра (3 == A ето выра нением
через а и В. Обозначим далее через
0,4
0,5
0,2
0,1
О
а,= 1,75
jJ '== 0,5
0,75
t
х
Si (х) === Si t dt
о
4 3 2 1
о
1
2
3
4
ох
функцию интеrральноrо синуса.
Peope a .8.1. Для любой из двух фОрht пapa-мeтpи8a
ции (А) и (В) ФУН1f,ции распределения G (х, а, ) и TMoтHO
сти g (х, a, ) удовлетворяют следующи-м уравнения-м:
xG' (х, а, ) ==
=== . (G' (х, а, ) Si (у) G(x у, a, ) + G (х, а, » ащу),
у=/=О
(2.8.3)
Рис. 4. rрафики плотностей gA (х, а, ), соответствующие значениям
а == 1, 25, а == 1,5 и а == 1,75.
что при любо-м с > О zрафики плотностей ср (сх) и р (х)
пересекаются ровно в одной точке на полуоси х > О.
Из этоrо критерия и свойства 5 очевидно следует, ЧТО
н случае О < а < 1 плотность
ехр (х) g (ехр (х), а, 1), oo < х < 00,
СJIУЧ3ЙНОЙ величины log У (а, 1, О, 1) является OДHOBep
шинной.
xg(x,a, )===
== (g (х, а, )
JI O
sln у
у
g (х у, a, )) R (у) dy.
(2.8.4)
178 rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ 3АНQПОВ
2.8. УСТОЙЧИВЫЕ 3АНОНЫ НАН РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 179
д о к а з а т е л ь с т в о. Преобразуем (2.8.1), ин
теrрируя по частям интеrрал в эКспоненте и принимая во
внимание, что
Внутренний интеrрал представляет собой линейную KOM
бинацию интеrралов, Каждый из которых является не чем
иным, как формулой обращения для плотности или ее
производной, т. е.
(xg (х, а, ))' ===
== (g (х у, а, Р) g (х, а, р) + g' (х, а, ) 8i (у)) dR (у).
(2.8.7)
Проинтеrрировав обе части равенства по х от oo до х
и используя тот факт, что xg (х, а, ) О, если х ---+- 00,
мы получим равенство (2.8.3). Интеrрирование по частям
в (2.8.3) приводит нас к (2.8.4).
3 а м е ч а н и е 1. Хотя теорема 2.8.1 связана с yc
тойчивыми распределениями, нормализованными условия
ми У == О и л == 1, утверждение теоремы леrко распростра
няется на общий случай. Действительно, так как соrласно
(2.1.2) G (х, а, , у, л) == G ((х l) л l/а, а, , О, 1), rде ве..
личина l простыми формулами связана с , у, Л, то ypaB
нения для G (х, а, , у, л) и g (х, а, , у, л) мы получим
из (2.8.3), (2.8.4), произведя замену х на (х l) л l/а.
3 а м е ч а н и е 2. Обратим внимание на то, что по
ходу доказательства было получено интеrро дифференци
альное уравнение для плотностей устОО:чивых заRОНОВ (2.8.7).
Интеrральные и интеrро дифференциальные ypaBHe
ния для устойчивых распределений MorYT различаться
(иноrда очень сильно) по форме, хотя все они, в конечном
счете, эквивалентны. Наиболее близким к уравнению
(2.8.7), почерпнутому вместе с (2.8.3) и (2.8.4) из [45], яв
ляется, по видимому, интеrро дифференциальное ypaBHe
ние (для плотностей с а =1= 1), полученное в работе [67].
С одним интеrро дифференциальным уравнением,
сильно отлиЧающимся от приведенных в теореме 2.8.1,
мы познакомимся ниже. Особым ero достоинством яв
ляется то, что из нето можно довольно просто извлекать
дифференциальные уравнения для плотностей в случае
рациональных а =1= 1. Для фОРМУJIИРОВКИ этоrо ypaBHe
ния нам потребуется, следуя [66], ввести понятие дробноrо
интеrрирования и дифференцирования.
Дробным интеrралом порядка r > О функции h (t),
заданной на полуоси t > О, называется функция
и
I (e i / v 1 it sin v) d: 1===0 (и 2 ) при и ----7 О,
О
I (e i /" 1 it sin v) d: 1===0 (log и) при и ----7 00,
l lvl и
В результате
В (t) === ехр { lt (e i " 1) :v it 8i (у) ] dR (у)} . (2.8.5)
J/jLO о
Дифференцируя по t =1= О обе части (2.8.5), находим, что
в' .(t) == + в (t) (e it !/ 1 it 8! (у)) dR (у).
Отсюда, после замены переменното t == s/x, х =1= О, имеем
:х й ( : ) == + в (+) (e i811 / X 1 Si (у)) dR (у).
(2.8.6)
Преобразуем формулу обращения
g (х, а, ) == 2 e ilXB (t) dt, х =1= О,
производя замену переменноrо tx == s:
( А sign х (' .
xg х, а, 1'1) === 2л J e lSg (sjx) ds.
Дифференцируем обе части этоrо равенства по х, и, под
d
ставляя вместо 'tiX g (sjx) ее выражение (2.8.6), получаем:
( ( А ) ' sign х \ . ( ds \ ( . / 1
xg х, а, t' == 2п J e 'lSg sjx) 7 J e'lSY Х ........
8i (у)) dR (у).
110сле изменения порядка интеrрирования и обратной за
мены переменноrо s == tx приходим к равенству
(.Tg (х, а, ))' ==
=== 2 1 п dR (у) (e ity 1 it Si (у)) e Hx!) (t) dt.
00
[rh (х) == i(:; (t x)r l h (t) dt
7'111"""':-
180
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ ЗАКОНОВ
2.8. УСТОйЧИВЫЕ 3АНОНЫ НАН РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 181
(разумеется, h (t) ДОЛiнна быть такой, чтобы интеrрал
в правои части равенства существовал). Если r целое
число, то оператор [Т С точностью до знака совпадает с опе
ратором r KpaTHoro интеrрирования, т. е.
Пусть s вещественное число и п минимальное
целое число, тапое, что n + s> О. Тоеда для любоео r < s
1 r s ( . ) s (s + 1) . · . (s + n 1) r (s r) X r s .
Х exp лr r{s+n)
00
[rh {х) == [Hh (t) dt.
х
(2.8.10)
При этом под [О понимается единичный оператор
([Oh (х) === h (х)).
Оператор I r дробноrо дифференцирования ПОрЯДRа
r> О понимается как обратный R оператору [Т, Т. е.
[Т ([ T h (х)) == h (х).
в частности, если s > О, то для любоао r < s
l' (8 r)
[r X s == ехр (inr) r (s) xr s. (2.8.11)
Д о R а з а т е л ь с т В о. Случай r == О, очевидно,
в разборе не нуждается. Если r > О и Re z > О, то
00
Если r целое число, ТО [ r == ( :х ) r. В случае H
целоrо r > О оператору [ r, НаН и оператору [r, мо,нно
придать интеrральную форму. Именно, если О < r < 1,
то
[r ехр ( zx) == ехр ( iл:r) \. е п (t х)Н dt ==
r (r) J
х
00
ех р ( . iлr)
e zx e zttr""l dt.
r (r)
о
. 00
е 'l1tr ('
I rh (х) === r ( r) J [h (t) h (х)] (t .r)....r 1 dt.
х
Отсюда, кан нетрудно видеть, следует (2.8.8).
Если ......... 1 < r < О и Re z :> о, то с помощью интеrри..
рования по частям получаем
Если же r:> 1, то
I T h (х) == [ n (I (r n) h (х)),
00
ех р ( i:rt r ) t
[r ехр (...... zx) == (e ! ......... e ZX) (t x)r l dt ===
r (r)
х
rде п целая часть числа r. Определенное таRИМ образом
множество операторов {[Т, 00 < r < оо} образует HOM
мутативную rруппу 2.2 .
иС ПОМОIЦЬЮ oneraTopo [r можно записать ряд ypaBHe
нии для ПЛотностен устоичивых распределений из Rласса
. В рассматриваемых далее фУНRЦИЯХ 'ф (х) :::::::
=== xg (х, а, 8), х > О, пЛотности g (х, а, 8) имеют пара
метризацию В форме (С), однано отмечаться индеRСОМ С
это не будет.
Отметим неСRОЛЬRО специальных свойств операторов
[r, ноторые нам В дальнейшем понадобятся.
/Iем'м'а2.8.1. Пустьz омпле с1tоечисло. Если r > О,
Re z > О или же r < О, Re z :> о, то
['1' ехр ( zx) == ехр ( iлr zx) z r. (2.8.8)
В частности, для r > О и z === it, t > О,
[ r ехр (itx) === ехр (iлrj2 + itx) t r .
00
ехр ( iлr) \ zt (t ) r dt
r (1 + r) z J е х.
х
(2.8. )
Дальнейшее преобразование интеrрала проводится тем
же путем, что в предыдущем случае.
Если r целое отрицательное число, то оператор [r
является оператором r RpaTHoro дифференцирования, и
проверRа (2.8.8) труда не составляет.
Если же r число отрицательное и нецелое, то выбрав
целое положительное число n, таное, что 1 < r + п <
< О, мы можем разложить оператор [r === [I,+п[ n, В pe
зультате чеrо
d n
[,. ехр ( ...... zx) === [r+n ехр (...... zx) ==
ах
== ехр (inп) zn [r+n ехр ( zx),
т. е. мы ПрИХОДИ 1 R случаю уже разобранному.
182
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ ЗАRОНОВ
2.8. УСТОйЧИВЫЕ ЗАRОНЫ НАН РЕШЕНИЯ УРАВНЕffilй 183
Проверка (2.8.10) осуществляется аналоrичными pac
суждениями.
Teope a .8.2. Пустьх> Ои а =1= 1, 8 а ая либо
пара дony тиMЫX 31lаче1lUй пара.метров. Тоеда д.ltЯ .ltюбоео
r > 1/а фун цuя 'Ф (х) === xg (х, а, 8) яв.ляется вещест
ве1l1l0Й частью фун циu Х ( ), == x (X, удовлетворяющей
урав1lе1lию 2.25
xI ar (x lx (x a)) ===
=== ехр ( inr + i а (1 е) r) s" I "X ( ). (2.8.12)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию
Сравнение (2.8.14) и (2.8.16) подтверждает справедли
вость (2.8.12). Условие ar > 1 обеспечивает существова
ние интеrралов в этих равенствах.
Небольшое изменение в рассуждениях позволяет полу
чить еще одно уравнение типа (2.8.12).
В выражении (2.8.13) функции 'х ( ) произведем интеr
рирование по частям:
i
x(s) === +
n
00
Х (s) === { ехр (it ta ехр (i ; ае)) dt. (2.8.13)
о
НеСJIожное преобразование интеrрала в (2.2.1а) пока..
зывает, что 'Ф (х) === Re Х (s). Пока/нем, что функция Х ( )
удовлетворяет (2.8.12). 11спользуя (2.8.8), находим, что
00
+ сх; eXP(i (ae 1)) ta lexp(it staexp(i ' ae)dt.
о
(2.8.17
ОС)
1 rX ( ) === + ехр (it) I " ехр ( st a ехр (i ае)) dt ===
о
Обозначим 't ( ) == lx ( ). Функции '(, Х И 'Ф связаны
между собой следующими соотношениями:
't (g) == хах (:r a ) === x 1 + a f.1 (х),
t-t (х) === llaX ( ) == l+lla't ( ),
(2.8.18)
Далее, поскольку
II (х) == х-- 1 х (x ) ==
(2.8.14)
а дифференциальные операторы по переменным х и свя
заны равенствами
а 1 а а а
. ti[ === а х 1 + а ах ' "liX === a 1+1Ia . (2.8.19)
Реорем'а 2.8.8. Для любоео r > 1 и любой пapb
допустимых 31lаче1lий параметров а =1= 1, е фУ1l ЦUЯ
x 1 + a g (х, а, 8) является вещественной частью фУ1l ции 't (s),
удовлетnворяющей урав1lе1lию
r+lI r't ( ) + r (1 + r) ехр (iл (1 + r)) ===
11:
=== а ехр ((iл:r i а (r + 1) (1 е)) Il a(r+1) (з;--{1+а)'t (x a)).
(2.8.20)
00
=== ехр (inr + i aer) t ar ехр (it ta ехр (i ае)) dt.
о
00
=== ехр (itx taexp(i ; ае)) dt"
о
то, блаrодаря свойству (2.8.9),
. (2.8.15)
00 ' . - . / . "t J
xI a""" (х) === ехр ( t a ехр (i (8)) I a,. ехр (itx) dt ===
о .
',:,
ос
=== ехр (i ; ar) t ar ехр (itx ta ехр (i ; ае)) dtx ==
о
д о к а з а т е л ь с т В о. Соrласно (2.8.17),
00 "
:=:s"eXP(i ; ar} tarexp(it t exP(i ; ae))dt.
о
't ( ) "'1 ==
111:
(2,8,16)
00
=== i: ехр (i ае) ta l ехр ( it Staexp (i ае)) dt.
о
\ '
\ '. ,
184
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ 3АНОНОВ
2.8. УстойЧИВЫЕ 3АНОНЫ НАН РЕШЕНИЯ УРАВНЕIШЙ 185
Отсюда, используя свойства (2.8.8), (2.8.11) операторов ]1',
находим, что
00
х ta(r+1H ехр (их t a ехр (i (8)) dt ==
о
=== T+l ехр (i (a(r + 1) 1)) х
уравнению
( 1 + d ) q 1 1 + .Е.
qq х q dX (х q (х)) ===
( n ) р ( d ) p 1 ( ) . l' (1 + q) 1 Р
=== pq ехр i 2 р (1 8) х dx Х + l n pq х ·
(2.8.24)
l оказательство (2.8.24) сводится к преобразованию
уравнения (2.8.20) в случае (Х == p/q, r q 1. Переход
от nepeMeHHoro к переменному х осуществляется посредст
вом соотношений (2.8.18) и (2.8.19). С их помощью ypaBHe
нию (2.8.24) можно придать друrую форму, если записать
ero ДJIЯ функции 't ( ) перейти от IIepeMeHHoro х к пере
менному :
q
qP q ( ;; )q l,; ( ) + i ( :) r (q) qP ===
===( 1)p+Qp P exp( i р(1 8)) ( 1+ ;r. YHx
1 + .!L.
х (s р 't ( )). (2.8.25)
Нетрудно заметить, что вариант (2.8.24) будет выrлядеть
проще чем вариант (2.8.25), если q < р, и сложнее, чем
(2.8.25), если q > р. Это хорошо видно, например, в случае
р === 1, коrда (2.8.25) преобразуется в уравнение 2.27
q ( :; )q l,; ( ) +
( n ) t ) · ( 1 ) q r (q + 1) t q О
+ ( 1)qexp iT(1 8) 6t(s+ n ===.
(2.8.26)
Уравнения, приведенные выше, начиная с (2.8.12)
имеют одну общую особенность. Они связаны не с самои
u V
плотностью g (х, а, ), а с неRОТОРОИ комплекснозначнои
функцией, вещественная часть которой выражается чере
плотность. Это означает, что Rаждое из этих уравнении
u u
является, вообще rоворЯ, системои двух уравнении для
двух ункций, ИЗ которых лишь ДHa нас интересует. Ли
нейныи характер обоих уравнении дает нам возможность
выписать уравнение для каждой из этих функций, однаКО
лишь за счет усложнения уравнения. Так, порядок ypaB
нений (2.8.24) и (2.8.25) равен тах (р 1, q 1), в то
время как порядок уравнения для плотности g (х, а, 8) ===
I r (,; ( ) + 1) ==
=== [ T,; ( ) + ехр (inr) r (1 + r) 1+T) ===
Л .
== i ехр (iпr + i а8(1 + r)) х
00
х t a ( Т+1 Н ехр (; t ta ехр (i аfl)) dt. (2.8.21 )
()
с друrой сторон!»}, n соответствии с (2.8.15) и (2.8.9)
Il a(r+l) (х) == Il a.(T+l) (x (l+a)'t (x a)) ==
===e p(iT(a(r+1) 1)) Х
00
х t a (r+1H ехр (и ta ехр (i (8)) dt. (2.8.22)
о
Сравнение (2.8.21) и (2.8.22) дает равенство (2.8.20).
Сдедствие. Пусть r === 1/(Х 1, в этом случае (2.8.20)
упрощается и припимает вид
[Н/а,; Ш + + r (1ja) ехр (inja) 6 1/a ===
===aexp(in(1 a)ja i (1 8)) ,;( ). (2.8.23)
Еще одно следствие мы выделим в самостоятельную
теорему, поскольку оно связано со случаем, Rоrда инте
rро диффереНI иальное уравнение (2.8.20) превращается
в обыкновенное дифференциальное уравнение 2.2Н.
Теоре.жа .8.4. Если а == p/q рациоnаЛЬ1l0е число,
отлиЧ1l0е от eдиHиць , то для любой пapь допустимых
31lаче1lий параметров а, 8 плот1l0сть g (х, (Х, 8) является
веществеН1l0Й частью фу 1l1'i-ци и fl. (х), удовлетворяющей
186
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ 3АНОВОВ
2.8. устойЧИВЫЕ 3АНОНЫ НАН РЕШЕНИЯ УРАВНЕIШЙ 187
=== Re f1 (х) в общем случае будет 2 шах (р 1, q 1).
Иноrда, впрочем, усло,кнения не происходит, блаrо
даря тому, что СОМНО}I\ители при операторах оказывают
ся вещественными.
Мы подробнее рассмотрим это явление на примере
уравнения (2.8.20) и ero частных случаев (2.8.24) и (2.8.25).
Сомножителем в (2.8.20), о котором идет речь, является
число exp(i:rtr i cx(r+1)(1 e»). Для Toro, чтобы оно
было вещественным, необходимо и достаточно, чтобы число
2r а (r + 1) (1 8) было четным, т. е. равнялось числу
2k, rде k целое. Имеем 2r а (r + 1) (1 8) == 2k.
Отсюда
закОНОВ, не существует, образуется числами вида 1/(п + .1)
и (2п + 1)/(п + 1), п == 1,2, . · .,
Если ПОрЯДОR уравнений не превышает двух, то вид
самих уравнений позволяет надеяться, что они MorYT быть
u u
решены, по Rраинеи мере, с помощью тех или иных спе
циальных ФУНRЦИЙ. Рассмотрим эти случаи.
1. Если а === 1/2 и 8 любое допустимое, то из
(2.8.26) получаем, что
,;' ( ) + ехр (i:rtp) '!: ( ) + + 2 == О.
8 === 1 2 (k r)
а (r + 1)
Выявление чисел 8, удовлетворяющих условию (2.8.27),
сопряжено с требованием принадлежности 8 области дo
пустимых значений, т. е. I 8 I -< 8 а . Нетрудно подсчитать,
что оно ЭRвивалентно условиям
r < k < r + а (r + 1), если О < а < 1,
(а 1) (r + 1) + r < k < 2r + 1, если 1 < а <: 2.
Для уравнений (2.8.24) и (2.8.25), в которых а === p/q=/=:
=1= 1 и r === q 1, представление (2.8.27) равносильно (по
СRОЛЬRУ r целое) соотношению
8 === 8(k) === 1
р
С учетом Toro, что 't (00) === О, это уравнение реmается без
труда:
(2.8.27)
00
. ( 2 \ \ ( t2 ) dt
,; ( ) == , ехр т е iЩJ ) J ехр т е iЩJ t2'
Следовательно,
х З / 2 g (х, 1/2, 8) === Re 't ( ) ===
00
1 ( \1 dt )
== л 1т z ехр (z2/4) J ехр ( t 2 /4) t2 ' (2.8.29)
z
(2.8.28)
rде z===:r1/2 ехр (i р).
в частности, если 8 === О (т. е. р == 1/2, что COOTBeTCT
вует симметричному распределению), то (2.8.29) после
надлежащих преобразований принимает вид
с условиями на целое число k:
О -< k <: р, если р < q,
р q < k < q, если р > q.
Для каждой пары а === p/q, 8(k), удовлетворяющей усло
вию (2.8.28), уравнения (2.8.24) (2.8.26) распадаются На
па ы несвяза ных между собой уравнений для веществен
нои и мнимои части соответствующей функции. При этом
наиболее интересное уравнение для вещественной части
всеrда оказывается однородным..
Нетрудно u за етить, что для каждоrо а === p/q =1= 1 име
ется по краинеи мере два значения 8, удовлетворяющих
условию (2.8.28). Это 8 === 8а и 8 == 8 а . Множество тех
а === p/q =1= 1, для которых иных случаев расщепления
дифференциальных уравнений, кроме случаев :крайних
g (х, 1/2, О) '==
2X; [cos 4 1 х ( с (+)) +
+ sin ix (+ s (+))1 ' (2.8.30)
rде
и
1 С cos t
С (и) === -Y2"ii J -Yt dt,
о
и
1 sin t
S (и) === -y -y dt
2л t
о
специальные функции, носящие название интеrралов
Френеля 2.28.
2. Если а === 1/3, 8 == 1 (случай расщепления ypaBHe
ния (2.8.26)), то для у (6) === Re 't ( ) мы получаем ypaBHe
188
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ ЗАКОНОВ
вие
у" ( ) + y ( ) == О.
Решением этоrо уравнения является (с точностью до
постоянноrо МНО}I ителя) так называемый интеrрал Эйри,
выражающийся, в свою очередь, через функцию MaKДO
нальда порядка 1/3:
00
у щ == 3с COS ([3 + t ) dt == С1! fKI/3 ( 3 ;3 3/2) ·
о
"Установить значение с нам nOMO}f\eT раЗЛО}I еНИf\ (2.4.8)
функции х 4 / з g (х, 1/3, 1) по степеням S === х... 1 / з . Посколь
ку, с одной стороны (см. [22], 8.432 (5))
}/fК 1 / з l ' 2 s3/2\ -уз r(1j3) при s .> О,
3 -уз ) 2
а с друrой, при S о
у (s) == x 4/3 g (х, 1/3, 1) 3 -У;1 r (1/3),
то с == 1/3л. Следовательно,
x 3/2
g (х, 1/3, 1) == 3п К1/ З ( 3 ;3 X 1/2) ·
(2.8.31 )
Имеются еще четыре случая, коrда плотность g (х, сх, 8)
удается выразить посредством специальных функций.
3. Если сх === 2/3, 8 == 1, то из (2.8.25) следует, что
у ( ) === Re 't(s) удовлетворяет уравнению
у" (s) + + S2y" (s) + 1 y ( ) == О.
4. Если а === 2/3, е == О, то для у ( ) === Re 't ( ) имеем
у" ( ) + 2y' (s) 190 sy ( ) == О.
5. Если а === 3/2, 8 === 83/2 === 1/3, то, как следует из
(2.8.26), функция у (х) == Re fl(X) является решением ypaB
нения
" ( ) /1 2' 10
У х + т х у (х) + 9 ху (х) === о.
,
1
j
2.8. УСТОйЧИВЫЕ 3АНОНЫ НАН РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИй 18U
6. Если а ==: 3/2, 8 === 1/3, то для у (х) === Re fl (х)
мы имеем уравнение
4 10
у" (.х) т х2у' (х) т .1:У (х) === о.
IIаПОМJlИМ, что в двух последних случаях значение
8 === 1/3 соответствует значению р === 1 в формах (А) и
(В), а е === 1/3 значению == 1 в тех }не формах.
Все эти уравнения связаны с одним типом специальных
функций, так называемыми функциями Уиттекера W h ., т (х).
Мы оrраничимся разбором лишь одноrо случая а == 2/3,
е === о. Остальные случаи разбираются аналоrично.
Известно (см., например, [441, 2.273 (5)), что реlпением
уравнения в выбранном нами случае ЯВJIяется функция
вида
у ( ) == C l ехр ( ;7 з) W 1/2, 1/6 ( 3).
Найти значение постоянной С поможет, как и при разборе
предыдущеrо случая, сравнение аси:мптотичесноrо пове
дения у (s) при G == х 2/з 00, полученноrо двумя раз
личными путями. С одной стороны (см. [22], 9.227)
у (s) с 3 ::! (1+3/2) == С 3 ::! х1+2/3.
С друrой стороны, на основании (2.2.11),
3
У ( ) == X 1 + 2 / 3 g (.1',2/3, о) X 1 + 2 / 3 g (0,2/3, О) === х 1 + 2 / 3 .
4 -V л
Откуда следует, что С === 1/(2 V 3л ), т. е. для любых Х> О
g(:r, 2/3, о) === g ( х, 2/3, о) ==
== 2 t ехр ( ;7 x 2) W 1/2,1/6 ( x 2). (2.8.32)
В остальных случаях тем }I\е путем мы получим следую
щие выражения плотностей на полуоси х > О 2.29;
g (х, 2/3,1) == .; ехр ( x 2) W 1 / 2 ,1/6 ( 2 x 2), (2.8.33)
g(x, 3/2,1/3) == .;; ехр ( ;7 х 3 ) Wl/2.1/6( х 3 ),
( 2.8.34)
g (.т, 3/2 1/3) === 2 ; ехр ( :7 х 3 ) W 1/2, 1/6 ( 2 х 3 ) ·
(2.8.35)
190
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ ЗАНОНОВ
Соrласно .закону двойственности (2.3.3), рассматрива
мые ПЛОТНОСти на положительной полуоси должны БыIьь
связаны равенствами
xg (х, 3/2, 1/3) === X 3/2 g (X 3/2, 2/3, 1),
xg (х, 3/2, 1/3) === X 3/2 g (X 3/2, 2/3, О).
1'1 это действительно наблюдается в приведенных формулах
(поэтому, в частности, мы можем получить (2.8.35) как
следствие (2.8.32), а (2.8.33) нак следствие (2.8.34)).
Интеrральное представление фун:кции W I/2, 1/н (z)
В плоскости z с разрезом RДОЛЬ отрицательной полуоси
(СМ. [22], 9.221)
со
1/2 \8
W 1/2.1/6 (z) == r Z (716) e zl2 J e ttl16 (1 + + ) 5/6 dt
О
показывает, что это мноrозначная функция с алrебраи
чеСRИМИ ТОЧRами ветвления третьеrо ПОрЯДRа z === О и
z === 00. Следовательно, фУНRЦИЯ W I/2' l/н (Z3) является aHa
литической функцией во всей компле:ксной плоскости,
и мы вправе rоворить о ее значениях W 1/2, l/r. ( z3) на отри
цательной полуоси, хотя для их выражения приведенная
формула неприrодна. Это соображение, вместе со следст
вием свойства (2.1.3)
g (х, 3/2, 1/3) == g ( x, 3/2, 1/3),
приводит к новым выражениям плотностей g (х, 3/2, 1/3)
и g (х, 2/3, 1):
x l ( 2 ) ( 4 )
g (х, 3/2, 1/3) === 2Узп ехр 27 х3 W 1/2.1/6 27 х 3 ,
g(x,2j3,1)== 2 exp( [2)W 1/2.1/6( 2 x 2).
Сравнение этих выраrкений с (2.8.34) и (2.8.33) показы
u
вает, что в комплекснои плоскости справедливо равенство
W 1/2, 1/0 ( z3) === 2W I/2, 1/, (Z3).
Ibl завершим изложение материала настоящеrо разде--
ла еще одной теоремой.
Рассмотрим функцию
{ xg (х, а, ), если а =1= 1, х> О,
Sa (G, 1']) === g (х, а, ), если а == 1, Р > О,
r'
2.8. УСТОЙЧИВЫЕ 3АНОНЫ НАН РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 191
rде переменные , 11 связаны с х, В соотношениями
если a=тf=1,
I log х,
=== х
T log ,
I N 2 K (а)/а,
YI'
n/(2 ),
если а===1,
если a=f=1,
если а==1.
ПОЛОЖИ I Z === + i11 и определим фун:кцию чr a,(z) сле..
дующим образом:
если О < а < 1, то
со
, 'Р'а (z) == ехр ( t t a ехр ( i а + az )) dt,
о
если 1 < а -< 2, то
00
'у а (z) == ехр (ite % z t a ) dt,
о
если а === 1, то
rx:>
ty 1 (z) === ехр ( ( + z) t t log t) dt.
о
Возвращаясь к представлениям (2.2.8) (2.2.10) плотно
стей g (х, а, ), мы видим, что
Sa ( , 11) === Re'l' а (z). (2.8.36)
То, что функция Ч' а (z) при всех а является целой aHa
литичеСRОЙ очевидно.
Тем самым мы приходим к следующему утверждению.
Teope a 2.8.5. Для аждО20 допустиМО20 зпачепия а
фун ция Sa ( , 11) является решением первой paeвoй задачи
уравнения Лапласа I1S a ==:= О (J области, совпадающей с пo
лосой
л n
00 < < ос, т 8а -< 11 -< Т 8а
в случае а =1= 1 и с пО/lуплос остью 00 < < 00,
fl :> п/2 в случае а === 1. При этом раевь жи условияж,"
192
rл. 2. СВОйСТВА УСТОйЧИВЫХ ЗАКОНОВ
будут для а =1= 1
Sa ( + 00, 11) == О,
8а ( , + в а ) === e ;g (e s, а, + sign (1 а))
и для а == 1
S] ( + 00, ч) == 81 ( , ос) == о, ,S\ ( , ) == g ( , 1, 1).
3 а м е ч а н и е. Появление здесь области изменения
переменных , 11 связано, понятно, с теми оrраничениями,
RОТОрЫМ подчинен параметр р. Если же фУНRЦИЮ Sa ( , 11)
определять непосредственно как вещественную часть
функции чr а (z), то она будет rармонической в RаЛl\ДОЙ точке
ПЛОСRОСТИ (s, 11).
2.9. У стойчивые законы как функции параметров
Из четырех параметров а, , у, л, опредеЛЯIОЩИХ pac
пределения Rласса б, два последних иrрают роль пара
метров сдвиrа и изменения масштаба. 11з свойства (2.1.1)
видно, что
G === G (х, а, В, у, л) == G ((х l) л llа, а, р, О, 1),
I'де величина l однозначно определяется значениями Пара
метров. Поэтому при фИRсированных а и распределение
G допускает представление в виде суперпозиции CTaHдapT
Horo распределения G (х, a, ) и линейной функции
(х l) л llа. со сравнительно простой зависимостью l от
параметров. Тем самым, изучение свойств распределения
G k..-аI{ функции у и л сводится, по сути дела, к изучеНИIО
своиств G (х, a, ) нак функции х при финсированны1x
а и и как фУНI\ЦИИ Х, а, в обп ем случае.
Из теоремы 2.8.5 следует, что плотности g (х, а, ) ЯВ
ляются целыми функциями модифицированных перемен
ных , 11, которые выступают RaK равноправные перемен
ные в том смысле, что они являются вещественной и мни
мой частью единоrо перемеННОI'О z в равенстве (2.8.36).
А ализ функции чr а (z) показывает, что ее ПОрЯДОR Каl\
целои функции бесконечен при любом а. Это указывает на
то, что Sa ( , 11) как целая функция 6 или 11 таRже Иl\Iеет
бесконечный порядок.
11нтеrральные выражения функции '1' а (z) позволяют без
uольших усилий получить ее раЗЛОil,епие в ряд по степе
2.9. устойЧИВЫЕ ЗАRОНЫ НАН :I>УНRЦИИ ПАРАМЕТРОВ 193
I
I
няы z, откуда ул\е совсем просто нахоДИТСЯ разложение
в двойной ряд по степеням S и 'У), после чеrо отделение Be
щественной части двойноrо ряда даст аналоrичное разл,о
тение в двойной ряд фУНRЦИИ Sa. (s, 'У)). Мы не будем, oд
наКО, приводить здесь эти довольно rРОМОЗДRие формулы,
которые нетрудно получить, следуя сделаННЫМ выше YKa
заниЯМ.
По параметру а распределения семейства <5, незави
сим о от выбора системы параметризации, непрерывны
в интервалах (0,1) и (1,2). Распределения G (х, а, ), COOT
ветствующие системам параметризации (М) (для Bcero ce
мейства ), (С) и (Е) (для ero части ), ОRазываются
непрерывными по совокупности всеХ переменных в обла
сти их изменения. Дополнительноrо внимания здесь за
служивает вопрос о поведении устойчивых распределени
при приближении а к нулю и о поведении распределении
См (х, a, ) в окрестности а === 1. Последний в связ
С желанием иметь хорошие аППРОRсимации распределении
G M (х, а, ) в терминах G M (х, 1, ).
Рассмотрим случайные величиНЫ У (а, 8) и Z (а, р) o
значениями О < а < 1 *) и обозначим через Ив случаи
ную величиНУ, принимающуЮ значения ::1::1 соответственно
с вероятностями (1 + 8)/2 и не зависящую от показатель
но распределенной случайной величины Е со среднИМ зна
чением единица.
Теорежа .9.1. ДЛЯ любой последовательnости пар дo
nустижъz,x аnачеnий а < 1, р' == (1 + 8')/2, таких, что
, 1+0 '.;
а --+ О, р --+ р === 2 '
уа (а, в') == I у (а, в') la sign У (а, в') ..! Ив/Е, (2.9.1)
za (а, р') 1/Е. (2.9.2)
д о К а з а т е л ь с т в о. Элементы :аР Rтеристиче
CKoro преобразования распределения случаИIlОИ велиЧИНЫ
уа. (а, 8') имеют вид
n
cos т (k as8') r (1 s)
w/i (ш, а, в') == n ' k === О, 1.
cos Т (k as) r (1 as)
*) Опрсделение У (а, 8) и Z (а, р) СМ. В I'Л. 3.
7 В. М. Золотарев
194 rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ ЗАRОНОВ
rlри а ---+ О, 8' ---+ О и фиксированном 1 < 8 < 1
но, что очев ..
2.9. УСТОЙЧИВЫЕ 3АНОНЫ НАН :I>'УН1\ЦИИ ПАРАМЕТРОВ 195
Ш О (а8, а, е') ---+ r (1 8) === ШО (8),
Шl (а8, а, е') ---+ er (1 8) === Шl (8). (2.9.3)
Покажем что па р а W
, О, Шl соответствует характеристиче..
скому преобразованию случайной величины U / Е Д u
вительно е · еист..
,
ЛИМ величины с )и Dn, связав их равенствами
00 00 m
ех р ( a(k)sn ) с(к)
L.J n L.J m тп!'
n==1 т==О
00 )Q m
ехр ( ]! bns п ) === 21 D m ! ·
n== 1 т==-О
00
Е 1 и е/Е 18 ==о Е (E J)8 ==о x 'e X dx ==о шо (s),
О
Е , U е/Е 'В sign (и е/Е) === Е (E rl)S sign U е ===
== (Е sign U е) (Е (Е 1)З) == 8и'о (8) == Wl (8).
Следовательно, (2.9.3) эквивалентно (2 9 1) С
( 2 9 2) · · . оотноmение
.. доказывается аналоrично 2.30.
Функции распределения случайной величины уа (а е)
ее среЗRИ Za (а, р) и предельных к ним при а О сл у ай
ных величин U / Е 1/ Е
щим образом: е, выrлядят Соответственно следую
Ра (х) == G (, х \1/а sigп х, а, е), х Е Rl,
л 1
Ра (х) ==о р [G (х 1 / а , а, р) (1 р)], х> О,
РО (х) ==о + (1 е + (signx + е) ехр ( 1/1 х 1», х Е Яl,
ро (х) == ехр ( 1Iх), х > О.
Соотношения (2.9.1), (2.9.2) можно уточнить, построив
асимптотические разложения функций F а (х) и Р: (х) в ряды
по степеням а ----+- О. ДЛЯ этоrо нам понадобится ввести
не с о ль к новых обозначений. по:rожим a O) ==о aiJ) ==о
u 1 С, rде С ПОСТоянная Эилера и для значе..
нии п > 2, k === О, 1 '
(к) 2 n (2 n 1)1 k I В f ( '"' n
а п == n ,j" ) (1 е п (п)
nr (п + 1) 2 ......) ...... п
Ь 2 n, В n r n n 1'< (
n nr (п + 1) л (1 р ) '" пп)
тде ВN числа Бернулли и (п) значение в точке п
функции Римана. С ПО1\10IЦЬЮ величин а (к) И Ь пр
n n О eдe
Понятно, что величины D m формируются величинами Ь n
по тому же правилу, что и c; ) величинами a A). В обоих
случаях реализацией этоrо правила являются таК назы
ваемые полиномы Белла СП (иl, . . ., и n ) (их явное Bыpa
тение приводится в разделе 3.6). Именно,
С (к) С (1 (к) (к» )
n === n ! аl , . . ., п! а п ,
D n === Сп (1! Ь 1, · · ., п! Ь n) ·
Определим полиномы р n (х), п === О, 1, 2, . . ., рекур"
рентным соотношением
,
Ро (х) == 1, Рn+l (х) === ХРn (х) + ХР п (х), п > О.
11етРУДНО подсчитать, что производящая функция этих
полиномов равна
00 n
Р n (х) === ехр (х (e Z 1)).
n.
n-==о
Следовательно, Р n (х) при желании можно интерпрети
ровать кан момент порядка п nyaccoHoBcKoro распределе
ния с marOM 1 и средним значением х > о.
Теорежа 2.9.2. Пусть 1 < 8 -< 1 их Е Rl фикси
роваииые числа. ТОйда при а О имеют место следующие
асимптотические рааложе1iия 2.31:
для любоzо веществе1i1iОZО х =1= О
Fa(x) Fo(x) +
00 n
+ + (C ) + ec ) signx) Р п ( 1/1 х 1) ехр ( 1/1 х Р :! '
n l
(2.9.4)
для любоzо х > О
00 n
Pa(x) Ро(х) + DnPn( 1/x)exp( 1/х) :, ·
n==1
(2.9.5)
,*
i96
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЬtx ЗАitоitоn
д о к а з а т л ь с т в о. Преобразуем фу
Wk (ш, а, 8), используя введенные величины aV:>:
_ п
cos 2 (k aes)
Wk (а8, а, 8) ==
l' (1 s)
l' (1 as)
п
cos 2 (k as)
00
ехр ( a ) (sa)n) r (1 s) ===
n==1
00 n
=== e k C k) (аД r (1 в), k === О, 1. (2.9.6)
n==о
При этом в случае 8 === О припимается 80 == 1; по поводу
преобразования (2.9.6) см. раздел 3.6. Складывая Ш О с Шl
И вычитая Шl из Шо, мы получим, что для 1 < 8 < 1
00 00
2 х В aF а (х) === (C ) + ec ») : snr (1 s),
о n===о
(2.9.7)
о 00
2 ( x)8aFa(x)=== (c ) ec ») ; sпr(1 s).
oo n==о
Сходимость рядов является следствием аналитичности
в Kpyre I s 1< 1 тех функций в записи Wk (as, а, 8), KOTO
рые стоят сомножителями при r (1 s). Далее имеем
snr(1 s)=== ,
00 00
вn х В а ехр ( 1jx) ( 1)n х В а (х :х )n ехр ( 1jx).
о о
Поскольку
( 1)n(x..;;T exp( 1jx)
=== (и :и )n е и lи l/X === р n ( 1/х) ехр ( 1jx),
то
00
s'lr (1 s) ;х8а [Р n ( 1/х) ехр ( 1/х)].
о
2.9. устойЧИВЫЕ ЗАRОНЫ КАК ФУIIRЦИИ ПАРАМЕТРОВ 197
СовеРПIенно аналоrично получаем
.. о
; snr (1 s) ( x)8 а [Рn (1/х) ехр (1/х)).
oo
Вместе с (2.9.7) эти равенства после обращения преобразо
ванО Меллина приводят к формальному равенству
(2.9.4). Полученное формальное соотношение имеет CTpO
rий смысл асимnтотическоrо разложения. Обоснование
этоrо факта осуществляется стандартным методом, исполь
зуемым в таких случаях. Примером может служить ДOKa
зательство следующей теоремы 2.9.3, в которой решается
апалоrичная задача. Следует лишь принять во внимание
то обстоятельство, что положив s === it, t Е Rl, мы можем
трактовать преобразование Меллина как характеристиче
скую функцию. Обратное преобразование Фурье отд ль
ных слаrаемых существует блаrодаря известному своист
ву функции r:
I r (1 it) I v 2 л; 1 t 11/2 ехр ( I t 1) при I t I 00.
Доказательство соотношения (2.9.5) проводится анало
rичными рассуждениями, отправной точкой которых слу
,кит равенство (см. (2.6.20) и (3.0.2))
sin лрсх.s r (1 s)
М (as, а, р) == р sin nas r (1 cx.s)
00 n
===exp(Lbn(as)n)r(1 s) пn :, snr(1 в).
n 1 n o
'\ )?
'f' '
Асимптотическое поведение распределения G M (х, а, )
вблизи точки а === 1, rде оно, как указывалось в пункте
В.3 введения, непрерывно, будет изучаться на основе co
ответствующей ему характеристической функции BM(t, а, ).
Рассмотрим разность
(t) === log Вм (t, а, ) log Вм (t, 1, ) ===
I t I (\ t I'H 1) + it (1 t ItH 1) tg а + iф ; log I t 1.
.-
J>
[:
"
Обозначим для краткости в === а 1 и разложим по..
следнее выражение в ряд по степеням в. Имеем
(t) ==
=== ltl(exp(elogltl) 1)+it]ogltl ( ; ectg е)
19s
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ ЗАНОНОВ
2.9. УСТОЙЧИВЫЕ ЗАRОНЫ НАН ФУНКЦИИ ПАРАМЕТРОВ 199
it (ехр (8 Iog I t /) 1 8 Iog I t 1) ctg Т 8 ===
00
== (1 t 1 Iog r t I + it Iog2 I t 1) 8 + . . . === h n 8 n .
n==1
rде
00
SM (t, а, ) === SM и, 1, ) ехр ( .L, h n 8n) ==
n 1
б == i:n e itxSM (t, 1, ) (e 1 ) dt.
Оценим 1 б 1, считая, что 1 g 1 < 1/2, для чеrо сначала
оценим 1 & (t) 1:
I & I < шах (1 t 1, , t '3/2) Ilog 1 t 11 g + 1 t I Ilog 1 t 1182 +
+ тах (1 t 1, 1 t \3/2) log2 1 t 1 8 <
< 3 1 t 1 (1 + 1 t 1 + log2 , t \) Е.
ТаК КаК 19М (t, 1, ) 1 === ехр ( \ t 1), Re & == It\a+ , t 1,
то
19М (t, 1, ) (e 1 &) , <
-< ехр ( 1 t 1) тах (1, ехр Re &) 1 & 12/2 <
< шах (ехр ( 1 t 1), ехр ( , t ,а)) 1 & 12/2.
Следовательно,
=== SM (t, 1, ) (1 h 1 8 (2h 2 hi) 2 ...) .
Формальное обращение этоrо равенства приведет К ра8ЛО
жению плотности gM (х, a, ) в асимптотический ряд по
степеням g о:
gM (х, а, ) /"000;' gM (x 1, ) Н 1 (х, ) е ... (2.9.8)
Хотя функции Н 1 , Н 2 , ... MorYT быть выражены в терми
нах распределения G M (х, 1, В) и ero кратных ПрОИ8ВОД
ных (в том числе и смешанных) по переменным x, , эти
выражения оказываются настолько rрОМО8ДКИМИ, что мы
оrраничимся вычислением только Первоrо члена асимптоти
чеСRоrо ряда (2.9.8)2.32, т. е. функции Н 1 (х, ), COOTBeT
ствующей
h 1 === 1 t 1 Iog I t 1 + it log21 t 1.
Следовательно, 1 б 1 ::=: () (е2). Далее, нетрудно подсчитать,
что
& (t) === h 1 (t) е + 11 [(1 + t 2 ) (1 + log4 1 t 1)] е2,
rде 1 11 , < const.
Отсюда и из (2.9.10) с учетом оценки б находим, что
Еа === ;:n e itxSM (t, 1, ) h 1 (t) dt + о (82) ===
=== Н 1 (х, ) g + о (е2).
Теорежа 2.9.3. Пусть х Е Rl и 1 -< <: 1 пe o
тopь e числа. ТОсда при а ---+ 1 справедливо следующее co
отношение:
(gM (х, a, ) gM (х, 1" )) (1 a) l Н 1 (x, ) ===
п д п д
==T д 2 GM(x,1, )+ 2дFGM(X,1, )
gM(x,1, ) ( ; X+ )igM(X,1, ). (2.9.9)
Нам остается вычислить интеrрал Н 1 (х, ). В соответст-
вии со свойством (2.1.2), для любоrо л > о
" S;I == g I (t, 1, ) == e itx dG M (+ + log Л, 1, ) .
Отсюда получаем, что
Еа == gM (х, а, Р) gM (х, 1, ) ==
== 2 e itX(SM (t, a, ) gM (t, 1, )) dt ==
== 2 e itxSM (t, 1, ) (t) dt + б, (2.9.10)
1 gЛ \1 [ , Х 2 ) 1
it М == J е НХ G M ( Т - n Iog Л, 1, D (х) ах,
(2.9.11)
rде D (х) == + (1 + sign x ).
ОБО8начим для краткости
, '11 === log S 1\1 (t, 1, ) == I t I + it + Iog I t 1.
. (
д о R а з а т е л ь с т в о. По формуле обращения для
Плотностей
200
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ ЗАRОНОВ
2.10. УсТОйЧИВЫЕ 3АНОНЫ НАН СПЕЦФУННЦИИ
201
Дифференцируя обе части (2.9.11) по л и полаrая затем.
А == 1, приходим К равенству
exp( 'i')=== eitX(x+{ )gM(X,1, )dx. (2.9.12)
Продифференцируем теперь обе части (2.9.12) по . Имеем
2 2
n log I t I e-- w n log I t I 'l'e-- w ==
=== е НХ ( ; gM + (х + : )i-gм)dх. (2.9.13)
С друrой стороны, положив л :::: 1 в (2.9.11) и продифферен..
цировав обе части по , мы получим, что
: log I t I С'Ф === e itx : G M (х, 1, ) dx. (2.9.14)
После повторноrо дифференцирования по равенства
(2.9.14) имеем
4 . \. д 2
л;2 zt log21 t I е 'Ф == J e,tx д 2 G M (х, 1, ) dx. (2.9.15)
Равенства (2. 9.13) (2.9.15) позволяют представить в виде
преобразования Фурье функцию
gM (t, 1, ) h 1 (t) ==: log r t I 'Фе 1j) it log21 t I e 1j).
ОТl\уда и получается выражение (2.9.9) функции Н 1 (х, Р).
[1) или [27]) такие формулы СВЯ8И. Если V (s) ..... v (х), то,
например,
00
V cv s )..... 2 п ;r3/2 ехр ( :; ) v (и) dи; (2.10.1)
о
для любоrо числа с > О
v (cs + 1fs)
х/с
1 (1 п (х cп) 3/2 ехр ( и2 ) v (и) du. (2.10.2)
2 -v л J 4 (х си)
()
ФУНКI ИИ g (х, а, 1) со значениями О < (х < 1 дают
возможность обобщить соотношения (2.10.1) и (2.10.2).
Teope a 2.10.1. Если V (s) v (х), то для .яюбоао
О < CL < 1 и любоао с > О сnраведЛU8ьt следующuе соотnо"
ше1tuя 2.83:
00
V (sa) ..... и l/ag (xи l/a, а, 1) v (и) dи,
о
(2.10.3)
х/с
V (cs + sa)........ u l/ag (и l/a (х си), а, 1) v (и) dи. (2.10.4)
о
в частности, при fZ === 1/3
2.10. Плотности устойчивых распределений
как Масс специальных фунвций
х)
V(s1/3)........ x; 2 и3/2К1/3 ( 3 3 и3/2X 1/2) v (u)du, (2.10.5)
о
.
.V (cs + s1/3)
Мноrие факты указывают на то, что функции g (х, а, )
по боrатству аналитических свойств достойны выделения
"
их в самостоятельныи класс и признания за ними«права
rражданства» в теории специальных функций. Некоторые
из этих фактов приводятся ниже.
Функции g (х, С%, 1) с О < С% < 1 оказываются полез
ными в теории преобразований Лапласа и связанном с нею
операционном исчислении. Пусть
'I!',..",,,, I
.:,'е"
х
;л; (
о
и
x cи
) 3/2 К ( 2 (
1/3 3 У :1
иЗ
x cи
) 1/9 )
v(u)du,
(2.10.6)
аде К1/ а функция Макдональда nорядпа 1/3.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Соrласно (2.6.10) и (2.1.2)
для любоrо х > О
00
v (8) === ехр ( sx) v (х) dx, Re8:> О,
о
00
ехр ( xsa) === e Sи;rl/ag (x 1/aи, а, 1) dи. (2.10.7)
о
Используя это равенство в интеrральной заПИси V (ва),
мы после изменения порядка иНТеrрирования получаем
(2.10.3).
обозначает преобразование Лапласа функции v (х) (KopOT
1\0: V (s) v (х)). Хорошо известны (см., например,
202
:rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ ЗАКОНОВ
2.10. УСТОЙЧИВЫЕ ЗАКОНЫ КАК СПЕЦФУНКЦИИ
203
Далее, с помощью Toro же равенства (2.10.7) находим,.
что
Teope a 2.10.2. Для любоео О < а < 1 и любое о
пОJtnлекспоео s
00
v (cs + sa) === ехр ( csy say) v (у) dy ===
О
(Х)
аЕа ( s) === ехр ( sx) x H/ag (.т-- 1 / а , а, 1) dx. (2.10.8)
О
00 00
=== exp( s(cy+и))y 1Iag(y 1/au,a,1)dydи.
О О
После замены nepeMeHHoro и === х ....... су получается интеr..
рал вида
Если 1/2 -< а < 1, то 2.34
00
аЕа ( s) ===5 ехр ( sx) g (х, 1/а, 1) dx. (2.10.9)
О
00
ехр ( S.1') и (х) dx,
о
rде функция и (х) совпадает с правой частью (2.10.4).
Соотношения (2.10.6), (2.10.7) получаются из (2.10.3)
и (2.10.4) после подстановки вместо g (и, 1/3, 1) ее Bыpa
жения (2.8.31).
В разделе 2.8 мы видели, что функции g (х, а, 8) яв
ляются решениями различноrо типа интеrральных, ин
теrро дифференциальных, а в случае рациональных а =F 1
также и специальных типов обыкновенных дифференци
альных уравнений. И хотя функция g (х, а, 8) представля
u u
ет только одно из решении, детальныи анализ ее аналити
ческих продолжений (как это мол,но видеть на примере
анализа уравнений Бесселя и "Уиттекера), ВОЗМОiННО, при
u u
ведет к выявлению друrих линеино независимых решении.
И здесь в первую очередь, по видимому, стоит обратить
внимание на уравнения, реmениями которых являются
плотности g (х, p/q, 1), р < q.
Хорошей иллюстрацией является случай р == 1, q ==
=== п + 1 > 2, связаннЫЙ с уравнением (см.(2.8.26))
n
у(П)( ) === (;: )1 y Щ, > О,
решением KOToporo является функция
у Ш === (n+2)g ( (n+1), n 1 ' 1) .
Интересна связь плотностей крайних устойчивых зако"
нов с функцией Миттаr Леффлера 1.5
д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть s::> О. Как известно
[5], функция Еа. ( s) в этом случае имеет представление
1 dz
Е а ( .......... S ) == 2. ех р (z 1/ а.) + '
Лlа z s
L
(2.10.10)
rде контур интеrрирования L состоит из следующих трех
частей (z == х + iy):
L 1 : прямая у == (tg ер) х, rде х меняется от х ===
=== +00 до х == h. При этом h > О и уrол ер подчинен усло
л
вию Т а < ер < Па.
L 2 : дуrа ОКРУiКНОСТИ I z I == h/cos ер, ep < arg z -< ер.
L3: отражение L 1 относительно оси х.
Заменим в (2.10.10) (z + S) l равным ей интеrралом
t'"
<,r
00
exp( (z+8)u)dи.
О
Полученный двойной интеrрал сходится абсолютно, поэто..
му мы вправе менять порядок интеrрирования. Тоrда
"
t
00
Ea( s)=== exp( sи)fa(и)dи,
О
. .
,
rде функцию 'а. (и) мыI преобразуем интеrрИрОВ8вием по
частям:
со n
Ей (х) === l' (n: + 1)
n :::::10
а>О.
1 ('
! (и) == 2лiа J ехр (zl/a ....... zи) dz ===
L
1
! .. 2лi аи
if
ехр (Zl/a. и) ds 1 ia..
L
204
rл. 2. СВОЙСТВА УСТОЙЧИВЫХ ЗАКОНОВ
2.10. УСТОЙЧИВЫЕ ЗАКОНЫ НАН СПЕЦФУНRЦИИ
205:
Сделаем замену переменноrо, полаrая z a/u. Имеем
на М (s, а, '1) функции g (х, а, 1) находим, что
fa. (и) == и H/a. ( 2 i ехр ( a; + и l/a.) d ) .
L.
ос)
Xrr-1Ea. ( х) dx ==
о
Контур L* является образом контура L при сделанной за
мене переменноrо. Интеrрал, стоящий в скобках, является
обратным преобразованием Лапласа функции ехр ( Sa),
О < а < 1, и, следовательно, в соответствии с (2.6.10)
представляет функцию g (u 11a, а, 1).
Равенство (2.10.9) получается из (2.10.8), если исполь
зовать закон двойственности для плотностей (2.3.3) с уче
том Toro, что пара а < 1, е == 1 в форме (С) соответствует
паре а' 1/а, == 1 в форме (В).
Левая часть (2.10.8), (2.10.9) может быть аналитичеСI\И
продолжена с полупрямой s > О на всю комплексную плос
ность, что ВИДНО из определения функции Еа, (х). С друrой
стороны, r-l l/a,g (x l/a" а, 1) убывает с ростом х быстрее
любой ФУНRции ехр ( cx), с > О. Поэтому правая часть
также может быть продолжена на всю комплексную плос
кость, Т. е. равенства (2.10.8), (2.10.9) справедливы для
любых комплексных в.
Еще одна интересная связь между функциями Е(] (х)
и g (х, а, 1) обнаруживается при обобщении следующеrо
равенства, полученноrо в работе [90] для любоrо а > о:
00 00
== и l l/a.g (и l/C1t , 1) dи e xиxP l dx ==
о о
00
\ r (р) r (1 р)
== r (р) J и Pd (1 G (и l/a;, а, 1» == r (1 ар)
о
r .,
Следовательно, преобразование Меллина левой vчасти
(2.10.12) равно r (p)r (1 p)/r (1 ........ аар). В правои час
ти мы имеем M CBepTKY двух функций (см. по этому поводу
rл. 3). Поэтому, если О < а < 1, то преобразование Мел
лина правой части оказывается равным
r (1 (jp)
l' (1 аС) р )
r (р) r (1 р) ......... l' (р) r (1 р)
r (1 (jp) ......... r (1 ар)
00
Еа.а (s) == Еа (sи a.a) g (а, а, 1) dи.
о
Таким образом, преобразования Меллина правой иле..
ВОЙ частей (2.10.12) совпадают. Следовательно, в paCCMaT
риваемом частном случае O < а < 1 верно и само paBeHCT
во (2.10.12). Теперь остается заметить, что Ей (s) пред
ставляет аналитическую'""..:'функцию а в полynлоскости
Re а > о, и потому (2.10.12) мы вправе распространять
не ТОJIько'на всю комплексную плоскость s, HO на всю полу
.
ось а > О.
Есть еще одно соображение, rоворящее в пользу Toro,
чтобы рассматривать плотности g (х, а, ) КаК класс., спе
циальных фУНI\ЦИЙ. В теории специальных функци из..
вестна так называемая функция Эйри (или интеrрал Эири).
Мы уже встречались с этой функцией в конце раздела 2.8.
Она имеет вид
00
Е а / в (х) y Еа (хи а ) ехр ( 2 ) dи. (2.10.11)
о
Теоfрем,а .10.,1. Пусть О < а < 1 и а > О. Тоеда при
любых омnле-пс1tЫХ s
(2.10.12)
j!. А (х) == cos (t S + tx) dt == 2 ехр ( it 3 их) dt
о
, (2.10.13)
д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что
s === x < О и вычислим преобразование Меллина левой
и правой частей (2.10.12).
Пусть О < а < 1 и О < р < 1. Используя представ
ление (2.10.8) и явный вид (3.0.2) преобраЗОВQНIIЯ Мелли
! \
и ИОiнет быть выраil\ена посредсТВом функций R С<;{)!ПlI CJle
дующим образом:
ехр (8Х) А (х) dx == ехр (83)
2.10. УСТОЙЧИВЫЕ 3АНОНЫ НАН СПЕЦФУННЦИИ 207
Соотношение (2.3.3) Ьхватывает лишь часть устойчи
вых законов с а < 1. Равенство (2.10.15) наводит на мысль
воспользоваться друrой ИХ частью для определения «TpaHC
устойчивых» мер (точнее зарядов), предположив, что co
ответствующие им плотности А образуют трехпарам три
ческое множество функций, которые для любых х > О,
л > О, а' === 1/а < 1 и I 8' J <: 1 u и при наличии связи
1 + 8 === а' (1 + 8') обладают своиством
А (х'Л 1 / а , а, 8, 'Л) === x l ag(x a, а', 8'). (2.10.16)
То, что в правой части (2.10.16) стоит целая аналити
ческая функция, позволяет аналитически продолжить
А с полуоси х :::> о на всю ось Х. ИЗ данноrо определения
нетрудно вывести следующее утверждение:
Реоре.па 2.10.4. Определяемь е условием (2.10.16) фуnп
ции А имеют преобразоваnия Фурье а следующеео вида:
lоgа(t,а,8,л)==: Лltlаехр ( i ; a8signt), " о
еде а > 1, 'Л > О и 1 < 8 < 2/ а 1.
Помимо отмеченноrо в (2.10.15) случая а === 3, 8
=== 1/3 есть еще один случай а == 2, 8 == 1/2, коrда
может быть записана с помощью специальных функции
(см. (2.8.30)). u u 2 35
Отметим несколько своиств трансустоичивых мер . .
1. Для любых а > 1 двустороннее преобразование
Лапласа
( A (х, а, 2/а 1)) (8) == ехр (8 и ), Re 8 :> О.
2. Для любых а > 1 и О р == (1 + 8)/2 < 1/а пре
образование Меллина функции А в полосе 1 < Re 8 <
< а имеет вид
(.$tA (х, а, 2р 1)) (8) == : :s r (1 8ja) r (1 8).
3. Нормировка функций А (х, а, 8, 'Л) 1 (х > О) в слу
чае а > 1, 1< 8 < 2/а 1 образует плотности u Be
роятностных распределений. Подчиненные им случаиные
величины Z (а, р) обладают свойствами, подробно опи
санными в rл. 3.
206 rл. 2. СВОйСТВА устойчивых ЗАRОИОВ
при х > О
А (х) == зvJз [1 1/3 ( X :; ) 11/3 ( 2; : ) ] ==
ух ( 2хl/"Х ) .....
== зn Кl/3 3 VЗ /0,
А ( х) == ЗV:З [J 1/3 ( \ ; ) + J 1 / З ( :: ) ] .
Асимптотичес:кое поведение функций J v (х) и К") (х)
хорошо известно (см. [22], 8.451 (1) и 8.452 (6)), что дает
нам возможность проследить lIоведение фун:кции А (х)
при х ---+ 00, х 00. Именно, при х ---+ 00
А ( х ) "'"' (3x) 1/4 ( 2х V х )
.../ ех р "/ ,
2 f n 3 f 3
А ( х) "'"' (зх) 1/4 ( ' 2х Ух n )
У 3п cos зуз . Т ·
Та:ким образом, функция А (х) ПОЛожительна на полуоси
х > О и очень быстро убывает при х ---+ 00. в то же время
на отрицательной полуоси она знакопеременна и убывает
не быстрее степени х.
В равенстве (2.10.3) можно видеть Фор:мулу обращения
для преобразования Фурье функции ехр ( it 3 ). Но тоrда
ехр (itx) А (х) dx == ехр {(Щ3}. (2.10.14)
Из асимптотических выражений А (х) видно, что пре
образование Фурье (2.10.14) допускает аналитическое
ПРОДОЛiнение по t в полynлоскость 1т t -< О. Но это paB
носильно существованию двустороннеrо преобразования
Лапласа
в полynЛоскости Re 8 > О. Эта формула очень наПоминает
равенство (2.6.10) в случае 1 < а -< 2 и наводит на мысль
считать функцию А (х) «трансустойчивым распределени
ем», соответствующим значению а === 3. Подобная интер
претация подкрепляется еще и тем, что на полуоси х > О
функция А (х) оказывается связанной, наподобие заКона
двойственности, с устойчивым распределением g (х, 1/3, 1):
,тА (х) === x 3 g (x 3, 1/3, 1), (2.10.1. )
:: {)..
ii 1
rЛАВА 3
СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЗАКОНОВ КЛАССА
rл. 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОйСТВА 3АНОНОВ НЛАССА iВ 209
справедливое при любых х и любых допустимых значениях
параметров а, 8, Л.
Если а =1= 1, то ЛС == Ав, и поэтому условие Ас == 1
выделяет из подкласс стандартных распределений.
В случае а == 1 выбор Ас === 1 не соответствует CTaHдapT
ВОМУ распределению. Поскольку в случае I 8 I =1= 1
Аналитические свойства законов класса , paCCMaT
ривавmиеся в предыдущей rлаве, базируются на явных
выражениях характеристических функций этих законов.
То, что характеристические функции являются аналитиче
еким аппаратом, специально приспособленным для раБОТ!>1
u
с суммами независимых случаиных величин, нашло свое
отражение в материале rл. 2. Это, например, хорошо видно
по разделу 2.1, rде свойСтва устойчивых законов записы
ваются в терминах сумм независимых случайных величин.
Аналитической основой исследований, проводимых
Ниже, служат преобразования Меллина и характеристиче
ские преобразования вероятностных распределений. Эти
преобразования выполняют те же функции в схеме пере
МНо,нения независимых случайных величин (M cxeMa),
какие имеют в схеме суммирования характеристические
функции. И поэтому большая часть материала настоящей
rлавы, относящеrося к различным соотношениям распре
делений в КЛассе , излаrается в терминах про изведений
независи:мых случайных величин 3.1.
Для cTporo устойчивых законов имеется, как мы видели
в разделе В.5 введения, естественная система параметри
зации форма (С). Напомним, что каiRдое распределение
G Е однозначно идентифицируется тремя парамет
рами (а, 8, А), меняющимися в пределах
О < а < 2, I 8 I < 8а === min (1, 2/а 1), А > О
.. :',;'
( ( n2 2 ) 1/2 )
Gc(x, 1, 8,1) ===G B \х, 1, О, у, Т + 'v ,
; '\
-( случай а === 1, I 8 I === 1 соответствует вырожденному рас--
пределению в точке х === 8), или ,не тройкой параметров
(а, р, А), rде параметр р == (1 + 8)/2 меняется в пределах
1 min (1, 1/а) -< р < min (1, 1/а). (3.0.1)
то мнол\ество распределений G c (х, 1, 8, 1), стандартизо
ванных условием Ас == 1, представляет собой MHoiKecTBo
специальным образом нормированных распределений
Коши, смещение вершин которых не выходит за пределы
интервала ( 1, 1). Случай 18 I == 1 является предельным
для этоrо множества и соответствует вырожденному
в точке 8 распределению G c (х, 1, 8, 1) === D (х 8).
Множество распределений, выделяемых из услови--
ем Ас === 1, обозначим через 1. Характер тех закономер
настей, которые составляют основное содержание этой
rлавы, позволяет без какоrо либо ущерба для общности
рассматривать только распределения из 1. Обозначим
для краткости Gc (х, а, 8) === G c (х, а, 8, 1).
Условимся далее обозначать У (а, 8) случайные Be
личины, подчиненные распределению G c (х, а, 8), не упот
ребляя в их записи подстроЧноrо индекса С. Вместе с си--
стемой параметров (а, 8) будет использоваться и ее He
большая вариация система (а, р), rде р === (1 + 8)/2.
Во избежание недоразумений следует помнить, что буква
8 всеrда обозначает параметр в первой системе, а р па
раметр во второй.
РеЗУJIьтаты раздела 2.6 дают для преобразованияМел
лина (нормированноrо ero значением в точке s == О в пред
положении, что оно положительно) и характеристическоrо
преобразования распределений из 1 следующие Bыpa
жения:
sin nps r (1 в/а)
М (s, а, р) == те (s, а, р)/р == р sin ns r (1 8,)
в распределениях G c (х, а, е, А) параметр л связан
с выбором масштаба на оси х. Это показывает равенство
G c (х, а, 8, А) === G c (хл l,а, а, 8, 1),
(3.0.2)
( WO(S, а, 8) О )
W (s, а, е) === о Шl (s, а, е) ,
21О
rл. 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЗАНОНОВ НЛАССА m
3.1. СРЕ3НИ СЛУЧАйНЫХ ВЕЛИЧИН
211
rде
W k (8, а, 8) == Е I у (а, 8) 1 8 (sign У (а, 8))k ==
п
cos 2 (k es) r (1 s/a) ..
п r (1 s) , k. о, 1.
cos 2 (k s)
(3.0.3)
ство оказывается верным. Обратное заключение, eCTeCT
веннО, справедливо без каких либо оrраничений в отноше
нии распределения Х.
Использование соотношений между случайными вели
чинами (так, как это делалось в 2.1) вместо Toro, чтобы
выписывать соотношение меiКДУ связанными с ними pac
пределениями, в рамках настоящей rлавы имеет еще боль
mий смысл, нежели в 2.1. Дело в том, что далее нам Heoд
нократно придется иметь дело с произведениями Х ==
== х lХ 2 независимых случайных величин, а функция pac
пределения F произведения Х выра}нается через функции
распределения F 1, F 2 СОМНО/I ителей значительно более
rромоздким образом, чем, cKaiHeM, свертка F 1 И F 2. Даже
в наиболее простом случае, коrда распределения Fl' F 2
непрерывны,
в обоих преобразованиях 8 может принимать любые зна..
чения из полосы 1 < Re 8 < а.
Чтобы избежать rромоздких формул, имеет смысл дo
rовориться еще об одном обозначении. Если Х Rакая
либо случайная величина, то для любоrо комплексноrо числа
8 мы условимся, что
Х 8 == 1 х 18 sign Х,
(3.0.4)
считая при этом 08 == О при любых 8. Очевидно, что в том
случае, коrда Хнеотрицательна с вероятностью 1, такое
обобщенное понимание степени совпадает с традиционным.
Степени случайных величин в смысле (3.0.4) обладают,
очевидно, основными свойствами обычной степени
00
F (х) == (1 F 2 (О)) F 1 (х/у) dF 2 (у) +
о
> , ,
X X == (Х 1 Х 2 )8,
о
+ F 2 (О) (1 F 1 (х/у)) dF 1 (у).
I $
(X 8 )r === X 8r ,
(3.0.7)
)O
\ I
однако имеют и существенное отличие, поскольку
ХО == sign Х, ( X)s == xs,
Поскольку в дальнейшем мы будем встречаться только
с этим случаем, желающие перевести соотношения между
u
случаиными величинами на язык соответствующих им
распределений должны использовать равенство (3.0.7).
каново бы ни было 8.
Здесь уместно отметить одну особенность равенств
u d С
меil,ДУ случаиными величинами в смысле «====». ними мы
YiHe встречались в разделе 2.1 и будем постоянно исполь
зовать их в настоящей rлаве. Если мы имеем соотношение
d
Х' + Х === Х" + Х
Х'Х d Х"Х
,
(3.0.'5)
3.1. Понятие срезЮl случайной величины
О n р е Д е л е н и е. Срезкой случайной величины Х
с непрерывной функцией распределения F (х), не сосредо...
u U
точеннои полностью на отрицательнои ПОJIУОСИ, называется
любая положительная случайная величина Х с фуннцией
распределения 3.2
или
то из Hero, вообще rоворя, не следует, что
Х' d Х".
/'. F (х) F (О) Р Х I Х о)
F (х) == 1 }' (О) == ( < х > ,
х>о.
(3.0.6)
Имеются конструкции, позволяющие строить срезки Х
как функции случайной величины Х. Одна из таких KOH
u
струкции хорошо известна:
Однако, в том случае, коrда характеристическая функция
f х (t) =1= О для почти всех t или, соответственно, почти
всюду Wk (t)x =1= О (тан обозначаются элементы характери
стическоrо преобразования W х (t), см. 2.6), то это paBeH
( Р(Х)+С )
А === J1 t (F (Х)) == F l 1 + С '
rде
.Р (О) /'"
С == 1 F (О) ',ею
212
rл. з. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЗАRОИОВ RЛАССА
Но эта конструкция заведомо не единственная. Так, на..
Пример, полаrая
{ х, если х > О,
s (х) == F l (1 F (х)/с), если х < О,
можно УТверждать, что срезкой'Х является случайная Bfr
л ·
личина Х == S (Х), если О < с < 00.
Действительно, пусть х > О. Тоrда
р (8 (Х) < х) === Р (8 (Х) < х, Х > О) +
+ р (8 (Х) < х,Х < О) === р (Х < х, Х >= О) +
+ р (F l (1 F (Х)/с) < х, F (Х) < F (О)) ===
=== р (Х < х 1 Х > О) (1 F (О)) +
+ р (с (1 F (х)) < F (Х) < F (О)).
л
Поскольку р (Х < х I Х > О) === F (х) и F (Х) имеет paB
номерное распределение на (0,1), то
р (8 (Х) < х) ==
== (1 F (О))) (х) + F (О) с (1 ....... F (х)) ===
=== (1 F (О)) F (х) + F (О) F (х) === F (х).
Выделим несколько полезных СВОЙСТВ срезок.
1. Если а положительная постоянная, то
"
(аХ) == аХ.
d лd..... d
2. Если Х 1 === Х 2 , ТО;Х 1 === Х 2 , ( Xl) == (.......Х 2 ), И на..
оборот (последнее равенство не: рассматривается в слу
чае Р (Х 1 > О) == 1).
3. Пусть Fl' F 2 какие--либо непрерывные функции
распределения, не сосредоточенные целиком на отрица
тельной полуоси, C k == Fk (0)/(1 Fh. (О)), И пусть f.t(F 1 , F 2 )
обозначает одно из трех хорошо известных расстояНИЙ
метрику Леви, равномерную метрику или расстояние пол
ной вариации. Тоrда
f.t (Р 1 , Р 2 ) (1 + С 1 ) f.t (F 1 , F 2 ) + I С 2 С 1 1. (3.1.1)
Отсюда, в частности, следует, что если Fo, F 1 , F2'.'.
последовательность таких функций распределений, то
сходимость fJ. (F n, F о) о при п > <х> вдечет за собой
сходимость f.t (рu, /10) О,
:,'
.,
3.t. СРЕЗI\И СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
213
4. Если случайная величина Х имеет непрерывное
1\вазисимметричное распределение, т. е. для х > О F (-----х) ==
.... d
::=с(1 F(x)), rде О<с<оо, то Х=== 'Х 1.
5. Среди множества срезок независимых случайных
" л
величин Х 1, Х 2 имеются срезки Х 1, Х 2' являющиеся неза...
4- висимыми случайными величинами (например, Х 1 ===
, == s (Х 1 ) И Х 2 == 8 (Х 2 )).
6. Пусть Х срезка случайной величины Х , имею
щей в некоторой полосе Сl < Re s < С 2 конечное преоб
разование Меллина т (s) == Е ха! (Х >.. О), rде I ин..
дикатор события. Тоrда
П.
\' ,
ffi (s)/9t (О) == Е ха.
(3.1.2)
:' Все свойства, за исключением, быть MOii\eT, свойства 3,
носят элементарный характер и в специальном доказа
тельстве не нуждаются. В свойстве 3 случаи равномерной
u
метрики и расстояния полнои вариации также несложны.
Поэтому мы проведем доказательство неравенства (3.1.1)
лишь для случая, коrда f.t является метрикой Леви. Соrлас
но определению этой метрики, если 8 == f.t (F 1 , F 2 ), то при
Jlюбых х
F 1 (х 8) В < F 2 (х) -< F 1 (х + в) + в,
причем уменьшить в, сохранив справедливость неравенств
при всех х, нельзя. Умножим все части неравенств на
(1 + Сl) и вычтем из них Сl' Принимая во внимание, что
Fk (х) === (1 + C1r) Fk (х) Ck, х> О, имеем
л
F 1 (х ------- 8) (1 + Сl) в -< (1 + С 1 ) F 2 (х) С 1 ==
== Р 2 (х) + (С 2 С 1 ) (1 F 2 (х)) < }\ (х + в) + (1 + Ct) Е.
Полаrая б == (1 + Сl) в + I С 2 Сl 1, мы видим, что при
всех х
Р 1 (х б) б P2 (X) Р 1 (х + б ) + б.
Следовательно, f.t (Fl' F 2 ) < б.
lIaM придется часто встречаться со срезками уСтойчиво
распределенных случайных величин из 1' поэтому мы
примем для них отдельное обозначение, полаrая
Z (а, р) === у (а, 8).
214
rЛ. з. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОйСТВА ЗАRОНОВ НЛАССА
Если а < 1, Р === о или riv === 1, р === 1, то среЗl\а У (а, О)
не определена. В первом случае распределение У (а, 1)
d
сосредоточено на полуоси х < О, а во втором У (1, 1) === 1,
т. е. ее распределение ДИСl\ретно.
Доопределять понятие среЗRИ в этих случаях, eCTeCT
венно, надо таl\, чтобы сохранить свойство непрерывности
распределений срезок по параметрам а, р во всей области
их изменения свойство, 1\0ТОрЫМ обладают распределе
нил случайных величин У (а, О).
Случай а == 1, р === 1 оказыIаетсяя наиболее простым,
ибо, положив Z (1, 1) === 1, мы получим то, R чему стремим..
сл. Именно, что
d
Z (а, р) 1, если а 1, р 1. (3.1.3)
В случае а < 1, Р == о дело обстоит сложнее и оказы--
вается правильным положить Z (а, О) не нулю, как это
напрашивается, а случайной величине
z (а, О) === Z (а, 1) Е/Е,
(3.1.4)
rде Е случайная величина с ПОl\азательным распреде--
лением
р (Е> х) === ехр ( x), х ::> о.
Напомним, что, соrласно постоянному условию, все
раздельно написанные в правой части (3.1.4) случайные
величины считаются независимыми.
Объяснить естественность именно TaKoro доопределе
ния среЗRИ нам поможет характеристическое преобразова--
ние W z (s, а, р) срезки Z (а, р), которое, ввиду Toro, что
Z (а, р) ::> о с вероятностью 1, имеет вид матрицы
W ( ) ( М (s, а, р) о )
z s, а, р == о А! (s, а, р) ,
rде М (s, а, р) преобразование Меллина распределения
Z (а, р).
Если а < 1, то р меняется в пределах от О до 1 и для
р>О
м ( S а ) === EZ8 ( а ) == si лрs . r (1 s/a)
, ,р ,р pSlnrrs r(1 s)
ЕСJIИ а фиксировано и р О, то, очевидно,
лs
i J(s,a,p) . M(s,a, 1)===r(1 s)r(1 +s)M(s,a,1 ) .
SlD лs
(3.1.5)
.2. ТЕОРЕМЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
215
Поскольку r (1 + s) (или r (1 s)) представляет co
бой преобразование Меллина показательноrо распределе
ния, т. е. случайной величины Е (соответственно преобра
зование Iеллина распределения величины 1/Е), то из
(3.1.5) следует (3.1.4). u
Перейде:м теперь к систематичеСRОМУ изучению своиств
распределений случайных величин u у (а, О) и Z (а, р),
определенных в начале настоящеи rлавы.
. 3.2. Случайные величины у (а, 8) и Z (а, р).
' TeopeMI>I эквивалентности
: Мы начнем с простейших соотношений. Для любых
:-в.р допустимых значений (а, О)
У (а, О) d У (а, O). (3.2.1)
I О I == 1, то
d
У (1, О) === 8.
(3.2.2)
Ас ля любых пар допустимых значений (а, (1)' (а, (2)
у (а, 81) d У (а, о;) " (3.2.3)
у (а, 82) === У (а, 81) ·
:: В частности 3.3, для любых 1 -< О < 1
d
Y l (1, О) === У (1, О).
Напомним еще раз (об этом уже rоворилось в разделе
d
В.3 введения), что во всех равенствах «===», связывающих
фуннции от случайных величин в смысле равенства их
распределений, случайные величины, находящиеся n oд
ной части равенства и написанные раздельно (наl\, напри
мер, у (а, 01) и у (а, 02) в (3.2.3)), предполаrаются неза
висимыми.
Все эти соотношения доказываются одним универ
еальным приемом. Вычисляются и сравниваются межд
собой характеристические преобразования распределении
левой и правой частей равенств. Поскольку характерис
тические преобразования, каl\ и характеристичеСl\ие
фуннции, однозначно определяют связанные с ними pac
пределения, то совпадение характеристических преоб
разований означает и совпадение соответствующих им:
распределений.
216
rл. 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОйСТВА 3АНОНОВ I\ЛАССА 19
3.2. ТЕОРЕМЫ ЭI\ВИВАЛЕНТНОСТИ
217
TaR, используя (3.0.3), находим, что
( 1)kWk (s, а, 8) == w k (s, а, ........8), k ;=: О, 1,
откуда и следует справедливость (3.2.1) (заметим, что
(3.2.1) является частным случаем свойства 2.2).
Далее, если I 8 I === 1, то
,,;
cos т (k s8)
Wk (s, 1,8) == == 8 k , k == 0,1,
п
cos т (k в)
что равносильно (3.2.2). В третьем случае
в нуль,
z (а, Pl) Z (а, Р2)
Z (а, pz) === z (а, Pl) ·
Б частности, еСJIИ О < р < 1, то
Z 1 (1, р) d Z (1, р).
(3.2.5)
п
r (1 s/a) cos Т (k + S02) r (1 + в/а)
Х r (1 s) п r (1 + в)
cos т (k + s)
Так нак для значений k == О, 1
k==0,1.
11epBoe и второе равенства являются простым след
ствием свойства 4 срезок. Справедливость (3.2.4) и (3.2.5)
устанавливается вычислением и сравнением преобразо
ваниЙ Меллина их левых и правых частей. Для Toro,
чтобы случайные величины Х 1 == I у (а, 8) I и х 2 ===
== sign У(сх., 8) были независимы, необходимо и достаточно"
чтобы 8 == О или rHe О < а < 1 и 1 8 1 == 1.
В терминах характеристических преобразовний это
свойство равносильно равенству W Х1Х 2 (8) == W Х1 (8) W Х 2 (s),
которое в нашем случае сводится, как леrко проверить,
к требоваНИIО Ш 1 (8, а, 8) == 8 шо (s, сх., 8), откуда и следует
указанное условие.
TeopeJМa 3.2.1. l/ycтb (а 1 , 81), (а 2 , 82) а1'iие либо
пары дoпycти:мь x значений пара:метРО8 и " число, yдoв
летворяющее условию
а2 (1 + 1 81 1)/2 < 'V < (а 1 (1 + I 82 1)/2) 1. (3.2.6)
!t
COS т (k s( 1 )
И)k (.S', а, (1) и'}; ( 8, а, 82) ==
!t
COS 2 (k s)
х
!t
COS 2 (k s8)
п
cos 2 (k s)
п
cos т (k+ ве)
!t
COS 2"" (k + s)
Tozaa
d
У (а 1 , 81) У" (а2' 82) === У «(/.,2/'" (1) У" (a 1 ", 82). (3.2.7)
то после соответствующеrо изменения знаков и переста..
новки сомножителей мы получим, что
Ш}; (s, а, 81) Шк ( s, а, 82) ;:::::::
== W k ( s, сх., 81) W k (s, а, 82), k == О, 1,
т. е. распределения левой и правой частей (3.2.3) совпа
дают. Частный случай получается, если мы положим в
(3.2.3) а ;=: 1, 81 == 1 и воспользуемся (3.2.2).
R числу простейших относятся следующие соотноше
вия:
если О < а < 1, то Z (а, 1) == у (сх, 1);
для любых допустимых значений сх.
d
Z (C't, 1/2) === 1 у (сх., О) 1; (3.2.4)
д о к а з а т е л ь с т в о. Вычислим характериствче
ское преобравование левой части (3.2.7). Испольвуя
(2.6.23) и (3.0.3), имеем (k == О, 1)
Wk (s, сх.l, 81) wk (8 V , С'Х2, 82) ==
n
cos 2 (k в8 1 )
n
cos т (k s)
п
r (1 s/fXt) cos 2"" (k sv8 2 ) r (1 sv/(2)
r (1 s) n r (1 sv)
cos T(k sv)
Аналоrично для правой части
для любых пар допустимых значений (а, Рl)' (а, Р2)'
за исключением случая, коrда одно из Pl, Р2 обращается
Wk (8, CX2/V, 81) Wk (8V, сх.l ", (2) ===
n
cos 2"" (k e 1 s)
n
cos т (k s)
n
r (1 sv/a2) cos 2 (k sv8 2 ) r (1 s/fXt)
r (1 в) n r (1 sv) ·
cos т (k sv)
218
rЛ. 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЗАКОНОВ RЛАССА
То, что оба выражения совпадают, очевидно. Остается
проверить, что параметры правой части (3.2.7) находятся
в области допустимых значений. Мы знаем, что 1 8j 1 <
< min (1, 2/aj 1), поэтому для выполнения нужноrо
для правой части условия 1 81 1 -< min (1, 2 v /а 2 1),
182 1 <: min (1, 2/(а, 'У) 1), необходимо и достаточно,
чтобы 1811 < 2v/a 2 1, r 821 < 2/(a 1 v) 1. Но эти
неравенства эквивалентны неравенствам (3.2.6).
Теорежа 3.2.2. Пусть (а 1 , 81), (а 2 , 82) какие либо
пары дoпycтиMЬ X зпачепий пара.:метров и любое вe
ществеппое число, удовлетворяющее условию
181 I/min (1, 2/а2 1) < I 1 < min (1, 2/а1 1)/182 1.
(3.2.8)
т оеда
d d
У (а 1 , 8]) YJL (а 2 , 82) === У (а 1 , 82 ) Y (а 2 , 81/ ) ===
d
=== У (a1, 82f.1) Y (а2, 81/ )' (3.2.9)
Д о к а з а т е л ь с т в о (3.2.9) в ero первой части
проводится дословно, как и доказательство (3.2. 7). BTO
рая часть является следствием (3.2.1).
Отметим еще одно соотношение, вытекающее из (3.2.9)
и (3.2.7).
С,/tедсmвur. Для любь х пар (а 1 , 81)' (а 2 , 8 2 ) дoпycти
MЬ X зпачепий параметров и любоео числа ::-'> о, удовлетво..
ряющеео перавепствам
1 81 1 /11 < min (1, 2/( а1, 11) 1),
1 82 1 J.1 < min (1, 2 /a2 1), (3.2.10)
имеет место соотпошепие
У (а 1 ,
d
81) YJL (а 2 , 82) ===
d d
=== У (а 2 /11, 82 ) y (a1 ' 81/ ) ===
d
=== У (a2/ ' 8211) Y (al ' 81/11).
(3.2.11)
Срезки Z (а, р) подчинены аналоrичным соотношениям.
Теоре.ма 3.2.3. Длялюбь х пар (а 1 , Р1)' (a2 Р2) дoпycти
MЬ X зпачепий параметров и любоео числа 'У, удовлетворяю
щеео условию
а2 (1 Pl 1/21 + + ) <: " < (c.t11 Р2 1/21 + i ) 1 ,
(3.2.12)
3.2. ТЕОРЕМЫ ЭRВИВАЛЕНТИОСТИ
219
справедливо соотпошепие
d
Z (а 1 , Р1) zv (а 2 , Р2) === Z (a 2 /v, Р1) zv (a 1 v, Р2)' (3.2.13)
I '
д о к а 3 а т е л ь с т в о. Вычислим и сравним преоб
разования Меллина распределений левой и правой частей
(3.2.13). Их совпадение будет эквивалентно утверждению
теоремы, если, конечно, параметры случайных величин
в правой части (3.2.13) лежат в области допустимых зна
чений.
И:меем в соответствии с (3.0.1)
М (s, СХl, Рl) 111 (s'\', (12, Р2) ===
sil1 J1P1S r (1 S/rxl) sin np2'VB r (1 s'\)/ )
Рl sin 1[S r (1 s) Р2 sin п'\)s r (1 ВУ)
М (s, СХ2/'\" Р1) М (s'\', а1 '\', Р2) ==
sin J1PlS r (1 s,\,/rxJ) sin npt'\'s r (1 s/al)
Рl sin J1S r (1 s) Р2 sin 1[,\,S r (1 S'\') ·
Равенство этих преобразований очевидно. Для Toro
чтобы пары (a 1 /v, Р1)' (a 1 v, Р2) находились в области дo
пустимых значений, необходимо и достаточно, соrласно
(3.0.1), чтобы
I .
1 Р1 1/2 1 < min (1, '\'/( 2 ) 1/2,
I Р2 1/2 1 < min (1, 1/(a 1 v» 1/2.
. " .
ВСJIИ принять во внимание, что по условию теоремы
" ";.. "
1 Р2 1/2 I < min (1,1/а 1 ) 1/2,
1 Р2 1/2 1< min (1, 1/( 2 ) 1/2,
то становится понятным, что выписанное нами условие для
v эквивалентно (3.2.12).
Теорежа 3.2.4. Пусть (а 1 , Р1)' (а2, Р2) какие либо
пары допустимых зпачепий параметров и f.t веществе1-t
ное чисдо, подчuпеп1-tое условuю
/ (Ч: I l II [i ::::: и: 1 : (3.2.14)
т оеда
d
Z (а 1 , Р1) z (а 2 , Р2) === Z (а 1 , Р2 I J.1 I ) ZJt (а 2 , Р1! 1 1).
(3.2.15)
220
rл. 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЗАRОНОВ НЛАССА t'9
д о R а з а т е л ь с т в о проводится тем же приемом,
что и доказательство предыдущей теоремы. Отметим одно
следствие соотношений (3.2.14) и (3.2.15).
СдедС1nвие. Для любых пар (а 1 , Рl), (а 2 , Р2) допусти,мых
аnачепий пара,метров илюбосо f.1 > о, удовлетвОрЯЮlце?о
условиям
I Pl/f.1 1/2 I < min (1, 1/(al » 1/2,
I P2f.L 1/2 1<: min (1,f.L/a,2) 1/2, (3.2.16)
справедливо следующее COomпOlueпue:
d
Z (a 1 , Рl) z (а 2 , Р2) === Z (a 2 /f.1, P2f.1) z (a 1 f.1, Pt/f.1). (3.2.17)
3 а м е ч а н и е. Условие (3.2.16) MOrl\HO заменить
явными неравенствами, указывающими интервалы из
менения. Они не приводятся из за своей rромоздкости.
TeopeJlta t1.2.5. Пусть а :> 1, р 1-tепоторая пара
дoпycти.м,ь x 81-tаче1-tий параметРО8. Тоада
d
Z (а, р) === Z l/a (1/а, ар).
(3.2.18)
д о R а з а т е л ь с т в о. Вычислим преобразования
Меллина распределений обеих частей равенства (3.2.18).
:Имеем
м ( S а ) sin л:рs r (1 ........ s/a)
, ,р р sin л:s r (1 s)
М 1 s in л:рs r (1 + s)
( s/a, /а, ар) == ар sin (ns/a) r (1 + s/a) ·
Рассмотрим отношение этих преобразований
d == а sin (л:s/а) r (1 s/a) r (1 + s/a) .
s i n л:s r (1 s) r (1 + s)
Поскольку r (1 s) r (s) == л/sin лs, то
d == sin (лs/7.) sin л:s === 1.
si n лs sin (л:s/а)
Из совпадения преобразований Меллина вытекает совпа
дение соответствующих им распределений, т. е. справед
ливость (3.2.18) . Условие принадлежности па ры зна че--
ний (1/а, ар) к области допустимых значенпй состоит, co
rласно (3.0.1), в выполнении неравенств
1 min (1, а) < ар -< min (1, а),
!
, .
f .:
3.2. TEOP MЫ ЭНВИВАЛЕНТ:НОСТИ
221
ЧТО, очевидно, равносильно условию
1 min (1, 1/а) -< р < min (1, 1/а). '
Но это есть условие принадлежности (а, р) области до-
пустимых значений, если учесть, что а > 1.
3 а м е ч а н и е 1. Соотношение (3.2.18) является не
чем иным, Kal{ соотношением двойственности, составившим
содержание теореl\-IЫ 2.3.1. Так что здесь мы имеем второе
доказательство этой теоремы.
1
3 а м е ч а н и е 2. Выберем в (3.2.18) р == 2" ' что co
ответствует значению 8 == о. С учетом (3.2.4) получим в
случае а > 1
d
I у (а, О) I === Z lla (1/а, а/2). (3.2.19)
Отсюда, положив а === 2, находим для нормально распреде
ленной случайной величины У (2, О) со средним значением
О и дисперсией, равной 2, что
У (1/2, 1) d I у (2, О) ' 2 d + N 2, (3.2.20)
rде N случайная величина со стандартным нормальным
распределением.
Аналоrа равенства (3.2.18) для случайных величин
у (а, 8), по видимому, не существует. Однако можно пред
ложить следующее соотношение.
Теоре.на 3.2.6. Пусть а:> 1, 8 1-tепоторая пара
дoпycтиMЬ X значений параметров и О -< р <: 1 любое
число *). ОБО31-tачим v == (2p) 1. Тоада
d
Z" (1, р/а) I У (а, 8) 1=== Z" (1, р) I у (1/а, (8)1 1/a.
(3.2.21)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Вычисляем преобразования
Меллина обеих частей равенства (3.2.21), памятуя, что
преобразование Меллина распределения величины
I у (а, 8) I совпадает с ш о (s, а, 8). Имеем для левой части
М (s", 1, р/а) Wo (s, а, е) ===
а sin (n"ps/a)
р sin nvs
n
cos 2. 8s r (1 s/(1.,)
л: r (1 s)
cos 2 s
*) в этой теореме р выступает в Rачестве независимоrо парам:ет
ра, не связанноrо с 8 ПРИНЯТЫl\1 соотношением Р == (1 + 8)/2.
222
rл. 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВойСТВА 3АНОНОВ I{ЛАССА
С друrой стороны, для правой части '!
М (sv, 1, р) Wo ( s /а, 1 /а, (8) ===
n
sin nvps cos '2 8s r (1 + s)
psinnsv n r(l+s/a) ·
cos т (s/a)
Используя известные равенства
r (s + 1) === s r (s) и r (s) r (1 s) === л/sin лs
и тот факт, что v === (2p) 1, находим, что отношение вычис-
ленных преобразований Меллина равно соотношению
n JT
sin n"ps/a cos '2 8s cos '2 s/a
sin nvs n n
cos '2 s cos '2 8s
S111 n"s
S i n n"ps
S i n ns
sin ns/a '
которое после подстановки значения v и очевидв х
сокращений принимает вид
n n
sin '2 s/a cos '2 sa sin ns
===1.
n n
cos '2 ssin т s sin ns/a
Поскольку р/а < 1 и а 1 8 1 < а (1/а) === 1, то все слу...
чайные величины в (3.2.21) имеют значения определяю
щих их параметров в области допустимых значений.
Отметим два частных случая доказанной теоремы.
1. Если а > 1, 8 === О и р == 1, то
d d
I у (1/а, О) ' 1/a ==== Z l/a (1/а, 1/2) ===
d d
:== Zl/ 2 (1, 1/ а) 1 у (а, О) I === Zl/l (1, 1/ a)Z (а, 1 /2) . (3. 2 . 22)
2. Если а > 1, 8 === 1/ а и р === 1, то
d d
У (1/а, 1) 1/a === Z l/a (1/а, 1) ===
d
=== Zl/2 (1, 1/ а) 1 у (а, 1 / а) 1. (3. 2 . 23)
Если воспользоваться теперь (3.2.18), то, преобразовав
левую часть (3.2.23), получим
d
Z (а, 1/а) === Zl/2 (1, 1/а) 1 у (а, 1/а) 1. (3.2.24)
Соотношения типа «эквивалентности», рассма тривав...
шиеся выше, конечно, не исчерпываются приведенным
3.3. ТЕОРЕМЫ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ
223
списком. Ero можно продолжать как за счет комбинации
соотношений этоrо и следующеrо разделов, так и за счет
поиска соотношений HOBoro типа. Например, среди
приводившихся соотношений нет таких, которые вклю
чали бы следующие леrко проверяемые равенства.
Пусть а, 8 некоторая пара допустимых значений
параметров. Тоrда
Zl/2 (1, 1 8 1) 1 у (а, 8) 1 d Z (а, 1 8 1) . (3.2.25 )
Если к тому же а < 1, то
У2 (1, 8) Z (а, 1 8 1) d Z2 (1, 1 8 1) у (а, 1). (3.2.26)
1{
3.3. Случайные величины У(а, е) и Z (а, р).
Теоремы умножения и деления
. Название «теоремы умножения и деления», используе...
:Мое в этом разделе, в известной мере условно, и ero ос...
новное назначение провести какую то классификацию
в нашей коллекции соотношений между случайными Be
личинами.
Теорежа 3..1.1. Пусть (а, 8) нек,оторая пара допус...
ти,мых значений пара,метров и О < а' < 1. ТОсда (р ==
=== (1 + 8)/2)
d
У (а, 8) Уl/а (а', 1) === у (аа', 8),
d
Z (а, р) Zl/a (а', 1) === Z (аа', р).
(3.3.1)
(3.3.2)
I Если 1 -< а' -< 2, то для любой пары (а, р), та1>ОЙ, что
аа' < 2, р:> а' 1/а, справедливо соотношение
d
Z (а', 1/а') Zl/a' (а, р) === Z (аа', р/а').
(3.3.3)
с eI едсm8ия.
1. В случае а < 1, а' -< 1
d
У (а, 1) Уl/ а (а', 1):== у (аа', 1).
(3.3.4)
2. Если а > 1, а' :> 1 и аа' -< 2, то
d
Z (а', 1/а') Zl/a' (а, 1/а) === Z (аа', 1/аа'). (3.3.5)
д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим соотношение
(3.3.1). Компоненты характеристическоrо преобразования
224
rл. 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЗАКОНОВ RЛАССА
ero левой части имеют вид
Wk (s, а, 8) Wk (sja, а', 1) ==
n
cos т (k в8) r (1 в/а) r (1 в/аа/)
n r (1 ва) r (1 s /r:t)
cos T(k s)
n
cos "2 (k s8) r (1 s/aa') , е) t
== 10 h- (s, аа, , k === О, .
п r (1 в)
cos т (k в)
..J
'Кроме Toro, учитывая, что (Х' -< 1, имеем
I е 1-< min (1, 2/а 1) -< min (1, 2/аа' 1),
т. е. пара (аа', е) принадлежит области допустимых зна-
чений. СООТНОlпения (3.3.2) и (3.3.3) доказываются ава-
лоrично 3".
Теорем,а , ..1. . Для любь"tх пар доnустижых аnачеnий
(а, е), (1, 8')
d
У (а, е) уе (1, е') == у (а, ее'). (3.3.6)
Если (а, р), (1, р') так.ие пары oonycmUMb"tX аnачеиий,
что рр' > 1 1/а, то
Z (а, р) Zp (1, р') d Z «(Х, рр'). (3.3.7)
с ледсmвuе. Д ля любой пары aonycmUMb"tX зnачений
(а, е) ижеют место следУЮlцие равложеnия:
d е /
у (а, е) == у (а, e ) у (1, О 8 а ),
Z (а, р) d Z (а, Ра) zPa (1, Р/Ра),
еде е а == min (1, 2/а 1) и Ра == min (1,1/а).
В частnости, в случае а -< 1
У (а, е) == у (а, 1) У (1, 8), Z (а, Р) === Z (а, 1) Z (1, р),
(3.3.10)
(3.3.8)
(3.3.9)
т. е. и,м,еет .место рааделеnие аависи.мости от определяю..
lЦих случайnьtе величипы, У (а, 8) u Z (а, р) nара.метров.
Д о к а з а т е л ъ с т в о (3.3.6) (3.3.7) про водится
точно так же, как и доказательство предыдущей теоремы.
Teope,;,ta ;l.3.3. Рассжотрим к.ак.ие либо пары, дonycти
мых значенuй параметров (а 1 , 81)' (а 2 , е 2 ), такие, что
а 1 < 2а..
I
I
3.3. ТЕОРЕМЫ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ
225
Пусть а 2 > 1, положим е == а 2 8 1 , 8' == 82, если I е 1 I <
-< 1/а 2 и 8 == а 2 8 2 , 8' == 81, если I 82 I < 2/а 1 1/а..
Тоеда
Z (1 , 1 / ( 2) у ( СХ 1, 01) ..:!:.... у l/а2 ( а / а 8 ) У ( 1 8' ) У ( 1 )
Y(cxz,8 ) 12, , , CXl, ,
(з.з.11)
Zl/2 (1, 1j ( 2) I у ( СХ 1, 81) I d J у (аl!а2, 8) 1 1 / а2 1 у (1,8') ) . (3.3.12)
у (CXz, 82)
Если СХ 2 < 1, то, положив е == а 2 8 1 , е' == е 2 в случае
I е 1 I < 2/а 1 1/а 2 и 8 == а 2 8 2 , 8' == е 1 , в случае 1 е 2 1 -<
-< 2/а 1 1/а 2 , можно утверждать, что
У l/а 2 (1 "' ) У(а1' 01) у1/а 2 ( а / а 8 ) У ( 1 e ' ) ZI/a2 (1 "' )
, v..2 У ( СХ 2, е:!) 1 2 , ,'..1 ,V\J2 ,
(3.3.13)
I : ', :)) I === I у (аl/ а 2, 8) 1 1 / а , 1 у (1, 8') I z 1/2а, (1, ( 2 ).
(3.3.14)
д о к а з а т е л Ь с т в о. Условия на I 81 I И I 82 I
возникают как обязательные для Toro, чтобы значения
пары параметров (а 1 /а 2 , 8) не выходили за область допус
тимых значений, что равносильно требованию I 8 I -<
< min (1, 2а 2 /а1 1). Справедливость же (3.3.11)
(3.3.14) проверяется уже отработанным нами приемом.
Мы оrраничимся про веркой двух из них (3.3.11) и
(3.3.14). В первом случае вычисляем характеристи lt eKoe
преобразование левой части, учитывая, что для случай..
ной величины Z (1, 1/( 2 ) функции Ш О , Ш 1 характеристиче..
CKoro преобразования совпадают с М (s, а, Р) (k == О, 1):
м (s, 1, 1/(2) Wk (s, аl, 81) Ш к ( s, а2, е 2 ) ==
n
сх!, sin 'Лs/сх cos Т (k в8 1 )
sin ns Х
n
cos т (k s)
п
l' (1 В/ СХ 1) cos Т (k 882) r (1 + в!(2)
Х r (1 s) п r (1 + в)
cos т (k в)
.
8 в. м. Золотарев
226
rл. 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОйСТВА 3АRОНОВ RЛАССА
3.3. ТЕОРЕМЫ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ
227
Правая часть (3.3.11) имеет ха рактеристическое преобра-
зование вида
Wk (S/(Y,,2, аl/(У,,2, 8) W7f (s, 1, 8') UJ k (s, 1, 1/(2) ===
л
cos т (k s8/(2) r (1 s/al) х
r (1 sja:)
л
cos т (k Sj ( 2)
n n
cos т (k 8's) cos Т (k Sjal)
Х л n ·
cos T(k s) cos T(k s)
Дальнейшее преобразование с учетом выбора параметров
приводит нас к выводу, что это отношение равно единице.
Теорежа 3.8.4. Пусть (а 1 , Рl), (а 2 , Р2) акие либо
пapb дOпYCтUМb X параметров, подчиl-lеl-ll-lь е условиям
аl -< 2а 2 , 1/а 2 1/а 1 -< Рl < 1/а 2 или а 1 -< 2а 2 , 1/а 2
1/а 1 -< Р2 < 1/а 1 . Вь бирая р == а 2 Рl, р' == Р2 в пер..
,
вом случае и р == а 2 Р2, Р == Рl во втором, можпо утвер"
ждать, что
Деление первоrо выражения на второе дает после упро..
щающих преобразований и сокращений
n n
sin 'Лsj а 2 cos т (k s8 1 ) cos Т (k s8 2 ) r (Sja2) r (1 s/a2)
n n
sin ns cos т (k S8j ( 2) cos Т (k 8's) r (s) r (1 s)
Поскольку r(s) r(l s) == л/siп лs, то из условия BЫ
бора 8 и 8' вытекает, что последнее выражение равно еди..
нице.
При доказательстве (3.3.14) надо вспомнить, что, имея
дело с положительными случайными величина:ми, достаточ
но вычислять и сравнивать только функции ш о . Для левой
части
z (аl, Рl) d Z l/a 2 ( / ) Z (1 ' )
Z ( ) СХl (;(2, Р ,р ·
a'l" Р2
С ледсmвuл.
1. Для любь х
(3.3.15)
дoпycтиMb X Зl-lачеl-lий паражетров а, а'
У(аа', 1) Z l/a ( ' ) (3 316)
У (а, 1) а , а.. ·
2. Если а > 1, то для люБОе о р -< l/а
z (а, 1/а) Z (1 )
z (а, р) , р ·
(3.3.17)
3. Если а -< 1, то для люБОеО р < 1
z (а, 1) Z l/ а ( 1 )
z (а, р) :.! , ра ·
(3.3.18)
ШО (s, аl, 81) шо ( S, (У,,2, 82) ===
n
cos т 8 1 s
n
cos т s
4. Пусть 1 < 2а -< 2. ТОеда для любых aOпYCmUMb'.tX
пар (а, р)
л;
r (1 Sj a l) cos Т 8 2 s r (1 + sja'})
r (1 s) n r (1 + s)
cos 2 s
z 7 .1 a) d I у (2, О) jl/a Z (1, р)
и для любь х дoпycти.мb X пар (2а, р)
Z(2a,p) I Y ( 2 O )l l/aZ ( 1 )
Z (а, 1 j2a ) , , р ·
(3.3.19)
Для правой части получаем
Wo (s/a2' аl/ а 2, 8) Wo (s, 1, 8') Wo (S/2(;(2' 1, (2) ==
n n л;
cos 28sja2 r (1 Sj a l) cos Т 8's sin 2 s
n r (1 s / (2) n зt
cos 2"" s/a 2 cos 2 s а 2 sin 2"" s/a2
Отношение обоих выражений имеет после преобразо..
ваний и сокращений следующий вид:
n n
cos 2"" 8 1 s cos 2"" 8;.s sin зtsjа 2
, '
л; Jt
cos 2"" 8s/a2 cos 28'S sin лs
( 3.3.20)
r (s/a2) r (1 s/(2)
r (8) r (1 s)
д о к а з а т е л ь с т в о сводится к проверке Toro, что
преобразования еллина распределений левой и правой
части (3.3.15) совпадают.
Приводившиеся выше соотношения между случай...
ными величинами У (а, 8) и Z (а, р) в ряде случаев l\<lorYT
облеrчить и упростить вычисление распределений статис...
тик, образованных случайными величинами, подчинен
ными устойчивым законаl\<I. ы проиллюстрируем это дву'"
мя примерами.
При м е р 1. Рассмотрим независимые случайные ве...
d d d d
личины У 1 === У2 === УЗ == У 4 === У В (а, , у, л), а =F 1, и
8*
228
ТЛ. 3. СПЕJJ;IIАЛЬНЬiЕ СВОйСТВА ЗАКОНОВ КЛАССА m
3.3. ТЕОРЕМЫ УМНОЛ{ЕНИЯ 11 ДЕЛЕНИЯ
229
образуе:м: с их помощью статистику
L=== Yl Y2 .
УЗ У4
(статистики TaKoro рода используются, наприм:ер, в зада...
че восстановления типа распределения). ВЫЧl1СJIИМ рас-
пределение L. Соrласно (2.1.6) и (2.1.1
У У d Y LL d
1 2=== З У4===УВ(СХ, О, О, 2 )
d
=== (2л)1/ау в (сх, О, О, 1) == (2л)1/ а у с (сх, О, 1).
Следова тельно,
и что плотность PL (х) распределения L И lеет следующий
вид 3.5:
('<
1 \' , dy
PL (х) === т J Р 1 (х/у) F о: (у) у ==
о
r (
00
== 2 l ( у + 1 ] 1
О
n
ya 2 Sifi т а
:rt
у2а + 2 у а cos т а + 1
ау.
.....
L d У (а, О) Z (а, 1/2) и
у (а, О) ........ Z (сх, 1/2) ,
тде U случайная величина, принимающая значения 1
и 1 с вероятностью 1/2. Поскольку функция распреде
ления F L (х) величины L симметрична, то она связана с
функцией -распределения p (х) срезки L равенством
(3.3.21)
d d
П Р 11 М е р 2. Пусть 1 < сх < 2 и У О ==== У 1 ==== ·
d u
. . . === у n независимые случаиные величины, распреде--
ленные так же, как У (а, 1, )', л). Обозначим через Z j срез
КУ случайной величины Y j )'Л и рассмотрим статистику
( na Z a ) l/а
()
Z a + . . . + Z a
В соответствии с (2.1.2) распределение Z j не зависит от
"(. С друrой стороны, в силу свойства 1 срезок и самой
структуры статистики Q, ее распределение не зависит от
Л, т. е.
(3.з.24)
FL(x) ==2FL(X) 1, х:>О.
(3.3.22)
оэтому ДJIЯ вычисления F L (х) достаточно вычислить
F L (х). Поскольку
d ( пaZ a (а, 1/а) ) 1/а
Q === Z a (а, l/а) + . . . + Z a (а, l{а) ·
Вычислим распределение Q. ИЗ СООТНОlпения двойствен--
ности (3.2.18) следует, что Z a (сх, 1/сх) У (1/а, 1). Kpo
ме Toro, из (2.1.4) следует, что
d
п a (У (1/а, 1) + . . .+ У (1/а, 1)) === У (1/а, 1).
Таким образом,
t d Z (а, 1/2)
Z (сх, 1/2) ,
то, используя (3.3.5), находим, что
" d
L === Zl/ a (1, cx/2)Z (1, 1/2).
Функции распределения случайных величин Zl/a (1, сх/2) и
Z (1, 1/2), как это видно из комментария к теореме 2.3.1,
равны соответственно
00
F L (х) == Р\ (х/у) dF а. (у)
О
Q d ( у (1/а, 1) ) l/ а
у (l/а, 1) ,
откуда, при:меняя к отношению, стоящему в скобках, пра..
вило (3.3.16), получае}I, что
d
Q === Z (1, 1/сх). (3.3.25)
Распределение правой части (3.3.25) без труда получается
из распределения случайной величины Zl/a (1, сх/2) (см.
(3.2.23)):
F Q (х) === .!!.... arctg ( Х + cos/Ja. ) + 1 а 2 . (3.3.26)
л: Sln n а
[ ( а п ) ]
2 1 х + СО3 т а 1
Ра(Х)===а: nar tg . л T(1 a)
Sln т а
(3.3.23)
и F 1 (х). Отсюда попучаем, что
230
rл. 3. СПЕЦИАЛЫIЫЕ СВОЙСТВА 3АНОНОВ НЛАССА
3.4. Свойства крайних crporo устойчивых распределений
В классе 1' которому было отдано основное внимание
предыдущеrо раздела, имеется подкласс, объединяющий
распределения с параметрами (а, 8а). По сути дела, OCHOB
ную роль среди них иrрают распределения с а < 1, по
скольку 81 == 1 соответствует распределению, вырОJнден
ному в точке х === 1, а распределения с а > 1 (точнее, их
часть, сосредоточенная на полуоси х > О) выражаются
блаrо аря свойству д ойственности через распределения
первои rруппы. Случаиные величины у (а, 1), о < а < 1,
распределения которых образуют эту rруппу (и толь.ко они)
ПО ЛОJl\ительны с вероятностью 1, и поэтому Z (а, 1) ,
у (а, 1). Условимся для величин У (а, 1) использовать
далее со}{ращенное обозначение У (а).
Теорржа 3.4.1. Пусть 01, . . ., 0n пеJti,отОРЬLечисла
подчиненные условию О < 0 j < 1. Т 02да для всех п 2
d
У (а n ) === у (01) У1/Шl (02) Yl/<rlU)2 ((1)з) . у 1 / Ю l, ..., (On 1 (0n),
(3.4.1)
2де а n === (1)102. . . 0n.
3 а :м е ч а н и е. 3а счет перенумерации чисел 0' в
обраТНО 1 поряд}{е соотношению (3.3.23) можно прид ть
просты:м преобразованием вид
У а d
n (а n ) ==== У Ш l (0 1 )YW 1 U)2 (02)' . . ую 1 ... Ю п (ш п ). (:1.4.2)
Д о к а з а т е л ь с Т в о (3.4.1) проводится по инду}{"
ции. При п == 2 соотношение (3.4.1) совпадает с (3.3.4).
Если ово верно для набора из п 1 величин, то с по
мощыo (3.3.4) получим, что
у (сх п ) === У (CXn l Ш п ) d у (CXn l) yl/an l (ш п ).
Подставив теперь вместо величины У (an 1) ее выраJl\е
ние соrласн (3.4.1), мы придем }{ соотношению (3.4.1)
для п случаиных величин.
НеС IОТРЯ на то, что (3.4.1) и (3.4.2) являются простым
следствием (3.3.4), они служа т источни}{ом ряда интерес
ных связеи между распределения:м:и раССl\lатриваемоrо
нами под}{ласса устойчивых законов. Пос}{оль}{у далее
будут встр ечаться бес}{онечные произведения положитель
ных случаиных величин, условимся называть эти произ
ведения сходящимися, если сходятся с вероятностью 1
ряды из лоrаРИфl\IОВ их сомножителей.
"I!'I""'"
\
3.4. НРАйНИЕ CTPoro УСТОйЧИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
231
УдоБНЫl\I для нас необходимым и достаточным условием
сходимости бес}{онечноrо произведения Х 1 Х 2' .. неза
висимых и положительных (с вероятностью 1) случаЙных
величин является условие сходимости произведения
EX EX; . .. при }{аном либо вещественном значении
s =1= О. Этот Фа}{т нетрудно установить если свести воп
рос о сходимости произведения случайных величин к воп
росу о сходимости суммы случайных величин.
Ка}{ и ,раньше условимся через Е обозначать слуqай
ную величину с по}{аза тельным распределениеl\1
р (Е > х) == ехр ( x), х:> О.
Теорежа 3.4. . Пусть 01, 02, . . . неJti,оторая после..
довательность чисел, подчипеппая условию О < 0j -< 1,
и а == 01 (1)2' . . их произведение.
Если а > О, то
d
у (а) === У (01)У1/Шl (02) У1!ЮIЮ2 (OOJ)' ..,
d
уа (а) === УЮl ((1)t)YWIW2 (02)'
&
(3.4.3)
(3.4.4)
'
Если а == О, то
d
УЮl ((1)1) УЮIШ2 ((1)2)' . . === 1/ Е ,
(3.4.5)
8 частности, при любом О < 0 < 1
d
У w (0) у (О2 (0) у (J)3 (0). . . === 1/ Е .
(3.4.6)
д о }{ а з а т е л ь с т в о (3.4.3) и (3.4.4) с во дитс Я К
тому, что :мы в соотношениях (3.4.1) и, соответственно,
(3.4.2) переходим }{ пределу при п =х', оперируя преоб
разоваНИЯl\IИ Меллина обеих частей равенств и приведен
ным выше }{ритерием сходи:мости бесконечных произведе
пий независимых случайных величин.
Обозначи:м для краткости Z (а) == Z (а, 1/а),1 < а <
-< 2. СООТНОIIlение двойственности (3.2.18) у (1/а) ==
== Z a (а), 1 -< а < 2, дает ВОЗl\IОЖНОСТЬ получить для
случайных величин Z (а) соотношения типа (3.4.1)
(3.4.4) JI (3.4.6). Мы приведеl\1 их НИiRе.
EC,,1J1I ({)1' (J)2, . . . конечная или бесконечная последо
вательность таких чисел что (1)j ;;: 1 и а === 01(1)2. . . -< 2,
232
rл. з. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЗАПОRОВ НЛАССА m
3.4. НРАйНИЕ CTPOrO УСТОйЧИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
233
ТО
Za (а) d Z(J), (01) Z(J) ,ш , (02) . . .,
d
Z (а) === Z (ш]) Zl/(J)l (Ш2) Zl/(J)l W 2 (0' ) .
(3.4.7)
вытекает из соотношения двойственности, то l\IЫ придеl\f
к представлению У (1/2 n ) произведением степеней незави
симых НОрl\lально распределенных случайных величин:
у (1/2 n ) d 21 2rtN 2N 22. . . N 2n. (3.4.13)
zWt/2 ( Ш ) ZWl(J).,)2 ( ) d
1 002 ".
d и
У2 Z (01) Zl/(J), (02) Zl/W,(J), (0з) . . . (3.4.1 О)
нос Аналоrично, используя вновь соотношение двойствен
1/2 ти , можно утверждать, что для любоrо разложения
из 01 02 · · ., 0j -< 1, в конечное или бесконечное П р о
ведение справедливы равенства
d и
N y y 1/2 (01) у 1/2Ш1 ( 0 ) y 1/2ЫIЫ2 ( ) d
2 2 0з '..
d U
У2 у ш' (01) Y (J)I(i), (02) . . . (3.4.11)
б Приведем еще три соотношения, в которых интересным
о разом появляются случайные величины N И
видно из (3.3.19), для любых 1/2 -< а < 1 · менно, как
Z (2а)
у (а) су2 N)I/a. (3.4.12)
Далее, если в (3.4.1) выбрать 01 == 02 == . . .== 0n == 1/2
и ВОСПользоваться равенством У ( 1/2 ) d .!.... N 2
2 ' которое
(3.4.8)
Применение соотношения двойственности к
приводит для любото 1 < а 2 К со (3.4.6)
отношению
Z (а) ZI/a (а) Zl/a 2 (а). . . d Е.
Летко видеть, что
d
Z (2) I У (2, О) I и У (2, О) d V 2N d UZ (2),
rде N нормально распределенная (О 1) с ...
личина и и независимая ОТ Z (2) , u лучаиная Be
принимающая значения +1'; 1случаиная величина,
каж Э б с вероятностью 1/2
дое. ти со о раiнения вместе С (3.4.7) и (3 4 8)
ВОЗМОiННОСТЬ для любоrо разложения числа 2 " дают
или бесконечное произведение 2 == (1) 0 в конечное
лучить следующие соотношения: 1 2, · · ., 0j ;:;>- 1 по
N d и
У2
(3.4.9)
И, наконец, третье соотношение мы получим, пролоrа
рифмировав (3.4.9), положив при ЭТОl\1 а == 2:
d
log Е=== log2 + logl NI + 2 11og I N 1 + 2 21ogl NI+...
(3.4.14)
Впрочем, разложение случайной величины log Е в
ряд независимых случайных величин возможно не только
с помощью величин log 1 N 1. Это показывает соотноше
ние (3.4.6), если мы пролоrарифмируем обе ero части.
Именно,
d
log Е === {a log У (а) + а 2 log У (а) +
+ аЗ log У (а) + . . .}, (3.4.15)
каково бы ни было значение О < а < 1.
Как конечные, так и бесконечные разложения случай
ных величин в произведения независимых случайных Be
личин можно очень просто приспособить для вычисления
распределений, так сказать, «произведений отношений».
С этой целью вычислим предварительно распределение
отношения У (а)/У (а). Соrласно (3.3.18), ДЛЯ а < 1
d
У (а)/У (а) == Z1/a (1, а). (3.4.16)
Функция распределения F а (х) случайной величины
Zl/a (1, а/2), О < а < 2, уже появлялась при разборе
приводившетося в предыдущем разделе прим:ера. И мы
можем воспользоваться ее выражением (3.3.23) для вычис
ления функции распределения правой части (3.4.16). Пос..
ле простых преобразований получаеl\l, что для любых
О<а<1
Ra (ха) === р (У (а)/У (а) < х) === Р (Z (1, а) < ха) ===
== 'arctl g( xa +cosJ(a ) +1. (з.4.17)
па J Sln па 2а
d
Мы знаем (см. (2.9.2)), что Уа (а) E 1 при а > о.
Тем самым, распределение Ra (ха) не имеет собственнот()
предельноrо распределения при а О, но зато Ra (х)
234
rл. 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА 3АНОНОВ НЛАССА [g
имеет. Нетрудно подсчитать, что при а О
Ла(х): Ло(х) Р(Е/Е<х) 1 x ' х;;О.
возы\ем:: по два комплекта соотношений (3.4.1) и (3.4.2),
причем такие, что случайные величины, входящие n состав
левых (правых) частей, были БыI взаимно независим:ы
,
И затем поделим одну на друrую соответственные части
.этих соотношений. В результате получим, что
( у (ы]) )( у (ы 1 ) ) 1/(1)1 ( У (Ыl) ) 1/<и1... (l)п 1
}Т(Юl) У(ш 1 ) .'. у (ыl)
d У (а) d
=== n === Zl/a 11 (1 r'I ) (3 4 18)
у (а n) , v..n , · ·
( У (Ыl) ) (1)1 ( У (Ыl) ) (1)1... (l)n .!:..
у (Ыl) · .. у (Wl) Z (1, а n ). (3.4.19)
Аналоrичные соотношения можно записать дЛЯ KO
печных или бесконечных произведений степеней величин
Z ((j)))/Z ((j)j), опираясь при этом на (3.4.7), (3.4.8) и на тот
факт, следующий из (3.3.17), что для а> 1
d
Z (a)/Z (а) === Z (1, 1/а).
Предельный переход в (3.4.18) и (3.4.19), очевидно, возмо
'jI eH при п 00, если а n а > о. Однако, если а n О,
то предельноrо распределения в (3.4.18) не существует,
в то вре:мя как в (3.4.19) оно есть, и мы получаем
( у (Ыl) ) (1)1 ( У (Ыl) ) 001(1)2 .!.....
у (ыl) у (ыl) ... Е ·
Для случайных величин Z (а), 1 < а -< 2, аналоrичное
,утверждение следует из (3.4.9). Именно,
( Z (а) ) ( z (а) ) l/а ( Z (а) ) l/а? d Е
Z (а) Z (а) Z (а) · · · === Е ·
Следующее соотношение стоит несколько особняком.
Обозначим через rv, v > О, случайную величину, имею
щую r распределение с параметром v, т. е. плотность вида
Pv (х) l' v) хН ехр ( x), х;> О.
Теорежа 3.4.1. Для любозо целозо п.> 2 справедливо
еоотношенuе
1/У (1/п) d rllnr2ln. . . r(п l)/пnn.
(3.4.20 )
(3.4.21 )
(3.4.22)
3.4. :КРАЙНИЕ CTPoro УСТОЙЧИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
23
д о R а з а т е л ь с т в о. Преобразование Меллина
распределения величины 1/У(1/п) имеет, соrласно (3.0.2),
вид
M ( 8,1 / п,1 ) === r(1+пs)
r (1 + s) ·
РаЗЛОFI ИМ эту дробь в произведение отношений r функций,
используя так называемую Teope IY умножения для функ
ции r (х), х > о:
1 ) (2n)(п 1)/2
r (х) r (х + )... r (х + п:- п'2nX 1)/2 r (пх).
r.
r(s+п:-1)
r( п 1 )
(3.4.23)
Поскольку отношение r (8 + v)/r (v) является преобразо...
вание f Меллина распределения величины r v, то из cpaB
нения преобразований lеллина, стоящих в левой и пра
вой частях (3.4.23), следует соотношение (3.4.22) 3.6.
На этом заканчивается знакомство с «мультипликатив
ными» свойствами CTporo устойчивых законов. Здесь YMe
стно сказать, rде моrли бы оказаться полезными те :M:Horo
численные и разнообразные связи между распределениями,
ноторые fbl ради компактности записи облекали в форму
соотношений между случайными величинами.
Прежде Bcero, такие связи являются удобным инстру
:м:ентом при вычислении распределений разноrо рода функ
ций от независимых случайных величин У (а, 8) и Z (а, р).
Если дополнить соотношения мультипликативноrо xa
рактера данной rлавы аддитивными соотношениями раз
дела 2.1, то мы получае 1 как бы своеобразную «аЛl'ебру»
в множестве независимых случайных величин специально
ro вида. Это особенно хорошо заметно, если выделить MHO
жество независимых случайных величин, подчиненных
распределениям из 7!В] со значениеl\1 параметра 8 === 8а,
О ..:;: а < 2.
В качестве иллюстрации пока»-\е [, как соотношения
(3.4.13) и (3.4.22) ПОl\10rают получить новые по форме BЫ
ражения плотностей g (х, 1/4,1) и g (х, 1/3, 1) интеrра ТIами
от положительных функций. Соrласно укаЗf!ННhIМ COOT
l' ( s + +) r (s + + )
1" ( + ) l' ( + )
l' (1 + пs) :=:= п 11В
"' r (1 + s)
236 rл. з. СПЕЦИАльНЪtЕ СБОйСllВА 3АНОНОВ RЛАССА m>
3.5. l\f БЕзrРАНИЧНАН ДЕЛИМОСТЬ
237
00
по отношению к которой множество возможных значений
«СУМ I!РУ j.\iЫХ» случайных элементов образует KOMMYTaT B
ну 10, локально ко:м:пактную rруппу. !10 аналоrии u со cxe
l\1 Й суммирования (А схемой) D этои обобщеннои схем:е
можно ввести понятие безrранично делим:ых законов (CJ\I.
[37]). I-IепосредствеННЫl\<1 обобщением A c eMЫ является
схема перемножения независимых сл чаиных величин
(M cxeMa). Если в ней выделить случаи, коrда перемно
жаемые случайные величины ПОЛОJI ительны, то ПОЛУ:lIТ
ея с точностью до изоморфизма, A cxeMa. Аналоr беЗl pa
ни но делимых распределений в M cxeMe MOJI\HO опреде
лить следующим образом (это определение, принятое в
[37], отличается по форме от определения, принятоrо оБ
[71], но выделяет оно тот же самый класс распределении,
который мы условимся обозначать через ). u u
О п р е Д е л е п и е. Распределение F х случаинои Be
личины Х принадлежит к , если существует последова
тельность целых чисел 1 <.; п 1 < п 2 < . . ., такая, что
для каждоrо числа пj случайную величину Х мол но пред
ставить произведением пj независимых и одинаково pac
пределенных случайных величин, т. е.
d d
Х === Х 1 Х 2. . . Х N ., rде X k === Х l.
1
Описание распределений F х Е проводится В терми
пах соответствующих им характеристических преобразо
ваний W х (t). Оказывается, что F х будет М безrранично
делимым распределением тоrда и только тоrда, коrда функ
ции Wk (t)x имеют вид
W о (t ) х ;== а о f 1 (t ) f 2 (t), w 1 (t) х == а 1 f 1 (t) / f 2 (t),
rде fl, f2 характеристические функции некоторых A
безrранично делимых законов, причем
1"2 (t) == €;Xp { (еЧХ 1) dH 2 (t)} ,
ношениям
у (1/4) d У (1/2) У2 (1/2), Y l (1/3) d 27r1/.r./"
откуда
00
g (х, 1/4, 1) == (' g (х/у, 1/2, 1) g (у у, 1/2, 1) (3.4.24)
J 2у у
о
00
[2g (x l, 1/3, 1) === Рl/З (+) Р2/З (у /27) 2 d !l/ . (3.4.25)
[о
Вид плотностей g (х, 1/2, 1) и Pv (х) известен. Первая при..
водилась еще в 2.2 (ее леrко вычислить такл е и с по--
IОЩЬЮ T opeM:Ы 3.4.3, поскольку, соrласно (3.4.22),
Y l (1/2) === 4rl/ ), а вторая общеизвестна. После подста--
новки этих плотностей в (3.4.24), (3.4.25) и упрощающей
замены переменноrо находим:, что для х > О
00
g (х, 1/4, 1) == 2 х ф ехр { }х 1/з(у1 + y 2)} dy, (3.4.26)
о
g (.х, 1/3, 1) === 2 ;с-З/2 ехр { з;зх (уЗ + у З)} dy. (3.4.27)
о
Вторая сфера ПРИ Iенения «мультиплика тивных»
свойств устойчивых законов построение разноrо рода
полезных статистик с явно вычисляеМЫ IИ распределения
м:и. Два примера таких статистик разбирались в конце
предыдущеrо раздела.
И, наконец, некоторые из соотношений оказываются
полезными в вопросах стохастическоrо моделирования для
rенерации последовательностей случайных величин, под
ЧIIненных устойчивым распределениям. Так, например,
располаrан последова тельностью случайных чисел, Иl\<lе
IОЩИХ стандартное НОРl\Iальное распределение, очень леrко
с по:мощыо (3.4.13) строить последовательности случай
ных величин, распределенных так же, как У (1/2 n ).
3.5. M-беЗf'раничная деЛИ\fОСТЬ распределениii
величин у (а, О) и Z (а, р)
:Классическая теория предельных теорем: ддя сумм
незаВИСИl\<IЫХ случайных величин обобщалась в раздичных
направлониях. Одни [ из таних направлений была схема
с обобщенным понятием СУl\<IМЫ некоторой операцией,
rде Н 2 спектральная функция, и вещественные числа
ао, аl удовлетворяют условиям
0-< ао -< 1, I аl\ -< ао ехр ( 2 dH 2 (х») . (3.5.1)
Из класса выделяется особый подкласс ro?' условием,
что среди последовательностей п 1 < п2 < · .. имеется
последовательность, состоящая из четных чисел. ,Принад
лежность распределения F Е к подклассу обеспе
238
rл. 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА 3АНОНОВ НЛАССА
чивается дополнительным (необходимым И достаточным)
условием а 1 > О. Особенность подкласса ' состоит в
том, что случайные величины Х с распределениями из '
разлаrаются в произведение n :> 1 независимых и одина
ково распределенных СОМНОiI ителей, каково бы ни было
число n, четное или нечетное. В то время как Х с распреде
лением из '" ' разлаrаются в произведение любоrо,
но лишь нечетноrо числа независимых сомножителей.
В применении к интересующим нас случайным величи
нам: у (а, 8) и Z (а, р) принадлежность их распределений
:к Связывается с соответствующим представлением xa
рактеристическоrо преобразования W (8, а, 8) и преобра
зования Меллина М (8, а, р). Именно, для Toro, чтобы
G (х, а, 8) Е , необходимо и достаточно, чтобы
Ш о (8, а, 8) == а О С{)l (8) С{)2 (8),
Ш 1 (8, а, 8) == a 1 CPl (8)/С{)2 (8),
(3.5.2)
тде
С{)1 (8) == ехр {а8 + S (e SX 1 8 sin х) dH 1 (х)},
С{)2 (8) ::.::= ехр {S (e SX 1) dH 2 (х)},
rде Н 1 , Н 2 спектральные функции и ао, а1 удовлетворя
ют указанным выше требованиям. Поскольку для поло
жительных случайных величин Х мы имеем Ш о (t)x ==
== Ш 1 (t)x, то условием принадлежности G (х, а, р) к
будет
1 (8, а, р) == С{)1 (8).
(3.5.3)
Нетрудно заметить, что если распределение неотрица
тельной случайной величины принадлежит к , то оно
непременно входит в состав /.
Teope ta 3.5.1. Для любь х допустимых значений napa
метров (а, р) распределение случайной величины Z (а, р)
принадлежит '.
д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что М (8, а, р)
представимо в виде (3.5.2). Имеем
sjn лрs r (1 s;'ct)
М(8,а,р)== r(1)
рSlПЛS s
r (1 s) r (1 + s) r (1 s/a) 5 4
. l' (1 r s) r (1 + ps) r (1 s) . (3..)
Из теории функций 1--' нетрудно извлечь следующие paBeH
ства (для этоrо можно использовать, например, интеrраль..
Ное представ.ление log r (z) (см. [22], 8.341):
3.5. М БЕзrРАНИЧНАН ДЕЛИМОСТЬ
239'
1. В полосе I Re s I < а/Ь, а > О, Ь > О,
1 ( l' (а bs) r (а + bs) ) == с ( е ви . 1 sи) v (и, а, Ь) du,
og l' (а) J
(3.5.5)
rде
'v (и, а, Ь) ;== ехр ( I и lа/Ь) ( I и 1(1 ехр ( I и I/b))) 1.
2. В полуплоскости Re 8 < 1/Ь, Ь > О,
00
log r (1 bs) === biCs + (e Sи 1 sи) v (и, 1, Ь) dи, (3.5.6)
u
rде С постоянная Эйлера.
С помощью этих равенств log М (8, а, р) записывается
в следующей интеrральной форме:
log М (8, а, р) == ( 1Ia + 1) С8 + ,
+ S (е зи 1 8и) Н 1 (и) dU t
rде
H (и) === v (и, 1, 1) v (и, 1, р) +
+ + (1 + signи) (v (и, 1, 1/а) v (и, 1, 1».
Посколь:ку функция 'v (и, а, Ь) при фиксированных и, а
не убывает с ростом Ь, то на полуоси и < О
l H (и) == 'v (и, 1, 1) 'v (и, 1, р) ;> О,
равно как 11 На llUJlУОСИ и > U
H (и) == 'V (и, 1, 1/а) 'V (и, 1, р) > U.
Следовательно, H (и) является плотностью некоторой
меры. Если дополнить этот факт тем, что
1
и2H (и) dи < 00,
1
то становится очевидным представление М (8, а, р) в виде
(3.5.3). u .
3 а м е ч а н и е. Для симметричных случаиных вели..
чин Z (а, р) == UZ (а, р), тде и независимая от Z (а, р)
случайная величина, принимающая значения +1 и 1
с вероятностью 1/2, утверждение теоремы остается в силе
240
rл. 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОйСТВА 3АНОНОВ RЛАССА
ПО той причине, что соответствующие им характеристиче
ские преобразования имеют вид
Ша (t) == М (it, а, р), Ш 1 (t) о.
Tcop ta 3..5.2. Распределе1iие У (а, 8) принадлежит
ft тОсда и толь о тОсда, пОсда а -< 1 или же а > 1 и
е === о. Для тосо чтобы эти распределе1iия при1iадлежали
х. ', необходимо и достатОЧ1iО допОЛ1iитеЛЬ1iое условие
е> о.
Д о R а з а т е л ь с т в о. Преобразуем фУНRЦИИ
Ш к (s, а, 8) R виду (3.5.2) и выясним, Rоrда Н 1 и Н 2 не убы
вают.
Начнем со случая 8 == о. Поскольку здесь Ш 1 (8, а, 8) ==
== о, то преобразовывать надо лишь одну функцию
ш о (s, а, 8), ибо ничто не мешает нам сразу принять ер2 (s) ==
== 1 и а 1 == о. Имеем
Wo (8, а, 8) ===
1
1"1 (1 s а)
1-' (1 s)
Jt
COS т S
r (-} -}8)I' (+++8)
r 2 ( + )
r (1 s/a)
r (1 s)
в соответствии с (3.5.5) и (3.5.6) мы можем записать
log Ш О (8, а, 8) в виде
с (1 ) s + (е зи 1 sи) H (и) аи,
{'де
H (и) == v (и, 1/2, 1/2) +
+ +(1 + sign и) {v (и, 1, 1/а) v (и, 1, 1)}.
На полуоси и < о, очевидно, H (и) == ,,(и, 1/2, 1/2) > О.
,
После несложных преобразований Н 1 (и) на полуоси
,
и > О принимает форму Н 1 (и) == ,,(и, 1, 1/а)
" (и, 1, 1/2). Эта разность неотрицательна, так как
" (и, 1, Ь) не убывает с ростом Ь. Поэтому G (х, а, о) Е
Е sm (точнее, принадлежит к ', поскольку а 1 == о).
.
3.5. М БЕзrРАНИЧНАЯ ДЕЛИМОСТЬ
241
Пусть теперь 8 =1= О. Имеем
зt
cos 2 (k es)
Wk (s, С'Х, 8) == L..
n
cos 2 (k s)
Отсюда а о ;::::= 1, а 1 == 8 и
cp == ш о ш 1 /8, ep == 8шо/ш1.
r (1 sja) 1
) , k == О, .
r (1 s
Следова тельно,
2 r (1 s) r (1 + s) r 2 (1 sja)
ер1 (8) === r (1 ев) l (1 + es) r 2 (1 s) ,
2 r (-} +) r (-} + +) r (1 + 8 ) r (1 + + 8)
fP2 (8) == ( 1 S ) ( 1 S ) ( 1 ) ( 1 )
r 2 e2 r 2+ е 2 r 1 2s r 1+ 2 s
Начнем с функции ep (8). В соответствии с (3.5.5) и
(3.5.6)
log ер2 (8) == S (е"-' 1 8и) H (и) du,
rде
H (и) === -} ()! (и, 1/2, 1/2) v (и, 1/2, I е 1/2) +
: i + v (и, 1, 18 I /2) v (и, 1, 1/2)) ===
! === 2 1 и [(1 + eи) l (1 + euIJ8J) lJ ;> о.
KpOl\fe Toro, как это следует из [22], 3.412,
ехр ( 2 S H (и) du) == log I е ,.
,
HaKoHeI , в силу Toro, что Н 2 (и) четная функция, то
log ер2 (8) == 5 (е аи 1) H (и) du,
rде Н 2 (и) удовлетворяет условию (3.5.1).
Аналоrичные рассуждения в отношении функции
log ер1 (8) позволяют записать ее в виде
log ер1 (8) == С (1 1/а) 8 + 5 (е 8и 1 8и) H (и) du,
rде
Н;(и)=== ; rV(1I,1,1) v(и,1,lel)+
+ (1 sign и) (" (11,1, 1/а) v (и, 1, 1))].
9 в. М. Золотарев
242
rл. З. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СвойСТВА 3АНОНОВ l\ЛАССА Ш
,
На полуоси и < О, очевидно, Н 1 (и) > О. На полуосп
и>О
, 1 r
Н 1 (и) ==т[2" (и, 1, 1/сх) v (и, 1, 1) v (и, 1, 8 r)J.
Совершенно очевидно, что H (и) :> О, если сх -< 1. По..
,
СRОЛЬRУ В случае сх > 1 Н 1 (и) 1/2 [v (и, 1, 1) +
+ v (и, 1, 18 1)] при и 00, то на полуоси и > О Hepa
венство Н 1 '(и) > О при больших и неверно, т. е. Н 1
не является мерой. Выше отмечалось, что а] == 8 и поэто
му условие принадлежности распределения У (сх, 8) R '
совпадает с условием 8 > О.
3 а м е ч а н и е 1. Отметим два частных случая, co
ответствующие величинам У (2, О) (нормальное распреде
ление с параметрами (0,2)) и У (1,0) (распределение Ho
ши). Для них Ш 1 === О И
00
Wo (s, 2, О) === ехр ( + Cs + (e -и 1 + sи)
о
Wo (s, 1, О) === ехр ( (е-и 1 + sи) 2и d :h и ).
3 а м е ч а Н и е 2. Случайные величины 1 у (сх, 8) 1
и yr (сх, 8) == 1 у (сх, 8) I r sign У (сх, 8) являются М безrра
нично делимыми вместе с У (сх, 8).
dи )
2и sh и '
3.6. .Лоrарифмические моменты случайных величин
у (а, О) и Z(a, р)
Хотя случайные величины r у (сх, 8) 1 и z (сх, р) име..
ют конечные моменты лишь ПОрЯДRа, меньшеrо сх, их ло
rарифмы имеют моменты всех ПОрЯДRОВ, что иноrда (Ha
пример, в неноторых статистических проблемах) ОRазы
вается очень ценным качеством. Оказывается, что моменты
лоrарифмическоrо типа имеют сравнительно простую фор--
му записи. Мы займемся НИiне вычислением следующих
двух величин подобноrо рода (k == О, 1 и п == 1, 2, . . .):
Ykn (сх, 8) == Е (log I у (сх, 8) ,)n (sign У (сх, 8))k,
Zn (сх, р) == Е (log Z (сх, р))n.
Оказывается, что лоrарифмичеСRие моменты Уl1'n' Zn
являются полиномами степени п относительно переменно
ro 11а и полиномами степени не выlеe п + 1 относительно
З.6. лоrАРИФМИЧЕСRИЕ МОМЕНТЫ У(а, 8) И Z(a, р)
24 1
переменноrо е (или р). Их явные выражения записываются
с помощью полиномов Белла СП (иl, . . ., цn), с которыми
мы уже встречались в разделе 2.5. ,
Введем величины ql, q2, . . ., положив ql == (1/сх 1) С,
rде С постоянная Эйлера и
q" === А" п К 1:" I + (1ja" 1) r (k) (k) для k> 2,
rде Bk числа Бернулли, (k) значение в ТОЧRе k
Функции Римана, и числа Ak определяются для различ
ных лоrарифмичеСRИХ :моментов следующим образом:
А k == (2 h ' 1) (1 8А) дЛЯ моментов УОn,
8 k
А k ;:::: 1 для моментов Уln,
А k == 2 h ' (1 pk) для моментов Zn.
Теорежа 3.6.1. Длялю6ь хдопустимь х 31tаче1tийпара
.метров (сх, 8) или (сх, р) имеют место следующие paee1t
ств а (п == 1, 2, . . .)
У Оп сп (q 1, q 2, · · ., q n) ,
Уln == 8С n (ql' Q2, · · ., Qn), (3.6.1)
Zn == СП (Ql, Q2, · · ., Qn).
Д О R а з а т е л ь с т в о. ПОСКОЛЬRУ М (s, сх, р) k
== EZ 8 (сх, р) И Wk (s, сх, 8) === Е 1 у (а, 8) 18 (sign У (сх, 8)) ,
то
Yh'n == ( d d ) n Wk (s, сх, 8 ) I '
s j B O
Zn === ( :8 )n М (s, а, р) Is o
являются Rоэффициентами разложения в ряд п степеням
s ФУНRЦИЙ Wk И М. Разложение этих функции, однако,
удобнее производить не непосредственно, а предваритель
но разложив в ряды их лоrарифмы. Отметим, что в случае
8 == О мы имеем Ш 1 (s, сх, 8) == О, так что вычисление Уln
следует производить при дополнительном условии 8 =1=- О.
Имеем
п л:
log wo(s, сх, 8) === log Cos 2" 8s log cosT s +
+ log r (1 s/a) log r (1 s).
Функция log cos х разлаrается в степенной ряд так fI\e,
как и log r (1 х) (см. по этому поводу [22], 1.518 и
9*
Белла (оно приводилось в разделе 2.5), нетрудно YCTaHO
вить, что тем же свойством обладает и СП (ql, · · ., qn).
В случае лоrарифмическоrо момента Уln максимальная
степень е равна n + 1 за счет Toro, что Уln == 8С n .
Отметим одну вычислительную деталь, способную в
ряде случаев упростить выра Rение величин qk. Значения
(k) при нечетных k явноrо выражения не имеют, хотя и
быстро приближаются к 1 с ростом k. При четных k значе
ния (k) выражаются через числа Бернулли, являющиеся
рациональными дробями: (k) 2k lлk I Bkl/l-' (k + 1).
в заключение приведем выражения лоrарифмических
моментов при n == 1 и п === 2, принимая во внимание, что
С 1 (q 1) == q 1 И С 2 (q 1 , q 2) == q q 2:
УОl === Zl === (1/а 1) С, Уl1 == 8УОl,
п 2
УО2 === (1/а 1)2 С 2 + "12" (2/а 2 382 + 1),
Y12==8l(1ja 1)2 С 2 + ; (2ja2+82 1)l,
п 2
Z2 === (1/а 1)2 С 2 + 6 (1/а 2 2р2 + 1).
244
rJI. з. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЗАКОНОВ КЛАССА W
3.6. лоrАРИФМИЧЕСRИЕ МОМЕНТЫ У(а, 8) И Z(a, fJ)
8.342) :
се 2 k (2 k 1) /Вл' I
log cosx == kI' (k + 1)
k===O
h..
Х,
f"'V'
log r (1 х) == св + k) ;x,l"
k==2
С помощью этих формул получаем в итоrе
00 k
log Wo (8, а, 8) == L qk ! '
1\r:=:1
rде числа qk были определены выше. Используя теперь
формулу Бруно, находим, что
00 k
Wo (8, а, 8) == ехр (L qk F ) ===
k==l
00
n
== 1 + сп (ql, q2, · · · , qn) '
L.J n.
n:=;1
откуда и вытекает первое равенство (3.6.1).
Рассматривая Ш 1 (s, а, 8) при условии е =1= О, удобно
записа ть ее в виде
п
sin 2" 8s
Шl (s, а, 8) === 8
п
е sin 2" s
и раскладывать в ряд по степеням s функцию h (s). Понят..
но, что все коэффициенты разложения Ш 1 в ряд будут про
порциональны 8. Разложение h (s) проводится так же, как
и разложение Ш О , с той, однако, разницей, что при этом ис
пользуется формула ([22], 1.518)
. 2 К I ВК I
log(xjslDX)==L.J kr(k+1) xk,
k==2
r (1 sja) === 8h (s)
r (1 s)
Тем же приемом получается разложение в ряд по степе
ням s функции М (s, а, р).
Поскольку величины qn, п :> 2 являются полиномами
степени n по отношению к переменным 1/а и 8 (или 1/а
и р), то, возвращаясь к явному выражению полиномов
245
(3.6.2)
(3.6.3)
(3.6.4)
(3.6.5)
rл. 4. пАрАмЕтры УстойЧИВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 247
rЛАВА4
ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ УСТОйЧИВЫХ
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
ристических преобразований и XOpOlIIO ИЗllеСТНОI'О в CTa
тиетике метода выlорочныыx моментов. Последнее, как мы
увидим, создает известную близость предлаrаемоrо метода
классическому методу оценки параметров нормальноrо
закона 4.1.
Тем, кто заинтересуется современным состоянием об
щей проблемы, можно рекомендовать довольно обстоятель
ный обзор [95], охватываIОЩИЙ период до 1973 r. Список
более ПОЗДНИХ исследований входит в состав 111 части ли
тературы, собранной в конце книrи.
Особенностью предлаrаемоrо подхода является то, чт
задача оценки параметров решается для распределени
класса , а затем общая проблема сводится к решеннои
задаче некоторыми специальными приемами. Необходи
мость TaKoro деления общей проблемы объясняется тем, чт
явные формулы для характеристических преобра овании
устойчивых законов, составляющие аналитическии базис
метода, имеются лишь для распределений класса .
При работе с устойчивыми законами этоrо класса наи
более удобной формой записи соответствующих им xapaK
теристических функций оказывается проводившаяся во
введении форма (Е).
ДЛЯ удобства мы воспроизведем здесь запись лоrариф
ма характеристических функций 9 (t, ", 8, т) В этой форме:
log 9 (t, ", е, ,;)
== ехр {V 1/2 (log I t 1+ 't' i те sign t) + с (v 1/2 1)} ,
(4.0.1)
rде С постоянная Эйлера, параметры ", 8, l' меняются
в пределах
v ;> 1/4, I е I -< m in (1, 2 V 'V 1), I l' I < 00
и связаны с параметрами а, 8, л (формы (С)) соотноше
ниями
v == ([2, еЕ === ее, 't' == log л + с ( 1) ·
в предеJlах класса параметры а, (), у, л формы (В)
(нам в дальнейшем также придется встречаться с нею)
связаны с параметрами ", 8, 't соотношениями
{ K(a)/a, если a=F 1 ,
v == a 2, е === 2 ( 2 )
arctg у , если а === 1,
n п
Без преувеличения можно сказать, что проблема по
строения статистических оценок устойчивых законов BO
шла в математическую статистику блаl'одаря работам
Мандельброта [116] [126]. Рассматривавшиеся в них эко
номические модели содержали устойчивые распределения,
параметры КОТОРЫХ надо было определять эксперимен
тально. Причем сразу же обнаружилось, что математиче
ская статистика, располаrая большим арсеналом методов,
в данном случае мало чем может помочь, поскольку OCHOB
ная часть этих методов опирается на такие предположе
ния, как наличие явноrо вида плотности, существование
KaKorO TO количества моментов и т. д., которые в случае
распределений из е5 заведомо не выполняются. Из моментов
целоrо порядка они имеют в лучшем случае один (если
а =1= 2), а явные выражения плотности, которые позволи
ли бы J{онкретизировать алrорит:мы оценок параметров
(сна/нем, по :методу :ма:ксиму:м-а правдоподобия) им"еются
ЛИТТIЬ в нескольких СЛУ(Iаях.
Однако появилась проблема, начались и поиски e pe
шенин. Велись они н разных направлениях и принодили
к рекомендат ин r, в той или иной степени удовлетноряв
IПИl\1 практиков. Исс.ледованин еще ПрОДОJJlI\аютсн, и по
ка рано rоворить о ПОJ(НО:М реIJН_ НИИ постаВJIенной проБJIе
MЫ если иметь II ниду создание алrоритмов, отвечаЮIЦИХ
требованиям совре 1(\ННОЙ теории, т. е. оценон, по крайней
мере в асимптотическо:м смы1Jlеe неемеlцеННJ>ТХ, эффективных
и т. д. Мы не будем даiне в оrраниченном объеме знако..
мить читателн с имеJОJЦИМИСЯ здесь ДОСТИil\ениями, хотн
среди них ость немало очень интереснътх. IIазпачоние Ha
стоящей rлавы не состоит н том, чтобы осветить состояние
проБJIемы в цело r. Даiне для KpaTKoro обзора IIотребо
вался бы объем, который lIинак не опраnДЬJвался БI)I Ha
правленностью llастоящей моноrрафии.
IIИiJ-\е предлаrается новыlй подход к проблеме оценки
параметров устойчивых законов, основанныIй на исполь
зовании явных ВJ>траiJ\ений еоответствующих им ха pa:КTe
248 rл. 4. ПАРАМЕТРЫ УСТОЙЧИВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
-r === { log л + с ( 1 ) , если а * 1,
log л + log (у2 + л 2/4) , если (х == 1,
обратными к КОТОРЫМ служат равенства
1
а == У; '
== е тах ( 1, 2 y 1 ) sign (1 1/'V),
4.1, СВЕДЕНИЯ вспомоrАТЕльноrо ХАРАНТЕРА 249
ются та,м, следующи,м,и cтeпeHHь ,м,и ряда,м,и (k == о, 1):
log Wk (s, ", 8, "() ===
'х)
n
===kloge+-rs+ L,rakn(1 en)+bkn('VnI2 1)J :1 '
n==2
(4.1.2)
I о,
У== n n
""2 tg (""2 e ) ,
если v =1= 1 ,
приче,м, предполаzается, что О log е == о при любь х 8Ha
чениях 8 и что W 1 (s, v, О, 'Т) == о, -к-а-к-овы бы ни бь ли s, v
и Т. Коэффuцие1iты akn, b 7in для k == о, 1 и n :> 2 и,м,еют
вид
если v == 1,
n
n
ah,n === (2n(1 7i) (1 k)) I Вn 1, Ьт\'n === r (п) (п).
л == ( ехр ('t/yv С (1 1/yv)), если v =1= 1,
ехр ('( 2 Clog cos е log )), если 'v === 1.
IIри построении оценок параметров устойчивых зако
нов нам понадобится некоторое количество вспомоrатель
ных фактов. Они войдут в состав следующеrо раздела,
rде будет собрано несколько больше материала, чем впо
следствии используется.
Здесь (п) апаче1iие в точ-к-е п фунпции Ри;м,ана.
3 а м е ч а н и е. Для нечетных п :> 3 мы имеем akn == о,
поскольку для таких п числа Вn == о. Если п четное
число, то Ь кn == (2л)n I Вn I /(2п).
Д о к а з а т е л ь с т в о леммы проводится на OCHO
ве тех разложений в степенные ряды функций log cos х,
log (x/sin х) и log r (1 х), с которыми мы уже встреча
лись при доказательстве теоремы 3.6.1.
Условимся ради упрощения записи на протяжении
всеЙ rлавы опускать у случайных величин У Е (v, 8, Т) и
связанных с ними характеристик подстрочную букву Е.
Опасности спутать это обозначение с использовавmимся
ранее обозначением той же случайной величины У (а, 8, л)
нет, поскольку буквы v и Т закреплены за формой (Е).
Введем сокращенныIe обозначения:
4.1. Сведения вспомоrательноrо характера
Форме (Е) соответствует своя форма записи xapaKTe
ристическоrо преобразования W (s, v, 8, Т), которую He
трудно получить из (2.6.26), используя формулы перехода
от формы (В) к форме (Е). Она имеет вид
W7i (s, v, 8, "() ==
U == sign У (v, 8, Т), V == log I у (v, 8, Т) 1,
О === U Еи, v == v EV.
n:
"1r сов ""2 (k s8) r ( 1 s I/ V ....... )
=== ехр {'ts + с (1 f ")} f
n r (1 s)
cos ""2 (k s)
Функции W k (s, v, 8, Т) в этих обозначениях запишутся в
виде
(4.1.1 )
Wk (s, v, 8, Т) == Eu k ехр (sV), k == о, 1.
(4.1.3)
rде k == О или 1 и s меняется в полосе 1 < Re s < 1/у "---:
Ле_п а 4.1.1. В пРУ2е /s 1< min (1, 1/y v) Фунпцuи
log W k (s, v, 8, --с) являются аналитuчес-к-ими и nредставля
Из равенств (4.1.2), следуя рассуждениям теоремы
3.6.1, нетрудно получить явные выражения лоrарифми
чес:ких моментов случайных величин У (v, 8, Т), т. е. CMe
шанных моментов величин U и V. Действительно, посколь
ку, как это видно из (4.0.1), при любых допустимых
250 rЛ. 4. ПАРАМЕТРЫ УСТОйЧИВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИй
значениях параметров
4.1. СВЕДЕIШЯ вспомоrАТЕльноrо ХАРАНТЕРА 251
то принимая во внимание, что Е U === 8, имеем
k
!1kn ==о Е (и O)k V n == L ( ) ( о)/н EUj V " ==
j::=.::O
== ( 1)!'e V " o ( ) он ( 1)!' EU V n 1 ( ) Ok j,
у (v, 8, 't) == ехр (,; + с (1 V ") ) У (v, 8, О)
== ехр ('t + с (1 V v» Y в (а, О), (4.1.4)
то моменты юkn == Е UkV n оказываются связанными с ло
rарифмическими моментами (в которых следует заменить
величину 1/а на V ") слеДующими равенствами (k == О, 1,
п == О, 1, 2, . . .):
Юh'rt =::::: Е (,; С (1 y ) + log 1 у в (а, 8) ,)n (sjgn у в (а, 8))'" ===
n
==о (;) Ykj ('t + с (1 -v v) )n j.
j::=JO
(4.1.5)
rде Lo и Ll означают соответственно суммирование по
четным и нечетныM значениям j, не превышающим k.
Обозначим
Lon === f.1ort и L 1n == f.11n/ 8 ,
нонимая последнюю величину в случае 8 == О КаК предел
L 1n при 8 о. Вычислить L kn нетрудно с помощью pa
венств (4.1.2) и (4.1.3). Поскольку, соrласно (4.1.6),
EV === '(, то
в частности, моменты юkn до порядка п == 2 включительно
имеют следующий вид:
Е ио == Е VO == Е и2 == 1, Е U == 8, Е V === '(,
EUV == 8,; == EUEV,
EV 2 ==о '{ 2 + 7; (2v 302 + 1),
EUV2===0('t2+ ; (2v 02 1»).
00 n
L/ т ! == охр ( 8't k log О) Еи.' ох р (81/) ==о
n==о
(4.1.6)
(4.1.7)
(4.1.8)
(4.1.9)
00
== охр ( 8't k log О) U'k (8, v, О, '() === ехр ( Pkn Sn /п!) ,
nс:::2
rде Ркn == акn (1 8 n ) + b kn (v n / 2 1). Отсюда следует,
что
L kn == СП (о, РК2, Рkз,. · ., Ркn), (4.1.10)
rде СП фиrурировавшие в разделах 2.5 и 3.6 полиномы
Белла. Таким образом, мы пришли к следующему YTBep
fl\депию.
.17 e ."(t 4.1.2. Для любых aoпYCтUMbLX значений пa
раметров ", 8, 't и любых r, п ==.. о, 1, 2, . . .
( 1)T EOT V n === Lon L.o ( ) Or j L 1n Ll ( ) Or j+1.
3 а м е ч а н и е. Отметим один интересный факт.
В разделе 3.2 упоминалось, что модуль I у в (а, 8) I и
знак sign У 13 (а, 8) случайной величины У в (а, 8) являют
ся независимыии в том и только том случае, коrда 8 === О
или же О <:: а < 1 и I 8 I == 1. Блаrодаря свойству (4.1.4),
отсюда вытекает, что I у (v, 8, '() I и sign У (v, 8, '() явля
ются не зависимыми случайными величинами, если (и толь
ко если) 8 === О или fKe v > 1 и I 8 I == 1. Понятно, что
тот же вывод сохранится и в отношении СJIучайных вели
чин V и и. в дополнение к нему равенство (4.1.7) позволя
ет утверждать, что U и V всеrда являются некоррелиро
ванными случайными величинами.
Смешанные центральные моменты f.1kn == EOh' v п ,
k, п === О, 1, . . ., выражаются через моменты нецентральные
и поэтому также MorYT быть выписаны в явном виде. По
скольку для любых целых т :> О
EU 2т v n == EV n , EU2 т +l V n == EU V n ,
Покажем как выrлядят несколько первых моментов
, u
J.1kn. Их явные выражения понадобятся в дальнеиmем.
В равенстве (4.1.10) Pkl === о, так что первые пять поли
номов Белла (см. [77]) имеют вид
СО == 1, С 1 == о, С 2 == Pk2, С З == РkЗ, С 4 == Pk4 + 3P7r2'
Отсюда следует, что
Loo == L 10 === 1, LOl == L 11 == О,
252
rл. 4. ПАРАМЕТРЫ УСТОЙЧИВЫХ Р.АСПРВДJIJIEвий
4.1. СВЕДЕНИЯ вспомоrАТЕльноrо ХАРАНТЕРА
253
л 2 2
L 02 === Т (1 82) + т (" 1),
п 2 п 2
L 12 == 12(1 е 2 ) + 6" (v 1),
L оз === L 12 === 2 (3) (v З / 2 1),
L 7п4. п4.
04=== 120 (1 84)+15(v2 1)+
+ 3п 4 ( + (1 е 2 ) + {- (" 1) У' '
п 4 4
L 14 == 120 (1 е 4 ) + 5 (,,2 1) +
+ ; (+ (1 е 2 ) + (" 1) У ,
что, в свою очередь, Приводит к следующим выражениям
для смешанных моментов:
С.ltедсmвие. Для лю6ых целы,x положительных r, п
сдучаuные величи1lЫ ОТ, V N некоррелированы тоада и тодь--
-';'0 тоада, -,;,оада выполняется одно из следующих двух
условий:
1. 8 == О, 2. Lon == L 1n .
Случай 8 === О малоинтересен, поскольку для Hero спра
ведЛиво, КаК мы видели, более сильное утверждение, что
ОТ и V n независимы.
Второе условие связано с нетривиальными ситуациями.
Для всех нечетных п:> 3 числа Бернулли Вn == О, сле
довательно, РОn == Рln === r (п) (п)("n/ 2 1). Отсюда
вытекает, что Lon == L 1n , т. е. для таких п случайные
величины ОТ и V N некоррелированы. В случае п == 1 этот
вывод следует из Toro, что L 01 == L 11 == О.
Рассмотрим некоторую выборку объема п 2, т. е.
набор Х 1 ,.. ., Х N независимых и одинаково распреде
ленных случайных величин. Обозначим через
OT === ( 1)" (L (;)eT ) LJ ) е Н +1), (4.1.11)
Еиту == О, (4.1.12)
ЕО Т у 2 == 2 (1 е 2 ) o ( ) eT } +
п 2
+ 12 (2v ....... 82 ........ 1) ( f)r Eи r , (4.1.13)
ЕОТр8 == 2 (3) (,,3/2 1){ 1)" ЕО Т , (4.1.14)
EOT V 4 === (1 84) ( ) 8T ; +
20 o 1
+ 1 (8,,2 e. 7)( 1)ТЕО Т . (4.1.15)
Л'еN,N,а 4.1.,1. Для любых целъLX подожитедьны,x " п
cov (ОТ, Vn ) == ( 1 )T l cov (О, у n ) 1 (;) eT } ==
== ( 1)" (Lon L 1n ) 1 (;) er j+1. (4.1. t 6)
n д О R а з а т е л ь с т в о. Используя тот фаRТ, что
EV === Lon и равенство (4.1.11), имеем
cov (or, у n ) == EOT V n Eor V n ===
=== ( 1)" (Lon L 1n ) 1 (;) eT M.
Положим в этом равенстве r == 1 и получим
cov (О, v n) == 8 (Lon L tn ),
отКуда следует вторая часть (4.1.16).
..
n n
Axl== LXj и IS == n 1 L(Xj Ax)2
j l j l
"'''11
выборочное среднее и выборочную дисперсию.
Леж а 4.1.4. Предположим, что случаЙ1lые величины,
выборки Х 1, . . ., Х 1l . имеют КО1lеч1lЪLU четвертый JКOMe1l
и об081lачим а == ЕХ 1, Ь 2 == DX 1, с 4 == Е (Х 1 а) .
Тоада имеют жесто следующие равенства:
ЕАх == а, DAx === Ь 2 /п, ES === Ь 2 , (4.1.17)
DS == (с. Ь 4 ) + + 2Ь 4 n (n 1 1) . (4.1.18)
Д о к а з а т е л ь с т в а этих известных в математи
ческой статистике равенств мы приводить не будем. По
этому поводу см. [48]. u
Рассмотрим пару некоррелированных случаиных ве--
личин (L, М), 1имеющих нулевые средние и конечные чет
вертые моменты. Пусть (L 1 , М 1 ), . . ., (Ln, М n ) набор
независимых между собой пар случайных величиН, КаЖ
дая из которых распределена так же, как и пара (L, М).
По наборам (L 1 , . . ., Ln) и (М 1 , . . ., М l1 ) строим выбо
рочные дисперсии 8i и S .
л e JII,a 4.1.5. Для лю6ЪLХ п > 2 имеет место следую
щее равепств о :
. (,2 S 2 ) 1 (L 2 М 2 ) (4 1 19)
COV(uL' м ===n COV , · ·
254
rл. 4. ПАРАМЕТРЫ устойчивых РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
д о к а з а т е л ь с т в о. Используя последнее из pa
венств (4.1.17), имеем
cov (st, S I) === Eslls E "IEslI == E(5iS) DIJDM.
(4.1.20)
Поскольку, как леrко видеть, выборочную дисперсию
можно заПисать в виде
('12 n
lJX==
n 1
(АХ2 (Ах)2),
rде АХ 2 выборочное среднее квадратов случайных Be
Личин X j , то
ESi.s == ( n 1 У Е [A L .A M 2 A L 2 (Ам)2 (AL)2 Ам, +
+ (A L )2 (Ам)2] === ( n 1 У Е (111 112 121 + 122). (4.1.21)
Условившись, что индексы i, j, r, t независимо меняются
от 1 до n, мы можем записать
EI 12 === п 3 Е (L MjMr) == п 3 )1 Е (L M') === п lEI11'
EI 21 === п 3 Е (LiLjM ) == п 3 Е (L M;) == п lEIll,
EI 22 === п i1 Е (LiLjM rMt) === п i1 Е (ам,) === п 2EI 11'
Следовательно,
EslSl === El 11 === n 2 I Е (L Mj) ==
== п 2 [п (п 1) EL2EM2 + ftEL2M2J ===
== DLDM +. п l (EL2M2 EL2EM2).
Подставив это выра,нение в (4.1.21), мы получим равен--
ство (4.1.19).
4.2. Оценки параметров распределений класса
Пусть V 1 ,..., V N независимые случайные вели
чины, распределенные так же, как и случайная веЛичина
у == у (v, 8, '(), т. е. подчиненные распределению
G(x, v, 8, '(), О котором мы знаем только то, что оно ПрИВад
леj-КИТ классу . Нашей задачей является статистическая
оценка пара:МGТРОВ распределения С.
4.2. ОЦЕНИИ ПАРА МЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИй ИЗ
255
По этой выборке построим два набора незавиСИМЫХ
(в пределах каждоrо набора) случайных величиН И 1 ===
=== sign У 1, . . ., И n === sign У n и V 1 == log I у 1 I , · · ·
. . ., v n == log i у n 1 , распределенных соответственно так же,
как И == sign У (v, 8, 1') И V == log I у (v, 8, '() 1.
Идея построения оценок параметров ", 8, 't базиру
ется на следующих трех равенствах:
,,== O T CU+1, 8===ЕU, 't===EV. (4.2.1)
1(2 2
..
Последние два равенства отмечалиСЬ в (4.1.6), а справе-
дливость первоrо нетрудно проверить, вычислив диспер
сии DU и DV. С помощью (4.1.6) (4.1.8) находим, что
DU == ЕU2 (ЕU)2 == 1 82,
2
DV == EV 2 (EV )2 == 2 (2" 382 + 1).
!f
.
Исключая из этих равенств величиНУ 82, получаем нуж"
ное нам соотношение. ...
Сама идея проста и не нова в математическои стати
стике. В качестве поясняющеrо примера мы наПомним
классическую задачу оценки параметров нормальноrо
распределения с плотностью
р (х) == cr ;2;1 ехр ( ( Х: а у) . (4.2.2)
Пусть Х 1 , . . ., Х N независимые случайные величинЫ,
подчиненные распределению (4.2.2). Поскольку
а == ЕХ 1 и 0'2 == DX 1 ,
то воспользовавшись тем фактом, что при неоrраничен
,
ном возрастании объема выборки
р р )
Ах а, S а 2 (сходимость по вероятности,
мы можем в качестве оценок а, а 2 параметров а и 0'2 выб-
рать ii == Ах и а2 == S .
Метод выборочных моментов не очень жалуюТ в ма--
тематической статистике. Ero считают, и не без OCHOBa
ний, далеко не самым экономным способом оценивания.
ОднаКо в ряде случаев, коrда распределе ие обладает
достаточно хорошими аналитическими своиствами, Ha
пример, такими, как существование моментов любых
порядков и т. п., метод моментов в состоянии давать
256
rл, 4. ПАРАМЕТРЫ УСТОйЧИВЫХ РАСПРЕДЕЛЕIШй
оценки параметров, отвечающие современным требова
НИЯМ. РассматриваемЫЙ нами случай распределений слу
чайных величин U и V, имеющих Rонечные моменты
любоrо ПорЯдка, Относится именно к такой катеrории.
На основе наборов и 1 ,..., и п И V 1 ,..., V n , по
рождаемых независимой выборной Уl, . . ., Уn, образуем
выборочные средние Аи и Ау, которые и принимаемв Ka
честве оценок параметров 8, 't, т. е.
е === Аи, т === Ау.
(4.2.3)
л e'м' a:4.2.1. Статистики е, т являются нес.меще1lНЬLJИU
состоятельными оценками naра.:метров е и 't с дисnерсил
;н,и
a == D8 == (1 82)п l,
2
a === Di === :2 (2\' 382 + 1) п l.
(4.2.4)
(4.2.5)
д о к а 3 а т е л ь с т в о. Несмещенность оценок (4.2.3)
является следствием равенств (4.2.1). Вид дисперсий по
лучается из (4.1.17) и (4.1.6), (4.1.8). Состоятельность
оценок вытекает из стремления R нулю при n 00 диспер..
сий оценок (4.2.4), (4.2.5).
Поскольку случайная веЛичина U принимает только
два значения +1 и 1 с вероятностями, равными co
ответственно р ==: 1/2 (1 + 8) и 1 р === 1/2 (1 8), то
оценка 8 равносильна оценне р, что представляет собой
хорошо известную в математической статистике задачу.
Известно, что для параметра р оценна р ==: 1/2 (1 + 8)
является эффективной (см. например, [9]).
Построение оценки параметра v имеет, в отличие от
оценок (4.2.3), свои сло,нности. Казалось бы, такой oцeH
кой (состоятельной и несмещенной) может слу,нить CTa
тистика
л 6 8 2 3 2 1
v == п 2 у 2 S и + ,
(4.2.6)
поскольку, с одной стороны, при n 00
s'b === n..:. 1 (Аи 2 (Ау )2) 2: Еи 2 (ЕИ)2 === DU
2 Р л р
и, .аналоrИЧIIО, SV2 DV, отКуда следует, что v \'.
С друrой стороны, в соответствии с (4.1.18) Ev ==v.
4.2. ОЦЕНЕИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ИЗ
257
! I
[
t. ..
,
Однано принять v в качестве оценки v ме ша ет то,
что область Q == {(v, 8) : 18 1<: min (1, 2 У v 12}
изменения параметров ", 8 не со!,падает с областью Qn
изменения значений пары v, 8, н()торая имеет ВИД
(см. рис. 5) ;
1
Qn=={(V,e): lel<;:1,
v ;> (1 + 1'Jn)} ,
1
rде 11п == 3/(п 1), если
n четное и 1'Jn == 3/n, f(1+fn)
если п нечетное. А это
означает, что MorYT JIОЯ
виться тание пары значений
v 8 кото р ым не COOTBeT
, ,
ствуют никание устойчивые
распределения. Следова
тельно, надо изменить oцeH Рис. 5. ОБJIасти изменения оценок
ки v, е таким образом, что парамеТРОБ (v, 8) и (v, е).
бы их новая область изме
нения совпадала бы с областью Q. Проделать это мо,нно
разными способами, например, проводя нормаль из точни
(v, 8 ) к rранице Q (если, нонечно, точна находится вне
Q) и взяв за новые оценни координаты точни нормаЛи
на rранице Q.
НО мы выберем наиболее простой способ, Коrда 8 BO
обще не меняется, а меняется ТОЛЬRО ". Именно, положим
о
11 2.'
I
1
q
I
I
/\
fll
1:' tl
, ,.
v == шах (v, (1 + I е 1)2/4).
(4.2.7)
При таком определении v область изменения знач
i иий пары (v, 8) совпадает с областью Q.
JI eм, a 4.2.2. Для любых n > 2
2 D Л
а" == v ==
==[+(v 1)2++(9 5е2)(v 1)+3(1 е2}(з+е2)J +
1
+ [2 (v 1)2 + 6 (1 82) (" 1) + 9 (1 82)2] n (п 1) .
(4.2.8)
258
rл. 4. ПАРАМЕТРЫ УстойЧИВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Доказательство. В соответствии с (4.2.6)
имеем
2 ( 6 8 2 3 8 2 )
(Jv === D n 2 V 2 1j ===
36 D ('12 9 D ,,2 18 ( (12 s2 )
=== N.! I...} V + т JJ и :112 COV '-.} и, у.
Преобразуем правую часть этоrо равенства, исполь
ауя свойство выборочной дисперсии (4.1.18) и лемму
4.1.5:
a == { [E V " (OV)2j + i [ЕО" (DИ)2]
cov (02, V 2 )}+ + [ : (DV)2 + ; (ои)2] п (п 1) ·
Мы располаrаем явными выражениями смешанных цeH
тральных моментов (лемма 4.1.2). С помощью равенств
(4.1.11), (4.1.13) и (4.1.15), а TaKi1,e выраiI\ений ои, DV,
имеем после неСЛОII\НЫХ преобразований
ЕО 4 === 1 + 282 384 == 4DU (1 СИ) + (DU)2,
.)
E02 V 2 == DUDV + .. DU (1 [}И),
E V 4 == (DV)2 + 2 [(DV)2 : (DU)2] + 1: (DV :2 DИУ +
+ +п2 (DV DИ) + :4 DИ.
Отсюда находим, что первым треь{ слаrаемым в представ
лении a можно придать следующую форму:
[E V " (OV)2]== W 2 + 6(DИ ++)w +90И,
IЕО4 (DU)2] === 9ои (1 DU),
4
1 COV (02, у 2 ) === 6DU (1 DU),
п
rде Н' == :. DV DИ. Следовательно,
o == [+ W 2 + () (о,и + +) w + зои (4 СИ) ] + +
1
+ t2W 2 + 6WD'U + 9 (СИ)2] п (п 1) ·
4.3. ОЦЕНRИ ПАРАМЕТРОВ а, (3, л
259
Для Toro, чтобы получить (4.2.8), нам остается подставить
в полученное выражение значения величин W === v 1
и D U == 1 82.
Л e Ma 4.2.3. с праведлuebl, следующие nеравеnства:
(Ev ,,)2 -< Е (v ,,)2 -< a + a . (4.2.9)
д о к а з а т е л ь с т в о.
Поскольку
\ 8 \ -< min (1, 2 i v 1),
ТО v === шах (v, (1 + \ 8 1)2/4). Далее, в силу Toro, что
для любых вещественных а, а' , Ь, Ь' величина
шах (а, Ь) шах (а', Ь') -< тах (1 а а' 1, \ Ь Ь' 1) и
1 е 1 -< 1, \ е 1 -< 1, имеет место неравенство
v v == шах (v, (1 + \ 8 \)2/4) шах (v, (1 + 18 1)2/4) -<
-< шах (\ v " 1, 1 е 8 \).
I
.
.
Совершенно аналоrично получаем неравенство
v v -< шах (\ " v \, I 8 8 \), т. е. 1 v' v \ <
-< шах (\ v v 1, \8 е \). ОТСIода имеем
л
(v ,,)2 -< шах ((" ,,)2, (8 8)2) -< (" ,,)2 + (8 8)2.
Следовательно, Е (v ,,)2 <: Е (v ,,)2 + Е (8 8)2.
Теперь мы можем сформулировать следующее YTBep
ждение, вытекающее из лемм 4.2.2 и 4.2.3:
Теоре,ма 4.2.1. Статистика v является асимптоти
чески nесмещеnnой и состоятельnой оцепкой параметра
'V, причем квадрат смещеnия и квадратuчnое отклоnеnие
v от истиnnосо 8nачеnия параметра v nе превосходят CYMMЬ
a + a , имеющей при п 00 порядоп О (1/п). Точnые
8nачеnия сласаемь х этой CYM.:мь даются равенствами
(4.2.4) и (4.2.8).
, 1
4.3. Оценки параметров распределений семейства
параметры a, , л
Рассмотрим распределение G (х, а, , "(, л) Е и
преДПОЛОII\ИМ, что мы располаrаем: независимой BЫ
боркой Уl, . . ., У6n, подчиненной этому распределению.
.. Идея построения оценок параметров а, , л СОСТОИТ в
. ' . "I . \ преобразовании выборки таким обр зом, что ы в реЗУЛIr
. тате получился друrой набор У 1, . . ., у m случайных
,
260 rл. 4. ПАРАМЕТРЫ устойчивых РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
величин, распределение RОТОрЫХ принадлежит Rлассу ,
а определяющие их параметры взаимнооднозначно свя
заны с параметрами а, , л. Объем т HOBoro набора будет
существенно меньше исходноrо объема, что, однаRО, надо
рассматривать RaR необходимую плату за появление
,
у распределений случайных величин У j нужных H3l\f
свойств (принадлежность Rлассу ). В Rачестве преобра
зования исходной выБОрRИ мы выберем следующее:
УТ == у зj 2 Y3j 1 (1 S)УЗj, j == 1, 2, . . .,211,
rде О < s < 1/2 некоторое фиксированное число.
Предельный случай этоrо преобразования s == о BЫ
деляется в самостоятельное преобразование
y == Y2j 1 Y2j, j == 1, 2,.. ., 3п
(объем исходной выборки 6п был ВЗЯТ таRИМ, чтобы при
разбиении на ТрОЙRИ и ДВОЙRИ нам не надо было возиться
с оставmимися величинами).
Л е,м,М,а 4.,1.1. Случайные величиllЫ Y распределеНЪL
тап же как У ( а, О, О, 2л), а распределение УТ совпадает
, А*
С распределением У (а, *, ')'*, л*), аде napaMempbL t-1 '
')'*, л* связаны с a, , ')', л, (если все они соответствуют
форме (А)) равеncтвамиl
* == 8 (a)Tl(S) ' л* === Т 2 ( )л, ')'*=== тз (s)P, (4.3.1)
еде
"7
i . ,
t
T2( ) === 1 + sa + (1 )a,
Т 1 ( ) == IB (а) (1 a (1 )a)/T2 ( )
и
{ о,
Тз (s) === + ( log + (1 ) log (1 », если а === 1.
если а::/= 1,
Кап случайные величинь1, Y , тап и величинь1, yf имеют
распределения, принадлежащие к .
Д о R а з а т е л ь с т в о. Утверждение леммы, свя
занное с видом параметров *, л*, ')'*, сводится R прим
нению в рассматриваемом случае свойства 2.3. То обсто
u У О
ятельСтво, что распределения случаиных величин j
и Yf припадлежат Rлассу , очевидно, ПОСКОЛЬRУ для
УТ мы имеем у* == О, если а =1= 1 1'1 * :::;:::;: О, если а == 1.
.
.
i r
.
4.3. ОЦЕНRИ ПАРАМЕТРОВ а, (3, л
261
Хотя распределения y и УТ принадлежат Rлассу [i5,
u
построение оценок параметров этих распределении по
методу раздела 4.2 возможно лишь после Toro, RaR мы
перейдем от формы (А), RОТОрОЙ соответствуют выражения
параметров (4.3.1), к форме (Е).
С учетом Toro, что переход R величинам УТ приводит
к ИСRлючению параметра у, схема преобразований исходно
ro набора параметров а, Р, Л в соответствующие им
наборы параметров друrих форм выrлядит следующим
образом:
(а, '" л)А (а, *, ')'*, л*)А (а, р*, ')'*, л*)в
(а, 8*, л*)с (v*, 8*, '{*)Е' (4.3.2)
Все переходы обратимы, поэтому, построив оцеНRИ v,
8*, 7(* параметров v*, 8*, '{*, мы можем тем же путем
вернуться, принеся с собой оценки а, 'i: параметров
а, , ')'.
Аналоrичная ситуация возникает в случае перехода
от первоначальной выБОрRИ к набору {уу}. В этом случае
помимо')' ИСRлючается еще и параметр р. TaR что оцеНRе
подлеiI<ИТ только пара параметров а и л. Соответствую
щая схема переходов имеет вид
(а, ., ., л)А (а О , О, О, ЛО)А +-+ (аО, О, О, ло)в
(аО, О, ЛО)С (vO, О, '{О)Е. (4.3.3)
Найти связь между исходными параметрами а, , Л в
форме (А) и их ЭRвивалентами v*, 8*, '{* или же между
а, Л (также в форме (А)) и их ЭRвивалентами vO;rO труда
не составляет, если воспользоваться формулами перехода
от одной формы R друrой по УRазанным схемам.
Мы не будем приводить здесь детали этих простых,
u
но rРОМОЗДRИХ выклаДОR, и сразу выпишем конечныи pe
зультат:
v* === v == a 2
,
8* === 8* (а, ) === :J1 arctg ( Tl ( ) /tg а 1), если а =J=. 1,
е* == 8* (1, Р) == lim 8* (а, Р) == arctg (рТ з (;)), (4.3.4)
a l n
't*===t*(а, ,л.)===+{lоgл.+С(1 а) +
+ -+ log [ ( ) + I!T ( ) Т: ( ) tg 2 ( а)]), если а =J=. 1,
262
rл. 4. ПАРАМЕТРЫ устойчивых РАСПРЕДEJIEИИЙ
rr* === 't* (1, , л) === lim 't* (а, , л) -==
cl ---+ 1
1
=== log (2л) + T10g [1 + 2T; ( )].
Отметим сразу ,не две особенности формул (4.3.4).
Первая состоит в том, что происходит изменение знака
пара метра асимметрии при переходе от R 8*. Этот эф
феRТ при желании убрать нетрудно, рассматривая набор
случайных величин у7 вместо набора Yj.
Вторая заRлючается в сужении области изменения
параметров ", 8*, rr* по сравнению с областью изменения
параметров в форме (Е). Это происходит за счет Toro, что
в случае а =1= 1
тах Т 1 (;) == Т 1 (1/2) === 11 21 a 1/(1 + 21 a) < 1/3,
s
(4.3.5)
и в случае а == 1
log 2
шах Тз (;) === ТЗ (1/2) == п == 0,22. · .
в результате 8* меняется не от mill (1, 2 у " 1)
до min (1, 2 V v 1), а в более УЗRИХ пределах.
Изменение области значений 8* внесет, RaR мы увидим
далее, дополнительные осложнения при построении
оценок параметров ", 8*, rr* и связанных с ними парам&-
тров а, , л. 13 наших интересах свести сужение области
изменения 8* I{ минимуму, что равносильно выбору TaRoro
значения , l1рИ которо:м ФУНI{ЦИИ T J (;) и Тз ( ) достиrают
'1
маRсимальноrо знаqения, т. е. == "2' По этим сообраjI\е
ниям в дальнейшем используется преобразование llepBoro ти
па (переход R набору случайных величин уз) со значением
== 1/2. Запись соответствующих параметров ", 8*,
rr*, получается из (4.3.4) после подстаНОВRИ указанноrо
значения 6.
Обратными R ним, т. е. выражающими параметры
а, , л через ", 8*, rr*, являются сЛедующие равенства:
а === 1/у " ,
== (.v, 8*) ==
===
1 + ехр [(1 1/"Vv) Iog 2] tg (т 8*/V:V)
1 ех р [( 1 1/ У v) Iog 2] ( Л / ... r )
tg Т, f 'V '
если v =1= 1,
(4.3.6)
. . ;; . ' . : . ' .. '
t;'
. .
"
..
.
I Ъ.;
' .. . . . . . . . . . . . ' . ' . . . . . . .. .
, <
""J. .
;;,4"
;.j,::<,:'
J1; .. /.' . ' .... .
;i'
I
,
;щ;
'
'1t:
:
f
,;\
':i
&
; ,.
, :
'-f
J
:
' 1 '
....
, . '; . . . .+
".
' "
4.3. ОЦЕННИ ПАРАМЕТРОВ а, (3, л
263
1 * 1 . А ( 8 * ) п . ( Л 8 * )
=== ( , 8 ) === 1111 t-' ", 10 2 tg Т '
v---+l g
cos ( o*/vv)
л, == л (v, 8*, 't*) === Х
1 + ехр [(1 1/Vv) log 2]
[ 'tj; 1 )]
Х ехр У; с ( 1 У; ' если" =F 1,
л. === л (1, 0*, "С*) === lim л( ", 0*, "С*) === ес. cos ( 0*).
v.......l
Для BToporo типа преобразования (т. е. переход R yj)
" О == V == a 2, 80 === О, ,;0 === [log 2л) + с (1 а)].
а
(4.3.7)
Обратные к ним соотношения имеют вид
а === 1/у ", л. === + ехр [("Со + С) ,, 1/2 С].
КаН леrRО усмотреть из формул связи (4.3.4),
Q* изменения параметров (v, 8*) существенно
9
1
(4.3.8)
область
меньше
9,5
,1.
з
Q
()
1
a5
,
1
Рис. 6. Области изменения параметров ('\', 8) и ('\'*, 8*).
области Q изменения параметров (v, 8), задающих BMe
сте с rr распределения из Rласса (область изменения
т* остается той же, что и область изменения rr вся
вещественная ось). Именно (см. рис. 6)
Q* === {(v, 8*): v > 1/4, I 8* I < н (v)},
264 rл. 4. ПАРАМЕТРЫ УСТОйЧИВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
rде
Н (t) == 2.. ytarctg { ехр [(1 1/Y log 2] 1 tg ( 2 Vt ) } .
:n: охр [( 1 1/У t) log 2] + 1
Значение функции Н (t) в точке t == 1 задается по непре--
рывности
. 2 ( Iog 2 )
Н(1)=== IlmH(t)=== arctg .
t l :n: :n:
По преобразованной выборке Yi,..., У:n методами
предыдущеrо раздела построим ОI енки 8*, i'* параметров
0*, 't* (по формулам (4.2.3)) и оценку v параметра v (co
rлаСIlО (4.2.6) и (4.2.7). 11apaMeTp 't* имеет областью
значений всю веп ествеНIIУIО ось, ту }не область значений,
что и ero оценка *. Но оценки V, 0*, меняющиеся в пре
делах Q, имеют БОЛЬШУIО область значений, чем область
значений Q* Оl ениваемых ими параметров ", 0*. Это
означает, что оценки v, 8* следует так изменить, чтобы
область их значений совпадала с Q*. Одним из возможных
вариантов такото изменения является следующий:
v === ", 8* === mjn (Н (v), I е* 1) sign 8*, '{ * === *.
Проведем исследование свойств оценок v, 8* , 't *.
Прежде всето, оценки v, 't *, которые не претерпели изме
неНИЙ, полностью подпадают под действие теоремы 4.2.1
и соответствующей части леммы 4.2.1. Так что в анализе
свойств ну}кдается лишь оценка 8* .
Леw"Jlжа 4.?З.2. При п 00
Е (8* 8*)2 -< + Е (v V)2 + Е (8* 8*)2 -<
4 2 13 2 О (1
-< 9 а" + 908. === jn), (4.3.9)
аде a и a * в'ы,исляютсяя по формула.м (4.2.8) и (4.2.4)
с учето,м тоао, что об'Ое.м вы,оркии равеn 2п.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку 18* I < н (v),
то
8* 8* == min (Н (v), 18* 1) sign 8*
min (Н (v), 18* 1) sign 8*.
Элементарные подсчеты, связанные с различными воз
МОiRНЫМИ случаями, показывают, что для любых поЛо
.
4.3. ОЦЕННИ ПАР Al\1:ETPOB а, , л
265
}нителъных чисел аl, а 2 и Лlобых вещественных чисел
Ь 1 , Ь 2
I min (а 1 , I Ь 1 I ) Sigll Ь 1 min (а 2 , 1 Ь 2 I)sigll Ь 2 I -<
-<тax('al a21, 'bl b2').
Отсюда следует, что
Е (8 * 8*)2 < Е тах {(Н (v) н (V»)2, (8* 8*)2} -<
-< Е (Н (V') Н (V»2 + Е (8* 8*)2. (4.3.10)
Функция Н (t) монотонно возрастает на полуоси t:> О,
меняясь от О до 1/3, будучи при этом воrнутой. Посколь
КУ Н (t) t ПРИ t О И ФУНКЦИЯ н' (t) МОНОТОННО
убывает с ростом t, то
IН(v) Н(v)I-<Н'(+О)lv vl===+lv vl.
Отсюда получаем, используя (4.2.9), что
Е (H(v) H(V))2-<}E (v v?-<+ (а; + a .).
Вместе с (4.3.10) это дает (4.3.9).
Таким образом, мы можем утве рж дать следующее.
Теорежа 4...1.1. Статисти-к,и V", 8* и 't * являются
состоятельnы,ии асижптотичес-к,и nес.мещеnnЬL.ми oцe1{,
ка.ми пара.:метров ", 8*, 't* со средnе'Rвадратичес-к,и,м oт
клоnеnие.м от oцenuвae.мoao параметра и величиnой CMe
щеnuя поряд-к,а 1/уп.
Оценки исходных параметров а, , л извлеКаютСя из
равенств (4.3.6) путем замены параметров ", 8* и 't* их
оценками, т. е.
а == Cv) 1/2, == ( , 8 *), 1, == л (V", 8*, 't *).
Поскольку зависимости величин а, , л от параметров
'V, 8*, 't* являются rладкими, т. е. все функции в (4.3.6)
имеют производные по совокупности своих переменных
(на rранице области их изменения Q* следует rоворить
лишь об односторонних производных), то утверждение
теоремы 4.3.1 распространяется и на оценки а , 13 и
Однако явные формулы (4.3.6), (4.3.4), связывающие их
с оцениваемыми параметрами а, р, л, оказываются очень
rромоздкими, что затрудняет получение компаRТНЫХ oцe
., u
нок среднекнадратических отклонении и смещении CTa
266
rЛ. 4. ПАРА МЕТРЫ усrrойчивых РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
тистик а , , л от соответст.вующих IlapaMeTpoB а, , Л.
Мы не будем приводить этих «неrабаРИТIIЫХ» расчетов
и адресуем желающих с ними ознакомиться R работе
[168]. Здесь iKe разберем БОJIее простой случай, связанный
с оценками параметров а, л на основе преобразованной
выборки Y ,. · ., y n.
Построим по набору величин V jO === log 1 y 1, j ===
== 1, . . ., 3п, выборочное среднее Ао, выборочную дис
8 2' б '" 6 4.12 1 Р
персию о и о означим "о == п оо 2. ассмотрим CTa
тистики
Vo тах ( 1 ' \>0) и:t о ==Ао (4.з.11)
в качестве оценок параметров "о == ", ,;0, связанных с Па
раметрами а, л равенствами (4.3.7), (4.3.8).
Большое преимущество оцено:к "о, То по сравнению
с аналоrичными оцен:ками v, т* состоит в простоте связей
оцениваемых ими параметров с а, Л. В результате COOT
ветствующие им оценки а, '""""'л имеют следующий простой
вид:
а == v 0 1/2, 1. == + ехр [(io + C)V 1/2 С]. (4.з.12)
Насколько хорошими оказываются статисти:ки а, л в
роли оценок параметров исходноrо распределения, по
зволяет судить следующее утверждение.
Теорежu, 4..1.2. Для люБыlx пар допустимых значений
параметров а, л (в форме (А)) их оценки а, л , пocтpoeH
ные в соответствии с (4.3.11) и (4.3.12) по преобра80ван
ной выборке Y ,..., y n, удовлетворяют неравенствам
Е (а а)2 -< 156 (22v 2 + 10v + 1) ;n +
+8(2V+1)2 зn(зn1 1) при п:;;.>1, (4.з.13)
и
,...., r
Е (л л)2 < 2 [V Р2 (v) + 27 (log 2л + С)2 v Р8 CV ")] х
х [шах (1, 4л 2 ) + ехр (2 (3 2/a) с)д n/2] 3 при 3п> 8/а,
(4.3.14)
п 4
2де Р2 (v) == 60 (36,,2 + 20" + 19), Р8 (v) полином восьмой
степени, совпадающий со значением Los, если в нем
4.3. ОJ ЕНl{И ПАР АМ:ЕТРОВ а, , л
267
8==0
,
и 8начение
L\n дается равенством
положить
(4.3.20) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем
а а === v 1/2 ,, 1/2 == (" v 0)/(Vv 1/2 + v 0,, 1/2).
Величины v и V o не меньше чем 1/4, поэтому правая часть
равенства по абсолютной величине не превосходит
4 I " v о 1. Вместе с тем,
Ivo vl==1 rrax( ,vo) тах( 1 ,v)I-<lvо vl.
Принимая во внимание (4.1.17), (4.1.18) и то обстоятель-
ство, что объем выбор:ки равен 3п, получаем
Е (vo V)2<; Е (\>о V)2== : DS ==
=== ( Е ( V ) 4 ( DV ) 2 ] + ( DV ) 2 1
л 4 О О п л 4 о п (3п 1) ,
d
тде V o === V: o и V o == V o EV o ' Соrласно (4.1.15) и
(1.1.13),
E( V O)4=== 2 ;J (36v 2 +20v+3),(DV o )2== 1 : (2v+ 1)2,
от:куда находим, что
[Е ( V O )4 (DV о)2] === 1 (22v 2 + 10v + 1).
Из выпиеанных неравенств и равенств оценна (4.3.13)
получается теперь без труда.
ДаJJее, используя очеВИll;пое нераненство
1 е'" е У 1-< I х !I I П1ах (е;\', е У ), Х, у Е Rl,
находим
I Х л I < 1 10 g 1 log л I шах (1, л) ===
(io 1'0) v 1/2 I (1og 2л С) " ' тах ( , л) <
"о -v \'''0
< (1 io 1'0 1 + 1 log 2л + с 11 Vo v 1) шах (21, 2л).
Кроме Toro, из (4.3.12) следует, что
mаХ(2л, 2л)<mах(1,2А, exp(2 0+C)).
:
:
,
I
' Следовательно,
268
rл. 4. ПАРАМЕТРЫ устойчивых РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
С помощью неравенства rельдера из полученных Hepa
венств получается оценка
Е (1 л)2 < [Е (1 о То I + Ilog 2л + с 11 v о V 1)4]1/2 Х
Х Е шах (1, (2л)4, (2л)4)]1/ 2 <: 2 [(Е (то то)4)1/2 +
+ (log 2л + С)2(Е (\'0 ,,)4)1/2] [шах (1, 4л 2 ) +
+ (Е ехр (4С + 8To))I/I]. (4.3.15)
Из леммы 4.1.2, блаrодаря тому, что I V o v 1 < I "о vl,
имеем
E(VO V)4<E(vo ,,)4=== 6: E(JS D V O )4.
n
С учетом Toro, что объем выборки равен 3п, последнему
выраlI\еНИIО можно придать вид
64 ( 3п ) 4 { 1 '1. ( 1 ) 2 } 4
1(8 3п 1 Е 3п L.J(Vo DVo) 3п L.J V o <
j l j l
4.64 ( 3п ) 4 [ ( 1 2 ) 4 ( 1 \ 8 ]
<: п 8 3п 1 Е 3n .4J ( V o DV o ) + Е 3п L.J V o ) ·
J l j l
Для оценки последней суммы воспользуемся следую
щими леrко проверяемыми неравенствами.
Если Х 1 ,..., X N , N:> 2 независимые и одина
ково распределенные случайные величины со средним
значением а, то
N
Е ( L (Х j а) ) 4 <: 4Е (Х 1 а)4 N 2,
j l
N
Е ( L (X j а»)8 <: 15Е (Х 1 а)8 N 2.
j l
(4.3.1б)
Кроме Toro, как показывает несложный расчет,
Е ( V DV 0)4 E V == L 8 == Св (О, Р02," ., РОВ)
(здесь верхний индекс «О» напоминает, что мы имеем дело
с параметрами "о == ", f) о == О, от которых только 1I зави
сит функция Lg s ).
4.3. ОЦЕННИ ПАРАМЕТРОВ а, , л.
269
k
,..., 4,,/' 4.64 ( 3п ) 4 (4L O + 15L o ) (3 ) 2 .
Е ( \' О 'У) л 3 3п 1 03 08 п ===
26 . 34 . 1 9 ( 3п ) 4 2
== n tS 3п 1 СВ (О, Р02, · · · , РО8) (3п) .
Полином СВ имеет довольно сложную запись, однаНо
в нашем случае, коrда РОl == О, она существенно упро
щается и приобретает вид
СВ == Ров + 28Р06Р02 + 56Р05РОЗ + 35p 4
210 P04P '1. + 280Р ЗР02 + 105 P '1.' (4.3.17)
rде (ввиду Toro, что 00 == О) величины POk являются
функциями одноrо параметра ":
л 2
РО2 == 12 (2" + 1), РОБ === 24 (5) (,,0/2 1),
Роз === 2 (3) (V 3 / 2 1), РО6 ==: ;;2 (32v 3 + 31),
РО4 === 1 (8v 2 + 7), Ров === ;l (128,,' + 127).
[
I
..
.
(
Следовательно, L s == Р В (V ,,) полином восьмой ст&-
пеIIИ переменноrо yv. При rкелании можно выписать ero
в явном виде, ИСПОЛЬЗУЯ (4.3.17) и явные выражения POk'
Таким образом,
E ( v V ) 4/"" 4.19.64 ( 3п \ J 4Р8 ( ..r 'V ) ( зп ) 2 (4.3.18)
о л iS 3п 1 I У
Зn
'"""' 1
(заметим, что 4.19. 6 4 /л 8 < 180). Далее, 't о 't === 3п L.J V О,
j l
откуда, ИСПОЛЬЗУЯ (4.1.15) и (4.3.16), получаем оценку
Е (то 1(0)4 <: 4Е ( V o)4(зп) 2 == Р2 (v)(зп) 2, (4.3.19)
;
r.
f.
l' ;
:'
l'
f .
r
4:
rде Р2 (,,) === :u (36,,2 + 20" + 19). Для завершения
роения оценки (4.3.15) надо оценить величиНУ
(Е ехр (4С + 8т 0))1/2 == ехр (2С) (Е ехр (8т 0))1/2.
пост
270
rл. 4. ПАРАМЕТРЬ1 устойчивых РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Имеем
зn
Е ехр (8:t о) === Е ехр ( :п L, (V jO ';0) ) ===
j==l
ЗN Зn
===exp( :п ';о)ЕЦ IУjоlв/Зn==ехр( 8,;0)Р ЕIУjоIВ/Зn.
)==1 J l
Здесь нам надо ВСПОМНИТЬ, что в случае 8/3п < а MaT{r
матическое о,нидание Е ! Y jO !8/Зn существует и что ему,
в соответствии с (2.6.26), мо,кет быть придан вид
Е / У jo /8/Зn == Ш О (8/3п, а, О, О, 2"-) == (2"-) /ЗnL\n,
rде
д === (cos ) "'l r (1 ) / r (1 ) . (4 '..} 20)
n 3п 3ап 3п . .
Следовательно,
ехр (2С) (Е exp(8:r 0))1/2===ехр {2 ( log (2л) 2';0+ с) }Д n/2===
=== ехр (2 (3 2/а) С) А Зn / 2 . (4.3.21)
Нетрудно убедиться, что L\ n/2 ехр (4С (1/а 1)) при
п 00. Поэтому при больших п
(Е ехр (4С + 8то))1/2 ехр (2С).
Объединяя теперь в неравенстве (4.3.15) оцеНI\И (4.3.18)
(4.3.19) и (4.3.20), получаем неравенство (4.3.14).
С.ItРдсп/tвие. Cmamucmu"/'i,U а,1, обрааоваnnые СОёлас1tо
(4.3.11), (4.3.12), являются состоятеЛЬnЪLМU u acиMптo
тuчес-кu necMeZlJennbLMU оцеn"/'i,а.мu пара.метров а, Л со
с.мещеnuе.м U средnе-квадратuчеС-КUJ;(; от-клоnеnuе.м от oцe
1tueaeMbLX пара.метров поряд"/'i,а О (1ft п) .
3 а м е ч а н и е. lIa ПРОТЯ,Rении Bcero раздела oцeH
ни параметров устойчивоrо распределения связывались
с исходной выБОрRОЙ объема 6п, п;> 1. TaRoe ПредПО
ложение позволяло без RаRих либо oCTaTRoB формиро
вать преобразованные выБОрRИ У i, . · ., ytn и y , . · ., ygn,
блаrодаря чему соответствующие оцеНRИ были Связаны
с выБОрRами объемов 2п и 3п.
Все неравенства, приводившиеся в теоремах 4.3.1 и
4.3.2, Rонечно, останутся справедливыми, если вместо
фиrурирующих в них последовательностей чисел {2п}
4.4. ОЦЕНИИ ПАРАМЕТРА "
271
и {3п} рассматривать последовательность целых чисеЛ
п === 2, 3,.... Это будет сОответствовать исходным BЫ
БОрRам различных объемов в первом случае 3п, а
во втором 2п.
4.4. ОцеНRИ параметра "
t, ·
' ,
(
:;
в плане предложенноrо выше подхода R решению общей
проблемы статистической оцеНRИ параметров устойчивых
законов параметр у занимает особое положение. Прием,
с помощью KOToporo строились оцеНRИ параметров а,
и Л, состоял в ТОМ, что исходная выБОрRа преобразо
вывалась в новую выборку MeHbmero объема, связанную
зато с распределениями из класса , в пределах KOToporo
лоrарифмические моменты имеют сравнительно простые
выражения в терминах оцениваемых параметров. AHa
лоrичноrо универсальноrо преобразования исходной BЫ
БОрRИ, который позволил бы оценить тем л е способом
параметр у, найти не удалось, и, похо,не, что TaKoro
преобразования вообще не существует. Поэтому для по
строения оцеНОR параметров у надо ИСRать новые
пути.
В случае а > 1 распределение G А (х, а, , у, л) имеет
Rонечное среднее значение, равное лу, что, в принципе,
дает возможность использовать для ero оцеНRИ выбороч
ное среднее. ОднаRО конечных дисперсий эти распреде
ления при а..( 2 не Иl\-Iеют, и:м:еются лишь конечные MO
менты ПОрЯДRа, меньшеrо а. Тем самым, разброс значений
выборочноrо среднеrо по отношению R оцениваемой Be
личине лу ОRазывается БОЛЬШИ I, причем тем большим,
чем ближе а к едиНице.
Основная идея построения оценки параметра у по
независимой выБОрRе У 1, . . ., У п достаточно БОЛЬШОI О
объема сводится к следующему. Пусть а, , у, л пара
метры устойчивоrо заRона (в форме (А)), которому под
чинены случайные величины У j. Рассмотрим упрощенный
вариаНт задачи, предположив, что значения параметров
а, , л нам известны и оценке подлеiRИТ лишь ОДИН па
раметр у. В общей ситуации приходится сначала оцени
вать а, , Л, а затем учитывать влияние замены точных
значений этих пара:метров их оценками. Задача TaKoro
рода значительно СЛО,Rнее, и мы не будем ее рассматри
вать вообще, памятуя, что назначение настоящей rлавы
скорее иллюстративное, не,нели самостоятельное.
"
272 rл. 4. ПАРАМЕТРЫ УСТОйЧИВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИй
Предположим далее, что в нашем распоряжении име
, ,
ется последовательность случайных чисел У 1 , У2'.'"
распределенных по устойчивому закону G A (х, а, , О, л,
с теми значениями параметров а, В, Л, которые мы счи
таем известными. Понятно, что задача rенерирования
...
такои последовательности чисел может оказаться по CBoe
МУ непростой, поскольку мы, вообще rоворя, располаrаем
лишь довольно сло/иными интеrральными представлени
ями функции а А (х, а, В, О, л) или же ее представлени
ями рядами. Но все эти трудности носят скорее вычисли
u u
тельныи, чем принципиально теоретическии характер.
Исходную выборку У 1 , . . ., У n преобразуем с помо"
щью случайных чисел y , . . ., Y в новый набор величин
]Т1, . . ',Уn, следуя правилу
,
У} == л l (У) Y j ), j == 1,2, . . ., n.
Величины У} МОII\НО трактовать как независимую выI
борку из совокупности, подчиненной устойчивому pac
пределению. В соответствии со свойствами 2.3Ь и 2.1
У } d Л. lY А (а, О, у/2, 2)..) ,1 л. lУ А (а, О, О, 2л.) + у,
откуда видно, что У} подчинены симметричному ух..тойчиво
му закону, смещенному на величину 1'. Точнее F (X 1')===
=== Р СУ) < х) == GJ.4 (л (х у), а, О, О, 2л). Следо
вательно, у совпадает с медианой раснределения Р(х у),
а это, в свою очередь, дает наи возможность ИСПОЛЬ30
... u
вать для оценки у хорошо известныи в математическои
статистике метод выборочной медианы (см., например, [9]).
РаСПОЛОiНИМ наблюдения У} в JJорядке их возрастания
и обозначим члены полученной последовательности че
рез W i :
Шl<Ш2<'.'<Ш n .
Выборочная медиана f.1n определяется равенствами
{ Ш(n+l)/2, если n нечетное,
Iln == (Ш(n+2)/2 + ш n /2), если п четное.
Эту статистику мы и примем в качестве оценки неиэ
BecTHoro параметра у, т. е. поло/ким V === lln. Случаи чет
поrо и нечетноrо n ПРИНI,ипиально не различаются, и свя
занный с ними асимптотичоский анализ (при п (:)())
свойств оценки V приводит в обоих случаях к одним и тем
I
4.4. ОЦЕНRИ ПАРАМЕТРА '\'
273
,не выводам, но в техническом отношении сл уч ай
п нескольк нечетноrо
б о Проще, в связи с чем мы оrраничимся раз
ором только случая п === 2т + 1.
Обозначим F n (х) === Р { ", '" < Х }. Н
( [9] r J етрудно под--
считать см. , 9 17), что
n
Fn(x) (:)pk(x)(1 F(x»n k. (4.4.1)
k m+l
!!(с)ольку функция распределения F (х) имеет плотность
р х === лgА (хл, а, О, О, 2л), то F n (х) также имеет плот--
I10СТЬ и, как показывает дифференцирование (4.4.1),
Рn (х) === p (х) === п ( п) [Р (х) (1 p (х))]т р (х) ===
=== а n ехр (....... тф (х)) р (х), (4.4.2)
rде 'ф (х) === log F (х) log (1 Р (х) и а === п ( 2т )
n т.
Из pa eHCTBa (4.4.2) следует, что смещение Е (1' у)
и среднии квадрат ошибки Е ( ,,? 1')2 оценки V записы
ваются в виде интеrралов
Е (у у) === а n J хр (х)ехр ( т", (x»dx, (4.4.3)
Е (у у)2 а n S х2р (х)ехр ( т", (х»)ах. (4.4.4)
Ра снределени! Jl (x) симметрично, т. е. 1 F (х) ===
F ( x) и р (х) === р ( x) при всех х. Отсюда вытекает
что, во первых, функции 'ф (х), Рn (х) четные и, BO
вторых, принимая во внимание (2.4.8), (2.5.4) и (2.5.23),
что Рn (х) const x a(т+l) l при Х 00. Следовательно
интеrр лы (4.4.3), (4.4.4) существуют, если п > 4/а 1
(первыи из интеrраJIОВ существует, если п > 2/a 1)
!, кроме Toro, интеrрал (4.4.3) равен нулю, т. е. oцeHK
V является несмещепной.
Обратимся теперь к выяснению аСИМIIтотическоrо no
ведения интеrрала (4.4.4). В силу симметричности pac
пределения F (х)
'1' (О) === 2 log 2, '1" (О) === О, (4.4.5)
ф" (О) === 8р2 (О) == 8л 2 g 2 А (О, а, О, О, 2л).
Значение плотности в нуле симметричноrо устойчивоrо
раСllредеJIеllИЯ известно (2.2.11). Поэтому, с учетом
1 n 'R м ппп"'o:Jnt)D
274
rл. 4. ПАРАlVIЕТРЫ УстойчИВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
свойства (2.1.2), 2
"'" (О) === 2 l + r (1 + l/а) (2Л)н/а \ > о. (4.4.6)
Свойства (4.4.5), (4.4.6) позволяют применить дЛЯ ( О4ЛI)
чения асимптотическоrо представления ин е; аеЛ стре а
00 метод Лапласа, с которым м 2 h
при n аналоrичныx обстоятельствах в разделе .
лись при [ 30 ]) По этому методу путем стандартных
(см. также .
рассуждений нахоДИМ
1 === а \ х 2 р (х) ехр ( т'Р (.х)) dx ===
n n ) )
==' а n ехр ( т'!' (О)) х2р (х) ехр ( т'i'" (О) " +... dx.
2 " ( О) 00 при n 00, то I!осле за
Поскольку а n ==' т'!' t и соответствуЮщих оценоК
мены переменноrо апх так у ю асимптотическуЮ
«хвостов» интеrрала получим
формулу:
J n ana 3p (О) еХР ( т,!, (О)) х 2 еХР ( x2 /2)dx,== 1
== (2т + 1) (2;) 2 2т (8т) 3/2 v 2л ( р (О) ) з сп ,
rде
(4.4.7)
с === (л: (2л)(1 а)/аjr (1 + 1ja))2.
Приведенные рассуждения мы MOiHeM теперь сумми
ровать в форме следующеrо утв р жд еНИ: Jtяется состоя
Теорежа 4.4.1. Статист"и-па у n а для всех пe
теЛЬflОЙ fl ,м ( е 2 ще1t 1t: ) 7а о 1t ; д:: а::::J;ат м ошибки
четnых n /""
Е (v ,\,)2 cn 1 при п 00,
nnая с дается равеnство,м (4.4.7). ,...-
zде постоя 1 Для четных n статистика У == f1n
3 а м е ч а н и е . й и асимптотичесКИ несмещенной
является состоятельНО
оценкой параметра 'У 2 '"'7 ещ е О д ин вариант оценки
3 ч а н и е J кажем
а м е . что значениЯ остальныХ
Р а 1\, в преДПОЛОtнении,
парамет J Формально этот вариант оценки
параметров известны. ся выше поСRОЛЬ:КУ не Tpe
выrоднее рассматривавmеrо u вь rбо р 'RИ В основу оценки
б б р азования исходнои . "
ует прео б В соответствИИ со свои
взяты следующие соо раiТ,(\I1ИЯ.
(
i
t-
: :
ij-
'.5. ОБСУЖДЕНИЕ ОЦЕНOR
75
ством (2.1.2)
G (х, а, , l' , л) == G (( х l) л 1/ а, а, , О, 1) ,
rде l == Л (у + ь о ) и величина Ь О однозначно определяется
параметрами а, , л. ОТСЮДа MOiHHO сделать вывод, что
медиана т (а, , у, л) распределения G(x, а, , у, л)
Связана с медианой т (а, ) == т (а, , 0,1) соотноmением
л lт (а, В, у, л) == лl/а lт (а, В) + ь о + 1'. (4.4.8)
Рассмотрим далее выборочную медиану , пОСтроенную
по исходной выбор:ке Y t , . . ., У п , ПОДчиненной распре
делению G (х, а, , у, л). Блаrодаря хороmим: аналити
чес:ким свойствам устойчивых законов, статиСтика I-tn
о:казывается распределенной асимптотически нормально
со средним значением I-t === т (а, , 1', л) и дисперсией
а 2 "'-1 g 2 (I-t, а, , у, л)(4п) 1, п 00
(см., например, [9]).
Следовательно, заменив в (4.4.8) медиану I-t выбороч
ной медианой t , мы получим оцен:ку параметра l'
.
v === л lfi Ь О слl/а l,
(4.4.9)
rде с == т (а, ) единСтвенное решение уравнения
G (х, а, ) === 1/2.
Оцен:ка l' является, :ка:к и оцен:ка из теоремы 4.4.1,
аСимптотичес:ки несмещенной и СОСтоятельной (точнее
1/1 ! п состоятельной) оцен:кой параметра у.
4.5. Обсуждение оценок
Приводившиеся в разделах 4.2 4.4 оцеНI{И парамет
ров устойчивых закопов не ЯВJIЯЮТСя наилучшими да}не
в асимптотическом смысде при возрастании объема BЫ
бор:ки п до бес:конечности. Объясняется это прежде Bcero
тем, что все оцен:ки строились на основе выборочных
моментов и выборочной медианы статистик простой
стру:ктуры, не обладающих, :как правило, наибольшей
эффективностью. К тому }не при построении оцено:к в общей
ситуации ИСПОЛЬЗ0валось преобразование исходной BЫ
бор:ки, ПРИВодившее или к уменьшению ее объема в 2
3 раза, или к увеличению в отдельных случаях рассеяния
составляющих выбор:ку случайных величин. Вместе с тем,
найденные нами оцении облал;ают и РЯДО 1 достоинств,
276 rл. 4. ПАРАМЕТРЫ устойЧИВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
которые не только позволяют рассматривать эти оценки
в качестве удобноrо инструмента ПрИ решении практи
ческиХ задач, но и делают их хороmей основой для по
строения наилучшиХ в определенном смысле oI eHOI{
соответствуЮщих параметров. .
Если условиться на времЯ обозначать через:.tJ. оцепну
параметра (которым может быть любой из параметров,
рассматривавшихся в разделах 4.2 4.4), то в отношении
ее своЙСТВ MOiKHO сказать, что она
1) имеет алrоритмически простую CTPYI{TYPY (прежде
Bcero это относится к оценкам параметров сх, 8, "с, COOT
ветствующиМ форме (Е)), u
!В 2) является асимптотичес:ки нормальноИ, /"00.1 2
tf, 3) имеет средне квадратическое отклонение Е (\1 ft)
порядка 1/п.
Свойство 2) ни для одной из оценоК раздела 4.2 4.4
не ДОRазывалоСь, но установитЬ ero справедливость с
помощью центральноЙ предеЛьной T opeMЫ неТI:УДНО,
воспользовавшиСЬ «ЛОRально аддитивнои» структурои oцe
HOR. ИЗ свойства 3), блаrодаря очевидным неравенствам
(EI1 ft)2 < Е (Р: \1)2, D \1 < 4Е (11 ft)2,
Р cV п 111 \1 I ;;: Т) < пЕ Cv. )2/T2, Т > О,
следует, что оценка 11 является асимпт ти чески несме"
щенноЙ со смещением порядка не выше 1/у' п, что диспер-=:
сия оцеНRИ имеет порядок не выше 1/п и, HaRoBeI , что !-1
представляет собой 1/ V п состоятельнуЮ оцеНRУ пара
метра .
Отметим еще одно обстоятельствО, на которое следу 'l
обратить внимание. Построение оценоК параметров устои
чивых распределениЙ производилось в пределах двух
rрупп. В ОДНУ входили параметры а, , л., а во вторую
параметр 'У. РазличалиСЬ эти rруппы преiнде Bcero видом
преобразований исходной выборки при построении oцe
HOR. Оценки первой rруппы можно рассматри!ать в co
вокупности RaK RоординатЫ TpeXMep oro случаи но : о BeK
тора, который, очевиднО, будет 1/V п соСТОЯТельнои oцeH
кой соответствующей тройки параметров.
Современная математичеСRая статист к а располаrает
нескольКими методами улучшения 1/V п состоятельнь[х
оценоК, Rоторые дают принципиальнуЮ возможность по
строить асимптотически эффективные оценКи параметров
I
; ,
,
4.5. ОБСУЖДЕНИЕ ОЦЕНОН 277
устойчивых законов по крайней мере в пределах указан
ных rрупп на основе полученных нами оценок. Эти Me
тоды можно разделить на сЛедующие две катеrории.
Первая содержит методы, не использующие информа
цию об аналитической записи плотности распределения
элементов выборки. Здесь мы сошлемся на сравнительно
не авнюю работу [143], содержащую, в частности, KpaT
кии обзор друrих работ Toro же направления.
Вторая включает в себя методы, в которых знание
плотности распределения ЭJlементов выборки Ilредпола
rается. Среди большоrо числа работ, Связанных с ИС1l0ЛЬ
зованием таких методов, мы упомянем работу [26] pe
зультаты кото ой MorYT составить удобную основу' для
решения об еи проблемы асимптотически эффеRТИВНЫХ
оцеНОR устоичивых распредеJlений.
Предпочтительность методов первой Rатеrории оче
ВидНа, особенно если принять во внимание, что исполь
зуемые в них условия реrулярности распределений эле
ментов выборки uслабее условий, обычно присутствующих
в методах второи Rатеrории. К сожалению, развиты они
зна'Ч!тельно меньше последних и связаны только с за
дачеи оцеНRИ СRалярноrо параметра сдвиrа распределе
ния, что позволяет привлеRать их лишь для оценки Ha
раметра у и, в ряде случаев, для оцеНЕИ пара:метра л.
Поэтому, решая задачу построения асимптотичеСRИ эф
фективных оценок в общей ситуации, нам Придется при
беrать к методам второй катеrории. Причем сразу ,ке
можно сказать, что при построении аСимптотичеСRИ эф
феRТИВНЫХ оценок первой rруппы мы не встретим на YHa
Занном пути ПрИНЦИПиаЛьных затРуднений. Трудности
нач утся, если мы Захотим строить подобные оценки для
всеи совоку пн ости параметров, ПОСКОЛЬRУ задача IIО
строения 1/ V п состоятельной оценки для параметра у
при неизвестных оСтальных параметрах решена не была.
В paMRax проводимоrо обсуждения мы не сможем дe
тально оЗнаRОМИТЬ читателя с содеРiканием общих pe
зультатов упоминавшейся выше работы [26] и тем более
проверить возможн сть их использования в задаче oцeH
Ки параметров устоичивых распределений. Приведем лишь
изложение основной идеи метода в наиболее простой си
туации, Rоrда оценке подлежит лишь один параметр Il.
Пусть р (х, ) плотность распределения независи
мых случ<:йных величин х 1, . . ., Х n, образующих выБОрRУ,
ПО RОТОРОИ мы хотим построить асимптотичеСRИ эффектив
. '
i
278
rл. 4. ПАРАМЕТРЫ УСТОйЧИВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
ную оценну параметра , располаrая неRОТОРОЙ 1/ tf п co
стоятельНОЙ оценкоЙ этоrо параметра. Обозначим через
n
L (Х I ) === log р (Х j, )
j=== t
ФУНRЦИЮ правдоподобия и через L' (Х I fl), L" (Х I ) ее
первую и вторую ПрОИЗВОJ];ные по параметру .
ОI\азывается, что при выполнении неиоторыХ условий
реrулярности в ОТilОJuеllИИ плотности Р (.1:, fl), та НИХ,
RaI{ сущеСТRонаllие и неllрврыностьь .второй JlрuиаНUJ];НОЙ
LIЛОТНОСТИ р (х, ) по l1араметру t и т. Н., статистина
J/ (Х I )/L" (Х I ) (4.5.1)
является аСИМJLтотически эффективной оценКой . В тех
случаях, коrда удается вычислить информацию Фишера,
связанную с распределением Р (х, f.!),
. f д \2
1 ((.1.) === J \ д[1 log р (х, (.1.)) р (х, (.1.) dx,
вместо статистиИи (4.5.1) можно использовать статистику
fl * == 11 + L' (Х I fi) / (пI (fl)). ( 4. 5. 2)
То, что при образовании статистик , fl * используется
явная запись плотности, создает в случае оценки пара..
метров уСТОЙЧИВЫХ законов известные неудобства, по
скольку мы располаrаем, за нескольКими исключениями,
лишь сло/иными формами записи соответствующиХ им
плотностей в виде рядов или интеrраJIОВ. Однако это не
те трудности, которые возникаЮТ при построении оценки
максимальноrо r равдоподобия !-10' I'де LIрИХОДИТСЯ решать
трансцендентное уравнение L' (Х I fl) === о относительно
переменноrо t (flo решение этоrо уравнения).
Пусть, например, мы ищем значение только одноrо
параметра устойчивоrо закона, при условии, что осталь
ные нам известны. Для Toro чтобы воспользоваться oцeH
кой (4.5.1), мы должны, очевидно, располаrать, как
минимум, таблицами значеНий функций :[1 log р (.1', (.1.)
д>
и д;" log р {х, (.1.). Табулирование этих функций не пред
ставляет собой оченЬ СЛОII{110Й задачи. Опыт состаВJlения
подобных таблиц для са IИХ УСТОЙЧИВЫХ распределений
может служить тому подтверждением (см. [6] и [95]).
I
'" '
4.5. ОБСУЖДЕНИЕ ОЦЕНОН
279
IIри построении аналоrичных оценок для нескольних
lIapaMeTpoB (т. е. для оценои венторов) задача в вычи
слительном плане становится значительно сложнее, по
СКОЛЬRу тр буется табулировать все первые и вторые CMe
Iпанные производные лоrарифма нлотности по оцениваемым
параметрам.
Как мы знаем, среди устойчивых законов имеются
такие, плотности КОТОРЫХ выражаются с помощью ЭЛе
ментарных функций. Им соответствуют значения наборов
JapaMeTpoB (а === 1/2, == 1, "(, л), (а === 1, === О, "(, л)
и (а === 2, , "(, л). Последний набор, соответствующий
нормальным распределениям, извеСтен настолько хо-
рошо, что комментировать связанную с ним задачу оценки
параметров нет надобности. Остальные два случая в :ЭТО I
плане известны меньше. Поэтому, на наш взrляд, будет
полезно в порядке иллюстрации к приводившимся выше
соображениям разобрать эти случаи. Мы рассмотри:м
наиболее простую задачу оцени и одноrо из параметров
"(, 'А при УСJIОВИИ, что значение BToporo параметра известно.
В первом случае имеем
g (х, 1/2, 1,1', 'А) ===
('
=== лr (х 1'Л)"'3/2 ехр ( л2 ) Х > ""л.
2 11 п 4 (х ул)' r
(4.5.3)
Предположим, что значение л известно, а значение "(
неизвестно и подлежит оценке. Образуем фУНRЦИЮ прав
доподобия L (У I "(). Ее производная по "( имеет вид
L' (У 11') === + л (У j I'л(l З (У j I'л) 2.
J j
Уравнение правдоподобия L' (У I у) === О, хотя и сводится
R алrебраическому уравнению, не дает возможности
выписаТь оценку маКСимальноrо правдоподобия. Поэтому,
мы будем искать аСимптотически эффективную оценку у
параметра "(, следуя приведенным выше общим УRазаниям.
Ilрежде Bcero, явный вид плотности (4.5.3) поЗволяет
вычислить u связанную с нею информацию Фишера 1 (у).
Несложныи подсчет показывает, что 1 ("() == 42/л 2 . Это
позволяет строить оценну l' вида (4.5.2).
В нашем распоряжении имеются две 1/У п состоятель
ные оценни параметра "(. Одна приводилась в теореме
4.4.1, а вторая в замечании, СОПРОВОil давшем эту Теорему.
rл. 4. ПАРАМЕТРЫ устойчивых РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
280
В рассматриваемом случае наиболее удобной оказывается
оценна (4.4.9). Именно,
у == л l СЛ,
rде fi выборочная медиана и с == 4,38... ......... решение
уравнения
G (х, 1/2, 1) 2 [ 1 Ф ( ;2Х ) ] === 1/2,
rде Ф функция распределения стандарТlIоrо нормаль-
IIoro закона.
В итоrе, с помощью (4.5.2) мы получим в качестве
асимптотически эффективной оценки параметра у ста..
тистику
'\ '2
'" л L ' (У 1 ......., ) 1
У ===У 1 42 У п ·
(4.5.4)
Пусть теперь значение У известно, а значение л надо
оценить. Ход рассуждений остается преiI{НИМ. Строим
функцию правдоподобия L (У I Л,) и затем ищем ее про...
изводную по А:
L' (У I л) === пл 1 + (+ '\' л) (Y j ул) 1
, J
'А2,,; У '1 ) 2
L..J ( j.......... "? ·
j
Понятно что пытаться решить уравнение правдоподобия
L' (У I л) === о н(след ет, а надо строить асимптотически
эффективную оценку А параметра Л, по указанному пра
вилу. ОднаКО в отличие от предыдущеrо случая инфор
мация Фишера l (л), хотя и вычисляется, оказы ается
зависящей от оцениваемоrо параметра л'. Поэтому л ле
дует строить по пр илу (4.5.1). Нужную u HaM 1fV п co
стоятельную оценку л, параметра л можно наити в разделе
4.3 (равенство (4.3.12)). Вычислим вторую производную
L (У I л,) по л:
L" (У I л) === пл 2 (Y j ,\,л(1 +
j
+ + '\' ( \' Ч (У j ,\,л) 2 + л 2 ,,2 'Е (Y j ул).....
j J
r""!'
4.5. ОБСУЖДЕНИЕ ОЦЕНОН
281
в соответствии справилом (4.5.1) асимптотически эффек
тивная оценка имеет вид
Л == л L' (У I I)/L" (У I А) .
Оценка параметра Л, как мы видим, оказалась СЛожнее
оценки параметра "(. Это Связано в первую очередь с BЫ
бором системы параметризации. Если бы вместо системы
(а, , У, А) мы рассматривали систему (a, , у', А), rде
У' == УА, то сложность оценки У' в случае а =::::: 1/2, =::::: 1
осталась бы той же, в то время, как оценка л при условии,
что У' известно, получил ась бы существенно проще,
поскольку уравнение правдоподобия решается довоЛьно
просто. Оказывается, что Получающаяся при этом оценка
наибольшеrо правдоподобия является достаточной CTa
ТИСТИRОЙ (см. [168]).
Построение аСИМПтотически эффективных оценок oд
Horo из параметров У или А в случае а == 1-, == о ocy
ществляется тем же путем с ПОl\IОП ЬЮ явноrо выражения
плотности :; f
g (х, 1, О, ,\" л) === [(х ,\,л)2 + л2J 1.
Для системы параметров (а, , У', А), упомянутой ВЫше,
задачу построения аСИИптотически эффективной оценки
параметра У', при известном А можно найти в [9]. Но pe
шается она с помощью устаревшей итерационной про
цедуры.
Мы закончим оБСУiндение проблемы оценивания парамет
ров устойчивых законов еще одним замечанием. Известно,
насколько практичеСRИ важным вопросом является по
строение доверительных интервалов для оцениваемых
параметров. Этот вопрос вообще не рассматривался нами,
хотя приводИвшиеся оценки параметров v, е и 't блаrодаря
своей простой структуре ПОзволяют сравнительно про
сто строить для них доверительные интервалы. Например
1
оценка 8 сводится к оценке параметра р ==="2 (1 + 8)
в биномиальной схеме (см. пояснение н. лемме 4.2.1),
для которой задача построения доверительных интерва
лов параметра стала нлассичеСRОЙ (см. [9] или [48]).
ПРИМЕЧАНИЛ
Желая по возможности разrрузить ОСНОВНОЙ текст книrи, мы
со()рали в ЭТОМ разделе сведения истори[!сскоrо характера, а тан}нс
те свРдения, которые, на пан! взт'ляд, пр имсют пrрвостrпенноrо 3IIa
чения. В частности, информаI\ИН о том, кому ПIНlнадлржит тот или
иноji результат II l'де ОН был впервые ОllуБЛИliован. Отrутствир в I1рll
:мечаниях lIояснения и ССЫЛRИ к Rакоii Лllбо ТСОрСI\Ю о:значаст, что
автор такоЙ ССЬЫJRо:ii не располаrает И, возможно, что соответствую
щее утверждение пуБЛИRуется впервые.
Введение
В.1. Пойа ввел в теорию вероятностей один класс характерис
тичеСRИХ фУНRЦИЙ, ПОЛУЧИВlllИЙ ero имя. Этот Rласс образуют веще
ственные функции f (t), заданные на всей оси t и обладающие сле
дующими свойствами:
f (О) == 1, r ( t) == f (t), i' (t)-< О, f" (t) > О, t> о.
Функции a), О < а 1, входят, кан леrко в этом убедиться,
в состав Rласса ПоЙа. llодробнее о Rлассе Поiiа СМ. [73].
В.2. -Класс безrранично делимых законов по определению co
стоит из тех распределений G, ноторые MorYT быть представлены
RомпозициеЙ п одинаковых распределениЙ G n , наново бы ни было цe
лое число п > 2. В 1934 rоду JIеви получил описание распределениЙ
G этоrо класса в терминах СООТВРТСТВУIОП ИХ им характеристических
ФУНRЦИЙ g (t).
Тап называемая Rаноничрская форма записи J[еви ФУНКI\иi[
g (t) имеет вид (В.З). ..
ТаRИМ образом, теорема А является перефразировкои теоремы
Хинчина , утверждающей, что введенный нами 1\ласс @ и класс без
rранично делимых распределениЙ совпадают. Впсрвые этот ре;1УЛЬ
тат был опубликован Хинчиным в Математическом сfiорнинР М 2
(44) за 1937 rод в статье «Zur TheoI.ie der uпЬеsсhrапk teilbal'ell
V erteilungsgesetze).
В своих исследованиях Хинчин пользовался иноЙ формоЙ запи
си фуНRциii g (t), нежели Jlеви. В наше время она получила название
нанон:ичеСRОЙ формы записи Jlеви Хинчина. Теорема Б, ДОI\(lзан
ная fнедеНRО, в ориrинале соответствует каноническоЙ форме ааllП
си ЛеВIf Хинчина, а не RаноничеСRОЙ форме записи Леви, (' KO
тороЙ свяэана приводимая формулировка.
В . J. Встречающиеся в ,ТIитературр варин нты ааппси фУНIО 1I ii
g (t) lJмеют вид
g ( t ) == е х р ( i t l' л '1) ( t , а, (1 ) ) .
\
\
\
\
..
ПРИМЕЧАНИН
283
t f:
r :'
в используемых нами формах записи функции log g (t) параметр
"'? заменяется a ",?Л, в результате чеrо эта фУНRЦИЯ становится про
порциональнои Л. ОRазывается, что таRая форма записи имеет aHa
литичеСRие преимущества, хотя одновременно исключает из ()писа
ния семейства 6 вырОil\денные распределения. Можно удивляться
тому, что до сих пор не ОЗНИRало желания записывать характерис
тические функции УСТОIIЧИВЫХ заRОНОВ II хараRтеристические фУНR
ции (t, л) однородных устойчивых процессов Х (л) соrласованным
образом. Дело в том, что (см. [80]) log (t, л) == л log (t, 1), rде
л > о имеет смысл параметра nремснн.
flаиболее известная и часто использовавmаяся до последнеrо
времени форма (А) записи функции log g (t) предложена Л еви в [58].
R случае а == 1 эта формула независимо от Леви предложена Хин
уиным в r92]. Форме (А) преДПIествовала в моноrрафии Леви [57]
слеДУЮII ая ее МОДИфИRация, полученная для cTporo устойчивых за
конов:
Iog g (t) лr ( а) (cos ; а i sin а) t a ,
rде О < а 2, ! I -< 1, л > О и t > о.
Формы (В), (М), (С) и (Е) впервые появились, по видимому,
в работах автора [32] [33] и [152]. На достоинства форм (В) и (С)
обращали вним ние уже давно. IIапример, форму (С) мол\но BCTpe
тить в известнои моноrрафии Феллера [89], а форма (В) системати
чески используется в моноrрафиях Ибраrимова и ЛИННИRа [39] и
Лунача (61].
В.4. Связь постоянных С 1 , С 2 , присутствующих В выражении
(В.10) спектральноЙ фУНRЦИИ Н(х) устойчивоrо закона, задаваемоrо
в форме (А) lIараметрами а, , "'?' л, устанавливается следующими
равенствами:
:rt
С 1 == Л (1 + ) л lr (а) sin 2 а,
:rt
С 2 == Л (1 ) л lr (а) in"'2 а.
В.5. }{ритерии 2 и 3 берут свое начало в работах Леви.
В.6. Rсли равенство (В.27) заменить равенством
d
С] Х 1 -+ С 2 Х 2 I ... + ('k X h' ==-= Х 1 + а,
rде а ностоянная, то мы IlОЛУЧИМ Rритерий нринадлежности не
вырожденноrо распределения R .
В.7. Имрется довольно MHoro работ (тап или иначе связанных
с устойчивыми законами), в ноторых повторяется одна и та же оmиб
На. Именно, для описания семейства е; в них используется форма
(А) записи функции log g (t), в RОТОрОЙ знаR перед Нro А (t, а, )
в случае а =1= 1 выбирается «минус». Вместе с этим п редпола
rается пак обычно, что значение == 1 соответствует тем устойчивым
законам, ноторые появляются в схеме (В.6) в качестве предельных
распределений нормированных сумм Zn С положительными слаrае
МЫМИ. НО такое предположрпие несовместимо с выБОрО I «минуса»
r(\ред itw 4. IJ форме (А),
284
ПРИМЕЧАНИЯ
ОlIIиБRа, ПО ВIIДИМОМУ, получила распространение по той при..
чине, что она ПРОНИRла в хорошо известную :моноrрафию [21]. Холл
[94] посвятил обсуждению этой ошиБRИ специальную заметку, KO
торую он назвал (по видимому, излишне претенциозно) «Комедией
ошибок».
Будучи в целом бесспорно правым, он, на наш взrляд, излишне
сrустил краски, представив дело так, будто замеченное им заблуж
дение является чуть ли не всеобщим. В действительности этот дефеRТ
в :моноrрафии [21] был замечен уже давно. Например, специальные
замечания на этот счет делались в работах Золотарева [31] и CKOpO
хода [82]. И вообще имеется немало статей и книr, авторы ноторых
ОRазались достаточно внимательными и в упомянутый «rpex» не
впали. Здесь можно для примера упомянуть работу Линника [60]
и книrу Феллера [89].
rЛ8В81
1.1. В конце пятидесятых начале шестидесятых I'ОДОВ в M()("
новском Университете работаJI семина р по теории вероятностей.
II а одном I1З заседаний руководитель семинара Е. Б. Дынкин рас...
сказал слеДУЮIЦУЮ любопытную задачу, Rоторая восстанавливается
здесь мною по памяти.
В плоскости (х, у) рассматривается броуновское движение u час
тицы, начинающей свое движение из точки (О, О) и подверженноп по
стоянному сносу В направлении вентора а =.-:: (аl, а 2 ) со значениями
аl О и а 2 -< О. Прямая у === 1 представляет собой поrлощающий
экран. При таном сносе частица поrлощается с вероятностью еди
ница. Пусть (Х о' 1) ТОЧRа поrлощения. ОRазывается, что в слу
чар аl > О, а2 < О случайная величина Х о имеет нормальное pac
пределение на прямоЙ у === 1, а в случае а 1 > О, а 2 ==:: О она под
чинена устоЙчивому распределению с параметрами а == 1, == 1
(здесь параметры мо}кно связывать пак с формой (А), тап и с формой
(В». Если же аl == О, а 2 === О, то Х о имеет распределение Коши (т. е.
а == 1, == "? == О).
1.2. Модель точечных источнИRОВ влияния, основанная на ис
пользовании пуассоновскоrо распределения числа точек в Rонечной
области, видна ул\е в неБОЛЫIlОЙ замеТRе ЛИфПlица [114], посвящен
ной решению одной физическоii проблемы (подробне о He . rOBo.
рится во втором примере ). IIеСRОЛЬRО поз/ке частныи случап этои
модели стал предметом саl\IостоятеЛhноrо исследования в статье rуда
[107]. Возможно, что интерес R самой модели был rтим:улировз н ра
ботой Хольцмарка (139] (см. пример 1) или излол{ением ее результата
в известной КIIиrе Чандрасекара [140].
Но ни Хольцмарк, ни l:IандрасеRар не опирались на идею ис
пользования модели, в KOTOpoi,j число частиц, попадающих в оrрани
ченный объем, случайнои Jlодчиненопуассоновскому распределению.
В результате их метод выrлядит более rромоздким и менее универ
сальным.
ЧастныЙ случаii модели точечных ИСТОЧНИRОВ ВJIИЯНИЯ леr в oc
нову решения ОДllОЙ задачи из теории твердоrо тела, рассматривав
шеfrся в работе Золотарева иСтрунина r 112].
1.3. Распределение Х ольцмарка стало IlIИрОRО известно в Teo
рин вероятностеii блаrодаря КIlиrам ЧандрасеRара [140] и Феллера
r89]. Явноrо RыраЛ{РНIfЯ II алем:ептарных фУНRЦИЯХ плотности pac
нредеJ1еПIl н v не существуе r. O/ HaKO известно (см. (153) сравцителр
-
rt
. : .
'i.
ПРИМЕЧАНИЯ
285
t 'c
'1
,
!,'
но простое выражение фУНJ<ЦИИ распределения длины ":
п/2
Р ( 1"1..----2/3 I < r) == 1 , ; (1 +3ar8) ехр ( ar 3 ) dqJ, r > О.
о
rде а == (cos ер)2 cos (ер/2) (sin (3ер/2))"'З.
1.4. Пример взят из работы Овсеевича и Яrлома [128]. В работе
имеется ошибка, существенно влияющая на содержание всей pa
боты. Отметив, что временная фУНRЦИЯ F (t, л) рассматриваемых ти
пов линий может быть представлена в виде композиции любоrо чис
ла п одинаRОВЫХ временных ФУНRЦИЙ F (t, л) == F (t, л/п) * ...
... * F (t, л/п), авторы делают вывод, что фУНRЦИЯ F (t, л) должна
быть функцией распределения устойчивоrо закона. Однако подме
ченное ими свойство хараRтеризует в действительности более широ
RИЙ Класс распределений (см. примечание В.2).
1.5. Уже после подrотовки рукописи к печати мне стал известен
один интересный пример появления устоЙчивых З1RОНОВ в наслед
ственной теории упруrости. Он содержится в книrе А. А. ЛОRшина
и ю. В. Суворова «Математическая теория распространения волн
в средах с памятью» (Мзд. MfY, Москва, 1982 r.).
Общее уравнение движения однородноrо наследственно упруrо
то стержня единичноЙ плотности, совершающеrо продольные Rоле
бания под воздействием внешней наrРУЗRИ f (t, х) имеет вид
д2 д2 д 2
Vu == f, rде V === at!. дх'!. + R (t) * дх'!. , (D)
t времн, х Rоордината точки стержня и f!.. (t) так называе..
мое ядро релаксации, связанное с друrои ха рактеРИСТИRОЙ
стержня ядром ползучести К (t) соотношением
R(t)==K(t) K(t) *K(t)+...
В том случае, коrда ядро ползучести на интервале О < t < t o
1
имеет вид К == ер + "'4 ер * ер, rде ер (t) === ht a Е (t)/r (1 а), h > О,
О < а < 1 и Е (t) единичное распределение, фундаментальное
решение (t, х) уравнения (п) отлично от нуля в уrле t I х I и
MOiHCT быть записано с 1I0МОЩЬЮ функций G (х, а., 1) в области I х I
< t < I х I + t o :
(t, х) == +G ((t I х 1) / (+ h I х ,у/а, а, 1 ) +
t
k \. (t y) a ( / ( 1 ) 1/(1, )
+ т J r (1 ) G (у I х, ) т h I х , , а, 1 dy.
, х \ \
в друrих задачах теории наследственноЙ Уllруrости устоЙ,ивые
законы появляются 8 связи С тем, что популярное в этой теории ядро
ползучести РаБОТlIова К (t) == 9 a ( b, t) связано с Функцпеii
МJJ1таr .ТТсффлера. Еа (х): 9а (Ь, t) == (1 + а) [aE +ц (Ье 1 + а ).
286
ПРИМЕЧАНИЛ
rлава 2
2.1. Ссылка на материал rл. 3 приводится лишь В целях общей
ориентировки при оценке возможностей использования приводимой
ниже леммы 2.1.1.
2.2. Имеете я несколько случаев, Коrда плотности устоЙчивых
законов MorYT быть выражены с помощью специальных:Функциii
Соответствующие формулы имеются в разделе 2.8.
2.3. Идея использования представлеНИII (2. 2.8) (2.2.10)
при анализе свойств устойчивых распределений берет начало в pa
боте Линника [60], rде рассматриваJIСЯ формально ЛИIПЬ случаЙ
а < 1. Равенство (2.2.11) указано в работе авТора [33].
2.4 . Представление (2.2.13) получено Скороходом [82].
2.5. Теорема 2.2.3 в несколько И:1менснном Виде доказана в pa
боте автора [34].
, 2.6. Тот факт, что устоiiчивые распределения с а < 1, == 1
и V о целиком сосредоточены на полуоси х > О, отмечал незави
симо друr от друrа ряд авторов Берrстрем [3], Линник [60], OB
сеевич и Яrлом: [128]. Однако первым на Hefo обратил внимание Ле
ви ([57], равенство (113)).
2.7. Теорема 2.3.1 (точнеr равенство (2.3.3), соответствующее
форме (А)) ЯВJIяется основным результатом работы автора [31].
2.8. Утверждение, эквивалентное утверiндению теоремы 2.4.1
в части, соответствующеЙ случаям а < 1 и а 1, докаэапо CKOpO
ходом в [81] и [83]. Тот факт, что плотность g (х, а, ), а > 1, яв
ляется целой аналитическоЙ функциеii, отмечалсн в книrе fнеденко
и Rолмоrорова [21] со ссылкой на А. и:. tТlапина.
2.9. Представления (2.4.6) и (2.4.8) независимо друr от друrа
найдены Берrстремом [3], Феллером [88] и Чжа Чжун Чжэ [96].
Эти разложения в ряды плотностей g (х, а, О) получены еще Винт.
нером [14]. Для случая == 1 равенство (2.4.8) отмечается в работе
Полларда [75]. В цитируемой работе Берrстрем делает ссылку на
одну из работ Хамберта (Р. Humbert) 1945 rода, rде приводилось
формальное разложение (2.4.8) функции g (х, а, 1) для а < 1.
2.1 о. После Toro как были найдены разложения в степенные
ряды целых функций q (х, а, ), а =f=. 1, вычисление их порядка а
и типа б труда не составляло, так что значения а и б были известны
тем, кто интересовался свойствами устой.чивых распределений.
Теорема 2.4.3 в несколько измененной формулировке появилась
впервые в книrе Лукача [61]. Однако имеющееся там доказательство
Toro, что а 00 в случае а == 1, =f=. О, ошибочно. ПриводимыЙ
нами вариант доказательства этоrо факта предложен И. В. OCTpOB
ским, который заметил также, что имеет место точное равенство
lim sup r llog log М (r) == 1/ .
r oo
2.11. О возможности разложения функции q (х, а, 1), а < 1,
по полиномам Лаrrерра знал Н. В. Смирнов. Мне довелось СЛЫJпаТfJ
об этом на семинаре Нолмоrорова (работавшеrо в Московском Унп
верситете в 1954 55 r.).
2.t2. На асимптотическое СООтношение (2.5.18) без cTporofo
обоснования впервые указал Rолмоrоров на семинаре, упоминав
Iпемся в примечании 2.11. Первыечлены асимптотическоrо разложе
ния (2.5.17) были получены в случае а < 1 t-ПИННИКОl\l [60] И в случае
rt 1 Скороходом [82]. В цолцом объеме асимптотическое разло
r1 '"
. . . .::;
. ... 1 :, .. ,,,
: .
t
. ,
'. !!С.
,, ;
,.
y
r'
\
\
\ ПРИМЕЧАНИЯ 2 87
жение (2.5.17) в несколько IIЗl\1ененноii форме появилось в KHlIro
Ибраl'Иl\!ова и Линника [39]. Следует заметить, что приводимые
там формулы содержат опечатки.
2.13. Асимптотическое разложение (2.5.25) наЙдено Скороходом
[82] (без явных выраil\ений коэффиц:иеНТОF d n ).
2.14. Равенство (2.6.10) в случае а < 1 получено Поллардом
[75], а в случае а > 1 автором в работе [33].
2.1:>. Равенство (2.6.11) доказано автором в [33].
2.16. СООТНОlпение (2.6.15) является :эквивалентом COoTHoIIle
ния (3.3.10).
2.17. Теорема 2.6.3 доказана автором [33].
2.18. Равенство (2.6.26) доказано автором в [33].
2.19. I{ласс L является подмножеством @. Он MOfI\eT быть
определен как множество всевозможных полных пределов *) pac
пределений нарастающих сумм независимых случайных величин
(Х 1 ... + Х n ) B l Аn со свойством
tl
шах (Х 1, . . ., Х n ) Bnl О при п -------? 00
или же как MHofKecTBo безrранично делимых распределениЙ с
абсолютно непрерывными спектральными функциями Н, обладаю
щими свойством невозрастания на полуосях х < О, х > О IIроизве
дения xlI' (.т).
2.20. Теорема 2.7.2 принадлежит Хинчину [92].
2.21. Теорема 2.7.3 представляет собой вероятностную интер
претаЦИIО известноrо критерия одновершинности Хинчина (он при
водится в следствии 2). Равносильное утверждение в терминах
хараI{терпстичеСI\ИХ преобразованиЙ (2.7.5) приведено в работе
автора [37]. В книrе Феллера [89] имеется упоминание, что на эту
интерпретацию обратил также внимание III епп (L. Shepp).
2.22. Лемма 2.7.2 использовалась В интнером при доназа тель
стве теоремы 2.7.4 в работе [11]. Мы приводим новое доказательство
этоЙ леммы.
2.23. Теорема 2.7.5 доказана в работе Ибраrимова и Чернина
[40] .
2.24. Используемая нами система операторов, интерпретиру
емая как дробное :интеrрирование и дробное дифференцирование,
не единственная. Например, можно использовать систему опера..
торов вида (О < r < 1):
х
I rh (х) == r r) (х оН h (t) dt,
:x>
х
r r
1 h (х) == r (1 r)
[h (х) h (t)] (х t) r l dt.
-O
И 'еются и друrие типы операторов с аналоrичными свойствами.
3а дальнеiiПlей информациеЙ l\fbl отсылаем читателей к работе
Феллер" [88]. Одной из неl' ноrих работ, в которых операторы дроб
HorO дифференцирования и интеrрирования используются в зада
чах теории вероятностей, является стаl ья Вольфа [17].
*) Имеется в виду сходимость «вполне».
288
'"
'"
.
r<
ПРИМЕЧАНИЯ
2.25. Родственным по структуре уравнению (2.8.12) является
интеrро дифференциальное уравнение для плотностей устойчивых
законов, приводимое в книrе Ибраrимова и Линника ([39], теорема
2.3.2), которое содержит, однако, существенную неточность. Воз
никает она за счет Toro. что в определении оператора дробноrо
интеrрирования (аналоrичноrо используемому нами) отсутствует
комплексный :множитоль охр ( iлr). В результате обратный опе
ратор к определенному ими нельзя рассматривать как обобщение
110НЯТИЯ дифференцирования.
Там же утверждается, что интеrро дифференциальное ypaB
нение вида (2.8.12) преобразуется в дифференциальное уравнение
(2.8.25) в случае рациональноrо а. В действительности это ypaBHe
иие получается как следствие интеrро дифференциальноrо ypaBIIe
пия вида (2.8.20).
2.26. Медеши [69], рассматривая плотности g (х, а, , О, /\,)
несмещенных CTporo устойчивых законов, вывел для лих ypaB
иение в частных производных в том случае, Rоrда а == т/п pa
циопальное число с взаимно простыми т и п:
3 aaj+b j
К j а. Ь g == О,
1 дх lд'Л, j
Jr::::=
rде aJ, Ь } и К} постоянные числа, зависящие от т, n, и HeKO
Toporo свободноrо параметра, изменение ROToporo дает семейство
уравнений. Если учесть, что g == 'A l/ag (х'Л llа, а, , 0,1), то
становится очевидной связь Toro уравнения с уравнением (2.8.24)
. 2.27. Уравнение (2.8.26) содержится в работе Линника [60].
2.28. Правую част}) (2.8.29) нетрудно ПРflобразовать Т\ виду
1 "1/
п Rc {.,. Л ехр ( 2) 2i w ( )},
rде == iz/2 и w ( ) == ехр ( \;З) ехр (t J ) dt. Функция w ( ) ДЛЯ
()
комплексных табулирована [47].
2.29. Равенство (2.8.33) установдено Поллардом [75].
2.30. Теорема 2.9.1 доказана автором [33].
В работе Кресьо [53] изучаются свойства распределения
Ra (х) == Р (1 у (a, , О, л) la < х), а < 1, иреПIаются такие задачи,
,
как представление плотности Ra (х) рядом по обратным степеням х
и предельное поведение Ra (х) при а.....-4 О (мы пользуемся здесь
своими обозначениями). Поскольку, нан леrко видеть,
R а ( х) == G (х 1 / а, а, , О, 'Л) G ( х 1 / а, а, , О, 'Л),
то обе упомянутых задачи получают очевидное реIIJ( ние, если BOC
пользоваться элементарным свойством У (а , О, 'Л) == 'Л 1 / а у (а, О)
и привлечь равенство (2.4.8) и предельное соотнотпение (2.9.1).
2.31. Асимптотическое разложение (2.9.4) было получено aB
тором в [33]. В работе Б роквелла и Брауна [8] доказывается, что
\
ПРИМЕЧАНИЯ 280
ас.НМlIТn\ПЧ('('I\О(' рп:шnж('нн(' (2.9.4) в с.JIуча(' 8 == 1, .т> О является
ОХОДНIЦIIМСН рядом прп всех а < 1. Структура аСIfМПТОТllчеСJ\оrо
разложения (2.9.4) ПОI{азывает, что ero сходимость при любых
допустимых а < 1, е является следствием упомянутоrо результата.
2.32. Ас]t1МПТОТliчеСRое разложенне (2. .8) ПрИБОДlIЛОСЬ в рабо
те автора [33]. Однако указанное там выражеПlIе функции 111
ОlТIИ б очн о.
2.33. Теорема 2.10.1 результат автора [32].
2.34. На связи (2.10.9), (2.10.12) функций Миттаr Леффлера
с устойчивыми законами указывалось в работах автора [32]
и [33].
2.35. ю. rI. Студне в в некоторых своих работах рассматривал
обобщение понятия безrранично делимых распределений в пределах
множества функций V (х) оrраниченной вариации, удовлетворяю
щих условиям V ( oo) == О, V (00) == 1. В работе 1967 rода «О пе
которых обобщениях предельных теорем теории вероятностей»,
онуБЛИI\ованной в 4 выпуске журнала «Теория вероятностеЙ и ее
применения», имеется упоминание о классе «обобщенных устой
чивых законов» и приводится вид соответствующих им преобразс
ваний Фурье Стилтьеса. Хотя этот класс содеРЖIIТ функцию
Эйри, вопрос о том, является ли он естественным расширением
семейства устойчивых распределений, пока не рассматривался.
Мерилом «естественности» может служить, в частности, закон двой
ственности, которому функция Эйри, как показывает (2.10.15),
удовлетворяет.
rлава3
3.1. Материал настоящей rлавы, за ис:ключением теоремы 3.4.3
и' сведений из раздела 3.5, базируется на результатах работы aBTO
ра [33] (rлавным образом ее второй части). Имеется несколько пуб
ликаций друrих авторов, результаты которых прямо или косвенно
связаны с излаrаемыми ниже фактами. Эти случаи будут отмечаться
и комментироваться отдельно.
3.2 Статистическая интерпретация понятия срезки танова.
Если Х 1 , . . ., Х п независимая выборка, подчиненная тому ,не
распределению, что и распределение случайной величины Х, то
отбирая среди X j только положительные, мы получим выборку
Xil' . . ., XiT (случайноrо объема Т, подчиненноrо биномиальному
распределению), распределение элементов которой совпадает с pac
'"
пределением срезки Х.
3.3. Тот факт, что случайная величина 1/ Х имеет распределе
ние КОJlIИ, если ему подчинена самая случайная величина Х, изве
стен по видимому, давно, но никаких ссыло:к, предшествующих
работе автора [33], найти не удалось. Менон [70] получил следую
щую интересную характеризацию распределений типа Коши.
П усть случайные величины Х и 1/ х являются устойчивыми, при
d
чем 1/ Х == h (Х), rде h (х) == Ах + о (1), А постоянная и
}t' (х) == А + о (J х , e), Е > О, при I х I 00. Тоrда Х подчинено
распределению G А (х, 1, О, 'У, 'А).
3.4. Из соотношения (3.3.4) можно извлечь следующее инте
ресное равенство, если выбрать а == 1/2 и воспользоваться явным
290
I
J
/
ПРИМЕЧАНИЯ
)
выражен:м ПЛОТНОСТИ g (х, 1/2, 1): /
\ Bи ( ../ , 1) d Уп 3/2 ( 1 , /2 1)
J е g f и, а , и === s g 4s ' а , ·
о
Частным случаем ero (если выбрать а' === 1/2) является равенство
(3.4.26) .
3.5. Наиболее простой случай распределения стаТИСТИRИ L
получается при а == 2. Это следует из (3.3.21) и (3.3.17):
'd Z (2, 1/2) d d
JJ === Z (2,1/2) U === Z (1,1/2) U === у (1, О),
т. е. статистика L, представляющая в этом случае отношение N/ N
двух независимых случаЙных величин, распределенных по CTaHдapT
ному нормальному закону, имеет распределение Коши факт
хорошо известный в теории вероятностей. Аналитически pOДCTBeH
ным ему является следующее соотношение, вытекаlощее из (3. 3 .17):
Z (а, 1/а) d ,
Z(a,1,/a) ===Z(1,1/a), 1<а<2.
3.6. Теорема 3.4.3 принадлежит Вильямсу [10]. В предла-
I'aeMoM им доказательстве вид преобразования Меллина
М ( s, 1/ n, 1) находится самостоятельно, с помощью одноrо OCT
pOYMHoro соображения, которое мы считаем полезным привести.
П усть а === 1/ n, тоrда для любоrо s > О
ехр ( sa) == Е ехр ( sY (а») === Р (sY (а) < Е),
rде Е независимая от У (а) случайная величина, имеющая пока-
зательное распределение. Так как
Р (Е/У (а»а > sa) == ехр ( sa),
(Е/У (а»а d Е и У (а)/Е d E .l/a.
то
Следовательно, при любых r > a справедливо равенство
Е (y r (а) Er) == Е (Erja) == r (1 + r/a)
и, кроме Toro, ввиду независимости У (а) и Е,
Е (y r (а) Ef) == Eyr (а) Е (Er) == Ey r (а) r (1 + т).
Сравнение полученных равенств показывает, что
м ( r, а, 1) == Ey r (а) == r (1 + r/a)/r (1 + т).
rлава Ii
4.1. Материал настоящей rлавы почерпнут в основном из ра-
боты автора [152]. Теорема 4.3 использует технику работы Януш-
нявичене [168], rде решалась, в частности, аналоrичная задача.
,
( ,
ЛИТЕРАТУРА
,.
t
t
[
(
t
';1
1. Работы общетеоретическоrо характера
[1] Б е Й т м е н r., Э р д е й и А. Таблицы интеrральных преоб
разований. Т. 1./При участии MarHyca В., Оберхеттинrера Ф.,
Трикоми Ф. М.: Наука, 343 с.
[2] Б е р r с l' р е м (Bergstrom Н.). Оп t}le theory of the stable
distribution functions. In: 12/te Skand. matematiker
kongr. L un d 1953, L un d: 1954, р. 12 13 .
[3] Б е р r с т р е м (Bergstrom Н.). Оп some expansions of stable
distribution functions. Ark. Mat., 1952, У. 2, N 18, р. 375 378.
[4] Б е р l' С Т Р е 1\1 (Bergstrom Н.). Eine theorie der stabieler
Verteilungsfunktionen. Arch. Math., Karlsruhe, 1953, В. 4,
N 5 6, s. 380 391.
[5] Б и б е р б а х (Biberbacll L.). Lehrbucll der Funktionentheo
rie. В. 2 Leipzig Berlin: TeHbner, 1931,356 S.
[6] Б о л ь ПI е в Л. Н., 3 о л о т а р е в В. М., к е Д р о в а Е. С.,
Рыб и н с к а я М. А. ТаБJIИЦЫ устойчивых односторонних
распределений. Теория вероятн. и ее примен., 1970,
т. XV, М 2, с. 309 319.
[7] Б о х н е р (Bochner S.) Stable Laws of probability and com
pletely monotone functions. Duke Math. J. 1973, У. 3 р. 726
728.
[8] Б Р о к в е л л, Б Р а у н (Brockwell Р. J., Brown В. М.).
Expansions for the Positive Stable laws. z. Wahrsch. verw.
Gebiete, 1978, В. 45, Н. 3, s. 213 224.
[9] В а н Д е р В а р Д е н Б. Л. Математическая статистика.
М.: ИЛ, 1960, 434 с.
[10] В и л ь я м с (Williams Е. J.). Some representations of stable
random variables as products. Biometrika, 1977, У. 64, N 1,
р. 16 7 169. . . .
[11] В и н т н е р (Wintner А.). Оп the stable dlstrlbutlon laws.
Amer. J. Iath., 1933, У. 55, р. 309 331.
[12] В и н т н е р (Wintner А.). Оп а class of Fourier transforms.
Amer. J. Math., 1936, v. 58, р. 45 90.
[13] В и н т н е р (Wintner А.). The singularities of Cauchy's distri
butions. D1Jke Math. J., 1941, У. 8, р. 678 681.
[14] В и н т н е р (Wintner А.). Cauchy's stable distributions and
an «explicit formula» of Mellin. Amer. J. Math., 1956, У. 78,
N 4, р. 819 961.
[15] В и н т н е р (Wintner А.). Stable distributions and Laplace
transforms. Апп. Scuola norm. supor Pisa, 1956, t. 10, N 3
4, р. 12 7 134.
[16] В и н т н е р (Wintner А.). Stable distrib':ltions and he trans
forms of Stieltjes and Le Roy. Boll. Unlone mat., ltal., ser.
111, 1958, Ап. 13, N 1, р. 24 33.
[17] В о л ь Ф (Wolfe S. J.). Оп moments of probability distribu
tion functions. Lect. N ot08 Math., 1975, У. 457, р. 306 316.
292
I
J
ЛИТЕРАТУРА
[18] В о р с Д е й л (Worsdale G. 1.). Tables of cumulative distri
bution functions for symmetric stable distributions. J. Roy.
Statist Soc., ser. С, 1975, v. 24, р. 123 131.
[19] r и р к о В. Л. Теория случайных детерминантов. Киев:
Вища школа, 1980, 366 с.
[20] r н е Д е н к о Б. В. К теории предельных теорем для сумм
независимых случайных величин. Изв. АН СССР, сер. Ma
тем., 1939, т. 3, с. 181 232.
[21] r н е Д е н к о Б. В., К о л м о r о р о в А. Н. Предельные
распределения для сумм независимых случайных величин.
M. Л.: rостехиздат, 1949, 264 с.
[22] r р а Д ш т е й н и. С., Рыж и к и. М. Таблицы интеrра
лов, сумм, рядов и произведений. 4 e изд., перераб. М.:
Физматrиз, 1962, 1100 с.
[23] r у л о т т а (Gulotta В.). Leggi di probabili ta condiziona ta
mente ЬН bili. Giorn. Inst. ital. attuari, 1956, У. 19, р. 22
30.
[24] r юре (Ghurye S. G.). А remark оп stable laws. Skand.
aktuarietidskr., 1958 (1959), N 1 2, р. 68 70.
[25] Д а р л и н r (Darling D. А.). The maximum of sums of stable
random variables. Trans. Amer. Math. Soc., 1956, У. 83, N 1,
р. 164 169.
[26] Д ж а пар и Д зеК. о. Об упрощенных оценках неизвест
ных параметров с хороmими асимптотичеСRИМИ свойствами.
Теория вороятн. и ее применен., 1974, т. XIX, ом 2, с. 355
366.
[27] Д и т к и н В. Л., К У з н е Ц о в П. и. Справочник по опе
рационному исчислению. M. Л.: rостехиздат 1951
255 с. ' ,
[28] Д о б р у ш и н Р. Л., С У х о в Ю. М. Временная асимпто
тика для некоторых вырожденных моделей эволюции систем
с бесконечным числом частиц. Итоrи науки и техн., Сер.
Современные пробл. матем., 1979, т. 14, c.147 254.
[29] Д ю r е (Dugue D.). Variables scalaires attachees а deux mat
rices de Wilks, Сот parison de deux та trices de Wilks en ana
lyse des donnees. С. R. Acad. Sc. Paris, 1977, t. 284, Serie А,
р. 899 901.
[3О] Е в r раф о в М. А., Асимптотические оценки и целые функ
ции. М.: rостехиздат, 1957, 159 с.
[31] 3 о л о т а р е в В. М. Выражение плотности УСТОЙЧИВОI'О
распределения с показателем а большим единицы, через
плотность с показателем 1/a. ДАН СССР, 1954 т. 98 М 5
с. 735 738. ' , ,
[32] 3 о л о т а р е в В. М. Об аналитических свойствах устой
чивых законов распределения. Вестник лrу 1956 N 1
с. 49 52. ' , ,
[33] 3 о л о т а р е в В. М. Преобразования Меллина Стилть
еса в теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен.,
1957, т. 11, М 4, с. 445 468.
[34] 3 о л о т а р е в В. М. О представлении устойчивых законов
интеrралами. Тр. Матем. ин та им. В. А. Стеклова, 1964,
т. 71, с. 4 7 50 .
[35] 3 о л о т а р е в В. М. Об М разложимости устойчивых за
KOHOB. Те()рил nероят. и ее примен., 1967, Т. XII, М 3,
с, 559 562.
,
:;
\
ЛИТЕРАТУРА
293
[36] 3 о л о т а р е в В. М. Аналитическое строение безrранично
. делимых законов класса [. Лит. матем. сб., 1963, т. 3,
см 1, с. 123 140.
[37] 3 о л о т а р е в В. М. Общая теория перемножения незави
симых случайных величин. ДАН СССР, 1962, т. 142, см 4,
с. 788 791.
[38] И б р а r и м о в И. А., О композиции одновершинных pac
пределений. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1,
N 2, с. 283 288.
[39] Ибраrимов и. А., Линник ю. В. Независимые и
стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965,
524 с.
[40] Ибраrимов И. А., Чернин Н. Е. Об одновершин
ности устойчивых законов. Теория вероятн. и ее примен.,
1959, т. IV, см 4, с. 453 456.
[ 41] И е с я к, Р о с с б е р r (J esia В:' R ?ssberg . J.). Оп the
unique determination of stable dlstrlbutlon functlons. Math.
Nachr., 1978, В. 82, S. 297 308.
[42] И е с я к (Jesiak В.). An Uniqueness Theorem for Stable
Laws. Math. Nachr., 1979, В. 92, S. 243 246.
[43] R а r а н А. М., Л и н н и к ю. В., Р а о С. Р. Характери
зационные задачи математической статистики. М.: Наука,
1972, 656 с.
[44] R а м к е Э. Справочник по обыкновенным дифференциаль
ным уравнениям. М.: ИЛ, 1950, 328 с.
[451 R а н т е р (Kanter М.) Stable densities under change of scale
and total variation inequalities. Ann. Probab., 1975, У. 3,
N 4, р. 697 707. .. f b l d .
[46] К а н т е р (Kanter М.). Оп the unlmodallty о sta е enSl
ties. Ann. Probab., 1976, У. 4, N 6, р. 1006 1008.
z
[47] R арп о в Н. А. Таблицы фУНКЦИИ w (z)==exp ( Z ) ехр (t J ) dt
О
в комплексной области. М.: Изд во Вычислительноrо ЦeHT
ра АН СССР, 1954, 126 с.
[48] R е н Д а л л М. Дж., С т ь юар т А. Статистические вы
воды и связи. Т. 2 М.: Наука, 1973, с. 899.
[49] I{ о л м о r о р о в А. Н., С е в а с т ь я н о в Б. А. В чис
ление финальных вероятностей для ветвящихся случаиных
процессов. ДАН СССР, 1947, т. 56, с. 783 786. .
[50] R о ш и (Cauchy А.). Ocuvres completes. ser. 1, У. 12, ParlS:
1900, р. 94 114. . t Ы
[51] R Р а м е р (Cramer Н.). Оп the approximatlon to а s а .е
probability distribution. In: Stu?ies ath. Analysls
and Related Topics, Stanford: Callf. Unl v. Press. 1962,
р. 70 76. М
[52] R р а м е р r. Математические методы статистики. .:
ИЛ, 1948, 630 с. . f h t bl
[53] R Р е с ь е (Cressie N.). А note оп the behavlor о t е s а о
distributions for small index a. Z. Wahrsch. verw. Geb
iete, 1975, В. 33, Н. 1, S. 61 64.
(54] R р у r л о в В. М. 3амечание к теории безrранично делимых
заRОНОВ. Теория вероятн. и ее прим., 19701 Т. 151 М 2,
с. :130 336.
294
ЛИТЕРАТУРА
[55] Л а х а (Laha R G) О h "
with finite expect tio . :n с r hte tZat.lon of the Stable Iaw
р. 18 7 195. . . а . atlst., 1956, v. 27, N 1,
rS6] л а х а (Laha R G) О th 1
Math. Statist., 1959, 'v. o, e N a4's of f1a6 chY and Gauss. Ann.
r f) 71 .П е в и (Levy Р) С 1 1 d ' р. 1174.
Villars et Cie 1'925 а o es probabi1ities. Paris: Gauthier
[,58] Л е в и (Levy Р) ТЬ I .р. d ' .
res. 2 тe ed. p'a;is' GO: h' е 1 ad Uon des variables allatoi
[59] Л е в и (Lev Р) R ler 1 ars, 1954, 387 р.
stables. In: YSt d.ies hqul sfr п Pdo i'me relatif аих lois
ford: CaHf. Uni v. Press, 1962 а :s ; 218 elated Topics, Stan
[60] Л и н н и к Ю в Об Р .
С N "оп0 4 казателем ен mим !;: : ыx дВ iIО ё ТНЬ 1 r 9 Х 54 заКОН 9 а 4 Х
. , с. 619 621. ' , т. ,
[61] JI у к а чЕХ
'1979, 424 с.. арактеристические Функции. М.: Наука,
[ 62] J r у к а ч (L u k а cs Е) О .
(listributions. Coll q. Mna:hm pro J pertles of sy metric stable
р. 227 241. .. ос. anos Bolyal, 1980, v. 21,
[63] sli: fu ct\ acs fa ' S able gistribhtions and their characte
В. 71, N 2, S. 84 11Ies er. eutsc. Math. Verein, 1969,
[64] O sK 1 tu St Е{ oтe proper.ties of stable frequcncy func
1224: . s. n ernat. Statlst., 1969, v. 42, р. 1213
[65] ;y t;iq kac C EJ' ш :Ju lqu s roprietes des lois stabiles
р. 1213 1214.. .. са. с. arlS, 1978, t. 286, Serie А,
[66] sa : fu:ci : chd nd A:>'b ur ls derivees et sur les differen-
1927, v. 6, р. 337 425arla е ree es. J. Math. Pures Appl.,
[67] М е Д е ш и (Medgyes y Р) Р . 1 .
;tbi i::t or : le d 5 ns:t y fu tion r ad th e: l :{;:: .ial
[68] М ." v. , . 3 4, р. 288 293.
l : k . : i fss ar i iisS tdт :en: I:z in ;:nl kse
v. 1, N 4, р. 489 5 8' Math. Inst. Hung. Ас. Sci., 1956,
[69] М е Д е IП и (Medgye. Р ) Р . 1 d . .
stable d 't f . ssy .. artJa lfferentlal equations for
А d Me sll un tlons and tllejr application. Madyar Tud
[70 ] М с: а. utato Jnt. Kiizl, 1956, v. 1, р. 489 518. ·
t . Ь t. о н (M1 non М. У.). А characteriza tion of the Са исЬу dis
1 171 IOn. nn. Math. Statist., 1962, v. 33, р. 1267
[71] r а р т а с а р а т и, Р а н r а Р а о, В а р а Д а н (Part
M d b lo , fl; Rc ci'a: N: p .) p{l ab.ilit J ;
ath., 1963, v. 7 N 2 Р 337 369 . InOlS.
[72] п " . .
M. 1 ;K:, 97 : r6 независимых СJlучайпых величин.
[73] П о а (Polya G.). Herleitung des Gausschen Fehl
aus elner Funktionalg1eichung. Math. z. 19 23 В 18 erg S ese 9 t 6 zes
108, , ,.,.
ЛИТЕРАТУРА
19[)
f .
[.
[74] П о л л а р Д (pollard Н.). The completely monotonic chara
cter of the Mittag Leffler function Еа ( x). ВиН. Amer. Math.
Soc. 1948, v. 54, N 12, р. 1115 1116.
[75] П о л л а р Д (pollard Н.). The representation of ехр ( х Л ) ав
а Laplace integral. ВиН. Amer. Math. Soc., 1946, v. 52, N 10,
р. 908 910.
[76] р а м: а ч а н Д р а н (Ramachandran В.). Оп characteristic
functions and moments. Sankhya,Ser. А,1969, v. 31, р. 1 12.
[77] Р и о Р Д а п Дж. Введение в комбинаторный анализ. М.:
ИЛ, 1963, 286 с.
[78] С а т о, Я 1\1 а з а т о (Ken iti Sato, Makoto у amazato).
Оп distri bution functions of class L. Z. Wahrsch. verw. Gebie
te, 1978, В. 43, Н. 4, S. 273 308.
[79] С е n а с т () я н о в Б. А. Финальные вероятности ветвящих
ся случайных процессов. Теория вероятн. и ее примен.,
1957, т. 1 1, N 1, с. 140 141.
[80] С к о р о х о Д А. В. Случайные процессы снезависимыми
приращениями. М.: Наука, 1964, 280 с.
[81] С R о Р О х о Д А. В. Об одноЙ теореме относительно устой
чивых распределений. Успехи матем. наук, 1954, т. 9,
N 2 (60), с. 189 190.
[82] С к о р о х о Д А. В. Асимптотические формулы для устой
чивых законов распределения. ДАН СССР, 1954, т. 98,
N 5, с. 731 734.
[83] С R О Р О х о Д А. В. Аналитические свойства устойчивых
распределений вероятностей. В сб.: Студенческие научные
работы Киевскоrо университета, 16. Киев: Изд во I\иевскоrо
университ(\та, 1955, с. 159 164.
[84] С э в и Д ,1{ (Savage L.). А geometrical approach to the special
stable distributions. Zastosowania Mat., 1969, t. 10, р. 43 46.
[85] Т и т ч м а р ш Е. Введение в теорию интеrраЛОR Фурье.
M. Л.: rитТЛ, 1948,479 с.
[86] Т 1I т Ч М а р JП Е. Теория функций. M. Л.: rиТТЛ,
1951, 506 с.
[87] Т и х о н о в А. Н., С а м а р с к и й А. А. Уравнения MaTe
матическоЙ фИЗИRИ. M. Л.: rиттл, 1951, 659 с.
[88] Ф е л л е р (FeHer W.). Оп а Gene alization of Marcel Riesz
Potentials and the Semi Groups generated Ьу them. In:
Communications du seminaire mathematique de l'universit6
de Lund, tome Supplrmentaire dedie а Marcel Riesz, Paris:
Gauthicr ViHars, 1952, р. 74 81.
[89] Ф е л Jl е р В. Введение в теорию вероятностей и ее прило
жения. Т. 2. M.: Мир, 1967,752 с.
[90] Х а м б е р т (HuLnbert Р.). Quelques Resultats Relatifs а la
fonction de Mittag Leffler. C. R. Acad., Sc Paris, 1953, t. 236,
N 15, р. 1467 1468.
[91] Х а р Д и r. 1-'., Л и т т л в у Д Д. Е., П о л и а r. Hepa
BeHCTBa. М.: ИЛ, 1948, 456 с.
[92] Х и н ч и н А. я. Предельные законы для сумм независимых
случаЙных величин. M. JJ.: ОНТИ, 1938, 116 с.
[93] Х и н ч и 11, JI е в и (Khintchine А., Levy Р.). Sur les lois
stables. С. Н. Acad. Sc. Paris, 1936, t. 202, р. 701 702.
[94] Х о л л (НаН Р.). А comedy of errors: the canonical form for
а stable characteristic function. ВиН. London Math. Soc.,
1981, v. 13, N 40, р. 23 28.
296
ЛИТЕРАТУРА
[95] Х о л т, J\ }1 о у (I o t D. Н., Crow Е. L.). Tables and ra ]18
of tl1e stable probablllty density functions. J. RеsеаrсБ Nat
[ 96 ] Bur. of Standards, Sect. В, 1973, v. 77В, N 3 4, р. 143 197.
Ч ж а о Ч ж у н Ч ж е (Chao Chung Jen). Explicit formul
for the stable law of distribution. Acta Math. Sinica 1953
v. 3, N 3, р. 177 185. ' ,
[97] Ч Ж е у н (Chung К. L.): Sur les lois des probabilites unimodales.
[ 98 ] . R. Acad. Sc. Parls, 1953, t. 236, р. 583 584.
Ш е н б а r, П е с а н а, Ш р и х а р и (Shanbhag D. N.,
Pestana D., Sreeharl М.). Some results in infinite divisibility
Ma h; Proc. Cambridge Philos. Soc., 1977, v. 82, р. 289 295.
[99] u а н о в и. С. МетричеСI\ИЙ подход к исследованию yc
тоичивости T ope:мы Ilойа о ха рактеризации нормальноrо pac
предrления:. В сб.: Проблемы устойчивости стохастичес
ких :модеJIеи. М.: Изд во ВП И:ИСИ 1981 с. 145 154
[100] Ш и м ц.у (Schi.mizy R.). Оп the de omposjtion f stabJc
characterlstlc functlons. Апп. Il1st. Statist М th 1972
У. 24, р. 34 7 353. . а., ,
[101] м а а о .(Yamazato М.). UnimodaHty of infinitely divi...
slble dlstrlbutlon functions of class L. Апп Probab 1978
v. 6, N 4, р. 5 23 531 . '. , ,
Н. Работы прикладноrо характера
[102] е р н Д о с о н, Я r е р с (Bernds80n В., Jagers Р) Ех onen
l.a 'Ъо th of а branching process usually implie tabYe age
1э rl utlOn. J. Appl. Probab., 1979, у: 16, N 3, р. 651 656.
[103] а л п л е ( alpole L. J .). The elastlc field of ап inclusion
ln ап anlsotroplc medium. Proc Roy Soc 1967 А 300
р. 270 289 . . . . , , У. ,
[104] Ве.стерфилJ!. (Wester!ield J. М.). Ап examination of
forelgn excllange r sk under flxed and floating rate re g imes J
Internat. Economlcs 1977 V 7 Р 181 200 "
[ 105] В " . ,. .
т е н з о н и. r. Об относительном движении материаль
нои точки переменной Maccы. 3аниски НИИматематики и
[106] мсханики Xry и ХМО, 1949, т. 21, серия 4.
r P d е н r е р, Орр .(Gr nger . W., Orr D.). Infinite variance
ап research strategy ln tlme serles analysis. J. Amer Stat. t
Assoc., 1972, v. 67, р. 275 285. . IS .
[107] r h y Д. (Good 1.).. The real stable characteristic functions and
с aotlc acceleratlon. J. Roy. Statist. Soc. Ser В 1 961
У. 23, р. 180 183. ' ., ,
[108] Д а в ы Д о в А. С. Квантовая механика М . На у ка 1 963
657 с. . . . , ,
[109] Д о б р у ш и н Р. Л. одна статистическая задача теории об
наружения сиrнала на фоне шума в мноrоканальной системе
приво дящая 1{ УСТОйчивым законам. Теория вероятн и e
примен., 1958, т. 11, .м 2, с. 173 184. .
[110] Д I? м о ш е л ь .(J: 11.Mouchel W. Н.). Оп the distributions of
clalm c sts. Credlbl11ty: theory and applications. In: ТЬс
roceedlngs of Berkeley Actuaruty Research Conference New
) ork: Academic Press, 1975, У. 23 50, 409 414. '
[111] Д ю а к (Du ak К.). Futures trading and investor returness/
ап l vestlgatlon of commodity market risk premiums
J. POllt. Есопоmу, 1973, У. 81, р. 1387 1406. .
ЛИТЕРАТУРА
297
[112] 3 о л о т а р е в В. М., С т р у н и н Б. М. О распредеJIСНИИ
внутренних напряжений при случайном расположении точеч
ных дефектов. Физика тверДОl'О тела, 1971, т. 13, с. 594 596.
[113] К рыл о в Н. С., Ф о к В. А. О двух основных толкованиях
соотношения неопредсленности для энерI'ИИ и времени.
ЖЭТФ, 1947, т. 17, .м 2, с. 93 107.
[114] Л и Ф ш и ц И. М. О температурных вспышках в среде, под
верженной действию ядерноrо излучения. ДАН СССР,
1956 т. 109, .м 6, с. 1109 1111.
[115] М а к а л л о.х (McCulloch J. Н ->.. Continous Time Proces
эеэ with Stablc lncrements. J. Buslncss, 1978, У. 51, N 4,
р. 60 1 619.
[116] М а н Д е л ь б р о т (Mandelbrot В.). La distribution dE:'
Willis Yule relative аих nombres d'especes dans les genres
biologique. C'. Н. Acad. Sc. Paris, 1956, 30 April, р. 2223 2226.
[117] М а н Д е л ь б р о т (Mandelbrot В.). Vari b.les et processus sto
chastiques de Pareto Levy, et la repartltlon des revenus.
С. R. Acad. Sc. Paris, 1959,23 November, р. 2153 2155, 3 Aout,
р. 613 615.
[118] М а н Д е л ь б р о т (Mandelbrot В.). The Pareto Levy
law and thc distribution of income. Internat. Econ. Rcv.,
1960, v. 1, р. 79 106.
[119] М а н Д е л ь б р о т (Mandelbrot В.). Stable Paretian random
functions and the multiplicative variation of income. Есопо
metrica, 1961, У. 29, р. 517 543.
[120] М а н Д е л ь б р о т (Mandolbrot В.). The sta.ble Parctian
income distribution when the apparent exponent 1В near two.
Internat. Есоп. Rev., 1963, У. 4, р. 111 115.
[121] М а нде ль б р о т (Mandelbrot В.). New methods in statis
tical economics. J. Polit Economy., 1963, У. 71, р. 421 440.
[122] М а н Д е л ь б р о т (Mandelbrot В.). The variation of certain
speculative prices. J. Business, 1963, v. 36, р. 394 419.
[123] М а н Д е л ь б р о т (Mandelbrot В.). Som nois s lff spect
rum, а bridge between direct current and whlte nOlse. IEEE
Trans. Inf., 1967, Th. IT 13, р. 389 398.
[124] М а н Д е л ь б р о т (Mandolbrot J3.). The. vari at.ion of эотс
otller speculative prices. J. BUSlness UnlV. Chlcago, 1967,
У. 40, р. 393 413.
[125] М а н Д е л ь б р о т, l' ерш т е й н (Mandel r?t В., or
stein G.). Random walk models for the spike actlvlty of а slng
lе neuron. Biophysical J., 1964, У. 4, р. 41 68.
[126] М а н Д е л ь б р о т, Т е й л о р (Ma dolbrot В., Taylor .Н.).
Оп the distribution of stock price dlfferences. Operatlon-;
Нев., 1967, У. 15, р; 1057 1062.
[127] М е Д е ш и (Medgyessy Р .). Eloszlas ев surusegfuggveny
grafikonok alakjanak jellem zeserol. 1, II. МТА 111. Oszt.
Kozl., 1964, У. 14, р. 279 292, 1967, v. 17, р. 101 108.
[128] О в с е е в и ч И. А., Я r л о м А. М. Монотонные переход
ные процессы в однородных длинных линиях. Известия АН
СССР, отд. техн. наук, 1954, М 7, с. 1.3 .20. .
[129] О Ф фай с е р (Officer Н. Н.). The dlstrlbutl0n of stock re
turns. J. Amer. Statist. Аээос., 1972, У. 67, р. 807 816..
[130] Р о л л (Ноll R.). The behavior of interest rates. n appllca
tion of the efficient market model to U. S. Treasury Bllls. Ne",
у ork London:Basic books, 1970, 139 р.
298
ЛИТЕРАТУРА
[131] С и л (Seal Н. L.). Stocllastic theory of а risk btlsiness. New
у ork: Wiley апd Sons, 1969.
]132] С и н Д л ерЮ. Б. Накопление тпума в ЧМ радиорелейных
линиях связи, обусловленное замиранием СИI'нала. Радио
техника и электроника, 1956, т. 1, М 5, с. 627 637.
[133] С и фор о в В. и. К вопросу о накоплении ТНУМОВ и замира
ний в маrистральных радиорелейных линиях связи. Элект
росвязь, 1956, М 5, с. 6 17.
[134] С т а к к, 1{ л е й н е р (Stuck В., Kleiner В.). А statistical
Analysis of Telephone Noise. ВеН System Tcchnical J.,
1974, У. 53, N 7, р. 1263 1320.
[135] Ф а 1\1 а (Fama Е.). Mandelbrot and tll( staLle Paretian hypo
thesis. J. BUEiness, 1963, У. 36, р. 420 429.
r 136] Ф а м а (Fama Е.). The behavior of stockmarket prjces.
J. Business, 1965, У. 38, N 1, р. 34 105.
[137] Ф и л и ц, С м и т (Fielitz В. D., Smith Е. W.). Assymmetric
stable distributions of stock price cllanges. J. Amer. Statist.
Assoc., 1972, У. 67, р. 813 814.
[138] Х а л Ф и н Л. А. К теории распада квазистационаРНОI'О co
стояний. ЖЭТФ, 1958, т. 33, М 6(12), с. 1371 1382.
[139] Х о л ь Ц м а р к (Holtsmark J.). Uber die Verbrejterun уоп
Spektrallinien. Annalen der Physik, 1919, В. 58, S. 577 630.
[140] {I а н Д р а с е к а р С. Стохастические проблемы Б фИ3ИRе
и астрономии. М.: rиил, 1947, 167 с.
[141] Э ПJ е л б и Дж. Континуальная теория дислокаций.
М.: ИJl, 1963, 153 с.
111. Оценки парамеТРО8 устойчивых заКОIIОВ
[142] А р а Д (Arad R. W.). Paralneter estimation for Symmetric
stable distribution. International Economic Review, 1980,
v.21, N 1, р. 209 220.
[143] Б е р а н (Beran Н.) Asymptotically efficient adaptive rank es
timates in location models. Ann. Statist., 1974, У. 2, N 1,
р. 63 74.
[144] Б л а т т б е р r, r о н е Д е с (Blattberg Н. С., Gonedes
N. J.). А сот parison of the stable and Student distri
butions as statistical models for stock prices. J. В usiness,
1974, У. 47, N 2, р. 244 280.
[145] Б л а т т б е р l , С а р Д ж е н т (Blattberg Н., Sargent Т.).
Regression with non gaussian stable disturbances: some sam
pling l'esults. Econometrica, 1971, У. 39, N 3, р. 501 510.
[146] Б Р о к в е л JI, Б Р а у н (Brockwell Р. J., Brown В. М.).
High efficiency estimation for the positi уе stable la\vs.
J. Amer. Stati t. Assoc., 1981, У. 76, N 375, р. 626 631.
[147] Б рай а н, П о л ь с о н (Bryant J. L., Paulson А. S.).
Some comments оп characteristic function based estimations.
Sankhya, 1981, А41, N 1 2, р. 109 116.
[148] В о р с Д е й л л (Worsdale G. 1.). The estimation of the sym
metric stable distribution parameters. In: Proc. Comput.
Statist. 2nd Symp. Berlin (West). Wien: 1976, р. 55 63.
[149] Д ю м о ш е л ь (DuMouchel W. Н.). Оп the asymptotic Nor
mality of the maximum likelihood estimate \Vh8n sampling from
а stable distl.ibutioIl. Апп. Statist., 1973, v. 1, N 5, р. 948
957.
,
ЛИТЕРАТУРА
2VH
М h 1 W Н) Stable Distributions in
[150] Д ю.м ,о m е л ь (Du .оис е meiric Stable Distributions
Statlstlca1 Inference. 1. Sy 1 t.1 d distributions
Companed t? other summetrlc on g N a 4 . 469 4 77. .
J. Amer. Statlst. Assoc., 1973, v. 68, Stablf distributions in
[151] Д ю м о JП е л ь (DllMouchel W. .Н.). bl d.stributed
Statistical iIl!'ere1lCe: 2. Infornlatlon from sta o 1 N 350
samp1es, J. Amer. Statist. Assoc., 1975, v., ,
р. 386 393. Zolotarev V. М.). Statistica1 e ti ates
[152] 3, о л о т а р е в В. f M t ' le 1aws Banach center publlcatlonS,
о! the parametters о s а .
1980 6 Р 359 376. f
' У:. ') . В М (Zolotarev У. М.). Integral Trans or
[153] 3 о л о '1 а р (,Б .': 1 EstinlateR of Parameyers of
mations of D,st,rlbutloI S ап( '5t Ые La\vs. In:
Мulti im ПSiопаl Р sp e {lY : Fe: [( 1 f apers Dedicated
COlltrlbutlons to ro а 1 N 1 У', У k. Acad. Press, 1981,
to Engene l.JU kacs. Н\\ or.
р. 283 305. А Х а с ь м и н с к и й Р. 3. Об
[154] И б р а r и м о в и. ., ения 3аписки научн. семина
оценке плотности распредел . 85
ров ломи, 1980, Т. 88 iп с. 1б о;енке параметров pac
[155] И б р а м х а л и л о в И ЛН ' А е б ССР серия физико техн.
пределения. Известия з Р · 41 '
1964 No 2 с. 31 . .
и матем. наук, , Ib ' h 1.lov J. S.). Оп estlmates
[156] И б р а м х а л и л о в ( ram а 1 h Р Ь Ь and
of functiona11y Re1ated parameters' l т eor. ro а .
Math. Statist., 1975, N , р. 59 Q e enЬerry с. Р., David
[157] Н в е с е н б е р р и, { Д е tli:r J Biometrika, 1961, v. 48,
Н. А.). Some tests or о .
р. 379 390. ( L 't h R А Paulson А. S.). Esti
[ 158] Л ей ч, П о л ь с о н el с .. t ., k rice application.
mation of stable law paranleters. M s ос зЕ1 690 697.
J. Amer. Statist. АББСС., 1975, '!. /0,: е п п' Р(Lоgап В. F.,
[159) Л о r а н, М е л.л о у 3ь Р B : 'L А.). Limit distriьution
Ma110ws С. L.! R]ge S. .' A L nPprobab. 1973, v. 1, N 5,
of self Normal]zed Sums......... n · ,
р. 788 809. б Л е й ч (pau1son А. S.,
[160] П о л ь с о Н, Х ? л h bRK 1 М ) The estimation of the parameters
Holcomb Е. W., Leltc. . ..' 975 v 62 N 1 р. 163 170.
of the stable laws. Blom trl , 1 .п in ari te a d mu1tivariate
[161] П Р е с ( res s. J). Estl A ma lOnS\atist. Assoc., 1972, v. 67,
stable dlstrlbutlOns. J . mer.
р. 842 846. Thornton J. С., Paulson А. S ).
[162] Т о Р н т н, d l О'Ь . с о н of( characteristic function ьased
Asymptotlc lstrl u l b on l 1 Indian J. Statist., ser. А,
estimators for the sta е aws.
1977, v. 39 N 4, р. 341 354. н о х (Feuerverger А., McDun
[163] Фай е Р } в е POf е р, l< o r i l thods for iп erence. J. Amel'.
nOllgh } 1.). n SOlfi( . N 37 4 379 387 .
Stati t. Afsoc. 1981, v. 76, R 'l'ramltcI' estilnates forsy,!11
[1С14] Фама, Ролл (F nl Е,., НоН J ').AmeI'. Statist. Assoc" 19/1,
ПlеtI'iс stalle dlstrlbt1tlons. .
у 66, р. ;)31 338. t t'cally ei lcieIlt estimation ot
[1б5} Фенеш (Fenech А. Р:). AShl PlO 1 Апп. Statist., 1976, v 4,
location for а symmetrlc sta е aw.
N 6, р. 1088 1100.
300
ЛИТЕРАТУРА
[166] Ф ь е р в е р r ер, м а к "" Д а н н о х (Feuerverger А. ,
McDunnoug'h Р.). Оп the efficiency of e111pirical characteristic
function procedures. J. Royal Statist. Soc., ser. В, 1981,
У. 43, N 1, р. 20 27.
[167] Х () д ж е с, Л е м а н (Hodges J. L., Lehmann Е. L.). Esti
Пlаtеs of location based он rank 1 csts. Апл. Matl1. Statist.,
1963, v. 34, N 2, р. 598 611.
[[ 168] Я II У НУ К Я В П Ч е н е О. л. Исследование некоторых oцe
нок параметроп устойчивых распреJl;елений. Лит. матем.
сб., 1981, Т. 21, М 4, с. 196 210.
IV. Предельные теоремы
r 16й I А JI е IП I Я II 11 Ч е R е А. Лональная предельная теорема
для сумм СJIУЧНЙНfJIХ веЛJ.ЧJIН, связанных в однорпдную цень
Ма рн()ва, n случае УСТОЙЧI! Boro предельноrо распределени я.
ЛllТ. матем. сб., 1961, Т. 1, М 1 2, с. 5 13.
[170] Б а н и с И. И. Сходимость ДJIЯ плотностей II метрине р
для предельноrо устойчивоrо закона в двумерном случае.
Лит. матем. сб., 1977, Т. 17, М 1, с. 13 18.
[ 171] Б а н и с и. И. Оценки скорости сходимости в локальноЙ
теореме в MHoroMepHoM случае. Лит. матем. сб., 1979, т.19,
М 2, с. 13 21.
[172] Б а н н и с И. И. Уточнение скорости сходимости к устой
чивому закону. Лит. матем. сб., 1976, т. 16, М 1, с. 5 22.
[173] Б а н и с И. И. Уточнение скорости сходимости к устойчи
вому закону в локальной теореме в MHoroMepHoM случае.
JIит. матем. сб., 1976, т. 16, см 3, с. 13 20.
[174] Б а н и с И. И. Уточнение скорости сходимости плотностеii
к устойчивому закону с характеристичеСКIIМ показателем
О < а < 1 в метрике Lp. Лит. матем. сб., 1978, т. 18, еМ 2,
с. 218 227.
[175] Б а н и с И. И. О скорости сходимости в мноrомерной ло
кальной теореме в СJIучае устойчивоrо предельноrо закона.
Лит. матем. сб., 1973, т. 13, М 1, с. 17 22.
[176] Б а н и с И. И. О неравномерной оценке остаточноrо члена
в центральной предельной TeopeMe. Лит. матем. сб., 1974,
т. 14, еМ 3, с. 57 65.
[177] Б а н и с И. И. Об интеrральной предельной теореме при
СХОДимости к устойчивому закону в MHoroMepHoM Случае.
Лит. матем. сб., 1970, т. 10, М 4, с. 665 669.
/178] Б а р т е л ь с (Bartels R.) Generating non normal stable
variates using limit theorem properties. J. Statist. Comput.
Simul., 1978, v. 7, р. 199 212.
t 179] Б а с у (Basu S. К.) Оп а local limit theorem concerning va
riables in the domain of normal attraction of а stable law of
index. Апп. Probab., 1976, v. 4, р. 486 489.
[180] Б а с у, М а ед ж и м а, П а т р а (Basu S. К., Maejima М.,
Р atra N. К.) Оп the rate of convergence in а locallimit theorem
coпcerniпg the variables in the domain of non normal attrac
tiOIl of а stable law. Yokohama Math. J., 1979, v. 27, N2 1,
р. 63 72.
[181] Б а с у, М а е Д ж и м а (Вави S. К., Maejima М.). А 10саl
limit theorem for attractions undpr а stable law. Matll. J}roc.
Cambri({gc Pl1ilos. Soc., 1980, v. 87, р. 179 187.
I
ЛИТЕРАТУРА
301
х а а н (Batzer Р. L., Hahn L.). General th oren1s
[182) Б а т 3 е P'r е gense in distributiol1 of l'andom \Varlables.
оп r A ates 1 . о t? : t the stable limit laws and weak law о large
11. рр lca 1 . r Anal 1 78 У. 8, р. 202 221.
numbe s. J ult g trom "н.). Оп di.stribution. funetions
[183] Б. е р 1 C 1 .T :f>t. 't(able distribution functlon. ArklV. Matl}.,
wlth а lт. 1 lIlg s 463 474.
1953, у. 2, N 2( e trom н) Limit tlleorems for C(J}lYO
[184) Б Р r с T:J M York London: 'Acad. Press. 1963, р. 256.
llltlOl1S. е в. h N 11) Maxima of sums of random
[185) Б и н r х е м d ( lng ат of stable processes. Z. Wahrsch.
variables ан suprem 26 S 273 296.
verw. Geb., 1973, Ш II И' о' (Buonyasombut v.., S a
[186] Б. у н я О ) MT т, accuracy о! iEfinitely divisib e approXlmatlOn
plro J. . t" . dee ondent variables with appllcatlon to stаыle
to sums п lllMafl{ Statist., 1970, v. 41, р. 237 25 .
laws.: АI . 1 О больших уклонениях сумм случаиных Be
[187] В а и т к у с 1 . П р е д ельноrо устойчивоrо закона. лит. Ma
личин в случае ом 1 с. 85 98.
тем. сб., 197 1 це ки 'в слабой форме локальной IIpe
[188) В о л о Д и н .' ая стойчивоrо распределения.
дельной теоремы для случ И У математическая статистика.
В сб.: Предельные теоремы 36
Ташкент: Фан, 1976, с. 32 .п the complete convergence
[189] В о л ь Ф ( ol.f b e . J . f )' ti e Апп. Math. Statist., 1972,
of stable dlstrl utlon ип .
v. 43, р. 363 364. ео ии областей притяжения устой
[ 190] r н е Д е н к о Б. В. К т р Mr 'T 1939 т 30 с. 61 72.
О "Уч r:iаписки " , ,.,
чивых закон B. В · О локальной теореме для предельных
[191] r н е Д е н к о Б.. и Ук р матем. Ж., 1949, т. 1,
устойчивых распределении. .
.N 4, с. 3 15. к В С Несколько заме
[192] r н Д е н к о Б-б В., e ;р т е ия У ТОЙЧИВЫХ раСlIределе
чании к теории о ласт 4 275 278.
ний. ДАН YCC , 1950 т. Th .influencc of the maximum
[193] Д а р л и н r ( a llngfJ?'d ' dentrandom variabies. Trans.
term in the addltlon о ln р 95 107.
Amer. Math. Soc., 1952, v. 71 ' р]) А Erdos Р.). А limit
[194] Д а р л и н r, Э р д.е m (Dfa ali'zed"sums of independent
theorem for. the maxlmu k m M o th J 1956, v. 23, N 1, р. 143
random varlables. Du е а . .,
155. и И О ности аппроксимации :еаспре
[195] Д у б и н с к а и т е. точ иных величин устоичивым
делениЙ сумм независИМЫХ случаf983 т 23,.N2 2.
распределением. Лит. матем. сб., имо т К устойчивому за
[196] Е r о р о в В. А. О скорости сход 1980 т. Х Х V, м 1,
кону. Теория вероятН. и ее примен. , ,
с. 183 190. ыбо е нормирующих констант
[197] 3 о л о т а р е в В. М. О в р случайных величиН.
в нарастающих суммах незаВИ ИМ;IХ7 с. 158 161.
Тр. моск. физ. техн. ин та, 19 ' о ой' точке зрения на пре
[198] 3 о л о т а р е в в. J\tl. Об ОДН Иб льmие уклонеIlИЯ. В б.:
дельные теоремы, учитывающи о теории вероятностеи и
Труды VI Все оюзноrо совещ :я ь юс: roc. изд во полит.
математическоя стаТИСТИJ\('. л 43 47
11 научП. лит ры JIит.ССР, 1962, с .
302
ЛИТЕРАТУРА
[199] 3 о л о т а р е в В М Ан
Эджворта H paM pa 'для :::o аСимптотичеСRоrо разложения
законами распределения. Й . С JIижеНIIЯ с устойчивыми
вещания по теории веронтносте ".' руды v 1 Всесоюзноrо co
ке. Вильнюс: roc. изд во и И математическоЙ статисти
1962, с. 49 50. ПОJIИТ. 11 научн. лит ры Лит.ССР,
[200] 3 о
JI О Т а р е в В. М. Аналоr закон
для полунепре р ывных уст '" а повторноrо Jlоrар:ифма
веро Оич:ивых П р о цесс Т
ятн. И ее примен 1964 IX OB. еория
[201] И r н а т Ю И С ., , т. , М 3, с. 566 567
.., люсарч у к ТI В ·
к устойчивым законам . . О сходимости
т. 10 с 91 2 913 раСIIределения. ДАН УССР 19 77
[202 ] R ' .. ' ,
алинаускайтеtI О
ДБ Я устойчивых случайны'х пр :rс :х I; ЖНИХ функциях
С ., 1965, т. 5, М 4 с 541 554 1 9 . , . Лит. матем
[203] I{ а л и н а у с к a Й т.е If Н' 66, т. 6, М 2, с. 249 256.
случайных нроцессов л' щ,оторые свойства устойчивы
с. 493 496. . ит. матем. сб., 1964, т. 4, CN 4
[204) Н а л и н а у с к а й т е Н О ,
заКонам типа Jlеви Ф льдх }Iритяж л енпи к устоЙчивым
т. 16, М 3, с. 93 105 еима. ит. матем. сб., 1974,
[205] R и м б л т о н (Kimblet n S .
dom stable limi t theorem 'J R.1 A 1 slmple proof of а ran
р. 502 504 '. рр. Prubab., 1970 v 7
[206] Н Р а м е р (Cramer Н) О . ' . ,
of independent rando .v bisymp IC expansions for sums
tribution. Sankhya Indi: laJ e tw: t а limiting stable dis
р. 13 24. . а IS., 1963, v. А25, N 1,
[207] :к р а м е р (Cramer Н) Оп 1 '.
p.robability distribution'. In' t le appr xlmatl0n to. а stable
SIS and related topics N ew У k t dle d s 1I Mathelnatlcal analy
76. . r. са етlС Press, 1971, р. 70
[208] :к р а м е р (Cramer Н) R d .
distributions. 2nd ed С ь. т. varlable.s and probability
1962, р. 1::35. · ат rl ge. Cambrldge Univ. Pres.,
[209] R и с т о Ф (Christo h G) R
totlsche Entwicklungen р fiir d.i V e fe ;rgenzauss ge nd asymp
una hangiger identisch verteilter Z fullgsfunktlop elner Summe
stabIlen Grenzverteilungsfunction aW ro еll .1т Falle einer
1979, N 2, S. 23. . ISS. SltZ. Stochast.,
[210] R Р и с т о Ф (Christoph G) Ub .
Bedingungen fLir Konver e . er I?ot en lge und hinreidunde
ein er bstabiI еп Gren zvert il :s сI1 1Ш d khI taussagen im F аН с
[211 ] 1980, В. 54, Н. 1, S. 29 40 . а rsch. verw. Geb.,
р и с.т О Ф (Christoph G.). U.ber d.
dlgkat 1т Falle eine Stabibilen G le .I\onvergenzgeschwin
1979, В. 80, S. 21 30. renzvertelllng. Math. Nachr.,
[212] Л 11 п Ш у Ц (Lipschutz М) О .
approach to stable distrib iion t e agnltude of error in the
v. 18, р. 281 294 ' , . Indag. Math., 1956
[213) М а е Д ж и н а (Ma jima М) . '
the local limit theorem for .d. . non unlform estimate in
21 J., 1978, v. 26, р. 119 135 enSl res, II. Yokohama Matll.
[ 4 J м а с а м о т о (Masamoto U) О . .
the sums of indentically dist :b t N d s?m d e 11mlt theorems fo
1 U е ln ependent random var
--.
"r.
\ .
L1j
N
Ф
ЛИТЕРАТУРА
303
riables. Kodai Math. Semin. Repts., 1956, v. 8, N 2, р. 85
92.
[215] М е й с о н (Mason J. D.). Convolutions of stable laws as
limit distributions of pal.tial sums. Апп. Math. Statist.,
1970, v. 41, N 1, р. 101 114.
[216] 1\1 и т а л а у с к а с А. А. О локальной предельноЙ теореме
в случае устойчивоrо предельноrо распределения. Лит.
матем. сб., 1961, т. 1, N2 1 2, с. 131 139.
[217] М и т а л а у с }{ а с А. А. О локальной предельной теореме
для устойчивых распределениЙ. Теория вероятн. и ее при ·
мен., 1962, т. VIII, М 2, с. 185 190.
[218] М и т а л а у с к а с А. А. Асимптотическое разложение для
независимых случайных величиН в случае УСТОЙЧlIвоrо пре
дельноrо распредеJIения. Лит. матем. сб., 1963, т. 3, N2 1,
с. 189 194.
[219] М и т а л а у с к а с А. А. Об ИIIтеrральной предельной Teo
реме для сходимости к устойчивому предельному заКОIlУ.
Лит. матем. сб., 1964, т. 4, N2 2, с. 235 240.
[220] М и т а л а у с к а с А. А. Об оценке быстроты сходимости
в интеrральной предельной теореме в случае устойчивоrо
пределыlrоo распределения. Лит. матем. сб., 1966, т. 6,
N2 1, с. 85 90.
[221] Миталаускас А. А., СтатулЯВИЧУС В. А.,
О локальных предельных теоремах. I. Лит. матем. сб.,
1974, т. 14, М 4, с. 129 144.
[222] Миталаускас А.,СтатулявичусВ. А.,Асимпто
тическое разложение в случае устойчивоrо аппроксимирующеrо
закона. Лит. матем. сб., 1976, т. 16, М 4, с. 149 166.
[223] О' I{ о н н о р (О' Konnor Th. А.). Some classes of limit
laws con taining the stable distributions. Z. Wahrsch. verw.
Geb., 1981, В. 55, Н. 1, S. 25 33.
[224] О у я н r у а н И ж у н. О предельных теоремах и УСТ(lЙ
чивых предельных распределениях для сумм случайноrо
числа незаВИСИ\1fЫХ случайных величинах. Асtа Scient. natllr.
Univ. Fudan, 1956, v. 10, N 1, р. 1 8 (на кит. яз.).
[225] П а у л а у с к а с В. и. Оценка остаточноrо члена в пре
дельных теоремах с устоЙчивым предельныМ распределением.
Лит. матем. сб., 1974, т. 14, N2 1, с. 165 187.
[226] П а У л а У с к а с В. И. Некоторые неравномерные оценки
в предельных теоремах теории вероятностей. ДАН СССР,
1979, т. 211, N2 4, с. 791 792.
[227] П а у л а у с к а с в.И.Об оценках скорости сходимостивпре
дельных теоремах посредством псевдомоментов. ДАН СССР,
1971 , т. 199 , N2 1, с. 26 29 .
[228] П а у л а у с к а с В. и. Равномерныеи lIеравномерныеоценки
остаточноrо члена в предельной теореме с устойчивым пре
дельным законом. Лит. матем. сб., 1974, т. 14, М 4, с. 171
185.
[229] П а у л а у с к а с В.И. оскоростисходимости В мноrомерной
предельной теореме в случае устойчивоrо предельноrо зако
Ha. Лит. матем. сб., 1975, т. 15, N2 1, с. 207 228.
[230] П и л л а Й (Pillai В. N.). Semi stable la,vs as limit distri
butions. Ann. Math. Statist., 1971, v. 42, р. 780 783.
[231] Про хор о в ю. В. Локальная теорема для плотностей.
ДАН СССР, 1952, т. 83 М 6, с. 797 800.
\
\
304
ЛИТЕРАТУРА
[232] С а к о в и ч r. н. Единая форма притяжения к устойчивым
законам. Теория вероятн. и ее примен., 1956, Т. 1, М 3,
с. 357 361.
[233] е а т ы б а л Д и н а К. и. R вопросу об оценке сио
рости сходимости В предельной теореме с устойчивым предель
ным законом. Теория вероятн. и ее примен., 1973, т. XVIII,
.м 1, с. 211 212.
[234] е а т ы б а л Д и н а К. и. Абсолютные оценки скорости
сходимости к устойчивым законам. Теория вероятн. и ее
примен. , 1972, т. XVII, М 4, с. 773 775.
[235] е а т ы б а л Д и н а К. И. Влияние rладкости функции pac
првделения на оценку скорости сходимости к предельному
устойчивому закону. В сб.: «Теоретические и прикладные
задачи математики и механики). Алма Ата: Изд. АН Rаз.
сер, 1973, с. 198 202.
[236] С т а Т у л я в и ч у с В. А. О предельных теоремах в CJIY
чае устойчивоrо предельноrо закона. Лит. матем. сб., 1967,
т. 7, М 2, с. 321 328.
[237] С Т о у н (Stone с. J .). Local limit theorems for asymptoti
саНу stable distribution functions. Notices Amer. Math.
Soc., 1964, у. 12, р. 465.
[238] Т а к к е р (Tucker Н. G.). Convolutions of distributions
attracted to а stable law. Апп. Math. Statist., 1968, v. 39,
р. 1381 1390.
[239] Т к а ч у R С. r. Теорема о больших уклонениях в случае
устойчивоrо предельноrо закона. В сб.: Случайные процессы
и статистические выводы, вып. 4. Ташкент: Фан, 1974,
с. 178 186.
[240] Т к а ч у к с. r. Локальные предельные теоремы, учитыва
ющие больше УRлонения в случае предельных устойчивых
законов. Изв. АН Узб. ССР, сер. физ. матем., 1973, М 2,
с. 25 30.
[241] Ф е л л е р (Feller W.). Fluctuation theory of recurrent
events. Trans. Amer. Math. Soc., 1974, у. 62, р. 98 106.
[242] Фор т у с М. и. Равномерная предельная теорема для pac
пределений, притяrивающихся к устойчивому закону с пока
зателем, меньшим е иницы. Теория вероятн. и ее примен. ,
1957, т. 11, М 4, с. 486 487.
[243] Х о л л (НаН Р .). Two sided bounds оп thc rate о! conver
gence to а stable law. Z. Wahrscll. verw. Geb., 1981, В. 57,
Н. 3, S. 349 364.
r244] JII а пир о (Shapiro J. М.). Оп thc rate о! conver ence of
distribution function of sum of reciprocals of random variables
to the Caushy distribution. Houston J. Math., 1978, у. 4,
N 3, р. 439 445.
1 i
'[
1
I
!
['
,
t
$
"