Я.Галамбош
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ
ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ
ПОРЯДКОВЫХ
СТАТИСТИК
Перевод с английского
В.А. Егорова, В.Б. Невзорова
Под редакцией В.В. Петрова
МОСКВА ’’НАУКА”
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 84

22.172
Г 15
УДК 519.31
The Asymptotic Theory
of Extreme Order Statistics
Janos Galambos
John Wiley and Sons
New Jork. Chichester.
Brisbane. Toronto
Галамбош Я. Асимптотическая теория экстремальных порядковых
статистик. Пер. с англ./Под ред. В.В. Петрова. - М.: Наука, Главная редакция
физико-математической литературы, 1984.-304 с.
Книга содержит современное изложение асимптотической теории экстре¬
мальных порядковых статистик. При различных условиях даны всевозможные
распределения экстремумов. Впервые в научной литературе обсуждаются та¬
кие вопросы, как многомерные распределения экстремальных значений,
распределения экстремумов для зависимых выборок и выборок случайного
объема, изучаются рекордные времена и рекордные значения. В книге даны
обзор литературы, многочисленные примеры и упражнения и обширная
библиография.
Для научных работников, аспирантов и студентов, специализирующихся
по математической статистике и предельным теоремам теории вероятностей.
Рассматриваемый в книге круг вопросов делает ее полезной и для специалис¬
тов-прикладников.
Copyright © 1978 by John Wiley & Sons, Inc.
All Rights Reserved. Authourized
translation from English language
edition published by John Wiley & Sons, Inc.
r 1702060000- 049 g4
© Перевод на русский язык
Издательство "Наука".
Главная редакция физико-математической
литературы, 1984
053 (02)-84

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	    3
Обозначения и соглашения	 8
Глава 1. Введение. Оценивание в одномерном случае	 9
§ 1.1. Проблемы, приводящие к эксгрсмальным значениям случайных ве¬
личин	 9
§ 1.2. Математическая модель . ... •	 И
§ 1.3. Предварительные замечания для случая независимых одинаково рас¬
пределенных случайных величин	 И
§ 1.4.	Границы для распределений экстремумов	 20
§ 1.5.	Примеры	 28
§ 1.6. Специфические свойства экспоненциального распределения в связи
с экстремальными значениями	 32
§ 1.7.	Обзор литературы	 42
§ 1.8.	Упражнения	 44
Глава 2. Слабая сходимость в случае независимых одинаково распределенных
величин	. . .	  48
§ 2.1. Предельные теоремы для максимумов и минимумов. Достаточные
условия	  49
§ 2.2. Другие возможные способы выбора центрирующих и нормирующих
констант в теоремах 2.1.1- 2.1.6	 55
§ 2.3. Асимптотические распределения максимума и минимума для некото¬
рых специальных распределений	  60
§2.4. Необходимые условия для слабой сходимости	 65
§ 2.5 . Доказательство третьей части теоремы 2,4.3	 74
§ 2.6. Примеры	 82
§ 2.7. Дальнейшие результаты, связанные с областями притяжения	 86
§2.8. Слабая сходимость для fc-x экстремальных значений	 93
§ 2.9. Размах и середина размаха	 97
§ 2.10. Скорость сходимости	 101
§ 2.11. Обзор литературы. . 		 106
§ 2.12. Упражнения	  108
Глава 3. Слабая сходимость экстремальных значений в общем случае	  112
§3.1. Новый взгляд на модели отказов	 112
§ 3.2. Особая роль симметрично зависимых величин	 114
§ 3.3. Подготовительный материал к предельным теоремам.	.	.	  121
§ 3.4. Предельная теорема для смесей	 123
§ 3.5. Теоретическая модель	 128
§ 3.6. Отрезки бесконечной последовательности симметрично зависимых
величин	•	 132
§3.7. Стационарные последовательности	 139
§3.8, Стационарные гауссовские последовательности	 146
§ 3.9. Предельные формы неравенств из §1.4	 156
§3.10. Максимум и минимум независимых величин	 161
§ 3.11. Асимптотическое распределение к-х экстремальных значений	 165
3

168
§ 3.12. Некоторые прикладные модели

3.12.1. Точные модели,. описываемые с помощью характеризацион-
ных теорем (168). 3.12.2. Точные модели, характеризуемые асимпто¬
тической теорией (сопротивление материалов) (169). 3.12.3. Проч¬
ность пучка волокон (171). 3.12.4. Аппроксимация независимыми
одинаково распределенными величинами (172). 3.12.5. Момент пер¬
вого отказа системы с большим числом компонент (174) .
§ 3.13. Обзор литературы	  176
§ 3.14. Упражнения	 179
Глава 4. Вырожденные предельные законы; сходимость почти наверное		183
§4.1. Вырожденные предельные законы	 183
§ 4.2. Леммы Борсля - Кантелли	 187
§ 4.3. Почгги наверное асимптотические свойства экстремальных значений
для независимых одинаково распределенных величин	 190
§ 4.4. Верхний и нижний пределы нормализованных экстремальных зна¬
чений	    .	. .	201
§ 4.5. Роль экстремальных значений в теории суммирования случайных ве¬
личин	  207
§4.6.	Обзор литературы		 212
§ 4.7.	Упражнения	  214
Глава 5.	Многомерные распределения экстремальных значений	 217
§5.1.	Основные свойства	многомерных распределений	 218
§ 5.2. Слабая сходимость экстремальных значений для независимых одина¬
ково распределенных случайных векторов. Основные результаты . . .	220
§ 5.3. Дальнейшие критерии для случая независимых одинаково распреде¬
ленных случайных векторов 	  226
§5.4. О свойствах предельной функции распределения	  .	230
§55. Сопутствующие порядковые статистики	,	 238
§5.6.	Обзор литературы	  242
§5.7.	Упражнения	  244
Глава 6.	Различные результаты	 248
§6.1.	Максимальная длина стационарной очереди	 248
§ 6.2.	Экстремальные значения для выборок	случайного объема	 250
§ 6.3. Рекордные моменты	  .	257
§ 6.4.	Рекорды	  264
§6.5.	Экстремальные процессы	 268
§ 6.6. Обзор литературы	  .	272
§ 6.7.	Упражнения	   274
Приложения	  276
Приложение /. Некоторые основные формулы для вероятностей и
математических ожиданий. . 		 276
Приложение II. Теоремы из функционального	анализа	 281
Приложение III. Медленно меняющиеся	функции	 285
Литература	 287
Предметный указатель 	 299

ПРЕДИСЛОВИЕ
Для случайных явлений, в которых экстремальные значения играют глав-
ную роль (наводнения, засухи, загрязнение воздуха, отказы в системах,
сопротивление материалов и т.д.)/асимптотическая теория экстремальных
порядковых статистик дает в некоторых случаях точные, а в большинстве
случаев приближенные вероятностные модели. Поэтому, если основные
условия реальной ситуации похожи на допущения модели, то исходную
сложную ситуацию можно заменить сравнительно простой асимптотичес¬
кой моделью. В этой книге я описал все известные асимптотические модели.
Помимо описания как одномерных, так и многомерных предельных распре¬
делений, я также включил результаты о поведении экстремумов почти
наверное. Наконец, в книге рассмотрены случайные объемы выборок,
а частный случай случайных объемов -- так называемые рекордные време¬
на — обсуждается более подробно. Небольшой параграф последней главы,
посвященный экстремальным процессам, более математичен, чем другие
части книги, и предназначен только для специалистов.
Я хотел бы сделать несколько замечаний по поводу асимптотической
теории экстремумов. Я уже упоминал, что асимптотическая модель может
иногда привести к точному стохастическому описанию случайного явления.
Это происходит тогда, когда изучаемую случайную величину можно выра¬
зить как минимум или максимум величин, связанных с произвольно боль¬
шим разбиением (например, сопротивление листа металла есть минимум
сопротивлений кусков листа). Но, независимо от того, используется ли
модель в качестве точного решения или как приближение, применимость
модели к данной задаче определяется ее основными допущениями. Поэто¬
му, если к одним и тем же заключениям приводит несколько моделей, то
каждая модель существенна для теории, показывая, что эти заключения
применимы при различных обстоятельствах. Одним из центральных вопро¬
сов теории является вопрос о том, оправдано ли применение классического
распределения экстремальных значений, т.е. распределения, которое полу¬
чается как предельное для соответствующим образом нормализованных
экстремумов независимых одинаково распределенных случайных величин.
Для нескольких моделей из этой книги ответ на этот вопрос положителен.
Однако в некоторых других случаях получены предельные распределения,
которые не принадлежат трем классическим типам. Именно это предсказы¬
вали с самого начала специалисты по байесовской статистике и теории
надежности (и они в действительности использовали эти распределения, не
5

обращаясь к теории экстремальных значений). Я искренне надеюсь, что эти
распределения будут широко использоваться и в других областях.
В теории экстремальных значений возникает еще одна проблема, которая
не встречается в большинстве областей прикладной статистики. Даже если
предполагать, что основные случайные величины независимы и одинаково
распределены, с помощью стандартных статистических методов (критериев
согласия) нельзя решить вопрос о распределении совокупности. Я привожу
пример (пример 2.6.3), в котором с помощью обычных статистических
методов можно принять как нормальность, так и логнормальность исходно¬
го распределения, в то время как решение в терминах экстремумов сущест¬
венно зависит от выбора одного из двух упомянутых распределений. Следо¬
вательно, этот выбор должен быть субъективным (это является причиной,
по которой две группы людей приходят к противоположным заключениям,
хотя они основываются на одной и той же информации).
Изложение является математически строгим, хотя я ориентировался на
прикладников как в выборе материала, так и в истолковании математи¬
ческих заключений с помощью примеров и замечаний. Эти примеры и замеча¬
ния призваны также сделать книгу более привлекательной как учебное
пособие. Я также надеюсь, что эта книга будет содействовать распростране¬
нию существующей теории среди прикладников, открывая им доступ, к
результатам, разбросанным в математической литературе. Еще одна цель
состояла в том, чтобы собрать всю теорию в одной книге для специалистов,
работающих в этой области. Этой цели служат обзор литературы в конце
каждой главы и обширная библиография.
Для чтения этой книги требуется минимальная предварительная подго¬
товка. Она не выходит за пределы основ математического анализа и теории
вероятностей. В приложении I приведены некоторые теоремы теории ве¬
роятностей (включающие математические ожидания и интегралы), которые
могут не быть представлены в основном курсе. Единственным исключе¬
нием является последний napai раф главы 6, который предназначен главным
образом для специалистов. В силу характера книги полезно некоторое
знакомство со статистиками и распределениями, хотя я и привожу все
используемые в тексте распределения. Книгу можно использовать в качест¬
ве учебного пособия повышенного типа на любом факультете, на котором
преподают теорию вероятностей и математическую статистику. Она может
быть положена также в основу нематематического курса по этому предме¬
ту. В этом случае большую часть доказательств можно опустить, а их идеи
продемонстрировать с помощью частных случаев (например, рассматривая
простые классы распределений). В курсе или при перво.м чтении главу 4
можно пропустить, поскольку последующие главы не зависят от нее.
Ни одна из книг, опубликованных к настоящему времени, не содержит
материала глав 1 и 3—6. Единственным пересечением с существующими
монографиями является глава 2, которая частично содержится в книге
Гумбеля (1965) и в монографии де Хаана (1970) (см. список литературы).
Следует добавить, однако, что книга Гумбеля имеет в большей степени
6

прикладную направленность, чем теоретическую. Его методы неприменимы,
если не выполнены ограничительные предположения главы 2.
Хотя многие доказательства, приведенные здесь, являются новыми, честь
создания теории принадлежит тем ученым, чей вклад привел ее к настояще¬
му уровню. Легко унифицировать и упрощать доказательства, когда весь
материал собран вместе.
У меня не было времени лично поблагодарить многих ученых, которые
отвечали на мои просьбы и вопросы. От всего сердца благодарю их всех
без исключения. Особенно я благодарен тем ученым, которые занимаются
приложениями теории экстремальных значений и которые лично или в пись¬
мах терпеливо обсуждали со мной эти задачи. Я обязан моему другу про¬
фессору Дэйвиду Кендаллу за то, что он представил мой проект издательст¬
ву ’’Джон Уайли и сыновья”. Я также хотел бы поблагодарить Митти
Дэйвис за ее искусство и внимание при печатании рукописи.
Янош Галамбош

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОГЛАШЕНИЯ
Хх, Х2	Хп исходные случайные величины.
Zn	максимум из %1, Хг, . . . , Хп.
Wn	минимум из X х, Х2,. . . , Хп.
F(x) = Р(Х < х) функция распределения величины X.
Нп <Х)	функция распределения величины Zn.
Ln(x)	функция распределения величины И'л.
a(F)	inffx : F(x) > 0}.
и>(Л	sup{ х : F(x) < 1).
H(x)	предел функций Нп(ап + Ъпх), где ап и Ьп > 0 - некоторые постоянные.
L(x)	предел функций Ln(cn + dnx), где сп ndn>0 - некоторые по¬
стоянные.
Хг:п	r-я порядковая статистика среди величин Хх, Х2, . . . , Хл,так что
^1 :п	:п	: п и :п ~	:п = %п-
t	t
S ; П соответственно сумма и произведение от единицы до целой части t.
к= 1	*= 1
771,7 (х)	определяется	соотношением	(11)	на стр.	50.
/^(л)	определяется	соотношением	(13)	на стр.	50.
Яз 0(х)	определяется	соотношением	(18)	на стр.	50.
Li y(x)	определяется	соотношением	(28)	на стр.	54.
^2,7(х)	определяется	соотношением	(30)	на стр.	54.
7,3 q(x)	определяется	соотношением	(35)	на стр.	54.
А' или Ас	дополнение множества Л.
н.о.р.	независимые и одинаково	распределенные.
б.ч.	бесконечно часто.
П I	приложение 1.
а	знак окончания доказательства теоремы	или конца примера.

Глава 1
ВВЕДЕНИЕ. ОЦЕНИВАНИЕ В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Мы опишем ряд ситуаций, в которых экстремальные значения управляют
интересующими нас законами. Будут перечислены как практические, так
и теоретические проблемы, которые затем будут объединены в общую мате¬
матическую модель.. Наша цель — исследование этой математической моде¬
ли и описание нынешнего состояния знаний об этой модели при различных
предположениях. Прелесть обсуждаемого вопроса состоит в том, что в ре¬
зультате мы приходим к пониманию регулярностей экстремального поведе¬
ния — выражение, которое кажется противоречивым.
После введения математической модели в настоящей гл'аве рассматри¬
ваются неравенства, которые включают распределения экстремальных зна¬
чений из некоторого множества наблюдений. Эли неравенства пригодны для
двух целей. С одной стороны, они без обращения к асимптотической теории
могут обеспечить нас хорошими оценками для распределения экстремумов
при конечном числе наблюдений. С другой стороны, они составят часть ос¬
новного аппарата асимптотической теории, которая будет развита в после¬
дующих главах. Следует подчеркнуть, что в некоторых ситуациях, вопреки
общему убеждению, асимптотическая теория приводит к точным моделям,
приближения для которых можно получить, используя конечное число
наблюдений. Конкретный пример читатель может найти в § 2.1.
§ 1.1. Проблемы, приводящие к экстремальным значениям
случайных величин
Перечислим сейчас ряд случаев, когда математическое решение рассматри¬
ваемых проблем дается в терглинах наибольшего или наименьшего из
’’измерений”.
Стихийные бедствия. Наводнения, ливни, экстремальные температуры,
экстремальные значения атмосферного давления, ураганы и другие природ¬
ные явления могут вызвать значительные человеческие жертвы и материаль¬
ный ущерб, если общество не подготовлено к ним. Нельзя полностью избе¬
жать подобных бедствий, но можно принимать профилактические меры для
уменьшения их эффекта. При выборе строительных материалов и архитек¬
турных решений для дамб, плотин, каналов и других подобных устройств
некоторые их этих бедствий могут быть приняты во внимание. Инженерные
решения таких проблем должны основываться на весьма точной теории,
так как неточности могут обойтись очень дорого. Например, плотина,
строительство которой обошлось в громадную сумму, может разруши/ься,
просуществовав не очень долго.
Выход из строя систем. Предположим, что система выходит из строя
при отказе одной из компонент. Другими словами, мы рассматриваем
9

только те компоненты, отказ хотя бы одной из которых приводит к оста¬
новке системы. Налицо экстремальная ситуация в том смысле, что одно
лишь слабейшее звено может привести систему к выходу из строя. Несмот¬
ря на то, что наше предположение может показаться упрощением, наиболее
общие модели сложных систем с отказами сводятся к такой схеме. Действи¬
тельно, если сперва рассматривать такие группы компонент, что выход
из строя одной группы приводит к выходу из строя всей системы, то к пер¬
вому отказу системы приведет наименее надежная из этих групп.
Время обслуживания. Рассмотрим систему с большим числом компонент
и предположим, что эти компоненты могут обслуживаться одновременно.
Тогда время, необходимое для обслуживания системы, определяется
компонентой, требующей самого длительного обслуживания.
Коррозия. Мы считаем, что поверхность с большим числом коррозийных
пятен испорчена коррозией, если коррозия под каким-либо из этих пятен
пронизывает всю толщину поверхности. Первоначально глубина дефектов
случайна и увеличивается со временем из-за химической коррозии. И в этом
случае выход из строя изделия определяется экстремальным значением
глубины дефекта.
Прочность на разрыв. Абсолютно однородный материал разрушился бы
под некоторым определенным давлением. Однако абсолютно однородных
материалов нет, и эксперименты показывают, что прочность на разрыв
материалов при одном и том же способе их производства может различать¬
ся значительно. Объясняется это тем, что в каждой точке или по крайней
мере в каждой малой области прочность случайна, и поэтому нужны различ¬
ные усилия для разрушения материала в различных точках. Очевидно, что
прочность материала в целом определяется слабейшей точкой.
Загрязнение атмосферы. Концентрация загрязнителей атмосферы выра¬
жается в терминах процентного содержания в атмосфере конкретных ве¬
ществ. Концентрация регистрируется через равные временные интервалы
(существующие исследования основаны на наблюдениях, полученных через
пятиминутные интервалы), и целью общества является поддержание наи¬
большей из измеряемых величин ниже заданного уровня.
Статистические выборки. Делаются наблюдения над некоторой сово¬
купностью. Часто требуется знать, сколь большие или сколь малые измере¬
ния можно ожидать.
Статистические оценки. После сбора наблюдений данные используются
для нахождения оценок некоторых характеристик рассматриваемой сово¬
купности. Хотелось бы оценить эти характеристики настолько точно, на¬
сколько это возможно, однако неизбежно недооценивание или псреоценива-
ние. Поэтому значительный интерес представляет исследование наибольшей
или наименьшей из оценок.
Эти проблемы, хоть ими и не исчерпываются все возможности, показы¬
вают, что любая удачная теория экстремальных значений объединяет боль¬
шое число интересных тем. Такая теория может показать также красоту ма¬
тематических абстракций : одним и тем же языком будут говорить инженер,
физик, работник сферы обслуживания, статистик и другие специалисты.
Дальнейшие примеры областей применения теории будут приведены в
тексте и задачах. Рассмотрение проблем, приводящих к многомерным экс¬
тремальным значениям, мы отложим до главы 5.
10

§ 1.2. Математическая модель
Во всех примерах предыдущего параграфа мы столкнулись с п случайными
наблюдениями Х2	Хп> и нас интересовало поведение величины
Zn = max(Xi, Х2, . . . , Хп)
или величины
И/л = min(X1, Х2,. . . , Хп).
Действительно, в терминах паводков Xj обозначает уровень воды данной
реки вдень /, где / =1 отвечает, например, дню публикации данной книги.
Так как мы не знаем заранее уровня воды, эти величины случайны для нас.
В вопросе ’’Насколько правдоподобно, что в этом столетии уровень воды
в нашей реке останется ниже 230 сантиметров?”, очевидно, спрашивается
о значении P{Zn 230} - вероятности события {Zn <230). Здесь п являет¬
ся числом дней со дня опубликования этой книги до конца нашего столетия.
С другой стороны, если мы хотим использовать реку как источник энергии,
то нас интересует, как низко может упасть уровень воды. Это приводит нас
к необходимости нахождения вероятности Р{И\ > а} при фиксированном
значении а.
Аналогично, если X; - количество осадков, максимальное значение
температуры и тому подобное в течение временного промежутка / , то воп¬
рос о том, может ли некоторая сельскохозяйственная культура выращи¬
ваться при определенных климатических условиях, вновь зависит от экс¬
тремальных температур, осадков и т.д., т.е. от величин Zn или И/л. Автор
столкнулсй с этими .вопросами в двух климатических зонах в связи с про¬
изводством двух разных культур - широко распространенным в Венгрии
производством риса, для которого обязательным является некоторое ми¬
нимальное количество осадков в неделю (в этом случае ответ на поставлен¬
ный выше вопрос дается в терминах величин Wn и в качестве временного
интервала выбирается неделя), и производством картофеля в Западной
Африке, для которого требуются не очень высокие дневные температуры
(в этой ситуации ответ дается в терминах величин Zn с дневным времен¬
ным интервалом).
Очевидным является и переход к нашей математической модели в дру¬
гих примерах. В случае сложной системы ее безотказная работа продолжает¬
ся в течение Wn временных единиц, где Xj — момент отказа /-й компоненты
(или /-й группы компонент) и п - число коминчепт (ини групп компо¬
нент). С другой стороны, время обслуживания равно 7Л, где Xj — время,
необходимое для обслуживания /-й компоненты, и п - число компонент,
требующих обслуживания. В модели коррозии, если поверхность имеет п
дефектов и Xj - глубина /-го дефекта в данный момент времени, то интерес
представляет величина P{Zn < а}, где а - толщина поверхности. Приглаша¬
ем читателя завершить переход к модели для оставшихся примеров.
Поскольку наши величины Xlt Х2, ... случайны, случайными являются
и величины /л и И/л. Следовательно, вопросы и решения, связанные cZn и
не являются детерминированными - мы говорим о значениях Zn и Wn
только в вероятностном смысле. Другими словами, вопросы и решения
в нашей модели могут (и должны) содержать только величины вероят¬
ностей того, что Zn или попадают в некоторые области. В частности,
11

хотелось бы уметь оценивать точно или приближенно функции распре¬
деления
Hn(x) = V{Zn<x}	(1)
и
Z„(x) = P{H'„<x}.	(2)
Перед тем как окончательно определить наши математические проблемы,
вер,.емся к двум из примеров предыдущего параграфа.
Проанализируем вначале прочность на разрыв S листа металла прямо¬
угольной формы. Прочность S — случайная величина и имеет некоторую
функцию распределения L (х) = Р{5 < х). Разделим теперь лист на п2
равных частей, разбив каждую'сторону на п частей. Пусть случайная проч¬
ность /-й части будет А). Поскольку лист металла разрушится при разруше¬
нии хотя бы одной (наименее прочной) его части, величина S, очевидно,
совпадает с И'л - минимальной из всех величин Ху (1	<и2). Это озна¬
чает, что Ln(x) = L (х) при всех значениях п. В частности, L (х) совпадает
с пределом функций £л(х) при п Ввиду того, что нахождение распре¬
деления величины Xj и, следовательно, величины Wn так же затруднитель¬
но, как и нахождение функции L (х) (очевидно, что суть проблемы одна
и та же), удачная асимптотическая теория для Ln(x) может позволить по¬
лучить Л(х), не находя фактически функции Ln(x). Некоторые модели
исследуются именно таким образом. Предельное выражение дляЯл(х) или
Ln(x) будет одним и тем же (или одним из небольшого числа возможнос¬
тей), вне зависимости от фактического распределения величин Xj. Заметим,
что здесь мы ищем точный вид L (х), развивая теорию, которая гаранти¬
рует существование предела Ln (или Нп).
В качестве второго примера выберем проблему паводков на реке. Любой
здравомыслящий человек согласится, что если имеется метод предсказания
с большой вероятностью того факта, что реке не потребуется новая плотина
(т.е. уровень воды останется, например, ниже 230 сантиметров) до 1995 го¬
да, то этот же самый метод можно также использовать для предсказания
на период времени до 1997 года. Можно сказать, переходя к обозначениям
этого параграфа, что Нп(х) не меняется существенно, начиная с некоторых
значений п. Поскольку функция распределения Нп(х) выражает случайные
изменения 2Л, точный математический эквивалент приведенного выше
’’наивного” подхода состоит в том, что после некоторой нормировки
константами ап и Ьп > 0 величина (Zn - а^>Ьп с ростом п становится все
более независимой от п. Это означает, что для фиксированного z существу¬
ет предел
lim Р I —		 < Д = lim Нп (ап + bnz) = H(z).
п -* 00 I bn	) п -* °°
В силу этого, если бы мы могли определить//(z), величины Х; и их распределе¬
ния потеряли бы значение, при условии, что ап и Ьп можно было бы вы¬
числить.
Заметим, что во всех наших примерах п достаточно велико, и поэтому
наша цель — найти условия, при которых ’’наивный” подход математически
оправдан. Кроме того, конечно, мы хотели бы придать нашим результатам
12

значимость, дав фактическое предельное распределение и методы вычисле¬
ния констант ап и Ьп > 0.
Главная цель настоящей книги - дать условия, при которых существуют
такие константы ап, <?„, Ьп > 0 и dn > 0, что при п ->« функции Нп(ап + bnz)
и/или L>n(cn + ^пУ) стремятся к функциям распределенияН(z) и/или L (у)
соответственно. Кроме того, мы хотим определить функции H(z) и £ (у) и
предложить методы для вычисления констант ап, Ьп, сп и dn. По чисто мате¬
матическим соображениям существование пределов H(z) и L (у) будет
требоваться для точек непрерывности этих функций (значения в точках
непрерывности, как хорошо известно, однозначно определяют функцию
распределения).
Мы также предложим дополнительно несколько интересных матема¬
тических результатов, часть из которых являются нетрудными следствиями
методов, развитых для осуществления нашей главной цели, сформулиро¬
ванной выше. Другая часть этих результатов потребует некоторых дополни¬
тельных аргументов или модификаций наших методов. Более развитая
теория будет нужна, в частности, для векторных величин и в ситуации, ког¬
да п является случайной величиной.
Повсюду в этой книге мы используем обозначения
Fz(x) = P{A/<x}	(3)
и
F„‘(x!,x2,...,x„) = P{XI <х„ Х2<х2, .... Х„<х„}.	(4)
Очевидно, что
Я„(х) = Fn*(x, х	х).	(5)
Полагая
<?z(x)=l-Fz(x) = P{Xz>x}	(6)
И
GAXt.Xj	хя) = РСГ. Х2>х2	Хп>хп},	(7)
мы получим равенство
1 -£„(x) = G’„,(x,x>...,х).	(8)
Соотношения (5) и (8) показывают, что решение нашей главной проблемы
предполагает знание функций и G* или хорошего приближения к ним
в случае, когда все п переменных одинаковы. Мы будем использовать раз¬
личные методу решения этой проблемы при различных предположениях о
соотношениях между величинами Х2, ... , Хл. В некоторых ситуациях
мы сможем найти асимптотическое поведение не только Zn и Wn, но также
*-й наибольшей и А>й наименьшей из величин Xj (точное математическое
определение см. в § 1.4).
Завершим этот параграф простым, но важным замечанием. Пусть Л(м) -
строго убывающая функция, определенная для всех возможных значений
величин Хг, Х2,.. ., Хп. Полагая У/ = h(Xj) , мы получим, что
л {max (X,, х2	Х„)} = min (У,, Y2	Y„)
И
h{min(Xt,X2,...,Xn)} = тах(У1, У2...., У„).
13

Наиболее естественным является выбор h(u) = - и, при котором мы прихо¬
дим к выводу, что теория для Zn идентична теории для Wn. По этой причине
некоторые утверждения будут сделаны либо только для величины Z„, либо
только для величины Wn. В таких случаях,однако,утверждение для остав¬
шейся величины будет даваться в качестве задачи для того, чтобы привести
все формулировки результатов (как для максимумов, так и для мини¬
мумов) .
§ 1.3. Предварительные замечания для случая независимых
одинаково распределенных случайных величин
Взглянув на математическую модель из § 1.2 в свете практических проб¬
лем, приведенных в § 1.1, можно сразу увидеть, что величины Xif Х2у • . -
. . . , Хп зависимы. Единственным исключением может быть теоретическое
понятие статистических выборок, когда предполагается, что эксперимента¬
тор свободен в выборе своих данных и поэтому получает их в каждом
наблюдении независимо друг от друга. Нам бы хотелось охватить все прак¬
тические ситуации, однако последующее обсуждение не является характер¬
ным для нашей цели и метода, хотя и может служить приближением и
являться ориентиром в некоторых ситуациях.
Пусть Xif Х2,. .. , Хп-независимые и одинаково распределенные (н.о.р.)
случайные величины. Учитывая обозначения
Zn - шах^!, Х2,. . . , Хп) и Wn =min(X!, Х2,. . . , %„),
формулы (4) - (8) можно свести теперь к соотношениям
P(Z„<x}=tf„(x) = F"(x)	*	(9)
и
Р{И/л>х} = 1 Ln(x) = (1 - Е(х))п.	(10)
Ниже мы дадим два простых приближения для Нп(х) и Ln(x). Одно из
них будет служить ориентиром для получения предельных теорем, а дру¬
гое - для получения оценок в случае зависимых систем. Приведем вначале
две леммы.
Лемма 1.3.1. Для любого положительного z < 1/2 справедливы не¬
равенства
e~nz -(1 z)n (exp(2nz2) - 1} <(1 - z)n <e~nz,
причем правое из них остается справедливым при 0 < z < 1.
Доказательство. Заметим вначале, что для любого 0 < z < 1 име¬
ет место неравенство
(1 -z)n <e~nz.	(И)
Действительно, (1 - z)n = ехр{л log(1 - z)}, поэтому остается убедиться,
что log (1 - z) < -z, но последнее неравенство сразу следует из сравнения
функции log( 1 - z) и касательной к графику этой функции в нуле.
Покажем теперь, что для 0 < z < 1/2 справедливо соотношение
(1 - z)n~ nz >e~nz.	(12)
14

Действительно, приводя левую часть этого неравенства к экспоненциально¬
му виду, мы видам, что соотношение (12) эквивалентно неравенству
(1 -z)log(l -z)> - -z.	(12а)
Неравенства такого рода легко доказываются интегрированием некоторых
других неравенств. Возьмем очевидное соотношение
- log(l z)>0	(0<z<l).
Почленное интегрирование этого соотношения приводит к неравенству
0<- f log(l -x)dx = (l — z)log(l z) + z,
0
из которого следует теперь соотношение (12а), а затем и (12). Из нера¬
венств (11) и (12) для 0 < z < 1 /2 имеем
0<e~nz -(1 -z)n <(1 -z)n {(1	- 1} .	(13)
Остается лишь убедиться в справедливости для 0<z < 1/2 соотношения
(1 - z)~nz = exp { - nz log(1 - z)} < exp {2nz2} ,
вытекающего из неравенства -log(l-z)<2z (0<z< 1/2). Этим завер¬
шается доказательство леммы.
Лемма 1.3.2. Для любого неотрицательного z < 1 и для всех целых
и > 1 и 5 > 0 выполняются неравенства
(-1/C*z*<(l - zf< S (-l)*C„*z*.
к=0	к=0
Доказательство. Докажем лемму индукцией по п. Положим
= (-D*C*zk
и	к = °
-( 1 	г)".
Очевидно, что
1 - (1 -2)л >0	(14)
для любых значений 1 и 0<z<l. Непосредственно из определения
следует также, что gm j (z) = 0 для 1. Принимая во внимание соотно¬
шение (14), видим, что лемма справедлива для п = 1. Зафиксируем теперь
« > 1 и предположим, что лемма доказана для п - 1, т.е. для любых значе¬
ний 0	<1 и целых 5 > 0 выполняются неравенства
^,л-1(О>0>	*25 + 1,и-1(О<0.	(15)
Рассмотрим теперь функцию gmn(z)- Сравнивая функцию (1 - z)n с каса¬
тельной к ее графику в нуле, имеющей вид 1 — nz, получаем, что
- hz- (1 z)n <0	(0<z<l).	(16)
Скомбинировав неравенства (14) и (16), приходим к справедливости при
5 ж 0 соотношений
Z2S,n(z)>0,	(0<z< 1).	(17)
15

Чтобы доказать утверждение (17) при s > 1, заметим вначале, что
gm.„(O =	2 (--\)кС„ккгк-1 +n(l-zr-1 =
к = 1
= "	2 (-1)^*2^*-* +л(1 -Z)"-> = -ngm_r>л_1(г)
к = 1
для т > 1. Имеет место также равенство gm л(0) =0 при т > 0 и п > 1.
Таким образом, из соотношений (15) следует справедливость неравенств
(17) для s > 1, что и завершает доказательство.
Применение леммы 1.3.1 почти сразу приводит к следующим полезным
неравенствам для распределений величин Zn и Wn. А
Теорема 1.3.1. Пусть , Х2,. .. , Хп~ н.о.р. случайные величины с
функцией распределения F (х) . Пусть х удовлетворяет условию
1 - F(x) < —■ -	(18)
2 \fn
Тогда для п > 1 справедливы неравенства
Т(х) - 4л [1 - F(x)]2F"(x) < Р {Z„ <х} < Г(х),
где Т(х) = ехр {- п [1 - F(x)]} .
Теорема 1.3.2. Пусть Xlt Х2	Хп - н.о.р. случайные величины с
функцией распределения F (х), и пусть х удовлетворяет условию
Г(х)<—-1—. •	(19)
2ч/7
Тогда для п > 1 справедливы неравенства
U(x) - 4nF2(x) [1 - F(x)]" < Р { Wn >х } < U(x),
где U(x) = exp { - nF(x)}.
Доказательства теорем 1.3.1 и 1.3.2. Применим вначале лем¬
му 1.3.1, подставив z ~ 1 - F(x). Тогда, принимая во внимание равенство
(9), вместо (1 -- г)\получим P(Z„ < х}. Заключение теоремы 1.3.1 будет
теперь следовать из элементарной оценки
\е“ - 1 | < 2со (0 < о-? < 1/2),
которую можно использовать в лемме 1.3.1 ввиду предположения (18).
Доказательство теоремы 1.3.2 проходит аналогично предыдущему доказа¬
тельству, отличаясь лишь тем, что берется z - F(х) и затем используется
соотношение (10) и предположение (19). А
Запишем предельную форму теорем 1.3.1 и 1.3.2.
Следствие 1.3.1. Используем обозначения теоремы 1.3.1. Предполо¬
жим, что существуют такие последовательности вещественных чисел ап и
Ьп> 0, для которых существует предел
iirn п (1 -F(an +/>„>')] =и(у).	(20)
п -
Тогда справедливо соотношение
liin Р{7„ <а„ +Ь„У )= ехр { — «(»}.	(21)
п —• ,3°
16

Доказательство. Рассмотрим вначале случай и (у) = Правое
неравенство в лемме 1.3.1 после подстановки z = 1 - F(an + Ьпу) сразу при¬
водит к соотношению (21). Теперь будем полагать, что и (у) < °°. Из
соотношения (20) следует неравенство (18) при всех достаточно боль¬
ших п. Таким образом, если мы применим оценку F п (у) < 1 и соотношение
и[1 - F(an +ьпу)]2 =—{n[l -F(a„ + ft„y)])2 -0	(и^°°),
п
справедливое вследствие того, что и (у) < 00 в равенстве (20), то из ут¬
верждения теоремы 1.3.1 получим соотношение (21). Этим завершается
доказательство. А
Обращаясь к теореме 1.3.2, и рассуждая, как и выше, мы получим сле¬
дующую предельную теорему для величин Wn.
Следствие 1.3.2. Используем обозначения теоремы 1.3.2. Предполо¬
жим, что существуют такие последовательности вещественных чисел сп и
dn> 0, что для всех у существует предел
lim nF(cn +dn.y) = a>00-	(22)
п 00
Тогда справедливо соотношение
lim Р { Wn <с„ +dny}= 1 -exp (-gj(v)).	(23)
п -* 00
Трудности применения следствий 1.3.1 и 1.3.2 состоят в том, что в них
не приводятся условия, гарантирую[Дие выполнение соотношений (20) и
(22). Не даются также методы нахождения последовательностей ап, Ьп,
сп и dn. Эти проблемы мы обсудим в главе 2, а сейчас ограничимся не¬
сколькими примерами.
Пример 1.3.1 (экспоненциальное распределение). Пусть Хх, Х2, . • .
..., Хп - н.о.р. случайные величины с функцией распределения
F(x) = 1 - е"х (х > 0).	(24)
Тогда 1 - F(an + bnz) = е~ап е b"z. Для того чтобы выполнялось соотноше¬
ние (20), можно взять ап = log п и bn = 1. В этом случае u(z) = e~z и, та¬
ким образом, получаем
lim Р {Zn < log п + z } = exp (- e_z).	(25)
Л ~► 00
С другой стороны, в следствии 1.3.2 можно взять сп = 0 и dn - \/п. При
этом выборе соотношение (22) примет вид lim nF (у/п) = у. Тогда
л -►«
соотношение (23) перепишется следующим образом:
lim Р {W„ <у/п}=1 ~ е~у.	(26)
Л ~► о©
В случае экспоненциального распределения (24) соотношение (26) можно
получить непосредственно из равенства (10), не прибегая к следствию 1.3.2.
Действительно, из соотношения (10) получаем равенство P{Wn> х } = е~пх,
и, следовательно, соотношение
P{^<^}=1 -е-У
(26а)
17

справедливо для всех п, а не только в пределе. Такое свойство, однако,
выполняется только для очень немногих распределений (см. § 2.4
главы 2).
Для сравнения вычислим вероятность P{ZS0 < 5}, используя точную
формулу (9), а также приближение (25). Из равенства (9) имеем
P(Z50 <5} = (1 -е"5)50 =0,71317,
в то время как соотношение (25) дает следующее приближение:
Р (Z50 <5} ^ехр { - exp(log 50 - 5)} = 0,71398.
Обратимся к неравенствам, фигурирующим в теореме 1.3.1. Нетрудно про¬
верить справедливость предположения (18). Затем, заменяя Еп(х) оцен¬
кой снизу из теоремы 1.3.1, найдем, что
2ООе“10 =0,00908, ехр(- 50е"5 ) = 0,71398,
и мы получаем оценку
0,70490 < Р {Zsо < 5 ) < 0,71398. А
Пример 1.3.2. Пусть Xi9 Х2, .. . , Хп - н.о.р. случайные величины с
функцией распределения
Г(х) = 1 - 1 /х	(х > 1).
Для нахождения предельного распределения величины Z„ заметим, что
соотношение (20) выполняется с ап = 0 и Ьп = п и имеет вид
lim n(nz)~' = 1/z	(z>0).
n 00
Следовательно, из соотношения (21) получаем, что
lim Р { Zn <nz} = exp (- 1 /z)	(z > 0). a
n — 00
Пример 1.3.3. Пусть общая функция распределения независимых слу¬
чайных величин Xj (1 </ Си) имеет вид
1
F(x) = 1	 (х > е).
logx
В главе 2 (см. пример 2.6.1) мы увидим, что соотношение (20) в этом слу¬
чае не может выполняться, и поэтому следствие 1.3.1 неприменимо. Теоре¬
ма 1.3.1, однако, может дать хорошие оценки для функции распределения
Hn(z) величины Z п. Что более важно, она может помочь нам "угадать”,
насколько большими могут быть значения Z„. Следует познакомиться с
возникающими в этой ситуации удивительными цифрами. Выберем п = 4.
Мы хогим подобрать х гак, чтобы погрешность, имеющая вид 4n(1 —F(x))2 =
= 16(logx)"2, была небольшой. Если наша цель состоит в том, чтобы по¬
грешность не влияла по крайней мере на первую значащую цифру основной
оценки в теореме 1.3.1, имеющей в нашем случае вид
(	4	)
схр{ п(1 -/'(х))} = ехр - 	’	(27)
I logx J	>
18

то следует взять такие х, чтобы выполнялось неравенство 16(logx)'2 <
< 0,05, из которого получаем х > 58 734861. Взяв в качестве ориентира
это неожиданно большое число, оценим вероятность
p(Z4 <60 X 106}.
Легко убедиться, что условие (18) выполняется, а из соотношения (27) и
оценки погрешности следует, что
0,7498 < Р (Z4 < 60 X 106} < 0,7998.
Отсюда получаем, что P{Z4 > 60 X 106}> 0,2, т.е. более чем в 20% всех
случаев наибольшее среди четырех независимых наблюдений превысит
60 000 000. Вот погчему нет ничего удивительного в том, что с ростом п
величина Z„ не обладает свойством стабильности в смысле существования
предельного распределения. ▲
Если теоремы 1.3.1 и 1.3.2 и следствия 1.3.1 и 1.3.2 существенно исполь¬
зуют независимость величин Xj, то лемма 1.3.2 приводит нас к другому
типу оценок для Нп(х) и Ln(x}, которые могут быть распространены на
зависимые системы. С этой целью введем следующие обозначения. Для
к > 1 рассмотрим суммы
Sk п = S	Р {Xt >х, Х( >х, . . . , Xit>x} .	(28)
1 2 к
...< ik < и
Если величины Xj независимы и имеют общую функцию распределения
Г(х),то справедливо равенство Skt„ = с£(1 - Г(х))к. Таким образом,
используя подстановку F(x) = 1 — (1 — F(x)) = 1 — z в соотношении (9) и
лемме 1.3.2, приходим к следующим оценкам.
Теорема 1.3.3. Пусть Xь Х2, . . Хп - н.о.р. случайные величины.
Определим Sk n(x) при помощи равенства (28) для к> 1 и 50 n(x) = 1.
Тогда для любых вещественных х и целых $ > 0 справедливо соотношение
(-1)*5м(л)<Р{гя<х)< S (- 1)*$*,„(*)•	(29)
к = 0	к = О
Подобные неравенства могут быть получены для Ln(x), если переопре¬
делить Sk п(х) как соответствующую сумму вероятностей совместного
появления любых к из событий {Xj < х}. В следующем параграфе мы да¬
Дим более общие неравенства, поэтому не будем приводить здесь аналог
теоремы 1.3.3 для величины Wn.
Важность теоремы 1.3.3 состоит в том, что в ней можно отойти от огра¬
ничительного предположения независимости. Утверждение теоремы остает¬
ся справедливым без каких бы то ни было предположений о взаимозави¬
симости последовательности величин Xj. Фактически из справедливости
соотношения (29) для независимых Xj следует его справедливость для
произвольных случайных величин (см. упр. 8). Этот вопрос мы рассмот¬
рим в следующем параграфе, где будут доказаны некоторые обобщения
неравенств (29).
19

§ 1.4, Границы для распределений экстремумов
Вернемся к математической модели § 1.2. Имеем последовательность
случайных величин А\, Х2, ... , Хп, которые в большинстве приложений
являются зависимыми. Пусть
F/|(G	1к(.х1.х2	х*)	= Р{Х,-1 <х1>%12 <хг	Xik<xk} (30)
- совместное распределение величин Хц, Xi2, . . , , Xik (1 C/j < i2 < • • •
Введем также обозначения
С-,\j,	ik(xt,x2	хк) = Р {%,, >xt, X,, >х2,..., Xik>xk} . (31)
Заметим, что определения (30) и (31) сводятся соответственно к определе¬
ниям (3) и (6), если к = 1, и совпадают с определениями (4) и (7), если к = п
и, таким образом,/у =/. В последнем случае мы также будем использовать
для вероятностей (30) и (31) краткие формы (4) и (7) соответственно.
Наша цель состоит в получении границ или точных выражений для распре¬
деления экстремальных величин. Расширим наше понятие экстремальной
величины так, чтобы оно определяло не только максимум и минимум.
Определение 1.4.1. Расположим случайные величины Ху, Х2,. ..
. . ., Хп в неубывающем порядке
... <ХК:„.	(32)
Мы не выдвигаем никаких требований, согласно которым одна величина
предшествовала бы другой, если в соотношении (32) встречаются равенст¬
ва. Величины (32) называются порядковыми статистиками для величин Х{,
Х2,. .. , Хп. Величина Хг>п называется r-й порядковой статистикой.
Заметим, что Х^ :п = WnH Хп.п= Zn. Мы будем продолжать использовать
предыдущие обозначения наряду с новыми.
Определение 1.4.2. Для фиксированного k > 1 при п -><» величины
Хкп и Xn_k+t>n будут называться к-ми экстремумами (экстремальными
величинами). Мы будем также использовать понятие k-го нижнего экстре¬
мума для величины Хкп и к-го верхнего экстремума для величины
Хп-к+\ :п- Первыми экстремумами являются минимум и максимум, и они
будут называться экстремумами (экстремальными величинами), не счи¬
таясь с тем, является ли п большим или маленьким.
Подчеркнем, что в предыдущем определении мы говорили о А-х экстре¬
мумах в предельном смысле: к заранее фиксировано, а п неограниченно
возрастает. Если же и также фиксировано, то мы сохраняем понятие А-й
или (п - к + 1)-й порядковой статистики.
Существует общий способ обращения с распределениями величин Хк. п и
Xjj-jt+i :п. Действительно, если мы положим
Ajfx) = {X, >х} и Bj{x) = {Xj<х},	(33)
то
{Хк:п >х} = {происходит не более к — 1 из событий Bj(x) (1
и
{ Хп_кЛЛ ;п<х) = {происходит не более Л -1 из событий Л; (х) (1</<и)}.
причем фраза ’’происходит не более нуля из событий” равносильна тому,
20

что ни одно из этих событий не происходит. Поэтому, если через vn(A, х) и
уп(В, х) обозначить число происходящих событий Aj (х) и число происхо¬
дящих событий Bj(x) (1 </ < п) соответственно, то
Р{А'*:п>х}= 2	= t}	(34)
Г = 0
и
Р{Х„_Л+1:Я <х)= Z Р{р„(Л,х) = / }.	(35)
г = о
Поскольку наши интересы концентрируются вокруг случая, когда к фикси¬
ровано и п стремится к бесконечности, то число слагаемых в приведенных
выше суммах фиксировано и мы можем акцентировать внимание на отдель¬
ных слагаемых. В соответствии с этим подходом мы исследуем следующую
общую проблему.
Пусть Ci, С2	Сп- последовательность событий и vn = vn(O обозна¬
чает число тех из них, которые происходят. Пусть 50 л = 1, и для к > 1
определим
(36)
Для удобства мы не исключаем случай к > п, при котором слагаемых в
приведенной выше сумме нет и, таким образом, Sk n = 0 для-А: > п. Проб¬
лема состоит в том, чтобы привести границы для вероятностей Р {vn ~ t} в
терминах Sk n (О^к^п).
Заметим, что когда Q является одним из событий, определенных ра¬
венствами (33), то слагаемые в сумме (36) совпадают с функциями (30)
или (31). Более того, во втором случае определение (36) совпадает с опре¬
делением (28). Отсюда следует, что теоремы, приводимые ниже, будут
обобщать теорему 1.3.3.
Вначале мы приведем три леммы. Первая из них оправдывает название
Sk n как А-го биномиального момента величины vn.
Лемма 1.4.1. Для любого к > 0 справедливо соотношение
Sk,n-E{Ck} = S С*Р{р„=г}.
п г ~ к
... Qk) =
Доказательство. Поскольку обе стороны равенства равны едини¬
це для к - 0 и к > п, доказательство требуется только для 1 < к Перей¬
дем к величинам-индикаторам. Пусть
1, если происходит событие	... Cik,
0, если оно не происходит.
Очевидно, что
Vn=EA,n (1<А<и),
ГДеА,и=	S	/(G G ...С,.). Ввиду того, что вклад
1 < i t < i г < • - • < i % < n
каждого слагаемого в сумму Jkn равен нулю или единице, необходимо
^считать число единиц в этой сумме. Слагаемые равны единице, если каж¬
21

дое из событий Q, (/ = 1, . . ., к) взято из тех vn событий, которые про¬
изошли. Отсюда следует, что
Jk.n-Ckv
'	п
Взяв математические ожидания в левой и правой частях равенства, полу¬
чаем требуемое. ▲
Лемма 1.4.2. Для любых целых чисел т > 1 и Т>0 выполняется
равенство
х (-1)*С* =(-1)гС^_1.	(37)
к = О
Доказательство. Будем доказывать индукцией по Т. Если Т = О,
то обе части равенства равны единице и соотношение (37) выполняется.
Предположим теперь, что равенство (37) доказано для фиксированного Т.
Тогда из равенства
7' (i)‘c‘ = I (-i)*c*+(-1)г+1с^+’
к z О	/с О
и индукционного предположения получаем
7?о(_	=(-	+(-1)Г+1 +*=(-1)Г+1	■
Таким образом, лемма 1.4.2 доказана. ▲
Лемма 1.4.3. Для целых чисел и > 1, 0 < г и 0	< л - t - 1
справедливо равенство
=	Е (- О* Ск+1 $к + г, п =
к-0
= (-1)а S С?_ t _ t С* Р {vn = г} .
г - t + a+ 1
а
Доказател ьство. Положим bt(a) = S (- 1)* С£+r Sk + tt п . По лем-
к ®=о
ме 1.4.1
bt(a)= £ (-l)fc С'+Г S Ck + tP{vn=r} =
r=k + t
= s P(p„=r) s (_i)*cuc*+f,
r= t	k = 0
где T = min (a, r - t). Используя равенство Ck+tC^+f	мы полу¬
чаем, что
bt(a)= S Р(р„=г)С/ Z (-l)*C*_f =
r= t	k = 0
=p{p„=/}+	£	p{p„=r)c; s (-Dfcc*_r
r=t + l	k=0
22

Обращение к лемме 1.4.2 приводит к равенству
Z,t(a) = P(p„=/} +	£	(- l)TC'Zt_l C'r P{vn = r).
r = t + 1
Из определения величины T следует, что С/_ t _ j = 0 для r<a + t>nT-a
при всех остальных значениях/*. Отсюда получаем равенство
bt(a) = P{vn = /} + (- 1)* I	C*r Р{рп = r},
г = t + а + 1
которое фактически совпадает с утверждением леммы 1.4.3. Доказатель¬
ство завершено. ▲
Теперь мы можем легко вывести из леммы 1.4.3 следующую теорему.
Она будет играть основную роль в общей теории экстремальных значений.
Теорема 1.4.1. Пусть и > 1 и 0 < /	- целые числа. Тогда имеет
место равенство
Р(р„=/}= "£'( Г)*С'+,^ + г.„.	(38)
Л - О
Кроме того, для любого целого s >0 справедливо соотношение
2y + l
.	#	2s + 2
s
к = 0
(— 1 )	<~k + t$k + t, n +	^2s+ t+ 2 ‘-*2s + t + 2 ,n
" ’'	(39)
<Р{р„=/}< S (_l)*C' + ,S* + ,.n -2ilLc's+f+I52j + f+1,„.
k = О	П - t
Доказательство. Равенство (38) фактически содержится в лем¬
ме 1.4.3. Действительно, если мы применим лемму 1.4.3 с а -п - t - 1 и
заметим, что Sn п = Р {vn = п , то получим соотношение (38).
Обращаясь к неравенствам (39), вспомним вначале, что Sj п = 0, если
j>n: Тогда, если 2$ + 1 > и - г, то левое неравенство превращается в ра¬
венство (38). Следовательно, мы можем считать при доказательстве левого
неравенства, что 2s + 1 < п - г, и рассматривать только случай 2s < п - t
при доказательстве правого неравенства. При этих значениях мы можем
применить лемму 1.4.3.
Пусть 0	= 2s + 1 < п - t. Из леммы 1.4.3 следует, что
Р = /} - 2 (-O*Ci+fSk + f „
к =Q
п
г = t + 2s + 2
P{p„=r}.
2 s + t i
C r-Г- 1 C r
Поэтому для доказательства левого неравенства нам нужно показать, чгто
2s + 2
л t
t
2s +t + 2
С
t + 2,n
n
z
r = t + 2s + 2
Р{кп=Н-
(40)
у + t
^r-t- 1
Используя лемму 1.4.1, последнее неравенство можно записать в виде
2s + 2
п
S
г = 2s + t -t 2
<	£ c2s + t
r = 2y+ Г + 2
c; p<p„=r}.
23

Расписав биномиальные коэффициенты с помощью факториалов, мы после
сокращения общих сомножителей приходим к очевидному неравенству
1л	и	1
		 S P{r„=r}< s	P{v„=r}.
П-t r=2s+f + 2	r=2s+f + 2 Г-t
Отсюда следует справедливость соотношения (40), и тем самым доказано
левое из неравенств (39). Правое неравенство можно доказать таким же
способом. Поэтому мы не повторяем деталей. Доказательство теоре¬
мы 1.4.1 завершено. А
Несмотря на то, что теорема 1.4.1 является весьма полезной для теории
экстремальных значений, при вычислениях могут обнаружиться следующие
недостатки. В случае, когда слагаемые Р	} в сумме (36) из¬
вестны лишь приближенно, в величине Skn накапливается С* погрешнос¬
тей. Некоторые из этих погрешностей положительные, другие — отрицатель¬
ные, и, таким образом, они могут частично погаситься, однако при конкрет¬
ных вычислениях мы не можем учесть знаков погрешностей. Поэтому
ошибки в соотношении (39) могут быть настолько значительными, что
результат потеряет смысл. Цель следующей теоремы — устранить эту труд¬
ность, ограничив число слагаемых в оценках для Р {vn = t} .
Введем вначале ряд обозначений. Пусть Н = {1, 2,. .. , л} — некоторое
подмножество множества упорядоченных пар целых чисел (/,/), удов¬
летворяющих условию 1 < i < / < п. Для последовательности событий
, С2,. . . , Сп положим
5’ S;P{Cz,C/2	(1 <*<«),	(41)
где S* указывает, что суммирование производится по тем индексам
0*1, /2,. . . , ik) , для которых 1 </*! < z2 < . .. <Ot Си и никакая пара чисел
из набора (ilf i2,. . . , ik) не принадлежит Еп. Далее обозначим
?{CiCi2 ...cik}	(42)
где суммирование S'" произво гится по тем индексам O’i , G,• • > *&) > Для
которых 1 < z’i < /2 <...</& и не более одной пары (it, im) принадле¬
жит множеству Еп.
Прежде чем продолжать, обратим наше внимание на тот факт, что если
Еп — пустое множество, то как обозначение (41), гак и обозначение (42^)
сводятся к обозначению (36). Во всех других случаях суммы 5 к п и S к п
состоят из меньшего, чем сумма Sk n, числа слагаемых. Конкретное число
слагаемых в этих суммах зависит от множества Еп, которое может быть
выбрано произвольно.
Теперь мы докажем следующий результат.
Теорема 1.4.2. Для любых целых чисел пит таких, что т>0.,
1 и 2т + 1 справедливы неравенства
1 “ *1,л + ^2,л ~	+ •	• ~~$2т + 1,л
<р{р„=0}< 1 -5; я +5~п	.
Замечание 1.4.1. Для того чтобы избежать путаницы, установим
правило записи звездочек при обозначении сумм. В обоих случаях знаки
слагаемых чередуются. В левой части отрицательные слагаемые имеют по
24

две звездочки, а положительные - по одной. В правой части правило
обратное.
Замечание 1.4.2. Мы уже отметили, что если в качестве Еп выбрано
пустое множество, то Sk п = Sk*n =Sk п. В этом случае теорема 1.4.2 не¬
сколько слабее, чем теорема 1.4.1 с Г = О, так как последние слагаемые,
фигурирующие в обеих оценках теоремы 1.4.1, отсутствуют в теореме 1.4.2.
Выбирая различные множества Ел, мы можем улучшать наши оценки вели¬
чины Р(рл=0}. (Соответствующие результаты для Р(рл = г) см. в
упр. 13 и 14.)
Доказательство. Мы вновь вернемся к величинам-индикаторам.
Докажем, что соответствующие неравенства имеют место для индикаторов,
и, таким образом, интегрирование позволит получить утверждение теоре¬
мы 1.4.2. Приведем детали доказательства. Пусть для к > 1
( 1, если происходит событие Ct i . . . Cik,
10, если оно не происходит,
=	••■G?	(«)
и
(44)
где суммы S* и определяются, как и в соотношениях (41) и (42) со¬
ответственно. Очевидно, что
s*k,я=е(4„),	(45)
Поэтому для доказательства теоремы 1.4.2 достаточно показать, что для п
и т таких, что /и > 0, и > 1 и 2/и + 1 < и, выполняется соотношение
где
j
J 2т,и'
(46)
1, еслирл = 0,
0 в противном случае.
(47)
Неравенства (46) могут быть доказаны при помощи простых комбинатор¬
ных рассуждений. Заметим вначале, что соотношение (46) выполняется,
если рп~0. Действительно, тогда Jk ~J*k*n =0 для всех 1, / = 1
и соотношение (46) превращается в тривиальное равенство.
Пусть теперь vn = t > 1, и пусть <j2 < .. .<jT представляют индексы,
соответствующие тем t событиям С;, которые происходят. Тогда каждое
из определенных ниже слагаемых добавляет единицу в суммы J к „ и Jk*n
соответственно. Вначале определим ненулевые слагаемые, входящие в
Дли индексов (Zt, i2,. • :, ik) произвольного слагаемого в сумме (43)
Должно выполняться следующее условие: (Ц, i2,. .. , ik) представляет со¬
бой подмножество множества (/ь/2, • • • и никакая пара индексов из
набора (ii,i2t. . . , ik) не принадлежит Еп. В случае, когда рассматривается
сумма Jk*n, вновь (/], /2, • • • > ik) является подмножеством множества (/1,
/2, •.. , jt) и не более одной пары индексов из набора (ij, i2,. . . , z\) может
принадлежать Еп. Неравенства (46) примут более простой вид после введе¬
25

ния следующих обозначений. Пусть h СН = {1,2, . . . ,п }, и пусть Nn(h, а) -
число подмножеств hi множества /1, для которых выполняется условие,
состоящее в том, что число e(hi) элементов подмножества h\ не превышает
а и e(hi) совпадает с апо модулю два. Более того, никакие два элемента из
hi не принадлежат множеству Еп. Определение величины Мп(Л, а) совпадает
с определением величины Nn(h, а), за исключением того, что каждое под¬
множество hi при определении величины Mn(h, а) может содержать не
более одной пары элементов из Еп. С введением этих обозначений нера¬
венства (46) можно переписать (помня, что un = t > 1, и считая пустое
множество множеством с четным числом элементов) следующим образом:
Nn (h(г), 2т) - Мп (h (г), 2т + Г) < 0,	(48а)
Mn(h(t),2m) -Nn(h(t),2m - 1)>0,	(48b)
где Л(/)=	,I,).
Будем доказывать соотношение (48) индукцией по г. При t = 1 никаких
условий, связанных с множеством Еп, не накладывается, и поэтому
0(1), 2т) =	(Л (1), 2ди) = 1, Л'„ (Az (1), - 1) = 0,
Nn(h(\),2m + \) = Mn(h(\),2m + 1)= 1
для любого целого т > 0. Таким образом, неравенство (48а) превращается
в равенство, а левая часть (48Ь) равна единице при т = 0 и равна нулю при
всех остальных значениях т > 1. Следовательно, при t = 1 оба неравенства
(48) выполняются. Предположим теперь, что они справедливы при всех
значениях от 1 до некоторого f, и рассмотрим левые части этих неравенств
в точке t + 1. Пересчитывая подмножества h(t + 1), мы будем различать два
случая—принадлежит ли индекс подмножеству ht или нет, т.е. выполня¬
ется ли соотношение h{ Ch(t) или не выполняется. Отсюда следует, что
N„(h(t + l),a)= Nn(h(t),a) + N*(h(t),a ~ 1)	(49а)
и
+	(h(t),a - 1),	(49b)
где звездочка указывает, что мы считаем только те подмножества множест¬
ва h(t + 1), которые содержат элемент jt+l и еще не более а - 1 элементов
из множества h(t). Теперь, если через h*(t) обозначить подмножество мно¬
жества h(t), содержащее все такие элементы $, для которых (s, /г+1)
Й Еп, то справедливы равенства
NMt),a - 1) = ЛГл(й*(г), а - 1)	(50а)
и
М„ (h(г), а - 1) =	(Л* (г), а - 1) + R„ (t, а).	(50b)
В последнем равенстве Rn(t, а) — число всех оставшихся подмножеств, но
нам достаточно лишь того, что
Rn(t,a)>0-	(51)
Комбинируя соотношения (49); (50) и (51), мы получаем
N„(h(t + 1), 2т) - Mn(h(j + 1), 2т + 1) <Nn(h(t), 2т) -
- Mn(h(r),2m + 1) - {M„(h\t),2m) - Nn{h*	- 1)},
26

но поскольку е(Л(г)) = Г и e(h*(r))< t, из индукционного предположения
следует, что
7V„ (Л (Г + 1), 2т) - Mn(h(t + 1), 2т + 1)< 0.
Подобным же способом получаем соотношение
Mn(h(t + 1), 2т) - Nn(h(t + 1), 2т - 1) > 0,
которое и завершает доказательство. ▲
Напомним, что нашей целью является применение теорем 1.4.1 и 1.4.2 к
конкретным событиям А/(х) и Ву(х), определенным в формуле (33).
Поэтому для этих теорем требуется взаимная независимость событий
Aj(x) или Ву(х), что эквивалентно независимости случайных величин Xf.
Если же нам доступна лишь ограниченная информация о величинах Ху, то
другие оценки могут дать лучшее приближение, чем оценки в теоремах 1.4.1
и 1.4.2. В следующей теореме мы найдем для вероятности Р{р„ > 1) оценки
снизу, использующие только знания одномерных й двумерных распределе¬
ний. Теорема будет сформулирована для произвольных событий. Мы ис¬
пользуем наши стандартные обозначения.
Теорема 1.4.3. Для произвольных целых чисел п > 1 и 1	— 1
справедливо неравенство
(52)
Максимум по к правой части неравенства достигается при kQ = 1 +
+ [252>г1/51 ,л], где [у] обозначает наибольшее целое число, не превосхо¬
дящее у.
Прежде чем доказать теорему 1.4.3, обратим внимание читателя на
упр. 17, где сформулировано одно свойство оптимальности теоремы 1.4.3.
Доказательство. Из леммы 1.4.1 следует, что
1
к~(к + 1)
2	с
А# + 1) 2'"	Ц+1
Е{р„(2* + 1 - »„)}•
- 1) |
к(к + 1)	)
Поскольку парабола х (2к + 1 — х) достигает максимума в точке х = к + 1/2,
величина vn(2k + 1 - vn) достигает максимума в точках рл = к и vn- к + 1
(величина »п является целочисленной). Отсюда получаем неравенство
М2*+1 рл)
A-a + i) " ’
которое может быть переписано следующим образом:
+ 1 - vn)
к(к + 1)
(53)
где I(vn > 1) — индикатор события {vn^ 1). Взяв математическиеожида-
ния в обеих частях неравенства (53), получаем соотношение (52).
То, что максимум по к правой части неравенства (52) достигается в ука¬
занной точке, легко обнаружить после проверки возрастания этого выраже¬
27

ния при возрастании к до kQ и последующего убывания. Доказательство
завершено. ▲
Некоторые другие неравенства приводятся в упражнениях.
Обратимся теперь к применениям неравенств настоящего параграфа.
§ 1.5. Примеры
Применим результаты теорем 1.4.1 - 1.4.3 к некоторым конкретным клас¬
сам случайных величин Хх, Х2, = .., Во всех последующих примерах со¬
бытия Cj являются событиями одного из двух типов, определенных ра¬
венствами (33). Поэтому в суммах заданных формулой (36),имеем
дело с многомерными распределениями из равенств (30) и (31).
Начнем с одной практической задачи.
Пример 1.5.1 Предположим, что больной, страдающий от некоторой
болезни, проживет Y временных единиц. Если больного лечат некоторым
лекарством, то его жизнь увеличивается на U временных единиц, где ве¬
личина Y принимает у различных больных различные, независимые от дру¬
гих больных значения, а величина U, которая также является случайной, —
одна и та же для разных больных. Это значит, что если мы рассмотрим не¬
скольких больных, проходящих один и тот же курс лечения, то /-й больной
проживет в течение времени Л) = Уу, где теперь U, , Y2,... — незави¬
симые случайные величины и У/ одинаково распределены. Рассмотрим
распределение максимальной из величин Xj для данного числа больных.
Та же математическая модель может быть использована и для следующей
проблемы. Производится продукция для использования в самых суровых
условиях. Предположим, что /-й экземпляр продукции выдерживает Уу
временных единиц, где YifY2,... - н.о.р. случайные величины. Конкрет¬
ный покупатель, однако, использует эту продукцию в более мягких усло¬
виях, что прибавляет U временных единиц ко времени У,. Таким образом,
общая продолжительность жизни / -го экземпляра продукции, используе¬
мого данным покупателем, равна Xj = U+ Yj. Здесь величина U также не
зависит от величин У/. Нас интересует Zn = max Xj.
i < / < п
Две приведенные выше проблемы (как и некоторые другие) могут
быть объединены следующей математической моделью.
Рассмотрим, например, десять величин У1? У2, . . . , У10, являющихся
н.о.р. случайными величинами. Предположим, однако, что мы не можем
наблюдать самой величины У7, так как к каждой из величин У7 добавля¬
ется случайный эффект U. Поэтому значения наблюдаемых величин прихо¬
дят в виде Xj = U + Yj (1 </ < 10). Пусть U и Yj независимы, и, например,
предположим, что как величина U, так и величины Уу имеют экспонен¬
циальное распределение, но с разными параметрами. Пусть Р{с/< х } = 1 —
- е“2’5* и Р {Yj < х} = 1 - е~х при х > 0. Наша цель - вычислить или хотя
бы оценить функцию распределенияH^q 7 величиныZiOt являющейся мак¬
симальной из величин, Xi, . . . , XiQ. Поскольку мы полностью описали
структуру величин Xj, то можем найти любые многомерные распределения
этих величин. Таким образом, мы можем использовать теорему 1.4.1.
Для событий Aj = {Xj> х } (1 < / < 10) выполняется равенство
Р{р10 = 0 }= Р {Zt о <х} ,
28

и мы можем применить соотношения (38) и (39) при t = 0. При вычисле¬
ниях следует рекомендовать формулу (39), так как она требует значитель¬
но меньше выкладок даже тогда, когда требуется достаточно высокая точ¬
ность. Для применения неравенств (39) нам требуются слагаемые S1>10,
S 2 1 о , • • • »1 о, 1 о > которые в этой ситуации имеют вид (28). Для вычисле¬
ния слагаемого SkAQ из формулы (28) достаточно найти вероятность
Р{%1 >х, Х2 >х,. . . , Хк поскольку величины одинаково распре¬
делены.
Из элементарных формул (см. ПГ формулу П1) следует цепочка ра¬
венств
P{Xf >х, Хг >х	Хк >х} = /Р(Х,		Хк>х | U = u}K
о
= 2,5 /е
О
2,5
” Г- 2,5
к
” к - 2,5
Следовательно, мы получаем
к	и
о —2,5х 1	„~кх
е + — ~ С10^
к - 2,5	2,5 - к
Возьмем х = 5. Найдем теперь последовательно оценки, которые дают
неравенства (39). Когда будут вычислены величины Sk,, 0, мы найдем обе
оценки (39), а затем, если необходимо, улучшим эти оценки, переходя к
величинам 5Л + 1Л0. Мы завершим вычисления, как только совпадут две
первые значащие цифры верхней и нижней оценок. Поскольку мы рассмат¬
риваем значение t - 0, все биномиальные коэффициенты в неравенствах (39)
равны единице. Напомним, что = 1. Для простоты мы перечислим оцен¬
ки, получаемые из соотношений (39), в порядке их использования. Ниж¬
ние оценки имеют гид
2
1 ~	1 ~	,10 + — ^2,1 0 ’	1 “ $1,10 + $2,10 " $3,10»
-Mr -u)e-2,5«Ju + 25 J e--2,5udu =
X
е- кх^(к-2,5)Х _ !) + e-2,S.x =
е-2,5х
2>5 с-кх
к - 2,5
2,5
(55)
а верхние оценки имеют следующий вид:
15,,1°’ 1 _S,’1O+52.1O> 1 --Si.to+Si.io-— Sj.to-
Из равенства (55) имеем 51>10 = 0,1123. Таким образом, первые слагае¬
мые из перечисленных выше дают оценку
0,8877< P(Z10< 5} <0,9888.
29

Вычисляя S2,1 о и используя вторые из приведенных выше верхних и ниж¬
них оценок, получаем, что 52д о = 0>0095 и
0,8896 < Р {Zi о < 5} < 0,8973.
Наконец, вычисляя 5з,ю = 0,0025 и используя последние из приведенных
выше оценок, имеем
0,8948 < P{ZI0 < 5} <0,8965.
Добавим, что если пренебречь эффектом U, т.е. если взять U= 0 и Xj = Уу
при всех /, то получим
P{Z10<5}= (1 -е’5)'0 = 0,934627.
Это означает, что эффект U увеличивает вероятность того, что величина Z ] 0
превысит значение х = 5, с 0,06537 до 0,104, т.е. на 59%.
Пример 1.5.2. Пусть Xj - время выхода из строя у-й компоненты
системы. Предположим, что каждая из величин Xj имеет стандартное экспо¬
ненциальное распределение, т.е.
Р{Ху<х} = 1 - е х (х > 0)
для каждого j. Рассмотрим группу из пяти компонент. Пусть величины Xlf
Х3 и Х$ взаимно независимы, величина Х2 не зависит от Х3 и Х4 и Xj не
зависит от Х4. Любые другие комбинации величин пусть имеют зависимые
компоненты. Мы дадим также вид двумерных распределений величин Xj.
Для ростоты будем считать, что зависимые пары имеют одно и то же дву¬
мерное распределение. Предположим, что
Р{X, <х, Х2 <_)’} = P{J2 <Х, Xs <х } = P{Z3 <х, Х4 <.)’} =
= P{Z4 <х, Х$ <у}=(]	- --с~х~у ) .	(56)
2
Никаких других предположений делать не будем. Таким образом, мы не
можем найти совместного распределения групп, содержащих величины
(А^, У2, А'5), (Х3,Х4,Х$) или (Х2, Х4, Xs). Тем не менее мы бы хотели
оценить вероятность Р {	> х }.
Мы можем обратиться к теореме 1.4.2, определив множество E's, кото¬
рое фигурирует в определении выражений (41) и (42). В качестве событий
Cj берем, конечно, Су = {Xj < х), и, таким образом, справедливо равенст¬
во {р5 = 0 } = {IV5 > х}. Поскольку суммы S к п и Sk*n в соотношениях
(41) и (42) не включают тех слагаемых, индексы которых содержат более
одной пары из множества Е$, а наши трудности связаны только с вычисле¬
нием совместных распределений величин, индексы которых содержат более
одной пары из пар, фигурирующих в соотношениях .(56), мы определим
множество Е$ следующим образом:
£5 ={(1,2), (2,5), (3,4), (4,5)}.
Мы можем теперь вычислить суммы и ■$£*$ для 1 < к < 5. Очевидно,
^,5=^*5 =5(1	е').	(57а)
Для к > 2 мы должны учитывать вид множества и соотношение (56).
В суммах S*k 5 каждое слагаемое имеет вид (1 — е~х)к, и остается лишь
30

сосчитать число этих слагаемых. Мы получаем
^,5=6(1 - е х)\ s;,5=(l c Y)3, s;,5=s;.5=o.	(57b)
В суммах 5^*5 должны быть сосчитаны два типа слагаемых - не содержа¬
щие ни Одной пары из набора Е5 и содержащие ровно одну пару. Поскольку
слагаемые первого типа составляют сумму 5, для получения суммы
5**5 мы должны к 5* 5 добавить слагаемые второго типа. Слагаемые вто¬
рого типа в сумме 5^ *5 имеют вид
(59)
(60)
(61)
Поэтому справедливы равенства
=6(1 -е~х)2 +4(1 -ех)2 (1 - у е"2х ),	(58а)
5" =(1 -е-*)3 +6(1 — е~*)3 (1 - у е_2х)	(58Ь)
и
Cs=C5=0-	<58С>
Выберем для вычислений х = 0,1 и будем оценивать вероятность	>
> 0,1}. Из формул (57) и (58) получаем, что
5J 5 = 5" =0,475813,
S\ 5 =0,054336,	5" = 0,07573,
5; 5 = 0,000862,	5* *5 = 0,00392
и
sh=s;:5=sb=sr5=o.
Теорема 1.4.2 дает нам теперь оценки
0,57460 < Р { W5 > 0,1} < 0,59906. ▲
Пример 1.5.3. Применим результат теоремы 1.4.3 предыдущего па¬
раграфа к оцениванию вероятности Р{ И/5 > 0,1} . Как было указано, если
рассматривать события {Х> < 0,1} , то
Р {H's >0,1} = Р{р5=0}=1 -Р{р5>1}.
Неравенство (52) даст верхнюю оценку для Р{И/5 > 0,1}. Поскольку 515 =
= и 52,5 =^2,*5» где обозначают соответствующие суммы из при¬
мера 1.5.2, мы можем использовать соотношения (59) и (60). Имеем, та¬
ким образом, равенства 51>5 = 0,4758129, 52,5 = 0,0757305, из которых
следует, что kQ = 1. Оценка (52) принимает вид
Pl^s >0,1} <1 -51>S +52,5 =0,599918.	(62)
Неудивительно, конечно, что оценка (61) лучше оценки (62), так как оцен¬
ка (62) является лучшей из всех тех оценок, которые могут быть получены
в терминах 5i,5 и 52,s (см. упр. 17), а в неравенствах (61) мы использо¬
вали дополнительную информацию о величинах Xj. ▲
31

§ 1.6. Специфические свойства экспоненциального распределения
в связи с экстремальными значениями
В большей части прикладных исследовании обычно предполагается, что вре¬
мя ожидания до момента первого наступления некоторого события имеет
экспоненциальное распределение. Здесь термин ’’наступление некоторого
события” может означать выход системы из строя, смерть больного после
тяжелой болезни, прибытие автобуса на станцию, приход клиента в пункт
обслуживания и т.д. Широкое распространение экспоненциального распреде¬
ления связано либо с математической простотой функции распределения
F(x) = 1 - е~х, либо с тем, что часто имеется математическое оправдание
такого предположения. В настоящем параграфе мы попытаемся найти не¬
которые математические причины столь широкого распространения этого
распределения.
Мы говорим, что случайная величина X является экспоненциальной вели¬
чиной, если
1_е-а(х-Ь)	х>ь
’	(63)
О	для х < Ь
при некоторых вещественных а > 0 и Ь.
Можно перейти к экспоненциальному распределению с параметром b - О,
рассматривая величину X - Ь. Если а = 1, то говорим, что величина X имеет
стандартное экспоненциальное распределение.
Наиболее известным свойством экспоненциального распределения яв¬
ляется свойство отсутствия последействия. Сформулируем вначале это
свойство в терминах, связанных с продолжительностью жизни. Мы гово¬
рим, что распределение неотрицательной случайной величины X не старе¬
ет (или обладает свойством отсутствия последействия), если условная
вероятность того, что продолжительность жизни X увеличится еще на у
единиц времени, при условии, что прошло уже х единиц времени, равна
одной и той же величине при всех х. Математически это означает, что
Р {У>у} = g(y), т.е. условная вероятность зависит только от
у. Поэтому, если мы возьмем х = 0, то получим равенство
Р{Х>у+х\Х>х}=Р{Х>у}.	(64)
Тот факт, что экспоненциальное распределение (63) с параметром Ь=0
обладает свойством (64) (отсутствия последействия), получается легко
после подстановки выражения (63). Очевидно, что соотношение (64)
эквивалентно равенству
Р{Х>у + х}
Р{Х>х}
справедливому при всех х таких, что Р {Х.> х} > 0, а это равенство мо¬
жет быть переписано в виде
G(x+y) = G(x)G(y),
(64а)
где G(u)- 1- Е(и). Очевидно, что для распределения (63) с параметром
b = 0 равенство (64 а) справедливо. Обратное утверждение весьма полез¬
но, хотя и элементарно.
32

Т е о рем а 1.6.1. Пусть неотрицательная случайная величина X имеет
невырожденную функцию распределения F(x). Если равенство (64а)
выполняется при всех х> 0 и у > 0, то F (х) имеет вид (63) с параметром
Ь = 0.
Замечание 1.6.1. Условие ’’при всех х > О и у > 0” можно сущест¬
венно ослабить. Однако и приведенная выше форма достаточна для на¬
ших целей.
Теорема 1.6.1 сразу получается из следующей леммы.
Лемма 1.6.1. Пусть функция 6(х) при х>0 монотонна и неотри¬
цательна. Предположим, что при всех х >0 иуХ) выполняется равенство
G(x+y}=G(x)G(yY	(65)
Тогда, если G(x) не равна, тождественно нулю или единице, то существует
такое вещественное а, что G(x) = е?х при всех х >0. Очевидно, что а> 0
или а<0 в соответствии с тем, возрастает или убывает функция G(x).
Доказательство леммы 1.6.1. Из соотношения (65) индукци¬
ей получаем, что для любых xf->0(1	й > 2) выполняется равенство
G(xi + х2 + ... +x„) = 6(xj)6(x2) .. .6(х„).	(66)
Заметим вначале, что 6(1) >0. Действительно, если (7(1) = 0, то из соот¬
ношения (66) выводим, взяв все х; равными единице, а затем взяв х7 =
= 1/и (1	я),справедливость при и>1 равенств
6(и) = [6(1)] л=0 и 6(1) = [6(1/и)Г=0.
Поскольку 6(х) - монотонная функция, получаем, что 6(х) тождествен¬
но равна нулю, но этот случай был исключен из нашего рассмотрения.
Взяв в соотношении (66) Xj = х2 = ... = хп, имеем
6 (их) = 6л(х).	(67)
Положив х = 1/ти, где т— положительное целое число, из равенства (67)
приходим к соотношению
G{n!m) = 6л(1/т).	(68)
Отсюда, в частности, вытекает при п=т, что
6(1)=6"(1/л) или 6(1/и) = 61/л(1).	(69)
Комбинируя соотношения (68) и (69), приходим к равенству
6(n/m) = 6"/w(l),
справедливому при всех целых п,т> 1. Это равенство можно переписать
следующим образом:
G(x) = eflJC,	(70)
где а = log6 (1) и х > 0 — произвольное рациональное число. Пусть теперь
у — иррациональное число. Возьмем рациональные Xi их2 такие, Что хг <
<у <х2. Ввиду монотонности 6(х) справедливо соотношение
еах* =6(х1)<6(у)<6(х2) = евх>,	(71а)
если 6(х) — возрастающая функция, или соотношение
еах* <G(y)<eax',	(71b)
33

если G(x) возрастает. Устремив Xj их2 к у, получим, что крайние члены
неравенства (71) стремятся к е?у и, следовательно, G(y) - средний член
этих неравенств равен еау. Доказательство завершено. *
Доказательство теоремы 1.6.1. По лемме 1.6.1 функция
G(x) = 1 - F(x) либо равна тождественно нулю или единице, либо (7(х) =
= еах при всех х > 0. Однако первые два случая невозможны. Если G(x) =
= 0, то функция распределения F(x) соответствует вырожденному в ну¬
ле распределению. С другой стороны, если (7(х)=1 для х>0, то тогда
F(x) = 0 не является собственной функцией распределения. Отсюда сле¬
дует, что G(x) = eax при х>0, и так как эта функция убывает, то пара¬
метр а < 0. Доказательство теоремы завершено.А
Теорема 1.6.1 весьма полезна. Она утверждает, что если на промежуток
времени, остающийся до момента первого наступления некоторого собы¬
тия, не влияет уже прошедшее время, то этот случайный временной интер¬
вал распределен экспоненциально. Например, резонно полагать, что ве¬
роятностное распределение промежутка времени до первого дорожного
происшествия для конкретной машины (представляющей интерес для
страховой компании), находящейся в хорошем состоянии, остается посто¬
янным вне зависимости от того, сегодня ли преобретен страховой полис
или он приобретается спустя некоторое время. Отсюда следует, что стра¬
ховая компания может использовать экспоненциальное распределение
для вычисления размера страховой премии. Подобным образом гаран¬
тийные периоды могут определяться, исходя из экспоненциального рас¬
пределения. Производитель предполагает, что все элементы продаваемой
системы функционируют нормально в течение некоторого периода време¬
ни. Если в течение этого периода система отказывает, то не ее старение
будет причиной этого, а скорее неверным является предположение о хо¬
рошем качестве элементов системы. Если старение не было причиной
отказа, то по теореме 1.6.1 период до первого выхода системы из строя
является экспоненциально распределенным. Вот почему ожидаемая сто¬
имость замены элементов может быть вычислена заранее.
Существует еще одно следствие соотношения (64). В ходе доказатель¬
ства леммы 1.6.1 мы получили, что для х>0 и п> 1 справедливо соот¬
ношение
G(nx) = G"(x).	(67)
Это равенство можно, учитывая формулу (10), интерпретировать следую¬
щим образом. Пусть Хх, Х2,..., Хп - н.о.р. случайные величины с функ¬
цией распределения F(x) = 1 - G(x). Пусть Wn - минимальная из вели¬
чин Xj. Тогда из соотношений (10) и (67) следует, что
P{lV„>jc} = P{Xi>nx},	(67а)
или, полагая у = их, получаем равенство
P{nWn>y}^P{Xl>y}.	(67b)
Это равенство утверждает, что если имеет место свойство отсутствия после¬
действия, то величина nWn распределена так же, как и величины Xj. Из
свойства отсутствия последействия вытекает, что рассматриваемое рас¬
пределение является экспоненциальным, но, возможно, могут существо¬
вать другие распределения, удовлетворяющие соотношению (67Ь). Ока¬
34

зывается, других распределений, удовлетворяющих этому свойству, нет.
Мы докажем следующий результат.
Теорема 1.6.2. Пусть Х19Х2,. .. ,Хп ~ н-о.р. случайные величины
с общей функцией распределения F(x). Пусть математическое ожидание
EXi конечно. Предположим, что при всех п > 1 справедливо равенство
иЕИ'л = ЕХ1.	(72)
Тогда величина Хг почти наверное неотрицательна, и если она не имеет
вырожденного в нуле распределения, то должна быть экспоненциальной.
В частности, если при всех п> 1 и у> 0 выполняется соотношение (67Ь),
то EXi конечно и при всех п>1 имеет место равенство (72); отсюда
следует, что F(x) соответствует либо вырожденной в нуле случайной ве¬
личине, либо экспоненциальной.
Доказательство. Докажем вначале, что Р {Xi > 0} = 1. Мы при¬
дем к этому заключению, показав, что допущение P(Xi < 0 }> 0 приво¬
дит к неравенству EWn <17 < 0, справедливому при всех достаточно боль¬
ших п, тле величина 1? не зависит от п. Тогда из утверждения (72) будет
следовать, что EXi = _о°, а это противоречит предположению о конечности
этого математического ожидания.
Приведем теперь детали доказательства. Мы начнем с формулы
EW„= fxdP{W„<x} = fxdP{W„<x} + f~P{W„>x}dx
	 oe		00
0
(см. равенство П11 из П1 ). Поскольку имеет место равенство
PfH^ <х} = 1 - [1 -F(x)]w = 1 -<7"(х),
приведенная выше формула сведется к соотношению
ЕИ/Л = fxdP {Wn<x}+fGn (x)dx.	(72 а)
о
Оценим слагаемые в правой части последнего равенства. Для произволь¬
ного Т> 0 получаем
SGn(x)dx = S Gn(x)dx + JGn(x)dx <
О	О
< TG"(0) + Gn~ 1 (0) JG(x)dx.	(72b)
т
Ввиду конечности EXi имеем оценку
JxdF(x) = /G(x)dx<«>.
о	о
Мы можем поэтому выбрать Т таким образом, чтобы последнее слагаемое
в правой части (72Ь) стало меньше единицы. Следовательно, из соотноше¬
ния (72Ь) можно получить оценку
7Gn(x)dx < Gn~ \0) [TG (х) + 1],	(72с)
о
35

в которой Т фиксировано и не зависит от п. С другой стороны, если
Р{%!<0}>0, то существует такое целое т>1, что Р {А\ <-1/т} =
=	> 0. Отсюда следует, что
причем последний член ввиду того, что рт > 0, становится меньше, чем
— 1/ (2т), при всех-достаточно больших п. Этот факт вместе с оценкой
(72с) и равенством (72 а) приводит, например, при достаточно больших
п к неравенству EW„ < - 1/(Зт). Как уже отмечалось, это неравенство
противоречит предположению (72), и мы приходим к равенству Р{А\ >
>0}=1.
Вновь вернемся к соотношению (72). Предположим, что	= 0}^
1. Запишем EWn в следующем виде:
EW„ = fxd {• 1 - [1 - F(x)]-n) = п f (y)(l -y)n~ldy,	(72d)
0 0
сделав подстановку у = F(x) и учитывая, что d (1 —(1 -у)п) = и(1 -
- у)п ~*dy и х = F~l (у). Мы хотим сравнить нашу функцию распределения
F(x) с экспоненциальной функцией распределения Fx (х)= 1-е~ах (х >
>0), где а>0 определим из соотношения 1/а = ЕХ1 (такое а можно
найти, так как Р{А\ >0) = 1 и P{Xj = 0}#1, и, следовательно, ЕА\ >
> 0). Заметим, что для экспоненциального распределения соотношение (72)
справедливо (см. замечание после равенства (67Ь) или формулу (26а)
в примере 1.3.1), и имеет место равенство
fl1 О)=- —log(l -/).
а
Отсюда, применяя к функциям F (х) и Fx (х) соотношения (72) и (72d),
мы получаем
ЕХх =п2 $ F~x(y)(\ -y)n~ldy =	/(1 - у)п “1 log(l — y)dy.
о	а о
Перепишем последнее равенство в виде
S [f',(j') + —iog(i —у)
о L	а
Хорошо известно (см. ПП), что из справедливости при всех и > 1 соотно¬
шения (73) следует тождество
F~l(y)+ — log(l -у) = 0,
а
из которого получаем
F(x)=\—e~ax	(х>0).
Этим завершается доказательство основной части утверждения.
36

Для перехода к частным случаям заметим, что из соотношения (67Ь)
следует равенство (72). Поэтому остается показать, что из равенства (67Ь)
вытекает конечность математического ожидания EXj. Мы уже знаем,
что из соотношения (72), а следовательно, и из соотношения (67Ь) имеем
равенство Р > 0} = 1. Таким образом, получаем неравенство
0<EA\ = JxJF(x) = S f xdF(x)< E к [F (k) - F(k - 1)],
0	к~1 k—1	k= 1
которое ввиду равенства
F(k)-F(k-V)=[\-F(k-\)] -[1-FQc)]
может быть переписано в виде
(XEJG < S [1 -F(k - 1)].
к- 1
Из равенств (10) и (67а) имеем
1	1)= [1 -F(l)]k_1 = [GO)]*-1,
и, следовательно, справедливо соотношение
OCEXjC S [G(l)]k_1,
к = 1
правая часть которого конечна, если 6(1) = 1 — F(l)< 1. Если же 6(1) =
= 1, то 6(и) = 1 при всех п > 1, а поскольку функция 6(х) не возрастает,
она тождественно равна единице при всех х > 0, а тогда F(x) = 0 при всех
х>0, т.е. F(x) не является собственной функцией распределения. Дока¬
зательство завершено. ▲
Теорема 1.6.2 имеет только теоретическое значение, так как требуется
проверить справедливость соотношений (72) или (67Ь) для бесконечно
большого числа значений п. Однако она важна, поскольку показывает,
что весьма простое свойство минимума определяет распределение слу¬
чайной величины. Эта теорема будет также служить главным средством
для доказательства другой теоремы практического характера в п. 3.12.1,
тоже приводящей к экспоненциальному распределению.
Условие, выраженное соотношением (72), является весьма точным
средством для определения распределения случайной величины. Действи¬
тельно, если имеет место условие, состоящее в том, что при всех и > 1
справедливо равенство
(п + 1)Е% = EXj,	(74)
где математическое ожидание ЕА\ предполагается конечным, то можно
получить, что F(x) = x/a для 0 СхСапри некотором а>0, т.е. распреде¬
ление равномерно на интервале (0, а ). Это утверждение можно доказать
тем же способом, каким была доказана первая часть теоремы 1.6.2, или
вывести как следствие такого общего утверждения: последовательность
математических ожиданий {ЕИ/Л} (л > 1) однозначно определяет распре¬
деление. Подобное утверждение справедливо и для величин Е£л, а также
Для более общих последовательностей (см. упр. 23 и 24).
37

Оказывается, что простое свойство отсутствия последействия эквива¬
лентно свойству (67Ь) распределения минимума, которое однозначно
определяет экспоненциальное распределение. Мы обратимся теперь к
максимуму и докажем еще одно свойство, характеризующее экспонен¬
циальную величину.
Пусть Хх,Х2,. .. ,Хп — н.о.р. случайные величины с функцией распре¬
деления F(x). Предположим, что F(x) дифференцируема, и обозначим
f(x) = F'(x). Пусть Хх :п <Х2 ;п < • • -^Хп -.п — порядковые статистики,
соответствующие случайным величинам	Мы можем опре¬
делить совместную плотность распределения всех порядковых статис¬
тик Xr:n (1 <г<и) следующими простыми рассуждениями. Совместная
плотность величин Л)(1 </<и) по предположению равна /(Х])/(х2)...
•	Поскольку п величин ХД1</<л) могут быть расставлены
в возрастающем порядке п\ различными способами (случаями равенства
случайных величин можно пренебречь в связи с тем, что распределение
непрерывно), каждый конкретный набор порядковых статистик Хг-п(\ <
может соответствовать п\ различным выборкам Jf,-(1
Отсюда следует, что плотность вектора Хг:п(\ ^г<п) имеет вид
П	. .f(x„) (ОСх, <х2 < .. .<x„).
Для экспоненциального распределения с функцией распределения F(x) =
= 1 - е~ах (х > 0) и плотностью f(x) = ае~ах (х > 0) получаем выражение
л!а"ехр[-д(х1 + х2 + ... + хл)] (0<Х! <х2 < . . .<хл).	(75)
Полагая Ux = Хх .„ и Uj- Xj.n - Xj_ i :л для j > 2, мы находим, что Uj >
> 0 при каждом /, Совместная плотность этих величин получается из фор¬
мулы (75) подстановкой их - хх и = х7 - x7_j (/> 2). Эта плотность бу¬
дет иметь вид
и!а"ехр -я S (п - j + l)u7 =
L 1	J
= II (л-/+l)aexp[-a(n-/+l)w7]	(u7 >0, 1 </< л).	(76)
7=1
Из соотношения (76) мы видим, что случайные величины
t/j — Xi :л и Uj — Xj.n— Xj_ j :л для /^2	(77)
независимы и имеют экспоненциальное распределение.
Параметр величины Uj равен a(n-j + 1). Отсюда следует, что величины
Vj■ = (п -/ + 1)17у независимы и одинаково распределены. В частности,
заключаем, что справедливо соотношение
П Н Vj
Z„=xn:„= ZU,= S 	(78)
/= 1	/= 1 n - ; + 1
Это наводит на мысль, что, возможно, теория экстремальных значений
может быть сведена к изучению взвешенных сумм н.о.р. случайных ве¬
личин. Но следующая теорема утверждает, что это не так: представление,
подобное (78), при одном лишь предположении о непрерывности рас¬
пределения имеет место только для экспоненциального распределения.
38

Теорема 1.6.3. Пусть Хх,Х2,. .., Хп - независимые величины
с общей непрерывной функцией распределения F(x). Предположим, что
случайные величины Uj(J^ 1), определенные соотношением (77), независи¬
мы. Тогда F(x) = 1 - ехр [-а(х - Ь)], гдеа>ЪиЬ - некоторые постоянные.
Замечание 1.6.2. Поскольку добавление постоянной b к каждой
из величин Xj не влияет на независимость величин, определенных равенст¬
вами (77), теорема 1.6.3 фактически представляет характеризационную
теорему (необходимое и достаточное утверждение), так как мы дока¬
зали независимость величин Ц в случае экспоненциального распределения.
Доказательство. Убедимся вначале, что из независимости вели¬
чин Uj следует, что F(x)< 1 при всех х. Предположим, что Р{Х7<я} =
=1 (1 </<и) при некотором конечном а . Пусть со - наименьшее из всех
а, обладающих таким свойством, т.е. для любого е>0 имеют место* со¬
отношения
Р {Xj<cv}= 1, Р.{Х7>со-е}>0.
Тогда для всех л > 1 и любого е > 0 получаем соотношение
Р{ Ut >со-е}= [1 -F(co-e)]n>0.	(79)
С другой стороны, из независимости Ux hU2 и выбора со следует для лю¬
бого е > 0 справедливость соотношения
P{Ui >со-е}Р{^2 >e} = P{Ul > со - е, U2 >е}<
<	Р {Хх :л > со - е, Х2 :л > со} < Р {X,- > со для некоторого /) С
<	£ Р{Х,>со} = 0.
7=1
Ввиду соотношения (79) мы, таким образом, имеем равенство
р {>е}=Р{Х2:„ -Х1:п>е} = 0,
справедливое при всех е> 0. Такое соотношение возможно только для
вырожденных распределений, которые исключаются предположением
о непрерывности F(x). Отсюда следует наше утверждение о том, что
F(x) < 1 при всех х
Теперь заметим, что если U\,U2,.. . ,Uj независимы, то независимы¬
ми являются и величины Ux и Tj = U2 + U3 + . . . + Uj = Xj.n- Xizn(j> 2).
Мы можем теперь легко получить утверждение настоящей теоремы, рас¬
смотрев произвольный интеграл в терминах 7}(/>2). Пусть С является
(и - 1)-мерным множеством. Обратимся к вероятности события
л = {г2,т3,...,т„}ес.
Поскольку величины Г,(/ > 2) не зависят от Uv,имеем
₽{Л} = Р{л|6/! =т} = SdV{Ti<th2<j<n\Ul =t},
С
где t — возможное значение величины Ux = Х1:л и, следовательно, вели¬
чин Xj (/ > 1). Пусть
В={(г2,Гз,...,Гл): 0^Г2 <Г3<...<ГЛ}.
39

Вектор (Т2 ,Т3,..., Тп) G В, поэтому
P{A|t/1=r}= f dP{Tj<th2<f<n\U^t} .
св
На множестве В справедливо соотношение
dP { Т, < t„ 2 </ < n\Ut = t) = dP {Xj.„ <tf + t,2<j<nlX1:„ = t} =
n dF(tj + /)
= (n-l)!dP{X/<r/ + r,2</<n|X1:„ = r}=(n-l)! П ;'
/=2	1-F(Z)
где t — возможное значение величины :n. Мы показали, что 1 — F(t) >
>0 при всех t, поэтому ограничение на значения t состоит лишь в том,
что
0<P{Xi:„</}= 1 -[1 -F(r)]"
или просто F(t) > 0. С этого момента мы и будем предполагать, что
t > a(F)= min {*: F(x) > 0}.	(80)
dF(tj + t}
1 - до ■
Для таких значений t из наших последних формул получаем следующее
выражение для Р {А } :
Р(Л}=(и —1)! f П
св /~2
Поскольку вероятность Р {А} не зависит от Z, не зависит от этой величины
и приведенный выше интеграл. Область интегрирования СВ также не со¬
держит Г, и, следовательно, от t не должно зависеть выражение
П dF(t; + t)
П —-1 -
/=2 1-Н0
(81)
В произведении (81) при различных / фигурирует одна и та же функция
F в различных точках. Поэтому это выражение не зависит от t только
в случае, когда отдельный множитель dF(tj + Г)/[1 —F(r)] не зависит от Г.
Другими словами, при s >0 выражение
* dF(t; + Г) F(s + Г) - F(t )
S				 = —			—	(82)
ol-F(r) l-F(t)
должно принимать одно и то же значение при всех Г, удовлетворяющих
условию (80). Таким образом, мы сразу получаем, что a(F) конечно.
Действительно, если бы имело место равенство a(F) = ~°°, то в выражении
(82) мы могли бы устремить t к минус бесконечности и получить для
всех t справедливость равенства
F(s + t) — F(t)	F(s+f) — F(t)
	= lim 	:	=0,
1-F(Z)	1-F(Z)
противоречащего тому, 4toF(x) — функция распределения. Следовательно,
значение a(F)= b конечно. Из непрерывности функции F(x) вытекает,
что F(b) = 0. Устремим t b в соотношении (82). Имеем
F(s + Z)-F(r)
1 -F(Z)
lim
t->b
F(s + t)-F(f)
1-F(t)
= F(s + b),
40

где s> 0 и f > b. Если перейти к функции G(x) = 1 - F(x), то предыдущее
равенство перепишется следующим образом:
G(s + t) = G(t)G(s + b) (s>O,f>d).	(83)
Еще одно преобразование G*(x)=G(x + b) приводит соотношение (83)
(после замены и = t - Ь) к равенству
G*(5+w) = G*(u)G*(s) (s>0,u>0).
Обращаясь к следствию 1.6.1, получаем, что для всех х>0 имеет место
равенство G* (х) = 1 — е~ах с некоторым положительным а . Поэтому
F(x) = 1 - G(x) = 1 - G'(x - Z>) = 1 - е-а<х-ь) (x > b).
Поскольку F(d)=0, то при всех x<b функция F(x) равна нулю. Дока¬
зательство теоремы завершено. ▲
Мы отметили теоретическое значение теоремы 1.6.3, перед тем как
сформулировали ее. Следует, однако, подчеркнуть, что она важна также
для специалистов-прикладников. Рассмотрим вначале конкретную проб¬
лему, а затем сведем ее к общей модели.
Возьмем п клиентов страховой компании, принадлежащих одной стра¬
ховой группе. Промежутки времени до первого несчастного случая для
отдельных представителей этой группы можно рассматривать как н.о.р.
случайные величины Х,(1 </<и) с общей непрерывной функцией рас¬
пределения F(x). Сообщения о несчастных случаях (или иски) поступают
в страховую компанию в порядке возрастания этих промежутков времени,
т.е. компания ’’наблюдает” величины Xj.n (1 </<и). Компания может
из теоремы 1.6.3 заключить, что F(x) = 1 - е~ах (а > 0, х > 0), если ее
опыт подтверждает независимость промежутков времени между посту¬
плением исков (в этом конкретном случае b = 0, так как из природы
проблемы следует, что Xj > 0).
Заметим, что предлагаемая абстрактная модель обобщает приведен¬
ную выше проблему. Имеем п индивидуумов (не обязательно людей),
действующих независимо друг от друга. Эти действия наблюдаются посто¬
ронним человеком и завершаются наступлением конкретного события.
Пусть промежутки до наступления этого события будут распределены
одинаково для каждого индивидуума и будут иметь непрерывную функцию
распределения F(x). Наблюдатель записывает моменты появления рас¬
сматриваемых событий. Если временные интервалы между наступлением
этих событий независимы, то F(x) экспоненциальна.
Мы завершаем этот параграф весьма важным замечанием. Мы познако¬
мились с тремя характеризациями экспоненциального распределения. Каж¬
дая из них, однако, может быть приведена в различных эквивалентных
формах, характеризующих другие распределения. А именно, если h (х) -
строго монотонная функция и Yj = h (Xj), то величины Xj (1 </ < и) неза¬
висимы и одинаково распределены тогда и только тогда, когда Yj (1 С / < п)
являются н.о.р. величинами. Поэтому, если некоторое свойство характери¬
зует общую функцию распределения F(x) величин Xj (1 </ < л), то это же
свойство может быть переформулировано для характеризации функции
распределения D (х) величин Yj (1 </ < п). Конечно, функция D (х) не сов¬
падает cF(x). Один из возможных примеров сформулирован ниже как
следствие, другие приводятся в упр. 25 и 26.
41

Следствие 1.6.2. Пусть Ylf Y2,. .. , Yn - н.о.р. неотрицательные
случайные величины с непрерывной функцией распределения D (х). Пусть
Yr :n — r-я порядковая статистика для величин Yj(\ </ <и). Тогда случай¬
ные величины
Rr-.n=	(1<г<п),	(84)
Yr+ 1 :п
где + J. „ = 1, независимы тогда и только тогда, когда функция D (х) =
= Сха для х G (О, Л), где С>Оиа>О- произвольные постоянные.
Доказательство. Поскольку величины У) неотрицательны, мы
можем перейти к логарифмам. Определим Xj = - log Yj (1 < / < и). Тогда,
полагая JV0 : п = 0» для 1 < г получаем равенства
*г : п = —‘	Yn r+ 1 :п, Ur : п ~ Xr :п ~ %г - 1 :п ~	- г :п-
Таким образом, независимость величин R,. п из соотношении (84) эквива¬
лентна независимости разностей величин Ur.n (1	Поэтому мы
можем применить теорему 1.6.3, из которой следует равенство
Р {- log Yj < х} = 1 - exp [- а (х - Z>)],
где а > 0 и b конечно. Отсюда получаем, что для х > 0 справедливо равен¬
ство
£>(х) = Р <Yj<x} = Р {— log yy>-logx) = <fbxa,
где а> О, b конечно и logx < - b, т.е., взяв С = еаЬ нА = е~ь, приходим к
соотношению Л(х) = Схд, справедливому на интервале (О, Л). С другой
стороны, из замечания 1.6.2 следует, что величины Rr :n безусловно незави¬
симы при этом конкретном выборе функции распределения D (х). Доказа¬
тельство завершено. ▲
§ 1.7. Обзор литературы
Прикладные модели, упомянутые в вводных параграфах, будут анализироваться в
главе 3. Поэтому здесь мы ограничимся обзором литературы по материалам § § 1.3- 1.6.
Параграф 1.3 представляет элементарное введение в изучаемый вопрос, и примеры
этого параграфа подобраны так, чтобы показать, с чем мы можем встретиться. Хотя мы
и ограничиваемся в этом параграфе рассмотрением н.о.р. случайных величин, получен¬
ные простые оценки носят общий характер. Действительно, из недавнего результата
Галамбоша (1975 а) следует, что если для распределения экстремумов используются
только биномиальные моменты	то одна и та же точность может быть достигнута
вне зависимости от того, будут ли величины независимыми и одинаково распределен¬
ными или нет (точное утверждение см. в упр. 8). Вот почему для того, чтобы получить
оценки для распределения величины Zn (или других экспериментальных значений), ко¬
торые могли бы показать реальную разницу между случаями независимости и зависи¬
мости, следует использовать другие, отличные от S^.n величины. Ряд полезных нера¬
венств дан в теореме 1.4.2, принадлежащей Реньи (1961). Обобщение этой теоремы,
частично сформулированное в упр. 13, было получено в работе Галамбоша (1966). Эти
результаты представляют весьма сильное средство для получения предельных теорем
(см. главу 3). Полезным для оценивания является неравенство из упр. 18, полученное
Куниасом (1968). Очевидно, что можно перенумеровать члены последовательности
событий, фигурирующих в этом неравенстве, и, следовательно, первый член не играет
никакой специфической роли в этой последовательности. Это неравенство недавно
было обобщено Хантером (1968). Другие неравенства см. в работах Куниаса (1968),
42

Куниаса и Марина (1976). Один из результатов Куниаса (1968), который обобщает
работу Галло (1966), состоит в следующем: если Р обозначает вектор вероятностей
р(Су)и Q- любая обобщенная обратная матрица для матрицы с элементами
Р {Cl Cj}, то
Р {»„> 1}> PQP,
где вектор Р записан один раз в виде столбца, а второй раз - в виде строки.
Если неизвестны отдельные вероятности для произведения событий, но известны
моменты Sjc п, то неравенства из упр. 18 принимают вид (39). Эти неравенства, приве¬
денные здесь, новы. Результат для случая t = 0, полученный сперва для симметрично
зависимых событий в работе Собела и Уппулури (1972), был распространен Галамбо-
шем (1975 а) на произвольные события. В работе Галамбоша и Муччи (1978) показа¬
но, что случай произвольного t можно свести к t = 0.
Иногда очень простые формы неравенств настоящей главы оказываются полезными
в статистике. О роли первых двух неравенств из упп. 6 см. работу Дийкстры и др. (1973).
Наилучшая нижняя оценка для вероятности Р {уп > 1} в случае, когда используют¬
ся только слагаемые S, п и л, была найдена Кверелом (1975 а). Сама оценка была
известна ранее, но ее оптимальные свойства приведены впервые в этой работе. Эта
оценка содержится в Теореме 1.4.3, доказанной здесь новым методом и первоначально
полученной в работе Доусона и Санкоффа (1967). Оптимальное свойство оценки в
виде, приведенном в упр. 17, доказано Галамбошем (1977 Ь). Простой метод,
предложенный в упр. 16 и 17, должен также оказаться сильным и при доказательстве
других результатов. Как указано в упр. 15, оценка теоремы 1.4.3 перекрывает ранее
известное неравенство, которое получили Чжун и Эрдеш (1952) и вывел заново Уиттл
(1959). Неравенство было распространено в некоторых направлениях Галамбошем,
один из результатов которого содержится в упр. 16. Неравенства из упр. 19 и 20,
доказанные Галамбош Е. (1965) и Мейером (1969), оказались весьма полезными в
асимптотической теории многомерных экстремальных значений (см. главу 5).
Имеется ряд методов доказательства обсуждавшихся здесь неравенств. Метод
индикаторов, предложенный Лоэвом (1942), был использован в другой форме Реньи
(1958). Эта редакция метода позволила получить доказательство неравенств вида
Z dy Р{В,}Р {Bj}> 0 для булевских функций Bj (см. определение в упр. 1), что было
вначале сделано Галамбошем и Реньи (1968), а затем (в усовершенствованной форме)
Галамбошем (1969). Другие общие методы, частично упомянутые ранее, даны Галам¬
бошем (1975 а,1977 Ь), Галамбошем и Муччи (1978) и Кверелом (1975 а, Ь, с). Метод,
приведенный здесь, отличается от методов всех упомянутых работ.
Пионерами в данной области были Фреше (1940) и Йордан (1927) Такачем (1958)
дан хороший обзор ранних работ и приводятся некоторые интересные примеры приме¬
нений. Позже Такач (1967 Ь) распространил формулу (38) на бесконечные последова¬
тельности событий.
За более общими формулами для моментов и распределений порядковых статис¬
тик отсылаем читателя к книге Дэйвида (1979), знакомство с которой, однако, не
предполагается.
Краткий параграф, посвященный характеризациям, представляет собой только
введение в эту область. Он необходим, чтобы показать существование случаев, когда
распределение случайных величин может быть точно определено и статистики не стал¬
киваются с трудной проблемой выбора распределения, которая может завершиться
существенной ошибкой в решении. Это утверждение проясняется и оправдывается
результатами приведенных ниже глав. Из-за ограниченности приведенного здесь мате¬
риала мы не даем библиографии по характеризациям. Читателя, интересующегося
характеризациями с помощью порядковых статистик, отсылаем к работам Галамбоша
(1975 Ь, с) и к более детальному обзору в книге Галамбоша и Коца (1978) . Теоремы,
содержащиеся в § 1.6, принадлежат Сукхатме (1937), Хуангу (1974), Говиндараюлу
(1966) и Россбергу (1960).
Завершая обзор, подчеркнем значение формулы (87) из упр. 21. Хотя она очень
просто доказывается, ее следствие удивительно: величина EZ„ может принимать почти
такие же большие значения для н.о.р. величин для большинства распределений, как и в
случае произвольных (зависимых) систем величин с данным распределением. Это наб¬
людение и оценка его значимости принадлежат Лаи и Роббинсу (1976) .
43

§ 1.8. Упражнения
1.(Методиндикаторов.) Пусть С,,	Сп-некоторые события и5/(1 < / < т)-
так называемые булевские функции для событий С/. Это означает, что Bj могут быть
выражены при помощи конечного числа операций объединения, пересечения и перехо¬
да к дополнительному событию. Пусть / (Яу) - индикатор события By, равный единице
или нулю в зависимости от того, наступает или нет событие By. Показать,что неравенство
Е	(85)
где dj - вещественные числа, имеет место для произвольно выбранных событий Ct,
С2, Сп тогда и только тогда, когда с вероятностью единица выполняется неравенство
2.	Использовать приведенный выше метод для доказательства соотношения
(к > 1),
где величины п определены формулой (36).
3.	Доказать следующие равенства для биномиальных коэффициентов:
а)	кСк = п Ск_ 1 (л > к > 1);
б)	CN	~( n ^n-t - Cn cN_n
4.	Доказать следующую теорему (разложение бинома):
(аО)"= S С*акЬ”-к.
к=0
5.	Используя метод индикаторов, дать новое доказательство теоремы 1.4.1.
6.	Выписать детально неравенства (39) при s = 0,1,2 и 3. Получить как частный
случай неравенства
2
$1,п “ $2,п < Р {	^1,л	$2,п ** ^1,л.
П
В заключение вывести, что для бесконечной последовательности событий A i, А 2,.. .
выполняется неравенство
Р (."/>} < S, Ф/Г
7=1	7=1
7.	Пусть Хь Х%,. . . ,Хп- случайные величины с функциями распределения Fj (х),
и пусть Zn = max (Хр Х% ,.. . , Хл }. Из упр. 6 вывести, что если справедливо соот¬
ношение
SI>n= Е Р{Х7>х}<1
/=1
и Р {zn > х) = $1,л то события {Ху > х} (1 </ < и) попарно несовместны.
8.	Пусть By - событие, состоящее в том, что ровно/ из событий Су С},. .. ,Сп име¬
ют место. Предположим, что в случае, когда Ср С2,... , Сл независимы и Р {Су} = р
при любом/, справедливы неравенства
£ “к Sk.n	Е ЬкSkn,	(86)
к = О	k = Q
где Ок и b k - константы, не зависящие от п. Доказать, что тогда соотношение (86)
справедливо при произвольном выборе событий Ct (1 < t < п) (Галамбош (1975 а)).
44

9.	Распространить критерий предыдущего упражнения, позволив одному коэффи¬
циенту монотонно меняться с ростом л.
10.	Дать новое доказательство теоремы 1.4.3 методами, использованными
в упр. 1 и 3.
11.	Дать новое доказательство теоремы 1.4.1 методом, применяемом в упр. 9.
12.	Доказать следующее обобщение критерия из упр. 8. Пусть -а^ (л) и =
= Ък (л) зависят от л произвольным образом. Предположим, что соотношение (86)
справедливо в ситуации, рассмотренной в упр. 8, при любых наборах коэффициентов
at (N) и bk (N) (Лг > л). Тогда соотношение (86) справедливо для произвольных собы¬
тий (Галамбош и Муччи (1978)).
13.	Пусть Sktn и$к*п определены соотношениями (41) и (42). Доказать, что для
л > 1 и т > 0 таких, что 2т + 1 < л, выполняются неравенства
$ 1,п ~ 25 2,и +	— ... - 2т S2m,n	= 0
< SY!n-2S'2fn+3S%n - ...+(2m + l)S^ + bn.
Обобщить формулу, соответствующим образом изменяя определение величин Sk*n,
для того, чтобы получить оценки для вероятностей Р {vn = t} (Г > 1) (Галамбош
(1966)).
14.	Используя неравенства упр. 13, найти оценки для вероятности Р {Х2: s >0,1}
в примере 1.5.2, где %2 :5 ~ время до второго отказа компонент, если после первого
отказа замен не было.
15.	Показать, что из теоремы 1.4.3 следует неравенство
р{рп>1}>	-
2S2tn
(Чжун и Эрдеш (1952)).
16.	Определим для произвольных чисел у^ > у2 > . .. > уп > 0 величину
Sk= S	yj (к > 1).
7 = *
Показать, что
($! -k + l)Sk
Ук>	.
(к + 1) Sk+i + kSk
Показать также, что если у к - Р {vn ~ к }» то $к совпадает с биномиальным моментом
Sk,n величины »п.
17.	Применить метод предыдущего упражнения для доказательства следующего
результата. Пусть для произвольной последовательности событий Cj, С2,. . ., Сп
выполнено неравенство
Р {vn 0 а$1 ,п + ^2,и
и не выполняется условие, что константы а и Ь имеют вид
а = 2/(к + 1), b = - 2!(к{к + 1))
при некотором К к < п - 1. Тогда существует такое целое 1< к < п - 1, что
ПГ Si’n ~ itVTT) S2'n >as^+bs^n-
Следовательно, теорема 1.4.3 дает лучшую нижнюю оценку в терминах величин Sj и
^2,п (Галамбош (1977 b)).
45

18.	Методом индикаторов или иным способом доказать, что для произвольных
событий Ср 	Сп справедливо неравенство
p{p„>i)	£ p(Cj С/}
j^2
(Куниас (1968)).
19.	Пусть Ajt (1 </ < т, 1 < t < п)-последовательность событий с двойными индек¬
сами, и пусть »j п обозначает число наступивших событий Ajt (1 < t < п). Обозначим
т ui
S(“l “2, • ••• “m)= 2 Р { п П	•
/=1 г=1
где суммирование производится по всем возможным наборам 1 < t (j, 1) < t (j, 2) < ...
. . . < t (j, Uj) (1	< m). Пусть, наконец,
/(и;Л;г)-( - l)r_A S (u) П Cui
i=l 1
где вектор и =	u2,. .. , um), вектор* - (*,,*2	ktn) и К = kx + k2 + . .. + km.
Методом индикаторов или иным способом доказать, что для произвольных целых
kj > 0 и М > 0 справедливо неравенство
Л+2Л/
Р { vj п - kj, 1 </ <т} < S 2^ /(и;*; г),
г ~К
где 2^ обозначает суммирование по всем векторам и = (их, и2, . . . , ит) таким, что
Uj > 1 и их +. . . +ит=г (Галамбош Е. (1965)).
20.	Доказать, используя обозначения предыдущего упражнения, что
К+2Л7+1
p{v/n=*y, 1</Czn}> S	SM/(u;*;r)
г- 1
(Мейер (1969)).
21.	ПустьХх, Х2,. . . , Хп - произвольные случайные величины, и пусть функция
J (х) равна х, если х > 0, и равна нулю, если х < 0. Показать,что для любого веществен¬
ного числа а справедливо неравенство
п
Zn = max (X,, .. . , Хп) < а + S J (Xj - а).
/=1
Отсюда следует, что если величины Xj одинаково распределены, го
EZn<a +п f [1 - F (х)] dx.	(87)
а
Показать, что если интеграл в правой части неравенства (87) конечен, то выражение в
правой части достигает минимума в точке
f	1 1
а ~ ап - inf х. F (х) > 1	>
I	п )
(Лаи и Роббинс (1976)).
22.	Показать, используя неравенство (87), что если F(x) - стандартная нормальная
функция распределения, то при любых видах зависимости величин Xj справедливо
соотношение
Е Zn < (2 log п - log log и)1/2 (п > 3)
(Лаи и Роббинс (1976)).
23.	Пусть XJf Х2,.. . , Хп - н.о.р. случайные’Величины. Показать, что последова¬
тельность математических ожиданий EXr;n (1 < г < п, п > 1) однозначно определяет
функцию распределения F (х).
46

24.	Доказать, используя обозначения предыдущего упражнения, что для люОой
функции распределения F (х) и любых целых чисел 1 < т < п, п > 1 справедливо равен¬
ство
(л - г) Е Хгп + гЕ Хг + 1 ;л= лЕ Хг :п _ р
Вывести отсюда, что если г (л) - произвольная функция л и 1 < г (л) < л, то последо¬
вательность величин Е Хг	; л (л > 1) однозначно определяет F (х).
25.	Доказать, что если XitX2,...,Xn одинаково распределены и при всех л > 1
имеет место равенство
Р {И'п +logn >у} = Р {Х, >>},
ТО
р{х, <х} = 1 - exp(-e_Jt).
Указание. Применить теорему 1.6.2 и монотонное преобразование exp (Ху).
26.	Переформулировать все теоремы § 1.6 для всех известных распределений,
переходя вначале от случайной величины X с функцией распределения F (х) к экспо¬
ненциальной величине Y = - log F (х).

Глава 2
СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ В СЛУЧАЕ НЕЗАВИСИМЫХ
ОДИНАКОВО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЕЛИЧИН
В этой главе’%!, Х2, Хп означают независимые одинаково распределен¬
ные (н.о.р.) случайные величины. Пусть
F(x) = P{X/<x).	(1)
Далее, как и раньше, полагаем
Z„=max{X1(X2 Хп }	(2)
И
Wn = min{XbX2	Хп\	(3)
Из нашего предположения следует, что справедливы равенства
Я„(х) = Р{2л<х}=Г"(х)	’	(4)
и
М*) = Р{^<х} =1 -(1	(5)
Мы ищем условия, которые необходимо наложить на функцию F (х), чтобы
гарантировать существование таких последовательностей констант ап,
Ьп > 0 и/или сп, dn > 0, чтобы пределы
lim Нп(ап + Ьпх) = Я(х)	(6)
л-> 00
И
lim Ln(cn + dnx) = L(x)	(7)
п -* 00
существовали для всех точек непрерывности функций Н(х) и L(x) со¬
ответственно, где Я(х) и L(x) — невырожденные функции распреде¬
ления.
Такую сходимость будем называть слабой сходимостью_функций распре¬
деления или случайных величин. Итак, мы говорим, что последователь¬
ность случайных величин Un или их функций распределения Rn(x) сходится
слабо, если существует предел lim Rn(x) - R(x) для всех точек непре-
п -> 00
рывности х предельной функции R (х). Целью этой главы является нахож¬
дение условий, налагаемых на функцию распределения F (х), при которых
величина Zn (или И0 может быть нормализована (центрирована и норми¬
рована) константами ап и Ьп > 0 так, чтобы последовательность распреде¬
лений величин (Zn ~ an))bn (или (Wn - cn)/dn) слабо сходилась к невы¬
рожденному распределению.
48

Учитывая формулы (4) и (5), видам, что соотношения (6) и (7) экви¬
валентны соотношениям
lim Fn(an + Ь„х) = Н(х)	(6а)
л-*°°
И.
lim [1 — F(cn +dnx)]" = 1 -L(x),	(7a)
n -* 00
где пределы понимаются в смысле слабой сходимости.
Следствия 1.3.1 и 1.3.2 содержат решения нашей проблемы. В ряде пред¬
ложений мы сделаем эти следствия более конкретными: дадим правила
построения последовательностей констант ап, Ьп, сп ис!пи найдем критерии
для функции F(x), при которых выполняются соотношения (6а) и (7а).
Мы также найдем точный вид функций Н (х) и L (х).
Прежде чем начать выполнять эту программу, введем два обозначения,
которые будут использоваться в этой книге. Говорим, что величина a(F),
определенная соотношением
a(F) = inf {х: F(x) > 0},	(8)
является нижней крайней точкой функции распределения F (х). Аналогич¬
но, верхняя крайняя точка со (F) функции распределения F(x) опреде¬
ляется соотношением
Cv(F) = sup{x: F(x) < 1}.	(9)
Очевидно, что либо a(F) = —00, либо a(F) конечно, a cj(F) либо конечно,
либо co(F) = 00. Например, a(F) = 0 и cj(F) - 00 для экспоненциального
распределения. Если F (х) — функция распределения случайной величины,
принимающей только значения 0 й 1, то a(F) = 0 и u>(F) = 1. Если F (х) =
= 1/(1 +e“v), то a(F) ~ и w(F) = 00.
Обозначения (1) - (9) будут постоянно использоваться без дальнейших
ссылок на их местонахождение. Советуем читателю запомнить их.
§ 2.1. Предельные теоремы для максимумов и минимумов.
Достаточные условия
Как и в предыдущей главе, мы формулируем по отдельности теоремы для
максимумов и минимумов. Однако напомним, что теоремы для максиму¬
мов и минимумов эквивалентны, как подчеркивалось в конце § 1.2. Ко¬
нечно, мы всегда сможем получить результаты для минимума из результа¬
тов для максимума, переходя от случайных величин Xj к величинам —Xj.
При этом переходе максимум становится минимумом и наоборот.
Вначале мы сформулируем три теоремы для максимума и затем дадим
их доказательства. После этого будут следовать аналогичные утверждения
Для минимума.
Теорема 2.1.1. Пусть co(F) = 00 и существует такая постоянная
7 > 0, что для всех х > 0 выполняется соотношение
lim
/->00
1 - F(tx)
1 -F(r)“
(10)
49

Тогда существует такая последовательность Ьп > 0, для которой выпол¬
няется соотношение
lim P{Zn<bnx} = Hly(x),
П-^ 00
где
„	/	1еХР(~Х~7)> если Х>0>
I 0,	если х < 0.
(11)
Нормирующие константы Ьп могут быть выбраны следующим образом:
bn = inf{x: 1 -F(x)< 1//?}.
(12)
Теорема 2.1.2. Пусть co(F) конечно, и пусть функция распределе¬
ния F* (х) = F^cu(F) - i j (х > 0) удовлетворяет условию (10) преды¬
дущей теоремы. Тогда можно выбрать такие последовательности констант
апи Ьп> 0, для которых существует предел
lim P{Zn <ап + Ьпх ) = ^2,7(^)5
Л-> оо
где
(1,	если х>0,
Я2,7М=	, ,	(13)
(ехр(-(-х)7),	если х<0.
Центрирующие и нормирующие константы ап и Ьп можно определить сле¬
дующим образом: ап= co(F) и
bn = co(F) — inffx: 1 -F(x)< 1/м}.	(14)
Теорема 2А.3. Пусть при некотором конечном а справедливо соот¬
ношение
w(F)	(15)
f (1 -F(y))dy<<*>
а
и для a(F) < t < co(F) функция R(t) определена следующим образом:
= -F(r))'1
/ (l-F(y))dy.
(16)
t
Предположим также, что при всех вещественных х существует предел
(17)
Тогда существуют такие последовательности ап и Ьп > 0, для которых вы
полняется соотношение
lim P{Z„ <ап +bnx } = Я3>0(х),
п 00
где
Нз,о(х) = ехр(-е х) (-~<x<oo).
(18)
50

Центрирующие и нормирующие константы ап и Ьп могут быть выбраны
следующим образом:
= inffx: 1-Г(х)<1/и}	(19)
и
bn=R(an).	(20)
Наши обозначения (х), Н2у (х) и Я3>0 (х) соответствуют следую¬
щей параметрической форме Мизеса. Пусть Нт (х) — функция распределения
такая, что при всех х, удовлетворяющих соотношению 0 < Нт(х) < 1,
справедливо равенство
Ят(х) = ехр{-(1 4-тх)-1/’’},
где т — фиксированное вещественное число. Для т = 0 определим Нт (х)
как предел функции Нт (х) при т -> 0. Поэтому с точностью до сдвига и
изменения масштаба из Нт(х) получаем Н i f у (х), Н 2 у (х) и #з,о(*)
в ситуациях, когда соответственно т > 0, г < Оит = 0, причем у = 11/т |,
если т Ф 0.
Добавим здесь, хоть эго и не содержится в утверждениях, что все воз¬
можности для существования асимптотического распределения максиму¬
мов н.о.р. случайных величин исчерпываются теоремами 2.1.1 - 2.1.3. Дру¬
гими словами, если F (х) не относится ни к одной из трех категорий из
приведенных выше теорем, то не существует таких констант ап и ЬПУ для
которых выполнялось бы соотношение (6). Мы покажем это в § 2.4.
Следует также подчеркнуть, что константы ап и Ьп могут быть выбраны не
единственным образом. В каждой теореме указан один из возможных вы¬
боров этих констант. Соотношения между нашими конкретно выбранными
константами и другими возможностями обсуждаются в § 2.2.
Доказательство теоремы 2.1.1. Сведем нашу теорему к след¬
ствию 1.3.1. Выберем для наших целей ап = 0 и определим Ьп с помощью
соотношения (12). Мы покажем, что при таком выборе констант справед¬
ливо соотношение
( х_у, если х >0,
lim л(1 -F{bnx))=\	(21)
I 00, если х < 0.
После доказательства равенства (21) утверждение настоящей теоремы
будет вытекать из следствия 1.3.1.
Вначале заметим, что в силу равенства си (F) = 00 последовательность
констант ЬГ1 из соотношения (12) стремится к бесконечности. Отсюда вы¬
текает, что bflx — с» при х < 0 и, таким образом, 1 - F (bfpc) -► 1	.
Следовательно, равенство (21) доказано для отрицательных х.
Пусть теперь х > 0. Подставляя в соотношение (10) величину t = Ьп,
стремящуюся к « при п -* оо, получаем
,	1 - F(bnx)
lim n(l -F(h„x)) = lim и(1 - F(bn)) ———— =
= x~7 lim л(1 -F(bny).
51

Равенство (21) будет доказано, а вместе с тем будет завершено доказа¬
тельство теоремы, если мы покажем, что
lim и(1-F(^))= 1.	‘	(22)
00
Для доказательства соотношения (22) заметим вначале, учитывая опре¬
деление (12), что
1 -F(b„+0)Ц<1 -F(b„)
ИЛИ
1-F(M
1 -F(b„+0)'
(23)
Ввиду убывания функции 1 - F (х) имеем
1-F(b„+O)>l-F(b„x)	(х>1).
Используя это неравенство в соотношении (23) и вновь обращаясь к фор¬
муле (10), получаем
1 ~F(bn)
1<л(1 -F(Z>„ ))<-■-	; V <(1 _е)х\	(24)
1 — F(bnx)
где е->0 при	Поскольку х> 1 выбрано произвольно, из нера¬
венств (24) следует соотношение (22). Доказательство теоремы завер¬
шено. а
Доказательство теоремы 2.1.2. Применим вначале теорему
2.1.1 к случайным величинам с общей функцией распределения F* (х),
которая определена для всех х > 0. Учитывая, что co(F*) = 00 и соотноше¬
ние (10) применяется к функции F*, утверждение теоремы 2.1.1, сфор¬
мулированное в виде соотношения (6а), приводит при х > 0 к равен¬
ствам
lim (F*(b*x))" = lim FnL(F) -	=
П-+00	n—*■ 00	\	D ц X J
где
b*=inf{x: 1 — F*(x) < l/«) = inf{x: 1 - F(w(F)-1/x) < l/n } =
= (w(F)-inf{x: 1 -F(x)< 1/h})’1 .
Отсюда,взявa„= a>(F) иbn = -^.получим,что
bn
lim FH\an	= Hi 7(x)	(x>0)
или
lim F"(a„ + bnx) = Нг y \- ±\	(x < 0).
- / \
При x < 0 справедливо равенство Hx 7 jU = Я2>7 (х). Доказательство
теперь завершается, если учесть, что F (ап + Ь„х) = 1 для х > 0, так как
52

ап = wfF) и bn > 0. Поэтому
lim Fn(an + bnx) =1 (x > 0). ▲
Л->оо
Доказательство теоремы 2.1.3. Для доказательства выберем
ап и Ьп из соотношений (19) и (20) соответственно. Мы будем и здесь при¬
менять метод доказательства теоремы 2.1.1, которая сводилась к следствию
1.3.1. Замечая, что константы ап из соотношения (19) стремятся к u?(F)
при п -> 00, получаем из равенства (17), что
- F(an + Ьпх)
\-F(an
(25)
для всех х. Поэтому для произвольного х справедливы равенства
lim n(l-F(an+bnx)) =
п
1 -f(an+bnx)
1 -Г(ви)
lim »(1-Г(а„))
= в х lim и(1-F(a„)).
п -> °°
Теорема 2.1.3 будет немедленно вытекать из следствия 1.3.1, если мы
покажем, что
lim л(1 -F(a„)) = 1.	(26)
Л->ОО
Для доказательства равенства (26) запишем более подробно определение
констант ап и затем обратимся к формуле (25). Соотношение (19) можно
переписать следующим образом:
1-Г(а„+0)< | < 1-F(a„).
С другой стороны, для любого е > 0 имеем неравенство
1 -F(a„+d>„)<l -F(an +0).
Из приведенных здесь неравенств мы можем, учитывая равенство (25),
получить при п соотношение
справедливое при произвольном е > 0. Отсюда следует соотношение (26).
Теорема доказана. ▲
Как уже отмечалось, теоремы 2.1.1 — 2.1.3 могут быть переформулиро¬
ваны для минимумов. Длй этого нужно ог величин Xj перейти к величи¬
нам —Xj. Мы приведем ниже без доказательств подробные формулировки
этих теорем, так как их содержание представляет основу асимптотической
теории экстремальных значений.
Теорема 2.1.4. Пусть a(F) = -°°,и пусть существует такая констан-
та 7 > 0, что для всех х > 0 справедливо равенство
lim
г-*«
F(rx)
F(0
(27)
53

Тогда существует последовательность констант dn >О,для которых выпол¬
няется равенство
lim Р{И/„ <dnx} =А17(х),
п -* °о
где
М,Т<*)= { j
ехр(-(-х) 7),
если х<0,
если х>0.
(28)
Нормирующие константы dn можно выбрать следующим способом:
J„=sup{x: F(x)<l/n}.
(29)
Теорема 2.1.5. Пусть a(F) конечно, и пусть функция распределения
F* (х) = F (a (F) — 1/х) (х< 0) удовлетворяет условию (27). Тогда су¬
ществуют последовательности констант сп и dn, для которых выполняется
соотношение
lim Р{ W„ < с„ + dnx } = L 2,у (х),
п-+°°
где
L2,y(x) =
1 - ехр(-х7),
0,
если х>0,
если х<0.
(30)
Нормализующие константы сп и dn могут быть выбраны следующим спосо¬
бом: сп = a(F) и
dn = sup{x: F(x)< \/п} - a(F).	(31)
Теорема 2.1.6. Пусть
f F(y)dy <
a(F)
при некотором конечном а. Положим
= f F^dy
a(F)
для t >a(F) .Пусть для всех вещественных х существует предел
F(t + xr(t))
lim 	= С.
r-tt(F) -	^(0
(32)
(33)
(34)
Тогда существуют такие последовательности констант спи dn~>0, для кото¬
рых справедливо соотношение
lim P(lV„ <сп + d„x } = £3>0(х),
л — оо
где
^з,о(х)= 1 - ехр(-ех) (-оо<х<оо).	(35)
Нормализующие константы сп и dn можно выбрать следующим образом:
сп = sup{x: F(x)< 1/п}
и
dn ~ г(сп)‘
(36)
(37)
54

Рассмотрим теперь другие возможные способы выбора центрирующих и
нормирующих констант ап, Ьп, сп и dn. Примеры использования теорем
2.1.1 - 2.1.6 в случае конкретных распределений см. в § 2.3.
§ 2.2. Другие возможные способы выбора центрирующих
и нормирующих констант в теоремах 2.1.1. - 2.1.6
В каждой из теорем предыдущего параграфа мы указывали конкретный
способ выбора центрирующих и нормирующих констант ап, Ьп, с.п и dn.
Имеются, однако, и другие варианты выбора этих констант. Мы даже не
можем утверждать, что выбранные выше константы являются простей¬
шими. Преимущество этих констант состоит лишь в том, что приведенные
правила нахождения констант, как правило, легко использовать при всех
распределениях, для которых получаем данный предельный закон. То, что
центрирующие и нормирующие константы могут быть выбраны не единст¬
венным способом, подтверждают следующие простые рассуждения. Пусть
Yn - некоторая последовательность случайных величин такая, что при неко¬
торых константах Сп и Dn > 0 справедливо соотношение
lim Р{У„ < Сп +D„x } = G(x)	(38)
Л-* 00
для всех точек непрерывности функции G (х), где G (х) - невырожденная
функция распределения. Перепишем интересующее нас выражение сле¬
дующим образом:
P{Y„<Cn + D„x } = р(^<х
I Пп Мп
Если, скажем, Dtl^ 00, то замена констант Сп на такие константы С,*, что
Сп / Dn0 при п -> 00, приводит к тому же самому пределу в соотношении
(38). Аналогично можно заменить константы £)„ на D*n , если D„/Dn -► 1
при п °°.
Наши замечания мы оформим в виде следующей леммы. Мы
сформулируем эту лемму в несколько более общей форме, чем та, которая
нам здесь потребуется. Это не вызовет усложнения доказательства. Позже
мы будем использовать лемму в ее общей формулировке.
Лемма 2.2.1. Пусть ипидп - две последовательности случайных вели¬
чин, и пусть существует такая функция распределения G (х), что во всех ее
точках непрерывности х выполняется соотношение
lim P{U„ <х } = (7(х).	(39)
п-* 00
Предположим также, что для каждого е > 0. выполняется равенство
lim Р{|5„|>е) =0.	(40)
оо
Тогда
lim P{Un + 3„ <х) = <7(х)	(41)
п -* 00
для всех точек непрерывности функции G (х).
55

Доказательство. Пусть е > 0. Справедливо равенство
P{t/„ + 8„ <х} =P{t/„ +5„ <х, |5„| <е} +
+ Р{17„ + 8п<х, |8„|>е}.	(42)
Учитывая неравенство
Р{б^+5л<х, |6„ |>е} <Р{|6„ |>е}
и соотношение (40), видим, что это слагаемое стремится к нулю при п -*«>.
Для первого слагаемого в правой части равенства (42) справедливы сле¬
дующие оценки:
P(t/„ +8„<х, |8„ |<е) <P{t/„<x + e, | 8„ |<е} <
<P{Un<x + e}	(43)
и
P{U„ + 6л<х, |8Л I <е} >Р{1/л<х-е, |5„ I <е } =
= P{U„<x-e} -р{и„<х-е, |5„	(44)
Последнее слагаемое в соотношении (44) опять можно оценить с помощью
вероятности Р {|6rt| > е), которая стремится к нулю. Поэтому, если е
выбрать таким образом,«чтобы х +е их— е были точками непрерывности
функции G (х), то из соотношений (39), (42), (43) и (44) следует, что
G(x - е) < lim inf P{Un +5n <x} < lim sup?P{t/w +	<x) < G(x + e),
где пределы берутся при п Устремляя е к нулю, убеждаемся, что ра¬
венство (41) справедливо для всякой точки непрерывности функции
G(x). Лемма доказана. ▲
Теперь мы легко можем доказать наше утверждение о константах в со¬
отношении (38).
Лемма 2.2.2. Пусть Yn - последовательность случайных величин, а
Сп и Dn > 0 - такие последовательности вещественных чисел, для которых
соотношение (38) выполняется во всех точках непрерывности функции
G(x). Пусть С„ и Dn - еще две последовательности вещественных чисел,
которые удовлетворяют соотношениям
(Сп - С*)
lim —	— = 0	(45)
Dn
и
Dn
lim — = I.	(46)
п - * 00 Dn
Тогда, если последовательности Сп и/или Dn заменить последовательностя¬
ми Сп и/или Dn соответственно, то соотношение (38) будет также выпол¬
няться для всех точек непрерывности функции G(x).
Доказательство. Для того чтобы показать, что мы можем заме¬
нить Сп на Сп , применим лемму 2.2.1, взяв Un = (Yn — Cn)IDn и =
= (Сп — С* )/Dn. Из предположения (45) следует, что выполняются соот-
56

ношения (40) и (41). Ввиду равенства
Un +	~
мы приходим к нашему утверждению. Переходя теперь к вопросу о замене
Dn на D„, обратимся к равенству
Мы должны показать, что соотношение (40) будет выполняться, если взять
Yn - Сп t Dn	\
Un - (Уц — Cn}jDn и = 	 (—j— 1). Возьмем произвольное
Вп \Вп	/
е> 0 и такое М > 1, что точки ± е М являются точками непрерывности
функции (7(х). Пусть и0 — такое целое число, что для всех п> п() справед¬
ливо неравенство
Ввиду справедливости утверждения (46) такое nQ = п0 (М) может быть
найдено для произвольного М > 0. Тогда для всех и > «о выполняется
неравенство
Р{1
I Yn-Cn
I Dn
>еМ
Мы получим соотношение (40), полагая п °° и °°. Из леммы 2.2.1
теперь следует, что предельной функцией распределения величины
(Yn — Cn)!Dn также является функция G(x). Поскольку мы можем объ¬
единить обе части доказательства, относящиеся к замене констант Сп
на С„ и констант Dn на D„ соответственно, доказательство леммы за¬
вершено. ▲
До сих пор мы обсуждали следующий вопрос: если найдены какие-то
центрирующие и нормирующие константы в соотношении (38), то как их
можно изменить, оставляя без изменения предельную функцию (7(х)? Как
мы увидим в следующем параграфе, лемма 2.2.2 весьма полезна для полу¬
чения более простых и точных констант в теоремах 2.1.1 - 2.1.6. Мы теперь
обратимся к структуре последовательностей ап, bf1t сп и dn, фигури¬
рующих в соотношениях (6) и (7).
Теорема 2.2.1. Пусть ап и bn>Q - последовательности веществен¬
ных чисел, для которых справедливо соотношение (6). Тогда для произ¬
вольного целого m > 1 существуют и конечна следующие пределы:
(47)
(48)
57

Более того, выполняется равенство
H”\Am + Bmx)=H(x).	(49)
Прежде чем перейдем к доказательству теоремы, заметим, что пределы
Ат и В m однозначно определяются соотношением (49) для каждой кон¬
кретной функции Н(х) (§ 2.4.) .
Для доказательства теоремы 2.2.1 нам нужен следующий об ций ре¬
зультат.
Лемма 2.2.3. Пусть Fn(y) — последовательность функций распреде¬
ления и Сп, Dn > О, рп, тп > 0 — такие последовательности вещественных
чисел, для которых существуют пределы
lim Fn(Cn + Dnx) = G(x), lim Fn(pn + тпх) = T(x)	(50)
n -►00	n ->°°
для всех точек непрерывности предельных функций, причем G(x) и Т (х)
являются невырожденными функциями распределения. Тогда пределы
lim = В^0, lim	—- = А	(51)
конечны и выполняется соотношение
T(x) = G(A + Вх).	(52)
Доказательство. Выберем по две точки непрерывности хь х2
у у г для каждой из функций G(x) и Т (х) таким образом, чтобы выпол¬
нялись неравенства
0<G(x1)<G(x2)<1, F(^1)<G(x1), T(^2)>G(x2).
Тогда из соотношений (50) выводим, что для достаточно больших п спра¬
ведливы неравенства
Рп + ТпУ 1 ^п +Т>пХ\ ^СП + Т>пХ2 <Рп + ТпУ2-	(53)
Взяв разность средних и разность крайних членов предыдущего неравенст¬
ва, мы получаем, что П„(х2 — xt) ^тп(у2 - /1) или
£>п < У2 ~У1
Тп	Х2 -X! *
(54)
С другой стороны, из неравенства (53) следует, что
(55)
Поскольку величины хь х2, ух,Уг фиксированы, из неравенства (54) сле¬
дует ограниченность отношения Dn/Tn при п -► 00. Меняя местами функции
G(x) и Г(х), мы аналогично получаем ограниченность отношения Tn/Dn.
Обращаясь к неравенству (55), видим, что отношение {Рп - Cn)jDn огра¬
ничено и, ввиду симметрии функций Т (х) и (7(х), ограниченным является
и отношение (Сп - p,z) /£)„. Возьмем теперь такую подпоследовательность
nt, для которой соотношение (51) выполнено. Предел В , конечно, отличен
от нуля, так как величина, обратная этому пределу, конечна, что следует
из предыдущих рассуждений. Возьмем произвольное е> 0 и достаточно
58

большое nt. Тогда, учитывая выбор nti можем написать неравенства
(B-6)P„,<7„f<(B + e)Z\f
и
r + Dn f(A - e) < рп f < С„ f + Dn f(A + е).
Отсюда при произвольном х > 0 получаем соотношение
Pnt{Cnt + AD„t + BD„fx - е(х + 1 )Dn f) < Fn t(pn f + rn <
Pn t(Pnf "*■ AD„f + BDn (x + e(x + 1 )Ont).
Поэтому, если x и e таковы, что точки А +хВ — е (х +1) и А +хВ +е (х+1)
являются точками непрерывности функции G(x), то из условия (50) при
nt -> 00 следует, что
G(A +Вх - е(х + 1))<lim infFnt(pnf + rrtrx)<
dim sup Fnf(pflf + тЛгх)<(7(Л + Z?x + e(x + 1)).
Пусть x — точка непрерывности функции Т(х) и А + Вх — точка непрерыв-.
ности функции G(x). Устремляя е к нулю, получим равенство (52). Хоть
мы и предполагали, что х > 0, случай х< 0 отличается лишь тем, что мы
должны при доказательстве вместо ех взять —ех, и соотношение (52) вновь
окажется справедливым. Равенство (52) однозначно определяет величины
А и В. Следовательно, для любой подпоследовательности nti удовлетво¬
ряющей соотношению (51) , мы получаем одни и те же значения величин Л
и В. Таким образом, доказательство леммы завершено. ▲
Доказательство теоремы 2.2.1. Пусть Е(х) — функция рас¬
пределения, удовлетворяющая соотношению (6а), и пусть m > 1 — фикси¬
рованное целое число. Имеем
lim Fnrn(anm + bnnix) = H(x)
п-*°°
и
lim Fn(anm + b„m) = H1'm(x).
n-^ 00
Сравнивая последнее равенство с равенством (6а), мы видим, что находим¬
ся в условиях леммы 2.2.3, где функции и константы выбраны следующим
образом:
Fп ~ Fn, Сп-ап, Dn=bn, pn=anm, Tn-bntn,
G(x)=H(x), T(x)=Hx'm(x).
Утверждение леммы 2.2.3 для этого конкретного случая совпадает в
точности с тем, что мы доказываем. ▲
Мы приводим также теорему для минимума, эквивалентную теореме
2.2.1.	Она может быть выведена из теоремы 2.2.1 при помощи нашего
обычного перехода или может быть легко доказана, если использовать не¬
посредственное обращение к лемме 2.2.3. Детали доказательства мы
опускаем.
59

Теорема 2.2.2. Пусть сп и dn> 0 — последовательности веществен¬
ных чисел, для которых выполняется соотношение (7). Тогда для произ¬
вольного целого аи > 1 существуют и конечны пределы
lim
п -* 00
м —°о
dnm
и
(56)
(57)
Более того, справедливо равенство
1 — Z(x) = {1 -L(A*n	(58)
Попутно из теорем 2.2.1 - 2.2.2 мы заключаем, что класс предельных
функций распределения Н(х) и L (х) для максимумов и минимумов соот¬
ветственно совпадает с множеством решений функциональных уравнений
(49) и (58). Этот результат поможет нам установить, что теоремы 2.1.1 —
2.1.6 исчерпывают все возможности решения нашей проблемы, сформули¬
рованной в утверждениях (6) и (7). В деталях мы обсудим этот вопрос
в § 2.4. Обратимся теперь к некоторым примерам для конкретных рас¬
пределений.
§ 2.3. Асимптотические распределения максимума и минимума
для некоторых специальных распределений
Мы применим результаты двух предыдущих параграфов к некоторым кон¬
кретным распределениям. Следующие примеры преследуют двойную цель —
сформулировать результаты для наиболее важных распределений и выявить
некоторые детали в качестве упражнений. Поэтому в каждом случае мы
будем обращаться к теоремам 2.1.1 — 2.1.6, даже если для некоторых рас¬
пределений точное решение уравнений (6) и (7) будет простым. Мы не
хотим повторять примеры главы 1 и отсылаем читателя к примерам 1.3.1
и 1.3.2, где вводится экспоненциальное распределение. Оставляем в ка¬
честве упр. 10 получение заново в этом случае центрирующих и норми¬
рующих констант на основе результатов теорем 2.1.1 — 2.1.6.
Для того чтобы уменьшить число параметров распределений, заметим,
что если а и Z? > 0 - произвольные постоянные, то тах(я	а +ЬХ2) -
...,а +ЬХп) = a +6 max (Xif Х.2,..., Х„), а в случае b < 0 получаем, что
max(a+h¥lf а+ЬХ2	а+ЬХп) = а + Z?min(%b Х2,.... Хп).
Подобные соотношения имеют место и для минимума при линейных
преобразованиях а + bXj (1 < / Си). Поэтому легко преобразовывать
центрирующие и нормирующие постоянные, которые будут получены ни¬
же, если происходит сдвиг координат или изменение масштаба.
2.3.1.	Равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Пусть функция рас¬
пределения F(x) определяется следующим образом:
[0, если х<0,
F(x) = х, если 0 С х < 1,
11, если х > 1.
60

Таким образом, a(F) = 0, cj (F) = 1, и для случайной величины Z п можно
применять либо теорему 2.1.2, либо теорему 2.1.3. Проверим, выполняется
ли соотношение (17). Поскольку функция
	:	= 1 -X-
не стремится к е~х при t 1, то соотношение (17) не может выполняться
и, таким образом, остается одна возможность - применить теорему 2.1.2.
Для х > 0 введем функцию F * (х) = F (1 - 1/х). В нашем случае
F*(x) = 1 - 1/х. если х> 1.
Обращаясь к формуле (10), находим, что для х > 0 существует предел
lim - = х‘.
tx
Отсюда следует, что теорема 2.1.2 применима с 7 = 1. Учитывая, что спра¬
ведливо равенство
inf{x: 1 -F(x)< 1/и} = 1 - 1/и,
получаем
lim P{ZW < 1 +х/и} =Н2д(х),
где (для этого конкретного случая) Я2,1 (*) — если * < 0, и Я2|1 (х) = 1,
еслих> 0.
Если рассмотреть величину Wn, то в этом случае может быть применена
теорема 2.1.5 или 2.1.6. Начнем с теоремы 2.1.5 и проверим выполнение со¬
отношения (27), взяв F* (х) = F (-1/х) для х < 0. В нашем случае F* (х) =
= —1/х для х< -1 и для всех х > 0 существует предел
г ^*(*) 1
lim 			=—
— F*(r)	*
Следовательно, теорема 2.1.5 имеет место с 7 = 1. Из соотношения (31) по¬
лучаем, что dn = 1/и и сп = a(F) = 0. Таким образом, справедливо ра¬
венство
lim P{nWn <х} =Ь2д(х),
где£2Л (х) = 1 - e“ v, еслих>0, и £2>1 (х) = 0,еслих<0.
2.3.2.	Стандартное нормальное распределение. Рассмотрим теперь функ¬
цию распределения
-1/2 Х 2
F(x) = (27r) f е~у !2dy.
В этом случае a(F) = —00 и co(F) = 00. Поэтому к величине Z п применима
или теорема 2.1.1, или теорема 2.1.3. Мы покажем, что на самом деле
применима лишь теорема 2.1.3. Более конкретно, мы можем вывести, что
61

при выборе констант
а„ = (21ogH),/2
log log/7 + log4n
2(2 log n)1/2
(59)
И
bn = (2 logn)'1/2
(60)
функция распределения случайной величины (Zn - an)/bn слабо сходится
к Я з о (х). Для доказательства этого факта мы вначале исследуем асимпто¬
тическое поведение функции 1 -F(x) при х -* оо. Пусть х > 0. Интегрируя
по частям, получим
(27г)1/2(1 -F(x))= f е и !2du = f (ие и f2)u~'du =
X	X
= —и 1 е ^2/2	_ f е ^2и 2du
X
или
(27г)1/2(1 -F(x))-х"1 е~х2/2 = — f е~ц2 ^2u~2du	(х>0).
х
Мы можем продолжить этот метод и получить столько членов асимптоти¬
ческого разложения функции 1 - Е(х), сколько нам нужно. Например,
еще один шаг приводит к неравенствам
('>0>- (61)
Таким образом, справедливо соотношение
lim х(1 -F(x))^’/2 =(2я)-,/2.	(62)
х->°°
Заметим, что теорема 2.1.1, конечно, не может иметь места в случае нор¬
мального распределения. Дело в том, что в силу равенства (62) предел в
соотношении (10) не является конечным. Следовательно, нужно обратиться
к теореме 2.1.3. Из правой оценки в соотношении (61) заключаем, что
условие (15) выполняется, скажем, при а = 1. Следующий шаг — проверка
условия (17). Для этой цели мы аппроксимируем функцию R (t) из соотно¬
шения (16). Интегрируй соотношение (61),получим
e-f2/2,-2 _3fe~>'’/v-3dy<vZ27/(l -F{y))dy<
t	t
<е-'212Г2 _2~Se-y'l2y-^v
t
для t > 0. Учитывая, что
le-y2l2y-3dy<t~3 °fe-y2/2dy<i-4e-t2t2,
t	t
62

где последнее неравенство следует из правого неравенства в соотношении
(61), а также соотношения (62) и (63), приходим к равенству
R(f) = j + O(C3)	(г-^оо).
(64)
Отсюда, используя соотношение (62), получаем
1 -F(tyxR(t))_	tet2/2
lir-	-
Следовательно, применима теорема 2.1.3, и, таким образом, предельной
функцией распределения для величины (Zn - an)jbn является функция
Я3,о (*) • Остается показать, что можно взять константы ап и Ьп, определен¬
ные выражениями (59) и (60) соответственно. Для того чтобы это пока¬
зать, используем формулы (19) и (20) и лемму 2.2.2. Эта лемма показы¬
вает, с какой точностью мы должны найти константы из соотношения (19).
Ввиду непрерывности функции F (х) равенство (19) сводится к равенству
1 - F(an) = 1/п. Логарифмируя соотношение (61) и взяв х = ап, получаем
log« + log(l -a„2) <	+ logfln + log (2я) < log«.	(65)
Определим ап последовательно как сумму членов, убывающих по величине.
Очевидно, что первым слагаемым будет (2 logfl)172. Из этого факта уже
следует, что мы можем выбрать Ьп из формулы (60). Действительно, в силу
соотношений (20) и (64) любое следующее слагаемое, уточняющее ап,
имеет величину, меньшую чем (log fl)172, и его добавление приведет нас к
величине Ь„ вместо Ьп такой, что Ьп/ b„ 1 при п -► По лемме 2.2.2 мы
можем взять Ьп или Ь*п . Поэтому условимся выбрать Ьп из формулы (60).
Еще одно обращение к лемме 2.2.2 вместе с соотношением (45) показы¬
вает, что если мы будем пренебрегать в ап слагаемыми, которые при деле¬
нии на Ьп стремятся к нулю, то предельное распределение не изменится.
Поэтому мы должны учитывать при разложении величины ап только те
слагаемые, которые по величине не меньше, чем (logfl)”172. Подставляя
в неравенства (65) ап = (2 log fl)1/2 - к) (2 log м) , мы получаем дляал
выражение (59). Ввиду того, что стандартное нормальное распределение
симметрично относительно нуля, константы сп =—ап и dn~bn можно ис¬
пользовать в качестве центрирующих и нормирующих констг для вели¬
чины Wn. В этом случае предельная функция распределения совпадает с
функцией L з о(х) из соотношения (35).
2.3.3. Логнормальное распределение. Если случайная величина X поло¬
жительна и log X имеет нормальное распределение, то говорят, что Химеет
логнормальное распределение. Таким образом, функция распределения
этой случайной величины имеет вид
(66)
63

Мы можем легко найти нормализующие константы ап и Ьп > 0, при кото¬
рых величина (Zn - an)!bn слабо сходится к пределу. Пусть а„ и Ь*п -
константы из формул (59) и (60) для стандартного нормального распреде¬
ления. Это означает, что
P{logZ„ <а„* +Ь„х} -»ехр(—е_х) (п ->оо).	(67)
Последнее соотношение, конечно, не дает сразу желаемой формы для ве¬
роятностей Р {Zп < ап + Ь„х}. Однако, поскольку константы Ьп, приведен¬
ные в формуле (60), стремятся к нулю при п -► оо, мы имеем в силу разло¬
жения Тейлора
ехр(аи + b„x) = ехр(а„)[ 1 + b„x + v(b£x)2 ] =
= .ехр(а„) + й„ехр(а„)(1 +1>Ь„х)х,
где |р | < 1. Справедливо соотношение 1 +	1 при п -> ©о. Из леммы
2.2.2 получаем при и-> <» следующее равенство:
lim P{Zfl < е*р(ап + bnx)} = lim P{Zn <ап + Ьпх} ,
в котором ап = ехр (а% ) и bn = bn ехр(а J). Учитывая соотношение {67),
видим, что интересующей нас предельной функцией распределения являет¬
ся функция ехр (—*).
Предельное распределение для минимума Wn в этом случае таким же
образом можно найти с помощью перехода к стандартному нормальному
распределению. Получим равенство
lim Р{И/Л <сп + dnx} = 1 - ехр(-е“х),
п оо -
где сп = ехр (-а,* )= 1 fan и dn= b,* ехр ( - а* ).
2.3.4. Распределение Коши. В этом случае функция распределения имеет
вид
Е(х) = у + ~ arctgx (-00 < х < 00).
Поэтому а(Е) = — ©©, co(F) = ©© и к случайной величине Zn применима
теорема 2.1.1 или теорема 2.1.3. Интегрируя по частям, находим
Л1 - F(X)] dx =х(1 -F(x))|; +IX-—1 dx = оо.
0	О я(1+х2)
Следовательно, соотношение (15) не выполняется, и нужно обратиться к
теореме 2.1.1. Применяя правило Лопиталя, получим
1 -F(tx)	(1+Z2)x	.
lim 		 lim  	- = х .
f_„ l-F(r)	l+(zx)2
Мы можем использовать теорему 2.1.1 су = 1 и прийти к равенству
lim P{Zn<bnx} =ехр|—(х>0),
М ~► об
64

где
находим из соотношения 	arctg bn = —.
2 7Г	” п
Симметрия Е(х) относительно нуля позволяет сразу найти предельное
распределение для величины Wfl. Поскольку
Р{И'„<—х} = P{Z„>x)	(х>0),
Мы заключаем	.
iim P{JVn <d„x } = 1 - ехр (	) (х < 0),
fl —> ОО	\ '■
где нормирующие константы dn совпадают с константами Ьп, приведенны¬
ми в формуле (68).
§ 2.4. Необходимые условия для слабой сходимости
В этом параграфе мы решаем две математические задачи. Их решения мож¬
но объединить, сказав, что теоремы 2.1.1 - 2.1.6 исчерпывают все возмож¬
ности для асимптотических распределений максимумов и минимумов при
соответствующем центрировании и нормировке в случае независимых оди¬
наково распределенных величин. Прежде чем дать точные утверждения,
обратимся к определению (6) предельной функции распределения Н(х)
для величин Zn. Аргументы, приведенные ниже, относятся и к величи¬
нам
В соотношении (6) рассматриваются такие последовательности чисел ап
и Ьп > 0, для которых случайные величины (Z„ - an)jbn имеют предель¬
ную функцию распределения Н(х). Эти последовательности ап и btli как
мы видели в § 2.2, - не единственные. Однако функция Н(х) не может
существенно меняться при изменении величин ап и Ьп. По лемме 2.2.3,
если для некоторых последовательностей ап и Ьп> 0 выполняется соотно¬
шение
lim P{Z„ <ап + bnx} = Н(х\'
п~+ ОО
а для других последовательностей А п и Вп > 0 - соотношение
lim P{Zn <Ап + Вих} = //*(х),
п —* оо
то существуют такие константы А и В > 0, что Я*(х) = Н(А + Вх). Сле¬
дующий пример показывает, что такая ситуация может иметь место. Пусть
Х2, Xfl - экспоненциальные случайные величины с общей функцией
распределения F (х) = 1 — е~Л (х > 0). Тогда (см. пример 1.3.1) имеет
место равенство
lim P{Zn < log« +х } =ехр(-е_х),
П -> оо
т.е. здесь берем в качестве центрирующих и нормирующих констант afl =
65

— log n и Ьц = 1, а предельная функция распределения имеет вид 7/(х)=
* ехр (- х). Возьмем теперь, например, А п = 3 +logn и Вп = 2. Тогда
//*(*)= lim P{Zn <Ап + Внх} =
п~* ОО
= lim P{Z„ < ап + bn(2x + 3)} = Н(2х + 3).
п “*• СЮ
Поэтому мы должны говорить не о единственном предельном распределе¬
нии, а о целом семействе. Это семейство можно рассматривать как некото¬
рый тип распределений. Понятие типа дается следующим определением.
Определение 2.4.1. Функции распределения Н(х) и Н * (х) относят¬
ся к одному типу, если существуют такйе вещественные числа А и В > О,
для которых выполняется равенство
Я*(х) = Я(Л + Вх).
Для упрощения формулировок результатов настоящего параграфа
введем еще одно понятие.
Определение 2.4.2. Пусть Н(х) - невырожденная функция распре¬
деления, являющаяся одним из возможных пределов в соотношении (6).
Мы говорим, что функция распределения F (х) принадлежит области притя¬
жения Н(х), если существуют последовательности апнЬп> 0, для которых
справедливо соотношение
lim F” (ап + Ьпх) = Я(х).
П -* ОО
Далее, если L (х) - невырожденная функция распределения, являющаяся
одним из возможных пределов в соотношении (7), то говорим, что функ¬
ция распределения F (х) принадлежит области притяжения L (х), если су¬
ществуют последовательности сп и d„ > 0, для которых справедливо со¬
отношение
lim [1 — F(cn +d„x)]n = 1 -L(x).
n-> <Ю
Заменив x на A + Bx (В > 0) в любом из приведенных выше предельных
соотношений, получим, что если F (х) принадлежит области притяжения
предельной функции Н(х) (или L (х)), то F (х) принадлежит также области
притяжения любой другой функции, относящейся к тому же типу, что и
функция Н(х) (или L (х)). Другими словами, области притяжения двух
функций совпадают, если эти функции принадлежат одному типу распре¬
делений. Мы можем теперь сформулировать результаты этого параграфа.
Теорема 2.4.1. Существуют только три типа невырожденных функ¬
ций распределений Н(х) .удовлетворяющих соотношению (6). Ими являют¬
ся у (х) из формулы (11), Н2, у (х) из формулы (13) и Н3 0 (х) из фор¬
мулы (18).
Теорема 2.4.2. Существуют только три типа невырожденных функ¬
ций распределений L (х) .удовлетворяющих соотношению (7). Ими являют¬
ся L 1 >7(х) из формулы (28), £2,7 (*) из формулы (30) и L 3>0(х) из фор¬
мулы (35).
Теорема 2.4.3. Функция распределения F (х) принадлежит области
притяжения
66

1)	Hi у (x) тогда и только тогда, когда u>(F) = 00 и выполняется соотно¬
шение (10);
2)	H2iy(x) тогда и только тогда, когда ca(F) < 00 и функция F*(x) =
= F[co(F) - 1/х] (х > 0) удовлетворяет соотношению (10);
3)	Я30(х) тогда и только тогда, когда конечен интеграл (15) и выпол¬
няется соотношение (17).
Теорема 2.4.4. Функция распределения F (х) принадлежит области
притяжения
1)	Lx >7 (х) тогда и только тогда, когда a(F) - —00 и выполняется соот¬
ношение (27);
2)	£2>7(х) тогда и только тогда, когда a(F) >—00 и функция F *(х) =
— F[a(F) —1/х] (х < 0) удовлетворяет соотношению (27) ;
3)	L З’оСО тогда и только тогда, когда конечен интеграл (32) и выпол¬
няется соотношение (34).
Как уже указывалось несколько раз, теория для минимумов эквива¬
лентна теории для максимумов. Поэтому мы докажем подробно только
теоремы 2.4.1 и 2.4.3. Теоремы 2.4.2. и 2.4.4 тогда будут следовать из этих
теорем, в чем можно убедиться, переходя от последовательности случайных
величин {Xj} к случайным величинам	.
Доказательство теоремы 2.4.1 * \ Мы установили в теореме
2.2.1, что если Н (х) является невырожденной предельной функцией в соот¬
ношении (6), то она удовлетворяет уравнению
Hm (Ап1 + Вт х) = Я(х) (m > 1),	(69)
где Ат и Вт > 0 - подходящим образом выбранные константы. Найдем
решения уравнения (69) в несколько этапов.
1)	Найдем вначаде те решения Я(х) уравнения (69), для которых Вт- 1
при всех т > 1, т.е. найдем решения уравнения
Нт(Ат +х) = Я(х) (т > 1).	(69а)
Из невырожденности функции Я(х) следует, что 0 = А !	2 <... Сущест¬
вует по крайней мере одно значение т, для которого А т >0. Иначе из со¬
отношения (69а) получили бы, что 7/™(х) = Я(х) для всех х, т.е. Я(х) при
всех х равнялось бы нулю или единице, что противоречило бы нашему
утверждению о невырожденности функции Н(х). Очевидно также, что
lim Ат = со(Я).	(70)
т ->»
Действительно, если Ат < оэ(//) для всех т> 1, то из уравнения (69а)
следует, что Я(х) = 0 для всех х< со(//) - q. Если же Н(х) — 0 для некото¬
рого х = х* , то //(х) равно нулю и для Xi = х* ± Ат (т > 1). Взяв в ка¬
честве х* точку Xi, мы получим, что Н(х) = 0 для х2 = х* ±2Ат (rn^ 1),
и затем по индукции выводим, что Я(х) =0 для х^ = х* ± kAm (к> 1).
Существует такое значение т, для которого Ат > 0, поэтому из равенств
H(xk) =0 {к > 1) и монотонности Н(х) будет следовать, что Н(х) = 0
) Простое доказательство теоремы 2.4.1 можно найти в работе де Хаана
(de Haan L. Sample extremes: an elementary in- oduction. - Statist, neer., 1976, v. 30,
P. 161-172) (прим, nepee.).
67

при всех х. Это невозможно, так как функция распределения Н(х) — соб¬
ственная. Тем самым мы доказали, что Н(х) > 0 при всех хи соотношение
(70). Подобным же способом можно показать, что Н(х) < 1 для всех х,
и тогда со (Н) = Мы можем теперь перейти к логарифмам в равенстве
(69а). Имеем
т \ogH(Am +х) = logtf(x) (-о©<х <оо, т > 1),	(71)
где
0 = Л1<Л2<...; Ат (т ->°°).
Из соотношений (71) и (72) мы выведем, что функция
G(x)
6(0) ’
где G (х) = log Я(х), при всех х, у удовлетворяет уравнению
G*(x+^) = G*(x)G*(v).
(72)
(73)
(74)
Рассмотрим с згой целью произвольное число z > 0. Из соотношения (72)
следует, что мы можем найти единственное т, для которого A m<z < Ат + 1.
Из невырожденности G(x) следует, что
G(Am + x)<G(z 4-х)<£(Л„1 + 1 4-х).	(75)
Из соотношения (75), взятого вначале при х = 0, а затем при произволь¬
ном х, мы, учитывая равенство G (х) < 0, получаем неравенства
G(Am +х) " G(z+x)	G(Am + i +х)
G(A т +1) G(z)	G (Л т )
которые с помощью соотношения (71) сводятся к неравенствам
(т 4- l)G(x) G(z 4-х) mG(x)
mG(0)	" G(z)	(т + l)G(O) ‘
Если z то и т ->оо. Поэтому
G(x+z) G(x)	ч
lim 	=	- G (х).
G(z) G(0)
Пусть теперь хи у — произвольные числа. Тогда
G*(x4-_y)= lim
z «
G(z + x + j>)
G(z)
lim
z -► °°
G(z 4-х 4-^) G(z 4-x)
G(z+x) G(z)
G*(y)G*(x),
т.е. выполняется соотношение (74). Имеем G(x) < 0 и, следовательно,
G (х) > 0. Кроме того. G * (х) — неубывающая функция. Тогда из соотно¬
шения (74) и леммы 1.6.1 находим, что G*(x) = е~ах при некотором
а > 0 для всех х > 0. Еще раз применяя лемму 1.6.1 к функции G * (-х)
при х > 0, мы заключаем, что G* (х) = е- Ьх при некотором b > 0 для
всех х < 0. Поскольку G * (0) = 1, из соотношения (74) при х = —у сле¬
дует, что а = Ь. Отсюда получаем
log Н(х) = G(x) = G(0)G*(x) = G(Q)e~ax
68

при некотором а > 0 и произвольном х. Записав (7(0) = — е с, приходим
к равенству
Н(х) = ехр(-е^ах~с) (я>0),
а эта функция относится к тому же типу, что и функция Язо (х).
2)	Рассмотрим теперь равенство (69) в случае, когда существует такое
М > 1, что В м < 1. Покажем вначале, что величина со (Я) конечна. В дейст¬
вительности мы получим равенство
си(Я) = -^-.	(76)
1 ~вм
Конечно, если х> Ам[(\ - В м) , то х> Ам +В мх. Поскольку функция
Н(у) - неубывающая, имеем Н(х) > Н(Ам+В мх) • Тогда в силу соотноше¬
ния (69) получаем Нм(х) <Я(х) = Нм(Ам + Вмх) <Нм(х),и поэтому
Н(х) = 1 для х > А л// (1 - В м). Для того чтобы завершить доказательство
равенства (76), мы должны показать, что Н(х) < 1 для х < А д// (1 —Вм).
Допустим, что это не так. Тогда ы(Н) < Ам/(\ — Вм) или, что эквива¬
лентно, со (Я) < А д/ + Вм<л (Я). В этом случае можно выбрать числа у и х,
удовлетворяющие условию
ы(Н)<У <АМ + Вмх < Ам + Вма>(Н).	(77)
Тогда из соотношения (69) имеем
Я(х) = НМ(АМ + Вмх\> Нм(у) = 1,	(78)
где последнее равенство следует из определения величины со (Я). Таким об¬
разом, неравенство (78) дало бы равенство Я(х) = 1, но из соотношения
(77) следует, что х < со (Я) и равенство Я(х) = 1 невозможно. Следова¬
тельно, справедливо соотношение (76).
Покажем, что при выполнении условия /?д/< 1 справедливо равенство
а(Я) - —оо. В силу невырожденности функции Я(х) имеем
Лд/
а(Я)<со(Я) = —
1 -Вм
Отсюда следует, что если а(Я) > —<», то можно, как и в соотношении (77),
найти х, для которого выполнены неравенства
х<а(Н)<Ам + Вмх.	(79)
Для этого достаточно взять любое значение х, удовлетворяющее неравенст¬
вам а(Я) < А м +Вмх <Ау +£д/а(Я). Однако для таких х справедливо
соотношение
О = Я(а(Я)) > Я(Х) = НМ(АМ + Вмх),
и, следовательно, Н(Ам +Вд/х) = 0. Последнее равенство, учитывая опре¬
деление величины а(Я), противоречит правому из неравенств (79).
Заменив неравенства в доказательстве на противоположные, мы можем
получить следующее утверждение. Если Bs > 1 при некотором 5 > 1, то
а(Я) конечно и со (Я) = °°. Следовательно, если Вм < 1 при некотором
М > 1, то Bs < 1 при всех s > 1. Добавим также, что если В м < 1 при неко-
69

тором М > 1, то при $ > 1 невозможно равенство Bs = 1. Из того, что
Bs ~ 1, мы бы получили для любого х < ы(Н) равенство
H(x) = Hs(x +Л5),
(80)
из которого бы следовало, что As > 0. Взяв неравенство (80) с таким х,
для которого выполняются соотношения х< со (Я) <x+As, мы пришли бы
к равенству Н(х) = 1, противоречащему определению величины со (Я).
Таким образом, мы показали, что если Вм < 1 при некотором М > 1, то
тогда Вт < 1 для всех т > 1. Следовательно, равенство (76) справедливо
при произвольном т > 1, и мы получаем
(81)
для всех т > 1.
Мы можем теперь свести равенство (69) к равенству (69а). Введем с
згой целью функцию
^)-Я(со(Я)--г’“2).
Тогда, если положить Сп} = — log/?w , то из соотношений (69) и (81) сле¬
дует справедливость при т > 1 равенства
G"\Cm =	- Вте- '^ =
- Н™(Ат + ВМН)	- e~z) = G(z),
совпадающего с равенством (69а). Поскольку решение уравнения (69а)
нами уже было получено, мы приходим к равенству
G(z) - exp(-€~az~e) (а >0),
из которого выводим, что
Я(г) = g/log —) = ехр(-е-‘ (а>(Я) - z)°),
где z < со (Н) и а > 0. Очевидно, эта функция относится к тому же типу,
что и функция Н2,7 (*) > заданная формулой (13).
3)	Остается рассмотреть соотношение (69) в случае, когда В ffJ > 1 при
некотором т > 1. Как уже отмечалось (см. текст между соотношениями
(79) и (80)), заменяя неравенства, использовавшиеся для доказательства
соотношения (76), на противоположные, можно заключить, что величина
а(Я) конечна и со (Я) = По аналогии с предыдущим случаем мы полу¬
чаем в данной ситуации справедливость неравенства В т > 1 при всех т > 1.
Преобразование G (z) = Н(а(Н) + е2) вновь приводит к соотношению ви¬
да (69а), из которого следует, что функции Н(х) иН} у(х) принадлежат
одному типу. Мы убедились, что во всех трех рассмотренных нами случаях
равенство (69) сводится лишь к трем типам распределений Н(х). Как отме¬
чалось в начале доказательства, предельная функция Н(х) из соотношения
(6) обязательно является одним из решений уравнения (69). Теоремы
2.1.1	— 2.1.3 показывают, что все эти три типа могут фигурировать в ка¬
честве предельной функции Я(х), и тем самым доказательство теоремы
2.4.1	завершено. ▲
70

Доказательство теоремы 2.4.3. Для каждого из трех случаев
достаточность установлена в теоремах 2.1.1 - 2.1.3. Остается в каждом из
этих случаев доказать необходимость.
Доказательство первой части теоремы 2.4.3. Предпо¬
ложим, что функция F (х) такова, что при подходящем выборе констант
ап и Ьп>0 выполняется предельное соотношение
lim Fn(an + b„x) = Hl y(x).	(82)
Из соотношения (82) мы можем заключить, что cc(F) = 00 и выполняется
соотношение (10). Мы сделаем это, рассматривая подпоследовательность
{п(к)} значений п в соотношении (82), для которой аП(к) ~ 0. Используя
элементарные рассуждения, с помощью которых мы показали справедли¬
вость равенства (74), мы выведем соотношение (10). Приведем детали
доказательства.
Применим теорему 2.2.1 с т = 2. Поскольку величины А2 и 2?2 удовлет¬
воряют соотношению Н^у(А2 ^В2х) = Нх 7 (х), получаем, что А 2 = 0 и
В2 = 21//Тогда из соотношений (82), (47) и (48) вытекает, что
lim
И— “>
lim
п -* °°
= ?1/7
Ь„
Взяв п(к) - 2*, мы можем переписать приведенные выше соотношения
в виде
lim	=
Нт-22^=2^.
fc -* «> Ьп (к )
(83)
Взяв ап (о j
= 0 и записав
ап(к) _
а,an(j) _
Ъп(к)
7=0	Ьп(к)	/=0
м
к - 1
=	V
.. + S ... = Z ! +	,
/=о
/=/V/+1
1 ~~ д”</) =
I	^л(/) Ьн(к)
(84)
и
мы подберем М таким образом, чтобы для любого е > 0 и для всех / > М
выполнялось неравенство
ММ) - <М/)
М/)
Это можно сделать, учитывая соотношения (83). С другой стороны, по¬
скольку у > 0 и 2“1/7 < 1, из второго предельного соотношения (83) сле¬
дует, что для любого 7, удовлетворяющего условию 2-1^7 < q < 1, выпол-
71

няется неравенство
bn {к)
где С > 0 — подходящим образом выбранная константа. Отсюда при любом
фиксированном Мполучаем оценку
I S, \ <CMqn^-n(M\
правая часть которой стремится к нулю при к -+ Далее,
|S2 |<е *S 1 Cqn(/c)-n(')<C€ S q'=-^_.
/ = м+1	r=o	~Q
Из этих оценок и соотношения (84) следует равенство
л-*»
Поэтому к равенству (82) для подпоследовательности п = п(к) можем при¬
менять лемму 2.2.2 с Сп — ап, С„ = 0 и Dn — Ьп, что приведет к предельно¬
му соотношению
lim F"«\b„(k)x) = Hlty(x).	(85)
00
»
Из того, что ЬП(к)> 0 иО<Я1)7(л) < 1 для всех х > 0, получаем co(F) =<».
Иначе мы могли бы выбрать такое х > 0, что bn^yx > co(F) при всех к, и это
противоречило бы равенству (85).
Далее, в силу второго из соотношений (83) имеем ^(Л+i) > ^п{к) Для до¬
статочно больших к и ЬП(к) °° при к -> «>. Следовательно, для достаточно
большого t можно определить такое к, что п (к) < Z < п (к + 1), и тогда
F(bn(k)X)^F(tx)<F(bn{k+i)X)	(86)
для х > 0. Неравенства сохранятся, если мы перейдем к логарифмам. Заме¬
чая, что log F (у) для достаточно больших у определен и отрицателен, при¬
меняя неравенства (86) при х = 1 и при произвольном х, получаем нера¬
венства
logF(Z>„(fc)*) logF(rx)^ logF(bn(k^x)
logF(&„(jt+i)f 1o8FW " log^W))
(87)
при достаточно больших t.
Соотношения (85) и (87) не изменятся, если мы определим п (к) как це¬
лую часть величины sk при произвольном 5 > 1. Переходя к логарифмам в
равенстве (85) и используя соотношение (87), имеем
х 7/s < lim inf
t -> oo
logF(rx)
logF(Z)
logF(Ax)
< lim sup

logF(r)
Полагая s -> 1, приходим к равенству
logF(rx)
logF(r)
72

Последнее соотношение эквивалентно соотношению (10). Действительно,
для любого такого, что F (у) >1/2, выполняется равенство
logF(j) = log( 1 -(1 -F( j))) = -(1 —F(y)) + р(1 - F(j-))2,
где ( p | < 1. Следовательно, если F (у) < 1 для всех то
logF(^)
		 1
1-FO-)
(у ■‘■«О-
Тем самым завершено доказательство первой части теоремы. ▲
Доказательство второй части теоремы 2.4.3. Предпо¬
ложим, F(x) такова, что существуют последовательности ап и Ьп > 0 ве¬
щественных чисел, для которых выполняется предельное соотношение
1цп Fn(an + Ьлх) = Я2 7(х).	(88)
п -* °о
Покажем вначале, что величина co(F) конечна. Вновь обратимся к теореме
2.2.1. Достаточно рассмотреть случай т = 2. Из соотношения
^2,у(^2 +	= Я2>7(х)
следует, что А2 = 0 и - 2^7, поэтому равенства (47) и (48) можно те¬
перь записать в виде
lim ~ Д” = 0, lim -^-= 2 ~1/7 (у > 0).
„-►оо bn
Таким образом, для подпоследовательности п(к) = 2к будут справедливы
соотношения
lim	-д"(*) =0 lim + O	(7>0).	(89)
^-►оо Ьп(к)	к^»°° Ьп(к)
Существенное отличие между равенствами (83) и (8.9) состоит в том, что
если второй из пределов (83) был больше единицы, то второй из пределов
(89)	меньше единицы. Отсюда сразу выводим, что Ъп^ 0 при к ■+ оо.
Легко также проверить, что выполняется соотношение
ап(к+т) ~ ап(к) "*0	(к ->оо, т ->оо),
в силу которого аП(к) при к оо сходится к некоторому конечному чис¬
лу а. Имеем также
Ас-*ор Ьп(к)
Применима, следовательно, лемма 2.2.2, которая позволяет в соотношении
(88) для п из нашей подпоследовательности и (к) заменить константы.
Приходим к равенству
lim Fn«\a + h„(Jt)x) = W2>7(x).	(90)
/г-* оо
Из соотношения (90) и равенства Я2>7 (0) = 1 выводим, что F (а) - 1.
Отсюда следует неравенство cj(F) Более того, можно показать, что в
73

действительности cu(F) = а. Это равенство получается, если учесть, что из
предельного соотношения bfl0 при к -> » и из неравенства Н2 у (х) < 1,
справедливого для х < 0, следует, что F (х) < 1 для х < а. Соотношение
(90)	не изменится, если определить п(к) как целую часть величины sk при
произвольном s > 1, и это соотношение при таком выборе п(к) можно
свести с помощью преобразования F*(x) = F (а - 1/х) (х>0) к равенству
(85), в силу которого, как мы уже видели, функция F *(х) удовлетворяет
равенству (10), что и требовалось доказать. ▲
§ 2.5. Доказательство третьей части теоремы 2.4.3
Поскольку доказательство этой части затянуто, то мы посвящаем ему це¬
лый параграф. Разобьем доказательство на несколько шагов, некоторые из
которых будут представлять самостоятельный интерес. Как отмечалось
раньше, нам нужно доказать только необходимость условий теоремы. Мы
начнем с предположения о существовании таких последовательностей Ап и
Вп > 0, для которых
(91)
Нужно вывести, что из этого утверждения следует справедливость соотно
шений (15) и (17).
При доказательстве мы будем использовать функцию
(92)
G*(x) = sup{y: F(y)<l- x} (0<х<1).
Ill а г 1. В соотношении (91) можно взять
(93)
Не очень строгие рассуждения показывают справедливость приведен¬
ного утверждения. Действительно, полагая х = 0 в соотношении (91),
находим Fn(An) ~4/е~(1 - 1/и)”, поэтому F(An) ’’близко” к 1 - По¬
лагая х = 1 в соотношении (91), мы получим
Fn(X„+£J~exp(--Wl —Г.
е / \ не /
Последнее соотношение ’'подсказывает" нам вторую из формул (93)
(вспомним лемму 2.2.2, из которой вытекает, что некоторые асимптоти¬
ческие формулы для центрирующих и нормирующих констант можно за¬
менить соответствующими равенствами) . Однако, чтобы сделать дока¬
зательство строгим, нам нужны аккуратные оценки. Если мы хотим при¬
менить лемму 2.2.2, то мы должны показать, что из соотношения (91)
следуют равенства
И-ос	Вп
(94)
Для доказательства этих равенств отметим, учитывая обозначения (92)
74

(95)
И (93),что
F(an) < 1 - 1/и < F(an + 0).
С другой стороны, из равенства (91) при х“0 следует, что для произ¬
вольных е > 0 и т? > 0 мы можем выбрать такое , что
Fn(An - В„€)<Я3,о( е)+7|> Гп(Ап + В«е) >773,о(е) - П	(96)
для всех «	я0.
Для того чтобы иметь возможность сравнивать величины, фигурирующие
в неравенствах (95) и (96), мы выведем из соотношения (96) справед¬
ливость при надлежащем выборе величин сиг? неравенств
Fn(An-B„e)<ll - Д <Fn(An+Bne).
П ( 1
Определим z равенством #3>0(z) = ll	] , т.е.
(97)
Применяя разложение Тейлора
log(l+y) = y + vy2 (М < 1, |jd < 1/2),
мы имеем
7’
где |р**| < 3 для п >2. Поэтому для любого фиксированного е>0 при
достаточно больших п справедливы неравенства - е < z < е. Если возьмем
в соотношении (96) такое т/ > 0, для которого выполнены неравенства
Яз о (е) - Н3 о (z) > т/. Нзо (z) Нзо (- е) > т;,
а это можно сделать ввиду строгого возрастания функции//3 0(х), то при¬
ходим к выводу, что неравенства (97) выполняются при всех достаточно
больших значениях п.
Комбинируя неравенства (95) и (97), мы убедимся, что
Ап - Впе<ап <Ап + Вп€.
Ввиду произвольности е>0 отсюда следует первое из соотношений (94).
Второе из этих соотношений получается аналогично, если положить х ~ 1
в равенстве (91). Первый этап доказательства завершен.*
111 а г 2. Пусть F(x) принадлежит области притяжения функции рас¬
пределения Н3 о(х). Тогда для любого вещественного х выполняется
равенство
1-Г(г + хЛ(0)
lim 		 е
t-ufF") 1 - F(t)
где
Л (0=6’*
1 - ^(0
е
-1.
(100)
(99)
75

Равенство (99) почти совпадает с равенством (17) — единственное
отличие состоит в том, что h(г) ФR(г). Мы, однако, покажем позже, что
h(t)jR(t) 1 при t -> со(79 и что функция R(г) может заменить в равенстве
(99) функцию h(t).
Для того чтобы связать функцию h(t) и величины Ьп, определенные
равенством (93), заметим, что функция G* (х/е) - G* (х) при подстанов¬
ке х= 1/л приводит к величине Ьп, а при подстановке х= 1 -F(t) дает
функцию h'(t).
Для доказательства соотношения (99) мы должны показать его спра¬
ведливость для произвольной последовательности 1п, стремящейся к ве¬
личине ca(F) при	Рассмотрим вначале последовательность tn~an,
где величины ап даны соотношением (93). Эта последовательность, оче¬
видно, стремится к си (F) при	Поскольку правая сторона равенства
(91)	положительна при всех х, мы можем переходить при больших зна¬
чениях п к логарифмам. Таким образом, из соотношения (91) вытекает,
что
lim nlogF(tfn + b„x) = - е~х.	(101)
В частности,
lim F(an + bnx) = 1,	(102)
и из равенства (98) следует, что
- log F(a„ + bnx) = - log {1 - (1 - F(an + d„x))} ~ 1 - F(an + bnx).
Мы можем, таким образом, переписать соотношение (101) в виде
lim п [1 - F(an + 6лх)] = е~х.	(101а)
Прих = 0 имеем
и(1 -F(a„))-* 1
(ЮЗ)
и, следовательно, еще одной эквивалентной формой соотношения (101)
является равенство
1 - F(a„ + bnx)
lim	= е
1 - F(an)
(104)
Этого результата будет достаточно для доказательства справедливости
соотношения (99) в случае произвольной последовательности г„, стремя¬
щейся к co(F) при	Рассмотрим такую последовательность. Един¬
ственным образом определяется такое целое т =	для которого
ш(1-Г(гл))<К(/и + 1)(1-Ягп)).
Тогда, с одной стороны,
lim w(l -F(rn))= 1,	(105)
П->оо
а с другой стороны, учитывая соотношения (92) и (93), получаем
ат tn	+ 1
(106)
76

и
Ьщ + ат ~ ат + 1 ^Ь(*п)^Ьт+1 + flm + l ~ длл-
(107)
Если перепишем равенство (104) с т = т(п) вместо и, то из соотношений
(103) и (105) следует, что в знаменателе мы можем заменить величину
ат на tn- Таким образом, мы доказали, что
lim
л-**»
1 ~	+ Ьтх) _
1-ЯГп)
(108.)
(т =m(t„)).
Равенство (108) представляет собой предельное соотношение для рас¬
пределений. Действительно, если мы определим
Fn(z) =
1 -F(z)
1 _ дая z>tn'
1 - F(tn)
для z<,tn,
109)
то увидим, что Fn(z) - функция распределения. Следовательно, равенство
(108) дает нам предельную форму для распределений F„(am + Ьтх), где
По лемме 2.2.2 мы сможем показать, используя лемму 2.2.2,
что из равенства (108) следует соотношение (99), если убедимся в спра¬
ведливости для т = m(tn) равенств
.. ат - fn
lim

л-+« Ьп
= 0,
Л(г„)
lim 		-
Л-*«» Ьт
Для того чтобы вывести эти предельные соотношения, достаточно, учи
тывая неравенства (106) и (107), показать, что
ат + 1 “
lim

Л-*» Ьт
= о,
,. + 1
lim

Л-оо bm
= 1.
(ПО)
Равенства (ПО) непосредственно следуют из соотношений (91) и (102),
если в равенстве (91) взять А„ = ат и Вт = Ьт, где константы ат и Ьт
определены формулами (93). Комбинируя соотношения (91) и (102),
мы выведем, что
lim Fm(am + bmx} = lim Fm(am + X + bm + ix)=H3tQ(x).
m-*00	m—
Из последнего соотношения, используя лемму 2.2.3, получаем равенства
(110), и доказательство второго этапа завершено, а
Ш а г 3. Пусть F{x) принадлежит области притяжения функции Н30 (х),
и пусть zn>0 - последовательность, стремящаяся к нулю при
Тогда для функции G*(x), определенной формулой (92), при всех и>0
справедливо предельное соотношение
G*(znu) — G*(zn)
lim		 - logu.
G'(zn/e)-G'(zn)
(1П)
Вначале мы покажем справедливость равенства (111) при zn = \/n (п =
= 1,2,...).
77

Пусть у>1. Тогда, если в равенстве (91) взять Ап = ап, Вп - Ьп и х-
j logs, то мы получим, что
lim Fn(an + 76,1 logs) = ехр (exp (-у logs)) = exp(-s~y).	(112)
П ->ж-
С другой стороны, если для некоторых последовательностей а* и£* >0
вы пол ияется соотношение
lim Fn(a* + b*y) = ехр (-Г Д	d 13)
п -г «
то мы, действуя так же, как и на первом этапе доказательства, убедимся,
что в качестве центрирующих и нормирующих констант можно взять
Тогда из леммы 2.2.3 будет следовать соотношение
Z>„logs
представляющее собой равенство (111) при u = l/s<l и zn = 1/и. Если
равенство (111) имеет место для zn = 1/л, то оно будет справедливо и
для любой последовательности zn = 1/шл, где тп - произвольная после¬
довательность положительных целых чисел. Следовательно, мы показали
для произвольной последовательности zn -> 0, что справедливо равенство
(111) для 0 <и<1, если вместо zn взять величины 1/т„,гдет„ пред¬
ставляет целую часть числа l/z„. Вместо чисел 1/>п„, близких к z„, мы
можем взять сами величины zn. Это легко следует из неравенств, подоб¬
ных неравенству (107), с той только разницей, что величины т Hh(tn) за¬
меняются соответственно величинами тп и <7*(z„u) - G*(zn).
Для того чтобы избавиться от ограничения и < 1, учтем справедливость
равенства (111) при u = 1. Если же и > 1, то, полагая = tnu, получаем
G\tnu) G*(tn) = G*(t,',) - G* (t„/u)
G*(tn/e) - G*(t„) G*(t„lue) -
=	~ G'<M . G*(M - G*(t„/u)
G-(^) - G’dn/e) : 6”(^) - G*(tnle) '
Теперь мы можем обратиться к равенству (111), в котором и заменено
на 1/u < 1, предварительно добавив разность G*(t„) - G*(t„) в числитель
второй дроби. Таким образом, соотношение (111) будет выполняться
и для и > 1. Доказательство третьего этапа завершено, а
Шаг 4. Пусть Е(х) - непрерывная и строго возрастающая при всех
х0 <x<u)(F) функция, где - °°<Хо	и пусть Е(х) принадлежит
области притяжения функции распределения //3 0(х). Тогда будут спра¬
ведливы соотношения (15) и (17).
Положим g(z) = G*(z/e) - G’*(z). Мы покажем, что при 0 <х< 1 спра¬
ве дли в о неравенство
f g(z)dz <	(114)
о
78

Из соотношения (114) будет следовать, что и функция G’(z) интегриру¬
ема на интервале (0, х). Тогда функция
к(х)= — fG*(z)dz - G*(x)
X о
будет определена на интервале (0, 1). Замечая, что
k(x)-R(t)	(115)
для х = 1 -F(r), мы убедимся, что интеграл в соотношении (15), конечен,
так как конечна функция к(х).
Докажем теперь соотношение (114). Подстановка t = 1 /и приводит к
соотношению
f g(t)dt =	/ v2g(—Ъи.
о	1/х	\ v /
Обозначим	(и) = и"2#(1/и). Используя соотношение (111), получаем,
что для и > 0 справедливы равенства
.. g(zu) „	G'(zu/e}- G'(z) + G'(z)-G'(zu)
lim		 lim

z-o g(z) z-o G*(z/e) - G*(z)
и
= - log — + logw = 1.	(116)
e
Тогда для функции gx (и) имеет место следующее соотношение:
(4«)	(4i))"2g(l/(4i?))	1
lim	= lim	;	=—,
и— gl(u) и	U 2g(l/u)	16
из которого следует справедливость при всех и >и0 неравенства
g\ (4v) <	(v).	(117)
О
Ввиду непрерывности функции gx (у) и ее конечности на любом интервале
О <а <Ь < °° для доказательства неравенства (114) достаточно показать,
что
4* + 1
Jgi(u)du = £ f g1(u)du<oo	(118)
4	4
для некоторого фиксированного m > 1. В силу соотношения (117) имеем
4fc + 1	4к	1 4к
f gi(v)dv = 4 J g1(4z)dz<~ f gx(z)dz.
4k	4*-1	2 4k -1
По. индукции приходим к неравенству
4& + 1	/ J \* ~ni 4m + 1
f gJ^duCl—)	f	gi(v)dv,
4k	\z/	4m
где m— фиксированное целое число такое, что 4"' > (величина и0 была
79

определена в соотношении (117)). Мы убедились, что сходится ряд, фигу¬
рирующий в соотношении (118), и, следовательно, имеет место неравенство
(114). Как уже отмечалось ранее, это приводит к справедливости соот¬
ношения (15). Для доказательства соотношения (17) мы покажем, что
R(t)/h(t) -> 1 при t -> co(F). где функция h(t) определена в формуле (100).
Применение леммы 2.2.2 к функции Fn(z), определенной формулой (109),
позволит свести равенство (99) к соотношению (17).
Заметим, что g(z) = h(t), если z = 1 - F(t). Остается доказать справед¬
ливость соотношения
*(0	k(z)
lim	= lim

r-w(F) h(t) z-o g(z)
Первое равенство следует из определения входящих в него величин. Оста
ется проверить последнее равенство, которое получается из следующих со¬
ображений. После подстановки zs = y мы получаем
1 Z	1
k(z) = — fG*(y)dy - G*(z) = f G*(zs)ds - G*(z\
z о	0
и поэтому имеет место равенство
*(?)_ *
g(?) О
G’(zs)-G*(z)
G'(z/e) - G*(z) S
Поскольку приведенный выше интеграл строго монотонен как функция
от s, из теоремы Лебега о мажорируемой сходимости (теорема П. I. 5 из
приложения I) и соотношения (111) вытекает, что
£(z)	1
lim	 = f (—iogs)ds - 1.
z-o g(z) о
Тем самым завершено доказательство четвертого этапа, а
Шаг 5. Пусть F(x) принадлежит области притяжения функции рас¬
пределения Яз>0 (х). Тогда имеют место соотношения (15) и (17).
Мы подошли к последнему этапу доказательства третьей части теоре¬
мы 2.4.3. Нам нужно показать, что существует такая непрерывная строго
возрастающая функция Я*(х), принадлежащая области притяжения функ¬
ции распределения H3Q (х), для которой справедливо равенство
(И9)
Если такая функция действительно существует, то для нее, как мы пока¬
зали на четвертом этапе доказательства, выполняются соотношения (15)
и (17). Кроме того, из соотношения (119) следует, <гго для любого е>0
и всех х > х0 = х0 (е) выполняются неравенства
(1 _ е)(1 _ f*(x)) < 1 - Их) < (1 + е)(1 - Я*(х)).	(120)
Интегрируя правое из неравенств (120), получаем, что из справедливости
соотношения (15) для функции F* вытекает его справедливость и для
функции F. Далее, если проинтегрируем оба неравенства (120), то убе-
80

ДИМСЯ, что
lim	[1 -F(x)]dx/^\'.-F*(x)\dx) = 1.	(121)
f--*u>(F) t	' t
Поскольку из равенства (119) следует, что со(F) = cj(F*) , последнее пре¬
дельное соотношение можно переписать .в виде
lim 	= 1,
R(t,F*)
где R(t,F) и R(t, F*) обозначают функцию из выражения (16) , вычислен¬
ную соответственно при подстановке F и F*. Еще одно обращение к лемме
2.2.2, сформулированной для функции Fn(z), которая определена выра¬
жением (109), показывает, что равенство (17) для функции F(x) можно
доказывать не только в его обычном виде с функцией R(t,F), но и когда
R(t,F) заменена на функцию R(t,F*). Справедливость же равенства (17)
с функцией R(t, F*) следует из соотношения (119) и утверждения, сфор¬
мулированного на четвертом этапе доказательства.
Остается установить существование функции F*(x) с необходимыми
свойствами.
Пусть ГЬГ2, . . . - точки непрерывности функции F(x). Для каждой
точки tj построим замкнутые интервалы [z7, $7], где s7 задаются с по¬
мощью функции Л(0> определенной равенством (100), следующим об¬
разом. Вначале выберем последовательность х7=х(г7)>0, стремящуюся
к нулю, если ^ стремится к <o(F) (если cc(F) = oo> то можно взять х7 =
= 1/г7, а если величина co(F) конечна, то в качестве х7 можно взять co(F) -
— tj). Возьмем = ti+xxh(ti). Затем последовательно определим величи¬
ны Sj. Если <t2 < $i, то возьмем s2 ~ t2. В противном случае возьмем
s2 = t2 +x2h(t2). Аналогично, если»уже определены величины siys2i . . .
. . . , sj_ i, то возьмем sj = tj в случае, когда tj принадлежит одному из ин¬
тервалов (tk, sk) (1 < к </ -1), и определим Sj = tj + Xjh(tj) в противном
случае. Оставим те интервалы, для которых выполняется неравенство
tj<Sj. Их можно расположить таким способом, чтобы крайние точки tf
возрастали. Выберем в этой последовательности любое /0, для которого
> 0, и отбросим те члены последовательности, для которых выпол¬
няются неравенства tj < tjo. Тогда мы получим последовательность интер¬
валов [tjm, Sjm ] (т = 0, 1, . . . ) таких, что tjm <	+ если точка разрыва
функции F(t) больше, чем , то она принадлежит одному из интервалов
Определим теперь Ff(r) как непрерывную функцию со следующими
свойствами. Пусть FJ (t) — произвольная непрерывная строго возраста¬
ющая при t < tjQ функция. Далее, пусть F*(t) = F(r), если t ^(tj ,Sj ) ни
при каком т > 0. На интервалах [tj , s7nJ определим F*(r) как линейную
функцию. Обозначим через Т объединение всех интервалов	S/ m 1 •
Тогда F*(Г) непрерывна и 1 - F(t) = 1 - FJ (Г) для всех t^T. Далее пока¬
зываем, что
81

т.е. получаем, что для tj < t < Sj справедливы неравенства
С другой стороны, поскольку F — неубывающая функция, то на том же
интервале выполняются неравенства
Рассмотрев отношения выражений, входящих в неравенства, и устремив
t к co(F), видим, что из соотношения (99) следует равенство (119) с
функцией Ff (г) в качестве F*(0 (в равенстве (99) можно брать х;-, стре¬
мящиеся к нулю, так как обе части этого предельного соотношения убы¬
вают по х). Функция F*(z) непрерывна, но не обязательно строго возрас¬
тающая. Но мы можем повторить приведенную выше конструкцию для
того, чтобы избавиться от участков постоянства функции F*(t). Таким об¬
разом, мы получим функцию F*(r), которая не только непрерывна, но и
строго возрастает. Эта функция удовлетворяет к тому же соотношению
(П9).
Чтобы показать, что F*(t) принадлежит области притяжения функции
#з,ой, применим соотношения (119) и (99). Из них следует справед¬
ливость равенства
lim
rn-u>(F)
1—(zn + xhn)
(122)
где hn ~h(tn) и функция h (t) определена выражением (100). Получаем,
что для tn таких, что (1 — F*(/n))~1 = т является целым числом, взяв
tn = ат и hn = bm , можно соотношение (122) переписать в виде
lim т [1 - F*(am +Z>mx)] =ех.
Из* следствия 1.3.1 заключаем, что F*(х) принадлежит области притя¬
жения функции Яз о (х). На этом заканчивается доказательство пятого
этапа, а вместе с ним и всего третьего пункта теоремы 2.4.3. А
§ 2.6. Примеры
Мы приведем ряд примеров для того, чтобы проиллюстрировать резуль¬
таты предыдущих параграфов.
Пример 2.6.1. Пусть функция распределения F(x) имеет вид
1
F(x) ~ 1	(х > <?).
log X
В тексте примера 1.3.3 мы обещали показать, что для такой функции
F(x) не существует последовательностей а п и Ьп > 0, для которых вели¬
чина (Zn - an)/bn могла бы иметь предельное распределение. Теперь этот
факт можно вывести, применяя теоремы 2.4.1 и 2.4.3. По теореме 2.4.1
для того, чтобы получить предельное распределение для величины
(Zn an)/bn, необходимо убедиться, что функция F(x) удовлетворяет од¬
ному из критериев теоремы 2.4.3. Поскольку соЯ7)^00, то нужно приме¬
нять либо первый, либо третий пункт этой теоремы. Однако мы не можем
82

применять третий пункт теоремы 2.4.3, так как не выполняется условие
(15), требующее, чтобы была интегрируемой в нашем случае функция
1/logx. С другой стороны, мы не можем использовать и первую часть
теоремы, поскольку при х > 0 выполняется соотношение
1 - F(tx)	log t
Iim 	— = Um	2	= i,
t-*™	\ - F(t) r-*oo log tx
что противоречит условию (10).д
Пример 2.6.2. Пусть , Х2,..., Хп — одинаково распределенные
случайные величины с общей функцией распределения F(x) из предыду¬
щего примера, и пусть y; = log ХД1 </<и). Тогда максимум Z„ вели¬
чин У], Y2,... , Yn имеет асимптотическое распределение в смысле опре¬
деления (6).
Действительно, для х> 1 справедливы следующие равенства:
Р{Уу<х) =P{X;-<e*}= 1- 1/х.
Мы видим, что соотношение (10) выполняется с 7 = 1. Таким образом,
из теоремы 2.2.1 следует выполнение для х> 0 соотношения
P{Z* <пх}-> ехр(- 1/х).	(123)
Этот факт, однако, не имеет большой практической ценности с точки зрения
изучения величины Z„, т.е. максимальной из величин Л)(1 </<л). Из ра¬
венства^ = logZn и соотношения (123) следует приближенное равенство
Р{епу < Zn<enx}~ exp (-1/х)-exp(- \/у)
при 0 < у < х. Например, при у = 1 /2 и х = 15 получаем, что
Р{е"/2 <Z„ <els")~0,80,
где границы для величины Zn слишком далеки друг от друга с точки
зрения любого их практического использования. Если мы, например, возь¬
мем п = 10, то предыдущее приближение сводится к соотношению Р {148 <
< Zjo < 1,394 X 106*}	0,80. Полученные границы для величины Z10,
конечно, не имеют практической ценности. Этот пример показывает, что
если логарифмы наблюдаемых величин имеют хорошую асимптотику, то
это не всегда верно для самих наблюдений. ▲
Пример 2.6.3. Статистическая выборка получена для некоторой
случайной величины X. Экспериментатор считает, что величина X имеет
стандартное нормальное распределение, и использует для проверки этого
факта некоторый критерий согласия. Предположим, что критерий под¬
тверждает его гипотезу, но истинное распределение величины X совпадает
с распределением величины о"1 (Уст - 1), где У - логнормальная слу¬
чайная величина (мы используем определение § 2.3) и о настолько мало,
что использование статистического критерия не позволяет выявить раз¬
ницы (см. упр. 9). Сравним гипотезу экспериментатора с истинной ситуа¬
цией с точки зрения распределения величиныZso, если о= 0,1.
Экспериментатор считает распределение нормальным. Поэтому он вы¬
числяет величины д50 и b5Q, задаваемые выражениями (59) и (60) соот¬
ветственно, получает /z50 = 2,1009 и д50 = 0,3575 и делает вывод, что
P{z5<> < 2,1009 + 0,3575 х}~ ехр (- ех).
83

Однако для того, чтобы найти точное выражение, мы должны рассматри¬
вать логнормальное распределение. Пусть Z& — максимальная из 50 неза¬
висимых одинаково распределенных логнормальных величин. Из третьей
части § 2.3 выводим, что
P{Z5o < 8,1734 +2,9220 х}~ exp (-е’*).
При нашем предположении справедливо равенство Z’o =(0,1 Zx + I)10, и
мы видим, что
P{Z50 < 10(8,1734 + 2,9220 х)0,1 - 10Ь ехр (-е'х).
Следовательно, если мы вычислим Р {Zso < 2,6} , пользуясь последним
выражением, то найдем х = 0,6544 и P(Z50 < 2,6} ~ 0,5947. Эксперимен¬
татор же,получит, что Р {Z50 < 2,6} ~ 0,7807. Важно подчеркнуть, что су¬
щественная ошибка экспериментатора не вызвана небрежностью, а обя¬
зана тому факту, что критерии согласия плохо различают два равномерно
близких друг к другу распределения, а максимумы для различных распре¬
делений могут существенно различаться. Мы вернемся еще раз к обсужде¬
нию этого вопроса в главе 3.А
Пример 2.6.4. Рассмотрим случайную величину X — долговечность
некоторого изделия. Очевидно, что X > 0 и функция распределения
F(x) ?= Р{Х<х}удовлетворяет условию F(0) = 0. Пусть Xt, Х2,...,	—
независимые реализации величины X. Первая претензия к продукции поя¬
вится в момент времени Wn, совпадающий с минимальной из величин
Xj. Проанализируем распределение величины
Если величина (Wn - cn)/dn при некотором выборе констант спЪ dn>0
имеет предельное распределение, то из теорем 2.4.2 и 2.4.4 следует, что пре¬
дельными функциями распределения могут быть только функции
£2>7(х) или L3 о(*)• Выбор одной из этих двух функций зависит от того,
каким образом функция распределения F(x) стремится к нулю при х -►+ 0
(заметим, что условие (32)' автоматически выполняется, так как a(F) =
= 0). Выбор функции L2 ,?(х) диктуется соотношением
F(rx)
lim —— = х*	(х>0, 7>0),	(124)
r-* + o F(t)	*
а выбор функции Z3>0W — соотношением (34). Поскольку специалисты-
прикладники более склонны допускать выполнение соотношения (124),
чем (34) (и многие, хотя и не все, часто используют непрерывные функции
F(x), удовлетворяющие равенству F (0) = 0 и соотношению (124)), то
функция
(х) = 1 — ехр(- х7) (х > 0, 7 > 0)
(125)
стала общепринятой предельной функцией распределения минимума долго¬
вечности изделий. (См. в § 3.12 дальнейшее развитие этого аргумента для
оправдания того факта, что распределение времени до выхода из строя
системы с большим числом компонент определяется функцией распреде¬
ления Z2 7 (х).) Семейство функций распределения L 2 ((х — а)/Д), где
а и /3 > 0 - произвольные параметры, определяет распределение Вейбулла.
В последнее время это семейство стало одним из основных распределений,
применяемых в технике, что частично, хотя и не полностью, определяется
упомянутыми выше причинами. А
84

Функция L2<1(х) представляет стандартное экспоненциальное распреде¬
ление. Мы уже знаем, что если F(x) — экспоненциальная функция распре¬
деления, то такой же при любом фиксированном п является и функция
распределения P{Wn <х}, а следовательно, и ее предел при соответствую¬
щей нормировке. Имеются, однако, и некоторые другие функции распре¬
деления F(x), удовлетворяющие равенству F (0) = 0 , для которых
Z2,i (*) является предельной функцией распределения величины
(И'л - cn)ld„. Возьмем в качестве примера функцию F(x) = 2Ф(х) - 1, где
Ф(х) — функция распределения стандартного нормального закона. Исполь¬
зуя правило Лопиталя, убеждаемся, что соотношение (124) выполняется с
7=1. Поэтому, учитывая теорему 2.1.5, мы можем взять сп = a(F) = 0 и
= Ф”1 (0,5 + 1 /(2 л?)). При таком выборе dn получаем
P{Wn<dnx}-\ — е~х (х>0).
Пример 2.6.5. Для быстро возрастающей подпоследовательности
пк положительных целых чисел можно построить непрерывную функцию
распределения F(x) такую, что при подходящем выборе констант а к и
Ьк > 0 величина (Z„k ~ ак)!^к будет распределена асимптотически равно¬
мерно на интервале (0,1). Другими словами, если величины А^ , Х2,..., Хп
независимы и имеют общую функцию распределения F(x), то
г 0 длях< 0,
lim P{Znk<ak + bkx} = |х для0<х<1,	(126)
11 длях> 1.
Прежде чем заняться построением такой функции F(x), установим со¬
отношения между этим примером и теоремами, дающими асимптотические
распределения величины Zn. Наш пример показывает, что если не требовать
существования предельного распределения величины Zn в смысле соотно¬
шения (6), а искать пределы вида (126) для специфических подпоследо¬
вательностей пк, то в качестве предельных распределений величин Zn могут
фигурировать функции распределения, отличные от функций Я1/У(х),
Н2>7(х) и Н30(х). Этот интересный магматический факт не оказывает
никакого отрицательного эффекта при практическом использовании теории
асимптотических экстремальных значений. Действительно, во всех практи¬
ческих ситуациях мы увеличиваем объем выборки без скачков от одного
значения к другому, существенно большему.
Построим функцию F(x) для некоторой последовательности пк. Пусть
пк = 10w<*\ где т(к) = 2* + 2fc_1 {к > 1). Возьмем функцию F(x), сосре¬
доточенную на интервале (0,1), т.е. такую, что F(0) = 0 и F(l) = 1. Для то¬
чек 0< х< 1 определим F(x) следующим образом. Разделим интервал
(0, 1) на интервалы Ik = [1 - 2~\ 1 - Тк~ = 0,1, . ..) и определим F(x)
на каждом интервале 1к равенством
F(x) = (aft+0fcx)*/nk (х€/*, 0*>О, Л = 0,1,2
Необходимо выбрать ак и0к так, чтобы гарантировать непрерывность
функции F(x). Это условие выполняется для последовательностей
“о =0, ак = ик- 2*+1(и* - и*)(1 - Тк) (*>1);
0* = 2*+,(v*- u*) (fc>l),
85

где
.	к + 1 л к
ик =(1	Ю~2	УК,	и*	= (1	-10”2	)
/	1	V/".
и /30 = 2la:i + —	)	. Убедимся также, что соотношение (126) имеет
место с \	2	/
ajk	1
**=	>	Ьк = ~	(к>	1).
Рк	Рк
Другими словами, мы должны показать, что для приведенных выше значе¬
ний ак и Ьк при к выполняется соотношение
Fnfc(afr + Z^x)-► х (0<х<1)	(126а)
(из монотонности функции F будет следовать, что пределы при х < 0 и
х > 1 равны 0 и 1 соответственно). Из определения получаем, что если
х - ак
то Fn*(ak + Ьк х) = х. Для доказательства соотношения (126а) осталось те¬
перь показать, что (х - &к)ЦЗк £1к для достаточно больших к при любом
х - ак
О < х < 1. Соотношение же 	G 1к эквивалентно неравенствам
&к
ик <х <ик, которые справедливы для достаточно больших к при любом
О < х < 1, поскольку при к-*°° имеют место соотношения
vk = exp	log( 1 - 1СГ2 )] ~ exp(-10“2	* ) ~1
и
uk = exp [nk iog( 1 - 10"2 )] ~~ exp( Ю2 )	0.
Эти соотношения доказываются с помощью разложения функции log (1 -z)
в ряд Тейлора и подстановки значений пк. Тем самым мы доказали спра¬
ведливость утверждения (126). ▲
§2.7. Дальнейшие результаты, связанные с областями притяжения
Мы приведем, главным образом из исторических соображений, доказа¬
тельства следующих двух теорем, дающих достаточные условия принадлеж¬
ности абсолютно непрерывных функций распределения областям притя¬
жения соответствующих предельных распределений экстремумов.
Теорема 2.7.1. Пусть F(x) - функция распределения, для которой
со(/9 = и пусть при некотором хх и всех х > хх существует производ¬
ная f(x) = F '(х). Если
lim
X -* 00
*f(x)
1 - F(x)
= 7,
(127)
где 0 < у < то функция F(x) принадлежит области притяжения функции
распределения Нх 7(х).
86

Доказательство. Выведем нашу теорему из теоремы 2.1.1. Пусть
xf(x)	,
gM =
1 - Е(х)
(g(x) определена для х> х{). Для х > Xt предыдущее соотношение можно
переписать следующим образом:
1 _ F(x) = Cexpj- f	dy |,
где С > 0 и a >Xj - подходящим образом выбранные константы. Тогда
для t >Xj и таких х> О, для которых tx >Xj, справедливы равенства
1 - F(tx)
1 - ПО
g(y)
У
Если зафиксировать х > 0 и устремить t к бесконечности, то по теореме
о мажорируемой сходимости находим
lim
г-* °°
1 - F(tx)
V-F(r)
= ехр(- ?logx) = х“7,
что в точности совпадает с критерием (10) принадлежности Г(х) области
притяжения функции распределения Нх э7(х). Доказательство завершено, л
Учитывая теоерему 2.1.2, соотношение (127) можно легко преобразо¬
вать к критерию принадлежности области притяжения функции распреде¬
ления Я2 (х) таких функций/^(х), у которых величина co(F) < 00 (см.
упр. 11). Для областей притяжения функции Я3 0(х) мы докажем следую¬
щий результат.
Теорема 2.7.2.Пусть F(x) - функция распределения, и пусть при
некотором Xj и всех хх <х <co(F) существуют производные f(x) = F'(x)
и F”(x). Пусть, кроме того, выполняется условие
d ( 1 - F(x) \
lim V —г°-	<128)
x-gj(F) dx \	/(х)	/
Тогда F(x) принадлежит области притяжения функции Н3^(х).
Доказательство. Покажем, что условия (15) и (17) теоре¬
мы 2.1.3 выполняются, если имеет место соотношение (128). Тогда из тео¬
ремы 2.1.3 будет следовать наша теорема.
Займемся вначале проверкой условия (15). Заметим, что если co(F)< °°,
то соотношение (15) справедливо. Остается рассмотреть случай со(/9 = о°-
Для х > X] рассмотрим функцию u(x) = (1 -F(x))//(x).Учитывая равенст¬
во (128), можно выбрать такое вещественное z > Xt, что при всех х> z бу¬
дет выполняться неравенство ItZ(x) К 1/2. Тогда для у > z справедливы
соотношения
/ (1 - Е(хУ) dx = f u(x)f(x) dx = - м(х)(1- F(x))|£=2 +
Z	Z
+ / u'(x)(l - F(x)) dx <u(z)(l - F(z)) - W0’)O - TOO) +
4 _L / (1 ... F(x))dx.
2 2
87

Поэтому имеет место неравенство
lim sup J (1 - F(x)) dx <2 u(z) (1 - F(z)),
y~> °° t
и соотношение (15) выполнено.
Вернемся теперь к условию (17). По определению, для х, < t < у спра¬
ведливо равенство
у 1
/ ——- dx = log
г и(х)
1-F(Q
1-FCv)
С другой стороны, поскольку и (х)> 0 и непрерывна, из теоремы о среднем
значении следует, что
1
Ш)
у
J'
t
	1_
М(х)
dx = (у - О
(К*<А
Отсюда, взяв у = t + sR (?), где R (?) - функция, определенная выражением
(16), получаем равенство
log
1-F(Q
1 - F(t + sR(t))
^(0
« (I)
(t<£<t+sR (?))
(мы рассматривали s > 0, но все оценки останутся в силе и для $ < 0). Оста¬
ется только показать, что
R(t)
lim	——- = 1 (t < < t + sR (?)).
r^cu(F) u(£)
Убедимся, что каждый множитель в правой части равенства
я (О =£Ю ц(О
и (?) и (?) и (5)
стремится к единице при ? ■+ oj(F) . Используя разложение Тейлора
«а)=и(?)+а-?)И'(77)	(?<??<«,
мы получаем
и (?)	и (Г)
и'(п).
Для t< %<t+sR(t)
имеем неравенство
а (О
*(0
<5	 ,
*(0
и выражение
остается ограниченным при фиксированном 5, если
ограничено выражение R (t)/и (t). Из соотношения (128) следует, что
м' (т?) -> 0 при t -* со (F). Поэтому, если мы покажем, что R (t)/u (t)	1 при
t gj (Г), то убедимся, что и (£)/м (0 -► 1 при t -> со (F), г < £ < г + sR(t).
Соотношение R (t)/u (/)-*! при t ы (F) можно вывести, используя опре¬
88

деление (16) и условие (128), следующим образом. Ввиду справедливости
равенства
u>(F)	со (F)
f (1O'))dy = u(O(l-F(0)+У u'(y)(l-F(y)) dy
t
Г
имеем
(F)
к(0
/	и'(у) (1 - F(у)~) dy
t
= ]
I +
и(Г)
U(O(l-F(r))
Используя правило Лопиталя, приходим к следующим равенствам:
(R (О А	(О (1-^(0)
lim (	 — 1 = lim

\ и (t)	/	(r)(l -F(r))
r->w(F)	1 -u (0
Доказательство теоремы завершено, a
Соответствующие теоремы для минимума приводятся в упр. 14.
Заключительная часть параграфа посвящена анализу моментов распределе¬
ния в случае, когда F (х) принадлежит одной из областей притяжения. Пусть
F (х) принадлежит области притяжения функции Нj 7 (х) или области при¬
тяжения функции H3rQ (х). Поскольку, по теореме 2.1.2, случай с функцией
(*)в качестве предела сводится к случаю с функцией Нх >7 (х) с по¬
мощью преобразований, мы исключим фукцию Н2,7 (х) из нашего рассмот¬
рения.
Пусть X - случайная величина с функцией распределения F (х). Опреде¬
лим величину
= Е(Х+)а=/ xadF{x\
о
где У* = max (О, X) и а > 0. Нашей целью является анализ множества
Мр = {а: а > 0, zhJ < 00}
для функций F(x)b зависимости от их принадлежности соответствующим
областям притяжения.
Очевидно, проблема не будет иметь смысла, если мы попытаемся обсуж¬
дать вопрос о существовании конечных моментов та самой величины X,
предполагая лишь, что ее функция распределения F (х) принадлежит облас¬
ти притяжения либо функции Нх 7 (х), либо функции 0 (х). Действитель¬
но, критерии принадлежности этим областям притяжения не требуют ника¬
ких ограничений на F (х) при х -> -о© и, таким образом, всегда можно так
изменить F (х), что никакие моменты не будут существовать.
Докажем следующую теорему.
Теорема 2.7.3. Если функция распределения F(x) принадлежит облас¬
ти притяжения Hi >7 (х), то множество Мр совпадает с открытым интерва¬
лом (0, у).С другой стороны, для любой функции F(x) из области притяже¬
ния Н3 0 (х) множество Мр совпадает со всей положительной вещественной
полупрямой.
89

Доказательство. Заметим, что интегрирование по частям приво¬
дит нас к формуле
1	00
О	1
= / xadF(x) + 1 -F(l)+aJ ха~ 1 (1 -F(x))dx.	(129)
О	1
Поэтому т*а <°° тогда и только тогда, когда последний интеграл в выраже¬
нии (129) конечен.
Пусть теперь F(x) принадлежит области притяжения Нх 7 (х).
По теореме 2.1.1 и первому пункту теоремы 2.4.3 это утверждение экви¬
валентно соотношению.(10). Следовательно, для любого е > 0 можно найти
такое вещественное Го, что Для всех t > t0 выполняются неравенства
(1 — е) 2~ 7 (1 — F(r)) < 1 - F(2r) <(1 + е)2 _7(1 -F(0).	(130)
Обозначим
2* + 1
Mk=Sk ха~' (\-F(x))dx
2
и запишем следующее равенство:
f ха~1 (1 -F(x)) dx = f ха~ 1 (1 -F(x)) dx + S Mk,	(131)
1 1 * = "»
где фиксированное целое т таково, что 2т > г0.
После подстановки х = 2у мы получим, что
2*
Мк = 2а $ уа ~ 1	— F(2y))dy,	(132)
2*-1
и, таким образом, из соотношения (130) следуют при к > т неравенства
(1 - е) 2а - 7 Мк_ ! <Мк <(1 + е) 2° ~У Мк_,.
Отсюда по индукции можно вывести соотношения
(1 - е)к т 2<а-Мт <Мк <(1 +e)fc "m 2(а ’7) (fc ~ т)Мт
Ввиду произвольного выбора е>0 заключаем, что соответствующие
интегралы в соотношении (131), а следовательно, и в соотношении (129)
сходятся тогда и только тогда, когда выполняется неравенство а — у < 0.
Тем самым доказана первая часть теоремы.	'
Переходя к области притяжения функции Нзо (х), заметим, что если
co(F)<°°, то неравенство гпа < 00 выполняется при всех а>0. Поэтому
можем считать, что cd (F) = °°. Обращаясь к третьему пункту теоремы 2.4.3,
мьг видим, что в этом случае выполняется соотношение (17). В частности,
для любого фиксированного вещественного s имеет место равенство
lim (г + sR (t)) = °°,
г -* °°
90

справедливость которого для отрицательных s обеспечивает выполнение
соотношения R (t)/t -> 0 (t ->«»). Еще одно обращение к равенству (17)
приводит нас теперь к неравенствам
1 -F(2r)< 1 — F (t + u/?(r))<2e и (1 -F(r)),	(133)
которые имеют место при произвольных и > 0 и достаточно больших t.
Снова обратимся к равенству (131). Из соотношения (132), выбрав т =
= т (и) так, чтобы при t > 2™ выполнялись неравенства (133), получаем
Мк<2а + 1 е~и Мк_1<2(а+1^к-'п} е и<к~т'>Мт.
Поскольку и> 0 было выбрано произвольным, то убеждаемся, что интег¬
рал в левой части равенства (131) сходится, и, следовательно, имеем сходи¬
мость в соотношении (129). Теорема 2.7.3 доказана. ▲
Теорема 2.7.3 весьма полезна для ’’угадывания” ответа на вопрос, какую
из теорем 2.1.1 - 2.1.3 следует применять. Действительно, пусть F (х) -
функция распределения, для которой величина co(F) = °°. Мы должны
решить, какое из трех возможных предельных распределений будет у
максимума Z„, если F(x) - исходная функция распределения. Из теорем
2.4.1 и 2.4.3 следует, что мы можем использовать одну из теорем 2.1.1—2.1.3.
Теорему 2.1.2 можно исключить из рассмотрения, так как со (F) = °°. По¬
этому, если функция F(x) такова, что при произвольном я>0 конечным
является момент порядка а величины Х+, то единственная возможность —
применить теорему 2.1.3. Если это условие не выполняется для всех поло¬
жительных а, то следует обратиться к теореме 2.1.1. Добавим также, что
если Шд = оопри всех а>0, то мы не можем центрировать и нормировать
случайную величину Zn таким образом, чтобы она имела предельное распре¬
деление в смысле соотношения (6).
Теорема применима и в случае, когда (o(F)<<». В этой ситуации мы
должны взять функцию F* (х) = F (со (F) - 1 /х) (х > 0) и действовать, как
указано выше.
Приме р 2.7.1. Пусть
F(x) =	(х>0),
Г (а) о
где Г (а) - гамма-функция (следовательно, lim F(x) --1). Тогда F (х) при¬
надлежит области притяжения функции Н3 $ (х). Действительно, со (F) = °°,
и момент
та = —— jr х^*-1 e~xdx
Г(а) о
конечен при всех а > 0. По теореме 2.7.3 функция F (х) может принадле¬
жать только области притяжения функции 0 (х). У нас имеются два
способа доказать принадлежность функции F (х) области притяжения функ¬
ции распределения Я3 0(х). Используем здесь один из них - применим тео¬
рему 2.7.2. Вычислим производную отношения (1 - F(x))lf(x). Имеем
d Л -F(x)\ =	(1 -F(x))/'(x) = (* -	t
dx \ /(х)	/	f2 (х)	хае~А
91

Применяя правило Лопиталя, убеждаемся, что последнее выражение
стремится к нулю при х °°. ▲
Пример 2.7.2. Рассмотрим распределение Парето, функция распреде¬
ления которого имеет вид
F(x)=\-x~0	(х>1,/3>0).
Анализируя равенство (129), приходим к заключению, что та < 00 тогда и
только тогда, когда а<0. По теореме 2.7.3 возможным предельным
распределением для нормализованной величины Zn является Нх д (х). Тот
факт, что F(x) действительно принадлежит области притяжения функции
Я^Дх), можно проверить с помощью теоремы 2.1.1 или теоремы 2.7.1.
Используем последнюю из них. Для этого обратимся к формуле (127).
Имеем
xf(x) _ ?х~0
1 — F(x) ~ Х~0	" ’
и правая часть этого равенства не изменится при переходе к пределу. ▲
Пример 2.7.3 Пусть дискретная случайная величина X принимает целые
значения & > 2 с вероятностями
pfc = P {Х = к} =
с
к (log к)г
где С> 0 — соответствующим образом выбранная константа. Тогда функ¬
ция распределения F (х) случайной величины X не принадлежит ни одной из
наших областей притяжения. Действительно,
тп*=С S ка ~х (log А:)'2 = «
/с = 2
при всех а > 0, и наше утверждение следует из теоремы 2.7.3. ▲
Пример 2.7.4. Пусть
F (х) = 1 - ехр (х~3) (х < 0).
Тогда эта функция распределения принадлежит области притяжения функ¬
ции 0 (х).
В нашем случае со (F) = 0, и поэтому возможными предельными распре¬
делениями для нормализованной величины Zn являются Н2^ (х) и Нзо (х).
Обратимся к функции
F*.(x)=f[~—	1 -ехр(—х3)	(х>0).
Поскольку для этого распределения величина 'т*а конечна при всех а > 0, из
теоремы 2.7.3 следует, что единственной возможной предельной функцией
распределения является функция Н3 0 (х). Для того чтобы показать, что
функция F (х) действительно принадлежит области притяжения функции
распределения Н3 0 (х), мы можем использовать либо теорему 2.1.3, либо
теорему 2.7.3. Соответствующие выкладки оставляем читателю. ▲
Пример 2.7.5 (стандартное распределение Планка) . Пусть Хх, Х2, ...
... , Хп - независимые случайные величины с общей плотностью распреде¬
92

ления
Кх3
f	\	(*><>)•
е - 1
Тогда функция распределения F(x) принадлежит области притяжения
функции £2,з (*)•
Исключим сперва другие возможности для предельного распределения
величины Wn, рассмотрев моменты. Применяя стандартный способ пред¬
ставления Wn с помощью максимума последовательности случайных вели¬
чин - Xj (1 </ < п), мы можем обратиться к нашему критерию для макси¬
мумов, сформулированному в терминах моментов ^.Плотностьюраспре¬
деления величины - Xj является функция
Кх3
= -	—	(х<0),
1-е
а функция распределения этой величины есть Fj (х) = 1 — F(- х). Посколь¬
ку о? (Fj) = 0, перейдем к функции F** (х) = Fi (- 1/х) (х>0). Ее плот¬
ность имеет вид
z"w= 77^
и множество MF** совпадает с открытым интервалом (0, 3),
Из теоремы 2.7.3 следует, что функция распределения F* • может принад¬
лежать только области притяжения функции Нх 3 (х). Отсюда следует, что
Ft (х) может принадлежать лишь области притяжения функции Я23 (*)> и
наконец, F(х) - лишь области притяжения £2.з 90-
Для того чтобы убедиться в том, что функция F (х) действительно
принадлежит области притяжения функции распределения £2,з (*), обра¬
тимся к теореме 2.1.5. Условие (27) для функции F* (х) сводится к равен¬
ству tx
f f(y)dy
lim —	= x3 (x > 0),
t —► CO	t
f f(y}dy
0
в справедливости которого легко убедиться, сделав в числителе замену
У - их и заметив, что при t ■■+ 0 выражение (еи х - \)/(еи - 1) стремится к х
равномерно относительно и в области 0 < и < t. ▲
Последний пример дает нам способ решения для величин Wn, который
состоит в рассмотрении последовательности случайных величин — Xj
(1 </Си)и их максимумов. По этой причине мы не станем переформули¬
ровать результаты этого параграфа для величин Wn (см., однако, упр. 14). § *
§ 2.8. Слабая сходимость для к~х экстремальных значений
Напомним, что понятие ”&-е экстремальное значение” было введено в пре¬
дельном смысле (см. определение 1.4.2). Если Х,.п обозначает r-ю поряд¬
ковую статистику, то при фиксированном кн п -> оо величины Хк :пи
Хп_ к + \ -.п называются £-ми экстремальными значениями. Функции распре-
93

деления величин Хк нХп_к + г.п имеют достаточно простой вид в случае
н.о.р. исходных случайных величин. Действительно, если величины
Х2,.. . , Хп независимы и имеют общую функцию распределения F(z), то
из элементарных соображений (см. соотношения (34) и (35) из § 1.4)
следует, что
к - 1
P(Xk;„>Z}= Е СЛ (^(Z))r (1(134)
t = о
и
P{x„_* + 1:„<z) = kix СХ (1-^(r))r	’	(135)
г=о
Поскольку к фиксировано, вопрос о существовании и виде предельных
распределений для приведенных выше случайных величин легко сводится к
соответствующим проблемам для максимумов и минимумов. Выразим
этот факт следующими теоремами.
Теорема 2.8.1. Пусть апи Ьп>0 - последовательности вещественных
чисел и к> 1 - произвольное фиксированное целое число. Функция распре¬
деления
Fп- к + 1 :п (ап + Ьпх) = Р {хп - к+ 1 :п <ап + ЬпХ }
слабо сходится при п-+ <х>к некоторой невырожденной функции распреде¬
ления (х) тогда и только тогда, когда функция распределения
Нп (ап + Ьпх) = Еп.п (ап+Ьпх)
слабо сходится к некоторой невырожденной функции распределения Н (х).
Если предельная функция (х) существует, то для а (Н) < х < о> (Я) вы¬
полняется равенство
H<V(x) = H(x)	(log -1-Y ,	(136)
r=o H \	Я(х)/
где функция H(x) относится к одному из трех типов (Нг у (х),Н2 7 (х),
Я3,о (х)).
Теорема 2.8.2. Пусть Сп и dn> 0 - последовательности вещественных
чисел и k> 1 - произвольное фиксированное целое число. Функция рас¬
пределения
Fk : п (сп + dn х) = Р { Хк п < сп + х }
слабо сходится при п~^°°к некоторой невырожденной функции распреде¬
ления (х) тогда и только тогда, когда функция распределения
(сп -^dnx) = Fi .„ (сп +dnx)
слабо сходится к некоторой невырожденной функции распределения L (х).
Если предельная функция (х)существует, то для a(L)<x <со (L)вы¬
полняется равенство
£(*)(х)=1_(1_£(х))	(_log(l -Z(X)))',
t = о t\
94

где функция L (х) относится к одному из трех типов	(х), £2 у (х),
£3,0 (х))-
Как видим, вопросы, связанные со слабой сходимостью &-х экстремаль¬
ных значений, надлежащим образом нормализованных, не представляют
новой математической проблемы. Мы можем использовать результаты
предыдущих параграфов для нахождения последовательностей ап, Ьп, сп и
dn и предельных функций распределения/7^ (х) и LSk^ (х). Кроме того,
для каждой конкретной функции F (х) мы можем определять, существуют
или нет пределы (х) и/или L(k^ (х).
Доказательство теоремы 2.8.1. Пусть k > 1 - фиксированное
целое число. Предположим, что последовательности ап и Ьп > 0 таковы, что
существует предел
lim	+ t (а„ + Ьпх) = Н(к'> (х)
в смысле слабой сходимости, где(х) - некоторая невырожденная
функция распределения. Мы хотим показать, что Fn(an +Ьпх) также схо¬
дится слабо к некоторой невырожденной функции распределения Н (х).
Подставим в формулу (135) z=an + bnx. Поскольку к фиксировано, значе¬
ния t ограничены и слагаемые, входящие в правую часть равенства (135),
эквивалентны величинам
(137)
Если значение х таково, что F (ап + Ьп <5>х) < q, где q < 1, для некоторой
последовательности п (s) (s > 1), то Н^к^ (х) = 0. Поэтому F(ап + Ьпх) стре¬
мится к единице при х > а (/Л^). Далее,
lim sup п ( 1 - F(ап + Ьпх)) = и* (х) < °°.
п «
Действительно, учитывая правое из неравенств леммы 1.3.1, получаем,
что выражение (137) меньше, чем
—	и'(1	+ bnx))‘ехр(—(и - Г)(1 -F(a„ +b„x))),
и, следовательно, это выражение должно было бы в пределе по некоторой
подпоследовательности равняться нулю, если бы и*(х) равнялось беско¬
нечности. Возьмем теперь произвольную подпоследовательность и($) (s > 1),
для которой существует при фиксированном х предел
lim w(s)(l -F(a„(s) + Z>„(j)x)) = u(x).	(138)
00
Очевидно, что w(x) < u*(x) < Учитывая следствие 1.3.1, видим, что выра¬
жение (137) стремится при	к величине
1 t
—	u (х)ехр(-u(x)).
Следовательно, из соотношения (135) при z - ап +Ьпх мы выводим соот¬
ношение (136) с функцией Н(х) = ехр(—и(х)). Если бы для некоторой точ-
95

ки х -- точки непрерывности функции Н^к \х) — существовали две подпо¬
следовательности, для которых были бы разными (скажем, равнялись
и и2(х)) пределы в соотношении (138), то мы получили бы ра¬
венство
j
Н(к\х) = exp(-w1(x)) S —и{(х) =
г=о г!
АГ-1 J
= exp(-u2(x)) L — и'2(х).
г=о г!
Однако последнее равенство имеет место, если только иг(х)= и2(х). Та¬
ким образом, мы доказали, что соотношение (138) выполняется для
последовательности (и($)) = {1, 2, ...}, а этот факт после еще одного обра¬
щения к следствию 1.3.1 приводит к соотношению (136). Из равенства
(136) следует, что если функция Н^к\х) не является вырожденной, то
не является вырожденной и функция Н(х). Первая часть доказательства
завершена.
Рассмотрим противоположную ситуацию. Предположим, что существуют
такие последовательности констант ап и /?,, > 0. для которых Нп(ап + Ь„х)
при п -> слабо сходится к некоторой предельной функции распределения
Н(х). В силу теоремы 2.4.1 функция Н(х) принадлежит одному из
трех типов: Нх 7(х), Н2уУ(х) или H3 Q(x). Пусть х > а(Н). Тогда
F(an + Ьпх)> 0 при достаточно больших п. Переходя к логарифмам,
находим
lim wlog/7^ + bnx) = log/Z(x).	(139)
OO
Отсюда следует, что F( in + bnx) -> 1 при n -+ Используя разложение
Тейлора
logs = log (1 --(!-$)) = - (1 - s) + o(l) (s-> 1),
выводим из соотношения (139) справедливость равенства
lim и(1 -F(an + bnx)) = log -2— .	(140)
H(x)
Теперь мы вновь можем применить следствие 1.3.1 и, учитывая равен¬
ство (135), получим соотношение (136). Доказательство теоремы завер¬
шено. а
Теорема 2.7.2 доказывается аналогично. Поэтому мы опускаем ее дока¬
зательство.
Пример 2.8.1 (нормальное распределение). В случае нормальной
функции распределения
F(x)=-^ fe ^dy
у2л
мы уже нашли центрирующие и нормирующие константы ап, bn, сп и dn для
величин Zn и Wn (пример 2.3.2). Из теорем 2.8.1 и 2.8.2 следует, что эти же
константы можно использовать и для к-х экстремальных значений.
96

Таким образом, для фиксированного к> 1 мы получим следующие
предельные соотношения:
к-\ е-<х
lim Р {Х„ k+i:„ <ап +bnx} = ехр( -е~х) S	——
и -*00	t ~ о	Г!
и
к I
lim V{Xk.n <сп + dnx} = 1 - ехр(-е *) S — . А
п —►°°	г — О Г!
§ 2.9. Размах и середина размаха
В этом параграфе мы рассмотрим асимптотические распределения ста¬
тистик
= Z„ - Wn
и
Мп = y(Z„ + ^,),
которые называются размахом и серединой размаха соответственно. Метод,
используемый здесь, можно применять и для других статистик, исполь¬
зующих экстремальные значения.
Найдем вначале асимптотическое распределение вектора (И/„, Z„), над¬
лежащим образом центрированного и нормированного. Докажем сперва
следующий результат.
Теорема 2.9.1. Пусть Xlt Х2,... , Хп - независимые случайные
величины с общей функцией распределения F(x) и ап, Ьп >0, сл, dn >0-
такие последовательности центрирующих и нормирующих констант, для
которых существуют невырожденные пределы
lim Fn(an + bnx) - Н(х)
U
lim (1 -F(cn + d„x))n = 1 -L(x).
п—> °°
Тогда выполняется соотношение
lim Р {W„ <сп + dnx, Z„<a„ +Ь„у} = L(x) Н(у).
И —► «ж
Другими словами, если существуют предельные распределения надлежа¬
щим образом нормализованных величин Wn и Zn, то эти величины асимп¬
тотически независимы.
Доказательство. Рассмотрим события
D, = Dj(w, z) = {w<Xj<z }	(w<z).
Имеет место соотношение
Р {И/„ > w, Z„ <z } = P{D,D2 .. . Dn } = (F(z) - F(w)f.
97

Возьмем такие z и w, для которых F(z) > F(w). Используя разложение
Тейлора, получим соотношение
(F(z) - F(h>))” = exp (-п (1 - F(z)) - nF(w) +
+ Р,И(1 -F(z))2 + p2n(F(w))2),
где |Pil<l и | р2 I , если 1 -F(z)<l/2 и F(w)< 1/2. Сделаем под¬
становки z = а„ + Ьпу и w = сп + dnx. При нашем выборе констант ап, Ьп,
cn,dn для у > а(Н) и х < со(£) справедливы соответственно соотноше¬
ния
lim F(a„ + bny) = I, lim F(ctl +-dnx) = 0.
n -► 00	H — 00
Теперь для a(L) <x < co(£) и a(H)<y<a>(H) мы можем записать сле¬
дующее равенство:
Р {> сп + d„x, Z„ < а„ + bny} =
= ехр( (1 + о( 1 ))n(l - F(an + b„y)) -(1 +o(l))«F(c„ + dnx) } (и-><»).
Используя методы, которые мы неоднократно применяли (например,
при выводе соотношения (140)), получаем, что правая часть последнего
равенства стремится к //(у)(1 ~/,(х)). С другой стороны,,если х >со(£)
или v < а(/7), то соответствующий предел равен, очевидно, нулю. Наконец,
если х < а(£) или у > со (Я), то предел равняется Н(у) или 1 - L(x) соот¬
ветственно. В каждом из этих случаев мы можем предельное выражение
записать в виде Н(у)(] - £(х)). Доказательство теоремы завершено. *
Для того чтобы найти предельное распределение величин Rn и Мп,
необходимо воспользоваться следующей леммой.
Лемма 2.9.1. Пусть совместная функция распределения величин
Yn и Un сходится к Т(у)Е(и\ где Т(у) и Е(и) - некоторые непрерывные
функции распределения. Тогда
lim Р { Yn + Uh< х} = f Е(х -y)dT(y).
П — 00	оо
Доказательство. Пусть е > 0 — произвольное вещественное
число, а и(), А, В и С таковы, что при всех и > и0 выполняются неравен¬
ства
Р{У„<Д}<е, Р{У„>С}<€,	Р(Я„<Д)<е.
Введем также числа А =	<уj <. . . <ys = С и В = и0 <и{ <... <us =
= х - А и рассмотрим сумму
S(n, х) = S(x) Р{>-/„ 1 < Г„ <yh uh , <Un <uz),
i,i
где	обозначает суммирование по всем i и /, для которых выпол-
i.i
няются неравенства 1 < i < s, 1 < j < s, j, +i/z <x. Если наибольшие из
величин &y=ytУг _ ] и Дм = и}•- Uj j устремить к нулю, то выпол¬
няется соотношение
lim S(n, х)= Р(У„ + Un <х, А < Yn < С, Пп>В}.
Ду- О
Ди- о
98

Рассмотрев предел при п ->«>, получим
lim S(n, х)= S(x)(T(y,)-Т(у,_	-£■(«/ . j)).
г?-*00	i,j
Заметим, что если наибольшую из величин Sy и Ди устремить к нулю,
то придем к соотношению
lim S(x)= Я dT(y)dE(u),
дУ"*0	а(х)
Дм-»О
где а(х) = {(у, u): v+u<x, А^у<С, В^и}. Нетрудно также убе¬
диться, что
Я dT(y)dE(u) -> f E(x-y)dT(y),
а(х)
если А, В оо и С->« Комбинируя переходы к пределу в следующих
трех ситуациях: когда наибольшие из величин Ду и Ди стремятся к нулю,
когда п стремится к бесконечности и, наконец, когда величины А, В
а	мы завершаем доказательство леммы. А
Основной результат для размаха и середины размаха содержится в сле¬
дующей теореме.
Теорема 2.9.2. Пусть Xlf Х2,. . ., Хп - независимые случайные
величины с общей функцией распределения Е(х) и ап, сп и Ьп> 0 - такие
последовательности центрирующих и нормирующих констант, для которых
существуют невырожйенные пределы
lim Fn(an + bnx) = Н(х)	(141)
П-* оо
и
lim (1 -F(cn + b„x))n = 1 — L(x).	(142)
п “► оо
Тогда выполняются соотношения
lim Р{Л„ < а„ - сп + b„x } = f (1 - L(y - x))dH(y)
П~* оо	оо
и
lim Р{2Л/„ <ап +с„ +	} = J L(x - y)dH(y).
ft °°	-ОС
Замечание 2.9.1. Может показаться ограничительным, что в усло¬
виях (141) и (142) взяты одни и те же нормирующие константы Ьп > 0 .
Однако только этот случай и представляет интерес. Если в соотношениях
(141) и (142) нельзя взять одни и те же множители при х, то в пределе
величины Rtl и Мп могут быть выражены через одну из величин Zn или
Wn. Такой случай будет рассмотрен в одном из примеров, приводимых
после доказательства.
Доказательство. По теореме 2.9.1 случайные величины Yn =
= (Zn - an)!bn и Un = (Wn - c„)/bn асимптотически независимы. Следова¬
99

тельно, лемму 2.9.1 можно применить как к величинам Yn и -Un, так и к
величинам Yn и Urt9 а этого достаточно для доказательства теоремы 2.9.2. а
Рассмотрим конкретные распределения.
Пример 2.9.1 (нормальное распределение). Из примера 2.3.2 мы
знаем, что для функции распределения
F(x) = (2я)_1'/2 f e~r2/2dt
соотношения (141) и (142) выполняются, если взять, например,
ап = -сп =’(21ogn)1/2	(loglogzi + log47r)/(2 logzr)1/2
и	2
bn = (21ogn)"1/2.
В этом случае Н(х) = ехр(-е_*) и L(x)= 1 -ехр(-ех). Из теоремы 2.9.1
следует, что случайные величины (Zn- ап)/Ьп и (Wn+an)/bn являются
асимптотически независимыми. По теореме 2.9.2 получаем справедливость
равенств
lim P{Rn <2ап + bnx) = f exp(-e>~x)d(exp(-e ~у))
И"*	_ оо
И 1 !
lim Р{А/„ < —bnx} = / ехр(—ех y)d(exp(-e г)) = 		- .
л--»	2	1+е*
Явный вид интеграла, дающего предельное распределение величины R‘n, не¬
известен, что, впрочем, не представляет особых трудностей, так как числен¬
ным интегрированием можно получить значения интеграла для любого х.
С другой стороны, предельным для величины Мп является хорошо извест¬
ное логистическое распределение, а
Пример 2.9.2 (экспоненциальное распределение). Как было показа¬
но в примере 1.3.1, для функции распределения F(x) = 1 -е х (х > 0)
справедливы соотношения
P{Z„<logn+x) -* ехр(-е“*)= Я30(х)
и
P{IV„ < х/п} = 1 — е~х.
Таким образом, для любого е > 0 получаем, что
P{W„ > е} = е~еп -0 (и->°о),
т.е. величина Wn стремится к нулю по зероятйости. Тогда из леммы 2.2.1
следуют неравенства
lim Р{ЯЛ <logrt+х} = lim P{Z„ <,logn + х } = Я3 0(х)
п -► 00	/»-*«»
И
г	1	1	.
lim Р{Мп < — logп + —х } = lim P\Zn <logw + х} = Я3 0(xj. а
п -*«	2	2	п ->°°
Заметим, что стремление WfJ к нулю по вероятности не является един¬
ственной причиной того, что величины Rn и Мп выражаются в пределе
100

через одну величину Z„. Важную роль играет связь между величинами
Z„ и Wn. Это станет ясным из следующего примера.
Пример 2.9.3 (равномерное распределение). Пусть F(x)=x для
О <х < 1. Из примера 2.3.1 следует, что соотношения (141) и (142) выпол¬
няются, если ап = 1, сп ~ 0 и Ьп - \/п. В этом случае Н(х) = ех при х< О
и L(x) = 1 — е~х при х > 0. Величины Wn и (Z„ — 1) стремятся к нулю
по вероятности, но нормирующие константы Ьп для них одни и те же.
Обе эти величины вносят свой вклад в величины Rn и Мп, асимптотичес¬
кое распределение которых можно получить из теоремы 2.9.2. Имеем
lim р!яп < 1 + —1= f е 'у^хеуdy + J eydy = (1 -х)е*,
Л->«>	(	fl J х	_оо
если х <0, и этот предел равен единице, если х >0. С другой стороны,
(	1	х 1	min(.v.O)
lim	< — + — } =	/	(1 - еу х)еу dy,
(	2	2п ) _оо
1 1
и последний интеграл равен	для х<0 и равен 1 —— е	для
х>0.
§ 2.10. Скорость сходимости
Хотелось бы оценить погрешность, появляющуюся при замене точных
распределений экстремальных значений предельными. Такие оценки помо¬
гут в определении объема выборки, при котором можно применять асимп¬
тотическую теорию в случае, когда наблюдения независимы. Мы везде
предполагаем, что функция распределения выбрана правильно и погреш¬
ность связана лишь с переходом к пределу при неограниченном возрастании
объема выборки.
Точнее, мы хотим оценить следующие величины. Пусть Xlf Х2	Хп —
н.о.р. случайные величины и Еп обозначает один из экстремумов этих
величин. Предположим, что функция распределения F(x) величин Xj та¬
кова, что при соответствующем выборе центрирующих и и нормирую¬
щих констант 0п и у„>0 существует предел
lim ₽{£■„ < J„ + у„х } = R(x).
п~> <Х>
Пусть
Ал(х) - Дп (х; Еп, Рп, уп ) - Р{Еп < fin + уп х} — F(x).
Наша цель — исследовать величину Дл(х) в зависимости от п. Поскольку
для всех экстремальных значений функция R{x} непрерывна, следующий
результат показывает, что Дл(х) действительно можно рассматривать как
функцию, которая не зависит от х.
Лемма 2.10.1. Если последовательность функций распределения
Rn сходится к некоторой непрерывной функции распределения R, то эта
сходимость является равномерной по всем х.
Доказательство. Мы должны доказать, что для любого е > 0
можно найти такое положительное целое п0, зависящее от е, но не от х,
101

что при всех п > /?0 и всех х выполняется неравенство
|Я(х) - Rn(x)\ < е.	(143)
Заметим вначале, что для любого фиксированного а существует такое
целое число	что при всех п> пх справедливы неравенства
Rn(a)< 2R(a), 1 -Rn(a)<2(\ - R(a)).
Поскольку Rn(x) и R(x) - функции распределения, можно выбрать
такие вещественные Л и В и целое число п2, для которых при всех
п> п2 выполняются неравенства
/?л(х)<Ел(Л)< 2R(A) < е/2 для всех х<Л
и
1 - Rn(x) < 1 - Rn(B) < 2(1 - R(B)) < е/2 для всех х>В.
Получаем для всех п> п2 оценки
|Е(х) -Я„(х)| <Я(х) + Rn(x)<R(A) + Rn(A)< е (х <Л)
и
|В(х) -Rn(x)\ = | 1 -R„(x) - (1 -В(х))|< 1 -Rn(x) +
+ 1 - R(x) < 1 - Rn(B) + 1 - R(B) <e (x > B).
Пусть теперь Л<х<В. Известно, что если функция В(х) непрерывна,
то она равномерно непрерывна на конечном интервале [А, В]. Это озна¬
чает, что можно разбить интервал [Л, В] на N равных частей точками
Л = х0 < х] <. . . < хл = В так, что для любого 1 < к < N будет справед¬
ливо неравенство
В(хА) - R(xk j) < е/6,
причем N будет зависеть только от е. Для данного е > О зафиксируем со¬
ответствующее значение N. Мы можем теперь найти такое целое и3, что
для всех 1 < к < N и всех п > п3 будет выполняться неравенство
\Rn(xk) — R(xk) \ < е/6.
По любому Л <х <В можно однозначно найти такое к, что хк_ ! <х <
*^хк. Учитывая, что функция Вл(х) — неубывающая, получим при всех
п > п3 оценки
\RH(x) - R(x)\<\RH(xk) - R(xk)\ + |Вл(хА. J - В(хА. i)| +
+ (Rn(xk) - Rn(xk .r)) + (R(xk)-R(xk_i)) <
< Зе/6 + \R„(xk) -R(xk) + R(xk) -R(xk_ j) + R(xk_ ,) -Rn(xk_ j)|.
Применяя неравенство треугольника, убеждаемся, что последнее выраже¬
ние меньше, чем е. Взяв любое целое и0 >тах(и2, и3), видим, что оно
не зависит от х, и для всех	выполняется неравенство (143). Дока¬
зательство завершено, а
Вернемся к величине Дл(х; Ел, 0Л, ул). Мы показали, что эту величину
можно оценивать равномерно по х. С другой стороны, весьма существен¬
ной является зависимость этой величины от /Зл и ул. Поскольку по лем¬
ме 2.2.2 мы имеем достаточную свободу в выборе величин 0Л и ул, при
102

которых сохраняется сходимость к нулю величины Д„(х), скорость сходи¬
мости будет зависеть от конкретного выбора центрирующих и нормирую¬
щих констант. Хорошим примером, иллюстрирующим это утверждение,
является экспоненциальное распределение в случае Еп = И7^, т.е. когда бе¬
рется минимальное наблюдение. В этой ситуации (см. пример 1.3.1)
A„(x;1V,2? 0, 1/и) = 0, а при других допустимых значениях и уп вели¬
чина Д„(х) положительна при всех х>0. Действительно, если g(n) -> О
(и -> °°) произвольным образом, то имеет место равенство
Д„(х; Wn, g(n)/n, 1/л)
lim 	 = е
n->oo	g(n)
(см. упр. 15). Поэтому нельзя ожидать никаких имеющих смысл оценок
величины Дл(х), которые бы не зависели от величин и уп. Этим и
объясняется выбор величин, которые фигурируют в следующей теореме.
Теорема 2.10.1. Пусть Н(х) - одна из возможных предельных функ¬
ций распределения для максимума и функция F(x) принадлежит области
притяжения Н(х). Для данных последовательностей центрирующих и нор¬
мирующих констант ац и Ьп>0 положим
z„(x) = n( 1 -F(an +b„x))
и для тех х, для которых //(х)>0, положим
Рп(х) = z„(x) + log//(x).
‘ Тогда для всех х, удовлетворяющих условиям Н(х)>0 и z„(x)/n< 1/2,
справедлива оценка
|P{Z„<0„ + btlx} - Я(х)|<Я(х)(г1л(х) + г2л(х)+г1|П(х)г2<л(х)),
(144)
1
1
1
1 - s
2
и q < 1, s < 1 таковы, что — z„ (x)/n < q и
1
у |p„(X)|<S.
Замечание 2.10.1. Заметим, что здесь не налагаются условия не¬
посредственно на atl и Ьп. Поэтому оценка (144) применима при произ¬
вольном выборе этих констант, лишь бы величины zn(x)/n, z2n(x)!n и
Рн(х) удовлетворяли соответствующим неравенствам. С другой стороны,
если ап и Ьп выбраны таким образом, что величина (Zn - an)fbn слабо
сходится к //(х), то требуемые ограничения на zn(x)/n, z2n(x)jn и |р„(х)|
выполняются при не очень больших значениях п (обычно даже при таких
малых значениях п, как 2 и 3). Если Н(х)>0, мы можем перейти к ло¬
гарифмам в соотношении (6) и заключить, что Zn(x) ->	—logZf(x) (см.
п —► 00
соотношение (101а) и ему предшествующее). Следовательно, величина
zn(x) ограничена, и р„(х)->0 при
103

Замечание 2.10.2. Вновь возвращаясь к тому факту, что при соот¬
ветствующем выборе констант ап и Ьп при п -> «> выполняются соот¬
ношения zn(x) -> -log//(x) и р„(х)-*0, мы убеждаемся, что величины
г1л(х) и г2,п(х) представляют два существенно разных типа погреш¬
ностей. Поскольку
2„(х) = p„(x)-log/7(x),
главный вклад в величину zn(x) вносит слагаемое -log#(x). Следова¬
тельно, величина г1л(х) имеет порядок l/п для всех Г(х) при любом
подходящем выборе констант ап и bn. С другой стороны, величина
г2,п(х) выражает погрешность, связанную с выбором ап и Ьп, и зависит
также от функции распределения Е(х).
Доказательство. Из основной формулы (4) и неравенства тре¬
угольника следует, что
\?{Z„<an+bnx} - H(x)\<\Fn(an+bnx)-e-Sn(x) | +
+ \е Zn(x) - Я(х)|.	(145)
Используя лемму 1.3.1 и равенство F- 1 —(1 — F), имеем
| Fn(an+bnx)-e !^	| <₽-»<■') { ехР(2^_ _ 1)} ,
если только z„(x)/n< 1/2. Отсюда, пользуясь неравенством (получающим¬
ся из разложения Тейлора)
у2 1
1^- 1 | < |у| +— -	,
2 1 -<?
1
имеющим место при всех у, удовлетворяющих условию -у ly | < q < 1,
(146)
ВЫВОДИМ, что
2z*(x)	1	\
+	, (147)
И	1 — Q /
2 о
если гя(х)/и<1/2 и —(x)/n < q < 1.
3
Вернемся теперь ко второму слагаемому в правой части неравенст¬
ва (145). Предположим,что //(х)>0. Поскольку
е' гп(х) - Н(х) = Н(х)(е ~Рп(х) - 1),
из неравенства (146) следует оценка
|е 2"<х)-Я(х)| < Я(х)(|р„(х)| + Ру-'	),	(148)
1
где — |p„(x)|<s< 1. Если в правой части неравенства (147) восполь¬
зоваться равенством
е 2пМ _	- zn(x)
- Н(х) + Я(х),
104

то неравенство (144) сразу получится из соотношений (145), (147) и
(148) .Теорема доказана, а
Аналогичная оценка имеет место и для минимума.
Теорема 2.10.2. Пусть Цх) - одна из возможных предельных
функций распределения для минимума и функция F(x) принадлежит
области притяжения L(x). Для данных последовательностей центрирую¬
щих констант сп и dn> 0 положим
zn(x) = nF(c„ + dnx)
и для х таких, что L(x) < 1, положим
Рп(х) = z„(x) + log(l — L(x)).
Тогда, если zn(x)/n< 1/2, то
\P{W„<c„+dnx} - L(x)\ =
= (1 - £(x)j(r1>n(x) + r2>n(x) + ri,„(x)r2>„(x))
для всех х таких, что £(х)<1, где величины ri n(x) и т2п(х) опреде¬
лены также, как и в теореме 2.10.1.
Доказательство. Заметим, что
IP(W'„<w} -£(w)| = |(1 _Р{И/„ < w})-(l -£(w))|.
Доказательство теоремы 2.10.1 можно повторить, рассматривая величины
1 — Р { Wn <сп + dnx } и 1 - L(x) вместо величин Р {Zn < ап + Ьпх } и
Н(х) соответственно. Поэтому мы опускаем детали доказательства, а
Проиллюстрируем теоремы 2.10.1 и 2.10.2 следующими примерами.
Пример 2.10.1. Пусть F(x)=l-e_x (х>0). Мы знаем, что
F(x) принадлежит области притяжения функции Я3,0(х). Возьмем ап =
= logw и bn = 1. Тогда zn(x) = e х и рл(х) = 0. Следовательно,
— 4х
2е~2х
Пл(х) = 	—
п
2е
+ V(l-<7) ’
где ?<1 и—е 2x/n^q. Далее, г2 п = 0. Таким образом, из теоре
3
мы 2.10.1 получаем оценку
|P{Zn < logn +х } -Я3>0(х)1 < #з,о(*)''1,л(*)-
Например, если х = 2 и п = 10, то
P{Z1O < log 10+ 2) = 0,8726 и Я3 0(2) = 0,8734,
в то время как приведенная выше оценка дает погрешность
Яз,о(2)г1,1о(2) = 0,0032.
При подсчете последнего значения мы взяли из таблиц значение е-4 =
= 0,018316 и значение е~3 =0,000335. Следовательно, в качестве q < 1
можно взять любую величину, большую 0,00123. Если выберем q = 0,002,
то получим для величины rltl0(x) значение 0,00366. а
В нашем примере оценка погрешности 0,0032 больше истинной погреш¬
ности, равной 0,0008, но следует заметить, что наш метод оценивания при¬
меним к любой функции распределения и для любых значений хил.
105

Пример 2.10.2. В примере 2.6.3 мы оценивали вероятность
P{Z50 < 2,6) значением Я3 0( 1,3961), полагая, что имеем дело со стан¬
дартным нормальным распределением (предположение экспериментатора
из упомянутого примера). Оценим ошибку при таком приближении. В при¬
мере мы использовали ап и Ьп, полученные в п. 2.3.2, т.е. aSQ = 2,1009
и Ь5о =0,3575. Равенство 2,6 =£50 +£50* имеет место при х = 1,3961,
Из таблиц стандартного нормального распределения находим, что
Z5о(1,3961) = 50(1 -Г(2,6)) = 0,235,
и, таким образом, выводим, что р50( 1,3961) = —0,01256. Для вычисления
погрешности заметим вначале, что мы можем выбрать q = $ = 0,005. Тогда
получим
г1т5О(1,3961) = 0,00221,	г2,5О (1,3961) = 0,01264.
Теперь мы можем вычислить оценку (144) погрешности. Имеем
|P{Z„<2,6) -Я3>0(1,3961)| < 0,01162,
в то время как F5 °(2,6) = 0,7901 и Нзо(1,3961) = 0,7807. Мржно утвер-
ждать, что оценка погрешности достаточно хорошая. Следует также доба¬
вить здесь, что сходимость распределения.величины Zn к предельному
распределению не очень быстрая для нормального распределения, так как
ошибка содержится во втором знаке после запятой даже при п = 50 (срав¬
ните с результатом предыдущего примера, в котором п равнялось де¬
сяти) . а
Оценки скорости сходимости к предельному распределению для к-х эк¬
стремумов сводятся к оценкам для Минимума и максимума (см. упр. 16).
§ 2.11. Обзор литературы
Интерес к распределению экстремумов возник впервые в связи с применением теории
вероятностей к проблемам страхования. Гумбель (1965) замечает, что эта проблема
появляется в работах Н. Бернулли начала восемнадцатого века. Историки несомненно
найдут разрозненные различные решения после этого времени. Теперь стало ясным,
что общие и строгие решения неявно содержатся в работах Пуассона. Влияние Пуассо¬
на на теорию суммирования и теорию редких событий привело к коренным сдвигам
в теоретико-вероятностном мышлении, происшедшим челез несколько десятилетий
после его работ.
Даже основная работа Фреше (1927) не была признана в свое время из-за отхода
от предположений нормальности распределения совокупности. Статистика в первых
десятилетиях нашего века ассоциировалась с нормальными совокупностями. Поэтому
систематической теории уделялось внимание только в том случае, если эта теория
имела дело с нормальными величинами.
Ранними работами такого типа были работы Борткевича (1922), фон Мизеса
(1923), Типпета (1925). Типпету принадлежат обширные таблицы для распределе¬
ния максимума нормальных величин в случае выборок различных объемов. Эти табли¬
цы используются и сейчас. Первым, кто отошел от предположения нормальности, был
Додд (1923), но на его работы, как и на более обстоятельные работы Фреше, также
не обратили внимания. Теоретическая работа была продолжена Фишером и Типпе-
том (1928), которые нашли три возможных предельных распределения для экстрему¬
мов, и фон Мизесом (1936), классифицировавшим абсолютно непрерывные распре¬
деления в соответствии с предельными распределениями максимума (области притя¬
жения) - см. теоремы 2.7.1 и 2.7.2. Фишер и Типпет указали, что сходимость к пре¬
дельному распределению максимума нормальной совокупности является медден-
106

ной - факт, который замедлил признание специалистами-прикладниками асимптоти¬
ческой теории.
Б.В. Гнеденко (1943) развил теорию на высоком уровне, доказав практически
все результаты, содержащиеся в §§ 2.1- -2.4, за исключением того, что третий пункт
теоремы 2.4.3 был получен им в виде, который можно сформулировать следующим
образом: существование функции А(г), удовлетворяющей соотношению (99), являет¬
ся необходимым и достаточным условием принадлежности функции распределения
F(x) области притяжения функции Н3 0(х). Завершающий шаг, позволивший сфор¬
мулировать третье утверждение теоремы 2.4.3, был сделан де Хааном (1970, 1971 >,
главным вкладом которого является получение конкретного вида функции А (г) (в на¬
ших обозначениях - функция	Доказательства, приведенные здесь, представ¬
ляют комбинацию методов Гнеденко, де Хаана и Мейзлера (1949), чьим результатом
является третий шаг доказательства третьего пункта теоремы 2.4.3 (см. § 2.5).
Подход, предложенный де Хааном, дал также возможность получить некоторые
эквивалентные формы теоремы 2.4.3. Некоторые из них приведены в упражнениях.
Та же техника привела к интересному результату Балкемы и де Хаана (1972), состоя¬
щему, грубо говоря, в том, что функции из области притяжения функции распределе¬
ния Я30(х) ’’сравнимы” с функциями, удовлетворяющими критерию Мизеса (см.
упр. 20)
Под ’’сравнимостью” здесь понимается понятие эквивалентности хвостов распре¬
делений, введенное Резником (1971а) (см. упр. 21). Это понятие является также
основным и в работе де Хаана. Действительно, пятый шаг является существенным
в § 2.5. Если распределение совокупности предполагается достаточно гладким, то уже
из результата фон Мизеса следует, что А (г) = R(t). Некоторые из результатов де Хаана
содержатся также в работе Маркуса и Пинского (1969). Следует добавить, что неко¬
торые части доказательств Гнеденко используются в настоящей книге в форме, кото¬
рая хорошо известна в теории медленно меняющихся функций (хотя сама эта теория
здесь не используется). Некоторые переформулировки результатов Гнеденко упомя¬
нутого характера принадлежат Феллеру (1966) (см. работу де Хаана (1974а)).
Связь между существование^ моментов и слабой сходимостью установлена Пи-
кендсом (1968). Некоторые специальные случаи обсуждали ранее фон Мизес (см. его
избранные работы), Жеффруа (1958), Сен (1961) и Маккорд (1964) (см. также рабо¬
ту Чена и Джервиса (1970)).
Теория А-х экстремальных значений была развита Каватой (1951) и Н.В. Смирно¬
вым (1949 и 1952). Асимптотическую независимость максимума и минимума отме¬
тил Смирнов (1949) и Хомма (1951). Тьяго де Оливейра (1961) установил асимпто¬
тическую независимость выборочного среднего и экстремальных значений. Более
систематическое изучение этого вопроса провел Россберг (1965а, Ь) (см. также рабо¬
ту Уолша (1969а и 1970), Икеды и Мацунавы (1970), Смида и Стама (1975)). Реньи
(1953) развил общий метод исследования порядковых сгатистик. Его метод основан
на теореме Сукхатме, которая в нашем изложении предваряет теорему 1.6.3.
Теорема 2.7.3 представляет набор результатов, разбросанных по различным рабо¬
там. На конкретные распределения § 2.3, хоть их и можно рассматривать как примеры
применения общей теории, обращалось большое внимание в литературе. Особенно сле¬
дует подчеркнуть это в отношении нормального распределения. Все больше и больше
внимания уделяется в различных областях прикладных наук логнормальному распре¬
делению. (В связи с примером 2.6.3 см. работу Коца (1973).) Сингпурвалла (1972)
исследовал величину Zn для логнормальных совокупностей в связи с изучением
загрязнения атмосферы. Некоторые другие конкретные распределения, включая
логнормальное, обсуждались в работах Бери (1974) и Вилласенора (1976). Вилла¬
сенор также широко обсуждал свойства хвостов сверток распределений, которые
представляют существенные обобщения первоначальных результатов Феллера (1966).
Резник (1972а) получил условия, при которых произведение конечного множества
функций распределения принадлежит области притяжения предельного закона. Ввиду
того, что в случае наиболее популярных дискретных распределений отсутствуют
асимптотические распределения нормализованных экстремумов, Андерсон (1972)
предложил асимптотические границы для распределений этих нормализованных
экстремумов.
Как видно из § 2.4, центральным пунктом теории экстремумов является тот факт,
что предельный закон обязан удовлетворять функциональному уравнению (69).
107

Для решения этого уравнения мы использовали справедливость соотношения (69)
для всех т > 1. Сетураман (1965) же показал, что если уравнения (69) имеет место
для двух различных значений т таких, что отношения логарифмов logBm для этих
двух значений т иррационально, то решение уравнения единственно (если же Bw= 1
при всех т, то тогда следует требовать иррациональности отношения величин Ат при
двух различных т). Еще об одной возможности, при которой моментные предполо¬
жения заменяют уравнение (69), было упомянуто в главе 1 (теорема Хуанга (1974)).
Оценка скорости сходимости принадлежит Галамбошу (1978). Равномерность схо¬
димости по существу получена Пойа (1920). Раз махи и середины размахов широко изу¬
чались Гумбелем- (1958) и де Хааном (1974 Ь). Удивительный факт, приведенный в
упр. 17 и примере 2.6.5, был открыт Грином (1976 Ь). Таблицы случайных чисел для
трех распределений экстремальных значений представлены в работе Голдстейна(1963).
Нелинейная нормализация, как показал Уэйнстейн (1973), может привести при
данном объеме выборки к более точному приближению распределений, чем исполь¬
зуемая в этой главе линейная нормализация.
Оценки погрешности, полученные Б. Григелионисом (1962 и 1970) для пуассо¬
новского приближения распределений сумм величин-индикаторов, могут быть исполь¬
зованы для оценки числа элементов выборки, превосходящих некоторое число.
Наиболее важной работой по статистическим методам оценивания параметров асимп¬
тотических распределений, когда элементы выборки являются независимыми одина¬
ково распределенными, до сих пор является книга Гумбеля (1965) (см. также рабо¬
ту Тьяго де Оливейры (1972а)). Поскольку основное предположение о независимости
часто (если не в большинстве случаев) является спорным, следует соблюдать осто¬
рожность. Более предпочтительным может оказаться метод Пикендса (1975), который
имеет упрощенный асимптотический характер и, судя по всему, может быть развит на
случай зависимых выборок.
Растущую популярность асимптотической теории экстремальных значений 1^ожет
выразить тот факт, что все больше и больше книг, научных или учебных, содержат
эту теорию. Наиболее популярным является метод Крамера (1975). Более простой
подход дается в книге Томпсона (1969). Более поздние методы оценивания и провер¬
ки гипотез для распределений экстремальных значений читатель может найти в книге
Манна, Шефера и Сингпурваллы (1974). Интересующихся таблицами распределений
экстремумов отсылаем к работам Микера и Нелсона (1975), Махмуда и Рагаба (1975)
и к таблицам Национального Бюро Стандартов (1953).
Результаты по большим уклонениям, принадлежащие де Хаану и Хордийку (1972),
сформулированы в упр. 26. Другие подобные результаты можно вывести из работ
Бука (1972) и Штайне б ах а (1976) с помощью представлений величины Zn, подоб¬
ных представлению для экспоненциального распределения из теоремы 1.6.3, которое
может быть соответствующим образом преобразовано в случае достаточно гладких
непрерывных распределений.
Названия приводимых ниже работ ясно указывают их содержание. Работы Сингха
(1967), Уолша(1969b) , Барлоу и др. (1969), Уэйсса (1969), Эннса (1979), Энтлаи
Радемейкера (1972) относятся к рассматриваемой тематике и подчеркивают некото¬
рые моменты, возникавшие в других контекстах.
§ 2.12. Упражнения
Во всех упражнениях исходные случайные величины независимы и одинаково распре¬
делены.
1.	Пусть F(x) - функция распределения равномерного на интервале (-2, 5) рас¬
пределения. Найти такие центрирующие и нормирующие константы ап и Ьп > 0, при
которых случайная величина (7Л - ап)!Ьп слабо сходится к пределу. Найти предел и
приближения для вероятностей P{Z50 <4,5} и P{X4e;j0 < 4,5).
2.	Оценить вероятность P{Zl 00 < 8), если распределение нормальное со средним
2 и дисперсией 4. Определить также приближение для вероятности P{Xe ;1 00 < ~8).
3.	Пусть случайная величина X имеет функцию распределения Н3 0 (х). Найти ма¬
тематическое ожидание и дисперсию величины X.	' .
4.	Случайная величина X имеет функцию распределения Н\ |7(х). При каких у
величина X имеет конечную дисперсию?
108

5.	Пусть случайная величина X имеет функцию распределения Н,0(х). Показать,
что тогда функция распределения случайной величины Y = ехрсг/у), где 7 > О,
совпадаете 7(х), а функция распределения случайной величины -1/У совпадаете
Я2,/х).
6.	Показать, что нельзя нормализовать максимум выборки в случае геометрическо¬
го распределения так, чтобы существовало невырожденное предельное распределение.
7.	Доказать для распределения Пуассона то же утверждение, что и в упр. 6.
8.	Обобщить предложения из упр. 6 и 7 и доказать следующий результат. Если слу¬
чайная величина Хх принимает только неотрицательные значения и соотношение
рСг,»"}
lim 	 = 1 не выполнено, то случайная величина (Zn - an)!bn не может
И—»-о© Р	+ 1}
сходиться к невырожденному распределению ни при каком выборе констант ап и Ьп.
9.	Пусть случайная величина X положительна и ее логарифм имеет стандартное
нормальное распределение, т.е. X является логнормальной величиной. Показать,
что при а-* 0 случайная величина о’1 (Ха - 1) сходится к стандартному нормально¬
му закону.
10.	Используя результаты § 2.1, получить утверждения, сформулированные в при¬
мерах 1.3.1 и 1.3.2.
11.	Вывести из утверждения (127) критерий принадлежности функции распределе¬
ния Г(х) области притяжения функции Н2 7(х).
12.	Показать, что в условиях теоремы 5.7.2 центрирующие и нормирующие кон¬
станты ап и Ьп > 0, при которых имеет место слабая сходимость величины
(Zn - an)jbn к невырожденному пределу, удовлетворяют следующему предельному
соотношению:
lim nbnf(an + b„z) = е ~2.
n~>°°
13.	Пусть Xt, Х2, . . . - независимые случайные величины, имеющие стан¬
дартное экспоненциальное распределение. Разобьем наблюдения Xj на группы так,
чтобы в каждой группе было по п наблюдений, и рассмотрим тп таких групп.Пусть
- минимальное из наблюдений &-й группы, а величина Zmn представляет макси¬
мальную из величин Wkп. Найти такие константы а(т, п) и Ь(т, п) > 0, при кото¬
рых величина (Zmn - а(т, п))/Ь(т, п) слабо сходилась бы к невырожденному преде¬
лу. Какое распределение будет предельным в этой ситуации?
14.	Переформулировать результаты § 2.7 для случайной величины Wn.
15.	Используя обозначения § 2.10, доказать, что если g(n) -► 0 при п -> °°, то в
случае экспоненциального распределения имеет место следующее предельное соотно¬
шение:
&п&', Wtl, g(n)/n, 1/п)
lim 			= е .
£(Л)
'16. Используя формулу (137), показать, что скорость сходимости распределения
Л-го экстремума имеет тот же самый порядок величины, что и скорость сходимости
распределения максимума или минимума, в зависимости от того, рассматривается
fc-й верхний или fc-Й нижний экстремум.
17.	Используя метод построения, примененный в примере 2.6.5, вывести для произ¬
вольной функции распределения Т(х) существование возрастающей последователь-'
ности целых чисел пк и таких последовательностей чисел ак и Ьк > 0, для которых
функция распределения случайной величины (Zn. - ак}(Ьк слабо сходится к Т(х)
(Грин (1976Ъ)).
18.	Доказать, что если функция F(x) принадлежит области притяжения функции
Я3 0 (х) и функция распределения F, (х) такова, что
1 - F(x)
lim 	2		 1,	(149)
x-w(F) 1 - F, (х)
то Ft(x) также принадлежит области притяжения функции Я3 0(х). Показать также,
что можно использовать одни и те же центрирующие и нормирующие константы
для максимума как в случае функции распределения F, (х), так и в случае функции
распределения F(x).
109

19.	Показать, что если функция распределения Г(х) принадлежит области притя¬
жения функции Н3 0 (х) ,то и функция
w(F)
Л(х)= 1 - f (1
X
также принадлежит области притяжения функции Н3 0 (х) (де Хаан (1970)).
20.	Доказать, что для произвольной функции Р(х)’из области притяжения функции
распределения Н3 0 (х) существует функция распределения Г, (х), удовлетворяющая
1 - F(x)
условиям теоремы 2.7.2 и такая, что при х -* co(F) предел отношения 	 ра-
1 -Л(х)
вен единице (Б ал кем а и де Хаан (1972)).	»
21.	Доказать утверждение, обратное утверждению упражнения 18: если при неко¬
тором выборе центрирующих и нормирующих констант ап и Ьп > 0 функции
+ Л^х) и F^{an + £«*) ПРИ п “* 00 сходятся к функции распределения
Я3 0(х), то справедливо соотношение (149). (Если имеет место соотношение (149),
то говорят, что хвосты функций распределения F(x) и F, (х) эквивалентны (Рез¬
ник (1971)).)
22.	Пусть XitX2, . . . - независимые случайные величины с общей функцией
распределения F(x), и пусть величина cj = u>(F) конечна. Показать, что при некото¬
ром выборе констант ап и Ьп > 0 величина (Zn-an)(bn слабо сходится к невы¬
рожденному пределу тогда и только тогда, когда существуют такие константы а„ и
что величина (Z„ - а^МЬя слабо сходится к невырожденному пределу. Здесь
Z* = max j	I (де Хаан (1970)).
1	( u> - Xj j
23.	Пусть Xlt X,, . . . - независимые дискретные случайные величины с общей
функцией распределения F(x). Предположим, что точки разрыва функции Г(х) -
целые положительные числа и что во всех достаточно больших целых точках эта функ¬
ция имеет положительные скачки. Показать, что такая последовательность ал, для
которой справедливы неравенства
lim sup V {Zn <ап + х} < ехр( -е hx)
и
liminf P{zn<an+x}> ехр(-е
Л-+ОО
существует тогда и только тогда, когда имеет место равенство
l-*") b
lim 	 = е .
1 _Г(л + 1)
Применить этот результат в случае геометрического распределения (Андерсон (1970)).
24.	Показать, что если ы(Г) = « и для некоторых и и и > 0 выполняется соот¬
ношение
lim х“(ехрхи)(1 - F(x)) = c (0<с<~),
то величина (Zn - an)lbn слабо сходится к Яэ,0(х), а константы ап и Ьп > 0 можно
выбрать следующим образом:
bn= 2-(lognC)<1-1’)/’’
и
и
ап = (log пс)
и log log ПС
i?(log«c/u“1^
(Вилласенор (1976)).
110

25.	Пусть F(x) - гамма-распределение с параметрами и и и, где и - некоторое це¬
лое неотрицательное число, а Т(х) - абсолютно непрерывная функция распределения
оо
такая, что со (Г) =« и / хи le^vdT{x) <«. Показать, что свертка этих двух
функций распределения принадлежит области притяжения функции Н3 0 (х) (Вилла¬
сенор (1976)).
26.	Пусть F(x) - абсолютно непрерывная функция распределения, а Т(х) ~
~ (1 - F(x))/f(x), где /(x) = F'(x), и пусть co(F) = °°- Рассмотрим неубывающую
функцию s(x), стремящуюся к бесконечности при х -* <». Показать, что если
7*'(г)$2(1/(1 - F(/)))-> 0 при	то для последовательности хп - O(s(ri)) выпол¬
няется соотношение
1 - Fn(an + хпТ(ап))
lim 		 1,
и-*«	1 - е*р( -ехр(-хл))
где ап определяется из соотношения F(an) = 1 - 1/и (де Хаан и Хор ди й к (1972)).

Глава 3
СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
Мы хотим избавиться от ограничительных предположений предыдущей гла¬
вы, состоящих в том, что основные случайные величины Xlf Х2, . . . , Хп
независимы и одинаково распределены (н.о.р.), и заменить их менее огра¬
ничительными предположениями. Эти новые модели откроют прикладни¬
кам более широкие возможности в тех случаях, когда решения задачи мож¬
но выразить с помощью асимптотических распределений экстремумов.
Сначала мы приведем очень общий результат о точном распределении
экстремумов при фиксированном п. Затем мы выведем из этого результата
несколько предельных теорем. Наконец, в ряде параграфов мы сформули¬
руем эти результаты для некоторых конкретных типов распределений ве¬
личин Xj (1 </<и). В этих последних моделях мы сосредоточим внима¬
ние на двух задачах: (1) какие ограничения на структуру распределений ве¬
личин Xj приводят к тем же самым типам предельных распределений для
экстремумов, которые мы получаем для случая н.о.р. величин, и (2) какие
новые типы распределений получаются для экстремумов при рассмотрении
ограничений, отличных от ограничений пункта (1)? После завершения тео¬
ретических исследований мы обсудим несколько прикладных моделей.
На протяжении этой главы мы будем использовать обозначения, введен¬
ные в’ § 1.2.
§3.1. Новый взгляд на модели отказов
Назовем компоненту системы существенной, если выход ее из строя вызы¬
вает отказ в работе всей системы. Пусть Xj обозначает случайное время
жизни /-Й существенной компоненты, и пусть п - число таких компонент.
Тогда время до отказа системы равно, очевидно, Wn = min (Х{, X2f... , Xn).
Предположим, что мы используем компоненты для того, для чего они были
произведены, т.е. на компоненту Xj система действует только через проце¬
дуру ее производства. Поэтому величина для конкретной системы опре¬
деляется на фабрике (или фабриках), производящей компоненты, процеду¬
рой выбора приобретаемых п (существенных) компонент. Для простоты
(и это вовсе не окажется ограничением; см. § 3.2) мы рассмотрим следую¬
щий случай. Пусть все компоненты будут подобными по своей природе;
таким образом, нашу систему можно собрать, приобретя п штук из боль¬
шого числа N изделий. Если из всего количества изделий М-M(N, х) из¬
делий выйдут из строя в течение интервала времени (0, х), то неравенство
W„ >х справедливо в том случае, если все компоненты взяты из ./V-Л/из¬
делий, каждое из которых продолжает работать по крайней мере х единиц
времени. Если в любой момент времени на складе имеется фиксированное
112

число TV изделий, а М случайно и зависит от времени приобретения, и если п
изделий, которые мы приобретаем, выбираются случайным образом, то из
формулы полной вероятности и из общей формулы случайного выбора
для конечной совокупности (гипергеометрическое распределение) следует
равенство
Р(И/„ > х) = V ^-Р(м « г),	(1)
r=o CNn
где распределение Р(М = t) зависит от х. Формула (1) является фактичес¬
ки частным случаем следующего результата. Если p„(7V, х) обозначает число
компонент среди приобретенных нами п компонент, которые выходят из
строя быстрее, чем за х единиц времени, то справедливо равенство
N-n с1!
Р(Ш*) = к) = S	Р(М = г).	(2)
Г-Дс Сдг
Удивительный результат следующего параграфа состоит в том, что модель,
которую мы только что описали, является наиболее общей моделью, кото¬
рую мы можем получить для Wn. Другими словами, распределение величи¬
ны Wn всегда имеет вид (1), а формула (2) также представляет собой наи¬
более общую форму распределения числа успехов в данной последователь¬
ности испытаний. Следовательно, распределение всех порядковых статистик
может быть сведено к формуле (2) (см. формулы (34) и (35) из § 1.4).
Так как наша модель очень важна, то рассмотрим ее подробнее.
Во-первых, почему наш подход является новым для моделей отказов?
Во всех известных автору опубликованных работах изготовитель компо¬
нент системы никогда не учитывался. Вместо этого делались предположе¬
ния о взаимосвязи тех п компонент, которые используются в системе. Мы
же, напротив, возлагаем всю ответственность на производителя компонент.
Взаимосвязь между величинами Ау явно не отражена в формуле (1); един¬
ственный фактор, влияющий на формулу (1), — это распределение величи¬
ны И. Конечно, косвенно мы налагаем некоторые условия на совместное
распределение величин Xj, поскольку оно в силу равенства (2) определяет¬
ся распределениями величин М = М (х), когда х пробегает все вещественные
числа.
Этот подход Иллюстрируется следующим ниже примером. В этом приме¬
ре мы обозначим продолжительность жизни N первоначальных компонент
через Ki, Y2 	YN. Предположим, что они имеют одну и ту же функцию
распределения F(x). Как и выше, Xlf Х2, . . . , Хп - это те из величин
Yj (1 </<7V), которые мы выбираем для составления системы, аМ = ЛГ(х)
обозначает число величин У) (1 </<2V), для которых выполняется нера¬
венство Yj <х. (В примере мы используем одно тождество для биномиаль¬
ных коэффициентов. По этому поводу см. упр. 3 гл. 1.).
Пример 3.1.1. Пусть совместное распределение величин У) (1 < j <N)
будет таким, что для всякого выбора подмножества индексов Kh <Л2<. • •
... <ik < Л/ вероятность.
Р(У,1 < х, У/з < х, ... , Yik < х) = Нк(х)
зависит только от к и х. (Заметим, что мы не предполагаем независимости
113

распределения вектора (У^, У/л,. . . , Yik) от индексов (fb i2, .
Условия налагаются только на события { Yif <х } , где для всех t значе¬
ние х одно и то же.) Поскольку М(х) является числом событий { Г/<х)
(1 </ <7V), которые произошли, из теоремы 1.4.1 следует равенство
Р(Л/(х)= 0 =	(-1)* <7+r Cj+tHk+t(x) =
к = 0
= С* V (-1)* CkN^Hk„(x).
k = 0
Подстановка этого равенства в формулу (1) приводит к соотношениям
N-n CrNi_t	N-f
P(Wn>x) = S	Cj S (-1)* C^_t Hk+t(x) =
r=0	Cp?	k~0
= S Сдт-и S (-1/ Cx_t Hk+t(x).	(3)
r=0	k = Q
Конечно, выбор функции Hk(x) = Fk(x} приводит к независимости, но
другие функции Нк(х) соответствуют зависимым величинам (1 < / < л).А
§ 3.2. Особая роль симметрично зависимых величин
Одним из широко используемых в теории вероятностей классов зависимых
случайных величин является класс симметрично зависимых величин.
Определение 3.2.1. Мы говорим, что случайные величи 1ы Ux,
U2,. . . , Un симметрично зависимы, если для всех перестановок (fj, i2, . . .
. . . , in) индексов (1,2,.. ., л) распределение вектора (Ut- ,Ui2, ... , Uifj)
такое же, как и распределение вектора (Ux, U2,. . . , Un). Кроме того,
бесконечная последовательность UX,U2, . . . случайных величин называется
симметрично зависимой, если каждый конечный набор величин Ux, U2, . . .
. . . ,Un симметрично зависим.
Заметим, что любое подмножество симметрично зависимых величин
симметрично зависимо. Достаточно показать это для конечного числа
величин, так как понятие симметричной зависимости для бесконечной
последовательности сводится к этому понятию для конечной последо¬
вательности. Чтобы избежать громоздких обозначений, проверим сначала
это утверждение для некоторого фиксированного п, например для п - 5.
Предположим, что величины Ux, U2,. . . , Us симметрично зависимы, и по¬
кажем, что таковыми являются и, например, величины U2, U3 и U5. Пусть
/ь/2 и /з — произвольная перестановка индексов 2, 3 и 5. По определению
симметричной зависимости имеем
P(Ux<xx, U4<x2, Ujx <х3, Uj2<Xt, Ujy <х5) =
P(UX <хх, Щ <х2, U2 <х3, U3 <х4 , U5 <х5).
Устремим Xi их2 к бесконечности. Тогда для всех перестановок (jx, j2, /3)
индексов (2,3,5) получим
Р(Ц, <х3, Uiz <хА, Ui}<xs) = P(U2<x3, U3<xA,Us<xs)-
114

Это как раз и является определением того, что величины U2, U3, U5 сим¬
метрично зависимы. Доказательство для произвольного п и для произволь¬
ного подмножества подобно доказательству, проведенному выше. Надо
просто устремить к бесконечности те переменные х;-, индексы которых не
содержатся в множестве, о котором идет речь.
Очевидно, что если величины Ulf U2,... ,Un — н.о.р., то они симмет¬
рично зависимы. Следовательно, понятие симметричной зависимости обоб¬
щает понятие независимости, при условии, что случайные величины одина¬
ково распределены.
Предположения о том, что конечный набор случайных величин симмет¬
рично зависим и что эти величины являются конечным подмножеством бес¬
конечной последовательности симметрично зависимых случайных величин,
существенно различны. Следующие ниже случайные величины симметрично
зависимы, но их нельзя дополнить до набора из более чем шести величин,
не нарушая их симметричной зависимости. Пусть случайные величины U\,
U2 и U3 принимают только значения 0 и 1. Положим P(t7y = 1) = 0,5 (1 <
</<3) и P\UX = U2 = 1) = Р(СЛ = U3 = l) = P(tf2 = U3 = 1) = 0,2. Эти вели¬
чины, конечно, симметрично зависимы, поскольку для любых веществен¬
ных чисел хь х2 и х3 и для любой перестановки (ib i2t i3) индексов
(1, 2, 3) вероятность P(t7Zi <хь Uj2 <х2,	< х3) либо равна нулю
(если хотя бы одно из чисел Ху отрицательно), либо равна единице (если все
числа х, больше единицы) или совпадает с выражением одного из следую¬
щих видов: P(Uif = 0), P(Uif = 0, Uis = 0) или Р(Щ = U2 = U3 = 0). Но -по
предположению P(Uit = 0)= 1 - P(Uit = 1) = 0,5 для всех индексов zr, и для
любых индексов it и is выполняются равенства
PW, =0, uis = 0) = P(VZf =0) - P(tf,r = o, и,;= 1) =
= РЩ, =0) - [P(l/Zj = 1) - P(Z7/f = 1, Uig = 1)J = 0,2.
Предположим теперь, что	U3 — это первые три величины в после¬
довательности (7Ь U2,.. . , Un симметрично зависимых величин. Тогда, в
частности, получим P(t7y = 1) = 0,5 и P(Uj■= 1, Ut = 1) = 0,2 для всех 1 < / <
< t < п. Пусть vn - число единиц в последовательности UX,U2	 Un. С
помощью леммы 1.4.1 мы можем вычислить дисперсию V величины vn.
Тогда получим
0 < V = Е Р2„ - ЕЧ = Е К(р„ - 1)] + Ер„ - ЕЧ =
= 2 52>„ +51,„-512,„ = 2CjJ 0,2 + 0,5л - (0,5 • л)2 =
= 0,3и -0,05 и2,
т.е. 0,05л2 < 0,3л и, следовательно, л < 6, что и требовалось доказать.
В предыдущем параграфе в частном случае мы видели, что если Ux,
l/з,. • • , Un — индикаторные случайные величины (т.е. они принимают толь¬
ко значения 0 и 1), то понятие симметричной зависимости эквивалентно
следующему свойству. Дня всех к > 1 и для произвольного подмножества
индексов 1	</2 <...</*< л имеет место равенство
Р(С7Л = Ц-2 = ... = Ц—1) = P(t/i =t/2 = ... = t/fc = l).
Этот факт, конечно, справедлив и в общем случае, причем его доказатель¬
115

ство точно такое же, как и доказательство, приведенное в предыдущем па¬
раграфе. Детали мы опускаем.
Определение 3.2.2. Конечная или бесконечная последовательность
событий называется симметрично зависимой, если их индикаторные вели¬
чины симметрично зависимы. Поэтому из определения 3.2.1 и замечания
из предыдущего параграфа следует: события Сг, С2, . . . , Сп симметрично
зависимы, если для всех к > 1 и для произвольного множества индексов
1 ^/1	< и имеет место равенство
Р(СЛСЛ ... cik) = P(C1C2...CJt).
Кроме того, бесконечная последовательность событий Сь С2, . . . симмет¬
рично зависима, если таковыми являются все конечные подпоследователь¬
ности вида С]', С2,. . . , Сп (п > 2).
Теперь мы сформулируем довольно удивительный результат.
Теорема 3.2.1. Пусть А ь А2,. .. , А„ - произвольная последователь¬
ность событий. Обозначим через vn(A) число событий Ait которые произо¬
шли. Тогда найдется такая последовательность Cit С2, . . . , Сп симметрично
зависимых событий, для которой при всех Г > 0 справедливо равенство
. Р(уп(А) = Г) = Р(^(С) = Г),
гдеу „(С) - число событий Cj, которые произошли.
Здесь уместно вспомнить § 1.4, в котором подчеркивалось значение
распределения P(yn(A) = t) в теории порядковых статистик. В частности,
Р(^(Л) = 0) = Р(И/Л > х), если А, = ЛДх) = { Xj < х }, где Хх, Х2,. . . , Х„ -
некоторые случайные величины. Из нашей теоремы, приведенной выше,
следует, что вместо произвольных случайных величин всегда можно рас¬
сматривать последовательности, для которых события {Xj<x} симмет¬
рично зависимы. Аналогичное замечание можно сделать относительно
величины Zn, как, впрочем, и для произвольных порядковых статис¬
тик.
Для доказательства теоремы 3.2.1 мы приведем сначала одну лемму.
Лемма 3.2.1. Убывающую последовательность неотрицательных чисел
1=а0>а1 > . . . >ал >0 можно связать с некоторой последовательностью
Ci, С2,. . . , Сп симметрично зависимых событий по правилу
а* = P(Ct С2 . ..	(4)
тогда и только тогда, когда разности 8rak удовлетворяют соотношениям
Sran_, > 0 (0<г<п)	(5)
и
Z СпгЬгап_г=\.	(6)
г=0
Здесь разности Ьгак определяются рекуррентно соотношениями 6°ал = ак и
& ак ~ ак ~ ак+1 ,	$Г<*к =5(5Г 1 &к)	(7)
Доказательство. Предположим сначала, что последовательность
ак определена соотношениями (4), где события Сх, С2,. . ., Ск симметрич¬
но зависимы. Тогда, очевидно, ак > ak+i и, таким образом, 8ак > 0 (0 <
- 1). Чтобы показать справедливость неравенства (5) для г > 1,
116

заметим, что справедливо представление
8rak = P(G С2 . . . СкСк\х . . . Ск+г) (к<п-г, г>1).	(8)
Действительно, при г = 1 имеем
^ак = ?(С1 С2 . . . Ск) — P(Ci С2 .. - Ck + i)= P(Ci С2 ... Ск Ск^),
что совпадает с равенством (8). Предположим, что равенство (8) справед¬
ливо для данного г и всех£ < п - г . Тогда мы можем записать соотношение
дг+1ак = ЩЪ) = P(G Сг ... Ск С*'+1 ... Ск'+Л -
— P(CiC2 . . . Ck+iCk+2 ••• Q+r+i)-	(9)
Но в силу симметричной зависимости имеем
Р (С1 С2 ... Ск-\-1 Ск+2 • • • £jt+r+1) ~
= Р (С) С2 . .. Ск Ck'+i... Ck+r Ck+r+i),
и, следовательно, из равенства (9) вытекает формула
«г+‘ ак = Р(С, С2 ... CkCk+l... Ck+r Ck+r+i ).
Таким образом, индукцией по г получаем соотношение (8), из которого
следует соотношение (5). Из предположения о симметричной зависимости
событий Сь С2, . . . , Сп и равенства (8) также следует соотношение (6).
Действительно, учитывая симметричную зависимость, получим, что для
произвольной перестановки (ilf i2,... , in) целых чисел (1,2,..., п) из
соотношения (8) следует равенство
Ь*ап_г = P(CZi Ci2 . . . С1п_гС/п_г+1 ... С,'п).	(10)
События, стоящие в правой части этого равенства, несовместны, и их объе¬
динение по всем перестановкам и всем г дает все выборочное пространство.
Таким образом, суммируя равенства (10), приходим к равенству (6),
что завершает доказательство первой части леммы.
Предположим теперь, что справедливы соотношения (5) и (6). Мы по¬
строим вероятностное пространство и последовательность С\, С2, . . . , Сп
симметрично зависимых событий на нем, для которых выполняется ра¬
венство (4).
Возьмем в качестве выборочного пространства множество (0, 1, 2, . . .
.. ., 2п - 1) последовательных целых чисел; Имеем
х = х' ак2к (0<х<2"-1),	(11)
где ак равны 0 или 1. Определим вероятностную меру на множестве всех
подмножеств этого выборочного пространства, приписывая вероятности
Р((х}) значение &апг, где г — число нулей среди коэффициентов ак,
а значение х определено соотношением (11). Пусть теперь Q — это множест¬
во тех значений х (0	< 2п-1) , для которых aj= 1. Тогда для 1 < z’i<. . .
• . .< ik < п событие CZi Ci2 . . . С,к — это множество значений х, для
которыхait =а,2 = . . . ~^ik = 1. Оставшиеся (и — к) коэффициентов^ мо¬
гут принимать значения 0 или 1, и так как распределение Р определяется
117

(12)
числом нулей среди коэффициентов а,, то справедливо равенство
Р(С, С/ ... Clk) = "f* С,'_к 8гап г .
г=0
Поскольку правая часть этого равенства не зависит от перестановки
О’ь G, • • • > ik)» события Сь С2, . . . , Сп симметрично зависимы. Кроме то¬
го, из соотношений (7) можно вывести равенство
S С,Г_* ьга„_г = ак,	(13)
г=0
которое вместе с соотношением (12) дает нам равенство (4). Поэтому
доказательство будет закончено, если мы установим равенство (13). Сна¬
чала заметим, что из соотношений (7) индукцией по г можно получить
равенство
Ь'ак = S (-1)' С/ ak+J (к + г Си)	(14)
/ = о
(детали содержатся в упр. 4). Таким образом, имеем
Хк С^к 84-г = S-* 2	4 а„_г+/ =
г=0	г=0	/=0
= S а, Г (-1 )'€„'_ k С/,
t = k
где S * обозначает суммирование по всем г и /, для которых п - г + / = t,
0<г< п-к. Следовательно, если t = ку то S* содержит только
одно слагаемое, а именно слагаемое, соответствующее /=0иг=л- к ,
т.е. коэффициент при ак равен единице. С другой стороны, при t > к, г =
= п - t + /Си - к выполняется неравенство/С t - к, и, таким образом, ко¬
эффициент при аг в этом случае равен
Г(-1Ис/_*с/= х* (-1)'спп-_^ =
= с'-_\ *Х (-1)’С/_к = 0.
/=0
Поэтому справедливо соотношение (13), и доказательство леммы закон¬
чено.А
Доказательство теоремы 3.2.1. Мы прибегнем к использова¬
нию теоремы 1.4.1, которая утверждает, что биномиальные моменты опре¬
деляют распределение числа наступлений события в последовательности ис¬
пытаний. Пусть Sk n(A) nSk n(C) обозначают биномиальные моменты ве¬
личин vn(A) и р„(С) соответственно. Тогда для доказательства теоре¬
мы 3.2.1 мы должны показать, что для любой выбранной последовательно¬
сти событий А ь Л 2, . . . , Ап можно найти такую последовательность сим¬
метрично зависимых событий Сь С2, . , . , Ся, что для всех к > 1 имеет
место равенство Skin(A) = Sk п(С). Но для симметрично зависимых
величин справедливо равенство Sk п(С) = С^к (£>1), где ак определено
118

соотношением (4). Поэтому нам нужно показать, что последовательность
5Л,„(Л)
(1 < к < п), а0 = 1,
(15)
С
к
п
убывает и что она' может быть связана с некоторой последовательностью
симметрично зависимых событий с помощью равенств (4). То, что после¬
довательность ак убывает, можно показать несколькими способами главы 1
(см. упр. 2 гл. 1). С другой стороны, для того чтобы показать, что последо¬
вательность (15) можно связать с последовательностью симметрично зави¬
симых событий с помощью равенств (4), воспользуемся леммой 3.2.1.
Мы обнаружили, что утверждение теоремы эквивалентно условиям (5) и
(6) для чисел ак, определенных равенствами (15). Заметим, что, посколь¬
ку а0 = 1, условие (6) выполняется в силу соотношения (13). Следова¬
тельно, нужно доказать только то, что выполняется условие (5). Случай
г = 0 очевиден. Пусть г > 1. Тогда с помощью равенства (14) условие
(5) приводится к виду
i (-I)'C',	(!<'«-).	(10)
/=о	Сл 7
Из леммы 1.4.1 следует соотношение
^w-r+/>U) _ v
XVI-г+/
е п
»*п(14)[рп(Л) - 1] ... [и„(Л)-и+Г-/+1]
п{п -1).. . (г -j + 1)
Следовательно, полагая
.	Рп(Л)[р„(Л) - 1] . .. [к„(Л)-к + 1]
ак =		—	 (17)
п(п-\) ... (п-к + 1)
и еще раз используя равенство (14), мы можем переписать неравенство
(16) в виде
Е(5гал*_г ) > О (1<г<и).	(18)
Чтобы доказать неравенства (18), рассмотрим для каждой точки со выбо¬
рочного пространства следующую задачу простого выбора. Пусть со фикси¬
ровано, так что рл(Л) — корректно определенное целое число. Пусть неко¬
торая урна содержит п шаров, рл(Л) из которых белые. Мы выбираем шары
без возвращения и полагаем, что событие С* означает появление белого ша¬
ра при /-м выборе. Тогда события С* симметрично зависимы и соответ¬
ствующая величина в равенстве (4) равна а*к из соотношения (17) (см.
упр. 5). Таким образом, в силу леммы 3.2.1 для каждого со справедливо
неравенство 6гал*_г>0 откуда, очевидно, следуют соотношения (18).
Теорема доказана. А
Теперь мы приведем общую формулу для распределения величины ^2(С)
для симметрично зависимых событий Сь С2, . . . , Сп. Эта формула, если
учитывать теорему 3.2.1, будет подобна формуле (2). Тем самым будет
оправдано замечание, которое следует за формулой (2).
Теорема 3.2.2. Пусть Сь С2, . . . , С„ - симметрично зависимые со¬
бытия. Если рл(Л) определено, как и выше, то для t > 0 справедливо
119

равенство	„
Р(р„(С)= 0 = S - ?	"~Г Рг,
г=г С"
где N> п - фиксированное целое число, аРт (О < 71 <2V) - некоторое веро-
ятностное распределение.
Замечание 3.2.1. При N=n утверждение, конечно, тривиально, но
при N > п оно содержательно и важно. В особенности это представление
имеет большое значение в предельных теоремах в том случае, когда tV в ели¬
ко по сравнению с п. Доказательство, которое следует ниже, конструктив¬
но, построенная последовательность Рг (1 < Т <Л/) дается формулой (19).
Чтобы получить нижние оценки вероятности в зависимости от N, можно
использовать лемму 3.2.1, хотя вычисления, которые для этого потребуют¬
ся, без применения быстродействующих компьютеров могут оказаться
очень длинными. Теорема включена в изложение не для получения вычис¬
лительных выгод; эта теорема скорее имеет целью обосновать наше утвер¬
ждение из § 3.1 о том, что общие модели эквивалентны простой модели
отказов, обсуждаемой здесь. Это фактически выражено в следствии 3.2.1.
Кроме того, теорема 3.2.2 будет служить основой для предельных теорем
из § 3.4, а также для модели из § 3.5.
Прежде чем приступить к доказательству, объединим теоремы 3.2.1
и 3.2.2 следующей формулировкой.
Следствие 3.2.1. Пусть А ь Л2, . Ап - произвольные события.
Пусть р„(А) - число событий А, которые произошли. Тогда при некотором
целом п на множестве целых чисел 0 < Т C7Vсуществует такое распре¬
деление Рт, что выполняется равенство
jy С/ С^~т
Р(р„(Л)= /) = S -Т- f ■ Рт.
T=t Сдг
Это следствие ^немедленно вытекает из упомянутых теорем. Итак, необ¬
ходимо доказать только теорему 3.2.2.
Доказательство теоремы 3.2.2. Пусть п — такое целое
число, что события Сь С2, . . . , Сп можно расширить до множества Сх,
С2,	См симметрично зависимых событий. Тогда из (10) следует
Р(МС) = Т) = Си bN-T ат = Ру.	(19)
Теперь мы пересчитаем вероятности P(CZi С,2 . . . С^) для 1,< i\ < i2 < . . .
. . . < ik в терминах Рт. По формуле полной вероятности имеем*
P(Cit ci2 ... cik)= Р(С£> С,.2 . .. Cik/vN(C) = Г)Р7,	(20)
С другой стороны, снова обращаясь к (10) и учитывая (19), получим
CTN~kk 8N-TaT
P(Cit С,2 ... Cik/vN(C) = Т) =
L дг О	OCj'
T(T-i) . . . (Т-Л + 1)
N(N -I)... (N -	1)
(T> k).
(21)
120

Эта формула знакома нам в связи с задачей выбора без возвращения из со¬
вокупности, состоящей из N предметов, содержащей Т отмеченных предме¬
тов (см. у пр. 5). Следовательно, из соотношений (20) и (21) вытекает
утверждение теоремы 3.2.2. Доказательство закончено. ▲
§ 3.3. Подготовительный материал к предельным теоремам
Мы бы хотели определить предельные распределения величин (Zn - afl)fbn
и (W„- Сп)№п при соответствующим образом выбранных постоянных
Ьп > 0, сп> dn > 0 для того случая, когда случайные величины Х2,.. .
. . . , Хпне являются н.о.р. Кроме того, нам бы хотелось наложить на зави¬
симость между ними как можно более слабые ограничения. Однако, чтобы
получить осмысленные предельные теоремы, все же необходимы некоторые
ограничения. Следующие примеры указывают на то, какого рода ограниче¬
ния необходимы для получения нетривиальных предельных теорем.
Пример 3.3.1. Пусть Xif Х2,.. . , Хп - это п одинаковых копий слу¬
чайной величины X с функцией распределения F (х). Тогда Zn = Иг„ = Аги,
следовательно, предельным распределением как для Zn, так и для Wn бу¬
дет служить произвольное распределение F (х). Следовательно, некоторые
предположения определенно необходимы. ▲
Пример 3.3.2. Пусть Yit Y2,. . . , Yn - н.о.р. стандартные нормаль¬
ные случайные величины. Пусть U — произвольная случайная величина с
функцией распределения F(х). Пусть X; = U + Yj (\ < j < п). Тогда Zn =
= U + max (Уь Y2,. . . , Yn). В силу п. 2.3.2 для любого е > 0 имеем
lim Р(| тах(Уь У2	У„) - (2 logw)1'2 |> е) = 0.
п-*°°
Поэтому из леммы 2.2.1 следует, что справедливо равенство
lim P(Z„ - (2 logn)1'2 < х) = P(U< х) = F(x).
П->оо
Так как функция F (х) произвольна, то осмысленная модель для асим¬
птотической теории экстремумов не должна содержать последовательности
величин такого типа. ▲
Пример 3.3.3. Пусть F(x) - произвольная функция распределения.
Пусть г(Г) (t = 1, 2, . . . ) — вероятностное распределение, причем г (t) >0
для всех Г. Пусть Xif Х2, . . . — независимые случайные величины, и пусть
функция распределения величины X,- имеет вид Fr^(x). Тогда по основ¬
ной формуле (5) гл. 1 имеем
P(Z„ <х) = Fr(l)(x)Fr(2\x) . . . Fr(n)(x) = Fs(n)(x),
где s(n) = r(l) + r(2) + .. . + r(ri). Следовательно, справедливо равенство
lim P(Zn <x) = F(x), в котором функция F(x) снова произвольна. ▲
и-**»
Каждый из приведенных примеров можно соответствующим образом
модифицировать, чтобы выявить аналогичные ситуации для величины Wn.
Проанализируем причину, по которой в качестве предельного распреде¬
ления для величины Zn получается произвольное распределение. Еще бо¬
лее важным является вопрос об условиях, исключающих подобные яв¬
ления.
121

Тривиальная модель первого примера, очевидно, исключается, если
заранее известно, что величины Wn nZn существенно различны. Это дости¬
гается при помощи простейших предположений.
Для того чтобы понять структуру второго примера, рассмотрим все
экстремумы величин Xlt Х2, . . . , Хп. Очевидно, все порядковые статисти¬
ки величин Xj можно получить из порядковых статистик величин У7 добав¬
лением к последним величины U. В силу теоремы 2.8.1 и п. 2.3.2 прим -><»
имеет место предельное соотношение
P(|r„_*;„-(21og«)1'2|>e)-> 0,	(22)
где е >0 произвольно, а к — фиксированное целое число. Снова применяя
лемму 2.2.1, получим равенство
lim Р(Х„_Л:„ < (2 log и)1/12 + х) = Р(17<х) = Г(х).	(23)
Таким образом, для верхних экстремумов нормализующие (т.е. нормирую¬
щие и центрирующие) постоянные имеют вид ап = (2 log и)1 ^2, bn = 1, и
предельное распределение F (х) не зависит от к. Мы можем пойти даже
дальше, заметив, что как соотношение (22), так и соотношение (23) оста¬
ются справедливыми для последовательности к - к(п), стремящейся при
п -► 00 к бесконечности очень медленно .(мы не будем вдаваться в детали;
заинтересованный читатель может легко вывести этот факт из формул
§ 2.8). Поэтому мы исключаем эту структуру из модели, предполагая, что
имеются по крайней мере два верхних (нижних) экстремума, которые
существенно различаются. Мы также можем исключить эту ситуацию,
предполагая, что величинаХп_к:п имеет различные асимптотические свой¬
ства при к фиксированном и при к, стремящемся вместе с п к бесконеч¬
ности.
Обращаясь к последнему примеру, заметим, что вклад распределения ве¬
личины Xj в распределение величины Zn не меняется с изменением п. Следо¬
вательно, воздействие каждой величины Xj на величину Zn остается посто¬
янным при стремлении и к бесконечности. Такая ситуация будет исключе¬
на с помощью предположений следующего типа. В некоторых моделях
мы будем предполагать, что нормализующие постоянные ап и Ъп в выраже¬
нии (Zn - an)!bn таковы, что последовательность Fj(an + bnx) сходится
к единице при п -► 00 равномерно по/. Здесь, как и везде, Fj(x) обозначает
функцию распределения величины Xj.
Предположения, введенные в предыдущих параграфах, конечно, исклю¬
чают некоторые модели, но это будут как раз те модели, которые соответ¬
ствуют трем приведенным выше примерам. Например, предположение о том,
что верхние экстремумы имеют при некотором выборе нормализующих
постоянных предельные распределения, автоматически исключает модели,
в которых последовательность (Zn - an)/bn слабо сходится, но ни при
каких нормализующих постоянных и Ь* > 0 последовательность
(^n-i:n -ап)/Ьп не будет слабо сходиться. Поэтому мы не будем стре¬
миться к построению единой общей модели. Лучше мы выделим несколько
общих структур, которые, возможно, приведут к частично пересекающим¬
ся моделям, для которых как математическая теория, так и ее приложения
интересны и важны.
122

§ 3.4. Предельная теорема для смесей
Пусть Д (и, М, 7V) обозначает гипергеометрическое распределение
С п ~~ к
fk(n,M,N) =	■\-7V-Af- (fc = 0,1,..., min (Л/, л)).
Сдг
Тогда следствие 3.2.1 можно переформулировать в следующем виде: рас¬
пределение числа наступлений события в данной последовательности испы¬
таний всегда является смесью распределения fk (п, М, N) и произвольного
дискретного распределения для М. В интегральной форме следствие 3.2.1
принимает вид
Р(рл(Л)= Г) = f ft(n,y,N)dUn(yl	(24)
о
где Un(y) является для каждого п = 1, 2, . . . такой функцией распределе¬
ния, которая имеет положительные приращения только на интервалах,
содержащих неотрицательные целые числа, причем Un(N) = 1.
Используя обозначения (24), мы докажем следующий важный результат.
Т е о р е ма 3.4.1. Для того чтобы для каждого t при п-+°° и N/n су¬
ществовал предел
Jim Р(рп(Л) = Г) = gt
и {£7} было распределением, необходимо и достаточно, чтобы последова¬
тельность функций Un(Ny!ri) слабо сходилась к некоторой функции распре¬
деления U(y). При этом пределы gt удовлетворяют равенству
gt = — 7 yfe~y dU(y).	(25)
t\ о
Чтобы упростить доказательство, выделим одну из его частей в виде
леммы.
Лемма 3.4.1. Пусть последовательность (Г = 0, 1, . . . ) является
распределением, и пусть 1Ду) - функция распределения. Предположим,
что выполнено равенство (25). Тогда последовательность {gt \ однознач¬
но определяет функцию U{y).
Доказательство. Пусть z — действительное число, z < 1. Тогда в
силу равенства (25) имеем
M(z) = S
г=0
оо
е~у S
г=о
1 dU(y) =
J
gt Z* = /
О
= f e-y(i~z>> dU{y) (z< 1),
0
где изменение порядка интегрирования и суммирования оправдано теоре¬
мой о мажорируемой сходимости (П. I). Сделаем в последнем интеграле
подстановку и = е "у и определим функцию V(u) = 1 - U(y) в точках не¬
прерывности функции U(y). Тогда получим равенство
1
М(\ -s) = f usdV(u) (s>0).
о
123

Этс равенство означает, что функция Af (1 — s) является моментом порядка
s функции V(u). Поскольку йоменты однозначно определяют функцию
K(u) (F(u) является функцией распределения ограниченной случайной ве¬
личины; см. П II), лемма вытекает из следующей цепочки рассуждений.
Последовательность {gf} определяет функциюM(z), функция М(1 - s)
определяет функцию К(и), которая, наконец, однозначно определяет функ¬
цию распределения U(y), что и требовалось доказать. ▲
Следующая лемма хорошо известна в элементарной теории вероятностей.
Лемма 3.4.2. При п-^^М-^00 и nM/N->а > 0 справедливы равенства
lim fk(n,M,N) =	(* = 0,1 , 2, . . . ).
к\
Доказательство. Введем обозначение bm(x) -х(х — 1).. .(х — m + 1).
Тогда имеет место представление
bk(ri)bk(M)bn k(N - М)
*! b„(N)
Заменим в знаменателе bn(N) на bk(N) • bn_k(N - к). Далее заметим,
что при наших предположениях об условиях перехода к пределу при
фиксированном к имеет место равенство
Ьк(п)Ьк(М) к
lim		 а .
bk(N}
Следовательно, остается установить соотношение
bn_k(N-k)
(26)
Начнем с равенства
п_к_1	1 -Ц(Н-М)
/?1	\-j/(N-k)
При наших предположениях {к фиксировано) с помощью элементарных
вычислений получаем
С другой стороны, из разложения Тейлора
log (1 -у) = -у + ту2, I т | < 1 при 17 | < 1/2,
можно легко вывести соотношение
п — к — 1
П
/=1,
1--/Ж-7И)	(_сМп2\
1 -j/(N-k) ~ еХР\ № J 1
124

Из последних соотношений следует равенство (26). Доказательство закон¬
чено, а
Теперь обратимся к доказательству теоремы 3.4.1.
Доказательство теоремы 3.4.1. Предположим сначала, что
функции Un(Ny!n) сходятся к собственной функции распределения U(y).
Пусть В — такая точка непрерывности функции U(y)9 что 1 —	< €.
Тогда справедливо неравенство
00 1 ,
f - у'е-ЧЩу) < 1 - ЩЯ) < е;	(27а)
в t\
если п достаточно велико, то имеют место неравенства
7	1 Un	2(1	<2е	(27Ь)
Заменяя в подынтегральном выражении в (24) у на Ny/n, получим
р(р„(х) = 0=7	7V)dCZ«(~)-
(28)
Чтобы оценить разность Р(р„(Л) = t) -gti где gt определено
(25), оценим сначала выражение
в	i	TVy	\	/Ny\	в 1
f ffln^±9N)dUJ — ) - f — yT e~y dU(y).
0	\	n	/	\ n /	0 t\
В силу неравенства треугольника имеем
формулой
в	/	Ny	\	/Ny\	в 1
f fJn, — , N]dU„ — - J — у1 е-У dU(y)
о	\	п	/	\ и /	о г!
+
Й 1	[Ny\	в 1
J — У‘е у dUn[	I- f .—yre у dU(y)
or!	\ п /	о г!
(29)
Лемма 3.4.1 гарантирует, что при п 00 и N/n -► о© выполняется предельное
соотношение
причем сходимость равномерная на конечном интервале 0 < у < В (см.
упр. 6). Поэтому для произвольного е > 0 при достаточно больших п вы¬
полняется неравенство
< eUn
(30)
Чтобы оценить вторую разность в правой части неравенства (29), построим
римановские суммы, близкие к стоящим там интегралам. Пусть Т — фик¬
сированное число. Пусть 0=^0<^У1 < • . < Ут = В — точки непрерывности
125

функции U(y). Кроме того, пусть Т и ^таковы, что выполняются нера-
венства
в 1
J — у*е ydU„
о Z!
<е
f 1 у'е-У dU(y) _ -Ly'f e~yi \U(yj) - U{yt^} | < e.
Поскольку по предположению Un(Nyjlri)-* U(yj) (0</ < Г) при n
эти две римановские суммы для всех достаточно больших п различаются
меньше, чем на Зе . Снова применяя неравенство треугольника, получим,
что абсолютная величина разности интегралов меньше Зе . Из этого факта
и неравенства (30) вытекает, что левая часть неравенства (29) меньше 4е ,
если п достаточно велико. Поэтому, учитывая соотношения (27) и (28),
получим
|Р(р„(Л) = t)-gt\<
В	В 1
! ft dun - f —yte~ydU(y)
о	or!
+
+ ft dUn + f ~~у*e~y dU(y) < 7e,
в	в г!
где функции ft и Un - такие же, как в равенстве (28). На этом заканчи¬
вается доказательство достаточности в теореме.
Докажем теперь обратное. Предположим, что при	вероятности
Р(р„(Л) = Г) сходятся к (f = 0, 1, 2, . . . ) и последовательность {gr} яв¬
ляется распределением. Выберем теперь подпоследовательность п(т)
(m = 1, 2, . . . ) целых чисел, для которой функции Un^my(Ny/n(m))слабо
сходятся к обобщенной функции распределения U(у) (такая подпоследо¬
вательность существует в силу компактности функций распределения;
см. П II). Повторим доказательство первой части теоремы для подпоследо¬
вательности п(т) с единственным изменением, состоящим в том, что теперь
мы выбираем В так, чтобы выполнялось неравенство [7(°°) - U(B) < €.
Тогда получим
gt =7 7y,e~ydU(y).	(31)
Г! о
Последовательность {g,} является распределением. Поэтому, суммируя
по Г обе части равенства (31), получаем t/(°°)= 1, так что функция U(y)
является функцией распределения. Если бы последовательность функций
Un(Ny/ri) не сходилась слабо, то мы смогли бы выбрать две такие под¬
последовательности п(т) и и($), что последовательность функций
Un^m/Nyln{m)) сходилась бы слабо к функции С/(у), а последователь¬
ность функций t7nU)(^Vy/w(^)) сходилась бы к другой функции U*(y).
Но тогда формула (31) будет справедливой как для функции L/(y), так
и для функции U*(y), что противоречит лемме 3.4.1. Этим заканчивается
доказательство теоремы 3.4.1 .▲
То, что ft является гипергеометрическим распределением, в приведен¬
ном доказательстве не имеет значения. В качестве ft можно брать различ¬
ные распределения. В частности, замена распределения на биномиальное
126

распределение не потребует никаких изменений в доказательстве. Таким
образом, мы получаем следующие результаты.
Теорема 3.4.2а. Пусть Un(y) - последовательность таких функций
распределения, для которых Un(0) = 0 и Un(\ + 0) = 1. Тогда для того, что¬
бы при любом t существовал предел
lim / C/pf(l -р)"’f dUn(p) = gr
0
и последовательность {gf} была распределением, необходимо и доста¬
точно, чтобы последовательность функций Un(p/n) слабо сходилась к не¬
которой функции распределения U(y). Пределы gt удовлетворяют со¬
отношению (25).
Теорема 3.4.2Ь. Пусть Up(y) при каждом р (0	<1) есть такая
функция распределения, что Up(y) может иметь положительные прираще¬
ния только на интервалах, содержащих неотрицательные целые числа. Пусть
p(s) -такая числовая последовательность, что p(s)-+ 0 при	Тогда
для того, чтобы предел
lim J Cf p(s? [1 - p(s)] y r dUpts)(y) = gt
0
существовал для каждого t и последовательность {gt} была распределе¬
нием, необходимо и достаточно, чтобы последовательность функций
Up(s)(y/p(s)) слабо сходилась к некоторой функции распределения U(y).
Пределы gt удовлетворяют соотношению (25) .
Заметим, что в каждой из этих трех теорем утверждается, что если пре¬
делы gt существут, то они удовлетворяют соотношению (25). Поэтому из
леммы 3.4.1 вытекает следующий интересный факт. Так как последова-
ность{^г} однозначно определяет функцию распределения U(y) из равен¬
ства (25), то специальные виды распределений gt могут быть получены толь¬
ко из определенных функций U(y}. Это иллюстрируется следующими дву¬
мя следствиями. Будем использовать обозначения из формулы (24).
Следствие 3.4.1. Для того чтобы при п и N/n -> 00 выполнялись
равенства
ат е~а
lim Р(р„(Л) = Г) =	 (а>0, t = 0, 1,2, . . . ),	'	(32)
Г!
необходимо и достаточно, чтобы последовательность Un(Ny/ri) сходилась к
единице при у > а и к нулю при у <а.
Доказательство. По лемме 3.4.1 левая часть равенства (32)
имеет при каждом t предел, и эта предельная последовательность является
распределением тогда и только тогда, когда функции Un(Ny/n} слабо схо¬
дятся к некоторой функции распределения U(y). Kpoitfe того, выполнено
равенство (25). Так как при
U(y) =
1 при у > а,
0 при у < а
(33)
последовательность g-t из равенства (25) становится правой частью равен¬
ства (32), то из леммы 3.4.1 следует, что не существует других функций
127

U(y), для которых это соотношение имело бы место. Доказательство
закончено, а
Следствия, подобные приведенному выше, могут работать и в обратном
порядке. Мы начинаем с функций U(y), затем вычисляем gt с помощью
равенства (25) и отмечаем, что эти пределы gt можно получить только с
помощью слабой сходимости функций Un(Ny/ri) к функции U(y), с кото¬
рой мы начали рассуждение. Для дальнейших ссылок мы сформулируем
еще один частный случай. Он получается, если положить U(y) = 1 — е~ау
(а>0,у>0).
Следствие 3.4.2. Будем использовать обозначения (24). Для того
чтобы при п-+°° и N/n -> °° выполнялись равенства
lim Р(у„(А) = t) = --а	(д>0, Г = 0,1,2,...),
(1 +а)г 1
необходимо и достаточно, чтобы функции Un (Ny/ri) сходились к функции
U(y) = \ - е~ау (у>0).
§ 3.5. Теоретическая модель
Используя результаты предыдущего параграфа, мы опишем модель, имею¬
щую большое теоретическое значение. В частности, мы получим в нетриви¬
альной ситуации широкий класс возможных предельных распределений для
экстремумов (см. § 3.3). Поэтому, если предположения частных моделей,
вводимых в последующих параграфах (§ § 3.6 — 3.10), не будут выпол¬
няться в конкретной ситуации, то мы сможем обратиться к общей модели
этого параграфа и попытаться приспособить данные к одному из распре¬
делений экстремальных значений, которые мы получим.
Как уже отмечалось, мы используем обозначения из § 1.2. Таким обра¬
зом, Х2, . . . , Хп — это основные случайные величины, a Fj(x) =
= Р(Л <х). Кроме того, Нп(х) и Ln(x) обозначают функции распределе¬
ния максимума Zn и минимума Wn соответственно. Наконец, будут часто
использоваться обозначения
х2, . . . ,xk) = P(Xis<xs, К s < к)	(34)
И
Gl(k)(xif х2,. . . , хк) = P(Xis>xs, 1 <s<fc),	(35)
где 1 <z’i <i2 <.. . <ik <п — заданные целые числа. Если Xj = х2 = • • •
.. .~хк = х, то мы используем сокращенные обозначения
Fi{k}(xx,x2	хк) = F/(\)(x), G/(Jt)(x1, х2	x*) = G4(x). (36)
Очевидно, F/(1)(xj) = F^/xj) = ЛДхО и	= Gj;(i)(x1) =
= 1 - F,« (X]). Поскольку вектор i(n) = (1,2, . . . ,n) только один, мы так¬
же используем обозначения ^(n) ~F*nK Gi(n) ~ G*i• Заметим, что Н„(х) =
= F„ (х), а 1 - Ln(x) = G„(x).
Теперь мы опишем модель для верхних экстремумов.
Используя введенные выше обозначения, положим 50,л(х) = 1 и
Sk,n(x)=	S	СДЛ)(х) (к>1).	''	(37)
1 < / ! < . . . <ik<n
128

Таким образом, Sk п(х) - это биномиальный момент порядка к числа
vn(x) тех величин (1 </< и), которые удовлетворяют неравенству
Xj>x. Введем дополнительные случайные величины Хп+{, Хп+2, • • • , XN,
обладающие тем свойством, что для расширенного множества величин
Xj (1 </<TV) для&> 1 выполняются равенства
. Sk п(х)
Sk,N(x) = CNk	(38)
Эта формула в действительности накладывает ограничения на совмест¬
ные распределения расширенной системы случайных величин (1 < / < N)
на кубах, т.е. когда все аргументы функций распределения равны (см.
замечание 3.5.1). Наконец, чтобы избежать ситуации примера 3.3.2 (см.
равенство (23) и обсуждение после него), мы сделаем следующее пред¬
положение о нормализующих постоянных ап нЬп> 0.
Пусть ап и Ьп > 0 таковы, что предел
lim	+	< а„+й„х) = Ек(х)	(39)
существует при каждом фиксированном к, причем для всех х > х0 су¬
ществует по крайней мере одно к, для которого 0 <Ек{х) < 1. Кроме
того, если к = к(п) 00 при п то должно выполняться условие
lim Р(Хп_к(п).„ < an+b„x) = \	(х>х0).	(40)
Будем ссылаться на это условие, говоря, что нормализующие постоянные
ап и Ьп > 0 являются характеристическими для верхних экстремумов.
Заметим, что мы не требуем, чтобы функции Ек(х) были функциями
распределения. Однако они являются функциями распределения в обоб¬
щенном смысле, т.е. 0 <Ел(х)< 1, но равенства не обязаны достигаться.
Это не вызовет никаких проблем и неудобств, так как во всех утвержде¬
ниях, в которых они встречаются, для функцийЕк(х) будут приведены кон¬
кретные выражения. Следовательно, всегда будет ясно, когда они являют¬
ся собственными функциями распределения.
Теорема 3.5.1. Пусть случайные величины Xlf Х2, . . . , Хп можно
дополнить величинами X„+i, Х„+2, . . . , XN так, что их распределения
удовлетворяют равенству (38). Предположим также, что N/n -> 00 при
п -> °°. Тогда для того, чтобы существовали нормализующие постоянные
ап и Ьп > 0, характеристические для верхних экстремумов (так что фор¬
мулы (39) и (40) имеют место), необходимо и достаточно, чтобы при
п -> 00 функции P(yN(an + bnx)<(N/n)y) слабо сходились к некоторой
функции распределения U(y) = U(y,x). При этом предельные распределе¬
ния Ек(х) в формуле (39) удовлетворяют соотношению
Ек{х) = 1 ' -L />'е-^(/(у;х)	(Л> 1).	(41)
r=0 t\ О
Замечание 3.5.1. Это приближение считается теоретическим только
в том смысле, что в нем требуется, чтобы первоначальное множество слу¬
чайных величин Xj (1 < / < п) было расширено до более широкого мно¬
жества величин Xj (1 < / < TV), причем накладываются некоторые огра¬
129

ничения на их распределение (38) и N должно быть велико по сравнению
с п (N/n ** 00 при п -► °°). Условия, которые бы гарантировали возмож¬
ность такого расширения, нелегко найти в литературе (конечно, если
первоначальные величины Xj являются н.о.р. или если они образуют сег¬
мент большого множества симметрично зависимых' случайных величин,
то равенство (38), очевидно, выполняется). С помощью леммы 3.2.1 мож¬
но построить очень сложные достаточные условия, но это не упростило
бы модель. Поэтому мы примем настоящий подход, не касаясь условий,
при которых возможно расширение, и рассматривая эту модель как теоре¬
тическую. То, что постоянные ап и Ъп > 0 определяются в терминах распре¬
деления величины р„(х), еще больше оправдывает термин ’’теоретическая”,
хотя имеется быстро развивающаяся теория о величинах vn (х) и их распре¬
делении. Кроме того, мы разберем несколько случаев, когда постоянные
ап и Ъп > 0 можно легко вычислить. Несмотря на эти замечания, эта теорема
ценна даже с точки зрения прикладника. Действительно, равенство (41)
дает нам общий класс возможных предельных распределений для верхних
экстремумов.
Замечание 3.5.2. Если в равенстве (37) заменить G*^(x) на
^7(к) (х), то функция Sk n(x) станет биномиальным моментом порядка
к числа vn(x) тех величин Xj (1 < 7 < п), которые меньше, чем х. Кроме
того, если заменить величины ^n-fc+i:n и Хп-к(п).п на величины Хк.п и
Хк(п).п соответственно, то соотношения (39) и (40) приведут к опреде-
лёнию нормализующих постоянных, характеристических для нижних
экстремумов. С помощью этих новых терминов, без каких-либо других
изменений, теорема 3.5.1 дает общую предельную теорему для распреде¬
ления нижних экстремумов. В частности, формула (41) остается без из¬
менений (конечно, функции распределения U(y) = U(y\ х) будут дру¬
гими) .
Доказательство теоремы 3.5.1. Применим теорему 3.4.1
для событий Aj = Aj(x) = {Xj > х} (1 < / Си). При таком выборе собы¬
тий величина vn(A) из § 3.4 превращается в величину ри(х). Заметим,
что справедлива формула
Р(Хл - k+ 1: и < *) “	®>(^л('^)”0‘
? = 0
Поэтому сходимость для каждого к > 1 вероятности Р(ХЯ_*+1;Л < ап +
+ Ь„х) равносильна сходимости для каждого t > 0 йероятности P(vn(an +
+ bnx) = t). Если эти последние пределы обозначить через gt =	(х), то
тот факт, что последовательность {gt} является распределением, равно¬
силен соотношению (40). Поэтому наша теорема будет следовать из тео¬
ремы 3.4.1, если вспомнить, что функция Un(y) в соотношении (24)
является в действительности вероятностью P(vN(an + bnx) < у). В самом
деле, равенство (24) является переформулировкой следствия 3.2.1, в ко¬
тором роль функции Un(y) играет дискретное распределение {Рг}. Та¬
ким образом, в силу равенства (19) функция Un(y) является функцией
распределения величины vn(an + bnx). Этим доказательство заканчива¬
ется. ▲
Как уже отмечалось, трудность применения теоремы 3.5.1 лежит в
необходимости расширения последовательности Xif Х2,... , Хп до более
130

широкого множества случайных величин, для которого выполнены ра¬
венства (38). Это, очевидно, можно сделать, если величины Xj являются
н.о.р. или если являются сегментом бесконечной последовательности
симметрично зависимых величин. Разберем другие условия теоремы 3.5.1
для этих частных случаев.
• Пример 3.5.1. Пусть Хх, Х2,. . . , %п ~ н.о.р. случайные величины
с общей функцией распределения F(x). Из основ теории вероятностей
хорошо известно, что для любого N первоначальное множество величин X;
можно расширить до более широкого множества величин Xj (1 < j < TV),
причем эти величины будут н.о.р. Следовательно, равенство (38) справед¬
ливо, и предположение о том, что N/n -> 00 при п -> также выполнено.
Поскольку имеет место формула
Р(^ (х) = г) = С%[ 1 - F(X)] 'Я(х)" -
по неравенству Чебышева для любого е > 0 имеем
p(| »N(an + bnx) -Ml ~F(fln + bnx)}I >	<
«’[1 -Fian +h„x)|
Ne1
Поэтому, если an и bn > 0 таковы, что предел (обозначим его -log Я(х))
lim л[1 — F(a„ +Л„х)] =-iogMx)	(42)
п -*<»
конечен, то функции Р[^дг(лл + bnx) < (N/n)y] слабо сходятся к функ¬
ции распределения U(y), вырожденной в точке у = -log//(x). Следова¬
тельно, по теореме 3.5.1 верхние экстремумы слабо сходятся с нормали¬
зующими постоянными ап и Ьп > 0. Их асимптотические распределения
Ек (х) (к > 1) даются формулой (41). Для функции распределения U(y) =
= £/( у; х), полученной выше, имеем
Ек(х) = Я(х)	-L (-log Я(х)]' (к > 1).	(43)
г=о Г!
Конечно, условие (42) и формула (43) знакомы нам по главе 2. а
Пример 3.5.2. Пусть Хх, Х2,.. . , Хп - сегмент из бесконечной после¬
довательности симметрично зависимых случайных величин. Тогда, по
определению, для любого N его можно расширить до множества величин
Xj (1 </ <TV), не нарушая симметричной зависимости. В частности,
равенство (38) будет выполняться для всех х и N. При дальнейшем рас¬
смотрении этого примера предположим, что справедливо представление
G,^)(x) = f (1 - е~1 l(Kx>)kdV(X) (к > 1, х > 0),
О
где К(Х) — некоторая непрерывная функция распределения. Тогда по
теореме 1.4.1 имеем
Р(М*) = 0=Слг/(1 -e-1/(Kx))fe-('v’f)/(Kx>dF(X) (г>0).
О
131

Делая подстановку s = n(l — е !^Хх)), получим
Р(^(х) = 0 = C'N f (J-)' (1 - I) N■ (dV*(s; x),
где
K*(s; x) = 1 - V J	!		•
L xlog(l -s/n)
(44a)
(44b)
Далее, поскольку log(l - s/n) ~ —s/n, при фиксированных s > 0, x > 0
и при л —> oo имеем
И’($;их)-> 1 -	•	(45)
Еще раз обращаясь к неравенству Чебышева для биномиального распре¬
деления, получим из соотношений (44) и (45) соотношение
при п -+ °° и N/n -* °°. Поэтому, принимая во внимание теорему 3.5.1, по¬
лучим из соотношения (45), что верхние экстремумы, деленные на л,
слабо сходятся. Предельные распределения снова можно вычислить с
помощью формулы (41) . В частности, имеем
||п,_р(г, <	- р(-Ц)
Мы увидим, что общая асимптотическая теория экстремумов для сег¬
ментов бесконечной последовательности симметрично зависимых слу¬
чайных величин строится по образцу примера 3.5.2. Однако нам сначала
необходимо доказать, что функцию G*(k) СО можно всегда представить
как момент порядка к ограниченной случайной величины. В силу важ¬
ности этой теории для байесовской статистики мы посвятим ей следующий
параграф.
Закончим этот параграф замечанием о том, что несмотря на то, что
наша модель названа теоретической, имеется несколько различных воз¬
можностей ее прямого применения. В частности, если известно, что ве¬
личины Xlt Х2,... , Хп выбраны из более широкого множества, состоя¬
щего из N симметрично зависимых величин, то равенство (38) выпол¬
няется автоматически. Следовательно, можно непосредственно применять
теорему 3.5.1. Это всегда можно делать в модели отказов, приведенной
в § 3.1, для которой некоторые результаты содержатся в примерах 1 и 2.
§ 3.6. Отрезки бесконечной последовательности
симметрично зависимых величин
Для того чтобы использовать априорные знания о наблюдаемых величи¬
нах, специалист по байесовской статистике всегда предполагает, что рас¬
сматриваемый параметр распределения сам является случайной величи¬
ной. Следовательно, с этой точки зрения при каждом данном значении
параметра X ^бщей функции распределения F(х, X) наблюдения Xif Х2,. . .
132

. . . , Хп представляют собой н.о.р. случайные величины. Следовательно,
совместное распределение имеет вид
Р(%! < хь Хг < х2,... ,Хп < х„) =
= _/ F(x 1, у)Е(х2 , у). .. F(xn, y)d И( у),
где V(y) - функция распределения параметра X. Поскольку н.о.р. ве¬
личины можно всегда расширить до бесконечной последовательности, ве¬
личины Х1г Х2, Хп образуют отрезок бесконечной последователь¬
ности симметрично зависимых величин. В частности, имеем
G*W(x) =	[ 1 - Г(х, >)] kdV( у)	(46а)
” Fw(x)= f Fk(x, y)dV(y).	(46b)
	 QO
Следовательно, пример 3.5.2 типичен для этой ситуации. Для того чтобы
найти предельное распределение экстремумов последовательности
Х}, Х2, • . . , Хп, можно поступить, как в примере 3.5.2. Прежде чем при¬
ступить к этому, сформулируем важный результат, относящийся к про¬
извольным бесконечным последовательностям симметрично зависимых
величин.
ТеоремаЗ.6.1 (представление де Финетти). Пусть величины Xj, Х2,...
образуют бесконечную последовательность симметрично зависимых ве¬
личин. Тогда для каждого действительного х найдется такая случайная ве¬
личина У (х) - Y(х, со), что 0 < У (х) < 1 и имеет место представление
> *2, • • • , х*) = ЕСУСх,) У(х2). . . Y(xk)).	(47)
Кроме того, при каждом со функция Y(х) является функцией распреде¬
ления по х.
Замечание 3.6.1. Тот, кто знаком с понятием условного математи¬
ческого ожидания, поймет из доказательства, что величины Хх, Х2,...
условно независимы при фиксированной реализации процесса
(У(х), хвещественно) .
Замечание 3.6.2. Если Xj = х2 = . . . = хк, то равенство (47) только
расстановкой акцентов отличается от равенства (46). Оба равенства в этом
случае выражают функцию	(х) как момент порядка к случайной ве¬
личины, расположенной между нулем и единицей и являющейся по пере¬
менной х функцией распределения.
Доказательство теоремы 3.6.1. Пусть при каждом фиксиро¬
ванном х функция Ij (х) - это индикатор события {Xj < х}, т.е. /7 (х) =1,
если Xj < х, и Ij (х) = 0 в противном случае. Положим
У„(х)=1 £/,(х).
п / = 1
Докажем, что последовательность У„(х) сходится по вероятности к слу-.
чайной величине Y(х), удовлетворяющей требованиям теоремы.
133

Заметим сначала, что в силу симметричной зависимости для т > п спра¬
ведливо равенство
Е([У„(х)-У„,(х)]2}	S /,(х)1 ' =
[L /=i т +i J )
= 1Р<Х> < - Р<%> < *■ *2 < *)1 •
тп
Поэтому при пит, сходящихся к бесконечности, Е{[Ул(х) -	(х) ]2)
сходится к нулю. В таком случае по теореме о полноте (см. ПИ) последо¬
вательность случайных величин Ул(х) сходится по вероятности к некото¬
рой случайной величине У(х). Очевидно, 0 < У(х) <1. По теореме о
мажорируемой сходимости (П1), для любых фиксированных веществен¬
ных чисел хь х2,. . . , хк справедливо равенство
lim Е(УЛ(Х))Ул(х2)... У„(хк)) = Е(У(х1)У(х2)... Y(xk)).
п — 00
С другой стороны, в силу симметричной зависимости можно записать
соотношение
Е(У„(х,)Уп(х2)... y„(xfc))=-Lc*Fl(k)(x1,x2	xfc) + (?(4-) >
откуда следует равенство (47).
Наконец, так как при каждом п для каждых Xj < х2 выполняется
неравенство Yn(xv) < Yn(x2), то функция У(х) не убывает по х. Легко
также получить равенства У(~ °°) = О, У(°°) = 1. Разумеется, все эти рас¬
суждения можно провести только для почти всех точек со. Однако, если
функция У(х) = У(х, w) обладает приведенными свойствами для почти
всех со, то ее можно изменить на множестве меры нуль таким образом,
чтобы она обладала этими свойствами при всех со. Непрерывность слева
функции У(х) также можно установить. Детали мы оставляем читателю.
Теорема доказана. ▲
Прежде чем формулировать наши результаты для асимптотического
распределения экстремумов, напомним пример 3.3.2. В этом примере
последовательность Xj (/ > 1) симметрично зависима, и в соотношении
(46) F(x, j’) = Ф(х + у), где Ф(х) - функция распределения стандартного
нормального закона, a V(y) - произвольная функция, обозначающая
распределение величины U. В силу рассуждений, приведенных в § 3.3,
для того, чтобы получить осмысленный результат, необходимо наложить
ограничения на нормализующие постоянные. Мы используем понятие
последовательностей ап, Ъп > 0, характеристических для верхних экстре¬
мумов, понятие, введенное специально для того, чтобы исключить из рас¬
смотрения структуры, подобные структурам примера 3.3.2 (см. соотно¬
шения (39) и (40) § 3.5). Сначала сформулируем теорему 3.5.1 для сим¬
метрично зависимых величин.
Теорема 3.6.2. Пусть Xlt Х2, . . . - бесконечная последователь¬
ность симметрично зависимых случайных величин. Пусть У(х) (х вещест¬
венно) - множество случайных величин из представления де Финетти (47).
Тогда для того, чтобы существовали нормализующие постоянные ап и
Ьп > 0, являющиеся характеристическими для верхних экстремумов, не¬
134

обходимо и достаточно, чтобы для всех точек непрерывности функции
U( у) выполнялось равенство
lim Р(п[1 - Y(an + Ьпх)]< у) = U(y) = U(y,x),	(48)
п
где U( у) - некоторая функция распределения. Для предельного распре¬
деления экстремумов справедлива формула (41).
Доказательство. Применим теорему 3.5.1. Пусть N - такая
последовательность целых чисел, что N/n -> 00 при п -*<*>. Тогда, если
обозначает число величин (1 < j < TV), удовлетворяющих неравенству
Xj > х, то из теоремы 3.6.1 вытекает равенство
Р(Мап +М) = 0 = Сл’Е{[1 -	+ b„x)],YN-t(an + bnx)}.
В силу теоремы 3.5.1 нам достаточно показать, что равенство (48) равно¬
сильно слабой сходимости последовательности rtvN(an + bnx}!N к вели¬
чине с функцией распределения U{y), т.е. нам надо показать, что при
и N/n-*00 равенство
limEpZ7" C^[l - Y(a„ + bnx)VYN~'(ап + Ьпх)! = U{у)	(49)
I ' = <>	J
справедливо в точках непрерывности функции U(y) тогда и только тогда,
когда имеет место равенство (48). Положим
yN/n
Кп.н(У,х)= S CN[\ ~ Y(an + bnx)]'YN ^1(ап + Ьпх).
t~0
Разумеется, функция Кп^(у: х) - случайная величина, но для каждой
точки со вероятностного пространства она как функция переменной у
является функцией распределения биномиальной случайной величины,
нормированной постоянной п/N Поэтому из неравенства Чебышева сле¬
дует (вычисления здесь точно такие же, что и вычисления в примере 3.5.1),
что при N/n и и->°° справедливо предельное соотношение
1, если и[1 - Y(an + 5лх)]< у при всех достаточно
&	( .	больших л,
n’NW'xf о, если и[1 - Y(an + bnx)]>y при всех достаточно
больших п.
Поэтому из равенства (48) следует соотношение (49). Поскольку это рас¬
суждение можно повторить для любой последовательности (по п), то мы
получим, что для любой последовательности, для которой выполняется
равенство (48), тот же самый предел будет и в равенстве (49). Следова¬
тельно, из соотношения (49) следует равенство (48). Теперь теорема
вытекает из теоремы 3.5.1. а
Следствие 3.6.1. Пусть Xlf Х2, . • • - бесконечная последователь¬
ность симметрично зависимых случайных величин, процесс Y(x) опреде¬
лен в теореме 3.6.2. Предположим, что существует функция распределения
П(х), обладающая следующими двумя свойствами: (I) существуют такие
последовательности чисел ап и Ьп > 0, что при п -+ж функции Dn (an+bnx}
сходятся к некоторой функции распределения HD(x) и (II) при х -* co(D)
135

(50)
(см. список обозначений) предел
/ 1 - Г(х) \
"тР(т7адЧ= U'^
существует для всех точек непрерывности функции U*, которая предпо¬
лагается непрерывной в нуле. Тогда нормализованные верхние экстремумы
(^nrk+\.n - an)/bn слабо сходятся. Их предельные распределения име¬
ют вид
Ek(x)= S ’ ±[Ло&Но(х)]Л ^Hb(x)dU'(z).	(51)
r-0 tl	о
Доказательство. Это следствие легко вытекает из теоремы 3.6.2
и того факта, что условие (I) равносильно условию
lim и[1 — D(an + bnx) ] = -logtfD(x), HD(x)>0.	(52)
п -ko°
Логарифмируя и используя первый член в разложении Тейлора, читатель
без труда может доказать этот результат. Фактически мы выводим равен¬
ство (48) из условий (50) и (52). Действительно, имеем
lim P{n[l - Y(a„ +ЬпхУ\< у] =
п
\ - Y(an + Ьпх)
1 -D(an +bnx)
lim
п
lim
п -*«>
pl	<	y_	I, u- (	у	).
| 1 -D(a„+bnx) -\ogHD(x) j \-logtfD(x)/
Этот результат формально справедлив, даже если HD(x) - 0 или 1, так
как f7*(0) = 0 и U* непрерывна в нуле, а при HD(x) = 1 следует писать
t/*(°°) = 1, понимая эту запись как предельное равенство. Заметим, что
мы использовали тот факт, что ап + Ьп\х -> соф) при л -►«>, который теперь
очевиден в силу главы 2 (этот факт можно легко вывести еще раз). Кроме
того, на втором шаге этих преобразований мы фактически применили
лемму 2.2.2, когда мы заменили выражение и[1 - D(an + ft„x)] его пре¬
делом. Таким образом, мы доказали равенство (48), в котором U(y\ х) =
= i/*(y/[-logtfD(x)]}. Поэтому для функции £jt(x) справедливо равенст¬
во (41), которое можно переписать в виде (51). Из этого конкретного
представления для Ек(х) следует, что функция Ек(х) обладает свойст¬
вами функции распределения. Доказательство закончено. ▲
Несмотря на то, что следствие 3.6.1 дает только достаточное условие
для существования распределений Ек (х) (к > 1), с его помощью удобно
сводить набор нормализующих постоянных к случаю, разобранному в
главе 2, в которой условие (I) было широко исследовано.
Мы приведем новую формулировку следствия 3.6.1, в которую явно
не входит процесс Y(х).
Следствие 3.6.2. Пусть Xit Х2,. . . - бесконечная последователь¬
ность симметрично зависимых случайных величин. Пусть £>(х) - функция
распределения, удовлетворяющая условию (I) следствия 3.6.1. Если для
каждого вещественного числа х <	функция Ц*(х; у) является
136

функцией распределения, для которой справедливы равенства U*(x; 0) -
= 0 и
f ykdU*(x;y) = Gi„-~k (*>D>	(53)
и если функция U*(x\ у) при х —► co(Z>) слабо сходится к некоторой функ¬
ции распределения U\y), то справедливо заключение следствия 3.6.1.
Доказательство. Сначала покажем, что для всякого х < со (D)
равенство (53) однозначно определяет функцию t/*(x; у). Фактически
мы установим равенство
/ 1 - У(х) \
<54>
где функция У(х) определяется так же, как в теореме 3.6.2. Действи¬
тельно, в силу теоремы 3.6.1 для функции U*(x\ у), определенной ра¬
венством (54), выполняется равенство (53). Но случайная величина
[1 — У(х) ] / [1 - D(x) ] для каждого х < со (£>) ограничена, поэтому после¬
довательность ее моментов однозначно определяет ее распределение
(см. ПП). Следовательно, предположение о слабой сходимости функций
U\x\ у} в точности совпадает с предположением (50), из которого сле¬
дует заключение следствия. Доказательство закончено. ▲
В следующем утверждении рассматривается случай, когда для полу¬
чения асимптотического распределения экстремумов бесконечную после¬
довательность симметрично зависимых величин можно приблизить после¬
довательностью н.о.р. случайных величин.
Следствие 3.6.3. Примем обозначения следствия 3.6.1. Если функ¬
ция U*(у) из равенства (50) вырождается в положительную постоянную,
то асимптотическое распределение величины (Zn — an)/bn принадлежит
одному из трех возможных типов у (х), H2t7(x) и Я30(х), опреде¬
ленных для случая н.о.р. случайных величин. В частности, если выпол¬
няются условия
lim пР(Х{ >ап + bnx)= -logtfD(x)	(55)
п
U
lim и2Р(А'1 >ап + Ь„х, Х2 >ап +b„x)= [log Яо(х)]2,	(56)
п -*«>
где последовательности ап, Ьп и функция HD(x) определены условием (I)
следствия 3.6.1, то предельное распределение величины (Xn-k+r.n - an)/bn
принадлежит тому же типу, что и в случае н.о.р. случайных величин.
Доказательство. Выражая функцию распределения Ек (х) с по¬
мощью равенства (51) и замечая, что для любой постоянной С> 0 функ¬
ции Нс (х) и Я(х) принадлежат одному и тому же типу распределений
(из трех типов распределений, упомянутых в следствии), выводим утверж¬
дение непосредственно из следствий 3.6.1 и 3.6.2. Для доказательства
частного случая заметим, что в силу неравенства Чебышева из соотно¬
шений (55) и (56) следует, что функция (7*(х; у) из следствия 3.6.2 схо¬
дится к единице для у > 1 и к нулю в противном случае. Доказательство
закончено. ▲
137

Заметим, что в условиях (46Ъ) можно применять представление де Фи-
нетти. Поэтому при выполнении этих условий справедливы все предыду¬
щие утверждения. Однако встречаются ситуации, когда гарантировано
только существование процесса У(х), но неизвестен его явный вид. В этом
случае применимы следствие 3.6.2 и частный случай следствия 3.6.3.
Теперь разберем три примера. Сначала заметим, что с помощью изме¬
нения знаков в предыдущих утверждениях можно получить теорию ниж¬
них экстремумов. В упр. 7 и 8 собраны результаты на эту тему.
Пример 3.6.1. Пусть XXt X2i.. ., Хп~ стандартные экспоненциаль¬
ные случайные величины со случайным параметром сдвига а. Предположим,
что при фиксированном а величины Xlf Х2, • • • > %п ~ н.о.р. Тогда справед¬
ливо представление
G*(k)(x)= / e-k(x-^d7(y) + fdV(y),	(57)
— оо	х
где V (у) - функция распределения случайной величины а. Пусть К (у) =
= 1 - ехр {-еу} . Из теоремы 3.6.2 следует равенство
lim P(Zn < log п + х) = —		 (— °° < х < °°).	(58)
Из равенства (57) видно, что процесс. Y(х) в представлении де Финетти
имеет вид 1 - е” , если х > а, и равен нулю в противном случае. Та¬
ким образом, для у > 0 выполняется равенство
lim P(n[ 1 - /(logп +х)]< у) = Р(е“ < уех) = К(х + logy).
П “»«>
Поэтому при
t/(y;x)= K(x + logy)= 1 —ехр(-уех)
и ап = log и, bn = 1 применима теорема 3.6.2. Предельное распределение
Ек(х) для fc-x экстремумов можно вычислить с помощью равенства (41).
В частности, при к = 1 и произвольном вещественном х имеем
/e~ydV(y\x) = fe~yd[l -ехр(-уе*)] = Jexp(-ze_x)d(l -e~z)-
оо	о
= 1
1
что совпадает с выражением (58). а
Пример 3.6.2. Пусть Xlt X2i. .. - бесконечная последовательность
симметрично зависимых случайных величин, и пусть выполняется ра¬
венство
С^)(х) = *!
(х>0, k>Y).
Нам неизвестен процесс /(х), и мы не можем определить его по данной
выше информации. Следовательно, единственным применимым здесь ре¬
зультатом является следствие 3.6.2. Так как отношения
^/(к)(х)
[1 -ехр(-1/х2)?
(к > 1, х > 0)
138

образуют последовательность моментов экспоненциального распреде¬
ления С/*(х; у) = 1 - е~у {у >0), то выполнены условия следствия 3.6.2.
Действительно, функция D(x) = ехр(-1/х2) удовлетворяет равенству
D(x) = Dn{\fnx). Таким образом, можно положить HD(x) = D(x),an = 0,
bn •= \Jn. Кроме того, для функции U*(x\ у), очевидно, выполнены все
условия следствия 3.6.2. Таким образом, для каждого фиксированного
к > 1 последовательность	слабо сходится. Предельные рас¬
пределения можно вычислить с помощью равенства (51). Например,
Et (х) = fDz(x)d(l _ e-z ) = (1 + -L) (x > 0). A
Пример 3.6.3. Пусть Xit X2,... - бесконечная последовательность
симметрично зависимых величин. Пусть их общей функцией распреде¬
ления является функция F(х) = 1 - е~х (х > 0). Пусть, кроме того, вы¬
полняется равенство
F\2}(x) = Р(Х1 < х, Хг < х) = (1 - е-х)2(1 + се_3х),
где с - заданное число. Тогда при ап = log п и bn = 1 имеем и[1 - F(an +
+ bnx) ] = е~х и, следовательно, поскольку
G<Wx) = F<*(2)(x) + 2e_* - 1 = е_2х +ce~3je(l -е~х)г,
имеем n2G^2) (ап + Ьпх) = е~2х +	Не налагая ограничений на
распределения более высокой размерности, применим следствие 3.6.3.
Из него следует, что для каждого к > 1 величина + имеет предель¬
ное распределение и эти предельные распределения принадлежат тому же
типу распределений, что и для случая н.о.р. случайных величин Xj. В част¬
ности, при п-+°° имеем Р (Zn < log п + х) -► ехр (-е “*). ▲
§ 3.7. Стационарные последовательности
В этом параграфе мы будем иметь дело с последовательностями случай¬
ных величин Хх, %2,. • • > обладающих следующими свойствами: 1) P(Xj <
< х) = F (х) для всех /; 2) для любого натурального 5 выполняется ра¬
венство Fi(kj (х1( х2,. . . , xfc) = Fj (£) (Xi, x2,. .. , Хд.), где выражение
i(k) + s обозначает вектор (и + s, i2 + s,. . ., ik + s). Мы будем называть
такие последовательности случайных величин стационарными (обычно в
математической литературе они называются ’’стационарными в узком
смысле”, но здесь нам не потребуется этот более длинный различитель¬
ный термин). Очевидно, симметрично зависимые величины, так же как и
н.о.р. величины, стационарны. С другой стороны, важные классы стацио¬
нарных последовательностей не являются симметрично зависимыми. Сле¬
дующая конструкция является примером одного из таких классов.
Пусть , У2,. . . - последовательность н.о.р. случайных величин, m -
фиксированное натуральное число. Определим величины Xj (/ > 1) ра¬
венствами Xj = g(Yj, Yj + l9..., Уу+m-i), где g (измеримая) — функ¬
ция m переменных. Например, g(ux, и2, . . . , um) ~ их + н2 + . . . + ит ил ’
g(u>, и2, . . . , utn) - ихи2. • . um и т.д. Эта последовательность Xj (/ > 1)
обладает следующим дополнительным свойством. Для любых целых
139

1 < i j < i2 < . . . < it < /1 < /2 < . . . < векторы (X^, Xj2,. . .
. . ., Xit) и (Лд, Xj2,. . . , Xjk) независимы, если it + m < j\. Последова¬
тельность случайных величин, обладающих этим свойством, называется по¬
следовательностью т-зависимых случайных величин. Таким образом, по¬
строенная выше последовательность является стационарной последователь¬
ностью ^-зависимых случайных величин при любом выборе функции g.
Более общим важным классом последовательностей, которые будут
исследованы, является класс последовательностей случайных величин
удовлетворяющих условию перемешивания. Это понятие придает точный
математический смысл следующему требованию. Члены последователь¬
ности случайных величин становятся все менее и менее зависимыми по
мере их удаления друг от друга. Так как для теории экстремальных зна¬
чений имеет значение не вся прследовательность Xlf Х2,.. ., а только со¬
бытия вида {Xj > х}или {Xj < х}, то мы принимаем следующее опреде¬
ление перемешивания.
Определение 3.7.1. Мы говорим, что стационарная.последователь¬
ность случайных величин Хг, Х2,. . . удовлетворяет условию перемеши¬
вания на верхнем хвосте распределения, если выполнены следующие усло¬
вия. Для любых векторов i(k) - (iiJjf ••Ju) и j (t) = (/1 ,/2, • • • ,/r) >
удовлетворяющих неравенствам 1 < i! < . . . < ik, ik + s < j\ < . .. < jt,
справедливо неравенство
I F‘(k),/«)(“) - F’(k)(u) ■	1 < t(s, u) ,
(59)
где выражение i(k), j(f) обозначает комбинированный вектор (G, G, • • •
• • • Jb /1, • • - ,/г)лт ($, «) — невозрастающая no s функция, для которой
существуют такие последовательности ип -► co(F) и sn -> 00 (п -> °°), что
r(sn, ип) -> 0 при п -> 00. Если неравенство (59) заменить неравенством
I £<*(*),/(o(w) “ Gi(k)(u) • ^/*(r)(w) I t(s> w)
и если условие на ип заменить условием ип ->a(F), то мы говорим о после¬
довательности случайных величин, удовлетворяющих условию перемеши¬
вания на нижнем хвосте распределения.
Очевидно, что если стационарная последовательность является ^-зави¬
симой, то она удовлетворяет условию перемешивания (на обоих хвостах
распределения). Более того, для нее т($, и) = 0 при s > тп для всех и.
Мы хотим при выполнении условий перемешивания найти такие до¬
полнительные условия, из которых бы следовало, что распределение ве¬
личин Zn, Wn и других экстремумов принадлежит тому же классу пре¬
дельных распределений, что и в случае н.о.р. случайных величин. Последо¬
вательности симметрично зависимых величин (§ 3.6), гауссовских вели¬
чин (§ 3.8) и других (§ 3.9) дают нам множество примеров ситуаций,
в которых распределение экстремумов для стационарных последователь¬
ностей нельзя аппроксимировать н.о.р. величинами.
Теорема 3.7.1. Пусть Х1г Х2,. . . — стационарная последователь¬
ность случайных величин с общей функцией распределения F (х). Пусть
ап и Ъп > 0 - такие последовательности вещественных чисел, что для каж¬
дого х предел
lim и[1 -F(an +hnx)] = и{х)
(61)
140

существует и 0 < и(х) < 00 на некотором интервале положительной дли¬
ны. Положим Н(х) - ехр(—и(х)) (считаем, что = 0). Предположим,
что выполнено неравенство (59), в котором ип = ап + bnx, a sn - такая
последовательность целых чисел, для которой sn/n ->0 UT(sn,un)-+ 0 при
пНаконец, предположим, что для определенной выше последователь¬
ности ип выполнено соотношение
lim sup п S Р(Х, >и„м, Х/>ипМ) = о Р—)	(62)
И“*оо у = 2	\М /
при М Тогда при n-*°° справедливо соотношение
P(Z„ < ап + Ьпх)->Н(х).
(63)
Замечание 3.7.1. Если Xif Х2,. . . , Хп - н.о.р. случайные величины,
то остается единственное предположение (61) . Поэтому в этом случае
теорема сводится к следствию 1.3.1. Из этого факта вытекает, что предель¬
ное распределение Н(х) в общем случае относится к тому же типу пре¬
дельных распределений, что и в случае н.о.р. величин.
Замечание 3.7.2. Если Х{, Х2,.. . - стационарная последователь¬
ность m-зависимых случайных величин, то неравенство (59) выполнено
при r(s, и) = 0 для s > тп тождественно по и. Поэтому для ти-зависимых
величин остаются лишь предположения (61) и (62). Заметим, что условие
(62) является следствием более простого условия
P(JT1 >и, Х;>и)
lim max 	 = 0.
1 — F(u)
(64)
Действительно, соотношение (62) непосредственно вытекает из условия
(62) и оценок
S Р(%! >и, Х;>и) =
i=2
= S P(Xj >и, Xj>u) + (n -m - 1)[ 1 -F(u)]2 <
/ = 2
< m[ max P(X, >u, Xj>u)] +n[l -F(u)]2.
1
Приступим к доказательству теоремы 3.7.1. Мы не будем пытаться вы¬
вести ее из результатов § 3.5, а дадим прямое доказательство.
Доказательство. На протяжении всего доказательства будем
считать, что ип = ап + Ьпх, где последовательности ап и Ьп удовлетворяют
условию (61). Сначала докажем, что для любого фиксированного натураль¬
ного М из условий теоремы следует соотношение
P(ZnM < ипМ) - PM(Z„ < ипМ) -> 0	(65)
при п -> 00. Его доказательство основано на следующем простом наблюде¬
нии. Если выбросить конечное число блоков длины sn (или snM) из пер¬
воначальной последовательности случайных величин Xlf Х2,... , ХпМ,
то это не повлияет на асимптотическое распределение максимума. С дру¬
гой стороны, это позволяет применить процедуру (59). Подробное изло¬
жение этих рассуждений приведено ниже.
141

Пусть i(kx) = (1, 2,. .., п), i(k2) = (п + s + 1, п + s + 2,..., 2п + s),...
...,f(fcM) = ((M- l)(n + s) +1, (M-l)(n + s+2),..., (Af-l)(n + s) +
+ и), и пусть выражение /(fcj), i(k2),.. ., Цкм) обозначает вектор, объе¬
диняющий компоненты векторов i(ki),	i(kM). Позже в ка¬
честве s выберем snM. Далее, используя неравенство треугольника и ста¬
ционарность, с помощью метода математической индукции получим из
неравенства (59) неравенство
l^(fc.)./(*,)	.(*«/“)(Af-l)T(s.u).	(66)
Поскольку Fj (и) = P(Zn < и), для того чтобы получить соотношение
(65) из неравенства (66), мы должны оценить разность
P(ZnM < w) —	•
Еще раз обращаясь к неравенству треугольника, получим
\	< w) -F^k^jik^	t(kM)(u)\ <
^P(ZnM< UY- P(ZnM+s(M -1)< w) +
+ I P(ZnM+s(M-\) < w)-Гцк^, i(k2)	i(kM)(u)\*
Упростим второй член в этой оценке, Обозначим через Л7 событие, состоя¬
щее в том, что Xt < и при (/ - 1) (п + s) < t <ij(n + s) - s vi Xt >. и
при jn+ {] - l)s < t < j (n + s). Тогда справедливы соотношения
i(k2)	i(kM)(u) -p(^nM+i(W-1)< w) <
M	M
< P( U Л7) < S Р(Л,.) = Л/Р(Л1)=М[Р(7л< u)—P(Zn+j< u)].
/=i	/=i
Здесь мы использовали первый член в неравенстве теоремы 1.4.1 и пред¬
положение стационарности. Комбинируя неравенства (66) и (67), придем
к неравенству
P(ZnM < и)- PM(Z„ < и) <(М- l)r(s, и) + [P(Z„M < и) -
-	«)] +W(Z„ < u)-P(Z„+j< и)].	(68)
Последние два члена в неравенстве (68) оцениваются одинаково. Для их
оценки мы выведем неравенство
0 < P(ZT < и)- P(ZT+t < и) < — + 2Rt(s, и),	(69)
R
в котором R — произвольное целое число из интервала 0 < R< Tl(t + s).
При доказательстве неравенства (69) мы следуем рассуждениям, которые
привели нас к неравенству (66). Выделим в множестве целых чисел 1, 2,
3,. .., Т + t R блоков длины t следующим образом. Мы будем их строить
в обратном порядке. Таким образом, первый блок Вг - (Т + 1, Т + 2,...
.. ., Т + / ). Затем мы отбросим по крайней мере 5 чисел и составим блок
В2 из t наибольших оставшихся чисел. Затем мы снова отбросим по край¬
ней мере s чисел, строим блок В3 и т.д. Таким образом, справедливы
142

соотношения
P(Zr < и) - P(ZT+t < u) = V(ZT < и, Zr+t > u) <
R	,	, r+r
< P[ О n (X.<w)(T( U {r>u})] =
r = 2 /ев,	/ = т+1
= P[ П П U/<u}]-P[O П {Xj<u}],
r-2 /^Br	r = l j&Br
из которых с учетом неравенства (66) и стационарности следует нера¬
венство
0< P(Zr< u)-P(Zr+f< u)< P*(Zf< u)-PR + 1(Zt< и) +
+ 2Rt(s, u) .
Из этого соотношения, очевидно, вытекает неравенство (69). Применяя
его для оценивания в неравенстве (68), заметим, что в качестве R можно
брать любое целое положительное число, удовлетворяющее условию
R < n/(2s). Поэтому при s = и фиксированном М, учитывая пред¬
положение о сходимости sn/n к нулю при п получим, что при доста¬
точно больших п число R можно выбрать произвольно большим. Следо¬
вательно, при и = ипМ из неравенств (68) и (69) следует соотношение (65).
Теперь мы можем закончить доказательство следующим образом. Из
теоремы 1.4.1 и стационарности следует соотношение
1 - nP(Xt >ипМ)< P(Z„< ипМ)< 1 -пР(^, >MnM) + S2 n,
где
S2>„= S P{Xi>unM, Xj>unM)< п S Р(^ >unM,Xj>unM).
Ki<j<n	/-2
Таким образом, в силу соотношений (61), (62) и (65) для любого фикси¬
рованного М > 0 имеем
Z и(х) \м
(1-——) < Нт inf P(ZnM < и„м) <
<HmSupP(Z„M<M„M)<	+	•	(70)
Пусть теперь N — произвольное целое число. Представим его в виде N =
= пМ + t, где 0 < t < М Тогда получим
P(Z/v < ^)< P(ZnM < Идг)< P(ZnM < ипм+м)*	(71)
Поскольку в силу неравенства (69) выполняется равенство
lim sup P(ZnM < unM+M) = lim sup P(Z„M+M < unM+M),
из соотношений (70) и (71) следует, что для произвольного М > 0 спра¬
ведливо соотношение
/ и(х)
lim sup P(Z/v < uN) < (1	+ о
N—><x>	1	\ M
143

Поскольку М произвольно, это соотношение приведет нас к неравенству
lim sup P(ZN < uN) < e-u<~x) = H{x).
N
Точно таким же образом неравенства
р(гЛ < w/y) V(ZnM+M < u/y)^¥(ZnM+M < ипм)
с учетом соотношений (69) и (70) приводят к неравенству
lim inf?(ZN< uN)>H(x).
N —►«>
Доказательство теоремы закончено. ▲
Анализ проведенного доказательства позволяет получить необходимые
условия для заключения теоремы 3.7.1. Сформулируем одно из этих ус¬
ловий.
Теорема 3.7.2. Предположим, что выполнены все условия теоремы
3.7.1, кроме условия (62). Кроме того, предположим, что выполнено
условие (63). Тогда для любого фиксированного i при всех х, для кото¬
рых функция Н(х) из соотношения (63) положи тел ьна, имеет место ра¬
венство
lim АР(%! >aN+bNx, aN + bNx) = 0.	(72)
Доказательство. Мы снова используем сокращение ит - ат +
+ Ьтх. Поскольку соотношение (62) не использовалось при доказательстве
соотношения (65), оценки (68) и (69) остаются справедливыми в усло¬
виях этой теоремы. Поэтому, если выбрать такую последовательность
М -* °°, что Mr(sN, un) -> 0 и N/M -► 00 при °°, то, взяв в качестве п
целую часть от N/М, получим, что соотношение (65) снова будет выпол¬
няться. Но тогда из (63) будет следовать соотношение
PM(Zn< ипМ)-*Н(х).	(73)
Поскольку М ’->°°, полученное предельное отношение может выполняться,
только если Р (Zn < uflM)	1 • Используя часто применяемое разложение
Тейлора -log и ~ 1 - и (0 < и < 1, и -> 1), мы можем для всех х, для ко¬
торых Я (х) > 0, переписать соотношение (73) в виде
limM[l -P(Z„ < u„M)] = -log//(x) = u(x),	(74)
причем n и M выбраны здесь так же, как и в предельном отношении (73).
Оценим теперь разность 1 — Р (Zn < ипМ ) Р (Z„ > ыпм) с помощью
выражений, содержащих члены Р(А\ > ипм> Xf > ипм) и 1 - F(unA^).
С помощью этой оценки мы придем к равенству (72). При фиксирован¬
ном i составим из некоторых из случайных величин Хх, Х2,. .. , Хп пары
(Xt, Xt+i) таким образом, чтобы ни одна из Xj не встречалась дважды
среди величин, разбитых на пары. Пусть число пар (Xt9 Xt+i) будет не
меньшим, чем —п. Для облегчения ссылок обозначим множество индек-
4
сов t через Т. В силу стационарности справедливо равенство
Р(УГ > и, X[+i > и) = Р(%! > и, Х^х > и) .
144

Кроме того, поскольку Р(Л U В) = Р(Л) + Р(В) — Р (АВ) для любых
событий Ли В, имеем
P(Xt>u или Xf+f>u) = 2[l -F(u)] - P(Xj >и, Xr+1 >и).
Следовательно, справедливы соотношения P(Zn > ипМ) = Р (Xj > ипМ по
крайней мере для одного /) < S P(%t ипМ или	ипм) +
+ S Р(х; >M„M) =/l[l-F(u„M)] - S Р(Х, >unM,Xt+i >ипМ) <
i^r	ter
<и[1 - F(unM)] -i«P(Xi > ипМ, Xi+l > ипМ) <м[1 -F(u„M)].
4
Домножим каждый член этого неравенства на М и устремим М к бесконеч¬
ности. Из предельных отношений (61) и (74) следует, что крайние члены
этого неравенства будут сходиться к и(х) и, следовательно, к и(х) будут
сходиться и все члены между ними. В частности> имеем
lim {Afw[l ->и„м, Xi+1 >ипМ)} = и(х).
Отсюда с помощью соотношения (61) получаем равенство (72), в кото¬
ром N = пМ, а п и М оба сходятся к бесконечности при N -►00, причем п
равно целой части N/M. Поэтому пМ < N и в силу монотонности вероят¬
ности Р(А\ > у, Xj > у) имеет место соотношение MnP(XY > uN, Xj >
> uN) ->0. Наконец, пМ < М< (п + 1)М < 2пМ, и равенство (72) теперь
очевидно. Теорема доказана. ▲
Комбинируя замечание 3.7.1 и теорему 3.7.2, можно получить необхо¬
димые и достаточные условия для того, чтобы для последовательности
ти-зависимых случайных величин выполнялось соотношение (63).
Следствие 3.7.1. Пусть Хх, Хг,... - стационарная последователь¬
ность тп-зависимых случайных величин с общей функцией распределения
F (х). Пусть выполнено условие (61). Тогда для выполнения соотношения
(63) необходимо и достаточно, чтобы для любого i (0 < z < тп) .выпол¬
нялось равенство
lim nP(Xi>an+bnx, Xj>an + bnx) = 0
п -►оо
или, что эквивалентно, при и -> oj(F) должно выполняться равенство
Р(Х, >u,Xt>u)
lim 		 = О
1 ~F(u)
(1 < i< m).
Это следствие дегко вытекает из упомянутых выше утверждений, поэто¬
му детали мы опускаем.
Все результаты этого параграфа можно переформулировать для мини¬
мума, заменяя последовательность {Xj} на последовательность {— Xj}.
При этом предположения, которые формулировались в терминах 1 — F
и {Xj > и}, будут формулироваться в терминах F и {Xj < и} соответ¬
ственно. Кроме того, во всех пределах аргумент функции F должен бу¬
дет сходиться к a(F), а не к co(F). Предлагаем читателю довести до конца
все детали. Конечно, не следует повторять доказательство.
Мы откладываем обсуждение асимптотического распределения к-х
экстремумов до § 3.11, в котором соответствующие результаты окажутся
следствиями общих предельных теорем Пуассона.
145

В следующем параграфе мы рассмотрим стационарные последователь¬
ности специального вида, в которых конечномерные распределения нор¬
мальны. Вследствие того, что на ранней стадии своего развития статистика
основывалась на предположении нормальности, нормальные последователь¬
ности привлекли особое внимание. Это привело к изящным результатам
в статистической теории, которые позволяют нам при простых предполо¬
жениях получать конкретные заключения. Некоторые из этих результатов
можно было бы вывести как следствия теорем этого параграфа, другие
вытекали бы из общих утверждений § 3.9. Однако мы приведем прямые
доказательства, характерные для нормальных последовательностей.
§ 3.8. Стационарные гауссовские последовательности
Пусть Xlf АГ2,.. . — стационарная последовательность случайных величин.
Предположим дополнительно, что для всех п > 1 распределение вектора
(А\, АГ2, • • •, ^п) нормально с EAQ = 0 и DAT, =1 (/ >1). Это означает,
что вектор Рч, Х2, • • • > %п) имеет плотность распределения вида
Л.(х)яЛ(«;/?) = •—— ехр(-^ хЛ**х'У	(75)
(2я)"/2	\	2	/
где R — положительно определенная матрица размера п X п, у которой эле¬
мент с индексами (i, /) равен г(i, /) = ЕАС/АГу, | А| - ее определитель,
х = (хь х2,. . . , х„), ах'- тот же самый вектор, записанный как стол¬
бец. Предположение о стационарности приводит к равенству г (ij) =г(т),
где т = | i — /1 , а из условий на первые два момента следуют равенства
г(Л/)=1 (/>1).
Последовательность случайных величин Хх, Х2,. .. , Хп с ЕАу = 0 и
DA} = 1	(/ > 1) называется гауссовской, если совместная плотность рас¬
пределения задается формулой (75). Бесконечная последовательность
случайных величин АГ], Х2)... - гауссовская, если для всех и > 1 последо¬
вательность АГ], Х2,. .. , Хп — гауссовская. Заметим, что подпоследова¬
тельность гауссовской последовательности также гауссовская. Это выте¬
кает непосредственно из определения гауссовской последовательности.
Чтобы убедиться в этом, следует обратиться к функции распределения
и устремить к бесконечности те ее аргументы х7, для которых величины
Xj не входят в рассматриваемую последовательность.
Мы снова рассмотрим подробно асимптотическое распределение вели¬
чины Zn при различных предположениях о последовательности rm (т> 1).
Эти результаты можно будет потом переформулировать в результаты о
величине Wn, которые в силу симметрии плотности распределения /п(х)
относительно начала координат даже не потребуют никаких дополнитель¬
ных вычислений.
Одним из основных инструментов доказательства будет следующая
лемма.
Лемм а 3.8.1. п-мерная нормальная функция распределения Ф„(х; R)
является возрастающей функцией каждого элемента r(i, /) матрицы R,
Доказательство. Мы не приводим подробного доказательства,
которое в принципе является очень простым. Если продифференцировать
Ф„(х; R) по г(/, /), то мы получим интеграл от плотности fn(y; R),
146

у = (У!, у г, • • • , Уп), по следующей области. Если t Ф i,j, то интегриро¬
вание по отношению к yt происходит по полупрямой (-°°, хг), кроме
того, у( = xh yj = Xj. Поэтому производная положительна и, следова¬
тельно, функция Фп(х; R) монотонна по г(г,/). а
По существу, упомянутая выше явная формула для производной функ¬
ции Фл(х; Л) по r(z, /) поможет нам вывести важное неравенство. Описан¬
ный в ней интеграл можно переписать в виде
ЭФл(х; Я)
■ -- .	Xj)^n-2(s-, V) (i^j),	(76)
где f2 (хь xj) ~ плотность вектора (Xh Xj), a s и V определены следую¬
щим образом. Вектор s состоит из (п — 2) компонент, которые мы обозна¬
чим через st (1 < t < п, t =£i,t ¥=/), причем st =xt -zt, где
zt = [1 -r(ij)]~il2	t)-r(j, t)r(i,j)]Xi + [r(/, t)-r(i, t)r(i,/)]xz}.
Наконец, V - это условная ковариационная матрица величин Xt (1 < t Си,
t =£i,t =£/) при фиксированных (Xit Xj).
Теперь мы сможем доказать следующий результат.
Лемма 3.8.2. Пусть	и	(1 < * < п) - гауссовские после¬
довательности. Предположим, что как г x(i,j) = tХх у), так и r2 (i,/) =
=	X^j) зависят только от i - /. При i < ], тп = / — i положим
ri ,m = r\(i, A r2 ,т = r2(i> /) • Тогда справедлива оценка
|P(Zj.„< x)-P(Z2>„< х)|<
S iri.fc — Г2 fc|(l -m|)_I/2exp(- ——	У
* = i	\	1 +mk J
где mk = max(|riiA|, |r2(k|).
Доказательство. Из определения гауссовской последователь¬
ности, учитывая формулу (5) гл. 1, получим
P(Zf л < х) = Фл (х;Яг) (7=1,2),
где х = (х, х,. . . , х), а элементы матриц Rt (t = 1, 2) с индексами (f, /)
равны соответственно rlm	где т = | i - / |. Поэтому, если обозна¬
чить черезR матрицу размерапХпс элементамиr(i,j) = г|,_/|, то разность
P(Zt л < х) — P(Z2,n < х) = Ф„(х;) — Фл(х; J?2)
является приращением функции Фл(х; R), где в качестве переменных
рассматриваются элементы матрицы Л. Из элементарного анализа (из одной
из так называемых теорем о среднем) следует соотношение
"	ЭФл(х;Я)
P(Zl rt < х) — P(Z2 п < х) = S (rlifc-r2ifc)_Jl	L	,	(77)
к = 1	ОГ к	R=R*
где матрица Л* такова, что ее (/,/)-й элемент г*; _71 зависит только от
I i - j I, причегч г к лежит между г1к и Теперь с помощью формулы
(76) оценим частные производные в правой части равенства (77). Сначала
заметим, что для симметричных матриц R при х = (х, х,.. . , х) из фор-
147

мулы (76) вытекает неравенство ,
ЭФ„(х;Л)
< Л (*,*) = -7- [ 1 - г2 (i, /)] 1 /2 ехр
X2	1
dr(i, j)
1+г(',/)_
2я
Правая часть этого неравенства только возрастет, если в ней заменить
r(z, /) таким числом т9 для которого выполняется неравенство I r(z, /) I <
< т < 1. Это означает, что для любого т, удовлетворяющего неравенству
I г (i, / ) | < т < 1, выполняется соотношение
dr(i, j)
< ——(1 — m2) 1/2ехр
2я
(-
(78)
)
Далее, по правилу дифференцирования сложной функции при специаль¬
ном выборе матриц R с r(z, /) = Г|/_/| имеем
дФ„(х;*) = 2 ЭФ„(х;Я) ,
Эг*	dr(i, j)
где суммирование распространяется на все индексы i < j, для которых
/ - i = к. Поскольку число членов в этой формуле меньше, чем л, и каж¬
дый член можно оценить по формуле (78), доказываемое неравенство
непосредственно следует из равенства (77). ▲
Теперь мы можем получить асимптотические результаты для величины
Zn с помощью следующего метода. Сначала мы исследуем гауссовские
последовательности, для которых последовательность гт обладает очень
простыми свойствами. Затем мы используем леммы 3.8.1 и 3.8.2 для того,
чтобы показать, что отклонение от этих ’’хороших” последовательностей
гт не влияет на предельную форму распределения соответствующим обра¬
зом нормализованной величины Z„.
Мы начнем со следующей простой структуры последовательностей
{yn}. Пусть %], Х2, • • • , Хп — гауссовская последовательность с нулевым
математическим ожиданием, единичной дисперсией и постоянной корре¬
ляцией г = г (и) = EXtXj (i Ф /). При изучении распределений для г > О
эту последовательность можно заменить на следующую последователь¬
ность случайных величин. Пусть Уо> ,• • •, ¥п~ н.о.р. стандартные нор¬
мальные случайные величины, и пусть
+(1-г)1/2У/ (1 </< п, г>0).	(79)
Случай г = 0, конечно, сводится к равенству Х}- = У}, следовательно, к
н.о.р. стандартным нормальным случайным величинам. Этот случай в
силу леммы 3.8.1 дает нам нижнюю границу для распределения макси¬
мума при г > 0. Теперь мы докажем следующий результат.
Теорема 3.8.1. Пусть Zn(r) обозначает максимум гауссовской
последовательности Хъ Х2,. . . , Хп с нулевым математическим ожида¬
нием, единичной дисперсией и постоянной корреляцией г = г(п). Пусть
ап=-^ —zACog log п + log 4я), bn = (21og n)~1 /2.	(80)
2
Если последовательность r(n)\Qgn сходится при n -* 00 к конечному чис¬
лу т, то величина (Zn(r) — ап)/Ьп имеет предельное распределение Н(х) .
148

При т=0 имеем Я(х)=Я3 0(х) = ехр(—е"х), в то время как при
т > 0 функция Н(х) является сверткой распределений H3tQ (х + т) и
Ф(х(2т) “ ^2), где Ф(х) - стандартная нормальная функция распреде¬
ления.
С другой стороны, если г (п) log п -+°°, то справедливо равенство
lim P[Z„(r)< ал(1 -г)1/2 +ХГ1/2] = Ф(х).
я ->оо
Доказательство. В силу представления (79) имеем
Z„(r) = г1'2 Уо+(1 -r)42Z*n,	(81)
где Z„ = тах(У], У2,..., Yn) и Уо и Z„ независимы. Поэтому, учитывая
обозначения (80), получим
Z„(r) — ап
	 	 = ТТ + у
ип г П9
Ьп
где
t/n=(2rlogn)’/2y0, У„=(1-г)1/2
Z„-(l-r) 1/2а„
' К	"
причем величины Un и Vn независимы. Покажем, что если г log п т и т
конечно, то как величина Un, так и величина Vn имеют предельные рас¬
пределения. Действительно, если 7 = 0, то для любого е > 0 имеем
lim P(|f/n|>e) = O.
Я _>оо
Поэтому из леммы 2.2.1 следует равенство
lim P(Z„ (r)<a„ + b„x) = lim Р(У„<х).
я -► оо	я -* 00
Как будет видно, последний предел равен Я30(х). С другой стороны,
если 0 < 7 < °°, то справедливо равенство
lim P(Un < х) = Ф [х(27)“1/2].
Я	ОО
Поэтому, если мы докажем соотношение
Р(Ия < х) -> Я3,0(х + 7),	(82)
то наше утверждение будет следовать из леммы 2.9.1. Остается исследо¬
вать распределение величины Vn. Заметим, что достаточно показать со¬
отношение (82) при 0 < 7 < °°, так как при 7=0 предельное распределе¬
ние сводится к 7/3>0 (х).
Из п. 2.3.2 нам известно, что при п справедливо соотношение
P(Zn*< а„ + Ьпх) - Я3,0(х).	(83)
Далее имеем
P(Vn < х) = P(Zn’ < А„ + Впх),
где
А„ = (1 - ryl'2an, В„ = (1 - гГ112Ь„.
149

В силу леммы 2.2.2, чтобы получить соотношение (82), достаточно пока¬
зать, что при п -> «справедливы формулы
Ап ~ <*п	&п
	Т И	1.
Ьп	Ьп
Последняя формула, очевидно, следует из предположения, что г log п -> т,
так что г -> 0. Поэтому требуется доказать только первое соотношение.
Поскольку (1 - г)“1/2 = 1 +-^г + #0*2) при г -*0, имеем
А„ - а» = ап 1(1	- 1]
Ьп	Ьп
при п ■*<». Первая часть теоремы доказана.
Обращаясь к случаю г log п -> « при п мы, используя новые норма¬
лизующие постоянные, изучим распределение величины
г-1'2 [Zn(r) _а„(1 - г)1'2].
В силу представления (81) последняя величина может быть приведена
к виду
Уо + (1 - ry^r-'l2 (Z* - ап) = Уо + т„.
Если бы мы показали, что для любого е > 0 при п -+ °° выполняется со¬
отношение
Р (I Тп | > е) -> 0,	(84)
то из лемы 2.2.1 следовало бы, что предельное распределение нормализо¬
ванной, как указано выше, величины Zn(r) совпадает с распределением
величины Уо, которое является стандартным нормальным распределе¬
нием. Таким образом, мы должны доказать соотношение (84). Однако
оно легко следует из соотношения (83), оценки
Р(1Г„| > е) < PC-^IZ; - а„\>е) =
> e(2rlog«)1/2
и соотношения г log п при п Доказательство закончено, а
Теорема 3.8.1 интересна тем, что она показывает, что предельная форма
распределения величины Z„, нормализованной соответствующим образом,
зависит от соотношения между г(п) и log п. Теперь мы покажем, что в
этой задаче предположение о постоянстве корреляции несущественно.
Чтобы упростить доказательства, выделим их важную часть в лемму.
Лемма 3.8.3. Пусть	Z1>2,. .	и Х2,1» Z2?2, • • • » Z2>n -
две гауссовские последовательности с нулевыми математическими ожида¬
ниями и единичными дисперсиями. Пусть rx,k = Е(Л\ j Х{ j + *) ur2,k -
= E(X2jX2j + k) для ecex h Предположим, что rifk = г2>k для всех к >
150

> s(ri) = n* при некотором 0 < t < 1/3. Наконец, пусть I л | < М < 1
и ri,k пРи к “>о° &ля J = 1,2. Тогда справедливо равенство
lim [Р (Zi>n < ап + Ьпх) — Р(^2,л < ап + Ьлх)] = О,
п -»<»
где постоянные ап и Ьп определены равенством (80).
Доказательство. В силу леммы 3.8.2 справедливо неравенство
1Р(211Л < с„) - P(Z21„ < С„)| <
< п (1 - m£)-1/2exp(- —— 1	(85)
где тпк = max(lri,fc I, Ir2,к I). По предположению тпк-+О при к-+<*>. Поэто¬
му найдется такое фиксированное число Nf что для к > N выполняется
неравенство 1 + тк < 2/(1 + 2г). Кроме того, тк <М, и последователь¬
ность (1 - zh^)""1'2 ограничена. Оценим теперь слагаемые в правой части
неравенства (85) при сп = ап + Ьпх. Последнее равенство будем использо¬
вать в виде сп = 2 log п + о (log п). Далее, при к < N каждое слагаемое
в соотношение (85) меньше выражения
и (1 — М2 )“1 ^2 ехр £ - ~ ду l°g л + о (log п) ,
которое сходится к нулю при п -+ °°. Поскольку Аффиксировано, общий
вклад этих слагаемых в сумму (85) также стремится к нулю. Далее, для
к > N оценим число слагаемых через $ (и), а при оценивании каждого
слагаемого используем выбор числа N. Кроме того, учтем, что ns(n) =
= п1 ** = ехр [(1 + г) log и]. Поэтому общий вклад этих слагаемых в сумму
(85) не превосходит выражения
ехр [~(1 +2r)logn + (1 + t) log п + о (log и)],
которое также сходится к нулю. Доказательство закончено. А
Теорема 3.8.2. Пусть Xit Х2, > . - - стационарная гауссовская по¬
следовательность с нулевым математическим ожиданием и единичной
дисперсией. Предположим, что корреляции rm = Е(Ау Х7 +гл) удовлетворя¬
ют условию rm \о%тп-*Ъ при тп^><*>. Тогда справедливо соотношение
< ап + Ь„х) -* Н3'0(х)
при п~+°°, где постоянные ап и Ьп определены формулой (80).
Доказательство. Введем две дополнительные гауссовские по¬
следовательности XiA, Х1>2, •• ‘Д1,лИ JV2>1, Х2,2, . . Х2, л, обладающие
следующими свойствами. Величины в каждой последовательности имеют
нулевые математические ожидания и единичные дисперсии. Корреляции
rim = EtXjjXjj+m) (i = 1,2) зависят только от тп. Наконец, пусть
для m < s(n) ~ п^3 выполняются неравенствами	<г2>ш, а для
тп > s(ri) корреляции rittn nr2tm не зависят от тп и принимают значения
r\,m =-P(w)	= р(и),где
р (п) = sup{lrm I:	< m < п} .
По свойству монотонности гауссовских последовательностей относитель¬
151

но корреляций (лемма 3.8.1) имеем
Р(Х1,л < ап +	Р (Хи <	+ />„*)	Р(^2,л < ^и+^)-(86)
С другой стороны, каждая из последовательностей {X\j} и {Аг,/} от¬
личается от гауссовской последовательности с постоянной корреляцией
только первыми т (1 < т <и1^3) членами корреляционной последова¬
тельности rim (i = 1, 2). Следовательно, по лемме 3.8.3 крайние члены
неравенства (86) имеют такие же пределы, как и в случае, когда основные
случайные величины имеют одинаковые корреляции, равные -р(и) и
р(п) соответственно. Поскольку из условия rm log т -> 0 следует, что
р(п) log п -> 0, в силу теоремы 3.8.1 два крайних члена неравенства (86)
сходятся к функции Н30(х). Из этого следует утверждение теоремы. *
Не изменяя приведенного доказательства, мы получим следующий
результат.
Теорема 3.8.3’ Пусть в обозначениях теоремы 3.8.2 rm log m т,
причем т конечно и положительно. Тогда при п -><» величина (Zn - ап) /Ьп
имеет предельное распределение Н(х), которое является сверткой рас¬
пределений Н3#(х + т) и Ф(х(2т)-1/2).
Очевидно, что ни одна из этих теорем не сформулирована в наиболее
общем виде. Всегда можно с помощью неравенства леммы 3.8.2 модифи¬
цировать последовательность { rm } таким образом, что ’’хорошие” свой¬
ства нарушатся, но на предельное распределение величины Zn (соответ¬
ствующим образом нормализованной) это не окажет влияния. Однако,
если отвлечься от этой свободы модификации последовательности г т,
сформулированные теоремы являются наиболее общими в том случае,
когда для ’’большинства значений т” последовательность rm log т огра¬
ничена. Заметим, что теоремы 3.8.2 и 3.8.3 утверждают, а доказательства
ясно показывают, что если последовательность rm log т сходится, то не
имеет значения,-равны корреляции или нет.
Случай, когда rm log т -> °°, более труден потому, что последователь-'
ность гт входит в нормализующие постоянные. Здесь ситуация отличает¬
ся от ситуации с постоянной корреляцией, когда этот случай был легкой
частью доказательства теоремы 3.8.1. Имеется много способов получения
условий, которые гарантировали бы существование предельного закона
для соответствующим образом нормализованного максимума. Мы при¬
ведем только один из них, который покажет, что в этом случае снова
возможна аппроксимация последовательностями с постоянной кор¬
реляцией.
Теорема 3.8.4. Используя обозначения теоремы 3.8.2, пред¬
положим, что при т~+ °° последовательность rm убывает, последователь¬
ность rm (log m) сходится к нулю, а последовательность rm log m воз¬
растает и сходится к бесконечности. Тогда справедливо равенство
lim P(Z„ < (1 - rn)x>2an + xr„1/2) = Ф(х).
П оо
Доказательство. Будем следовать доказательству теоремы
3.8.2, в котором основным инструментом была лема 3.8.3. Однако здесь
мы не можем использовать эту лемму, поскольку нормализующие по¬
стоянные теперь другие. Кроме того, когда мы будем приближать Zn
величинами Z1>n и Z2,rt, как это делается в соотношении (86), то окажет¬
152

ся недостаточным ограничить s(n) степенью числа п. То обстоятельство,
что теперь s(n) должно быть намного ближе к и, немного удлинит вы¬
числения, но в то же самое время кое-что упростится за счет предположе¬
ний о монотонности*
Наш первый шаг состоит в получении оценки, подобной оценке леммы
3.8.3. Пусть s = s(n) < п — функция, которую мы уточним позднее. Оце¬
ним, насколько изменится распределение величины Zn, если изменить
корреляции гт для т < s(n). Применяя лемму 3.8.2, получим, что из¬
менение распределения величины Zn с точностью до постоянного множи¬
теля не пре зосходит выражения
И S lrfc _г'к 1ехр(-—	),	(87)
к = 1	\	1 + тк/
где rj— измененная последовательность корреляций, а тк = max (гк, г£),
причем мы предполагаем, что тк < 1. Это последнее предположение
не является для нас ограничением, поскольку мы ограничимся рассмотре¬
нием тех последовательностей гк, для которых rk = rs для всех к или
гк = гп для всех к К s, так что из предположений монотонности следует,
что 0 < rs < /"i < 1 (последнее неравенство справедливо потому,
что для стационарной гауссовской последовательности равенство = 1
невозможно; это бы повлекло равенства Х} = Х2 = . . • , откуда бы следо¬
вало, что гт = 1 для всех т). В дальнейшем мы будем предполагать, что
гк — это одна из последовательностей, указанных выше, и что хп =
= (1 - rn) lf2an + хг^2. Таким образом, тк = гк и lrfc - rk I < гк. В силу
равенства х„ = 2(1 - r„) log п + о [(log п) 1/2] выражение (87) ограниче¬
но величиной
s
n S
rk exp
2 О — Гп) .	гл	/2
	log n + о [(log и)
к =
i	1
1 + rk
T
s
= n
s ...
+ n S	... = S, + S2,
к = 1
к = T + 1
где Т = пт при некотором t (0 < t < 1). Так же, как и при доказательстве
леммы 3.8.2, легко показать, что L] = о(1). Сумма 22 только возрастает,
если в ней заменить все гк на гт. Таким образом, если записать п в виде
exp (log п), то главный член в экспоненте каждого из слагаемых в сумме
S2 не превосходит величины
(1			Ilog п =		—:	 log л.	(88)
\	1 + гт /	1 + гт
Поскольку гт -> 0 при п -* °° и 0 ^гп<гт, при всех достаточно больших
п выражение (88) не превосходит величины
(rT + 2г„ - 1)(1 - rT)\ogn < (4гт - 1) logп.
Наконец, поскольку произведение rm log m возрастает и Т = п*, имеем
гг log Т	rn log п	гп
гт =	 <	 =	1
log Т	t log п	t
153

Используя эти оценки, получим при t = 1/3, что справедливо неравенство
< $(и)ехр {(12гл - 1) log л + о [(log л)1/2]} .
Положим
s(n) = ехр{(1 - 12гл— (log п)~1/2) log п } .	(89)
В этом случае выражение (87) сходится к нулю при п Следователь¬
но, мы доказали, что предельное распределение величины [Zn —
- (1 - гп) ^2ал]гл ^2 не изменится, если для всех£<$(и) корреляции
гк заменить либо на rSi либо на гл; при этом s = s(n) определено форму¬
лой^). Поэтому мы предполагаем, что Г1 = г2 =	• =rs>rs + i >.. .>гп.
Теперь снова, как и при доказательстве теоремы 3.8.2, введем две новые
последовательности случайных величин, каждая из которых имеет постоян¬
ную корреляцию. Если Zl>n является максимумом п гауссовских случай¬
ных величин с нулевым математическим ожиданием, единичной дисперсией
и постоянной корреляцией, равной rSi a Z2>n является максимумом таких
же величин, но с постоянной корреляцией гл, то в силу леммы 3.8.1 имеем
Р (Z2,„ < хл) < Р (Z„ < х„) < Р (Z1>n < хл),	(90)
где, как и ранее, хл = (1 - гп) 1^2ап + хг^2. Из теоремы 3.8.1 мы знаем,
что при п «> крайняя левая часть неравенства (90) сходится к Ф (х).
В силу этой теоремы имеем
lim Р [Zit„ < (1 - rj‘/2an + xr V2] = ф(х).	(91)
п -* *»
Поэтому с учетом неравенства (90) остается показать, что равенство (91)
останется справедливым, если в нем rs заменить на гл. Для этого следует
воспользоваться леммой 2.2.2. Из нее следует, что для наших целей мы
должны показать, что при п-+°° справедливы соотношения
- - 1, “пг-1/2 [(1 - г,,)1'2 - (1 -	(92)
гп
log S
В силу монотонности последовательностей гт и rm log т имеем	 <
log и
f
С— < 1, откуда при $ = s(n), определяемом формулой (89), следует
rs
первое из предельных соотношений (92). Для доказательства второго
соотношения воспользуемся разложением (1 - r)1^2 = 1 - г/2 + О(г2)
при г ->0. Из него следует, что при всех Достаточно больших п справедли¬
вы неравенства
о < апг-1 '2[(1 _ гл)*/2 _ (1 _ г,)1'2] < а„Г^12^ - г„) <
<	(Zlogn)1/2^1/2^, - гп) =		(rjogw - rn log и) <
r„ log п
<	(2r„ log«)1/2(^^ - 1) < (2r„ logny/2(12rn + (logи)-’/2).
Здесь мы снова использовали явное выражение для $(и) из формулы
154

(89). Правая часть последнего неравенства сходится к нулю, поскольку,
по условию теоремы, (log т) ->0. Теорема 3.8.4 доказана. *
Несмотря на то, что доказательства и результаты интересны с матема¬
тической точки зрения, с точки зрения прикладника они далеки от со¬
вершенства. Математику легко определить, какой асимптотический закон
применять, если, скажем, последовательность гт убывает. Но когда ученый,
занимающийся приложениями, оценивает корреляцию гт по наблюдаемым
данным, то соотношение между оценкой и величиной log т нелегко рас¬
познать. Эти две точки зрения иллюстрируются следующими примерами.
Пример 3.8.1. Используя обозначения теоремы 3.8.1 - 3.8.4, поло-
g(zn)
жим гт = 		-, где при больших т предполагается, что g (т) /4~
log АП
~ exp(l/log log ni) - 1. Тогда, поскольку ех - 1 ~ х при х ->0, последо¬
вательность rm log т сходится к нулю со скоростью 4/log log т. Поэтому
применима теорема 3.8.2 и, следовательно, нормализующие постоянные
ап и Ьп для величины Zn определяются формулой (80), а предельным
законом является закон Я30(х).А
Пример 3.8.2, Пусть при т -►«> последовательность гт асимптоти¬
чески эквивалентна последовательности 2/log т. Тогда применима теоре¬
ма 3.8.3, причем нормализующие постоянные для величины Zn те же,
что и в предыдущем примере, а предельное распределение является
сверткой распределений Я3>0 (х + 2) и Ф (х/2). *
Пример 3.8.3. Пусть rm = g(zn)/log zn, где последовательность g (zn)
возрастает, а последовательность гт убывает. Пусть, кроме того, при zn-><»
последовательность %g(m) асимптотически эквивалентны последователь¬
ности log log zn. Тогда все условия теоремы 3.8.4 выполнены. Следователь¬
но, для получения предельного закона величины Zn нам следует взять в
качестве нормализующих постоянных постоянные (1 - z,„)1'2a„ и г^2
соответственно. Предельное распределение в этом случае будет стандарт¬
ным нормальным. ▲
Пример 3.8.4. Пусть известно, что выборка имеет многомерное
нормальное распределение, причем каждый ее элемент имеет нулевое
математическое ожидание и единичную дисперсию. Пусть, кроме того,
известно, что эта последовательность стационарна и ее корреляции убыва¬
ют с ростом zn. Пусть объем полученной выборки достаточно велик для
того, чтобы можно было оценить корреляции гт для zn < 1600. Из теории
мы знаем, что гт нужно сравнить с log zn, поэтому были вычислены вели¬
чины rm log zn для всех zn. Оказалось, что 1£5 log zn<2,01 для 1100 <
<zn < 1600, а последние 200 значений последовательности rm log zn с точно¬
стью до двух десятичных знаков совпадали с числом 2. Рассмотрев три
разобранные теоретические ситуации, исследователь склонен признать,
что следует использовать модель примера 3.8.2. Затем он смотрит на
значения 4/log log zn и log log zn для 1400 < zn < 1600, которые лежат соот¬
ветственно в интервалах (2,00; 2,02) и (1,98; 2,00). Конечно, ему ничего
не остается делать, кроме как рекомендовать дальнейшие исследова¬
ния. Он может попытаться сделать вывод на основе значений гт при zn,
меньших чем 1100, но он может при этих значениях вообще не распознать
тенденцию в поведение гт. Другое очевидное возражение против такого
155

подхода состоит в том, что начальные значения величины гт не влияют
на асимптотическую теорию.
Наконец, имеется еще один факт, вызывающий беспокойство у при¬
кладника. Для приведенных выше данных значение гт меняется между
0,27 и 0,28 для т > 1000. Поэтому совсем не очевидно, что последова¬
тельность гт сходится к нулю. Эту трудность, однако, можно преодолеть,
если записать гт в виде g (т) /log т. В этом случае можно без опасения
допустить, что гт ’’намного меньше”, чем log т, откуда можно заключить,
чтогт->0.
Приведенные выше ситуации на практике встречаются редко. Однако
трудности, на которые они указывают, встречаются очень часто. а
§ 3.9. Предельные формы неравенств из § 1.4
В то время как для некоторых прикладных моделей понятие перемешива¬
ния, введенное в § 3.7, приемлемо, для других моделей оно обладает
серьезными недостатками. Один из недостатков, который вызывает трудно¬
сти только в некоторых случаях, состоит в том, что это понятие определе¬
но таким образом, что перенумерация случайных величин невозможна.
Другими словами, если наблюдения поступают в другом порядке, то уже
не обязательно перемешивание сохранится. Другой недостаток, который
делает это понятие неприемлемым в определенных ситуациях, состоит
в том, что любой член последовательности случайных величин должен
быть асимптотически независим от всех других величин с достаточно дале¬
кими индексами. Например, если Xj представляет собой случайную про¬
должительность жизни компоненты сложной системы, то неясно, как
нумеровать компоненты, чтобы описанное выше свойство сохранялось.
Эти недостатки отсутствуют в нижеследующей модели. В ней также описы¬
вается ситуация асимптотической независимости, но в более слабых пред¬
положениях, чем в модели перемешивания. Поэтому она имеет более
широкие приложения. Несмотря на то, что мы описываем модель в общей
терминологии, читателю может быть удобным переводить все на язык
’’продолжительности жизни компонент”. Математически эта модель основы¬
вается на результатах § 1.4.
Для данной последовательности случайных величин Xlt Х2, . . Хп
мы введем множество Еп так называемых исключительных пар индексов
(/,/) (/ < /) следующим образом. Мы помещаем пару (/,/) в множество
Еп, если нет оснований предполагать (или, в математических рассуждени¬
ях, если неверно), что при хп ->тах [a(Fz), a(Fz) ] вероятность Р(Х/ < xw
Xj < хп) ведет себя асимптотически так же, как произведение (xt)Fj (хл).
Здесь, как обычно, Ft (х) обозначает функцию распределения величины Xt.
Пример 3.9.1. Пусть Х2, . . Хп независимы. Тогда множество
Еп пусто. а
Пример 3.9.2. Пусть Хх, Х2,..., Хп ти-зависимы. Тогда Еп = {(?,/):
1 С i < / < i + т, j Си}. Поэтому число N(n) элементов множества
Еп равно (т - 1) (и - т) + С2т.±
Пример 3.9.3. Пусть Хх, Х2, . . Хп- такая последовательность
случайных величин, что Х2, Х3, . . Хп независимы, a Xi и Xj сильно
зависимы для каждого/. Тогда Еп = {(1,/): 1 < j Си}, N(n) = и - 1. а
156

Заметим, что пример 3.9.3 не укладывается ни в одну из моделей, рас¬
смотренных в предыдущих параграфах, хотя при исследовании асимпто¬
тических свойств экстремумов задачу можно легко свести к случаю не¬
зависимости. Однако небольшая модификация этого примера потребует
новых рассуждений для вывода асимптотического распределения экстре¬
мумов.
Пример 3.9.4. Пусть Xlf Х2, . . ., Хп - такая последовательность,
что и Xj нельзя считать асимптотически независимыми в смысле опре¬
деления множества Еп, если пара (z, /) является элементом множества
Еп = { (z, /): либо z = 1 и / > 1, либо 1 < i < п и / = i + 1, либо 1 < i <
< л/2 и / = 2z}. В этом случае N(n) <2,5и. А
Из определения множества Еп следует, что если 1 <z! < i2 < .. • < 6t
и ни одна пара из этих индексов не содержится в Еп, то события {Xit<xn}
попарно асимптотически независимы прих„, сходящемся к наибольшему
из чисел a(Et). При построении нашей модели мы предположим большее,
а именно, что попарная независимость может быть расширена до независи¬
мости. Теперь, используя обозначения (34), (35) и (36), строго определим
нашу модель. Кроме того, как и в приведенных выше примерах, обоз¬
начим через N(ri) число элементов множества Еп, Последовательность
случайных величин Х{, Х2, . . Хп мы назовем ^„-последовательностью,
если выполнены следующие три условия.
Условие 1. Если индексы i (к) = (z’i, z2, . . ., ik) не содержат пар
из множества Еп, то разность
di(k)(xn) ~	~ П Fj (х„)
г= 1
пренебрежимо мала по сравнению с каждым из ее членов при хп ->
-► sup a(Ft).
t> i
Условие 2. Если среди компонент вектора i (к) = (z i, i2, . . ., ik)
имеется ровно одна пара (zs, zm), принадлежащая множеству Е„, то справед¬
ливо неравенство
< VkP(Xis < хп, Xim < хп) Д F/f(x„),
t Ф m,s
где rik - постоянная.
Условие 3. N(ri) =о(п2).
Заметим, что в определении ^-последовательности нет предположения
о взаимозависимости величин (Xlf Х2,..Хп), если вектор (z i, z2 ..., z„)
содержит более чем одну пару индексов из множества Еп. Другими слова¬
ми, если мы рассмотрим подмножество первоначального множества случай¬
ных величин, содержащее по крайней мере две пары величин, для которых
мы не можем предполагать асимптотической независимости, то это под¬
множество может иметь произвольную структуру. Кроме того, мы не
предполагаем, что величины Xj одинаково распределены. Необходимо
также подчеркнуть, что условие 2 является намного менее ограничитель¬
ным, чем предположение об асимптотической независимости, поскольку
постоянная цк может быть произвольно большой. Наконец, условие 3
является естественным. Число пар индексов 1, 2,. .., п равно что имеет
157

порядок п2. Следовательно, условие 3 состоит в том, что исключительные
пары не могут составлять положительную долю среди всех пар.
Сформулируем теперь важную теорему.
Теорема 3.9.1. Пусть Xif Х2, . . Хп есть Еп- последовательность
случайных величин. Пусть хп - такая числовая последовательность, что
при п~>°° выполняется условие
S Ff(xn) ^a (0 < а < «).	(93)
/= 1
Предположим, что существует такая постоянная К, что для всех j и п
выполняются неравенства nFj(x„)<K. Пусть, наконец, выполняется условие
lim X Р (%, < хп, Xj < хп) = 0.	(94)
л-> « (i,j)f=En
Тогда имеет место равенство
lim Р(И/„ < х„) = 1 - е~а.	(95)
и -* оо
В частности, если Fj(x) = F(x) для всех j, то к величине Wn применима
теория главы 2.
Заменяя в определении ^-последовательности события {Xj < хп } на
события {Xj > хп }, величины a(Fj) на величины u(Fj), определим
^-последовательность. Это приведет к тому, что последовательность
случайных величин Хг, Х2, . . ., Хп будет ^-последовательностью тогда
и только тогда, когда последовательность (-Zi), (- ^2), ..{—Х^) явля¬
ется ^-последовательностью. Поэтому из теоремы 3.9.1 следует приводи¬
мый ниже результат о величине Zn.
Теорема 3.9.2. Пусть Х\, Х2, . . Хп есть Е ^последовательность
случайных величин. Пусть хп - такая числовая последовательность, что
при п^>°° выполняется условие
2	[1 - Fj(xn)]^A (0<Л<°°).
/= 1
Предположим, что существует такая постоянная К*, что для всех п и j вы¬
полняется неравенство и[1 - Fj (хп) ] < К*. Кроме того, пусть выполняет¬
ся условие
lim X Р(Х,. > хп, Xj > хп) = 0.
« (ifj)E:En
Тогда справедливо равенство
lim Р (Z„ < х„) = е~А.
л -* «
В частности, если Fj (х) = F(x) для всех ], то к величине Zn применима
теория главы 2.
Доказательство теоремы 3.9.1. Доказательство основано
на неравенствах теоремы 1.4.2, в которых используются следующие обозна¬
чения. Пусть последовательность хп выбрана таким образом, что выполне¬
но соотношение (93). Пусть Q = {X,- <х„} (1 </ < и).Тогда, очевидно,
158

для i(к) = Oi, i2	ik), 1 <I, <i2 <... <ik <n, справедливо равенство
p(c/1cG--ca) = F/w(^)-
Введем следующие суммы:
s:,n = 5i*,: = «vn = I/, (»я).
а для&> 2
st, „ = (хи). V „ = х; • гдк) (х„),
где 2^ и * обозначают суммирование по всем индексам i(к) = (Ji ti2i • • •
.,., iк), 1 < ii < i2 < . • • < ik < и, которые соответственно не содержат
пар из исключительного множества Еп и содержат не больше одной такой
пары. Событие, состоящее в том, что ни одно из событий С/ (1 </ Си)
не произойдет, совпадает с событием {Wn > хл). Поэтому из теоремы 1.4.2
следует, что для любого фиксированного целого т > 0 справедливы не¬
равенства
1-	+ s;<n - s^*„ +	s2"+1>„ <Р(и/„>х)<
+ s;:„ - s;,n +...+ s^n.	(96)
Чтобы закончить доказательство, покажем, что для любых к > 1 выполня¬
ются условия
lim	-Я,я)= о	(97)
я -* оо
И
Ito S*k. П = — ■	(98)
л ~* °°	к!
Действительно, если применить равенства (98) и (97) в неравенствах
(96), то мы получим, что для любого фиксированного т > 0 справедливы
неравенства
2т + 1	а*
S (-1)*— < lim inf Р(И/„>Х„) <
*=о	kl	п
2т	д*
< lim supP(%>xn) < S (-1)* — >
л оо	л=о kl
из которых в силу произвольности числа т непосредственно следует равен¬
ство (95). Поэтому остается доказать соотношения (97) и (98). Оба эти
соотношения справедливы для к = 1, соотношение (97) — по определению,
а соотношение (98) - по условию (93). Таким образом, мы предполага¬
ем, что к > 2. Из условия 2 имеем
0<	-s;,n <	s PCT, < X„, xf< x„).
(/./)e£n
Из условий (93) и (94) следует, что правая часть этого неравенства схо¬
дится к нулю. Этим доказано соотношение (97). Обращаясь к доказатель¬
ству равенства (98), сначала запишем сумму л в виде
(х„).. .Ftk(xn) + dt(ky (х„)].
159

Из условия 1 и условия Fj (хл) < К/п следует соотношение
di{k) (*„) = o[Fit (xn)Fi2 (х„).. . Fik (х„) ] = o(ri~k).
Поэтому имеет место оценка
Sfc4W(*„) = o(Cknn-k) = о(1).
Кроме того, имеем
о<	s	Fii(xn)Fii{xn)...Fi(xn)-
-S;F/i(x„)F/j(xn)...Ffjt(x„)<
„ ,	K2N(ri) . ,
<W)[ max ^xJFz(xJ]5*;n2	S*"2.
1</</<л	ГГ
Правая часть этого неравенства в силу условия 3 и соотношения (93)
сходится к нулю. Собирая вместе полученные выше оценки, придем к
равенству
S	Fy- (x„)F;- (х„) ... F, (х„) + о(1).
!</;</,<... <jk<n	>
Обращаясь еще раз к условию Fj (хп) < К)п (/ = 1, 2,..., п), получим
соотношение
+ о(1) -> О ,
которое справедливо, поскольку сумма ограничена. Теперь условие
(93) приводит нас к равенству (98). Этим заканчивается доказательство
равенства (95).
Частный случай, в котором Fj (х) = F(x) для всех /, конечно, сводится
к теории главы 2, поскольку соотношение (93) принимает в этом случае
вид nF(xn) -> а. Это как раз правило главы 2 для определения последо¬
вательности хп = сп + dnx, содержащей нормализующие постоянные для
величины W. Кроме того, было показано, что форма предельного распре¬
деления для величины точно такая же, как и в соотношении (95).
Здесь, конечно, а = а (х). На этом доказательство теоремы закончено. А
Мы советуем читателю вернуться к примерам 3.9.1—3.9.4 еще раз и
сформулировать условия теорем 3.9.1 и 3.9.2 для этих специальных моде¬
лей. В частности, необходимо понять, что для случая н.о.р. величин не
сделано никаких новых предположений, следовательно, настоящая мо¬
дель является обобщением случая н.о.р. величин. Кроме того, для w-зави-
симых величин в теореме 3.7.1 стационарность не нужна (см. также заме¬
чание 3.7.2).
Заметим, что множество Еп может быть пустым, даже если Xj зависи¬
мы, а именно, когда аппроксимация, определяемая условием 1, выполня¬
ется для всех i(k). В этом случае, применяя теорему 1.4.1 вместо теоремы
1.4.2, доказательство можно укоротить. Важные применения этой модели
рассмотрены в § 3.12.
160

§ 3.10. Максимум и минимум независимых величин
Модель предыдущего параграфа сводит асимптотическую теорию для
минимума и максимума зависимых величин к случаю независимых величин.
Однако мы исследовали независимые величины только при дополнительном
предположении о том, что случайные величины одинаково распределены.
Теперь мы дополним эти результаты.
Из материала § 3.3 следует (см. пример 3.3.3), что необходимо нало¬
жить некоторые ограничения как на функции распределения F; (х), так и
на нормализующие постоянные. В этом параграфе мы введем следующие
понятия.
Условие равномерности для минимума. Мы говорим, что последова¬
тельность функций распределения F\ (х), F2 (х), . .. и числовые после¬
довательности нормализующих постоянных сп и dn > 0 удовлетворяют
условию равномерности для минимума, если имеет место равенство
lim maxfF, (сп + dnx) : 1 < j < п} = 0	(99)
И оо
и для любого фиксированного t (0 < t < 1) существует предел
lim S Fj (cn+dnx) = w(T; x),	(100)
П -* oo / = 1
который конечен для всех 0 < t < 1, если он конечен для t = 1. (Напомним
о соглашении, по которому, если и является пределом суммирования,
то мы понимаем под и его целую часть.)
Условие равномерности для максимума определяется точно так же,
если в обоих предельных отношениях заменить Fj на 1 — Fj .
Класс возможных невырожденных распределений для минимума при
выполнении условия равномерности характеризуется следующим утвержде¬
нием. (Повсюду, где мы используем функцию logz, мы предполагаем,
что z > 0.)
Теорема 3.10.1. При выполнении условия равномерности для мини¬
мума невырожденная функция распределения L(x) является предель¬
ным распределением для величины (Wn - сп) jdn для некоторой последо¬
вательности независимых случайных величин Xi9 Х2,.. . , Хпн некоторых
последовательностей нормализующих постоянных сп и dn> 0 тогда и толь¬
ко тогда, когда либо 1) функция log[l — £(х)] вогнута, либо 2) гра¬
ница cj(L) конечна и функция logfl - L[co(L) - е~х]} вогнута, либо,
наконец, 3) граница a(L) конечнаи функция logfl — L [а(£) + ех]} вогну¬
та, причем в условиях 2) и 3) предполагается, что х > 0.
Применяя приведенную выше теорему к последовательности случай¬
ных величин —Xj (1 </ <п), мы получим следующий результат.
Т е о р е м а 3.10.2. При выполнении условия равномерности для мак¬
симума невырожденная функция распределения Н(х) является предель¬
ным распределением для величины (Zn - ап)/Ьп для некоторой последо¬
вательности независимых случайных величин Х^, Х2,. . . , Хп и некоторых
последовательностей нормализующих постоянных ап и Ьп > 0 тогда и
только тогда, когда либо 1) функция log//(x) вогнута, либо 2) граница
со(Я) конечна и функция iog[co(//) - е~х] вогнута при х > 0, либо, на¬
161

конец, 3) граница а(Н) конечна и функция log#[a(/7) + ех] вогнута
при х > 0.
Доказательство теоремы 3.10.1. В силу независимости
имеем
Р(И/Л >у)= П [1-FZO)].
/ = 1
Таким образом, если	> с„ + dnx) > 0, то справедливо равенство
togP(%>c„+d„x) = 2 iog[l-Ft(сп + d„x)].
/=1
Положим
m„ = m„(x) = max {Fz (c„ + dnx) : 1 < /< n}.
Из неравенства |log(l — z) + z|<z2 для |z| < 1/2 и соотношения (99)
следует, что если функция Fj (1 </ Си) и постоянные сп и dn удовлетво¬
ряют условию равномерности, то справедливо равенство ,
log?(W„>cn + dnx) = -[l + O(m„)]’2 Fz(c„+d„x).	(101)
/=1
По той же самой причине при 0 < t < 1 справедливо равенство
nt	nt
log П [1 - F- (c„ + d„x)] = [1 + O(m„)J 2 Fz (c„+</„x).	(102)
/=1	/=1
Теперь, если L(x) является предельным распределением для величины
- cn)!dn и если выполнено условие равномерности, то из равенства
(101) следует, что для всех х < со(£) функция w(l; х), определенная
равенством (100), конечна. Поэтому, используя еще раз условие равно¬
мерности, получим, что функция w(t; х) определена и конечна для всех
t (0 < t < 1). Из этого факта и равенства (102) следует, что при и ->°°
справедливо предельное отношение
Р(^г > cn+d„x)-*exp[-w(r, х)]	(0< t < 1),	(103)
в котором индекс nt следует читать как целую часть nt. (Мы принимаем
это соглашение на протяжении всего этого доказательства.) Но в силу
определения функции L (х) имеем
¥(Wnt > cnt+dntx)-* 1-£(х).
Сравнивая эти два предела, мы с помощью леммы 2.2.3 заключаем, что
существуют пределы
lim -^L= Bt, lim C"r ~C" = At,	(104)
n -► °° dn	n-+ «> dn
причем Bt > 0. Кроме того, при 0 < t < 1 имеем
w(r; x) =-log[l —L(At + £,x)].	(105)
Теперь закончим доказательство первой части теоремы следующим об¬
162

разом. С помощью равенств (104) мы уточним вид постоянных Bt и At.
Точнее, мы докажем, что для всех 0 < t < 1 выполняются либо равенства
Bt = 1 и At = fclogr,	(106)
либо равенства
Bt = tm и At= k(tm-1),
(107)
где к и т — некоторые постоянные*). Затем мы используем соотношение
П [1(cn+dnx)]
/=ЛГ+1
1-Ь(х)
1 — L (At + Btx) ’
(108)
л
которое непосредственно вытекает из соотнощений (103) и (105). По¬
скольку левая часть этой формулы равна единице минус функция распре¬
деления, она убывает по х, следовательно, убывает и правая часть. Но если
применить равенство (106), то можно сделать вывод, что убывание правой
части формулы (108) равносильно тому, что функция log[l — Z(x)]
вогнута. С другой стороны, если применить формулы (107), то правую
часть соотношения (108) можно записать в виде
1 - L [(х + к) -fc]
	4;				 •	(109)
1-Z[r"’(x+£)-£]
Поскольку это выражение убывает как по х, так и по Г, постоянная — к
должна равняться либо а(£), либо o(Z) в соответствии с тем, какое из
неравенств верно, т < 0 или т > 0. Поэтому из того факта, что выражение
(109) убывает по х, следует, что либо функция log {1 — L [а(£) + еу]},
либо функция log{[l — L [a>(L) — е “-^J} вогнута при у >0. Таким образом,
мы получили три описанных в формулировке теоремы класса возможных
распределений L (х), при условии, что справедливы равенства (106) или (107).
Для доказательства равенств (106) и (107) обратимся к формулам
(104). Запишем для 0<s, t < 1 очевидные равенства
tints _ tints tint
tin tint tin
и
cnts ~ cn _ cnts ~ cnt tint Cnt — Cft
tin	tint tin tin
Из них следуют соотношения
Bst = BsBt, Ast = AsBt + At = AtBs + As.
Поскольку Bx = 1 и функцияBt монотонна по Г, применяя лемму 1.6.1 с
s = е“м, t = e~v (и, v> 0), получим, что либо Bt = 1 для всех Z, либо
Bt = tm для некоторой постоянной т Ф 0. Поэтому соответствующие урав¬
нения для Л t примут вид
Ast = As + At (Bt — 1)
*) Из равенств (104) следует, что к< 0 (прим, перев.).
163

или
ЛДгт-1) = Ar(sm-1)
Из последнего равенства вытекает, что выражение At/(tт — 1) равно неко¬
торой постоянной к. Этим доказаны равенства (107). С другой стороны,
если имеет место первый случай, то положим = log Ct, Ct > 0. Посколь¬
ку в силу соотношений (103) и (105) функция A t монотонна, монотонной
будет и функция Ct. Следовательно, уравнение для функции At равно¬
сильно уравнению Cts = ctcs, тир функция Ct является монотонной. Поэ¬
тому, как и при рассмотрении функции Bt, получим, что Ct = tk, где к —
некоторая постоянная. Следовательно, At - к log г, что совпадает с соот¬
ветствующим равенством в формуле (106). Этим заканчивается доказа¬
тельство утверждения о возможных формах предельного распределения
L(x).
Теперь обратимся к доказательству обратного утверждения. Пусть
L (х) — невырожденная функция распределения и функция log [1 — L (х)]
вогнута. Мы построим последовательность функций распределения Fj (х)
(1 < / < п) и последовательность постоянных сп и dn > 0, обладающих
следующими свойствами: 1) выполняется условие равномерности для
минимума; 2) если %2, • • • — последовательность независимых слу¬
чайных величин с функциями распределения (х), F2 (х),. . ., то рас¬
пределение случайной величины (Wn - cn)ldn слабо сходится к распре¬
делению £(х). Переходя к этому построению, положим F{ (х) .= £(х),
(х) = 1 -
1 - L (х + log/)
		!(*)
1 — Z (х + log(/ —1))
где /(х) — некоторая непрерывная монотонно убывающая функция, рав¬
ная единице при х <0 и равная нулю при х > 1. Поскольку L (х) - функция
распределения и функция log[l - Z(x)] вогнута, каждая из функций
Fj (х) является функцией распределения. Положим сп = — log и, dn = 1.
Тогда условие (99), очевидно, выполняется. С другой стороны, при выпол¬
нении условия (99) сумма в формуле (100) асимптотически равна сумме
слагаемых вида log [ 1 — Fj (сп + dnx) ], что в свою очередь равно логариф¬
му произведения сомножителей 1 — Fj (сп + dnx). Это произведение при
нашем выборе функций Fj (х) равно
1 - L (х - log п + log [и t ] )/(х - log п),
где [nr] обозначает здесь целую часть nt. Логарифм этого выражения,
очевидно, сходится к функции log {1 — L (х + log г)}, которая, очевидно,
конечна для всех 0 < t < 1, если она конечна для г = 1. Следовательно, условие
равномерности для минимума выполнено. Как побочный результат, мы
получили также и наше второе утверждение о том, что распределение
величины Wn + log п слабо сходится к распределению L (х).
♦) В английском оригинале в выражении для Fj (х) множитель /(х) отсутствует.
В этом случае Fj (х) может не быть функцией распределения. Например, если L (х)
соответствует распределению с плотностью -ехр(- |х|), то условия теоремы выпол¬
нены, a lim Fj (х) = 1// < 1 (прим, перев.).
х -* °°
164

Если функция log{l — L(x)} не вогнута, aw(Z)<°° и функция
log{1 — L(co(Z) — е_х)} вогнута или граница a(L) конечна и функция
log { 1 — L(a(L)+ ех)} вогнута для х > 0, то конструкция доказательства
в .принципе похожа на конструкцию, построенную в предыдущем парагра¬
фе, за исключением того, что теперь нам требуется построить нормализую¬
щие постоянные, соответствующие формуле (107) А
Не существует общего критерия, по которому для любой заданной
последовательности функций распределения Fj (х) (j > 1) можно было бы
определить, имеет ли соответствующим образом нормализованный мини¬
мум или максимум предельный закон. Некоторые частные случаи приведе¬
ны в упр. 21—23.
§ 3.11. Асимптотическое распределение
к-х экстремальных значений
В случае н.о.р. случайных величин теория асимптотического распределения
экстремумов не требует никаких дополнительных рассуждений по срав¬
нению с теорией, развитой для максимума и минимума. Однако для зави¬
симых случайных величин могут возникнуть некоторые новые задачи.
Наиболее важная новая проблема состоит в том, что, вообще говоря, нет
уверенности в том, что если соответствующим образом нормализованный
максимум или минимум имеет предельное распределение, то его будут
иметь и другие экстремумы (см. упр. 15). В этом параграфе мы приведем
некоторые критерии, гарантирующие существование таких нормализующих
постоянных, что все верхние или все нижние экстремумы имеют предель¬
ные распределения.
Напомним сначала <см. § 1.4), что точное распределение порядковых
статистик можно всегда свести к распределению числа появлений опреде¬
ленных событий в специальной последовательности событий. Если опре¬
делить события Aj = Aj (х) = {Xj > х} и Bj = Bj (х) = {Xj < х}, где Хх,
Х2,... - основные случайные величины, ах— вещественное число, и
если »п(х, Л) и рл(х, В) — количества появлений событий Alf А2,..., Ап
и Blf В2,..., Вп соответственно, то распределения случайных величин
р„(х, А) и vn(x, В) приводят к функциям распределения верхних и ниж¬
них экстремумов соответственно. Поэтому из теоремы 1.4.1 вытекает
следующая основная предельная теорема.
Теорема 3.11.1. Пусть случайные величины Х}, Х2,..., Хп и после¬
довательности вещественных чисел ап и Ьп > 0 таковы, что для любого
фиксированного целого числа / > 0 предел
lim S, (ап + bnx) = и, (х)	(110)
п оо
существует и конечен на некотором интервале (а, со), где
Sj (х) =	S	Р(Х, > х, Xt > х,.. ., Xt.> х).
Предположим, что ряд
^г(л) = S (-1)*С£+,и*+г(х)	(а< х < со)
*=о
165

сходится. Тогда для а< х < со справедливо равенство
к-1
lim P(X„-*+i:n< an + b„x) = S у( у
Доказательство. Заметим, что 5, (х) — это биномиальный мо¬
мент порядка / случайной величины vn(x, А) (см. лемму 1.4.1). Следо¬
вательно, в силу теоремы 1.4.1 для любого целого 5 > 0 выполняются нера¬
венства
2Sl(-l)*C'+fSfc+, <Р(р„ = О < S(-l)*Cj+rSk+f,
* = 0	к=0
где Sk+t = Sk+t (ап + bnx), zvn = vn(an + Ьпх, А). Фиксируем целые числа
t и s, а п устремим к бесконечности. Из условия (110) получим для а <
< х < неравенства
2s +1
Е (—l)*C£+r uk+t (х) < lim inf P(pn = t) < lim supP(i>„ = t) <
fc=0
< S (-l)kC'+fuk+r(x).
Ac = O
Поскольку число s произвольно и для всехх из указанного выше интервала
функция Ut (х) корректно определена, предел lim Р(ря = t) существует
п -*■ °°
и равен Ut (х). Теорема следует теперь из формулы (35) § 1.4. л
Следствие 3.11.1. В обозначениях теоремы 3.11.1 предположим,
что Uj (х) = и7 (х) // !, где и(х) > 0 - некоторая функция. Тогда ряд для
функции Ut (х) сходится для всех х, для которых функция и(х) конечна.
Кроме того, справедливо равенство
k	j ц (х)
lim P(Xn_k+1:„< an + bnx) = e~u(x) S —-—.
n «	t = о t!
Это утверждение является легким следствием теоремы 3.11.1 и может
быть получено подстановкой вместо Uj (х) его значения. Заметим, что это
следствие содержит теорему 2.8.1 как частный случай. Однако его можно
также применять для зависимых случайных величин, таких как яьзависи-
мые величины, величины с перемешиванием или гауссовские величины.
Для многих приложений условие (ПО) является слишком сильным.
Несколько исключительных членов последовательности Xit Х2,... могут
портить условие ’’усредненного типа”, в то время как они не влияют на
экстремумы. Метод следующего примера позволяет применять теорему
3.11.1 ив таких случаях.
Пример 3.11.1. Пусть Х{, Х2,.. ., Хп — стандартные. экспоненци¬
альные величины. Предположим, что большинство из этих величин неза¬
висимы, а некоторые из них имеют двумерное экспоненциальное распре¬
деление типа Фреше. Точнее, пусть Т{ - это множество квадратов целых
чисел, а Т2 - множество всех остальных целых чисел. Если все индексы
принадлежат Тх или все они принадлежат Т2, то соответствующие вели-
166

чины Xj независимы. Если же i £ 7\, а/ G Т2, то положим
1
Р(Х, > х, Xj> х) = — е х, х > log 2.
Пусть ап = log л, bn = 1. Тогда (log п + х) = е~х, но
52 (l°g п + х) > — n3/2 J—ехр(- log п - x)j -* 00.
Здесь мы учли вклад в S2 только зависимых пар. Их число, конечно, боль¬
ше, чем3/2 (для п > 5). Поэтому теорему 3.11.1 нельзя применять
даже для Zn. Однако, если положить
Z>n = max(Zni i, Zn>2)>
где
7Л(/=тах{Х,: 1</<и,/GTJ (/=1,2),
то можно записать равенство
P(Zn > log п + х) = P(Zn>2 > log и +х) +
+ Р(^л, 2 < log п + X, Zn J > log п + х) .
Далее имеем
P(Z„t 2 < log п + X, Zn>! > log п + х) < P(ZW> i > log n + x) =
= 1 -P(Zn>1 < logн + x) < 1 -/1 - —\	= O(n~1'2).
Поэтому предельное распределение величины Zn сводится к распределению
величины Zn>2> Дин которой применимы результаты главы 2. Если бы
все величины были зависимы только с величинами из множества Л, то
была бы применима теорема 3.11.1 и мы получили бы предельную теорему
для величины Zn. Аналогичные рассуждения проводятся и при рассмотре¬
нии других экстремумов. Очевидно специфическая структура множества
Т\ несущественна; его роль состоит в том, что Среди первых п натуральных
чисел число его'элементов намного меньше числ а элементов множества Т2 Л
Проведенные выше рассуждения можно легко перенести на исследо¬
вание нижних экстремумов, если поменять знаки неравенств в опреде¬
лении суммы Sj (х) . Детали мы опускаем.
Читатель, знакомый с асимптотической теорией сумм треугольных
массивов зависимых случайных величин, поймет, что асимптотическое
распределение величины (Хп_к+1:п - ап)/Ьп можно также получить как
часть этой теории. Действительно, если - индикатор события {Xj >
п
ап + Ъпх}> то можно записать vn(an+ bnx) = X Yjn. Однако при таком
/=1
подходе предполагается, что мы уже знаем ап и Ьп> 0. Поэтому сущест¬
венная часть настоящей теории не следует из теории суммирования. Кроме
того, аналитический аппарат, применяемый в теории суммирования, обычно
требует условий иного типа, чем наш прямой и элементарный подход.
167

§ 3.12. Некоторые прикладные модели
Ученый, занимающийся приложениями, сталкивается с более сложной
задачей, чем математик, поскольку он должен выбрать подходящую
модель для конкретной ситуации, которую он исследует. Математик может
сделать предположение, при котором может быть найдено чистое решение,
а прикладник вынужден сталкиваться с ситуациями, в которых/небольшая
ошибка может привести к огромным потерям. Более или менее исследо¬
ванные задачи позволяют выделить случайные величины Xlf Х2,... , Хп
(§1.1 и 1.2), но ред^о позволяют определить их структуру. Обычно не¬
трудно решить, являются ли они независимыми и/или одинаково распре¬
деленными. Труднее решить следующий вопрос: какого типа зависимость
следует использовать и какое общее распределение принять, если известно,
что величины одинаково распределены ? В этом параграфе мы опишем
некоторые общие правила, а также обсудим некоторые специальные модели.
3.12.1. Точные модели, описываемые с помощью характеризационных
теорем. Наиболее приятным случаем, возникающим, в приложениях, явля¬
ется случай, когда простые нематематические свойства полностью опре¬
деляют, какую модель следует применять. В § 1.6 мы описали ряд ситу¬
аций этого типа. Здесь мы рассмотрим ’еще один пример, при решении
которого мы используем асимптотическую теорию. Суть этого примера
состоит в том, что мы делаем только логические, а не математические
предположения, из которых мы делаем вывод о существовании только
одной модели для данной задачи.
Система, состоящая из одинаковых компонент, выходит из строя, если
выходит из строя первая (по времени) компонента. Компоненты функцио¬
нируют независимо друг от друга. Мы полагаем, что случайное время X
до выхода из строя системы имеет распределение того же типа, что и время
Ху до отказа компоненты с номером/ (!</<«). Опыт-показывает, что
выполняется соотношение пЕХ = EXj . Покажем, что распределение вре-
*мени выхода из строя как компонент, так и всей системы является экспо¬
ненциальным.
Заметим, что сделанные предположения можно сформулировать следую¬
щим образом. Случайные величины Xj (1 </ < п) — н.о.р., и X = Wn явля¬
ется минимумом величин Х7 . Кроме того, предполагается, что распреде¬
ление величины Wn относится к тому же типу, что и распределение вели¬
чины Xi. Это означает, что если P(Xj < х) = F(x), то P(Wn < х) =
= F(Cn + Dnx), где Сп и Dn > 0 — некоторые постоянные. Наконец, выпол¬
няется равенство лЕИ/п = EA\. Первая часть этих предположений логи¬
ческая; в них п произвольно. Однако уравнение nEWn = ЕХх основано на
опыте, поэтому в нем п принимает либо заданное значение, либо одно из
нескольких возможных значений. Поэтому при решении задачи мы посту¬
паем следующим образом. По предположению, для всех п имеет место
равенство
F(Cn + D„x) = Р(% < х) = 1 - [1 - F(x) ]",
которое удобно записать в виде
[1 — F(cn + d„x)]" = 1 -F(x),
где сп = —CnlDn, ad„= 1ID„. Таким образом, в силу теоремы 2.4.2 функция
168

распределения F(x) принадлежит одному из трех типов L х у (х) , £2, 7 (х)
или £3,о (*) • Но поскольку Xj > 0, граница a(F) конечна. Поэтому функ¬
ция F(x) принадлежит типу L2,7 (х). Вычисляя математические ожидания
ЕИ'н и EXi для распределения £ 2,7 (х) и используя предполагаемое урав¬
нение для этих математических ожиданий, получим 7 = 1, что соответству¬
ет экспоненциальному распределению (см. также теорему 1.6.2).
К несчастью, такие предположения выполняются только для очень
специальных систем. Очень редко при описании отказов или других практи¬
ческих ситуаций удается прийти к единственной модели. В следующем
пункте, однако, мы рассмотрим метод, который для некоторых важных
случайных явлений приводит к распределению единственного типа.
3.12.2. Точные модели, характеризуемые асимптотической теорией
(сопротивление материалов). Пусть кусок металла имеет случайное со¬
противление X. Пусть F (х) — функция распределения этой величины.
Предположим, что сопротивление X пропорционально размерам взятого
листа металла. Другими словами, если мы теоретически разрежем лист
на п равных частей, то все куски будут иметь одинаковое сопротивление
и это распределение будет относиться к тому же типу, что и распределе¬
ние F(x). Пусть Xlt Х2,, Хп — сопротивления п равных кусков пер¬
воначального листа. Предположим также, что лист под действием напря¬
жения разламывается в своей самой слабой точке, т.е. сопротивление X
равно Wn, минимуму величин Xj (1 < j < п). Наконец, предположим,
что куски, расположенные близко друг от друга, могут быть сильно за¬
висимы, но эта зависимость убывает с ростом расстояния между кусками.
Мы покажем, что величина X в этом случае имеет распределение Вей-
булла.
Предположения снова являются логическими, свободными от мате¬
матических тонкостей. Некоторые из этих предположений легко пере¬
водятся на язык математических формул, но не существует единствен¬
ного пути, чтобы описать структуру зависимости, при которой зависи¬
мость ослабевает с ростом расстояния. У нас имеются две модели для
выбора: модель перемешивания из § 3.7 и модель так называемых ^-по¬
следовательностей из § 3.9. Мы вынуждены отказаться от модели пере¬
мешивания по двум причинам. Более серьезная причина состоит в том,
что если лист разделить на п = т2 равных частей так, чтобы (предпола¬
гается, что лист прямоугольный) обе стороны были разделены на т рав¬
ных частей, то соседние куски па листе не будут последовательными члена¬
ми в последовательности Хг, Х2,. . . , Хп. Поэтому то, что индексы отстоят
далеко друг от друга, не означает, что куски также удалены. Второе воз¬
ражение состоит в выборе функции r(s, и), которая не имеет никакого
практического эквивалента. С другой стороны, модель § 3.9 хорошо под¬
ходит к этой задаче. Предположения в этой модели сделаны в общих тер¬
минах и в ней не требуется накладывать математические условия, которые
невозможно проверить.
Рассмотрим, как модель § 3.9 применяется к этой задаче.
Считая лист прямоугольным, разделим каждую из его сторон на т рав¬
ных частей, так что лист будет разделен на п = т2 равных кусков. Обозна¬
чим через Хц сопротивление куска, соответствующего z-му горизонталь¬
ному и /-му вертикальному делению. Будем назьщать этот кусок (£/)-м
169

куском. Мы говорим, ЧТО (Zj, /0-й кусок И (/?,/2)-Й кусок являются
s-близкими соседями, если как | z’j - z2| , так и |/i — /21 меньше чем s.
По предположению, если два куска близки, то их сопротивления зависимы.
Для каждого s обозначим через Ens множество { (z’i ,/i), (z2 ,/2)} s-близ¬
ких пар. Тогда предположение состоит в том, что если s велико, то элемен¬
ты, не входящие в Еп,5, почти независимы. Оно в точности совпадает с
условием 1 и 2 из § 3.9, в которых почти независимость соответствует
наиболее слабым математическим условиям.
Обратимся к условию 3. Оно налагает ограничения на выбор параметра s
в множестве Еп,5. Поскольку число N(n) элементов множества А имеет
порядок ns2, условие N(n) = о(п2) означает, что s = о(т). Это условие
вполне приемлемо с точки зрения практической модели. Действительно,
рассмотрим средний кусок первоначального листа. Если бы s было боль¬
ше, чем /и, то средний кусок зависел бы от всех других кусков, поскольку
его s-близкие соседи покрывали бы весь лист. Другими словами, если
для фиксированного куска с ростом т его зависимые соседи не покры¬
вают весь лист или положительную долю листа, то выполняется условие
s = о (т) , которое в точности соответствует условию 3.
Итак, можно сделать следующий вывод. Последовательность случай¬
ных величин Xij является ^„-последЪвательностью, причем величины
Хц одинаково распределены. Поэтому можно применить теорему 3.9.1.
В ней утверждается, что минимум одинаково распределенной -после¬
довательности имеет такие же асимптотические свойства, как и в случае
н.о.р. величин. Но для каждого п минимум величин X# равен* X. Следо¬
вательно, с одной стороны, асимптотическое распределение минимума
принадлежит одному из трех возможных типов ^i,7(x),	и
Ьз,о«; с ДРУгой стороны, оно совпадает с F(x). Очевидно, что граница
а(Г) конечна. Таким образом, функция распределения F (х) относится к
типу L 2 э у (х), т.е. F (х) является распределением Вейбулла.
Несмотря на то, что мы обсуждали здесь частную задачу о сопротивле¬
нии металлов, этот метод можно сформулировать как некоторый общий
принцип. Если случайное измерение является минимумом величин X;
(Ц< / < и), где величины Xj являются измерениями той же природы,
что и исходное измерение X, причем величины Xj измеряют элементы
разбиения исходного объекта, то случайная величина X имеет распреде¬
ление Вейбулла при выполнении следующих условий. Распределения ве¬
личин X и Xj принадлежат одному и тому же типу; если размеры двух
членов разбиения равны, то соответствующие величины X одинаково
распределены. Кроме того, предполагается, что дальние соседи разбиения
асимптотически независимы.
Среди предположений предыдущей общей модели Вейбулла было пред¬
положение о том, что величина X является минимумом Х-величин, соот¬
ветствующих элементам разбиения. Этот факт часто называют принципом
слабейшего звена. Если бы величинах была сопротивлением цепи и разбие¬
ние бы соответствовало разбиению на звенья, то описанное выше свойство
означало бы, что цепь настолько прочна, насколько прочно ее слабейшее
звено. Однако необходимо подчеркнуть, что этот принцип является только
частью модели и без других предположений не позволяет получить точное
распределение величины X.
170

Мы получили, что функция распределений F(x) величины X имеет
тип Вейбулла, т.е. имеет вид
F(x) = Z2t7(C + Dx) = 1 - ехр[— (C + Dx)7]
при С + Dx > 0 и F(x) = 0 в противном случае. Здесь С и D > 0 - неиз¬
вестные параметры. Таким образом, функция распределения F(x) содер¬
жит три неизвестных параметра С, D и у > 0. Их значения необходимо
определить из наблюдении, пользуясь одним из приемлемых статисти¬
ческих методов.
3.123. Прочность пучка волокон. Хотя модель предыдущего пункта
применима к большому числу различных промышленных задач, связан¬
ных с сопротивлением материалов, для определения прочности пучка
волокон необходима новая модель.
Рассмотрим пучок из п параллельных волокон равной длины. Пусть
величины Xi, Х2,. .. , Хп обозначают прочности отдельных нитей. Предпо¬
ложим, что величины Xj - н.о.р. Кроме того, предположим, что нагрузка,
действующая на пучок, распределена равномерно по всем волокнам. Оче¬
видно, пучок не порвется под действием нагрузки s, если в нем найдется
по крайней мере к волокон, каждое из которых может выдержать нагруз¬
ку, равную sfk. Другими словами, если Хх:п < Х2; п • ••<%п: п - упоря¬
доченные прочности отдельных волокон, то прочность пучка Sn выража¬
ется формулой
Sn = max{(n-fc + i)Xk.n: 1 < к < п}.
Случайные величины Хк .п сильно зависимы, и ни одна из наших моделей
не описывает асимптотическое распределение величины Sn. Можно пока¬
зать, что при очень слабых ограничениях на функцию распределения F(x)
случайных величин Xj соответствующим образом нормализованная вели¬
чина Sn асимптотически нормальна. Точнее, справедлив следующий ре¬
зультат:
Пусть распределение F(x) абсолютно непрерывно и обладает конеч¬
ным вторым моментом. Предположим, что функция х[1 - F(x)] имеет
единственный максимум в точке х = х0 > 0, и пусть 0 = х0 [1 - F(x0) ].
Если в некоторой окрестности точки х0 функция F(x) имеет положи¬
тельную непрерывную вторую производную, то имеет место равенство
lim Р(5„< п® + ху/И) = (2тг)“1/2 / e^dt.
п —► о®	— ои
Свойство дифференцируемости можно было бы заменить на матема¬
тически более слабые предположения, но это не сделало бы результат
более приемлемым для прикладника. Однако ослабление условия неза¬
висимости величин Xj до ^-зависимости полезно, поскольку, если пучок
состоит из волокон, m из которых отрезаны от одной более длинной нити,
то нет оснований предполагать независимость этих m кусков. Известно,
что приведенное выше утверждение справедливо при условии zn-зависи¬
мости величин Xj.
Мы не будем доказывать это утверждение полностью. Тем не менее
мы хотим показать, что асимптотические свойства величины Sn можно
получить из так называемой центральной предельной теоремы, которая,
171

как известно, приводит к асимптотически нормальному распределению.
Для этого введем сначала эмпирическую функцию распределения Кп (х).
Она определяется равенством Кп(х) = рл(х)/и, где рп(х) - это число
индексов /, для которых выполняется неравенство Xj < х. Тогда имеем
U/ [1-ед-)]} =
= sup{x [1 - Кп(х)]: - °° < х < о®} .
При наших условиях можно оценить вероятность
и показать, что она при любом фиксированном е > 0 сходится к нулю.
Учитывая лемму 2.2.1, получим, что асимптотические распределения ве¬
личин y/~n(Sn/n - 0) и хЛ7(Ал(х0) - F(x0)) совпадает. Но последняя
величина в силу одной из простых форм центральной предельной тео¬
ремы асимптотически нормальна. Поэтому наше утверждение спра¬
ведливо.
3.12.4. Аппроксимация независимыми одинаково распределенными
величинами. Ранние применения асимптотической теории экстремальных
значений к практическим задачам основывались на предположении неза¬
висимости и одинаковой распределенности основных случайных вели¬
чин Хь Х2,. . ., Хп. Несмотря на то, что эти предположения редко оп¬
равданы, мы описали несколько зависимых моделей, в которых асимпто¬
тические результаты остаются такими же, как и для н.о.р. величин (тео¬
рема 3.5.1 с вырожденной функцией U(y; х) ; теорема 3.6.2 снова с вы¬
рожденной функцией U(y\ х); следствие 3.6.3; §3.7; теорема 3.8.1 при
т=0; § 3.9). Необходимо обратить внимание на то, что в модели § 3.5
не требуется, чтобы основные случайные величины были одинаково распре¬
делены. Аппроксимация еще может оставаться справедливой, если выпол¬
нены довольно общие требования. Несмотря на то, что эти условия и усло¬
вия некоторых других моделей трудно, если не невозможно, проверить
в конкретной практической ситуации, значение этих результатов нельзя
переоценить. Они обеспечивают условия при которых справедлива аппрок¬
симация н.о.р. величинами. В то же время дополнительные результаты в
каждой из упомянутых моделей дают ясно понять, что при нарушении
этих условий асимптотические свойства экстремумов могут значительно
отличаться от свойств экстремумов н.о.р. случайных величин. В этом
случае условия, которые нельзя проверить, ученые принимают как при¬
емлемые, и в то же самое время дается альтернатива, которая при¬
водит к совсем другим результатам. Напротив, если предполагать, что
Xlf Х2,...» Хп — н.о.р. величины, то в большинстве случаев становится
ясным, что исходная точка зрения уже неверна, что вызывает недоверие
к любым выводам из этой модели.
На протяжении этого пункта будем считать, что мы имеем дело с зада¬
чей, в которой одна из упомянутых моделей считается приемлемой, и,
таким образом, мы считаем, что асимптотические распределения относятся
к одному из типов возможных распределений, описанных в главе 2.
172

Конкретное применение асимптотической модели проводится следую¬
щим образом. Можно использовать некоторое количество наблюдений
для того, чтобы найти статистическую оценку общей функции распреде¬
ления F(x) и затем вычислить нормализующие постоянные, с помощью
которых преобразуются экстремумы. По предположению, распределение
этой преобразованной величины должно совпадать с асимптотическим
распределением, соответствующим функции распре деления F (х). Однако
можно прямо использовать одно из распределений экстремальных зна¬
чений вместо точного распределения экстремумов, о которых идет речь,
и затем оценить его параметры с помощью наблюдений.
Прежде чем продолжить дальше, необходимо еще раз подчеркнуть,
что все предельные теоремы определяют только тип предельного распре¬
деления. Следовательно, если Н(х) является предельным законом, то
все функции Н(Ах + В) являются реальными кандидатами для распре¬
деления в конкретной задаче. Поэтому предельное распределение будет
содержать два (или более) неизвестных параметра. Оба метода широко
применяются, и ни один из них не имеет предпочтения перед другим. Оба,
по самой природе статистических выводов, имеют ошибки в окончатель¬
ных заключениях. Эти ошибки, которые могут быть весьма значительными
(см. примеры 2.6.3 и 3.8.4), вызваны скорее отсутствием более точных
статистических методов, чем недостатками обсуждаемой здесь теории.
Поэтому мы не будем больше анализировать эту проблему.
Для иллюстрации мы приведем конкретные решения некоторых прак¬
тических задач.
Загрязнение воздуха. Пусть Xj обозначает концентрацию загрязни¬
теля в /-й интервал времени определенной длины. Есть основание пред¬
положить, что величины Xj одинаково распределены, но последователь¬
ные величины Xj зависимы. Однако со временем зависимость ослабе¬
вает. В качестве первого приближения можно принять модель /и-зави-
симости. Более осторожные исследователи склонялись бы к модели пе¬
ремешивания или модели § 3.9. В любом случае приемлемым является
приближение н.о.р. величинами. Как только об этом достигнуто согла¬
шение, и если мы интересуемся только маргинальными распределениями
и асимптотическими распределениями экстремумов, то не имеет значе¬
ния, какая модель была принята. В настоящее время наиболее широко
распространенное мнение состоит в том, что функция распределения F (х)
величины Xj является логнормальной. (Для этого вывода нет теорети¬
ческого обоснования. Заключения подобного рода основаны на наблю¬
дениях. Предлагают различные распределения для наблюдаемой величины
и принимают то распределение, график которого больше всего соответ¬
ствует наблюдениям. Таким образом, сравнивается несколько семейств
распределений, так что принятое распределение следует рассматривать
как наиболее подходящее среди всех испытанных распределений. По-види-
мому, интересно заметить, что до 1969 года считалось, что F(x) отлично
от логнормального.)
Общее логнормальное распределение имеет несколько параметров,
которые оцениваются по наблюдениям. Используя эти оцененные пара¬
метры, величины Xj можно привести к стандартному виду, принятому
173

в п. 2.3.3. Вычислим теперь постоянные ап и Ьп по формулам п. 2.3.3 и,
используя функцию Я3э0(х) в качестве функции распределения величины
(Zn - an)[bn, вычислим вероятность того, что концентрация загрязне¬
ния останется ниже заданного уровня в течение п интервалов времени
(длина одного интервала фиксирована в определении случайной величи¬
ны Xj). Если эта вероятность не близка к единице, то общество вправе
требовать превентивных мер против тех, кто несет ответственность за
это загрязнение.
Паводки. Пусть Х{, Х2, ... — ежедневный максимальный подъем воды
в реке R в городе С. Тогда Z36S — это ежегодный максимальный подъем
воды. Заметим, что сами величины Xj можно разложить в соответствии
с более мелкими единицами времени, поэтому ежегодный максимальный
подъем воды является максимумом намного большего числа величин.
Не уточняя конкретное распределение подъемов воды в эти временные
промежутки, можно смело предположить, что ежегодный максимальный
подъем воды имеет асимптотическое распределение экстремальных зна¬
чений; Здесь снова разумно предположить, что уровни становятся все
менее и менее зависимыми по мере удаления моментов этих рекордов.
Поэтому применима модель § 3.9, в силу которой можно предположить,
что возможна аппроксимация н.о.р. величинами (zn-зависимость или пере¬
мешивание не совсем приемлемы, поскольку соотношение между после¬
довательными днями не однородно в течение всего года). Поэтому годовой
максимальный подъем воды Z36S = Z распределен в соответствии с одним
из типов Я1>7(х), Н2'У(х) или Я3,0(х). Понятие типов распределений
предполагает наличие двух параметров, поскольку переменная х должна
быть преобразована к виду Ах + В. Однако нет теоретических причин
для предпочтения какого-либо одного их этих трех типов. Действительно,
все три типа используются в разное время и в разных местах. Если иссле¬
дователь решил, какую конкретную форму распределения использовать,
то параметры этого распределения следует оценить по наблюдениям за
величиной Z. С помощью этих оценок распределение величины Z опре¬
деляется полностью. Затем это распределение используется для предска¬
зания будущих наводнений.
Засухи. Пусть величины Xlf Х2,... снова обозначают ежедневные уров¬
ни реки R в городе С. Тогда их ежегодные минимумы W = W365 можно
назвать засухами. Проводя рассуждения, аналогичные проведенным выше
рассуждениям, связанным с наводнениями, можно сделать вывод, что
распределение W принадлежит одному из трех типов распределений, соот¬
ветствующих н.о.р. случайным величинам. Кроме того, поскольку О,
остается лишь единственная возможность
Р(И>< х) = £2.7(Лх+В) = 1 — ехр [—(Лх+В)7],
где Ах + В>0иу>0. Чтобы получить конкретную формулу для распре¬
деления IV, нужно с помощью наблюдений оценить постоянные Л, В > О
и у > 0. Это распределение можно впоследствии использовать для предска¬
зания наводнений и засух в будущем, что является очень важным для
ирригационных проектов.
3.12.5. Момент первого отказа системы с большим числом компонент.
При ихчожении асимптотической теории в этой книге приведено несколько
174

примеров, связанных с отказом некоторой системы. В частности, следует
обратить внимание на модель §3.1, которая, как было позднее показано,
эквивалентна произвольной модели отказов, если этот отказ связан с
максимумом или минимумом определенных случайных величин (см.
следствие 3.2.1). Несмотря на то, что прямое применение этой эквива¬
лентности невозможно без дальнейшего развития теории, она показывает
один важный факт: при описании случайного времени до первого отказа
аппроксимация н.о.р. величинами.в общем случае не оправдана. Конечно,
имеются случаи, когда такая аппроксимация возможна. Мы прокоммен¬
тируем их после того, как покажем, что в действительности время до
первого отказа лк?бой системы может быть выражено в виде максимума
или минимума корректно определенных случайных величин.
Под системой мы понимаем такое соединение компонент, при котором
каждая компонента служит некоторой цели, а восстановление нефункцио¬
нирующих компонент означает некоторое улучшение системы (эти понятия
имеют точный математический смысл). Подмножество компонент мы на¬
зываем минимальным путем, если оно является таким минимальным
множеством компонент системы, что при функционировании каждой его
компоненты будет функционировать вся система. Пусть система содер¬
жит п минимальных путей Rj, и пусть Xj обозначает время жизни пути
Rj. Тогда время жизни Zn всей системы, очевидно, является максимумом
величин Xj . Из определения следует также, что величина Xj является
минимумом времен жизни величин YSi компонент системы, входящих
в путь Rj . Итак, имеем
Zn =max{Aj : 1 < / <п}, Xj = min{y5: s G Rj}.
Если n велико, то распределение величины Zn можно аппроксимировать
распределением экстремальных значений. Однако величины Xj обычно
бывают зависимыми, поскольку пути Rj и Rtn (/ Ф т) могут иметь общие
компоненты. В большинстве случаев аппроксимация н.о.р. величинами
не оправдана. Конечно, для последовательных систем (п = 1) или парал¬
лельных систем (пути Rj не пересекаются) можно предполагать незави¬
симость. В этих случаях можно применять результаты § 3.10. Из теоремы
3.10.1 следует, что если система является последовательной и абсолютно
непрерывная функция распределения L (х) величины Zn удовлетворяет
при всех х неравенству L (х) < 1, то при условии независимости компо¬
нент распределение L (х) имеет монотонную интенсивность отказа. Ин¬
тенсивность отказа определяется как отношение L' (х)/ [1 - L (х)].
В общем случае могут быть выполнены условия теоремы 3.9.1. Если
это не так, то хорошие оценки можно получить с помощью теоремы 1.4.1.
В этом случае конструкция множеств Еп очевидна: если пути Rt и Rj
содержат общие элементы, то пара (г, / ) должна принадлежатьВ тексте
имеются некоторые примеры этого типа, в которых не упоминаются ми¬
нимальные пути.
Другим потенциальным приложением асимптотической теории экстре¬
мумов является теория конкурирующих рисков. В этой теории развивается
вероятностная модель распределения времени жизни, при условии, что
индивидуум может умереть от одной из п причин. Пусть Xj — гипотети¬
ческое время жизни индивидуума, при условии, что присутствует только
175

j-я причина смерти. Тогда действительная продолжительность жизни Wn
является минимумом величин Xj (1 < j < и). Если п велико, то хорошую
аппроксимацию может дать асимптотическая модель для Wn. Поскольку
скоро выйдет книга на эту тему, мы не будем обсуждать здесь этот вопрос
(см. обзор литературы).
Поле приложений теории экстремальных значений не ограничивается
приложениями, упомянутыми в этом параграфе. Однако каждая модель
является примером целого класса решений, несмотря на то, что в ней
используются очень специфические термины. Необходимо обратить вни¬
мание на то, что с помощью описанных методов асимптотическая теория
может приводить в некоторых задачах к точным решениям (см. пп. 3.12.1
и 3.12.2) . С другой стороны, при использовании аппроксимаций статистик
сталкивается с более сложной задачей, чем в случае усреднений при оце¬
нивании параметров сдвига и масштаба. Различие между двумя распре¬
делениями, которые близки друг к другу, может быть несущественно
при оценивании среднего, но оно может приводить к совершенно различ¬
ные выводам в теории экстремальных значений (см. пример 2.6.3) .
§ 3.13. Обзор литературы
О необходимости отказа от предположения о независимости и одинаковой распре¬
деленности (н.о.р.) основных случайных величин уже говорилось в связи с прило¬
жениями теории к конкретным задачам. Даже если аппроксимация н.о.р. величи¬
нами хороша и мы начинаем рассуждения с предположения о н.о.р. исходных слу¬
чайных величин, в то время как они таковыми не являются, возникает сомнение
з правильности полученного решения. Поэтому результаты этой главы существенны
как в случае хорошей аппроксимации н.о.р. величинами, так и в случае альтерна¬
тивной модели, когда такая аппроксимация не оправдана. Следует подчеркнуть,
что в очень простых моделях существуют предельные распределения для экстре¬
мумов, отличные от трех возможных предельных распределений модели н.о.р. слу¬
чайных величин.
Исследователям должны понравиться два класса результатов. Одним из них яв¬
ляется класс распределений (51), который, будучи подробно расписан для макси¬
мума, может рассматриваться как классическое распределение с произвольным рас¬
пределением в качестве параметра. Это является байесовским подходом, и, таким
образом, можно считать, что распределения (51) являются естественным классом
распределений, которые следует использовать. Из другого результата, теоремы 3.10.1,
следует, что предельным распределением для минимума может служить любое рас¬
пределение с монотонной интенсивностью отказа. Специалисты по теории надежности
видят привлекательность этого факта в том, что выбор таких функций в качестве
теоретического распределения оправдан с точки зрения теории. Два упомянутых
результата относятся к специальным моделям, но если вспомнить результаты § 3.5
и 3.9, в которых получены те же самые заключения, то мы сможем оправдать широ¬
кое применение этих распределений. С другой стороны, в других параграфах оправ¬
дывается аппроксимация н.о.р. величинами.
По своему построению настоящая глава является новой, поскольку в ней впервые
унифицирован и собран вместе материал, разбросанный по различным источникам.
Некоторые из доказательств также являются новыми. В частности, по предваритель¬
ному замыслу материал этой книги не должен был иметь отношения к приложениям.
Однако в силу чрезвычайно активных исследований в этой области появилась воз¬
можность присоединить к собранному материалу эти результаты. Вклады различных
исследований в обсуждаемую область науки анализируются ниже.
Первым, кто отказался от предположения независимости, был Берман. В ряде
статей (1962Ь,с;	1964) Берман получил основные результаты для экстремумов
отрезков бесконечных последовательностей симметрично зависимых величин и для
стационарных последовательностей. Он исследовал симметрично зависимые величины
176

в духе следствия 3.6.1, но его результаты более общи. В частности, он показал, что
при выполнении условия 1) следствия 3.6.1 равенство (50) также необходимо для
существования предельного распределения величины (Zn - an)/bn. Поскольку мы
установили более общий результат, теорему 3.6.2, который принадлежит Галамбошу
(1975е), мы не формулировали результат Бермана во всей его общности. Теоре¬
ма 3.6.1 принадлежит де Финегги (1930). Полезные и интересные неравенства для
распределения экстремумов симметрично зависимых случайных величин получены
Бхаттачария (1970). Приложения результатов для экстремумов симметрично зави¬
симых величин приведены в работе Дзюбдзелы и Копоцински (1976а).
Для стационарных последовательностей Берман (1964) установил один общий
результат, который мы не привели здесь. Затем он применил свой метод к различным
специальным случаям и развил соответствующую технику для гауссовских последо¬
вательностей. Его неравенство, приведенное в лемме 3.8.2, стало основой для дальней¬
ших исследований. Доказательства этого неравенства основано на лемме 3.8.1, при¬
надлежащей Плэкетту (1954) (этот результат был переоткрыт Сибуей (1960) и Слепя-
ном (1962)). Одним из большого числа результатов Бермана является теорема 3.8.2.
Метод ее доказательства применим также к выводу результата, сформулированного
в упр. 16. В работе Нисио (1967) получены некоторые обобщения. Пикендс (1967b)
построил пример типа теоремы 3.8.4, которая была позднее доказана при некоторых
предположениях Миттелом и Илвисейкером (1975). Им также принадлежит теоре¬
ма 3.8.3. В полной общности теорема 3.8.4 была доказана Маккормиком и Митге-
лом (1975). То, что нормальное распределение является возможным предельным
распределением для величины Z отмечено в работе Бермана (1962с). Кудо (1958)
получил точные результаты о распределении величины Zn.
В то время как упомянутые выше результаты способствовали расширению класса
возможных предельных распределений, результаты § 3.7 концентрируются вокруг
моделей зависимости, ограничений, при которых они являются классическими мо¬
делями. Этот подход берет начало с работы Уотсона (1954), который получил до¬
статочность в следствии 3.7.1. Необходимость этих условий была установлена
О'Брайеном (1974а). Первым широко изучать последовательности с перемешива¬
нием начал Лойнес (1965), который получил соотношение (63) в условиях, отлич¬
ных от условий теоремы 3.7.1. Его подход был впоследствии проанализирован
О'Брайеном (1974а), который получил следствие 3.7.1 и привел пример, показываю¬
щий, что условия в подходе Лойнеса нельзя отбросить. Приведенная формулировка
теоремы 3.7.1 принадлежит Лидбеттеру (1974), который ввел понятие перемешива¬
ния только на хвостах, принятое здесь. Значение результатов Лидбеттера не ограни¬
чивается новым подходом, который расширил класс возможных структур; его метод
доказательства также внес свей вклад в теорию. В частности, он установил, что если
использовать неравенство Бермана, то теория гауссовских последовательностей станет
неотъемлемой частью его метода. Кроме того, при его подходе распределение к-х
экстремумов, нижних экстремумов и совместное распределение экстремумов могут
* быть получены одним и тем же методом (см. упр. 13 и 14). Фактически он показал,
что распределение числа величин Xj , больших чем ап + Ьпх, близко к биномиальному
распределению. Из этого факта легко выводится распределение к-х экстремумов.
Ранее, при более сильном предположении о характере перемешивания не только
на хвостах, Ибрагимов и Розанов (1970, стр. 250) показали, что гауссовские после¬
довательности с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией удо¬
влетворяют условию упр. 16 и, таким образом, величина Zn для таких последова¬
тельностей ведет себя так же, как и в случае н.о.р. нормальных случайных величин.
Следует отметить, что если рассматривать последовательности, удовлетворяющие
Условиям перемешивания, без каких-либо других предположений, то может слу¬
читься так, что величины (Zn - a^fbn слабо сходятся, а величины Хп_\-п нельзя
нормализовать так, чтобы получился предельный закон. Такой пример был построен
Мори (1976а) (см. упр. 15). Поэтому теория к-х экстремумов не всегда автома¬
тически следует из теории для величин Zn. Другая работа О’Брайена (1974b) и пре¬
дельная теорема Филиппа (1971) также вносят значительный вклад в эту область
исследований. Совместные распределения величин Zn и Xn_i рассмотрены в рабо¬
тах Уэлча (1971, 1972 и 1973), Део (197 За), Ньюэлла (1964),.Мори (1976а).
Предельная теорема из § 3.9 принадлежит Галамбошу (1972). Она была полу¬
чена Галамбошем (1970) сначала для специального случая, содержащего резуль¬
177

тат Уотсона, но в предположении стационарности. В § 3.9 случай зависимых величин
сводится к независимому случаю. Такой подход был развит в работах Юнкосы (1949)
и Мейзлера (1950, 1953 и 1956). Основной результат § 3.10, по существу, принадле¬
жит Мейзлеру. Исследование некоторых специальных классов, выполненное Тьяго
де Оливейрой (1976), дополняет результаты Юнкосы.
Совершенно новый подход был предложен Галамбошем (1975е). Из этой работы
и работы Галамбоша (1973а) следует, что число появлений определенных событий
в данной последовательности событий всегда можно свести к случаю симметрично
зависимых событий. С другой стороны, для симметрично зависимых событий мы
имеем представление Кендалла (1967), которое сводит задачу к задаче нахождения
предельных распределений для специальных случаев перемешивания. Этот подход
использован в § § 3.1 -3.6, а полученные результаты можно было бы применить также
и к другим структурам. Это не упростило бы подхода, принятого для этих структур,
однако, если бы мы выбирали подход, использующий только одну теоретическую
модель в качестве главного постулата в каждом случае, то у нас бы не было раз¬
нообразных идей. Этот подход дает потенциальную возможность предсказать, что
можно ожидать от заданной модели. Для вывода конкретного предсказания можно
выбрать одну из нескольких возможностей, включая возможности, описанные в
различных параграфах этой книги. Основным инструментом при этом подходе яв¬
ляется лемма 3.2.1, которая принадлежит Кецдаллу. Ему же принадлежит теоре¬
ма 3.2.2, которая математически более подробно записывается в виде (21). Кен¬
далл использовал эти результаты для получения предельной теоремы Пуассона, но
для нас она сводится к ранее упомянутому результату Бермана. (Результаты Кен¬
далла являются более общими, поскольку их можно применять к произвольным
симметрично зависимым событиям.) Следствие 3.4.1, по существу, принадлежит
Ридлер-Рове (1967), а теорема 3.4.2 была получена в несколько более специальной
форме Бенцуром (1968). В случае сходимости биномиальных моментов специальные
случаи § 3.5 и 3.6 были получены Галамбошем (1974). В той же самой работе обоб¬
щена обратная формула Такача(1965 или 1967 Ь) ,так что она стала применима к пре¬
дельным формам.
Обсуждение класса зависимых последовательностей, характеризуемых так назы¬
ваемой цепной зависимостью (определенных на цепи Маркова), потребовало бы
введения некоторых понятий, выходящих за пределы главного направления этой
книги. Поэтому мы ограничимся перечислением некоторых статей на эту тему: Резник
и Ньюте (1970), Фэйбенс и Ньюте (1970, Резник (197lb и 1972b) и Денцел и
О’Брайен (1975). По той же причине здесь не рассмотрены максимумы сумм слу¬
чайных величин. Мы отсылаем читателя к работам Такача - книге* (1967), обзору
(1975) и рукописи (1977), которая должна появиться в виде книги.
Что касается приложений рассматриваемой теории, то здесь пионерами были
Эпстейн, Г'умбель, Вейбулл, Дэниэлс. С их работами можно познакомиться по книге
Гумбеля (1965) . В этой книге развит технический подход. Большое число приложений
в более ранней терминологии описано в работах Эпстейна (1948) и Дэниэлса (1945).
Более современный обзор написан Эпстейном (1960). В книге Барлоу и Прошана
(1975) приведен обзор по теории надежности. В ней имеется несколько полезных
неравенств, полученных при минимальных предположениях. С теорией конкури¬
рующих рисков можно подробно ознакомиться по новой монографии Дэйвида и
Моэшбергера (1978). Число работ о загрязнении окружающей среды постоянно ра¬
стет. Из них следует упомянуть работу Ларсена (1969), который, выбрав логнор¬
мальное распределение в качестве распределения концентрации загрязнени51, повлиял
на развитие исследований в этой области на многое годы. Широкое распространение
этого предположения вызвано той же самой причиной, что и распространение распре¬
деления Вейбулла: наличие трех параметров делают его достаточно общим, чтобы
оно было пригодным для данных, взятых из совершенно различных распределений.
Работы Барлоу (1971), Сингпурваллы (1972) и Барлоу и Сингпурваллы (1974)
имеют существенное значение для математического обоснования теории.
Тот факт, что для одного и того же множества данных могут быть пригодны раз¬
личные распределения, ясно продемонстрирован в работе Кунио и др. (1974), в кото¬
рой были испытаны тесты, соответствующие различным распределениям. (Я благо
дарен профессору Кунио из университета Кейо Иокогамы за перевод существенной
части их статьи.) С другой стороны, Маргарет Грейг (1967) показала, что предпо¬
178

ложение (даже многомерной) нормальности неправомерно в ее задаче. (Это заме¬
чание предназначено для той небольшой группы читателей/ которые верят в преиму¬
щества нормального распределения.)
Тот факт, что в случае зависимости исследуемого явления от экстремумов выбор
теоретического распределения влияет на статистические вывода, является серьезной
проблемой в медицине и для правительственных служб, регулирующих стандарты
безопасного качества пищи и медикаментов. Если две группы исследователей ис¬
пользуют различные теоретические распределения, принятые на основе одного и
того же набора данных, то они могут сделать различные выводы относительно стан¬
дартов безопасности. Большая часть трудностей связана с тем, что количество зна¬
чений величины, которое можно измерить в эксперименте, слишком мало для того,
чтобы выбрать с помощью статистических методов одну из нескольких моделей.
Эта точка зрения четко продемонстрирована в докладе Административного кон¬
сультативного комитета по питанию и медикаментам (в протоколах по оценива¬
нию безопасности) (1971) ив работе Гесса и Крампа (1977).
Прочность пучков является большой статистической проблемой. Наше описа¬
ние основано на недавних обобщениях Су и др. (1970) и Сена (1973а, Ь) работы
Дэниэлса (1945). По этому поводу можно сослаться также на работу Феникса и Тей¬
лора (1973).
Приложения к теории массового обслуживания и к теории надежности имеются
в работах Клу и Кода (1965), Моррисона и Тобиаса (1965), Познера (1965), Клу
(1969), Харриса (1970), Даунтона (1971), Иглхарта (1972), Стама (1973) и Пэйкса
(1975) (на эту тему см..также гл. 6).
В работах Колчина (1969) и Ивченко (1971) развита интересная техника для
изучения асимптотической теории экстремумов в задачах занятости.
За справками по статистическим вопросам мы отсылаем читателя к книгам Гум-
беля (1965), Сархана и Гринберга (1976) и Дэйвида (1979). Однако следует от¬
мстить, что в них рассматриваются только н.о.р. случайные величины. С теори¬
ей распределений можно познакомиться по четырехтомнику Джонсона и Коца
(1968/1972). Специадьные статистические вопросы рассматриваются в работах Сти¬
венса (1939), Афони (1972) и Сена (1970).
В обзорах Маршала и Сойки (1974), Тьяго де Оливейры (1975), Лидбеттера (1975)
и Галамбоша (1977а) подчеркиваются различные стороны теории. Обзор по прило¬
жениям экстремумов в гидрологии приведен в работе Йенсена (1969). Новые мате¬
матические подходы к зависимым выборкам, развитые в работах Дьиреша (1975)
и Беркеша и Филиппа (1977), могут привести к упрощению доказательств и новым
результатам.
§ 3.14. Упражнения
1.	В модели отказов § 3.1 предположим, что приобретено 5 компонент из 100 имею¬
щихся на складе. Пусть , У2,. . . ,	0 0 - продолжительности жизни компонент, на¬
ходящихся на складе, из которых Уа, У2,. . ., Уб0 - н.о.р. экспоненциальные случай¬
ные величины с математическим ожиданием, равным 50. Остальные У61, . .. , У100
независимы от первых шестидесяти величин, а их совместное распределение определя¬
ется равенством
V(Yj<xf, 61	100)= / Т (1 -e~u(jc/~40))<fa,
1 /=61
где ху > 40. Найти P(W5 > х).
2.	Выписать подробно формулу (3) для п = N- 5 = 6. Выбрать различные функции
#к(х) и сравнить результаты со случаем Я^(х) = Fk(x).
3.	Пусть А1Г А 2, • • • , Ап - симметрично зависимые события. Показать, что если
РИ>) >Р(Л IА 2), то справедливо неравенство
Р(А) - Р(л1л2)
п <	.
РЧЛ,)-Р(л,л2)
179

Вывести отсюда, что для бесконечной последовательности симметрично зависимых
событий Р2(Л,) < PG4 j А2). (Использовать метод, описанный перед определением 3.2.2.)
4.	Доказать формулу (14).
5.	Из урны, содержащей М белых и п - М красных шаров, извлекают R шаров без
возвращения. Пусть Су - событие, состоящее в том, что в результате /-го выбора
извлечен белый шар. Показать, что события Clt С2,. . . , Ct, t~ min (Л, М), симметрич¬
но зависимы и что верна формула
P(Q1cfa...cl>) =
М(М - 1) ... (М - к + 1)
п (и - 1) ... (п - к + 1)
6., Пусть в лемме 3.4.2 М = Ny/n. Показать, что в утверждении леммы сходимость
равномерная на любом конечном интервале 0 <у <В.
7.	Доказать следующую версию результата для нижних экстремумов. Пусть Xlt
Х2,. . . - бесконечная последовательность симметрично зависимых случайных вели¬
чин. Пусть У(х) при любом вещественном х является случайной величиной из пред¬
ставления де Финетти (47). Тогда для того, чтобы нашлись нормализующие постоян¬
ные сп и dn> 0, являющиеся характеристическими для нижних экстремумов, необхо¬
димо и достаточно, чтобы предел
lim Р [и Y(сп + dnx} < j ] = U(y, х)
п 00
существовал для всех точек непрерывности у функции U(y‘, х). Здесь U(y; х) по пе¬
ременной у является функцией распределения. Вывести формулу для предельного
распределения нормализованных нижних экстремумов.
8.	Пусть D (х) - такая функция распределения, что для некоторых постоянных сп
и dn> 0 выражение
[1 - D (с„ + dnx)]n
сходится к 1 - L (х), где L (х) - невырожденная функция распределения. Используя
обозначения из упр. 7, предположим, что при х -* a (Z)) предел
lim Р
У(х)
. П(х)
< у
= U*(y}
существует для всех точек у непрерывности функции U*{y}, где функция U*(y) пред¬
полагается непрерывной в нуле. Показать, что нормализованные нижние экстремумы
(А\:и “ сг^!^п слабо сходятся к функции Ек (х) , где
Л - I 1 (	] °°
1 — Ек(х) = S — -log[l -Z(x)] J z'[l -Z(x)]zdC/*(z).
f=0 Hl	Jo
9.	Переформулировать теорему 3.7.1 для стационарных последовательностей, удов¬
летворяющих свойству перемешивания на нижнем хвосте распределения. Используя
этот факт, показать, что величины (1V„ - сn)/dn сходятся к такому же распределению,
как и для случая, когда основные случайные величины независимы.
10.	ПустьXlt Х2, . . . , Хп - н.о.р. случайные величины с общим экспоненциальным
распределением. Пусть У2, . . . , Yn - другая последовательность н.о.р.стандартных
экспоненциальных случайных величин, причем справедливы равенства
Р(Ху<х, Уу < х) = 1 - 2е х + (2е*-1)-1	(/ = 1, 2, . . . , п)
и величины Xj не зависят от остальных У-ов, а величины Уу не зависят от остальных
У-ов. Таким образом, последовательность Хх, У2, . . . , Хп, Yn является 2-зависимой
последовательностью. Показать, что максимум ^2>пэтой комбинированной последова¬
тельности можно нормализовать таким образом, чтобы он имел невырожденное пре¬
дельное распределение, но оно не будет отличаться от аналогичного распределения для
случая, когда величины {X/ } и ( У,- j полностью независимы.
180

IL Пусть Xx, X2, .... Xn - стационарная последовательность zn-зависимых вели¬
чин с функцией распределения F (х). Пусть постоянные сп и dn > 0 таковы, что при
л-* 00 выполняются соотношения
nF(cn + dnx) — ех, пР(Х\ < сп + dnx, X; <сп + dnx) -> О,
где 1 < i < п?. Доказать равенство
lim P(lVn < сп + dnx) = 1 - ехр(е_х).
п -* °°
12.	Показать, что если для стационарной последовательности zn-зависимых случай¬
ных величин X,, Х2, . . . , Хп выполнены условия следствия 3.7.1 и упр. 11, то величи¬
ны (Zn - an)lbn и (Wn - cn)/dn асимптотически независимы.
13.	Показать, что если для стационарной последовательности, удовлетворяющей ус¬
ловию перемешивания, выполнены условия теоремы 3.7.1 и упр. 9, то для нее справед¬
ливо заключение предыдущего упражнения.	♦
14.	Показать, что при выполнении условий теоремы 3.7.1 величины {Хп_к.п - а^)1Ьп
слабо сходятся. Показать также, что предельное распределение будет таким же, как и
в случае, когда основные величины независимы.
15.	Пусть Kj, У2, ... - н.о.р. стандартные экспоненциальные величины. Пусть
функция f (х) равна единице на каждом из интервалов [22/, 22/+l) (/ > 0) и равна ну¬
лю в противном случае. Пусть
X^maxiry.i, Yj-f(Yi)].
Показать, что последовательность X,, Х2,... является стационарной 2-зависимой
последовательностью, для которой величины Zn - log и слабо сходятся, но величины
Zn и Хп _ J ;л нельзя нормализовать таким образом, чтобы они имели совместное
предельное распределение [Мори (1976а)].
16.	Пусть Хи Х2, . . . - стационарная гауссовская последовательность с ЕХу = 0,
оо
DXy = 1 и EXjXy =rj. Пусть S rj < Показать, что при выборе обычной нормали¬
зации ап и Ьп > 0, соответствующей н.о.р. стандартным нормальным случайным вели¬
чинам, случайные величины (Zn - а^1Ьп слабо сходятся к распределению H^^qM
[Берман (1964) ].
17.	Пусть Xj, Х2, . .. - случайные величины, для которых сумма
Z	P(Xz-_ >an + bnx,
I < ц < i2 < . . . < ik< п J
сходится к выражению ехр (- кх}, где ап и Ьп> 0 - соответствующим образом
выбранные постоянные. Показать, что величины (Zn - an)/bn слабо сходятся к ло¬
гистической случайной величине с функцией распределения 1/(1 + е~х) [Галамбош
(1974)].
18.	Пусть У > 0 - случайная величина с функцией распределения U*(z), непрерыв¬
ной в нуле. Пусть S2 и S3 - случайные величины с функциями распределения
Hlty(x) >	и Нз,о(*) соответственно. .Пусть величины Sj и У независимы.
Показать что равенство (51), записанное для величины Zn (к = 1), можно интерпре¬
тировать как слабую сходимость распределений величин (Zn - ап)/Ьп к распределе¬
нию одной из величин SiY1^, 5, + log У или 52У~1/7 [Берман (1962 Ь)].
19.	Показать, что ни одно из распределений вида (51) при к = 1 не является нор¬
мальным распределением [Берман (1962 Ь) ].
20.	Вычислить выражение (51) для t/*(z) = 1 - е~^ (z > 0).
21.	Пусть F (х) -- функция распределения, удовлетворяющая условиям a(F) = 0,
w(F) = оо. Пусть \к > 0 - заданная последовательность чисел, а Х2, Х2,. . . - незави¬
симые случайные величины, удовлетворяющие условию
Р(Х^<х) = F (Хкх).
181

Предположим, что при г -+ 0+ при некотором г > 0 справедливо предельное соот¬
ношение F (tx) /F (t) -» xr. Пусть
и хи = о ( 2 ^ )•
к	к = 1
Показать, что существует такая последовательность > 0,что отношение Wn/dn сла¬
бо сходится к случайной величине с функцией распределения 1 т- ехр (- хг) (Юнкоса
(1949)].
22.	Пусть Xj (/>!)- независимые экспоненциальные случайные величины, ЕАу =
= l/Х/. Показать, что при соответствующем выборе последовательности dn > 0 отно¬
шение Wn/dn имеет стандартное экспоненциальное распределение.
23.	В обозначениях упр. 21 предположим, что функция F (х) и последовательность
Q обладают следующими свойствами:
1)	а(Г) = « и F(x + y)/F(x) -> еу при х ->-<»;
2)	0 < Xfc <М < °° и vn(y) -*g(y)> где пип(у) - это число индексов к <п, для
которых справедливо неравенство 0 <	< уМ.
Показать, что существует такая последовательность чисел сл, что функции распре¬
деления величин Wn - сп слабо сходятся к функции распределения 1 - ехр[-м(х)],
где u(x)= f exydg(y) (Юнкоса (1949)].
0

Глава 4
ВЫРОЖДЕННЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ;
СХОДИМОСТЬ ПОЧТИ НАВЕРНОЕ
Наличие у некоторой последовательности случайных величин вырожденно¬
го предельного распределения означает, что эта последовательность асимпто¬
тически близка к постоянной. Действительно, если функция Р(У„ < х) схо¬
дится при п	к вырожденной функции распределения F (х), равной нулю
при х < с и единице при х > с, то для любого е > 0 выполняется равенство
lim Р(| Yn -с|>е) = 0.
п -► »
В первом параграфе этой главы мы исследуем это свойство для нормализо¬
ванных экстремумов. Мы рассмотрим два типа нормализаций: чисто адди¬
тивную и чисто мультипликативную. Это означает, что мы ищем условия,
при которых существуют такие последовательности постоянных апи Ъп>
> 0, что если Ек является одним из экстремумов, то распределение либо
Ек - ап, либо (1/Ьп)Ек слабо сходится к вырожденному распределению.
Во второй части этой главы мы усиливаем эти результаты до утверждения
о сходимости величин Ек - ап или (\/Ьп)Ек почти наверное к нулю или еди¬
нице соответственно. Эти результаты будут вытекать из решения следующих
более общих задач: мы определим такие постоянные а пи Ьп> 0, что при
п -+ 00 верхний или нижний предел величины (Ек - ап) /Ьп конечен и с веро¬
ятностью единица отличен от нуля. Большая часть результатов будет сформу¬
лирована для н.о.р. величин, хотя будут приведены и некоторые общие ре¬
зультаты, а также будут упомянуты некоторые специальные зависимости
системы.
§4.1. Вырожденные предельные законы
В этом параграфе мы выведем предельные теоремы для вырожденных
предельных распределений. Мы начнем с простого общего правила.
Лемма 4.1.1. Пусть последовательность случайных величин Yn и число¬
вые последовательности ип и ип> 0 таковы, что при п -> 00 распределения
величин (Yn - ип)/ип слабо сходятся к невырожденному распределению
Т(х) . Тогда справедливы следующие утверждения'.
1)	если ип!сп-*ж при п то имеет место равенство
( 1, если z>l,
lim Р(УЛ<^2)=	(1)
п 00	10, если z < 1;
2)	если ип -> 0 при п -> <» то имеет место равенство
lim
п -* оо
P(Kn<u„+z) =
I 0,
если
если
2>0,
z <0.
(2)
183

Доказательство. Предположим, что для всех точек непрерывнос¬
ти функции Т(х) справедливо равенство
lim P(Yn<un+vnx) = T(x).	(3)
п -*• 00
Пусть е > 0 - произвольное число, а числа хг их2 таковы, что выполняют¬
ся неравенства Т(хх) > 1 — е и Т(х2) < е. Тогда для доказательства
части 1) мы поступим следующим образом. Фиксируем z > 0. Поскольку
un/vn при п ~>о°, отношение (un/vn)z для всех достаточно больших п
больше, чем %!• Поэтому, учитывая равенство (3), получим неравенство
lim inf Р(УЛ < un(l + z)) > lim inf Р (УП < un + vn xY) > 1 - e.
n -+ oo	n -+ 00
Поскольку e > 0 произвольно, существует предел левой части этого нера¬
венства и он равен единице, что доказывает первую часть соотношения (1).
С другой стороны, при z < 0 отношение (un/vn)z сходится к — 00 и, таким
образом, для всех достаточно больших п выполняется неравенство
(un!vn)z <х2. Поэтому имеем
lim sup Р(УП <цл(1+z))<lim sup Р*(УП < ип + vnx2) < е,
И оо	И оо
что доказывает вторую часть соотношения (1) .
Часть 2) доказывается аналогично. Поскольку vn -> 0, выражение ип +
+ z = ип 4- un(z/un) больше, чем ип + xxvn для z > 0, и меньше, чем ип +
+ x2vn для z < 0. Доказательство леммы закончено. ▲
Заметим, что как соотношение (1) , так и соотношение (2) выражают тот
факт, что величина У„ ’’близка” по вероятности к постоянной ип. Заимст¬
вуя терминологию законов больших чисел из теории суммирования случай¬
ных величин, мы будем называть предельную теорему с вырожденным
предельным распределением слабым законом больших чисел. Чтобы разли¬
чать ситуации 1) и 2) , мы будем говорить о мультипликативном и аддитив¬
ном слабом законе больших чисел.
Определение 4.1.1. Если для некоторой последовательности случай¬
ных величин Yn и некоторой числовой последовательности ип имеет место
соотношение (1) , то мы говорим, что последовательность (Ул, ип) удовлет¬
воряет мультипликативному слабому закону больших чисел или сокращен¬
но МСЗ. С другой стороны, если имеет место соотношение (2), то говорят,
что последовательность (У„, ип) удовлетворяет аддитивному слабому
закону больших чисел или АСЗ.
В лемме 4.1.1 приводятся условия, при которых из слабой сходимости к
невырожденному распределению следуют слабые законы больших чисел.
Это позволяет нам использовать в комбинации с леммой 4.1.1 некоторые
теоремы и примеры из глав 2 и 3. Прежде чем формулировать общие ре¬
зультаты, приведем некоторые слабые законы для экстремумов.
Пример 4.1.1. Пусть Xlt Х2,. . . — стационарная последовательность
гауссовских случайных величин, ЕЛ,- = 0, D2Q = 1. Пусть rni = ЕХ}Х,п+1.
Предположим, что rm = о (1/log лгг) при m -> °°. Тогда из теоремы 3.8.2 и
леммы 4.1.1 вытекает, что последовательность (Zn, а„) удовлетворяет как
МСЗ, так и АСЗ, причем постоянные определены соотношением (80) из
§ 3.8. Заметим, что в этом случае АСЗ сильнее, чем МСЗ. ▲
184

Пример 4.1.2. Пусть Xlf Х2, . . . , Хп — н.о.р. стандартные экспонен¬
циальные случайные величины. Тогда из примера 1.3.1 и леммы 4.1.1 выте¬
кает, что последовательность (Wn , 0) удовлетворяет АСЗ, а последователь¬
ность , 1/м) удовлетворяет МСЗ. Конечно, нормализующие постоянные
определяются неоднозначно. Поскольку в лемме 4.1.1 используется слабая
сходимость к невырожденному распределению, нормализующие постоян¬
ные 0 и 1/и, приведенные выше, как и в соответствующих теоремах о сла¬
бой сходимости, можно заменить на нормировку более общего вида. На¬
пример, в силу леммы 2.2.2 последовательность (Wn, ип) также удовлетво¬
ряет МСЗ, если пип 1 при п Заметим также, что в этом примере МСЗ
является более сильным утверждением, чем АСЗ. ▲
Пример 4.1.3. Пусть Xlf Х2,..., Хп — н.о.р. величины, имеющие рас¬
пределение Вейбулла F(x) = 1 — exp (— \/х). Тогда в силу следствия 1.3.1 и
леммы 4.1.1 последовательность (Zn, (log и)2) удовлетворяет МСЗ и не
удовлетворяет АСЗ. А
Приведенные выше примеры хорошо иллюстрируют тот факт, что для
соотношения между двумя типами слабых законов нельзя сформулировать
общего правила. Однако, если последовательности нормирующих постоян¬
ных ип, участвующие в определении, ограничить последовательностями,
сходящимися к бесконечности, то критерий для одного типа слабого закона
можно преобразовать в критерий для другого типа. Один из способов тако¬
го преобразования будет описан после доказательства теоремы 4.1.2.
Сформулируем теперь один результат для максимума, х
Теорема 4 Л Л.Пусть Xif Х2, .. . , Хп - одинаково распределенные
случайные величины с общей функцией распределения F(x), причем co(F) =
= °°. Предположим, что существуют такие постоянные ап и Ъп > 0, что вы¬
полняется равенство
lim Г"(я„+/>„х>Я3>0(х).	(4)
п °о
Если распределения величин (Zn - an)/bn слабо сходятся к невырожден¬
ному распределению, то последовательность (Zn, ап) удовлетворяет МСЗ.
Замечание 4.1.1. Мы не предполагаем, что величины Xj независимы.
Поэтому эту теорему можно применять к некоторым моделям главы 3.
Все условия теоремы выполнены, если величину Xj можно аппроксимиро¬
вать н.о.р. величинами, для которых максимум после нормализации
постоянными ап и Ьп притягивается к закону Я3 >0 (х).
Доказательство теоремы 4.1.1.В силу теоремы 2.4.3 (3), из
предположения (4) следует, что выполнены все условия теоремы 2.1.3.
В частности, постоянные ап и Ьп> 0 можно вычислить с помощью соответ¬
ствующих формул, откуда следует, что ап -> °°. Кроме того справедливо
равенство
..	^-^(ап+Ьпх)
lim 		= е ,
л оо 1 -F(an)
где х — произвольное вещественное число. Но тогда, поскольку F(an) -> 1,
числитель 1 — F(an + bnx) должен сходиться к нулю. В свою очередь, из
этого следует, что ап + Ьпх -»00. Поэтому для любого фиксированного х
Для всех достаточно больших п справедливо неравенство ап + Ьпх > 0.
185

В частности, для любого отрицательного х при всех достаточно больших п
справедливо неравенство anjbn > -х, которое означает, что anlbn^°° при
и Поэтому, учитывая предположение о слабой сходимости распределе¬
ния величины (Zn - an)/bn к невырожденному распределению, можно
применить часть 1) леммы 4.1.1. Доказательство теоремы закончено, а
Теперь мы докажем теорему, которая приводит к АСЗ. Несмотря на то,
что мы формулируем ее для н.о.р. величин, ее можно легко распространить
на некоторые модели зависимости.
Теорема 4.1.2. Пусть Xlf Х2, ... , Хп - н.о.р. величины с общей
функцией распределения F(x). Пусть cj(F) = °°. Тогда для того, чтобы су¬
ществовала последовательность действительных чисел ип, для которой по¬
следовательность (Zn, ип) удовлетворяет АСЗ, необходимо и достаточно,
чтобы для всех положительных х выполнялось равенство
lim
у —► оо
1 -F(^+x)
1-ГО)
= 0.
(5)
Доказательство. Тот факт, что существует последовательность и„,
для которой (Zn, и„) удовлетворяет АСЗ, означает, что выполняются ра¬
венства
lim Fn(un +х)= 1 (х > 0)	(6а)
0 _► оо
lim Fn(wn+x) = 0 (х<0).	(6Ь)
Я _► оо
Поэтому мы должны доказать эквивалентность соотношения (5) и соотно¬
шения (6) для некоторой числовой последовательности ип. Мы покажем,
что всегда можно в качестве ип брать ип = sup {z: 1 - F(z) > 1/л}.
Сначала предположим, что выполнено соотношение (6). Тогда F(un+x)-*
-► 1 для х>0. Поскольку co(F) = <», учитывая определение ип% получим,
что ип “►<». Поэтому для х < 0 также выполняется соотношение F(un + х)->
-► 1. Логарифмируя равенство (6) и используя разложение Тейлора log и =
= log [1 - (1 — v)] ~ v - 1 при и ~>1, получим равенство •
{0,	если	х > 0,
(7)
°°, если	х<0.
Из определения последовательности ип следует, что и[1 — F(u„)] > 1 при
всех достаточно больших п *). Это неравенство и соотношение (7) приводят
к равенству (5) для специального случая у = ип. Пусть теперь у -> 00 и п
таково, что ип < у < ип+1. Тогда для любого х > 0 справедливы соотно¬
шения
1	- F(y + х) 1 - F(un + х)
1 -FCy) " 1 - F(W„ + t)"
<(n + l)[l-F(u„+x)]->0,
откуда следует равенство (5).
*) Это утверждение следует из соотношения (7) и непрерывности слева функции
F(x) (прим, перев.).
186

Пусть теперь выполнено равенство (5). Тогда оно выполнено для у = ип,
где последовательность ип определена выше. Но тогда для х > 0 выполня¬
ются соотношения
1 — F(un + х)
(п - 1) [1 - F(un + х) ] <	1 \п -> О,
1 - F&n)
из которых следует первая часть равенства (7) и, следовательно, равенство
(6а). Чтобы доказать равенство (6Ь), достаточно доказать вторую часть
равенства (7). Если для заданного х < О положить в равенстве (5) у = ип +
+ х, то получим
	!	<	->о.
Это соотношение равносильно второй части равенства (7), из которой сле¬
дует равенство (6Ь). Доказательство закончено. ▲
Заметим, что для н.о.р. случайных величин с общей функцией распреде¬
ления F(x) при условии, что co(F) = 00, АСЗ для величины Zn всегда
можно преобразовать в МСЗ с помощью следующего преобразования.
Положим
[ F(logx), еслих>0,
Г (х) =
I 0	в противном случае.
Если для некоторой числовой последовательности ип последователь¬
ность (Zn, ип) удовлетворяет АСЗ, то последовательность (Z*. и„) удов¬
летворяет МСЗ, где звездочка означает, что общей функцией распределения
величин Xj является функция F*(x). Это замечание вместе с теоремой4.1.2
дает дополнительные примеры, в которых для некоторой последователь¬
ности постоянных ап выполняется заключение теоремы 4.1.1.
§ 4.2. Леммы Бореля — Кантелли
Леммы, которые мы приводим в этом параграфе, помогут нам установить
для нормализованных экстремумов результаты, связанные со сходимостью
почти наверное. Эти леммы известны в литературе как различные формы
леммы Бореля - Кантелли.
Лемма 4.2.1. Пусть Alf А2, • .. - бесконечная последовательность
событий. Пусть v = v(A) - число появлений события Aj в последователь¬
ности испытаний. Если
£	Р(Л7)<оо,	(8)
/ = 1
то Р(р < ОО) = 1.
Доказательство. Пусть BN = U Aj. Тогда справедливо включе-
/ = /v
ние{ у = оо) сЯдг (N= 1,2,...). Таким образом, в силу упр. 6 гл. 1 для
всех У > 1 справедливы неравенства Р(р = °°) ^Р(Ду) < S Р(Л7 ). При
j = N
187

N -+ °° мы получаем из условия (8) f что Р (у = 00) =0, что и требовалось
доказать. ▲
Лемма 4.2.2 Будем использовать обозначения предыдущей леммы:
Положим
S\tn- S Р(Лу), S2,n “	Р(4/Лу).
/ = i	i < i < j < п
Если
£ Р(Л7) = «
/ = i
и
lim
п -> °°
(9)
(Ю)
то Р(г> = °°) = 1.
оо
Доказательство. Снова вводя события BN = U At, получим
j-N
{i> - 00} = Cl BN. Мы покажем, что Р(Вд) = 1 для каждого N. Тогда
w = i
из написанного выше равенства будет вытекать заключение леммы.
Для фиксированного N положим
5Ьл(7У)= £ Р(ЛД
j = N
52.„(/V)= S PtAfAj).
N < 1 < j < n
Тогда из соотношений (9) и (10) получим, что для любого фиксированного
N выполняются равенства
lim 5i,„(7V) = °°,
п -* 00
lim
Sj,n(N) _ 1
‘ 2 ’
(П)
п -* 00
Используя специальную форму теоремы 1.4.3 (см. упр. 15 гл. 1), имеем
Р(ВЛГ)>Р( U Л,)>
/= N
252,„(Л) + 511П(7У)
(12)
Полагая п -><», получим из соотношений (11) и (12), что P(BN) = 1. До¬
казательство леммы закончено. ▲
Следующее утверждение является специальным случаем леммы 4.2.2.
Лемма 4.2.3. Пусть Ait А2, . • • - бесконечная последовательность
событий, для которых выполняются неравенства
Р(ЛМ/)<Р(А)’Р(А)
Тогда из условия (9) следует, что Р(р = °°) = 1. В частности, это заключе¬
ние справедливо, если события Aj независимы.
Доказательство. В обозначениях леммы 4.2.2 из нашего условия
вытекает неравенство
2S2>n<5’>n.	(13)
188

С другой стороны, в качестве следствия теоремы 1.4.3 мы получили в
упр. 15 гл. 1 (см. неравенства (12), расположенные выше), что для любой
последовательности событий выполняется неравенство
2*^2,« + ,и
Это неравенство в комбинации с неравенством (13) дает равенство (10).
Поэтому применима лемма 4.2.2, и доказательство на этом закончено. ▲
В следующих теоремах сформулированы непосредственные следствия
леммы4.2.1 для экстремумов. Как обычно, полагаем Z„ = max(Ar1, Х2,...
,.., Хп), Wn = min(Ar1, X2, Xn). Мы используем сокращенное обозна¬
чение ”б.ч.” вместо фразы ’’бесконечно часто”.
Теорема 4.2.1. Пусть Xif Х2,... - бесконечная последовательность
случайных величин, и пусть Fj(x) обозначает функцию распределения вели¬
чины Xj. Пусть ип - такая неубывающая последовательность действитель¬
ных чисел, что либо для любого фиксированного тп выполняется равенство
P(Xj<um,	=	(14)
либо ип-+°° при п^»°°. Тогда справедливо равенство
P(Zn>un бч.) = Р(Хп>и„ б.ч.).	(15)
В частности, если
f [1 -F,(un)]<oo,	(16)
/= I
то справедливо равенство
P(Zn>un б.ч.) = 0.	(17)
Доказательство. Рассмотрим последовательность событий Ап =
= {Zn> ип}. Мы покажем, что при наших предположениях события Ап (п>
> 1) наступают бесконечное число раз для почти всех точек вероятностного
пространства тогда и только тогда, когда бесконечное число раз наступают
события { Xj > Uj}. Очевидно, из этого будет следовать равенство (15),
которое в комбинации с условием (16) и леммой 4.2.1 приведет нас к ра¬
венству (17).
Пусть Хп > ип бесконечно часто. Поскольку Zw > Хп, Zn> ип для тех
же самых индексов п, для которых Хп ип и, следовательно, Zn ип бес¬
конечно часто. Поэтому требуется доказать только обратную импликацию.
Пусть Zn> ип. Тогда Xj > ип для некоторого /< п. Поскольку последо¬
вательность ип не убывает, Xj > Uj. Пусть /(и) - наибольший индекс, удов¬
летворяющий последнему неравенству и условию / Очевидно, /(и) -
неубывающая последовательность. Если последовательность ип неограниче-
на, то в силу неравенств X/(n) > ип > Uj(n) бесконечной последователь¬
ности значений п соответствует бесконечная последовательность различных
значений /(и). Если же последовательность ип ограничена, то может слу¬
читься так, что для бесконечно большого числа значений п можно взять
одно и то же значение j = j(n). Но это означает, что Xk<um для фиксиро¬
ванного тп и для всех k > т. Из условия (14) следует, что вероятность та¬
кого события равна нулю. Поэтому во всех случаях выполнено равенство
(15). Доказательство теоремы закончено. ▲
189

Сформулируем также соответствующий результат для минимума. Он не
требует отдельного доказательства.
Т е о р е м а 4.2.2. Исподьзуя обозначения предыдущей теоремы, предпо¬
ложим, что для m > 1 выполняется равенство
P(Xj>tm, j>m) = b,	(18)
где tn - невозрастающая последовательность действительных чисел. Тогда
справедливо равенство
Р(И/„ < t„ б.ч.) = Р(Х„ < tn б.ч.).	(19)
В частности, из условия
2	Fy(rM)<oo
/= i
следует равенство
?(Wn<tn б.ч.) = Ь.
Условие (14) в теореме 4.2.1 является существенным. Например, если
Xi - стандартная экспоненциальная случайная величина и У, не зависит от
Xj (j > 2), причем Xj (j > 2) - н.о.р. величины, удовлетворяющие
условию Р(Х2 < 1 у = 1, то при ип = 2 (п = 1,2,. ..) выполняется условие
(16), но
P(Z„ > ип б.ч.) ~ P(Zn > 2, и > 1)	Р(%! > 2)> 0.
§ 4.3. Почти наверное асимптотические свойства
экстремальных значений для н.о.р. величин
В этом параграфе будет предполагаться, что Xt, Х2, ... — последователь¬
ность н.о.р. случайных величин с общей невырожденной функцией распре¬
деления F(x), ип — неубывающая, a tn - невозрастающая числовые после¬
довательности. В этом случае условия (14) и (18) соответственно в теоре¬
мах 4.2.1 и 4.2.2 являются лишними. Действительно, если co(F) < 00 и ип >
> a?(F), то равенство (15), очевидно, справедливо, поскольку обе его час¬
ти равны нулю. С другой стороны, для любого фиксированного значения
ит < w(F) равенство (14), очевидно, выполняется. Аналогично можно
показать, что условие (18) в теореме 4.2.2 можно отбросить. Поэтому в
условиях этого параграфа можно применять не только лемму 4.2.1, но и
лемму 4.2.3.
Таким образом, в качестве следствия равенства (15) имеем следующий
результат.
Следствие 4.3.1. При стандартных предположениях этого параграфа
вероятность P(Zn > ип б.ч.) равна нулю или единице в соответствии с тем,
сходится или расходится ряд S [ 1 - F (ип ) ].
п = 1
Исследование обратных неравенств (Z„< ип} значительно сложнее. До¬
казательство следующего ниже утверждения будет довольно длинным.
Т еорема 4.3.1. Предположим в дополнение к стандартным предпо¬
ложениям этого параграфа, что последовательность п [1 — F(u„)] также
190

Является неубывающей. Кроме того, будем предполагать, что функция
р(х) непрерывна. Тогда при un<co(F) вероятность
P(Zn<un б.ч.)	(20)
равна нулю или единице в соответствии с тем, сходится или расходится ряд
S [1 - F(uj)] ехр{--/[1 -Л»]).	(21)
/ = i
Доказательство этой теоремы будет разбито на ряд шагов, оформленных
в виде лемм, некоторые из которых представляют самостоятельный ин¬
терес.
3	а м е ч а н и е 4.3.1. Утверждения типа P(Zn б.ч.) = 0 или 1,
очевидно, не зависят от изменения значений ип для конечного числа индек¬
сов п. Поэтому можно считать, что любое предположение о последователь¬
ности ип выполняется для всех индексов п, кроме конечного числа. Это
замечание относится ко всем утверждениям этого параграфа.
Лемма 4.3.1. Для любой неубывающей последовательности ип ве¬
роятность (20) равна либо нулю, либо единице.
Доказательство. Пусть ип-*и< w(F). Тогда для любого N> 1
справедливы неравенства
Р(Zn <ип б.ч.) <P(Z„ <и б.ч.) <Fn(и).
Поскольку F(u)< 1, в этом случае наше утверждение справедливо. Поэто¬
му в оставшейся части доказательства будем предполагать, что ип -► co(F).
Пусть М — любое фиксированное положительное целое число. Положим
Z„tAr = maxC¥M, Хм+\> • • •, Хп) • Мы покажем, что для любого М дополне¬
ние D события {Zn <мп б.ч.} можно выразить с помощью последователь¬
ности Zn M. Поэтому событие D при любом М не зависит от величин Х\,
... ,	!. Пусть См — произвольное событие, зависящее только от
X/ (1</<ЛГ). Имеем
P(CMD)=P(D)P(CM).
Поскольку М произвольно, мы можем положить Моткуда получим
равенство
P(CD) = Р(Я) • Р(О,	(22)
где С — произвольное событие, которое можно аппроксимировать события¬
ми вида см (М> 1). Но любое событие, выражаемое в терминах последо¬
вательности	> является событием типа С, следовательно, в
качестве С в равенстве (22) можно взять событие D. Это означает, что
Р(Р) * P2(Z>), откуда следует, что Р(£>) =0 или 1. В силу определения
события D этот результат равносилен лемме.
Остается показать, что для любого М >0 событие D можно выразить
в терминах величин ZnM («	. Фактически мы покажем, что для любо¬
го фиксированного М > 0 с вероятностью единица имеют место следующие
равенства:
£ = {Zn > ип для всех достаточно больших п} =
= {2п,м>ип Для всех достаточно больших п} .
191

Поскольку Zn >Zn M, из неравенства Zn A/>«„ следует неравенство
Z„ >	. Поэтому следует доказать только обратное утверждение.
Предположим, что Z„ > ип для всех и > N, но существует такая беско¬
нечная последовательность положительных целых чисел и (А), что
Zn(k),M ип (к)' Тогда по крайней мере для одного / = /(Л) < М выполня¬
ется неравенство Х;>ип(ку (к > 1). Так как число М фиксировано, то од¬
но и то же число / в предыдущих рассуждениях будет соответствовать
бесконечному числу различных значений к. Поскольку последовательность
ип не убывает и ип w(F), имеем
P(Zn > ип для всех достаточно больших п, но
Z„,M<un б.ч.) =0,
что и требовалось доказать. ▲
Лемма 4.3.2. При доказательстве теоремы 43 Л, не умаляя общности,
можно предположить, что для п >3 справедливы неравенства
1	n[l- F(u„)]
2	log log п
(23)
Доказательство. Пусть ип — произвольная последовательность,
удовлетворяющая условиям теоремы 4.3.1. Введем вспомогательную после¬
довательность иП9 которая совпадает с иП9 если имеют место неравенства
(23) . Если неравенства (23) не выполняются, то полагаем.
u: F(u) < 1 -
2 log log п
п
sup
F(y) > 1
log log n ]
~Tn I
в зависимости от того, какое неравенство в соотношении (23) нарушается—
верхнее или нижнее. В соответствии с этим определением как ип, так и
п [1 - F (уп) ] являются неубывающими последовательностями, и соотноше¬
ние (23) выполняется, если заменить ип на vn, (Напомним, что функция
F(х) непрерывна.) Поэтому, если бы теорема 4.3.1 была доказана при
дополнительном условии (23) , то вероятность
P(Z„<u„ б.ч.)	(24)
равнялась бы нулю или единице в зависимости от того, сходится или расхо¬
дится ряд
2	(25)
/ = 1
где мы положили
hj(x) = [1 - F(x)] exp { - j [1 - F(x)]} .	(26)
Теперь покажем, что ряды (21) и (25) сходятся или расходятся одновре¬
менно. Рассмотрим два случая. Сначала предположим, что ип > vn для беско¬
нечного числа индексов п. Обозначим эту последовательность индексов че¬
рез n(t) (t > 1).
192

Рассмотрим ряд
оо	"(t)
2 hj (uj) = lim 2 hj (u;)
j = i	t - « / = i
и покажем, что он всегда расходится. Заметим сначала, что в силу монотон¬
ности последовательности п [1 - F(u„)] справедливо неравенство
S ЛДи,) > ехр | - п [1 - F(un)] 2 [1 - F(uj)]
/ = 1	I	/ = i
Снова используя монотонность последовательности и[1 - F(un)] и нера¬
венства ит <w(F) и /[1 - F(u,)] > 2[ 1 - F(u2)] > с > 0, получим
2 hftuj) > с exp I - п [1 - F(un)] 1 2 —.
/ = i	I	J / = 1 /
Наконец, для п = n(t) справедливо неравенство ип > vn , которое означает,
. 1
что л [1 - F(un)] <—log log л. Поэтому имеем
"(О	_1/2
2 hf(uj)>c[\ogn(t)] ' logп(Г)-►«>	(г->°°).
/ = г
Еще проще показать, что ряд (25) также расходится. Для этого достаточно
заметить, что в силу определения последовательности ип справедливы соот-
1 1
ношения j [ 1 - F(vj) ] > — log log j и n [ 1 - F(vn) ] = — log log n для n =
= n(t). Для того чтобы показать равносильность сходимости рядов (21) и
(25) в оставшихся случаях, т.е. когда ип <ил для всех достаточно больших
значений п, остается заметить, что на расходимость рядов (21) и (25) ока¬
зывают влияние только те их члены, для которых выполняется равенство
ип = ип. Действительно, поскольку при выполнении неравенства 1 — F(x) >
> \Ц функция hj(x), определенная равенством (26), является возрастаю¬
щей, имеем
«	2 log log j
21 h(uz) < 21 h (Vj) < 2 		(log j)'2 < «,
/ = i /
где суммирование в 2i распространяется на те индексы /, для которых
выполняется неравенство и, > и,.
Закончим теперь доказательство леммы следующим образом. Предполо¬
жим, что теорема 4.3.1 доказана при дополнительном условии (23). Для
произвольной последовательности ип, удовлетворяющей условиям теоре¬
мы 4.3.1, но, вообще говоря, не удовлетворяющей условию (23) у построим
сначала последовательность ил. Если ряд (21) сходится, то, как было пока¬
зано, сходится и ряд (25). Поэтому выполнено условие P(Zn <ил б.ч.) = 0.
Кроме того, в ходе предыдущих рассуждений мы установили, что из сходи¬
мости ряда (25) следует, что для всех достаточно больших п выполняется
неравенство vn ^ип. Следовательно, имеем
P(Zn < ип б.ч.) < P(Z„ < vn б.ч.) = 0.
193

Наконец, пусть ряд (21) расходится. Тогда расходится и ряд (25) и, следо¬
вательно, выполнено условие P(Z„<u„ б.ч.) = 1. Положим Т={л: п> 1,
ип > ип}. Напомним, что если п в Г, то выполняется равенство 1 — F(уп) =
= (2 log log ri) )п, и если бы это равенство имело место при всех п, то ряд
(25) должен был бы сходиться и мы бы имели равенство
(27)
Учитывая все эти оценки, получим
P(Zn < ип б.ч.) > P(Z„ < ип б.ч. и Zn < ип б.ч.) = Р (Zn б.ч.) -
-Р (Zп < vn б.ч. и Zn>un для всех достаточно больших п) =
= 1 -Р (Z„ > ип для всех достаточно больших п и Z„ < vn б.ч. для п 6 Т)>
> 1 - Р (Z„ б.ч. дляп G Г) = 1,
причем последняя оценка следует из равенства (27) . Лемма доказана. ▲
Лемма 4.3.3. Пусть ип - неубывающая числовая последовательность,
для которой ряд S [1 — F(u„)] расходится, а ряд (21) сходится. Тогда
п = I
справедливо равенство V(Zn<un
Заметим, что если выполнено условие (23), то ряд, приведенный выше,
всегда расходится. Поэтому в этом случае единственным предположением
является предположение о сходимости ряда (21).
Доказательство. Из леммы 4.2.3, независимости случайных ве¬
личин Xj и условия Ё [1 -/^Ил)] =00 следует равенство Р(А\>
п = I
. > ип б.ч.) = 1, из которого в свою очередь следует равенство P(Z„ >
> ип б.ч.) = 1. Поэтому имеем
< и„ б.ч.) = P(Z„ < и„, Z„ +1 > и„ +1 б.ч.);	(28)
Из того, что последовательность ип не убывает и величины Xj независи¬
мы, следуют соотношения
S P(Z„ ^un,Zn +1 > ип +1) = S P(Zn <un, Xn + i > ил + 1) =
n - 1	n = I
= S F"(u„) [1 -F(un + 1)]< Z F"(u„)n -F(un)].
n = I	n = I
Учитывая оценку сверху из леммы 1.3.1, получим, что последний ряд не
превосходит ряда (21), который по предположению сходится. Поэтому до¬
казываемая лемма вытекает из леммы 4.2.1 и соотношения (28). ▲
При доказательстве следующей ниже теоремы нам потребуется приведен¬
ная ниже последовательность положительных целых чисел т(п) (п> 2).
Пусть т > 0 - постоянная, которую мы выберем позднее. Определим т(п)
как целую часть выражения exp(rn/log п). Важное свойство последователь¬
ности т(п) состоит в том, что при умеренном*) росте последовательности
t при п -><» справедливо неравенство
т(п + 0 - т(п)
	— log log т(п + г) > тХг (X > 0).	(29)
т(п + г)
*) Имеется в виду рост, более медленный, чем степенной (прим. пере$.).
194

Кроме того, если i п — произвольная последовательность целых чисел, удов¬
летворяющая условию in = о (log и), то при и ->°° имеет место предельное
отношение
				 .	(30)
m(n+i„)	log(n + i„)
Теперь мы завершим доказательство теоремы 4.3.1, доказав следующий
результат.
Теорема 4.3.2. Пусть ип - неубывающая числовая последователь¬
ность, для которой выполнено условие (23). Пусть ряд (21) расходится.
Тогда справедливо равенство
P(Zn<un б.ч.)=1.
Доказательство. На самом деле мы докажем, что при выполне¬
нии сформулированных условий справедливо равенство P(Zm<„) <
< um(n) б.ч.) = 1. В силу леммы 4.3.1 достаточно показать, что выполняет¬
ся неравенство
б.ч.) >0.	(31)
Поскольку для любой последовательности событий имеет место равенство
[Ап б.ч.) = Cl U Ап, мы докажем справедливость неравенства (31),
М=1п=М
если покажем, что найдется такая абсолютная постоянная с > 0, что для
М > MQ выполняется неравенство
(См. П1, вероятности монотонных последовательностей.) Фактически мы
покажем, что для любого достаточно большого целого М > 0 можно найти
такое число М9 > М, что выполняётся неравенство
| Zm(rt) ит(п) | с >	(^2)
где постоянная с не зависит от М и М'.
Для произвольных событий Aj имеют место равенства
м'
м'
м'
и *0=
S Р(Л.П
п л;) =
1 = м
/ = м	t
= /+!
м’
м'
М'
2 Р(Л)~
S Р(Л7П
U At).
= л/
/ = м
t = j+\
Из этих соотношений следует, что для справедливости неравенства (32)
Достаточно доказать существование такой постоянной Д > 0, не зависящей
отМ и М* и удовлетворяющей условию
м’
2* P(Zm(л) С и,,,(П))^ Д >0,	(33)
и = м
и такой абсолютной постоянной 6 (0 < 6 < 1), что для всех MQ	<
195

< М' имеет место неравенство
Р	(л) < um (п) j	J |	(Г) ит (t)
Сначала мы покажем, что из расходимости ряда (21) следует соотношение
S P(Zw(„)<uw(n)) = oo.	(35)
п = 2
Очевидно, соотношение (35) является более сильным утверждением, чем
соотношение (33). Поскольку основные случайные величины Xj являются
н.о.р. величинами, а последовательность Uj удовлетворяет условию (23),
ввиду леммы 1.3.1 имеем
P(Z„,(„)<“m(n)) = Fm(n) (ит(п))^ exp { - т(п) [1 - F(um (и))]} . (36)
Поэтому соотношение (35) равносильно соотношению
Z ехр{ - m(n) [1-F(ura(n))]} =«.	(37)
п = 2
Далее, так как ряд (21) расходится и последовательность ип не убывает
(мы используем обозначение (26)), то справедливо соотношение
ос	со	(л + 1 ) I
oo=S hn(u„)= 2	2 ht(ut)<
п = 2	п - 2 t - т (л)
< 2 [1 -/Чы»,^))] [т(п + 1) -т(и)] • ехр{ - т(п) [1 - F(um(„ + 1))]}.
л = 2
Из условий (23), (30) и условия т(п + 1)/ти(и) -> 1 следует соотношение
[1 -f(um(n})][m(n + l)-m(n)] -*т	(и->°°)
Поэтому из полученной выше оценки непосредственно вытекает соотноше¬
ние (37). Далее, учитывая неравенства (23), получим из соотношения (36)
равенство
lim P(Zm(n)<um(n)) = O.
Л -> ос
Следовательно, из соотношения (35) следует, что для любого достаточно
большого числа М > 0 можно найти такое число М'>М, что будут выпол¬
няться неравенства
м'
0<Д< 2 P(Zm(„)<Um(n))<2A,	*	(38)
л = М
где Д > 0 — произвольное фиксированное число.
Переходя к доказательству неравенства (34), используем сначала эле
ментарную оценку
М'
Г= л + 1
м'
U
t = л + I
P(Zm (л) ит (л)»	ит(Г))-
196

(40)
Снова используя монотонность последовательности Uj и то, что величины
Х7- являются н.о.р. величинами, получим для t > п соотношение
P(Zm(n) <мт(п)> Zm(f)<un7(r)) =
= P(Zm(n) <um(n)) •	(Um(t)y
Кроме того, в силу леммы 1.3.1 и условия (23) имеем
(и )<еХр| _2_	log log те (г) | .
I 2 m(t)	7
Используя неравенства из леммы 1.3.1 и условие (23), получим при t >
> Т>п неравенство
(41)
^те(г)-те(П)(	)<Fm(r)( )ехр [2^ loglogw(n). (42)
I m(T)	J
Далее, для завершения доказательства неравенства (34) и, следовательно,
теоремы в целом применимы оценки (39) — (42). Разобьем область п <
< t < Л/' на три подмножества. Первое подмножество определяется нера¬
венствами п < t < к, где к выбирается таким образом, что к - п умеренно
растет, и можно применять соотношение (29). Ко второму подмножеству
отнесем те значения t, которые удовлетворяют неравенству Т < t < М',
где Т > к выбирается таким образом, чтобы экспонента в правой части не¬
равенства (42) была ограниченной. Наконец, к оставшемуся множеству
к < t < Т мы применим соотношение (30). Таким образом, с помощью
соотношений (40), (41) и (29) для к = к(п)>п имеем
к
¥(Z>n(n)	P(Zm(n)^
t = п + 1
e-(l/2)rX
1 _е-(1/2)тХ ’
е-(1/2)(Г-Я)гХ< p(Zm(ny<U,n(ny)
^ит(п)) S
t = п + 1
С другой стороны, из соотношений (40), (41) и (30) вытекают неравенства
т
P(Zw(n) ит(п)> Zm(t)
t = к + I
Наконец, выбрав Т так, как указано выше, с помощью соотношений (40),
(42) и (38) получим неравенства
м
М'
P(Zw(n)<uw(/l))p 2
t= т + i
197

где р > 0 является границей для экспоненты в правой части неравенства
(42) . Заметим, что за счет увеличения Т постоянную р.можно сделать сколь
угодно близкой к единице. Используя эти три оценки, получим, что из
неравенства (39) следует неравенство (34), в котором константа 5 опреде¬
ляется следующим образом:
6 =
е-(1/2)тЛ
1 _ e-d/2)rx
+ (Т - к) ехр
+ 2Др.
1
4
Мы свободны в выборе т и X при условии, что 0 < X < 1. Таким образом,
первый член этой суммы можно сделать, например, меньшим, чем 1/4, при
соответствующем выборе т и X. Рассматривая второй член, заметим, что к
и Т будут удовлетворять наложенным на них ограничениям, если потребо¬
вать, чтобы как (Т - к), так и (к - п) стремились к бесконечности так же
быстро, как положительная степень функции log п. Следовательно, второй
член сходится к нулю. Поэтому, если число MQ достаточно' велико, то для
всех п > М > MQ второй член этой суммы будет меньше, чем 1/4. Как отме¬
чалось выше, можно считать, что при достаточно большом значении Т вы¬
полняется неравенство р < 3/2. Поскольку неравенство (38) справедливо
для произвольного Д > 0 при всех М> MQ = MQ (Д), можно считать, что нет
никаких ограничений на постоянную Д. Поэтому при Д = 1/12 третий член
рассматриваемой суммы не превосходит 1/4. Таким образом, при 0 < 6 <
< 3/4 справедливо неравенство (34). Теорема доказана.
Очевидно, теорема 4.3.1 вытекает из лемм 4.3.2,4.3.3 и теоремы 4.3.2. ▲
Сформулируем также результат для минимума н.о.р. случайных величин.
Мы оформим все результаты в виде оДной теоремы.
Теорема 4.3.3. Пусть ип - невозрастающая числовая последователь¬
ность. Тогда вероятность ’P(H^ < vn б.ч.) равна нулю или единице в зависи¬
мо
мости от того, сходится или расходится ряд S F(yn).
п = I
Кроме того, если функция F(x) непрерывна, ип - невозрастающая после¬
довательность и либо последовательность nF(v„) не убывает, либо для всех
1	nF(vn)
достаточно больших п имеет место неравенство — <	<2, то ве-
2	log log п
роятность Р(И'„ > vn б.ч.) равна нулю или единице в зависимости от того,
сходится или расходится ряд
L F(u„)exp[ -nF(v„)].
п
Поменяв знаки у первоначальной последовательности случайных величин,
видим, что этот результат легко вытекает из следствия 4.3.1 и теорем
4.3.1, 4.3.2.
При ме р4.3.1. ПустьXlf Х2,. .. - последовательность независимых
случайных величин, имеющих равномерное распределение на интервале
(О, 1). Это означает, что их общая функция распределения определяется
равенством F(x) = х (0	< 1). Тогда для любого _у>0 справедливо
равенство
/	у log log п	у log log и _ \
Р	--	б.ч.) =Р(И'„<—1-1- б.ч. =1.
\	п	п	/
198

Сначала заметим, что для любой возрастающей последовательности ип вы¬
полняется неравенство
Р (Zn > ип б ч.) = Р (И/л < 1 - ип б.ч.).	(43)
Положим ип = 1 - (jr log log п)/п. Тогда последовательность ип возрастает и
для любого у > 0 справедливо соотношение
2 [1 - F&n)] =
Л=2
ос	оо
2 (1 -ип)=у Е
п-2	п-2
log log п
-	= оо
П
Утверждение примера вытекает теперь из следствия 4.3.1 и равенст¬
ва (43). а
Пример4.3.2. ПустьХиХг,... - н.о.р. случайные величины, имею¬
щие равномерное распределение на интервале (0, 1). Тогда для любого у
справедливо равенство
Р&п < 1 -
(1 + у) log log п
п
б.ч) =
1Qglogn (2 +>-) log log log и
= P (Z„ < 1	б.ч.),
n	n
причем эта вероятность равна нулю или единице в зависимости от того,
будет лиу > О или у < 0.
Действительно, так к ак F (х) = х для 0 < х < 1, то при ип = 1 — (1 +у) X
X log log п/п последовательность п [1 - F(u„)] = (1 +у) log log п возрастает
по п. Кроме того, ряд
п = 2
[1	ехр{ - п [1	=
= (! + >>) 2
л = 2
log log П
п (log и)1
сходится или расходится в зависимости от того, будет ли у > 0 или у <0.
Поэтому утверждение о вероятности
'	п	7
следует из теоремы 4.3.1. Если в теореме 4.3.1 положить
log log п (2 + у) log log log п
ип ~ 1 ~	— 		,
п	п
то снова ип и п [1 -F(un)] окажутся возрастающими по п последователь¬
ностями. Ряд (21) в этом случае имеет вид
£ log log и + (2 +у) log log log n
n = 2 (n log n) (log log л)2 + 7
199

Этот ряд сходится или расходится в зависимости от того, будет ли у > 0 или
у < 0. Утверждение примера доказано, а
Пример 4.3.3. Пусть Xlf Х2,. .. — стандартные экспоненциальные
величины. Тогда имеет место равенство
lim —	=1) = 1.
\ п — ~ log п /
Поскольку выполняется условие
S [1 -F(log/? + 2 log log л)] = S			-<«,
n = 2	п-2	«(log/?)
из следствия 4.3.1 вытекает равенство
Р (Z„ < log п + 2 log log п для всех достаточно больших /?) = 1.
С другой стороны, при ип = log п - log log п ряд (21) принимает вид
log/?
п-2
< °°.
Поскольку последовательности ип и п [1 -F(«n)] = log/? возрастают, мы
можем применить теорему 4.3.1. Поэтому имеем
Р (Z„ > log /? - log log /? для всех достаточно больших /? ) = 1.
Из этих соотношений следует, что с вероятностью единица Zn/log /? -* 1. а
Пример 4.3.4. Пусть Х}, Х2,... - н.о.р. случайные величины с общей
функцией распределения /?(х)= 1 - 1/х (х> 1). Тогда для произвольной
возрастающей последовательности dn > 0 справедливо либо равенство
/	Zn	\
Pl lim sup	 = оо/=1,
\	dn	/
либо равенство
В обоих этих утверждениях верхний предел берется при и -* °°. Поскольку
справедлива формула
( 1 (
lim sup | Zn/dn = 00 j = Ci j Zn >tdn б.ч.
из следствия 4.3.1 вытекает, что вероятность
P^lim sup Zn/dn = 00
оо	]
равна единице тогда и только тогда, когда ряд S — расходится для
П = 1 t dn	оо
любого t>l. Последнее утверждение имеет место, если ряд Z \/dn рас-
п = 1
200

ходится. С другой стороны, если этот ряд сходится, то для любого t > 1
справедливо равенство V(Zn<dnlt для всех достаточно больших и)=1.
Это утверждение, очевидно, равносильно равенству Р (lim sup Z„!dn =
= 0) = 1.а
Примеры 4.3.3 и 4.3.4 подчеркивают, что рассмотренные в них распреде¬
ления обладают совершенно различными свойствами. Поскольку в матема¬
тических исследованиях точный порядок роста величин Zn и играет важ¬
ную роль, мы исследуем эту задачу в следующем параграфе.
§ 4.4. Верхний и нижний пределы нормализованных
экстремальных значений
В этом параграфе снова предполагается, что основные случайные величины
Х2, . • • независимы, но в некоторых утверждениях не требуется, чтобы
они были одинаково распределены. Положим Л) (х) = Р (Х7 <х). Наша цель
состоит в том, чтобы найти условия, при которых верхний (или нижний)
предел нормализованных экстремумов с вероятностью единица равнялся
бы конечной не равной нулю постоянной.
Сначала мы установим один общий результат.
Теорема 4.4.1. Пусть Xlf Х2,. . . независимые случайные величины.
Пусть Вп>0 - неубывающая последовательность вещественных чисел,
сходящаяся к бесконечности при п-+ Обозначим через S множество
чисел к>0, для которых расходится ряд
оо
/= 1
(44)
Тогда справедливо равенство
(45)
где г = О, если множество S пусто, и t = sup S в противном случае.
Доказательство. Сначала заметим, что Х} < Zn для любого и > 1.
Поэтому, поскольку Вп °°, имеем
P^Iim sup	= P^lim inf	= 1.
Далее покажем, что для любого к > 0 вероятность
(46)
(47)
равна нулю или единице в зависимости от того, сходится или расходится
ряд (44). Действительно, поскольку Вм->°°при иможно применить
формулу (15) с ип = кВп. Поэтому наше утверждение следует из независи¬
мости основных случайных величин и лемм 4.2.1 и 4.2.3. Таким образом,
если для произвольного к > 0 ряд (44) расходится, то выполняется соотно¬
шение (45) при t = °°, причем в рассматриваемом случае это значение т рав¬
но sup S. Теперь пусть множество 5 пусто. Тогда из критерия для равенства
ВеР°ятности (47) нулю или единице вытекает, что для произвольного
201

к> 0 справедливо равенство
/ Zn	\
Р(	 < к для всех достаточно больших п |= 1.
\ Вп	/
Последнее соотношение, очевидно, равносильно соотношению (45) при г = 0.
Остается исследовать случаи, когда множество 5 непусто и t = sup
Из определения множества S и эквивалентности сходимости или расходи¬
мости ряда (44) равенству нулю или единице вероятности (47), следует,
что для произвольного е > 0 имеют место равенства
P(Zn >(f+ е)Вл б.ч.) =0, P(Z„>(l-e)B„ б.ч)=1.
Таким образом, справедливо равенство (45). Теорема доказана, а
Для нижнего предела мы докажем более слабое утверждение.
Теорема4.4.2.Пусть величины XitX2i.. .и постоянные Вп>0 - та¬
кие же, как в теореме 4.4.1. Тогда выполняется равенство
Р (lim inf 42- = г) =1,	(48)
\	Вп /
где / * > 0 - некоторая постоянная, возможно, равная бесконечности.
Доказательство. Тот факт, что г* > 0, установлен в соотношении
*46).
Пусть к > 0 — произвольное число. Поскольку при доказательстве лем¬
мы 4.3.1 была использована только независимость величин Хх, Х2,. .. и
ничего не предполагалось об их распределениях, вероятность
P(Z„<*£„6.4.)	(49)
равна нулю или единице. Пусть S* ={к\ Л>0и вероятность (49) равна
единице}. Положим г* = inf S*, если множество 5* непусто, и Г* “ °°, если
5* пусто. Чтобы показать, что соотношение (48) выполняется при опреде¬
ленном выше t*, достаточно повторить последние шаги Иред’ыдущего
доказательства. Теорема доказана. ▲
Теперь обратимся к н.о.р. величинам. В этом случае вопрос о том, чему в
действительности равна вероятность (49), решается с помощью теоремы
4.3.1. Поэтому число t *, определенное выше с помощью множества S*, как
было показано, может быть использовано в выражении (48). Этот факт
будет использоваться в дальнейших рассуждениях. Последовательность ап
будет всегда определяться равенствами
ап =inf {y-F(y)> 1 - 1/п}.	(50)
Теорема 4.4.3. Пусть Хх, Х2,. . . - н.о.р. случайные величины с общей
непрерывной функцией распределения F (х). Предположим, что w (F) = °°-
Тогда для любой последовательности Вп, удовлетворяющей условию
В„-ап , имеет место равенство
P^lim	~ P^lim SUP	= 1 •
Доказательство. Из условия со (F) - 00 следует, что ап -* 00 при
п -+ °°. Поэтому достаточно доказать теорему для Вп =ап. В силу непрерыв
ности функции F (х) имеем F (ап)= 1 — 1/л.
202

Сначала применим теорему 4.4.1. Поскольку для любого к < 1 выполня¬
ются соотношения
£ [l-F(M/)]> £ [1-F(az)]= £ — = -,
/=1 /=1 /=1 /
утверждение теоремы о lim sup Zn/Bn справедливо.
Обращаясь к lim inf Zn/an, заметим, что п [1 - F(a„)] = 1 и, таким обра¬
зом, как последовательность ап, так и последовательность . п [1 — F (ал)]
.являются неубывающими. Поэтому применима теорема 4.3.1, из которой
следует, что расходимость ряда
£ [1-F(a7)]exp| -/[l-F^jl =- £ —
/=1	Г	J е /=1/
влечет равенство P(Zn <ал б.ч.) = 1. Это равносильно утверждению теоре¬
мы о lim inf Zn/Bn. Теорема доказана. А
С л е д с т в и е 4.4.1. Пусть Xit Х2, ••. - н.о р. случайные величины с
общей непрерывной функцией распределения F (х) Пусть (F) = °°. Если
выполняется равенство Р (lim Zn!Bn- 1) = 1, то Вп ~~ап.
Пример 4.4.1. Пусть Х\, Х2,... — н.о.р. стандартные нормальные
случайные величины. Как и в п. 2.3.2, положим
1
(log log п + log 4 тг)
= (2 log п)1 /2 - -		, Ъ„ = (2 log п)~ 112.
(2 log п)1
Тогда с вероятностью единица существует такое целое число и0, что для
всех и > и0 и для любого 6 > 0 выполняются неравенства
а* - bn [ log log logп + log(1 +6)] <Zn <a„ +(1 + 6)6Л loglogw. (51)
В частности, справедливо равенство
Р( lim (Zn -V2toi’n) = 0) = P( lim , Z? ~ = 1)=1.
v n	6	\	V21ogn /
Метод доказательства соотношения (51), вообще говоря, применим к
любой последовательности величин с непрерывной функцией распределения.
Поэтому мы будем формулировать каждый шаг доказательства в общих
терминах и затем производить вычисления для того случая, когда F(x) яв¬
ляется стандартной нормальной функцией распределения. Мы будем
ссылаться на п. 2.3.2.
Сначала найдем асимптотическое выражение для общего члена последо¬
вательности ап, определяемой равенством (50). Для нормального распреде¬
ления это было проделано в п. 2.3.2, в котором было найдено, что ап~- а„,
гДе последовательность ал определена выше. Далее, имея в виду лемму
4*3.2, определим последовательность ип =а„ - sn таким образом, чтобы
выполнялось соотношение (23) и сходился ряд (21). Так как, согласно
определению, п [1 — Г(ял*)] ~1, то sn>0. Проверим сначала выполнение
203

условия (23). Из формулы (62) п.2.3.2 вытекают соотношения
с! ехр


ап ~ Sn
~		11 -- F (a,* )] exp faZJ* sn -	s2\
an ~sn	\	2	/
Далее, если sn -► 00 (что имеет место в нашем случае и чего всегда можно
добиться, находя достаточно точное выражение дляач, а именно, проводя
аппроксимацию с точностью до члена, который сам сходится к нулю), то
приведенное выше соотношение можно записать в виде
l-F(an*-sZI)- — ea"s".
п
Полагая s„ = s*l^ log имеем
' 1Л	(52)
п
Таким образом, условие (23) сводится к неравенствам
1
log — < s* - log log log n < log 2.
Э
выберем эту разность таким образом, чтобы ряд (21) сходился. Положив
t - s* - log log log n, получим при un =a„ - sn соотношение
(	1	log log и	r
[1	expj — и [1 - F(w„)] | *	—	(log «)■ 'e
Поэтому при г = log (1 + 6) (0 < 6 < 1) w-й член ряда (21) имеет порядок
log log п
п (log п)х +6 . Хорошо известно, что ряд из таких членов сходится. Таким
образом, оценка снизу в неравенствах (51) вытекает из леммы 4.3.3. Верх¬
няя оценка получается намного проще, причем могут быть использованы
предыдущие вычисления. Применим следствие 4.3.1 с ип = а„ - sn, где
sf1 = Snl^/l log n < 0. Из соотношения (52) следует, что если положить $,* =
= - (1 + 5) log log п (6 > 0), то мы получим соотношение
1
л (log л)* 1 + 6
Ряд из таких членов сходится, откуда следует справедливость оценки свер¬
ху в неравенствах (51). А
Сформулированные вслед за неравенствами (51) соотношения являются
специальными случаями неравенств (51). Они показывают, что как АСЗ,
так и МСЗ можно усилить до сходимости с вероятностью единица. В этом
случае мы будем говорить об усиленных законах больших чисел. Мы будем
различать аддтивные усиленные законы (АУЗ) и мультипликативные
204

усиленные законы (МУЗ) в зависимости от того, какое из соотношений,
2, - ап -* 0 или Zn/an -> 1, выполняется. В обоих соотношениях имеются в
виду пределы почти наверное. В случае МУЗ, конечно, всегда предполагает¬
ся, что ап Ф 0. Подобным же образом АУЗ и МУЗ определяются для произ¬
вольных экстремумов.
Из вычислений, приводящих к неравенствам (51), легко видеть, что
порядки обеих границ являются точными. Поэтому различие в порядках
двух границ несущественно.
Замечание 4.4.1. Результат (51) доставит удовольствие математику,
но разочарует прикладника. Математику ясно, что мы развили метод, с
помощью которого можно получать точные границы для величины Z„,
понимаемые в смысле сходимости с вероятностью единица. Но давайте рас¬
смотрим точку зрения прикладника. В п. 2.3.2 математик инструктировал
его, что для выборки, состоящей из п независимых наблюдений над стан¬
дартной нормальной случайной величиной, он должен сначала вычислить
а„ и bnt определенные в примере 4.4.1. Далее, если и достаточно велико, то
распределение величины (Zn - an}/bn хорошо аппроксимируется распреде¬
лением Яз(0 (*)• Затем ученый проводит п = 10 000 наблюдений и вычисляет
постоянные а„ и Ьп. Действительно значение Zn оказалось немного мень¬
шим, чем а *„, скажем величина (Zn - a„)/bn оказалась равной -0,81. Из
аппроксимации с помощью распределения Я3>0 (х) следует соотношение
P(Zn<a* -0,8 Z>„)~ 0,108.
Желая сделать двойную проверку, он вычисляет также нижнюю границу в
неравенстве (51) при малом значении 6. Поскольку log log log 10 000 =
= 0,7977, из неравенства (51) следует, что величина (Zti - a^)!bn практичес¬
ки никогда не может быть меньше, чем — 0 8.
Эти кажущиеся противоречивыми выводы вовсе не являются противоре¬
чиями. Аппроксимация с помощью величины Н3 0 (—0,8), проведенная
выше, является точной (см. теорему 2.10.1). С другой стороны, неравенст¬
ва (51) справедливы с вероятностью единица для всех n>nQi но само
значение nQ является случайной величиной, зависящей как от выборки, так
и от значения 6 > 0. Другими словами, значение п0 меняется от выборки к
выборке, а фиксированное число п может считаться большим для одного
множества наблюдений и, таким образом, будет превосходить и0, в то
время как в других случаях то же самое число п остается меньшим и0 • Сле¬
довательно, из неравенств (51) нельзя делать практических выводов. Тем
не менее их теоретические следствия представляют интерес.
В примере 4.4.1 мы описали метод получения для величины Zn границ,
имеющих точный порядок, причем эти границы применимы к величине Zn
с вероятностью единица. Если интересоваться только главными членами этих
границ, то метод несколько упрощается. В частности, легко получаются
Усиленные законы больших чисел.
Теорема 4.4.4. Пусть Xlf Х2,... - н.о.р. случайные величины с.об¬
щей функцией распределения F (х\ Пусть cd (F) = °°- Пусть последователь¬
ность ап определяется равенством (50). Равенство
₽( lim— =1)=1	(53)
4 П -> оо ап /
205

справедливо тогда и только тогда, когда для любого k > 1 выполняется
условие
2	[1 - F(kan)] < оо.	(54)
п = 1
Доказательство. В силу теоремы 4.4.1 из равенства (53) следует
неравенство (54). Поэтому нам необходимо доказать только обратное
включение. В силу определения последовательности ап ряд (54) расходится
при к = 1. Еще раз применяя теорему 4.4.1, получим, что из условия (54)
следует равенство
р( lim sup— =1) = 1 .
\ л - « ап /
Следовательно, остается доказать, что условие (54) является также доста¬
точным для справедливости равенства
Р ( lim inf —— = 1) = 1.	•
\ л —« ап '
Применим лемму 4.3.3 при ип = tani где 0 < t < 1. Поскольку справедливы
соотношения
2	[1-^(*л)1>	2	[1-/^(ал)]> Е—=°°,
л = 1	л = 1	л = 1 П
достаточно показать, что для любого фиксированного t< 1 ряд (21) схо¬
дится.
Покажем сначала, что условие (54) выполняется тогда и только тогда,
когда для произвольного t (0 < t < 1) выполнено условие
” dF(y)
1 l~F(ty)
(55)
Пусть G (у) = inf {х: F(x) 1 - 1Ду}. Тогда ап = G (п) и функция G (>>) не
убывает. Поэтому в силу неравенств
-FRGCf)]}	-F(ka„)<
J {l-F[*G(/)]]dy
условие (54) равносильно условию
7(1-F [ЛСОО]} dy< оо.
Ддлее имеем
7( 1 - F [*GV)1! dy = J [ 7 dF(x)] dy =
11	J	1 kG(y)
=	/	f	dy dF(x).
kG(l)V	1	1
206

Сходимость последнего интеграла, очевидно, равносильна условию (55).
Несколько более неприятные, хотя и нетрудные вычисления показывают,что
из условия (55) следует сходимость ряда (21) . В связи с этими вычисле¬
ниями заметим только, что следует начать с замечания о равносильности
сходимости ряда (21) и условия
Sj (1 - F(un +,)] ехр| -(« + 1) [1 -F(u„)]|
где ип = tan (0 < t < 1). В силу монотонности функции F записанный выше
ряд мажорируется рядом
1 -F(rG(y))
Записывая это выражение в виде интеграла и сделав замену переменных
x-G(y), получим интеграл, который сходится при выполнении условия
(55). Теорема доказана. А
Результаты этого параграфа можно обобщить в нескольких направлени¬
ях. Поскольку эти обобщения не требуют привлечения новых идей, они
собраны в упражнениях. В частности, там помещены результаты, относя¬
щиеся к специальным распределениям для экстремумов, отличных от
максимума, а также результаты для зависимого случая.
§ 4.5. Роль экстремальных значений в теории суммирования
случайных величин
Классическая теория вероятностей связана с теорией суммирования н.о.р.
случайных величин. В частности, исследования концентрировались вокруг
законов больших чисел для сумм и асимптотической нормальности. При
этом предполагалась конечность дисперсии исследуемых величин. При этих
условиях вклад экстремальных членов в сумму н.о.р. величин пренебрежи¬
мо мал. Этим объясняется тот факт, что теория суммирования н.о.р. вели¬
чин в течение долгого времени не была связана с теорией экстремальных зна-
чений.Однако по мере осознания важности распределений, для которых даже
математическое ожидание не является конечным, прояснилась взаимосвязь
этих двух теорий .Настоящий параграф посвящен этому вопросу. Мы приве¬
дем результаты для н.о.р. случайных величин, однако читатели, знакомые с
теорией суммирования зависимых случайных величин (наиболее развита
теория для стационарных и симметрично зависимых последовательностей,
а также для последовательностей, удовлетворяющих условиям перемешива¬
ния), распознают соответствующую взаимосвязь теорий с помощью
ссылок на главу 3.
В этом параграфе Х2,... будут н.о.р. случайными величинами.
Кроме стандартных обозначений положим
Начнем с примера. Пусть функция
гг ч 1	1
ь (х) = — + — arctgx
2 я
207

является стандартной функцией распределения Коши. С помощью рутин¬
ных вычислений легко убедиться, в том что функцией распределения
величины (1/и)Тл также является функция F(x) (можно использовать
стандартную формулу свертки, характеристические функции или преобра¬
зования Лапласа). В этом результате мы обратим внимание на тот факт, что
нормирующей постоянной, при которой величина Тп имеет невырожденное
предельное распределение, является величина п. Далее заметим, что норми¬
ровка Ьп в соотношении	*
lim Р (— < х) = ехр ( - —)	(х > 0)	(56)
п -► оо \Ьп	/	' X /
также имеет порядок п. Действительно, в п. 2.3.4 мы получили соотношение
/я	/я \
(56), в котором bn = tg^-	4. Но поскольку cosl -- - xj = sin х и
sin	xj 1, a sin х/х 1 при х 0, имеем
п к/п	п
я sin (я/7?) я
Отмеченный выше факт указывает на тесную связь между величинами Тп и
Zn для распределения Коши. Частично эта связь объясняется тем, что
Е | Хг Г=°°, а частично поведением функции 1 -F(x)npH х~>°°. Тот факт,
что величины и (l/и) Тп имеют одинаковые распределения, здесь несу¬
ществен. На самом деле справедлив следующий результат.
Теорема 4.5.1. Пусть Xif Х2,. . . - н.о.р. случайные величины с общей
функцией распределения F (х). Пусть F(0) = 0 u со (F) = °°. Предположим,
что существуют такие постоянные ап, Ьп> 0, Лл и Вп> 0, что функции рас¬
пределения величин (Zn - an)/bn и (Тп - Ап)/Вп слабо сходятся к некото¬
рым невырожденным функциям распределения, которые обозначим
соответственно Н (х) и U (х). Тогда соотношение Ьп/Вп ~~ т справедливо для
некоторог' . (0 < т < °°) тогда и только тогда, когда функция F (х) принад¬
лежит области притяжения закона Нх у (х) при некотором у (0 < у < 2).
Замечание 4.5.1. Предположение F(0) = 0 можно отбросить. В этом
случае утверждение относительно функции F(x) примет следующий вид:
при некоторых у < 5 (0 < у < 2) функция F(x) принадлежит области при¬
тяжения как закона Нх у (х), так и закона (х). Этот результат следует
из теории слабой сходимости величин (Тп - Ап)1Вп. Однако легко понять,
что он является естественным. Действительно, если бы функция распреде¬
ления F(x) была такой, что величина |	| велика по сравнению с величи¬
ной Zn> то сумма Тп была бы сравнима с а не с Zn.
Заметим также, что нельзя ожидать никакого общего правила о соотно¬
шении между константами ап и Ап. Действительно, если к каждой из вели¬
чин X; добавить фиксированное число, то сумма Тп возрастает на величину,
кратную п, в то время как максимум Zn возрастает только на фиксирован¬
ное число.
Наконец, заметим, что если Ьп и Вп пропорциональны, то из этой теоре¬
мы и теорем 2.4.1, 2.4.3, 2.1.1 и 2.7.3 следует, что ап = 0 й Е(А?) равно
бесконечности или нулю в зависимости от того, а > у или 0 <а < у < 2.
208

Доказательство теоремы 4.5.1. Поскольку со (F) = 00 и функ¬
ция распределения величины (Zn - an)!bn слабо сходится к невырожденной
функции распределения Н (х), из теорем § 2.4 следует, что функция F (х)
принадлежит области притяжения либо закона Нг 7 (х) при некоторому > О,
либо закона Я3>0 (х). Если бы F(x) принадлежала области притяжения
закона H3 Q (х), то из теоремы 2.7.3 следовало бы, что Е (Xf) < 00 для всех
я>0. В частности, математическое ожидание	дисперсия D =
= D (Xj) были бы конечны. Тогда из классической центральной предельной
теоремы вытекало бы, что Ап = пЕ, Вп = (nD)1 /2и U(х) = Ф (х), где Ф (х) -
стандартная функция распределения нормального закона. С другой стороны,
если Е (Ха) < °°, то в силу формулы (129) гл. 2 имеем
00	t .	1 ап + 1 + '>« + 1
°° > f ха 1 [ 1 - F (х)] dx = S	f ,. . >
1	п	an + bn
>Z(a„+b„y1- l[l-F(an+l + bn+l)],
п
где суммирование производится по тем и > к, для которых выполняется
неравенство ак + Ьк>\. Поскольку функция распределения F (х) по пред¬
положению принадлежит области притяжения закона Язо (х), из § 2.5 (шаг
1) и из сходимости последнего ряда следует, что при п 00 справедливо со-
(ом + Ьп)
отношение	0, которое можно записать в виде ап + Ьп =
п
= о(п*^а !)). При доказательстве теоремы 4.1.1 мы показали, что Ьп =
= о (ап). Поэтому Ьп -о (пМ (а ~ О ) длявсеха>1 и, следовательно, Ьп и
Вп = (nZ))V2 асимптотически не пропорциональны. Итак, функция F(x)
может принадлежать только области притяжения закона Нх у (х) при неко¬
тором у > 0. Поэтому в силу теоремы 2.4.3 для всех х > 0 выполняется со¬
отношение
lim
f— оо
1 -F(rx)
l-F(Z)
Перепишем это соотношение в виде
1-F(x) =
Цх)
ХУ
L (tx)
	► 1
L(r)
(*-**)-
(57)
Займемся теперь сравнением величин Ь„ нВ,,. Если у >2, то, снова приме¬
няя теорему 2.7.3, получим, * что Е и D конечны и, следовательно, Вп =
= (л£>)1/2. Но в силу формулы (22) гл.2 для любого у > 0 справедливо со-
отношение
’	nL (bn)
n{\-F(&„)] =	- 1 (n ->«).	(58)
Для медленно меняющейся функции L (х) и произвольного е > 0 выпол-
няется неравенство £ (х) <хе, верное для всех достаточно больших зна-
ченийх (см. П1П). Из этого следует, что Ьп < hV(7-<0. Поэтому для
7^2 мы можем выбрать е > 0 настолько малым, что выполняется нера¬
венство 1/ (у — €) < 1/2. Следовательно, Ьп!Вн -* 0 при п °°.
209

Пусть теперь 0 < у < 2. Тогда из теории суммирования н о.р. случайных
величин известно, что существует предельная функция распределения U(x)
и нормирующие постоянные Вп таковы, что выполняется соотношение
	——	s (0 < s < °°, w -> °°)
(см. монографию Ибрагимова и Линника (1965)). Из этого соотношения
и соотношения (58) следует,что выполняется условие
L(b") .s L [Bn(bn/Bn)] _ L(bn)
\bJ L(Bn) S L(Bn) ’ SL[bn{Bn/bn)]
Поскольку либо отношение bn/Bn, либо отношение Вп/Ьп ограничено,
правая часть этой формулы сходится к s (см. ПIII). Поэтому и левая часть
также сходится к s, что и требовалось доказать в случае 0 < 7 < 2.
Остается рассмотреть только случай 7 =2. Теперь дисперсия величины
X бесконечна, но функция U (х) по-прежнему является функцией распреде¬
ления стандартного нормального закона. В этом случае с помощью более
точного результата из теории суммирования случайных 'величин, чем в
случае 7 < 2, можно показать, что соотношение Zn/Bn имеет вырожденное в
нуле предельное распределение. Поэтому величины Ьп и Вп не могут иметь
одинаковый порядок. Подробные сведения по теории суммирования мож¬
но найти в книге Ибрагимова и Линника (1965). Доказательство теоремы
закончено.А
Из теоремы 2.8.1 следует, что если функция F(x) принадлежит области
притяжения закона (х) при некотором 7 (0 < 7 < 2) и если F (0) = 0,
то все верхние экстремумы Хп_ k.n, нормированные постоянными Вп из те¬
оремы 45.1, имеют невырожденные предельные законы. Из этого можно
Сделать интересный вывод. А именно, как бы ни было велико и, сумма
постоянной и конечного числа верхних экстремумов будет асимптотичес¬
ки давать ту же величину, что и сумма Тп. Еще более удивительным явля¬
ется случай, в котором можно положить А п =0. Например, если 1 <7 <
<2, тоЕ%1=Е<оои замена А) на X; - Е приводит к равенству Ап = 0.
Из теоремы 45.1 мы получаем, что для любогох > 0 существует такое
у > 0, что (/(х) - Н (у) (как U (х), так и Н (у) — строго возрастающие неп¬
рерывные функции), и, таким образом, имеем
lim Р (7"л < х) = lim V(Zn<bny\
П 00	П
где bn = inf(z : 1 - F (z) < 1 In}. Если использовать несколько верхних
экстремумов, то числах и у будут приближаться друг к другу.
Продолжим исследования н.о.р. случайных величин. Как и ранее, будем
предполагать, чтоА\Х). Пусть теперь Е(А^) = 00 для всех а > 0. Тогда
согласно теореме 2.7.3 существуют такие числовые последовательности
ап и Ьп, что величины (Zn - an)!bn имеют невырожденное предельное
распределение. Аналогичного результата нет в теории суммирования. Тем
не менее в этом случае связь между величинами Тп и Zn является еще бо¬
лее тесной.
Теорема 4.5.2. Пусть АГ1, Х2,. . . - н.о.р. случайные величины с об¬
щей абсолютно непрерывной функцией распределения F(x). Пусть F (0) =
210

= 0 u cj (F) = °°- Предположим, что для всех х > 0 выполнено условие
г
lim
1 -F(tx)
1 -F(r)
(59)
Тогда справедливо равенство
Um е( —^=1-	(60)
п “♦ °°	\ Zn '
Доказательство, Положим Rn = Tn/Zn. Обозначим через g (xi, х2,.
...,хл,z) совместную плотность распределения величин Xt, Х2,.. ., Хп и
Zn. Поскольку максимум Zn равен одной из величин X- и рассматриваемые
величины абсолютно непрерывны, можно пренебречь связью между аргу¬
ментами, считая, чтог. = х;для некоторого/(1 </< л). Из соображений
симметрии следуют равенства
giXi,X2, ... ,x„,x/) = g(xt,x2,. . . ,ХЯ,Х1) (1 </<n)
и
f(Xl)f(x2).'.f(*n),
0
если Xi = max {x7-} ,
в противном случае,
где/(х) = F' (х) — плотность распределения величины Xt. Таким образом,
используя основные формулы для математического ожидания, имеем
E(?'*") = «f	;*(ехр[— 2 х,- ] ln/(xz)dx2 ...
0 0 О [ L X! /= 1 J j
.. ,dxn dxi =nelt f [ f 1 eltu/Xi f (u) du ]" “ 1 /(xj dxx.
о о
Если это равенство продифференцировать по t и положить t = 0, то левая
его часть примет вид i Е (Rn). Таким образом, имеем
Е(Л„) = л/ (J7(u)dM)" ‘/(xjdx,*
о о
+ «(«- 1)7 (/* f(u)du)n~ 2(/‘ — f(u)du\f(xx)dXl =
00	\0 Xi	/
= 1+Я(и- 1)7 Fn~2 (х)Г/ - f(u)du]f(x)dx.	(61)
о	Lo х	J
Чтобы оценить второе слагаемое в этом равенстве, сначала сделаем во
внутреннем интеграле подстановку v = и/х и произведем интегрирование
по частям. Это приведет нас к равенствам
J — f(u) du =/ vxf(yx)dv = } [1 -F(ux)] dv - [1 -F(x)] =
0 X	о	0
= U-F(x)] [/
Lo
1 -F(vx)
		dv —
1-F(x)
1] = [1 — F(x)] / [
1 -F(vx)
1 -F(x)
dv.
211

Поскольку выполнено условие (59), применимы результаты из П III. В част¬
ности, имеем
lim f I
X -> оо 0	1
1 — F(xv)	"1
1 <fo = 0.
. 1 - F (x)	-1
Обозначим этот последний интеграл через I (х). Пусть Л — такая постоян¬
ная, что для х> А интеграл 1(х) не превосходит заданного е > 0. При х< А
этот интеграл, очевидно, ограничен. Кроме того, поскольку си (F) = для
х < А справедливы соотношения п (п - 1) Fn ~ 2 (х) < п (п - 1) Fn ~ 2 (Л) -►
-> 0 при п -> °°. Поэтому, если переписать второе слагаемое правой части
неравенства (61) в виде
п (п - 1)J F"~ 2 (х) [1 -F(x)] / (х)/(х)dx,
о
то легко доказать, что оно сходится к нулю при и -> °°. Действительно, если
разбить область интегрирования точкой Л на два интервала, то условие
п (п - 1) Fn ~ 2 (Л)	0 даст возможность утверждать, что прих, изменя¬
ющемся он нуля до Л, интеграл будет мал. С другой стороны, за счет выбо¬
ра постоянной Л интеграл от Л до бесконечности будет меньше выражения
еп(п- 1)~ Fn~2 (х) [1 -F(x)J f(x)dx=e{l -nFn~x (а) [1
А
которое сходится к е при п -* «>. Поскольку е > 0 произвольно, мы получа¬
ем равенство (60), что и требовалось доказать. А
Закончим этот параграф замечанием о том, что результаты, аналогичные
результатам предыдущего параграфа, имеются и для сумм н.о.р. случайных
величин. Читатель, знакомый с теорией.суммирования, поймет, что сущест¬
вует тесная связь между критерием для равенства нулю или единице веро¬
ятности Р (Тп < ип б.ч.) и аналогичным критерием для вероятности Р (Zn <
< ип б.ч.). Здесь мы не будем обсуждать эти вопросы.
§ 4.6. Обзор литературы
В терминологии, отличной от нашей, вырожденные предельные законы были впервые
исследованы в работе Гнеденко (1943), хотя случай нормального распределения рас¬
сматривался и раньше. Теорема 4.1.J и эквивалентное ей утверждение, получаемое
с помощью перехода отГк/7* (см. конец § 4.1), принадлежат ему. Жеффруа (1958/
/1959) продолжил его исследования и получил обобщения в двух направлениях - на
к-е экстремумы и на результаты почти наверное. Результаты Жеффруа включают в
себя необходимость в теореме 4.4.4, соотношения между величинамиZn аХп_/с.п и
случай с = 0 из упр. 17. Это направление исследований было продолжено в работах
Барндорф-Нильсена (1961 и 1963), который существенно улучшил предыдущие ре¬
зультаты. Основная идея § 4.3 принадлежит ему. Это относится к теореме 4.4.4 и ее
обобщению на величины Хп _к:п, сформулированному в упр. 9. В действительности
Барндорф-Нильсен показал, что предположение непрерывности в § 4.3 не является
необходимым. С другой стороны, в теореме 4.3.2 ему требуется, чтобы последователь¬
ность л [1 - F (wn)j нс убывала. Роббинс и Зигмунд (1972) убрали это ограничение,
передоказав результат Барндорф-Нильсена. Эти работы используют один и тот же
метод доказательства, который также принят в этой книге и который в основном
принадлежит Эрдешу (1942). С его помощью Эрдеш доказывал закон повторного
логарифма для сумм н.о.р. случайных величин. Следует заметить, что условие моно¬
212

тонности последовательности п [ 1 - F (им)] в теореме 4.3.1 нельзя отбросить. Это
иллюстрируется примером из упр. 21.
Де Хаан (1970) получил эквивалентные формы результатов Гнеденко для сла¬
бых законов. Он также показал, что результаты об абсолютно непрерывных распре¬
делениях, полученные Жеффруа в связи со слабыми законами, содержат, по сущест¬
ву, необходимые условия, а не только достаточные. Для достаточно гладких функ¬
ций де Хаан и Хордийк (1972) получили легко применимые результаты для почти
наверное верхних и нижних пределов нормализованных экстремумов. Они частич¬
но обобщили результаты Пикендса (1967 а). Пикендс (1968) установил связь меж¬
ду слабыми законами больших чисел и сходимостью моментов. Резник и Томкине
(1973) проанализировали соотношение между константами Вп и aZI=inf(x: 1 -
- F (г) < 1/л }, где константы/?л таковы, что либо нижний, либо верхний предел отно¬
шения Zn/Bn конечен. Некоторые из этих результатов содержались уже в.работе Барн-
дорф-Нильсена (1963). Андерсон (1970) получил интересное обобщение слабых
законов для дискретных распределений. Этот результат содержится в упр. 19. Грин
(1976 а) обнаружил тесную связь между слабыми законами и статистичесокой за¬
дачей об аномальных наблюдениях. Представление об этих результатах можно полу¬
чить из упр. 11.
Из систем зависимых величин систематические исследования проводились только
для гауссовских последовательностей. В этой главе упоминается о некоторых общих
случаях, в которых не предполагается нормальность, другие возможности указаны
в упр. 13 и 14. Кроме того, технику этой главы можно без особого труда перенести
на некоторые модели зависимости из главы 3 (о случае сильного перемешивания
см. статью Филиппа (1976)). Для нормальных последовательностей первые общие
результаты были получены Берманом (1962 а). Его работа была обобщена в нес¬
кольких статьях Пиккендса (1967 b и 1969), Нисио (1967), Део (1971), Юдицкой
(1974), Митгела (1974), Митгела и Илвисейкера (1976). Результат Филиппа (1971)
о суммах случайных величин, удовлетворяющих условию перемешивания, можно
преобразовать в результат об экстремумах. Однако потребуется дополнительная
работа для того, чтобы сделать эти результаты полезными для теории экстремаль¬
ных значений.
Из §4.3 и 4.4. следует, что результаты, аналогичные результатам этих парагра¬
фов, без дополнительных трудностей можно получить для зависимых случайных вели¬
чин, если для них справедливы леммы Б орел я-Кантелли. Не считая очень абстракт¬
ных формулировок, лемма 4.2.1, по-видимому, является наиболее общей из извест¬
ных лемм Бореля-Кантелли. Она принадлежит Эрдешу и Реньи (1959). Другая форма
этой леммы, о которой мы не упоминали, принадлежит Филиппу (1967) Ее можно
использовать для оценивания ранга порядковой статистики в том случае, когда се
нормализация существенно такая же, как и для максимума. Лаи и Роббене (1977)
в своих исследованиях по максимальным зависимым системам получили общие
асимптотические границы (для произвольных зависимых систем).
Связь между экстремумами и суммами нес олько неожиданна. Теорема 4.5.1 пред¬
ставляет собой новую точку зрения на резуль аты, известные в теории суммирования
(см. книгу Ибрагимова и Линника (1965) и работу Мийнхера (1975)). Совсем неожи¬
данной является теорема 4.5.2, принадлежащая Дарлингу (1952). Желающим шире
изучить это направление исследований рекомендуем познакомиться с работами Бобро¬
ва (1954) и Арова и Боброва (1960). Роль экстремумов в усиленных законах для
сумм исследовалась в работах Мори (1976 Ь и 1977). А. Нагаев (1970 и 1971) изучал
влияние на величину Zn условия, состоящего в том, что сумма наблюдений велика.
В соответствии с результатом Тьяго де Оливейры (см. обзор главы 2) это условие не
влияет на величину Zn.	п
Гренандером* (1965) был впервые поставлен вопрос о поведении сумм L Zk
п	к~ 1
или Е wk. Для последней суммы он получил нормировку порядка log л. Работа
к = 1
Гренандера вызвала большое число исследований на эту тему; некоторые обобщения
его результатов‘можно найти в работах Франка (1966), Хеглунда (1972), Деовеля
(1974), Гхоша и др. (1975).
Интересно, что теория становится очень трудной, если отбросить условие стационар¬
ности. Муччи (1977) провел обширные исследования почти наверное поведения вели¬
213

чин Zn и Wn для случая независимых, но не одинаково распределенных величин. По¬
скольку в этом случае может оказаться, что несколько величин контролируют поведе¬
ние экстремумов Zn и без дополнительных условий могут получаться совершен¬
но различные результаты. Теоремы 4.4.1 и 4.4.2, по существу, принадлежат Муччи.
Преследуя цели аналитического характера, несколько теорем можно объединить
в одну группу в связи с тем, что в них изучаются различные представления некоторых
функций и функций, обратных к ним. Несмотря на то, что в главе 6 рассматривается
такой математический подход, читатель может обратиться на этой стадии изучения
предмета к работам Верваата(1972) и Балкемы (1973). (Поэтому вопросу см. также
обзоры Верваата (1973 b и 1977).)
§ 4.7. Упражнения
1.	Показать, что если последовательность (Zn, ип) удовлетворяет АСЗ,то при усло-
вииил-п*- 0 (л — о») последовательность (Z„,	также удовлетворяет АСЗ.
2.	Показать, что если последовательность (Zn, wn) (ип > 0) удовлетворяет МСЗ, то
при условии ил* /14,	1 (п -* оо) последовательность (Z„, и£) также удовлетворяет
МСЗ.
3.	Пусть Хх, Х2,... ,ХЛ - н.о.р. невырожденные случайные величины с общей
функцией распределения F (х). Пусть u? (F) = оо. Показать, что если последовательность
(Zn, ип) удовлетворяет МСЗ, то в качестве ип можно взять inf{х: 1 - F (х) < 1/л).
4.	Показать, что если в упр. 3 величина Zn удовлетворяет МСЗ или АСЗ, то матема¬
тическое ожидание ЕХ конечно.
5.	Введя функцию F* (х) из конца § 4.1, получить из теоремы 4.1.2 необходимые
и достаточные условия для того, чтобы величина Zn удовлетворяла МСЗ.
6.	Показать, что если в упр. 3 последовательность (Z„, пл) удовлетворяет МСЗ, то
это верно и для последовательности (Хп_к'.п^ипУ для любого фиксированного Аг.
7.	Используя соответствующий результат для последовательности (Zn, 14,), полу¬
чить условия, при которых последовательность (JVn, vn) удовлетворяет слабому за¬
кону.
8.	Обобщить упр. 6 на аддитивные слабые законы. Показать, что если последова¬
тельность (Wn, ип) удовлетворяет АСЗ, то для любого е > 0 и любого целого фикси¬
рованного к > 1 выполняется условие
P(Zn-Xn_k:n >е)-0 (л--).
9.	Пусть ,Х2,... ,Хп - независимые случайные величины с общей функцией
распределения F (х), которая удовлетворяет условию (F) = «. Предположим, что для
заданного £ > 1 выполняется условие
f
(1 -Eft)!*-1
<УГ(х)<-.
[1 -F(x-e)]*
Показать, что тогда величина_&+1 :л удовлетворяет аддитивному усиленному за¬
кону больших чисел [Барндорф-Нильсен (1963) ].
10.	Пусть функция распределения F(x) удовлетворяет условию и> (F) = «. Пусть
число t е (0, 1) таково, что для любого е > 0 выполняется условие
00 dF (у)	00 dF (у)
f 	< «, f	 = «.
1 1 - F[(r -е)Л	1 1 - F[(Z + e)y]
Показать, что если Xt ,Х2,. .., Хп - н.о.р. величины с общей функцией распреде«
ления F (х), то с вероятностью единица справедливо равенство
Zn 1
lim sup	=	,
о® an t
где an = inf(x : 1 - F (x) < 1/zi). Вывести из этого равенства, что отношение Zn/Bn не
может сходиться с вероятностью единица к постоянной ни для какой последователь¬
ности нормирующих постоянных Вп > 0 [Резник и Томкине (1973) ].
214

11.	Назовем распределение F (х) склонным к выбросу, если существуют такие
числа е > 0,6 > Ои л0 > 1, что для всех целых л > л0 выполняется неравенство
где Ху (/> 1) - н.о.р. величины с общей функцией распределения F (х). Доказать, что
если w (F) = «, то распределение F (х) склонно к выбросу тогда и только тогда, когда
найдутся такие постоянные с и d > 0, что для всех х выполняется условие
1 -F(x+c)
			 >d [Грин (1976 а) ].
1-F(x)
12.	Предполагая, что основные случайные величины X,, Х2,.. ., Хп - н.о.р., срав¬
нить поведение разности Zn - Хп _ j :п для нормального и показательного распре¬
делений.
13.	Пусть Xj,X2,... - одинаково распределенные случайные величины. Предпо¬
ложим, что их совместное распределение таково, что двумерные распределения имеют
вид
Р(Х, <х, Xj<y)= 1 -е~х-	+ - (1 - е~х) (1 - е~у)
(так называемое двумерное показательное распределение Моргенштерна). Показать,
что для любой неубывающей последовательности вероятность P(Zn > Un б.ч.) рав¬
на нулю или единице. (Применить лемму 4.2.2 и теорему 4.2.1.)
14.	Для последовательности случайных величин из упр. 13 доказать, что с веро¬
ятностью единица имеет место равенство
lim sup	 = 1.
Л 00 log п
15.	ПустьX, ,Х2,. .. - стандартные нормальные случайные величины. Пусть Ьп =
= (21ogn)l/2. Показать, что, как бы ни были зависимы величины Ху (/ > 1), с вероят-
bn(Zn - bn)	!
ностью единица справедливо неравенство lim sup—-— 		— [Пикендс
п-*~ log log л	2
(1969)].
16.	Предположим, что в упр. 15 корреляции гк = EXjX{ + к таковы, что выполня-
оо
ется условие £ гк<°°‘ Показать, что утверждение упр. 15 в этом случае можно
Л=1
усилить до равенства [Пикендс (1969) ].
17.	ПустьX, ,Х2,. . . - независимые случайные величины с общей функцией рас¬
пределения F (х)). Положим
[1 -F<x)] log log [V(l -F(x))J
f (х) =

F'(x)
rp,eF' (x) - производная функции F (x), которая считается положительной при всех
Достаточно больших х.. Предположим, что справедливо равенство
g (х)
lim 	= с (0 < с < »).
Х->оо	х
Доказал», что с вероятностью единица справедливы равенства
lim inf	= 1,
bn
lim
n
где bn определяется равенством F (bn) = 1 - 1/n [де Хаан и Хордийк (1972) ].
18.	Применить приведенный выше критерий к функции распределения
F (х) = 1 - ехр (-logx log logx) (х > е).
215

19.	Пусть, Х2, ... - н.о.р. дискретные случайные величины, принимающие
неотрицательные целые значения. Предположим, что для всех достаточно больших
вероятность Р (У) = л) положительна. Предположим, что общая функция распре¬
деления F (х) удовлетворяет условию
1 -Г(л + 1)
lim 	= 0.
rt->oo I-F(k)
Показать, что найдется такая последовательность целых чисел, что справедливо равен¬
ство
lim Р (Zn = ан или ап + 1) = 1
л-> сю
[Андерсон (1970)].
20.	Сравнить величины Zn для случаев, когда основные случайные величины Xj (/ >
> 1) являются н.о.р. пуассоновскими величинами и величинами, имеющими геометри¬
ческое распределение.
21.	Пусть Xj (j> 1) - н.о.р. величины, имеющие равномерное на интервале [0, 1]
распределение. Положим пк = 22 и Хп = ехр (-2 logк/пк) при пк<п <пк^.^. Пока¬
зать, что Р (Zn < \п б.ч.) = 0, но
«	log log и
S Fn(Kn)	=-
п = 3	п
(Барндорф-Нильсен (1961)).

Глава 5
МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Если у каждого из объектов наблюдения измеряется несколько характе¬
ристик, то наблюдаемые случайные величины имеют многомерное распре¬
деление некоторого типа. Пусть т — число этих характеристик, а
X ,..., X ) — соответствующие случайные величины. Вектор, состоя¬
щий из таких случайных величин, будем обозначать жирной буквой X, при¬
чем его размерность т будет в дальнейшем всегда указываться. Наблюде¬
ния над вектором X будут обозначаться Х^, Х2,. . ., а для компонент век¬
торов Xj примем обозначения Xtj. Таким образом, Xt j — это f-я компо¬
нента вектора Xj = (Xi tj, X2j,...»Xm j). Пусть нам дано п наблюдений
Xj(\ < / < w). Порядковыми статистиками Лйкомпоненты являются величи¬
ны Xt i :п < Xt 2 :n	Как и в предыдущих главах, будем ис¬
пользовать обозначения Wt п = Xt г :п, Zt п = Xt n .п. В этой главе наибольший
интерес представляет исследование вопроса о существовании асимптоти¬
ческого распределения векторов (№1'П, W2,n	^т,п) и (^1,п^2,п

которые мы будем также обозначать буквами Wn wZn соответствен¬
но. Будут также получены некоторые результаты, связанные с другими
экстремумами многомерных наблюдений, а также с так называемыми
сопутствующими *) порядковыми статистиками. Эти понятия будут опреде¬
лены позже.
У числовых векторов х- (хх,х2, .. . ,хп) компоненты будут обозначать¬
ся с помощью индексов. Основные арифметические операции будут всегда
пониматься в покомпонентном смысле. Таким образом, неравенство х<у
обозначает систему неравенств xt<yt (1 Си), а сумма, произведение
и отношение определяются следующим образом: х + у - +j ], х2 +
+ ^2,...,xw +^m‘), ху= (xYyx,x2y2, .. . >xmym), x/y= (xl/yl>x2/y2,. . .
• • • >хт/Ут)- Мы будем часто использовать специальные векторы 0 = (О,
О,. . ., 0) и 1 = (1,1,. . ., 1).
Функция распределения Е(х) = Е(х} ,х2,. . . ,хл) вектора X определяет¬
ся равенством
F(x) = P(J<x) = Р(Х(,)<х1; Х(Г><х2,.	х„,).
Теперь можно сформулировать основную задачу этой главы. Мы ищем
условия на функцию F(x), при которых существуют такие последова¬
тельности векторов ап нЬп >0, что функции распределения
НП (ап +bnz) = P(Z„ < а„ + b„ z)
слабо сходятся к некоторой невырожденной w-мерной функции распреде¬
ли некоторых источниках такие статистики называются индуцированными поряд¬
ковыми статистиками ([ ]) {прим, перев.).
217

ления H(z) (в следующем параграфе будут даны точные определения).
Аналогичную задачу можно также сформулировать для величины Wn. В этом
случае, рассматривая величины - эту задачу можно свести к задаче о
величине Zn.
§ 5.1. Основные свойства многомерных распределений
Пусть Х=	,.. .	-случайный вектор, а х= (xj ,х2 ,.. .
.. . ,хт)— произвольная точка m-мерного евклидова пространства. Тогда
функция распределения F(x) = F(xx,х2,... , хт) определяется равенством
F(x) = Р(Х(1) < х,, Х(2) <х2,...,Х(т) <хт).
Из элементарных свойств вероятности следует, что функция F(x) не убы¬
вает по каждому из своих аргументов Xj (1</ <т). Кроме того, если
Xj -> — оо для некоторого / , то F(x) -► 0. С другой стороны, если лу
то функция F(x) сходится к (т — 1)-мерной функции распределения
случайного вектора, который можно получить из случайного вектора X,
если отбросить у него / ю компоненту. Очевидно мы можем повторить
эту процедуру конечное число раз и в результате прийти к маргинальной
функции распределения Fj(x) компоненты Х^. Действительно, если xt -►
-*«> (г #= i ), то предел функции F(x) будет равен Fz(x). Из этих рассужде¬
ний, в частности, следует, что функция распределения F(x) однозначно
определяет все маргинальные распределения. Обратное, однако, неверно.
Хотя мы и не полностью свободны в выборе функции F(x) при заданных
маргинальных функциях распределения Fj(x) (1 </ Cm), у нас имеется
много возможностей определить эту функцию. Следующая простая теоре¬
ма показывает, что функции распределения Fj(x) (1 </ Cm) в действи¬
тельности накладывают ограничения на функцию F(x).
Теорема 5.1.1 (границы Фреше). Пусть F(x) -m-мерная функция
распределения, Fj(x) (1 С/ Ст )	- соответствующие маргинальные
функции распределения. Тогда для всех xl9 х2, • •., хт справедливы нера¬
венства
m
max (0, Z Fj(xj) - т + 1) С
/=1
<F(Xi,x2, ... ,хт)< minfFj (х,),... ,Fm(xm)).
Доказательство. Положим Aj = {X<^ <x,}, Bj =	>x;). Тогда
справедливы соотношения
F(*i,x2, . .. ,хш) = Р(Л1,Л2,. .. ,Дт)СР(Л,) (1 С/Cm).
Из этих соотношений следует верхняя оценка. Нижняя оценка является
частном случаем теоремы 1.4.L Действительно, если обозначить через
vm число наступлений событий Bj (1С/ С т), то получим равенство
Р(Чп =0) = F(x1,xJ,... ,xm ).	(1)
Из теоремы 1.4.1 следует неравенство
m	m
P(pm=0)> 1 -sbm = l- S P(B,)=1- S ll-F,(x,.)].
/= i	/= i
218

Если в этом неравенстве правая часть отрицательна, то ее можно заменить
нулем; отсюда следует оценка снизу. Доказательство закончено. ж •
Несмотря на то, что при больших значениях т нижняя граница в этих
неравенствах приближается к тривиальной, в двумерном случае (т = 2) она
оказывается полезной при построении двумерных распределений с задан¬
ными маргинальными распределениями.
Если использовать распределения более высоких размерностей, чем
одномерные маргинальные распределения, то можно получить и другие
неравенства. В действительности неравенства главы 1 можно записать,
используя равенство (1). Мы переформулируем только теорему 1.4.1,
поскольку нам потребуются ссылки на эти неравенства. Сначала введем
два обозначения. Положим
(*/1 Л/2, • • • »xjk) =	,..., Bjk)>
где В, =	> X/}, jr(k) = (/j ,/2,...,/\) • Кроме того, положим
(х) - 1, Sk(x) —	L	*xj2»• • •»(к !)•’
K/i < -
Из теоремы 1.4.1 и равенства (1) вытекают следующие соотношения.
Теорема 5.1.2. Пусть m > 2. Тогда имеет место равенство
F(xi,x2,. .. ,xm)= S (-l)fc5fc(x1(x2)... ,xm).	(2)
k=0
Кроме того, для любого целого s (0 < s < (m — 1 )/2) имеем
2s+l	. 2s
S (-l)*Sft(x)<F(x)< S (-1)4(4	(3)
fc=O	k = Q
Пример 5.1.1 (двумерные показательные распределения). Пусть
(%, У) — двумерный вектор, компоненты которого Хи Y имеют стандарт¬
ное показательное распределение. Пусть F(x,y) — их двумерная функция
распределения. Положим
G(x,y) = P(X>x, Y>y).	(4)
Тогда в силу равенства (2) имеем
F(x, у) = 1 - е~х - еу + G(x, >>)•
Имеется большая свобода в выборе функции G(x, у), что приводит к раз¬
личным двумерным показательным распределениям. При их построении
следует учитывать вероятностный смысл функции G( х, j), границы Фреше,
и тот факт, что как функция g(x) = G(x, у) - е~х, так и функция gx(>’ ) =
= G(x, у) - е~у должны не убывать по переменным х и у соответственно.
Теперь мы перечислим наиболее употребительные двумерные показа¬
тельные распределения.
Распределение Моргенштерна:
G{x, у) = ех~у [\ + а(1 - е’х)(1 - е^)];
Распределение Гумбеля типа I :
G(x, у) = ехр(— х - у + 0 ху\,
219

распределение Гумбеля типа II :
G(x, у) = exp [-(xm + ym ;
распределение Маршалла - Олкина:
G(x, у) = ехр [- х - у - X шах(х, (X > 0);
распределение Мардиа:
G(x,y) = (ех + еу - I)'1.
Следует заметить, что из любого непрерывного распределения Т(х) можно
получить показательное распределение, если перейти от случайной величи¬
ны % к случайной величине [- log Т(х)]. Из этого факта можно легко по¬
лучать другие двумерные показательные распределения.
Закончим этот параграф двумя определениями. Первое является пря¬
мым обобщением понятия одномерной слабой сходимости. Мы говорим,
что последовательность Fn (х) ^-мерных функций распределения слабо
сходится к функции распределения F(x), если для всех точек непрерывнос¬
ти х функции F(x) последовательность Fn(x) сходится к F(x) при п -> 00.
Мы называем /n-мерную функцию распределения F(x) невырожденной,
если все ее одномерные маргинальные функции распределения являются
невырожденными.
§ 5.2. Слабая сходимость экстремальных значении
для независимых одинаково распределенных случайных векторов.
Основные результаты
Ниже все жирные буквы будут обозначать векторы одной и той же размер¬
ности m. Обозначения, введенные в начале этой главы, мы будем исполь¬
зовать как стандартные. На протяжении этой главы последовательность
Xi, Х2,. . . , Хп — это последовательность независимых случайных векторов
с общей функцией распределения F(x) . Поэтому имеют место равенства
W„(z) = P(Z1,„<z1, Z2 n <z2,.. . ,Zm „ <zm) = F”(z)	(5)
и
L kn (у) = Р(И\„ >y,, W2_n > y2,.. . , Wm>„ > Ут) = G”(y),
где
G(y)=P(%(1)> ylt №>y2,...,X^ >ymY
Как и ранее, заменяя основной вектор Хна вектор -X, получим, что любая
задача для векторов Wn эквивалентна некоторой задаче для векторов
Z„. Поэтому мы сосредоточим внимание на векторах Z„.
Мы хотим выяснить, какие условия нужно наложить на функцию F (х),
чтобы для некоторых последовательностей векторов ап и Ьп > 0 (неравенст¬
ва для векторов понимаются покомпонентно) имело место предельное
соотношение
' Нп(ап+Ь„х)-*Н(х),	(6)
в котором предел понимается в смысле слабой сходимости, а Н(х) — неко¬
торая невырожденная функция распределения. Следующая лемма показы¬
220

вает, что выбор векторов ап и Ьп > 0 фактически предопределен резуль¬
татами главы 2.
Лемма 5.2.1. Пусть Fn(x) - последовательность m-мерных функций
распределения. Пусть Ftn (xf) - это соответствующие одномерные марги¬
нальные функции распределения, t = 1,2,.. ., m. Если последовательность
функций Еп(х) слабо сходится к некоторой невырожденной непрерывной
функции распределения F(x), то для каждого r(l < г < w) последователь¬
ность функций Ftn (хг) слабо сходится к функции Ft (xt),ede Ft (xt) -соответ¬
ствующая маргинальная функция распределения предельного распределения.
Доказательство. Пусть xt — произвольное фиксированное число,
а х — /тьмерный вектор, у которого ля компонента есть число xt. По усло¬
вию леммы, для любого е > 0 существует такое целое число и0, что для
всех л > п0 справедливы неравенства
!/•„(*)- F(x)l<e.	(7)
Вообще говоря, число л0 зависит как от е , так и от х. Точно так же, как в
лемме 2.10.1, можно показать, что если предельная функция F (х) непре¬
рывна, то из слабой сходимости следует равномерная по х сходимость. *
Поэтому число и0 является только функцией от е . Следовательно, на не¬
равенство (7) не будет влиять изменение компонент вектора х. Далее мы
используем элементарное рассуждение § 5.1, из которого следует, что при
достаточно больших значениях компонент X; (/ =# г) вектора х|справедливо
неравенство
\F(x)_ Ft(xt) Ke.	(8)
Пусть п > nQ фиксировано. Выберем Xj(J Ф г) настолько большим, что
кроме неравенства (8) выполняется неравенство
Ке.
Тогда для всех п > nQ имеем
1 Ftn (xt) - Fr(xf) I < I Ft„ (xr) - Fn (x) I +
+ I Fn (x) - F(x) I + I F(x) - Ft(xf) I < 3 e.
Поскольку 6 > 0 произвольно, из этого неравенства следует, что
Ftn(xt)	что и требовалось доказать. *
Позже мы докажем, что предельная функция распределения для много¬
мерных экстремумов непрерывна. Следовательно, согласно лемме 5.2.1,
Для определения компонент векторов ап и Ьп (при которых имеет место
соотношение (6)) мы можем обратиться к §§ 2.1,2.2, 2.4.
Пример 5.2.1. Пусть вектор (X, Y) имеет двумерное показательное
распределение в смысле примера 5.1.1. Если распределения величин
(Zn an)lbn слабо сходятся к невырожденному распределению H(zx, z2),
то можно положить ап = (log н, log и), bn( \, 1).
Действительно, по условию примера, каждая компонента имеет стандарт¬
ное показательное распределение. Поэтому (см. пример 1.3.1) каящую
компоненту вектора Zn можно нормализовать с помощью постоянных
ап = log и и bn = 1. Затем, применяя лемму 5.2.1, получим утверждение при¬
мера. А
Пример 5.2.2. Для распределения Маршалла - Олкина (пример 5.1.1)
Предельной функцией распределения векторов Zn - ап является функция
221

//(z1,z2) = Af3,o(zi)^3,o(z2), a Для распределения Мардиа предельная
функция распределения имеет вид
/7(zb z2) = //3>0(Zi)//3t0(z2)exp [(ez‘ + eZ1)‘‘b
Действительно, из предыдущего примера нам известно, что а п = (log п,
log л). Поэтому имеем
ez1 +ez2
FQogn+Zj, logzz+z2) = l —	!	 + G(log n + Zj, log n + z2).
n
Для распределения Маршалла - Олкина последний член имеет порядок
О (л-3), а для распределения Мардиа справедливо равенство
G(log л +Zi, log л +z2) = (ле2* + nez* — l)"1.
Поэтому элементарная формула
lim (1 +— + о( — j) = еи
\ п \ п ''
вместе с соотношениями (5) и (6) приводят нас к нужному виду рас¬
пределения z2). ±
Этот пример показывает, что предельное распределение H(z) не опре-
деляется однозначно одномерными маргинальными распределениями
Следующее понятие окажется полезным при исследовании предель¬
ных распределений нормализованных экстремумов.
Определение 5.2.1. Пусть F(x) - гл-мерная функция распределе¬
ния, Ft(xt)(\ <Л2 )	- соответствующие маргинальные одномерные
функции распределения.Пусть D(y) — такая заданная на единичном кубе
О < 1, 1 <7< т , возрастающая по каждой переменной/л-мерная
функция распределения, что выполняется равенство
F(Xi, х2,. .., хт) = D [Г, (х,), F2 (х2),. .., Fm (хт)].	(9)
Тогда функция распределения D(y) называется функцией зависимости
для функции распределения F(x). В случае необходимости, чтобы под¬
черкнуть, что функция D(y) относится к функции распределения F (х),
мы будем писать Dp = Dp(y) = D(y).
3 а м е ч а н и е 5.2.1. Если каждая из функций иДх) (1 </ <гл ) возрас¬
тает, то функция зависимости распределения вектора X = (X <1 \ X \	.
. .., Х(т совпадает с функцией зависимости распределения вектора
* Y =	... ,	где =Uj(X(ty. Поэтому, если каждая
маргинальная функция распределения функции F(x) непрерывна, полагая
Uj(Xj) = Ffaj), получим, что DF(y) является такой функцией распределе¬
ния, маргинальные распределения которой равномерны на интервале (0,1).
Пример 5.2.3. Функция зависимости распределения Моргенштерна
(пример 5.1.1) равна
^СУ1,У2)=У1У2[1 +<*(! -У\)(1 -У2)Ь
Для распределения Мардиа имеем
^(У1,У2)=	+У2 ~ 1 + —— +
L 1-П
—-'Г
1 -у, J
222

Обе формулы получаются из определения с помощью простой подста¬
новки.
Из определения функции зависимости получим формулу
DF„(y)=DnF(y\ln,y\ln,...,y^n).	(10)
Действительно, f-й маргинальной функцией распределения функции распре¬
деления Fn(x) является функция F?(xf). Поэтому имеем
F"(xi,x2,• ,xm) = jDFn(H(^i), Fl (х2),.. -ЛО
С другор стороны, из равенства (9) получим
F"(x1,x2,. .. ,xm) = D^(F1(x1),F2(x2),... ,Fm(xm)).
Сравнение последних двух равенств приводит нас к равенству (10). А
Теперь мы можем доказать несколько важных результатов.
Теорема 5.2.1. Если функция распределения F(x) такова, что для
некоторых векторов ап ubn>0 имеют место соотношения (6), то функ¬
ция зависимости DH удовлетворяет уравнению
Он(у\1к,У2/к, • ■ • ,>'т/к)=^яО'1,3'2>- •• ,Ут),
где к > 1 - произвольное целое число.
Доказательство. Пусть к > 1 — фиксированное целое число.
Тогда из соотношений (5) и (6) следуют соотношения
Hnk^flnk + b„k х) = Fnk(ank + bnk х) -*Я(х) (и ■*°°),
которые можно переписать в виде
Fn(ank + bnkx)-+Hl/k(x) (и-►«>).	(11)
Заметим, что лемму 2.2.3 можно обобщить на многомерные распределе¬
ния (если неравенства между векторами понимать покомпонентно, то не
потребуется вводить никаких изменений в доказательство). Поэтому из
соотношений (6) и (11) следует, что найдутся такие векторы А к и
В к >0, что имеет место равенство
Нк(Ак+Вк х)= Н(х).	(12)
Поскольку функция зависимости распределения Нк (Ак +Вкх) - такая
же, как и у распределения Нк(х) (достаточно выбрать каждую из функций
Uj(x} в замечании 5.2.1 равной соответствующей линейной функции и
вспомнить, что компоненты вектора Вк положительны), теорема следует
из равенств (10) и (12).А
Теорема 5.2.2. Любая предельная функция распределения Н (х) из
соотношения (6) непрерывна. Ее одномерные маргинальные функции рас¬
пределения принадлежат типами у (х), Н2(х) и Н3 >0 (х).
Доказательство. При доказательстве предыдущей теоремы мы полу¬
чили, что функция Н(х) удовлетворяет равенству (12) для всех х. Если
в этом равенстве перейти к пределу при X/ -* «> (/ + 1,2,. .. , m J яА г), то
мы получим соотношение (12) для r-й маргинальной функции распределе¬
ния функции Н(х) .В § 2.4 мы нашли все одномерные решения уравнения
(12). Это как раз те типы распределений, о которых говорится в теореме.
Поскольку маргинальные функции распределения дифференцируемы, из
223

элементарного анализа следует, что функция Н(х) непрерывна. Доказа¬
тельство закончено.*	•
Теорема 5.2.3. Пусть Хх, ,. .. ,	- н.о.р. m-мерные случайные
векторы с общей функцией распределения F(x). Для того чтобы существо¬
вали такие векторы ап и Ьп>0, что распределения случайных векторов
(Zn - an)lbn слабо сходятся к некоторому невырожденному распределе¬
нию Н(х\ необходимо и достаточно, чтобы каждая маргинальная функция
распределения принадлежала области притяжения одного из распределений
Н1у(х)уН2,у(х)и H3 Q(x) и чтобы при выполнялось соотношение
Dp (У 1/п ’У1,п > ■ • • - Утп ) -* DH (у 1, у2,..., ут).	(13)
Доказательство. Предположим сначала, что при некоторых
ап и Ьп > 0 функции распределения случайных векторов (Z„ - an)!bn слабо
сходятся к некоторой невырожденной функции распределения Н(х). Тогда
в силу теоремы 5.2.2 функция Н(х) непрерывна. Поэтому мы можем
применить лемму 5.2.1, из которой следует, что одномерные маргинальные
распределения функции F(x) принадлежат области притяжения одного
из упомянутых распределений. Кроме того, если справедливо соотноше¬
ние (6), то учитывая равенства (5), (9) и (10), получим соотношение
D£(zt,z2,... ,zm )-*-DH(yl,y2,. ..’,ут).	(14)
где zt ^Ft(at n + bt n xt),yt = Ht(xt). Здесь индекс t указывает на Лю ком¬
поненту или на соответствующую маргинальную функцию распределения.
Далее, z”-+yt для каждого г, и функция DH(y) непрерывна, поскольку
непрерывна функция Н(х) (теорема 5.2.2). Поэтому из соотношения (14)
следует соотношение (13).
Теперь перейдем к обратному утверждению. Используя обозначения
предыдущего параграфа, предположим, что имеет место соотношение (13)
и что Zf ->yt для 1<г</и при п	Снова используя непрерывность
функции DH(y), получим соотношение (14), из которого с помощью ра¬
венств (5), (9) и (10) придем к соотношению (6). Теорема доказана.*
Для полноты обсуждаемого материала мы добавим следующий простой
результат.
Теорема 5.2.4. т-мерная функция распределения Н(х) является пре¬
дельной в соотношении (6) тогда и только тогда, когда ее одномерные
маргинальные функции распределения относятся к тому же самому типу,
что и одна из функций Нх (х), Н2 >7 (х) и Н3 Q (х), и когда ее функция
зависимости удовлетворяет условию теоремы 5.2.1.
Доказательство. Если функция Н(х) является предельной в соот¬
ношении (6), то эта теорема следует из теорем 5.2.1 и 5.2.2. Обратно, пусть
одномерные маргинальные функции распределения функции Н(х) и функ¬
ция DH удовлетворяют условиям теоремы. Тогда для любого п < 1 и для
каждого 1	можно найти такие числа at n и bt n >0, что для марги¬
нальных функций распределения Ht(x) справедливы равенства
НЦак,^Ь,_пх) = Н({х).	(15)
Выберем Н(х) в качестве распределения F(x). Пусть ап - (аХ п,а2 п, ...
• • • ^am,n)^n =	• • • >Ьтп). Применим теперь предыдущие соотноше¬
ния в следующем порядке: сначала соотношение (5), затем определение
224

(9), за ним последуют равенства (15), (10) и, наконец, условие теоре¬
мы 5.2.1. Тогда мы получим
P(Zn<an+bn х) = Я"(х) =
= DHn[H'} (а1>и + />1,„х1),... ,Ят(ат,„ +bm,nxm)] =
= Z>„„ [Я, (х,),..., Ят(хт)] =nj?l//11/"(x1).	=
= £>я[Я1(Х1), . . . ,Ят(хт)] = #(*)•
Поэтому распределение вектора (Zn -an)!bn слабо сходится к распределе¬
нию//^), т.е. функция Н(х) является предельной в соотношении (6).
Доказательство закончено.А .
В основном мы закончили наше исследование. Если дана некоторая
///-мерная функция распределения Г(х), то мы проверяем, принадлежат
ли ее маргинальные распределения области притяжения одного из распре¬
делений /Л 7(х),//2,7(х) или H3>q(x). Если это так, то мы используем ме¬
тоды главы 2, чтобы определить компоненты нормализующих векторов
апиЬп. После этого с помощью определения (9) мы находим функцию
Dp (у) и проверяем, сходится ли последовательность функций Dp (у|'л).
Если этот предел существует, то мы проверяем условие теоремы 5.2.1. Если
последний предел является функцией зависимости и условие теоремы
5.2.1 выполнено, то это значит,что мы получили предельное распределение.
В некоторых практических задачах возникает вопрос, является ли дан¬
ное распределение предельной формой распределения величины Zn при со¬
ответствующим образом подобранной нормализации. Если предположение
о независимости и одинаковой распределенности наблюдений оправдано,
то ответ на этот вопрос получить совсем нетрудно: нужно проверить, каким
типам принадлежат маргинальные распределения, и проверить условия
теоремы 5.2.1.
Пример 5.2.4. . Пусть функции распределения Нх (х), Н2 (х), .. .
. . . , Нт (х) относятся к одному из типов Н{ 7 (х), Н2,7 (х) и Н3 0 (х). Тог¬
да функция распределения
Я(х) = //1(х1)Я2(х2)...//ш(хш)
является возможной предельной функцией распределения в соотноше¬
нии (6).
В силу предположений этого примера выполнены условия теоремы 5.2.3
для маргинальных распределений. Кроме того, из определения следует,
что функция зависимости DH(y) равна
Вн(у) ~У1Уг ■■■Ут-
Идя этой функции, очевидно, выполняются условия теоремы 5.2.1. Утверж-
дение примера вытекает из теоремы 5.2.4.
Конечно, в этом примере не было необходимости использовать теоре¬
му 5.2.4. Можно легко получить заключение примера, начав рассуждения с
основного вектора, у которого компоненты независимы. А
Пример 5.2.5. Функция распределения
Н(х\,х2,.. . ,xm) = ехр{- exp [- min(x, ,х2,... . ,хт)]}
является возможным пределом в соотношении (6).
225

Мы используем теорему 5.2.4. Для маргинальных распределений спра¬
ведливы равенства Ht(xt) = ехр(- ё~Х{) - H3i()(xt\ Поэтому остается прове¬
рить выполнение условия теоремы 5.2.1. Из определения функции Н{х) и
равенства
ехр{ - ехр [- min(xb х2, . . . ,	min{exp [-ехрС-хД], 1	< т }
следует, что функция DH(y) равна
£>н(У1. У 2, • . • >Ут) = min 0’1 ,У2,- • ■
Поэтому для к > 1 имеем
D^{y\lk,y\lk,... ,Утк) =
= [minty}/fc,у¥к,.. . ,у^к )]k =min(v1,j'2, . . . ,ут),
что и требовалось доказать.А
Пример 5.2.6. Функция распределения
Я(хьх2) = Я3>0(х1)Я3>0(х2)[1 +2.(1 - Яз,о(х,))(1 -Н3,о(х2))
не может быть предельной в соотношении (6).
Несмотря на то, что для маргинальных распределений справедливы ра¬
венства (Ху) = Н3>0(х1), Н2 (х2) = Н3 о(х2)> функция зависимости
Г 1	1
&н(У1’ У2) = У1У2 р + ~ 0 -	— Jzi)j
не удовлетворяет условию теоремы 5.2.1. *
В следующем параграфе мы получим результат, эквивалентный теоре¬
ме 5.2.3, который для некоторых распределений применяется несколько
проще.
§ 5.3. Дальнейшие критерии для случая независимых
одинаково распределенных случайных векторов
Пусть Х =	\	- вектор с функцией распределения
F(x). Пусть j(k) = (/1 ,/2, • • • Jk) (K£Oz) — вектор с компонентами
1	<7’2 < • ♦ ♦ <1к т- Функция распределения (хд ,... , х/А.) век¬
тора (у¥^’* \ . . ,Х(/к^) называется к-мер ной маргинальной функцией рас¬
пределения. Она получается из функции распределения Г(х) с похмощью
предельного перехода при хг -> 00 для всех t ,j2,. .. ,/\. Мы также
будем использовать ранее введенное обозначение
х/к) = PU('■ >> ХЛ ,	>>	> х,к).
ДлЯ j(m) = (1,2,..., т) будем отбрасывать индекс и писать G(xx ,х2,. . .
. . . , хт ). Будем называть функцию G (х) функцией долговечности, а
функцию	, .. . ,Xj^ — маргинальной функцией долговечности.
Рассматривая последовательности распределений, при переходе к марги¬
нальным распределениям будем снабжать последовательность вторыми
индексами. Если мы заменим F другой буквой, то эта новая буква с индек¬
сом j(k) будет обозначать соответствующее маргинальное распределение.
226

Например, предельное распределение в соотношении (6) обозначается бук¬
вой //(х), и, следовательно, функция	, .. . , x/fc) обозначает марги¬
нальное распределение, соответствующее компонентам j(k).
Пусть теперь Xlt Х2, • . . , Хп — н.о.р. векторы, распределенные так же, как
вектор X. Предположим, что функция распределения F(x) такова, что каж¬
дое ее одномерное маргинальное распределение принадлежит области притя¬
жения одного из распределений (х), Н2 >7 (х) или Н3 >0 (х) . Тогда су¬
ществуют такие постоянные atn nbt n >0, что справедливо равенство
lim Efn(atn+btnx) = Ht(x) (l<f<w),	(16)
п 00
где функция распределения Ht(x) принадлежит одному из трех упомяну¬
тых выше типов распределения. Предположим, что постоянные atn и
bttH уже определены. Положим ап = (а••• >ат,п), bn = ( bi,n ,
b2 n,' • ■	Докажем теперь следующий результат.
Теорема 5.3.1. При обозначениях предыдущего параграфа распреде¬
ление случайного вектора (Zn - ап)/Ьп слабо сходится к некоторому невы¬
рожденному распределению Н(х) тогда и только тогда, когда для любого
фиксированного вектора j(k) и для всех х, для которых функции
Ht(xt) (1 <Г <л?? ), определяемые равенством(16) .положительны, пределы
lim flGj(k),n (ац ,п +	xj\ ,п, • • • , ajk п + bjk п xjk п) =
И-*00	’	’	’
= /г/(к)(хЛ > • • • 'xik )	(17)
конечны, а функция
H(x) = exp|s (-1)*	2 Л/(Л)(ХЛ >•■• ,*/>)(	(18)
является невырожденной функцией распределения. При этом предельной
функцией распределения векторов (Zn - an)lbn является функция, опре¬
деляемая равенством (18).
Если предельное распределение Н(х) существует, то справедливы сле¬
дующие неравенства;
H(x\2s + 1)<Я(х)<Я(х;2$),	(19)
где s > 0 - некоторое целое число, а функция H(x\z) определяется ра¬
венством
H(x;z)= exp | 2 (-1)*	2	/г/(к)(хЛ ,. .. ,	) I.	(20)
Доказательство. Сначала мы докажем, что если выполнены усло¬
вия (17),то распределениявектороз (Zn —an)/bn слабо сходятся и предель¬
ное распределение Н(х) удовлетворяет соотношениям (18) и (19). Ис¬
пользуя формулы (5) и (6), получим, что мы должны доказать предель¬
ное соотношение
+ Ьпх) -> Я(х).	(21)
Сначала заметим, что если вектор х таков, что хотя бы для одного значе-
227

ния t функция Ht(xt) из соотношения (16) равна нулю, то справедливо
соотношение Fn(an +	-> 0. Действительно, если х — произвольный
вектор, r-я компонента которого равна xti то из неравенства
F(an + bnx) < Ft(atn + bt>nxt)
следует, что предел в соотношении (21) равен нулю. Поэтому можно
считать, что вектор х таков/что Ht(xt) > 0 для всех t. Тогда, принимая
во внимание соотношение (17), получим, что F(an + bnx) -> 1 при п
и, следовательно, для больших п функция F(an + bnx) положительна.
Поэтому мы можем перейти к логарифмам и применить асимптотическое
соотношение (формулу Тейлора)
log F (ап + Ьпх)
lim 	= -1.
и -* °° 1 — F	+ bп«х)
Следовательно, при п ->«> справедливы соотношения
Fn (ап + bnx) = ехр [и log F(ап + й„х)] ~ ехр{-п [1 - F (ап + Л„х)]} .
(22)
Таким образом, используя равенства (2) и (17), мы получаем, что вы¬
полняется соотношение (21) и что предел Н(х) удовлетворяет равенству
(18). Из соотношений (3) и (17) вытекают неравенства (19). Доста¬
точность условий теоремы установлена.
Переходя к доказательству обратного утверждения, предположим,
что выполняется условие (21). Пусть вектор х таков, что Ht{xt) > 0 для
всех t. Докажем равенство (17). Поскольку из условий (16) следует
равенство (17) при к = 1 (применить соотношение (21) с одной компо¬
нентой) , из элементарного неравенства
	У/к) < 1 -	(1 < t < к)
следует, что для всех к выражения
n^J(k),n(aJltn + bjxt„x^ n>‘ • ajk,n + bjk,nXjk(n)
ограничены. Поэтому мы можем выбрать подпоследовательность и* на¬
турального ряда, для которой выполняется условие (17). Повторим пер¬
вую часть доказательства для этой подпоследовательности. Тогда мы полу¬
чим, что предел Н(х) в соотношении (21) удовлетворяет равенству (18),
причем пределы в условии (17) могут зависеть от выбранной подпоследо¬
вательности л*. Заметим, однако, что из условия (21) следует, что все
двумерные маргинальные распределения для функции распределения
Fn(an + bnx) сходятся к соответствующим двумерным маргинальным
распределениям функции распределения Н(х) (доказательство аналогич¬
но доказательству леммы 5.2.1, в которой рассматриваются одномерные
маргинальные распределения). Поэтому из представления (18) при т = 2
следует, что пределы в условии (17) не могут зависеть от п* для к = 2.
Рассматривая трехмерные маргинальные распределения, получим, что
условия (17) выполняются для к = 3. Продолжая рассуждать подобным
образом, получим, что условия (17) выполняются для всех к < т. Из
первой части доказательства следует, что предел Н(х) в соотношении
(21) удовлетворяет равенству (18). Поэтому пределы (17) таковы, что
228

выражение (18) представляет собой невырожденную функцию распре¬
деления. Теорема доказана. *
Заметим, что из частного случая неравенства (19) при s = 0 следует
неравенство Н(х\ 1) <Я(х). Это неравенство, будучи записано подроб¬
но, показывает, что произвольная функция распределения Н(х) никогда
не превосходит произведения своих одномерных маргинальных функций
распределения.
Следствие 5.3.1. Предположим, что случайные векторы (Zn - a^lbn
имеют невырожденное предельное распределение Н(х). Тогда компоненты
вектора (Zn - an)lbn асимптотически независимы в том и только в том
случае, когда пределы (17) тождественно равны нулю при к = 2.
Доказательство. Пусть 1</1 < /2 < m - произвольные целые
числа. Поскольку случайные векторы (Zn — ап)/Ьп имеют предельное
распределение, предельные распределения имеют и его двумерные компо¬
ненты. В силу теоремы 5.3.1 предельная функция распределения двумер-
ного вектора ({ZZi п - аЛ } /Ьк ,n,{zi2.n ~ ai2.n } /ЙЛ,л) Равна
ехр{ -ЛЛ(хЛ)-йЛ(хЛ) + Л/1>Л(хЛ,х/2)} .
Ддлее, если компоненты вектора (Zn - an)lbn асимптотически независи¬
мы, то они асимптотически попарно независимы. Поэтому h; t >7 2 (xj х7 2) =
= 0. Обратно, если hitj (х/, х7) = 0 для всех 1	< j то все пределы
(17) тождественно равны нулю. Действительно, для любого к > 2 спра¬
ведливы неравенства
0 <	• Х1г ’■■■• XiJ < Й/(2)(Х/, • Xi2 ) •
Таким образом, представление (18) примет вид
Я(х) = ехр { —ht (х,) - h2 (х2) - ... - hm (xm)} .
Последнее равенство означает, что компоненты вектора (Z„ — a^lbn
асимптотически независимы. Доказательство закончено.А
Пример 5.3.1. Пусть X — ди-мерный нормальный вектор. Пусть
каждая из компонент вектора X имеет нулевое математическое ожида¬
ние и единичную дисперсию. Пусть Xi, Х2, . . ., Хп - независимые наблюде¬
ния над вектором X. Тогда компоненты вектора (Z„ - an)lbn асимптоти¬
чески независи мы. Здесь компоненты векторов ап и Ьп — это соответствую¬
щие нормализующие постоянные для стандартного нормального распре¬
деления (см. п. 2.3.2). Другими словами, асимптотическая функ¬
ция распределения Н(х) вектора (Zn - а^)Ьп равна произведению
^з.оСх^Яз.оСхг) ...Я3,о(хт).
Чтобы доказать наше утверждение, обратимся к следствию 5.3.1. В силу
этого следствия мы должны исследовать условия (17) при к = 2. Посколь¬
ку двумерные маргинальные распределения нормального вектора нормаль¬
ны, достаточно показать, что если вектор (X, У) имеет нормальное рас¬
пределение, то при п справедливо соотношение
пР (X > ап + Ъпх, У > ап + Ь„у) - 0,	(23)
где постоянные ап и Ьп выбраны в соответствии с п. 2.3.2. Из выбора по¬
стоянных следует, что при п -><*> выполняются условия
пР (X > ап + Ьпх) -> е~х, пР (У > ап + М) е~у.
229

Далее имеем
Р (X > и„, Y > v„) = Р (X > и„)
Р(Х > ип, Y> ип)
(24)
Произведя вычисления, легко получить, что для двумерного нормально¬
го распределения последняя дробь в равенстве (24) сходится к нулю,
если ип и ип одновременно сходятся к бесконечности. Поэтому соотноше¬
ние (23) следует из равенства (24).
Несмотря на то, что следствие 5.3.1 формулируется в терминах норма¬
лизующих постоянных ап и Ьп, критерий (23) можно всегда свести к
условию, состоящему в том, что последняя дробь в равенстве (24) сходит¬
ся к нулю. В этом последнем пределе конкретный вид последовательно¬
стей ип и ип не имеет значения. Другими словами, для применения след¬
ствия 5.3.1 не обязательно вычислять постс&нные ап и Ьп. Аналогичное
замечание можно сделать также по отношению к теореме 5.3.1 (см. об¬
суждение после примера 5.4.1). *
§ 5.4. О свойствах предельной функции распределения
Мы получили две характеризации для возможного предельного распре¬
деления Н(х) случайных векторов (Zn — a^!bn. Одна из них приведена
в § 5.2. Она использует одномерные маргинальные распределения и функ¬
цию зависимости. Другая характеризация получена в теореме 5.3.1, , в
которой дано специфическое представление для функции Н(х). Вернем¬
ся теперь к первому случаю.
Мы видели (теорема 5.2.4), что функция Н(х) может быть предель¬
ной в соотношении (6) тогда и только тогда, когда ее одномерные мар¬
гинальные функции распределения Ht (xr) (1	^т) принадлежат одному
из типов Нг (х), Н2,7 (х) или Н3,о (х) и функция зависимости при любом
к > 2 удовлетворяет равенству
окн (у\1к, У2/к	Уп-к) = Он (уь у2	ут).	(25)
Нам известно, что монотонное преобразование не влияет на функцию
зависимости. Мы знаем также, что если Т(х) - функция распределения,
принадлежащая одному из типов Я1>7(х), Н2у(х) или #з,о(х), то ее
можно преобразовать в функцию распределения Я3 0(х) с помощью моно¬
тонного преобразования. Поэтому, не умаляя общности, мы можем пред¬
положить, что функция Н(х) такова, что для каждого t (1	<т) имеет
место равенство Ht (х/) = H3tQ (xf). Кроме того, мы считаем, что выполне¬
но соотношение (25). В этом параграфе будет предполагаться, что Н(х) -
многомерная функция распределения, обладающая упомянутыми выше
одномерными маргинальными функциями распределения и удовлетво¬
ряющая равенству (25).
Теорема 5.4.1. Для всех функций Н(х) справедливо неравенство
т
exp [- S exp (-xr)] < Н (х) < exp { -exp [-min (xj, х2, . . ., xf)] } .
t= i
Обе приведенные границы являются точными.
230

Доказательство. Верхнее неравенство является границей Фре¬
ше из теоремы 5.1.1. С другой стороны, нижнее неравенство является
частным случаем при s = 0 неравенства (19) (чтобы понять смысл этого
неравенства, см. замечание после окончания доказательства теоремы 5.3.1).
Тот факт, что обе границы^являются точными, следует из того, что обе
границы в действительности являются //-функциями. Действительно,
их одномерными маргинальными распределениями являются функции
(1	<т) (достаточно положить х7- для всех/ Ф г). Кроме
того, простые вычисления показывают, что их функции зависимости равны
соответственно >’172	• Ут и min£y], у2, . . ут). Эти функции удовлет¬
воряют условию (25). Доказательство закончено. А
Если функция //(х) не распадается в произведение своих одномерных
маргинальных функций распределения, то с помощью неравенств (19)
можно получить более узкие границы. Конечно, если маргинальные рас¬
пределения всех размерностей известны, то равенство (18) дает точное
выражение для функции Н(х). Теперь мы выведем для функции Н(х)
другое представление. Сначала докажем следующее обобщение равен¬
ства (25).
Лемма 5.4.1. Если функция Н(х) удовлетворяет условию (25)
для всех целых к > 1, то она удовлетворяет условию (25) при замене
к на произвольное вещественное число s > 0.
Доказательство. Пусть s > 1 - действительное число, г к —
его целая часть. Поскольку функция Cvi> У2, • • Ут) не убывает по
каждой переменной, справедливы неравенства
	у^к) < ^нОР,-.,^) < ^н(у1/(*+,)..’..^/(*+,)).
Поэтому, заменяя (у'ь .. утт) на Уг, получим
Dh+\y'/k) < Dsn(yl/s) <	О1/(*+1)).	(26)
По предположению, условие (25) выполнено для целых к. Поэтому имеем
DkH(yi/k) = Dk+1(y1Kk¥1)) = DH О).
Подставляя эти последние равенства в неравенство (26) и полагая s
получим
lim DsH(yi/s) = Du (у).	(26а)
5 -> оо
Действительно; ОИ(у) - непрерывная функция (теорема 5.2.2 и замеча¬
ние 5.2.1), и поэтому lim DH (у'1к) = lim DH (у1/***1)) =DH (1, 1,. . .,1) =
= 1. Из равенства (26) следует, что для любого s > 0 справедливы равен¬
ства
Вн(у) = lim D’fl О’ /(ni>) = lim {Db [(у1 ^)1/«]}s = Dfl (yl/s),
п °°	п -> 00
что и требовалось доказать. *
Введем функцию
^н(У1,Уг	Ут) = -logZ)w (е~у‘, е~у*,. .	е--’’"’),
где 0	< оо, 1 <г <т. В силу леммы 5.4.1 имеем
sdH (у) = dH (sy) (s > 0).	(27)
231

Функция, удовлетворяющая равенству (27), называется однородной функ¬
цией Эйлера первого порядка. Этому уравнению уделено много внимания
в математической литературе. Оно возникает в различных контекстах.
Его решение хорошо известно. В терминах нашей функции Н(х) это ре¬
шение сводится к тому, что существует такая функция т - 1 переменной
v(wi, и2, • •	что функция Н(х) может быть представлена в виде
Н(Х)= [Я3)о(х1)Я3>о(х2)...Яз,о(^т)]1'(Х2“Л1	(28)
Поскольку для функции Н(х) маргинальные распределения любой размер¬
ности являются возможными пределами в соотношении (6), они также
имеют представления, аналогичные представлению (28). Из этого факта
и неравенств для функции Н(х) можно легко получить некоторые ограни¬
чения на функцию u(wb и2, . .	ит_\). Однако для произвольного тобо¬
значения становятся слишком сложными. Поэтому в дальнейшем мы
ограничимся рассмотрением двумерного случая т = 2. Для этого случая
представление (28) примет вид
Я(хьх2) =	(28а)
(29)
Вычислим маргинальные распределения, устремляя по отдельности Xi
и х2 к бесконечности. Тогда получим и(°°) = и(—00) = 1. Из неравенств
теоремы 5.4.1 следуют неравенства
тах(1, е~у)
- ;	-~у- ' < 1>О) < 1.
1 + е у
Дальнейшие ограничения на функцию и (у) получаются с помощью следую¬
щего рассуждения. Пусть (Z^!\ Z^) - случайный вектор с функцией
распределения H(xlf х2). Тогда при Axj >0 и Дх2 > 0 имеем
0 < Р(*1 < Z(1) < х, + Дхь х2 < Z(2) < х2 + Дх2) =
= Я(*1 + Дхь х2 + Дх2) - Н (хх, х2 + Дх2) - Н (*! + Дхь х2) +
+ Я(хьх2).
Из этого неравенства и монотонности маргинальных функций распределе¬
ния следуют перечисленные ниже свойства функции и (у).
Функция (1 + еу)и(у) не убывает,
функция (1 + e~y)v(y) не возрастает,
для произвольных z > х, s > у выполняются неравенства
(e~z + e~s)u(s - z) + (е~х + e~y)v(y - х) <
< (е~х + е-5) v ( s - х) + (e~z + e~y)v(y - z).
(30)
(31)
(32)
Наконец, в силу теоремы 5.2.2 функция v(y) непрерывна. Читатель может
легко проверить, что перечисленные свойства функции v(y) (и(°°) =
= и(-°°) ~ 1, функция v(y) непрерывна и удовлетворяет условиям
(29) —(32)) являются также достаточными для того, чтобы функция
Я(хь х2), определенная равенством (28), была двумерным пределом
в соотношении (6). Для этого нужно просто проверить, что функция
232

И(х}, х2), определенная равенством (28), является функцией распре¬
деления, что ее маргинальными распределениями являются функции
и Яз,о(*2) соответственно и что ее функция зависимости удов¬
летворяет равенству (25).
Если распределение /7(xj, х2) имеет плотность, то справедливо следую¬
щее изящное представление.
Теорема 5.4.2. Если распределение H(xif х2) имеет плотность
Ь2Н/Ъх1Ъх2, то функция и (у) из представления (28) может быть запи-
сана в виде
€у f g (и) du + / eug (и) du	,
У	'	«»	!
VO) = ]			——	,	(33)
1 + ey
где g (у) > 0 - произвольная функция, удовлетворяющая условиям
J g(u)du •£ 1, J eug(u)du < 1.	(34)
СО	— со
Обратно, любая функция Н(х}, х2) вида (28), для которой функция и (у)
удовлетворяет условиям (33) и (34), является предельной функцией
распределения в соотношении (6).
Доказательство. Сначала заметим, что функция и (у), опреде¬
ленная равенством (33), удовлетворяет условиям и(°°) = и( -°°) = 1.
Затем из равенства (28) получим, что если распределение Н(х |. х2) имеет
плотность, то функция и (/) дважды дифференцируема. Поэтому, собирая
все члены неравенства (32) в правой части, деля на z -хи полагая z х,
получим неравенство
е Л v (5 - х) + е А v (5 - х) + е sv' (5 х) —
е Уи'(у х) - е xv’ (у - х) - e'xv(y - х) > 0.
Если обе части этого неравенства разделить на 5 у и положить л -> у, то
мы придем к неравенству
(е Л - е >)и'(у х) - (е А + е У)и‘(у-х) > 0,
которое после деления на е~х примет вид
(1 - е U)v'(u) + (1 + е “)v'(u) > 0.	(35)
Положим
g (и) = (1 - e~u)v'(u) + (1 + е и) v" (и).	(36)
Тогда из неравенства (35) следует, что g(u) > 0. Кроме того, решением
дифференциального уравнения (36). удовлетворяющим условиям и(°°) с
= u( _ooj = 1, а также условиям (30) и (31). является функция, опреде¬
ленная равенством (33). Эта функция должна удовлетворять неравенствам
(34). Представление, сформулированное в теореме, установлено.
Что касается обратного утверждения, то нужно проверить, что функция
^(Х). х2), определенная равенством (28а), с функцией uQ’), определен¬
ной соотношениями (33) и (34), является функцией распределения. Эго
Достигается с помощью простых рутинных вычислений. Поэтому мы
опускаем детали. Теорема доказана. *
233

Пример 5.4.1. Пусть g(u) = г
случае. Тогда справедливо равенство
ДЛЯ и > О и g (и) = О в противном
1
1 .+—еу, если у < О
(1 + еу)и(у) =
1
еу + — е у. если у > 0.
Следовательно, в силу равенства (28а) функция
Я(хьх2) = ехр	- е	- xj] =
1 „Л \
- — е 1 ; если Xj > х2,
1
	еХУ -xz j ? если Х} < Х2
является возможной предельной функцией распределения в соотноше¬
нии (6).
Утверждение примера получается с помощью простой подстановки
в теорему 5.4.2. Заметив, что g(u) > 0. следует затем проверить условия
(34). После этого функщ ю и (г) можно вычислить по формуле (33).
а функцию Н (х 1. х2) - по формуле (28). *
Пример 5.4.2. Функция распределения Л (х, >•) случайною вектора
(Л. У) принадлежит области притяжения функции распределения преды¬
дущего примера //(хн х2) тогда и только тогда, когда ее маргинальные
функции распределения °°) и А(°°, у) принадлежат области притяже¬
ния распределения 0(х) и когда функция (J (х, j ) = Р(Х> х. Y > у)
удовлетворяет условию
ton nG (ах п + Z?i „X|. а7 „ + Ь7пх7) - е"х'и.(х2	х}),
П —
1 1
где и(х7 - X]) —-ех: х- . если х, > х2. и w(x2 х, ) - 1	,
если X] < х:. Здесь (^]>Л,.а2л) к (Ь1л, Ь71П) - нормализующие постоян¬
ные для одномерных маргинальных распределений.
Мы получим заключение примера с помощью теоремы 5.3.1. Функцию
//(хь х2) из предыдущею примера можно представить в форме (18),
где hx (xj ) - е~х 1 , h7 (х2) = е~х 2 и hx >2 (х,. х2) - е~х* и (х2 - Х| ). а
функция и (у) определена выше. Таким образом, применим критерий,
определяемый соотношением (17).*
При применении теоремы 5.3.1 можно избежать необходимости факти¬
ческого вычисления постоянных	а71„) и (blt„. b7tf1). Это можно
сделать точно таким же образом, как в случае примера 5.3.1. Для просто¬
ты мы рассмотрим подробно лишь случай, когда у функции г (х, j ) мар¬
гинальные распределения одинаковы, т.е. когда F(x, ) = Л (°°, х) = F (х).
Тогда для того, чтобы функция F (х) принадлежала области притяжения
распределения //3<0(х), необходимо и достаточно, что для некоторой
234

функции Л (г) выполнялось соотношение
1 _ F [; + xh (Г)]
lim	= е ,
г- о>(Г)	1 - F(r)
где х - произвольное вещественное число. Здесь функцию h(t) можно
выбрать таким образом, чтобы выполнялось равенство h(an) ~ Ьп, где
ап и Ьп обозначают общие значения для постоянных а2,п и by >П) Ь2уП
соответственно (см. § 2.5). Мы также видели, что при п справедливо
соотношение п [1 - F(a„)] -> 1. Таким образом, если при t -» <jo(F) вы¬
полняется условие
G(t + h(t)xit t + 'h(t)x2)
1 - F(t)
e X^u(x2
*1),
(37)
то при t = an, h (t) = bn выражение
G (t + h (t) Xj, t + h (t) x2)
nG(an + bnXy, an+bnx2) = n [1 - F (r)]			—

1 - F (?)
также сходится к выражению е~Х^и{х2 - Xj). Обратное утверждение
также справедливо (оно легко получается с помощью методов § 2.4 или
2.5). Таким образом, критерий примера 5.4.2 эквивалентен соотношению
(37). В упр. 13 от читателя требуется сформулировать общее утверждение,
в котором теорема 5.3.1 преобразуется в параметрическую форму, подоб¬
но соотношению (37).
Не все предельные распределения Н(х}, х2) обладают плотностью,
так что теорема 5.4.1 неприменима к произвольным функциям Н(х}, х2).
Например, функция распределения Н(х}, х2) = exp [-max(e~A), е~х?) 1.
полученная в теореме 5.4.1 как верхняя граница для всех возможных
предельных распределений (см. соглашение, касающееся формы функции
Я(х), сформулированное перед теоремой 5.4.1), не обладает плотностью.
Дальнейший анализ этого распределения может привести к другому пред¬
ставлению, которое применимо к любому распределению, предельному
в соотношении (6).
Сначала в приведенное выше распределение Н(х}, х2) введем пара¬
метр, т.е. рассмотрим функцию распределения
77(x]tx:; р) = exp { -max[pe'Aj , (1 - р) е~ **]} ,	(38)
где 0 < р < 1. От этого параметра будут зависеть также и маргинальные
распределения, но они останутся распределениями типа //Зчо(х). Далее
мы расширим это параметрическое семейство до семейства ра пределе¬
ний вида
Я*(хь х2) = exp / - f max (ре-*1 . (1 - р)е~х- )dU(p)! ,	(39)
( о	1
где U(p) - распределение, сосредоточенное,на интервале [0, 1]. Затем
вернемся к представлению (38) с функцией распределения U(p). вы¬
рожденной в некоторой точке интервала [0, 1]. Из теоремы 5.2.4 непо¬
средственно следует, что функция, определенная равенством (39), может
быть предельной в соотношении (6). Действительно, ее маргинальные
235

распределения относятся к типу //3 0 (х), а ее функция зависимости, равная
Он* 0'1. Л’;) = ехр {-J max (-р log V’!, -(1 - р) log у2) dU(p)},
о
очевидно, удовлетворяет условию (25). На самом деле класс функций
х2) совпадает с классом всех функций распределения, предель¬
ных в соотношении (6), у которых маргинальные распределения относят¬
ся к типу 7/3 о (*) (из формулы (39) видно, что в действительности мар¬
гинальные функции распределения имеют вид Н30(х + Л), А >0). Еще
одно достоинство формулы (39) состоит в том, что ее можно легко обоб¬
щить на случай произвольной размерности. Прежде чем формулировать
точное утверждение, введем одно понятие.
Определение 5.4.1. m-мерным единичным симплексом S называ¬
ется множество векторов р с неотрицательными компонентами, для ко-
т
торых выполняется равенство S pt = 1.
г = 1
Теперь сформулируем без доказательства один совсем недавний ре¬
зультат.
Т е о р е м а 5.4.3 (представление Пикендса). Пусть одномерные мар¬
гинальные функции распределения функции Н(х) имеют вид	-
= w3,o(xf + A)> А > 0. Пусть U(p) - конечная мера на m-мерном единич¬
ном симплексе S. Тогда функция распределения Н(х) является предель¬
ной в соотношении (6) в том и только в том случае. когда она предста¬
вима в виде
Н (х} = ехр J -/ [ max
I £ 1 < г < m
(40)
Так же, как и для представления (39). можно показать, что функция
/7(х), представляемая формулой (40), является возможной предельной
функцией распределения в соотношении (6). Весь пафос теоремы содер¬
жится в обратном утверждении, т.е. в том, что любое предельное распре¬
деление в соотношении (6), удовлетворяющее ограничениям на маргиналь¬
ные распределения, может быть записано в форме (40) .
Совсем непросто записать представление (40) для заданной функции
распределения Н(х). Однако редко стремятся получить другую форму
функции 7/(х), если эта функция уже известна. Значение представления
(40) заключается в возможности построения функций, которые являют¬
ся пределами в соотношении (6). С задачей построения таких функций
сталкивается статистик, желающий принять решение о форме функции
Н(х) с помощью некоторого критерия согласия, основанного на данном
множестве наблюдений. Комментарии, сделанные по поводу трудных практи¬
ческих вопросов, относящиеся к одномерному случаю, применимы также
и к многомерной ситуации. Дополнительная трудность в многомерном
случае состоит в том, что если приемлемое решение принято относитель¬
но одномерных маргинальных распределений, .то остается еще большое
число возможностей для выбора многомерного теоретического распре¬
деления. Все это еще более усложняется тем фактом, что теория много¬
мерных распределений еще далека от совершенства. И, наконец, если
даже мы убеждены, что подходящая теоретическая функция распределе¬
236

ния найдена, вычислительные трудности в случае размерности т > 5 могут
быть очень большими (вот почему, по-видимому, большинство чита¬
телей не видели таблицы даже четырехмерного нормального распре¬
деления). Однако некоторых из этих трудностей можно избежать, если
мы интересуемся лишь функцией Н(х). Эти возможности иллюстрируют¬
ся на следующих численных примерах.
Пример 5.4.3. Предположим, что Aj , Х2, . . Х25О — независимые
наблюдения над вектором X -	Х'4)), где вектор X
имеет нормальное распределение с ЕХ^ = 0, DX^= 1 (1 </ <4). Най¬
дем Р (Z2 50 < *), где х = (3: 3,5 ; 2,8; 4).
Если мы хотим точно определить распределение вектора Z2so, то нам
потребуется таблица четырехмерного нормального распределения с про¬
извольными, по существу, ковариациями. Этого, однако можно избежать,
если обратиться к асимптотической теории. В примере 5.3.1 мы видели,
что компоненты случайного вектора (Z„ - an)/bn асимптотически незави¬
симы, причем компоненты как вектора ап, так и вектора Ьп одинаковы
и могут быть вычислены по формулам п. 2.3.2. После вычисления мы
получаем
О250 = 2,685, д25О =0,301.
Поэтому ввиду того, что (х - о25о)/^>2so = (1,047; 2,708; 0,382; 4,369),
имеем
^/Z25O	- 0250	X — 02 5О
Р (Z2 5 0 <•*) ~ Р I	~	~
02 5 0	02 5 0
- Я3$о( 1,047) Я3эО(2,708) Я3,о(0,382) Я3,о(4,369) = 0,329. а
Пример 5.4.4. Пусть Xj, Х2, . . ., X, 00 - независимые наблюдения
над вектором X = (x’f\ Х(2), Х(3), Х^4)), каждая компонента кото¬
рого является стандартной показательной случайной величиной и каждое
двумерное маргинальное распределение является распределением Мор¬
генштерна (см. пример 5.1.1). Найдем P(Z100 < х) при х = (6; 6,5;
6,2; 5,8).
Заметим, что мы полностью не определили распределение вектора X.
Поэтому ответить на поставленный вопрос нельзя без помощи асимптоти¬
ческой теории. Из асимптотической теории мы знаем, что случайный вектор
Z„ - ап имеет предельное распределение, причем каждая компонента
вектора ап равна log п. Из результата примера 5.3.1, теоремы 5.3.1 и след¬
ствия 5.3.1 вытекает, что компоненты вектора (Zn - ап) асимптотиче¬
ски независимы и одномерными маргинальными распределениями явля¬
ются распределения Я3,о(*г) (1	<4). Требуется только заметить,
что при п выполняется условие nG(x + log п, г + log л) -*0. Поэтому
все пределы в условии (17) существуют и они равны нулю. Таким образом
(iog 100 = 4,605), имеем
Р (Z| оо < х) = P(Z|oo — 0100 < х — 0100) =
= Яз,о(1395)Яз,о(1,895)Я3/)(1,595)Яз,о(1,195) = 0,405.а
Пример 5.4.5. Заменим в предыдущем примере распределение
Моргенштерна на распределение Мардиа. Вычислим P(ZlOo < *), где
сновах= (6; 6,5; 6,2; 5,8).
237

Как и ранее, распределение вектора X не определено полностью. В этом
случае нельзя применить асимптотическую теорию, чтобы вычислить за¬
писанную выше вероятность, поскольку компоненты не являются асимпто¬
тически независимыми (см. пример 5.2.2). Формула (18) показывает,
что предельное распределение вектора Zn - а„ (как показано в примере
5.3.1, каждая компонента вектора ап по-прежнему равна log п) зависит,
например, от трехмерных маргинальных распределений, которые нам не
известны. Однако мы можем получить некоторые оценки. Применяя
асимптотическую теорию, получим из неравенств теоремы 5.4.1 неравен¬
ства
0,405 < P(ZU)l) < х) < //ЗД)( 1,195) = 0,739.
Нижнюю границу можно значительно улучшить с помощью неравенства
из упр. 1. Такого улучшения можно было ожидать, поскольку при вы¬
воде записанного выше неравенства не использовались двумерные марги¬
нальные распределения. В примере 5.2.2 мы нашли, что двумерные мар¬
гинальные распределения асимптотического распределения случайного
вектора Zп - ап, которое соответствует первой и /-й компонентам, опре¬
деляются равенством
H\,j =	)#з,о(-/) е*р |k = ' + f-/T' I.
где z = (г |, z2, z j, z4 ) = x - с i oo = (1,395: 1,895: 1,595: 1,195). Таким
образом, используя результат упр. 1, получим неравенство
P(Z,oo < х) > ?/1>2 + Янз + Яь4 - 2//3,oUi) - 0,550.
Возможно и дальнейшее улучшение этой оценки. Для этого нужно поменять
местами первую и четвертую компоненты. Читателю предлагается про¬
вести вычисления: А
5 5.5. Сопутствующие порядковые статистики
Пусть (Xj, Yj) (j = 1, 2	п) - независимые одинаково распределен¬
ные случайные векторы. Мы рассмотрим порядковые статистики Х1:/7 С
%2:п	Xп первой компоненты и обозначим соответствующие
вторые компоненты через Уц j, У| 2 :л I	¥\ п .п ] • Таким образом,
если Xj = Хг:п. то К| r:tt j = Yj. Последовательность Tjr:n] (Г< г < п)
называется последовательностью сопутствующих порядковых статистик.
Статистики У[ r:tl j представляют интерес в задачах отбора, где отбор
производится по значениям статистик Хг.п. Это означает, что мы выбира¬
ем те т предметов, для которых значения Jf-ов являются наибольшими,
и хотим знать что-нибудь о поведении сопутствующих статистик Y. На¬
пример, величина X может относиться к первому испытанию, a Y - к
последующему, или величина X является некоторой характеристикой роди¬
теля, а величина Y является точно такой же характеристикой потомка.
В общем случае мы можем сказать, что теория сопутствующих статистик
нужна в тех случаях, когда мы хотим судить о предмете, характеристики
которого измеряются значениями У-ов, но наблюдать мы можем лишь
некоторое количество предметов в зависимости от значений величины X.
В некоторых случаях легко получить асимптотические результаты.
Одна из таких возможностей иллюстрируется ниже.
238

Пример 5.5.1. Пусть (А,-, У/) - н.о.р. нормальные случайные век¬
торы с EAZ7 - ЕУ; = 0 и DA’/ = DYf■ - 1. Тогда справедливо равенство
lim Р(У|Л;П| < р (2 log >7)J /2 + г) - Ф[(1 - р2 Г J /2.d .
Л — ОГ>
где Ф О') ~ функция распределения стандартного нормального закона,
ар- коэффициент корреляции между X | и У i.
Приведенное выше предельное соотношение можно вывести из следую¬
щего представления. Для 1 < / имеем
Yj = pXj + O - р2)1'2£,.	(41)
где X и U - стандартные нормальные случайные величины. Таким образом,
имеет место представление
j fi :п | ~ Р% и :п + ( 1 ~ Р )	г | •
Нам известно, что последовательность Х„.Г1 - (2)og/7)l/2 сходится по веро¬
ятности к нулю (см. пример 3.3.2). Кроме того, случайная величина Ц „ |
не зависит от А'-ов и имеет распределение
Р(Ц „ | < х) - £ Р(Ц „ j < х/Х„ :п = AQ) • P(Af„ :л = X,) =
f- J
= £ Р(Ц<х)-Р(А; = Ал:л)=Ф(х).	(42)
У 1
£десь мы использовали гот факт, что P(Uf <х) = Ф(х) для любого / . Те¬
перь утверждение примера следует из леммы 2.2.1. а
Между случайными величинами У|л:л| и Ул;л имеется заметная раз¬
ница. Это относится как к выбору нормализующих постоянных для полу¬
чения невырожденного предельного закона, так и к виду самих предель¬
ных законов (см. в п. 2.3.2 о величинах Ynin). Без каких-либо изменений
приведенные выше рассуждения переносятся на величины У[„_.Л- :л j при
фиксированном к при п-*00. Таким образом, мы получим, что для лю¬
бого фиксированного к при п •+<*> выполняются соотношения
(2logw)-’ 2 У„ ,к:а -> 1. (2 logw)-1 2У|„	-р.
причем в этих соотношениях сходимость понимается по вероятности.
В частности, из этого результата следует, что в больших популяциях по¬
томки наилучших индивидуумов не будут находиться среди наилучших
в следующем поколении. Здесь предполагается, что измерения индиви¬
дуумов представляются величинами X и Y.
Нормальность величин X и Y здесь нс была существенной. Наиболее
важный аспект состоял i разложении (41) величины Y/в линейную ком¬
бинацию аХ- + bLij, где величины Ц и Xj независимы.
Конечно, мы можем вычислить распределение величин У|г:„ j без ка¬
ких-либо структурных предположений. Для простоты анализа предполо¬
жим, что общая функция распределения F(x,y} величин (Хг Y7) абсо¬
лютно непрерывна и f(x,y) - ее плотность распределения. Пусть J\yfx)
обозначает плотность распределения величины К, при условии, что Xj =
239

= х. Поскольку векторы (А'у. Уу) - н.о.р., условная плотность величины
при условии Хг-п=х также равна f(y/'x) (нужно применить рас¬
суждения, аналогичные соотношениям (42)). Поэтому выполняется ра¬
венство
Р(У[г:и] <У/Х,..'„=Х^Р(У} <У/Х} = х)
и. таким образом, в абсолютно непрерывном случае имеем общее прави¬
ло (см.П 1)
Р(У| <V)= 7 Р(У1 <У/Хх = х)/г;л (х)б?Х,	(43)
где /г:л(х) - плотность распределения случайной величины Хг.п. Вводя
обозначения Fx(x) = F(x, ,f} (х) = F{ (х\ получим из формулы (43) при
г = и равенство
Р(У( и :п 1 < V) = и 7 Р(У, <у/Хх =	' (Х).Л (x)dx.	(44)
Теперь мы докажем следующий общий результат.
Теорема 5.5.1. Пусть (А у, Уу)( 1 </< и) - н.о.р. случайные векто¬
ры с абсолютно непрерывной функцией распределения F(x,y). Пусть мар¬
гинальное распределение F} (х) = F(x, °°) таково, что cc(F1) = °°, произ¬
водная F"(x} существует для всех достаточно больших х. и пусть Е{ (х)=
=	(х) Ф 0. Кроме того, пусть выполняется условие
d Г 1 - F\ (х) I
lim — 	—■ = 0.
л--« dx L /i(x) J
Если числовые последовательности ап,Ьп>0 и Лл,Вл>0 таковы, что
выполняются соотношения
lim Л? (ал +	= Я3 0U),	(45)
п
lim Р(У, <А„+В„и/Хх = а„ + h„z) = Т(и, z),	(46)
Я — ое
где T(u,z) ~ некоторая невырожденная функция распределения, то спра¬
ведливо равенство
lim Р(У(„:п1 <Ап + Впи) = Т(и\	(47)
п — «
где
Т(и)= f T(u,z)H3^(z)e Zdz.	(48)
Доказательство. Условия, наложенные на функцию Fx(x), та¬
ковы, что все условия теоремы 2.7.2 выполнены. Поэтому существуют
последовательности ап и Ьп > 0, для которых выполняется условие (45).
Кроме того, в упр. 12 гл. 2 читателю предлагается показать, что для тех
же самых постоянных ап и Ьп выполняется соотношение
nb„j\(a„ + bnz~)^e 'г.	(49)
240

Если мы теперь подставим х = ап + bnz в равенство (44), то соотношение
(47) и (48) будут следовать из соотношений (45), (49) и из теоремы
о мажорируемой сходимости (см. П I). а
Заметим, что для гладкой маргинальной функции распределения Г^х)
единственным условием теоремы является условие (46). Например, это
имеет место для всех двумерных показательных распределений, а также
для логистического, гамма-распределений и для предельных законов
Н(х,у) из соотношения (6). Поэтому теорема имеет очень широкую об¬
ласть применения. Очевидно, нормальный случай также охватывается
этой теоремой.
Как уже подчеркивалось в случае нормального распределения, сопутст¬
вующие порядковые статистики для экстремумов среди А-ов не являются
экстремумами среди У-ов (с высокой вероятностью). Поэтому интересно
исследовать вопрос о ранге Л(г) величины У[г.л j. Чтобы определить ранг
Х(г), введем сначала функцию
1, если х>0,
О в противном случае.
Тогда в случае непрерывной маргинальной функции распределения F2(y)=
= 7?(оо,у) положим
X(r)= £ I(Y[r:n] - Yj).
/=1
Таким образом, имеем У(г:л] = У\(г):л и
P(X(r) = s) = Ъ P(Y^Ys:n,XrXr:n) =
/=i
= *Р(У1 = у,:л,а1=хг:л),
причем последнее равенство выполняется в силу того, что случайные векто¬
ры (А}, У,) одинаково распределены. Далее, событие { Yt - Ys.n, Хг =
= ХГ:п} означает, что среди величин УД 2 < j < п) ровно 5 - 1 величин мень¬
ше, чем У!, а среди величин А, (2 < / < п) ровно г -1 величин не превосхо¬
дят величины Xi. Собирая члены, соответствующие событиям { Xt < Х},
У,-СУ,} , или {Xi<Xi'Yi>Yi} , или { X,- > Xi, У, <	, или {Xz>
>А1,У|>У1) , получим равенство
Р(Х(г) = $) = и Е	f g(x,y\k)dxdy,
k-Q	—
в котором
g(x,y-k)=uku^1~ku3~1~ku"~r^(s~k~iyf(x, у),
241

Для заданного распределения F(x,y) можно легко вычислить вероят¬
ность Р(Х(г) = $). Зная точное распределение, можно также вычислить
математическое ожидание ранга Е [X(r)J.
Теория сопутствующих порядковых статистик и, в частности, теория экс¬
тремумов находятся на очень ранней стадии развития. Есть надежда,
что эти первые результаты вызовут дальнейшие исследования. Такие ис¬
следования должны 'заинтересовать социологов, физиологов, медиков.
§ 5.6. Обзор литературы
Асимптотическая теория экстремумов для двумерных распределений берет начало
с короткой заметки Финкельштейна (1953), в которой анонсировались некоторые ре¬
зультаты. За ней не последовало работы с детальным изложением материала. Несколько
лет спустя, примерно, одновременно и независимо друг от друга появились три основ¬
ные работы о двумерных экстремумах - работы Жеффруа (1958/1959), Тьяго де Оли¬
вейры (1958) и Сибуйи (1960). В каждой из этих работ приводится представление,
равносильное формуле (28 а), причем в первых двух работах фактически также
получено представление (28) в многомерном случае. Жеффруа и Сибуйя получили
условия для асимптотической независимости компонент. Критерий Жеффруа равно¬
силен критерию, выраженному равенством (24) (см. также упр. 20), а результат
Сибуйи приведен в упр. 21. Несмотря на то, что в каждой из этих трех работ обсуж¬
даются некоторые свойства функции и (у) из представления (28 а), метод, приводящий
к формулам (29) - (32) и, в частности, при существовании плотности распределения,
к представлениям (33) и (34), принадлежит Тьяго де Оливейре (1962/1963). Тьяго
де Оливейра также установил, что компоненты нормализованного максимума в
случае произвольной размерности независимы тогда и только тогда, когда двумер¬
ные маргинальные распределения асимптотически независимы. Чтобы получить этот
результат, автор нашел границы для функции Я(х). Эти границы включают в себя
важную нижнюю границу из теоремы 5.4.1. Частный случай этой границы при т-2
кажется естественным еще и потому, что коэффициент корреляции р между двумя
компонентами вектора с распределением (28 а) всегда неотрицателен (см. упр. 29).
Формула из упр. 30 дает возможность еще глубже понять структуру двумерного
распределения (28а).
С помощью формулы (28 а) можно получить большое число легко исследуемых
двумерных распределений. Следует иметь в виду, что с помощью монотонных пре¬
образований из распределений (28а) можно легко получать распределения с равно¬
мерными, показательными, логистическими маргинальными распределениями, а также
с маргинальными распределениями Парето и Вей булла. Таким образом, использование
формул (33) и (34) для произвольной функции g(и) приводит к двумерным распре¬
делениям (28 а), обладающим плотностями распределения, и с которыми просто
обращаться. Конечно, в силу ограничений на функцию зависимости распределения
(28а) не все двумерные распределения могут быть получены таким путем. Неко¬
торые методы получения многомерных распределений хорошо известны; для слу¬
чая двумерного показательного распределения они упомянуты в примере 5.1.1. Этим
методам посвящены работы Моргенштерна (1956), Гумбеля (1960), Маршалла и
Олкина (1967), Мардиа (1964 и 1970). Основной работой по теории многомерных
распределений является работа Фреше (1951). Хороший подбор материала и ссылок
имеется в работе Джонсона и Кода (1972).
Вопрос об асимптотической независимости компонент вектора (Zn-an)/bn и в
дальнейшем привлек внимание исследователей. Берман (1961) продолжил в этом
направлении работу Жеффруа (1958/1959). Его результаты были обобщены в вд-
правлении получения условий, гарантирующих асимптотическую независимость дру¬
гих экстремумов (а не только максимумов) в двумерном случае. Это сделано в
работах Мардиа (1964Ъ) и Шриваставы (1967). Наконец, независимо друг от друга
Михайлов (1974) и Галамбош (1975 d) получили необходимые и достаточные усло¬
вия для асимптотической независимости произвольных экстремумов для случая
произвольной размерности. Эти условия одинаковы для всех экстремумов; они
сформулированы для максимумов в следствии 5.3.1.
242

Статья Галамбоша (1975 d) является единственной работой, в которой приво¬
дятся предельные распределения всех экстремумов (двумерный случай см. в упр. 24).
Эти распределения описываются в терминах пределе® (17). Широкое применение
этих распределений связано с комбинацией двух представлений (28 а) и (18). На¬
пример, образуем в двумерном случае распределение Н{х1,хг) с помощью форму¬
лы (28а). Затем, переписывая его в форме (18), получим функции h, (х,), Л2 (х2) и
2(хрх2). Если эти функции известны, то предельное распределение нормали¬
зованных экстремумов (Хл_;:л, Ул_,:л) можно вычислить с помощью формулы
Галамбоша (1975 d) (см. упр. 24). Необходимо заметить, что так же, как и для мак¬
симумов, для всех верхних экстремумов (индексы i и/ фиксированы) в качестве
нормализующих постоянных используются те же константы, что и в одномерном слу¬
чае. С другой стороны, если теоретическое распределение нам известно (что встре¬
чается редко, причем статистический выбор является таким же трудным или даже
более трудным, чем в одномерном случае), то можно непосредственно вычислить
пределы (17) и, таким образом, основным представлением станет равенство (18).
Здесь впервые в такой общности появляются неравенства (19).
В недавней работе Пикендс (1977) получил замечательное представление для
многомерных асимптотических распределений максимумов. Оно будет служить
основным инструментом для построения этих распределений для случаев любой
размерности, в особенности, когда статистические свойства этих распределений пол¬
ностью известны. Работа Балкемы и Резника (1977) служит основгй для другого
подхода к многомерным экстремумам, развитого де Хааном и Резником (1977).
Возможность комбинации представлений (18) и (28 а) не была отмечена в ли¬
тературе. Также не была осознана возможность преобразования результата теоремы
5.3.1 в параметрическую форму, как это сделано в примере 5.4.2. Поэтому эти ре¬
зультаты передо назывались, а некоторые из них упомянуты в недавних обзорах
как проблемы, требующие решения. Теорема 5.3.1 была еще не известна Нэйру (1976).
Некоторые специальные классы теоретических распределений изучались в работе
Вилласенора (1976). Он также обобщил эти исследования на симметрично зависи¬
мые последовательности .многомерных распределений в духе одномерных резуль¬
татов § 3.6. Другой специальный класс распределений, плотность которых допускает
разложение в специальные ряды, рассмотрен Кэмпбеллом и Чокошем (1973).
Число публикаций, связанных с применениями асимптотической теории много¬
мерных экстремумов, очень невелико. Основная причина этого явления состоит,
по-видимому, в обшей нехватке многомерных приложений в тех случаях, когда
исследуемое распределение не является нормальным. Тем не менее некоторые ин¬
тересные приложения обсуждаются в работах Гумбеля и Голдстейна (1964) , Гум¬
беля и Мустафи (1967) и Познера и др. (1969). Другие результаты по статистичес¬
ким аспектам многомерных распределений экстремальных значений получены в
работах Арнольда (1968) и Тьяго де Оливейры (1970, 1971, 1074) Е. Бофингер и
В. Бофингер (1965) анализировали точность аппроксимации двумерных экстрему¬
мов для нормальных распределений через корреляцию экстремумов. Эта работа
была обобщена для некоторых распределений, отличных от нормального, В. Бофин-
гером (1970). Следует заметить, что в случае большой корреляции теоретического рас¬
пределения для выборок объема порядка п - 50 экстремумы не обнаруживают неза¬
висимости. Какуллос и де Чикко (1967) получили распределение двумерного раз¬
маха. Двумерный размах рассмотрен также в работе Мардиа (1967). Представляют
интерес также обзоры Тьяго де Оливейры (1975) и Гумбеля (1965).
Влияние максимальных слагаемых на сумму многомерных наблюдений исследо¬
валось в работах Калинаускайте (1973 и 1976).
Теория сопутствующих порядковых статистик является сравнительно новой.
Ее началом можно считать работу Дэйвида (1973). Более детально с точки зрения
асимптотической теории она была развита в работе Дэйвида и Галамбоша (1974)
nJaTeM обобщена Коннелом и Дэйвидом (1976), Дейвидом, Коннелом и Йенгом
(1977) и Йенгом (1977). Другой аспект теории, а именно функциональные предель¬
ные законы, был развит в работах Бхаттачарии (1974), Сена (1976). Они вместо
термина ’’сопутствующие порядковые статистики” использовали термин ’’индуци¬
рованные порядковые статистики”.
Другие способы упорядочения многомерных данных рассмотрены в обзоре Бар-
243

§ 5.7. Упражнения
1.	Пусть X - т-мерный вектор с функцией распределения F(x) и одномерными
и двумерными маргинальными функциями распределения F/(x/) и F/j (х/,Ху) соот¬
ветственно, где 1 < Л j	i < /. Доказать неравенство
F(x) > Е F, tj{Xl, х0 _(т - 2)F, (х,).
[Указание. Применить результат упр. 18 гл. 1 и теорему 5.1.2 при т = 2.)
2.	Используя обозначения предыдущего упражнения, показать, что для любого цело¬
го fc (1 < к < т - 1) справедливо неравенство
2	/	т
F(x)<	 Е Ец(хьх;)-(т-к+\) Е Ff(xf) + к2 - к + 2
к(к + 1)'	i=l
[Указание. Применить теорему 1.4.3.)
3.	Вычислить приведенные выше границы для т = 5, если F/j(x/,xy) для * всех
1 <:</<5 есть: 1) распределение Гумбеля типа 1с0=1/2и 2) распределение
Мардиа (см. пример 5.1.1). Выбрать численные значения х = (хх, xv хэ, х4) и срав¬
нить полученные границы. Сравнить результаты с границами Фреше (теорема 5.1.1).
4.	Пусть вектор (X,Y) имеет двумерное нормальное распределение с ЕХ=0,ЕУ=
= -2, DX = 1, DK = 4 и коэффициент корреляции р равен 0,3. Для независимых наб¬
людений (Xf\ Ур объема 40 над векторами (X, У) вычислить вероятность P(Zj ,40 <
<	2,8, Z 2 до < 1»8). Сравнить точное значение с приближенным асимптотическим
выражением. Сделать такое же сравнение для п = 100.
5.	1) Пусть Ху(1 </<и) - н.о.р. нормальные случайные векторы с положитель¬
ным и строго меньшим единицы коэффициентом корреляции. Показать, что асимпто¬
тическое распределение вектора (Zn-an}!bn является оценкой снизу для точного
распределения.
2) Пусть р - наибольший из коэффициентов корреляции компонент вектора
Xj. Пусть Z" - это Z-вёктор для н.о.р. нормальных случайных векторов, чьи ком¬
поненты равнокоррелированы, и их коэффициент корреляции равен р. Предположим,
что л настолько велико, что распределение вектора (Z^-tf„)/ftn приближается пре¬
дельным распределением с точностью до пяти десятичных знаков. Показать, что в
этом случае то же самое верно и для распределения вектора (Zn_an)lbn. [Указа¬
ние. Применить лемму 3.8.1.]
6.	Пусть Fy(x)(l </< к) - это ап-мерные функции распределения с одномерными
маргинальными распределениями, не зависящими от/ . Пусть и= (и,, и2, .. ., ит) - та¬
кой вектор, что 0 < uy < 1 и и, + и2 + . . . +	= 1. Доказать, что для функций зависимо¬
сти справедливы следующие соотношения:
к	к
1)	DT(y)^ Е UfDp.iy) для Т(х)= Е u,Fz(x),
i=l 1	<=1
2)	ОЯО)= nDp‘(y) для =
1=1 1
7.	Показать, что если каждая из m-мерных функций распределения Я/(х)(1 </<
<	к) является предельной в соотношении (6), то это верно и для функции
Я(х)=Я“'(х)Я"’(х).. я£к(х),
где 0 < Uy < 1 и и, +и2 + . .. + Ufc = 1. [У к а з а н и е. Применить предыдущее упраж¬
нение и теорему 5.2.4. ]
8.	Пусть L (х) - предельное распределение вектора (Wn-cn}!dn для заданного
теоретического распределения F(x) и для соответствующим образом выбранных
нормализующих векторов сп и dn. Получить характеризацию функции зависимости
основанную на теореме 5.2.1.
244

9.	Привести необходимые и достаточные условия, основанные на теореме 5.2.4,
для того, чтобы функция £(х) была предельной функцией распределения из преды¬
дущего упражнения.
10.	Пусть функция L{x) определена в упр. 8. Пусть Т(х) - функция долговечности
вектора, обладающего функцией распределения L (х). Получить представление функ¬
ции Tix) в форме (18).
11.	Используя обозначения из предыдущего упражнения, показать, что функция
Г(х) не меньше, чем произведение ее одномерных маргинальных функций распреде¬
ления.
12.	Доказать, что условие (37) также является необходимым для заключения
примера 5.4.2.
13.	Обобщить метод, который обсуждался после примера 5.4.2, отбросив предпо¬
ложение о том* что одномерные маргинальные распределения одинаковы. Обобщить
также этот метод на размерности, более высокие чем два.
14.	С помощью соответствующих преобразований маргинальных распределений
видоизменить представление (28 а) таким образом, чтобы получить представление
для произвольного распределения, предельного в соотношении (6).
15.	Пусть и(у,,у2) - показатель в формуле (28) при m = 3. Переписать неравен¬
ства теоремы 5.4.1 таким образом, чтобы получить границы для функции viyx,y2).
16.	Пусть функцией распределения вектора {X, У) является функция F(x,,x2)
из формулы (28а) с и(у) = тах(1, е~у)Ц\ + е~у). Показать, что Р(Х=у)=1.
17.	Вычислить функции и (у) из формулы (33) и Щхх,х2) из формулы (28а),
если g(u) - exp(-3|м |) для всех и.
18.	Пусть Хи У - независимые случайные величины с общей функцией распре¬
деления Язэо(х). Пусть X, = X, а Х2 = max [X + logp, У + log( 1 - и)]. Найти функцию
распределения Щхх,х2) вектора (Хх,Х2). Показать, что функция Я(х1?х2) может
быть предельной в соотношении (6), и привести ее представление в форме (28а).
19.	Пусть g(u)=Cus для 0 <и < А < 00 Hg(u) = 0 в противном случае, где С> О,
s>0 - заданные числа. Определить функции и (у) из формулы (33) и Я(х,,х2) из
представления (28а).
Ю.Пусть Fix, у) - двумерная функция распределения с одинаковыми маргиналь¬
ными функциями распреде • ения Fix) = Fix, °°) = F(«>, х). Было показано, что если
в равенстве (24) величины ип и ип сходятся к границе cj(F) при п -* « и если выпол¬
няется соотношение
Р(Х>и„, Y >vn)
		 		 0 (п -* °°),
Р(Х>нп)
где вектор (X, У) имеет функцию распределения F(x,y), то для н.о.р. наблюдений
над вектором (X, У) компоненты вектора (Zn - an)fbn асимптотически независимы
при условии, что этот вектор обладает предельным распределением. Передоказать
этот результат с помощью следствия 3.7.1, используя следующее свойство. Если
Cfy У/) - н.о.р. случайные векторы с общей функцией распределения F(x,y), то
последовательность случайных величин Xt, Yx, Х2, У2, . . . является 2-зависимой
последовательностью (см. § 3.7).
21.	Пусть (Ху, Уу)(1 </<и) - н.о.р. случайные векторы с общей функцией рас¬
пределения Fix,у). Пусть маргинальные распределения функции Fix, у) таковы, что
при соответствующем выборе векторов ап и Ьп компоненты случайного вектора
^п-оп)!Ьп имеют предельные распределения. Тогда последовательность случай¬
ных векторов {Zn-an)!bn сама слабо сходится и их компоненты асимптотически
независимы, если функция зависимости Dpiyx,y2) функции Fix,у) обладает следу ю-
Щим асимптотическим свойством :
^F(l - s, 1 - s) = 1 - 2s + ois) is -+ 0)
[Сибуйя (I960)].
22.	Пусть (X, У) - случайный вектор с функцией долговечности Р(Х>х, У >
г^'=^(х,у) и с одномерными маргинальными функциями G, (х) и G2ix). Пусть
Yt)(i
- это п независимых наблюдений над вектором (X, У). Положим
\^t	> А2 t = (Yt> у] . Показать, что функция S(u, и) из упр. 19 гл. 2
245

имеет вид
min(u, и)
S(u, и) = Е rn(M,u;d),
d=0
где
Тп(и, »;d) = c£	Gd(x, у)С"^(х) G»~d(y).
23.	Используя обозначения из предыдущей задачи, введем следующие дополни¬
тельные величины. Пусть Хг.п и Yr:n обозначаютr-е порядковые статистики Х-ов и
У-ов соответственно. Пусть
V(kt,k1 ;t) =	“*» ЪиСи< S(u,,u,)„
где в сумме Ем суммирование производится по тем векторам (п, , i)2), для которых
выполняются условия и, > 0 и их + и2 = t. Наконец, положим
i i	kx+k2^s
Tn(i,j\s}= EE	E	V(kx,k2\t}.
к, =0 k2 =0 t=kx +k2
Используя неравенства из упр. 19 и 20 гл.1, установить, что для любого s > 0 справед¬
ливы неравенства
Гл 0,/; 2s + 1) < Р(ХЛ < х, Уи—/:л < У) тл(*»2s)	(50)
[ Галамбош (1975 d) ].
24.	Будем использовать обозначения из упр. 22. Предположим, что функции
G(x,y),Gx (х) и G2 (j) таковы, что при соответствующем выборе постоянных ап =
= (д1Л, а2'П) и Ьп ~ (bx п, b2fn) выполняются соотношения (17). Показать, что спра¬
ведливо равенство
min (и, и)	1	.
lim 5(и, и)= Г 	 hd 2 (xl,x2)h.“~d<xl)hV~d(x2).
п-°°	d=0 d!(u -d)!(i>-d)!
Найти с помощью этого равенства пределы границ в неравенствах (50) при фикси¬
рованных ,,/и s'. Положив s->«», вывести, что при условии (17) двумерные экстре¬
мумы (Xn_j:n, Yn_j:n) у и j фиксированы) имеют предельные распределения
при нормализующих постоянных ап и Ъп [Галамбош (1975d) ].
25.	Получить заключение упр. 24 для m-мерных векторов [Галамбош (1975d) J.
26.	Показать, что предельное распределение, полученное в упр. 24 для векторов
{(*л-/:л“ д1,л)/^1,л» (^л—/:л - *2,л )/^2,л}» Г*»110 произведению Коши функции
и аналогичной функции, у которой i заменено на/, а функция hx (xj - на функцию
h2 (х2) [Шривастава (1967)) .
27.	Обобщить предыдущий результат на размерность m [Галамбош (1975d) ].
28.	Проделать упр. 22 - 27 для нижних экстремумов (Х1:л, Yj.n), где индексы i и
/ не меняются с изменением л.
29.	Пусть случайный вектор (X, У) имеет функцию распределения Я(х1>х2) в
форме (28а). Получить формулу
6 00
Р =	2 f logu(y)dy,
" -оо
где р - коэффициент корреляции величин X и У. В качестве следствия показать, что
величины X и У независимы тогда и только тогда, когда они некоррелированы (т.е.
когда р = 0). (Заметим, что р > 0. Почему?) [Тьяго де Оливейра (1962/1963)J.
30.	Пусть функция распределения H(xitx2) из предыдущего упражнения имеет
двумерную плотность. Вычислить функцию распределения Т(х) разности У - X.
246

Установить формулу
и(у) = (1+е>’) ^xpj f T(x)dx
[Тьяго де Оливейра (1962/1963)] .
31.1) Пусть функция распределения вектора (X, У) равна
1
Fix. д') = / (1 - е _ux)(l - е ~uy)du.
О
Пусть (Xj, Yj) (1 </ <n) - независимые наблюдения над вектором (X, Y). Пока¬
зать, что при соответствующим образом выбранных нормализующих векторах ап и
Ъп функции распределения случайных векторов (Zn — a^lbn слабо сходятся к
функции
ехр{-х-1 -У~1 +(х+у)“1} -
2) В определении функции Г(х,у). заменим выражения 1 - е~их и 1 - е~иу на
некоторые функции распределения Gx (и, х). и G2(y, и), интегрирование распростра¬
ним на всю вещественную прямую и интегрировать будем относительно некоторой
функции распределения Т (и). Найти достаточные условия для того, чтобы компонен¬
ты вектора (Z п — а^(Ьп были асимптотически независимы (Вилласенор (1976)).
32. 1) Пусть U, V.h S - независимые случайные величины с общей функцией рас¬
пределения F(х) = 1 - 1/х (х > 1). Положим X = U+S, a’ Y = V + S. Для независи¬
мых наблюдений над вектором (X, Y) показать, что существуют такие векторы ап и
что функции распределения случайных векторов (Zn - а^!Ьп слабо сходятся к
функции ехр{-1/х-1/JV+у max(x, JV)}.
2) Пусть U и V - независимые случайные величины с невырожденными функция¬
ми распределения F(x) и G х) соответственно. Показать, что если выполняется нера¬
венство cj (F) < со, то для независимых наблюдений над вектором (Х^|^2Ь =
= (U, (J+ V) компоненты вектора (Zп — а„)/&л асимптотически независимы, если он
имеет предельное распределение [Вилласенор (1976)).

Глава 6
РАЗЛИЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Настоящая глава посвящена главным образом трем темам. Вначале мы рас¬
сматриваем слабую сходимость экстремумов в случае, когда объем выбор¬
ки сам по себе является случайной величиной. Затем исследуем специаль¬
ный случай выборок случайного объема, когда число наблюдений опреде¬
ляется моментами достижения очередного максимума или минимума. Эти
моменты известны как рекордные времена или рекордные моменты, а ве¬
личины, соответствующие этим моментам, - как рекорды. В конце главы
мы рассмотрим основы теории так называемых экстремальных процессов,
представляющих собой случайные процессы с непрерывным временем,
которые строятся по экстремальным значениям с помощью предельных
переходов. Эта теория аналогична хорошо известному обобщению цен¬
тральной предельной теоремы, когда специально построенные кусочно
линейные случайные функции аппроксимируются винеровским процессом.
Параграф, в котором рассматриваются экстремальные процессы, тре¬
бует знания не только элементарной теории вероятностей, а изложение дру¬
гих параграфов соответствует уровню предыдущих глав. Объединение
этих трех тем в одной главе не должно помешать читателю, который не под¬
готовлен к изучению непрерывных процессов, разобраться с другими
параграфами.
§ 6.1. Максимальная длина стационарной очереди
Рассмотрим следующую простую модель одноканальной системы массово¬
го обслуживания. Пусть в момент времени Го — 0 приходит на обслужива¬
ние первое требование. Остальные требования приходят в моменты tn
1). Предполагаем, что величины tn - tn_ ] являются независимыми и
имеют одинаковую функцию распределения U(x) такую, что
(/(0+) = 0 и 1 <а = SxdU(x)<<*>.
о
Если в момент времени tn требований в системе нет, то на обслуживание
поступает (и+1)-е требование. В противном случае это требование становит¬
ся в очередь. Предполагаем, что времена обслуживания требований Sn
(п > 1) являются независимыми стандартными экспоненциальными слу¬
чайными величинами и не зависят от разностей tn - tn_ j..
Заметим, что при наших предположениях математическое ожидание вре¬
мени обслуживания одного требования равно единице. Следовательно, ог¬
раничение а > 1 означает, что среднее время обслуживания меньше среднего
интервала между моментами прихода в систему соседних требований. Из
248

усиленного закона больших чисел сразу следует существование с вероятно¬
стью единица такого конечного момента г*, когда обслуживающее устрой¬
ство станет незанятым. Период (0, г*) называется периодом занятости.
С приходом первого после момента Г* требования процесс повторится, и
мы можем говорить о втором и последующих периодах занятости. В нашем
случае периоды занятости являются независимыми одинаково распределен¬
ными (н.о.р.) случайными величинами.
Нас интересует максимальная длина очереди, т.е. если представ¬
ляет число требований в системе непосредственно перед приходом к-го по
счету требования, то для нас является интересным изучение величины
Qn = max Yk. Проблему следовало бы отнести к главе 3, так как ве-
1 < к < п
личины Yk зависимы. Однако здесь возможен более простой подход, осно¬
ванный на следующих рассуждениях. Пусть 7V(h) - число периодов заня¬
тости, завершившихся до прихода и-го по счету требования, a Х}+1 - мак¬
симальная длина очереди, зафиксированная на протяжении /-го периода
занятости. Как уже отмечалось выше, величины Xj независимы и одинако¬
во распределены, и очевидны неравенства
<Qn <Zjv(W)+i .
где, как и раньше, Zп = тах{Хь Х2, ...» Хп}. Таким образом, мы пришли
к новой проблеме — изучению асимптотического поведения величины	,
где индекс УУ(и) сам является случайной величиной.
Последующие параграфы содержат результаты об асимптотическом пове¬
дении величины Qn в терминах величины £д/(Л). В частности, будет пока¬
зано, что существует такое конечное с > 0, для которого выполняется сле¬
дующее соотношение:
lim Q,//logrt=c	(1)
п -* 00
по вероятности. Для этого соотношения нам не требуется информация о
взаимосвязи между величинами N(n) и последовательностью Xj (j > 1).
Существенным, однако, является следующее свойство.
Лемма 6.1.1. Величина N(n)/n при п -> оо сходится почти наверное к
некоторой конечной положительной константе.
Доказательство. Пусть U, - число требований, обслуженных за
/-й период занятости, и Тп = Е Uj. Мы уже видели, что периоды занято-
/= 1
сти представляют собой независимые одинаково распределенные случайные
величины. Пусть р = Е(7у. Очевидно, р >0. С другой стороны, можно пока¬
зать, что р < оо (см., например, стр. 168 книги Прабху (1965)). Таким
образом, из усиленного закона больших чисел следует, что
(р - e)m < Тт < (м + e)w
Для достаточно больших т и произвольного 0 < е < р. Применяя эти нера¬
венства с т = N(ri) и т = N(ri) +1, мы выведем неравенства
п(р + е)~' _ i<N(n)<n(p-e)~l.
Поскольку е > 0 выбирали произвольно, а все утверждения, полученные
Выше, выполняются с вероятностью единица, лемма доказана. ▲
249

§ 6.2. Экстремальные значения для выборок случайного объема
Мы начинаем изучать следующую проблему, с которой частично познакоми¬
лись в предыдущем параграфе при обсуждении содержания этой главы.
Пусть Х2, ... - независимые случайные величины с общей функцией
распределения F (х) и #(и) - положительная целочисленная случайная ве¬
личина. Что можно сказать о распределении величин и или дру¬
гих экстремальных величин в случае, когда объем выборки равен N(n) 1
В первой части настоящего параграфа мы познакомимся с техникой, необ¬
ходимой для получения следующего результата.
Теорема 6.2.1. Пусть N(n) /п~> т по вероятности при п-> где т -
положительная случайная величина, и пусть существуют такие последова¬
тельности ап и Ьп> 0, для которых функции распределения величин
(Zn - an)/bn слабо сходятся к невырожденной функции распределения
Н(х). Тогда справедливо равенство
lim P{ZAr(n)<e„+/>„х) = f Hy(x)dP{-r<у}.	(2)
Л ~* 00		 QV
Приведенная выше теорема будет следовать из последовательности
лемм, которые сами по себе выражают весьма интересные факты. Эти лем¬
мы можно применять для решения различных проблем, не обязательно свя¬
занных с экстремумами.
Лемма 6.2.1. Пусть последовательность случайных величин Un удов¬
летворяет предельному соотношению
Aim P{Un <х} = Т(х),	(3)
л-*~
и пусть для тех х, для которых Р {Uk < х} > 0, справедливо равенство
lim PU/„ <х | Uk <х } = Т(х)	(4)
л->оо
при любом фиксированном k = 1; 2,..., где Т (х) — некоторая функция рас¬
пределения, и сходимость имеет место для всех точек непрерывности функ¬
ции Т (х). Тогда для любого события В выполняется соотношение.
lim P{(t/„ <х) ПВ} = Т(х)Р{В}.	(5)
л—► 00
Доказательство. Пусть Ц (х) и I (В) - величины-индикаторы со¬
бытий < х) и В соответственно. Соотношение (4) можно переписать
в виде
lim Е[/я(х)/л(х)] = Т(х)Е[^(х)].
л->~
Таким образом, для любого фиксированного m и произвольных констант
Cj (1 </ имеет место равенство
lim Е[У0/„(х)] = Т(х)ЕУ0,	(6)
Л->со
где Уо = с ill (х) +с21г (*) +(*) • Пусть теперь У - случайная вели¬
чина с конечной дисперсией, и пусть существует последовательность вели
чин У0>т (m > 1) того же вида, что й Уо в (6), для которой справедливо
соотношение Е(У — УОт)2 0 при т -* ». Из неравенства Коши -
250

Шварца получаем, что
{Е[Г/л(х)]-Е[У0^/л(х)]}2<Е(У-Уо,т)2-0
И (ЕУ-ЕУо^)2 <Е(Г-ГО>Ш)2 + 0
при тп -► оо. Из соотношения (6), устремляя к бесконечности вначале л, а
затем и т, приходим к равенству
lim Е(У/л(х))= Т(х)ЕУ.	(7)
Запишем величину 1(B) в виде 1(B) = Y+R, где Y обладает указанным вы¬
ше свойством, а величина R такова, что при каждом п имеет место равен¬
ство Е (RIn(х)) = 0. Такое представление возможно (см. П II). Поскольку
справедливо равенство
Е[7(В)4(х)] = ЕЩл(х)],
из соотношения (7) следует равенство (5), и лемма доказана. ▲
Я е м м а 6.2.2. Пусть Х2, ... - независимые случайные величины с
общей функцией распределения F (х), и пусть существуют константы ап и
Ьп > 0, для которых справедливо соотношение
lim P{Zn <ап + bnx} = Н(х)	(8)
л-*°°
с невырожденной функцией распределения Н(х). Тогда для любого собы¬
тия В имеет место равенство
lim P{(Zn <ап + Ьпх)(УВ} =Я(х)Р{В}.
Дока.зательство. Применим лемму 6.2.1 для величины Un =
= (Zn - an))bn. Равенство (8) соответствует соотношению (3), и лемма
будет доказана, если мы установим справедливость равенства (4). С этой
целью запишем величину Zn в виде Zn = max (Z^, Z^ n), где Z^ n -
= max(Ajt+1,..., Xn). Тогда, учитывая назависимость Х-ов, получим, что
<х I Uk = &{Zk <ап* + bnx I Uk	+ Ьпх}.
Поскольку an+bnx-+<jj(F) прин^о© в силу соотношения Fn (ап +Ьпх) -+Н(х),
для любого фиксированного к имеет место равенство
lim P{Z% <ап + bnx \Ufc<x) =1.
С другой стороны, справедливо соотношение
p(zfc.n <ап +Ь„х} = Fn~k(an+bnx)^H(x) (п-юо)
при любом фиксированном к. Доказательство леммы завершено. ▲
Лемма 6.2.3. Пусть Xlf Х2, ... - н.о.р. случайные величины, для кото¬
рых выполняется соотношение (8), и пусть N(n) — такая положительная
Целочисленная случайная величина, что N(n)/n -► т при п -+ <*>, где т > 0 -
некоторая случайная величина. Тогда для любого события В имеет место
равенство
lim Р{(2дг^^ < ам(пу + Ь/^^пух) Г)В } — Н(х)Р{В).
Поо
251

Доказательство. Возьмем произвольное е > 0. Выберем такие
yi < Уз, что Р{у l < т < у2} > 1 - е . Из наших предположений следует су¬
ществование такого целого «*, что для всех и > и* выполняется неравенство
<N(n)!n<y2} > 1 - 2е. Зафиксируем	ил*. Разделим теперь
интервал [У1,Уз] следующим образом: у 1 = s0 << ...<~Уз• Пусть
n(j) обозначает целую часть величины nsj. Справедливы неравенства
—2е + S Р{(^/?(/) < aN(n) + Ь1У(п)х) В
1 < m
П (S;_ J </V(n)/« < Sj)} < P{ZN(„) <aN{n) + bN{n)X } <
S P{(Z/;(;_ 1 ) < ЛДГ(и) + ft/V(n)X) f’'f"*
1 < 7 < tn
<N(ri)/n<Sj)} + 2e.
Сделаем два преобразования в приведенных неравенствах. Вначале заменим
величину N(ri) /n ее пределом т. Ввиду того, что m не зависит от и, величины
в неравенствах в результате такой замены изменятся сколь угодно мало,
в зависимости от выбора п* Неравенства останутся справедливыми, если,
например, заменить 2е на Зе , а величину N(n)/n — величиной т. Теперь
запишем равенство
( Zn{h <+ ЬщП)Х} -
ьп(П
bn(j) [ дп(/) ~ aN(n) <х
btf(n)	bN(n)
и аналогично запишем событие, фигурирующее в правой части неравенств.
Если выбрать точки Sj (0 < j < ш) достаточно близкими, то из теоремы
2.2.1 при достаточно больших п следуют неравенства
Ьп(П	j
<6
И
an(j) ~ aN(n)
^N(n)
bN(n)
где 6 > 0 взято произвольно. Те же самые рассуждения применяем, заменяя
величину n(j) на п (j — 1). Тогда получим, что если S/ достаточно близки
и и достаточно велико, то справедливы неравенства
_3е+ 2 ngn
1 < / < w	Ьп ( f )	1+6
Г < S/) [	Р{<2д/(и) < Я/У(л) + 6дГ(и)Х }
X + 6 \
	 ПВО
1-6 /
П(5/_
+ Зе.
252

Применение леммы 6.2.2 приводит нас к неравенствам
-Зе +Н (	П , < т <у2) } <
<	liminfP{ZJV(„)<a2V(n)+byV(„)x} <
Л —► ОО
<	lim sup P{Z^n) <aN(„) + bN(n}x} <
Л _>oo
<я(у^|)р{ЛПСп <т<_у2)} +3e.
Учитывая выбор у i иу2, получаем
|Р{5П(Л <7<jI)}-P{e}|<P((T<7I)U(T>y2))<e.
Доказательство завершается, если учесть произвольность выбора е > 0 и
6 > 0 и непрерывность функции Н(х) (§ 2.4). ▲
Лемма 6.2.4. В предположениях леммы 6.2.3 имеем
lim
л-*°°
Ьп
bN(n)
lim
bN(n)
(9)
по вероятности, где A t и Вt определяются из соотношения
Н1 (х) = H(At + Btx).
Доказательство. Докажем вначале соотношение (9) для некото¬
рой специальной последовательности N(n)..Пусть tn > 0 - последователь¬
ность целых чисел, сходящаяся к некоторому 0 < t < 1. Определим N(n)
как целую часть величины ntn. Тогда N(n)!n -+ t при п -* оо. Из соотношения
(8) выводим, что
Е^п\а„+Ь„х)-+Н1(х)	(«->-).
С другой стороны, из леммы 6.2.3 следует соотношение
EN<n\aN(n) +bN(n-)x)->H(x) (и ->оо).
Используя лемму 2.2.3, получаем справедливость соотношний (9) для на¬
шей конкретной последовательности. В случае произвольной последова¬
тельности N(ri), удовлетворяющей нашим предположениям, мы можем дей¬
ствовать следующим образом. Учитывая, что имеются лишь три возможно¬
сти для предельной функции в соотношении (8), нетрудно убедиться, что
Bt и At — непрерывные и монотонные функции t (действительно, At мо¬
жет быть либо нулем, либо log г, а В t = t5, причем $ = 0 в случае функции
#з,о (*)). Из стандартных рассуждений следует, что для любой точки веро¬
ятностного пространства, для которой выполняются неравенства
справедливо соотношение
Bs - 6 <
Ъп
bN(n)
< в5.+ 8
Для всех достаточно больших п, где 8 > 0 выбрано произвольно. Вновь вы-
253

бирая у i < yf так, чтобы выполнялось соотношение Р(^, <т<^2} > 1-е,
и взяв точки yt = s0 <	< ••• < sm — у2 таким образом, чтобы \BS. —
— Bs. | < 6, мы придем к неравенствам
-Вт I >35 | <
<	S	р(1 —	Яг|>36,sz_!	}+е <
I4i<m " bN(n)	1	’
<	S	p(l——	Вт I > 36, S,_1 < т< Sj, Si_ 1 <N(n)/n <Si | +
Ki<m '• bN(n)	1	‘
+ S	i < т < Sj) П (N(n)/n € [s,_ j, s,)) ) + e.
1 < i C m
Слагаемые второй суммы, как нетрудно убедиться, стремятся к нулю при
п-+ оо. С другой стороны, каждое слагаемое первой суммы становится рав¬
ным нулю, начиная с некоторого достаточно большого п (а не только в
пределе). Действительно, из монотонности Bt и выбора величин s, (0</<м)
следует, что при всех достаточно больших п выполняются неравенства
Ьп
Ь/У(п)
^-Вт
<\BS.-B5i_i 1 + 2606,
если только sz^i <N(ri)/n Cs/.Тем самым завершено доказательство пер¬
вого из соотношений (9). Доказательство второго из этих соотношений
аналогично, поэтому мы не будем приводить вторично детали этого дока¬
зательства. Справедливость леммы установлена. ▲
Теперь мы вернемся к доказательству теоремы 6.2.1.
Доказательство теоремы 6.2.1. Пусть s0 < $i < ... < sm -
фиксированные вещественные числа. Рассмотрим следующие события:
DQ = {т < sQ},Dk = {Sfc_i <r<sk} (1	иDm + l = {т > sm }. По
лемме 6.2.3 справедливо соотношение
Р{(?ЛГ(л) < aN(n) + ^V(h)-*) Cl Dk} “►//(x)P(Dfc)
(Ю)
для 0 <fc<m + l. Перепишем отношение (£дг(и) ~ аМл))/^У(и) ввиде
zN(n) - ДЛЧк) _ zN(n) - “п Ьп * ап - ддг(л)
Ьщп)	Ьп	Ьх(П)
= £у(л) - а„ в* +а* Г_Ьп_ _B\ZN(n\-an ian-aN{n)_A
bn	' Ьм(П) f bn	' Ьщп)
(П)
Из (9) следует, что последнее слагаемое в правой части соотношения (11)
стремится к нулю по вероятности. Докажем теперь, что то же верно и для
предпоследнего слагаемого. Действительно, при произвольном г справед
254

ливо неравенство
^N(n) - Ди
Ьп
1 tP(|-A _Вг >х1
'I b„ I ’	11 <«(»>	'1
Второе слагаемое в последнем неравенстве стремится к нулю в силу (9).
Первое из равенств (11) вместе с утверждением леммы 6.2.3 и соотноше¬
нием (9) дают нам соотношение
р(|^Н- —>■
Таким образом, учитывая лемму 2.2.1 и соотношение (10), мы получаем
равенство
lim р{(	BT+AT<x\f}Dk] = H(x)P{Dk}	(12)
Л"*»	Ьп
Зафиксируем при всех 1 < к < т точки s {к) так, чтобы выполнялись нера¬
венства J*_ 1 < s (£) <$£. Тогда из соотношения для A t и Вti полученного
в лемме 6.2.4, и равенства (12) следует, что
р{( —g” ВТ + АТ <As(k) +BS(kyX	^P{Dk}Hs^(x)
при и-> оо. Теперь из непрерывности функций Н(х), A t иВ( >0 выводим,
что если точки sjt-1 sk достаточно близки, то для любого 1 < £ < m при
достаточно больших п выполняется неравенство
р{(~7~ ап <x)nD*) -^°k}ns(k4x)
Если выбрать точки s0 и sm таким образом, чтобы выполнялось неравенство
P{D0) +P(DW + 1) <e,
то величина
будет отличаться от суммы
S Я5<*>(х)Р{Р*}
1 < к < m
при всех достаточно больших п не более чем на 2е . Последняя сумма пред¬
ставляет собой сумму Римана для интеграла
sm
f Ht(x)dP{r<t}.
255

Поэтому при всех достаточно больших п выполняется неравенство
\?{ZN{n}<an + bnx}- ~ Wr(x)dP{r<0l<3e.
— оо
Учитывая произвольность выбора е > 0 и устремляя п к бесконечности,
получим справедливость соотношения (2), что нам и требовалось доказать. ▲
Трудность доказательства связана с тем, что у нас нет ограничений, свя¬
занных со взаимоотношением величин N(n) и Xif Х2,..., и что константы ап
и Ьп не соответствуют случайному объему выборки N(ri), Если бы мы хоте¬
ли ограничиться центрирующими и нормирующими константами длг(Л) и
^/V(W), нам хватило бы леммы 6.2.3. Однако такая теорема не совсем нас
устраивает, так как она не дает ясного представления о поведении величи¬
ны 2дг(н).
Если последовательность Xif Х2, ... и величина N(п) независимы, то мож¬
но получить более точные утверждения о величине ZN(ny Ряд пре¬
дельных теорем можно объединить, как это делается в следующей схе¬
ме, в одну.
Пусть Xj п (1 < / </У(и)) - независимые случайные величины с общей
функцией распределения Fn(x) и N(n) -Положительная целочисленная
случайная величина, распределенная независимо от величин Xj п. Пусть
(х) - число таких / < N(n), для которьгх Xjn > х. В силу формулы пол¬
ной вероятности имеем
Р{р„(х) = <) = S <7/(1 -F?J(x)),F/-,(x)P{A<(»)=/) *
/=1
= / <7/(1 -F„(x))zF,<-f(xMP{M«)<j}.
О
Через	обозначим r-ю порядковую статистику, построенную по вели¬
чинам Xj п (1 </ <N(ri)). Из теоремы 3.4.2b и часто используемого соот-
• ношения
РК")„)_Л;^„)<х} = Д Р{р„(х) = г)
немедленно получаем следующий результат.
Теорема 6.2.2. Пусть Xjn (1 </ <У(л)) - независимые случайные
величины с общей функцией распределения Fn(x) и N(n) - положитель¬
ная целочисленная случайная величина, распределенная независимо от по¬
следовательности Xj n (1 </ <7У(и)). Пусть ап и Ьп > 0 — последователь¬
ности вещественных чисел такие, что Fn{an +bnx) 1 для любого х при
п-^^. Для каждого фиксированного к предел
lim Р{Х^	<ап + Ьпх} = £^(х)
п -* <»
существует тогда и только тогда, когда существует предел
lim pLv(h)<			\ = U(u,x).
„оо I	1 — Fn(an + bnx) J
256

Пределы Ек(х) и U(u,x) связаны формулой
Ек(х)= Ъ ± S u'eSdUtu.x).
Г= О О
(13}
Если последовательности апи Ъп характеризуют экстремумы в смысле соот¬
ношений (39) и (40) главы 3, то U(u,x) является собственной функцией
распределения.
Вычислим функцию U(u\x) в случае, когда Fn = Е для каждого ли вы¬
полняется соотношение N(n)/n т, где т - некоторая положительная слу¬
чайная величина. Пусть ап и Ьн таковы, что при и -► «> справедливо соотно¬
шение
л( 1 - F(an + bn х)) -> Л(х),	(14)
где 0 < h(x) < оо на некотором интервале (а, а?) (не обязательно конеч¬
ном) . Тогда, принимая во внимание лемму 2.2.1, мы получаем
U(u;x) = lim рк(л)/п< —		—-) =
’	и(1 -b(an +bnx)) I
= lim Р (Мл)/п < ——] = р[ т < ——1.
„-.«о I	fi(x)l I A(x)J
Воспользуемся теоремой 6.2.1, взяв Н(х) — е~1,(х^ (из главы 2 мы знаем,
что соотношение (14) эквивалентно тому, что функция распределения ве¬
личины (Zn - ап)!Ьп сходится к функции//(х) = е	. Тогда мы при¬
дем к соотношению
£о(х)= / e udU(u;x)= f e-v',(x)dP{7 <у).
О	о
Если Р{т = 1 } = 1, то Eq(x) = Н(х).
§ 6.3. Рекордные моменты
Мы обратимся сейчас к изучению специфической последовательности
N(n) (п ^ 1) в качестве объема выборки и соответствующего максиму¬
ма Z/v(n). Пусть Х2, . . . - независимые случайные величины с общей
непрерывной функцией распределения Е(х). Пусть N( 1) = 1, а для п > 2
определим величину N(n) соотношением
М(п) = min{/: /> N(n 1), Xj>XN<„. н}.	(15)
Отсюда сразу следует, что Р {N(n)	= I и последовательность Ркп =
= Р{/У(и) = к } для каждого п соответствует собственному распределению.
Замечание 6.3.1. Последовательности N(n) и XN^tly можно интер¬
претировать следующим образом. Рассмотрим бесконечную последователь¬
ность Хх, Х2, . . . независимых случайных величин с общей функцией
распределения F(x), которая предполагается непрерывной. Просмотрим
последовательность Х2, . . . , с гем чтобы выбрать все большие и
больщие величины. Очевидно, первой наибольшей величиной является
257

Хх. Затем при любом т таком, что Zm=XXi мы отбрасываем величины
Х2,... , Хт и оставляем в нашей последовательности ту величину X
(обозначим ее X/vp)), начиная с которой выполняется неравенство Zm >
>Хх. Затем продолжим этот процесс. Другими словами, изучение величи¬
ны N(ri) дает нам информацию о положении тех наблюдений, которые из¬
меняют величину Zm (учитывая непрерывность функции распределения,
на возможность равенства величин можно не обращать внимания). Таким
образом, величины XN^ny = ZN^ny располагаются в возрастающем поряд¬
ке: Zi <Z^(j) < . ..
Рассмотрим в качестве примера конкретный случай. Пусть Xj - подъем
уровня данной реки весной /-го года, вызванный таянием снега. Мы можем
считать, что Xj независимы и одинаково распределены. Если наблюдения
велись, скажем, с 1900 года, то подъем уровня воды, измеренный в этом
году, можно обозначить как Хх = Ar/v(i)- Если записи показывают, что
до 1936 года уровень реки был ниже, чем в 1900 году, а таяние снега весной
1936 года ознаменовалась большим наводнением, то это означает, что
М2) = 37 и т.д.
Последующие теоремы покажут, что последовательность Ztn меняется
очень медленно по мере возрастания т.
Мы будем использовать следующие термины для последовательностей
N(n) и XN(n).
Определение 6.3.1 Последовательность N(n) (п> 1), определен¬
ная соотношением (15), называется последовательностью рекордных мо¬
ментов. Соответствующие значения X, т.е. XN^ny-ZN^ny называются
рекордами.
Можно определить рекорды и рекордные моменты, заменив неравен¬
ства в соотношении (15) на противоположные. В этой ситуации мы будем
говорить о нижних рекордах, называя для сравнения рекорды из предыду¬
щего определения верхними рекордами. Поскольку мы будем рассматри¬
вать только верхние рекорды (теория для нижних рекордов будет та¬
кой же), мы не будем употреблять эти последние термины и будем исполь¬
зовать понятия рекордов и рекордных моментов в соответствии с опре¬
делением 6.3.1.
Лемма 6.3.1. Распределение величины N(n) не зависит от функции
распределения F(x).
Доказательство. Лемма очевидна, и мы приводим ее лишь для
простоты ссылок. Действительно, если	то F(Xj)>F(Xt), но
последовательность величин F{Xj) представляет собой последовательность
независимых равномерно распределенных на отрезке (0, 1) случайных
величин. Поэтому для произвольных непрерывных функций распределения
F(x) величину N(n) можно определить с помощью соотношения (15),
предполагая дополнительно, что величины Xj независимы и равномерно
распределены на отрезке (0, 1). Лемма доказана, а
Теорема 6.3.1 Случайная величина N(2) принимает целые значения
j> 2 с вероя тностями
Р{М2) = /} =
Следовательно, EN(n) = °° для л > 2.
258

Доказательство. Пусть Х\, Х2, ... - независимые равномерно
распределенные на отрезке (0, 1) случайные величины. Тогда непрерывный
вариант формулы полной вероятности (см. П I) позволяет получить для
j > 2 равенства
• PpV(2)=/| = /Р{М2)=/|Х1 =x]dx =
О
2(1 x)dx =

/ - 1
1 _ 1
/ /(/-1)
Отсюда следует, что
ЕУ(2) = S2/P(/V(2)=/J= оо.
Доказательство завершится, если учесть, что	7V(2) для и > 2. а
Смысл теоремы 6.3.1 состоит в следующем. Если некоторому стихийно¬
му бедствию соответствовало некоторое наблюдаемое значение Хг, то спра¬
ведливы следующие два утверждения. Вероятность того, что величина Х2 за¬
фиксирует еще большее стихийное бедствие, равна 1/2, но среднее время
ожидания более сильного бедствия равно бесконечности.
Теорема 6.3.2. Последовательность N(n) (п> 2) образует цепь
Маркова, т.е. выполняется соотношение
Р{;¥(и)= Л|М/) = Л, 2<г<л} = P{N(n) = k\N(n - 1)=/„. J
для всех таких векторов (j2,.. . , /п >) , которым соответствует положи¬
тельная вероятность условия в левой части равенства. При этом условные
вероятности
V{N(n) = k\N(n - 1)=/}
равны j/(k(k - 1)), если k>j>n — 1 > 2, и равны нулю при других зна¬
чениях j и к.
Доказательство. Мы вновь обратимся к лемме 6.3.1 и рассмот¬
рим последовательность независимых случайных величин Хх,Х2,... с
общей функцией распределения F(x) такой, что F(x) = x для 0<х<1.
Для однородности обозначений возьмем j} = 1. Тогда по формуле полной
вероятности для jf> jг }, г > 2 имеем
₽W) = Л, 2 < t < п } =
1 1
= /.../ Р{Л'( t) = fr. 2 < t < п | Xit =xr, \ <t<n - \}dxi.. ,dxn. t =
о о
0<v,<.	<*„_!< 1
•••	-Xn-tidXt ... dx^t =
= [(/2 - 1)(Л - 1).	-!)(/„ - 1)/„ ] •’ .
259

Отсюда следует, что
Р(м») = Л.1М0 = it, 2<t'<n} =
= P{/V(n) = к, N(t) =jt, 2<t< n) I P{N(t) =	2<t<n} =
~ in 1/(/п(/п ~ 1))>
если jt > ft t > 2, и теорема доказана, a
Из теорем 6.3.1 и 6.3.2 можно с помощью формулы полной вероят¬
ности найти распределение величины N(n). Например,
P{/V(3) = *} = S РНЗ) = Л|М2)=/)Р{М2) = /} =
/=2
/-2 к(к - 1)	/(/ - 1) к(к - 1) r=i t
Теорема 6.3.3. Пусть М(п) = N(n)/N(n - 1) для п>2, и определим
величину Т(п) соотношением
Т(п) - 1 < М(п)<Т(п).	(16)
Тогда случайные величины Т(п) (л > 2) независимы и одинаково распре¬
делены, причем
P{T(n) = f} = —Ц-	(/>2).
/(/- О
Доказательство. Учитывая соотношение (16), видим, что собы¬
тия {Г(л) >/) и {М(п) > f} совпадают при любом целом /. Таким об¬
разом, для целых ik > 1 справедливы равенства
P{7(Jt)>A, 2<к<п} = P{M(k)>jk, 2<к<п} =
= P(MJt) > jkN(k - 1),	2<*<и).	(17)
Если мы перепишем крайнюю правую из вероятностей, входящих в соот¬
ношение (17), в виде суммы
SP{M*) = r*,	2<*<л-1,	/У(л)>/пг^1),	,	(18)
где суммирование ведется по всем значениям (t2, t3f... , t„ j) таким,
что t2 >/2 и tk>fktk1 (3 < к < п - 1), и применим теорему 6.3.2
к слагаемым, входящим в эту сумму, то сможем получить рекуррентную
формулу для вероятностей Р{Т(к) >j\, 2 < к < п}. Действительно,
P{N(k) = tk, 2<к<п	1,	N(n)>i„t„ t} =
= Z P{N(k)= tk, 2<Л<л - 1, N(n) = s } =
'"/n'n i + '
= P{N(k) = tk, 2<k<n 1} S	A_L_ =
t = /„rn_l + i s(s- В
= РШ) = tk, 2 < * < л - 1}.
260

Из полученных соотношений и равенств (17) мы выводим, что
Р{Т(к)>/к,	2<*<л}=	— Р{Т(Л)>/*,	2<к<п	1}.
/л
Отсюда по индукции получим следующую формулу:
Р{Т(к)>}к,	2<к<п} » (/2/3. ./„)■'.	(19)
Если возьмем /г = 1 для t к, 2 < t<n, то придем к соотношению
P(7U) >jk } =№ (Д>1).	(20)
Равенства (19) и (20) эквивалентны утверждению теоремы 6.3.3. ▲
Из теоремы 6.3.3 следует ряд интересных результатов.
Следствие 6.3.1. Пусть Д(п) = N(n) -N(n - 1) (п> 2). Тогда
Д(")
Е —	’	 = <».
N(n - 1)
Доказательство. Справедливо следующее соотношение:
Д(л)
—	~ = М(п) - 1 > Т(п) - 2,	(21)
N(n - 1)
из которого, учитывая теорему 6.3.3, получаем сделанное утверждение, л
Следствие 6.3.2. С вероятностью единица выполняется следующее
предельное соотношение :
log Д(л) - log Мл	1)
lim sup	 = 1.	(22)
л-*«>	log л
Вернемся к соотношению (21). Учитывая, что для любых целых / собы¬
тия {М(п) >/ } и { Т(л) >/} совпадают, приходим к равенству
Р{Л/(л) > /(л) б.ч.} = Р{Т(л) > /(л) б.ч.}
для любой последовательности целых чисел /(л). Величины Тп по теоре¬
ме 6.3.3 независимы, и мы можем применить леммы Бореля - Кантелли
из § 4.2 (леммы 4.2.1 и 4.2.3). Поскольку справедливы соотношения
X Р{Т(л)>л}=«> и 2 ?{Т(п)> л (log л)2} < <»,
И = 2	п = 2
получим, что с вероятностью единица
Г(л)>л б.ч. и Г(л) < n(Iog л )2 для всех достаточно больших л.
Переход от величины n(logn)2 к ее целой части не скажется на приведен¬
ных верхних оценках. Поэтому соответствующие неравенства справедливы
и для величин М(п), что является несколько более сильным фактом, чем
соотношение (22). Следствие доказано, а
Лемма 6.3.2. Для п>3 и всех вещественных s>0 справедливо
неравенство
Р{М(п) < ] + $} < 2s.
261

Доказательство Формула полной вероятности и очевидные не¬
равенства N(n) > п позволяют нам вывести равенства
Р{Л/(и)<1+$} = S Р{М(п)< 1 + s\N(n - })=j}P{N(n - 1) =/} =
j=n- 1
= S t P{N(n) = k\N(n - ])=j} P{N(n -
j~n- ] к = j + 1
где [у] означает целую часть величины у. Обращаясь к теореме 6.3.2,
мы получаем равенство
р{л/(и)<1+О=	2 iP{N(n- 1)=/} (— - rzi1 - ■■■■) .
Остается заметить, что
,7-1 - —
' I Kl+sW'l/ <1 +D/-1
п -
15 -
1
1S

S
S
,2
(предпоследнее из этих неравенств справедливо при j>n — 1). Доказатель¬
ство завершено. ▲
Следствие 6.3.3 С вероятностью единица справедливо следующее
предельное соотношение'.
I log Д(п) — logA'(« - 1)|
lim sup		 1.	(23)
п -* 00	log п
Доказательство. Из соотношения (21) и леммы 6.3.2 следуют
неравенства
p|^L.
^N(n- 1)
Суммируя левые части этих неравенств при всех и > 3, мы получаем схо
дящийся ряд. Из леммы 4.2.1 имеем
( Д(и)	1	)
Р {	 > 	1—	для всех достаточно больших п ? = 1.
\N(n-4) и log2 и	J
Отсюда вытекает, что с вероятностью единица выполняется неравенство
log Д(и) - logjV(w - 1)
lim inf	 > — 1.
logrt
Принимая во внимание соотношение (22), получаем равенство (23). След¬
ствие доказано. ▲
Соотношение (22) позволяет показать, что одинаковые предельные
соотношения справедливы для величин logA(n) и logjV(n — 1). Для изуче¬
ния последней величины полезной будет следующая лемма.
Лемма 6.3.3. Определим случайные величины ек (к >2) следующим
образом. ек = 1, если существует такое п > 2, что N(n) = к, и ек = 0 в
262

противном случае. Величины е2, е3,. . . независимы, и
р{гА- = 1} = }/к.
До к азате л ьс тво. Рассмотрим событие ек = 1. Оно эквивалентно
тому, что Xj < Хк для всех / < к. Предполагая, что случайные величины
Х2, . . . равномерно распределены на отрезке (0, 1) (см. лемму 6.3.1),
получаем
F{q = 1) = fP{Xf<Xk, Kj<k]Xk=x}dx = } хк~ 'dx = — .
о	ok
Рассмотрим теперь целые числа 2<кг <к2 <... <кщ. Событие {ек. = 1,
означает, что X/<Xk.f для любого ]<кг Отсюда находим
=1, 1 < t < m } =
i i
= f ... f = 1,	}	m\Xkj=xt, 1 < t } dx}. .. dxT =
о о
=	хк,~'х22~к'~'... xk’ kt l~} dxtdx2.. .dxt.
0< A J < .	. <Xf< 1
Доказательство завершено, a
Учитывая лемму 6.3.3 и соотношение
P{/V(n)>r}= Р{е, + е2 + ... + е,<л),	(24)
можно получить большое число предельных теорем для величины N(ri).
Действительно, поскольку
Д 1
S	log и
к=\ к
при n -► мы получаем соотношения
6*1 + ^2 + . . . + et
P( lim
oo
log Г
e} + e2 + ... + er — logr |
(2 log t log log log t)~ /2
(25)
(26)
(27)
где Ф(х) — стандартная нормальная функция распределения. Далее, соот¬
ношение (26) можно дополнить, заметив верхний предел нижним, а едини¬
цу в правой части выражения, стоящего под знаком вероятности, заменив
на минус единицу. Предельные соотношения (25) и (27) получаются стан¬
дартным образом, а соотношение (26) также хорошо известно, хотя его
Доказательство несколько сложнее (см. П1). Теперь мы можем получить
следующие результаты.
263

Теорема 6.3.4. С вероятностью единица справедливы равенства
Ao%N(n)	logA(n)
lim 	 = lim 	= 1.
„ -к оо	П	п -»■ оо	П
Доказательство. Из соотношений (24) и (25) следует, что с ве¬
роятностью единица для всех достаточно больших п выполняются нера¬
венства
(1 - е)л <logiV(w)<(l +е)и,
где с > 0 произвольно. Отсюда получаем справедливость утверждения для
величины А(п), а затем, используя равенство (23), получим и утвержде¬
ние для величины Д (и). Доказательство завершено, а
Теорема 6.3.5. Справедливы следующие предельные соотношения:
(logAr(n) - п 1	flogA(n) - п )
lim Р - - Д-		 < х = lim Р - -ЦД	< х = Ф(х).
п 00 V у/П	'	п-*-« v х/п	*
Доказательство. Достаточно доказать утверждение для величины
N(ri), так как
logd(n) п logA(n) - logA;(n 1) logA^n 1) -п
х/гГ	xfr
и первое слагаемое в правой части стремится к нулю ввиду соотноше¬
ния (23), а следовательно, по лемме 2.2.1, оно не оказывает влияния на
асимптотическое распределение.
Для доказательства предельного соотношения для величины N(n) возь¬
мем t в равенстве (24) равным целой части величины ехр(л + х\/л). Тог¬
да при п имеет место равенство
п = log t - x\/bgr1 + O((logr)_ ^2).
Теперь из соотношения (27) и леммы 2.2.1 получаем, что
lim Р {logN(n) > п + x\/n } = Ф( х) = 1 - Ф(х).
п -* <*>
Доказательство завершено, л
Подобное простое преобразование позволяет из соотношения (26) вы¬
вести равенство
log Мп) - п
lim sup 	1	— = 1.
(2nloglogn)l/2
которое выполняется с вероятностью единица. Учитывая следствие 6.3.3,
получаем, что аналогичное соотношение справедливо и для величины
logA(n).
§ 6.4. Рекорды
Перейдем к изучению рекордов (см. определений 6.3.1). На протяжении
этого параграфа будем полагать, что Х2, . • .	- независимые слу¬
чайные величины с общей непрерывной функцией распределения F(x),
N(n) (и > 1) - рекордные моменты и А\ (Л) - сами рекорды.
264

Из результатов для величины N(n), полученных в предыдущем парагра¬
фе, следует, что рекорды при больших п встречаются редко. Поэтому
асимптотическая теория для этих величин имеет не очень существенное
значение для специалистов-прикладников. Однако эта теория интересна с
математической точки зрения, что и оправдывает ее столь подробное об¬
суждение.
Из определения ясно, что XN(n) = ZN^ny Может возникнуть мнение,
что если есть сходимость, то величина (Хщп) - Ап)/Вп, где Ап и Вп > 0 -
подходящим образом выбранные константы, слабо сходится к смеси
распределений, как в соотношении (2). Удивительно то, что это не так.
В отличие от результатов § 6.2, предельное распределение величины
(XN(n) - Ап)/Вп Тесно связано с нормальным распределением. Причины
этого лучше всего видеть, рассматривая конкретный случай : F(x) = 1 -е х
(х > 0). Для этого распределения справедлив следующий результат.
Теорема 6.4.1. Пусть F(x) = 1 - е * (х > 0), X/v(«) (и > О -
рекорды, и пусть Yx = XN^y = Х{, Yj = XN^ - Xj^y	Тогда
величины Ylf Y2, . . . независимы и их общей функцией распределения
является та же самая функция F(x).
Доказательство. Рассмотрим вначале совместное распределение
величин У] и У2:
Р{У,<х, Y2<y} = £ Р{У, <х, Y2<y, N(2) = j} =
/=2
= S Р{Х, <х, Xj-X.Cv, Xj>Xlf Xr<X}, 2<r</}.
/=2
Слагаемые в правой части легко можно найти, используя формулу
Р{л} =7 Р{А \Xt = z} е ~2 dz,	(28)
О
справедливую для произвольного события А (см.П1) . При условии X{=z,
упомянутое слагаемое равно нулю, если х <z, а для х > z оно равно
(F[y +z)-F(z))Fi 2(z) = e~z(\ - e y)(\ - е ~2У 2.
Отсюда следует, что
Р{У] <х, У2 <У } = £ J e-2(i
- е ■и)(1 - е z)f 2 е z dz
/=2 о
X	оо
X
= (1 - e y) f S (1 -e zy~ 2 e 2z dz = (1 - e y) f e z dz =
о /= 2	о
= (1 — e’ y)(l -e~ x)= F(x)F(y).
Таким образом, утверждение теоремы доказано для двух величин Yx и У2.
Доказательство в общем случае проводится аналогично, только выкладки
становятся более громоздкими. Мы вновь начинаем с равенства
P{Yt<yty	} = SP {Yr<yt,	1 < t < п},
гДе суммирование ведется по всевозможным наборам 1 = Л < /2 <*.. .<jn
Целых чисел. Затем применяем формулу (28) в векторной форме, беря
265

в качестве условия событие вида {X/f = zr, 1 < t < п}, где 0 < zi < z2 < . ..
. . . < zn _л. При таком условии слагаемое в правой части становится рав¬
ным нулю, если У\<2\ или yt+zt_x <zt, а в противном случае оно
равно
п (F(yt +*,_!) - F(zr_!	1 -1 (zt_ 1) =
r= 2
= П (1-е-у') П F,r/'",_1(z(_1)exp(-zf_1).
Г=2	t=2
Если теперь просуммировать эти слагаемые по всевозможным наборам
1 =/i </2 <... </и> домножить эту сумму на плотность, имеющую вид
exp(-Zj - z2 - .. . - zn_ j), и проинтегрировать по области, определяемой
неравенствами 0<z1<z2<...<z„_1nzr<zr_1+>yr (2 < Г < и - 1),
то получим нужный результат. Теорема доказана, а
Используя теорему 6.4.1, мы заключаем, что для стандартной экспонен¬
циальной совокупности справедливо равенство
XN{n} =	+ У2 + .. . + Г„,
где Yj — н.о.р. случайные величины. Из классической теории вероятностей
можно теперь получить асимптотическое распределение и результаты, свя¬
занные со сходимостью почти наверное, для надлежащим образом нормали¬
зованной величины . Например, справедливо предельнэе соотношение
lim Р [^(у--< х ) = Ф(х).	(29)
„-►оо I у/п	J
Теорема 6.4.1, содержащая характеризацию экспоненциального распре¬
деления (см. упр 7), является и основным средством для получения
результатов в случае произвольных распределений. Действительно, если
F(x) — произвольная непрерывная функция распределения, та случайные
величины
х;= -iog(i -Fix» (/>i)
независимы и имеют одно и то же стандартное экспоненциальное распреде¬
ление. Далее, приведенное выше преобразование переводит значение, ре¬
кордное для последовательности Xj, в рекордное значение для последо¬
вательности XJ. Точнее,если Up(x) = —log( 1 - Г(х)), то	= Up(X^{n)Y
Таким образом, мы получаем следующий общий результат.
Следствие 6.4.1. Пусть F(x) - произвольная непрерывная функция
распределения. При некоторых центрирующих и нормирующих константах Ап
и В„ > 0 существует невырожденный предел
lim	< А„ + Впх} = Т(х)
П~>°°
тогда и только тогда, когда существует и конечен на некотором интервале
предел
lim
UF(An + Впх) - п
= £(х) >
(30)
п -* оо
266

где функция g(x) имеет не менее двух точек роста. Если пределы сущест¬
вуют, то они связаны соотношением
Т(х) = Ф(£(х)).
Доказательство. Учитывая соотношение между величинами
Хдг(л) и („), мы получаем
{^JV(n) < Ап + Вп х ) ~ %N(n) < U р(Ап + Впх) } “
( $N(n) ~ п
I ч/Г
UF{An + Впх) — п
>Jn
<
Применяя (29) к величине	мы приходим к требуемому утвержде¬
нию.
Предельная функция g(x) в соотношении (30) может быть лишь трех
типов.
Теорема 6.4.2. Пределом g(x) в соотношении (30) может быть од¬
на из следующих трех функций: a)g(x)=x при всех х, b)g(x) = ylogx
при некотором у>0 и всех x>0u g(x) = —00 для х <0 и, наконец,
b)g(x) = 00 для х>0 и g(x) = -у log(-x) для х< 0, где у> 0 -произ¬
вольная константа.
Доказательство. Из соотношения (30) следует, что
UF(An +Впх} - п
(31)
при	Используя элементарное равенство а1 - Ь2 = (а Ь)(а + Ь),
мы замечаем, что поскольку
Uf(A„ + Впх) - п
= (V1/2 (А„ + В„х)-у/п)
и'У(Ап
+ Впх)+у/п
Л
сходится к g(x), а второй сомножитель в правой части этого равенства
в силу (31) сходится к 2, справедливо равенство
lim UP(An +Вгх)-у/п = -yg(x).	(32)
Л-* оо	Z
Пусть М = М(п) — ближайшее к величине ехр(\/и) целое число. Тогда
равенство (32) можно переписать следующим образом:
lim М(\ -Е\А*м +ВмхУ) = ехр(-^- g(x)],	(33)
м-*со	\	2	/
где
F*(x)= 1 — ехр(—{/J/2(x)),	(34)
Ам = Ап, В*м = Вп, а М и п однозначно определяют друг друга, как вид¬
но из определения величины М. Применив следствие 1.3.1, заключаем,
что функция F*(y), определенная выражением (34), принадлежит области
притяжения одной из предельных для максимума функций распределения
^(х) и функция ехр(- — g(x) j совпадает с функцией —Iog//(x). Отсюда
следует, что с точностью до линейных преобразований g(x) совпадает с
267

функцией -log(-log//(x)), где Н(х) - одна из функций Я1/у(х), Н2у(х)
или Я30(х). Доказательство завершено, а
Попутно мы обнаружили зависимость типа функции £(х), а следова¬
тельно, и функции Т(х) из следствия 6.4.1 от функции распределения
F*(x). Назовем функцию распределения <I>(71ogx) (х > О, 7 > 0) положи¬
тельной логнормальной, а функцию <I>(-71og(-x)) (х>0, 7>0) — отри¬
цательной логнормальной. Тогда предельная функция распределения
Ф(#(х)) является нормальной, положительной логнормальной или отри¬
цательной логнормальной в зависимости от того, принадлежит ли функция
F*(x), определенная выражением (34), области притяжения функции
Я3 0(х), Я1<7(х) или Н2у(х) соответственно.
Можно получить для величин XN^ слабые законы больших чисел и
результаты, связанные со сходимостью почти наверное. Для этого доста¬
точно использовать методы главы 4.
Если сравнить результаты для log N(ri) из предыдущего параграфа с ре¬
зультатами для рекордов Л\г(Л) при дополнительном предположении, что
F(x) = 1 - е х (х > 0) (теорема 6.4.1 и соотношение (29)), то можно за¬
метить поразительное сходство. Оно не случайно. Справедлив следующий
результат.
Т.е орема 6.4.3. Пусть F(x) =1 - е~х (х > 0). Тогда с вероятностью
единица справедливо соотношение
\\^N(n)-XN{n}\
lim sup	 = 1.
log п
Поскольку мы изучали по отдельности обе последовательности log N(n)
и XN(ny и методы, применяемые в каждом случае, были простыми, мы не
будем доказывать эту теорему подробно. Основным для получения приве¬
денного выше соотношения является свойство, заключающееся в условной
независимости величин N(n) при фиксированной последовательности
XN{k} (к > 1). Условная функция распределения величины N(n) определя¬
ется соотношением
P{N(n) > t | XN{k}, k> 1} =(1 -exp (-*„(„)))'.
Отсюда можно получить с помощью рассуждений типа леммы Бореля —
Кантелли, что
I log(M«)exp(-XN(„)))|
lim sup	— = 1
/i->«	log п
почти наверное для фиксированной последовательности (XN(k), к> 1} .
Поскольку верхний предел равен постоянной величине, тот же результат
получится, если последнее условие будет отброшено.
§ 6.5. Экстремальные процессы
Отходя от основных предположений настоящей книги, мы посвятим этот
параграф специальным случайным процессам с непрерывным временем,
называемым экстремальными процессами. Эти процессы получаются не¬
посредственно из последовательностей экстремумов, что и оправдывает
включение этой теории в настоящее изложение.
268

Пусть Xit Х2, . . . - последовательность случайных величин и, как обыч¬
но, Zn = max (Хь Х2,... , Хп). Пусть ап и Ьп > 0 — такие последова¬
тельности вещественных чисел, что функция распределения величины
(Zn - an)!bn сходится к некоторой невырожденной функции распределе¬
ния Я(х). Определим при t > 0 следующую величину:
zn(t) = (Zintl -an)lbn> если
zn(t) = (Xi - a„)/bn, если 0 < Г < 1/и,
где [.у] обозначает целую часть величины у. Мы назовем zn (г) процессом
частных максимумов. Предел z(t) процесса z„(f), если он существует в
указанном ниже смысле, называется экстремальным процессом.
Определение 6.5.1. Говорят, что процесс zn(t) сходится к пределу
z(t), если для любых к > 2 вещественных чисел 0 < tx < t2 < .. . < tk вы¬
полняется соотношение
lim ?{zn(tj) < xh 1	= ?{z(tj)<xh 1
П~*°°
во всех точках непрерывности правой части этого равенства.
Заметим, что функция распределения величины zn (1) всегда сходится к
функции Н(х) в силу нашего предположения. Таким образом, для любого
экстремального процесса справедливо равенство P{z(l) <х} =Н(х). Так
называемые маргинальные распределения Р (z(f) <х} также могут быть
определены для всех схем, рассмотренных в главе 3. Однако, поскольку
наша цель — заложить основы теории, мы ограничимся случаем независи¬
мых величин. Для некоторых других схем никакие изменения в ходе до¬
казательства не потребуются.
Итак, пусть Xi, Х2, . . . - независимые случайные величины с общей
функцией распределения F(x). Поскольку при достаточно больших п
и фиксированном t > 1 /п отношение [nt]/(nt) стремится к единице, по¬
лучаем
Р{zn(t) < х} -Я'(х)	(и- «).
Таким образом, P{z(7)<x} = //f(x). Аналогичным образом выводим,
что для всех 0 < tx <t2 < .. .< tk справедливо равенство
< Xj, 1</ < Л}=
(35)
где yj - min (х7, ху+хк). Действительно, подставляя Sj = [иrj , имеем
P{z„ (tj) < Xj , 1 </<£} =
= F’>(an + bn yi)FSi~s' (ап +b„y2) . . . FSk^k~l (an + b„ yk),
а из этого равенства следует соотношение (35), если учесть, что
sj/п -> и Fn(a„ + Ьпу) -> Н(у) (и->«>).
Возникает вопрос, существует ли случайный процесс (z(r), t >0} с ко¬
нечномерными распределениями, задаваемыми соотношениями .(35) .-Ответ
Утвердительный. Его существование следует из общей теории случайных
процессов. Это можно установить и конструктивно, что мы и проделаем.
269

Из соотношения (35) следует существование трех типов экстремальных
процессов z(Z), так как имеются три типа функций Н(х) (см. § 2.4). Для
обсуждения мы возьмем случай Н(х) = H3 q(x) . Все утверждения легко мо¬
гут быть преобразованы для двух других типов предельных распростра¬
нений.
Поскольку Н(х) = Я3 >0(х) и Нт(х} = Н(х - log t), то двумерные распре¬
деления процесса z(t) имеют вид
Я(хь х2) = Я(тш(хь х2) - log G)77(x2 — log(Г2 -G)).
Правая часть приведенного равенства представляет двумерную функцию
распределения экстремальных значений (см. § 5.4 и, в частности, формулы
(28а) -(32)). Если введем новые переменные их = хх log t и и2 = х2 log t2,
то можно переписать Н(их,и2) в виде
Я(ИЬ«2) = [Яз,о(«1)Я3(о(И2)] U(U1 \
где
1 -t\/t2 +max(er, t\/t2)
Из упр. 29 гл. 5 следует,что коэффициент корреляции p(ti9 t2) величин
z(tx) и z(t2) имеет вид
6 fi/r2 log г
PGi. ti) =	j f 		dr.
1Г о l -r
Поэтому процесс z(t) (t > 0) непрерывен и интегрируем в среднем квадра¬
тическом.
Вернемся к общему случаю. Пусть снова Я(х) представляет один из
трех типов предельных функций распределения.
Процесс z(t) (t>0) является марковским, и переходные вероятности
имеют вид
P{z(t2) < y\z(ti) = x} = Н'1 ('(у), если
и равны нулю, если х >у. Отсюда сразу получаем, что z(t) является ступен¬
чатой функцией. Покажем теперь, что
Р<2(У1) < z(r2)} = l - ti/t2 ,
если 0 < tx < f2. Докажем этот факт, вспомнив определение функции
z(t). Начнем с последовательности независимых случайных величин Хх,
X2i . . . , имеющих общую функцию распределения F(x), вычислим веро¬
ятность Р {zn(tx) <zM(r2)} и устремим п к бесконечности. Заметим, что
zn(tx)	тогда и только тогда, когда рекордным моментом являет¬
ся некоторое целое к такое, что [иГ1 ] < fc < \nt2 ]. Пусть случайная величи¬
на ек равна единице или нулю в зависимости от того, имеет ли место ра¬
венство Хк -Zk или нет. Из леммы 6.3.3 следует, что величины{ ек } неза¬
висимы и P{efc = 1} = 1/fc. Поэтому получаем
P{z„(f,)< 2„(r2)}=p(	S	ек >
||пх, ] + 1<*<[иг2 ]
ИЧР /	1\
= l-P{efc=0, («/,]<*< [пГ2] }= 1 - П 11 - —),
к = [ п г' 1 + 1 \ к /
270

что стремится к 1 — G/G, как легко установить, используя соотношения
т2 1	Т2
Ё — log		(Гь Т2 -* °°)
л=г1 к	Л
и
1 -х ~~ е~ х (х ->0).
Использованные выше рассуждения позволяют заключить, что при 0 < t! <
< t2 < ... < tk события	z(tj_Y)} (2</<Л) являются независи¬
мыми и имеют соответственно вероятности, равные 1 —	Возьмем
tj = Т\ + (Т2 - 7\) (/ - \)/к (1 </<£), где Т\ < Т2 фиксированные по¬
ложительные вещественные числа. Тогда число vk тех1</<£, для ко¬
торых z(tj) >	стремится при к-+°° к числу точек разрываz(t) на
отрезке (Т\,Т2). С другой стороны, величина vk равна сумме индикато¬
ров Ij событий {z(tj) > z(tj_x)}, которые, как было уже доказано, явля¬
ются независимыми. Из наших построений получаем справедливость соот¬
ношений
max Р{/, = 1} -> О, S Р{L = 1} -> log —— (к -> °°).
1</<*	/=1	Ti
Отсюда следует равенство
lim
°°
РЬ‘	Т, 	т’

Суммируя сказанное, мы получаем, что число точек разрыва в любом ко¬
нечном интервале (Ть Т2) имеет пуассоновское распределение с парамет¬
ром log (T2/Ti). Подобные рассуждения приводят нас к следующему ре¬
зультату. Если Ti > т2 > ... — последовательные точки разрываz(t) на ин¬
тервале 0 < t < Т, взятые в обратном направлении от Г к нулю, то величи¬
ны т^Т и TjjTj_! (/>2) независимы и имеют равномерное на интервале
(О, 1) распределение. Этот факт наряду с марковским свойством процес¬
са z(t) дает следующее представление для z(t) в случае, когда P(z(r) < х}=
= Я3>0(х) . Пусть величина Ys имеет функцию распределения Я3>0(х - log $)
при s > 0. Пусть Uj и Vj (/ > 1) — независимые случайные величины, имею¬
щие стандартное экспоненциальное распределение, и пусть эти величины
не зависят от Ys. Определим следующие суммы:
s0 =	+ t/yexp(X + И + . . . +	(/> 1),
а сумму, которая не содержит слагаемых, положим равной нулю. Тогда
имеет место представление
*(') = Ys + V, + V2 + . . . + Vf_t
(36)
Для s7__! <sj. Это представление автоматически преобразовывается в
представления для процесса z(t) в случае двух других предельных типов
распределений, если воспользоваться преобразованиями, переводящими
Функцию Я3 0(х) в другие предельные функции распределения.
Материал, приведенный здесь, является введением в теорию экстремаль¬
ных процессов. Из числа возможных направлений мы выбрали те, которые
теснее всего связаны с методами предыдущих napai рафов и глав.
271

Теория экстремальных процессов еще недостаточно развита. Эта теория
станет весьма полезной, если удастся получить так называемый принцип
инвариантности, с помощью которого можно будет свести доказательства
предельных теорем к рассмотрению некоторых конкретных функций рас¬
пределения F(x). Пока такой принцип инвариантности не получен, представ¬
ления вида (36) дают нам новые аналитические средства для получения
предельных теорем.
§ 6.6. Обзор литературы
Для того чтобы подойти к проблеме экстремумов для выборок случайного объема,
мы рассмотрели вначале одну модель из теории очередей, используя подход, предло¬
женный Хейди (1971). Мы не планируем давать обзор литературы по теории очередей.
Основы этой теории можно найти в книге Прабху (1965), а большое число новых
ссылок имеется в обзоре Такача (см. главу 3). Упомянем, однако, здесь работу Коэна
(1967), в которой свойство, выполнение которого предполагается в упр. 1, доказано
для модели из § 6.1. Следовательно, имеет место предельное соотношение (1). Дру¬
гое применение - в теории надежности - имеется в работе Кэнфилда и Боргмана
(1975).
Метод доказательства из § 6.2 принадлежит Модьероди (1967), хотя сам результат
был впервые получен Барндорфом-Нильсеном (1964) - теорема 6.2.1. Модьероди по¬
лучил также обобщение теоремы, в котором рассматривалась случайная величина
(Z/v(n) - дМ(л))/^М(и)» ГДС М (л) ~ другая случайная величина. Этот результат сам по
себе не представляет для нас интереса, так как величина М(п) может оказывать слиш¬
ком сильное влияние на все выражение, однако примененный метод является полез¬
ным, так как широкий класс статистик сводится к такому виду. Метод Модьероди
основан на результате Реньи (1963), который имеет широкое поле возможных при¬
менений. Один специальный случай был рассмотрен Рихтером (1965). Метод Модьеро¬
ди и его результат обобщены Галамбошем (1973b) на случай зависимых выборок,
представляющих специальный класс ^последовательностей, которые были введены
в § 3.9. Одна из теорем Галамбоша обобщена в работе Роотцена (1974) для более
широкого класса зависимых систем.
Кон и Пэйкес (1977) установили интересную связь между некоторыми предельны¬
ми теоремами для простого процесса Гальтона - Ватсона и теорией для максимумов
в случае выборок случайного объема.
Для случая, когда величина N(n) предполагается независимой от величин Xlt
Х2, ... , первый общий результат был получен Берманом (1964). Он сознавал, что
та же самая техника работает и в случае экстремумов симметрично зависимых вели¬
чин, но не объединил эти две теории. Это сделано в работе Галамбоша (1975е), кото:
рый вывел оба результата из одной теоремы о пределах для смесей. Следует отметить,
что этот результат применим к общим последовательностям (см. главу 3,в частности,
обзорный параграф). Отмеченная выше работа обобщает результаты Бермана и ре¬
зультаты Томаса (1972). Некоторые теоремы могут быть выведены из результатов
Гуйасу (1971). Хотя эти теоремы и не представят обобщения утверждений для вели¬
чины Z„, преимущество метода этой работы состоит в том, что можно рассматри¬
вать все экстремумы в одной теореме. В работе Дзюбдзелы (1972) исследуются
А-е экстремумы для выборок случайного объема.
Теория рекордных моментов началась с работы Чендлера (1952) и Фостера и
Стьюарта (1954). В этих работах были получены классические теоремы для последо¬
вательности N(n), но тот факт, что E7V(2) = не способствовал продолжению этих ра¬
бот. Хотя такое отношение к этим работам со стороны статистиков понятно, теорети¬
ческий смысл результатов оправдывает продолжение исследований в этом направле¬
нии. Эта теория показывает, как меняются экстремальные значения (см. замеча¬
ние 6.3.1). Кроме того, эта теория вызвала к жизни работы и дала методы, приме¬
нимые также и в других областях теории вероятностей. Развитие теории началось
с доказательства Реньи (1962) леммы 6.3.3, фактически содержащегося также в ра¬
боте Двасса (1960). Все предшествующие результаты следовали из нее, и некоторые
новые получались с се помощью сравнительно легко. Ньюте (1967) установил доволь¬
272

но неожиданный результат - тесную связь величин Д(л) и N(n - 1). После этого тео¬
рия развивалась очень быстро. Работы Шоррока (1972 а, b и 1973), Холмса и Стродер-
мана (1959), Стродермана и Холмса (1970), Верваата (1972), Галамбоша и Сенеты
(1975) и Уильямса (1973) содержали новые результаты и пролили новый свет на эту
теорию. Мы использовали подход Галамбоша и Сенеты, который привел к теореме
6.3.3. Из него сразу следует тесная связь величин Д(л) и N(n - 1). Этот метод элемен¬
тарнее других известных, но не будем утверждать, что он лучший, так как можно при¬
менять для исследований более глубокие результаты теории вероятностей. В частно¬
сти, методы Шоррока и Верваата во многом способствовали развитию теории. Другой
простой метод получения соотношений между величиной Д/л) и соответствующими
преобразованиями самих рекордов можно найти в работе Сиддики и Бионди¬
ни (1975).
Основательное изучение самих рекордов началось с работ Таты (1969) и Пикендса
(1971). Основой для будущих исследований стала теорема 6.4.1, принадлежащая
Тате. Следствие 6.4.1 также принадлежит Тате. Основное развитие теории связано с
работами Резника (1973 а, Ь). Он доказал теорему 6.4.2 и дал обширный анализ в рам¬
ках экстремальных процессов. Теорема 6.4.3 принадлежит Шорроку (1972Ь) . Рекорды
и рекордные моменты для дискретных распределений обсуждались Верваатом
(1973а), а рекорды для цепей Маркова исследовали Сиддики и Биондини (1975).
Так называемые к-е рекорды Дзюбдзелы и Копоцински (1976Ь) обобщают теоре¬
му Резника (теорему 6.4.2). Эта же теорема обобщена для величин со случайными
индексами Фрюденбергом и Шинанем (1976). Другая теория применяется, если рекор¬
ды взяты из конечной последовательности. Случай конечного числа элементов в по¬
следовательности рассмотрен у Хагиги-Талаба и Райта (1973), а рекорды в последо¬
вательности с растущим числом элементов изучались Йенгом (1975) .
Весьма популярным в настоящее время является получение результатов, Извест¬
ных для последовательностей, в форме так называемых функциональных предельных
теорем. Сюда относится и теория экстремальных процессов. Она началась с работ
Двасса (1964) и Ламперти (1964), а затем бурно развивалась. Существенный вклад в
нее внесли Двасс (1966, 1973), Тьяго де Оливейра (1968, 1971 и 1972 Ь), Резник
(1973с, 1974 и 1975), Резник и Рубинович (1973) и Шоррок (1974). Новый подход,
использующий стохастические дифференциальные уравнения, был предложен Вер¬
ваатом (1977) (см. также его обзор (1973b) и работы Вичуры (1974) и Мори и
Оодайры (1976)). Сен (1972) получил результаты для экстремальных процессов,
соответствующих выборкам случайного объема. Де Хаан и Резник (1973) вывели для
рекордов результаты типа результатов главы 4.
Работа Гэйвера (1976) несколько другого рода, и ее скорее следует отнести к
направлению, развитому в работе Сиддики и Биондини (1975). Здесь рассматривает¬
ся точечный процесс и каждому появлению события соответствует случайная величина
Xj. Исследуются рекорды и рекордные моменты для этой последовательности. Указы¬
вается также на связь изучаемого объекта с прикладными моделями.
Экстремальные процессы, получаемые как пределы Zn независимых, но не одина¬
ково распределенных величин, были введены и изучались Вейссманом (1975 а, Ь, с).
Их структура напоминает процессы, рассмотренные в § 6.5, но конечномерные рас¬
пределения соответствуют результатам § 3.10.
Обзор Иглхарта (1974) указывает области применения результатов последнего
параграфа.
В последовательном анализе центральную роль играет следующая теорема Энском-
ба (1952). Пустьyt,	,.. . - н.о.р. случайные величины с нулевыми математическими
ожиданиями и единичными дисперсиями. Пусть М (л) - последовательность положи¬
тельных целочисленных случайных величин таких, что для некоторой стремящейся
к бесконечности с ростом п последовательности g(n) величина M(n)/g(n) стремится по
вероятности к некоторой положительной константе. Тогда величина (g (л))-1^2 (>’х +
+ у 2 + . . . +Ум(п)) асимптотически нормальна. Применим этот результат в следую¬
щей ситуации. Пусть , Х2, . . . - независимые стандартные экспоненциальные вели¬
чины. Положим > j = Хг - 1 wyj = Удг(7) - %дг(/_1) - 1 (/ > 2) , где N(n) (л >1) -
последовательность рекордных моментов. По теореме 6.4.1 величины Уг, У2, . • •
удовлетворяют требованиям теоремы Энскомба. Пусть М (л) - последний рекордный
момент, который не превышает л, т.е. XM^ny = Zn. Тогда из теоремы 6.3.4 следует,
что	п -* 1 (л-> оо) с вероятностью единица. Получаем, что, с одной сторо-
273

ны,величина
(log«Г1/2 (>’, +	>’М(„)) = (10g„)~1/2 (Z„ -Min))
асимптотически нормальна, а с другой стороны, справедливо соотношение
P{Z„-logn<x} -Я3>0(х)	(л-~).
Если переписать Zn - М(п) в виде (Zn - log п) + (log п - М(п)), то отсюда получит¬
ся, что при п -> оо слагаемым Zn - log п в сумме Zn - Мп можно пренебречь. Это фак¬
тически означает, что величины yif у2, . . . не вносят вклад в сумму + у2 + . . . +
+ Ум(п), а рост этой суммы при л -* « определяется величиной ЛГ(л). Этот пример,
принадлежащий Галамбошу (1976), показывает,, что следует быть осторожным,
применяя предельные теоремы для выборок случайного объема.
§ 6.7. Упражнения
1.	Пусть X,,	, . .. - независимые случайные величины с общей функцией распре¬
деления F(x) такой, что при х выполняется соотношение 1 - F(x) ~ cqx, где с > О
и 0 < q < 1 - некоторые константы. Пусть N (л) (л > 1) - положительные целочислен¬
ные случайные величины. Предположим, что А^(л)/л по вероятности сходится к поло¬
жительной константе при п -**>. Показать, что тогда величина )/log п по вероят¬
ности сходится к некоторой константе.
2.	Используя метод доказательства теоремы 6.2.1, получить следующее обобщение.
Пусть g(rt) - возрастающая функция, стремящаяся к бесконечности при л->«, и пусть
величина N(n)/g(n) по вероятности стремится к некоторой положительной случайной
величине т. Показать, что если функция распределения величины (Zn - я„)/д„ слабо
сходится к предельной функции распределения Н(х), то функция распределения ве¬
личины (Z;v(n) - fl[g(n) | )/Ь|#(л) 1 слабо сходится к функции распределения
f/(x) = " Ну(х)<1?{т<у} ,
О
где [#(л)] обозначает целую часть величины ^(л).
3.	Обобщить утверждение упр. 2 на случай к-х экстремумов.
4.	Используя формулу полной вероятности и теорему 6.3.2, показать, что для ре¬
кордных моментов /У(л) (л > 1) выполняется равенство Р{ЛЧл) > xN(n - 1)} = 1/х
при всех целых х > 1, а для произвольных х > 1 при л ->«» справедливо соотношение
Р{Ми) > xN(n - 1)} - 1/х.
5.	Обобщить результат упр. 4 и показать, что события N(n + k)/N(n + к - 1)
(1 < к < rri) асимптотически независимы при любом фиксированном m > 2.
6.	Показать, что предельное распределение в соотношении (2) не может быть
нормальным (см. также упр. 18 и 19 гл. 3).
7.	Доказать следующее утверждение, обратное утверждению теоремы 6.4.1. Если
для н.о.р. случайных величин Xlt Х2, . . . независимы разности Хдг(Л) - Хм(п-1)
(л >2), то величины Xt, Х2, . . . имеют экспоненциальное распределение (Тата
(1969)).
8.	Пусть /У(н) (л > 1) - последовательность рекордных моментов для н.о.р. не¬
прерывных случайных величин, и пусть kn(s) - число целых 2 < / < л, для которых
выполняется равенство Д(/) = N(j) - N(j - 1) > sN(j - 1). Показать, что величина
k„(s)/n при л -* оо с вероятностью единица сходится к l/(s + 1). Сравнить результат
при s = 1 с результатом для величины P{?V(2) = 2}. Обсудить значение этого соотно¬
шения для случая, когда начало отсчета сдвинуто (Галамбош и Сенета (1975)).
9.	Пусть вновь N(n) - последовательность рекордных моментов в случае н.о.р.
непрерывных случайных величин, и пусть R(л) = Л(л)/Мл - 1) (л > 2). Исследо¬
вать асимптотическое поведение величины, max /?(/) (m «•).
2</Сл?
10.	Разобрать доказательство теоремы 6.4.2 и найти асимптотическое распреде¬
ление рекордов	если а) распределение совокупности является нормальным,
Ь) функция распределения совпадает с функцией Я3>0(х), с) функция распределения
является одним из распределений Вейбулла.
274

11.	Пусть Xit Х2, . . . - н.о.р. случайные величины, принимающие целые неотрица¬
тельные значения, и пусть их функция распределения F(x) такова, что cj(F) = Пусть
величины равны 1 или 0 в зависимости от того, выполняется неравенство Хк >
> Xj (1</<&) или нет. Показать, чго события {	= 1} независимы. Вычислить
вероятности ₽{ед* = 1} .
12.	Определить рекордные моменты N(n) (п > 1) с помощью соотношения (15),
но без предположения непрерывности функции распределения F(x). Показать, что
последовательность N(n) всегда бесконечна, если либо gj(F) = °°, либо gj(F) < °°, но
w(F) является точкой непрерывности функции F(x).
13.	Пусть F(x) - функция распределения, непрерывная при всех х > х0, где х0 <
< uj(F) - некоторое число. Показать, что определение рекордных моментов, приве¬
денное в упр. 12, дает те же самые асимптотические свойства величин N(n) и Д(л), что
и в случае непрерывных функций распределения.
14.	Пусть F(x) - функция распределения случайной величины, принимающей не¬
отрицательные целые значения. Для целых значений т определим функцию Fm(x),
равную F(x), если а +	< х < а + 1 - 1/т, где а - положительное целое число, а
на участках а - \{т < х < а + 1/т пусть эта функция будет непрерывной и линейной.
Пусть NjXjf) - последовательность рекордных моментов для F(x) и N(n) - для
(поскольку Fm(x) непрерывна, то N(n) нс зависит от Fm(x)). Оценить разность между
величинами	и N(n). Распространить полученный результат на другие дискрет¬
ные распределения.

ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение I
НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЖИДАНИЙ
Здесь собраны результаты из теории вероятностей, используемые в настоящей книге
и не всегда входящие в элементарные курсы теории вероятностей. На протяжении
всего приложения выборочное пространство обозначаем Я, множество его подмно¬
жеств, называемых событиями, обозначаем и вероятностную меру на обозна¬
чаем Р. Дополнение события А запише^м в виде Ас. Теоремы, связанные с матема¬
тическими ожиданиями, формулируются в более знакомой интегральной форме.
Докажем вначале следующие два элементарных результата.
Теорема П1.1. Пусть At gA2 с... - неубывающая последовательность со¬
бытий. Тогда при п-*°° вероятности Р{Лл} сходятся к вероятности Pl U лД.
(/=1 J
Замечание. Если перейти к дополнениям, то из предыдущего соотношения
следует, что если At D А2 D ... - невозрастающая последовательность событий,
то вероятности Р (4п} сходятся при п -* °° к Р/ U А Д .
1/ = 1	I ~
Доказательство. Возьмем событие В = U Aj . Из монотонности после-
/=1
довательности Aj выводим, что событие В может быть представлено в виде
В =Л,и(Хл2) и(Л^Л3)	и...
События в правой части этого равенства несовместны. Из аддитивности вероятности
получаем
оо	п	1 z
Р{в} = Р{4,}+ S Р{Л/Л/+1) = Р(ЛЬ}+ lim S PM%+i
/=1	л-*» / = 1	(
Из аксиом теории вероятностей следует для событий Aj cAj+\ справедливость ра¬
венства Р{Лу,Л74-1} =	} - Р{^/} • Поэтому имеем
л-1
Р{5}= lim [Р{Л,} + S (PUy+iJ-PU/))] = lim Р{Л„},
л	~ 1	Л 00
что и требовалось доказать. А
Следующая теорема представляет непосредственное следствие аксиом и опре¬
деления условной вероятности. Поэтому мы опускаем ее доказательство.
Теорема П1.2 (формула полной вероятности). Пусть Лх, Л2,. . . - последо¬
вательность событий, удовлетворяющая следующим условиям:
a)	Р{Л,Л/ } = 0 для всех i ;
b)	2Р{Л;} =1.
Тогда для произвольного события В справедливо равенство
Р{5}=2Р{5|Л/}Р{4/},
/
где слагаемые Р{/?| Л/}Р{4/} равны нулю, если Р{Лу} = 0.
Мы докажем также непрерывный аналог формулы полной вероятности. Здесь
мы будем иметь дело со следующим определением условной вероятности, которое
значительно проще определения, используемого в продвинутой теории вероятностей.

Определение. Пусть А - событие в X - случайная величина. Если условная
вероятность Р{4 lx, < X < х2} прихх -*хи х2 ->х (х, < х2) сходится к некоторому
пределу, го этот предел называется условной вероятностью события А при условии,
что X = х, и обозначается Р{4 | X = х}. Если X - вектор, то неравенства и равенства
должны выполняться покомпонентно.
Заметим, что вероятность Р(Л i X - х } легко найти в следующей конкретной си¬
туации. Пусть Y - случайный вектор, который не зависит от X, и пусть Л - событие,
состоящее в том, что X и Y принимают значения из некоторого борслевского мно¬
жества S. Тогда справедливо равенство Р{.4 | X = х } = Р (Y е 5 (х)}, где S (х) - мно¬
жество, полученное из $ заменой X нах. Например, если Y — одномерная величина
и А - (Х < 2У),то Р{4 \Х = х} "• Р{У > х/2}. В наших обозначениях S - { (х, у) :
-оо < х < Ту < «о} и S (х) = { у: х/2 < у < <*>} •.
Теперь мы можем сформулировать непрерывный аналог теоремы П1.2.
Теорема П1.3 (непрерывная формула полной вероятности). Пусть событие А
и случайная величина X таковы, что для почти всех х {по отношению к F (х) =
= Р{Х < х}) суще 'твует условная вероятность Р{4 | X = х}. Тогда справедливо соот¬
ношение
Р{4 }= J Р(А | X = x}dF(х).	(П1)
Прежде чем доказать эту теорему, установим некоторые свойства интегралов.
Напомним вначале, что понятие интеграла сводится к пределу специальным образом
взятых конечных сумм. А именно, интеграл измеримой функции определяется в
три этапа следующим образом. Пусть ((7, 5] , т) - измеримое пространство и# (и) -
вещественная измеримая функция, определенная на U. Если g (и) принимает только
конечное число значений х,, х2■, . . . , xt и Bj■ = {и: g (и) = X/}, то
г
fg(u)dm = S XjmCBj).	(П2)
U	/=1
Пусть теперь g {и) > 0. Рассмотрим монотонную последовательность функций gn{u) <
<gлгн (и), каждая из которых принимает конечное число значений, и при этом^п(и)-*
-*g {и) при п оо. В этом случае интеграл определяется следующим образом:
fg(u)dm = lim f gn(u)dm,	(ПЗ)
U	n-х» U
если предел существует. Основная и простая теорема об интегрировании утверждает,
что предел не зависит от конкретного выбора последовательности gn(u). Последний
шаг состоит в том, что если g(u) - произвольная измеримая функция, то мы поль¬
зуемся представлением g {и) = g*(и) -g ~(u), rjieg*(u) =max(0, g{u)) и g~{u) =
= max (0, -g (й) ), и затем определяем интеграл равенством
fg(u)dm = f g + (u)dm - fg~(u)dm,	(П4)
U	U	U
если правая часть равенства имеет смысл. Решающим шагом является средний (ПЗ),
Где имеем дело с пределом конечных сумм вида (П2) .
Отметим сходство между классическим интегралом Римана и только что рас¬
смотренным абстрактным интегралом. Если U - конечный интервал и мера m со¬
поставляет любому интервалу его длину, то в равенстве (П2) мы имеем дело с сум¬
мой Римана, если функция g (и) принимает постоянные значения на t непересекаю-
Щихся частичных интервалах из U. С другой стороны, если g (и) > 0 и ограничена
на С7, то формула (ПЗ) означает, что интеграл функции g (и) является пределом
так называемых нижних сумм Римана, которые монотонно возрастают. Интегриро¬
вание по Риману осуществляется тем же способом с использованием формул
(П.) - (П4), с той разницей, что пространство U и мера тп не произвольны, а выбраны
конкретно. Советуем читателю, не очень хорошо знакомому с понятием абстрактного
интеграла, освоиться с определениями (П2) - (П4) и несколькими теоремами, извест¬
ными по интегралу Римана, взяв в качестве пространства U и меры тп следующие
объекты. Пусть (П, ЭД , Р) - вероятностное пространство и X - случайная величина,
277

заданная на этом пространстве и имеющая функцию распределения F (х). Возьмем
в качестве U всю вещественную ось и определим меру т на интервалах В = (а, Ь] ра¬
венством т (В) = F(b) - F (а). Рекомендуем также сравнить интеграл по мере Р по
П и интеграл по мере т по вещественной прямой. Например, докажите, что если функ¬
ция g (х) непрерывна при всех х, то
оо
fg(.X)dP = f g(x)dF(x),
где dF (х) соответствует dm в нашем конкретном случае.
Теперь мы докажем две теоремы для интегралов. Все интегралы по множеству U
берутся по некоторой мере т, определенной на множестве f/B подмножеств мно¬
жества U.
Теорема П1.4. Пусть последовательность функций gk(u) такова, что 0 <gk (и) <
<8 k+1 W и lim gk(u) = g (и). Тогда
к
lim	fgk(u)dm = fg(u)dm.	(П5)
к	U	U
Доказательство. Заметим, что формально соотношение (П5) совпадает
с соотношением (ПЗ). Однако здесь не предполагается, что функции gkG*) прини¬
мают лишь конечное число значений.
При доказательстве будем пользоваться только определением. Пусть gnkW
(п -	1,2,...) - возрастающая последовательность функций, которые стремятся
при п —* к gk (и) и каждая из которых принимает конечное число значений. Возьмем
Gn(u) = max gnk(u)’ Функция Gn(u) также принимает конечное число значений, и
к
Gn(u) <	(и) • Справедливы неравенстваgnk(и) <С„(ц) <gn(u) и
' $< $ Gn(u)dm < $ gn(u)dm.
U	U	U
Устремим п к бесконечности. Получим неравенства
?*(“)< Um Gn(u)<g(u)	(П6)
п -► ОО
и, используя равенство (ПЗ), придем к соотношению
fgk(u)dm < f lim Gn(u)dm < lim fgn(u)dm.	(П7)
U	U	n-*<x> U
Если устремить к к бесконечности, то из соотношения (П6) получим, что lim Gn(u) -
п-+°°
= g (и), и, таким образом, соотношение (П7) сведется к равенству (П5), которое
мы и должны были доказать. ▲
Теорема П1.5 (теорема о мажорируемой сходимости). Пусть gn (и) - после¬
довательность функций, удовлетворяющая условиям:
a)	|g„(w)|< G (и), где функция G(u) такова, что f G (и) dm < <*>-,
U
b)	gn(u) -* g(u) при п-+°° для почти всех и.
Тогда справедливо соотношение
lim	fgn(u)dm -f g(u)dm.	(П8)
n -*00 U	U
Доказательство. Заметим вначале, что из наших условий следует интегри¬
руемость функций g (и) и gn(u) (и > 1) (интегралы от их абсолютных величин огра¬
ничены интегралом от функции G(u)) . Следовательно, функции G ± gn и G ± g также
интегрируемы. Эти новые функции неотрицательны, как и функции
йм(ц) = inf (С(ц) + gk(ti))
k> п
и
sn{u) = inf (G(u) - gk(u)).
k > n
278

Последовательности h п(и) и sn(u) неотрицательны и не убывают. Имеем h п(й) -*
-► G(w) + g (и) и sn(u) -+ G(u) - g (и) при n -+«. Следовательно, применима теорема
П1.4, согласно которой
lini f h n(u)dm ~ f G(u)dm + fg(u)dm	(П9)
л-*00 U	U	U
и
lim f sn(Q)dm = f G{u)dm - fg (u) dm .	(П10)
U	U	U
С другой стороны, из определения функций h п(и) и $л(и) получаем неравенства
hn(u) < G(u) + g„(u), sn(u) < G (u) - gn(u),
и, таким образом, имеют место соотношения
fhn(u)dm< f G(u)dm + fgn(u)dm,
U	U	U
f sn(u)dm < f G(u)dm - f gn(u)dm .
U	U	U
Устремляя n к бесконечности и переходя к нижним пределам в приведенных выше
неравенствах, мы из равенств (П9) и (П10) получаем соотношение
f g (u)dm < lim inf f gn(u)dm < lim sup f gn(u)dm < f g(u)dm ,
U	n-+°° U	U	U
которое эквивалентно утверждению (П8) . Теорема доказана. А
Теперь мы можем доказать теорему П1.3.
Доказательство теоремы П1.3. Пусть а < Ъ - вещественные числа.
Разделим интервал [а, Л] следующим образом: а = х0 < хх < .. . < Xf = д, где х/ -
точки непрерывности функции F (х). По теореме П1.2 справедливо равенство
t
Р{4} =P(4IX< a}F(a) <■ Z Р^х,^ < Х< Xj}(F(Xj) - Fix^i)) +
/=1
+ Р{Л | X > д}(1 -F(Z>)).
Определим функцию gf(x) равенствами gt{x} = P{<4]xy_i <Х < ху}, справедли¬
выми при xj-i < х < Xj. Эта функция принимает лишь t значений, и gt (х) стремится
к вероятности Р{4|Х = х), если max(xy - xy_i) -► 0. В качестве верхней границы
для£г (х) можно взять G(x) = 1. Справедливо также следующее равенство:
ь	t
$ gt(x)dF(x) = S P{4|x/_i <X< Xj} (F(Xj) - F(xj_l)).
a	j=l
Мы можем теперь применить теорему П1.5 и заключить, что
b
Р{4} = Р{Л1 X < a}F(a) + f Р{<41 X = x}dF(х) + Р{41 X > ft}(l -F(b)).
а
Устремляя а -* -«> и Ъ -> °°, получаем равенство (П1). Доказательство завершено. ▲
Дадим еще одну формулу для интегралов, полезную при вычислении математи¬
ческих ожиданий. Докажем, что
f xdF(x) = f (1-F(x))dx,	(П11)
о	о
если интегралы существуют. Действительно, интегрируя по частям, для конечных
значений Ъ > 0 мы можем получить равенство
ь	ь
f xdF(х) = - £ (1 -F(bY) + f (1 -F(x))dx.	(П12)
О	о
279

Заметим, что если правая часть соотношения (П11) конечна, то из равенства (П12)
будет следовать конечность и левой части равенства (П11) (надо лишь учесть, что
первое слагаемое в правой части равенства (П12) отрицательно). Поэтому нам до¬
статочно доказать равенство (П11) в предположении конечности его левой части.
Последнее утверждение будет следовать из равенства (П12) при b «, если мы по¬
кажем, что
lim Z?(l-F(d))=O	(П13)
Ь->оо
в случае конечности левой части равенства (П11). Если взять произвольное е > О,
то при достаточно больших Ъ будет выполняться соотношение
е > f xdF(x) > b fdF(x) = 6(1 - F(b')),
b	b
из которого и следует утверждение (П13) .
Мы завершим данное приложение формулировкой трех основных результатов
теории вероятностей. Первые части этих теорем (случай н.о.р. случайных величин)
предполагаются знакомыми читателю, за исключением, возможно, теоремы П1.8.
Вторые части этих теорем содержат несколько видоизмененные утверждения, ко¬
торые можно доказать, применяя стандартные методы доказательства первых час¬
тей теорем. Поэтому мы опускаем доказательства. Эти результаты приведены для
простоты ссылок.
Пусть Хг, Х2, ... , Хп - независимые случайные величины, заданные на вероят¬
ностном пространстве (n,J( , Р). Обозначим черуез ЕАу и DJVy (/> 1) математиче¬
ские ожидания и дисперсии величин X;, и пусть Sn = X, + . . . + Хп, Еп = ЕХх + . . .
. . . + ЕХп и £>„ = DX, + . . . + DXn.
Теорема П1.6 (усиленный закон больших чисел). Пусть Xt, Х2, . . . , Х„ -
Независимые одинаково распределенные случайные величины с конечными матема-
тическими ожиданиями Е = ЕХх. Тогда
п-»°° п
почти наверное. Если величины Xj равномерно ограничены и независимы, то
Sn
lim 	= 1
£п
почти наверное.
ТеоремаП1.7 (центральная предельная теорема). Пусть Xit Х2, . . . , Хп -
н.о.р. случайные величины с математическими ожиданиями Е = ЕХ, и дисперсиями
О < D = DX, < оо. Тогда
ton p/s„ < пЕ + xx/nTpU—— f e~,2!2dt.
n|	I -J lit' —
Если величины Xj независимы и равномерно ограничены, причем Dn-+ <*> (и “►<»),
то предыдущее утверждение останется справедливым при замене величин пЕ и nD
величинами Еп и Dn соответственно.
Теорема П1.8 (закон повторного логарифма). Пусть Хх, Х2, . . . , Хп - н.о.р.
величины с математическими ожиданиями Е = ЕА\ и конечными дисперсиями D =
= DX,. Тогда
Sn-nE
lim sup 	т-рГ = 1
n-+°°	(2 nD log lognD) '
почти наверное. Если величины Xj независимы и равномерно ограничены и сумма
дисперсий Dn стремится к бесконечности, то приведенное выше соотношение оста¬
нется справедливым при замене величин пЕ и nD соответственно величинами Епи Dn.
280

В нашей книге имеется лишь одна ссылка на теорему П1.8 (в главе 6). Поэтому
читатель, незнакомый с этой теоремой, не будет испытывать затруднений. Добавим
еще, что доказательство теоремы П1.8 аналогично некоторым рассуждениям из
главы 4.
Приложение II
ТЕОРЕМЫ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
В этой книге мы использовали следующие ниже теоремы, которые хорошо известны
в функциональном анализе. Мы поместили их здесь, вместо того чтобы ссылаться
на учебники, содержащие эти теоремы, по двум причинам. Во-первых, мы формули¬
руем их на вероятностном языке. Во-вторых, в учебниках по функциональному
анализу эти теоремы появляются после формулировки ряда определений, и выво¬
дятся они из общих теорем. Поэтому их простота неочевидна.
Как и в предыдущем приложении, основное вероятностное пространство обозна¬
чается через (П, 51 » Р). Мы также введем обозначение L2 для множества случайных
величин на (П, ЗД , Р) с конечными дисперсиями.
Теорема ПП.1 (теорема о полноте). Пусть Хп^ L2 для каждого п> 1. Пусть
случайные величины Хп таковы, что при пит, сходящихся к бесконечности, после¬
довательность вторых моментов Е(Хп - Хт)2 сходится к нулю. Тогда существует
такая случайная величина X е Ь2, что Е(ХЛ - X)2 -> О при п-+ Из этого следует,
что последовательность случайных величин Хп сходится к случайной величине X по
вероятности.
Прежде чем переходить к подробному доказательству, установим две простые
леммы.
Лемма ПП.1. Если случайные величины Uи V принадлежат Ь2, то справедливо
неравенство
Е(1/ + К)2 С [Е,/2(1/») + Е1/2(И) ]’.	(П14)
Доказательство. Мы начнем с неравенства треугольника и затем применим
хорошо известные неравенства Коши и Шварца. Таким образом, справедливы нера¬
венства
Е((/ + И)2	Е(|С7 + К| | U\) + Е(| С/ + И | К|) <
< Е^2((/ + К)2Е1/2(72 + Е1/2((/+ Г)2Е1/2И2,
которые равносильны неравенству (П14). Доказательство закончено. ▲
Лемма ПП.2 (лемма Фату). Пусть Ул е £ 2 для каждого п > 1. Тогда справедли¬
во неравенство
f lim inf y^dPcliminf f Y2ndP.
П	л~>°° fl
Доказательство. Пусть Vn - inf Y2k. Тогда для любого n выполняется
k>n
неравенство Vn < Vn+1- Поэтому последовательность Vn сходится к lim inf Y 2 при
п -* <*>, Кроме того, для любого п выполняется неравенство 0 < Vn с Ул. Поэтому по
теореме П1.4 имеем
lim inf f Y„dP > Um inf f V„dP = lim f VndP = f lim V„dP =
n->oo £2	«-►«» fl	n-*°° fl	fin-*-*»
= f lim inf T„dP,
fl n -* °°
что и требовалось доказать. A
Доказательство теоремы ПП.1. Пусть последовательность случайных
величин Хп удовлетворяет условиям теоремы. Возьмем п< m таким, чтобы вы-
281

поднялось неравенство E(XW - Хп)2 < 1/4, и положим п = л(1), т = п(2). Ес¬
ли число п(к) уже выбрано, то определим п(к + 1) > п{к), исходя из условия
E(^n(fc+1) ~ ^n(fc))2 < 2~2к. Таким образом, мы определим последовательность
натуральных чисел п(к), для которой выполняется условие
оо
2 е‘/2(Хп(Л+1) - *„(*))’ <
п-1
Положим	г
?r ~ 1 *п( 1) I +	I Хп(к+1) ~ Хп(к)\-
к=1
С помощью индукции по г получим из леммы ПП.1, что Yr е Ь2. Фактически мы
получим неравенства	х
Е У/ <|е^2Х„=(1) + Д Е1/2(Хп(л+1) - %„(*))’} <
< {е1/2Х„’(1) + Д Е1'2(%„(*+!) - X„W)2J < -•
Поэтому выполняется условие
lim inf Е Y, < ».
г-> °о
Следовательно, из леммы Фату (лемма ПП.2) следует, что случайная величина
X* = lim Yr = | Хп(1) | + S I Xn(k+l) - Xn(fc)|
r -►00	fc = l
принадлежит L 2. Поэтому эта величина почти наверное конечна и, таким образом,
последовательность Xrt(k) сходится почти наверное к некоторой конечной случай¬
ной величине X. Поскольку | Xn(k+1) \ < Yк < X *, имеем | X | < X * и, следователь¬
но, X е Ь2. Чтобы закончить доказательство, сошлемся снова на лемму ПП.1. Имеем
Е1/2(Х-Хп)’ < Е*/2(Х-ЛГ„а))’ + E1/2(X„w - Х„)\
В силу условий теоремы последний член сходится к нулю, поскольку п -* °° и п(к) -+
С другой стороны, при п(к) первый член правой части этого неравенства сходится
к нулю в силу теоремы о мажорируемой сходимости (теорема П 1.5). Доказательство
закончено. ▲
Для формулировки следующей теоремы нам необходимо ввести новое понятие.
Мы говорим, что подмножество Т множества L2 является замкнутым линейным
подмножеством, если для любых элементов Xj е Т и для любых вещественных чисел
Cj линейная комбинация cxXi + . . . + спХп также принадлежит множеству Т. Кроме
того, если Y е Ь2 и существует такая последовательность Хп е Г, что Е(У - Хл)2-»0
при п -* °°, то случайная величина Y также принадлежит Т.
Теорема ПП.2. Пусть Т - замкнутое линейное подмножество L2. Тогда любая
случайная величина У е f2 имеет почти наверное единственное представление вида
Y= X + R, где X<=TuERV= 0 для всех Ее Т.
Доказательство. Если У е Т, то равенства X = У и R = 0 определяют иско¬
мое разложение. Поэтому предположим, что У е £2, но У Г. Пусть Хп - такая
последовательность величин из Г, что выполняется равенство
lim Е(У - Хп)2 = inf Е(У - Г)2 = d(Y, Т).
и —оо	ие т
Поскольку множество Т замкнуто и У Г, ’’расстояние” d (У, Т) > 0. Легко видеть,
что если тип сходятся к бесконечности, то Е(Хт - Хп)2 -*0. Поэтому по теоре¬
ме ПП.1 существует такая случайная величинах из £2,что Е(Х„ - X)2 ->0 при
282

Запишем очевидное равенство Y = X + R, где R = Y - X. Покажем, что величина R
действительно обладает тем свойством, что ЕЛ К - 0 для всех величин V из Т. Дейст¬
вительно, из свойства минимальности ’’расстояния” d(Y, Т) следует, что для каждой
величины V из Т и для каждого вещественного числа с справедливо неравенство
'd(Y, Т) < Е(У - X -с И) 2 -ЕЛ2 - 2сЕЛИ+ с2 ЕЕ2.
С другой стороны, мы имеем
ЕЛ2 = Е(У -X)2 =Е(У-ХП + Хп - X)2 =
= Е(У-%„)2 + Е(Хп — X)2 + 2E(Y-Xn) (X„-X)-*d(Y, Т)
при л ~.
Таким образом, для каждого вещественного числа с справедливо неравенство
с2ЕР > 2сЕЛИ.
Это неравенство возможно только в том случае, когда ЕЛ V = 0. Возможность иско¬
мого разложения величинЪ1 У установлена. Единственность немедленно следует из
того факта, что если имеются два разложения:
У =Х1 + Л1 = Х2 + Л2, Xj е Т, и ERjV = 0 для всех V е Т,
то, очевидно, справедливо равенство
(Хх - Х2) + (Л1 - Л2) =0,
где Хг - Х2 е Г и Е(Л, - Л2) V = 0 для всех V е Т. Умножая это равенство на
Rt - Л2 и интегрируя, получим равенство Е(ЛХ - Л2)2 - 0, откуда следует, чго
Лх = Л2 почти наверное. Следовательно, Хх = Х2 почти наверное. Доказательство
закончено. А
Теорема ПП.З. Пусть функция g (х) интегрируема по Лебегу на конечном
интервале (а, Ь). Предположим, что для всех целых л > 0 выполняется условие
f g(x)xndx =0.	(П15)
а
Тогда g (х) =0 для почти всех х.
Заметим, что если мы введем функции gt (х)	= max(g(x), 0) и g2 (х) =
= max(-g (х), 0), то условие /П 15) можно записать в виде
b	b
f gi (x)xndx =f g2 (x)xndx (n = 0, 1, . . .),	(П16)
a	a
где gx (x) > 0 и g2 (x) >0. Поэтому теорема ПП.З является частным случаем сле¬
дующего результата.
Теорема ПП.4. Пусть g, (х) > 0 и g2 (х) > 0 - функции, интегрируемые по
Лебегу на конечном интервале (а, Ь). Предположим, что для всех целых л > 0 вы-
полняется условие (П16) . Тогда для почти всех х справедливо равенство g, (х) = g (х).
Доказательство. Заменяя в условии (П16) переменную х на х - а, мы
всегда можем добиться выполнения условия а = 0. Кроме того, поскольку условие
(П16) сохранится, если мы умножим функции gx (х) и g2 (х) на одно и то же число,
то мы можем считать, что выполняются условия
b	ь
f g, (x)dx =fg, (x)dx = 1.
0	0
Определим для i = 1, 2 функции
x	b
GiM = f g,(t)dt, Uf(s) e~srgf(t)dt (s > 0).	(П17)
0 0
Из теоремы о мажорируемой сходимости (теорема П1.5) можно легко вывести, что
283

функции Ui(s) дифференцируемы любое число раз и что выполняются равенства
b
(s) = (-1)J e~sttkgj\t)dt.	(П18)
0
Поэтому выполняется условие
b
I (0) I = f tkgi(t)dt < bk
0
и ряд Тейлора для функции Ц (s) :
Uf(s) = 2
к=0
(0)
к'.
абсолютно сходится для всех $. Но в силу равенства (П16) и (П18) коэффициенты
Uy' (0) не зависят от индекса i, и, таким образом, для всех s выполняется равен¬
ство Ц ($) = U2 ($).
Покажем теперь, что функции U-{s) однозначно определяют функции 6/(х).
Действительно, из равенства (П18) следует равенство
Т (_1)М	.	Ь	Т (st)k
S-	 =J		 gi<t)]dt.	(П19)
к =0 к!	О	к! к!
Обратим внимание на вероятностный смысл выражения в скобках. Пусть Y - пуассо¬
новская случайная величина с параметром st. Тогда имеем
, Т (st)k
Р(У < n=e S 	•
л=о к\
Поэтому из неравенства Чебышева следует соотношение
{1, если х > t,
0, если х < Г.
Следовательно, из теоремы о мажорируемой сходимости и равенства (П19) вытекает
равенство
”	(-1)*/	X
lim 2 	 =fgt(t)dt = GAx).
s	k=0 к!	0
Поскольку левая часть этого равенства не зависит от /, имеем Gx (х) = G2 (х). Диф¬
ференцируя, получаем равенство g\ (х) = g2 (х) для почти всех х, что и требовалось
доказать. А
Следствие ПП.1. Пусть X и Y - случайные величины, заданные на одном и
том же вероятностном пространстве. Предположим, что существуют такие конеч¬
ные числа а < Ь, что Р(л < X <Ь) = Р(а < У < Ь) =1. Кроме того, пусть для всех п> 1
выполняется равенство ЕХп = EY” Тогда случайные величины X и Y одинаково
распределены.
Доказательство. Все условия останутся выполненными, если мы рассмот¬
рим величины X - а и У - а. Поэтому мы можем положить а = 0.
Обозначим Р(Х < х) = Fj (х) и Р(У < х) = F2 (х). Тогда так же, как мы получили
(П11) , получим равенства
b	b
ЕХ" = л/(1 - F, (х) ] xn_1dx, ЕУ" =л/ [1 - F2 (х) ]x"_1dx
О	О
Таким образом, равенство всех моментов случайных величин X и У сводится к усло¬
вию (П16) , в котором gj (х) = 1 - Fj (х) , a g2 (х) = 1 - F2 (х). Поэтому применима
284

теорема ПП.4, в силу которой Fx (х) = Г2 (х) для почти всех х. Но функции распре¬
деления совпадают, если они равны для почти всех х. Доказательство закончено. А
Теперь мы докажем одно свойство множеств функций распределения. Это свойст¬
во очень полезно при анализе последовательностей моментов, но здесь мы не поль¬
зуемся этой возможностью.
Теорема ПП.5 (компактность функций распределения). Любое бесконечное
множество функций распределения содержит слабо сходящуюся последовательность.
Доказательство. Пусть R = { г р г 2, . . } - множество всех рациональ¬
ных чисел, расположенных в виде последовательности. Пусть Fn(x) (п> 1) - неко¬
торая последовательность из нашего множества функций. Рассмотрим числовую
последовательность Fn(rt^. Поскольку 0 < F„(rx) < 1 для всех п> 1, из элемен
тарного анализа следует, что мы можем выбрать подпоследовательность Ffl^ky (r i),
которая сходится. Из первоначальной последовательности оставим. только члены
Fn{k) (*) • Рассуждая как и выше, получим, что числовая последовательность
Fn(k) (г 2) содержит сходящуюся подпоследовательность. Рассматривая эту новую
подпоследовательность, мы выберем из нее другую подпоследовательность, которая
сходится при х = г j, и т.д. Таким образом, по индукции мы можем построить беско¬
нечную последовательность функций F*7(x), сходящуюся во всех рациональных
точках г к. Положим
F(x; R) = lim Г*7(х)
п-> °°
для рациональных значений х и
F(x) = lim F(r;R) (r<x),
r ->x
где г рациональны. Оба эти предела существуют, первый - в силу процедуры нашего
построения, второй - в силу того, что функция F {г ; /?) не убывает. Легко проверить,
что функция F(x) не убывает, непрерывна слева и что выполняется неравенство
О с F (х) < 1. Пусть г t < х < г s, где г г, г s - рациональные числа. Поскольку выпол¬
няются неравенства
Fm(rs)>
полагая m -* «», получим соотношение
F(rt\ R) < lim inf F^(x) < lim sup F^(x) < F (r s ; R).
m _> oo	m -> oo
Пусть x - точка непрерывности функции F (х), и пусть г t ->х, rs-*x. Тогда будут
выполняться неравенства
F (х) < lim inf F^ (х) < lim sup F^ (x) < F (x),
m -> °°	m-* °°
т.е. для точек непрерывности x функции F (x) последовательность функций
сходится при m -* к функции F (х). Теорема доказана. А
Приложение III
МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИЕСЯ ФУНКЦИИ
Пусть L (х) - вещественная положительная измеримая по Лебегу функция, заданная
на интервале [А, «>), где А - некоторое положительное число. Мы говорим, что функ¬
ция L (х) медленно меняется, если для каждого t > 0 выполняется условие
L (Гх)
lim 		= i.	(П20)
х -> °° L (х)
Существует тесная связь между медленно меняющимися функциями и хвостами
функций распределения, принадлежащих области притяжения закона Я] ^(х), при
285

условии, что наблюдения независимы и одинаково распределены. Действительно,
если в условии (10) из гл. 2 положить L (х) = х7[ 1 - F(x) ], то окажется, что функ¬
ция L (х) удовлетворяет условию (П20), тс. функция L (х) медленно меняется
Однако настоящая книга не основывается на этом понятии, поэтому мы не разви¬
ваем здесь соответствующей теории. Мы ограничимся формулировкой двух спе¬
циальных свойств медленно меняющихся функций, на которые имеются ссылки
в главе 4. Доказательства и дальнейшие детали, включая подробную библиографию,
можно найти в моно (рафии Сенеты (1976). Следующие ниже теоремы находятся
у него на стр. 2-6.
Теорема П1П.1. Если функция L (х) медленно меняется, то условие (П20)
выполняется равномерно по t из любого замкнутого подынтервала положительной
полупрямой.
Теорема ПШ.2. Если функция L (х) медленно меняется и задана' на интервале
[Л, <»), А > 0, то существует такое действительное число В > А, что для всех х > В
справедливо представление
f г е(у> 1
L(x) = u(x)exp f	(П21)
где функция u(x) ограничена на интервале [В, «») и сходится к конечному положи¬
тельному числу и* при х -*<*>, а функция е(у) непрерывна на интервале [5, »), и
е(у) -+ 0 при у — °°. Обратно, любая такая функция L (х) является медленно меня¬
ющейся.
Из представления (П21) непосредственно вытекает, что для любого с > 0 при
всех достаточно больших х выполняется неравенство
L (х) < хе.
Действительно, выберем d > В так, чтобы для у > d выполнялось неравенство
I е (у) | < е/2. Тогда для всех достаточно больших х справедливы неравенства
<d <?О)	* е(у) ]	/х\е>2 е
0< L(x) С Afexp J 	 dy + f	dy < M, I— < xe .	(П22)
'■в у	d У > 'd'
Представление (П21) можно также использовать, чтобы показать, что яри х «
выполняется соотношение
1 (L(tx)	\
J I		 1 №	0.	(П23)
О \ L (х)	/
Здесь, конечно, предполагается, что функция L (х) определена для всех х > 0 таким
образом, что интеграл (П23) конечен (заметим, что представление (П21) применимо
только при х > В и, таким образом, при фиксированном значении х интеграл по
промежутку от 0 до В/х по предположению должен быть конечен). Например, в на¬
шем случае из главы 4 отношение L (Гх) //, (х) ограничено в некоторой окрестности
точки t = 0. Поэтому, если мы разобьем интеграл из (П23) на два интеграла:
1	В/х	1
f... = f...+
О	О	В/Х
то первое слагаемое будет иметь порядок В/х и будет сходиться к нулю при х, схо¬
дящемся к бесконечности. Чтобы получить искомую оценку, можно применить ко
второму члену представление (П21) . Мы опускаем детали, поскольку остается при¬
менить простое разложение Тейлора.
Заканчивая это приложение, обратим внимание читателя на недавно разработан¬
ную теорию медленно меняющихся последовательностей. Эта теория появилась в
работе Галамбоша и Сенеты (1973) и в дальнейшем была развита Бояничем и Сене-
той. Детали можно найти в монотрафии Сенеты (1976).

ЛИТЕРАТУРА
Административный консультативный комитет по питанию и медикаментам (Food
and Drug Administration Advisory Committee on Protocols for Safety Evaluation) (1971).
Panel on carcinogenesis report on cancer testing in the safety evaluation of food additives
and pesticides. - Toxicol. Appl. Pharmacol., v. 20, p. 419-438.
Андерсон (Anderson C.W.) (1970). Extreme value theory for a class of discrete distri¬
butions with applications to some stochastic processes. - J. Appl. Probability, v. 7, p. 99 -113.
Арнольд (Arnold B.C.) (1968). Parameter estimation for a multivariate exponential
distribution. - J. Amer. Stat. Assoc, v. 63, p. 848-852.
Аров Д.З., Бобров A.A. (1960). О крайних членах вариационного ряда и их роли в
сумме независимых величин. - Теория вероятн. и ее примен., т. V, в. 4, с. 415- 435.
Афоня (Afonja В.) (1972). The moments of the maximum of correlated normal and t va¬
riates. - J. Royal Statist. Soc., v. B34, p. 251-262.
Болнел<л(Ва1кета A.A.) (1973). Monotone transformations and limit laws. - Mathemati¬
cal Centre Tracts, Amsterdam.
Балкема и де Хаан (Balkema A.A. and L. de Haan) (1972). On R. von Mises’condition
for the domain of attraction of exp(-e“x). - Ann. Math. Statist., v. 43, p. 1352-1354.
Балкема и Резник(Balkema A.A. and Resnick S.I.) (1977). Max-infinite divisibility. -
J. AppL Probability, v. 14, p. 309-319.
Барлоу (Barlow R.E.) (1971). Averaging time and maxima for air pollution concentra¬
tions. - Proc. 38th Session ISI, Washington, D.C., p. 663-676.
Барлоу, Гупта и Панчапакесан (Barlow R.E., Gupta S.S. and Panchapakesan S.) (1969).
On the distribution of the maximum and minimum of ratios of order statistics. - Ann. Math.
Statist., v. 40, p. 918-934.
Барлоу и Про шан (Barlow R.E. and Proschan F.) (1975). Statistical theory of reliability
and life testing: Probability models. - Holt, Rinehart and Winston, New York.
Барлоу и Сингпурвалла (Barlow R.E. and Singpurwalla N.D.)( 1974). Averaging time and
maxima for dependent observations. - Proc. Symposium on Statistical Aspects of Air Quality
Data.
Барндорф-Нильсен (Barndorff-Nielsen О.) (1961). On the rate of growth of the partial
maxima of a sequence of independent identically distributed random variables. - Math.
Scand., v. 9, p. 383 .-394.
Барндорф-Нильсен (Barndorff-Nielsen О.) (1963). On the limit behaviour of extreme
order statistics. - Ann. Math. Statist., v. 34, p. 992-1002.
Барндорф-Нильсен (Barndorff-Nielsen О.) (1964). On the limit distribution of the maxi¬
mum of a random number of independent random variables. - Acta Math. Acad. Sci. Hun-
gar., 15, p. 399-403.
Барнет (Barnett V.) (1976). The ordering of multivariate data. - J. Royal Statist. Soc.,
v. A139,,p. 318-354.
Бенцур (Benczur A.) (1968). On sequences of equivalent events and the compound Pois¬
son process. - Studia Sci. Math. Hungar., v. 3, p. 451 -458.
Лерм (Bury K.V.) (1974). Distribution of smallest lognormal and gamma extremes. -
Statistische Hefte, v. 16, p. 105-114.
Беркеш и Филипп (Berkes 1. and Philipp W.) (1979). Approximation theorems for inde¬
pendent and weakly dependent random vectors. - Ann. Prob., v. 7, p. 29-54.
Берман (Berman S.M.) (1961). Convergence to bivariate extreme value distributions. -
Ann. Inst. Statist. Math., v. 13, p. 217-223.
Берман (Berman S.M.) (1962a). A law of large numbers for the maximum in a stationary
Gaussian sequence. Ann. Math. Statist., v. 33, p. 93-97.
287

Берман (Berman S.M. (1962b). Limiting distribution of the maximum term in a sequence
of dependent random variables. - Ann. Math. Statist., v. 33, p. 894-908.
Берман (Berman S.M.) (1962c). Equally correlated random variables. - Sankhya, v. A24,
p.	155-156.
. Берман (Berman S.M.) (1964). Limit theorems for the maximum term in stationary se¬
quences. - Ann. Math. Statist., v. 35, p. 502- 516.
Биондини и Сиддики (Bionbini R. and Siddiqui M.M.) (1975). Record values in Markov
sequences. In: Statistical inference and related topics Vol. 2 (Ed.; Puri). - New York; Acade¬
mic Press, p. 291-352.
Бобров A.A. (1954). Роль максимального доданка в cyMi незалежных зинадкових
величин, що мають функцпо распод1ву регулярного зростания. - Киев. Научн. зап.
ун-та. 18, Матем сб., в. 5, с. 15-38.
Борткевич (Bortkiewicz L.von) (1922). Variationsbreite und mittlerer Fehler. - Sitzung-
sberichte Berliner Math. Ges., v. 21.
Бофингер B. (Bofinger V.J.) (1970). The correlation of maxima in several bivariate non¬
normal disributions. - Austr. J. Statist., v. 12, p. 1 -7.
Бофингер E. и БофингерВ. (Bofinger Eve and Bofinger V.J.) (1965). The correlation of
maxima in samples drawn from a bivariate normal distribution. - Austr. J.Statist., v. 7,
p. 57-61.
Бук (Book S.A.) (1972). Large deviation probabilities for weighted sums. - Ann. Math.
Statist., v. 43, p. 1221-1234.
Бхаттачария (Bhattacharyya B.B.) (1970). Reverse submartingale and some functions of
order statistics. - Ann. Math. Statis., v. 41, p. 2155-2157.
Бхаттачария (Bhattacharyya P.K.) (1974). Convergence of sample paths of normalized
sums of induced order statistics. - Ann. Statist., v. 2, p. 1034-1039.
Вейсман (Weisman I.) (1975a). Extremal processes generated by independent non-identi-
cally distributed random variables. - Ann. Probability, v. 3, p. 172 -177.
Вейсман (Weisman 1.) (1975b). On location and scale functions of a class of limiting pro¬
cesses with application to extreme value theory. - Ann. Probability, v. 3, p. 178- 181.
Вейсман (Weisman I.) (1975c). Multivariate extremal processes generated by independent
nonidentically distributed random variables. - J. Appl. Probability, v. 12, p. 477-487.
Bepeaar (Vervaat W.) (1972). Success epochs in Bernoulli trials with applications in num¬
ber theory. - Mathematical Centre Tracts, vol. 42. Amsterdam.
Верваат(Vervaat W.) (1973a). Limit theorems for records from discrete distributions.
Stochastic Processes Appl., v. 1, p. 317-334.
Верваат{Vervaat W.)(1973b). Limit theorems for partial maxima and records. Techni¬
cal Report, Univ, of Washington, Dept. Math., Seattle.
• Верваат (Vervaat W.) (1977). On records, maxima and a stochastic difference equation. -
Math. Inst. Katholieke Univ., Nijmegen, Report 7702.
Вилласенор (Villasenor J.) (1976). On univariate and bivariate extreme value theory. -
Thesis for Ph.D., Iowa State University.
Вичура (W’ichura MJ.) (1974). On the functional form of the law of iterated logarithm
for the partial maxima of independent identically distributed random variables. - Ann. Pro¬
bability, v. 2, p. 202 230.
Галамбош £. (Galambos Eva) (1965). Discussion of probabilistic inequalities by the me¬
thod of A. R&iyi. - Dissertation, L. Eotvos Univ., Budapest.
Галамбош (Galambos J.) (1966). On the sieve methods in probability theory I. Studia
Sci. Math. Hungar., v. 1, p. 39-50.
Галамбош (Galambos J.) (1969). Quadratic inequalities among probabilities. - Ann.
Univ. Sci. Budapest, Sectio Math., v. 12, p. 11 - 16.
Галамбош (Galambos J.)(1970). On the sieve methods in probability theory II. Ghana
J.Sci., v. 10, p. 11-15.
Галамбош (Galambos J.) (1972). On the distribution of the maximum of random vari¬
ables. - Ann. Math. Statist., v. 43, p. 516-521.
Галамбош (Galambos J.) (1973a). A general Poisson limit theorem of probability theo¬
ry. - Duke Math. J., v. 40, p. 581 -586.
Галамбош (Galambos J.) (1973b). The distribution of the maximum of a random number
of random variables with applications. - J. Appl. Probability, v. 10, p. 122-129.
Галамбош (Galambos J.) (1974). A limit theorem with applications in order statistics. -
J. Appl. Probability, v. 11, p. 219-222.
288

Галамбош (Galambos J.) (1975a). Methods for proving Bonferroni type inequalities. -
J. London Math. Soc., v. (2) 9, p. 561 -564.
Галамбош (Galambos J.) (1975b). Characterizations of probability distributions by pro¬
perties of order statistics 1 (continuous distibutions). - In: Statistical distributions in scien-
tific.work, Vol. 3 (Ed.: G.P. Patil et al ). D. Reidel, Dordrecht, p. 71 -88.
Галамбош (Galambos J.) (1975c). Characterizations of probability distributions by proper¬
ties of order statistics II (discrete distributions). Там же, с. 89 -101.
Галамбош (Galambos J.) (1975d). Order statistics of samples from multivariate distribu¬
tions. J. Amer. Statist. Assoc., v. 70, p. 674-680.
Галамбош (Galambos J.) (1975e). Limit laws for mixtures with applications to asympto¬
tic theory of extremes. - Zeitschrift fur Wahrschein. verw. Geb., v. 32, p. 197-207.
Галамбош (Galambos J.) (1976). A remark on the asymptotic theory of sums with ran¬
dom size. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., v. 79, p. 531 -532.
Галамбош (Galambos J.) (1977a). The asymptotic theory of extreme order statistics. In:
The theory and applications of reliability, Vol. 1 (Ed.: C. Tsokos and I. Shimi). - New York:
Academic Press, p. 151 - 164.
Галамбош (Galambos J.) (1977b). Bonferroni inequalities. Ann. Probability, v. 5,
p. 577-581.
Галамбош (Galambos J.) (1978). The speed of convergence of the distribution of ext¬
remes.
Галамбош и Коц (Galambos J. and Kotz S.) (1978). Characterizations of probability dis¬
tributions. Lecture Notes in Mathematics. - Heidelberg: Springer Verlag.
Галамбош и Муччи (Galambos J. and Mucci R.) (1978). Inequalities for linear combina¬
tions of binomial moments. - To be published in Publ. Math. Debrecen.
Галамбош и Реньи (Galambos J. and Renyi A.) (1968). On quadratic inequalities in the
theory of probability. - Studia Sci. Math. Hungar., v. 3, p. 351 -358.
Галамбош и Сенега (Galambos J. and Seneta E.) (1973). Regularly varying sequences. -
Proc. Amer. Math. Soc., v. 41, p. 110 — i 16.
Галамбош и Сенета (Galambos J. and Seneta E.) (1975). Record times. - Proc. Amer.
Math. Soc., v. 50, p. 383-387.
Галло (Gallott A.) (1966). A bound for the maximum of a number of random vari¬
ables. - J. Appl. Probability, v. 3, p. 556 -558.
Гесс и Крамп (Guess H.A. and Crump K.S.) (1977). Can we use animal data to estimate
safe doses for chemical carcinogens? - In: Environmental health: Quantitative methods.
(Ed.: A.S. Whittemore). - Philadelphia: SIAM, p. 13- 30.
Гнеденко (Gnedenko B.Y) (1943). Sur la distribution limitedu terme maximum d’unc
serie alcatoire. Ann. Math. v. 44, p. 423-453.
Говиндараюлу (Govindarajulu Z.) (1966). Charaterizations of the exponential and power
distributions. - Skand. Aktuar., v. 49, p. 132- 136.
Голдстейн (Goldstein N.) (1963). Random numbers for the extreme value distribution. -
Publ. Inst. Statist. Univ. Paris, v. 12, p. 137- 158.
Грейг (Greig Margaret) (1967). Extremes in a random assembly. - Biometrika, v. 54,
p. 273 -282.-
Грснандер (Grenander D.) (1965). A limit theorem for sums of minima of stochastic vari¬
ables - Ann. Math. Statist., v. 36, p. 1041 1042.
Григелионис Б. (1962). Об асимптотическом разложении остаточного члена в слу¬
чае сходимости к закону Пуассона. - Литовск. матем. сб. т. 2, с. 35 - 48.
Григелионис Б. (1970). Предельные теоремы для сумм многомерных ступенчатых
случайных процессов. - Литовск. матем. сб., т. 10, в. 1, с. 29 -49.
Грин (Green R.F.) (1976а). Outlier prone and outlier resistant distributions. J. Amer.
Statist. Assoc., v. 71, p. 502-505.
Грин(Отесп R.F.)(1976b). Partial attraction of maxima. - J. Appl. Probability, v. 13,
p. 159-163.
Гуйасу (Guiasu S.) (1971). On the asymptotic distribution of the sequences of random
variables with random indices. - Ann. Math. Statist., v. 42, p. 2018 -2028.
Гумбель (Gumbel E.J.) (1960). Bivariate exponential distributions. - J. Amer. Statist.
Assoc., v. 55, p. 698-707.
Гумбель Э. (1965). Статистика экстремальных значений. - М.: Мир.
Гумбель Э. (1970). Статистическая теория экстремальных значений. - В сб. Введе¬
ние в теорию порядковых статистик (под редакцией Сархана и Гринберга, перевод под
редакцией Боярского А.Я.). - М.: Статистика.
289

Гумбель и Голдстейн (Gumbel E.J. and Goldstein N.) (1964). Analysis of empirical bi¬
variate extremal distributions. - J. Amer. Statist. Assoc., v. 59, p. 794 -816.
Гумбель и Мустафи (Gumbel E.J. and Mustafi C.K.) (1967). Some analytical properties
of bivariate extreme value distributions. - J. Amer. Statist. Assoc., v. 62, p. 569- 588.
Гхош, Бабуи Мухопадхия (Ghosh M., Jogesh Babu G. and Mukhopadhyay N.) (1975).
Almost sure convergence of sums of maxima and minima of positive random variables.-Zeit-
schrift fur Wahrschein verw. Geb., Bd. 33, S. 49 54.
Гэйвер (Gaver D.P.) (1976). Random record models. - J. Appl. Probability, 13, p. 538-
547.
Дарлинг (Darling D.A.) (1952). The influence of the maximum term in the addition of
independent random variables. - Trans. Amer. Math. Soc., v. 73, p. 95 -107.
Даунтон (Downton F.)(1971). Stochastic models for successive failures. - Proc. 38th Ses¬
sion ISI, Washington, D.C., p. 677-697.
Двасс (Dwass M.) (1960). Some к-sample rank order tests. Contributions to probability
and statistics. - Stanford, Calif.: Stanford Univ. Press, p. 198- 202.
Двасс (Dwass M.) (1964). Extremal processes. - Ann. Math. Statist., v. 35, p. 1718 1725.
Двасс (Dwass M.) (1966). Extremal processes II. Ill. - J. Math., v. 10, p. 381-391.
Двд^•c(Dwass M.) (1973). Extremal processes III. - Discussion Paper 41, Northwestern
Univ.
Денцел и О’Брайен (Denzel G.E. and O’Brien G.L.) (1975). Limit theorems for extreme
values of chain-dependent processes. - Ann. Probability, v. 3, p. 773 779.
Део (Qeo C.M.) (1971). On maxima of Gaussian sequences. Abstract. - Ann. Math. Sta¬
tist., v. 42, p. 2176.
Део (Deo C.M.) (1973a). A note on strong mixing Gaussian sequences. - Ann. Probability,
v. 1, p. 186 187.
Део (Deo C.V.) (1973b). A weak convergence theorem for Gaussian sequences. - Ann.
Probability, v. l,p. 1061 -1064.
Деовель (Deheuvels P.) (1974). Valcurs extremales d’echantillons croissants d’une variable
aleatoire reelle. - Ann. Inst. H. Poincare t. B10, p. 89-114.
Де Финетти (Finetti В. de) (1930). Funzionc carattenstica di un fenomeno aleatorio. -
Atti. Acad. Naz. Lincci Rend. Cl. Sci. Fiz. Mat. Nat., v. 4, p. 86-133.
de Хаан (Haan L.de) (1970). On regular variation and its application to the weak conver¬
gence of sample extremes. - Mathematical Centre Tracts, Vol. 32, Amsterdam.
de Хаан (Haan L. de) (1971). A form of regular variation and its application to the domain
of attraction of the double exponential distribution. - Zeitschrift fur Wahrachein. verw. Geb.,
Bd. 17, S. 241 -258.
deXtfflH(Haan L. de) (1974a). Equivalence classes of regularly varying functions. Sto-
chastis Processes Appl., v. 2, p. 243 -259.
de Хаан (Haan L. de) (1974b). Weak limits of sample range. - J. Appl. Probability, v. 11,
p. 836-841.
de Хаан и Резник (Haan L. de and Resnick S.I.) (1973). Almost sure limit points of re¬
cord values. - J. Appl. Probability, v. 10, p. 5 28- 542.
de Хаан и Резник (Haan L. de and Resnick S.I.) (1977). Limit theory for multivariate
sample extremes. - Zeitschrift fur Wahrschein verw. Geb., Bd. 40, S. 317 -337.
de Хаан и Хорбийк (Haan L. de and Hordijk A.) (1972). The rate of growth of sample
maxima. - Ann. Math. Statist., v. 43, p. 1185 — 1196.
Джонсон и Коц (Johnson N.L. and Kotz S.) (1968/1972) Distributions in statistics.
4 vols. - New York: John Wiley & Sons.
Дзюббзела (Dziubdziela W.) (1972). Limit distribution of extreme order statistics in a»
sequence of random size. Zastos. Mat., v. 13, p. 199 -205.
Дзюббезела и Копоцински (Dziubdziela W. and Kopocinski B.) (1976a). Limiting pro¬
perties of the distance random variables. - Przeglad Stat., v. 23, p. 471 -477.
Дзюббзела и Копоцински (Dziubdziela W. and Kopocinski B.) (1976b). Limiting proper¬
ties of the к-th record values. - Zastos. Mat., v. 15, p. 187-190.
Дийкстра, Хъюэтт и Томпсон (Dykstra R.L., Hewett J.E. and Thompson W.A., Jr.)
(1973). Events which are almost independent. Ann. Statist., v. 1, p. 674-681.
Дodd (Dodd E.L.)(1923). The greatestand the least variate under general laws of error.
Trans. Amer. Math. Soc., v. 25, p. 525 539.
Доусон и Санкофф (Dawson D.A. and Sankoff D. (1967). An inequality for probabili¬
ties. Proc. Amer. Math. Soc., v. 18,p. 504-507.
290

Дьиреш (Gyires В.) (1975). Linear order statistics in the case of samples with non-indepen¬
dent elements. - Publ. Math. Debrecen, v. 22, p. 47 63.
Дэйвид Г. (1979). Порядковые статистики. - М.: Наука.
Дэйвид (David Н.А.) (1973). Concomitants of order statistics. - Bull. Inst. Internat.
Statist., v. 45, p. 295 300.
Дэйвид и Галамбош (David H.A. and Galambos J.)(1974). Theasymptotic theory of con¬
comitants of order statistics. - J. Appl. Probability, v. 11, p. 762 -770.
Дэйвид и Моэшбергер (David Н.А. and Moeschberger M.L.) (1978). The theory of com¬
peting risks. - Griffin’s Statistical Monographs, London.
Дэйвид, О'Коннел и Денг (David Н.А., O’Connell MJ. and Yang S.S.) (1977). Distribu¬
tion and expected value of the rank of a concomitant of an order statistic. - Ann. Statist.,
v. 5,p. 216 -223.
Дэниэлс (Daniels H.E.) (1945). The statistical theory of the strength of bundles of thre¬
ads. - Proc. Royal See., v. Al83, p. 405-435.	,
Жеффруа (Geffroy Jean) (1958/1959). Contributions a la theoriedes valeurs extremes. -
Publ. Inst. Statist. Univ. Paris,!. 7/8, p. 37 -185.
Ибрагимов H.A., Линник Ю.В. (1965). Независимые й стационарно связанные вели¬
чины. - М.: Наука.
Ибрагимов И.А., Розанов Ю.А. (1970). Гауссовские случайные процессы. - М.:
Наука.
Ивченко Г.И. (1971). О предельных распределениях статистик полиномиальной
схемы. - Теория вероятн. и ее примен., т. XVI, в. 1,с. 94-107.
Иглхарт(Iglehart D.L.) (1972). Extreme values in the GI/G/1 queue. - Ann. Math. Sta¬
tist., v. 43, p. 627-635.
Иглхарт (Iglehart D.L.) (1974). Weak convergence in applied probability. - Statistic Pro¬
cesses Appl., v. 2, p. 211 -241.
Икеда u Мацунава (IkedaS.and Matsunawa T.) (1970). On asymptotic independence of
order statistics. - Ann. Inst. Statist. Math. Tokyo, v. 22, p. 435 449.
Йена (Yang M.C.K.) (1975). On the distribution of the inter record times in an increasing
population - J. Appl. Probability, v. 12, p. 148- 154.
Йена (Yang S.S.) (1977). General distribution theory of the concomitants of order statis¬
tics. - Ann. Statist., v. 5, p. 996-1002.
Йенсен (Jensen A.) (1969). A characteristic application of statistics in hydrology. - 37th
Session ISI, London.
Йордан (Jordan K.) (1927). The foundations of the theory of probability. - Mat. Phys.
Lapok, v. 34, p. 109 -136.
Кавата (Kawata T.) (1951). Limit distributions of single order statistics. - Rep. Stat.
Appl. Res. JUSE, v. 1, p. 4 -9.
Какуллос u Де Чикко (CacoullosT. and De Cicco H.) (1967). On the distribution of the
bivariate range. - Technometrics, v. 9, p. 476 480.
Калинаускайте H. (1973). О влиянии максимального модуля слагаемого на сумму
независимых случайных векторов, I. - Литовский матем. сб., т. 13, в. 4, с. 117 - 123.
Калинаускайте Н. (1976). О влиянии максимального модуля слагаемого на сумму
независимых случайных векторов, II. - Литовский матем. сб., т. 6, в. 1,
с.41-48.
Кверел (Kwerel S.M.) (1975а). Most stringent bounds on aggregated probabilities of parti¬
ally specified dependent systems. - J. Amer. Statist. Assoc, v. 70, p. 472 479.
Кверел (Kwerel S.M.) (1975b). Bounds on the probability of the union and intersection
of m events. - Adv. Appl. Probability, v. 7, p. 431-448.
Кверел (Kwerel S.M.) (1975c). Most stringent bounds on the probability of the
union... - J. Appl. Probability, v. 12, p. 612-619.
Кендалл (Kendall D.G.) (1967). On finite and infinite sequences of exchangeable
events - Studia Sci. Math. Hungar., v. 2, p. 319- 327.
Клу (Clough D.J.) (1969). An asymptotic extreme-value sampling theory for estimation
of a global maximum. - Canad. Op. Res. Soc. J., v. 7, p. 102-115.
Клу и Коц (Clough D.J. and Kotz S.) (1965). Extreme-value distributions with a special
queueing model application. - Canad. Op. Res. Soc. J., v. 3, p. 96 -109.
Колчин В.Ф. (1969). О предельном поведении крайних членов вариационного ряда
в полиномиальной схеме. - Теория вероятн. и ее примен., т. XIV, в. 3,
с. 476 -487.
291

Кен и Пэйкес /Cohn Н. and Pakes A.G.) (1977) Convergence rate results for the explo¬
sive Galton-Watson process. Technical Report No. 120, Department of Statistics, Prince¬
ton Univ., Princeton, N.J.
Xbt<(Kotz S.) (1973). Normality vs. log normalitv with applications. - Comm, in Statist.,
v. 1, p. 1 13 132.
Коэн (Cohen J.W.) (1967).The distribution of the maximum number of customers present
simultaneously during a busy period for the queuing systems M/G/l and G/'M/l. - J. Appi.
Probability, v. 4, p. 162 179.
Кромер Г. (1975). Математические методы статистики. - М.: ?Мир.
Куда (Kudo А.) (1958). On the distribution of the maximum value of an equally correla¬
ted sample from a normal population. - Sankhya, v. A20, p. 309- 316.
Куниас (Kounias E.G.) (1968). Bounds for the probability of a union, with applica¬
tions. - Ann. idath. Statist., v. 39, p. 2154 -2158.
Куниас и Марин (Kounias S. and Marin J.) (1976). Best linear Bonferroni bounds. -
SIAM J. Appi. Math.,v. 30, p. 307-323.
Кунио, Шимицу, Ямада и Кимура (Kunio Т., Shimizu М., Yamada К., and Kimura Y.)
(1974). An interpretation of the scatter of fatigue limit on the basis of the theory of extreme
value. - Trans. JSME, v. 40, p. 2101 -2109.
Кэмпбелл и Чокош (Campbell J.W. and Tsokos C.P.) (1973). The asymptotic distribution
of maxima in bivariate samples. - J. Amer. Statist. Assoc., v. 68, p. 7 34-739.
Кэнфилд и Боргман (Canfield R.V. and Borgman L.E.) (1975). Some distributions of
time to failure for reliability applications. - Technometrics, v. 17, p. 263- 268.
JJau и Роббинс (Lai T.L. and Robbins H.) (1976). Maximally dependent random vari¬
ables. - Proc. Nat. Acad. Sci. USA, v. 73, p. 286 -288.
Лаи и Роббинс (Lai T.L. and Robbins H.) (1978). A class of dependent random variables
and their maxima. Zeitschrift fur Wahrschein. verw. Geb., Bd. 42, S. 89-111.
Ламперти (Lamperti J.) (1964). On extreme order statistics. - Ann. Math. Statist., v. 35,
p. 1726- 1737.
Ларсен (Larsen R.I.) (1969). A new mathematical model of air pollutant concentration
averaging time and frequency. - J. Air Pollution Control Assoc., v. 19, p. 24-30.
Лидбеттер (Leadbetter M.R.) (1974). On extreme values in stationary sequences. - Zeits¬
chrift fur Wahrschein. verw. Geb., Bd. 28, S. 289-303.
Лидбеттер (Leadbetter M.R.)(1975). Aspects of extreme value theory for stationary pro¬
cesses - A survey. In: Stochastic processes and related topics. Vol. 1 (Ed.: Puri). - New York:
Academic Press.
J7o£Hec(Loynes R.M.) (1965). Extreme values in uniformly mixing stationary stochastic
processes. - Ann. Math. Statist., v. 36, p. 993-999.
Лозе (Loeve M.) (1942). Sur les systemes d’evenements. - Ann. Univ. Lyon, Sect. A,
t. 5, p. 55- 74.
Ma к корд (McCord J.R.) (1964). On asymptotic moments of extreme statistics. - Ann.
Math. Statist., v. 35, p. 1738-1745.
Маккормик и Миттел (McCormick W. and Mittal Y.) (1976). On weak convergence of
the maximurti. - Technical Report 81, Stanford Univ.
Манн, Шефер и Сингпурвалла (Mann N.R., Schaefer T.E. and Singpurwalla N.D.)(1974).
Methods for statistical analysis of reliability and life data. - New York: John Wiley
& Sons.
Mapdua (Mardia K.V.) (1964a). Some results on the order statistics of the multivariate
normal and Pareto type I populations. - Ann. Math. Statist., v. 35, p. 1815-1818.
Mapdua (Mardia K.V.) (1964b). Asymptotic independence of bivariate extremes -
Calcutta Stat. Assoc. Bull., v. 1 3, p. 172-178.
Mapdua (Mardia K.V.) (1967). Correlation of the ranges of correlated samples. - Biometri-
ka, v. 54, p. 5 29-539.
Mapdua (Mardia K.V.) (1970). Families of bivariate distributions. London: Griffin.
Маркус и Пинский (Marcus MB. and Pinsky M.) (1969). On the domain of attraction of
exp (-e~'*). - J. Math. Anal. Appl., v. 28, p. 440-449.
Маршал и Сойка (Marszal E. and Sojka J.) (1974). Limiting distributions and their appli¬
cation. Wyz. S2kol. Ped. Krakow Rocznik Nauk, v. 7, p. 59-76.
Маршалл и Олкин (Marshall A.W. and Olkin I.) (1967). A generalized bivariate exponen¬
tial distribution. - J. Appl. Probability, v. 4, p. 291-302.
292

Махмw) и Рагаб (Mahmoud M.W. and Ragab А.) (1975). On order statistics in simples
drawn from the extreme value distribution. Math. Operationsforschung u. Stat., Bd. 6.
S. 800-816.
Мацунаваи И кеда (Matsunawa T. and Ikeda S.) (1976). Uniform asymptotic disribution
of extreme values. In: Essays in probability and statistics in honor of J. Ogawa (Ed.: S. Ike¬
da). Tokyo: Shinko Tsusho, p. 419-432.
Мейер (Meyer RM.) (1969). Note on a multivariate form of Bonfcrroni’s inequalities. -
Ann. Math. Statist., v. 40, p. 692 -693.
Мейзлер Д.Г. (1949). Об одной теореме Б.В. Гнеденко. - Сб. трудов Ин-та матем.
АН УССР, т. 12, с. 31-35.
Мейзлер Д.Г. (1950). О предельном распределении максимального члена вариа¬
ционного ряда. Докл. АН УССР, т. 1, с. 3 -10.
Мейзлер Д.Г. (1953). Изучение предельных закономерностей для вариационного
ряда. - Труды Ин-та матем. и мех. АН УзССР, т. 10, в. 1, с. 96 — 105.
Мейзлер Д.Г. (1956). К вопросу о предельном распределении для максимального
члена вариационного ряда. - Львов, Научн. зап. Политехи, ин-та, т. 38, сер. физ. матем..
с.	90-109.
Мийнхер (Mijnheer J.L.) (1975). Sample path properties of stable processes. Mathemati¬
cal Centre Tracts, Vol. 59, Amsterdam.
Микер и Нел сон (Meeker W.Q. and Nelson W.B.) (1975). Tables for the Weibull and
smallest extreme value distribution. - General Electric Co.
Миттел (Mittal Y.) (1974). Limiting behavior of maxima in stationary Gaussian sequen¬
ces. - Ann. Probability, v. 2, p. 231 -242.
Миттел (Mittal Y.) (1976). Maxima of partial samples in Gaussian sequences. - Technical
Report No. 3, Stanford Univ.
Миттел и Илвисейкер (Mittal Y. and Ylvisaker D.) (1975). Limit distributions for the
maxima of stationary Gaussian processes. Stochastic Processes Appl., v. 3, p. 1-18.
Миттел и Илвисейкер(Mittal Y. and Ylvisaker D.) (1976). Strong laws for the maxima of
stationary Gaussian processes. - Ann. Probability, v. 4, p. 357-371.
Михайлов В.Г. (1974). Асимптотическая независимость компонент вектора край¬
них членов многомерного вариационного ряда. - Теория вероятн. и ее примен., т. XIX,
в.4, с. 849-853.
Модьероди (Mogyorodi J.) (1967). On the limit distribution of the largest term in the
order statistics of a sample of random size. - Magyar Tud. Akad. Mat. Fiz. Oszt. Kozl., v. 17,
p. 75-83.
Моргенштерн (Morgenstern D.) (1956). Einfache Beispiele zweidimensionaler Verteilun-
gen. Mitteilungsblatt Math. Stat., Bd. 8, s. 234 235.
Mopu (Mori T.) (1976a). Limit laws for maxima and second maxima for strong mixing
processes. - Ann. Probability, v. 4, p. 122-126.
Mopu (Mori T.) (1976b). The strong law of large numbers when extreme terms are exclu¬
ded from sums. Zeitschrift fur Wahrschein verw. Geb., Bd. 36, S. 189-194.
Mopu (Mori T.) (1977). Stability for sums or i.i.d. random variables when extreme terms
are excluded. - Zeitschrift fur Wahrschein verv . Geb., Bd. 40, S. 159-167.
Mopu и Oodaupa (Mori T. and Oodaira H.) (1976). A functional law of the iterated loga¬
rithm for sample sequence. Yokohama Math. J., v. 24, p. 35-49.
Моррисон и Гобиаc (Morrison М. and Tobias F.) (1965). Some statistical characteristics
of a peak to average ratio. - Technometrics, v. 7, p. 379 385.
Муччи (Mucci R.) (1977). Limit theorems for extremes. - Thesis for Ph. D., Temple Uni¬
versity.
Нагаев A.B. (1970). О роли крайних членов вариационного ряда в образовании
большого уклонения суммы назависимых случайных величин. - Докл. АН СССР,
т.	193, в. 3, с. 528-530.
Нагаев А.В. (1971) . Предельное распределение крайних членов вариационного ряда
при условиях типа больших уклонений, налагаемых на выборочное среднее. - Теория
вероятн. и ее примен., т. XVI,в. 1, с. 118-131.
Национальное Бюро Стандартов (National Bureau of Standards) (1953). Probability tab¬
les for the analysis of extreme value data. - Appl. Math. Series, v. 22.
Hucuo (Nisio M.) (1967). On the extreme values of Gaussian processes. - Osaka J. Math.,
v. 4, p. 313-326.
Ньюте (Neuts M.F.). (1967). Waiting times between record observations. - J. Appl. Pro¬
bability, v. 4, p. 206-208.

Ньюэлл (Newell G.E.) (1964). Asymptotic extremes for m-dcpendent random variables. -
Ann. Math. Statis., v. 35, p. 1 322 - 1325.
77aup(Nair K.A.) (1976). Bivariate extreme value distributions. - Comm, in Statist.,
v. 5, p. 5 75-581.
О'Брайен (O’Brien G.L.) (1974a). Limit theorems for the maximum term of a stationary
process. Ann. Probability, v. 2, p. 540 -545.
О'Брайен (O’Brien) (1974b). The maximum term of uniformly mixing stationary proces¬
ses. Zeitschrift fur Wahrschein verw. Geb., Bd. 30, S. 57-63.
О 'Коннел и Дэйвид (O’Connell M.J. and David Н.Л.) (1976). Order statisticsand their
concomitants in some double sampling situations. In: Essays in probability and statistics in
honor of Ogawa (Ed.: S. Ikeda). Shinko Tsusho, Tokyo, p. 451 -466.
Пикендс (Pickands J. Ill) (1967a). Sample sequences of maxima. - Ann. Math. Statist.,
v. 38, p. 1570-1574.
Пикендс (Pickands J. Ill) (1967b). Maxima of stationary Gaussian processes. Zeitschrift
fur Wahrschein verw. Geb., Bd.7, S. 190-233.
Пикендс (Pickands J.Ill) (1968). Moment convergence of sample extremes. - Ann. Math.
Statist., v. 39, p. 881 889.
Пикендс (Pickands J. Ill) (1969). An iterated logarithm law for the maximum in a stationa¬
ry Gaussian sequence. Zeitschrift fur Wahrschein verw. Geb., Bd. 12, S. 344-353.
Пикендс (Pickands J. Ill) (1971). The two dimensional Poisson process and extremal
processes. - J. Appl. Probability, v. 8, p. 745-756.
Пикендс (Pickands J. Ill) (1975). Statistical inference using extreme order statistics. -
Ann. Statist, v. 3, p. 119 -131.
Пикендс(Pickands J. Ill) (1977). Multivariate extreme value distributions.
Плэкет(Plackett R.L.) (1954). A reduction formula for normal multivariate integrals.
Biometrika, v. 41, p. 351-360.
Познер (Posner E.C.) (1965). The application of extreme value theory to error free com¬
munication. - Technometrics, v. 7, p. 5 17 - 5 29.
Познер,Роденич, Эшлок и Лурье (Posner E.C. Rodenich E.R., Ashlock J.C. and Lu¬
rie S.) (1969). Application of an estimator of high efficiency in bivariate extreme value theo¬
ry. J. Amer. Statist. Assoc., v. 64, p. 1403-1415.
Пойа (Polya G.) (1920). Uber der zentralen Grenzwertsatz der Wahrsc’neinlichkeitsrech-
nung und das Momentenproblem. - Math. Z., Bd. 8, S. 171 -181.
Прабху (Prabhu N.U.) (1965). Queues and inventories. - New York: John Wiley & Sons.
Пэйкс (Pakes A.G.) (1975). On tails of waiting time distributions. - J. Appl. Probabili¬
ty^. 12, p. 555 -564.
Резни к (Resnick S.I.) (1971a),. Tail equivalence and applications. - J. Appl. Probability,
v. 8,p. 136-156.
Резник (Resnick S.I.) (1* /lb). Asymptotic location and recurrence properties of maxima
of a sequence of random variables defined on a Markov chain. - Zeitscrift fiir Wahrschein.
verw. Geb., Bd. 18, S. 197-217.
Резник (Resnick S.I.) (1972a). Products of distribution functions attracted to extreme va¬
lue laws. J. Appl. Probability, v. 8, p. 781 -793.
Резник (Resnick S.I.) (1972b). Stability of maxima of random variables defined on a
Markov chain. - Adv. Appl. Probability, v. 4, p. 285 -296.
Резник (Resnick S.I.) (1973a). Limit laws for record values. - Stochastic Processes Appl.,
v. 1, p. 67 - 82.
Резник (Resnick S.I.) (1973b). Record values and maxima. Ann. Probability, v. 1, p. 650
662.
Резник (Resnick S.I.) (1973c). Extremal processes and record value times. - J. Appl. Pro¬
bability, v. 10, p. 863-868.
Резник (Resnick S.I.) (1974). Inverses of extremal processes Adv. Appl. Probability,
v. 6, p. 392-406.
Резник (Resnick S.I.) (1975). Weak convergence to extremal processes. Ann. Probability,
v. 3, p. 951 -960.
Резник и Ньюте (Resnick S.I. and Neuts M.E.) (1970). Limit laws for maxima of a sc-'
quence of random variables defined on a Markov chain. - Adv. Appl. Probability, v. 2,
p. 323-343.
Резник и Рубино вин (Resnick S.I. and Rubinovitch M.) (1973). The structure of extremal
processes. - Adv. Appl. Probability, v. 5, p. 287 307.
294

Резник и Томкине (Resnick S.I. and Tomkins R.J.) (1973). Almost sure stability of maxi-
' ma. J. Appl. Probability, v. 10, p. 387 401.
Ренъи (Renyi A.) (1953). On the theory of order statistics. - Acta Math. Acad. Sci. Hun-
gar., v. 4, p. 191 — 231.
Реньи (Renyi A.) (1958). Quelques remarques sur les probabilites d’evenements depen¬
dants. - J. Math. Pures Appl., v. 37, p. 393 -398.
Реньи (Renyi A.) (1961). A general method for proving theorems in probability theory
and some of its-applications. - In: Selected Papers of a Re'nyi, Vol. 2. Akademiai Kiado,
Budapest, 1976, p. 581 -602.
Реньи (Renyi A.) (1962). On outstanding values of a sequence of observations. In: Selec¬
ted Papers of A.Renyi, Vol. 3. Akademiai Kiado, Budapest, 1976, p. 50-65.
Реньи (Renyi A.) (1963). On stable sequences of events. - Sankhya, v. A 25, p. 293 302.
Ридлер-Рове (Riddler-Rowe C.J.) (1967). On two problems of exchangeable events.
Studia Sci. Math. Ilungar., v. 2, p. 415 - 418.
Рихтер (Richter W.) (1965). Das Null-Eins -Gesetz und ein Grenzwertsats fur zufallige
Prozesse mit diskreter zufalliger Zeit. - Wiss. Zeitschrift Techn. Univ. Dresden, Bd. 14,
S. 497-504.
Роббинс и Зигмунд (Robbins H. and Siegmund D.) (1972). On the law of the iterated
logarithm for maxima and minima. - Proc. Sixth Berkeley Symp. Math. Statist. Probability,
v. 3, p. 51-70.
Роотцен (Rootzen H.) (1974). Some properties of convergence in distribution of sums and
maxima of dependent random variables. - Zeitschrift fur Wahrschein, verw. Geb., Bd. 29,
S. 295-307.
Россберг (Rossberg H.J.) (1960). Uber die Verteilungsfunktionen der Differenzen und
Quotientcn von Ranggrossen. - Math. Nachr., Bd. 21, S. 37-79.
Россберг (Rossberg H.J.) (1965a). Uber die stochastische Unabhangigkeit gewisscr Funk-
tionen von Ranggrossen ’ - Math. Nachr., Bd. 28, S. 157-167.
Россберг (Rossberg H.J.) (1965b). Die asymptotische Unabhangigkeit der kleinsten und
grossten Werte einer Stichprobe vom Stichprobenmittel. - Math. Nachr., v. 28, p. 305 318.
Сархан Э., Гринберг Б. (1970). Введение в теорию порядковых статистик (перевод
под редакцией Боярского А.Я.). - М.: Статистика.
Сен (Sen Р.К.) (1961). A note on the large sample behavior of extreme sample values from
distributions with finite endpoints. - Bull. Calcutta Statist. Assoc., v. 10, p. 106-115.
Сен (Sen P.K.) (1970). A note on order statistics for heterogeneous distributions. - Ann.
Math. Statist., v. 41, p. 2137 -2139.
Сен (Sen P.K.) (1972). On weak convergence of extremal processes for random sample
sizes. - Ann. Math. Statist., v. 43, p. 1355-1362.
Сен (Sen P.K.) (1973a). On fixed size confidence bands for the bundle strength of fila¬
ments. - Ann. Statist., v. 1, p. 5,26-537.
Сен (Sen P.K.) (1973b). An asymptotically efficient test for the bundle strength of fila¬
ments. - J.'Appl. Probability, v. 10, p. 586-596.
Сен (Sen P.K.) (1976). A note on invariance principles for induced order statistics. -
Ann. Probability, v. 4, p. 474-479.
Сенета (Seneta E.) (1976). Regularly varying functions. Lecture Notes in Mathematics.
Vol. 508. - Heidelberg: Springer Verlag.
Ccryp<2AfJH(Sethuraman J.) (1965). On a characterization of the three limiting types of the
extreme. - Sankhya, v. A27, p. 357- 364.
Сибуйя (Sibuya M.) (1960). Bivariate extreme statistics. - Ann. Inst. Stat. Math., v. 11,
p. 195-210.
Сиддики и Биондини (Siddiqui M.M. and Biondini R.W.) (1975). The joint distribution
of record values and inter-record times. - Ann. Probability, v. 3, p. 1012-1013.
Сингх (Singh C.) (1967). On the extreme values and range of samples from non normal
populations. - Biometrika, v. 54, p. 541 -550.
Сингпурвалла (Singpurwalla N.D.) (1972). Extreme values from a lognormal law with
applications to air pollution problems. - Technometrics, v. 14, p. 703—711.
Слепян (Slepian D.) (1962). The one-sided barrier problem for Gaussian noise. - Bell
System Tech. J., v. 41, p. 463 - 501.
Смид и Стам (Smid В. and Stam A.J.) (1975). Convergence in distribution of quotients
of order statistics. - Stochastic Processes Appl., v. 3, p. 287 -292.
295

Смирнов Н.В. (1949). Предельные законы распределения для членов вариационно¬
го ряда. - Труды математ. ин-та им. В.А. Стеклова, т. 25, с. 5-59 (см. также: Смир¬
нов Н.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Избранные труды, М.:
Наука, 1970)
Собел и Уппулури (Sobel М. and Uppuluri V.R.R.) (1972). On Bonferroni-type inequali¬
ties of the same degree for the probability of unions and intersections. - Ann. Math. Statist.,
v. 43, p. 1549-1558.
Стам (Stam A J.) (1973). Regular variation of the tail of a subordinated probability distri¬
bution. - Adv. Appl. Probability, v. 5, p. 308-327.
Стивенс (Stevens W.L.) (1939). Solution to a geometrical problem in probability. - Ann.
Eugenics. London, v. 9, p. 315 -320.
Стродерман, Холмс (Strawderman W.E. and Holmes P.T.) (1970). On the law of the ite¬
rated logarithm for inter-record times. - J. AppL Probability, v. 7, p. 432 -439.
Су,Б хатта чария и Грэндейж (Suh M.W., Bhattacharyya B.B. and Grandage A.) (1970).
On the distribution and moments of the strength of a bundle of filaments. - J. AppL Probabi¬
lity, v. 7, p. 712-720.
Сукхатме (Sukhatme P.V.) (1937). Tests of significance for samples of the x2 -population
with two degrees of freedom. - Ann. Eugenics, London, v. 8, p. 52-56.
Такач (Takacs L.) (1958). Ona general probability theorem and its applications in the the¬
ory of stochastic processes. - Proc. Cambridge Philos. Soc., v. 54, p. 219-224.
Такач (Takacs L.) (1965). A moment problem. — J. Austral. Math. Soc., v. 5,
p. 487-490.
Такач JI. (1971). Комбинаторные методы в теории случайных процессов. - М.:
Мир.
Такач (Takacs L.) (1967). On the method of inclusion and exclusion. - J. Amer. Statist.
Assoc., v. 62, p. 102-113.
Такач (Takacs L.) (1975). Combinatorial and analytic methods in the theory of queues. -
Adv. Appl. Probability, v. 7, p. 607-635.
Такач (Takacs L.) (1977). Theory of random fluctuations.
Тата (Tata M.N.) (1969). On outstanding values in a sequence of random variables. Zeit-
schrift fur Wahrschein, verw. Geb., Bd. 12, S. 9-20.
Tunner (Tippett L.H.C.) (1925). On the extreme individuals and the range of samples ta¬
ken from a normal population. - Biometrika, v. 17, p. 364-387.
Томас (Thomas D.I.) (1972). On limiting distributions of a random number of dependent
random variables. - Ann. Math. Statist., v. 43, p. 1719-1726.
Томпсон (Thompson W.A., Jr.) (1969). Applied probability. - Holt, Rinehart and Win¬
ston, New York.
Тьяго де Оливейра (Tiago de Oliveira, J.) (1958). Extremal distributions. - Revista da
Fac. Ciencias, Univ. Lisboa, v. A7, p. 215 -227.
Тьяго де Оливейра (Tiago de Oliveira J.) (1961). The asymptotical independence of the
sample mean and the extremes. - Revista da Fac. Ciencias, Univ. Lisboa, v. A8,
p. 299-310.
Тьяго de Оливейра (Tiago de Oliveira J.) (1962/1963). Structure theory of bivariate ex¬
tremes: extensions. - Estudos de Math. Estat. Econom., v. 7,p. 165-195.
Тьяго de Оливейра (Tiago de Oliveira J.) (1968). Extremal processes: Definition and pro¬
perties. - Publ. Inst. Stat. Univ. Paris, t. 17, p. 25 -36.
Тьяго de Оливейра (Tiago de Oliveira J.) (1970). Biextremal distributions: statistical deci¬
sion. - Trab. Estat. Invest. Oper., v. 21, p. 107 -117.
Тьяго de Оливейра (Tiago de Oliveira J.) (1971). A new model of bivariate extremes:
Statistical decision. - In: Studi Prob. Stat, ricerca oper. in onorc di G. Pompilj. Oderisi,
Gubbio, p. 1-13.
Тьяго de Оливейра (Tiago de Oliveira J.) (1972a). Statistics for Gumbel and Frechet dis¬
tributions. - In: Structural safety and reliability (Ed.: A. Freudenthal). - New York: Perga-
mon, p. 91 - 105.
Тьяго de Оливейра (Tiago de Oliveira J.) (1972b). An extrems markovian stationary se¬
quence; quick statistical decision. - Metron, v. 30, p. 1 -11.
Тьяго de Оливейра (Tiago de Oliveira J.) (1973). An extreme markovian stationary pro¬
cess. Proc. Fourth Conf. Probability Theory. - Acad. Romania, Brasov, p. 217-225.
Тьяго de Оливейра (Tiago de Oliveira J.) (1974). Regression in the' nondifferentiable bi¬
variate extreme models - J. Amer. Statist. Assoc., v. 69, p. 816 -818.
296

Тьяго де Оливейра (Tiago de Oliveira J.) (1975). Bivariate extremes. - Extensions. Proc.
40th Session ISI, Warsaw.
Тьяго де Оливейра (Tiago de Oliveira J.) (1976). Asymptotic behavior of maxima with
periodic disturbances. - Ann. Inst. Statist. Math. v. 28, p. 19-23.
Уильямс (Williams D.) (1973). On Renyi’s record problem and Engel’s series. - Bull.Lon¬
don Math. Soc., v. 5, p. 235- 237.
Уиттл (Whittle P.) (1959). Sur la distribution du maximum d’un polynome trigonom&ri-
que a coefficients aleatoires. - Calc. Prob. Appl. Intemat. Centre Nat. Res. Sci., v. 87,
p. 173 184.
Уолш (Walsh J.E.) (1969a). Asymptotic independence between largest and smallest of
a set of independent observations. - Ann. Inst. Statist. Math. Tokyo, v. 21,
p. 287 - 289.
Уолш (Walsh J.E.) (1969b). Approximate distributions for largest and for smallest of a set
of independent observations. - S. Afr. Statist. J., v. 3, p. 83-89.
Уолш (Walsh J.E.) (1970). Sample size for approximate independence of order statis¬
tics. - J. Amer. Statist. Assoc., v. 65, p. 860- 863.	'
Уотсон (Watson G.S.) (1954). Extreme values in samples from m-dependent stationary
stochastic processes. - Ann. Math. Statist., v. 25, p. 798-800.
Уэйнстейн (Weinstein S.B.) (1973). Theory and application of some classical and genera¬
lized asymptotic distributions of extreme values. - IEEE Trans. Inf. Thcor., v. 19,
p. 148-154.
Уэйсс (Weiss L.) (1969). The joint asymptotic distribution of the к-smallest sample spa¬
cings. - J. Appl. Probability, v. 6, p. 442 -448.
Уэлч (Welsch R.E.) (1971). A weak convergence theorem for order statistics from strong
mixing processes. Ann. Math. Statist., v. 42, p. 1637 -1646.
Уэлч (Welsch R.E.) (1972). Limit laws for extreme order statistics from strong mixing pro¬
cesses. Ann. Math. Statist;v. 43, p. 439-446.
Уэлч (Welsch R.E.) (1973). A convergence theorem for extreme values from Gaussia^se¬
quences. - Ann. Probability v. 1, p. 398-404.
Феллер В. (1967) . Введение в теорию вероятностей и ее приложения. - М.: Мир.
Феникси Тейлор (Phoenix S.L. and Taylor Н.М.) (1973). The asymptotic strength distri¬
bution of a general fiber bundle. - Adv. Appl. Probability, v. 5, p. 200-216.
Филипп (Philipp W.) (1967). Some metrical theorems in number theory. - Pacific J. Math.,
v. 20, p. 109-127.
Филипп (Philipp W.) (1971). Mixing sequences of random variables and probabilistic num¬
ber theory. - Memoirs Amer. Math. Soc., vol. 114.
Филипп (Philipp W.) (1976). A conjecture of Erdos on continued fractions. - Acta
Arithm., v. 28, p. 379 -386.
Финкельштейн Б.В. (1953). О предельных распределениях крайних членов вариа¬
ционного ряда двумерной случайной величины. - Докл. АН СССР, т. 91, с. 209 — 211.
Фишер и Типпет (I'isher R.A. and Tippett L.H.C.) (1928). Limiting forms of the frequen¬
cy distributions of the largest or smallest member of a sample. - Proc. Cambridge Philos. Soc.
v. 24, p. 180-190.
фон Мизес (Mises R. von) (1923). Liber die Variationsbreite einer Beobachtungsreihe. Sit-
zungeberichte Berlin. Math. Geo., Bd. 22, S. 3.
фон Мизес (Mises R. von) (1936). La distribution de la plus grande de n valeurs. Reprin¬
ted in Selected Papers, II. - Amer. Math. Soc., Providence, R. L, 1954, p. 271 -294.
Фостер и Стьюарт (Foster F.G. and Stuart A.) (1954). Distribution free tests in time se¬
riesbased on the breaking of records. - J. Royal Statist. Soc., v. В16, p. 1-13.,
Франк (Frank O.) (1966). Generalization of an inequality of Hajek and Renyi. Skand.
Aktuar., v. 49, p. 85 89.
Фреше (Fr6chct M.) (1927). Sur la loi de probabilite de l’ccart maximum. - Ann. de la
Soc. polonaise de Math. (Cracow), v. 6, p. 93.
Фреше (Frechet M.) (1940). Les probabilites associees a un systeme d’evenements compa¬
tibles ct dependants. - Paris: Hermann.
Фреше (Frechet M.) (1951). Sur les tableaux de correlation dont les marges sont don-
nes. - Ann. Univ. Lyon, Section A, Series 3, v. 14, p. 53-77.
Фройденберг и ZZ/wH^b(Freudenberg W. and Szynal D.) (1976). Limit laws for a random
number of record values. - Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Math. Astron, et Phys., v. 24, p. 193
199.
297

Фэйбенс и Ньюте (I'abens A.J. and Neuts M.F.) (1970). The limiting distribution of the
maximum in a sequence of random variables defined on a Markov chain. - J. Appl. Probabi¬
lity, v. 7, p. 754-760..
Хагиги-Талаб и />aur(Haghighi-Talab D. and Wright C.) (1973). On the distribution of
records in a finite sequence of observations, with an application to a road traffic problem. -
J. Appl. Probability, v. 10, p. 556-571.
Хан тер (Hunter D.) (1976). An upper bound for the probability of a union. J. Appl.
Probability, v. 13, p. 597-603.
Харрис (Harris R.) (1970). An application of extreme value theory to reliability theory. -
Ann. Math. Statist., v. 41, p. 1456 1465.
Хеглунд (Hoglund T.) (1972). Asymptotic normality of sums of minima of random vari¬
ables. - Ann. Math. Statist., v. 43, p. 351 -353.
Хейди (Heyde C.C) (1971). On the growth of the maximum queue length in a stable
queue. - Operations Res., v. 19, p. 447 452.
Холмс и Стродерман (Holmes Р.Т. and Strawderman W.E.) (1969). A note on the wai¬
ting times between record observations. - J. Appl. Probability, v. 6, p. 711-714.
Хомма (Homma T.) (1951). On the asymptotic independence of order statistics. Rep.
Stat. Appl. Res. J USE, v. 1, p. 1-3.
Хуанг (Huang J.S.) (1974). Characterizations of the exponential distribution by order sta¬
tistics. - J. Appl. Probability, v. 11, p. 605-608.
Чен и Джервис (Chan L.K. and Jarvis G.A.) (1970). Convergence of moments of some
extreme order statistics. - J. Statist. Res., v. 4, p. 37-42.
Чендлер (Chandler K.N.) (1952). The distribution and frequency of record values. -
J. Royal Statist. Soc., v. В14, p. 220-228.
Чжун и Эрдеш (Chung K.L. and Erdos P.) (1952). On the applications of the Borel-Can¬
telli lemma. - Trans. Amer. Math. Soc., v. 72, p. 179-186.
Шоррок (Shorrock R.W.) (1972a). A limit theorem for inter-record times. J. Appl. Proba¬
bility, v. 9, p. 219-223.
Шоррок (Shorrock R.W.) (1972b). On record values and record times. - J. Appl. Proba¬
bility, v. 9, p. 316-326.
Шоррок (Shorrock R.W.) (1973). Record values and inter-record times. - J. Appl. Proba¬
bility, v. 10, p. 543-555.
Шоррок (Shorrock R.W.) (1974). On discrete time extremal processes. - Adv. Appl. Pro¬
bability, v. 6, p. 580-592.
Шривастава (Srivastava O.P.)(1967). Asymptotic independence of certain statistics connec¬
ted with the extreme order statistics in a bivariate distribution. - Sankhya, v. A29, p. 175-
182.
Штайнебах (Steinebach J.) (1976). Exponentielles Konvergenzverhalten von Wahrschein-
lichkeiten grosser Abweichungen. - Thesis for Ph.D., Univ. Dusseldorf.
Энс (Enns E.G.) (1970). The optimum strategy for choosing the maximum of n indepen¬
dent random variables. - Operations Res., v. 14, p. 89-96.
Энскомб(Anscombe F.J.) (1952). Large sample theory of sequential estimation. Proc.
Cambridge Philos. Soc., v. 48, p. 600-607.
Энтл, Радемейкер (Antle C.E. and Rademaker F.) (1972). An upper confidence limit on
the maximum of m future observations from a type 1 extreme value distribution. - Biomet-
rika, v. 59, p. 475-477.
Эпстейн (Epstein В.) (1948). Applications of the theory of extreme values in fracture pro¬
blems. - J. Amer. Statist. Assoc., v. 43, p. 403-412.
Эпстейн (EpsteinB.) (1960). Elements of the theory of extreme values. -Technometrics,
v. 2, p. 27-41.
Эрдеш (Erdos P.) (1942). On the law of the iterated logarithm. - Ann. Math., v. 43,
p. 419-436.
Эрдеш и Реньи (Erdos Р. and Renyi A.) (1959). On Cantor’s series with convergent
E l/?n- - Ann. Univ. Sci., Budapest, Sectio Math., v. 2, p. 93- 109.
Юдицкая П.И. (1974). О максимуме гауссовской последовательности. - Теория
вероятностей и матем. статист., Киев, т. 2, с. 259-267.
Юнкоса (Juncosa M.L.) (1949). On the distribution of the minimum in a sequence of mu¬
tually independent random variables. Duke Math. J., v. 16, p. 609- 618.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Асимптотическая независимость
экстремальных компонент век¬
торов 229, 242
экстремумов в одномерном слу¬
чае:
н.о.р. величины 97, 107
^-зависимые и подчиняю¬
щиеся условиям переме¬
шивания величины 140
Асимптотические распределения —
см. Предельные распреде¬
ления
Байесовский подход 132, 176
Биномиальные моменты 21, 42,
118,128 — 129
Большие уклонения 108. 111*
Бонферрони неравенства — см.
Неравенства
Бореля — Кантелли лемма 187 —
189,213
Вейбулла распределение 84, 169 —
171,185
Верхний предел нормализованных
экстремумов 201,	202,
212-213,214-215
Вырожденные предельные зако¬
ны 212
Гауссовские последовательности
146, 177, 181,184,213
Геометрическое распределение 109
Двумерные распределения — см.
Многомерные распределе¬
ния
Дискретные распределения экстре¬
мумов 107, 109, 110, 216
Еп- последовательности 157
предельные распределения ми¬
нимумов 158,177
применения:
модели отказа 175
паводки 174
прочность на разрыв 169—
171
слабая сходимость (доста¬
точные условия) 158
последовательности 158
предельные распределения 158,
177
слабая сходимость (достаточные
условия) 158
Зависимости функция в случае
многомерных распределе¬
ний 222 - 226
Зависимые величины 14, 20, 42, 43
асимптотическое распределение
экстремумов — см. Пре¬
дельные распределения
законы больших чисел для экст¬
ремумов 184, 185, 186
различные виды:
гауссовские 146
^-последовательности 157
Е„- последовательности 158
т- зависимые 140
симметрично зависимые 114
с перемешиванием (на хвос¬
тах) 140
распределение порядковых ста¬
тистик :
общие оценки 23 — 24, 27
примеры 28—31
точные формулы 21, 23
299

Индуцированные порядковые ста¬
тистики — см. Сопутст¬
вующие порядковые ста¬
тистики
Интенсивность отказа 311
Компактность функций распреде¬
ления 285
Коши распределение 64, 208
Логнормальное распределение — 63,
83, 107, 109
Максимумы (обозначения) 11 — 13,
20,217
zn-зависимые по дивательности
140, 171, 173, 180-181
Медленно меняющиеся функции
107,209,284 -285
Минимумы (обозначения) 11 — 13,
20,217
Много мер тые распределения 217,
236
асимптотическая независимость
экстремальных компонет
229,242,245
нормальные 146
области притяжения 224, 230,
234
Пикендса представление 236
предельные распределения экст¬
ремумов 223, 224 — 227,
230 -233
слабая сходимость 220, 221
слабая сходимость экстремумов
224, 227, 229, 234, 242 -
243
Фреше границы 218
Моменты
характеризации 35, 283
экстремумов (сходимость) 107
Наводнения — см. Паводки
Независимые величины 121, 161
предельные распределения экст¬
ремумов 161, 177 — 178
сходимость почти наверное экст¬
ремумов 201 - 202, 213
условие' равномерности 161
Независимые и одинаково распреде¬
ленные (н.о.р.) случайные
величины 14
вклад экстремумов в сумму
величин 207 - 208, 210,
213
границы для распределений экст¬
ремумов 16,19
предельные распределения экст¬
ремумов 49—50, 53 — 54,
66 -67,94, 106 - 107
приближения с их помощью
172,174, 176
размах 97
результаты, связанные со сходи¬
мостью почти наверное
191 -201,203,213
середина размаха 97
скорость сходимости экстрему¬
мов 103,105,109
слабая сходимость экстремумов:
достаточные условия 16 —
17, 49 - 50, 53 -54,86 -
87,106 - 107
необходимые и достаточные
условия 66,	94 — 95
106 - 107
необходимые условия 75
совместная плотность порядко¬
вых статистик 38
усиленные законы больших чи¬
сел для экстремумов
203 - 205
Неравенства 14, 15, 45 — 46
для многомерных нормальных
распределений 146 - 147,
177
для многомерных предельных
распределений экстрему¬
мов 227,228
для многомерных распределений
218,219
для распределений экстремумов
16, 19
с биномиальными моментами
(неравенства Бонферро-
ни) 23, 24, 27, 42 - 43,
45
300

Нижний предел нормализованных
экстремумов 202, 212 —
213,215
Нормальное распределение 61, 106,
107
как предельное распределение
148, 152, 171, 177, 181
многомерное 227, 236, 239
нормирующие и центрирующие
константы для экстрему¬
мов 62, 63
равномерная близость к логнор¬
мальному распределению
83, 109
размах 100
середина размаха 100
скорость сходимости 106
слабая сходимость экстремумов
62,96
слабый закон больших чисел для
экстремумов 121
усисленный закон больших чисел
для экстремумов 203 —
205
Области притяжения 66
вклад экстремумов в сумму
величин 207, 212
связь с моментами распреде¬
лений 89, 91
условия принадлежности:
для многомерных величин
224,230,237
для н.о.р. величин 66, 86,
87, 106, 109-111
Отсутствие последействия 32
Параметрическая форма фон Ми¬
зеса 51
Парето распределение 92
Перемешивание на хвостах 140,
177
предельные распределения
для нормализованных
экстремумов 140 — 141
слабая сходимость 140 - 141,
177
Переставляемые величины — см.
Симметрично зависимые
величины
Пикендса представление 236
Планка распределение 92-93
Повторного логарифма закон для
сумм 280
Порядковые статистики (определе¬
ния) 20
Предельные распределения
для рекордов 266
нормализованных экстремумов:
в многомерном случае 223,
225,230 - 234, 236
для выборок случайного раз¬
мера 250, 251, 256, 272
для гауссовских величин 148,
151 - 152
для £п-последовательностей
157
для ^-последовательностей
158
для ^-зависимых величин
140 - 141, 165 - 166
для независимых величин
161
для н.о.р. величин 49 — 51,
53 - 54, 66 - 67, 94,
106 - 107
для симметрично зависимых
(переставляемых) вели¬
чин 134 — 139
для стационарных последо¬
вательностей с перемеши¬
ванием 140 — 141
параметрическая форма фон Ми¬
зеса 51
по подпоследовательностям для
максимумов 85,109
Преобразование распределений 13,
41 -42,47,60,83,243
Применения экстремальных вели¬
чин:
выход из строя систем 9, 11, 30,
84, 112, 168, 174 - 175
загрязнение атмосферы 10, 107,
173,178
коррозия 9, 11
301

Применения экстремальных вели¬
чин
медицина 28, 179
прочность на разрыв (сопротив¬
ление материалов) 10, 12,
169,171,179
стихийные бедствия 9, 11 — 12,
174
Пуассоновское распределение 109
Равномерная сходимость распреде¬
лений 101
Равномерное распределение 60, 85,
101,108
Размах выборки 97
слабая сходимость 99
Результаты, связанные со сходи¬
мостью почти наверное 191 -
207,212,213,215
Рекордные момента (времена)
257 - 258, 272, 274 -275
распределения 258 — 259, 261 —
262,264
Рекорды (рекордные величины)
258,265,273,274
предельные распределения 266 -
267
Свертки распределений
поведение хвостов 107
принадлежность областям при¬
тяжений 111
Середина размаха 97
слабая сходимость 99
Симметрично зависимые величины
114
бесконечные последовательности
(представление де Финет-
ти) 133
значение для байесовского под¬
хода к статистике 132,
176
конечные последовательности
114-116
предельные распределения экст¬
ремумов 134 — 139
слабая сходимость нормализо¬
ванных экстремумов
134-139
Симметрично зависимые события
116
конечные и бесконечные после¬
довательности 111 - 116
связь с выборками без возвра¬
щения 119,120,178
Слабая сходимость 48, 130
Слабый закон больших чисел 184,
212-213
аддитивный 184, 186
мультипликативный 184 — 185
Случайный объем выборок 250,
272 - 273
предельные распределения экст¬
ремумов 250, 251, 256,
272
Смеси (предельные распределения)
123, 127 - 128
События (распределение числа появ¬
лений) :
точные формулы 23, 120
оценки 23, 24, 45 — 46
Согласия критерии 83, 178 — 179,
236
Сопротивление материалов — см.
Прочность на разрыв
Сопутствующие порядковые статис¬
тики 238 — 242, 243
Сравнение максимумов
в случае двух равномерно близ¬
ких функций распределе¬
ния 83
двух гауссовских последователь¬
ностей 147, 150 - 151,
155 - 156
Стационарные последовательности
139,177
Суммы случайного числа слагаемых
273
Теория надежности 176,179
Теория очередей 248, 272
Типы распределений 102, 173, 174
Усиленный закон больших чисел
204 - 205
302

Фон Мизеса условия принадлеж¬
ности области притяже¬
ния 106 - 107
Фреше границы для многомерных
функций распределения
218,231
Характеризации 32, 35, 39, 42, 43
Эквивалентность хвостов распреде¬
лений 107, 109
Экспоненциальное (показательное)
распределение 17, 32
в качестве предельного 85
Экспоненциальное (показательное)
распределение
двумерное 180 - 181, 219, 222
Гумбеля 219 — 220
Мардиа 220, 222
Маршалла —Олкина 220, 221
Моргенштерна 219, 222
размах и середина размаха 100
скорость сходимости экстрему¬
мов 105,109
характеризации 32 — 35, 39, 42,
168
Экстремальные процессы 268 — 272
Экстремумы (определения) 20,217,
246

Янош Галамбош
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ
ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ
ПОРЯДКОВЫХ
СТАТИСТИК
Редактор В.В. Абгарян
Технический редактор В. В. Лебедева
Корректоры Т.А. Печко, Т.В. Обод
Набор осуществлен в издательстве
на наборно-печатающих автоматах
ИБ№ 12113
Сдано в набор 14.11.83. Подписано- к печати 19.01.84
Формат 60 X 90 1/16. Бумага типографская № 3
Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная
Усл.печ.л. 19,0 . Усл.кр-отт. 19,0 . Уч.-изд.л. 23,98
Тираж 3450 экз. Тип. зак.75 Цена Зр. 90 к.
Издательство ’’Наука”
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 1 5
4-я типография издательства ’’Наука”
630077, Новосибирск, 77, ул. Станиславского, 25