Москва • 2005

УДК 371.32
ББК 74. 202. 4
Ш28
В.Ф. Шаталов. Алгебраические волны. — М., ГУП ЦРП «Москва - Санкт-Петербург». 2005, 28 с.
Методические материалы предназначены для школьников, учителей и родителей, а также студентов педагогических вузов.
© В.Ф. Шаталов, 2005
© ГУП ЦРП «Москва - Санкт-Петербург», 2005
ПОРУЧЕНИЕ
Из всех школьных наук, как в этом тысячекратно убеждались участники донецких семинаров, самой лёгкой является МАТЕМАТИКА, а из трёх ее взаимозависимых ветвей наиболее проста АЛГЕБРА. Отчасти поэтому сначала вышла в свет «Фамильная геометрия», позже - «Быстрая тригонометрия» и вот только теперь - алгебра. Несопоставимо более сложна ФИЗИКА. Сложность её в многоплановости разделов, в необходимости держать в поле внимания всё новые и новые открытия, в лоскутности сложных задач и в лабораторных исследованиях, игнорируемых инспекционными службами. Не случайно именно поэтому высокоакадемическая группа, направленная в Донецк министром Прокофьевым с поручением «стереть экспериментатора в порошок», начала сопоставительные экзамены между пятиклассниками экспериментальных и шестиклассниками контрольных классов с контрольной лабораторной работы по физике, о которой даже учителя не имеют никакого представления. Когда же этот невероятный срез завершился со счетом 31:7 в пользу ПЯТИКЛАССНИКОВ, многоуважаемые доктора наук во главе с О.Ф. Кабардиным покинули Донецк, даже не приступив к контрольным проверкам по математике. Утверждённые Минпросом уставные положения о защите учителей-экспериментаторов от предвзятости инспекционных групп исключали лукавые поползновения, а правомерное сопоставление уровня знаний по математике между ПЯТИКЛАССНИКАМИ и ШЕСТИКЛАС СНИКАМИ грозило несравненно большим провалом, нежели это произошло в физике.
И всё же во всех классах школы изучается ещё более сложный предмет - ИСТОРИЯ, если речь вести не об археолого-повествовательной её части, а о прогнозирующих логических предвидениях, в отсутствие которых самоуничтожился Варшавский пакт, развалилась сверхмощная держава и катастрофически раздробились ранее единые европейские государства.
Вседоступная лёгкость алгебры состоит в тысячекратных повторах одних и тех же действий, в тесной взаимосвязи не столь уж многих разделов, объединённых стройной системой повторения и углубления базовых знаний. Во всей полноте это раскрывается в самостоятельном изучении ТРИГОНОМЕТРИИ, в строгой систематизации курсов физики и геометрии. Дорого, слишком дорого далось стране вожделенное и вполне объяснимое стремление М.А. Про
кофьева заполучить на грудь звезду Героя Социалистического Труда. Уж как неловко ему было присутствовать на заседаниях Совета министров в окружении золотых созвездий министров угольной, сельскохозяйственной, автомобильной и всех прочих промышленностей!
Именно поэтому всем, кто держит в руках эту книгу, на десятки лет вперёд поручается довести до конца дело возврата тригонометрии в самостоятельный учебный предмет. Автору, исходя из возраста, дожить до этого, возможно, и не придётся.
Для более полного понимания состояния курса алгебры средней школы проведём сопоставление уровней сложности сборников задач 2005 года со сборниками задач полувековой давности.
П.А. Ларичев, 1959 г.
№ 458. Если каждый участник шахматного турнира сыграет по одной партии с каждым из остальных участников, то всего будет сыграна 231 партия. Сколько участников турнира?
№ 369. Из сосуда, вмещающего 20 л и наполненного спиртом, отлили некоторое количество спирта и долили водой, потом отлили такое же количество смеси и снова долили водой. Тогда в сосуде оказалось 5 л чистого спирта. По скольку литров спирта отливали каждый раз?
№ 455. Население города за два года увеличилось с 20 000 человек до 22 050 человек. Найти средний ежегодный процент прироста населения города.
Москва, 2002 г.
№ 5 118. В однокруговом шахматном турнире было сыграно 78 партий.
Сколько человек участвовало в соревновании?
№ 5 137. В сосуде было 20 л чистого спирта. Часть этого спирта отлили, а сосуд долили водой. Затем отлили столько же литров смеси и сосуд опять долили водой. После этого в сосуде оказалось чистого спирта втрое меньше, чем воды. Сколько литров спирта отлили первый раз?
№ 5 120. Население города за 2 года увеличилось с 20 000 до 22 050 человек, найти средний ежегодный процент роста населения этого города.
На первый взгляд, всё естественно и просто - задачи во все времена вели кочевой образ жизни, и авторы новых сборников, ничтоже сумяше, используют материал, наработанный в прошлых изданиях. Но это, к сожалению, только на первый взгляд, на деле же всё несопоставимо трагичнее. Павел Афанасьевич рекомендовал свои задачи ВСЕМ учителям и ВСЕМ восьмиклассникам страны, а авторы сборника 2002 года рекомендуют их и несчётное множество таких же ТОЛЬКО для школ с УГЛУБЛЁННЫМ изучением математики! Более того: П.А. Ларичев сопровождает третью задачу одним только ответом - 10 л, а новые авторы дополняют этот же ответ развёрнутым - в две строки! - УКАЗАНИЕМ к решению. Так сказать, для современных несмышлёнышей из школ с УГЛУБЛЁННЫМ изучением математики.
Сотни УКАЗАНИИ и полных РЕШЕНИЙ дают авторы на СОРОКА страницах сборника, защищая свой труд от пиратствующих авторов РЕШЕБНИКОВ, противоядия от которых пока ещё не найдено. Думай, Россия!
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Столетиями в начальной школе изучали АРИФМЕТИКУ. Около 50 лет назад в нее стали вклинивать элементы АЛГЕБРЫ. Арифметика стала МАТЕМАТИКОЙ. Ничего худого в этом нет, но сложные арифметические задачи стали проникать в алгебраические сборники, размывая вековые границы между едиными в своей основе науками. В экспериментальных классах г. Донецка изучение алгебры было перенесено в ЧЕТВЁРТЫЙ класс. После перехода во втором полугодии в ПЯТЫЙ класс. И уже во втором полугодии все ученики получали сборники задач для поступающих в высшие учебные заведения. Понять это вполне возможно, задумавшись над простым вопросом - можно ли, составляя уравнение, с лёгкостью предвидеть, завершится ли эта работа уравнением первой или более высокой степени. Со всей очевидностью - НЕЛЬЗЯ. Выполняя при составлении уравнения СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ. УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ, НАХОЖДЕНИЕ ДРОБИ ОТ ЧИСЛА, ЧИСЛА ПО ДАННОЙ ВЕЛИЧИНЕ ЕГО ДРОБИ, проводя операции с ПРОЦЕНТАМИ и ОТНОШЕНИЯМИ ЧИСЕЛ, ученик 4-го класса, ничего не подозревая, может получить КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ. Будучи вооружённым приёмами его решения, он совершает невероятный прыжок через ЧЕТЫРЕ КЛАССА. Стало быть, всё дело только в том, чтобы малыш научился распознавать все виды квадратных уравнений, знать приёмы их решений и уметь извлеки i ь квадратные корни, что тривиально просто.
В последующие годы высокие гребни алгебраических волн, чередуясь с арифметическими впадинами, позволяли к седьмому классу завершать изучение курса средней школы и сдавать экзамены в присутствии учителей математики всей страны. Последний такой экзамен был проведен весной 1989 года в присутствии 38 директоров школ. 28 ребят были аттестованы оценками ОТЛИЧНО, четверо -оценками ХОРОШО. А потом пришёл 1991 год...
После всего сказанного позволительно и учителям, и ученикам без тревог и сомнений приступить к изучению КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.
В целях значительной экономии времени настоятельно рекомендуется запомнить квадраты чисел второго десятка и, не откладывая,
квадраты чисел третьего десятка. Второе несколько проще: вертикальными скобками отмечены четыре пары чисел, отличающихся только сотнями.
11== 121
122= 144
132= 169
142= 196
152=225
162= 256
172= 289
182 = 324
192=361
202=400
212=441
222=484
232=529
24? =576
252=625
262=676
2Т= 729
282= 784
292=841
302=900
Без больших усилий отрабатываются приёмы извлечения квадратных корней из целых чисел и десятичных дробей.
Для первой тренировки приводим четыре примера, а на следующих трёх уроках ребятам необходимо обменяться примерами, подготовленными дома.
>/116964 >/707281 V1056^061 >/222,9049
Необходимость в использовании калькуляторов отпадает полностью. Выкладки, изложенные на двух листах с опорными сигналами, - материал одного урока, который завершается ШЕСТЬЮ правилами, знание которых должно быть безукоризненным.
Корни приведенного квадратного уравнения равны половине второго коэффициента, взятого с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из квадрата этой половины без свободного члена.
Корни квадратного уравнения общего вида равны дроби, в знаменателе которой удвоенный первый коэффициент, а в числителе второй коэффициент, с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверённого произведения первого коэффициента на свободный член.
Корни квадратного уравнения общего вида с чётным вторым коэффициентом равны дроби, в знаменателе которой первый коэффициент, а в числителе половина второго коэффициента, взятого с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из квадрата этой половины без произведения первого коэффициента на свободный член.
ТЕОРЕМА ВИЕТА. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Квадратный трёхчлен приведенного вида раскладывается на два множителя - разность между аргументом и первым корнем и разность между аргументом и вторым корнем.
Квадратный трёхчлен общего вида раскладывается на три множителя - первый коэффициент, разность между аргументом и первым корнем и разность между аргументом и вторым корнем.
о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ах2 = 0	g
•А Б
ах2 + Ьх = 0	§
Б ф ах2 + с = 0	®
Приведенное
Общего вида
ах2 + Ьх + с = О	( х 4а)
4а2х2 + 4abx + 4ас = О
4а2х2 + 4abx + Ь2 - Ь2 + 4ас = О
(2ах + Ь)2 = Ь2 - 4ас
2ах + b =+Vb2-4ac
b ±л/ь2 - 4ас
хи ” 2а
о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о
С четным вторым коэффициентом
-2k +>?4k2-4ac 2а
b = 2k
и
ХГХ2 = Ч
Теорема Виета
о о о о о о о о о о о о о о о о о о о
Квадратный трехчлен
у = х2 +рх + q = x2-(х,+ х2)х + х, • х2 =
= X2 - X • Xj - X • Х2 + Xj • Х2 = = х(х-х1) -X^X-Xj) =
= (X - Xj) • (х - х2)
b	с
у - ах2 + Ьх + с = а(х2 +“ х + “) = it	а
= а(х-х1)« (х-х2)
ДЕЙСТВИЯ СО СТЕПЕНЯМИ
ар • ак = ар+к
п
ат
т-п
п 2 из неотрицательного числа а называет-
п > 2
tn
0т=0
ся неотрицательное число, /1-я степень которо-
го равна а
ОДНОЧЛЕН МНОГОЧЛЕН
ПОДОБНЫЕ
ОхО; ОхМ; МхМ; 0:0; М : О; М : М.
1- Зх4 - 2х3 + х2 - 5х + 2
- х4
- 2х3 + х2 - 5х + 2 4х3
+ х2 - 5х + 2
Х-2х2
X-5х + 2 - Зх
_-2x4-2
-2х 4-2
X - 1_______________
X4 4- 4х3 4- 2х2 4- Зх - 2
о
Чтобы разделить многочлен на многочлен, нужно расположить их в порядке убывания или возрастания степеней одной из переменных. Затем разделить первый член делимого на первый член делителя, результат умножить на делитель и вычесть из делимого...
(а ± b)2 = а2 + 2аЬ 4- Ь2
(а ± Ь)3 = а3± За2Ь 4- ЗаЬ2 ± Ь3
а2 - Ь2 = (а 4- Ь)(а - Ь)
а3 + Ь3 = (а + Ь)(а2 т ab 4- Ь2)
(а 4- Ь 4-с 4-.... 4- d)2 = а24- Ь24- с24- ....
4- d2 4- 2ab 4- 2ас 4-.... 4- 2ad 4- 2bc ...
Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс удвоенные произведения каждого члена на каждый последующий.
НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД 1,2,3, 4...1
I	1. Бесконечен.	|
N 1 41	1
I	3. Выполнимы + И X	I
| Простые числа: 1,3, 5, 7, 11, 13, 17...	'
(Только!)
Теорема: Простых чисел бесконечно много.
Доказательство. Предположим, что в последовательности Рр Р , Р3.... Рп Рп самое большое, больше которого нет. Перемножим все эти числа и прибавим 1. Р3 • Р2 • Р3...... Р„ + 1 Результат не делится ни на одно простое число, т. к. в остатке всегда будет 1.
Значит это новое простое число > Рп.
24
12
6
36
18
9
54
27
9
Противоречие!
НОД(24, 36, 54) = 2-3 = 6
3 НОК (24,36, 54) = 2-2-2'3-3 3 = 216
2
2
2
2
2
3
2
Алгоритм Евклида
Взаимно простые. 10 и 21
НОД = 1
Зб| 24 _24|_12 24 1 24 21 12	0 /
НОД = 12 /
ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
1.	Обл.определения
2.	Обл. изменения
3.	Нечетная
4.	При к > О
f(x)- возрастает
5.	При к < О
f(x)- убывает
6. Симметрична относительно начала координат.

ПРОЦЕНТЫ
10//°	100
1%о=
QQQ — промилле
1.	Нахождение пропен юв данною числа.
Рабочий получил 6 000 рублей, и его жена в первый же день истратила 40% этих денег.
30% оставшихся денег были отложены для квартплаты.
9	9	9
•	•	
2.	Нахождение числа но данной величине его процентов.
Завод выпустил 120 станков и это составило 15% его годового плана, а годовой план этого года составляет 125% плана прошлого года.
9	9	9	9
•	•	•	•
3.	Нахожжчшсд1ронен11101о ошошешокдвхх Ч11ссл.
Даны два числа: 15 и 60.
Сколько процентов составляет первое от второго?
Сколько процентов составляет второе от первого?
При ответах лучше всего использовать собственные задачи.
можно представить в виде отношения двух ЦЕЛЫХ чисел. (Нивен)
15
Целые 5 = ~у
1	22
Обыкновенные дроби 7^— = -г-
19
Десятичные дроби 0,19 = -род
13
Периодические дроби Чистые 0,(13) =
111
Смешанные 0,1(12) =
Теорема: Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.
Для целых чисел теорема очевидна, т.к. I2 = 1 а 22 = 4
шые дроби. Дано: JL - несократимая дробь, b
Доказать (—)2/= 2
Ь
а2
Предположим, что -75 = 2
Ь
Тогда а • а = 2Ь2. Справа число ЧЕТНОЕ, а т.к. левые сомножители равны, значит Я - четное .к а
b • b = >2^ Справа число четное, значит и Ь - число
_	а
четное. Следовательно, первоначальная дробь— сокращается, как минимум, на 2. Противоречие!
Для десятичных и периодических дробей теорему доказывать не нужно, т.к. они являются разновидностями простых дробей. Каждому РАЦИОНАЛЬНОМУ числу соответствует строго определенная точка числовой оси. *	J	| 2_!_	3
Обратное утверждение неверно, т.к. существует отрезок {"2”, а рационального числа для него нет. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА можно: + - х
ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО КОРНЯ
Значение корня не изменится, если показатель корня и показатель подкоренного выражения одновременно увеличить или уменьшить в одинаковое количество раз.
ОСВОБОДИТЬСЯ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ В ЗНАМЕНАТЕЛЕ
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА - это такие числа, которые
нельзя представить в виде отношения двух целых чисел.
(Нивен)
Теорема: Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной
(По алгоритму Евклида)
Отложим катет на гипотенузе. Можно только один раз. Отложим остаток на катете. Два раза, и снова остаток...
л = 3,1415926535897932384626433
Кто и шутя и скоро пожелаешь пи узнать число ужъ знает.
БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
х4 + Зх2 + 4 =0
Х2 = у
у2 + Зу + 4 = 0
ах4 + Ьх2 + с =0
х4 + Ьх2 + с =0
(х4 +с) + Ьх2 =0
(х4 + 2fc х2 + с) - 2Гс х2+ Ьх2 =0
(х2 +{с )2 - (2{сх2 - Ьх2)=0
(х2 +{с)2 - (2^с~ - Ь)х2 =0
а = 1
D<1 b2 - 4ас < О
Ь2 < 4ас
Ь<2{с”
(х2	+>12{с - b • х) • (х2 + с -V 2т(с"-Ь • х) = О
’ МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ
О О х«-1	х=2
-X -1 х+1
х-2
I.	(-х - 1) + (-Х +2) = 3
х = -1
II.	(х + 1) + (-Х +2) = 3
3 = 3
III.	(х + 1) + (х - 2) = 3
х = 2
1.	Квадраты чисел от 11 до 21.
2.	Квадраты чисел от 21 до 30.
3.	Значение выражения.
4.	Строгие и нестрогие неравенства.
5.	Извлечения квадратного корня из целых чисел и десятичных дробей.
6.	Тождество.
7.	Корень уравнения.
8.	Что значит РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ?
9.	Неполные квадратные уравнения.
10.	Корни приведенного квадратного уравнения.
11.	Корни квадратного уравнения общего вида.
12.	Корни квадратного уравнения общего вида с четным вторым коэффициентом.
13.	Теорема Виета.
14.	Разложение на множители квадратного трехчлена приведенного вида.
15.	Разложение на множители квадратного трехчлена общего вида.
16.	Основание степени, показатель степени, степень.
17.	Как перемножить степени с одинаковыми основаниями?
18.	Как разделить степени с одинаковыми основаниями?
19.	Как возвести степень в степень?
20.	Как извлечь корень из степени?
21.	Степень числа с" натуральным показателем.
22.	Степень одночлена.
23.	Многочлен.
24.	Степень многочлена.
25.	Нулевой и отрицательный показатели.
26.	Арифметический корень натуральной степени из неотрицательного числа.
1.	Как умножить одночлен на одночлен?
2.	Как умножить одночлен на многочлен?
3.	Как умножить многочлен на многочлен?
4.	Как разделить одночлен на одночлен?
5.	Как разделить многочлен на многочлен?
6.	Как разделить многочлен на одночлен?
7.	Квадрат суммы двух чисел.
8.	Квадрат разности двух чисел.
9.	Разность квадратов двух чисел.
10.	Куб суммы двух чисел.
11.	Куб разности двух чисел.
12.	Сумма кубов двух чисел.
13.	Разность кубов двух чисел.
14.	Квадрат многочлена.
15.	Линейное уравнение с двумя переменными.
16.	Свойство уравнений.
17.	График уравнений с двумя переменными.
18.	Решение системы уравнений с двумя переменными.
19.	Возрастающая функция.
20.	Убывающая функция.
21.	Четная функция.
22.	Нечетная функция.
1.	Натуральный ряд и его свойства.
2.	Теорема о множестве простых чисел.
3.	Наибольший общий делитель. НОД.
4.	Наименьшее общее кратное. НОК.
5.	Алгоритм Евклида.
6.	Взаимно простые числа
7.	График прямой пропорциональной зависимости.
8.	Построение графика линейной функции.
9.	Варианты расположения графика на координатной плоскости.
10.	Процент. Промилле.
11.	Нахождение процентов данного числа.
12.	Нахождение числа по данной величине его процентов.
13.	Нахождение процентного отношения двух чисел.
14.	Рациональные числа.
15.	Теорема о свойстве рационального числа.
16.	Взаимное соответствие между числами и точками числовой оси.
17.	Основное свойство корня.
18.	Умножение корней с одинаковыми показателями.
19.	Умножение корней с разными показателями.
20.	Деление корней с одинаковыми и разными показателями.
21.	Возведение корней в степень.
22.	Извлечение корня из корня.
23.	Уничтожение иррациональности в знаменателе.
24.	Иррациональные числа.
25.	Теорема о несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной.
ОТВЕТЫ
ПЕРВЫЙ ЛИСТ ГРУППОВОГО КОНТРОЛЯ
1.	121 144 169 196 225 256 289 324 361 400
2.	441 484 529 576 625 676 729 784 841 900
3.	Число, которое получается...
4.	>
5.	Целое разбиваем на грани слева направо... Дробь - от запятой. ..
6.	Равенство, верное при всех значениях входящих в него переменных.
7.	Корень уравнения - это значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.
8.	Решить уравнение - найти все его корни или доказать, что корней нет.
9.	а х2 = 0 а х2 + в х = 0 а х2 + с = 0
10.	---
11.	---
12.	---
13.	---
14.	---
15.	---
16.	а, х, а*.
17.	... нужно основание оставить без изменения, а показатели
степеней сложить.
18.	... нужно основание оставить без изменения, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.
19.	... нужно основание оставить без изменения, а показатели степеней перемножить.
20.	... нужно основание оставить без изменения, а показатель подкоренного выражения разделить на показатель корня.
21.	Степень числа Я с натуральным показателем п>1-это произведение П сомножителей, каждый из которых равен Я .
22.	Степень одночлена - это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.
23.	Многочлен - это сумма одночленов.
24.	Степень многочлена - это наибольшая из степеней входящих в него одночленов.
25.	---
26.	---
ВТОРОЙ ЛИСТ ГРУППОВОГО КОНТРОЛЯ
1.	... перемножить коэффициенты, показатели степеней оди-
наковых переменных сложить...
2.	... на каждый член многочлена...
3.	... каждый член одного на каждый член другого ...
4.	... разделить коэффициенты, показатели степеней одинако-
вых переменных вычесть...
5.	... расположить в порядке убывания или возрастания степеней...
6.	... каждый член многочлена разделить на одночлен...
7.	... квадрату первого числа +...
8.	... квадрату первого числа, минус ...
9.	... произведение суммы на разность...
10.	... кубу первого числа ПЛЮС утроенное произведение квадрата первого на второе, ПЛЮС ...
11.	... кубу первого числа МИНУС утроенное произведение квадрата первого на второе ПЛЮС ...
12.	... произведение суммы этих чисел на неполный квадрат разности ...
13.	... произведение разности этих чисел на неполный квадрат суммы ...
14.	... сумме квадратов всех его членов плюс удвоенные произведения...
15.	Уравнение вида а х + в у = с, где а, в и с данные числа...
16.	Если к обеим частям уравнения ПРИБАВИТЬ или из обеих частей ВЫЧЕСТЬ одно и то же число ...
а)	можно переносить...
б)	можно взаимно уничтожать...
Если обе части уравнения умножать или разделить на одно и то
же число (/ 0 ) ...
а)	можно приводить к НОЗ...
б)	можно сокращать...
17. ... прямая...
18. Решение системы уравнений - это общее решение всех ее уравнений.
19.... большему значению аргумента - большее значение функции...
20. ... большему значению аргумента - меньшее значение функции...
21. ... при изменении знака аргумента знак функции не меняет-
ся...
22. ...
противоположный.
знак функции меняется на
ГРЕ ГИЙ ЛИСТ ГРУППОВОЮ контроля
1.	Бесконечен. +1. Выполнимы +
2.	Простых чисел бесконечного много. Перемножим и прибавим 1.
3.	Самое большое, НА КОТОРОЕ делятся... Выписать общие и перемножить...
4.	Самое маленькое, КОТОРОЕ делится... К множителям боль-
шого добавить из других недостающие..
5.	Большее делим на меньшее, меньшее на остаток... Или 0, или 1.
6.	НОД=1.
7.	Прямая через начало координат, к = 1 , К>0, К<0
8.	х = 0, у = 0 . Ступеньки!
10. Сотая часть числа. Тысячная часть числа.
11.	Данное число разделить на 100 и умножить на количество процентов.
12.	Данную величину разделить на количество процентов и умножить на 100.
13.	... отношение чисел умножить на 100%.
14.	Числа, которые можно представить в виде отношения двух целых чисел.
15.	Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.
а)	для целых чисел.
б)	для обыкновенных дробей.
16.	Каждому рациональному числу соответствует строго определенная точка числовой оси.
17.	Значение корня не изменится, если его показатель и показатель подкоренного выражения...
18.	Оставить тот же показатель корня, а подкоренные выражения перемножить.
19.	Сначала привести корни к общему показателю...
20.	Разделить подкоренные выражения, а показатель корня...
21.	... привести к общему показателю...
22.	Возвести в эту степень подкоренное выражение, а показатель корня оставить тем же.
23.	Перемножить показатели корней, а подкоренное выражение...
24.	Числа, которые невозможно представить в виде отношения двух целых чисел.
25.	Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.
Компьютерная верстка, макет - В.П. Давыдов
Дизайн обложки - А.Н. Багаев
Отпечатано в издательско-полиграфическом центре ГУП ЦРП «Москва - Санкт-Петербург», 107078, г. Москва, Рязанский пер., 3, тел./факс: (095) 265-82-49
Подписано в печать 20.03.2005 г.
Лицензия на издательскую деятельность
ЛР № 040888 от 14.04.1998 г.
П. л. - 1,75. Тираж - 1500 экз.