Text
                    

АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ КНИГА ПЯТАЯ ГЕОМЕТРИЯ .; ч чека Ь; МАГИЧЕСКОГО ' ллгджд НМУ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1966
51.3 (03) Э68 УДК 513.0 (03) ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ЭНЦИКЛОПЕДИИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ П. С. АЛЕКСАНДРОВ, А. И. МАРКУШЕВИЧ, А. Я. ХИНЧИН | РЕДАКТОРЫ КНИГИ ПЯТОЙ: В. Г. БОЛТЯНСКИЙ, И. М. ЯГЛОМ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ КНИГА ПЯТАЯ — ГЕОМЕТРИЯ М., 1966 г., 624 стр. с илл. Редакторы В. И. Битюцков, И. Е. Морозова. Техн, редактор С. Я. Шкляр Корректор С. Н. Емельянова. Сдано в набор 20/XI 1965 г. Подписано к печати 24/1II 1966 г. Бумага 60x90'/ie. Физ. печ. л. 39. Условн. печ. л. 39. Уч.-изд. л. 41,18. Тираж 25 000 экз. Т-04630. Цена книги 1 р. 56 к. Заказ № 336. Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. Москва, В-71, Ленинский проспект, 15. Главполиграфпром Комитета по печати при Совете Министров СССР. Отпеча- тано в Ленинградской типографии № 1 «Печатный Двор» им. А. М. Горького, Гатчинская, 26 с матриц Первой Образцовой типографии им. А. А. Жданова, Москва, Ж-54, Валовая, 28. 2-2-2 8-65
ОГЛАВЛЕНИЕ ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ (В. А. Рохлин) § 1. Введение: что такое площадь?.............................. 7 § 2. Класс многоугольных фигур................................ 13 § 3. Площадь на классе многоугольных фигур.....................21 § 4. Класс квадрируемых фигур..................................33 § 5. Площадь на классе квадрируемых фигур .....................44 § 6. Другое построение теории площадей ........................56 § 7. Объем.....................................................65 Добавление. Площадь и объем в геометрии подобия..............81 Литература ...................................................86 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ (В. Г. Болтянский) § 1. Длины ломаных линий ......................................89 § 2. Простые дуги .... ....................•.............100 § 3. Спрямляемые линии........................................109 § 4. Длина на классе спрямляемых линий........................117 § 5. О понятии площади поверхности ......................... 130 Литература . .......... ....... 140 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ (В. Г. Болтянский) § 1. Введение ................................................142 § 2. Равносоставленность многоугольников......................158 § 3. Равносоставленность многогранников ......................165 Литература ...................................................180 ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА (В. Г. Болтянский, И. М. Яглом) § 1. Определение и основные свойства..........................182 § 2. Простейшие метрические характеристики выпуклых фигур .... 195 § 3. Выпуклые многоугольники и многогранники..................207 § 4. Периметр, площадь, объем............................... 219 § 5. Выпуклые тела в многомерных пространствах................239 § 6. Некоторые задачи комбинаторной геометрии............... . 247 Литература ...................................................267
4 ОГЛАВЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ (В. Г. Болтянский, И. М. Яглом) § 1. Наибольшие и наименьшие значения функций...................270 § 2. Знаменитые геометрические задачи ..........................307 § 3. Задачи на максимум и минимум, связанные с выпуклыми фигурами 338 Литература ................................................... 347 МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (Б. А. Розенфельд, И. М. Яглом) § 1. Определение многомерного пространства..................... 349 § 2. Прямые н плоскости.........................................354 § 3. Шары и сферы ..............................................373 § 4. Многогранники..............................................378 Литература .....................................................391 НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ (Б. А. Розенфельд, И. М. Яглом) § 1. Возникновение неевклидовой геометрии Лобачевского.........394 § 2. Неевклидова геометрия Римана........................ .... 404 мН § 3. Псевдоевклидова геометрия.................................420 § 4. Неевклидова геометрия Лобачевского........................439 § 5. Неевклидова геометрия Галилея....................... .... 452 § 6. Неевклидовы геометрии и группы преобразований.............458 § 7. Некоторые другие геометрические системы ...»..............465 Литература ....................................................474 ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ (В. А. Ефремович) Введение.......................................................477 § 1. Линии и поверхности.................................... 48447* § 2. Многообразия..............................................516 § 3. Общие топологические понятия..............................536 Литература ....................................................555 КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ (3. А. Скопец) § 1. Различные определения конических сечений..................557 § 2. Эллипс ...................................................569 § 3. Гипербола.................................................587 § 4. Парабола............................................... . . 598 § 5. Некоторые общие свойства конических сечений ..............603 Литература ... ...................... ...................607 Именной указатель.................. ...........................609 Предметный указатель...........................................612
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ СОДЕРЖАНИЕ § 1. Введение: что такое площадь?................................ 7 1.1. Основные свойства площади............................... 7 1.2. Квадрируемые фигуры .................................... 8 1.3. Аксиоматическое определение площади..................... 9 1.4. Проблема существования площади......................... 10 1.5. Конструктивные определения площади..................... 10 1.6. Сравнение площади с элементарными функциями действитель- ного переменного........................................... 12 1.7. Итоги.................................................. 12 § 2. Класс многоугольных фигур.................................. 13 2.1. Внутренние, внешние и граничные точки................. 13 2.2. Открытые и замкнутые множества......................... 15 2.3. Выпуклые многоугольники ............................... 16 2.4. Многоугольные фигуры................................... 17 2.5. Операции над многоугольными фигурами................... 18 § 3. Площадь на классе многоугольных фигур.......................21 3.1. Определение площади . 21 3.2. Простейшие следствия определения................... . . 21 3.3. Вычисление площади прямоугольника.......................22 3.4. Вычисление площади треугольника и трапеции..............23 3.5. Вычисление площади произвольной многоугольной фигуры 23 3.6. Строгая монотонность....................................24 3.7. Теорема существования и единственности..................24 3.8. Поведение площади при преобразовании подобия............29 3.9. Поведение площади при ортогональном проектировании ... 29 3.10. Поведение площади при аффинном преобразовании ..........30 § 4. Класс квадрируемых фигур....................................33 4.1. Определение квадрируемой фигуры....................... 33 4.2. Замечание о выборе фигур Р и Q .........................33 4.3. Нуль-множества .........................................34 4.4. Лемма о граничной точке .............................. 35 4.5. Критерий квадрируемости ................................35 4.6. Операции над квадрируемыми фигурами ....................36 4.7. Линии ..................................................36 4.8. Квадрируемость классических фигур .................. . . 40 4.9. Круг....................................................41 4.10. Примеры неквадрируемых множеств.........................41 § 5. Площадь на классе квадрируемых фигур........................44 5.1. Определение площади .......................44 5.2. Простейшие следствия определения .......................44 5.3. Площадь как точная грань........................ ..... 45 5.4. Площадь как предел ................................... 46
6 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ 5.5. Теорема существования и единственности ............47 5.6. Нуль-множества .... .............. ... 48 5.7. Полнота класса квадрируемых фигур..................48 5.8. Поведение площади при аффинном преобразовании......49 5.9. Вычисление площади............................ . . 50 5.10. Площадь на классе квадрируемых замкнутых областей .54 § 6. Другое построение теории площадей . . ..................56 6.1. Введение......................................... . . 56 6.2. Площадь относительно сетки....................... 57 6.3. Критерий квадрируемости........................ ... 59 6.4. Операции над квадрируемыми фигурами................60 6.5. Основные свойства площади...................... 61 6.6. Теорема единственности ............ . . . 63 6.7. Инвариантность площади......................... . 64 6.8. Эквивалентность двух определений площади...........64 § 7. Объем................................................. 65 7.1. Введение......................................... 65 7.2. Класс многогранных тел.............................66 7.3. Определение объема на классе многогранных тел......68 7.4. Вычисление объема на классе многогранных тел.......68 7.5. Существование и единственность объема на классе многогран- ных тел ................................................72 7.6. Поведение объема многогранного тела при геометрических преобразованиях..................................... .75 7.7. Класс кубируемых тел............................. 75 7.8. Объем на классе кубируемых тел................ .... 76 7.9. Цилиндры и конусы............................. . 77 7.10. Шар ......... 78 7.11. Тела вращения.................................. 80 7.12. Другое построение теории объемов ..... . . 81 Добавление. Площадь и объем в геометрии подобия.......... . 81 1. Метрическая геометрия и геометрия подобия ...........81 2. Преобразование площади и объема при замене единичного от- резка ..................................................83 3. Переход к геометрии подобия ......................84 4. Единицы длины, площади и объема .....................85 Литература ............................................... 86 Эта статья посвящена основным вопросам теории площадей и объемов — их определению, свойствам и вычислению. Площадь изучается только на плоскости. Определение площади кривой поверхности требует совсем других средств1). Предполагается, что читатель знаком с теорией длин прямоли- нейных отрезков (см. стр. 89—94). Напомним, что в основе этой тео- рии лежит выбор единичного отрезка. Если единичный отрезок заменя- ется другим отрезком, то длины всех отрезков делятся-на старую длину нового единичного отрезка. Площади и объемы тоже зависят от выбора единичного отрезка. Эга зависимость изучается в специ- х) См. статью «Длина кривой и площадь поверхности» в этом томе ЭЭМ. (Прим, ред.)
введение: что такое площадь? 7 альном добавлении, помещенном после статьи. В самой статье единичный отрезок считается фиксированным раз и навсегда. Требования к общей подготовке читателя почти всюду ограни- чиваются самыми начальными сведениями о множествах, функциях и последовательностях (свойства сложения, вычитания и пересече- ния множеств; общее понятие числовой функции; границы числовых множеств; предел последовательности). Немногие менее элемен- тарные пункты отмечены звездочкой и могут быть пропущены без ущерба для понимания остального. Наименее элементарной проблемой теории площадей и объемов является их вычисление: сколько-нибудь полное рассмотрение этой проблемы требует интегрального исчисления, притом привлечения не только простых, но и кратных интегралов, включая переход к криволинейным координатам. Понятно, что такие сложные вещи не могут излагаться в элементарной статье. Приходится ограни- читься несколькими формулами, выражающими площади и объемы через простые интегралы. § 1. Введение: что такое площадь? 1.1. Основные свойства площади. Площадь принадлежит к числу наиболее широко известных математических понятий — тех, с ко- торыми все мы встречаемся в практической жизни. Практическое знакомство с площадями делает это понятие чрезвычайно надежным в наших глазах. Площадь представляется нам физической реаль- ностью, такой же несомненной, как окружающие нас предметы. Значительно менее известен тот факт, что площадь — очень не простое понятие. Точное определение площади представляет зна- чительные логические трудности и почти неизвестно за пределами узкого круга профессиональных математиков. Многим самый вопрос покажется искусственным: они скажут, что площадь — первичное понятие, не подлежащее определению. Взгляд на площадь как на первичное понятие сложился еще в древности. До сравнительно недавнего времени этого взгляда придерживались и математики. На протяжении многих столетий они видели свою задачу в вычислении площадей; им не приходило в голову, что площадь нуждается в специальном определении. Между тем их вычисления должны были на чем-то основы- ваться— если не на прямом определении, то на чем-то, его заме- няющем, на каких-то принципах, которые позволяли им всякий раз получать в качестве площади определенное число. И такие принципы, конечно, существовали, хотя обычно не формулировались. Это — основные свойства площади. Они широко известны, потому что служат основой всех применений — теории площадей. Мы вы- скажем их в следующей форме, наиболее удобной для наших целей.
8 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ (а) Площадь фигуры есть неотрицательное число. (Р) Площадь фигуры, составленной из нескольких фигур без общих внутренних точек, равна сумме площадей этих фигур. (у) Равные фигуры имеют равные площади. (6) Площадь единичного квадрата равна единице. Свойство (а) называется положительностью, (0)— аддитив- ностью, (у) — инвариантностью, (б) — нормированностью. Под единичным квадратом понимается квадрат, построенный на единичном отрезке. Подчеркнем, что в этой статье речь идет исключительно о площадях плоских фигур. Конечно, в действительности четыре свойства не были единст- венными, которыми математики пользовались при вычислении пло- щадей. Но все другие свойства площади, которые они явно или неявно использовали, оказались следствиями этих четырех. В ка- честве примера укажем на широко известное свойство, называемое монотонностью', площадь части фигуры не превышает площади всей фигуры. Монотонность есть следствие положительности и ад- дитивности. Действительно, пусть F— фигура и G—ее часть. Обозначим через О' дополнительную часть. Так как О и О' вместе составляют фигуру F и не имеют общих внутренних точек, то пл. Л=пл. Оф-пл. G', а так как пл. О' 0, то пл. Fjsn.n. О. 1.2. Квадрируемые фигуры. Методы, позволяющие вычислять площади на основании свойств (а) — (6), в своих наиболее общих чертах также были созданы еще в древности. Сначала математики научились вычислять площади многоуголь- ных фигур. Было установлено, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту и что для вычисления площади произвольной многоугольной фигуры достаточно разбить ее на треугольники без общих внутренних точек и сложить пло- щади этих треугольников. Перейдя к фигурам, ограниченным кривыми линиями, математики стали приближать их многоугольными фигурами. Пусть F — фигура, площадь которой должна быть вычислена. Рассмотрим, с одной стороны, всевозможные многоугольные фигуры, содержащиеся в F, с другой стороны, — всевозможные многоугольные фигуры, содер- жащие F. Первые называются входящими в F, вторые — объемлю- щими F. В силу монотонности площади, для любой входящей многоугольной фигуры Р и любой объемлющей многоугольной фи- гуры Q справедливо неравенство пл. Р^ пл. Fпл. Q. Таким образом, площади фигур Р и Q служат приближенными значениями площади фигуры F с недостатком и с избытком. По- грешности обоих приближений, т. е. разности пл. F—пл Р и пл. Q—пл. F, не превышают разности пл Q—пл. Р. Предположим,
введение: что такое площадь? 9 что путем надлежащего выбора многоугольных фигур Р и Q мы можем сделать последнюю разность сколь угодно малой. Тогда и погрешности наших приближений могут быть стеланы сколь угодно малыми. Это значит, что площадь фигуры F может быть вычислена с произвольной степенью точности. Ясно, что этот метод применим только к таким фигурам F, для которых существуют входящие многоугольные фигуры Р и объем- лющие многоугольные фигуры Q со сколь угодно малыми разностями пл. Q — пл. Р. Такие фигуры F называются квадрируемыми. На- пример, круг — квадрируемая фигура. Для него в качестве Р и Q могут быть взяты правильные 2"-угольники — вписанный и описан- ный. Известно, что разность площадей этих 2л-угольников стре- мится к нулю при п—> оо. Класс квадрируемых фигур очень широк. Только с квадриру- емыми фигурами и имеет дело теория площадей, которой мы будем заниматься. 1.3. Аксиоматическое определение площади. Оказывается, что сведений, которыми мы уже располагаем, достаточно для определе- ния площади. Нужно лишь взглянуть на них с новой точки зрения. Отделим прежде всего чисто математические сведения о пло- щади, содержащиеся в пп. 1.1 и 1.2, от исторических и иных соображений. Эти сведения сводятся к трем положениям: (1) Каждой квадрируемой фигуре отвечает определенное число — ее площадь. (2) Эти числа-площади обладают свойствами (а)— (6). (3) Площадь любой квадрируемой фигуры можно вычислить с произвольной степенью точности на основании свойств (а)—(6). Первое по- ложение означает, что площадь есть функция, определенная на классе квадрируемых фигур. Согласно второму эта функция обладает свойствами (а) — (б). Третье положение показывает, что на классе квадрируемых фигур не существует другой функции со свойствами (ос) — (6). Следовательно, площадь может быть опре- делена как функция квадрируемой фигуры, обладающая свойст- вами (а) — (б). К сожалению, эта краткая формулировка не безупречна: она предполагает, что класс квадрируемых фигур уже определен, тогда как определение этого класса само опирается на понятие площади, правда, только на понятие площади многоугольной фи- гуры. Чтобы устранить это затруднение, достаточно предварительно, с помощью тех же условий (а) — (б), определить площадь на классе многоугольных фигур. Полная формулировка определения площади состоит, таким образом, из трех частей: сначала площадь опреде- ляется как функция со свойствами (а) — (б) на классе многоуголь- ных фигур; затем определяется класс квадрируемых фигур; нако- нец, площадь определяется как функция со свойствами (а) — (б) на классе квадрируемых фигур.
10 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ Как видно из предыдущего, это определение представляет собой лишь перевод на современный математический язык тех представ- лений о площади, которые достались нам в наследство от матема- тиков прошлого. Конечно, такой перевод не мог обойтись без уточнений. Наиболее заметное уточнение касается класса фигур, которым приписывается площадь. Мы должны были точно указать этот класс, тогда как прежде математики не ставили перед собой такой задачи. Нетрудно заметить, что свойства (а) — (6) играют в изложенном определении площади роль аксиом. Иногда их называют аксиомами площади, а само определение называют аксиоматическим. 1.4. Проблема существования площади. Вернемся к трем поло- жениям, сформулированным в начале предыдущего пункта. Поло- жения (1) и (2) были приняты нами как очевидные; положение (3), согласно пп. 1.1 и 1.2, представляет собой теорему, которая может быть доказана. Из положения (3) вытекает, что на классе квадри- руемых фигур не может быть двух различных функций со свойст- вами (а) — (б); утверждение, содержащееся в положениях (1) и (2), состоит, очевидно, в том, что по крайней мере одна такая функ- ция существует. Поскольку положение (3) может быть доказано, единственность нашей функции не вызывает сомнений. Но так ли уж очевидны положения (1) и (2)? Разве в действительности очевидно, что на классе квадрируемых фигур, или хотя бы на классе многоугольных фигур, существует функция со свойствами (а) — (6)? Конечно, это вовсе не очевидно. До сих пор положения (1) и (2) представлялись нам очевидными просто потому, что мы исходили из старого взгляда на площадь как на нечто данное. В действи- тельности существование функции со свойствами (а) — (6) требует доказательства. Сначала должны быть доказаны существование и единственность такой функции на классе многоугольных фигур, за- тем должен быть определен класс квадрируемых фигур и, наконец, должны быть доказаны существование и единственность такой функ- ции на классе квадрируемых фигур. Только после того как все это проделано, слова сплощадь есть функция квадрируемой фигуры, обла- дающая свойствами (а) — (6) , становятся полноценным определением. 1.5. Конструктивные определения площади. Все известные до- казательства существования функции со свойствами (а) — (6) за- ключаются в прямом построении этой функции, т. е. в описании процесса, позволяющего по фигуре F найти число пл. F. После того как функция построена, устанавливается, что она обладает свойствами (а) — (6). Разные доказательства отличаются друг от друга, конечно, не тем, чго приводят к различным функциям,— функция всегда одна и та же, — а тем, что в них по-разному стро- ится эта функция.
введение: что такое площадь? И Одно из возможных прямых построений функции со свойствами (а)—(6) на классе многоугольных фигур фактически было описано в п. 1.2: заданная многоугольная фигура разбивается на треуголь- ники без общих внутренних точек, затем для каждого треугольника составляется половина произведения какой-нибудь стороны на со- ответствующую высоту и результаты складываются. Тот факт, что этим путем действительно получается функция многоугольной фи- гуры со свойствами (а) — (6), требует, конечно, доказательства. После того как площадь построена на классе многоугольных фигур, ее уже сравнительно нетрудно продолжить на класс квад- рируемых фигур. Способ продолжения опять-таки был фактически описан в п. 1.2: за площадь квадрируемой фигуры принимается то единственное число, для которого площади входящих много- угольных фигур служат приближениями с недостатком, а площади объемлющих многоугольных фигур — приближениями с избытком. Свойства (a) — (d) для продолженной функции выводятся из ее уже установленных свойств на классе многоугольных фигур. Всякое прямое построение функции со свойствами (а) — (6) само, очевидно, может служить определением площади. Такие определе- ния называются конструктивными, и любое из них может быть положено в основу теории площадей. Если при аксиоматическом определении площади должны быть доказаны ее существование и единственность, то при конструктивном определении становятся теоремами и подлежат доказательству свойства (а) — (6). С логи- ческой точки зрения конструктивное построение теории площадей эквивалентно аксиоматическому и в конечном счете отличается от него лишь порядком изложения. Методически каждое построение имеет свои достоинства и свои недостатки. Для начинающего очевидным недостатком намеченного выше конструктивного определения площади является его психологи- ческая неубедительность: площадь треугольника по определению объявляется равной половине произведения основания на высоту. Более естественным является конструктивный подход к понятию площади, содержащийся в широко известной наивной формулировке: площадь фигуры есть число единиц площади, заключенных в этой фигуре. Этой формулировке можно следующим образом придать точный смысл. Разобьем плоскость горизонталями и вертикалями на квадраты со стороной 1, затем каждый из них на 100 квадра- тов со стороной х/10, затем каждый из полученных квадратов—на 100 квадратов со стороной 1/1и0, и т. д. Пусть ап — число квадра- тов со стороной 1/1и", целиком содержащихся в заданной фигуре F, и а’п — число квадратов со стороной 1/10", пересекающихся с этой фигурой (см. рис. 19 на стр. 57). Положим sn= a,,/ioon и sn = an/ioon- С наивной точки зрения sn есть «число единиц площади, заключен- ных в F», взятое с недостатком, a s'n—«число единиц площади,
12 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ заключенных в F», взятое с избытком. Если существует единствен- ное число, заключенное между всеми числами sn и всеми числами s'n , то фигура F называется квадрируемой и указанное число называ- ется площадью фигуры F. Доказывается, что эта площадь обладает свойствами (а) — (6) и что это второе определение квадрируемости эквивалентно определению п. 1.2. 1.6. Сравнение площади с элементарными функциями действи- тельного переменного. Логическая ситуация, с которой мы имели дело в предыдущих пунктах, встречается в математике довольно часто. Многие известные функции могут быть определены как сво- ими свойствами («аксиоматически»), так и прямым построением («конструктивно»). Геометрическими примерами могут служить, на- ряду с площадью, длина и объем. Не лишним будет и пример из другой области. Рассмотрим показательную функцию f(x) = ax (а>0). Хотя с ее точным определением знакомы лишь немногие, ее основные свойства широко известны. Мы выберем следующие три свойства: (а) Если x<Zy, то flx)^zf(y) при a^sl и f{x)^f(y) при (b) f(x+y)=f(x)f(y). (с) /(1) = а. Можно показать, что эти три свойства позволяют с произволь- ной степенью точности вычислить значение функции ах при любом действительном значении х. Следовательно, на множестве действи- тельных чисел не существует двух различных функций с эти- ми свойствами. Иными словами, ах можно аксиоматически опреде- лить как функцию действительного числа, обладающую свойства- ми (а), (Ь), (с). Доказательство существования такой функции состоит в ее прямом построении. Сначала ее значения определяются для целых, затем для дробно-рациональных и, наконец, для иррациональных значений х. Это построение, правда лишь в самых общих чертах, излагается в школе. Оно представляет собой не что иное, как конструктивное определение функции ах. Аналогично могут быть определены и другие основные элемен- тарные функции: логарифмические, степенные, тригонометрические и обратные тригонометрические. Например, logcx можно опреде- лить как функцию положительного числа, обладающую тремя свой- ствами: (а) если x<Zy, то f(x) < f(y) при я > 1 и f(x) >f(y) приа<1; (b) f(xy)=f(x)+f(y)-, (с)/(«) = 1. 1.7. Итоги. Главный итог состоит в том, что площадь, которую прежде математики считали первичным понятием, может быть опре- делена через более простые понятия и в конечном счете сведена к основным понятиям геометрии и арифметики. Это сведение не просто и добавляет к проблеме вычисления площади, которая раньше была единственной в теории площадей, ряд новых проб- лем логического характера.
КЛАСС МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР 13 Без сомнения, эти новые проблемы представляют для начина- ющего известные трудности. Задача настоящего введения — помочь читателю преодолеть их. Построение теории площадей, намечен- ное в предыдущих пунктах, будет подробно развито в дальнейшем. Систематическое изложение начнется со следующего параграфа. § 2. Класс многоугольных фигур 2.1. Внутренние, внешние и граничные точки. Пусть М—про- извольное множество точек плоскости. Точка плоскости называется внутренней по отношению к Л!, если существует круг с центром в этой точке, целиком лежащий в М. Точка плоскости называется внешней по отношению к М, если существует круг с центром в этой точке, не имеющий с М общих точек. Точка плоскости называется граничной по отношению к М, если всякий круг с цент- ром в этой точке содержит по крайней мере одну точку, принад- лежащую множеству 714, и по крайней мере одну точку, не при- надлежащую множеству 7И. Ясно, что каждая точка плоскости яв- ляется по отношению к М либо внутрен- ней, либо внешней, либо граничной. Точки всех трех типов показаны на рис. 1. Всякая точка, внутренняя по отноше- нию к 7И, принадлежит множеству М. Совокупность всех внутренних точек на- CD зывается внутренней частью множества М. Ни одна точка, внешняя по отношению к М, не принадлежит множеству 7И. Что ка- сается граничных точек, то они могут при- надлежать и могут не принадлежать множе- Рис. 1. Внутренние, ству 7И. Совокупность всех граничных точек внешние и граничные , J точки, (как принадлежащих, так и не принадле- жащих множеству 7И) называется границей множества М. Сумма внутренней части множества М и его границы называется замыканием множества 7И. Нетрудно дать и прямое оп- ределение замыкания: точка плоскости в том и только в том случае принадлежит замыканию множества 7И, если всякий круг с центром в этой точке содержит по крайней мере одну точку множества М. Примеры. 1. М — круг радиуса г с центром в точке А, т. е. множество тех точек В, для которых расстояние р (Л, В) не пре- вышает г. Пусть, далее, С—произвольная точка плоскости. Точка С является внутренней, если р (Л, С) < г, внешней, если р (Л, С)>г, и граничной, если р (Л, С) = г. Таким образом, граница круга есть окружность с гем же центром и радиусом. 2. М — полуплоскость, т. е. множество, состоящее из точек не- которой прямой L и всех точек плоскости, лежащих от L по ту же
14 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ сторону, что и некоторая заданная точка. Границей полуплоско- сти Л1 является прямая L. 3. Прямая, отрезок, ломаная, окружность вовсе не имеют внут- ренних точек. Все их точки являются по отношению к ним гра- ничными, а все остальные точки плоскости — внешними. В частности, точки, лежащие внутри окружности, являются по отношению к ней внешними, — обстоятельство, указывающее на несовершенство на- шей терминологии. Внутренняя часть множества М будет обозначаться через 7ИВ, граница — через 7ИГ, замыкание—через 7И3. Согласно изложенному выше1), Л!в с: М с М3, 7И3 = А4В + Мт = М ф- Мг. Ясно, что если М с N, то 7ИВ с /VB и 7И3 с N3. Покажем, что для любых двух множеств Л! и Лг (MN)B=MBNB, (1) (Ж+^3 = Ж3 + ^, (2) (М 4- ЛА)Г с Mr + Nr, (MN)T с Мг + NT, (3) (M—N)rc:Mr + Nr. (4) Доказательство формулы (1). Если А £ (AW)B, то су- ществует круг с центром в точке А, лежащий в A1N, т. е. лежа- щий в М и в ЛЛ Тогда А£Л1В и A£NB, т. е. A£MBNB. Следова- тельно, (MN)Bc:MBNB. Если A£MBNB, то Л£Л1В и A£NB, т. е. существует круг с центром в точке А, лежащий в 7И, и существует круг с центром в точке А, лежащий в А/. Меньший из этих двух кругов есть круг с центром в точке А, лежащий в MN, так что А С (AW)B. Следовательно, MBNB с (AW)B. Для доказательства формул (2), (3) и (4) мы воспользуемся операцией образования дополнения множества. Через доп. М будем обозначать дополнение множества М, т. е. совокупность всех точек плоскости, не принадлежащих к 7И2). Ясно, что точки, внешние по отношению к М, являются внутренними по отношению к доп. М и *) Через M-J--/V в дальнейшем будет обозначаться сумма (или, иначе, объединение) множеств М и (V, т. е. множество, состоящее из всех тех точек, которые принадлежат хотя бы одному из множеств М, N- через MN будет обозначаться пересечение множеств М и (V, т. е. множество, состоя- щее из всех тех точек, которые принадлежат обоим множествам М, N; наконец, через М—N будет обозначаться разность множеств М и Д', т. е. множество, состоящее из всех тех точек, которые принадлежат мно- жеству М, но не принадлежат N. (Сумма, пересечение и разность множеств М и N обозначаются также через AlUZV, ТИПУУ и M\N.) Запись А£М выражает тот факт, что точка А принадлежит множеству УИ; за- пись McN означает, что множество М содержится в множестве N (и, мо- жет быть, совпадает с ним). (Прим, ред.) _ 2) Дополнение множества М часто обозначают также через М. (Прим, ред.)
КЛАСС МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР 15 наоборот, и что множества Лф и (доп. Л4)в служат дополнениями друг друга: доп. (Af3) = (доп. 2И)В, Лф — доп. ((доп. Л4)в). (5) Ясно также, что множества Л1 и доп. М имеют одну и ту же гра- ницу: Лф = (доп. Л4)г. (6) Напомним еще, что доп. = (доп. М) (доп. Дф, доп. (ЛДУ) = (доп. М) ф- (доп. N). (7) Доказательство формулы (2). Согласно формулам (5), (7) и (1),((Л4ф-Аф3 = доп. ((доп. (7H4-ZV))B) = доп.( ((доп. М) (доп. Д/))в) = = ((доп. Л4)в (доп. N)B) = доп. ((доп. Л4)в) ф- доп. ((доп. N)B) = М3 ф- Аф. Доказательство формул (3) и (4). Согласно фор- муле (2), (Л1+М)гс(2И+М)3 = М3ф-М3 = Жв + ^ф-Л1г + Мг. Но Лф с (Л4ф-Дфв и NB с: (Л1ф-ЛГ)в (так как Л1 с Л4ф-М к \!с Л4ф-Лф. Следовательно, Лф и NB не имеют общих точек с (A7-|-AZ)r и по- тому (ЛТ-ф/7)г с Лфф-Лф. Далее, согласно формулам (6) и (7) и первой из формул (3), (7ИЛГ)г = (доп. (AWV))r = (доп. Л4ф- доп. Л7)г с (доп. Л4)гф-(доп. Лфг— = Mr + Nr. Наконец, 7И—М = 7Щдоп. N) и, согласно второй из формул (3) и (6), (М— Л/’)г = (Л4(доп. Л7))г а Лфф- (доп. Лфг = Лфф-Лф. Соотношения (1), (2), (3) очевидным образом переносятся на любое конечное число множеств. Множество М называется ограниченным, если оно содержится .в некотором круге. Если Д’—такой круг, то Лф с К3 = К. Следо- вательно, замыкание ограниченного множества есть ограниченное множество. Очевидно также, что сумма конечного числа ограничен- ных множеств есть ограниченное множество. 2.2. Открытые и замкнутые множества. Множество, не содер- жащее ни одной своей граничной точки, т. е. состоящее из одних внутренних точек, называется открытым. Множество, содержащее все свои граничные точки, т. е. совпадающее со своим замыканием, называется замкнутым. Так как множество и его дополнение имеют одну и ту же границу, то множество замкнуто в том и только в том случае, если его дополнение открыто. Внутренняя часть любого множества есть открытое мно- жество. Действительно, если Л^Лф, то существует круг К с центром в точке А, лежащий в ЛЕ Пусть К'— круг меньшего радиуса с тем же центром. Ясно, что K'cKt. Так как АсЛф то Квс.Мв. Таким образом, круг К' с центром в точке А целиком содержится в множестве Мв, и потому А — внутренняя точка множества Лф.
16 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ Замыкание любого множества есть замкнутое множество. Действительно, каково бы ни было множество М, множество (доп. Л4)в открыто. Следовательно, его дополнение 7И3 замкнуто. Сумма и пересечение конечного числа открытых множеств открыты. Доказательство достаточно провести для случая двух множеств. Если множества М и N открыты, то М = Л!вс(7И + Mb, N=NBC c(M-[-N)B, M-|-2Vc(M4-2V)B, (MN)B = MBNB = MN, и потому мно- жества M-\-N и MN также открыты. Сумма и пересечение конечного числа замкнутых множеств замкнуты. Если М и N замкнуты, то их дополнения доп. М и доп N открыты. Следовательно, (доп. М) (доп. N) и (доп. М) -j- (доп. N) также открыты, а их дополнения /И-}-А/ и MN замкнуты. Примеры. Круг, окружность, полуплоскость, прямая, отрезок, ломаная — замкнутые множества. Круг, лишенный граничной окруж- ности, и полуплоскость, лишенная граничной прямой,— открытые множества. Замыкание открытого множества называется замкнутой обла- стью. Например, круг и полуплоскость — замкнутые области. За- метим, что открытое множество, замыканием которого служит дан- ная замкнутая область, не единственно. Например, круг есть замыкание своей внутренней части и той же внутренней части, лишенной центра. Всякая замкнутая область является замыканием своей вну- тренней части. Действительно, пусть F=G3, где G—открытое множество. Так как GtzF, то G=GBcz FB, и потому (G)3 с (FB)3. Таким образом, F cz (Дв)3. Обратно, так как FB с F, то (FB)3 с F3 = F. Следова- тельно, F=(FB)3. Сумма конечного числа замкнутых областей есть замкну- тая область. Действительно, если Fr = (0l)3, ... , Fn=(Gn)3, где Gn ... ..., Gn — открытые множества, то Gx -|- ... Gn есть открытое мно- жество и Fl + .. . + Fn= (Gx + .. + G„)3. 2.3. Выпуклые многоугольники. Выпуклым многоугольником называется пересечение конечного числа полуплоскостей при условии, что это пересечение ограничено и не лежит на одной прямой. Если пересечение конечного числа полуплоскостей ограничено и лежит на одной прямой, то оно представляет собой либо отре- зок, либо точку, либо пустое множество, т. е. совсем не содер- жит точек. Следовательно, пересечение выпуклого многоугольника с полуплоскостью или другим выпуклым многоугольником есть либо выпуклый многоугольник, либо отрезок, либо точка, либо пустое множество.
КЛАСС МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР 17 Простейшими выпуклыми многоугольниками являются треуголь- ники. Пусть А, В, С—три точки, не лежащие на одной прямой. Обозначим через Пл полуплоскость с граничной прямой ВС, со- держащую точку А, через П£ — полуплоскость с граничной пря- мой СА, содержащую точку В, через Пс — полуплоскость с гра- ничной прямой АВ, содержащую точку С. Треугольник с вершинами А, В, С может быть определен как пересечение полуплоскостей Пл, Пв, Пс. Это — ограниченная замкнутая область, границей которой служит ломаная АВСА. Всякий выпуклый многоугольник можно разложить на конечное число треугольников, не имеющих общих внутренних точек. 2.4. Многоугольные фигуры. Многоугольной фигурой мы назы- ваем всякое множество точек плоскости, которое может быть раз- ложено на конечное число треугольников, не имеющих общих внутренних точек. По формальным соображениям мы причисляем к многоугольным фигурам пустое множество. Можно считать, что оно разлагается на треугольники, число которых равно нулю. Так как треугольник является ограниченной замкнутой областью, то и сумма конечного числа треугольников есть ограниченная зам- кнутая область (см. пп. 2.1 и 2.2). Следовательно, многоугольная фигура является ограниченной замкнутой областью. Мы говорим «многоугольная фигура», а не «многоугольник», по- тому что слову многоугольник обычно придают другое значение. Чаще всего многоугольник определяют как «часть плоскости, ог- раниченную не пересекающей себя замкнутой ломаной». Это весьма сложное понятие, к тому же бесполезное для теории площадей. Нам Рис. 2. Многоугольные фигуры, не являющиеся многоугольниками. нужен лишь класс выпуклых многоугольников, определенный в пре- дыдущем пункте. Впрочем, можно показать, что всякий многоуголь- ник (в только что указанном смысле) является многоугольной фи- гурой. Обратное, конечно, неверно — см. рис. 2. Всякое разложение многоугольной фигуры на треугольники, не имеющие общих внутренних точек, мы будем кратко называть разбиением. Разбиение называется правильным, если пересечение любых двух его треугольников есть либо их общая сторона, либо
18 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ Рис. 3. а) Неправильное разбие- ние; б) правильное разбиение. их общая вершина, либо пустое множество (см. рис. 3). При пра- вильном разбиении отрезки, служащие сторонами Треугольников разбиения, могут быть двух типов. Отрезок первого типа слу- жит стороной только одного треугольника разбиения. Отрезок второго типа служит общей стороной двух треугольников раз- биения, лежащих по разные стороны от проходящей через него пря- мой. Отрезки первого типа состав- ляют границу многоугольной фи- гуры. Отрезки второго типа, за возможным исключением своих кон- цов, лежат во внутренней части многоугольной фигуры. Одно разбиение многоугольной фигуры называется измельчением другого, если всякий треуголь- ник первого разбиения содержится в некотором треугольнике второго разбиения. Например, разбиение, изображенное на рис. 3, б, является измельчением разбиения, изо- браженного на рис. 3, а. Всякое разбиение многоугольной фигуры обладает правиль- ным измельчением. Для доказательства воспользуемся следующим очевидным не- обходимым и достаточным условием правильности разбиения: если общая точка двух треугольников разбиения служит вершиной од- ного из них, то она служит вершиной и другого. Пусть п — число «неправильных» вершин, для которых это условие не выполнено, А — одна из таких вершин и Т—треугольник разбиения, содер- жащий точку А не в качестве вершины. Ясно, что точка А лежит на одной из сторон треугольника Т. Отрезок, соединяющий точку А с вершиной треугольника Т, противоположной этой стороне, раз- бивает Т на два треугольника и этим определяет новое разбиение нашей многоугольной фигуры, служащее измельчением исходного разбиения. У нового разбиения число неправильных вершин равно уже п—1. Продолжая этот процесс, мы придем через п шагов к правильному разбиению. 2.5. Операции над многоугольными фигурами. Речь идет об операциях сложения, пересечения и вычитания. Что получится, если мы будем производить эти операции над многоугольными фигурами? Пересечение. Пересечение двух многоугольных фигур мо- жет не быть многоугольной фигурой. Например, два треугольника могут пересекаться в одной точке или по отрезку. Если исклю- чить эти случаи, то пересечение двух треугольников будет вы- пуклым многоугольником или пустым множеством и, значит,
КЛАСС МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР 19 многоугольной фигурой. Пересечение двух любых многоугольных фигур, разбитых на треугольники, есть сумма попарных пересече- ний этих треугольников. Следовательно, пересечение двух любых многоугольных фигур представляет собой многоугольную фигуру, к которой присоединено ко- нечное число отрезков и отдельных точек (рис. 4). Эту многоугольную фи- гуру, служащую «главной частью), пересечения, мы на- зываем приведенным пере- сечением исходных много- угольных фигур. Чтобы по- лучить ее, достаточно взять Фигуры РиЦ I Приведенное пересечение^] Пересечение PQ внутреннюю часть пересече- ния и затем замкнуть ещ Рис. 4. Приведенное пересечение многоугольных фигур Р и Q будет обозначаться через [PQ], Таким образом, [PQ] = ((PQ)B)3. (8) Если, в частности, Q — Р, то [PQ] = Р. Предыдущие рассмотре- ния представляют интерес и в этом случае: они показывают, что всякие два разбиения многоугольной фигуры обладают общим измельчением. Вычитание. Разность Р— Q двух многоугольных фигур Р и Q есть, вообще говоря, незамкнутое множество. Например, раз- ность двух треугольников замкнута лишь в том случае, если эти треугольники не имеют общих точек или первый содержится во втором. Таким образом, разность Р—Q не является, вообще говоря, многоугольной фигурой. Мы покажем, однако, что ее замы- кание (Р — Q)3 есть многоугольная фигура. Предположим сначала, что Р—треугольник, и разобьем фигуру Q на треугольники. Прямые, на которых лежат стороны треугольни- ков, составляющих фигуру Q, делят треугольник Р на выпуклые многоугольники, попарно не имеющие общих внутренних точек. Эти выпуклые многоугольники распадаются на два класса: к первому классу мы относим многоугольники, лежащие в Q, ко второму — остальные многоугольники. Многоугольники второго класса покры- вают разность Р — Q и лежат в Р—Q своими внутренними точками, но своими границами могут пересекаться с Q. Их сумма и есть замыкание (Р—Q)3 разности Р—Q. Разбивая эти многоугольники на треугольники, мы разобьем на треугольники и множество (Р—Q)a. Следовательно, множество (Р — Q)3 является многоугольной фи- гурой.
20 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ В общем случае многоугольная фигура Р разбивается на тре- угольники 7\, ..., Тт, и мы имеем: P-Q = (7’1-Q)+...+(7’ffi-Q); (Р-Q)3 = -Q)3 + .. . +(7ffi-Q)3. Согласно только что доказанному, (Тг — Q)3, — Q)3—много-* угольные фигуры. Разбивая их на треугольники, мы разобьем на треугольники и множество (Р—Q)3. Следовательно, множество (Р—Q)3 является многоугольной фигурой. Многоугольную фигуру (Р—Q)3 мы называем приведенной раз- ностью многоугольных фигур Р и Q. Она будет обозначаться че- рез [Р —Q]. Очевидно, [Р — Q] с Р. Приведенные пересечения и разности найдут применение в тео- рии площадей многоугольных фигур, которой посвящен следующий параграф. Хотя в терминах теории множеств они описываются сложнее, чем обычные пересечения и разности, с точки зрения элементарной геометрии они естественнее. Более полно они будут рассмотрены в п. 5.10. Сложение. Сумма конечного числа многоугольных фигур есть многоугольная фигура. Доказательство достаточно провести для случая двух фигур Р и Q. Если они не имеют общих внутренних точек, то справедли- вость утверждения очевидна. Общий случай сводится к этому ча- стному случаю, если воспользоваться следующей леммой: Каковы бы ни были многоугольные фигуры Р и Q, много- угольные фигуры [Р—[PQ]] и Q не имеют общих внутренних точек и P+Q=[P-[PQ]]+Q. (9) Доказательство. Формула (9) аналогична соотношению P+Q = (P-PQ) + Q, (10) связывающему операцию сложения с обычным вычитанием и обыч- ным пересечением. Так как [PQ] с PQ, то Р — PQcP—[PQ]cz <=[P-[PQ]], и из (10) следует, что P-f-Q с [Р—[PQ]] + Q- Об- ратно, так как [P-[PQ]]c Р, то [Р—[PQ]] + Q с: P-J-Q. Остается доказать, что фигуры [Р—[PQ]] и Q не имеют общих внутренних точек. Так как [Р—[PQ]] с Р, то точка, внутренняя по отноше- нию к [Р— [PQ]] и к Q, была бы внутренней по отношению к Р и к Q. Такая точка принадлежала бы открытому множеству PBQB = := (PQ)B и потому была бы внутренней точкой его замыкания [PQ], Она была бы, следовательно, внешней по отношению к множеству Р — [PQ] и не могла бы принадлежать его замыканию [Р—[PQ]]. Важный частный случай. Пусть Q с Р. Тогда P+Q — Р, [PQ]=Q. Таким образом, если многоугольная фигура Q является
ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР 21 частью многоугольной фигуры р, то фигуры [Р—Q] и Q не имеют общих внутренних точек и Р = [р— Доказанная теорема позволяет лучше понять определение много- угольной фигуры, данное в п. 2.4. Согласно этому определению, многоугольная фигура есть сумма конечного числа треугольников, попарно не имеющих общих внутренних точек. Теперь мы видим, что сумма конечного числа треугольников всегда является много- угольной фигурой, независимо от того, как эти треугольники рас- положены относительно друг друга. § 3. Площадь на классе многоугольных фигур 3.1. Определение площади. Площадь на классе многоугольных фигур есть функция, определенная на этом классе и обладающая свойствами (а) — (6). Формулировку этих свойств см. в п. 1.1. Под фигурой в них следует понимать многоугольную фигуру. Существование и единственность нашей функции будут дока- заны в п. 3.7. Пока они не доказаны, мы будем понимать под пло- щадью какую-нибудь функцию многоугольной фигуры, облада- ющую свойствами (а) — (6), предполагая ее существующей. Площадь будет обозначаться через s, площадь многоугольной фи- гуры Р— через s(P). 3.2. Простейшие следствия определения. Площадь есть моно- тонная функция: если многоугольная фигура Q есть часть много- угольной фигуры Р, то s(Q)^s{P). С этим свойством мы уже встречались в п. 1.1. Однако мы не можем сослаться на данное там изложение, так как оно не было достаточно отчетливым’ не был разъяснен точный смысл таких вы- ражений, как (.фигура», «дополнительная фигура», «внутренняя точка». F и G молчаливо предполагались принадлежащими к классу фигур, на котором определена площадь, но мы не смогли бы до- казать, что к этому классу принадлежит дополнительная фигура G' или что она не имеет с G общих внутренних точек. Теперь, когда речь идет о многоугольных фигурах, эти про белы нетрудно восполнить. Положим R = [Р—Q], Как показано в п 2.5, фигуры Q и R не имеют общих внутренних точек и Р = =-.Q + R. Следовательно, s(P)==s(Q)4-s(R), и так как s(R)SsO, то s(P) ^s(Q). Для любых двух многоугольных фигур Р и Q имеет место соотношение s (P+Q) = s (Р) + s (Q) — s([PQ]). (П Для доказательства положим Р' = [Р — [PQ]]. Как было пока- зано в п. 2.5, R-| Q= Р' + Q, P=P'4-[PQ], причем фигура Р'
22 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ не имеет общих внутренних точек ни с Q, ни с [PQJ. Следова- тельно, s(P-[ Q) = s(P') + s(Q), s(P) = s(P') + s([PQ]). Исключая из этих соотношений s(P'), мы получаем соотношение (1). Для любых многоугольных фигур Рг, Рп справедливо не- равенство s<J\ + . .. 4-JPn)<s(P1) + ... 4-$(Рп). При zz —2 это следует из соотношения (1), при л>2 устанав- ливается индуктивно. 3.3. Вычисление площади прямоугольника. Площадь прямо- угольника равна произведению двух соседних сторон. Доказательство Пусть Р — прямоугольник, а и b—его соседние стороны. Предположим сначала, что Р — квадрат со стороной 1/л, т. е. что а=Ь=\/п (п — натуральное число). Пусть £ —единичный квад- рат. Разобьем его прямыми, параллельными сторонам, на п2 ча- стичных квадратов, равных Р. Так как эти квадраты составляют Е и попарно не имеют общих внутренних точек, то, согласно свой- ству (Р), сумма их площадей равна х(£). Но, согласно свойству (у), площадь каждого из них равна $(Р), так что сумма их площадей равна n2s(P), а согласно свойству (6), $(Е)=1. Следовательно, n2s(P)=l и s(P)=l/zz2. Предположим теперь, что а и b — любые рациональные числа. После приведения к общему знаменателю они представятся в виде а—Пп, Ь = т/п, где I, т, п — натуральные числа. Разобьем прямо- угольник Р прямыми, параллельными его сторонам, на 1т равных квадратов со стороной \/п. По доказанному, площадь каждого из них равна 1/л2, так что сумма их площадей равна lm/п2, а согласно свойству (Р), эта сумма равна s(P). Следозагельно, $ (Р) = 1ml п2. Рассмотрим, наконец, общий случай. Пусть е —произвольное положительное число. Так как произведение ху непрерывно зави- сит от х и у, то существует такое положительное число б, что |ху — ab | < е/2, как только |х —а|<б, |_у —£|<б. (2) Придадим х и у сначала какие-нибудь рациональные значения x = <Zj, у — Ьг, удовлетворяющие неравенству (2) и неравенствам аг sg: а, Ьг^Ь, а затем какие-нибудь рациональные значения х = с2, у = Ь2, удовлетворяющие неравенствам (2) и неравенствам а2 а, b.,~^b. Ясно, что а2Ь2 — афх < е, (3) аф2 sS ой sg a2b2. -(4) Построим прямоугольник Р, со сторонами а2, blt содержащийся в Р, и прямоугольник Р2 со сторонами «2, Ь2, содержащий Р. По . доказанному, s(P1)=a1b1, s{P.2) — asb2, и, в силу монотонности
ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР 23 площади, 5 (Р) а2Ь2. (5) Из неравенств (4), (5) и (3) следует: | s (Р) — ab | < е. Так как е произвольно, то s{P) = ab. 3.4. Вычисление площади треугольника и трапеции. Площадь треугольника равна половине произведения произвольной стороны {«основаниям) на соответствующую высоту. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, в частно- сти, площадь параллелограмма равна произведению произвольной стороны на соответствующую высоту1). Мы докажем оба утвер- ждения одновременно. Пусть Р—треугольник или трапеция, а — средняя линия, h — высота. Нужно доказать, что s{P) = ah Предположим сначала, что одна из боковых сторон фигуры Р перпендикулярна к основанию. Проведем параллельные прямые через основания фигуры Р, если это трапеция, и через основание и про- тивоположную вершину, если это треугольник. Затем на расстоя- нии 2<z от прямой, проходящей через бо- ковую сторону, перпендикулярную к осно- ванию, по ту же сторону от нее, по которую лежит фигура Р, проведем параллельную ей прямую (рис. 5, а). Мы получим прямо- угольник с основанием 2<z и высотой h, разложенный на две равные фигуры Р и Р' без общих внутренних точек. Согласно свой- ствам (Р) и (у), площадь этого прямоуголь- ника равна 2s (Р). Следовательно, 2s(P) = 2ah us(P) = ah. Рассмотрим теперь общий случай. Проведем снова параллель- ные прямые через основания фигуры Р, если это трапеция, и через основание и противоположную вершину, если это треугольник. Затем проведем какой-нибудь перпендикуляр к этим прямым, не пересекающий фигуры Р (рис. 5, б). Мы получим фигуру Р2, раз- ложенную на две фигуры Р и Рг без общих внутренних точек. Фигуры Р2 и Рг являются трапециями с высотой h и со средними линиями <z2 и flx, разность которых равна а. Так как общая боко- вая сторона этих трапеций перпендикулярна к их основаниям, то, по доказанному, s(P^ = a.,h, s (Рг) = aji. Согласно свойству (0), s(P.i) = s(P)+s(P1), и потому s(P) = a2h— aji — ah. 3.5. Вычисление площади произвольной многоугольной фигуры. Пусть Р—произвольная многоугольная фигура. Если Р—пустое множество, то Рф Р=Р, причем слагаемые не имеют общих точек; следовательно, $(Р)ф$(Р) = $(Р) и $(Р) = 0. Таким образом, г) Параллелограмм мы считаем частным случаем трапеции.
24 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ площадь пустого множества равна нулю. Если фигура Р не является пустым множеством, то ее можно разбить на треугольники 7\, . .., Тп с п 1. Пусть <Zj, ..., ап — как либо выбранные осно- вания этих треугольников и ht, hn—соответствующие высоты. Из свойства (fj) и теоремы п. 3,4 следует: п = (G) / = 1 Формула (6) справедлива и при п = 0: в этом случае Р есть пустое множество и обе части формулы (6) равны нулю. 3.6. Строгая монотонность. Если многоугольная фигура Q есть часть многоугольной фигуры Р, отличная от Р, то s(Q) (Р). В частности, пустое множество есть единственная многоуголь- ная фигура, площадь которой равна нулю. Справедливость второго утверждения непосредственно следует из формулы (6). Чтобы доказать справедливость первого, будем рассуждать как в п. 3.2. Пусть /? = [Р —Q], Так как Q и R не имеют общих внутренних точек и P = Q-\- R, то $ (Р) = s (Q) -I- $ (R). Но s(/?)>0. Следовательно, s(P)^>s(Q). 3.7. Теорема существования и единственности. На классе многоугольных фигур существует одна и только одна функция со свойствами (а) — (6). Докажем сначала единственность. Пусть $ и s' — две функции, определенные на классе многоугольных фигур и обладающие свой- ствами (а)—(6). Возьмем произвольную многоугольную фигуру Р, разобьем ее на треугольники и обозначим через а1г ..., ап как-либо выбранные основания этих треугольников и через ..., hn— соответствующие высоты. Согласно формуле (6), п п s V aihb s' (р)=4aihi- i=l i=l Следовательно, s' (P) = s (P) и s' = s. Обратимся к доказательству существования. Его идею достав- ляет нам та же формула (6). Мы видели, что если на классе мно- гоугольных фигур существует функция со свойствами (а) — (6), то она может быть вычислена по формуле (6). Нельзя ли доказать, что правая часть формулы (6) и есть требуемая функция? Мы увидим, что доказать это действительно можно, но что доказательство совсем не просто. Важно хорошо понять, в чем заключается трудность. Пусть Р—многоугольная фигура. Чтобы вычислить для нее правую часть формулы (6), мы должны разбить ее на треугольники и в каждом из них выбрать основание. Пред- положим, что это сделано двумя различными способами, и пусть о и о'— соответствующие значения правой части формулы (6).
ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР 25 Будут ли они равны между собой? Пока на этот вопрос не дан положительный ответ, мы не можем утверждать, что правая часть формулы (6) есть функция фигуры Р. Этот положительный ответ был бы очевиден, если бы мы могли опираться на существова- ние площади: мы сказали бы тогда, что каждое из чисел о, о' равно площади фигуры Р. Но мы не можем опираться на то, что хотим доказать. Мы должны, таким образом, установить равенство о = о' непосредственно. Лемма 1. Произведение стороны треугольника на соответ- ствующую высоту одинаково для всех трех сторон. Действительно, пусть АВС—произвольный треугольник и В', С — основания перпендикуляров, опущенных из вершин В, С иа прямые АС, АВ (рис. 6). Из соображений подобия следует, что р (С, С'): р (Л, С) — — р (В, В'):р(А, В), и, следовательно, р(А,В) р(С, С') = р(Л, С)р(В, В'). Условимся обозначать через (АВС) по- ловину произведения длины отрезка АВ на длину перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую АВ, если точ- ки АВС не лежат на одной прямой, и положим (АВС) = () в противном случае. Если точки А, В, С служат вершинами треугольника Т, то наряду с (АВС) мы будем писать также (Т). Такая запись не приведет к недоразумению, так как, согласно лемме 1, (АВС) — = (ВСА) = (САВ). Фиксируем на плоскости какую-нибудь точку О и обозначим для произвольного треугольника АВС через (ЛВ|С) число (АВО), если С лежит по ту же сторону от прямой АВ, что и О, и число —(АВО), если О и С лежат по разные стороны от прямой АВ (если прямая АВ проходит через точку О, то (АВ | С) = 0). Лемма 2. Если треугольник АВС не содержит точки О, то1) (АВС) = (ВС | А) + (СА | В) + (АВ | Q. (7) Доказательство. Пусть Пл, Пв, Пс — полуплоскости с гра- ничными прямыми ВС, СА, АВ, содержащие точки А, В, С. Прямые ВС, СА, АВ делят плоскость на восемь непересекающихся частей ПЛПВПС, ПЛПВ (доп. Пс), Пл(доп.Пв)Пс, Пл (доп. Пв) (доп. Пс), (доп. Пл) ПВПС, (доп. Пл) Пв (доп. Пс), (доп. Пл) (доп. Пв) Пс, (доп. Пл) (доп. Пв) (доп. Пс), * т) Можно было бы доказать, что соотношение (7) справедливо при любом расположении точки О, но нам этот факт не понадобится.
26 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ первая из которых представляет собой треугольник АВС. Покажем, что множество (доп. Пл) (доп. Пв) (доп. Пс) пусто. Пусть D £ (доп. Пл) (доп. Пв) (доп. Пс) и D' — какая-нибудь внутренняя точка треугольника ПЛПВПС, Так как точки D и D' лежат по раз- ные стороны от каждой из прямых ВС, СЛ, АВ, то отрезок DD' пересекают все три прямые. Но продолжение отрезка DD' за точку D' снова пересекает по крайней мере одну из них, что невозможно. Так как точка О лежит вне треугольника АВС, то она принад- лежит одному из шести множеств ПЛПВ (доп. Пс), Пл (доп. Пв) Пс, Пл (доп. Пв) (доп. Пс), (доп. Пл) ПВПС, (доп. Пл) Пв (доп Пс), (доп. Пл) (доп. Пв) Пс. Первое, второе и четвертое, а также третье, пятое и шестое множества однотипны. Следовательно, достаточно рассмотреть два случая: Og ПЛПВ (доп.Пс) и 0g (доп. Пл)(доп.Пв)Пс. Первый случай. 0 g ПЛПВ (доп. Пс) (рис. 7, а). Так как 0 g Пл, OgnB, Ogflon.nc, то (ВС | А) — (ВСО), (СА \ В) = (САО), (АВ \ С) = — (АВО). (8) С другой стороны, так как Ogflon.Rc, то отрезок ОС пересекает прямую АВ в некоторой точке С, a TaKKaKOgR/RB nCgnzRB, то отрезок ОС лежит в ПЛПВ. Таким образом, точка С лежит на прямой АВ и в ПЛПВ, т. е. на прямой АВ и в треугольнике АВС, т. е. на отрезке АВ Следовательно, РИ, В) = р(А, С') + р(С', В), р (О, С) = р(О, С')+р(С', С), и потому (АВС) = (АС С) + (С ВС), (ОСА) = (ОСА) + (С'СД), (АВО) = (АС О) + (С ВО), (ОСВ) = (ОС В) + (С СВ). Пользуясь соотношениями (8), перепишем последние четыре
ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР 27 равенства следующим образом: (АВС) = (АС С) + (СВС), (АВ | С) = - (АСО) — (СВО), 1 (СА | В) = (АСС) + (АСО), (ВС | А) = (СВС) + (СВО). J <9) Из соотношений (9) следует равенство (7). Второй случай. О^ (доп. Пл) (доп. Пв) Пс (рис. 7, б). Так как О£ доп. Щ, OG доп. Пв, О£ПС, то (ВС | А) = — (ВСО), (СА | В) = — (CAO), (АВ | С) = (АВО). (10) С другой стороны, так как О£ (доп. Пл) (доп. Пв) и так как в точке С прямая ОС пересекает обе прямые ВС, СА, то полу- прямая, служащая продолжением отрезка ОС за точку С, лежит в пересечении ПЛПВ. Эта полупрямая должна пересекать прямую АВ, так как в противном случае она целиком лежала бы вместе с точкой С в полуплоскости Пс и, значит, в треугольнике ПЛПВПС. Пусть С — точка пересечения этой полупрямой с прямой АВ. Так как то точка С лежит на отрезке АВ. Следовательно, Р(А В) = р(А, С)+р(С, В), р (О, С') = р(О, С) + р(С, С), и потому (АВС) = (АС С) + (С ВС), (АВО) = (АС'О) + (С ВО), (ОСА) = (ОСА) + (ССА), (ОСВ) = (ОСВ) ф (ССВ). Пользуясь соотношениями (10), перепишем последние четыре равен- ства следующим образом: (АВС) = (АСС) + (СВС), (АВ | С) = (АСО) + (СВО), | (СА | В) = (АСС) — (АСО), (ВС | А) = (СВС)-(СВО). / (П) Из соотношений (11) следует равенство (7). Лемма 3. Если Р=51+...+5га=7'1+...+7’„ (12) — два разбиения многоугольной фигуры Р на треугольники, то (SJ + ...H (Sm) = (7'1) + ...-|-(7'„). (13) Доказательство. Предположим сначала, что т= 1 и что Р=7'1+- . + Тп — правильное разбиение треугольника P=S1. Пусть Z,;i, Li2, Li3 — стороны треугольника 7'l-(i=l, ...,п) и /(1, /;2, hs —их Длины. Выберем вне фигуры Р точку О, обозначим через pij (/=1, 2, 3) длину перпендикуляра, опущенного из Она прямую, содержащую сторону Li}-, и положим е,7=-|-1, если точка О лежит по ту же сторону от этой прямой, что и треуголь- ник Th и е17 =—1 в противном случае. Выписывая для каждого из треугольников 7} формулу (7) и суммируя по i, мы получим: п 3 (Т.) + . . . + (Тп) = v £ 1 е,.у/17р17. (14) i=ii=i
28 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ Пусть А, В, С — вершины треугольника Сумму, стоящую справа в формуле (14), мы разобьем на четыре частичные суммы. Член мы отнесем к первой сумме, если отрезок лежит на отрезке ВС, ко второй, если он лежит на отрезке СА, к третьей, если он лежит на отрезке АВ, и к четвертой, если — отрезок второго типа (см. п. 2.4.). Для первых трех частичных сумм мы будем употреблять знаки 2СВ> 2с- 2® У всех членов первой частичной суммы множители и е,7- имеют одинаковые значения р и е, а именно, р есть длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую ВС, а е есть -)-1, если точка О лежит по ту же сторону от этой прямой, что и треугольник и —1 в про- тивном случае. Следовательно, Ев 4 Е‘А^7 = 4 ер Ев <7 = 4 № О = (ВС I Д). (15) Подобным же образом Ес 4^7==^ I В), Ед4е<7А7А7=ИВ| С). (16) Если L/j—отрезок второго типа, то он служит общей стороной двух треугольников, лежащих по разные стороны от содержащей его прямой. В соответствии с этим члены четвертой частичной суммы распадаются на пары членов, имеющих одинаковые множи- тели /,у и pij, но противоположные множители е,;-. Следовательно, четвертая сумма равна нулю, и формулы (7), (15), (16) и (14) дают: (\) = (ВС | А) + (СА | В) + (АВ | С) = (Л) + ... + (Тп). Рассмотрим теперь общий случай. Пусть Р=С1+... + С„ (17) — правильное общее измельчение разбиений (12) Каждый из тре- угольников 5], ..., S,„ правильно разбит на треугольники разбие- ния (17) Если, например, = Ukl Uks, то, согласно только что доказанному, (5() = (£7*,) -(-...-f-(Ukg). Выписывая такие же соотношения для треугольников В2, ..., Sm и суммируя, получим: (5l) + ...+(Sm) = (t/1) + ...+(f/r). Подобным же образом (Т1) + ...+(Т„)=(£71) + ,...+(Сг). Из этих двух соотношений следует равенство (13). Доказательство существования. Пусть Р — произ- вольная многоугольная фигура и Р=Т\+ (18)
ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР 29 — какое-нибудь разбиение ее на треугольники. Положим s(P) = = (Т1)4-... 4-(Тп). Согласно лемме 3, это число не зависит от выбора разбиения (18). Следовательно, s есть функция, опреде- ленная на классе многоугольных фигур. Очевидно, что она обла- дает свойствами (а) — (6). 3.8. Поведение площади при преобразовании подобия. Как известно, преобразованием подобия с центром О и коэффициентом А>0 называется такое преобразование плоскости, которое пере- водит точку О в точку О, а всякую другую точку А—в точку А’ луча ОА, для которой р (О, Д') = Ар (О, Л). Более общим образом, преобразованием подобия с коэффициентом А>0 называется всякое отображение f одной плоскости на другую, при котором расстояние любых двух точек А, В первой плоскости и расстояние их образов A'=f(A), В’=ф(В)во второй плоскости связаны соотношением р(Д', В') = Ар (А, В). (19) Такое отображение взаимно однозначно, и обратное отображение есть преобразование подобия с коэффициентом А-1 х). Преобразование подобия переводит треугольник в треугольник и многоугольную фигуру в многоугольную фигуру. Равенство (19) показывает, что отображение f переводит круг с центром А в круг с центром f{A). Следовательно, преобразование подобия пере- водит внутренние точки во внутренние точки и множества без общих внутренних точек в множества без общих внутренних точек. Если Рг —образ многоугольной фигуры Р при преобразовании подобия с коэффициентом А, то s(P')=.'kis(P). (20) Доказательство. В силу теоремы единственности, доста- точно доказать, что функция s', определенная на классе много- угольных фигур формулой s'(P) = A-2s (Р’), удовлетворяет усло- виям (а) — (6). То, что она удовлетворяет условиям (a), (fj), (у), очевидно. Займемся условием (6). Ясно, что образ Е' единичного квадрата Е есть квадрат со стороной А. Следовательно, s(E') = A2 и s' (£") = A-2s (Е') = 1. 3.9. Поведение площади при ортогональном проектировании. Если Р'— проекция многоугольной фигуры Р на плоскость, обра- зующую с ее плоскостью острый, угол а, то s (Р') = s (Р) cos а. (21) Доказательство. Если а = 0, то формула (21) очевидна. Пусть а > 0. Предположим сначала, что Р—треугольник со стороной, парал- лельной линии пересечения наших плоскостей. Тогда сторона ) См. стр. 55 и 60—61 кн. IV ЭЭМ. (Прим, ред.)
30 ПЛОЩАДЬ II ОБЪЕМ треугольника Р', служащая проекцией этой стороны, равна ей, а соот- ветствующая высота треугольника Р проектируется на высоту треугольника Р' и умножается при этом на cos а (рис. 8, а). Сле- довательно, s (/’') = 5 (Р) cos а. Общий случай сводится к этому частному случаю, так как всякую многоугольную фигуру можно разбить на треугольники рассмотренного вида. Для этого достаточно как-нибудь разбить ее на треугольники и затем каждый треугольник, не удовлетво- ряющий нашему условию, разбить на два треугольника, удовлет- воряющие ему (рис. 8, б). Рис. 8. 3.10. Поведение площади при аффинном преобразовании. Как известно, аффинным преобразованием называется такое отображе- ние одной плоскости на другую, которое в прямоугольных декар- товых координатах х, у первой плоскости и прямоугольных декар- товых координатах х', у' второй плоскости имеет вид х'= ах + fly + а, у' = ух + бу + Ь. (22) Если это условие линейности выполнено при одном выборе коор- динатных систем, то оно выполнено и при всяком другом их выборе. Аффинное преобразование взаимно однозначно, и обратное преобразование также является аффинным1). Определитель Д = =аб—0у с точностью до знака не зависит от выбора координат- ных систем. Он отличен от нуля, и определитель обратного преоб- разования равен А-1. Заметим, что переход от одной прямоугольной декартовой си- стемы координат к другой есть частный случай преобразования (22). 1) Ср. стр. 61—62 и 76—77 кн. IV ЭЭМ. (Прим, ред.)
ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР 31 Действительно, преобразование координат можно рассматривать как тождественное отображение плоскости на ту же плоскость, снабженную другой системой координат. Определитель такого пре- образования равен ±1. В частности, если преобразование (22) есть поворот осей, то Д = 1. Аффинное преобразование переводит треугольник в треугольник, треугольники без общих внутренних точек в треугольники без общих внутренних точек и многоугольные фигуры в многоугольные фигуры. Если Р'—образ многоугольной фигуры Р при аффинном пре- образовании с определителем А, то s (Р) = у (Р) I А |. (23) Доказательство опирается на две леммы. Лемма 1. Если (*1, Ь), (х2, у2), (х3, у3) (24) — произвольные точки плоскости и (У, У), (х'г, у'г), (х3, Уз) (25) — их образы при преобразовании (22), то х2- У Уз — У1 У —У Уз —У х2 Хг у2 уг Xg-Xi У3—У! • А. Доказательство. х2 х1 у2 У1 Х3 Х± у3 Ух а(х2 — Xi) + ₽(j3—yj a(x8-Xi) + P(y8-ji) у(л2—+ Т(-*з-*1) + 8 0'з—Ji) *2—-Ч У2—У1 , & Y *3—Уз~У1 ' Р 6 Лемма 2. Если Р—треугольник с вершинами (24), то s (Р) = абс. вел. х2 у2 Ух Xg xt у3 Ух (26) Доказательство. В силу леммы 1, определитель (26) не ме- няется при повороте осей координат. Следовательно, лемму 2 до- статочно доказать для случая, когда направление осн абсцисс сов- падает с направлением стороны треугольника Р, соединяющей первую вершину со второй (рис. 9). В этом случае х2 — xt = а, уг—_у1 = 0, Уз—Ji —±Л, где а—длина указанной стороны, а
32 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ h — соответствующая высота, и потому 1 л2 1 2 х3— Хг У2~У1 Уз~У1 = ± у«Л==±5(Р). (27) Заметим, что знак в котором записаны вершины треугольника Р. Если этот порядок таков, что треугольник обходится против часовой стрелки, то опре- делитель положителен; если этот поря- док таков, что треугольник обходится по часовой стрелке, то определитель отрицателен. Действительно, в первом случае (при нашем специальном распо- ложении координатных осей) _У3>_У| и в формуле (27) стоит знак ф-; во вто- ром случае у3<^у± и в формуле (27) стоит знак —. Доказательство формулы (23). В силу аддитивности площади, до- статочно рассмотреть случай, когда Р есть треугольник. Пусть (24) — вершины треугольника Р и (25) — вершины его образа Р’. Согласно лемме 2, s(P) = абс. вел. у 2 ’В определителя (26) определяется порядком, s(P') = абс. вел. у и равенство (23) является леммы 1. Частные случаи. У2-У1 Уз-yt > У* yi у'з — У1 , следствием ____1_____ Рис. 10. 1. Пусть /—преобразование подобия с коэф- фициентом А (п. 3.8). Если выбрать в рассматриваемых плоскостях оси х, у и х', у' так, чтобы ось х переходила ось у', то / представится как аффинное преобразование х' = Хх, у' = "Ку с определителем Д = Z.2. Таким образом, формула (20) есть частный случай формулы (23). 2. Пусть /—проектирование одной плоскости на другую, обра- зующую с первой острый угол а. Если выбрать в этих плоскостях системы координат х, у и х', у' так, чтобы оси х и х' совпали, а осн у и у' составили угол а (рис. 10), то / представится как аффинное преобразование х' = х, y'=jcosa с определителем Д = cos а. Следовательно, формула (21) есть частный случай фор- мулы (23). в ось х , а ось у — в
КЛАСС КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР 33 § 4. Класс квадрируемых фигур 4.1. Определение квадрируемой фигуры. Множество лежа- щее на плоскости, называется квадрируемым множеством или ква- дрируемой фигурой, если для всякого положительного числа е суще- ствуют такие многоугольные фигуры Р и Q, что Р с М с Q, s(Q) — s(P)Ce. (1) Фигура Р называется входящей, фигура Q—объемлющей. Если множество М само является многоугольной фигурой, то в качестве Р и Q можно взять /И. Следовательно, всякая много* угольная фигура квадрируема. Всякая квадрируемая фигура ограничена. Действительно, со- гласно своему определению, квадрируемая фигура содержится в не- которой многоугольной фигуре, а многоугольная фигура ограничена. Обратное утверждение неверно: ограниченное множество может не быть квадрируемым. Пример будет дан в п. 4.10. 4.2. Замечание о выборе фигур Р и Q. Границы РГ и Qr мно- гоугольных фигур Р и Q, входящих в определение квадрируемости, могут иметь общие точки с границей МГ множества М. Однако фи- гуры Р и Q всегда можно выбрать и так, чтобы Рг и Qr не пере- секались с Afr. Другими словами: если М — квадрируемая фигура, то для всякого положительного в существуют такие много* угольные фигуры Р и Q, что Р cz Мв, M3aQB, s(Q)-s(P)<b. (2) Доказательство. Пусть Р' и Q'—такие многоугольные фигуры, что Р’ с М с Q', s(Q')— s (Р') < е/3. Разобьем фигуру Р' на треугольники, подвергнем каждый из них преобразованию подо- бия с центром в какой-нибудь его внутренней точке и коэффициентом X < 1 и полученные новые треугольники соединим в много- угольную фигуру Р Разобьем фигуру Q’ на треугольники, под- вергнем каждый из них преобразованию подобия с центром в какой- нибудь его внутренней точке и коэффициентом р. > 1 и полученные новые треугольники соединим в многоугольную фигуру Q. Так как каждый треугольник из Р целиком лежит внутри некоторого тре- угольника из Р', то каждая точка многоугольной фигуры Р является внутренней по отношению к Р', а потому и по отношению к М, т. е. Р с М,,. Так как каждый треугольник из Q' целиком лежит внутри некоторого треугольника из Q, то каждая точка многоуголь- ной фигуры Q' является внутренней по отношению к Q, т. е. Q' с QB. Но М с Q'. Следовательно, 2И3 с Q3 = Q', и потому Af3 с QB. Таким образом, первые два из соотношений (2) выполнены. Остается 2 Энциклопедия, кн. 5
84 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ выбрать числа А и р, таким образом, чтобы было выполнено и третье соотношение. Треугольники, составляющие фигуру Р, не пересекаются; тре- угольники, составляющие фигуру Q, могут пересекаться. В соот- ветствии с этим s (P) = №s (Р'), s(Q)^ p2s(Q') (см. п. 3.8 и п. 3.2), и потому S(Pr)-s(P) = (\-^)s(P'), s (Q) — s}) s (Q'). Пусть X и р настолько близки к единице, что (1—X2)s (Р') <4 , (р2—l)s(Q') Тогда s(Q) — s(P) = ~[s(Q)—s (Q')] + [s (Q')-s (P')] + [s (P’)-s (P)]< 4+4 + 4 = J (J <J 4.3. Нуль-множества. Множество M называется нуль-множе- ством, если для всякого положительного числа е существует такая многоугольная фигура R, что М с R, s(R)< е. (3) Нуль-множества квадрируемы. Действительно, пусть нуль-множество и е — положительное число. Найдем многоугольную фигуру R, удовлетворяющую усло- виям (3), и примем за Р пустое множество, а за Q — фигуру R. Ясно, что фигуры Р и Q удовлетворяют условиям (1). Квадрируемая фигура в том и только в том случае является нуль-множеством, если она не содержит внутренних точек. Действительно, если квадрируемая фигура М не содержит вну- тренних точек, то единственной содержащейся в ней многоугольной фигурой Р является пустое множество, и соотношения (1) превра- щаются в соотношения (3), если за R принять фигуру Q. Если же множество М содержит внутреннюю точку, то оно содержит целый квадрат, и всякая многоугольная фигура R, содержащая М, содер- жит этот квадрат и потому имеет площадь, по меньшей мере рав- ную площади этого квадрата. Сумма конечного числа нуль-множеств есть нуль-множе- ство. Часть нуль-множества есть ну ль-множество. Второе очевидно, первое достаточно доказать для случая двух слагаемых. Пусть М и М’— нуль-множества и е — положительное число. Найдем такие многоугольные фигуры R и R', что М с R, М'с: Rr, s(R)<e/2, s(R')<Ce/2, и рассмотрим многоугольную фигуру R + R'. Ясно, что Л1±Л1' с R+R', s(R + R')<Ss(R) + s(R')<8.
КЛАСС КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР 35 Примерами нуль-множеств могут служить конечные множества точек, отрезки прямых и ломаные. В дальнейшем мы увидим, что и дуги кривых линий, с которыми мы обычно встречаемся в мате- матике и ее применениях, являются нуль-множествами. 4.4. Лемма о граничной точке. Отрезок, соединяющий внутрен- нюю точку множества М с внешней точкой, пересекается с гра- ницей множества М. Доказательство. Пусть А — внутренняя, В— внешняя точка. Установим на прямой АВ направление от А к В и обозначим через АГ множество точек отрезка АВ, внутренних по отношению к множе- ству М. Так как A£N, то множество АГ не пусто. Пусть С—его точная верхняя грань. Ясно, что С—точка отрезка АВ. Покажем, что она является граничной относительно множества М. Точка С не может быть внутренней точкой множества М. Если бы она была внутренней, то существовал бы целый круг с центром в точке С, состоящий из внутренних точек множества М. Этот круг пересекался бы с прямой АВ по отрезку с серединой в точке С, состоящему из внутренних точек множества М. Вследствие этого между точками С и В нашлись бы внутренние точки множества М(С^В, так как В—внешняя точка) и точка С не была бы точ- ной верхней гранью множества N. Точка С не может быть внешней по отношению к множеству М. Если бы она была внешней, то существовал бы целый круг с цент- ром в точке С, состоящий из внешних точек. Пусть С—какая- нибудь точка этого круга, лежащая между А и С (ДУ=С, так как А — внутренняя точка). Так как между С и В нет внутренних точек множества М, а отрезок С'С состоит из внешних точек, то между С в В также нет внутренних точек множества М. Следовательно, С — верхняя грань множества N, и потому точка С не является его точной верхней гранью. 4.5. Критерий квадрируемости. Множество М квадрируемо в том и только в том случае, если оно ограничено и его гра- ница МГ есть нуль-множество. Доказательство. Предположим, что множество М квадри- руемо, и покажем, что Мг — нуль-множество. Пусть е —положитель- ное число и Р, Q — многоугольные фигуры, удовлетворяющие усло- виям (2). Рассмотрим многоугольную фигуру /? = [<?—Р]. Ясно, что 7ИГ = 7И3 — Мв с Q — Pc R и s(P) = s(Q)— s{P)<Ze.. Следова- тельно, Мг есть нуль-множество. Предположим теперь, что множество М ограничено и его гра- ница Мг есть нуль-множество, и покажем, что множество М квадри- руемо. Пусть В — прямоугольник, содержащий множество М, е — по- ложительное число и R— такая многоугольная фигура, что Mr с RB, s(R)<e. Рассмотрим многоугольную фигуру [5—/?]. Разобьем ее на треугольники и обозначим через Рмногоугольную фигуру, состав- 2
86 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ ленную из треугольников, целиком лежащих в М. Оказывается, что треугольники, не вошедшие в Р, не имеют с 7И общих точек. Дей- ствительно, пусть А и В—такие точки, принадлежащие некоторому треугольнику из [5—/?], что А£М, а В£ М. Так как точки, гра- ничные по отношению к множеству 7И, являются внутренними по отношению к R, то они не могут принадлежать треугольнику, вхо- дящему в [5—R] Следовательно, А— внутренняя, а В — внешняя точка по отношению к множеству /И. Но в таком случае отрезок, соединяющий А с В, пересекает границу множества М (п. 4.4) в не- которой точке нашего треугольника, что приводит к противоречию. Положим Q=P-\-R. Ясно, что РсМ. Покажем, что MczQ. Пусть А£М. Тогда либо A £ R, либо А£М—Rcz[S— /?]. В пер- вом случае во втором случае точка А лежит в одном из тре- угольников, составляющих фигуру [S — /?]. Так как этот треуголь- ник имеет с М общую точку, то он целиком лежит в /И, т. е. вхо- дит в Р. Следовательно, во втором случае А £ Р. Таким образом, в обоих случаях A£Q, а это и значит, что MczQ. Наконец, s (Q) — s (Р) = s (R) < е. 4.6. Операции над квадрируемыми фигурами. Сумма и пересе- чение конечного числа квадрируемых фигур являются квадрируе- мыми фигурами. Разность двух квадрируемых фигур есть ква- дрируемая фигура. Множество, равное квадрируемой фигуре, есть квадрируемая фигура. Справедливость последнего утверждения очевидна. Теорему о сумме и пересечении достаточно доказать для случая двух фигур. Итак, пусть М и N—квадрируемые фигуры; покажем, что фигуры MN и М — N квадрируемы. Согласно нашему критерию ква- дрируемости, нужно доказать, что если Afr и Nr—нуль-множества, то (Af-f-N)r, (MN)T и (Л4 — N)r—также нуль-множества. В п. 2.1 было доказано, что (Af-)-/V)r с Afr4-A/r, (MN}ra:MT-{-Ne, (М—N)ra:Ml.-y N . Но сумма двух нуль-множеств есть нуль-множе- ство и часть нуль-множества есть нуль-множество (п. 4.3). Следо- вательно, (M-{-N)r, (MN)r и (М — ЛТ)Г — нуль-множества. 4.7* . Линии. Поскольку ограниченное множество квадрируемо в том и только в том случае, если его граница есть нуль множество, а границы наиболее часто встречающихся фигур состоят из линий, важно выяснить, какие линии являются нуль-множествами. Первая трудность, с которой мы здесь встречаемся, состоит в недостаточной определенности понятия линии. Мы ограничимся рассмотрением простых линий, т. е. линий, не имеющих самопере- сечений. В этом пункте определяется и изучается с интересующей нас точки зрения несколько классов таких линий. Простые дуги. Пусть А — отрезок числовой прямой и f — некоторое отображение этого отрезка в плоскость. Снабдим плос- кость системой координат х, у и обозначим через х,(1), _уу(/)коор-
КЛАСС КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР 37 динаты точки f(t), t £ Д. Ясно, что функции х{, yf определяются отображением /ив свою очередь определяют его. Если эти функ- ции непрерывны, то они будут непрерывными и при всяком другом выборе системы координат, потому что преобразование координат линейно; в этом случае и отображение / называется непрерывным. Нас будут интересовать непрерывные и взаимно однозначные отображения отрезка в плоскость. Множество точек плоскости, на которое можно взаимно однозначно и непрерывно отобразить отре- зок, называется простой дугой. Взаимная однозначность есть как раз то свойство отображения, которое обеспечивает отсутствие самопересечений. Определению простой дуги можно дать следующее наглядное истолкование. Представим себе, что отрезок сделан из материала, способного как угодно изгибаться, сокращаться и растягиваться, но неспособного рваться и склеиваться. Простая дуга есть то, что можно изготовить из такого отрезка. Как будет показано в п. 4.10, простая дуга может не быть нуль-множеством. Элементарные кривые. Множество точек плоскости назы- вается элементарной кривой, если существует система координат, в которой это множество является графиком функции, определен- ной и непрерывной на некотором отрезке. Элементарные кривые являются простыми дугами. Действи- тельно, пусть Г — график функции <р, непрерывной на отрезке Д. Ясно, что отображение / этого отрезка на Г, определяемое функ- циями Xj(t) = t, = (/£Д) (т- е- относящее каждой точке отрезка Д лежащую над ней точку графика Г), непрерывно и взаимно однозначно. Элементарная кривая является нуль-множеством. При доказательстве буквой Г, как и выше, будет обозначать- ся график функции ф, непрерывной на отрезке Д. Запись Д = Д х-|-...-f-Дп означает, что отрезок Д разбит промежуточными точками на частичные отрезки Дх, ..., Дп. Через т, и обозна- чаются наименьшее и наибольшее значения функции ф на отрезке Д,- (они существуют в силу известной теоремы Вейерштрасса). Буква I обозначает длину отрезка. Лемма. Для всякого положительного числа в существует такое разбиение Д = Дг + ...ф-Д„, что п S(M,— W,)/(A,.)<E. (4) i=i Доказательство леммы. Согла сно известной теореме Кан- тора, функция ф равномерно непрерывна на отрезке Д. Следова- тельно, существует такое положительное число 6, что для любых двух точек х, х' отрезка Д, удаленных друг от друга менее, чем
38 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ на 6, справедливо неравенство ф (%') — ф (лг) < в//(Д). Оказывается, что неравенство (4) имеет место для всякого разбиения Д = Дг + • • • ... +ДП, У которого длины всех частичных отрезков Д,- меньше 6. Действительно, из неравенства /(Д(-)<6 следует, что точки отрезка Д,-, в которых функция ф принимает значения те,- и как и всякие две точки этого отрезка, удалены друг от друга менее чем на 6. Таким образом, и потому Mi~mi< /J) (/==1.«)> Г W—W,) I (A,) < Щ) E1 (Д<) = e- Доказательство теоремы. Пусть e — положительное число. Построим разбиение Д = Дх + • • • + Ап, удовлетворяющее условию (4), и обозначим че- рез Rt прямоугольник, ограни- ченный горизонталями у = ть у — М: и вертикалями, прове- денными через концы отрез- ка Д,- (на рис. 11 прямоуголь- ники R; заштрихованы). Пусть Г,-— часть графика Г, лежа- щая в прямоугольнике Ясно, что Г = Гх + . .. + Гп. Следовательно, многоугольная фигура R = R-l+...+Rn со- держит множество Г, и так как = TOs(R)=Z(Af,—Wj-j/lAj-Xe. Правда, на /=1 некоторых из отрезков Д,- функция ф может оказаться постоянной, так что соответствующие прямоугольники /?,- выродятся. У таких прямоугольников достаточно слегка опустить нижнюю сторону или приподнять верхнюю (рис. 12).«Слегка»— значит меньше,чем на е// (Д). Кусочно гладкие простые дуги. Простая дуга Г назы- вается гладкой, если существует такое взаимно однозначное отобра- жение f некоторого отрезка на Г, что функции xf, у^ имеют непре- рывные производные, не обращающиеся одновременно в нуль. Ясно, что если отображение / удовлетворяет этому условию в одной системе координат, то оно удовлетворяет ему во всех системах координат. Название «гладкая» объясняется тем, что такая дуга плавно меняет свое направление и, в частности, не имеет угловых точек. Простая дуга называется кусочно гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких простых дуг.
КЛАСС КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР 39 дугу можно разбить на для гладких простых Рис. 13. Разбиение гладкой простой дуги на элементар- ные кривые. Всякую кусочно гладкую простую конечное число элементарных кривых. Доказательство достаточно провести дуг (рис. 13). Пусть Г—гладкая простая дуга, Д—отрезок и/—такое взаимно однозначное отобра - жение отрезка Д на Г, что производные х', у? непрерыв- ны и не обращаются одновре- менно в нуль. Предположим сначала, что одна из производных х'^, y’f нигде не обращается в нуль на отрезке Д. Если это x’f, то, как известно из анализа, функ- ция Ху взаимно однозначно отображает отрезок Д на не- который отрезок Д' и обратная функция непрерывна. Обозна- чим эту обратную функцию через <р и положим: g(t) = /(ф (/)), /£Д'. Ясно, что g есть отображение отрезка Д' на Г, определяемое функция- ми xg(t) = t, yg (t) = ф (t) (f£ Д'), где ф (t) =у^(Ц> (0)- Следовательно, если x’f не обращается в нуль на отрезке Д, то дуга Г является графиком функции ф и, значит, элементарной кривой. Подоб- ным же образом, Г есть элементарная кривая и в случае, когда у’^ не обра- щается в нуль на Д; доказательство — такое же, только нужно поменять ролями оси х и у. Переходя к общему случаю, предпо- ложим, что дугу Г нельзя разбить на конечное число элементарных кривых, и разделим отрезок Д пополам. Тогда Г разобьется на две простые дуги, из которых по крайней мере одну нельзя разбить на конечное число элементарных кривых. Половину отрезка Д, которому отвечает такая дуга, мы опять-таки разделим пополам, и т. д. В результате мы получим последовательность отрезков Д, Дп Д2, ..., каждый из которых, начиная со второго, является половиной предыдущего, и соответствующую последова- тельность Г, Г1т Г2, ... частей дуги Г, не допускающих раз- биения на конечное число элементарных кривых. Пусть /0 — точка, принадлежащая всем отрезкам Д, Дп Д2, . . . Так как произ- водные Хр y'f непрерывны и по крайней мере одна из них не т.
40 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ обращается в нуль в точке t0, то существует окрестность точки t0, в которой одна из этих производных нигде не обращается в нуль. При достаточно большом п отрезок Д„ целиком лежит в этой окрестности, и поэтому при достаточно большом п одна из произ- водных Xf, yf не обращается в нуль на Дп. Следовательно, при достаточно большом п дуга Гп является элементарной кривой, а это очевидным образом противоречит тому, что ее нельзя разбить на конечное число элементарных кривых. Кусочно гладкая простая дуга есть нуль-множество. Действительно, кусочно гладкую простую дугу можно разбить на конечное число элементарных кривых, а элементарная кривая есть нуль-множество и сумма конечного числа нуль-множеств есть нуль- множество. Простые замкнутые кривые. Множество точек плоско- сти называется простой замкнутой кривой, если существует не- прерывное отображение отрезка на это множество, переводящее концы отрезка в одну точку, но в остальном взаимно однозначное. Простая замкнутая кривая называется кусочно гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких простых дуг. Например, окружность и контур квадрата являются кусочно гладкими простыми замкнутыми кривыми. Кусочно гладкая простая замкнутая кривая есть нуль- множество. Действительно, из предыдущего следует, что кусочно гладкую простую замкнутую кривую можно разбить на конечное число элементарных кривых. 4.8* . Квадрируемость классических фигур. Цель этого пункта—дока- зать, что «классические» фигуры, т. е. фигуры, с которыми мы обычно встречаемся в геометрии и классическом анализе, квадрируемы. Прежде всего мы должны точнее определить интересующий нас класс фигур Всякий скажет, что фигура в классическом смысле есть часть пло- скости, ограниченная линчей или несколькими линиями. Попытаемся при- дать этим словам точный смысл. Ясно, что под «линией» здесь следует понимать простую замкнутую кривую. Пусть Г —такая кривая; что такое «часть плоскости, ограниченная кривой Г»? Конечно, это не просто множество с границей Г, потому что таких множеств существует сколько угодно. Если, например, Г—окружность, то такими множествами являются замкнутый круг, открытый круг, часть плоскости, внешняя по отношению к кругу, сама окружность Г и многие другие множества Можно, однако, доказать, что, какова бы ни была простая замкнутая кривая Г, на плоскости существует единственная огра- ниченная замкнутая область с границей Г. Эта замкнутая область и есть часть плоскости, ограниченная кривой Г. Ее называют также фигурой, ограниченной кривой Г. Мы не будем доказывать эту теорему, потому что ее доказательство трудно и длинно (оно очень не просто даже в случае, когда Г—ломаная) и потому что мы можем без нее обойтись. Действительно, мы можем прямо определить классическую фигуру как ограниченную замкнутую область,
КЛАСС КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР 41 граница которой состоит из конечного числа простых замкнутых кривых; при этом, чтобы исключить патологические случаи, мы будем считать эти кривые кусочно гладкими. Классические фигуры квадрируемы. Действительно, согласно пп. 4.7 и 4.3, граница классической фигуры есть нуль-множество, так что применим критерий квадрируемости из п. 4.5. Следует подчеркнуть, что в этой теореме кусочная гладкость гранич- ных кривых существеина. В п. 4.10 будет построена фигура, ограниченная простой замкнутой кривой, но не квадрируемая. 4.9. Круг. Из уважения к традиции мы приведем здесь клас- сическое элементарное доказательство квадрируемости круга. Пусть Рп — правильный 2"-угольник (п ^2), вписанный в круг радиуса г, и Qn — правильный 2п-угольник, описанный около этого круга. Пусть ап — сторона и с„ — апофема многоугольника Рп и Ьп — сторона многоугольника Qn. Согласно п. 3.5, s (Рп) = -1- Чпапсп, s (Qn) = 4 2nV- (5) Из соображений подобия следует, что Если Рп— квадрат (т. е. л = 2), то это отношение равно у 2; при возрастании п оно убывает, Так как оп<2оп + 1, Ьп'>с1Ьп^. Следовательно, 4 <2. (7) ''И Далее из неравенства 2£>г1+1</>„ следует (индуктивно), что Т~гЬп^Ь^с1г. Наконец, г — сп<.~ ап, и потому 2«~8 > < 2и~8 (8) Из (5), (6), (7), (8) получаем: s (Q„) - (Рп) = 2П-1 (Ьпг - апсп) = 2"-1 = 2”-Ч(г -сп) < 4г-3 -^ = ^5 Следовательно, каково бы ни было положительное число е, при Зг2 п, настолько большом, что 2п-4>—, справедливо неравенство s (Q„) — s (Рп) <8- Этим доказано, что круг —квадрируемая фигура. 4.10*. Примеры неквадрируемых множеств. П р и м е р 1. Огра- ниченное неквадрируемое множество. Направим оси
42 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ координат по двум соседним сторонам единичного квадрата Е и обозначим через М множество тех точек квадрата Е, у которых абсциссы являются рациональными числами. Множество М не квадрируемо. Доказательство. Всякий круг с центром в квадрате Е содержит как точки квадрата с рациональными абсциссами, так и точки с иррациональными абсциссами. Следовательно, каждая точка квадрата является граничной для множества М. Так как Рис. 14. Возьмем какой-нибудь треугольник Fo с стороне АВ две такие точки Alt Blt что квадрат не является нуль-мно- жеством, то, согласно п. 4.5, множество М не квадрируемо. Конечно, множество М ма- ло похоже на фигуры в клас- сическом смысле. Ниже будут построены неквадрпруемые множества, более близкие к классическим фигурам. Пример 2. Неквадри- руемая простая дуга, вершинами А, В, С и, выбрав на р(Д, Д1)<-Хр(Д, В), р(В, В1)<±р(Д, В), z Z обозначим через Fl многоугольную фигуру, составленную из треугольни- ков ДСДХ и ВСВХ (рис. 14). Операцию, переводящую Во в Flt мы будем называть вырезанием с фоку- сом в вершине С. Каждый из треугольников, составляющих фигуру Flt мы опять под- вергнем операции вырезания, приняв за фокусы только что возникшие вершины Дх и Вх, и т. д. (рис. 15). Этим путем мы построим бесконечную после- довательность многоугольных фигур Fq, Flt F2, .... в кото- рой фигура Fn является сум- мой 2" треугольников. Чтобы превратить Fn в Fn+1, нужно подвергнуть каждый из этих треугольников операции вырезания с фоку- сом в вершине, возникшей при предыдущем вырезании. Обозначим через Г пересечение всех фигур Fn и покажем, что Г есть простая дуга (см. п. 4.7). Для этого мы построим непрерывное взаимно однозначное отображение отрезка [О, 1] на множество Г. Назовем треугольники, составляющие фигуру Fn, треугольниками ранга п. Ясно, что их можно, и притом единственным образом, занумеро- вать так, чтобы каждые два треугольника с соседними номерами имели общую точку и чтобы первым был треугольник, содержащий точку А (последним будет треугольник, содержащий точку В). Разделим отрезок [О, 1] на 2" равных отрезков, назовем нх отрезками ранга п, занумеруем
КЛАСС КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР 43 их слева направо и отнесем каждому отрезку ранга п треугольник ранга п с тем же номером. Тогда множество отрезков всех рангов взаимно однозначно н с сохранением ранга отобразится на множество треугольни- ков всех рангов. Ясно, что: (а) Один треугольник в том и только в том случае является частью другого треугольника, если отрезок, которому отвечает первый треуголь- ник, является частью отрезка, которому отвечает второй треугольник. (Ь) Два треугольника в том и только в том случае имеют общую точку, если отрезки, которым они соответствуют, имеют общую точку. (с) Длина наибольшей из сторон треугольников ранга п стремится к нулю при неограниченном возрастании п. Пусть t — произвольная точка отрезка [0, 1]. Если существует единст- венный отрезок ранга п, содержащий точку t, то пусть An(t)—этот отре- зок и Тп (/)—соответствующий треугольник ранга п; если существуют два тагГих отрезка, то пусть An(Z)—сумма этих отрезков и Тп (Z)—сумма соот- ветствующих треугольников. Так как Д] (/) ^> Д2 (/) 2D ..., то 71 (/) Z) Т2 (О 2D ... (см. (а)). Из этих включений и того факта, что наи- большее расстояние между точками множества Тп (?) стремится к нулю при неограниченном возрастании п (см. (Ь) и (с)), следует, что пересечение всех множеств Тп (t) состоит из единственной точки. Отнесем эту точку точке t и покажем, что определенное таким образом отображение f отрезка [О, 1] в множество Г является непрерывным взаимно однозначным отображе- нием на все множество Г. Пусть по-прежнему t—произвольная точка отрезка [0, 1] и е — поло- жительное число. Из определения отображения / следует, что / (Д„(/))С2 Тп (Z), и так как при неограниченном возрастании п наибольшее расстояние между точками множества Тп (t) стремится к нулю, то существует такое т, что расстояние любой точки множества f,(hm (/)) от точки f (/) меньшее. Пусть 6—-расстояние точки t до ближайшего конца отрезка Дт (/). Ясно, что если |f— 11 < б, то р (/ (О, < е и, значит, 1*/(О~<8. I V/(О—<//(0 Ice- Этим доказано, что отображение f, непрерывно в точке t. Пусть А—произвольная точка множества Г. Если существует единст- венный треугольник ранга п, содержащий эту точку, то пусть Тп — этот треугольник и Дп—отрезок ранга п, которому он соответствует; если существуют два таких треугольника, то пусть Тп—их сумма и Дп—сумма отрезков, которым они соответствуют. Так как ZD Та 2D ..., то Дх 2D Д2 2D ... (см. (а)). Из последних включений и того факта, что длина отрезка Д„ стремится к нулю при неограниченном возрастании п, следует, что пересечение отрезков Дп состоит из единственной точки, скажем t. Ясно, что A — и что t — единственная точка с этим свойством. Следовательно, I — взаимно однозначное отображение отрезка [0, 1] на все множество Г. Итак, Г — простая дуга. Посмотрим, будет ли она квадрируемой. Оче- видно, что множество Г не содержит ни одного круга: такой круг должен был бы при каждом п содержаться в некотором треугольнике ранга п, а это невозможно в силу (с). Согласно п. 4.3, отсюда следует, что дуга Г квадрируема в том и только в том случае, если она является нуль-мно- жество м. Так это или нет—зависит от того, большие или малые части фигур Fn удаляются при вырезаниях. Пусть оп—площадь фигуры Fn. Ясно, что последовательность о0, о1г ... убывает и что для всякой строго убывающей последовательности положительных чисел 0О, Oj, ... можно построить указанным выше способом такую последовательность многоугольных фигур Ео, Fr, ..., что s (Fn) — an. Оказывается, что дуга Г является нуль-мно- жество м. в том и только в том случае, если lim с„ = 0.
44 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ Доказательство. Пусть сначала lira оп = 0. Возьмем для задан- п —> со ного положительного е такое т, что от < е, и положим R — Fm. Ясно, что Г с R и s(7?) = om<e. Следовательно, Г есть нуль-множество. Пусть теперь Г—нуль-множество. Возьмем для заданного положи- тельного е такую многоугольную фигуру R, что R ZD Г и s(7?)<e/2, разо- бьем ее на треугольники и подвергнем каждый треугольник преобразованию подобия с центром в какой-нибудь внутренней точке и коэффициентом, большим единицы; этот коэффициент мы выберем так, чтобы многоугольная фигура R', составленная из новых треугольников, удовлетворяла условию s (/?') < е (ср. п. 4.2). Ясно, что фигура R' содержит не только множество Г, но и все точки, лежащие от точек множества Г на расстоянии, меньшем неко- торого положительного числа 6. Так как длина наибольшей из сторон тре- угольников ранга п стремится к 0 при неограниченном возрастании п и так как каждый из этих треугольников содержит точки множества Г, то при достаточно большом п каждая точка множества Fn лежит от некоторойдочки множества Г на расстоянии, меньшем 6. Следовательно, если п достаточно велико, то Fn С-R' и < s (/?')< е, а это значит, что limon==0. п -» « Подведем итоги: если lim оп > 0, то Г—неквадрируемая простая дуга, п -> 00 Пример 3. Неквадрируемая фигура, ограниченная простой замкнутой кривой. Пусть Г—неквадрируемая простая дуга, построенная из треугольника АВС, как в примере 2, и С—точка, симметричная с точкой С относительно прямой АВ. Обозначим через Г' простую замкнутую кривую, составленную из дуги Г и отрезков АС и ВС', и через F—фигуру, ограниченную кривой Г' (см. п. 4.8). Так как Г — не нуль-множество, то н Г*—не нуль-множество. Следовательно, фигура F не квадрируема. Очевидный недостаток этого рассуждения состоит в том, что оно опи- рается на трудную общую теорему, изложенную в п. 4.8 без доказатель- ства. Желательно иметь прямое определение множества F. Вот это опреде- ление: F есть сумма дуги Г, треугольника АВС и всех треугольников, вырезаемых из фигур Fn с четными номерами п. Нетрудно показать, что это—замкнутая область с границей Г'. § 5. Площадь на классе квадрируемых фигур 5.1. Определение площади. Площадь есть функция, определен- ная на классе квадрируемых фигур и обладающая свойствами (а) — (6). Так как многоугольные фигуры квадрируемы, то такая функция определена, в частности, на классе многоугольных фигур. Там она также обладает свойствами (а) —(6) и потому совпадает с функцией s, изученной в § 3. Новую функцию мы также будем обозначать через s. Существование и единственность нашей функции будут дока- заны в п. 5.5. Пока они не доказаны, мы будем понимать под площадью какую-нибудь функцию квадрируемой фигуры со свойствами (а) —(6), предполагая ее существующей. 5.2. Простейшие следствия определения. При переходе к классу квадрируемых фигур площадь сохраняет свойство монотонности: если квадрируемая фигура N есть часть квадрируемой, фигуры М, то
ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР 45 Действительно, положим N’ — M — N. Согласно п. 4.6, N’— квадрируемая фигура. Так как N и N' составляют М и не имеют общих внутренних точек (даже вообще не имеют общих точек), то, согласно свойству (р), s (М) = s s {N'), а согласно свой- ству (a), s Следовательно, s s (N). Мы увидим, однако, что свойством строгой монотонности пло- щадь на классе квадрируемых фигур уже не обладает. Для любых двух квадрируемых фигур М и N справедливо соотношение s(M+N) = s(M) + s(N)—s(MN). (1) Действительно, множество Л4Ц-Л/ можно представить как сумму непересекающихся множеств М и N — MN, так что, согласно свойству (р), s(Af + 7V) = s(/W) + s(W—MN). (2) Далее, множество N есть сумма непересекающихся множеств N—-MN и MN, так что, согласно тому же свойству (Р), s(N) = s(N — MN) + s(MN). (3) Из (2) и (3) следует (1). Для любых квадрируемых фигур Mlt ..., Мп справедливо неравенство s (Л^ ф- . . . + А/„) $ (/Их) ф-... ф- s (Af„). При л = 2 это следует из формулы (1), при п >2 доказывается индуктивно. Читателю рекомендуется сопоставить доказательства монотон- ности площади и соотношения (1) с соответствующими рассуж- дениями п. 3.2. 5.3. Площадь как точная грань. В силу монотонности площади, для всякой квадрируемой фигуры М и всяких двух многоуголь- ных фигур Р и Q, удовлетворяющих условиям Р с М с Q, спра- ведливы неравенства s(P)*Zs(M)^s(Q). (4) Таким образом, площадь квадрируемой фигуры заключена между площадями всех входящих многоугольных фигур и площадями всех объемлющих многоугольных фигур. Она служит верхней гранью первых и нижней гранью вторых. Следующая теорема дает точное выражение площади квадри- руемой фигуры через площади входящих и объемлющих много- угольных фигур. Площадь квадрируемой фигуры есть точная верхняя грань площадей входящих многоугольных фигур и точная нижняя грань площадей объемлющих многоугольных фигур'. s (/И) = sup s (Р) = inf s (Q). (5)
46 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ Другими словами, площадь квадрируемой фигуры есть единст- венное число, заключенное между площадями всех входящих многоугольных фигур и площадями всех объемлющих многоуголь- ных фигур. Для доказательства положим sups(P)=p, infs(Q)=^. Из нера- венства (4) следует, что для всякой входящей многоугольной фигуры Р и всякой объемлющей многоугольной фигуры Q s(P)^p^s(M)^q^s(Q). (6) С другой стороны, согласно определению квадрируемости, для всякого положительного е существуют такая входящая много- угольная фигура Ри такая объемлющая многоугольная фигура Q, что s(Q)-s(P)<e. (7) Из (6) и (7) следует: O^q—р<е, и так как е произвольно, то p = q = s(M). 5.4. Площадь как предел. Если М— квадрируемая фигура и Р, Q — такие многоугольные фигуры, что Р с Л1 с Q, то в силу неравенств (4) s(M)-s(P)<s(Q)-s(P), s(Q) —s(Af)<s(Q) —s(P). (8) Сопоставляя неравенства (8) с определением квадрируемости, мы видим, что для всякой квадрируемой фигуры М прн любом поло- жительном е существуют такая входящая многоугольная фигура Р и такая объемлющая многоугольная фигура Q, что s(Af)—s(P)<;e, s (Q) — s (ЛД < e. Возьмем какую-нибудь последовательность положительных чисел е„, сходящуюся к нулю, и построим многоугольные фигуры Рп и Qn, удовлетворяющие соотношениям Рпс McQn, s (Af)— s (Pn) <en, s (Q„) — s (Al) < e„. Ясно, что s (Af) -= lim s (P„) = lim s (Q„). (9) n -+ co n -+ 00 Таким образом, для всякой квадрируемой фигуры М существуют такая последовательность входящих многоугольных фигур Рп и такая последовательность объемлющих многоугольных фигур Qn, что справедливо соотношение (9). Если, например, М—круг, а Рп и Qn — вписанные и описанные правильные 2"-угольники, то согласно п. 4.9, Um 0(Q„) — s(P„)] = 0. (10) П СО Из соотношений (10) и (8) (в последнем под Р и Q нужно пони- мать Рп и Qn) следует (9). Таким образом, площадь круга может быть вычислена как предел последовательности площадей пра- вильных вписанных или описанных ^-угольников.
ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР 47 5.5. Теорема существования и единственности. На классе квадрируемых фигур существует одна и только одна функция со свойствами (а) — (6). Доказательство единственности. Пусть s и s' — две функции, определенные на классе квадрируемых фигур и обла- дающие свойствами (а) — (6). Согласно формуле (5), для всякой квадрируемой фигуры М s(Af) —siips(P), s' (Af) = sup s' (Р). Но, по теореме единственности, доказанной в п. 3.7, s' (P)=s(P) для всякой многоугольной фигуры Р. Следовательно, s' (Л1) = s (Af). Доказательство существования. Мы будем пользо- ваться теоремой существования площади на классе многоугольных фигур, доказанной в п. 3.7. Пусть М — квадрируемая фигура, Q—- какая-нибудь объемлющая многоугольная фигура и Р—произ- вольная входящая многоугольная фигура. Так как Р содержится в Q, то s(P)=^s(Q). Следовательно, множество площадей входящих многоугольных фигур ограничено сверху. Рассмотрим его точную верхнюю грань sup s(P). Если фигура М сама является много- угольной, то, очевидно, sups(P) = s(Af), в общем же случае sups(P) есть некоторое число, однозначно определяемое квадри- руемой фигурой М. Таким образом, sups(P) есть функция, опре- деленная на классе квадрируемых фигур и совпадающая на классе многоугольных фигур с функцией s. Не возникнет недоразумений, если мы и ее обозначим через s, т. е. положим для произвольной квадрируемой фигуры М s (Л7) = sup s(P). (И) Очевидно, что эта функция обладает свойствами (а), (у) и (6). Покажем, что она обладает и свойством (Р). Пусть Afx, ..., Afn— квадрируемые фигуры, попарно не имеющие общих внутренних точек, М—их сумма и е— положительное число. Согласно опре- делению квадрируемости, существуют такие многоугольные фигуры Pi.Qi, . Pn,Qn, что P,cAf; с: Qi,s(Qi)~s(Pi) < е/л (z = 1, .. ,,п), и из определения (И) следует, чтоs (Pz) s (Afz)^s(Qz). Поэтому п п п п п i= 1 i=l 1=1 Z= 1 «=1 Положим Рг+ ... Pn= P, Qi-j-. • • + Q„=Q. Ясно, что Pcz Af a Q, и, в силу того же определения (И), s (Р) (М) s (Q). Но s(P) = 2 s(pi)> s(Q)< 2 s(Q|)- (Фигуры Ръ ..., Pn попарно не ;=1 1=1
48 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ имеют общих внутренних точек.) Таким образом, оба числа s(Af) п п п и 2 5 W) заключены между числами и 2 s (Q,), раз- /=1 i=l i=i кость которых меньше е, и потому п п s(tW)— 2 s W) «=1 <е. Так как е произвольно, то s(Af) = 2 s(Alz). 5.6. Нуль-множества. Класс нуль-множеств (п. 4.3) совпадает с классом квадрируемых фигур нулевой площади. Действительно, согласно п. 5.3, площадь квадрируемой фигуры равна точной нижней грани площадей объемлющих многоугольных фигур, а определение нуль-множества как раз и заключается в тре- бовании, чтобы эта нижняя грань была равна нулю. На классе квадрируемых фигур площадь не является строго монотонной функцией. Действительно, если М—квадрируемая фигура и N—непустое нуль-множество, не имеющее с Af общих точек, то $(Л!ф-N) = s (/И), хотя М-}-НМ. 5.7. Полнота класса квадрируемых фигур. Принцип, при помощи которого мы расширили в п. 4.1 класс многоугольных фигур до класса квадрируемых фигур, можно сформулировать следующим образом: множество М в том и только в том случае причис- ляется к расширенному классу, если для всякого положитель- ного е существуют такие фигуры Р и Q прежнего класса, что PcMcQ, s (Q) — s (Р) <е. Ясно, что в такой формулировке этот принцип не связан с пред- положением, что исходный класс есть класс многоугольных фигур. Это — общий принцип расширения, применимый к любому классу множеств, на котором определена функция $. Он носит название принципа пополнения. Мы можем, таким образом, сказать, что класс квадрируемых фигур есть пополнение класса многоуголь- ных фигур. Возникает вопрос: что произойдет, если мы применим этот принцип к классу квадрируемых фигур? Оказывается, что класс квадрируемых фигур не расширится, т. е. что он уже содержит все множества, получающиеся при его пополнении. Другими словами' если для множества М при любом положительном е существуют такие квадрируемые фигуры L и N, что L cz М с N, s(N)—s(L)<e, (12) то М—квадрируемая фигура. Это свойство класса квадрируемых фигур называется полнотой. Чтобы доказать квадрируемость множества 7И, построим для заданного положительного е такие квадрируемые фигуры L и N,
ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР 49 что LcMcN, s(N) — y(Z.)<-|, (13) и затем такие многоугольные фигуры Р и Q, что PciL, s(L)-s(P)<^, NcQ, s(Q)—у(Д/)<±. (14) Из (13) и (14) следует: Р а. М a. Q, s (Q)—s(P)<Ze. Таким обра- зом, М—квадрируемая фигура. 5.8. Поведение площади при аффинном преобразбвании. Аффин- ное преобразование переводит квадрируемую фигуру в квадриру- емую фигуру. Если М'—образ квадрируемой фигуры М при аффинном преобразовании с определителем А, то s (АГ) = у (7И) |Д|. Доказательство. Пусть 6—положительное число и Р, Q—такие многоугольные фигуры, что PcMcQ, s(Q) — у(Р)<| А|-1е. (15) Обозначим через Р', Q' образы фигур Р, Q. Ясно, что Р' с Мг с: Q', (16) и так как, согласно п. 3.10, у (Р') == у (Р)-| A |, s(Q') = s (Q)-1 А |, то s (Q') — s (Р') = [у (Q) - у (Р)] | А | < е. Таким образом, М' — квадрируемая фигура. Из включений (15) и (16) следует: у (Р') = s (Р)-1 А | у (Af) • | А | ^ s£y(Q) J A |=-y(Q'), s (P')^s (М'} (Qr). Поэтому имеем | у (АГ') — у (АГ) • | А || <: у (Q') — у (Р') С е, и так как е произвольно, то у (АГ) = у (АГ) | А |. Частные случаи (см. п. 3.9). 1. Преобразование подобия переводит квадрируемую фигуру в квадрируемую фигуру. Если М' — образ квадрируемой фигуры М при преобразовании подобия с коэффициентом А, то у (Л/') = у (АГ) X2. 2. При невырожденном ортогональном проектировании пло- скости на плоскость образы и прообразы квадрируемых фигур квадрируемы. Если а—угол между плоскостями и М' — проекция квадрируемой фигуры М, то у (АГ) = у (Л/) cos а. Примеры. 1. Площадь круга. Пусть — круг радиуса 1 и К—круг радиуса г. Так как К можно получить из преоб- разованием подобия с коэффициентом г, то у (К) = у г2. Пола- гая s(K1) = n, получаем обычную формулу: s(K)~ nr2. 2. Площадь э л л и п с. а. Пусть а и b—положительные числа. Аффинное преобразование х' = ах, у' — by переводит круг радиуса 1, определяемый неравенством х2ф-у21, в эллипс с полуосями а и Ь, определяемый неравенством
50 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ Так как определитель этого преобразования равен ab, то площадь эллипса (17) равна лаЬ. 5. 9*. Вычисление площади. До сих пор мы занимались главным образом логическими вопросами теории площадей. Проблеме вычис- ления площади уделялось мало внимания — она была рассмотрена только для многоугольных фигур. Теперь мы займемся криволиней- ными фигурами. Проблема вычисления площади намного старше логических проблем теории площадей. Если понятием площади заинтересова- лись в прошлом столетии, то вычисление площадей благодаря своему практическому значению находилось в центре внимания математиков уже десятки столетий назад. И задолго до того, как логические проблемы теории площадей были поняты и сформули- рованы, математикам уже были известны эффективные методы вычисления площадей криволинейных фигур. Эти методы были созданы после многовековых усилий и при- надлежат к числу самых выдающихся достижений человеческой мысли. Они оказались очень общими, т. е. пригодными для вычис- ления не только площадей, но и многих других геометрических и физических величин. Со временем они обрели самостоятельность и стали ядром новой науки. Эта наука называется математиче- ским анализом и представляет собой в настоящее время универ- сальный инструмент точного естествознания. Изложение математического анализа не входит в задачи настоя- щей статьи. Мы ограничимся тем, что дадим простейшие формулы, позволяющие вычислять площади криволинейных фигур средствами анализа. Эти формулы выражают площади через интегралы, и их применение требует умения вычислять интегралы. Для сравнения заметим, что и площадь прямоугольника мы вычислили в п. 3.3 лишь в том смысле, что доказали формулу s(P) = ab. Применение этой формулы требует умения перемножать числа и является делом арифметики, которая, как и анализ, не излагается в настоящей статье. Добавим, что задача вычисления площади прямоугольника в не меньшей степени способствовала развитию арифметики, чем задача вычисления площади криволи- нейной фигуры—развитию анализа. Сначала мы рассмотрим основной случай, когда наша фигура является «криволинейной трапецией», а затем, кратко, случай про- извольной классической фигуры. Площадь криволинейной т р а п е ц и и. Пусть <р — неко- торая функция, непрерывная и неотрицательная на отрезке А = [а,Ь]. Снабдим плоскость системой координат и обозначим через F множество точек, координаты х, у которых удовлетворяют нера- венствам а х sg Ь, 0 sg:у sg <р (х) (рис. 16). Множество F называется криволинейной трапецией, определяемой функцией <р.
ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР 51 Криволинейная трапеция квадрируема. Действительно, множество F содержится в прямоугольнике a-^x^b, O^y^L, где L — верхняя грань функции <р, и потому ограничено. Граница множества F состоит из отрезка оси абсцисс, двух вертикальных отрезков (которые могут вырождаться в точки) и графика функции ф и потому является нуль-множеством (см. п. 4.7). Согласно п. 4.5, из этих двух фактов следует квадриру- емость множества F. Если функция ф строго поло- жительна внутри отрезка [с, Ь\, то граница криволинейной трапе- ции F является простой замкну- той кривой, а сама криволинейная трапеция есть фигура, ограничен- ная этой кривой в смысле п. 4.8. имеет непрерывную производную на Если, кроме того, функция ф отрезке [с, Ь\ или этот отре- зок может быть разложен на конечное число частичных отрезков, на каждом из которых функция ф имеет непрерывную производную, то F — классическая фигура. Площадь криволинейной трапеции F дается формулой ь s(F)=^ cp(x)dx. а (18) Рис. 17. Доказательство. Пусть, как в п. 4.7, Д = Д± -|- ... -ф Д„ — произвольное разбиение отрезка Д на конечное число частичных отрез- ков и mit ML — наименьшее и наибольшее значения функ- ции ф на отрезке Д, (/ = 1, . ., /г). Пусть Pt — прямо- угольник (может быть, вы- рожденный), ограниченный горизонталями у = 0, у = т1 и вертикалями, проведен- ными через концы отрезка Д„ и Qi—прямоугольник (может быть, вырожденный), ограниченный горизонталя- ми _у = 0, y = Mt и верти- калями, проведенными через концы отрезка Д,- (рис. 17). Положим Р=Р1+...+Р„, Q = Qi+ Ясно, что s (Р) = S "hl (А,), (Q) = 2 Mtl (Д,), (19)
52 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ и гак как, очевидно, PaFczQ, то s (/’) «5 s (F) -С s (Q). (20) Теперь мы должны обратиться к определению интеграла, стоящего в правой части формулы (18). Первая из сумм (19) называется нижней, вторая — верхней интегральной суммой функции ср отно- сительно разбиения Д — Д1 ф- .. . -|- Дп. Одна из теорем анализа, так называемая «теорема существования интеграла», утверж- дает, что существует единственное число, служащее одновременно верхней гранью нижних сумм и нижней гранью верхних сумм. Это число и есть, по определению, интеграл (18). Согласно неравен- ству (20), таким числом является площадь s(F), что и доказывает формулу (18). Добавим, что в наших рассуждениях содержится и доказатель- ство теоремы существования интеграла. Действительно, согласно лемме из п. 4.7, для всякого положительного е существует такое п п разбиение Д = Дг ф- Д,„ что 2 AW,)—2 т/(А,)<е. «=1 <=1 ‘ и потому s(F)— единственное число, заключенное между нижними и верхними суммами. Формула (18) может считаться основной формулой теории пло- щадей. Конечно, сама по себе она не является глубоким матема- тическим предложением: понятия площади и интеграла настолько Рис. 18. Разбиение класси- ческой фигуры на криво- линейные трапеции. близки друг другу, что она почти оче- видна. Однако в соединении с мощными методами вычисления интегралов, кото- рыми располагает анализ, это формула оказывается чрезвычайно эффективной. Площадь классической фи- гуры. Можно доказать, что всякая клас- сическая фигура (п. 4.8) может быть разбита горизонталями и вертикалями на конечное число криволинейных трапеций (некоторые из этих трапеций будут по- вернуты относительно положенной в осно- ву системы координат на 90, 180 или 270° и сдвинуты — см. рис. 18). Если такое разбиение произведено, то площадь фигуры может быть вычислена как сумма площадей этих трапеций, а к последним применима фор- мула (18). В этом смысле формула (18) является универсальной формулой теории площадей. Если рассматриваемая фигура достаточно проста, то этот путь быстро ведет к цели, но в более сложных случаях он может ока- заться малоэффективным. Существуют формулы, позволяющие прямо
ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР 53 вычислить площадь классической фигуры по уравнениям граничных кривых. Пусть F—ограниченная замкнутая область, границей кото- рой служит простая замкнутая кусочно гладкая кривая Г, и пусть х(/) = х/(/), j(0=J/(0, a^f^b, (21) —функции, определяющие кривую Г (п. 4.7). Предположим, что отображение f определяет на кривой Г положительное направле- ние, т. е. такое направление обхода, при котором фигура F лежит слева. Тогда площадь фигуры F может быть вычислена по любой из трех формул'. ь s(F)<=\x(t)y' (22) а b s(F) = —^y (0 х’ (t) dt, (23) а b s(F) = ^[x(t)y’(t)-y(t)x'(t)]dt. (24) а Доказательство этой теоремы уже довольно сложно и опирается на ряд общих теорем интегрального исчисления. В общих чертах оно может быть описано следующим образом. Правые части формул (22) и (23) получаются друг из друга интегрированием по частям (так как кривая замкнута, то х (а)= х(Ь), у (а) —у (Ь), и потому х (Ь)у (Ь)—х(а)у (й) = 0), а пра- вая часть формулы (24) есть полусумма правых частей формул (22) и (23). Следовательно, правые части всех трех формул равны между собой. Определитель x(t)y'(t)—y(t)x’(t), стоящий под интегралом в правой части формулы (24), не меняется ни при параллельном переносе, ни при повороте координатных осей. Следовательно, правые части всех трех формул не меняются при этих преобразо- ваниях. Предположим сначала, что F—криволинейная трапеция, опре- деляемая функцией у — ф (х), которая положительна внутри отрезка czsgxs^P и имеет на нем непрерывную производ- ную. Разложим кривую Г на три прямолинейных отрезка и график функции ф, проходимый справо налево (ср. рис. 17), и рассмотрим соответствующее разложение интеграла (23) на четыре интеграла. Первые три интеграла равны нулю (в интегралах, соответствующих вертикальным отрезкам, х'(/) = 0, в интеграле, соответствую- щем отрезку оси абсцисс, у (f) = 0), четвертый, как показывает подстановка х = х(/), равен —\ф (х) dx=—s (F). Следовательно, а
54 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ формула (23) верна для криволинейных трапеций рассматриваемого вида. В общем случае фигуру F можно разложить горизонталями и вертикалями на конечное число таких трапеций. Некоторые из этих трапеций будут повернуты на 90, 180 или 270° и сдвинуты. В силу предыдущего к каждой из них применима формула (23), а потому она применима и к фигуре F. 5. 10. Площадь на классе квадрируемых замкнутых областей. В этом пункте будет показано, что на классе квадрируемых замк- нутых областей площадь сохраняет свойство строгой монотонности. Согласно пп. 2.4 и 4.1, класс квадрируемых замкнутых областей содержит все многоугольные фигуры. Излагаемая ниже теория является естественным продолжением теории площадей многоуголь- ных фигур Так как сумма конечного числа замкнутых областей есть замк- нутая область (п. 2.2) и сумма конечного числа квадрируемых множеств есть квадрируемое множество (п. 4.6), то сумма конеч- ного числа квадрируемых замкнутых областей есть квадрируемая замкнутая область. Однако с пересечением и вычитанием дело обстоит сложнее: уже пересечение и разность двух треугольников могут не быть замкнутыми областями. В п. 2.5 мы определили приведен- ное пересечение и приведенную разность многоугольных фигур, всегда являющиеся многоугольными фигурами. Эти определения мы перенесем теперь на произвольные замкнутые области, т. е. поло- жим для любых двух замкнутых областей F и F': [FF'] = ((FF')B)3, [F-F'] = (F-F')3. (25) Очевидно, что [FF']— замкнутая область Покажем, что и [F—F'] есть замкнутая область, а именно, покажем, что [F-F'] = ((F-F')B)3. (26) Пусть А £ F—F'. Так как А £ Fh F— (FB)3 (см. п. 2.2), то всякий круг с центром в точке А пересекается с множеством FB. Так как точка А не принадлежит замкнутому множеству F', то существует круг с центром в точке А, не пересекающийся с F'. Следовательно, всякий крут с центром в точке А пересекается с FB— F', т. е. ^€(FB —F')3. Таким образом, F—F'c(FB—F')3, и потому (F—F')3c:(FB— F')3. Но FB — F' = FB (доп. F'), а доп. F' = (доп. F')B, и потому FB-F' = FB (доп. F')B = (F(;ion. F'))B = (F — F')B. Следовательно, (F—F')3<= ((F—F')B)3 Обратно, (F—F')Bc F—F', и потому ((F—F')B)3 c (F—F')3. Свойства операций приведенного пересечения и вычитания. При изучении этих свойств мы ограничимся клас-
ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР 55 сом квадрируемых замкнутых областей. Предварительно сдела- ем одно замечание. Рассмотрим соответствие, относящее каждому квадрируемому множеству М замкнутую область [Af] = (AfB)3. Как показывают формулы (25) и (26), обозначение [Af] согласуется с ранее введенными обозначениями [/-Т7'] и [Z7—F'\. Оказывается, что [Af] лишь на нуль-множество отличается от М (т. е. раз- ности М—[47] и [Af]—М являются нуль-множествами) и что[Л7] — единственная замкнутая область, обладающая этим свойством. Для доказательства заметим, что оба множества М и [Af] содер- жат AfB и содержатся в Af3. Следовательно, обе разности М—[Af] и [Af] — Af содержатся в Af3—AfB = Afr и потому являются нуль- множествами. Если бы существовали две замкнутые области F и F', отличающиеся от Af лишь нуль-множествами, то они отличались бы лишь нуль-множествами и друг от друга, т. е. разности F—F' и F' — F были бы нуль-множествами. Внутренние части этих раз- ностей были бы тогда пусты, а с ними, в силу формулы (26), были бы пусты и сами разности. Так как [Af] отличается от Af только нуль-множеством, то [Af]—- квадрируемая фигура. В частности, приведенные пересечения и при- веденные разности квадрируемых замкнутых областей являются квадрируемыми замкнутыми областями. Операции приведенного пересечения и приведенного вычитания квадрируемых замкнутых областей обладают всеми алгебраиче- скими свойствами обычного пересечения и обычного вычитания множеств. Например: [[^2] = 1Л [Л-Л,] = (Л - [(Л ± д2) F3] = [Д^з] ± [Т^з], [У7^] + F3 = [(Fj + F 3) (F2 + F3)]; см. также формулу (9) в п. 2.5. Доказательство. Достаточно доказать, что при отобра- жении Af—> [Af] сумме, пересечению и разности двух квадрируе- мых множеств отвечают сумма, приведенное пересечение и приве- денная разность их образов, т. е. что для любых двух квадри- руемых множеств Af и N [Af + /V] = [Af] + [AZ], [AfAf] = [[Af] [TV]], [Af-/V] = [[Af]-[ZV]]. Так как [Af] и [/V] лишь нуль-множествами отличаются от Af и N, то правые части этих формул лишь нуль-множествами отли- чаются от Af-L/V, MN и M—N. А так как эти правые части яв- ляются замкнутыми областями, то они совпадают с [Af-J-TV], [AW] и [Af—Л7]. Строгая монотонность площади. На классе квадри- руемых замкнутых областей площадь строго Монотонна. В
56 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ частности, если квадрируемая замкнутая область F не пуста, то s(F)> 0. Докажем сначала второе утверждение. Так как F=(FB)3, то из непустоты множества F следует непустота множества Fv. Сле- довательно, s(F)>0 (см. пи. 4.3 и 5.6). Доказательство первого утверждения дословно совпадает теперь с соответствующим рас- суждением п. 3.6. Поскольку для всякого квадрируемого множества существует квадрируемая замкнутая область, отличающаяся от него лишь нуль-множеством, переход от класса всех квадрируемых фигур к классу квадрируемых замкнутых областей не является существен- ным сужением области определения площади. Существуют вопро- сы, в которых класс квадрируемых фигур предпочтительнее; тако- во положение в теории интегрирования, которая, впрочем, давно уже не удовлетворяется и классом всех квадрируемых множеств и продолжает площадь далеко за пределы этого класса. Однако с элементарно геометрической точки зрения класс квадрируемых замк- нутых областей является более естественной областью определе- ния площади, чем класс всех квадрируемых множеств. § 6. Другое построение теории площадей 6.1. Введение. Цель этого параграфа — познакомить читателя с построением теории площадей, основанным на естественном кон- структивном определении площади, которое было кратко описано в п. 1.5. Многоугольные фигуры не играют в этом построении специальной роли. Определение площади дается сразу для про- извольной квадрируемой фигуры, и одновременно определяется сам класс квадрируемых фигур. Свойства (а) —(6) доказываются как теоремы. В заключение устанавливается, что новое определе- ние эквивалентно аксиоматическому определению, данному в пре- дыдущих параграфах. Эта эквивалентность избавляет нас от необходимости вторично рассматривать все проблемы теории площадей. Заново строится лишь логический костяк теории. Таких вопросов, как вычисление площади, поведение площади при геометрических преобразова- ниях, квадрируемость классических фигур, построение неквадри- руемых множеств с теми или иными свойствами, полнота и строгая монотонность, мы вовсе не касаемся. То обстоятельство, что площадь определяется сразу для квад- рируемых фигур, делает теорию более компактной, и в этом со- стоит главное преимущество второго построения перед первым. Преимущества первого построения заключаются в его сравнитель- ной элементарности и в близости к историческому развитию тео- рии площадей и школьному преподаванию,
ДРУГОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ПЛОЩАДЕЙ 57 6.2. Площадь относительно сетки. В этом параграфе мы будем пользоваться прямоугольной декартовой системой координат х, у, оси которой направлены по двум соседним сторонам единичного квадрата Е. Точки квадрата Е характеризуются, таким образом, неравенствами OsgysCl. Пусть п— неотрицательное целое число. Рассмотрим горизон- тальные и вертикальные прямые, определяемые уравнениями (1) где k и I—всевозможные целые числа. Эти прямые образуют сет- ку, подобную той, которую мы видим на миллиметровой бумаге. Они разбивают плоскость на равные квадраты со стороной 10“", называемые квадратами ранга п. Чем больше п, тем гуще сетка и тем мельче квадраты. Пусть М—ограниченное множество, лежащее на плоскости. Обозначим через ап число квадратов ранга п, целиком входящих в множество М (под квадратом мы понимаем, как всегда, замкну- тый квадрат), и через ап — число квадратов ранга и, задетых множеством Л4, т. е. имеющих с М хотя бы одну общую точку (из ограниченности множества М следует, что тех и других квад- ратов конечное число). Положим: sn = а„ • 10-z", Sn = an-10-Zn. (2) Откуда взялись эти числа? Всякий, знакомый с понятием пло- щади, скажет, что 10-2” есть площадь одного квадрата ранга п и что поэтому sn есть площадь многоугольной фигуры Рп, со- ставленной из входящих квад- ратов ранга п, a s'n — площадь многоугольной фигуры Qn, со- ставленной из задетых квадра- тов ранга л (рис. 19). Мы, однако, еще только строим теорию пло- щадей и не можем пользовать- ся понятием площади. Числа (2) как раз и послужат нам для определения этого понятия. Установим, прежде всего, два основных свойства чисел (2). 1. Последовательность s0, slt ... возрастает, последовательность s', s', ... убывает. Действительно, всякий квадрат ранга п распадается на 102 квадратов ранга л-}-1. Если исходный квадрат — входящий, то и все полученные квадраты будут входящими; если хотя бы один из
58 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ полученных квадратов задет, то и исходный квадрат задет. Сле- довательно, а„+15*102ап, ап+1 102а„, и потому Sn + 1^ Sn+l^:Sn- (°) 2. При любых тип справедливо неравенство sm < s'n. (4) Так как всякий входящий квадрат задет, то и пото- му sns^sn. Таким образом, при т=п неравенство (4) справедли- во Если т < /г, то sm sn; если же т > п, то sm s'n. Неравенство (4) показывает, что каждый член последователь- ности s0, st, ... служит верхней гранью последовательности s0, si> •••> а каждый член последовательности s0, slf ... служит нижней гранью последовательности s0, slf ... Пусть s и s — точ- ные грани этих последовательностей; s = sups„, s = inf sn. Так как точная верхняя грань есть наименьшая из верхних граней то s^sn. Следовательно,s— нижняя грань последовательности s°, s' ... Но точная нижняя грань есть наибольшая из нижних гра- ней, и потому £ < S. (5) Добавим к этому, что вследствие монотонности последовательно- стей s0, Sj, . . и s0, s1; ... их точные грани служат их пределами: s = lims„, s = ltms^. и->00 П->00 ' 1 Если s = s, то М называется квадрируемым множеством или квадрируемой фигурой, а число s = s— площадью этой фигуры. Площадь квадрируемой фигуры М будет обозначаться через s(44). Вместо а„, а„, s„, s„, s, s мы будем писать иногда «„(44), а„(Л4), s„(44), s„(44), £(44), s(44). Для того, кто уже владеет понятием площади, неравенства (3) и (4) имеют простой геометрический смысл. Неравенство (4) представляет собой соотношение между площадями многоуголь- ных фигур Рт и Qn. Оно следует из соотношения PmczQn, спра- ведливого при любых тип. Подобным же образом неравенства (3) следуют из соотношений Рп+1гэРп, Q„+1cQ„. Так как P„c44cQ„, (7) то площадь квадрируемой фигуры 44 должна быть заключена между площадями s„ всех многоугольных фигур Рп и площадями sn всех
ДРУГОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ПЛОЩАДЕЙ 59 многоугольных фигур Qn. Определение площади, содержащееся в равенствах s (Al) = s (Al) = s(Al), означает, что площадь квадриру- емой фигуры есть единственное число, обладающее этим свойством. Пример. М—квадрат ранга т. Как нетрудно подсчитать, при п^т ап=102<"-'л), а'п= 1024 (10"-“ +1). Следовательно, уп= IO-2™, s'n = 10-2”1 4 (IO-”-™ + 10-2"), и потому lim у„= limsn = Ю-2™. Таким образом, квадрат ранга т является П->СС квадрируемой фигурой с площадью 10-2"1. В частности, единич- ный квадрат Е является квадрируемой фигурой с площадью 1. 6.3. Критерий квадрируемости. Определению квадрируемости можно придать другие формы, более близкие к определению п. 4.1. Прежде всего, согласно соотношению (6), lim(y„ — sn) = s— Следовательно, множество М квадрируемо в том и только в том случае, если lim (у„ — уп) = 0. (8) Точный смысл соотношения (8) состоит в том, что для всякого положительного е существует такое N, что при n^>N справед- ливо неравенство sn — sn<.£- Но последовательность у„ — уп убыва- ет, и потому это неравенство, будучи справедливо при некотором значении п, автоматически справедливо и при всяком большем значении п. Следовательно, множество М квадрируемо в том и только в том случае, если для всякого положительного е су- ществует такое п, что уп — у„<е. Множество А1 называется нуль-множеством, если у=0. Так как в этом случае и у=0 (см. неравенство (5)), то нуль-множества квадрируемы и имеют нулевую площадь. Обратно, квадрируемое множество нулевой площади есть, очевидно, нуль-множество. Сле- довательно, М в том и только в том случае есть нуль-множе- ство, если limy„ = 0; Al в том и только в том случае есть нуль- П->СС множество, если для всякого положительного е существует такое п, что sn < е. Критерием квадрируемости мы называем, как и в п. 4.5, сле- дующую теорему: Множество М квадрируемо в том и только в том случае, если оно ограничено и его граница МГ есть ну ль-множеств о. Доказательство. Предположим, что множество А1 огра- ничено и его граница Мг есть нуль-множество, и покажем, что
60 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ М— квадрируемая фигура. Для этого заметим, что если некото- рый квадрат ранга и задет множеством М, но не входит целиком в М, то он задет множеством Мг. Если бы это было не так, то он содержал бы по крайней мере одну точку, внутреннюю по от- ношению к А1, и по крайней мере одну точку, внешнюю по отно- шению к М, и отрезок, соединяющий эти точки, все-таки пересе- кал бы множество Мг (см. п 4.4) в некоторой точке квадрата. Следовательно, число квадратов ранга п, задетых множеством М, но не входящих в М, не превышает числа квадратов ранга п, задетых множеством А1Г, т. е. а„ (А1) — а„ (7И) < ап (A4r), s'n (М) — sn (Al) < s' (А4Г). Так как Мг — нуль-множество, то sn (А1Г) —> 0. Следовательно, sn (Al) — s„(Al)—>-0, и потому Al —квадрируемая фигура. Предположим теперь, что М— квадрируемая фигура, и пока- жем, что Мт есть пуль-множество. Для этого заметим, что если квадрат ранга п задет множеством А1г, то либо он сам, либо один из соседних с ним восьми квадратов задет множеством А1, но не входит в М. Если бы это было не так, то каждый из указанных девяти квадратов либо входил бы в А4, либо не имел бы с М общих точек; более того, так как наш квадрат имеет с соседними квадратами общие точки, то либо все девять квадратов входили бы в М, либо ни один из девяти не имел бы с А1 общих точек. Но каждая точка нашего квадрата может быть окружена кругом, целиком покрытым этими девятью квадратами и потому либо вхо- дящим в А1, либо не имеющим с А1 общих точек (например, кру- гом радиуса 10-п). Следовательно, все точки нашего квадрата были бы либо внутренними, либо внешними по отношению к А4 и наш квадрат не был бы задет множеством А1г. Так как число квадратов ранга п, задетых множеством А1, но не входящих в А1, равно ап (А1) — а„(А1), то общее число этих квадратов и всех соседних с ними квадратов не превышает 9(а„(А1)— а„(А1)). Согласно только что доказанному, среди них находятся все квадраты ранга и, задетые множеством А1г. Следо- вательно, ап (А4Г) sg 9 [а' (А1) — а„ (Al)], s'n (А1г) < 9 [s„ (Al) — s„ (Al)]. Так как множество Al квадрируемо, то s„(Al)— s„(Al)—>-0. Следо- вательно, sn (Alr)—> 0, и потому Мг есть нуль-множество. 6.4. Операции над квадрируемыми фигурами. Часть нуль- множества есть нуль-множество. Сумма конечного числа нуль- множеств есть нуль-множество. Множество, равное нуль-мно- жеству, есть нуль-множество.
ДРУГОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ПЛОЩАДЕЙ 61 Справедливость первого утверждения очевидна. Докажем спра- ведливость второго. Достаточно рассмотреть случай двух множеств. Пусть М и А/—нуль-множества. Так как каждый квадрат ранга /г, задетый множеством М-\-N, задет по крайней мере одним из мно- жеств М, N, то an(M^-N^an(M)+an(N), sn (M+N)^s’n(M)+s'n (N). Так как Л4 и А/—нуль-множества, то sn(M)—>-Ons„(zV)—>-0. Сле- довательно, s„(Af-|-A/)—>• 0, и потому Af-J-AZ есть нуль-множество. Пусть теперь М— нуль-множество, AZ—равное ему множество. Покажем, что есть нуль-множество. Движение, переводящее множество М в N, переводит квадраты ранга п, задетые мно- жеством 7И, в какие-то квадраты, покрывающие множество N. Каж- дый из этих новых квадратов задевает не более девяти квадратов нашей сетки. Действительно, расстояние от любой его точки до его центра меньше 10-", вследствие чего он может иметь общие точки только с квадратом сетки, содержащим его центр, и с восе- мью соседними квадратами сетки. Так как число новых квадратов равно ап (/И), то общее число квадратов сетки, задетых новыми квадратами, не превышает 9а„(Л1). Следовательно, и число квадра- тов сетки, задетых множеством N, не превышает 9ал(ЛД, т. е. а„ (AZ) 9а„ (ZVf), sn (IV) 9sn (7И). Так как/И — нуль-множество, то sn(7H)—»-0. Следовательно, sn (AZ)—>0, и потому AZ есть нуль- множество. Сумма и пересечение конечного числа квадрируемых фигур являются квадрируемыми фигурами. Разность двух квадриру- емых фигур есть квадрируемая фигура. Множество, равное квадрируемой фигуре, есть квадрируемая фигура. Теорему о сумме и пересечении достаточно доказать для слу- чая двух фигур. Пусть М и AZ—квадрируемые фигуры. Покажем, что фигуры Af-|-AZ, MN и М—N квадрируемы. Согласно нашему критерию квадрируемости, мы должны доказать, что если МТ и Nr — нуль-множества, то (7W-(-AZ)r, (MAZ)r и (М— АДГ—также нуль- множества. Но это сразу следует из соотношений (44-|-W)rczAfr-|-Nr, (MN)rcJWr-|-Wr, (Af-W)rcAfr + AZr (см. п. 2.1) и только что установленных свойств нуль-множеств. Пусть, наконец, М — квадрируемая фигура и AZ—равное ей множество. Из квадрируемости фигуры М следует, что Л1г есть нуль-множество. Следовательно, и равное ему множество N есть нуль-множество, и потому AZ— квадрируемая фигура. 6.5. Основные свойства площади, (а) Площадь квадрируемой фигуры есть неотрицательное число, (0) Площадь суммы конеч-
62 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ ного числа квадрируемых фигур, попарно не имеющих общих внутренних точек, равна сумме площадей этих фигур. (у) Равные квадрируемые фигуры имеют равные площади. (6) Пло- щадь единичного квадрата равна 1. Предложение (а) очевидно. Предложение (6) было доказано в п. 6.2. Докажем предложение (0). Пусть Мг, ..., Мр— квадри- руемые множества, попарно не имеющие общих внутренних точек. Никакой квадрат ранга п не может входить сразу в два множества Mt и Mj (иначе центр квадрата был бы общей внутренней точкой этих множеств), и всякий квадрат ранга п, входящий в одно из множеств М}, ..., Мр, входит в их сумму. Следовательно, (MJ +...+«„ (Мр) < а„ (Мд + ... + Мр). (9) Если квадрат ранга п задет множеством М± + .. . -)-Мр, то он задет по крайней мере одним из множеств М1г ..., Мр. Следовательно, ап (Мд) + ... + а„ (Мр)^ап (УИд + •.. -j-Mp). (10) После умножения на 10-2" неравенства (9) и (10) дают: р р р р 2 s„ < s„ (2 м(.) < s; (2 м,.) < 2 sn (м^. I = 1 i = l i = 1 i - 1 При n —► oo крайние члены последнего неравенства имеют предел, равный (Л4д)+ • • • + $ (Мр), а средние члены—предел, равный (МдЦ- ... +Мр). Следовательно, $(Мд+ . .. +Mf) = (Мд) + . .. 4-$(Мр). Наиболее глубоким является предложение (у). Его полное дока- зательство мы отложим до п. 6.7. Здесь мы установим лишь сле- дующий частный случай этого предложения: (у') Квадрируемые фигуры, получающиеся друг из друга па- раллельным переносом, имеют равные площади. Пусть М, W—эти фигуры и g, 1] — координаты вектора пере- носа, переводящего фигуру М в К. Возьмем произвольное нату- ральное число п, заменим £ и т] конечными десятичными дробями и т)', содержащими п знаков после запятой и отличающимися от и 1] меньше чем на 10_", и разложим наш перенос на два переноса: перенос I, производимый вектором с координатами т]', и перёнос II, производимый вектором с координатами £ — 1]—Т)'. Перенос I переводит фигуру М в некоторую квадрируе- мую фигуру К', перенос II переводит фигуру К' в К. Так как |g — g'|<10-", |т) — то при переносе II всякий квад- рат ранга п переходит в квадрат, имеющий со своим исходным положением общие точки. Следовательно, всякий квадрат ранга п, содержащийся целиком в множестве К, задет множеством К'. Так как число квадратов ранга п, входящих в К, но не вхо-
ДРУГОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ПЛОЩАДЕЙ 63 дящйх в АГ, рдвно ctn(Af)— tzn (AW'), а число квадратов, задетых множеством N', но не входящих в ЛС, равно ап(П')—ап(П'), то отсюда следует, что an(N)-an(NN')^an(N')-an(N'). (11) Подобным же образом an(N’)-an(NN')^an(N)-an(N). (12) Абсолютная величина разности левых частей неравенств (11) и (12) не превосходит суммы левых, а потому и суммы правых ча- стей этих неравенств. Следовательно, I ап (N) - ап (N’) | < (N') - ап (N')] + 0V) - а„(ЛГ)]. (13) Так как числа g', т}' имеют вид £' = /-10~", т]'=/Ю_“, где /, j—целые числа, то сдвиг I переводит прямые вида (1) друг в друга, не меняя образованной ими сети. Следовательно, ап(ДГ') = = ая(А1), ая (А^') = ccn (Af). Вставляя эти значения в неравенство (13) и умножая обе его части на 10-2", получим: |s„(Af)— sn (А1)| гС sg: [sn(Af) — s„ (Al)] + (N)—sn (AT)]. При n —»- oo левая часть послед- него неравенства имеет предел |s(AT)—s(Al)|, правая часть — предел 0. Следовательно, ] .s (7V)—s(Af)| = 0 и s(W) = s(M). Площадь обладает свойством монотонности', если множества М и N квадрируемы и ПаМ, то s (Л/) sgs (Af) Это сразу следует из очевидного неравенства ап (Af) ап (А1) и определения площади. Важно, однако, подчеркнуть, что моно- тонность площади является следствием свойств (а) и (0). Дейст- вительно, положим N' = M — N. Это — квадрируемая фигура, не имеющая общих точек с N, и Af = Af-|-Af'. Следовательно, s (М) = s (N) + s (1Ф) ^s(N). 6.6. Теорема единственности. Площадь — единственная функ- ция, определенная на классе квадрируемых фигур и обладаю- щая свойствами (а), (0), (у), (б). Мы докажем более сильное утверждение: Площадь — единственная функция, определенная на классе квадрируемых фигур и обладающая свойствами (а), (0), (у'), (6). Пусть о —другая такая функция. Единичный квадрат Е распада- ется на 102" квадратов ранга п, которые квадрируемы (см. п. 6.2), попарно не имеют общих внутренних точек и получаются друг из друга параллельными сдвигами. Обозначая эти квадраты через £п ..., £i0*n, мы можем написать на основании свойств (0), (у'), (6): 10,п 2 О (El) = о (£), О (£х) = a (£2) ~ ... = о (Ею»), о (£) = 1. i=i Из этих соотношений следует: 102"о (£J == 1, о (Е±) — 10~2".
64 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ Пусть теперь М— произвольная квадрируемая фигура и Рп, Qn — многоугольные фигуры, определенные в п. 6.2. Так как квад- раты ранга п квадрируемы, то Рп и Qn также квадрируемы (п. 6.4) и, согласно свойствам (₽) и (Y')> о (Рп) = ап 10-2" = sn (Af), о (Q„) = ап- 10“ 2,1 = sn (М). В силу монотонности функции о (которая является следствием свойств (а) и (Р), (см. п. 6.5) н соотношения (7), мы имеем:’ в„(АГ) = о (Pn)^o(M}^o(Qn) = sn(M). При л—>оо крайние члены этого неравенства имеют общий предел s(AI). Следовательно, o(Af) = s(Af). 6.7. Инвариантность площади. Докажем, что площадь обладает свойством (у). Параллельные переносы были рассмотрены в п. 6.5. Остается рассмотреть повороты вокруг начала координат. Пусть U—такой поворот. Мы должны доказать, что для всякой квадрируемой фигуры М справедливо соотношение s(£ZAl) = s(Al). Рассмотрим на классе квадрируемых фигур функцию o(Af) _s(UM) ~ s(UE) ’ (14) Если бы квадрат UE был нуль-множеством, то равный ему квад- рат Е тоже был бы нуль-множеством (см. п. 6.4), тогда как s(E)= 1. Следовательно, s{UE}=pO и формула (14) имеет смысл. Непосред- ственная проверка показывает, что функция о обладает свойствами (а), (Р), (у'), (6). Согласно теореме единственности (п. 6.6), отсюда следует, что o = s, т. е. что s(UM) = s(UE)s(M). Таким образом, в результате поворота U площади всех квад- рируемых фигур умножаются на одно и то же число q — s(UE). В результате п раз повторенного поворота U они умножатся, следовательно, на qn. В частности, единичный квадрат Е перейдет в квадрат с площадью qn. Если 1, то эта площадь неограни- ченно возрастает вместе с п, тогда как единичный квадрат, сколько бы он ни вращался вокруг начала координат, остается частью квадрата | х [ 2, площадь которого равна 16. Следовательно, предположение (?>1 отпадает. Если </<1, то q~l^> 1, и мы приходим к тому же противоречию, заменяя пово- рот U обратным поворотом. Следовательно, q—\ и s(UM] = в(Af). 6.8. Эквивалентность двух определений площади. Класс квад- рируемых фигур, определенный в этом параграфе, совпадает с классом квадрируемых фигур, определенным в § 4. Площадь, определенная в этом параграфе, совпадает с площадью, опреде- ленной в § 5. В силу теоремы единственности, достаточно доказать первое из этих утверждений.
ОБЪЕМ 65 Покажем сначала, что всякая многоугольная фигура квадрируе- ма в смысле п. 6.2 п что на классе многоугольных фигур площадь, определенная в п. 6.2, совпадает с площадью, определенной в § 3. Очевидно, что всякий отрезок, лежащий на оси абсцисс, есть нуль-множество в смысле п. 6.3. Согласно п. 6.4, отсюда следует, что всякий вообще отрезок является нуль-множеством. Но граница многоугольной фигуры состоит из конечного числа отрезков. Сле- довательно (см. п. 6.4), граница многоугольной фигуры есть нуль- множество, и потому (п. 6.3)всякая многоугольная фигура квадри- руема в смысле п. 6.2. Совпадение наших площадей на классе многоугольных фигур следует из теоремы единственности (п. 3.7). Покажем теперь, что класс нуль-множеств, определенный в п. 6.3, совпадает с классом нуль-множеств, определенным в п. 4.3. Если /И — нуль-множество в смысле п. 6.3 и £ — положительное число, то существует такое /г, что /(Af)<e. Рассмотрим много угольную фигуру Qn, определенную в п. 6.2. Мы имеем: Л1 a Qn, s (Qn) —s'n (Л7) < е. Следовательно, М есть нуль-множество в смысле п. 4.3. Обратно, если М— нуль-множество в смысле п. 4.3 и е — положительное число, то существует такая многоугольная фигура R, что /И cz R и s(R)<L-^. Так как фигура R квадрируема в смысле п. 6.2, то существует такое п, что s'n(R) — s(R)<Z~. Из этих неравенств следует, что (R)<Z е. Так как М с: R, то и s^(A1)<;e. Следовательно, М есть нуль-множество в смысле п. 6.3. Согласно критерию квадрируемости, изложенному в п. 6.3, класс квадрируемых фигур, определенный в п. 6.2, совпадает с классом квадрируемых фйгур, определенным в п. 4.1. § 7. Объем 7.1. Введение. Теория объемов строится в основном так же, как теория площадей. Сначала объем аксиоматически определяется и изучается на классе многогранных тел, затем вводится класс кубируемых тел и, наконец, объем аксиоматически определяется и изучается на классе кубируемых тел. Аксиомы — такие же, как на плоскости. Имеется и второе построение теории, основанное на конструктивном определении объема. Не только общий план, но и многие детали изложения повто- ряют теорию площадей. Это позволяет произвести значительные сокращения. Там, где повторение является дословным или почти дословным, мы ограничиваемся перечислением основных фактов. Менее очевидные изменения и новые факты излагаются подробно. С наиболее существенным отличием теории объемов многогран- ных тел от теории площадей многоугольных фигур мы встречаемся 3 3 Энциклопедия, кн. 5
66 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЬМ тогда, когда приступаем к вычислению объема тетраэдра. Напом- ним, что при вычислении площади на классе многоугольных фигур нам только один раз, а именно при вычислении площади прямо- угольника, приходится пользоваться оценками, т. е. аксиомой (а). Все дальнейшие вычисления основываются уже только на формуле для площади прямоугольника и аксиомах (0) и (у). При вычислении объема на классе многогранных тел оценками и, значит, аксиомой (а) приходится пользоваться дважды: при вычислении объема прямоугольного параллелепипеда и при вычислении объема тетра- эдра. Тот факт, что объем тетраэдра не удается вычислить без новых оценок, делает всю теорию существенно менее элементар- ной и по этой причине давно привлекал внимание математиков. После многочисленных исследований выяснилось, что получить формулу для объема тетраэдра из формулы для объема прямо- угольного параллелепипеда с помощью одних только аксиом (0) и (у) принципиально невозможно. Более того, на классе многогран- ных тел существует бесчисленное множество функций со свой- ствами (0) и (у), совпадающих с объемом на классе прямоуголь- ных параллелепипедов. К сожалению, доказательство этой теоремы не просто и не может быть здесь изложено. Более элементарное классическое объяснение того, что объем тетраэдра не удается вычислить такими же простыми средствами, как площадь треугольника, связано с понятием равносоставлен- ности. Две фигуры называются равновеликими, если они имеют одну и ту же площадь, и равносоставленными, если их можно разбить на конечное число попарно равных треугольников. Два тела называются равновеликими, если они имеют один и тот же объем, и равносоставленными, если их можно разбить на конечное число попарно равных тетраэдров. В силу аксиом (0) и (у) из равносоставленности следует равновеликость, и сравнительно не- трудно доказать, что равновеликие многоугольные фигуры равно- составлены. Оказывается, однако, что уже правильный тетраэдр не равносоставлен пи с каким прямоугольным параллелепипедом *). Конечно, это объяснение далеко не исчерпывает вопроса. За пределами класса многогранных тел мы занимаемся пробле- мой вычисления объема только в самых простых частных случаях (цилиндры, конусы, тела вращения). Более полное рассмотрение этой проблемы потребовало бы привлечения кратных интегралов. 7.2. Класс многогранных тел (ср. § 2). Внутренние, внешние и граничные точки определяются в пространстве так же, как на пло- скости, только слово "круг» заменяется словом «шар». Поэтому для *) Доказательства вместе с подробным рассмотрением этого круга во- просов читатель найдет в статье «Равносоставленность многоугольников и многогранников» в этой книге ЭЭМ. (Прим, ред.)
ОБЪЕМ 67 пространства справедливо все, что было сказано в пн 2.1 и 2.2 о внутренней части, границе и замыкании множества, об откры- тых и замкнутых множествах и замкнутых областях. Мно- жество называется ограниченным, если его можно заключить в шар. Выпуклым многогранником называется пересечение конечного числа полупространств при условии, что это пересечение ограни- чено и не лежит в одной плоскости. Пересечение выпуклого многогранника с полупространством или другим выпуклым много- гранником есть либо выпуклый многогранник, либо выпуклый мно- гоугольник, либо отрезок, либо точка, либо пустое множество. Простейшими выпуклыми многогранниками являются тетраэдры. Пусть А, В, С, D — четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Обозначим через Пл, Пв, Пс, 11 д полупространства с граничными плоскостями BCD, CDA, DAB, АВС, содержащие соответственно точки А, В, С, D. Тетраэдр с вершинами А, В, С, D может быть определен как пересечение полупространств Пл, Пд, Пс, Пд. Это — ограничен- ная замкнутая область, граница которой состоит из треугольников BCD, CDA, DAB, ABC. Многогранным телом называется множество точек пространства, которое можно разложить на конечное число тетраэдров без общих внутренних точек. Всякий выпуклый многогранник является много- гранным телом. Всякое многогранное тело является ограниченной замкнутой областью. Разложение многогранного тела на тетраэдры без общих внут- ренних точек кратко называется разбиением. Разбиение называется правильным, если пересечение любых двух его тетраэдров есть либо их общая грань, либо их общее ребро, либо их общая вершина, либо пустое множест- во (рис. 20). При правильном разбиении треугольники, служа- щие гранями тетраэдров разбие- ния, могут быть двух типов. Треугольник первого типа слу- жит гранью только одного те- траэдра разбиения. Треугольник второго типа лежит (возможно, за исключением своих сторон) Рис. 20. Неправильное разбиение и его правильное измельчение. во внутренней части многогран- ного тела. Одно разбиение многогранного тела называется измельчением другого, если всякий тетраэдр первого разбиения содержится в некотором тетраэдре второго разбиения (см. рис. 20). Всякие 3*
68 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ два разбиения многогранного тела обладают общим измельчением, и всякое разбиение многогранного тела обладает правильным из- мельчением. Сумма двух многогранных тел всегда есть многогранное тело, но пересечение и разность двух многогранных тел могут не быть многогранными телами. Формулы [LV] = ((£7У)В)3, [L7—У] = (£/—У)3 определяют приведенное пересечение и приведенную разность многогранных тел U и V, всегда являющиеся многогранными те- лами. Как и на плоскости (п. 5.10), эти операции переносятся на произвольные замкнутые области. 7.3. Определение объема на классе многогранных тел (ср. пп. 3.1 и 3.2). Объемом на классе многогранных тел называется функ- ция, определенная на этом классе и обладающая следующими четырьмя свойствами: (а) Положительность: объем тела есть неотрицательное число. (0) А д д и т и в н о с т ь: объем тела, составленного из нескольких тел без общих внутренних точек, равен сумме объемов этих тел. (у) Инвариантность: равные тела имеют равные объемы. (6) Нормированность: объем единичного куба (т. е. куба, построенного на единичном отрезке) равен 1. Объем будем обозначать буквой V. Простейшие следствия аксиом. Из аксиом (а) и (Р) следует монотонность объема: если многогранное тело V является частью многогранного тела U, то v (V) v (L7). Из аксиомы (Р) следует, что г>(С7Ц-И) = 'и(6г)4-17(И) — t>([t7V]) для любых двух многогранных тел U и V. Из аксиом (а) и (Р) следует, что для любых многогранных тел Ult ..., Un ^(иг+ ... + Un) < v (UJ + ... ...+^(ЦЛ 7.4. Вычисление объема на классе многогранных тел (ср. пп. 3.3—3.6). Призмы. Пусть Р — многоугольная фигура и h—поло- жительное число. Проведем через все точки фигуры Р прямые, пер- пендикулярные к ее плоскости, и рассмотрим отрезки этих прямых Рис. 21. между этой плоскостью и парал- лельной ей плоскостью, прохо- дящей от нее на расстоянии h (рис. 21, а). Множество всех точек всех этих отрезков называется прямой призмой с основа- нием Р и высотой h. Если вместо прямых, перпендикулярных к плоскости фигуры Р, взять параллельные между собой прямые, образующие с этой плоскостью положительный угол, меньший
ОБЪЕМ 69 прямого, то получится наклонная призма с основанием Р и вы- сотой h (рис. 21,6). Отрезки, из которых, согласно этому опре- делению, состоит призма, называются ее образующими. Призма, основанием которой служит выпуклый многоугольник, например треугольник, является выпуклым многогранником и, следовательно, многогранным телом. В общем случае разбиение фигуры Р на треугольники приводит к разбиению призмы с основанием Р на выпуклые многогранники и затем на тетраэдры. Следовательно, призма есть многогранное тело. Прямая призма, основанием ко- торой служит прямоугольник, есть прямоугольный параллеле- пипед. Объем призмы равен произ- ведению площади основания на а) Рис. 22. высоту. Доказательство распадается на четыре части. Прежде всего доказывается, что объем прямоугольного парал- лелепипеда равен произведению трех ребер, выходящих из одной вершины. Доказательство вполне аналогично рассуждениям п. 3.3. Второй шаг — доказательство теоремы для прямой призмы, основанием которой служит тре- 6) угольник или трапеция. Если один из углов основания является прямым, то основание можно допол- нить равной ему фигурой до прямоугольника (ср. п. 3.4) и, значит, призму можно дополнить равной ей призмой до прямоугольного параллелепипеда (рис. 22, а). Объем призмы равен половине объема параллелепипеда (аксиомы (0) и (у)), площадь основания призмы равна половине площади основания параллелепипеда и высота призмы равна высоте параллелепипеда. Следовательно, из спра- ведливости теоремы для параллелепипеда следует ее справед- ливость для призмы. Если у основания нет прямого угла, то оно может быть дополнено трапецией с прямым углом до боль- шей трапеции с прямым углом (ср п. 3.4) и, значит, призма может быть дополнена призмой только что рассмотренного вида до большей призмы того же вида (рис. 22, б). Объем нашей призмы равен разности объемов построенных призм (аксиома (0)), площадь основания нашей призмы равна разности площадей осно- ваний построенных призм, и все три призмы имеют одну и ту же
70 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ высоту. Следовательно, объем нашей призмы равен произведению площади основания на высоту. Третий шаг состоит в очевидном распространении теоремы с прямых треугольных призм на произвольные прямые призмы. Он опирается только на аксиому (Р). Последний шаг — перенесение теоремы с прямых призм на наклонные. Продолжим образующие призмы в одну сторону и пере- сечем двумя плоскостями, перпендикулярными к образующим и расположенными друг от друга на рас- стоянии, равном длине образующих (рис. 23). Мы получим прямую призму, отделенную от наклонной призмы неко- торым многогранным телом. Если при- соединить это тело сначала к прямей призме, а затем к наклонной, то Рис. 23. получатся равные многогранные тела. Следовательно (аксиомы (р) и (у)), объем наклонной призмы равен объему прямой призмы, т. е. произведению площади ее основания на ее высоту. Но, со- гласно п. 3.9, площадь основания прямой призмы равна площади основания наклонной призмы, умноженной на косинус угла между плоскостями этих оснований, высота же прямой призмы равна высоте наклонной призмы, деленной на косинус того же угла. Следовательно, объем наклонной призмы равен произведению пло- щади ее основания на ее высоту. Пирамиды. Пусть Р — многоугольная фигура и А— точка, не лежащая в ее плоскости. Соединим все точки фигуры Р отрез- ками с точкой А (рис. 24) и рассмотрим множество всех точек всех этих отрезков. Это множество называется пирамидой, с осно-
ОБЪЕМ 71 ванием Р и вершиной А. Пирамида, основанием которой служит треугольник, есть тетраэдр. В общем случае разбиение фигуры Р на треугольники приводит к разбиению пирамиды с основанием Р па тетраэдры. Следовательно, пирамида есть многогранное тело. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Для доказательства нам потребуется следующая арифметиче- ская лемма: при всяком натуральном п 12 + 22+... + (л—1)2<л3/3, 12 + 22+ . . . + л2>л3/3. Доказательство леммы. При л= 1 неравенства очевидны. При переходе от л к л+1 первая сумма возрастает на л2, вто- рая— на (л-|-1)2, а л3/3 возрастает на (п + 1)3 3 П3 2 .1 3=Л2+ л+з , что больше л2, но меньше (л+1)2. Следовательно, неравенства верны при любом л. Доказательство теоремы. В силу аксиомы (0) достаточно рас- смотреть случай тетраэдра. Пусть Т — тетраэдр, Р — его основание и А —высота. Разделим одно из боко- вых ребер тетраэдра на л равных частей, проведем через точки деления плоскости, параллельные плоскости основания (рис. 25), и обозначим тре- угольники, получившиеся в сечениях, через Plt .. . , Рп_х, считая от вер- шины к основанию. К ним мы при- соединим еще треугольник Рп= Р. Ясно, что каждый из треугольников Рис. 25. Р,, ..., Р„ подобен треугольнику Р и что для Pk коэффициент подобия равен —. Следовательно, h 2 s(P,) = s(P)£-g. Построим для каждого k—\, . .., л две призмы с основанием Pft, высотой и образующими, параллельными взятому ребру тетраэдра. Призму, лежащую по ту же сторону от своего осно- вания Pft, что и вершина тетраэдра, обозначим через Vk, вторую призму — через Uk. Согласно предыдущей теореме, h Z'2 vVk) = vyk) = s(Pk^=s[P)h-3.
72 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ Рассмотрим многогранные тела U= U1-\-.. .-}-Un_1, v=^-vx + ... + vn. Ясно, что UclTclV. Следовательно, v(U)^v(T)^v(V). (1) С другой стороны, в силу аксиомы (р), п —1 п —1 и—1 ^) = 1>(Ц) = £ s(P)ftg = s(P)^l£ fe2> *=1 fe=l k=l п п п v(V) = £v(Vft)^£ s(P)ftg=S(P)ftl£^, k=i fr=i k=i и потому, согласно лемме, v(U)^±s(P)h^v(V). (2) О Наконец, v(V)-v(U) = ±s(P)h. (3) Из (1), (2) и (3) следует: 1т*(7') — ^-s(P)h s (Р)h. Так как I I м п произвольно, ТО ,U(T) = 4-S(P)ft. о Объем произвольного многогранного тела. Объем многогранного тела Т, разбитого на тетраэдры 1\, ..., Тп без общих внутренних точек, дается формулой. п v(T)=±Xs(Pi)hi’ (4) £ = 1 где Pi — основание тетраэдра Tt и hi — его высота. Это вытекает из предыдущей теоремы и аксиомы (р). Следствие: строгая монотонность объема. Если многогранное тело V есть часть многогранного тела U, отлич- ная от U, то v (V) <Zv (U). В частности, пустое множество есть единственное многогранное тело, объем которого равен нулю. Второе утверждение является прямым следствием формулы (4), доказательство первого повторяет рассуждение п. 3.6. 7.5. Существование и единственность объема на классе много- гранных тел (ср. п. 3.7). На классе многогранных тел существует одна и только одна функция со свойствами (а) — (6). Доказательство единственности дословно повторяет п. 3.7 с заменой формулы (6) п. 3.5 только что доказанной формулой (4). Доказательство существования также повторяет п, 3.7, но с некото- рыми усложнениями.
ОБЪЕМ 73 Лемма 1 теперь утверждает, что произведение площади грани тетраэдра на соответствующую высоту одинаково для всех четырех граней. Для доказательства опустим из вершин А и D тетраэдра ABCD перпендикуляры АА' и DD’ на плоскости BCD и АВС и пер- пендикуляры АА" и DD" на прямую ВС (рис. 26). Нужно проверить, что 1р(В, С)рИ, Д")Р(О, о')= = |р(В, С) р(О, Я')РИ, А'), т. е. что р(Д, Д"):р(Д, Д') = Р(О, D"):p(D, D'), а это следует из подобия треугольни ков А А’А" и DD'D". Символы (АВС) и (ДВ|С), введенные в п. 3.7, теперь заменяются символами (ABCD) и (ДВС|О), которые определя- ются следующми образом. Предположим, что в пространстве фиксирована некото- рая точка О. Если точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости, то (ABCD) обозначает одну треть произведения пло- щади треугольника АВС на длину пер- Рис 26. пендикуляра, опущенного из точки D на плоскость АВС. Если точки А, В, С, D лежат в одной плоскости, то (ЛВСО) = 0, а символ (ДВС|£)) не определен. Если точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости и точки D и О лежат по одну сторону от плоскости АВС, то (ABC\D) — (ABCO). Если точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости и точки D и О не лежат по одну сторону от плоскости АВС, то (ДВС|О) =—(АВСО). Лемма 2 теперь утверждает, что для всякого тетраэдра ABCD, не содержащего точки О, (ABCD) = (BCD | А) + (CDA | В) + (DAB | С) -ф (ABC | D). (5) Для доказательства рассмотрим полупространства Пл, Пв, Пс, Пп, определенные в п. 7.2. Плоскости граней тетраэдра делят про- странство на 16 частей: ПдПвПсПд, ПдПвПс (доп. Пд), ... ...,(доп. Пл)(доп. Пв)(доп. Пс)(доп. По), первая из которых есть тетраэдр ABCD, а последняя пуста. Остальные 14 пересечений распадаются на три группы однотипных пересечений: пересечения трех полупространств с дополнением
74 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ к четвертому, пересечения двух полупространств с дополнениями к двум другим и пересечения одного полупространства с дополне- ниями к трем другим. Таким образом, достаточно рассмотреть три случая: О£ПдПвПс (доп Пл), О£ПЛПВ (доп. Пс) (доп. По) и Og (доп. Пд)(доп. Пв)(доп. Пс) По (рис. 27). В первом и третьем случаях прямая 0D пересекает грань АВС во внутренней точке D', во втором случае плоскость OCD пересекает ребро АВ во внутрен- ней точке Е. В каждом из трех случаев вся конфигурация рас- падается на шесть частичных тетраэдров, и каждый из пяти Рис. 27. символов, входящих в формулу (5), оказывается комбинацией символов, относящихся к этим частичным тетраэдрам. В первом случае (ABCD) = (ABD’D) 4- (BCD'D) + (CAD'D), (BCD | A) = (BCDO) = (BCD'D) + (BCD'O), (CDA | B) = (CDAO) = (CAD'D) + (CAD'O), (DAB\C) = (DABO) = (ABD’D) + (ABD'O), (ABC\D) = — (ABCO) — — (ABD'O) — (BCD'O) — (CAD'O), откуда и следует (5). Аналогично проводятся вычисления во втором и третьем случаях. Лемма 3 теперь утверждает, что при всех разбиениях много- гранного тела на тетраэдры сумма символов (ABCD), отнесенных к этим тетраэдрам, принимает одно и то же значение. Доказатель- ство опирается на существование у двух разбиений многогранного тела общего правильного измельчения и проводится так же, как доказательство леммы 3 в п. 3.7,
ОБЪЕМ 75 В силу леммы 3, указанная сумма символов (ABCD) является функцией, определенной на классе многогранных тел. Очевидно, что она обладает свойствами (а) — (б). 7.6. Поведение объема многогранного тела при геометрических преобразованиях (ср. пн. 3.8 и 3.10). Преобразование подобия. Преобразование подобия переводит многогранное тело в многогранное тело. Если Т' — образ многогранного тела Т при преобразовании подобия с коэффициентом X, то v (Т') = (Т). Доказательство—такое же, как в п. 3.8. Аффинные преобразования. Афф тное преобразование переводит многогранное тело в Многогранное тело. Если Т' — образ многогранного тела Т при аффинном преобразовании с определителем то v (Т') = г>(Т)-| А |. Как и в п. 3.10, доказательство опирается на две леммы. Лемма 1 утверждает, что если аффинное преобразование с определителем А переводит точки (•*-!> У11 Zl)> (-^2> У2’ (-*“3> Уз-1 23), Ул> Zi) (®) в точки (л'1, У1, zi), (л-2, у2, z'2), (х3, у'з, z’3), (х4, у4, z4), то X 2 — Xj Уз —У1 zi — z'i Х2 Х1 У2 -Ус Z2 “ *1 Хз — Л-1 Уз -У1 zs — Z1 = хз- Х1 Уз —Ул Z3 — А х4 — -^1 Ул —У1 г4 —21 ХЛ~ Х1 Ул —Ул 24 — zx утверждает, что если Лемма 2 (6), то Т—тетраэдр с вершинами •у(7') = абс. вел. 4- о Х2--Х1 х4 х4 х. У 2— У1 Уз~Ул Ул ~Ул Z2~Z1 z3—zi zi~ zi Как и в п.3.10, лемма 1 доказывается прямым вычислением, а лемма 2— с помощью специального выбора координатной системы (ось абсцисс параллельна прямой, проходящей через две первые вер- шины тетраэдра, а плоскость х, у параллельна плоскости, прохо- дящей через три первые вершины тетраэдра). 7.7. Класс кубируемых тел (ср. § 4). Множество М, лежащее в пространстве, называется кубируемым множеством или куби- руемым телом, если для всякого положительного е существуют такие многогранные тела U и V, что UezMczV, f(V)—®(67)<;е. Всякое многогранное тело кубируемо. Нульмножества. Если для всякого положительного е суще- ствует такое многогранное тело Т, что /Ис 7", v(T)<Z е, то М называется нуль-множеством.
ЙЛОЩАДЙ И ОБЪЕМ 16 Всякое ну ль-множество кубируемо. Кубируемое тело в том и только в том случае есть ну ль-множество, если оно не содер- жит внутренних точек. Сумма конечного числа нуль-множеств есть ну ль-множество. Часть нуль-множества есть нуль-множество. Критерий кубируемости. Множество кубируемо в том и только в том случае, если оно ограничено и его граница яв- ляется ну ль-множеством. Операции нац. кубируемыми телами. Сумма и пере- сечение конечного числа кубируемых тел кубируемы. Разность двух кубируемых тел кубируема. Проблема кубируемости. Тела, с которыми мы встречаем- ся в геометрии и классическом анализе, обычно бывают ограничены конечным числом поверхностей, удовлетворяющих определенным условиям гладкости. Такие поверхности являются нуль-множествами, и потому «классические» тела кубируемы. Поверхность, не удов- летворяющая условиям гладкости, может не быть нуль-множеством, и в соответствии с этим существуют тела, ограниченные поверхно- стями, но не кубируемые. Положение здесь таково же, как на плоскости (ср. пп. 4.7, 4.8 и 4.10), но детали менее элементарны, и мы не будем ими заниматься. 7.8. Объем на классе кубируемых тел (ср. § 5). Объемом называется функция, определенная на классе кубируемых тел и обладающая свойствами (а) — (6) (п. 7.3). Такая функция определена, в частности, на классе многогранных тел и совпадает там с функцией v, изучавшейся в пп. 7.3 — 7.6. Новую функцию мы также будем обозначать через v. Простейшие следствия аксиом. Из аксиом (сх) и (р) следует монотонность объема: если кубируемое множество N является частью кубируемого множества М, то v(N) (М). Из акси- омы (р) следует, что для любых двух кубируемых множеств М и N v (М + N) = v (7И) + v (N) — v (MN). Из аксиом (а) и (Р) следует, что для любых кубируемых множеств .... Мп 1/(^4- ... + М„)<®(Ж1) + ... +®(ЖП). Объем как точная грань. Объем кубируемого тела есть точная верхняя грань объемов входящих многогранных тел и точная нижняя грань объемов объемлющих многогранных тел. Существование и единственность объема. На классе кубируемых тел существует одна и только одна функция со свойствами (а) — (б). Нуль-множества. Класс нуль-множеств совпадает с классом кубируемых множеств нулевого объема. Из существования таких множеств следует, что на классе ку- бируемых тел объем не является строго монотонной функцией.
ОБЪЕМ 77 Полнота класса кубируемых тел. Если для множе- ства М при любом положительном е существуют такие кубируемые тела L и К, что LczMczN, ® (Af)—v (L) < е, то М— кубируемое тело. Поведение объема при преобразовании подобия. Преобразование подобия переводит кубируемое тело в кубируемое тело. Если М'—образ кубируемого тела М при преобразовании подобия с коэффициентом А, то v (ЛГ) = А3® (7И). Поведение объема при аффинном преобразова- нии. Аффинное преобразование переводит кубируемое тело в кубируемое тело. Если М'— образ кубируемого тела М при аф- финном преобразовании с определителем А, то v (/И') = г» (Л!) | А |. Объем на классе кубируемых замкнутых облас- тей. Для всякого кубируемого множества существует кубируемая замкнутая область, отличающаяся от На классе кубируемых замкнутых обла- стей объем является строго монотон- ной функцией. 7.9. Цилиндры и конусы. Если в определении призмы (п. 7.4) заменить многоугольную фигуру произвольным плоским множеством, то получится общее определение цилиндра. Если в определении пирамиды (п. 7.4) за- менить многоугольную фигуру произ- вольным плоским множеством, то по- лучится общее определение конуса. Цилиндр с квадрируемым основа- нием— кубируемое тело. Его объем равен произведению площади основа- ния на высоту. Конус с квадрируемым основанием—кубируемое объем равен одной трети произведения площади основания на высоту. Доказательство. Пусть Z—цилиндр с основанием Е и высотой h и е — положительное число. Построим такие много- угольные фигуры Р и Q, что P^FcQ, s(Q)—s{P)<±-, него лишь нуль-множеством. Рис. 28. тело. Его (7) и обозначим через U и V призмы с основаниями Р и Q, высотой h и образующими, направленными так же, как у Z (рис. 28). Ясно, чго U cz Z а V, (8) и так как v(U) = s(P)h, v(V) = s(Q)h, то v (V) — v (U) < e. Таким образом, Z—кубируемое тело.
78 йлощадь и объем Из включений (7) и (8) следует: v (U)—s(P) h^s (F) h (Q) h = v (V), v (U) (Z) s^v (V). Поэтому Рис. 29. | v (Z)—s(F)h\^v(V) — v(U)<Ze, и так как е произвольно, то v(Z)=s(F)h. Для конуса доказательство аналогично. В неравенстве (7) достаточно вместо е/й взять Зе/й. В качестве U и V нужно взять пирамиды с основаниями Р и Q и вер- шинами в вершине конуса (рис. 29). 7.10. Шар. Шар — кубируемое тело. Объем шара радиуса г равен 4 з -н- nrj. О Доказательство. Пусть S — полушар радиуса г. Достаточно дока- зать, что S—кубируемое тело с объ- емом 2лг3/3. Пусть е — положительное число. Возьмем натуральное число п, боль- шее, чем лг3/е, и разделим радиус, перпендикулярный к экваториальной плоскости, на п равных частей. Через точки деления проведем плоскости, параллельные экваториальной пло- скости (рис. 30), и обозначим круги, получившиеся в сечениях, через Кг, . . . , Kn_i, считая от экватора к полюсу. К этим кругам мы при- соединим еще экваториальный круг Ко. Так как расстояние плоскости круга Кк от экваториальной плоскости равно kr/n, тс квадрат радиуса круга Кк равен $ (Кк) = яг2 ( 1 — ~ .
ОБЪЕМ 79 Построим для каждого /г = 0, . .., п—1 два прямых цичиндра с основанием Kk и высотой г/л. Цилиндр, лежащий по ту же сторону от своего основания Кк, что и полюс, обозначим через второй цилиндр — через Uk. Согласно предыдущему, v(Uk) = v(Vk) = S(Kk)^ = ^[\-^. (9) Рассмотрим ступенчатые тела (7=6/14-...+Ц,_1, у=уо+...+уп1. Ясно, что U cz 5 с V. (10) Согласно п. 7.7, тела U и V кубируемы, и в силу аксиомы (0) п—1 П-~1 <Ц6/)= £ гЦб/Д 2 v(Pft), (И) k=l k=0 г/(Ц)-®(67) = т(Р0) = ^<е. (12) Так как класс кубируемых тел полон (п. 7.8), то отсюда следует кубируемость тела 5. Те же включения (10) показывают, что v(U)^v(S)^v(V). (13) С другой стороны, согласно формулам (11) и (9), и потому в силу леммы из п. 7.4 v (67) sg: 2лг3/3 (V). (^4) Соотношения (13), (14) и (12) дают: | v(S)—2лг3/3 | < е. Так как е произвольно, то v (S) = 2лга/3, Следствие. Эллипсоид — аудируемое тело. Объем эллип- соида с полуосями а, Ь, с равен -у nabc. Действительно, аффинное преобразование х' = ах, у' = by, z’ — cz переводит шар радиуса 1, определяемый неравенством х2-{-у2 + z2 1, в эллипсоид с полуосями а, Ь, с, определяемый неравен- y 2 ц 2 ,, ством —б 4-(пт +-»-sg 1, так что можно воспользоваться теоремой а£ Ьл с* о поведении объема при аффинном преобразовании (и. 7.8).
80 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ 7.11*. Тела вращения. Пусть <р—-функция, непрерывная и не- отрицательная на отрезке Д = [л, £]. Рассмотрим криволинейную трапецию, определяемую функцией (п. 5.9), и обозначим через Т множество точек пространства, описываемое этой трапецией при вращении вокруг оси х. Множество Т называется телом вращения, определяемым функцией <р. Множество Т кубируемо, и его объем дается формулой ь v (7') = л [ср (х)]2 dx. (15) а Доказательство. Пусть Д = Д, + •-4“ Д„— произвольное разбиение отрезка Д на частичные отрезки и mit Mt— наименьшее Рис. 32. и наибольшее значения функции ср на отрезке Д, (/=1, ., л). По- строим, как в п. 5.9, пря- моугольники Ph Q; и обозначим через Uh V; цилиндры, описываемые этими прямоугольниками при вращении вокруг оси х (рис. 32). Соглас- но п. 7.9 они кубируе- мы и v (Ц) — лт*Ц&{), i>(Vt.)= nAf®J(Af). Сле- довательно, ступенчатые тела U= -}- ... 4- t7„, V= Vj + ... + Vn куби- руемы и 1-- 1 п (16) ®(У) = 2л^/(Д,-)- i= 1 Ясно также, что U с Т с V. (17) Суммы (16) представляют собой не что иное, как нижнюю и верхнюю интегральные суммы функции л<р2 относительно раз- биения Д = AjД„. Согласно лемме из п. 4.7, для всякого положительного е существует такое разбиение Д — Aj 4- . . . 4- Д„, что t(V) — к(7/Хе. Так как класс кубируемых тел полон, то отсюда следует кубируемость тела Т,
ДОБАВЛЕНИЕ. ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ В ГЕОМЕТРИИ ПОДОБИЯ 81 Те же включения (17) показывают, что v (U) (Т) (V), т. е. что v(T) есть верхняя грань нижних интегральных сумм и нижняя грань верхних интегральных сумм. Так как единственным числом, обладающим этим свойством, является интеграл функции Лф2 по отрезку А (ср. п. 5.9), то этим доказана формула (15). 7.12. Другое построение теории объемов (ср. § 6). Направим оси координат по трем ребрам единичного куба, выходящим из одной вершины, и рассмотрим плоскости, определяемые уравнениями х = ^-10_", у = /-10~", ? = /»• 10~", где л—неотрицательное целое число, a k, I, m—всевозможные целые числа. Эти плоскости раз- бивают пространство на равные кубы, называемые кубами ранга п. Пусть М—ограниченное множество, лежащее в пространстве. Обозначим через ап число кубов ранга п, содержащихся в /И, и через а'п число кубов ранга п, пересекающихся с /И, и положим: v„ = а„ • IO-3", v = а -10-3". Последовательность v,, ... воз- растает, последовательность г/ . убывает, и при любых р и q справедливо неравенство vps^v'Q. Следовательно, точные грани y = sup,y„, -y=infirn служат пределами последователь- ностей v0, гу, ... и г/, г/, ..., и v^v. Если v = v, то М назы- вается кубируемым множеством или кубируемым телом, а число v = v называется объемом этого тела и обозначается через Дальнейшее построение теории шаг за шагом повторяет § 6: доказывается кубируемость куба ранга п и вычисляется его объем; определяются и изучаются нуль-множества; дается критерий кубируемости; рассматриваются операции над кубируемыми телами; устанавливаются свойства объема; доказывается теорема единствен ности. При этом, как и в § 6, свойство (у) устанавливается сначала в ослабленной форме (у') (кубируемые тела, получающиеся друг из друга параллельным переносом, имеют равные объемы), затем в усиленной форме доказывается теорема единственности и, наконец, свойство (у) устанавливается полностью. В заключение доказывается, что это второе определение кубируемости и объема эквивалентно первому. Добавление. Площадь и объем в геометрии подобия 1. Метрическая геометрия и геометрия подобия. Определения площади и объема, изложенные в этой статье, в одном пункте расходятся с представлениями, вынесенными вами из школы: согласно этим определениям, площади и объемы являются числами, тогда как в школе нас учат, что это — особые величины, измеряемые специальными единицами.
82 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ Это расхождение, конечно, не означает, что одно из двух представлений ошибочно. Просто мы имеем здесь дело с двумя разными теориями площадей и объемов, и более того, с двумя разными, хотя и близкими геометриями. Эти геометрии имеют спе- циальные названия: одна называется метрической геометрией Ев- клида, другая — евклидовой геометрией подобия1). Геометрия подобия—это та, которую мы изучаем в школе и которая излагается во всех учебниках геометрии от Евклида до наших дней. В ней нет метрики, т. е. числовых длин, а есть лишь отношения отрезков и, конечно, все то, что может быть выражено через эти отношения, например углы. Напротив, в метрической геометрии каждый отрезок имеет определенную числовую длину. Чтобы превратить геометрию по- добия в метрическую геометрию, достаточно фиксировать какой- нибудь отрезок и объявить длиной всякого другого отрезка его отношение к выбранному «единичному» отрезку. Нужно только иметь в виду, что в метрической геометрии длины даны раз и навсегда, как точки или прямые. Если мы сменим единичный от- резок и введем новую метрику, т. е. новые длины, то получится новая метрическая геометрия. Она совпадет с прежней лишь в случае, если новые длины совпадут со старыми, т. е. если новый единичный отрезок будет равен старому. Можно, таким образом, сказать, что метрическая геометрия Евклида представляет собой евклидову геометрию подобия, в которой дополнительно фиксиро- ван класс равных отрезков. Конечно, метрическую геометрию Евклида можно построить и независимо от геометрии подобия. Это делается, например, в курсах линейной алгебры. Там метрика предполагается заданной с самого начала, т. е. включается в аксиоматику. Метрическая геометрия удобнее геометрии подобия, и в сов- ременной научной литературе под /евклидовым пространством» понимают пространство, снабженное метрикой. Однако и геометрия подобия занимает прочные позиции: достаточно сказать, что геомет- рия физического мира, поскольку она может считаться евклидовой, является не метрической геометрией, а геометрией подобия. Правда, мы пытаемся сделать ее метрической с помощью искусственных «единичных отрезков» вроде парижского метра, однако выбрать та- кой отрезок «раз и навсегда» по многим причинам невозможно. Теория площадей и объемов, изложенная в этой статье, есть теория площадей и объемов метрической геометрии. Цель насто- ящего добавления — указать на те изменения и дополнения, которые должны быть внесены в эту теорию при переходе к геометрии подобия. Ср. стр. 98 и след. кн. IV ЭЭМ. (Прим, ред.)
ДОБАВЛЕНИЕ. ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ В 1ЕОМЕТРИИ ПОДОБИЯ 83 2. Преобразование площади и объема при замене единичного отрезка. Известно, что если единичный отрезок заменяется другим отрезком, то новая длина Г (А) любого отрезка А получается из его старой длины I (А) по формуле /' (А) — / (А), (1) где а — старая длина нового единичного отрезка. Задача этого пункта — выяснить, как ведут себя при замене единичного отрезка площади и объемы. Следующая теорема дает полное решение этого вопроса. Класс квадрируемых фигур и класс кубируемых тел не за- висят от выбора единичного отрезка. Если единичный отрезок заменяется другим, имеющим относительно прежнего длину а, то новая площадь s' и новый объем v' получаются из старой площади s и старого объема v по формулам s' (F) — a~2s(F), (2) o' (Т) = a~sv (Т), (3) где F — произвольная квадрируемая фигура и Т—произвольное кубируемое тело. Доказательство. Мы рассмотрим только площадь. Для объема доказательство аналогично. Покажем сначала, что соотношение (2) справедливо на классе многоугольных фигур. В силу единственности площади на этом классе достаточно доказать, что функция a~2s(F) удовлетворяет на нем условиям (а), (Р), (у), (б), последнее из которых отнесено к новому единичному отрезку. То, что она удовлетворяет первым трем условиям, очевидно; займемся последним условием. Пусть Е'—квадрат, построенный на новом единичном отрезке. Так как относительно старого единичного отрезка его сторона имеет длину а, то s(E'} = a2 (см. п. 3.3). Следовательно, a~2s (Е') = 1. Покажем теперь, что всякое множество, квадрируемое отно- сительно старого единичного отрезка, квадрируемо и относительно нового единичного отрезка; поскольку новый и старый отрезки равноправны, этим будет доказано, что класс квадрируемых фигур не зависит от выбора единичного отрезка. Пусть F—множество, квадрируемое относительно старого единичного отрезка, и е — положительное число. Найдем такие многоугольные фигуры Р и Q, что PczFczQ, s(Q)— s(P)«z2e. Согласно уже доказанному, s' (Р)= a~2s (Р), s' (Q) = a~2s(Q), s' (Q)—s' (P) = a~2 [s (Q) —s (P)]. Следовательно, s' (Q) — s'(P)<e, и множество F квадрируемо относительно нового единичного отрезка. Остается юказать, что соотношение (2) справедливо на классе квадрируемых фигур. Это делается опять с помощью теоремы
84 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ единственности, с тем упрощением, что соотношение a~2s(E')=\ уже было доказано. Следующие предложения являются очевидными следствиями доказанной теоремы: Класс нуль-множеств (на плоскости и в пространстве) не зависит от выбора единичного отрезка. Отношение площадей двух квадрируемых фигур и отношение объемов двух кубируемых тел не зависят от выбора единичного отрезка. Фигуры или тела, равновеликие относительно одного от- резка, равновелики и относительно другого отрезка. 3. Переход к геометрии подобия. В геометрии подобия нет единичного отрезка и потому нет площади в смысле §§ 1—6. Так как, однако, любой отрезок можно принять за единичный отрезок некоторой метрической геометрии, то каждому отрезку е отвечает своя функция se со свойствами (а) — (6). Согласно п. 2, все эти функции определены на одном и том же классе квадрируемых фигур. Мы получаем, таким образом, функцию se (F) двух аргу- ментов: отрезка е и квадрируемой фигуры F. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы вместо se(F) будем писать s(F, е). Функция s(F, е) и называется площадью в геометрии подобия. Если фиксировать фигуру F, то она превратится в функцию отрезка е, называемую площадью фигуры F. Таким образом, в геометрии подобия, как и в метрической геометрии, имеется класс квадрируемых фигур и имеется пло- щадь, определенная на этом классе,—только площадь фигуры представляет собой не число, а функцию отрезка. Сказанное о площади с очевидными изменениями переносится на объем и, конечно, на длину. Объем v(T, e) = ve(T) есть функ- ция кубируемого тела Т и отрезка е, длина /(А, е) = /е(А) есть функция отрезков А и е. Объем тела Т и длина отрезка А явля- ются функциями отрезка е. Зависимость длины /(А, е), площади s (F, е) и объема v(T, е) от е была рассмотрена в п.2. Из имеющихся там предложений, в част- ности, следует, что длины I (А1( е), I (А2, е) двух любых отрезков Ап А2, площади е), s (F2, е) двух любых квадрируемых фигур Flt F2 и объемы v(Tt, е), v(T2, е) двух любых кубируемых тел Tlt Т„ отличаются друг от друга лишь постоянными множи- телями. Формулы (1), (2), (3) представятся теперь в виде /(А, е) = /(А, е') 1(е', е), (4) s(F, e) — s(F, е') [Це', е)]2, (5) v (Т, e) = v(T, е') [/(е’, е)]3, (6) где е и е'— любые отрезки. Подчеркнем еще, что в геометрии
Добавление. площАдь И объем в геометрии подобия 85 подобия (на плоскости и в пространстве), как и в метрической геометрии, имеется класс нуль-множеств и имеется отношение равновеликости. Все вычислительные формулы теории площадей и объемов, на- чиная с формулы для площади прямоугольника и кончая интег- ральными формулами, переносятся в геометрию подобия. Дейст- вительно, обе части каждой из этих формул могут рассматриваться как функции единичного отрезка, и они равны при любом выборе единичного отрезка. Заметим, что число л, входящее во многие из этих формул, не зависит от выбора единичного отрезка, т. е. является абсолютной постоянной. Действительно, согласно п. 5.8, число л при любом выборе единичного отрезка равно площади круга радиуса г, деленной на г2, а согласно формуле (2), эта площадь умножается при замене единичного отрезка на то же число, что и г2. 4. Единицы длины, площади и объема. То обстоятельство, что длины отрезков, а также площади фигур и объемы тел отличаются друг от друга только числовыми множителями, позволяет ввести в геометрию подобия единицы длины, площади и объема. За единицу длины принимают длину какого-нибудь отрезка Ао, т. е. функцию I(Ао, е) отрезка е, за единицу площади — площадь какой-нибудь квадрируемой фигуры Fo, т. е. функцию s(F0, е) отрезка е, за единицу объема — объем какого-нибудь кубируемого тела То, т. е. функцию v (То, е) отрезка е. Единственное условие, налагаемое на Fo и То, состоит в том, что они не должны быть нуль-множесг- вами. Длина всякого другого отрезка, площадь всякой другой квадрируемой фигуры, объем всякого другого кубируемого тела оказываются тогда равными выбранной единице, умноженной на некоторое число. Эта привычная запись (единица длины, площади или объема с числовым коэффициентом) представляет собой, таким образом, не формальное, а самое обычное произведение — произ- ведение числовой функции на число. Единицы длины, площади и объема не являются независимыми друг от друга: каждые две из них выражаются через третью. Действительно, полагая в формулах (5), (6) е' = Аи, F~F0, Т = То, мы получаем: s(F0, e) = s(Fo> Ао) [/(Ао, е)]2> ^о. e) = v(T0, Ао) [/(Ао, е)]3. Обычно в качестве F выбирают квадрат, построенный на отрезке Ап, а в качестве То — куб, построенный на отрезке Ап. В этом случае s(F0, Ао) = г»(7'0, Ао) = 1 и s(F0, е) = [/(Ао, е)]2, v(T0, е) = = [/(А0, е)]3. Окончательное выражение площади и объема через единицу дли- ны не будет, конечно, зависеть от выбора F(l и То. Его можно получить прямо из формул (5), (6), если положить в них е' = Д0.
86 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ Обозначая единицу длины через е, мы находим: s (F, e) = s (F, Д0)е2, v{T, e)—v(T, A0)e3 и, по формуле (4), I (A, e) = /(A, A0)e. Таким образом, коэффициентами при е, е2 и е3 служат длина, пло- щадь и объем относительно Ао. Чтобы получить физические примеры, примем за Ао парижский метр, а за Fo и То — построенные на нем квадрат и куб. Соответ- ствующие единицы /(Ао, е), s(F0, е) и v(T0, е) называются метром, квадратным метром и кубическим метром. Метр обо- значается буквой м, квадратный и кубический метры равны, согласно предыдущему, м2 и м3. Таким образом, м2 и м3— не только обозначения единиц площади объема, но и обыкновенные степени функции м. Изложенные определения геометрических единиц делают оче- видными обычные правила перехода от одних единиц к другим. Как известно, правила эти в том именно и состоят, что с единицами следует обращаться как с числовыми множителями, а с их фор- мальными степенями — как с настоящими степенями. Например, км (километр) есть единица длины, равная 1000 м, и потому ~км2 = ^(Ю00 м)2 = 4-1 0002 м2 = 200 000 м2. Э О D ЛИТЕРАТУРА [1] А. Л е б е г, Об измерении величин, перев. с франц., М., Учпедгиз, 1960. Книга выдающегося французского математика, обращенная к учите- лям французской школы: содержит широкое обсуждение теории длин, площадей и объемов и ее преподавания в средней и высшей школе. [2] В. Ф. Каган, Очерки по геометрии, М., изд. Московского универси- тета, 1963. Сборник работ выдающегося советского геометра, обращенных к широкому читателю. К теме настоящей статьи примыкают «Этюды по основаниям геометрии». [3] Д. И. Перепелкин, Курс элементарной геометрии, ч. I, М.—Л., Гостехиздат, 1948. Обстоятельный и весьма тщательно написанный курс планиметрии, содержащий, в частности, изложение вопроса о площадях многоуголь- ников (§§ 53—60, гл VII). (4] Ж- А дам ар, Элементарная геометрия, перев. с франц., ч. I, М., Учпедгиз, 1957; ч. 2, М., Учпедгиз, 1958. Подробный курс элементарной геометрии. К теме настоящей статьи примыкает прибавление D к первой части книги «О понятии площади» и прибавление F ко второй части «О понятии объема». (5] И. М. Я г лом, О площади многоугольника, в книге: Я- С. Д у б н о в, Измерение отрезков, М., Физматгиз, 1962, стр 79—100. Популярная статья, рассчитанная на широкого читателя [6] Д. Гильберт, Основания геометрии, перев. с нем, М—Л., Гос- техиздат, 1948. Классическое сочинение знаменитого немецкого математика, посвя- щенное вопросам обоснования геометрии. Глава IV этой книги посвя- щена учению о площадях многоугольников.
ЛИТЕРАТУРА 87 [7] Г. Б. Гуревич, Измерение площадей многоугольников в евклидовой геометрии, сборник «Математическое просвещение», вып. 5, 1960, стр. 161—177. Статья, содержащая изложение учения о площадях многоугольни- ков, базирующееся на аксиоматике Гильберта (см. [6]). [8] А. М. Лопшиц, Об измерении площадей ориентированных фигур, М., Гостехиздат, 1956. Общедоступная брошюра, посвященная важному понятию «ориенти- рованной площади» плоской фигуры. [9] А. М. Лопшиц, Теория площадей ориентированных многоугольников (в аффинной плоскости), сборник «Математическое просвещение», вып. 3, 1958, стр. 183—198. Методическая статья, примыкающая по своему содержанию к бро- шюре [8]. См. также книгу Г. Хади игера, указанную в списке литературы к статье «Равносоставленность многоугольников и многогранников».
ДЛИНА КРИВОМ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ содержание § I. Длины ломаных линий ....................................... 89 1.1. Основные свойства длины.................. . 89 1.2. Длина отрезка...........................................89 1.3. Ломаные линии и их длины . . ..... 94 1.4. Отрезок—кратчайшая ломаная ............................ 95 1.5. Отклонение ограниченных множеств........................96 1.6. Полунепрерывность длины .............. . . 97 § 2. Простые дуги...............................................100 2.1. Обзор содержания параграфа......................... 100 2.2. Расстояние между простыми дугами.......................103 2.3. Доказательство свойства (а).......................... 105 2.4. Доказательство свойств (б), (в), (г), (д) . .... 106 2.5. Доказательство свойства (е)............................107 2.6. Доказательство свойства (ж) ..................... . . 107 2.7. Доказательство свойств (з) и (и) .... ..... 107 § 3. Спрямляемые линии........................................ 109 3.1. Вписанные «ломаные».................................. . 109 3.2. Определение спрямляемой простой дуги . . .......111 3.3. Спрямляемость и вписанные «ломаные».................. .111 3.4. Спрямляемость составной дуги ..................... ... 112 3.5. Функции с ограниченным изменением......................113 3.6. Связь с теорией площадей ..............................115 3.7. Простые замкнутые линии................................116 § 4. Длина на классе спрямляемых линий .......... . . 117 4.1. Аксиоматическое определение длины......................117 4.2. Доказательство теоремы существования................ .117 4.3. Доказательство теоремы единственности..................119 4.4. Основные свойства длины................................121 4.5. Другие определения длины............................. . 127 § 5. О понятии площади поверхности ............................130 5.1. Основные свойства площади поверхности............... . 130 5.2. Простые куски......................................... 131 5.3. Полунепрерывность площади .............................133 5.4. Определение квадрируемых простых кусков................134 5.5. Вписанные «многогранники»..............................134 5.6. Аксиоматическое определение площади поверхности........136 5.7. Квадрируемость гладких простых кусков и определение пло- щади поверхности с помощью интеграла .......................137 5.8. Заключение ... . . ........ .... 140 Дитературд , . , ...............................................140
ДЛИНЫ ЛОМАНЫХ линий 89 § 1. Длины ломаных линий 1.1. Основные свойства длины. Как и понятие площади, по- нятие длины постоянно встречается в нашей практической дея- тельности, но является весьма сложно определяемым математическим понятием. Наиболее просто определяется длина прямолинейного отрезка или ломаной линии. В этом случае определение длины совершенно аналогично определению площади, но отличается от него значительно большей простотой. Свойства, на которых в этом случае основывается определение длины, в точности повторяют условия (а) — (6), определяющие площадь плоской фигуры (см. стр. 7—8 настоящей книги ЭЭМ). Эти свойства следующие: (а) Длина линии является неотрицательным числом. (Р) Длина линии, составленной из конечного числа линий, последовательно примыкающих друг к другу, равна сумме длин составляющих линий. (у) Равные линии имеют равные длины. (б) Длина единичного отрезка равна единице. (Как и в предыдущей статье, мы предполагаем, что единич- ный отрезок раз и навсегда фиксирован.) В следующем пункте мы покажем, что свойства (а) — (6) однозначно определяют длины от- резков (а также и ломаных, см. п. 1.3). Однако для определения понятия длины на более широком классе «линий» (а именно, на классе спрямляемых простых дуг, см. п. 3.2) этих свойств, оказывается, уже недостаточно, и к ним приходится при- соединить еще одно свойство («полунепрерывность»), которое мы рассмотрим ниже, в п. 1.6. 1.2. Длина отрезка. В этом пункте мы покажем, что условия (а)—(6) однозначно определяют длину отрезка. Более точно: существует одна и только одна функция I (называемая длиной), определенная на классе всех прямолинейных отрезков и удовлетворяющая условиям (а) — (6). Доказательство существования. Возьмем прямую р, на которой расположен единичный отрезок,— для наглядности будем ее считать "горизонтальной»,— и обозначим через О один из концов единичного отрезка. Далее, разбив единичный отрезок на 10" равных частей и взяв одну из этих частей, будем после- довательно откладывать вправо и влево от точки О отрезки, рав- ные этой части. В результате вся прямая р будет разбита на равные отрезки, которые мы назовем отрезками ранга п. Пусть теперь АВ—произвольный отрезок, расположенный на прямой р. Обозначим через ап число отрезков ранга п, целиком содержа- щихся в отрезке АВ, а через ап — число отрезков ранга п, имею- щих с отрезком АВ хотя бы одну общую точку. Ясно, что если мы возьмем самый «правый» из содержащихся в АВ отрезков
90 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ранга л, то примыкающий к нему справа отрезок ранга п имеет с отрезком АВ общие точки, но не содержится целиком в АВ. Аналогичное положение вещей имеет место для самого <левого» из содержащихся в АВ отрезков ранга п. Следовательно, ап — «„=2. (1) Положим /„=а„-ю-", 4=«; ю-". Числа 1п и /,, (так же как и «„) определены для любого п = 1, 2, 3, . . . Легко видеть, что имеют место соотношения lx /2 «g /3 . и /i /2 /3 . Действительно, всякий отрезок ранга п раз- бит на 10 отрезков ранга п-}-1. Если исходный отрезок (ранга п) содержится в АВ, то каждый из этих десяти отрезков ранга «4-1 содержится в АВ; если хотя бы один из десяти отрезков ранга «4-1 имеет общую точку с отрезком АВ, то и исходный отрезок ранга л имеет общую точку с отрезком АВ. Следова- тельно, a„+1j>10«„, «п + 1^Ю«„, и потому /„+1j>/„, /„+1^/„. Из очевидного соотношения ln<Z.ln (см. (1)) мы находим, что монотонная последовательность /п /.,, /3, ... ограничена: /„ ^ /«^ Л для любого л, и потому существует предел lim /„. /1 —> СО Аналогично 1п^1п^1ъ 11 потому существует предел lim /„. п -+ СО Из соотношения (1) мы теперь получаем: 1п — /„ = 210“", и следо- вательно, lim/„ = lim/„. П -> со п —> оо (2) Получаемое таким образом число (2) мы обозначим через /(АВ) и будем называть длиной отрезка АВ. Покажем, что построенная функция I удовлетворяет всем условиям («)—(6). Выполнение условия (а) очевидно (причем ясно, что 1(АВ)~у>0 для любого отрезка АВ). Условие (р) достаточно проверить для случая отрезка АС, составленного из двух отрезков АВ, ВС. Будем у чисел 1п и «„ ставить сверху индексы, указывающие, к какому отрезку они относятся; например, , 4ВС> и т. п. Если точка В является общим концом двух смежных отрезков ранга л, то, как легко видеть (рис. 1, а), а„УС) = + а^с\ в противном же случае (рис. 1,6) а„л * = а„АВ> 4- 4* 1 • Таким образом, в любом слу-
ДЛИНЫ ЛОМАНЫХ линий 91 чае справедливы неравенства а„лс>— 1 а(пАВ) ф- а„пс) а„АС>, из которых мы находим: /^ЛС)—10_"^ДЛВ) ф- 1(пС) 1(АС}. Переходя в этих неравенствах к пределу при п—>оо, мы получаем 1(АС)~ —I (АВ) 4-1 (ВС), что и доказывает свойство (Р). Установим справедливость свойства (у). Пусть АВ—произ- вольный отрезок, расположенный на прямой р. Сдвигая оба конца этого отрезка вправо (или оба влево) на 10"-ю часть единичного отрезка, мы перенесем отрезок АВ в новое положение, но числа и /„лв> ПРИ этом, очевидно, не изменятся. Следовательно, если АВ и СО—два равных отрезка, расположенных на прямой р, I в с а> А ВСб) Рис. 1. то мы можем, не меняя чисел аАВ'1 и а„С1)), переместить эти от- резки в такие положения, что точки А и С будут расположены на одном отрезке ранга п. Из равенства отрезков АВ и CD вытекает, что AC—BD (рис. 2), и потому отрезок BD меньше, чем 10п-я часть единичного отрезка. Следовательно, точки В и D расположены либо на одном и том же отрезке ранга п, либо же на соседних отрезках ранга п, и потому числа а.(АВ‘ и а„С£)) от- личаются друг От друга не более чем на одну единицу. Таким образом, 1{АВ}—l(nCD^ | 10"”, откуда, переходя к пределу, мы и получаем требуемое соотношение I (АВ) = l(CD). Свойство (6) вытекает из справедливых для единичного от- резка соотношений ссп=10", /„=1. Итак, функция /, определенная для расположенных на пря- мой р отрезков, обладает свойствами (а) — (6). Если теперь АВ — произвольный отрезок на плос- кости или в пространстве и А'В'— равный ему отрезок, рас- л с ‘ e i положенный на прямой р, то мы положим 1(АВ) = 1(А'В'). В ре- Рис. 2. зультате длина I оказывается определенной для любого отрезка АВ, причем свойства (а) — (6), как легко понять, выполняются. Таким образом, теорема сущест- вования полностью доказана. Доказательство единственности. Пусть А—какая- либо функция, заданная на множестве всех прямолинейных от- резков и обладающая свойствами (а) — (6). Покажем, что она
92 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ совпадает с построенной выше функцией I. Обозначим через Д еди- ничный отрезок; в силу свойства (6), мы имеем A(A) = Z(A)=1. Далее, разделим отрезок Д на 10" равных частей Д1, ... , Д10». В силу свойства (у), мы имеем: А (Дх) = А (Д2) = ... = А (Д10п), /(Дх) = Z (Д2) = . .. 1 (Д10"), а в силу свойства (0) находим: A (AJ + А (Д2) + ... + А (Д 10„) = А (Д) = 1, I (Ах) + (А2) + ... +1(Дюп) = I(А)= !• Следовательно, I (Дх) = А (ДА) = 10_”. Пусть теперь АВ—произвольный отрезок, расположенный на прямой р. Рассмотрим, как и в доказательстве существования, разбиение прямой р на отрезки ранга п и определим числа ап и ап. Обозначая через MN отрезок, образованный всеми ап отрез- ками ранга тг, целиком содержащимися в АВ, мы найдем, согласно свойствам (у) и (0), A (MN) = l(MN) = ап- 10-и = 1п. Точно так же для отрезка M'N', образованного всеми сс„ отрезками ранга п, имеющими с АВ общие точки, мы найдем, согласно свойствам (у) и (0)> A (M'N') — I (M'N') = ап-10_" = 1п. Заметим теперь, что А С D В l(AB)=l(AC) * l(CD) +1 (DB) ^l(CD) Рис. 3. из свойств (0) и (сс) вытекает монотонность функций / и А, т. е. вытекает, что если отрезок CD является частью отрезка АВ, то I (CD) I (АВ), A (CD) А (АВ) (рис. 3). Так как отрезок MN содержится в отрезке АВ (может быть, совпадает с ним), то I (АВ) I (MN) — ln, А (АВ) A (MN) = 1п. Точно так же l(AB) l(M'N') = ln, ?.(AB)^7.(M'N') = ln (ибо отрезок АВ со- держится в отрезке M'N'). Таким образом, Z„^Z(AB)^Z„, Z„^A(AB)<Zn, и потому | Z (ИВ) — A(AB)|=CZn— Z„=2-10_" (см. (1)). Ввиду произвольности числа п отсюда вытекает равен- ство Z(AB) = A(AB). Итак, для отрезка АВ, расположенного на прямой р, функции А и Z принимают одно и то же значение. Из этого в силу свойства (у) вытекает, что функции А и Z совпадают. Замечание 1. Рассмотрим, в частности, расположенный на прямой р отрезок ОВ, левый конец которого совпадает с точкой О. Обозначим через а0 число отрезков ранга 0 (т. е. равных еди- ничному отрезку), целиком содержащихся в отрезке ОВ, и пусть С — правый конец последнего из этих отрезков. Обозначим, далее, через аг число отрезков ранга 1, содержащихся в «первом
ДЛИНЫ ЛОМАНЫХ линий 93 остатке» СВ, и пусть D — правый конец последнего из этих от- резков (рис. 4). Затем мы обозначим через а2 число отрезков ранга 2, содержащихся во втором остатке DB, и т. д. В резуль- тате мы определим некоторую последовательность целых неотри- цательных чисел а0, а1, а2, . .. , в которой каждое число, кроме, может быть, а0, не превосходит девяти. Как легко видеть, числа 1п п 1п, определенные выше, имеют следующие значения: zn= °о + 1б + у^ + • • + > In =/„+16» Таким образом, числа 1п и /„—это те самые хорошо известные приближения с недостатком и избытком, которые получаются О с DB а0 \ Рис. 4. при обычном десятичном процессе измерения. Длина отрезка ОВ выражается бесконечным рядом /(ОВ) = «0 + ^ + >+. ..+§+..., т. е. бесконечной десятичной дробью, которая, разумеется, в некоторых случаях может оказаться и конечной. Если эта десятичная дробь бесконечна, но является периодической, то, как показывается в арифметике, эта дробь представляет собой рацио- нальное число, т. е. может быть представлена в виде отношения двух целых чисел. Если же бесконечная десятичная дробь не является периодической, то она представляет собой иррациональное число (число, не являющееся рациональным). Таким образом, процесс измерения является одной из причин введения иррациональных чисел. Замечание 2. В вышеприведенных доказательствах суще ственно была использована аксиома Архимеда (см. ЭЭМ, кн. IV, стр. 37). Действительно, мы откладывали от точки О в обе сто- роны равные отрезки и говорили при этом, что «вся прямая будет разбита на равные отрезки». Без аксиомы Архимеда это заключе- ние было бы необоснованным. В связи с тем, что описанный выше процесс измерения существенно опирается на аксиому Архимеда, ее часто называют также аксиомой измерения. Тесно связана с процессом измерения и вторая аксиома не- прерывности— аксиома Кантора. Именно, если аксиома Архи- меда позволяет каждому отрезку сопоставить положительное
94 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ число — его длину,— то аксиома Кантора позволяет доказать, что и, обратно; для каждого числа />0 существуют отрезки, имею- щие длину I. Это позволяет установить сохраняющее порядок взаимно однозначное соответствие между точками прямой линии и действительными числами (см. стр. 42—43 кн. V ЭЭМ). 1.3. Ломаные линии и их длины. Термин ломаная всегда будет обозначать в этой статье простую незамкнутую ломаную линию (на плоскости или в пространстве). Такая линия представляет собой сумму ко- нечного числа отрезков, скажем от- резков Ai = А1В1, Д2 = А2В2,. . . , Aft = = AkB/1, расположенных таким образом, что Ai+i = Bh /=1, 2,..., k— 1, а других общих точек отрезки Alf Д2,... . .. , Aft попарно не имеют. Отрезки А17 А2, .. . , Aft называются звеньями рассматриваемой ломаной. Звенья А; и А1 + 1 k—1) называются соседними. Как видно из приведен- ного определения, мы не исключаем случаев, когда соседние звенья состав- ляют продолжение одно другого. Ломаную, составленную из отрезков Д1 = Л0Л1, Д2=Д1Д2,..., Aft = Ak_tAk, мы будем обозначать символом ААА ... Ak_lAk. Точки До, А1г . . . , Ak называются вершинами ломаной A0Aj ... Ak. Вершины До и Ak называются концевыми точками, или концами этой ломаной. Пусть Со, Cj, ..., Сг — некоторые точки. Предположим, что для каждого 2=1,..., I выбрана некоторая ломаная Z.,- с кон- цевыми точками С/_г и С,-. Если ломаные L-l, L2 , . . . , Lt других общих точек не имеют, то они образуют, вместе взятые, некото- рую ломаную линию Л* (рис. 5). В этом случае мы будем гово- рить, что ломаная Л* составлена из ломаных Llt L2, . ,Lt, последовательно примыкающих друг к другу. Длина ломаной L = A0Al...Ak определяется как сумма длин ее звеньев: Z (L) = I (^40^4i) +1 (АА) + • • • + ^ (А-1 А)- (3) Таким образом, длина I является функцией с действительными значениями, заданной теперь уже на классе всех ломаных линий. Эта функция обладает свойствами (сс) — (6), так как свойствами (сс) — (6) обладают длины отрезков. Далее, I является единствен- ной функцией с этими свойствами, так как свойства (а)—(6) определяют длины отрезков однозначно, а из свойства Р) выте- кает, что длина произвольной ломаной L = A0A1...Ak должна
ДЛИНЫ ЛОМАНЫХ линий 95 определяться формулой (3). Итак, справедлива следующая теорема существования и единственности: На классе всех ломаных линий существует одна и только одна функция, обладающая свойствами (а)—(6). 1.4. Отрезок — кратчайшая ломаная. Пусть А и В—произволь- ные точки (на плоскости или в пространстве). Длину отрезка АВ называют в геометрии также расстоянием между точками А и В. В соответствии со сказанным выше, расстояние между точками А и В можно обозначать символом 1(АВ). Однако обычно в мате- матике расстояние между точками А и В принято обозначать через р (Л, В). Этим обозначением мы, как правило, и будем пользоваться. Для любых трех точек А, В, С (на плоскости или в про- странстве) справедливо соотношение р(Л, В) + р(В, С)^р(Д, С). В самом деле, если точки А, В, С не лежат на одной прямой, то р (Л, В) + р(В, С)>р*Л, С), так как сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны!). Если же точки Л, В, С лежат на одной прямой, то р (Л, В)ф-р(В, С) = р(Л, С) при условии, что точка В лежит на отрезке АС, и р (Л, В) ф- ф- р (В, С)>р(Л, С) в противном случае. Доказанное соотношение (оно называется в математике «н е- равенством треугольника») легко обобщается и на большее число точек. Именно, для любых точек Ло, Аг, ... , Ak, k^2, справедливо соотношение Р Mo, ^i) + Р Mi, + • • • + Р Мл-1, ^л) Р Мо, (4) Доказательство проводится индукцией по числу точек. Например, для четырех точек Р Mo, ^i) + PMi, ^2) + Р Мг> ^з)^ SspMo, Л2) + рМ2, ^з)>РМо, лз)- Пусть теперь L — A^A^ ... Ak — произвольная ломаная. Тогда сумма р (Ле, Л1)-|-р(Л1, Л2) ф- ... ф- р (Л^_х, Ak) представляет собой, по определению, длину ломаной L, а число р(Л0, Ak) является длиной отрезка, соединяющего концы этой ломаной. Таким образом, неравенство (4) показывает, что длина любой ломаной не меньше, чем длина отрезка, соединяющего концы 1) Обычное доказательство этого факта, приводимое в учебниках геомет- рии, как легко проследить, не использует никаких других свойств длины, кроме (а), (Р), (у), (6). Это же относится и ко всем другим теоремам эле- ментарного курса геометрии, в которых говорится о длинах отрезков и ломаных. Таким образом, всеми этими теоремами мы можем пользоваться в дальнейшем.
96 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ этой ломаной. Иначе говоря, среди всех ломаных, соединяющих заданные точки А и В, отрезок АВ имеет наименьшую длину. 1.5. Отклонение ограниченных множеств. Пусть М—некоторое множество на плоскости и г — положительное число. Для каждой точки А множества М мы рассмотрим открытый круг (т. е. круг без границы) радиуса г с центром в точке А. Сумма всех этих кругов (рис. 6) представляет собой множество, которое мы будем называть г-окрестно- стыо множества М и будем обозначать символом О(М, г). Иначе говоря, точка В в том и только в том случае при- надлежит множеству О(М, г), если в множестве М найдется такая точка А, что р(А, B)<Z <Zr. Аналогично (с заменой кругов шарами) определяется r-окрестность множества М, распо- ложенного в пространстве. Ясно, что если Mc:N (т. е. множество М является частью множества N), то О (Al, r)aO(N, г). Далее, если гг<^, Докажем теперь следующую лемму: Для любого множества М и любых положительных чисел при любом г > 0 справедливо соотношение г2, то О(М, г1)сО(М, г2). rlt г2 выполнено соотношение х) О (О (Ж, rj, r2)<=O(M, /-i+rj. (5) В самом деле, пусть AgO(O(Af, гг), г2). Тогда существует такая точка В£О(М, rj, что р (А, В)<г2. Так как В£О(М, гг), то существует такая точка С£М, что р (В, Мы имеем (см. п. 1.4): р (А, С) р (А, В) + р(В, С)<;г34-г2, и потому 0(M,rL-}-r2). Таким образом, соотношение (5) установлено. Пусть теперь М и N — некоторые ограниченные множества. Ясно, что при достаточно большом г выполнены соотношения Mc:O(N, г), Nc:O(M, г). Точная нижняя грань положительных чисел г, для которых выполнены эти соотношения, называется отклонением множеств М и N и обозначается символом d(M, N). На рис. 7 показан пример нахождения отклонения: N(=O(M, г) МсОД, г) при при г > р (С, D); г > р (А, В); 1) В действительности, для любого множества М, расположенного на плоскости или в пространстве, справедливо равенство О(О(М, гг), г2) = О(М, г! + г2); в случае же множества М, расположен- ного в произвольном метрическом пространстве (см. стр. 537 этой книги ЭЭМ ), это равенство может не выполняться.
ДЛИНЫ ЛОМАНЫХ линий 97 следовательно, d{M, N)=p(A, В). Отклонение ограниченных множеств обладает следующим свойством (которое, как и соотношение, доказанное в п. 1.4, называется «неравенством тре- угольника»): Для любых трех огра- ниченных множеств М, N, Р выполнено соотношение d(M, N) + d(N, Р)> £zd(M, Р). В самом деле, пусть е—про- извольное положительное чи- рИС- 7 ело. Положим r^—d (М, N) + в, r2 = d(N, Р)4-е. Тогда, по определению отклонения, выполнены включения: McO(N, rj, NcO(M, rx), NcO(P, r2), PcO(N, г2). Следовательно, в силу (5), имеем: Me O(N, rt) с О(О(Р, r2), гг) с сО(Р, Г1 + г2)> PcO(N, r2) а О г2) с О (М, г, +г2),и по- тому d(AT, Р)^г14-г2. Таким образом, d (Af, Р) ^(d (AT, N)+ + e) + (d(/V, P) + e). Ввиду произвольности в, отсюда вытекает требуемое соотношение. Заметим, что доказанное предложение дает интересный пример метри- ческого пространства: «точками» этого метрического пространства являются всевозможные замкнутые ограниченные множества на плоскости (или в про- странстве), а за «расстояние» между двумя ограниченными множествами М и N принимается число d(M, N) Выполнение первых двух условий, опре- деляющих метрическое пространство (см. стр. 537 этой книги ЭЭМ) очевид- но; выполнение последнего условия (неравенства треугольника) только что доказано. Это метрическое пространство играет важную роль во многих вопросах геометрии (см., например, статью «Выпуклые фигуры и тела» в этой книге ЭЭМ). 1.6. Полунепрерывность длины. В этом пункте мы рассмотрим еще очно свойство длины ломаной. Мы будем пользоваться им только в § 4, но для полноты и ясности картины сформулируем его здесь. Интересующее нас свойство длины (так называемую полунепрерывность снизу) можно наглядно описать следующим образом. Пусть L—некоторая ломаная, может быть, сильно изви- листая, и г—очень маленькое положительное число. Рассмотрим f-окрестность O(L, г) линии L. Тогда ясно, что всякая ломаная L', проходящая внутри множества O(L, г) от одного конца линии L до другого, должна в основном повторять все извилины линии L (рис. 8), и потому длина ломаной L' не может быть намною меньше, чем длина ломаной L. В точной формулировке это озна- чает, что длина ломаной обладает следующим свойством (е): 4 Энциклопедия, кн. 5
98 длина кривой и площадь поверхности (е) Пусть L — некоторая линия и е—положительное число. Тогда существует такое число 6>0, что для всякой линии L', удовлетворяющей условию d (L, L’) < 6, выполнено соотношение (6) Доказательство того факта, что длина ломаной обладает свой- ством (е), мы приведем в § 3 (см. п. 3.1). Таким образом, после доказательства этого свойства мы сможем следующим образом Рис. 8. уточнить теорему существовании и единственности длины ломаной (см. п. 1.3): На классе всех ломаных линий существует одна и только одна функция I, обладающая свойствами (сс) — (6); эта функция I обладает также и свойством (е). Присоединение свойства (е) к сформулированным ранее свой- ствам (сс) — (6) будет иметь принципиальное значение в дальнейшем. Дело в том, что при определении длины на более широком классе линий, чем ломаные (а именно, на классе так называемых спрям- ляемых линий, см. § 3), свойств (сс) —(6) уже оказывается недостаточно, т. е. существует много различных функций со свойствами (а) —(6), определенных на классе спрямляемых линий (хотя на классе ломаных линий все эти функции совпадают с обычной длиной). В то же время свойства (сс) — (е) определяют на классе спрямляемых линий единственную функцию, ко- торая и называется длиной (см. § 4). Важно отметить, что, каковы бы ни были ломаная линия L и положительное число 6, существуют ломаные L' произвольно боль- шой длины, удовлетворяющие условию d (L, L')<Z& (рис. 9). Таким образом, условие d (L, L')<Zb ограничивает длину ломаной L' снизу (см. (6)), но не накладывает никаких ограничений сверху,
ДЛИНЫ ЛОМАНЫХ линий 99 в связи с чем свойство (е) и называют полунепрерывностью снизу. Можно сформулировать свойство полунепрерывностп снизу и в дру- гих терминах. Будем говорить, что последовательность лома- ных Z.J, Ь2, ..., Ln, ... сходится к ломаной L, если выполнено соотношение lim d (L, Ln) — (). He следует думать, что если по- п-^ а: следовательность ломаных Llt L2, ... сходится к ломаной L, то непременно выполнено соотношение lim /(£„) =/(Л). (7) п -> со В действительности соотношение (7) (которое, если бы оно было всегда справедливо, можно было бы назвать непрерывностью длины), вообще говоря, не выполняется. Мож- но лишь утверждать, что если пре- дел lim I (Ln) существует, то он в удовлетворяет неравенству lim /(Л„) >/(£). (8) л —> со Это утверждение эквивалентно свой- ству (е); таким образом, неравенство (8) и означает полунепрерывность дли- в; ны снизу. Тог факт, что длина только по- лунепрерывна снизу,но не непрерывна, а хорошо иллюстрируется одним извест- ным софизмомх). Рассмотрим квадрат Рис. 10. ABCD (рис. 10), сторона которого равна единице. Тогда ломаная Ьг — АВС имеет длину 2. Длина не изме- нится, если мы заменим ступенчатой ломаной Т.2 = ABXB2BSC. Мы можем удвоить число ступеней — получим ломаную Л3 = = АВ^В^В^В^В^В^В^С той же длины 2. Продолжая это удвоение х) См. В. Литцман, Где ошибка?, Физматгиз, 1962, стр. 128 ц Я С. Дубнов [5], стр. 48. 4*
100 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ступеней до бесконечности, мы будем получать все новые и новые ломаные длины 2, которые все более приближаются к диагонали АС, в пределе сливаясь с ней. Отсюда «следует», что длина этой диагонали равна двум. (Таким же путем можно «доказать», что диагональ параллелограмма равна сумме двух прилегающих его сторон.) Основой этого софизма является следующее заключение: так как последовательность ломаных Аг, L2, L3, ... сходится к отрезку АС, «то» l(AC) = lim l(Ln). В этом заключении неявно п -> со используется равенство (7). Так как равенство (7), вообще говоря, не выполняется, то приведенное заключение является необосно- ванным. И действительно, lim /(/.) = 2, I (АС) = что отнюдь не П —> со противоречит неравенству (8). § 2. Простые дуги 2.1. Обзор содержания параграфа. Напомним, что простой дугой называется множество (на плоскости или в пространстве), на которое может быть взаимно однозначно и непрерывно отобра- жен отрезок (см. стр. 37). Мы установим в этом параграфе неко- торые важные для дальнейшего свойства простых дуг, связанные главным образом с вопросом о последовательном расположении точек на простой дуге. Все свойства простых дуг, о которых идет речь, достаточно наглядны; в то же время строгие доказательства этих свойств (пп. 2.2 —2.7) несколько кропотливы и утомительны. К тому же эти свойства не имеют прямого отношения к понятию длины (хотя и будут сущест- венно использованы в даль- 4?-------------\ нейшем). Поэтому для удоб- 1 ( \ X ства читателя мы приведем в I \ ) / ) этом пункте формулировки и \ ° 4—' fa наглядные пояснения инте- ------- / ресующих нас свойств. Даль- ______________________________S нейшие пункты этого пара- графа (посвященные доказа- Рнс- И- тельству сформулированных свойств), если они покажутся трудными или неинтересными, мы рекомендуем при первом чтении пропустить. (а) Пусть Л — некоторая простая дуга и f—непрерывное взаимно однозначное отображение числового отрезка Д = [а, й] на множе- ство Л. Точки f(a) и f(b) мы будем называть концами простой дуги Л. Далее будем говорить, что точки Ло, А1г .. . , АЛ распо- ложены последовательно на простой дуг? Л (рис. И), если числа
ПРОСТЫЕ ДУГИ 101 t0, /1Т ..tk, удовлетворяющие условиям f(ft) = Ahi^0, 1, . .., k, образуют монотонную последовательность (т. е. либо <Zik, либо t0~> . > /Л). Эти определения, наглядно вполне по- нятные, страдают, однако, некорректностью. В самом деле, эти определения связаны с выбором какого то одного непрерыв- ного взаимно однозначного отображения / числового отрезка на множество Л, и заранее не ясно, не изменятся ли, например, кон- цевые точки простой дуги, если отображение f заменить другим аналогичным отображением. В действительности, как и следует ожидать, концевые точки и последова- тельное расположение точек определи- ются самой простой дугой, а от выбора / у отображения f не зависят, но этот факт / / требует доказательства (оно проведено _________у ( в п. 2.3). Кроме того, если точки До, Л Ах,..., Ak последовательно расположены на простой дуге Л, то точки Ak, .. ., Лг, ) Ао также последовательно расположе- у' ны на этой простой дуге. У'л (б) Пусть Л—некоторая простая дуга ( и А, В, С—три различные ее точки. Бу- дем говорить, что точка В расположена на Рис. 12. дуге Л между точками А и С, если точки А, В, С последовательно расположены на дуге Л. Из трех раз- личных точек, взятых на простой дуге Л, всегда одна и только одна расположена на дуге Л между двумя другими. (в) Пусть Л — некоторая простая дуга и А, В — две ее различные точки. Обозначим через Ллв множество, состоящее из точек А, В и всех точек простой дуги Л, расположенных на ней между А и В. Полученное множество Аав является простой дугой с концевыми точками А и В (рис. 12). Эту простую дугу Ллв мы будем назы- вать частью простой дуги Л, расположенной между точками А и В (г) Пусть Ао, А1г . , Ак — точки, последовательно расположен- ные на простой дуге Л, причем Ао и Ак — ее концевые точки. Обозначим через А,- часть дуги Л, расположенную между точками А1_1 и А;, / = 1, 2, ..., k (см. рис. 11). Тогда дуги А,- и Aj с несоседними номерами i и j (т. е. такими номерами, что |/—/|>1) не имеют общих точек, а дуги Л,- и Л1+1 имеют единственную общую точку Ai (/ = 1, 2, ... , k—1). Сумма Ах + Л2 4- ... + Ak совпадает с простой дугой Л. Мы будем на- зывать дуги Д1; Л,, ... , Ак частями, на которые простая дуга Л разбивается точками Ао, .. . , Ак. (д) Пусть Ао, Ах, . . . , Ак — различные точки и пусть для каж- дого /=1,2, . .. , k построена некоторая простая дуга Л,- с кон- цевыми точками Л(-_г и А{. Предположим при этом, что простые
102 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ дуги Л(- и Лу- с несоседними номерами i и j не имеют общих точек, а дуги Af и Л1+1 имеют единственную общую точку At, i = 1, 2, ... ..., k—1. В этом случае мы будем говорить, что простые дуги Лг, Л2, ..., Aft последовательно примыкают друг к другу. Тогда сумма Л = Л1 + Л2 -г ... 4~Aft представляет собой простую дугу с концевыми точками Ао и Ак, причем точки Ао, Alt . .., Ак последовательно расположены на простой дуге А, а части, на которые дуга Л разбивается этими точками, совпадают с Alf Л2, ... , Лл. Мы будем говорить, что простая дуга Л составлена из последовательно примыкающих друг к другу дуг Ax, Л2, ..., ЛА. (е) Диаметром ограниченного множества М называется точная верхняя грань расстояний р (А, В), где А£М, В^М. При любом е > 0 всякую простую дугу Л (на плоскости или в пространстве) можно конечным числом точек разбить на части (см. (г)), диа- метр каждой, из которых меньше е. (ж) Пусть А, В, С—три различные точки, Лх— некоторая простая дуга с концами А, В и Л2 — некоторая простая дуга с концами В, С. Тогда существует такая общая точка Во дуг Л, и Л2 (возможно, совпадающая с В), что часть Лх простой дуги Л,, заключенная между точками А и Во, и часть Л2 про- стой дуги Л2, заключенная между точками Во и С, составляют вместе простую дугу Лх -}-Л2 с концевыми точками А и С (рис. 13). Перед формулировкой последних двух свойств мы дадим нагляд- ные пояснения. Пусть Л—некоторая простая дуга и А, В, С— три последовательно распо- 'ч. ложенные на ней точки. Пред- (----------------------------__Ас положим, что участок АВС /" “л* простой дуги Л представля- / ет собой «петлю», так что Л точки А и С близко располо- жены друг от друга, а точка Рис. 13. В—далеко от них (рис. 14, а). Выберем положительное чис- ло г и рассмотрим некоторую простую дугу Л', расположенную в r-окрестности дуги Ли идущую от одного конца линии Л до другого. Если г больше половины расстояния между точками А и С, то круги радиуса г с центрами в точках А я С имеют общие точки, и потому дуга Л' может «миновать» точку В (как показано, на- пример, на рис. 14, б). Но если г достаточно мало, то г-окрест- ность линии Л повторяет в основном извилины этой линии (рис. 14, в), и потому линия Л' должна пройти вдоль всей петли АВС. Иначе говоря, если г достаточно мало, то не только линия Л' располо- жена вся вблизи линии Л, но и сама линия Л не может далеко отходить от линии Л',
ПРОСТЫЕ ДУГИ 103 Сформулируем теперь точные утверждения. (з) Пусть Л — простая дуга, Ао, Л1Т ...,Ак—последовательно расположенные на ней точки и е— положительное число. Тогда существует такое 6>0, что на всякой простой дуге Л'с: О (Л, 6), концы которой отстоят от концов дуги Л Менее чем на б, Рис. 14. найдутся последовательно расположенные точки Во, Blt Bk, для которых р (А,, В()<е, г = 0, 1, ..., k. (и) Пусть Л—простая дуга и е— положительное число. Тогда существует такое б>0, что всякая простая дуга Л'с О (Л, 6), концы которой отстоят от концов дуги Л менее чем на б, удовлетворяет условию d(A, Л')<е. 2.2. Расстояние между простыми дугами. При формулировке свойств (е) и (и) использовались диаметр простой дуги и отклонение d(Л, Д') между двумя простыми дугами Л, Д'. Для рассмотрения этих понятий необходимо знать, что всякая простая дуга является ограниченным множеством. Докажем это. Пусть Л—простая дуга, расположенная на плоскости (в случае пространства доказательство аналогично), и f—взаимно одно- значное непрерывное отображение некоторого отрезка Д = [а, Ь] на мно- жество Л. Введем на плоскости систему координат х, у и обозначим для каждой точки / £ Л координаты точки / (t) через Xj(t) и yf(t). Тогда Xf(t) и t/y(Z) представляют собой непрерывные функции, заданные на отрезке Д (см. стр. 37). Так как всякая непрерывная функция, заданная на отрезке, ограничена (см. ЭЭМ, кн. III, стр. 217), то существует такое число М, что — М <Xy(Z) < М, —М f(t)< М для любой точки t отрезка Д. Иначе говоря, для любого ZgA точка f (t) расположена в квадрате, определяемом неравенствами | х | < М, | у | < М, и потому множество Л ограничено. Пусть Л—некоторая простая дуга и А—не лежащая на ней точка. Тогда существует такое положительное число г, что для любой точки В£Л выполнено неравенство р(Д, В)3гг. Для доказательства рассмотрим непрерывное взаимно однозначное ото- бражение f некоторого отрезка Д на множество Л и положим <p(Z) = = р(А, /(/))• Получаемая таким образом функция <р (/), определенная на отрезке Д, непрерывна, что видно, например, из ее записи в координатах Ф (0= К(Х/(0-«1)г + (У/(0-Я2)а
104 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ (щ и а2—координаты точки А, см. рис. 15). Из непрерывности этой функ- ции вытекает существование такого значения 0£Д, для которого функция ф (t) принимает наименьшее значение (см. ЭЭМ, кн III, стр. 218) <р (0) <<р(/) для любого Иначе говоря, ф(0)<р(А, В) для любой точки В£Д, и потому число г = ф (0) = р (Д, f (0))—искомое (это число положительно, так как точка А не лежит на линии Л и, следовательно, A*f(6)). Пусть Ai и Л2—две простые дуги, не имеющие общих точек. Тогда существует такое положи- тельное число г, что для любых точек A £ Ах и В g Л2 выполнено неравенство р (А, В) 5s г Для доказательства рассмот- рим непрерывное взаимно одно- значное отображение f некото- рого отрезка Л] на множество At и непрерывное взаимно однознач- ное отображение g некоторого отрезка Д2 на множество Л2. Для любых точек £ At, t2 £ Д2 мы положим: <Р (*1, f2) = P(f(<l), g(G)) получаем таким образом функцию <р двух переменных tr £ Д1( Эта функция непрерывна, что видно, например, из ее записи Мы ^2 Е ^2. в координатах: <₽(<!. t2) = V(Xf (tJ-Xg (f2))2 + [УГ(Ц)-Уе (f2))2. Из непрерывности этой функции вытекает существование таких значений ©1 € А1> 6г € Аг. для которых функция принимает наименьшее значение *): ф(61, 62)<<p(G. У Для любых G € Дц € Дг- Иначе говоря, P(/(®i), 8 (62)) < Р (Л> В) для любых точек Д£Л1, В £Л2, и потому положительное число r = p (f (0J, g(02))—искомое. Символом Л13 мы будем, как и на стр. 14, обозначать замыкание мно- жества М, т. е. множество, получающееся, если к М присоединить все его граничные точки. Мы докажем следующее важное для дальнейшего свойство окрестностей. Пусть Aj и Л2—две простые дуги, не имеющие общих точек Тогда существует такое число е > 0, что множества (О (Л1г е))3 и (О (Л2, е))3 также не имеют общих точек (рис. 16). Для доказательства обозначим через г такое положительное число, что р (А, В)^г для любых точек A gAb В£Л2 (см. выше), и положим е = Покажем, что множества (О (At, е))3 и (О(Л2, е))3 не имеют общих точек. Допустим противное: существует точка С, принадлежащая обоим этим множествам. Так как С^(О(Л1, е))3, £) Для случая непрерывных функций от одного переменного доказа- тельство существования наименьшего значения приведено в ЭЭМ кн III, стр. 218 В случае функций двух (или большего числа) переменных дока- затетьство аналогично; оно использует теорему Больцано—Вейерштрасса (ЭЭМ, кн. III, стр. 156).
ПРОСТЫЕ ДУГИ 105 то круг радиуса е с центром в точке С содержит внутри себя хотя бы одну точку множества О(Л1? е) т. е существует такая точка D^0(Alt в), что р (С, D) < е. Аналогично существует такая точка Е £ О (Л2, е), что р (С, Е) <е. Так как D£O (Alt в), то существует такая точка A^Aj, что р(А, D) < в. Аналогично, так как Е £0 (Л2, е), то существует такая точка BgA2, что р (£, В) < е. Теперь мы получаем (см. п. 1.4): р(А, В)<р(А, D) + p(D, С) + р(С, £) + р(£, В) < е4-е + е-|-Е=-4е, т. е. р(А, В) < г. Но это противоречит тому, что р (А, В)^г для любых точек A£Ab В£Л2. Совершенно аналогично доказывается, что если, точка А не лежит на простой дуге Л, то существует таков число е > 0, что множества О (А, е) и (О (Л. в))3 не имеют общих то- чек (рис. 17) 2.3. Доказательство свой- ства (а). Пусть f—непрерывное взаимно однозначное отображение числового отрезка Д1=[а, Ь] на простую дугу Лид — некоторое другое отображение числового отрезка Д2 = [с, d] на то же мио жество Л. Для каждого t£A.i вы- берем такое значение т£Д2, что д(т) = /(0> и положим т = <р (/). Мы получаем, таким образом, некоторую функцию <р, заданную на отрезке At и принимающую Рис. 16. значения на отрезке Д2. Мы изу чим некоторые свойства функ- ции «р. Функция <р взаимно однозначно отображает отрезок At на весь отрезок Д2. Действительно, для любой точки т£Д2 мы имеем g (т) £Л, и потому найдется такое число /£Ai, что f (t) = g (т), т. е. т=<р(/). Следовательно, функция <р отображает отрезок Дх иа весь отре- дпк зок Д2. Далее, если Д / /2, то f (/J ± f (t2) ДОТХ (в силу взаимной однозначности отображения /), / (и потому числа Tj и т2, удовлетворяющие со- -4К/ отношениям = Д(т2) = £((2), различ- (Щру ны между собой, т. е. (/J / <р (t2). Таким образом, отображение <р взаимно однозначно. Функция <р непрерывна. В самом деле, (ЛА пусть /0—произвольная точка отрезка Дг и е—положительное число. Для доказательства непрерывности функции <р нам достаточно уста- ^ис’ *'• повить существование такого числа > 0, что для любой точки f£Ai, удовлетворяющей условию —tB | < 6t, выполнено соотношение <р (t) < <р (^о) + Е> и суще- ствование такого числа 62 > 0, что для любой точки t£&i, удовлетворяю- щей условию | t—t0 | < 62, выполнено соотношение <р (<) > (<о)—₽• Суще- ствование чисел и 62 доказывается одинаково; докажем существование числа Положим т0 = ф (/0). Если <f (Z0)-j-e>d, то соотношение <р (/) < <р (10)-|-е выполнено для любой точки t отрезка Aj и существование числа fij оче- видно. Пусть <р (Z0) + e<d. Образ отрезка [т0-|-е, d] при отображении д представляет собой простую дугу Д', не содержащую точки д(т0) (или, в случае тв4-Е—d, представляет собой точку, отличную от д(Тр)). Поэтому
106 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ (см. в. 2.2) существует такое положительное число г, что р (g (т0), В) > г для любой точки BgA'. Иначе говоря, р (g (т0), g (т)) > г при т>=т04-е. Так как отображение f непрерывно, то существует такое число > 0, что для любой точки t отрезка А!, удовлетворяющей условию | t0—11 < 6, выполнено соотношение р (/(Zo)> f(Z))<r. Пусть t — точка отрезка Д(, удовлетворяющая условию | tB— 11 < 6f, положим т = ф (Z). Мы имеем Р (f (*о). Далее, так как т=<р(/). т0 = ф (Zo), то f(Z) = g(t), f(tB) = g (т0), и потому p(g(T0), g (т)) < г. Из этого, в силу определения числа г, вытекает, что точка т не лежит на отрезке [т04-е, d], т. е. т < т0 + е. Итак, прн | tB—t | < 6t мы имеем т < т0 + е, т. е. Ф (0 < Ф Ко) + е- Тем самым непрерывность функции <р доказана. Функция ф монотонна. Пусть tB, tlt t2—такие точки отрезка AL, что tB < (j < t2. Покажем, что значение ф (ZJ заключено между ф (Zo) и ф (Z2) (т. е. либо ф (Zo) < ф (Zj) < ф (Z2), либо ф (tB) > ф (tj) > ф (Z2)). Допустим, что это не так; пусть, например, значение ф (tB) заключено между ф (/J и ф(/2). Тогда на отрезке [Zlt Z2] найдется такая точка / , что ф((') = ф (Zo) (см. ЭЭМ, кн. III, стр. 216). Так как Z0<Zi<Z'<Z2, то tB Z'. Но тогда соотношение ф ((') = ф (Zo) противоречит взаимной однозначности отображе- ния ф. Полученное противоречие доказывает, что значение заключено между ф (Zo) н ф (Z2). Из доказанного вытекает монотонность функции ф. Действительно мы имеем ф (а) ф (ft); пусть, например, ф (а) < ф (6). Тогда для любых точек Z' < t" отрезка [а, 6] мы находим а < Z" < Ь, откуда ф (а) < ф (Z") < ф (ft); далее, а < Z' < Z", откуда ф (а) < ф (Z') < ф (Z"). Итак, при Z' < Z" мы имеем Ф ((') < ф (Z"), т. е. ф—монотонно возрастающая функция. (При ф (а) > ф (ft) функция ф будет монотонно убывающей.) Значения ф (а) и ф (6) совпадают с концами отрезка [с, d]. Это непо- средственно следует из того, что функция ф монотонна и отображает от- резок А! на весь отрезок Д2. Из доказанного предложения вытекает, что точки f (a), f (ft) совпа- дают, с точностью до порядка, с точками g(c), g(d), и потому приведенное в п 2.1 (а) определение концевых точек простой дуги корректно Точно так же корректным является и определение последовательного расположе- ния точек на простой дуге. В самом деле, пусть Alt А2, ... , Ак—некото- рые точки простой дуги А. Выберем на отрезке Aj точки it, t2, ... , tk, удовлетворяющие условиям f(ii) = Ai, i=l, ... , k, а на отрезке Д2—-точки Tj, т2....тА, удовлетворяющие условиям g(t;) = A,-, i = l.....k. Тогда Т, = ф (Z,) z=l, ... , k, и потому (в силу монотонности функции ф) из мо- нотонности последовательности Zj, Z2, ... , tk вытекает монотонность после- довательности Tlt т2, ... , и обратно. 2.4. Доказательство свойств (б), (в), (г), (д). Пусть А, В, С — три точки простой дуги А. Выберем непрерывное взаимно однозначное отображе- ние числового отрезка Д = [а, ft] на множество А, и пусть Zj, Z2, Z3—такие точки этого отрезка, что /(Zi) = A, f(t2) = B, f(t3)=C. Так как из трех раз- личных чисел Zi, Z2, Z3 всегда одно и только одно лежит между двумя другими, то из трех точек А, В, С одна и только одна лежит между двумя другими. Свойство (б) доказано. Для доказательства свойства (в) сохраним те же обозначения A, f, А, В, tlf t2. Будем для определенности предполагать, что Zi < Z2. Из свойства (а) ясно, что точка D дуги А в том и только в том случае лежит между А и В на дуге А, если она имеет вид D=f(Z), где Zj < Z < Z2. Присоединяя к точкам, лежащим между А и В, еще сами точки A=f(ti) н B — f(t2), мы найдем, что точка D в том и только в том случае принадлежит мно- жеству АдВ, если она имеет вид где Zi<Z<Z?. Иначе говоря,
ПРОСТЫЕ ДУГИ 107 множество Лдв представляет собой образ отрезка Z2] при отображении f, и потому является простой дугой. Перейдем к доказательству свойства (г). Пусть f — непрерывное взаимно однозначное отображение числового отрезка Д=[а, 6] на множество Л и пусть tj — такая точка отрезка Д, что f(ti) = Ah i—0, 1, ... ,k. Тогда точки Zo, Zj, ... , tk образуют монотонную последовательность, причем t0 и — концы отрезка Д. Будем для определенности предполагать, чтоа = £0< < tj < ... < tk_1 < — Дуга Л,- представляет собой образ отрезка Д, = [^-_1, Z,] при отображении f. Из свойств числовых неравенств легко вытекает, что отрезки Д,- и Ду с несоседними номерами не имеют общих точек, а отрезки Д,- и Д, + х имеют единственную общую точку Z(, i = l, 2, ... , k—1. Отсюда и следует справедливость свойства (г). Наконец, свойство (д) легко установить сначала для fe = 2, а затем по индукции—для произвольного k. 2.5. Доказательство свойства (е). Пусть f—непрерывное взаимно одно- значное отображение числового отрезка Д=[а, 6] на простую дугу Л. Введем на плоскости прямоугольную систему координат (в случае про- странства доказательство аналогично) и обозначим координаты точки f (Z) через Xf(t) и yf(t). Так как функции Xf(t) и заданные на отрезке Д, непрерывны, то существует такое число б>0, что прн ] t'—t" | < 6 мы имеем: |ху (t')—xf(t") | < е/3, | yf(t' )-у} (Z") | < е/3 (свойство «равномерной непрерывности», см. ЭЭМ, кн. III, стр. 220), и потому f(Z"))<2e/3 при | Z'—Z" | < б. (9) Выберем теперь на отрезке Д такие точки a = tK< ti< ... < tk_x < tk = b, что tj — i = l,2....k. Точку f (Z,) мы обозначим через A;, i=0, 1, ... , k, а образ отрезка [/,_!, Z,-] при отображении f—через Л,-,/= 1, ... , k. Таким образом, простая дуга Л разбивается точками Ао, Alt ... , А& на последовательно примыкающие друг к другу части Лх, Л2, ... , Лл. Из не- равенства (9) вытекает, что диаметр каждой дуги Л, не превосходит 2е/3, т. е меньше е. 2.6. Доказательство свойства (ж). Пусть f—такое непрерывное отобра- жение числового отрезка Д= [5, с] на простую дугу Л2, что / (Ь) = В, f (с) = С. Обозначим через Q множество всех тех значений Z^A, для которых Множество Q содержит точку b и потому не пусто. Обозначим через т точную верхнюю грань множества Q и положим Мы покажем прежде всего, что -tgQ, т. е что Во= f (т) £Л1- Допустим, что это не так. Тогда существует круг некоторого радиуса г с центром в точке Во, не содержащий точек дуги Лх (см. п 2.2), и потому существует такое е > 0, что f (Z)gO (Во, г) прн | Z—т | < е. Следовательно, точка f (Z) не лежит на дугеЛх при | Z—т | < е. Но тогда на отрезке [т—е, т] нет ни одной точки множества Q, а это про- тиворечит тому, что т—точная верхняя грарь множества Q. Итак, x£Q, т. е. В0=/(т)^Л1. По определению числа т, при Z>t точка f (Z) не при- надлежит дуге Л1? т. е. часть Л2 дуги Л2, заключенная между точками Во и С, не имеет с Лх других общих точек, кроме Во. Следовательно, часть д' дуги Лх, заключенная между точками А и Во, и часть Л2 дуги Л2 со- ставляют вместе простую дугу Aj-)-A2 (см. свойство (д)). 2.7. Доказательство свойств (з) и (и). Проведем сначала доказательство свойства (з). Мы можем считать (добавив, если нужно, к точкам Ао, Ах, ... , Aft еще конечное число точек), что Ао и А/,— концевые точки дуги Л и точки Ао, Ах, ... , Ak делят дугу Л на части, каждая из которых имеет диаметр
108 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ g у. Обозначим эти части через Aj, Аг, . t Лл. (дуга Л, имеет своими концевыми точками A,_i и А,). Пусть f—непрерывное взаимно однозначное отображение числового отрезка Д на множество Ли t0, tlf ... , tk—такие точки отрезка Д, что f(/I) = A/, * = 0, 1...k. Тогда последовательность tB, tlt ... , tf, монотонна, причем tB и tk—концевые точки отрезка Д. Мы можем без ограничения общности считать, что эта последовательность — возрастающая, т. е. t0<t1<...<tk и Д = [/о, Zft]. Ясно, что = /,]). '=1.2......k. Выберем такое положительное число г, что выполнены следующие условия: множества (О (Л,-, г))3 и (О (Лу, г))3 не имеют общих точек при | i — j | > 1; множества О(А0, г) и (0(Л2, г))3 не имеют общих точек; множества O(Aft, г) и (O (A.k_1, г))3 не имеют общих точек. Существование такого числа г вытекает из сказанного в п. 2.2. Нако- нец, выберем положительное число б, удовлетворяющее условиям б < г, е . Мы покажем, что это число 6 удовлетворяет условиям, указанным в формулировке свойства (з). В самом деле, пусть Л'С О (Л, б) — простая дуга, концы которой от- стоят от концов линии Л менее чем на б. Обозначим концы дуги Л' через Во н Вк, так что р (Ао, Во) < 6, р (АЛ, Вк) < б. Выберем некоторое непре- рывное взаимно однозначное отображение g числового отрезка Д' на про- стую дугу Л' и обозначим через qB н qk концы этого отрезка. Мы можем без ограничения общности считать, что g(q^ = BB, g(qk) — Bk. Для каждого 1 = 1, 2....k—1 обозначим через Q,- множество всех точек t > qB отрезка Д', удовлетворяющих условию g ([<70, П)с Ut, где Uj = O (Aj, 6)UO(A2, б) U U... U О (Л,-, 6). Ясно, что Q, представляет собой некоторый отрезок (возможно, без правого конца), содержащийся в отрезке Д', прячем QjCQjC... С Следовательно, обозначая правый конец отрезка Q,- черев qt (т. е. <7; = supQ,-, i=l, 2,...,fe —1), мы получим <7l<<72^ • • < <7s_i < ?а- Положим 6(- = g(<7,), / = 1.k—1 (точки Вв и Вк уже были определены выше). Мы покажем, что точки Вв, Вг........Вк различны между собой, последовательно расположены на линии Л' и удовлетворяют условиям р (A,-, Bj) < е, z = 0, 1, Пусть i—какое-либо из значений 1, 2, ... , k—1 Так как при t < qt мы имеем g(0€^<. то как угодно близко к точке g(?,) найдутся точки множества Uj, и потому B, =g (?,)Е(^;)з- Точка Вк принадлежит множеству О (Aк, 6), которое не пересекается с (Й,)э (ибо б < г и i < k). Следовательно, В =£ Вк, и потому q, < qk. Далее, точка Bj не может принадлежать мно- жеству Uj, так как это множество открыто, и потому из включения g(qi)(z U; вытекало бы существование такой точки /£[</0, что t > </,- и g ([<70, Z])cL/(, а это противоречит определению числа q, как точной верх- ней грани множества Q(-. Итак, точка В, не принадлежит множеству U т. е. ие принадлежит ни одному из множеств О (Aj, 6),..., О (Л,, 6). Далее, так как Bj£(Uj)3, то точка В,- не принадлежит ни одному из мно- жеств (О (Л,-+2, б))3, .... (О (ЛА, б))3. Таким образом, ни одно из множеств О(Лу, б) не содержит точки В/ при j г 4- 1. Но мы имеем: Bj^\'^O{\, 6) = O(At, 6)UO(A2, б) U . U О (Ад., б). Следовательно, В,£О (A/+i, б). Из включения В;£(1/,)3 вытекает теперь, что Bj^(O(i\j, б))3, так как при j<i множества (О(Лу, 6))3 н О(Л,+1, 6) не пересекаются. Итак, й,€(О(Л(. б))3, В,еО(Л1+1, б), / = 1, 2.fe-1.
СПРЯМЛЯЕМЫЕ ЛИНИИ 109 В частности, B,-_ig(O (A,_i, 6))3, В(£О(Л, + 1, 6), откуда вытекает, что S,_i ± В,, т. е. i = 2, 3....k—1. Из включений В0£О(А0, 6), В]^0(Л2, 6) вытекает, что Во =4 St, т. е qB3Aqt- Наконец, как мы выше видели, Вк_1^А Bk, т. е. qk-i^qk- Вспоминая теперь неравенства < ... <7к, мы находим, что q0 < qv < ... < qk, т. е. точки Во, Вг, ... , Вк различны между собой и последовательно расположены на дуге Л'. Так как В0£О(Л0, 6), то р (Ао, Вв) < 6 < в. Аналогично р (А^, Вк) < е. Наконец, при »=1, 2, ... , k — 1 мы имеем В,£О(Л, + 1, 6), т. е. существует такая точка C,gAl+1, что р (В,-, С,) < б < е/2 Кроме того, р(А,-, С,) < е/2, так как диаметр дуги A.j+1 (содержащей обе точки А,, С(-) меньше е/2. Таким образом, р (А,-, С,-)<е'2, р(С,, В,) < е/2, и потому р (А,-, В() < и. Тем самым неравенство р (А,, В,) < е доказано для всех г = 0, 1, ...,Л. Перейдем к доказательству свойства (и). Разобьем дугу Л последова- тельно расположенными на ией точками Ао, Аи ... , Аа(А0 и Ак—конце- вые точки) на части Ab Л2.....Лл, диаметр каждой из которых меньше е/2. Выберем такое б > 0, что на всякой простой дуге Л' С О (Л, б), концы которой отстоят от концов дуги Л менее чем на 6, найдутся точки Во, Bt......Вк, для которых р (A,-, BJ < е/2, i=0, 1.......k (такое число 6 существует в силу уже доказанного свойства (з)). При этом мы будем пред- полагать, что б < е. Покажем, что это число б—искомое. Пусть Л'С0(Л, б)—простая дуга, концы которой отстоят от концов дуги Л менее чем на б. Выберем на дуге Л' такие точки Во, Blt .... бА, что р(А,-, В() < е/2, /=-0, 1, ... , k. Так как диаметр дуги Л; меньше е/2, то Л(- С О (А,, е/2). Кроме того, A,gO(B(-, е/2). Следовательно, Л,<=О(А,-, е/2) С О (О (Bz, е/2), е/2) СО(В;, е) С О (Д', е). Это соотношение справедливо для любого « = 1, 2,..., k, н потому ЛС0(Л', в). Кроме того, Л' СО(Д, б) С О (Л, е). Таким образом, d(A, Л')<е. § 3. Спрямляемые линии 3.1. Вписанные «ломаные». Пусть Ао, Аи ... , Ак — какие-либо А]-1 различных точек (на плоскости или в пространстве), рассмат- риваемых в указанном порядке. Сумму отрезков А0Ак, А±А2, ... , Ак_1Ак с от- меченными на ней точками Ао, Аи ... , Ак (в указанном порядке) мы будем назы- вать цепочкой отрезков и будем обозна- чать ее через ЛСА1 ... Ак. Точки Ао, Ап ..., Ак называются вершинами рас- сматриваемой цепочки отрезков. Всякая ломаная L-B^By .. . В{ является также цепочкой отрезков (с вершинами Во, В1г ... , В(). Обратное, вообще говоря, неверно: цепочка отрезков может не быть ломаной (в смысле п. 1.3), так как отрезки, составляющие цепочку, могут иметь пересечения, наложения и т. п. (рис. 18). Тем не менее мы часто в дальнейшем будем вместо термина цепочка отрезков употреблять слово «ломаная», заключая его в этом случае в кавычки.
110 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ Таким образом, ломаная будет всегда пониматься в том же смысле, что и в п. 1.3, а термин ломаная» будет употребляться как синоним термина «цепочка отрезков . Длиной, цепочки отрезков Г = Л0Д1...ДЛ мы будем называть число (Г) = р (А> А) + р (А> А) + • • + р (А-i, А); в случае, если цепочка отрезков является ломаной, мы получаем обычную длину ломаной (см. и. 1.3). Таким образом, цепочка отрезков и ее длина определяются выбо- ром вершин Ао, .4,, . , Ак, в качестве которых можно взять любую Рис 19 конечную совокупность различных точек, рассматриваемых в определенном порядке. Пусть теперь Л — некоторая простая дуга и Д(„ ... , Ак— точки, последо- вательно расположенные на дуге Л, при- чем Дс и Ак— ее концевые точки. В этом случае цепочку отрезков Г = АА • • мы будем называть вписанной «ломаной» дуги Л с вершинами в точках . .. . . . , Ак. (Эта ломаная- может иметь са- мопересечения и самоналожения, рис. 19.) Докажем теперь следующую лемму: Пусть Л—простая дуга и Г = АА*”А— некоторая ее вписанная «ломаная». Тогда для любого е>0 можно найти такое 6 > 0, что всякая ломаная L, для которой d (Л, L) <6, удовлетворяет условию (Г) — е. В самом деле, пусть 6>»0—такое число, что на всякой про- стой дуге Д'с О (Л, 6), концы которой отстоят от концов дуги Л менее чем на б, найдутся последовательно расположенные точки Во, Bt, ... , Вк, для которых р (А,, й,)<2^ >1 — 0,1, ... , А (см. свой- ство (з) в п. 2.1). Пусть, далее, L — произвольная ломаная, удов- летворяющая условию d (Л, L) < б. Тогда АсО(Л, б) и ЛсО(£, б). Из включения ЛсО(А, б) вытекает существование на ломаной L таких точек Р и Q, что р (Ао, Р) <; б, р (A, Q) <Обозначим часть ломаной £, заключенную между точками Р и Q, через Л'. Тогда A'cLcO(A, б) и концы дуги Л' отстоят от концов дуги Л менее чем на б Следовательно, на ломаной Л' найдутся такие последовательно расположенные точки Во, В1: . . , Вк, что р(Д,-, В;)<^,, i = 0, 1, ..., k. Обозначим через £; часть ломаной Д', заключенную между точками В,_1 и В, (i = 1, 2, ... , k), а через L' — часть ломаной Д', заключенную между точками Вп и Вк. Тогда
СПРЯМЛЯЕМЫЕ ЛИНИИ 111 L' является частью ломаной L, и потому /(£)^/(£') (см. свойства а) и (Р) в п. 1.1). Далее, ломаная L' составлена из ломаных £1Г £2, ... , Lk, последовательно примыкающих друг к другу, и потому (см. свойство (Р))/ (£') = /(£1)Д-/(£2)4-... Так как ломаная £,- соединяет точки В,_1 и В,-, то /(£,) р (В,_1, Д), i = 1, 2, . .. , k (см. п. 1.4). Наконец, из соотношений р (Л;, Д) , 1 = 0, мы получаем: р (Д_!, Д) > р (А-ь А)— 2-^. Из написанных соотношений непосредственно вытекает, что с / (£) > р (До, Дх) + р (А, л.г) + ... + Р (4_1, А) - 4k ~ = / (Г) - е, и лемма полностью доказана. Доказанная лемма позволяет очень просто установить, что длина ломаной обладает свойством (е) (см. п. 1.6). Действительно, пусть А — ломаная линия и До, Л1, ... , Ak— ее вершины, последовательно расположенные на линии А. Тогда вписанная «ломаная» Г = = Л0Л1 ... Ak совпадает с А, и доказанная лемма утверждает существование такого числа 6>0, что всякая ломаная L, для которой d (А, £)<6, удовлетворяет условию /(£)>/(А)— е. 3.2. Определение спрямляемой простой дуги. Отмеченные выше свойства длины ломаной послужат нам теперь для определения класса спрямляемых линий. Именно, мы будем говорить, что простая дуга А является спрямляемой, если выполнено следующее условие. Существует такое положительное число Л1, что при любом 6>0 найдется ломаная L, для которой d (L, А)<<5 и /(£) Л£ Иными словами, простая дуга А называется спрямляемой, если существует такое положительное число М и такая последователь- ность Lx, L2, ..., Ln, ... ломаных, что lim Ln = А(т. е. d (Ln, A)—>-0 n сю при п—> оо) и /(£П)=СА1 для любого п. 3.3. Спрямляемость и вписанные «ломаные». В этом пункте мы докажем следующую теорему: Простая дуга А в том и только в том случае спрямляема, если существует такое положительное число М', что длина любой вписанной в А «ломаной» не превосходит М'. Эта теорема вытекает, очевидно, из следующих двух предло- жений: а) Пусть А — спрямляемая простая дуга и А1>0—такое положительное число, что при любом 6>0 найдется ломаная L, для которой d (А, £)<6 и I Тогда длина любой вписан- ной в Л «ломаной» не превосходит М. б) Пусть А—такая простая дуга, что длина любой вписан- ной в нее «ломаной» не превосходит М'. Тогда при любом б>0
112 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ найдется ломаная L, для которой d (A, L) <6 и Следовательно, простая дуга Л спрямляема. Докажем эти предложения. (а ) Пусть Г = Д0Д1 ... Ak—произвольная вписанная в дугу Л «ломаная» и е — положительное число. Выберем число 6, существо- вание которого утверждается в лемме п. 3.1. В силу спрямляемости дуги Л, существует такая ломаная L, что d (Л, £)<6 и /(Л)=СЛ/. Из соотношения d (Л, L)-<6 вытекает в силу леммы п. 3.1, что Z (Z.) Z> Z (Г)— е. Таким образом, I (Г)</(L) -)-е М 4-е. Ввиду произвольности е отсюда следует, что (б ) Пусть 6 — произвольное положительное число. Выберем такое положительное число е>0, что всякая простая дуга Л' с: О (Л, е), концы которой отстоят от концов дуги Л менее чем на е, удовлетворяет условию d (Л, Л') <6 (см. свойство (и) в п. 2.1). Число е будем, кроме того, предполагать меньшим, чем 6. Разобьем дугу Л точ- ками До, Дх, .. , Ak (До и Ak—концевые точки) на части, диаметр каждой из которых меньше в, так что, в частности, р (Д-з, Д,) < е, /=1, 2, ..., k. Тогда вся вписанная «ломаная» Г = Д0Д1 ... Ak содержится в множестве О (Л, е): Г с О (Л, е) <= О (Л, 6). Согласно предположению, I (Г) /И'. Докажем теперь по индукции, что существует ломаная с Г с концевыми точками Ао и Аь длина которой не превосходит дл^ны «ломаной» ДОДХ Д- При i=l это утверждение очевидно: можно за L1 принять отрезок Д0АР Пусть уже построена ломаная Д-1 <= Г с концевыми точками До и Д/_р длина которой не превос- ходит длины «ломаной» А0А1 ... Д,-_Р Обозначим через Во ближай- шую к Aj общую точку ломаной Д_х и отрезка Ai_1Ai. Тогда отрезок BbAi имеет с ломаной Д_1 единственную общую точку Во. Поэтому часть Д_х ломаной Lh заключенная между точками До и Во, составляет вместе с отрезком В0Д; ломаную, содержащуюся в Г и имеющую Ао и Д,- своими концевыми точками. Ее длина / (Д_Х) + /(ВОД) не превосходит числа I + 1 (Д.-хД,), т. е. не превосходит длины «ломаной» ДОДХ .... А,-. Таким образом, за Lt можно принять ломаную В0А{. Проведенная индукция позволяет найти ломаную £ксЛ с кон- цевыми точками До и Ah, длина которой не превосходит длины «ломаной» Г = ДрД] ... Ak, т. е. I (Lk) I (Г) М'. Так как ТА<=Л, то ДсО(Л, е), и потому, согласно выбору числа в, мы имеем d (Л, Д)<6. Таким образом, ломаная Lk — искомая. 3.4. Спрямляемость составной дуги. Пусть А—простая дуга, составленная из простых дуг Лх Лг, .,., ЛА, последовательно
СПРЯМЛЯЕМЫЕ ЛИНИИ 113 примыкающих друг к другу. Если длина всякой «ломаной», вписанной в дугу Ah не превосходит АГ., то длина всякой «ломаной», вписанной в дугу А, не превосходит + АГ . + M'k. Доказательство достаточно провести для случая двух примыкаю- щих дуг Лх и А,. Обозначим общий конец дуг At и Л2 через С, а вторые их концы-—через А и В. Пусть Г = Д0Д1 ••• &k— про- извольная вписанная в дугу Л «ломаная» (Д0 = А, Ak — B}. Если точка С не является вершиной «ломаной» Г, то существует такой номер i (lsgt^/г), что точки До, А1г Дг_], С, А,-, ..., Ak последовательно расположены на дуге Л. Обозначим «ломаную» А0А1 ... А^С, вписанную в дугу Лх, через Гх, а «ломаную» CAj . . . Ak, вписанную в дугу Л2, — через Г2. Тогда мы имеем: *(Г) = рИо. Л)+--- + р(Л-п А)+--- + рИл-1, ЛЖ < Р Ио, Л) + . • • + (Р (Л-1, Q + Р (С, А,)) +... + р Ил_х> Ak) = = /(Г1)+/(Г2)^Л4'1+А1;. Если же точка С является вершиной ломаной Г, например С=А(, то /(Г) = /(Гх) + /(Г2), где Гх = Ао ... At, Г2 = Д1- ... Ak, и потому / (Г) АГ ф-АГ. Таким образом, в любом случае / (Г) =С Af'-ф АГ . Следствие. Если простая дуга Л составлена из спрямляе- мых простых дуг Лъ Л2, ..., ЛА, последовательно примыкаю- щих друг к другу, то дуга А спрямляема. 3.5. Функции с ограниченным изменением. Пусть /(/) — некото- рая функция, заданная на отрезке [а, й]. Напомним, что f называ- ется функцией с ограниченным изменением, если существует та- кое положительное число М", что для любых точек а = t0<Zt1<Z <. <^tk = b (k произвольно) выполнено неравенство l/(G)-/ (G) I +I Ж) -/(G)!+••• + l/(G-i)-/(G) I < Если функция f(t) монотонна на отрезке [а, Ь], то она обладает ограниченным изменением. Например, если f(t)—возра- стающая функция (т. е. при то мы имеем: 1Ж) -/(G) 1+|Ж)-Ж) I + •.. +1Ж-1)-Ж) I = = (/(G)—/(G)) + (/(G) -/(G)) + - + (/(G)-/(G-1)) =/(*)-/(«)- Если функция f(t) имеет на отрезке [с, Ь} непрерывную про- изводную, то функция f(t) обладает ограниченным изменением.
114 ДЛИНА КРИВОЙ И ППОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ Действительно, так как производная f (t) функции f(t) непре- рывна на отрезке [a, ft], то она ограничена, т. е. существует такое число К, что |/' для любой точки /£[«, ft]. Следовательно, для любых точек t', t" отрезка А мы имеем: f(t'}—= — f (£) (Д — /"), где |— некоторая точка отрезка А, лежащая между f и I", и потому — f'|. Таким образом, |/(^)-Ж)1+1/(А)-Ж)1+ • • • -НЖ-iW (У |< Ж^1ЖЖ1 + ...+1 ) = *(*-«) Установим теперь следующий критерий спрямляемости простой дуги: Теорема. Пусть А—некоторая простая дуга на плоско- сти и f—непрерывное взаимно однозначное отображение числового отрезка А = [а, ft] на множество А. Введем на плоскости декар- товы координаты х, у и обозначим координаты точки f(t) через Xj(t) и у fit) Простая дуга А в том и только в том случае спрямляема, если обе функции y/(t), определенные на от- резке обладают ограниченным изменением. Доказательство. Предположим, что простая дуга А спрям- ляема, и пусть М'— такое число, что длина всякой вписанной в А «ломаной не превосходит М'. Выберем на отрезке А точки а = t0 < <...<С tk = b и положим f{tt}=Ah i = 0, 1, . .., k. Тогда для вписанной «ломаной» Г = А0А1 ... Ak мы имеем I (Г) М', т. е. р(А0, А1)4р(А1, Д2)+... Д-р (Aa_!, АД< ЛТ. Но так как точка Az имеет координаты x{(ti'), у jit,), то — < р (А,-^, А,.), Iyj^i-i)— | =С р (А,-!, А,) (ибо катет прямоугольного треугольника не превосходит его ги- потенузы). Таким образом, k k 21 I < 2 Р (А-т. А) < ЛГ, 1—1 1=1 k k 2iT/(^-i)->’/«)i< 2p(A-i. a-)«, 1=1 1=1 и потому каждая из функций Xy(f), yf(t) обладает ограниченным изменением. Обратно, пусть А — такая простая дуга, что функции хД1) и уДД обладают ограниченным изменением. Обозначим через М"
СПРЯМЛЯЕМЫЕ ЛИНИИ 115 такое число, что для любых точек а -= t0 <»!<...<; tk = b выпол- нены неравенства k k 2 J (h-i) - (^) (< M", 2 I y, (t,-0 -yf (/,.) I < M'. i = 1 i = 1 Пусть, далее, Г = А0А1 ... Ак— произвольная вписанная «ломаная» дуги А. Выберем такие числа a = t0<6.t1<Z ... <Ztk = b, чго f(tj) — Ah i = l, ..., b. Так как гипотенуза прямоугольного тре- угольника меньше суммы его катетов, то p(AI_1, А(.) | Jf/(^_i)— — xf^i} l + • Следовательно, k k k 2 p (A--V 4) < 21 -*/('/) I + 2b'/(*/-i)-WI< 2.M". i=l i=i i=i Таким образом, длина любой вписанной «ломаной» Г не превосхо- дит 2Л4", и потому простая дуга А спрямляема. Следствие 1. Всякая гладкая простая дуга (стр. 38) спрямляема. Следствие 2. Всякая кусочно гладкая простая ду'га (стр. 38) спрямляема (см. п. 3.4). 3.6. Связь с теорией площадей. Всякая спрямляемая простая дуга А является нуль-множеством в смысле теории площадей (т. е. может быть заключена в многоугольную фигуру про- извольно малой площади, см. стр. 34). В самом деле, пусть М— число, участвующее в опреде- лении спрямляемости (п. 3,2), Рис. 20 и е — некоторое положитель- ное число. Выберем ломаную L, удовлетворяющую условиям d(L, А)<Се. Тогда мы имеем АсО(£, е), и доказывае- мое предложение непосредственно вытекает из приводимой ниже леммы Лемма. Пусть L — произвольная ломаная. Тогда множество O(L, е) представляет собой квадрируемую фигуру площади <(/(L)+-Je)2e. Доказательство легко провести индукцией по числу звеньев ломаной L. В случае одного звена оно ясно из рис. 20 ^площадь фигуры О(£, е) в этом случае равна ^/(£)ф--^-е) 2е] . Пусть лемма уже доказана для ломаных, имеющих «сk звеньев, и L =А0А1 ... Ak—
116 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ломаная, имеющая k звеньев. Положим Л' = Ли.4г _____________ L" = Ak_1Ak. Тогда s(O(L, e)) = s(O(L', e) + O(L", e)) = — s(O(L', e)) + s(O(Z.", e)) — s(O(L', e)-O(L", e)) (см. стр. 45). В силу предположения индукции, мы имеем: ° (0(1/, е))< /(Г) + -^е]26, s(O(L", е))<(/(Г) + £е)2е; кроме того, s(O(L’, e)-O(L", е))^ле2, так как пересечение 0(1/, e)-O(L", е) содержит по крайней мере круг радиуса е с центром в точке Ak_l (рис. 21). Таким образом, s(O(L, е))> \J(L')-\-~e^ 2е + + (£") + -J е) 2е —ле2 = = (/(Г)-Н(Л + £е) 2е = и лемма доказана. На стр. 42—44 приведен пример простой дуги, не являющейся нуль-мно- жеством в смысле теории площадей. Следовательно, эта простая дуга не- спрямляема. 3.7. Простые замкнутые линии. Часто приходится рассматри- вать значительно более общие «линии», чем простые дуги. Например, естественно рассматривать фигуры, являющиеся объеди- нением конечного числа простых дуг, попарно не имеющих общих внутренних (т. е. неконцевых) точек. Особый интерес представляют простые замкнутые линии, т. е. линии, представляющиеся в виде объединения двух (не имеющих общих внутренних точек) простых дуг с общими концами (рис. 22). Примерами являются окружность, эллипс, контур треугольника или квадрата и т. п. Как и в случае простых дуг, на простой замкнутой линии можно рассматривать последовательное (циклическое) расположение точек, вписанные «ломаные» (которые будут уже замкнутыми
ДЛИНА НА КЛАССЕ СПРЯМЛЯЕМЫХ ЛИНИЙ 117 цепочками отрезков, рис. 23) и т. д. (п. 3.2) и предложения, доказанные средственно обобщаются на случай Простую замкнутую линию можно также определить как образ отрезка [а, Ь] при таком непре- рывном отображении /, которое Определение спрямляемости в пп. 3.1, 3.3, 3.4, 3.6, непо- простых замкнутых линий. переводит концы а, b отрезка в одну и ту же точку, а на полу- интервале [«, Ь) взаимно однозначно. Это позволяет рассматривать функции Xj и yf (ср. стр. 40). Теорема п. 3.5 (с тем же доказа- тельством) сохраняется и для простых замкнутых линий. § 4. Длина на классе спрямляемых линий 4.1. Аксиоматическое определение длины. Длиной мы будем называть функцию I, заданную на классе всех спрямляемых про- стых дуг и удовлетворяющую условиям (а) — (е) см. стр. 89 и 98). Мы покажем в следующих пунктах, что на классе всех спрямляе- мых дуг такая функция I существует и притом только одна (тео- рема существования и единственности). 4.2. Доказательство теоремы существования. Пусть А — про- извольная спрямляемая простая дуга. Тогда существует такое положительное число М', что длина любой вписанной в А «лома- ной) не превосходит М' (см. п. 3.3), т. е. длины вписанных «ломаных ограничены. Точную верхнюю грань длин вписанных в А «ломаных» обозначим через А (А). Мы покажем в этом пункте, что определенная таким образом функция А является длиной, т. е. удовлетворяет условиям (а) — (е). Условие (а). Пусть А—произвольная спрямляемая простая дуга. Обозначим ее концевые точки через А и В. Так как отре- зок АВ является вписанной «ломаной» линии А, то А (A) 5= I {АВ) — = р(А, fi)>0.
118 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ Условие (Р) достаточно доказать для случая, когда простая дуга А составлена из двух дуг Аг и Л2, имеющих общую конце- вую точку С и не имеющих других общих точек. Любая «ломаная», вписанная в дугу Аи имеет длину есХ(Аг) (по определению верх- ней грани), а любая (ломаная», вписанная в дугу Л2, имеет длину X (Л2). Следовательно, любая «ломаная» Г, вписанная в дугу А, имеет длину I (Г) X (Л1)-(-Х (Л2) (см. п. 3.4), и потому Х(Л)=С <X(Ax) + X(A2). Пусть теперь Г1 = А0А1 ... Ak_xC и Г2 = СВ1 ... Вг — такие «ломаные», вписанные в дуги Лх и Л2 соответственно, что /(Г,)-^ > X (Лг)— е, I (Г2) > X (Л2) —е (такие «ломаные» существуют при лю- бом е>0, в силу определения точной верхней грани). Тогда Г = ЛОЛГ .. . Ak_1CB1 ... В{ представляет собой «ломаную», вписан- ную в дугу Л, и для ее длины мы имеем неравенство Z (Г) = Z (Гг)-|- +1 (Г2) > X (Aj) + X (Л2) — 2е. Из этого в силу определения функ- ции X, мы получаем X (Л) > X (Ax) + X (Л,)— 2е. Ввиду произволь- ности е отсюда следует, что X (Л) X (Лх) + X (Л2). Таким образом, X (Л) = X (Лх) + X (Л2). Условие (у) очевидно. Условие (6). Всякая «ломаная», вписанная в единичный от- резок А, представляет собой разбиение единичного отрезка несколь- кими точками деления на конечное число отрезков. Следовательно, длина всякой вписанной «ломаной равна единице, и потому Х(А) = 1. Условие (е). Пусть Л—спрямляемая простая дуга и е — положительное число. Выберем такую вписанную в дугу Л «лома- ную» Г = Л0Л! ... Ak, что /(Г)>Х(Л)—~. Пусть, далее, 6>0 — такое число, что всякая ломаная L, для которой d (Л, А) <6, удовлетворяет условию /(£.)>/(Г)—(см. п. 3.1) и, следова- тельно, условию I (L) > X (А) — е. Пусть теперь Л' — произвольная спрямляемая простая дуга, удовлетворяющая условию d (Л, Выберем такую лома- ную L, что d (Л', Л)<-|- и ЦЬ)^к(Л’) (см. предложение (б) в п. 3.3). Из соотношений d (Л, A')<-|-, d (Л', L) <Z~ вытекает, что d (A, Л)<6 (см. и. 1.5). Следовательно, I (L) > X (Л) — е. Сопоставляя это неравенство с соотношением X (Л') / (L), мы получаем Х(Л')>Х(Л)— е. Итак, для любой спрямляемой простой дуги Л', удовлетворяющей условию d (Л, Л') < , мы имеем X (Л ) > X (Л)— е, и условие (е) выполнено. Таким образом, теорема существования полностью доказана.
ДЛИНА НА КЛАССЕ СПРЯМЛЯЕМЫХ ЛИНИЙ 119 4.3. Доказательство теоремы единственности. Пусть X—функ- ция, построенная в п. 4.2, а I — произвольная функция, определен- ная на классе всех спрямляемых простых дуг и удовлетворяющая условиям (а) — (е). Мы должны доказать, что функции Хи I совпадают. Прежде всего заметим, что для любой ломаной L мы имеем X(Z,) = /(Z,), так как обе функции X, I удовлетворяют условиям (а) — (6) (см. п. 1.3). Пусть теперь А — произвольная спрямляемая простая дуга и е — положительное число. Пусть, всякая спрямляемая простая ду- га А', для которой d (А, А')<6, удовлетворяет условию I (А')> > I (А) — е (см. условие (е)). Вы- берем такую ломаную L, что d (A, L) < 6 и X (X) С X (Л) (см. предложение (б) в и. 3.3). Тогда мы имеем: X (Л) X (L) = I (L) >1 (Л) — е. Так как е > 0 произволь- но, то X (Л) I (Л). Остается доказать, что для любой спрямляемой простой дуги Л справедливо и обратное неравенство X (Л) I (Л). Допустим, что это неверно, т. е. что существует простая дуга Ад, для которой далее, б>0 — такое число, что Рис. 24. Х(Л0)>/(Л<)). Положим е= так что z(-^o) = = (1 —^Ае)Х(Л0). Пусть, далее, А — единичный отрезок и 6 — такое положительное число, что для любой спрямляемой простой дуги Л, удовлетворяющей условию d (Л, А) <6, выполнено соотно- шение Z(A)>Z(A) —е= 1 —е (см. условие (е)). Наконец, пусть о>0 — такое число, что всякая простая дуга ЛсО(А, о), концы которой отстоят от концов отрезка А менее чем на о, удовлетво- ряет условию d (Л, А) <6. Число о мы будем, кроме того, пред- полагать меньшим, чем 6. Выберем такую «ломаную» Г = А0А1 ... Ak, что Х(Г)>Х(Л0)--^=Х(Л0), 1 + V е вписанную в дугу Ло, т. е. (1 + ]/ е) X (Г) > X (Ло). Тогда мы имеем: I (Ло) = (1 - Р е)Х(Л0)< (1 -V е) (1 +]/1) Х(Г) = (1 -е)Х(Г). (10) Так как добавление к точкам Ао, А1, ..., Ak новых точек может только увеличить длину Х(Г) = /(Г) вписанной «ломаной;- Г (см. соот- ношение (4)), то мы можем предполагать дополнительно, что точки Ап, Аь ..., Ak разбивают дугу Ло на части Ax, Л2, . . ., ЛА, каждая из которых имеет диаметр <о, так что, в частности, р (/A,_j, А,) < о. Если бы для каждой из дуг Л^ыло выполнено соотно- шение Z(A()^=(1—е) р (A(-_j, А(), то, складывая эти соотношения и
120 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ пользуясь свойством (Р), мы получили бы I (Ао) (1 —е) X (Г), что про- тиворечит соотношению (10). Следовательно, по крайней мере для одного i = 1,2,..., kвыполнено соотношение / (А,)<(1 — е)р(А,_1, А,). Выберем такое значение i и отложим на единичном отрезке А, начиная от его левого конца Во, отрезки B0Blt ВАВ2, ..., Bq_vBq, равные отрезку А^А,-, причем откладывание произведем столько раз, что остаток BqM (от точки Bq до правого конца М отрезка А) будет меньше, чем А;_1А1-, так что p(Bq, Af) Далее, для каж- дого /=1, 2, q построим дугу А'., имеющую концы Bj_1 и Bj и равную дуге А, (рис. 24). Тогда мы имеем I (A'.) = I (А,) •< <(1 — е) р (А,--!, А,) = (1—е)р(В?_1, Bj), и потому Z(A;) + Z(A')+...+Z(A;)<(l-e)p(B0, Вд)<1-8. (И) Кроме того, множество Q = А'х + Л'2 -р ... + А' содержится в О (А, о), так как диаметр каждой дуги А'. меньше о. Разумеется, множество Q может не являться простой дугой (рис. 24). Однако мы докажем, что для любого у=1, 2, существует простая дуга A^cQ с концами в точках Во и Bj, длина /(Лу) которой не превосходит /(А')-р .. .В са- мом деле, при j= 1 за дугу Л* можно принять Д'. Пусть уже построена простая дуга A?_xcQ с концевыми точками Во и Bj_lt для которой /(А*_х) / (Л') + ... -(-/(A'. J. Рассматривая дуги ЛТ_Х и A'j, мы, согласно свойству (ж) п. 2.1, найдем такую точку С, принадлежащую обеим дугам AJ_X, Л’., что часть A**v дуги Л^_х , заключенная между точками Во и С, и часть Л", дуги Л'., заключенная между точками С и Bj, имеют единственную общую точку С. Таким образом, мы получаем простую дугу Л*2Х + A'^cQ, имеющую Во и Bj своими концевыми точками. Ее длина /(Л"х) + не превосходит /(ЛТ_Х)-(-/(А'.), т. е. не превосходит I (А') -р ... Таким образом, за АТ можно принять дугу лд + а; Проведенная индукция позволяет найти такую спрямляемую простую дугу A*cQ с концевыми точками Во и Bq, что /(А*)=^ sg/(A') + •.. + /(Л^) < 1 —8 (см. (11)). Но так какА*афсО(А, о), а концы дуги Л* отстоят от концов отрезка А менее чем на о, то d (А, Л*) < 6, и потому Z(A’) > 1 —8 (см. определение чисел о и 6). Полученное противоречие показывает, что соотношение X (Ло) > I (Л^) не может иметь места. Тем самым теорема единственности полностью доказана.
ДЛИНА НА КЛАССЕ СПРЯМЛЯЕМЫХ ЛИНИЙ 121 Замечание. Из доказательства теорем существования и един ственности ясно, что длина спрямляемой простой дуги Л равна верхней грани длин вписанных в нее «ломаных». Поэтому из предло- жений (а) и (б) п. 3.3 вытекает также, что длина спрямляемой дуги А равна нижней грани чисел М, входящих в определение спрямляемости (см. п. 3.2). В случае выпуклых линий (как замкнутых, так и незамкнутых), можно определять длину также с помощью описанных ломаных1). В приведенном доказательстве теоремы единственности усло- вие (е) было дважды использовано. Естественно возникает вопрос, насколько существенно условие (е) для доказательства теоремы единственности. Может быть, существует другое доказательство, не использующее свойства (е)? Если бы такое доказательство суще- ствовало, то это означало бы, что свойство (е) несущественно для определения длины, и потому длина любой спрямляемой линии определялась бы теми же аксиомами (а)—(6), что и длина прямо- линейного отрезка (см. п. 1.2). Нижеследующий пример показы- вает, что доказать теорему единственности без условия (е) невоз- можно. Именно, мы приведем примеры функций, заданных на классе всех спрямляемых простых дуг, удовлетворяющих условиям (а)— (6), но не совпадающих с длиной. Пусть А — произвольная спрямляемая простая дуга. Обозначим через I* (А) точную верхнюю грань таких чисел р, что существует конечное число прямолинейных отрезков с суммой длин р, содержа- щихся в множестве А и попарно не имеющих общих точек. Легко про- веряется, что функция /* удовлетворяет условиям (ос) — (6). Кроме того, 0 (A) sg / (А) для любой простой дуги А (где / — обычная длина, определенная в п. 4.1); равенство /* (А) — / (А) выполняется, например, для ломаных, а равенство /*(А) = 0 — толь- ко для простых дуг, не содержащих ни одного прямолинейного куска. Вообще, для любого неотрицательного значения а функция а/+(1—ос)/* удовлетворяет условиям (а) —(б), но при а=0=1 не совпадает с I. В частности, при а = 2 мы получаем функцию I** = 21— I*, обладающую тем свойством, что /**(А)2?/(А) для любой простой дуги А; если дуга А не содержит ни одного пря- молинейного куска (например, если А — полуокружность), то /** (А) = 21 (А). 4.4. Основные свойства длины, а) Отрезок — кратчайшая линия. Если А — простая дуга с концевыми точками А и В, то для ее длины /(А) мы имеем неравенство 7(А)^р (А, В); равенство имеет место в том и только в том случае, если дуга А совпадает с отрезком АВ. ’) См. статью «Выпуклые фигуры и тела» в этой книге ЭЭМ.
122 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В самом деле, отрезок АВ является очной из вписанных «ло- маных// дуги А, а так как Z(A) представляет собой верхнюю грань длин вписанных „ломаных/,, то I (А) р (Д, В). Если дуга А содер- жит хотя бы одну точку С, не принадлежащую отрезку АВ, то, обозначая через Г вписанную «ломаную» АСВ, мы получим Z(A) I (Г) = р (Д, С) 4- р (С, В) > р (Д, В). Таким образом, равен- ство /(А) = р(Д, В) может иметь место только в том случае, если вся дуга А содержится в отрезке АВ. Но простая дуга с кон- цами Д, В, содержащаяся целиком в отрезке АВ, должна совпадать с этим отрезком. Действительно, пусть f—непрерывное взаимно однозначное отображение числового отрезка [с, d] на простую дугу А. Для любой точки t £ [с, d] положим <р(/) = р (Д,/(/)). Тогда <p(Z)—непрерывная функция (см. стр. 103), которая в концах отрезка [с, d] принимает значения 0 и р (Д, В). Так как непрерыв- ная функция принимает все промежуточные значения (см. ЭЭМ, кн. III, стр. 216), то для любой точки С отрезка АВ найдется такое значение /£[с, d], что f(t) — C. Таким образом, простая дуга А совпадает со всем отрезком АВ, и сформулированное пред- ложение полностью доказано. б) Положительность и монотонность длины. Длина любой спрямляемой простой дуги является положительным чис- лом. Действительно, пусть А и В—концы простой дуги А. Тогда /(А)>р(Д, В)>0. Если простая дуга А' является частью спрямляемой простой дуги А, то I (A') I (А), причем равенство имеет место только тогда, когда А' совпадает с А. Доказательство очевидным образом вытекает из положитель- ности длины. в) Поведение длины при преобразованиях п о д о б и я. Если простая дуга А' получается из дуги А пре- образованием подобия с коэффициентом X (см. стр. 29), то Z(A') = XZ (А). В самом деле, пусть а—преобразование подобия с коэффи- циентом X. Тогда, по определению подобного преобразования, длина любого отрезка АВ и длина отрезка А'В', в который он переходит при преобразовании а, связаны соотношением 1(А'В') = — М (АВ). Иначе говоря, если А—прямолинейный отрезок, то Z(A') = XZ(A), в силу определения подобного преобразования. Свойство в) утверждает, что это же соотношение справедливо и для любой спрямляемой простой дуги А. Для доказательства заметим прежде всего, что из справедливости свойства в) для отрезков вытекает его справедливость для ломаных. Ломаная, впи- санная в дугу А, переходит при преобразовании а в ломаную, вписанную в дугу А'. Из этого и вытекает справедливость свой- ства в) в общем случае.
ДЛИНА НА КЛАССЕ СПРЯМЛЯЕМЫХ ЛИНИЙ 123 Из доказанного вытекает, что при преобразованиях подобия сохраняется отношение длин, т. е. если а—преобразование подобия, то /(Л1):/(Д2) = /(а(Л1)):/(а(Л2)) для любых спрямляе- мых простых дуг AY, Л2 х). г) Длина как предел. Пусть А — произвольная спрямляе- мая простая дуга и е — положительное число. Тогда существует такое число о > 0, что всякая вписанная в дугу А ломаная» Г, каждое звено которой меньше о, удовлетворяет неравенству /(Г)>/(Л)-е. В самом деле, обозначим через 6 число, существование кото- рого утверждается в условии (е). Пусть, далее, о > 0 — такое число, что всякая простая дуга Л' с 0{А, о), концы которой отстоят от концов дуги Л менее чем на ст, удовлетворяет усло- вию d (Л, Л') <6. Покажем, что число о—искомое. Пусть Г = АВА1... А/, — вписанная в дугу Л ^ломаная , каждое звено которой имеет длину <о. Тогда, очевидно, Г cz О (А, ст). Выберем такую ломаную £ с Г с концевыми точками Ло и Ak, что /(£)^/(Г) (см. доказательство предложения (б) в п. 3.3). Тогда /. с Г с О (Л, о), и так как концы ломаной £ совпадают с концами простой дуги Л, то d{A, £)<б. Из этого, в силу условия (е), вытекает, что /(£)>/(Л) — е, и потому, подавно, I (Г) > I (Л) — е. Доказанному предложению можно также придать следующую форму: Пусть Гн Г2, Гп, .. . —такая последовательность «ло- маных», вписанных в спрямленную простую дугу А, что длина наибольшего из звеньев «ломаной» Г„ стремится к нулю при п—> оо. Тогда I (Л) = lim /(Г„). fl —► сю Эти предложения справедливы также и для простых замкнутых линий (см. п. 3.7). д) Длина окружности. Пусть Л — окружность радиуса г. Согласно сказанному в п. 3.7, окружность является спрямляемой линией. Обозначим через £п правильный 2п-угольник, вписанный в эту окружность, через /п — длину его периметра, через sn — его площадь, а через hn — апофему, т. е. длину перпендикуляра, опу- щенного из центра на сторону 2п-угольника. Величины ln, hn и sn связаны очевидным соотношением ^в=1/2 lnhn. (12) При п—>-оо величина sn имеет своим пределом площадь круга К, ограниченного окружностью А (см. стр.46—47): limsn = s(/<); далее, П СЮ величина 1п имеет своим пределом длину окружности (см. выше, х) Как известно, аффинные преобразования этим свойством не обладают. Однако отношение длин параллельных отрезков сохраняется при аффинных преобразованиях (см. стр. 77 и 104).
124 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ предложение г)): lim/„ = /(A); наконец, величина hn имеет, оче- > со видно, предел п lim/zn = r. Таким образом, переходя в равен- fl -> СО стве (12) к пределу при л—>оо, мы получаем s(K) = -^-r-l(A). Так как $(/£) = № (см. стр. 49), то мы находим отсюда /(А) = 2лг, где л — то же самое число, которое участвует в формуле для площади круга. е) Близость первого порядка и роль вписанных л ома ных.Из доказательства теоремы существования (см. стр. 117—• 118) и из приведенного выше свойства г) длины выясняет- ~ ся особая роль вписанных ~ у - _ _ ломаных. Почему же именно вписанные ломаные так удоб- Jyr иы для определения дли- р ны? Мы выясним этот вопрос для случая гладких дуг. Рис. 25. Первое объяснение, ко- торое приходит в голову, заключается в том, что вписанная в гладкую дугу А ломаная очень «близка» к дуге А, если звенья ломаной имеют малую длину. Одиако пример, приведенный на стр. 99, убеждает нас в том, что близкая к дуге А ломаная может иметь длину, весьма сильно отличаю- щуюся от длины линии А. Правильное объяснение «хороших» свойств вписанных ломаных заключается в том, что не только сама вписанная ломаная близка к дуге А, но и направления звеньев вписанной ломаной близки к направлению линии А в соседних точках (рис. 25). В примере на стр. 99 это не было выполнено: ступенчатые ломаные хотя и располагались все ближе и ближе к отрезку АС, но направления звеньев ступенчатых ломаных не были все более близкими к направлению отрезка АС (звенья сту- пенчатой ломаной составляли с отрезком АС угол 45°). Именно этим и объясняется тот факт, что предел длин ступенчатых лома- ных не равен длине отрезка АС. Говорят, что ломаная L находится в е,-близости нулевого по- рядка от простой дуги А, если L с О (А, е) и концы ломаной L отстоят от концов дуги А менее чем на е. Ломаная L находится от гладкой дуги А в ъ-близости первого порядка, если она нахо- дится от А в е-близости нулевого порядка, и, кроме того, для любых двух точек x£L, _у£А, расстояние между которыми меньше е, звено линии L, проходящее через точку х, и касатель- ная к линии А, проведенная через точку у, составляют между собой угол, меньший е (рис. 26). Наконец, будем говорить, что последовательность ломаных £х, L2, ... сильно сходится к глад-
ДЛИНА НА КЛАССЕ СПРЯМЛЯЕМЫХ ЛИНИЙ 125 Рис 26. кой простой дуге А, если для любого е>0 существует такое натуральное число qt, что при n^>qt ломаная Ьп находится в е-бли- зости первого порядка от дуги А. Имеют место следующие две теоремы, в значительной степени проясняющие роль вписанных ломаных в определении длины: 1. Если последовательность ломаных Lr, L2, ... сильно схо- дится к гладкой простой дуге Л., то lim/(/_„) = /(А). п СО 2. Пусть Г15 Г2, Г„, ...—такая последовательность ломаных, вписанных в гладкую простую дугу А, что длина наибольшего из звеньев ло- маной Г„ стремится к нулю при п—> оо. Тогда по- следовательность ломаных Г11 Г21 • - • 1 Г„, ... сильно сходится к дуге А. Доказательства этих те- орем сравнительно несложны, но мы их приводить не будем. ж) Вычисление длины с Пусть А — элементарная гладкая являющаяся графиком функции у — f(x), а^.х ^.b (рис. 27). Тогда ь /(А) = $К1 + (У)Мх. (13) а В самом деле, пусть Г = АпА1. . .Ak — некоторая вписанная ло- маная дуга А (она, очевидно, не имеет самопересечений). Обозначим помощью интеграла. простая дуга (см. стр. 37). абсциссы точек Ао, Д1, ..., Ak через а = х0, xlt ...,xk_1, xk = b (рис. 27). Угол, образованный отрезком А^^Д^ с осью абсцисс, обозначим через ср,- (рис. 28). Между точками и А{
126 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ имеется на дуге Л такая точка Bh что касательная к дуге Л в этой точке параллельна прямой (рис. 28; см. также тео- рему Лагранжа, ЭЭМ, кн. III, стр. 342—343). Абсциссу точки В- обозначим через Тогда tg<p,=_y' (|f). Далее, длина хорды Ai_rAi равна (см. рис. 28) р(Л-1> А) = V (*,' - (1 + tg2 ф) = (X,--Х^) /1+(/ (g,-))2- Таким образом, k _________________________________ /(Г)= 2 /1+(У (В,)2)(х,— Х;_г). (14) i=l Если ломаная Г меняется таким образом, что все звенья ее дела- ются меньше и меньше, то левая часть равенства (14) прибли- жается к пределу /(Л); правая же часть, представляющая собой интегральную сумму, приближается к пределу, равному ь 1 4- (j')2 dx. Это и дает равенство (13). а Аналогично доказывается следующее утверждение: Пусть К — произвольная гладкая простая дуга и f—взаимно однозначное дифференцируемое отображение числового отрезка [а, д] на дугу Л. Обозначим координа- U'' ты точки через x{(t) и у{ (t). (rcost.rsint) Тогда длина дуги Л имеет следующее Ф значение: .-------------- М/(£)‘+(^) —*- а X Эта же формула применима и к простым замкнутым дугам (в этом слу- чае /(а) =/(*))• Пример. Полагая xf(i)=rcost, yf(t) = r sin/, 0^/^2л, мы получаем рис 2д дифференцируемое отображение отрезка [О, 2л] на окружность Л радиуса г с центром в начале координат (рис. 29). Таким образом, для длины окружности Л мы получаем следующее значение: 2П_________________2л I(Л) = С У = f rsin z)2 + (r cos = О О 2Л 2Л -= J rdt = r di = г-2зх = 2лг. о о
ДЛИНА НА КЛАССЕ СПРЯМЛЯЕМЫХ ЛИНИЙ 127 4.5. Другие определения длины. В этом пункте мы приведем два дру- гих определения длины, принадлежащих Г. Минковскому и Ф. Хаусдорфу. Эти определения ценны своей общностью: они позволяют приписать «длину» значительно более общим множествам, чем спрямляемые простые дуги. Для любой спрямляемой простой дуги длина в смысле Минковского и длина в смысле Хаусдорфа совпадают с обычной длиной, определенной выше. Однако, несмотря на все эти достоинства, определения Минковского и Хаус- дорфа страдают серьезными недостатками, о которых мы скажем ниже. Мы рассмотрим определение длины по Минковскому только для случая плоских множеств. Для этого мы сначала введем понятие меры ограничен- ного открытого множества на плоскости. Разобьем плоскость на квадраты ранга п (я = 1, 2, 3, ...) так же, как это было сделано на стр. 57. Если теперь G—открытое ограниченное множестве на плоскости, то мы обозна- чим через а„ число квадратов ранга п, содержащихся целиком в множе- стве G, и положим sn = an-10-2". Числа 11г 12, .... 1п, ... образуют возра- стающую последовательность (ср. стр. 57—58), причем эта последовательность ограничена, так как G—ограниченное множество. Следовательно, сущест- вует предел lim s„, который и называется мерой множества G. Меру откры- п того ограниченного множества G мы будем обозначать символом т (G). Очевидно, что мера обладает следующими двумя свойствами: 1) если Gro G2, то m (GJ 5г m (G2); 2) если открытое множество G квадрируемо, то m(G) = s(G). (Существуют и другие полезные и интересные свойства меры, но мы их не упоминаем, так как они не будут использоваться ниже.) Заметим, в частности, что если М — произвольное ограниченное множество плоскости, то множество 0(М, г) при любом г>0 открыто и ограничено, и потому определено число т(О(М, г)). Пусть теперь Д— произвольный отрезок. Тогда множество О (Д, г) квадрируемо, и мы имеем (ср. рис. 20): т (О (Д, r)) = s (О (Д, г)) = 2г/ (Д) + лг2. т(0(Д, г)) лг т(0(Д, г)) Следовательно, ---------= /(A)-f--2~, и потому lim ---------= /(Д). Это соображение и лежит в основе определения длины по Минковскому. Именно, длиной плоского множества М в смысле Минковского называется предел т(0(М,г)) /Минк(Л4) = lim q (15) о z' (если этот предел существует). Множества, для которых предел (15) суще- ствует, называются спрямляемыми в смысле Минковского, прочие множества — неспрямляемыми. Теорема. Для всякой спрямляемой простой дуги Д (в смысле п. 3.2) выполнено соотношение /Минк (А) = /(Л). Для доказательства достаточно, очевидно, установить справедливость следующей леммы: Пусть Л—спрямляемая простая дуга и е—положительное число. Тогда существует такое число 6 > 0, что при г < 6 выполнены неравенства + (16) Докажем эту лемму. Пусть о — произвольное положительное число и L—ломаная, удовлетворяющая условиям: d (Л, L) < с, Z(E)<Z(A) (см. предложение (б) в п. 3.3). Тогда мы имеем: О (Л, г) с О (О (L, о), г) с сО(Е, r-f-a), и потому т (О (Л, r))<m(0(E, г -f-о)). Далее, по лемме п. 3.6,
128 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ m(0(L,r + o)X^l(L) + ~(r + u)^ [2 (г Д-о)] (Л) + -5-(г+<т)] [2 (г Д- a)j. Таким образом, т (О (Л, г)) < (Л) + -^- 2r Д- 2о/ (Л) Д- 2ппт Д-лст2. Это неравенство справедливо при любом с > 0, и потому т(О(Л, г))< 1/(Л) + ^-г ) %г- Из Доказанного неравенства вытекает, что 9 при г <—е справедливо второе из неравенств (16). * тг ь неравенств (16). Прежде всего заме- тим, что если L—ломаная с концами А и В, то т (О (L, г)) Sa 2гр (Д, В). (17) Доказательство этого соотношения для случая двухзвенной ломаной ясно из рис. 30, а далее идет очевид- ная индукция. Пусть теперь Л— произвольная спрямляемая простая дуга и <т—произвольное положи- тельное число, меньшее чем г. Выбе- рем такую ломаную L с концами А и В, что d (L, Л) < о. Тогда мы имеем: O(L, г—о) со ((Л, о), г—о) С0(Л, г), и потому т (О (Л, г)) т (О (L, г — а))^2(г—ст) р (Д, В) (см. (17)). Так как это неравенство справедливо для любого положительного числа а < г, то т(0(А, г))^2гр(Д, В). (18) Обратимся теперь к первому из Пусть теперь Г=Д0Д1. ..Ак—такая вписанная «ломаная» дуги Л, что F / (Г) >/(Л)—2 . Выберем на дуге Л такие точки Въ В2.Bk, что точки До, Вг, Аг, В2, Д2, ..., Bk, Ak последовательно расположены на этой дуге g и. кроме того, р (Д,-, В,) < хт , /= 1, Лк k. Тогда р (Д,-_г, Bj) Эг е ^р(Д,_1, Д,) — р(Д,-, В;)>р(Д,-_1. л<) —2ft- 11 потому k k 'Zf'Wi-b б/) > Ц [р =/(Г)~|->/(Л)-е. (19) Обозначим часть дуги Л, заключенную между точками Д(-_х и В,-, через Л1,-, РД, 2......k. Так как простые дуги ML, М2.....Mk попарно не имеют общих точек, то существует такое число 6 > 0, что при г < 6 множества O(Mlt г), 0(М2, г), .... O(Mk, г) (20) попарно не пересекаются (см. п. 2.2). Так как, кроме того, каждое из мно- жеств (20) содержится в О (Л, г), то (рис. 31) при г < 6 мы имеем: т(0(Л, г)) Эгпг (О (Л^, г)) + т(0(М2, г)) Д- ... Д-m (О (Mk, г)). (21) Кроме того, учитывая, что концами дуги М/ являются точки Д,-_! и В,-, мы получаем, в силу (18), m(0(Mh г)) ^2rp В,), и потому, со- гласно (19), m(0(A4j, г)) Д- т (О (М2, г))Д- ... -j-m (О (Мк, г)) > 2r {I (Л) —е).
ДЛИНА НА КЛАССЕ СПРЯМЛЯЕМЫХ ЛИНИЙ 129 сумма которых содержит все множе- предела число г вычислении этого Таким образом, при г < S мы имеем (см. (21)): т(О(А, г)) > 2r (I (Л) — е), откуда и вытекает первое из неравенств (16). Сформулированная теорема полностью доказана. Приведем теперь определение длины по Хаусдорфу. Пусть М—произвольное ограниченное множество иа плоскости и г—поло- жительное число. Выберем каким-либо образом конечное число кругов, каж- дый из которых имеет радиус < г и ство М (рис. 32). Обозначим через X сумму диаметров всех этих кругов. Мы можем, конечно, по-разному выби- рать круги радиуса < г, сумма кото- рых содержит все множество М, и каждый раз будем получать некото- рое значение X (сумма диаметров кру- гов). Обозначим через сг точную нижнюю грань всех получае- мых таким образом величин X (при неизменном г). Легко понять, что если г’ < г, то стг,>ог. Таким об- разом, величина ог определена при любом г > 0 и возрастает, если число г убывает. Поэтому могут пред- ставиться две возможности: либо величина аг неограниченно возрастает при г -ь 0, либо же она ограничена, и тогда существу- ет предел lim сг (разумеется, при о принимает только положительные значения) В первом случае множество М считают неспрямляемым по Хаусдорфу, во втором случае множество М спрямляемо по Хаусдорфу и число /Хаусд(Л1) = lim ог называется длиной г->о этого множества в смысле Хаусдорфа. Для всякой спрямляемой простой дуги Л выполняется соотношение /хаусд(Л) =1 (А). Доказательство сравнительно несложно, но мы его приводить не будем. Отметим еще (также без доказательства), что если плоская фигура имеет положительную площадь, то она не спрямляема ни по Минковскому, ни по Хаусдорфу. Определения Минковского и Хаусдорфа являются конструк- тивными (а ие аксиоматическими) определениями длины. На классе всех спрямляемых (в смысле § 3) простых дуг эти определения экви- валентны конструктивному определе- нию длины, приведенному в п. 4.2 (верхняя грань длин вписанных ло- маных) Поэтому для доказательства теоремы существования в п. 4.2 мож- но было с равным успехом восполь- зоваться любым из этих трех конструктивных определений; например, мож- но было проверить, что длина по Минковскому обладает (на классе спрямля- емых простых дуг—в смысле § 3) свойствами (а)—(в). Однако определения длины по Минковскому и Хаусдорфу имеют то преимущество, что они 5 Энциклопедия, кн. 5
130 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ значительно увеличивают класс множеств, которые считаются «спрямляемы- ми». Определение Минковского ценно также и тем, что оно устанавливает интересную связь между понятием длины и понятием площади. Отметим в заключение, что, несмотря на сравнительную простоту опре- деления и большую общность, длина в смысле Минковского (или Хаусдорфа), рассматриваемая на всем классе спрямляемых множеств, вряд ли может считаться «геометрической» длиной. Дело в том, что взятое в такой общно- сти понятие длины не удовлетворяет указанным в § 1 свойствам (Р) и (е), без чего, разумеется, трудно считать функцию /Минк (или /Хаусд) «длиной». Так, например, если Мг—множество всех рациональных точек еди- ничного отрезка Д = [0, 1], а М2—множество всех его иррациональ- ных точек, ТО /Минк (М1) = /Миик(Л12) = /Миик(Д) = 1, /Хаусд(Л4!) = =/Хаусд (Л12) =/хаусд(Д) = 1, хотя множества Мг и М2 не пересекаются и дают в сумме Д, так что можно было бы ожидать выполнения условия (Р). Впрочем, можно было бы построить класс множеств, более общих, чем спрям- ляемые простые дуги, но менее общих, чем все спрямляемые (скажем, по Минковскому) множества, причем так, что в этом классе сохранятся свой- ства (а)—(е) (с надлежащими уточнениями). Однако рассмотрение этого вопроса далеко выходит за рамки настоящей статьи. § 5. О понятии площади поверхности 5.1. Основные свойства площади поверхности. Площадь поверх- ности определяется, в общих чертах, по той же схеме, что и длина кривой. Однако здесь имеются некоторые (упоминаемые ниже) об- стоятельства, значительно усложняющие все построение и делаю- щие его неэлементарным. Ввиду этого мы опишем определение площади поверхности лишь очень схематично. Заметим кстати, что даже в университетских курсах математического анализа вопросы, связанные с общим определением площади поверхности, сколько- нибудь полно не разбираются. Свойства, на которых основывается определение площади по- верхности, повторяют свойства (а) — (в) в определении длины. Рассмотрим сначала первые четыре из этих свойств: (а) Площадь s(L) произвольной, поверхности L является не- отрицательным числом. (Р) Площадь поверхности, составленной из конечного числа неперекрывающихся кусков, равна сумме площадей составляющих кусков. (у) Равные поверхности имеют равные площади. (б) Площадь единичного квадрата равна единице. Из статьи <Площадь и объема читатель уже знает, что свой- ства (а) — (б) однозначно определяют площади квадрируемых (плоских) фигур и, в частности, площади плоских многоугольных фигур. Так как всякая многогранная поверхность (см. статью «Многоугольники и многогранники в кн. IV ЭЭМ) составляется из конечного числа неперекрывающихся плоских многоугольников, то свойство (Р) однозначно определяет и площадь любой многогранной
О ПОНЯТИИ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ 131 Рис. 33. поверхности. Таким образом, свойства (а)—(6) однозначно определяют функцию $ (площадь) на классе всех многогранных поверхностей. Естественно возникает вопрос, будет ли эта функция $ обладать свойством, аналогичным свойству (е), сформулированному на стр. 98. Для того чтобы ответ на этот вопрос был утвердительным, нужно иметь правильную формулировку свойства (е) для случая площади поверхности. Первое, что приходит в голову — сформулировать свойство (е) следующим образом: Пусть L — некоторая поверхность и е — положительное число. Тогда существует такое число 6 2> 0, что для всякой поверхно- сти L', удовлетворяющей условию d (L, L') < 6, выполнено соотношение s(L')>s(L)— е. Однако в таком виде это свойство неверно. В самом деле, пусть L — единичный квадрат, a L' — узкая «змейка», достаточно густо за- полняющая этот квадрат (рис. 33). Ясно, что при любом 6 > 0 можно по- строить такую змейку L', для которой d (L, L')<Zb,a площадь змейки s (L') как угодно мала. Для того чтобы правильно сформу- лировать свойство (е),мы введем в рас- смотрение поверхности, которые будем называть простыми кусками. По- нятие простого куска является двумер- ным обобщением понятия простой дуги. 5.2. Простые куски. Пусть Р — некоторый прямоугольник и f— отображение этого прямоугольника в пространство, т. е. правило, сопоставляющее каждой точке Т прямоугольника Р некоторую точку f(T) в пространстве. Если отображение f взаимно однозначно и непрерывнох), то образ прямоугольника Р при отображении f ’) Напомним, что отображение / называется взаимно однозначным, если всякие две различные точки 7\, Т2 прямоугольника Р переходят при ото- бражении f в различные точки f (7\), /(Г2) пространства. Напомним, далее, в каком случае отображение f называется непрерывным. Введем в прямо- угольнике Р координаты и, v (рис. 35), а в пространстве—прямоугольные координаты jc, у, г. Далее, для точки Т прямоугольника Р, имеющей коор- динаты и, V, мы обозначим координаты точки f (Г) в пространстве через xf(u, v), у/(и, в), zj(u, v) Отображение / называется непрерывным, если каждая из функций хр ур р переменных и, v является непрерывной (ср. стр. 37) Если каждая из этих функций имеет непрерывные первые (дх, dyf дг,\ (дх; dtp дг<\ производные, причем векторы ( ^-, ’ ди ) И \ Hv ’ ~dv ’ ~dv ) ЛИ" нейно независимы при любых и, v, то отображение f называется гладким, так же как и рассматриваемый простой кусок. 5*
132 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ называется простым куском (рис. 34). Иначе говоря, множество L, расположенное в пространстве, называется простым куском, если на него можно взаимно однозначно и непрерывно отобразить некото- рый прямоугольник. Если простой кусок является многогранной по- верхностью, то мы будем называть его многогранным простым куском. Пусть L — некоторый простой кусок и f — непрерывное взаимно однозначное отображение некоторого прямоугольника Р на множе- ство L. Обозначим через 5 контур прямоугольника Р (см. рис. 35), Рис. 35. т. е. простую замкнутую линию, образованную сторонами этого прямоугольника. Образ f(S) линии S при отображении f называ- ется краем простого куска L. Понятие края простого куска явля- ется геометрически очень наглядным и кажется весьма простым по своей природе. Однако данное выше определение страдает не- корректностью, аналогичной той, которая была отмечена на стр. 101. В самом деле, не изменится ли "край» простого куска L, если отображение заменить другим аналогичным отображением? Как и понятие концевых точек простой дуги, понятие края простого куска в действительности не зависит от выбора непрерывного взаимно однозначного отображения /. Однако если в случае про- стой дуги доказательство этого факта использует лишь простые свойства непрерывных функций и сравнительно элементарно (см. п.2.3), то для случая простого куска такое доказательство неэлемен- тарно: в нем неизбежно используются некоторые сведения из топологии *). В дальнейшем мы удовлетворимся наглядной «очевидностью» понятия края простого куска и будем свободно обращаться с этим понятием. Край простого куска L мы будем обозначать символом х) См. статью «Основные топологические понятия» в этой книге ЭЭМ.
О ПОНЯ ГИИ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ 133 отображение гр ли- Рис. 36. кр L. Отметим, что в силу своего определения край простого куска является простой замкнутой линией. Край многогранного простого куска является простой замкнутой ломаной. Точки простого куска, не лежащие на его крае, мы будем на- зывать внутренними точками этого простого куска. Два простых куска L и L' мы будем называть неперекрывающимися, если они не имеют общих внутренних точек. (О «неперекрывающихся кусках» речь идет в свойстве (Р) п. 5.1.) Пусть теперь К и К' — две простые замкнутые линии в простран- стве. Будем говорить, что эти линии являются 8-близкими, если существует непрерывное взаимно однозначное нии К на А", при котором р (Л, <р (Л)) < 6 для любой точки А^К. Заметим, что если линии К н К' являются 6-близкими, то d (К, К') < 6, но не наоборот (см. рис. 36, на котором изображены не 6-близ- кие линии К и А"). 5.3. Полунепрерывность площади. Теперь мы можем дать правильную фор- мулировку пятого свойства площади поверхности, которое, как и в случае длины, будем называть полунепрерыв- ностью снизу: (е). Пусть L — некоторый простой кусок и е — положительное число. Тогда существует такое число 6>0, что для всякого простого куска L'cOIL, 6), кр. L и кр. А' являются 8-близкими, s(A')>s(A) —е. Заметим, что точным аналогом сформулированного здесь свой- ства (в) было бы в случае длины кривой следующее свойство: Пусть L — некоторая простая дуга и е — положительное число. Тогда существует такое число 6>0, что для всякой простой дуги L’ a O(L, 6), концы которой отстоят от концов линии L менее чем на 6 (т. е. для всякой простой дуги L', нахо- дящейся от L в 6-близости нулевого порядка, см. стр. 124), выпол- нено соотношение l(L) — е. Но это свойство эквивалентно (для простых дуг) свойству (е), сформулированному в п. 1.6 (см. предложение (и) в п. 2.1). Поскольку площадь определена пока только для многогр эн- ных простых кусков, мы можем сейчас задаться вопросом о спра- ведливости свойства (е) лишь для многогранных простых кусков. Можно доказать, что, действительно, свойство (е) для многогран- ных простых кусков справедливо. Однако доказательство этого факта неэлементарио и существенно использует некоторые для которого линии выполнено соотношение
134 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ теоремы топологии т). Поэтому мы отмечаем факт справедливости свойства (в) без доказательства. Итак, на классе всех многогранных простых кусков существует одна и только одна функция s (площадь), обладающая свойст- вами (а) — (6); эта функция обладает также и свойством (в). 5.4. Определение квадрируемых простых кусков. Будем гово- рить, что простой кусок А является квадрируемым, если выпол- нено следующее условие: существует такое положительное число М, что при любом 6>0 найдется многогранный простой кусок Z.cO(A, 6), для которого линии кр. А и кр. L являются S-близкими и s(L)^M. 5.5. Вписанные «многогранники». Пусть А—произвольный простой кусок и f—непрерывное взаимно однозначное отображение прямоугольника Р на множество А. Выберем некоторое правильное разбиение (см. стр. 17) прямоугольника Р на треугольники. Пусть А — какой-либо треугольник этого разбиения и А, В, С—его вер- шины. Мы обозначим через Ду треугольник с вершинами /(Л), f(B), f(C) (этот треугольник выродится в отрезок, если точки /И), f(B), f(Q лежат на одной прямой). Совокупность всех тре- угольников Ду (взятых для всех треугольников А рассматриваемого разбиения прямоугольника Р) мы будем называть вписанным "мно- гогранником» поверхности А. Слово ^многогранник» мы ставим в кавычки, потому что поверхность, образованная всеми треугольни- ками Др может иметь самопересечения, самоналожения и т. д. Сумму площадей всех треугольников Ду мы будем называть пло- щадью рассматриваемого вписанного «многогранника». Мы находимся теперь в положении, аналогичном тому, в кото- ром мы находились в начале п. 3.3 при построении понятия длины. Поэтому кажется естественным сформулировать и доказать сле- дующую теорему: Простой кусок А в том и только в том случае является квадрируемым, если существует такое положительное число М', что площадь любого вписанного в А многогранника» не превос- ходит М'. Однако эта «теорема» неверна! В этом также заключается одно ид принципиальных различий между понятиями длины и пло- щади. Пример, показывающий, что сформулированная выше «тео- рема) неверна, известен под названием гармошки Шварца (по имени математика, предложившего этот пример). Мы опишем его Ч По существу, весь § 2 настоящей статьи посвящен изложению неко- торых простейших фактов топологии. Но эти факты сравнительно просты, и их доказательство удалось провести, пользуясь лишь хорошо известными свойствами непрерывных функций. При аксиоматическом определении поня - тия площади поверхности такое упрощение невозможно.
О ПОНЯТИИ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ 135 следующим образом. Рассмотрим цилиндр V радиуса R и высоты h. Плоскостью, проходящей через ось этого цилиндра, рассечем его на две половины и обозначим через А часть его боковой по- верхности, расположенную по одну сторону от этой плоскости (рис. 37). Множество А представляет собой простой кусок, причем, как легко доказать, квадрируемый. Обо- значим теперь через Р прямоугольник, по- лучающийся при развертывании куска А на плоскость (этот прямоугольник имеет осно- вание лР и высоту А), а через f—обратное «накладывание > прямоугольника Р на про- стой кусок А. Отображение /, очевидно, не- прерывно. Разобьем теперь прямоугольник Р прямыми, параллельными основанию, на п полос ширины h/n. Далее, разделив осно- вание прямоугольника на т равных частей (длины лР/m), мы построим правильное раз- биение прямоугольника Р, показанное на рис. 38. (Все треугольники этого разбиения, кроме тех, которые примыкают к боковым сторонам, являются равнобедренными.) Имея это разбиение, мы можем построить соот- ветствующий вписанный «многогранник» по- верхности А (этот «многогранник» не будет иметь самопересечений). Для оценки площади этого «многогранника» рассмотрим какой-либо равнобедренный треугольник разбиения. Пусть АВ—основание этого треугольника, а С—вершина. Середи- ну основания обозначим через D. Тогда точки /(А), /(£>), f(B) лежат на одной окружности цилиндра V и определяют на ней две дуги, рав- ные ~Vi части окружности. Точка / (С) лежит на той же образующей, что и f(D), на расстоянии h/n от точки f(D) (рис. 39). Следовательно, обозначив через М середину отрезка между точ- ками /(А) и f(B), мы найдем: Р (/(А),/(В))=2/? sin р (/(С), Af)> >р(/(£>), 7И) = Р 1—cos , и потому, обозначая через о площадь треугольника с вершинами /(A), f(B), f{C), мы получим: о > 7?2 sin Л (Л \ S- 1 -- COS S- . 2m \ 2т/
136 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ Каждая полоса ширины h/n содержит 2т—1 треугольников, равных треугольнику АВС (и еще два «боковых» треугольника, которыми мы пренебрегаем), а всего таких полос имеется п. По- этому в рассматриваемом вписанном «многограннике» имеется л(2/к4-1) треугольников, равных треугольнику с вершинами /(А), f(B), /(Q. и потому площадь s вписанного «многогранника» удов- летворяет неравенству s > п (2/и-|- 1) R2 sin^1 ( 1—cosry). Так грани и сколь угодно большую квадрируем). как в правой части неравенства все множители отличны от нуля, то, взяв любое т, мы можем за- тем найти настолько большое п, чтобы площадь вписанного «мно- гогранника» была столь велика, как нам хочется. Заметим, что, взяв числа т и п достаточно боль- шими, мы можем сделать все грани вписанного «многогранни- ка» как угодно малыми. Следо- вательно, существуют вписан- ные в А «.многогранники-», имеющие сколь угодно малые площадь (хотя простой кусок А Таким образом, сформулированная в начале пункта «теорема» неверна. 5.6. Аксиоматическое определение площади поверхности. Пло- щадью мы называем функцию s, заданную на классе всех квадри- руемых простых кусков и удовлетворяющую условиям (а) — (е). Можно доказать (примерно так же, как в § 4, но с некото- рыми усложнениями), что на классе всех квадрируемых простых кусков существует одна и только одна функция s со свой- ствами (а) — (6) (теорема существования и единствен- ности). Отметим, что для доказательства теоремы существования нужно фактически построить некоторую функцию s и доказать, что она обладает свойствами (а)—(е), т. е. нужно дать конструк- тивное определение площади. При этом, в силу причин, изло- женных в предыдущем пункте, мы не можем (по аналогии со ска- занным в п. 4.2) воспользоваться точной верхней гранью площа- дей вписанных многогранников», так как этой верхней грани может просто не существовать. Однако мы можем воспользоваться другим конструктивным определением длины, намеченным в замечании к п. 4.3. Обобщая это определение на случай площади поверхности, мы приходим к следующему определению:
О ПОНЯТИИ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ 137 Площадью квадрируемого простого куска А называется точ ная нижняя грань чисел Л1, входящих в определение квадрируе- мости (см. п. 5.4). Проверка (не слишком легкая!) показывает, что определенная таким образом площадь действительно удовлетворяет условиям (а) —(е). 5.7. Квадрируемость гладких простых кусков и определение площади поверхности с помощью интеграла. Рассмотрим элементар- ный гладкий простой кусок, т.е. простой кусок А, однознач- но проектирующийся на неко- торую область D плоскости х, у (с кусочно гладкой грани- цей) и записываемый в коорди- натах уравнением z=/(x, у), где f—функция, имеющая непрерывные (и, следователь- но, ограниченные) первые производные (рис. 40). Мы докажем, что элемен- тарный гладкий простой ку- сок является квадрируемым. Рис. 40 В самом деле, разобьем плоскость х, у прямыми, параллель- ными осям координат, на равные квадраты со стороной h и в каж- дом из них проведем диагональ, параллельную биссектрисе вто- рого координатного угла. Мы получим правильное разбиение всей плоскости х, у и, в частности, области D на треуголь- ники (рис. 41). Беря на поверхности А точки, расположенные над вершинами этого разбиения, мы сможем построить «вписанный многогранник». Ясно, что эта многогранная поверхность не будет иметь самопересечений, т. е. будет простым куском (возможные сложности вблизи гра- ницы области D легко устраняются). Рис. 41. Ясно далее, что если h достаточно мало, то вписанный многогранник будет находиться в О (А, 6), а его край будет 6-близок к краю простого куска А. Остается оценить площадь этого вписанного многогранника. Пусть А— некоторая вершина разбиения, изображенного на рис. 41. Обозначим через х0, у0 координаты точки А и рассмотрим тре- угольник с вершиной в точке А (рис. 42). Пусть Ви С—две дру- гие вершины этого треугольника. Обозначив через А', В', С точки поверхности А, расположенные над точками А, В, С, мы найдем,
138 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ что координата z для точек А', В', С', имеет значения: zA- — f(x0,y0), Zb’=/(x0, y0 + h), zC’ = f(x0-}-h, y0), и потому ZB ZA-^h—^---, Zc._ZA,_h—Tx—, где x0 < £ < x0 + h, J0<1Kjo + ^- Если мы обозначим через /И2 максимальное значение величины Р/ I Ыв квадрате, содержащем тре- угольник АВС, а через /Иг — ма- ксимальное значение величины df I в этом квадрате, то найдем ZB'~zA’]^hMlt \zC'~za' | </гТИ2. Так как вектор А'В' имеет вид (О, h, zВ'—zA-), а вектор А'С имеет вид (h, 0, zC'—zB-), то площадь о треугольника А'В’С легко вычисляется (например, с по- мощью векторного произведения; см. стр. 354 кн. IV ЭЭМ): о = --Л/(zB, -zA,)* + (zc, -zBy + й2 < у h2 V№ + ^ + 1 )• Аналогично для площади треугольника, примыкающего к тре- угольнику АВС по гипотенузе, мы найдем ту же оценку для пло щади. Следовательно, площадь той части вписанного многогран- ника, которая расположена над квадратом, содержащим треугольник АВС, не превосходит величины /г2]/1 -]-(Af1)2-|-(Afz)2, а площадь всего вписанного многогранника не превосходит суммы 2>Ю +W + W, (22) где суммирование ведется по всей области D. Величины Л1Х и АС , rJ df df \ ограничены в областиD ^так как производные^ и ~ непрерывны 1, а сумма ^h2, взятая по всей области D, примерно равна площади области D, и потому величины (22) ограничены. Тем самым дока зано, что в любой близости к поверхности Л найдется многогран- ный простой кусок (а именно, вписанный многогранник) ограниченной площади, и потому поверхность Л квадрируема. Заметим теперь, что сумма (22) является интегральной суммой для интеграла '=Я *231
О ПОНЯТИИ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ 139 Следовательно, каково бы ни было е 2> О, при достаточно малом h сумма (22) будет меньше, чем /+е. и потому число /-)-е можно принять за число М, участвующее в определении квадрируемости (см. п. 5.4). Из этого мы можем заключить, что точная нижняя грань чисел 7И не превосходит числа /, т. е. + (24) Обычно в курсах математического анализа этот (или эквива- лентный) вывод принимают за доказательство равенства s|A,=W / '+(©’+(©'dxdy t25) D Из сказанного выше ясно, что с точки зрения аксиоматического определения площади этот вывод не является полным, так как не содержит доказательства неравенства, обратного неравенству (24). А такое доказательство сложнее, чем приведенное доказатель- ство неравенства (24). Оно основывается на том, что грани постро- енного выше вписанного многогранника «почти параллельны» каса- тельной плоскости поверхности в близких точках (т. е. этот мно- гогранник находится в достаточно малой «близости первого порядка» от А, ср. стр. 124), а увеличение углов между гранями и касатель- ными плоскостями может только увеличить площадь многогранника, расположенного вблизи поверхности А. Аккуратное проведение такого доказательства требует привлечения теорем топологии. Более того, можно доказать, что площадь любого вписанного мно- гогранника будет приближаться к интегралу (25) (т. е. к площади поверхности), если грани становятся все меньше и меньше и, кроме того, наклон каждой грани к касательной плоскости (в близ- кой точке) также становится все меньше и меньше (т. е. если вписанные многогранники сильно сходятся к поверхности А, ср. стр. 125). Именно отсутствием такого обстоятельства (уменьшения наклона граней к касательной плоскости) и объясняется «парадокс», связанный с гармошкой Шварца. По сути дела, то же явление (для случая длины кривой) наблюдалось в софизме, приведенном на стр. 99—100 (см. обсуждение на стр. 124). Можно также представить себе другой путь установления разумности формулы (25): определить площадь гладкого простого куска, разбивая его на конечное число элементарных кусков и при- меняя к каждому из них формулу (25). Тогда площадь будет опре- делена с помощью формулы (25) на классе всех гладких простых кусков, но надо будет показать геометрическую истинность такого определения, т. е. установить свойства (а) — (е) как теоремы.
140 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ Можно было бы определять площади более сложных поверх- ностей, а именно поверхностей, допускающих разбиение на конеч- ное число неперекрывающихся простых кусков. Можно было бы также привести единую формулу, использующую интеграл по по- верхности, формулу для вычисления поверхности вращения и т. д. Нам кажется это излишним, так как принципиальная сторона воп- роса от этого не проясняется, а формулы при желании можно найти в любом учебнике высшей математики. 5.8. Заключение. Понятие площади поверхности является, как мы видим, наиболее сложным в теории измерения геометрических величин. Выводы формул для площади кривых поверхностей, имею- щиеся в учебниках элементарной и высшей математики, являются лишь наглядными пояснениями к этим формулам. И если студент- математик в состоянии задуматься над этими :.выводами», то для школьника «вывод» формулы поверхности шара представляет собой бессмысленное явление, поскольку ни понятия о точном опре- делении площади поверхности, ни объяснения принципов, на кото- рых основывается вычисление площади поверхности, он так и не получает. Заметим кстати, что сохранение площади при "распрям- лении» боковой поверхности конуса или цилиндра является, конечно, наглядно очевидным фактом, но, строго говоря, требует математи- чески точного обоснования. Разумеется, все эти чисто математические сложности отнюдь не умаляют практической важности понятия площади поверхности и необходимости его изучения как в высшей, так и в средней школе. Следует отметить, что определение площади поверхности, со- держащееся в пп. 5.4 и 5.6, а также формулировки свойств (а) —(е) совершенно элементарны, в то время как доказательства свойств (а) — (е) и доказательство формул для вычисления площади поверхностей неэлементарны. Есть, впрочем, один важный частный случай, в котором совершенно элементарными приемами можно, исходя из элементарных определений пп. 5.4, 5.6, найти площадь — случай выпуклой поверхности s). Это позволяет, в частности, найти площадь сферы, цилиндра, конуса и их частей, т. е. найти все формулы, изучаемые в средней школе. ЛИТЕРАТУРА [1] Я. С. Дубнов, Измерение отрезков, М., Физматгиз, 1963. Небольшая книга, обращенная в первую очередь к учителям сред- них школ. Содержит подробное изложение теории измерения длин от- резков и обсуждение связанных с этой теорией методических вопросов. [2] Е. М. Ландис, О длине кривой. Сборник «Математическое просвеще- ние», вып. 1, 1957, стр. 33—44. ’) См. статью «Выпуклые фигуры и тела» в этой книге ЭЭМ, а также книгу Ж А дамар а [4], стр 512—515.
ЛИТЕРАТУРА 141 Эта статья содержит оригинальный вариант теории длины кривой, отличный от приведенного здесь [3] А А. 3 ы к о в, Об определении длины дуги, Известия Сибирского от- деления АН СССР, т. 12, 1959, стр. 3—10. Научная статья, примыкающая по своему содержанию к работе [2]. [4] Ж- Адама р. Элементарная геометрия, перев. с франи., ч. 2, М., Учпедгиз, 1958 Прибавление G «О понятиях длины, площади и объема для любых линий и поверхностей» к этому превосходному учебнику содержит эле- ментарное изложение затронутого в настоящей статье круга вопросов. [5] Я. С. Дубнов, Ошибки в геометрических доказательствах, М., Физ- матгиз, 1961. Популярная брошюра видного математика и педагога, содержащая среди других примеров обсуждение некоторых вопросов, связанных с по- нятием длины кривой и площади криволинейной поверхности. [6] Г. М. Фихтенгольц, Основы математического анализа, М., «Наука», 1964, т. I, стр. 370—378, т. 2, стр. 304—311. Университетский курс математического анализа, затрагивающий и вопросы измерения геометрических величин. См. также книгу А. Лебега, указанную в списке литературы к статье «Площадь и объем» и книгу Г. X а д в и г е р а, указанную в списке литературы к статье «Равносоставленность многоугольников и многогранников».
РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ СОДЕРЖАНИЕ § 1 Введение ...................................................142 1.1. Аксиомы площади.........................................142 1.2. Площадь прямоугольника (метод исчерпывания).............143 1.3. Методы разбиения н дополнения...........................146 1.4. Сравнение различных методов вычисления площадей.........150 1.5. Вычисление объемов многогранников. Третья проблема Гиль- берта .......................................................153 § 2. Равносоставленность многоугольников.........................158 2.1. Теорема Бойяи—Гервина...................................158 2.2. Теорема Хадвигера— Глюра................................162 2.3. Равносоставленность многоугольников и группы движений . . 164 § 3. Равносоставленность многогранников..........................165 3.1. Теорема Хадвигера.......................................165 3.2. Теорема Дена............................................168 3.3. Доказательство теоремы Хадвигера........................170 3.4. Независимость аксиом (а) — (б) для площадей и объемов . . . 176 Литература ......................................................180 § 1. Введение 1.1. Аксиомы площади. Учение о площадях в элементарной геометрии основывается на следующих четырех положениях: (а) Площадь s(X) фигуры X является неотрицательным числом. (Р) Если фигура X разбита на две части Х± и Х2, то s (X) = s (А^) +«(Х2) (аддитивность площади). (у) Равные фигуры (т. е. фигуры, одна из которых может быть переведена в другую некоторым движением) имеют равные площади (инвариантность площади относительно движений). (б) Площадь некоторого квадрата, сторона которого является единицей длины, равна единице. Вместо положения (а) часто используют следующее эквивалент- ное ему положение;
ВВЕДЕНИЕ 143 (а') Если фигура А\ является частью фигуры X, то s (Xt) s (X) (монотонность площади). Положение (а') вытекает из (а) и (0). Действительно, обозна- чив через Х2 часть фигуры X, не заполненную фигурой Xlt мы получим, в силу (0), s (X) — s (А\) s (Х2). Так как, в силу (а), s (Х2) 0, то отсюда следует, что s (X) s (А'х). Обратно, из (а') и ф) вытекает, очевидно, положение (а). Вместо положения (6) часто используют следующее эквивален- тное ему положение: (6') Площадь любого квадрата, сторона которого является единицей длины, равна единице. Положение (б) требует, чтобы хотя бы один квадрат, сторона которого имеет длину 1, имел площадь 1. Положение (6) требует, чтобы любой такой квадрат имел площадь 1. Так как все квадраты, имеющие сторону длины 1, равны между собой, то, в силу (у), поло- жения (б) и (б') эквивалентны между собой. Мы выбрали в качестве основного положения (б), так как оно требует «меньше». Разумеется, положения (а) — (б) могут быть использованы только после того, как определено, что такое «фигура» и что значит «разбить» фигуру на две части. Мы не будем в этой статье касаться общего учения о площадях, имеющего дело с произ- вольными «квадрируемыми фигурами»1), а ограничимся рассмотрением лишь «многоугольных фигур», которые являются наиболее простыми с элементарно-геометрической . точки зрения. Многоугольной фигурой (или просто «многоугольником») называется часть плоскости, >1 [К ограниченная конечным числом отрезков. Из этого .ХГ \ определения следует, что к многоугольникам при- V у числяются не только многоугольники «в обычном ' I I/ смысле слова», ограниченные одной замкнутой ли- N нией (рис.’ 1), но также и более сложные фигуры, ограниченные несколькими замкнутыми ломаными Рис. 1. линиями (рис. 2, й, б), в том числе и «несвязные» фигуры, состоящие из нескольких отдельных кусков (рис. 2, в). Когда мы будем говорить о разбиении многоугольника на части, мы всегда будем иметь в виду разбиение его прямолинейными отрез- ками на конечное число многоугольников (рис. 3). Отметим, что любой многоугольник может быть разбит на треугольники (рис. 2, а). 1.2. Площадь прямоугольника (метод исчерпывания). Как известно1), свойства (а) —(б) позволяют на классе всех много- угольников однозначно определить понятие площади. Напомним *) См. статью «Площадь н объем», стр. 44—54 этой книги ЭЭМ. *) См. статью «Площадь и объем», стр. 21 —29.
144 равносоставленность многоугольников и многогранников вкратце, как производится вычисление площадей различных фигур в традиционном школьном курсе. Разделим прежде всего единичный квадрат на пг маленьких квадратиков, сторона каждого из которых Рис. 2. имеет длину 1/zz (рис. 4). Из (у) следует, что все маленькие квадра- тики имеют одинаковую площадь, — обозначим ее через у. Так как. далее, из zz2 маленьких квадратиков складывается единичный о) б) Рис. 5 квадрат, то из ((3) и (6) следует, что л2$=1, т. е. $=1/л2. Итак, площадь квадрата со стороной \/п равна 1/л2. Рассмотрим теперь какой-нибудь прямоугольник (рис. 5, а), длины сторон которого а и b являются рациональными числами. Приведем числа а и b К общему знаменателю: а = pin, b — q/n,
ВВЕДЕНИЕ 145 Тогда рассматриваемый прямоугольник можно разбить на равные квадратики со стороной 1/л, причем вдоль одной стороны прямо- угольника укладывается р таких квадратиков, а вдоль другой стороны — q (рис. 5, б). Всего, таким образом, в прямоугольнике укладывается pq квадратиков, а так как площадь каждого квадра- тика равна 1/п2, то из (0) следует, что площадь прямоугольника 1 р а , равна pq -z- — — • — = ab. * n2 n n Итак, площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон в случае, если длины сторон являются рациональными числами. Следующий шаг теперь состоит в том, чтобы установить эту теорему для прямоугольни- ков с произвольными дли- нами сторон. Рассуждение, кото- рое для этого используется, мож- но изложить следующим образом. Рассмотрим прямоугольник ОАСВ, длины сторон которого а и Ь являются произвольными (воз- можно, иррациональными) числа- ми. Возьмем произвольное рацио- нальное положительное число в (например,е= 1/10или е = 1/100, или е=1/1000) и выберем на прямой ОА такие точки М и М', что отрезок ОМ имеет рациональ- ную длину, отрезок ММ' имеет длину в и точка А расположена на отрезке ММ'. Совершенно так же выберем точки N, N' на прямой ОВ (рис. 6). Наконец, восставим в точках М, М', N, N' перпенди- куляры к сторонам О А и ОВ. Площадь получившейся фигуры ММ' P'N'NPM, которую можно разбить на два прямоугольника, равна e-N' Р' -\-e-MP—e(N' Р' -\- + AfP) = e(NP-)-Af/:,+ e). Так как NP^a, МР^Ь, то площадь фигуры ММ'P'N'NPM не превосходит e(a + 6-j-E). Обозначим теперь исходный прямоугольник ОАСВ через F. Далее проведем построение, указанное на рис. 6, при е = 1/10 и обозначим прямоугольник 0MPN через Хх. Тогда часть фигуры F, не заполненная фигурой Хг (т. е. заштрихованная на рис. 6 фигура), имеет положительную площадь, не превосходящую 1) площади фигуры ММ' P'N'NPM, т. е. не превосходящую -jq-а-|-6. Проведем теперь то же построение при e = jQQ и получающийся прямоугольник 0MPN обозначим через Хг. Тогда х) Здесь мы (в первый и последний раз!) используем положение (а) (или (а')).
146 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ часть фигуры F, не заполненная фигурой Х2 (заштрихованная фигура), имеет положительную площадь, не превосходящую 100 I а -ф jog 1. Затем мы можем провести это же построение при е=1/1000, обозначив получающийся прямоугольник ОАСВ через Xs, и т. д. В результате мы получаем такую последовательность фигур Х1г Х2, Xs, ..., расположенных в прямоугольнике F, что площадь той части прямоугольника F, которая не заполнена фигурой Xk, стремится к нулю при неограниченном увеличении числа k. Иначе говоря, площадь s (F) прямоугольника F и площадь s(Xk) прямоугольника Xk связаны (в силу (р)) соотношением s(F) = = s(Xk) где величина sk (площадь заштрихованной фигуры) стремится к нулю при увеличении k. Таким образом, s (F) = lim s (Xk), СЮ т. e. s (F) — lim (aftpft), где ak и PA— длины сторон прямоугольника Xk. k-+v Но при k -> oo мы имеем ak -> a, pA —» b; следовательно, lim (<хд,{3А) ~ k-*-cn = lima* limPA = af>, t. e. s(F) = ab, что и требовалось доказать. k~> <х> 00 Метод, который использован в этом доказательстве, — он носит название метода исчерпывания,—в одном из своих вариантов может быть сформулирован следующим образом: если Хх, Х2, Ха, ...— такая последовательность фигур, расположенных в одной и той же фигуре F, что часть фигуры F, не заполненная фигурой Xh, имеет площадь, неограниченно уменьшающуюся при А оо, то lims(XA) = s(F). (Иногда этот метод называют также методом k-+tn пределов.) 1.3. Методы разбиения и дополнения. Обратимся к дальнейшему построению теории площадей в школьном курсе. После того как установлена формула для вычисления площади прямоугольника, дальнейшее вычисление площадей проводится при помощи весьма простого приема, называемого методом разложения и основываю- щегося на свойствах (Р) и (у). Рассмотрим для уяснения этого метода две фигуры, изображенные на рис. 7 (все отрезки, составляющие фигуру креста, равны между собой; сторона квадрата равна отрезку АВ) Пунктирные линии, проведенные на рисунке, разбивают эти фигуры на одинаковое число равных частей (равные части обеих фигур отмечены одинаковыми цифрами). Этот факт выражают следующими словами: фигуры, изображенные на рис. 7, равносос- тавлены. Иначе говоря, две фигуры называются равносоставлен- ными, если, определенным образом разрезав одну из них на конечное число частей, можно (располагая эти части иначе) составить из них вторую фигуру. Из свойств (Р) и (у) непосредственно следует, что две равно- составленные фигуры равновелики, т. е. имеют одинаковую пло-
ВВЕДЕНИЕ 147 щадь На этом и основан простой способ вычисления площадей, называемый методом разложения (или разбиения). Метод этот (из- вестный еще Евклиду, жившему свыше 2000 лет назад) заключа- ется в следующем: для вычисления площади пытаются разбить фигуру на конечное число частей таким образом, чтобы из этих частей можно было составить более простую фигуру (пло- щадь которой нам уже известна). Напомним известные из школьного курса геометрии примеры применения этого метода. На рис. 8 дан способ вычисления Рис. 8. площади параллелограмма: параллелограмм и прямоугольник, имею- щие одинаковые основания и одну и ту же высоту, равносоставлены и потому равновелики J). Таким образом, площадь параллелограм- ма равна произведению длин его основания и высоты. *) Следует отметить, однако, что такой простой прием (отщепление одного треугольника) не всегда приводит к цели. В случае, показанном на изображенном здесь рисунке приходится разбивать параллелограмм не на две, а на большее число частей, чтобы из этих частей можно было сложить прямоугольник с теми же основа- нием и высотой (см. ниже доказательство леммы 3 в § 2).
148 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ Рис. 9 показывает, как можно вычислить площадь треуголь- ника: треугольник имеет такую же площадь, что и параллелограмм с тем же основанием и вдвое меньшей высотой (так как эти две фигуры равносоставлены). Наконец, на рис. 10 изображен прием вычисления площади трапеции. После того как определена площадь треугольника, легко может быть найдена площадь любого многоугольника: достаточно разбить его на треугольники. (Разумеется, при этом мы должны быть уверены в том, что, различными способами разбивая многоугольник Рис. 9. на треугольники, мы тем не менее будем всегда получать одно и то же значение площади; этот факт, обычно в школе не упомина- емый, вытекает из теоремы существования и единственности площади, см. «Площадь и объем», стр. 24 — 29.) Итак, метод разбиения основан на том, что всякие два равно- составленных многоугольника равновелики. Естественно поставить Рис. 10. обратный вопрос: всякие ли два многоугольника, имеющих одина- ковую площадь, равносоставлены? Утвердительный ответ на этот вопрос был дан(почти одновременно) венгерским математиком Фар- кашем Бойяи (1832 г.) и немецким офицером и любителем матема- тики Гервином (1833 г.): два многоугольника, имеющих равные площади, равносоставлены. Доказательство этой теоремы мы при- ведем в § 2. Метод разбиения часто заменяют другим способом вычисления площадей, являющимся в некотором смысле обратным. Этот способ, называемый методом дополнения, мы сейчас и рассмотрим. Вместо
ВВЕДЕНИЕ 149 того чтобы пытаться разрезать две фигуры на равные части, будем теперь дополнять две фигуры равными частями так, чтобы получившиеся после такого дополнения фигуры были равны. Рассмотрим снова фигуры, изображенные на рис. 7. Они имеют одинаковую площадь (в силу равносоставленности). Но равенство площадей этих фигур можно доказать и по-иному (рис. 11): добавляя и к кресту, и к квадрату по четыре равных треугольника, мы получим одну и ту же фигуру. Отсюда следует, что исходные фигуры (крест и квадрат) равновелики. Метод дополнения можно с успехом применять для доказатель- ства теорем элементарной геометрии. Например, для доказатель- ства того, что параллелограмм и прямоугольник, имеющие одинаковые основания и вы- соты, равновелики, достаточно обратиться к рис. 12. Из это- го рисунка видно, что и па- раллелограмм, и прямоуголь- ник могут быть с помощью од- ного и того же треугольника Рис. 13. Ш дополнены до одной и той же трапеции. Поэтому параллелограмм и прямоугольник равновелики J). *) Этот способ вычисления площади параллелограмма предпочтительнее, чем обычно применяемый прием (см. рис. 8). Действительно, способ, изоб- раженный на рис. 12, применим всегда в отличие от приема, изображен- ного на рис. 8 (см сноску на стр. 147).
150 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ Этим же приемом легко доказать теорему Пифагора. Пусть АВС — прямоугольный треугольник. Для того чтобы доказать, что площадь квадрата 7, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов // и III, построенных на катетах (рис. 13), достаточно обратиться к рис. 14. На этом рисунке показано, что как квадрат /, так и вместе взятые квадраты // и /// могут быть дополнены четырьмя треугольниками, равными треугольнику АВС, до одной и той же фигуры, а имен- но, до квадрата, сторона которого равна сумме катетов исходного пря- моугольного треугольника. Этим теорема Пифагора доказана. Для сравнения приведем рисунок к доказательству теоремы Пифагора при помощи метода разложения (рис. 15). Условимся называть два многоугольника равнодополняемыми, если, прикладывая к тому и другому одни и те же многоугольники, можно получить две одинаковые фигуры. Ясно, что равнодополняемые фигуры имеют одинаковую площадь. Естественно поставить обрат- ный вопрос: всякие ли два многоугольника, имеющих одинаковую площадь, равнодополняемы? Утвердительный ответ на этот вопрос легко получить из теоремы Бойяи — Гервина (см. § 2). 1.4. Сравнение различных методов вычисления площадей. Мы рассмотрели три метода, применяющихся для вычисления пло- щадей фигур: метод исчерпывания (метод пределов), метод раз- биения и метод дополнения. При их сравнении бросается в глаза, чго метод исчерпывания гораздо более сложен, чем методы разбие- ния v дополнения; он использует(иногда в завуалированной форме)
ВВЕДЕНИЕ 151 идею предельного перехода, в то время как методы разбиения и дополнения весьма просты и геометрически наглядны. По сути дела, метод исчерпывания близок к определению площади с помощью интеграла (см. стр. 51—52 статьи «Площадь и объем») и потому неэлементарен. (Рассуждения, связанные с рассмотрением пре- дельного перехода, бесконечно малых величин и т. п., принято обычно считать «неэлементарными .) Однако, к счастью, метод исчерпыва- ния применяется в теории площадей многоугольников лишь один раз: как мы видели, он нужен лишь при выводе формулы прямо- угольника. Если же формула площади прямоугольника уже уста- новлена, то площади любых многоугольников находятся элемен- тарно (с помощью методов разбиения и дополнения) *). Тот факт, что неэлементарный метод исчерпывания используется в теории площадей многоугольников лишь один раз, — да и то при вычислении площади прямоугольника, хорошо известной и понятной для прямо- угольников с рациональными длинами сторон,—делает малозамет- ной неэлементарность этого метода. (Тем более, что многие препо- даватели стараются скорее «проскочить» общий вывод формулы прямоугольника, «смазав» трудности этого вывода!) Просматривая изложенные выше рассуждения, легко убедиться, что аксиома (а), указанная в начале статьи, использовалась в них только один раз, а именно при нахождении площади произ- вольного прямоугольника методом исчерпывания. Все же остальные *) Метод исчерпывания вновь становится необходимым при вычислении площадей криволинейных фигур, например площади круга и его частей. В самом деле, часть круга К, не заполненная вписанным многоугольником Х^, невелика и становится все меньше н меньше, если наибольшая нз сторон вписанного многоугольника неограни- ченно уменьшается (рис. 16). Поэтому s(K)= lim s(A^), где предел берется k-* 00 в предположении, что при k -> оо все стороны многоугольника Xk неограни- ченно уменьшаются. Это условие выпол- няется, например, если Xk—пра- вильный вписанный fe-угольник (нлн 2л-угольник). Но площадь правильного многоугольника равна -%pkak, rji.epk— его периметр, а ак— апофема. Следова- тельно, s (К) — lim JL pkak. При k оо k-*<x 2 величина pk приближается к длине окружности 2лг, а величина щ—к радиусу г. Таким образом, для площади s(K)= lim 1 akPk = L limpfe GO Z Z A-> 00 круга К получаем формулу lim ай = — 2лг-г=лг1, л-»« 2
152 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ рассуждения, и в частности применение методов разбиения и до- полнения, основаны только на аксиомах (0)— (6). Например, тот факт, что равносоставленные многоугольники имеют одинаковую площадь, вытекает только из двух аксиом: (0) и (у). Проведение рассуждений методом исчерпывания невозможно без применения аксиомы (а), так как в методе исчерпывания существенно использу- ется положение (а'), эквивалентное аксиоме (а) (см. стр. 145 и 179). Таким образом, сложность и неэлементарность метода исчерпы- вания обусловлены именно использованием аксиомы (а). В связи с этим всякое рассуждение, использующее аксиому (а) и в этом смысле эквивалентное методу исчерпывания, мы будем в теории площадей считать н е э л е м е и т а р н ы м. Элементарными же будем считать те рассуждения и методы, которые основаны лишь на аксиомах (0)—(6). В частности, методы разбиения и дополнения элементарны. Такое исключительное положение аксиомы (ot) в теории площадей объясняется тем, что в ней постулируется некоторое неравенство для площадей, в то время как остальные аксиомы формулируются в виде равенств. Использование же неравенств для вычисления площадей, для решения вопроса о том, чему равна площадь той или иной фигуры (т. е. использование нера- венств для установления некоторого равенства), так или иначе связано с предельным переходом, с некоторыми оценками и т. п. и потому неэлементарно. Например, использование метода исчерпывания при вычислении площади прямоугольника можно было бы заменить следующим «оценочным» рассуждением, существенно основанным на применении аксиомы (ot) или эквивалентного ей положения (ос'). Обозначим длины отрезков ОМ и ON на рис. 6 через а и 0. Тогда мы имеем: SOMPN^ SOACB sOM'P'N't или °Ф SOACB ^(афе)ффе). (*) Но мы имеем а — е^а, афе^афе (ибо О^а — ot^e, см. рис. 6) и аналогично b — е 0, 0 ф е^^фе. Следовательно, не- равенства (*) могут быть теперь усилены следующим образом: (в-Е)(А-т)<5мгй<(афЕ)(/)фЕ)- Раскрывая скобки и вычи- тая из всех частей неравенств произведение ab, получаем: — е (а ф b — е) sC s0ACB — ab е (а ф b ф е). Эти неравенства показы- вают, что число s0ACB— ab не может быть отличным от нуля (ибо в качестве е можно взять как угодно малое рациональ- ное положительное число); таким образом sOACB = ab. Это «оценочное» рассуждение формально не содержит никакого предельного перехода, но по существу столь же неэлементарно, как и метод исчерпывания. Ведь заключительная часть этого рас- суждения предполагает, в сущности, ясное понимание того факта, что никакое отличное от нуля число не является бесконечно малой
ВВЕДЕНИЕ 153 величиной, т. е. так или иначе связано с рассмотрением перемен- ной величины, с рассмотрением числа Е, которое может быть «про- извольно малым», и т. п. Естественно возникает вопрос: можно ли вывести формулу пло- щади прямоугольника элементарно (т. е. с помощью какого либо рассуждения, не использующего аксиомы (а))? Оказывается, что этого сделать нельзя, т. е. прн вычислении площади произволь- ного прямоугольника ограничиться только использованием аксиом (Р) — (6) невозможно. Мы докажем этот факт на стр. 179. 1.5. Вычисление объемов многогранников. Третья проблема Гильберта. Обратимся теперь к геометрии в пространстве, а имен- но к вопросу о вычислении объемов многогранников. (Под многогранником мы понимаем часть пространства, ограни- ченную конечным числом многоугольников; любой многогранник может быть разбит на конечное число тетраэдров, т. е. треугольных пи- рамид.) Вычисление объемов базируется на аналогичных положениях: (а) Объем v (Д') тела X является неотрицательным числом. (Р) Если тело X разбито на две части Xt и Х2, то г/(Х) = г/(Л1)+т/(Л2). (у) Равные тела имеют равные объемы. (6) Объем куба, ребро которого является единицей длины, равен единице. Как и в случае площади, эти положения (а)'—(6) позволяют на классе многогранников однозначно определить понятие объема г). Вначале построение теории объемов в точности повторяет построе- ние теории площадей. Именно, устанавливается, что объем куба с ребром 1/л равен 1/л3; далее показывается, что объем прямо- угольного параллелепипеда с рациональными длинами ребер равен произведению трех его «измерений» (т. е. произведению длин трех ребер, выходящих из одной вершины); затем эта теорема распро- страняется (с применением метода исчерпывания) на прямоугольные параллелепипеды с произвольными длинами ребер. Все это совер- шенно аналогично построениям теории площадей. Далее возникает естественный вопрос: можно ли, имея в своем распоряжении формулу объема прямоугольного параллелепипеда, определить объем любого многогранника с помощью только метода разбиения (или дополнения), без использования неэлементарного метода исчерпывания? (Именно так обстояло дело в случае площа- дей плоских фигур.) Как известно, учебная литература всегда использует либо метод исчерпывания («чертова лестница», см. ниже, рис. 20), либо какой-нибудь эквивалентный ему метод (например, принцип Кавальери или какое-либо иное завуалированное интегри- рование) По существу ли это? ) См. статью «Площадь и объем», стр. 72—75.
154 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ При вычислении объемов пространственных фигур в некоторых случаях применяется метод разложения (или дополнения). Напри- мер, для доказательства теоремы о том, что объел наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения Рис. 17. Рис. 18. на длину бокового ребра, применяют метод разложения (рис. 17) или дополнения (рис. 18). Иначе говоря, всякая наклонная призма равносоставлена (и равнодополняема) с прямой призмой, у которой Рис. 19. длина бокового ребра такая же, как и у наклонной призмы, а ос- нованием является перпендикулярное сечение наклонной призмы. Далее, если основания двух прямых призм имеют одинаковую пло- щадь, а высоты этих призм равны, то эти две призмы равносостав- лены (ибо ио теореме Бойяи — Гервина их основания равносостав- лены, рис. 19). В частности, всякая прямая призма равносоставлена
ВВЕДЕНИЕ 155 с прямоугольным параллелепипедом, имеющим ту же площадь осно- вания и ту же высоту, откуда и вытекает теорема об объеме иаклониой призмы. Таким образом, для вычисления объема любой призмы (прямой или наклонной) можно с успехом пользоваться методом разложения (и методом дополнения). Однако при вычислении объема пирамиды не пользуются ни методом разложения, ни методом дополнения. На помощь при- влекается метод пределов'. рассматривают довольно слож- ные ступенчатые тела (рис. 20) и затем переходят к пределу при неограниченно возрастаю- щем числе ступенек («чертова лестница»). В чем здесь дело? Рис. 20. Рис. 21. Может быть, это объясняется лишь тем, что до сих пор мате- матикам «не посчастливилось найти простой вывод формулы объ- ема пирамиды методом разложения или дополнения? Чтобы от- ветить на этот вопрос, вспомним вкратце, как обычно вычисляется объем пирамиды. Пусть ABCD — треугольная пирамида. Построим треугольную призму (наклонную) ABCDEF с основанием АВС и бо- ковым ребром AD (рис. 21). Эту призму можно разбить на три треугольные пирамиды ABCD, BCDE, CDEF (рис. 22), которые мы для краткости обозначим через 7И1, М2, М3. Легко устанавливается, что каждые две из пирамид М1г М2, Л43 имеют равные основания и равные высоты. Таким образом, «остается» доказать, что две пирамиды, имеющие равные основания и равные высоты, равно- велики. Именно это предложение и доказывается с помощью метода пределов. Можно ли доказать это предложение без применения
156 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ Рис. 22. метода пределов (или метода исчерпывания), на основе только методов разбиения или дополнения? Иными словами, любые ли два тетраэдра с равными основаниями и равными высотами равно- составлены или дополняемы равными частями до равносостав- ленных многогранников? Эта проблема известна под названием третьей проблемы Гильберта: в числе других важных проблем математики, она была выска- зана известным математиком Д. Г ил fa- бе ртом в 1900 году. Разумеется, можно было бы поста- вить эту проблему и в иной форме, сравнивая не два тетраэдра, а тет- раэдр и прямоугольный параллелепи- пед (для которого формула объема уже известна). Так мы приходим к следующей формулировке по сущест- ву той же проблемы: всякий ли тет- раэдр равносоставлен с некоторым прямоугольным параллелепипедом (того же объема)? Как установил еще в 1896 году английский математик Хилл, тетраэдры, равносоставленные с прямоугольным параллелепипедом, существуют. Пример такого тетраэдра приведен на рис. 23, а; здесь АВ, ВС и CD — взаимно перпендикулярные ребра, имеющие одинаковую длину а. На рис. 23, б показано разбиение этого тетраэдра на четыре многогранника; на этом чертеже отрезки ВМ и MN имеют длину ~. На рис. 23, в показано, как следует перегруппировать О эти четыре многогранника, чтобы из них сложить прямую треуголь- ную призму (рис. 23, г). Таким образом, тетраэдр ABCD равносо- ставлен с прямой треугольной призмой, а потому и с прямоуголь- ным параллелепипедом. Если бы это оказалось так для любого тетраэдра, то принципиально можно было бы построить теорию объемов многогранников, ни разу (после установления формулы объема параллелепипеда) не использующую метода пределов или метода исчерпывания. Однако на обе поставленные проблемы приходится дать отри- цательный ответ. Оказывается, что методы разложения и до- полнения вообще бессильны для установления формулы объема пирамиды. Для вывода этой формулы необходимо применение более сложного метода (метода исчерпывания, метода пределов или иного эквивалентного метода). Это было установлено в 1901 году М. Деном, который показал, что существуют многогранники, имею- щие равные объемы, но не равносоставленные. В частности, куб и
ВВЕДЕНИЕ 157 правильный тетраэдр одинакового объема не равносоставлены (и не дополняются равными частями до равносоставленных многогран- ников). Существуют также не равносоставленные тетраэдры с равными основаниями и высотами. Тем самым обосновывается необходимость привлечения неэлементарных методов в теории объемов. Рис 23. Доказательства самого Дена, очень сложные и, надо сказать, довольно путаные, были существенно усовершенствованы В. Ф. К а- ганом. В последние годы ряд интересных новых результатов в теории равносоставленности был получен швейцарскими геомет- рами (Г. Хадвигер и др.). Их результаты позволили значительно упростить доказательство теоремы Дена. В § 3 читатель найдет доказательство результатов Дена, представляющее собой сильно переработанное доказательство Хадвигера. По поводу дальнейших относящихся сюда результатов (некоторые из них кратко упомянуты в конце §§ 2 и 3) мы отсылаем читателя к указанной в конце статьи книжке В. Г. Болтянского [1].
158 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ § 2. Равносоставленность многоугольников 2.1. Теорема Бойяи—Гервина. В этом параграфе мы докажем теорему Бойяи — Гервина, упомянутую во введении, а также укажем некоторые новые результаты, относящиеся к этому же кругу идей. Докажем сначала несколько вспомогательных предложений. Лемма 1. Если фигура А равносоставлена с фигурой В, а фигура В равносоставлена с фигурой С, то фигуры А и С также равносоставлены. Действительно, проведем на фигуре В линии, разбивающие ее на такие части, из которых можно составить фигуру А (сплошные Рнс. 24. линии на рис. 24, а); проведем, кроме того, линии, разбивающие фигуру В на части, из которых можно составить фигуру С (сплош- ные линии на рис. 24, б). Те и другие линии вместе разбивают фигуру В на более мелкие части, причем ясно, что из этих более мелких частей можно составить и фигуру А, и фигуру С. Таким образом, фигуры А и С равносоставлены. Лемма 2. Всякий треугольник равносоставлен с некоторым прямоу гольн иком. В самом деле, пусть АВ — наибольшая сторона треугольника АВС (рис. 25), CD — опущенная на нее высота. Тогда точка D находится между А и В (иначе один из углов / Л или / В был бы тупым и сторона АВ не была бы наибольшей; см. рис. 26). Через середину высоты CD проведем прямую, параллельную АВ, и опустим на эту прямую перпендикуляры АЕ и BF, Тогда мы получим прямоуголь-
РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 159 ник AEFB, который равносоставлен с треугольником АВС. Дейст- вительно, треугольники, помеченные на рис. 25 цифрой 1 (так же как и треугольники, помеченные цифрой 2), равны между собой. Каждая же из фигур ABC, AEFB состоит из заштрихованной на рис. 25 трапеции и двух треугольников 1, 2. Лемма 3. Два параллелограмма, имеющих общее основание и одинаковую площадь, равносоставлены. Пусть ABCD и ABEF—два параллелограмма, имеющих общее основание АВ и одинаковую площадь. Тогда высоты этих парал- лелограммов одинаковы, т. е. отрезки DC и FE расположены на Рнс. 25. Рис. 26. одной прямой. На прямой АВ отложим последовательно ряд отрез- ков, равных отрезку АВ, и через каждую точку деления проведем прямые, параллельные отрезкам AD и AF. Тогда полоса между Рис. 27. параллельными прямыми АВ и DE разобьется на ряд многоуголь- ников (рис. 27). Каждый из этих многоугольников при сдвиге на отрезок, равный АВ, совмещается с другим равным ему много- угольником. (Докажите!) Равные многоугольники на рис. 27 отме- чены одинаковыми цифрами. Остается заметить, что каждый из параллелограммов ABCD, ABEF содержит одну чдсть, помеченную
160 РАВНОСОСТАВЛенНОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ цифрой 1, одну часть, помеченную цифрой 2, цифрой 3 и т. д. Таким образом, эти параллелограммы равносоставлены1). Лемма 4. Два прямоугольника, имеющих равную площадь, равносоставлены. Пусть ABCD и EFGH—два прямоугольника одинаковой пло- щади. Из четырех отрезков АВ, ВС, EF, FQ выберем наибольший,— пусть это будет, например, отрезок АВ. Продолжим теперь отре- зок HG за точку И и на этой прямой радиусом, равным АВ, сде- лаем засечку из точки Е (так как АВ^ЕН, то окружность ради- уса АВ с центром в точке Е будет с прямой HQ иметь общую точку). Обозначая полученную точку через А, будем иметь AB = EL и, отложив отрезок LK=EF, мы построим параллелограмм EFKL (рис. 28). Этот параллелограмм равновелик прямоугольнику EFGH (и прямоугольнику ABCD). Из леммы 3 следует, что параллелограм- мы EFGH и EFKL, имеющие общую сторону EF, равносоставлены. Но параллелограммы ABCD и EFKL также имеют одинаковую сто- рону AB — EL. Поэтому (в силу леммы 3) они равносоставлены. Наконец, так как параллелограмм EFKL равносоставлен с каждым из прямоугольников ABCD и EFGH, то (лемма 1) эти прямоуголь- ники равносоставлены. Лемма 5. Всякий многоугольник равносоставлен с некото- рым прямоугольником. Всякий многоугольник может быть разбит на конечное число треугольников. Обозначим их цифрами 1, 2, 3, ... (рис. 29). Возь- мем, далее, произвольный отрезок АВ и в его концах восставим перпендикуляры АС и BD (рис. 30). Проведем отрезок Л1В1, параллель- ный АВ, таким образом, чтобы пло- 1) Если параллелограммы ABCD, ABEF, изображенные на рис. 27, таковы, что стороны AF и ВС не пересекаются, то рис. 27 примет показанный здесь вид, т. е. достаточно отщепить от парал- лелограмма ABCD один треугольник, чтобы из получившихся двух час- тей можно было составить параллелограмм ABEF (ср. сноску на стр. 147).
РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 161 щадь прямоугольника АВВ1А1 была равна площади треугольника 1. Тогда треугольник 1 и прямоугольник АВВ1А1 (помеченный цифрой 1) равносоставлены. Действительно, треугольник 1 равносоставлен с некоторым прямоугольником (лемма 2), который в свою очередь равно- составлен с прямоугольником I, имеющим ту же площадь (лемма 4); поэтому (лемма 1) треугольник 1 и прямоугольник / равносоставлены. Далее, построим отрезок Л2В;, параллельный АВ, таким образом, что прямоугольник Л1В1В2Л2, помеченный цифрой//, равновелик треуголь- нику 2. Тогда треугольник 2 и прямоугольник II равносоставлены. Затем мы построим прямоугольник III, равносоставленный с тре- угольником 3, и т. д. Построенные прямоугольники I, II, III, ... составляют вместе один прямоугольник (заштрихованный на рис. 30), который по построению равносоставлен с исходным многоугольником. Теперь уже нетрудно доказать упомянутую на стр. 148 теорему. Теорема Бойяи — Гервина. Два многоугольника, имею- щих равные площади, равносоставлены. Доказательство. Согласно лемме 5, каждый из многоуголь- ников равносоставлен с некоторым прямоугольником. Полученные два прямоугольника имеют одинаковую площадь и, следовательно, равносоставлены (лемма 4). Таким образом (лемма 1), два исходных многоугольника равносоставлены. В качестве простого следствия теоремы Бойяи — Гервина мы до- кажем следующее предложение: Теорема: Два многоугольника, имеющих равные площади, равнодополняемы. Доказательство. Пусть А и В —два многоугольника, име- ющих одинаковую площадь. Возьмем два одинаковых квадрата на- столько больших размеров, чтобы внутри них можно было распо- ложить фигуры А и В. Вырезав из одного квадрата фигуру А, а из другого —фигуру В, имеющую такую же площадь, мы получим 6 Энциклопедия, кн. 5
162 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ две равновеликие фигуры С и D (заштрихованные на рис. 31). Из равенства площадей фигур С и D вытекает их равносостав- ленность (в силу теоремы Бойяи — Гервина). Таким образом, фигуры С и D можно разрезать на попарно равные части, а это и означает равнодополняемость многоугольников А и В. 2.2. Теорема Хадвигера — Глюра. Доказанные выше теоремы показывают, что понятия равновеликости, равносоставленности и D Рис. 31. равнодополняемости для многоугольников равносильны. Это откры- вает ряд возможностей для дальнейшего исследования. В частности, возникает интересный вопрос: нельзя ли наложить какие-то допол- нительные условия на число или расположение тех частей, из ко- торых составляются равновеликие многоугольники? Замечательный результат такого рода был полу- /X. ченв 1951 году швейцарскими ма- / ^х. тематиками Г. X а д в и г е р о м и / \ П. Г л ю р о м. Они установили, что /_________\ | в теореме Бойяи — Гервина можно еще дополнительно потребовать, Рис. 32. чтобы части, на которые разрезан один из двух равновеликих мно- гоугольников, и равные им части второго многоугольника имели соответственно параллельные стороны. На первый взгляд этот результат кажется неправдоподобным: трудно поверить, что два равных треугольника, повернутых друг относительно друга на про- извольный угол (рис. 32), всегда можно разбить на равные части с соответственно параллельными сторонами. Тем не менее такое разбиение существует и не только для треугольников, но и для произвольных равновеликих многоугольников. Для того чтобы пояснить содержание этой теоремы и получить более точную ее формулировку, мы обратимся снова к доказатель- ству теоремы Бойяи — Гервина, изложенному выше. При доказатель-
РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 163 стве леммы 3 (рис. 27) мы разбили параллетограмм ARCD на не- сколько частей (помеченных цифрами 1, 2, 3, ...), из которых оказалось возможным составить параллелограмм ABEF. Из рис. 27 видно, что для составления параллелограмма ABEF достаточно воспользоваться параллельными переносами £) частей. В частности, равносоставленность двух параллелограммов, изображенных на рис. 8, устанавливается с помощью параллельного переноса. Для установления равносоставленности фигур, изображенных на рис. 9 или 10, уже недостаточно одних параллельных переносов, однако легко показать равносоставленность этих фигур, пользуясь, кроме параллельных переносов, еще центральными симметриями* 2). Действительно, заменив (с помощью центральной симметрии отно- сительно точки О) треугольник BOD треугольником СОЕ (рис. 9), мы получим параллелограмм ADEC, который затем с помощью па- раллельного переноса можно совместить с параллелограммом KLMN. Аналогично доказывается равносоставленность фигур, изображен- ных на рис. 10. При доказательстве леммы 2 мы также пользова- лись центральной симметрией (рис. 25). Возникает естественный вопрос: нельзя ли доказать равносостав- ленность двух любых равновеликих многоугольников, не пользуясь поворотом составных частей, т. е. применяя только центральные симметрии и параллельные переносы? Как доказали Хадвигер и Глюр, ответ на этот вопрос положителен. Более точно, будем говорить, что два многоугольника S-равносоставлены, если их равносоставленность можно установить с помощью одних только параллельных переносов и центральных симметрий. Иначе говоря, два многоугольника 5 равносоставлены, если один из них можно разбить на конечное число частей М1г М2, Ms, ..., а другой — на такое же число частей Л4', /И', М'з, ..., причем многоуголь- ники и Л/х получаются друг из друга с помощью параллель- ного переноса или центральной симметрии; то же справедливо для М.г и /И2, для Af3 и М3 и т. д. Оказывается, что справедлива следующая Теорема Хадвигера— Гл юр а. Любые два многоуголь- ника, имеющие равные площади, являются S-равносоставленными. Из теоремы Хадвигера — Глюра и вытекает, что равновеликие многоугольники всегда можно разбить на многоугольные части с соответственно параллельными сторонами-, достаточно заме- тить, что если два многоугольника получаются друг из друга с помощью параллельного переноса или центральной симметрии, то их стороны соответственно параллельны. т) Определение параллельного переноса см. на стр. 54 кн. IV ЭЭМ. 2) Определение центральной симметрии см. на стр. 54 кн. IV ЭЭМ. 6*
164 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ Заметим, что доказательство теоремы Хадвигера—Глюра мо- жет быть проведено совершенно так же, как и доказательство теоремы Бойяи — Гервина. Мы уже видели выше, что при доказа- тельстве лемм 2 и 3 можно обойтись только параллельными пере- носами и центральными симметриями. Напротив, в доказательстве леммы 4 используется поворот фигуры на некоторый угол. Однако, заменяя это доказательство другим, можно установить лемму 4, также пользуясь только параллельными переносами и центральными симметриями. Так же обстоит дело и с остальными леммами, что и дает доказательство теоремы Хадвигера — Глюра. Дета- ли доказательств читатель может найги в названной выше книге В. Г. Болтянского. 2.3. Равносоставленность многоугольников и группы движений. Дальнейшие относящиеся сюда результаты связаны с понятием группы движений. Заметим прежде всего, что совокупность всех параллельных переносов и центральных симметрий является группой движений’, эту группу мы обозначим через 5. Действи- тельно, если каждое из движений d и d' является параллельным переносом или центральной симметрией, то их произведение dd', а также обратное движение d-1 являются параллельными перено- сами или центральными симметриями. Совокупность всех движений плоскости также, очевидно, является группой движений. Эту группу мы обозначим через D. Пусть теперь G—некоторая группа движений, а А и А'—два многоугольника. Предположим, что фигуру А нам удалось разбить на такие части Ml, М2, а фигуру Л'—на такие части /Мх, М2, что эти части получаются друг из друга с помощью движений, принадлежащих группе О (т. е. в группе G имеется движение glt переводящее многоугольник ML в Ми имеется движение g2, переводящее ТИ2 в М2, и т. д.). В этом случае много- угольники А и А' называются G-равносоставленными. Например, если в качестве группы G рассматривается группа 5, то мы полу чаем понятие 5-равносоставленности, рассмотренное выше; если рассматривается группа D, то мы получаем обычное понятие равно- составленности (D-равносоставленность). Всякие два многоугольника одинаковой площади G-равносоставлены (теорема Бойяи — Гервина) и даже 5-равносоставлены (теорема Хадвигера —Глюра). Вообще же понятие G-равносоставленности можно рассматривать для любой группы движений G. Например, имеет место предложение, анало- гичное лемме 1: если А и С — два многоугольника, каждый из ко- торых G-равносоставлен с многоугольником В, то А и С также G-равносоставлены. (При доказательстве этой леммы существенным является то, что G есть группа движений, а не произвольная совокупность движений )
РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ 165 Сформулируем теперь следующую теорему (доказанную В Г. Болтянским в указанной выше книге): Теорема. Группа S является наименьшей группой движений, позволяющей установить равносоставленность любых равновели- ких многоугольников. Иначе говоря, если G есть такая группа движений, что любые два равновеликих многоугольника G-равно- составлены, то группа G содержит всю группу S (т. е. содержит все параллельные переносы и все центральные симметрии'). Интересно еще понятие /'-равносоставленности, основанное на рассмотрении группы Т всех параллельных переносов. Иначе говоря, многоугольники /-равносоставлены, если их равносоставленность Рис. 33. может быть установлена с помощью одних только параллельных переносов. Отметим следующее предложение: выпуклый много- угольник в том и только в том случае Т-равносоставлен с квад- ратом той же площади, если этот многоугольник центрально- симметричен. Рис. 33 иллюстрирует достаточность сформулиро- ванного условия: центрально-симметричный многоугольник можно (разбив на части и применяя параллельные переносы) превратить в несколько параллелограммов, а затем — в квадрат. § 3. Равносоставленность многогранников Основной целью этого параграфа является доказательство тео- ремы Дена о неравносоставлеиностп куба и правильного тетраэдра. В доказательстве используются остроумные идеи, принадлежащие Г. Хадвигеру. 3.1. Теорема Хадвигера. Мы начнем с некоторых алгебраиче- ских рассмотрений. Пусть ссъ се2, . .., ak — какие-либо действитель- ные числа. Будем говорить, что эти числа зависимы, если мож- но найти такие, не все обращающиеся в нуль, целые числа п,, ,.,пь, что имеет место соотношение ДД а» I ft' «1«1 + -!-•••+ ПЛ = °- О)
166 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ Соотношение (1) будем называть зависимостью. Подчеркнем еще раз, что все числа п^, п2, nk предполагаются целыми (поло- жительными, отрицательными или равными нулю), причем среди них обязательно должны быть числа, отличные от нуля. Между одними и теми же числами могут существовать различ- ные зависимости. Возьмем, например, числа 1, У2—1, 3 У 2 + 1, 2 У2. Легко проверить, что между этими числами имеются следу- ющие зависимости: 2-1 + 1 0 2-1)+ (-1) (3/2+1)+ 1-2/2 = О, 4-1+3(/2-1) + (— 1) (3/2+1) + 0-2/2 = 0, 0.1+(-1)(/2-1) + (-1)(3 /2+1) + 2-2/2 = 0. Заметим, что два несоизмеримых числа и а2 (т. е. два отличных от нуля числа, отношение которых иррационально) не могут быть зависимыми. Действительно, из существования зависи- мости «!«! + л2ос2 = 0 вытекло бы, что частное^ равно отношению По ----- двух целых чисел, т. е. рационально. ni Предположим теперь, что каждому из чисел 04, ос2, ..., ak по- ставлено в соответствие еще одно число: числу 0Cj поставлено в соответствие число /(04), » а2 » » » » /(а2), » ctk » » » » /(<+)• Будем говорить, что числа /(осг), /(а2), ...,/(ocft) образуют аддитивную функцию1), соответствующую числам 04, а2, ..., ak, если они обладают следующим свойством: для каждой зависимости tiyCi^ + п2а2 + .. . + nkak = 0, существующей между числами 04, ос2, . .., ocft, точно такая же зависимость имеется и между числами /(«i), -•-,/(«*), т. е. я1/(а1) + л2/(а2)+...+/ift/(aft) = 0. В остальном же числа /(ос2), ...,/(а^) могут быть ка- кими угодно. *) С современной точки зрения имеем функцию, если каждому эле- менту некоторого множества поставлен в соответствие (по некоторому пра- вилу) определенный элемент другого множества. Так, ставя в соответствие каждому действительному числу х число sin х, мы получаем функцию (синус); ставя в соответствие каждому целому положительному числу наибольший его простой делитель, мы получаем функцию; ставя в соответствие числам <Х1, . . . , ak некоторые другие числа [ (щ).[ (а*), мы также имеем функцию.
РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ 167 Рис. 34. Возьмем для примера числа 04 —1, ос2 = ]/5. Так как эти числа несоизмеримы, то между ними никакой зависимости не существует. Поэтому не требуется никакой зависимости и между числами /(ах) и /(ос2), т. е. для получения аддитивной функции можно выбирать числа /(1) и /()/ 5) совершенно произвольно. Если же взятые числа окажутся зависимыми, то значения аддитивной функции также должны быть связаны зависимостями. Пусть, наконец, OCj, ос2, ..., — все внутренние двугранные углы некоторого выраженные в радианах, а 1г, l2, ..-,1k — длины вующих этим двугранным углам (рис. 34). Если выбрана некоторая аддитивная функция /(аг), /(а2), ..., f(ak) (3) для чисел (2), то сумму V(«l) + Z2/(«2) + • + hj&k) (4) мы обозначим через f(A) и будем назы- вать ее инвариантом многогранника А. Инвариант f(A) зависит не только от вы- бора самого многогранника А, но также и от выбора аддитивной функции (3). Теперь мы можем сформулировать следующую теорему. Теорема Хадвигера. Даны два многогранника А и В, имеющих одинаковый объем. Обозначим через аь ос2, . .., ар все внутренние двугранные углы многогранника А, выраженные в радианной мере, а через 0Ь 02, . ..,0?— все внутренние дву- гранные углы многогранника В. К числам eq, а2, ..., ар, 0!, 02, .. ., 0? присоединим еще число л. Если для полученной системы чисел л, 04, а2, ..., ар, 0Х, 02, ..., 0? (5) можно подобрать такую аддитивную функцию /(«), /(«1), /Ю, /(Pi), /(Р2), (6) что выполнено соотношение /И = 0, (7) а соответствующие инварианты многогранников А и В неоди- наковы: f(A)^f(B), (8) то многогранники А и В не равносоставлены. (2) многогранника А, ребер, соответст-
163 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ Доказательство теоремы Хадвигера мы рассмотрим ниже (стр. 170), а сейчас покажем, как из нее вытекает теорема Дена о неравно- составленносги куба и правильной пирамиды. 3.2. Теорема Деиа. Докажем прежде всего следующую лемму, с помощью которой легко установить (на основании теоремы Хад- вигера) справедливость теоремы Дена. Лемма 6. Число <p = arccos~ неизмеримо с л, т. е. не су- ществует никакой зависимости «jtp -f-п2л = 0 (9) с целыми, отличными от нуля коэффициентами пг, п2. Доказательство проведем методом «от противного . Допустим, что имеет место соотношение (9), в котором Мы можем считать, что п1 > 0 (иначе можно было бы в соотношении (9) изме- нить знаки на обратные). Так как п^ —— п.2п есть целочислен- ное кратное угла л, то cosz/др равен или -|-1, пли —1, т. е. является целым числом. Это утверждение мы и приведем к противо- речию. Именно, мы покажем, при каком целом /г>0 число cos/др не является целым. На основании теоремы сложения, известной из курса тршоно- метрии, мы можем написать: cos (k + 1) <р = cos (Zxp 4- <р) = cos kef cos <p — sin /г(р sin <p, cos (k — 1) <p = cos {kef — <p) —- cos /г<р cos <p -f- sin kef sin <p. Складывая эти два равенства, получаем: cos (k 4~ 1) <р4~ cos (& — 1) fp= = 2 cos kef cos <р, или 2 cos (k 4-1) <р = v cos ~~ cos ~1) Ф (10) О (так как cos ср =1/3). Покажем (с помощью метода полной математической индукции), что число cos/ecp выражается дробью, знаменатель которой равен 3А, а числитель не делится на 3; отсюда и будет следовать, чго число cos /г<р при /г>0 не является целым. Для k 1 и k = 2 это утверждение непосредственно проверяется costp= , cos2<p = 2 7 = 2cos2<p—1—9—1 =------д'- Предположим, что для всех чисел 1, 2, .. ., k наше утверждение доказано, и докажем его для числа k4-1. Согласно предположению индукции, имеем: cos/etp -~ , cos (k— 1) ср — т 3fc-i где а и b — целые числа, не делящиеся па 3.
РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ 169 Отсюда на основании равенства (10) получаем: cos (Zj-j-1) ф = 2 а b 2а—Qb о = —• г-----г— = —т-—. Так как число а и число 2 не делятся з 3* З*-1 3А + 1 на 3, то числитель 2а— 9Ь также не делится на 3. Индукция про- ведена. Теорема Дена. Куб и правильный тетраэдр, имеющие одинаковый объем, не равносоставлены Доказательство. В правильной треугольной пирамиде ABCD опусIнм из точки D высоту DE (рис. 35). Точка Е является центром равностороннего треугольника АВС, так что отрезок AF, проходящий через точку Е, есть медиана. Поэтому F—сере- дина ребра ВС, а отрезок DF является медианой треугольника BCD. Отрезок EF составляет третью часть медианы AF или медианы DF, т. е. EF:DE= \ :3 Иначе го- воря, обозначив через ф угол F прямоуголь- ного треугольника DEF (т. е. двугранный угол тетраэдра ABCD), мы найдем: cos ф= 1/3. (11) Теперь применим теорему Хадвигера. Рнс. 35. Каждый двугранный угол куба А равен ~ ; двугранный угол правильного тетраэдра В мы обозначили через <р. Поэтому числа (5), о которых идет речь в теореме Хадвигера, здесь будут следующими: л, -J, ф. (12) Найдем, какие зависимости Пусть имеется зависимость существуют между этими числами. nxn + n2-^ 4-«зФ=0, (13) где nlt п.,, п3 — целые числа. Тогда (2Л1-ф «.,) л + 2«3ф = 0, т. е. мы получаем зависимоегь между числами л и ф. Но такой зави- симости с ненулевыми коэффициентами не существует, так как, в силу леммы 6, угол ф несоизмерим с л (см. (11)). Поэтому 2zzr -ф п2 — 0, zz3=0 и соотношение (13) принимает вид ^л-фф-2л,)-£- = 0. (14) Других зависимостей между числами (12) нет. Положим: /(л)=/ 1)=0, /(<₽)=!• (15)
170 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ Это дает аддитивную функцию, определенную для чисел (12). Действительно, для любой зависимости между числами (12), т. е. для соотношения (14), мы имеем аналогичную зависимость между числами (15): «1/(л)-|-(—2л1)/(л/2) = 0. Итак, мы получили аддитивную функцию, заданную для чисел (12) и удовлетворяющую соотношению (7). Остается установить соотношение (8), и неравносоставленность куба и пирамиды будет доказана. Куб А имеет 12 ребер. Обозначим длину его ребра через I. Тогда инвариант/(Л) имеет для куба Л значение/(Л) = 12//(л/2) = 0 (см. (15)). Длину ребра правильной пирамиды В обозначим через т. Тогда инвариант /(Д') пирамиды В примет вид = 6/п/(<р) = = 6/»7^0 (см. (15)). Таким образом, /(Л)#=/(В), и потому куб Л и пирамида В не являются равносоставленными. Теорема Дена доказана. 3.3. Доказательство теоремы Хадвигера. Остается доказать теорему Хадвигера. К ее доказательству мы и переходим. Пред- варительно докажем две леммы. Лемма 7. Пусть а2, . . (16) и Yi. Y2> Yz (17) — действительные числа, а /(«1), /(а2), • ..,/(«*) (18) —аддитивная функция для чисел (16). Тогда можно подобрать такие числа /(Yi), Жг). ••,/(Yz)> (19) что числа (18) и (19) образуют аддитивную функцию для чисел (16) и (17) вместе взятых. Иначе говоря, аддитивную функцию для чисел (16) можно дополнить до аддитивной функции для чисел (16), (17). Достаточно рассмотреть случай, когда к числам (16) добав- ляется только одно число у (так как числа (17) можно добавлять не все сразу, а одно за другим). Итак, задана аддитивная функ- ция (18) для чисел (16) и, кроме того, дано число у. Мы должны подобрать такое число /(у), что система чисел /(«J, Ж), ...,/(aft), /(у) (20) будет представлять собой аддитивную функцию для чисел «1, «2, , Y- (21) Рассмотрим два случая.
РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ 171 Случай 1, Между числами (21) не существует никакой зависимости -ф zz2a2 -ф . . . -ф nkak -ф ну = 0, в которой коэффи- циент zz при числе у был бы отличен от нуля. Иначе говоря, число у ни в одну зависимость не входит. В этом случае число /(у) никакими условиями не связано, т. е. за /(у) можно принять любое действительное число. Случай 2. Между числами (21) имеется зависимость, в кото- рую входит число у: nial-i-n2a2+...+nkak + n'y = O, п’ #=0. (22) В этом случае мы определим число /(у) из соотношения «г/ («1) + «2/ (а3) + -. + 4/ (ай) + п' f (у) = 0, (23) т. е. положим: п* п' пь /(Y) = - —^/(а2)- • • • («*)• Покажем, что таким путем мы получаем аддитивную функцию для чисел (21). Пусть л1а1+л2аа+...+л*ад. + лу=0 (24) — какая либо зависимость между числами (21) (отличная от зави- симости (22) или совпадающая с ней). Мы должны показать, что такая же зависимость имеется и между числами (20), т. е. что имеет место соотношение л1/(«1) + л2/(«2)+ - • +rikf(ak) + «/(¥) = °- (25) Покажем это. Умножим соотношение (24) на п' и вычтем из него соотношение (22), умноженное на п: (п'п1—пп1)а1-!г(п'п.2 — пп2)а2-\- ф ... ф-(n'nk — rmk)a.k — 0. Мы получаем зависимость между чис- лами (16), и так как (18) есть аддитивная функция для этих чисел, то имеет место соотношение (п'г^ —nth) f (04) ф- (zz'n2 — zzzz2)/(a2) + -ф ...-ф (zz'zz^,— zzzzfe)/(aft) = 0. Прибавив к этому соотношению ра- венство (23), умноженное на п, найдем: zz'zz1/(a1) ф- n'n2f(a2) ф-...ф- -\-n'nkf(ak)-\-n'nf(y) = 0. Наконец, сокращая это равенство на число zz'^=O, мы и получим (25). Таким образом, числа (20) дают нам аддитивную функцию. Лемма 8. Пусть А— многогранник, произвольным образом разбитый на конечное число меньших многогранников Мр 7142> .. ., ..., Mk. Обозначим через ап а2, .... ар (26) все двугранные углы многогранника 4, а через Yi> Y2. •••> Yj (27)
172 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ — все двугранные углы всех многогранников Mlt Л12, . . Мк. Присоединим к числам (26) и (27) еще число л и предположим, что для полученной системы чисел л, а2, ар, ур y2, •••> Yr (28) задана аддитивная функция /(л), /(aj, f(a2), ..., /(Yi)> /(Ya)> •• , /(Yr)> удовлетворяющая условию /(л) = 0. (29) Тогда инварианты f(A), /(7И1), /(ТИ2), f{Mk) рассматрива- емых многогранников связаны соотношением (30) Для доказательства рассмотрим все отрезки, являющиеся реб- рами многогранников А, 7И1, М2, Мк. Отметим на этих отрез- ках все точки, являющиеся вершинами многогранников А, М1г Рис. 36. ТИ2, Мк, а также все точки, в которых пересекаются ребра между собой. Тогда мы получим конечное число более мелких отрезков. Эти более мелкие отрезки будем (следуя В Ф. Кагану) называть звеньями. На рис. 36 изображено разбиение куба на многогранники; ребро куба, обозначенное на этом рисунке через /г, состоит из трех звеньев /и1, т2, т3. Вообще, каждое ребро каждого из многогранников А, /И1, /Й2, ..., Мк состоит из одного или нескольких звеньев. Каждое звено многогранника А (т. е. звено, лежащее на одном из ребер многогранника Д) является также звеном одного или нескольких многогранников Мк, /И2, . . ., Мк. Возьмем какое-либо звено многогранника А, и пусть т—-его длина, а а— соответствующий двугранный угол многогранника А. Тогда а есть одно из чисел (26), и потому определено число /(а). Произведение mf(a) назовем весом рассматриваемого звена в много- '
РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ 173 граннике А. Точно так же определяются веса звеньев в много- гранниках М1г /И2, Mk. Заметим, что одно и то же звено может иметь разный вес в различных примыкающих к этому звену многогранниках: ведь эти примыкающие многогранники могут иметь различные углы при этом звене. Возьмем теперь все звенья многогранника А, найдем их веса в многограннике А и составим сумму всех этих весов. Нетрудно видеть, что эга сумма равна инварианту f(A) многогранника А. Действительно, рассмотрим ребро /, многогранника А, и пусть оно состоит, например, из трех звеньев, имеющих длины mL, тг, т3 (см. рис. 36). Тогда каждому звену т1, т2, т3 соответствует в многограннике А один и тот же двугранный угол а1, а именно двугранный угол при ребре /х. Поэтому сумма весов звеньев «г, т.г, т3 равна mx/(ax) + m2f (04) + m3/(ai) = (wi + m2 + m3) /(04)= = /1/(04). Точно так же сумма весов всех звеньев, из которых состоит ребро /2 многогранника А, равна /2/(а2) и т. д. Поэтому сумма весов всех звеньев многогранника А равна инварианту /(Л) многогранника А. Совершенно так же, инвариант каждого из многогранников Жх, /И2, ...,МА равен сумме весов всех его звеньев (конечно, вес каждого звена вычисляется в рассматриваемом многограннике). Теперь уже нетрудно установить справедливость соотноше- ния (30). Для вычисления суммы, стоящей в правой части этого соотношения, нужно взять сумму весов всех звеньев по всем многогранникам 7ИХ, М2, Найдем, с каким коэффициентом будет входить в эту сумму некоторое звено т. Обозначим все двугранные углы многогранников М17 М2, ..., Mk, примыкающие к звену т, через у,-, уу., ..., уя (эти величины содержатся средн чисел (27)). Тогда вес рассматриваемого звена в многограннике с двугранным углом у(- равен и/(у,); вес его в многограннике с двугранным углом у у равен и т. д. Таким образом, сумма весов звена т по всем тем многогранникам 2ИХ, М2, . . , Mk, кото- рые примыкают к этому звену, равна mf (Y,) + mf (у;) 4-... + mf (yj. (31) Все звенья можно разбить на три группы. 1) Звенья, которые целиком (кроме, может быть, концов) распо- ложены внутри многогранника А. Если т есть такое звено и если каждый из многогранников ЛД, Л12, примыкаю- щих к отрезку т, имеет этот отрезок своим звеном, то двугран- ные углы примыкающих к звену т многогранников образуют в сумме полный угол (рис. 37, а; на этом рисунке, так же как и на рис. 37, б, 38, 39, а, 39, б, изображено сечение многогранника А и многогранников, примыкающих к отрезку т, плоскостью, перпендикулярной к звену т; само звено т изображено на этих
174 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ рисунках одной точкой /?). Таким образом, в этом случае Yi4~Y/4- • • или Yi4'Y/4‘ • • • +Ys — 2л = 0. Это есть зависимость между числами (28), и потому имеем: /(у,) +/(Y/) + • • • +/(Ys) — — 2/(л) = 0. Согласно (29), мы получаем отсюда /(Yz)+/(Yy)+ 4-... 4-/(Ys) = 0, и выражение (31) обращается в нуль. Если же т есть звено, расположенное внутри многогранника А, но один из многогранников М2, .. ., Mk, примыкающих к от- резку т, не имеет его своим звеном (т. е. отрезок т расположен Рис 37. внутри грани одного из многогранников 7И1, М2, ..., Л1к), то двугранные углы остальных примыкающих к отрезку т многогран- ников составляют в сумме развернутый угол (рис. 37, б), т. е. Y< 4"Yj 4" • • +Yi = л- Отсюда, как и выше, вытекает, что выра- жение (31) обращается в нуль. Таким образом, звенья, расположенные внутри многогранника А, можно при вычислении правой части равенства (30) не учитывать (для них сумма весов равна нулю) т). 2) Звенья, расположенные на гранях многогранника А, но не на его ребрах. В этом случае Yi4-Y/4“ • • • 4_Ys== л (рис. 38) и выражение (31), так же как и в предыдущем случае, обращается в нуль. 3) Остается рассмотреть звенья, лежащие на ребрах многогран- ника А. В этом случае сумма Yi + Y/4- • • • 4'Ys Равна или двугран- ') Если два многогранника, примыкающих к отрезку т, не имеют его своим звеном, т. е. если отрезок т лежит внутри граней двух примы- кающих друг к другу многогранников, то только эти два многогранника и примыкают к отрезку т, так что этот отрезок не лежит ни на одном ребре многогранников Mlt М2, и потому не является звеном.
РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ 175 ному углу а соответствующего ребра: Yi4'Y/+• •+Yj=0£ (рис. 39, а), или углу а —л (т. е. у; + у; +...+уж = а —л; это может случиться, если угол а — тупой, см. рис. 39, б). В обоих Рис 38. случаях имеем: /(Yi)4/(Yy)+• •+/(YJ =/(а)> и выражение (31) оказывается равным т. е. весу рассматриваемого звена в многогранни- ке А. Итак, сумма, стоящая в правой части соотношения (30), равна сумме ве- сов всех звеньев многогранника А, т. е. равна инварианту /(Л). Доказательство теоремы Хадвигера. Допустим, что многогран- ники А и В равносоставлены, и пусть /И1, М„, .... Мп—такие многогранники, из которых можно составить как А, так и В. Все внутренние двугранные углы всех многогранников ЛД, М,, ..., Мп обозна- чим через ух, у2, ..., Согласно лемме 7, аддитивную функцию (6), заданную для чисел (5), можно дополнить числами /(уД /(у2), •••«/(Yr) так, чт0 мы получим аддитивную функцию для чисел л, ах, а2, ..., ар, Рх, 02, ..., «У Рис. 39. р?, Yi> •••> Yr- (Эта аддитивная функция по-прежнему удовлет- воряет условию (7)). Так как многогранник А составляется из мно- гогранников АД, Л12, .... Мп, то (лемма 8) инвариант /(Л) имеет значение f(A) =/(АД)4/(АД)-ф ... -ф/(А/п). Но многогранник В также составляется из АД, А/2, ..., М„, и потому /(B)=/(Af1)4- + /(^2)+ +/(^«) Таким образом, f(A)—f(B), что проти- воречит соотношению (8). Итак, мы видим, что предположение
176 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУ1 ельников И МНОГОГРАННИКОВ о равносоставленности многогранников А и В приводит к проти- воречию. Тем самым теорема Хадвигера и вместе с ней теорема Дена полностью доказаны. 3.4. Независимость аксиом (а) — (6) для площадей и объемов. Методы, использованные при доказательстве теорем Дена и Хад- вигера, тесно связаны с вопросом о независимости1) для площадей (или объемов). Рассмотрим вопрос о независимости этих аксиом для площадей многоугольников. Для установления незави- симости каждой из аксиом (а) — (д) от остальных нужно для каждой из аксиом постройгь такую «модель площади», которая этой аксиоме не удовлетворяет, но удовлетворяет всем остальным аксиомам. Проще всего построить такую модель для аксиомы (6): положив s* (7И) = 4s (714) для любого многоугольника Л1 (где s означает обыч- ную площадь, удовлетворяющую аксиомам (а) — (6)), мы получаем модель s*, очевидно, удовлетворяющую всем аксиомам, кроме (6). Эта модель, очевидно, равносильна введению новой единицы пло- щади,— для s* единицей площади является квадрат со сторо- „ I пой . Без труда строится и модель, показывающая независимость аксиомы (р): положив $**(7И)=1 для любого многоугольника, мы получаем модель s**, удовлетворяющую всем аксиомам, кроме (0). Сравнительно просто строится и модель, показывающая неза- висимость аксиомы (у). Проведем на плоскости некоторую прямую /, которую будем называть (.горизон- тальной . Прямая I разбивает пло- скость на две полуплоскости, одну из которых условимся называть «верхней??, а другую —«нижней . Пусть теперь А1—произвольный многоугольник, заданный на пло- скости. Прямая / разбивает его на две части: часть Л1и, расположен- ную в верхней') полуплоскости, и часть 7ИН, расположенную в «нижней) полуплоскости (рис. 40). Мы положим: s*** (714) = s (7ИВ) 4-2s (714н), где s означает обычную площадь. Если многоугольник 714 целиком расположен в «верхней?» полуплоскости, т. е. А1 = 714в, то s*** (7И) = s (7И), а если он распо- ложен в «нижней? полуплоскости, то s***(714) = 2s(/И). Без труда 1) О понятии независимости аксиом модели см. статью «Аксиомы и основные и используемом ниже понятии понятия геометрии» в кн. IV ЭЭМ.
РЛВНОСОСIАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ 177 проверяется, чго построенная модель s*** удовлетворяет всем аксиомам, кроме (у) (аксиоме (6) удовлетворяет любой квадрат со стороной 1, лежащий целиком в верхней полуплоскости). Остается рассмотреть вопрос о независимости аксиомы (а). Доказатель- ства этой независимости мы не можем в этой статье привести полностью, так как это доказательство существенно неэле мента рно. Однако основ- ную идею такого доказательства (тесно связанную с методами, применен- ными при доказательстве теорем Хадвигера и Дена) мы изложим. Обозначим через A4t какой либо квадрат со стороной, равной 1, а через М2— некоторый прямоугольник, имеющий иррациональную площадь, напри- мер прямоугольник со сторонами 1 и 1^5. Так как числа s(Ml) 1 и s(,M2)=/5 (32) несоизмеримы, то (ср. стр. 167), положив /(s(.411))=l, Z(s(Als))--l, (33) мы получаем аддитивную функцию для чисел (32). Пусть теперь /И8—про- извольный многоугольник. По лемме 7 можно подобрать такое число f (s (Л13)), чтобы числа f (s (Ms)) составили аддитивную функцию для чисел «(Л4г), s(M2), s(Ms). Выбрав теперь еще один (какой угодно) многоугольник М4, мы сможем (опять по лемме 7) выбрать число /(s(M4)), образовав аддитивную функцию f(s(M1)), /(s(M2)), f(s(M3)), f(s(A44)) для чисел «(ЛД), s(Al2), s(M3), s (Л14). Продолжая выбирать многоуголь- ники Mj и находить числа /(s(M,)), мы получим некоторую последова- тельность многоугольников Mlt М2, Л43,... и две последовательности чисел s^j), s(M2), s(M3), ...; (34) f (s(Mt)), Hs(M2)), f(s(M3)), ... (35) Эти последовательности обладают тем свойством, что для любого конеч- ного набора чисел, выбранных из верхней последовательности, соответ- ствующие числа нижней последовательности образуют аддитивную функцию. В этом случае мы будем говорить, что последовательность (35) является аддитивной функцией для последовательности (34). Многоугольниками Mlt Л12, ..., Мп, ... не исчерпываются все много- угольники плоскости. Выберем какой-нибудь многоугольник, не вошедший в эту последовательность, и обозначим его через Мш. Теперь подберем число /(s(A4t0)) таким образом, чтобы последовательность /(s(A41)), /(s(M2)), ..., ..., /(s(A4M)) была аддитивной функцией для последовательности «(MJ, s(M2), .... s(A4„), .... s(.M,0), т. e. чтобы (для любых номеров i4.......ik) числа / (s (Л4,,)), /(s(M,„)).(s (Л1/ )), /(s(A4g,)) составляли аддитивную функцию для чисел s(A4,-,), s(M/2), .. ..., s(A4w). Возможность такого выбора числа f вытекает из леммы 7 (правда, в лемме 7 речь шла о конечном множестве чисел, а в последовательностях (34), (35) их бесконечно много; однако, как не- трудно проверить, лемма 7 и ее доказательство остаются справедливыми и в этих условиях). Теперь выберем еще многоугольник Л4ш+1 и такое число f (s (Л4ш+1)), чтобы последовательность /(s(A14)), f (s (Л42)), .... f (s (Mш+ О) была аддитивной функцией для последовательности s (Л14), s(A42).....s(MJ, s(Mu)+1). Затем мы выберем Л1,.)+2 и f(s(M +2)), т. д. В результате мы получим две последовательности: s(A41), х(Л12), ... ..., S(M,„), з(Мш+1), s(M„,t2). ...; /(ЧЛ40), П'(Л42))........ f (s(Mlo+1)), f (s (Л4„,+2)), ..., вторая из которых является аддитивной функцией для первой.
178 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ Многоугольниками Mlt М2......Мш, Мш+1, Л4ш+2, ... снова не исчер- пываются все многоугольники плоскости. Возьмем какой-либо не вошедший в эту последовательность многоугольник и обозначим его через Мы„. Далее выберем число так, чтобы числа /(«(Alj)), /(s(M2)), ... ..., /(s(Mm)), /(s(MG)+1)), .... /(s(A1„j2)) образовали аддитивную функ- цию для последовательности «(/ИД, s(M2), .... s(A1(l1), s(A4to+1), ... .... s(Mm2). Таким образом мы можем продолжать все дальше и дальше. После построения многоугольников Мг, М2, .... Мш, Мш+1, Мш+2, .... Мш2, /Иш2+1, Л4ш2+2...........Мш3+1, Л4ш3+2....Мш4, Мш4+1......../Иш5, ... ..., М 6, ... мы выберем какой-либо не встретившийся в этой последо- вательности многоугольник и обозначим его через М(ц2, затем Л4шг+1, Мшг+2, .... Л1ш2+ш, М(ц2+ш+1........... Так мы будем «нумеровать» многоугольники все далее и далее. Можно ли таким путем перенумеровать все многоугольники плоскости? Допустим, что нам это удастся сделать. Тогда мы расположим все многоугольники плоскости в последовательность М1( М2, Л4Ш, ... Мш2.......................Мш2............. (36) и для каждого многоугольника М будет определено соответствующее число f (s (Л4)), причем последовательность /(«(/ИД), 7(s(M2)), .... ......Hs(Mw2)..............(37) будет аддитивной функцией для последовательности чисел slMJ, s (МД, .... s(MJ...........s(Mw=)................ (38) Положим теперь s**** (М) — f (s (М)) для любого многоугольникам. Нетрудно понять, что s**** есть модель площади, удовлетворяющая аксио- мам (Р)—(6). Действительно, если многоугольник М разбит на два много- угольника М', М". то s(M) = s(M') + s(M") (39) в силу (Р); так как последовательность (37) является аддитивной функцией для последовательности (38), то из зависимости (39) вытекает зависимость f (s = f (s (М')) + / (s (M")) (ведь многоугольники М, М', М" где-то встречаются в последовательности (36)), т. е. s**** (M) = s**** (M') + _|_s**** (Al"). Таким образом, функция s**** удовлетворяет аксиоме (Р). Аналогично, если многоугольник М равен многоугольнику /V, то s (М) = s(A') (в силу (у)); поэтому f (s = f (s (N)), т. e. функция s**** удовлетворяет аксиоме (у). Удовлетворяет она и аксиоме (6) (см. (33)). Аксиома же (а) не выполняется, так как s**** (МД < 0 (см. (33)). Итак, если бы удалось «перенумеровать» все многоугольники плоскости, то независимость аксиомы (а) была бы доказана. Остается заметить, что в математике доказывается возможность «перенумеровать» элементы любого множества символами 1, 2, ... со, со4-1, ... со2, ... соЗ....со2, со24-1, ..., со24-со.... Эти символы называются трансфинитными числами, а метод доказательства, заключающийся в переходе от уже рассмотренных трансфинитных чисел к большим, называется трансфинитной индукцией. Точное определение трансфинитных чисел и трансфинитной индукции (и на основе этого завер- шение доказательства независимости аксиомы (а)) неэлементарно и ие может быть приведено в данной статье. Для читателя, знакомого с транс- финитными числами, завершение изложенного доказательства не представ- ляет никакого труда.
РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ 179 Наконец, сделаем несколько заключительных замечаний в связи с приведенным доказательством. а) Соотношение $**** (/Vf2) = — 1 (см. (33)) показывает, что формула площади прямоугольника не может быть выведена толь- ко из аксиом (0)—(6) (без «неэлементарной аксиомы (а)), ибо величина s**** удовлетворяет аксиомам (Р)—(6), п потому всякое рассуждение на основе аксиом (Р) — (6) должно быть одинаково справедливо как для площади s, так и для величины s****. б) Совершенно аналогичное доказательство может быть прове- дено для объемов многогранников в пространстве. В частности, формула объема прямоугольного параллелепипеда не может быть выведена из аксиом (Р)—(6). в) Весьма интересно следующее видоизменение изложенного доказа- тельства. Обозначим через М, куб с ребром 1, а через Л12—правильный тетраэдр того же объема. Далее расположим все многогранники простран- ства в трансфинитную последовательность: М2, .... Л4Ш, Мш+1.....Мш2, ... Mvi3.........Мш2,...........(40) Теперь с помощью формулы (15) определим аддитивную функцию для чисел (12). Соответствующий инвариант удовлетворяет соотношениям = ГАМг)*0 (41) (см. стр. 170). Теперь присоединим к величинам (12) еще все двугранные углы аг.....as многогранника Л43 и числа (15) дополним до аддитивной функции для чисел л, л/2, <р, щ, ..., as (с помощью леммы 7). Это дает возможность найти инвариант f (Л13). Затем мы добавим еще все двугранные углы многогранника Л14, и т. д. В результате трансфиннтной индукции по последовательности (40) мы определим значение инварианта f (М) для любого многогранника М. Из леммы 8 вытекает, что величина f (М) удовлетворяет аксиоме (Р): Если многогранник М разбит на две части М' и М", то (42) Удовлетворяет инвариант f(AI) и аксиоме (у): Если M=N, то f (M) = f (N). (43) Положим теперь для любого многогранника М; v* (M) = v (М), где v означает обычный объем (удовлетворяющий аксиомам (а)—(6)). Тогда величина о* (М) удовлетворяет аксиомам (Р)—(6) (см. (41), (42), (43)). В то же время v* (М2) о (М2) (44) (см. (41)). Далее из соотношения (см. (15)) вытекает, что если Л4 — прямоугольный параллелепипед, то f(M) = 0, и потому v*(M) — v(M). Итак, величина v* удовлетворяет аксиомам (р)— (б), а для прямоугольных параллелепипедов совпадает с обычным объемом. В то же время для пра- вильного тетраэдра М2 имеет место соотношение (44). Следовательно, спра- ведлива следующая теорема: Пользуясь аксиомами (Р) — (б) и формулой объема прямоугольного парал- лелепипеда, невозможно вычислить объем правильного тетраэдра.
180 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ Эта теорема (из которой, очевидно, вновь следует теорема Дена) пока- зывает, что метод разбиения, метод дополнения и вообще любой другой «элементарный» метод (т. е. основанный на аксиомах (Р)—(6)) бессильны вывести формулу объема тетраэдра, и потому для этой цели необходимо привлечение метода исчерпывания, метода пределов или какого-либо иного «неэлементарного» метода (использующего аксиому (а)). ЛИТЕРАТУРА [1] В. Г. Болтянский, Равновеликие и равносоставленные фигуры, М., Физматгиз, 1956. Популярная брошюра, широко освещающая круг вопросов, затро- нутых в настоящей статье. [2] В. Ф. Каган, О преобразовании многогранников, в книге того же автора «Очерки по геометрии», Л1., изд. Московского университета. 1963, стр. 156—194. В этой превосходной статье излагается доказательство теоремы Дена, содержащей необходимое условие о равносоставленности много- гранников. В первой части статьи доказывается также теорема Бойян — Гервина о равносоставленности равновеликих многоугольников. [3] В. Г. Болтянский, Новые работы о равносоставленности много- угольников и многогранников, в разделе «Новости математической науки» сборника «Математическое просвещение», вып. 2, 1957, стр. 263—265. Обзор работ Г. Хадвигера, Ж.-П. Зндлера, П. Глюра. [4] Д. О. Шк л я рек ий, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом, Избранные задачи и теоремы элементарной математики, ч. 3, Л1., Гостехиздат, 1954. Сборник задач повышенной трудности по стереометрии, сопрово- ждаемых подробными решениями. Книга завершается циклом задач «Разрезание п складывание фигур», включающим также тему «равно- великость и равносоставленность». [5] Н. Hadwiger, Vorlesungen uber Inhalt, Oberflache und Isoperimetrie, Berlin—Gottingen—Heidelberg, 1957 (Г. X а д в и г е р, Лекции об объеме, площади поверхности и изометрии; русский перевод готовится к печати изд. «Наука»), Серьезная монография видного швейцарского геометра, в значи- тельной степени основанная на оригинальных работах самого Хадвигера и его школы. В книге весьма широко освещен круг вопросов, связан- ных с темой настоящей статьи. См. также статью И. М. Я гл ома [5], указанную в списке лите- ратуры к статье «Площадь и объем».
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА СОДЕРЖАНИЕ § 1. Определение и основные свойства...........................182 1.1. Определение. Примеры..................................182 1.2. Граница выпуклой фигуры..................... ... . 185 1.3. Опорные прямые и плоскости............................187 § 2. Простейшие метрические характеристики выпуклых фигур .... 195 2.1. Диаметр выпуклой фигуры .... 195 2.2. Ширина выпуклой фигуры. Фигуры постоянной ширины . . 197 2.3. Описанные и вписанные окружности................ . . 200 2.4. Расстояние между выпуклыми фигурами............. . 202 § 3. Выпуклые многоугольники и многогранники . . ..... 207 3.1. Пересечение выпуклых фигур................. . 207 3.2. Выпуклые многосторонники и многогранники .... . . 209 3.3. Выпуклая оболочка множества...................... ... 212 3.4. Выпуклые многоугольники и многовершинники.............213 3.5. Строение выпуклой оболочки . . ...................... 215 § 4. Периметр, площадь, объем ... ........... ..............219 4.1. Сложение выпуклых фигур ... ...... 219 4.2. Отклонение . .............................. . . 222 4.3. Сходящиеся последовательности выпуклых фигур . . 223 4.4. Теорема Бляшке . .....................................226 4.5. Периметр, площадь, объем.............................. . 228 4.6. Периметр и площадь суммы выпуклых фигур...............237 § 5. Выпуклые тела в многомерных пространствах ................239 5.1. Основные свойства ....................................239 5.2. Выпуклые многогранники...............................240 5.3. Выпуклые многовершинники.............................241 5.4. Строение выпуклой оболочки ........... . . . 245 5.5. Объемы........................................... . . 246 § 6. Некоторые задачи комбинаторной геометрии . . 247 6.1. Теорема Хелли.........................................247 6.2. Чебышевские приближения ........................... . . 251 6.3. Теорема Минковского...................................256 6.4. Теорема Блихфельда....................................261 6.5. Задачи о разбиении выпуклых фигур на части. 263 Литература.....................................................267
182 ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА § 1. Определение и основные свойства 1.1. Определение. Примеры. Чаще всего в геометрии рассмат- ривают связные фигуры, т. е. такие, что каждые две точки фигуры можно соединить линией, целиком принадлежащей этой фигуре. При этом соединяющая линия может оказаться довольно сложной (рис. 1). Естественно выделить класс фигур, для которых в качестве линии, соединяющей две ее точки Л, В, всегда можно выбрать самую про- \л^ Ж стую линию — прямолинейный отрезок АВ. Такие фигуры называются выпуклыми. Определение. Фигура F называется ХУУхУУл в ы пУ к ло если вместе с каждыми