И. С. БЕРЕЗИН и Н. П. ЖИДКОВ
МЕТОДЫ
ВЫЧИСЛЕНИЙ
ТОМ ПЕРВЫЙ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебного пособия
для высших учебных заведений
ш
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1962

11-5-2
АННОТАЦИЯ
В первом томе книги рассмотрены действия с при-
приближенными числами, теория интерполирования, числен-
численное дифференцирование и интегрирование, равномерные
и среднеквадратичные приближения функций.
Книга предназначена в качестве учебного пособия
для студентов механико-математических и физико-мате-
физико-математических факультетов, специализирующихся по вы-
вычислительной математике, и лиц, интересующихся тео-
теорией и практикой численных методов.
Иван Семенович Березин и Николай Петрович Жидков.
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ, т I.
Редакторы Б. М. Будак и А. Д. Горбунов.
Техн. редактор Н. Я. Мурашова. Корректор А. С. Бакулова.
Печать с матриц Подписано к печати 30/1 1962 г Бум 60 X 90Vie Физ печ л 29.0.
^словн печ. л. 29,0. Уч-изд. л. 31,68. Тираж 25 000 экз Цена книги 1 р 10 к Заказ № 596.
Государственное издательство физико-математической литературы
Москва, Б-71. Ленинский проспект, 15
Типография № 2 нм. Евг Соколовой УПП Ленсовнархгма
Ленинград, Измайловский чр , 29
, , , .„ >
Отпечатано с матриц типографии № 2 им. Евг. ' лколовой УПП Ленсовнархоза
в типографии им. Котлякова Госфиниздата СССР. Ленинград, Садовая, 21 Заказ 308

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение 9
§ 1. Предмет вычислительной математики 9
§ 2. Метод вычислительной математики : . . . . 10
1. Функциональные метрические пространства A0). 2. Функции,
определенные на функциональных пространствах A2). 3. Метод
вычислительной математики A3)
§ 3. Средства вычислений 16
1. Арифмометр. Клавишные вычислительные машины A7).
2. Счетно-аналитические машины B0). 3. Электронный вычи-
вычислитель B7). 4. Универсальные электронные цифровые вычи-
вычислительные машины C0). 5. Средства вычислении и задачи
вычислительной математики C3).
§ 4. Методы вычислений как раздел вычислительной математики.
Краткое содержание курса 35
Глава 1. Действия с приближенными величинами 38
§ 1. Классификация погрешностей 38
1. Источники погрешности результатов вычислений C8).
2. Задачи, возникающие при работе с приближенными величи-
величинами C9). 3. Правила округления чисел D0). 4. Классифика-
Классификация погрешностей D1).
§ 2. Неустранимая погрешность 42
1. Абсолютная и относительная погрешности числа D2). 2. Вер-
Верные знаки числа D4). 3. Неустранимая погрешность значения
функции для приближенных значений аргументов. Погрешности
результатов арифметических операций D8).
§ 3. Погрешности округления 53
§ 4. Полная погрешность 57
§ 5. Понятие о статистических методах оценки погрешностей ... 59
§ 6. Среднеквадратичные погрешности 64
1. Систематические и случайные ошибки F4). 2. Среднеквадра-
Среднеквадратичные погрешности F6). 3. Обработка результатов по методу
наименьших квадратов F8). 4. Среднеквадратичная погреш-
погрешность функции G2). 5. Среднеквадратичная погрешность равно-
равномерно распределенной величины G4).
Упражнения 76
Литература 76
Глава 2. Теория интерполирования и некоторые ее приложения 77
§ 1. Постановка задачи 77
1 Линейные множества. Линейно независимые системы эле-
элементов G8). 2. Задача интерполирования G8). 3. Построение

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
интерполирующей функции G9). 4. Системы Чебышева (81).
5. Основные вопросы теории интерполирования (84).
§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа 34
1. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа (84).
2. Интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстоящих
узлов (87). 3. Интерполяционная схема Эйткена (88).
§ 3. Погрешности интерполяционной формулы Лагранжа 90
1. Остаточный член формулы Лагранжа и его оценки (90).
2. Выбор узлов интерполирования (92). 3. Неустранимая
погрешность формулы Лагранжа (96)
§ 4. Остаточный член общей, интерполяционной формулы 98
§ 5. Интерполяционная формула Ньютона для неравных промежутков 102
1. Разделенные разности и их свойства A02). 2. Вывод фор-
формулы Ньютона для неравных промежутков A06). 3. Остаточ-
Остаточный член формулы Ньютона A09).
§ 6. Интерполяционные формулы Ньютона для равных промежутков 112
1. Конечные разности и их свойства A13). 2. Вывод интер-
интерполяционных формул Ньютона A18). 3. Остаточные члены
интерполяционных формул Ньютона A22).
ч' § 7. Интерполяционные формулы, использующие центральные раз-
разности 125
1. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя и
Эверетта A25). 2. Остаточные члены интерполяционных фор-
формул с центральными разностями A36).
§ 8. Некоторые другие подходы к выводу формул интерполирова-
интерполирования для равных промежутков 142
1. Диаграмма Фрезера A42). Понятие об операторном методе
вывода формул интерполирования A45).
§ 9. Сходимость интерполяционного процесса 149
§ 10. Интерполирование периодических функций 152
§ 11. Общая задача интерполирования алгебраическими многочле-
многочленами 1ЬЗ
1. Интерполяционный многочлен Эрмита A63). 2. Общий вид
интерполяционного многочлена Эрмита A69). 3. Остаточный
член интерполяционной формулы Эрмита A72). 4. Разделен-
Разделенные разности с повторяющимися значениями аргумента A73).
5. Обобщенная интерполяционная формула Ньютона с разде-
разделенными разностями A79).
§ 12. Интерполирование функций многих независимых переменных 181
1. Трудности задачи интерполирования функции многих пере-
переменных A81). 2. Обобщение интерполяционных формул Нью-
Ньютона на случай функций многих переменных (\8Ь). 3. Другие
способы построения инаерполяционных многочленов для функ-
функций многих переменных A92).
§ 13. Интерполирование функций комплексного переменного .... 195
§ 14. Применение интерполирования для составления таблиц .... 196
| 15. Обратное интерполирование 202
Упражнения 20о
Литература 216
Глава 3. Численное дифференцирование и интегрирование . . . 217
§ 1. Задача численного дифференцирования 217
§ 2. Формулы численного дифференцирования 220
1. Формулы численного дифференцирования для неравноотстоя-
неравноотстоящих узлов B20). 2. Формулы численного дифференцирования
для равноотстоящих узлов B26). 3. Безразностные формулы
численного дифференцирования B30). 4. Метод неоиределен-

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
ных коэффициентов B34). 5. Выражение разностей через
производные B35).
§ 3. Задача численного интегрирования 237
§ 4. Формулы Ньютона — Котеса 240
1. Вывод формул B40). 2. Остаточные члены формул B43).
3. Формула трапеций и формула Симпсона B49).
§ 5. Формулы численного интегрирования Гаусса 254-
1. Построение формул. Абсциссы формул Гаусса B54). 2. Оста-
Остаточный член формул Гаусса B58). 3. Коэффициенты формул
Гаусса B60). 4. Формула численного интегрирования Эр-
мита B64). 5. Формулы численного интегрирования Мар-
Маркова B66).
§ 6. Формулы численного интегрирования Чебышева 269
1. Построение формул B69). 2. Остаточный член формул
Чебышева B76).
§ 7. Сходимость квадратурных процессов 279
§ 8. Формула Эйлера 284
1. Числа и многочлены Бернулли B84). 2. Формула Эйлера и
примеры ее применения B89).
§ 9. Формулы численного интегрирования, содержащие разности
подынтегральной функции 297
1. Формула Грегори B97). 2. Формула Лапласа и другие
формулы C02).
§ 10. Некоторые замечания по поводу формул численного интегри-
интегрирования 305
1. Метод Рунге приближенной оценки погрешности численного
интегрирования C06). 2. Замечание о вычислении интегралов
с переменным верхним пределом C08).
§ 11. Вычисление несобственных интегралов 308
1. Метод выделения особенностей C09). 2. Специальные
приемы C13),
§ !2. Приближенное вычисление кратных интегралов 315
1. Метод повторного применения квадратурных формул C15),
2. Метод замены подынтегральной функции интерполяционным
многочленом. C19). 3. Метод Л. А. Люстерника и В. А, Дит-
кина C22). 4. Замечание о методе Монте-Карло C24).
Упражнения 325
Литература 330
Глава 4. Равномерные приближения 331
§ -к Наддучшее приближение в линейных нормированных про-
' 'странствах 333
1. Линейное нормированное пространство C33). 2. Элемент
наилучшего приближения C33). 3, Существование элемента
наилучшего приближения C34). 4. Единственность элемента
нчилучшего приближения C36).
§ 2. Наилучшее равномерное приближение непрерывных функций
обобщенными многочленами • 337
1. Наилучшее поиближение в пространстве С C37). 2. Тео-
Теорема Хаара C37). 3. Теорема Чебышева C43).
§ 3. Алгебраические многочлены наилучшего равномерного прибли-
приближения 347
1. Теорема Вейерштоасса C49), 2. Теоремы о порядке при-
приближения с помощью многочленов Бернштейна C52).
§ 4. Тригонометрические многочлены наилучшего приближения . . 355
§ 5, Некоторые теоремы о порядке наилучшего равномерного при-
приближения непрерывных функций 358

Q ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 6. Приближенное построение алгебраических многочленов наи-
наилучшего приближения 364
1, Предварительные замечания C65), 2, Первый способ при.
ближенного построения многочлена наилучшего приближе-
приближения C73), 3. Второй способ приближенного построения много-
многочлена наилучшего приближения C78).
Упражнения 384
Литература 385
Глава 5, Среднеквадратичные приближения 386
§ 1. Гильбертовы пространства 387
§ 2, Ортонормированные системы в гильбертовом пространстве.
Ряды Фурье 390
§ 3, Приближения в гильбертовом пространстве 395
1. Построение элемента наилучшего приближения C96).
§ 4, Среднеквадратичные приближения функций алгебраическими
многочленами 398
1. Ортогональные системы многочленов D00). 2, Рекуррентные
соотношения для ортогональных многочленов D01). 3 Тожде-
Тождество Кристофеля — Дарбу D03), 4 Свойства ортогональных
многочленов D04), 5, Дифференциальные уравнения, которым
удовлетворяют ортогональные многочлены D05),
§ 5. Некоторые частные случаи ортогональных систем многочленов 406
1. Многочлены Якоби D06), 2, Многочлены Лежандра D11).
3, Многочлены Чебышеаа первого и второго рода D16).
4, Многочлены Лагерра и Эрмита D19),
§ 6. Сходимость рядов по ортогональным системам многочленов . 423
§ 7. Среднеквадратичные приближения функций тригонометриче-
тригонометрическими многочленами 433
§ 8, Приближение функций, заданных таблицей, по методу наи-
наименьших квадратов 434
§ 9, Приближения по методу наименьших квадратов алгебраиче-
алгебраическими многочленами 436
1. Система многочленов, ортогональных на множестве равно-
равноотстоящих точек D37).
§ 10, Применение метода наименьших квадратов для сглаживания
результатов наблюдения 444
§ 11. Применение метода наименьших квадратов к построению эм-
эмпирических формул. Решение систем линейных алгебраических
уравнений по методу наименьших квадратов 446
§ 12. Приближение функций, заданных таблицей, тригонометриче-
тригонометрическими многочленами по методу наименьших квадратов .... 451
§ 13. Схема Рунге вычисления коэффициентов ао, а.ь , Ъь в случае
N = 4p 455
Упражнения 463
Литература 464

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга представляет собой обработанный и расширен-
расширенный курс лекций, прочитанных для студентов III и IV курсов меха-
механико-математического факультета Московского государственного
университета, специализирующихся по вычислительной математике.
Авторы ставили своей задачей изложить с возможной строгостью
сложившиеся в настоящее время методы численного решения важ-
важнейших математических задач. Развитие вычислительной техники за
последние годы наложило свой отпечаток на вычислительную мате-
математику. Авторы старались отразить это в своем курсе. Но тут
встретились большие трудности, вызванные двумя причинами. С одной
стороны, требовалось дать не очень обширное систематическое изло-
изложение важнейших численных методов лицам, не знакомым со спе-
спецификой вычислительной работы. С другой стороны, многие напра-
направления современной вычислительной математики еще не сложились
окончательно.
В последние годы в вычислительную математику все глубже и глубже
проникают идеи функционального анализа. Благодаря этому лучше
выясняется существо каждого отдельного метода, вскрывается глу-
глубокая связь между различными на первый взгляд методами. В на-
настоящем курсе делается попытка использовать функциональноанали-
тическую базу при изложении каждого раздела. Так как знание
функционального анализа не предполагается, то в курс введены
посвященные ему параграфы. Эти параграфы вводятся в том месте, где
возникает необходимость использовать соответствующий материал.
Изучение вычислительной математики немыслимо без решения
значительного количества задач. Было бы затруднительно в одной
книге дать разбор большого количества примеров на различные слу-
случаи, с которыми вычислитель может встретиться на практике. По-
Поэтому здесь мы приводим лишь очень простые примеры, иллюстри-
иллюстрирующие основной материал книги. В конце каждой главы приведены
упражнения, решение которых должно способствовать лучшему
усвоению излагаемого материала. Предполагается, что студенты
параллельно со слушанием курса решают практические задачи под
руководством преподавателя, от которого получают необходимые
указания по практике вычислений.

а предисловие
Необходимо указать, что никакой курс не может дать оконча-
окончательных рецептов для решения всех конкретных задач вычислитель-
вычислительной математики. Вычислительная работа, как и всякая научная
работа, требует творческого подхода. Изложенный здесь материал
призван служить лишь подспорьем, позволяющим с большей ско-
скоростью и эффективностью находить пути для решения задач практики.
Для более углубленного изучения отдельных разделов авторы
отсылают к соответствующей литературе, указанной в конце каж-
каждой главы.
План книги и рукопись обсуждались на кафедре вычислительной
математики Московского университета. В процессе обсуждения было
высказано много ценных замечаний и предложений. Авторы выражают
глубокую благодарность участникам обсуждения: зав. кафедрой
акад. С. Л. Соболеву, чл.-корр. АН СССР, проф. Л. А. Люстернику.
профессорам А. А. Ляпунову и М. Р. Шуре-Буре, доцентам
А. Д. Горбунову, В. Г. Карманову, В. В. Русанову, Ю. А. Шрей-
деру и ассистенту Н. С. Бахвалову. Авторы выражают также
глубокую благодарность чл.-корр. АН СССР, проф. А. Н. Тихонову
и доц. Б. М. Будаку за их труд по рецензированию книги и за ряд
ценных предложений и замечаний.
Большой объем книги и широта охваченного материала вызвали
большие трудности при ее написании. Конечно, эти трудности не
всегда удавалось преодолеть наилучшим образом. Читатели, вероятно,
смогут высказать много замечаний и дать свои предложения по
улучшению книги. Авторы просят присылать им эти предложения
и замечания и заранее благодарят за них читателей.
Книга разбита на два тома; первый из них содержит главы 1—5,
второй — главы 6—10, что соответствует также разделению курса
«Методов вычислений» на первую и вторую части, читаемые для
студентов 3-го и 4-го годов обучения.
И. С. Березам, Н. П. Жидков

ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Предмет вычислительной математики
Современная математика достигла больших успехов. Однако до-
последнего времени главные усилия математиков были направлены
на создание строгой логической базы для выработанных ранее мето-
методов, расширение множества объектов, к которым эти методы при-
применимы, изучение качественной природы математических объектов.
Гораздо меньше внимания уделялось разработке методов доведения
математических исследований до числового результата, а это зача-
зачастую является интересной, трудной и чрезвычайно важной для прак-
практики задачей.
В самых разнообразных областях современной науки и техники
все чаще приходится встречаться с такими математическими зада-
задачами, для которых невозможно получить точного решения класси-
классическими методами или же решение может быть получено в таком
сложном виде, который совершенно неприемлем для практического
использования. Так, например, очень часто приходится встречаться
с необходимостью решения систем линейных алгебраических урав-
уравнений с десятками и сотнями неизвестных, с задачей отыскания
корней алгебраических уравнений высоких степеней и корней транс-
трансцендентных уравнений, с . необходимостью решения систем диффе-
дифференциальных уравнений, которые не интегрируются в элементарных
функциях, и т. д.
Количество задач такого рода особенно сильно возросло в по-
последнее время в связи с бурным развитием науки и техники. От
математиков потребовалось создание новых более мощных вычисли-
вычислительных методов, были поставлены новые вычислительные задачи,
увеличился объем вычислений. С другой стороны, успехи науки
и техники, в особенности физики и радиотехники, дали в руки ма-
математиков новые мощные вычислительные средства. В свою очередь
новые вычислительные средства заставляют математиков пересмот-
пересмотреть существующие методы с точки зрения рациональности их реа-
реализации на новых машинах, поставили перед математиками ряд
новых своеобразных задач.
По этим причинам в последнее время начала складываться
область математики, которая призвана разрабатывать методы

10 ВВЕДЕНИЕ
доведения до числового результата основных задач математического
анализа, алгебры и геометрии и пути использования для этой цели
современных вычислительных средств. Эта область математики
и получила название вычислительной математики.
§ 2. Метод вычислительной математики
Круг задач, с которыми приходится сталкиваться в вычисли-
вычислительной математике, очень широк. Разнообразны и методы, приме-
применяемые для решения этих задач. Однако можно заметить одну
общую идею этих методов. Эта идея отчетливее всего выражается
в терминах функционального анализа. Поэтому мы введем предва-
предварительно некоторые важнейшие понятия функционального анализа.
1. Функциональные метрические пространства. Основным
предметом исследования в классическом математическом анализе
является числовая функция. С появлением понятия функции одной
и нескольких переменных, функции точки в евклидовом простран-
пространстве начался современный этап развития математики. Начиная с ра-
работ Ньютона и Лейбница и до конца XIX века подавляющее боль-
большинство математических исследований так или иначе было связано
с этим понятием. Главным предметом изучения были числовые
функции и их системы, заданные в «-мерной области, т. е. на не-
некотором множестве «-мерного евклидова пространства.
Двадцатый век внес много нового в эту картину. Особо важную
роль начинает играть понятие о функциональном множестве, о функ-
функциональных i ространствах и о функциональных операторах, т. е.
о функциях, аргументами которых также являются элементы функ-
функциональных пространств. Вместо евклидовых пространств рассмат-
рассматриваются абстрактные пространства, элементы которых могут иметь
самую различную природу. Так, например, вводится понятие метри-
метрического пространства R как абстрактного множества, для любых
двух элементов х и у которого определено понятие расстояния
р(х, у) удовлетворяющее следующим условиям:
1. р (х, у)^>0, причем р(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда
х совпадает с у.
2. р(лг, у) = р(у, х).
3. р(х, у) <^ р (х, z)-\-p(z, у) для любых трех элементов х,
у, z, принадлежащих R (аксиома треугольника).
Евклидовы пространства с обычным определением расстояния
в ни\ удовлетворяют всем Этим условиям. Но могут быть и другие
метрические пространства. Так, рассмотрим множество всевозмож-
всевозможных непрерывных функций, заданных на отрезке \а, Ь\. Для любых
двух таких функций х (t) и у (t) определим расстояние р(х, у) ра-
равенством
р(х, у)= max \x{t)—y{t)\. A)
*€ЮЬ]

§2]
МЕТОД ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
11
Нетрудно проверить, что так определенное расстояние удовлетво-
удовлетворяет всем трем поставленным выше условиям. Таким образом, мы
получили функциональное метрическое пространство, которое обычно
называют пространством С.
Другим важным классом функциональных пространств являются
пространства Lp. (Здесь р — действительное число ^1.) Измеримая,
на [а, Ь] функция f(t) принадлежит Lp, если суммируема |/(^)|Pl)-
Две функции х (t) и y{f), принадлежащие Lp, считаются эквива-
эквивалентными, если они отличаются друг от друга лишь на множестве
меры нуль. Расстояние р(х, у) в Lp определяется следующим образом:
¦-[
x{t)-y{t)\"dt
B)
Так определенное расстояние удовлетворяет трем поставленным выше
условиям.
Можно было бы значительно расширить примеры различных функ-
функциональных пространств, но мы на этом пока ограничимся.
Рис. 1.
В каждом метрическом пространстве можно говорить об окрест-
окрестности данной точки. Назовем е-окрес тностью точка х некоторого
метрического пространства R совокупность его точек у, для кото-
которых выполняется неравенство
р {х, у) < е.
C)
В пространстве С это будет совокупность всех непрерывных на [a, b)
функций, лежащих в полосе x(t) + e (рис. 1). В пространстве Lp
') О мере множеств, измеримых и суммируемых функциях можно про-
прочесть^ например, в книге И. П. Натансона «Теория функций вещест-
вещественной переменной».

12
ВВЕДЕНИЕ
это будет совокупность всех функций, принадлежащих Lp, для ко-
которых
ь
D)
f\x(t)—y{t)\*dt<e*.
При этом в отдельных точках отклонение y(f) от x(t) может быть
очень большим, а зато в других точках будет очень малым (рис. 2).
Рис. 2.
В вычислительной математике часто приходится заменять одну
функцию x{t) другой функцией, более удобной для вычислительных
целей и в каком-то смысле близкой к первой. Обычно эту вторую
функцию берут в некоторой s-окрестности первой. Если е-окрест-
ность берется в пространстве С, то говорят о равномерном при-
приближении функции x(t). Если s-окрестность берут в простран-
пространстве Lp, то говорят о приближении в среднем. В частности, при
р = 2 говорят о среднеквадратичном приближении.
2. Функции, определенные на функциональных простран-
пространствах. Точно так же, как в классическом математическом анализе,
можно ввести понятие функции, аргументом и значением которой
будут элементы абстрактных пространств.
Пусть нам даны два абстрактных пространства /?! и R2. Пусть
? R
каждому элементу x?Rt поставлен в соответствие
Тогда мы будем говорить, что нам задана функция
у = А{х)
элемент у ? R2.
E)
с обпастью определения R{ и областью значений, принадлежащей R2.
В частности, если R2 является областью действительных или ком-

^ 2] МЕТОД ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ 13
плексных чисел, то А(х) называется функционалом. Простейшим
примером функционала в пространстве С будет являться
ь
= fx(t)dt. F)
Пространство R2 может совпадать с пространством R^ и тогда будем
называть А (х) оператором. Область математики, изучающая свой-
свойства функциональных пространств и заданных на них функций, и
носит название функционального анализа.
3. Метод вычислительной математики. Теперь можно охарак-
охарактеризовать метод вычислительной математики.
В вычислительной математике приходится сталкиваться с самыми
различными задачами. Но большинство этих задач может быть за-
записано в виде
у = А {х), G)
где х и у принадлежат заданным пространствам Rl и R2 и А(х) —
некоторая заданная функция. Задача состоит либо в отыскании у по
заданному х, либо в отыскании х по заданному у. В нашем курсе
мы будем иметь дело только с такими задачами. Далеко не всегда
с помощью средств современной математики удается точно решить
эти задачи, применяя конечное число шагов. В этих случаях и при-
прибегают к вычислительной математике. Иногда задача и может быть
решена точно, но методы классической математики дают ответ после
громоздких и трудоемких вычислений. Поэтому и задачи вычисли-
вычислительной математики входит также разработка приемов и методов
наиболее рационального решения конкретных задач. Как это делается
в различных случаях, будет видно из дальнейшего курса. Сейчас же
мы выскажем некоторые общие сообщения.
Основным методом, при помощи которого в вычислительной
математике решают поставленные выше задачи, является замена про-
пространств /?! и R2 и функции А некоторыми другими пространствами
Rx и R2 и функцией А, более удобными для вычислительных целей.
Иногда бывает достаточно произвести замену пространств Rl и R2
или даже одного из них. Иногда достаточно заменить только функ-
функцию А. Замена должна быть сделана так, чтобы решение новой
задачи _
у = А (х), (8)
x?Ri> У?&2 — было в каком-то смысле близким к точному решению
исходной задачи G) и его возможно было бы практически отыскать
с сравнительно небольшими трудностями.

14 ВВЕДЕНИЕ
Например, пусть необходимо вычислить интеграл
ь
y = Jf(x)dx,
а
где f{x) — непрерывная функция, причем неопределенный интеграл
не берется в элементарных функциях. Чтобы получить достаточно
точное приближенное значение интеграла, можно идти двумя путями.
1. Заменим функцию f(x) алгебраическим многочленом Р (х),
равномерно приближающим функцию f(x) на отрезке \а, Ь\ с необ-
необходимой степенью точности. Как будет показано в главе 4, это всегда
ь
сделать можно. Вместо интеграла у = Г f{x)dx будем находить
а
Ь
интеграл у= Г Р {х) dx, вычисление которого не составляет труда.
а
Ь
Здесь мы, не меняя функционала А (/) = jf(x) dx, заменяем про-
а
странство С, которому принадлежит /(х), пространством многочле-
многочленов и вместо функции f(x) берем многочлен Р {х) из некоторой ее
е-окрестности.
ь
2. Из определения интеграла Гf{x)dx следует, что всегда можно
а
п
построить интегральную сумму 2 f ixd ^хг, которая будет доста-
точно близка к значению интеграла. Следовательно, вместо вычисле-
ь
ния интеграла у= jf(x)dx можно решать другую задачу — задачу
а
вычисления конечной суммы
п
У = lj t (Xi) Д*г-
Ь
Здесь мы уже заменяем функцию А (/) = Г f(x)dx новой функцией
Для успешного применения указанного выше метода вычисли-
вычислительной математики необходимо в первую очередь иметь рациональ-
рациональные способы замены пространства R другим пространством R.

с 2] МЕТОД ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ 15
Часто для этой цели в пространстве R отыскивают конечное мно-
множество элементов
которые бы, с одной стороны, достаточно хорошо аппроксимиро-
аппроксимировали каждый элемент пространства R, а с другой стороны, были бы
достаточно удобны для вычислительной работы. При этом в каче-
качестве R берут пространство, состоящее из этого конечного числа
элементов, и элементу ср ? R ставят в соответствие ближайший эле-
элемент <?i(zR или один из ближайших, если таких элементов несколько.
В дальнейшем мы увидим много примеров того, как это осущест-
осуществляется.
Такой прием не всегда применим. Для того чтобы им можно-
было воспользоваться, необходимо наложить дополнительные огра-
ограничения на метрическое пространство R. Не вдаваясь в подробности,
укажем на те свойства, которыми в этом случае должно обладать
пространство R. Для любого е > 0 должны существовать элементы
<plt cp2, .... ср„ такие, что какой бы элемент ср?/? мы ни взяли,
найдется такой элемент ср{, для которого
В этом случае элементы <р1( ср2 срп называют е-сетью простран-
пространства R. Из наличия s-сети при любом е > 0 будет вытекать ком-
компактность пространства R в себе. Это означает, что из любой
последовательности элементов {ф,}, принадлежащих R, можно выде-
выделить фундаментальную подпоследовательность, т. е. такую подпо-
подпоследовательность !ф< }, что для любого 8>0 найдется целое поло-
положительное N, что при т и п > N имеет место неравенство
Из наличия e-сети при любом г > О следует также сепарабельность
пространства R, что означает существование счетного всюду плот-
плотного в R множества элементов, т. е. такого множества, что в любой
окрестности элемента ср ? R найдется хотя бы один элемент этого
множества.
Однако из предыдущих рассуждений нельзя делать вывода, что
конечные аппроксимирующие группы можно использовать только
Для компактных в себе пространств. Во-первых, нужно заметить,
что современный функциональный анализ не связан каким-либо одним
способом метризуемости. Наоборот, одна и та же функция может'
служить элементом самых различных пространств. Функциональные
пространства могут целиком вкладываться в другие функциональные
пространства с сохранением или потерей понятия близости, расстоя-
расстояния и других. Иногда возможно рассматривать пространство R как:
предельное множество его подпространств Rn, обладающих нужными
нам свойствами.

16 ВВЕДЕНИЕ
Можно было бы многое говорить относительно различных при-
применений функционального анализа в вычислительной математике.
Однако удобнее это сделать при изложении конкретного материала
курса.
Резюмируя сказанное выше, мы отметим, что в настоящее время
перед вычислительной математикой стоят следующие основные
задачи:
1. Приближение множеств в функциональных пространствах.
2. Приближение функций, заданных на функциональных про-
пространствах.
3. Разработка рациональных алгоритмов и методов решения за-
задач в условиях применения современных вычислительных машин.
§ 3. Средства вычислений
Исследуя методы решения конкретных задач, мы должны, есте-
естественно, учитывать те вычислительные средства, которые имеются
в нашем распоряжении. Поэтому, не ставя своей целью дать техни-
техническое описание различных вычислительных машин и приборов, мы
приведем здесь краткие характеристики наиболее важных из них.
Некоторые из описанных здесь машин еще не получили у нас до-
достаточного распространения в математических расчетах. Однако раз-
развитие счетной техники в ближайшие годы должно привести нас
к тому, что ни одно более или менее серьезное научное учрежде-
учреждение не сможет обойтись без этих средств.
Математические машины и приборы делятся на две большие
группы, непрерывного действия и дискретные, или цифровые. Циф-
Цифровые машины производят математические операции с числами, при-
принимающими дискретные значения и имеющими цифровое предста-
представление в той или иной системе счисления. Результат представляется
в таком же виде. Если машина исправна и оператор не делает оши-
ошибок, то точность результата зависит от количества разрядов, с кото-
которыми работает машина. В машинах непрерывного действия числа
выражаются посредством физических величин: длин, напряжений,
углов и т. п. Чаще всего они являются машинами-аналогами, моде-
моделирующими тем или иным физическим процессом какую-нибудь
математическую задачу. Из приборов непрерывного действия широкое
распространение получила логарифмическая линейка. В Советском
Союзе находят также применение следующие машины и приборы
непрерывного действия: планиметры, интеграфы, гармонические ана-
анализаторы, электро- и гидроинтеграторы различных систем, диффе-
дифференциальные анализаторы. Точность результата, полученного на
машине непрерывного действия, зависит от многих факторов: точносчи
устройства, искусства оператора, внешних факторов, характера ответ-
ответной шкалы, и вследствие этого обычно бывает не очень велика.
Поэтому машины непрерывного действия не получили широкого рас-

^ 3] СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ 17
пространения при точных научных расчетах. Кроме того, как пра-
правило, машины непрерывного действия приспособлены для узкого
класса задач и каждый тип машины резко отличен от другого. Мы
здесь их описывать не будем.
1. Арифмометр. Клавишные вычислительные машины. Про-
Простейшей цифровой машиной является арифмометр (рис. 3). Исход-
Исходные данные набираются на арифмометре с помощью установочных
; .г
; '
Рис. 3. Арифмометр.
рычагов 1. Чтобы сложить два числа одно из слагаемых набирают
на этих рычагах и поворачивают рукоятку 2 на один оборот в на-
направлении, указанном стрелкой с значками «-[-», «X»- Стрелка
нарисована на передней части корпуса арифмометра 3. При этом
в счетчике результатов 4 окажется это слагаемое. В счетчике обо-
оборотов 5 будет видна цифра 1. Затем поступаем так же со вторым
слагаемым. Тогда в счетчике результатов 4 получим искомую сумму.
Для вычитания уменьшаемое переводим в счетчик результатов, как
и i ервое слагаемое. После этого набираем на установочных рычагах
вычитаемое и поворачиваем рукоятку на один оборот в направлении,
указанном стрелкой со значками «—», « : ». Результат опять будет
виден в счетчике результатов. С помощью установочных рычагов можно
набрать число, имеющее 9 разрядов. Счетчик результатов имеет
13 разрядов. Ясно, как производить последовательное сложение и
вычитание.
Для производства умножения на арифмометре нужно набрать один
из сомножителей с помощью установочных рычагов. Затем вращаем
рукоятку в том же направлении, что и при сложении, произведя

ВВЬДЕНИЕ
Рис 4. Клавишная вычислительная машина ВК-2
Рис. 5. Клавишная вычислительная машина «Рейп-металл».

§ 3| СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ 19
отолько оборотов, какова последняя цифра второго множителя. При
этом в счетчике результатов будет стоять первый множитель, умно-
умноженный на последнюю цифру второго сомножителя, а в счетчике
оборотов будут стоять нули, кроме последней цифры, указывающей
число сделанных нами оборотов. После этого передвигаем каретку
на один разряд вправо при помощи рычага 6 и вращаем рукоятку
в том же направлении на столько оборотов, какова предпоследняя
цифра второго сомножителя. Затем снова передвигаем каретку на
один разряд вправо и т. д Этот процесс повторяем до тех пор,
пока не переберем все разряды второго сомножителя. В итоге в счет-
счетчике результатов получим искомое произведение, а в счетчике обо-
оборотов второй множитель.
Для производства деления нужно предварительно передвинуть
каретку вправо на столько разрядов, сколько разрядов желают иметь
в частном. После этого, как и при сложении, переносят делимое
в счетчик результатов. При этом нужно стараться установить стар-
старший разряд делимого на установочных рычагах возможно левее, следя
в то же время за тем, чтобы все делимое полностью перешло в счет-
счетчик результатов. Затем гасят цифру 1, появившуюся в счетчике обо-
оборотов, поворотом соответствующего барашка 7. После этого на
установочных рычагах должно быть поставлено второе число — дели-
делитель. Его устанавливают так, чтобы старшие разряды делимого и
делителя стояли друг против друга, если делимое больше делителя,
или старший разряд делителя на один разряд правее старшего раз-
разряда делимого, если делимое меньше делителя (при этом делимое
и делитель рассматриваются как целые числа с количеством разря-
разрядов, равным номеру самого левого из использованных установочных
рычагов) Деление осуществляется повторным вычитанием. Повора-
Поворачиваем рукоятку в том же направлении, что и при вычитании, до
тех пор, пока число, установленное на рычагах, не станет больше
числа в счетчике результатов. Если мы сделаем лишний оборот, го
услышим звонок. Тогда нужно сделать один оборот в обратном
направлении. Далее, передвигаем каретку на один разряд влево и
повторяем наш процесс. Поступаем так до тех пор, пока каретка
не займет крайнего левого положения. При этом в счетчике оборо-
оборотов будет находиться частное, а в счетчике результатов — остаток.
При описании характера работы на арифмометре мы не касались
1акого рода вопросов, как определение положения запятой, уско-
ускоренные приемы счета и т п. Детальный разбор их занял бы слиш-
слишком много времени и они достаточно хорошо освещены в литера-
литературе. С другой стороны, приведенное здесь краткое описание будет
полезно с той точки зрения, что более совершенные счетные циф-
цифровые машины по характеру работы сходны с арифмометром.
Нужно заметить, что уже такая простая вычислительная машина,
как арифмометр, дает большую пользу при счетной работе. Произво-
Производится меньше записей, вычисления становятся менее утомительными,

20
ВВЕДЕНИЕ
сокращается время каждого вычисления, уменьшается число оши-
ошибок. За 6 часов работы на арифмометре можно произвести при-
примерно 750 умножений пятизначных чисел на четырехзначные с записью
каждого произведения и примерно 570 делений пятизначных чисел
на четырехзначные с записью каждого частного.
Клавишные вычислительные машины типа ВК-2, Мерседес,
Рейн-металл и другие (см. рис. 4, 5, 6), находящиеся в употре-
употреблении в Советском Союзе, с точки зрения математика не отли-
отличаются значительно от арифмометра. В них рычажный набор заменен
клавишным и ручной привод электромотором. Имеются и другие
Рис. 6. Клавишная вычислительная машина «Мерседес».
незначительные усовершенствования. Однако и это дает много для
ускорения вычислительных работ. Их применение резко увеличивает
производительность. С помощью этих машин можно произвести при-
примерно 1200 умножений пятизначных чисел на четырехзначные
с записью произведений и примерно 1210 делений пятизначных чисел
на четырехзначные с записью частных за 6 часов работы.
Недостатком описанных выше машин является то, что после вы-
выполнения каждого действия оператору необходимо установить на
машине новые данные и нажать клавишу, указывающую следующую
арифметическую операцию. Довольно часто приходится записывать
на бумаге промежуточные результаты вычислений.
2. Счетно-аналитические машины. Дальнейшим шагом по
пути усовершенствования вычислительной техники явились авто-
автоматические вычислительные машины. Обычно они состоят из

2 4 6 8 10 12 И Ш 18 20 22 24 26 28 39 32 34 36 38 40 42 44 47 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80
0 000 00 0 000 0000 000 00 0 00 0U 00 00 0 0 00 0 00 00 000 00 0 0 000 0 000 00 000 00 00 0000 0000 0 0 000000 30 0 0 d
CQ
. 11 1111111111111111111111111111111111 И 11111111111111111111111111111 1111111111111 о
u о
S§ 222222222222222222222Z2222222222222222222222222222 2.22222222222222222222222222222^
Г 33333333333333333 3333333 333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333 3 I
С. л
? 4 4 444444444.4444444 44 4 4 4444 444 4444444444444 4444444 4 44444444444444444444444444444 4 ?
^ 555555&5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 >-
% 6666 36 6666666666666666666666 66 666666666666666666666666666666666666666666666666 66 «
т 7777777777777777777777777 7777777777777777777777777777777777777777777777771777777 2
^ • о
" 8888888&8.8888888888888888888888888888883888888888S688888888888888888888888888888 У
2 4 6 » W Е М В !8 20 И 24 2« 28 Зв 92 3* 3« 38 40 И 44 46 48 58 52 54 56 58 № 62 64 66 88 70 72 74 76 78 80 ^
99999999999999999999999999998939999999999999999999999999999999999999999999999999
Рис. 7. 80-колонная перфокарта.

22
ВВЕДЕНИЕ
целого комплекса машин различного назначения. Простейшим из
таких комплексов является комплект счетно-аналитических
машин.
Исходные данные для работы на счетно-аналитических машинах
пробиваются на специальных картонных карточках стандартных раз-
размеров — перфокартах (рис. 7). На перфокарте нанесены 45 или
80 колонок цифр от 0 до 9. (Число колонок зависит от системы
Рис. 8. Перфоратор П-80.
счетно-аналитических машин.) При помощи одной из машин ком-
комплекта— перфоратора (рис. 8) на перфокарте пробиваются отвер-
отверстия. В каждой колонке может быть пробито отверстие, располо-
расположенное либо против одной из цифр, либо в одном из двух рядов
выше цифр. Их называют соответственно 11 и 12-й дополнительной
позицией. Можно также оставить данную колонку непробитой.
Группируя определенным образом колонки перфокарты, мы можем
нанести на нее значительное количество различных данных. Опера-
Оператор может пробить на перфораторе примерно 230 карт в час.
Так как при работе на перфораторе оператором могут быть
допущены ошибки, после пробивки данных необходимо произвести
контроль. Это осуществляется с помощью специальной машины —
контрольника (рис. 9). Для производства контроля на контроль-
нике оператор производит те же операции, что и на перфораторе.
При этом воспринимающее устройство контрольника ощупывает
карты. Если карта пробита правильно, то она беспрепятственно
проходит через воспринимающее устройство. Если произошла

§ 3] СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ 23
ошибка, то карта остановится, причем ошибочно пробитая колонка
окажется над воспринимающим устройством. В этом случае карту
изымают и пробивают нужные данные повторно на новой карте.
Оператор может проверить примерно 250 карт в час.
Иногда возникает необходимость, прежде чем производить вы-
вычисления над данными, пробитыми на перфокартах, предварительно
рассортировать их по тем или иным признакам. Это осуществляется
на специальной машине—сортировке (рис. 10). Перфокарты вкла-
вкладываются в магазин подачи сортировки. После этого с помощью
Рис. 9. Контрольник К-80.
рукоятки устанавливают, по какой колонке следует сортировать
карты, и нажимают пусковую кнопку. При этом карты будут авто-
автоматически подаваться под воспринимающее устройство сортировки
и затем складываться в ее карманы. Таких карманов в сортировке 13.
Двенадцать карманов соответствуют возможным вариантам пробивок
в одной колонке и тринадцатый карман предназначен для карт, не
имеющих пробивок в данной колонке. В течение часа на сортировке
можно пропустить примерно 24 000 карто-колонок.
Далее карты поступают на табулятор (рис. 11). Табулятор
является счетно записывающей машиной. Он автоматически воспри-
воспринимает исходные данные, пробитые на перфокартах. В соответствии
с настройкой, осуществляемой при помощи соединений на комму-
коммутационной доске и установки выключателей, он производит необхо-
необходимые подсчеты и печатает нужные результаты. Табулятор имеет
несколько счетчиков, которые могут независимо друг от друга сум-
суммировать числа, пробитые в определенных колонках. Можно также
суммировать одни и те же числа в разных счетчиках. Можно пе-
передавать итоги из одного счетчика в другой как со знаком плюс,

24
ВЬЕДЬНИЕ
Рис. 10. Сортировка С-80.
Рис 11. Табулятор Т-5.

§ 3]
СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ
25
так и со знаком минус. Можно печатать данные, пробитые на пер-
перфокартах, или итоги, полученные в счетчиках.
Приведем некоторые эксплуатационные данные отечественного
табулятора Т-5. Он работает на 80-колонных картах. Имеет восемь
11-разрядных счетчиков. Механизм печати имеет семь секций. Шесть
секций с первой по шестую содержат по 11 разрядов для записи
цифр и один разряд для записи условных обозначений. Седьмая
секция имеет только 11 цифровых разрядов. Счетчики не связаны
с определенными секциями и соединяются с ними путем коммутации.
На перфокарте наряду с числовыми данными могут быть пробиты
Рис 12. Итоговый перфоратор ИП-80.
признаки, отличающие одни числа от других. Эти признаки также
представляют собой числа. Табулятор Т-5 снабжен контрольным
аппаратом, воспринимающим признаки. Если у нас имеются числа
с различными признаками, то после того, как карты, содержащие
один признак, пройдут через табулятор и поступит" первая карта,
содержащая числа с другими признаками, контрольный аппарат даст
сигнал и будет подведен итог по прошедшей группе карт.
Контроль может осуществляться по 20 колонкам. Табулятор Т-5
снабжен 17 селекторами. Восемь из них имеют по 11 разрядов
и девять вспомогательных по одному разряду. Селекторы могут быть
использованы для управления переменным вводом чисел с перфо-
перфокарт в счетчики, переменным печатанием этих чисел, а также для
выполнения переносов из одних счетчиков в другие и переменного
печатания результатов, полученных в счетчиках.
Для того чтобы произвести печатание итогов по прошедшей
группе карт, перенесение числа из счетчика в счетчик и некоторые

ВВЕДЕНИЕ
другие действия в соответствии с характером решаемой задачи,
используются промежуточные ходы, во время которых машина ра-
работает без подачи карт. На табуляторе имеется импульсатор для
посылки импульсов любой цифры во время карточных ходов и про-
промежуточных ходов. Имеется также универсальный интервальный
автомат, позволяющий регулировать продвижение бумаги как в ру-
рулонах, так и в отдельных листах.
Скорость работы табулятора Т-5
с печатанием данных и итогов при-
примерно 6000 карт в час и с печата-
печатанием итогов примерно 9000 карт
в час. Очень часто результаты, по-
полученные на табуляторе, должны
быть снова использованы для ра-
работы на нем же. В этом случае вы-
выгодно не только печатать резуль-
результаты, но и снова пробивать их па
перфокартах. Это осуществляется
при помощи итогового перфора-
перфоратора (рис. 12). При совместной
работе табулятора с итоговым пер-
перфоратором последний автоматически
перфорирует призначные данные и
итоги, полученные на счетчиках.
В практике работы на счетно-
аналитических машинах возникает
необходимость перенести пробивки
одного массива перфокарт или части
этих пробивок на другой. Этот род
работы призван осуществлять пер-
перфоратор-репродуктор (рис. 13).
Используя перфоратор-репродуктор,
мы можем переносить данные с од-
одного массива карт на другой, изме-
изменяя при этом группировку данных, исключая ненужные нам данные,
добавляя новые пробивки. Скорость работы перфоратора-репродук-
перфоратора-репродуктора примерно 6000 карт в час.
На табуляторе очень затруднительно производить умножение.
Чтобы восполнить этот пробел, создана еще одна машина — умно-
умножающий перфоратор (рис. 14). На умножающем перфораторе
можно производить умножение чисел, пробитых на перфокартах
и имеющих до восьми разрядов; можно также производить сложение
и вычитание. Результаты получаются в виде пробивок на перфокар-
перфокартах. Возможно производить одновременно различные действия. При
этом воспринимаются до пяти чисел с перфокарты. Скорость работы
умножающего перфоратора зависит от характера работы. При умно-
Рис. 13. Перфоратор-репродуктор.

§3]
СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ
27
жении шестизначных чисел на шестизначные и перфорации резуль-
результата с двенадцатью знаками можно произвести до 1200 действий
в час.
Счетно-аналитические машины работают на электромеханическом
принципе. Это обусловливает сравнительно небольшую скорость их
Рис. 14. Умножающий перфоратор.
работы. Во всем комплекте нет машин, осуществляющих деление.
Приспособление комплекта для решения сложных математических
задач' сопряжено с большими трудностями.
3. Электронный вычислитель. Дальнейшим шагом по пути
усовершенствования вычислительной техники является электронный
вычислитель (рис. 15). Электронный вычислитель состоит из двух
частей: перфоратора и вычислителя. Перфоратор предназначен
для восприятия данных с перфокарт и пробивки результатов на
перфокарты. Он работает на электромеханическом принципе со
скоростью до 100 карт в минуту. В перфораторе имеется три мага-
магазина для закладывания карт: пробивной, средний и правый. Резуль-
Результаты пробиваются на картах, проходящих через пробивной меха-
механизм. Данные, пробитые на перфокартах, поступают в вычислитель.
Вычислитель представляет собой электронную быстродействующую
вычислительную машину. Он состоит из следующих основных блоков:
первичного хронизатора, программного устройства, фиксаторов,
счетчика, устройства сдвига разрядов, схемы умножения, схемы
деления и вспомогательных цепей. Восприятие чисел и их передача.

28
ВВЕДЕНИЕ
в вычислитель производятся во время прохождения карт под воспри-
воспринимающим устройством перфоратора. Вычисления производятся в тот
период, когда очередная карта прошла через воспринимающее
устройство, а следующая еще не поступила. За это время (примерно
ПО миллисекунд) вычислитель успевает сделать 250—280 циклов
сложения или вычитания. Расскажем немного о назначении основных
блоков электронного вычислителя.
Первичный хронизатор предназначен для синхронизации работы
всех узлов вычислителя. В нем формируются и распределяются
Рис. 15. Электронный вычислитель ЭВ-80.
импульсы напряжений, необходимые при вычислениях. Программное
устройство предназначено для того, чтобы при помощи коммута-
коммутационной доски управлять последовательностью вычислений в вычи-
вычислителе. Для решения любой задачи необходимо разбить ее на ряд
простейших операций, следующих друг за другом в определенной
последовательности, и скоммутировать согласно этой программе
коммутационную доску вычислителя. При вычислениях программное
устройство будет последовательно переключать гнезда коммутацион-
коммутационной доски и благодаря соответствующей коммутации управлять не-
необходимой последовательностью операций.
Фиксаторами называются устройства, предназначенные для фик-
фиксации чисел при восприятии данных с карт, при вычислениях и при
пробивке итогов. В электронном вычислителе имеется три типа
фиксаторов: фиксаторы чисел, общие фиксаторы, фиксатор множи-
множителя-частного. Общие фиксаторы могут воспринимать числа с пер-

§ 3] СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ 29
фокарт, хранить промежуточные результаты при вычислениях
и с них может производиться перфорация итогов. Всего имеется
четыре общих фиксатора: два трехразрядных и два пятиразрядных.
Их можно объединять при помощи коммутации по два, образуя
шестиразрядные или восьмиразрядные фиксаторы. Фиксаторы чисел
отличаются от общих тем, что с них нельзя производить пробивку
итогов. Всего имеется пять фиксаторов чисел: два трехразрядных,
два пятиразрядных и один восьмиразрядный.
Трех- и восьмиразрядные фиксаторы можно объединять попарно.
Фиксатор множителя — частного—восьмиразрядный. Он является
общим фиксатором и, кроме того, используется как фиксатор одного
из множителей при умножении и частного при делении. Электрон-
Электронный вычислитель работает в двоично-десятичной системе. Это озна-
означает, что каждое число, поступающее в вычислитель, записывается
в десятичной системе, а каждая цифра этого числа — в двоичной.
Для представления двоичного разряда в ЭВ служит триггер-элек-
триггер-электронная схема, имеющая два устойчивых положения. Одно из этих
положений принимается за 0 другое за 1. Такая схема, обладая
малой инерционностью, может быть с громадной скоростью пере-
переброшена из одного положения в другое. Для представления цифр
от 0 до 9 требуется четыре триггера. В ЭВ имеется один шестнад-
шестнадцатиразрядный счетчик.
При сложении и вычитании в счетчик последовательно подаются
слагаемые. При умножении в счетчике получается произведение.
При делении в счетчик передается делимое, а после деления сни-
снимается остаток. Устройство сдвига разрядов предназначено для пе-
передачи чисел из фиксаторов и счетчика со сдвигом. Числа из фик-
фиксаторов могут передаваться в другие фиксаторы и счетчик со
сдвигом до восьми разрядов влево. Из счетчика числа могут пере-
передаваться в фиксаторы со сдвигом до восьми разрядов вправо. Кроме
того, при умножении и делении устройство сдвига автоматически
производит сдвиг чисел. Схемы умножения и деления предназначены
для управления автоматическим выполнением действий умножение
и деления. Вспомогательные устройства еще расширяют возмож-
возможности машин. В ЭВ имеется устройство округления, позволяющее
производить округления по любому из девяти младших разрядов
счетчика.
Имеется устройство проверки нуля. Если позволяет время, отве-
отведенное для вычислений, можно произвести одно и то же вычисление
дважды и один результат вычесть из другого. Устройство проверки
нуля обнаружит, получится ли при этом нуль, т. е. правильно ли
произведены вычисления. Электронный вычислитель позволяет решать
сложные математические задачи. К его недостаткам следует отнести
небольшую емкость фиксаторов, что лимитирует количество дан-
данных, с которыми можно произвести вычисления. Перфоратор же,
в который закладываются все исходные данные, работает медленно

30
ВВЕДЕНИЕ
сравнительно с вычислителем. С другой стороны, время, отводимое
для вычислений, не очень велико, и поэтому часто бывает затруд-
затруднительно провести в этот период сложные вычисления над данными,
полученными с одной карты.
4. Универсальные электронные цифровые вычислительные
машины. Указанные выше недостатки устранены в современных
быстродействующих вычислительных машинах с программным
управлением. Существует значительное количество различных типов
таких машин. В настоящее время эта область вычислительной тех-
техники бурно развивается и пока еще преждевременно делать окон-
окончательные выводы о наиболее рациональных логических схемах
и элементах таких машин. Однако все они имеют общие черты.
Всякая электронная цифровая машина с программным управлением
может быть изображена схемой на рис. 16.
Вводные устройства
Выводные и печатаю-
печатающие устройства
I
3*
Устройство управления
Рис. 16. Блок-схема электронной машины.
Процесс решения математической задачи на электронной циф-
цифровой машине в общих чертах может быть описан следующим
образом. Математик разрабатывает метод решения. Затем процесс
решения представляется в виде последовательности элементарных
операций, которые может производить машина. Как принято сейчас
говорить, составляется программа. В программе должны быть пре-
предусмотрены все особенности вычислительного процесса. Каждый
последующий шаг должен однозначно определяться предыдущими
и теми числами, которые будут находиться в машине в этот мо-
момент. Программа вместе с исходными данными для вычислений
с помощью устройства ввода подается в запоминающее устройство
машины. После этого начинается сам счет. В соответствии с про-
программой машина выбирает необходимые данные из запоминающего
устройства, подает их в арифметический блок, производит там
нужные вычисления и направляет результаты либо снова в запоми-
запоминающее устройство, либо на вывод машины для печатания. Блок
управления предназначен для согласования работы всех узлов
машины.

§ 3] СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ 31
В Советском Союзе с 1952 г. работает быстродействующая
электронная цифровая машина Академии наук СССР (БЭСМ)
(рис. 17). Приведем некоторые ее характеристики. Вычисления на
БЭСМ ведутся в двоичной системе. Числа в машине представляются
в виде
х = а-2р,
где —1<а< 1 и р — целое (положительное или отрицательное
число). Величину а называют мантиссой числа и р — порядком числа.
Для записи мантиссы отводится 32 двоичных разряда, один разряд
отводится для записи знака числа, пять двоичных разрядов отво-
отводится для порядка числа и один для указания знака порядка. Таким
образом, на машине могут быть представлены числа, модули кото-
которых заключены между Г ' и 2+ \ При желании количество знаков
числа может быть удвоено. Этот способ записи чисел характеризует
машины с плавающей запятой в отличие от машин с фиксированной
запятой, в которых числа записываются обычным образом с фикси-
фиксированным положением запятой, но налагается дополнительное тре-
требование, чтобы исходные данные, промежуточные и окончательные
результаты лежали в определенном интервале, например (—1, 1).
Машины с фиксированной запятой более просты по конструкции,
но менее удобны для программирования.
БЭСМ — трехадресная машина. Это значит, что каждая инструк-
инструкция программы содержит кроме числа, показывающего, какую опе-
операцию должна выполнить машина, еще три числа, два из которых
показывают, откуда должны быть взяты числа, участвующие в дан-
данной операции, и одно показывает, куда должен быть направлен
результат.
В БЭСМ предусмотрена 31 команда. К ним относятся команды
для четырех арифметических операций, команда умножения с выво-
выводом удвоенного количества разрядов и деления с выводом остатка.
Имеется несколько вспомогательных и логических команд. Все опе-
операции выполняются одним арифметическим устройством, сконструи-
сконструированным на триггерных ячейках. Арифметическое устройство
состоит из приемных регистров и сумматора.
Запоминающих устройств на БЭСМ несколько. Наиболее быстрое
из них использует электронно-лучевые трубки и рассчитано на
1023 числа. Время выборки или записи числа составляет 12 мсек.
Вторым видом памяти является задающее устройство на германие-
германиевых диодах, рассчитанное на 376 чисел. Из него можно выбирать
числа или команды, но в него нельзя записать результаты. Диод-
Диодное запоминающее устройство используется в основном для типовых
подпрограмм, для установки коэффициентов, меняющихся от ва-
варианта к варианту, для ручного управления ходом вычислительного
процесса и т. п. Третий вид памяти БЭСМ более медленный
и использует магнитный барабан с емкостью 5120 чисел. Наконец,

§ 3] СРЕДСТВА- ВЫЧИСЛЬНИИ Ъ'6
четвертый вид использует четыре магнитофона с общей емкостью
около 120 000 чисел.
Ввод чисел и команд в машину производится с перфоленты
со скоростью 20 чисел в секунду. Если вводимые данные получены
в результате счета на машине, то их записывают на магнитную
ленту и вводят с этой ленты.
Вывод результатов производится путем записи их на магнитную
ленту и последующего печатания на кинопленку. Скорость работы
фотопечатающего устройства составляет 200 чисел в секунду. Кроме
фотопечатающего устройства имеется электромеханическое печатаю-
печатающее устройство, работающее непосредственно от машины. Скорость
печатания 1,5 числа в секунду.
Средняя скорость работы машины составляет 7000—8000 опера-
операций в секунду.
5. Средства вычислений и задачи вычислительной матема-
математики. Сделаем теперь некоторые выводы относительно влияния со-
современных вычислительных машин на характер вычислительных
работ. Прежде всего нужно иметь в виду, что цифровые машины
способны производить только четыре основных арифметических
действия и иногда еще некоторые операции. Следовательно, разра-
разрабатываемые нами методы решения задач должны, в конце концов,
сводиться к последовательности этих операций. Далее, наличие
счетных машин определяет и объем вычислительной работы, кото-
которую можно практически выполнить. Чем совершеннее у нас техника,
тем крупнее вычислительные работы, которые с ее помощью можно
осуществить. Многие работы, которые ранее считались практически
неосуществимыми, проводятся сейчас сравнительно легко. С другой
стороны, чем совершеннее техника, тем она дороже, дороже обхо-
обходится и ее эксплуатация. Поэтому возникает задача о наиболее
рациональном использовании различных вычислительных средств,
умелом сочетании их друг с другом.
При всякой вычислительной работе важно уметь хорошо ее
планировать. Умелый выбор алгоритма для решения задачи, рацио-
рационального порядка действий, схемы записи будет способствовать
более быстрому решению задачи, сокращению ошибок и меньшему
утомлению вычислителей. Это становится особенно важным при
применении современных электронных цифровых машин. Современ-
Современная быстродействующая автоматическая вычислительная машина,
производящая в секунду около 8000 операций за 8 часов работы,
проделает примерно 200 000 000 операций. Это колоссальная вычисли-
вычислительная работа должна производиться автоматически без вмеша-
вмешательства человека. Но человек должен спланировать всю работу
машины. Конечно, это не означает, что он должен знать и держать
в памяти все операции, которые будут произведены. Но он должен
предусмотреть все особенности, которые могут встретиться, и

34 ВВЕДЕНИЕ
обеспечить выполнение того алгоритма, который нужен для реше-
решения задачи. Сейчас успешно развивается специальный раздел вы-
вычислительной математики—теория программирования, который
призван облегчить труд человека по составлению программ. В этом
разделе находят широкое применение теория множеств, математи-
математическая логика, алгебра. Для составления программ используются
и сами машины.
Большое значение при составлении программы для решения
конкретной задачи имеет удачный выбор алгоритма. При этом
возникают самые неожиданные и своеобразные задачи. Казалось бы,
чего проще составить программу для вычисления многочлена.
Однако и здесь можно удачным алгоритмом полнее использовать
возможности машины. Известно, что на производство умножения и
деления затрачивается больше времени, чем на сложение и вычита-
вычитание. Следовательно, нужно стремиться составить алгоритм так,
чтобы по возможности уменьшить число операций умножения и
деления. Пусть, например, нам требуется подсчитать много раз зна-
значение многочлена:
д^4-2,2л;*-|-3,4л;24- 4,2*+ 5,4.
Если действовать непосредственно, то придется каждый раз делать
по шести умножений. Однако этот многочлен можно записать
в виде
\х (х + 1,1) + 1,9405 — х][х(х-\- 1,1) +х+ 1.2495Ц-2.97534525.
При таком представлении нам потребуется всего лишь два умноже-
умножения: одно для получения х(х~\-1,1) и второе для получения про-
произведения квадратных скобок. Конечно, нельзя всегда считать, что
второе представление лучше первого, но этим примером мы по-
показали, как своеобразно может оказаться представление задачи для
вычислительных целей. Вопросы, связанные с выбором наиболее
рационального алгоритма для решения вычислительной . задачи,
сложны, и в настоящее время еще отсутствует общая теория,
позволяющая указывать, как это делать. И в этом направлении
могут помочь быстродействующие вычислительные машины.
При применении автоматических счетных машин возникает еще
одна проблема. Часто в процессе вычислений приходится исполь-
использовать те или иные трансцендентные функции. Вводить таблицы
таких функций в машину неудобно, так как это сильно загро-
загромоздит ее запоминающее устройство. Поэтому сейчас особенно
остро возникает необходимость получить достаточно хорошие пред-
представления наиболее часто встречающихся трансцендентных функций
рациональными функциями.
При в.сякой вычислительной работе важно вести учет ошибок,
возникающих в связи с производимыми округлениями и с при-
приближенным характером применяемых методов. Но понятно, что

§ 4| МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ КАК РАЗДЕЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ 35
влияние этих факторов будет менее значительным при сравнительно
небольшом объеме вычислительных работ при ручном счете и
будет огромным при грандиозном объеме вычислительных работ
с использованием быстродействующих вычислительных машин. Легко
себе представить, что после того, как будут произведены сотни
миллионов операций, ошибки округления могут совершенно исказить
истинную картину, если даже не учитывать другие источники
ошибок. Поэтому учет всевозможного рода ошибок становится
сейчас совершенно необходимым и здесь предстоит еще большая
работа.
Говоря в предыдущем абзаце об ошибках, мы имели в виду
лишь естественные ошибки, возникающие вследствие округлений,
приближенности методов, приближенности исходных данных и т. п.
Мы не имели при этом в виду тех ошибок, которые могут про-
произойти или вследствие невнимательности вычислителя, или неисправ-
неисправности машины. Однако и эти ошибки должны учитываться. Вычисли-
Вычислитель, естественно, утомляется при длительной работе, а современ-
современная вычислительная машина содержит слишком много различных
Сложных устройств. Ошибки такого рода мы будем называть про-
просчетами. Просчеты могут исказить результат в каком угодно
направлении и в каких угодно границах в отличие от ошибок,
о которых шла речь в предыдущем абзаце, влияние которых
скажется лишь в определенных пределах. Чтобы вовремя заметить
произведенный просчет, необходимо всегда так планировать вы-
вычисления, чтобы обеспечить постоянный тщательный контроль.
§ 4. Методы вычислений как раздел вычислительной
математики. Краткое содержание курса
В одной книге невозможно изложить или хотя бы кратко
затронуть весь круг вопросов современной вычислительной мате-
математики, поэтому мы ограничились кругом вопросов, относящихся
к одному разделу вычислительной математики — методам вычис-
вычислений.
Чтобы более ясно охарактеризовать вопросы, относящиеся
к этому разделу вычислительной математики, рассмотрим процесс
решения любой математической задачи, если ее решение необходимо
довести до числового результата, используя наличные вычислитель-
вычислительные средства. Этот процесс можно разбить на два крупных этапа.
Первый этап — выбор численного метода решения задачи или, как
мы говорили ранее, замена задачи у = А(х), где хну принадле-
принадлежат к некоторым функциональным пространствам Rt и R2 и
А(х)-~ функция, определенная на Rv задачей у = А(х), более
удобной для вычислительных целей, но решение которой в
некотором смысле близко к решению исходной задачи. Второй
этап — составление вычислительной схемы (при ручном счете) или

36 ВВЕДЕНИЕ
программы решения задачи у = А (х) (при машинном счете) и сам
процесс счета.
Для первого этапа необходимо наличие разработанных методов
численного решения основных математических задач и должен быть
известен сравнительный анализ различных методов решения одной
и той же задачи с точки зрения их точности, границ применимости
и целесообразности их реализации на тех или иных вычислительных
машинах.
Разработка и анализ этих методов и составляют предмет методов
вычислений, а их описание и обоснование составляют содержание
настоящей книги.
В первой главе книги изложены основные правила действий
с приближенными величинами и правила оценки их точности.
В главах 2—5 изложены основные способы приближения функций
(интерполирование, равномерное и среднеквадратичное приближе-
приближение функций) и их приложения. В главе 3 изложены численные
методы дифференцирования и интегрирования. В главах 6 и 8
описаны численные методы решения основных задач линейной
алгебры: решение систем линейных алгебраических уравнений,
обращение матриц, вычисление собственных значений и собственных
векторов матриц. В главе 7 изложены способы численного решения
алгебраических уравнений высоких степеней и трансцендентных
уравнений. Наконец, главы 9 и 10 посвящены численным методам
решения обыкновенных дифференциальных уравнений, дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных и интегральных урав-
уравнений. Более подробное содержание книги видно из ее оглавления.
В том или ином объеме эти вопросы излагаются во многих
книгах и монографиях, а также в обширной журнальной литературе.
Первым в мировой литературе курсом методов вычислений явилась
книга академика А. Н. Крылова «Лекции о приближенных вычисле-
вычислениях», изданная в 1911 г. Этот курс не потерял своего значения
и сейчас, но он естественно во многом устарел и не охватывает
многих важных в настоящее время вопросов. Элементарным курсом
методов вычислений, рассчитанным на инженеров и техников,
является книга Я. Безиковича «Приближенные вычисления», первое
издание которой относится к 1924 г. Неоднократно переиздавалась
монография Л. В. Канторовича и В. И. Крылова «Приближенные
методы высшего анализа», в которой описаны приближенные методы
решения задач математической физики.
Из других, сравнительно давно изданных книг следует указать
монографии В. Л. Гончарова «Теория интерполирования и прибли-
приближения функций», Н. П. Натансона «Конструктивная теория функ-
функций», русский перевод книги Скарборро «Численные методы мате-
математического анализа». В послевоенные годы издан ряд отечествен-
отечественных и переводных книг и монографий, относящихся к этой
области: В. Н. Фаддеева «Вычислительные методы линейной алгебры».

К 4] МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ КАК РАЗДЕЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ 37
Ш. Е. Микеладзе «Численные методы математического анализа»,
Милн «Численный анализ» и «Численное решение дифференциаль-
дифференциальных уравнений*, Коллатц «Численные методы решения дифферен-
дифференциальных уравнений», Хаусхолдер «Основы численного анализа»,
В. С. Рябенький и А. Ф. Филиппов «Об устойчивости разност-
разностных уравнений», В. И. Крылов «Приближенное вычисление интегра-
интегралов», Д. К. Фаддеев и В. Н. Фаддеева «Вычислительные методы
линейной алгебры», Э. Д. Бут «Численные методы», В. К. Саульев
«Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток >>,
Р. Д. Рихтмайер «Разностные методы решения краевых задач»,
К. Ланцош «Практические методы прикладного анализа», Б. П. Де-
мидович и И А. Марон «Основы вычислительной математики»,
Г. Н. Положий и др. «Математический практикум» и другие. Но
ни одна из указанных выше книг не охватывает всех вопросов
методов вычислений и не соответствует программе курса методов
вычислений, читаемого студентам университетов, специализирующимся
по вычислительной математике, и не может быть рекомендована
в качестве основного учебного пособия по этому курсу.
Данная книга представляет попытку создания учебного пособия,
отвечающего действующим университетским программам курса
методов вычислений, и, как уже указывалось в предисловии,
в основу ее легли лекции, читанные авторами на протяжении ряда
лет в Московском университете.
Учитывая широкое использование цифровых вычислительных
машин в практике расчетов в настоящее время, мы делали основной
упор на численные методы решения задач и совсем мало касались
аналитических методов приближенного решения математических
задач. Там, где возможно, мы старались дать достаточно строгое
обоснование излагаемых методов и хотя бы на простых примерах
привести их иллюстрацию. Вполне естественно мы не могли и не
ставили своей целью изложить все существующие методы решения
даже основных математических задач, но старались подробно изло-
изложить наиболее распространенные или с нашей точки зрения перспек-
перспективные. Многие очень важные вопросы, особенно вопросы оценки
точности методов, мы не смогли изложить в книге, так как они
еще не нашли полного решения.

ГЛАВА 1
ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ
§ 1. Классификация погрешностей
1. Источники погрешности результатов вычислений. Во вве-
введении мы уже говорили о том, насколько важно уметь оценивать
точность полученного результата. Откуда же могут возникнуть
ошибки? Таких причин много. Во-первых, исходные данные для
вычислений часто получаются из эксперимента, а каждый экспери-
эксперимент может дать результат с ограниченной точностью. Во-вторых,
в процессе вычислений приходится
использовать иррациональные вели-
величины, такие, например, как и, е,
У2. Так как при вычислении на
цифровых машинах мы можем ис-
использовать ограниченное количество
разрядов, то эти числа также будут
представлены лишь приближенно.
В-третьих, во многих случаях су-
существую, ийс >.igj.ci решений задач
могут дать точный ответ лишь после
бесконечного числа шагов. Так как
практически это осуществить нельзя,
то мы будем вынуждены остано-
остановиться на каком-то конечном шаге
и, следовательно, не достигнем точ-
точного значения, например, при вычи-
вычислении суммы ряда мы ограничиваемся суммой конечного числа пер-
первых членов. В-четвертых, уже при таких простейших операциях,
как умножение и деление, у нас может сильно возрас л количество
разрядов и результаты могут не помещаться в счетчиках или других
устройствах машины. В этом случае мы будем вынуждены отбросить
некоторое количество разрядов. Наконец, исходные погрешности
будут последовательно переходить-, преобразовываясь, от операции
к операции и порождать новые погрешности.
Влияние описанных выше погрешностей на точность результата
может оказаться значительно большим, чем это обычно предста-
Рис. 18.

и
КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ
39
вляют даже при не очень сложных вычислениях. Представим себе,
что нам требуется найти объем шара, касающегося цилиндра
радиуса R и двух касательных к нему взаимно-перпендикулярных
плоскостей (рис. 18). Легко найти, что радиус шара г будет равен
/2 +1 '
а объем
Но
= A/Т- 1)в = C-21/ТK=99-70У.
Подсчитаем последние три выражения, взяв за приближенные зна-
чения у2 два числа: -г =1,4 и -г^-= 1,4166 ... Так как
У 2 = 1,4142135624 ..., то каждое из выбранных нами значений
довольно близко к точному и второе из них точнее. Результаты
вычислений сведем в таблицу:
(/2- IN
C-2
— 70/2
64
15625
= 0,0050960
-|= = 0,00800
17
12
15 625
2 985 354
= 0,005238
^ = 0,0046296
—4-=—o,i666
Мы получили значительно отличающиеся друг от друга ответы,
и не видно сразу, какой из них ближе к верному. Из приведенного
примера видно, с какой осторожностью нужно обращаться с при-
приближенными числами.
2. Задачи, возникающие при работе с приближенными вели-
величинами. При работе с приближенными величинами математику
приходится решать следующие задачи:
1. Давать математические характеристики точности приближен-
приближенных величин.
2. Оценивать точность результата, когда известна точность
исходных данных.
3. Находить точность исходных данных, обеспечивающую задан-
заданную точность результата.

40 ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ [ГЛ. 1
4. Согласовывать точность различных исходных данных с тем,
чтобы не затрачивать излишней работы при отыскании или вычисле-
вычислении одних данных, если другие данные слишком грубы.
5. Следить в процессе вычислений за точностью промежуточных
результатов, с тем чтобы, с одной стороны, обеспечить необходи-
необходимую точность окончательного результата и, с другой стороны, по
возможности упростить вычисления. Последние два пункта имеют
немаловажное значение. Академик А. Н. Крылов указывал, что
ему приходилось рассматривать проекты, в которых 90% работы
затрачивалось впустую на выписывание ненужных и неверных цифр.
И все это из-за незнания правил действия с приближенными вели-
величинами!
3. Правила округления чисел. Прежде чем переходить к изуче-
изучению этих правил, условимся относительно некоторой терминологии.
Будем всегда считать, что числа, с которыми нам придется
иметь дело, могут быть записаны с помощью конечного числа раз-
разрядов в той или иной системе счисления. Таким образом, если за
основание системы счисления взято натуральное число C и если мы
допускаем числа, имеющие не более т. разрядов, то их можно
записать единственным способом в виде
где Д{ — целые положительные числа, 0^Я{<р. Интересно отме-
отметить, что уже здесь мы сталкиваемся с тем приемом, о котором
говорилось во Введении. Вместо всего множества действительных
чисел некоторого отрезка используется его конечное дискретное
подмножество. В процессе вычислений иногда приходится и удается
выходить за пределы этого подмножества, но во всех случаях
количество разрядов остается ограниченным и мы опять будем
иметь дело с конечным множеством чисел.
Может оказаться, что результаты вычислений будут иметь
бесчисленное или очень большое количество разрядов, так что их
невозможно поместить в машину или они оказываются слишком
громоздкими при вычислениях на бумаге. Тогда приходится заменять
результат некоторым числом из нашего основного подмножества.
Естественно брать ближайшее число этого подмножества. Практи-
Практически это сводится к следующему. Пусть мы получили в резуль-
результате вычислений число
Тогда, если

§ 1] КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ 41
то мы заменяем результат на
±(a1pn + a2p»-1+... +am
Если же
ат^\-\-ат+<$~~ -\- ... >-2-
то заменяем результат на
Остается сомнительным случай
Здесь безразлично, каким из двух данных выше чисел заменить
результат. Тогда применяют различные соглашения, исходя или из
простоты выполнения этой операции, или из удобства последующей
работы над результатом. Так, в некоторых машинах, например
в ЭВ, округление осуществляется путем прибавления к результату
числа -у {3n~m+ и последующего отбрасывания всех младших раз-
разрядов, начиная с разряда, содержащего $п~т. Это означает, что
в сомнительном случае мы заменяем результат на
При вычислениях на бумаге в обычной десятичной системе счисле-
счисления рекомендуется пользоваться в сомнительном случае следующим
правилом. Если ат — четное число, то заменяем результат на
±(al- 10n-f-a2- 10n-!-t-... -\-am- 10"-m+1),
если же ат—нечетное число, то заменяем результат на
Описанный нами процесс называют округлением. Если следовать
последнему из описанных правил, то процесс последовательного
округления числа 2,804953 будет выглядеть следующим образом:
2,80495; 2,8050; 2,805; 2,80; 2,8; 3.
4. Классификация погрешностей. Производя округления, мы
заменяем данное нам число другим, представляющим его прибли-
приближенно. Возникающую при этом погрешность будем называть по-
погрешностью округления.
Исходные данные, как правило, не будут нам известны точно.
Мы будем знать не сами числа, а некоторые области, в которых
они помещаются. Будем называть их областями неопределенно-
неопределенности. В результате вычислений мы также получим не точное значе-
значение, а некоторую область, в которой оно помещается, даже если все

42 ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ [ГЛ. 1
последующие вычисления производились точно, без округлений. Гра-
Границы этой области определят пределы погрешности, не зависящей
от способа записи чисел. Ее мы назовем неустранимой погреш-
погрешностью.
Существует третий вид погрешностей, не зависящий ни от пог-
погрешностей исходных данных, ни от способа записи чисел, ни от
точности вычислений. Как уже говорилось во Введении, для реше-
решения задачи
у = А(х)
мы заменяем пространства Rl и R2 другими пространствами Rl и R2
и функцию А другой функцией А. Поэтому даже при точных ис-
исходных данных и при точных вычислениях с этими данными мы
решим задачу, отличающуюся от той, которая нам дана. Естественно,
и решение будет отличаться от точного решения исходной задачи.
Это отклонение мы будем называть погрешностью метода. В этой
главе мы не будем касаться погрешностей метода, а отнесем изуче-
изучение их к соответствующим разделам курса.
§ 2. Неустранимая погрешность
Условимся в дальнейшем обозначать точные значения- каких-то
величин латинскими буквами х, у, z а соответствующие им
приближенные значения такими же латинскими буквами, но со звез-
звездочкой вверху: х*, у*, z*, ...
Пусть нам требуется вычислить значения функции
и точные значения аргументов хъ х2, ¦¦¦, хп нам не известны,
а даны лишь их области неопределенности. Определить неустранимую
погрешность у это значит найти область неопределенности этой ве-
величины. По существу это задача математического анализа и может
быть решена любым из методов, выработанных, для таких целей
в математическом анализе. При более или менее сложной функции /
применение точных методов математического анализа приводит
к сложным и трудоемким вычислениям. Поэтому целесообразно иметь
в своем распоряжении приемы, позволяющие решить нашу задачу
более элементарно, хотя быть может и более грубо. Последнее
оправдывается еще и тем, что сами области неопределенности х*
обычно бывают известны довольно грубо.
1. Абсолютная и относительная погрешности числа. Прежде
чем перейти к этому вопросу, введем некоторые характеристики
точности чисел.
Рассмотрим разность
ах* = х — х*

¦§ 2] НЕУСТРАНИМАЯ ПОГРЕШНОСТЬ 43
между точным значением некоторой величины и ее приближенным
значением, с которым производится вычисление. Эту разность назо-
назовем абсолютной погрешностью числа х*. Абсолютная погрешность
и будет одной из характеристик точности чисел. Очевидно, она пред-
представляет только теоретический интерес, так как точного значения х
мы в большинстве случаев не знаем. Но мы всегда можем указать
границы, в которых изменяется абсолютная погрешность. Эти гра-
границы определяются тем способом, которым мы получили прибли-
приближенное число х*. Так, производя измерения обычной ученической
линейкой, мы можем гарантировать, что модуль абсолютной погреш-
погрешности не будет превышать 0,5 мм. Аналогично при производстве
измерений штангенциркулем или микрометром мы получим соответ-
соответственно, что абсолютные погрешности не могут превышать по мо-
модулю 0,1 и 0,01 мм. При замене иррационального числа конечной
дробью величину погрешности также часто удается оценить. В связи
с этим введем еще одно понятие, а именно: наименьшую из верх-
верхних границ |аж*|, которую можно найти исходя из способа получе-
получения числа х*, будем называть предельной абсолютной погреш-
погрешностью и обозначать Ах*. На практике часто за предельную абсо-
абсолютную погрешность А^ принимают не наименьшую из верхних
граней |оа,»|, а одну из верхних граней, достаточно близкую к наи-
наименьшей. В связи с грубостью оценок точности с помощью пре-
предельных абсолютных погрешностей мы не получим при этом заметной
разницы. Таким образом, если Ах* = 0,005, а х* = 2,18, то 2,175 <;
<д;<2,185.
Абсолютная погрешность и предельная абсолютная погрешность
еще не характеризуют точность результата, как ее обычно интуи-
интуитивно понимают, если не указан сам результат. В самом деле, пусть
предельная абсолютная погрешность результата измерения равна 1 см.
Если при этом измерялась длина комнаты, то точность удовлетво-
удовлетворительная. Если же измерялось расстояние между двумя пунктами
различных городов, то точность очень велика. Поэтому мы введем
ещу одну характеристику точности — относительную погрешность.
Относительной погрешностью назовем отношение абсолютной по-
погрешности к абсолютному значению приближенной величины. Будем
обозначать относительную погрешность числа х* через 8Ж*. Таким
образом,
а
Точно так же вводится понятие предельной относительной погреш-
погрешности, которую мы будем обозначать через Дж*:
^-\x*\'
В отличие от абсолютной погрешности, которая чаще всего бывает
размерной величиной, относительная погрешность будет величиной

44 ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ [ГЛ. 1
безразмерной. В дальнейшем предельные абсолютные и относитель-
относительные погрешности, если не будет опасности смешения, будем назы-
называть просто абсолютными и относительными погрешностями.
Посмотрим теперь, как изменяется предельная абсолютная по-
погрешность при округлении числа. Пусть нам дано число
и мы округляем его согласно приведенным в § 1 правилам до т
старших разрядов. Если абсолютная погрешность числа с* равна Ас*,
то
с* — Ае* <^ с < с* + Ае*.
После округления мы получим число
где Ьт равно ат или ат-\-\. При этом \с** — с*\ будет равно наи-
наименьшему из двух чисел:
пп—т— 1 _1_
ИЛИ
пп—тп—1
p
Таким образом, абсолютная погрешность Ае** числа с** будет равна
наименьшему из двух чисел:
или
р (<WP +aP
При любых условиях Ае» не будет превышать А.с*
Могут быть такие случаи, когда Ае** окажется равной
пп—т + 1
2. Верные знаки числа. При записи приближенного числа мы
обязательно должны указывать соответствующую ему область не-
неопределенности. Наиболее аккуратный способ записи будет иметь
вид: (х* — аь х*-\-а2), где х* — ах и x*-f-a2 — границы области
неопределенности. Можно также записывать приближенное число
в виде х* ± Ах*. Однако если нам нужно записать большую таблицу
приближенных чисел, то оба способа будут неудобны. Поэтому
в вычислительной практике часто прибегают к различным приемам,
позволяющим по записи только самого приближенного числа судить
о его погрешности. Один из наиболее распространенных приемов

§ 2] НЕУСТРАНИМАЯ ПОГРЕШНОСТЬ 45
состоит в следующем. Выбирают некоторое положительное число и>
В приближенном числе
иифра ак считается верной, если Ae*^u>Cn~ +1. В противном слу-
случае ак считается сомнительной цифрой. Ясно, что если ак является
верной цифрой, то и все предыдущие цифры верные. Записывая
приближенное число без указания его погрешности, требуют, чтобы
все записанные цифры были верны. Так, например, если в десятич-
десятичной системе будет записано приближенное число 3,14 и не будет
указана его предельная абсолютная погрешность, то это означает,
что она не превышает и> ¦ Ю~2- Чтобы показать, что предельная
абсолютная погрешность числа 314 000 не превышает ш • 103, его
следует записать в виде 314 • 103.
Если исходное число имеет несколько сомнительных цифр и мы
хотим использовать наш способ записи, его нужно предварительно
округлить. К округлениям прибегают и в том случае, когда число
разрядов чересчур велико. В связи с этим накладывается ограниче-
ограничение на наименьшее возможное значение ш. Действительно, как мы
видели, при округлении числа до т старших разрядов абсолютная
погрешность может возрасти на -_- pn~m+1_ Таким образом, нельзя
брать и) < -=¦, так как при этом найдутся числа, у которых послед-
последняя цифра будет оставаться сомнительной, сколько бы мы ни округ-
округляли. При любом выборе и> найдутся такие числа, у которых по-
последняя верная цифра после округления уже не станет верной.
Найдем наименьшее ш так, чтобы после округления оставалась вер-
верной, по крайней мере, предпоследняя верная цифра числа. Пусть ат
является последней верной цифрой числа
Это значит, что
(up <С Ае* <sj шр
После округления до т — 1 старших разрядов предельная абсолют-
абсолютная погрешность может достигнуть
2.
Нужно, чтобы она не превышала ш$п~т+2, т. е. нужно требовать,
чтобы было
2.

46 ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ ТГЛ. 1
Это неравенство должно быть выполнено и при замене Ае* его наи-
наибольшим возможным значением, т. е. должно быть выполнено не-
неравенство
Отсюда
. 0,5
1-1'
Наименьшее значение ш будет равно
0,5
~1—Г
Р
При C=10, т. е. в десятичной системе счисления получим:
и) = jj| = 0,555 ... «0,56.
При р = 2, т. е. в двоичной системе счисления, будем иметь:
0,5 .
Если допускать сдвиг последней верной цифры на два разряда влево,
то в десятичной системе можно взять в качестве ш число
10 = -^-= 0,50505 ...» 0,51.
1 109
При такой записи приближенных чисел мы будем иметь лишь
грубое представление о истинной их погрешности. Чем больше мы
будем брать из, тем больше будет таких чисел, для которых истин-
истинная погрешность будет завышена. Поэтому, если наши числа
появляются в результате вычислений по формулам с точными зна-
значениями исходных данных (например, при составлении таблиц транс-
трансцендентных функций), когда мы можем достигнуть практически
любой заданной точности, выгоднее брать ш возможно меньшим. В этих
случаях в десятичной системе выгодно брать ш возможно более
близким к 0,5. Например, можно взять ш = 0,56 или из = 0,51 и
т. п. Другое дело, если наши приближенные числа получаются
в результате измерений или в результате вычислений с недоста-
недостаточно точными исходными данными, как это часто случается
в технических расчетах. При этом малые значения из будут связаны
с необходимостью производить округления, снижающие точность
результатов, и так недостаточно точных, и поэтому невыгодны.
В этих случаях обычно берут <а= 1.

§ 2] НЕУСТРАНИМАЯ ПОГРЕШНОСТЬ 47
Условие о записи приближенных чисел, при котором все цифры,
должны быть верными, нужно использовать лишь в тех случаях
когда затруднительно указывать наряду с самими числами их по-
погрешности. Отбрасывание сомнительных цифр, сопровождаемое
округлениями, всегда увеличивает область неопределенности прибли-
приближенного числа. Во всяком случае, если приближенные иисла не но-
носят окончательного характера и с ними предполагается производить
еще какие-то вычисления, то следует сохранять одну или две сом-
сомнительные цифры.
Если мы знаем последнюю верную цифру приближенного числа,
то можем сразу же дать оценку его абсолютной погрешности. По-
Получим теперь формулы, позволяющие оценивать относительные по-
погрешности чисел. Пусть дано приближенное число
nti-1 I i пп—m+l i nn—m .
*
с =
причем последней верной цифрой является ат и at Ф 0. Абсолют-
Абсолютная погрешность Ае* этого числа будет заключена в пределах
mpn-m< Atf,<mp
Следовательно,
Получим отсюда более грубые, но зато и более удобные оценки.
Для этого увеличим правую часть, заменив в ней а2, а3, . . ., ат, . . .
нулями, и уменьшим левую часть, заменив в ней а2, а3 ат, . ..
нулями и at на ах —f— 1. Тогда будем иметь:
(«1+1) Г с ^
За грубое значение Де* можно принять
Наши формулы позволяют также грубо оценить количество верных
Цифр или верных знаков приближенного числа, т. е. число т, если
известна относительная погрешность. Пусть, например, в результате
вычислений получено число 2,14865. Найдем, сколько оно имеет
верных знаков, если Д = 0,000023 и ш = 0,5. Нам нужно найти т,
при котором
^< 0,000023 <^Ьт
или
1 < 0,000138- 10т< 15.

48 ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ [гл. 1
Оба неравенства будут выполнены при т = 4 или 5. Значит, мы
можем уверенно сказать, что наш результат имеет четыре верных
знака. Фактически при отыскании числа верных знаков мы должны
отыскивать наименьшее т, при котором выполняется неравенство
Заметим здесь же, что в вычислительной практике используют также
термин число верных десятичных знаков. Под этим понимают
число верных цифр после десятичной запятой. Так, например, если
в числе
0,000304
все цифры верны, то говорят, что оно имеет шесть верных деся-
десятичных знаков. В то же время это число имеет три верных знака.
При подсчете верных знаков нули, стоящие слева, не считаются.
3. Неустранимая погрешность значения функции для прибли-
приближенных значений аргументов. Погрешности результатов ариф-
арифметических операции. Перейдем теперь к отысканию областей
неопределенности функций приближенных аргументов. Как мы уже
говорили ранее, задача по существу сводится к отысканию экстре-
экстремальных значений функций и может быть решена методами мате-
математического анализа. Здесь мы будем изучать более грубые способы
определения абсолютной и относительной погрешностей функций.
Для их применения нужно наложить некоторые ограничения на изу-
изучаемые функции и погрешности аргументов. Мы будем предполагать,
что наши функции непрерывно дифференцируемы в рассматриваемых
областях. Предположим также, что погрешности, с которыми мы
будем иметь дело, определяются с небольшой точностью—один-два
верных знака. Это позволит нам сократить работу по вычислению
самих погрешностей. Далее, будем предполагать, что погрешности
значительно меньше приближенных величин, так что ими можно
пренебрегать в суммах, содержащих одновременно приближенную
величину и ее погрешность. Это условие на практике обычно вы-
выполняется. Нам часто придется встречаться с значениями функций
и их производных в некоторых точках области, определяемой
областями неопределенности аргументов. Пользуясь нашими пред-
предположениями, мы будем фактически рассматривать их в других
точках, более удобных для наших целей.
Найдем абсолютную и относительную погрешности функции _у===
= /(*!, х2, ..., х„), считая, что погрешности аргументов заданы.
По формуле конечных приращений получим:
п
аУ* —1 \Л1< Л1 лп) J \л\> Х2 лп) — *-l -IяЛЧ|0V*'

§2]
НЕУСТРАНИМАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
49
где fx (?) — значения производных f'x, взятых в некоторой
отрезка, соединяющего точки (jclt х2, .... хп) и (хг х'г
Используя последнее замечание предыдущего абзаца, заменим
на f'x (х*). При этом получим:
точке
х*п).
fx
= 2/*. (**)«,.
Таким образом,
«Г
г-1
Легко видеть, что при соответствующем выборе а ^ правая часть
последнего неравенства будет равна Ау*. Отсюда
Теперь нетрудно найти и относительную погрешность. Она будет
равна
Л'
ИЛИ
г-1
Если нам нужно выразить относительную погрешность функции
через относительные погрешности аргументов, то мы запишем наше
выражение так:
» А .
г-1
Отсюда
Мы получи-1и общие выражения для абсолютной и относительной
погрешностей функции нескольких приближенных аргументов в пред-
предположении малости погрешностей аргументов.
Применим теперь наши общие формулы к некоторым частным
случаям. Начнем с простейших арифметических операций. Пусть
нам требуется найти сумму нескольких приближенных величин

50 ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ [ГЛ. 1
Мы будем отдельно рассматривать разность приближенных величин
и поэтому предполагаем, что все х-г > 0. В нашем случае все f'x (x )
равны 1, а все {^п f (х*))^ = —. Отсюда
«
Таким образом, при сложении приближенных величин их
абсолютные погрешности складываются. Заметим, что это равен-
равенство не является грубым и не зависит от тех предположений, кото-
которые мы высказали ранее.
Пусть М и т — соответственно наибольшая и наименьшая из
относительных погрешностей слагаемых. Тогда на основании второго
равенства получим:
и аналогично
+х*п
- = т.
Таким образом, при сложении приближенных величин относитель-
относительная погрешность суммы будет заключена между наибольшей
и наименьшей относительными погрешностями слагаемых.
При производстве вычислений на автоматических вычислительных
машинах нет смысла производить округления слагаемых перед про-
производством сложения, если только они помещаются в машине. Это
не ускорит вычислений, но расширит область неопределенности сла-
слагаемых, а следовательно и суммы. Другое дело при производстве
вычислений вручную или на неавтоматической вычислительной ма-
машине. В этом случае большое количество разрядов будет связано
с длительной установкой чисел, длительными вычислениями и гро-
громоздкими записями. Поэтому при вычислениях вручную
или на неавтоматических вычислительных машинах
производят предварительное округление слагаемых.
При этом слагаемое, имеющее наименьшее количе-
количество десятичных знаков, оставляют неокруглен-
неокругленным, а в остальных слагаемых оставляют на один
или два десятичных знака больше.
Обратимся теперь к вычитанию. Рассмотрим разность
X* г* х*
X Xj Х2,

§ 2] НЕУСТРАНИМАЯ ПОГРЕШНОСТЬ 51
предполагая, что х*г > х\ > 0. Тогда
А& = Ах* -4- Ах<2,
И в этом случае абсолютная погрешность будет равна сумме
абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого, но
относительная пог ешность будет уже больше, чем "каждая из отно-
относительных погрешностей. Если уменьшаемое значительно больше
вычитаемого, то знаменатель последней дроби близок к х[ и сама
дробь близка к Дд,*. В этом случае нужно действовать также, как
и при сложении. Совершенно другая картина получится, когда
уменьшаемое и вычитаемое близки друг к другу. В этом случае
знаменатель дроби очень мал и, следовательно, дробь будет очень
велика. Получается большая потеря верных знаков.
Поэтому там, где это возможно, надо стараться избегать вычитания
близких по абсолютной величине чисел. Этого иногда удается до-
достичь заменой вычитания близких чисел непосредственными измере-
измерениями или некоторым преобразованием формул. Так, например,
пусть нам требуется вычислить объем, заключенный между двумя
сфграми с общим центром, если дан радиус меньшей сферы г
и разность радиусов сфер равна а. Искомый объем будет равен
±к\(г + аK — г»],
и если а мало, то вычитание даст большую потерю точности. Вы-
Выгоднее вычислять результат по формуле
Заметим, что формулы для вычисления погрешностей суммы и раз-
разности являются абсолютно точными и не используют тех предпо-
предположений, о которых говорилось выше.
Рассмотрим теперь произведение приближенных величин. Пусть
х* = х\х2... х*п.
Тогда
п
2
»=1

52 ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ [ГЛ. 1
Таким образом, при умножении приближенных величин отно-
относительные погрешности складываются. Оценим грубо число вер-
верных знаков в произведении т множителей, заданных в десятичной
системе счисления, имеющих одинаковое число k верных знаков,
если т невелико (меньше 10). Обозначим через Ьг, b2 Ьт пер-
первые цифры сомножителей, отличные от нуля (их называют первыми
значащими цифрами). Тогда по данной ранее приближенной формуле
Отсюда
Л-1 Zi67*
10
Обозначив через b первую значащую цифру произведения, будем
иметь:
ю*-1
Заменим в правой части b на 9 и Ь{ на 1. Получим:
10"
Так как т не превышает 10, то
Таким образом, мы будем иметь по крайней мере k — 2 верных
знаков. Наша оценка очень груба, и практически мы будем иметь
k—1 верных знаков, а иногда и k.
При умножении вручную или на неавтоматиче-
неавтоматических вычислительных машинах двух сомножителей
с целью экономии времени и сокращения записей
более точный сомножитель округляют так, чтобы
число его верных знаков было на 1 больше, чем
у менее точного.
В случае частного двух величин
будем иметь:
Ах* = ¦

§ 3] ПОГРЕШНОСТИ ОКРУГЛЕНИЯ 53
Таким образом, и в этом случае относительные погрешности
будут складываться и будут действовать те же правила, что и при
умножении.
Рассмотрим еще пример трансцендентной функции. Пусть
Тогда
In 10
Таким образом, абсолютная погрешность десятичного логарифма
примерно равна половине относительной погрешности числа, стоя-
стоящего под знаком логарифма. Если х* имеет п верных знаков, то
а, • 10"-1
Итак, у* будет иметь примерно п верных десятичных знаков.
Обратно, по /г-значным таблицам логарифмов можно найти само_
число с точностью до п верных знаков. Отсюда вывод. Чтобы
не затруднять свою работу, с одной стороны, и не
уменьшать точность, с другой, мы должны брать
таблицы с таким количеством десятичных знаков,
каково число верных знаков в аргументе под зна-
знаком логарифма.
Полученные нами формулы позволяют решать и обратную задачу
теории погрешностей: находить допустимые погрешности одного
из аргументов по заданным погрешностям функции и остальных
аргументов.
В заключение еще раз хотим напомнить, что полученные в на-
настоящем параграфе формулы и способы оценок погрешности спра-
справедливы только при тех предположениях, которые были высказаны
выше. Эти предположения сводятся к тому, что при разложении
разности значений функции при точных и приближенных значениях
аргументов в ряд Тейлора по степеням погрешностей аргументов
мы можем ограничиться только первыми членами, содержащими
первые степени погрешностей аргументов. Если первыми степенями
погрешностей ограничиться нельзя, то следует использовать фор-
формулу Тейлора до вторых, третьих и т. д. степеней.
§ 3. Погрешности округления
В предыдущем параграфе мы уже говорили о том, как погреш-
погрешности округления влияют на абсолютную погрешность. В этом па-
параграфе мы коснемся некоторых вопросов, связанных с округле-
округлениями, производимыми внутри быстродействующей вычислительной
машины. Эги вопросы в настоящее время разработаны еще очень

54 ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ [ГЛ. 1
слабо. Поэтому мы ограничимся лишь самыми предварительными
соображениями.
Влияние округлений внутри машины на результат вычислений
в различных машинах будет различное. Поэтому мы должны усло-
условиться, с какой машиной будем иметь дело. Для упрощения после-
последующих рассуждений возьмем самый простой образец автомати-
автоматической машины. Будем предполагать, что у нас имеется машина
с фиксированной запятой, в которой все числа удовлетворяют усло-
условию | х | < 1. Пусть машина имеет запоминающее устройство, в ко-
котором могут храниться числа, имеющие т разрядов. Предположим,
что машина может производить операции сложения, вычитания
и умножения, результаты которых помещаются в специальном на-
накопителе, имеющем 1т разрядов. Если в этом накопителе перед
началом выполнения очередной операции уже имелось какое-то
число, то результат операции либо прибавляется к числу, имеюще-
имеющемуся в накопителе, либо вычитается из него. Пусть наша машина
может производить и операцию деления, причем она помещает пер-
первые т разрядов величины (х7У) + (Р~т/2) в специальный счетчик.
Последнее наше предположение будет состоять в том, что наша
машина может округлять числа в накопителе путем прибавления
к ним р-т/2 и отбрасывания последних т разрядов.
Для того чтобы можно было произвести на нашей машине дей-
действия сложения и вычитания, нужно только потребовать, чтобы
Округлять при этом не придется, и следовательно, ошибок
округления не возникает.
Если нам нужно перемножить два каких-то числа, находящихся
в каких-то ячейках запоминающего устройства, то модуль резуль-
результата всегда будет меньше 1, а сам результат не может иметь более
1т разрядов. Таким образом, и в этом случае округлений не потре-
потребуется. Но если этот результат придется выводить в какую-то
ячейку запоминающего устройства или выводить из машины, то
придется сделать округление. При этом мы уже не получим точ-
точного произведения. Результат такой операции будем обозначать
/ X /, отличая его тем самым от точного произведения х~у*,
и будем называть псевдопроизведением. Итак,
где е введено для упрощения последующих записей.
Точно так же при делении х* на у* мы будем получать не точ-
точное частное х*1у*, а псевдочастное х*: у*, причем
4 - *• •• / i < е.

§ 3] ПОГРЕШНОСТИ ОКРУГЛЕНИЯ 55
Пусть теперь нам нужно образовать сумму произведений. При
этом мы можем сначала получить в специальном накопителе точную
сумму произведений и лишь затем произвести округление. Такую
псевдооперацию будем обозначать 2j х*_у*. Таким образом,
Интересно отметить, что не все свойства обычных арифмети-
арифметических операций сохранятся для псевдоопераций. Так, например,
имеет место с дистрибутивным законом. Выражение (/+/)Хг*
может отличаться от {x*-\-y*)z* на е, а х* X Z* 4-у* X z* от /г+
-f-y*z* на 2s, так как в первом случае производится одно псевдо-
псевдоумножение, а во втором два. Таким образом,
!(*' +/)X z*-{х* Xz* + у* Xz*) |< 3s.
Но числа, разность которых стоит под знаком модуля, могут отли-
отличаться друг от друга лишь на величину, кратную 2s (кратную еди-
единице последнего разряда), и следовательно,
I (*' +/) X/- (х* X г* + / X z*) |< 2г.
Мы получили, что разность величин, стоящих под знаком модуля,
не может превышать единицы последнего разряда. Что такая раз-
разность действительно может возникнуть, подтверждается простым
примером. Предположим, что т = '6, и нам нужно найти
@,364 + 0,423)-0,125.
При этом
@,364 + 0,423) X 0,125 = 0,098,
а
@,364 X 0,125 + 0,423 X 0,125) = 0,099.
Мы как раз получили разницу в единицу последнего знака.
Порядок, в котором производятся операции умножения и деле-
деления, также будет иметь значение. Пусть нам требуется найти вели-
величину x'*y*z*. При этом
= I** X (/ X z*) — х* (у* X z*)] + [а-* (/ X z') — x*yfz*)
и, следовательно,
| х* X (у* X z*) — a-*/z*|< A -И *'|) s < 2s.
Аналогично получим".
| (х* X /) X z* — x*fz* | < A + | z* |) ? < 2г.
Отсюда
I (*' X {у* X z*) — {х' X /) X z* |< B +1 а-* | +1 z* |) г < 4s.

56 ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ [ГЛ. 1
Проводя те же рассуждения, что и в предыдущем случае, найдем:
| х* X (/ X 2*) - (х* X /) Х/|< 2г.
И здесь нетрудно привести пример, когда такая разность дости-
достигается. Пусть т = 'д и нам нужно найти произведение
0,964 ¦ 0,836 ¦ 0,030. При этом
0,964X0,836 = 0,806
и
@,964 X 0,836) X 0,030 = 0,024.
В то же время
0,836X0,030 = 0,024
и
0,964 X @,836 X 0,030) = 0,023.
Рассмотрим еще один пример. Пусть нам требуется вычислить
выражение
х*
y*F*'
Будем предполагать, что х*, у* и z* положительны и все операции
возможно произвести на нашей машине. При вычислении этого вы-
выражения в различной последовательности получим разные результаты.
Вычислим сначала у* Ж z* и затем найдем х* : (у* X z*). При этом
тЬ~*' ¦ &X
Второй член правой части оценивается без труда:
I х*
!?x?~/:(/Xz
Оценим первый член, предполагая, что у* X z* мало, т. е. близко
к 4е. Для того чтобы было возможно произвести деление, придется
потребовать, чтобы х* было близко к 2е. Так как
то vV может быть близким к 4е — е = Зе или 4е-)-е=5е. В пер-
первом случае оцениваемый член будет близок к
во втором — к
Точное частное при х* — 2е; y"z* = 5e будет 2/ъ и погрешность со-
составляет около 25%.

§ 4] ПОЛНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ 57
Так как для некоторых значений х", у*, z* мы получили неудо-
неудовлетворительный результат, то возьмем другую последовательность
операций. Разделим сначала х* на у* и результат поделим на z*.
Оценим
у г
Опять следует рассмотреть только первый член. Результат будет
зависеть от того, что больше: у* или z*. Лучший результат полу-
получится при z*>y\ Это мы будем предполагать. Так как
fz* > х*
(иначе деление невозможно было бы выполнить на машине), то
Можно считать, что х* > 2е и, следовательно,
z* > /2s.
Отсюда
ух VI
Этот результат лучше, чем предыдущий. Если y*z* немало, то пер-
первый способ вычислений может оказаться лучше второго.
Приведенные здесь рассуждения относятся к конкретной машине,
данные о которой приведены в начале параграфа, и являются при-
примерными. До тех пор, пока не выработается стандарт в конструк-
конструкции автоматических машин, необходимо производить аналогичный
анализ для каждой машины в отдельности. Чтобы при этом не за-
затрачивать чересчур много времени при разработке каждой частной
программы, целесообразно провести его заранее для типичных вы-
вычислительных процессов.
§ 4. Полная погрешность
Мы уже говорили о том, что при решении математической задачи
мы получаем приближенные результаты в силу различных причин:
заданная нам задача заменяется другой, и в силу этого мы получаем
ошибку — погрешность метода; числовые данные, с которыми про-
производятся вычисления, неточны, и в силу этого измененная задача
не может быть решена точно и возникает новая ошибка — неустра-
неустранимая погрешность, и наконец, приближенные исходные данные
будут подвергаться не тем операциям, которые требуются для изме-
измененной задачи, а псевдооперациям, так как мы вынуждены произво-
производить округления, и возникает третья ошибка — погрешность округ-
округления. Рассмотрим теперь, как будет складываться полная погреш-
погрешность из отдельных погрешностей.

58 ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ [ГЛ. 1
Пусть нам требуется решить задачу
У = А(х).
Для того чтобы эта задача могла быть численно решена, мы при-
приводим ее к виду
У = А (*).
Далее, благодаря неточности исходных данных и процессам округ-
округления мы фактически решим задачу
У = А(х).
Пусть для определенности, нам нужно по х найти у. Тогда
Первая из скобок справа и даст ошибку метода, вторая скобка опре-
определит влияние неустранимой погрешности и погрешности округления.
Мы ее назовем вычислительной погрешностью. Таким образом,
полная погрешность является суммой погрешности метода и
вычислительной погрешности.
При анализе погрешности метода мы должны учитывать способ
замены R на R и замены А на А. При анализе вычислительной по-
погрешности мы должны глубже учесть структуру функций А к А.
Действительно, как это мы видели в предыдущем параграфе, вели-
величина погрешности округления существенно зависит от последователь-
последовательности операций, производимых над числами. Поэтому мы будем рас-
рассматривать вычислительную погрешность лишь в том случае, когда
над двумя приближенными числами производится одна операция.
Пусть х и у — те числа, над которыми должна быть произведена
некоторая операция ш. Фактически мы будем производить операцию
не над ними, а над некоторыми приближениями к ним х* и у*.
Кроме того, в действительности вследствие ошибок округления мы
произведем не операцию ш, а другую операцию ш*. Таким образом,
вместо хшу мы получим х*ш*у*. Но
хшу — х*ш*у* = (хшу — х'шу*) -)- (х*шу* — х*ш*у*).
Первая скобка в правой части в этом случае даст неустранимую
погрешность одного шага программы, а вторая—погрешность окру-
округления. Таким образом, на одном шаге вычислительного процесса
вычислительная погрешность будет складываться из неустра-
неустранимой погрешности и погрешности округления.
При составлении программы желательно процесс вести так, чтобы
одни погрешности компенсировали другие. Правда, часто это связано
с большими затратами труда и времени на составление программы.
Однако некоторые программы используются очень часто и следует
хотя бы один раз произвести для них полный анализ погрешностей.

§ 5] ПОНЯТИЕ О СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДАХ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ 59
§ 5. Понятие о статистических методах оценки погрешностей
Пользуясь результатами предыдущих параграфов, мы можем по-
получить оценку максимально возможных погрешностей. Однако на
практике они далеко не всегда достигаются. Приведем следующий
пример. Было произведено 440 опытов. В каждом опыте склады-
складывались 20 логарифмов, взятых с пятью десятичными знаками. Затем
были найдены абсолютные погрешности каждого суммирования путем
сложения тех же логарифмов с семью десятичными знаками. При
этом оказалось, что эти погрешности распределены следующим
образом:
Погрешности в едини-
единицах седьмого знака
От 0 до 100,5
» 100,5 » 200,5
» 200,5 » 300,5
» 300,5 » 400,5
» 400,5 » 1000
Число случаев
в %
65
28
6
1
0
Если оценивать результаты на основании предыдущих результа-
результатов, то мы могли бы сказать лишь, что предельная абсолютная по-
погрешность не превышает 1000 единиц седьмого знака. Для того
чтобы было легче понять, в чем здесь дело, представим себе сле-
следующую условную картину. Складываются два числа, предельная
абсолютная погрешность каждого из которых равна ,5 каких-то еди-
единиц. Допустим, что абсолютная погрешность каждого из слагаемых
может принимать только одно из следующих значений:
0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5.
Предположим, кроме того, что появление каждого из этих значений
одинаково вероятно, т. е. ни одно из них не имеет преимуществ
перед другими. Предельная абсолютная погрешность суммы двух
таких чисел будет равна 10, а абсолютная погрешность ее может
принимать одно из следующих значений:
0, ±1. ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±7, ±8, ±9, ±10.
Абсолютная погрешность суммы, равная 0, получится, когда по-
погрешность первого слагаемого принимает одно из написанных выше
значений, а погрешность второго — равное по абсолютной величине,
но противоположное по знаку значение. Всего таких комбинаций
будет ]]. Абсолютная погрешность суммы примет значение 1, когда
погрешности первого и второго слагаемых примут следующие зна-
значения: —4 и 5; —3 и 4; —2 и 3; ...; 5 и —4. Всего таких

60
ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ
[ГЛ. 1
комбинаций 10. Произведя такие подсчеты для всех возможных слу-
случаев, получим следующую картину:
Погрешность
Число
комбинаций
0
11
1
10
2
9
3
8
4
7
5
6
6
5
7
4
8
3
9
2
10
1
Для отрицательных погрешностей картина будет симметрична.
Мы видим, что число комбинаций, когда погрешность близка к ма-
максимальной, очень незначительно. Это будет еще более заметно при
сложении трех и большего числа слагаемых. При этом непосредст-
непосредственный подсчет числа комбинаций будет затруднительным, и мы
произведем его обходным путем.
Будем решать следующую задачу: рассматривается сумма
У = Х}+х2+ ... + х„,
причем каждое слагаемое может независимо от других принимать
все целочисленные значения от —т до -J-m. Сколько возможно
различных комбинаций значений х{, при которых сумма принимает
данное значение fe? Две комбинации значений х; считаются различ-
различными, если они отличаются хотя бы одним значением х.
Рассмотрим одночлены
где t{ (i=l, 2 п)—какие-то параметры и сц независимо друг
от друга пробегают все целочисленные значения от —т до т.
Сумма всех таких одночленов может быть записана в виде
Положим в обеих частях равенства tl =
даст
... =tn = t. Это
Коэффициент Ак и будет равен числу искомых комбинаций, так как
он равен числу различных комбинаций щ, при которых
k = at + ес2 + ¦ ¦ • + а„-
Общее число всех возможных вообще комбинаций получится,
если мы положим ?—1, т. е. оно равно

5] ПОНЯТИЕ О СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДАХ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ 61
При больших значениях тип это очень большое число. Поэтому
удобно разыскивать не сами Ак, а отношение
п _ Ак
Выражение
B <•)
\k~-m
можно записать в виде
?Zm+l\n
= Гтп[\ -
Таким образом, нам нужно подсчитывать коэффициенты произведе-
произведения многочлена и бесконечного ряда. Так как и здесь будет наблю-
наблюдаться симметрия, то фактически придется искать коэффициенты
выражения
до Г".
Пусть, например, складываются три слагаемых, погрешности ко-
которых могут принимать с одинаковой вероятностью любое целочи-
целочисленное значение от —5 до -|-5. Предыдущее разложение в данном
случае примет вид
A—f
¦ = [1—:
Таким образом, мы получаем таблицу:
Погрешности
0
1
2
3
4
5
6
7
Число
комбинаций
91
90
87
82
75
66
55
45
Погрешности
8
9
10
11
12
13
14
15
Число
комбинаций
36
28
21
15
10
6
3
1

62
ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ
[гл. 1
Погрешности, которым соответствует большое число комбинаций,
будут чаще наблюдаться на практике.
При больших значениях п даже последний способ подсчета числа
комбинаций очень громоздок. Поэтому приходится прибегать к раз-
различным приближенным формулам. Рассмотрим здесь одну из них.
Прежде всего заметим, что коэффициет ак при tk ряда F {t) по сте-
степеням t, сходящегося на границе единичного круга, может быть
определен по формуле
ибо
f
e~ihf
оо *
= ^ ап f el (»-
п=0 —я
2я при р = О,
О при целом $ Ф О.
Поэтому величина Рк, о которой говорилось выше, будет равна
К
1 f e-(mn+k)>fi jj
!~ 2п J
* fi-ik9
Г _
(8m+l)«<p Bда+1I'ю]и
— е
Bm+l)n[e a— e3 /
2от+1 ->"
= — /
rfcp.
Можно показать, что при больших значениях га последний интеграл
будет приближенно равен

§ 5] ПОНЯТИЕ О СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДАХ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ 63
Вычисление последнего интеграла приводит к формуле
1 / 6 —
^ ' о -ш/— f m iт А- \\ п *
Отсюда отношение числа комбинаций, для которых погрешности
заключены в пределах (—k, k), к числу всевозможных комбинаций
будет приближенно равно
Г к к з/
1 л/ 6 V р~ 2т(т+1)п .
2Ук * m(m+l)n ?J
i=-ft
Обозначим
2/я (от-f I) n
Тогда последнюю сумму можно рассматривать как интегральную для
1
Чт (т+1) п
I
I
e~z' dz.
Для последнего интеграла составлены таблицы, которыми и можно
воспользоваться в практических расчетах.
Применим наши выводы к примеру, приведенному в начале
параграфа, — сложению 20 логарифмов. При этом получим:
Погрешности
в единицах седьмого
знака
От 0 до 100,5
» 100,5 » 200,5
» 200,5 » 300,5
» 300,5 » 400,5
» 400,5 » 1000
Относительное число
комбинаций
в %
52,2
32,2
12 2
2,9
0,5
Сравнение этой таблицы с таблицей, приведенной на стр. 59,
показывает, что наши выводы близки к практическим результатам.
Таким образом, видна необходимость наряду с оценкой предельных
погрешностей находить возможности достижения отдельных по-
погрешностей. Такой подход к оценкам погрешностей называют
статистическим или вероятностным. Мы провели в этом па-
параграфе вероятностную оценку погрешности для суммы п слагае-
слагаемых. В более сложных случаях такая оценка потребует широкого
привлечения теории вероятностей, а мы здесь не предполагаем

€4 ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ [ГЛ. 1
знакомства с этим разделом математики. Следует подчеркнуть еще,
что хороший анализ погрешностей особенно важен для наиболее
употребительных стандартных программ для электронных машин.
§ 6. Среднеквадратичные погрешности
1. Систематические и случайные ошибки. Мы начнем этот
параграф с классификации ошибок, возникающих при измерении
физических величин.
Когда говорят об измерении некоторой физической величины,
то неявно предполагают, что данная физическая величина имеет
вполне определенное числовое значение. Это предположение должно
быть выполнено во всех тех измерениях, о которых будет идти
речь в настоящем параграфе.
Опыт показывает, что в результате измерения мы получаем
не точное значение измеряемой величины, а лишь приближенное,
включающее некоторую ошибку. Появление ошибки может быть
вызвано самыми различными причинами.
Инструмент, с помощью которого производят измерения, может
быть недостаточно аккуратно выполнен. Например, деления изме-
измерительной линейки могут быть нанесены неточно. При этом в резуль-
результате измерения всегда войдет ошибка, которую называют инстру-
мелтальной.
Лицо, производящее измерения, имеет определенные навыки
и определенные физические данные. Поэтому обычно при точных
измерениях разные лица даже при одинаковых условиях получают
разные результаты. Каждый результат обладает некоторой ошибкой,
которую называют личной.
При некоторых измерениях мы можем не учесть каких-то физи-
физических факторов, существенно влияющих на результат измерения,
и тем самым внести в результат ошибку. Такую ошибку мы совер-
совершили бы, например, если при определении широты места с помощью
астрономических наблюдений забыли о преломлении луча при про-
прохождении через атмосферу. Эти ошибки называют теоретическими.
Все указанные выше ошибки называют систематическими.
В нужных случаях мы всегда сможем, хотя бы принципиально,
либо исключить такие ошибки, либо сделать их как угодно малыми.
Неисправный инструмент можно заменить исправным, личная ошибка
может быть довольно точно определена и исключена, неучтенные
физические факторы можно учесть с достаточно большой точностью.
В данном параграфе мы предполагаем, что систематические ошибки
отсутствуют.
Исключив систематические ошибки, мы еще не сделаем резуль-
результаты измерения точными. Дело в том, что условия, при которых
должен быть произведен опыт (температура, давление и т. п.),
«ельзя считать полностью стабильными и полностью совпадающими

§ 6] СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ 65
с заданными условиями. Кроме того, при всяком опыте мы отвле-
отвлекаемся от ряда физических факторов, влияние которых считаем
ничтожным. Всякое изменение состояния этих факторов изменит
результат на величину, которую мы не учитываем, а часто и не
можем учесть. Так, при измерении широты мы не сможем полно-
полностью учесть состояния атмосферы в данный момент и в данном
1месте. Всякое изменение в состоянии атмосферы будет влиять на
результат измерения. Все эти отклонения от заданных условий
опыта вызовут появление ошибки в результате измерения. Эту
ошибку называют случайной. Такое название оправдывается тем,
что величина случайной ошибки определяется факторами, не упра-
управляемыми экспериментатором, и при разных обстоятельствах можег
быть различной.
Дадим телерь математическую характеристику случайной ошибки.
Будем предполагать, что при измерении физической величины х
мы можем получить результат, принадлежащий некоторому конечному
или бесконечному множеству возможных результатов измерения.
В дальнейшем для простоты рассуждений будем предполагать это
множество конечным. Обозначим все возможные результаты изме-
измерения величины х через
Эти возможные результаты измерения не всегда бывают равно-
равноценны в том смысле, что если производить измерения большое количе-
количество раз, то одни результаты будут появляться чаще, другие реже.
В связи с этим мы будем предполагать, что каждому результату х{
можно сопоставить действительное число qA 0<; <7г<^ 1; ^ <7i=l ) —
\ *-' /
вероятность появления этого результата. Вероятность результата
тем больше, чем чаще могут наблюдаться условия, при которых по-
появляется данный результат. По терминологии теории вероятностей
наши результаты измерения представляют собой случайную величину.
Выражение
в теории вероятностей называется математическим ожиданием
случайной величины. В дальнейшем мы будем предполагать, что
выполнено равенство
Эго — математическая запись нашего предположения об отсутствии
систематической ошибки.

66 ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ \гп 1
2. Среднеквадратичные погрешности. Измерение физической
величины обычно можно произвести различными способами и инстру-
инструментами. При этом, вообще говоря, разным способам измерения
будут соответствовать разные совокупности возможных результатов
измерений или же одинаковые совокупности, но с различными
вероятностями появления отдельных результатов. В связи с этим
очень важно уметь давать количественную характеристику качества
измерения. Для этого введем в рассмотрение величину
Корень квадратный из этой величины носит название среднеквад-
среднеквадратичной погрешности измерения. Каждому измерению будем при-
приписывать вес р, равный
где К—величина, постоянная для всех способов измерения х. Чем
больше вес, тем измерение считается лучше. В таком подходе
к оценке качества измерения есть большая степень произвола. Но
это и неизбежно в тех случаях, когда нам приходится вводить
какие-то характеристики физических явлений.
До сих пор говорилось о вероятности появления отдельного
значения случайной величины. В дальнейшем мы будем говорить
также о вероятности принадлежности случайной величины к тому
или иному множеству. Следует пояснить, что под этим будет по-
пониматься. Условимся обозначать случайную величину одной буквой :.
Символом P(??S) будем обозначать вероятность того чт© слу-
случайная величина принадлежит множеству S. При этом, если
S={xii; хи; ...; XiJ,
то по определению
Нам будут полезны следующие две леммы:
Лемма 1. Если случайная величина $ принимает только
неотрицательные значения, часть которых менее некоторой
положительной величины а, то
Здеоь через МA) обозначено математическое ожидание случайной
величины $.

§ 6]
СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ
67
Положим для определенности, что хи х2 хк не превышают
а и хк+и хк+2
случайной величины
хп превышают а. Математическое ожидание
разобьем на две части:
п
2
к
= 2
Так как все хг ^ 0, то
Отсюда
и так как ^
зано.
Лемма 2
^ (? ^ а)- то утверждение дока-
докаа некоторое положительное число, то
Для доказательтва рассмотрим случайную величину (!¦ — Л4
На основании предыдущей леммы будем иметь:
а) > 1—
-1-°-
что и требовалось доказать.
Из последней леммы следует, что чем меньше среднеквадратичная
погрешность, тем меньше рассеяние значений случайной величины
около ее математического ожидания.
Пусть теаерь в последнем неравенстве a^ka. Тогда получаем:
—л«(е)|<Ао)>1—i.
В частности, при k = 3 будем иметь:
Л«©|<3о)> 1—1 = 0,
Это означает, что примерно в 90% случаев мы будем получать
значения случайной величины, отличающиеся от математического
ожидания не более чем на утроенную среднеквадратичную погреш-
погрешность.

68 ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ [ГЛ. 1
3. Обработка результатов по методу наименьших квадратов.
Произведя несколько измерений некоторой физической величины х,
мы получим несколько, вообще говоря, различных результатов:
*« , Х& *<"»>.
Каждый из этих результатов содержит какую-то случайную ошибку-
По этим данным мы не можем найти точное значение измеряемой
величины. Поэтому возникает задача: по х№, х<-2) хт) найти
величину х'*, которую бы с наибольшим основанием можно было
принять за приближенное значение х. В такой постановке задача
еще очень неопределенна и решение ее может идти по самым раз-
различным направлениям. Мы коснемся здесь лишь одного подхода,
основанного на минимизации среднеквадратичной погрешности.
Будем предполагать, что произведенные нами измерения были
независимы. Это означает, что соответствующая каждому измере-
измерению совокупность возможных результатов измерения и вероятностей
их появления не зависят от результатов других измерений.
Величину х* будем искать в виде
х* = X^W + \xW + ... + \тх^\ A)
где Xlt Х2 \п—некоторые постоянные, которые нам предстоит
подобрать. Наряду с A) будем рассматривать величины
где xf\k =1,2,-..., т) пробегает совокупность возможных резуль-
результатов измерения при k-u измерении. Они будут играть роль воз-
возможных результатов измерения. Каждой из величин x*ii ( при-
припишем вероятность появления, равную gWgf* ¦¦¦ д(™К где через ф^
обозначена вероятность появления xW при k-м измерении. Такое
определение вероятности появления лг* t i есть следствие нашего
предположения о независимости измерений.
Постоянные Хк будем выбирать так, чтобы были выполнены
следующие два условия:
1. Случайная величина х". . . не должна иметь системати-
г,г, ...гт
ческой ошибки, т. е. ее математическое ожидание должно рав-
равняться х.
2. Случайная величина х* ¦ . должна иметь наибольший
1,1,... tm
возможный вес.
Как мы увидим, эти два условия определяют постоянные \к
однозначно.

§ 6] СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ 69'
Прежде всего потребуем выполнения первого условия. Мы
должны иметь:
= 2 <#>q? •. • qf' (X, *</> -I- hx'f 4- ... 4- \m*»>) =
U. is im m ' m
= h 2 #ч> 2 С • • • 2 ?r+^ 2 -П" 2 с *<?> 2 <??> • • •
г, ' (, im »" i, ' i, '' i,
так как
2<>=i и 2<м:' = ^-
гк " гк Л *
Отсюда
Х1+Х2+ ... +Х„,= 1. C)
Будем теперь удовлетворять второму условию. Каждой разности
будет соответствовать вероятность появления
Таким образом,
=( . 2 . <$№ ¦ • • ?И
2
2
) (x -
Ho
i 2
так как
" =0, k=l, 2 т.

70 ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ [ГЛ. 1
Далее,
где ofc — среднеквадратичная погрешность нрк—вес k-го измерения.
Следовательно,
К
а-
;2 — _ = ,
Таким образом, чтобы удовлетворить второму требованию, мы
должны подобрать кк так, чтобы выполнялось условие C) и обраща-
обращалось в минимум выражение
Это—задача на условный экстремум. Пользуясь методом неопре-
неопределенных множителей Лагранжа, будем разыскивать безусловный
экстремум функции
где а — некоторая постоянная. Приравнивая нулю частные произ-
производные по \к, получим:
Oh Рк
Отсюда
4" • • • 4" ^т 1
Pi Pi ' Рт Pi + Pi + • • • + Ря» Pi 4" Р2 + • • • + Рп
и
1 Рк
••¦ +РТС '
Таким образом,
х* _ Pix() ^
Вес этого результата будет равен
Р
A ftT "'¦ ^Рт
••• -\-рт-

§ 6] СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ 71
Итак, постоянные Хк найдены. Выражение E) можно получить, если
отыскивать значение ?, дающее минимум функции
Поэтому и говорят, что х* находится по лс'1), х^ лг'та) мето-
методом наименьших квадратов.
Чтобы вычислить среднеквадратичную погрешность величины х*,
нам нужно еще найти К. Для этого образуем случайную величину
,(m)
lm
••• + Р
И ВЫЧИСЛИМ
Заметим, что внутреннее суммирование идет по индексу k. Исполь-
Используем следующие очевидные равенства:
Сначала преобразуем внутреннюю сумму. Ради краткости записи, мы
опускаем индексы у Ьу}...1т. Будем иметь:
Следовательно,

72 ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ [ГЛ. 1
Но
2 «•¦¦<
и
S
i,i,...1m
к i,i,...im к ?i
Таким образом,
Отсюда можно найти К, если мы знаем все возможные результаты
измерения и вероятности их появления. Практически это обычно
бывает неизвестно. Тогда в качестве приближенного значения для К
берут
При этом
Если веса измерений будут одинаковы, как, например, при измере-
измерениях одним инструментом в примерно одинаковых условиях, то
последняя формула примет вид
С ¦—^ ; гт •
от (от— 1)
В качестве х* в данном случае нужно взять
X ——
4. Среднеквадратичная погрешность функции. Проследим
теперь, как преобразуются среднеквадратичные погрешности при
производстве математических операций. Величины, над которыми
производятся операции, будем предполагать независимыми в том
смысле, как это указывалось ранее.

§ 6] СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ 73
Начнем с операции сложения. Пусть
z = x-\-y,
где хну подвержены некоторым случайным ошибкам. Через х* и
у* будем обозначать фактически полученные нами значения хну,
через х.ь и _у. — возможные результаты, а через q't и q". — вероят-
вероятности их появления. Тогда
ggW; (х-х{)(у~у}) + gЩ [у ~
Как и прежде, найдем:
g «(* - *i? = * 2 -?;< (* - х,) (у - у) = 0;
Итак,
о =Уо3 +о2.
z г х ' у
Аналогичный результат получится и для п слагаемых. Если
то
В частности, если ах= аХз— ... =0^ = 03,, то
Таким образом, среднеквадратичная погрешность суммы пропорцио-
пропорциональна не числу слагае\шх, как предельная абсолютная погрешность,
а корню квадратному из числа слагаемых.
Рассмотрим теперь линейную функцию
у = Сх,
где С — точная величина. Тогда
^ч* - *iJ = Iс I
Из последних двух результатов следует, что среднеквадратичная
погрешность функции
п
> = 2

74 ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ [ГЛ. 1
будет равна
Рассмотрим теперь функцию
z = f(x, у),
причем о f(x, у) будем делать те же предположения, что и при
изучении абсолютной и относительной погрешности. Тогда
«р =/(*. JO -/(**• Я = /; E. Ч) *
В силу малости погрешностей можно положить
Мы получили линейную функцию. Воспользовавшись предыдущим,
получаем:
Аналогично для функции
.у = /(*,. х2, .... хп)
будем иметь:
Применим эту формулу к произведению п величин
v = ххх2 ... хп.
При этом получим:
Обозначим
Вх | х\
и будем называть это отношение относительной среднеквадратич-
среднеквадратичной погрешностью. Тогда последняя формула примет вид
В частности, если еЖ] = гх% = ... = гХп = s^, то
5. Среднеквадратичная погрешность равномерно распределен-
распределенной величины. Пусть известно, что приближенная величина х" имеет
предельную абсолютную погрешность Аж*. При этом, вообще говоря,

•§ 6] СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ 75
ошибка может принимать любое значение между —Аж* и -(- Ах*.
Мы будем считать все эти значения одинаково возможными. Чтобы
сделать множество возможных значений конечным, будем сначала
предполагать, что ошибка может с одинаковой вероятностью при-
принимать значения
— по, — (я — 1)8 —8, 0, о, 28 (я—1K, я8.
где о=— . Тогда среднеквадратичная погрешность будет равна
я2)
Но
и8 следовательно,
=у
Чтобы точнее отобразить наше предположение о том, что ошибка
может принимать произвольное значение между —Аж* и А^*, мы
должны увеличивать п. В пределе получим:
Как следует из результатов предыдущего пункта, среднеквадра-
среднеквадратичная погрешность суммы я слагаемых, обладающих предельной
абсолютной погрешностью А, будет равна
Yi
Иногда уславливаются при сложении я приближенных чисел (я > 3)
с близкими среднеквадратичными погрешностями считать предельную
абсолютную погрешность суммы равной
А' = За.
Некоторым оправданием этого служит лемма 2 настоящего пара-
параграфа. Для примера суммы 20 слагаемых, приведенного в преды-
предыдущем параграфе, мы будем иметь:
А'= 390,
что довольно хорошо отражает реальное положение вещей. И в слу-
случае вычисления произвольной функции я переменных с достаточно
большими основаниями можно заменять предельную абсолютную
погрешность утроенной среднеквадратичной погрешностью.

76 ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ [ГЛ. 1
УПРАЖНЕНИЯ
1. Записать число е с тремя значащими верными цифрами и определить
предельную абсолютную и относительную ошибки числа.
2. Сторона квадрата приблизительно 1 м. С какой точностью ее надо
измерить, чтобы погрешность площади была не больше 1 сла?
3. Длина периметра правильного вписанного 96-угольника, которым
пользовался Архимед при вычислении г.. выражается при г = 1 формулой
> = 9бУ 2— V 2
/3
Если вычислять непосредственно по этой формуле, желая получить п с точ-
точностью до 0,001, то с какой точностью нужно производить вычисления под-
подкоренных величин?
4. Корни уравнения х^ — 2jr-|-lg2 = 0 нужно получить с четырьмя
верными знаками. С каким числом знаков надо взять свободный член урав-
уравнения?
5. При измерении длины пролета строящегося моста на одном берегу
отложена базисная линия, равная 200 ±0.01 я. Измерены углы между бази-
базисом и направлением из концов его на точку за рекой. Они оказались 90°±1°
и 60° ±1°. С какой точностью можно определить по этим данным длину
моста?
6. В пятизначных логарифмических таблицах даны десятичные логарифмы
чисел с точностью до 0,5-К)". Как велика может быть погрешность при
нахождении числа по логарифму, если число заключено между 300 и 400?
7. Тот же вопрос в применении к таблице логарифмов синусов и лога-
логарифмов тангенсов, если угол около 45°.
8. Если / (х) = 1 , то итерация
(X
1 2 J
сходится к квадратному корню из а. Построить программу, основанную на
этой итерации, для машины с такими данными, как было описано в § 3 этой
главы и проанализировать погрешности
9. По образцу & 5 провести анализ распределения погрешностей при
возведении х в степень п, если х = 10.
ЛИТЕРАТУРА
1. А. Н Крылов, Лекции о приближенных вычислениях, изд. 6, 1954.
2. Я. С. Б е з и к о в и ч, Приближенные вычисления, изд. 6, Гостехиздат,
1949.
3. Хаусхолдер, Основы численного анализа, ИЛ, 1956.
4. А. А. Марков, Исчисление вероятностей, Москва, 1924.
5. Н. И. Ид ель сон, Способ наименьших квадратов и теория математи-
математической обработки наблюдений, Геодезиздат, 1947.
6. Б. М. Щи го л ев, Математическая обработка наблюдений, Физматгиз, 1960.

ГЛАВА 2
ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ
ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Постановка задачи
В вычислительной практике часто приходится иметь дело с функ-
функциями f(x), заданными таблицами их значений для некоторого ко-
конечного множества значений х: f(x0), f{.xx), f(x2) /(•*«)•
В процессе же решения задачи необходимо использовать значе-
значения f (х) для промежуточных значений аргумента. В этом случае
строят функцию <f(x), достаточно простую для вычислений, которая
в заданных точках х0, хх хп принимает значения f(x0),
f(xx), ..., /(*„), а в остальных точках отрезка (а, Ь), принад-
принадлежащего области определения {(х). приближенно представляет функ-
функцию f (х) с той или иной степенью точности, и при решении задачи
вместо функции f (х) оперируют с функцией ср(лг). Задача построения
такой функции ср(х) называется задачей интерполирования. Чаще
всего интерполирующую функцию f(x) отыскивают в виде алгебраи-
алгебраического .многочлена. Такой способ приближения имеет в своей основе
гипотезу, что на небольших отрезках изменения х функция f(x)
может быть достаточно хорошо приближена с помощью параболы
некоторого порядка, аналитическим выражением которой и будет
алгебраический многочлен.
К интерполированию приходится иногда прибегать и в том слу-
случае, когда для функции f (х) известно и аналитическое представление,
с помощью которого можно вычислять ее значения для любого зна-
значения х из отрезка \а, Ь], в котором она определена, но вычисле-
вычисление каждого значения сопряжено с большим объемом вычислений.
Если в процессе решения задачи необходимо находить значения функ-
функции f(x) для, очень большого количества значений аргумента, то
прямой способ потребовал бы громадной вычислительной работы.
В этом случае для уменьшения объема вычислений прибегают
к интерполированию, т. е. вычисляют несколько значений /(хг)
A=0, 1, ..., п) и по ним строят простую интерполирующую функ-
функцию cp(JC). с помощью которой и вычисляют приближенные значе-
значения f(x) в остальных точках.

78 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [п. 2
В настоящей главе и будут рассмотрены способы построения
интерполирующих функций, приведены оценки точности приближения
с их помощью, а также будут изложены некоторые приложения тео-
теории интерполирования.
Прежде чем перейти к изложению этих вопросов, приведем более
точную и общую постановку задачи интерполирования и некоторые
необходимые понятия.
1. Линейные множества. Линейно независимые системы эле-
элементов. Множество М элементов х, у, г, ... называется линейным,
если в нем определены операция сложения, обозначаемая знаком «-|-»,
и умножения на числа (действительные или комплексные), не выво-
выводящие за пределы М и удовлетворяющие следующим условиям:
1. Сложение ассоциативно, т. е. (x-\-y)-\-z = x-\-(y-\-z).
2. Существует нулевой элемент 0 такой, что х-\-0 = 0-\-х = х
при любом х?М.
3. Для всякого х существует элемент, обозначаемый —х, такой,
что х + (— х) = 0.
4. Сложение коммутативно: х-\^ у = у-\- х.
5. (а-\-$)х = ах^-$х.
6. а (х -j-у) = ах -f- ay.
7. а(р*) = («?)*•
8. I- x=x.
Здесь латинскими буквами обозначены элементы М, а грече-
греческими— числа. Из первых трех аксиом вытекает единственность
нулевого элемента, единственность обратного элемента —х и пра-
правило, что если x-\-z=y-\-z или z-\-x = z-\-y, то х = у. Исполь-
Используя условия 5, 8 и 2, можно доказать, что (—1)х = — х и 0- х = 0
при любом х. Мы не будем это доказывать, предоставив возможность
провести доказательства самому читателю.
В качестве примера возьмем множество R всех действительных
функций, заданных на отрезке \а, Ь]. Если сложение функций и
умножение их на действительные, числа осуществлять обычным обра-
образом, как это делается в анализе, то R будет линейным множеством.
В линейном множестве можно ввести понятие линейной зави-
зависимости и линейной независимости элементов. Совокупность
элементов хи х2, ..., хп линейного множества М называется ли-
линейно зависимой, если найдется такая система чисел с1? с2, • . ., сп,
не равных одновременно нулю, что
CjXj ~Ь С2Х2 + ... 4- СпХп = 0.
Если таких чисел с{ подобрать нельзя, то совокупность элементов х-г
называется линейно независимой.
2. Задача интерполирования. Выберем в пространстве R дей-
действительных функций, определенных на [а, Ь], конечную или счетную
совокупность {(pi) его элементов, причем будем предполагать, что

§ 1] ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 791
любая конечная система этих элементов линейно независима. На
практике чаще всего в качестве {ср{} берется последовательность сте-
степеней х : 1, х, х2, х3, ...; последовательность тригонометрических
функций: 1, sinjc, cosx, sin 2x, cos2jc, ... или последовательность
показательных функций: 1, е*>ж, е^х где {оц} — некоторая чис-
числовая последовательность. Возьмем первые п-\-\ элементов {ср,} и
образуем всевозможные линейные комбинации
с действительными коэффициентами а$. Каждая такая линейная ком-
комбинация принадлежит R. Множество всех линейных комбинаций, оче-
очевидно, само является линейным. Его обозначим через Rn.
Имея> R и Rn, мы должны решить, каким образом произвольной
функции из R ставить в соответствие функцию из Rn. В разных
случаях поступают по-разному. В теории интерполирования это де-
делается так: выбирают некоторую конечную совокупность точек х0,
хг хт (Xi Ф Xj 1Ф J), принадлежащих [а, Ь], и для какой-либо
функции/?/? подбирают ф?/? так, чтобы в выбранных нами точках
значения / и ср совпадали. Иными словами, находятся постоянные а.{ так,
чтобы имели место равенства
j) = аосро (х/, -f- Й1ср! (Xj) -\- ... -\- аисрй (xj) (/ = 0,1,2 т),
и в качестве функции ср берут
ф (х) = аосро (х) + «icpi (х) -jr ¦¦ ¦ 4- anfn (x)
с этими значениями а^ Точки Xj называют узлами интерполирова-
интерполирования. Если / и ср дифференцируемые функции, то иногда, кроме
того, требуют совпадения производных в точках Xj или каких-либо
других. При соответствующих условиях можно требовать совпадения
производных высших порядков.
3. Построение интерполирующей функции. Займемся сначала
простейшей задачей. Для определения коэффициентов а4 мы имеем
систему т-\-\ уравнений с я-f-l неизвестными. Матрица системы
имеет вид
/?о(-*о) ?'(-*о) ••• ?п(-*о)
(Х\) ?1 (*0 • • • Чп (х\)
Чо (хт) ?1 (хт) ... <fn
Если мы хотим, чтобы коэффициенты а$ можно было подобрать
для любой функции /, то нужно потребовать, чтобы ранг этой ма-
матрицы был равен т-\-1. В противном случае между значениями f(Xj)

80 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
должна была бы существовать определенная линейная зависимость.
При этом п будет больше или равно от. Далее, чтобы решение этой
задачи было однозначным, надо потребовать, чтобы от = п. Итак,
будем предполагать, что от = п и определитель
<Ро(-*о) <Pi(-*o) ••• <Рп(-*о)
<Ро (х\) <
отличен от нуля. Тогда при любых f(xj) система будет иметь реше-
решение и притом единственное. Выражение для а* можно представить
в виде
а—± A)
где Д{ получается из Д путем замены г-го столбца столбцом f(Xj).
Итак, функции /?/? будет соответствовать функция ср^^, имею-
имеющая вид
Дл Д-i Д??
Функцию ср можно записать в другой форме. Для этого разложим
определитель Д$ по элементам г'-го столбца. Получим:
Здесь Ду—соответствующие алгебраические дополнения. Подставляя
эти выражения в ср и собирая вместе члены с одинаковыми f(Xj),
будем иметь:
'ср (д) = /(х0) Фо (*) + / (*,) Ф, (*) +...+/ (Х„) Ф„ (х). D)
Функции Ф{ (х) являются линейными комбинациями функций ср{(лг).
Они не зависят от функции/ и целиком определяются функциями <fi(x)
и узлами интерполирования. Заметим, что при любой функции f (х),
т. е. при любой системе значений f(Xj), должны выполняться
равенства
/(х,) = /(*о) Фо {х-) +/(*,) Ф, (*,-) + ... +/(*„) Ф„ (*/)
(У = 0. 1, 2 я). E)
¦Отсюда следует, что функции Ф{(х) удовлетворяют условиям:
f 0, если I ф У,
ф,(л;)= . . F)
1 J [ I, если i — J. v ;

§ 11
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
81
4. Системы Чебышева. Проанализируем теперь вопрос о том,
какие нужно наложить условия на {«pj(jf)} для того, чтобы опреде-
определитель А не обращался в нуль. Для целей интерполирования важно
использовать одну и ту же систему функций |<pj(x)} при различных
совокупностях точек х0, xlt ., ., хп. Поэтому будем отыскивать
условия того, что А не обращается в нуль ни при какой системе
чисел х0, Xj, х2 хп, х{фх^ Aф/), х{?[а, Ь]. Линейной незави-
независимости функций уже становится недостаточно, хотя это условие и
является необходимым. Так, например, функции 1 и sinx линейно
независимы, но если взять х2 = тг— хи то определитель
1 sin х1
1 sin х%
равен нулю.
Если А равняется нулю для какой-то системы чисел х0, хи
то это означает, что существуют такие постоянные с0, си
не все равные нулю, для которых
софо (*) -+- cm (х) -+- ... + сп<?п (х)
обращается в нуль в точках х0, х1 xn. Таким образом, нам
надо наложить такие ограничения на {<?i(x)}, при выполнении Кбто-
рых мы могли бы быть уверенными, что никакая линейная комби-
комбинация
со<ро (х) + ctfi (х) 4- ... 4- cn4fn (x)
не может иметь п-\~\ различных корней на [а, Ь]. Системы функций,
обладающие этим свойством, будем называть системами Чебышева.
Наложим на функции cpo(x)> <Pi (x). фг(х) Фп(х) следующие
ограничения: 1) ф{(х) дифференцируемы до порядка п-\-\ на [а, Ь]
и 2) все вронскианы
., хп,
¦ ¦. с„.
<?к\:
= 0, I, 2, ..., п)
отличны от нуля на [а, Ь]. Докажем следующее обобщение теоремы
Ролля:
Теорема 1. Пусть /(х) есть п-\-\ раз дифференцируемая
функция на [а, Ь] и имеет на этом промежутке п-\-2 корней.
Тогда на [а, Ь] найдется такая, точка %, что
обращается в нуль в точке

82 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Доказательство. Наряду с Ln+1 [f\ будем рассматривать
Lk+1[<?(x)] (k = 0, I, 2, .... п), определяемые равенствами
<yt, ¦¦¦, yft, у |
Здесь ср — произвольная &-|-1 раз дифференцируемая на [а, Ь] функ-
функция. Покажем, что можно найти такие функции bo(x), ?>i(x), ..., bn(x),
что
Lh+\ W = j-x Lu [<?] — К (x) Lfe [cp].
Действительно, Lk^ [<?] — линейный дифференциальный оператор
порядка k-\-l с коэффициентом при старшей производной, равным
единице. Далее,
**+i[<Pj] = O G = 0; 1, 2 ft).
Таким образом,, функции <?0(х), <?,{х) <?к(х) образуют фунда-
фундаментальную систему решений уравнения L,.+,[cp] = O. Оператор
— также линейный дифференциальный оператор порядка k-\~\
с коэффициентом при старшей производной, равным единице:
^Ьк[^] — bk(x)Lk[9j] = 0 G = 0, 1, 2 k— 1).
Определим Ьк(х) так, чтобы
Для этого достаточно положить
d , г
Так как Lk[<?k] не обращается в нуль, то ?ft(x) будет непрерывная
функция. Определив так Ьк (х), мы получим, что система фо(х).
срДх), .. ., «fc(x) будет фундаментальной системой решений для урав-
уравнения

§ 1] ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 83
это означает, что
Lh fl [cp] = -г- Lk [ср] — Ьк (х) Lk [cp].
Рассмотрим теперь функцию
х
- J Ьо (х) dx
Ее производная имеет вид
х I с
- (" 6„ (SB) dX { - f »о (Ж) ЖВ
Y: (x) = [/'(x) — ?0(x)/(x)]e ° =L1[/(x)]e ° ;
^j(x), как и /(х), обращается в нуль на [а, Ь\ п-\~2 раз. Следо-
Следовательно, ф^(х), а поэтому и L1[/(x)] обращается на [а, Ь] в нуль
по крайней мере п-\~ 1 раз.
Далее, вводим функцию
X
- J 6, (a?)
dx
Проводя те же самые рассуждения, получим, что L2 [/] обра-
обращается в нуль по крайней мере п раз. Продолжая этот процесс,
получим, в конце концов, что найдется по крайней мере одна точка
\ ? [а, Ь], для которой
Теорема доказана.
Теорема 2. Если <ро(х). <piC*O ф«(х) (,п-\- I) раз диффе-
дифференцируемы на отрезке [а, Ь] и W [<р0, <рх cpft] =fe 0 ма [а, Ь\
при всех k = 0, 1, 2, •.., га, то функции сро(х). <piO0 Фп(х)
образуют систему Чебы^ева.
Доказательство. Р ..едположим, что это не так. Тогда най-
найдется такая линейная комбинация
/ (х) = софо (*) + Ci<pi (x) + ¦ • • + сясри (х)
(с.—действ., со2 + с?4- . . . + с*пФ 0),
которая обращается в нуль по крайней мере в га-f-l различных
точках отрезка [а, Ь]. Тогда по только что доказанной теореме Ln [/]
обязана обращаться в нуль по крайней мере в одной точке ? ? [а, Ь\:
Но
/ г f, _ W [?о. Уг.---. Уп-t/] Ч^[Уо. 9
п1Л Win 9t 9«-ll n W[9o, %
Так как
W[<po. «Pi

84 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
не обращается в нуль ни в одной точке х?[а, Ь], то должно быть
си = 0. Таким образом, найдется п-\- 1 различных точек отрезка [а, Ь],
в которых
обращается в нуль. Тогда, снова применяя обобщенную теорему
Ролля, найдем, что Ln_t [/] обращается в нуль по крайней мере
в одной точке h?[a, b]. Проводя те же рассуждения, что и раньше,
найдем, что cn_! = 0. Продолжая этот процесс, мы придем, в конце
концов, к выводу, что все коэффициенты q (t = 0, I, 2 п)
равны нулю вопреки нашему предположению.
5. Основные вопросы теории интерполирования. На этом пока
прервем общие рассуждения и перейдем к рассмотрению различных
частных случаев выбора функций {<р,(х)}. Нас будет интересовать:
1) Вопрос об удобных способах фактического построения интер-
интерполяционных функций для каждого конкретного выбора функ-
функций {ф4(х)}.
2) Интерполяционные функции будут совпадать с интерполируе-
интерполируемой функцией в узлах интерполирования, но, вообще говоря, будут
отличаться от нее в остальных точках промежутка [а, Ь]. Нужно
найти практически пригодные оценки этого отклонения.
3) Возникнет вопрос о том, как выгоднее выбирать узлы интер-
интерполирования для того, чтобы эти оценки были наиболее выгодными.
4) Значения функции могут оказаться приближенными. Необхо-
Необходимо выяснить влияние этого фактора на погрешность интерполи-
интерполирования.
Мы рассмотрим обобщения поставленной задачи интерполирова-
интерполирования, когда в узлах будут заданы не только значения функции, но
и ее производных. Рассмотрим кратко залечу об интерполировании
функций многих переменных. Сейчас ми начнем разбор наиболее
важного случая интерполирования при омощи алгебраических мно-
многочленов.
§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
1. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа.
Возьмем в качестве {<р4 (х)} последовательность
1, х, х2 х", ...
Функции этой последовательности линейно независимы на любом
отрезке. Действительно, если бы на каком-то отрезке имело место
!- ... +cnxn=0, x?[a. b\.

21
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА
то все с,- = О, так как алгебраический многочлен степени п с отлич-
отличными от нуля коэффициентами не может иметь более п корней.
Определитель Д в данном случае примет вид
1 х х2 х
д =
1 х1 х\ . . . х
Хп Х«
Это — определитель Вандермонда. Он равен
В силу нашид предположений о хг определитель отличен от нуля.
Следовательно, при любых /(х;) однозначно определится ср(х). Для
определения вида <р(х) будем отыскивать функции Фг(х). Как было
указано выше, Ф;(х) представляет собой линейную комбинацию
функций сро(х)' <pi(x) Фп(х)> удовлетворяющую условиям
0, если / Ф j,
1, если t=j.
Итак, для того чтобы отыскать Ф4 (х), нам нужно найти многочлен
степени п, обращающийся в нуль в точках х0> Хх xi_1,
xi+l, ..., хп и равный 1 в точке хг. Отсюда
Фг (X) = А (X — Хо) (X Xj) . . . (X — Х;_!) (X — Xi+1) . . . (X — Хп).
Так как Ф (xt) = 1, то
^^^— /i I чА** ^^^™ «VQ/ \"^ * ^^^™ "^ 1/ * * * \*^? ~~ "^ *^? — 1/ \*^ ? ^^^™ "^1 ^-f-1/ * ' * \"^1 ^^^™ ' t\ ) ¦
Получаем окончательйо:
ФЛХ) = ;
i— X0) (X} —
— Xt) ... (X — Xn)
— Xn)
(X— XU)(X— X3) ¦ ¦¦ (X— Xn)
— Xt) ... (X— ¦*„-,
Этот многочлен и решает задачу интерполирования. Будем называть
его интерполяционным многочленом Лагранжа и, чтобы отличать

86
ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
от других случаев интерполирования, обозначать Ln(x), где га — сте-
степень интерполяционного многочлена. Введем обозначение
= {х — х0) (х — хх) ... (х — хп).
B)
Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа может быть записан
в форме:
C)
t=0
Рассмотрим некоторые примеры на построение интерполяционных
многочленов Лагранжа.
Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа
по следующим данным:
X
f(x)
0
1
2
3
3
2
5
5
В этом случае
,*(* — 3){x — 5)
' 2 B-3) B-5)
I"
3C-2) C-5)
х(х-2)(х-3) _3 13
~ 10 х &
62
5 E-2) E-3)
10
Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа
по следующим данным:
X
t(x)
0
1
2
3
3
2
5
5
6
6
В этом случае
— 2)(х— 3){х — 5)(лс— 6)
—
"^ 3(
х(х —3) (х —5)(х —6)
t°2B-3)B-5)B-6)t
— 2) (jc— 5) (jc— 6)
3C —2) C — 5) C — 6)
2B-3)B-5)B-6)
g JC (.к — 2) (jc — 3) (jc— 6)
5E — 2) E — 3) E — 6)
х(х-2)(х-3)(х-5) 11 4 73 3_ 601 ^,«3
6F — 2) F — 3)F — 5) 120 ~+0 120 "Г" 60
60
120
60

§ 2] ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА 87
Мы в обоих примерах располагали многочлены по степеням х.
Если Ln(x) нужно подсчитывать лишь при некоторых значениях х,
то никакой необходимости так располагать его нет.
Как видно из приведенных примеров, образование интерполяцион-
интерполяционных многочленов Лагранжа связано с большой вычислительной ра-
работой. Так же велика вычислительная работа при получении значе-
значения 1„(х) для какого-то фиксированного значения х. Сравнение
двух приведенных примеров показывает,' что если даже мы имеем
интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по значениям х0,
х,, .... хп, то это мало помогает нам при построении интерполя-
интерполяционного многочлена Лагранжа по значениям его в точках х0, х,, ...
..., хп, хп+1. Все это заставляет задумываться об усовершенство-
усовершенствовании формулы Лагранжа с целью упрощения вычислительного про-
процесса. Об этом мы сейчас и будем говорить.
2. Интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстоя-
равноотстоящих узлов. Рассмотрим случай, когда значения х-г являются равно-
равноотстоящими, т. е.
X] — Хо = Х2 Хх = ... = Хп Хи _ j = Я.
При этом, если ввести обозначение —т—— = /, то получим:
_ (X — Х0)(х — Xt) ... (X — Xi-x)(X — Xi+1) ... (X— Хп) __
(Xi — X0) (Xi — Xt) . . . (Xi — Xi-f) (X{ — Xi+X) ... (Xi— Xn)
_ th (th — h)...[th — (l — \) h] [th — (!+l)h]...(th~ nh)
~ /A (/ — 1) A ... A ( — A) ... [ — (я — О A]
— t-Tl i\(n-i)\ ~к " ~nt-i n\
Итак,
Ln{x) = Ln{x0\-th) =
i=0
Здесь и в дальнейшем для сокращения записей мы будем обозна-
обозначать /(х4) через _у4. В последнем выражении коэффициенты, стоя-
стоящие перед у-%:
( 1)" ' C\i 77-"
не зависят ни от функции /(х), ни от h—шага таблицы. Их можно
табулировать и использовать в самых различных случаях. Такие
таблицы составлены и известны под названием таблиц коэффициен-
коэффициентов Лагранжа.

88
ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
3. Интерполяционная схема Эйткена. Если значения х4 нерав-
неравноотстоящие и требуется найти не общее выражение Ln (лг), а лишь
его значения при некоторых х, то удобно пользоваться интерпо-
интерполяционной схемой Эйткена. По этой схеме значение интерполя-
интерполяционного многочлена для какого-то значения х находится путем
последовательного применения единообразного процесса. Рассмотрим
выражение
о х0 — х
x\ — x0
Это многочлен первой степени относительно х. При х = х0 получим:
Уо О
,—Хо
= Уо-
Аналогично при х^х1 будем иметь:
— х\
У1 0
(xt — х0)
= У\-
Так как многочлен первой степени, принимающий в точках х» и х1
значения у0 и уъ единственный, то L01(x) и решает задачу интер-
интерполирования по двум данным. Точно так же мы сможем образо-
образовать L12(x), L23(x) и т. д. Эти выражения легко вычисляются на
малых счетных машинах. В самом деле, вычисление определителя
второго порядка сводится к вычислению разности двух произведе-
произведений, что осуществляется очень легко. При этом на счетчике оборо-
оборотов, если он оборудован переносом десятков, как это сделано
в машинах Рейнметалл, Мерседес и других, получится разность
х1—х0, на которую и нужно разделить величину определителя.
Рассмотрим, далее,
.Oj (х) х0 — х
y, (x) Xf — х
Это — многочлен второй степени относительно х. При х = х0
будем иметь:
1
^012 (Хо) =
При x = Xi получим:
Уо
0
Lxi (Xq) х3 —.
а при x =
Ух xi — -

§2]
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА
Следовательно, L012(x) совпадает с интерполяционным многочленом
Лагранжа, принимающим в точках х0, хх, х2 соответственно значе-
значения у0, уи у2. Вообще,
/.0123 .. . п (X) =
хп —
Z.012... (»-1) (X) Хй — X
Z.123 ... и (X) Хп — X
будет интерполяционным многочленом Лагранжа, принимающим
в точках х0, х1 хп соответственно значения у0, у1 уп.
Очевидно, что порядок и нумерация точек при этом значения не
имеют. Каждый многочлен /012.. к(х) получается из L0i2... к -1 (х)
и Z,i23 к (х) так же, как и Lm(x) получается из у0 и yv Вычисли-
Вычислительная схема для получения значения интерполяционного многочлена
будет выглядеть следующим образом:
Xt
х0
Х\
X-l
X",
Xi
х-а
yt
Уо
У1
Уг
Уз
У4
Уг,
Xi— X
хо — х
Xi— X
Хч — X
хъ — х
х± — х
Хъ — X
к-1, i
Lox (x)
i-хч (х)
Ць (х)
^34 (X)
кь (х)
Li-% i-i, i
/012 (X)
^123 (X)
^234 (X)
i-ш (х)
Li-S, i-% i-l. i
Атз (х)
Lnu (x)
Li«,<& (x)
Ц-i, i-Я, i-%, i-l, г
^01234 (X)
^15345 (X)
Так, по данным второго примера этого параграфа получим сле-
следующие значения (здесь взято х= 1):
х,
0
2
3
5
6
Уг
1
3
2
5
6
х{ — х
—1
1
2
4
5
2
4
J
+1
Zf-9, i-l, i
8
3"
17
3"
7
Zi-3.i-9, i-l, i
49
15
23
3
Zt'-4> t-3, i-%, i-l, i
4
Если подставить в полученный там многочлен значение je=l,
то получим ту же величину Z4(l) = 4.

90 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Интересно то, что, применяя последнюю схему, мы можем по-
постепенно подключать все новые и новые значения xi до тех пор,
пока сами вычисления не покажут нам, что точность уже не воз-
возрастает.
Исследуем теперь различного рода погрешности, получающиеся
при применении интерполяционного многочлена Лагранжа.
§ 3. Погрешности интерполяционной формулы Лагранжа
1. Остаточный член формулы Лагранжа и его оценки. Если
все вычисления произведены точно, то интерполяционный многочлен
Лагранжа совпадает с заданной нам функцией /(х) в узлах интер-
интерполяции х0, хх хп. Однако, вообще говоря, он будет отличен
от нее в остальных точках. Исключение представляет тот случай,
когда сама функция /(х) является многочленом степени не выше п.
В последнем случае /(х) и Ln(x) будут тождественно совпадать.
Так как значения yt могут оказаться приближенными, то воз-
возникнет дополнительная погрешность.
Кроме того, в процессе вычислений будет возникать новая по-
погрешность за счет округлений.
Первая погрешность даст нам погрешность метода, вторая —
неустранимую погрешность и третья — погрешность округления.
Начнем с изучения погрешности метода. Здесь мы должны сузить
класс функций R, так как произвольная функция, совпадая с /(х)
в узлах интерполяции, может как угодно отличаться отнеа; в осталь-
остальных точках. Можно было бы наложить на функции /(х) сравни-
сравнительно небольшие ограничения, но это будет связано с громоздкими
выкладками при оценке погрешности. Мы наложим на /(х) жесткие
ограничения, а именно будем считать, что интерполируемая функ-
функция /(х) обладает на [а, ,Ь] непрерывными производными до по-
порядка п и производная f(re'(x) дифференцируема на \а, Ь). Такие
предположения будут выполнены для большинства случаев, с кото-
которыми приходится сталкиваться на практике. Для оценки погреш-
погрешности рассмотрим вспомогательную функцию
<р (z) = / (z) — Ln (г) — К {г — х0) (г — *,) ... (г — хп),
где К—некоторая постоянная. Очевидно,.
^<р(х„)^0. Подберем К так, чтобы ср(х), где х — та точка, для
которой мы производим оценку, также обращалась бы в нуль. Это
возможно, так как тогда
к= f(x) — Ln(x)
(х — х0) (х — xt) ... (л — хп) '
а знаменатель этой дроби отличен от нуля, ибо х =ь х,- (г = 0, 1, ..., п).
Функция cp(z) обращается в нуль на [а, Ь\ в ft-)-2 точках х, хп,
хх, .... хп. Следовательно, на основании теоремы Ролля производ-

§ 3] ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА 91
ная cp(z) обращается в нуль по крайней мере я-(-1 раз на интер-
интервале (а, Ь). Пусть эти значения z будут:
Применим снова теорему Ролля к функции ср' (z). Получим по край-
крайней мере я точек $\ lf}, $ $?Li таких, что
Продолжая этот процесс дальше, найдем, что существует по край-
крайней мере одна точка S на интервале (а, Ь), в которой
cp(»+i) (?) = О,
но
cp(»+D (z) =/(»+D (z) — /С (я + 1I,
так как производная порядка п-\-\ от многочлена i.ra(jc) степени я
равна нулю, а производная от многочлена со„(л;) степени я-(-1 со
старшим коэффициентом 1 равна (я +1I. Положив в последнем
равенстве z = ?, получим:
Отсюда
f(x)—Ln(x) = (в + ^ ; (jc — *0) (х — JCO .. . (^ —^и) A)
или, полагая Ми+1= sup |/(и+1)(-^)|. получим:
agio, Ы
LB (*) К-^gr I (* —*о) (*-*i)... (*-*.) |. B)
Эти два выражения могут служить оценкой отклонения/(л;) от Ln(x),
если производная /(п+1)@ может быть оценена. Приведем примеры
таких оценок.
Пример. Оценить, с какой точностью можно вычислить по
формуле Лагранжа In 100,5, если известны значения
In 100, In 101, In 102, In 103.
В данном случае
= 1п*. я=3, в= 100, 6=103. /IV(*)=-J. Л*4
In 100,5 — L A00,5) [ < 100^ 4, 0,5 • 0,5 • 1.5-2,5 = 2,344. 10
'9
Пример. С какой точностью можно вычислить sin5° по фор-
формуле Лагранжа, если известны значения
sinO0, sin 30°, sin 45°, sin 60°.

92 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
В данном случае f(x) = sin х, я = 3, а=0, Ь = у , /Iv (x)=sva.x.
sin5° —
1
41
2. Выбор узлов интерполирования. Как мы видели, отклоне-
отклонение /(х) от Ln(x) определяется величиной /" (?) и соп(л;). Если
о первой величине мы можем иногда сказать, в каких пределах она
заключена, то вторую мы можем в некоторых случаях менять по
нашему желанию, изменяя точки хг. Поставим следующую задачу:
как нужно выбрать узлы х% для того, чтобы sup I сои (х) | была наи-
1а. Ь]
меньшей. Для ответа на этот вопрос нам придется использовать
многочлены Чебышева.
Многочлен Чебышева Тп(х) определяется так:
Тп (х) = cos \n arc cos x], |л;]<11.
При п= 1
Tt (х) = cos (arc cos x) = х.
При я=2
Т2 (х) = cos [2 arc cos x] = 2 cos2 (arc cos x) — 1 = 2л;2 — 1.
Далее, из тождества
cos(«+ IN = 2cos6cos«6 —cos(«— 1N,
полагяя 9 = arc cos x, получим:
Tn+l {x) = 2xTn(x) — Tn^ {x).
Таким образом, Тп(х) действительно являются многочленами, причем
коэффициент при старшей степени х равен 2П~\ Из рекуррентной
формулы последовательно находим:
Т3 (х) = 4х3 — Зх,
Г5 (х) = 16л;6 — 20л;3 •+- 5л;,
Тп(х) как многочлен степени я имеет ровно п корней. Из
cos (я arc cos x) = 0 следует
п arc cos x = -=¦ Bm -\- 1) или л; = соз-^—^ .
Давая m значения 0, 1, ..., п—1, получим п различных кор-
корней, причем все они оказываются заключенными между —I и
-)-1. Заметим также, что тах|Ги(л;)| на отрезке [—1, 1] равен 1

§ 3] ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА 93
и достигается в я+1 точках xm = cos — (m = Q, I я). Если
в качестве отрезка интерполирования [а, Ь] взять [—1, 1] и в каче-
качестве узлов интерполирования — корни многочлена Чебышева хт, то
iW и suPi^W^^n- Покажем, что какой бы
многочлен Р(х) степени я со старшим коэффициентом 1 мы ни взяли,
sup | Р (х) | ^—-Z7T- Действительно, если бы это было не так,
а»6[-1,+1] 2й
то разность п1 Тп(х) — Р(х) представляла бы собой многочлен
степени я—1, принимающий в п-\-\ точках jcm = cos—"- (m = О,
1, 2, ..., п) попеременно то положительные, то отрицательные зна-
значения. Следовательно, он должен иметь по крайней мере п корней,
что невозможно.
Таким образом, если ограничиться рассмотрением отрезка [—1, 1],
то о>и(л;) будет иметь наименьшее возможное значение sup]u>K(j<;)|
при условии, что в качестве узлов интерполирования взяты корни
многочлена Чебышева, и в этом случае, наша оценка примет вид
Г C)
Если интерполирование производится на произвольном отрезке [а, Ь),
то линейной заменой переменного
его можно перевести в [—1, 1]. При этом корни многочлена Tn(z)
перейдут в
Оценка для этого случая будет такова:
\f(x) L (х)\ < Мп" (*-a>"+1 m
\}{х) *-»<*) К (л+1), 22и+1 • D)
Полученные нами результаты дают наилучшую оценку в целом
по всему отрезку [а, Ь]. Мы воспользовались тем свойством много-
членов Тп (л;) = -—у Тп (х), что для них sup | Тп (х) \ имеет наи-
2 asg[-l,+1]
меньшее значение среди всех многочленов степени п с коэффициен-
коэффициентом при старшей степени, равным единице. Благодаря этому свой-
свойству многочлены Тп{х) получили название многочленов, наименее

94 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
отклоняющихся от нуля. Можно поставить и другую задачу: при
фиксированных узлах интерполирования изучить, для каких проме-
промежутков изменения остаточный член будет принимать большие значе-
значения и для каких меньшие. Для решения этой задачи нам нужно
изучить поведение функции i%(-*;) при фиксированных х0, xt, .... хп.
Многочлен шп(х) обращается в нуль в точках л;0, xt xn, меняет
знак, переходя через каждое из этих значений, и где-то в проме-
промежутках между ними принимает попеременно то максимальное, то
"х«
Четное п
Нечетное п
Рис. 19.
минимальное значение (рис. 19). Абсолютные значения этих экстре-
экстремумов будут равны друг другу только в том случае, если л;0, хъ ...
.... хп являются корнями многочлена
cos n arc cos
— b — al
Ь — а У
В остальных случаях они будут различны. При интерполировании
вблизи больших по абсолютной величине экстремумов можно ожи-
ожидать большей погрешности, там же, где эти экстремумы будут при-
принимать меньшие значения, следует ожидать меньшей погрешности.
Исследование общего случая сои(л;) при произвольном распределении
узлов интерполяции довольно затруднительно. Поэтому мы ограни-
ограничимся случаем равноотстоящих узлов, т. е. будем предполагать, что
Опять введем t при помощи соотношения t = —~^~^- Тогда
«>в(*) = <ов(*о-Кй) = й"+1*(* — l)(f —2) ... (t — n),
и нам следует изучить поведение функции
)==t(f— V)(t—2) ... (t — n)

§3]
ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА
95
при различных значениях t. Прежде всего заметим, что эта функция
будет четной или нечетной относительно точки l-^-. 0) в зависимо-
зависимости от четности п. Действительно, если произвести замену t т —¦?,¦
то получим:
Правая часть этого равенства будет четной функцией z, если я
нечетно, и будет нечетной функцией z, если я четно. Далее, заметим,
что
Таким образом, если разбить отрезок [0, я] на части [0, 1], [1, 2], ...
..., [(я—1), я], то значение функции в отрезке [t, /+1] будет
получаться из соответствующего значения функции в предыдущем
отрезке путем умножения его на J-—. Последний множитель всегда
отрицателен при изменении t от 0 до я. Поэтому знаки значений
функции будут чередоваться при переходе от одного интервала
к следующему. Абсолютная величина этого множителя будет меньше 1
0, —=— • Таким образом, экстремальные значения ср(?)
будут убывать по абсолютной величине до середины отрезка |0, я1
Четное л
Нечетное п
Рис. 20.
и затем в силу симметрии снова возрастать. Вне пределов отрезка [0. п]
функция ср (t) быстро возрастает по абсолютной величине. Итак, гра-
графики функции будут следующих двух типов (рис. 20). Какие же
выводы можно сделать о точности интерполирования из приведенного
нами анализа? Во-первых, оценка остаточного члена формулы Ла-
гранжа Rn(/) =
® (* — хо)...(х — х„) будет особенно велика
для значений х, лежащих вне отрезка [л;0, хп\. Поэтому следует

96 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
ожидать, что если мы производим вычисления по интерполяционной
формуле для значений х, лежащих вне отрезка [л;0, хп\, или, как
принято говорить, производим экстраполирование, то погрешности
будут очень велики. Во-вторых, при интерполировании для значе-
значений х, лежащих не близко к узлам интерполирования, точность будет
больше для средних отрезков \хг, х1+1] и меньше для крайних.
3. Неустранимая погрешность формулы Лагранжа. Изучим
теперь неустранимую погрешность формулы Лагранжа, предполагая,
что значения f(Xj) приближенны, а значения х} точны. Формулу
Лагранжа возьмем в виде
Тогда
4 = 0
Ai = 21 ф. (*) I At (»,)• F>
Ничего большего о неустранимой погрешности для случая, когда
узлы интерполирования расположены произвольным Собразом, мы
сказать не можем. Обратимся к случаю, когда узлы интерполирования
равноотстоящие. Тогда, как мы видели,
Ln (х) = Ln (х0 + th) = -^-)-
1=0
где t = x x° . Следовательно, в этом случае
t(t—\) .(t — ri) A CLA.
\t—l\ '
Пусть все значения функции _yt известны с одинаковой точностью
и предельная абсолютная погрешность каждого из них равна Ау =-^р.
Тогда предельная абсолютная погрешность Ai будет равна
\t(t — \) . (t-n)
|7=7р G>
1=0
Приведем таблицу значений коэффициента при р в правой части этого
равенства для различных значений п и t:

§3]
ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА
97
t ^"^~\^
1
-0,9
-0,8
-0,7
-0,6
-0,5
— 0,4
— 0,3
— 0,2
— 0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
09
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
20
1
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
05
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
Коэффициенты при р
2
3,5
3,1
2,7
2,4
2,1
1,7
1,5
1,2
1,0
0,71
0,5
0,54
0,58
0,60
0,62
0,62
0,62
0,60
0,58
0,54
0,5
0,54
0,58
0,60
0,62
0,62
0,62
0,60
0,58
0,54
0,50
3
7,5
6,4
5,4
4,5
3,7
3,0
2,3
1,8
1,3
0,86
0,5
0,63
0,72
0,78
0,81
0,81
0,79
0,74
0,68
0,59
0,5
0,54
0,58
0,60
0,62
0,62
0,62
0,60
0,58
0,54
0,50
4
13
13
И
8,5
6,7
5,2
3,4
2,8
1,9
1,1
0,5
0,78
0,96
1,06
1,10
1,1
1,0
0,92
0,80
0,65
0,5
0,57
0,62
0,66
0,69
0,70
0,69
0,66
0,62
0,57
0,50
Как видно из этой таблицы, неустранимая погрешность интер-
по 1ЯЦИОННОЙ формулы Лагранжа при изменении t на отрезке [0, п]
сравнительно невелика Она незначительно возрастает при увеличе-
увеличении п. Минимальные погрешности получаются в средних отрезках
U, i -\- 1] при изменении t от 0 до п При экстраполяции опять полу-
получаются значительные погрешности.
Оценок ошибок округления мы здесь производить не будем, так
как они целиком определяются программой вычислений В дальнейшем
мы изучим ряд формул, являющихся видоизменениями формулы
Лагранжа Эти формулы находят широкое применение в вычислитель-
вычислительной практике. Поэтому целесообразно исследовать все эти формулы
совместно с точки зрения тех ошибок, которые они дают, и с точки
зрения удобства вычислений.

98
ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
§ 4. Остаточный член общей интерполяционной формулы
В предыдущем параграфе мы нашли остаточный член формулы Лагранжа.
Найдем теперь остаточный член общей интерполяционной формулы. На функ-
функции (fo (•*)• ?i (•*) ?п (•*) наложим те же ограничения, что и в конце § 1,
т. е. будем предполагать, что они дифференцируемы до порядка я +1
на [а, Ь] и все вронскианы W[y0, 91 <pft] @ ¦<?¦<«) отличны от нуля
на [а, Ь].
Рассмотрим функцию двух переменных х и s:
К(х, s) = W'1 Wo (s), ?] (s), ..., <fn («)] X
X
?0
?'¦
4=0
Как функция х она является линейной комбинацией функций <pi (Jf) и, следо-
следовательно,
где
(см. § 1).
С другой стороны, очевидно,
д1К (х, s)
Функция
у (х) =
, ft Уп./]
при l^.n — 1,
при / = п.
¦ (х, s) ф (s) ds
г—0 а
при любых действительных постоянных а{ удовлетворяет уравнению
Ln+x М = Ф (х).
V Г Г 1
1 J
»-о La J
В самом деле,
Первый член справа, очевидно, равен нулю. Для того чтобы найти значение
второго члена, заметим, что
^j / /<:(.«:, s) ф (s) rfs = K(x, x) i
a
(s) rfs =

§ 4] ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН ОБЩЕЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ФОРМУЛЫ 99
Отсюда
и, вообще,
а
для всех 1^.п. Для 1 = п-\-\ получим;
х х
Таким образом,
[ l(n+l)
[X -л г- X -l
Г K(x,s)^(s)ds\ = \ Г K(x,s)i>(s)ds\
a J La J
[X -. (И) X
Г K(x,s)<\,(s)ds\ + ... +ап+1(х) f K(x,s)<\>(s)ds =
a J a
x
= ф (x) + J Аи+1 [/с (x, S)] ф (s) ds = ф (x).
a
Этим наше утверждение доказано.
Заметим, что если мы вместо функций <ft (x) взяли бы любую другую
систему п -\- 1 линейно независимых решений уравнения
?» + ![?]= О,
то получили бы ту же самую функцию К(х, s). Действительно, если функ-
функции ф0 (х), ^-i(x) tynix) образуют такую систему, то
п
Ь (х) = 2 40j (х) (i = 0, 1, 2, ..., п)

100 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
и определитель
аоо aoi
•отличен от нуля. При этом
^"ЧФо. 4*1 <Ы =
«Ю ац ... ат
апо аШ • • ¦ апп
D
При умножении последних выражений получим то же самое, что и раньше.
В частности, функции Ф* (х), введенные в § 1, являются линейными ком-
комбинациями функций щ (х). Они линейно независимы. В самом деле, если бы
существовала линейная зависимость
Co*oW + «i*iW+ ¦•• +спФп(х) = 0
и сг при некотором / отлично от нуля, то, полагая в этом тождестве х = Х{,
мы получили бы Ci = 0 вопреки предположению. Здесь мы использовали
свойства функций Ф{(х), что
где оу — символ Кронекера, равный 1 при ( = /и равный 0 при I ф J. ¦
Таким образом, функцию К(х, s) можно записать в виде
Но
Итак,
Функция
К(х, s) = j? (?((s) Ф« (Jf).
г = 0
К (xjt s) = 2 О| (s) *i (Jf>) = Gj (s).
у =
1 = 0 X,
удовлетворяет уравнению Ln+1 [у] = ф и принимает в точках
ния р4. В частности, функция
и го
значе-
значеft (х) = J] Ф* (Jf) J O< (s) rfs
J—0 хг
удовлетворяет условиям
Ln + I[h] = l; A (jc€) = 0 (/ = 0,1,2,..., л).

§ 4] ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН ОБЩЕЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ФОРМУЛЫ 101
Функция h (х) не может обращаться в нуль нн в какой другой точке
х? [а, Ь], так как мы получнлн бы тогда противоречие с обобщенной теоре-
теоремой Ролля.
Рассмотрим разность
п
R (х) = /(х) -4{x)=f (х) - 2/Л (х), х € [а, Ь];
1=0
R (х) обращается в нуль в точках Xq, xx, ..., хп. То же самое можно ска-
сказать и про функцию
() )
где М—произвольное постоянное число. Пусть нам требуется оценить R (х)
для некоторой точки х' ? [а, Ь] (х' Ф х{). Подберем М так, чтобы последнее
выражение обратилось в нуль и в точке х'. Это возможно, так как
h (x') ф 0. Тогда
на основании обобщенной теоремы Ролля должно обратиться в нуль по-
крайней мере в одной точке 5 ? [а, Ь]. Таким образом,
Af = ?n+1[/E)].
Отсюда
R (х') = f(x') - ч (х') = Ln+, [/F)] h (xr).
Это равенство, очевидно, сохранит свою силу и для того случая, когда
х' = Хь Итак, прн любом х ? [а, Ь]
R (х) = /(х) - у (х) = ?п+1 [/F)] h (х). A)
Это и есть остаточный член общей интерполяционной формулы.
Получим еще одну форму остаточного члена. Любая п -)- 1 раз диффе-
дифференцируемая функция f(x) на [а, Ь] удовлетворяет уравнению
Ln+,[y] = Ln+Af(x)].
Следовательно,
t=0
x x xi
t=0
n
= у (x) + J] Ф, (x) J /f (jf,, s) in+I [/(s)] rfs. B)
t=0 ajj
xi
Ho | = J — ,н поэтому
ж, a a
v x
R (x) = /(x) - «p (x) = J] Ф, (x) j* G« (s) in+I [/(s)] rfs -
t-0 a
n xi
- 2 *« (x> / g«- (s> ^n+i [/(«>] ^=
t=0 a
ж n x{
= J /<(x, s) in+I [/(s)] rfs - J] Ф, (x) f Gf (s) in+i [/(s)] Л
a t—0 a

102 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Подставляя в полученное выражение Ь вместо а, будем иметь:
X П Xi
R(x) = f K(x, s) Ln+l [/(s)] ds — 2 *iW / G{(s) Ln+l \f(s)] ds.
b t-0 b
Полусумма последних двух выражений дает нам:
Ь
R(x) = fR(x,s)Ln+i[f(s)]ds, C)
где
п
2R (х, s) = K (х, s) sign (x — s) — 2 фг (-*) Gi (s) sign (xt — s). D)
i
Через signs здесь, как и обычно, обозначена функция, принимающая зна-
значение -f Г при положительных г и —1 при отрицательных г.
Полученное ранее выражение для остаточного члена имело более
простой вид. Но оно было получено при использовании обобщенной тео-
теоремы Ролля, для справедливости которой нужно предполагать, что все
W [tp0, <р,, •••, <fk] (А = 0, 1. 2, ..., п), отличны от нуля на [а, Ь]. Последнее
выражение будет верно в том случае, если tpQ, tp(,..., <p могут быть
использованы для целей интерполирования при заданных узлах Xf и
§ 5. Интерполяционная формула Ньютона для неравных
промежутков
Вернемся снова к интерполированию при помощи алгебраических
многочленов. В этом параграфе мы получим формулу Ньютона,
являющуюся видоизменением формулы Лагранжа. Она интересна
сама по себе и послужит нам источником получения ряда новых
формул.
1. Разделенные разности и их свойства. Предварительно
введем новое понятие—разделенные разности. Возьмем некоторую
функцию /?/? и систему узлов интерполяции х0, хи х2, ..., хп,
х€ФХр при 1ф], хг?[а, Ь]. Для этой функции и узлов образуем
всевозможные отношения
—f(xu)_, .
х _х —JKX0, xj;
_ /(xn)
_x—]\ХЪ X2) _
— x\ xn — xn-\

5]
ФОРМУЛА НЬЮТОНА ДЛЯ НЕРАВНЫХ ПРОМЕЖУТКОВ
103
Такие отношения называют разделенными разностями первого
порядка. Получив разделенные разности первого порядка, мы можем
образовать отношения
/(xt;x2)—/
/(х2; х,)—f(xj, х2)
п
Xo — Xn
=/ \XU X2> X3),
= f(Xn-2'
/ \х0> ХЬ Х2)>
•* W -^W. — 4
B)
Эти отношения называют разделенными разностями второго по-
порядка. Вообще, если мы уже определили разделенные разности
jfe-ro порядка /(Xj; Х\+{, ¦ ¦ •', xi+1^, то разделенные разности (k-\- 1)-го
порядка находятся при помощи формулы
) __ , ^_ ^ _
-1' *' • »+ •
Иногда вместо /(х^; xi+I; . ..;%+k) для обозначения разделенных
разностей используют выражение [х{, xi+l; ...; xi+k]. Условимся
располагать таблицу разделенных разностей следующим образом:
x0
Xj
x3
x4
/(x0)
/(Jfe)
/(*,; x2)
¦f I Y • v • v \
/(—'
у ^Лл i JC\i *^2' *^H/
j \JCfy -^2) ^g) *^4^
Так, для f(x) = x3; xo=0; x, = 2;
эта таблица примет следующий вид:
x4=6; x&=
Xi
0
2
3
5
6
1
0
8
27
125
216
1
/(xf;xi+1)
4
19
49
91
43
f(X{\ xi+1; xt+a)
5
10
14
12
f(xi', xi+l; xt+2; хг+3)
1
1
1

104 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Нам потребуется использовать некоторые свойства разделенных
разностей.
Прежде всего докажем, что разделенная разность k-го по-
порядка f(X{, xi+i\ . ..; Jfi+fc) равна
f(Xi; x; ; xi) = *
._ x.+k)
i
(xi + l хг) (•X'j + l хг + ъ) ¦ • • (хг + 1 xi + k)
... +7 г-, ИхА±к1 ^. D>
(хг+к — xi) \xi+k — xi+l) • • • \xi+k — xi+k-v
Доказательство будем вести по индукции. Для k = 1 это утвержде-
утверждение справедливо, так как
(x,— Xt+1)
Предположим, что оно справедливо для k = L—1, и докажем его
справедливость для k = l. В самом деле,
;...; хм) — /(
i
/Uf+s)
/(*<+!)
f(xi)
...(хг-
В полученном выражении /(.v{) и /(х{+г) встречаются по одному

§ 5] ФОРМУЛА НЬЮТОНА ДЛЯ НЕРАВНЫХ ПРОМЕЖУТКОВ 105
разу и притом в виде
т. е. так, как они должны входить в доказываемое равенство D).
Все остальные /(х}) входят дважды. Объединяя эти члены попарно,
получим:
f(xj)
. .(Xj — Xj-.x) (Xj —
(Xj — X{) . . . (Xj — Xj-i) (Xj —Xj + i)... (Xj — .
rX
(Xj X{ + i) . . . (X j Xj— ]) (Xj Xj+i) ... (X . .
i L_l.
у
f(Xj)
(Xj — Xi) (Xj —Xi + i) ... (Xj — Xj-. 0 (Xj — Xj+1)... (Xj — Xi+l) '
что нам и требуется.
Из доказанного вытекает ряд следствий.
Следствие 1. Разделенная разность суммы или разности
функций равна сумме или разности разделенных разностей сла-
слагаемых, соответственно уменьшаемого и вычитаемого.
Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить
за знак разделенной разности.
Следствие 3. Разделенная разность есть симметрическая
функция своих аргументов, т. е.
f(xi', xi + l'< •••', xi+k)==f(xi + l'< xi'< xi\-2< •••'. xi+k) =
== f(xi+2'> xi + l> xi> Xi+Z> • • •' xi+k)r== ¦ • •
Разделенные разности обладают еще одним свойством, а именно:
разделенные разности &-го порядка от хп являются однородными
многочленами относительно своих аргументов степени п — k;
при k = n равны 1 и при k > п равны 0. Докажем это.
Для разностей первого порядка имеем:
у. ч i + 1 i „п-1 , „п-2 |_ , п
xi + l) — ~ — — xi + \ -]- xl+\x'i -+- • • • -+" х%
х + \ — Хг

106 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Далее, если
для любых i, то
— xt
; ...; xi+k) — f (хг; xi+l; ...; xi+k)
xi
xi +
Таким образом, и это свойство доказано. На основании его и след-
следствий 1 и 2 заключаем, что разделенные разности порядка п
от многочлена я-й степени постоянны, а разности более высо-
высокого порядка равны нулю. Последним замечанием можно пользо-
пользоваться для обнаружения ошибок в таблицах многочленов или функ-
функций, близких к ним.
1 2. Вывод формулы Ньютона для неравных промежутков.
ГТерейдем теперь к выводу формулы Ньютона. Пусть f^R, xa,
хх хп — узлы интерполирования и Lk(x) — интерполяционный
многочлен Лагранжа, построенный для этой функции по узлам х0,
хх, ..., хк. Тогда
Ln (х) = Ц (х) -+- [L, (х) — Ц (х)] 4- [Ц (х) — I, (х)] + ...
... 4-linW-ViW]. E)
Рассмотрим отдельную разность, стоящую в правой части, Lk(x) —
— Z.fe_,(x). Это будет многочлен степени k. Он обращается в нуль
в точках х0, хь *.., хк_ь Поэтому Lk{x) — Lk_l(x) = A(x — хо)Х
X (х — xt) ... (х — xfe_1) (A — постоянная). Для определения вели-
величины А положим x = xfe. При этом получим:
хо)(хк — xt) ... {хк — хк_1).

§ 5]
Итак,
А=-
ФОРМУЛА НЬЮТОНА ДЛЯ НЕРАВНЫХ ПРОМЕЖУТКОВ
107
f(xk)
к
-хо)..
-х0)..
<*к-х
лхк--
.{х.-.
fix
i)
(Xk Xj 4
(Xj Xj +
••(Xk-X,
-l) •¦• (Xk —
d---(XJ-
Xk-l)
Xk-i)
Отсюда
xj-d(xj~
—xo)/(x0; xO + C-^—-КоМ-к— x
xo)(x — xt) ... (x — xn_1)/(x0;
;-xk)
\ хь ¦ • ¦', xk)-
t; x2)
F)
Эта форма записи интерполяционного многочлена Лагранжа и носит
название интерполяционного многочлена Ньютона для неравных
промежутков. Она более удобна для вычислений, чем формула
Лагранжа. Добавление одного или нескольких узлов не приводит
к повторению всей проделанной работы заново, как это было при
вычислениях по формуле Лагранжа. Применим эту формулу к тем же
примерам, которые были приведены в § 2.
X
0
2
3
5
У
1
3
2
5
Разделенные разности
1
1
—1
3
2
2
2
~~3
5
6
3
3
10
= 1 -1-х • 1 +х(х — 2) ( — |-
2) (х - 3) jg

108 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
X
0
2
3
5
6
У
1
3
2
5
6
Разделенные разности
1
1
—1
3
2
1
2
2
3
5

1
~6
3
3
10
'1
4
11
Т20
i
+ х(х-2)(х-3)(х-5)(-^0).
Если раскрыть скобки в полученных выражениях и расположить их
по степеням х, то получим то же самое, что и в § 2.
При помощи интерполяционной формулы Ньютона можно полу-
получить представление разделенных разностей в виде отношения опре-
определителей. Действительно, как мы видели в § 1, коэффициенты
при cpi (х) в интерполирующей функции равны —.-, где Д^ полу-
получаются из Д путем замены /-го столбца столбцом f(Xj). В частности,
при ср^ = х* и узлах интерполирования х0, xt
при х" будет равен
х„ коэффициент
1
1
1.
1
1
1
Xq ...
Х„ ...
Xq ...
X, ...
х„ ...
xn
Xq
X™~'
/ (¦*<))
/(¦*»)
X»
xn
xn

§5]
ФОРМУЛА НЬЮТОНА ДЛЯ НЕРАВНЫХ ПРОМЕЖУТКОВ
109
Коэффициент же при х™ в интерполяционной формуле Ньютона для
неравных промежутков равен /(х0, хи ..., х„). Таким образом,
/(хо', хи • • •'• хп> —
1 x0 ... x0
rt-1
0
.n-l
1 x, ... x\l /(x,)
1 xn ..
1 х0 ..
1 X, ..
„n-l „»
G)
Из этого выражения нетрудно получить все те свойства разделен-
разделенных разностей, о которых говорилось ранее.
3. Остаточный член формулы Ньютона. Остаточный член фор-
формулы Ньютона точно такой же, как и у формулы Лагранжа. Но его
можно записать и в другой форме. Для этого рассмотрим
. v4 /<¦*)
/(х; х0;
Н-;
: — хо)(х — X])... (х — хп)
Пхй) .
— х) (х0 —
— хп) ^
f(xn)
Отсюда
(хп — х) (хп — х0) ... (хп — xn-i)
(8)
__f<x\ (x — x1)(x — xi)...(x — xn) ^
, (х —хо)(х —xQ ... (х —xn_t)
+ (х — х0) (х — xt) ... (х — xn)/(x; x0; x,; . ..; xrt).
(9)
Итак,
/(x)=:Z.n(x)-)-(x —хо)(х-х1) ... (х—х„)/(х; х0; х,; ...; х„). A0)
Таким образом,
= (х — х0) (х — xt) (х — х„) / (х; х0; xf, . . .; хп). A1)
В частности, если /(х) имеет производную порядка и-j-l, то по-
получим:
i-zj.. x ' X ' ' X } =
(Л+1I '
A2)

110 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Здесь \— некоторая точка, принадлежащая наименьшему промежутку,
содержащему все точки х0, xt х„, х.
Разделенная разность /(х; х0; . . .; хн), входящая в выражение
остаточного члена, может быть найдена только в том случае, когда
нам известно f(x). Но тогда нет большого смысла использовать
интерполяционную формулу Ньютона. Однако в некоторых случаях
последнюю форму остаточного члена можно использовать для фак-
фактической оценки погрешности, даваемой интерполяционной формулой
Ньютона.
Пусть нам известно из каких-то дополнительных соображений,
что разделенные разности порядков п~\-\ и п~\-2 сохраняют по-
постоянные знаки на рассматриваемом отрезке. Тогда используем ра-
равенства
f(x) = 2 (х — х0) . . . (х — хг-_!)/(х0; х{, ...; хг) -\-
г=о
+ (х — х0) (х — *!> ... (х — х„)/(х; х0; xt\ ...; х„),
п+1
/(*) = 2 (* — х0) .. . (х — Xi_{)f (х0; хп ...; хг) +
г=0
+ (х — х0) (х — Xj) ... (х — xn+1)f(x; x0; хг; ...; хп+1).
Для данного х всегда можно подобрать хп+1 так, что Rn и Rn+1
будут иметь различные знаки. Если /(х; х0; хг\ ...; хп) и
/(х; х0; Х(! . . .; хп+1)'имеют одинаковые знаки, то берем хп^,. > х;
если они имеют разные знаки, то берем хп+1<х. Но тогда, если
взять вместо/(х) значения интерполяционных многочленов с /г-j-l
и /i-j-2 членами, то получим в одном случае значение, большее/(х),
в другом — меньшее. Следовательно, абсолютная величина ошибки,
которая получается в результате использования первой формулы,
не может превышать абсолютной величины
(х—хо)(х —Xj) ... (х — х„)/(х0; хг; х2; ...; хп+1)
и имеет такой же знак, как и эта величина. В этом случае, если
f(xn + 1) известно, мы можем фактически оценить Rn.
Рассмотрим еще один случай. Пусть на отрезке [а, Ь], где бе-
берутся х и узл-ы интерполирования, функция /(х) имеет производную
у(™+2) (х), сохраняющую свой знак. Покажем, что в этом случае
/(х; х0; . . .; х„) — монотонная функция х на [а, Ь]. Для этого обра-
образуем
z__ /(¦*; Xq-.n..; xn)—f(x; х0; ...; хп)
X — X
где х и х — некоторые точки отрезка [а, Ь]. В силу симметрии раз-
разделенных разностей относительно своих аргументов будем иметь:
„_/(*; хй; ...; xn)—f(xa; Xy ...; хп; х)
х— х

§ 5]
ФОРМУЛА НЬЮТОНА ДЛЯ НЕРАВНЫХ ПРОМЕЖУТКОВ
а это есть не что иное, как разделенная разность f(x; х; х0;
порядка п-\-2 функции f(x). Но из равенства A2) получим:
; — J(x; x; x0; ...; xn) —
.; хп}
(п + 2)!
Следовательно, z сохраняет свой знак на [а, Ь\. Если f(n+21 (x) > О,
то при любых х?{а, Ь\ и х^\а, Ь\ (х > х) будем иметь:
f(x; x0; Xi; .... xn)>f(x; x0; ...; хп).
При /("+2) (х) < 0 и любых х?[а, Ь], х?[а, Ь\ будем иметь:
f{x; x0; Х{, ...; xn)<f(x; x0; х^ ...; хп).
В этих случаях R может быть оценено, если нам известны f(a)
Как мы видели, для многочленов разделенные разности, начиная
с некоторого порядка, обращаются в нуль. Для функций, не являю-
являющихся многочленами, этого не будет. Позже мы покажем, что для
так называемых целых функций разделенные разности стремятся
к нулю. Но эта картина будет нарушаться благодаря тому, что сами
исходные данные обычно бывают приближенными, а в процессе вы-
вычисления разделенных разностей мы вынуждены делать округления.
Чаще всего наблюдается такая картина: сначала разделенные раз-
разности убывают с повышением порядка, а затем ведут себя непра-
неправильно и снова растут.
Так, например, выглядит таблица разделенных разностей для
функции / (х) = sin x:
X,
0°
13°
24°
37°
54°
67°
79°
90°
sin xi
0,0000
0,2250
0,4067
0,6018
0,8090
0,9205
0,9816
1,0000
f(x{, xi+l)
0,01731
0,01652
0,01501
0,01219
0,00858
0,00509
0,00167
f(Xi\ xi+x; xi+j
— 0,000033
— 0,000063
— 0ДОДО4
— 0,000120
— 0,000140
— 0,000149
/(•*»¦;-*f+i; xi+b xt+9)
— 0,0000008
— 0,0000008
— 0,0000006
— 0,0000005
— 0,0000002

112 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Разности четвертого порядка будут вести себя неправильно, раз-
разности пятого и более высоких порядков снова начнут возрастать.
Ясно, что нет большого смысла использовать их в вычислениях,
так как они сильно искажены различными погрешностями.
Узлы интерполяции, лежащие ближе всего к интерполируемому
значению х, окажут большее влияние на интерполяционный много-
многочлен, лежащие дальше — меньшее. Поэтому целесообразно за х0 и х,
взять ближайшие к х узлы интерполирования и произвести сначала
линейную интерполяцию по этим узлам. Затем постепенно привле-
привлекать следующие узлы так, чтобы они возможно симметричнее рас-
располагались относительно х. Полученные при этом поправки будут
обычно незначительны. Чтобы проиллюстрировать это, дадим здесь
результаты вычислений по приведенной ниже таблице. При помощи
интерполяционной формулы Ньютона были вычислены значения sin x
для углов 5°, 10°, ... В первом столбце даны аргументы, во вто-
втором — результаты линейной интерполяции, в третьем — поправки
за счет вторых и третьих разностей, в четвертом — окончательные
результаты интерполяции и в пятом — точные значения sin x с че-
четырьмя десятичными знаками:
5°
10°
15°
20°
25°
30°
35°
40°
45°
50°
55°
60°
65°
70°
75°
80°
85°
0,08655
0,17310
0,25804
0,34064
0,42171
0,49576
0,57181
0,63837
0,69932
0,76027
0,81758
0,86048
0,90338
0,93577
0,96122
0,98327
0,99162
0,00072
0,00066
0,00081
0,00137
0,00088
0,00323
0,00178
0,00487
0,00770
0,00572
0,00155
0,00554
0,00295
0,00386
0,00461
0,00152
0,00459
0,08727
0,17376
0,25885
0,34201
0,42259
0,49999
0,57359
0,64274
0,70702
0,76599
0,81913
0,86602
0,90633
0,93963
0,96583
0,98479
0,99621
0,0872
0,1736
0,2588
0,3420
0,4226
0,5000
0,5736
0,6428
0,7071
0,7660
0,8192
0,8660
0,9063
0,9397
0,9659
0,9848
0,9962
§ 6. Интерполяционные формулы Ньютона
для равных промежутков
Естественно ожидать, что если промежутки между последова-
последовательными узлами интерполирования равны, т. е. xf — xt-_j — постоян-
постоянная величина, то предыдущая формула упростится. Так оно и есть
на самом деле. Прежде чем переходить к выводу формул, для этого
-случая введем понятие о конечных разностях.

§ 61
ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА ДЛЯ РАВНЫХ ПРОМЕЖУТКОВ
113
1. Конечные разности и их свойства. Пусть для значений х:
х0, xo-\-h, xo-\-2h, .... xo-\-nh (h—шаг таблицы), нам известны
значения функции f(x): у0, уи у2, .... уп.
Назовем тогда разности
У у — Уо. Уг — Ух Уп—Уп-у
конечными разностями первого порядка.
В литературе используются самые различные обозначения ко-
конечных разностей:
~Ух =
A)
Мы будем пользоваться последним обозначением.
Из разностей первого порядка можно образовать конечные раз-
разности второго порядка:
, /J/,=/2, • • .,
-Vy, = V2j2, Vy3-Vy2 = V*ys Vyi+1 -Vy{ =
B)
Аналогично можно образовать разности третьего порядка, чет-
четвертого и так далее. Таблицу разностей обычно располагают сле-
следующим образом:
X
x0
xx
x%
хъ
f
/o
/l
ft
h
л
я
/2
4
4
я
/?
/S
/г
fsiu
f'h
Так, например, таблица конечных разностей для функции х3
будет выглядеть следующим образом:

114 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
X
0
1
2
3
4
5
/
0
1
8
27
64
125
Р
1
7
19
37
61
Я
6
12
18
24
6
6
6
Практические вычисления требуют наличия контролирующих опе-
операций на всех этапах работы. Это застрахует от грубых просчетов
или по крайней мере сведет их к минимуму. Такие контролирующие
операции чрезвычайно просто получаются при составлении таблицы
разностей.
Очевидно,
т. е. сумма чисел в каждом столбце разностей равна разности
крайних чисел предыдущего столбца. Поэтому целесообразно ввести
в дополнение к таблице еще две строки: строку Е, равную сумме
чисел, стоящих в столбце, и строку S, равную разности крайних
чисел столбца, и использовать предыдущие рассуждения. Для пре-
предыдущего примера эти строки будут таковы:
S
125
125
60
60
18
18
0
В некоторых интерполяционных формулах используют наряду
с теми значениями /$ и разностей, которые у нас имеются, еще сред-

§ 6] ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА ДЛЯ РАВНЫХ ПРОМЕЖУТКОВ 115
ние арифметические:
f ft+fi+i
f _ f
2 y% 2 ¦'i+'V "
A. fl /г-уг + /г+уа_ /l
В тех случаях, когда для обозначения разностей употребляют
значок Ь, для средних арифметических используют значок [iS. Так,
последний столбец в этих обозначениях будет выглядеть следующим
образом:
S b b2rh, ... D)
Разберем теперь некоторые свойства конечных разностей. Прежде
всего найдем выражение разности любого порядка непосредственно
через значения функции. Будем иметь:
Покажем, что общее выражение для /? будет:
/г =fi+kjz ^A-i+ft/a^b^A-a+fc/a —
«W ••• +(-1)Ч_,/а. E)
Для k=l, 2, 3 эта формула верна, что видно из предыдущих вы-
выражений. Предположим, что она верна для всех k^.1, и докажем,
что тогда она справедлива и для & = /-|-1. Разность порядка 1-\- 1
/| + 1 будет равна
fl + i—fi fi —If r)t -i-Cff
... +(-»mc?fi+,,_m+

116 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Но
|
— т)\ -Г(т_|-1I(/ — /и —1I
— {т+Х)\(!—т)\
Следовательно,
/ +1 / ^A Г • • •
гт+(г+1)/2 • • • +(—1)
что и требовалось доказать.
Из полученной формулы, в силу линейной зависимости /* от/г,
выводим:
Следствие 1. Конечные разности /* суммы или разности
функций / = <p ± g равны сумме или разности конечных разно-
разностей функций vug:
?lt It I If
tK ^= <s> -T p*
J I Ti — Sj1
Следствие 2. /7/?м умножении функции на постоянный
множитель конечные разности умножаются на тот же мно-
множитель.
Установим еще связь между конечными разностями и разде-
разделенными разностями для того случая, когда xt — xi_i постоянна.
Будем иметь:
—Л
Вообще,
Доказательство опять будем вести методом индукции. Предполагая
формулу справедливой для k^.1, докажем ее справедливость для
Действительно,
fl+l
(l+\)h-l\hl (/-f

§6]
ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА ДЛЯ РАВНЫХ ПРОМЕЖУТКОВ
117
Как следствие этой формулы и результатов, полученных ранее для
разделенных разностей, получаем:
Следствие 3. Конечные разности п-го порядка от много-
многочлена степени п постоянны, а конечные разности (п-\-\)-го
порядка равны нулю.
Последнее свойство позволяет дать простой способ составления
таблиц многочленов. Непосредственно вычисляем значения много-
многочлена для п-\-\ значений аргумента. По этим данным составляем
таблицу разностей. В нее войдут разности до я-го порядка. Далее,
заполняем столбец разностей я-ro порядка, пользуясь тем, что они
постоянны, затем заполняем столбец разностей (п — 1)-го порядка.
Для их получения складываем соответствующие разности (п—1)-го
порядка с разностями я-ro порядка. Затем последовательно запол-
заполняем столбец разностей (п — 2)-го порядка, (п — 3)-го порядка и
так далее, пока не получим столбец f(x{). Так, например, получен-
полученная нами таблица функции у = хъ будет продолжаться следующим
образом:
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
/
0
1
8
27
64
125
216
343
512
Я
1
7
19
37
61
91
127
169
6
12
18
24
30
36
42
6
6
6
6
6
6
При практическом применении этого приема с целью исключения
грубых просчетов целесообразно время от времени производить вы-
вычисления многочленов непосредственно. Это обеспечит и от нако-
накопления ошибок округления, если мы ведем вычисления не точно,
а с каким-то заданным количеством десятичных знаков.
Интересно проследить распространение ошибки, сделанной при
вычислении f(x) на конечные разности различных порядков.
В приведенной ниже таблице это указано в предположении, что
ошибка величины е сделана при вычислении /,.

1 18 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
X
•«i-4
Xi-ъ
Ч-г
Xi+1
*+.
f
h-4.
Л+.
/i+3
/i+4
Я
...
^+.
я
/?-з
/f-2.
t+i
fi+2
/?+з
/8
/Lv, - 3e
/?+7l+3e
/?+%-E
Я
4
i+i
г+?
...
Таким образом, ошибка с коэффициентами Си распространится
на разности порядка k. При этом максимальные по модулю ошибки
будут иметь разности, ближайшие к строке, в которой находится ft.
Этот результат можно так же получить из формулы, связывающей
конечные разности непосредственно со значениями функции.
2. Вывод интерполяционных формул Ньютона. Перейдем теперь
к выводу интерполяционных формул Ньютона. Для этого рассмот-
рассмотрим формулу Ньютона для неравных промежутков, взяв в ней в ка-
качестве узлов интерполирования х0, хх хп точки хи, х0 -\- h, ...
.., xo-\~nh. При этом, заменяя разделемные разности их выраже-
выражениями через конечные разности, получим:
п W — /о Н Z /¦/, Н ОЛ2 / 1 ~Ь
(X — Х0) (X — XJ) (X — Xj) fS
~т 31 А' -/з/5
c — jc0) (х— хг) ... (x —

§6]
ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА ДЛЯ РАВНЫХ ПРОМЕЖУТКОВ
119
Обозначим
— х0
— t, тогда наша формула примет вид
Полученную формулу называют интерполяционной формулой Нью-
Ньютона для интерполирования вперед. Использованные в ней раз-
разности расположены по диагонали вниз, начиная с /0:
X
x0
x,
x,
хъ
Хц
x.
f
h
h
h
/3
/4
h
я
/1
4
A
A
я
fl
fl
fl
fl
я
—
fk
fv,
Я
fA
n
я
Приведем пример на вычисление по интерполяционной формуле
Ньютона для интерполирования вперед. Пусть нам даны sin 5°, sin 7°,
sin 9е, sin 11°, sin 13е, sin 15° и требуется найти sin 6°. Таблица разно-
разностей будет выглядеть так:
X
Ъ°
7°
9°
11°
13°
15°
sin х
0,087156
0,121869
0,156434
0,190809
0,224951
0,258819
Я
34713
34565
34375
34142
33868
—148
—190
—233
—274
—42
—43
—41
Я
—1

120 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
При написании разностей ради сокращения мы вносили в таблицу
лишь значащие цифры; такой способ записи таблиц конечных раз-
разностей является общепринятым.
Изучая таблицу, обнаруживаем, что третьи разности почти по-
постоянны, а разности четвертого и следующих порядков меняются
неправильно. Это в значительной мере объясняется тем, что мы
использовали приближенные значения sin х. Ошибка каждого из них
может достигать пяти единиц седьмого десятичного знака. Следова-
Следовательно, абсолютная погрешность первых разностей может достигать
единицы шестого знака, вторых — двух единиц шестого знака,
третьих — четырех, а четвертых—-восьми. Погрешность в четвер-
четвертых разностях может превышать их величину. Поэтому в даль-
дальнейших вычислениях мы будем использовать только третьи раз-
разности.
За х0 возьмем одно из ближайших значений к х = 6°, а именно
возьмем л:0 = 5°. Тогда t = ~- = i/2 и вычисления примут сле-
следующий вид:
/0 = sin 5° = 0,087156,
*/,, =0,5-0,034713 = 0,0073565,
^1*? = -!-• 0.000Н8 = 0,0000185,
о
Z
t_(t- I) it — 2) д = — 1 . 0,000042= —0,0000026,
?jF°)= 0,104528.-*
Точное значение sin 6° с шестью верными десятичными зна-
знаками равно 0,104528. Таким образом, все знаки получились вер-
верными.
В процессе вычислений мы сохраняли седьмой десятичный знак.
В оконнательном ответе мы его округлили.
Выведем еще одну интерполяционную формулу Ньютона. Опять
будем использовать интерполяционную формулу Ньютона для нерав-
неравных промежутков, но теперь за узлы х0, xt xn возьмем точки
х0, х0 — h х0 — nh. При этом получим:
= / (х0) + (х — х0) f (x0; xo —
— хо)(х— xn + h)f(x0; xo—h- xn—2h)+ ...
— хо)(х— xo-{-h) ...[x — xo-\-(n—\)h]X
Но в силу симметрии разделенных разностей относительно своих

ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА ДЛЯ РАВНЫХ ПРОМЕЖУТКОВ
§ 6]
аргументов будем иметь:
f I Л* • V fr Y
J \л0> л0 ">•••> л
121
— h; x0).
Снова заменим разделенные разности конечными
Отсюда
ЧЛХ)—
x — xo n I (•* — xo) (•* — xo -\- h) /a i
{x — x0) {x — x0 + h) ... [x — x0 + (n — 1) h]
Г
У -re/2-
re/2-
Заменяя, как и прежде, —т—- на t, получим:
fn
J _n/8«
Это есть интерполяционная формула Ньютона для интерполи-
интерполирования назад. В ней используются разности, идущие по диагонали
вверх, как это показано в таблице:
X
х->
х-г
х-,
х0
f
и
f-l
f1
1
l
я
/•_,
/13
fu
p
я
/-2
Приведем вычислительный пример на использование форму-
формулы Ньютона для интерполирования назад. По тем же данным, что
и в предыдущем примере, найдем sin 14°. За л:0 в этом случае

122 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
14° 15° 1
возьмем 15°. Тогда t — ^ = — -^ и вычисления дадут:
/0 = sinl5° = 0,258819,
tfl% = — j • 0,033868 = — 0,016934,
f_x = i • 0,000274 = 0,00003425,
^ = J_.0000041 = 0,0000025,
LS(M°)= 0,241922.
Опять ответ получился с шестью верными десятичными знаками.
Мы получили две новые формулы интерполирования и несколько
позже получим еще ряд таких формул. Но нужно твердо помнить,
что каждая из них является другой формой записи интерполяцион-
интерполяционного многочлена Лагранжа. Поэтому, если отвлечься от различия
в обозначениях и в форме записи, все эти формулы тождественны.
При этом, конечно, предполагается, что в них использованы одни
и те же узлы интерполирования. Однако специалисты-вычислители
применяют в различных случаях разные формулы. Дело связано с тем,
что обычно бывает удобнее вести вычисления, ели при интерполи-
интерполировании сначала используются ближайшие к х узлы, а затем посте-
постепенно подключаются все более удаленные. При этом первые члены
интерполяционных формул дадут основной вклад в искомую вели-
величину, а остальные будут давать лишь небольшие поправки. В этом
случае легче избежать просчетов, легче установить, на какой раз-
разности следует закончить вычисления. Чаще всего интерполяционные
формулы для равных промежутков применяют для значений t, не
выходящих за пределы промежутка (—1, 1]. Но так как t в раз-
различных интерполяционных формулах имеют различный смысл, то
разные интерполяционные формулы будут использовать разные
участки изменения х в интерполяционной формуле Лагранжа. В § 3
мы видели, что точность интерполирования на разных участках изме-
изменения х разная. В этом смысле мы можем сравнивать по точности
различные интерполяционные формулы.
3. Остаточные члены интерполяционных формул Ньютона. Сей-
Сейчас мы перейдем к исследованию остаточных членов интерполяцион-
интерполяционных формул Ньютона для интерполирования вперед и назад. Для
первой формулы получим:
Rn = (.x — xo)(x~xo — h)...(x — xo — nh)

§ 6] ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА ДЛЯ РАВНЫХ ПРОМЕЖУТКОВ 123
Для второй
Rn = (x — хо)(х — Xo
ь»+1/(»+1)/е\
= /
(/+1I
A2)
В некоторых случаях, особенно когда значения ft получены из экс-
эксперимента, бывает очень трудно оценить величину производной
у(я+1) (?). Дадим здесь простой, хотя и очень грубый способ такой
оценки. Как известно из предыдущего параграфа,
ffr) (ft
(b+-1)й)= (n + 1\; . A3)
С другой стороны,
«+1
' ге+1
/(*„; *0 + fr ...; xo+(tt+l)ft) = д»+1(^+ , . (И)
Считая, что на рассматриваемом отрезке производная f(n+1~>(x), сле-
следовательно и разности /™+\ меняется не сильно, мы можем заменить
производную, входящую в остаточный член, разностью и получить
Аналогично для второй формулы
_, t(t + !)... (f + я) ^,-ц „
«п (п + 1I ' ^ '
Нужно еще раз подчеркнуть, что полученные формулы очень грубы
и применять их можно только в случае крайней необходимости.
Если не выполнено условие о том, что производная меняется незна-
незначительно, то можно получить совершенно нелепый результат. Так,
например, рассмотрим функцию
/ (х) == х + k sin tzx,
и пусть в качестве узлов интерполирования использованы целочислен-
целочисленные значения Х{=0, +1, +2, ... Тогда разности ведут себя
очень хорошо и уже, начиная со второго порядка, точно равны нулю.
Следовательно, на основании грубой оценки мы получили бы, что
f(x)—линейная функция. Однако на самом деле x-^-ksimzx при
больших k будет сильно отличаться от линейной функции. По гру-
грубой оценке ошибка интерполяционной формулы равна первбму отбро-
отброшенному члену.

124 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Для того чтобы можно было сравнивать по точности различные
интерполяционные формулы, приведем здесь значения коэффициентов
<(< —1)... (t — n)
(л+1I
для значений t на отрезке [—1, 1]. Мы их будем брать по абсо-
абсолютной величине. Эти абсолютные значения будут пригодны и для
интерполяционной формулы Ньютона для интерполирования назад
с заменой t на ¦—t. Поэтому в левом столбце мы дадим значения t
для формулы Ньютона для интерполирования вперед, а в самом пра-
правом •—для интерполирования назад:
^\ п
t ^~\
— 1,0
— 0,9
— 0,8
— 0,7
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
+ 0,1
+ 0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
Ь0,7
+ 0,8
+ 09
+ 1,0
1
1,000
0,86
0,72
0,60
0,48
0,38
0,28
0,20
0,12
0,06
0,000
0,045
0,080
0,150
0,120
0,125
0,120
0,105
0,080
0,045
0,000
2
1,000
0,83
0,67
0,54
0,42
0,31
0,22
0,15
0,09
0,04
0,000
0,028
0,048
0,059
0,064
0,062
0,056
0,045
0,032
0,016
0,000
3
1,000
0,81
0,64
0,50
0,37
0,27
0,19
0,12
0,07
0,03
0,000
0,021
0,034
0,041
0,042
0,039
0,034
0,026
0,018
0,009
0,000
4
1,000
0,79
0,61
0,47
0,34
0,25
0,17
0,11
0,06
0,02
0,000
0,016
0,026
0,030
0,030
0,027
0,023
0,017
0,011
0,005
0,000
п ^^
^^ t
+ 1,0
+ 0,9
+ 0,8
+ 0,7
+ 0,6
+ 0,5
+ 0,4
+ 0,3
+ 0,2
+ 0,1
0,0
— 0,1
— 0,2
— 0,3
— 0,4
— 0,5
— 0,6
— 0,7
— 0,8
— 0,9
— 1,0
Как и всегда, погрешности экстраполяции значительно превышают
погрешности интерполяции.
Приведем еще таблицу значений неустранимой погрешности д^я
наших формул, точнее таблицу коэффициентов при р (см. G) § 3).
Значения взяты из таблицы на стр. 97 с соответствующим видоиз-
видоизменением значений t. Опять левый столбец будет соответствовать
интерполяционной формуле Ньютона для интерполирования вперед,
а правый для интерполирования назад.

§7]
ФОРМУЛЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РАЗНОСТИ
125
— 1,0
— 0,9
-0,8
— 0,7
-0,6
— 0,5
— 0,4
-0,3
— 0,2
— 0,1
0,0
+ 0,1
+ 0,2
+ 0,3
+ 0,4
+ 0,5
+ 0,6
+ 0,7
+ 0,8
+ 0,9
+ 1,0
1
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5-
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
2
3,5
3,1
2,7
2,4
2,1
1,7
1,5
1,2
1,0
0,71
0,5
0,54
0,58
0,60
0,62
0,62
0,62
0,60
0,58
0,54
0,5
3
7,5
6,4
5,4
4,5
3,7
3,0
2,3
1,8
1,3
0,86
0,5
0,63
0,72
0,78
0,81
0,81
0,79
0,74
0,68
0,59
0,5
4
15
13
11
8,5
6,7
5,2
3,4
2,8
1,9
1Д
0,5
0,76
0,96
1,06
1,10
1,1
1,0
0,92
0,80
0,66
0,5
п ^^
+ 1,0
+ 0,9
+ 0,8
+ 0,7
+ 0,6
+ 0,5
+ 0,4
+ 0,3
+ 0,2
+ 0,1
0,0
— од
— 0,2
-0,3
— 0,4
— 0,5
— 0,6
— 0,7
— 0,8
— 0,9
— 1,0
На этом мы временно оставим интерполяционные формулы Нью-
Ньютона и перейдем к выводу других формул. Недостатком формул
Ньютона при интерполировании в промежутке изменения от ¦—1
до 1 является то, что узлы интерполирования расположены несим-
несимметрично относительно л;0. Сейчас мы получим формулы, свободные
от этого недостатка.
§ 7. Интерполяционные формулы, использующие
центральные разности
1. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя
и Эверетта. Опять воспользуемся интерполяционной формулой
Ньютона для неравных промежутков (F) § 5) и возьмем в качестве
узлов x0, Xj хп, ... точки х0, xo-\-h, х0 — А, ..., xo-\~nh,
х0 — nh, ...
Тогда
/. (х) = f (х0) -+- {х — х0) f (х0; х0 + А) -\~ (х — х0) X
Х{х — х0 — А)/(х0; xo-\-h;xo — А)-+ .. . -+ (х — х0) (х — х0 — К) X
Х(х — xo-\~h) . .. (х — xo—nh)(X—XQ-+-nh)f {x0; xo+ h; Хц— h; . . .
.. .; *o + геА; xo — nh; xo-(-(W-)- 1)A)+ ... A)
Используя симметричность разделенных разностей относительно своих
аргументов и их связь с конечными разностями, получим:
— h; ...; xo-\~kh\ xo — kh) =
{2k)\ h*
B)

126 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
f(x0; xo
Отсюда
; ...; xo-(k~l)h;
C)
./8 1
4-
. (x — x0) (x — x0 — A) (x — хй-\- Л) ,s .
. (x — x0) (x — x0 — A) (x — x0 + A) ... (x — x0 -\- (л — 1) A)
' -1" v Bл-1)! A3"
(x—x0) (x—xo—h) (x—x0 + A)... (x—x0 +(я—1) A) (x—x0—nh) f2
Bл)!
Обозначив, как и ранее,
получим:
D)
: —д:0
"+"
-2*)...[^-(/»-l)'l m-i
Bл—1)! ¦'"*
-!»)¦..[<«-(я-!)?](<-я)
Bл)!
-1- ...
E)
Это — интерполяционная формула Гаусса. В ней используются
следующие разности (подчеркнуты черточкой):
X
*-8
Х-1
х0
хх
Ч
х%
/
/-.
/-1
4
Л
к
/з
/U.
/-¦/.
f%
fli
/2_2
INS
1
/j
/l
/3
/3
'4,
f3
Я
/-i
1

§7]
ФОРМУЛЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РАЗНОСТИ
127
Если бы мы взяли узлы интерполирования в другом порядке,
а именно: л:0, л;0-—h, xo-\-h, ...,x0-—nh, xo-\-nh, то совершенно
аналогично получили бы вторую формулу Гаусса:
<(<»-1)(<»-2«)...(<»-(я-1)») -„.,
Bл—1)! • J-4,
Bл)!
F)
Для того чтобы их можно было различить, будем называть пер-
первую из них интерполяционной формулой Гаусса для интерполи-
интерполирования вперед, вторую—для интерполирования назад. Интер-
Интерполяционная формула Гаусса для интерполировачия назад использует
следующие разности:
X
Х-я
Х-1
Х-1
х0
XI
х.
/
/-з
f
f-г
/о
/l
/.
/з
я
-s/3
f1 з/
f\
4
А.
4
г-
f-2
f-г
fl
f\
fl
Я
f3
f\
f3
/8
•/.
я
/о4
Л4
Полусумма двух интерполяционных формул Гаусса даст нам:
-?
Bл—1)!
Bл)!

128 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
так как
Bл)!
'-—\2)(t2 — 22)... [t2— (л— lJ](t + n)
К-
!-12)---[^-(л-1J]
Bл)!
1
_ Г Г-™-1 _|_ f an-11 — f in-1
Мы получили формулу Стирлинга. В ней"используются разности
четного порядка с индексом 0 и полусуммы разностей нечетного
порядка с индексами -\-iy и ¦—к • как это показано в следующей
таблице:
X
х0
xi
'и
/о
/l
/,
Я
/ч
, ( /-'А \
1 1
2 I/?/. J
4
я
/о
Л
р
\ /-¦/,)
~ 1 }
2 1/?/. J
/4
/о
Приведем пример на вычисление по формуле Стирлинга. Пусть
требуется найти sin 14° по значениям sin 9°, sin 12°, sin 15°, sin 18°,
sin 21°. Таблица разностей будет такова:
X
9°
12°
15°
18°
21°
sin х
0,156434
0,207912
0,258819
0,309017
0,358368
Я
51478
50 907
50 198
49 351
Р
—571
—709
—847
— 138
—138

§ 7] ФОРМУЛЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РАЗНОСТИ 129
За х0 возьмем ближайшее к х узловое значение, т. е. 15°. Тогда
1
t — о- и вычисления дадут:
/0 = sin 15° = 0,258819.
*/i = — у • 0,0505525 = — 168508,
^ 00007°9 = — 394,
=~и" °.°00138=—69.
L A4°) = 0,241922.
Все знаки верны.
Получим еще одну важную интерполяционную формулу. Для
этого применим интерполяционную формулу Гаусса для интерполи-
интерполирования назад F) к точке хх. Тогда
...[*''-(я-
Bл—1)! •/'/3 ~г
";^(°^"""'+'"с+... (в,
В этой формуле для обозначения параметра мы использовали t'
вместо t, так как он равен —-—-, а не —-—-. Легко видеть, что
t'=t—1. Сделаем замену t' на t. Тогда получим:
f (f»-l) ... рт-(я-2)«]0-Л+1)(<-я) ^
* " ~"г~ Bл—1)! •''/= "т"
Н Bя)! /!"+••• (9)
Полусумма этой формулы и формулы Гаусса для интерполирования
вперед E) даст
""Г" Bл)! 7Ч2~

130 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
так
-Г-
2L
так как
1 |7(*а — 1)...(^ — rfl)
Bл +1)!
Bл+1)!
Эта формула носит имя Бесселя. Она особенно удобна для интер-
интерполирования на середину, т. е. для ?=•--. Действительно, в этом
случае все члены, содержащие разности нечетного порядка, обра-
обратятся в нуль. В формуле Бесселя используются следующие разности:
X
*-,
/
/-,
/-1
l{fo\
h
и
Р
1
i
1
р
/2_!
/Л
1
fl
р
/з
1

i
В качестве примера на применение формулы Бесселя вычислим
sin 16° 30' по данным предыдущего примера. При этом, если в каче-
качестве х0 взять снова 15°, то ' = -п~- Вычисления дают:
/1A = 1 [/п 4- Д] = у @,258819 +- 0,309017) = 0,283918,
t(t 1)
-
16
— -( 70Q 847^ — 972
— 161- -1 ~ '
L A6° 30') = 0,284015.
Получили тсчное значение с шестью десятичными знаками.
Из используемых часто формул нам осталось получить еще только
формулу Эверетта. Чтобы вывести ее, исключим разности нечет-
нечетного порядка из формулы Гаусса для интерполирования вперед E)
при помощи соотношения
f2n+l —- fin f2n
J Vi J \ JO'

§ 7] ФОРМУЛЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РАЗНОСТИ
131
При этом у нас появятся члены с разностями /^га, имеющие коэф-
коэффициент
t(f—p) ... (fl — л")
Bл+1)! '
и разности /2" с коэффициентом
t (fl — Р) ... [fl — (я — 1K] (t — я) t (fl — Р) ... [fl — (п — Щ (fl — rfi) _
Bл)! Bл Ц-1)| —
Bл+1)!
Преобраз}'ем последнее выражение, заменив t на 1 — %. Получим:
A—S) A—S-l) A-S+1). ¦ .A—S—я+1) A—S+n—1) A—S—я) (л + 1—1+S)
Bл+1)!
Окончательно формула Эверетта примет вид
Bл+1I
В этой формуле используются разности, подчеркнутые в таблице
черточкой:
X
*-.
JC-1
х,
/
л
л
л
я
я
/1,
я
f3
А
я
4
Формула Эверетта имеет некоторые особенности, отличающие ее
от других выведенных нами формул. Прежде всего она содержит
только разности четного порядка. Эго особенно удобно при печа-
печатании таблиц, если в них необходимо поместить также и разности.

132 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Далее, она содержит разности, соответствующие точкам х0 и хх.
При этом количество вычислений не больше, чем по любой другой
интерполяционной формуле. С другой стороны, этой особенностью
можно иногда воспользоваться для сокращения работы при некото-
некоторых вычислительных процессах. Это, например, имеет место в про-
процессах субтабулирования, т. е. в том случае, когда по данной
таблице нужно составить новую таблицу с более мелким шагом.
Действительно, при этом вторая строка формулы Эверетта перейдет
в первую на следующем шаге и полученные нами на первом шаге
ее значения могут быть использованы ^вторично. В качестве иллю-
иллюстрации на применение формулы' Эверетта мы и возьмем пример
на субтабулирование. Пусть по заданным значениям sin 9°, sin 12°,
sin 15°, sin 18°, sin 21° требуется найти значения синусов на отрезке
[9°, 21°] с шагом в 30'. При этом t к Ч будут принимать значе-
значения -?-, -?-, -тг, -~-, -г-. Коэффициенты формулы Эверетта будут равны:
t
6
1
6
— 0,007006
2
6
0,049383
3
"
0,0625
4
6
0,061728
5
6
— 0,042498
Значения синусов и вторых разностей возьмем из предыдущих
примеров. Отсутствующие там вторые разности равны
/|. = —0,000428 и /2i° = — 0,000982.
Промежуточные вычисления можно свести в следующую таблицу.
X
1
9°
t
2
1
6"
1
3
1
2
2
3
5
6
tfi
3
0,0260723
0,0521446
0,0782170
0,1042893
0,1303616
6 fl
4
0,0000115
0,0000119
0,0000267
0,0000264
0,0000180
C) + D)
5
0,026084
0,052165
0,078244
0,104316
0,130380
№
6
1
2
3
4
5

§ 71
ФОРМУЛЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РАЗНОСТИ 133
Продолжение
X
1
12°
15°
18°
t
2
1
тг
1
"
1
"
2
3"
5
6
1
6
1
"
1
2
2
3
5
ТГ
1
6
1
"з"
1
"
2
3
5
Т
tfi
3
0,0346520
0,0693040
0,1039560
0,1386080
0,1732600
0,0431365
0,0862730
0,1294095
0,1725460
0,2156825
0,0515085
0,1030056
0,1545085
0,2060113
0,2575141
6 Ti
4
0,0000150
0,0000280
0,0000360
0,0000350
0,0000240
0,0000190
0,0000350
0,0000440
0,0000440
0,0000290
0,0000230
0,0000410
0,0000530
0,0000520
0,0000360
C) + D)
5
0,034667
0,069332
0,103992
0,138643
0,173284
0,043156
0,086308
0,129453
0,172590
0,215712
0,051526
0,103047
0,154562
0,206063
0,257550
№
6
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

134 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Продолжение
X
1
21°
t
2
1

1
3"
1
2"
2
з"
5
"
.и
3
0,0597280
0,1194560
0,1791840
0,2389120
0,2986400
t (Р — 1) 2
6 /l
4
0,0000270
0,0000480
0,0000610
0,0000600
0,0000410
C) + D)
5
0,059755
0,119504
0,179245
0,238972
0,298671
№
6
21
22
23
24
25
Получив эту таблицу, последовательно найдем значения синуса
промежуточных аргументов. Так, sin 9° 30' равен сумме чисел, стоя-
стоящих в столбце 5 и строках 5 и 6, sin 10° равен сумме строк 4 и 7,
sin 10° 30' — сумме строк 3 и 8, sin 11°—сумме строк 2 и 9,
sin 11°30' — сумме строк 1 и 10. Далее, sinl2°30' равен сумме
чисел, стоящих в столбце 5 и строках 10 и 11, а затем так же, как
и в предыдущем случае. Окончательно получим таблицу (в последнем
столбце указана разность между полученным и точным значениями
в единицах шестого десятичного знака):
X
9°
9° 30'
10°
10° 30'
11°
11° 30'
12°
12° 30'
13°
13° 30'
14°
14° 30'
sin х
0,156434
0,165047
0,173648
0,182236
0,190808
0,199368
0,207912
0,216440
0,224951
0,233445
0,241922
0,250379
Разность
0
— 1
0
0
— 1
0
0
0
0
0
0
— 1
X
15°
15° 30'
16°
16° 30'
17°
17° 30'
18°
18° 30'
19°
19° 30'
20°
20° 30'
sin х
0,258819
0,267288
0,275637
0,284015
0,292371
0,300706
0,309017
0,317305
0,325567
0,333807
0,342019
0,350203
Разность
0
0
0
0
— 1
0
0
0
— 1
0
— 1
1
Мы уже говорили о том, что при издании таблиц выгодно
печатать только разности четного порядка и тем самым предпола-
предполагать интерполирование по формуле Эверегта. При этом можно

§ 7] ФОРМУЛЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РАЗНОСТИ 135
достичь дальнейших упрощений. Пусть мы хотим использовать фор-
формулу Эверетта до членов с четвертыми разностями:
" '¦> 1 ' 6 ¦" ' 120 '
-Х-If I ^ (^ ~ 1 ) f 3 I - (; ~~ *) (; ~~ 2 ) fi
-г^0~ 6 1 о -г 120 Jo-
Последние два члена первой и второй строк можно записать в виде
о 4-^2 4-^2
где ft— некоторая постоянная. Выражения—^— и —^—, стоящие
в последних квадратных скобках, изменяются незначительно при
изменении t и ? в промежутке (О, 1J, в котором обычно используют
формулу Эверетта. Поэтому можно так подобрать k, что множи-
множители при четвертых разностях в последних членах будут очень малы.
Если при этом и сами четвертые разности не очень велики, так что
их произведение с этими множителями не окажет влияния на верные
десятичные знаки L(xo-\-th), то последние члены можно целиком
отбросить. Тогда мы можем печатать в таблице вместо настоящих
вторых разностей /* модифицированные разности /^—ft/* и исполь-
использовать формулу Эверетта только до вторых разностей.
Выберем к так, чтобы
о
был равен нулю. Это даст
На практике используют значение ft = 0,184. При этом ft .у—
4 — ?2
и ft = —нтг- изменяются в пределах от —0,016 до 0,034. Коэффи-
Коэффициенты при /* меняются от —0,00077 до 0,00053. Следовательно,
даже если четвертые разности достигают 600 единиц последнего
знака, наш прием будет применим.
Сказанное здесь о формуле Эверетта можно частично перенести
и на другие интерполяционные формулы. Так можно использовать
модифицированные разности и с другими формулами. Можно исполь-
использовать симметрию коэффициентов многих интерполяционных формул.

136 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ (ГЛ. 2
2. Остаточные члены интерполяционных формул с централь-
центральными разностями. Перейдем теперь к сравнительному анализу раз-
различных интерполяционных формул с точки зрения их практического
применения. Прежде всего исследуем остаточные члены.
Для формулы Гаусса для интерполирования вгеред узлы брались
в следующем порядке: х0, xo-\-h, х0— h, xo-\~2h, x0 — 2h, ...
Поэтому
... (х — х0 — га/г) (х — х0 -1- nh),
fBn) (С,
Rin-i — - Bя)! (¦* — хо) {х — х0 — h) (х — xi} + Щ . ..
... \х — х0 — (п — 1) /г] [х — х0 + (га — 1) /г] (х — хь — nh)
или
^2» = Bя+1)! t У* - 12) ^ - 22) • ¦ ¦ ('2 ~ П2)' °2)
W 1*)(Р — 22)... [*2_(„_ 1J] (,_„). A3)
^2п-1= Bя),
Если производные заменить разностями, помня, что мы говорили
об этом при выводе остаточных членов формул Ньютона, то получим:
f2n+l
R*« ~Bя+1)!t «2 -12) «2 -22) • • - «2 - «2).
ли
/?2»-1 « -ЩГ -' (^ - 12) (^ - 22) ... [^ __(„__ 1J] Ц _ „). A5)
Как и для формул Ньютона, ошибка оказывается приблизительно
равной первому отброшенному члену интерполяционной формулы.
Для формулы Гаусса для интерполирования назад узлы брались
в таком порядке: х0, х0 —h, xo-\-h, x0 — 2/г, xo-\-2h, ... Поэтому
{х ~ Хо) {х ~ х°+h) (х ~ х° ~ h) ¦''
.. . (х — х0 + nh) (х — х0 — nh) =
-tV2 - 1г)(^2-22) • • ¦ V2 ~пг) A6)
f( p
R2n-i = BЯ), (х — х0) (х — х0 4- A) Cv — х0 — Л) ...
... [х — х0 -f- (га — 1) /г] [х — хп — (га — 1) А] (х — .тп 4- nh) =
|WA7)

§7]
ФОРМУЛЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РАЗНОСТИ
137
Грубые оценки примут вид:
/5Г
#2
t{t2— I2) ... (t2 — га2),
A8)
-12) v2—22) • • •[t2—{п—
A9)
Производные, входящие в оценку, целиком определяются выбран-
выбранной функцией f(x). Множители при этих производных зависят от
выбранной ¦ формулы интерполирования. Приведем здесь таблицу
абсолютных значений этих множителей при изменении t от —1 до 1.
Индекс п означает степень взятого нами интерполяционного много-
многочлена. В левом столбце даны значения t к формуле Гаусса для
интерполирования вперед, в правом—для интерполирования назад.
t ^-\^
— 1,0
— 0,9
— 0,8
— 0,7
— 0,6
— 0,5
— 0,4
— 0,3
-0,2
— 0,1
0,0
од
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,00
0,86
0,72
0,60
0,48
0,38
0,28
0,20
0,12
0,06
0,00
0,045
0,080
0,105
0,120
0,125
0,120
0,105
0,080
0,045
2
0,000
0,028
0,048
0,060
0,064
0,062
0,056
0,046
0,032
0,016
0,000
0,016
0,032
0,046
0,056
0,062
0,064
0,060
0,048
0,028
3
0,000
0,020
0,034
0,040
0,042
0,039
0,034
0,026
0,018
0,008
0,000
0,008
0,014
0,020
0,022
0,023
0,022
0,020
0,014
0,008
4
0,0000
0,0046
0,0081
0,0104
0,0116
0,0117
0,0108
0,0089
0,0063
0,0033
0,0000
0,0033
0,0063
0,0089
0,0108
0,0117
0,0116
0,0104
0,0081
0,0046
п ^^
^^ t
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
ОД
0,0
— од
— 0,2
— 0,3
— 0,4
— 0,5
— 0,6
-0,7
—0,8
— 0,9
Сравнивая с соответствующими значениями множителей для интер-
интерполяционных формул Ньютона, приведенными на стр. 124, мы видим,
что формуле Гаусса нужно отдать предпочтение. Объяснение этому
факту давалось на стр. 94—96.
Мы пользуемся в первом случае крайними частями приведенных
там графиков, в последнем — средними. Это дает нам основание
отдать формулам Гаусса предпочтение. Однако ими не всегда удается
воспользоваться. Действительно, если значение х, для которого
нужно произвести интерполирование, находится вблизи начала или
конца таблицы, то нам не будут известны разности, необходимые

138 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
для использования формул Гаусса. В этих случаях мы будем выну-
вынуждены применять формулы Ньютона. Если х находится вблизи начала
таблицы, используют формулу Ньютона для интерполирования вперед,
если вблизи конца таблицы — для интерполирования назад. В осталь-
остальных случаях применяют либо формулы Гаусса, либо формулы, полу-
полученные путем преобразования формул Гаусса.
Формула Эверетта получается путем исключения разностей нечет-
нечетного порядка из формулы Гаусса для интерполирования вперед.
Поэтому и остаточный член ее будет таков же, как и у формулы
Гаусса для того случая, когда последняя использованная там раз-
разность имеет нечетный порядок 2п-\-1, следовательно, остаточный член
ее будет иметь вид
л т /
-t(t2— \2)(t2—22) ... (t2 — n2) (t — n — 1). B0)
BЛ4-2)!
Рассмотрим теперь неустранимые погрешности формул Гаусса.
Для этого выберем из таблицы, приведенной на стр. 97, нужные
нам значения коэффициентов при р, учитывая определение t для
обеих формул (п, как и прежде, будет означать степень интерполя-
интерполяционного многочлена). Левый столбец t будет относиться к формуле
Гаусса для интерполирования вперед, правый — к формуле Гаусса
для интерполирования назад.
^\. л
t \^
— 1,0
— 0,9
— 0,8
— 0,7
— 0,6
— 0,5
— 0,4
— 0,3
— 0,2
— 0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
ОД
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
,,»
1
1,5
1,4
1,3
1,2
1.1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
2
0,5
0,54
0,58
0,60
0,62
0,62
0,62
0,60
0,58
0,54
0,5
0,54
0,58
0,60
0,62
0,62
0,62
0,60
0,58
0,54
0,5
3
0,5
0,62
0,72
0,78
0,81
0,81
0,79
0,74
0,68
0,59
0,5
0,54
0,58
0,60
0,62
0,62
0,62
0,60
0,58
0,54
0,5
4
0,5
0,57
0,62
0,66
0,69
0,70
0,69
0,66
0,62
0,57
0,5
0,57
0,62
0,66
0,69
0,70
0,69
0,66
0,62
0,57
0,5
л ^-^
^^ t
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
— 0,1
— 0,2
— 0,3
— 0,4
— 0,5
— 0,6
-0,7
— 0,8
— 0,9
— 1,0

К 7] ФОРМУЛЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РАЗНОСТИ 139
Как мы видим и неустранимые погрешности для формул Гаусса
меньше, чем для формул Ньютона.
Перейдем теперь к оценке погрешности интерполяционной фор-
формулы Стирлинга. Она является полусуммой формул Гаусса. Поэтому
и остаточный член ее будет равен полусумме остаточных членов
формул Гаусса. Отсюда
и так как производная /<3»+!) (?) наряду с pin+l) (^) и /C»+!) (?2)
принимает все промежуточные значения, а среднее арифметическое
двух чисел всегда заключено между наибольшим и наименьшим из
них, то
t
Bя+1I
- 12)(^2 —22) ¦• • • V2 — я2)- С21)
Если последняя из использованных в формуле Стирлинга разностей
имеет нечетный порядок, то остаточный член будет иметь вид
... [Я - (п - IJ] [/<an> GO (* — «) + /<2"> (У (^ + я)]. B2)
Получилось более сложное выражение, чем в предыдущем случае,
и его не удается упростить так, как это было сделано в первый
раз. Однако если предположить, что /^2") (х) постоянна или хотя бы
что она меняется незначительно на рассматриваемом промежутке, то,
заменяя /<2"' (^) и /<2п> (?2) некоторым значением /*2п) (?), получим:
— 12)(^2- 22) • • • \Р—{п- \)Ц. B2')
Грубые оценки остаточных членов для формулы Стирлинга будут
иметь вид:
f-in+l
К2п~щТ^((Р-1*)(Р-2*)...(Р-п*), B3)
fin
?t4t2—l2)(t2—2*)...lt2-(n — in B4)
Дадим и для этого случая таблицу абсолютных значений коэффи-
коэффициентов при /jfc/(fc) (?) в остаточном члене формулы Стирлинга. Для
того случая, когда берется формула Стирлинга, оканчивающаяся на
разностях нечетного порядка, будем предполагать, что возможны
упрощения, которые мы проделали, (п, как и всегда,—степень интер-
интерполяционного многочлена.)

140 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
^\ п
t ^\^
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1
0,000
0,005
0,020
0,045
0,080
0,125
0,180
0,245
0,320
0,405
0,500
2
0,000
0,016
0,032
0,045
0,056
0,062
0,064
0,059
0,048
0,028
0,000
3
0,0000
0,0004
0,0016
0,0034
0,0056
0,0078
0,0096
0,0104
0,0096
0,0067
0,0000
4
0,0000
0,0033
0,0063
0,0089
0,0107
0,0117
0,0116
0,0104
0,0081
0,0045
0,0000
Для отрицательных t получатся значения, симметричные относи-
относительно ^= 0.
Сравнивая приведенные значения с соответствующими значениями
для формул Гаусса, видим, что при четных п значения одинаковы,
а при нечетных п и при t, близких к нулю, значения получились
значительно меньшими. Правда, последнее имеет место при почти
постоянных соответствующих производных. Вообще говоря, фор-
формулу Стирлинга выгодно применять, останавливаясь на разно-
разностях нечетного порядка, и при значениях t, близких к нулю.
На практике ее применяют для значений |/|^-j.
Перейдем к формуле Бесселя. Ее мы получили как полусумму
формулы Гаусса для интерполирования вперед и формулы Гаусса
для интерполирования назад, но взятой со сдвигом на один шаг впе-
вперед. Для последней формулы остаточный член можно записать
в одной из следующих двух форм:
— (я— 1JШ — n)(t — п -1),
Беря полусумму этих остаточных членов и соответствующих им
остаточных членов формулы Гаусса для интерполирования вперед,
получим остаточные члены формулы Бесселя:
X
\
-щх \
— 1) (Р — 2*) ... [р — (п — \f) {t — n), B5)
(«О +/Bп) Ы 1 (i2 - I2) V2 - 22) ...
...[Р — (п— IJ] it — n). B6)

§ 7] ФОРМУЛЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РАЗНОСТИ 141
Предполагая опять, что производная уB»+1)(?) либо постоянна, либо
меняется незначительно в рассматриваемом промежутке, мы можем
упростить первое выражение B5) и записать:
— (n—lft(t — n)(t—±y B5')
Последнее выражение B6) упрощается, так же как и для формулы
Стирлинга, путем использования свойства среднего арифметического
и свойства производных. Оно может быть записано в виде
Rzn-i = -Щ1 fim tf) * V2 - I2) С2 - 22). . . [Р - (я - IJ] (t - я). B6')
Грубые оценки остаточных членов записываются в виде
*%п+1
^ef/('l-ll)('I-2!)-
К2 — (n—iy](t — n)(t — -i), B7)
- 22) • • • I*2 - (« - 1J1 (/ - я). B8)
Здесь бросается в глаза следующий факт. При ^=у упрощенное
выражение для R2n обращается в нуль. Этого, вообще говоря, не
будет в действительности. Погрешность R2n обратится в нуль при
t=--zy в том случае, когда /Bn+1)(x)=; const. Таким образом, много-
многочлен, представляемый формулой Бесселя, взятой до разностей по-
порядка 2л, будет давать точные значения /(х) при t=-»-, если
/(х) — произвольный многочлен степени не выше 2п-\-\. Разница
между точным и упрощенным выражениями R2n будет определяться
производными порядка /<2и+2)(х). Используя выражение остаточного
члена формулы Лагранжа, содержащее разделенные разности, можно
было бы показать, что разность между точным и приближенным
значениями R2n примерно равна /?2n+i-
Приведем теперь абсолютные значения коэффициентов при Ak/<ft)(?)
в выражениях остаточных членов формулы Бесселя (п означает сте-
степень использованного интерполяционного многочлена). Для четных п
использована упрощенная формула.

142 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
— 1,0
— 0,9
— 0,8
— 0,7
-0,6
— 0,5
— 0,4
— 0,3
— 0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1
1,00
0,86
0,72
0,60
0,48
0,38
0,28
0,20
0,12
0,06
0,00
0045
0,080
0,105
0,120
0,125
0,120
0,105
0,080
0,045
0,000
2
0,500
0,401
0,312
0,240
0,176
0,127
0,084
0,053
0,028
0,012
0,000
0,006
0,008
0,007
0,004
0,000
0,004
0,007
0,008
0,006
о.ооо-
3
0,0000
0,0207
0,0336
0,0402
0,0416
0,0391
0,0336
0,0262
0,0176
0,0087
0,0000
0,0078
0,0144
0,0193
0,0224
0,0234
0,0224
0,0193
0,0144
0,0078
0,0000
4
0,0000
0,0058
0,0087
0,0096
0,0091
0,0078
0,0060
0,0040
0,0025
0,0010
0,0000
0,0006
0,0009
0,0008
0,0004
0,0000
0,0004
0,0008
0,0009
0,0006
0,0000
Как видим из этой таблицы, формула Бесселя имеет преиму-
преимущества перед формулами Гаусса и Стирлинга при четных п
и особенно при значениях t, близких к -^ . Поэтому ее выгодно
применять, когда формула заканчивается на четных разностях
/1 3 \
и при значениях t, заключенных в промежутке 1^-, -j\.
Заметим, что при упрощении остаточных членов формул Бесселя
и Стирлинга мы использовали предположение о почти постоянстве
соответствующих производных. Это предположение имеет под собой
почву в практике интерполирования. Дело в том, что если произ-
производные велики и сильно изменяются, а это обычно выражается
в неправильном поведении соответствующих разностей, то вряд ли
можно ожидать большой точности интерполирования. В этом случае
либо увеличивают порядок используемых разностей, либо умень-
уменьшают шаг интерполирования.
§ 8. Некоторые другие подходы к выводу формул
интерполирования для равных промежутков
1. Диаграмма Фрезера. В этом параграфе мы кратко изложим
некоторые другие способы получения формул интерполирования.
Прежде всего дадим способ, предложенный Фрезером. Для сокра-

§ 8] ДРУГИЕ ПОДХОДЫ К ВЫВОДУ ФОРМУЛ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ 143
щения записей введем символ С™, где т — натуральное число и
t — произвольное действительное число, понимая его как
A)
Из всех свойств, которыми обладает Cf, нам понадобится лишь
следующее:
q+l
Оно легко получается из определения Cf. Действительно,
rin-i _ rq+i _ (р + 1) р (р — 1) ¦ ¦ ¦ (р — д + 1) _ р(р—\)...(р — д) _
р+1 р ~ (9 + 1)! (9+1I —
Умножим полученное тождество на равенство
/г+1 /г = /г + 1/21
Получим:
ft
ИЛИ
Рассмотрим теперь ромбовидную диаграмму, приведенную на
рис. 21.
Рис. 21.
Из последнего равенства следует, что если, исходя из какой-то
величины, помещенной в левой вершине ромба, двигаться по его
верхним сторонам до правой вершины, прибавляя все встречающиеся
по пути величины, то мы получим такой же результат, какой по-
получится, если, исходя из той же величины, двигаться по нижним
сторонам ромба, прибавляя все встречающиеся по пути величины.
Далее, если мы проведем диагональ ромба, соединяющую левую
" правую вершины, и, продвигаясь по ней, будем брать полусуммы

144 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ (ГЛ. 2
чисел, стоящих непосредственно над и под ней, то, очевидно,
получим такой же результат. Так, для построенного выше ромба
мы получим на этом диагональном пути следующее выражение:
/i Т у 1° Р-\
E)
Составим теперь из таких элементарных ромбов сетку на пло-
плоскости. В каждой вершине поместим разность с соответствующим
Рис. 22. Диаграмма Фрезера.
¦коэффициентом так, чтобы эти разности располагались так же,
как и в таблице разностей. К разности /' возьмем в качестве коэф-
коэффициентов С\ и С(_!. Получится ромбическая диаграмма, которую
мы назовем диаграммой Фрезера.

§ 8] ДРУГИЕ ПОДХОДЫ К ВЫВОДУ ФОРМУЛ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ 145
Рассмотрим теперь произвольный путь, идущий слева направо
от /0 по сторонам ромбической диаграммы. Используя последова-
последовательно проведенные нами рассуждения для одного ромба, мы
получим следующий результат: любой путь, идущий от /0 направо
по сторонам ромбов или их горизонтальным диагоналям и при-
приходящий в ту же конечную точку, даст такую же сумму, что
и первый
Построим диаграмму Фрезера для некоторого многочлена, хотя бы
многочлена Лагранжа для некоторой функции /(х). Разности,
начиная с некоторого порядка, обращаются в нули. Отсюда следует,
что любые два пути, начинающиеся с /0 и продолженные до столбца
постоянных разностей, дадут одинаковые суммы, так как их всегда
можно свести в одну точку по столбцам с нулевыми разностями.
Более того, учитывая, что имеет место соотношение
/o + '/v^/i-H'-D/J/,. F)
мы можем использовать любые пути, начинающиеся в /t и заканчи-
заканчивающиеся на постоянных разностях, и получать тот же результат,
а отсюда следует, что на любом пути, идущем от произвольного /{
до постоянных разностей, мы получим один и тот же результат.
Путь, идущий от /0 по диагонали вниз, даст нам
Эта сумма по формуле Ньютона для интерполирования вперед
равна Ln (x0 -\- th). Таким образом, выбирая произвольным образом
Рис. 23.
начальное значение /{ и путь, заканчивающийся на постоянных
разностях, складывая все встречающиеся на пути величины, мы
также получим Ln(x0-\-th). Этим способом можно получить гро-
громадное количество самых различных формул.
Формула Гаусса для интерполирования вперед получится, если
взять за начальную точку /0 и избрать зигзагообразный путь,
имеющий вид, приведенный на рис. 23. Мы получим формулу
Стирлинга, если пойдем от /0 по горизонтали направо; формулу
Бесселя можно получить, если двигаться вдоль строки с индексом -j.
2. Понятие об операторном методе вывода формул интерполиро-
интерполирования. Дадим теперь операторные выводы интерполяционных формул.

146 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [Гл. 2
Рассмотрим линейное множество R всех действительных функций,
заданных на всей действительной прямой. Поставим в соответствие
произвольной функции / (х) ? R функцию
где h — фиксированное действительное число. Эта функция также
принадлежит R. Следовательно, в соответствии с определением,
данным во Введении, мы ввели некоторый оператор. Обозначим его
через Д. Итак,
— /(х). G)
В дальнейшем мы часто будем опускать скобки, выделяющие аргу-
аргументы операторов. Нами будут также использованы операторы V
и S, которые вводятся следующим образом:
V/(x) = /(x)— /(x — h), (S)
Оператор А, определенный на линейном множестве R, называется
аддитивным, если для произвольных x^R и y?R и любых дей-
действительных чисел с1 и с2 имеет место равенство
А (с,х + с2у) = с1Ах -\- с2Ау. A0)
Нетрудно проверить, что введенные нами операторы Д, V и Ь
являются аддитивными.
Введем понятие суммы и произведения операторов. Оператор С
называется суммой операторов А и В, если все эти операторы
определены на одном и том же линейном множестве R и для
любого х ? R имеет место равенство
х. A1)
Эту связь операторов А, В и С мы будем обозначать так:
С = А + В. A2)
В силу коммутативности сложения в линейном множестве имеет
место
. A3)
Если оператор В преобразует любой элемент х линейного мно-
множества R в элемент с Ах, где с — действительное число и Л — не-
некоторый оператор, то мы будем обозначать его через сА. Далее,
будем называть оператор С произведением операторов А и В,
если для любого элемента х некоторого множества R имеет место
Сх = А(Вх). A4)
Очевидно,
(АВ)С=А(ВС). A5)

§ 8] ДРУГИЕ ПОДХОДЫ К ВЫВОДУ ФОРМУЛ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ 147
Если R линейное множество, то имеют место также равенства
(А 4- В) С = АС 4- ВС, A6)
A7)
Вообще говоря, АВ ± ВА. Будем обозначать через / оператор, для
которого при любом x?R имеет место /х=х. Назовем такой
оператор единичным. Теперь мы можем определить А2 = АА,
А3=А2А, ... Для степеней оператора имеет место равенство
Ат+п=АтАп=АпАт. A8)
По определению, положим А° = [. Теперь мы можем рассматривать
многочлены от операторов
ао/ + а,Л-4-а»42-4- ... +апАп. A9)
Если в линейном пространстве R каким-то образом введено понятие
предела, то мы можем рассматривать и ряды операторов
... -\-апАп+ .... B0)
понимая под этим такой оператор В, что
п
Вх= lim 2 акАкх. B1)
п>со к=0
Оператор В может быть вообще не определен или определен
только на части пространства R.
Перейдем теперь к выводу интерполяционных формул. В до-
дополнение к введенным ранее операторам Д, V и 8 рассмотрим еще
оператор D = -r-. Если функция /(х) разлагается в бесконечный
степенной ряд, то
( ^ gjj ) ^/(хо). B2)
В частности,
/ (х0 + А) = e^f (х0) = (/ + Д) / (х0). B3)
Итак,
(|
Отсюда
/(*„ + **) = «'«>/ (*о) = (/ + А)' / (х0). B4)
В частности, если /(x) = Ln(x), то все наши ряды превращаются
в конечные суммы и произведенные нами операции являются

148 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
законными. Раскрывая последнее выражение, мы получим интерпо-
интерполяционную формулу Ньютона для интерполирования вперед:
= / (х0) + *Д/ (х0) +1-^~^> Д2/ (х0) +
Для получения интерполяционной формулы Ньютона для интер-
интерполирования назад заметим, что
— /(х — h)] =
— /(x) — /(x)+/(x— /г) = Д/(х)— V/(x).
Отсюда
ДУ = Д— V, B5)
A=V(/—V)'1 B6)
и, кроме того,
Итак,
=(/ —V). B7)
или
Ln (х0 + «) = (/ + Д)' / (х0) = (/ - V)"* / (х0), B8)
Ln (х0 +M) = f (х0) +¦ tVf (х0) + ^±1} V2/ (х0) +
... B80
Это—интерполяционная формуля Ньютона для интерполирования
назад, но записанная в других обозначениях.
Связь оператора 8 с оператором Д значительно сложнее. Мы
имеем:
- / (л- — h) = Д/ (х) — V/ (х)
или
82 = Д — V. B9)
Отсюда
82=:Д — Д(У + Д)-' = Д2(/-4-Д)~1. C0)
т. е. Д является решением квадратного уравнения
Да — §2Д — S2 = 0. C1)
Мы не будем входить в детали дальнейших рассуждений для полу-
получения формул центральных разностей

§ 9] СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПРОЦЕССА 149
§ 9. Сходимость интерполяционного процесса
При практическом использовании интерполирования не всегда
удается произвести оценку остаточных членов. Высшие производные,
входящие в эти остаточные члены, не всегда доступны. Поэтому
уверенность в том, что, выбрав достаточно большое количество
узлов, мы достаточно хорошо приблизимся к интерполируемой
функции, была бы очень полезна в практическом интерполировании.
В связи с этим возникает задача о сходимости интерполяцион-
интерполяционного процесса.
Пусть нам задана треугольная матрица
Xq,
i X\ ,
!) B) B) -1N
', x\\ xV, (I)
Jn) (n) (n) (n)
to i Xi , Xa , . . ., хи ,
все элементы которой принадлежат отрезку \а, Ь]. Для некоторой
заданной на отрезке \а, Ь] функции /(х) строится последователь-
последовательность интерполяционных полиномов Лагранжа Ln{x), п= О, 1, 2, . ..,
причем для построения Ln(x) в качестве узлов интерполирования
используются все элементы л-й строки нашей матрицы. Интерполя-
Интерполяционный процесс называется сходящимся, если
lim Ln(x) = f(x), x?[a,b\. B)
Этот процесс равномерно сходится, если сходимость последнего
выражения равномерная.
На первый взгляд кажется, что если элементы матрицы с по-
повышением номера строки все плотнее и плотнее заполняют отре-
отрезок [а, Ь], так что в любой его части, начиная с некоторого п,
находится по крайней мере один узел, то должна быть равномерная
сходимость Ln(x) к / (х) хотя бы для непрерывных функций.
Однако это оказалось не так. Как было показано Фабером, для
любой заданной матрицы узлов вида A) найдется такая не-
непрерывная функция /(х), что построенные для нее интерполя-
интерполяционные многочлены Лагранжа по этим узлам не сходятся
равномерно на [а, Ь\ к f (x). Более того, как было показано
Бернштейном, последовательность интерполяционных многочленов
Лагранжа Ln(x), построенных для функции /(х)=|х| на от-
отрезке [—1, 1] по равноотстоящим узлам (¦*§1)=—1; х™ — l), не

150 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
стремится с возрастанием п к f (х) ни в одной точке, отличной
от —1, 0, 1.
Вопросу сходимости интерполяционного процесса посвящена
обширная литература. Для изучения этого вопроса привлекаются
самые современные и тонкие методы математического анализа. Мы
не имеем здесь возможности даже вкратце коснуться всех получен-
полученных в этом направлении результатов, не говоря уже о проведении
доказательств. Дадим здесь лишь одну теорему, относящуюся
к целым функциям. Дадим сначала определение целой функции.
Функция / (х) называется целой, если ее можно представить
в виде степенного ряда
f{x) = ao-\-al{x — xo)-\-a2{x — xof-\- ... -+- ап (х — хо)п-\-
сходящегося при всех значениях х.
Теорема. Пусть /(x) — целая функция. Тогда последова-
последовательность построенных для нее интерполяционных многочленов
Ln(x) no любой треугольной матрице указанного выше вида
с элементами, принадлежащими отрезку [а, Ь\, равномерно на
отрезке \а, Ь\ сходится к / (x).
Заметим, что на основании известных теорем анализа функция /(х)
имеет производные любого порядка. Следовательно, мы можем
воспользоваться полученной ранее оценкой отклонения / (х) от
своего интерполяционного многочлена:
^n(x)|. C)
Здесь
Но очевидно, что
Итак,
Мы покажем, что правая часть этого неравенства стремится к ну то
при п, стремящемся к бесконечности. Производная /(га+1) (х) функ-
функции / (х) может быть записана в виде
- ft) (п -+- k — 1) ... kan+k (x — х/

§ 9 СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПРОЦЕССА
Отсюда
151
тем более,
an+211 .* - х0
Из неравенства
следует
Таким образом,
при х>0
Умножим обе части последнего неравенства на Sn+1, где S — произ-
произвольное, но фиксированное положительное число. Тогда получим:
(х)\
—Г" I "та-*-2 ] •-> \e\X—Xo | )-\-...
'...+\an+k\Sn+l{e\x-x0\)k-l+ ..
Обозначим через R наибольшее из двух чисел
Тогда
S и max (е [ х—хо|).
ж 6 la, б|
fr-n+l
Так как последнее равенство имеет место при любом значении
x(z lfl. *]. то
СО
аэ оо
Ряд 2j\ак|Rk сходится. Следовательно, 2 \ak\Rk и тем более

152 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ (ГЛ. 2
м sn+1
"+1 стремится к нулю при га—>-со. Далее,
(л+1I (/г+1)п+1 (л+1I
Из разложения
-I" ••• -I- („_|_i)i "I" •••
1) | | |
i)t 21 I ••• I („_|_i)i
следует, что
Поэтому
J^»+l_^»±i.[e0_a)ln+1. 7
(+1)»+1
Принимая S=e(b — а), из неравенства F) получим нужное предель-
предельное соотношение
Мп+\ (h ч«+1_П
Требование, чтобы /(х) была целой функцией, является суще-
существенным в условиях теоремы, что показывает приведенный ниже-
пример.
Рассмотрим на отрезке [—1, 1] функцию
( -—
\ О при х <0.
Эта функция непрерывна вместе со всеми своими производными
на всей числовой прямой. Если выбирать узлы интерполирования
только на отрезке [—1, 0], то Ln(x) = 0 и не стремится к /(х)
ни при каком положительном значении х.
§ 10. Интерполирование периодических функций
В тех случаях, когда интерполируемая функция /(х) обладает
свойством f(a) = f(b), то естественно на базисные функции <ро(х),
tpj(x), ..., <рп(х) накладывать такое же ограничение ср4 (а) = ср4 (Ь).
Такие функции можно рассматривать как периодические с периодом
т = ?—а. Для периодических функций можно также ввести понятие
систем Чебышева на отрезке \а, Ь]. Совокупность функций ср0> срх»
ср2 <рп, удовлетворяющих условию ср4(а) = <р;(?), будем называть
периодической системой Чебышева на отрезке [а, Ь\, если любая
линейная комбинация
не все коэффициенты которой нули, имеет на [а, Ь\ не более га
корней при условии, что а и b считаются за один корень. Дока-

§ 10 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 153-
жем, что порядок п периодических систем Чебышева должен быть
четным. Для доказательства рассмотрим определитель
?о (¦*) ?о (-*0 - ¦ ¦ ?о (хп)
D(x) =
где х4 — некоторые точки отрезка [a, b], x; Ф Xj при I =k j. He
уменьшая общности, мы можем предполагать, что ни одна из точек xt
не совпадает ни с а, ни с Ь. В противном случае мы воспользова-
воспользовались бы периодичностью функций и сдвинули бы наш отрезок \а, Ь]
на некоторую величину вправо или влево.
Если функции ср0, срх срп составляют систему Чебышева,
то D(x) не может обращаться в нуль ни в одной точке х?[а, Ь],
за исключением х4, в которых, конечно, он равен нулю. Докажем, что
в этом случае D(x) меняет знак при переходе через каждое из xt.
Предположим, что это не так и хк—та точка, при переходе через
которую D{x) не меняет знака. Тогда рассмотрим определитель D(x),
построенный так же, как и D(x), за исключением (Л-+- 1)-го столбца,
в котором <?i(xk) заменены на <?i(x'k)' гДе х'к— произвольная
точка [а, Ь], отличная от всех хг. D(x) также является линейной
комбинацией ср4 (х). Она отлична от нуля в точке хк, а в силу непре-
непрерывности функций срг (х) и в некоторой окрестности хк. Рассмотрим
функцию
=О(х) — Ш(х),
где X—некоторое действительное число, имеющее такой знак, что
D(x) и XD(x) в некоторой окрестности хк имеют одинаковые зн.аки.
Обозначим через 2s наименьшее расстояние между точками х,, х2, ...
• . ., хк хп, х'к. Выберем \ настолько малым по абсолютной
величине, что ty(xk-j-e) и ty(xk — s) имеет такой же знак, как и
D(xkA-e) и D (хк — е). Тогда ф (х) имеет в точках хк — е, хк и хк + е
чередующиеся знаки и, следовательно, имеет по крайней мере два
корня на интервале (хк — е, хк-\-е). 1^роме того, ф(х) обращается
в нуль в точках хъ х2, ..., хк_х, хк+1, ..., хп. Таким образом,
эта функция имеет на отрезке [а, Ь\ п-\-\ корней. Но она является
линейной комбинацией ср4 (х), не равной тождественно нулю. Следо-
Следовательно, она не может обращаться в нуль на отрезке [a, b\ более
чем в п точках. Мы пришли к противоречию. Таким образом, мы
доказали, что D(x) при переходе через каждую из точек х,- меняет
знак.
В силу периодичности ср4(х) D(a)= D(b). Итак, при возраста-
возрастании х от а до b определитель D(x) n раз меняет знак и приходит

154 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
к прежнему значению. Это может быть только в том случае, когда
п — четное число.
Простейшей периодической системой Чебышева является система
1, sin х, cosx, sin 2х, cos2x, ...
Период этой системы равен 2тс. Мы можем ее использовать и для
интерполирования функций, имеющих другой период. Для этого нужно
только предварительно линейной заменой независимого переменного
сделать длину периода равной 2тг. В силу предыдущих рассуждений
мы должны рассматривать систему
1, sin х, cosx, sin 2x, cos2x, ..., sin rax, cos rax.
Покажем, что такая система функций при любом га образует перио-
периодическую систему Чебышева. Для этого рассмотрим произвольный
тригонометрический многочлен
тп (х) = -^ -f- ^ (а*cos kx"+"Ьк sin
4-1
коэффициенты которого комплексные или действительные числа.
Будем говорить, что этот тригонометрический многочлен имеет по-
порядок га, если по крайней мере один из коэффициентов ап или Ъп
отличен от нуля. Если an-\-ibn ф О и ап — 1Ьпф0, то Тп(х) имеет
ровно 2га корней в полосе 0 <^ Re x < 2тг. Действительно, производя
замену независимого переменного eix=z, мы получим:
Тп{х)-
— — п
где ск = ^^—- при А>(,„<;4= *~Г—- При k < 0. Р2п(z) является
алгебраическим многочленом степени 2га относительно z. В силу наших
предположений относительно коэффициентов Тп(х) коэффициенты
при z2n и z° этого многочлена отличны от нуля. Следовательно, он
имеет ровно 2га корней и ни один из корней не равен нулю. Каждому
из этих корней в силу определения z будет соответствовать одно
и только одно значение х, принадлежащее полосе 0 <[ Re л: <; 2тс. Это
и будут корни Тп(х). Других корней Тп(х) иметь не может. Если
условия, которые мы накладывали на ап и Ьп, не выполнены, то
Тп(х) может иметь в нашей полосе менее 2тг нулей.
Как следствие предыдущих рассуждений получаем: если два
тригонометрических многочлена совпадают в 2п-\-\ точках х0,
х,, .... х2п при xt Ф Xj, 1ф], х^?[0, 2тс), то они совпадают
тождественно.
Перейдем теперь к фактическому отысканию тригонометрических
интерполяционных многочленов. Пусть нам заданы 2га -)-1 узлов х0,

10
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
155
X; х2п, принадлежащих полуотрезку [0, 2тг).~ Определитель Д
в нашем случае примет вид
1 cos х0 sin хй cos 2хй sin 2хй ... cos пхй sin nx0
1 cos X\ sin хг cos 2X( sin 2xj ... cos nxi sin nxx
1 cos x2n sin xin cos 2x2n sin 2xan ... cos nxin sin nxin
= W[l, cosx, sinx, . . .].
Найдем величину этого определителя. Для этого представим каждую
из тригонометрических функций в показательной форме. При этом
получим:
gix,, I g-
_
гх„ i g-nixQ gnix0 g-nixQ
_ _
е~гх'
i e
21
2l
2 21 2 2i
Преобразуем этот определитель, вынося из столбцов общие множи-
множители 4" или 9/ и пРибавляя к каждому столбцу с четным номером стол-
бец с нечетным номером, на единицу большим. В результате будем иметь
2eix° eix° e~ix° ... 2ешх° einx° e~inx<
Д=-
n2n м
2eix'
е~гх' ... 2ег
einXl e~lnx<
Вынесем двойки за знак определителя из столбцов с четными номе-
номерами и вычтем эти столбцы из столбцов с нечетными номерами,
на единицу большими. В полученном определителе
е1х" е~гх" ... етХа е~П1Х°
eiXl e~iXl ... emas' e~mXl
e
— inx.
... е т е 1
вынесем из каждой строки e~irtxJ, /=0, 1, 2 2га. В резуль-
результате этого найдем:
•in
Д = .
2Нп
ei(n+\)x0 gi(n-l)xQ _

156 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И HFKOTOPblE ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Теперь переставим столбцы так, чтобы получился определитель Ван-
дермонда. При этом придется произвести п(п-\-\) транспозиций,
а определитель примет вид
JxQ
_ (-1)
—2*,
J-0
2ntn
eiXl
! ,4» ,**». ... еШхчп
Как известно, такой определитель равен:
ы
-ГН
Д =
(-1)
A
3=0
2Чп
П(п+2)
2п
-т "V х-
JJ
(xk+xi)
1
а это выражение легко приводится к тригонометрическому виду:
2п > к > I > О
Пусть искомый тригонометрический многочлен имеет вид
Тп (х) = а0 f- 2
2
. cos kx -f- bk sin их).
Условия, налагаемые интерполяцией, можно записать в виде
/ (х0) = а0 + 2 (ай cos йх0 + ftft sin йх0),
A)
f (х,) = а0
(% cos fex, +¦ &й sin
= а0
(a* cos
sin
B)
Будем рассматривать равенства B) и равенство A) как систему одно-
однородных линейных алгебраических уравнений относительно коэффи-
коэффициентов при 1, cos их, «in kx, cos&x0, sin kx0, и при Tn(x), /(х0), . . .
. . ., /(x2w). Эта система имеет нетривиальное решение (коэффициенты

§ 10] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 157
при Тп(х), / (Xj) равны —1). Следовательно, определитель системы
равен нулю:
Тп (х) 1 cos х sin х ... cos пх sin пх
f (x0) 1 cos xQ sin xQ ... cos nxQ sin пхй
f (xr) 1 cos xt sin xj ... cos nx1 sin raxt
= 0.
sin nxin
Раскрывая этот определитель по элементам первого столбца, получим:
Гп(х)Д-/(х1)Д1+/(х2)Д2- ... -j
Здесь Д{ означает определитель Д, в котором 1-я строка заменена
первой строкой из написанного выше определителя. Так как эти опре-
определители имеют такое же строение, как и определитель Д, то мы
получим после очевидных сокращений:
г=0
X — Хп . X—Хл X — Xj_i , X — Xi + , , X—
sin —=—- sin —=—i ... sin ?yi—i sin ^-^t-1 ... sin —^
X; X<\ X: Хл . X: Xi-Л Xj Xi,\ , Xi Xan
sin —i--—-0 sin -*-^—i ... sin % l г sin г ¦ t+1 ... sin % ш
C3)
Что это действительно тригонометрический многочлен, обнаружи-
обнаруживается простыми тригонометрическими преобразованиями. В числителе
каждого слагаемого мы имеем произведение In множителей вида
sin^—^——. Произведение двух таких множителей дает
. Х—Хк . X — Xj
sin —2— Sln —2— ==
1 Г х ¦ — хА х* + -Kj . -«а + xjl
= у cos -^—^ cos x cos —к sin x sm —%— .
т. е. тригонометрический многочлен первого порядка. Теперь дока-
докажем, что произведение двух тригонометрических многочленов Тт(х)
и Тп(х) соответственно порядков шип даст тригонометрический
многочлен порядка т-\-п. Действительно, в это произведение войдут
члены вида sin kx sin lx, sin kx cos Ix, cos kx cos Ix. Ho
sin kx sin /x = ^ [cos (& — 0 x — cos (k -)- /) x\,
sin &x cos lx = ^ [sin (Й -\-1) x -)- sin (k — I) x\,
cos kx cos lx = -y [cos (& — /) x -)- cos (k -)- Z) x].
Если коэффициенты многочлена Тт(х) обозначить через а^"' и ^w',
а коэффициенты многочлена Тп(х) буквами а&> и bW, то коэффициент

158 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
при cos(m-\-n) x в произведении ТтТп будет равен ту^те #» — ^
а коэффициент при sin (те +¦га) х —ту [а(™'^' -f- a^V^1']. По крайней
мере один из этих коэффициентов отличен от нуля. Это и доказы-
доказывает утверждение. Таким образом, каждое слагаемое написанной
интерполяционной формулы является тригонометрическим многочле-
многочленом порядка и и, следовательно, вся сумма также является три-
тригонометрическим многочленом порядка не выше га.
Выполнение интерполяционных условий проверяется непосред-
непосредственно. Таким образом, Тп(х) решает поставленную задачу. Можно
было бы не производить выкладок с определителями, а сразу напи-
написать выражение для Тп(х) и проверить, что все условия будут вы-
выполнены.
Приведем пример на применение полученной интерполяционной
формулы.
Построить тригонометрический многочлен второго порядка, кото-
который бы в точках 0, -s-, -77 , тс, -^- принимал соответственно значе-
о Z Z
ния 2, у. О, 2, 0. В этом случае получим:
х я \ / * я \ . / jc я \ . / * Зя
72(x) = 2—-^ ^ ^ ^ ^ ±1 ^ 1-7 +-
,7C,7C,JC,37C '
sin -p- sin -p sin -^ sin —r-
6 4 2 4
1 sinT;
х .lx iz\ . lx к\ . (х Зя
37c
7C /JC JC\ /7C Я \ / Я
sin _ sin ^_ _ _j sin (T - T) sin ^
Числитель первой дроби будет равен
~TF"sin2x*
Знаменатель ее равен
. я . jc . я . Зк 1
sin -?- sin -г- sin -Tj- sin —г- = -г-.
6 4 2 4 4
Итак, первая дробь равна
-7J + COS X -(- 77 COS lx — -—- Sin 2x.

§ Ю ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Числитель второго слагаемого даст
sinтsin (т ~ т)sin It ~~ т)sin (т ~ т)= ~ "8 яп 2х>
а знаменатель
— Sin -77- Sin -х- Sin =-= Sin ^r?r =
6" 5 Т аш 12 эш 12 — 6
а второе слагаемое равно
Числитель третьего слагаемого равен
Зтс\
. х . (х \ . [ х .
sin т sin ^ - т) sin (т - т) sin
а знаменатель
7С 7t 7t 37C У 3
sin -^ cos -g cos -^ cos -j — ^—,
и третье слагаемое равно
cos x-\ cos 2x-\ ==- sin 2x.
2 2 2/3
Складывая найденные выражения для каждого из слагаемых, полу»
чим:
Т2(х)= l+cos2x.
Проверкой убеждаемся, что действительно этот многочлен удовле-
удовлетворяет всем условиям.
Если интерполируемая функция четная, то естественно искать
четный интерполирующий многочлен. Точно так же для нечетных
интерполируемых функций естественно разыскивать нечетный интер-
интерполирующий многочлен.
Рассмотрим сначала случай четных функций f{x). Пусть /(х)
задана на отрезке [—тс, +-^1. В качестве базисной системы интер-
интерполирующих функций возьмем
1, cosx, cos2x cosrax.
Каждая из функций этой системы также четная. Поэтому мы можем
задавать узлы интерполирования на какой-нибудь из половин рас-
рассматриваемого отрезка. Выберем полуотрезок [0, тс). Пусть на нем
заданы узлы х0, хь х2 х„ и _у0, ух, у2 у„ — соответ-
соответствующие им значения функции /(х). Если среди узлов имеется
точка 0, то будем считать, что она соответствует х0. Построим

160 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
тригонометрический интерполяционный многочлен порядка п, при-
принимающий в точках х0, хг хп,—хъ —х2 —хп соот-
соответственно значения у0, ух уп, уь у2 уп. Мы можем
применить предыдущие рассуждения, так как длина отрезка равна 2те.
При этом получим:
sin f=?i sin fL±?lsin ?=f* sin ±±* .. .sin ?^?» sin ?±?»
l sin ^±^ sin fc^ sin хЛ + ^2...sin XoX" sin
sin 2~^ sin 2~^ sin 2 ''' 2^
Ji^ sin 2~^ sin 2~^ sin 2 ''' 2^
' / , . Xi — Xo , Xf—X, . Xl-\-Xi . Xs—Xj_, ,
/ ' Sin -*— У Sin -2-;; 1 Sin -ЦС i ... sin — l l Sin
7=Г 2
y L_ y* JC r~ Xi t X Xi X
sin —^~z—- ... sin _ sin K—— sin
sin - V^' ¦¦¦ sin *«+*+* sin ^-^ sin
. X — Xn . X
... sin ^-S- sin
2
x
sin "*2 " sin -
Используем формулы
. X — Хь . X -\- Хъ \ ,
Sin y~ Sln 2~^ == * ^C0S Xk — C0S X^
sin
±^ = 1 (cos xk — cos *,).
Дробь, стоящая в первом слагаемом, примет вид
(СОЬ X — COS Хг) (COS X — COS X*) ... (COS X — COS Xn)
(cos x0 — cos xt) (cos x0 — cos x2) ... (cos x0 — cos xn)'
Объединим члены с одинаковыми у-г 'в первой и второй суммах.
Они будут иметь общий множитель
(COS X — COS Хг) (COS X — COS X2) . . . (COS X — COS X{-.{)
(COS Xi—COS^ (COS Xt — COS X3) . . . (COS Xi — COS Xf _i)
(cos x — cos x{+l) ... (cos x — cos xn)
X
(COS Xi — COS Xl + 1) ... (COS Xt — COS Xn) '

§ 10 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 161
Члены, стоящие при этом общем множителе, дадут
X — Хп X -\- X i , X — X о , X — X i
sin —g-5- sin - 2 —2~~^ —2~^
sin Xi~X° sin x; sin ?i±^o. sin лг<
sin
1 JfХаГ X—Xo
Tsin -^[cos —2~2 — cos
I X4- Xi , Jff 4- Xq , , Jf — Xi , Jfv — Jfn\
(sin ^ -*¦¦ sin гп2 " + sin —pj—- sin 2 )
q . Xi-\- Xq
" Sin * ' " Sin Jf;
-Xa . \ . (X-\-Xa \ X—Jf0]
5-2+ xtj + cos{—^ —xt j — cos —^J
Jff — Xq . Xi-\- Xq
Sin - " Sin * ' " Sin
— Sin X (COS Xq — CQS Xt)
2 sin X~X° sin x+xo. sin xt
2 2 * cos x — cos х0
Sin Xt (COS Xq — COS XI) COS Xj — COS Xq '
Таким образом, Тп(х) в этом случае будет иметь вид
п
VI (COS X — COS Xq) (COS X — COS X{) . . . (COS X — COS Jfj_!) y
n ^ ' ?У* (cos Xi — COS Xq) (COS Jfj — COS Jft) . . . (COS Xi — COS Xi-i)
i-o
(cos * — cos .aci+1) ,.. (cos x — cos xn)
(COS Jfj — COS Xi + 1) ¦ . ¦ (COS Xi — COS Xn) ' ^ '
Это будет четный многочлен, принимающий при х = xt (i=0,
1, ..., п) лг4^[О, тг) значения yt.
Приведем следующий числовой пример.
Построить четный тригонометрический многочлен, который при
лг = О, -^-, -|- принимает соответственно значения 2, 1, 0.
В этом случае будем иметь:
cos х — cos -j- II cos x — cos -^
l^j ^ -t-
I cos 0 — cos -^-JI cos 0 — cos -^-J
(cos x — cos 0) I cos x — cos ^ )
_i_ i 1 iJ— =
I COS -j-— COS Oil COS -j- — COS— I
/2— 1
— cos л; — cos2 x -\- cos x) = 1 + cos 2x.
Совершенно аналогично можно построить нечетный многочлен, ко-
который при х = хъ х2 хп; Xi?@, тг) принимает значения уи

162 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
уъ .... уп. Для этого будем строить тригонометрический много-
многочлен Тп(х) порядка п, который в точках —хп, .... —хъ О,
хи .... хп принимает соответственно значения —уп, —.Уп-i- •••
.... —yi, О, уг, .... уп. В этом случае
sin ?. sin fllf! sin ?+?l ¦.. sin * ^ sin
sin ** + *« sin *« ~/*+1 sin ** + x*+1 ... sin *< ~ *» sin
2 Z L
sin / sin ... sin sin
2, Zi ? L Z,
sin ? sin ?^?L sin ?+fL ... sin ?=^=1 sin
sin-„-^ sin 1—Isln ^-^...sln * » x sin *j~ * x
sm ^^ sin x ~^+1 sin x +2^+1 ... sin i^L sin
sin ^^ sin ^^+1 sin -g«+-r«+1... sin **» sin
Z Z Z
Как и прежде, обнаружим, что если объединить члены с одинако-
одинаковыми _Vi. то можно будет вынести общие множители:
х
Sin -pr- (COS X — COS X-i) (COS X — COS X-j) ... (COS X — COS Jfj _l)
—ir x
Sin -J- (COS Xi — COS X-j) (COS X{ — COS Jf,) ... (COS Xi — COS Jfj_i)
(COS Jf — COS Xi+1) ¦ . . (COS X — COS Xn)
(COS Xi — COS Jf,-+1) . . . (COS Xi — COS Xn) '
Коэффициентами при этих общих множителях будут
X-\- X. . X — X: - X , Xi
sin —'—*- sin —^-i- 2 cos -g- sin -?
Sin Jfj Sin Xi Sin Jf^
Итак, окончательное выражение для Тп(х) будет иметь вид
п
. Sin JC (COS JC — COS JCt) ¦ , . (COS X — COS Xj_t)
г sin Jfrf(COS JC,— COS Jf!) . . . (COS Jfj—COS^)
i
(COS X — COS .Уг+1) ¦ ¦ ¦ (COS X — COS Xn) g.
(COS Jfj — COS Jfi+1) . . . (COS Xi — COS Xn) '
Это будет нечетный тригонометрический многочлен, принимающий
при х = хи х2, .. ., хп, хг?@, тг), значения уъ у2 уп. При-
Приведем и для этого случая числовой примео.

§ 11] ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 163
Построить нечетный тригонометрический многочлен, который
прил; = -^-, -=- принимает значения 1 -\- „ , 1. По общей форме
будем иметь:
sin х (cos х~ cos ~Ъ I sin jclcos jc—cos-^-
( V~\ 2 / V~2\
= I 1 -f- "V") 2 sin л; cos л; ^=- sin л; (cos л; ^-) = sin x -f- sin 2л;.
Проверкой убеждаемся, что этот многочлен удовлетворяет поставлен-
поставленным условиям.
Как мы видели, практическое построение тригонометрических
интерполяционных многочленов чрезвычайно громоздко. Естественно
ожидать, что если узлы равноотстоящие, то задача упростится. По-
Построение тригонометрических многочленов для случая равноотстоя-
равноотстоящих узлов составляет задачу гармонического анализа. К этому во-
вопросу мы еще вернемся в разделе среднеквадратичных приближений.
Так как последние две задачи имеют всегда единственное реше-
решение, то системы функций 1, cos л;, cos 2л; cosnx и sin л;,
sin 2л;, ..., sin nx первая на [0, тг), а вторая на @, тг) образуют
системы Чебышева.
§ 11. Общая задача интерполирования алгебраическими
многочленами
1. Интерполяционный многочлен Эрмита. Рассмотрим теперь
более общую задачу, чем та, которую мы решали. Пусть нам задана
базисная система интерполяционных функций <?о(х), ф[(л;),
срп(л:), ... на [а, Ь]. Требуется найти такую их линейную комбина-
комбинацию
т
?(*) = 2 <№(*). A)
1ТО
= Л- ?' Ц>> = У'о <РК~1} (х<) = ¦
Уп' f *- п' Уп' • • ¦ > Т {.¦*№1
B)
где уЦ) — заданные числа, а хг?{а, Ь) A = 0, 1, 2, ..., n; xt =k Xj
при 1ф]). Так как число условий, которые мы накладываем

164 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
на <?(х), равно Oq —|— at —|— ... -\-ап, то для того, чтобы наша задача
всегда имела единственное решение, требуется, чтобы
т=ай-\-а1-\- ... +«„— 1
C)
?=0.
D)
Мы не будем здесь входить в подробности общего случая, а огра-
ограничимся лишь алгебраическими многочленами, т. е. положим
<р4 (х) = х\
Итак, нам требуется построить алгебраический многочлен сте-
степени не выше /га, удовлетворяющий поставленным выше условиям.
Предположим, что такой многочлен существует, и обозначим его
через Нт(х). Наряду с Нт(х) рассмотрим интерполяционный мно-
многочлен Лагранжа Ln(x), принимающий в точках х0, хи ..., хп зна-
значения у0, уи ..., уп. Разность Нт(х) — Ln(x) должна быть много-
многочленом степени не выше /га, обращающимся в нуль в точках х0, хи
хг хп. Следовательно,
//т(*)-1п(*) = шп (*)//„_„(*). E)
F)
где
a>n(.v) = (JC — xo)(x — xj ... (х— хп).
При любом многочлене Нт_п(х) функция
Hm(x) = Ln(x) + wn(x)Hm_n(x)
принимает в узлах интерполирования значения уг. Подберем
Hto_n(x) так, *чтобы были выполнены и остальные условия
ференцируя обе части равенства G), получим:
Н'т (х) = L'n(х) + a>; (х)Нт_п (х) + ш„ (*) н'т_п(х).
Полагая здесь х = хг, будем иметь:
G)
теперь
Диф-
Диф(8)
(9)
Так как ^fn(x-) Ф 0, то в каждой точке, в которой задано
мы найдем Нт_п(х?. Дифференцируя еще раз, получим:
Н"т (х) = С (х) + «^ (х) Нт_п {х)
2о>; (х) Н'т_п (х) +
-\-«>п(х)Н'т_п(х).
A0)

§11] ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 165
Полагая снова х = Х{, найдем:
Н"т (Xi) = С (Xi) + ш"п (Xi) Hm_n ; '
Из этого равенства мы сумеем найти Hm_n(Xi) в тех точках, в ко-
которых заданы Нт(х$. Продолжим этот процесс далее. Каждый раз
коэффициентом при старшей производной от Нт_п(х) в точках хг
будет и>'п(х{). Таким образом, мы сведем нашу задачу об отыскании
Нт(х) к задаче об отыскании Нт_п(х), удовлетворяющего усло-
условиям:
ч
Н {) = г[
н (y\ — z- и' (x\ — z
пт-п \хп> — zn> пт-п\Хп) — Zn, . . .,
A2)
где 4Л — известные числа. К Нт_п(х) применим точно такой же
прием. Получим некоторые условия, наложенные на Нт_п(х).
В конце концов, нам потребуется построить интерполяционный мно-
многочлен Лагранжа по данным в некоторых точках jq.
Посмотрим, какова же будет степень полученного таким обра-
образом многочлена Нт(х). Эта степень будет равна числу узлов, в ко-
которых заданы у{, плюс число узлов, в которых заданы у'г, плюс
число узлов, в которых заданы у", и т. д., плюс число узлов, в ко-
которых заданы самые старшие, входящие в условия, производные и
Минус единица.
Таким образом, эта степень равна
<*o + ai+ ••• +«»— 1=/и.
что и требовалось.
Построенный нами многочлен единственный, который удовлетво-
удовлетворяет поставленным условиям. Действительно, если бы имелось два
таких многочлена Нт(х) и Нт(х), то их разность
Нт(х)—Нт(х)
представляла бы собой многочлен степени не выше /га, имеющий на
отрезке [а, Ь\ т-\-\ корней (с учетом кратности корней), что не-
невозможно. Да и сам процесс построения в силу того, что все
Нт-п (х) определялись единственным образом, дает основания утвер-
утверждать единственность построенного многочлена. Приведем примеры
на построение таких многочленов, которые мы в дальнейшем будем
называть интерполяционными многочленами Эрмита.

166 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Пример. Пусть значения /(*) и ее производных в точках
* = 0, 1, 2 заданы таблицей:
X
У
У'
У"
0
1
0
0
1
2
7
2
129
448
1344
Найти интерполяционный многочлен Эрмита.
Интерполяционный многочлен Лагранжа Ln(x) в этом случае
будет равен
Отсюда
Нп (х) = 63*2 — 62* + 1 + х (х — 1) (х — 2) Н4 (х).
Дифференцируя это выражение, находим:
Н'ч (х) = 126* — 62 + (З*2 — 6* + 2) Я4 (х) + (х2 — З*2 + 2х) Н[ (*).
Подставляя сюда значения *=0, 1, 2, получим;
Я4@) = 31; Я4A) = 57; Я4B)=129.
Вторая производная от Н1 (х) имеет вид
Щ (х) = 126 + F* — 6) Я4 (*) + 2 (З*2 — 6* + 2) Н[ (*) +
-+- (*3 — З*2 + 2х) Hi (*).
Отсюда находим значения H't (x) в точках 0 и 2:
Итак, нам надо найти многочлен #4(*), удовлетворяющий условиям:
Я4@) = 31; Я4A) = 57; Я4B)=129;
Записываем его в виде
-\-х(х— \){х—
2*) tf^

§ 11] ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 167
Дифференцируя, находим:
H't (х) = 46дгЧ-3-[- (З*2 — 6л: ¦+¦ 2) Ht (х) + (л:3 — Зл:2 + 2х) Н[ (х).
Подставляя сюда х = 0 и 2, определяем
Я1@) = 6. Я1B) = 8.
Отсюда
Н,{х) = х-\-6
и
Н7 (х) = F3л:2 — 62* -+-1) + * (* — 1) (* — 2) [23л:2 + Зл: -+- 31 -+-
Рассмотрим еще один пример.
Найти интерполяционный многочлен Эрмита, принимающий в точ-
точках х0, xv хп значения у0, yt yn и имеющий там произ-
производные, равные у'о, у[ у'п. В этом случае
Нт (х) = Ln (х) -Ь ш„ (л:) Нт_п (л:), A3)
где
">» (х) = {х — х0) (х — х{)...{х~ хп).
Дифференцируя, найдем:
Отсюда
у'. = L'n (Xi) + < (*,) Нт_п
а
Н (х)- y>-L'«{xi>
пт-п Кх0 — г—— •
">» (х,)
Итак,
"т~п\х>— /Л 7~;—^ ', . I , -' A6)
Пусть
<»„(Х)
=—т = Lni (х). A7)
(x-xi)u>n(x.)
Тогда интерполяционный многочлен Эрмита можно записать в виде
(х) = 2yiLni(х) + 2 «„(*) Л "(^-Lni (*). A8)
1-0 4-0 "»>(•*{)

168 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Последнюю сумму разобьем на две части:
ri
Первое слагаемое в правой части запишем в следующем виде:
п п
V у\ l^fL L {х) = V у\ {х _ Xi) L2ni (х).
Второй член подвергнем некоторым преобразованиям:
^¦=0 i=o n\~v i=0 j=0 nv-
Таким образом, искомый многочлен можно записать так:
= li У i\ Lni (*) — Zj ш» (*) —Г~Г Lnj (X) } ¦
Нт(х) =
i=0
Рассмотрим теперь выражение, стоящее в скобках под знаком пер-
первой суммы:
П I
i (х) — Lni \х) — 2u n ' ' —r~ "•?' { '' ^ ^
j^O u>n\xj)
Это — многочлен степени 2п-\-\. При Х = хк получим:
Итак, наш многочлен обращается в нуль при всех Хк (кфГ). Рас-
Рассмотрим производную этого многочлена
Р':(г\=Г' (г\ — ш'(\

§ 11] ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 1691
П.ри х=хк получим:
= ^i(**) — L'ni(xk)=0. B2>
Таким образом, Рг {х) имеет двукратный корень при всех х = хк,
k=fci. Следовательно, этот многочлен имеет в качестве множителя
•JU*)
¦j———гх-. Так как степень Pi(x) равна 2га+1, то его можно запи-
сать в виде
m(^ -хг)\. B3>
Определим коэффициенты А ж В. Полагая в последнем равенстве
х = х^, получим:
Отсюда
1
А =
Дифференцируя равенство B3) и полагая затем х = xit найдем:
о = P't (*i) = ">'„ (*i) < (*«) ^+о>;2 (*,) в.
Отсюда
Коэффициент Pi(x) можно представить в другом виде:
и>п(хд , , —
t (•* лг) I —
Г <(*.) "I
Итак,
П
i=0
Окончательно получаем:
(* - *i)} iSi (*)¦ B4)
S U [ ^ ] X }
2. Общий вид интерполяционного многочлена Эрмита. Найдем
теперь общий вид интерполяционного многочлена Эрмита. Для этого

170 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
построим многочлены Нц(х) степени не выше т, удовлетворяющие
следующим условиям:
\y=l (/ = 0,1,2 n; j = 0, 1, 2 аг — 1).
B5)
Так как Ну обладает в точках х0, xY -^i-i. -^i+i *» нулями
соответственно кратности а0, at °4-i. ai+i «п. а в точке д;$
нулем кратности j, то
где H{j(x) — многочлен степени аг—j— 1, не обращающийся в нуль
при х = Xi. Представим его в виде
у-'-l)(*-*i)-i-'-1. B7)
Для определения коэффициентов А$ воспользуемся тем же приемом,
что и в предыдущем примере. Пусть
2 (*) = (* — хо)°° (х — jcO ...(* — *Sn. B8)
Тогда
Подставляя сюда х = Х{, получим:
C0)
Первое отношение непрерывно при х = Х{. Следовательно,
Предел второго отношения найдем по правилу Лопиталя:
lim
Итак,
<— •*¦{)"' 1
lim = lim —l^-r—= —

§ 11] ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 171
Аналогично находим коэффициенты А^:
"«<«>l C2)
Применим правило Лейбница для дифференцирования произведения
—т ~ 4 I == ^j ^* I I " " •
Производные
Q(jr)
непрерывны в точке х = х{..Поэтому
Для определения
lim
х+х, I (X —
воспользуемся таким же приемом, как и для отыскания A[j. Много-
Многочлен Нгз(х) имеет степень не выше т. Он делится на (х — xtf. Сле-
Следовательно, его можно записать в виде
Нц (х) = В?] (х - xtf + Bg> (x - XiK+1 + ... + МГЛ (*
или
Отсюда
lim
lim ¦
Ho Bfj~p\ будучи коэффициентами разложения Иц(х) по степеням
<л; — JCj), записываются в виде
lj — U+k-p)\ *
В нашем случае

172 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Таким образом, Е?ц~р) отличны от нуля только при/> = &, и в этом
случае
Итак,
k\ x+x.dxk |_ 2 (x) (x — XiK J
1 Г (x — xi) i "I
= —~
C3)
( гЬ
Используя построенные нами функции Нц(х), нетрудно написать
выражение для Нт(х). Легко видеть, что
i0 j
или
n
;_ .;-j-fc • C5)
3. Остаточный член интерполяционной формулы Эрмита. Произ-
Произведем оценку остаточного члена интерполяционной формулы Эрмита.
При этом мы будем требовать существования производной (т -\- 1)-го
порядка от интерполируемой функции f(x) на отрезке [а, Ь], на ко-
котором находятся узлы интерполирования и значение х, для которого
производится интерполирование, и существования и непрерывности
всех производных низшего порядка.
Рассмотрим вспомогательную функцию
ф (z) ==/(*)- Нт (z) - KQ (z). C6)
где К—некоторая постоянная. Эта функция имеет нуль кратности а^
в точке х0, нуль кратности at в точке хх и т. д., наконец, нуль
кратности ап в точке хп. Подберем К так, чтобы ф(г) обратилась
в нуль в точке х, для которой мы производим интерполирование.
Это возможно, так как тогда
К~ ад •
а &(х)Ф0. На основании теоремы Ролля производная ф' (z) обра-
обратится в нуль в /г —j— 1 точках в интервалах между х, х0, х1 хп
и, кроме того, будет иметь нули кратностей Oq—1, a, — 1, ....
ап—1 в точках х0, хи ..., хп, т. е. всего т-\-\ нулей на проме-

§ 11] ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 173
жутке \а, Ь]. Далее, получим, что вторая производная будет иметь
по крайней мере т нулей на этом промежутке, третья т — 1 нулей
и т. д. Наконец, производная (m-(-l)-ro порядка будет иметь на
отрезке [а, Ь) по крайней мере один нуль. Итак, на отрезке \а, Ь]
найдется по крайней мере одна точка $ такая, что
fm+i)(?) = 0. C6')
Но
C7)
так как Hm(z) есть многочлен степени не выше т и, следовательно,
его производная (т + 1)-го порядка равна нулю, а 2 (z) есть мно-
многочлен степени т-\-\ со старшим коэффициентом 1 и его произ-
производная порядка т -f- 1 равна (т-(-1)!. Отсюда
К— (//1+1)!
Итак,
/ (х) - Нт (*) =
Относительно практического применения этой формулы можно ска-
сказать то же самое, что говорилось ранее для многочлена Лагранжа.
На основании этой формулы, так же как и ранее, можно доказать
равномерную сходимость Нт(х) к f(x) на [а, Ь), если только
f(x) — целая функция.
В тех случаях, когда интерполяционная формула Эрмита нужна
нам лишь для целей интерполирования, а не для приближенного ана-
аналитического представления функции, то общая формула, которую
мы получили, неудобна. Когда мы изучали формулу Лагранжа, то
оказалось более выгодным преобразовать ее к форме Ньютона. По-
Попробуем и в случае кратных узлов поступить аналогичным образом.
Проще всего это сделать, перейдя к пределу в интерполяционной
формуле Ньютона. Это приведет нас к понятию разделенных раз-
разностей с повторяющимися значениями аргумента.
4. Разделенные разности с повторяющимися значениями аргу-
аргумента. Непосредственное определение разделенных разностей, данное
ранее, непригодно в случае повторяющихся значений аргумента, так
как при этом обязательно встретятся отношения вида j-. Необхо-
Необходимы дополнительные определения. Положим
J (¦"•О" ¦*•()' • • ¦ > ¦*•<)> -f 1» •*•!> • • • > -*-1> • ¦ • > Хп', Хп\ . . .', Хп) =
К раз i, pas
(
1}; x{-.
; xn; x
x\
n >
раз
... \
.;
(S
'n~
\
D0)

174 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ |ГЛ. 2
когда х\з) —у хг и все х[3) различны. Для существования такого пре-
предела нужны некоторые дополнительные условия на функцию f(x).
Так, например, согласно нашему определению
/(*„; *о) =
= Г (*о).
и следовательно, мы должны предполагать существование производ-
производной f (х0). В дальнейшем мы будем предполагать су дествование и
непрерывность всех производных от f(x), которые нам встретятся.
Для изучения разделенных разностей с повторяющимися значе-
значениями аргумента будем пользоваться полученным ранее представле-
представлением обычных разделенных разностей в виде отношения определителей
f(x0; xt; х2', ...; х^)—
1 Хп
1 Хп
1 ХХ
1 хп
х\...
хп ¦ ¦ ¦
X п • • •
х\...
4-
„и— 1 „п
*1 х\
хп~1 х"
D1)
Для сокращения записей будем обозначать определитель, стоящий
в знаменателе через D(x0, xu ..., хп), а определитель, стоящий
в числителе^ через D(x0, x-v . . ., хп; /).
Нам нужно найти предел отношения
х(К~1) х xil) x{ki~n х xW xk"~l) A
Хп , Х1г XY Xt , . . ., Хп, Хп , . . ., Хп , J)
(x х(Ц
\ Хп, Хо ,
D( г гA) г(к
и\Хп, Хп ,...,Хп
A)
¦ > хп, хп ,
¦¦>xl,
[л
\з)
A\
{о'
при х[л —>¦ xt х\з)фхA\ Непосредственная подстановка х0 вместо х{о
ничего не дает, так как при этом числитель и знаменатель обра-
обращаются в нуль. Воспользуемся правилом Лопиталя. После дифферен-
дифференцирования числителя и знаменателя по xtf и замены х*о} на х0 вто-
вторая строка числителя будет иметь следующий вид:
О 1 2*0 ... (р—
а вторая строка знаменателя перейдет в
0 1 2*0 ... (р-1)хЕ~2
f'(x0).
Здесь через р обозначено выражение &0 + ^i+ ¦¦¦ -\-&п—!•
Остальные строки числителя и знаменателя не изменятся. Примене-

§ 111 ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 175
ние правила Лопиталя будет законно, если знаменатель окажется
отличным от нуля. Проверку этого мы произведем в дальнейшем.
Устремим теперь хЬ к х0. Опять придется применять правило
Лопиталя. После однократного дифференцирования числителя и зна-
знаменателя по л:о2) и последующей замены х'о] на х0 у нас совпадут
вторые и третьи строки. Поэтому будем дифференцировать дважды
и лишь после этого заменим xf на х0. В результате третья строка
числителя превратится в
О 0 2 3-2л;0 ... (p-2)(p-l)xt* /"(*„)¦
Третья строка определителя в знаменателе будет такова:
О 0 2 3-2х0 ... (/> — 2H>—
Продолжим этот процесс дальше до тех пор, пока не переберем
все Xq'\ При этом первые k0 строк определителя, стоящего в числи-
числителе, будут таковы:
1 х0 *о ... *о
О 1 2*о... (р— 1)хГ*
О 0 2 ...(р- 1H»-2) *Г8 Г(*о).
ооо ... о» — 1)... о» — *о-Ы) jrf"*" fik°-l)(xQ).
В знаменателе будет аналогичная картина, только в качестве f(x)
нужно взять хр.
После этого проделаем аналогичные операции с Xi, затем с х^
и так далее, пока не переберем все х\ . Нетрудно представить, во
что перейдут при этом числитель и знаменатель.
Проверим теперь, что ни один из получившихся у нас знамена-
знаменателей не обратится в нуль, Как известно,
~ х%}) (l>k или i=
Выделим отсюда множители, содержащие Д1'. Получим:
Таким образом, производная знаменателя по х^ при ^ = xQ будет
равна

176 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Выделяя здесь множители, содержащие х^, получим:
(*? - Х0? (,« - **>) • • • {Х^п- '> _ X») (*» - *„) . . .
Вторая производная по х^ от этого выражения при х<?) = х0 будет
равна
Аналогично находим, что третья производная от этого выражения
по xf) при л;*3' = х0 будет равна
Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не переберем все х\р.
Окончательно получим:
Перейдем теперь к дифференцированию по х^К Выделим из послед-
последнего множителя предыдущего выражения jcW;
2! 3! ... (ft0 - 1)! (*, - Jt,,)*» D1' - xo)k°(xf)- xo)k°~l. ..
.Дифференцирование по jcW и последующая подстановка xt вместо jcW
дадут:
2!3! ... (ft0- 1)!(*. -xof •-1(*f)-*0)*>-1 ...
* х x(
Теперь выделяем из последнего множителя разности х^ — х$,
xf> — дсУ>, затем дифференцируем дважды по х^ и полагаем xf?) = xl.
Это даст:

§ 11] ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 177
Процесс продолжаем до тех пор, пока не переберем все х{^. В конце
концов, получим:
2!3! . .. (k0— 1)!2! 3! ... (&,— 1) (хх — хй)к'к°~1 (хг — х/°~1.. .
Теперь будем дифференцировать по x\i\ затем по х^1 и так далее,
заканчивая на х^»~ ). В итоге исходный определитель перейдет в
2! 3! ... (&0—1)! 2! 3! ...(&!—!)!... 2! 3! ...
или, если вычислить D(x0, хъ ..., х„):
При наших предположениях о х[^ и xt ни один из полученных таким
образом определителей не обращается в нуль. Таким образом, наше
определение разделенных разностей с повторяющимися значениями
аргументов законно, и эти разности можно вычислять тем способом,
который здесь приведен.
Рассмотрим, в частности, f(x0; ...; ->с0). Представление этой раз-
k раз
ности в виде отношения определителей будет выглядеть так:
k раз
1
0
0
0
1
0
0
0
х0
1
0
0
х0
1
0
0
4...
2х0...
0 ...
0 ...
4...
2х0...
0 ...
0 ...
j
(ft-
(ft
(ft-
(ft
fo"a
2L
-2)!
0
2L
-2)!
0
f(xo)
/Vo)
f(k-i)
f(k- 1)
4
(ft-1
(ft-
(ft-
(^o)
(ЛГ0)
»4-2
l)«Jf0
-1)!
(ft —1I
D2)

178 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Полученные нами выражения разделенных разностей с повторяю-
повторяющимися значениями аргументов слишком громоздки и не могут слу-
служить для практических вычислений. Перенесем на них способ вычи-
вычисления обычных разделенных разностей через разности низшего
порядка. Пусть нам требуется вычислить разделенную разность
f(x0; х0; .. .; х0; х^, х±, ...; х{, ...; хп; хп; ...; х^).
ft0 раз ft, раз kn раз
Предполагаем, что все разделенные разности низшего порядка
уже вычислены. Будем предполагать также, что под знаком разде-
разделенной разности имеется по крайней мере два различных аргумента.
Пусть хотя бы хйФхп. Для случая, когда все аргументы под знаком
разделенной разности совпадают, мы уже получили удобную фор-
формулу. По определению,
o'> • ¦ ¦'> хо'< хъ ¦ • ¦'» хи • • •> хп'< • • • > хп) ~
раз ft, рач k раз
Но
1{Х0, Хо , ..., X ,XvXl,...,Xl , ..., Хп, Хп , ..., Х^п /j_
^- ' \f(xm. . J*"-1). х. ж .J*»-1). -x-xw- .J*n-l)\-
Хп—хо<-\°''" ° ' v l ' '"' 1 ' ' ' •' »' п '' •¦' и /
-fix- xW- ¦ х(к"-1)- г • гA)- • г(Й' }- • xW- ¦ х^п~1)-\]
Т \х0, х0 ...,х0 , xv xt ,...,xl ,..., хп , ..., х j|.
Переходя к пределу в обеих частях равенства при х\з) —> хг, получим:
f(x0; х0; ...; х0; лг1; х{, ...; х^\ . ..; хп\ хп\ ...; х„) =
\f (х0;...; х0; xi, xt;...; xt;...; хп; хп\...; х„) —
]
J D3)
*о раз ft, раз *' Раз

§ 11] ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 179
Отсюда получается простой способ составления таблицы разделенных
разностей (р. р.). В первом столбце выписываем узлы интерполиро-
интерполирования, причем каждый узел повторяем столько раз, какова его крат-
кратность. Во втором столбце выписываем соответствующие узлам зна-
значения функции. В третьем столбце помещаем разделенные разности,
если соответствующие аргументы не совпадают, или первые произ-
производные, если аргументы совпадают. В четвертом столбце помещаем
разделенные разности второго порядка, если они вычисляются так же,
как это делалось ранее для обычных разделенных разностей, или же
производные второго порядка, деленные на 2!, если аргументы, на
которые нужно делить, совпадают. Продолжая так же и дальше, мы
сумеем заполнить всю таблицу. Так, для примера, приведенного на
стр. 166, таблица будет выглядеть следующим образом:
X
0
0
0
1
1
2
2
2
У
1
1
1
2
2
129
129
129
1 р. р.
0
0
1
7
127
448
448
2 р. р.
0
1
6
120
321
672
3 р. р.
1
5
57
201
351
4 р. р.
4
26
72
150
5 р. р.
11
23
39
6 р. р.
6
8
7 р. р.
1
5. Обобщенная интерполяционная формула Ньютона с разде-
разделенными разностями. Перейдем теперь к обобщению интерполя-
интерполяционной формулы Ньютона для неравных промежутков на случай
кратных узлов. Пусть нам поставлены такие же интерполяционные
требования, как в п. 1 (условия B)), причем yt являются значениями
некоторой функции/(л:), определенной и непрерывной на отрезке [а, Ь],
в узлах xt, расположенных на этом отрезке вместе со значением х,
а _уСй является значением у'-й производной от f(x) в узле хг; все
нужные производные предполагаются непрерывными. Будем рассма-
рассматривать на [а, Ь) наряду с узлами х0, хи .... хп еще узлы х^\ . . .
. ..,д#°~1),41) ^Г'' х1п х(пп~1)> выбранныетак.что
среди всех узлов xQ, х^ x^~l\ xv х(/> л^' хп.
~
нет равных.

180 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Тогда
+ (* - *0) (х - хМ) ...(х- j#>- Ч) (х - jtj X
х /(*„; <'•. ¦ ¦ •; *!гц; *i: 41') + ¦ • ¦ + (*- *„)(*-Чч) ¦ • •
Перейдем в этом равенстве к пределу при x^fi-+x%. При этом
получится:
— х0) f (хй; х0) + (х — х0J / (дс0; х0; *0) + ...
^jeJ + (.x—xj"°f(x0; . ..;xo\ xj +
«о раз о„ раз
(x — л;0)а° (x — *!>/ (*o; ...; ^0: *ь *i) + •
«о Раз
X / (¦*•()' • • ¦ > ¦"'0' ^1» ^1» • • • > •Яll • • • > ¦"•»»> ¦"•»!> • • ¦ > Xn
...(x — xSnf(x\ хй; хй; ...; хй; х^ ...; Х{, ...; хп\ хп\ ...; хп). D5)
о„ раз ос, раз а.п раз
Первые т + 1 членов и дадут нам выражение для интерполяцион-
интерполяционного многочлена, а последний член будет являться остаточным чле-
членом. Покажем теперь, что полученный интерполяционный многочлен
будет удовлетворять поставленным условиям. В связи с этим мы
его будем обозначать через Нт(х). Действительно, при х^хй
Нт(хо) = Уо> •••• ^^°~1)(-)<:о)=:Уо°1о~1)' чт0 ВИДНО из самой записи
многочлена. С другой стороны, до перехода к пределу мы могли бы
взять за начальную точку не х0, а любую другую из х^. При этом
в силу единственности интерполяционного многочлена Лагранжа мы
получили бы тот же самый многочлен, только лишь записанный в дру-
другой -форме. Следовательно, и предел этого многочлена будет тот же
самый. Но в этом случае начальные члены его будут иметь вид:
— Xi)f (х{; хО+ ... + (* — xtfil
at раз
-f (x — XiPfiXj] Xi, ...; Xjt x})-\-
", раз

§ 12] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 181
и следовательно, он удовлетворяет интерполяционным условиям
в точке xi. Так как этот многочлен тождественен с Нт{х), то
и Нт(х) удовлетворяет этим условиям. Итак,
/ (х) = Нт (х) + (х — хо)а° (х — */' . . . (х
X f(x; *o_; . . .jjv
«,, раз а, раз а
Ранее мы получили другое выражение для остаточного члена. Срав-
Сравнение этих видов остаточных членов дает
(я+1I
«о раз а, раз а раз
Применим полученную нами обобщенную формулу Ньютона для
решения примера, указанного на стр. 166. В этом случае
Н(х) = 1 +- х • 0 +- х20 +- *3 • 1 +- х3 (х — 1) • 4 + х3 (х — IJ • 11+-
¦+x3(x — 1 J(х — 2) • 6-+.*3(x — 1J(х — 2J- 1 =хг+- 1.
Как и следовало ожидать, получилось то же самое, что и раньше.
Способ Эйткена в той форме, как он был описан у нас ранее,
также может быть применен для интерполирования с кратными узлами.
В заключение этого параграфа получим выражения разделенных
разностей с повторяющимися значениями аргумента в виде линейных
комбинаций значений функции и ее производных. Для этого сравним
коэффициенты при хт в обобщенной формуле Ньютона и интерпо-
интерполяционной формуле Эрмита. Сравнение дает:
f(x0; х0; . . .;
о„ раз
а, раз
п
— 2j
i-0
xl'>
"Г
\
?-
¦ 1
0
- v* •
• > Arli
y!@
*«;_¦¦ ¦:
«„""раз
1
:,•—!—У)!
Q(x)
§ 12. Интерполирование функций многих независимых
переменных
1. Трудности задачи интерполирования функций многих пере-
переменных. Интерполирование функций многих переменных значительно
сложнее, чем функций одной переменной. Это вызвано не только
тем, что рассуждения становятся более громоздкими в силу наличия
большого числа переменных, но и рядом принципиальных трудно-
трудностей.
В дальнейшем ради краткости мы ограничимся случаем двух
переменных. Пусть на плоскости (х, у) даны п-\~1 точек (х0, у0),
(xv Vi), •••, (хп, уп). Будем разыскивать многочлен Р(х, у)

182 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
относительно хну возможно низшей степени, который бы в этих
точках принимал соответственно значения z0, zt zn. Если иско-
искомый многочлен записать в виде
Р (х, у) = a0J + awx -f аоху -f а20х2-(- апху -+- а02у2
... +аотУ™,
то, подставляя данные координаты точек и приравнивая левую часть
соответствующему значению Z{, получим систему re-f-1 линейных
алгебраических уравнений относительно 1 —)— 2 —{— ... -\-{т-j-1) =
__ \т-\- ^w"t~ > неизвестных а-г$. Вообще говоря, эти уравнения
независимы. Следовательно, если не накладывать на Р{х, у) ни-
никаких дополнительных условий, то п-\~1 должно быть равно
9
— первое принципиальное затруднение. Мы уже
не можем решить поставленную задачу при произвольном количестве
узлов интерполирования.
Далее, рассмотрим определитель полученной системы уравнений.
При п = 2, 5 этот определитель принимает вид
1 хл
1 х2
i x0
1 X,
1 хг
1 x3
1 *4
1 X-
Уо
У1
Уг
Уз
У4
Уъ
х\
х\
2
Х1
•*оУо
*хУ1
х2У2
•«зУз
•«4У4
х-оУь
Уо
2
У^
Уз2
У2
У?
(п = 5).
Первый из них будет обращаться в нуль, если три точки (х0, у0),
(Xi, yj, (хг, у^ лежат на одной прямой. Второй будет обращаться
в нуль, если шесть узлов интерполирования лежат на одной кривой
второгОчПорядка. Аналогично, если взять 10 узлов, то определитель
системы обратится в нуль, если все они лежат на одной кривой
третьего порядка. Это порождает второе принципиальное затрудне-
затруднение: узлы интерполирования не могут быть расположены произвольно.
Проверка того, что определители не обращаются в нуль, чрезвы-
чрезвычайно затруднительна.
Третье принципиальное затруднение возникает при оценке оста-
остаточных членов. Теорема Ролля, которой мы пользовались ранее,
для того случая, который мы рассматриваем сейчас, действовать не
будет.
Формулы интерполирования функции двух переменных будут
громоздкими и потребуют большого количества записей. С целью

§ 12] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 183
сокращения этих записей будем использовать векторные обозначения.
Мы будем пользоваться следующими векторами:
г и = (•* — хк) i-\-iy — У к) J'
гш = (*й — хг) i -f (ук — уг) J,
A)
Вектор г*ы получается из вектора гк1 путем поворота на 90° по
часовой стрелке.
Пусть теперь заданы три узла интерполирования: (х0, у0),
(xi> Уд' (Х2> Уг) и нам требуется найти многочлен Р1 (х, у) первой
степени, принимающий соответственно в этих узлах значения z0, zx, z2.
Будем разыскивать, как и в случае интерполирования функций одной
переменной, многочлен Р^(х, у) в виде
Р,(х, у) = z0P10{х, у) + ZiPn {х, у)+ z2Pl2 {х, у), B)
где Рц{х, у)—многочлены первой степени, равные единице в точке
ixi< Уд и обращающиеся в нуль в остальных двух точках. Рассмо-
Рассмотрим скалярное произведение (rv /"*2). Это—многочлен первой сте-
степени относительно хну. Он обращается в нуль в точке (xv yj,
так как при этом первый множитель скалярного произведения обра-
обращается в нуль. Он обращается в нуль и в точке (х2, у2), так как век-
вектор г21 перпендикулярен к /"*2. В точке (х0, уЛ (rv г*Л будет равно нулю
в том и только в том случае, когда три точки (х0, у0), (xv yt),
{х2, у2) лежат на одной прямой. Но это и будет как раз тот случай,
когда определитель обращается в нуль и, вообще говоря, не суще-
существует многочлена первой степени, принимающего в заданных точках
заданные значения. Исключая этот случай, мы можем принять
за Рю(х, у) выражение
Аналогично
\ro>
(/"i2> '"ао) ('"го- '"oi)
будут давать Рп(х, у) и Р12(х, у). Итак, искомый многочлен может
быть записан в виде
р (х v)~z IZilZi! G Г) &Zl
"l\x> У) — z0 7= =5Г
r r
rao)

184 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Если раскрыть скалярные произведения, то получим более громозд-
громоздкое выражение:
*1)(У1—У*) —(У —У1)(*1 —*s) i
1К ' У> ~ ° (
о - *i) (У1 - Уз) - (Уо - У1) (-«1 - **) ^
— -У") (Уз — Уо) — (У — Уз) (х% — х0) .
t — *s) (у, — уо) — (yj — у2) (*а — -«о)
(х — х0) (уо — yt) — (у — уо) (х0 —
-^ 2
(¦*»--*о)(Уо-У1)-(У»-Уо) (¦*(> —-
.
Возьмем теперь шесть точек (х0, у0), (xv yt), (х2, у%), (х3, у3),
(х4, у4), (хъ, уь), не лежащих на одной кривой второго порядка.
Будем разыскивать многочлен Р2(х, у) второй степени, принимаю-
принимающий в этих точках соответственно значения z0, zu z2, z3, zv zh.
Для этого построим определитель второго порядка:
E)
Этот определитель является многочленом второй степени относи-
относительно х и у. Он обращается в нуль в точках (xt, yt), (x2, v2),
(хз> Уз)' (xi' Уд> так как ПРИ этом обращаются в нуль элементы
первого столбца. Он обращается в нуль и в точке (хъ, _у5). так как
при этом первый и второй столбцы совпадают. Нужно еще убедиться,
что наш определитель не обращается тождественно в нуль. Прежде
всего заметим, что второй столбец в нуль не обращается. Действи-
Действительно, если бы он обращался в нуль, то из выбранных нами шести
точек по крайней мере четыре лежали на одной прямой. Но в этом
случае все шесть выбранных нами точек лежали бы на одной кривой
второго порядка, распадающейся на две прямые, одна из которых
проходит через четыре указанные точки, а вторая — через две
остальные. Если бы наш определитель тождественно обращался
в нуль, то нашлись бы две постоянные а и Ь {а2А-Ь2фЩ такие,
что
a(rv г*Л(г„, г* \-\-b(r , г* \(г , /¦*)== 0.
Это невозможно. Тождественное обращение в нуль этого выражения
будет только в том случае, если четыре точки (xv yj, (x2, y2),
(хз< Уз)< (xi< Уд лежат на одной прямой. Поделив наш определи-
определитель E) на
(rov ^а) ('"
(rov гш)(г
'О
F)
получим многочлен второй степени относительно х и у, обращаю-
обращающийся в нуль в точках (х{, yt) (i= 1, 2, 3, 4, 5) и равный единице
в точке (х0, у0). Аналогично можно построить многочлены второй

§ 12]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
185
степени, равные единице в каждой из точек (xj, _уг) и обращающийся
в нуль в остальных заданных точках. Тогда, так же как и в преды-
предыдущем случае, строим многочлен Р2(х, у). Он может быть записан
в виде
~rV Кг) ('Ъ 'м) (^51. Кг) (^53. ^34
с у) = z0 ^vL?l)y r2t\ \lv _7.у}2' _"
-М2
Кь) (^oa- ^24)
^23) {rit 7*5) (
^24) (^s- ^ss) ("^02. ^24) (
"^ ^) (^ ~1
. ~г1ь)
V 12' '4) ('Чз-
. /4j(/3' Г35
3. 7Зо) ( ^4- ^lo) (^IS- ^5) ( ^14.
5. 75l) (
Is) (
G45-
¦ r0l)(/'2. Г2з) (Г40- r0l)(''42. Г2з)
(Г50- ^02) (^51' Kb) (^40. 702) (^41. "
G)
Получилось очень громоздкое выражение. Оно станет еще более
громоздким, если расписать все определители и скалярные произ-
произведения.

186 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Идя по этому пути, можно написать явные выражения интерпо-
интерполяционных многочленов третьей и более высоких степеней. Мы здесь
этого делать не будем, а рассмотрим один частный случай распо-
расположения узлов.
2. Обобщение интерполяционных формул Ньютона на случай
функций многих переменных. Возьмем v, узлов, распо-
расположенных следующим образом:
(х0, Уо), (хи у0), ..., (хп_1, _Уо)> (хп, Уо),
(хо> Уд, (xiy Уд' •••> {хп-и Уд'
(8)
(Xq, yn_\)t (-^i* Уп — 1/* ( ^% ^ ^j при i =^= У»\
(хо, Уп) \Уг^У] ПРИ 1+) )
Значения х-% и у^ могут быть произвольными, так что взаимное рас-
расположение узлов может быть довольно общим. Проверим, что чет
кривой га-го порядка, проходящей через все эти узлы. В самом деле,
если бы такая кривая имелась, она содержала бы точки, располо-
расположенные в первом ряду. Этих точек п-\-\, и все они лежат на одной
прямой. Следовательно, вся прямая также принадлежала бы кривой
порядка п. В этом случае кривая порядка п распадается на прямую
и кривую порядка п—1, проходящую через остальные — ^ '
точек. Для нее можно было бы провести аналогичные рассуждения.
Продолжая этот процесс, мы в конце концов пришли бы к заклю-
заключению, что три точки (х0, уп_д, (xv Уп-д' (хо> Уп) лежат на одной
прямой. Этого нет. Следовательно, выбранные нами узлы не могут
лежать на одной кривой порядка п.
Построим теперь интерполяционный многочлен по нашим узлам.
Обозначим его через Рп (х, у), а Рп {хь у}) через zi3-. Если рассмо-
рассмотреть только те из выбранных нами узлов, для которых i-{-j<Cn,
то на тех же основаниях мы можем построить интерполяционный
многочлен Pn_i(Jc, у) степени п— 1, принимающий в точках (xi§ yj),
i-\-j<C.n, значения гц. Образуем разность
Рп(х, y) — Pn^(x, у).
Она будет являться многочленом степени не выше п, обращающимся
в нуль в точках (xit y}), i-\~j<_n. Будем разыскивать ее в виде
Рп {х, у) — Р„_1 (х, у) = Ап0 {х — х0) (х — хд ...
... (х — xn_d-{-An-i. i(x — x0) ... (х — хп_2) {у — у0) 4-
п-2,2 (х — х0) ... {х — х„_3) (у —у0) (у —уд + .. .
• • • + Лм О> — Уо) (У ~Уд ¦ ¦ ¦ (У—Уп-д- (9)

§ 12] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 187
Покажем, что действительно можно так подобрать постоянные An_i: it
что этот многочлен, обращающийся в нуль в точках (хг, у^),
i+j<n, будет равен Рп (х{, у-) — Pn_t {xit у$ при i-\-j=n.
В точке (х,-, yn_i) все члены его обратятся в нуль, за исключением
А1,п-.1(хг — х0) ... Оч —*i_i)(.yn_i— у0) ¦¦¦ {Уп-i—yn-i-i)-
Таким образом, коэффициенты Ait n_, определятся однозначно.
В силу единственности представления интерполяционного многочлена
по выбранным нами узлам это и будет единственным значением раз-
разности. Итак,
• У) = Рп-1
i-0
Поступая так же с Pn_i(JC, J/), а затем с Рп_2(*, _у) и так далее,
получим:
— х0) + Л01 (у — j/o) + Ло(х — -«о) (-
(^ —^0L-Л02(^ —Л)СУ—^i)+ • •
.. (х — xn_!) 4- Л„_!. 1 (х — х0) (х —
(И)
Выразим теперь коэффициенты А^ через значения функции
г%, = f(xk, хг). Подставляя в правую и левую части равенства (х0, _yrt)>
получим A00 = f(x0, y0). В точке {хъ уй) Рп = /(хиу0), а правая
часть равенства A1) равна Лш 4- Al0 (xt—х0). Следовательно,
j _ /(¦*!' Уо)—/(-^о. Уо)
xi — -^о
Это отношение является разделенной разностью функции f(x, y0)
при фиксированном у=у0. Мы будем его обозначать f(x0; xt; уй).
Аналогично получим A01 = f(x0; y0; yt). Зафиксируем теперь у, при-
придав ему значение, равное у0. Получим:
Р(х, у^=А00-}-А10(х — х0)+ ... +Ап0(х — х0) ... (х — хп^).
Это интерполяционный многочлен относительно х, принимающий
в точке (xit у0) значение /(хг, у0). Следовательно,
Ао^Цхв: Хи .... х-у0). A3)

188 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
При у — у1 наш интерполяционный многочлен примет вид
Р (х, у{) = [Ло + A0l (yt — vo)l + [-4l0 + Ап (У1—У0)] (x — xo) 4-
. . . +D-1,0 + 4-1, 1СУ1— ^o)](X — Xo) • • • (* —*я-2L-
i ^ V* V* ^ Г V* V* ^ ( V* У ^
Этот интерполяционный многочлен относительно X должен в точках
(*». yi)(l = 0- 1. 2, ..., га—1) принимать значения /(хг, yj. По-
Последний член при этих значениях х-ъ обращается в нуль. Следова-
Следовательно, все члены правой части, кроме последнего, дают интерполя-
интерполяционный многочлен Ньютона степени п—1, принимающий в точках
(X;, У\) A = 0, 1, 2, ..., п— 1) значения f(xit уг). Таким образом,
Отсюда
/( ь •••; хъ yi)—f(xp, х{, ¦-.; хк;
Выражение в правой части имеет вид разделенной разности по у и
будет также называться разделенной разностью. Итак,
Aki = f(x0; Xi, • • ¦; хк; у0; yt). A4)
Вообще, если мы уже знаем, что
Aki=f(x0. хъ • • -. хк\ у0, уъ ..., уд
для всех I < т, то, рассматривая Р(х,ут), получим
Р(х.Ут) = 1\о + Ао1(Ут — УО)+---+АОт (Ут ~ Уо) (Ут — Ух) ¦¦¦
¦ ¦ ¦ (Ут—Ут-l)] + Ию + АП (Ут—Уо) + • • •
• • • +\т (Ут—Уо) (Ут—Уд ¦ ¦ ¦ (Ут—Ут-l)] (х~хо) +• • •
Рассуждая, как и прежде, найдем:
Ако -+" Ак1 (Ут — Уо)+ ¦¦¦ + АШ (Ут — Уо) ¦¦¦ (Ут — Ут-l) =
= f(X0, Хи • . ., Хк\ yj.
Рассматривая это выражение как функцию ут, получим снова
Аы=/(х0; хп ...\ хк\ у0; уй ...; у-). A5)
Таким образом, мы можем записать окончательно нашу интерполя-
интерполяционную формулу в виде
п
рп(х, ^)=2 2 (х—Хо)...(х — х{_д(у — Уо)---
к=о i+j=k
¦ ¦ ¦ (y — yj-df(x0: x,\ . . .; х{\ у0; уп ...; у-). A6)

§
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
189
Это— обобщение интерполяционной формулы Ньютона для нерав-
неравных промежутков на случай интерполирования функций двух
переменных.
Пример. Дана таблица функции двух переменных:
, k = sin a.
У ^^^^
10°
20°
30°
40°
50°
5°
0,1745
0,3491
0,5233
0,6985
0,8734
20°
0,1746
0,3499
0,5263
0,7043
40°
0,1749
0,3520
0,5334
50°
0,1751
0,3533
80°
0,1754
Найти F(IO°, 15°).
Составляем таблицы разделенных разностей. Эти разности будут
очень малы, и мы будем давать их в единицах четвертого десятич-
десятичного знака:
?
10°
20°
30°
40°
F Ы аь ?)
0,07
0,53
1,67
3,87
F (ajj as; <?)
0,15
1,05
3,55
F (aaJ ag; cf)
0,2
1,3
Ha, a,,)
0,1
a
5°
20°
40°
50°
F^,9J
174,6
175,3
177,1
178,2
^(a;?i; ъ)
174,7
176,4
178
Fi,^)
174,7
181,4
175,9
9
10°
20°
30°
F («о! ai, аь 9)
0,002
0,015
0,054
F (a-i, a% ав; sp)
0,002
0,008
F (аъ аз\ ai> 9)
— 0,002

190 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
5°
20°
40°
u ??)
0,005
0,055
0,045
F (я: ?1;
0,000
0,25
0,06
F (ctn; at; cpn; cpj
0,046
F 4;«
0
114
/=¦
(ot^; Ojj ©а; срз)
0,22
F(«i
0,09
0,25
/*" (otg» вз^ cpj; cp2)
0,11
Как мы видим, разделенные разности второго порядка малы и
разности более высоких порядков мы учитывать не будем. Наша
формула даст
/=¦A0°. 15°) = 0,1745-1-0,000007.5+ 0,01746-5 + 0,0000002-25 4-
4-0,0000005 • 25 + 0,0000046 • 25 = 0,2620.
Точное значение F A0°, 15°) с четырьмя десятичными знаками
равно 0,2619.
В том случае, когда х-% — Х{_! = const и yj—_y^_!^const наши
формулы можно упростить. Пусть х{ — xi_l = k, yj — yj..l = k. По
аналогии с обычными конечными разностями введем двойные конеч-
конечные разности:
у,)-
У,)>
' у,)-
A7)

§ 12] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 191
В этом случае мы можем заменить разделенные разности конечными
по формулам:
/ (*0; Xi, у0) = -j Дж/ (х0; у0); f (х0; у0; yj =
,; *i; x2; yd) = -%-jj bl>f(x0, y0); f(x0; x,; y0; yx) =
1 2
.. yd); f(x0; Уо< Уъ Уг) = -^ V/(*o. yd)'
1 3
f(x0; x^ x2\ хъ\ уй) = orrr Да,»/ (jc0- J'o): / (х0' xi, x2\ y0; yd =
f (Xo- *i> Л! У и Уд = 2Г^з" &у*1 ^о. Уо): f (*о; Уо. Уп Уг< Уз) =
Отсюда наша формула может быть приведена к виду
Р(х, y) = f(x0, ^О) + -?=^ДЖ/(^О, уо)-\-1^У° ^f(x0, уо) +
(х0, у0) + <^-^-Уо) д^/(,0> уо) +
(У - Уо)(УГ У1) 4/(, ^ + (х
2,; Ь. Л)
| С* —-*0)(У — Уо)(У — У1> Л3 /:/„ „ч
Н 2Г№ ху^( 0> ¦Уо)
I (У — Уо)(У — У1)(У — Уа) Лз г, . |
¦Л зГР yit^ °'Уо'-г
или, если обозначить t = х Т ^ . и^ У ~Уо т0
Р (*0 + W, у0 -\- ku) =f(x0, у0) + tbxf(x0, уо) -+- ubyf(x0, yn) 4-
Л) +
t(t— \)(t — 2) .3 ,, . . t(t — \)
2!
xy*f(x0, у0) +
2| -а:Г у v-0. ^0^ П 31
и(и-1)(и-2) .3 , . , n9>
• 57 a?/J/ (-^0' W ~T • • • V1 Э/

192 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Это — обобщение формулы, Ньютона для интерполирования вперед
функций двух переменных. Аналогично можно получить обобще-
обобщения и других интерполяционных формул.
3. Другие способы построения интерполяционных многочленов
для функций многих переменных. Возможен и другой подход
к интерполированию функций многих переменных при помощи много-
многочленов. Мы уже не будем требовать, чтобы степень интерполя-
интерполяционного многочлена была наименьшей, и будем рассматривать такие
системы узлов, для которых решение поставленной интерполяцион-
интерполяционной задачи будет не единственным. Но сам способ интерполирования
будет выделять из всего множества возможных интерполяционных
многочленов один единственный интерполяционный многочлен.
Пусть, например, нам заданы следующие узлы интерполирования:
(*о. Уо)- (*i. Уо)' • • • • (хп. Уо)-
(х0, у у), (*!, у у), .... (*„, у у).
(Х0> Ут)' (ХиУт)- •••• (хП'Ут)-
B0)
и даны значения функции f(x,y) в этих узлах. Возможен следую-
следующий способ приближенного определения значения функции / в неко-
некоторой точке (х, у), не совпадающей с узлами интерполирования. Сна-
Сначала интерполируем нашу функцию как функцию одного перемен-
переменного х при фиксированных значениях _у{ (г = 0, 1, ..., т). При этом
мы каждый раз используем одну строку заданной таблицы узлов.
Таким образом, мы можем найти приближенные значения f(x, yt)
(j = 0, 1 т). Затем по найденным значениям f(x, _У{) путем ин-
интерполирования по у находим f(x, у). Посмотрим, как будет выгля-
выглядеть интерполяционная формула при таком способе интерполирования.
Применяя интерполяционную формулу Ньютона для неравных
промежутков, будем иметь:
/(*, у) =/(*, yo)+(y — yo)f(x; у0; уд +
о;у1; .••\ут)-\-
o;y1; . . .\ ут; у). B1)
Снова применим интерполяционную формулу Ньютона для неравных
промежутков к f (х; у0; у^; . . .; ук); рассматривая эту разделенную
разность как функцию х, получим:
/(*; уо. Уу> • • •; Ук) =
=/(*<>'Уо'у» •••;л)+(* — *о)/(*<>; хиУо>У1, ¦¦¦;ук)+ •••
1; .. .; хп; уй;уу;. ..;ук) +
— хо)(х—х1). ..(x — xn)f(x0; ху\ ...;хп; х; у0; уу; . . .; ук).
B2)

§ 12] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫ \ 193
Подставляя эти выражения в предыдущую формулу, найдем:
т т
/(*, _V)=2 2 (* — *о) (* — *!)••• (х — х1-д(У—Уо) (У~Уд---
{=0 j=0
...(х-хп) 2(у—yd)(у—уд¦ ¦ -(y-y}_)f(x; хо- хп ¦¦¦: *„;уо\ Уй ¦ ¦ ¦
¦ ¦¦;уд + (у-Уо)(у—уд.--(у —ym)i(x\у.уо\уп ¦¦¦;yj. B3)
Здесь при /==0 и у = 0 получатся множители (х — х_^ и (у—У-д-
Мы условимся считать их равными единице. Заметим далее, что
п
f(x;x0; ...; *„; у)= ^ (у — Уо) (у— Уд ¦ ¦ ¦ (у — У^ X
—уо)(у—уд ¦. •
• • • О—л,)/(*"' ^о; ^i; • • •; ^«; Л; Уи ¦¦¦:ут; у)- B4)
Таким образом,
п т
f{x, V) = 2 2 (х — хо) (х~хд---(х — xi-d (У —Уо) (У ~Уд ¦•-
i-0 j=0
... {x—xn)fix;xo;xi, .. .; xn;y)-\-iy— yo)iy— уд ---(у—-ут)Х
X f (х: Уф Уъ ¦¦•: Ут) — (х~ хо) (х — хд ¦ ¦ ¦ (х — XJ (у—у0) X
X (У—Уд • • • (У—Ут)/(х; х<>:---: хп: у. Уо: Уй---: yj. B5)
Двойная сумма дает интерполяционную формулу, а остальные члены —
остаточный член этой формулы. Остаточный член можно записать
в другой форме. Действительно, рассматривая f(x; х0; . ..; хп; у)
как разделенную разность по х± при фиксированном у, будем иметь;
1 дп+1
fix; x0; xi; . . .; хп; У) = {п+1I д^/& У)-
min [х, х{\ < Ч. < max [x, xt].
Аналогично
1 дт+1
f(x: у: у0: У,: ¦ ¦ •; УJ = {т +1); дхт+1 f(x, т).
in \У, У)< -Ч < max [у, у}\.

194 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Далее, считая х, х0 хп фиксированными, будем иметь:
f(x; *„;...; хп;у;у0; ...; уп) =
1 дт+1
f(x; x0; хх\ ...; хп; •»],).
(m+1)! ду
Снова используя представление резделенной разности через произ-
производную, получим:
/(*; х0; ...;хп;у; у0; у,;...; ут) =
1 1 дт+п+%
Таким образом, остаточный член может быть записан в виде
-/(?!. 71t). B6)
В случае, если разности xi — xi_l иyj — У]-\ постоянны, мы можем,
как и в предыдущем случае, получить формулы с двойными конеч-
конечными разностями. Мы здесь их выписывать не будем.
В заключение этого параграфа отметим, что можно получить
формулу, которая будет пригодна при любом расположении узлов.
Опять для сокращения записей используем векторные обозначения.
Наша формула будет иметь вид
п ___ __ __ __
D/-V лЛ V» (Гъ Г*^ (Г?< Г{^ • '' fo-1' r<' *-i) (г» + 1' ri>i+i) ¦ ¦¦ (гп< Ъп)
Г \Х, у) 7. Z{ -, _ =т>- р =—
?\ .(rin, rin)
B7)
Проверим, что она удовлетворяет интерполяционным условиям.
Числитель каждого слагаемого представляет собой многочлен сте-
степени п— 1 по х и у. Следовательно, и вся сумма будет являться
многочленом по х и у степени не выше п—1. Если точка (х, у)
совпадает с одним из узлов интерполирования, например с (xit yj),
то все слагаемые суммы, у которых индекс при z не совпадает
с i, обратятся в нуль, так как в числителе обязательно встретится
скалярное произведение {г^, г^), равное нулю. Если индекс при z
равен j, то дробь соответствующего слагаемого обратится в 1 и
Р(х,у) будет равно Zj.
Из самого вида формулы видно, что построение возможно при
любом расположении узлов интерполирования. Действительно, зна-
знаменатели всех дробей отличны от нуля, если среди узлов нет сов-
совпадающих.

§ 13] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 195
Построенный нами многочлен обладает следующими замечатель-
замечательными свойствами. Значение многочлена целиком определяется вели-
величинами z в узлах интерполирования, положением узлов на плоскости
и положением точки, для которой проводится интерполирование,
на плоскости. Оно не изменится при любом перемещении осей
координат. Если все узлы интерполирования расположены на одной
прямой, то значения Р(х, у) и значения интерполяционного много-
многочлена Лагранжа на этой прямой совпадают. Изменение нумерации
узлов интерполирования не меняет Р(х, у). Можно показать, что
Р(х, у), удовлетворяющий этим условиям, будет однозначно опре-
определяться нашей формулой.
§ 13. Интерполирование функций комплексного переменного
Сделаем несколько замечаний относительно интерполирования
функций комплексного переменного с помощью алгебраических
многочленов. Очевидно, формула Лагранжа и все ее видоизменения,
приспособленные для различных частных случаев расположения
узлов, будут годны и для функций комплексного переменного.
Но остаточные члены, которые мы ранее получали с помощью
теоремы Ролля, в этом случае будут непригодны.
В этом параграфе мы дадим интегральное представление интер-
интерполяционного многочлена и остаточного члена для функций ком-
комплексного переменного.
Пусть С — простая замкнутая кривая и f(z)— аналитическая
на С и внутри С функция. Пусть, далее, узлы интерполирования
z0, zv .... zn также лежат внутри С. Рассмотрим интеграл
— — ft
— 2п/ J
* (С) ~
где со (z) = (z — z0) (z — Zi) ... (z — zn). Подынтегральная функция
аналитична на С и внутри С, за исключением точек z0, z± zn.
Следовательно, интеграл будет равен сумме вычетов относительно
каждой из этих точек. Но
f (г) ( — ZAf Bл
К
Отсюда
к=0
т. е. P(z) является интерполяционным многочленом Лагранжа.
Далее, представим Р (z) в виде разности

196 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Первый член в силу интегральной формулы Коши равен f\z).
Следовательно,
Итак, остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа в нашем
случае может быть представлен в виде
§ 14. Применение интерполирования
для составления таблиц
Теория интерполирования имеет большие приложения при состав-
составлении таблиц функций. Получив задание на составление таблиц тех
или иных функций, математик должен решить перед началом вычис-
вычислений ряд вопросов. Должна быть выбрана формула, по которой
будут производиться вычисления. Эта формула может изменятся от
участка к участку. Обычно формулы для вычисления значений
функции, использующие способ задания функции, бывают громозд-
громоздкими и поэтому их используют для получения некоторых опорных
значений и затем путем субтабулирования сгущают таблицу. Фор-
Формула, дающая опорные значения функции, должна обеспечивать нужную
точность таблиц с учетом последующего субтабулирования. Если
предполагается составить таблицы с постоянным шагом, то должен
быть определен шаг таблицы. Шаг таблицы связан с двумя факто-
факторами: объемом таблиц и интерполяционной формулой, по которой
будут вычисляться промежуточные значения уже в готовой таблице.
Чем больше будет шаг, тем больше членов интерполяционной
формулы придется использовать при пользовании этой таблицей
на практике. Это создает некоторые неудобства при использовании
таблицы. С другой стороны, чем меньше шаг, тем больше объем
таблиц, что также не очень удобно. Математик должен как-то со-
согласовать действие этих противоположных факторов с учетом средств
вычислений, имеющихся в распоряжении потребителя. Если таблица
должна быть введена в быстродействующую машину, то особенно
важно уменьшить ее объем. При этом можно отказаться от постоян-
постоянства шага и использовать, например, узлы Чебышева на отдельных
участках, для которых, как мы видели, получается наилучшая
оценка остаточного члена интерполяционной формулы. При опреде-
определении шага таблицы будут иметь значение и такие факторы, как
наличие вычислительных средств и время, отведенное на вычисления.
Мы не можем здесь входить в детали каждого из поставленных
вопросов и остановимся лишь на выборе шага и субтабулировании,

§ 14] ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ ДЛЯ СОСТАВЛЕНИЯ ТАБЛИЦ 197
Чаще всего таблицы функций составляются так, чтобы была
допустима линейная интерполяция (т. е. интерполяция с использо-
использованием первых двух членов формулы). В этом случае остаточный
член будет иметь вид
Здесь 5 принадлежит интервалу между двумя соседними табличными
значениями аргумента, в котором лежит х, a t заключено между
О и 1. Произведение t(t—1) принимает наибольшее по модулю
значение при t = -~. Это значение равно -т. Следовательно,
Чтобы ошибка интерполирования не превышала по абсолютной
величине а, необходимо выбирать Л, удовлетворяющим условию
\. 0)
Нужно помнить, что наряду с этой ошибкой — ошибкой метода,
при практическом вычислении промежуточных значений будут воз-
возникать еще ^неустранимая погрешность и погрешность округлений.
Как мы видели ранее, неустранимая погрешность при линейной
интерполяции будет равна погрешности табулированных значений
функций. Погрешность округления будет зависеть от вычислитель-
вычислительных средств и от программы вычислений. Поэтому здесь мы ее
касаться не будем.
Совершенно аналогично можно исследовать квадратичную интер-
интерполяцию и интерполяцию более высоких порядков. Если, например,
используется интерполяционная формула Эверетта, то остаточный
член будет иметь вид
«2 (х) = f^- hH (t* - 1) (t — 2),
и в этом случае наибольшее значение для )t(t2— l)(t— 2)| на [0,1]
1 Q
будет достигаться при ?== —. Это значение равно -^-. Таким
образом,
и для того чтобы ошибка квадратичной интерполяции не превы-
превышала а, нужно, чтобы шаг h удовлетворял условию
4
И здесь, кроме этой ошибки метода, возникают неустранимая ошибка
и ошибка округления. Неустранимая ошибка будет такова же, как

198 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
и для формулы Гаусса, взятой до третьих разностей. Как видно
из приведенной ранее таблицы, неустранимая погрешность не может
больше чем в 1,4 раза превысить абсолютные погрешности табули-
табулированных значений.
Аналогично можно исследовать и другие формулы.
Рассмотрим теперь вопрос о субтабулировании. Как применяется
формула Эверетта для субтабулирования, мы уже знаем. Приведем
здесь еще один способ субтабулирования.
Пусть /0, fu ... — данные последовательные значения функции,
соответствующие шагу аргумента, равному h, и Д, Д2, . .. — их
разности. Предположим, что нам нужно сгустить таблицу в k раз,
т. е. новый шаг будет —г. Обозначим новые значения функции
соответственно через f^, /01, /02, .. ., /о, s-i, /ю. /и /i,fc-i. • • •
Здесь /io = /i- a /is — последовательные значения функции между
х± и Х{+1. Будем для определенности считать, что разности пятого
порядка исходных значений функции постоянны. Найдем выражения
для разностей значений функции с новым шагом через разности
с прежним шагом. Для этого используем операторное исчисление,
примененное нами ранее для вывода интерполяционных формул.
По формуле Ньютона для интерполирования вперед будем иметь:
/01 = / (*о + 4) =/<*о> +Т
1.2
Обозначим через Дх разность с шагом —. Тогда
). D)
Таким образом, операторы А и Aj связаны следующим соотноше-
соотношением:
1 ^^ dfe)(l2fe)
a -t-
3fe) Д4 , (l-fe)(l-2fe)(l-3fe)(l-4&)
4Ш "•" 5! & а •

§ 14] ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ ДЛЯ СОСТАВЛЕНИЯ ТАБЛИЦ 199
Следовательно, степени их будут связаны таким соотношением:
к ^ 2! #
— А) A — 2А) A — ЗА)
3! *»
¦?)(!— 2?)A — Зй)A — Щ
Отсюда последовательно получаем:
Д1 = -ттг Д2 -I ^— Д3 4- —
д. |»
А»,
3A-*)
:i-*)
A
"Т" •
^ •
После того как получены разности, нетрудно, используя постоянство
разностей пятого порядка, произвести субтабулирование. Сначала
заполняем столбец пятых разностей, затем четвертых и т. д., пока
не придем к значениям функции. Эти формулы, связывающие Д и Д,,
можно получить и без операторного исчисления. Рассмотрим, как
это делается на примере. Возьмем те же значения sin x, которые
мы использовали ранее в § 7, и получим таблицу с шагом в 30'.
Таблица исходных значений функции и их разностей выглядит сле-
следующим образом:
X
9°
12°
15°
18°
21°
sin х
0,156434
0,207912
0,258819
0,309017
0,358368
Р
51478
50907
50198
49351
Г-
-571
— 709
— 847
Я
— 138
— 138
В нашем случае k =6. Последовательно получаем:
sin 9° = sin 9°,
sin 9° 30' = sin 9°4- i П, — 4г /? 4- ~Зпг f.

200 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Будем обозначать разности с новым шагом чертой сверху. Первые
разности будут выражаться так через предыдущие разности:
7i — J- П - f2 4- — Р
3 Чг 6 J Vi 72 J l ' 1296 ¦/з V
J_ nL
J
L f __
24 Jl^ 1296 HW
~h Ji n L. f% _i_ ^ f3
1 % = 6 J 4> 72 y i ^ 1296 Уз/»
7i J- f i _i L /a __ 17 л
y'/, ~ 6 J V» "•" 72 y i 1296y•/."
Вторые разности будут иметь вид:
36-'1 216
5_ /з
216 J%'
7а J_
¦'2 36
J_ f
36Jl 216
72 J_ /2 3
¦'з— 36 yi 216
Третьи разности будут равны:
у%— 216 -Ч-
Подставляя сюда числовые значения, получим:
/? = ¦§•• 0,051478+А. 0,000571 ^.0,000138 = 0,00861346,
7? = — -gg- • 0,000571+-^- • 0,000138 = — 0,00001267,
/»*, = —-gig" • 0,000138 = — 0,00000064.
Далее вычисления проводим так же, как в § 6, где мы про-
продолжали таблицу многочлена. Сначала заполняем столбец третьих
разностей, затем вторых, первых и, наконец, столбец зна-
значений функции. В узловых точках записываем данные нам зна-
значения. Расхождения могут произойти за счет округлений. Таблица
выглядит так*

§ 14} ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ ДЛЯ СОСТАВЛЕНИЯ ТАБЛИЦ 201
X
9°
9° 30'
10°
10° 30'
11°
11°30'
12°
12° 30'
13°
13° 30'
14°
14° 30'
15°
15° 30'
16°
16° 30'
17°
17° 30'
18°
18° 30'
19°
19° 30'
20°
20° 30'
21°
sin х
0,156434
0,165047
0,173648
0,182236
0,190809
0,199368
0,207912
0,216440
0,224951
0,233445
0,241922
0,250380
0,258819
0,267238
0,275637
0,284014
0,292371
0,300704
0,309017
0,317304
0,325568
0,333806
0,342019
0,350206
0,358368
Я
8613,46
8600,79
8587,48
8573,53
8558,94
8543,71
8527,84
8511,33
8494,18
8476,39
8457,96
8438,89
8419,18
8398,83
8377,84
8356,21
8333,94
8311,03
8287,48
8263,29
8238,46
8212,99
8186,88
8160,13
Р
—12,67
—13,31
—13,95
—14,59
—15,23
—15,87
—16,51
—17.15
—17,79
—18,43
—19,07
—19,71
—20,35
—20,99
—21,63
—22,27
—22,91
—23,55
—24,19
—24,83
—25,47
—26,11
—26,75
Я
—0,64
—0,64
—0,64
—0,64
—0,64
—0,64
—0,64
—0,64
—0,64
—0,64
—0,64
—0,64
—0,64
—0,64
—0,64
—0,64 |
—0,64
—0,64
—0,64
—0,64
—0,64
—0,64
Расхождения с точными значениями не
шестого знака, да и то в конце таблицы.
превышают двух единиц.

202 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
§ 15. Обратное интерполирование
Часто на практике возникает задача об отыскании по заданному
значению функции значения аргумента. Эта задача решается методами
обратного интерполирования.
Если заданная функция монотонна, то обратное интерполирова-
интерполирование проще всего осуществить путем замены функции аргументом и
обратно и последующего интерполирования. Если заданная функция
не монотонна, то этим приемом воспользоваться нельзя. Тогда, не
меняя ролями функцию и аргумент, записываем ту или иную интер-
интерполяционную формулу, используя известные значения аргумента и
считая функцию известной, решаем полученное уравнение относи-
относительно аргумента.
Оценка остаточного члена при использовании первого приема
будет такова же, как и при прямом интерполировании, только про-
производные от прямой функции заменятся производными от обратной
функции. Оценим ошибку второго метода. Если нам задана функ-
функция /(х) и Ln (х) — интерполяционный многочлен Лагранжа, построен-
построенный для этой функции по узлам х0, х1г х2, .... хп, то
/(х)-/.„(*)=
Предположим, что нам надо найти значение х, при котором f(x)=y
-(у задано). Будем решать уравнение Ln(x) = у. Получим некото-
некоторое значение х. Подставляя в предыдущее равенство, получим:
/ (х) - Ln (х) = f (x) - у = f (x) - / (х) = f(n + |g о>„ (х).
Применяя формулу Лагранжа (конечных приращений), будем иметь:
(X - X)f G)) = ^ffi О>„ (X),
где т) находится между х и х. Если [а, Ь] — интервал, содержащий х
и х и mm (/' (х) | = пг1 Ф 0, то из последнего выражения следует:
х ? [а, 6]
При этом, конечно, предполагается, что уравнение Ln(x)=y мы
решили точно.
Рассмотрим примеры на обратное интерполирование тем и дру-
другим способом.

§ 15] ОБРАТНОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
Пример. По заданным значениям функции:
203
X
У
1
— 6
2
— 1
2,5
5,625
3
16
найти значение х, для которого j/=0.
Единственной информацией о функции является данная таблица.
Судя по таблице, функция монотонна. Поэтому применим первый
прием. Получим:
, . , (у+1) (У-.5,625) (у-16) 0 (у + 6) (у -16) (у- 5,625)
L*(У) — L (-5) (—11,625) (-22) г- 5 (_17) (_- 6625) ~г
)(у— 5,625)
, о
~
, о -
22 • 17 • 10,375
Полагая здесь у=0, будем иметь:
х = 2,122.
Пример. По заданным значениям функции:
11,625- 6,625 (—10,375)"
X
У
0
-5
—1
—4
2
—1
найти значение х, при котором у будет равен —2.
В этом случае функция не монотонна. Поэтому применяем вто-
второй прием. Находим:
, (гЛ - (*+1)(*-2) х{х-2) ,х(х+\)_2
4W— о 1(_2) * (_1)(_3) 1 2-3 ~ '
Полагая Z.2(x) = —2, получим уравнение для определения х:
х2 —3 = 0.
Отсюда х= ±
Если число узлов велико, то применение второго приема при-
приведет к решению алгебраического уравнения высокой степени. Спо-
Способами решения таких уравнений мы займемся позже. Здесь же

204 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
остановимся только на итерационном способе. Будем рассмат-
рассматривать только случай равноотстоящих значений аргумента. Используем
хотя бы интерполяционную формулу Ньютона для интерполирования
вперед:
При обратном интерполировании левая часть равенства известна и
требуется определить t. Для этого разрешим это равенство отно-
относительно t, стоящего при разности первого порядка. Получим:
/3
ft-U Ht-l) f\ t(t-\)(t-2) j-
f1 2 fl
J l ' l
Полученное уравнение относительно t будем решать методом по-
последовательных приближений. За начальное приближение примем
а
Подставляя t0 в правую часть, получим:
ft-fo to{tQ-\) f\ *„С-!)(<„-2) 4
Затем таким же способом из t1 получим t2, а затем t3 и т. д. В зна-
значительном числе случаев этот процесс сходится и дает в пределе
точное решение уравнения. Практически последовательные прибли-
приближения заканчивают, когда два соседних приближения не отличаются
друг от друга с той точностью, которая нам нужна. Нет необ-
необходимости каждый раз использовать все члены правой части.
Обычно чем больше сделано приближений, тем больше используют
членов.
Обратное интерполирование может быть применено для решения
уравнений. Для этого составляют таблицу значений функции и на-
находят, при каком значении х функция обращается в нуль. Рас-
Рассмотрим пример как раз такого рода.
Пример. Найти корень уравнения хъ — 5х + 3 = 0, заключен-
заключенный между 0 и 1.
Составляем таблицу значений функции у = зсъ — 5х -j- 3 с ша-
шагом 0,1:

§ 15]
ОБРАТНОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
205
X
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
/
3,00000
2,50001
2,00032
1,50243
1,01024
0.53125
0,07776
—0,33193
—0,67232
—0,90951
—1,00000
Я
—49 999
—49 969
—49 789
—49 219
—47 899
—45 349
—40 969
—34 039
—23 719
—9049
Я
30
180
570
1320
2 550
4 380
6 930
10 320
14 670
Я
150
390
750
1230
1830
2 550
3 390
4 350
Я
240
360
480
600
720
840
960
Я
120
120
120
120
120
120
120
Перемена знака функции при переходе от 0,6 к 0,7 показывает,
что /(х) имеет корень в этом интервале. Формула Ньютона в этом
случае примет вид:
О = 0,07776 — t ¦ 0,40969 -+-
0,06930
0,03390
о,оО96О +
Отсюда
_ 0,07776 , t(t— 1) 0,06930 t (t — \) (t — 2) 0,03390
~~ 0,40969 "+" 2 0,40969 ~"~ 6 0,40969
24
или
i ' y! — !)(* — 2)(t — 3) 0,00960 . t(t— l){t — 2) (< —3)(^—4) 0,00120
~t~ o" 0,40969 "' Ш 0,40969
^ = 0,18980205 + ^(^— 1H,08457614 +
-f t {$— 1) (^— 2) • 0,01379092 +-* (/ — 1) (/ — 2) (* — 3) • 0,00009763 +
!(f — 1) (t — 2) (^ — 3) (t — 4) 0,00000244,

206 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
Последовательные приближения дают
^0 = 0,19; ^= 0,1868; t2 = 0,180752; ts= 0,18092680;
^4= 0,18091906; *5= 0,18091937; ts = 0,18091936;
*7 = 0.18091936.
Значения te и t7 совпадают. Поэтому в качестве х можно взять
х= 0,618091936.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что совокупность функций
1 *
R(x) ' R(x) R(x) '
где R (x) — многочлен, образует систему Чебышева на всяком отрезке, на
котором R (*) не имеет корней.
2. Доказать, что функции
образуют систему Чебышева при jc^>0, если ак^>0 (А = 0, 1, ...).
3. Найти многочлен наименьшей степени, принимающий в заданных
точках заданные значения:
X
У
1,45
3,14
1,36
4,15
1,14
к 5,65
Отв. — 14,2*3 + 28,67*+ 91,37.
X
У
0
2
1
3
2
12
5
147
Отв. х* + х*-— х+2.
X
У
0
1,45
1,5
3,14
3,4
4,65
6,8
4, И
Отв. — 0,0205*3 — 0,02** + 2,73* + 1,45.

УПРАЖНЕНИЯ
20Г
X
У
11
1342
13
2210
14
2758
18
5850
19
6878
21
9282
Отв. — 4,1*5+337,8*4— 11283,9лг3 + 182940,4лг2 — 1460817лг+4593561,7.
4. Используя способ Эйткена, найти указанные значения функции для
следующих данных:
/B7) =
X
у
14
68,7
17
64,0
31
44,0
35
39,1
Отв. 49,46.
X
У
93,0
11,38
96,2
12,80
100,0
14,70
104,2
17,07
108,7
19,91
/A02)
Отв. 15,38.
X
У
0
658 503
2
704 969
3
729 000
6
804 357
7
830 584
9
884 736
/E) = ?
Отв. 778 687.
5. Используя интерполяционный многочлен Лагранжа, доказать, что
арт1 (-vr
Bр + 1 — 2т) т\ Bр + 1 — 2т)\
т=и
Указание. Рассмотреть /(jc) = l на [—1, 1] и взять в качестве то-
точек деления лг<^+1> = - 1 + ^-^ (т = 0, 1, 2 2р+ 1).
6. Доказать, что
т
i=0
(m+я —2I
(m —1)!л! *
Указание. Применить формулу Лагранжа к функции
(п х) (п 1 х) ... B х)
Положить х0 = 0, h = 1, х — п -\- т.

208 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
7. Используя интерполяционный многочлен Лагранжа, получить следую-
следующую формулу:
8. Используя интерполяционный многочлен Лагранжа, получить следую-
следующую формулу:
9. Доказать, что
(jf0 - х)к Цп (х) + {хг - -с)* ?ln (jf) + ... + (лг„ - л:)* Z.nn (лг) = 0,
(*=1, 2, .... п),
где
(-У— -УрХ-У — -У1) ... (X— Xj-x){x— Xi+1) ... (Х — Хп)
{пК > (xi-x0)(xi-x1)...(xi-xi-1)(xi
10. Доказать, что
, / „ч I. X— Ха (х — Хо) (X — Х\) .
Мп \х) — 1 i- — -—h -j- г \ tr ГТ" -!"••
-^0 — •*! (.-^0 — Xi) (Х0 — ^2)
I
— хх) (хй — xi)... (х0 — *„_,) *
11. Пусть Ln(x) — интерполяционный алгебраический многочлен сте-
степени п, построенный для функции f(x) по узлам jc0, xt Хп. Получить
интерполяционную формулу Лагранжа, разлагая дробь
(х — х0) (x — xt) ... (х — хп)
на простейшие.
12. Даны значения функции в т-\- п точках. Доказать, что можно найти
такую рациональную функцию, числитель которой имеет спепень т.— 1,
а знаменатель п, которая совпадает с заданными значениями в заданных
точках.
13. Взяты три значения функции f (x): f(a), f(b), /(с), вблизи ее макси-
максимума или минимума. Показать, что значение х в максимуме или минимуме
приблизительно равно
(с* — й2) / (Ь) + (й2 — *•>) / (С)
2{(b - c)f (а)+ (с- a)f(b) + (a- b)f (с)} '
14. Для любых п-\-1 чисел с0, сх, ..., сп возможно и притом единствен-
единственным образом построить многочлен Р (х) степени, меньшей или равной «,
удовлетворяющий условиям
Р (лг0) = с0; Р' UО = сх Р&> (лг„) = с„.
Числа лг0, Х\, ..., хп произвольны: Доказать это и найти формулу для Р(х).
15. Пусть многочлен

УПРАЖНЕНИЯ
209
Jf*
имеет отличные друг от друга нули jcj, jc2) ..., хп. Тогда
f 0 при 0<?<л—2,
(хч) ~\ а~1 ПРИ k = n—1.
16. При тех же предположениях
—kx*~l/
v=l
*¦*', / (*-,) — & (*,) [ 0 при 0<^<2л-2,
[/'WP ~| йо-2 при * = 2п-1.
17. Если, кроме того, хч отличны от 0 и —1, то
18. Зная значения sin jc при х = 0, "с". ~г' "' "о"» наити sin jc при
0 4 0^
jc = -рг-. Оценить погрешность.
19. Зная cosjc при х — 0, -^ , -j , -j, -к . найти cos jc при -jc = -^-.
Оценить погрешность.
20. Дана таблица:
\gx
340
2,5314789
350
2,5440680
360
2,5563025
370
2,5682017
Найти lg 355. Оценить погрешность.
21. Дана таблица:
X
arc ig x
0,176327
10°
0,267949
15°
0,363970
20°
0,466308
25°
Найти arctg 0,3. Оценить погрешность.
22. Дана таблица:
X
COS X
33° 40' 00"
0,832277
33° 40' 40"
0,832169
33° 4 Г 10"
0,832089
33° 42' 00"
0,831954
33° 42' 10"
0,831927
Найти cos 33° 40'10" и sin 33° 40'10". Оценить погрешность.

210 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
23. Дана таблица:
X
COS X
18° 20' 00"
0,314545
18° 20' 10"
0,314591
18° 20' 50"
0,314775
18° 21' 00"
0,314821
18° 21' 40"
0,315005
Найти sin 18° 20' 30". Оценить погрешность.
24. Пусть в качестве базисных функций для интерполирования выбраны
где o-i—некоторые действительные числа, <цфа.^ при I Ф ]. Найти оста-
остаточный член соответствующей интерполяционной формулы.
25. Дана таблица значений многочлена третьей степени:
X
0
— 1
2
113
3
381
5
1754
6
3029
— 1
— 16
Известно, что допущена одна ошибка. Обнаружить ошибку и исправить ее.
По формуле Ньютона для неравных промежутков вычислить /A), /D), /G).
Восстановить исходный многочлен.
Отв. Uxs-\-x—\. Ошибка при х = 3; /C) = 380.
26. Показать, что п-я разделенная разность многочлена л-й степени
равна коэффициенту при хп независимо от выбора узлов Хо, xx хп.
27. Показать, что если / (х) = (х — х0) (х — jct) ... {х — хп), то
/(*„; xt; ...; хр) = 0 (р<п).
28. Показать, что если аргументы умножить на одну и ту же постоян-
постоянную с, а значения функции оставить неизменными, то разделенные разности
/(х0; x-i, ...; хп) умножатся на с-п.
29. Показать, что разделенные разности не изменятся, если аргументы
увеличить на одну и ту же величину, а значения функции "оставить неиз-
неизменными.
30. Доказать,-что
-, л:,;
..; хп)= J ...
... dtn.
где интеграл распространяется на все положительные значения ti, удовле-
удовлетворяющие условию
*+*+ ... +tn=\.
31. Показать, что если f(x) = 9 (х) ф (х), то
.; ап) =
(а0;
;...; ап).

УПРАЖНЕНИЯ
211
32. Обобщить предыдущую формулу на случай k сомножителей, т. е.
показать, что если f(x) = <j>t (х) ¦ <f2 (x) ... <рй (х), то
f(a0;
.; ап) =
где сумма распространена на все значения 1Ь /8, ...,
неравенствам
, удовлетворяющие
33. Конечная разность первого порядка функции f(x) имеет вид
out8 -\- Pjc2 + -\х4- 5. Найти, какой вид имеет /(лг).
34. Дана таблица натуральных синусов с шагом в 1°. Какова наиболь-
наибольшая погрешность линейной интерполяции? Тот же вопрос, если шаг ра-
равен Г, 1"?
35. Дана таблица натуральных логарифмов чисел от 1 до 10. Какова
наибольшая погрешность линейной интерполяции, если шаг равен 0,001?
36. Таблица интеграла вероятности
X
— /
' dz от х = 0 до х = 3 дана
с шагом 0,001. Какова наибольшая погрешность линейной интерполяции?
37. Таблица ех дана от 0 до 1 с шагом 0,01. Какова наибольшая по-
погрешность линейной интерполяции?
38, Дана таблица:
X
20
22
24
fix)
0,229314955248
0,230016702495
0,230719052039
X
26
28
30
fix)
0,231422001936
0,232125550246
0,232829695032
Найти /B1) и /B9).
39. Дана таблица:
X
0,51
0,52
0,53
0,54
fix)
0,5292437
0,5378987
0,5464641
0,5549392
X
0,55
0,56
0,57
fix)
0,5633233
0,5716157
0,5798158
Найти /@,5124) и /@,5716).

212 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
40. Дана таблица:
X
1500
1501
1502
1760 912 591
1 763 806 922
1766 699326
X
1503
1504
1769 589805
1 772 478 361
Сгустить таблицу до шага 0,1.
41. Дана таблица значений полного эллиптического интеграла первого
рода /С (я):
а
75°
76°
77°
78°
79°
/С («)
2,76806
2,83267
2,90256
2,97857
3,06173
а
80°
81°
82°
83°
84°
К (а)
3,15339
3,25530
3,36987
3,50042
3,65186
Получить таблицу с шагом в 30'.
42. Дана таблица пятизначных логарифмов чисел:
X
300
2,47712
310
2,49136
320
2,50515
330
2,51851
Составить по ней таблицу с шагом 1. Сравнить результаты с табличными.
43. Дана таблица:
X
ch х
0,30
1,04534
0,35
1,06188
0,40
1,08107
0,45
1,10297
0,50
1,12763
0,55
1,15510
0,60
1,18547
Сгустить таблицу в пять раз. Сравнить результаты с табличными.
44. Взяты 2г + 1 различных значений t: 0, ± ti, ± U; ...; ± tr. Выписать
интерполяционную формулу, использующую узлы
Найти остаточный член этой формулы.

УПРАЖНЕНИЯ 213
45. При обозначениях предыдущей задачи и при
Ц
будут иметь место следующие формулы:
ft-1
где
R = 2h2r+2tP (t)f(a ± th; a; a ± tji; ...; a± trh)
и
r
где
R = h2r+1P (f) {f(a + th; a; a ± txh; ...; a ± trh) +
+ f(a — th; a;a±t1 h:...: a± trh)
46. Доказать, что при тех же обозначениях и при обозначениях
Й-1
будут иметь место следующие формулы:
где
/? = h^H(t)f(a +th;a± txh\ ...; a± trh)
и
где
R = h^H(t)f(a — th;a± tji;...; a± trh).
47. В прежних обозначениях имеют место следующие формулы:
где
(a + th; a±tlh;...; a ±trh) +f(a — th; a±tlh;...; a±trh)

214 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [гл- 2
где
R=2h2r+ltH(t)f(a ±th;a± txh\...; a ± trh).
48. Вывести формулу
п Лк A--i
2
г-0
где
49. Вывести формулу
где
50. Вывести формулу
ЛЧ-%
" 1 ft
ft-2
где
ft-i
51. Вывести формулу
П I
где

УПРАЖНЕНИЯ
215
52. Построить интерполяционный многочлен Эрмита по следующим
данным:
X
У
у'
У"
0
1
0
2
1
—1
0
2
0
Отв. -.Vjfi + Kjci-W
53. Построить интерполяционный многочлен Эрмита по следующим
данным:
X
У
У'
—1
—1
0
0
0
0
1
1
0
Отв. 1лг»E —
54. Пусть интерполяционный многочлен Эрмита ищется методом не-
неопределенных коэффициентов, т. е. рассматривается многочлен
с неопределенными коэффициентами и с0, сь ..., ст подбираются так, чтобы
Показать, что получающийся при этом определитель отличен от нуля и
вычислить его.
55. Показать, что
п,
оо

216 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
где
>' = (! — h)*i+ (h — h)x^ + ••• +(.tp-i — tp-1)xp-1-\-tp-1xp,
а
(nt—1)!(л, —1I... (я„-1)!
ЛИТЕРАТУРА
1. Ш. Е. М и к е л а д з е, Численные методы математического анализа, Гос-
техиздат, 1953.
2. А. О. Гельфонд, Исчисление конечных разностей, Гостехиздат, 1952.
3. В. Л. Гончаров, Теория интерполирования и приближения функций,
Гостехиздат, 1954.
4. И. П. Натансон, Конструктивная теория функций, Гостехиздат, 1949.
5. Хаусхолдер, Основы численного анализа, ИЛ, 1956.
6. Милн, Численный анализ, ИЛ, 1951.
7. Э. Уиттекер, Г. Робинсон, Математическая обработка результа-
результатов наблюдений.
8. И. Ф. Стефенсен, Теория интерполяции, ОНТИ, 1936.

ГЛАВА 3
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
В данной главе будут рассмотрены численные методы решения
простейших, но очень распространенных задач математического ана-
анализа— дифференцирования и интегрирования функций.
Дифференцирование и интегрирование являются частными слу-
случаями функций, определенных на функциональных пространствах,
о которых говорилось во Введении. При этом каждой функции не-
некоторого функционального пространства R ставится в соответствие
либо снова функция (при отыскании производной или неопределен-
неопределенного интеграла), либо некоторое число (если ишется производная
в определенной точке или определенный интеграл). Например, понимая
под R совокупность всех функций, имеющих на отрезке [а, Ь] не-
непрерывную производную, можно рассматривать дифференцирование
как функцию A(f), определенную на R, с помощью которой эле-
элементу f(x)?R ставится в соответствие функция ср(х)?С, где
ср(х) = /'(х), т. е. Л (Я = /'(*) или А=в~.
Во многих случаях значения этих функций не могут быть най-
найдены точно использованием методов дифференциального и интеграль-
интегрального исчисления. Тогда прибегают к приближенному решению этих
задач, используя общий метод, описанный во Введении. В этой
главе мы будем рассматривать методы численного дифференцирова-
дифференцирования и интегрирования, основанные на замене пространства R другим
пространством R. т. е. будем заменять задачу A(f) = y f?R зада-
задачей А(/)== ф, /? R.
В основу замены R на R положим уже рассмотренный метод
приближения — интерполирование.
§ 1. Задача численного дифференцирования
К численному дифференцированию приходится прибегать в том
случае, когда функция /(х), для которой нужно найти производную,
задана таблично или же функциональная зависимость х и /(х) имеет
очень сложное аналитическое выражение. В первом случае методы

218 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
дифференциального исчисления просто неприменимы, а во втором
случае их использование вызывает значительные трудности.
В этих случаях вместо функции /(х) рассматривают интерполи-
интерполирующую функцию ср(х) и считают производную от/(х) приближенно
равной производной от ср(х). Естественно, что при этом производ-
производная от /(х) будет найдена с некоторой погрешностью.
Функцию /(х) можно записать в таком виде:
где ср(х) — интерполирующая функция, а /?(х) — остаточный член
интерполяционной формулы. Дифференцируя это тождество k раз
(в предположении, что /(х) и ср(х) имеют производные fe-го порядка),
получим:
/<fc) (х) = ср« (х) -f- RAi) (x).
Так как за приближенное значение /W(x) принимается ср(*)(х), то
погрешность есть /?(ft'(x). При замене/(х) интерполирующей функ-
функцией ср(х) предполагается, что остаточный член мал, но из этого
совсем не следует, что мало /?(ft'(x), ибо производные от малой
функции могут быть весьма велики. И на самом деле, практика пока-
показывает, что при таком способе вычисления производных /(ft)(x)
получается сравнительно большая погрешность, особенно при вычис-
вычислении производных высших порядков.
Рассмотрим формулы дифференцирования в общем случае, когда интер-
интерполирующая функция ср (х) строится как линейная комбинация базисных
функций <@(х), <fi(x) ?nW. образующих систему Чебышева на рас-
рассматриваемом отрезке [а, Ь].
Пользуясь результатами предыдущей главы (см. B) § 4 гл. 2), запишем
функцию / (х) в виде
п х
f (х) = ср (лг) + 2 Ф< « / К (*if) ?»+i [/ (s)]ds. A)
п
Здесь <р (лт) = 2 f(xi) *i (•*) — интерполяционный многочлен, Ф{ (х) — линей-
1=0
ная комбинация базисных функций <fh(x) (k = О, 1, %..., л), удовлетворяю
щая условиям
T"(s>
i — узлы интерполирования,
) = W-1[f0(s),...,
<Р0 (•*) «Pi W • • • «Pn
С3)

§ 1] ЗАДАЧА ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 219
Дифференцируем обе части равенства. Получим:
п х
/' (лг) = ср' (лг) + 2 Ф\ (х) j К (лг4, s)Ln+1 [/ (s
г=0 х(
п
+ 2 *«<
i-0
Но
2 Ф< (лт) К (лг лт) Ln+1 [/ (лт)] = Ln+1 [/ (л-)] 2 Ф« (х) 2 «j (*i) Gj (x) =
г=О ^. г=о ^=0
1 П
= Ln+t[f (л-)] 2 фг (х) Gi (х) = Ln+1 [/ (лт)] Л (х, лт) = 0.
г=0
Таким образом,
п х
/'(ЛГ) = ср' (ЛГ) + ^] Ф^ (ЛГ) J /С (ЛГ4, S) Ln+ ! [/ (S)] rfs. D)
При численном дифференцировании за приближенное значение производной
берут ср' (лг). Тогда второй член справа будет давать остаточный член.
Дифференцируя последнее равенство еще раз, найдем:
п х
f" (лг) = Г « + 2 Ф-' (л-) J К(хь s) Ln+1 [/(s)] ds +
i=o x(
+ 2 K(*)K(x.,x)Ln+l\f(x)\
{•=•0
И в этом случае
п п
ф' 1х\ К /х х\ I \ f (xW — / [ f (х\] \ ф' <х\ т Ф < гЛ О ¦< г\
wi \л) Л ухр x)i-n+i \/ \л)\ — ^-„+1 U \Х)\ ^ *j (X) ^ v} {Xi) Uj (X) —
4 x ' * x ' n+1
г=0
Поэтому
= 0.
/" (лг) = < (лг) + 2 < W / /C(Jffc s) in+] [/ (s)] ds. @)
i=0 ajj
Опять первый член справа дает приближенное значение производной, а вто~
рой — остаточный член.
Эти рассуждения можно провести для производных любого порядка,
меньшего или равного п.
Из полученных выражений остаточных членов видно, что формулы
численного дифференцирования дают точное значение для производных,
если /(лг) является произвольной линейной комбинацией базисных функций
D W <tn(x).

220 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
В следующем параграфе будут рассмотрены конкретные формулы
численного дифференцирования, в основе которых лежит интерполи-
интерполирование с помощью алгебраических многочленов.
§ 2. Формулы численного дифференцирования
1. Формулы численного дифференцирования для неравно-
неравноотстоящих узлов. Будем исходить из интерполяционной формулы
Ньютона для неравных промежутков:
/(х)=/(хоL-(х—хо)/(хо; xj+ix — xo)(x — х,)/(х0; xt; x2)-l- . ..
...+(*—хо)(х—xt) . ..(х—xn_df(xo;xi, ...;xn)-(-(x—x0) (x—xj...
... (х —х„)/(х; х0; xt; ...; х„). A>
Для сокращения записей обозначим х — xt = а{. Дифференцируя обе
части равенства A) один раз, будем иметь:
/' (х) = f (x0; xt) 4- (Оо 4- ад f (х0; xt; x2) +
^o; xt; х2;
B)
За приближенное значение первой производной при численном
дифференцировании будет приниматься
o; xy\ х2; х,) -4- ...
re_i4- • • • 4-ai«2 • • • an-i) X
X/(x0; xi; ...; xn). C)
Остаточный член будет выглядеть так:
R_da>n(x) f( , , df(x;xo;...; xn) (%
Упростим второй член справа. По определению .
df(x;xQ;...; хп) __ Ит f(x'\ х0; х:; ...; хп) —/(х; х0; xt;...; хп) _^
ах х'-уя ^ х
= Ит /(х'; х; х0; xt; ...; х„)=/(х; х; х0; xt; . ..; х„).
Таким образом,
R = fKix2/(x. Хо. Xi. _ _. хп) 4-о,я(х)/(х; х; х0; Xl; ...; xj E)

§ 2] ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 22 1
или, если использовать связь разделенных разностей с производными,
В узлах интерполирования х0, jclf ..., х„ второй член справа обра-
обращается в нуль и выражение остаточного члена будет более простым.
Дифференцируя еще раз, получим:
/" (х) = 2/ (*„; Х? х2) -f- 2 (a,, -f- ах + az)f(x0; xf, х2; х3) + ...
... 4-2
За приближенное значение второй производной при численном диф-
дифференцировании будет приниматься
L.I (х) = 2 If (х0; Хи х2) 4- (а0 + ai + <Ч) f (x0; Х{, х2; х3)-\- ...
... 4-(a0ai--- ап-з4-«оа1- •• а«-Л-2+ ••• +a2a3... an_t) X
x/(*o; *f. •••; xn)\. (8)
Остаточный член будет иметь вид
; ^o; ...; хп) . ,^d?f (х; хо\ ...; хп)
Второй член справа упрощается так же, как это делалось для пер-
первой производной. Упростим третий член. В силу определения произ-
производной и свойств разделенных разностей будем иметь:
~~гтръ] \л> Л0' • • • > лп> — ?х J \л> л' Л0> • • • i лп> —
.. / \Х \ х ; Xqi X}i...', Хп) / \х\ х, Xq\ Х\,...; хп)
х' +х X — X
.. / (х ; х ; .Ур; х\\...; хп) — /\х ; х\ х§\ х^ ...; хп) .
х' -> х х
х'+Х Х'—Х
= lim /(x'; х'\ х; хо\ Х{, ...; л:п)+ Иш /(х'; х\ х\ хо\ хх; ...; хп) =
х' ¦>х х' ->х
О f (Y' У Y* ? * Y ' \* \

222 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
Таким образом, остаточный член в этом случае примет следующий
вид:
> хо> хи • • • > хп> ~г
|^0 „ ; *; х; х0; xf, ...;х„)
A0)
или
, i n r^ (in
* = rf^ (ii+l)! +2~^ GTf2)T+2a)»(X) (n + 3)! ' (П)
Если x принимает одно из значений х0, хх хп< то последний
член справа обратится в нуль и остаточный член упростится. Ана-
Аналогичные рассуждения можно провести и для любого k ^ п. В общем
случае получим:
= ft!J/(*0;*i; ...; й)Ко+, + 4й)
+ (Oo«i + otoa2 + • • • + Ча-к+х) X
Xf(xo'> ХЬ • • ¦; **+2) 4" • • • 4-(aQ«l • • • an-k =t
]. A2)
Для упрощения остаточных членов нам понадобятся выражения
d
f(x; х0; Хи ...; хп)
f(x; х0; ха ...; хп) = m\f(x; х; .. .; х; х0; xt; .. .; xj. A3)
Покажем, что
dm
dx™
т+\ раз
Как это следует из предыдущего, при т = 1 и 2 эта формула спра-
справедлива. Предположим, что она справедлива при т = г, и докажем
ее справедливость при т = г -\-\. В силу нашего предположения
r+i J \х'> хо'' хъ • • • > хп) —

§ 2] ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 22 3
Воспользуемся опять определением производной
dr+1f(x; х0; xt;...; хп) __
dxr+i ~
] \Х \ X \ * • * *, X \ Xq', Х\, • - ч ^п) / \Х\ Х\ . ¦ ¦ \ Х\ Xq] Х-\\ . . ." Хп)
= r\ iim I+SlII 7 У±е»
V V
X1 ¦> X Л Л
Выражение в числителе последней дроби можно записать в виде
г+1
2~ I/ (¦*¦ > х ;...', х ', X] х\ ...', х\ х^\ ...; хп) —
й_1 • . .
k раз г+1—ft раз
/(¦*- > X ',...', X ', Х\ Х\ . . .', Х\ Xq', Xil . . •', Xfjj =
ft—1 раз r+2—k раз
r+1
^= (x — x) ^j J \X \ x ; .. .; x ; x\ x\ ..,', x\ Xq\ x^, ...', х„).
&=i •— -. ¦ • . ¦
ft раз r+2—ft раз
Таким образом,
dr+if(x; x0; Xj,...; xn) __
r+l
^~^~ it " 11 m ^t T i 1^ * ¦ 1^ * 1^* * 1^* ^ * ^ * * y i ^~^~
x'+x Г" • . ¦ ' ~^
ft ft раз r+2—ft раз
= (г —|— I)!/(x; x; ...; x\ Xq', X\, ...', xn),
r+2 раз
и формула A3) доказана. В силу доказанной формулы остаточный
член при численном отыскании производной порядка k может быть
представлен в виде
к .
к TyIJ \Х, х0; ...; хп) ¦
или
¦Q~Ztyif {х\ ...; х; х0; х,; ...; xj d а^Х) A4)
¦1 = 0 „¦ , 1 ___
i-0
где ?j—некоторые точки, заключенные в интервале между наиболь-
наибольшим и наименьшим из чисел х, х0, xt хп.

224
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
1гл. 3
Если точка х находится вне отрезка, содержащего точки х0,
хъ ., хп, то остаточный член может быть представлен более
простым выражением. Для этого рассмотрим многочлен
Q(x)=Ln(x)-\-Cmn(x) (С = const).
Он совпадает с функцией /(х) в точках х0, х^ х„. Подберем
постоянную С так, чтобы в точке х', для которой производится
оценка, имело место равенство
Qw (х') = lg° (х') + Ст^ (х') = /<*> (х').
Это возможно, так как все корни уравнения <i)W(x) = 0 лежат
в наименьшем отрезке, содержащем х0, х,, ..., хп. Рассмотрим
вспомогательную функцию
ср (х) = / (х) — Ln (х) — Са)„(х).
Эта функция обращается в нуль в точках х0, х, хп. Следова-
Следовательно, первая производная ее обращается на наименьшем отрезке,
содержащем точки х0, х, хп, в нуль по крайней мере га раз.
Проводя те же рассуждения дальше, получим, что производная
порядка k обратится на этом отрезке в нуль по крайней мере
га -+ 1 — k раз. Но в силу выбора С она обратится в нуль и в точке х',
лежащей вне этого отрезка. Таким образом, она обращается в нуль
по крайней мере в га -\-2—k точках. Снова будем последовательно
применять теорему Ролля. В конце концов, придем к выводу, что
производная порядка га +- 1 обращается в нуль по крайней мере
в одной точке L Но
х) —
(х) =
х) — С (га + 1)!
Отсюда
С =
(и+1I
(х') — Ln (xf) = - o)W (x').
A6)
Получили более простое выражение остаточного члена.
Рассмотрим пример на применение формул численного диффе-
дифференцирования.
Пример. По таблице
X
ЫП X
10°
0,173648
14°
0,241922
1Ь°
0,275637
20°
0,342020

§2]
ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
225
используя формулы численного дифференцирования, найти cos 15°
и sin 15°.
Составляем таблицу разделенных разностей:
x.
10°
14°
16°
20°
fix.
0,173648
0,241922
0,275637
0,342020
fix, xl+l)
17068,50
16857,50
16595,75
fix, xi+1; xi+.
— 35,17
— 43,62
— 0,84
Отсюда получаем^ учитывая, что в нашем случае ао = 5, 6^=1,
а2 = — 1:
cos 15° = [/ (х0; xj -+- (а0 -+- а^ / (*„•, Xf, х2) -+-
180
4- («„а, -+- а0а2 -(- а^) f (х0; хх; х2; х^)] — =
= [0,0170685 — 0,000211 -+-0,00000084] • 57,295779 = 0,965912.
180
Множитель — справа появился за счет того, что у нас х взято
в градусном измерении. Точное значение с шестью верными зна-
знаками cos 15°= 0,965926. Используя формулу для второй произ-
производной, получим:
A80\2
~) =
= 2 [0,00003517-(-5-0,00000084] 3282,8063 = 0,257027.
Точное значение sin 15° с шестью знаками равно 0,258819. Рас-
Расхождения получились довольно значительными. Это и естественно,
так как функции могут быть и очень близки друг к другу, но иметь
сильно различающиеся производные.
Произведем оценку погрешности. В первом случае остаточный
член будет иметь следующий вид:
4!
>(*)+¦
5!
(X).
При этом
uK(x) = (x— 10°) (x— 14°)(x— 16°)(x —20°)|
i = [ (x — 14°) (x — 16°) (x — 20°) -+-
+ (*- 10°)(x- 14°)(x- 16°)] (^

226
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
[ГЛ. 3
При х= 15° получим:
<о3 A5°) = 25-0,000000092, <о'A5°) = 0.
Таким образом,
94
^- 0,000000092 « 0,000000019 .
Эта величина значительно меньше фактически полученной погреш-
погрешности. В данном случае вычислительная погрешность значительно
перекрывает погрешность метода.
Во втором случае
4!
5!
&)
6!
(X) .
При этом
* A5°) = (щJ [— 52] « — 0,0003 • 52 = — 0,00156.
Таким образом,
И в этом случае вычислительная погрешность очень велика.
2. Формулы численного дифференцирования для равноотстоя-
равноотстоящих узлов. Если узлы интерполирования расположены через рав-
равные промежутки, то удобнее использовать соответствующие интер-
интерполяционные формулы. Так, например, взяв интерполяционную
формулу Ньютона для интерполирования вперед
в результате последовательного дифференцирования получим:
f(x) =*L*L = L\f I 2*-' р | зо-б<
у v ; Л Ле Л у 1 ' 2! 71 ' 3!
J 3 l"
_ i8fg -(-22^ —
4j
/a + • • ¦
f»(Y\ _ ! Г fai« —6 ,з, 12^^36^ + 22 ,. . 1
7 W ~~ А» А "+" ~ЗГ" /1~1 41 "+ • • • '
/ttt t \ 1 Г гЗ , 24^ — 36 /ч ¦ 1
(у\ I t L Г* 1 I
W-*,[/.4 41 /.+ ..¦[•
A8)

§ 2] ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 227
В частности, при х = х0 будем иметь:
f'ix\— Х Г у1 _ Х ^_|_ Х f __1 л. 1 \
U ^ J I A9)
Если использовать значок Д для разностей, то последние формулы
будут иметь следующий, легко запоминающийся операторно-сим-
волический вид:
B0)
Здесь предполагается, что формальное разложение 1пA-|-Д) =
Д2 ДЗ
= Д — тгЧ~""о •••> доведенное до постоянных разностей, фор-
L О
мально возводится в степень как многочлен. Дадим операторный
вывод этой формулы. Если оператор -г- обозначить буквой D, то
формула Тейлора
может быть записана так:
или
Отсюда
Беря логарифмы от обеих частей равенства, получим:
или
Получили как раз то выражение, которое было дано выше.
Проверим наши формулы на примере многочлена, для кото-
которого они должны давать точные значения производных.
Пример. Найти методом численног.о дифференцирования про-
производные первых трех порядков для многочлена я3—1х—5
в точке х=\.

228 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Составляем таблицу разностей:
1гл. 3
X
1
2
3
4
5
/
— 6
— 1
16
51
ПО
Л-
5
17
35
59
Я
12
18
24
Я
6
6
По нашим формулам получаем:
. п U. Т 1 А 1Л~ I ЬЛ \— Г * ft #¦
Если использовать другие формулы интерполирования, то можно
получить другие формулы численного дифференцирования. Возьмем,
например, формулу Стирлинга
¦¦ B1)
"• 3! ¦'о i 4! -'о"
Последовательные производные будут иметь вид
B2)
В частности, при х^
B3)

§ 2] ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Если взять формулу Бесселя
229
4!
B4)
то получится:
4!
12*2— 12/_ 2
4!
—12
B5)
и при х = х0
А/'
1 1 О 1 g 1 . Ч
B6)
Мы уже получили выражение оператора дифференцирования D
через операторы Д, Д2, Д3, ... Найдем теперь выражение этого
оператора через другие разностные операторы. Так как
1 —V '
то
U4
Далее,
Ы) Ы)
hD
+e 2

230 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
Отсюда
db I 52\T
> — /II —
J V 4
3! 22 5!
Неудобство этой формулы состоит в том, что производная в точке х
выражается через значения / в точках x + k-^. Чтобы получить
выражение производной через значения функции в точках х ± kh,
заметим, что — = v формально удовлетворяет дифференциальному
уравнению
Так как v—нечетная функция 8, то можно пытаться искать реше-
решение этого дифференциального уравнения в виде
v = ахЬ + аф3 + аъЬ5 -+- . ..
Подстановкой в уравнение найдем:
Далее,
аЬ аЬ г
Отсюда
По индукции показывается, что
d\tiikD*k\
Таким образом, можно последовательно найти h3D3, hlD*, ...
3. Безразностные формулы численного дифференцирования.
В некоторых случаях выгоднее выражать формулы численного
дифференцирования не через разности, а непосредственно через

§ 2] ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 231
значения функции. Для получения таких формул удобно восполь-
воспользоваться вариантом формулы Лагранжа для случая равных про-
промежутков, приведенным в предыдущей главе:
и! 1Л t — I T
1=0
-\-h"+lt(t— 1) ... (t — я)/(х;х0; ...; хп). B7)
Дифференцируя один раз, получим:
А С'у. d \t{t—X) ... (t — n)
i=0
-hftn+2/(x; *; x0; xx; ...; xn) t (t — 1) ... (t — «). B8)
В частности, при x = xk будем иметь:
г=0
Для второй производной будем иметь:
'у. rf2 Г < (^ — 1) ... (t — и) 1
г=о
+ Л"+1/(х;Хо; ...; xj?L
+ 2й»+2/ (х; х; х0; ...; хп) ^ [t (t — 1) ... (t — я)] +
+ 2hn+*f(x; х- х; х0; ...; хп) t (t— 1) ... (t — n) C0)
и при х = хк

232 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
Выпишем готовые выражения для производных первого и второго
порядка при различных значениях п.
я = 2 (три точки):
у[=я1у*-уо]-тГ'®-'
У*=5К]Уо ~ ^ + ^ + Т?" ®-
«=3 (четыре точки):
L ^ fIV)
у'о = -L [-1\у0 + 18у. - 9Л + 2з;3] - ^ /
X L 12^ з
X 12^0 з^+6^ - у,]+§¦ /(IV) @;
^ = 6Й ^о - 6->'1 + 3^2 + ^J - Й"/ (IV> @;
^ = ^ [-2^ + 9^-18^ + 11 J'd + ^ /(IY) ©•
/г =4 (пять точек):
y' [
5а -у<] +^ /(Y) @;
1
g- /(Y) (S);
«=5 (шесть точек):
Уо= Ш [-137Л+300>I-300з;2+200з;з-75з;4+ 12^]-^ /(YI) @;
х=бе*
^=65а
^ = ш[3^ - 20-J'1 +60^ -1 2°у*+65л +12Уь] - ш
>5= 65А I12j'l75)'200)'+300)'3C0j'+137)'1+

§ 2j ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 233
« = 6 (семь точек):
< [
+ у
- 15у6
1
* = Ш
'i ~~Ь 24^5 — 2_уб] -|-tqf
ttR /1ГТТ>
(?);
+^ /(YII) (I).
Сравнивая различные формулы, мы видим, чтонаиболее простые
выражения получаются при четных п в средних точках. При этом
и коэффициенты при производных в остаточных членах получаются
самыми маленькими. Поэтому на практике, по возможности, сле-
следует применять эти формулы.
Приведем соответствующие выражения для вторых производных.
я= 2 (три точки):
У'о = F [Л -
я=3 (четыре точки):
^' [12Л
у"=т№о-
gF FЛ - 12Л + б^з] - i A2/(IY) <?0 - S /(V) <У:
I6^ + 24 30 +! 2^] + Й A*/(IV> (E)

234 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
п=4 (пять точек):
Уо = Щъ170^ — 208^ + 228^ — 112уъ + 22;;4] —
у" =
1
:24А2'
И в этом случае наиболее выгодные формулы получаются для
четных п и для средних точек.
4. Метод неопределенных коэффициентов. Можно получить
аналогичные формулы и для произвольного расположения узлов.
При этом, чтобы не вычислять громоздкие выражения многочлена
Лагранжа, удобнее использовать метод неопределенных коэф-
коэффициентов. Для этого записываем искомую формулу в виде
и подбираем коэффициенты сг из условия /?(/)^0, когда
/= 1, х, хг х11. Получится следующая система для определе-
определения коэффициентов с^.
••• +спхп=0,

§ 2] ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 235
5. Выражение разностей через производные. Иногда возникает
необходимость получить выражения разностей через производные.
Для этого рассмотрим функцию
к=0
где X — некоторая постоянная. Очевидно,
tp @) = tp' @) = ... = tp(») @) = 0.
При я<!л по формуле Маклорена будем иметь:
С другой стороны, из определения у(х) следует:
tp(»+i) (х) = /("+1* (х) — X.
Итак,
Рассмотрим разделенную разность ср (лг0; х^, ...; хт) (рассмотренный
уже случай х0 = хх = ... = хт = 0 исключается). Тогда
<р (х0; Xi, ...; xm) = f (х0; лгг, ...; хт) —
у/№@)Гу ^ ] К ^ хГ'
h A! aj»'(jc.) (л ч-1)! 2j'*
и=о |_г—о ш1- i/J г-о
В силу свойств разделенных разностей
т «4-1 *
xl l dm
1=
где % находится между наибольшим и наименьшим из чисел х^ Если
все Xi положительны или отрицательны, то Ч Ф 0 и можно так подо-
подобрать X, что <о(х0; х^, ...; хп) = 0. Отсюда находим X=/(» + D (tj).
Следовательно,
C2)
Положив хо = а, Х{ = X;_! + /z, получим:
п .
Дт/ (а) = У/С" @; ^- +- /(»+Ч (I) V "п, • C3)
А—я»

236 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
Полагая а=0, ty(x) =/@ -\-х), получим формулу Маркова:
C4)
Здесь Дт0 —так называемые разности нуля. Они являются конеч-
конечными разностями хк при х=0. Приведем таблицу значений этих
разностей:
k
1
2
3
4
5
6
7
8
Д0к
1
1
1
1
1
1
1
1
Д20к
2
6
14
30
62
126
254
Д30к
6
36
150
540
1806
5 796
Д40к
24
240
1560
8 400
40 824
Д50к
120
1800
16 800
126 000
Д60*
720
15 120
191 520
Д?0к
15 040
141 120
д80к
40 320
В инженерной практике иногда прибегают к графическому диф-
дифференцированию. Этот способ вряд ли может быть рекомендован,
_ ¦*¦-
Рис. 24. Интеграф Коради.
так как точность при этом получается незначительная, а объем
работы не меньше, чем по приведенным нами формулам. Используются
также различные моделирующие приборы. Наиболее точными из них
являются интеграфы. На рис. 24 приведен интеграф Коради, исполь-
использующийся в Советском Союзе.

§ 3] ЗАДАЧА ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 237
§ 3. Задача численного интегрирования
Если для функции /(х), определенной на отрезке [а, Ь\, можно
ь
найти примитивную F{x), то определенный интеграл jf(x)dx
а
можно вычислить по формуле
ь
jf{x)dx=F{b)—F{a). A)
а
Но, как правило, найти примитивную F (х) через элементарные
функции не удается. Поэтому приходится прибегать к приближен-
приближенному вычислению интеграла.
ь
Хотя из определения интеграла \f{x)dx и следует, что с по-
а
п
мощью интегральной суммы Sn = 2/ (xjykxi можно найти интеграл
г = 1
с любой степенью точности, но этот прием замены интеграла инте-
интегральной суммой практически мало пригоден из-за медленной схо-
ь
димости Sn к jf(x)dx.
а
Для построения формул приближенного вычисления интегралов
используем замену функции f(x) интерполирующей функцией tpW-
Изложим общую идею построения таких формул, обобщив несколько
постановку задачи, введя еще весовую функцию.
Пусть требуется вычислить определенный интеграл
ь
jp{x)f{x)dx. B)
Здесь р{х) — некоторая фиксированная функция, удовлетворяющая
условию р (х) > 0 на [а, Ь\. Ее называют весовой функцией. Пред-
Представляем /(х) в виде
), C)
где ср(х)—интерпеляционный многочлен, a R(x)—остаточный член.
Тогда
ь ь ь
fp (х)/ (х) dx=Jp(x)<? (x) dx + fp (x) R (x) dx. D)

238 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. д>
Первый член справа будет давать формулу численного инте-
интегрирования, а второй — остаточный член этой формулы. Интерполя-
Интерполяционный многочлен ср (х) можно представить в виде
?(*) = / (х0) Фо (х) + / (хд <»1 (*)+..-+/ (*«) Ф„ (*)• E)
Будем предполагать, что интегралы
ь
7(x)Фi(x)rfx=ci F)
мы умеем вычислять точно. Они не зависят от функции/(х). Поэтому
их можно вычислить раз и навсегда и использовать для вычисления
интегралов
ь
fp(x)f(x)dx
а
при произвольных f(x). Сама формула численного интегрирования
будет иметь вид
При численном интегрировании (а также и при численном диффе-
дифференцировании) можно использовать интерполяционные формулы
с кратными узлами. Тогда формула численного интегрирования
примет вид
ь
¦ ¦ 4- с„/(*„) 4-
Ц) + с'1)/' (xj +...-+- <?>/' (xj +
ч/к-ч (х0) + с(-.-ч/<«.-1> (xt) + • • • 4- cj,"»-«Я"» -1» (*„)• (8)
Специальным выбором узлов дг4 иногда удается добиться того, что
часть коэффициентов сУ* обратится в нуль. Мы не будем пока
входить в подробности этого случая и ограничимся формулами вида
(9)
a i=0
Остаточный член этой формулы обращается в нуль, если в качестве f(x)
взять любую из функций (ро(дг), <pt(jc) ?»(¦*)• Учитывая последнее заме-
замечание, мы можем встретиться со случаем когда он обратится в нуль и для
некоторых других функций уп+1 (х), ср„+2 (х) ?т С*), таких, что

§ 3] ЗАДАЧА ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 239
W[f0, <fi tpm] Ф О на [а, Ь]. Тогда, согласно второй главе (см. C) § 5
гл. 2), запишем f (х) в виде
т х
/« =2 VPjW + / K(x,s)Lm+1[/(s)]ds (m>n). A0)
j-0 a
Умножим обе части равенства на р (х) и проинтегрируем в пределах от а
до Ъ. Получим:
b ш ь
J р (х) f(x) dx = ^aj fp (х) fj (х) dx +
a j=0 a
" f
(x,s)Lm+l\f(s)]ds
dx. A1)
Ho
J P (x) <fj (x) dx = 2j Wj (X{) (У = 0, 1, ...' m).
a i=0
Поэтому
m b m
fj (x) dx =
j=0 a
Итак,
b
]( n m
j=0 j=0
n xi
4f (хг) — 2j C{ j K(xh s) Lm+i I/ (s)] ds.
i-0 i=0 a
Ь » b I x
fp (x) f (x) dx = Yi СЛ('«) + jP(*)i $K(¦*>
i=0 a la
i=0
Первый член справа даст приближенное значение интеграла, а остальные —
остаточный член. Остаточный член может также быть записан в виде:
п b
= -/ Р(х){ f K(x, s)Lm+i[f(s)]ds\dx +
а \ х )
b
f K(xi,s)Lm+i[/(s)]ds. A3)
i=0 t
Полусумма двух представлений остаточных членов даст нам
Ь
R[f} = fG(s)Lm+i[f(s)]ds. A4)

240 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [гЛ. 3
где
Ъ п
2G (х) = [ р (х) К(х, s) sign (х — s) ds — ^j ctK(xh s) sign (xt — s). A5)
a »-0
На этом мы закончим изложение общих методов численного инте-
интегрирования и перейдем к более подробному изучению формул, полу-
получающихся при использовании интерполирования алгебраическими
многочленами.
§ 4. Формулы Ньютона — Котеса
1. Вывод формул. В этом параграфе мы рассмотрим формулы
для приближенного вычисления интегралов
ff(x)dx, A)
которые получаются путем замены подынтегрального выражения
интерполяционным многочленом Лагранжа с узлами, разбивающими
промежуток интегрирования на равные части. Эти формулы носят
название формул Ньютона — Котеса.
Пусть узлы интерполирования расположены так:
Xi = a-\-ih (i=l, 2 п). B)
Здесь а либо совпадает ее, и тогда будем предполагать, что
d = а-\-(п-\-1) h, либо a-|-/z= с, и тогда предполагаем, что
a-\-nh^d. В первом случае узлы интерполирования не содержат
точек с и d, а промежуток интегрирования разбивается этим-и узлами
на п -\-1 равных частей. Во втором случае концы промежутка
интегрирования являются узлами интерполирования и промежуток
интегрирования разбивается узлами на п— 1 равных частей. Фор-
Формулы численного интегрирования, которые получатся в первом
случае, будем называть формулами открытого типа, а во втором
случае — формулами замкнутого типа. Чтобы не проводить рас-
рассуждения дважды, положим
c = a-\-{\ — k)h, d = a + (n-\-k)h. C)
Для формул открытого типа k=l, а для формул замкнутого типа
А = 0. Обозначим F {y) = f{a-\-hy). Тогда
d п+к
ff(x)dx = h f F(y)dy. D)
1Й
f
1-Й

§4] ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА — КОТЕСА 241
Интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный для функ-
функции f(x) по узлам X}, при такой замене независимого переменного
перейдет в
t— 1) (/ — 2) ... A)(—1) ... (t—n)
i-l
Таким образом,
d n+k n+k
ff(x)dx = h f F{y)dy=h f L(y)dy +
с l-k l-k
n+k
J (y—l)(y — 2)...(y — ti)F(y, 1; 2; ...; n) dy =
I / J 1 .——i—.—¦¦¦.. i „_
l-k
n
j
i=l 1-Д:
n+k
f (y—l)(y — 2)...(y — n)F(y; 1; 2; ...; n)dy =
1-й
n+k
h f (y—l)(y — 2)...(y—n)F(y; 1; 2; ...; n)dy. F)
Д
f
1-Д:
Здесь через iTX обозначены выражения
n+k
'*,/< —(Л_1 + 2Й) (/-1)!(Л-/)! J
l-k
Они не зависят от промежутка интегрирования и могут быть вычи-
вычислены раз и навсегда. Кроме того, вычисления облегчаются благо-
благодаря тому, что
Лп) т(п) ,йч
'г, к — 'n-i+l, к, (о)
т. е. разпоотстоящие от концов коэффициенты формулы Ньютона —
Котеса равны. В самом деле,
п+к
И») (-I)' Г (у-\)(у-1)...(у-п)
I п-г+1,к (л_ !_)_2й) (л —/)!(/—1)! J (y—n-{-i—\) y'
1—ft

242 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИР И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Заменяя под знаком интеграла у на п — г-)-1, получим:
1-Д:
[ГЛ. 3
(-*>
(„_1 _). 2ft) (л
t с
—/)!(/—!)! J
n+k
n+k
л—01 (I —1>I i
1-й
(я —1 + 2ft) (
что и требовалось доказать.
С возрастанием п коэффициенты /^ становятся все более и
более громоздкими. Как было показано Р. О. Кузьминым,
I rBm+l)
'1.0
с возрастанием т неограниченно возрастает. Так как, с другой
стороны,
2/5=1. (9)
то среди lf™+v> должны иметься значения различных знаков. При-
Приведем числовые значения 1^\ для различных /, k и п. Каждый
из коэффициентов /?»ft является рациональной дробью. Для сокра-
сокращения таблиц мы будем брать знаменатели этих дробей при фикси-
фиксированном п одинаковыми и эти общие знаменатели указывать
в последнем столбце. В предшествующих столбцах будут даны
только числители.
k = 0 (формулы замкнутого типа):
П ^\
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
1
1
1
7
19
41
751
989
2 857
16 067
2
4
3
32
75
216
3 577
5888
15 741
106 300
3
12
50
27
1323
— 928
1080
— 48 525
4
272
2 989
10 496
19344
272 400
5
— 4 540
5 778
— 260 550
6
427 368
Знамена-
Знаменатели
2
6
8
90
288
840
17 280
28 350
89 600
598 752

§4]
ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА — КОТЕСА
k = 1 (формулы открытого типа):
243
п \^
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
11
11
611
460
1787
4 045
2 752447
2
— 1
1
— 14
— 453
— 954
— 2 803
— 11690
— 6 603 199
3
26
562
2196
4 967
33 340
—15 673 880
4
— 2 459
— 1711
— 55 070
—17 085 616
5
67 8-22
8 891 258
Знамена-
Знаменатели
2
3
24
20
1440
945
4480
9 072
7 257 600
2. Остаточные члены формул. Исследуем теперь остаточные
члены формул Ньютона — Котеса. Как мы видели, они имеют вид:
п+к
Rn,k(f) = h J (y—l)(y — 2)...(y — n)F(y; 1; 2; ...; n)dy. A0)
l-A:
Преобразуем интеграл, стоящий в правой части. Возьмем сначала
п = 2т — 1 и рассмотрим
2т-1+к
—1)СУ —2)...СУ —2/в+1)Х
1-Д:
f'iy: 1; 2; ...; 2m—\)dy. A1)
Введем вспомогательную функцию
х
= f(y— 1)CV — 2)... (y — 2m+l)dy. A2)
1-Д:
Очевидно, ср A—k) = 0. Точно так же и срBт—1+&) = 0. В са-
самом деле,
2Я1-1+Й
срBт— 1+*)= J (y — ,l)(y — 2)...(y — 2m+l)dy.
1-к
Произведем замену переменных под знаком интеграла, положив
у = 2т — z.

44 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [f Л. 3
Тогда
1-Д:
yBm—\-\-k) = — J Bm—z—\)Bm—z—2)...(—z-\-\)dz =
'im—1+к
= (_lJm+1 J B— l) (г — 2)...(ar-2m + \)dz =
1-k
= — cpBm— l+k).
Отсюда и следует утверждение. Покажем далее, что ср(х) нигде не
обращается в нуль на интервале @, 2т). Для этого исследуем сна-
сначала подынтегральную функцию
$(у) = (у—\)(у — 2)...(у — 2т+1). A3)
На отрезке [0, 2т] она обращается в нуль в точках 1, 2, ... 2т— 1
и только в них. Она меняет знак при переходе через эти точки.
Далее,
tyBm — y) = Bm— у — 1)Bт — у — 2) ... Bт— у — 2т-\- 1) =
= (—1?т-1Ъ(у)= — Ъ(у), A4)
т. е. график этой функции центрально симметричен относительно
точки у = т. Покажем, что абсолютные величины интегралов
г+1
i
убывают, когда / возрастает от нуля до т — 1. В самом деле.
i+1
Произведем замену д/ = ,г+1. Тогда
г+l i+1
h+l = f z(z-l)...(z-2m + 2)dz = f yZ\%\xdy.
г г
Так как ty(y) не меняет знака на отрезке [I, г+1], то
i+1
, S
'i+i j_2/re_|-
i
где i < I < / + 1. Ho
—2/ге+1
— 1

§ 41 формулы ньютона — котёса 245-
Итак,
Отсюда и следует, что у(х)Ф 0 при х?A—k, 2т—\-\-k).
Вернемся к исследованию Pam-i- Произведем в A1) интегриро-
интегрирование по частям. Получим:
; 1; 2; ...; 2m-\)fZll+k-
Sw-l+ft
f(y)-^F(y; I; 2; ...;2m-l)dy =
l-k
Ш-1+к
= — f <?(y)F(y; y;
l-k
так как <рA—k) = yBm—l-|-&) = 0, и
^F(y, 1; 2; ...; 2m — l) = F(y; y; 1; 2; ...; 2m — 1).
В силу знакопостоянства <р(.у) можно применить теорему о среднем.
Поэтому
2т-1+к
р2т_1 = -/^: $; 1; 2; ...; 2т— 1) / ср(>/)^ A5)
1-Д:
или после замены разделенной разности производной
2Ш-1+Д:
f
1-Д:
Рассмотрим теперь случай четного п, п = 2т. При этом
2т+к
Нт= J (у~1)(у-2) ... (y-2m)F(y; 1; 2; ...; 2m)dy. A7)
J
1-Д:
Разобьем последний интеграл на сумму двух интегралов:
2т+к-1
Нт= / (у—I) ... (у —2т) F (у; 1; 2;...; 2m)dy +
1-Д:
2т+к
y—l)...(y — 2m)F(y;l;2;...;2m)dy = S1 + S2. A8)

246 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
Заменим в ^ произведение (у—2т) F(у; 1; . ..; 2т) на равное ему,
в силу определения разделенных разностей, выражение
F(y; 1; 2;...; 2m—l) — F(l; 2;...; 2т).
При этом
•im+k-l
Si= J CV-1) ..• (y-2m+l)F(у; 1; 2; ...; 2m-l)dy=p2m_u
l-k
A9)
так как
2m+k — 1
f F{\; 2; ...; 2m){y— 1) ... (y — 2m+l)dy =
l-k
= f(l; 2; ...; 2m)cpBm-f-A: — l) = 0.
К 52 можно применить теорему о среднем, так как (у—1).. .(у—2т)
на отрезке \2m-\-k—1, 2m-]-k] не меняет знака. Следовательно,
Чт+к
J
•im+k-l
•im+k
= Fft; 1; 2; ...; 2m) J (y—l)...(y —
ik
•im+k
J (y-D-.-(y-2m)dy. B0)
2m+k-i
Отсюда для p2m получаем следующее выражение;
•im+k
(?l) / 1„— \){у—2) ... (у —
Bm)l
2m+ft-l
2m+A:-l
^J f(y)dy. B1)
1-Д:
Это выражение можно преобразовать так, что оно будет содержать
лишь одну производную F&m> (l), что более выгодно при производ-
производстве оценок. Покажем, что
А,к = J (у~\) ... {y — 2m)dy и A.iik=— J 4?{y)dy
•im+k-l l-k

§4] ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА — КОТЕСА 247
имеют одинаковые знаки. Рассмотрим два случая: k = 0 и k=l.
При k = 0 имеем:
Ai,o= f (У— 1)CV— 2) ... (у — 2m)dy.
2m-l
Подынтегральное выражение при у?Bт—1,2т) отрицательно.
Поэтому Ai, о < 0. Рассмотрим
Здесь
у
ср(у) = Г (z — \)(z — 2) ... (z — 2т4-1)dz.
i
Мы уже знаем, что наинтервале A, 2т—1) функция ср(д/) не ме-
меняет знака. Далее,
<|>(z) = (z — 1) ... (z— 2т+ 1)
на интервале A, 2) положительна. Следовательно, срB) > 0, и поэтому
срСУ)>0 ПРИ всех .У 6 О- 2т—1). Но тогда Л2,о < 0, т. е. имеет
такой же знак, что и А\о.
Пусть теперь k = 1. Тогда
Ai.i= f (y—l)(y — 2)...(y — 2m)dy.
2m
Так как подынтегральное выражение положительно прид/ ? Bт, 2/га4-1).
то i4i, 1 > 0. Теперь
2т
а*. 1 = — J <р Су) ^.
о
Функция
= /B— 1)(г — 2) ... (z — 2m+\)dz
о
не меняет знака на интервале @, 2т). Но при z?@, 1) подынте-
подынтегральное выражение отрицательно. Следовательно, ср (у) < 0 для всех
у?@, 2т). Но тогда Ла, i > 0 и опять имеет такой же знак, что
и Л, 1.

248 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
Воспользовавшись свойством производной принимать все проме-
промежуточные значения и тем, что A\t j и Л2| j имеют одинаковые знаки,
мы можем записать:
Bm)!
pBm) /еч Г А Л 1
= ,- ч, / С—1)...(у — 2m)rfy— / «p(v)dv . B2)
L2m+ft-l 1-Д: J
Выразим теперь производные от функции FO») через производ-
производные от функции f(x). Очевидно,
d r.
d* d* } B3)
i
Следовательно,
2та+й-1
\-k
[2ТО+Д: 2m+ft-l
[2ТО+Д: 2m+ft-l -4
f 0,_l)...0,-2»)rfy-/ T(y)rfy .
2m+ft-l 1-Д: J
К2т» — B/ге)|
B4)
Окончательно получаем следующие формулы численного интегриро-
интегрирования с остаточными членами: при п=2т—1
2m-l
2ml
ff (x) dx=(d-c)^ /Й}/ (а + /A)
г=1
t 2m+l fBm) /e\
1-Д:
и при п^ 2т
2m
/ / (х) dx = (d — c)Y. iffif (a + ih) +
с i=l
+ -:П^-\ I iy-l)...(y-2m)dy-
i-2m+k-t
— / ?(У)dy\, h =^-~ ~ij_n • (.26)

§41
ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА — КОТЕСА
249
Приведем значения коэффициентов при производных в выражениях
остаточных членов для различных значений п и k:
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
k = 0
1 дз
8 ш
945
275 ft'
12 096
9
8183 ft»
518 400
2 368
467 775
4 671 A"
394 240
673 175
163 459296
, = 1
14 Д5
144
5 257
8 640
3 956
14 175
25 713 As
44 800
80 335
299376
Как видно из приведенной таблицы, формулы с нечетным чис-
числом ординат имеют, вообще говоря, преимущество в смысле точ-
точности.
3. Формула трапеций и формула Симпсона. Рассмотрим теперь
подробнее формулы замкнутого типа при п=2 иЗ. Ввиду важности
этих формул мы независимо от предыдущего получим коэффициенты
формулы и остаточные члены. При п =2 интерполяционный много-
многочлен будет иметь первую степень. Таким образом, если перейти на
геометрический язык, мы заменяем кривую y~f(x) хордой, соеди-
соединяющей конечные точки кривой (рис. 25).
Интеграл от интерполяционного многочлена даст площадь трапе-
трапеции ABCD. Поэтому и соответствующая формула численного

250
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
1ГЯ. 3
интегрирования получила название формулы трапеций. Площадь
трапеции ABCD, очевидно, равна
Таким образом,
d
f f(x)dx = ^=-С[/ (с) -hf(d)]+R2 (A
B7)
Остаточный член будет иметь вид
й
#
(/) = J(х — с){х — d)f(x; с; d)dx =
12
B8)
Погрешность формулы трапеций обычно бывает очень велика.
Эту погрешность можно значительно снизить, если применять фор-
формулу трапеций не сразу ко
всему отрезку [с, d], а раз-
разбить его сначала на части
и к каждой части в отдель-
отдельности применить формулу
трапеций. При этом надо
стремиться разбивать на ча-
части так, чтобы интеграл от
соответствующей вписанной
ломаной был возможно бо-
более близким к интегралу от
f(x). В частности, если
разбивать отрезок [с, d]
h =
d — ,
т
Рис. 25.
и обозначить через у0, ylt
на т равных частей длины
., ут последовательные ор-
динаты, то получим:
U
—?[/" (Si)+ /"
••• +/"(Ub
где Х{_! < \{ < хг. Выражение во второй квадратной скобке равно
m,f" (?) (с < \ < d). Поэтому наша формула может быть записана так:
й
d — c.
f
J
B9)

§4]
ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА — КОТЕСА
251
Назовем эту формулу обобщенной формулой трапеций. Если
подынтегральная функция вычисляется несложно, то, взяв достаточно
большое т, мы несложными
вычислениями получим доста-
достаточно точное значение инте-
интеграла.
Возьмем теперь п = 3.
В этом случае узлами интер-
интерполирования будут являться
с-\- d
точки с, Т^ , d. Интерпо-
Интерполяционный многочлен будет
иметь вторую степень. Выра-
Выражаясь геометрически, мы про-
проводим параболу через конеч-
конечные и среднюю точки кривой (рис. 26). Уравнением этой параболы
¦будет
x=
Рис. 26.
Р2(.х) =
+
'-«(d-i+1)
Интегрирование дает
d
f
Таким образом,
jf{x) dx=
4-/до] 4-Я,
C0)
Для отыскания остаточного члена построим интерполяционный много-
многочлен Эрмита, совпадающий с f(x) в точках с,
и d и имеющий
в точке ^ производную, равную f'{C~t )• Этот многочлен
в виде
= P2(x)-\-K(x~c)(x-c-42d)(x-d),
можно записать в виде

252 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [Г>Л. 3
где К — соответствующая постоянная. Тогда
/(*) = Р2 (х) + К (х - с) (х - ?+*) (х - d) +
— с)\х ^—j (x — d) f\x; c;
+ rf c+dA
±-; -^-rfj.
Заметим, что
a
Поэтому остаточный член нашей формулы численного интегрирова-
интегрирования будет равен
\
-d)f(x; с-
^-i-
Здесь применима теорема о среднем, так как (х—с)(х—с~—\ (x—d)
не меняет знака на [с, d]. Поэтому
Итак,
Мы получили формулу Симпсона. Формула Симпсона также может
быть применена не сразу ко всему отрезку, а к отдельным частям
его. Требования к выбору этих частей таковы же, как и в преды-
предыдущем случае. Если, в частности, мы разобьем [с, d] на 2т равных
отрезков, то получим:
Это — обобщенная формула Симпсона. Коэффициенты этой фор-
формулы немногим сложнее коэффициентов формулы трапеций, но точ-
точность существенно больше.
Приведем пример на вычисления по полученным нами формулам
численного интегрирования.

§ 4] ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА КОТЕСА 253
Пример. Вычислить
о
по обобщенной формуле трапеций, по обобщенной формуле Симпсона
и по формуле Ньютона — Котеса, разбив отрезок интегрирования
на 10 частей.
В данном случае
Уо= 1, у1 = 0,99009900, у2 = 0,96158846, 3/3= 0,91743119,
3»;= 0,86206896, j/5 = 0,8, ув = 0,73529411, у7 = 0.67114093.
ys = 0,60975609, yQ = 0,55248618, j/l0 = 0.5.
Коэффициенты формулы Котеса при п. ^= 10 равны
/аи = /?>„ = 0,026834148, /аи = /(iiH = 0,17753594,
/?U = /(.п) = _ 0,08104357, /ау = /аи = 0,45494t>28,
/аи = /т> = — 0.43 515512. /аи = 0.71376463.
Вычисления по обобщенной формуле трапеций дают:
1 + ... +2.у9+.у10]= 0,78498149.
По обобщенной формуле Симпс«на получим:
/«^[.Уо + 4у1 + 2у2 + 4уз+ ••• + 4^9 Ч-^ю] = 0,78539815.
По формуле Ньютона — Котеса будем иметь:
/яа 1[п)у0 + IWy1 + ... + I^ly10 = 0,78539818.
Вычисления по формуле Ньютона — Котеса и формуле Симпсона дали
примерно одинаковую точность, но работы по последней формуле
было значительно больше.
Оценим остаточные члены каждой из формул. Функция
/(*) = • !
является производной от y = a.icigx. Найдем производные от этой
функции через производные обратной функции. Получим:
x=tgy; у' = —7- = cos23', У = — 2zosys\ny • у' = —
Запишем эти производные в несколько иной форме:
у' = cos,y • sin (у +-j)> У" = cos2^ sitl 2(у +

254 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЯ*. 3
По индукции можно получить:
у») = (и — 1)! cos.ny sin n (у +у) •
Отсюда остаточный член обобщенной формулы трапеций будет оце-
оцениваться следующим образом:
000166
Для формулы Симпсона будем иметь:
Для формулы Ньютона — Котеса получим:
Наши оценки, естественно, дали завышенные погрешности.
§ 5. Формулы численного интегрирования Гаусса
1. Построение формул. Абсциссы формул Гаусса. В преды-
предыдущем параграфе мы получили формулы численного интегрирования
путем замены подынтегральной функции алгебраическим интерполя-
интерполяционном многочленом с равноотстоящими узлами интерполирования.
Можно ожидать, что, избавившись от последнего требования, мы
можем получить формулы, обладающие теми или иными преимуще-
преимуществами. В этом параграфе мы будем получать формулы, дающие
возможно большую точность. Прежде всего надо условиться, что мы
будем понимать под точностью формулы численного интегрирования.
При замене подынтегральной функции алгебраическим интерполя-
интерполяционным многочленом, построенным по п узлам интерполяции, мы
получим такую формулу численного интегрирования, для которой
остаточный член обращается в нуль, если подынтегральная функция
является произвольным многочленом степени не выше п—-1. Как
мы видели, в случае формул Ньютона — Котеса с нечетным числом
ординат остаточный член обращается в нуль, если подынтегральная
функция является произвольным многочленом степени п. Может ока-
оказаться, что при каком-то другом расположении узлов эта степень
еще может быть повышена. При использовании одинакового числа
узлов будем считать ту формулу численного интегрирования более
точной, для которой эта степень будет больше. Это определение
точности формул численного интегрирования несколько условно, так
как могут быть такие случаи, что менее точная в нашем понимании
формула даст более точный результат. Но мы получаем все же
какую-то характеристику точности.

§ 5] ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГАУССА 255
Наши формулы численного интегрирования будут иметь вид
• (О
Здесь /?(*)> О— фиксированная весовая функция, Cff* — постоянные
коэффициенты, не зависящие от функции f(x), /?(/)—остаточный
член.
Если R (/) обращается в нуль, когда
+- ... +атхт, B)
где коэффициенты аг произвольны, то
ь ь ь ь
а0 С р (х) dx-\-a1 С р (х) х dx + а2 { р (х) х2 dx + атХр (х) х™ dx =.
а а а а
= сх [о0 + ал + агх\ + ... + атхТ] +
+ сп [а0 + fli*n + <h? + • • • + ат*%]. B')
Обозначим
ь
fp(x)x"dx=H. C)
а
Эти величины целиком определятся выбором весовой функции
и отрезка интегрирования. В силу произвольности а% равен-
равенство B) будет эквивалентно следующим:
D)
Получили систему т-\-\ уравнений для определения 2/г неизвестных
величин с$и) и хг. Отсюда следует, что максимальное значение для т
будет т = 2п—1. Правда, остается еще неясным, разрешима ли
будет при этом система, будут ли ее решения действительными
и будут ли все х% принадлежать отрезку [а, Ь]. Непосредственное
исследование системы слишком громоздко, и мы пойдем по дру-
другому пути.

¦256 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
Будем отыскивать многочлен
ц>п(х) = (х — х1)(х—х2)...(х — хп), E)
где Xi — искомые абсциссы. Оказывается, и>п(х) удовлетворяет до-
довольно несложному необходимому и достаточному условию, которое
позволяет во многих случаях его явно определить. Покажем, что
ь
Jp(x)un(x)q(x)dx = O. F)
а
если д(х) — произвольный многочлен степени не выше п—1. Дей-
Действительно,
является многочленом степени не выше 2га—1. Следовательно,
R(/) = 0. Таким образом,
Ь п
J р (х) со„ (х) q (х) dx = ^ 4"Ч (xi) Я (*») = 0,
о i=l
так как ю„(^) = 0.
Обратно, если мы найдем такой многочлен шп(х) степени п, что
ь
когда q(x) — произвольный многочлен степени не выше п—1,
и корни этого многочлена примем за узлы интерполирования, то
в полученной при этом формуле численного интегрирования R(f)
будет обращаться в нуль, когда / является произвольным мнето-
членом степени не выше In—1.
Действительно, пусть f(x) является таким многочленом. Тогда
/ (х) = со„ (х) q(x)-\-r (х),
где q(x) и г (х) — многочлены степени не выше п—1. Отсюда
ь ь
/ Р (x)f(x) dx = jp (x) со„ (х) q (x) dx -f-
з а
b b
+ Jp (x) r (x) dx = Jp (x) r (x) dx
a a
в силу нашего предположения. Но
ь
Jp (*) г (х) dx = с?V (Xl) + cl"V (*j) + .. . + 4TV (xn),
a

§ 5] ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГАУССА 257
так как г (х) как многочлен степени не выше п — 1 совпадает со
своим интерполяционным многочленом, построенным по узлам xlt
х2 хп. Кроме того,
/ (*i) = ">п (*«) Я (Хг) + г (Xi) = Г (Х{).
Таким образом,
и /?(/) = О, что и требовалось доказать.
В главе 5 мы покажем способы построения системы ортогональ-
ортогональных многочленов при произвольных р(х). В этой главе мы найдем
общий вид шп(х) при р(х)= 1. Обозначив
J m
а
х
(x)dx = c?2(x) Jfn-i(x)dx = <?n(x)> G)
а
будем вычислять интеграл
ь
J ">„ (х) </ (х) dx,
а
где д(х) — произвольный многочлен степени не выше п—1, путем
последовательного применения формулы интегрирования по частям.
Будем иметь:
ь
О = Г сои (х) q (x) dx =
При х — а правая часть равна нулю, так как ср4(а) = О, с=\,
2, .... п. Отсюда следует в силу произвольности q(x), что
<Pi (*) = <Р4 (*) = ...=<р„(*) = 0. (8)
Итак, уп(х) обладает корнями кратности п при х = а и х = Ь
Следовательно,
ср„(х) = С(х — а)п(х — Ь)п. (9)
где С — какая-то постоянная. Отсюда
if1
со„ (х) = С ±р [(х — а)п (х — ft)»].

258 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
С подбирается из того условия, что коэффициент при хп в
равен 1. Легко видеть, что
С- "!
- Bл)! •
Окончательно получаем:
Последовательное применение теоремы Ролля показывает, что все
корни уравнения
юп(*) = 0
действительны, различны и заключены в интервале (а, Ь). Таким
образом, их действительно можно использовать в качестве узлов
интерполяции и полученная при этом формула численного интегри-
интегрирования будет удовлетворять поставленным условиям. В главе 5
будет показано, что и при произвольном весе р (х) многочлены
шп(х) будут иметь п действительных различных корней, принадле-
принадлежащих интервалу (а, Ь).
2. Остаточный член формул Гаусса. Исследуем теперь оста-
остаточный член полученных формул численного интегрирования. Пусть
f(x) — произвольная, достаточное количество раз дифференцируемая
функция. Построим интерполяционный многочлен Эрмита, прини-
принимающий в точках хи хг хп (корнях шп(х) = 0) значения
f(xd< /(-^г). ¦¦•> f(xn) и имеющий в этих точках производные,
равные соответственно /'(хг), /'(х2) /' (хп). Если обозначить
этот многочлен через И(х), то
... (х — xj2f(x; хх; хх; х2\ хг\ .. .; хп; хп).
Многочлен Н(х) имеет степень 2га— 1. Следовательно,
а
Ъ
+¦)
ь ь
fp(x)f(x)dx= fp(x)H(x)dx +
;х1; х^,х2; х2;.. .; xn;xn)dx =
с("]Н (*») + Jp (х) щ, (х) f (х; х,; хх; х2; х2; ...; хп; хп) dx =
a
Ь
Jp (х) ш» (х) f (х; хх; хх; х2; х2; . . .; хп; хп) dx. A2)
а
Ь
п

§ 5] ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГАУССА 259
Таким образом, остаточный член будет иметь вид
ь
Я (/) = //> (х) u>n (х) f (х- x^Xi, х2; х2; ...; хп; хп) dx. A3)
а
Так как р(х)и^(х) не меняет знака на [а, Ь], то
ь
R(/) = /(&; *i; *i; *г> х2\ ¦. ¦;хп; хп) jp(х)ш*„(х) dx =
a
b
И в этом случае при p(x)^sl можно упростить выражение для
интеграла, стоящего в правой части. Будем иметь:
ь
>„ (х) со„ (х) dx = — J срх (х) со^ (л:) rfx =
b
= (— 1)п/г! ffn(x)dx.
Далее, снова применяя последовательное интегрирование по частям,
получим:
ь ь
a
b
— —Л±± С (х-аГ+
— Bл)! ,/ п
+ 1
а
1 U Bл)! J (л
-аJ"
a
...2л [Bл)!р Bл + 1)
Итак, при р(х)= 1
[Bл)!рBл+1) Bл)'

260 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
3. Коэффициенты формул Гаусса. Найдем теперь выражения
для коэффициентов при /(-?$), полученных формул численного инте-
интегрирования. Для этого рассмотрим функцию
Квадрат этой функции является многочленом степени In — 2. Сле-
Следовательно,
ь п
f Р (*) П. п W dХ = Ц С{"% п (*i> = С?% п (**)•
О i = l
Отсюда
ь ь
P(x)i/\n(x)dx
Отметим здесь же, что все с^> положительны.
При р (х) == 1 можно получить более удобные выражения для с<?>ш
Для этого применим к числителю правило интегрирования по частям.
Будем иметь:
ь ь „
2 Г ап W < & dx _ < И а1 Ф)
> J х — Хк а — хк Ь — хк>
Подсчитаем значения «^(а) и ю^F). По формуле Лейбница имеем-.
к-0
Отсюда

§ 51 формулы численного интегрирования гаусса 261
Таким образом,
шп (а) шп (*) (л!L (Ь — afn
а — хк Ь — хк [Bл)!]2 1хк — Ь
~ (xk-a)(xk-b)[Bn)\]t
Функция
х — хк
является многочленом степени 2л — 2. Поэтому
ъ п ,
Г %(¦*) MnW . 2V (») % (*<) Шп (¦*<) _ 2с(")ш/2 (Хь).
Итак,
2 ¦ -^
о i-l
а
Отсюда
[Bn)!l«(Jtk-e)(*-J0
Это и есть искомые выражения для коэффициентов с<™>.
Произведем в fn(x) замену х на -— \-у. Получим:
т. е. <?п(х) симметрична относительно прямой х= а~^ . Отсюда
следует, что и корни уравнения шп(л:) = 0 будут симметричны отно-
относительно точки х = —^~—. Но тогда, если занумеровать их в по-
порядке возрастания
Х\ *\ Х% *\ ... *\ Xft,
то получим:
(хк — а) (хк — Ь) u/s (Xfc) = (xn_k+1 — а) (хп_к+1 — Ь) и/2 (л:п_Й+1).
Следовательно,
с(п) — An) A7)
т. е. коэффициенты при / (хк) и f(xn_k+1) будут совпадать.

262 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
Полученные здесь формулы численного интегрирования были
впервые найдены Гауссом. Поэтому мы будем называть их форму-
формулами Гаусса.
Было бы невыгодно каждый раз, как нам нужно использовать
формулу численного интегрирования Гаусса, заново находить шп(х),
вычислять корни уравнения шп (х) = 0 и подсчитывать коэффи-
коэффициенты c<gh Для случая р{х) = 1 и отрезка интегрирования [—1, 1]
такие вычисления были произведены для различных п. Произволь-
Произвольный отрезок [а, Ь\ может быть приведен к отрезку [—1, 1]
простой заменой переменной интегрирования:
Ь+а Ь-а
Приведем некоторые значения коэффициентов с^*> и абсцисс для
формул численного интегрирования
+ 1 п
/
-1 t-1
n=l:
*1 = 0. ~
— Xl=x2 = 0,577 350 269 189 6258, icf = 1 cf = 1,
'У2~ 135
— Xi=xb = 0,774 596 669 241 4834, х2 = О,
— T 3 ~T8' 2"Ca ~
я = 4:
— ^ = ^ = 0,861 136 311 594 0492,
_x2 = x3 = 0,339 981 043 584 8646,
lcA4) = l44»=0,173 927 422 568 7284,
ICB4)=1^4) =0,326 072 577 431 2716,
*~ 3 472 875 J Wl

§ 5] ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГАУССА 263
я = 5:
— Xl = xb = 0,906 179 845 938 6640
— х2 = х„ = 0,538 469 310 105 6830, х3=0
1СA5>=1^5) =0,118 463 442 528 0945
I 45) =Д с*5> = °-239 314 335 249 6832
-icf = ^Ц- = 0,284 444 444 444 4444
J w>
р
Къ~ 1237 732 650
л =6:
_ Xl = x6 = 0,932 469 514 203 1520
— х2 = хь = 0,661 209 386 466 2644
— jc3=jc4 = 0,238 619 186 083 1970
1 с(!6) = i 46) = 0,085 662 246 189 5852
1 с(!6) = i 46) =
icf =4- cf =0,180 380 786 524 0693
l40)=ici6)=0,233 956 967 286 3455
p _ l f{12WcY
Пб 648 984 486 150 J w>
n = 7:
_Xl = x7 = 0,949 107 912 342 7596
— x2 = x6 = 0,741 531 185 599 3944
— jt3=Jt6= 0,405 845 151 377 3970,
lcA7)=IcG7)=0,064 742 483 084 4348
-ic|7)=i-47>= 0,139 852 695 744 6384
i-47)=i-47) = 0,190 915 025 252 5595
_Lcl7>= -^1 = 0,208 979 591 836 7347
p\f(uUi\
\
470 050 192 111 500
Как видно из этой таблицы, коэффициенты с^Ч и абсциссы х{
очень громоздки. Поэтому формулы Гаусса следует применять в тех
случаях, когда требуется большая точность и значения функции при
большом числе аргументов получить затруднительно.

264 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
4. Формула численного интегрирования Эрмита. Если взять
ч качестве р(х) функцию
и в качестве отрезка интегрирования отрезок [—1, -K1L т0 полу-
получим формулу численного интегрирования
J y=~ dx = 2 cpf(Xi) + R (/). A9)
-1
Если Xf являются корнями многочлена шп(х), ортогонального с весом
.. произвольному многочлену а{х) степени <; и—1, то /?(/)
у 1 — х?
обращается в нуль, когда f(x) является произвольным многочпеном
степени <; 2п—1. Как будет показано в главе. 5, в качестве шп(лг)
можно взять
«>» (*) = ?zi тп (*) = ф-, cos (я arc cos х), B0)
т. е. многочлены Чебышева, о которых говорилось з предыдущей
главе. Следовательно,
Bг1)д (/=1.2 п) B1)
и
+i +i
c(«) __ J ""n \^> "¦*¦ / Tn (x)
(x
(«) = f 4>n(x)dx Г T_n{
B2)
Для cjn> можно найти числовые значения. Для этого произведем
под знаком интеграла замену переменного, положив х = cos 6. По-
Получим:
с{п)
1
{п)= f
1 J (cos 6 —
J (cos 6 — cos $i) Tn (cos 0$)
0 '*
Ho
n sin n 6f n sin л6$

§ 51 формулы численного интегрирования гаусса 265
так как левая часть последнего равенства является четной функ-
функцией 6 и числитель ее обязан делиться на знаменатель нацело, ибо
Тп (х) делится на х — хк. Отсюда
/cos лб 0
s — ад = -кВп.
cos 6 — cos 6,- °
о
Чтобы найти Вп в предпоследнем равенстве, положим там
Л Л Л I 2Т\
и воспользуемся соотношениями
cos л
cos лб
cos 8 — cos й,-
cos' лб
cos' e
л sin
(«,+.?) _
sin
9» ' /„ 2я\
\ л /
cos [лб{ -f 2^д] 0
/„ , ,2я\
cos I б, + к — I — cos б<
V п /
Получим:
...+?„_! cos (л— 1)|94 + (л —1) —1 = 0.
Складывая эти равенства, будем иметь:
я п sin n6f д s
пВ°= sine, и so = -
так как
п-1
л
п-1
2 sin — i-0
= 1, 2 л—1).

266 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРСВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
Отсюда
c№ = -^?°-=-J. B3)
Получили формулу численного интегрирования
+ 1 п
Г f(x)dx _ к yf(
I /" ^ — ~~п Zu ' ^ *'
О< 1
B4)
Остаточный член может быть упрощен, если воспользоваться ре-
результатами главы 5:
Эта формула является частным случаем формул Гаусса и носит на-
название формулы Эрмита.
5. Формулы численного интегрирования Маркова. Если поль-
пользоваться классификацией, приведенной в предыдущем параграфе, то
формулы численного интегрирования Гаусса следует отнести к фор-
формулам открытого типа, так как концы отрезка интегрирования не
принадлежат к числу узлов. А. А. Марков рассмотрел формулы
численного интегрирования, для которых R(f) обращается в нуль,
когда f(x) является произвольным многочленом степени <12я— 2
при дополнительном требовании, что либо хх = а, либо хп=Ь, и
формулы численного интегрирования, для которых R(f) обращается
в нуль, когда f(x) является произвольным многочленом сте-
степени <; 2я — 3 при дополнительном требовании, что х1 = а и
хп=Ь.
Рассмотрим сначала первый случай. Обозначим через 6П {х) много-
многочлен степени п со старшим коэффициентом 1, корни которого равны
искомым узлам. Рассуждениями, как и при выводе формул Гаусса,
покажем, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы
%п (х) удовлетворял поставленным условиям, будет
ь
f р (х) 6П (*) q (х) dx = 0, B6)
а
где q{x) — произвольный многочлен степени .< п—2. Отсюда
ь ь
//>(*)[6» W — ш» (*)] Я (*) dx= fp (х) Ьп (х) q (x) dx —
а
— f p(x)u>n(x)q(x)dx = O.

§ 5] ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГАУССА 267
Поэтому вп(х) — и>п(х) может лишь постоянным множителем отли-
отличаться от шп_! (х):
6» (х) — шп (х) = апшп_, (х).
Для получения постоянной ап положим в этом равенстве х = а.
Получим:
_ <¦>„ (а)
п~ »„-!(«)•
Итак,
6» (*) = »»(*) + «„«>„_, (х). B7)
И в этом случае 6п(х) имеет ^п действительных корней, один из
которых равен а, а остальные расположены между а и Ь. Доказа-
Доказательство полностью совпадает с тем, которое проводится в главе 5
для шп(х).
Для отыскания коэффициентов D(,n> формулы численного инте-
интегрирования возьмем в качестве f(x) функцию
где х'г — один из корней уравнения 6п(л:) = 0. f(x) — многочлен
степени п—1. Поэтому
fp(x)f{x)dx= 2 Df/UbMXU)
ь
D(»)= Г p(x)bn(x)dx
J (x-xt)f>n(Xl)
(
Остаточный член будет иметь вид:
ь
Аналогично можно построить формулу численного интегрирования
Ь п * 2
где л:^—корни уравнения фп(д:) = О;
Ф»(*) = «>»(*) + Р»«)»-1(*). Р» = —^Г^у. CD
) rfx. C2)

268 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
Наконец, в последнем случае узлы х'" будут корнями уравнения
С(*) = 0. где
<»(*> =
<on_,(a) Mn_i
шп-1
Коэффициенты Fjn) формулы
b
» (Я
1 = 1
определятся из равенств
{п)_ С ^n(
J {х-
и остаточный член будет иметь вид:
. C3)
C4)
C5)
**>
Приведем значения х'" и F^n> для некоторых значений л при
1= 1 и а = — 1, 6= 1.
л = 4: *1 = — 1. *2 = — 0,2, Хз = 0,2, *4=1,
л_5- х——1 — — — х-0 —- —1
р_„, р_49 Р—64 Р_49 С- Л1
Г! — и,1, ''г—до", ^з — до. /— go» ^5=u.l-
В заключение приведем вычислительный пример на применение фор-
формул Гаусса и Маркова.
Пример. Вычислить по формулам Маркова и Гаусса интеграл
'-/г
dx
взяв л = 5.

§ 6] ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЧЕБЫШЕВА 269
Преобразуем интеграл к промежутку [—1, -(-11. Получим:
1
В формуле Гаусса:
= 0,24945107, f(,x2) = 0,23735995, /(^ = 0,2,
/(*4) = 0,15706261, /(Хб) = 0,13100114.
Вычисления дают /яй 0,78539816. Все знаки верны.
В формуле Маркова:
!) = 0,25, }(х2) = 0,24276181, f(x3) = 0,2,
/(^ = 0,14841465, f(x-0) = 0,125.
Вычисления дают /яй 0,78539214.
§ 6. Формулы численного интегрирования Чебышева
1, Построение формул. В предыдущем параграфе мы получили
как частный случай формул Гаусса формулы численного интегриро-
интегрирования Эрмита. Они характеризуются тем. что все коэффициенты
при /(Х{) равны. Это оказывается существенным, когда значе-
значения f(xi) подвержены случайным ошибкам (например, получены
из эксперимента). Тогда выражение
(с1-\-с2-\- ... -\-сп фиксировано)
будет иметь наименьшую случайную ошибку прис1 = с2 = ... = сп.
В связи с этим П. Л. Чебышев поставил следующую задачу:
найти абсциссы xlt x2 хп и коэффициент К так, чтобы в фор-
формуле численного интегрирования
+ 1 п
f K%f(xd + R(f) (I)
1-Х
+
остаточный член R (/) обращался в нуль, когда f{x) является про-
произвольным многочленом возможно большей степени. Так как в на-
нашем распоряжении находится я-)-1 величин К, хх, х2,...,хп, то
степень эта не меньше я.
Коэффициент К находится без труда. Полагая / (х) = 1, получим:
+i
Г р (х) dx = Кп.
-1

270 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
Отсюда
+1
К = ±- fp(x)dx. B)
-1
Как и в предыдущем параграфе, вместо того чтобы отыскивать
сами абсциссы хи х2, ¦ ¦¦, хп, найдем многочлен
шп (х) = (х — Хг) (х — xj .. . (х — xj. C)
Возьмем в качестве f(x) функцию
где z — произвольное число, |z|>l. Тогда
I _ " „ ^ | ~ „ 1 _ „ I 1 у I I \ 5" Y I
f/ Z X {_? Ai Z Xt^ ? " -A-flA \^ Л /
-1
Последнее выражение можно записать в виде
fp^=K?<±+R(TLjy F)
Проинтегрируем обе части равенства по z. Получим:
/ р(х)Ы\г — x\dx = K\n^~--{ r( )dz.
Здесь С—постоянная интегрирования. Потенцированием находим:
if / 1 \ -== I jp (ic> In | e—x | dx
— I Й I _ ) dz К J
шп \z)e == '-e ~ (')
Представим показательную функцию, стоящую множителем в левой
части равенства, в виде ряда по убывающим степеням z. Имеем:
'(-7)
Ряд справа при |д:|-^1 и|г|]>а]>1 будет равномерно и абсо-
абсолютно сходиться. Далее,
(9)

§ 6] ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЧЕБЫШЕВА 271
В силу нашего предположения первый член справа равен нулю. Но
„п+2 1
Xi I
i__J i_
' г"+з ' • • • J •
" Г „п+1 „п+2
Xi X
А
Таким образом, R(—-—J будет представляться сходящимся рядом
по убывающим степеням z, причем наивысшей степенью будет — (п-\- 2):
Поэтому
A1)
Итак,
т. е. эта показательная функция представляется рядом
Произведение
может быть представлено в виде ряда
так как наивысшая степень z в u)n(z) равна п. Отсюда следует,,
чю и
+i
-i J р (Я!) IU B-Я!) *Г A5)
е -1
разлагается в такой же ряд и члены с положительными степенями z
дадут u)n(z). Будем называть эти члены правильной частью ряда и
обозначать
+i
-= I р (х) 1а | г-ж I <ta
Ее -1 A6)

272 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
Таким образом, мы показали, что u)n(z) в формулах численного
интегрирования Чебышева определяется из равенства
+ i
-g J р (х) 1д
1
I z-x i dx
A7)
Здесь С подбирается так, чтобы коэффициент при zn в u)n(z) был
равен 1.
Дадим еще один способ получения шп (z). В формуле
+ 1
A)
возьмем
... +апхп,
A8)
где а0, ах, а2, .... ап—произвольные действительные числа. Полу-
Получим:
i +i +i
p(x)dx-\-al j р (х) х d x -+- ... -\-an Jp(x)xndx =
X
X К
1ак как /? (/) в этом случае должен обращаться в нуль. Введем
обозначение
+i
= fp(x)
xldx.
A9)
В силу произвольности а,- должны иметь место следующие равен-
равенства:
B0)

§ 6] ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЧЕБЫШЕВА
Первое равенство дает:
273
т. е. то же, что и раньше. Деля остальные равенства на К и обо-
обозначая ^ = /га{, получим систему л уравнений для определения х^:
... -{-хп=т1,
B1)
х\ -+- х\
Опять будем разыскивать многочлен шп(х), корнями которого
являются Xi, x2, ..., хп, удовлетворяющие этой системе. Пусть
B2)
B3)
Нам нужно найти bu b2, ..., Ьп. Имеем:
лп (х)
х —.
Далее,
(b2
Отсюда и из равенства B3) получаем:
... +(nbn_1-\-bn_2m1+ ...
V.1. B4)
B5)
B6)
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в равенствах
B4) и B6), находим:
B7)
6j/Kj -)- т2 = (л — 2) Ь2,
nbn_1-\-bn_2mi-\- ...

274 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
Отсюда последовательно можно найти bif b2 bn_x. Для полу-
получения коэффициента Ьп рассмотрим сумму
ш» (xi) + <•>„ (х2) + ... + шп (хп).
С одной стороны, эта сумма равна нулю, так как u)n(.x:j) = O. С дру-
другой стороны, складывая представления шп(д:4) в виде многочлена по
возрастающим степеням х^ при различных i получим:
mn-\-b1m.n_1-\-b2mn_2-\- ... + bn_1rn1-\-nbn = 0. B8)
Отсюда определится Ьп.
Итак, мы показали, что для каждого п можно найти шп (х) та-
такое, что если корни шп(л:) = 0 принять за абсциссы формулы чис-
численного интегрирования, то все коэффициенты с4 этой формулы
будут равны между собой. Очевидно, шп(х), полученное вторым
способом, будет совпадать с шп(х), полученным первым способом.
Рассмотрим теперь частный случай формул Чебышева, когда
/?(je)= 1. При этом
+i
К=- f dx = -, B9)
-i
а абсциссы хх, х2 хп являются корнями уравнения
+i
— I
1
In | z—x ! dx
Ее -1 =0. C0)
Но при z > 1
In | z — х | dx = (z-4- 1)ln (*+ 1) — (z — 1) In (z — 1) — 2 =
Отсюда

§61
ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЧЕБЫШЕВА
275
Дадим л значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Получим следующие урав-
уравнения для получения ;q:
х = 0,
*2 °
?. v-2 _|_ ^
6~Л ~^пл — "•
х6 — х4 + -^-л:2 — щ = О,
1_]_ 5,Ц? 3_il?_ —И
Х 6 X ' 360Х 6480X '
9__3 7 27_ 5 57_ я 2217
Х ~2 Х "+" 40 * 560 * "+" 22 400
= 0.
C2)
Можно было бы получить шп(х) и для других значений л, но, как
показал академик С. Н. Бернштейн, при этом уравнение шп(л:) = 0
будет иметь комплексные корни и, следовательно, соответствующая
формула Чебышева не может быть использована. Абсциссы формул
Чебышева при различных значениях ли/ даются следующей таб-
таблицей:
л = 2 —Xl = x2 = 0,577350;
л = 3 —Xl = x3 = 0,707107, х2 = 0;
л = 4 —Xl = xt= 0,794654,
л = 5 — х1 = х5 = 0,832498,
. = 0,866247,
t = 0,266635;
, = 0,883862,
— х3 = хь = 0,323912, х4 = 0;
л = § —^ = ^9 = 0,911589, — д:2 = л:8 = 0,601019;
— х3 = хп = 0,528762, — x4 = xe = 0,167906, хь = 0.
Рассмотрим пример на вычисление интеграла по формуле Чебы-
Чебышева.
Пример. Вычислить по формуле Чебышева интеграл
л = 6 —x1 =
— х3 =
л = 7 —х1 =
— х2 = х3 = 0,187592;
— x2 = xi= 0,374541,
— х2 = хь= 0,422519,
— х2 = х, = 0,529657;
взяв л = 7.

276 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
Как и в предыдущем параграфе, преобразуем предварительно
интеграл к отрезку [—1, 1]. Последовательные значения ординат
будут таковы:
/(*!> = 0,249159, f(x2) = 0,236898, f (xj = 0,224361,
f(xj = 0,200000, /(лд = 0,173831,
/(*„) = 0,157732, /(*7) = 0,132469.
Вычисления дают
/ = 0,785400.
Ошибка не превышает двух единиц шестого знака.
2. Остаточный член формул Чебышева. Получим теперь остаточные
члены формул численного интегрирования Чебышева. Ограничимся случаем
р(х)=\. Пусть число ординат, использованных в формуле Чебышева, равно л.
Соответствующий остаточный член будем обозначать Rn (/). Как известно,
Rn (/) = 0, когда f(x) является произвольным многочленом степени п.
Если п — четное число, то Rn (/) обращается в нуль и для произвольного
многочлена степени не выше п -\- 1. В самом деле, если
/ (х) = по + а^х + а^ + ... +
то
#п (Л = #» («о + «I* + • • • + anxn) + Rn (an+1x"+i).
Первый член справа, очевидно, равен нулю, а
= J
i-i
Мо интеграл, стоящий в правой части, равен нулю, так как xn+l является
нечетной функцией х. Точно так же обращается в нуль и сумма в правой
части, так как корни уравнения шп (х) = 0 симметричны относительно на-
начала координат. Итак, Rn(an+ixn+1) = 0 и Rn(f) = 0- Утверждение дока-
доказано.
Пусть теперь / (х) — произвольная функция, обладающая на отрезке
Г—1, +1] непрерывными производными до порядка т-\-\ включительно.
Здесь т равно п, если п — нечетное число, и равно п -\-1, если п — четное.
По формуле Тейлора имеем:
''' + т\ /(Ш) (-1)
Отсюда, в силу наших предыдущих рассуждений,
AС Л- \\т 1 С
/(Ш) (-1) + Ш J /(Ш+1) (S) {X ~ S)m dS- C3)
J. y"/(»+i)(s)(x_s)»rfs

§ 6] ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЧЕБЫШЕВА 277
ИЛИ
+ 1
Rn(/) = -L J dx Jf(™+V (S) (X—s)mdS —
-1 -1
7
7
ш I/(m+1) (s) (Xi -s)m ds- C4)
i-1 -1
Меняя порядок интегрирования в первом члене справа, получим:
п xi
f
Jfim+1)(s)A^ds^% f f^4s)(ras.
Введем обозначение
(х — s)m при х > s,
f
C5)
C6)
О при х ¦< s.
Тогда наш остаточный член C5) можно записать в виде
0 v ' ^ (*< — s)m rfs. C7)
Исследуем функции
_(l_s)t+i _2 у k _
i-l
На отрезке [—1, x^\ они положительны, если k нечетно, и отрицательны,
если k четно. Действительно, так как k <^ т, то
п п
сч& + 1 о ^-ч /1 „\ft + l с\
— / ^L / \ 7с \ 1 — /
k-\-1 п 4U k-\-\ n
i=i i=i
+1
-1
(-i-s)
Отсюда и следует утверждение. Далее,
<fk(s)^ — (l—s)k + —
или
(ft = 1.2 m).

278 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
В частности,
[П -|
(l-s)-f 2(*^=1)° =1 + s-
Правая часть неотрицательна при s>—1 и так как <Pi(s)>0 при —l<Cs^
<*!, то <pi(s)>° ПРИ s>—1. Но
—2— = — fi (s)< 0 при s>—1,
и так как <р? (s) < О при —1 < s •< хь то <р? (s) <! О при s > —1. Отсюда
получаем, что <рз(*)]>0 при s]>—1, и, продолжая также дальше, придем,
в конце концов, к заключению, что <pm (s) > 0 при s > —1 (т. нечетно!).
В силу доказанного, к выражению для Rn (/) применима теорема о сред-
среднем и
Таким образом,
Rn (/) = Mn/C«+i) (S), C9)
где постоянная Л4П не зависит от вида функции f(x). Для отыскания по-
постоянной Мп проще всего поступить следующим образом. В качестве функ-
функции f (х) возьмем хт+1. Тогда предыдущее равенство даст
= f
-1 1=1 1=1
Отсюда
п
При этом нам придется разыскивать суммы ^х™+1, где т-\-\ равно или
i=l
п -\- 1 или п-\-2. Здесь удобны формулы Ньютона:
где
2
г-1
а Ьь 62> ..., 6П являются коэффициентами уравнения шп(л:)=0:
При помощи этих формул sn+1 и s«+? выражаются через sn, sn-lt ... По-
Последние находятся при помощи равенства:
+ 1 „
d 42*t = !~Sft (* = 0, 2,4
A= 1, 3 /г< /я).

§ 7\ СХОДИМОСТЬ КВАДРАТУРНЫХ ПРОЦЕССОВ 279
Приведем готовые выражения остаточных членов для тех значений п,
для которых формулы Чебышева существуют:
/?C/)=/"F); R(f) =
При выводе остаточного члена для формул Чебышева мы по
существу следовали тому пути, который был указан в § 3.
§ 7. Сходимость квадратурных процессов
Формулы численного интегрирования, которые мы рассматривали,
имели следующий вид:
6
j f (x)dxttcj(x,) + cj(x2) + ... -\-cJ(xn).
а
Мы получали их путем замены подынтегрального выражения интер-
интерполяционным многочленом Лагранжа. Мыслимы и другие способы
замены. В связи с этим рассмотрим следующий вопрос. Функционалу
6
ff(x)dx A)
а
ставится в соответствие последовательность функционалов
п
i=i
где с{ выбираются из некоторой бесконечной треугольной матрицы:
с?\ сР, cf,
C)

280 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
а х^ — из другой заданной бесконечной треугольной матрицы:
D)
Предполагается, что все х\ принадлежат отрезку [а, Ь]. При каких
условиях, наложенных на с(гп) и х^\
функции fix) будет иметь место
условиях, наложенных на с(гп) и х^\ для любой непрерывной на [а, Ь\
f
lim Ln(f)= f f(x)dx7 E)
Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой:
ъ
Теорема. Для того чтобы Ln(/)—»¦ / f(x)dx при я —»• со
а
для любой непрерывной на [а, Ь\ функции f(x), необходимо и до-
достаточно, чтобы это имело место для любого многочлена и
п
чтобы 2 I С&П) I < М для любого п.
Докажем сначала достаточность этих условий. При этом мы будем
ссылаться на следующую теорему Вейерштрасса:
Для всякой непрерывной на [а, Ь\ функции f {х) и для всякого
е >> 0 можно найти такой многочлен Р (х), что | / (х) — Р (х) | <С е
при любом х?[а, Ь].
Доказательство этой теоремы мы приведем в следующей главе.
Рассмотрим разность
f
f(x)dx-Ln(f)= ( [f(x)—P(x)]dx-\-
¦[
La
F)
В силу теоремы Вейерштрасса можно найти такой многочлен Р (х), что
\/(х)—Р{х)\<в при х?[а. Ь]. G)
Пусть Р(х) в предыдущем равенстве и будет таким многочленом.
Тогда абсолютная величина первого члена правой части не может
превышать е(р—а). В силу первого условия доказываемой теоремы

§71
СХОДИМОСТЬ КВАДРАТУРНЫХ ПРОЦЕССОВ
281
второе слагаемое в F) при достаточно большом п может быть сде-
сделано меньше е по абсолютной величине. Далее,
к=1
Таким образом,
Отсюда получаем:
ь
f(x)dx-Ln(f)
и
I
(8)
(9)
A0)
т. е. левая часть может быть сделана сколь угодно малой, что и
доказывает достаточность условий.
Необходимость первого условия очевидна, так как многочлены
являются непрерывными функциями. Поэтому нужно доказать только
необходимость второго условия. 'Доказательство будем вести от про-
тивного. Пусть
не ограничены. Для каждого п построим
функцию <р„(х), обладающую следующими свойствами:
1. Vnixf*) равно -И, если ffi > 0 и равно —1, если
2. срп(х) — непрерывная функция;
3. |
Очевидно,
<
Обозначим для сокращения записей последнее выражение через Мп.
Возьмем некоторую из построенных нами функций ср^Дх). Для
нее должно иметь место
6
lim Ln(yn) = I <pn
а
Но | tpn, (•*) | ^ 1. Следовательно,
6
A2)
A3)
и найдется такое Nlt что при п > Л^ будет
\Ln(?ni)\<e(b-a)

282 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
(здесь е—основание натуральных логарифмов). Далее, найдется та-
такое п2^-Nu что УИПа>2-2!. Рассмотрим функцию
Она непрерывна. Следовательно,
„^^L—п—'—2!-J=J L—п—1—w
а
Но
A6)
Поэтому найдется такое N2, что при п> N2 будет
Найдем такое nz~^-N2, что УИ^ > 3 • 3!,и продолжим наше построе-
построение дальше.
Пусть мы уже нашли AfTO. Тогда находим nm+1>Nm такое, что
МПт+1 ~> (т-\-1) (т-\-1)\, и строим функцию
^^^^. (.8,
Она непрерывна. Следовательно,
6
f A9)
а
Но
X (p—а)<(е—1)F — а). B0)
Находим Nm+1 такое, что при n>Nm+l
<e{b — a), B1)
4- ••• B2)
и продолжим построение дальше.
Таким образом, мы получим ряд
1! ~*~ 2! -I" • • • -г" т!
Этот ряд будет равномерно сходиться, и следовательно, его сумма
«будет непрерывной функцией. Обозначим ее /(х).

§ 7] СХОДИМОСТЬ КВАДРАТУРНЫХ ПРОЦЕССОВ 283
Возьмем любое натуральное число k и представим /(х) в виде
/(•*¦)= ,2j J\ ' ki ^~ 2j —J\—' B3)
i—I »~ft+l
При этом
ft!
у ^{х)
B4)
Оценим каждое слагаемое в отдельности. Так как пк > Nk_u то
Далее,
со
2 •
V
<еф — а).
B5)
Sra J_ 1 г. l
Lri_iJ
k+l 1
Таким образом,
)! 1 1 (ft+l)l(ft+l)^(ft+l)!ft ~ *.*!*
й+2
*-* + !
Л
1
Функционал от среднего члена будет равен
»*
B6)
B7)
Сопоставляя соотношения B4), B5), B6), B7), получим:
Но УИЗД > k - k\ и, следовательно,
B8)
а последнее выражение неограниченно возрастает с возрастанием k.
ь
Поэтому Ln (/) не может стремиться к / f(x)dx. Мы пришли
а
к противоречию. Таким образом, необходимость условий доказана.

284 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
При доказательстве теоремы мы считали коэффициенты совер-
совершенно произвольными. В рассмотренных ранее случаях эти коэффи-
коэффициенты получались путем интегрирования интерполяционных много-
многочленов. Такой процесс будем называть интерполяционно-квадра-
интерполяционно-квадратурным.
Для интерполяционно-квадратурных процессов сходимость навер-
наверняка имеет место для любого многочлена и первое условие теоремы
можно опустить. Далее, беря /(х)=1, получим:
= f
: = b — a.
j
Поэтому, если все ffl положительны, то и второе условие теоремы
будет выполнено. Такой случай как раз имел место в формулах
Гаусса. Поэтому квадратурный процесс по формулам Гаусса все-
всегда сходится.
При изучении формул Ньютона—Котеса мы видели, что у них
имеются отрицательные коэффициенты. Можно показать, что для
п
формул Ньютона—Котеса условие 2 i с« | <С М не выполнено.
О сходимости формул Чебышева при р (х) = 1 вопрос ставить
нельзя, так как при я^ 10 формул Чебышева не существует.
§ '8. Формула Эйлера
Формула, к выводу которой мы хотим приступить, имеет самые
разнообразные применения: численное интегрирование, суммирование
рядов, разложение функций в ряд и т. д. Ее часто называют фор-
формулой Эйлера — Маклорена, хотя впервые она была получена Эйле-
Эйлером. Формула Эйлера не связана непосредственно с теорией интер-
интерполирования и потребует некоторых сведений о многочленах и числах
Бернулли.
1. Числа и многочлены Бернулли. Рассмотрим функцию
. . xetx
Она может быть разложена в ряд по возрастающим степеням х,
равномерно сходящийся при | х | ^ а < 2тг, так как ближайшей
к началу координат особой точкой этой функции является
х = 2тг/.
Запишем ряд в виде
ех — 1
п-0

§ 81 ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА 285
Bn(t) называются многочленами Бернулли. Что они действительно
являются многочленами, мы обнаружим немного позднее. Многочлены
Бернулли широко используются в теории чисел. При t= О получим:
x _y Bn
•¦-\— Lk л! Х '
n=0
где через Вп обозначено Вп @). Числа Вп называются числами Бер-
Бернулли. Прежде всего убедимся, что Bn(t)—многочлены, и укажем
более удобную, чем A), формулу для их получения. Умножая обе
части равенства A) т ех—1 и разлагая ех—1 и xetx в ряды по
степеням х, получим;
^ со со
VI *" VI Bn{t)
Lk л! ~~ Lk л! Lk л!
п=0 п=1 п=0
Приравнивая коэффициенты при хп в левой части и в правой,
после умножения рядов будем иметь:
t ^га-1 @ г #п-2 @ | | #0 (О
(л — 1)! 1! (л — 1)! ' 2! (л — 2)! ^ ' ' ' ^ л! И
или
Ж"= 2>CnBn_k(t). C)
Отсюда при п = 1 получаем Вв (t) = 1 и, полагая далее п = 2, 3, 4
будем последовательно получать все Bn(t). При этом непосредственно
видно, что все Bn(t) будут многочленами.
Многочлены Бернулли обладают двумя характеристическими свой-
свойствами. Рассмотрим
ср (^ —|— 1, х) — ср (f, x).
С одной стороны, эта разность равна
xext _ _ хЧ
ех—\ ех—\—хе —x-t- ц -Г-
с другой,
S" Д„
¦хп.
л!
Приравнивая коэффициенты при хп, имеем:
D)

286 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ (ГЛ.
Это и есть одно из характеристических свойств Bn(t). Продиффе-
Продифференцируем теперь A) по t. Получим:
СО /
X
ex — l jU n\
или
СО СО f
д.со в
у д.с
П-0 П-0
П
Приравнивая опять коэффициенты при хп, будем иметь:
B'Jt) = nBn_l(t). E)
Это — второе характеристическое свойство многочленов Бернулли.
Свойства D) и E) в свою очередь определяют Bn(t). В самом деле,
на основании формулы Тейлора
п
ntn-x = Bn(< + l)-B,(O=Si BV {t).
Используя E), получим:
В™ @ = п (га - 1) ... (га - к 4-1) Вп_к @.
Следовательно,
2
А-1
Снова получили C), однозначно определяющее Bn(t).
Рассмотрим еще ряды
со
°п @ *"• G)
Сравнивая F), G) с A) и B), видим, что bn = -j, если га Ф \,
2 п \ / ^j
Изучим свойства Ьп и Pn(t). Заменим в F) х на —х. Получим:
слева
х 1 хе° 1
' о" X гт X ^=
ох— 1 2, g« i 2

§ 8J ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА 287
и справа
га=0
Следовательно, все Ьп с нечетными индексами равны нулю:
&m-i=0. (8)
Найдем теперь P'n(t):
»w ~ л! ~(л—1)Г
Таким образом, для всех я > 2
1
— х
п=0
Заменим здесь л на — х:
При я = 2 получим Pg@ = -S1@- Из C) следует
Итак,
/>;(*)=*—¦5-.
Положим в G) t=0. Получим:
Следовательно,
Яп@) = 0. A1)
Полагая в G) t=\, будем иметь:
Следовательно,
РяA) = 0 при
Положим еще в G) t = ~-Т), получим:

288 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
Вычитая друг из друга последние два равенства, будем иметь:
Итак,
() T> P^-i(y)=0 при й>2. A3)
Покажем теперь, что при k~^> I P2ft+i@ нигде не обращается в нуль
на отрезке [0, 1] кроме точек ?=0, -н-> 1. а ^а(О нигде не обра-
обращается в нуль, кроме ? = 0 и 1. Из A0) следует
а из A1) C=0. Следовательно, для P2(t) наше утверждение спра-
справедливо. P${t) будет многочленом третьей степени и в силу A1),
A2), A3) обращается в нуль при ?=0, у, 1. Других нулей P3(t)
иметь не может и для него утверждение также справедливо. Допу-
Допустим теперь, что утверждение справедливо для P2u-\if). Положим,
для определенности, что Р^-х @ j> 0 при 0 < t < у и Р2к_х (t) < 0
при -i<*< 1. Тогда в силу (8), (9), A1) и A2):
Р' (t) > 0 при 0<*<у,
@) = ?*2й A) = 0- Следовательно, Ра (f) имеет максимум при t = -^-
этот максимум ед
уль на [0, 1] и им
резка 0, -н- . Далее,
и этот максимум единственный на [0, 1]. Р2^@ не обращается
в нуль на [0, 1] и имеет знак Рцс-iii), где % некоторая точка от-

от§ 8] ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА 289
Так как P'.ik(f) на интервале @, 1) обращается в нуль только вод-
водной точке, то Р2к(О-\-Ь2к может обращаться в нуль на отрезке [0, 1]
только в двух точках, а Ргк+\ @ — только в трех точках. Следо-
Следовательно, ? = 0, —, 1 являются единственными нулями P2ft+i (О-
Так как знак Ра@ не меняется на отрезке [0, 1], а знак P'2k+1(t)
меняется, то Ь^ имеет знак, противоположный знаку P2fr(O.
и по абсолютной величине меньше, чем max|P2ft(f)|. Поэтому
нуль P2ft + i@ пРи ^ = ~т простой. Далее, Р^ @) = 0. Следова-
Следовательно, Р'2к+1{%), а ПОЭТОМУ и ^2fe+i® ПРИ ^ близких к нулю,
имеет знак Ь2к, противоположный знаку P2fe (Е), а следовательно
и знаку P2fc_i@- Таким образом, P2k+i(t) будут иметь чередую-
чередующиеся по k знаки. Это же будет справедливо и для Ьгк.
2. Формула Эйлера и примеры ее применения. После этих
предварительных рассуждений перейдем к выводу формулы Эйлера.
Рассмотрим
a+h
f(x)dx,
i
где f (x)—некоторая, достаточное число раз дифференцируемая
функция. Произведем замену переменных, положив x = a-\-th.
Тогда наш интеграл будет равен
a+h
J f(x)dx = h j f(a-\-th)dt = h J
где i?(t) = f(a-\-th). К последнему интегралу применим правило
интегрирования по частям:
1
f
1
—j t<p'(f) at = <р (I) — f{t — \
о о
Первые два члена здесь дают формулу численного интегрирования
трапеций, последний член — поправку к ней. Воспользуемся теперь
формулами (9), A0) и свойствами Pn(t) и Ьп для преобразования

290 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
последнего члена. Снова, интегрируя по частям, получим:
0
1
— fp2 v) ?" со dt = - f [я; со - ь2\ f {t) dt =
о о
1
= h [?' (i) — <p' @)] — J P^ (о ср" а) л = ft, W (i) — ?' @I —
0
1
- [Ps (О Г (OlJ + / ^з @ <?'" «) dt =
0 1
= 62 [?' A) — ?' @)] + J P3 (/) ?'" (О Л.
0
В последнем интеграле можно заменить Р3@ на P'x{t) и еще раз
повторить интегрирование по частям. При этом добавится член
ft4[?w(D —?да@)].
а вместо последнего интеграла будем иметь:
Повторив наши операции г раз, получим:
1
где /?2г можно записать в двух видах:
1 1
¦ R*r = - J P2r+i (t) ^r+i) (t) dt = f P2r+2 {t) cp(^
о о
Возвратимся к старым переменным и выразим Ьп через числа Бер-
нулли. Будем иметь:
a+h
f f{x)dx =

§ 8] ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА 291
где
R3r = -h»+* f Р2г
о
Если применить последнюю формулу к отрезкам
[а, а-1-й], \a-\-h, a-\-2h], ..., [а-Ь(ге—1)й, а + гей]
и сложить полученные выражения, то и получим формулу Эйлера:
a+nh
f
(a + nh)-Г (а)]
1^""(a+nh)
fc=0 О
га-1 1
где
)\dt. A5)
ft=o о
Остаточный член можно записать в другой форме, если восполь-
воспользоваться тем, что P2ri-2(t) не меняет знака на отрезке [0, 1]. Тогда
о
где !•—некоторая точка промежутка [a, a+nh]. Но по (9)
0 = / K+s @ « = / Р2г+2 (О Л + / b
0 0
Следовательно,
f P2r+2(t)dt = -b2r+2 = —
1
2r+2

292 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
Поэтому остаточный член можно записать в форме
Н2г — —п1г
В некоторых случаях об остаточном члене можно судить по самим
вычислениям по формуле Эйлера. Так, пусть все производные не-
нечетного порядка функции /(х) имеют одинаковые постоянные знаки
на рассматриваемом отрезке и монотонны там, например монотонно
возрастающие. Тогда на основании второй теоремы о среднем из
первого выражения A5) получим, что знак R2r будет определяться
знаком
/
P2r+1(t)dt,
которые будут чередоваться вместе с г. Таким образом, остаточные
члены будут иметь чередующиеся знаки и истинное значение инте-
интеграла будет заключено между суммой г и г-\-\ членов формулы
Эйлера.
Для удобства пользования формулой Эйлера приведем значения
чисел Бернулли и выражения многочленов Бернулли для некоторых
значений п:
В0(х)=1; В1(х) = х— 1; В2(х) = х* — х -|~1;.
x2-I;
1х;
Во=1; В, = —_; В2= _; в4==_
30'
3617
510
_5. R_ 691- R-7
~66' 12~~273б' 14~6~

§ 81 ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА 293
Рассмотрим, как ведут себя числа Бернулли В2г для больших
значений г. Для этого воспользуемся известным разложением
со
* — 1 х | 2 У
_ 1 2 ^ AJ
ft=l
Положим
со
"= 2л л» ¦
к=1
Разложим 2_|_ в ряд по степеням х. Будем иметь:
Отсюда
ы
n=l
Таким образом,
2BяI
S2n стремится к 1 при re—*oo. Поэтому В2п стремится к бесконеч-
бесконечности с возрастанием п.
Дадим примеры различных приложений формулы Эйлера.
Пример. Вычислить с помощью формулы Эйлера интеграл
20
. п /* dx
1п2^ / —.
ю
Здесь
]n9_ J__i_l_i_l I
2-10 "•" ll" 12"
__l__l _ J_ j L
2-10 "•" ll" 12" " "'"^"т'г-гО 2 \102 20
^/_L Ч^б/J
4 V10* 20* / 6 \ 10* 2

294
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
[ГЛ. 3
Вычисления дают:
0,050 000 000 0
0,090 909 090 9
0.083 333 333 3
0,076 923 076 9
0,071428 571 4
0,066 666 666 7
0,062 500 000 0
0,058 823 529 4
0,055 555 555 6
0,052 631 578 9
0,025 000 000 0
0,693 771403 1
- ^ • @,01 — 0,0025) = — 0,000 625
j • @,000 1 — 0,000 006 25) =
= 0,000 000 833 — 0,000 000 052 1
-^.0.000 001A-^) =
= —0,000 000 003 9
. • 0,00000001A _-L) =
) \ ZOO/
= 0,000 000 000 0 ...
— 0,000 624 222 7
In 2 = 0,693 147 180 4
Точное значение
1п2 = 0,693 147 1805 ...
Здесь как раз было применимо замечание, сделанное относительно
оценки остаточного члена, когда производные нечетного порядка
функции /(х) знакопостоянны и монотонны.
п
Пример. Вычислить сумму 2 kp, где р — целое положитель-
положительА-=1
ное число.
Положим в формуле Эйлера а = 0, я=1,
= хЛ Тогда
Здесь ряд обязательно оборвется на каком-то шаге, так как произ-
производные с некоторого порядка будут равны нулю. Отсюда
Sup пР*1 , "р , РяР-1
~ 7+Т "•" Т "^ ~12^
й-1
р(р-\){р-2) р_з
720 П +
30420 Я^
Так, для /?==2, 3, 4, 5 получим следующие выражения:
Ы 4
+ 12 =

§ 8] ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА 295
S,. nS> . п'-> , 5л4 60л2 п ,~ .
k ==?+2-+-Ж-720=Т2BЯ
Прим ер. Вычислить сумму ряда
5 = -^-ь-!-ц--!—4
^ 1032^ 1052 ^
В формуле Эйлера положим я = 2,/(х) = —, а=101, п= оо.
Тогда
1 f d*_J_ J ,J_ . _L , .
I J Ifl ~~ 2 ' 101* "^ ЮЗ' -r 1055 "t- • • • -t-
2»Д,Г 2 I 2*Б4Г 24 I 26B6r 7201
т~ 2! LlOPj" 4J LlOieJ" 61 LlOl'J"^ '••
101
Вычисления дают
5 = 0,004 999 833 35.
Пример. Используя формулу Эйлера, разложить в ряд по сте-
х х х
пеням х функцию yctg^-
В формуле Эйлера полагаем /(x) = cosx, а = , п=\.
Тогда
h
т
4)--(- 4)]
Отсюда
2smT = «cos-2—2 2j(— !
Деля на 2sin-j и перенося-^-ctg-^- в левую сторону, получим:
h .
2
Л
g 2"
r
k-0
о , A
2sin2"

296
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
[ГЛ. 3
Это и есть искомое разложение. Необходимо только исследовать
остаточный член. Для нашего случая
2sin^-
Следовательно,
B/-+ 2)!
(-1Г
cos?
*ir
2sinA
sin —
B/-+ 2)!
Воспользуемся выражением для В2п, полученным ранее
2sm4
sin —
Следовательно,
2 sin A
А
sin
Таким образом, при | А | •< 2ir остаточный член стремится к нулю.
В заключение дадим вывод формулы Стирлинга асимптоти-
асимптотического представления я!. Для этого в формуле Эйлера положим
а=\, А= 1, /(х) = 1пх. Тогда
Отсюда
— 1L-
B/-)!
^ГB/--2)! Bг-2I-1
)! L л2»-1 1 J"T/<2
где С—некоторая постоянная. Для ее определения воспользуемся
формулой Валлиса:
% 24п[л!]4
2" ~ пГ» [Bл!)РBл+1) •

§ 91 РАЗНОСТНЫЕ ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Логарифмируя ее, получим:
1п-?- = lim {4я In 2 4-4 In (я!) — 21п[Bге)!] — 1пBге-Ц1)} =
297
= lim
п->- со
— 2 \Bп + ^\ In Bre) — 2ге + Cl — In Bге + 1) | = — 2 In 2 + 2С.
Следовательно,
С=1
Таким образом, окончательно получаем:
Это и есть формула Стирлинга.
§ 9. Формулы численного интегрирования, содержащие
разности подынтегральной функции
1. Формула Грегори. Перейдем теперь к изучению формул
численного интегрирования, содержащих разности подынтегральной
функции. Пусть нам задана функция /(х) в точках а, а -\- h a-\-nh.
Составим таблицу разностей:
X
а,
a+h
a + 2h
a+3h
a+4h
a + 5h
f
4
fs
/'
//
ТФ
~— f'
r^fj/2^.
~—f'
T5/2---,
f'
f7/Z
r'
J3/Z
f2
//
//
f3
f3
J3/2
-. ,3 .,.
f*
ft
>fr"
f5
f
Представим f(x) на интервале (a, a-\-h) при помощи формулы
Ньютона для интерполирования вперед:
f(x) = f{a + th) = f0-
2!
41+ •¦¦
п\
f
n/8
A)

298 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
где
х — а п t (t — 1) ... (t — n) .n+iAn+i) ,s Wn / t / л i м /O\
—?-, Rni= (я+1)! ' ' '
Интегрируя обе части равенства по интервалу изменения х от а
до a-j-Л и деля на Л, получим:
ft=10
Нам часто будут встречаться интегралы
1
t(t-\)... jt-k+l) „
k\ at-
Поэтому для сокращения записей будем обозначать их через Лк.
Положив Ло= 1, будем иметь:
а +
a+h „ 1
Rmdt. D)
к—О
Перейдем теперь к интервалу (a-\~h, a-\-2h). Если мы возьмем
за начальное значение Д, то уже нельзя будет воспользоваться фор-
формулой Ньютона, если мы хотим дойти до разностей /i-го порядка,
так как /!La)+i отсутствует в нашей таблице. Поэтому мы восполь-
воспользуемся диаграммой Фрезера и выберем путь, идущий от /\ по диа-
диагонали вниз до /?^~+1)/г и затем по диагонали вверх до /™/2. (В таб-
таблице он показан сплошной линией.) Соответствующая формула будет
нметь вид
/(х) = / (а Ч- h ¦+- М) = /, + tfl/t
¦
t(t-\)...(t-n+2) {n-i
t
2! /a~)" "• н (л—l)!
где
x — a — A
l

§ 9) РАЗНОСТНЫЕ ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 299
Интегрируя по интервалу изменения х от й-)-А до а4-2А и деля
на h, получим:
а+Ш п_! 1
j f f(x)dx='2lAkf%tn + 1 + AnfZli+ f R,»dt. F)
a+li к—О
Для интервала (a-\-2h, a-\-3h) выбираем путь, начинающийся с /г
и идущий по диагонали вниз до разностей (я — 2)-го порядка и
далее по диагонали вверх. Соответствующая формула после инте-
интегрирования будет иметь вид
а+Ш
п-а
а+Ш к=-0
1 1
i f f(x)dx =
1
-f /n/2 J —y at -\- j кп3 [t) at. G)
о о
Продолжим этот процесс далее. Для последнего интервала
\а-\-(п— X)h, a-\-nh] получим:
a+nh
/
-l) h
(t+\)t(t-\) r{t + 2)(t+\)t{t-\)
3 f
4! dt+ ¦¦¦
^ f g + n-2)...^+D^-U dt + jRnnat. (8)
о о
Сложим теперь все полученные интегралы. В левой части будем
иметь:
a+nh
jf fiX)dX.
Первые слагаемые справа дадут в сумме
/o-t-/H +/„-!•
Вторые слагаемые дадут
А [/¦/, ¦+- А -Н • • • + /LvJ = А [/« - /о].

300 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
Но А1 = -у. Складывая последнюю сумму и предыдущую, получим:
При сложении членов с вторыми разностями не будем учитывать
вклада от последнего интеграла, при сложении членов с третьими
разностями не будем учитывать вкладов последних двух интегралов
и т. д. Тогда сумма остальных членов с й-ми разностями даст
л I гК—~\. гК-~\ 1 /1 о о „\
Соберем теперь оставшиеся члены с й-ми разностями. Они дадут
/*(*+!)*(*—Iх ... (t — k-\-2)
fit I Л —i— / . _.. 2 I i_ /7/ 1
/ n— fr/2 1 к \^ I h) u T^
/
k\
Если обозначить через cp(f) произведение ?(?—1) ... {t — k -\- 1),
то последнее выражение можно записать в виде
или если заменить во втором интеграле t-\-l на t, в третьем t-\-2
на t и т. д., то квадратная скобка примет вид
fc-i
= j
Если й — нечетное число, то в силу показанной ранее симметрии
функции ср(?) относительно середины интервала @, k—1) это выра-
выражение будет равно нулю. Пусть теперь k четное. Тогда Bft+1 = 0. Но
ft
_ С tif-\) ... (t-k) ft(t-i) ...y-k)
-J (ЗиЛ)! dt~ J {k+l)\
о
ft
t(t-\) ... jf-k) n
i

§ 91 РАЗНОСТНЫЕ ФОРМЛУЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 301
Первый интеграл равен Ак и. Во втором произведем замену
Тогда он примет вид
к-\
С
J
(к+ 1I
к-\
ау
— Г
-J
о
к-l
= f У (У-1) ••• (У~*> dy i Г У(У-1) -(У-*+1). _
e/ (й -j— l)i e/ k\
i-\) ... (у-Л) .4i
(+)
о о
fc-1
У
Последний интеграл равен нулю, так как и область интегрирования
и подынтегральная функция симметричны относительно точки ? = —.
Таким образом,
2Ак+1+-Вк=0
или
Лс+1 + Вк = — Ак4.1.
Если теперь использовать найденные нами значения Вк и прибавить
их к соответствующим, ранее найденным членам, то получим, что
коэффициенты при разностях нечетного порядка не изменятся,
а члены четного порядка примут следующий вид:
— ^ft + l [Jn-k/i ~T/ft/2J-
Это будет иметь место до разностей порядка п—1. Если п нечет-
нечетное число, то Вп = 0 и последний член пропадает. Если же п чет-
четное, то разности (п— 1)-го порядка будут умножены на (Ап+1+-В„).
Мы получили формулу Грегори:
a+nli
[f*n_.h - fl,\ - Аъ [/i_g + fi\ +...+/?. О)
Остаточный член R этой формулы будет такой же, как и у фор-
формулы Ньютона — Котеса замкнутого типа с таким же п. Да и сама
эта формула является преобразованной формулой Ньютона—Котеса,
так как на каждом отрезке мы интегрировали интерполяционный

302 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
многочлен, построенный по узлам a, a,r\-h, ..., a-\-nh. Конечно,
это верно лишь в том случае, когда при использовании формулы
Грегори мы доходим до разностей порядка п.
Коэффициенты Ак можно определить при помощи интегрирова-
интегрирования. Еще проще их отыскивать, если воспользоваться разложением
Интегрируя обе части равенства по t в пределах от 0 ао 1, получим:
*--=о
Приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при одинаковых
Степенях у, будем иметь:
Это рекуррентное соотношение позволяет последовательно находить
все Ак. Первые восемь значений Ак таковы:
12' 3~ 24 ' 4~ 720 '
А — J- А — Ш А — 275
160' 6~ 60 480"' 7~ 24 192'
Формулу Грегори можно было бы получить из формулы Эйлера,
если заменить входящие туда производные их выражениями через
разности.
Нужно заметить, что работа по составлению таблицы разностей
для использования ее в формуле Грегори не может считаться излиш-
излишней, так как она позволяет обнаружить ошибки при вычислении f (х)
в точках a, a-\-h a-\-nh.
2. Формула Лапласа и другие формулы. Если нам известны
значения f(x) для х, выходящих за пределы отрезка интегрирова-
интегрирования, то можно получить еще ряд формул. Так, если f (х) задана
в точках a, a-\-h a-\-(n-\-m)h, то для каждой из точек
a, a-\-h, ..., а-\-(п—\)h можно написать формулу Ньютона для
интерполирования вперед, доходящую до разностей порядка т.
Интегрируя каждую из них в пределах изменения t от 0 до 1 и
складывая, получим:
a+nh
k-i

§ 9] РАЗНОСТНЫЕ ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
где
nhm+lAm+l) /сч
К А { ;
Это — формула Лапласа.
Можно брать и формулы центральных разностей. Например, инте-
интегрирование интерполяционной формулы Бесселя по t в пределах
от 0 до 1 даст
if
а 0 0
^t(t-\)(t--} /> t{t,_l){t_2) 4 Г
-+- I gj J>kdt+ J 4J J42dt i •••!,/ Rdt'
0 0 0
Коэффициентами при разностях нечетного порядка будут интегралы
' f(fi_l)(fl_29) ... (*»_*«) (f_*_l)(f_l)
J B^ + 3)! d/<-
о
Произведем замену переменных, положив < 2=х' ^"огда числи"
тель под знаком интеграла примет вид:
а пределы интегрирования перейдут в -и -^. Таким образом,.
Э1 и интегралы обратятся в нуль. Интегралы, являющиеся коэффи-
коэффициентами при разностях четного порядка, имеют вид
p
о
Обозначим их через Dk. Тогда
a+h 1
*k+D1fi+ ... + f Rdt.
Сложив такие интегралы, взятые по отрезкам
[a, a-\-h], \a-\-h, a-\-2h] \а-\-(п— 1)А, a-\-nh\.

304 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [гл. 3
получим:
a + nh
h „
a
Ho
J_r /aft-l /aft-l _i_ /2ft-l fik-n fik-l /2ft_i
2 l/n+Vi -/'A ~t~•'n-V, ^-V, J •'n •'o
Отсюда
a^ nh
Найдем вид R. Остаточный член формулы Бесселя, если последняя
используемая разность имеет нечетный порядок 2т-\-\, выглядит
так:
t(P— 1)(^ —2") ... ip — nfi)(t — m—\) (ат+2) ,,.
7 W
B/П + 2)! J vv'
Следовательно, в этом случае
H. = nDmh"m+ f m+ (?). A5)
Коэффициенты Dj имеют следующие значения:
п ]_ п _ _П_ n = 191 _ 2497
0 12' ! 720' 2 60480' 3 ~ 3 628 800 -
Интегрируя интерполяционную формулу Стирлинга, получим:
ft 1 1
\ f

§ 10] НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ ФОРМУЛ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 305
Обозначая
= J Щ+Щ dt- 06)
2
последнее выражение можно записать в виде
h
/
h
). A7)
Складывая п таких выражений, найдем:
h
а+п —
08)
Коэффициенты ?4 имеют следующие значения:
J p 17 р 367 _ 27 859
3 967 680' 4~
_J_ p р
ci— 24' 2~ 5760' 3 967 680' 4~ 464 486 400'
И в этом случае нетрудно написать остаточный член. Он будет равен
И=пНп+%+1/*+ш>®. A9)
Все последние формулы используют значения функции для х,
лежащих вне отрезка интег.рирования. Их можно использовать как
для интегрирования, так и для суммирования.
Можно было бы значительно расширить набор такого рода
формул численного интегрирования. Некоторые новые формулы
будут получены в главе 9, посвященной численному интегрированию
обыкновенных дифференциальных уравнений. Сам читатель сможет
теперь без труда получать нужные ему для тех или иных целей
формулы.
§ 10. Некоторые замечания по поводу формул
численного интегрирования
Мы получили ряд формул численного интегрирования. Возникает
вопрос: какую формулу нужно применять в том или другом случае,
какие формулы более выгодны и какие менее выгодны. На этот

306 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
вопрос нельзя ответить однозначно. Все зависит от того, каким спо-
способом задана подынтегральная функция, каковы у нас вычислитель-
вычислительные средства, какова требуемая точность и т. п. В такой общей
постановке вопроса ответить можно лишь так: та формула лучше,
которая в данном случае дает ответ с нужной нам точностью при
наименьшей затрате труда и времени.
Если вычисления ведутся вручную или с помощью малых вычи-
вычислительных машин, то имеют значение формулы, содержащие раз-
разности. Меньшее значение имеют формулы Гаусса и Чебышева, так
как вычисления с многозначными коэффициентами и абсциссами в этом
случае затруднительны. Из формул, не содержащих разности, чаще
всего применяется формула Симпсона.
При вычислениях на автоматических счетных машинах наибольшее
значение имеют безразностные формулы. Особенно выгодны наибо-
наиболее точные формулы Гаусса, так как они требуют наименьшего числа
операций для получения интеграла с нужной точностью.
Здесь необходимо сделать некоторые замечания относительно
более точных и менее точных формул. Эти термины были введены
нами при выводе формул численного интегрирования и в них вкла-
вкладывался определенный смысл. Нужно ясно себе представлять, что
более точная в этом смысле формула не всегда дает практически
более точный результат. В самом деле, возьмем наиболее точную
из формул — формулу Гаусса. Она имеет вид
< A)
a i-1
где коэффициенты q и абсциссы Х( зафиксированы и зависят только
от я и [а, Ь\. Может случиться, что подынтегральная функция обра-
обращается в нуль в каждой из точек Xi, а абсолютная величина инте-
интеграла от нее велика. Тогда разность между точным значением инте-
интеграла и приближенным, полученным по формуле Гаусса, будет также
очень велика. В связи с этим, нужно сказать, что при выборе той
или иной формулы численного интегрирования бывает целесообразно
изучить поведение подынтегральной функции и сравнить его с пове-
поведением интерполяционного многочлена, интегрированием которого
получается формула численного интегрирования. Иногда возникает
необходимость разбивать отрезок интегрирования на отдельные-
участки так, чтобы лучше описать поведение функции интерполя-
интерполяционными многочленами.
1. Метод Рунге приближенной оценки погрешности числен-
численного интегрирования. При пользовании любой приближенной фор-
формулой важно иметь представление о ее точности. В этой главе для
каждой из полученных формул мы дали выражения остаточных чле-

§ 10] НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ ФОРМУЛ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 307
нов. Однако эти остаточные члены содержат производные высоких
порядков, которые в большинстве практических случаев или не могут
быть оценены или могут быть оценены очень грубо, так что факти-
фактическая погрешность будет значительно меньше, чем полученная ее
оценка. Поэтому на практике часто прибегают к следующему приему
грубой оценки погрешностей формул численного интегрирования,
предложенному Рунге. Остаточный член каждой из формул числен-
численного интегрирования может быть записан в виде
R = hkM, B)
где h — длина отрезка интегрирования или какой-то его доли,
k — фиксированное число и М — произведение постоянной на произ-
производную подынтегральной функции порядка k — 1 в какой-то точке
промежутка интегрирования. Если J — точное значение интеграла,
а / — приближенное его значение, то
J=I-\-hkM. C)
Вычислим тот же самый интеграл, по той же формуле численного
интегрирования, но взяв вместо h величину у. При этом, чтобы
получить значение интеграла по всему отрезку, придется применять
формулу численного интегрирования дважды. Обозначим сумму полу-
полученных результатов через Iv Тогда
(|)!CM2. ¦ D)
Последние два члена правой части дают погрешности при каждом
интегрировании. Будем предполагать, что производная, входящая в М,
меняется не сильно на рассматриваемом промежутке. Тогда мы можем
приближенно считать
(|)* E)
Исключая из C) и E) точное значение интеграла J, найдем:
/l~1/ . F)
Такой процесс часто употребляют для отыскания погрешностей фор-
формул не только при численном интегрировании.
Разработано очень много различных графических способов вычи-
вычисления интегралов. Нужно сказать, что все они очень грубы и тре-
требуют сравнительно большой работы. Поэтому их можно рекомен-
рекомендовать лишь в исключительных случаях, когда интегрирование должно
быть произведено в процессе других графических работ. Мы не будем
здесь останавливаться на способах графического интегрирования.

308 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [гЛ. 3
Для приближенного интегрирования можно использовать спе-
специальные приборы: планиметры и интеграфы. На рис 24 и 27 при-
приведен общий вид этих приборов. Приемы работы на этих приборах
достаточно хорошо описаны в прилагаемых к ним инструкциях
Рис. 27. Планиметр.
2. Замечание о вычислении интегралов с переменным вепх-
ним пределом. Вычисление интегралов с переменным верхним пре-
пределом можно производить по тем же формулам, что и для опреде-
определенных интегралов. При этом верхнему пределу придают опреде-
определенные значения и последовательно находят нужные инте-
грялы.
В главе 9 будут приведены многочисленные формулы численного
интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений Все
они пригодны для вычисления неопределенных интегралов.
§ П. Вычисление несобственных интегралов
На практике часто приходится сталкиваться с задачами связан
ными с вычислением несобственных интегралов. Это могут быть
интегралы с бесконечными пределами или интегралы с конечными
пределами, но подынтегральной функцией, обращающейся в беско-
бесконечность на отрезке интегрирования.
Несобственный интеграл с бесконечными пределами всегда можно
преобразовать в несобственный интеграл или даже собственный с ко
нечными пределами. Для этого достаточно произвести подходящую
замену переменного под знаком интеграла или взять интеграл в ко-
конечных, но достаточно больших пределах так, что отбрасываемая
часть интеграла значительно меньше, чем заданная нам точность
вычисления интеграла. В последнем случае часто пользуются асим-
асимптотическими выражениями подынтегральных функций для оценки
отбрасываемой части интеграла иди для учета ее вклада в интеграл

§ 111 ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 309
Мы не будем подробнее останавливаться на этом вопросе, так как
во многом успех при вычислении несобственного интеграла с беско-
бесконечными пределами зависит от искусства вычислителя.
1. Метод выделения особенностей. При вычислении несобствен-
несобственных интегралов с конечными пределами интегрирования удобнее всего
использовать метод выделения особенностей. Существует два ме^
тода выделения особенностей: мультипликативный и аддитивный.
Суть мультипликативного способа выделения особенностей со-
состоит в следующем. Пусть нам требуется вычислить интеграл
ь
I=ff(x)dx. A)
а
где функция f (х) обращается в бесконечность в одной или нескольких
точках отрезка [а, Ь\. Мы представляем эту функцию в виде
/(*) = <?(*)/»(*). B)
где ср(л:)—ограниченная функция на [а, Ь], обладающая там доста-
достаточным количеством непрерывных производных, а />(л:)> 0 на [а, Ь].
Рассматривают р (х) как весовую функцию и строят соответствую-
соответствующую формулу численного ¦интегрирования теми приемами, которые
указаны выше. За приближенное значение интеграла A) принимают
результат применения полученной формулы численного интегриро-
интегрирования к функции ср (л:).
Пусть, например, нам нужно вычислить интеграл
/= /-*?=. C)
Подынтегральная функция обращается в бесконечность в точках ±1.
Представим ее в виде
1 !!
Vl—
D)
и будем рассматривать функцию
* E)
как весовую. Тогда будет применима формула численного интегри-
интегрирования Эрмита:
Г
J л/~\ v-4 ~ П

310 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [гЛ. 3
При п = 6 получим:
:
f~Hf__ 2 -1 2 -I . 2 1 = 2,221329.
G)
Значение интеграла с шестью верными знаками после запятой равно
/=2,221441. (8)
Аддитивный способ выделения особенностей состоит в следую-
следующем. Подынтегральную функцию представляют в виде
f(x) = <?(x)-\-ty(x), (9)
где <р(л:) не имеет особенностей и обладает достаточным числом не-
непрерывных производных, а интеграл от ф(х) может быть найден
точными методами интегрального исчисления. Возьмем в качестве
примера следующий интеграл:
¦к
I — j in sin x dx. A0)
о
Подынтегральную функцию представим в виде
In sin л: = 1п х -\-\п-^^-. A1)
Тогда
1С TZ
/=/!-|-/2= / \nxdx-\- I In dx. A2)
о о
Первый интеграл легко вычисляется:
= ^\а^— l) = —0,861451. A3)
о
Подынтегральная функция в /2 не имеет особенностей на отрезке
интегрирования. Вычислим /2 по формуле Симпсона, взяв л = 1.
Получим:
{2 ~ TJ 1° — 0,4200356 — 0,4515825] = — 0,228189. A4)
Таким образом,
/^ /, + /2 = — 1,089640. A5)
Значение цнтеграла с шестью верными знаками после запятой равно
/=—1,089045. A6)

§11] ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 311
Л. В. Канторович, предложивший этот способ, указал также и
на некоторые приемы представления подынтегральной функции
в виде (9).
Пусть f(x) имеет вид
/(*) = (* — c)"<f(x), A7)
где с?\а, Ь], а>—1 и ср(дг) может быть представлена на от-
отрезке [а, Ь\ формулой Тейлора по степеням (л: — с) с остаточным
членом, зависящим от производной порядка т. Тогда f(x) можно
записать в виде
^} A8)
(k < m).
Первая квадратная скобка правой части является степенной функ-
функцией и поэтому интегрируется без труда. Вторая квадратная скобка
обращается в нуль при х = с вместе со всеми производными до
порядка k включительно. Следовательно, ее произведение с (л:—с)"
не будет иметь никаких особенностей при х = с. Более того, при
х = с это произведение будет обладать непрерывными производными
до порядка k -\- [а] включительно. Поэтому можно ожидать, что
применение формул численного интегрирования к нему даст хорошие
результаты.
Указанный прием можно применить и в том случае, когда подын-
подынтегральная функция имеет вид
f(x) = (x — c)'\np(x — с)ср(х), A9)
где р— натуральное число и а, с и ср (дг) таковы же, как и ранее.
В этом случае получим разложение
/ (х) = In* (х - с) [ср (с) (х — с)" + ^- (х - с)*+1 + ...
(x — с)*]. B0)
Опять интеграл от первого слагаемого правой части выражается
в конечном виде через элементарные функции, если применить инте-
интегрирование по частям. Второе слагаемое правой части будет-глад-
будет-гладкой функцией.

312 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
Прием можно обобщить, взяв несколько особенностей на проме-
промежутке интегрирования. Пусть, например,
f(x) = (x — ct)a' (x — c^...(x— сп)"п ср (х), B1)
где сц>—1, сгфс} AФТ>, Ci?[a, b], а ср(д;) обладает на [a, b]
непрерывными производными достаточно высокого порядка. При
этом последовательно исключаем особеннрсти в каждой из точек с,-.
Сначала, как и при наличии одной особенности, представляем f(x)
в виде
/ (х) = (х- с,)" [a(D + < (* - ct) ¦+- ... -+- <> (* - с,)*1 ] 4-1 (*).
B2)
где ф[(х)—-достаточно гладкая функция в точке сх. Затем таким же
образом исключаем особенности в точке с2 у tyi (x), в точке с3
у <]J(*) в точке с„ у tyn_i(x). В конце концов, дело сведется
к вычислению суммы интегралов
Ь Ь п ^,7 b
j / (*> dx=f 2 2 a«j> (x - c/>+< dx+/ *»(x) dx> B3)
о a j=l i=o a
где фи (д;) уже не имеет особенностей на [a, b].
И в этом случае можно ввести дополнительные логарифмиче-
логарифмические множители.
Рассмотрим еще один случай. Пусть
/(*) = ?№(*)!. <24>
где <!>(л:) — гладкая функция, принимающая в точке х = с?[а, Ь)
значение, при котором ср имеет особенность. Представим ty(x) в виде
ф (х) = ДО (с) 4- Ф' (с) (* — с)) -4- [ф (я) — ф (с) — f (с) (* — с)]. B5)
Тогда
/(*) = ? 14- (с) 4- f (с) (х — с)) 4- {? [ф (*)] — <р 1<!>(О -+- f (с) (х — с)]}.
B6)
Предполагаем, что ср [ф (с) 4 </ (с) (д: — с)] можно проинтегрировать
в конечном виде. Интегрирование второго слагаемого можно осу-
осуществить по формулам численного интегрирования, так как фигур-
фигурная скобка не имеет особенности при х = с Приведенный выше
пример A0) принадлежит как раз к такому типу.
Данные нами методы выделения особенностей можно применять
не только для вычисления несобственных интегралов, айв том слу-
случае, когда подынтегральная функция ограничена, но не обладает
достаточно большим числом ограниченных производных. При этом,
как показывают выражения остаточных членов, формулы численного

§ 11] ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 313
интегрирования дадут, вообще говоря, большую погрешность. Метод
выделения особенностей позволит иногда представить подынтеграль-
подынтегральное выражение в виде суммы функции, интегрируемой в конечном
виде, и достаточно гладкой функции.
2. Специальные приемы. Если известен характер поведения
подынтегральной функции вблизи особенности, то можно построить
специальные формулы, учитывающие особенность и позволяющие
получить значение интеграла на некотором небольшом отрезке,
содержащем особенность. Интеграл по остальной части отрезка инте-
интегрирования будет вычисляться по обычным формулам численного
интегрирования. Пусть, например, левый конец отрезка интегриро-
интегрирования есть 0 и функция f(x) вблизи него может быть представлена
в виде _j_ i_
f(x) = ax~1 + $x*. B7)
Подберем коэффициенты сх и с2 так, чтобы имело место
2ft
ff(x)dx = h \cj (ft) -+- cj Bft)] B8>
о
при любых a, fJ и ft. Из B8) следует
B9>
cs iv -i ¦ J
Отсюда _
C0)
или
Cl = |-V2; c2 = — j. C1)
Итак, в нашем случае
C2)
L ч u J
О
Аналогично находим:
3ft / , j ,
ax *+-$x4dx^h-2V3f(h), C3)
о
3ft
/ \ax~~* + ^ -Ь т*^) dx = *[^ УЗ/ (ft) — |- /6/B*) + "/ Cft)],
о
C4)

314 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
е/ L ^ ^^ J
о
Ah
U*a + Р*а J d* = Л [у УЗ/ (A) -f-1 / (ЗА)] , C6)
Л/ ^\ гб - 12 - ifi
/ \ах* -I— Вл:3 —|- IX2) dx = к\^-уЪ/ (h) -\- =yQf Bh) -\- ? f (bh)\.
J L ' Jo oo' J
C7)
Во всех этих случаях f(x) означает подынтегральную функцию.
Точно таким же способом можно получить формулы для вычисле-
вычисления интегралов вблизи особенностей другого характера.
В качестве примера используем формулу C2) для вычисления
интеграла
C8)
Подынтегральная функция имеет особенность при х = 1 как раз
такого характера, который учитывается этой формулой. Возьмем
h = 0,1 и представим интеграл C8) в виде
1 0,8
/= fyjl-- + f _g_ . C9)
Первый интеграл вычислим по формуле C2). Это даст
J УТ^Г&~ ' [ 3 У1 — @,9J ~~ J У1 _ @,8JrJ ~~
-0,8
= 0,1 f^V^-2-294157—T- 1.6666671=^19,287761. D0)
Второй интеграл вычислим по формуле Симпсона, взяв й = 0,1 -и
л = 4. Получим:
0,8
f dx =^Г.+ 4 -+ 2 + 4 +
^ У1 —л:2 3 I У1—@,1J ^^ У1 —@,2J ^У1_ @,3^2 ^^
,2,424
У1 @4)« ' /1 @5J '
— @,4)« ' /1 _ @,5J ' yi _ @,6)? •/!_ @,7J *
-f ' ,1=^.27,823303. D1)
У1—@,8)*J 3 к '

Л 12] ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 315
Таким образом,
/яй-i-. 4,7111064= 1,570369. D2)
о
Точное значение интеграла таково:
/=1,570796. D3)
Приемы и методы вычисления несобственных интегралов, при-
приведенные в этом параграфе, не могут исчерпать всего многообразия
случаев, которые могут встретиться на практике. Да и невозможно
в одной книге, какая объемистая бы она не была, дать рецепты на
все случаи жизни. Однако высказанные здесь идеи могут помочь
читателю найти подход к решению конкретной задачи, с которой
эн встретится.
§ 12. Приближенное вычисление кратных интегралов
1. Метод повторного применения квадратурных формул. Как
известно из анализа, вычисление кратных интегралов может быть
осуществлено путем повторного вычисления однократных интегра-
интегралов. Поэтому одним из простейших путей получения формул для
приближенного вычисления кратных интегралов является повторное
применение полученных нами формул численного интегрирования одно-
однократных интегралов. Проиллюстрируем это на примере вычисления
двойного интеграла
I=fff(x,y)dxdy, A)
в
где область G представляет собой прямоугольник {а^.х^.Ь;
с -С.У ^-d]. Интеграл A) можно записать в виде
ь а
I=fdxff(x,y)dy. B)
а с
Применим формулу Симпсона для вычисления внешнего интеграла.
Это даст
р d d d
Lc с с
C)
Каждый из интегралов внутри квадратной скобки будем также
вычислять по формулам численного интегрирования. Применим,

316 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
например, снова формулу Симпсона. Будем иметь:
//(в. y)dy = ^р- [f(a, с) + 4/(а.
а. d)] 4- Я8.
с
[,(•+!.«)
Подставляя D), E), F) в C), найдем:
}=(b-aW-c) |/(fl| с)+/(а_ d)+/F, C
G)
(. 1
Остаточный член этой формулы
*± (8)
равен нулю, если под знаком интеграла стоит произвольный много-
многочлен степени не выше 3.
Для остаточного члена можно получить оценку. Заметим, что
, (9)
00)
= f{(y-c)(y-c-±^-)\y-d)X
^c+^)}y, A1)
A2)

§ 12] ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 317
Таким образом,
d
4] = *-^-/\у-с)(у _?+?)'(,-d)X
v. A3)
Ho
'• У< c> 2 ' 2~ '"/ ' '¦> \ ~ 2 ' -y> "' —2"—'
где
, (H)
: ;!t+L, Ъ; у; с; <-+L; Ц1; d) X
— ft)d*. A5)
Собирая все необходимые члены, находим:
с
d
t/ I V 2 /
с
X у /^лг; j;; с;—~-; ~-; djdjOdy —
a J
Xf(x; a;a-±^-;a-±i; b;y; c; c-±±; c-+l; d)dx}dy. A6)

318
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
[ГЛ. 3
Это выражение теми же рассуждениями, что и в главе 2, можно
привести к виду
(b - аM (d - с)
26-45
. It)
2e. 45
{d-c)Hb-af
212.452
A7)
Таким способом можно получить и другие формулы для при-
приближенного вычисления кратных интегралов. При этом можно брать
разные формулы численного интегрирования для вычисления внут-
внутреннего и внешнего интегралов. Можно также при повторном при-
применении формул численного инте-
интегрирования для разных интегралов
брать разные формулы.
Если область интегрирования не
является прямоугольником со сто-
сторонами, параллельными осями коор-
координат, или если стороны прямоуголь-
прямоугольника очень велики, то целесообразно
разбить область интегрирования на
частичные области, одни из кото-
которых являются нужными прямоуголь-
прямоугольниками, а интегоалами по другим
можно пренебречь. Пример такого
возможного разбиения приведен на рис. 28. Частичные области,
которые нужно отбросить, на рисунке заштрихованы.
В некоторых случаях такой процесс становится невыгодным, так
как приводит к большим вычислениям и большим погрешностям.
Тогда можно разбить область интегрирования на несколько областей
вида
^(x). A8)
Рис. 28.
где tpiC*) и Ъ(х) — заданные кривые. Интеграл по области A8)
можно записать так:
Ь (с. (х)
=1 dx f f(x,y)dy.
(
A9)
К нему можно применить те же рассуждения, что и к интегралу по
прямоугольной области. Обозначим
F(x)= f f(x,y)dy.
B0)

§ 12] ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 319
Применяем для вычисления интеграла
ь
= jF(x)dx B1)
некоторую формулу численного интегрирования. Получим:
п «ft (xk)
B2)
Для вычисления каждого из интегралов
/*= / f(x*y)dy B3)
*¦ (ж*)
применяем свою формулу численного интегрирования
пк
/*«2^/(**.^ B4)
i=i
В результате будем иметь:
п пк
224*>). B5)
Варьируя различные формулы численного интегрирования, можно
получить различные формулы типа B5). Аналогичный прием можно
применять и в том случае, когда частичные области записываются
в виде
<*. Ф1 (У) < * < «h СУ). B6)
Все приведенные выше рассуждения можно перенести на «-крат-
«-кратные интегралы при п > 2.
Нужно заметить, что данный нами способ обычно приводит
к таким формулам для приближенного вычисления кратных инте-
интегралов, для применения которых требуется вычислить подынтеграль-
подынтегральную функцию в значительном числе точек. Так, если область прямо-
прямоугольная и при первом интегрировании используется формула с п
ординатами, а при втором—с т ординатами, то нам придется вы-
вычислять подынтегральную функцию в тп точках. В связи с этим,
чтобы не уменьшать точность и не увеличивать число точек, для
которых нужно подсчитывать подынтегральную функцию, целесооб-
целесообразно использовать наиболее точные квадратурные формулы, такие,
например, как формулы Гаусса и Чебышева.
2. Метод замены подынтегральной функции интерполя-
интерполяционным многочленом. Другой путь д.ш получения формул
приближенного вычисления кратных интегралов состоит в замене

320 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
подынтегральной функции некоторым интерполяционным много-
многочленом. В главе 2 мы получили много таких формул. Все они
имеют вид
i.ix, .y) = /0*:i> ydPi(x> У)~\~/(х2> Уг)Рг(х, у) -\- ...
••• +/(*». Уп)Рп{х,у). B7)
Используя B7), получим:
7= j j fix, y)dxdy^j J Lix, y)dxdy =
в G
n n
= 2 / (*»• Уд j j pi (*' У)dx аУ = 2 cd ^' Уй> B8>
Ci = j jPiix, y)dxdy. B9)
j-де
Так как функции Р, (д;, _у) являются многочленами, то вычисление
коэффициентов с{ для простых областей Q не вызывает затруднений.
Рассмотрим снова случай прямоугольной области. Возьмем
какую-то сетку на ней, образованную прямыми:
Xi = a-\-ih, yj = c-\-jl
= 0, 1 n; y = 0. 1 m; h=b-=± l = d=±\ C0)
n m ]
В главе 2 мы получили следующую интерполяционную формулу,
использующую узлы ixi, yj):
п т
1=0 J=0
где
ionix) = ix — x0)(x — Xi) ... (x — xn), |
<"mCy) = Cy—л) Су—уд ¦ • • О—.у»), i C2)
Интегрирование ее дает
n m
J= f(x< y)dxdy = У У fix{, у-) / г—"З*;^ dx X
О 1=0J=0 а
Г »«(у) Г Г
X / -^^Ч dy-\- \ \ Rdxdy. C3)
Интегралы
f °*S*±-dx, f—^ЛУ) dv C4)

§ 12] ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 321
являются коэффициентами формул численного интегрирования для
однократных интегралов. Поэтому применение формулы C1) для
получения формул приближенного вычисления кратных интегралов
эквивалентно повторному интегрированию.
Остаточный член R интерполяционной формулы C1) имеет вид
R = u>n (х) / (х; х0; х1; ...; хп; у) -+- шт (у) f(x;y;y0; ...; ут) —
— «>„ (х) u)m (y)f(x; x0; Xi, . . .; хп; у; у0; . . .; ут). C5)
Интегрируя его, мы получим остаточный член формулы C3). Оценка
последнего может быть произведена использованием тех же рассу-
рассуждений, которые были применены при выводе формул Ньютона —
Котеса. Мы не будем приводить здесь получающихся при этом фор-
формул, так как читатель без труда сможет получить их сам.
Можно разбивать отрезки [а, Ь\ и [с, d\ не на равные части, как
это у нас сделано, а на произвольные. Если опять обозначить точки
деления через х0, xlt . . ., хп и у0, yv . . ., ут и в качестве узлов
в формуле C1) взять точки пересечения прямых х = х$ и y=yj,
то снова придем к формуле вида C3). При этом можно пытаться
подбирать узлы так, чтобы по возможности упростить формулу.
Упрощение понимается по-разному. Можно считать, что формула
проста, если ее коэффициенты, .абсциссы х$ и ординаты у^ доста-
достаточно удобны для вычислений. Гораздо более важно получать фор-
формулы, в которых при заданной точности требуется вычислять значе-
значения подынтегральной функции в возможно меньшем количестве
точек. При практическом использовании формулы, если в нашем
распоряжении имеется хорошая вычислительная техника, вычисление
выражения
^yj) C6)
не встречает затруднений при любых Су, Xj и уг. Однако если
функция /(х, у) вычисляется сложно, то экономия даже в одном
таком вычислении имеет существенное значение.
Такой экономии можно достичь, например, если взять в каче-
качестве Х{ и у} абсциссы соответствующих квадратурных формул Гаусса
для отрезков [а, Ь] и [с, d\. Так, при п = 1 можно получить фор-
формулу
[ f
ь
Ь-\-а b—a d-\-c.d — с \ . ,rb -\- а . b — a c-\-d d — с\ ,
2 2~7!>' ~~2 2/ЗГ \ 2 2/3' ~2 2 У~ЪГ
?)\ C7)
\ 2 2/3 2 2/3

322 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ.
где
ь а
/ d / OO/O: У'< Уо> Уо> У и
J/(x; x0; x0; xt; x^ y)dy\dx —
e )
; x0; x0; Xf, xf, y\ y0; y0; y{,
i a b \a .
2УТ' Xl=="~2 ^
UI(X) = (X — X0)(X—X!), 1
C9)
D0>
Упрощая, как и при выводе формулы Гаусса, найдем:
(d-c)Hb-a) а*/Fь %) , (ft-a)»(d-c) а*/F,, ц)
243-5 ду* ~г" 243-5
246-25
Получили формулу, дая использования которой требуется вычислить
значение подынтегральной функции лишь в четырех точках. Оста-
Остаточный член этой формулы даже несколько лучше, чем у формулы
Симпсона, хотя последняя использует девять значений подынтеграль-
подынтегральной функции.
В предыдущих рассуждениях мы использовали интерполяционную
формулу C1). С таким же успехом можно использовать и другие
интерполяционные формулы для функций многих переменных, полу-
полученные в предыдущей главе. Мы не будем здесь останавливаться
на этом вопросе, так как получение самих формул не вызывает за-
затруднений, а исследование остаточных членов довольно громоздко.
3. Метод Л. А. Люстерника и В. А. Диткина. Рассмотрим
еще один путь получения формул для приближенного вычисления
кратных интегралов. Пусть мы хотим получить формулу вида:
J f ... f f (xlt x2, .. ., xn) dx, dx2 . .. dxn
Q i=l
D2)

§ 12] ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 323
где коэффициенты с{ и точки (xil\ хф Хп]) не зависят от вы-
выбора функции /. Предполагаем, что f(xlt х2, .... х„) можно раз-
разложить по формуле Маклорена во всей области О:
/(хь х2 хп) =
иг—О
Последнее выражение можно записать в виде
/(*!. х2 хп) = ^D'+a>D-+ ¦• +жЛ/@, 0 0), D4)
где D,, D2, ..., Dn — операторы частного дифференцирования.
Интегрируя D3) по области О, получим некоторое выражение,
зависящее от частных производных функции / в точке @, 0, ..., 0).
Подставляя в правую часть D2) правые части D3) при соответст-
соответствующих значениях (xi*', xi\.^. Xn\ также получим некоторое выра-
выражение, зависящее от производных функции / в точке @, 0 0)
и, кроме того, от (xi'\ x%\ . ., х^') и с{. Потребуем, чтобы коэф-
коэффициенты при одинаковых производных порядка, меньшего или
равного г, в правой и левой частях совпадали. Это эквивалентно
тому, что формула D2) дает точные значения для интеграла, если
под знаком интеграла стоит произвольный многочлен степени не
выше г. Естественно условиться считать ту формулу более точной,
для которой г больше. Наше требование можно сформулировать
иначе, а именно можно искать такие формулы D2), для которых
разложение
f f ... f ехЛ+^+ - +xndn dXl dX2... dxn -
cv,...*ndl4U...dfr D5)
=r+l
по степеням параметров du d2 dn должно начинаться с чле-
членов размерности не менее /- —j— 1. Последнее следует из представле-
представления D4). Такой прием и был предложен чл.-корр. АН СССР,
проф. Л. А. Люстерником и проф. В. А. Диткиным.
Условие D5) дает некоторые уравнения, связывающие коэффи-
коэффициенты с{ и точки (xi , x?\ .... х$). Эти уравнения можно было бы
получить и методом неопределенных коэффициентов. Мы не будем
выписывать их здесь для общего случая, а ограничимся рассмотре-
рассмотрением одного примера.

324
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
[ГЛ. 3
Пусть область G будет квадрат со сторонами, равными 2 и па-
параллельными осям координат. Центр квадрата пусть находится
в начале координат. При этом
Я'
+1
/
d
<2Я
Bл+1)!
di
Bл+1)!
+
j-i
г-1
x)d\
'~2Г
„,
¦ ¦ J D6)
+ ...]x
• D7)
Таким образом, уравнения, связывающие сг-, хг- и
чае будут таковы:
4 =
в нашем слу-
слуi •> Л 2 *
3 — Zl 2 ~ ^ 2 ' ^~ U
/=1
* „ „3
D8)
Z^ 3! ^3! ^ 2! Zj 2! '
i=i t-\ 1=1 г=1
Фиксируя s и подбирая значения с{, хг и yit удовлетворяющие соот-
соответствующей системе, мы будем получать формулы приближенного
интегрирования.
4. Замечание о методе Монте-Карло. С увеличением кратности
интеграла резко возрастает число точек, в которых приходится под-
подсчитывать значения подынтегральной функции, чтобы обеспечить
нужную точность. Если при вычислении однократного интеграла для
обеспечения нужной точности требуется я узлов, то для вычисления
соответствующего «-кратного интеграла придется брать примерно s"

УПРАЖНЕНИЯ 325
узлов. При больших « эти вычисления могут оказаться практически
невыполнимыми. В связи с этим в последнее время усиленно раз-
разрабатывались вероятностные методы вычисления кратных интегралов.
Их называют методом Монте-Карло. Мы не будем входить в по-
подробности этого метода и лишь кратко наметим один из его вариантов.
Пусть нам требуется вычислить «-кратный интеграл
/= J ... J/(*i. *г. •¦•• хп)йх,йхг ... dxn, D9)
а
где область О является единичным кубом «-мерного пространства
0<х*<1 0=1, 2 «) E0)
и функция / удовлетворяет неравенству
0</<1. E1)
Если О и / ограничены, то всегда можно добиться выполнения E0)
и E1).
Предположим, что у нас имеется способ получить с равной воз-
возможностью любую комбинацию из «-f-1 чисел х^ х2 хп, у,
удовлетворяющих условиям E0) и 0^^^ !• Получив такую группу,
мы вычисляем f(xlt x2 хп) и проверяем выполнение неравенства
y*?f(xlt x2 х„). E2)
Отношение числа т случаев, в которых условие E2) будет выпол-
выполнено, к числу М всех произведенных испытаний должно стремиться
к /. При больших значениях М мы получим приближенное значение
для /.
Применение этого метода также сопряжено с большими труд-
трудностями. Нужно уметь получать равновозможные последовательности
из «-f-1 чисел. Эти числа не могут полностью заполнить единич-
единичный («-(-1)-мерный куб, так как каждое отдельное число дается
в дискретной форме с конечным числом разрядов. Это создает
дополнительные погрешности. Трудно оценить полную погрешность.
Несколько слов относительно вычисления несобственных кратных
интегралов. Здесь применимы все те приемы, о которых говорилось
для случая однократных интегралов.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Вычислить следующие интегралы:
I 3 1 it/9
С dx С dx С dx Г sin*
J 1 + x' J 1 + х' J l+jfi' J ~~x~dX'
0 10 0

326 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
с точностью до 10~4 по приближенным формулам трапеций, Симпсона, Че-
бышева, Гаусса.
2. Получить следующие формулы приближенного интегрирования:
+1 п
у"]—7*f(x)dx^^\ /(cosW
f у"]—
J
1
+ 1 ,
I ./1-
J V T+
-1
+ 1
-1 ft-1
+1 n
/f(x) dx ^ n yi / B& -f- 1) я \
Yx(\ — x) ~H 2uf\C0S 2л j'
0 A = l
/ i/—n r\f( \ H я V // 2кя\ 2яй
,/ 4л ^J \ n ) n
/*ti /~1
J V -
Найти остаточные члены.
3. Показать, что формула
+ О0 _ _
J e~xf{x)dx^ g-±j^/B —У2)+ 2~/2 /B+У?)
-о
даст точные значения, если f(x) многочлен степени не выше 3.
4. Показать, что формула
дает точные значения, если f(x) многочлен степени не выше 5.
105
5. Вычислить по формуле Эйлера / — с точностью до девятого де-
100
сятичного знака.
6. Вычислить с точностью до девятого десятичного знака суммI
20F ~1~ 022 + ''' "'

УПРАЖНЕНИЯ 327
7. Вычислить с точностью до десятого десятичного знака сумму
± + _L + _L , -L +
цз 1" 123 "Г i33T"i4s I" •••
8. Показать, что сумма седьмых и пятых степеней первых п натураль-
натуральных чис.ел равна удвоенному квадрату суммы их третьих степеней.
9. Вычислить log G9!).
10. Показать, что
a+
I f
a+nh
f(x)dx =
/w (а
31 AS
+ 157 680
11. Используя формулу Эйлера, разложить в ряд по степеням х функ-
X X
12. Доказать равенство
13. Получить из предыдущего равенства, что
14. Показать, что Вш(х) симметричны относительно х = —.
15. Показать, что
х+1
f Bn
X
16. Показать, что
п я+1
17. Рассмотрим функцию Вш(х), равную Вш (х) на [0,1] и продол-
продолженную периодически в обе стороны с периодом 1. Показать, что коэффи-
коэффициенты Фурье этой функции при ее разложении в ряд Фурье на отрезке [0,1]
имеют вид
A)
«0 = 0, ак = -
18. Воспользовавшись результатом предыдущей задачи, показать, что
со
n»+i2Bn)!
B I1)

328 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
19. Определить постоянную Эйлера
С= lim (i + l + l+ ... +-J-- 1пл).
п -> со \ 16 П j
20. Получить при m ^> 1 формулу
- = 1 • J J_ г —
—l)(w —2)
4!
"Г"'-"
?/. w(w-l-l) ...
21. Вычислить с точностью до 10 следующие суммы:
10 000 оэ со
VI Vl V In n
п=1 п=1 »-=1
22. Получить формулу
o+nh n
л/
n-l
XI
й-1
-Ц(Л+лА)-.
(O-^+i^^i)]-
23. Показать, что коэффициенты Аи в формуле Грегори могут быть
вычислены по формуле
vft-l
2
2
1 1
з 2
1 0 0 0...
1 0 0...
I
in10-
1) строка].
105
Знака.
24. Вычислить по формуле Грегори / — с точностью до седьмого
25. Получить следующую формулу;
100
12m
24m
су—Wr+fo) —
п?— l)(9w»— 1)
720m3
X
(m2
480m3
где Л/то'Л/т- •••—значения f(x) в точках деления интервала (a-\-kh,
a -j- (k 4- 1) Л) на от равных частей.

упражнения 329
26. Получить следующие формулы численного интегрирования, дающие
точные значения для интеграла, если f(x) — многочлен степени не выше
пятой:
x~ro D+54+i + 4+2 + 64+з+4+4+54+5+4+е).
5)+2,2/a+3,
a
o+lO
27. Показать, что если пренебречь пятыми разностями, то
а+6п
f f(x) dx « 0,28 (/a + 2/a+6 + 2/a+n + ... + /
a+6n)
28. Показать, что
1
и найти остаточный член.
29. Вычислить интеграл
dx
. + x)f:
с точностью до 10~7-
30. Вычислить интеграл
о
с точностью до 10".
31. Используя различные формулы для приближенного вычисления крат-
кратных интегралов, вычислить с точностью до 10~~7 объем полушара радиуса
единица.

330 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 3
ЛИТЕРАТУРА
1. Ш. Е. Микеладзе, Численные методы математического анализа, Гос-
техиздат, 1953.
2. С. М. Никольский, Квадратурные формулы, Физматгиз, 1958.
3. И. П. Натансон, Конструктивная теория функций, Гостехиздат, 1949.
4. В. Л. Гончаров, Теория интерполирования и приближения функций,
Гостехиздат, 1954.
5. Хаусхолдер, Основы численного анализа, ИЛ, 1956.
6. Милн, Численный анализ, ИЛ, 1951.
7. И. Ф. С т е ф е н с е н, Теория интерполяции, ОНТИ, 1936.
8. В. И. Крылов, Приближенное вычисление интегралов, Физматгиз, 1959.

ГЛАВА 4
РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
В практике вычислений, особенно при работе на электронных
цифровых вычислительных машинах, часто приходится встречаться
с многократными вычислениями значений заданной функции /(х),
например с вычислениями значений элементарных функций ех, !пх,
sinx, cosx и т. д. Вводить в машину эти функции в виде таблиц
нецелесообразно, так как таблицы загромождают память машины
и на выборку нужных значений тратится сравнительно большое
время. Значительно целесообразней каждый раз вычислять нужное
значение функции с заданной точностью е, используя какой-либо
алгоритм для ее вычисления. Очень часто для этой цели заменяют
рассматриваемую функцию /(х) другой, легко вычислимой функ-
функцией ср(х) (например, многочленом), значения которой на всем рас-
рассматриваемом отрезке [а, Ь] изменения х отличаются от значе-
значений /(х) не больше чем на е, и в процессе вычислений работают
с функцией ср(х).
Рассмотрим пример. Пусть нужно многократно вычислять значе-
значения функции /(x) = sinx при х? 0, -|- с точностью 0,5 • 10~7.
Разлагая sin x в степенной ряд и удерживая пять членов, будем
иметь при х? 0, ^г :
Следовательно, с заданной точностью вместо значений sin х на 0, -|-J
можно брать соответствующие значения многочлена
Xя Х^> X1 Xя
,,(*) = *__ + ___+_,
вычисление которых не составляет труда.
Среди многочленов, степень которых не выше девяти, построен-
построенный многочлен не является единственным многочленом, дающим
на 0, -|ч приближение sinx с заданной точностью. Более того,
нетрудно построить многочлен седьмой степени, приближающий sin x

332 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 4
на р, -т с заданной точностью 0,5- 10~7. В самом деле, в § 3
гл. 2 мы видели, что для многочленов Чебышева Тп(х) имеет место не-
неравенство
|Г„(х)|<1 при х?[ — 1. 4-1].
Но
Г9 (х) = 256x9 — 576х? 4- 432х5 — 120х3 -|- 9х.
Отсюда при х?[—1, -\-1]
§" I' 9 W I =
-v "x 4-"j5"x 32х -f- 256"Х
9 27
Если в многочлене ср(х) заменить х9 многочленом -г х'1 щ х5 -\-
. 15 , 9
-J--5H-X3—"956"х' Т- е' РассмотРеть многочлен
v-3 v-5 v-7 1 / о 1R 97 Q
то на отрезке [ — 1, -f-1] он будет отличаться от ср(х) не больше
11 -7
чем на-^--™^=г!0,11-10 , а это значит, что sinx отличается
от ср! (х) на р, -^- не больше чем на 0,2 • 10~8 —(— 0,11 • 10 =
^= 0,13- 10~7, т. е. удовлетворяет нашим требованиям к точности.
Естественно, что при заданной функции /(х) и заданной точ-
точности е нужно выбирать функцию <р(х), наиболее удобную для
вычислений (в данном примере нужно выбирать многочлен возможно
меньшей степени, так как вычисление его значений потребует наи-
наименьшего числа операций и ячеек памяти).
Таким образом, мы приходим к следующим задачам:
1. Даны класс R функций, определенных на отрезке [а, Ь],
и некоторое подмножество R функций этого класса. Для
заданной функции f(x)?R и заданного числа е>0 требуется
найти такую функцию ср(х)?/?, чтобы имело место неравен-
неравенство
|/(х) —ср(х)| < е х?[а, Ь].
В качестве R обычно рассматривается множество С непоеоывных
функций, а в качестве R—некоторое множество алгебраических или
обобщенных многочленов.
2. Для данной функции f(x)?R найти функцию сро(х)?/?,
для которой имеет место неравенство
max |/(х) — cpo(x)| = inf_ max |/(д) — ср(х)|.
^\Ь] бЛ ei, Ь]
Если такая функция существует, то ее называют функцией наи-
наилучшего равномерного приближения к /(х) в классе R.

§ 1] НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 333
В связи с этими двумя задачами возникает ряд вопросов, изло-
изложению которых и посвящена настоящая глава. Мы изложим их
сначала в общей постановке, а затем подробнее рассмотрим вопросы
равномерного приближения в пространстве С непрерывных функций.
§ 1. Наилучшее приближение в линейных нормированных
пространствах
1. Линейное нормированное пространство. Будем говорить, что
множество R является линейным нормированным пространством,
если это множество линейно и, кроме того, каждому элементу
/? R поставлено в соответствие действительное число ||/|| —норма/, —
удовлетворяющее условиям:
1) Ц/11^-0. причем ||/||=0 тогда и только тогда, когда /=0;
2) ||с/11 =|с|||/|| для любого с;
3) ll/i+AIKII/ill + IIAII-
Линейные нормированные пространства всегда являются метри-
метрическими пространствами. Действительно, в качестве расстояния
p(/i. /2) можно взять просто
p(/i. /2)= II/1-/2II-
Без труда проверяется, что все аксиомы метрического пространства
при этом выполнены.
2. Элемент наилучшего приближения. Пусть теперь дано не-
некоторое линейное нормированное пространство R. Возьмем в нем
га-f-l линейно независимых элементов ср0, срх <р» и образуем
(ra-f- 1)-мерное линейное нормированное подпространство R всевоз-
всевозможных линейных комбинаций
+«„?„• A)
Числовое множество
Д(/,Ф) = ||/— Ф|| (элемент f?R фиксирован) B)
ограничено снизу (нормы—неотрицательные числа).
Поэтому существует точная нижняя грань значений Д(/, Ф):
Ф). C)
Выясним вопрос: существует ли элемент Фо?/?, для которого эта
нижняя грань достигается, т. е. существует ли такой элемент Фо(;/?,
для которого имеет место равенство
||/-Фо11? D)
Каждый из элементов Фо ? R, для которого выполняется равен-
равенство D), будем называть элементом наилучшего приближения

334
РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
[ГЛ. 4
для / в R или проекцией / на R. При замене пространства R про-
пространством R элементу f?R мы будем ставить в соответствие его
проекцию на R. Если норма выбрана удачно, то такая замена будет
наиболее выгодна.
3. Существование элемента наилучшего приближения. Тео-
Теорема. Для любого элемента f?R в R существует элемент
наилучшего приближения. Для произвольных элементов f?R
и Ф ? R введем обозначения:
IФII =
= h(a0, alt .. ., ап).
F)
Если зафиксировать / и заставить пробегать Ф все множество R,
то получим две- функции g и h, определенные в каждой точ^ке
(п-\- 1)-мерного пространства (а0, аи..., ап). Докажем непрерыв-
непрерывность этих функций. Рассмотрим, например, функцию g(a0, ах, ..., а„).
Зафиксируем некоторую точку (а$\ afK ..., af-Щ рассматриваемого
нами пространства и оценим разность
1=0
Из свойств нормы, приведенных выше, без труда находим:
Ill/ill -II/2IIKII/1-/2II.
G)
В самом деле,
fill = II/2+ (/i-/2)ll < II/2II + II/1-/2II
и аналогично
Отсюда
II/1II-II/2IKII/1-/2II и HAII-ll/ilKII/i-AII.
а это и есть неравенство G), которое мы доказываем, только
записанное без знака абсолютной величины.
Из доказанного неравенства следует, что
» » II
Иап, а,, ..., а ) — е(аМ, д<°>, а(°))|< У, a.m. — У
¦j=o i=o
"Pi

§ 1]
НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
335
Если max ||щ\\ = N > 0 и 8 = , . , то при Iа% — а?| < 8 будем
иметь:
пп) -
т. е. непрерывность g доказана. Аналогично доказывается непрерыв-
непрерывность функции h.
Функция h(a0, аи..., ап) неотрицательна. Обозначим точную
нижнюю границу ее значений через т. Докажем, что найдутся такие
значения (а0, ах, ..., ап), при которых эта точная нижняя граница
достигается. Для этого рассмотрим множество точек (п-\- 1)-мерного
евклидова пространства (а0, ах ап), для которых
2^
i=0
т. е. единичную сферу этого пространства. Это ограниченное зам-
замкнутое множество. Следовательно, непрерывная положительная функ-
функция g должна достигать на нем своей точной нижней границы [а.
Очевидно, [х. > 0, так как в противном случае существовала бы точка
2 af* = 1 ) , в которой
2 *f\
г=0
=0 или
i-0
что невозможно в силу линейной независимости элементов ср0,
..., фп. Обозначим через г величину
Г =
11/11
и разобьем все пространство (а0, ах, ..., ап) на две части Rt и R2,
п
отнеся к /?, все точки, для которых ^а? ^. г2, а к R2 —все осталь-
остальные точки. Рассмотрим значения функции Л<а0, ах ап) на мно-
п
жестве R2. Пусть (а0, аи ..., аи)?/?2. Тогда 2а2^^-2>г2 и
Л(а0,
(=0
п
U-0
i-0

336
РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Ггл. 4
Таким образом, т есть нижняя грань значений функции h на
множестве /?,. Но это множество ограничено и замкнуто. Следова-
Следовательно, функция h(a0, alt ..., ап), непрерывная на этом множестве,
обязана достигать в некоторой точке своей нижней грани. Если
обозначить эту точку через (J3O, (Зь .... (Зи), то
= h®0.
-0
Итак, в R всегда существует элемент наилучшего прибли-
приближения.
4. Единственность элемента наилучшего приближения.
Вообще говоря, такой элемент будет не один. Приведем сейчас
достаточное условие, обеспечивающее единственность элемента наи-
наилучшего приближения. Назовем нормированное линейное пространство
строго нормированным, если в условии
знак равенства достигается только тогда, когда /2^а/х, а > 0.
Теорема. Если пространство R строго нормированно, то
элемент наилучшего приближения является единственным.
Предположим обратное, т. е. допустим, что имеются два различных
элемента наилучшего приближения для f?R:
Ф,=
Таким образом,
—Ф1\\ = \\/—ф2\\=т.
Очевидно, т Ф 0, так как иначе элементы ср0, ср,, ..
бы линейно зависимыми. Далее,
п п
aifi J — /i
г=0 . i-l
2
сри оказались
Так как норма, стоящая в левой части, не может быть меньше т,
то
/-Ф1 ¦ /-Ф»
2 -Г 2
или в силу строгой нормированности пространства R

§ 2] НАИЛУЧШЕЕ РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 337
Здесь а должно равняться 1, так как в противном случае / пред-
представлялся бы в виде линейной комбинации уи следовательно, т
равнялось бы нулю. Но при этом
и элементы ср{ линейно зависимы или а* = 6,- (/ = 0, 1, 2, ..., га).
И тот и другой случай приводят к противоречию с нашими пред-
предположениями.
§ 2. Наилучшее равномерное приближение непрерывных функций
обобщенными многочленами
1. Наилучшее приближение в пространстве С. Возьмем теперь
в качестве линейного множества R совокупность С всех непрерыв-
непрерывных на [а, Ь] функций. В качестве нормы /?/? примем:
||/||= sup |/(х)|.
х?[а,Ь]
Нетрудно проверить, что все условия, требуемые от нормы, при
этом выполнены. Наша норма определяет метрику пространства С,
о котором говорилось во Введении. Пусть ср0 (х), срг(х) ?и(х) —
какие-то п-\-\ линейно независимых функций из С. В качестве R
п
возьмем совокупность линейных комбинаций Ф(х) = 2 c,-cpj(x)
i=0
с действительными коэффициентами.
Элемент Фо, принадлежащий R, будет являться элементом наи-
наилучшего равномерного приближения для f?R, если
sup |/ — Фо|
а>?[а,Ь]
принимает наименьшее возможное значение. На основании резуль-
результатов предыдущего параграфа можно заключить, что такой элемент
всегда существует. Но полученное нами достаточное условие един-
единственности элемента наилучшего приближения здесь неприменимо.
Действительно, пусть а = 0, Ь=\, /гв1, /2 = х. Тогда
хотя функции Д и /2 независимы на [0, 1], т. е. наше про-
пространство С не является строго нормированным.
2. Теорема Хаара. Для пространства R, которое мы сейчас
рассматриваем, Хааром была доказана следующая теорема:
Для того чтобы для любой заданной функции f ?R суще-
существовал единственный обобщенный многочлен наилучшего при-

338 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 4
ближения, необходимо и достаточно, чтобы функции ср0, ср,, ...
..., ср„ образовывали систему Чебышева, т. е. любой обобщен-
обобщенный многочлен по этой системе функций имел на отрезке \а, Ь]
не более га различных нулей.
Докажем эту теорему. Для доказательства необходимости
покажем, что если существует обобщенный многочлен
Фо (х) = аосро (х) -f- <*!?! (х) + ..- -+- аи?„ (х)фО,
имеющий на [а, Ь] больше га нулей, то существует непрерывная
на [а, Ь\ функция /(х), для которой имеется несколько обобщенных
многочленов наилучшего приближения. Пусть Ф0(х) обращается
в нуль в точках х0, xlt ..., хп, х$? [а, Ь\:
Фо (х;) = аосро (X;) 4- aicpi (Xi) 4- • • • + «n?n (xi) = °
(/ = 0, 1, 2 га).
Так как Ф0(х)^0, то среди чисел at по крайней мере одно отлично
от нуля и, следовательно,
= 0.
Это значит, что между строками матрицы имеется линейная зависи-
зависимость, т. е. существуют такие, не равные одновременно нулю
числа Ьо, &!,..., Ьп, что при k — 0, 1, 2,..., га
хо) + Ьх% (хг) + ¦ ¦ ' + К% (хп) = °-
Из последнего равенства следует, что для любого обобщенного
многочлена Ф(х) имеет место равенство
Ь0Ф (х0) 4- *1Ф (^i) + ... +ЬпФ(хп) = 0. A>
Пусть X — некоторое положительное число, удовлетворяющее
условию
X sup |Ф0(х-)|< 1.
Построим непрерывную на [а, Ь] функцию g(x) так, чтобы в точке х*
она принимала значение 4~1> если Ьц положительно, и —1, если Ь^
отрицательно, а во всех остальных точках отрезка [а, Ь\ по абсо-
абсолютной величине не превосходила бы 1. Функция
будет обладать теми же свойствами. Покажем, что для f(x) суще-
существует бесчисленное множество обобщенных многочленов наилучшего

§ 2] НАИЛУЧШЕЕ РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 339
приближения. Действительно, для любого обобщенного много-
многочлена Ф(х) уклонение Д(/, Ф) не меньше 1, т. е.
sup |/(х)-Ф(х)|>1.
?[Ь]
Если бы для некоторого многочлена Ф\(х) уклонение Д(/, Ф^ было
меньше 1, то в точке xt знак Ф^х^ совпадал со знаком f(xt) (так'
как f(xf) = ±1), т. е. со знаком bt, а в этом случае было бы не-
невозможно равенство A). Таким образом, Д(/)^.1.
С* другой стороны, при любом е, удовлетворяющем условию
I е| <; 1, будем иметь:
<1-Х|Ф0(х)|+Х|еЦФ0(х)|<1.
Итак, для любого многочлена ФЕ (х) = еХФ0 (х)
, ФЕ(х))=1,
т. е. ФЕ(х) являются многочленами наилучшего приближения при
|
любом е,
1.
Теперь докажем достаточность условий Хаара, т. е. докажем, что
если система <р0> <рь---. <р« удовлетворяет им, то для любой непрерывной
на [а, Ь\ функции не может существовать двух различных многочленов наи-
наилучшего приближения". Для этого предварительно докажем несколько свойств
систем Чебышева.
1. Если существуют точки xv x.+v ..., хк (/<[&<[ л), для которых
) ••• 4(xi)
+i) •¦• fk(xi+i)
:) ••¦ Ч(.Хк)
то для произвольного натурального числа q (k<^q-^ л) можно найти такие
Т0ЧКИ Xk+VXk+2 Xq- ЧТ0
(xi+i)
fq(xi+i
dxq) fi+i(xq)
Рассмотрим обобщенный многочлен
Ф(х) =
Те Се)
fk(xi)
fk(xi+d
Ф0.
l (Xk)
fk(xk) Ч+Лхк)
т* С*) t*+i (•«)•

340
РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
[ГЛ. 4
Так как коэффициент при <pfc+1 (х) отличен от нуля, то Ф (х) ф 0. Поэтому
найдется такая точка xk+v в которой Ф (хк + 1)=?0. Таким образом,
Ф0.
Повторяя эти рассуждения q—k раз, получим точки хк+1,..., х , суще-
существование которых утверждалось.
2 Е ft< ф
*«(**)
р ур
2. Если xQ, xv ..., j:fc
[ 6]
л,
при
— произвольные различ-
различQ v fc ( г^ )
ные точки отрезка [а, 6], то по крайней мере один из определителей (k-\- 1)-го
порядка матрицы
То (-«о) <Pi(-*o) ••• <Pn(-«b)
отличен от нуля.
Будем доказывать это свойство методом индукции. Пусть k = 0, т. е
матрица состоит из одной строки
• • • <fn (хо) II ¦
Допустим, что все элементы этой строки равны нулю. Возьмем любую точку
У\фхй, для которой ТхСуОт^О, и, используя первое свойство, найдем такие
точки у2, у3, .... уп, что
<Рп (У1)
Рассмотрим многочлен
>i(y»)
<Pi
Ф0.
¦ Tn (-«)
Tn (У1)
To (Уп) Ti (Уп)
Он не равен тождественно нулю, так как коэффициент при <р0 (х) отличен
От нуля. Но Ф (х0) = Ф (yj) = ... = Ф (уп) = 0, т. е. Ф имеет п -\- 1 нуль
на [а, Ь\, что невозможно, так как по предположению <ро> Ti> •••> Ти удовле-
удовлетворяют условиям Хаара^ Таким образом, свойство 2 имеет место при k = 0.
Пусть оно имеет место при k = 0, 1, 2, ..., т—1 и предположим, не на-
нарушая общности, что
Ф0.
Tl (хт) ¦•¦ Тт (хт)
На основании свойства 1 найдутся такие точки утл.\, ..., уп, что
Ф0.
Та(Уп) ••¦ Тп(У»)

§ 2] НАИЛУЧШЕЕ РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 341
Но тогда обобщенный многочлен
*(¦*) =
<Ро
<Pn
<P0 (Уп) <Pl (Ута)
«Pn (У»)
не обращается в нуль тождественно. Если бы при k = /re наше утверждение
было неверно, т. е. все определители исходной матрицы при k — m обра-
обращались в нуль, то многочлен Ф (х) имел бы п-\-\ нулей х0, xlt ..., уп, что
невовможно. Итак, и второе утверждение доказано.
3. Если уравнение
—ф(*I =
2
i=0
имеет на [а, Ь] меньше, чем п -\-1 различных корней, то Ф (х) не является
многочленом наилучшего приближения функции f(x).
Пусть д:0, хь ..., хт (/ге<л, Х{фх^ при / ф})— все корни нашего
уравнения. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
Vo (**) +
- ф (
(* = ft !
относительно неизвестных а0, аь ..., ап. По второму свойству матрица этой
системы имеет ранг т-\-\, совпадающий с числом уравнений. Следовательно,
система совместна. Пусть (а<|0>, а^,..., а^) —одно из ее решений. Рассмо-
Рассмотрим обобщенный многочлен
2
i-0
и функцию R(x)—f(x) — Ф(х). Для каждой точки хк (k =0, 1, ..., /re)
выберем столь малую окрестность Uy,, чтобы имели место неравенства:
=. inf
inf
Это возможно, так как | R (хк) \ = Д (/, Ф) ф 0 и | Фо (хи) | = Д (/, Ф). Пусть
Мк= sup \Ф0(х)\, М= sup |Ф0(*)|, V = sup \R(x)\,
х ? U^ аз g IT* x?ZT*
где ?/* есть совокупность точек отрезка [а, Ь], не принадлежащих окрест-
окрестностям Uo, Ui,..., ?/то. Разность
(А = Д (/, Ф) — Z,*
— строго положительное число. Пусть г — положительное число, удовлет-
удовлетворяющее условию
6< mf Ц,р\
Положим fi = Р< + еа|0' (/ = 0, 1,..., л) и Ф! (х) = 2 TW- Тогда
i=o
|/(JC) - Ф! (JC) | = \f(x) - Ф (X) - 1Ф„ (X) | = | /? (X) - вФ0 (X) |.

342 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ |ГЛ. 4
Если х ? U]e (k = 0, 1 /re), то
еФр (*)
Если же х ? ?/*, то
Итак,
и Ф (х) не является многочленом наилучшего приближения.
Теперь можно доказать достаточность условий Хаара. Допустим про-
противное, т. е. предположим, что для функции f (х) ?/? имеются два многочлена
наилучшего приближения:
г=0 г—О
А (/, ФО = А (/, Ф2) = Д (/)¦
Рассмотрим многочлен
i=0
Для него имеет место неравенство
Д(/.
Но так как
Д(/)=
то
Д (/, Ф3) = Д (/).
Таким образом, Ф3 является многочленом наилучшего приближения
а следовательно, уравнение
имеет на отрезке [а, Ь\ по крайней мере п-\-\ различных корней дг0, хь ..., хп.
Но для того, чтобы имело место равенство
необходимо наличие равенств
/(Xi) - Фх (х-) = /(х-) - Ф2 (х-) = ± Д (/),
Ф! (Xi) = Ф2 (Xi) (I = 0, 1, 2 л).
Отсюда обобщенный многочлен
должен обращаться в нуль в /г —|— 1 различных точках отрезка [а, Ь], что
невозможно, так как функции <р0, уь ..., <ри образуют систему Чебышева.
Доказательство теоремы Хаара закончено.

§ 2] НАИЛУЧШЕЕ РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 343
3. Теорема Чебышева. Докажем еще одну теорему, являющуюся
обобщением теоремы Чебышева. Будем опять предполагать, что
мы рассматриваем линейное нормированное пространство R непре-
непрерывных на [а, Ь] функций f(x) с нормой
||/(*I|= sup \f(x)\
х 6 [о, 6j
и его подпространство R, образованное всевозможными линейными
комбинациями
Ф (х) = ао% (х) + а&1 (х) + . .. + ап<?п (х)
функций <?0(х), ^(х),..., <рте(jc) с действительными постоянными
коэффициентами. Функции <?i(x) принадлежат R и образуют систему
Чебышева. Для функций f^R и Ф06^? обозначим
L= sup \/(х) — Ф0(х)\.
Тогда теорема Чебышева может быть сформулирована следующим
образом:
Для того чтобы функция Фо (х) являлась обобщенным мно-
многочленом наилучшего приближения для функции f (x), необходимо
и достаточно, чтобы на [а,Ь] нашлись по крайней мере и-)-2
точка х0 < хх < ... < хп+ь в которых f(x) — Фо (х) принимает
поочередно значения -f-Z. и —L.
Докажем сначала необходимость условий. Пусть Фо(^) является
многочленом наилучшего приближения для f (х). Докажем, что для
него выполнены сформулированные в теореме условия. Предположим
обратное, т. е. что таких точек, о которых говорится в теореме,
<7-)-1 <С и-f-2 (существование по крайней мере одной такой точки
очевидно). Пусть эти точки будут:
а < х0 < хх < ... < xq < *.
Выберем на отрезке [a, b] q точек ylt y2 yq, удовлетворяющих
следующим условиям:
1) а < х0 < ух < хх < ... < yq < xq
2) в точках yi (/^1, 2 q) разность f(x) — Фо(^) не равна
ни L, ни —L;
3) на каждом из отрезков [а,ух], [уъ у2] [yq, b] разность
f (х) — ®o(x) достигает один или несколько раз значений -\-L или
— L, но не может достигать и того и другого значения.
Тогда найдется такое положительное значение ^ < -^ , что на
отрезках [a.^i]. t^i»^]. •••> l)V^] будут поочередно выполняться
неравенства

344 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 4
и, кроме того,
—l -hi» < /су,) - ф0 Су,) < ? — ц.
На интервале Cyg, xg) можно выбрать точку У так, что при любом
х ? [уд. К] также будет выполнено неравенство
— L + р < / (*) — Фо (*)< Z. — р.
На интервале (_уд, К) выберем произвольным образом точки
где т — максимальное число, для которого
q 4- 1т < и.
Если <7Ч-2/и = я, то получим последовательность точек
Л<Л< •-• <Уп-
Если же <7 + 2»1 = и— 1, то, приняв за уп точку Ь, получим
такую же последовательность точек.
По точкам yt построим обобщенный многочлен
j yn] = <Po (У1) <Pi (yi) • • • <Pn (У1)
<PO (Уп) <Pl (Уп) • • • «Pn (Уп)
Коэффициентами при ср{(д:) этого многочлена являются миноры
и-го порядка матрицы
<Po(yi) <Pi(yi) •-• <Pn(yi)
<Ро(Уп) <Pi(yn) -•• <Рп(Уп)
В силу второго свойства систем Чебышева, использованного при
доказательстве теоремы Хаара, по крайней мере один из них от-
отличен от нуля. Следовательно, Ф^х) ф 0. Наш обобщенный много-
многочлен обращается в нуль в точках ух, у2 уп и не может
обращаться в нуль ни при каком другом значении х. В частности,
при х ? (а, у^)
Vi .VJ^O.
Если мы будем изменять значения х, уъ у2, . =., уп, сохраняя
соотношения
ТО
W\X. Ух, Уг уп]
будет сохранять постоянный знак. Таким образом, как бы мы ни
выбирали значения z0, z{, .... zn, лишь бы они удовлетворяли не-
неравенствам
а

§ 2] НАИЛУЧШЕЕ РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 345
определитель
W[z0, zlt .... zn\
всегда имеет один и тот же знак. Положим z0 = х, zx — У\ zn—yn.
Тогда
W[z0, zx zn] = W[x, yt yn] = <bi(x)
для значений х? (а, у^. Положим теперь zu = yx, г^ = х,
z2=y2, .... zn = yn. При этом
W[z0, zlt .... zn] = W[yi, x, y2, .... yn] =
= — W[x, ylt y2, .... уп] = —ФЛх)
для х?(ylt уг). Таким образом, $i(x) меняет знак, когда х пере-
переходит из интервала (а, у$ в интервал (ylt y2). Далее, если поло-
положить zo = ylt г! = у2, z2 = x, z3 = y3, ..., zn=yn, то получим:
W[z0, z, zn] = W[y0, уъ х, у2, .... yj =
= W[x, уъ у2 Л]=Ф,М
для х?(у2, у$). Итак, $i(x) снова изменила свой знак при пере-
переходе через точку у2. Аналогично показывается, что $i(x) меняет
свой знак при переходе через каждую из точек ук.
Рассмотрим теперь многочлен
где е выбрано так, чтобы
max | еФ1(л:) | <ц
и на интервале (а, у^) знак еФ1(х) совпадал бы со знаком f(x0) —
— Ф0(х^). В силу выбора точекyi и только что доказанного свойства
функции Ф\(х) знак гФх(х) будет совпадать со знаком f(xk) — Фо(^)
при х?[ук,ук+1] для всех k<^q. Вследствие этого и того, что
® — L, мы будем иметь на отрезке [a,yq];
Далее, так как на отрезке [yq, Y] имеет место неравенство
— L + (х < / (х) — Фо (*)< L — Ъ
а
\вФ1(х)\<]х,
то при x?[yq, Y] имеет место неравенство
На интервале (yq, Y) мы взяли четное число точек yq+1 Уа+гт-
Поэтому знак еФ^х) на полуотрезке [уд+2т, Ь) будет такой же,
как и у /(Яд) — Ф0(*д)- Следовательно, при q-\-2m = n и при

346 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 4
д-\-2т=п—1 (но xq не равном Ь) и на отрезке [yq+2m, b] будет выпол-
выполнено последнее неравенство. Рассмотрим еще случай, когда уп=Ь
и xq = b. При этом последнее неравенство будет выполнено для всех
точек полуоткрытого интервала [а, Ь), но в точке b будем иметь
Найдем тогда такой обобщенный многочлен Ф3 (х), который бы
в точке b не обращался в нуль. Такой многочлен всегда существует,
так как <?i(x) образуют систему Чебышева и не могут все одновре-
одновременно обратиться в нуль (см. доказательство теоремы Хаара). Можно
считать, что
так как в противном случае мы умножили бы Ф3(х) на —1. При
достаточно малом 5>0 и в последнем случае мы имели бы тогда
для всех х? [а, Ь].
Тем самым мы показали, что Фо(-*0 не является многочленом
наилучшего приближения, вопреки нашему предположению. Получен-
Полученное противоречие доказывает необходимость условий теоремы Чебы-
Чебышева.
Докажем теперь достаточность. Пусть для Фо(^) выполнены
условия теоремы, но Фо(->О не является многочленом наилучшего
приближения. Пусть, далее, ®\(х) является многочленом наилучшего
приближения для f(x) на [а, Ь\. Рассмотрим разность
Ф, (х) - Фо (х) = [/ (*) - Фо (х) ] — [/ (*) - Ф1 (х) ].
Первая квадратная скобка справа принимает в некоторых точках
а < х0 < хх < . .. < хп+1 < *
поочередно значения L и —L. Вторая квадратная скобка по абсо-
абсолютной величине меньше L, Поэтому рассматриваемая нами разность
будет иметь различные знаки при xt и при xi+1 для всех
i (Г= 0, 1,2, ..., и). Следовательно, она обращается в нуль по
крайней мере один раз в каждом из интервалов (х^, Xi+1). Всего
таких интервалов п-\-1. Обобщенный многочлен
должен обращаться в нуль на [а,Ь\ по крайней мере п-\-\ раз.
Это невозможно. Тем самым мы доказали и достаточность условий
Чебышева. Теорема доказана полностью.
Сделаем теперь несколько замечаний.
1. Пусть Ф(х) — некоторый обобщенный многочлен и на [а, Ь\
существуют такие п ~\- 2 точек

§ 3] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 347
что разность
/(*) —Ф(дс)
принимает в них значения с чередующимися знаками. Тогда если
т—наименьшее по абсолютной величине из этих значений, то
Для доказательства достаточно предположить обратное и рассмотреть
разность между многочленом Ф и многочленом наилучшего прибли-
приближения, как это делалось при доказательстве достаточности условий
Чебышева.
Это замечание позволяет дать оценку величины Д(/). Действи-
Действительно, если
М= max \f(x) — Ф (дг) |.
х?{а,Ь]
то
2. При доказательстве теоремы Хаара и обобщенной теоремы
Чебышева мы считали, что все функции определены на некотором
отрезке [а, Ь]. Фактически это при доказательствах не использова-
использовалось. Если проанализировать доказательства, то легко обнаружить,
что теорема Хаара будет справедлива, если в качестве области опре-
определения взять произвольное замкнутое ограниченное множество
евклидова пространства любого числа измерений. Обобщенная теорема
Чебышева будет справедлива, если все функции определены на неко-
некотором замкнутом множестве, принадлежащем отрезку [а, Ь], содержа-
содержащем не менее (п-\-2)-х. точек.
§ 3. Алгебраические многочлены наилучшего
равномерного приближения
Как уже известно из второй главы, функции \,х, х2, ...,хп
образуют систему Чебышева на любом отрезке [а, д]. Следовательно,
вся полученная нами теория наилучших приближений применима
к этой системе -функций. Обозначим через Нп(Р) множество всех
алгебраических многочленов степени не выше п. Если f(x) — неко-
некоторая непрерывная на fa, д] функция, а Рп (х) ? Нп (Р), то отклонение
f(x) от Рп(х) на [а,Ь], т. е.
max \f(x) — Pn(x)\
х?[а, Ь]
будем обозначать En(f,Pn). Нижнюю грань значений En(f,Pn),
когда Рп(х) пробегает все множество Нп(Р), обозначим через ?„(/)
и будем называть наименьшим отклонением. На основании резуль-
результатов предыдущих параграфов можно утверждать, что существует

348 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 4
единственный многочлен Рп(х)?Нп(Р), для которого En(f,Pn) =
= En(f). На отрезке [а,д] имеется и+ 2 точек
х0 <С х\ <С • • • <С -^и + 1.
в которых разность f(x) — Рп(х) поочередно принимает значе-
значения -\-En(f) и —En(f). Для обнаружения того, что некоторый
многочлен Qn(x)?Hn(P) является многочленом наилучшего прибли-
приближения для функции f (х) на [а, д], достаточно проверить, что на [а, д]
найдутся такие п-\-2 точек
в которых f(x) — Qn (x) поочередно принимает значения -\-Еп (/, Qm)
и —En(f,Qn). (Здесь мы не требуем, чтобы En(f,Qn) было наимень-
наименьшим отклонением.) Этим свойством часто удается воспользоваться
для фактического отыскания многочленов наилучшего приближения.
Так, например, можно утверждать, что для функции y=s"m4x на
отрезке [0, 2и] многочленом наилучшего приближения в Н0(Р),
Нх (Р) Яе (Р) будет Р (х) = 0. Действительно,
En(sin4x, 0) = 1, п = 0,1,2
и
sin 4х— 0
достигает последовательно значений -\-1 и — 1 в точках
¦к Зп 5я 7я 9я Ш Ш 15я
Т' Т' ~~8~' ~W* T' ~8~' ~8~' ~8~'
т. е. в восьми точках.
Вспомним также многочлены Чебышева, наименее отклоняю-
отклоняющиеся от нуля, о которых говорилось во второй главе. Эти много-
многочлены можно получить здесь, решая следующую задачу.
Найти многочлен Qn-1(x)^Hn_1(P), наименее уклоняющийся от
функции у = хп на отрезке [ —1, 1].
Как мы видели ранее,
Тп (х) = п_1 cos (и arccos x)
является многочленом степени п со старшим коэффициентом, равным
единице. Этот многочлен на отрезке [—1, 1] имеет экстремальные
значения п_1 и ^у и достигает этих экстремальных значений
поочередно в точках
xfe=cos ("-*>" & = 0, 1, 2,..., и).
Представляя Тп(х) в виде
*"—Q»
мы и найдем Qn_i(x).

§ 31 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 349
I. Теорема Вейерштрасса. Изучим теперь, как ведет себя ?„(/)
при и—>оо. Для этого предварительно докажем следующую теорему
Вейерштрасса:
Если f(x)?C, то для любого е>0 существует такой много-
многочлен Р (х), что при всех х ? [а, д] имеет место неравенство
— Р(х)\<г.
Начнем с доказательства следующих тождеств:
;i—*)""* = i. (i)
та
! — nxfCknxk{\ — х)п~" = nx (\ — х). B)
Первое тождество следует из биноминальной формулы
если в ней положить а = х, ?=1—х. Для доказательства второго
представим левую часть его как сумму трех членов:
?(* - пхJ Скпхк A - х)п~к = 2 к'Скпхк A - х)п~к -
fe — 0 к = 0
та та
Последняя сумма в правой части в силу тождества A) равна еди-
единице. Для второй суммы имеем, используя снова тождество A):
- х)п~к = 2 k щ^-щ х"(\
],л чта-»-1
1 ( х)
та-1
= пх 2 С4_!^A — х)"-1-'^ пх.

35G РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 4
Для первой суммы имеем:
k=0 fc=l
та-1
j-0
Ij-0 j-0
= л* {(« — 1) x + 1} = n2x2 — nx2 + nx.
Таким образом,
k-o
= л2д;2 — nx2 -\-nx — 2n2x2 + /i2x2 = nx(\— x),
и тождество B) доказано.
Из тождества B) следует, что при 0<^л:^1 имеет место
неравенство
О <2(*-**)*С***A-*)-*<?. C)
ибо при 0^д;^1 справедливо неравенство 0^хA—х) <; -j-.
Пусть теперь задано некоторое положительное число 8. Рассмо-
Рассмотрим те значения А, для которых имеет место неравенство
к
п
D)
где х — фиксированное число, O^x^l. Тогда справедливо нера-
неравенство
~' ' E)
где 2 означает суммирование по тем значениям ft, для которых
справедливо D). В самом, деле, для этих значений
(к - nx)* ^ .

§ 3] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 351
а следовательно, используя неравенство C), имеем:
П
— У (к пхJСкхк(\ —
к=0
Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы.
Без ограничения общности можно считать, что отрезок [а, Ь] совпа-
совпадает с отрезком [0, 1], так как этого всегда можно достичь линей-
линейным преобразованием переменного х.
Рассмотрим многочлен
(^) F)
который принято называть многочленом Бернштейна, и покажем,
что при достаточно большом п он удовлетворяет требованиям тео-
теоремы.
В силу первого тождества
откуда
п
вп (х) -/(*>=2 [/ D) - f(x)] с»хк у - х)П~к- G)
fc=-0
Для оценки этой разности заметим, что в силу равномерной непре-
непрерывности функции f(x) на отрезке [0, 1] найдется такое S > 0, что
для любых х', х"?[0, 1] имеет место неравенство
как только | х' — х" \ < 8.
Пусть х — любая фиксированная точка отрезка [0, 1]. Разобьем
сумму, стоящую в правой части равенства G), на две суммы:
где 2' означает суммирование по тем k, для которых х
и
^"[()]l -x)n-k, (9)

352
РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
[ГЛ. 4
где 2 означает суммирование по остальным значениям k. Оценим
каждую сумму в отдельности. Для Sj получим, обозначая, как
обычно, Л1= sup |/(х)| и применяя неравенство E):
М
(Ю)
Для S2 будем иметь:
Lt
ибо
k
X
n
Выберем теперь л настолько большим, чтобы выполнялось нера-
неравенство о~8г"<"" ^"огда из неравенств A0) и A1) получится
а это и следовало доказать.
2. Теоремы о порядке приближения с помощью многочленов
Бернштейна. Из теоремы Вейерштрасса следует, что ?„(/) стремится
к нулю при л->оо. Некоторое представление о порчдке стремления
к нулю En(f) дадут приведенные ниже теоремы для многочленов
Бернштейна. Более точные оценки будут приведены позже.
Говорят, что функция f (х) удовлетворяет на отрезке [0, 1]
условию Липшица с константой L, если для любых х', х"?[0, ,1]
имеет место неравенство
[f(x')-f(x")[<L\x'-x"\.
Докажем теорему:
Если функция f(x) удовлетворяет на отрезке [О, 1] условию
Липшица с константой L, то
2/л
Заметим, что
л-о

§ 3] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 353
и в силу условия Липшица
По неравенству Буняковского
к-О
k-Q
&-0
В силу тождества A) и неравенства C) правая часть не превосхо-
превосхопри всех jc ^ 10, II имеет
дит
— 1/ — =—¦?=¦• Следовательно,
п ' 4 2 у л
п ' 4 2 у л
место неравенство
а отсюда следует:
A2)
Показано, что порядок этой оценки улучшить нельзя.
Естественно ожидать, что чем больше требований мы наложим
на функцию f{x), тем быстрее будет стремиться к нулю отклонение
Д(/, Вп). Однако это не совсем так.
Приведем без доказательства следующую теорему:
Если функция f(x)?C имеет в точке х конечную производ-
производную второго порядка f" (x), то
2л
A3)
где рп стремится к нулю при возрастании п.
Из этой теоремы следует, что во всех случаях, за исключением
случая, когда f(x) — линейная функция, порядок стремления к нулю
уклонения Д(/, Вп) не может быть больше —.
Интересно отметить, что при некоторых дополнительных усло-
оиях на функцию f(x) будет иметь место не только равномерная
сходимость многочленов Бернштейна к функции f(x), но и сходи-
сходимость их производных к соответствующим производным функции.
Так имеет место следующая теорема:
Теорема. Если функция J (х) всюду на [0, 11 имеет непре-
непрерывную производную f (х), то В'п(х) равномерно сходится к/\х).

354
РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
[гл. 4
В самом деле,
п
ft=l
n-1
ft=O
Ho
Отсюда
(ft 4-
П-1
ft-0
ft-0
По формуле Лагранжа о конечных приращениях
поэтому
или
ft-о
+S
ft=O
В правой части последнего равенства первая сумма представляет
из себя многочлен Бернштейна (и—1)-го порядка для производ-
производной /' (х) и будет равномерно сходиться к /' (х) на отрезке [0, 1].
Далее, так как
то
г
Мп
"к
- 1
*
п
k
п
•ее
— 1
^ п
—
1
п
^ я + 1
1 "*• л
•

§ 4] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 355
В силу равномерной непрерывности f (x) для любого заданного е> О
для всех га, начиная с некоторого га0, будет иметь место неравенство
при всех k. В силу этого неравенства и тождества A) вторая сумма
при га^га0 будет меньше е, а это означает, что вторая сумма равно-
равномерно на [0, 1] сходится к нулю, а следовательно, Вп(х) равно-
равномерно сходится к f'(x).
Справедлива и более общая теорема:
Если f(x) имеет на [О, 1] непрерывную производную k-то по-
порядка f(k)(x), mo В{^{х) равномерно на [О, 1] сходится к /<й> (х).
Как следует из теоремы Вейерштрасса, ?„(/)-> О при га->оо.
Порядок этого стремления будет зависеть от структурных свойств
функции и сам в свою очередь определяет эти свойства. Мы позже
посвятим этому отдельный параграф.
§ 4. Тригонометрические многочлены наилучшего приближения
Из второй главы нам известно, что тригонометрические функции
1, sin х, cos л:, sin 2x, cos 2x, ..., sin гад;, cos гад;
также образуют систему Чебышева на полуотрезке [0, 2-к). Поэтому
и к ним применима общая теория, изложенная в § 2. Ив этом
случае ?'„(/, Тп) — отклонение функции f(x) от тригонометрического
многочлена наилучшего приближения—будет стремиться к нулю, что
подтверждается следующей теоремой, носящей название второй тео-
теоремы Вейерштрасса:
Если f(x) непрерывная периодическая функция с периодом 2тс,
то для любого е >¦ 0 существует такой тригонометрический
многочлен Т(х), что при всех х?(—оо, -f-oo) имеет место
неравенство
\ <в. A)
Доказательство. Докажем сначала лемму:
Если f(x) — непрерывная на [0, -к] функция, то для всякого
е>0 существует четный тригонометрический многочлен Т(х),
удовлетворяющий неравенству
В самом деле, сделаем замену независимого переменного
* = arccos_y. Тогда функция ty(у) = у (arccosу) будет непрерывна
на отрезке [—1, -f-1], и по первой теореме Вейерштрасса найдется

356 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 4
п
такой алгебраический многочлен Рп (у) = 2 сйУ*. что для всех
ft-o
_у?[—1, -f-1] будет иметь место неравенство
| tp (arccos.y — Рп (у) | < е.
Возвращаясь к старому переменному, будем иметь:
п
9 (х) — 2 cft cosft
<е для всех л:?[0, тс].
Но
к-о к-1
есть четный тригонометрический многочлен, ибо
к
гс\ск v* — / ! \ — .—
г-о
к ft
1 VI / V ,
— У tji cog B/ k} x -A / С sin B/ tt\ у
I =-0 ( =-0
В последнем равенстве вторая сумма равна нулю, так как члены,
равноотстоящие от концов, имеют противоположные знаки и взаимно
уничтожаются. Следовательно,
к
cos* х = ~ 2] С1к cos B/ — k) x.
(=.0
n
Заменяя в 2 c^cos*.*: степени cos.*: и приводя подобные члены,
лолучим:
п
Т (х) = а0 -f- 2 ак cos kx>
ft=-i
и лемма доказана.
Для доказательства самой теоремы рассмотрим функции
f(x)-\-f(—х) и [f(x) — /(—x)\s\nx.
Это — четные периодические функции с периодом 2тс, непрерывные
для всех х. В соответствии с леммой при заданном е > 0 можно
найти такие четные тригонометрические многочлены Ту(х) и Т2{х),
что при всех х?[0, тс] будут иметь место неравенства:
(— *) — Т1(х)\<±.

§ 4] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 357
В силу четности всех функций, входящих в эти неравенства, они
останутся справедливыми и для х?[—тс, 0], а по периодичности и
для всех х?(—оо, -f-°°)- Таким образом,
/ (х) + / (— х) = 7\ (х) -+- а (х),
If (ж) — /(— *I sin х = Т2 (х) 4- Р (*).
где \а(х)\, \$(х)\ <у для всех х.
Умножая первое из этих равенств на sin2 jc, а второе на япдг
и беря их полусумму, получим:
где
7*8 (*) = у [Л (*)sln2 * -+- Т2 (х) sin
^ (— оо < х < 4- оо).
Рассмотрим теперь функцию f(y—-^]. Эта функция снова при-
принадлежит к С2к. Следовательно, имеется тригонометрический много-
многочлен Г4 (у), для которого справедливо аналогичное равенство:
где |8(.у)|<у при всех у?(—оо, +<х>).
Заменим здесь у ^ на х. Получим:
/ (х) sin2 (х 4-1) = / (*) cos2 х =
8(|5)8W. C)
где |8i(-*0|<-|- Для всех х- Складывая почленно равенства B) и C),
получим:
/ (*) = [7^3 (*) + Ть (х)] + 7 (*) + 8i (*)•
Так как | -у (х) -\- 8г (х) \ < е при всех х, то, вводя обозначение
будем иметь:
для всех х, что требовалось доказать.
Вторая теорема Вейерштрасса может быть сформулирована и
следующим образом:
Непрерывная периодическая функция f(x) с периодом 2тс
может быть представлена как предел равномерно сходящейся
последовательности тригонометрических многочленов. Из нее
также следует высказанное в начале параграфа утверждение.

358
РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
[ГЛ. 4
§ 5. Некоторые теоремы о порядке наилучшего равномерного
приближения непрерывных функций
Пусть / (х) — непрерывная периодическая функция с периодом 2я,
а Ёп (/) — наилучшее равномерное приближение f(x) в совокупности триго-
п
нометрических многочленов Нп (Т) вида а0 -\- 2 (ак cos *¦* + *А sin ?*)> где
л — фиксированное целое число. Из второй теоремы Вейерштрасса следует,
что lim ?"„(/) =0. Возникает вопрос: как быстро Еп (/) стремится к нулю
п->- оо
при л -> оо? Оказывается, что скорость сходимости к нулю Е„ (/) зависит
от свойств функции /(*), и чем более гладка функция f(x), тем быстрей
?п (/) стремится к нулю. Мы здесь рассмотрим две теоремы Джексона,
дающие оценку скорости убывания Еп (/) в зависимости от гладкости функ-
функции /(*).
Теорема 1. Если f(x) — непрерывная периодическая функция
с периодом 2п, удовлетворяющая условию Липшица
\f(xi) — f(xi) К МI xi — xi I для любых х1 и
то
где С—абсолютная константа.
Доказательство. Рассмотрим функцию
+7U
sin
n(t-x)
sin
t — x
dt
sln-
sin
— x
dt
и покажем, что эта функция является тригонометрическим многочленом по-
порядка 2л — 2. В самом деле,
sinT
sin
2 J
* пЫ nut
e~-e~~
п-1) ui
,
_^ 4-1]2=
2п-2
п-1
= е-(п-1) иг
V д^^йи = V akei (Jc+i-n) « _ V

§ 5] НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПОРЯДКЕ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 359
где ак = o^n-ft-a = k-\-1 при ?-<л—1. Но так как при
г-i = ап-1-г = п — 1, то
л — 1
sin
sin
ли
т
и
т.
п-1
п-1
= л + V (л — /) (««" -f «-««) = л -f 2 V (л — I) cos /и,
г-i
т. е.
sin_
есть тригонометрический многочлен порядка л — 1. Возводя
его в квадрат и преобразуя квадраты и произведения косинусов в косинусы
кратных узлов, а затем приводя подобные члены, получим:
sin
n(t-x)
2
sin
t — x .,
an-г
= V cft cos Л (t —
Далее,
J
sin
n(t—x)
sin-
J+7I2n-a
1:
cos k (t — x) dt, =
-I
2n-2
k-0
i 2n-
= 2j
где
sin
sin •
dt
+
J
2n-2
/@ YjCkcosk(t —
— 1С
2П-2
= V (Я^ COS ?X -j" 6ft Sin kX),
A=0
ак = ск J f @ cos /tf Л, Ьк = ск J f (t)
sin
Итак, f/n (x) есть тригонометрический многочлен порядка 2л — 2. Заме-
тим для дальнейшего, что постоянный член в Un (х) равен j / (t) dt.

360 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Рассмотрим теперь разность
J
-/<*)]
Un(x)-f(x) = -
sin
n(t-x)
sin
t — x
dt
J
nj?-x)_
sln-^—
dt
n+X
J
[/W-/<*)]
sin-
sin •
dt
J
sin
n(t-x)
sin
—л:
Сделав здесь замену —^— = t\, получим:
[гл. 4
Г [sin nrj 1*
J I Sin T) J
rfr,
илн, учитывая, что функция f(x) удовлетворяет условию Липшица, будем
иметь:
J
rfr,
,/ L simr] J '

§ 5] НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПОРЯДКЕ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 361
Так как sin т] ¦< т] при г\ > 0, то
5
/
sin*
? 2v
Г sin* щ . . Г b
in* щ . Г sin* ?
/sin4
—ц
я
—ц— at, Далее, так как при 0-<г)^— имеет место неравен-
о
СТВО Sin Y] > — , ТО
тс
/'
sin*
•-/¦
-16,7
О
sin4 от
2п
Ho
2»
/* s
shi4?
/Sin4 /IY] . . Г
5—^ Л1\ + /
2
= J
Sin4 ЛТ1
'
2 со
/* sin4 лт) /* di\ . Г di\ In4 , ( 2 \
in 2n
Отсюда
т. е.
4С
Положив С = —- для всех п и х, будем иметь неравенство
с2
откуда следует, что
СМ
СМ

362 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 4
или, вообще,
Теорема 2. Если непрерывная периодическая функция f(x) с пе-
периодом 2п имеет производную р-го порядка, удовлетворяющую условию
Липшица
\fiP) (*l) -
то имеет место неравенство
.Ср+1М
?»(/)<¦
где С — та же константа, что и в теореме 1.
Доказательство. Из теоремы 1 следует неравенство
т. е. существуют многочлены 7"^ (х) порядка п, не содержащие постоянных
членов, для которых
Обозначим через f/Jf ~ *' (х) тригонометрический многочлен порядка п, являю-
ошйся интегралом от Т^ (х), не содержащим постоянного члена. Тогда
т. е. функция рр ' (х) — U)? ' (х), имея ограниченную производную, на-
наверняка удовлетворяет условию Липшица с константой . Но тогда по
теореме 1
т. е. существует такой многочлен V^ *' (х) степени п, не имеющий постоян-
постоянного члена, что
Полагая
можно записать последнее неравенство в таком виде:
Повторяя р раз проведенные рассуждения, придем, наконец, к неравенству

§ 5] НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПОРЯДКЕ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 363
которое означает, что
Используя теоремы 1 и 2, легко дать оценку наилучшего приближения
En(f) B случае, когда мы функцию f(x), непрерывную на [а, Ь], прибли-
приближаем на отрезке [а, Ь\ с помощью алгебраических многочленов.
Заметим прежде всего, что не ограничивая общности, можно считать,
а = — 1, Ь = + \.
Теорема. Если f(x) непрерывна на отрезке [—1, 1] и удовлетво-
удовлетворяет условию Липшица
t—1. +1]),
то
где С — абсолютная константа.
Доказательство. Сделаем замену независимого переменного
* = cos*. Функция ф @ = / (cos 0 на отрезке [—я, я] удовлетворяет усло-
условию Липшица с той же константой, так как
^ — cos *, |
По теореме 1 для функции ф (t) можно подобрать такой тригонометриче-
тригонометрический многочлен Т (t) порядка п, что
Так как ф @ — четная периодическая функция с периодом 2тг, то можно
считать, что Т (t) не содержит синусов. Поэтому обратная подстановка дает
СМ
Но Т (arccos x) есть алгебраический многочлен степени п, следовательно
Теорема. Если f{x) непрерывна на отрезке [—1, +1] и имеет
непрерывную производную /'р' (х), удовлетворяющую условию Липшица
1/№) (*i) —/№) (*з) I < М | хх — Хч | (хь хъ € [— 1, + 1]),
то
с„М
Доказательство. Из предыдущей теоремы следует, что
т. е. существуют многочлены Р^р) (х) степени п — р такие, что
с)|<л — р

364 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ.
ИЛИ
т. е. функция /(?-Ч [х) — Р-1'^) удовлетворяет условию Липшица с кон-
константой СМ/(п—р). В таком случае
En-P+1(f Р )<{п _р)(п
и, следовательно,
Продолжая рассуждения, придем, наконец, к неравенству
(л— р)(п — р+ 1) ... л
Так как при п~^-р-\-\ справедливо неравенство л—ft!>-—-j-¦=—л, то
Из этих оценок мы видим, что если функция f(x) достаточно гладкая
то Еп (/) стремится к нулю очень быстро. Ранее же мы видели, что Д (/, Вп)
стремится к нулю не быстрей — при любой гладкости /(*), лишь бы /(*)
не была линейной функцией. Поэтому для приближения функции f(x) имеет
прямой смысл строить многочлены наилучшего равномерного приближения.
§ 6. Приближенное построение алгебраических многочленов
наилучшего приближения
Как уже указывалось во Введении, в вычислительной практике
часто приходится приближать трудно вычислимые, функции более
простыми, например алгебраическими многочленами. При этом часто-
требуется приблизить функцию f(x) на отрезке [а, Ь] алгебраиче-
алгебраическим многочленом Р(х) так, чтобы его отклонение от функции f(x}
по абсолютной величине не превосходило заданного числа е на всем
отрезке (а, Ь], т. е.
max
Из теоремы Вейерштрасса, доказанной в этой главе, следует, что
для функции f(x), непрерывной на [а, Ь] при любом е > 0, такой-
многочлен построить можно. Но для практики важно, чтобы такой
многочлен имел возможно меньшую степень. Таким многочленом
будет многочлен наилучшего равномерного приближения к функ-
функции f(x) на отрезке [а, Ь] в совокупности Ип(Р) многочленов сте-
степени не выше п при таком п, для которого имеет место неравен-
неравенство

§ 6] ПРИБЛИЖ. ПОСТРОЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 365
К сожалению, способов построения многочленов наилучшего при-
приближения к данной функции f(x) нет, поэтому большое значение
приобретают способы приближенного построения таких многочленов.
Хотя разработанные до сих пор методы приближенного построения
многочленов наилучшего равномерного приближения недостаточно
эффективны, так как требуют выполнения большой вычислительной
работы, мы изложим два способа, сравнительно простых по идее и
их осуществлению.
]. Предварительные замечания. Сделаем несколько общих за-
замечаний и докажем несколько существенных для дальнейшего изло-
изложения утверждений.
1. В § 2 этой главы мы отмечали, что вся теория наилучшего
равномерного приближения функций /(*). непрерывных на отрезке
[а, Ь], с помощью многочленов (в том числе и алгебраических)
остается в силе, если мы будем рассматривать вместо отрезка [а, Ь]
любое замкнутое множество G, лишь бы оно состояло не меньше
чем из (ге-)-2)-х точек. В частности, справедлива теорема:
Для того чтобы многочлен Рп(х)?Нп(Р) был многочленом
наилучшего приближения к функции f(x) на замкнутом множе-
множестве G, содержащем не менее п-\-2 точек, необходимо и доста-
достаточно существование таких п-\-2 точек
хг<х2< ... <хп+2 (Xi^G), A)
что
(i=l, 2, .... я-|-2; а = -И или —1), B)
где L= max\f(.x)—Рп(х)\. При этом L = En(J, G)— наилучшее
приближение функции f(x) на G в Нп(Р).
Точки A), для которых выполняется условие B), будем называть
чебышевским альтернансом.
Справедлива также и следующая теорема (Балле — Пуссен):
Если Р (х) ? Нп (Р) и точки хх < хг < ... < хп+2 (xt ? G) та-
таковы, что
sign [/ (jcJ - Р (*,)] = — sign [/ (х2) — Р (*,)] =
= sign [/ {х3) — Р (х3)\ = ...=(— l)"+1sign[/(A;n+2)-P(A;n+2)], C)
то
?„(/, G)>jx= min {\/(хг)-Р(х{)\}. D)
i-l, i n+2
При фиксированных f(x) и Р(х) величина (i зависит от выбора
комбинации хх < хг < ... < хп+2, удовлетворяющей условию C).
Верхнюю границу для jj, при выборе всевозможных таких комбина-
комбинаций обозначим через А. Если G = [a, b], то А можно найти сле-
следующим образом. Рассматриваем разность A(x)=f(x) — Р(х). Пусть

366
РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
[ГЛ. 4
L= max |/Ос)—Р(х)\. Возьмем число R@<CR<L) и обозначим
х?\а, Ы
через F к S два замкнутых множества точек отрезка [а, Ь\, на
которых выполняются соответственно неравенства Д (х) ^> R и
Д(^)^ — R. Дополнением суммы этих множеств до наименьшего
отрезка [с, d], содержащего эту сумму, будет открытое множество,
состоящее из конечного или счетного множества интервалов. Те
интервалы, которые одновременно граничат с F и 5, обозначим
через 1и /2, ... (рис. 29). Если их число больше п, то наверняка
-L
Рис. 29.
имеет место неравенство En(J)^>R, так как в этом случае на [а, Ь]
найдутся п-\-2 точек хх < х2 < ... < хп+2, для которых будет
иметь место C) и
\ = \f(xi) — Pix0\>R (* = J. 2
Если одно значение [а известно, то, полагая /? = [х, мы получим
случай, когда число интервалов /ь /2, ... не меньше ге-j-l. Дальше
увеличиваем R до тех пор, пока число их все еще остается не
меньше п-\-\. Это предельное значение R и будет А. Его можно
определить, практически исследуя на экстремум функцию
Заметим без доказательства, что если \Р (х)\^.2М, где
М= max
то для длин интервалов 1и /2> ... существует положительная ниж-
нижняя граница l(R), зависящая только от R (а не от P(x))t причем
l(R)-> 0 только при R->0.
2. Найдем выражение ?„(/, G) через значения функции f(x)
п
в точках чебышевского альтернанса. Пусть Р„ (х) = 2 akxk — много-
ft0

§ 6] ПРИБЛИЖ. ПОСТРОЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 367
член наилучшего приближения к f(x) на множестве G в Нп(Р),
а *! < х2 < ... < хп+2 — чебышевский альтернанс для него, т. е.
f(xd - Рп (*«) = а (— W Еп (/. О), E)
(/=1,2,... /t-f-2; a = -f-l или —1).
Рассмотрим определители
(/= 1, 2, .. ., я+ 2).
Все определители Dn, $ положительны, так как х^ <С х2
... < хп+2. Далее, при k = Q, 1, 2, ..., я
** 1
1 X»
У
... А,
... j:2
лП+2
лП+2
F)
= 0. G}
Умножая E) на (—1)*^п ; и суммируя по г от 1 до я-)-2, будем
иметь:
»+2^ г п 1 »+2
2 (—l)lDn.l\ 2 «**? = S [(-1)*
„(/. G)]Dn>i .
Меняя слева порядок суммирования и учитывая G), убеждаемся
в равенстве нулю левой части, т, е.
г=1
г=1
где
Dn = Dn (xl. X2, .... Хп+2, f) =
• (8)

368 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Таким образом,
п+2
^(-ХI-1 f (Xi) Dn, г
а?„(/, О)= "' w+2
Dn
2
Из E) и (9) следует, что
Если в (9) числитель и знаменатель разделить на
п+2 >*:>«> 1
« ввести обозначение
d = I
""• l (Xi — Х{) {Xi — ДГ9) • • • (•«. — -^.-l) (-«г + 1 — -*i) • • •
то получим;
(_!)*-* /(*,)</„,,
[гл. 4
(9)
A1)
A2)
A3)
В частности, если f(x{), /(Jf2), .. ../(Jfn+2) имеют чередующиеся
знаки, то
П+2
2
2
A4:
и
где
/я
г
— 1,
/я <?
-^ г,
mm {|/(*j)|]
2, П + 2
(f GXM
• - -^ .
max
3. Пусть yu y2, . .., yn+2 — произвольные точки множества О,
расположенные в порядке возрастания y^<i y-i<i ¦•• С
Положим
У У) ~^ '
2
г=1

§ 6] ПРИБЛИЖ. ПОСТРОЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 369
Эта величина обладает тем свойством, что
1) Р (Уь Уг Уп+г) < Еп (/, О); A6)
2) существует система точек хх < х2 < ... К хп+2 (xt?G), для
которой
P(*i, *2 *п+2) = ?„(/, О). A7)
Эта система точек образует чебышевский альтернанс и, следова-
следовательно,
sign [/(*!) — Рп (*,)] = — sign Dn (xlt x2 xn+2, /), A8)
где Pn(x)—многочлен наилучшего приближения к f(x) на G.
Дл"я доказательства этих утверждений обозначим через 5 множе-
множество, состоящее из (п-\-2)-х указанных точек уи у2, ..., уп+2, через
Рп (х) и Qn (x) — многочлены наилучшего приближения к функции f(x)
соответственно на множествах G и 5 в Нп(Р), а через ?„(/, G) и
?n(/, S)—соответствующие наилучшие приближения.
Пусть хх < х2 < ... <*пь2 — чебышевский альтернанс для f(x)
на G. По доказанному ранее (см. A0))
Р Ui. -«2 *п+2) = Еп (/¦ О)-
Так как множество 5 состоит только из (л-)-2)-х точек уъ у2, . ..
.... _уп+2. то они образуют чебышевский альтернанс f(x) по отно-
отношению к 5, а следовательно,
и Уг Уп+2.) =
Далее,
?„(/. 5) =
a:?S a:?S
< max | / (*) — Pn (x) | = ?„ (/, G).
Отсюда
У* .... yn+2) = En(f, S)<?n(/. G),
и неравенство A6) доказано.
Если *! < л2 < • • • < -*п+2 есть чебышевский альтернанс функ-
функции /(х) на G, то p(*i, jc2, ..., хп+2) = ?„(/, G), а так как
в силу теоремы существования многочлена наилучшего приближения
и теоремы Чебышева он всегда существует в G, то р(_Vi. У2< •••
•••• Уп+2) достигает своей верхней границы на любом из этих
альтернансов.
Пусть теперь 5 есть множество точек хх < х2 < ... < хп+2.
для которых
„ х2, .... xn+2) = En(J, G), (*)

370 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 4
а Р„(х) и Qn(x) — многочлены наилучшего Приближения к f (х)
в Нп(Р) соответственно на множествах G и 5. Из равенства (*)
следует, что
P(xlt хг. ..., xn+2) = En(f, S) = ?„(/. О).
Но SgO. Следовательно,
?„(/, G) = max | /(*)—/>„(*) | > max \f(x) —Pn(x) | >
> max |/ (*) — Qn (х) | = ?п (/,
Но так как
?„(/. 5) = ?„(/, О),
то
тах|/(*) —Я„(*)| = max |/(*)—<?„ (*)|.
Это означает, что Рп(х) есть многочлен наилучшего приближения
к /(л) на 5 и в силу единственности многочлена наилучшего при-
приближения
Pn(x) = Qn(x)
Но так как 5 состоит из (« + 2)-х различных точек, то
Pn(x) = Qn(x).
Это и доказывает, что множество S= {xl < х2 < х3 < ... < лях2|
есть альтернанс к f (х) на G, а поэтому имеет место и равенство A8)
(см. A1)).
4. Предыдущие рассуждения позволяют с помощью конечного
числа шагов построить многочлен наилучшего приближения к f (х)
в Я„(Р) на множестве G, состоящем из конечного числа точек
т (т >- п 4- 2).
Рассмотрим сначала случай т = п-\-2.
Располагая точки этого множества в порядке возрастания х± <
< х2 < ... < -?„+2. вычисляем p(xlt x2,'..., хп+2), используя ра-
равенства A5), F), (8). Значение р = ?„(/, S). Зная знак определи-
определителя Dn(xu х2, ..., хп+2, /), определяем знак разности f (х{) — Рп(х\)
с помощью равенства A8).
Далее, пишем систему равенств
f(xi)~Pn(xi)^a(— 1)г?„(/, S) (t=l. 2 я4-2), A9)
где a = -f-l. если Dn > 0, и а = — 1, если Dn < 0.
Из этой системы равенств находим значения искомого много-
многочлена Рп(х) в точках Xi'.
Pn(^i) = f(Xi)~oi(—l)lEn(f,S) (/=1.2 «4-2). B0)
Этими значениями многочлен полностью определяется. Найти его
можно, строя интерполяционный многочлен по любым п-{-\ значе-

§ 6]ПРИБЛИЖ. ПОСТРОЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 371
ниям. Лишнее значение можно использовать для контроля, так как
полученный интерполяционный многочлен должен принимать заранее
вычисленное значение в неиспользованном узле.
Если множество G состоит из т точек у^ < у2 < ... < ут
(/я > п~\-2), то рассматриваем всевозможные комбинации из
(я-)-2)-х точек этого множества у^, у^ -У|»+2 • где '! <~-
< г2 < •. • </п+2. и для каждой из них вычисляем р(уг,, уч, •••
..., _У{п+а). Из конечного числа значений р выбираем наибольшее.
Система точек у^, у^ Угп+г для которой Р имеет максималь-
максимальное значение, будет давать альтернанс для f (х) на G, и построение
многочлена наилучшего приближения к f (х) на G сводится к по-
построению многочлена наилучшего приближения к / (х) на множе-
множестве из этих (ге-(-2)-х точек. Построение этого многочлена
мы уже описали. .Основная трудность заключается в том, что при-
приходится вычислять значения р для всевозможных комбинаций _Уг,,
Уг Угп+2 (h<k< ••• <in+2)> число которых равно Ст+3,
т. е. при большом т может быть очень большим.
5. Для дальнейшего имеет важное значение следующая
Теорема. Если f(х) — непрерывная на [а, Ь\ функция,
а {Рп, к(х)}к-и 2,... —последовательность многочленов из Нп(Р),
для которых имеет место неравенство
Д (/. Я„, *) = max | / (*) - Яп> k (х) |< Еп (/) 4- et, B1)
где eft->0 при ?->оо, то последовательность {Рп t(.*)}fc-i, 2,
равномерно на [а, Ь] сходится к многочлену наилучшего прибли-
приближения Рп(х) функции f (х) на [а, Ь] в Нп(Р).
Доказательство этой теоремы существенно опирается на лемму:
Из всякой последовательности многочленов {Qn> ^(x)}^^, 2, ...
(Qn к(х)?Нп(Р))< ограниченных на [а, Ь\ одной и той же кон-
константой М, можно выбрать подпоследовательность, равномерно
сходящуюся на [а, Ь] к многочлену Qn(x)?Hn(P).
Для доказательства леммы прежде всего докажем, что если
Qn, * (*) = S в?^. N* = S I af I и Мк = max | Qn>
то существуют такие постоянные Л и В, не зависящие от k, что
A/ft < ЛЛ*Ъ B2)
Мк < BA/ft. B3)
В самом деле, если положить В= max \xl\, то при х?[а, Ь]
х?[а, Ъ]
0=0. 1,2, ..., »
S|j|||<2

372 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 4
Отсюда
max \Qn,k{x)\ = Mk*?BNk,
<в€[о, Ы
и неравенство B3) доказано. Для доказательства неравенства B2)
возьмем на [а, Ь] некоторые точки х0, хи ..., хп (х{ Ф Xj при / Ф J).
Тогда по интерполяционной формуле Лагранжа
где Ln i (x) — многочлен степени n, обладающий свойством
• ЦФЛ.
I*
Пусть Ln j (x) = 2 ffix1- Тогда
' г=о
i-0
Отсюда
2_o ' ' г=о i=o г=о
Полагая Л=2 2 1ргг)| (А не зависит от k), получим неравен-
г-о »-о
ство B2).
Теперь перейдем к непосредственному доказательству леммы.
Многочлен Qn>ic(x) вполне определяется его коэффициентами аок\
aW а№\ Поэтому вместо последовательности многочленов
{Qn, к (х)}к-1,2,... рассмотрим последовательность точек R]c=(a.Vc\
af\ ..., aW\ (n-f- 1)-мерного евклидова пространства. Так как
| Qn, к (х) | < М (х?[а, b], k= 1, 2, ... ), то по неравенству B2)
21а^ I <С ^^4. т. е. {Rk) — ограниченная последовательность точек,
а следовательно, из нее можно выбрать некоторую подпоследова-
подпоследовательность Шк 1, сходящуюся к некоторой точке /?:=(а0, ах, .... а„).
и
Рассмотрим многочлен <?(*) = 2 ai^> коэффициентами которого
являются координаты точки R. Из неравенства B3) следует, что
п
max jQn, *,(*) —
Правая часть стремится к нулю при й<->-оо, а это и означает, что
{Qn,ki (x)}k. равномерно на [а, Ь] сходится к Q(x)?Hn(P).

§ 6] ПРИБЛИЖ. ПОСТРОЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 373
Используя эту лемму, докажем сформулированную выше теорему.
Из неравенства B1) и условия, что вк—>0 при ?->оо, следует
существование такой постоянной К, что
\Рп,к(х)\<К {х?[а. Ь]. А=1. 2. ...).
ибо
I К, *(Х) | = | Рп, *(*) — / (X) -Ь / (JC) |< | Рп, к (X) — f (X) | + | / (Jf)|<
<Д(/, Я»,*)+ max |/(*)!<?„(/)+ е+Af.
<в€[о, ft]
где е — верхняя грань {е^.}, а /W = max | / (х) \. Поэтому за К можно
а;?[а,Ъ]
взять ?„(/)-(-е-(-М. Так как последовательность {Pn,ic(x)}ic-i,% ...
ограничена одним и тем же числом К, то по лемме из нее можно
выбрать подпоследовательность {Рп< к (x)}kv равномерно сходящуюся
к некоторому многочлену Qn(x)?Hn(P). Для этой подпоследова-
подпоследовательности имеем:
1
= max |/(*) —Я
».
|(
<8€[О(Ь]
Переходя к пределу при ?{->оо, получим:
Д(/. Q«)= max |/(*) —<?„(*)
но так как En(f)= inf Д(/, Q), то
max |/(*) — QB (*)| = ?в(/)
и, следовательно, Qn(x) есть многочлен наилучшего приближения
к f (х) на [а, Ь\ в Нп(Р). В силу единственности многочлена наи-
наилучшего приближения Qn(x) = Рп(х).
Таким образом, подпоследовательность {Pnll <x))ki равномерно
на [а, Ь] сходится к Рп{х).
Из единственности многочлена наилучшего приближения следует,
что и вся последовательность [РПу к(х)}jt=i,2,... будет равномерно
сходиться к Рп{х). Если бы это было не так, то из нее можно
было бы выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся
к некоторому другому многочлену Рп(х)?Нп(Р). Этот многочлен
должен был бы быть многочленом наилучшего приближения в Нп (Р)
к f(x), но это противоречит единственности многочлена наилучшего
приближения.
2. Первый способ приближенного построения многочлена
наилучшего приближения. Пусть для функции f (х), непрерыв-
непрерывной на отрезке [а, Ь\, требуется построить многочлен, близкий

374 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 4
к многочлену наилучшего приближения Рп(х) в Нп{Р). Для построения
такого многочлена возьмем на отрезке [а, Ь] т~\- 1 точек (т
/=0. 1. 2, .... т). B4)
Обозначим это множество через G. Методом, описанным ранее,
строим многочлен наилучшего приближения к f (х) на G в Нп(Р).
Этот многочлен обозначим через Р», m+i (jc). Докажем, что при
т.-> оо последовательность многочленов {РПу m+i(x)}m=n+i,... равно-
равномерно на [а, Ь\ сходится к Рп{х).
Обозначим через 21 колебание функции f (х) на [а, Ь\. Без
ограничения общности можно считать, что
max /(х) = — min /(х), т. е. — L</(*)<I.
•sg[a,ft] a=?[a, Ь|
Очевидно,
К I +?„(/) (У=0. 1, 2 /я). B5)
Пусть | Pra> m+i (x) | достигает на [a, b\ максимума Мт+1 в точке х*.
Среди точек х,- (у = 0, 1, 2, .... от) найдется точка, удаленная от х*
не больше чем на —»—. Пусть это точка хк. Тогда
Z3™, т+1 (X*) — Рп, т+1 (Хк) = (X* — Хк) \?- РПу т+1 (х)] , B6)
где I лежит между х* и хк.
Воспользуемся неравенством Маркова, утверждающим, что если
Р(х) — многочлен степени п., а М= max \P(x) |, то при xf [a,b]
х?[аЪ]
B7)
Используя это неравенство, получим:
dPn, m+i (х)
Ь — а '
dx
Из B5), B6) и B8) имеем:
(f) <^ Р , / Vя") Р ( у \
п vj / ^^> w, m+i \-* / w, т+1 \^к/ ¦
6 — а 2т т
Таким образом,
Mm+i(l —^
Если т у> я2, то
1 — —
т

§ 6] ПРИБЛИЖ. ПОСТРОЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 375
Пусть теперь х—произвольная фиксированная точка отрезка [а, Ь],
а Хл—ближайшая к ней точка из рассматриваемой системы х0, х1з
Л2> • • • > лт-
Снова, применяя неравенство Маркова B7) и оценку C0) для
Мт+1, имеем:
!Р (х)-Р (х\\ — \х — х\ dPn'm+i®
dx
rfl
Ь — а
Далее, на [а, Ь] найдется точка х, в которой имеет место равен-
равенство
Д(/. Pn,m+l)= max \f(x) — Pn,m+l(x)\ = \f(x) — Pn,m+l(x)\-
х g [a, 6j
Пусть Xj—ближайшая к ней из рассматриваемых точек B4). Тогда
Д (/. Рп, m+l) = | / (*) — Рп, т+1 (*) | < | / (*/) — Рп, m+l (x}) \ -+-
\Рп, m+l (xj) — Рп,
где через ш(о) обозначен модуль непрерывности функции f{x) на
отрезке [а, Ь] х). Обозначая сумму последних двух членов в правой
части неравенства C2) через ет:
б)'дем иметь:
/ PJ C4)
Очевидно, что ет—>• 0 при от—>оо, следовательно, применима тео-
теорема п. 5, из которой следует, что (Pn,ffl+iW)m-n+i, равномерно
сходится к Рп{х).
Этим доказана сходимость нашего процесса приближенного по-
построения многочленов наилучшего приближения.
Для оценки близости Pn,m+i(x) к многочлену наилучшего при-
приближения, т. е. величины
х) Модулем непрерывности функции /(лг), непрерывной на отрезке [а, Ь],
называют величину (о (В) = sup \f(x")—/(лг')| (x't x"^\a,b\). При
| х'-х" К 5
5 ->¦ 0, очевидно, <о (В) -*• 0.

376
РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
[ГЛ. 4
можно пользоваться таким приемом. Находим
Мт+1= max \f(x) — Р„, m+i
ее ? [я» о]
и En(f, G), где G—множество точек х0, хи .... хт. Тогда
Д(/. Рп, m+i)-Е„(/)< Мт+1 -?„(/. О). C5)
Пример. Для функции f(x) = \x\ в Н2(Р) найти многочлен
наилучшего приближения на отрезке [—1, -)-1].
Рассмотрим сначала множество G из четырех точек:
_ _1_ _J_ __ j
3 о
и найдем многочлен Ра-4 (Jf) наилучшего приближения к f (х) на
множестве G:
1
/(*о)=1;
Отсюда
11—11
I 1 _
3
! 1
3 9
1 1 I i
3 3 9
3
1 1
3 9
1 1
=-0.
Следовательно, Е2 (/, G) = 0.
Далее, составляем систему уравнений для определения значений
многочлена /\ 4 (х):
f (х0) — Рз, 4 (х0) = 0; /(*,) — Р3, i (*х) = 0;
/ (*а) — Ра, 4 (х2) =0; / (*,) — Р3> 4 (*а) = 0.
Отсюда
Р*. 4 (-«о) = 1; Ра, 4 (*i) = Ря, 4 (*г) = у
Следовательно,
*
— Иг.
, 4
'
4-
~*~3 /2
~~ 4 "* ¦" 4 '
4 2
max
1.
= t; E2(J, G) = 0.

§ б) ПРИБЛИЖ. ПОСТРОЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НАИЛУЧШеГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 377
Таким образом,
Приближение недостаточно хорошее.
Рассматриваем теперь множество G1 из пяти точек:
¦*о= —1-> xi = —
л:4=1.
Всего возможных комбинаций из четырех точек, расположенных
в порядке возрастания, будет 5. Для каждой из них нужно вычислить
величину р. Вычисления сведем в таблицу:
х{
/(¦**)
Dm
D%t
Dm
Dm
Dati
Возможные
комбинации
Xq, ЛГ(, Хг, Х9
¦^0» -^Ь ^1* -^4
Xq, Хь Х9, Х4
Xq, Xfy X§, Хд
X-l, Хч, Х& Xi
Xq
— 1,0
1.0
0,25
0,75
0,75
0,25
—
— 0,5
0,5
0,75
2
1.5
—
0,25
хч_
0
0
0,75
1.5
—
1.5
0,75
0,5
0.5
0,25
—
1.5
2
0,75
1.0
1.0
0.25
0,75
0,75
0,25
D%
—0,25
— 0,5
0
—0,5
0,25
P
0,125
1
"9"
0
1
9
0,125
maxp = 0,125 = E2(/, Gx) достигается для первой и последней ком-
комбинаций. Возьмем первую комбинацию. Система для отыскания
значений P.ii&{x) в точках этой комбинации имеет вид:
— 0,125,
0,125,
— 0,125,
0,125.
Отсюда
0,5 —PSi8(jc1)=
0 — /\ в (х2) =
0,5 — Р2,ь(х3)=
Яв,6(—1)= 1.125;
6 (—0,5) = 0,375;
P2,6 @,5) = 0,375
(_o,5)(O,5)
.125

378 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 4
Для контроля вычислим Ра, 5(*з):
Pi, 5 @,5) = 0,52 + 0,125 = 0,375;
Мь= max |/(л) —Ра, 5(л) | = 0,125;
х?[-1, +1]
Д(/, Pi,5) — Е2(/)< 0,125 — 0,125 = 0.
Таким образом,
Д(/.Р3E) = ?2(/).
Следовательно, многочлен Ра,ъ(х) совпадает с многочленом наи-
наилучшего приближения Р2(х) функции f(x) = \x\ для отрезка
[—1, +1], т. е.
Р2(х) = х2 + 0,125.
3. Второй способ приближенного построения многочлена
наилучшего приближения. Этот способ состоит в следующем. За
начальное приближение многочлена наилучшего приближения к не-
непрерывной функции f (х) на отрезке [а, Ь] в Нп{Р) берется не-
некоторый многочлен Рп,о(х)?Нп(Р), такой, что на отрезке [а, Ь\
должна существовать система из (ге-|-2)-х точек хх < х2 < ...
... < хп+2, в которых разность До(х? = /(хг) — Рп>0(хг) имеет
чередующиеся знаки. Исследуя на экстремум функцию
находим такую комбинацию точек
40)<40) <•••<*?'+» •
на которой &0(xfh имеет чередующиеся знаки при возрастании i от 1
до п -\- 2, а наибольшее и наименьшее значения |Д0^(°Л I соответственно
равны Lo и Ао, где Lo= max |Д0(^)|, а А$—наилучшая нижняя
х g [а, Ь]
граница для ?„(/), которую можно получить из исследования
A0(x) = f(x) — Рп, о(х), как говорилось в начале этого параграфа.
Многочлен Рп,о(х) целесообразно строить как многочлен наи-
наилучшего приближения к функции/(л) на множестве точек _ух < у2 < ...
••• <Уп+г. гле
?<^±Ь* (/=1.2 я+ 2). C7)
(Это — точки, соответствующие точкам экстремума многочлена
Чебышева Tn+1(t) на отрезке [—1,-)-1], если с помощью пре-
преобразования у=—-—t~\ i— отрезок [—1, -)-1] преобразовать
в отрезок [а,*].) Далее, ищется поправка Р0(х) к этому многочлену
как многочлен наилучшего приближения в Ип{Р) к функции Д0Bс) =
~f{x) — Рп,о(х) на множестве точек О0 C6). Значения много-

§ 6] ПРИБЛИЖ. ПОСТРОЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 379
члена Р0(х) в точках Jt<°> определяются из системы
До D0)) - ро D0)) = - [До D0)) - ро КО] = [До №-Ро КО] =•••
C8)
где
П+2
2<M
а = sign До (*f); р0 = „+3
*та, г-
C9)
Найдя /-^(jc), получим первое приближение многочлена наилучшего
приближения:
Рп, 1 (х) = Рп, о (х) + П (JC). D0)
Исследуя на экстремум функцию
Ai(*)=/(*) —Яп.1(*) = До(*) —Яо(*). D1)
находим множество точек Ох:
41»<4Х)<4Х)< ••• <4xi-2'
в которых Ai (л(,х)) имеет чередующиеся знаки, а наибольшее и
наименьшее значения среди | Дх (х^) | равны соответственно 1Х и Лх
AХ и Лх имеют такой же смысл для Дх(л), что и Lo и Ао для До(^)).
Затем строим многочлен наилучшего приближения Pt(x) к функции
Дх(л) на множестве Gx> используя C8) и C9) с заменой jt@) на х^\
Многочлен Яя>, (*) = Р„,, (*) + Рх (*) = Рп< 0 (*) -+- Ро (х) + Р, (*) б'у-
дет следующим приближением. Оценку точности приближения можно
проводить так же, как и в первом способе, т. е. вычислив
Мт= max \f(x) — Pn,m(x)\
для разности &(f,Pn,m) — ?«(/). характеризующей точность прибли-
приближения, будем иметь неравенство
т — Рт. D2)
Сходимость этого процесса получается из следующих соображе-
соображений. Прежде всего имеет место следующее неравенство:
Ai < Н = Р{x(l\ 4» *SU) < Аг+1- D3)
В самом деле, Дг+Х(^) принимает по очереди значения рг signAj^W)
и — Рг sign Дг Dг)) в (« + 2)-х точках х^ < xf < ... < ^3.

380 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 4
Следовательно,
Но за Л. х мы по определению принимаем наибольшую из нижних
границ {| Д*+1 (Xj)\ } -=1 2 2 для всевозможных комбинаций точек
Х\ < JC2 < ... < *„+2, для которых
sign Д*+1 (*i) = — sign Д{+1 (х2) =
= sign Д|+1 (^з) = ... = (— D"+1 sign Д{+1 (*п+2),
г. е.
а так как
и+2
р.^'-1 и+а , D4)
2/^
то р{ заключено между наименьшим и наибольшим из значений
\bi(xf)\ (У=1. 2 я+ 2). т. е.
Следовательно, неравенство D3) справедливо. Последовательные
точки в системе х^ < л2г> < • • • < *п+2 не могут находиться друг
от друга на расстоянии меньшем, чем минимум длин интервалов 1^\
1%\ .... о которых мы говорили в начале параграфа при определе-
определении величины Аг. Но, как мы отмечали, минимум длин эти* интер-
интервалов при фиксированных п, f(x) и [а, Ь\ зависит лишь от R,
которое в данном случае равно А{, и может стремиться к нулю
только при /?->0. Но так как в нашем случае при переходе
к каждому следующему приближению величина Л$ не убывает,
то эта нижняя граница длин интервалов для всех i может быть
выбрана одна, пусть она будет 10 > 0. Отсюда следует, что
Отсюда следует, что и d$j ограничены снизу и сверху положитель-
положительными числами rf0 и Do. Учитывая способ выбора точек хФ, можно
заключить, что имеется такое фиксированное число б @ < 8 < 1), что
Р{-Лг->A-б)(^-Лг-). [45)
Тем более, будет иметь место неравенство
Лг+1-Л{>A-8)[?„(/)-Л*]. D6)
Из неравенства D6) следует, что
?„(/)-^+1<6[?„(/)-Л*], 47)

§ 6] ПРИБЛИЖ. ПОСТРОЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 381
из которого получаем, что
En(f) — Ai+1<bi+1[En(f)—A0],
Далее
Отсюда
т. e.
lim Ai =
lim Ц = En{f),
D8)
D9)
E0)
E1)
n при /-+0О), E2)
а это означает (по теореме п. 5), что последовательность многочле-
многочленов {Pn,i(x)}i=0 1 равномерно на [а, Ь] сходится к многочлену
наилучшего приближения Рп(х) для функции f{x) на [а, Ь] в Нп(Р).
Пример. Для функции /(х)= [—1<^х<;1] найти при-
1 -р X
ближенно многочлен Р3(х) наилучшего приближения в НЪ{Р) так,
чтобы отклонение Д(/, Р3(х)) отличалось от ?3(/) не больше чем
на 0,0001.
За начальное приближение Рз, о(х) возьмем многочлен наилучшего
приближения к данной функции f(x) на множестве G точек экстре-
экстремума многочлена Чебышева Т4(х) на отрезке [—1, +1]. Это будут
точки:
Х\ = — 1; х2 = g— > хз = 0; х4 = —^— > хь = 1,
Находим наилучшее приближение E3(f, G):
E3(f, G) = —
- -hf-) (i - 0) (l + -
=1.
+1)
^r = 2,
)
—oj(i-o)
= 2*

382 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 4
Отсюда
Ea(f,G) — i_i_2 + 2 + 2+l 4*
1+2+2+2+1
Система для определения значений Р3, о(хд имеет вид:
11 2 о 1 , р ,_J_
у — ^3,o(*i) — -jf; -з~По№)- -^ 5 х ^з. о (X3j — 24 ,
_?__р /,\_ L- 1 " - - !
3 г3> о ^^ 24 ' 2
Отсюда
• \ '24
17
]7
24
2 + 2
= f(x)-P3,o(x) =^
Эта функция на [—1, +-1] достигает экстремальных значений
в точках:
х?>= -1; хГ}= - VV^^; xf = 0; xf =
Значения Д0(х) в этих точках следующие:
до1х1 ; = до1хз ; = ^ovx5; — -^, \\х%) — д
Эти значения имеют чередующиеся знаки.
24У^—35

§ 6] ПРИБЛИЖ. ПОСТРОЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 383
Находим поправку Р0(х) к Рз>0(х) как многочлену наилучшего
приближения к Д0(х) на множестве точек Go= \xf\ xf, xf\ xf\ xy}'
ло) ,@) J 2 + /2
«3,i = ,5 = 7 -,/- г- л 7 лг г- л == '
(l — V УТ— l).l.(l + y /2 — l)-2 4
@) _vo) 1 _зУ+4
(l—V /2—l)l/" УТ—1 • 2У" /2—1 (l+V У2"— l) 4
2. 2 + V2.l + 2 35-24^2
4 + ^
Ро = сз17. Uo)= 24
4
= 3~2^2~ = 0,04289.
4
Система для определения значений многочлена Ра(х) в х?' имеет
вид:
^
1 р (r(QA_ 3-2-уТ
4" — ° ^Хб / — 4 '
Отсюда
Ро(*!°>)=12У|4-17 (/=1.2.3.4.6).
Следовательно,
Точки экстремума Д^х) на [—1, +1] будут:
А, (*?>) =

384 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 4
Эго означает, что
т. е. мы нашли точное выражение многочлена наилучшего прибли-
приближения Р3(х) и наилучшее приближение E3(f).
Замечание. При построении многочлена наилучшего прибли-
приближения в Нп(Р) на множестве S из п-\-2 точек иногда бывает проще
вместо того, чтобы находить En(j, S) по общей формуле A5),
а затем по значениям Pn(Xj), определяемым из системы A9), строить
интерполяционный многочлен по любым п -\- 1 значениям, рассматри-
рассматривать систему A9) как систему с п-\-2 неизвестными: а0, а^ ап
коэффициенты искомого многочлена) и Z = a?n(/, S), и решать ее
непосредственно.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Среди многочленов вида Ах-\-В найти многочлен наилучшего при-
приближения для функции f(x) = У1 -\-х"* на отрезке [0, 1]. Используя его,
показать, что если а и Ь — катеты прямоугольного треугольника (а^Ь),
то с точностью до 4,5% величины а гипотенуза треугольника с равна
0,955а + 0,414*.
2. Среди всех многочленов вида
П-1
Ах* + 2 а***,
где А — заданное число, не равное нулю, найти многочлен, наименее укло-
уклоняющийся от нуля на отрезке [а, Ь].
3. Среди всех тригонометрических многочленов вида
П-1
A cos пх -|- В sin пх -\- 2 (ак cos kx -\- р* sin kx).
где А и В — заданные числа (А^-\- В* ф 0), найти тот, который наименее
уклоняется от нуля на отрезке [— я, -)- тс].
4. Показать, что
R (.у)- (* +У**-О"!**-1+У(**-1)(Д«~I ¦
П 2(x — a)(a*—\)( + Y*l)n
2(х — а)(а2_1)(д-)-У^1Г1)п
есть многочлен степени не выше п, являющийся многочленом наилучшего
приближения к функции f(x) = на отрезке [—1, 1]. Найти величину
наилучшего приближения Еп (/).

УПРАЖНЕНИЯ 385
5. Среди всех многочленов Рп (х) степени п, принимающих в точке 5,
лежащей вне отрезка [—1, +1], значение т\, найти многочлен, наименее
уклоняющийся от нуля на отрезке [—1, +1].
Отв Pn(x)=Ti-^^..
6. Найти многочлены Бернштейна Вп(х) для функции f(x) = ex на от-
отрезке [—0, 1].
7. В Я3(Р) найти многочлен наилучшего приближения к функции
f(x) = \x\ на множестве точек: х = ~0,5; —0,25; 0; 0,25; 0,5; 0,75.
8. В Н2(Р) найти приближенно многочлен наилучшего приближения
к функции f(x) = \x\ на отрезке [—1; 0,5] так, чтобы
9. В Н3 (Р) найти приближенно многочлен наилучшего приближения
к функции f(x) = -г-цГ\—Г на отРезке f—1' +1! так- чтобы Д(
</гз(/) +0,0001.
10. Показать, что среди многочленов степени не выше п многочлен
дает наилучшее приближение к функции / (х) = на отрезке [—М, +Л1],
где М<1, а а = ж-у -ш-\.
Указание. Воспользоваться упражнением 4 и соотношением
ЛИТЕРАТУРА
1. И. П. Натансон, Конструктивная теория функций, Гостехиздат, 1949.
2. Н. И. А х и е з е р, Лекции по теории аппроксимаций, Гостехиздат, 1947.
3. В. Л. Гончаров, Теория интерполирования и приближения функций,
Гостехиздат, 1954.
4. Е. Я. Р е м е з, Общие вычислительные методы чебышевского приближения,
Изд. АН УССР, 1957.
5. С. Н. Берн штейн, Экстремальные свойства полиномов, ОНТИ, 1937.

ГЛАВА 5
СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
В данной главе, так^ же как и в гл. 2 и 4, будут рассмотрены
вопросы приближения функций f(x), принадлежащих к некоторому
классу R, функциями ср (х) из более узкого класса R, но за меру
близости будет приниматься величина
или
8 =
где р (х)— заданная неотрицательная функция, называемая весом.
Такое понятие близости имеет смысл по следующим причинам:
1. Во многих случаях нет никакой необходимости требовать бли-
близости f (х) и ср(х) в каждой точке х?[а, Ь], т. е. требовать равно-
равномерного приближения, а достаточно лишь «интегральной» близости
функций.
2. Очень часто приближаемая функция f(x) задана лишь табли-
таблицей ее значений, причем последние получены из эксперимента, т. ?..
имеют случайные погрешности. Если в процессе решения задачи
требуется находить значения f(x) для промежуточных значений или
иметь аналитическое представление функции/(х), то нецелесообразно
прибегать к интерполированию, так как совсем не естественно тре-
требовать точного совпадения приближающей и приближаемой-функций
в некоторых точках, так как значения самой приближаемой функции
неточны. Практика показывает, что приближающие функции, построен-
построенные по методу среднеквадратичного приближения, значительно лучше
представляют реальную функцию/(х), чем интерполяционные много-
многочлены
3. Так определенная мера близости позволяет расширить класс R
приближаемых функций. При рассмотрении равномерного прибли-
приближения мы ограничивались классом С непрерывных функций, и это
было существенное требование, если ставить задачу равномерного

§ 11 ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА 387
приближения функции/(х) многочленами с любой заданной точностью.
Здесь же требование непрерывности излишне. Нужно лишь требовать
ъ
существования / p(x)f2(x)dx, г. е. можно рассматривать прибли-
а
жение функций из класса Ц(р) функций, интегрируемых с квадра-
квадратом с весом р (х).
Для упрощения изложения начнем его с общей задачи приближе-
приближения в гильбертовом пространстве, а затем уже рассмотрим и кон-
конкретные вопросы среднеквадратичного приближения и их приложения.
§ 1. Гильбертовы пространства
Введем еще одно очень важное понятие функционального анализа
Пусть R— некоторое линейное множество. Будем говорить, что
в нем определено скалярное произведение, если каждой паре его
элементов f1 и /2, взятых в определенном порядке, поставлено в со-
соответствие комплексное число (flt /2), называемое скалярным про-
произведением этих элементов, удовлетворяющее следующим условиям:
1) скалярные произведения (fu /2) и (/2, /J являются комплексно-
сопряженными числами
(Л. Л) = (Л. Л); (i)
2) для любых элементов /1( /2, f3?R и любых комплексных
чисел (%! и Ог имеет место равенство
(«i/i + «2/2. /з) = «1 (/1. /з) + «2 (/2. /з); B)
3) скалярное произведение элемента / на самого себя есть неот-
неотрицательное число, равное нулю тогда и только тогда, когда /= О,
т. е.
(/./)> О и (/,/) = 0 только при /=0. C)
Из этих свойств скалярного произведения следует, что
(Л. ai/2+ajs/s) = ai(/i. /О+осгСЛ. /з). D)
В самом деле,
Далее, для любых элементов /, g? R имеет место неравенство
К/. ?>|2<(/./)(^ в). E)
называемое неравенством Буняковского.
Действительно, если (/, ?) = 0, т0 доказываемое неравенство
очевидно. Пусть теперь (/, g) = a ф 0. Скалярный квадрат

388 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
элемента C/4-Xg\ где X— произвольное действительное число, а C =
= -^— =-| >{¦' g! по свойству 3 скалярного произведения есть не-
неотрицательное число, т. е.
о ? F $ F
Так как это неравенство справедливо для любого действительного
числа X, то дискриминант квадратного трехчлена относительно X,
стоящего в правой части неравенства, отрицателен, т. е.
К/. g)\2-(f, f)(g. g)<o.
Заметим, что знак равенства достигается здесь тогда и только тогда,
если при некотором X |J/-|-Xg- = O.
Если в линейном множестве R определено скалярное произведе-
произведение, то его можно нормировать, определив норму элемента/?#
следующим образом:
=/GГ7). (в)
При этом все свойства нормы будут выполнены. В самом деле,
=У77Г7)>0 и ||/Ц = 0 только при/=0:
= V7c(j~f) = |с
/) + (/.
/, g)+\\g\\*,
но по неравенству Буняковского
Re (/, g)<\(f. g)\<V (/. /) (g, g) = Il/U k || •
Отсюда
Знак равенства будет иметь место тогда и только тогда, когда
Re if, *)=|(/. g)\ = V(f. f){g.g)= ll/ll • Ikll-
Следовательно, в этом случае,
с/. g)=vm)-VTgTg).
Как мы заметили при доказательстве неравенства Буняковского,
тогда найдутся р Ф 0 и действительное X такие, что

§ 11
Отсюда
ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
= ag. a = -T.
389
Подставляя это выражение для / в предыдущее равенство, получим
или
а =
Y(g. g)
если только / Ф О, g Ф 0. Таким образом, наше множество строго
нормировано (см. § 1 гл. 4).
Итак, линейное множество, в котором определено скалярное
произведение, становится линейным нормированным пространством,
а следовательно и метрическим пространством. Поэтому в нем можно
ввести все те понятия, о которых говорилось во Введении и в чет-
четвертой главе.
Линейное пространство R, в котором введено понятие скаляр-
скалярного произведения, называется гильбертовым пространством, если
оно сепарабельно, т. е. в нем существует счетное всюду плотное
множество элементов.
В линейном множестве с опредетенным в нем скалярным произ-
произведением легко установить линейную зависимость или независимость
системы элементов fu /2, . .., /п. Для этого введем понятие опре-
определителя Грамма системы.
Определителем Грамма системы элементов fu /2 /n ? R
назовем определитель
(Л. Л) (Л. Л) ••• (Л./п)
(Л. Л) (Л. Л) • • • (/» fn)
G(fi. h /„) =
(/п. Л) (/п. Л) ••• ifnJn)
G)
Имеет место теорема:
Для того чтобы система элементов fly /2, ..., /п множе-
множества R была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы
определитель Грамма этой системы обращался в нуль.
Докажем сначала необходимость, т. е. покажем, что если си-
система /lf /2, ..., fn линейно зависима, то G(fu /2, ..., /п)=0.
Если flt /2, ..., fn—линейно зависимая система элементов R, то
существует такая система чисел а^ а^ «п, среди которых
имеются отличные от нуля, что
.-.+«„/„=0.

890 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [h/Г. 5
Умножая скалярно это равенство слева последовательно на fu /2> ...
, /п, получим:
«i(/2. /iL-«2(/2. /2L- ••• 4-«n(/2. /n) = 0,
«1 ifn. /l) 4- ^2 (/». Л) 4- h*n {fn' fn) = 0.
Рассматривая полученные равенства как систему уравнений с неиз-
неизвестными аи а2, ..., ап, мы видим, что она имеет нетривиальное
решение. Следовательно, ее определитель, являющийся определите-
определителем Грамма системы элементов fu /2 fn, равен нулю.
Докажем теперь достаточность, т. е. предположим, что О {fu /2, ...
..., /п) = 0, и покажем, что система fu /2 /п линейно зави-
зависима. Рассмотрим систему линейных уравнений относительно plf C2, ...
.... р„:
(Л. /i) + fe(/«. Л) 4- ...
Pi (/n. Л) + ft* (/п. Л) 4- ... 4- К {fn, fn) = 0.
Так как определитель этой системы G(fu /2 /п)=0, то она
имеет нетривиальное решение. Пусть это решение будет аи а2, .... ап„
Обозначим через / элемент множества R, равный а1/14-а2/24- .^^
... 4~an/n- Тогда из системы уравнений имеем:
(А. /) = о. (Л. /) = о (/„, /) = о.
Отсюда
а это означает, что /^ 0, т. е.
а так как среди чисел аи а2, ..., an имеется хотя бы одно, отлич-
отличное от нуля, то это означает, что система Д, /2 /я линейно
зависима.
§ 2. Ортонормированные системы в гильбертовом пространстве
Ряды Фурье
Два элемента fag гильбертова пространства называются орто-
ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т. е.
(/, g) — 0. Элемент / называется нормированным% если его норма
равна единице.

§ 2J ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 391
Конечную или бесконечную систему элементов мы назовем орто-
ортогональной системой, если любые два ее элемента ортогональны.
Система называется ортонормированной, если она ортогональна и
элементы ее нормированы.
Ортонормированная система всегда линейно независима, так как
определитель Грамма ее равен единице.
Докажем следующую теорему:
Если <plf ср2, .. ., срп — система линейно независимых элемен-
элементов гильбертова пространства, то можно построить такую
ортонормированную систему gu g2, ..., gn, что элементы ее
будут линейными комбинациями элементов системы срь ср2, ..., срп,
и наоборот. Так как <plf ср2, ..., оп—система линейно независимых
элементов, то среди них нет нулевого элемента. Поэтому ||ср4|| —
= ]/(ср4, ср() > 0 (/=1, 2, .... я). Будем строить ортонормирован-
ортонормированную систему последовательно. Положим gl = ^ . Очевидно ||g{ || = 1.
Рассмотрим далее элемент ф2==сР2 + я?'1 и подберем а так, чтобы
Ofe. g"i) = 0. Получим:
(gi. gi). a= — (cp2, g-
Очевидно, ЦфгЦ^О, так как в противном случае было бы
= ср2-|—-^—<р1 = 0, что невозможно в силу линейной независимости
<pi и срг. Положим теперь ^2 = "JT^jf • Тогда II&II = 1 и (gu g2) = 0.
Пусть уже построены элементы gu g2 gk такие, что Ц^Ц =
= ||&||= ••• = lkft|l = l. (gi. gj) = Q при 1ф] и элемент gi
является линейной комбинацией элементов ср1ж ср2, ..., срг. Построим
элемент
и подберем числа с^, а2 ак так, чтобы (i|jft+1,g-i) = O (/=1,2,
.... k). Получим:
т. е.
я» = — (<Pft+i. gd (i=l. 2 k).
Элемент фл+1 есть линейная комбинация <plt cp2, .... cpft, <pft+1. Он не
может быть нулевым элементом, так как cpft+1 входит в фд.+ 1 с коэф-
коэффициентом 1 (в glt g2, .. ., gh элемент cpft+1 не входит) и ср^ ср2, . ..
• ••> %• ?ft+i п0 условию линейно независимы. Поэтому ||^ft+i|| > 0.
Ф
Положим теперь gk+1= ,к+1.. . Очевидно, что ||g-ft+1|| = l и
(gk+u ^i) = 0 (*=1. 2, .... &). Кроме того, gk+1 есть линейная
комбинация элементов ср^ ср2 ?ft+i- Таким образом, по индук-
индукции можно заключить, что существует система элементов gu g2, .. ., gn,

392 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
являющаяся ортонормированной системой, каждый элемент которой
есть линейная комбинация элементов исходной системы. Так как
<Pit+i= Hfe
то и обратно, элементы уи ср2, ..., срп являются линейными комби-
комбинациями элементов системы gu g2 gn.
Назовем ортонормированную систему полной, если не существует
никакого другого элемента, отличного от нулевого, который орто-
ортогонален ко всем элементам системы. Другими словами, полнота
системы означает, что ее нельзя расширить присоединением новых
элементов до более широкой ортонормированной системы.
Докажем теорему:
В гильбертовом пространстве любая ортоноржированная
система не более чем счетна.
Так как гильбертово пространство сепарабельно, то существует
счетное всюду плотное в нем множество элементов {cpfc}. Пусть {g} —
некоторая ортонормированная система элементов пространства R.
Пусть g—некоторый элемент этой системы. Для него можно найти
такой элемент сръ что ||<pft — g\\<C -^—• Покажем, что не может
существовать другого элемента из системы \g), для которого имело бы
место такое же неравенство. Пусть такой элемент gf существует,
т. е. ||<pft — g'||< . Тогда, с одной стороны,
а с другой стороны,
\\g — g'W =V(g—g'.g — g) = V(?.
что невозможно, а это уже означает, что множество {g} не более
чем счетно.
Докажем следующую теорему:
Во всяком гильбертовом пространстве существует не более
чем ^счетная полная ортонормированная система элементов.
Рассмотрим в гильбертовом пространстве счетное всюду плотное
множество элементов {<рй}. Опустим в нем нулевой элемент, если он
имеется, а также все элементы, линейно зависящие от предыдущих.
Оставшуюся систему элементов ортогонализируем и нормируем так,
как это было показано ранее. Получим не более чем счетную орто-
ортонормированную систему элементов {gj}. Докажем, что эта система
полна. В самом деле, пусть / является элементом гильбертова про-
пространства, ортогональным ко всем элементам системы {g)c}, т. е.
(/• gk) = ® ПРИ всех k. Так как каждый элемент ср$ системы {cpfc}
есть линейная комбинация элементов gu g2 gt, то (/, cpfc) = O
при всех k. При любом s > 0, в силу плотности множества {<pfcj в R,

§ 2] ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 393
можно найти такой элемент ср^, что ||/ — ср,,-||<г. Тогда, используя
неравенство Буняковского и равенство (ср^-, /) = 0, получим:
Следовательно, |[/||<г, а так как г— произвольное число, то ||/([=0.
Это означает, что /=0, т. е. система {gk} есть полная ортонорми-
рованная система элементов.
Пусть теперь glt g2, ..., gn, ... — какая-то ортонормированная
система элементов гильбертова пространства R. Скалярные произве-
произведения щ = (/, gi) назовем коэффициентами Фурье элемента f по
ортонормированной системе {gjc}. Элементу / можно поставить
в соответствие ряд (или конечную сумму, если ортонормированная
система конечна)
/~a1§-1+a2g2+ ... +а»?п+ .... A)
называемый рядом Фурье элемента / по ортонормированной си-
системе glt g2 gn, ...
Для коэффициентов Фурье имеет место важное неравенство, на-
называемое неравенством Бесселя. Рассмотрим квадрат нормы разности
/ и Sfr, где s>n — «-я частичная сумма ряда Фурье. Получим:
п п
2 — 2 ч(gi. /) — 2 чif,
Отсюда
2|^|2<||/||2- B)
oo
Так как это неравенство справедливо при всех п, то ряд 2|я*|2
к=\
СХОДИТСЯ И
со
2Ы2<1|/112- C)
к-\
Это и есть неравенство Бесселя.
Докажем теорему:
Если гильбертово пространство R полно, то ряд Фурье эле-
элемента f no ортонормированной системе {gk} сходится.
Пусть

394 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
является рядом Фурье элемента /, т. е. оц = (/, ^). Оценим величину
Так как система {gk} ортонормирована, то
п
2
- ^ KI2.
В силу сходимости ряда 2 Iя* I2 сумма 2 Iя* I2 стремится к нулю
&=l k-m+l
при неограниченно возрастающих п и т, т. е. последовательность
частных сумм sn есть последовательность фундаментальная, а в силу
полноты пространства R должен существовать элемент s, являю-
являющийся пределом этой последовательности, т. е.
lim 5„ = s.
sn
Докажем, что разность /—5 ортогональна ко всем элементам
ортонормированнои системы {g^}. Действительно,
(f — s, &) = (/. gk)— О. fit)=(/. gk)~О — V &) — Eп> Ы-
Пусть и> &, тогда
откуда по неравенству Буняковского
o<\(f-s.
Правая часть стремится к нулю при неограниченном возрастании п,
а левая часть от я не зависит. Следовательно,
(/ — s, gk) = 0 при всех k.
Если ортонормированная система {gk\ полная, то из этих равенств
следует, что /—s=0, т. е. f=s, и мы доказали теорему:
В полном гильбертовом пространстве R ряд Фурье любого
элемента по полной ортонормированнои системе элементов
сходится к этому элементу.
В этом случае, так как
D)
то, переходя к пределу, получим:
со
11Л12 = 2Ы2. E)
т. е. вместо неравенства Бесселя имеем равенство, называемое ра~
венством Парсеваля.

§ 3] ПРИБЛИЖЕНИЯ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 395
§ 3. Приближения в гильбертовом пространстве
Пусть Н есть линейное подпространство гильбертова простран-
пространства R, а /—некоторый элемент из R. Можно поставить такую
задачу: в подпространстве Н найти элемент h0, дающий наилучшее
приближение элемента /, т. е. элемент, для которого
||/-Ао||= inf Ц/-АЦ. A)
Докажем теорему:
Если в Н существует элемент h0, дающий наилучшее при-
приближение к элементу /, то разность f — h0 ортогональна ко
всем элементам подпространства Н.
Допустим противное, т. е. предположим, что существует эле-
элемент ht?H, для которого (/ — h0, Н^=^а.фО. Можно считать, что
норма ht равна 1, так как в противном случае вместо hl можно
было бы взять '„ . Рассмотрим элемент /z2 = /z0 + a/z1 и оценим
llftill
норму / — /г2:
II/ — fi2\\* = (f-h2, f— *,) = ([/ — Ad — a*,. [/ —Ad —oA,) =
= (f — K /—Ao) —a(Alf f—ho)—l(f — ho, AO + <^(A,. A,) =
= II/ - ^oll2- м- aa + aa= ||/ - h01|*- | a |*.
Отсюда
||/-й2||2<||/-йо112.
что невозможно, так как /г0 — по условию элемент наилучшего при-
ближения.
Из доказанной теоремы следует, что в Н не может существо-
существовать двух элементов наилучшего приближения. В самом деле,
допустим, что для элемента f?R существуют два элемента наилуч-
наилучшего приближения: h0 и ho?H. Тогда
(/ — /г0, /г) = 0 для всех h?H,
(/ — h0, /г) = 0 для всех h?H.
В частности,
(/ — Ao. Ao-Aj) = O и (/ — л?, /г0 — ho) = O.
Но
- ho), ho-h'o) =
—Ло. Л,, —*0 = О.
а это означает, что ho = ho-
Если Н^Нп образовано всевозможными линейными комбинациями
некоторых п линейно независимых элементов R: hu hz hn, то
на основании результатов предыдущей главы элемент наилучшего

396 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
приближения всегда существует. Этот элемент будет единственным
на основании только что проведенных рассуждений. Для конечно-
конечномерного случая единственность будет также следовать из строгой
нормированности гильбертова пространства.
1. Построение элемента наилучшего приближения. Рассмотрим
теперь вопрос о построении элемента наилучшего приближения.
Пусть подпространство Нп порождено элементами hu h2, ..., hn,
a h0 — элемент наилучшего приближения к /? R в Hn.h0 как эле-
элемент Нп может быть представлен в виде
^о;= ctjA] —(— ot2A2 —|— ... —(— v.nhn. B)
Следовательно, задача построения элемента наилучшего приближения
сводится к отысканию коэффициентов аи а2, ..., а„. Мы видели, что
(/ — h0, К) = 0 для всех п?Нп C)
и только для этого элемента имеет место это свойство. Но это
требование равносильно п условиям:
(f — ho,hi) = O A= 1, 2, .... и). D)
Из этих условий для отыскания аь а^, .. ., ап получим систему
линейных алгебраических уравнений:
ai(Ai. A^-f-otaCAj, /zi)-|- ... +«„(/?„,/?!) = (/,/?!),
Я[ (Ai, Л2) —(— я2 (Л2, /г2) —(— ... —(— otn (Лп, /г2) = (/, Л2),
I
а, (А„ А„) +a2 (Aj. А„) + ... +an(^n, А„) = (/, Ая). J
Определитель этой системы есть G(huh2 hn), а так как hu
h2 hn линейно независимы, то он не равен нулю и система
имеет единственное решение. Решая ее, мы найдем а1, о^, ..., ап,
п
а следовательно и А0 = 2а*А»- Найдем теперь наилучшее прибли-
жение элемента / в Нп, т. е. величину 8= ||/ — Ао||. Имеем:
8* = ||/ — hII2 = (f-ho,f— Ло) = (/ — Ао. /) — (/- Ао. йо) =
= (/- Ао. /) = (/• /) - (Ао. /)• F)
Отсюда
82=(/./)-ai(^,,/)-a2(A2,/)— ... —an(hn.f).
Исключая отсюда и из системы для определения aj все оц, получим:
(А,, А,) (А,, А,) ... {hn, A,) (/, А,)
(Ль М (Л,, А,) ... (hn, А,) (/, /is)
==0.
(Л2, hn) ... {hn, hn) (/, hn) (
(A»/) ... (An,/) 82—(/,/)

§ 3] ПРИБЛИЖЕНИЯ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЬ 397
Итак,
g2 G(filt h?, .... hn, f) ._.
n=l
тогда будем иметь:
, А„) • W
Заметим, что при n=l G(ht) = (hlt hx) > 0. При и=2 и /г2 =
=82>0, т. е. О(А1,А2)>0.
По индукции легко показать, что вообще определитель Грамма
системы линейно независимых элементов положителен.
Построение элемента наилучшего приближения особенно просто,
если hit h2, .... hn — ортонормированная система элементов, так
как в этом случае система уравнений E) примет вид
Ог = (/, h2),
• • • • •
(8)
т. e. alf a2 an являются коэффициентами Фурье элемента /
по системе hu h2, . ¦ ¦, hn, и элементом наилучшего приближения
будет
/zo = a1/z1-f-a2/z2H- ... +яп/гп.
Величина отклонения 8 может быть также легко вычислена:
52 = (/. /)— а,(А,. /)-а2(/г2, /) — ... — ап(А„./) =
= 11/112 —я^! —а2а2— ... — апап,
т. е.
fc-i
Наконец, рассмотрим в R полную ортонормированную систему
элементов hi, h2 hn, ... и предположим, что R— полное гиль-
гильбертово пространство. Рассмотрим последовательность подпро-
подпространств Hi, Н2, ...,Нп, .., где Нп порождено элементами hu
h2, ..., hn. Для f?R будем последовательно находить элементы
наилучшего приближения в Н^ Н2, ..., Нп, ... При этом элемен-
элементом наилучшего приближения hik) для / в Нк будет являться k-я
частичная сумма ряда Фурье для / по Ъртонормированной системе
функций [hn\. Величина наилучшего приближения
стремится к нулю при k -*¦ оо, а последовательность {h^} сходится
к элементу /.

398 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл- 5
§ 4. Среднеквадратичные приближения функций
алгебраическими многочленами
Возьмем в качестве R множество функций, интегрируемых
с квадратом на [а, Ь]. Можно показать, что это множество линейно.
Ограничимся случаем действительных функций и будем рассматривать
линейные комбинации с действительными коэффициентами. Опреде-
Определим скалярное произведение функций f?R и g?R следующим
образом:
ь
(/. ?>= ff(x)g(x)dx. A)
а
Нетрудно проверить, что все свойства скалярного произведения
имеют место, если считать функции, отличающиеся друг от друга
не более чем на множестве меры нуль, равными. Норма функции /? R
будет равна
ь
У/)) 2= ff2(X)dx. B)
а
Будем также рассматривать и более общие множества /?t. Возьмем
некоторую фиксированную функцию р (х) ^ 0 на [а, Ь\ и обращаю-
обращающуюся там в нуль не более чем на множестве меры нуль. Будем
считать, что f(x)?Ru если существует
fp(x)P(x)dx.
В качестве скалярного произведения возьмем
б
C)
Мы получили два гильбертовых пространства. Будем первое из
них обозначать L2, а второе L2(p). Сходимость в первом простран-
пространстве есть хорошо известная из анализа сходимость в среднем,
а сходимость во втором — сходимость в среднем с весом р (х).
Функции 1, х, . .., хп, .. . линейно независимы на \а, Ь] и при-
принадлежат как к L2, так и к L2(p). Совокупность многочленов с дей-
действительными коэффициентами степени не выше п Нп(Р) можно
рассматривать как линейное множество, построенное на функциях 1,
X, х2, .... хп. Поэтому на основании общей теории § 3 в Нп(р)
найдется один и только один многочлен
Рп (*) = «о + «1* + • • • + а„хп, D)

§ 4] СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 399
который дает наилучшее приближение функции f (x)?L2(p) в смысле
метрики пространства L2(p), т. е. такой, для которого
ь
? = II/ (*) - Рп (*) II2 = fp (х) [/ (х) - Рп (х)]2 dx =
а
Ь
= inf fp(x)\f(x) — P(x)fdx, P?Hn(p). E)
(Мы не будем здесь отдельно писать выражения для L2, так как L2
можно рассматривать как частный случай L2(p) при/> (х) == 1.)
Если ввести обозначения
si— fР (x)x{dx, щ= Г p(x)f(x) xldx,
F)
то коэффициенты многочлена наилучшего приближения могут быть
найдены как решение системы
G)
+ • • • 4- ans2n =
которая всегда имеет единственное решение, так как определитель
этой системы как определитель Грамма линейно независимых на \а, Ь]
функций 1, х, х2, ..., хп всегда положителен.
Величина Ьп наилучшего приближения определится равенством
so si
«1 «2
... s«
Щ
«3
sn+l m1
sn sn+l sn+i
mn
«o
sn
"n+i
sn
sin
(8)-
Изложенный способ получения многочлена наилучшего приближения
имеет тот недостаток, что для отыскания коэффициентов приходится
решать систему алгебраических уравнений, что при больших п сопря-
сопряжено с большой вычислительной работой. Мы видели ранее, что
система значительно упростится, если в Нп(р) выбрать ортогональ-
ортогональный в смысле L2(p) базис.

400 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
1. Ортогональные системы многочленов. Метод ортогоналнза-
ции, изложенный в § 2, позволяет построить ортогональную в L2(p)
систему многочленов
Q0(x), Q,(x), .... Qn(x), ... (9)
(Qk(x)— в точности многочлен &-й степени) последовательно воз-
возрастающих степеней, т. е. многочленов, для которых имеют место
соотношения
б
f р (х) Qk (х) Qt (x) dx = 0 (ft =? 0. A0)
Покажем, что с точностью до постоянных множителей эта
система единственна. В самом деле, пусть
'Q0(x), Q,(x) Qn(x), ... и R0(x), /?,(*) Rn(x), ... A1)
•—две ортогональные в L2(p) системы многочленов последовательно
возрастающих степеней. Докажем, что
Я*(*) = **Q*(*) (ft = 0, 1, 2, ...). A2)
Сначала покажем, что многочлены различных степеней и разных
систем ортогональны, т. е.
ь
fp(x)Qk(x)Rl(x)dx = 0 (??=/)• A3)
а
Не ограничивая общности, можно считать, что k > /. Многочлен /?г(х)
можно единственным образом представить в виде
jj A4)
Отсюда, учитывая A3),
ь
fp (x) Qk (x) Rt (x) dx = 2 ai }p (x) Qk (x) Qj (x) dx = 0,
так как j^/ < k. Докажем, что в представлении Rj(x) через много-
многочлены Qj(x) все коэффициенты aj при j <Z равны нулю. Для этого
рассмотрим интеграл
fp(x)Qi(x)Rl(x)dx,

§ 41 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 401
где /</. С одной стороны, по доказанному, этот интеграл равен
нулю, а с другой стороны,
* i ft
fp (x) Qi (x) Rl (x) dx=^iajfp (x) Qt (x) Qj (x) dx =
a j-o о
ft
= сц Гp(x)Qi(x)dx.
a
Так как интеграл в правой части отличен от нуля, то сц=О. Итак,
сц = О при всех / < /, т. е.
Ri(x) = alQl(x), A5)
1то и требовалось доказать.
Если ввести еще какие-либо дополнительные условия на орто-
ортогональные многочлены, например потребовав, чтобы коэффициент
при старшей степени всегда равнялся единице или чтобы коэффи-
коэффициент при старшей степени был положителен, а норма многочлена
равнялась единице, то система ортогональных многочленов на дан-
данном отрезке \а, Ь\ при заданном весе р (х) будет единственна в пол-
полном смысле этого слова.
Вполне естественно, что с изменением веса р (х), а также от-
отрезка \а, Ь\ мы будем получать разные системы ортогональных
многочленов.
Когда ортогональная система многочленов (9)
Qo(*). Qi(*) QnW. •••
будет построена, то многочлен наилучшего приближения Рп(х)? Нп(р)
запишется в виде
Рп (х) = c0Q0 (х) + clQl (*)+...+ cnQn (x), A6)
где коэффициенты ск (на основании общей теории) запишутся в виде
о
J p(x)f(x)Qk(x)dx
ck = ^—b . A7)
fp(x)Ql(x)dx
a
Величина наилучшего приближения определится по формуле
ь и ft
8^ = Г р (х)/1 (х) dx — V с\ С р (х) Ql (x) dx. A8)
J "™ J
а к=0 а
2. Рекуррентные соотношения для ортогональных многочле-
многочленов. Построение системы ортогональных многочленов по общим
правилам, указанным в § 2, практически неудобно. Сейчас мы

402
СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИЬЛИЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
покажем, что ортогональные многочлены удовлетворяют простым
рекуррентным соотношениям, которые и дадут возможность их
быстро находить.
Многочлен xQn(x) имеет степень п-\- 1. Следовательно, его
можно представить в виде
xQn (х) = OoQ0 (х) + alQl
1 (*);
A9)
умножим обе части равенства на р (х) Q{ (х) (/ = 0, 1, 2, .... п — 2)
и проинтегрируем в пределах от а до Ь. Получим:
ft
fp(x) Qn (x) \xQt
И + 1
p (x) Q% (x) Q3 (x) dx.
Интеграл в левой части всегда равен нулю, так как xQi (x) является
многочленом степени не выше л— 1 и, следовательно, представляется
в ииде линейной комбинации Q0(x), Qx(x) Qn-i(x)- В правой
части отличен от нуля только один интеграл при j = l. Итак,
б
0 = atfp(x)Ql(x)dx
а
и с, = 0. Таким образом,
°n+iQn+i № -г К — х) Qn (х) + «„_1Qn_1 (x) = 0. B0)
Коэффициенты ап_и а„, а„+1 в B0) можно найти, если проделать
те же операции при i = п—1, п, п-\-\. При этом получим:
и о
j р (х) xQn_x (х) Qn (x) dx J p (x) xQ2n (л:) dx
an =
V
fp(x)Ql(x)dx
*»! f 1 = ¦
f p(x)xQn(x)Qn+l(x)dx
Ъ •
fp(x)Q2n+1(x)dx
B1)
Если Qr(x) нормированы, т. е.
ft
fp(x)Q2t(x)dx=\ (/ = 0, 1, 2, ...).
B2)

§ 41 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 403
то выражения B1) для этих коэффициентов упростятся:
; )
an-i = J Р (х) xQn_i (х) Qn (x) dx,
а
b
а„ = J p (x) xQn (x) dx,
an+l = f p(x)xQn (x) Qn+1 (x) dx.
B3)
Обозначим в этом случае
\ к = fp (*) xQt (*) Qk (x) dx.
B4)
Рекуррентная формула для нормированных многочленов примет вид
<Ч n+iQn+i (x) + (en> „ — x)Qn (x) + а„_1,„C„_1 (*) = 0. B5)
Она имеет смысл при n^>\, но если положить Q_x(x)^0, то она
будет иметь смысл и при п = 0.
3. Тождество Кристофеля — Дарбу. Из этой формулы можно
получить важное для исследования сходимости тождество Кристо-
Кристофеля— Дарбу. Для этого умножаем B5) на Qn(t) и записываем
в виде
xQn (х) Qn (t) = ап> n+iQn+l (x) Qn (t) +
+ annQn (x) Qn {t) +On-i, nQn-x (x) Qn (f).
Поменяем ролями х и t. Получим:
«2n(Q Qn (x) = an>nl 1Qn+1 @ Qn (x) +
4- annQn (f) Qn (x) + an_,, „(?„_! (f) Qn (x).
Вычитаем из последнего равенства предыдущее. Будем иметь:
(t — х) Qn (t) Qn (x) = an< n+l [Qn+l @ Qn (x) - Qn+l (x) Qn (t)\ -
- e»-i, n [Qn d) Qn-x (x) - Qn (¦*) Qn-г (m.
Складывая соответствующие равенства при /1 = 0, 1, 2 k,
получим:
к
(t - х) 2 Q« V) Qn (x) = ak k+1 \Qk+1 @ Qk (x) — Qk+1 (x) Qk (t)\
«o
или
— ak<
Qk (x) - Qk+1 (x) Qk (t)
-—
j

404 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. 5
Это и есть тождество Кристофеля — Дарбу для нормированных
ортогональных многочленов.
4. Свойства корней ортогональных многочленов. Покажем,
что Qn (х) имеет на отрезке [а, Ь] ровно п различных нулей.
Предположим обратное. Тогда Qn(x) можно представить в виде
Qn (х) =(х — <хг) (х — сс2). . .(* — eg Rn_k (x) = Pk (x) Rn_k (x) (k < п),
где через at обозначены все корни нечетной кратности многочлена Qn(x),
расположенные на [а, Ь\. При этом Rn_jc(x) не меняет знака на [а, Ь\.
Интеграл
ь
fp(x)Qn(x)Pk(x)dx
должен обращаться в нуль, так как степень Рк(х) равна & < я.
С другой стороны, этот интеграл можно записать в виде
ft ft
J p (x) Qn (х) Рк (х) dx = fp (x) P\ (x) Rn_h (x) dx.
a a
Так как подынтегральное выражение не меняет знака, то интеграл
в нуль обращаться не может. Получили противоречие. Таким обра-
образом, k = n. Утверждение доказано.
Докажем, что если xf1^ < х^~Х) < ... < х%-Р — нули Qn_i (x),
а 4И) < *?п) < ... < х™ — нули Qn (х), то xf] < х(ГХ) < х[п) <
< х^~^<С •.. < x^n-i^ < х%К Прежде всего заметим, что два после-
последовательных многочлена ортогональной системы не могут одновре-
одновременно обращаться в нуль. Действительно, если Qn+1 (x) и Qn(x)
обращаются в нуль в некоторой точке ?, то в силу рекуррентной
формулы B5) Qn_x (I) = 0. Но тогда в силу той же рекуррентной
формулы и Qn_2(?) = 0. Продолжая эти рассуждения, мы придем
к выводу, что Qo(?) = 0. Но Q0(x) = constФО, и это приводит
к противоречию.
Если условиться брать Qn(x) нормированными и с положитель-
положительными коэффициентами при старших членах, то аи> «+i>0. В самом
деле,
б
л», n+i = fp (x) Qn+1 (x) [xQn (x)] dx =
a
ft b
= JP № Qn+i (x) K+iQn+i (x)+ ...]dx = а„41 jp (x) Qn+i (x) dx,
a a
где а„+1 и интеграл — положительные величины.

§ 4] СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 405
При этом, если в некоторой точке \ Qn(|) = 0, то Qn_i@ и
Qn+i(?) имеют различные знаки. Действительно, применяя рекуррент-
рекуррентную формУлУ B5), нолучим:
а„, n+iQn+i @ + On-i. nQ»-i (S) = 0,
а это может быть при положительных аПу „+1 и an-lt „ только в том
случае, когда Qn+i@ и Qn_j(O имеют различные знаки.
Разделение нулей Qo (х) и Qx (х) тривиально. Пусть нули Qn_x (x)
и Qn(x) также разделены:
х(п) < х(п~1) < 4Я) < • • • < X^li < X^-V < JfW.
Тогда в силу того, что Qi(b)y> 0, будем иметь:
sign Qn_1(x?)) = sign (-I)"
и, следовательно,
sign Qn+1Dn)) = sign (-l)"-i+1,
5. Дифференциальные уравнения, которым удовлетво-
удовлетворяют ортогональные многочлены. Будем теперь предполагать,
что вес р(х) удовлетворяет следующему дифференциальному урав-
уравнению:
Р'(х) = а + Ьх „ .
р (х) c + dx + ex*' к '
причем р (х) (с + dx -\- ех2) обращается в нуль на концах отрезка а
и Ь.. Мы наложили сильное ограничение на вес, но веса с таким
свойством как раз и порождают наиболее важные ортогональные
многочлены.
Пусть Рт (х) — произвольный многочлен степени т < п. Рас-
Рассмотрим интеграл
ь
1 = f Pm(x) JL [(с + dx + ex2)р (х) Q'n (x)] dx. B8)
а
Производя два раза интегрирование по частям и пользуясь тем, что
р (х) (с + dx -j- ее2) |* = 0, получим:
ь
[=jQn(x)~ [(с + dx + ex2)p{x)P'm(х)] dx. B9)
а
Воспользовавшись тем, что (с -}- dx-\- ех2)р'(х) = р(х)(а -\- Ьх), найдем:
~ [(с + dx + ех2)р (х) Р'т (х)] = (d + 2ех)р (х) Р'т (х) +
+ (а + Ьх) р (х) Р'т (х) + (с + dx + ex*) p (x) Р"т (х) =
=^р (х) [(d + 2ex) P'm(x) + (a + bx) P'm {x) + (c + dx + ex*) Р"тЩ.

406 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Выражение, стоящее в квадратных скобках в правой части, является
многочленом степени не выше т. Поэтому
ь
n (х) [(d + 2ех) Р'т (х) +
" = Q. C0)
Подынтегральное выражение исходного интеграла B8) можно пре-
преобразовать так:
~ [(с + dx + ех*)р (х) Q; (*)] = (d + 2ех)р (х) Q'n (x) +
+ (а + Ьх)р (х) Q; (х) + (с + d* + е*2)/7 (*) <? (*) =
= Р (*) [(d + 2ех) Q'n (х) + (а + **) Q; (*) + (с + d* + ex*) <? (*)].
Обозначим выражение, стоящее в квадратных скобках справа, через
Rn (х). Это многочлен степени не выше п. В силу того, что / = О,
мы получим:
ь
fp(x)Rn(x)Pm(x)dx = O
а
для любого многочлена степени не выше п— 1. Следовательно, Rn(x)
принадлежит ортогональной системе многочленов с весом р(х). Как
мы видели ранее, многочлены одинаковых степеней двух орт.ого-
нальных систем при одном и том же весе могут отличаться друг
от друга лишь постоянным множителем. Таким образом,
Rn(x)±anQn(x).
Отсюда
(с + dx + ex2) <? (х) + [(а + d) + ф + 2е) х] Q'n (х)- «„(?„ (*)=0. C1)
Итак, мы показали, что при наших предположениях о весе р (х)
многочлены ортогональной системы {Qn(x)} удовлетворяют линей-
линейному дифференциальному уравнению, написанному выше. На этом
мы ограничимся в рассмотрении общих свойств ортогональных много-
многочленов и перейдем к изучению некоторых частных случаев.
§ б. Некоторые частные случаи ортогональных
систем многочленов
1. Многочлены Якоби. Так называют многочлены вида
-1). A)

§ 5] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ МНОГОЧЛЕНОВ 407
Что это действительно многочлены, нетрудно убедиться, если вос-
воспользоваться формулой Лейбница для производной от произведения
двух функций. Покажем, что многочлены Якоби ортогональны на
отрезке I—1, -\-1] с весом
p(x) = (\-x)a(l-j-xf. B)
Для этого рассмотрим интеграл
+
= f
f + %?) (х) dx =
-1
х
Будем предполагать, что т^п. Для сокращения записей обозначим
Очевидно, cpn'W обращаются в нуль при д; = ± 1 для всех k < ft.
Выполним от раз интегрирование по частям в интеграле
Получим:
Если т < «, то, интегрируя по частям, еще один раз получим:
+i
/1=(—l)m+1 J
-1
Так как ^т С*) является многочленом степени от, то /t = 0. При т = ft
будем иметь:
+i
=¦(—1)"/ У^(*)?п(*)й*.

408 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Если обозначить старший коэффициент уп(х) через ап, то
+i
/х = (— \)п апп\ j yn(x)dx.
-i
Вычислим интеграл, стоящий в правой части:
f <?n(x)dx^ f (i-x)*+n(l+xf+ndx.
-i -i
Для этого произведем замену переменных, положив х = 2t—1
При этом
Подсчитаем теперь ап. Полагаем х > 1. Тогда
__ д-ix+p+2» _|_/Q а^ д-a+B+aw-l |
Отсюда
—о) (о
л —2) ...(a
Поэтому
Таким образом,
«» = (—l)"Tn = (—!)"

§ 5( ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ МНОГОЧЛЕНОВ 409
Теперь мы можем подсчитать и норму Р%'®(х). Собирая нужные
нам выражения, находим:
п+\)Г
Найдем теперь коэффициенты рекуррентной формулы для многочленов
Якоби. Мы не будем вычислять выписанные ранее интегралы, опре-
определяющие эти коэффициенты, а найдем их другим способом. Рекур-
Рекуррентную формулу B0) § 4 запишем в виде
хР%Р) (*) = ап+1Р№ (х) + «„Я*?'W (*) + «п-АЧ (*)¦ D)
Для определения а„+1 приравняем коэффициенты при старших сте-
степенях х в правой и левой частях равенства. В левой части этот
коэффициент будет равен старшему коэффициенту Р„ (¦*)• т- е-
2»л!
В правой части он будет равен старшему коэффициенту Pn'+i (x),
умноженному на сс„+1, т. е.
Отсюда находим:
Для отыскания сс„ сравним коэффициенты при л:" левой и правой
частей. При этом придется использовать выражения для вторых по
старшинству коэффициентов многочлена Якоби. Такие выражения
нами также были найдены. Применяя те же обозначения, что и ранее,
получим:
К + а1п — РТп _ а Ьп+1 + аТта+1 — РТта+1 _|_ д Тп
2".л! "+1 2"+1(л+1)! ".л!*
Отсюда
— Р) Тп „ 8»+1 + (° - Р) Тп+г
Тп "+1 2(л+1)!Т„

410 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Подставляя сюда известные выражения для 8П, уп, 8п+1, тп+1, ссп+1
и производя несложные алгебраические преобразования, найдем:
Перепишем нашу формулу в виде
р(», ») (х\ II pl«. Р) 11 р(«. Р) /дл />(«> Р) /х\
ип Ух> |Г w+i|| ^n+i Ух) гп (X)
У 11 [ II Ill 1 [|
Таким образом, ап,п+и введенное в предыдущем параграфе, имеет
вид
Коэффициент an-i,n получится отсюда простой заменой п на п— 1.
Следовательно,
_ \№Л\\= 2/.С + Р + Л) \\F%*>\\
««.«-I ««-IJI^BU (а + р + 2л-1)(а
Отсюда
2л - 1) (а + р + 2л) | |/*L?
Итак, формула D) после освобождения от знаменателей примет
вид
= 2(я+
X ф + я) (а + р + 2« + 2) Р(„? (*). E)
Весовая функция /?(л;) = A—л;)'хA+л;) удовлетворяет диф-
дифференциальному уравнению
р'(х) = (Р-а)-(а + Р)лт
р(х) \—х*

§ 5] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ МНОГОЧЛЕНОВ 411
Следовательно, многочлены Якоби удовлетворяют дифференциаль-
дифференциальному уравнению
X [/*О) (*)]'+VfrB С*) = о.
Для определения kn приравняем нулю коэффициент при хп в левой
части. Получим:
— п(п— 1) — (а
Отсюда
Таким образом, многочлены Якоби удовлетворяют дифференциаль-
дифференциальному уравнению
<1 - х*) [/?р) (x)Y 4- [р - a - (a 4- Р 4- 2) *] [Р»? »(*)]' 4-
Н-я (а Ч-р н-я Н-1) ЯЙ'*р> (лг) = 0. F)
2. Многочлены Лежандра. Многочлены Лежандра являются част-
частным случаем многочленов Якоби, когда сс = О, C = 0. При этом
/?(*)= 1. Для них имеет место формула Родрига
Они обладают свойством
+1 ( 0 при /и =? я.
/ Ln(x)Lm(x)dx = { 2Г(л+1)Г(л+1) 2 (8)
v I —гтк i—ч. _, , i—тг- = -т; ;—г ПОИ /К=Л.
-1 I л1Bл+1)Г (Л+1) 2Л + 1 ^
Из формулы Родрига видно, что многочлены Лежандра четной сте-
степени содержат лишь четные степени переменного х, а многочлены
нечетной степени содержат лишь нечетные степени х.
Рекуррентная формула для многочленов Лежандра примет вид
{п 4- 1) Ln+l (х) — Bл 4- 1) xLn (х) 4- «in_, (х) = 0. (9)
Преобразовывая формулу Родрига по формуле Лейбница для диф-
дифференцирования произведения, получим:
1_ ^ ск dn~k(x—\)n dk(x+\)n
Отсюда следует
Ln(l)=l, Ln(—1) = (— 1)". A0)
Дифференциальное уравнение для многочленов Лежандра примет вид
)Ln=0. (II)

412 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Докажем, что для многочленов Лежандра имеет место следующая
формула Лапласа:
Ln(x) = ^ f (x + Vxr^T cosb)ndQ. A2)
о
Действительно, при л—0 и 1 получим:
L0(x)=U А (*) = *•
Проверим, что для Ln(x), определяемого равенством A2), справед-
справедлива рекуррентная формула (9), которая имеет место для многочле-
многочленов Лежандра. Обозначим
Z=x-\-Yx2— Icos0
и запишем:
(n-\-l)Ln+l — Bn
в виде
— fwzn~xdb.
о
Здесь
IF
= (п 4-1)[*2 4- 2л; Vx2^! cos 0 + (х2 — 1) cos2 б] —
— Bл 4-1) х \х 4- V*2 — I cos 9] + « = — «л;2 4- * "К*2— 1 cos 0 4-
4- (п 4- О (л;2 — 1) cos2 6 4-л = — л (*2 — 1) A — cos2 6) 4-
+ хУх2— 1 cos0 4- (*2— 1) cos2 0 = —п {х2 — 1) sin2 0 4-
4- [х 4- Vx2— I cos 0] "|Л;2 — 1 cos 0.
Обозначая
^У = — «(л:2 — 1) sin2 9, V = [*4-V^2— I cos9]"|/jc2— lcos0.
получим:
7C 7C
z"-1^^ fuZn-1db-\-fvzn~1 db.
000
Ho
J ^Z" -1 d0 = Vx2^^ f Zn cos 0 d% = Vx^^l X
о о
X I Z" sin 0
I
4- J* sin ©«Z"'1 Vx2 — 1 sin 0 d0 I =
тс тс
= n {x2 — 1) JZ" sin2 0 db = — f UZa'1 d6.

*) 5] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ МНОГОЧЛЕНОВ 413
Таким образом,
Раз L0(x) и Lx{x) совпадают с нулевым и первым многочленами
Лежандра и так как выполнена рекуррентная формула, то будет
совпадение при всех п, и формула Лапласа доказана.
С помощью формулы Лапласа нетрудно произвести оценки вели-
величины многочленов Лежандра на отрезке [—1, -f-1]. Прежде всего
заметим, что
= yV sin2 9 4- cos2 9 < 1, *?[—1, +1].
Отсюда
Ln(x)\ <^f\x-\-iVl— *2cos9|"d9<l f db= 1. A3)
о
Для внутренних точек отрезка [—1, -j-1] имеет место более
точная оценка:
A
В самом деле,
—jc2cos6| = |/д;2ц_A —jc2)cosa61= \/l —A — *2)sin29.
Таким образом,
а л
= 1 Г [1 — A — A;2)sin29jTd9+l f[\ — A — A;2)sin29j
О «^
2
Сделав во втором интеграле замену 9 на и — 9, получим:
Td9.
а"
1— A — л;2) sin2
о

414 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. 5
Так как при 0^9^— имеет место неравенство — 9 ^ sin 9, а при
неотрицательных а неравенство 1—а<^е~а, то
4/ П -A - *2)sin*9]
Полагая здесь 9 = —— t, получим:
Y2n A — jfl)
dt=
!A—X') 2
'О
что и требовалось доказать.
С помощью многочленов Лежандра легко для заданной функ-
функции f(x)?L2 построить в Нп{Р) многочлен наилучшего среднеква-
среднеквадратичного приближения на отрезке [—1, -f-lj.
Если такой многочлен искать в виде
п
к=0
го коэффициенты ск найдутся по формуле
ск = —f- J f(x)Lk(x)dx, A6)
-i
а наилучшее приближение
p{x)dx-2u^r\c\. A7)
i=0
Пример. Найти наилучшее среднеквадратичное приближение
функции sin jc на отрезке [—п, п\ в совокупности многочленов
степени не выше третьей и вычислить величину наилучшего при-
приближения.

§ 5]
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ МНОГОЧЛЕНОВ
415
Сделаем линейную замену переменного, переводящую отре-
отрезок [ — тс, ти] в отрезок [—1, +1]. Для этого положим x = nt.
Тогда / (t) = sin Tzt,
+i +i
i Г з /* з
со=-2 / siniztdt = O, ci==t / (s\mztdt= —,
-l -i
+i
c2 = |- у i (Зг12 — l) sin ^ л = О,
+i
с, = fr- / -и- E
it) simzt dt = =-.
7t 71°
Отсюда
Многочлен наилучшего приближения к функции sin л; на от-
отрезке [ — тс, —|— tuJ будет:
Далее,
Для сравнения приведем таблицу значений sin л; и Р3(х) в неко-
некоторых точках отрезка и величину их отклонений:
82= / sin2Tu^d^ -т -II =) -=-яиО,
,0088.
X
0
71
т
7U
т
Зти
2
X
sin л:
0,0000
0,7071
1,0000
0,7071
0,0000
0,0000
0,6278
0,9842
0,7976
— 0,2033
Р8 (лг) — sin х
0,0000
— 0,0793
— 0,0158
0,0905
— 0,2033
Многочлены Лежандра находят широкое применение и в ряде
аругих вопросов; в частности, они участвуют в образовании сфери-
сферических функций, в которых решаются ряд задач математической
физики.

416
СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
3. Многочлены Чебышева первого и второго рода. Возьмем
теперь в качестве веса
Нетрудно проверить, что многочлены Чебышева
Тп (х) = cos (n arc cos х), |*K
A9)
о которых мы уже говорили ранее, будут ортогональны на от-
отрезке [—1, -j-1] с этим весом. Действительно, производя в инте-
интеграле
/
~ J
Тт (х)
замену
получим:
= | cosntcosmtdt =
х== cost,
тс при т== п = 0,
Y при т = пфО, B0)
0 при т Ф л.
Рекуррентную формулу для многочленов Чебышева (будем их
называть многочленами Чебышева первого рода) мы уже получили
ранее.
Дифференциальное уравнение для многочленов Чебышева первого
рода будет иметь вид
A — **) Тп (х) — хТ'п (х) + пЧп(х) = 0.
B1)
. =, искать наи-
у 1 — л:2
лучшее среднеквадратичное приближение с весом р (х) на от-
отрезке [—1, -|-1] в виде
Если для функции f(x) ? L2(p), где р (х) =
Рп (х) = с0 + cj, (х) + сгТг (*)+...+ спТп
то коэффициенты ск будут находиться по формулам:
B2)
+ 1
+1
It
=»- ff(cosb)coskB,
B3)

§ 5] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ МНОГОЧЛЕНОВ 417
а отклонение—по формуле
-fl
dx
Пример. Для функции / (x) = arc cos x найти на отрезке
[—1, 4-1] наилучшее среднеквадратичное приближение с весом —-.
у 1 — х*
в совокупности многочленов степени не выше седьмой.
Будем искать этот многочлен в виде
Р7 (х) = с0 + с1Т1 (х) + сгТг (х) + ... + счТ, (х).
Коэффициенты многочлена будут иметь вид
arc cos x , ти
arc cos x cos k 8.rc cos x
-l
=Д f t cosktdt = ^J(~ l)k — 1].
6
Таким образом,
_ти _4 __ _4
ти 4 Г 76 248 , 288 - 64 , I
2 ти LlO5 315 175 49 J

418
СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
Ниже приведена таблица значений arc cos л; и Рч(х), показываю-
показывающая точность приближения, которой мы при этом достигаем:
X
— 1,0
— 0,5
0/1
0,6
1,0
arc cos л:
3,14159
2,09440
1,57080
1,04720
0,00000
Р,(х)
3,06242
2,10440
1,57080
1,03720
0,07918
Р7 (лг) — arc cos x
— 0,07917
0,01000
0,00000
— 0,01000
0,07918
На том же отрезке [— 1, -f- 1] при весе р (х) = у\—х2 будут
ортогональны функции
2^
У 1 —л:2
(я=0. 1, 2, ...),
B5)
называемые ортогональными многочленами Чебышева второго
рода.
В самом деле,
Г sin \(k-\- 1) arc cos x] sin [(i-J- 1) afc cos x] ,
—l
и, сделав замену x^zost, получим:
f
f 0 при k Ф i,
2" при k =
B6)
Для того чтобы показать, что Um{x) действительно являются
многочленами степени п, вычислим производную от многочлена
Чебышева первого рода Тп+1(х):
Tn+i (x) = -j— [cos (n -f-1) arc cos x] =
= (n -f-1) sin [(« -f- 1) arc cos x]
Следовательно,
,__L_r
П+1
(*).
^=(л+!)?/»(*)•
B7)

§ 5] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ МНОГОЧЛЕНОВ 419
а так как TnL1(x) есть многочлен степени л-j-l, то Т'п+1(х) есть
многочлен степени п.
Рекуррентная формула для многочленов Чебышева вторэго рода
примет вид
Un+i(x) = 2xUn(x)-Un^(x). B8)
Дифференциальное уравнение для многочленов Чебышева второго
рода выглядит так:
A - х?) и'п (х) - Ъхи'п (х) + (п* - 4я) Un (х) = 0. B9)
Если на отрезке [—1, 4-1] нужно найти наилучшее средне-
среднеквадратичное приближение функции f(x) ? L2 (р), где р (х) = l/l — х2,
в совокупности многочленов степени не выше п, то ищем его
в виде
Pv (х) = со + cxUx (х) -+- c2U2 (х) 4- ••• 4- cnUn (х), C0)
где коэффициенты ск находятся по формулам:
k (х) V T^x^dx =
= ^ У / (cos 0) sin 0 sin (А 4-1)9^9- C1)
Величина же наилучшего приближения найдется из равенства
52 = / /2 (*) V T^^dx — | 2 с\. C2)
Приближение, получаемое с помощью многочленов \Uk(x)). в боль-
большей степени учитывает значения приближаемой функции в середине
отрезка [—1, 4-1]-
4. Многочлены Лагерра и Эрмита. Возьмем теперь в качестве
интервала (а, Ь) полупрямую [0, оо) и в качестве веса
р (х) = х«е~х, C3)
где а ]>—1. Многочленами Лагерра называют выражения
L{n\x) = (—l)nx-«e* ^(х^+пе-х). C4)
Что это действительно многочлены, нетрудно убедиться, если при-
применить формулу Лейбница для дифференцирования к
Г vO-Vnp-ХЛ
dxnlX e '•
Старший коэффициент в этом случае всегда равен 1.

420 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Покажем, что многочлены Лагерра ортогональны с весом хае~х
на полупрямой [0, оо). Для этого рассмотрим интеграл
оо оо
/ = J x*e~"LW (*) iW (х) dx = (—1)" J LW (x) <?%> (*) dx,
о о
где через ср„ (х) обозначено
yn(x) = xa+ne-x.
Пусть т^п. Интегрируем т раз по частям. Получим:
+о
/ = (_ \)п+тf
о
Если яг < п, то, интегрируя еще один раз по частям, получим под
знаком интеграла в качестве множителя [Lm (x)]{m+i\ и так как
Lm (х) — многочлен степени т, то /=0. При т — п будем иметь:
+оо
/ = J [/?> (*)](П) ср„ (X) dX = П\ J
О О
так как старший коэффициент L^ (х) равен 1. Итак,
се оо
||/4Г||2= Г \L(n)(x)]ix"e-ldx = nl Г
о о C5)
Если f(x) разлагается в ряд по многочленам Лагерра, то
оо
¦С / у\ —^ 7 Р I { v\ (^\ (S ^
fc=O
где оо
1 Г («)
о
Дифференциальное уравнение для многочленов Лагерра примет
ВИД "(а|' Ч1" '"' ' ' *"(«>- *\' JrnlX){x) = Qi. C8,
Рекуррентная формула в данном случае будет выглядеть так:
?$-! (*) - (х — а — 2п - 1) I™ (х) + я (о 4- я) L^L, (*) = 0. C9)
Иногда многочленами Лагерра называют частный случай рас-
рассмотренных нами многочленов при р(х) = е~х.
Если весовая функция р(х) = е~х* и мы рассматриваем прибли-
приближения f(x)?L2(p) на всей действительной оси, то ортогональную
систему образуют многочлены Эрмита
НЛх) = {-1Ге*-?п(е-*\ ч40)

§ 5] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ МНОГОЧЛЕНОВ 421
которые несложно выписать. Первые многочлены Эрмита имеют вид
Н, (х) = 2х,
/¦/ (х} — 8лг^ 12дг
Проверим их ортогональность и вычислим их норму. Имеем:
+ СС +СО
//* ,fi —X'-
e-x-Hm{x)Hn{x)dx = {—\)n / Hm{x)^~ir-dx.
tJ ИХ
— со —со
Интегрируя по частям, получим:
+ СО -f-CO
f е-°?Нт(х) Нп (х) dx = {-\)n J Нт (х) ^^- dx =
— со —со
+ СО
г dn~xp-x" +°° Г ,
С 1 -V" И (v\ U g С 1 -V» / U
— К U yimKX) dxn_x ^ ( i) J nm
— СО
= (-D"+1 f Н'т(х) d^JCldx =...= (—1)*
— со
Если п > т, то Н{т}(х) = 0 и
+ 0О
Так как тип равноправны, то это имеет место при всех т Ф п.
При т = п Н{?=2пп\ и
4-со +со
J n J
— со —со
Отсюда
+со
/lj us Г ^„ , . и , . , ' 0 при т Ф п,
(Нт, Нп)= e~x'Hn(x)Hm(x)dx = { F D1)
_-^ ( 2" ¦ n\y jr при /м = «.
Для многочленов Эрмита имеет место рекуррентное соотношение
Hn+l(x) — 2xHn(x) + 2nHn_l(x)=^0 («=1,2,...), D2)
которое нетрудно проверить непосредственно.

422 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. 5
Они удовлетворяют дифференциальному уравнению
х) = 0. D3)
Коэффициенты многочлена наилучшего квадратичного приближе-
приближения с весом р(х) = е~х' к функции f(x)?Lt(p) среди многочленов
степени не выше п, если его записать в виде
Рп (*) = со+ с1Н1 (х) 4- сгНг (Х)+ ... + спНп (*). D4)
вычисляются по формулам:
—со
+ СО
= — i=r / f(x) f,. dx. D5)
— CO
При этом лучше всего учитываются значения f(x) в окрестности
точки х=0, так как вес в этой окрестности имеет максимальное
значение.
Пример. Приблизить функцию f(x) = xe4c помощью много-
многочлена степени не выше 5-й, наилучшим образом учитывающего зна-
значения функции вблизи начала координат.
Будем искать этот многочлен в виде
Ръ(х) = с0 -)- Cjtf, {х) + с2Иг (х) + с3Н3 (х) + с4Я4 (х) -(- сьНъ (х).
Коэффициенты его вычисляем по указанным выше формулам D5).
Будем иметь:
с _ 1 f xe~^dx-0- r- l f xe~^-<2xdx *-¦
fnJ 2 /те J 3 /3
— СО —СО
со = -Х= f хе'~ Dл;г — 1) dx = 0;
8/тс «/
— СО
-f-OO
1 Г -^ 1
с, = /= / хе * (Ъх\—I2x)dx=—-у=:
8-6/тс J v / 9/3
— со
-f-co
4 16-24 "(/"тс •/
—со
Г * I vi> 4 /Ч9\-5
32-120/тс ./ ^ У 8-27/3

§ 6] СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ МНОГОЧЛЕНОВ 423
Таким образом,
Рь (х) =
1 г_ C2л;5 — 160л;3 + 120л;) -\ ~ (8л;3 — 12х) +
8-27/3 9/3
+ —^г= л; = --L= [4л;6 + 4л;3 -+~ 51 х].
3 /3 27/3 J
?1
Ниже для сравнения приведена таблица значений хе 4 и Я3 (х)
в некоторых точках:
X
0
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
2,0
3,0
a?
хе 4
0,0000
0,1002
0,2020
0,4163
0,6565
0,9388
1,2840
5,4365
28,4631
Ръ(*)
0,0000
0,1091
0,2188
0,4419
0,6794
0,9443
1,2616
5,6024
26,3657
Рь (х) — хе 4
0,0000
0,0089
0,0168
0.0256
0,0229
0,0055
0,0224
— 0,1659
— 2,0974
Если в качестве приближающего многочлена взять сумму трех
2!
первых членов степенного ряда для функции хе* , то для значе-
значений х между нулем и единицей эта сумма даст лучшее приближение
к заданной функции, но при х = 2 она будет отличаться от точного
значения уже на —0,4365, а при х = 3 на —11,1198, т. е. при х = 3
приближение отрезком степенного ряда будет в пять раз хуже при-
приближения с помощью нашего многочлена.
§ 6. Сходимость рядов по ортогональным системам
многочленов
Как мы видели, для сходимости ряда Фурье для некоторого
элемента гильбертова пространства к этому элементу в смысле нормы
пространства требуются полнота пространства и полнота ортого-
ортогональной системы, по которой строится ряд Фурье.
Для доказательства того, что это имеет место в рассматриваемом
нами случае, нам будут нужны некоторые сведения из теории функ-
функций действительного переменного.
Приведем пока две теоремы:
Теорема Лев и. Если на [а, Ь\ дан ряд неотрицательных
измеримых функций

424 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
и если
Uk{x)dx
к-1 а
J
со
то почти везде на [а, Ь] сходится ряд 2 LfpAx)- (Почти везде
на [а, Ь\ означает, что всюду за исключением, быть может, множе-
множества меры нуль.)
Теорема Фату. Если <pt(х), <р2ix)< • ¦ • — последовательность
неотрицательных измеримых функций, заданных на [а, Ь], почти
везде сходящаяся к функции ty(x), .и если при всех k
ь
j <pfe (x) dx < A,
то и
Доказательств этих теорем здесь приводить не будем и отсы-
отсылаем читателя к любому более или менее полному курсу теории
функций действительного переменного.
Относительно веса р(х) будем предполагать, что/?(л;)>0 почти
всюду на [а, Ь\ и суммируем на этом промежутке.
Докажем следующую теорему, показывающую полноту про-
пространства L2(p):
Если последовательность [fn{x)\ (fn(x)?Lz(p)) сходится
в себе, то она имеет предел, также принадлежащий L2(p).
Пусть последовательность функций {/„ (х)}, /„? L2(p) сходится
в себе в пространстве Lt(p). Тогда можно найти такую после-
последовательность натуральных чисел
что
при любых I и т, больших пк. Здесь ||/(лО|| ~ |/ j p{x)j2{x)dx
В частности,
и ряд
а

§ 6] СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ МНОГОЧЛЕНОВ 425
будет сходиться. Применим неравенство Буняковского к функциям
\fnk+1(x) — fnk(x)\ и 1. Получим:
У fp(x)dx.y
а
= у
Следовательно, сходится ряд
со Ь
fe=l a
По теореме Леви почти везде сходится ряд
2pw
ft ™»1
а следовательно, и ряд
со
ft ^1
Таким образом, последовательность \fnk(x)} имеет предел почти
всюду на [а, Ь]. Обозначим его через f(x).
Покажем, что f(x) принадлежит к L2{p) и что она является
пределом последовательности fn(x) в смысле метрики L2(p).
Для заданного е > 0 найдем такое k, что при я > пк будет:
Последнее неравенство будет выполнено, если мы закрепим я и
будем произвольным образом увеличивать k.
Применим теорему Фату, взяв в качестве <^к(х) функции
p{x)[fn{x)-fnu{x)f
и в качестве функции <1[(х) — функции
P(x)[fn(x)-f(x)]*.
Тогда получим:
ь

426 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Следовательно, функция fn(x)—f(x), а поэтому и f(x) принад-
принадлежат к L2 (/?)• Более того, мы доказали, что последователь-
последовательность {/„(¦*)) сходится в среднем с весом р (х) к f(x).
Докажем теперь теорему:
Множество М всех измеримых ограниченных функций
на [а, Ь], множество С непрерывных на [а, Ь\ функций и мно-
множество И (Р) всех многочленов всюду плотные множества
в L2(p).
Пусть /? L2(p). На основании свойств интеграла Лебега для произ-
произвольного s > 0 можно подобрать такое 8 > 0, что как только мера
произвольного множества е ? [а, Ь] будет меньше 8, то
(это свойство называют абсолютной непрерывностью).
Функция / (х) почти всюду конечна. Поэтому можно указать
такое п, что мера множества, на котором f (х) > п, будет меньше 8.
Закрепив это п, положим
l при
\0 при |/(*)|>в.
Очевидно, g? M и
ь
\\f-g\\2=fp(f-gJdx= f p(f-gfdx= f pf*dx<e*.
Первая часть теоремы доказана.
Для доказательства второй части теоремы находим g(x)?M
такую, что ||/ — g\\<~2' Пусть |g"|<[/C. H. Н. Лузиным была
доказана теорема, утверждающая, что для любого о > 0 существует
такая непрерывная функция <?(х), которая отличается от g(x)
лишь на множестве меры, не превышающей 8, и удовлетворяющая
.неравенству | <р (х) | <;/С. При этом получим:
f p(x)dx.
В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега последний
интеграл может быть сделан меньше чем -тётя- Таким образом,
Перейдем к третьей части. Найдем непрерывную функцию f(x),
удовлетворяющую условию ||/ — <р||<С ~к • В силу теоремы Вейер-

§ 6] СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ МНОГОЧЛЕНОВ 427
штрасса можно найти такой многочлен Р{х), что
Тогда
II/ — P\\<\\f — <р||-Н|ф — р1Ку + 81/ fp(x)dx,
и если 81/ Г p{x)dx <^^у, то ||/ — Р[|< е. Теорема доказана
полностью.
Из теоремы следует, что в L2(p) многочлены с рациональ-
рациональными коэффициентами также образуют всюду плотное множество.
Это множество счетно. Следовательно, L2 (р) — сепарабельное
пространство. Кроме того, отсюда следует, что построенные на
степенях х: 1, х, х2, .., хп ортогональные многочлены
образуют полную систему.
В результате наших рассуждений мы можем утверждать, что
образованные нами ряды по ортогональным многочленам будут
сходиться к разлагаемой в ряд функции в смысле метрики
т. е. если Sn (x) — частичная сумма соответствующего ряда, то
ь
lim [p{x)[f(x)-Sn(x)\*dx = O.
П •> со '
а
Во многих случаях, встречающихся на практике, полученная
нами сходимость в среднем бывает недостаточна. Нужна либо обыч-
обычная сходимость, либо даже равномерная сходимость.
Пусть \Qn(x))—ортонормированная на [а, Ь\ система много-
многочленов с весом р(х). Тогда функции f (x) ?L2(p) будет соответ-
соответствовать ряд Фурье по этой ортонормированной системе
где
ь
ck = fp(t)f(t)Qk(t)dt.
а
Следовательно,
Sn (x) = 2] ckQk (x) = 2 Qk (x) f p @ / @ Qk (t) dt =
a
b
fc-0

428 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5-
Обозначим
На основании тождества Кристофеля — Дарбу
Кп (X,t) = an, »+1 ^—-^ •
Таким образом,
5. W - /, W f т д.. -. °»' "> °' ^"' W °-'" т.
В частности, если f(x)^l, то при любом л
и, следовательно,
-f
^
Умножая обе части последнего равенства на f(x) и пользуясь тем,
что интегрирование ведется по t, мы можем записать:
Отсюда
Sn(x)-f(x) =
b
= an.n+l
fp(t) f(t)Z
a
Оценим величину
ь
aa. n+i = jp(x) xQn+1 (x) Qn (x) dx.
a
Если предполагать, что коэффициенты при старших членах Qn(x)
положительны, то an, „+i > 0. Далее,
п,
ь
Jp (х) \ Qn+1 (х) Qn (x) \ dx,

§ 6] СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ МНОГОЧЛЕНОВ 429
где через С обозначено наибольшее из чисел \а\ и \Ь\. По не-
неравенству Буняковского
fp(x)Qi+i(x)dx-y fp(x)Ql(x)dx=C.
а * о
Обозначим
При этом 0 < б„ < 1 и получаем:
S» (*)-/(*) =
ъ
= ВпС fp{t)tVl=^-[Qn+l(t) Qn(*) — (?„+, (х) Qn (t)\ at.
a
Пусть функция
принадлежит L2 (p). Обозначим коэффициенты Фурье этой функ-
функции по ортогональной системе Qk (x) через dk. Очевидно, dk ->• О
при k —*¦ оо. Поэтому если Qjc(x) равномерно ограничены в точке х, то
lim \Sn(x)— /(*)]= Hm 6nC [Qn(x)dn+l — Qn+1 (x) dn\ = 0
«-> со
Если многочлены Qn (x) равномерно ограничены на всем от-
отрезке [а, Ь\, то наше утверждение будет справедливо для любой
точки х ? [а, Ь] при меньших предположениях о <p(t), а именно
достаточно потребовать, чтобы существовал интеграл
ь
fp(t)<p(t)dt.
Выражение
ь
fp(t)\Kn(x, t)\dt = Ln(x)
называют функцией Лебега ортонормированной системы {Qn(x)\.
Справедлива теорема:
Если f(x) — непрерывная функция, удовлетворяющая условию
lim ;
П-^ со

430 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
то ее ряд Фурье по ортогональной системе Qn(x) сходится
в точке х.
Действительно, если Рп(х) является многочленом наилучшего
равномерного приближения для f(x), то
|Р, (*)-/(*) К ?„(/)•
Следовательно,
\Pn(x)-Sn(x)\ =
fp(t){Pn(t)-f(t)]Kn(x,t)dt
< Ln(x) ?„(/)•
Но тогда
\f{x) - Sn(x) [ < \f(x)—Pn(x) \-\-\Pn(x)-Sn(x) [
и правая часть стремится к нулю при п-+оо. Будем называть
Ln= sup Ln(x) числами Лебега. Если
ж? [а, Ь]
Игл LnEn(f) = Q,
то, как следует из последней оценки, ряд Фурье функции f(x) по
ортогональной системе {Qn(x)} будет равномерно сходиться к f(x).
При различных весах р(х) мы получим различные условия,
которые нужно наложить на функцию f(x) для того, чтобы ее ряд
Фурье по соответствующей ортогональной системе сходился к f(x).
Но при любом весе свойство непрерывности f(x) не обеспечивает
такой сходимости в каждой точке отрезка [а, Ь\. Это было показано
В. Ф. Николаевым. Исследование сходимости рядов по ортогональ-
ортогональным многочленам очень сложно, и мы не имеем возможности из-
излагать здесь все тонкости вопроса. Ограничимся перечислением
некоторых фактов, связанных с теми ортогональными системами,
которые были приведены ранее.
•Для многочленов Якоби справедлива следующая теорема:
Если f(x) имеет на [а, Ь) непрерывную производную порядка р,
где р — наименьшее целое число, большее или равное 2 max (а, р)+2,
<гтах(а, р)^. — -^, то ее ряд Фурье по многочленам Якоби
равномерно сходится к f(x).
В частности, для многочленов Лежандра р = 2. Для многочленов
Чебышева первого рода /?=1. Можно показать, что равномерная
сходимость в этом случае будет иметь место, если потребовать
лишь ограниченность первой производной. Для многочленов Чебышева
второго рода р=Ъ. Здесь также возможно уточнение теоремы,
а именно достаточно потребовать выполнения для функции f(x)
условия Дини — Липшица:
lim co(8)ln8 = 0
ё

§ 6] СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ МНОГОЧЛЕНОВ 431
(со(8) — модуль непрерывности/(л;)), т. е. со(8)= sup \f(x)—f(y)\.
5
для того чтобы обеспечить сходимость ряда по многочленам Чебы-
шева второго рода на отрезке [—1, —1] и равномерную сходи-
сходимость на всяком отрезке [—1 +А, 1—А], 1 > А > 0.
Для сходимости рядов по многочленам Лагерра достаточно
потребовать, чтобы функция f(x) была кусочно-гладкой на [0, оо),
и сходимости интеграла
со
X
О
При этом в точках непрерывности f(x) ряд сходится к f(x),
\
а в точках разрыва к у[/(х + 0) -\-f(x — 0)].
Аналогичные условия достаточны для сходимости рядов по
многочленам Эрмита. Первое требование здесь сохраняется, а вместо
предыдущего интеграла требуется ограниченность
J \
— со
Равномерная сходимость рядов по ортогональным многочленам
к заданной функции имеет практический интерес, так как если нам
необходимо достаточно хорошее равномерное приближение функ-
функции с помощью многочленов, то в случае равномерной сходимости
ряда за приближающий многочлен можно принять частную сумму
ряда, построение которого во многих случаях достаточно просто.
Пример. Построить многочлен, равномерно приближающий
функцию
'<•>-•.(?-¦?)
на отрезке [ — 1, -\-Ц с точностью 0,0005.
Функция f (х) непрерывна вместе с производной /'(х) на
отрезке [—1, -|-1]. Следовательно, ряд Фурье этой функции по
многочленам Чебышева первого рода сходится к ней равномерно.
Поэтому будем искать многочлен, равномерно приближающий
функцию f{x), как частную сумму ряда Фурье по многочленам
Чебышева. Разложение f(x) по многочленам Чебышева легко по-
получить следующим образом. Известно разложение
= —2 ^-^cos/гб (|a|< 1).
и-1

432 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Положив здесь cos 6 = х и а = —, получим:
со со
In (-г^- к-) = — 2 \ -jjj— cos (n arccos x) =— I
»=1 Я-1
Если за приближение функции будем принимать сумму первых п
членов этого разложения, то погрешность не будет превосходить
величины
|Р„(*)|<2 _
СО
1 2
4ft ~ 3 (" + 1) 4" "
Нам необходимо взять ге таким, чтобы
| Рп (*) |< 0.0005. |*|<1.
Для этого достаточно потребовать, чтобы имело место неравенство
<
Наименьшее целое значение п, удовлетворяющее этому условию,
будет п=5. Таким образом, за многочлен, приближающий f{x)
с точностью до 0,0005, можно взять
Sb[.x)= — jTi (х) -±Т2(х)-± Т3(х) — Т(х)
±Т2(х)± Т3(х) — ~
v2
5W~ 512 512 64 л 384 64 160 *
Используя то же самое разложение по многочленам Чебышева,
можно получить многочлен пятой степени, дающий на отрезке
[—1, -|-1] приближение функции f(x) с точностью до 0,0001.
Для этого нужно поступить следующим образом. За приближающий
многочлен возьмем Se(x). Многочлен 56(л) уклоняется от f{x) на
отрезке [—1, -\-1\ не более чем на
2 - 0,00002.
3 • 7 .46
2
В 56(х) многочлен Тй{х) войдет с коэффициентом —, а Xй—¦
6 ¦ 4
on о
с коэффициентом ¦ "8 . Из теории наилучших приближений

§ 7] ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 433
мы знаем, что на отрезке [—1, 4~П наименее уклоняется от нуля
многочлен
1 Ч Q 1
Т I v\v-6г* Iг2—
32 '
1 Ч Q
_ Т I v\ v-6 г* -I _ г2
26 ' б \л) — л 2 16
причем величина этого уклонения равна -^. Таким образом, если
мы заменим хв многочленом
4Q1
Р ( v\ _ v-4 _ v-2 _1 _
^ 4 W — 2 16 ^ 32 '
являющимся многочленом наилучшего приближения к х6 на от-
отрезке [—1, +1] в совокупности многочленов степени не выше
пятой, то мы совершим погрешность не более -^у. Заменяя в 56 (х)
член — многочленом к^в • мы совершим погрешность
не более чем
^J.-i-^ 0,00008.
После подстановки и приведения подобных членов получим много-
многочлен пятой степени, уклоняющийся от f(x) на отрезке [—1, -|-1]
не более чем на
0,00002 +- 0,00008 = 0,0001,
т. е. мы получим в пять раз лучшую точность приближения с по-
помощью многочлена той же пятой степени.
Аналогично можно показать, что многочлен 5. (х), уклонение
которого от f(x) на отрезке [—1, -\-1] меньше 0,0005, можно
тем же приемом преобразовать в многочлен четвертой степени,
уклонение которого от f(x) также не превосходит 0,0005.
На этом пути часто удается построить многочлены, дающие
очень хорошие приближения к заданной функции f(x).
§ 7. Среднеквадратичные приближения функций
тригонометрическими многочленами
Если исследуемая функция f(x) является периодической, то
естественно приближать ее также периодическими функциями. При
этом если вес р(л;)==1, то мы приходим к хорошо известной
теории тригонометрических рядов Фурье. Так как теория тригоно-
тригонометрических рядов Фурье достаточно широко излагается в курсах
математического анализа, мы не будем ее излагать здесь. Отметим
лишь, что тригонометрический ряд Фурье функции f(x)?L2 всегда
сходится в среднем к этой функции. При некоторых ограничениях
на f (х) имеет место и равномерная сходимость, что позволяет
строить достаточно точные равномерные приближения функций
тригонометрическими многочленами.

434 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
§ 8. Приближение функций, заданных таблицей,
по методу наименьших квадратов
До сих пор мы рассматривали функции, заданные в каждой
точке некоторого отрезка \а, Ь\. Пусть теперь нам задана функ-
функция f(x), известная своими значениями в конечном числе точек
отрезка \а, Ь): х0, хх хп. Для тех или иных целей бывает
необходимо найти удобное и точное в каком-то смысле аналити-
аналитическое представление этой функции на всем отрезке [а. 0\. идин
из таких способов представления мы уже рассмотрели в главе
об интерполировании. Но интерполяционный способ нельзя считать
наиболее удобным по двум причинам; Во-первых, если число узлов
велико, то мы получаем громоздкие выражения для интерполяцион-
интерполяционных многочленов. Во-вторых, если табличные значения функции
подвержены каким-то случайным ошибкам, например ошибкам изме-
измерения, то эти ошибки будут внесены в интерполяционный многочлен
и тем самым исказят истинную картину поведения функции.
В этом параграфе мы введем другие принципы построения
аналитических выражений для табличных функций. Пусть снова
?о(•*-)' ft(•*-)' •••• Ут.(х) — какая-то система линейно независимых
функций на [а, 0\, т^_п. Будем разыскивать обобщенный много-
многочлен, составленный из этих функций, так, чтобы
п
V \f(v\ ф (хЛ№ П>
_j 1J \лг) ^ \лг>) v1/
г-0
имело_ наименьшее возможное значение. В тех случаях, когда из-
вестнп что значения /(хг) имеют неодинаковую точность, можно
вводить веса д> 0, 2/?г==Ь и минимизировав сумму
1=0
-Ф(*г)]2- B)
г-0
Теорию построения таких обобщенных многочленов можно ввести
в рамки той общей теории, которая развита в начале этой главы.
Для этого рассматриваем в качестве множества R всевозможные
функции, заданные на [а, Ь\. Функции f{x)^R и g(x)?R счи-
считаются тождественными, если /(х{) = g(xt) (/ = 0, 1, 2, ..., п).
Нулевым элементом будем считать любую функцию, обращающуюся
в нуль в точках xQ, xx д;а. Операции сложения элементов и
умножения их_ на числа вводятся естественным образом.
В этом множестве вводим скалярное произведение
(/. g)= itpifixjgixj, C>
г=0

§ 8] ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ТАБЛИЦЕЙ 435
где pi — заданные положительные числа. Очевидно, все свойства
скалярного произведения выполнены. Норма элемента вводится
обычным образом:
= У
D)
Всевозможные линейные комбинации функций уо(х), <?i(x), ..
..., <рт(х) образуют линейное (tn-\-1)-мерное подмножество R.
Следовательно, на основании общей теории в этом подмножестве
найдется элемент наилучшего приближения для/?/? в смысле той
метрики, которую мы ввели. Этот элемент будет единствен. Но
нужно помнить, что за этим элементом будет скрываться целое
множество функций нашего подмножества^ принимающих в точках
хг заданные значения.
Будем теперь предполагать, что функции ®0(х), fi(x) fm(x)
образуют систему Чебышева. Тогда обобщенный многочлен, при-
принимающий в точках Xi заданные значения, будет единствен. Дей-
Действительно, если бы имелось два таких многочлена, Фг (х) и Фг(х),
то их разность Ф^(д;) — Фц(х) обращалась бы в нуль в п-\-\
точках xv Но мы предположили, что т. <С ге. Следовательно.
Фх (х) = Ф2 (х). При т = п единственное решение поставленной
задачи даст интерполяционный многочлен. Если т < п, то мы будем
говорить, что нами получено приближение по методу наименьших
квадратов.
Практическое отыскание многочлена наилучшего приближения
по методу наименьших квадратов также не выходит за рамки общей
теории. Если
Ф (*) = со?о (*) + <№ (*) + • • • + <V?m (х) E)
является многочленом наилучшего приближения для f?R, то
должно быть
т
2 cj Op,. %) = (/. <pft) (ft = 0. 1, 2 m), F)
или, вводя обозначения
п п
Sik = 2 PiVj (xi) ?ft (Xi)', Гк = 2 Pif(xi) ?ft (X%), G)
г=0 г=о
найдем, что ск удовлетворяют следующей системе линейных урав-
уравнений:
с s _|_ с s _!____ _|_ с s — г

436 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Определитель этой системы как определитель^ Грамма системы
линейно независимых элементов ср0, срь ..., срт положителен и
с0. сх, ..., ст найдутся единственным образом.
Можно было бы даже не изменять обозначений предыдущей
части этой главы, если бы мы там ввели скалярное произведение как
ь
(/. ё)= ff(x)g(x)dc(x),
а
где а(х)— некоторая фиксированная функция ограниченной вариа-
вариации, а интеграл берется в смысле Лебега — Стильтьеса. При этом
мы пришли бы к результатам этого параграфа, если взяли бы
в качестве а(х) некоторую функцию, имеющую ге+1 точек
роста х0, хх хп.
§ 9. Приближения по методу наименьших квадратов
алгебраическими многочленами
Функции 1, х, ..., хт образуют систему Чебышева на любом
отрезке. Поэтому вся теория предыдущего параграфа будет при-
применима. Приведем пример на применение этой теории.
Пример. Для функции бштсл; на отрезке [—1, -\-\\ найти
среди многочленов степени не выше трех многочлен, дающий
наилучшее приближение по методу наименьших квадратов, если
используются значения функции в точках
хо = —1; хх=—0,5; д;2 = 0; лг3 = 0,5; хк=\.
Для отыскания коэффициентов с0, си с2, с3 многочлена
Р3 (х) = с0 4- схх 4- сгхг 4- с3х3
имеем систему.
С0%) 4~ Cls10 4~ C2s20 Ч~ C3s30 — Г0'
co^oi -r-^i^ii 4- c2six 4-C3S31 = ги
c0S02 ~Ь C1S12
где
sOi = S10 = — 1 — 0,5 — 0 4- 0,5 4- 0 = 0,
Soz=su = s20= 14-0,254-04-0,254-1 =2,5,
Sos = Si2=*2i = *» = — ! —0,1254-04-0,1254- 1=0,
sOi = s13 = s22 = s31 = s40 = 1 4-0,0525 4- 0 4- 0,0625 4-1=2.125.

§ 9J ПРИБЛИЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 437
sQC, = s,4 = s23 = S32 = S4i = s60==— 1 — 0,03125 + 0 +
+ 0,3125+1=0,
*об = su= s2i = s33 = s42=s51 = s60= l-f-0,015625 + 0 +
+ 0,015625+1=2,03125
r0 = 0—1+0+1+0 = 0,
r1 = 0 + 0,5 + 0 + 0,5 + 0=1,
л2= 0 — 0,25 + 0 + 0,25 + 0 = 0,
r3=0,125 + 0,125=0,25,
т. е.
5co + 2,5c2 = O, 2,5с!+2,125с3= 1,
2,5co+2,125c2 = O, 2,l25c1 + 2,03125c3 = 0,25.
Отсюда
_ _ 8 _ 8
C0 C2 "¦ Cl "¦}"> C2 ¦§"
Изложенный здесь метод имеет два существенных недостатка:
1) для отыскания коэффициентов этого многочлена приходится
решать систему из т+1 уравнений, что при больших т. затруд-
затруднительно;
2) если мы выбрали т и построили многочлвр наилучшего при-
приближения и оказалось, что точность приближения недостаточна, то,
увеличив т, нам придется заново повторять все вычисления.
1. Система многочленов, ортогональных на множестве равно-
равноотстоящих точек. Мы освободимся от этих недостатков, если
найдем систему ортогональных многочленов в смысле того скаляр-
скалярного произведения, которое нами введено. Естественно, что система
ортогональных многочленов будет зависеть от расположения узлов
и от весов Pi. Мы ограничимся простейшим случаем, когда веса
jP|=l, а узлы равноотстоящие. Пусть нам дано ге+1 узлов х0,
хх хп, х-г — л:(_1 = й. Если предварительно выполнить замену
х' =—-г—-> то точки х0, хх хп перейдут соответственно
в 0, 1, 2 п. Будем считать, что эта замена уже выполнена,
и вместо х' снова писать х.
Будем теперь строить многочлены Pk,n{x) (k = Q, I, 2, ...
..., т <Г п) последовательно возрастающих степеней {Р^>п{х) —
многочлен в точности степени к), обладающие свойством
2.@ = 0 <ЛФ1). A)
-0

438 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Так же как и в том случае, когда рассматривались значения много-
многочленов во всех точках отрезка fa, b], можно доказать, что наши
многочлены определятся однозначно, с точностью до постоянного
множителя. Чтобы определить их совсем однозначно, потребуем,
чтобы при х = 0 они равнялись единице.
Прежде чем переходить к построению многочленов Рк,п{х),
рассмотрим некоторые свойства факториальных многочленов. Фак-
ториальным многочленом х^ порядка п называют многочлен
степени п с коэффициентом при старшей степени, равным единице,
обращающийся в нуль в точках 0, 1 п—1, т. е.
xW=x(x—l)...(x — n+l). B)
Очевидно, что любой многочлен степени п можно представить как
линейную комбинацию факториальных многочленов степеней, не
превосходящих п.
Имеют место следующие тождества:
Первое из них легко проверяется:
= х(х—1) ... {х — гс + 2) [(х-1-1) — (х — п-\- 1)] ^
Для доказательства второго выпишем последовательность первых
тождеств, взяв п равным k-\-\, сдвигая каждый раз аргумент на
единицу:
(* + if+1) — х(к+1) = {k + 1) *<*>,
— (х +
{x _|_ „ + !)(*+>) - (x + nf+1) = (k + 1) (x + nf\
Складывая эти тождества почленно, получим:
{х + п+ !)(•+« _ х^ = (*+!)?(* #»
Отсюда и следует утверждение.
Искомый многочлен будем искать в виде
Рт, „(*)=!+ blXW + Ьгх^ + ... + bmxW E)
и потребуем его ортогональности к

-§ 9] ПРИБЛИЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 439
при всех k = 0, 1 т — 1, т. е.
п
Sa + ft)<*)/>m,),(O = O (Л = 0. 1. 2. .... m—1). F)
Имеем:
(X + k)W Рт, „ (X) = (* + kf] + bx (X + k)W XW +
Отсюда, используя второе тождество, получим:
2 а+kf] я».»(о = S а+kf]+b1±(i+kf+1) +
г0 0 гО
S а+f+1±
г—0 г—О
1=0
... +ь
Таким образом, для отыскания коэффициентов Ьк (k=l, 2, .. ., in)
получаем систему из т уравнений:
(k = 0, I т— 1) (8)
или, полагая п№Ьг = аг, систему
1 Д1 д д _ л
(* = 0, 1 т—1). (9)
Для решения этой системы применим следующий прием. Рассмотрим
функцию
__L_ I Д1 i <Ч i ,?ш
2) ... (лг + от

440 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Здесь Q(x) есть многочлен степени не выше т. В силу наших
уравнений Q(x) обращается в нуль в точках х = 0, 1, 2 т.— 1.
Следовательно,
Для отыскания постоянной С умножим последнее равенство на
х-\-\ и положим х = — 1. Получим:
т(т) — т\
_ C(-1)W_ Cir-УГпй _с {)т
т. е. С = (— 1)т, и
Таким образом,
Освобождаясь от знаменателей и полагая х = —(fe+1), получим:
ak{m — k)(tn — k —1) ... 1(—1)(—2) .. . (—fe) =
= (—l)m(—k—l)(—k—2) ... (—k — m)
или
Подставляя эти значения в равенство A2), получим:
/ л^с гк гк
Так как произвольный многочлен степени j < m можно пред-
представить как линейную комбинацию (x + ^)(fe) при & = 0. 1, ..., у,
то Рт,п(х) будет ортогонален к любому многочлену степени j < т.
В частности,
»
2^*.»@^«.п@ = 0 {к + т). A6)
Вычислим теперь
Для этого представим Рт,п{х) в виде
Pm, „ (*) = 2 Вк (х + A:)(k). A7)

§ 9] ПРИБЛИЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 441
Тогда
23 Рт, п @ = 23 Рт, п @ 2 Вк (i + kf> =
i—0 i=0 A=0
m ( n ^ n
= 23 в J 2 (/+kf] pm, n (o} = sm2 p». «со a+^)(m)=
k~o \i~o ) i=o
?*] 08)
или используя равенство A2) при х = т, получим:
Bm+D
Наконец, учитывая, что Вт = Ьт = ——-—VV—• найдем:
\ V '
Jm— "m ¦
«
1-0
Ортогональные многочлены Pm.n(x) связаны следующим рекур-
рекуррентным соотношением:
𗦦")=
В самом деле, многочлен хРтп(х) можно записать в следующем
виде:
хРт, п (X) =
= Л+1, п (х) + а.уРт> п (х) + a2Pm_i,» (х) + ¦ ¦ ¦ Н- flm+i /'о- » W-
Для отыскания коэффициентов а3, а4, .... ает.( х умножим обе части
равенства на Рп,п(х) (k <С т — 2), заменим х на i и просуммируем
по г от 0 до п. Тогда будем иметь слева:
j=0
что равно нулю, так как многочлен хРк>п(х) имеет степень-
меньше т., а следовательно ортогонален Рт,п(х). Справа, в силу
ортогональности многочленов, останется только один член:
l2
i-0

442 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Таким образом,
п
'S (Q = 0 при &<m — 2,
i=0
т. е. а3 = а4= ... =ает+1 —0, и мы будем иметь:
Хгт, п \Х) = Яд* т+1, п (X) —)— СЦ'т, п\Х) —|— Яу »»—1, » (•*-)•
Для отыскания коэффициентов Oq, ax, а2 нужно составить три урав-
уравнения. Эти уравнения мы получим, приравнивая коэффициенты при
хт+\ в обеих частях нашего равенства, а также полагая в обеих
частях х = 0 и х= 1.
Заметим, что
а коэффициент при старшей степени хт в Рт,п(х) равен
_
т~
Из сравнения коэффициентов при xm+l получим:
Bm+2)(m+1)
m!n(m) aov
или
_ (w+l)(n — от)
0 2Bm+l)
Далее, при х = 0 получаем:
а при х^ 1
1 w(w+l) —ry Г, (w+l)(w + 2) 1 ,
1 - — «о[1 J +
или, учитывая, что ao-(-a1-(-a2 = 0, вместо последнего уравнения
получаем, уравнение
, от (от+1) (m+l)(m + 2) от(от+1) (от— 1) от
п п ° п х п 2
Подставляя найденное значение для а0, получим следующие урав-
уравнения:
(n — m)
2Bот+1) "'
откуда
_ /г. _
«1— 2, «2—
2, «2— 2Bот

§ 9] ПРИБЛИЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 443
ИЛИ
(у\— (т+\)(п — т) р
, п \л) — 2 Bт 1~П * яи-l, п \л) ~т~
п
2Bm+l)
уто и требовалось доказать.
Так как
то из рекуррентного соотношения при т=\ имеем:
9
или
"'IIW-1 Л-1 ^ 11A1-1) *
Полагая т. ^2, получим:
или
р (Х)=1 2Fл2-Зп-!-2) , 30 „ 20x3
Л(л_1)(л_2) л"Г(л_1)(л —2) л (л—1) (л — 2)
и т. д.
Имея ортогональные многочлены Pic,n(x) при всех k<^n, легко
построить в Нт(р) многочлен, дающий наилучшее приближение
к элементу f?R в смысле метрики этого пространства. Этот мно-
многочлен ищем в виде
Рт(*) = СоРо,п(х) + «Л» (*) + • • • + стРт, п (х). B1)
В соответствии с общей теорией для отыскания коэффициентов
получаем следующую систему:
Ci(Pi,n. Pi,») = (/. Pi.») a = 0, 1, 2 m).
Отсюда
Величина наилучшего приближения 5,ге находится из равенства
- B3)
*-u

444 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Пример. Построение многочлена наилучшего приближения
в смысле метода наименьших квадратов для примера предыдущего
параграфа будет выглядеть следующим образом.
Учитывая, что
Яо4СУ)=1 Pi*(y)=l — j РкЛу) = 14
для коэффициентов многочлена
Ръ Су) = <чА 4 Су) + «Л 4 Cv) -I- c2pit 4 Су) + «Л 4 Су)
имеем:
Следовательно,
Делая замену _у=2х + 2, получим многочлен наилучшего прибли-
приближения к функции / (х) = sin тех на отрезке [—-1, +1] в совокуп-
совокупности многочленов степени не выше третьей:
Для практического использования многочленов, ортогональных
на множестве точек 0, 1, 2 п, составлены таблицы этих мно-
многочленов (см., например, Милн, Численный анализ).
§ 10. Применение метода наименьших квадратов
для сглаживания результатов наблюдения
Пусть в результате наблюдений получена таблица значений функ-
функции f (х) для значений аргумента х0, х1 х$. Будем предпо-
предполагать, что значения аргумента х0, х1 х^ найдены точно
или во всяком случае значительно точнее, чем значения функции
f(xi). Будем предполагать, что систематические погрешности,
а также грубые ошибки в значениях f(xi) исключены. С целью
уменьшения случайных ошибок и получения более плавного течения

§ 10] СГЛАЖИВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЯ 445
функции f(x) применяют процесс сглаживания, состоящий в том,
что наблюденные значения /(JCj) заменяют значениями /(jcj), полу-
полученными в процессе вычислений, зависящих от выбранного способа
сглаживания.
Мы изложим способ сглаживания, основанный на методе наи-
наименьших квадратов, предполагая, что значения х0, хх, ..., х#
равноотстоящие, а все значения f(xi) имеют одинаковую точность.
Этот способ заключается в следующем. Предполагается, что функ-
функция f(x) на некотором участке, охватывающем п-\-\ значений
аргумента х, может быть достаточно хорошо приближена много-
многочленом степени т (от <^ п). Для того чтобы найти сглаженное значе-
значение f{X{) в точке Х{, выбирают п-\-\ значений аргумента (из
заданных х^) так, чтобы х\ по возможности находилось посредине.
По наблюденным значениям функции в этих точках методом наи-
наименьших квадратов строят многочлен степени т, приближающий
функцию f(x), и за значение f(X{) принимают значение этого много-
многочлена в точке Х{. Полученные при этом значения f(X{) обычно бы-
бывают довольно близки к истинным.
Для практического использования можно заранее найги выра-
выражение /(xj) через наблюденные значения /(xf) при заданных от и д.
Часто выбирают п четным числом, а т нечетным. В этом случае
точка xt будет являться средней из точек, по которым строится
приближающий многочлен.
Ниже приводится несколько таких выражений. Для краткости
вместо f(xi) мы записываем /j.
т=\
п = 2: /(.vi) = y[/,
n = 4: / (Xi) = ж [—3/i_2 4- 12/i_! 4- 17/f 4- 12/i+1 — ЗДг2];
4-ЗЛ+2—2/ils];
n = 6: f(x{) — ~ [—Vi-ъ + 3/i_2 + 6/,.! -+- 7/, 4-
n = 8: f(Xi) = 23Ti- 21/,_44-14/,_, + 39/f_2 + 54/^_, 4-
4- 59/, 4 54/i+1 + 39/i+2 4-14/, r, - 21/<+J.

446 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
т = 5
и = 6: f(xi) = ^r[5fi_3 — 30Д_2+75/,_1+131Д +
+ 75/«+1-30/«,2 + 5/i+s];
4-179/,+ 135/i+1 + 30/i+2 - 55/i+3+ 15/<
я= 10: f(xd = 4§g [18/«_в —45/<_4— Ю/4_, + 60/,_2+120/,_1
143/,+ 120/i+1 + 60/,.2 — 10/4+s — 45/i+4+
Иногда сглаживание приходится производить несколько раз, но
при этом нужно иметь в виду, что многократное сглаживание мо-
может сильно исказить истинную картину.
§ 11. Применение метода наименьших квадратов
к построению эмпирических формул. Решение систем линейных
алгебраических уравнений по методу наименьших квадратов
Пусть две переменные хну связаны известной функциональной
зависимостью
y = f(x\ av a2 aj, A)
содержащей т параметров av аъ ..., ат. Пусть при jc = jc1,
хъ .... хп(п^> т) известны с некоторой точностью значения
Ух, у2, .... уп. Требуется найти значения параметров ах, а2, . .., ат.
С такой задачей приходится встречаться при построении эмпи-
эмпирических формул, выражающих в аналитической форме законо-
закономерность изменения одной величины в зависимости от изменения
другой, если в результате наблюдений получена таблица значений
величины у при соответствующих значениях х.
Вид функциональной зависимости / и число параметров т.
в некоторых случаях известны из каких-либо дополнительных со-
соображений, в других случаях вид функциональной зависимости усма-
усматривается из графика, построенного по наблюденным значениям _Уг>
а число параметров и их значения подбираются так, чтобы эмпири-
эмпирическая формула наилучшим образом отображала результаты на-
наблюдений и была достаточно проста. В некоторых случаях, когда
не удается построить достаточно простую эмпирическую формулу,
выражающую достаточно просто зависимость у от х на всем диа-
диапазоне изменения аргумента х, прибегают к построению ряда эмпи-
эмпирических формул, выражающих эту зависимость в опреде генных
более узких пределах изменения х.

§11] ПОСТРОЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ 447
Вернемся к поставленной задаче. Если бы значения у{ при х = хг
были известны точно, то задача принципиально решалась бы просто.
Нужно было бы из системы
ат)>
B)
о-ъ а2 ат),
Уп^2 J (хп< а\< а2> •¦•> ат)
взять т уравнений и найти из них значения параметров а^ (пред-
(предполагается, что эта система имеет единственное решение). При этих
значениях параметров были бы в точности удовлетворены все осталь-
остальные уравнения системы. Если же уг, как и бывает практически,
являются приближенными значениями, то, найдя из каких-либо т
уравнений значения параметров at, а2, ..., ат, мы столкнемся с тем
фактом, что эти значения параметров не будут удовлетворять осталь-
остальным уравнениям, причем разность между правой и левой частями
для некоторых уравнений может быть значительной. Наша система
чаще всего будет несовместна. Возникает задача так определить
значения параметров, чтобы в некотором смысле все уравнения
системы были удовлетворены с наименьшей погрешностью, т. е.
найти те значения параметров, при которых искомая эмпирическая
формула наилучшим образом согласуется с результатами наблюдений.
Одним из способов отыскания этих значений параметров
ах, %,..., ат является следующий. Отыскиваются приближенные
значения параметров ах, аз, ¦•¦> Ят. например решая систему, со-
составленную из каких-либо т уравнений системы. Далее, ищутся
поправки к этим значениям
аг=а?-Ь«г (г=1, 2 т). C)
Предполагая, что поправки аг достаточно малы, а функция / — до-
достаточно гладкая функция, разлагают правые части уравнений си-
системы в ряд Тейлора в окрестности точки (a?, at, ... а°т), удер-
удерживая лишь члены первого порядка относительно поправок, т. е.
/ (хк; ах, а2 ат) =
т
г ( о о
^~ J \хк1 а^, ад, . .., с
Вводя для сокращения записи обозначения:
/«,(**: в?. < •¦•¦ a°m) = t>k,i (А=1, 2 n;/= 1.2, ...,т)\
yk-f{xk'aval----^l) = lk (ft=l, 2 n), i
E)

§11] ПОСТРОЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ 447
Вернемся к поставленной задаче. Если бы значения у{ при х = хг
были известны точно, то задача принципиально решалась бы просто.
Нужно было бы из системы
У у =f(*v «1. «2. ¦ • ¦¦ ат),
y2=f(x2; аи а2, ..., ат),
Уп = 1(хп', аи а2, ..., ат)
B)
взять т уравнений и найти из них значения параметров а± (пред-
(предполагается, что эта система имеет единственное решение). При этих
значениях параметров были бы в точности удовлетворены все осталь-
остальные уравнения системы. Если же yit как и бывает практически,
являются приближенными значениями, то, найдя из каких-либо т
уравнений значения параметров аг, а2, . . ., ат, мы столкнемся с тем
фактом, что эти значения параметров не будут удовлетворять осталь-
остальным уравнениям, причем разность между правой и левой частями
для некоторых уравнений может быть значительной. Наша система
чаще всего будет несовместна. Возникает задача так определить
значения параметров, чтобы в некотором смысле все уравнения
системы были удовлетворены с наименьшей погрешностью, т. е.
найти те значения параметров, при которых искомая эмпирическая
формула наилучшим образом согласуется с результатами наблюдений.
Одним из способов отыскания этих значений параметров
О], %,..., ат является следующий. Отыскиваются приближенные
значения параметров аь а\, ..., а^, например решая систему, со-
составленную из каких-либо т уравнений системы. Далее, ищутся
поправки к этим значениям
а{ = а? + «« (i=l, 2 т). C)
Предполагая, что поправки at достаточно малы, а функция / — до-
достаточно гладкая функция, разлагают правые части уравнений си-
системы в ряд Тейлора в окрестности точки (a?, at, ... dm), удер-
удерживая лишь члены первого порядка относительно поправок, т. е.
f(xk; ax, а2 ат) =
т
= /(*»: «?. «S а
Вводя для сокращения записи обозначения:
f'a.{xu><< <) = h.i (*=1,2 л;1=1,2. ...,т)\
У*-/{х»<Ъ-Ъ ¦¦-.<.) = '* (А=1. 2 п), |
E)

§ 11] ПОСТРОЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ 449
Решая систему нормальных уравнений одним из известных спо-
способов (подробнее об этом будет рассказываться в следующей главе),
найдем значения неизвестных ах, а2 ат, которые для нашей
исходной задачи являются поправками к начальным значениям па-
параметров, а суммы а°1-\-а1 можно принять за искомые значения
параметров аг в эмпирической формуле.
Предыдущий способ дает удовлетворительные результаты только
в том случае, когда результаты измерений ylt y2, .... уп имеют
одинаковую точность, т. е. их среднеквадратичные погрешности
примерно одинаковы (см. гл. 1). Если этого нет, то целесообразно
сначала все условные уравнения привести к «одинаковому весу».
Это делается следующим способом. Пусть среднеквадратичные ошибки
величин
Уи У2 Уп
суть
1*1. 1*2 (V
Вычисляем величину
и находим веса <
(А (А (А
Затем каждое условное уравнение умножаем на соответствующее р^.
Очевидно, получим систему, эквивалентную исходной, в которой
правыми частями будут величины
V-
у • • • j f-« »
Нч "l»n
имеющие одну и ту же среднюю ошибку (л.
Это равносильно составлению нормальных уравнений из условия
минимума
и Г от 2
= 2 Рк 4 — It bk&i •
й_1 L »=i J
Заметим, что для упрощения вычислений вместо среднеквадратич-
среднеквадратичных ошибок можно брать величины, им пропорциональные, так как
это не меняет нормальной системы.
Наконец, отметим, что на задачу приближения функций, задан-
заданной таблицей значений, с помощью алгебраического многочлена сте-
степени от по методу наименьших квадратов можно смотреть как на задачу
построения эмпирической формулы в виде многочлена степени т.
Роль параметров в этом случае играют коэффициенты многочлена,
причем система условных уравнений будет иметь вид
от
/(*«)= 2***? (/=1, 2, .... л),
к=о

450
СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
[ГЛ 5
а коэффициенты многочлена наилучшего приближения в смысле
метода наименьших квадратов будут находиться как решение системы
нормальных уравнений.
Пример. Известно, что некоторая величина J зависит от
времени t следующим образом:
J=ae-Pf.
Измерения величины J, произведенные с одинаковой точностью,
дали следующую таблицу зависимости J от t:
t
J
0
2,010
1
1,210
2
0,740
3
0,450
Найти значение параметров а и р в этой функциональной зависи-
зависимости.
Исходные уравнения будут иметь вид
2,010 = а,
1,210 =ае-Р.
0,740 = ае-2Р,
0,450 = ае~3Р.
Решая приближенно первые два уравнения, найдем:
Оо=2,010, /?0 = 0,510.
Ищем поправки-
Так как
= а— а0, q=p—p0.
dJ
'fa
то
dp :
bn=\, b21 = e~°'bi = 0,600,
1 = e-i.« = 0,361,
-1*3 = — 1,302,
-51 = —1,206,
-1'02 = _ 1,451, bi2 =—Q
1 = 2,010 — 2,01e-°>51-9 = 0,
2= 1.210 —2,01e-°'5bl = 0,004,
13= 0,740— 2,01e-°'5ba = 0,014,
2,0le~1'bi =0,016.

§ 12| ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ-ТАБЛИЦЫ ТРИГОНОМЕТРИИ. МНОГОЧЛ, 451
Система условных уравнений запишется так:
8 = 0.
0,600В— 1,206? = 0.004,
0,361В— 1,4519=0,014,
0,2168—1,3029 = 0,016.
Система нормальных уравнений принимает вид:
[12 + 0,6002 + 0,3612 + 0,21621В —[1,206 • 0,600 + 1,451 • 0,361 +
+ 1,302 • 0,216O = 0,004 • 0,600 + 0,014 • 0,361 +0,016 • 0,216,
— [0,600- 1,206 + 0,361 • 1,451 +0,216- 1,302]В +
+ [1,2062+1,4512+ 1,3022]9 =
= _[0,004 • 1,206 + 0,014 • 1,451 +0,016 • 1,302],
или
1,5378—1,5299=0,011,
— 1,5298 + 5,2559 = —0,046,
откуда
В = — 0,004, 9 = — 0,009,
<х=2,00б, /7 = 0,501,
а
У=2,006е-°'5Ш.
§ 12. Приближение функций, заданных таблицей,
тригонометрическими многочленами по методу
наименьших квадратов
В § 8 мы рассмотрели общий случай приближения табличной
функции по методу наименьших квадратов с помощью функций
некоторой системы Чебышева. Пусть теперь узлы расположены на
отрезке @, 2те]:
и в качестве системы Чебышева возьмем тригонометрические
функции:
1, cos*, sin*, cos 2*, sin 2*, .„., cos гад:, sin га*. A)
Будем предполагать, что N~^2n-\-\. В этом случае согласно об-
общей теории будет однозначно определяться тригонометрический
многочлен
п
Тп (х) = а0 + 2 (ak cos kx + Ьк sin kx) B)

452
СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
наилучшего приближения в смысле метода наименьших квадратов
для произвольной функции, заданной в точках jq. Коэффициенты
этого тригонометрического многочлена будут удовлетворять системе
уравнений
JV
0 ¦+- 2 W 2 cos kxx -(- Ьк 2 sin kxx | = 2 / (
n t JV
2 \ak 2
cos ?*г cos ixx -f-
JV
JV
2
г-i
JV
a0 2 cos гд;г
JV
«о 2 si
JV
+ Ьъ 2 sin kxx sin ixx \ = 2 / (*г) sin ixx (/=1,2, .., n)
i=i )
|flft 2 cos йд;г sin /jcj -f-
i I i-i
C)
Решив эту систему, мы сумеем найти приближающий многочлен.
Как мы знаем, система упростится, если функции системы Че-
бышева ортогональны в смысле той метрики, которая нами вво-
вводится при изучении табличных функций. Для тригонометрических
многочленов оказывается, что не нужно производить никакой орто-
гонализации, если pi= 1 и узлы равноотстоящие.
Пусть
= a, лг2=2а;
Тогда справедливы следующие равенства:
JV N
2 cos kxx = 2 sin kxx = 0 (ft ф Np, p — целое число),
iV JV
2 cos &.xjcos rxx = 2 sin kxx sin rxx = 0,
D)
E)
если k-\-r и ft — л не являются кратными ./V и k Ф г.
N
2 cos kxx sin /\л;г = 0 при всех ft, л;
JV
2(
j=i
JV
F)

§ 121 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ-ТАБЛИЦЫ ТРИГОНОМЕТРИИ. МНОГОЧЛ. 453
Таким образом, в этом случае сами функции тригонометрической
системы ортогональны.
Чтобы доказать написанные нами равенства, рассмотрим
1 —
еш—1
____ О #—*"'•'"¦ м 1 I л
z-i i-i e —
при k Ф Np.
Отделяя здесь действительную и мнимую части, получим пер-
первое равенство. Далее,
N N N
1 V 1 VI
COS kXi COS ГХг = -к V COS (Л -|- Г) JCj -|- _¦ V COS (& — Г) ДГг;
j=i j=i j=i
N N N
V sin kx, sin лд;г = у "V cos(k — с)хг — у У, cos (k -+-О лсг.
Суммы, стоящие в правых частях, равны нулю, если k-\-r н k — г
не являются кратными N. Аналогично
N N N
= -х- У, sin (k -\-г) хг — -кУ^ sin (* — О xi = 0
г-i г-i г-i
при всех /г и г.
Наконец,
N N
г-i г-i
N N
1 V^
sin2 kxi = -у >, [ 1 —
г=1 г=1
если 2/г не кратно /V. Если же 2k кратно N, то
N N
2 cos2 kx, = /V, а 2 sin2 &*z= 0-
ii ii
2
i-i

454
СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
(ГЛ. 5
В силу полученных нами равенств система для определения
коэффициентов упростится и примет вид
2=1
N
ИЛИ
2=1
0=1. 2 я)
G)
г-i
N
N
г-i
(/= 1, 2, .... га).
(8)
Последние формулы носят название формул Бесселя. Заметим, что
формулы Бесселя можно получить из формул для коэффициентов
Фурье функции f(x):
^0=9^
2и
= — / f(x)coskxdx,
я J
о
аи
= — / / (х) sin kx dx,
о
(9)
если вычислять входящие в них интегралы приближенно, используя
формулу трапеций, полагая /@) =/Bтс).
Укажем также на связь коэффициентов, полученных по форму-
формулам Бесселя, и коэффициентов ряда Фурье функции f(x), если эта
функций разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье:
= «о + 2 {Ч cos kx -f- B4 sin kx).

§ 13] СХЕМА РУНГЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ fl0, пк, Ьк 455
Учитывая наши равенства и беря N=2p, будем иметь:
N Зр г со
а0 = -=г=- У, f (Xj) = -х— У. I (Xq 4- ^i (afe cos kxi 4- № sin kxi) | = Oq 4"
г-i г-iL *-i
2p 2p \
I =a0"
N
cosrxl = j^i\ «о 4-]?(<** cos Au:j4-Mn**i) X
L
2р
^cosйдтгcosлд;г4-P)t X
ap
sin
N
J-l
COS i
) sin rjcj
ar4-
1
«2p-
ap
-r
Г
L
. sin ft*,) X
,-i ' J
2p со 1 2p
X sin лд:г = — V sin лд:г Н— V I aft V cos kxt sin лдг, -)-
P i_i P*-il z-i
Sin ftjlTj Sin ЛДГг > = ft. — ^2p-r '
Таким образом,
o + a2p + a4p4-aep4- ....
A0)
Если коэффициенты a^, p^ быстро убывают, то основное значение
имеют первые члены этих рядов. При небольших г аг и br будут
близки к ar и рг, а при больших г расхождение будет, вообще
говоря, больше.
§ 13. Схема Рунге вычисления коэффициентов а0, ак, Ък
в случае N=\p
Значения cosutj и sin /дгг, входящие в формулы Бесселя, будут
совпадать или различаться лишь знаком даже при различных зна-
значениях г. Этим часто пользуются, чтобы создать различные удоб-
удобные вычислительные схемы. Одну из таких схем мы и рассмотрим

456 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
в этом параграфе. Как уже указано в заголовке, берем N = Ар.
В этом случае п^.2р—1. Будем разыскивать многочлен в виде
Т(х) = ао-\-а1 cos x -\-а2 cos 2х -+- ... -\-a2p^.iCosBp—
-\~ а2р cos 2рх -+- bx sin x -\- b2 sin 2x -+- ... -\-b2P-iSmBp—\)x.
Для коэффициентов ak, bk многочлена наилучшего приближения мы
имеем следующие формулы:
B)
(k= 1, 2, 2p— 1).
Выражения для я2р мы не имели. Получим его. Для отыскания а2р
мы имеем уравнение
flft = оТГ lif (xi>cos kxu bh = 4^ 2i / (**) sin ***
a2v 2j cos2 2рд:г = 2j f (x0 cos 2рд;г.
Z-l l-l
Так как хг = od = -^—, то cos2jo^j^costcZ = (—1)г. Следовательно,
^> 4р 4р
2 cos2 2рхг = 4р; 2/ W cos 2pxx = 2 (—l)lf(xi)
и
^ 4р
г=1
Займемся упрощением сумм, входящих в выражения для коэф-
коэффициентов. Для этого заметим, что
COSfe^4p_;=*COS ' Р~ ^" =:COS -^-=CO%kXl, |
. . kDp— l)n .kin . , I D)
sihat/s „_/ = sin—^-^—-— = — sm-=—= — smkx,.
p l 1p 2p ')
Следовательно, в суммах можно объединить члены, равноудален-
равноудаленные от концов. Вводя обозначения:
E)

§ 13] СХЕМА РУНГЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ п0, пк, Ьк 45?
можно выражения для коэффициентов переписать следующим обра-
образом:
ар
г-о г=о
ар 2р
г=о i-i
F)
Далее, для четных значений k (k = 2J) имеем:
cos kx2p-j = cos 2j p~ = cos n = cos 2jxj = cos kxb
sin kx2p_x = sin 2j p~~ = — sin " = — sin2jxt = — sin kxx,
G)
а для нечетных значений k (k = 2] — 1):
, ._ . ,. Bp — /) я B/ — 1) /я ,
cos kx2p_i = cos By — 1) r —'-— = — cos -v J —'-— = — cos kxt,
sin kx2p_i = sin By — 1) y —-— = -(-sin-~— = sin kxP
(8)
Таким образом, можно снова объединить члены, равноотстоящие
от концов. Если ввести обозначения
A=0, 1 р—1),
(9)
:р_г. } (/=1. 2 р—1).
то формулы можно записать в таком виде:
р
г-о
р
Zj°
г=о
р-1
_ frjc О / у
' sin 2у'д;г
1
а*р-Ар-
г, fl2j-i=2^
р
p~i
г-о
р
s
SjcosBy— 1)д;г,
a^ sinBy— 1) лтг.
A0)

458
СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
Вычисления сумм и разностей удобно располагать следующим образом:
/i /2 /з • • • Лр-i Ар
Лр Лр-i Лр-2 Лр-з • • • /гр+i
Суммы . .
Разности .
Суммы . .
Разности .
. s0
•
So
S2p
. а0
. 30
*i
di
Sl
S2p-1
°1
Si
d2p-i
S2
d2
«2
S2p-2
°2
s2
d2
s3
d3
s3
S2p_3 •
°3
Sb •
d2p_3 .
• • S2p_i
• • d2p_i
¦¦ Sp-i
• • sp+1
¦ • °p-i
• • sp_,
•• dp_,
S2P
Sp
Ь
dp
Суммы ...
Разности . .
Ь[
А Случай 12 ординат.
В этом случае будем иметь:
A h h U U
/l2 /ll /lO /9 /в • /ч
Суммы . . .
Разности . .
db
Суммы . . . o0
Разности . . 80
Суд мы . . .
Разности . .
d2
d4
Дальнейшие вычисления удобно производить по сх
i
s;
ме:
sin 30° = 0,500
sin 60° = 0,866
sin 90° = 1,000
sin 90° = 1,000
Суммы
Суммы /-(-//
Разности /— //
°0
I
°i
°8
II
12a0
12afi
B2
Bo
I
Si
II
6d4
6a6
— a2
°0
I
ai
— o3
II
6a2
6a4
Bo
I
B2
II
6a3

§ 13] СХЕМА РУНГЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ fl0, ак, Ь]с 459
Продолжение
sin 30° = 0,500
sin 60° = 0,866
sin 90° = 1,000
Суммы
Суммы I -j- II
Разности I — II
ai
/
°3
I
/
°2
II
66,
К
I
*2
II
66,
664
/
°1
I
/
°3
II
6*8
При вычислениях по этой схеме нужно выполнить умножение
величин, стоящих в столбцах, на синусы углов, стоящих в соот-
соответствующих строках, и найти суммы произведений по столбцам.
Далее, составляя суммы I —j— II и разности I — II, найдем коэффи-
коэффициент ак и Ьк, умноженные на указанные в таблице множители.
Б С 2 д
к у
Б. Случай 24 ординат.
/i /а- /з fi /ь /в fi fs
/24 /23 /22 /21 /20 /19 /is /it /ie
/э /ю /и /i2
/15 /14 /13
Суммы . .
Разности .
• s0 s1
dx
Суммы .
Разности
s2 s3 s
d2 d3 a
s0 s,
«12 S,
• • °0 °1
• . 30 3i
dx
dn
4 S5
h db
s2
1 S10
°2
32
d2 с
d10 a
SQ
de
s3
S9
°3
83
h
h
si
d,
st
d,
d*
S& Sg
dg rfg
Sb S6
s,
°5 °6
8a
db rfe
«10
^10
su s12
Суммы .
Разности
з: si
К
К
Дальнейшие вычисления можно расположить по схеме, приве-
приведенной на следующей странице. Порядок вычислений по этой схеме
такой же, как и в случае 12 ординат.
Имеется ряд других схем для вычисления коэффициентов
по формулам Бесселя. Широкое применение находят наборы шаб-
шаблонов, например шаблоны Лопшица. Разработаны и разнообразные
графические методы гармонического анализа кривых, а также суще-
существуют разнообразные конструкции особых приборов — гармони-
гармонических анализаторов.
Подробно о методах гармонического анализа можно прочесть
в монографии М. Г. Серебрянникова «Гармонический анализ».

460
СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
«о
ь
«?
t
п;
о
о
о
¦*
to
ее
О
3
«О
о
о
о
гО
ь о1
+ «
-j- ь
о
о
У,
8
еО
15°
cos
7
-
«г
30°
cos
?
1,
ео ео
|^ 1
«О
на
«о
45°
cos
-*
+
в"
t
»
еч
60°
cos
75°
cos
-
-
-
а
S
и
со
¦*
12а
О
1
—
00
"SI
о:
о
12а
в"
еч
—
о
ю
sin
Ь
«о
еО
Ь
30°
sin
"*. СО
1
! ^ ^
"^ СО
ь
45°
sin

СХЕМА РУНГЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ а0,
461
1
1
"*¦ ИЗ
J_
+
V. СМ
В
t?
t?
sin 75°
V. СО
1
?0
v"t
^ О
t>
t>
*¦ сч
t>
-о*
sin 90°
=
-
-
-
-
-
-
-
Суммы
со
¦о
СМ
СМ
*X
СМ
4'
О)
¦«Г
см
1 + 11
12*,
-о00
см
¦о
см
о
¦о
см
-о*
см
1 — 11
s
•в-
S
к
с:
К
о.
е
г
о
ж
<и
i=:
о
и.
О
—
а
о
и
О
К
а.
я
о
|
К
о.
5
и
§
со
S и
360°
330°
о
8
о
см
40°
см
°о
см
180
150°
о
О
90°
0°
30°
1,500
о
7
ГО
с
см
с
см
2,41
со
,90
-1
см
-1
<м
0,61
ю
о
см
см
2,91
102
ГО
2,611
ч-С
1
см со
со сТ>
1
ю см
*^
см см
1
счсм
О5 00
счсч
1
СМ ГО
2S
ГО СМ
1
2,611
— 1,610
о
1,50
Г0_
1
счю
1-1 СМ
1
гаю
1
©¦*
—• t~-
ою
399
805
©ю
1,001
4,221
о
со s
н
ММЫ
зное
S-.ce

Продолзкение примера
| 1,500
| -1,321
Суммы а
Разности 8
sin 30° = 0,500
sin 60° = 0,866
sin 90° = 1,000
sin 90° = 1,000
Суммы
Суммы 1 4-11
Разности 1 — 11
sin 30° = 0,500
sin 60° = 0,866
sin 90° = 1,000
Суммы
Суммы 1 + П
Разности 1 — П
0,179
2,821
1,001
' —1,294
— 0,293
2,295
0,179
0,092
0,271
0,399
—0,307
0,092
0,706
— 0,293
0,110
— 0,183
12д0 = 0,088
12а6 = 0,454
6,739
5,714
9,084
10,322
8,939
6*, = 18,023
6*5= 0,145
0,110
0,110
0,706
2,821
3,174
Суммы а'
Разности Ь'
2,295
1,987
6^ = 5,161
6а5= 1,187
1,703
1,475
1,288
1,115
6*2 = 2,590
6*4 = 0,360
4,221
2,518
6,739
1,703
— 0,092
0,179
0,133
5,805
4,517
10,322
1,288
— 0,293
— 0,110
— 0,256
6а2 = — 0,123
6а4 = 0,389
6,739
6,739
5,714
5,714
2,821
2,821
0,706
0,706
6д3 = 2,115
5,714
5,714
6*Б = 1,025
0,007; а, =0,860,
0,038; *, =3 004
= —0,020; а3 = 0,352; а4 = 0,065, аь = 0,198;
= 0,432; *3 = 0,171, *4 = 0,060, *5 = 0,024.
я
W
к
D
t
5
¦х
"О
W
X

УПРАЖНЕНИЯ
46»
УПРАЖНЕНИЯ
1. Разложить на отрезке [—1, -f 1] функцию f(x) = | х\ по многочле-
многочленам Лежандра
2. Разложить при х>0 по многочленам Лагерра функцию / (х) = е-а
И=0
3. Используя разложение по многочленам Чебышева, найти многочлен
наименьшей степени, равномерно приближающий на отрезке [—1, -\-\\
функцию / (х) = Т^ с точностью 10~5
Указание. Воспользоваться разложением
1 — а соь
— 2acos
{\a\<\)
и-о
4. Найти по методу наименьших квадратов приближенное представле-
представление функции f(x) = у-?-— по ее значениям в точках х = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
i —)— х
7, 8 многочленом четвертой степени.
5. Аппроксимировать следующие данные многочленом второй степени:
X
У
0
3
1
87
2
156
3
210
4
238
5
252
6
239
7
211
8
158
9
90
10
—О
6. В результате эксперимента получены следующие значения функ-
функции / (х) с периодом 2гс:
хг
h
4
и
15°
1,31
195°
3,19
30°
1,84
210°
2,01
45°
2,33
225°
0,92
60°
2,51
240°
— 0,64
75°
2,54
255°
—1,73
90°
2,39
270°
—1,98
105°
2,12
285°
—1,76
120°
2,08
300°
—1,63
135°
2,48
315°
-1,57
150°
3,44
330°
-1,32
165°
3,81
345°
-0,32
180°
3,63
360°
—0,Ь2
Найти представление этой функции тригонометрическим многочленом

464 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. 5
7. По методу наименьших квадратов решить систему уравнений
х+у=3,0, х + Зу = 7,0,
2х — у = 0,2, Зх + у = 5,0.
ЛИТЕРАТУРА
1. И П. Натансон, Конструктивная теория функций, Гостехиздат, 1949.
2 Н И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, Гостехиздат, 1947.
•3. М. Г. Серебрянников, Гармонический анализ, Гостехиздат, 1948.
4, Б М Щ и г о л е в, Математическая обработка наблюдений, Физматгиз, I960.
5. К- Ланцош, Практические методы прикладного анализа, Фнзматгна, I9GI.